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en fr Diversity and functionality of Heat Shock Protein-70 kDa within Arthropoda Diversité et fonctionnalité de « nouveaux types » de Heat Shock Protein-70 kDa chez les arthropodes

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Application de Riemann-Hilbert-Birkhoff
Thibault Paolantoni
To cite this version:
Thibault Paolantoni. Application de Riemann-Hilbert-Birkhoff. Géométrie algébrique [math.AG].
Université Paris-Saclay, 2017. Français. <NNT : 2017SACLS410>. <tel-01718053>
HAL Id: tel-01718053
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01718053
Submitted on 27 Feb 2018
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publics ou privés.
NNT : 2017SACLS410
THÈSE DE DOCTORAT
de
l'Université Paris-Saclay
École doctorale de mathématiques Hadamard (EDMH, ED 574)
Établissement d'inscription :
Laboratoire d'accueil :
Université Paris-Sud
Laboratoire de mathématiques d'Orsay, UMR 8628 CNRS
Spécialité de doctorat :
Mathématiques fondamentales
Thibault PAOLANTONI
Application de Riemann-Hilbert-Birkho
Date de soutenance :
20 décembre 2017
Après avis des rapporteurs :
Emmanuel Paul (Université de Toulouse)
David Sauzin (IMCCE)
Jury de soutenance :
Andrea D'Agnolo
(Università degli Studi di Padova)
Examinateur
Philip Boalch
(Université Paris-Saclay)
Directeur de thèse
Stéphane Fischler
(Université Paris-Saclay)
Examinateur
Emmanuel Letellier
(Université Paris 7)
Examinateur
Emmanuel Paul
(Université de Toulouse)
Rapporteur
Claude Sabbah
(Centre de Mathématiques Laurent Schwartz)
Président du jury
Application de Riemann-Hilbert-Birko
Thibault Paolantoni
5
À René mon grand-père adoré,
à Thierry mon ami de toujours
Remerciements
Vis comme si tu devais mourir demain.
Apprends comme si tu devais vivre toujours."
Mahatma Gandhi
Tout d'abord je tiens à remercier mon directeur Philip Boalch de m'avoir donné
un sujet de thèse aussi passionnant puis de m'y avoir accompagné. Sans s'être perdu
dans une microgestion de ma thèse, il a su me montrer une autre manière de pratiquer
les mathématiques.
Je souhaite aussi remercier Emmanuel Paul et David Sauzin de m'avoir fait
l'honneur d'être les rapporteurs de cette thèse. Je souhaite aussi remercier Andrea
D'Agnolo, Stéphane Fischler, Emmanuel Letellier et Claude Sabbah de me faire l'honneur de faire parti de mon jury aujourd'hui.
Toute thèse est avant tout une aventure humaine où les moments de doutes sont
nombreux et où la lumière de quelques uns est d'autant plus précieuse. En particulier,
je tiens à remercier les chercheurs qui ont eu la gentillesse de répondre à mes questions ; en particulier, P. Shapira, O. Schimann, L. Schneps. Tout particulièrement,
j'aimerais remercier Claude Sabbah pour l'attention qu'il m'a apportée et d'avoir
toujours su trouver un peu de temps pour répondre à mes questions. J'aimerais aussi
remercier Jean Écalle d'avoir accepté de me consacrer beaucoup de son temps pour
m'orienter dans sa littérature foisonnante mais ô combien passionnante. Mon seul
regret est d'être allé le rencontrer trop tard.
Je remercie aussi l'école doctorale et tout particulièrement Frédéric Paulin pour
son investissement qui va bien au delà du professionnalisme. Il a contribué pour
beaucoup au bon dénouement de cette thèse.
Ensuite une thèse se fait souvent dans la solitude. Souvent le soutien de mes frères
de thèse a été salvateur. Merci à Robert et Gabriele pour ces bons moments passés
ensemble. Merci aussi à mes amis thésards d'Orsay, tout particulièrement Antoine,
Cagri, Diego, Élodie, Émilien, Jeanne, Joseph, Lionel, Lucile, Maxime, Rita, Thomas,
Tiago, Valérie, Wei. Mais aussi à mes amis de master ou d'avant : Arindam, Davide,
Guillaume, Jean-Baptiste, Kévin, Louis, Martin, Xiaohua. Vous avez rendu le chemin
tellement plus beau...
Je tiens aussi à remercier mes amis maintenant de longue date. Merci à Antoine,
Bilbo, Bost, Braaach, Capelle, Damien et Sarah, Grégi, Juliette, Max, Mehdi, Naëma,
Patrick et Betty, Patou et sa Florence, Quentin, Simon et Claire, Théophile, Thomas,
Vincent et Hélène, Christophe mon partner mais aussi Mathieu, Patrick et leurs chères
Ka(the)rines. Merci pour tous pour ces bons moments passés ensemble. À vos cotés,
le temps passe beaucoup trop vite.
Je remercie aussi Marc, Sébastien L et Sébastien K de m'avoir donné la chance
d'être là où je suis actuellement. Merci aussi à mes collègues/amis de boulot de faire
que chaque jour, ce soit un plaisir d'aller travailler avec eux.
Merci à Riemann qui avec son poil doux et soyeux a réchaué mes jambes pendant
la dicile période de la rédaction.
7
8
REMERCIEMENTS
Tous ceux qui sont passés par un doctorat savent à quel point il faut de l'abnéga-
tion pour obtenir des résultats en mathématiques et de la résilience pour en faire une
rédaction juste et compréhensible. En particulier cela n'aurait pas été possible sans le
soutien indéfectible de ma famille. Merci inniment à mes frères et soeurs Delphine,
Ophélie, Lancelot et Quentin, mes parents adorés, ma grand-mère Tounette bien sûr
mais aussi à ma belle famille, tout particulièrement Stéphane, Vénétia, Marie-France
et Renaud et enn à la famille de ma marraine Monique. J'espère qu'ils ressentent
tout l'amour que j'ai pour eux.
Pour nir, je tiens à remercier Sandrine l'amour de ma vie. Toujours présente,
douce et forte, elle remplit avec toute son intelligence et sa joie de vivre ma vie d'un
bonheur incommensurable. J'embrasse enn mon petit ange Martin, arrivé avec deux
jours d'avance pour mon plus grand bonheur.
Table des matières
Remerciements
7
Introduction
Chapitre 1.
11
Généralités
17
1.1.
Réseau de racines d'un groupe algébrique et algèbre enveloppante
17
1.2.
Représentations de graphe
21
1.3.
Système gradué et système local de Stokes
25
1.4.
Application de Riemann-Hilbert-Birkho
37
1.5.
Groupe de Poisson-Lie dual et application exponentielle duale
41
Chapitre 2.
Transformée de Fourier-Laplace
45
2.1.
Présentation de modules holonomes et dimensions
2.2.
Restriction de modules sur l'algèbre de Weyl et connexion correspondante 48
2.3.
Transformée de Fourier-Laplace et connexion associée
Chapitre 3.
Matrices de Stokes et matrices de connexion
45
49
51
3.1.
Système gradué et connexion régulière
52
3.2.
Transformée de Laplace
58
3.3.
Données de Stokes comme fonction de la connexion fuchsienne
64
Chapitre 4.
Données de Stokes du cas biparti
73
4.1.
Notations et résumé
73
4.2.
Représentation inversible de graphe et présentation de modules
78
4.3.
Transformée de Laplace multiplicative et isomorphisme de représentations
inversibles de graphe
80
4.4.
Systèmes gradués et représentations inversibles de graphe
83
4.5.
Données de Stokes
85
4.6.
Associateur de Drinfel'd
86
Chapitre 5.
Développement moulien des matrices de connexion
89
5.1.
Introduction
89
5.2.
Lien entre le cadre formel et vectoriel
92
5.3.
Cas formel
94
5.4.
98
5.5.
Développements mouliens
‚
Structure du moule J
104
5.6.
Cas vectoriel
108
Chapitre 6.
Développement moulien de l'application exponentielle duale
111
6.1.
Application exponentielle duale
111
6.2.
Cadre formel et extension intrinsèque
113
6.3.
Cas particulier de la monodromie formelle triviale
117
Chapitre 7.
Cas particulier d'un bré de rang 2
119
7.1.
Calcul explicite des matrices de Stokes
119
7.2.
Calcul explicite des matrices de connexion
120
9
10
Table des matières
7.3.
Démonstration du calcul pour les matrices de connexion
121
7.4.
Développement moulien
125
Annexe A.
Hyperfonctions et transformée de Laplace multiplicative
127
A.1.
Hyperfonctions
127
A.2.
Transformée de Laplace des hyperfonctions
129
A.3.
Microfonctions et microfonctions généralisées
131
A.4.
Transformée de Laplace de solutions
134
A.5.
Situations locales et situation semi-locale
136
A.6.
Lemmes algébriques
140
A.7.
Démonstrations de la section sur la transformée de Laplace multiplicative 143
Annexe B.
B.1.
B.2.
B.3.
B.4.
Annexe.
Calcul moulien et quelques exemples
Quelques rappels de calcul moulien
‚
Petit formulaire pour le moule J
i,j
Petit formulaire pour le comoule G‚
Un programme pour le calcul du moule
Bibliographie
149
149
154
155
‚
p0, 0q
Ji,j
156
161
Introduction
Soit
∇
une connexion fuchsienne de la forme
a
∇“d´
(0.0. )
ÿ
iPI
1
Ri
dζ
ζ ´ ai
V ˆ P Ñ P de bre V sur la sphère de Riemann P1 , où Ri P
EndpV q pour tout i P I et les ai P C sont des nombres complexes deux à deux
distincts. La donnée de la connexion ∇ est équivalente à la donnée d'un système
diérentiel linéaire de rang dimpV q
˜
¸
ÿ Ri
Y 1 pζq “
Y pζq
ζ ´ ai
iPI
sur le bré trivial
1
Y à valeurs dans CdimpV q , modulo le choix d'une
p :“ I Y t8u, a8 :“ 8 P
base de V . On notera G :“ GLpV q, g :“ LiepGq “ EndpV q, I
1
p l'ensemble des
P pour avoir une cohérence des notations et enn S :“ tai : i P Iu
pôles de la connexion ∇. La connexion ∇ admet des solutions globales qui sont des
1
fonctions multivaluées sur P ´ S , c'est-à-dire des fonctions holomorphes à valeurs
1
dans V sur un revêtement universel de P ´ S . D'après le théorème de CauchyLipschitz holomorphe, ces solutions forment un C-espace vectoriel Sol∇ de dimension
dimpV q sur lequel le groupe fondamental π1 pP1 ´ S, bq agit pour un certain point de
1
base b P P ´ S . La représentation correspondante
d'inconnue une fonction holomorphe
1
ρ : π1 pP1 ´ S, bq ÝÑ AutpSol∇ q
est appelée représentation de monodromie. Le groupe fondamental
engendré par les classes des lacets
ś
iPIp γi
“1
pγi qiPIp tournant
autour de
pour un ordre bien choisi sur l'ensemble
‚
ai ,
π1 pP1 ´ S, bq
est
soumise à la relation
Ip.
‚
ai ‚
γi
b‚
La représentation
pour tout
de
γi
i P Ip tels
ρ
Mi P G
Ψpζq quelconque de Sol∇ le long
ś
p
iPIp Mi “ id pour le même ordre sur I .
est donc déterminée par les matrices de monodromie
que le prolongement d'une base
est donnée par
ΨpζqMi .
On a donc
LD53] une formule
Au début du vingtième siècle, I. Lappo-Danilevski donna dans [
I ˚ l'en˚
semble des mots dans l'alphabet I , Ri :“ Rir ¨ ¨ ¨ Ri1 pour tout mot i “ pi1 , . . . , ir q P I
explicite des matrices de monodromies à partir d'hyperlogarithmes. Notons
1. Dans l'équation précédente,
base de
Ri
désigne abusivement la matrice de
V.
11
Ri
dans le choix d'une telle
12
INTRODUCTION
et
ż
Iγi
dζ1
dζr
¨¨¨
ζ1 ´ ai1
ζr ´ air
:“
0ăt1 﨨¨ďtr ă1
où
ζk “ γptk q pour tout 1 ď k ď r et γ
un chemin à valeurs dans
P1 ´ S . Précisément,
I. Lappo-Danilevski montra l'égalité
ÿ
Mk “
Iγik ¨ Ri .
iPI ˚
Remarquez que l'on a
pjq
Iγk “ 0
j‰k
pkq
Iγk “ 2iπ . On
ÿ
Mk “ id `2iπRk `
Iγik ¨ Ri
si
et
a donc
lpiqě2
lpiq :“ r désigne le longueur du mot i “ pi1 , . . . ir q. On en déduit que l'application
pRi qiPI ÞÑ pMi qiPI est analytique et est un isomorphisme local au voisinage de 0.
où
Bea93]
Voir par exemple l'article d'A. Beauville dans [
pour un complément de la
présentation ci-dessus.
D'un point de vue plus géométrique, ce résultat donne une formule explicite pour
l'application de Riemann-Hilbert
M˚dR ãÝÑ MdR Ý MB
où
(1)
M˚dR
désigne l'espace de modules correspondant aux classes d'isomorphisme
des systèmes fuchsiens à pôles dans
logarithmiques à pôles dans
S
sur
S de rang dimpV q, c'est-à-dire des connexions
1
un bré trivial sur P de rang dimpV q,
(2)
MdR désigne l'espace de modules, dit de De Rham, correspondant aux classes
d'isomorphisme des connexions logarithmiques à pôles dans S sur un bré
1
quelconque de P de rang dimpV q,
(3)
MB “ Hompπ1 pP1 ´ Sq, Gq{G, dit espace de module de Betti, correspondant
aussi aux classes d'isomorphisme des systèmes locaux de rang dimpV q sur
P1 ´ S .
L'application de Riemann-Hilbert est une application holomorphe entre deux variétés
algébriques.
Signalons qu'un certain nombre d'aspects transcendants ont déjà été étudiés par C.
Simpson dans [
Sim90]. Voir aussi l'article de P. Deligne [Del89] qui étudie en détail
le cas des brés à connexion sur la courbe
la valeur
ζp3q
P1 ´ t0, 1, 8u,
motivé par l'apparition de
de la fonction zêta de Riemann.
Del89] où S “ t0, 1, 8u et
Considérons un instant le cas particulier étudié dans [
notons
ˆ
b
∇KZ :“ d ´
(0.0. )
sur le bré trivial
V ˆ P1 Ñ P1 .
X
Y
`
ζ
ζ ´1
˙
dζ
Cette connexion est parfois appelée connexion de
Knizhnik-Zamolodchikov, car le premier cas d'une connexion de Knizhnik-Zamolodchikov
est un cas particulier d'un tel système fuchsien
∇KZ .
De même que l'on peut consi-
dérer les données de monodromie le long de lacets, on peut considérer les matrices de
connexion le long de chemin, reliant deux bases préférées en des pôles de la connexion.
On peut faire un choix canonique de ces bases préférées lorsque l'on suppose que les
résidus
X
et
Y
de
∇KZ
en
0
et
1
sont non résonants, c'est-à-dire que la diérence
˚
de deux quelconques de leurs valeurs propres est toujours un élément de C ´ Z . Un
exemple célèbre de cela est la construction d'un associateur de Drinfel'd dans [
Dri90]
INTRODUCTION
13
∇KZ
utilisant la dénition de la matrice de connexion de
du segment
entre les pôles
0 et 1 le long
r0 ; 1s
Ces applications ont un fort intérêt. Par exemple, il a été montré dans [
AT12]
que certaines applications pour résoudre la conjecture de Kashiwara-Vergne sont en
fait des associateurs de Drinfel'd. Pour les théoriciens des nombres, les matrices de
∇KZ
connexion de la connexion
sont aussi très intéressantes car elles admettent un
développement en série formelle très proche de celui des matrices de monodromie (ces
développements en sont en quelque sorte des normalisations) dont les coecients sont
LM96] théorème A.9). Or les polyzêtas ont été grandement étudiés par exemple dans le cadre de la théorie des périodes (voir [And04] chapitre III
mais aussi [Eca03]). Plus généralement, les matrices de connexion entre pôles d'une
des polyzêtas (voir [
connexion fuchsienne admettent un développement en série formelle dont les coecients sont des hyperlogarithmes. Les hyperlogarithmes sont dénis par des intégrales
itérées avec uniquement des pôles simples du type
ż
dζ1
dζr
¨¨¨
ζ1 ´ v1
ζr ´ vr
0ăt1 ďt2 﨨¨ďtr ă1
où
ζk “ γptk q
pour tout
à valeurs dans
C
privé
2
1 ď k ď r et γ est un chemin (pas nécessairement
des pôles v1 , . . . , vr P C (voir par exemple [Eca02]
un lacet)
Ÿ4.3). En
particulier, les nombres polyzêtas
ζpk1 , . . . , kr q :“
où les
ki P N˚
1
¨ ¨ ¨ mkr r
ÿ
k1 k2
m1 ąm2 ą¨¨¨ąmr ą0 m1 m2
sont des entiers strictement positifs et
k1 ą 1,
sont des cas particuliers
d'hyperlogarithmes car on a l'égalité
ż
ω1 pt1 qω2 pt2 q ¨ ¨ ¨ ωk ptk q
ζpk1 , . . . , kr q “
1ąt1 ět2 쨨¨ětk ą0
où
et
k “ k1 ` k2 ` ¨ ¨ ¨ ` kr
ωi ptq “ dt{t sinon.
et
ωi ptq “ dt{p1 ´ tq si i P tk1 , k1 ` k2 , . . . , k1 ` k1 ` ¨ ¨ ¨ ` kr u
Lorsque l'on supprime la condition sur les pôles d'être au plus simples, on parle
de connexion irrégulière et la situation est plus compliquée. L'espace de module des
1
brés à connexion algébrique sur P ´ S est alors plus gros, et pour toujours avoir
un isomorphisme holomorphe avec un espace de Betti, on doit enrichir l'espace de
module des représentations de monodromie d'une donnée supplémentaire, les don-
nées de Stokes, nécessaire à la classication des connexions irrégulières. L'origine de
cette approche remonte au moins à G. D. Birkho. La correspondance de Riemann-
Hilbert-Birkho a alors admis de nombreux développements et la formulation des
données de Stokes plusieurs variantes comme celle d'un certain espace de cohomolo-
BV89], de structures de Stokes suivant
DMR07], ou celle d'un certain groupe unipotent suivant
gie non abélienne suivant Malgrange-Sibuya [
Deligne-Malgrange-Ramis [
MR91a].
Martinet-Ramis [
Le point de vue que nous utiliserons sera une variante
du point de vue de J. Martinet et J.-P. Ramis, exposé par M. Loday-Richaud dans
[
LR94]
Boa02]
et ensuite généralisé par P. Boalch dans [
à tout groupe complexe
réductif.
Le premier cas de connexion irrégulière à considérer est la connexion de la forme
c
(0.0. )
ˆ
∇“d´
2. On inclut aussi parfois le cas où le chemin
cette intégrale n'est pas toujours convergente.
A R
`
z2
z
γ
˙
dz,
est issu d'un des
vi
et nit en un autre
vj ,
mais
14
où
INTRODUCTION
A, R P g.
En premier lieu, on suppose
A
régulière semi-simple, c'est-à-dire diago-
nalisable à valeurs propres deux à deux distinctes.
c
a
On aimerait traiter le cas (0.0. ) de manière analogue au cas fuchsien (0.0. ). Les
matrices de Stokes pour ce cas sont dénies par exemple dans [
BJL79], et peuvent
b
être vues de manière analogue aux matrices de connexion du cas (0.0. ) : plutôt que
d'avoir une unique base préférée en chaque pôle, on a plusieurs bases préférées en
chaque pôle irrégulier et les données de Stokes encodent les matrices de connexion
entre ces bases de solutions le long de chaque chemin possible.
Dans ce cas, l'intérêt d'un point de vue des groupes de Lie de la correspondance
Boa01]
de Riemann-Hilbert-Birkho a été établi par P. Boalch dans [
que l'on xe
A
de telle manière que les données de Stokes dépendent de
: supposons
R P g.
Dans
ce cas, l'espace des données de Stokes (muni d'un repère) est isomorphe à l'espace
U` ˆ U´ ˆ T
où
T
est le tore maximal des matrices diagonales et
U˘ Ď G
sont les
sous-groupes unipotents des matrices triangulaires supérieures et inférieures. En fait,
˚
on peut montrer que l'espace U` ˆ U´ ˆ T est isomorphe à G , le groupe de Poisson
Lie dual de
G,
Dd87]. Ce dernier groupe admet une
déni par V. G. Drinfel'd dans [
structure de Poisson non linéaire naturelle qui se quantie en le groupe quantique de
Drinfel'd-Jimbo (voir [
DCP93] Ÿ12). En particulier, cela implique que la théorie de
Drinfel'd-Jimbo des groupes quantiques est un cas particulier de la quantication des
espaces de données de Stokes.
3
c
Finalement, l'application de Riemann-Hilbert-Birkho de (0.0. ) donne l'application
exponentielle duale
νA : g˚ ÝÑ G˚
R P g » g˚ les données
c
qui associe à un élément
de Stokes de la connexion (0.0. ).
g˚ de sa structure de Poisson linéaire standard et G˚ de sa struc-
Lorsque l'on munit
ture de Poisson non linéaire usuelle (divisée par un facteur 2iπ ), les variétés de Poisson
g˚ et G˚ sont de même dimension dimpGq et P. Boalch a montré dans [
] que
Boa01
les applications
νA (A P t) forme une
g˚ et G˚ .
famille naturelle d'isomorphismes locaux holo-
morphes de Poisson entre
Le premier objectif de cette thèse est de donner une formule analogue à celle des
matrices de monodromie pour l'application exponentielle duale.
Théorème. Pour tout choix permettant de dénir l'application exponentielle duale
νA : g˚ ÝÑ G˚ ,
L˘ pi1 , . . . , ir q P C tels que l'application exponentielle duale soit de la forme νA pRq “ pu` , u´ , hq avec
ÿ
ÿ
(0.0.d)
u˘ “ 1 `
L˘ pi1 , . . . , ir q ¨ Ri1 ,i2 ¨ ¨ ¨ Rir´1 ,ir et h “ e2iπδpRq ,
il existe des coecients universels
rě1 1ďi1 ,...,ir ďn
où
et
Ri,j est égal à la matrice R pour le coecient d'indice pi, jq et nulle partout ailleurs
δpRq est la partie diagonale de R.
De plus, les coecients L˘ pi1 , . . . , ir q s'expriment explicitement comme combi-
naison linéaire d'hyperlogarithmes et la somme du membre de droite est absolument
˚
convergente pour tout R P g .
Pour montrer le théorème précédent, on procédera en deux étapes. Tout d'abord,
BJL81],
comme démontré par Balser, Jurkat et Lutz dans [
les données de Stokes
3. Même s'il n'est pas question de groupes quantiques dans cette thèse, ces derniers ont toujours
été sous-jacents et l'auteur a autant que possible essayé de rédiger les résultats sur l'application
de Riemann-Hilbert-Birkho de telle manière qu'il serait relativement aisé de les traduire au cas
quantique.
INTRODUCTION
15
c
de la connexion (0.0. ) sont reliées aux matrices de connexion de sa transformée de
Fourier-Laplace
˜
ÿ
p “d´
∇
sur le même bré vectoriel
iPI
1
V ˆ P1 Ñ P
deux distinctes) de la matrice diagonale
ième ligne et nulle partout ailleurs.
Ri
ζ ´ ai
¸
dζ,
ai sont
Ri P g est
où les
A
et
les valeurs propres (deux à
la matrice égale à
R
sur la
La seconde étape consistera à généraliser le développement en série formelle de
∇KZ pour toute matrice de
p
connexion d'une connexion fuchsienne comme ∇ pour obtenir des variantes algébriques des périodes/coecients universels Lpi1 , . . . , ir q P C.
On généralisera ensuite ce résultat au cas où A est semi-simple quelconque, que
À
l'on appellera le cas par blocs. Dans ce cas, notons V “
1ďiďr Vi la graduation
induite par les espaces propres de A sur V . On peut alors dénir pour certains choix
la matrice de connexion de la connexion fuchsienne
un analogue de l'application exponentielle duale
e
go ÝÑ U` ˆ U´ ˆ K
(0.0. )
go
où
désigne un voisinage de
0 P g
explicite et où cette fois-ci
U˘ Ď G
seront les
sous-groupes unipotents par blocs des matrices triangulaires supérieures par blocs et
inférieures par blocs de
sibles. Dans le cas où
A
G
K
et
l'ensemble des matrices diagonales par blocs inver-
n'a que deux valeurs propres, c'est-à-dire
V “ V1 ‘ V2 ,
on a
donc
ˆ
U` “
˙
idV1
˚
,
0 idV2
ˆ
U´ “
idV1 0
˚ idV2
˙
ˆ
et
k “ LiepKq “
˙
˚ 0
.
0 ˚
e
Théorème. L'application (0.0. ) admet une formule analogue à la formule (0.0.
dans le voisinage
mais où
Ri,j
g
o
de
0Pg
d)
L˘ pi1 , . . . , ir q P C
de la matrice R et nulle
avec les mêmes coecients universels
signie cette fois la matrice égal au bloc
pi, jq
partout ailleurs.
En particulier, la formule pour le bloc
pi, jq
des données de Stokes est donnée par
une série formelle non commutative cette fois contrairement au cas où
A
est supposé
semi-simple régulier.
Ce résultat est une généralisation du résultat précédent et avait déjà été obtenu
dans le cas particulier où
R
est à diagonale par blocs nulle par T. Bridgeland et V.
BTL13]. Notre cas général permet de déduire le corollaire suivant :
T. Laredo dans [
Corollaire. Génériquement, la matrice de connexion de ∇KZ , c'est-à-dire la
matrice de connexion permettant de dénir un associateur de Drinfel'd, s'exprime
algébriquement à partir des données de Stokes de la connexion
¨ˆ
˚
d´˚
˝
sur
0
˙
ˆ
1
ξ2
`
˙˛
X X
Y Y ‹
‹ dξ,
‚
ξ
V ‘V.
Pour montrer le théorème plus général, on utilisera la théorie de B. Malgrange dans
[
Mal91] chapitre XII, qui généralise 4 les résultats de [BJL81]. Cela a l'avantage de
simplier la présentation et de se généraliser plus facilement au cas des connexions à
pôles du type
2 ` 1 ` ¨ ¨ ¨ ` 1.
4. Les auteurs de [
BJL81] avaient déjà généralisé partiellement leurs résultats dans [BJL83].
16
INTRODUCTION
Enn le calcul des coecients
L˘ pi1 , . . . , ir q,
qui est l'un des points clefs, a été
formulé avec le langage des moules introduit par J. Écalle. Cela permet de mieux
mettre en valeur les transformations algébriques à opérer sur les invariants coté Stokes
et du coté de sa transformée de Fourier-Laplace. De plus, cela est particulièrement
adapté pour généraliser aux autres types de pôles irréguliers et conjecturalement pour
trouver une formule pour un morphisme d'algèbre entre les quantications des groupes
˚
˚
de Poisson-Lie g et G .
À titre d'exemple, donnons la formule que l'on obtient dans le cas où
a1 , a2 P C.
deux valeurs propres distinctes
A
admet
Remarquez que les données de Stokes ont
JLP76] et permet de faire la première étape du
déjà été calculées dans ce cas dans [
travail esquissé ci-dessus. Notons
ˆ
A“
˙
a1 0
,
0 a2
ˆ
R“
Λ1 R1,2
R2,1 Λ2
˙
ˆ
et
Λ“
Λ1 0
0 Λ2
˙
η P R pour la famille pai qiPI , c'est-à-dire ici tel que
argpa1 ´ a2 q ı η pmod πq. On dénit alors la surface Upηq égale à C privé des demidroites issues des ai de direction d'angle η et on choisit la branche du logarithme log
d'angles sη ´ 2π ; ηr. Avec ces choix, on peut bien dénir l'application exponentielle
˚
˚
˚
duale νA : g Ñ G et on notera pu` , u´ , Λq P U` ˆ U´ ˆ k » G l'image de la matrice
R. On aura toujours h “ e2iπΛ . On dénit les nombres complexes suivants, dérivées
On choisit un angle admissible
des intégrales itérées,
ż
Ii,j pi1 , . . . , ir q :“
0ăt1 﨨¨ďtr ă1
dz1
dzr
P C,
¨¨¨
z1 ´ ai1
zr ´ air
i, j, i1 , . . . , ir P t1, 2u, où l'intégrale est prise sur un chemin γ : s0 ; 1r Ñ Upηq
reliant aj à ai et où l'on a noté zk “ γptk q pour tout 1 ď k ď r . Les nombres complexes
Ii,j pi1 , . . . , ir q P C sont des valeurs de fonctions hyperlogarithmes mais ne sont dénis
que lorsque i1 ‰ j et ir ‰ i, car sinon l'intégrale diverge.
Donnons avant toute chose quelques notations. On note p, q, r, s des vecteurs
řl
d'entiers naturels comme p “ pp1 , . . . , pl q et on note lppq “ l sa longueur, |p| “
i“1 pi
son poids. On note p ě r pour deux vecteurs de même longueur si pi ě ri pour tout
i, p ě 0 si pi ě 0 pour tout i et p ą 0 si pi ą 0 pour tout i.
Alors on montre que le coecient d'indice pi, jq de hu` ´ u´ est donné explicitepour tout
ment par
f
(0.0. )
e´ logpaj ´ai qΛi
elogpai ´aj qΛj pe3iπΛj ´ eiπΛj qΓp1 ´ Λj q
¨
M
¨
,
i,j
eiπΛi Γp1 ´ Λi q
Λj
avec
˜
Mi,j “ Ri,j ` δi,j
ÿ
ÿ
ÿ
lě1 pą0,qą0 lprq“lpsq“l
lppq“lpqq“l 0ďrďp
0ďsďq
p´1q|r|`|s|
l ˆ ˙ˆ ˙
ź
pk
qi
k“2
rk
¸
si
ˆ Ii,j piq1 j p1 ¨ ¨ ¨ iqr j pr q ¨ Λi Ri,j Λpj l ´rl Rj,i Λqi l ´rl Ri,j ¨ ¨ ¨ Λpj 1 ´r1 Rj,i Λqi 1 ´s1 Ri,j Λj .
|s|
|r|
Γ désigne la fonction Gamma d'Euler, où δi,j le symbole de Kronecker et où
Ri,i :“ Λi . En particulier, lorsque i “ j , on a bien Mi,i “ Ri,i “ Λi et on retrouve
h “ e2iπΛ .
On montrera aussi que cette formule reste valable au voisinage de 0 lorsque l'on
remplacera les coecients Ri,j , Λi par des blocs de la matrice R lorsque A aura aussi
deux valeurs propres mais cette fois-ci de multiplicité ě 1.
où
Chapitre 1
Généralités
Dans ce chapitre, on rappelle quelques généralités.
Dans la section 1.1, on rappellera succinctement la dénition de l'ensemble des
racines d'un groupe algébrique complexe qui, comme l'a remarqué P. Boalch dans
[
Boa02] a un rôle essentiel dans le phénomène de Stokes pour un groupe algébrique
complexe.
Ensuite, on rappellera dans la section 1.3 la dénition des systèmes locaux de
Stokes et on donnera une version équivalente, les systèmes gradués, dans notre cas
particulier où l'on classie uniquement un pôle d'ordre deux.
On rappelle dans la section 1.4 la dénition de la correspondance de RiemannHilbert-Birkho dans ce cadre grâce à la théorie de la multi-sommation dans une
LR94]. Remarquez que comme on considère ici uniquement le
formulation proche de [
cas d'un pôle d'ordre deux non ramié, la multi-sommation correspond à la sommation
de Borel-Laplace, ce qui évite d'utiliser les diérentes théories générales de multisommation résumées dans [
LR16].
Enn dans la section 1.5, on donne quelques rappels sur le groupe de Poisson-Lie
Boa01], avec le phénomène de Stokes.
dual et son lien, découvert par P. Boalch dans [
Cela nous permettra de dénir précisément l'application exponentielle duale
νA : g˚ Ñ G˚
˚
qui est une application Poisson de l'algèbre de Lie dual g de g et le groupe de
˚
Poisson-Lie dual G de G et est un des objets centraux de cette thèse.
1.1. Réseau de racines d'un groupe algébrique et algèbre enveloppante
G un groupe algébrique complexe (de type ni, lisse). L'exemple typique est
G “ GLn pCq pour un certain entier naturel n. Soit T un tore maximal de G d'algèbre
de Lie t. On xe un élément A P t. On notera alors K Ď G le stabilisateur de A P t
Soit
sous l'action adjointe, c'est-à-dire
K “ tg P G : Adg pAq “ Au,
et
H
le tore minimal de
K
inclus dans
T . On a donc les
h Ď t Ď k Ď g.
inclusions
HĎT ĎKĎG
induisant les inclusions d'algèbres de Lie
1.1.1. Réseau de racines.
tore
Construisons l'ensemble des racines de
g
associé au
H.
Le cadre standard des dénitions ci-dessous est lorsque
c'est-à-dire quand
de B.C. Hall [
h “ LiepHq
H
est un tore maximal,
est une sous-algèbre de Cartan de
g.
Voir le livre
Hal03] Ÿ6 pour ce cadre. On donnera les dénitions et les propriétés
H est un tore maximal ou non. En particulier, on
R ci-dessous comme de l'ensemble des racines même si ce dernier
véritablement un système de racines au sens classique que lorsque H est un
communes dans les deux cas où
parlera de l'ensemble
ne forme
tore maximal.
Notons
XpHq “ HomC pH, C˚ q
le groupe des caractères
C-linéaires
de
en bijection avec l'ensemble des représentations algébriques de dimensions
17
H . Il est
1 de H .
18
1. GÉNÉRALITÉS
Notons aussi
h˚
le dual vectoriel de
la diérentielle d'éléments de
h.
XpHq.
Alors on pose
W Ď h˚
On a un isomorphisme
le réseau engendré par
W » XpHq
déduit du
diagramme commutatif
/
h
exp
/
H
C
exp
C˚
ou autrement dit du foncteur entre la catégorie des algèbres de Lie et celle des groupes
de Lie.
h Ñ Endpgq donné par h ÞÑ adh
des racines R de g associé au tore
On rappelle que l'on a la représentation adjointe
adh pXq “ rh, Xs pour tout X P g. L'ensemble
W ´ t0u tel que
à
(1.1.a)
g “ g0 ‘ p
gα q,
avec
H
est le sous-ensemble ni de
αPR
où
gα “ tX P g : @h P h, adh pXq “ αphq ¨ Xu.
À
h
En particulier, on a g0 “ g le centralisateur de h dans g et
αPR gα “ rh, gs. On a
À
donc g “
γPRYt0u gγ .
Comme Ad ˝ exp “ exp ˝ ad où Ad : G Ñ Autpgq est la représentation adjointe du
groupe G, le groupe abélien H agit donc sur gα par le caractère exppαq. En particulier
on retrouve l'inclusion h Ď g0 .
On peut montrer que l'ensemble des racines ne dépend pas du tore maximal choisi.
On dénit alors le sous-ensemble
W Ď W , que l'on utilisera dans le chapitre 6 comme
un alphabet dans le cadre des matrices de Stokes, comme étant le semi-groupe engendré par
R.
On appelle parfois l'ensemble
W
le réseau des racines. Comme l'ensemble
des racines est symétriques, c'est-à-dire que si
au réseau engendré par
R.
αPR
alors
´α P R, W
est aussi égal
On a donc l'égalité fondamentale
b
W “ ZrRs “ NrRs.
(1.1. )
Ť pFi Wqiě0 par la ltration induite
iě0 J0; iK (ou celle de Z) :
ď
F0 W “ t0u Ď F1 W “ R Y t0u Ď ¨ ¨ ¨ Ď
Fi W “ W.
En particulier, l'alphabet
W
par la ltration naturelle de
est naturellement ltré
N
donnée par
N“
iě0
Remarque 1.1.1. On peut donc partir abstraitement d'un semi-groupe ltré par
des ensembles nis
W
et reconstruire l'ensemble ni
partir d'un ensemble ni
R
et construire le semi-groupe
Remarque 1.1.2. Les sous-ensembles
lorsque
H“T
R
W
R “ F1 W ´ F0 W ,
W “ NrRs.
par
ou
R sont indépendant du choix du tore
cas, on a même g0 “ t. Cependant, ce
et
est un tore maximal. Dans ce
n'est pas le cas pour un tore quelconque.
Remarque 1.1.3. Remarquez que comme ici l'ensemble des racines est symé-
trique, c'est-à-dire que si
α P R alors ´α P R, on peut considérer l'une quelconque
N ou Z et cela est équivalent. Cependant, lorsque l'on est
des ltrations induites par
dans le cas d'un groupe algébrique général, et que l'on n'a plus cette propriété de
symétrie, il est plus adapté de considérer la ltration induite par
N.
Remarque 1.1.4. On peut même eectuer la construction précédente pour un
groupe algébrique complexe ane
G
général avec le choix d'un tore
H.
Dans ce cas,
les ensembles construits ont les mêmes propriétés mis à part la symétrie de l'ensemble
des racines.
1.1. RÉSEAU DE RACINES D'UN GROUPE ALGÉBRIQUE ET ALGÈBRE ENVELOPPANTE 19
Donnons maintenant une description plus concrète du cas G “ GLn pCq pour le
n
choix d'un tore maximal T . On choisit la base canonique de C et on note pEi,j q1ďi,jďn
GLn pCq. Alors R est en bijection avec les couples pi, jq
d'éléments distincts de J1; nK. Cette bijection est donnée par pi, jq ÞÑ αi,j avec αi,j ptq “
ř
ti ´ tj P C si t “ iPI ti Ei,i P t. Dans ce cas, la décomposition (1.1.a) est donnée par
à
CEi,j q,
g“t‘p
la base correspondante de
pi,jq : i‰j
g0 “ t et gαi,j “ CEi,j (qui est donc de dimension 1).
Enn, W est engendré par R comme semi-groupe. On peut identier l'application
2
nulle t ÞÑ 0 P W aux couples pi, iq “ pj, jq etc d'éléments de I non distincts. Donnons
maintenant un exemple d'élément de F2 W . On a ρ “ α1,2 ` α3,4 P F2 W , c'est-àdire que ρptq “ pt1 ´ t2 q ` pt3 ´ t4 q. Remarquez que l'écriture n'est pas unique car
ρ “ α1,2 ` α3,4 “ α1,4 ` α3,2 , mais aussi que l'on peut diminuer le poids par exemple
avec α1,2 ` α2,3 “ α1,3 et α1,2 ` α2,3 ` α3,4 “ α1,4 “ α1,3 ` α3,2 ` α2,4 etc.
c'est-à-dire
1.1.2. Algèbre enveloppante.
de Lie
Notons
Ug
l'algèbre enveloppante de l'algèbre
g.
Proposition 1.1.5. On a une décomposition naturelle
Ug “
à
Ugρ
ρPW
W , compatible avec la graduation de g
a gα “ pUgqα pour tout α P R Y t0u.
graduée par le réseau
c'est-à-dire que l'on
On notera abusivement
gρ “ pUgqρ
pour tout
via l'inclusion
ρ P W.
a
Démonstration. On part de la décomposition (1.1. ) de
px1 , . . . , xr q
une base graduée de
g.
g ãÑ Ug,
g
et on considère
On xe un ordre arbitraire sur cette base. On
pxi1 , . . . , xik q est canonique si xi1 ď ¨ ¨ ¨ ď xik . Si ι : g Ñ
Ug désigne l'application canonique, alors on étend ι aux monômes canoniques par
ιppxi1 , . . . , xik qq “ ιpxi1 q ¨ ¨ ¨ ιpxik q. Le théorème de Poincaré-Birkho-Witt nous donne
alors que l'application ι est injective sur l'ensemble des monômes canoniques et que
son image est une base de Ug.
dira qu'un monôme
Alors on déduit le résultat du lemme suivant que l'on montre par récurrence :
Lemme 1.1.6. Si
xi P gαi Ď Ug
pour un certain
αi P R Y t0u,
adt px1 ¨ ¨ ¨ xk q “ pα1 ptq ` ¨ ¨ ¨ ` αk ptqqpx1 ¨ ¨ ¨ xk q,
c'est-à-dire
x1 ¨ ¨ ¨ xk P Ugρ
avec
alors
@t P t,
ρ “ α1 ` ¨ ¨ ¨ ` αk .
1.1.3. Complétion de l'algèbre enveloppante.
Notons Fg le foncteur oubli
Repf pgq des représentations de dimension nie de l'algèbre de Lie g
vers la catégorie des C-espaces vectoriels de dimension nie. De même, notons FG
le foncteur oubli de la catégorie Repf pGq des représentations de dimension nie du
groupe algébrique G vers la catégorie des C-espaces vectoriels de dimension nie.
x “ EndpFg q l'algèbre des endomorphismes du foncteur d'ouOn note alors Ug
bli Fg et Ug “ EndpFG q l'algèbre des endomorphismes du foncteur d'oubli FG .
x est donc une collection pΘρ qρPRep pgq de morphismes
Concrètement, un élément de Ug
f
Θρ P EndpVρ q pour toute représentation ρ : g Ñ EndpVρ q compatibles dans le sens où
de la catégorie
20
si
1. GÉNÉRALITÉS
ρ1
est une autre représentation de dimension nie de
1
g
et si
T P HompVρ , Vρ1 q
est
un morphisme de représentation , alors on a
Θρ1 ˝ T “ T ˝ Θρ .
Des considérations de théorie des catégories nous donne alors la
x “ EndpFg q
Ug
enveloppante Ug.
Proposition 1.1.7. L'algèbre
complétion pronie de l'algèbre
est canoniquement isomorphe à la
On rappelle que la complétion pronie d'une algèbre
toutes les algèbres quotient
A{I
A est la limite coltrante sur
de dimension nie.
Fg est pro-représentable
Ug{I , dans le sens où
Démonstration. On utilise le fait que le foncteur
la collection des algèbres quotient de dimension nie
par
Fg pM q “ lim HompUg{I, M q.
ÐÝ
I
On en déduit alors immédiatement les bijections naturelles
HompFg , Fg q » lim HompUg{I, Fg q » limUg{I,
ÝÑ
I
ÝÑ
I
où la seconde bijection est due au lemme de Yoneda.
r
G
D
Notons maintenant
un certain sous-groupe
un revêtement universel de
de
r
G
G.
On a donc
r
G » G{D
pour
discret et central.
r . De
Repf pgq » Repf pGq
r sur laquelle D Ď G
r agit
Repf pGq
Proposition 1.1.8. On a une équivalence de catégorie
plus, Repf pGq est la sous-catégorie (pleine) de
trivialement.
Proposition 1.1.9. Il existe trois applications naturelles injectives
r ãÑ Ug
x
G
sibles de
ˆ
ˆ
ˆ
x
G ãÑ Ug où Ug
x , resp. Ug. De plus,
Ug
et
, resp.
ˆ
Ug
x,
Ug ãÑ Ug
, désigne l'ensemble des éléments inver-
on a le diagramme commutatif
r 
G
G

xˆ
Ug
/
/
Ug
ˆ
où les applications verticales sont le passage au quotient par l'action naturelle de
r.
DĎG
Démonstration. La dénition des applications est classique. Pour le caractère
BTL13] p.10 par exemple.
x dans [BTL13] est donc notre version Ug.
La version de Ug
injectif, on pourra se référer au lemme 4.1 de [
Remarque 1.1.10.
On a introduit l'algèbre
EndpFg q
pour être plus cohérent avec la notation standard
de la complétion pronie de l'algèbre
Ug
(voir proposition 1.1.7).
Notons
x ρ “ tx P Ug
x : @t P t, adt pxq “ ρptq ¨ xu
Ug
et
Ugρ “ tx P Ug : @t P t, adt pxq “ ρptq ¨ xu.
1. On a donc
ρ1X ˝ T “ T ˝ ρX
pour tout
X P g par dénition d'un morphisme de représentations.
1.2. REPRÉSENTATIONS DE GRAPHE
21
Alors on en déduit immédiatement deux applications
ź
x ρ ãÑ Ug
x
Ug
et
ρP W
ź
Ugρ ãÑ Ug.
ρP W
1.1.4. Structure d'algèbre de Hopf topologique.
L'algèbre enveloppante
Ug
est munie d'une structure d'algèbre de Hopf induite par la structure de Hopf de l'algèbre tensorielle. De plus, ses éléments primitifs sont les éléments de
CP94]
exemple [
g.
Voir par
exemple 4.1.8. On peut étendre cette structure en une structure
x
Ug
et Ug telle que g soit aussi l'ensemble des éléx . De même, on a une inclusion canonique G
r ãÑ Ug
x et l'ensemble
Ug
x est bien égal à G
r. De manière analogue, l'ensemble
des éléments de type groupe de Ug
des éléments de type groupe de Ug est égal à G.
L'ensemble W est muni d'une application naturelle d'évaluation dans C pour
l'élément A P h :
evA
W ÝÑ
C.
Elle est donné par l'évaluation partielle à droite en A P h de l'accouplement
d'algèbre de Hopf topologique sur
ments primitifs de
W b h ãÑ h˚ b h ÝÑ C.
Cette application
evA
a un rôle essentiel dans le phénomène de Stokes comme remar-
Boa02].
qué par P. Boalch dans [
Remarque 1.1.11. L'image du réseau W par l'application evA précédente dans
C est le Z-module engendré par les valeurs propres de adA P Endpgq. On rappelle que
si A P h diagonalisable de valeurs propres les ai (i P I ), alors adA est diagonalisable
de valeurs propres les ai ´ aj pour tout i, j P I . En particulier, le noyau kerpadA q est
de dimension au moins #I car h Ď kerpadA q. Dans le cas générique, les morphismes
„
W ãÑ W Ñ C sont injectifs et bijectifs.
1.2. Représentations de graphe
1.2.1. Représentations de carquois. Soit Ξ un carquois, aussi appelé un graphe
orienté. On rappelle que cela est équivalent à la donnée d'un ensemble de sommets
I,
d'un ensemble d'arrêtes
et d'extrémité
t:A ÑI
A
et de deux applications, dite d'origine
h : A Ñ I
dans les sommets origine et extrémité de chaque arrête.
Remarquez qu'à priori l'application produit
hˆt : A Ñ I ˆI
n'a pas de raison
d'être injective. Si c'est cependant le cas, alors on dit que le carquois Ξ ne contient
1
1
1
1 1
pas d'arrête double. Si Ξ “ pI , A , h, tq, Ξ “ pI , A , h , t q sont deux carquois, un
1
1
morphisme de carquois Ξ Ñ Ξ est la donnée de deux applications f : I Ñ I et
g : A Ñ A 1 tels que les deux diagrammes suivants commutent :
h
A
g
I
A
1
h
I1
Une représentation complexe
née d'un
C-espace
I
g
f
A1
t
A1
ρ
f
1
t
I1
(de dimension nie) du carquois
vectoriel (de dimension nie)
V “
À
iPI
Vi ,
Ξ
est la don-
gradué par l'en-
I et d'un ensemble d'applications linéaires ρ “ pρa qaPA P
À
HompV
,
V
q
hpaq
tpaq pour toute arrête a P A . On peut bien sûr dénir des moraPA
1
phismes de représentation d'un carquois Ξ. Si ρ et ρ sont deux tels représentations,
1
1
alors un morphisme f : ρ Ñ ρ est une collection de morphismes fi : Vi Ñ Vi pour
semble des sommets
22
1. GÉNÉRALITÉS
tout sommet
i P I
arrête
:
aPA
de
Ξ
tels que les diagrammes suivants commutent pour toute
Vhpaq
fhpaq
ρa
Vtpaq
1
Vhpaq
ρ1a
1
Vtpaq
ftpaq
Remarque 1.2.1. On peut voir aussi un carquois comme une catégorie où les
objets sont les sommets
I
et les arrêtes sont les morphismes où l'on ajoute les
morphismes identités en chaque sommet. Dans cette formulation, une représentation
de carquois est donc un foncteur covariant de la catégorie des carquois vers la catégorie
C-espaces
des
vectoriels (de dimension nie). Un morphisme de représentations est
alors une transformation naturelle entre les foncteurs covariants. Cette formulation
d'un carquois comme une catégorie permet de dénir l'algèbre des chemins, comme
nous le verrons plus tard.
V 1 d'une représentation V du carquois Ξ est la donnée
1
d'un sous-espace vectoriel V I -gradué préservé par les applications linéaires, c'est1
1
à-dire tel que ρa pVhpaq q Ď Vtpaq pour toute arrête a P A . Une représentation est
Une sous-représentation
irréductible si elle n'admet pas de sous-représentation propre non triviale.
C-espace vectoriel I -gradué V . Alors on peut consiReppΞ, V q des représentations du carquois Ξ sur V , c'est-à-dire
à
ReppΞ, V q “
HompVhpaq , Vtpaq q.
Donnons nous maintenant un
dérer l'ensemble
aPA
1.2.2. Quelques représentations particulières.
On considère les deux car-
quois de la gure 1.
‚
‚
‚
.
.
.
.
.
.
‚
‚
‚
‚
‚
Figure 1. Carquois
Ξp1, 1q
et
Ξpm, nq
où en vert sont dessinés les boucles, en bleu les arrêtes allant d'un sommet de la
partie gauche vers la partie droite et inversement pour les arrêtes rouges. On notera
Ξ1,1
le carquois de gauche et
Ξm,n le carquois de droite où m
n celui de la partie droite.
désigne le nombre de
sommets de la partie gauche et
On considérera souvent dans la suite des représentations du carquois
forme suivante :
V “ Vg ‘ Vd
est un
C-espace
Ξ1,1
et quatre applications linéaires
A P EndpVg q,
B P EndpVd q,
de la
vectoriel de dimension nie bigradué
C P HompVg , Vd q,
D P HompVd , Vg q.
1.2. REPRÉSENTATIONS DE GRAPHE
On choisit deux tores maximaux
Tg
et
Td
de
GLpVg q
23
GLpVd q
et
d'algèbre de Lie tg et
td respectivement. On considérera souvent des représentations spéciales de ce carquois
A P tg et B P td .
Notons alors pai qiPI et pbj qjPJ les valeurs propres de A et B respectivement et
notons m et n leur nombre respectif. On a donc m “ #I et n “ #J . Notons aussi
À
À
Vg “ iPI Vi et Vd “ jPJ Vj les décompositions en espaces propres induites par A et
B . Alors il est clair que la représentation précédente du carquois Ξ1,1 est équivalente
à une représentation du carquois Ξm,n avec les applications linéaires pour les boucles
les ai P EndpVi q et bj P EndpVj q pour tout i P I et j P J . Cette formulation est un peu
vériant
plus intrinsèque car l'on a pas besoin de choisir deux tores maximaux. En eet, il sut
Ξm,n
À
À
iPI Vi ‘
jPJ Vj tels
que l'application linéaire correspondant à la boucle du sommet k soit dans le centre
de considérer le sous-ensemble des représentations de
sur
k P I.
Une telle représentation du carquois Ξm,n est équivalente à
carquois ci-dessous (le carquois Ξm,n sans les boucles vertes)
nombres complexes pai qiPI et pbj qjPJ de nombres deux à deux
du groupe
EndpVk q
pour tout sommet
une représentation du
plus deux familles de
distincts dans chaque
famille, c'est-à-dire
ai ‰ ak
pour tout
i‰k
éléments de
I
et
bj ‰ bl
pour tout
j‰l
éléments de
J.
‚
‚
.
.
.
.
.
.
‚
‚
‚
‚
Dans la suite, on verra que les représentations qui apparaissent sont souvent des
représentations des carquois
éléments
A
et
B
Ξ1,1
et
Ξm,n
du type spécial considéré ci-dessus mais les
auront le rôle de données et donc seront xés.
1.2.3. Représentations et représentations inversibles de graphe.
Boa13] Ÿ3 et Ÿ5.2.
On suit
maintenant la présentation de [
Γ. Lorsque l'on parlera de graphe, il sera toujours sous-entendu que
le graphe est non orienté. S'il est orienté, on parle de carquois. À partir du graphe Γ,
on lui associé son double Γ̄ qui est un carquois possédant le même ensemble de sommet
que Γ et tel que pour toute arrêtes pi, jq de Γ, le carquois Γ̄ admette exactement deux
arrêtes orientés i Ñ j et j Ñ i.
Soit un graphe
Définition 1.2.2. On appellera représentation du graphe
de son double
Γ
tout représentation
Γ̄.
Lorsque l'on parlera de représentation du graphe
Γ,
on parlera toujours de la
représentation ci-dessus, c'est-à-dire une représentation de son double, et ce même si
le graphe admet une structure de carquois sous-jacente.
I
Considérons maintenant un graphe complet
est donc une union disjointe
I “
jPJ Ij
k -parti Γ.
Ť
Son ensemble de sommets
et il contient une arrête entre deux
sommets si et seulement s'ils appartiennent à deux parties distinctes.
On sera particulièrement intéressé par le cas
pondra à une connexion de type
k “2
2 ` 1 ` ¨ ¨ ¨ ` 1.
Définition 1.2.3. Un ordre sur un graphe complet
la donnée :
(graphe biparti) qui corres-
k -parti Γ
de sommets
I
est
24
1. GÉNÉRALITÉS
(1) d'un ordre total de ses parties (que nous noterons alors
(2) d'un ordre total des sommets au sein de chaque partie
On parlera d'un graphe ordonné pour tout graphe complet
I1 , . . . , Ik ),
Ij .
k -parti
muni d'un ordre.
Γ induit un ordre total sur les
Γ. De plus, on peut dénir une orientation de Γ à partir de l'ordre
sur les parties en posant i Ñ j si i ą j par exemple.
Dans le cas particulier d'un graphe biparti, un ordre sur Γ est donc équivalent à
En prenant l'ordre lexicographique, un ordre sur
sommets du graphe
un ordre sur chacune de ses parties et au choix d'une des deux parties (par exemple
celle que l'on considère comme la plus petite).
Donnons nous maintenant un graphe complet
k -parti Γ
muni d'un ordre et un
C-espace vectoriel I -gradué V . On peut dénir l'ensemble des représentations inver˚
sibles Rep pΓ, V q du graphe ordonné Γ sur V comme un sous-ensemble des représentaś
tions ReppΓ, V q du graphe Γ sur V de la manière suivante : on note K “
iPI GLpVi q,
G “ GLpV q et les deux Borel par blocs
ź
ź
B` “ K ˆ
HompVj , Vi q B´ “ K ˆ
HompVj , Vi q,
i,jPI
iăj
i,jPI
iąj
ainsi que leur variante unipotente
U` “ t1u ˆ
ź
i,jPI
iăj
Γ.
G.
ÿ
vi,j P U`
et
pvi,j q P ReppΓ, V q
v´ “ 1 `
iăj
GLpV q
Soit
une représen-
On pose les deux éléments
v` “ 1 `
de
HompVj , Vi q,
i,jPI
iąj
qui sont tous les quatre des sous-groupes de
tation du graphe
ź
HompVj , Vi q U´ “ t1u ˆ
ÿ
vi,j P U´ ,
iąj
vi,j P HompVj , Vi q est non nul si i et j sont dans la même partie de I .
Rep˚ pΓ, V q l'ensemble des représentations telles que v´ v` appartiennent
cellule B` B´ “ U` HU´ de G, c'est-à-dire
où
Alors on pose
à la grosse
Rep˚ pΓ, V q :“ tpvi,j q : v´ v` P B` B´ u.
Comme expliqué dans la démonstration de la proposition 5.3 p.20 dans [
cela correspond à la non annulation de tous les mineurs
À
jěi Vj de
La proposition 5.3 p.20 de [
au sous-espace vectoriel
∆i
de
v´ v`
Boa13],
correspondant
V.
Boa13] montre que les représentations inversibles du
Γ correspond à certains espaces de données de Stokes. L'ensemble Rep˚ pΓ, V q
est un ouvert dense du C-espace vectoriel de dimension nie ReppΓ, V q. De plus, le
˚
groupe K agit naturellement sur Rep pΓ, V q.
Considérons le cas particulier où k “ 2 c'est-à-dire où le graphe Γ est un graphe
complet biparti de sommets I “ I0 Y I1 . Alors pour tout i P I0 et tout j P I1 ,
j
i
on notera ui :“ vj,i P HompVi , Vj q et vj :“ vi,j P HompVj , Vi q. La représentation
puji , vji qpi,jqPI0 ˆI1 est donc inversible si et seulement si
graphe
l P I0 ,
˜
a) pour tout
δi,j `
l'application
¸
ÿ
kPI1
est inversible,
vkj uki
P Endp
ti,jPI0 : iďl et jďlu
à
tmPI0 : mďlu
Vm q
1.3. SYSTÈME GRADUÉ ET SYSTÈME LOCAL DE STOKES
l P I1 ,
˜
b) pour tout
δi,j `
25
l'application
¸
ÿ
uik vjk
P Endp
kPI0
à
Vm q
tmPI1 : mďlu
ti,jPI1 : iďl et jďlu
est inversible.
I0 et I1 , on
ReppΓ, V q. On peut cependant montrer que pour
Remarque 1.2.4. Pour chaque ordre sur les ensembles de n÷uds
obtient à priori un ouvert diérent de
deux choix diérents, on obtient toujours un ouvert isomorphe. On pourra consulter
[
Boa13] théorème 5.10 p.23.
1.3. Système gradué et système local de Stokes
On peut résumer la section qui va suivre par la gure 2 suivante.
{système local de
»
Stokes avec repère }
{système gradué
»
avec repère}
oubli
{données de Stokes}
oubli
»
{système local de Stokes}
oubli
{système gradué}
»
{donnée de Stokes à
conjugaison près}
Σ`
H
‚
Σg
‚
‚
Σd
‚
Σ´
Figure 2. Résumé des équivalences de catégories de la section 1.3
Les blocs en bleu clair correspondent à des catégories. Le symbole équivalent
»
signie que l'on a une équivalence de catégorie. Les trois dessins sur la dernière
ligne représentent la base (complémentaire des parties grises) sur laquelle habitent les
éléments des catégories au-dessus. Ces éléments sont en général des systèmes locaux
sur cette base avec des conditions de compatibilités. Dans le cas le plus à gauche,
on trouve comme base le plan
C
privé de divers points. Pour le cas du milieu, on
trouve un anneau et pour le cas le plus à droite, on trouve tout le plan complexe
C
(ou uniquement le point orange si l'on préfère, mais cela est équivalent). Le point
en orange donne la position que doivent avoir les points de base où sont dénis les
repères.
26
1. GÉNÉRALITÉS
1.3.1. Système gradué.
On introduit ici la notion de système gradué. Cette
donnée géométrique permet d'encoder assez naturellement le comportement des microsolutions d'une connexion fuchsienne (voir proposition 3.1.2). Lorsque la connexion
fuchsienne vérie des conditions génériques, les microsolutions correspondent à des
solutions spéciales, de type solution de co-Floquet, de cette connexion. Elle permet
aussi d'encoder le comportement d'une connexion méromorphe avec des pôles du type
2p0q ` 1p8q sur la sphère de Riemann P1 (voir les propositions 1.4.1 et 1.3.11).
On considère les données suivantes :
(1) un anneau
Σ,
n muni d'un ordre total ď,
˚ I
un ensemble d'entiers non nuls pµi qiPI P pN q indicé par I ,
une paire (non ordonnée) de deux ouverts Σg et Σd de Σ, connexes, simplement connexes tels qu'on a un recouvrement Σg Y Σd “ Σ et tels que
`
´
l'intersection Σg X Σd admet deux composantes connexes Σ
et Σ . On a
`
´
donc Σg X Σd “ Σ Y Σ .
(2) un ensemble d'indice
(3)
(4)
I
de cardinal ni
Σ`
Σg
Σd
Σ´
Figure 3. Représentation de l'anneau
Σ
avec
Σg
en rouge et
Σd
en bleu.
Définition 1.3.1. Pour les données précédentes, on dénit un système gradué
comme
(1) un système local
L
ř
de rang
µi
sur
et
L
iPI
Σ,
(2) deux graduations ordonnées
L
Σg
“
à
Li pgq
Σd
“
Li pdq,
iPI
iPI
par des sous-systèmes locaux
à
Li pgq, Li pdq
on a
Li pgq
Σ`
Ď
de rang
à
µi
pour tout
Lk pdq
Σ`
Lk pdq
Σ´ .
iPI
tels que sur
Σ` ,
kďi
et sur
Σ´ ,
on a
Li pgq
Σ´
Ď
à
iďk
On peut reformuler la condition sur les graduations comme le fait que les applications
Li pgq
À
Σ˘
jPI
Lj pdq
Σ˘
Lk pdq
Σ˘
1.3. SYSTÈME GRADUÉ ET SYSTÈME LOCAL DE STOKES
sont nulles sur
Σ`
pour
iąk
et sur
Σ´
pour
27
i ă k.
Remarque 1.3.2. Un cas particulier intéressant est lorsque l'on choisit les entiers
Dans ce cas, le système local L est de rang exactement n alors
rangpLq ą n pour les autres choix de pµi qiPI . Nous verrons plus
tard que le cas des µi tous égaux à 1 correspond à une connexion irrégulière
ˆ
˙
A R
d´
dξ
`
ξ2
ξ
¨
˛
a1
..
1
‚ à valeurs propres
sur un bré trivial sur P avec un type irrégulier A “ ˝
.
an
a1 , . . . , an deux à deux distinctes. L'ensemble I correspond toujours à l'ensemble des
valeurs propres de A et les µi correspondent à la multiplicité d'une des valeurs propres
de A dans le cas général.
µi
tous égaux à
1.
qu'en général on a
Remarque 1.3.3. On dénira au Ÿ1.3.4 une version avec repère de cette dénition.
Ici le rôle des parties gauche et droite est symétrique c'est-à-dire que
une union non ordonnée
Σ s'écrit comme
Σg Y Σd .
Ce ne sera plus le cas pour la version avec repère
´
`
où l'on rompt la symétrie (la partie Σ jouera un rôle diérent de la partie Σ ).
1.3.2. Système local de Stokes. On fait ici quelques rappels de la théorie des
matrices de Stokes. Voir [BJL79] pour la présentation originelle du cas du groupe
linéaire ou [Boa02] Ÿ2 qui traite le cas d'un groupe complexe réductif général. Les
matrices de Stokes en un pôle
b
sont les invariants qui caractérisent localement les
connexions irrégulières à transformation de jauge méromorphe près. On peut donner
une version géométrique de ces invariants comme dans [
suivrons la présentation de [
Boa14]
MR91b] ou [LR94]. Nous
Ÿ7 et Ÿ8, qui donne une version géométrique
analogue à celle de M. Loday-Richaud et globale de ces invariants.
T un tore maximal de G. On
notera g et t les algèbres de Lie respectives de G et T . Une courbe irrégulière est
un triplet pΣ, pb1 , ¨ ¨ ¨ , bk q, pQ1 , ¨ ¨ ¨ , Qk qq (k P N) où Σ est une courbe algébrique
compacte, tb1 , ¨ ¨ ¨ , bk u est un ensemble de points marqués bj de Σ et Qj est un type
irrégulier en chaque point marqué bj . La donnée d'un type irrégulier (non ramié) Qj
en bj est un germe méromorphe en bj de la forme
On xe le groupe algébrique
G “ GLn pCq
Qj “
avec
Aj P t, r ě 0
et
x
et soit
Ar
A1
` ¨¨¨ `
r
x
x
est une coordonnée locale de
Σ
s'annulant en
bj .
Σ “ P1 , les
Q0 “ ´A{ξ et Q8 “ 0,
On considère une courbe irrégulière donnée par la courbe algébrique
points marqués p0, 8q et les types irréguliers pQ0 , Q8 q avec
1
1
où ξ : P ´ t8u Ñ C désigne la coordonnée usuelle de P à distance nie. On pose
KĎG
le stabilisateur de
APt
sous l'action adjointe, c'est-à-dire
K “ tg P G : Adg pAq “ Au,
et
H
le tore minimal de
Notons
h
K
l'algèbre de Lie de
inclus dans
H.
T.
H Ď T Ď K.
A P h Ď t.
On a donc les inclusions
On peut montrer que l'on a
Remarque 1.3.4. On peut montrer que le tore
H
correspond au tore exponentiel
LR94] dénition III.3.3 p.893. Voir sinon [MR91b]
de Ramis déni par exemple dans [
p.380 pour la dénition originelle et p.384 pour les conditions de Stokes.
28
1. GÉNÉRALITÉS
On peut alors en déduire un certain nombre d'éléments. Pour une présentation
Boa14] Ÿ7-8. Notre situation étant substan-
géométrique de la théorie générale, voir [
tiellement plus simple (on a un pôle simple à l'inni), on pourra procéder comme suit.
On pose :
p Ñ P1 ´ t8u l'éclaté
Σ
spéciale B0 (isomorphe
orientées sur le plan
A Ď B0
P1 ´ t8u en 0,
à un cercle) en 0 paramétrise
complexe issues de 0,
réel orienté de
c'est-à-dire que la bre
les demi-droites réelles
2
l'ensemble des directions singulières , c'est-à-dire l'ensemble des direc-
argpai ´ aj q pour tout i ‰ j ,
3
p
p en 0,
H Ď Σ un petit voisinage de la bre spéciale B0 P Σ
I “ ta1 , ¨ ¨ ¨ , an u l'ensemble des valeurs propres de A,
µi la multiplicité de la valeur propre ai de A pour tout i P I .
r la surface Σ
p privé des points epdq pour tout d P A,
Ensuite, on pose Σ
p
point de H intérieur à Σ dans la direction d.
tions d'angle
un
où
epdq
est
H
epdq
Figure 4. Représentation du domaine
r
Σ
Stod (d P A) le groupe de Stokes déterminé par le type irrégulier
d. Il est déni de la manière suivante. On note R l'ensemble des racines de g associé au tore T (voir les rappels de sa dénition section 1.1
chapitre 1). On note Rpdq le sous-ensemble des racines α supportées par la direction
d, c'est-à-dire telles que αpAq P C˚ appartient à la demi-droite issue de 0 de direction
d. Alors on note
à
g “ gt ‘ p
gα q
Enn, on pose
Q0 “ ´A{ξ
dans la direction
αPR
gt
g et gα est
l'espace de racine associé à la racine α. Pour toute racine α, on note alors Uα “ exppgα q
le sous-groupe unipotent associé à gα . Alors on pose le sous-groupe de Stokes dans la
direction d
Stod :“ Uα1 ¨ Uα2 ¨ ¨ ¨ Uαk Ď G,
où Rpdq “ tα1 , ¨ ¨ ¨ , αk u pour un ordre quelconque sur Rpdq. Le sous-groupe unipotent
la décomposition canonique associée, où
est le centralisateur de
t
dans
Boa02] dénition 2.3 et lemme 2.4 p.1134).
ainsi déni ne dépend pas de l'ordre (voir [
Remarque 1.3.5. L'importance du rôle de l'ensemble des racines dans le phéno-
mène de Stokes a été découvert par P. Boalch dans [
Boa02].
RH de g associé
RH pdq des racines supportées par la direction
Remarque 1.3.6. On aurait pu considérer l'ensemble des racines
au tore
H
et de même le sous-ensemble
2. On appelle aussi
A
LR94].
l'ensemble des directions anti-Stokes dans la terminologie de [
3. Précisément, on prend
p contienne
H susamment petit pour que le complémentaire de H dans Σ
toujours un voisinage de l'inni.
1.3. SYSTÈME GRADUÉ ET SYSTÈME LOCAL DE STOKES
d.
Dans ce cas, on aurait eu
associé à
RH pdq
α P RH pdq non nul de
Rpdq est ě 1
que le cardinal de
1
de cardinal
dimension
ě 1,
29
exactement et l'espace de racines
alors que dans le cas du tore
T,
on a
dimpgα q “ 1.
en général mais
Remarque 1.3.7. Comme conséquence de la dénition, les groupes de Stokes
Stod
sont normalisés par le groupe
K , car tous les groupes Uα
sont normalisés par
K.
Définition 1.3.8. Pour la donnée de la courbe irrégulière précédente, on dénit
un système local de Stokes comme
(1) un système local
L
(2) une graduation de
ř
de rang
L
sur
iPI
µi
sur
r,
Σ
H,
L
H
“
à
Li
iPI
par des sous-systèmes locaux
tels que pour tout point
(d
P A)
p P H,
L
en
de rang
µi ,
la monodromie locale
mp,d P AutpLp q
Stod Ď GLn pCq
pour un repère
s'identie à un élément de
quelconque de la bre de
Li
epdq
Lp » ‘iPI Cµi
autour de
p.
H
p
‚
epdq
γp,d
Figure 5. Monodromie locale dans la direction
Remarque 1.3.9. Comme
L
d
est un système local, la monodromie le long de
ne dépend que de la classe d'homotopie à extrémité xe de
γp,d
γp,d .
Matϕ pmp,d q P Stod ne dépend pas du repère
eet, si ϕ1 et ϕ2 sont deux repères de Lp , c'est-à-dire
ϕk : Lp Ñ ‘iPI Cµi , on note ψ “ ϕ´1
2 ˝ ϕ1 qui est un
Remarque 1.3.10. La condition
ϕ : Lp Ñ ‘iPI C
µi
choisi. En
deux isomorphismes gradués
élément de
K.
Alors on a
ψ ´1 ¨ Matϕ1 pmp,d q ¨ ψ “ Matϕ2 pmp,d q.
Comme
K
normalise
Stod ,
on a
Matϕ1 pmp,d q P Stod
si et seulement si
Matϕ2 pmp,d q P
Stod .
1.3.3. Système gradué associé à un système local de Stokes.
On a une
équivalence algébrique entre les systèmes locaux de Stokes et les systèmes gradués
(voir la proposition 1.3.13). C'est une variante géométrique de l'équivalence entre
facteurs de Stokes et multiplicateurs de Stokes dans ce cadre. Le point central est le
BJL79] lemme 2 p.74-75 qui est un cas particulier d'un résultat
Bor91]). Le cas d'un groupe complexe réductif
général a été ensuite développé par P. Boalch dans [Boa02].
lemme 2 p.74-75 de [
de É. Borel (sections 14-5 à 14-8 de [
d d'angle η est admissible si elle est non singulière, c'està-dire si pour tout i ‰ j , on a argpai ´aj q ‰ η pmod 2πq. De même, on parlera d'angle
admissible pour tout angle η P R d'une direction admissible.
On dira qu'une direction
30
1. GÉNÉRALITÉS
Proposition 1.3.11. Pour tout choix d'une direction admissible, on peut associer
à tout système local de Stokes un système gradué.
Démonstration. Prenons un système local de Stokes
L
déni sur la courbe
r ´ H, où H
0qq. Alors on pose Σ1 “ Σ
1
pΣ :“ P , p0, 8q, pQ0 :“ ´A{ξ, Q8 “
H. On choisit une direction admissible d pour la famille pai qiPI .
I “ ta1 , ¨ ¨ ¨ , an u muni de l'ordre donné par
irrégulière
désigne l'adhérence de
On pose
a
(1.3. )
ai ď d aj
si
e´pai ´aj q{ξ
tend vers
0
quand
ξÑ0
dans la direction
η ` π{2.
=pai e´iη q ě =paj e´iη q où η désigne un angle de la direction d. On
note Cd la demi-droite issue de 0 et de direction d (angle η ), que l'on identie à un
1
sous-ensemble de Σ . De même, on note C´d la demi-droite issue de 0 et de direction
´d (angle η ` π ), que l'on identie à un sous-ensemble de Σ1 . On pose Σ1g :“ Σ1 ´ Cd
1
1
et Σd :“ Σ ´ C´d .
1
1
1
1
Alors le système gradué L déni pour les données Σ , I , pµi qiPI , Σg , Σd est égal à
1
1
L “ L Σ1 . La graduation de L Σg est donnée par le prolongement de la graduation de
L H le long de C´d et celle de L1 Σd est donnée par le prolongement de la graduation
de L H le long de Cd .
1
Le système local L est bien un système gradué. En eet, on a le
Cela correspond à
BJL79] équation (4.14) et lemme 2 p.74-75 ou [Boa02] lemme
Lemme 1.3.12 ([
2.4 p.1134). Notons
A`,d
l'intersection de
avec le segment ouvert
A
l'intersection de
A
avec le segment ouvert
sη, η ` πr
I.
Alors on a
ź
Stod1 “ U`
ź
et
d1 PA`,d
Stod1 “ U´
d1 PA´,d
où le produit est pris dans un ordre quelconque.
A`,d
H
´d
d
A´,d
Figure 6. Ensembles
A`,d
et
A´,d
Alors l'application
L1i pdq ãÑ
à
L1k pgq Ñ L1j pgq
kPI
est bien l'application nulle sur
Σ`
pour
A´,d
sη ´ π, ηr
À. Notons U˘ les sous-groupes
GLp iPI Cµi q donné par l'ordre ěd
unipotents supérieurs et inférieurs par blocs de
sur
et
ai ą d aj ,
car elle correspond à
1.3. SYSTÈME GRADUÉ ET SYSTÈME LOCAL DE STOKES
L1i pdq
prolγd
Li
prolγg ¨γ¨γ ´1 À
d
kPI Lk
prolγg
Lj
31
L1j pgq.
“0
γ
pg ‚
H
γg
´d
p
‚
‚ pd
γd
d
Figure 7. Chemins
γd
et
γg
Réciproquement, on peut associer à tout système gradué, un système local de
L1 est un système gradué déni sur les données Σ1 , I , pµi qiPI , Σg ,
Stokes. En eet, si
Σd , on choisit une matrice A diagonale à valeurs propres pai qiPI de multiplicité pµi qiPI .
pΣ :“ P1 , p0, 8q, pQ0 :“
p construite à partir de la courbe irrégulière précédente
´A{ξ, Q8 “ 0qq. La courbe Σ
1
1
p , on
est isomorphe topologiquement à Σ . Quitte à changer d'isomorphisme Σ » Σ
peut supposer qu'aucun des points ai ´ aj n'appartiennent à Σd ∆ Σg :“ pΣd ´ Σg q Y
p avec ce choix
pΣg ´ Σd q via cet isomorphisme. Dans la suite, on identiera Σ1 à Σ
d'isomorphisme. Alors il existe une direction admissible d telle que d P Σd ´ Σg et
´d P Σg ´ Σd .
1
On construit alors le système local de Stokes L associé à L de la manière suivante.
À
1
On pose L Σ´H
“
L
1 ´H . On construit le système gradué L H “
r
Σ
iPI Li égal à
À
À
1
1
`
1
iPI Li pdq sur H X Σd et à
iPI Li pgq sur H X Σg . Sur H X Σ , on identie Li pdq à
1
Li pgq via l'application
prolγ ` à
L1i pdq ÝÑ
L1j pgq ÝÑ L1i pgq
Alors on peut considérer la données d'une courbe irrégulière
jPI
désigne un chemin issu de Σd nissant dans Σg et à valeurs dans
´
1
1
même, sur H X Σ , on identie Li pgq à Li pdq via l'application
où
γ
`
prolγ ´
L1i pgq ÝÑ
à
Σ1 ´ Σ´ .
De
L1j pdq ÝÑ L1i pdq
jPI
où
γ
´
désigne un chemin issu de
Reste à recoller
intérieur de
L
et
r
Σ´H
L
Σg
nissant dans
Σd
Σ1 ´ Σ` .
H. Notons Bint le bord
et à valeurs dans
H sur le bord intérieur de
H, c'est-à-dire la composante du bord de H contenue dans l'intérieur de
r
Σ. Sur la composante connexe de Bint contenant pΣd ´ Σg q X Bint , on identie Li à
L1i pdq et sur la composante connexe de Bint contenant pΣg ´ Σd q X Bint , on identie Li
32
à
1. GÉNÉRALITÉS
L1i pgq.
Ces deux identications sont compatibles (sur
Σ˘ X H)
avec la dénition de
Li .
Pour les autres composantes connexes de
Bint , on utilise le lemme 1.3.12 ci-dessus.
Les détails sont laissés au lecteur.
La n du paragraphe étend l'association précédente en une équivalence de catégorie. Elle peut être passée en première lecture.
On peut étendre l'association de la proposition 1.3.11 précédente en un foncteur. Pour
cela, on choisit une courbe irrégulière comme en 1.3.2. On dénit la catégorie des systèmes
locaux de Stokes pour cette donnée de la manière suivante :
(1) les objets sont les systèmes locaux de Stokes sur la courbe irrégulière choisie.
(2) un
morphisme de systèmes locaux de Stokes
f : L1 Ñ L2
gradués
De même, on
est un morphisme de systèmes locaux
f à H est un morphisme de systèmes locaux
1
2
par I , c'est-à-dire que l'on a f H pLi q Ď Li pour tout i P I .
choisit des données pΣ, I, pµi qiPI , Σg , Σd q vériant les conditions de la sectel que la restriction de
tion 1.3.1. On dénit la catégorie des systèmes gradués pour ces données de la manière
suivante :
(1) les objets sont les systèmes gradués sur
(2) un
morphisme de systèmes gradués
L2 tel que les restrictions de
gradués par
f
I,
f
à
Σd
pΣ, I, pµi qiPI , Σg , Σd q,
est un morphisme de systèmes locaux
et
Σg
f : L1 Ñ
sont des morphismes de systèmes locaux
c'est-à-dire que l'on a
1
Σd pLi pdqq
Ď L2i pdq
f
et
1
Σg pLi pgqq
Ď L2i pgq
pour tout
i P I.
On a vu dans la démonstration de la proposition 1.3.11 comment associer pour tout
choix d'une direction admissible
d
des données
de la section 1.3.1 à toute courbe irrégulière
Proposition 1.3.13.
Σ
pΣ1 , I, pµi qiPI , Σg , Σd q
vériant les conditions
comme en 1.3.2.
L'association de la proposition
1.3.11
est une équivalence de ca-
tégorie entre
(1) la catégorie des systèmes locaux de Stokes dénis sur la courbe irrégulière Σ,
(2) la catégorie des systèmes gradués dénis sur les données pΣ1 , I, pµi qiPI , Σg , Σd q.
Démonstration. Il est immédiat que l'association de proposition 1.3.11 est un fonc-
teur. On a esquissé dans le paragraphe précédent comment construire un quasi-inverse. Il
faut adapter un peu la construction pour les données pour obtenir le quasi-inverse. Le fait
que l'on ait une équivalence de catégorie est laissé au lecteur.
1.3.4. Systèmes locaux de Stokes et systèmes gradués avec repère.
On
donne ici les versions avec repères des systèmes locaux de Stokes et des systèmes gradués. On montrera leur équivalence (proposition 1.3.20) étendant ainsi l'équivalence
sans repère (proposition 1.3.13).
Introduire la notion de repère est essentiel pour la suite. En eet, on verra qu'un
système gradué avec repère est équivalent à isomorphisme près à un triplet de matrices, dit données de Stokes (proposition 1.3.24) alors que la version sans repère est
seulement équivalente à des triplets de matrices à conjugaison par le groupe
K
près
(voir remarque 1.3.25). Cela permettra in ne d'exprimer les données de Stokes d'une
connexion irrégulière et pas seulement ses données de Stokes à conjugaison près.
Soit
Σ
une courbe irrégulière comme en 1.3.2 et soit
L
un système gradué pour
cette donnée.
L en un point p P H est
à µ
à
ϕ : p Li qp Ñ
C i.
Définition 1.3.14. Un repère de
phisme gradué
iPI
iPI
la donnée d'un isomor-
1.3. SYSTÈME GRADUÉ ET SYSTÈME LOCAL DE STOKES
33
On peut maintenant dénir la catégorie des systèmes locaux de Stokes avec repère.
Les données sont une courbe irrégulière
point
pPH
Σ
du type de celle de la section 1.3.2 et un
dans le halo. Les objets sont les systèmes locaux de Stokes dénis sur
cette courbe irrégulière
Σ
muni d'un repère en
p.
Un morphisme de systèmes locaux
1
2
de Stokes avec repère est un morphisme de systèmes locaux de Stokes
f :L ÑL
qui est compatible avec les repères, c'est-à-dire que le diagramme
p
À
iPI
L1i qp
f
/
À
p iPI L2i qp
„
ϕ1
„ ϕ2
'
À
iPI
Cµi
commute.
Remarque 1.3.15. On peut dénir la catégorie des systèmes locaux de Stokes avec
repère pour les données de la même courbe irrégulière et d'un autre point
p1 P H. Alors,
de manière analogue à l'inuence du choix d'un point base pour la dénition du groupe
1
fondamental, tout choix d'un chemin reliant p à p dénit un isomorphisme canonique
entre la catégorie des systèmes locaux de Stokes avec repère pour les données
1
et celle pour les données pΣ, p q.
Soient maintenant
pΣ1 , I, pµi qiPI , Σg , Σd q
pΣ, pq
des données comme en 1.3.1 et soit
L1
un système gradué pour ces données. On choisit un ordre sur la paire tΣg , Σd u. Cela
`
´
est équivalent à choisir un des deux sous-ensembles Σ
ou Σ . Dans la suite, on
`
choisira Σ . Dans le cas avec repère, pΣg , Σd q est toujours considéré comme une paire
ordonnée.
Définition 1.3.16. Un repère de
L1
à
à µ
ϕd : p L1i pdqqp »
C i
iPI
est la donnée de deux isomorphismes gradués
et
à
à µ
ϕg : p L1i pgqqp1 »
C i
iPI
iPI
iPI
p P Σd ´ Σg et p1 P Σg ´ Σd compatibles dans le sens suivant. Notons Σg ∆ Σg :“
pΣd ´ Σg q Y pΣg ´ Σd q l'union disjointe de Σd et Σg , et notons γ ˘ les chemins reliant
p à p1 à valeurs dans Σ˘ Y pΣg ∆ Σg q.
pour
γ`
p1
p
‚
‚
γ´
Figure 8. Chemins
γ`
et
γ´
34
1. GÉNÉRALITÉS
Alors la condition de compatibilité est que le diagramme avec
L1i pdqp a
(1.3. )
prol
 γ´
/
À
p kPI L1k pgqqp1
//
γ´
L1i pgqp1
ϕg „
ϕd „
/
Cµi
id
Cµi
commute.
Remarque 1.3.17. La notion de repère casse la symétrie intrinsèque entre les
parties droite et gauche dans la dénition d'un système gradué. C'est dû au fait
que l'on choisit une partie à droite et une partie à gauche, et plus seulement une
décomposition de
Σ “ Σg Y Σd
non ordonnée. Voir la remarque 1.3.3.
On peut alors dénir la catégorie des systèmes gradués avec repère. Les données
1
sont des données pΣ , I, pµi qiPI , Σg , Σd q comme dans la section 1.3.1 et deux points
p P Σd ´ Σg et p1 P Σg ´ Σd . Les objets sont les systèmes gradués pour les données
pΣ1 , I, pµi qiPI , Σg , Σd q, muni d'un repère en pp, p1 q. Les morphismes de systèmes gradués
1
2
avec repère sont les morphismes de systèmes gradués f : L Ñ L compatibles avec
1
2
1
2
les repères ϕ , ϕ respectifs de L et L , c'est-à-dire que les diagrammes suivants :
b
(1.3. )
À
p iPI L1i pdqqp
f
Σd
/
À
p iPI L2i pdqqp
„
À
p iPI L1i pgqqp1
(
À
iPI
Σg
„
ϕ2d „
ϕ1d
f
ϕ1g
Cµi
/
À
p iPI L2i pgqqp1
„ ϕ2g
(
À
iPI
Cµi
commutent.
Remarque 1.3.18. On a un isomorphisme canonique entre la catégorie des sys-
1
1
tèmes gradués sur pΣ , I, pµi qiPI , Σg , Σd q avec repère en pp, p q et celle avec repère en
1
1
pq, q q pour deux points q P Σd ´ Σg et q P Σg ´ Σd . En eet, comme dans la remarque
1
1
1.3.15, tout choix de deux chemins reliant p à q et p à q dénit un tel isomorphisme.
Cependant, comme ici les espaces
Σd ´ Σg
connexes, tous les choix de chemins reliant
Σg ´ Σd sont connexes et simplement
p à q (ou p1 à q 1 ) sont homotopes à extréet
mités xes et dénissent donc le même isomorphisme.
1.3.5. Équivalence dans le cas repéré.
L'équivalence de la proposition 1.3.11
est aussi vrai dans le cadre enrichi avec repère. On fait le choix d'une direction ad1
2
missible d et on pose p P Cd et p P C´d . On fait le choix de deux chemins γg et γd à
1
2
valeurs dans H Y pΣg ∆ Σd q reliant p à p et p à p respectivement, tels que le chemin
γg ¨ γd´1 soit homotope dans H Y pΣg ∆ Σd q au chemin reliant Cd à C´d dans H en
passant par dessous le trou central (voir la gure 9).
Proposition 1.3.19. Pour les choix précédents d'une direction admissible
des chemins
γg
et
γd
d
et
précédents, on peut associer à tout système local de Stokes avec
repère un système gradué avec repère.
Démonstration. Pour l'extension de la proposition 1.3.11 entre un système
À
1
1
local de Stokes L et un système gradué L , on prend pour repère de p
iPI Li pdqqp1
À
1
1
2
(p P Σd ´ Σg ) et de p
iPI Li pgqqp2 (p P Σg ´ Σd ) les prolongements du repère de Lp
(p
P H)
le long des chemins
γd
et
γg .
a
On vérie que l'on a bien la compatibilité des repères (diagramme 1.3. ) coté
´1
système gradué grâce à la propriété de la classe d'homotopie du chemin γg ¨ γd dans
H Y pΣg ∆ Σd q supposée.
1.3. SYSTÈME GRADUÉ ET SYSTÈME LOCAL DE STOKES
35
γg
p
‚
p2 ‚
´d
d
‚ p1
γd
Figure 9. Chemins
γg
et
γd
pour la compatibilité avec
γ´
a
dans (1.3. )
Même la proposition 1.3.13 s'étend aux versions avec repère.
Proposition 1.3.20. L'association de la proposition 1.3.19 est une équivalence
de catégorie entre
(1) la catégorie des systèmes locaux de Stokes avec repère dénis sur la courbe
irrégulière
Σ
et le point de base
p,
(2) la catégorie des systèmes gradués avec repère dénis sur les données
pΣ1 , I, pµi qiPI , Σg , Σd , p1 , p2 q.
Démonstration. Il est clair que l'association de la proposition 1.3.19 précédente
est un foncteur. Pour construire le quasi-inverse, on procède comme pour la proposition 1.3.13 en faisant attention de bien prolonger le repère. On peut par exemple
1
1
choisir le repère de droite du système gradué L en p et le prolonger en p P H. On
vérie alors que ce repère vérie bien les diérentes compatibilités. Les détails sont
laissés aux lecteurs.
1.3.6. Matrices de Stokes et systèmes gradués avec repère.
Dans ce pa-
H “ T est le tore maximal. On
i P I . On peut facilement revenir au cas général
en remplaçant la mention de T par K et en remplaçant les sous-groupes unipotents
U˘ , de Borel B˘ etc par leur version par blocs (donnée par l'action adjointe de H ).
Considérons ici un système gradué L muni d'un repère. Alors on peut dénir deux
matrices u´ P U´ , b` P B` par
ragraphe, nous allons considérer le cas particulier où
a alors
T “K
et
µi “ 1
pour tout
prolγ ´
Lp
„
À iPI
C
u´
prolγ `
Lp
„
À iPI
Comme le sous-groupe de Borel
b`
b` “ hu` .
matrice
C
B`
/
Lp1
À /
iPI
/
C
Lp1
À /
b`
„
„
iPI
C
T U` , la donnée de la
ph, u` q P T ˆ U` telles que
est égal au produit
est équivalente à la donnée de deux matrices
36
1. GÉNÉRALITÉS
Définition 1.3.21. On appelle l'espace
Stokes. Pour un élément
les matrices
pu´ , u` q
U´ ˆ U` ˆ T
l'espace des données de
pu´ , u` , hq dans l'espace des données de Stokes, on appellera
h P T la monodromie formelle.
les matrices de Stokes et
Nous venons de montrer le fait élémentaire suivant :
Proposition 1.3.22. On peut associer à tout système gradué avec repère des
données de Stokes
pu´ , u` , hq P U´ ˆ U` ˆ T .
Remarque 1.3.23. La terminologie de matrices de Stokes n'est pas anodine. En
eet, on verra dans la section 1.4.1 théorème 1.4.1 qu'à une connexion irrégulière on
peut associer un système local de Stokes. Puis, en associant à ce système local de
Stokes un système gradué (proposition 1.3.11) puis des données de Stokes (à conjugaison près), on retrouve l'association classique qui à une connexion irrégulière associe
BJL79] théorème 1 p.55 mais
Boa02] dénition 2.6 p.1135 (multiplicateurs de Stokes pour le cas d'un groupe
complexe réductif ), ou [MR91b] théorème 5 p.356 (pour la dénition des matrices
de Stokes grâce à la multisommation), ou [LR94] dénition I.4.14 p.861 (en lien avec
ses matrices de Stokes et sa monodromie formelle. Voir [
aussi [
les ltrations de Stokes).
Proposition 1.3.24. On a une bijection entre les classes d'isomorphisme de sys-
tèmes gradués muni d'un repère et les données de Stokes.
Démonstration. La proposition est assez claire. Si deux systèmes gradués avec
b
repères sont isomorphes, alors de la propriété de commutation (1.3. ), on déduit
immédiatement qu'ils dénissent les mêmes matrices de Stokes. Réciproquement, si
deux systèmes gradués dénissent les mêmes matrices de Stokes, alors les morphismes
pϕ2d q´1 ˝ ϕ1d et pϕ2g q´1 ˝ ϕ1g s'étendent en deux isomorphismes sur Σd et Σg compatibles
sur l'intersection Σd X Σg (grâce à la compatibilité (1.3. )). Ils se recollent donc en
a
un isomorphisme sur
Σ.
Remarque 1.3.25. On peut considérer l'action qui vient du changement de repère
donnée par la conjugaison de T sur l'espace des données de Stokes par t ¨ pu´ , u` , hq “
ptu´ t´1 , tu` t´1 , hq pour tout t P T et tout pu´ , u` , hq P U´ ˆ U` ˆ T (car ici comme
h est diagonale, on a tht´1 “ h). On peut aussi montrer la bijection entre l'ensemble
des classes d'isomorphisme de systèmes gradués (sans choix de repère) et le quotient
(ensembliste)
pU´ ˆ U` ˆ T q{T
de l'espace des données de Stokes par l'action par
conjugaison.
Remarque 1.3.26. On aurait pu dénir une autre version avec repère pour les
systèmes gradués. Cette version serait un seul isomorphisme gradué (à droite par
exemple)
À
À
p iPI Li pdqqp Ñ
iPI C
pour un point
p P Σd .
On peut comparer cette
version avec celle que nous avons considérée dans la dénition 1.3.16. Le lecteur se
convaincra sans mal que les classes d'isomorphismes de systèmes gradués avec cette
version de repère est en bijection avec la donnée de deux matrices pb´ , b` q P B` ˆ B´
´1
modulo l'action du tore T donnée par t ¨ pb´ , b` q “ pt b´ , tb` q. En eet, une version
1
avec deux repères en p et p sans la condition de compatibilité (1.3. ) correspond à
a
l'ensemble
B´ ˆ B`
et l'oubli du repère à gauche correspond bien à l'action du tore
donnée.
Au niveau des classes d'isomorphismes, ces deux versions (version avec un repère
et la version de la dénition 1.3.16) sont donc équivalentes. En eet, on peut dénir
un morphisme
B´ ˆ B` Ñ U´ ˆ U` ˆ T
1.4. APPLICATION DE RIEMANN-HILBERT-BIRKHOFF
37
pb´ , b` q le triplet pδpb´ q´1 b´ , δpb` qb` , δpb´ q´1 δpb` qq, qui est clairement
mais non injectif. C'est en fait un bré principal de groupe T pour l'action
en associant à
surjectif,
du tore
T
précédente donc elle donne une bijection entre les classes d'isomorphismes
pour les deux versions. On peut même dénir une équivalence de catégorie entre les
deux versions. Les détails sont laissés au lecteur.
Nous avons choisi la version de la dénition 1.3.16 car on verra dans la section 3.2
que cette version sera plus pratique pour dénir l'action induite par la transformée
de Laplace sur les systèmes gradués.
1.4. Application de Riemann-Hilbert-Birkho
Soit
V
C-espace vectoriel de dimension nie, G “ GLpV q et T Ď G un tore
G. Notons aussi t, g les algèbres de Lie associées à T et G respectivement.
un
maximal de
Dans cette section, on rappelle comment est dénie l'application de RiemannHilbert-Birkho. Cette dernière associe à une connexion irrégulière un système local
de Stokes. Dans cette thèse, on s'intéressera uniquement au cas particulier où la
connexion irrégulière est une connexion méromorphe de la forme
ˆ
∇“d´
sur un bré trivial
V ˆ P1 Ñ P1
avec
A R
`
ξ2
ξ
˙
dξ,
A P t et R P g avec R vériant une condition de
généricité (non résonance). Le système local de Stokes sera alors déni sur la courbe
1
irrégulière pP , p0, 8q, p´A{z, 0qq.
En utilisant les résultats de la section 1.3.3 précédente, cela nous permettra d'associer à la connexion
∇
ci-dessus un système gradué pour tout choix d'une direction
admissible.
Dans la partie 1.4.2, on donnera aussi la version avec repère de l'application précédente.
1.4.1. Système local de Stokes associé à une connexion irrégulière.
xe pour toute la suite le choix du
C-espace
vectoriel de dimension nie
Pour simplier la terminologie, on dira qu'une connexion
∇
On
V.
est irrégulière si elle
est méromorphe de la forme
ˆ
∇“d´
sur le bré trivial
A
V ˆ P1 Ñ P1
avec
A R
`
ξ2
ξ
APt
et
˙
dξ,
R P g.
Notons
K
la centralisateur de
pour l'action adjointe, c'est-à-dire
K “ tg P G : Adg pAq “ Au,
k
son algèbre de Lie et
δ:gÑk
l'application donnant la partie diagonale par blocs.
De plus, on dira que la connexion irrégulière
δpRq P k
∇ est non
résonante si l'endomorphisme
est non résonant, c'est-à-dire si l'endomorphisme
adδpRq P Endpkq
n'admet
pas de valeur propre entière non nulle. L'ensemble des connexions irrégulières non
résonante forme une sous-catégorie pleine de la catégorie des brés holomorphes à
1
connexions méromorphes avec pôle dans t0, 8u sur la courbe P .
1
Notons Σ la courbe irrégulière donnée par la surface de Riemann P , les points
marqués
0
et
8
et les types irréguliers associés
Q0 “ ´A{ξ
et
Q8 “ 0.
Théorème 1.4.1. Il existe une application naturelle qui à une connexion irrégu-
lière non résonante associe un système local de Stokes sur
Σ.
On appellera cette application l'application de Riemann-Hilbert-Birkho.
38
1. GÉNÉRALITÉS
Remarque 1.4.2. Lorsque le type irrégulier
distinctes, c'est-à-dire
t Ď g,
on a
T “K
A P treg
A
est à valeurs propres deux à deux
le sous-ensemble régulier de la sous-algèbre de Cartan
et la condition de résonance est vide.
´
Démonstration. Prenons une connexion irrégulière
∇ “ d´
A
ξ2
`
R
ξ
¯
dξ
pour
les données précédentes. Il est clair que ces données déterminent uniquement la courbe
irrégulière
Σ.
Pour dénir le système local de Stokes
suit : on note
r
Σ
Σ,
sur
on procède comme
la courbe réelle associée à la courbe irrégulière
section 1.3.2. La restriction
r ´ H.
Σ
L
L
Σ
comme dans la
est égal au système local des solutions de
r
Σ´H
On fait ensuite le choix d'un représentant
r
∇
∇
sur
de la classe d'isomorphisme
méromorphe formel de ∇ en 0 sans phénomène de Stokes et d'un isomorphisme formel
Fr P GpCJξKrξ ´1 sq méromorphe en 0. Dans notre cas particulier, il existe un choix
canonique donné par
ˆ
r “d´
∇
˙
dξ
Fr P GpCJξKq la
r sur ∇ et vériant Frp0q “ 1 P G. Alors
transformation de jauge formelle envoyant ∇
r sur H naon dénit la restriction L H comme le système local des solutions de ∇
turellement gradué par les valeurs propres de A, noté I . C'est donc un K -système
où
Λ “ δpRq P k
A Λ
`
ξ2
ξ
R
désigne la partie diagonale par blocs de
et
local.
Soit s un secteur ouvert délimité par deux directions singulières consécutives et
sr le secteur étendu de s (voir gure 10). Précisément, si l'on a s “ tξ P C˚ , α ă
argpξq ă βu, alors on pose sr :“ tξ P C˚ , α ´ π{2 ă argpξq ă β ` π{2u.
H
epd2 q
epd1 q
secteur
secteur étendu
s
sr
Figure 10. Secteur délimité par deux directions singulières successives
Dans notre cas particulier d'un pôle d'ordre
sommation 5 p.356 de [
2
MR91b] s'énonce comme
non ramié, le théorème de multi-
Théorème 1.4.3. La transformée de jauge formelle
secteur
s,
Fr
c'est-à-dire que la transformée de Borel-Laplace
une fonction analytique sur le secteur étendu
Le fait que
Fr
est Borel-sommable sur le
Fs
de
Fr
existe et dénie
sr.
soit Borel-sommable sur le secteur
s
signie concrètement les faits
suivants :
(1) La transformée de Borel
est convergente.
ř
k´1
Fppzq :“ ką0 Fk z k!
de la série
ř
Fr´F p0q “ ką0 Fk ξ k
1.4. APPLICATION DE RIEMANN-HILBERT-BIRKHOFF
(2) La somme
Φpzq
de la série de Borel
Fppzq
39
se prolonge analytiquement sur le
s et y est à croissance exponentielle au plus d'ordre 1 à l'inni, c'estA|z|
à-dire qu'elle vérie sur le secteur s une inégalité du type |Φpzq| ď C e
pour deux constantes A et C indépendantes de z P s.
secteur
(3) La somme de Borel-Laplace de
au secteur
s
Fr
θ
dans une direction d'angle
appartenant
est donnée par l'intégrale de Laplace
ż eiθ 8
Φpzq e´z{ξ dz,
Fθ :“ ξ ÞÑ F p0q `
0
et dénie une fonction analytique sur le disque de Borel tangent en 0 donné
iθ
iθ
par A ă <pe {ξq (équation du disque ouvert de diamètre le segment r0, e {As).
Pour les diérents
analytique
Fs
θ
Ici, comme la connexion
Fθ
sr au
possibles, les fonctions
dénie sur le secteur étendu
∇
se recollent en une fonction
voisinage de zéro.
n'a pas d'autre pôle que
même montrer que l'on peut prendre
Aą0
0
à distance nie, on peut
0
sr.
arbitrairement proche de
la transformée de Borel-Laplace est dénie sur tout le secteur étendu
et donc que
La transformée de Borel-Laplace permet donc de dénir canoniquement pour tout
secteur
s
comme précédemment une fonction analytique
la transformation de jauge formelle
Fr.
Fs P GpOpr
sqq
On dénit alors le système local
recollement de L Σ´H
et L H par les isomorphismes
r
délimité par deux directions singulières consécutives.
Fs P GpOpr
sqq
à partir de
L
comme le
sur le secteur
s
Remarque 1.4.4. La transformée de Borel est intimement liée à la transformée
de Fourier-Laplace. En eet, on rappelle que la transformée de Borel formelle est un
2 d
isomorphisme de l'algèbre diérentielle pCJξK, `, ‚, ξ
q vers l'algèbre diérentielle
dξ
pδ ‘ CJzK, `, ‹, z‚q où ‹ désigne le produit de convolution. Elle envoie aussi la muld
tiplication par 1{ξ vers la dérivation Bz :“
. En particulier, on peut étendre la
dz
´1
dénition de la transformée de Borel formelle de l'algèbre diérentielle CJξKrξ
s vers
pkq
´1
Crδ , k P Ns ‘ CJzK. De plus, si l'on a ζ “ ξ , la transformée de Borel formelle
2
envoie bien ζ sur Bz et Bζ “ ´ξ Bξ sur ´z‚, ce qui est exactement la dénition de la
transformée de Fourier-Laplace sur l'algèbre de Weyl
A1 “ Cxζ, Bζ y{pBζ ζ ´ ζBζ ´ 1q.
Fr admet la caractérisar à valeurs
tion suivante : Fs est l'unique fonction holomorphe sur le secteur étendu s
r
r. On retrouve alors
dans G telle que Fs soit asymptotique à F en 0 pour tout ξ P s
Remarque 1.4.5. La transformée de Borel-Laplace
4
Fs
de
la dénition des matrices de Stokes dénies à partir de solutions avec asymptotique
BJL79]).
donnée (voir théorème 1 p.55 de [
1.4.2. Connexions irrégulières avec repère et systèmes locaux de Stokes
avec repère. On donne ici la version avec repère de la proposition 1.4.1 associant à
une connexion irrégulière non résonante un système local de Stokes.
Notons
pai qiPI
les valeurs propres de
A
et
pµi qiPI
leur multiplicité respective.
Définition 1.4.6. Un repère d'une connexion irrégulière
∇
est la donnée d'un
isomorphisme
ϕ:V Ñ
à
Cµi ,
iPI
Mal95].
4. C'est une conséquence de la proposition 1.2.2.2 p.172 et du théorème 1.2.3.2 p.174 de [
Voir aussi [
LR16] chapitre 1 Ÿ1.2 pour une référence plus complète.
40
1. GÉNÉRALITÉS
tel que la matrice
a
(1.4. )
À
A1 “ Matϕ pAq P Endp iPI Cµi q dénie
„ / À
µi
V
iPI C
A
ř
i , où idi :
iPI ai id
À
µi
associé à la graduation
iPI C .
soit de la forme
/
„
V
À
iPI
A1
À
par le diagramme
iPI
Cµi
Cµi Cµi ãÑ
À
iPI
Cµi
est le ième idempotent
On peut étendre le théorème 1.4.1 aux versions avec repère. On se donne en plus
des données de la section 3.1.1 un point
p P H pour dénir un point de base du repère
pour les systèmes locaux de Stokes.
Proposition 1.4.7. Pour tout choix :
(1) d'une branche du logarithme
(2) d'un élément
log
dénie en
p P H,
t P K,
on peut associer à toute connexion irrégulière non résonante munie d'un repère un
système local de Stokes avec repère.
p P H et notons Lt le système local
t P K . Comme
id P K et on peut donc associer de
Fixons un choix d'une branche du logarithme en
de Stokes avec repère obtenu pour le choix supplémentaire de l'élément
K
est un groupe, il admet un élément canonique
manière canonique (après le choix de la branche du logarithme) un système local de
Stokes avec repère
Lid .
Introduire ce choix de
fait qu'un choix d'une normalisation par
la connexion formelle
ˆ
r “d´
∇
t
tPK
semble assez trivial et n'est en
pour le système
A δpRq
`
ξ2
ξ
K -local
des solutions de
˙
dξ
´A{ξ δpRq
Précisément, on choisit la base de solution t e
ξ
en p P H plutôt
´A{ξ δpRq
que la base canonique usuelle e
ξ
. Nous verrons que lorsque l'on considérera
associée à
∇.
le cas régulier, on devra eectuer une normalisation par un
normalisation
id
t ‰ id
pour obtenir la
coté irrégulier après transformation de Fourier-Laplace. Une autre
justication d'introduire un tel choix de
tPK
est que l'on peut retrouver les dériva-
tions étrangères de J. Écalle qui caractérisent la classe d'isomorphie de la connexion
irrégulière. On pourra consulter la discussion du chapitre 2 section 2.1 p.109-112
de [
Éca85] mais aussi [LRR11] Ÿ4.4.3-5 p.46-49 où M. Loday-Richaud et P. Remy
utilisent l'action du tore, dit tore exponentiel
T,
pour déterminer la graduation des
t P K pour
les t P H Ď T
matrices de Stokes. En particulier, ils n'ont pas besoin de tous les choix des
déterminer la graduation de Stokes mais seulement les
où
H
est le tore minimal de
K
inclus dans
tPT
et même
T.
Démonstration. On a déjà construit dans la démonstration du théorème 1.4.1
un système local de Stokes
un repère de
L
associé à la connexion
∇.
∇.
On pose
ϕ:V »
À
iPI
Cµi
L associé à ∇, un repère en p P H
r en p vers
de L correspond à un isomorphisme gradué de l'espace des solutions de ∇
À
µi
iPI C . D'après le théorème de Cauchy holomorphe, on a un isomorphisme Lp » V
r en p. Comme
pour tout choix d'une base de solution de ∇
ˆ
˙
A
δpRq
r “d´
∇
`
dξ,
ξ2
ξ
D'après la dénition du système local de Stokes
1.5. GROUPE DE POISSON-LIE DUAL ET APPLICATION EXPONENTIELLE DUALE
une telle base de solution est nécessairement de la forme
t ¨ e´A{ξ ξ δpRq
41
pour un certain
choix
(1) d'une branche du logarithme
log
ξ δpRq “ eδpRq logpξq
pour dénir
déni en
p P H,
(2) d'un
t P K.
ϕ
À
µi
iPI C .
Grâce à la condition de compatibilité (1.4. ), on en déduit que le morphisme Lp Ñ
À
µi
précédent est bien un morphisme gradué.
iPI C
On dénit alors le repère de
L
en
p
comme la composition
a
Lp » V Ñ
En combinant la proposition précédente avec la proposition 1.3.19 permettant
d'associer (pour certains choix) un système gradué à un système local de Stokes, on
obtient
Proposition 1.4.8. Pour tout choix :
(1) d'un angle admissible
(2) d'un
η P R,
t P K,
on peut associer à toute connexion irrégulière non résonante munie d'un repère un
système gradué avec repère.
Le choix de l'angle admissible
admissible d'angle
η
η P R
est équivalent aux choix de la direction
1
et d'une branche du logarithme en p P Cd “ Σd ´ Σg donnée
par l'argument égal à
η.
Démonstration. Il faut vérier que tous les choix des propositions 1.4.7 et
1.3.19 sont encodés par les trois choix de la proposition 1.4.8 à montrer. Soient d
1
une direction admissible, log une branche du logarithme en p P Cd et t P K . Soit
aussi un point
pPH
p à p1
sur la demi-droite issue de
0
de direction
d.
On pose alors
γd
le
à valeurs dans la demi-droite issue de 0 de direction d. On pose
γg l'unique chemin à homotopie près reliant p à p2 tel que γg ¨ γd´1 vérie la condition
chemin reliant
d'homotopie de la proposition 1.3.19. Alors on considère le prolongement de log en p
´1
le long de γd . Cela détermine tous les choix nécessaires pour dénir les applications
des propositions 1.4.7 et 1.3.19.
1.5. Groupe de Poisson-Lie dual et application exponentielle duale
1.5.1. Algèbre de Lie et variété de Poisson. Soit g l'algèbre de Lie gln pCq.
Alors la structure d'algèbre de Lie de g induit une structure de variété de Poisson
˚
linéaire sur le dual vectoriel g de g. Explicitement, la structure de Poisson linéaire
˚
sur g est donnée par
pour tout
tF, Gu : x ÞÑ xx, rdFx , dGx sy
F, G P C pg q, où l'on a identié dFx P pg˚ q˚
8
˚
avec l'élément de
g
corres-
pondant.
On rappelle que la représentation adjointe
` tX ´1 ˘
d
ge g
,
dt t“0
˚
˚
coadjointe Ad de G sur g
Adg : X ÞÑ
et la représentation
Ad
xAd˚g pξq, Xy “ xξ, Adg´1 pXqy,
CP94]
Proposition 1.5.1 ([
de la variété de Poisson
g˚
de
G
sur
g
pour tout
est dénie par
g P G,
par
pour tout
g P G, ξ P g˚
et
X P g.
exemple 1.1.3 p.19-20). Les feuilles symplectiques
sont les orbites de l'action coadjointe de
G.
42
1. GÉNÉRALITÉS
ξ P g˚
moment pour l'action coadjointe de G
˚
l'inclusion canonique Oξ ãÑ g .
De plus, si
Oξ
est l'orbite de
pour l'action coadjointe, alors une application
sur la variété symplectique
1.5.2. Groupe de Poisson-Lie.
Oξ
est donnée par
Un groupe de Poisson-Lie est un groupe de
Lie muni d'une structure de Poisson telle que la multiplication
GˆG Ñ G
soit
g du groupe G admet alors une structure supplémentaire,
δ : g Ñ ^2 g vériant l'identité de coJacobi et une condition de
cocycle, que l'on synthétise en disant que g est une bialgèbre de Lie. L'espace vectoriel
˚
dual g de g admet aussi une structure de bialgèbre de Lie, le crochet de Lie étant en
particulier donné par le bivecteur δ et réciproquement.
Poisson. L'algèbre de Lie
un cocommutateur
L'équivalence de catégorie entre groupe de Lie connexe, simplement connexe et
algèbre de Lie s'étend en une équivalence de catégorie entre les groupes de Poisson-Lie
CP94
connexes, simplement connexes et les bialgèbres de Lie (voir [
] théorème 1.3.2
˚
p.26). On dénit alors le groupe de Poisson-Lie dual G d'un groupe de Poisson-Lie
G comme le groupe
g˚ “ LiepGq˚ .
de Poisson-Lie connexe, simplement connexe de bialgèbre de Lie
G “ GLn pCq peut être muni d'une structure de groupe de
Poisson-Lie. En particulier, l'algèbre g “ gln pCq est une bialgèbre de Lie. Cela induit
˚
une structure de bialgèbre de Lie donc de variété de Poisson sur le dual vectoriel g
Le groupe algébrique
qui coïncide avec la structure de Poisson explicite donnée dans le paragraphe 1.5.1
précédent.
On rappelle une construction explicite du groupe de Poisson-Lie dual dans le cas
de
G “ GLn pCq.
On notera
B`
et
B´
les sous-groupes de Borel de
G
des matrices
T “ B` X B´ le tore maximal corb˘ , t les diérentes algèbres de Lie associées et enn δ : g Ñ t l'application
triangulaires supérieures et inférieures. On notera
respondant,
qui prend la partie diagonale.
˚
Le groupe G admet la description explicite suivante :
G˚ :“ tpb` , b´ , Λq P B` ˆ B´ ˆ t : δpb` qδpb´ q “ 1
et
δpb` q “ exppiπΛqu.
Remarque 1.5.2. Souvent dans la littérature, on considère plutôt le groupe de
Poisson-Lie déni par
G˚alg :“ tpb` , b´ q P B` ˆ B´ : δpb` qδpb´ q “ 1u,
qui n'est plus simplement connexe mais, contrairement au précédent, est un groupe
˚
˚
algébrique. On a cependant une projection naturelle G Ñ Galg qui est l'oubli de Λ P t.
˚
˚
Cette dernière est même un revêtement. Donc G est un revêtement universel de Galg
˚
˚
˚
(car G est simplement connexe). De plus, l'application G Ñ Galg est Poisson et on
peut dénir l'application exponentielle duale (dénition 1.5.5) vers une quelconque
des deux versions du groupe de Poisson-Lie dual précédentes.
G0 “ B´ B` Ď G la grosse cellule de G et π : G˚ Ñ G0 l'application
´1
˚
par pb` , b´ , Λq ÞÑ b´ b` . L'application π se factorise immédiatement par Galg
˚
˚
0
donc deux revêtements G Ñ Galg Ñ G .
Notons
donnée
et on a
On a un isomorphisme
a
(1.5. )
U` ˆ U´ ˆ t Ñ G˚
1
iπΛ
donné par pu` , u´ , Λq ÞÑ pb` , b´ , Λ q :“ pe
u` , u´ eiπΛ , Λq vériant l'égalité b´1
´ b` “
´1 2iπΛ
u´
e
u` . De même, on peut construire deux isomorphismes G˚alg » U` ˆ U´ ˆ T »
G0 tels que les revêtements naturels G˚ Ñ G˚alg Ñ G0 correspondent à l'identité sur
1.5. GROUPE DE POISSON-LIE DUAL ET APPLICATION EXPONENTIELLE DUALE
les facteurs
U˘
43
et agissent sur la troisième composante comme
t ÝÑ T ÝÑ
T
iπΛ
2iπΛ
Λ ÞÝÑ e
ÞÝÑ e
.
G˚
La structure de Poisson multiplicative de
[
LR91] [DCKP92] [AM94] ou [Boa01] Ÿ2.
est bien connue. Voir par exemple
G˚
Proposition 1.5.3. Les feuilles symplectiques de
où
CĎG
est une classe de conjugaison de
sont données par les
π ´1 pCq
G.
AM94] ou sinon [Boa01] lemme 4 p.484 pour une démonstration.
Voir [
P. Boalch a construit des structures quasi-Hamiltoniennes sur les espaces de mo-
Boa07]
dule de données de Stokes (voir [
et [
Boa13]
par exemple). En particulier,
il retrouve dans un cas particulier la structure de Poisson du groupe de Poisson-Lie
˚
dual G .
Théorème 1.5.4 ([
est un espace
Boa07] théorème 1 p.371).
G ˆ T -quasi-Hamiltonien
´1
où
GˆT
agit par
pg, kq ¨ pc, u` , u´ , tq :“ pkcg , ku` k , ku´ k , ktk ´1 q,
L'application
´1
´1
µ “ pµG , µT q : A Ñ G ˆ T
A :“ G ˆ U` ˆ U´ ˆ t
L'espace
pour tout
pg, kq P G ˆ T.
donnée par
µG :
A
ÝÑ G
2iπt
pc, u` , u´ , tq ÞÝÑ c´1 u´1
u` c,
´ e
µT :
A
ÝÑ T
pc, u` , u´ , tq ÞÝÑ e´2iπt .
est une application moment pour la structure quasi-Hamiltonienne de
a
A.
De plus, l'isomorphisme (1.5. ) est un isomorphisme Poisson du quotient
˚
vers G .
Du théorème 3 p.376 de [
feuilles symplectiques de
conjugaison dans
Boa07],
A{G » G˚
A{G
on retrouve la proposition 1.5.3 donnant les
µ´1
G pCq{G où C Ď G est une classe de
comme les
G.
1.5.3. Application exponentielle duale.
valeurs propres distinctes. On notera
treg
APg
Soit
une matrice diagonale à
l'ensemble de telles matrices. On a alors la
composition suivante
a
„
„
„
„
Ă˚ ÝÑ M
ĂdR ÝÑ
ĂB ÝÑ
g˚ ÝÑ g ÝÑ M
M
U` ˆ U´ ˆ t ÝÑ G˚ ,
dR
(1.5. )
où
(1)
Ă˚
M
dR
connexion méromorphe de type
(2)
ĂdR
M
2p0q ` 1p8q
de type irrégulier
désigne l'espace de module des brés de rang
connexion méromorphe avec un pôle double en
(3)
n sur P1
A{ξ 2 en 0,
désigne l'espace de module des brés triviaux de rang
ĂB désigne
M
ĂdR .
M
0
à
n
sur le disque unité à
2
de type irrégulier A{ξ ,
l'espace des données de Stokes associé à l'espace de module
Les tildes sur les notations des espaces de modules signient que l'on considère une
version de l'espace de module avec un repère. Les applications sont dénies comme
˚
suit. L'application g Ñ g est donnée par le choix de la forme bilinéaire non dégénérée
Tr : g b g Ñ C. L'application g Ñ M˚dR est donnée par R P g associe la connexion
ˆ
∇“d´
A R
`
ξ2
ξ
˙
dξ
44
1. GÉNÉRALITÉS
sur le bré trivial de rang
n
sur
P1 .
L'application
ĂdR
Ă˚ Ñ M
M
dR
à connexion précédent sa restriction au disque unité. L'application
associe au bré
„ Ă
ĂdR Ñ
M
MB
est
l'isomorphisme dit de Riemann-Hilbert-Birkho, qui à une connexion associe ses données de Stokes en 0 pour le choix de l'élément semi-simple A ci-dessus. L'application
„
ĂB Ñ
M
U` ˆ U´ ˆ t est donnée par le choix d'une solution formelle spéciale (i-e
d'une branche du logarithme et d'une version analytique de l'exponentielle formelle)
et d'une présentation spéciale du groupoïde fondamental (i-e ici une orientation et
„
˚
un secteur initial). Enn l'application U` ˆ U´ ˆ t Ñ G est l'isomorphisme Poisson
a
(1.5. ).
Définition 1.5.5. On dénit l'application exponentielle duale comme l'applica-
tion
a
νA : g˚ ÝÑ G˚ ,
donnée par la composition (1.5. ).
a
La seule partie non algébrique et non triviale de la composition (1.5. ) est l'application holomorphe de Riemann-Hilbert-Birkho
„
ĂdR ÝÑ
ĂB .
M
M
On munie
g˚
G˚ de sa structure canonique
2iπ . On a alors le
de sa structure de Poisson standard et
de groupe de Poisson-Lie mais divisé par un facteur
Théorème 1.5.6 ([
Boa01] Théorème 1). L'application exponentielle duale νA est
Poisson pour tout choix d'un type irrégulier
A P treg .
Ce théorème est notre motivation principale pour trouver une formule pour les
données de Stokes, au moins au voisinage de
0 P g.
Chapitre 2
Transformée de Fourier-Laplace
Dans ce chapitre, on étudie les présentations de modules sur l'algèbre de Weyl du
type
¨M 0
A1 b pW ‘ V q˚ ÝÑ A1 b pW ‘ V q˚ ÝÑ M 0 ÝÑ 0.
avec
ˆ
0
M “
où
A1
˙
Bz ´ B
C
P A1 bC EndpW ‘ V q,
D
z´A
désigne l'algèbre de Weyl,
V
et
A P EndpV q est diagonale,
D P HompW, V q sont quelconques.
nie et où
W sont des C-espaces vectoriels de dimension
B P EndpW q est diagonale et C P HompV, W q,
A1 -module M 0 correspond à la connexion
˘
∇0 “ d ´ B ` Cpz ´ Aq´1 D dz,
Dans la section 2.2, on montrera que le
`
sur le bré trivial sur
propres de
C ´ tai : i P Iu
de bre
W,
où
pai qiPI
désignent les valeurs
A.
On rappellera ensuite la dénition de la transformée de Fourier-Laplace sur les
A1 -modules dans la section 2.3 qui formellement correspond à replacer les symboles
z et Bz par ´Bζ et ζ respectivement. On montrera ensuite que la restriction de la
0
transformée de Fourier-Laplace de M est égale à la connexion
`
˘
∇1 “ d ` A ` Dpζ ´ Bq´1 C dζ.
sur le bré trivial sur
propres de
C ´ tbj : j P Ju
de bre
V,
où
pbj qjPJ
désignent les valeurs
B.
Enn, on signalera un cas particulier dans la remarque 2.3.3 qui nous intéressera
dans la suite.
2.1. Présentation de modules holonomes et dimensions
Notons
C-espaces
A1 :“ Cxz, Bz y{pBz z ´ zBz ´ 1q
W
des
vectoriels de dimension nie. On considère alors la présentation de
A1 -
l'algèbre de Weyl et soient
V
et
modules
A1 b pW ‘ V q˚ ÝÑ A1 b pW ‘ V q˚ ÝÑ M ÝÑ 0.
¨M
avec
ˆ
M“
˙
Bz ´ B
C
P A1 bC EndpW ‘ V q,
D
z´A
A P EndpV q diagonale, B P EndpW q diagonale, C P HompV, W q et D P HompW, V q.
Plus succinctement, cela signie que l'on a M “ Cokerp¨M q pour le M précédent.
On notera ai (i P I ) les valeurs propres de A de multiplicité respective µj . De même
on notera bj (j P J ) les valeurs propres de B et mi leur multiplicité.
où
Remarque 2.1.1. On remarquera que l'élément
sant le
A1 -module
à gauche
M
M P A1 bC EndpW ‘ V q dénis-
est déni à multiplication par un élément inversible
45
46
de
2. TRANSFORMÉE DE FOURIER-LAPLACE
A1 bC EndpW ‘ V q
à gauche près. En eet, notons
ϕ
un tel élément. Alors il est
clair que le diagramme suivant est à carrés commutatifs
A1 b pW ‘ V q˚
¨ϕ´1
˚ ¨ϕM
A1 -module
/
Lemme 2.1.2. Le
m)
tel que
/
M
id
/
A1 b pW ‘ V q˚
M
/
0
0.
M est holonome s'il est de torsion 1 2.
m P M , il existe un opérateur g P A1
à gauche
Explicitement, cela signie que pour tout
(dépendant à priori de
/
A1 b pW ‘ V q˚
id
A1 b pW ‘ V q
On rappelle qu'un
/
¨M
g ¨ m “ 0.
A1 -module M
est holonome de type ni.
Rappelons d'abord quelques dénitions suivant [
Sab02]
chapitre V Ÿ1.b. Tout
řn
k
élément P de A1 s'écrit de manière unique sous la forme P “
k“0 pk pzqB où
pk P Crzs est un polynôme en z et pn ‰ 0. On appelle alors n le degré de P .
n
n
Pour tout δ P Z , on dénit le δ -degré sur A1 d'un élément pP1 , ¨ ¨ ¨ , Pn q comme
max1ďiďn pdegpPi q ´ δi q. Une ltration de M sera une bonne ltration si elle
A1 b pW ‘ V q˚ Ñ M d'une ltration par le δ -degré.
Le gradué de l'algèbre A1 pour la ltration naturelle par le degré (mais aussi pour
n'importe quelle δ -ltration) est l'algèbre des polynômes en deux variables commutatives Crz, ζs (où ζ est la classe de Bz dans le gradué). Le gradué GrpM q de M par
rapport à une bonne ltration est donc un Crz, ζs-module de type ni.
l'entier
est obtenue comme image par
On admettra le
Sab02] Proposition 1.4 (1)).
Lemme 2.1.3 ([
Un module est holonome si et seule-
ment si son gradué par rapport à une bonne ltration a un annulateur non trivial.
Démonstration du lemme 2.1.2. Le fait que
M
soit de type ni est immédiat,
˚
car A1 bC pW ‘V q est de type ni et qu'on a une application A1 bC pW ‘V q vers M
˚
surjective. Pour le caractère holonome, on considère la δ -ltration de A1 b pW ‘ V q
˚
δ “ p1, ¨ ¨ ¨ , 1, 0, ¨ ¨ ¨ , 0q avec dimpW q uns et dimpV q zéros. La ltration
M est une bonne ltration. Le gradué de M par rapport à cette ltration
˚
est l'algèbre Crz, ζs bC pW ‘ V q quotientée par la multiplication à droite par le
symbole de M , c'est-à-dire la matrice
ˆ
˙
ζ ´B
0
σpM q “
.
D
z´A
donnée par
induite sur
Le déterminant de
σpM q
est égal à
detpσpM qq “
ź
pζ ´ bj qmi pz ´ ai qµj ,
iPI
jPJ
en particulier il est non nul. Or
detpσpM qq
grâce à la formule bien connue avec la transposée de la comatrice. Donc
annulateur non trivial, donc
M
GrpM q
GrpM q a un
est toujours dans l'annulateur de
est holonome.
1. On impose aussi qu'il soit de type ni suivant les dénitions. Nous allons voir de toute façon
que les
A1 -modules
holonomes qui suivront seront toujours de type ni.
2. La terminologie holonome n'est vraiment utile qu'en dimension supérieure. En eet, être holonome en dimension
ą1
est diérent du fait d'être de torsion. C'est une condition plus géométrique
(formulée avec la variété caractéristique) ou plutôt très algébrique (avec une condition sur le degré
Mal91] chapitre I Ÿ1 pour des rappels sur la dimension
d'un polynôme de Hilbert). Voir par exemple [
strictement plus grande que
1.
2.1. PRÉSENTATION DE MODULES HOLONOMES ET DIMENSIONS
47
Ctzurz ´1 s le corps des séries de Laurent et Cpz ´ ai q le corps des fractions
rationnelles en ai P C. Alors les espaces
â
â
GrpM q
GrpM q et Ctz ´ ai upζq
Ctzurz ´1 s
Notons
Crz´ai ,ζs
Crzs
´1
Ctzurz s, respectivement Ctz ´ai upζq-espaces vectoriels de dimension nie.
La première dimension est appelée la dimension holonome de M et la seconde la
multiplicité en ai de M .
sont des
Proposition 2.1.4. La dimension holonome de
multiplicité en
ai
est égale à la multiplicité
µj
M
dimpW q
ai de A.
est égale à
de la valeur propre
et sa
δ -ltration de la preuve du lemme 2.1.2. Elle
δ “ p1, ¨ ¨ ¨ , 1, 0, ¨ ¨ ¨ , 0q avec dimpW q uns et dimpV q zéros. C'est une
ltration de M . De plus, on a une suite exacte entre les gradués
Démonstration. On considère la
est donnée par
bonne
a
(2.1. )
¨σpM q
GrpA1 bC pW ‘ V q˚ q ÝÑ GrpA1 bC pW ‘ V q˚ q ÝÑ GrpM q ÝÑ 0,
A1 bC pW ‘ V q˚ de la ltration canonique F‚c
δ
(δ -ltration pour δ “ p0, ¨ ¨ ¨ , 0q) et le second de la δ -ltration F‚ précédente. En
c
δ
eet, l'application ¨M envoie Fm sur Fm pour tout m P Z. On en déduit la suite
lorsque l'on munit le premier espace
a
exacte (2.1. ) où la première application est la multiplication à droite par le symbole
principal
ˆ
σpM q “
˙
ζ ´B
0
P Crz, ζs bC EndpW ‘ V q.
D
z´A
On peut montrer en utilisant un lemme classique de Serre (Ÿ23 proposition 28 p.40 de
´1
[
]) que les modules Ctzurz
s et Ctz ´ ai upζq sont plats sur Crzs et Crz ´ ai , ζs
Ser56
respectivement. On est déduit que les deux suites tensorisées sont encore exactes. Il
sut donc de calculer la dimension du conoyau Cokerp¨σpM qq vu comme application
´1
entre Ctzurz
, ζs et entre Ctz ´ ai upζq-modules de type ni.
´1
Dans Ctzurz
, ζs, les z ´ ai sont inversibles mais pas les ζ ´ bj . Par combinaison
D “ 0 donc au calcul du rang d'une
matrice diagonale. D'où le rang est égal à dimpV q et la dimension du conoyau, c'està-dire la dimension holonome de M , égale à dimpW ‘ V q ´ dimpV q “ dimpW q.
Dans Ctz ´ ai upζq, les ζ ´ bj sont inversibles, les z ´ ak pour k ‰ j aussi mais pas
z ´ ai . De même, par combinaison des lignes, on se ramène au cas de D “ 0 et on en
conclut que la multiplicité de M est bien égale à la multiplicité de la valeur propre
ai .
linéaire des colonnes, on se ramène au cas où
Ctz ´ z0 urpz ´ z0 q´1 sespace vectoriel Ctpz ´ z0 qurpz ´ z0 q s
Ctz´z0 u GrpM q pour tout z0 P C, qui coran
respond à la dimension de la bre en z0 du DC p˚z0 q-module associé à M . En suivant
Remarque 2.1.5. On aurait pu considérer la dimension du
´1
Â
la démonstration de la proposition précédente, on montre qu'elle est en fait indépendante de z0 . Il n'est pas vrai cependant que la dimension de la bre en z0 du
an
DC
-module associé soit constante. Cela s'explique par le fait que comme on a inversé
formellement
z0 ,
on ne perd pas de dimension pour
On rappelle qu'une fonction
s'il existe un secteur
S
f
z0
un pôle de
M.
est à croissance exponentielle dans la direction
contenant la direction
d,
un voisinage de l'inni
U
d
et deux
constantes c1 , c2 P Rą0 tels que f est dénie sur S X U et y vérie l'inégalité |f pzq| ď
c1 ec2 |z| . Un A1 -module M est de type exponentiel si toute solution est à croissance
exponentielle pour toute direction
Proposition 2.1.6. Le
d.
A1 -module M
est de type exponentiel.
48
2. TRANSFORMÉE DE FOURIER-LAPLACE
Démonstration. C'est une conséquence du fait que le
plus un pôle d'ordre
ď2
A1 -module M
admet au
en l'inni et le lien entre le polygone de Newton de
M
et la
croissance des solutions.
2.2. Restriction de modules sur l'algèbre de Weyl et connexion
correspondante
alg
an
DX
, DX le faisceau des opérateurs diérentiels sur une variété algébrique,
respectivement complexe X . On a donc localement au voisinage de px1 , ¨ ¨ ¨ , xn q P X ,
ř
alg
i1
an
in
que DX , DX est engendré par les
pi1 ,¨¨¨ ,in qPJ0,dKn fi px1 , ¨ ¨ ¨ , xn qB1 ¨ ¨ ¨ Bn pour certaines fonctions algébriques, respectivement holomorphes fi des coordonnées x1 , ¨ ¨ ¨ , xn ,
où Bi désigne le champ de vecteur canonique associée à la coordonnée xi . En particu1
an
lier, pour X “ P , on a que la bre de DP1 en 0 est isomorphe à CtzuxBy{pBz ´zB´1q
alg
qui contient comme sous-algèbre l'algèbre de Weyl A1 “ D 1 .
P ,0
On rappelle que la donnée du A1 -module holonome M est équivalente à la donnée
alg
alg
d'un DC -module holonome M˘ qui est équivalente à la donnée d'un D 1 -module
P
holonome Mˆ tel que DP1 p˚8q bD
Mˆ “ Mˆ. On a les correspondances
On note
P1
M “ ΓpC, M˘q
et
M˘ “ DA1 bA1 M ,
et
Mˆ “ DP1 p˚8q bDA1 M˘
M˘ “ Mˆ A1 .
et
Une généralisation du théorème GAGA de J-P Serre due à M. Kashiwara nous
alg
donne aussi une équivalence de catégorie entre D 1 -module holonome Mˆ tel que
P
alg
an
ˆ
ˆ
ˆan tel que Dan1 p˚8q bDan Mˆan “
DP
1 p˚8q bD alg M “ M et DP1 -module holonome M
P
P1
1
Mˆan .
P
A1 -module M à l'ouvert U “ C ´ tai : i P Iu
W sur U muni de la connexion holomorphe
`
˘
d ´ B ` Cpz ´ Aq´1 D dz.
Lemme 2.2.1. La restriction du
est
isomorphe au bré trivial de bre
On rappelle que la restriction de
M.
M
à l'ouvert
U
est égale au
an
pv1 , v2 q un élément de DC
˚ bA1 M .
ˆ
˙
B ´B
C
pv1 , v2 q z
“ p0, 0q,
D
z´A
Démonstration. Soit
DUan -module DUan bDC
Alors on a
v1 pBz ´Bq`v2 D “ 0 et v1 C `v2 pz ´Aq “ 0. Comme z est une coordonnée
U , la multiplication par z´A est inversible. D'où v2 “ ´v1 Cpz´Aq´1 est déterminé
par v1 et l'on a
`
˘
v1 Bz ´ B ´ Cpz ´ Aq´1 D “ 0,
an
c'est-à-dire que l'on a un isomorphisme de DC˚ -modules à gauche
c'est-à-dire
de
DUan bA1 M » DUan bC W ˚ {pDUan bC W ˚ ¨ ∇ d q
dz
avec
∇ d “ Bz ´ pB ` Cpz ´ Aq´1 Dq,
dz
qui est bien un bré trivial
3. Pour le lien entre
3
sur
D-modules
U
muni de la connexion
d ´ pB ` Cpz ´ Aq´1 Dq dz .
Sab11]
et brés à connexion, on pourra consulter [
1.1.4 qui fait référence aux exercices E.1.5 à 7.
proposition
2.3. TRANSFORMÉE DE FOURIER-LAPLACE ET CONNEXION ASSOCIÉE
49
2.3. Transformée de Fourier-Laplace et connexion associée
Il existe un isomorphisme de
C-algèbres
A1 » Cxz, Bz y{pBz z ´ zBz ´ 1q ÝÑ Cxζ, Bζ y{pBζ ζ ´ ζBζ ´ 1q » A1
z sur ´Bζ et Bz sur ζ . On dénit la transformée de Fourier-Laplace d'un
Cxz, Bz y{pBz z ´ zBz ´ 1q-module M 0 comme le Cxζ, Bζ y{pBζ ζ ´ ζBζ ´ 1q-module induit
envoyant
par l'isomorphisme précédent, et la transformée de Fourier-Laplace inverse comme
l'application inverse de la précédente.
Lemme 2.3.1. La transformée de Fourier-Laplace
M1
de
M0
admet la présenta-
tion explicite
¨M 1
A1 bC pV ‘ W q˚ ÝÑ A1 bC pV ‘ W q˚ ÝÑ M 1 ÝÑ 0
où
ˆ
1
M “
Bζ ` A ´D
C
ζ ´B
˙
P A1 bC EndpV ‘ W q.
Démonstration. En eet, on applique l'isomorphisme de Fourier-Laplace à la
présentation de
M0
pour obtenir
M1
comme conoyau de
ˆ
En multipliant à
˙
ζ ´B
C
P A1 bC EndpW ‘ V q.
D
´Bζ ´ A
ˆ
˙
1 0
1
gauche par
, on obtient M comme
0 ´1
ˆ
˙
ζ ´B
C
P A1 bC EndpW ‘ V q.
´D Bζ ` A
le conoyau de
ˆ
En inversant le rôle de
V
et
W , c'est-à-dire en conjuguant par l'inversion
1 0
0 1
˙
, on
obtient bien le résultat.
On rappelle que l'on note
l'ensemble des valeurs propres de
B.
C´tbj : j P Ju. Alors le DUan -module DUan bA1 M 1
trivial de bre V sur U muni de la connexion holomorphe
`
˘
∇1 :“ d ` A ` Dpζ ´ Bq´1 C dζ.
Lemme 2.3.2. Notons
est isomorphe au bré
pbj qjPJ
U
l'ouvert
Démonstration. C'est un cas particulier du lemme 2.2.1.
Remarque 2.3.3. Un cas qui nous intéresse tout particulièrement est le cas où
B “ 0.
On a alors
p :“ ∇0 “ d ´ Cpz ´ Aq´1 D dz
∇
qui s'étend en une connexion fuchsienne sur le bré trivial sur
ˆ
∇ :“ ∇1 “ d ` A `
DC
ζ
de bre
W
et
dζ,
qui admet un pôle double en l'inni et un pôle simple en
de bre
P1
˙
0
sur le bré trivial sur
P1
V.
En particulier, dans la suite on pose R :“ DC P EndpV q, qui est égal au résidu de
1
la connexion ∇ en 0. De même, si idi P EndpV q désigne le ième idempotent associé
à la graduation V “
0
fuchsienne ∇ en ai .
À
iPI
Vi ,
alors on note
Ri :“ C idi D
le résidu de la connexion
Chapitre 3
Matrices de Stokes et matrices de connexion
Dans ce chapitre, nous allons tout d'abord dénir dans la section 3.1 un système
gradué associé à certaines connexions fuchsiennes
ÿ
p “d´
∇
iPI
Ri
dz,
z ´ ai
vériant des conditions génériques.
Ces connexions correspondent aux connexions que l'on obtient par transformée de
Fourier-Laplace des connexions irrégulières
ˆ
∇“d´
lorsque
A P treg ,
A
c'est-à-dire quand
En particulier, on aura
H “T “K
A R
`
ξ2
ξ
˙
dξ
est à valeurs propres deux à deux distinctes.
dans ce cas suivant les notations du chapitre 1
section 1.4. Le cas général, substantiellement plus dicile dans les détails, sera traité
dans le chapitre 4.
Ensuite, on calculera dans la section 3.2 l'isomorphisme transformée de Laplace
complétant le diagramme de la gure 1, qui est un isomorphisme entre les systèmes
gradués avec repère associés à
{connexion irrégulière
∇“d´
z2
`
˘
R
z
et
p.
∇
Fourier-Laplace
avec repère }
`A
∇
avec repère}
Ri “ idi R
ř
R “ iPI Ri
dz
{connexion régulière
p “d´ř
∇
iPI
ηPR
t “ id P T
angle admissible
normalisation
{système gradué
dζ
η`π PR
t “ N˚ P T
angle admissible
normalisation
Transformée de Laplace
avec repère }
L
Ri
ζ´ai
{système gradué
avec repère}
Lθ pyqpzq ÐÝ[ ypζq
Lp
Figure 1. Transformée de Laplace multiplicative
En bleu, on désigne les catégories (ou juste les ensembles) en présence. En orange,
on donne le nom de l'application ou de la correspondance. En vert, on donne le choix
et les conditions spéciales pour lesquels l'application est bien dénie.
Cela nous permettra de déduire dans la section 3.3 une expression explicite de
l'application de Riemann-Hilbert-Birkho de la connexion irrégulière
des matrices de connexions de la connexion fuchsienne
51
p.
∇
∇
en fonction
52
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
3.1. Système gradué et connexion régulière
3.1.1. Notation. On considérera dans cette section les données suivantes :
ξ : P1 ´ t8u Ñ C, z : P1 ´ t8u Ñ C que
(1) deux coordonnées
l'on considérera
en dualité réelle,
(2)
(3)
V un C-espace vectoriel de dimension nie n. On notera G :“ GLpV q et
T Ď G un tore maximal de G. On notera aussi g et t les algèbres de Lie de
G et T respectivement.
un élément A P treg Ď t, c'est-à-dire que A est à valeurs propres deux à deux
distincts. On notera tai : i P Iu l'ensemble des valeurs propres de A (donc I
À
de cardinal n), V “
iPI Vi la graduation de V associée par des sous-espaces
ième idempotent
vectoriel Vi de dimension 1 et enn idi : V Vi ãÑ V le i
À
associé à la graduation de
iPI Vi .
Le point de départ est la connexion irrégulière (nécessairement non résonante)
ˆ
∇“d´
sur le bré trivial sur
P1
de bre
A R
`
ξ2
ξ
˙
dξ,
V , pour un certain élément R vériant les conditions
génériques suivantes :
Λ :“ δpRq P t de R est à valeurs propres non entières,
(2) l'endomorphisme R P g est à valeurs propres non entières.
La transformée de Fourier-Laplace inverse de la connexion ∇ est la connexion
(1) la partie diagonale
fuchsienne
p “d´
∇
ÿ
iPI
sur le bré trivial sur
R“
ř
iPI
Ri .
P1
de bre
V
avec
Ri
dz,
z ´ ai
Ri :“ idi R
i P I . On a
p
∇ sont donc :
pour tout
Les conditions génériques équivalentes vériées par
donc
Ri sont diagonalisables de rang 1 à valeurs propres toutes
(1) les endomorphismes
diérentes d'un entier non nul,
(2) l'endomorphisme
ř
iPI
Ri P g
est à valeurs propres non entières.
Il est clair que l'ensemble des connexions fuchsiennes de la forme de
p
∇
vériant
les conditions génériques ci-dessus forme une catégorie.
3.1.2. Système gradué associé à une connexion régulière.
ici comment associer un système gradué à la connexion fuchsienne
On explique
p
∇
de manière
fonctorielle.
Les notions de connexion régulière, connexion fuchsienne et de connexion à singularités régulières sont assez générales. Dans ce chapitre, nous ne considérerons que des
connexions fuchsiennes avec des résidus vériant des conditions génériques particulières. Pour simplier la terminologie dans ce qui suit, nous poserons donc la dénition
non standard suivante :
Définition 3.1.1. Une connexion régulière est une connexion
de bre
V
sur
P
1
telle que
p “d´
∇
pour certains
Ri P g
p sur le bré trivial
∇
n
ÿ
Ri
dz,
z ´ ai
i“1
vériant les conditions :
(1) les endomorphismes
Ri sont diagonalisables de rang 1 à valeurs propres toutes
diérentes d'un entier non nul,
3.1. SYSTÈME GRADUÉ ET CONNEXION RÉGULIÈRE
(2)
R :“
řn
i“1
Ri
n'a pas de valeur propre entière.
On remarquera que sous ces conditions, l'endomorphisme
la valeur propre
0
53
R n'a en particulier pas
donc est inversible.
On dira pour ce cadre qu'une direction d'angle
aj q ‰ θ pmod 2πq
pour tout
i ‰ j,
θ
est admissible si on a
argpai ´
ce qui est compatible avec la dénition d'une
direction admissible pour un type irrégulier
avec
´A{ξ
A “ diagpa1 , ¨ ¨ ¨ , an q.
Proposition 3.1.2. Pour tout choix d'une direction admissible, on peut associé
à toute connexion régulière un système gradué.
d d'angle θ et un disque
D Ď C de centre c tel que ai P D pour tout 1 ď i ď n. On pose I :“
ta1 , ¨ ¨ ¨ , an u muni de l'ordre ěd . On pose l'ordre ai ěd aj si =pai e´iθ q ě =paj e´iθ q.
C'est l'ordre inverse de l'ordre posé sur I pour le choix de la direction admissible d
Démonstration. Choisissons une direction admissible
ouvert
a
dans le cas irrégulier (voir (1.3. )).
Quitte à réordonner les indices, on supposera pour simplier la suite de l'exposition
que l'on a
an ąd an´1 ąd ¨ ¨ ¨ ąd a1 .
On pose alors
Σ :“ C ´ D, Cd
tz P Σ : =pa1 e´iθ q ă =pz e´iθ q ă =pan e´iθ q
C´d
la bande
et
<pz e´iθ q ą <pc ¨ e´iθ qu,
et
<pz e´iθ q ă <pc ¨ e´iθ qu,
la bande
tz P Σ : =pa1 e´iθ q ă =pz e´iθ q ă =pan e´iθ q
et enn
Σg :“ Σ ´ Cd
et
Σd :“ Σ ´ C´d .
C´d
Cd
D
an ‚
.
.
.
‚
a1 ‚
Figure 2. Bandes
Cd
et
C´d ,
et parties
Σg :“ Σ ´ Cd
et
Σd :“ Σ ´ C´d .
L. On pose L égal au système
p sur Σ. Les deux graduations de L sur Σg et Σd respectivement
∇
à
à
L Σg “
Li pgq et L Σd “
Li pdq.
Pour ces données, on peut dénir un système gradué
local des solutions de
iPI
iPI
Li pgq (resp. Li pdq)
p
local des solutions y de ∇ sur Σg (resp. Σd ) tel que y se
iθ
iθ
holomorphe sur C ´ R` ai e (resp. C ´ R´ ai e ).
sont dénies de la manière suivante :
est égal au sous-système
prolonge en une fonction
Considérons le cas de la graduation à gauche (le cas à droite étant analogue).
Cette dénition dénie bien une graduation de
rang
1
Li pgq est
Àn
Lemme 3.1.4. On a l'égalité
Σ
Σg par des sous-systèmes locaux de
car on a les
Lemme 3.1.3. L'espace
`
L
un
i“1
C-espace
Li pgq “ L
vectoriel de dimension
1.
Σg .
Supposons ces deux lemmes et leur analogue pour Li pdq. Il nous reste à voir que sur
À
´
, on a bien Li pdq Ď
ak ďd ai Lk pgq (le cas de Σ se traitant de manière analogue).
54
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
En eet, si l'on considère yi,d une base de Li pdq alors comme yi,d est holomorphe sur
C ´ R´ ai eiθ avant d'avoir traversé la coupure, on a bien que l'application
Li pdq Ñ
à
Li pgq Ñ Lk pgq
jPI
Σ`
sur
est bien nulle pour
ak ą d ai .
Donnons la preuve des lemmes 3.1.3 et 3.1.4.
Démonstration du lemme 3.1.3. Sur l'ouvert connexe, simplement connexe
Ť
p est un C-espace vectoriel de
R` ai eiθ , l'espace des solutions de ∇
p sur U holomorphes en aj .
dimension n. Notons Hj le sous-espace des solutions de ∇
˚
Comme Rj est de rang 1 à valeurs propres dans C ´ Z , on a dimpHj q “ n ´ 1. D'où
Ş
dimp j‰i Hj q ě 1.
p au voisinage de ai est de la forme
Comme Ri est non résonant, une solution de ∇
λyi (λ P C) plus une fonction holomorphe en ai , où yi désigne une solution non
p (en particulier non nulle) au voisinage de ai .
holomorphe de ∇
Ş
Par l'absurde, supposons que dimp j‰i Hj q ą 1. Alors en considérant une combiU :“ C ´
iPI
naison linéaire de deux solutions indépendantes, on montre qu'il existe une solution
s
non nulle holomorphe en
ak
pour tout
k P I . La fonction s est donc une fonction
s autour du pôle à l'inni est triviale.
ř
´R “ ´ iPI Ri et n'a donc pas de valeur
entière, c'est-à-dire que la monodromie de
Or le résidu de
p
∇
en l'inni est égal à
propre entière d'après la condition générique (2) de 3.1.1. Comme la monodromie lo1
´2iπR
cale autour de l'inni à le même polynôme caractéristique que e
(voir [
]
Del70
corollaire 1.17.2 p.54 et remarque qui suit), on en déduit que la monodromie locale
est de noyau trivial, donc
s “ 0,
ce qui est absurde.
Ş
ai
Donc
1, engendré par une solution non holomorphe en
j‰i Hj est de dimension
Ş
H
et on a bien par dénition
j “ Li pgq.
j‰i
si une base de Li pgq. Alors on montre
ps1ř
, ¨ ¨ ¨ , sn q est une base de L Σg car c'est une famille libre à n éléments. En effet, si
kPI ck sk pzq “ 0 pour certains ck P C, alors pour z au voisinage de ai , on a
ci si pzq ` pholomorphe en ai q “ 0, donc ci “ 0.
Démonstration du lemme 3.1.4. Notons
que
Remarque 3.1.5. On peut aner la condition générique (2) en la matrice
R“
BJL81
ř
]
iPI Ri n'admet pas de valeur propre dans N. C'est la condition piiq de [
1
p.694 alors que la condition (2) correspond à la condition pii q. Bien que tous les
résultats que nous énonceront ci-dessous seront presque tous vrais dans le cas rané,
nous avons préféré exposé sous la condition plus forte (2) car elle simplie techniquement un certain nombre de preuve (principalement à cause de la proposition 2 p.697
de [
BJL81]).
3.1.3. Connexions régulières avec repère et systèmes gradués avec repère. On donne ici la version avec repère de la proposition 3.1.2 associant à une
connexion régulière un système gradué pour certains choix.
1. Ici, comme on ne suppose pas
à
e´2iπR
comme dans [
R non résonant, à priori la monodromie locale n'est pas conjuguée
Del70] corollaire 5.6 p.96.
3.1. SYSTÈME GRADUÉ ET CONNEXION RÉGULIÈRE
3.1.3.1. Repère pour les connexions régulières. Soit
p
∇
55
une connexion régulière
pour les données du type de celles de 3.1.2.
Définition 3.1.6. Un repère d'une connexion régulière
p
∇
est la donnée d'un
isomorphisme
tel que les matrices
ϕ : V Ñ Cn ,
Ri1 “ Matϕ pRi q P Mn pCq dénies
a
V
(3.1. )
Ri
V
soient de la forme
pe1 , ¨ ¨ ¨ , en q
la base
Ri1 “ αi b ei pour
n
canonique de C .
/
„
„
/
par les diagrammes
Cn
Ri1
Cn
des formes linéaires
αi P HompCn , Cq
et
Lemme 3.1.7. Une connexion régulière peut toujours être munie d'un repère.
ϕ : V » Cn désigne un isomorphisme quelconque
1
de V avec C , alors les matrices Ri sont de rang 1 donc s'écrivent comme le produit
1
d'un vecteur colonne puis d'un vecteur ligne, c'est-à-dire que l'on a Ri “ αi b ei avec
n
n
ei P C et αi P HompC , Cq.
Démonstration. En eet, si
n
Lemme 3.1.8. Les
ei
précédents forment une base de
Cn .
On en déduit donc qu'on peut changer l'isomorphisme ϕ pour que
n
p.
soit la base canonique de C et dénissent bien un repère de ∇
pe1 , ¨ ¨ ¨ , en q
ei ne forment
Cn . On considère alors une sous-famille libre maximale de pe1 , ¨ ¨ ¨ , en q
qui, quitte à réordonner les indices, est de la forme pe1 , ¨ ¨ ¨ , ek q avec k ă n. On comn
plète cette famille en une base B :“ pf1 , ¨ ¨ ¨ , fn q de C (avec fi :“ ei pour i ď k ). Si
1
n
l'on note pf , ¨ ¨ ¨ , f q la base duale de B , alors on a
ÿ
ÿ
f n R1 “ f n Ri1 “
f n ei ¨ αi “ 0,
Démonstration du lemme 3.1.8. Par l'absurde, supposons que les
pas une base de
iPI
iPI
n
appartient à l'espace engendré par les fi avec i ď k et f fi “ 0 P C pour i ‰ n.
t 1
1
Donc 0 est valeur propre de R . Donc 0 est valeur propre de R (grâce à la relation
1
t 1
classique reliant les polynômes caractéristiques de R et de R ). Cela est absurde à
car
ei
cause de la condition (2) de 3.1.1.
3.1.3.2. Système gradué associé. On peut étendre la proposition 3.1.2 associant à
toute connexion régulière un système gradué aux versions avec repère.
Proposition 3.1.9. Pour tout choix :
(1) d'un angle admissible
(2) d'un
θ,
t P T,
on peut associer à toute connexion régulière munie d'un repère un système gradué
avec repère.
Le choix de l'angle admissible est équivalent aux choix de la direction admissible
iθ
d'angle θ et de la branche du logarithme sur C´R´ e donnée par l'argument compris
iθ
dans sθ ´ π; θ ` πr. La branche du logarithme que l'on prend sur C ´ R` e
est le
´
prolongement de la précédente le long de γ , c'est-à-dire celle donnée par l'argument
iν
d'un revêtement
compris dans sθ ´ 2π; θr. Notons Upa, νq la tanche C ´ R` a e
56
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
C ´ tau entre les feuillets d'angle ν ´ 2π et ν . Autrement dit, on prend
Upa, νq :“ C ´ R` a eiν plus le choix de la branche du logarithme d'angles dans
sν ´ 2π ; νr. Avec ces notations, on a donc C ´ R` eiθ “ Up0, θq et C ´ R´ eiθ “
Up0, θ ` πq.
universel de
détermination
ouvert
θ ´ 2π
détermination
θ
Upa, θq
‚
a
θ
Upa, θq
Figure 3. Branche du logarithme sur l'ouvert
Démonstration. On a déjà déni dans la démonstration de la proposition 3.1.2
p grâce au choix d'une direction
L associé à la connexion régulière ∇
n
p.
admissible. On pose ϕ : V » C un repère de ∇
p , se donner
D'après la dénition de L comme système local des solutions de ∇
1
un repère en pp, p q P Cd ˆ C´d de L correspond d'après le théorème de Cauchy
pg et Ypd de À Li pgq et À Li pdq
holomorphe, à se donner deux bases préférées Y
iPI
iPI
un système gradué
respectivement vériant une condition de compatibilité correspondant à la commuta-
a
tivité du diagramme (1.3. ).
On va dénir ci-dessous des bases locales canoniques en les
Ψg,i : Upai , θq Ñ G
et
ai
Ψd,i : Upai , θ ` πq Ñ G
˚
˚
puis les utiliser pour dénir deux bases gradués préférées Yg et Yd sur
˚
Σg et Σd respectivement. Les Y seront dénis grâce à une condition de normalisation
pour tout
iPI
exprimée à partir des
ou à droite
Ypg
Ψi .
Enn, on pourra exprimer toute base graduée à gauche
Ypg
par
Ypg “ Yg˚ ¨ tg Ypd “ Yd˚ ¨ td
avec tg , td P T . On montrera enn que tg “ td nécessairement.
À
À
´1
Notons
iPI Vi la graduation de V induite par la graduation
iPI C via ϕ . De
la condition (1) p.52, on déduit que les résidus Ri sont non résonants, c'est-à-dire
que les valeurs propres de Ri ne dièrent pas qu'un entier non nul. D'où, en utilisant
un résultat classique (voir par exemple [
Sab02] chapitre II proposition 2.11 et 2.13
p.93-94), il existe des uniques bases de solution
Ψg,i : Upai , θq Ñ G
et
Ψd,i : Upai , θ ` πq Ñ G
pour
iPI
pz ´ ai qRi en z Ñ ai .
Notons Ki le noyau de Ri . Alors grâce à la condition générique (1) p.52, on a
V “ Vi ‘ Ki , car Vi est égal à l'espace propre de Ri pour la valeur propre λi . La
fonction Ψg{d,i pkq est holomorphe en ai pour tout k P Ki alors que la fonction Ψg{d,i pvi q
λ
non holomorphe en ai pour tout vi P Vi , asymptotique à pz ´ ai q i ¨ vi .
À
Les bases Ψg,i (i P I ) permettent de dénir une base canonique de
iPI Li pgq
pour le seul choix de l'angle admissible θ (et de même pour le coté droit). En eet,
À
˚
on pose Yg : Σg Ñ G la section de
iPI Li pgq telle que pour tout vi P Vi , la fonction
Yg˚ pvi q ´ Ψg,i pvi q se prolonge en une fonction holomorphe en ai . Concrètement, cela
˚
n
signie que pour tout vi P Vi , la fonction Yg pvi q : Σg Ñ C est une solution de
p holomorphe sur C ´ R` ai eiθ . De plus, elle est asymptotique à pz ´ ai qλi ¨ vi en
∇
de
p
∇
asymptotiques à
3.1. SYSTÈME GRADUÉ ET CONNEXION RÉGULIÈRE
z Ñ ai
modulo les fonctions holomorphes en
holomorphes
F
et
H
en
ai
à valeurs dans
g
ai , c'est-à-dire qu'il existe deux fonctions
telles que
Yg˚ pvi qpzq “ F pzq ¨ pz ´ ai qλi ¨ vi ` Hpzq ¨ vi
pour tout
z PÀΣg
au voisinage de
ai .
iPI Li pdq telle que pour tout
prolonge en une fonction holomorphe en ai .
pour un certain
(1) d'un
tg P T .
Ypg
de
Lp
Yd˚ : Σd Ñ G comme
˚
fonction Yd pvi q ´ Ψd,i pvi q se
vi P Vi ,
la
Yg˚ ¨ tg
Cela correspond donc au choix :
tg P T ,
De même à droite, une base gradué
tg P T .
(1) d'un
F pai q “ id P G,
est alors nécessairement de la forme
(2) de la branche du logarithme sur
un certain
avec
De même, on dénit
la section de
Une base graduée à gauche
57
C ´ R` eiθ
Ypd
donnée par les angles
est nécessairement de la forme
sθ ´ 2π ; θr.
Yd˚ ¨ td
pour
Cela correspond donc au choix :
tg P T ,
(2) de la branche du logarithme sur
C´R´ eiθ donnée par les angles sθ´π ; θ`πr.
Remarquez que les deux branches du logarithmes sont le prolongement l'une de
´
l'autre via le chemin γ .
a
Lemme 3.1.10. Les bases précédentes sont compatibles via le diagramme ( 1.3. )
si et seulement si
tg “ td P T .
On en déduit alors immédiatement que le choix d'un repère pour un système
gradué associé à la connexion
(1) d'un
p
∇
correspond au choix
t “ tg “ td P T ,
(2) de l'angle admissible
θ permettant de dénir les deux branches du logarithme
précédentes.
Yg˚
sur Σg .
˚
˚
´
Alors son prolongement le long de γ
est de la forme Yg “ Yd ¨ C . Les coecients
´
ci,j de la matrice C P G peuvent être calculé en regardant l'asymptotique du pro˚
˚
longement de Yg en les aj sur Σd . On a immédiatement ci,j “ 0 si ai ăd aj car Yg pvi q
˚
˚
est holomorphe en aj pour tout aj ąd ai . On a aussi ci,i “ 1 car Yg pvi q et Yd pvi q ont
même asymptotique en ai (grâce à la compatibilité du choix des branches du loga´
˚
˚
´
rithme). Donc C P U´ et les bases Yg et Yd sont compatibles via le chemin γ . Si
pg “ Y ˚ ¨ tg et Ypd “ Y ˚ ¨ td avec tg , td P T alors Ypg “ Ypd ¨ td C ´ t´1 . Donc comme
l'on a Y
g
g
d
C ´ P U´ , on a bien que les repères sont compatibles, c'est-à-dire td C ´ t´1
g P U´ si et
seulement si tg “ td .
Démonstration du lemme 3.1.10. Partons de la base de solutions
´
Remarque 3.1.11. Notons
N˚ “ ´
ÿ
e´iπλi Γp´λi q idi ,
iPI
T car λi R Z, où λi désigne l'unique valeur propre non entière
Ri . On verra à la section 3.2 théorème 3.2.4 qu'il faut prendre cette normalisation
t “ N ˚ coté régulier pour que la base du système gradué avec repère associée à la
p corresponde à celle du système gradué avec repère coté Stokes
connexion régulière ∇
(pour le choix de t “ 1 P T ) par la transformée de Laplace.
qui est un élément de
de
58
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
3.2. Transformée de Laplace
On reprend les notations de la section 3.1.1.
Comme expliqué dans l'introduction de ce chapitre, le but de ce chapitre est de
dénir la transformée de Laplace
pLθ qθPR
qui est une famille continue d'applications.
Cette famille induira un isomorphisme entre les systèmes gradués
vement associés aux connexions irrégulière
∇
et régulière
p
∇
L
et
Lp
respecti-
suivant les propositions
1.4.8 du chapitre 1 et 3.1.9 du chapitre 3 respectivement. Pour le coté irrégulier, on
η P R et de la normalisation canonique t “ id P T .
(On rappelle qu'ici, on a H “ T “ K car on suppose A P treg ). Pour le coté régulier,
˚
on fait le choix de l'angle admissible η ` π P R et de la normalisation t “ N P T , où
ÿ
N ˚ “ ´ e´iπλi Γp´λi q P T,
fait le choix d'un angle admissible
iPI
avec
λi P C ´ Z
l'unique valeur propre non nulle de
Ri .
Remarque 3.2.1. On aurait pu choisi n'importe quel autre angle admissible de
la forme η ` kπ avec
t “ N ˚ en
k
un entier impair. Dans ce cas, il faut changer la normalisation
ÿ
´
e´iπkλi Γp´λi q.
iPI
θ P R d'une fonction ζ ÞÑ ypζq
ż
1
Lθ pyq : z ÞÑ
ypζq e´ζ{z dζ,
2iπz γθ`
La transformée de Laplace d'angle
est dénie par
Č
γθ` est le chemin à valeurs dans C
´ D issu de l'inni dans la direction θ ´2π allant
au voisinage du disque D puis parcourant un cercle dans le sens direct, et repartant
à l'inni dans la direction θ , où D est un grand disque contenant tous les pôles ai
p.
(i P I ) à distance nie de la connexion fuchsienne ∇
où
Le résultat principal de cette section est le théorème suivant :
Théorème (Théorème 3.2.4). La transformée de Laplace induit un isomorphisme
p respectivement lorsque
L » Lp associés à ∇ et à ∇
admissible η P R pour L et l'angle admissible η ` π P R
de systèmes gradués avec repère
(1) l'on choisit l'angle
pour
Lp.
(2) l'on fait le choix de
t “ id P T
pour
L
et
t “ N˚ P T
pour
Lp.
3.2.1. Théorème de correspondance entre les bases par Fourier-Laplace.
On considère les données de la section 3.1.1. Soit
repère
ˆ
∇“d´
sur le bré trivial
A R
`
z2
z
V ˆ P1 Ñ P1 ,
∇
une connexion irrégulière avec
˙
avec
à
„ à
ϕ:V »
Vi ÝÑ
C
iPI
iPI
ř
A “ iPI ai idi et R P g vériant
dz,
les conditions
génériques suivantes :
Λ “ δpRq P t de R est à valeurs propres non entières,
(2) l'endomorphisme R P g est à valeurs propres non entières.
On note λi (i P I ) les valeurs propres de δpRq, que l'on appelle souvent les exposants
ř
de la monodromie formelle. On a donc δpRq “
iPI λi idi .
p la connexion régulière avec repère
Soit ∇
ÿ Ri
„
p “d´
∇
dz, ϕ : V ÝÑ Cn
z ´ ai
iPI
(1) la partie diagonale
3.2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
V ˆ P1 Ñ P1 ,
Les conditions génériques sur
R
Ri sont diagonalisables de rang 1 à valeurs propres 0
multiplicité n ´ 1 et λi non entière de multiplicité 1,
ř
l'endomorphisme
iPI Ri P g est à valeurs propres non entières.
de
sur le bré trivial
où
Ri “ idi R P g.
59
sont équivalentes aux conditions
(1) les endomorphismes
(2)
Remarque 3.2.2. La motivation de considérer la connexion
marque 1.4.4. En eet, si l'on note
a
∇d
dw
En multipliant à gauche par
w,
w“z
´1
p
∇
vient de la re-
la coordonnée au voisinage de l'inni, on
ˆ
˙
d
R
“
` A`
.
dw
w
on trouve l'opérateur matriciel
wBw ` wA ` R.
Sa
transformée de Borel formelle est alors l'opérateur
˘
`
p d ¨ pA ´ ζq.
Bζ p´ζ¨q ` Bζ A ` R “ Bζ ´ Rpζ ´ Aq´1 pA ´ ζq “ ∇
dζ
La multiplication à droite par le terme
A´ζ
peut paraître un peu mystérieuse. Ce-
pendant, lorsque l'on se place dans le cadre plus général des
A1 -modules (comme dans
Mal91]), alors une solution de ∇ correspond à une microsolution
le chapitre XII de [
de
p.
∇
La multiplication à gauche d'une microsolution
solution de
y
D
un disque ouvert contenant tous les pôles
une solution de
direction admissible
Laplace d'angle
θ
d
p
∇
γθ`
p
∇
par
ai
A´ζ
donne une
à distance nie de
dénie sur un revêtement universel de
pour la famille
pai qiPI
d'angle
θ,
C ´ D.
p.
∇
Pour toute
on dénit la transformée de
comme la fonction
1
Lθ pyq : z Ñ
Þ
2iπz
où
de
p.
∇
On pose
Soit
2
est le chemin à valeurs dans
allant au voisinage du disque
D
ż
Č
C
´D
ypξq e´ξ{z dξ,
γθ`
issu de l'inni dans la direction
θ ´ 2π
puis parcourant un cercle dans le sens direct, et
repartant à l'inni dans la direction θ . L'intégrale est convergente pour tout z tel que
p sont à croissance sous-exponentielle à l'inni.
<pz e´iθ q ą 0 car les solutions y de ∇
1
On remarque que pour des angles θ et θ voisins, les fonctions Lθ pyq et Lθ 1 pyq
coïncident sur leur domaine de dénition (il sut de déformer le contour de l'intégrale et d'utiliser le fait que
pLθ pyqqθPR
y
est à croissance exponentielle à l'inni). Donc la famille
C˚ . On appellera abu-
dénit une fonction sur un revêtement universel de
sivement la transformée de Laplace de
y
cette fonction.
Théorème 3.2.3. La transformée de Laplace induit un isomorphisme de systèmes
p respectivement, où l'on a choisit
L » Lp associés à ∇ et à ∇
p.
admissible d pour dénir L et la direction opposée ´d pour dénir L
gradués
Ce résultat est un cas particulier des théorèmes 2.9, 1.2 et 2.1 de [
BJL81] Ÿ5.2 théorème 2 p.714.
XII. Voir aussi [
˚
Notons N P
T
une direction
Mal91] chapitre
l'endomorphisme déni par
N˚ “ ´
ÿ
e´iπλi Γp´λi q idi P T.
iPI
2. Pour être précis, on parle plutôt d'une microsolution d'un
Mal91]
connexion. Voir [
A1 -module
et pas d'un bré à
chapitre II Ÿ3 p.30. Pour étendre la terminologie aux brés à connexion,
on peut par exemple composer à droite le foncteur microsolutions avec le foncteur extension
minimale qui à un bré à connexion associe un
D-module.
60
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
T
Cet endomorphisme est bien dans
λi R Z donc Γp´λi q ‰ 0. Nous allons montrer
car
le résultat plus précis suivant.
Théorème 3.2.4. La transformée de Laplace induit un isomorphisme de systèmes
gradués avec repère
L » Lp associés
à
∇
(1) l'on choisit l'angle admissible
pour
p
∇
et à
ηPR
respectivement lorsque
pour
L
η`π P R
et l'angle admissible
Lp.
(2) l'on fait le choix de
t “ id P T
pour
L
et
t “ N˚ P T
pour
Lp.
Ce théorème traduit donc le problème de calculer les matrices de Stokes (voir
section 1.3.6 du chapitre 1) de la connexion irrégulière
∇
en un problème équivalent
p . On donnera la
∇
correspondance algébrique explicite entre les matrices de Stokes de ∇ et les coecients
p dans le théorème 3.3.4.
de connexion de ∇
de calculer des matrices de connexions de la connexion régulière
3.2.2. Démonstration du théorème de correspondance par Fourier-Laplace.
Dans cette section, nous allons montrer le théorème 3.2.4.
3.2.2.1. Démonstration du théorème 3.2.4. Tout d'abord, on montre que la transformée de Laplace envoie bien les solutions de
p
∇
sur les solutions de
∇,
donc dénit
bien un morphisme de systèmes locaux
pLθ qθPR : Lp ÝÑ L.
Lθ pyq
q ą 0.
Lemme 3.2.5. La transformée de Laplace
solution de
∇
<pz e
dénie sur l'ouvert
´iθ
d'une solution
y
de
p
∇
est une
Maintenant, on doit montrer que la transformée de Laplace est bien un morphisme
Lpi pgq (resp. Lpi pdq) sur Li pgq (resp.
Li pdq) et est compatible avec les repères. En revenant à la dénition de Lp et de L
p et ∇, cela correspond à montrer
comme systèmes gradués à partir des connexions ∇
pg et Ypd de ∇
p sont les
que la transformée de Laplace des bases de solutions préférées Y
˚
bases de solutions préférées Φg et Φd de ∇. Avec nos choix de t “ N P T et d'angle
admissible η ` π P R, on a
Ypg “ Y ˚ ¨ N ˚ et Ypd “ Y ˚ ¨ N ˚
de systèmes gradués avec repère, c'est-à-dire envoie
g
avec pour tout
vi P Vi ,
d
la fonction
Yg˚ pvi q : Upai , η ` πq Ñ Cn
(resp.
Yd˚ pvi q : Upai , η ` 2πq Ñ Cn )
iη
iη
est holomorphe sur C ´ R´ ai e
(resp. sur C ´ R` ai e ) et est asymptotique à
pζ ´ ai qλi ¨ vi en ζ Ñ ai modulo les fonctions holomorphes en ai .
Pour les choix de
t “ id P T
et de l'angle admissible
Φg : Up0, ηq Ñ G
holomorphe sur
Σg :“ C ´ R´ eiη
(resp.
(resp.
η P R,
on a coté irrégulier
Φd : Up0, η ` πq Ñ G)
Σd :“ C ´ R` eiη )
et donnée par sommation
de Borel-Laplace, c'est-à-dire grâce à la remarque 1.4.5 que Φg pzq (resp. Φd pzq) est
δpRq ´A{z
asymptotique à z
e
en z Ñ 0 sur Σg (resp. Σd ) avec la branche du logarithme
donnée par les angles
sη ´ 2π ; ηr
Proposition 3.2.6. On a
(resp.
sη ´ π ; η ` πr).
Lη`π pYpg q “ Φg
et
Lη`2π pYpd q “ Φd .
Ť
p
Upθq
:“ C ´ iPI R` ai eiθ où l'on sous-entend le choix de la branche du
logarithme d'angles sθ ´ 2π ; θr, que l'on voit comme un ouvert du plan de coordonnée
ζ . Comme précédemment, notons Upθq :“ C ´ R` eiθ où l'on sous-entend le choix de
la branche du logarithme d'angles sθ ´ 2π ; θr, que l'on voit comme un ouvert du plan
Notons
3.2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
de coordonnée
z.
61
On peut se représenter l'action de la transformée de Laplace sur les
solutions par la gure 4.
L
L
Lp
solution sur
la tanche
tranches de
Č
C
´D
Ypd
p ` 2πq ‚
Upη
Ypg
p ` πq ‚
Upη
Ă˚
C
tranches de
solution sur
la tanche
‚ Upη ` 2πq
Lη`π
p ‚
Upηq
‚ Upη ` πq
Φd
‚ Upηq
Φg
‚ Upη ´ πq
p ´ πq ‚
Upη
Figure 4. Transformée de Laplace et correspondance entre les bases
De cette dernière proposition, on en déduit bien que la transformée de Laplace
Lp » L.
Notons Φ :“ Lθ pyq. On calcule la dérivée
induit un isomorphisme de systèmes gradués avec repère
3.2.2.2. Démonstration du lemme 3.2.5.
Φ
1
de
Φ
par rapport à
z.
En inversant intégrale et dérivation, on obtient
´1
1
Φpzq `
Φ pzq “
z
2iπz
ż
1
γθ
ξ
ypξq e´ξ{z dξ.
z2
En eectuant une intégration par parties sur la second membre (en dérivant
ξypξq),
on a
“
‰
´1
´1
1
´ξ{z γθ p1´εq
Φ pzq “
Φpzq `
lim
ξypξq
e
`
γ
pεq
θ
z
2iπz 2 εÑ0
2iπz 2
ż
1
pξypξqq1 e´ξ{z dξ.
γθ
Le terme entre crochet est nul car y est à croissance sous-exponentielle à l'inni,
´ξ{z
donc |ξypξq e
| Ñ 0 quand ξ tend vers l'inni dans la direction θ ´ 2π et θ (pour
´iθ
tout <pz e
q ą 0). En développant la dérivée pξypξqq1 , un des termes s'annule avec
´1
Φpzq, donc on a
z
ż
1
ξy 1 pξq e´ξ{z dξ.
2iπz 2 γθ
p pour obtenir, en inversant somme et intégrale
On utilise alors que y est solution de ∇
ż
1 ÿ
ξ
1
Φ pzq “
Ri
ypξq e´ξ{z dξ.
2
2iπz iPI
ξ
´
a
i
γθ
ř
ξ
ai
Puis en écrivant la fraction
“ 1 ` ξ´a
, on obtient en utilisant
iPI Ri “ R
ξ´ai
i
ż
R
1 ÿ
ypξq ´ξ{z
Ri ai
Φ1 pzq “ Φpzq `
e
dξ.
2
z
2iπz iPI
γθ ξ ´ ai
Φ1 pzq “
A
Φpzq. Partons de la dénition de
z2
Φpzq. En intégrant par parties (on dérive ypξq), on obtient
Reste à montrer que le dernier terme est égal à
ż
“
‰
´1
1 ÿ
ypξq ´ξ{z
´ξ{z γθ p1´εq
Φpzq “
lim ypξq e
`
R
e
dξ.
i
γθ pεq
2iπ εÑ0
2iπ iPI
γθ ξ ´ ai
62
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
Le terme entre crochet est nul par le même argument de croissance sous-exponentielle
de
y.
ARi “ AEi,i R “ ai Ri .
A
R
Φ1 pzq “ 2 Φpzq ` Φpzq.
z
z
On remarque aussi que l'on a
Donc
3.2.2.3. Démonstration de la proposition 3.2.6. Pour démontrer cette proposition,
on procède en plusieurs étapes.
Tout d'abord on montre le calcul explicite suivant :
ζ ÞÑ pζ´ai qα sur l'ouvert Upai , θq
α
pour un certain α R Z. Alors la transformée de Laplace Lθ ppζ ´ ai q q est une fonction
´iθ
holomorphe sur le demi-plan <pz e
q ą 0 identié à un sous-espace de Up0, θ ´ πq
Lemme 3.2.7. Considérons la fonction puissance
et est égale à
z ÞÑ Kα z α ¨ e´ai {z
avec
Kα :“
´ eiπα
.
Γp´αq
`
Ha,θ
le contour de Hankel faisant le
tour dans le sens direct de la demi-droite issue de a d'angle θ en partant de l'angle
θ´2π et nissant à l'angle θ. On a par déformation de contour que I :“ Lθ ppζ´ai qα qpzq
Démonstration du lemme 3.2.7. Notons
est égal à
1
2iπz
ż
α ´ξ{z
pξ ´ ai q e
Ha` ,θ
dξ
e´ai {z
“
2iπ
ż
e´ai {z
“
2iπ
ż
i
D'où, comme
uα e´u{z
`
H0,θ
du
z
pour
pxzqα e´x dx
u “ ξ ´ ai
pour
x “ u{z.
`
H0,θ´argpzq
θ ´ argpzq P s3π{2 ; 5π{2r, on peut déformer le contour
ż
e´ai {z ´ε´i8
I“
pxzqα e´x dx pour ε ą 0.
2iπ ´ε`i8
pour obtenir
En eet, on utilise un argument classique utilisant le théorème de Cauchy en remarquant que sur un arc de cercle de rayon R (compris dans le domaine de dénition),
α ´R
l'intégrande est majorée par cste ¨ R e
qui tend vers 0 quand R Ñ `8. On a
argpuq P sθ ´ 2π ; θr, donc on prend les déterminations du logarithme pour avoir
argpxq P sπ{2 ; 3π{2r et argpzq P sθ ´ 5π{2 ; θ ´ 3π{2r. On a alors bien uα “ pxzqα “
xα z α . On en déduit
ż
z α ¨ e´ai {z ´ε´i8 α ´x
I“
x e dx.
2iπ
´ε`i8
ş´ε´i8 α ´x
1
Reste donc à calculer la constante Kα :“
x e dx pour argpxq P sπ{2 ; 3π{2r.
2iπ ´ε`i8
´iπ
On eectue le changement de variable y “ e
x de manière à avoir argpyq P
s´π{2 ; π{2r qui est la détermination principale de l'argument sur <pyq ą 0. On
obtient
ż
´ eiπα ε`i8 α y
y e dy pour ε ą 0.
Kα “
2iπ ε´i8
Or, on peut montrer en utilisant la transformée de Laplace que l'on a
a
(3.2. )
1
1
“
Γp´αq
2iπ
d'où
Kα “
ż ε`i8
y α ey dy,
ε´i8
´ eiπα
,
Γp´αq
3.2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
63
ce qui achève la démonstration du lemme.
a
Esquissons tout de même comment on peut obtenir la formule (3.2. ) pour la
βRZ
fonction Gamma réciproque. On a pour
ż `8
tβ´1 e´t dt.
Γpβq “
0
u “ t{s, on obtient
ż `8
Γpβq
uβ´1 e´su du.
“
β
s
0
En eectuant le changement de variable
qui peut donc être vu comme la transformée de Laplace de la fonction
u ÞÑ uβ´1 .
En
utilisant l'expression de la transformée de Laplace inverse, on obtient donc
β´1
u
1
“
2iπ
ż ε`i8
ε´i8
Γpβq su
e ds,
sβ
t “ us,
ż ε`i8
1
1
“
t´β et dt.
Γpβq
2iπ ε´i8
d'où en faisant le changement de variable
β “ ´α,
En appliquant cette formule pour
a
on retrouve bien l'équation (3.2. )
On utilise ensuite une variante du lemme de Watson :
y : Upa, θq Ñ C
Lemme 3.2.8. Soit
une fonction de la forme
ypζq “ f pζq ¨ pζ ´ aqα
avec
ÿ
f pζq “
fk pζ ´ aqk ,
fk P C
kě0
une fonction analytique au voisinage de
Laplace
Lθ pyq
d'angle
θ
Lθ pyqpzq „
quand
zÑ0
a
et
α P C ´ Z.
dans le demi-plan
´ eiπα
fk z α`k e´a{z ,
Γp´α ´ kq
kě0
ÿ
<pz e´iθ q ą 0
vu comme sous-ensemble de
Démonstration du lemme 3.2.8. L'asymptotique de
par intégration terme à terme de l'asymptotique de
Soit
K P N.
Alors la transformée de
3
admet le développement asymptotique
Lθ pyq
Up0, θ ´ πq.
est bien obtenue
y , grâce au lemme 3.2.7 précédent.
On considère le terme d'erreur
ypζq ´
K
ÿ
fk pζ ´ aqα`k “ gpζqpζ ´ aqα`K`1
k“0
avec
g
1
2iπz
holomorphe en
0.
Sa transformée de Laplace est donnée par
ż
gpζqpζ ´ aq
α`K`1 ´ζ{z
e
γθ`
après le changement de variable
la fonction
g
z α`K`1 e´a{z
dζ “
2iπ
x “ pζ ´ aq{z
ż
gpa ` zxqxα e´x dx,
`
H0,θ´argpzq
et une déformation de contour car
est à croissance sous-exponentielle à l'inni. En utilisant de nouveau le
fait que la fonction
g
est à croissance sous-exponentielle à l'inni, on montre que l'on
peut la dominer par une fonction intégrable. En utilisant le théorème de convergence
LR16] dénition 1.1.1 p.2 pour une dénition précise de développement asymptotique.
3. Voir [
64
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
dominé, on en déduit que la fonction
morphe sur le demi-plan
1
2iπ
z ÞÑ
ş
`
H0,θ´argpzq
gpa ` zxqxα e´x dx
est holo-
<pz e´iθ q ą 0
et on peut bien la majorer par une fonction
´iθ
constante sur tout sous-secteur propre de <pz e
q ą 0.
Soit
aj
pour
vi P Vi . Tout d'abord,
tout j ‰ i, on a
comme
Lη`π pYg˚ pvi qq
où
`
Ha,θ
Yg˚ pvi q : Upai , η ` πq Ñ Cn
1
“
2iπz
est holomorphe en
ż
Ha` ,η`π
i
Yg˚ pvi qpζq e´ζ{z dζ,
désigne un contour de Hankel faisant le tour dans le sens direct de la demi-
droite issue de
et nissant en
a
θ.
θ en partant de la détermination de l'argument θ ´ 2π
˚
diérence Yg pvi q ´ Ψg,i pvi q est une fonction holomorphe en ai et
de direction
La
elle se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de la demi-droite issue de
ai
p et que la demi-droite ne passe par aucun
η ` π (car c'est une solution de ∇
p ). On en déduit que
pôle de ∇
ż
1
˚
Lη`π pYg pvi qq “
Ψg,i pvi qpζq e´ζ{z dζ,
`
2iπz Ha ,η`π
d'angle
autre
i
car l'intégrale de la fonction holomorphe est nulle par le théorème de Cauchy. Notons
ř
Ni P C˚ tel que N ˚ “ iPI Ni idi . Grâce au lemme de Watson 3.2.8, on en déduit que
Lη`π pYg˚ pvi qq est une fonction holomorphe sur Σg asymptotique à Ni´1 ¨ z δpRq e´A{z ¨vi
˚
˚,´1
pour le bon choix de la branche du logarithme, donc que Lη`π pYg q égal à Φg ¨ N
˚
grâce à la remarque 1.4.5. Par le même raisonnement, on montre que Lη`2π pYd q est
˚,´1
égale à Φd ¨ N
. On en déduit le résultat de la proposition 3.2.6 par la linéarité de
la transformée de Laplace.
3.3. Données de Stokes comme fonction de la connexion fuchsienne
p
Cette section joue principalement entre les diérentes bases de solutions de ∇
Ť
p
qui sont reliées par des relations algébriques. Notons Upθq
:“ C ´ iPI R` ai eiθ avec
sous-entendu le choix de branche du logarithme donné par les angles sθ ´ 2π ; θr. On
choisit un angle admissible
une partie gauche
η ` π P R.
p ` πq.
Upη
Cela détermine une partie droite
p ` 2πq
Upη
et
On aura aaire dans la suite à quatre familles de bases,
chacune ayant sa version à gauche et sa version à droite :
(1) les bases standards
pΨi qiPI
asymptotique à
pζ ´ ai qRi
en
ζ Ñ ai
pour tout
i P I,
(2) la base de Floquet
tout
Y
telle que
Y pvk q
Y˚
pour
pour tout
Y ˚ pvk q est asymptotique à pζ ´ ak qλk vk
en ak pour tout vk P Vk et holomorphe en
telle que
modulo une fonction holomorphe
j ‰ k,
Yp qui
˚
normalisation N .
(4) la base normalisée
de la
pζ ´ ak qλk vk
vk P Vk ,
(3) la base de co-Floquet
aj
est asymptotique à
est la base donnée par le repère de
Lp pour
le choix
3.3. DONNÉES DE STOKES COMME FONCTION DE LA CONNEXION FUCHSIENNE
65
Donnons un petit formulaire. On pose
N ˚ “ Λ´1 e´iπΛ Πp´Λq P T
ÿ
Ri Ci,j idj P G
M ˚ “ Λ´1
i,jPI
˚
N “ ΛN “ e´iπΛ Πp´Λq P T
ÿ
M “ ΛM ˚ “
Ri Ci,j idj P G
i,jPI
2iπz
ÿ p2iπqk`1
e
´1
χpzq “
“
z k P OpCq,
z
pk
`
1q!
kě0
Π désigne la fonction Π de Gauss reliée à la fonction Gamma d'Euler par Πpzq “
Γp1 ` zq sur C ´ Ză0 . À priori, M ˚ est seulement un élément de g mais sous les
p , on montre que c'est bien un élément inversible.
conditions génériques vériées par ∇
où
On peut alors résumer la section qui suit par la gure 5.
base de
monodromie en
Lp
ai
et caractérisation
matrices de connexion
Ψj “ Ψi ¨ Ci,j
standards
Ψi , (i P I )
pour
Ψi , e2iπRi
Ψpvq „ pζ ´ ai qRi ¨ v , @v P V
Y pvi q :“ Ψi pvi q, @vi P Vi
Floquet
1 ` idi pe2iπΛ ´1qM ˚
Y
Y pvk q „ pζ ´ak qλk ¨vk , @vk P Vk
Y “ Y ˚ ¨ M˚
co-Floquet
Y ˚ “ Yp ¨ N ˚,´1
normalisée
Y ˚ “ Y ¨ M ˚,´1
ri˚ “ 1 ` M ˚ pe2iπΛ ´1q idi
Y˚
Y ˚ pvk q „ pζ ´ ak qλk ¨ vk pmod Oai q,
@vk P Vk et holomorphe en aj (j ‰ k )
Yp “ Y ˚ ¨ N ˚
ri “ 1 ` N ´1 M χpΛqN idi
Yp
matrices de Stokes
Ypd Σ´ “ Ypg Σ´ ¨ u´
Ypd Σ` “ Ypg Σ` ¨ hu`
Yp pvk q „ Nk pζ ´ ak qλk ¨ vk pmod Oai q,
@vk P Vk et holomorphe en aj (j ‰ k )
Figure 5. Diérentes bases de
On calcule d'abord la monodromie
ri˚
Lp
de la solution de co-Floquet
une partie de la monodromie de la solution de Floquet
Yg˚
en utilisant
Yg . On en déduit la monodromie
66
ri
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
de la solution normalisée
Ypg
à gauche. Enn, en utilisant un ordre adéquat sur
I
(donné par l'angle admissible), on obtient la relation
rn rn´1 ¨ ¨ ¨ r1 “ hu` u´1
´ .
Cela permettra d'obtenir le théorème 3.3.4 qui exprimera les données de Stokes
pu´ , u` , hq
de la connexion
p
∇
en fonction de
M
via la formule
hu` ´ u´ “ N ´1 M χpΛqN.
en utilisant une astuce algébrique.
On étend enn cette formule dans la section 3.3.3 au cas générique un peu plus
général suivant :
(1) la partie diagonale
Λ “ δpRq
de
R
n'a pas de valeurs propres un entier non
nul,
(2) le résidu
R
n'a pas de valeurs propres un entier non nul.
En particulier, ce cas générique contient un voisinage de
cas particulier de l'article [
0 P g.
On retrouve alors le
BTL13] de T. Bridgeland et V. T. Laredo théorème 5.4
p.19 écrit sous la forme de la proposition 9.1 p.28, quand
Λ “ 0.
En eet, dans ce
cas, on trouve
ÿ
hu` ´ u´ “ u` ´ u´ “ 2iπM “ 2iπ
Ri Ci,j idj .
i,jPI
N “ id
car
et
χpΛq “ χp0q “ 2iπ .
Remarque 3.3.1. Les résultats de cette partie peuvent être en grande partie
extrait de [
BJL81]. Une reformulation et simplication d'une partie de ces résultats
Boa05]. Voir tout particulièrement le théorème
avait déjà été faite par P. Boalch dans [
2 et 3 ainsi que l'appendice A où P. Boalch fait le lien entre la formule
1
rn rn´1 ¨ ¨ ¨ r1 “ u1,´1
´ hu`
et la formule de Killing-Coxeter
hu1` ´ u1´ “ pαi pej qq1ďi,jďn
dans une certaine base
pei q1ďiďn
pour
ei P V
ri “ 1 ` ei b αi
et
αi P V ˚ .
Voir aussi le diagramme 1
Boa10] p.15 dans la version Arxiv qui résume notre cas où A P treg .
3.3.1. Solutions standards et solutions globales. On considère les données
de [
de la section 3.1.1. Soit
p
∇
une connexion régulière avec repère
p “d´
∇
ÿ
iPI
Ri
dζ,
ζ ´ ai
„
ϕ : V ÝÑ Cn .
Ť
p
Upθq
:“ C ´ iPI R` ai eiθ où l'on sous-entend le choix de la branche du
logarithme d'angles sθ ´ 2π ; θr. Faisons le choix d'un angle admissible η ` π P R et
˚
de la normalisation t “ N P T comme dans le théorème 3.2.4, c'est-à-dire que l'on
Notons
prend
N ˚ “ ´ e´iπΛ
ÿ
Γp´λi q idi P T.
iPI
Lp le système gradué avec repère associé à la connexion régulière avec repère
p correspond au système local des solutions.
particulier, L
et notons
p.
∇
En
3.3. DONNÉES DE STOKES COMME FONCTION DE LA CONNEXION FUCHSIENNE
Remarque 3.3.2. Notons
C ´ Ză0 .
pour tout
Π
Π
la fonction
67
Πpzq :“ Γp1 ` zq
de Gauss dénie par
On rappelle qu'elle vérie l'identité des compléments
ΠpzqΠp´zq “
On étend immédiatement la dénition
1
πz
“
.
sinpπzq
sincpπzq
de Π au sous-ensemble
des endomorphismes
t à valeurs
propres diérentes d'un entier non nul. En particulier,
ř
Πp´Λq “ iPI Πp´λi q idi . Avec cette dénition, on a immédiatement
de
cela donne
N ˚ “ e´iπΛ Λ´1 Πp´Λq.
Remarque 3.3.3. Comme la fonction
Γ
est holomorphe en
1,
la fonction
Π
est
0 et on peut donc utiliser le développement en série de Π au voisinage
0 pour dénir l'image d'une matrice R P g proche de la matrice nulle par Π. Comme
ici, Λ P T Ď t est à valeurs propres diérentes d'un entier non nul, écrire Πp´Λq a
toujours un sens en évaluant Π sur chaque composante de Vi . On aura cependant
besoin d'utiliser cette remarque pour le sens de Πp´Λq dans le cas par blocs.
holomorphe en
de
On a construit dans la démonstration de la proposition 3.1.9 trois familles de bases
fondamentales :
p ` πq Ñ G et Ψd,i : Upη
p ` 2πq Ñ G où i P I ,
Ψg,i : Upη
˚
p ` πq Ñ G et Y ˚ : Upη
p ` 2πq Ñ G,
canoniques Y : Upη
(1) les bases standards
(2) les bases graduées
g
(3) les bases graduées normalisées
d
p ` πq Ñ G
Ypg : Upη
et
p ` 2πq Ñ G.
Ypd : Upη
Nous allons traiter le cas des bases à gauche. Pour le cas à droite, on remplacera
les indice gauche par droite et
Les bases standards
η`π
par
η ` 2π .
Ψg{d,i
sont des bases qui reète le comportement local des
p en ai . On les dénit comme suit. Notons ∇
p i “ d ´ Ri dζ . Comme
solutions de ∇
ζ´ai
par hypothèse le résidu Ri en ai est non résonant, c'est-à-dire que deux de ses valeurs
propres ne diérent jamais d'un entier non nul, on a ([
Sab02] chapitre II proposition
2.11 et 2.13 p.93-94) qu'il existe une unique transformation de jauge
p ` πq
Upη
holomorphe en
ai
telle que
” ı
pi “ ∇
p
Hg,i ∇
Ψg,i “ Hg,i pζqpζ ´ ai qRi ,
En particulier,
pζ ´ ai qRi en ζ
Ψg,i est
Ñ ai .
et
Hg,i pai q “ id.
p ` πq.
ζ P Upη
p sur Upη
p ` πq
∇
Hg,i
dénie sur
On pose alors
pour tout
l'unique base de solutions de
asymptotique à
Yg˚ qui lie les comportements
˚
p ` πq Ñ G la base
locaux des bases Ψg,i de la manière suivante. On pose Yg : Upη
p sur Upη
p ` πq telle que pour tout vi P Vi , en notant y ˚ “ Y ˚ pvi q :
de solutions de ∇
i
g
n
p
Upη ` πq Ñ C , on a
˚
(1) yi est holomorphe en aj pour tout j P I ´ tiu,
˚
(2) la fonction yi ´ Ψg,i pvi q est holomorphe en ai .
˚
˚
Autrement dit, yi “ Yg pvi q est l'unique solution holomorphe en les aj (j ‰ i) asympR
totique à pζ ´ ai q i en ζ Ñ ai modulo les fonctions holomorphes en ai .
pg permettant de dénir le repère à
Enn, on dénit la base graduée normalisée Y
p par
gauche de L
Ypg “ Y ˚ ¨ N ˚ .
On construit ensuite la base graduée canonique
g
On dénit ensuite les matrices de connexions
au pôle
ai
Cg{d,pi,jq P G
reliant le pôle
par
Ψg,j “ Ψg,i ¨ Cg,pi,jq
et
Ψd,j “ Ψd,i ¨ Cd,pi,jq
aj
de
p
∇
68
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
Dans la suite, nous n'aurons besoin que des matrices de connexion pour les bases
à gauche, que l'on notera
Ci,j :“ Cg,pi,jq .
On rappelle que l'on dénit les données de Stokes
associées au système gradué avec repère
Ypd
Σ´
Σ´
“ Ypg
Σ´
¨ u´ ,
Ypd
Σ`
pu´ , u` , hq P U´ ˆ U` ˆ T
Lp par
“ Ypg
Σ`
¨ hu`
Σ` )
et
h “ e2iπΛ ,
p
est la composante connexe de Upη
3π
ipη` 2 q
un voisinage de l'inni de la direction e
(resp.
où
(resp.
monodromie globale de la solution
Ypg
dans le sens
p ` 2πq contenant
` πq X Upη
π
eipη` 2 q ). Voir la gure 6. La
´1
direct est donnée par hu` u´ .
Σ`
‚
η`π
‚
ai
‚
η
Σ´
Figure 6. Domaines
Σ`
et
Σ´
Notons
M ˚ “ Λ´1
ÿ
Ri Ci,j idj P g.
iPI
M est à diagonale égale à l'identité. On rappelle que la matrice
N ˚ est donnée par N ˚ “ e´iπΛ Λ´1 Πp´Λq P T . On posera aussi
ÿ
M “ ΛM ˚ “
Ri Ci,j idj P g
On remarquera que
de normalisation
a
(3.3. )
b
(3.3. )
˚
˚
iPI
´iπΛ
N “ ΛN “ e
Πp´Λq P T
et
ÿ p2iπqk`1
e2iπz ´1
“
zk
χ : z ÞÑ
z
pk ` 1q!
kě0
qui est une fonction entière, en particulier holomorphe au voisinage de
0.
3.3. DONNÉES DE STOKES COMME FONCTION DE LA CONNEXION FUCHSIENNE
Théorème 3.3.4. La matrice
M
69
dénie grâce aux matrices de connexion déter-
mine les matrices de Stokes via la formule
c
hu` ´ u´ “ N ´1 M χpΛqN.
(3.3. )
On transforme le terme
χpΛqN .
On obtient
χpΛqN “ pe2iπΛ ´1qΛ´1 e´iπΛ Πp´Λq “ 2iπ ΠpΛq´1
en utilisant la formule des compléments. D'où
d
hu` ´ u´ “ 2iπ eiπΛ Πp´Λq´1 M ΠpΛq´1 “
(3.3. )
2iπ eiπλi
mi,j
Γp1 ´ λi qΓp1 ` λj q
ÿ
i,jPI
où
mi,j
désigne les coecients de
M
et en utilisant l'écriture plus commune avec la
fonction Gamma d'Euler.
3.3.2. Démonstrations de la section précédente.
3.3.2.1. Démonstration du théorème 3.3.4. Pour montrer le théorème, on procède
en plusieurs étapes.
Lemme 3.3.5. On a la relation
Yg “ Yg˚ ¨ M ˚ .
À partir de cette relation algébrique, on peut en déduire le calcul de la monodromie
˚
p.
de Yg autour d'un pôle de ∇
Lemme 3.3.6. La monodromie de
R ` ai e
ipη`πq
Yg˚
autour de
ai
lorsque l'on traverse la coupure
dans le sens direct est égale à
ri˚ “ 1 ` M ˚ pe2iπΛ ´1q idi
Corollaire 3.3.7. La monodromie de
Ypg
autour de
ai
dans le sens direct est
égale à
ri “ 1 ` N ´1 M χpΛqN idi .
Démonstration du corollaire 3.3.7. C'est immédiat car
car
idi P t
˚
N PT
et
ri “ N ˚,´1 ri˚ N ˚
et
commutent.
Remarque 3.3.8. On peut aussi déduire du lemme 3.3.6 l'expression de la mono-
Yg
dromie de
autour de
ai
dans le sens direct. Elle est donnée par
1 ` idi pe2iπΛ ´1qM ˚ .
Cette expression ne sera pas utilisée dans la suite. Remarquez que cela est compatible
2iπλi
avec le fait que la monodromie de Yg pvi q est donnée par e
P C˚ pour tout vi P Vi
˚
car on a idi M idi “ idi .
Posons
Ă :“ N ´1 M χpΛqN “ N ˚,´1 M ˚ pe2iπΛ ´1qN ˚ P g.
M
On a donc
Ă idi
ri “ 1 ` M
pour tout
i P I.
On identie alors
aj ěd ai
si
I
=paj e
muni de l'ordre
´ipη`πq
ěd
donné par
´ipη`πq
q ě =pai e
q
c'est-à-dire
=paj e´iη q ď =pai e´iη q
t1, ¨ ¨ ¨ , nu muni de l'ordre usuel (voir la gure 7). Remarquons que l'ordre
I est le même ordre que celui utilisé pour dénir les sous-groupes unipotents
U˘ Ď G pour le coté irrégulier lorsque l'on fait le choix de l'angle admissible η P R
à l'ensemble
sur
coté irrégulier. En particulier, on a bien
Ypd
avec
u˘ P U˘
Σ´
“ Ypg
Σ´
¨ u´ ,
Ypd
Σ`
“ Ypg
Σ`
¨ hu`
et
h “ e2iπΛ ,
pour les mêmes groupes unipotents que coté irrégulier.
70
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
a1
‚
eiη
‚
an
‚
eipη`πq
Figure 7. Ordre sur les pôles coté fuchsien
On en déduit immédiatement que la monodromie de la base
contour dans le sens direct est égal à
a
rn rn´1 ¨ ¨ ¨ r1 P G.
Ypg
autour d'un grand
On a donc l'égalité
rn rn´1 ¨ ¨ ¨ r1 “ hu` u´1
´ .
(3.3. )
À partir de cette équation, comme la décomposition de Gauss de
B` U´
est unique, il sut de vérier que si les endomorphismes
la relation
Ă
hu` ´ u´ “ M
a
u˘
rn rn´1 ¨ ¨ ¨ r1 P
sont dénis par
alors on a bien l'équation (3.3. ). Cela donnera que les
a
uniques endomorphismes vériant (3.3. ) sont bien dénis par
Ă.
hu` ´ u´ “ M
Démonstration. Par un calcul direct, on vérie que
Ă,
prn rn´1 ¨ ¨ ¨ r1 ´ 1qu´ “ M
lorsque l'on suppose que
rn rn´1 ¨ ¨ ¨ r1
u˘
sont dénis par
Ă idj ,
Mi,j :“ idi M
ř
id ` iąj Mi,j . D'où
En eet, on a
Ă idn qp1 ` M
Ă idn´1 q ¨ ¨ ¨ p1 ` M
Ă id1 q
“ p1 ` M
Ăř ř
“1`M
Mi1 ,i2 ¨ ¨ ¨ Mi ,i ,
ką0
où
Ă.
hu` ´ u´ “ M
i1 ąi2 ą¨¨¨ąik
c'est-à-dire que l'on a
u´1
´ “ id `
ÿ
Ă“
M
ÿ
ř
i,jPI
k´1 k
Mi,j .
Or par dénition
u´ “
Mi1 ,i2 ¨ ¨ ¨ Mik´1 ,ik
ką0 i1 ąi2 ą¨¨¨ąik
c'est-à-dire que l'on a bien
Ă.
pr1 r2 ¨ ¨ ¨ rn ´ 1qu´ “ M
Remarque 3.3.9. On en déduit immédiatement que
´1 ˚,´1
.
M ˚ “ N ˚ u´ pu´1
´ hu` ´ 1qph ´ 1q N
˚
Donc la matrice M est inversible car 1 n'est pas valeur propre de la monodromie
´1
u´
hu` de ∇, ni de la monodromie formelle h grâce aux conditions 3.1.1. On peut
aussi le montrer directement (voir [
] Ÿ2 proposition 2 p.697)
BJL81
M et
1
1
Ă
des ri pour la partie droite. On aurait alors M “
i,jPI Ri Cd,pi,jq idj et ri “ 1 ` M idi
pd autour du pôle ai dans le sens direct (avec M
Ă1 dénie de manière
la monodromie de Y
Remarque 3.3.10. On aurait pu considérer les variantes des dénitions de
1
ř
3.3. DONNÉES DE STOKES COMME FONCTION DE LA CONNEXION FUCHSIENNE
analogue à
Ă en
M
remplaçant
M
par
M 1 ).
Alors la monodromie globale de
Ypd
71
dans le
sens direct est
´1
´1
r11 r21 ¨ ¨ ¨ rn1 “ phu´1
´ h qhu` “ hu´ u` ,
´1
Ă1
I . On peut alors montrer que l'on a hu´1
´ ´u` “ M . Souvent
´1
´1 ´1
on note dans ce cas v` :“ u` et v´ :“ hu´ h
donc la monodromie globale est égale
´1
1
Ă
à v´ hv` et on a v´ h ´ v` “ M .
pour le même ordre sur
3.3.2.2. Démonstration des lemmes 3.3.5, et 3.3.6.
Yg˚ est une base de solutions, il existe
˚
˚
un élément inversible A P G tel que Yg “ Yg ¨ A. Montrons que A “ M . ConsidéÀ
rons pvi qiPI une base graduée de
iPI Vi et notons pAi,j qi,jPI la matrice de A dans
ř
˚
cette base. Alors Yg pvi q “
kPI Ai,k Yg pvk q. On regarde l'asymptotique de Yg pvi q et
˚
des Yg pvk q en ai . On a
Démonstration du lemme 3.3.5. Comme
Yg pvi q „ pζ ´ ai qλi ¨ vi
Y ˚ pvi q „ pζ ´ ai qλi ¨ vi ` holomorphe
Y ˚ pvk q „ holomorphe
D'où
aura
en
ai ,
en
pour tout
ai
k ‰ i.
Ai,i “ 1. On procède de même pour les asymptotiques en aj , j ‰ i. En eet, on
Y pvi q „ Kj pζ ´ aj qλj ¨ vj ` holomorphe en aj et on en déduira que Kj “ Ai,j .
ζÑaj
Pour déterminer
Ψg,j ¨ Cj,i .
Kj ,
on écrit
Yg pvi q “ Ψg,i pvi q
et on remarque que l'on a
Ψg,i “
Or
Ψg,j pvj q „ pζ ´ aj qλj vj
ζÑaj
Ψg,j pkj q „
ζÑaj
holomorphe en
aj ,
pour tout
kj P Kj :“ kerpRj q.
p , on a V “ Vj ‘ Kj où Kj :“
∇
V Ñ Vj , orthogonale à Kj est Λ´1 Rj .
On rappelle qu'avec les hypothèses de généricité sur
kerpRj q “ kerpidj Rq.
La projection naturelle
D'où
On a
Ψg,i pvi q „ Ψg,j ¨ Cj,i vi “ Ψg,j ¨ Λ´1 Rj Cj,i vi ` holomorphe
ζÑaj
ř ř
´1
˚
donc bien A “
iPI
jPI Λ Rj Cj,i idi “ M .
en
aj .
Yg˚ au˚
tour de ai dans le sens direct. Comme Yg pvk q est holomorphe en ai pour tout k ‰ i, on
ř
a Ak “ idk pour k ‰ i où Ak :“ A idk . Remarquez qu'on retrouve A par A “
kPI Ak .
Calculons maintenant Ai qui est la seule partie de A non triviale. Soit vi P Vi . On
ř
˚
˚
˚
˚
˚
˚
écrit Yg pvi q “ Yg ¨ M vi “ Yg pvi q `
k‰i Yg idk M vi car les termes diagonaux de M
˚
sont égaux à 1, c'est-à-dire idi M idi “ idi . En prolongeant cette solution autour de
ai dans le sens direct, on trouve Yg pvi q ¨ e2iπλi en utilisant le fait que la monodromie
2iπRi
2iπRi
de Ψg,i est e
et que e
e2iπλi vi . Pour le membre de gauche, on trouve
ř vi “
˚
˚
˚
˚
Yg ¨ AM vi “ Yg ¨ Ai pvi q ` k‰i Yg idk M ˚ vi car les Ak “ idk pour tout k ‰ i. On en
Démonstration du lemme 3.3.6. Notons
A :“ ri˚
la monodromie de
déduit
`
˘
ř
Yg˚ ¨ Ai pvi q “ Yg pvi q ¨ pe2iπλi ´1q ` Yg pvi q ´ k‰i Yg˚ idk M ˚ vi
“ Yg˚ ¨ M ˚ pe2iπΛ ´1qvi ` Yg˚ pvi q,
c'est-à-dire
Ai “ idi `M ˚ pe2iπΛ ´1q idi .
est le résultat annoncé.
Finalement,
A “ 1 ` M ˚ pe2iπΛ ´1q idi ,
ce qui
72
3. MATRICES DE STOKES ET MATRICES DE CONNEXION
3.3.3. Prolongement holomorphe du cas générique.
Ci,j
sont bien dénies lorsque l'on considère la connexion
p
∇
Les matrices de connexions
soumise aux conditions
génériques 3.1.1. Cependant, on remarque qu'elles le sont aussi lorsque l'on prend les
conditions plus faibles :
(1) les résidus sont de rang
(2) la matrice
R“
En eet, les résidus
Ri
ř
en
ď1
avec aucune valeur propre un entier non nul,
iPI
Ri
ai
sont encore non résonants dans ce cas.
n'admet pas de valeur propre entière non nulle.
Les conditions génériques correspondantes pour la connexion
(1) la partie diagonale
Λ “ δpRq
de
R
∇
sont les :
n'a pas de valeurs propres un entier non
nul,
(2) le résidu
R
n'a pas de valeurs propres un entier non nul.
De plus, on remarque que les matrices de connexions
R
quement de
pour une matrice
R
Ci,j
dépendent holomorphi-
restant dans cet ensemble générique.
De même, on peut montrer la proposition suivante :
θ P R. Alors l'appliR dans l'ensemble générique précédent associe ses données
pu´ , u` , hq P U´ ˆ U` ˆ T est une application holomorphe.
Proposition 3.3.11. On xe le choix d'un angle admissible
cation qui à une matrice
de Stokes
On déduit immédiatement de cette proposition que la formule du théorème 3.3.4
s'étend aussi au cas générique précédent avec
(1) la partie diagonale
Λ “ δpRq
de
R
n'a pas de valeurs propres un entier non
nul,
(2) le résidu
R
n'a pas de valeurs propres un entier non nul.
Remarque 3.3.12. On retrouve en particulier la formule de T. Bridgeland et V.
T. Laredo [
BTL13] théorème 5.4 p.19 écrite sous la forme de la proposition 9.1 p.28.
En eet, quand la partie diagonale
Λ
de
R
est nulle, on a immédiatement
hu` ´ u´ “ 2iπM “ 2iπ
ÿ
Ri Ci,j idj .
i,jPI
car
N “ id
et
χpΛq “ χp0q “ 2iπ . Remarquez aussi que la formule
limΛÑ0 N ˚ “ 8 dans ce cas. Cela est
n'a pas de sens à priori car
2iπΛ
zéro de e
´1.
avec les étoiles
compensé par le
Chapitre 4
Données de Stokes du cas biparti
4.1. Notations et résumé
Dans ce chapitre, nous allons traiter le cas général du chapitre 3. On rappelle que
A1 l'algèbre de Weyl. On choisit deux C-espaces vectoriels de dimension nie
on choisit un tore maximal T du groupe G :“ GLpV q ‘ GLpW q d'algèbre
de
Enn, on choisit un élément A ‘ B P t et on notera K “ KV ‘ KW Ď G
le centralisateur de A ‘ B pour l'action adjointe. On considère la présentation de
A1 -modules
l'on note
V
W,
Lie t.
et
¨M 0
A1 b pW ‘ V q˚ ÝÑ A1 b pW ‘ V q˚ ÝÑ M 0 ÝÑ 0.
avec
ˆ
0
M “
où
˙
Bz ´ B
C
P A1 bC EndpW ‘ V q,
D
z´A
C P HompV, W q et D P HompW, V q sont quelconques. Remarquez que sa restriction
C ´ tai : i P Iu est la connexion
`
˘
∇0 “ d ´ B ` Cpz ´ Aq´1 D dz,
à l'ouvert
qui est une connexion avec un pôle double en l'inni et des pôles simples en les
(i
ai
P I ).
A1 -module est équivalente à la donnée d'une
Γp1, 1q sur l'espace vectoriel bigradué V :“ V ‘ W
La donnée de cette présentation de
représentation du graphe biparti
avec la données de
A‘B
et le choix d'une des deux parties qui correspondra aux
pôles à distance ni.
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
Figure 1. Graphes biparti
Γp1, 1q, Γp5, 1q
et
Γp4, 3q
B P EndpW q.
On notera pour la suite Γ :“ ΓpI, Jq le graphe biparti de sommets l'union disjointe I Y
J et VÀ
“ V ‘W l'espace vectoriel
bigradué, où V , resp. W , sont munis des graduations
À
V “
iPI Vi , resp. W “
jPJ Wj , induites par A, resp. B . Comme expliqué dans
la section 1.2.2 du chapitre 1, la représentation du graphe Γp1, 1q correspond à une
représentation du graphe Γ sur l'espace vectoriel I Y J -gradué V. On notera alors
Notons
pai qiPI
les valeurs propres de
A P EndpV q et pbj qjPJ
‚
Cij P HompVi , Wj q Dji P HompWj , Vi q
73
pour tout
celles de
pi, jq P I ˆ J,
74
4. DONNÉES DE STOKES DU CAS BIPARTI
les applications induites par
C
et
D
respectivement par les graduations de
V
et
W.
Notre convention est de prendre des indices pour signier que l'on prend la décomposition sur l'espace de départ et des exposants lorsque c'est pour l'espace d'arrivée.
De même, on notera
ř
j
Ci :“
jPJ Ci P HompVi , W q pour tout i P I ,
ř
j
j
C :“
řiPI Cii P HompV, Wj q pour tout j P J ,
Dj :“
D P HompWj , V q pour tout j P J ,
ř iPI ji
i
D :“
jPJ Dj P HompW, Vi q pour tout i P I .
0
La présentation de A1 -module M est donc équivalente à une représentation du
graphe
Γ
sur
V
avec en plus les choix suivants :
(1) des nombres complexes
ai
et
bj
pour tout sommet
iPI
et
jPJ
tels que pour
une même partie, les nombres complexes sont deux à deux distincts,
(2) une des deux parties correspondant aux pôles à distance nie, ici
I.
On peut représenter le tout grâce à la gure 2.
C
V‚
A
‚W
B
D
ai 1 ‚
Cij11
Dji11
‚ bj1
ai 2 ‚
.
.
.
.
.
.
‚ bjn
ai m ‚
Γp1, 1q, en bas du graphe
A1 -module M 0
Figure 2. Représentation en haut du graphe
Γ
avec ses choix correspondant au
Notons
M1
la transformée de Fourier-Laplace de
M 0.
Alors les données de cette
présentation correspond à la représentation de graphe
C
´A
V‚
‚W
B
´D
plus le choix de l'autre partie à distance nie (la partie de W ). Cela signie que le
1
type irrégulier de M a pour valeurs propres les ´ai pour tout i P I et que les pôles
1
de M sont les bj pour tout j P J .
θ est admissible pour une famille pλi qiPL si et seulement
argpλi ´ λj q ı θ pmod 2πq pour tout i ‰ j . Une direction d est admissible
On rappelle qu'un angle
si on a
pour cette famille si l'un quelconque de ses angles est admissible. On dira qu'un angle
4.1. NOTATIONS ET RÉSUMÉ
75
θ P R est co-admissible si ´θ P R est un angle admissible. Dans la sphère de Riemann
P1 , une direction est donc admissible dans la carte à distance nie P1 ´ t8u si et
1
seulement si elle est co-admissible dans la carte à l'innie P ´ t0u.
On rappelle que la donnée d'une direction admissible d d'angle θ sur la famille
pλi qiPL induit un ordre total sur l'ensemble L donné explicitement par
i ěd j
Impλi e´iθ q ď Impλj e´iθ q.
si
L
Si l'on se donne un angle co-admissible, on prendra l'ordre sur
donné par l'angle
admissible correspondant.
En particulier, la donnée de deux directions admissibles pour les familles pai qiPI
pbj qjPJ respectivement et le choix d'une partie correspondant aux pôles à distance
nie, ici I , (que l'on peut voir ici aussi comme un ordre entre les parties I et J , disons
I ă J ) induit un ordre sur le graphe biparti Γ suivant la dénition 1.2.3 du chapitre
et
1.
la partie diagonale par blocs de l'endomorphisme DC
1
0
(resp. CD ), c'est-à-dire le résidu du A1 -module M (resp. M ) en l'inni. Dans toute
On note
ΛV
ΛW )
(resp.
la suite, on supposera que les endomorphismes
appartiennent à un voisinage de
0
C P HompV, W q
et
D P HompW, V q
susamment petit. Précisément, on suppose que
les endomorphismes
(1)
Ci D i
(2)
Dj C
j
pour tout
j P J,
(3)
C j Dj
pour tout
j P J,
(4)
i
(5)
(6)
D Ci
i P I,
pour tout
i P I,
ř
ΛW :“ δpCDq “ jPJ C j Dj ,
ř
ΛV :“ δpDCq “ iPI Di Ci ,
pour tout
sont tous à valeurs propres dans le disque ouvert
de rayon
1{2.
propres dans
tz P C : |z| ă 1{2u
centré en
0
En particulier, tous ces endomorphismes sont non résonants à valeurs
C ´ Z˚ .
Remarquez que les conditions pour (3) et (4) impliquent les
conditions pour (5) et (6).
Ce chapitre peut être résumé par la gure 3 ci-dessous.
0
1
Les bons choix de normalisation t et t P K seront donnés ci-dessous.
Commençons par donner les théorèmes correspondant à la èche verticale de
gauche de la gure 3.
Mal91] et
On a le théorème suivant, conséquence de la théorie développée dans [
rappelée dans l'appendice A :
Théorème (Théorème 4.2.1). Pour tout choix :
(1) de deux angles
ηI , ηJ P R
admissibles pour les familles
pai qiPI
et
pbj qjPJ
res-
pectivement,
(2) d'un élément
t P K,
(3) d'une orientation du cercle à l'inni,
on peut associer naturellement à la présentation de
représentation inversible du graphe biparti
Γ
A1 -module M 0
ci-dessus une
sur l'espace vectoriel bigradué
V.
Ce théorème est une reformulation de la correspondance de Riemann-HilbertBirkho à ce cadre généralisé des
À
jPJ Wj
A1 -modules.
voisinage de l'inni dans la direction d'angle
W “
M 0 au
Explicitement, on montrera que
est naturellement isomorphe (grâce à nos choix) aux solutions de
´ηJ , J -gradué par la croissance des
´ηJ . De même, on montrera
solutions au voisinage de l'inni au voisinage de l'angle
76
4. DONNÉES DE STOKES DU CAS BIPARTI
Transformée de Fourier-Laplace
{Présentation de
{Présentation de
A1 -modules}
A1 -modules}
M0
∇0 “ d ´ pB ` Cpz ´ Aq´1 Dq dz
M1
∇1 “ d ` pA ` Dpζ ´ Bq´1 Cq dζ
ηJ P R
´ηI ´ π P R,
t “ t1 P K
ηI P R
angle co-admissible ´ηJ P R
0
normalisation t “ t P K
angle admissible
orientation
orientation canonique
inverse
Transformée de Laplace
multiplicative
{représentation inversible
du graphe
Γ
sur
V
{représentation inversible
}
du graphe
puji , vji qpi,jqPIˆJ P Rep˚ pΓ, Vq
Γ
sur
V
}
pvji , uji qpj.iqPJˆI
système gradué
système gradué
système gradué
(avec repère)
(avec repère)
(avec repère)
des microsolutions
des solutions
des microsolutions
Figure 3. Correspondance de Riemann-Hilbert-Birkho pour la pré-
sentation de module
que
Vi
M0
et sa transformée de Laplace
0
À M
V “ iPI Vi
est naturellement isomorphe (grâce à nos choix) aux microsolutions de
au voisinage du pôle
ai
ηI .
au voisinage de la direction d'angle
L'espace
s'identiera alors à l'espace des microsolutions généralisées à croissance exponentielle
ř
ř
j
0
i
de M et si l'on note u “
pi,jqPIˆJ ui et v “
pi,jqPIˆJ vj , les applications v : W Ñ V
et
u:V ÑW
s'identieront à l'application canonique semi-locale et à l'application
variation semi-locale respectivement.
1
0
Rappelons que l'on note M la transformée de Fourier-Laplace de M . Il est clair
1
0
que le graphe associé à M est égal à celui associé à M , c'est-à-dire Γ. Faisons le choix
de deux angles admissibles
ηI
et
ηJ
pour les familles
et
pai qiPI
pbj qjPJ
respectivement.
On peut résumer la situation sur les données par le diagramme ci-dessous
M0
M1
pai qiPI ,
ηI
pbj qjPJ ,
´ηJ
On a donc le même ordre sur
I
p´ai qiPI , ´ηI ´ π
pbj qjPJ ,
et
J
pour
M0
et
M 1.
ηJ
L'ordre entre les parties
est opposé mais cela n'a pas d'importance pour la dénition des représentations de
graphe inversible d'un graphe biparti. On est donc en présence du même espace de
˚
représentations inversibles Rep pΓ, Vq.
à
Le résultat fondamental reliant la représentation inversible du graphe
1
et à M est le
M0
Γ
associées
4.1. NOTATIONS ET RÉSUMÉ
77
Théorème (Théorème 4.3.1). Les deux représentations inversibles du graphe
Γ
V associées au A1 -module M et à sa transformée de Fourier-Laplace M pour
les mêmes choix d'angles admissibles, de normalisation t P K et d'orientation sont
0
sur
1
naturellement isomorphes.
On peut même préciser cet isomorphisme. On dénir les éléments de normalisation
suivant :
NV˚ :“ eiπΛV Πp´ΛV q P KV
Π désigne la fonction Pi de Gauss
Γp1 ` zq pour tout z P C ´ Ză0 .
où
et
˚
:“
NW
Πp´ΛW q
P KW
2iπ
reliée à la fonction Gamma d'Euler par
Πpzq “
Théorème (Théorème 4.3.2). Les deux représentations inversibles du graphe
sur
pour
(1) l'orientation canonique, des angles admissible et co-admissible ηI , ´ηJ
˚
0
et de l'élément t “ idV ‘NW P K “ KV ‘ KW pour le module M ,
PR
(2) l'orientation inverse, des angles co-admissible et admissible ´ηI ´ π, ηJ
˚
1
et de l'élément t “ NV ‘ idW P K “ KV ‘ KW pour le module M ,
PR
associées au
A1 -module M 0
Γ
M1
V
et à sa transformée de Fourier-Laplace
les choix :
sont égales.
Ensuite, on généralisera la dénition de l'application de Riemann-Hilbert-Birkho
à ce cadre pour obtenir :
Théorème. Pour tout choix :
(1) d'un angle co-admissible
(2) d'un élément
η8 P R,
t P KW ,
(3) de l'orientation canonique,
on peut associer à toute connexion méromorphe de la forme
`
˘
d ´ B ` Cpz ´ Aq´1 D dz
W
sur le bré trivial de bre
sur
P1
un système gradué de bre
W,
correspondant à
ses données de Stokes en l'inni.
On montrera ensuite qu'une représentation inversible du graphe
Γ
induit deux
systèmes gradués, correspondant à chaque choix possible d'une des deux parties complètes.
Proposition. On peut associer naturellement à toute représentation inversible
du graphe
de bre
V,
Γ
sur l'espace vectoriel gradué
le second de bre
W
V ‘W
deux systèmes gradués, le premier
avec pour vecteur entier
pdimpVi qqiPI
et
pdimpWj qqjPJ
respectivement.
Reste à vérier la compatibilité avec l'application correspondante au niveau des
0
connexions. Notons ∇ la connexion
`
˘
∇0 “ d ´ B ` Cpz ´ Aq´1 D dz
sur le bré trivial de bre
W,
égal à la restriction du
A1 -module M 0
sur
C ´ tai :
i P Iu.
Notons aussi le connexion
`
˘
∇1 “ d ` A ` Dpζ ´ Bq´1 C dζ
sur le bré trivial de bre V , égal à la restriction du transformée de Fourier-Laplace
M 0 sur C ´ tbj : j P Ju.
de
78
4. DONNÉES DE STOKES DU CAS BIPARTI
Théorème.
(1) Le système gradué de bre W associé à la représentation inversible du graphe
Γ associé à M 0 est égal au système gradué associé à la connexion ∇0 .
(2) Si l'on suppose les conditions génériques de la section 3.1.1 du chapitre 3, en
particulier
B “ 0 et A à
bre V associé
valeurs propres deux à deux distinctes, le système
gradué de
à la représentation inversible du graphe Γ associée
0
1
à M est égal au système gradué associé à la connexion fuchsienne ∇ par
la proposition 3.1.9 du chapitre 3.
À partir de ce résultat, on peut en déduire un calcul explicite des données de
∇0 en fonction de certaines données de la connexion ∇1 .
Stokes de la connexion
On conclura enn dans la section 4.6 que la matrice de connexion permettant de
dénir un associateur de Drinfel'd dans [
Dri89] est un cas particulier de coecient
de Stokes dans un cas générique.
4.2. Représentation inversible de graphe et présentation de modules
A1 -module comme précédemment,
inversible du graphe Γ.
Nous allons montrer qu'à toute présentation de
on peut associer une représentation de graphe
Théorème 4.2.1. Pour tout choix :
(1) de deux angles admissible et co-admissible
et
ηI , ηJ P R
pour les familles
pai qiPI
respectivement,
pbj qjPJ
(2) d'un élément
t P K,
(3) d'une orientation du cercle à l'inni,
on peut associer naturellement à la présentation de
Γ
représentation inversible du graphe biparti
L
pour tout point de base
bre
Lb
de
L
en
ci-dessus une
sur l'espace vectoriel bigradué
V.
M0
la présentation de A1 -modules comme ci0
le système local des solutions de M sur U :“ C ´ tai : i P Iu. Alors
Rappelons quelques points. Posons
dessus. Notons
A1 -module M 0
b.
b proche
Si la direction
de l'inni, dans la direction
d
est non singulière, alors
M 0 sur
de Stokes. Par la théorie formelle, la restriction de
d,
on peut considérer la
b appartient à un secteur
U , qui est une connexion
est formellement équivalente à la connexion
˜
r 0 :“ d ´
∇
ř
B`
j
jPJ C Dj
z
car d'après les conditions génériques,
ΛW
¸
ˆ
˙
ΛW
dz “ d ´ B `
dz.
z
ř
:“ jPJ C j Dj est non résonante.
Grâce à
la théorie de la multi-sommation, on en déduit un isomorphisme holomorphe
Fb
au
voisinage de l'inni dans le secteur de Stokes donné par la direction non singulière d
r 0 et M 0 (vu comme DU Yt8u -module) au voisinage de b tel que
entre la connexion ∇
F p8q “ 1.
En choisissant une branche du logarithme dans la direction
KW ,
d
et un élément
tW P
r 0.
∇
on en déduit une base préférée du système local gradué des solutions de
Par l'isomorphisme holomorphe précédent, on en déduit une base graduée du système
0
local des solutions de M en b. La composante selon W est donnée explicitement par
F pzq ¨ eΛW logpzq`Bz ¨tW ,
pour tout
z
d. La graduation au niveau de la
W . Directement au
À
Lb “ jPJ Lj avec Lj l'ensemble des
au voisinage de l'inni dans la direction
base de solution correspond immédiatement à la graduation de
niveau du système local, celle-ci est donnée par
4.2. REPRÉSENTATION INVERSIBLE DE GRAPHE ET PRÉSENTATION DE MODULES
79
M 0 sur U telle que son prolongement vers l'inni le long d'une direction
angle θ avec |θ ´ argpdq| ă π{2 est à croissance sous-exponentielle de type bj .
0
Comme le choix d'une direction non singulière de M en l'inni est équivalent
solutions de
au choix d'une direction co-admissible, ce qui précède peut ainsi être résumé dans le
lemme suivant :
M0
A1 -modules comme ci-dessus. Alors
pour la famille pbj qjPJ et tout choix d'un
KW , on peut dénir un isomorphisme gradué naturel
Lemme 4.2.2. Soit
une présentation de
pour tout choix d'un angle co-admissible
élément
tW P
à
ηJ
Wj ÝÑ
jPJ
à
Lj
jPJ
0
jPJ Lj est la bre du système local des solutions de M en un point à l'inni dans
la direction d'angle ηJ , muni de sa graduation naturelle par croissance des solutions.
où
À
On peut procéder de manière analogue pour les microsolutions. Notons Ci l'espace
0
0
des microfonctions en ai et µLi :“ HomDa pMa , Ci q l'espace des microsolutions de M
i
i
en ai . La dénition des microfonctions est rappelé dans la section A.3.1 de l'appendice
A. Rappelons de plus que pour toute demi-droite
toute microsolution
O
s P µLi
modulo les germes de fonctions holomorphes en
Lemme 4.2.3. Soit
M0
une présentation de
tV P KV ,
à
Vi ÝÑ
iPI
où
µLi
issue de
ai ,
on peut représenter
à
_
s
en
ai
sur
C´d
ai .
A1 -modules comme
la famille pai qiPI et
ηI pour
on peut dénir un isomorphisme gradué naturel
pour tout choix d'un angle admissible
élément
d
par la classe d'un germe de fonction
ci-dessus. Alors
tout choix d'un
µLi
iPI
est l'espace des microsolutions de
M0
en
ai
sur la tanche d'angles
sηI ´π ; ηI `
πr.
Explicitement, la composante sur
forme
où
Fi pzq
Vi
de la base de microsolutions de
µLi
est de la
i
est une
pz ´ ai qCi D
Fi pzq ¨
¨ tVi pmod Oai q,
z ´ ai
fonction holomorphe en ai telle que F pai q “ 1.
Remarque 4.2.4. Dans les deux lemmes ci-dessus, on a utilisé de manière essen-
tielle le fait que
M0
vérie les conditions génériques. Pour l'isomorphisme avec les
solutions, c'est la condition
l'isomorphisme avec les
p5q (conséquence de p3q) que l'on a utilisé, alors que pour
microsolutions, c'est la condition p4q.
On peut maintenant montrer le théorème 4.2.1.
Démonstration du théorème 4.2.1. On a déjà montrer que pour les choix
0
précédents, on peut dénir les isomorphismes entre l'espace des solutions de M et
0
W d'une part et l'espace des microsolutions généralisées de M et V d'autre part.
On pose alors
Can : W Ñ V
l'application induite par l'application canonique entre
solutions et microsolutions généralisées et
Var : V Ñ W
l'application induite par la
variation dans l'orientation choisie entre microsolutions généralisées et solutions.
1´Var Can égal à la monodromie des solutions autour du pôle à l'inni
l'orientation opposée à celle choisie et 1 ´ Can Var égal à la monodromie des
On a donc
dans
microsolutions généralisées autour des pôles à distance nie selon le même lacet.
j
i
Alors, on note Canj P HompWj , Vi q et Vari P HompVi , Wj q les applications induites
par les graduations de V et W . Ces applications dénissent bien une représentation
80
4. DONNÉES DE STOKES DU CAS BIPARTI
du graphe
Γ.
ηI
Le choix des angles admissible et co-admissibles
des ordres sur les ensembles
I
et
J
et
ηJ
induisent bien
respectivement, et en posant de plus
I ă J,
on a
bien un ordre sur le graphe Γ. Le corollaire A.5.6 de l'appendice A montre alors que
j
i
les applications pCanj , Vari qpi,jqPIˆJ dénissent bien une représentation inversible du
graphe Γ.
Remarque 4.2.5. L'expression des composantes des applications canonique et
variation semi-locales est donnée par les formules de la proposition A.6.4 de l'appendice A. Cela permet de relier les applications semi-locales aux applications canoniques
et variations locales.
Remarque 4.2.6. Notons
uji P HompVi , Wj q
et
vji P HompWj , Vi q
pour tout
la représentation inversible de graphe associée au module
pi, jq P I ˆ J,
M0
pour le choix d'angles
id P K . On vérie immédiatement que si l'on prend le choix
t “ tV ‘ tW P K , alors la nouvelle représentation inversible de graphe
admissible et de l'élément
de l'élément
sera donnée par
j
´1
uj,1
i “ tWj ¨ ui ¨ tVi
et
i
vji,1 “ t´1
Vi ¨ vj ¨ tWj
En particulier, l'action sur la monodromie
t´1
W ¨ p1 ` uvq ¨ tW .
1 ` uv
pour tout
pi, jq P I ˆ J.
est bien donné par
1 ` u1 v 1 “
4.3. Transformée de Laplace multiplicative et isomorphisme de
représentations inversibles de graphe
Les représentations de graphe inversibles associées à
M0
et
M1
Théorème 4.3.1. Les deux représentations inversibles du graphe
au
A1 -module M
0
et à sa transformée de Fourier-Laplace
M
1
sont isomorphes :
Γ sur V associées
sont isomorphes.
Dans l'appendice A, on dénit la transformée de Laplace multiplicative sur les
hyperfonctions. Les hyperfonctions solution sont un moyen commode d'encoder dans
un même objet des solutions et des microsolutions (généralisées). Cela permet donc
de dénir la transformée de Laplace de solutions et de microsolutions.
On dénir les éléments de normalisation suivant :
NV˚ :“ eiπΛV Πp´ΛV q P KV
et
˚
NW
:“
Πp´ΛW q
P KW
2iπ
Π désigne la fonction Pi de Gauss reliée à la fonction Gamma d'Euler par Πpzq “
Γp1 ` zq pour tout z P C ´ Ză0 . Ces deux éléments sont bien dénis. En eet,
on a supposé que ΛV et ΛW sont susamment proches de 0 et on peut prendre le
développement holomorphe de la fonction z ÞÑ Πp´zq en 0 qui sera bien une série
entière de rayon de convergence ą 1{2 (même ě 1 en l'occurrence).
où
On peut alors en déduire le théorème suivant :
Théorème 4.3.2. Les deux représentations inversibles du graphe
au
A1 -module M 0
et à sa transformée de Fourier-Laplace
M1
Γ sur V associées
pour les choix :
(1) de l'orientation canonique, des angles admissible et co-admissibles ηI , ´ηJ
R et de l'élément t “ idV ‘NV˚ P K “ KV ‘ KW pour le module M 0 ,
P
(2) de l'orientation inverse, des angles co-admissible et admissible ´ηI ´π, ´ηJ
˚
R et de l'élément t “ NW
‘ idW P K “ KW ‘ KV pour le module M 1 ,
P
sont égales.
4.3. TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE ET ISOMORPHISME DE REPRÉSENTATIONS INVERSIBLES D
Remarquez que le théorème 4.3.1 est une conséquence du théorème 4.3.2. En
eet, les changements de choix fournissent toujours un isomorphisme au niveau des
représentations de graphe inversible.
Remarque 4.3.3. On peut considérer la suite de
tels que
M k`1
soit la transformée de Fourier-Laplace
A1 -modules M 0 , M 1 , . . . , M 4
k
4
0
de M . Alors on a M » M .
Cependant, l'itération des choix précédents donne la même orientation, mais l'élément
e´2iπΛ 0
4
de normalisation t “
t où Λ “ ΛV ‘ΛW et les angles (co)-admissibles ηI , ´ηJ P
p2iπq2
0
R pour M mais les angles ηI ` 2π, ´ηJ ´ 2π P R pour M 4 . Le facteur e´2iπΛ de la
normalisation est exactement compensé par la translation des angles
ηI
et
respectivement. Donc les représentations de graphe inversibles associées à
ηJ de ˘2π
M 0 et M 4
pour ces choix sont isomorphes et l'isomorphisme correspond à la multiplication par
2
un facteur 1{p2iπq .
Rappelons tout d'abord les dénitions de la transformée de Laplace multiplicative
de l'appendice A.
O
ϕ une microsolution de M 0
_
ai . On notera ϕ un quelconque de ses majeurs
^
_
et ϕ son mineur. Précisément, cela signie que ϕ est un représentant quelconque de
O
^
^
_
_
´2iπ
la classe ϕ et ϕ est la fonction dénie par ϕpzq “ ϕpzq ´ ϕpe
zq. Comme M 0 est
^
^
0
à croissance exponentielle et que le mineur ϕ est une solution de M , alors ϕ est à
Soit
en
croissance au plus exponentielle à l'inni et on peut considérer des intégrales de type
Laplace de
ηI P R.
^
ϕ.
On a fait le choix de l'orientation canonique et de l'angle admissible
On dénit la transformée de Laplace multiplicative de la microsolution
pour l'orientation canonique et l'angle admissible
1
Lpϕqpζq :“
2iπ
O
où
ε
ż ai `ε eipηI `πq
_
ϕpzq e
ai `ε eipηI ´πq
´zζ
ηI
1
dz `
2iπ
O
ϕ
comme la fonction
ż 8 eipηI ˘πq
^
ϕpzq e´zζ dz,
ai `ε eipηI ˘πq
désigne un réel strictement positif susamment petit pour que la première
intégrale soit dénie. On montre que cette somme d'intégrales ne dépend pas du
O
choix du majeur et du ε choisi. La fonction ψ :“ Lpϕq dénit une solution à l'inni
1
de M au voisinage de la direction ´ηI ´ π . Réciproquement, si ψ est une solution
1
quelconque de M dénie au voisinage de l'inni dans la direction ´ηI ´ π , alors on
pose
ż 8 eip´ηI ´πq
ψpζq ezζ dζ.
´1
L pψqpzq :“
Z`eip´ηI ´πq
´ηI ´ π au voisinage de l'inni. Cela dénit alors
0
bien une microsolution généralisée de M au voisinage de la direction ηI .
1
Rappelons maintenant la dénition de la transformée de Laplace coté M . Si ϕ
0
est une solution de M dénie au voisinage de l'inni dans la direction ´ηJ , alors on
où
Z
est un point dans la direction
pose
´11
L
où
X
1
pϕqpζq :“
2iπ
est un point dans la direction
´ηJ
ż X`e´iηJ
ϕpzq ezζ dz.
8 e´iηJ
au voisinage de l'inni. Changer de point
X
à
l'inni change le résultat par l'addition d'une fonction holomorphe sur un grand disque
1
à distance ni (contenant tous les pôles de M ). Donc, pour n'importe quel choix
1
de X , cela dénit une microsolution généralisée de M au voisinage de la direction
O
´ηJ ´ π .
Réciproquement, si on choisit une microsolution
d'un pôle
bj
ψ
de
M1
au voisinage
avec les choix de l'orientation inverse et de l'angle admissible
ηJ ,
on a la
82
4. DONNÉES DE STOKES DU CAS BIPARTI
dénition suivante de la transformée de Laplace :
1
ż bj `ε eipηJ ´πq
O
ż 8 eipηJ ˘πq
_
´zζ
ψpζq e
L pψqpzq :“
^
ψpζq e´zζ dζ.
dζ `
bj `ε eipηJ ˘πq
bj `ε eipηJ `πq
L'inuence du choix de l'orientation est que l'on prend l'intégrale autour du cercle
de
bj
dans le sens inverse et non dans le sens direct. Remarquez aussi que comme on
M 1 , on ne met pas les facteurs 1{p2iπq au même endroit.
prend la transformée coté
On peut donc résumer ce qui précède par le diagramme 4 suivant :
angle
angle
´ηJ
M0 W
solutions de
Var0
microsolutions de
ηJ
W
Can0
Can1
M0 V
ηI
angle
M1
Var1
V
angle
microsolutions de
solutions de
M1
´ηI ´ π
Figure 4. Transformée de Laplace multiplicative des solutions et microsolutions.
Le fait que l'on ait des isomorphismes de Laplace inverse l'un de l'autre est une
conséquence de la théorie générale développée dans l'appendice A, théorème A.4.5.
Reste à voir la compatibilité des bases des deux cotés qui est le résultat du lemme
suivant.
Lemme 4.3.4. Soit
tion d'angle
ηI
O
Φ
la base de microsolutions généralisées de
M0
dans la direc-
donnée par son asymptotique avec le choix de la normalisation
NV˚ :“ eiπΛV Πp´ΛV q P KV .
Alors la base de solutions de
O
M1
à l'inni donnée par la transformée de Laplace de
1
est la base des solutions de Stokes de M donnée par le choix de l'angle admissible
Φ
´ηI ´ π
(et la normalisation
id P KV ).
Φ est la base de solutions de Stokes de M 0 donnée
par le choix de l'angle co-admissible ´ηJ (et de la normalisation id P KW ) alors sa
1
transformée de Laplace est la base de microsolutions généralisées de M donnée par
le choix de l'angle admissible ηJ et de la normalisation
Remarque 4.3.5. De même, si
˚
NW
“
Πp´ΛW q
P KW .
2iπ
Ce résultat se montre comme le lemme 4.3.4 précédent, en changeant le choix de
l'orientation choisie.
On a donc que pour tout
O
Φ la base de microsolutions généralisées de M 0 de l'énoncé.
vi P Vi , la base de microsolutions est asymptotique à
Démonstration. Soit
i
pz ´ ai qCi D
¨ NV˚ ¨ vi
z ´ ai
et holomorphe en
sante selon
W
ai
pmod Oai q,
(c'est-à-dire est nulle) pour tout
vk P Vk
avec
est entièrement déterminée par la composante selon
k ‰ i.
V.
La compo-
4.4. SYSTÈMES GRADUÉS ET REPRÉSENTATIONS INVERSIBLES DE GRAPHE
83
Le fait que la transformée de Laplace de cette base est bien la base de Stokes
1
de M donnée par le choix de l'angle admissible ´ηJ ` π est une conséquence d'un
lemme analogue 3.2.7 du chapitre 3. Précisément, le lemme est le
Lemme 4.3.6. La transformée de Laplace de l'hyperfonction
choix d'arguments
z ÞÑ
pz´ai qα
pour le
z´ai
sηI ´ π ; ηI ` πr est égale à
ż
e´ai ζ
1
pz ´ ai qα ´zζ
e dz “ Kα ¨ α ,
2iπ γai ,ηI `π z ´ ai
ζ
pour la détermination de
ζα
d'angles
s´ηI ´ 2π ; ηI r,
avec
Kα “
e´iπα
,
Γp1´αq
4.4. Systèmes gradués et représentations inversibles de graphe
Γ un graphe complet biparti de sommets l'union
I Y J muni d'un ordre. Soit V “ V ‘ W un C-espace vectoriel bigradué
V est I -gradué et W est J -gradué. On notera µi “ dimpVi q pour tout i P I .
Comme précédemment, on note
disjointe
tel que
Nous allons montrer dans cette section que l'on peut associer à chaque représentation
inversible du graphe
Γ
deux systèmes gradués.
Proposition 4.4.1. On peut associer naturellement à toute représentation in-
Γ sur l'espace vectoriel
V , le second de bre W
versible du graphe
premier de bre
pdimpWj qqjPJ
gradué
V ‘W
deux systèmes gradués, le
avec pour vecteur entier
pdimpVi qqiPI
et
respectivement.
Commençons par remarquer le fait suivant :
Σ un anneau, µ̃ “ pµi qiPI et une paire (non ordonnée) de
Σd recouvrant Σ tels que leur intersection ait deux composantes
connexes. On munit I d'un ordre total. Alors la catégorie des systèmes gradués pour
les données pΣ, I, µ̃, Σg , Σd q est équivalente à la catégorie suivante :
Lemme 4.4.2. Soit
deux ouverts
Σg
et
(1) les objets sont les automorphismes linéaires
B´ B` Ď À
G où les
ordonnée V “
iPI Vi ,
grosse cellule
duation
f P GLpV q
(2) les èches sont les automorphismes linéaires de
de
V,
c'est-à-dire un élément de
appartenant à la
Borel par blocs sont dénis grâce à la gra-
V
préservant la
I -graduation
K “ B´ X B` .
Démonstration. L'application qui à un système gradué associe un objet de
la catégorie ci-dessus est dénie comme suit. On choisit un isomorphisme gradué
À
À
iPI Li pdq avec
iPI Vi . L'application de monodromie dans le sens direct pour
un point de base dans Σd dénit immédiatement, via cet isomorphisme, un élément
de
f
de la grosse cellule
B´ B`
par dénition des systèmes gradués. Pour l'application
f admet toujours une décomposition de la forme
f “ b´ b` avec b´ P B´ et b` P B` , donc un système gradué en prenant Li pgq “
Li pdq “ Vi et les applications de recollement b˘ . De plus, une autre décomposition
´1
est nécessairement de la forme f “ pb´ t qptb` q pour un certain t P K “ B´ X B` ,
donc dénirait un système gradué isomorphe.
réciproque, il sut de remarquer que
Nous pouvons maintenant montrer la proposition 4.4.1.
Γ est un
J . D'après le lemme 4.4.2,
il sut d'associer à une représentation inversible du graphe Γ sur le C-espace vectoriel
bigradué V deux automorphismes linéaires f P GLpV q et g P GLpW q appartenant à
Démonstration de la proposition 4.4.1. On rappelle que comme
graphe ordonné, il est muni d'un ordre sur les ensembles
I
et
84
4. DONNÉES DE STOKES DU CAS BIPARTI
leur grosse cellule respective. En reprenant les notations de la section 1.2.3 du chapitre
1
uji P HompVi , Wj q
vji P HompWj , Vi q
et
pour tout
pi, jq P I ˆ J,
on pose alors
˜
f“
¸
δi,j `
ÿ
vkj uki
P EndpV q
kPJ
et
ti,jPIu
˜
g“
¸
δi,j `
ÿ
uik vjk
kPI
P EndpW q,
ti,jPJu
que l'on vérie immédiatement être dans les grosses cellules respectives, par dénition
d'une représentation inversible.
On peut maintenant montrer la compatibilité des systèmes gradués induit. On
M 0 ci-dessus dont sa restriction à C ´ tai : i P Iu est la
reprend la présentation
connexion
`
˘
∇0 “ d ´ B ` Cpz ´ Aq´1 D dz.
On choisit une direction co-admissible d pour la famille pbj qjPJ . De la théorie générale
0
développée dans [Boa14], on peut associer à la connexion ∇ un système local de
Stokes un peu plus général que celui déni dans le chapitre 1. C'est un système local
r où l'on a pris l'éclaté réel de P1 ´ tai : i P Iu en le point à l'inni
sur une courbe Σ
et retiré des points au voisinage de l'inni dans les directions singulières tel que sa
restriction dans le halo à l'inni soit un système
grand disque de
epdq
r
Σ
contenant les pôles
d)
pour toute direction singulière
de Stokes à
r ´ D.
Σ
ai
KW -local.
On considère alors un
mais aucuns autres trous (aucun des trous
et on prend la restriction du système local
Cette restriction dénit un système local de Stokes dans le sens
de la dénition 1.3.8 du chapitre 1 et on peut donc grâce à la proposition 1.3.11 lui
d. En prenant
z ÞÑ 1{z ), on obtient le système
associer un système gradué pour le choix d'une direction co-admissible
l'inversion de ce système local (par la transformation
gradué désiré.
On a alors le
Théorème 4.4.3. Le système gradué de bre
versible du graphe
∇0 .
Γ
associé à
M
Démonstration. La partie
0
W
associé à la représentation in-
est égal au système gradué associé à la connexion
W
de la représentation inversible du graphe Γ cor∇0 gradué par le phénomène de Stokes
respond bien au système des solutions de
dans la direction co-admissible
d
à l'inni. L'application de monodromie donne bien
le système gradué induit, qui est bien égal au système gradué obtenu directement en
0
prenant le système local de Stokes associé à ∇ puis le système gradué correspondant
(dans la direction
d).
Considérons maintenant le cas particulier du chapitre 3. On prend
valeurs propres deux à deux distinctes,
C “ id
et on pose
avec les notations des chapitres précédents. On a donc
0
connexion ∇ est alors égale à
∇0 “ d ´ idpz ´ Aq´1 R dz “ d ´
On suppose de plus que l'application
R
vérie :
B “ 0, A
à
R :“ D pour être cohérent
V “ W dans ce cas. La
ÿ idi R
dz.
z ´ ai
iPI
4.5. DONNÉES DE STOKES
(1) la partie diagonale
(2) l'endomorphisme
Λ :“ δpRq P t
RPg
R
de
85
est à valeurs propres non entières,
est à valeurs propres non entières.
Théorème 4.4.4. Sous les hypothèses précédentes, le système gradué de bre
(“
W)
associé à la représentation inversible du graphe
1
au système gradué associé à la connexion fuchsienne
∇
Γ
associé à
M
0
V
est égal
par la proposition 3.1.2 du
chapitre 3.
Démonstration. La démonstration est un peu moins immédiate que pour le
coté irrégulier. En eet, le système gradué donné par la restriction de la représentation inversible du graphe Γ est le système gradué donné par les microsolutions de
0
la connexion ∇ au voisinage de ces pôles à distance nie. Il faut donc montrer que
0
l'espace des microsolutions de ∇ en le pôle ai disons est isomorphe à l'espace des
0
solutions de ∇ holomorphe sur C privé d'une demi-droite issue de ai de direction
admissible
d
et non holomorphe en
ai .
On a une application naturelle entre les deux
espaces, qui est l'application canonique qui à une solution au voisinage de
ai
associe
la microsolution correspondante. Dans ce cas, l'application canonique est un isomorphisme. En eet, les deux espaces sont de dimension
1 (voir le lemme 3.1.3 du chapitre
3 et la proposition 2.1.4 du chapitre 2). Comme l'application canonique est clairement
non nulle, elle est bijective.
4.5. Données de Stokes
M 1,
Pour calculer les données de Stokes de
on va utiliser les correspondances
algébriques présentes dans l'appendice A section A.6.
Considérons la représentation inversible du graphe
Γ
associée au module
M1
donnée par les
uji P HompVi , Wj q
et
vji P HompWj , Vi q
uji
et
pour tout
pi, jq P I ˆ J.
On rappelle que l'on note
ui “
ÿ
vi “
jPJ
La monodromie de la partie
MV “
ÿ
vji
pour tout
i P I.
jPJ
V est
˜
donnée par
δi,j `
¸
ÿ
vkj uki
kPJ
P EndpV q.
ti,jPIu
On en déduit les matrices de Stokes de la connexion
∇1
par la formule
MV “ u´1
´ hu` ,
qui est aussi équivalente à la formule
u´ ´ hu` “
ÿ
v i Θ´1
i´1 ui1 .
i,i1 PI
où
Θl :“ 1 `
l ÿ
ÿ
uki vki P GLpW q.
i“1 kPJ
Notons un instant avec des primes les applications de la représentation inversible
0
de graphe associée au module M avec le bon choix de normalisation donné par le
j,1
j
i,1
i
théorème 4.3.2. On a donc ui “ ui et vj “ vj pour tout pi, jq P I ˆ J d'après
le résultat du théorème 4.3.2. On notera donc sans les primes les applications de la
0
1
représentation de graphe inversible associé à M et M .
0
On suppose toujours que les résidus du A1 -module M sont non résonants, ce qui
permet de bien dénir les matrices de connexion.
86
4. DONNÉES DE STOKES DU CAS BIPARTI
Proposition 4.5.1. Si
ai
de la connexion
∇
1
Ci,j
désigne la matrice de connexion entre les pôles
aj
et
, alors on a l'égalité
1
i
v i Θ´1
i´1 ui1 “ ´Ci,i1 ¨ χp´Ci1 D q ¨ Ci1 P HompVi1 , Vi q,
pour tout
i, i1 P I,
où Ci,i1 désigne la matrice de connexion entre les pôles ai1 vers ai pour le choix de la
branche du logarithme donnée par l'angle ηI , le long du chemin ne traversant aucunes
ipη ˘πq
des coupures ak ` R` e I
.
Démonstration. C'est une conséquence du lemme 3.2 de [
Mal91] chapitre II
p.31.
On en déduit immédiatement que les matrices de Stokes de la connexion
∇1
sont
déterminées dans le cas générique précédent par les matrices de connexion de la
0
connexion ∇ .
4.6. Associateur de Drinfel'd
Soient
X, Y P g “ EndpV q.
On montre ici que la matrice de connexion permet-
Dri90],
tant de dénir un associateur de Drinfel'd dans [
connexion le long du segment
r0 ; 1s
ˆ
X
Y
`
z
z´1
∇KZ :“ d ´
sur le bré trivial sur
P1
V , est en fait
2 ` 1 dans un cas
de bre
Stokes d'une connexion de type
c'est-à-dire la matrice de
de la connexion fuchsienne
˙
dz
un cas particulier de matrices de
générique.
On considère la connexion irrégulière
¨ˆ
˚
∇ :“ d ´ ˚
˝
sur leˆbré
˙ trivial de bre
D“
∇KZ
X
Y
et
`
C “ 1V
1V
0
˙
ˆ
1
`
ξ2
V :“ V ‘ V
˘
sur
˙˛
X X
Y Y ‹
‹ dξ
‚
ξ
P1 .
Le résidu en
0
est égal à
DC
avec
. La connexion fuchsienne associée est bien la connexion
ci-dessus utilisée pour dénir un associateur de Drinfel'd sur
C
(voir [
Dri90]).
d d'angle ´π{2. Cela permet de dénir l'ouvert
Updq égal à C privé des deux demi-droites issues de 0 et 1 de direction d. Notons C2,1
la matrice de connexion de ∇KZ reliant le pôle 0 au pôle 1 par un chemin de Updq.
Notons aussi Φ la matrice de connexion de ∇KZ le long du segment r0 ; 1s (parcouru
de 0 vers 1), que nous appellerons ici matrice de connexion de Drinfel'd. Alors on a
On choisit la direction admissible
l'égalité
(Si on avait pris la direction
Maintenant, les matrices
C2,1 “ eiπY Φ.
´iπY
admissible d'angle π{2, on aurait eu C2,1 “ e
Φ).
de Stokes de ∇ sont données par la formule
hu` ´ u´ “ N ´1 M ¨ χpΛqN
ř
N “ eiπΛ Πp´Λq avec Π la fonction Pi de Gauss et M “ i,jPI Ri Ci,j idj . Le
coecient d'indice p2, 1q de hu` ´ u´ c'est-à-dire l'opposé du coecient p2, 1q de u´
avec
est donné par
En utilisant
e´iπλ2 Πp´λ2 q´1 ¨ Y C2,1 ¨ χpλ1 q eiπλ1 Πp´λ1 q.
l'expression explicite des λi , on a donc
pu´ q2,1 “ ´Πp´Y q´1 Y ¨ Φ ¨ χpXq eiπX Πp´Xq.
4.6. ASSOCIATEUR DE DRINFEL'D
87
En particulier, on peut retrouver la matrice de connexion de Drinfel'd
ecient
p2, 1q de u´
Φ à partir du co-
lorsque l'on suppose des conditions génériques. Par exemple, sup-
posons que la connexion
∇
soit susamment proche de la connexion triviale comme
λ2 soit inversible. Alors Y est
λ2 ) et les termes en Πp´Zq et χpZq sont inversibles
de 0. Dans ce cas, on peut donc écrire l'égalité
précédemment mais en plus que
inversible (par hypo-
thèse sur
car
proche
Z “X
ou
Y
est
Φ “ ´Πp´Y qY ´1 ¨ pu´ q2,1 ¨ χpXq´1 e´iπX Πp´Xq´1 ,
c'est-à-dire que la matrice de connexion de Drinfel'd est déterminée génériquement par
∇. En particulier, le développement des matrices de Stokes
∇ sous forme de série formelle nous redonne le développement en série formelle non
les matrices de Stokes de
de
LM96] théorème
commutative de la matrice de connexion de Drinfel'd donné dans [
A.9 p.63.
Chapitre 5
Développement moulien des matrices de connexion
5.1. Introduction
Le but de ce chapitre est de donner une formule sous la forme d'une série formelle
(à variables non commutatives) pour les matrices de connexion
au pôle
ai
avec
i, j P I ,
∇ :“ d ´
ÿ
iPI
1
V ˆP Ñ P
sur un bré trivial
Ci,j
reliant le pôle
aj
pour une connexion fuchsienne
1
Ai
dz
z ´ ai
et d'utiliser ce résultat ensuite dans le chapitre 6
pour donner un développement en série des matrices de Stokes d'un connexion de type
2 ` 1 (en utilisant les résultats du chapitre 3 qui nous ont permis de relier les matrices
de Stokes aux matrices de connexions de connexions fuchsiennes). En généralisant les
résultats ci-dessous et tout particulièrement le corollaire 5.6.3 p.109 pour les matrices
de connexion entre les pôles d'une connexion du type
2 ` 1 ` ¨ ¨ ¨ ` 1,
on peut fournir
des résultats analogues à ceux du chapitre 6 en utilisant les développements eectués
dans le chapitre 4 proposition 4.5.1.
Donnons ci-dessous la formule en question. Dans cette section, on considère les
données suivantes :
(1) une coordonnée
C-espace
EndpV q.
(2) un
z : P1 ´ t8u Ñ C.
V
vectoriel
(3) les nombres complexes
(4) des éléments
P
1
Ai P g
de dimension nie. On note
ai (i P I )
pour tout
G “ GLpV q
et
g “
deux à deux distincts.
i P I.
On considère alors la connexion méromorphe ∇ ci-dessus sur le bré trivial V ˆ
Ñ P1 . On notera S :“ tai : i P Iu Y t8u l'ensemble des pôles de ∇. On peut
dénir un certain nombre d'invariant pour la connexion ∇. Par exemple, pour toute
1
1
classe d'homotopie de lacet γ à valeurs dans P ´ S reliant le point régulier p au
point régulier
q,
on peut dénir la monodromie
Mγ 1
de la connexion
∇
par
Mγ 1 :“ Ψ´1 ppqΨpqq P G,
où
γ 1.
Ψ
est une base de solution de
∇
au voisinage de
On suppose dans la suite que les résidus
p
que l'on prolonge à
Ai (i P I )
de
∇
q
le long de
en chaque pôle sont non
résonants, c'est-à-dire que la diérence de deux quelconque de leurs valeurs propres
n'est jamais un entier non nul. On peut alors dénir la matrice de connexion
p à un pôle simple q modulo le choix
logp p¨ ´ pq en p et logq p¨ ´ qq en q . Brièvement, pour ces
choix il existe deux bases préférées Ψp et Ψq sur un voisinage sectoriel issu de p et
q respectivement telles que Ψp pzq soit asymptotique à eResp p∇q¨logp pz´pq (et la formule
analogue pour Ψq ). Alors on a par dénition
pour tout chemin
γ
Cγ
reliant un pôle simple
d'une branche du logarithme
Cγ :“ Ψ´1
q pzqΨp pzq P G
89
90
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
et cette dénition est indépendante du choix de
z
γ
dans l'image du chemin
par
Cγ peut aussi s'écrire comme une limite
Mγu,v où γu,v : ru ; vs Ñ P1 ´ S désigne la
restriction de γ sur l'intervalle ru ; vs pour 0 ă u ă v ă 1 (voir la proposition 5.3.9).
˚
On dénit l'alphabet Ω :“ tAi : i P Iu en les résidus de ∇ et on notera Ω
l'ensemble des mots écrits dans l'alphabet Ω. Remarquez que cet alphabet est en
bijection avec I , et on notera abusivement aω :“ ai P C le pôle correspondant à une
lettre ω “ Ai P Ω.
‚
˚
On rappelle qu'un moule scalaire est une application I : Ω Ñ C. En suivant les
ω
‚
˚
conventions de J. Écalle, on note I :“ I pωq P C l'image du mot ω P Ω du moule
‚
I . Au langage près (et à la structure algébrique de l'ensemble des moules rappelée en
simple connexité. La matrice de connexion
normalisée des matrices de monodromie
appendice B), un moule est simplement un ensemble de coecients universels pour
chaque mot écrit dans l'alphabet
Ω.
On dénit le moule classique des hyperlogarithmes
1
valeurs dans les points réguliers Gr ´S de ∇ par
ż
Iγω1
:“
0ăt1 﨨¨ďtr ă1
ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr ,
pour tout mot
Notons
A‚
où
Iγ 1
pour tout chemin
γ1
à
dz1
dzr
¨¨¨
,
z1 ´ aω1
zr ´ aωr
zk :“ γptk q
pour tout
1 ď k ď r.
le comoule canonique à valeurs dans l'algèbre enveloppante
g. On rappelle que cela signie que A‚ est l'application Ω˚
l'algèbre de Lie
Ug de
Ñ Ug
dénie par
Aω :“ A‚ pωq “ Aωr ¨ ¨ ¨ Aω1 ,
ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr .
pour tout mot
On fera attention à l'inversion des indices.
Le point de départ de la formule pour les matrices de connexion est la proposition
suivante.
Proposition (5.4.3). On a l'égalité
Mγ 1 “
ÿ
Iγω1 Aω
ωPΩ˚
où
Mγ 1
est la monodromie de
∇
le long du chemin
γ1
(à valeurs dans les points
régulier) et où le membre de droite est une somme absolument convergente.
Cette formule est une conséquence de la résolution des équations diérentielle avec
la méthode de Picard et a été montrée dans le mémoire de J. A. Lappo-Danilevskij
[
LD53].
Pour obtenir une formule pour la matrice de connexion
pôle
ai
le long d'un chemin
γ,
Ci,j
reliant le pôle
aj
au
on doit dénir le bimoule d'extension symétrale
ssa‚i,j : pΩ ˆ Ωq˚ Ñ C.
‚
joue ici un rôle spécial et le bimoule ssai,j dépend de ces indices. La
‚
dénition explicite intrinsèque du bimoule ssa est donnée dans la section 5.5.2. En
Les indices
i
et
j
1
p ωω q
gros, les ssai,j s'expriment comme des sommes de produits de coecients binomiaux
1
˚
dépendant des mots ω, ω P Ω .
Remarque 5.1.1. Ce bimoule a beaucoup de termes nuls. En particulier, on
1
peut montrer que
pω q
ssai,jω ‰ 0
implique que les mots
ω
et
ω1
sont de même longueur
(même que leurs lettres sont en bijection). Un programme informatique a été donné
en appendice B pour calculer les premiers termes de ce bimoule.
On peut alors donner un développement moulien de la matrice de connexion
reliant le pôle
aj
au pôle
ai .
Ci,j
5.1. INTRODUCTION
91
Théorème. On a l'égalité
˜
Ci,j “ e´ logi paj ´ai qAi
¸
1
p ω q ω1
Aω
ssai,jω Ii,j
ÿ
elogj pai ´aj qAj ,
ω,ω 1 PΩ˚
où
ω
Ii,j
ω
Iγu,v
est égal à la limite des
pour
pu, vq Ñ p0, 1q
lorsque cette limite existe et
0
sinon. De plus, la somme de droite est absolument convergente.
Notons
Aj
Ω˚i,j Ď Ω˚
l'ensemble des mots dans l'alphabet
et ne nissant pas par
Ai .
De la dénition du bimoule
Ω ne commençant pas par
ssa‚ , on montre immédia-
1
p ωω q
˚
tement que pour tout ω P Ωi,j , on a ssai,j
“ 1 si ω “ ω 1 P Ω˚i,j et 0 dans tous les
autres cas. On peut donc écrire le développement précédent sous la forme
1
¨
˛
˚ ÿ
˚
ω1
Ii,j
Aω1 `
Ci,j “ e´ logi paj ´ai qAi ˚
˝ 1 ˚
ω PΩi,j
ÿ
‹
1
p ω q ω1
‹
ssai,jω Ii,j
Aω ‹ elogj pai ´aj qAj .
‚
˚
ω,ω 1 PΩ
ωRΩ˚
i,j
Le terme de droite entre les parenthèses peut être vu comme un terme de régularisation. En développant les exponentielles, on obtient alors la forme simpliée
ÿ
Ci,j “
1
ω
Ii,j
Aω 1 `
termes de régularisation.
ω 1 PΩ˚
i,j
De plus, remarquez que les coecients
1
ω
Ii,j
sont tous convergents pour
ω 1 P Ω˚i,j ,
c'est-à-dire que l'on a exactement
ż
ω1
Ii,j
“
0ăt1 﨨¨ďtr ă1
dz1
dzr
¨¨¨
,
z1 ´ aω1
zr ´ aωr
ω 1 “ ω1 . . . ωr P Ω˚i,j . On a ainsi
obtenu un développement moulien de la matrice de connexion Ci,j à partir d'intégrales
où
zk “ γptk q
pour tout
1ďkďr
pour tout mot
itérées, qui sont ici des hyperlogarithmes (voir [
Eca02] Ÿ4.3).
Cette section est organisée comme suit. Dans la partie 5.2, on commence par
faire le lien entre la formulation vectoriel ci-dessus et une variante formelle. Ensuite
dans la partie 5.3, on donne quelques pré-requis pour les développements mouliens
à proprement dit en reliant les matrices de connexion aux matrices de monodromie.
Les parties 5.4 et 5.5 sont les parties centrales de cette section où l'on montre les
développements mouliens pour la monodromie et les matrices de connexions. Pour les
matrices de connexion, on procède en trois étapes :
(1) On montre une formule du type
Ci,j “
ÿ
ω
Ji,j
pαj , αi qAω
ωPΩ˚
où
J ‚ : Ω˚ Ñ Crx, ys est un moule à valeurs dans l'algèbre des polynômes en
deux variables commutatives. Cette formule est une conséquence immédiate
du fait que les matrices de connexions
Ci,j
sont de type groupe pour une
certaine structure de cogèbre dans le cadre formel.
(2) On montre une formule du type
˜
Ci,j “ e´ logi paj ´ai qAi
¸
ÿ
ω
p0, 0qAω
Ji,j
elogj pai ´aj qAj
ωPΩ˚
en utilisant au maximum la structure de moule
‚
Ji,j
.
92
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
(3) Enn, on obtient en dernier lieu la formule du théorème ci-dessus grâce à la
formule
ÿ
ω
Ji,j
p0, 0q “
1
pω q
1
ω
ssai,jω Ii,j
ω 1 PΩ˚
qui exprime explicitement les coecients
ω
p0, 0q
Ji,j
comme combinaison li-
néaire d'hyperlogarithmes.
Enn, on projette ces résultats du cadre formel au cadre vectoriel dans la partie
5.6.
5.2. Lien entre le cadre formel et vectoriel
Dans cette section, on considère les données suivantes :
(1) une coordonnée
C-espace
EndpV q.
(2) un
z : P1 ´ t8u Ñ C.
V
vectoriel
(3) les nombres complexes
Ai P g
(4) des éléments
de dimension nie. On note
ai ( i P I )
pour tout
G “ GLpV q
et
g “
deux à deux distincts.
i P I.
On considère alors la connexion
a
∇ :“ d ´
(5.2. )
ÿ
iPI
1
V ˆP Ñ P
pôles de ∇.
sur le bré trivial
l'ensemble des
1
Ai
dz,
z ´ ai
. On rappelle que l'on note
S “ tai : i P Iu Y t8u
Le but de cette section est de donner une formule sous la forme d'une série formelle
non commutative pour les matrices de connexion
Ci,j
reliant le pôle
aj
au pôle
ai
avec
i, j P I .
Pour calculer cette matrice de connexion, on va mettre en parallèle deux formulations :
A “ CxxΩyy est l'algèbre de séries formelles
l'alphabet Ω “ tÃi : i P Iu et F̃ est le bré trivial
(1) le cas formel où
tives en
bre
non commuta1
sur P ´ S de
A.
V est un C-espace vectoriel de dimension nie, où g est
G :“ GLpV q, où les Ai P g sont des endomorphismes de
i P I et où F est le G-bré principal sur P1 ´ S . 1
(2) le cas vectoriel où
l'algèbre de Lie de
V
pour tout
a
Remarquez que l'expression (5.2. ) en remplaçant les
connexion sur le bré
F̃
Ai
par les
Ãi
dénit une
dans le cas formel aussi. La donnée de cette connexion est
équivalente à la donnée d'une bijection entre les alphabets
Ω et I , que l'on identiera
de cette manière dans la suite par ailleurs.
On a donc une application naturelle
b
Ω Ñ g “ EndpV q,
(5.2. )
donnée par
Ãi ÞÑ Ai
i P I.
com : CxxΩyy Ñ CJΩK
pour tout
On a une application
correspondant à l'ajout de la comCttΩuuν pour tout ν P R˚` , dites
mutation des variables. On dénit la sous-algèbre
des séries non commutatives convergentes de rayon
ą ν,
de
CxxΩyy
comme l'image
1. Par les correspondances usuelles entre brés vectoriels et brés principaux, on aurait pu considérer le cas où
F
aurait été un bré vectoriel trivial sur
P1 ´ S
de bre
V.
Pour ne pas induire une
confusion avec la terminologie base de solutions et solution d'une équation diérentielle dans le
cas formel, nous avons préféré faire ce choix.
5.2. LIEN ENTRE LE CADRE FORMEL ET VECTORIEL
réciproque par
com
de l'algèbre
CtΩuν
93
des séries entières de rayon de convergence
strictement plus grand que ν qui est bien une sous-algèbre de CJΩK. Explicitement,
ř
S “ ωPΩ˚ xω ω est un élément de CxxΩyy alors S P CttΩuuν si et seulement si
si
#
+
ÿ
sup M P R` :
|xω |M rpωq ă `8
ąν
ωPΩ˚
Ω˚ désigne l'ensemble des mots dans l'alphabet Ω et rpωq désigne la longueur du
8
ν
˚
mot ω . On notera CttΩuu l'intersection des CttΩuu pour ν P R` . On a donc la suite
où
d'inclusions
CttΩuu8 “
č
CttΩuuν Ď CttΩuuν1 Ď CttΩuuν2 Ď
CttΩuuν Ď CxxΩyy,
˚
νPR`
νPR˚
`
pour tout
ď
ν1 ě ν2 .
Remarque 5.2.1. Après composition par
com,
on retrouve la ltration
OpCΩ q Ď CtΩuν1 Ď CtΩu Ď CJΩK,
où on a envie d'étendre la notation en
0
et CtΩu “ CtΩu.
Supposons que l'on ait choisit les
b
CtΩu8 “ OpCΩ q
Ai
les fonctions entières sur
de norme plus petite que
ν P R˚` .
CΩ
Alors
l'application naturelle (5.2. ) s'étend en une représentation
CttΩuuν ÝÑ EndpV q.
b
Plus généralement, l'application naturelle (5.2. ) s'étend toujours en une représentation
c
CttΩuu8 ÝÑ EndpV q.
(5.2. )
sans condition sur les endomorphismes Ai P EndpV q. Remarquez que l'image du mot
8
vide H P CttΩuu
est la matrice id P EndpV q par dénition.
g̃, resp. G̃ l'ensemble des éléments primitifs, resp. de
A pour la structure d'algèbre de Hopf topologique sur A. On rappelle
p de A est donné par ∆pωq “ ω b 1 ` 1 b ω pour
que le coproduit ∆ : A Ñ AbA
tout ω P Ω et étendu à tout mot grâce à la propriété usuelle de compatibilité avec la
multiplication ∆pω1 ¨ ¨ ¨ ωr q “ ∆pω1 q ¨ ¨ ¨ ∆pωr q.
Notons L, resp. G, les sous-ensembles de CxxΩyy des séries formelles de coecient
constant égal à 0, resp. 1. On peut dénir la fonction exponentielle formelle Exp :
L Ñ G, analogue de la fonction exponentielle usuelle, donnée par
¨
˛
Coté formel, on notera aussi
type groupe de
Exp :
ÿ
ω
x ω ÞÝÑ 1 ¨ H `
ωPΩ˚ ´tHu
ÿ
ωPΩ˚ ´tHu
˚
˚
˚
˚
˝
1
ÿ
nPN˚
ω 1 ,...,ω n ‰H
ω 1 ¨¨¨ω n “ω
xω ¨ ¨ ¨ xω
n!
n
‹
‹
‹ω
‹
‚
On montre que cette application est bijective (par exemple en construisant explicitement son inverse à partir du développement en série du logarithme en
1)
g̃ Ď L et G̃ Ď G et que la fonction exponentielle formelle induit un isomorphisme Exp : g̃ Ñ G̃. De même, on vérie que l'image
2
8
8
de L X CttΩuu est incluse dans G X CttΩuu . On a donc un diagramme commutatif
On vérie immédiatement que l'on a
G X CttΩuu8 en général. En eet, on peut par exemple
CttΩuuν pour tout ν ă 1 mais pour aucun ν ě 1.
2. Son image n'est pas égale exactement à
montrer que
logp1 ¨ H ` 1 ¨ ωi q
appartient à
94
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
g̃
L X CttΩuu8
L
„ Exp
„ Exp
G̃
Exp
G X CttΩuu8
G
exp : g Ñ G. On peut aussi voir G comme
G “ GLpV q. Le lien entre la fonction exponentielle
On a la fonction exponentielle classique
un sous-ensemble de
g
lorsque
formelle et la fonction exponentielle classique est le suivant.
Lemme 5.2.2. Le diagramme suivant
(5.2.c)
g̃ X CttΩuu8
g
exp
Exp „
G̃ X ExppCttΩuu8 q
G
(5.2.c)
G̃ X CttΩuu8
g
est commutatif.
Remarque 5.2.3. Lorsque
Ω
est égal à un singleton
txu, les résultats précédents
8
sont assez connus. En eet, dans ce cas, CxxΩyy “ CJxK, CttΩuu “ OpCq les fonctions
˚
entières sur C et g “ C, G “ C . L'application (5.2.c) correspond à l'évaluation en
ř
n
un certain a P C. Dans ce cas, on montre que g̃ “ L “ t nPN fn x : f0 “ 0u et
ř
n
G̃ “ G “ t nPN gn x : g0 “ 1u. Donc Exp est bien une application de g̃ X OpCq
vers G̃ X OpCq, c'est-à-dire des fonctions entières f telles que f p0q “ 0 vers les
fonctions entières g telles que gp0q “ 1. Ce n'est pas un isomorphisme car typiquement
f pxq “ logp1 ` xq (qui devrait être l'image réciproque de la fonction gpxq “ 1 ` x)
est une fonction holomorphe sur |x| ă 1 mais pas une fonction entière.
5.3. Cas formel
Dans cette section, on omettra les tildes pour parler du cas formel an d'alléger
les notations.
Nous allons dénir des matrices de connexion
Ci,j P G X CttΩuu8
coté formel.
Boy06] Ÿ2. Tout d'abord remarquons que l'algèbre A :“
On reprend l'exposition de [
CxxΩyy est complète pour
tAi : i P Iu. On a donc un
la topologie
I -adique
où
I
est l'idéal engendré par
Ω “
isomorphisme
„
A ÝÑ lim A{I n .
ÐÝ
nPN
De plus, les quotients
n P N.
A{I n
sont des
On peut donc munir
A
C-espaces vectoriels de dimension nie pour tout
d'une topologie analytique comme étant la topologie
A{I n . Cette topologie est bien
limite induite par la topologie analytique dénie sur les
sûr plus ne que la topologie
I -adique
I -adique.
Le fait que
A
soit complet pour la topologie
implique que c'est un espace séparé pour la topologie analytique. De plus,
toute suite à valeurs dans
A
converge pour la topologie analytique si et seulement si
A{I n converge pour la topologie analytique.
son image dans tous les quotients
5.3. CAS FORMEL
Remarque 5.3.1. Pour
A “ CxxΩyy,
95
on a la correspondance des notations
I“L
avec la section précédente.
On peut alors dénir la notion de fonctions holomorphes
U
ouvert
de
C
sur la courbe
3
particulier un
X
OX -module
pour tout
OX xxΩyy des fonctions holomorphes
A “ CxxΩyy. Ce dernier est en
et ensuite le faisceau d'algèbres
complexe
f : U Ñ A,
à valeurs dans l'algèbre
et on a
p :“ lim OX b A{I n .
OX xxΩyy “ OX bA
ÐÝ
nPN
ř
D “ iPI ni pDi q est un diviseur eectif de X avec ni P N
et pDi q un point fermé de X pour tout i dans un ensemble ni I , alors on peut dénir
le faisceau MX,D :“ OX pDq des fonctions méromorphes à pôles les pDi q d'ordre au
plus ni (voir par exemple [Har77, GH94] ou sinon [Sab02] chapitre 1 Ÿ8). Donc
on peut dénir le faisceau d'algèbres MX,D xxΩyy :“ OX xxΩyy bOX OX pDq, qui est un
faisceau de OX pDq-modules.
De manière plus général, si
Comme précédemment, on considère la connexion méromorphe pour le diviseur
D “ 1p8q `
ř
iPI
1 ¨ pai q
a
∇ :“ d ´
(5.3. )
ÿ
iPI
Ai
dz,
z ´ ai
A ˆ P1 Ñ P1 . L'ensemble singulier de cette connexion est donc
S :“ |D| “ tai : i P Iu Y t8u.
˚
Notons A l'ensemble des éléments inversibles (c'est-à-dire admettant un inverse
˚
à droite et à gauche) de A pour la multiplication. On montre que A est égal à
l'ensemble des séries formelles de coecient constant inversible dans C (c'est-à-dire
1
non nul). Soit γ un chemin à valeurs dans P ´ S reliant le point p au point q .
sur le bré trivial
Lemme 5.3.2. Il existe une unique section horizontale
˚
Ψp ppq “ 1 P A
que
∇“d´
ř
ω
hω ω dz .
telle
.
Démonstration. On écrit une solution potentielle
tion correspondante à
Ψp pzq de ∇ sur P1 ´ S
∇pΨp q “ 0
Ψp pzq “
ř
f ω pzq ¨ ωřet on écrit l'équaΨ1p pzq “ ω pf ω q1 pzq ¨ ω et
ω
coecient par coecient. On note
On a par dénition
hω pzq :“
1
z´aω1
si
ω “ ω1 ,
hω pzq :“
0
si
ω
n'est pas un mot de longueur
1.
On obtient donc
pf ω q1 “
1
ÿ
2
hω f ω “ hH f ω `
1
2
hω f ω ,
ω 1 ω 2 “ω
ω 1 ‰H
ω 1 ω 2 “ω
c'est-à-dire avec la notation moulienne
ÿ
pf ‚ q1 “ h‚ ˆ f ‚ .
On procède par récurrence sur la longueur
Č
1 ´ S un revêtement
ω . On trouve donc une équation diérentielle
sur P
ř linéaireωholomorphe
1
ω2
ω
1
1
2
et condition initiale f ppq “ 0 si
universel de P ´ S , avec second membre égal à
ω ω “ω h f
du mot
ω 1 ‰H
ω‰H
donc
H
f ppq “ 1
nalement Ψp .
et
sinon. On en déduit la valeur de
fω
par le théorème de Cauchy holomorphe
Remarque 5.3.3. En résolvant explicitement la récurrence de la démonstration
précédente, on trouve
żz
ω
f pzq “
p
1
f ω2 ¨¨¨ωr pz1 q dz1 ,
z1 ´ aω1
3. On ne considérera que le cas de la dimension un dans cette thèse.
96
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr de longueur r ě 1, c'est-à-dire
ż zr´1
ż z1
żz
1
ω
dzr
dz2 ¨ ¨ ¨
dz1
f pzq “
.
pz1 ´ aω1 qpz2 ´ aω2 q ¨ ¨ ¨ pzr ´ aωr q
p
p
p
pour tout mot
b
(5.3. )
un chemin reliant le point p au point q , à valeurs dans
˚
alors la monodromie Mγ P A de ∇ le long du chemin γ par
Soit
γ
Mγ :“ Ψ´1
q Ψp pzq
En particulier, pour
z “ q,
on a
pour tout
On dénit
z P Impγq.
Mγ “ Ψp pqq.
Un résultat classique montre que la monodromie
d'homotopie à extrémité xe de
P1 ´ S .
γ
Mγ ne dépend que de la classe
∇ est plate par un argument
(car ici la connexion
de dimension).
On étend la notion de point de base aux points de bases tangentiels, suivant une
Del89
p l'éclatement réel
variante de la dénition de P. Deligne [
] Ÿ15. On considère Σ
1
orienté normalisé de P ´S . Concrètement, on colle en chaque point de S le cercle des
p de Σ
p est donc égal à l'union disjointe
directions émanant des points de S . Le bord B Σ
Ť
1
sPS Bs où Bs » S est le cercle des directions issues de s. La partie connexe Bs du bord
1
˚
est donc isomorphe à l'ensemble des vecteurs tangents unitaires pTs P ´ t0uq{R` de
P1
en
s. Un point
de base tangentiel est un élément de
au bord est un élément de
Soit
p
p . Un point
Σ
de base tangentiel
p.
BΣ
un point de base tangentiel au bord tel que
une branche du logarithme
log
p P Bai avec i P I . On choisit
p donnée par le point de
au voisinage de la direction
base tangentiel. Soit
Ui “ tz P P1 ´ S : 0 ă |z ´ ai | ă R
et
| argpz ´ ai q ´ p| ă πu,
R P R˚` susamment petit pour que R ă mint|ai ´ aj | : i, j P Iu. En particulier,
1
a Ui Ď P ´ S .
avec
on
‚ aj
p
ai
Ui
‚
Figure 1. Ouvert
La fonction
pz ´ ai qAi :“ elogpz´ai qAi
Ui
est bien une section globale de
OUi xxΩyy.
On rappelle ci-dessous quelques lemmes dont l'analogue dans le cadre vectoriel
est classique. Leurs démonstrations sont des variantes des démonstrations du cadre
vectoriel.
Boy06] Ÿ2.3 lemme 2.2).
Lemme 5.3.4 ([
Pour le choix précédent d'une branche
du logarithme, il existe une unique section horizontale
A
soit asymptotique à pz ´ ai q i en z Ñ ai .
Ψi pzq
Ψi pzq
de
∇
sur
Ui
telle que
5.3. CAS FORMEL
Ψi pzq
On rappelle que
pour tout
pz ´ ai qAi en z Ñ ai si par dénition il
ai vériant ψi pai q “ 1 et Ψi pzq “ ψi pzq ¨ pz ´
est asymptotique à
existe une fonction analytique
ai qAi
97
ψi pzq
en
z P Ui .
Lemme 5.3.5 ([
Boy06] Ÿ2.3 lemme 2.3).
On a les égalités
lim Ψi pzq ¨ pz ´ ai q´Ai “ 1 “ lim pz ´ ai q´Ai ¨ Ψi pzq,
zÑai
c'est-à-dire
z Ñ ai
Ψi pzq
zÑai
asymptotique à
pz ´ ai qAi
et
Ψ´1
i pzq
asymptotique à
pz ´ ai q´Ai
en
Ui .
sur l'ouvert
Remarque 5.3.6. On aurait pu considérer un point de base tangentiel au bord à
přP B8 . Dans
R “ iPI Ai .
l'inni
où
ce cas, il aurait fallu considérer une solution asymptotique à
Démonstration. La première égalité est par dénition de
Ψi .
zR
La seconde égalité est équi-
valente à
lim pz ´ ai q´Ai ¨ pψi pzq ´ 1q ¨ pz ´ ai qAi
zÑai
où
Ψi pzq “ ψi pzq ¨ pz ´ ai qAi
et
ψi
est une fonction analytique en
ÿ
pz ´ ai q´Ai ¨ pψi pzq ´ 1q ¨ pz ´ ai qAi “
ÿ
nPN n1 `n2
Comme
ψi pzq ´ 1 “ Oppz ´ ai qq,
ai
telle que
ψi pai q “ 1.
D'où
n1
p´1q
An1 pψi pzq ´ 1q logn pz ´ ai qAni 2 .
n1 !n2 ! i
“n
la limite de la parenthèse est bien
0
quand
z Ñ ai .
Soit
γ
un chemin supposé pour simplier
4
de classe
C1
reliant le point de base
p au point de base tangentiel q . Explicitement, cela signie que γptq est un
p pour tout t P s0 ; 1r et
intérieur de Σ
tangentiel
point
(1) si
p
(resp.
q)
est un point intérieur de
p
Σ
alors
γp0q “ p
(resp.
γp1q “ q ),
p alors argpγ 1 p0qq “ p (resp. argpγ 1 p1qq`
p (resp. q ) est un point du bord de Σ
π “ q ).
(2) si
On supposera dans la suite que
p sont des points de bases tangentiels au bord
p, q P B Σ
mais le lecteur vériera que ce qui est énoncé dans la suite est aussi valable pour des
1
points de bases classiques dans P ´ S .
q
‚γp1q “ ai
p
γp0q “ aj ‚
p
à
q
On peut maintenant dénir les matrices de connexion. Soient
ai
et
Figure 2. Chemin
de
∇
pour
i, j P I .
Soit
respectivement et soit
γ
p P Baj
et
γ
reliant le point tangentiel
q P Bai
un chemin reliant
une branche du logarithme
logj
et
logi
au
aj
deux pôles
deux points tangentiels basés en aj et ai
p à q . Pour chaque pôle aj et ai , on choisit
voisinage de p et q respectivement.
4. Cette hypothèse n'est pas nécessaire et on peut montrer que l'on peut dénir par limite les
directions
argpγ 1 p0qq
et
argpγ 1 p1qq ` π
grâce à un argument de compacité.
98
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
Définition 5.3.7. La matrice de connexion
ai
le long de
γ
Ψi , Ψj
reliant le pôle
aj
au pôle
est dénie par
Ci,j :“ Ψ´1
i Ψj pzq,
où
Ci,j P A˚
sont les solutions de
pour tout
z P γps0 ; 1rq,
∇ dénies grâce aux choix des branches du logarithmes
précédentes et au lemme 5.3.4.
Remarque 5.3.8. Comme on l'a déni, la matrice de connexion
Ci,j P A˚
n'est
pas à proprement parlé une matrice. Cependant, lorsque l'on passera au cas vectoriel,
l'élément correspondant sera un élément de
G “ GLpV q,
donc au choix d'une base
près, une matrice.
γu,v : ru ; vs Ñ P1 ´ S
0 ă u ă v ă 1.
Notons
la restriction du chemin
Proposition 5.3.9. La matrice de connexion
normalisée des monodromies
c
Mγu,v .
Ci,j
γ
sur l'intervalle
ru ; vs pour
s'exprime comme une limite
Précisément, on a
Ci,j “ lim e´ logi pγpvq´ai qAi Mγu,v elogj pγpuq´aj qAj .
(5.3. )
uÑ0
vÑ1
Démonstration. Pour simplier les notations, notons u1 “ γpuq et v 1 “ γpvq. En re´1
prenant les notations du lemme 5.3.4, on a Ci,j “ Ψi Ψj pzq pour tout z P γps0 ; 1rq et Mγu,v “
1
1 ´1
Ψi pv qΨi pu q . D'où
Mγu,v “ Ψi pv 1 qΨi pu1 q´1 Ψj pu1 qΨj pu1 q´1 “ Ψi pv 1 q ¨ Ci,j ¨ Ψj pu1 q´1 .
D'où , en sous-entendant les choix de branches du logarithme,
pv 1 ´ ai q´Ai Mγu,v pu1 ´ aj qAj “ pv 1 ´ ai q´Ai Ψi pv 1 q ¨ Ci,j ¨ Ψj pu1 q´1 pu1 ´ aj qAj .
En utilisant le lemme 5.3.5 donnant les égalités
lim pv 1 ´ ai q´Ai Ψi pv 1 q “ 1
vÑ1
et
lim pu1 ´ aj q´Aj Ψj pu1 q “ 1
uÑ0
c
on en déduit bien l'égalité (5.3. ).
5.4. Développements mouliens
Dans cette section, on restera uniquement dans le cadre formel et on omettra les
tildes pour alléger les notations.
On pourra consulter la section B.1 pour quelques rappels de calcul moulien, initialement introduit par J. Écalle. Pour des références, on pourra consulter les articles
Éca81, Éca92, Éca93] mais aussi un certain nombre d'article
de D. Sauzin comme [Sau09] ou encore l'article de vulgarisation du calcul moulien
de J. Cresson [Cre09].
originaux de J. Écalle [
L'algèbre
p
AbA
A
est munie d'une structure d'algèbre de Hopf topologique. Notons
A b A pour la topologie pA b I ` I b Aqadique. On rappelle que la counité ε : A Ñ C est dénie par εpAi q “ 0, l'antipode
p par
S : A Ñ A par SpAi q “ ´Ai et le coproduit ∆ : A Ñ AbA
la complétion du produit tensoriel
∆pAi q “ Ai b 1 ` 1 b Ai
pour tout
i P I.
Le coproduit vérie bien
Le comoule canonique
A‚
p ` I bA
p .
∆pIq Ď AbI
est déni par
Aω1 ¨¨¨ωr :“ Aωr ¨ ¨ ¨ Aω1 ,
A‚ est cosymétral, c'est-à-dire
ˆ 1 2˙
ÿ
ω ,ω
∆pAω q “
sh
Aω1 b Aω2 ,
ω
ω 1 ,ω 2 PΩ˚
On rappelle aussi que le comoule
que l'on a
5.4. DÉVELOPPEMENTS MOULIENS
où
et
` 1 2˘
sh ω ω,ω
ω2.
désigne le nombre de façon d'obtenir le mot
99
ω
par battage des mots
ω1
5.4.1. Développement de la monodromie.
dans
Pour tout chemin γ à valeurs
P1 ´ S , on dénit un moule scalaire symétral Iγ‚ grâce aux intégrales itérées par
ż
ω1 ¨¨¨ωr
:“
f1 pt1 q ¨ ¨ ¨ fr ptr q dt1 ¨ ¨ ¨ dtr ,
Iγ
0ďt1 ďt2 﨨¨ďtr ď1
où les
fk
ωk P Ω
à l'élément de
dz
fk ptq dt “ γ ˚ p z´a
q avec aωk P S ´ t8u
ωk
l'ensemble I correspondant.
sont dénies par
en identiant
Remarque 5.4.1. Les intégrales itérées ont initialement été introduites par K.T.
Che54, Che57, Che71, Che73,
Che77] mais aussi les travaux de R. Hain comme [Hai87a, Hai87b].
Chen dans un cadre plus général. Voir par exemple [
Remarque 5.4.2. Il y a deux conventions possibles pour la dénition des inté-
BTL13
grales itérées comme remarqué par T. Bridgeland et V.T. Laredo dans [
] Ÿ7.1.
˚
˚
En fait, si l'on note τ : Ω Ñ Ω l'inversion τ pω1 ¨ ¨ ¨ ωr q “ ωr ¨ ¨ ¨ ω1 , on peut considérer
τ p‚q
‚
‚
les deux moules Iγ et Iγ
. La dénition Iγ est celle utilisée lorsque l'on considère les
τ p‚q
5
polyzêtas , et la dénition Iγ
lorsque l'on considère le transport parallèle pour avoir
ř τ pωq
des sommes
Aω1 ¨ ¨ ¨ Aωr . Comme le comoule canonique Aω :“ Aωr ¨ ¨ ¨ Aω1 posω Iγ
‚
sède déjà une inversion τ , on prendra bien dans la suite la convention Iγ . On pourra
‚
aussi remarquer que le prolongement analytique du moule f de la remarque 5.3.3
τ p‚q
est bien notre moule Iγ
ř ω
ř ωcar dans la démonstration du lemme 5.3.2, on a utilisé
f
¨
ω
plutôt
que
ω
ω f ¨ τ pωq pour le développement d'une solution.
Mγ le long de γ est égale à la contraction
avec le comoule canonique, c'est-à-dire que l'on a
Proposition 5.4.3. La monodromie
du moule
Iγ‚
ÿ
Mγ “
Iγω Aω .
ωPΩ˚
Voir [
Che54] ou [Hai87a] Lemme 2.5 p.253 pour une démonstration. C'est aussi
b
une conséquence rapide de la formule (5.3. ) de la remarque 5.3.3 (prendre le prolongement analytique de cette formule).
Remarque 5.4.4. Cette formule est une conséquence de l'application du procédé
d'intégration de Picard pour résoudre l'équation diérentielle. De plus, cette formule
LD53].
a été montrée dans le mémoire de J. A. Lappo-Danilevskij [
moule symétral
Iγ‚
monodromie
comoule cosymétral
Figure 3. Monodromie
R‚
Mγ
comme contraction du moule
Corollaire 5.4.5. La dénition du moule
motopie à extrémité xe de
Mγ
Iγ‚
Iγ‚
ne dépend que de la classe d'ho-
γ.
5. Les polyzêtas apparaissent dans le cas particulier des matrices de connexion d'un système
fuchsien avec des pôles en
0, 1
et l'inni uniquement.
100
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
Proposition 5.4.6. On a les faits équivalents suivants :
(1) La monodromie
Iγ‚
(2) Le moule
Mγ
est de type groupe, c'est-à-dire
∆pMγ q “ Mγ b Mγ .
est symétral.
Démonstration. On peut montrer directement (1) en remarquant que les
Ai sont des
A. En eet, soit Ψ l'unique solution de ∇ telle que Ψppq “ 1. Alors on a par
dénition Mγ “ Ψpqq (où l'on sous-entend que l'on étend Ψ le long du chemin γ ). Remarquons
que la connexion ∇ est de la forme d ´ Ωpzq dz avec Ωpzq P A primitif. Considérons la connexion
p . Alors Ψ b Ψ est l'unique solution de la
∇2 “ d ´ ∆pΩpzqq dz sur le bré trivial de bre AbA
2
p . D'où
connexion ∇ telle que Ψ b Ψppq “ 1 b 1 P AbA
éléments primitifs de
∆pMγ q “ pΨ b Ψqpqq “ Ψpqq b Ψpqq “ Mγ b Mγ .
Voir aussi [
Boy06] Ÿ2.4 proposition 2.5.
Pour (2), on peut aussi le montrer directement en découpant le domaine d'intégration produit
de deux simplexes en une somme de simplexes. Précisément, on a que le domaine
m`n
tpt1 , . . . , tm`n q P r0 ; 1s
: 0 ď t1 ď ¨ ¨ ¨ ď tm ď 1
et
0 ď tm`1 ď ¨ ¨ ¨ ď tm`n ď 1u
est égal à l'union
ď
m`n
tpt1 , . . . , tm`n q P r0 ; 1s
: 0 ď tσp1q ď ¨ ¨ ¨ ď tσpm`nq ď 1u
σ
sur l'ensemble des battages, c'est-à-dire les permutations
et
σ ´1 pm ` 1q ă ¨ ¨ ¨ ă σ ´1 pm ` nq.
Voir aussi [
σ P Sm`n
telle que
σ ´1 p1q ă ¨ ¨ ¨ ă σ ´1 pmq
Che54] ou [Hai87a] lemme 2.11 p.257, ou [Ree58]
théorème 2.5 p.215.
Enn, on peut aussi montrer que (1) est équivalent à (2) grâce au lemme B.1.10 de l'appendice
B.
Soient
p P Baj
et
q P Bai
des points de base tangentiels (i, j
branches du logarithmes au voisinage des directions
chemin reliant les points tangentiels
de connexion
Ci,j
reliant le pôle
aj
p
à
q.
au pôle
p
et
q
P I ), logj , logi deux
respectivement et γ un
Pour ces choix, on peut dénir la matrice
ai
le long de
γ
suivant la dénition 5.3.7.
On rappelle la correspondance des notations pour la suite :
indice
point tangentiel
variable formelle
γ
ω P Ω˚i,j
chemin
pour
indice
j
p
x
γp0q “ aj
ω1 ‰ j
i
q
y
γp1q “ ai
ωr ‰ i
non commençant
non nissant
Figure 4. Correspondance des notations
L'égalité de la proposition 5.3.9 reliant monodromie et matrice de connexion et la
proposition 5.4.6 montrant que la monodromie est de type groupe implique le
Corollaire 5.4.7. La matrice de connexion
Ci,j
est de type groupe.
Du lemme B.1.10 de l'appendice B, on en déduit qu'il doit exister un moule
symétral tel que sa contraction avec le comoule canonique soit la matrice de connexion
Ci,j .
Nous allons dénir dans la suite un tel moule.
5.4.2. Extension symétral d'un moule.
Ω
à l'ensemble
I.
Dans la suite, on identie l'alphabet
Notons
Ω˚i,j :“ tω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr : ω1 ‰ j
ωr ‰ iu Ď Ω˚
Ω˚ ne commençant pas par j et ne nissant pas par i. Par
H appartient à Ω˚i,j . On notera Ωi,˚ (resp. Ωj,˚ ) l'ensemble des
l'ensemble des mots de
dénition, le mot vide
et
5.4. DÉVELOPPEMENTS MOULIENS
101
Ω´,˚ l'ensemble des mots écrit
´,˚
dans l'alphabet Ω ´ ti, ju. Remarquez que l'ensemble Ω
dépend de i et j . Un indice
i,˚
j,˚
n'a pas été ajouté pour plus de lisibilité. Les trois sous-ensembles de mots Ω , Ω
et
´,˚
Ω ne s'intersectent deux à deux qu'en le mot vide. On les appellera sous-ensembles
˚
de mots spéciaux de Ω .
i
mots écrits uniquement avec le symbole
(resp.
j)
et
Lemme 5.4.8. Tout mot non vide admet une unique décomposition en produits de
mots spéciaux maximaux.
Corollaire 5.4.9. Tout mot non vide s'écrit de manière unique sous la forme
j rms ¨ ω̃ ¨ irns
où
de
ω̃ P Ω˚i,j , irns est l'unique
Ωj,˚ de longueur m P N.
mot de
Ωi,˚
de longueur
Comme précédemment, on a choisi un chemin
γ
nPN
reliant
j rms
et
aj
à
est l'unique mot
ai .
On montre le lemme intermédiaire suivant :
u1 :“ γpuq. Pour tout ω P Ω˚ , il existe des fonctions
aj avec Hs ‰ 0 telle que l'on ait l'égalité
Proposition 5.4.10. Notons
holomorphes
H0 , . . . , Hs
en
a
Iγωu,v
(5.4. )
s
ÿ
“
Hk pu1 q logk pu1 ´ aj q,
k“0
pour tout
u ą 0.
(1) l'entier
De plus,
s
est égal au nombre de fois que la lettre
j
apparaît dans le mot
ω,
ω1 ‰ j alors les fonctions Hk pour k ą 0 sont nulles en aj , c'est-à-dire
1
ω
que Iγu,v admet une limite nie H0 paj q en u Ñ 0, c'est-à-dire u Ñ aj .
(2) si
Remarque 5.4.11. En particulier, les fonctions
u ÞÑ Iγωu,v
sont des fonctions de
classe de Nilsson (fonction de détermination nie à croissance modérée en 0), c'estř
αk
à-dire de la forme
kPK z Pk plogpzqq où K est un ensemble ni, αk P C et Pk
des polynômes à coecients de Ctuu. Ici, on peut prendre K un singleton et αk “ 0.
ω
calculent ici la monodromie d'un système
Tout ceci est cohérent car les intégrales Iγ
u,v
fuchsien, donc toute solution est à croissance modérée et de détermination nie en les
Del70] théorème 1.19 p.55.
pôles de la connexion. Voir [
aj et en ai , on peut
ω
Hk,l
en voisinage de
Remarque 5.4.12. En mettant ensemble le comportement en
montrer qu'il existe un nombre ni de fonctions holomorphes
paj , ai q
telles que
Iγωu,v “
ÿ
ω
Hk,l
pu1 , v 1 q logk pu1 ´ aj q logl pv 1 ´ ai q,
k,l
où
u1 :“ γpuq
et
v 1 :“ γpvq.
Démonstration. On procède par récurrence sur la longueur du mot
ω . Le résultat est vrai
ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr un mot de longueur r ą 0. Par hypothèse
de récurrence, il
řs
ω ¨¨¨ωr
1
holomorphes Hk en aj telle que Iγ 2
soit égale à
H
pu
q logk pu1 ´ aj q
k
k“0
u,v
pour le mot vide. Soit
existe des fonctions
pour
u ą 0. Dans la suite, pour simplier les notations, on omettra les primes et on identiera la
Hk à la fonction Hk ˝ pγ ` aj idq etc. Cela revient à penser aj “ 0 et γ “ r0 ; 1s par exemple.
fonction
On a donc
Iγωu,v “
dz
où γ p
z´aω1 q “ f ptq dt.
Considérons deux cas :
˚
s żv
ÿ
k“0 u
f ptqHk ptq logk ptq dt
102
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
en 0, c'est-à-dire ω1 ‰ j , alors on peut intégrer par parties l'intégrale
şv f est holomorphe
k
f ptqHk ptq log ptq dt en dérivant t ÞÑ logk ptq et en prenant la primitive g de la fonction
u
holomorphe t ÞÑ f ptqHk ptq qui s'annule en 0. On obtient
żv
”
ıv ż v gptq
k
f ptqHk ptq logk ptq dt “ gptq logk ptq ´
logk´1 ptq dt.
t
u
u
u
(1) Si
b
(5.4. )
gptq
t est bien holomorphe en 0 grâce à notre choix
de primitive. Par une récurrence immédiate sur k , cela montre bien que la fonction u ÞÑ
şv
řk
f ptqHk ptq logk ptq dt est égale à une somme de la forme l“0 hl puq logl puq où hk puq :“
u
´gpuq avec hl holomorphe en 0 et les hl p0q “ 0 pour tout l ą 0.
Dans l'intégrale de droite, la fonction
f n'est pas
f ptqHk ptq logk ptq dt est
u
(2) Si maintenant
şv
morphe
g
en
t ÞÑ
0, mais possède un
k
gptq logt ptq dt pour
u
holomorphe en
de la forme
pôle simple, alors l'intégrale
şv
une certaine fonction holo-
0. On intègre par parties en dérivant la fonction g
et en intégrant
t ÞÑ
logk ptq
.
t
On obtient
żv
c
(5.4. )
u
ffv ż
«
v
logk`1 ptq
logk`1 ptq
logk ptq
´
g 1 ptq
dt “ gptq
dt.
gptq
t
k`1
k`1
u
u
L'intégrale de droite est alors de la forme précédente (cas
applique donc le point précédent. On aura alors
hk`1 puq “
´gpuq
k`1 qui est non nulle en
Pour la valeur de
s,
f
k
gptq logt ptq
u
şv
0) et on lui
hl puq logl puq avec
holomorphe en
dt “
řk`1
l“0
0.
b
c
c'est une conséquence immédiate des équations (5.4. ) et (5.4. ).
Comme conséquence immédiatement du point (2) de la proposition 5.4.10 précédente, et d'un résultat analogue pour
v Ñ 1,
on a le
Iγωu,v pour pu, vq Ñ p0, 1q
˚
Ωi,j . Par contre, elle diverge à priori pour les
Corollaire 5.4.13. La limite des intégrales itérées
existe et est nie pour tout mot
˚
˚
mots de Ω ´ Ωi,j .
ω P
On dénit alors le moule scalaire
d
ω
Ii,j
(5.4. )
‚
Ii,j
sur l'alphabet
$
ω
& lim Iγu,v
“
uÑ0
vÑ1
si
ω
P C
Ii,j
par
ω P Ω˚i,j ,
%0
On appellera les valeurs
Ω
sinon.
pour
ω P Ω˚i,j
les intégrales itérées convergentes.
Ce sont ici des hyperlogarithmes. Remarquez que ces valeurs dépendent du chemin
γ
aj à ai .
˚
1
2
˚
Les mots de Ωi,j sont stables par battage. Précisément, si ω , ω P Ωi,j , alors
`ω1 ,ω2 ˘
sh ω ‰ 0 implique que ω P Ω˚i,j . On peut donc dire que la restriction du moule
‚
˚
‚
˚
Ii,j
à Ωi,j est symétral et que le moule Ii,j est son extension par zéro aux mots de Ω .
˚
˚
˚
˚
Si f : Ωi,j Ñ Ω désigne l'inclusion canonique, alors on a envie de noter f! : Ω Ñ Ωi,j
˚
˚
la section canonique (nulle sur Ω ´ Ωi,j ) et
choisi pour relier
‚
f! plim Iγ‚u,v q “ Ii,j
.
uÑ0
vÑ1
Dans la proposition suivante, on dénit plutôt le moule correspondant à un
Proposition 5.4.14. Il existe un unique moule symétral
l'algèbre
Crx, ys
tel que
$ ω
’
& Ii,j
ω
Ji,j px, yq “ x
’
%y
ω P Ω˚i,j ,
si ω “ ωj ,
si ω “ ωi .
si
Jγ‚ px, yq
f .
à valeurs dans
5.4. DÉVELOPPEMENTS MOULIENS
103
‚
px, yq est donc une famille à deux paramètres de moules symétraux à
Ji,j
˚
‚
valeurs dans l'algèbre C qui étendent la restriction du moule Ii,j sur Ωi,j . La dénition
‚
‚
du moule Ji,j px, yq est bien cohérente car le moule Ii,j vérie bien la symétralité
˚
‚
sur Ωi,j . Comme précédemment, on fera attention que le moule Ji,j px, yq dépend du
chemin γ et pas seulement de ai et aj , contrairement à ce que la notation laisse penser.
Le moule
Remarque 5.4.15. Avec les notations de la remarque 5.4.12, on peut montrer que
l'on a
ω
Ji,j
px, yq “
ÿ
ω
p´1ql Hk,l
paj , ai q ¨ xk y l
ω
ω
Ji,j
p0, 0q “ H0,0
paj , ai q.
et
k,l
Cela ressemble beaucoup à la régularisation shue des polyzêtas. Voir par exemple
[
IKZ06].
Nous verrons à la remarque 5.5.13 que le moule
cients de l'associateur de Drinfel'd (voir [
‚
Ji,j
p0, 0q
correspond aux coe-
Dri90] Ÿ2) dans un cas particulier.
Démonstration. On ne mentionnera pas les variables
px, yq
i, j
ni les indices
dans la
démonstration par un soucis de lisibilité. On montre le résultat par récurrence sur la longueur
ω . On a J H “ 1 par hypothèse de symétralité et J ω déjà déni pour tout mot de longueur
r ¨ irns avec
1. Soit ω un mot de longueur ą 1. Alors il existe une unique décomposition ω “ j rms ¨ ω
˚
˚
ω
ω̃ P Ωi,j d'après le corollaire 5.4.9. Si pm, nq “ p0, 0q, alors ω “ ω̃ P Ωi,j et Jγ est bien déni. Sinon,
du mot
on a
ˆ
J
où
sh
`ω1 ,ω2 ,ω3 ˘
ω
ω
“J
j rms
r
ω
J J
irns
˙
j rms , ω̃, irns ω1
´
sh
J ,
ω1
ω 1 ‰ω
ÿ
désigne le nombre de façon d'obtenir le mot
ω
par battage des mots
`j rms ,ω̃,irns ˘
1
ω1 , ω2
et
ω3 .
1
1
rm s Ă1
ω 1 tel que sh
soit non nul, est de la forme ω “ j
¨ ω ¨ irn s (ω̃ 1 P Ω˚i,j )
ω1
avec n ` m ă n ` m. Sur les mots de la longueur de ω , on procède donc par une nouvelle récurrence
sur l'entier n ` m donné par la décomposition du corollaire 5.4.9 de ω .
Or tout mot
1
1
5.4.3. Développement de la matrice de connexion.
Comme précédemment,
f : Ω˚i,j Ñ Ω˚ l'inclusion canonique et f! : Ω˚ Ñ Ω˚i,j la section canonique
˚
˚
donnée par f! pωq “ 0 pour tout ω P Ω ´ Ωi,j . L'application f! s'étend en une
unique application linéaire f! : A Ñ A abusivement notée avec la même notation.
En particulier, on a f! pAi ¨ Aω ¨ Aj q “ 0. En appliquant f! à l'équation (5.3.c), on en
déduit par continuité de f! : A Ñ A
ÿ
ω
(5.4.a)
f! pCi,j q “ lim f! pMγu,v q “
Ii,j
Aω .
notons
uÑ0
vÑ1
ωPΩ˚
i,j
On rappelle que pour dénir la matrice de connexion
du logarithme
logj
et
logi
en
p
et
q
Ci,j , on a choisi deux branches
respectivement.
pαp , αq q “ plogj pai ´ aj q, ´ logi paj ´ ai qq P C2 ,
‚
égale à la contraction du moule Ji,j pαp , αq q par le
Proposition 5.4.16. En posant
la matrice de connexion Ci,j est
comoule canonique, c'est-à-dire que l'on a
b
Ci,j “
(5.4. )
ÿ
ω
Ji,j
pαp , αq q Aω .
ωPΩ˚
Démonstration. L'existence de
de la proposition 5.4.14, du fait que
Cγ
pαp , αq q
l'appendice B. Reste à déterminer la valeur de
devant
Ai
ÿ
ω
et
Aj .
a
est une conséquence immédiate du calcul (5.4. ),
soit de type groupe (corollaire 5.4.7) et du lemme B.1.10 de
pαp , αq q.
Il sut de vérier l'égalité des coecients
On remarque que l'on a
ω
Ji,j
pαp , αq q Aω “ 1 ` αp Aj ` αq Ai `
ÿ
kPI´ti,ju
r1s
k
Ji,j
Ak ` p
mots de longueur
ě 2q.
104
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
On calcule le terme en
Aj
de
Ci,j .
c
En utilisant l'équation (5.3. ), on trouve que ce terme vaut
r1s
lim
pu,vqÑp0,1q
Or
r1s
Iγju,v “ logj
´
γpvq´aj
γpuq´aj
lim
p1 ¨ Iγju,v ¨ 1 ` 1 ¨ 1 ¨ logpγpuq ´ aj qq.
¯
d'où
r1s
pIγju,v ` logj pγpuq ´ aj qq “ logj pγp1q ´ aj q “ logj pai ´ aj q “ αp .
pu,vqÑp0,1q
On procède de même pour
αq .
5.5. Structure du moule J ‚
‚
Dans cette partie, on va exprimer le moule Ji,j en fonction d'intégrales itérées
ω
˚
convergentes Ii,j pour ω P Ωi,j . On pourra consulter le petit formulaire B.2 pour
vérier sur des exemples les résultats généraux ci-dessous. On rappelle aussi la correspondance des notations
i, j
j, p, x
i, q, y
et
gure 4 p.100.
Dans cette section, on omettra, sauf dans les énoncés des théorèmes, les indices
‚
sur le moule Ji,j pour alléger les notations.
5.5.1. Extension symétrale.
l'algèbre
l'algèbre
Crx, ys
C.
J ‚ px, yq à valeurs
‚
scalaire J p0, 0q à valeurs
On montre que le moule
peut être exprimé à partir du moule
dans
dans
Proposition 5.5.1. On a l'égalité
˜
ÿ
J ω px, yq Aω “ eyAi
ωPΩ˚
pour tout mot
¸
ÿ
J ω p0, 0q Aω
exAj
ωPΩ˚
ω P Ω˚ .
Démonstration. En eet,
˜
C :“ e´yAi
¸
ÿ
J ω pαp , αq q Aω
e´xAj
ωPΩ˚
est bien de type groupe comme produit d'éléments de type groupe et le moule symétral
r1s
r1s
M ‚ correspondant vérie bien M i “ 0, M j ř“ 0 et M ω “ J ω p0, 0q pour tout mot
ω P Ω˚i,j . On a donc M ‚ “ J ‚ p0, 0q donc C “ ωPΩ˚ J ω p0, 0q Aω .
J ‚ p0, 0q est symétral comme évaluation en p0, 0q d'un
‚
moule symétral. On peut aussi considérer le moule scalaire Jrk,ls donné par le coek l
‚
cient du terme x y du moule J px, yq. Cependant ce moule n'est pas symétral pour
pk, lq ‰ p0, 0q.
Remarque 5.5.2. Le moule
Au niveau des coecients, la proposition précédente signie que l'on a l'égalité
a
(5.5. )
ÿ
J ω px, yq “
1
J ω p0, 0q ¨
j rms ¨ω 1 ¨irns “ω
xm y n
.
m!n!
‚
En particulier, on peut calculer le moule J px, yq à valeurs dans l'algèbre
‚
partir du moule scalaire J p0, 0q à valeurs dans l'algèbre C.
rms
yn
pour tout
n!
(5.5. ) précédente ou par récurrence.
rns
a
à
J j px, yq “ xm! pour tout m P N et de manière analogue
n P N. On peut par exemple le montrer grâce à la formule
Remarque 5.5.3. On a
J i px, yq “
m
Crx, ys
5.5. STRUCTURE DU MOULE J ‚
105
J ω px, yq pour un
m en x et de degré n
Remarque 5.5.4. On peut aussi montrer par récurrence que
ω “ j rms ¨ ω̃ ¨ irns
mot
avec
ω̃ P Ω˚i,j
est un polynôme de degré
I ω̃
en y , de coecient dominant
. On a donc
m!n!
J ω px, yq “
I ω̃ m n
x y ` opxm y n q.
m!n!
Le lecteur pourra consulter des calculs analogues (même si moins généraux) pour la
IKZ06] Ÿ2.
régularisation des polyzêtas pour la relation shue dans [
Comme conséquence de la proposition 5.5.1, on en déduit le
Ci,j est égale à la contraction du moule
par le comoule canonique modulo une normalisation. Précisément, on a
Théorème 5.5.5. La matrice de connexion
‚
Ji,j
p0, 0q
˜
b
Ci,j “ e´ logi paj ´ai qAi
(5.5. )
¸
ÿ
ω
Ji,j
p0, 0q Aω
elogj pai ´aj qAj
ωPΩ˚
Remarque 5.5.6. Avec la proposition 5.5.1, on voit maintenant bien que lorsque
l'on change de choix de branche du logarithme pour dénir
correctement le coecient
pαp , αq q
Ci,j ,
b
on change aussi
b
pour garder les égalités (5.4. ) et (5.5. ).
Comme corollaire de la proposition 5.4.14 permettant de dénir l'extension mou‚
‚
liennne J du moule I , on a le
Corollaire 5.5.7. Il existe un unique moule
dans
Z
6
ssa‚
sur l'alphabet
ΩˆΩ
à valeurs
vériant
ÿ
ω
Ji,j
p0, 0q “
ω1
1
ω
ssap ω q Ii,j
.
ω 1 PΩ˚
pour tous mots
ssa
1
pω
q
ω
ω, ω 1 P Ω˚
et vériant de plus que l'ensemble des
soit non nul pour un mot
˚
ωPΩ
xé est un ensemble ni inclus dans
Remarque 5.5.8. On fera attention que le moule
nants
i, j
ω 1 P Ω˚
ssa‚
tel que
Ω˚i,j .
dépend des indices gê-
(et d'un ordre relatif entre les deux), même si la notation ne le fait pas
apparaître.
Remarque 5.5.9. Les valeurs du bimoule
ω1
ssap ω q
pour
ω 1 P Ω˚ ´ Ω˚i,j
et
ω P Ω˚
sont en quelque sorte libres. On les a xées toutes à zéro par convention. Cependant, il
peut être intéressant de prendre une autre convention parfois et de donner des valeurs
non nulles à certaines d'entre elles pour avoir une bonne propriété de symétrie pour
‚
‚
le bimoule ssa . On procédera ainsi pour le bimoule sse coté irrégulier. Voir 6.2.
En particulier, la somme s'écrit aussi
ÿ
ω
Ji,j
p0, 0q “
ω1
1
ω
ssap ω q Ii,j
,
ω 1 PΩ˚
i,j
ω1
`ω 1 ˘
“ ssap ω q pour plus de lisibilité. La
ω
‚
notation ssa est pour symétrique symétral. Le moule ssa donne la conversion pour
‚
étendre un moule symétral I en dehors d'indices gênants i, j en un moule symétral
‚
partout J .
et c'est une somme nie. On notera parfois
6. On dit aussi un bimoule sur l'alphabet
Ω
ssa
à valeurs dans
Z.
106
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
5.5.2. Calcul explicite du bimoule
mot
1
ω P
ssa‚ .
Tout d'abord, si l'on se donne un
˚
Ωi,j non vide, alors il existe une décomposition
ω1 “ ω1ω2 ¨ ¨ ¨ ωn
avec
n P N
et les
ωi
des mots écrits dans un seul symbole, maximaux pour leur
k “ pk1 , . . . , kn q P Nn tel que 0 ď km ď rpω m q pour
1
tout m. Alors, on dénit le mot Tk pω q comme étant la concaténation
longueur. Choisissons un vecteur
Tk pω 1 q :“ ω̃ 1 ω̃ 2 ¨ ¨ ¨ ω̃ n
où
ω̃ m
m
est égal au mot ω
où l'on a retirer km de ses lettres.
m
Les mots ω
sont d'un des trois types spéciaux (uniquement écrit avec le symbole
i, ou uniquement avec le symbole j , ou uniquement avec des autres symboles que i et
j ). Donc il existe une partition pki , kj , ka q de k telle que km est une des composante
β
m
de k si et seulement si ω
est de type β (pour β = i ou j ou autre). Si x est un
ř
i
j
a
vecteur, notons |x| “
m xm son poids. On a donc |k| “ |k | ` |k | ` |k |. De même,
m
m
si rpω q désigne la longueur du mot ω , on note
ˆ 1˙ ź
˙
n ˆ
ω
rpω m q
“
.
k
k
m
m“1
k
On dira dans la suite qu'un vecteur
est
pi, jq-adapté
au mot
ω1
si le vecteur
ka
pour le type autre est nul. Dans la suite, on parlera parfois abusivement de vecteurs
adaptés dans le sens de
pi, jq-adaptés,
en sous-entendant le choix de
i
et
j.
1
On peut en déduire la valeur du bimoule
pω
q
ω
ssa
. Tout d'abord, remarquons que
1
pω
q
ω
l'on a ssa
‰
1
r|ki |s
Tk pω q ¨ i
.
0
seulement s'il existe un vecteur
Proposition 5.5.10. Notons
ω“j
r|kj |s
1
r|ki |s
¨ Tk pω q ¨ i
K
k
adapté à
l'ensemble des vecteurs
ω1
k
tel que
adaptés à
ω “ j r|k
ω1
j |s
¨
tels que
. Alors on a
1
ssa
Remarque 5.5.11. Si
pω
q
ω
ˆ 1˙
ω
.
“
p´1q
k
kPK
ÿ
|k|
ω
est le mot vide alors
pHq
sauf pour le mot vide, et l'on a ssa H “ 1.
ω1
ssap ω q
est nul pour tous mots
ω1
Démonstration. Pour montrer l'égalité (5.5.a), on procède par récurrence. On calcule les
j r1s j rm´1s ω̃irns
j rms ω̃irn´1s ir1s
produits J
J
ou J
J
suivant que m ą 0 ou n ą 0, plutôt que le produit
Jj
rms
J ω̃ J i
rns
utilisé dans la démonstration de la proposition 5.4.14
5.5.3. Comoule de régularisation symétrale.
Dénissons maintenant le coi,j
moule G‚ , dit de régularisation symétral, sur l'alphabet Ω à valeurs dans A par
a
Gi,j
ω1 “
(5.5. )
ω1
ÿ
ssap ω q Aω .
ωPΩ˚
Remarquez que l'on a
Gi,j
ω1 “ 0
si
ω 1 P Ω˚ ´ Ω˚i,j
par dénition du comoule
On a donc explicitement, grâce à la proposition 5.5.10 précédente
Gi,j
ω1
ÿ
“
k pi, jq-adapté
ˆ 1˙
ω
p´1q
Air|ki |s ATk pω1 q Aj r|kj |s ,
k
1
|k|
àω
ssa‚ .
5.5. STRUCTURE DU MOULE J ‚
107
qui peut être aussi écrit
b
Gi,j
ω1
(5.5. )
ˆ 1˙
ω
p´1q
Aω ,
k
ÿ
|k|
“
k pi, jq-adapté
à ω1
j
i
ω“j r|k |s ¨Tk pω 1 q¨ir|k |s
avec la somme prise sur les vecteurs
k
j
i
ω 1 et où ω “ j r|k |s ¨ Tk pω 1 q ¨ ir|k |s
j
1
symbole j , |k | fois, puis le mot Tk pω q et
adaptés à
est la concaténation du mot avec l'unique
i
enn le mot avec l'unique symbole i, |k | fois.
5.5.4. Développements mouliens pour la matrice de connexion.
Corollaire 5.5.12. On a
ÿ
ωPΩ˚
ω1
ÿ
ω
Ji,j
p0, 0qAω “
ÿ
1
ω
ssap ω q Ii,j
Aω “
ω,ω 1 PΩ˚
1
ω
Ii,j
Gi,j
ω1 ,
ω 1 PΩ˚
i,j
donc les égalités
¨
a
(5.5. )
˛
ω1
ÿ
Ci,j “ e´ logi paj ´ai qAi ˝
1
ω
ssap ω q Ii,j
Aω ‚elogj pai ´aj qAj ,
ω,ω 1 PΩ˚
i,j
¨
b
Ci,j “ e´ logi paj ´ai qAi ˝
(5.5. )
˛
ÿ
ω i,j ‚ logj pai ´aj qAj
Ii,j
Gω e
.
ωPΩ˚
i,j
En résumé, la matrice de connexion Ci,j est la contraction normalisée du moule donné
i,j
par les intégrales itérées convergentes et le comoule de régularisation symétral G‚ .
moule
‚
Ii,j
extension par
moule symétral
ssa‚
‚
Ji,j
Gi,j
‚ comoule
Ci,j
extension par
ssa‚
A‚
comoule cosymétral
Figure 5. Matrice de connexion
Ci,j
Remarque 5.5.13. la formule (5.5.
b)
et les deux méthodes de contractions
généralise la formule sous forme de série
formelle pour l'associateur de Drinfel'd (voir par exemple [
LM96] théorème A.9 for-
mule (A.17) ). En eet, si l'on considère l'alphabet en deux symboles
et la connexion
ˆ
∇KZ “ d ´
A0
A1
`
z
z´1
˙
dz.
Ω “ tA0 , A1 u
108
5. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DES MATRICES DE CONNEXION
On peut alors dénir la matrice de connexion de Drinfel'd
ΦpA0 , A1 q comme une série
formelle non commutative, qui provient de la comparaison de deux bases préférées
∇KZ
z “ 0 et z “ 1. La connexion permet de dénir la bijection entre les
dz
dz dz
u avec A0 Ø dz
et A1 Ø
. On pose γ le chemin reliant
alphabets Ω et t ,
z z´1
z
z´1
0 à 1 par le segment r0 ; 1s. On choisit la branche principale du logarithme log pour
´1
les deux pôles en 0 et en 1. On a par dénition ΦpA0 , A1 q “ Ψ1 pzq Ψ0 pzq pour tout
z P s0 ; 1r où Ψ0 est la base de solution de ∇KZ asymptotique à z A en z Ñ 0 (pour
argpzq “ 0) et Ψ1 est la base de solution de ∇KZ asymptotique à p1 ´ zqB en z Ñ 1
(avec argpzq “ ˘π ). À cause de la normalisation diérente de la solution en z “ 1
de
en
pour la matrice de connexion de Drinfel'd par rapport aux matrices de connexion, on
a la formule
ΦpA0 , A1 q “
ÿ
ÿ
ω
J1,0
p0, 0q Aω “
ωPΩ˚
ω
1,0
I1,0
Gω
.
ωPΩ˚
i,j
5.6. Cas vectoriel
Reprenons le cas vectoriel, c'est-à-dire que les
pour un certain
C-espace
vectoriel
V
Ai sont des éléments de g “ EndpV q
de dimension nie et
∇“d´
ÿ
iPI
Ai
dz,
z ´ ai
V ˆ P1 Ñ P1 .
suivantes pour tout i P I
est une connexion fuchsienne sur le bré trivial
On suppose les conditions génériques
pai q
l'élément
Ai
:
est non résonant.
On rappelle qu'un élément
Ai P g est non résonant si la diérence de deux quelconques
de ses valeurs propres n'est jamais un entier non nul. En particulier, cela est équivalent
˚
au fait de dire que adAi “ rAi , ¨s P Endpgq est à valeurs propres dans C ´ Z . On
considère aussi les conditions
padi q
l'endomorphisme adjoint
partie réelle
adAi “ rAi , ¨s P Endpgq
a ses valeurs propres de
ą ´1,
qui sont utiles pour obtenir le lemme de régularisation analogue à la proposition 5.3.9.
Remarquez que les conditions
pai q et padi q sont valables dans un voisinage de la
connexion triviale d. Soient ai et aj deux pôles simples à distance nie de ∇, γ un
lacet reliant ai à aj et dénissons la matrice de connexion de ∇ le long de γ . On
1
supposera que γ est de classe C et que γps0 ; 1rq Ď C ´ tai : i P Iu.
On choisit deux branches du logarithme logi et logj au voisinage de la direction
1
´γ p1q P Tai P1 » S 1 et γ 1 p0q P Taj P1 » S 1 respectivement. Avec ces choix, on a deux
solutions canoniques Ψi et Ψj dénies au voisinage de γp1q, respectivement γp0q et
que l'on prolonge le long de γ . Les solutions Ψi et Ψj sont uniquement déterminées
par leur asymptotique en ai et aj :
Ψi pzq
Ψj pzq
„
elogi pz´ai qAi ,
„
elogj pz´aj qAj .
zÑai
| argpzq´θ|ăπ
zÑaj
| argpzq´θ|ăπ
Pour ces choix, on dénit alors la matrice de connexion
pôle
ai
le long de
γ
Ci,j
par
Ci,j :“ Ψ´1
i Ψj pzq
pour tout
z P γps0 ; 1rq.
reliant le pôle
aj
au
5.6. CAS VECTORIEL
109
Considérons maintenant la connexion formelle
˜ “d´
∇
Ãi
dz
z ´ ai
ÿ
iPI
A “ CxxΩyy
tai : i P Iu. Notons C̃i,j la
ai pour les mêmes
‚
choix que précédemment. On a vu dans ce qui précède qu'il existe des moules Ii,j ,
‚
‚
i,j
Ji,j
, un bimoule ssai,j et des comoules  (le comoule canonique) et G̃‚ tels que
ÿ
ω1
ω1
C̃i,j “ e´Ãi logi paj ´ai q ¨
ssap ω q Ii,j
Ãω ¨ eÃj logi pai ´aj q
sur le bré trivial de bre
matrice de connexion de la connexion
où
˜
∇
Ω
est l'alphabet
reliant le pôle
aj
au pôle
ω,ω 1 PΩ˚
ÿ
“ e´Ãi logi paj ´ai q ¨
ω
p0, 0qÃω ¨ eÃj logi pai ´aj q
Ji,j
ωPΩ˚
ÿ
“ e´Ãi logi paj ´ai q ¨
ω i,j
Ii,j
G̃ω ¨ eÃj logi pai ´aj q
ωPΩ˚
On a une application
ρ:ΩÑg
telle que ρpÃi q “ Ai pour tout i P I . Comme dans la section 5.2, on étend cette
i,j
i,j
application par linéarité et on notera A‚ et G‚ les comoules image de  et G̃‚
respectivement.
C̃i,j P CttΩuu.
sont absolument conver-
Proposition 5.6.1. Dans les notations de la section 5.2, on a
En particulier, les séries
ř
ω
ωPΩ˚ Ji,j p0, 0qAω
et
ř
ω
ωPΩ˚ Ii,j Gω
gentes.
Proposition 5.6.2. On a
ρpC̃i,j q “ Ci,j .
On en déduit immédiatement des deux propositions précédentes le
Corollaire 5.6.3. On a le développement absolument convergent
a
(5.6. )
ÿ
Ci,j “ e´Ai logi paj ´ai q ¨
ω1
1
ω
ssap ω q Ii,j
Aω ¨ eAj logi pai ´aj q
ω,ω 1 PΩ˚
dont on déduit les développements absolument convergents
Ci,j “ e´Ai logi paj ´ai q ¨
ÿ
ω
Ji,j
p0, 0qAω ¨ eAj logi pai ´aj q
ωPΩ˚
“ e
´Ai logi paj ´ai q
ÿ
¨
ωPΩ˚
ω i,j
Ii,j
Gω ¨ eAj logi pai ´aj q .
Chapitre 6
Développement moulien de l'application exponentielle duale
6.1. Application exponentielle duale
Le but de ce chapitre est de donner une formule sous la forme d'une série formelle
(à variables non commutatives) pour les coecients de l'application exponentielle
duale
νA : g˚ Ñ G˚ ,
et d'en donner une extension formelle intrinsèque dans la section 6.2. À des changements algébriques près, cela correspond à donner un développement formel des
pu` , u´ , hq d'une connexion
˙
ˆ
A R
`
dξ,
∇“d´
ξ2
ξ
coecients des données de Stokes
en fonction des coecients de
ξ :
de la forme
R.
Pour cela, xons un C-espace vectoriel V de dimension nie, une coordonnée
P1 ´ t8u Ñ C. On note comme précédemment G “ GLpV q, g “ EndpV q son
T ĎG
t Ď g. On note
treg l'ensemble des éléments réguliers de t et on choisit unÀ
élément A P treg . On notera
tai : i P Iu l'ensemble des valeurs propres de A et V “ iPI Vi la décomposition de
V induite par les espaces propres de A. Remarquez que comme on a A P treg , on a
ième idempotent
#pIq “ dimpV q et dimpV
Ài q “ 1. On noteřaussi idi : V Vi ãÑ V le i
associé à la graduation
iPI Vi et Λ :“
iPI idi R idi la partie diagonale de R.
algèbre de Lie. On choisit un tore maximal
Remarque 6.1.1. Quitte à choisir une base de
d'algèbre de Lie
V,
on peut toujours prendre pour
tore l'ensemble des matrices diagonales inversibles. Dans ce cas, la partie régulière
treg
correspond à l'ensemble des matrices diagonales à valeurs propres deux à deux
distinctes.
V ˆ P1 Ñ P1 exprimée par
la formule ci-dessus où R P g. Choisissons un angle admissible η P R pour le type
irrégulier A, c'est-à-dire un angle tel que argpai ´ aj q ı η pmod 2πq pour tout i, j P I .
Ce choix détermine alors un ouvert Upηq égal au plan C privé des demi-droites issues
iη
des ai (i P I ) d'angle η et une branche du logarithme log sur C ´ R` e
avec pour
angles les sη ´ 2π ; ηr. Ces choix permettent de dénir un ordre sur l'ensemble I (ou
de manière équivalente sur l'ensemble des valeurs propres de A), donné explicitement
∇
On pose alors
la connexion sur le bré trivial
par
ai ą η aj
si
e´pai ´aj q{ξ
tend vers
0
quand
ξÑ0
dans la direction
η ` π{2.
=pai e´iη q ă =paj e´iη q. On peut alors dénir les sous-groupes
unipotents U` et U´ des éléments de G unipotents triangulaires supérieurs, resp.
À
inférieurs, pour la graduation ordonnée
iPI Vi de V .
Les données de Stokes associées à la connexion ∇ sont alors de la forme
Cela correspond à
pu` , u´ , hq P U` ˆ U´ ˆ T.
111
112
6. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DE L'APPLICATION EXPONENTIELLE DUALE
Grâce aux résultats du chapitre 3, on sait que les matrices de Stokes de
∇
sont
reliées aux matrices de connexion de la connexion
p “d´
∇
ÿ
iPI
V ˆ P1 Ñ P1
sur le bré trivial
en dualité réelle avec la
Ri
dz,
z ´ ai
z : P1 ´ t8u Ñ C est une coordonnée de P1 ´ t8u
coordonnée ξ et où Ri “ idi R P g. La formule est donnée
où
explicitement par
hu` ´ u´ “ N ´1 M χpΛqN,
où
(1)
ř
p reliant le
M “ i,jPI Ri Ci,j idj avec Ci,j P G la matrice de connexion de ∇
pôle aj au pôle ai le long d'un chemin à valeurs dans Upηq avec le choix de
la branche du logarithme log donnée par l'angle η ,
(2)
N “ eiπΛ Πp´Λq
(3) et enn
χ
avec
la fonction
Π
la fonction Pi de Gauss (Πpzq
z ÞÑ
e2iπz
z
´1
“ Γp1 ` zq),
qui est holomorphe en
0.
Grâce aux développements mouliens du chapitre 5, on peut déduire un développement moulien des coecients de Stokes. Pour cela, on utilise les formules
idi Rj “ δi,j Ri
où
Ri,j “ idi R idj P g
et
δi,j
et
Ri idj “ Ri,j
pour tout
i, j P I,
est le symbole de Kronecker.
Avant d'énoncer la formule, rappelons les notations du chapitre 5.
(1)
Ω désigne l'alphabet tai : i P Iu qui est parfois identié avec I et on note
Ω˚ l'ensemble des mots écrits dans cet alphabet. 1 On notera aussi Ω˚i,j Ď Ω˚
l'ensemble des mots ne commençant pas par aj et ne nissant pas par ai .
(2)
ηPR
est l'angle admissible que l'on a choisi pour dénir l'application expo-
Upηq est le plan C privé des demi-droites issues des ai (i P I )
iη
d'angle η et log désigne une branche du logarithme sur C ´ R` e avec pour
angles les sη ´ 2π ; ηr.
nentielle duale,
(3) On note
ω
Ii,j
‚
Ii,j
le moule
$
ż
’
& lim
uÑ0
vÑ1
“
scalaire déni sur l'alphabet
uăt1 﨨¨ďtr ăv
Ω
dz1
dzr
¨¨¨
z1 ´ ω1
zr ´ ωr
donné par
si
ω P Ω˚i,j ,
’
%0
sinon.
ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr P Ω˚ , zk “ γptk q pour tout 1 ď k ď r
quelconque reliant aj à ai à valeurs dans Upηq.
où
(4) On note
ssa‚i,j
avec
γ
un chemin
le moule d'extension symétral déni dans la section 5.5.2 (la
dénition intrinsèque est donnée par la proposition 5.5.10).
Rappelons seulement les deux propriétés fondamentales du bimoule d'extension
symétral :
1
pω q
ssai,jω “ 0
1
pω
q
ω1
ssai,j
“1
pour tout
ω 1 P Ωi,j
pour tout
ω 1 P Ω˚i,j .
et tout
ω P Ω˚
tel que
ω ‰ ω1,
Le théorème exprimant les données de Stokes de la connexion
comme suit.
1. En particulier,
Ω˚
contient le mot vide.
∇
s'énonce alors
6.2. CADRE FORMEL ET EXTENSION INTRINSÈQUE
113
Théorème 6.1.2. On a l'égalité
idi phu` ´ u´ q idj “ e´ logpaj ´ai qRi,i Fi ¨ Mi,j ¨ Gj elogpai ´aj qRj,j ,
où
a
Mi,j :“
(6.1. )
ÿ
1
pω q
ÿ
1
ω
ssai,jω Ii,j
¨ Ri,ir Rir ,ir´1 ¨ ¨ ¨ Ri1 ,j
rPN ω“pi1 ,...,ir qPΩ˚
ω 1 PΩ˚
est la partie centrale de cette formule et
Fi “
Gj “
avec
Πpzq “ Γp1 ` zq
e´iπRi,i Π´1 p´Ri,i q
e2iπRj,j ´1
Rj,j
eiπRj,j Πp´Rj,j q,
la fonction Pi de Gauss.
A n'admet que deux valeurs propres
ř
ω1
a1 et a2 , on peut donner une formule relativement simple de la somme ωPΩ˚ ssap ω q Rω .
Remarque 6.1.3. Dans le cas particulier où
LM96] appendice A, théorème A.9 ou la formule (0.0.f ) donnée en introduction.
Voir [
Dans le
Mi,j P g
6.2. Cadre formel et extension intrinsèque
théorème 6.1.2, on a donné grâce à la formule (6.1.a)
une expression pour les données de Stokes de la connexion
L'expression obtenue pour la partie
ÿ
ÿ
pi, jq
pour la matrice
∇.
des matrices de Stokes est de la forme
"somme d'hyperlogarithmes explicite"
n
m
,
¨ Ri,i
Ri,ir Rir ,ir´1 ¨ ¨ ¨ Ri1 ,j Rj,j
r,m,nPN i1 ,...,ir PI
c'est-à-dire qu'au niveau formel, on obtient une série formelle dans l'algèbre des chemins du graphe complet
ΓpIq
de sommets
I.
En particulier, le coecient devant un terme du type
nécessairement nul. De plus, si l'on voit plutôt les termes
mels de l'algèbre
¨ ¨ ¨ Ri,j Rk,l ¨ ¨ ¨ avec j ‰ k est
Ri,j comme des symboles for-
CxxRi,j : pi, jq P Iyy, la série formelle (à variables non commutatives)
n'admet pas une bonne propriété de symétrie.
Remarque 6.2.1. La recherche d'une telle symétrie est motivée par la recherche
d'une formule explicite pour un isomorphisme d'algèbre
Uh g ÝÑ UgJhK
entre le groupe quantique de Drinfel'd-Jimbo
Uh g et une extension 2 de l'algèbre enve-
Ug de l'algèbre de Lie g. En eet, on peut montrer qu'une version entière du
groupe quantique de Drinfel'd-Jimbo Uh g est une déformation de l'algèbre de Poisson
OpG˚ q des fonctions algébriques du groupe de Poisson-Lie dual G˚ (voir [DCP93]
chapitre 4 Ÿ12). De même, la ltration de l'algèbre enveloppante Ug permet de dénir
˚
une déformation formelle de l'algèbre de Poisson Opg q des fonctions algébriques de
˚
la bialgèbre de Lie g (voir par exemple [ES02] Ÿ1.4.4). Stricto sensu, l'application
˚
˚
˚
˚
exponentielle duale νA : g Ñ G n'induit pas une application OpG q Ñ Opg q mais
loppante
entre les complétions de ces espaces (pour leur ltration naturelle). La motivation
reste cependant inchangée.
Le cadre formel que nous utiliserons est le suivant. Suivant le chapitre 1 section
R l'espace des racines du groupe G pour le choix du tore (ici maximal)
T . De plus, on note W “ NrRs le semi-groupe engendré par R. On considère l'algèbre
1.1, on notera
2. Ici la notation
de
A bC CJhK.
AJhK
pour une
C-algèbre A
désigne la complétion (pour la topologie
h-adique
114
x
Ug
6. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DE L'APPLICATION EXPONENTIELLE DUALE
Ug.
qui est la complétion pronie de l'algèbre enveloppante
Alors l'élément
RPg
peut être vu comme une somme
ÿ
R“
x
Rα P g Ď Ug.
αPRYt0u
On rappelle que l'alphabet
mots dans l'alphabet
Ω.
Ω est en bijection avec I
Ω˚
et que
désigne l'ensemble des
La partie centrale du travail consiste à donner une formule
intrinsèque pour la somme
1
p ω q ω1
ssai,jω Ii,j
Aω
ÿ
ω,ω 1 PΩ˚
ř
A ÞÑ i,jPI Ri A idj .
Aω “ Aωr ¨ ¨ ¨ Aω1 par cette
après la transformation donnée par l'application
Pour tout
ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr ,
l'image de
application est
égal à
ÿ
Rpi,ωr q Rpωr ,ωr´1 q ¨ ¨ ¨ Rpω2 ,ω1 q Rpω1 ,jq .
i,jPJ
Pour tout choix d'un élément
pi, jq
R,
de
on a donc une application
˚
˚
ιi,j
w : Ω Ñ W
dénie par
ω“H
Þ Ñ w “ pi, jq
Ý
ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr ÞÝÑ w “ w1 ¨ ¨ ¨ wr`1
avec w1 “ pω1 , jq, w2 “ pω2 , ω1 q, . . . , wr “ pωr , ωr´1 q, wr`1 “ pi, ωr q,
pi, iq “ pj, jq “ pω, ωq “ 0 P W pour tout i, j, ω P Ω. L'image
˚
des mots de l'alphabet Ω de longueur r dans W sont donc toujours des mots écrits
dans l'alphabet R Y t0u de longueur r ` 1.
On peut aussi introduire un alphabet auxiliaire V en bijection avec l'alphabet W
avec la convention que
tel que leurs mots respectifs sont reliés par la correspondance
w “ w1 ¨ ¨ ¨ ws P W ˚ Ø v “ v1 ¨ ¨ ¨ vs P V ˚
w1 “ v1
w2 “ v2 ´ v1
et
v2 “ w1 ` w2
.
.
.
ws “ vs ´ vs´1
et
vs “ w1 ` w2 ` ¨ ¨ ¨ ` ws .
Remarque 6.2.2. Cette dualité entre les alphabets ci-dessus a déjà été utilisé par
J. Écalle. Elle fait partie de sa théorie sur la dimorphie des nombres polyzêtas. Voir
Eca02] Ÿ4.
en particulier [
Alors de même, on peut dénir une inclusion
˚
˚
ιi,j
v : Ω Ñ V
pour tout
pi, jq
par
ω“H
Þ Ñ v “ pi, jq
Ý
ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr ÞÝÑ v “ v1 ¨ ¨ ¨ vr`1
avec v1 “ pω1 , jq, v2 “ pω2 , jq, . . . , vr “ pωr , jq, vr`1 “ pi, jq.
ř
L'application A ÞÑ
i,jPI Ri A idj correspond donc à
ÿ
ÿ
w
v
Aω ÞÑ
Rev
“
Rev
,
i,j
i,j
pωq
pωq
w
i,jPI
où
R‚w :“ R‚
v
i,jPI
désigne le comoule canonique dans l'alphabet
W
déni par :
Rvv :“ Rvl ´vl´1 Rvl´1 ´vl´2 ¨ ¨ ¨ Rv2 ´v1 Rv1 ,
et où
R‚v
est le comoule
6.2. CADRE FORMEL ET EXTENSION INTRINSÈQUE
pour tout mot
v “ v1 ¨ ¨ ¨ vl .
rement celle dans l'encodage
Pour le comoule, la formulation la plus simple est clai-
w.
Cependant nous verrons que dans le cas du moule,
v
c'est l'encodage
qui sera le plus simple.
‚
Passons à la traduction du moule Ii,j et du bimoule
ż
ω
“
Ii,j
γi,j
dz
dz
¨¨¨
“
z ´ aω 1
z ´ aωr
i,j
ωPΩ
iη
R
a
` k e . La
kPI
pour tout mot
C´
Ť
115
où
γi,j
ż
0ďt1 﨨¨ďtr ď1
ssa‚i,j
à l'alphabet
W.
On a
1
1
γi,j
pt1 q dt1
γi,j
ptr q dtr
¨¨¨
,
γi,j pt1 q ´ aω1
γi,j ptr q ´ aωr
est un chemin reliant aj à ai dans l'ouvert de
ω P Ωi,j signie que ω1 ‰ j et ωr ‰ i.
Upηq “
condition
Si l'on fait un changement de variable linéaire, on peut écrire l'intégrale précédente
en une intégrale sur un chemin issu de 0 et terminant en ai ´ aj dans l'ouvert C ´
Ť
iη
˚
i,j
kPI R` pak ´ aj q e . En traduisant le mot ω P Ω dans l'alphabet W et V via ιw et
i,j
ιv , on a donc
ż
dz
dz
dz
¨¨¨
z ´ paw1 ` aw2 ` ¨ ¨ ¨ ` awr q
γ z ´ aw1 z ´ paw1 ` aw2 q
ż
dz
dz
dz
“
¨¨¨
,
z ´ av r
γ z ´ av1 z ´ av2
Ť
iη
où γ est un chemin à valeurs dans C ´
kPI R` pak ´ aj q e issu de 0 et nissant en
evpw1 ` ¨ ¨ ¨ ` wr`1 q “ evpvr`1 q “ ai ´ aj P C.
ω
w
‚
On dénit alors le moule Lw dans l'alphabet W par la propriété Lw “ Ii,j s'il
‚
w
˚
i,j
existe i, j P I et ω P Ω tel que w “ ιw pωq et Lw “ 0 sinon. On dénit le moule Lv
dans l'alphabet V de manière exactement analogue. Cette dénition est bien posée
˚
i,j
car pour tout mot w P W , il existe au plus un triplet pi, j, ωq tel que w “ ιw pωq (et
˚
de même pour V ).
‚
Reste à traduire le bimoule ssai,j . L'alphabet V est parfaitement adapté pour cela.
‚
1
˚
Rappelons la dénition du bimoule ssai,j . Si ω est un mot dans l'alphabet Ω non vide,
1
1
n
alors il existe une unique décomposition en mots maximaux non vides ω “ ω ¨ ¨ ¨ ω
i
où les ω sont composés d'un unique symbole. On choisit un vecteur k “ pk1 , . . . , kn q
i
i
tel que 0 ď ki ď rpω q et on dira que le vecteur k est pi, jq-adapté si ki “ 0 quand ω
1
est composé d'un autre symbole que i ou j . On pose alors Tk pω q le mot construit à
1
n
i
partir de la décomposition ω . . . ω en retirant ki symboles du sous-mot ω . Lorsque
1
k est pi, jq-adapté, cela signie en particulier que Tk pω q est construit à partir de ω 1
en lui retirant des symboles i et j uniquement, et l'on notera ces nombres de symboles
i
j
i
j
retirés |k | et |k | respectivement. De même, on notera |k| “ |k | ` |k | “ k1 ` ¨ ¨ ¨ ` kn
‚
le poids du vecteur k. On peut maintenant donner la dénition du bimoule ssai,j .
1
Notons K l'ensemble des vecteurs pi, jq-adaptés au mot ω . Alors
ˆ
˙
ÿ
ω1
ω1
ssap ω q “
p´1q|k|
,
k
kPK
`
˘
` m q˘
ś
1
j
i
pHq
r|k |s
si ω “ j
Tk pω 1 qir|k |s et ωk :“ nm“1 rpω
. Pour le mot vide, on pose ssa H “ 1
km
ω
Ii,j
et
H
ssap ω q “ 0
“
pour tout
ω
non vide.
On peut alors dénir le bimoule
sse‚
par
1
1
p vv q
sse
˚
v :“ ιi,j
v pωq. Cette dénition est valide car pour tout mot v P V ,
˚
i,j
il existe au plus un mot ω P Ω tel que v “ ιv pωq. Reste seulement à donner la
˚
i,j
dénition pour les mots de V qui ne sont pas dans l'image de ιv pour un certain
H
pi, jq. On pourra xer cette image à 0, en particulier ssep H q “ 0.
si
1
v 1 :“ ιi,j
v pω q
:“
pω q
ssai,jω
et
116
6. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DE L'APPLICATION EXPONENTIELLE DUALE
‚
On peut cependant donner une dénition alternative intrinsèque du bimoule sse ,
i,j
qui correspondra à une extension non triviale en dehors des images des ιv . On procède
‚
1
˚
exactement comme pour le bimoule ssa . Pour tout mot v P V de longueur ą 1, on
1
considère l'unique décomposition en sous-mots maximaux de v privé de son dernier
symbole
vl
où les sous-mots sont composés d'un unique symbole :
v 1 “ v 1 ¨ ¨ ¨ v n ¨ vl .
1
v 1 “ ιi,j
v pω q
alors on a nécessairement vl “ pi, jq. Soit alors
k “ pk1 , . . . , kn q un vecteur tel que 0 ď ki ď rpv i q. On dira que le vecteur k est
3
1
i
adapté à v si ki “ 0 lorsque v n'est pas uniquement composé du symbole 0 ou
1
1
1
vl “ pi, jq. On supposera vl ‰ 0 pour simplier dans la suite mais le cas vl “ 0 est
0
v1
analogue. Dans ce cas, on notera k “ k ` k l la décomposition induite sur le vecteur
k. On pose Tk pv 1 q le mot construit à partir de la décomposition v 1 “ v 1 ¨ ¨ ¨ v n ¨ vl en
i
i
0
v1
retirant k termes des sous-mots v . On notera toujours |k| “ |k |`|k l | “ k1 `¨ ¨ ¨`km
le poids du vecteur k. Alors on pose
ˆ 1˙
ÿ
1
p vv q
|k| v
,
sse
“
p´1q
k
kPK
On rappelle que si
où
K
désigne l'ensemble des vecteurs adaptés à
|k0 |
v“0
Le
v1
tels que
¨ Tk pv 1 q ¨ pvl1 q|k
vl1
|`1
.
`1 à l'exposant vient du fait que l'on a déjà un terme vl1
à droite dans
v1
avant de
faire les transformations.
L'avantage de cette dénition est qu'elle est intrinsèque, qu'elle prend en compte
1
1
tous les cas pour vl (et pas seulement vl “ pi, jq P R) mais aussi qu'elle donne une
˚
extension naturelle aux mots de V mal formés, c'est-à-dire qui ne sont pas dans
v
l'image d'une des applications ιi,j .
Notons pour la suite
v1
ÿ
M i,j :“
1
ssep v q Lvv ¨ Rvv ,
v,v 1 PV ˚
vl1 “pi,jq
pour tout
i, j P I
ainsi que
Ă“
M
ÿ
v1
ÿ
M i,j “
1
ssep v q Lvv ¨ Rvv .
v,v 1 PV ˚
i,jPI
M i,j est une extension non triviale de la série
Mi,j dénie par l'équation (6.1.a) sur les mots mal formés. Autrement dit,
x engendré par les Rv pour
la diérence M i,j ´ Mi,j appartient à la sous-algèbre de Ug
v
tout v “ v1 ¨ ¨ ¨ vl tel que vl R R Y t0u.
Proposition 6.2.3. L'élément
formelle
On rappelle que l'on a choisi la même branche du logarithme pour tous les pôles,
c'est-à-dire
logi “ logj
pour tout
i, j P I .
Théorème 6.2.4. On a l'égalité
a
(6.2. )
idi phu` ´ u´ q idj “ e´logpaj ´ai qRi,i Fi ¨ M i,j ¨ Gj elogpai ´aj qRj,j
où
M i,j “
ÿ
v,v 1 PV ˚
vl1 “pi,jq
3. On rappelle que
pi, iq “ pj, jq “ pα, αq “ 0.
v1
1
ssep v q Lvv ¨ Rvv
6.3. CAS PARTICULIER DE LA MONODROMIE FORMELLE TRIVIALE
117
est la partie centrale de cette formule et
e´iπRi,i Π´1 p´Ri,i q
Fi “
e2iπRj,j ´1
Rj,j
Gj “
avec
Πpzq “ Γp1 ` zq
eiπRj,j Πp´Rj,j q,
la fonction Pi de Gauss.
On peut donner une variante de cette formule en posant les notations suivantes :
(1)
Ă“ř
M
i,jPI M i,j
comme ci-dessus,
(2)
N “ eiπΛ Πp´Λq
où
(3)
χpzq “
Π
Π
désigne la fonction
de Gauss,
e2iπz ´1
est la fonction de Bernoulli, qui se prolonge holomorphiquez
ment en 0,
T Log : g Ñ g donnée par
ÿ
U ÞÑ
e´ logpaj ´ai qRi,i ¨ idi U idj ¨ elogpai ´aj qRj,j
(4) l'application
i,jPI
pi, jq de la matrice U par un coecient à
gauche et à droite dépendant de pi, jq et de la branche du logarithme choisie.
qui correspond à multiplier les blocs
Cette fonction encodera le choix de la branche du logarithme pour les données
de Stokes.
a
Alors on déduit immédiatement de la formule (6.2. ) et de l'égalité
ř
i,jPI
hu` ´ u´ “
idi phu` ´ u´ q idj
b
´
¯
ĂχpΛqN .
hu` ´ u´ “ T Log N ´1 M
(6.2. )
Remarque 6.2.5. La formule est bien cohérente avec l'action de changement de
choix d'une branche du logarithme. En eet, si l'on change pour la branche du logarithme égale à logpzq`2iπ alors les données de Stokes sont modiées en pu` , u´ , hq ÞÑ
ph´1 u` h, h´1 u´ h, hq donc le membre de gauche est modié en h´1 phu` ´ u´ qh. Pour
le membre de droite, le seul terme qui change est la fonction
h´1 T Logp¨qh.
T Log
qui sera égale à
˚
1
On rappelle qu'un élément de G est un triplet pb` , b´ , Λ q P B` ˆ B´ ˆ t tel
iπΛ1
˚
que δpb´ qδpb` q “ 1 et δpb` q “ e
. L'isomorphisme U` ˆ U´ ˆ t » G est donné
iπΛ
explicitement par b` “ e
u` “ e´iπΛ hu` , b´ “ e´iπΛ u´ et Λ1 “ Λ. De ces transformations algébriques, on peut déduire les valeurs des coecients des
a
b˘
grâce à la
formule (6.2. ).
On
melle
6.3. Cas particulier de la monodromie formelle triviale
peut spécialiser l'équation (6.2.b) au cas particulier où la monodromie
h “ e2iπΛ
sera triviale. Précisément, considérons le cas particulier où
h “ id.
T Log est alors
for-
Λ “ 0,
impliquant donc que
L'application
égale à l'identité,
N “ id
et
χpΛq “ 2iπ id.
Finale-
ment, on en déduit
a
Ă “ 2iπ
u` ´ u´ “ 2iπ M
(6.3. )
ÿ
v1
1
ssep v q Lvv ¨ Rvv .
v,v 1 PV ˚
ř
v1
v1
R0 “ δpRq “ 0, donc vPV ˚ ssep v q Rvv “ ssep v1 q Rvv 1 “ Rvv 1 . On a donc
ÿ
ÿ
1
1
w
u` ´ u´ “ 2iπ
Lvv ¨ Rvv 1 “ 2iπ
Lw
w ¨ Rw1 P g.
Or par dénition
b
(6.3. )
v 1 PV ˚
w1 PW ˚
118
6. DÉVELOPPEMENT MOULIEN DE L'APPLICATION EXPONENTIELLE DUALE
v
Remarquez que les termes diagonaux pour la somme sont bien nuls car L “ 0
ω
pour tout mot commençant par 0 et nissant par 0, ou si l'on préfère Ii,i “ 0.
En revenant à la dénition (dans le cadre de la formulation W ) et en ne notant
pas les termes contenant un
Rk,k
nul, on a donc le
Corollaire 6.3.1. Dans le cas où la partie diagonale de
R
est nulle, les données
de Stokes s'expriment par
u` ´ u´ “ 2iπ
ÿ
ÿ
i,jPI
i1 ,...,ir PI
i1 ‰i,i2 ‰i1 ,...,ir ‰j
où l'on a
pi ¨¨¨ir q
Ii,j1
ż
pi ¨¨¨i q
Ii,j1 r
“
0ăt1 﨨¨ďtr ă1
avec zk “ γi,j ptk q pour tout 1 ď k ď r
Ť
Upηq “ C ´ kPI R` ak eiη .
et
γi,j
¨ Ri,ir Rir ,ir´1 ¨ ¨ ¨ Ri1 ,j ,
dz1
dzr
¨¨¨
z1 ´ ai1
zr ´ air
un chemin reliant
aj
à
ai
à valeurs dans
Ce cas particulier est substantiellement plus simple. En eet :
(1) on n'a pas besoin de spécier une branche du logarithme,
‚
(2) on n'a pas besoin de construire le bimoule compliqué sse et la formule s'ex‚
prime uniquement à partir du moule Lw donné par des intégrales itérées
convergentes.
Chapitre 7
Cas particulier d'un bré de rang 2
Nous allons vérier la formule du théorème 3.3.4 écrite sous la forme équivalente
d
(3.3. ) :
˜
a
hu` ´ u´ “
(7.0. )
2iπ eiπλ1
λ
Γp1´λ1 qΓp1`λ1 q 1
2iπ eiπλ2
2
Q C1,2 E1
Γp1´λ2 qΓp1`λ1 q
2iπ eiπλ1
Q1 C2,1 E2
Γp1´λ1 qΓp1`λ2 q
iπλ
2iπ e 2
λ
Γp1´λ2 qΓp1`λ2 q 2
n “ 2, où Qi désigne
2
de C . Coté Stokes, on
dans le cas des connexions sur un bré de rang
de la matrice
R
et
pE1 , E2 q
la base canonique
la
¸
ième
ligne
trouvera une
connexion hypergéométrique conuente dont la série formelle qui caractérise l'irré-
BJL79] proposition
gularité peut être exprimé par des fonctions de Kummer (voir [
8). Coté fuchsien, on trouvera une connexion hypergéométrique dont les solutions de
Floquet en chaque pôle pourront être exprimée à partir de la série hypergéométrique
de Gauss. En utilisant les identités de Gauss-Kummer, nous en déduiront les matrices
de connexion dans ce cas.
p1, 1q
Remarquons tout de suite que les coecients d'indice
et
p2, 2q
sont ceux
attendus car on a bien
2iπ eiπrk
rk “ e2iπrk ´1
Γp1 ´ rk qΓp1 ` rk q
Γp1 ` rk q “ rk Γprk q puis en utilisant la formule des compléments
Γprk qΓp1 ´ rk q “ π{ sinpπrk q. Cela se voit aussi directement sur la formule donnée
grâce à la formule
dans le théorème 3.3.4.
7.1. Calcul explicite des matrices de Stokes
On considère la connexion irrégulière
¨ˆ
a2
˚
∇“d´˚
˝
sur le bré trivial sur
l'hypothèse que
∇
P1
˙
a1
`
z2
de rang
2.
ˆ
˙˛
λ1 r1,2
r2,1 λ2 ‹
‹ dz
‚
z
On a par hypothèse
a1 ‰ a2 .
De plus, on fait
est une connexion irrégulière vériant les conditions génériques de
la section précédente, c'est-à-dire que l'on a
(1)
λ1
et
λ2
ne sont pas des entiers,
(2) le polynôme caractéristique
X 2 ´ pλ1 ` λ2 qX ` pλ1 λ2 ´ r1,2 r2,1 q
n'a pas de
solution entière.
Alors on fait le choix d'une direction admissible
a2 qr.
d appartenant à sargpa2 ´a1 q ; argpa1 ´
Voir la gure 1 ci-dessous.
On choisit une branche du logarithme au voisinage de la direction
Notons
ˆ
u` “
1 c2
1
˙
ˆ
u´ “
˙
1
c1 1
119
ˆ
et
h“
˙
h1
h2
d.
120
7. CAS PARTICULIER D'UN FIBRÉ DE RANG 2
d
a1 ´ a2
0
‚
a2 ´ a1
Figure 1. Choix d'une direction admissible
BJL79]
Théorème 7.1.1 ([
h2 “ e2iπλ2
h1 “ e2iπλ1 ,
´2iπr2,1 pa1 ´ a2 qλ1 ´λ2 eiπpλ2 ´λ1 q
Γp1 ` αqΓp1 ` βq
c1 “
et
c2 “
où
proposition 8 p.84). On a les égalités
´2iπr1,2 pa1 ´ a2 qλ2 ´λ1
Γp1 ´ αqΓp1 ´ βq
pα, βq sont les racines (dénies à ordre près) du polynôme X 2 ´pλ1 ´λ2 qX `r1,2 r2,1 .
En particulier, on obtient
ˆ
hu` ´ u´ “
˙
e2iπλ1 ´1 e2iπλ1 c2
.
´c1
e2iπλ2 ´1
On modie un peu l'expression des coecients
´c1 “
c1
et
c2
pour obtenir
2iπr2,1 eiπλ2 ¨pa2 ´ a1 qλ1 ¨ pa1 ´ a2 q´λ2
Γp1 ` αqΓp1 ` βq
et
´2iπr1,2 eiπλ1 ¨pa1 ´ a2 qλ2 ¨ pa2 ´ a1 q´λ1
Γp1 ´ αqΓp1 ´ βq
λ
λ iπλ1
en utilisant pour c1 la formule pa1 ´ a2 q 1 “ pa2 ´ a1 q 1 e
et pour c2 la formule
´λ1
´λ1 ´iπλ1
pa1 ´ a2 q
“ pa2 ´ a1 q
e
avec notre choix de branche du logarithme.
e2iπλ1 c2 “
7.2. Calcul explicite des matrices de connexion
∇ est la connexion
˙˛
0
0
r2,1 λ2 ‹
‹ dz.
z ´ a2 ‚
La connexion fuchsienne associée est la connexion
¨ˆ
˚
p “d´˚
∇
˝
λ1 r1,2
0
0
z ´ a1
ˆ
˙
`
On peut la relier à l'équation hypergéométrique et calculer ses matrices de connexion.
Théorème 7.2.1. On a les relations
Q2 C1,2 E1 “ pa1 ´ a2 q´λ2
Γp1 ` λ1 qΓp1 ´ λ2 q
r2,1 pa2 ´ a1 qλ1
Γp1 ` αqΓp1 ` βq
et
Q1 C2,1 E2 “ ´pa2 ´ a1 q´λ1
Γp1 ´ λ1 qΓp1 ` λ2 q
r1,2 pa1 ´ a2 qλ2 .
Γp1 ´ αqΓp1 ´ βq
On déduit alors du théorème 7.1.1 et du théorème 7.2.1 précédent que la formule
a
(7.0. ) est bien vériée dans le cas d'un bré de rang
n “ 2.
7.3. DÉMONSTRATION DU CALCUL POUR LES MATRICES DE CONNEXION
121
7.3. Démonstration du calcul pour les matrices de connexion
Dans cette section, on donne la démonstration du théorème 7.2.1. On traitera le
Q2 C1,2 E1 , le cas de Q1 C2,1 E2 étant analogue.
cas du coecient
pa2 ´ a1 qx ` a1 “ z , on supposera par
p au voisinage de
une base de solution de ∇
Quitte à faire un changement de variable
la suite que
a1 “ 0
et
a2 “ 1.
On calcule
a1 “ 0.
Posons les notations suivantes :
(1)
γ “ 1 ` λ1
(2)
α, β
(3)
α1 , β 1
et
vérient
γ 1 “ 1 ` λ2 ,
αβ “ ´r1,2 r2,1
sont donnés par
et
α ` β “ λ1 ´ λ2 “ γ ´ γ 1 ,
α1 “ γ ´ α
et
β1 “ γ ´ β.
En particulier, ils vérient
α1 β 1 “ αβ ` γγ 1 “ ´r1,2 r2,1 ` p1 ` λ1 qp1 ` λ2 q
et
On rappelle que
dénie pour tout
α1 ` β 1 “ γ ` γ 1 “ 2 ` λ1 ` λ2 .
`a,b˘
2 F1 p c ; zq désigne la série hypergéométrique
ˆˆ ˙ ˙ ÿ
a, b
paqn pbqn n
;z “
z
2 F1
c
n!
pcq
n
ně0
a, b P Z
et
c R Ză0 ,
et où
paqn
désigne le symbole de Pochhammer
paqn “ apa ` 1q ¨ ¨ ¨ pa ` n ´ 1q.
Cette série est convergente pour
|z| ă 1.
On peut exprimer la base de Floquet en
0
de
p
∇
explicitement à partir de séries
hypergéométrique. Précisément, on a la
Proposition 7.3.1. La fonction
˜
F l1 : z ÞÑ
` ˘
`1´α1 ,1´β 1 ˘ ¸
r1,2
z λ1 2 F1 p α,β
¨
F
p
;
zq
´
; zq
2
1
γ´1
γ`
2´γ
˘
`1´α1 ,1´β
1˘
r2,1 λ1 `1
1`α,1`β
¨ 2 F1 p 1`γ ; zq
´ γ z
; zq
2 F1 p
1´γ
p au voisinage de 0. En particulier, la première colonne
est une base de solutions de ∇
λ1
est asymptotique à z
¨ E1 et la seconde est asymptotique à ´r1,2 {λ1 ¨ E1 ` E2 .
Démonstration. Pour trouver la formule, on développe en série entière toutes
les fonctions et on résout les équations de récurrence obtenues en prenant l'égalité
k
des coecients devant les puissances z , k P Z.
Pour vérier la formule pour
F l1 pzq,
il sut de vérier que
p l1 q “ 0.
∇pF
Cela est
une conséquence des formules de contiguïté et de dérivation
a
(7.3. )
b
(7.3. )
˙ ˙
ˆˆ
˙ ˙
a, b
ab
1 ` a, 1 ` b
;z “
¨ 2 F1
;z ,
c
c
1`c
„

ˆˆ ˙ ˙
ˆˆ
˙ ˙
a, b
d
a, b
z
` pc ´ 1q 2 F1
; z “ pc ´ 1q ¨ 2 F1
;z ,
dz
c
c´1
d
2 F1
dz
ˆˆ
„c

ˆˆ ˙ ˙
ˆˆ
˙ ˙
a, b
a, b
d
pc ´ aqpc ´ bq
p1 ´ zq ` pc ´ a ´ bq 2 F1
;z “
¨ 2 F1
;z .
dz
c
c
c`1
(7.3. )
IKSY91]. L'idée est d'utiliser
les relations (7.3.a) et (7.3.c) pour supprimer les termes en 1´z et les relations (7.3.a)
et (7.3.b) pour supprimer les termes en z .
Voir théorème 2.1.3 p.45 et proposition 2.1.6 p.47 de [
122
7. CAS PARTICULIER D'UN FIBRÉ DE RANG 2
Montrons comment on peut procéder pour la première colonne. On abrégera 2 F1 p
la suite. On doit montrer les deux relations
„
d
z
dz
˜
˜
z
¸¸
α, β
γ
λ1
“ λ1 z
λ1
`α,β ˘
` ˘
; zq en α,β
dans
γ
γ
˜
¸
˜
¸
α, β
r1,2 r2,1 λ1 `1
1 ` α, 1 ` β
´
z
¨
γ
γ
1`γ
et
„
d
p1 ´ zq
dz
˜
¸¸
˜
¸
˜
¸
˜
r2,1 λ1 `1
1 ` α, 1 ` β
λ2 r2,1 λ1 `1
1 ` α, 1 ` β
λ1 α, β
´
z
¨
“ ´r2,1 z
`
z
¨
.
γ
1`γ
γ
γ
1`γ
d
Comme z dz
est un opérateur diérentiel, on développe la dérivation du produit du membre de gauche
et on en déduit que la première relation est équivalente à
„
z
λ1
d
z
dz
¸
˜
¸
˜
α, β
r1,2 r2,1 λ1 `1
1 ` α, 1 ` β
“´
z
¨
γ
γ
1`γ
qui est bien vraie grâce à la relation (7.3.a), car ´r1,2 r2,1 “ αβ .
Pour la seconde relation, on peut procéder de la manière suivante. Le membre de gauche est égal à
˜
´r2,1 z
λ1
¸
1 ` α, 1 ` β
p1 ´ zq
1`γ
¸
„
˜
d
1 ` α, 1 ` β
r2,1 λ1 `1
´
z
p1 ´ zq
γ
dz
1`γ
donc en divisant tout par ´ r2,1
z λ1 , il sut de montrer
γ
« ˜
¸
1 ` α, 1 ` β
p1 ´ zq γ
1`γ
˜
¸ff
˜
¸
˜
¸
α, β
1 ` α, 1 ` β
d 1 ` α, 1 ` β
“γ
´ λ2 z
.
`z
dz
1`γ
γ
1`γ
En utilisant la formule (7.3.b) pour le membre de gauche, on doit montrer
˜
¸
1 ` α, 1 ` β
γp1 ´ zq
γ
(7.3.d)
˜
¸
˜
¸
α, β
1 ` α, 1 ` β
“γ
´ λ2 z
.
γ
1`γ
En utilisant les relations (7.3.a) et (7.3.c), on en déduit que le membre de gauche de (7.3.d) est égal à
˜
¸
˜
¸
˜
¸
γpγ ´ 1q
d α, β
γpγ ´ α ´ 1qpγ ´ β ´ 1q α, β
γpγ ´ 1qpγ ´ α ´ β ´ 1q α, β
p1 ´ zq
“
´
.
αβ
dz γ ´ 1
αβ
γ
αβ
γ´1
De même, en utilisant les relations (7.3.a) et (7.3.b), on en déduit que le second terme du membre de
droite de (7.3.d) est égal à
˜
¸
«˜
¸ ˜
¸ff
γ d α, β
α, β
α, β
´λ2 γpγ ´ 1q
´λ2
z
“
´
.
αβ dz
γ
αβ
γ´1
γ
`α,β ˘
` α,β ˘
Alors, en constatant l'égalité des coecients devant les termes en
λ2 “ γ ´ α ´ β ´ 1, on en déduit bien l'égalité (7.3.d).
γ
et
γ´1
(en utilisant l'égalité
On procède de même pour la seconde colonne. La relation pour la première ligne est évidente en utilisant
(7.3.b). De même, la seconde est évidente en utilisant (7.3.c).
On remarque que l'on a
ˆ
z
R1
“
z λ1 pz λ1 ´ 1q rλ1,2
1
1
˙
.
ˆ
˙
1 r1,2 {λ1
Notons P “
. Alors on a immédiatement que F l1 pzq ¨ P “: Ψ1 pzq
0
1
p asymptotique à pz ´ a1 qR1 “ z R1 en z Ñ a1 “ 0.
base de solution de ∇
En inversant le rôle de
a1
et
a2 ,
est la
on déduit immédiatement la
Proposition 7.3.2. La fonction
˜
F l2 : z ÞÑ
¸
`1´α1 ,1´β 1 ˘
`1´α,1´β ˘
r1,2
λ2 `1
F
p
;
1
´
zq
´
p1
´
zq
¨
F
p
;
1
´
zq
2 1
2 1
1
γ1
`1´γ
˘
`´α,´β1`γ
˘ 1
r2,1
1´α1 ,1´β 1
λ2
´ γ 1 ´1 2 F1 p 2´γ 1 ; 1 ´ zq
p1 ´ zq ¨ 2 F1 p γ 1 ; 1 ´ zq
p au voisinage de 1.
∇
E1 ´ r2,1 {λ2 ¨ E2 et la seconde
est la base de Floquet de
asymptotique à
En particulier, la première colonne est
λ
est asymptotique à z 2 ¨ E2 .
7.3. DÉMONSTRATION DU CALCUL POUR LES MATRICES DE CONNEXION
u “ 1´z
Démonstration. On eectue le changement de variable
permute la base
pE1 , E2 q
en
pE2 , E1 q.
123
puis on
Cela revient à changer les notations en
ˆ
RÕ
r2,2 r2,1
r1,2 r1,1
c'est-à-dire à inverser le rôle des indices
1
et
˙
2.
On en déduit les permutations à
eectuer :
r1,1 Ô r2,2 r1,2 Ô r2,1 γ Ô γ 1
pα1 , β 1 q Ô pα1 , β 1 q pα, βq Ô p´α, ´βq.
On peut alors calculer les matrices de connexion. On choisit la direction admissible
1
opposée d à celle choisie dans la section 7.1 précédente. Cette direction a donc un
sargpa1 ´ a2 q ; argpa2 ´ a1 qr. Du coup, cela correspond après
pa2 ´ a1 qz ` a1 à prendre par exemple une direction d'angle ´π{2. Voir
argument appartenant à
l'homothétie
la gure 2 ci-dessous.
a1 ´ a2
0
‚
a2 ´ a1
d1 “ e´iπ{2
Figure 2. Choix de la direction admissible
d1
après une homothétie
On choisit une branche du logarithme
au
ˆ
˙ voisinage de cette direction admissible.
1
0
, alors la solution F l2 pzq ¨ Q “: Ψ2 pzq
r2,1 {λ2 1
p asymptotique à pz ´ a2 qR2 en z Ñ a2 “ 1.
base de solution de ∇
´1
On a par dénition C1,2 “ Ψ2 Ψ1 pzq, c'est-à-dire
Si on note
la
Q “ pa1 ´ a2 qλ2 ¨
est
C1,2 “ Q´1 F l2´1 pzqF l1 pzqP.
Proposition 7.3.3. On a
ˆ
F l2´1 pzqF l1 pzq
avec
“
A B
C D
˙
ΓpγqΓpγ 1 q
Γp1 ´ γqΓpγ 1 q
B
“
r
1,2
Γpα1 qΓpβ 1 q
Γp1 ´ αqΓp1 ´ βq
ΓpγqΓp1 ´ γ 1 q
Γp1 ´ γqΓp1 ´ γ 1 q
D“
.
C “ ´r2,1
Γp1 ` αqΓp1 ` βq
Γp1 ´ α1 qΓp1 ´ β 1 q
A“
IKSY91].
Démonstration. On applique le théorème 4.7.1 p.114 de [
Avec leurs notations, on a
f0 px; 0q “ 2 F1 pa, b; c; xq,
f0 px; λq “ xλ 2 F1 pa ´ c ` 1, b ´ c ` 1; 2 ´ c; xq,
et
f1 px; 0q “ 2 F1 pa, b; a`b´c`1; 1´xq f1 px; µq “ p1´xqµ 2 F1 pc´a, c´b; c`1´a´b; 1´xq,
124
7. CAS PARTICULIER D'UN FIBRÉ DE RANG 2
qui vérient
`
avec
˙
ˆ
˘ A1 B 1
f0 px; 0q f0 px; λq “ f1 px; 0q f1 px; µq
C 1 D1
˘
`
ΓpcqΓpc ´ a ´ bq
Γp2 ´ cqΓpc ´ a ´ bq
B1 “
Γpc ´ aqΓpc ´ bq
Γp1 ´ aqΓp1 ´ bq
Γpa ` b ´ cqΓp2 ´ cq 1
ΓpcqΓpa ` b ´ cq
D1 “
.
C1 “
ΓpaqΓpbq
Γpa ´ c ` 1qΓpb ´ c ` 1q
ˆ
˙
A B
vérie la relation F L1 pzq “ F l2 pzq ¨
. Pour la première ligne,
C D
A1 “
On
a “ 1 ´ α1
b “ 1 ´ β1
Alors on a
˙
´r1,2
f
pz;
0q
0
γ´1
f1 pz; 0q
˚
˙
´r1,2
f1 pz; µq
γ1
.
F l1 pzq “
ˆ
F l2 pzq “
λ “ γ ´ 1 µ “ γ 1.
c“2´γ
f0 pz; λq
˚
ˆ
on pose
˚
˚
On vérie immédiatement que l'on a
ˆ
˙
A B
E1 F l1 pzq “ E1 F l2 pzq ¨
,
C D
t
t
avec
ΓpγqΓpγ 1 q
r1,2 1
r1,2 Γp2 ´ γqΓpγ 1 q
B
“
A
“
Γpα1 qΓpβ 1 q
1´γ
1 ´ γ Γp1 ´ αqΓp1 ´ βq
1
´γ 1 1
´γ 1 Γp2 ´ γqΓp´γ 1 q
´γ 1 ´γ 1 ΓpγqΓp´γ 1 q
D “
D“
C “
.
C“
r1,2
r1,2 ΓpαqΓpβq
1´γ
1 ´ γ Γp1 ´ α1 qΓp1 ´ β 1 q
A “ B1 “
grâce au théorème 4.7.1 p.114 de [
IKSY91].
Pour la seconde ligne, on pose
a “ 1 ´ α1
On a alors
b “ 1 ´ β1
c“1´γ
λ“γ
µ “ γ 1 ´ 1.
ˆ
˙
˚
˚
F l1 pzq “
´ r2,1
f0 pz, λq f0 pz; 0q
γ
ˆ
˙
˚
˚
F l2 pzq “
.
´ γr12,1
f pz; 0q f1 pz; µq
´1 1
On vérie immédiatement que l'on a
ˆ
˙
A B
E2 F l1 pzq “ E2 F l2 pzq ¨
,
C D
t
t
avec
A“
γ 1 ´ 1 1 γ 1 ´ 1 Γp1 ` γqΓpγ 1 ´ 1q
B “
γ
γ
Γpα1 qΓpβ 1 q
C“
´r2,1 1 ´r2,1 Γp1 ` γqΓp1 ´ γ 1 q
D “
γ
γ Γp1 ` αqΓp1 ` βq
grâce au théorème 4.7.1 p.114 de [
B“
γ 1 ´ 1 1 γ 1 ´ 1 Γp1 ´ γqΓpγ 1 ´ 1q
A “
´r2,1
´r2,1 Γp´αqΓp´βq
D “ C1 “
IKSY91].
Γp1 ´ γqΓp1 ´ γ 1 q
Γp1 ´ α1 qΓp1 ´ β 1 q
On vérie alors immédiatement que les expressions trouvées dans les deux cas
pour
A, B, C
et
D
sont les mêmes.
1. Notez l'erreur de signe dans le théorème 4.7.1 p.114 de [
IKSY91] pour les termes C 1
et
D1 .
7.4. DÉVELOPPEMENT MOULIEN
125
On en déduit alors la formule pour la matrice de connexion
ˆ
´λ2
C1,2 “ pa1 ´ a2 q
D'où on en déduit
e
r1,2
A
A`B
λ1
r2,1
r1,2 r2,1
r2,1
´ λ2 A ` C ´ λ1 λ2 A ´ λ2 B `
On a
˙
r1,2
C
λ1
`D
pa1 ´ a2 qλ2 Q2 C1,2 E1 “ r2,1 A ´ r2,1 A ` λ2 C “ λ2 C ,
Q2 C1,2 E1 “ pa1 ´ a2 q´λ2
(7.3. )
C1,2 .
c'est-à-dire
Γp1 ` λ1 qΓp1 ´ λ2 q
r2,1 ,
Γp1 ` αqΓp1 ` βq
ce qui est le résultat attendu. On procède de même pour
Q1 C2,1 E2 .
Les calculs
sont laissés au lecteur.
7.4. Développement moulien
On peut essayer de retrouver notre développement moulien du chapitre 6 à partir
du développement suivant de la fonction Gamma d'Euler :
˜
¸
8
ÿ
1
p´1qk
“ exp γz ´
ζpkqz k ,
Γp1 ` zq
k
k“2
a
(7.4. )
où
γ
désigne la constante d'Euler.
Typiquement, on peut essayer de retrouver le développement de la matrice de
connexion
C1,2
e
à partir de l'équation (7.3. ) donnant
Q2 C1,2 E1 “ pa1 ´ a2 q´λ2
a
Γp1 ` λ1 qΓp1 ´ λ2 q
r2,1 ,
Γp1 ` αqΓp1 ` βq
En utilisant la formule (7.4. ) pour la fonction Gamma, on obtient
˜
¸
8
k
ÿ
Γp1 ` λ1 qΓp1 ´ λ2 q
p´1q
“ exp
ζpkq ¨ pλk1 ´ λk2 ´ pαk ` β k qq .
Γp1 ` αqΓp1 ` βq
k
k“2
Remarquez que grâce aux identités de Newton, les termes
fonction des polynômes symétriques de
λ1 ´ λ2
et du produit
λ1 λ2
αk ` β k
s'expriment en
α et β , c'est-à-dire en fonction de la diérence
faisant intervenir des coecients de binôme de Newton.
Plusieurs dicultés émergent alors :
(1) les formules des identités de Newton se sont pas explicites et donnent seulek
k
ment une formule récursive calculer les α ` β en fonction de λ1 ´ λ2 et
λ1 λ2 .
(2) Ensuite, les nombres apparaissant dans le développement moulien seront les
nombres zêta simples et non des hyperlogarithmes comme dans le chapitre
2
6 .
Il est possible que le point
p2q soit relié au théorème de la somme (voir la preuve de
Gra97], aussi indépendamment trouvé par D. Zagier)
ce théorème par A. Granville [
ÿ
ζpi1 , . . . , ir q “ ζpnq.
i1 `¨¨¨`ir “n
i1 ą1
Remarquez enn que la somme que l'on obtient au chapitre 6 est une série formelle à
variables non commutatives alors qu'une formule obtenue à partir du developpement
de la fonction Gamma précédent sera une série formelle à variable commutative.
2. Comme on a que deux pôles à distance nie, on peut se ramener au cas où les pôles sont en
1
0,
et l'inni et les hyperlogarithmes du développement moulien s'exprimeront à partir des polyzêtas.
126
7. CAS PARTICULIER D'UN FIBRÉ DE RANG 2
**
Annexe A
Hyperfonctions et transformée de Laplace multiplicative
Mal91]
On rappelle ici une partie de la théorie développée par B. Malgrange dans [
en donnant quelques démonstrations. On y fait parfois quelques choix de présentation
diérents, qui nous ont apparu sur le coup plus pertinents. Pour plus de lisibilité, on
rassemblera les démonstrations techniques dans la section A.7.
A.1. Hyperfonctions
Le bon espace de fonctions à considérer pour travailler avec la transformée de
1
Laplace au niveau des espaces de solutions est l'espace des hyperfonctions . Les hyperfonctions solution permettront d'encoder dans un même objet les solutions et les
microsolutions.
1
Notons S le cercle unité. Soit
d un direction d'angle θ et δ0,θ le rayon Rą0 eiθ . On
dénit l'espace Aθ comme la limite inductive pour ε Ñ 0 de l'ensemble des fonctions
holomorphes f sur le secteur ramié ouvert t0 ă |z| ă ε et ´ε´2π ă argpzq´θ ă εu.
1
Il est clair que l'ensemble des Aθ pour θ P R{p2πZq forme un faisceau A sur S . On
exp
dénit l'espace Oθ
comme la limite inductive pour ε Ñ 0 de l'ensemble des fonctions
^
˚
holomorphes ϕ dénies sur le secteur ouvert tz P C : | argpzq ´ θ| ă εu à croissance
1
exponentielle à l'inni. On rappelle que cela signie qu'il existe un ε ă ε strictement
^
A|z|
1
positif et deux constantes A, C P R telles que |ϕpzq| ď C e
pour z tel que |z| ą 1{ε
exp
1
exp
1
et | argpzq ´ θ| ă ε . De même, l'ensemble des Oθ
forme un faisceau O
sur S , dit
des fonctions à croissance exponentielle.
On choisit l'orientation canonique
l'ensemble des couples
_
`
^
prϕs, rϕsq P Aθ ˆ
a
_
de
C.
On dénit alors l'espace
Hδ`0,θ
comme
Oθexp vériant
_
^
ϕpzq ´ ϕpz e´2iπ q “ ϕpzq
(A.1. )
_
^
δ0,θ . Plus précisément, on peut supposer que ϕ et ϕ sont des
_
^
représentants de rϕs et rϕs dénis sur les secteurs t0 ă |z| ă ε et ´ ε ´ 2π ă argpzq ´
θ ă εu et tz P C˚ : | argpzq´θ| ă εu respectivement. Alors l'égalité (A.1.a) dénissant
`
1
1
le sous-espace Hδ
est vraie pour tout z tels que 0 ă |z| ă ε et | argpzq ´ θ| ă ε
0,θ
1
pour un certain ε ă ε strictement positif.
_
^
_
^
^
^
`
On dénit la relation d'équivalence R sur Hδ
par pϕ1 , ϕ1 qRpϕ2 , ϕ2 q si ϕ1 “ ϕ2
au voisinage du rayon
0,θ
et
_
_
ϕ1 ´ ϕ2 P Aθ
qui est alors la classe d'une fonction univaluée est (la classe d'une
fonction) holomorphe en
0.
δ0,θ dans
`
Hδ0,θ par la relation d'équi-
Définition A.1.1. On dénit l'espace des hyperfonctions sur le rayon
`
l'orientation canonique noté H0,θ , comme le quotient de
valence R.
1. Cet espace est une variante de l'espace des hyperfonctions de Laplace introduites par Komatsu.
Cette variante est due à B. Malgrange. Voir la variante [
Mal91] chapitre VI Ÿ3 iii) p.98 pour un cas
Mal89] Ÿ3 p.14.
sous-exponentiel et chapitre IX pour la croissance quelconque mais aussi [
127
128
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
Remarque A.1.2. B. Malgrange utilise une dénition équivalente. Celui-ci préfère
d'abord considérer les classes d'équivalence puis passer à la limite inductive. Plus
_ ^
`
précisément, il dénit Hε comme l'ensemble des paires pϕ, ϕq telles que :
^
ϕ
(1)
est une fonction holomorphe dénie sur le secteur ouvert
tz P C˚ : | argpzq ´ θ| ă εu
à croissance exponentielle à l'inni,
_
ϕ
(2)
est une fonction holomorphe sur le secteur ramié ouvert
t0 ă |z| ă ε
_
et
´ ε ´ 2π ă argpzq ´ θ ă εu
_
^
ϕpzq ´ ϕpz e´2iπ q “ ϕpzq,
| argpzq ´ θ| ă ε.
telle que
puis il considère la relation d'équivalence
^
^
_
Rε
pour tout
sur
_
Hε`
z
tel que
donnée par
0 ă |z| ă ε
_
^
_
et
^
pϕ1 , ϕ1 qRε pϕ2 , ϕ2 q si
ϕ1 “ ϕ2 et ϕ1 ´ϕ2 qui est alors univaluée est holomorphe en 0. Alors les hyperfonctions
`
sont données comme la limite inductive pour ε Ñ 0 des quotients Hε {Rε .
J'ai préféré la présentation ci-dessus plutôt que celle de B. Malgrange car on y voit
mieux comment s'insère les applications
can et var ci-dessous et comment apparaissent
les microfonctions.
Remarque A.1.3. Si l'on choisit l'orientation inverse
les hyperfonctions
relation
_
´
H0,θ
.
_
^
ϕpzq ´ ϕpe`2iπ zq “ ϕpzq
^
ϕ P Oθexp .
C,
Hδ`0,θ
de
on peut dénir
en imposant la
et on procède ensuite de la même manière.
On peut dénir une application
associe
´
Pour cela, on change la dénition de
`
var : H0,θ
Ñ Oθexp
qui à la classe du couple
_
^
pϕ, ϕq
Cette application est clairement bien dénie car si l'on change de
représentant, on ne modie pas le second terme du couple. On aimerait considérer
`
l'application correspondant à la première projection Hδ
ãÑ Aθ ˆ Oθexp Ñ Aθ . Ce0,θ
pendant les classes d'équivalence selon
R
n'ont pas toute la même image comme
dans le cas précédent avec la seconde projection. L'image est dénie à une fonction
holomorphe en
0
près. On a donc un diagramme commutatif
Hδ`0,θ b
(A.1. )

/
`
H0,θ
/
pcan,varq
Aθ ˆ Oθexp
Aθ {O0 ˆ Oθexp .
On appellera application canonique et application variation
`
can : H0,θ
ÝÑ Aθ {O0
`
var : H0,θ
ÝÑ Oθexp
les applications précédentes.
Mal91
] lemme 3.2 chapitre VI Ÿ3 p.98). L'application
exp
Oθ est surjective.
Lemme A.1.4 ([
`
H0,θ
ÝÑ
var :
a P C. On dénit l'espace des hyperfonctions sur le
`
dans l'orientation canonique noté Ha,θ comme le translaté de l'espace des
`
`
hyperfonctions H0,θ par a, c'est-à-dire qu'on a Φ P Ha,θ si et seulement si Φpa ` ¨q P
`
H0,θ
.
Définition A.1.5. Soit
rayon
δa,θ
A.2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES HYPERFONCTIONS
129
A.2. Transformée de Laplace des hyperfonctions
Oθss´exp
ε Ñ 0 des fonctions
tz P C : |z| ą 1{ε et | argpzq ´ θ| ă
εu à croissance sous-exponentielle. On rappelle qu'une fonction holomorphe ψ est à
1
croissance sous-exponentielle dans la direction d si pour tout ε ą 0, il existe un
voisinage de la direction d dans le domaine de dénition de ψ et une constante C P R
ss´exp
ε1 |z|
1
tels que |ψpzq| ď C e
. L'ensemble des Oθ
pour θ P S forme un faisceau
Oss´exp sur S 1 , dit des fonctions (dénies) à l'inni à croissance sous-exponentielle.
a‚
ss´exp
a‚
ss´exp
On notera e O
le faisceau tel que ψ est une section de e O
si et seulement
´aζ
ss´exp
1
si e
ψpζq est une section de O
. On notera Iθ :“ tτ P S : |τ ` θ| ď π{2u qui
est donc le demi-plan centré sur l'angle ´θ .
On dénit l'espace
comme la limite inductive pour
holomorphes dénies sur les secteurs à l'inni
Pour être cohérent avec la suite du texte, on notera
hyperfonctions et
ζ
z
la coordonnée du coté des
la coordonnée du coté des fonctions à l'inni à croissance sous-
exponentielle obtenue après transformée de Laplace des hyperfonctions. De même,
on emploiera plutôt la lettre
Φ
pour désigner une hyperfonction et la lettre
ψ
pour
désigner une fonction à l'inni à croissance sous-exponentielle.
Définition A.2.1. On dénit la transformée de Laplace d'une hyperfonction
_
^
`
rϕ, ϕs P Ha,θ
1
pLa,θ Φqpζq :“
2iπ
où
Φ“
par
ż
_
ϕpzq ¨ e
´ζz
Cpa,εq`
1
dz `
2iπ
ż
^
ϕpzq ¨ e´ζz dz,
δa`ε eiθ ,θ
εą0
est un réel susamment petit tel que la première intégrale soit bien dénie
`
lorsque prise sur le cercle Cpa, εq de centre a et de rayon ε orienté dans le sens direct,
iθ
et où δa`ε eiθ ,θ désigne le rayon issu de a ` ε e et d'angle θ (voir la gure 1).
δa`ε eiθ ,θ
‚ a ` ε eiθ
a
‚
Cpa, εq`
Figure 1. Chemin pour la transformée de Laplace multiplicative
La transformation de Laplace se comporte de la manière suivante vis à vis de la
`
`
translation ta : z ÞÑ z ` a. Si on a Φa P Ha,θ et Φ0 P H0,θ tels que Φ0 “ Φa ˝ ta alors
en eectuant le changement de variable z Ð z ` a, on a
a
La,θ Φa pζq “ e´aζ L0,θ Φ0 pζq.
(A.2. )
Lemme A.2.2. La dénition précédente est bien posée et dénie un élément de
ΓpIθ , e´a‚ Oss´exp q.
Définition A.2.3. On dénit la transformée de Laplace inverse
`
Ha,θ
d'une section
les chemins) :
_
^
ϕ ϕ
L´1
a,θ pψq “ r , s P
ψ P ΓpIθ , e´a‚ Oss´exp q de la manière suivante (voir la gure 2 pour
130
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
ş
_
ϕ est dénie par le recollement des fonctions z ÞÑ δ´ ψpζq¨eζz dζ
A,τ
où A est un point quelconque du domaine de dénition de ψ , pour les τ tels
que |τ ` θ| ă π{2 ` ε. Cela dénit bien une fonction sur un secteur ramié
t0 ă |z ´ a| et ´ ε ´ 2π ă argpz ´ aq ´ θ ă εu.
ş
^
la fonction ϕ est dénie par z ÞÑ
ψpζq ¨ eζz dζ où δ ´ est la concaténation
δ´
´
de la demi-droite δA,´θ`π{2`ε parcouru de l'inni vers A et de la demi-droite
δA,´θ´π{2´ε parcouru de A vers l'inni.
(1) la fonction
(2)
δ´
´
δA,τ
A
‚
Rą0 e´iθ
Figure 2. Chemin pour la transformée de Laplace inverse des hyperfonctions
Lemme A.2.4. La dénition précédente est bien posée et dénit bien une hyper-
fonction
_
^
`
rϕ, ϕs P Ha,θ
.
Mal89] proposition 3.2 p.15).
Proposition A.2.5 ([
La transformée de Laplace
et la transformée de Laplace inverse dénissent des isomorphismes réciproques l'un
`
´a‚
de l'autre entre l'espace des hyperfonctions Ha,θ et l'espace ΓpIθ , e
Oss´exp q.
Remarque A.2.6. Comme avec la transformation de Fourier, on peut mettre le
facteur
2iπ
sur l'une ou l'autre des transformations.
Remarque A.2.7. Au niveau des fonctions, la transformée de Laplace inverse
_
^
_
^
_
^
_
rϕ, ϕs donne un représentant pϕ, ϕq de rϕ, ϕs avec ϕ dénie sur un secteur
ă |z ´ a| et ´ ε ´ 2π ă argpz ´ aq ´ θ ă εu, c'est-à-dire pas seulement au
_ ^
`
voisinage de a. On déduit donc de la proposition A.2.5 que toute classe rϕ, ϕs P Ha,θ
admet un représentant déni sur un secteur ramié sur tout C ´ tau et pas seulement
sur un voisinage épointé de a. On appellera un tel représentant, un représentant spécial
´1
La,θ
pψq “
ramié t0
de l'hyperfonction.
Remarque A.2.8. On peut aussi dénir une transformée de Laplace et de Laplace
inverse pour les hyperfonctions
´
Ha,θ
avec le choix de l'orientation inverse. On a alors
deux isomorphismes
´
La,θ : Ha,θ
Õ ΓpIθ , e´a‚ Oss´exp q : L´1
a,θ ,
A.3. MICROFONCTIONS ET MICROFONCTIONS GÉNÉRALISÉES
avec pour diérence dans la dénition de
La,θ
que l'on prend le cercle
131
Cpa, εq´
par-
couru dans le sens inverse (et non plus direct) et pour diérence dans la dénition de
`
`
L´1
a,θ que l'on prend les intégrales sur les chemins δA,τ et δ . Cela correspond aussi à
inverser l'orientation dans les deux cas.
La dérivation usuelle induit une dérivation sur l'espace des hyperfonctions
`
Ha,θ
.
Il est clair que la dénition est indépendante du représentant de la classe choisi (car
la dérivation d'une fonction holomorphe en
a
reste holomorphe en
a).
Proposition A.2.9. La transformée de Laplace envoie la multiplication par
sur la dérivation
Bζ
de
a‚
ΓpIθ , e O
ss´exp
q
´z
`
et la dérivation Bz de Ha,θ sur la multiplica-
ζ.
tion par
Démonstration. On procède par intégration par parties. Les détails sont laissés
au lecteur.
A.3. Microfonctions et microfonctions généralisées
A.3.1. Dénition des microfonctions. Soit D le disque centré en 0 de rayon
r
b P D˚ :“ D ´ t0u un
pD˚ , bq et
et
de
point non nul. On note alors
‚ O
le faisceau des fonctions holomorphes sur
D,
‚ Õ
le faisceau des fonctions holomorphes sur
D̃,
‚ π : D̃ Ñ D˚ ãÑ D
pD̃, b̃q le
revêtement universel
l'application composée de la projection canonique et de
l'inclusion canonique.
On dénit alors le faisceau
de faisceaux sur
C
comme le conoyau de la èche canonique
O Ñ π˚ Õ
C0
comme la
D.
Définition A.3.1. On dénit l'espace des microfonctions en
bre en
0
du faisceau
C
0
noté
précédent. En particulier, on a une suite exacte
a
0 ÝÑ O0 ÝÑ pπ˚ Õq0 ÝÑ C0 ÝÑ 0.
(A.3. )
On dénit l'espace des microfonctions en
aPC
comme le translaté de
C0
par
a.
On peut vérier que la dénition de l'espace des microfonctions est indépendante
˚
du choix du disque D initial et du point b P D . Dans la suite, on traitera uniquement
a “ 0, le cas des autres espaces de microfonctions se calquant immédiatement.
On notera aussi par abus, Õ0 :“ pπ˚ Õq0 la bre en 0 du faisceau π˚ Õ déni sur le
disque D .
le cas de
La terminologie de microfonctions est due à B. Malgrange. Voir par exemple
[
Mal91]
Mal89]
ŸII.3 p.30 ou [
Ÿ2 p.9. Cette terminologie est due à une analogie
SKK73].
avec les microfonctions dénies par Sato, Kawai et Kashiwara dans [
La
terminologie d'Écalle est d'appeler les microfonctions les singularités et souvent noté
avec un nabla, comme
_
O
ϕ,
pour la microfonction associée à un germe de fonction
O
_
ϕ P Õ0 . Un représentant de ϕ dans Õ0 est souvent noté ϕ et est appelé un majeur de
O
ϕ.
Soit T l'action de la monodromie dans l'orientation directe sur Õ0 et sur C0 ,
c'est-à-dire qui transforme une branche du logarithme logpzq en logpzq ` 2iπ .
On pose alors can : Õ0 Ñ C0 l'application canonique et on dénit l'application
variation var : C0 Ñ Õ0 par
var ˝ can “ id ´T ´1 .
132
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
id ´T ´1 à O0 est nulle et que
_
_
´2iπ
l'on a la suite exacte (A.3.a). Explicitement, on a varpϕqpzq “ ϕpzq ´ ϕpe
zq où le
^
O
résultat est indépendant du majeur choisi. Le germe ϕ “ varpϕq est appelé un mineur
O
de ϕ.
L'application
var
est bien dénie car la restriction de
O
Remarque A.3.2. Certains auteurs comme B. Malgrange préfèrent dénir la fonc-
tion variation par
O
_
_
varpϕqpzq “ ϕpe2iπ zq ´ ϕpzq,
L'espace des microfonctions est un
c'est-à-dire
var ˝ can “ T ´ id.
O0 -module (c'est-à-dire un Ctzu-module), mais
Õ0 -module car la structure d'algèbre donnée par la multiplication point par
de Õ0 ne passe pas au quotient. Cependant, l'espace des microfonctions est
pas un
point
une algèbre commutative et associative pour la convolution (dénie par exemple dans
[
Sau12] Ÿ3.2 lemme
`
˘ 8 p.47 et dénition 11 p.48) dont l'unité est la distribution de
1
. L'action de Bz est bijective sur C0 (car deux primitives dièrent
2iπz
d'une constante qui s'annule par passage au quotient). De plus, on a Bz pf ‹ gq “
Dirac
δ :“ can
pBz f q ‹ g “ f ‹ pBz gq. On en déduit que l'intégration ´
est égale
¯
logpzq
´1
primitive du Dirac δ , que l'on note Y :“ Bz δ “ can
.
2iπ
A.3.2. Transformée de Laplace de microfonctions.
à la convolution par la
b
Le diagramme (A.1. )
suggère un lien entre les hyperfonctions et les microfonctions. Considérons une miO
_
O
^
du type spécial suivant : son mineur ϕ “ varpϕq s'étend
iθ
analytiquement le long du rayon Rą0 ¨ e et est à croissance au plus exponentielle à
O
_ ^
`
l'inni dans cette direction. Alors ϕ dénit une hyperfonction rϕ, ϕs P H0,θ et on peut
dénir sa transformée de Laplace par
crofonction
ϕ “ canpϕq
1
pLθ ϕqpζq :“
2iπ
O
où
εą0
ż ε eiθ
_
ϕpzq ¨ e
´ζz
ε eipθ´2πq
1
dz `
2iπ
ż 8 eiθ
^
ϕpzq ¨ e´ζz dz,
ε eiθ
est un réel susamment petit tel que la première intégrale soit bien dénie
lorsque prise sur le cercle de centre
0
et de rayon
ε.
On rappelle que la dénition précédente ne dépend pas du choix de
ε ni du majeur
_
ϕ choisi. La transformée de Laplace est une fonction holomorphe dénie sur un demiiθ
plan de la forme <pζ e q ą A où A est une constante majorante de la croissance
^
exponentielle de ϕ.
Remarque A.3.3. Nous allons dénir ci-dessous (dénition A.4.2) les microsolu-
tions d'un
M .
A1 -module M . Ce sont des microfonctions vériant l'équation diérentielle
Nous verrons en particulier que son mineur s'étend toujours analytiquement le
long d'un rayon générique dans notre cas particulier (un pôle double en l'inni). En
particulier, on pourra toujours dénir sa transformée de Laplace avec la méthode
précédente pour un rayon générique.
A.3.3. Microfonctions généralisées.
Soit
Σ
un ensemble ni de
C
que l'on
xera pour la suite de cette section. On dénit l'espace des microfonctions généralisées
CΣ (resp. l'espace des microfonctions généralisées à croissance exponentielle CΣexp )
comme l'espace des fonctions holomorphes sur un revêtement universel
C´Σ
Č
C
´Σ
de
(resp. à croissance exponentielle) quotienté par les fonctions entières (resp.
entières à croissance exponentielle). On a donc
Č
CΣ “ OC´Σ
Č pC ´ Σq{OpCq
et
exp
exp
Č
CΣexp “ OC´Σ
pCq.
Č pC ´ Σq{O
Pour traiter les deux cas en parallèle, on notera
ci-dessus.
pexpq
CΣ
l'un quelconque des deux espaces
A.3. MICROFONCTIONS ET MICROFONCTIONS GÉNÉRALISÉES
133
Remarque A.3.4. B. Malgrange considère un espace de microfonctions généra-
Mal91]
lisées un peu diérent dans [
un disque ouvert
l'adhérence de
D
contenant
Σ
chapitre XII Ÿ2 p.199. En eet, il considère
et il pose
Č
C˘ :“ Oexp
Č pC ´ Dq{OpCq
C´D
où
D
désigne
D. Cet espace C˘ correspond à ce qu'on appellera la situation semi-locale
ci-dessous.
Remarque A.3.5. On a une application injective
CΣexp ãÑ C˘
donnée par la res-
triction. Cependant, au niveau des solutions c'est-à-dire après application du foncteur
HompM 1 , ´q, cette application induira un isomorphisme (analogue du lemme A.3.6 et
de la proposition A.4.1). Nous avons fait ce choix car il met mieux en lumière le choix
de l'application
ιθ
ci-dessous (qui n'est pas dénie pour la version
C˘ mais
seulement
après passage aux solutions dans ce cas). L'avantage du choix de B. Malgrange est
que l'on peut dénir les applications canonique Can et variation
exp
niveau des faisceaux O8 (déni au début de la section A.4) et
Var semi-locales au
C˘ et pas seulement
au niveau des solutions.
A.3.4. Lien entre microfonctions et microfonctions généralisées.
Dans
la suite, on va faire le lien entre les situations locales et la situation semi-locale
correspondant à
C˘.
Pha84], en particulier Ÿ1.4 mais
À ce propos, voir en particulier [
aussi l'exemple p.79 qui est la méthode in ne que nous allons utiliser pour calculer
les données de Stokes.
Č
C
´ Σ au voisinage des (points de ramication correspondant aux) ai pour tout i P I . On identie alors ãi avec un point du
revêtement du disque épointé au voisinage de ai , ce qui nous donne une application
On choisit des points de bases
ãi
dans
Č
restri : Opexpq pC
´ Σq ÝÑ OpDČ
i ´ ai q
en associant à une fonction
ϕi “ ϕ
au voisinage de
ai .
Č
ϕ P Opexpq pC
´ Σq
la fonction
ϕi P OpDČ
i ´ ai q
telle que
Remarquons que cette application est injective (car
ϕ
est
dénie sur un ouvert connexe simplement connexe donc le prolongement analytique
Č
ϕi à C
´ Σ est unique et donc égal à ϕ) mais non surjective (une fonction ϕi dénie
Č
au voisinage de ai n'admet pas nécessairement de prolongement analytique à C
´Σ
de
tout entier). En prenant la somme directe, on obtient une application
Č
‘iPI restri : Opexpq pC
´ Σq ÝÑ ‘iPI OpDČ
i ´ ai q.
On en déduit alors une application (notée abusivement avec la même notation)
pexpq
‘iPI restri : CΣ
pexpq
ϕ P OC´Σ
Č
ÝÑ ‘iPI Cai ,
Cai
restri pϕq. Cette
application est bien dénie car l'image d'une application holomorphe sur C par restri
est bien holomorphe en ai .
qui à un représentant
des
Č
C
´ Σ, par exemple un point à l'inni. Cela permet
Č
de xer une origine sur le revêtement C
´ Σ et permet de le dénir de manière unique
(comme revêtement pointé). Soit d une direction admissible pour la famille Σ dont
on choisit un représentant spécial de son angle θ P R. On considère alors U l'ouvert
C´Σ privé des demi-droites di issues des ai et de direction d. L'espace U est un ouvert
connexe, simplement connexe car la direction d est admissible. On identie l'ouvert
Č
U à un sous-ensemble de C
´ Σ, déni par les angles appartenant à sθ ´ 2π ; θr. Pour
ce choix d'angle θ P R, on peut alors dénir l'application
Fixons un point de base
b8
associe les classes dans
de
pexpq
ιθ :“ ‘iPI restri : CΣ
Ñ ‘iPI Cai ,
134
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
ãi
où les
sont des points quelconques de
Lemme A.3.6. L'application
ιθ
Č
U ĎC
´Σ
ai .
au voisinage des
est injective mais non surjective.
A.4. Transformée de Laplace de solutions
0
Revenons à la situation du chapitre 4. On a donc deux A1 -modules explicites M
1
1
0
et M tels que M est la transformée de Fourier-Laplace de M . On rappelle que
les connexions associées en dehors des pôles sont les connexions
`
˘
∇0 “ d ´ B ` Cpz ´ Aq´1 D dz,
`
˘
∇1 “ d ` A ` Dpζ ´ Bq´1 C dζ.
1
La situation étant extrêmement symétrique, on simplie l'exposition en notant M :“
0
1
M et M :“ M . De même, lorsque l'on considérera une donnée associée à M , on
1
notera la donnée associée à M de manière analogue avec un prime.
les valeurs propres du type irrégulier de M en l'inni. Ce
1
1
sont aussi les singularités à distance nie de M . De même, notons Σ :“ tbj : j P Ju
1
les valeurs propres du type irrégulier de M en l'inni, qui sont aussi les singularités
Soit
Σ :“ tai : i P Iu
à distance nie de
M.
A.4.1. Microsolutions et microsolutions généralisées.
On reprend l'appli-
cation
pexpq
ιθ “ ‘iPI restri : CΣ
Ñ ‘iPI Cai ,
de la section A.3.4 précédente.
HompM 1 , ´q, on en déduit une
à
pexpq
HompM 1 , CΣ q ÝÑ
HompM 1 , Cai q.
En composant par le foncteur
a
(A.4. )
èche injective
iPI
a
Proposition A.4.1. L'application ( A.4. ) est un isomorphisme.
HompM 1 , Cai q l'espace des microsolutions de M 1
pexpq
1
en ai . De même, on appelle HompM , CΣ
q l'espace des microsolutions généralisées
1
(à croissance exponentielle) de M .
Définition A.4.2. On appelle
On peut calculer la dimension exacte de l'espace des microsolutions.
HompM 1 , Cai q des microsolutions en ai est un Cnie µi , la multiplicité de la valeur propre ai dans A.
Proposition A.4.3. L'espace
espace vectoriel de dimension
Démonstration. C'est une conséquence du lemme 2.1.4 et du corollaire 4.2
Mal91] du à M. Kashiwara.
chapitre IV Ÿ4 p.67 de [
On en déduit immédiatement que la dimension de l'espace des microsolutions
ř
M 1 est égale à iPI µi “ dimpV q. Cela motive la section suivante qui
1
explicite le lien entre les solutions de M et les microsolutions généralisées de M car
généralisées de
la dimension des solutions de
M
est bien égale à
dimpV q.
A.4.2. Transformation de Laplace dans la situation semi-locale.
pelle que l'on a choisit l'orientation canonique coté
M.
M
1
et l'orientation inverse coté
On xe aussi pour la suite le choix de deux angles admissibles
les familles
paI qiPI
et
pbj qjPJ
On rap-
ηI , ηJ P R
pour
respectivement. Pour simplier la suite de l'exposition,
on posera θ “ ηI ` π . On a donc ´θ “ ´ηI ´ π . On choisit quatre points base
p1I , p1J , pI , pJ à l'inni dans les angles ηI , ´ηJ , ´ηI ´ π, ηJ . Nous sommes en présence
de quatre espaces. Pour simplier les notations, on notera
(1)
E1
la bre en
p1J
de l'espace
Č
HompM 1 , OΣexp pC
´ Σqq
des solutions de
M 1,
A.4. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DE SOLUTIONS
(2)
F1
du
(3)
E
p1I de
A1 -module M 1 ,
la bre en
la bre en
pI
HompM 1 , CΣexp q
l'espace
des microsolutions généralisées
Č1
HompM , OΣexp
1 pC ´ Σ qq
de l'espace
135
des solutions de
M,
exp
(4) F la bre en pJ de l'espace HompM , CΣ1 q des microsolutions généralisées du
A1 -module M .
1
Par la proposition A.4.1, l'espace des microsolutions généralisées F admet une
À
1
1
1
1
graduation naturelle F “
iPI Fi où Fi :“
ÀHompM , Cai q. L'espace des solutions E
admet aussi une graduation naturelle E “
iPI Ei où Ei est l'ensemble des solutions
´ai ‚
ss´exp
de M dans ΓpIθ , e
O
q. Le fait que l'on ait bien une graduation est une
conséquence du théorème de multisommation d'une solution formelle en l'inni dans
la direction d'angle
´ηI ´ π “ ´θ.
De manière analogue, l'espace des microsolutions généralisées
J
ηJ P R.
graduation selon
admissible
donnée par les microsolutions en les
bj
F de M
admet une
pour le choix de l'angle
On dénit les applications canonique et variation semi-locales
a
(A.4. )
Can1 : E
F : Var1
Can : E1
F1 : Var
de la manière suivante :
(1) les applications canoniques sont dénies par le prolongement d'une solution
1
Č
´ Σ tout entier puis en prenant sa classe dans CΣexp
en le point base pJ , pI à C
exp
1
(resp. CΣ1 ) et en prenant sa valeur en le point de base pI , pJ respectivement.
´1
(2) les applications variations sont dénies par l'égalité Var ˝ Can “ 1 ´ T
où
exp Ă
1
T désigne l'action de la monodromie sur O8 pS q dans l'orientation choisie
1
(canonique pour M , inverse pour M ).
On rappelle les diérentes dénitions des transformées de Laplace. On a les isomorphismes réciproques l'un de l'autre deux à deux
/
L´1 : E o
L´11 : E1 o
/
F1 : L
F : L1
par les formules
O
Lpϕqpζq “
1
2iπ
ż
_
ϕpzq ¨ e´ζz dz,
O
pour tout
ϕ P F1
pour tout
ψPE
pour tout
ϕPF
` ´
δR,ηi `π ¨CR
¨δR,η
I ´π
«ż
ff
ψpζq ¨ eζz dζ ,
L´1 pψqpzq “
´
δA,´η
I ´π
O
ż
_
ϕpζq ¨ eζz dζ,
L pϕqpzq “
1
O
´ ´
δR,ηJ ´π ¨CR
¨δR,η
J `π
«
1
L´11 pψqpζq “
2iπ
ż
ff
ψpzq ¨ e´ζz dz ,
pour tout
ψ P E1 .
`
δA,´η
J
Remarque A.4.4. Remarquez que l'on a fait le choix diérent de la normalisation
par le facteur
2iπ
pour le second cas.
136
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
On considère alors les deux diagrammes
b
L
F1 o
(A.4. )
/
E
L´1
Var1
L´11
E1 o
c
/
L
Can
F
L1
FO 1 o
(A.4. )
/
EO
L´1
Can1
Var
L´11
E1 o
L1
/
F
Le théorème fondamental est alors le suivant :
Théorème A.4.5 ([
b
c
Mal91] théorème 2.1 chapitre XII Ÿ2 p.199). Les diagrammes
( A.4. ) et ( A.4. ) sont commutatifs.
Concrètement, cela signie que pour les bons choix de transformées de Laplace,
ces isomorphismes inversent le rôle des microsolutions généralisées et des solutions
mais aussi les applications canonique et variation semi-locales.
A.5. Situations locales et situation semi-locale
M , on est intéressé par l'espace des
I muni de l'automorphisme de monodromie autour de l'inni
dans le sens direct 1 ´ Var ˝ Can P GLpEq. Cet automorphisme est donc équivalent à
1
1
1
1
l'automorphisme de F donné par 1 ´ Can ˝ Var P GLpF q.
1
Dans la section A.5.1 suivante, on montre que F est aussi gradué par I et que
1
cette graduation fait de la transformée de Laplace L : F Ñ E un isomorphisme
Pour le calcul des données de Stokes de
solutions
E
gradué par
gradué. Ensuite dans la section A.5.2, on relie les applications canonique et variation
1
1
semi-locales Can , Var aux applications canoniques et variations locales et on calcule
1
1
1
enn l'automorphisme 1 ´ Can ˝ Var P GLpF q en fonction de ces dernières.
A.5.1. Transformées de Laplace des microsolutions.
Soit
Ă1 » R
S
un re-
1
vêtement universel du cercle à l'inni S de C ´ Σ (c'est-à-dire la droite à l'inni de
exp
Ă1 tel que sa bre en θ P S
Ă1 soit la limite
Č
C
´ Σ). On dénit le faisceau O8
sur S
inductive pour ε Ñ 0 des fonctions holomorphes dénies sur les secteurs à l'inni
tz P C : |z| ą 1{ε et | argpzq ´ θ| ă εu à croissance exponentielle. On appelle ce
faisceau celui des fonctions (dénies) à l'inni à croissance exponentielle. Il dière
Oexp du début de la section A.1 par le fait que les fonctions ne sont pas
du faisceau
dénies sur un secteur entier mais seulement sur un voisinage à l'inni d'un secteur.
exp
Č
On dénit aussi le faisceau OΣ
sur C
´ Σ des fonctions holomorphes à croissance
exponentielle.
Les transformées de Laplace
à
Lai ,θ
induisent un morphisme
‘i La
,θ
exp Ă
HompM 1 , Cai q ÝÑi HompM , O8
pS 1 qq,
iPI
où
exp Ă
O8
pS 1 q
désigne l'espace des sections globales du faisceau
exp
O8
sur
Ă1 .
S
D'après le
théorème de Cauchy holomorphe, on a un isomorphisme, donné par la restriction,
„
exp Ă
Č
E “ HompM , Oexp pC
´ Σqq ÝÑ HompM , O8
pS 1 qq
A.5. SITUATIONS LOCALES ET SITUATION SEMI-LOCALE
137
d'où l'on déduit un morphisme
à
HompM 1 , Cai q ÝÑ E
iPI
que l'on appelle abusivement transformée de Laplace aussi et que l'on notera avec la
même notation.
Dans la suite, comme on fait intervenir la transformée de Laplace, seules les microfonctions généralisées à croissance exponentielle seront pertinentes. On rappelle que
exp
1
1
l'application Lθ : HompM , CΣ q “ F Ñ E est dénie en envoyant la classe d'une
_
exp
Č
fonction ϕ P O Č pC
´ Σq sur l'application
C´Σ
1
zÑ
Þ
2iπ
ż
_
ϕpζq e´zζ dζ,
C
´
où C :“ δR eiθ ,θ ¨
¨ δR eiθ ,θ´2π (voir gure 3) désigne le chemin issu de l'inni allant
´
iθ
vers R e
le long de la demi-droite δ iθ
puis parcourant dans le sens direct un
R e ,θ´2π
cercle de centre 0 et de rayon R susamment grand tel que les points de Σ soit dans
CR`
son intérieur, puis repartant vers l'inni le long de la demi-droite
précédente est indépendante du rayon
R
δR eiθ ,θ .
L'intégrale
choisi.
δR eiθ ,θ
‚
‚
CR`
‚
‚
Figure 3. Chemin
C
d'intégration pour la transformée de Laplace
Proposition A.5.1. Le diagramme suivant est commutatif :
À
1
iPI HompM , Cai q
‘i Lai ,θ
E
ιθ „
Lθ
1
F
Démonstration. Il sut de remarquer que pour les représentants spéciaux
ϕsp
i
de la démonstration de la proposition A.4.1, on a
Lai ,θ pϕsp
i qpζq
1
“
2iπ
ż
´zζ
ϕsp
dz
i pzq e
C
en déformant le contour. D'où par linéarité de l'intégrale,
‘iPI Lai ,θ “ Lθ ˝ ι´1
θ .
À
1
1
l'isomorphisme ιθ . La transiPI Fi la graduation de F par I induite par À
1
formée de Laplace induit donc un isomorphisme gradué
iPI Li où Li :“ Lai ,θ de F
Notons
sur
E.
La graduation de
E
sur
I
est dénie explicitement par
Ei “ E X ΓpIθ , e´ai ‚ Oss´exp q.
E“
À
iPI
Ei
avec
138
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
E
La graduation de
est donc exactement la graduation des solutions de
l'inni donnée par la graduation de Stokes dans la direction
M
à
´θ “ ´ηI ´ π .
On en déduit donc le
L : F1 Ñ E induit un isomorphisme
Théorème A.5.2. La transformée de Laplace
gradué sur
I
‘iPI Li :
à
F1i ÝÑ
à
Ei
iPI
iPI
F1i de M 1 en ai et les solutions Ei de M à l'inni à croissance
´ai pour toute direction de tτ : |τ ` θ| ď π{2u.
entre les microsolutions
exponentielle de type
A.5.2. Applications canonique et variation locales et semi-locale.
la section précédente, on a donc une graduation naturelle de
1i
1
Can : E Õ
F1i
Var1i ,
:
pour tout
1
F
sur
I.
D'après
Notons
iPI
les applications induites par les applications canonique et variation
Can1 : E1 Õ F1 : Var1 .
Comme précédemment, on garde la convention des indices lorsque c'est l'espace
de départ de l'on restreint et les exposants lorsque c'est l'espace d'arrivée.
On va relier ces applications aux applications canonique et variation locales. On
a
F1i “ HompM 1 , Cai q l'espace des microsolutions de M 1
en
ai . Les applications cano-
nique et variation au niveau des espaces de fonctions (voir la section A.3.1)
ra Õ Ca : var
can : O
i
i
induisent par fonctorialité deux applications
can1i : E1 Õ F1i : var1i ,
dites applications canonique et variation locales.
1
Notons Ti P GLpE q l'automorphisme de monodromie autour du pôle ai dans le
1i
1
sens indirect. On a donc l'égalité vari ˝ can “ 1 ´ Ti . Remarquer que l'application
1i
Can correspond au prolongement le long du cercle à l'inni de l'angle ´ηJ vers
puis vers le pôle ai le long de la demi-droite issue de ai d'angle ηI , alors que
1i
l'application can correspond au prolongement le long du cercle à l'inni de l'angle
l'angle
ηI
´ηJ vers l'angle ηI ` π
ηI ` π .
puis vers le pôle
ai
le long de la demi-droite issue de
ai
d'angle
Les applications canonique et variation locales et semi-locales sont reliées par la
proposition suivante.
Proposition A.5.3. On a les égalités
Can1i “ can1i ¨Ti´1 ¨ ¨ ¨ T1
où
Tk “ 1 ´ var1k can1k
et l'ensemble
Var1i “ var1i ,
désigne l'action de monodromie autour de
indirecte. En particulier, si l'on identie
ηI
et
t1, 2, ¨ ¨ ¨ , mu,
I
ak
dans l'orientation
muni de son ordre naturel donné par l'angle
l'application
Θi :“ 1 ´ Var11 Can11 ´ ¨ ¨ ¨ ´ Var1i Can1i “ Ti ¨ ¨ ¨ T1 .
est inversible et on a inversement
can1i “ Can1i ¨Θ´1
i´1
et
var1i “ Var1i .
Démonstration. Pour les applications canoniques, le résultat est immédiat en
comparant les prolongements analytiques (voir gure 4).
vi : F1 Ñ E1 l'application
´
`
`
ϕ`
i ´ ϕi où ϕi (resp. ϕi )
Pour les composantes de l'application variation, notons
qui à une microsolution généralisée
O
ϕ
associe la diérence
A.5. SITUATIONS LOCALES ET SITUATION SEMI-LOCALE
ηI
139
am ‚
‚
Can1i
ai
can1i
‚
‚
‚
ηI ` π
a1 ‚
T1
‚
ηJ
Figure 4. Applications canoniques locales et semi-locale
O
est le prolongement d'un représentant de ϕ de l'inni dans la direction ηI vers un
´
voisinage de ai selon la demi-droite δa ,η puis faisant un demi-tour autour de ai dans
i i
le sens direct (resp. indirect) puis repartant à l'inni le long de la demi-droite δai ,ηI `π
δai ,ηI ´0π ) puis allant
On a
ř à l'angle η1 J à l'inni en suivant le cercle à l'inni.
1
1
1
q
“
0
pour
tout
j
‰
i
et
v
v
,
v
pF
immédiatement Var “
.
On
a
“
var
i Fi
i
j
i
iPI i
1
1
donc bien Vari “ vi que l'on identie avec vari par prolongement selon la direction ηI
comme précédemment.
(resp.
M , les choix donnent lieu
ι´θ , les formules deviennent
Remarque A.5.4. Coté
rentes. Avec l'identication
Canj “ canj
où
Tk “ 1 ´ vark cank
et
à des formules un peu dié-
Varj “ T1 ¨ ¨ ¨ Tj´1 varj
désigne l'action de monodromie autour de
bk
dans l'orientation
directe.
1
1
Des calculs algébriques de la section A.6, on a donc que l'application Can ˝ Var est
1i
1j
égale à pcan Θi´1 var qi,jPI , c'est-à-dire que l'on peut calculer les applications semi1i
1
locales uniquement à partir des applications locales can , vari et les monodromies
Ti .
Revenons à la situation de
L'espace des solutions au voisinage de l'inni près
admet une graduation ordonnée
M “ 1 ´ Var ˝ Can “ 1 ´ Can1 ˝ Var1 se
M “ u´1
´ hu` avec pu` , u´ , hq P U` ˆ U´ ˆ H .
Proposition A.5.5. La monodromie
décompose de manière unique comme
E“
À
iPI Ei . Soit M la monodromie de
M autour de l'inni dans le sens indirect (donc direct dans la carte à distance nie
C Ď P1 ´ t8u). On a donc M “ 1 ´ Var ˝ Can, qui en identiant les espaces coté M 1
1
1
grâce au théorème A.4.5, est égal à 1 ´ Can ˝ Var .
de l'angle
ηi
M.
140
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
De plus, les applications
pu` , u´ , hq
sont déterminées par l'équation
u´ ´ hu` “ pcan1i var1j qi,jPI .
Corollaire A.5.6. Les applications
dénissent une représentation inversible
À
E1 ‘ bigoplusiPI F1i » W ‘ iPI Vi .
Can1i : E1 Õ F1i : Var1i pour tout i P I
du graphe Γp1, #pIqq sur l'espace vectoriel
Démonstration. La décomposition de
M
sous la forme
au fait que les déterminants des endomorphismes
pMi,j qiď´θ l
u´ hu`
est équivalente
soient inversibles, ce qui
jď´θ l
est exactement la condition d'inversibilité de la représentation de graphe.
A.6. Lemmes algébriques
On donne ici le lien entre les applications canonique et variation locales et globales,
les monodromies locales et les données de Stokes. Tout est fait avec des symboles
1i
abstraits. Le lecteur pourra ainsi remplacer les symboles pour les applications canj ,
canji , var1ji , varij suivant les cas.
On considère deux
C-espaces
vectoriel
V
et
W
de dimension nie,
I
et
J -gradués
respectivement.
Lemme A.6.1. Soient
aj : V Ñ Wj
des applications tels que les
1 ` b j aj
et
bj : W j Ñ V
soient inversibles. Alors l'application
n
T :“ p1 ` bn a qp1 ` bn´1 an´1 q ¨ ¨ ¨ p1 ` b1 a1 q P GLpV q
admet une décomposition
T “ 1 ` vu
pour deux applications
u P HompV, W q
et
v P HompW, V q.
Démonstration. On pose par exemple
¨
uj :“ puj1 ¨ ¨ ¨ ujm q “ aj ϕj´1 P HompV, Wj q
où
en
et
vj1
˛
˚ ‹
vj :“ ˝ ... ‚ “ bj P HompWj , V q
vjm
ϕl :“ p1 ` bl al qp1 ` bl´1 al´1 q ¨ ¨ ¨ p1 ` b1 a1 q P GLpV q
déduit u et v .
pour tout
1 ď l ď n,
puis on
De même, on a
Lemme A.6.2. Soient
a1j : V Ñ Wj
des applications tels que les
1 ` b1j a1j
et
b1j : Wj Ñ V
soient inversibles. Alors l'application
T :“ p1 ` b11 a11 qp1 ` b12 a12 q ¨ ¨ ¨ p1 ` b1n a1n q P GLpV q
admet une décomposition
T “ 1 ` vu
pour deux applications
u P HompV, W q
et
v P HompW, V q.
Démonstration. On pose par exemple
¨
uj :“ puj1 ¨ ¨ ¨ ujm q “ a1j P HompV, Wj q
et
˛
˚ ‹
vj :“ ˝ ... ‚ “ ϕj´1 b1j P HompWj , V q
vjm
ϕl :“ p1 ` b11 a11 qp1 ` b12 a12 q ¨ ¨ ¨ p1 ` b1l a1l q P GLpV q
déduit u et v .
où
vj1
pour tout
1 ď l ď n,
puis on en
A.6. LEMMES ALGÉBRIQUES
141
Énonçons un lemme élémentaire bien connu :
Lemme A.6.3. Soient
e:EÑF
C-espaces
deux applications linéaires entre des
Alors
1 ` f e P EndpEq
f :FÑE
et
vectoriels de dimension nie.
est inversible si et seulement si
1 ` ef P EndpFq
est
inversible.
Démonstration. On note m, n les dimensions respectives de E et F et χf e , χef P
CrXs les polynômes caractéristiques de f e et ef . Alors on a l'identité classique
X m χef pXq “ X n χf e pXq. On déduit le lemme en évaluant en X “ 1.
On a alors la
V “
À
iPI Vi et W
toriels muni d'une graduation ordonnée et soient u
Proposition A.6.4. Soient
À
“ jPJ Wj deux C-espaces vecP HompV, W q et v P HompW, V q
deux applications linéaires. On note
uji : Vi Ñ Wj
les composantes et
u
et
v
et
vji : Wj Ñ Vi
selon les graduations. De plus, on note
uj :“ puj1 ¨ ¨ ¨ ujm q P HompV, Wj q
et
v i :“ pv1i ¨ ¨ ¨ vni q P HompW, Vi q
les composantes ligne et
¨
u1i
¨
˛
ui :“ ˝ ... ‚ P HompVi , W q
uni
les composantes colonnes de
u
et
v
vj1
˛
˚ ‹
vj :“ ˝ ... ‚ P HompWj , V q
vjm
et
(pour tout
iPI
et tout
j P J ).
Alors
(1) les applications
¨ 1˛
˜
¸
u
ÿ j
à
.
1 ` ˝ .. ‚pv1 ¨ ¨ ¨ vl q “ δj,j 1 `
uk vjk1
P Endp
Wa q
l
1ďaďl
1
kPI
1ďj,j ďl
u
sont inversibles pour tout
l P J
si, et seulement si, pour tout
l P J
les
applications
¨ 1˛
u
l ÿ
ÿ
˝
ϕl “ 1 ` pv1 ¨ ¨ ¨ vl q ... ‚ “ 1 `
vjk ujk P EndpV q
j“1 kPI
ul
sont inversibles si, et seulement si, pour tout
aj : V Ñ Wj
tels que les
1 ` b j aj
et
jPJ
il existe des applications
bj : W j Ñ V
sont inversibles et
1 ` vu “ p1 ` bn an qp1 ` bn´1 an´1 q ¨ ¨ ¨ p1 ` b1 a1 q,
si, et seulement si, pour tout
1j
jPJ
a : V Ñ Wj
tels que les
1 ` b1j a1j
et
il existe des applications
b1j : Wj Ñ V
sont inversibles et
1 ` vu “ p1 ` b11 a11 qp1 ` b12 a12 q ¨ ¨ ¨ p1 ` b1n a1n q.
142
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
(2) les applications
¨ 1˛
˜
¸
v
ÿ
à
.
1 ` ˝ .. ‚pu1 ¨ ¨ ¨ ul q “ δi1 ,i `
vki uki1
P Endp
Va q
l
1ďaďl
1
kPJ
1ďi,i ďl
v
sont inversibles pour tout
lPI
si, et seulement si, pour tout
lPJ
les appli-
cations
¨ 1˛
v
l ÿ
ÿ
.. ‚
˝
ψl “ 1 ` pu1 ¨ ¨ ¨ ul q . “ 1 `
uki vki P EndpW q
i“1 kPJ
vl
sont inversibles si, et seulement si, il existe des applications
À
Endp iPI Vi q tels que u` est unipotente
férieure, h est diagonale inversible et
supérieure,
u´
u` , h, u´ P
est unipotente in-
1 ` vu “ u´1
´ hu` ,
v` , h, v´ P Endp
À
iPI Vi q tels que
v` est unipotente supérieure, v´ est unipotente inférieure, h est diagonale
si, et seulement si, il existe des applications
inversible et
´1
1 ` vu “ v´ hv`
.
De plus, il existe des formules explicites reliant les diérentes applications dans
les deux cas.
Démonstration. Les deux premières conditions sont équivalentes grâce au lemme
À
1ďaďl Wa pour tout l .
Ensuite, pour le premier point, le point clef est l'application
A.6.3 appliqué à
E :“ V
et
F :“
ϕl
(pour
1 ď l ď n)
qui peut être déni des trois manières diérentes suivantes suivant l'implication que
l'on veut montrer :
GLpV q Q ϕl
¨ 1˛
u
l ÿ
ÿ
˝
“ 1 ` pv1 ¨ ¨ ¨ vl q ... ‚ “ 1 `
vjk ujk
j“1 kPI
ul
“ p1 ` bl al qp1 ` bl´1 al´1 q ¨ ¨ ¨ p1 ` b1 a1 q
“ p1 ` b11 a11 qp1 ` b12 a12 q ¨ ¨ ¨ p1 ` b1l a1l q.
Ensuite, on pose
¨
uj :“ puj1 ¨ ¨ ¨ ujm q “ aj ϕj´1 P HompV, Wj q
et
vj1
˛
˚ ‹
vj :“ ˝ ... ‚ “ bj P HompWj , V q
vjm
et
¨
uj :“ puj1 ¨ ¨ ¨ ujm q “ a1j P HompV, Wj q
En particulier, on a aussi
aj ϕj´1 “ a1j
et
et
h“1`
iPI
˛
˚ ‹
vj :“ ˝ ... ‚ “ ϕj´1 b1j P HompWj , V q.
vjm
bj “ ϕj´1 b1j .
Pour le second point, on dénit l'application
ÿ
vj1
pui , v i q ÞÑ ph, u` , u´ , v` , v´ q
v i ψi´1 ui P EndpV q
par
A.7. DÉMONSTRATIONS DE LA SECTION SUR LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
143
(dans les deux cas), puis
´1
u´ “ 1 ´ pv i ψi´1
ui1 qiąi1
´1
hu` “ 1 ` pv i ψi´1
ui1 qiďi1
et
v´ h “ 1 ` pv i ψi´1
1 ´1 ui1 qiěi1
v` “ 1 ´ pv i ψi´1
1 ´1 ui1 qiăi1 .
vu “ u´1
´ phu` ´ u´ q et on pose ui : Vi Ñ W les
Àcomposantes
i
iPI Vi , W q et v : W Ñ Vi les projections de v P HompW,
iPI Vi q. Elles
Réciproquement, on a
de
u P Homp
À
vont immédiatement vérier que les blocs
¨ 1˛
˜
¸
v
ÿ
1 ` ˝ ... ‚pu1 ¨ ¨ ¨ ul q “ δi1 ,i `
vki uki1
v
l
kPJ
1ďi,i1 ďl
P GLp
à
Va q
1ďaďl
sont inversibles.
Le lecteur pourra faire ces calculs où consulter les lemmes 7.2 et 7.3 de [
Boa13]
page 28 où ils sont esquissés.
Remarque A.6.5. Dans la proposition précédente, la décomposition de 1 ` vu en
´1
n
n´1
u´ hu` est unique tandis que la décomposition
en p1`bn a qp1`bn´1 a
q ¨ ¨ ¨ p1`b1 a1 q
ś
j
ne l'est pas. En eet, le groupe
jPJ GLpWj q agit librement sur les pa , bj qjPJ et
n
n´1
préserve l'égalité 1 ` vu “ p1 ` bn a qp1 ` bn´1 a
q ¨ ¨ ¨ p1 ` b1 a1 q.
A.7. Démonstrations de la section sur la transformée de Laplace
multiplicative
On donne ici les démonstration omises des sections précédentes de ce chapitre.
^
ϕ
αă
Démonstration du lemme A.1.4. En eet, il est susant de montrer que si
Σ :“ tz P C˚ : 0 ă |z| ă R et
_
argpzq ă βu avec |β ´ α| ă 2π alors il existe une fonction ϕ dénie sur un secteur
_
ram
ramié Σ
:“ tz P C˚ : 0 ă |z| ă R et α ă argpzq ă β ` 2πu tel que ϕpe2iπ zq ´
_
^
˚
ϕpzq “ ϕpzq. C'est alors une conséquence immédiate de H1 pDR
, Oq “ 0 qui est un cas
˚
particulier du théorème de Mittag-Leer, où DR désigne le disque ouvert de rayon
˚
R épointé en 0. En eet, on prend un recouvrement du disque épointé DR
par deux
1
1
1
1
secteurs S et S tels que S X S “ Σ Y Σ avec Σ un secteur disjoint de Σ. Alors
^
1
on considère le cocycle de ce recouvrement égal à ϕ sur Σ et à 0 sur Σ . Comme
_ _1
_
_1
˚
H1 pDR
, Oq “ 0, ce cocycle est un cobord pϕ, ϕ q avec ϕ dénie sur S et ϕ déni sur
_
_1
S 1 . Comme ϕ “ ϕ sur Σ1 , les fonctions se recollent en une fonction holomorphe sur le
^
ram
secteur ramié Σ
et la diérence des déterminations sur Σ est bien égale à ϕ.
est une fonction dénie sur un secteur du type
Montrons que les dénitions des transformées de Laplace et Laplace inverse sont
bien dénies.
Pour montrer le lemme A.2.2, nous utiliserons le lemme technique suivant :
Lemme A.7.1. Soit
ϕ
une fonction holomorphe dénie sur un secteur
t|z| ą
0 et | argpzq ´ θ| ă εu d'ouverture ε ă π{2 et y vériant une inégalité du type
|ϕpzq| ď C eA|z| pour deux constantes A, C P R` . Alors
ş
(1) l'intégrale Iθ1 pζq :“ δ
ϕpzq e´zζ dz dénie une fonction holomorphe sur
1
0,θ
1
<peiθ ζq ą A
(2) la fonction
A,
pour tout
|θ1 ´ θ| ă ε,
ζ ÞÑ Iθ1 pζq est une fonction bornée sur le domaine <peiθ ζq ě A1 ą
144
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
(3) les fonctions
Iθ
et
Iθ1
sont égales sur l'intersection de leur domaine de dé-
nition.
Démonstration. Soit
δ0,θ1 ,
ϕ
une fonction vériant les hypothèses. Alors pour
z P
on a l'inégalité
|ϕpzq e´zζ | ď C epA´<pe
iθ 1
ζqq|z|
1
<peiθ ζq ą A.
Par le théorème de convergence dominé holomorphe, on a bien que ζ ÞÑ Iθ 1 pζq est une
iθ1
fonction holomorphe sur <pe
ζq ą A.
donc la fonction
z ÞÑ ϕpzq e´zζ
est bien intégrable sur
δ0,θ1
pour tout
Le point (2) est clair car on a l'inégalité
ˇż
ˇ ż
ˇ
ˇ
C
iθ 1
ˇ
´zζ ˇ
ϕpzq e ˇ ď
.
C epA´<pe ζqq|z| ď
ˇ
1
iθ
ˇ δ0,θ1
ˇ
<pe ζq ´ A
R`
θ1 ą θ pour simplier les idées. Par le théorème de Cauchy, la diérence
Iθ1 pζq ´ Iθ pζq est égale à la limite pour R Ñ `8 de l'intégrale
ż
ϕpzq e´zζ dz.
Supposons
z“R eiα avec θăαăθ1
Soit un réel η ą 0. Considérons l'ensemble des
θ ď α ď θ1 . Cet ensemble est non vide car ε ă
ˇż
ˇ
ˇ
ˇ
´zζ
ϕpzq e
z“R eiα avec θăαăθ1
ζ tels que <peiα ζq ě A ` η
π{2. Alors on a
ˇ ż
ˇ
dz ˇˇ ď
iα
żz“R e
ď
iα
C epA´<pe
“ Cpθ ´ θqπR e
Iθ1 pζq “ Iθ pζq
sur le domaine pour
ζ
ζqqR
dz,
avec θăαăθ 1
C e´ηR dz,
z“R eiα avec θăαăθ1
1
´ηR
D'où
pour tout
ÝÑ 0.
RÑ`8
précédent, donc sur l'intersection des
domaines de dénitions.
Démonstration du lemme A.2.2. On a fait plusieurs choix dans la dénition.
Le choix de
ε
n'a pas d'inuence. En eet, pour deux choix, on fait la diérence des
_
2iπ
deux sommes d'intégrales et on utilise le théorème de Cauchy et l'égalité ϕpe
zq ´
_
^
ϕpzq “ ϕpzq
pour trouver zéro.
_
^
_
^
pϕ, ϕq de rϕ, ϕs n'a pas non plus d'inuence. En eet,
_ ^
_
^
un autre représentant de la classe rϕ, ϕs est de la forme pϕ ` h, ϕq où h est une
fonction holomorphe en a. Quitte à supposer ε susamment petit, on trouve alors
ş
1
que la diérence des deux dénitions est égale à
hpzq e´zζ dz qui est nul
2iπ Cpa,εq`
Le choix d'un représentant
par le théorème de Cauchy.
_
^
La,θ prϕ, ϕsq dénit une fonction au voisinage à l'inni
_ ^
_
de Iθ . On choisit un représentant de rϕ, ϕs tel que ϕ soit dénie sur un secteur ramié
^
et ϕ sur un secteur ouvert Sa,ε :“ tz P C ´ tau : | argpz ´ aq ´ θ| ă εu. Comme
^
ϕ est à croissance exponentielle à l'inni, quitte à diminuer la valeur de ε, on peut
^
A|z|
supposer qu'il existe deux constantes A, C P R` tels que |ϕpzq| ď C e
pour tout
_
z P Sa,ε . L'intégrale avec ϕ est clairement holomorphe sur tout C tout comme la
şa`ε eiθ1 ^
1
ϕpzq e´zζ dz . D'où en utilisant les points (1) et (3) du lemme
fonction ζ ÞÑ
2iπ 0
^
_ ^
A.7.1 pour la fonction ϕ, on déduit que La,θ prϕ, ϕsq est holomorphe sur les demi-plans
1
<peiθ ζq ą A pour tout θ1 tel que |θ1 ´ θ| ă ε1 .
Montrons maintenant que
A.7. DÉMONSTRATIONS DE LA SECTION SUR LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
145
Montrons que
_
^
La,θ prϕ, ϕsq P ΓpIθ , e´a‚ Oss´exp q.
En faisant le changement de va-
z Ð z ` a, en utilisant l'égalité (A.2.a), on peut supposer a “ 0 et il sut de
_ ^
montrer que L0,θ prϕ, ϕsq est à croissance sous-exponentielle. Du point (2) du lemme
A.7.1, on déduit que la seconde intégrale est une fonction bornée en ζ uniformément
iθ
1
en ε sur le domaine <pe ζq ě A ą A. Pour la première intégrale, il existe une
constante D P R` telle que l'on ait l'inégalité
ˇ
ˇ
ż
ż
ˇ_ ˇ
ˇ eε|ζ|
ˇ 1
_
1
ˇϕ ˇ
´zζ
ˇ
ˇ
ϕ
pzq e dz ˇ ď
(A.7.a)
ˇ pzqˇ dz ď D ¨ eε |ζ|
ˇ 2iπ
2π
`
`
riable
Cp0,εq
ε1 ą ε. On
1
de type ď ε
pour tout
nentielle
Cp0,εq
a
_
^
déduit alors de (A.7. ) que L0,θ prϕ, ϕsq est à croissance expo1
pour tout ε ą ε pour toute direction du demi-cercle ouvert Iθ .
_
à croissance
^
ε arbitrairement petit, on en déduit que L0,θ prϕ, ϕsq est bien
sous-exponentielle.
Comme on peut prendre
Démonstration du lemme A.2.4. Tout d'abord, il est clair que le choix du
point
A
n'a pas d'importance car le diérence des fonctions
_
ϕ pour
0.
deux choix dié-
rents est une fonction entière, en particulier holomorphe en
´aζ
Ensuite, en écrivant ψpζq “ e
ψ̃pζq et en eectuant le changement de variable
z Ð z ` a,
on peut supposer
a“0
et on doit montrer que l'application
ss´exp
`
L´1
q Ñ H0,θ
0,θ : ΓpIθ , O
est bien dénie. Par un changement de variable
´ eAz
ş
ζ Ð ´ζ ` A,
on a
ş
´
δA,τ
ψpζq eζz dζ “
ψpA ` ζq eζz dζ , donc en utilisant le lemme A.7.1 points (1) et (3), on en
ş
que les fonctions ϕτ : z ÞÑ
ψpζq eζz dζ pour τ vériant |τ ` θ| ă π{2 ` ε
δ´
δ0,τ
déduit
A,τ
Hτ :“ tz P C : <pz eiτ q ă 0u
et se recollent en une fonction ϕ holomorphe dénie sur l'union des demi-plans Hτ ,
c'est-à-dire sur le secteur ramié t|z| ą 0 et ´ ε{2 ´ 2π ă argpzq ´ θ ă ε{2u.
ş
^
Il est clair que la fonction ϕ : z ÞÑ
ψpζq eζz dζ est bien égale à la diérence des
δ´
déterminations de la fonction ϕ au voisinage de θ et est bien dénie au voisinage de la
demi-droite δ0,θ . De plus, elle est bien à croissance exponentielle en utilisant pour les
´Az
fonctions e
ϕ´θ´π{2´`ε{2 pzq et e´Az ϕ´θ`π{2`ε{2 pzq le point (2) du lemme A.7.1. dénissent des fonctions holomorphes sur les demi-plans
Montrons que les transformées de Laplace et Laplace inverse sont bien inverses
l'une de l'autre.
Démonstration de la proposition A.2.5. Montrons que la composition
_
_1
^
^1
L´1
a,θ ˝
_1
`
´1
La,θ est égale à l'identité de Ha,θ
. On a La,θ ˝La,θ prϕ, ϕsqpxq “ rϕ , ϕ s avec ϕ pxq dénie
par
1
2iπ
ż
ż
_
ϕpzq e
´
δA,τ
Cpa,εq`
pour un certain angle
τ
´zζ
1
e dz dζ `
2iπ
ż
ż
^
ζx
qui dépend du
x
ϕpzq e´zζ eζx dz dζ
´
δA,τ
δa`ε eiθ ,θ
choisi. Les intégrandes sont des fonctions
intégrables donc on peut inverser les domaines d'intégrations par le théorème de
ş
_
_
´1
ϕpzq eApx´zq
Fubini. Le premier terme est alors égal à
dz , qui est égal à ϕpxq
2iπ Cpa,εq`
x´z
par le théorème des résidus. Le second terme est égal à
eAx
2iπ
ż
^
ϕpzq
δa`ε eiθ ,θ
e´Az
dz,
z´x
Montrons que c'est une fonction holomorphe en
une fonction holomorphe pour tout
|x| ă ε{2.
0.
Il est clair que l'intégrande est
De plus, l'intégrande est une fonction
146
A. HYPERFONCTIONS ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
^
^
ϕ vérie une inégalité de la forme |ϕpzq| ď C eA1 |z| pour C, A1 P R
et on peut choisir A P C de module arbitrairement grand. En particulier, on peut
´iθ
prend A tel que A P e
R` et |A| ą A1 . Alors si on prend |x| ă ε{2, on a
ˇ
ˇ
´Az ˇ
ˇ^
2C pA1 ´|A|q|z|
C
1
ˇϕpzq e
ˇď
eA |z|´<pAzq “
e
,
ˇ
ˇ
z´x
ε ´ ε{2
ε
intégrable. En eet,
δa`ε eiθ ,θ .
qui est bien intégrable sur
Comme
Donc la classe de
_1
ϕ
est égale à la classe de
^
ϕ
est dénie comme la diérence des déterminations de
^
^
_1 ^
_ ^
aussi cette propriété, on a bien ϕ “ ϕ d'où rϕ , ϕs “ rϕ, ϕs.
´1
Montrons que la composition La,θ ˝ La,θ est égale à l'identité de
´1
a La,θ ˝ La,θ pψqpxq “ Ψpxq avec
1
Ψpxq “
2iπ
ż
ż
zζ
´ζx
ψpzq e e
Cpa,εq`
´
δA,τ
1
dz dζ `
2iπ
ż
_
ϕ
et que
^
ϕ
_
ϕ.
vérie
ΓpIθ , Oss´exp q. On
ż
ψpzq ezζ e´ζx dz dζ.
δ´
δa`ε eiθ ,θ
Les intégrandes sont des fonctions intégrables donc on peut inverser les domaines
d'intégrations par le théorème de Fubini. La première intégrale est égale à
1
2iπ
ˆż
ż
˙
e
ψpzq
´
δA,τ
pz´xqζ
dζ dz.
Cpa,εq`
D'après le théorème de Cauchy, l'intégrande est nulle, donc ce premier terme est nul.
La seconde intégrale est égale à
b
(A.7. )
Alors
z“x
˜ż
ż
1
2iπ
¸
ψpzq
δ´
e
pz´xqζ
´1
dz “
2iπ
dζ
δa`ε eiθ ,θ
epz´xqpa`ε e
ψpzq
z´x
δ
ż
est l'unique pôle de l'intégrande, et comme
b
ψ
iθ q
dz.
est à croissance sous-
exponentielle, on peut écrire l'intégrale (A.7. ) comme la limite d'une intégrale sur
un chemin de Cauchy entourant le pôle
z“x
dans le sens indirect. On trouve alors
avec le théorème des résidus
´1
2iπ
Donc nalement
iθ q
epz´xqpa`ε e
ψpzq
z´x
δ
ż
dz “ ψpxq.
Ψpxq “ ψpxq.
Montrons le résultat sur l'application
ι.
Démonstration du lemme A.3.6. Cette application est injective. En eet, no-
tons
γi
les générateurs du groupe fondamental
π1 pC ´ Σ, b8 q
donnés par les chemins
faisant un tour de ai et aucun tour autour des aj pour j ‰ i. Soit f un représentant
pexpq
d'une classe de CΣ
dans le noyau de ιθ . Comme ιθ pf q “ 0, f est holomorphe en ai
sur le premier feuillet de
Č
C
´Σ
donc le prolongement de
f.
En prolongeant le long des compositions de
pexpq
Č
sur C
´ Σ donc rf s “ 0 P CΣ .
γi ,
Pour la surjectivité, il existe des fonctions sur
f
le long de
on en déduit que
Õai
f
γi
est égal à
est holomorphe
qui ne se prolongent pas à
Č
C
´ Σ.
Par exemple, une solution d'une équation diérentielle avec des pôles en dehors de
Σ. De plus, la non surjectivité pour CΣexp est encore plus évidente car une fonction
holomorphe sur
Õai
n'a aucune raison d'être à croissance exponentielle (à fonction
entière à croissance exponentielle près).
Montrons l'isomorphisme entre microsolutions généralisées et la somme des microsolutions à distance nie.
A.7. DÉMONSTRATIONS DE LA SECTION SUR LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE MULTIPLICATIVE
147
Démonstration de la proposition A.4.1. Par exactitude à gauche du fonc-
teur
HompM 1 , ´q,
on sait déjà que cette èche est injective. Pour montrer la sur-
O
O
1
jectivité, on construit la réciproque. Soit ϕi P HompM , Cai q. La variation de ϕi est
1
un élément de HompM , Õai q, en particulier par le théorème de Cauchy holomorphe,
Č
C
´Σ
il s'étend sur le revêtement
et est à croissance exponentiel d'après le lemme
´1
2.1.6. D'après la remarque A.2.7, en utilisant la composition La,θ ˝ La,θ au niveau des
_ sp
fonctions, on montre qu'il existe un représentant spécial ϕi (non unique à priori) de
O
ϕi
C ´ tai u. On dénit alors l'image de
ř _ sp
ϕi P ‘iPI HompM , Cai q comme la classe de la fonction iPI ϕi dans HompM 1 , CΣpexpq q.
la classe
déni sur un revêtement universel de
O
1
Cette classe est bien dénie car si l'on change de représentant spécial, on ajoute une
fonction holomorphe à croissance exponentielle.
Il est clair que la composition
à
pexpq
HompM 1 , Cai q Ñ HompM 1 , CΣ
qÑ
iPI
à
HompM 1 , Cai q
iPI
est l'identité, car la seconde èche correspond à la restriction d'un représentant. Cela
a
démontre la surjectivité de (A.4. ).
Montrons la propriété de commutation du diagramme du théorème A.4.5.
Démonstration du théorème A.4.5. Quitte à changer de choix d'orientation,
b
les deux cas sont symétriques. Montrons donc le résultat pour le diagramme (A.4. ).
_
exp
1
Soit ϕ un représentant d'une classe dans HompM , CΣ q. Sa transformée de Laplace
est égale à
1
Lθ pϕqpζq “
2iπ
ż
_
Son image par
Can
_
ϕpzq ¨ e
´zζ
`
CR
1
dz `
2iπ
ż
_
Var1 pϕqpzq ¨ e´zζ dz.
δR eiθ ,θ
passe juste au quotient par les fonctions entières, donc on peut
toujours considérer le représentant ci-dessus. On remarque de plus que la première
intégrale dénit une fonction entière.
D'un autre coté, on a
L´11
´θ
1
˝ Var pϕqpζq “
2iπ
1
ż
_
_
Var1 pϕqpzq ¨ e´zζ dz.
δA,θ
La diérence
1
2iπ
ż
_
Var pϕqpzq ¨ e
1
δR eiθ ,θ
´zζ
1
dz ´
2iπ
est égal à une intégrale sur un chemin reliant
A
ż
_
Var1 pϕqpzq ¨ e´zζ dz,
δA,θ
à
R eiθ
car
_
Var1 pϕq
est à croissance
exponentielle et en utilisant le théorème de Cauchy. C'est donc une fonction holo_
exp
morphe à croissance exponentielle et les classes dans HompM , CΣ1 q de Can ˝Lθ pϕq
_
´11
et L´θ ˝ Varpϕq sont donc égales.
Annexe B
Calcul moulien et quelques exemples
B.1. Quelques rappels de calcul moulien
Ω˚ l'ensemble des mots écrits en l'alphabet Ω
(contenant en particulier le mot vide H), ou si l'on préfère le monoïde libre engendré
par l'ensemble Ω. On notera rpωq :“ r P N la longueur d'un mot ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr .
On pose
Ω
un alphabet et on note
∇, on
p
prendra l'alphabet Ω “ I . Lorsque nous aurons aaire aux matrices de Stokes, on
`
prendra l'alphabet noté W dans ce cas, N rα : α P R s où R sera l'espace de racines
`
associé au type irrégulier A P h et R Ď R est l'ensemble des racines positives pour
Remarque B.1.1. Dans ce qui aura trait aux matrices de connexion de
un certain choix d'une chambre de Weyl. En particulier, dans le cas des matrices de
Stokes, l'alphabet
W
est muni d'une structure de semi-groupe.
Éca93] lecture 1 et de la partie B de [Sau09]. On
pourra aussi se référer à l'article de vulgarisation du calcul moulien [Cre09] ou les
articles initiaux [Éca81] chapitre 4 et 7 et [Éca92] Ÿ6.
B.1.1. Algèbre des moules. Soit A une C-algèbre. On appellera moule M ‚
On reprend la présentation de [
ω
une collection d'éléments M
P A pour tout mot ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωn P Ω˚ . Un moule est
‚
˚
ω
‚
˚
donc une application M : Ω Ñ A et M
désigne l'évaluation de M en ω P Ω .
‚
On notera M pΩ, Aq l'ensemble des moules dans l'alphabet Ω à valeurs dans A. On
prendra souvent
mots
ω
A“C
et on parlera dans ce cas de moule scalaire. On notera les
en gras et les caractères
ωi
en caractère normal avec des indices en bas.
‚
On peut dénir une structure de A-algèbre sur M pΩ, Aq. L'addition et la multi‚
plication scalaire sont dénies composantes par composantes (en particulier si N “
cM ‚ alors N ω “ cM ω pour tout ω P Ω˚ ). La structure d'anneau est donnée par
ÿ
M ‚ ˆ N ‚ : ω ÞÑ
1
2
Mω Nω ,
ω 1 ω 2 “ω
où la somme est prise sur les
rpωq ` 1
décompositions de
ω 1 “ H et ω 2
ticulier, cela inclut les décompositions avec
ω en deux mots (en par“ H). Remarquez que la
multiplication des moules est associative mais non commutative en général.
Lorsque
Ω
admet une structure de semi-groupe, on peut même munir
M ‚ pΩ, Aq
d'une structure d'algèbre à composition (c'est-à-dire que la composition se distribue
bien sur la multiplication etc). En eet, notons
mots
ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr .
‚
}ω} :“ ω1 ` ¨ ¨ ¨ ` ωr P Ω le poids d'un
Alors la composition est dénie par
‚
$
’
&
M ˝ N : ω ÞÑ
’
%
ÿ
M }ω
1 }¨¨¨}ω n }
1
Nω ¨ ¨ ¨ Nω
n
si
ω‰H
ně1,ω 1 ,...,ω n ‰H
ω 1 ...ω n “ω
si
H
où la somme est prise sur toutes les décompositions de
ω
ω “ H.
comme concaténations de
mots non vides. Cette composition est associative mais non commutative.
Remarque B.1.2. Lorsque
composition
M‚ ˝ N‚
Ω
n'est pas muni d'une structure de semi-groupe, la
M ‚ tel que la valeur
a toujours un sens si l'on prend un moule
149
150
B. CALCUL MOULIEN ET QUELQUES EXEMPLES
Mω
ne dépend que de la longueur
rpωq
du mot
ω.
Ce sera en particulier le cas pour
le moule exponentiel ou le moule logarithmique.
On peut aussi construire les dérivations mouliennes, c'est-à-dire des opérateurs
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
sur M pΩ, Aq tels que DpM ˆ N q “ DpM q ˆ N ` M ˆ DpN q.
ω
Pour toute application ϕ : Ω Ñ A, on peut dénir la dérivation Dϕ par Dϕ M
:“
ω
H
pϕpω1 q`¨ ¨ ¨`ϕpωr qqM si ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr est non vide, et Dϕ M :“ 0 sinon. De même,
ω
ω
toute dérivation d : A Ñ A induit une dérivation moulienne D par DM :“ dpM q
˚
pour tout ω P Ω . Les dérivations mouliennes seront particulièrement utiles pour
C-linéaires D
montrer des propriétés de symétries de certains moules.
B.1.2. Quelques symétries de moules.
ω 1 ,ω 2
Notons sh
le nombre de façon
ω
1
2
1
d'obtenir le mot ω par battage des mots ω et ω . On rappelle que si ω “ ω1 ¨ ¨ ¨ ωr et
ω 2 “ ωr`1 ¨ ¨ ¨ ωr`l alors les battages des mots ω 1 et ω 2 sont les mots ωσp1q ¨ ¨ ¨ ωσpr`lq
´1
avec σ une permutation vériant σ
p1q ă ¨ ¨ ¨ ă σ ´1 prq et σ ´1 pr ` 1q ă ¨ ¨ ¨ ă
σ ´1
pr˘` lq. 1 On vérie immédiatement que le nombre de telles permutations est égal
`r`l
à
c'est-à-dire
r
1
2
ÿ ˆ 1 2˙
sh
ωPΩ˚
De même lorsque
Ω
ω ,ω
ω
“
`
˘
prpω q ` rpω qq!
.
rpω 1 q! rpω 2 q!
aura une structure de semi-groupe, on notera
` 1 2˘
shct ω ω,ω
1
mots ω et
le nombre de façon d'obtenir le mot ω par battage contractant des
ω 2 , c'est-à-dire par battage pω 1 , ω 2 q ÞÑ ω ˚ suivi potentiellement d'une contraction
pωi1 , ωj2 q ÞÑ ωi1 ` ωj2 pour une certaine paire pωi1 , ωj2 q d'éléments adjacents de ω ˚ prove1
2
nant respectivement de ω et de ω .
Exemple B.1.3. En particulier, l'ensemble des shues contractants des mots
2
ω “ ω3
ω 1 “ ω1 ω2
et
sont les cinq mots
ω1 ω2 ω3
et celui des mots
ω 1 “ ω1 ω2
ω1 ω2 ω3 ω4
et
ω1 ω3 ω2
ω3 ω1 ω2
ω 2 “ ω3 ω4
ω1 ω3 ω2 ω4
ω1 pω2 ` ω3 q
pω1 ` ω3 qω2 ,
sont les six mots obtenus par battage simple
ω3 ω1 ω2 ω4
ω1 ω3 ω4 ω2
ω3 ω1 ω4 ω2
ω3 ω4 ω1 ω2
plus les sept mots obtenus avec des contractions
ω1 pω2 ` ω3 qω4
pω1 ` ω3 qω2 ω4
ω3 ω1 pω2 ` ω4 q
Un moule
1
ω , ω 2 P Ω˚ ,
S‚
ω1 ω3 pω2 ` ω4 q
pω1 ` ω3 qω4 ω2
ω3 pω1 ` ω4 qω2 .
est dit symétral, resp. symétrel si
˙
ω1, ω2 ω
sh
S ,
S S “
ω
˚
ωPΩ
ˆ 1 2˙
ÿ
ω ,ω
1
2
ω ω
S S “
shct
Sω.
ω
ωPΩ˚
pω1 ` ω3 qpω2 ` ω4 q
SH “ 1
et si pour tous mots
ˆ
ω1
ω2
ÿ
(cas symétral)
(cas symétrel)
Par exemple, pour un moule symétral, on aura l'identité
S ω1 ,ω2 S ω3 “ S ω1 ,ω2 ,ω3 ` S ω1 ,ω3 ,ω2 ` S ω3 ,ω1 ,ω2 .
1. L'exposant inverse est important. En particulier, il y a une erreur dans la dénition Ÿ5.1 de
Sau09]. En eet, les battages du mot ω 1 “ ω1 ω2 avec le mot ω 2 “ ω3 sont les mots ω1 ω2 ω3 , ω1 ω3 ω2
[
et
ω3 ω1 ω2
mais on n'obtient jamais le mot
ω2 ω3 ω1 .
B.1. QUELQUES RAPPELS DE CALCUL MOULIEN
De même, on dira qu'un moule
1
2
˚
tous mots ω , ω P Ω ,
A‚
est alternal, resp. alternel si
˙
ω1, ω2
0“
sh
Aω ,
ω
ωPΩ˚
ˆ 1 2˙
ÿ
ω ,ω
0“
shct
Aω .
ω
ωPΩ˚
151
AH “ 0 et si pour
ˆ
ÿ
(cas alternal)
(cas alternel)
Remarque B.1.4. Le lecteur vériera que la multiplication des moules préserve
la symétralité et la symétrèlité tout comme la composition préserve l'alternalité et
l'alternèlité.
B.1.3. Contraction de moules avec un comoule.
Posons
H
une
A-algèbre
de Hopf topologique (ou plus généralement une bialgèbre topologique) dont on note
p
∆ : H Ñ HbH
le coproduit. Un comoule
une collection d'éléments
R‚ (où l'indexation est notée avec des indices
Rω P H pour tout ω P Ω˚ . Un comoule est dit
en bas) est
cosymétral,
resp. cosymétrel s'il vérie la propriété duale de la symétralité, resp. symétrèlité,
c'est-à-dire si
˙
ω1, ω2
Rω1 b Rω2 ,
∆pRω q “
sh
ω
ω 1 ,ω 2 PΩ˚
ˆ 1 2˙
ÿ
ω ,ω
Rω1 b Rω2 ,
∆pRω q “
shct
ω
1
2
˚
ω ,ω PΩ
ˆ
ÿ
On peut alors considérer la contraction d'un moule
la somme
ÿ
C“
(cosymétral)
(cosymétrel)
M ‚ avec un comoule R‚ comme
M ω Rω .
ωPΩ˚
Cette somme a toujours un sens lorsque l'on considère une algèbre de Hopf topologique
complète et que l'alphabet
Ω
2
est dénombrable . Dans le cas général, les contractions
dont on aura aaire seront en général des séries normalement convergentes.
Proposition B.1.5. Soit
M‚
R‚
un moule,
C est bien dénie. Alors :
M ‚ est symétral (resp. symétrel)
un comoule et supposons que leur
contraction
si
C
si
et
R‚
cosymétral (resp. cosymétrel), alors
est un automorphisme formel, c'est-à-dire
M‚
est alternal (resp. alternel) et
R‚
est une dérivation formelle, c'est-à-dire
∆pCq “ C b C .
cosymétral (resp. cosymétrel), alors
C
∆pCq “ C b 1 ` 1 b C .
Démonstration. Montrons juste la première assertion dans le cas symétral, les
S‚
ř Rω‚ un comoule
ř ωcosymétral et notons C leur contraction. On a alors ∆pCq “ ∆p ω S Rω q “
ω S ∆pRω q.
ř ωř
1
2
En utilisant la cosymétralité, on trouve
S
R
b
R
,
d'où
en inverω
ωPShpω 1 ,ω 2 q ω
´ř
¯ω
ř
ω
sant les sommes,
Rω1 b Rω2 . En utilisant la symétralité de
ω 1 ,ω 2
ωPShpω 1 ,ω 2 q S
‚
S puis en séparant les termes dans le produit tensoriel, on trouve
ÿ
1
2
S ω Rω1 b S ω Rω2 “ C b C,
autres étant laissées au lecteur. Soit
un moule symétral et
ω 1 ,ω 2
2. Nous ne considérerons dans la suite que des alphabets dénombrables. En général, il faut parler
de famille formellement sommable. Voir [
Sau09] partie A dénition 3.2 p.7.
152
B. CALCUL MOULIEN ET QUELQUES EXEMPLES
d'où
C
est bien un automorphisme formel.
Le résultat précédent admet une réciproque partielle dans le cas de certaines
algèbres de séries formelles en des variables non commutatives que nous allons maintenant introduire.
Considérons l'algèbre
dans
A
AxxΩyy
des séries formelles non commutatives à coecients
en les symboles les éléments de
Proposition B.1.6. Les algèbres
Ω.
M ‚ pΩ, Aq
et
AxxΩyy
sont canoniquement iso-
morphes.
le moule
x
‚
déni par
ω ÞÑ x
ω
ř
ω
ωPΩ˚ x ω P AxxΩyy alors on lui associe
. Il est immédiat que cette bijection est bien un
Démonstration. En eet, si
x “
isomorphisme d'algèbre.
On prendra dans la suite
A “ C,
pour nous concentrer sur le cas des moules
scalaires. Cependant les résultats énoncés sont vrais dans le cas général.
Ω et le cas d'un alphabet W muni d'une
de semi-groupe. Les algèbres CxxΩyy et CxxWyy peuvent être munies d'une
d'algèbre de Hopf topologique. Le coproduit ∆ sur CxxΩyy est donné par
Considérons le cas d'un alphabet général
structure
structure
∆pωq “ ω b 1 ` 1 b ω
sur les générateurs
ω P Ω,
alors que le coproduit
∆˚ pwq “
ÿ
∆˚
sur
CxxWyy
est donné par
w1 b w2 .
w1 ,w2 PW
w1 `w2 “w
sur les générateurs
w P W.
Grâce à la propriété de compatibilité du coproduit avec la multiplication, on a
∆pω1 ω2 q “ ω1 ω2 b 1 ` ω1 b ω2 ` 1 b ω1 ω2 etc, c'est-à-dire
ˆ 1 2˙
ÿ
ω ,ω
ω1 b ω2,
∆pωq “
sh
ω
ω 1 ,ω 2 PΩ˚
et
ˆ 1 2˙
w ,w
w1 b w2 .
∆˚ pwq “
shct
w
w1 ,w2 PW ˚
ÿ
On dénit sur ces algèbres de Hopf
3
les comoules
R‚
et
R‚1
dit comoules canoniques,
par
Rω1 ¨¨¨ωn :“ ωn ¨ ¨ ¨ ω1 ,
1
Rw
:“ wn ¨ ¨ ¨ w1 ,
1 ¨¨¨wn
pour tous mots
ω1 ¨ ¨ ¨ ωm P Ω˚
et
(inversion des indices)
(inversion des indices)
w1 ¨ ¨ ¨ wn P W ˚ .
Remarque B.1.7. Nous avons conservé la convention de J. Écalle d'inverser les
indices car la formulation pour les matrices de connexion est plus simple avec cette
convention. Cependant, il aurait été préférable de prendre l'autre convention lorsque
l'on traite des matrices de Stokes.
R‚ à valeurs dans
est cosymétrel.
Lemme B.1.8. Le comoule
R‚1
à valeurs dans
CxxWyy
CxxΩyy
est cosymétral. Le comoule
3. On n'a déni que le coproduit mais on laisse le soin au lecteur de trouver dans la littérature
Cre09].
la formule pour la counité et pour l'antipode. Pour la counité, voir par exemple [
B.1. QUELQUES RAPPELS DE CALCUL MOULIEN
Démonstration. En eet, notons
τ : Ω˚ Ñ Ω˚
153
l'inversion qui à un mot
ω “
ω1 ¨ ¨ ¨ ωn associe le mot ωn ¨ ¨ ¨ ω1 . Alors il est immédiat que le comoule Rτ p‚q (resp.
Rτ1 p‚q ) est cosymétral (resp. cosymétrel) par la dénition du coproduit ∆. Ensuite, il
sut de remarquer le lemme suivant :
M‚
un moule et CM‚ un comoule. Alors
est alternal (resp. alternel, resp. symétral, resp. symétrel) si et
τ p‚q
seulement si M
est alternal (resp. alternel, resp. symétral, resp. symétrel),
Lemme B.1.9. Soit
le moule
M
le comoule
‚
CM‚
est cosymétral si et seulement si
CMτ p‚q
est cosymétral.
qui est une conséquence immédiate des égalités
ˆ 1 2˙
ˆ
˙
ω ,ω
τ pω 2 q, τ pω 1 q
sh
“ sh
ω
τ pωq
ˆ 1 2˙
ˆ
˙
ω ,ω
τ pω 2 q, τ pω 1 q
shct
“ shct
ω
τ pωq
et
La proposition B.1.5 précédent admet une réciproque dans l'algèbre
séries formelles non commutatives en l'alphabet
CxxΩyy
des
Ω.
ř
C “ ωPΩ˚ M ω Rω la contraction d'un moule M ‚ avec le
comoule canonique R‚ de CxxΩyy. Alors :
la contraction C est un automorphisme formel, c'est-à-dire de type groupe si
‚
et seulement si le moule M est symétral.
la contraction C est une dérivation formelle, c'est-à-dire un élément primitif
‚
si et seulement si le moule M est alternal.
Lemme B.1.10. Soit
De même, on a le
ř
‚
1
la contraction d'un moule M avec le
C “ wPW ˚ M w Rw
1
comoule canonique R‚ de CxxWyy. Alors :
la contraction C est un automorphisme formel, c'est-à-dire de type groupe si
‚
et seulement si le moule M est symétrel.
la contraction C est une dérivation formelle, c'est-à-dire un élément primitif
‚
si et seulement si le moule M est alternel.
Lemme B.1.11. Soit
Démonstration du lemme B.1.10. Montrons le sens direct, la réciproque étant
ř
C “ ω M ω Rω . On
` 1 2˘
ř
ř
∆pCq “ ωPΩ˚ ω1 ,ω2 PΩ˚ sh ω ω,ω M ω Rω1 b Rω2
` 1 2˘
ř
ř
“ ω1 ,ω2 PΩ˚ ωPΩ˚ sh ω ω,ω M ω Rω1 b Rω2
le résultat général de la proposition B.1.5. Soit
C bC “
1
ř
ω 1 ,ω 2 PΩ˚
C b1`1bC “
a donc
2
M ω M ω Rω1 b Rω2
ř
ωPΩ˚
M ω pRω b 1 ` 1 b Rω q
D'où comme des séries formelles sont égales si et seulement si elles ont les mêmes
‚
coecients, on en déduit que si C est de type groupe, le moule M est symétral. Si
‚
C est un élément primitif, alors la relation d'alternalité de M est vériée lorsque
ω 1` et ω˘ 2 sont` non˘ vides. Lorsque l'un des deux mots est vide, on remarque que
1
1
1
sh ω ω,H “ sh H,ω
égal à 1 si ω “ ω et nul sinon. La relation d'alternalité est
ω
‚
triviale dans ce cas. Donc le moule M est bien alternal.
154
B. CALCUL MOULIEN ET QUELQUES EXEMPLES
Remarque B.1.12. Considérer l'algèbre des moules est donc équivalent à considé-
CxxΩyy. Donc traCxxΩyy n'est pas fondamentalement
rer l'algèbre des séries formelles en des variables non commutatives
vailler dans l'algèbre des moules ou dans l'algèbre
diérent pour nous ici. En eet, on n'aura pas besoin des procédés d'arborications
Éca93] lecture 1 Ÿ1.7 ou [Éca92] Ÿ3) qui apparaissent
et de coarborications (voir [
lorsque l'on traite le cas des invariants méromorphes des équations diérentielles non
i,j
linéaires. Remarquez cependant que le comoule G‚ que l'on dénira sur l'alphabet
Ω ressemble à un procédé de coarborication.
B.1.4. Lien entre le coproduit et la structure de Lie.
Ω
le cas des alphabets
et
W
Traitons de nouveau
ensemble. On rappelle que l'on peut munir l'algèbre non
commutative CxxΩyy de sa structure d'algèbre de Lie canonique donnée par rx, ys “
x¨y´y¨x pour tous x, y P CxxΩyy où le point désigne la multiplication dans CxxΩyy. On
rappelle que CxxΩyy est une algèbre complète pour la pseudovaluation val : CxxΩyy Ñ
N Y t8u dénie par
ÿ
valp
xω ωq :“ maxtn P N : xω “ 0 pour tout ω vériant rpωq ă nu.
ωPΩ˚
L
CxxΩyy engendrée par les rx, ys pour tous x, y P
CxxΩyy et
complétion dans CxxΩyy. Alors on appelle usuellement les éléments de
L les polynômes de Lie et ceux de Lp les séries de Lie.
Considérons la sous-algèbre
de
Lp sa
La proposition B.1.5 précédente nous servira joint au lemme suivant :
Lemme B.1.13 ([
l'algèbre
CxxΩyy,
Bou72]
corollaire 2 du théorème 1 Ÿ3 du chapitre II). Dans
un élément est primitif si et seulement si c'est une série de Lie.
On se doit aussi de donner quelques faits sur l'exponentielle moulienne. Notons
L
la sous-algèbre de
CxxΩyy
des séries formelles à terme constant nul et
séries à terme constant égal à
L
1.
par la composition
exppxq :“
Cette dénition est bien posée car
celle des
valpxq ě 1
Proposition B.1.14. L'application
x
de
ÿ xn
.
n!
ně0
et on a
exp : L Ñ G
exppxq P G.
est une bijection et induit une
bijection de la sous-algèbre de Lie des éléments primitifs
des éléments de type groupe de
G
On peut dénir l'exponentielle de tout élément
Lp Ď L
sur le sous-groupe
G.
Corollaire B.1.15. Un élément de l'algèbre
CxxΩyy est de type groupe si et seule-
ment s'il est égal à l'exponentielle d'une série de Lie.
B.2. Petit formulaire pour le moule J ‚
‚
Ji,j
dans l'exemple de l'alphabet à deux éléments Ω “ t0, 1u. On considéra le cas où j “ 0 et i “ 1 et on notera
x :“ x0 et y :“ x1 . En particulier, on a
On donne ici le calcul des premiers termes du moule
Ω˚i,j “ tH, p10q, p100q, p110q, p1000q, p1010q, p1100q, p1110q, ¨ ¨ ¨ u.
‚
On omettra l'indice pi, jq pour le moule Ji,j px, yq et les intégrales itérées convergentes
ω
˚
Ii,j
(ω P Ωi,j ) pour simplier les notations. Pour les mots de longueur 0 et 1, on a
J H px, yq “ I H “ 1,
J p0q px, yq “ x,
J p1q px, yq “ y.
B.3. PETIT FORMULAIRE POUR LE COMOULE Gi,j
‚
p10q P Ω˚i,j donc comme J ‚
px, yq. Finalement, on obtient
Pour les mots de longueurs 2, on a
p1q
p01q
p10q
J
px, yq “ J
px, yq ` J
J p10q px, yq “ I p10q
J p00q px, yq “
est symétral,
J p0q px, yq ¨
J p01q px, yq “ xy ´ I p10q ,
et
x2
y2
p11q
et J
px, yq “ .
2!
2!
3, on a deux mots dans Ω˚i,j
Ensuite, pour les mots de longueur
Ω˚ ´ Ω˚i,j . Par un rapide calcul, on vérie que l'on a
J p100q px, yq “ I p100q
et
J p110q px, yq “ I p110q ,
x3
3!
et
J p111q px, yq “
J p101q px, yq “ I p10q y ´ 2I p110q
et
J p000q px, yq “
155
et
6 “ 23 ´ 2
dans
y3
,
3!
J p010q px, yq “ I p10q x ´ 2I p100q
2
xy
xy 2
´ I p10q x ` I p100q et J p011q px, yq “
´ I p10q y ` I p110q .
2!
2!
‚
2
Donnons aussi le calcul du moule J px, yq pour les mots de longueurs 4. On a 2 “
4 mots donnant des intégrales itérées convergentes, c'est-à-dire J ω px, yq “ I ω pour
ω P tp1000q, p1010q, p1100q, p1110qu. Reste 24 ´ 22 “ 12 mots qui font apparaître des
puissances de x et y . On a deux termes donnant des puissances de x et y uniquement :
x4
y4
J p0000q px, yq “
et
J p1111q px, yq “ .
4!
4!
J p001q px, yq “
Reste dix termes mixtes qui vont par paire :
J p0100q px, yq “ I p100q x ´ 3I p1000q
J p1101q px, yq “ I p110q y ´ 3I p1110q ,
et
x2
´ 2I p100q x ` 3I p1000q
2!
J p0110q px, yq “ I p110q x ´ 2I p1100q ´ I p1010q
J p0010q px, yq “ I p10q
et
et
y2
´ 2I p110q y ` 3I p1110q ,
2!
J p1001q px, yq “ I p100q y ´ 2I p1100q ´ I p1010q ,
J p1011q px, yq “ I p10q
x3 y
x2
´ I p10q ` I p100q x ´ I p1000q ,
3!
2!
3
xy
y2
´ I p10q ` I p110q y ´ I p1110q ,
et
J p0111q px, yq “
3!
2!
2 2
xy
J p0011q px, yq “
´ I p10q xy ` I p110q x ` I p100q y ´ I p1100q ,
2!2!
J p0101q px, yq “ I p10q xy ´ 2I p110q x ´ 2I p100q y ` 4I p1100q ` I p1010q .
J p0001q px, yq “
B.3. Petit formulaire pour le comoule Gi,j
‚
Gi,j
‚ dans l'exemple
j “ 0 et i “ 1. On omettra
On donne ici le calcul des premiers termes du comoule
l'alphabet à deux éléments
exposants
i, j
Ω “ t0, 1u
dans le cas
pour plus de lisibilité. En particulier, on a
Ω˚i,j “ tH, p10q, p100q, p110q, p1000q, p1010q, p1100q, p1110q, ¨ ¨ ¨ u.
Pour les mots de longueur
0
et
1,
on a
GH “ 1,
Gp1q “ 0,
Gp2q “ 0.
Pour les mots de longueurs
2,
on a
Gp10q “ Ap10q ´ Ap01q
p10q P Ω˚i,j
et
donc
Gp00q “ Gp11q “ Gp01q “ 0.
de
les
156
B. CALCUL MOULIEN ET QUELQUES EXEMPLES
Ensuite, pour les mots de longueur 3, on a deux mots dans
Ω˚ ´ Ω˚i,j . Par un rapide calcul, on vérie que l'on a
Ω˚i,j
et
6 “ 23 ´ 2
dans
Gp100q “ Ap100q ´ 2Ap010q ` Ap001q
Gp110q “ Ap110q ´ 2Ap101q ` Ap011q ,
et les autres termes sont nuls.
2
Enn, pour les mots de longueur 4, on a 2 “ 4 mots donnant des intégrales itérées
4
2
convergentes et 2 ´ 2 “ 12 mots restant. On a donc
Gp1000q
Gp1010q
Gp1100q
Gp1110q
Gω “ 0
et
pour les
“
“
“
“
12
Ap1000q ´ 3Ap0100q ` 3Ap0010q ´ Ap0001q ,
Ap1010q ´ Ap1001q ´ Ap0110q ` Ap0101q ,
Ap1100q ´ 2Ap0110q ´ 2Ap1001q ` 4Ap0101q ´ Ap0011q ,
Ap1110q ´ 3Ap1101q ` 3Ap1011q ´ Ap0111q .
autres mots de longueur
4.
B.4. Un programme pour le calcul du moule Ji,j‚ p0, 0q
Voici un programme écrit en Sage permettant de calculer la somme
ř
ω 1 PΩ˚
i,j
ω1
ω
p0, 0q “
Ji,j
1
ω
ssap ω q Ii,j
.
from copy import deepcopy
from sage.structure.coerce_dict import MonoDict
alphabet = range(42)
Omega = Words(alphabet, finite=True, infinite=False)
# indices spéciaux j interdit à gauche et i interdit à droite
j=0
i=1
### test si un mot est dans Omega_{i,j}^*
def mot_convergent(w) :
return ( w.length() == 0 ) or (w.length() > 0 and ( w[0] != j and w[-1] != i ) )
### quelques fonctions auxiliaires
def partie_gauche(w) :
if w.length() == 0 :
return 0
else :
if w[0] == j :
return 1 + partie_gauche(w[1:])
else :
return 0
def partie_droite(w) :
if w.length() == 0 :
return 0
else :
if w[-1] == i :
return 1 + partie_droite(w[:-1])
else :
return 0
def egal(t1,t2) : #donne uniquement l'égalité du mot mais pas du coefficient
### t1 et t2 sont deux termes de la forme {'coeff' : entier? , 'mot' : mot_dans_Omega? }
return t1['mot'] == t2['mot']
‚
B.4. UN PROGRAMME POUR LE CALCUL DU MOULE Ji,j
p0, 0q
def different(t1,t2) :
return not( egal(t1,t2) )
def ajout_terme_dans_liste(t, LL ) :
L = deepcopy(LL)
k = 0
while k < len(L) and different(L[k] , t ) :
k += 1
if k < len(L) :
L[k]['coeff'] += t['coeff']
if L[k]['coeff'] == 0 :
L = L[:k] + L[(k+1):]
else :
L += [t]
return L
def concatene_deux_listes(LL1,LL2 ) :
L = deepcopy(LL2)
for t in LL1 :
L = ajout_terme_dans_liste(t,L)
return L
def multiplication_par_coefficient_dans_liste(c, LL) :
L = deepcopy(LL)
for l in L :
l['coeff'] *= c
return L
def affichage_moule(LL) :
if len(LL) == 0 :
print "0* I^vide"
else :
s = ""
for l in LL :
s += " + (" + str(l['coeff']) + ")* I^" + str( l['mot'] )
s = s[2:]
print s
##### fonction qui calcule le moule J en fonction des intégrales convergentes
memoire_pour_calcul_extension_symetral = MonoDict()
def extension_moule_symetral(w) :
if w in memoire_pour_calcul_extension_symetral.iteritems() :
return memoire_pour_calcul_extension_symetral(w)
else :
if mot_convergent(w) :
memoire_pour_calcul_extension_symetral[w] = [ { 'coeff' : 1 , 'mot' : w } ]
return [ { 'coeff' : 1 , 'mot' : w } ]
else :
if w[0] == j :
m=partie_gauche(w)
resultat = []
for k in range(m+1, w.length() +1) :
w_aux = w[1:k] + Omega([ j ]) + w[k:]
somme_aux = extension_moule_symetral( w_aux )
resultat = concatene_deux_listes(somme_aux, resultat)
resultat = multiplication_par_coefficient_dans_liste( -1 / m , resultat)
return resultat
else : #cas w[-1] == i :
m=partie_droite(w)
157
158
B. CALCUL MOULIEN ET QUELQUES EXEMPLES
resultat = []
for k in range(w.length() - m ) :
w_aux = w[:k] + Omega([ i ]) + w[k:-1]
somme_aux = extension_moule_symetral( w_aux )
resultat = concatene_deux_listes(somme_aux, resultat)
resultat = multiplication_par_coefficient_dans_liste( -1 / m , resultat)
return resultat
def test_extension_symetral(m) :
l = extension_moule_symetral(m)
print "\n le mot "
print m
print "donne -------> "
affichage_moule(l)
######
## Exemples de tests :
## test_extension_symetral(
## test_extension_symetral(
## test_extension_symetral(
## test_extension_symetral(
Omega([0,1]) )
Omega([0,1,0,1]) )
Omega([0,0,1,2,3,1]) )
Omega([0,0,1,2,3,1]) )
En modiant un peu le programme ci-dessus, on trouve les expressions pour le
‚
moule Ji,j px, yq données dans le paragraphe précédent.
De même, on peut compléter le programme précédent par ce qui suit pour calculer
la valeur du comoule
G‚
correspondant.
##### Fonctions auxiliaires pour le cas d'un comoule
def partie_gauche_pour_i(w) :
if w.length() == 0 :
return 0
else :
if w[0] == i :
return 1 + partie_gauche_pour_i(w[1:])
else :
return 0
def partie_gauche_pour_autre(w) :
if w.length() == 0 :
return 0
else :
if w[0] != i and w[0] != j :
return 1 + partie_gauche_pour_autre(w[1:])
else :
return 0
def concatene_deux_listes_de_listes(LL1,LL2) :
L = []
for l1 in LL1 :
for l2 in LL2 :
L.append( l1 + l2 )
return L
def affichage_comoule(LL) :
if len(LL) == 0 :
print "0 * A_vide"
else :
s = ""
for l in LL :
s += " + (" + str(l['coeff']) + ")* A_" + str( l['mot'] )
s = s[2:]
print s
‚
B.4. UN PROGRAMME POUR LE CALCUL DU MOULE Ji,j
p0, 0q
159
def decomposition_mots_speciaux_maximaux(w) :
if w.length() == 0 :
return []
else :
if w[0] == j :
m = partie_gauche(w)
elif w[0] == i :
m = partie_gauche_pour_i(w)
else :
m = partie_gauche_pour_autre(w)
decomp = decomposition_mots_speciaux_maximaux(w[m:])
decomp.insert(0, w[:m] )
return decomp
def calcul_coeff_et_mot_pour_k_adapte( decomp , liste_k ) :
### on suppose que les deux listes ont la même longueur et que la decomposition est non vide
coeff_multiplicatif = 1
mot = Omega([])
ki = 0
kj = 0
for indice in range( len(decomp) ) :
coeff_multiplicatif *= (-1)^(liste_k[indice]) * binomial( len(decomp[indice]) , liste_k[indice] )
type_de_mot = decomp[indice][0]
if type_de_mot != i and type_de_mot != j :
mot = mot.concatenate( decomp[indice] )
else :
mot = mot.concatenate( Omega( [ type_de_mot ]*( len(decomp[indice]) - liste_k[indice] ) ) )
if type_de_mot == i :
ki += liste_k[indice]
elif type_de_mot == j :
kj += liste_k[indice]
else :
raise TypeError("Problème dans calcul_coeff_et_mot_pour_k_adapte ?")
mot = Omega( [j]*(kj) ).concatenate( mot.concatenate( Omega( [i]*(ki) ) ) )
return {'coeff' : coeff_multiplicatif , 'mot' : mot }
###### calcul du comoule G
###### cette fonction n'est pas optimisée en espace algorithmiquement
def comoule_G(w) :
if not(mot_convergent(w) ):
return []
elif w.length() == 0 : #cas du mot vide
return [{'coeff' : 1 , 'mot' : Omega([]) }]
else :
decomp = decomposition_mots_speciaux_maximaux(w)
longueur = len(decomp)
liste_k_max = [0]*(longueur)
resultat = []
for m in range(longueur) :
if decomp[m][0] == i or decomp[m][0] == j :
liste_k_max[m] = len(decomp[m])
liste_des_liste_k = [[]]
for m in range(longueur) :
#variable inutile mais ici pour plus de lissibilité
a_concat = [[k] for k in range( liste_k_max[m] + 1) ]
liste_des_liste_k = concatene_deux_listes_de_listes( liste_des_liste_k , a_concat )
for liste_k in liste_des_liste_k :
#variable inutile mais ici pour plus de lissibilité
terme_calcule = calcul_coeff_et_mot_pour_k_adapte(decomp, liste_k )
resultat = ajout_terme_dans_liste( terme_calcule , resultat )
160
B. CALCUL MOULIEN ET QUELQUES EXEMPLES
return resultat
def test_comoule_G(m) :
l = comoule_G(m)
print "\n le mot "
print m
print "donne pour le comoule -------> "
affichage_comoule(l)
######
## Exemples de tests :
## test_comoule_G( Omega([0,1]) )
## test_comoule_G( Omega([1,0]) )
## test_comoule_G( Omega([1,2,1,3,1,0,0]) )
## test_comoule_G( Omega([1,1,1,0]) )
‚
Pour calculer le bimoule ssa , on a donc deux méthodes : la première en passant
‚
par le moule J , la seconde en passant par le comoule G‚ . On peut vérier sur quelques
exemples que l'on trouve bien le même résultat.
### fonctions auxiliaires pour le bimoule ssa
def indice_d_un_terme_dans_somme(terme, somme ) :
k=0
while k < len(somme) and not( terme == somme[k]['mot'] ):
k +=1
if k == len(somme) :
return -1 #cas où l'on a pas trouvé terme dans somme
else :
return k
### deux méthodes de calcul de ssa
def ssa_methode_J(w1,w2) : #w1=omega' w2=omega
if not(mot_convergent(w1) ):
return 0
else :
somme = extension_moule_symetral(w2)
indice = indice_d_un_terme_dans_somme(w1, somme )
if indice < 0 :
return 0
else :
return somme[indice]['coeff']
def ssa_methode_G(w1,w2) :
if not(mot_convergent(w1) ):
return 0
else :
somme = comoule_G(w1)
indice = indice_d_un_terme_dans_somme(w2, somme )
if indice < 0 :
return 0
else :
return somme[indice]['coeff']
Bibliographie
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Titre : Application de Riemann-Hilbert-Birkho
Mots Clefs : Riemann-Hilbert, matrices de Stokes, moules, transformée de FourierLaplace, algèbre de Weyl, représentation de graphe.
Résumé :
On calcule ici les données de Stokes associées à une connexion avec un
pôle double en 0 et un pôle simple en l'inni sur un bré trivial sur la sphère de
Riemann. Quelques généralisations possibles sont données.
Title : Riemann-Hilbert-Birkho map
Keys words : Riemann-Hilbert, Stokes
matrices, moulds, Fourier-Laplace trans-
form, Weyl algebra, graph representation.
Abstract :
We compute Stokes data associated to a connection with a double pole
at 0 and a simple pole at innity on a trivial vector bundle on the Riemann sphere.
Some generalisations are done.
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