close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

asna.18550412301

код для вставкиСкачать
I S 'I'€i0 S 0
i
I S C H E 5 A C I-I K 1 C H 7' E PIT.
.,% 983.
Uber dic Projection der Land- und Himmelskarten
D i e Projectioii der Land - und Hinimelskarten , rvenn man
unter Projection die Art und Weise versteht, nach welcher
in der Karte die l e r i d i a n e und Parallelkreise construirt werden. hat seit langer Zeit die Geographen iind Matliematiker
beschaftigt. Es handelt sich darum, eine nicht abwickclbare
Oherfllrhe i n cler Ebene s n clarzristellen, (lass clax Biltl i i i
clieser tleiii Ahybiltlcten i i i jener s o iilinlicli ;ils iiiiiglirh
rvird. Da cine vollknniniene Aliiiliclikeit, s o dass alle 1%nieiisionen in 1)eitleii Fliiclieri proportionirt sintl. iiicli errcichbar ist, s n schliesst der Begriff einer niii~liclist grosseii
Ahnlichkeit riel Willkiihrliches e i n , wnraris es aich erkliirt,
claw eiiie prosse Mengc voii Methoden ersoiincn sintl , uni
dieeeii Z\vcc.k zu crreiclieii. Sic lassen sich cintlieilcn i n
solclic, welche ein niiiglichst getreues Biltl Iwabsiclitigeii ilnd
solche \velclie die Ahnlichkeit des Rildes nicht beriicksichtigeud niir die FIBchengrijssen darzustelleri versucheii. D a s
letztere ist vollknmiiieii erreictil)ar, d a s erste h e p i f l i c h e r weise nicht.
Die Bemiihurigeri, eiri iiiiiglichet getreues Bild tlcr Kogelfl8che i n tler I'bene zu erhalteit, gewiiinen erst niit L a m bert. welclier die Betlingung cler Ahnliclikeit i u cleii kleinsteri Tlieilcii cinfiihrte, cine restere Basis. Lninlcrt driickte
diesc 13ctlingurig (lurch cine Differenzial- Gleichung aus und
zeigte, dass (lie schon vorlianderie stereographische Projectionsart und die Merkatorsche dieser Bedinguiig geniigen, auch
daaa es iiocli sehr riel aiitlere Projectiorien clicser Art gehe.
Lnqrlmrtgc integrirte cliese Differenzial- Gleichung wid fand,
dass sich die Zahl der Pro.jec.tiorisarteii b i s in's Unentllirlie
verniehreii l a s s e s welche sRiiinitlit!li tlieser Redirigung geiiiigen. Die ~ierspectivisclieriProjectionsnrten ilagegcn , wit alleiniger Ausiiahiiie der stereogr;i~~tiiscIieii,
die Constriictioneri
von Flciinsttxd, clc I'lslr. , Seuex, i h t n c , Miwdoch untl
vielcn Aiitleren eiitsprecheii tlieser Bctlingu~ig nicht. Sic
gebcn streiigc genoninieii riur Zerrliilder, welchc nach tlein
Rande tler Parte l i i i i iiiinier augenfilliger Iiervortreten untl
sollen deslialli ;iach liicr iiiclit weiter crrvdint werdeu. L n ~ r u n y c , desseii schnii Iwi Lonilert gcclacht w i d , hat iii
eineni Menioire der Berliner Ak;ideniie voni Jahr I 7 7 9 ilies.cn
Gegenstaiitl uiiter der Bedingung cler Ahiiliclikeit iii clcn klciiiaten Theilen ausliihrlicher heliandelt iirid daselbst vorzugsweise (lie Aufgalie geliist, fiir das U i i i t l r c h u n ~ ~ - E l l i ~ ~ s neirie
itl
k l r Ild.
,
von Herro Dr.
C. BremiEer..
Projection i n cler Ehene zu firiclen, unter der Betlingurig,
d a s s alle Meridiane und Parallelkreise sich i n der P r o j e c
tions -Eliene als Preise darstellen. Weiter unten w i d sich
zcigen, class diese von Lagrnnye gefundene Projection riicht
die einzige ihrer Art ist, sonderu dass es unendlich viele
giebt, welche diescllic Eigenschaft halieii , weiiii gleich clic
Art iiiitl Weise der Iferlcituiig iii gedac:literri Meinnire 111ir
eiiic einzige als iriiiglich voraussctzeo lisst, wel(:lic geliintlen
w i d Splterhin hat C o w s i n eirier Aliharitllung, rvclchr
t
Y i cli in ~ . d m r m r /er's
a 2; t r o n n n i isc ti e II A b h a II (1 I IIIIge 11 v (J I Ii
Jalir I825 findet, gezeigt, (lass bei Ohertragung cines lliltlcs
v n i i einer lieliehisen Fliche arif eirict beliebige aiitlere, die
Bctliiiguiig tler Alinlichkeit i n deii klciristen Theileri inimer
wicdcr atif die v o n Lugrange geliiiiderie I~rgleictiiirigznriickget'iihrt werden liann.
Der hitwiirf einer guteii Kartc liangt \-orzrigs\veisr tlnvoti ab, dass vnn eineni Theile der Kugellliiclie eiri Biltl i i i
iler Ehene entworfeii wirtl , welclies iniiner d;ir;iuf hin;iiw
Iiiuft, von dieseni Thcile tler Kugclfliche clas Netz tlrr Ncridiane und Parallclkreise a d einc zwcckiiiiissigc A r t i r i t l c r
Ebene zu caiistruiren. Es sol1 daher zuniichst iiur roii tler
Abbildurig der Kngclfl~iche die Rede seiu. Die ~~bI~il(1111ig
tles Rotations-Ellipsoids i n cler Ebene kann ;iIs&~rin tliitlrirch
iiuf die Projectiori der Kugelfliche zuruckpefiihrt wertleii. (lass
inaii ziicrst die ellipsoidische Fliiclic ;itif cler Kugcl alibilclet
und tlieses Bilcl auf die Eliene p j i c i r t . Das erstere I i i d
sich leicht init einer Rir die Iiartographie hinl~iiiglichcri Genauigkeit bewerkstelligen ; h i letzterciii ~rertlcri (lie Pehler
griisser und efi niuss die Auhiierksariikeit licsoritlers tlahin
gericlitet tieiri, solche s o klein alli niiiglich zu niacheri. Ausserdein ist el; vortheilhaft, heide Prnlilenie getrennt zu behantleln, sowotil weil die Forinelii eiiif;it-hcr iind iibersichtlicher
bieiben, als aucli , \veil bei Hinimelrskarten iiiir die Pugelllache in Betraclit koninit uiicl liei Landkarteii vnii kleinereni
Maassstabe, etwa werin derselhe iiriter eiiirni Fiirifmilliontel
ist , die Erde elicrifalls a l s eiiie volllioiiinieiie liugel Iwhandelt werden kaiiii, ohrie eiricri t1;iraris entqririgendeii riierklielien Fehler het'iirchten zu tlurfeii.
Es sei r tler Radius der Kugel, A untl $ die Liinge uiitl
Rrcite eines Punktes auf dersrlheri. K i n zwciter beliebiger
Clem ersten americilicfi nahe gelcgerier Puiikt kauii alsdann
.a
Nr. 983.
355
+
tiurch die Liinge h
d A uiid Breite /3 j- d[j vorgestellt
wertleri, und die Eiitfernung beider Punkte d o ist gegeben
drrrch die Gleichung
do2 = r2 ( t ~ ~ s pd 'i~z
dp*).
Siiid .zund ?{ die Coordinaten des entspreclienclen Ptriiktes
d:c und y + d y die Coordinaten eines
in der Eheiie, z
benachbarten I'unktes , (lessen Ehtfernung voni ersten = d s
ist, so hat Inan ebenniassig
ds2 = d x 2
dy2.
Da cine AhhBrigigkeit stattfinden sol1 xwischen den Puiikteii
in der Ehcrie iincl deiien auf der Kugel, s o d a s s jedeni I'unkte
i n Ietzterer eiri Punkt in jeiier entspriclit , s o miissen .T und
y als Functionen von h und @ gedacht werden.
dS
Der Brrich
m = do
driickt alsdanu das Yerhiltniss aus, uni rvelclies das LinearElenient iri der Eliene griisser oder kleiner ist, a l s das Linear-Element arif der IiugeI. Substitriirt niau fijr d~ urid do
die ohigen Werthe, so erliiilt nian die Gleichung
dx2
d!i2
7112 =
1"(t'OEp2dX2
dp") '
dB
wid wenil noch ~= d p gescthvird, woraus clurch Integratioii
+
+
+
+
t ' c p j3
+
+
y = log t f l q (45" .Jp) - . . ~.. - . . ( I )
hervorgeht, s o uinimt der Ausdruck fiir TIP die Form an
wo i f i r (lie
r-
1 geschrielien ist.
356
+
Setzt man noch der Iiiirze rvegen h i p = z , h - ip = z',
also d h
ildp = d z urid d A - i d p = d z ' , so hat nian
d x -t i d y
@ d z , d x -idy = q ' d ~ '
und durcli Integration dieser Gleichungen
x + i y = f q d z , x - i y = fq'dz'
oder, wenn f p d z = f(z) und Jq'dz' = f'(2') gwetzt wirtl
x i?/ = f ( A ip) und x - i!y = f ' ( h i p ) . . .(3)
Die Function q hatte weiter keiner Redingung zu genugeo,
kann also j e d e beliebige Zusamniensetzung voii A i p vorstellen. Daher &!It auch f jede beliebige Zusanimensetzung von z oder A + ip vor. So wie aber q in @' iibergehen niusste, wenn - i f i r
i gesetzt w i d , ebenso wird
i verauch f in f ' iibergehen iniisseii, wenn - i mit
tauscht wird. Die beiden Gleichungen (3) sind daher identisch.
1st f gegeben oder irgend welchen Bedingungen gemass
hestininit, s o l i s s t sicli cler Ausdrucl; f ( A + i p ) auf die
Forin P
i Q bringeo und nian h a t alsdann x
P uod
y = Q als Functiorien von A und p oder, da p eiiie Fuoction vnii i j ist, als Functionen von h und p. Alle diese Functionen haben (lie Eigenschaft, dass aus den Ausdriicken
dx+idy
dx-idy
(LA +- i d p- und d h - idp
+
+
+
-
+
+
+
+
die Differenzialien yon selbst versclirvirideri , dass also d a s
VergrGsserungs -VerhiiItniss ni nur noch voni Orte, der durch
A urid
gegebeii ist, abhiingt, daher cine i h n l i c h k e i t i n
den lileiusten Theilen stattliridet. 1st f ( z ) gegeben
, s o ist
df
(3)
Q =
urid @' crhalt man aus p , wenn -- i fiir + i
(12
dP"
dQ2
gesetzt wird ; diibei wird, weil GQ'
--r ~ iinidk" 4- du' '
nier reel, wie es aucli iii cler S a t u r der Sache liegt.
+
_^--
Die Aliiilichlieit i i i den kleiiisteii Theilen ist nun dihtlurrli bedingt, dass 711 fiir alle dh? d p tlensellmi Wcrth beIislt, oiler wie nian sich gewGlinlicli ;iusdriidt yon dA und
d p uirabliiinfiig ist. Die Iiir .G r i i i d y gesucliteii Functionen
voii A ririd 11 iiiiisseii dalicr die Eigeiiscliaft halien, d a s s die
Bruchc
dx
i d y rrrldd x - id!/
R)c+iclfi
(l - i d p
dereii Ziihler auch wrtairsclit werderi kiiiiiieii, da es nur
auf das Product aiikoninit, i n Functionen von h und p iibergehen, ails wekheii d h uiid d p yon selhnt verschwinden.
Man s e t m daher
+
+
unter @ und q' gaiiz Iwliehige Functionen von rewp. A ip
und A - ip gedacht, welclie nur insofern von einander abi
h l n g e n , als Q in Q' iihergehen muss, wenii - i f i r
gesetzt wird, eine Ahhingigkeit welche zugleich durcli diese
Gleichungen ausgesprochen ist. Fur m erhalt man alsdann
+
. .
Nan kiiiinte eirieii hugenblick zweifelhaft sein , oh durcli
(lie Proportionalitiit cler Linear-Elemente d s u. d o auch zugleicb
(lie Gleichheit tler von ihnen eingeschlossenen Winkel, wie es
die ;ihnlichkeit in den kleinsten Theileri verlangt, riiit ausgesprocheii ist. Hiervon iiberzeugt inan sich leicht auf folgende Weise. Man tlenke sich aul' der Kugel noch eineri
zweiten I)en;dibarten durch h
dh' und $
d a ' gege(18")
beiien Punkt, und d 0'' == r a ( c o r p2dA"
= r 2 I * O V @ ' (dA'" d y " ) , 60 ist tler Cosinus cles von
d u und do' eingeschlossenen Winkels beliaiintlich
( d h dA'
d p d p ' ) r2tw.rp2
+
+
+
+
+
dodo'
Fur einen zweiten Nacbbarpunkt in der Projectionsebeiie, gegeben durch ;1: ~ 5und
' y dy', h a t man d/' = d.z'2 dy",
und der Cosinus d e s von ds und ds' eingeschlossenen Wiokels ist
dxdx' dy dy'
+
+
+
+
ds d s "
Nr. 983.
357
Verniiige clrr Gleichungen (3) h a t nian alier
&+id!/
= (dil idp) @, d x i d y = ( d h - i d p ) @'!
d d + i d y ' =(dA'+ i d p ' ) q J .d . r ' - i d ? ; = ( d A ' idp')Cp',
woraus
+
-
355
Die dritte Anriahnic ist.
= k . e i r z . . . . . . . . . . . . . . .(6)
f(zj
VO.F l A
woraus x s k cot (43"+
y = k cot ( 4 5 O - t 3p)' silt l I .
und
I~iiirnrelskartcn.
Dieses ist (lie Kegelprqjection von H~rdin.7'~
Ohnc zu wissen, (lass cliesc Prosjection schon Iwkannt lint1
angewendet sei , habe ich tliescllte aus eineni gconrctrisclren
gehn. Die heiden Cosinus sind cli~lrereinantlcr gleich, worGesichtspunkte beh;rndelt und gezdgt, (lass sic i n Bezirg
ails (lie Gleicliheit dcr Winkcl folgt. Die Gleichurrg (3), i n
auf einen Parallelkreis untl tlen clenselhkn heriihrentlcn Kegelrvelclier f cine gartz lieliehigc I~urrctioti von A
i p betleutet,
mantel sicli geiritn s o rerhiilt , \vie tlic Merkatorsche I'rojectlriickt (latter rrirlils niehr urtd ~tichts weniger als die Ahntion i n Rezug auf tlen Aequiitor l i n t 1 dert ihn Iieriihrciitlert
lichkeit irr tlcri kleinsterr Theilcn iius. ivelche jetloch fiir
Cylindernrantel. *j
p = Y O f ' i r i cler Ikgcl cirtc I'rtterbrecliiing e r l e i t l i ~wird, wenir
Dieses sintl tlie von Cmss geni;ichtcn Annahnicri io tler
nicht m y [j ill ?It zrrgleicli eiii Faktor tles Zlihlers wird.
erwahriteir Preisschrift , welchc iibrrlrartpt diesen (hgetistaiitl
heriilirt, viclriichr irt cler tles grtrsseit Meisteis
Lni/ilro*t") Iienierkt n i diescr Gleiclrung d e s I ; ~ , ~ / W O Jitrrr
, ~ /bciliirifig
C,
rviirdigen Weise vie1 allgemeincrc Zwecke rerfnlgt.
,,dass ihre Anwertdurig atit' Itesnnclcre Fiille mit s e h r unglciMan \viit.de aich iibrigens sehr thscherr ir'etin iiinn
chein Erfolgc von Stiitteti gehc ; bei eiriigetr tler einl'achsten
clurch weiter fortgesetzteVer~irclrr. i n tler Arin;ihttre tler FIIIICEntwcrl'ungnartcrt hahc es keine Schwierigkeit."
Offenbar
tiori f , sobaltl zu einer atttlern bckannten Projectiottsart I,U
gilt tliescs letztcrc v o n der A n g d ~ eder Function f fiir die
gelangen hoffte, odcr auch nur zu einer. welche irgcntl welverschietlerren Eritwerliirtgsarten. Auch Gnztss Sictit irur fiir
chen 1it.aktischen Nutzen gewiitrrtc. Die Erlblge siud ltier
die Xerkator'sche, fiir die stereographisclte Polarprojection
iillerdinp s e h r ungleich. Dertnoch ist es wiirrscherrsu.erth,
oitd l'iir cine tlritte, i n wclcher die Bleritliane sich als gerade
nuch yon andcrn Projectionen die Forin tler Function f kcriLiniert tlic l'arallelkreise als Kreisc clarstellen, die Form der
nen zu lernen, sowohl an untl liir sicli, da tlurch sic tler
Function f ~ I I I . Diew driftc Prnjectiorisart, welche Ilurdhzg's
Character
tler Projection iincl ilirc Ei~eritlriinilit~hrteitcrlnni
ist
ist
die
v
o
~
i
Lnnibcrt
Hinimelskirrteo zu Gruntlc gclegt
ineisten ausgepriigt sind ;As aucli wcgen clef sich 1rier;in
unter 1V. beschriebenc, woselbst tlie Coiistanterr ellenfalls
anschliessenden weiteren Untersuchungeti. I.:s iuijge tlaher
niiclt Alaassgabe zweicr Parallelkreisc bestirnnit rverden.
erlaubt sein, air eiiienr Beispiele zii zcigen, \vie niiiit sich
Diis Yerl'ahrcrt voir CQIISS,
i i t der ohen crwlihtrtcn Preisurngekehrt
die Kenntniss der Puriction f vcrsclratre~t kaitit,
schrift, besteht nun clarirr , class man fur f verschieilene
weiin
die
Projection
gegeben ist. Ich wlihle die stcreograForrtren anninintt urrd iintersucht, welclie Eigenschaften die
, clercu Coordinaterr
phische
Horizon
tal-Prnjection
aus dieser Annahnie hervorgehende Projection hat. Die er.
2 r Y i i t A POX 13
ate Annahnie von Gauss ist
= ____
1
Sill p S i ? , p,
('0.V p I V l S 13, I'0.F A
..................
f(r) = kz
.(4)
oder .T
ij = k ( A
ip), wmaus sogleich
:c z k h und y = k p = k l o g t n n g ( I s " +
sind. $, ist (lie Breite cles ~eriihruiigspuirktes, tlcssctt I h g e
lolgt. ,velches die ~1erk;itorsclreProjection ist. Die Vergriis=
0 gesetzt ist. Die Coordinaten werden ebenfalls voii tlieseruiig m wird, tln Cp
k , q' = k,
seni Punkte an gcrechnet, x, nrit A zugleich, positiv rrach
k
ni = r f w a'
Osten, y positiv nach Nortleir.
+
~
.
~
+
+
+
.
+
Sa)
=
also im Acqrrator
8
= gon.
= r',
mit der Breitc ~varhscnd,his
Die aweitc ,411nahnrc ist
f(z)
Q,
fir
= k c i z . . . . . . . . . . . . . . . .( 5 )
+vOraus ;.r = k cot ( 4 5 ' ' + .Z 3) r . 0 ~A
y = k cot (45''
Jp) sirr h
und
hervorgeht , rvelches (lie stereographischc Polar-Projection ist.
+
*) I n den Bcitrligen zur Metliemiitik.
AIM der Gleichung
(1) crlialt matt
Werden diese Ausdriicke i n
erhiilt man tlurch Addition
.T
volt
untl y sulrrtituirt, aiis~erdcnr
.r
wit1
*) Eackc, astronowiwhcn Jahrbticli
iy
fGr 1840.
?3
+
Setat niau i r i dieselll Augdrucke A ip = Z, also hi= oi+p,
so fiillt C P von selbst heraus und man erhilt
o t ( 4 5 0 + &p,) -- c - i
+ i?l = f ( z ) = I? i r 1r +
c o t ( 45" + & p , ) . e = i
---
~1:
9 .
.(8)
rvelrhes die gesuchte k'orni ist. Sic liisst sich vielfaclr urnfornieri, unter nridern kariri sie auch folgende Gestalt annehnien :
\Ill 3 - i <;It p, I'OPZ
f(z) = 2r.
-_
.
+
I
('OF p , f m
z
1 1 1 dieser allgeiiieinercn Form niijsseri die stereograpllisclrc
Polar - und Acclu~itoreal-I'rojectioti, als specielie Falle, enthalten sein. I n der That erhilt inan, wenn p, = 90' gesctzt
wird,
f(z)
2r(5iitz-ii*ncz) =
2ir.e"
ubereiristiinmt
,
wenn
dort
die Constarite
rvelches niit ( 5 )
k = - 2 i r gesetzt wird. Fur die Aequatoreal-I'rojectiort
war hi+her die Foriii b o i i f iricht gegelien; sie fiiidet sicli
ans (H), \venii 8, = 0 gesetzt wird, rriinilich
-
=
Die Ditfereiiziatioll tlieser Gleicliuiig giebt
Daher nach (2)
1
m =
('Of
p
1'0.9
40
f'0S
-.
1zI
= goo, entllich = 30 fur c = 180". Fur (lie Forniel (8)
erhiilt nian genau tlieselbe Vergriisserung , wenn nian wieder
unter c clie Entfernung voni Anfangspunkt der Coordiriaten,
liegt, versteht, in welchem
welcher i n A I0 urid 13 =/3,
~ O P mcp,
P I'OF A ist. Da die
Falie rmsc = t i t t j S t i i t ,8,
Vergriisserung von dieseni Punkte an nach lallen Richtuogen
in demselben Verh5llnisse zunimmt, s o wird es f i r cine Karte,
welche gleiclie Rreite und IIiilie haben sol1 , keirie bessere
Projection gehen.
Man hat n u r fiir /3, die Breite dee
Punlites zu setzeri, welcher cler Mitte der Karte eritspricht,
unci die L%ngcri r o n eben dicserii Punkte an zu zahlen.
Sintl ,02 und p3 clie cleni oheren urid unteren Rande entsprechenden Rreiten, s o dass ,02 -3, = 8, --P3, s o ist die
Vergriisserung in diesen Punkten des ersten Meridians =
c
+
---.('I?.('
1
;t (P2 -PI )Z'
iind
ur~d diesellie Vergriisserung lindet
ini
Ost-
Westpririlite der Karte statt.
Hat dagegen die Karte urrgleiche Dimerisioneii, wie es
i i i tler Regel tler Fall ist, s o wird aucli die Vergriisserung
riaclr cler 1iingerc.n Seite liin griisser werden. 1st die Ausclelinung der Iiarte riadl i\Torcleti iind Siiden c , Grade. VOII
clcr Mitte tier Iiarte aub irri 3Ieridiari gen~esseu,dagegen cz
Grade in den Richtungco Ost und West, Y O I I tleniselbeo
Pririlite aii iiri grijssteri Kreidtogeri gemessen, so sincl die
Vergtiisxerungeri
Uni wi i n h untl /3 ausgedriickt zu erhaltert, niiissen l'iir z
und z' ilire IVerthe h ip und A - i i p gesetzt und (lie Forme1
+
angcwendet wverderi.
~ f ~ h eir h~d t ~niaii
h
Setzt nian noch L'iir E P seirien Werth, ninilich
so findet sich diliesslich
m=-
1
+
2
VOFA
-
,*o,p
Bezeichnet inan die Hypotenuse dee durch h uncl /3
uiid den Anfangspunkt der Coordinaten gebilcleten rechtwinklichen Dreiecks mit c , s o ist
m
('OSC
= c 0 . v A m v @ , daher
I
=-. + cz
('0s
Hiernach ist die Vergrijsserurig in1 Anfangspunkt der Coordiiiaten = I . Sie nimmt niit der Entfernung c VOII diesem
~
1 zu, wird = 2 fur
Punkte in dem Verhaltniss von C O S cp:
weiiii fiir die Mitte dcr 1i;irte die Vergriisserurig = I ist.
Ilicrilurc.h errtafeht der filielstand, class clie Vergriiaserurig in
tler eineii Rirhtung selir tietleutencl werderi karin , wiilirend
sic iri tler andern geriiig Iileibt. Es fragt sicli daher, ob
nicht (lurch Einfiihrung cines Iieuen Ruchst;iben die Function
f dahiri erweitert wertlen kauri , (lass die Vcrgriisserungen
ria(-li tlerr beidcri i i u f ciiiander senkrechteri Hauptrichtuugen
i n tingleicheni Verliiltnisse wachscn. llierzu giebt cine Yerglcichung cler Forniel ( 3 ) , h i welcher die Vergriisseriirrg
irur in tler einen Iiauptriclitung zuniiiinit, niit der Formel (9),
\YO die Vergriisserung nach alleri Seiteii gleichfiirniig wachst,
Gelegelllieit. Diese lieiden Fornieln sind, rvenn in der ( 4 )
riorh k = r gesetzt wirtl, daniit die Vergriisnerung m = f
wird I'ir /3 = 0, die folgenderr
Nr. 983.
36 I.
und es ware mit Ziihulfenahnie eines neuen Buchstalien eiiie
Form aufzusuchen, worin diese beiden enthalteir sind. Eine
s o l c h e Form ist
2r
n
=tg - 2 . . .............. (10)
11
2
((2)
362
erhiilt inan ferner, durch Trennung d e s Reellen vom Iniagingreti, indem man die Formel
tnng
+ iru) = 2 e
+ i (C2m -c-2m)
+ e -2 + 2 2 t y
*i,I2V
(TJ
2s
IWY
11'
anwendet, die Coordinaten .z und y wie folgt
Sie geht nlmlich fur 11 11 i n die 2te iiber, und d a s s solche fur n = 0 auch in die erste ubergeht, erkennt inau aun
genlilicklich. weno man fur
siit
-2
2
und
n
i.09-
2
3
die ersten Glie-
d e r der Reiheu substituirt
it(;z
112 -.
2 r
R
-
,
2
.
1
...'
-
d u d n dividirt und alsdann n = 0 setzt. Dass z inraginlr
ist , kann diese Folgeruug nicht beeintrachtigen. Die Vergriisserung findet sich riacli ( 2 ) ,
1
oder, \verin z
111
= A + ip
=
und z' = A -iip substituirt wird,
4
..
. . . . . . (11)
('0s /? (c"P
e- nP + 2 I'os n A)
+
Hiernach l a s t sicli beurtlicilen , wie die Vergriisserung i n
den Asen zuniiunit. Hat iiiinrlich die Karte, welchc vorlaufig s o gedacht ist , class Aeqiiator und crster Meridian iiber
die hlitte dcs Blattcs geheri , cine Ausdehnurrg nach Norden
und Siideir v o n /3' Graden, untl im Aequator voii A' Graden
westlich uiid iistlich , PO findet sich die Vergriisserung nz' ini
Nord- und Sutllmrkte, \venn A = 0 gesetzt wird,
111
=
4 __---__
___--
n
-t A P ' ) +
~
+
n
n1"
=
1
7
.
.
Sol1 nun die Vergriisserung i n diesen vier Punliten dieselbe
sein, so erhllt man durch Gleichsetzung von nt' und 7n" die
BediriSurrgsgleichung
n
2 c0.v - A'
2
= ( t T l f j ' ( 45"+
n
&/3'jT
+
C0t(4j0+
4f);]
Aus der Gleichuirg (lo), nlmlich aus
2r
n
z iy = - tang -(A
ip)
+
n
2
+
('0s
11.)
Wird aus tlen Gleichungen (13),
ep
elirniiiirt, s o crhlilt
niaii
ivoraus hervorgetit, dass die 3leridiane Breishogeri v o m Ha2r
s i n d , tleren Mittelpiiiikte i r i der Al)scisseir -Axe
dius -
n sttt n A
2r
n
Iiegen, uin - - cot n A vom Anfangspunkte der C o o d i n a t e n
entfernt.
Wird dagegen A eliniiriirt, so erhiilt nian
16 rz
(13)
s o dass die Parallelkreise sich ebcnfalls als Kreise darstei4r
leri, vom Radius = , deren JIittelpunkte iri cler
n ( enl'
e-nP)
Ordinatenaxe liegen. Die Ordinate tlieser Mittelpuokte ist
2 r enP+e-"P
--- n enP-c-nP
-
.
Es hindert nun nichts, diese Projection iiuch fur jeden
anderen griissteii Krcis der Kugel in Auwendung zu bringen,
wodurch es miiglich wird, die Vergriisserungs - VerhQltnisue
f i r j e d e Karte ganz symmetrisch anzuordnen und auf ihr
Minimum herabzusetzen. Zu den1 Ende denke man sich
durch die Mitte der zu entwerfenden Karte, welche zunr Aiifangspunkte der Coordinaten geoommen wird, zwei aufeinander senkrecht stehende griisste Kreise, den einen in der
Richtung der grassten Lzngen-Ausdehnung, welcher die Stelle
d e s Aequators vertritt, den andern in der Richtung der Breiten .Auedehnnng , und herechne f i r alle Durchscbnittspunkte
rLQB(,(
12)
woraus n durch cine indirecte Rechnung gefuirden werden
kanir. Man findet n = I , wenn A' = p' vorausgesetzt wird.
I und denkt man sich endlich 8'
1st A'> p', s o wird n
unendlich kleiir gegen A', so wird n 10 .
<
+
+ e-1; + 2
'
cot(^"
BP')'~)'
dagegeii die Vergriisscruirp, 7n" iiu Ost - und Westpunkte,
~ v e i i u $ = 0 gcsetzt w i d ,
cm/3'(ttig(45"
e"P
= tfj'(45" ap)" ist. Der Aiihlick dieser Formeln
l a s t erkennen, dass i ~ iind
:
fur + A untl - A dieselben
Werthc annehnren, wobei x nrit A sein Zeichen wechselt.
Ebenso bekommen .x und y f i r entgcgengesettte Zeiclieri
von /3 dieselben Werthe, wobei y das Zeichen wechselt, weil
19 (45' - 4/3) = e--P ist. Die Vergriisserung in ist nach ( 1 1 )
voii dem Zeichen von A und /3 ganz unabhfngig und hat in
den dianietral gegenuber stelrenderr Punkten sowohl a l s in
gleichen Abstfnden von den Asen denselben Werth. Man
kiinirte airs diesen) Grunde diese Projection die syinnietrieche
neii lien .
wo cnp
...
j3+
-T .
KI..983.
363
564
untl Parallelkreise die Rechnung tlurchzufiihren : in der Regcl
rvirtl alles Ubrige (lurch Interpolation gefitnderi werden kSnnen: wcnn clie A iind p von 4 zii 4 Graden in Rechnung
aezogen uerden. Ebenso tlarf benierkt wertlett , dnss der
griisste lirois. a u f welchen sich tlie 1 untl b beziehen, rlicht
tnit tlen Riinderri cles Blattes parallel zu sein Irrancht ; tlersclbe I;ann a i i f den I1;rii~~tdinierisionerider tlarzustellentlen
Gegend angepasst werclen, i n welcheni Falle die I' und I'
sich Iiiich tler Ausclelinuiig der Figur ricliferi. Die Vergriisse.r = - - .
I rungs - Verhiiltnisse verthcileri siclr ;ilstlann ~yniritetriach in
11
e"q+c-"~f2,.ornI
. . . . . . (16)
2r
f?"P - r ? - V
tler Figur, ;iuC die iibrigeri Theilc der Knrtc wettiger Hiicliy' z=
11
cnr] +- 1 4 1 9 + 2 m v n I
I
kiclit nt!hnientl, uncl clie Axe tler .r' iiiacht tlcnsellien W i n i n wcI(:hen log t n ) (45"
~ ~
$: h ) = q gesetzt ist. 1)ic niinickcl init tlciit (lurch den A n l ' i i n g p n k t der Coordirriitcn gerisclie 1~ercc.hn11itgnach tlicsen Fornieln ist keiricii weitern 1 lieiitleii Meritliane. wclchcn tlcr firiisste Kreis, a i d wclchcai
Schrvierigkeiterr untcrworfen. Siiitl niirnlich ~ 2 nnd
.
c clcr ant'- j die I geziihlt wcrtlcn niit clcniselhn bildet.
iiteigctriclc Iiiiotcn u i i t l clie X e i q m g iin Aequator, det; iiber
Etwas nirhr Schivieriglieit diirlfe (lie Siihstitutioit dcr
tlie Mitte tler liarte gehcnden Fundarnentnl -Kreises untl ist
analytist:hen Ausclriicke I'iir und
i n tlic Farnicln (1 6) haL die L h g c , voni aufsteigentlen Knoteri an gerechnct, deshen. Erwligt nian indess, dnss verniiige tter Gleichungen
jenigen l'nnlites auC dieseni Kreise, welcher die X t t e der
( 1 ) Iiis ( 3 ) . . c + i y ehensowhl cine Function V O I I I + iq
Karte bilclen soll, wercleri l'erncr die A in iistliclier Richtung
sein inuss, wie Function von A -/- i y , so ist klar, dnss iiiich
gcnonlnien rind c vnn &ten iiber Nortleri geziihlt, s o hat
! ig cine Fiinction von A
f p sein muss. Die zwischen
inan bek;inntlicli
tliesen Iieitle!l intwginZren Arrstlruclien stattlintlende Gleirhung,
.\;/I b = s i t r 13 r'nr 6 - - ('or [3 ,\;/i z ,\I-/) (A-Ji)
II ii 111I i ch
cler nul' clie K a r k zu ziehcritlen Meritliane und Parallelkreise
(lie sphlrischen Conrdin;iten clieser Pulikte in Bezng auf die
beiden clwn getlnchten griissten Kreise. FVerclen diese fiir
in die GleichiinFen (13) gesetzt, so erhalt inan die
und
Coordin;rtcn cler Karte. Sintl 1 iind b clie Coordinaten Ireziiglich des iilter t l i t t Mitte tles B1;ittes gcdachteri griissteii
Kreises. nntl gezshlt von dicsem I'unkte aus, so erhiilt lnan
die Coortlirlatcn dcr Karte, gezihlt von deniselbeo Prtnkte
,
2 1.
3,siit 11 I
- -I.
-.
.
+
I1
I
I
i
~
+
+
si/i
V0.V
( L+ t) cos 6 = .silt p .\;/I 6 + c.O.9 ;9 r~
(I,+ 1) l ' 0 . P I = f'OP 13 vo.r(A-Q).
6 si/t
(A-a)
*
t
+ + iq) z
~J~
( Lg 1
C-'l
ton94 (A -
a + ip).. . .(I;)
welche ganz allgerriein clie 'l'ra:isl'orntation tler Caordinaten
auf tler Ihgel artsdruckt , fiir beliebige Anfangspunkte untl
Neigungswinkel, ist dazu geeignet, beliebige Functionen yon
I + ig in Functionen vori A iy ZII verwndeln. Ohne die
IIerleitung dieser Gleicliung ~velclie niir nur auf Unirvegen
gelungen ist, d n ich von ihrer einfachen Form vorher keine
Ahnung lintte, hierhersetzen zu wollen , tnag es geniigeri zu
n
n
zeigen , wie die gcwiihnlichen Gleichitngen fiir die Transfor
3, r . o c l l ' = (tn.9(45"+1, I,')'%+
c ~ t ( l 5 " + ~ ~ 6 ' ) ' ) I / ~ ~ ~ .
niation der Coordinaten clariri enthalten sind. Dicses ist
2
sehr einl'ach. Entwickelt man riiinilich die Tangenten nach
Endlicli gelieii die Glcichungcn (16) (lie Coortlinaten sellist.
cler liiiher h i ( 1 3) mitgetheilten Formel, nrrd setzt
Dalwi ist zii hemerkcn, dass es nicht niithig i d , fiir jcden
E- i r = ~ o . 9
6 - i siii c, so erhiilt iiian
Dtirchsclir~itt~pnt~kt
tler a i d die Karte zu ziehenden BIeridiane
Sintl fcrner
1' cliejenigen Werthe vnn 1. welclie dein Ostund Weetpunkte der Karte, otler rvenn tlie Karte nicht orientirt ist, dern rechtcn untl linken Hande tlersellien entzpreeheri.
6' die Werthe von h , tvelche cleni oberii und untereii Raritle zukoiiinlcn, beicle geniessen in den Ilauptascn des
Blattes. so hat niaii nach (12). zur Bestinirnung von n. die
Gleichitng
aus welchen, wenii sic quadrirt uiitl atldirt werderi, sogleich
tans p PO.^ ( h - ~ i ) = PO.$ 6 m c (L
1)
+
hervorgeht, und xwar ohne Wurzel -Ausziehiing, s o d a s s iiber
das Zeichen kein Zweifel eotsteht. Nachdeni die Gleichheit
dieser Ausdriicke erkannt, gehen die obigcn Gleichungen au-
+
.
genlilicklich auch (lie Iwiden anilern Cleichnngen fiir die
Transforniation der Coordinaten nainlich
sitt ( L
I ) VO.S I = s i t ) c s i i ~8 + r m e vo.v?/ sin (A-fi),
.
+
.sin
b
= ms6
.n'i,P
- s i i i e c*nr p siir (A-n).
Diese drei Gleichungen tverden daher durcli die (17) voll-
Kr. 983.
365
Die Gleichung (17) l i s s t sich auch leicht in die Ebene
iibertragen. Denkt man sich nimlich den Radius der Kugel
unendlich gross, s o mird q = I und p = @, s o d a s s man
s t a t t der Tangenteii nur die Bogen zu setzen braucht. Wird
.z,y fur A, 8,s o \vie x', y'filr I und L geschrielien, k statt
51 und W fiir L,s o hat man
= e-i*
k +.z'+ iy'
woraiis, wenn w r t
-i
(2-k-tiy),..
. . . . . (I*>
s i n t fiir e-fl gevetzt wird, die ge-
wiihnliclieri Gleichungen
A + Z' = ( x - - k )
y'
(me
+ y .si!ie,
= - ( z 4 ).sit, e + y C ' O T t
hervorgehen.
Als Beispiel der Anwendung mlige z u n k h s t , um mit dem
einfachsten Falle anzufangeri , die Illerkator'sche Projectiori
auf einen Meridiankreis iibcrtragen werden. Sind I und I
die Coordinaten eiiies beliebigen Punktes, bezogen auf dies e l ~Meridian-Kreis, (lessen L i n g e 52 ist, und werden die I
voiii Aequator an g e z i h l t , s o hat nian iiach (1)
x' i?y' = r ( I + iq) :
+
ferner nnrli (17), weiin 1, = o und t
-1n
also c
2
= - i,
tng 4 ( I
+ iq) = - i tng
= $x
gesetzt wird,
-a+ ip) ;
+
Aus der ersteri urid dritten dieser Gleichungen erliiilt niari
= ir(l+iq) = iru,
wenii der Kurm wcgen I + i q = w gesctat wird.
giebt alstlann. A - fi i p = z gesetzt,
+
Die zweite
woraus man erhblt
Wild dieser Ausdruck substituirt, s o hat man
I+
i!!
er
=t?19(45~+jzj
oder
ey,.*,,?+iv;,l?
r
r
daher
(A-a)
c*o.*@'
1 - .\-ifI(A--fi)
m v
+ --i
hervorgelien. Fur A - 51 = 0 wird .L'
0 urrd y = r p ,
fur 8 = 0 ist arich y = 0 u. x = r iog tng (45' + f (A-G)).
Diese Projection ist besonders dazu geeignet, iinl eine Gegend zu kartiren, welche sich in der Richtung cines Meridia n s weit ausdehnt und von geringer Ureite ist.
Als eine andere Anwendung tler Formel ( ~ rriiige
i )
(lie
stereographische Aequatoreal-Projectiorr auf eine andere Breite
reducirt werden. Erstere ist durch die Gleichung (9) gegeben,
auf einen aridern Kreis angewandt dalier clurcli
x' iy' = 2 r tang Jv.
Die Gleichung (17) giebt, weon
= 90" gesetzt wird.
in welcheni Falle t die Breite d e s Nullpunktes der Projection
,B, ist und x' uric1
zugleich die Kichtungeil von Ost und
Nortl erhalteri,
tng (45" jv) = e -fit tn9 3 3.
Die Elirtiiiiation von u a u s diesen Iieideri Gleichuiigeri liefert
die gesuchte I'rqjection. Aus der zweiterr erliiilt niari
+
+
worauo
(h
endlicli nach ( I * ) , wcrin k uiid h = O gesetzt werdeii, wodurch der Ailfangspunkt der Coordinatea in den 52 Punkt
verlegt wird ,
.x
i y = i ( x ' + iy').
z+iy
366
si7c
cosg
@
da1ier
x ' + i y ' zr - 2 r
.
I
+ i 0,
+ fwvp,
2
z
~iti
tit,
ti,,
7
2
welclies init der fruher direct abgeleiteterr Forrile1 (8) i i i so
fern iibereinstimnit, als hier 90
3 fur 3 gesetzt wercieri
inuss, wenn die dort geniachten Voraussetzuogell, d e s s iiii111licli h oder hier A--52 iiiit x zugleich Null rvird, statt liaben
sollen. W i h r e n d friiher a u s der direct gefurideneri allgenieinereri Form die speciellere fur /?, 10 hervorging, ist hier
durch die Transformation der Coordinaten aus der speciellen
Foriii die allgemeiiierc abgeleitet worden.
Dasselbe Verfahren ist nun auch anwendbar, rverin die
durch die Gleichungen (13) oder die allgemeitie Forni (10)
gegebene symmetrische Projection vonr Aequator in eiiie beliebige andere Gegend verachoben werdeii 9011. Man hat
nfiiilich alsdanri nach ( l o ) , wenn cliese Gleichuog sich auf
einen andern Kreis beziehen soil, also v f i r z zu setzen ist
2r
n
f ( v ) = x' i y ' = - &lMJ -v. . . . .
+
+
und riach (17)
n
..
4 (L+v ) = e--'*
2-
.
. . .(19)
tng 4 z,
i q und z = 1
8 i p gesetzt
ist. S o h auch nocb die z'und y' auf die Richtungen Ost
und Nord zuriickgefiihrt werden, so gebraucht man den Win.
ttrg
wo wie friiher v
woraui schliesslich
twp
=I+
- +
Nr. 983.
3617
auf das oben bei (16) beschriehenc Vcrfahreri euriick, nach
welcheni zaerst die C uncl b als fi~ilfswinkel, die nicht wohl
zit unigchen sintl, Iiewchnet werden, aus diesen die rechtrvirikliclien Coordinaten .c', y'? endlich hieraus .Z nnd y.
Eiiie Iiesoritlere Betrachtirng verdient der i n der Anwendung m i hliriligsteii vorkoiiinicnde specielle Fall irr welchenr
die Vergriisserrings -Verh~iltnissenacli cleri I h p t d i m e n s i o n e n
tler ;irizulcgenden Iiarte, (lie als orieritirt vorarisgesetzt wird,
angeorclnet werderl, i i i tler Al)sit~ht,die innerhiilb cles Rechtecks tler Iiiirte tlitrzustelleritle Gegeiid iiiiigliclist glcichfiiriiiig
zu 1~eriic:ksiclitigeri. In diesern Falle sind die Ascii cler LL'
iintl y' hercits ala niit tlen Riiriclern der Iinrtc parallel gctlacht, fallen also xtiit tleii AXCIItlcr :L: uucl
arisaninicn.
Sintl A, iirid $, L21ige nrtd Breitc tles Aiifiingspiiriktes tler
Coortlinnteri. so hat rnari t'erncr, da .I z o i s t , E = p , ,
I, = Yo", h,-JL = 90" nntl dic Gleichungen ( 1 9 ) nehrnen
I'olgcricle eirifachere Gestalt an
~ I Z . ~ ( Q ~ ~=
+ ~
t: V
- ; A) t n g 4 . 2 . . . . . . . . . . . ( 2 0 )
kel J . welcheri ini Nullpunkte der Coordinaten die x' niit
tleni I'arnllel oder die y' iiiit cleni Meridian niachen, und
niaii hat nnch (18)
LG f i y = c;J (x' iy').
+
Aus dieseri drci Gleicliungen sind
eliniiriiren. Wird xu tleni Entle
c i s l I ? q * Z zz fny&
L , 'o,
.c'
uritl
y' 7.u
~
z
o --ti
tng 4 2, = tny 4 Z,
+
gesetzt. wo :, = A, - 51 i p , fiir den Kiillprinkt tler Coorclinatcri gilt, *o erliiilt nian
t n y 4.~0= tng 4.( 2 -- 2,)
urid d ic Mini i lint ionspleicliun~ ist
.c
2 7'
-tiy = --11
OiJ
tny
TL
- ( Z - X,).
+
llieriii ist %, cine Constante untI Z Fnnctiori voii A
ip.
Wenti der Nullpuiikt tler Coardiriateri iiicht (lurch $2, 6 iiriil
1, gegelieii ist, soildern (lurch Liinge, Breitc, A, utitl $,, so
\vie tlurch J die Liige der Axen, so tinderi zur Restiiiitiiiing
tler erstercn tlrirch die letzteren folgencle Gleichuir,( r e t i statt:
P
tlZ/jJ 1
, I t,r9
--'
Vilt
.x
+
+
;
.
I
/
+
27R
=tnq 7 v ,
11
-
= 90 A-A, iy xu setzcii ist.
Die iiunieriache Auswcrtliung dcr :c und y geschieht ant
einl'achstcn tladurch, d a s s niaii, I iq t'ir
setzend die
erste Gleicliung eritwickelt , rvotlurch miin erhiilt :
r n r p ~ . o r (-l-- A , )
i ~i11t9,
.I
ivo
= cot J t m I ,
0 ) = cot J s i l t p,.
cot c
trig iA,-
368
2
+
~
Die nunierische A i ~ s ~ ~ ~ r f l i uriach
n g , diesen Fornieln koiiinit
t m 6 rn.s I
i tilt 6
+
-- = ( I W F $, - i \;It p,) 1 - 1 ' 0 s b ,Sill 1
I - f'OS 13 .\i#/(A-A,)
r i Karte im
Sind tlanii I' uncl 6' die halbcn I ~ i n ~ e n ~ i o r i etler
Die Trennuiig tles Rcelleri voin Irnagiriiren gielit (Iiiriii (lie
BO~CIIIII;I;ISS.
so bestininit sivh 11 (lurch die Gleichung
Gleichungeii
+
-
I
6
= t*n.v,Y,.ciri j? - sit1 @, t . 0 5 , 3 tans (h-k,)
welclie diirch Einfiihrung cines Iiiilfswinkels, indeni nian
t.n.sI3 tnv(A--A,) = R t.ny-4
tin tl
.Sill p
n .\;PI .4
setzt. leiclit nuf logarithmische Form gehracht werden, t i
licli :
trig -4 = -*- t1rqp
rintl (lie Coordinaten eiries Iieliehigcn tlrrrch A und @ gege1)erien I'uriktes liridcri sidl aiisgedriiclit tlnrch
.A;##
I'm
h -
(A-A,)
(Fortsetziiiig folgt.)
I
11 11 :I
1
1.
(Zu Nr.979.; Uahiibestinimuiig von Euphrosyiie aus deli Seohnchtungeii der erfiteii Erscheiiiung , yon Herrii A. W i n n e c t e 289.
Elliptische Elenieiite der lilnftrii Coineteii voii 1851, 297. .Meriiliati-~eobschtuiigeiid e j hloildes uiid der Mondsterne a u f der Hamburger Sternwarte , von Herrn Director C. Rurnter 301.
Pleiieten-Ueobachtuiigen aiii Meridiankraise der S t e r nw a r te zu Kremsmiiiister im J a h r e 1855, mitgetheilt voni Hcrrri Dir. Reslhuber 303.
(Zu Kr. YSO u. 981.) Ueber die Strahlenbrecliung in der Atmosyhire, VOII Herril Generalinajor Bur y e r , 305. .4ltotra 1855.
Septb. 13.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
688 Кб
Теги
asna, 18550412301
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа