close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

4378 goncharov s. s osnovaniya didaktiki obucheniya logiko-algebraicheskim disciplinam v visshey shkole

код для вставкиСкачать
6 74.2
Г65
С.С. Гончаров, Б.Н. Дроботун, А Л . Никитин
ОСНОВАНИЯ ДИДАКТИКИ ОБУЧЕНИЯ
ЛОГИКО-АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ
В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Часть I
Научно-теоретические и
идейно-методологические предпосылки
Новосибирск
2011
? ЗД.4.
Г<2ъ~
УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ
«ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
ОДАРЕННОСТИ ДЕТЕЙ»
С.С. Гончаров, Б.Н. Дроботун, А.А. Никитин
ОСНОВАНИЯ ДИДАКТИКИ ОБУЧЕНИЯ
ЛОГИКО-АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ
В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Часть I
Научно-теоретические и
идейно-методологические предпосылки
Щ -
С. БЕЙСЕМБАЕа
Новосибирск
2011
? ЭД.4,
ГСь
УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ
«ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
ОДАРЕННОСТИ ДЕТЕЙ»
С.С. Гончаров, Б.Н. Дроботун, А А Никитин
ОСНОВАНИЯ ДИДАКТИКИ ОБУЧЕНИЯ
ЛОГИКО-АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ
В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Часть I
Научно-теоретические и
идейно-методологические предпосылки
С. БЕЙСЕМБАЕа
Новосибирск
2011
УДК 372.851.06
БШС242021___
Г 657
Г 657
С.С. Гончаров, БЛ . Дроботун, А Л . Никитин
Основания дидактики обучения логико-алгебраическим дисципли­
нам в высшей школе. Монография в двух частях. Часть 1: Научнотеоретические и идейно-методологические предпосылки. / Новоси­
бирск: Изд-во ИПИО РАО, 2011. - 270 с.
18ВН 978-5-91650-057-8
В предлагаемой работе авторы, в процессе анализа оснований дидактики логикоалгебраической подготовки в высшей школе и обобщения опыта преподавания логи­
ко-алгебраических дисциплин в ряде высших учебных заведений России и Казахста­
на, в условиях признания базовых положений и принципов гуманистической фило­
софии образования XXI века, вскрывают причины, обусловившие необходимость
разработки инновационной методической системы обучения циклу этих дисциплин,
предпринимают опыт построения этой системы и обосновывают ее научнотеоретическую и психолого-педагогическую состоятельность.
Основное внимание в работе уделяется выработке и реализации общей схемы
обогащения образовательных средств и возможностей традиционной педагогической
технологии до уровня, обеспечивающего условия достижения целей логико­
алгебраической подготовки в их инновационном звучании.
Разработанные авторами технологии выявления элементов обогащения средств
методологического потенциала и регулятивно-регламентационных возможностей
системы общедидактических принципов технологической составляющей традици­
онной образовательной системы, могут быть применены (помимо цикла дисциплин
логико-алгебраической направленности) к проектированию методических систем
обучения, систематизационные, образовательные и знаниевообразующие возможно­
сти которых будут адекватны инновационным целям и задачам обучения другим
математическим дисциплинам или циклам других математических дисциплин.
В процессе построения инновационной методической системы выявлялись воз­
можные перспективы развития единого образовательного пространства России и
Казахстана и возможности использования опыта постановки логико-алгебраического
образования на механико-математическом факультете Новосибирского государст­
венного университета (Россия) в системе высшей школы Казахстана.
Основные выводы и рекомендации данной работы ориентированы на подготовку
специалистов по естественно-математическим направлениям в педагогических уни­
верситетах и педагогических институтах.
Работа предназначена для преподавателей логико-алгебраических дисциплин в
высших учебных заведениях, студентов, аспирантов и«цокторантов по педагогиче­
ским специальностям, преподавателей математических дисциплин в средних образо­
вательных учреждениях, а также лиц, интересы которых сопряжены с исследования­
ми в области логакитгжетадоявгии-иауки. .
УДК 372.851.06
атындагы ПМУ-дщ
||
ББК 74.202
Цакадемик С.бэйсембйа .
18ВИ 978-5-91650-057-8
атЛ |
?°ссййской академии образования
«Институт педагогических исследований одаренно
I К! Г
<&СС. Гончаров, Б.Н. Дроботун, А.А. Никитин, 2011
Предисловие
Ускорение темпов инновационных преобразований, кардинально затро­
нувших все сферы общественного бытия, поставило перед образовательными
системами всех уровней задачу всемерного повышения интеллектуального
потенциала общества.
Определяющая роль в решении этой задачи принадлежит системе высшей
школы, в рамках которой особую значимость приобретает качество фунда­
ментального математического образования.
Без всякого преувеличения можно сказать, что уровень физикоматематической подготовки в классических университетах и высших техни­
ческих учебных заведениях определяет темпы научно-технического, социаль­
но-экономического и социокультурного развития общества Резкое повыше­
ние роли фундаментального физико-математического образования в интел­
лектуальной составляющей общественного бытия следует отнести к числу
неоспоримых реалий современности.
Востребованность фундаментальной математической подготовки обуслов­
лена: перспективами формирования экономики знаний; ускорением темпов
внедрения компьютерной математики, информационных и коммуникацион­
ных технологий, приоритетным развитием наукоемких технологий и произ­
водств, как определяющих факторов социально-экономического развития.
В условиях рыночной экономики, жесткой конкуренции, контрактов, кон­
курсов и грантов все большую значимость приобретают такие качества лич­
ности, как четкость и гибкость мышления, культура абстрагирования, навыки
построения моделей, умение находить оптимальные пути реализации планов,
способность предвидения результатов действий, готовность к аргументиро­
ванному дискурсу и доказательному отстаиванию своей точки зрения, кото­
рые формируются (в первую очередь) в процессе изучения математических
дисциплин.
В системе этих дисциплин особое место принадлежит дисциплинам логико-алгебраической ориентации, что обусловлено универсальной значимостью
идейно-методологических и научно-теоретических возможностей этих дисци­
плин, как дисциплин, являющихся носителями средств методологического
потенциала не только математического, но и общенаучного познания.
Повышение запросов общества к личностным и профессиональным каче­
ствам специалиста, его состоятельности и конкурентноспособности, обусло­
вило процессы гуманизации и гуманитаризации системы высшей школы, что
привело к необходимости кардинального изменения целей образования. В
результате, составляющие известной триады «знания, умения, навыки» сме­
стились с позиции «цели», которую они неизменно занимали в традиционных
образовательных системах, на позицию «средства», то есть процесс формиро­
вания знаний, умений и навыков, утратив определяющее место в системе це­
левых установок, трансформировался в процесс формирования личности по­
4
Предисловие
средством обучения и учения.
Таким образом, в основу современной философии образования заклады­
ваются новые целевые установки, которые в отличие от традиционной техно­
кратической философии образования и мышления провозглашают приорите­
ты формирования личностных и профессиональных качеств человека.
Изменение общих целей образования повлекло за собой необходимость
существенной корректировки целей математической, в частности логико­
алгебраической подготовки, что, в соответствии с законами общей теории
систем, потребовало внесения соответствующих изменений и корректив и в
содержание этой подготовки и в ее методологию, то есть обусловило поста­
новку задачи построения инновационной методической системы обучения
дисциплинам логико-алгебраического цикла. Актуальность построения этой
системы вызвана также необходимостью оперативного выявления путей раз­
решения целого ряда противоречий. Приведем лишь некоторые из них:
- противоречие между богатством и продуктивностью выработанных че­
ловечеством методов математического познания и недостаточно эффектив­
ным использованием этих методов в теории и практике математической под­
готовки студентов в высших учебных заведениях;
- противоречие между общепризнанными возможностями логико­
алгебраических дисциплин в формировании методологических компетенций,
абстрактного мышления и культуры целостного восприятия математики, в
органическом единстве ее составляющих, и бытующей практикой обособлен­
ного изучения курсов «Математическая логика», «Дискретная математика»,
«Теория алгоритмов» и других курсов логико-алгебраической направленности
в отрыве от остальных математических дисциплин;
- противоречие между все возрастающим вниманием к дисциплинам логи­
ко-алгебраического цикла, как научно-теоретической базе, обусловившей раз­
витие машинной математики и компьютерной индустрии, информационных
систем и коммуникационных технологий и недостаточной разработанностью
методических подходов к выявлению и реализации прикладных возможно­
стей этих дисциплин;
- противоречие между современными концепциями, моделями и формами
математического образования, предполагающими в основе своих технологий
доминирование творческой, индивидуально-самостоятельной работы под ру­
ководством преподавателя и практическим отсутствием учебников и учебно­
методических пособий нового типа, ориентированных на использование этих
технологий.
Особо следует подчеркнуть наличие глобального противоречия между не­
виданными ранее темпами развития новых знаний и ограниченными возмож­
ностями их усвоения человеком.
На фоне этих противоречий, отражающих реальное положение дел в сфере
математического образования, наиболее отчетливо проявляется недостаточ­
Предисловие
5
ность образовательных средств традиционной педагогической концепции
обучения для достижения инновационных целей общематематической и, в
частности, логико-алгебраической подготовки.
Анализ теоретических публикаций по вопросам постановки логико­
алгебраического образования в высших учебных заведениях показал, что про­
блемы, связанные с построением методической системы, в рамках которой
целенаправленно создавались бы предпосылки разрешения указанных проти­
воречий и обеспечивались условия достижения инновационных целей обуче­
ния логико-алгебраическим дисциплинам, оказались недостаточно разрабо­
танными.
В соответствии с этим, основными направлениями данной работы являются:
- проектирование и построение эффективной методической системы со­
держательного, мотивационно-ориентированного подхода к обучению дисци­
плинам логико-алгебраической ориентации в высших учебных заведениях,
средствами которой обеспечивалось бы формирование устойчивых представ­
лений о методологическом потенциале современной математики и умений его
применения, развитие навыков абстрактного мышления и выработка профес­
сионально-личностных качеств, адекватных требованиям современности;
- обоснование научно-теоретической и психолого-педагогической состоя­
тельности разрабатываемой инновационной методической системы;
-обобщение опыта применения методик и технологий этой системы на
примерах обучения основополагающим структурам и базовым понятиям ло­
гико-алгебраических дисциплин.
Как показал опыт разработки подобной системы, ее создание оказалось
возможным на основе:
1) радикального переосмысления целей и задач логико-алгебраического
образования, их роли и места в системе глобальных целей современной кон­
цепции обучения, основывающейся на гуманистических принципах филосо­
фии образования XXI века;
2) обогащения системы дидактических средств технологической состав­
ляющей традиционной концепции обучения до уровня, обеспечивающего
возможности достижения инновационных целей логико-алгебраической под­
готовки;
3) научно обоснованных представлений о предметном содержании и
структурно-композиционном строении логико-алгебраических дисциплин,
принципах отбора теоретического и практического материала, о научных под­
ходах к построению логически состоятельной системы учебно-дидактических
единиц, составляющих основу понятийно-терминологической базы этих дис­
циплин;
4) актуализации общематематической значимости средств научно­
методологического потенциала, органичного природе логико-алгебраических
наук, выявления механизмов трансформации этих средств в другие учебные
6
Предисловие
дисциплины и возможностей их применения в процессе обучения этим дис­
циплинам;
5) повышения
мотивационной
значимости
изучения
логико­
алгебраических дисциплин посредством демонстрации их стимулирующего
воздействия на развитие фундаментальных математических наук, а также за
счет усиления их прикладной направленности, прежде всего, как дисциплин, в
рамках которых закладываются научные основы теоретической кибернетики,
развития символических языков программирования, информационных и ком­
муникационных технологий и современной индустрии машинной математи­
ки;
6) выявления инновационных принципов и подходов к разработке средств
методического обеспечения логико-алгебраической подготовки в высших
учебных заведениях и реализации их в процессе написания учебников, учеб­
ных и учебно-методических пособий нового типа.
Реализация этих положений потребовала решения следующих задач:
1. Задачи, связанные с местом и ролью теоретико-множественной и логи­
ко-алгебраической методологии в обучении естественно-математическим
дисциплинам:
1.1) выработка единого подхода к изучению основных теоретико­
множественных
и
логических
понятий,
использованию
логико­
алгебраической символики и выразительных возможностей формального язы­
ка исчисления предикатов в системе обучения естественно- математическим
дисциплинам в высших учебных заведениях; актуализация системообразую­
щих возможностей теории множеств и математической логики, обеспечивших
построение здания современной математики на их основе;
1.2) выявление общих схем применения индуктивных и дедуктивных ме­
тодов в математике и акцептация их роли в процессе построения содержания
логико-алгебраических дисциплин;
1.3) выделение и актуализация методологии образования научных абст­
ракций в математическом познании, выявление их знаниевообразующего по­
тенциала и специфики применения в процессе изучения дисциплин логико­
алгебраической ориентации;
1.4) разработка метода спиралевидного развертывания и демонстрация его
возможностей (в сочетании с другими методами традиционной педагогиче­
ской технологии) в процессе реализации концепции изучения алгебраических
систем с точностью до изоморфизма;
1.5) обоснование системообразующей роли комплекса логико­
алгебраических наук, как носителей средств идейно-методологического по­
тенциала изучения дисциплин естественно-математической ориентации.
2. Задачи, связанные с разработкой методической системы содержательно­
Предисловие
7
го, мотивационно-ориентированного обучения дисциплинам логико­
алгебраической ориентации в высших учебных заведениях:
2.1) изучение и анализ современного состояния и тенденций дальнейшего
развития процессов проектирования педагогических концепций обучения ма­
тематике в высших учебных заведениях;
2.2) уточнение проблемы разработки педагогической и технологической
составляющих методической системы содержательного, мотивационно­
ориентированного обучения логико-алгебраическим дисциплинам с позиций
системного подхода к их проектированию;
2.3) определение и обоснование, с позиций современной философии обра­
зования, инновационных целей логико-алгебраической подготовки, как базо­
вой компоненты проектируемой методической системы обучения дисципли­
нам логико-алгебраической ориентации;
2.4) выявление, обоснование и реализация принципов отбора содержания
дисциплин логико-алгебраического цикла на основе продуктивного сочетания
нормативных установок Государственных образовательных стандартов, ре­
зультатов инновационной коррекции целей, анализа современного состояния
логико-алгебраических наук, педагогическим отражением которых явились
эти дисциплины, и перспектив дальнейшего развития их фундаментальной и
прикладной составляющих;
2.5) выявление и обоснование необходимости обогащения традиционной
педагогической технологии посредством введения дополнительных частноди­
дактических принципов и методов, обеспечивающих возможности достиже­
ния инновационных целей логико-алгебраического образования.
3.
Задачи, связанные с реализацией методической концепции содержа­
тельного, мотивационно-ориентированного обучения:
3 .1) разработка материалов методического обеспечения дисциплин логико­
алгебраического цикла, как учебно-методических комплексов, органически
сочетающих в себе образовательные возможности инновационной педагоги­
ческой технологии с нормативными требованиями учебных планов и вариа­
тивными возможностями использования их вузовской составляющей;
3.2) разработка, написание и публикация учебников, учебных и учебно­
методических пособий нового типа по логико-алгебраическим дисциплинам,
отражающих положения, принципы и целеустановки инновационных пред­
ставлений о предназначении высшего образования;
3.3) экспериментальное апробирование эффективности педагогической и
технологической составляющих методической системы содержательного,
мотивационно-ориентированного обучения и материалов его методического
обеспечения.
Предлагаемая работа состоит из двух частей. Первая часть, включающая
8
Предисловие
изложение подходов к решению задач, связанных с выявлением научнотеоретических и идейно-методологических оснований инновационной мето­
дической системы состоит из трех глав.
В первой главе авторами на основе системного подхода к проектированию
и разработке образовательных концепций, предпринимается опыт построения
методической системы содержательного, мотивационно-ориентированного
обучения дисциплинам логико-алгебраического цикла. В рамках этой систе­
мы, исходя из глобальных целей современной концепции обучения, базирую­
щихся на гуманистических принципах философии образования, были опреде­
лены инновационные цели логико-алгебраической подготовки, как системо­
образующий элемент разрабатываемой системы и выработана общая схема
выявления и реализации подходов к обогащению образовательных возможно­
стей традиционной педагогической технологии до уровня, обеспечивающего
условия достижения этих целей.
В качестве необходимых элементов обогащения, авторами были выявле­
ны, сформулированы и обоснованы три дополнительных принципа частноди­
дактического характера:
- принцип методологической обусловленности;
- принцип идейно-содержательной мотивации;
- принцип предметно-стимулирующего самопознания,
следование которым, в сочетании с традиционными общедидактическими
принципами обеспечивает достижение скорректированных целей логико­
алгебраической подготовки. Регламентационное воздействие этих принципов,
вооружая обучающихся средствами методологии научного познания, обеспе­
чивает, в частности, условия практической реализации положений об акаде­
мической мобильности и возможности получения образования в течение всей
жизни, как важнейших составляющих концепции гуманизации.
В процессе выявления научно-методических подходов к разработке пред­
метного содержания логико-алгебраических дисциплин и возможностей его
системной организации авторами был разработан метод спиралевидного раз­
вертывания содержательного поля базовых понятий и фундаментальных
структур этих дисциплин, как наиболее органичный природе их индуктивного
построения. Использование этого метода в сочетании с другими методами
традиционной педагогической технологии, как показал опыт его применения,
способствует значительному повышению образовательных возможностей
методологического потенциала этой технологии.
Вторая глава данной работы посвящена выявлению знаниевообразующих
механизмов и системообразующих возможностей основных методов теории
познания, наиболее органичных дисциплинам логико-алгебраической ориен­
тации. В этой главе авторами предлагается опыт разработки, методических
подходов к введению и применению индуктивных и дедуктивных методов,
метода образования научных абстракций и метода формальных аксиоматиче­
Предисловие
9
ских теорий, а также опыт выявления научно-методических подходов к опре­
делению логически обусловленной последовательности введения базовых
понятий логико-алгебраических дисциплин, основанный на анализе матема­
тических моделей систем дидактических единиц, составляющих основу поня­
тийно-терминологической базы предметного содержания этих дисциплин.
Содержание третьей главы составили, реализованные в качестве приложе­
ний, наиболее значимые элементы методического обеспечения процесса обу­
чения логико-алгебраическим дисциплинам средствами технологической со­
ставляющей предлагаемой методической системы.
В этой главе приводятся, в частности, варианты заданий тестового контро­
ля различного назначения, материалы опорных конспектов и материалы ил­
люстративно-демонстрационного сопровождения.
Во второй части данной работы предполагается изложение подходов к ре­
шению задач, связанных с разработкой и реализацией частных методик обу­
чения основополагающим концепциям, структурам и базовым понятиям логи­
ко-алгебраических наук средствами построенной методической системы.
Работа выполнена в Институте Педагогических Исследований Одаренно­
сти детей РАО в рамках исполнения темы «Логическое образование в системе
высшего педагогического образования», включенной в план фундаменталь­
ных научных исследований Российской академии образования 2008 -2012 г.г.
При написании данной книги использовались научные статьи и моногра­
фии [25], [26], [27] авторов, а также другие книги и статьи.
Авторы адресуют данную работу преподавателям логико-алгебраических
дисциплин в высших учебных заведениях, студентам, аспирантам и докторан­
там по педагогическим специальностям, преподавателям математических
дисциплин в средних образовательных учреждениях, а также лицам, интересы
которых сопряжены с логикой и методологией науки.
Глава I
НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ОБУЧЕНИЯ ЛОГИКО-АЛГЕБРАИЧЕСКИМ
ДИСЦИПЛИНАМ
§ 1. О системном подходе к разработке методической и
технологической компонент предметной математической
подготовки
1.1. Педагогические системы и педагогические технологии
Наиболее общие понятия, отражающие сущность той или иной науки, на­
зываются ее категориями. Сущность педагогической науки раскрывается в
педагогических категориях. К ним относятся, в частности, «педагогическая
технология» и «педагогическая система». С позиций современной дидактики
под педагогической технологией понимается «...системати-ческое и последо­
вательное выполнение на практике заранее спроектированного учебновоспитательного процесса» ([11], стр.5). В настоящее время трудно предста­
вить себе, что когда-то педагогическая технология считалась недопустимой
вольностью, посягательством на творческие, индивидуально-психологические
основы процесса обучения, которые не должны подлежать ни систематиза­
ции, ни технологизации.
Сейчас вряд ли кто станет оспаривать, а тем более отрицать значение сис­
темного подхода, как важнейшего условия решения педагогических проблем.
Что же касается технологии, то, как справедливо заметил В .П.Беспалько: «...
абстрактные разговоры на тему обучения и воспитания возможны и без вся­
кой технологии, а вот успешно работать педагогам-практикам, учить и воспи­
тывать учащихся без технологии невозможно.» ([11], стр. 5).
Проектирование учебно-воспитательного процесса представляет собой
описание некоторой педагогической системы, как «...определенной совокуп­
ности взаимосвязанных средств, методов и процессов, необходимых для соз­
дания организованного, целенаправленного и преднамеренного педагогиче­
ского влияния на формирование личности с заданными качествами.» ([11],
стр. 6).
В.П.Беспалько выделяет следующие инвариантные составляющие любой
педагогической системы:
1) учащиеся (студенты);
2) цели обучения и воспитания (частные и общие);
§ 1 . 0 системном подходе к разработке методической и ...
11
3) содержание обучения и воспитания;
4) процессы воспитания или дидактические процессы (собственно воспи­
тания и обучения);
5) учителя (преподаватели, технические средства обучения);
6) организационные формы воспитательной работы.
В предложенной структуре педагогической системы, как научной теории,
четко просматриваются компонента, связанная с постановкой практических
задач 1) - 3) и компонента, связанная с технологиями их решения 4) - 6). Ка­
ждая дидактическая задача разрешима с помощью адекватной ей технологии
обучения: «...гармоничный педагогический процесс возможен только как
точное воспроизведение заранее спланированной педагогической технологии,
то есть четко поставленных дидактических задач в совокупности с адекватной
технологией их решения» ([11], стр.8).
Таким образом, проектирование педагогической системы заключается в
четком описании всех ее структурных элементов, в их органической взаимо­
связи и взаимообусловленности. Важно подчеркнуть, что системообразующей
составляющей в структурном представлении педагогической системы явля­
ются цели обучения и воспитания. Цели определяются и задаются ценност­
ными ориентирами общества, его потребностями в том или ином типе лично­
сти и формируются соответствующими директивными органами государства.
При этом, как отмечает И.Я. Лернер, общие цели типа: «...готовить высоко­
образованных людей, способных, как к физическому, так и к умственному
труду, к активной деятельности в различных областях общественной и госу­
дарственной жизни, в области науки и культуры и т. д.» ([66]) нужно выра­
жать на языке психолого-педашгических наук. Четкое осознание целей обу­
чения определяет остальные составляющие педагогической системы, способ­
ствует обеспечению их диагностики.
История развития человеческой цивилизации показывает, что цели (обу­
чения и воспитания) - категория историческая: изменение целей с необходи­
мостью влечет перестройку педагогической системы. Следует подчеркнуть,
что перестроить педагогическую систему, внося изменения в ее отдельные
составляющие невозможно. Изменение целей педагогической системы требу­
ет радикального преобразования всех ее структурных составляющих. В част­
ности. невозможно, изменив цели образования, оставить неизменными его
содержание и процессы обучения.
Педагогическая система представляет собой своеобразную модель учебновоспитательного процесса. В этом аспекте она выступает, как научнотеоретическая основа педагогической технологии. Таким образом, единство и
гармоническая взаимосвязь составляющих педагогической системы обуслав­
ливает целостность всего учебно-воспитательного процесса, осуществляемого
посредством педагогической технологии, соответствующей этой системе.
12
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
1.2. Концепции обучения
С точки зрения В .П. Беспалько, педагогическая концепция образования это педагогическая система в единстве с учебно-воспитательным процессом,
функционирование которого должно определяться педагогической техноло­
гией, соответствующей этой системе.
Учитывая, что педагогическая система - основа педагогической техноло­
гии, а учебно-воспитательный процесс представляет собой ее практическую
реализацию, то есть педагогическую технологию в действии, можно заклю­
чить, что педагогическая система является базовой составляющей педагогиче­
ской концепции образования.
В дидактике обучение трактуется как «.. .эмоционально-интеллек-туальное
взаимодействие педагога и обучающегося, основанное на совместной деятель­
ности по достижению государственных целей образования.» ([33], стрЮ). Оп­
ределение, отражающее содержательно-результативную характеристику этого
понятия, дается в [96]: «Обучение - это целенаправленное, заранее запроекти­
рованное общение, в ходе которого осуществляется образование, воспитание и
развитие, усваиваются обучаемыми отдельные стороны опыта деятельности и
познания» ([96], стр. 9 -10). Педагогическая система, как органическое единство
всех своих составляющих, включая в себя ученика (студента) и учителя (препо­
давателя), определяет, в рамках принятой модели учебно-воспитательного про­
цесса, и, непосредственно, процесс обучения. В соответствии с этим, любая сис­
тема обучения предполагает своё воплощение, в качестве некоторой компонен­
ты, действующей на современном этапе общей педагогической концепции. Это
касается, в частности, системы обучения тем или иным конкретным учебным
дисциплинам или циклам родственных дисциплин.
В.П. Беспалько в работе [11], на основе анализа каждой из отдельных со­
ставляющих педагогической системы, свойственной определенному истори­
ческому периоду, предпринимается опыт выявления педагогической концеп­
ции образования, соответствующей этому конкретному периоду. В результа­
те, он приходит к следующим выводам:
1) В описании состава и структуры любой педагогической системы содер­
жится полная информация об этой системе, достаточная, чтобы не только об­
суждать и анализировать сущность системы, но и сравнивать системы между
собой, а также их проектировать, прогнозировать их развитие и эксперимен­
тально исследовать.
2) Создать конструктивную концепцию образования, обладающую необ­
ходимой полнотой, непротиворечивостью и действенностью, не опираясь на
понятие «педагогическая система», невозможно.
13. Цели образования на современном этапе
Синтезируя понятие «педагогическая система», как предмет педагогиче­
ской науки и как объект педагогической практики, В Л . Беспалько постоянно
акцентирует внимание на том, что определяющим элементом всякой педаго-
§ 1 . 0 системном подоим)* к разработке методической и
13
гичсской системы являются целя, так как именно в них аккумулирован основ­
ной системообразующий потенциал. Следует отметить, что положение об
определяющей роли целей образования является общепринятым: «...цели
обучения - всегда отправной пункт» ([661, стр. 15). «Учебный процесс, как
большая и сложная система ... требует определенной стабильной упорядо­
ченности и рационального управления, исходя из целей и задач обучения»
([4], стр. 6). «Качество подготовки специалиста любого профиля зависит от
степени обоснования трех основных компонентов учебного процесса*—целей
обучения, его содержания и принципов организации учебного процесса. Во­
прос о целях обучения является первоочередным...» ([2], стр. 57) и так далее.
Само обучение определяется, прежде всего, как целенаправленное взаимодей­
ствие обучаемого и учителя (преподавателя), цели которого группируются
вокруг двух основных: образовательной и воспитательной.
Цели образования, как отмечалось выше, задаются ценностными ориенти­
рами общества, его потребностями в том или ином типе личности, что форми­
рует определенную систему взглядов на предназначение (высшего) образова­
ния. Как отмечается в [2]: «Существовавший ранее в общественном сознании
взгляд на высшее образование как на сферу, обслуживающую, в первую оче­
редь потребности господствующей идеологии, должен смениться новым по­
ниманием назначения высшего образования в современном мире. Стратегиче­
ским ориентиром развития ... (должна стать) идея формирования новой гене­
рации высокочеловечных и высококвалифицированных профессионалов с
этически ответственным отношением к миру, инновационным творческим
типом мышления, развитой мировоззренческой культурой» ([2], стр. 10).
С позиций этой стратегии специалист XXI века представляется, как: «...
разносторонне образованный, творчески мыслящий профессионал, конку­
рентоспособный на рынке труда, способный при необходимости свободно
менять специализацию в рамках полученной квалификации, способный к са­
мообразованию и эффективному взаимодействию в междисциплинарной
профессиональной среде.» ([97], стр. 179 - 180).
Эти положения, рассматриваемые на фоне «... односторонней длительной
ориентации на технократический способ мышления и преподавания - особен­
но комплекса естественнонаучных и технических дисциплин высшей школы»
([2], стр. 12), дают достаточно оснований для понимания необходимости суще­
ственного переосмысления и корректировки базовой составляющей «цели» в
действующей педагогической системе а, следовательно, и в соответствующей
ей педагогической технологии.
Глубокий анализ причин, обусловивших необходимость существенного
изменения целей образования, учитывающий основные тенденции развития
системы высшей школы в мировом образовательном пространстве, осуществ­
лен в работе [2]. Результатом этого анализа явился качественно новый подход
к постановке целей образования в их глобальном аспекте.
14
Глава 1. Научно-теоретические предпосылки построения...
Осознание глобальных целей высшего образования, на современном этапе
его развития, требует для выявления научно обоснованных подходов к их дос­
тижению, как это отмечалось ранее, переосмысления этих целей в категориях
и понятиях целого комплекса наук, прежде всего наук психолого­
педагогического цикла. В соответствии с этим, в работе [2] акцентируется
необходимость повышения роли научных исследований в определении и
формировании политики и стратегии высшего образования. Отмечая значи­
тельный*клад социологов, психологов, политологов, экономистов и истори­
ков в развитие научных исследований в области высшего образования, в этой
работе, вместе с тем, констатируется недостаточность и определенная одно­
сторонность наувдых изысканий в области педагогики образования: «Пред­
ставители педагогических наук традиционно занимались исследованиями в
области начального и среднего образования и лишь недавно начали проявлять
интерес к высшему образованию.» ([2], стр.22).
В связи с этим, научные исследования, связанные с разработкой и по­
строением новых педагогических концепций обучения, адекватных запросам
современности и требованиям прогнозируемой будущности представляются
актуальными и имеющими основания для потенциальной востребованности.
1.4.
О предпосылках необходимости построения новых методических
систем обучения
Социальные процессы и преобразования, которые на рубеже XX и XXI ве­
ков коснулись практически всех сфер общественного бытия, кардинальным
образом сместили приоритетные акценты в восприятии природы взаимоот­
ношений общества (коллектива) и отдельного его представителя (личности).
Следствием этих процессов явились такие современные формы образования,
модели и методы обучения, в основе функционирования которых предполага­
ется индивидуально-самостоятельная, но при этом управляемая, координи­
руемая и контролируемая работа студента, в процессе которой он раскрывает
творческие возможности, мобилизует и развивает свой интеллектуальный
потенциал.
В настоящее время студентам предоставляются широкие возможности вы­
бора не только специальности, но и форм обучения, включая дистанционные,
ускоренные, параллельное обучение по второй основной или дополнительной
специальности; получение второго высшего образования и тому подобное.
Все эти формы требуют переориентирования образовательного процесса на
решение задач индивидуализации обучения, которые значительно сложнее
задач усредненной и единообразной подготовки массового среднестатистиче­
ского специалиста.
В соответствии с этим, все более актуальной становится проблематика,
связанная с разработкой наиболее эффективных систем образования, способ­
ных на теоретическом, методологическом и методическом уровнях обеспе­
чить практический переход от традиционных методов преподавания к реали­
§ 1 . 0 системном подходе к разработке методической и ...
15
зации моделей и форм индивидуально-ориентированного обучения.
По В.П. Беспалько, педагогическая система, как теоретическая модель пе­
дагогической технологии, определяет ее реализацию. Таким образом, успеш­
ное решение задачи разработки новых образовательных систем требует суще­
ственного обновления как системы дидактических принципов обучения, так и
арсенала методологических средств педагогической технологии.
1 3 . О системном подходе к проектированию методики обучения дис­
циплинам логико-алгебраического цикла
Как отмечалось ранее (раздел 1.2), каждая педагогическая система содер­
жит, в качестве своей подсистемы, систему обучения как любой из учебных
дисциплин, так и любого цикла родственных дисциплин, изучаемых в высших
учебных заведениях.
Тем не менее, в основу разработки и построения методической системы
обучения отдельной дисциплине (или циклу родственных дисциплин), как
подсистеме, в соответствии с общими законами теории систем [9], должны
быть положены те же самые принципы, которые определяют приоритеты про­
ектирования всей педагогической системы в целом.
Следует отметить, что целостная методическая система обучения дисцип­
линам логико-алгебраической ориентации в вузах до настоящего времени по­
ка еще не была разработана.
Проблема разработки этой системы в современный период, в связи с изме­
нением целей математического образования, становится все более актуальной.
В соответствии с этим, определяя задачу разработки методической систе­
мы обучения логико-алгебраическим дисциплинам, необходимо исходить не
только из того, что эта система еще не построена, но и из того, что целевые
установки математического образования претерпели значительные изменения.
Действительно, в соответствии с базовыми положениями теории педагоги­
ческих систем, приведенными в предыдущих разделах данного параграфа,
изменение целей образования требует, для обеспечения «жизнеспособности»
педагогической системы, изменения всех других ее составляющих, а, следова­
тельно, воссозданию, исходя из новых целевых установок, качественно новой
педагогической системы. В рамках полученной педагогической системы каче­
ственно новым содержанием наполняются и все ее подструктуры, то есть и
подструктуры, связанные с изучением как конкретных дисциплин, так и их
совокупностей. Разработка целостной методики и технологической базы обу­
чения этим дисциплинам (системам дисциплин) и приводит в конечном итоге,
к построению методической системы их изучения.
Следует отметить, что в историческом плане, необходимость переходов от
одних педагогических систем к другим, обуславливалась, прежде всего, изме­
нением целей образования, достижение которых требовало, в свою очередь,
соответствующего обогащения арсенала методологических средств и систем
дидактических принципов.
16
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
В соответствии с этим, главным отличительным признаком действительно
новой методической системы является использование существенно новых
методов, принципов и средств обучения, выявление и включение которых в
педагогическую технологию, соответствующую этой системе, и было мотиви­
ровано и обусловлено изменением целей образования.
Необходимо подчеркнуть, что в данной работе не предлагается решение
проблемы разработки целостной системы математического образования в
высших учебных заведениях, но предлагается опыт разработки конкретной
методической системы: «системы содержательного, мотивационно­
ориентированного обучения применительно к циклу логико-алгебраических
дисциплин», то есть таких дисциплин, как математическая логика, теория ал­
горитмов, алгебра, теория чисел, дискретная математика и ряда других дисци­
плин, к ним примыкающих. Хотя, как показывает опыт преподавания матема­
тики в высших учебных заведениях, эта система вполне применима и к обуче­
нию другим математическим дисциплинам.
При определении путей разработки целостной методики обучения дисци­
плинам логико-алгебраического цикла в единстве с арсеналом методологиче­
ских и технологических средств ее применения, исходя из общей теории педа­
гогических систем, была выработана следующая схема:
1) на основе стратегических целей, определяющих современный этап раз­
вития высшей школы, выявить конкретные цели обучения логико­
алгебраическим дисциплинам.
2) исходя из выявленных целей, как системообразующего элемента, опре­
делить содержание этих дисциплин, принципы его отбора и структурно­
композиционного строения;
3) посредством анализа определяющих (в той или иной классификации)
дидактических принципов и методов обучения, а также выявления регулятив­
ных возможностей этих принципов и познавательной продуктивности рас­
сматриваемых методов, показать их определенную недостаточность для дос­
тижения инновационных целей математического образования и, в частности,
полноценного овладения предметным содержанием дисциплин логико­
алгебраического цикла;
4) выделить черты (признаки), характеризующие недостаточность базовых
методов и принципов традиционной педагогической технологии и, убедившись
в проблематичности возможностей потенциальной компенсации выделенной
недостаточности в рамках этой технологии, сформировать первичные представ­
ления о сущности элементов необходимого ее обогащения посредством кото­
рых могут быть реализованы выявленные проявления недостаточности;
5) синтезируя полученные элементы обогащения, определить новые ди­
дактические принципы и методы, которые в единстве с принципами и мето­
дами традиционной технологии составят основу технологического потенциа­
ла инновационной методической системы обучения дисциплинам логико-
§ 2. Проектирование целей, как основы методической ...
17
алгебраического цикла;
6) реализуя разработанную методическую систему на примере обучения
студентов основополагающим концепциям и базовым структурам логико­
алгебраических дисциплин, убедиться, что в ее рамках обеспечивается и сле­
дование традиционным дидактическим принципам обучения, и достижение
скорректированных целей логико-алгебраической подготовки;
7) осуществить экспериментальную проверку эффективности построенной
методической системы обучения.
Последовательная реализация этого плана, осуществляемая в данной рабо­
те, и приведет, в конечном итоге, к построению требуемой методической сис­
темы. С целью отражения ее характерных особенностей, в дальнейшем, эта
система будет называться системой содержательного, мотивационно­
ориентированного обучения дисциплинам логико-алгебраического цикла
§ 2. Проектирование целей, как основы методической
системы обучения дисциплинам логико-алгебраического
цикла.
2.1. Из истории развития алгебры и логики
В пятом разделе первого параграфа этой главы был предложен план, ис­
полнение предписаний которого призвано наполнить процесс проектирования
методической системы необходимым технологическим обеспечением.
Реализация первого пункта этого плана требует исторического подхода,
так как только на пути прослеживания основных этапов становления наук
логико-алгебраической ориентации, удается выявить тот их мировоззренче­
ский и цдейно-методологический потенциал, который является источником
постоянной активизации развития, как фундаментальной математики, так и ее
приложений. Осознание того, что дисциплинам логико-алгебраической ори­
ентации принадлежит особое место в процессе познания, обусловленное об­
щенаучной значимостью методологических возможностей этих дисциплин,
позволит полнее выявить цели и задачи изучения и соотнести их с инноваци­
онными целями подготовки специалистов в системе высшей школы.
Целесообразно более подробно остановиться на истории развития логики,
как науки наиболее тесным образом связанной с философией и теорией по­
знания, науки, в рамках которой были построены первые операционные моде­
ли, отражающие те или иные схемы (фрагменты) мышления человека, пости­
гались природа и механизмы образования МаучныХ .абстракций, технологии
идеализации и моделирования. Исторические эт^оджшодк^р^ния и развития
алгебры будут затронуты лишь в том аспскй^ддоддой^ец&доим для обос­
нования алгебраической природы основным методов логики, как науки. В ча­
стности, для выявления алгебраичности методов, гюаррещя, логических не-
18
Глава 1. Научно-теоретические предпосылки построения.
числений.
Кроме того, исторические экскурсы в алгебру будут периодически пред­
приниматься для того, чтобы показать, каким образом в определенные перио­
ды своего развития алгебра играла роль своеобразной «теории алгоритмов» и
являла собой «математическую логику».
История развития непосредственно теории алгоритмов также будет затра­
гиваться лишь постольку, поскольку она является теоретической базой разви­
тия современной индустрии машинной математики и современных компью­
терных технологий.
Возникновению логики, как науки, предшествовала длительная, уходящая
в глубь веков и тысячелетий практика мышления. Как свидетельствует исто­
рия, проблемы, связанные с мышлением и познанием стали возникать и вол­
новать человека сначала в Древней Индии и Древнем Китае, затем в Древней
Греции и Риме, где они получили более полную разработку.
Знакомство с историей развития любой науки немало способствует пони­
манию естественной необходимости выражения её первичных идей в тех
формах, которые они обрели в современный период своего становления. Для
формальной логики, как науки о законах выводного знания, о правилах и
формах рассуждения это знакомство представляется наиболее актуальным.
Слово «логика» происходит от греческого слова «1о§оз», что значит
«мысль», «слово», «разум», «закономерность» и используется дня обозначе­
ния совокупности тех правил, которым подчиняется процесс мышления с од­
ной стороны и для обозначения науки о правилах рассуждений и тех формах,
в которых оно осуществляется - с другой.
Отмечают два основных источника, обусловивших причины возникнове­
ния логики. Первый из них - процессы, связанные с зарождением и развитием
наук, прежде всего - естественно-математических, которые потребовали сис­
темной организации накопления знаний и обусловили необходимость иссле­
дования природы самого мышления, как формы научного познания. Вторая
причина - развитие ораторского искусства, которое способствовало выявле­
нию таких формальных мыслительных схем и приемов, чтобы, следуя им,
мысль, воплощенная в слово, могла оказывать наиболее ощутимое воздейст­
вие на аудиторию.
Следствием этих причин явилось возникновение, развитие и становление
формальной логики, как науки о законах и формах правильного мышления.
Различают два этапа развития формальной логики. Деление на эти этапы обу­
словлено, прежде всего, различием средств и методов исследования, приме­
няемых в формальной логике.
Начало первого этапа связано с работами древнегреческого философа и
ученого Аристотеля (384-322 до н. э.), который впервые дал систематическое
изложение логики. Логика Аристотеля, труды других мыслителей и философ­
ских школ вплоть до середины XIX в. и составляют первый этап развития.
§ 2. Проектирование целей, как основы методической
19
Логику этого этапа называют традиционной логикой.
«Возникновение традиционной логики относят к V веку до н.э. и связыва­
ют с философскими размышлениями об искусстве и правилах ведения споров
и диспутов, о процедурах ... доказательств вины и невинности подсудимых. В
этом отношении логика тяготела к риторике и юриспруденции. Аристотель
превратил логику в науку и в инструмент научного познания мира. Он создал
творение, прославившее его имя в веках - теорию силлогизмов - краеуголь­
ный камень традиционной логики. Эта теория позволила судить об истинно­
сти или ложности выводов из истинных посылок. ... Средневековым схола­
стам она представлялась божественным откровением. ... Ученые XIX века
видели в творении Аристотеля неизъяснимое совершенство. И лишь с конца
XIX века началось расширение и развитие логических идей, оставившее дале­
ко позади учение о силлогизмах великого греческого мыслителя, которое,
впрочем, заняло свое определенное место в современной логике, и в том круге
наук, которые занимаются теорией логических рассуждений и выводов.» ([41],
стр. 66-67).
В логике Аристотеля, с исчерпывающей глубиной и строгостью, была раз­
работана теория дедуктивных умозаключений и доказательств.
В традиционной логике под дедукцией понимается переход от знания
большей степени общности к новому знанию меньшей степени общности; под
дедуктивными умозаключениями - те умозаключения, у которых между
посылками и заключениями имеется отношение логического следования; под
выводом понимается переход от носылок к заключению. При этом важно
отметить, что в посылках заключается знание большей степени общности, а в
заключение - меньшей. Следует также подчеркнуть, что слово «дедукция» в
переводе на русский язык означает «вывод».
Аристотель впервые обратил внимание на то, что, рассуждая по опреде­
ленным схемам, мы из одних истинных утверждений можем выводить другие
истинные утверждения, исходя не из конкретного содержания этих утвержде­
ний, а только вследствие формальной структуры применяемой схемы. Таким
образом, Аристотель впервые отделил форму мысли от её содержания. Рас­
смотрим, к примеру, такую формальную схему рассуждений:
Все Месть Р.
Все 5 есть М.
Все 5 есть Л
Утверждения этой схемы, стоящие над чертой, являются посылками, а ут­
верждение. стоящее под чертой - заключением. Конкретным примером рассуждений, осуществляемым по этой схеме, является рассуждение:
Все рыбы дышат жабрами.
Все караси являются рыбами.
Все караси дышат жабрами.
Этот пример показывает, что независимо от того, что конкретно подразу­
20
Глава 1. Научно-теоретические предпосылки построения...
мевается под М; Р; 5 из истинных посылок по этой схеме всегда получаются
истинные заключения.
Анализируя данный пример, можно отметить, что, как первая его посылка
«Все рыбы дышат жабрами», так и его заключение - «Все караси дышат жаб­
рами» являются общеутвердительными суждениями, но посылка, при этом,
выражает большую степень обобщения, по сравнению с заключением. Вторая
посылка « Все караси являются рыбами» указывает на переход от общего
класса всех рыб, то есть рода, к его частному подклассу всех карасей, то есть к
виду. Таким образом, эти конкретные рассуждения представляют собой при­
мер дедукции, так как заключительная часть этих рассуждений даёт новое
знание меньшей степени общности по отношению к его посылкам.
В терминологии Аристотеля такие схемы рассуждений называются моду­
сами категорического силлогизма. Исчисление силлогизмов Аристотеля
представляет собой одно из первых логических исчислений.
Следует отметить, что в логике Аристотеля содержатся и элементы симво­
лической, то есть математической, логики. Однако потребовались столетия и
труды многих поколений философов и математиков, чтобы сделать исключи­
тельно важный шаг к изучению формальной логики математическими мето­
дами, что знаменовало второй этап ее развития.
Формальная логика этого этапа называется математической (или симво­
лической) логикой. Математическая логика изучает логические связи и от­
ношения, лежащие в основе дедуктивного вывода, математическими метода­
ми на языке специальных логических исчислений, позволяющих выявить
структуру вывода и формализовать ее.
Таким образом, с развитием математической логики, возникла потреб­
ность в разработке общей концепции логического исчисления. Эта концепция
разрабатывалась и шлифовалась на протяжении столетий в трудах многих
выдающихся учёных и созданных ими научных школ. Далее, при выделении
конкретных имен, отмечаются лишь имена тех учёных (далеко не всех) и
только те их научные достижения, которые в наибольшей степени способст­
вовали выработке понятия логического исчисления, в частности, исчисления
высказываний и исчисления предикатов.
Разработка концепции логического исчисления осуществлялась в трудах:
основоположника математической логики Г. Лейбница (1646-1716), который
дал, в частности, построение исчисления высказываний в алгебраической
форме; в сочинениях Дж. Буля (1815-1864), посвящённых построению логи­
ческих исчислений, с которых ведёт начало современная математическая ло­
гика; в работах Б. Рассела (1872-1970), который осуществил систематическое
изложение исчисления высказываний; в трудах выдающегося математика
двадцатого века Д. Гильберта (1862-1943), вклад которого в дело разработки
исчисления высказываний и исчисления предикатов трудно переоценить.
Важнейшей предпосылкой зарождения концепции логического исчисле-
§ 2. Проектирование целей, как основы методической ...
21
ния явилось осознание целесообразности отделения форм мышления от его
содержания. Изучение логической структуры мышления, в отвлечении от его
содержательного смысла, дало мощный импульс развитию логико­
алгебраической символики, способствовало формализации дедуктивных и
индуктивных схем мышления, формированию представлений о логическом
исчислении, как о носителе арсенала формализованных средств и технологий,
обеспечивающих, при надлежащем содержательном их истолковании, воз­
можности выявления эффективных решений широкого круга задач в процессе
научного познания.
История развития традиционной логики показывает, что построение всех
систем, сп особствую щ и х , в той или иной степени, формированию современ­
ных представлений о логическом исчислении, осуществлялось с использова­
нием алгебраических методов, свойственных соответствующему периоду и
уровню развития алгебры. Наиболее яркое воплощение эта тенденция полу­
чила в работах Дж. Буля, создавшего логическое исчисление, широко извест­
ное, как «Булева алгебра».
В связи с этим, следует отметить, что алгебраическая трактовка современ­
ных логических исчислений не является навязанной извне. Алгебраическую
сущность логических исчислений предопределяет природа мышления, фор­
мальными моделями определенных фрагментов которого эти исчисления яв­
ляются.
Как отмечается в [38], в течении УЩ - XVI веков алгебра, как бы по со­
вместительству выполняла роль (математической) логики и теории алгорит­
мов: «.. .алгебра, которая является одной из древнейших математических наук,
на самом деле демонстрировала примеры точных, в том числе и формальных,
логических преобразований, но не на уровне самых сложных логических ут­
верждений, а на уровне тождеств. Можно сказать, кодифицировала работу с
тождествами.» ([38], стр. 133).
Формулы алгебры в их символическом выражении можно рассматривать,
как универсальные записи алгоритмов нахождения решений конкретных за­
дач. В частности, общие формулы нахождения корней квадратного уравнения:
«...можно интерпретировать как некоторые указания: что нужно сделать, ка­
кие арифметические операции нужно произвести с коэффициентами, для того,
чтобы найти корень квадратного уравнения. То есть алгебраические формулы
являли собой первые формальные записи алгоритмов. Поэтому алгебра вы­
полняла роль теории алгоритмов.» ([38], стр. 134).
Этот колоссальный опыт «работы алгебры по совместительству», в кото­
ром нашли зримое воплощение «операционные» особенности мышления че­
ловека не мог исчезнуть бесследно. И, прежде всего, он нашел свое воплоще­
ние в разработке концепции логического исчисления, как «материального»
поля представления законов осуществления мыслительных операций.
Широкое использование алгебраических методов и технологий при по­
22
Глава 1. Научно-теоретические предпосылки построения...
строении логических исчислений определило, в известном смысле, алгебраизацию математического языка и алгебраичность методологии современной
математики в целом.
Принципы перехода от общего к частному и от частного к общему, как
важнейшие принципы познания, предопредели основополагающую роль де­
дуктивных и индуктивных технологий в построении базовых составляющих
логических исчислений, что во многом обусловило их дедуктивные возмож­
ности и алгоритмические свойства. Выполняя роль носителей этих свойств,
формализованные языки логических исчислений явились прообразами симво­
лических языков современной индустрии машинной математики.
Представляя краткий обзор истории развития математической логики не­
обходимо отметить, что в рамках ее логических исчислений были выявлены
формальные аналоги таких фундаментальных понятий науки, как доказатель­
ство и истинность, вычислимость и алгоритм, на базе которых оказалась воз­
можной разработка теоретических основ, конструктивных особенностей и
архитектуры электронно-вычислительных машин первых поколений и соот­
ветствующих языков программирования.
Останавливаясь на современном этапе развития алгебры, математической
логики и теории алгоритмов следует обратить внимание на широкую сферу
применения этих наук. Фундаментальная математика и ее приложения, ин­
форматика и кибернетика, механика и физика, философия и теория познания,
математическая лингвистика, биология и физиология мозга - вот далеко не
полный перечень научных направлений, в решении научных проблем которых
находят продуктивное применение идеи и методы математической логики и
теории алгоритмов.
Завершая краткий исторический обзор отдельных этапов развития логико­
алгебраических наук, позволивший акцентировать внимание на их особом
статусе не только в математике, но и во всей науке, следует подчеркнуть, что
постановка целей логико-математического образования должна существен­
ным образом не только учитывать этот статус, но и исходить из него.
22.
Математическая логика в системе высшего и среднего образова­
ния.
Как основа методологии научного познания и наука, в рамках которой бы­
ли поставлены и решены многие из важнейших проблем, связанных с обосно­
ванием математики и создана научно-теоретическая база для развития ЭВМ,
информационных и коммуникационных технологий, математическая логика
занимает в современном мире все более прочные позиции не только в науке и
ее приложениях, но и в математическом образовании, как в вузовском, так и в
школьном.
Математическая логика является одним из приоритетных направлений со­
временной математики. Ее создание было связано как с проблемами основа­
ний современной математики, так и с созданием математической теории, ле-
§ 2. Проектирование целей, как основы методической ...
23
жащей в основе таких фундаментальных понятий, как доказательство и ис­
тинность, вычислимость и алгоритм.
Фундаментальный вклад в создание математической логики как науки, на­
ряду с известными зарубежными учеными ( П. Бернайс, Л. Брауэр, Р. Ганди,
К. Гедель, А. Гжегорчик, Д. Гильберт, С. Клини, Дж. Лось, Э. Пост, Б. Рассел,
А. Тарский, А. Тьюринг, Л. Хенкин, А. Черч), внесли и российские ученые
(ЮЛ. Ершов, А.Н. Колмогоров, А.И. Мальцев, А Л . Марков, П.С. Новиков и
многие другие известные математики).
Являясь методологической основой не только современной математики, но
и всей науки в целом, математическая логика в настоящее время по праву за­
нимает место важнейшей составляющей в математическом образовании как
при подготовке высококвалифицированных специалистов-исследователей для
работы в различных областях науки, так и при подготовке преподавателей
математики в учебных заведениях высшего и среднего звена. Тем не менее,
следует, к сожалению, констатировать, что «Логика», как обязательный пред­
мет, не входит в настоящее время в учебные программы средних образова­
тельных школ ни в России, ни к Казахстане. Этот факт на фоне интегративных
процессов, направленных на создание единого образовательного пространства
в Европе и мире, не поддается разумному объяснению, так как логика изуча­
ется в средних школах, за редким исключением, практически во всех странах
мира. «Она была обязательным предметом в гимназиях и университетах доре­
волюционной России. В нашей стране издавалось тогда много книг по про­
блемам законов и форм мышления. Студенты высших учебных заведений
имели в своем распоряжении ряд учебников и учебных пособий по логике,
которые пользовались большим успехом: «Логика» М. Владиславлева,
«Учебник логики» М. Троцкого, «Систематическое изложение логики» В.
Карпова и другие. В средних школах преподавание логики велось по прове­
ренным временем и практикой кратким, но содержательным учебникам. Дос­
таточно сказать, что «Учебник логики» Г.И. Чолпанова переиздавался десять
раз, «Учебник логики» А.Е.Светилина выдержал 14 изданий.... Но случилось
так, что после Октябрьской революции преподавание логики в нашей стране
начало постепенно свертываться. По всей вероятности, в первые годы сущест­
вования Советской власти ... в школах пришлось все внимание сосредоточить
на основных предметах - математике, физике, химии, родном языке - и вре­
менно сократить часы на преподавание других (психологии, логии и других).
Известную роль сыграло то обстоятельство, что довольно часто логику в гим­
назиях «по совместительству» преподавали священники . . . . Возможно были
и другие причины, но факт остается фактом: логика в конце концов исчезла из
числа дисциплин, преподающихся в средней школе__
В 1946 году было введено преподавание формальной логики во всех сред­
них школах и некоторых высших учебных заведениях.... Наскоро проведен­
ные краткосрочные курсы по подготовке учителей логики не в состоянии бы­
24
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
ли обеспечить школы достаточным количеством квалифицированных кадров,
которые могли бы глубоко и интересно преподавать новую дисциплину. Во
многих школах уроки логики стали вести по совместительству учителя других
дисциплин, главным образом математики и родного языка. При этом учителя,
ведущие уроки логики, не получали (достаточной - А.Н.) квалифицированной
методической помощи. Кроме учебника и небольшого задачника, у них не
было почти никакой специальной литературы. Это, естественно, не могло не
сказаться на качестве преподавания логики в ряде школ. ... Вскоре, как из­
вестно, началась перестройка, переделка школьных программ, борьба с пере­
грузкой учащихся. И получилось так, что под сокращение опять попала логи­
ка. Так формальная логика второй раз была исключена из числа школьных
дисциплин__ » ([80 ], стр 175 -177).
Продолжая исторический экскурс, связанный с проблемами изучения
формальной и математической логики в системе высшего и среднего образо­
вания, следует отметить, что уже в тридцатые годы XX века математическая
логика представляла собой науку с явно обозначенными предметом, целями и
задачами исследования, аккумулирующую в себе мощный потенциал стиму­
лирующего воздействия на развитие математики, что обусловило постановку
проблемы включения курса математической логики в систему общематемати­
ческой подготовки сначала научно-педагогических, а затем и инженернотехнических кадров.
«Математическая логика стала входить в высшее математическое образо­
вание после Второй мировой войны. В 1950-е годы она была включена в про­
граммы университетов, а в 1960-е - в программы педагогических институтов
СССР. Известным советским математиком академиком П.С. Новиковым была
разработана первая программа данного курса и написан первый учебник по
данной дисциплине для педагогических вузов. Существенный вклад в мето­
дику преподавания этой дисциплины в педвузах внесли ученые МШ У. ...
Начиная с 1970-х годов, элементы математической логики вводятся в школь­
ное образование. Сначала они включаются в факультативные курсы для уча­
щихся 8 классов, а в 1980-е годы входят составной частью в новый школьный
курс информатики.» ([41], стр. 7)
Одним из наиболее убежденных и последовательных сторонников необхо­
димости включения дисциплины «Математическая логика» в программы ма­
тематических специальностей высших учебных заведений был выдающийся
советский математик академик А.И.Мальцев. В частности по его инициативе
«... в учебные планы подготовки студентов-математиков НГУ (Новосибир­
ского государственного университета) были включены и им же подробно раз­
работаны годовой курс математической логики и семестровый курс теории
алгоритмов и рекурсивных функций» ([42], стр. 304).
А.И. Мальцевым также были определены подходы к построению общей
научно-теоретической концепции постановки этих курсов в системе универ-
§ 2. Проектирование целей, как основы методической ...
25
ситетского математического образования, определены принципы, положен­
ные в основу выявления их содержания и структурно-композиционного
строения.
Особое внимание он уделял выявлению и использованию методологиче­
ских возможностей дисциплины «Математическая логика» и «Теория алго­
ритмов» и их прикладной направленности.
Научно-методические взгляды А.И. Мальцева и его педагогическое мас­
терство нашли яркое воплощение в классических монографиях «Алгебраиче­
ские системы» [72] и «Алгоритмы и рекурсивные функции» [73], которые и в
настоящее время остаются одними из лучших руководств в соответствующих
областях математической логики.
Останавливаясь на концептуальных положениях, отражающих взгляды
АЛ. Мальцева на место курса «Математическая логика» в системе естествен­
но-математических дисциплин, изучаемых в высших учебных заведениях,
необходимо подчеркнуть, что он, помимо собственной значимости этого кур­
са, отмечал, в качестве одной из первонасущных функций, его роль как носи­
теля универсальной научно-теоретической и идейно-методологической базы,
обеспечивающей развитие, построение и изучение систем научных знаний.
Касаясь его подходов к отбору содержания курса «Математическая логи­
ка», важно отметить, что отправной точкой в этой работе он полагал, в качест­
ве обязательного условия, помимо включения в курс необходимых разделов
канонического характера, выявление и анализ приоритетных направлений и
фундаментальных концепций, свойственных современному уровню развития
математической логики и приложений и адекватно достаточное (с позиций
обеспечения научно-теоретической и профессиональной состоятельности и
востребованности будущих специалистов) проецирование ее достижений в
содержание теоретической и практической составляющих этого курса.
Появление учебника «Математическая логика» [35], написанного акад.
РАН Ю Л Ершовым и проф. Е.А. Палюгиным для университетов России, а
также сборника задач по теории множеств, математической логике и теории
алгоритмов [63], написанного профессорами И.А. Лавровым и Л Л Максимо­
вой, в создании которых нашел отражение не только опыт постановки логико­
математического образования в Новосибирском государственном университе­
те, но и опыт ведущих университетов мира, явилось убедительным подтвер­
ждением непреходящей значимости научно-педагогических концепции, зало­
женных А.И. Мальцевым. На преемственность научных и педагогических
взглядов А.И. Мальцева явно указывается авторами учебника [35]: «Создание
этой книги не было бы возможно без коллектива кафедры алгебры и матема­
тической логики Новосибирского государственного университета Основатель
этой кафедры — выдающийся советский математик АЛ. Мальцев (1909 1967г.г.) - оказал решающее влияние на формирование научных интересов
педагогических взглядов авторов.» ([35], стр. 7).
26
Глава 1. Научно-теоретические предпосылки построения...
Следует отметить, что учебник выдержал несколько изданий в России и
был издан в переводе на английский язык, получив тем самым международное
признание.
В настоящее время, как продолжение идей АЛ. Мальцева о необходимо­
сти обеспечения преемственности и своевременного отражение результатов,
полученных в приоритетных направлениях в области математической логики
и ее приложений, в научно-методологическом и учебно-методическом обес­
печении дисциплины «Математическая логика», членом- корреспондентом
РАН С.С. Гончаровым разрабатывается новый вариант курса «Математиче­
ская логика» для студентов, обучающихся в классических университетах Рос­
сии по группе математических направлений и специальностей [24]. В основу
развития этого курса заложены идеи построения теории вычислимости через
определимость, развитые в монографии ЮЛ. Ершова «Определимость и вы­
числимость» [37] и подходы к отбору содержания, реализованные в учебнике
ЮЛ. Ершова и Е.А. Палютина «Математическая логика» [35], доработанные
с учетом новых направлений фундаментальных исследований и приложений
математической логики [12,21,23,36,44,45,63,64,95,100,102,119,120,121,
122, 124, 126], в частности, задач современного программирования и модели­
рования, а также приложений к моделированию сложных процессов, соче­
тающих как непрерывные, так и дискретные компоненты.
Непреходящее по силе своего воздействия влияние на развитие математи­
ческой логики и теории моделей, а также на становление логико­
алгебраического образования в Казахстане оказал сподвижник А.И. Мальцева
академик АН КазССР А.Д.Тайманов, создавший «... в советский период в
Казахстане школу по теории моделей, представляющей собой один из самых
плодотворных разделов современной математической логики. Факт существо­
вания этой школы в нынешнем Казахстане - явление весьма важное для казахстанцев и он, несомненно, свидетельствует об их глубокой вовлеченности
в глобальную научную культуру мира.» ([105], стр. V).
Результаты его научной работы, научно-педагогической, руководящей, ор­
ганизаторской и общественной деятельности нашли широкое отражение в
книге «Теория моделей в Казахстане» [105].
23. Цели и задачи логико-алгебраического образования
Говоря о целях и задачах логико-алгебраической подготовки, следует
иметь в виду, что их нужно рассматривать не изолированно, а в общей систе­
ме целей, направленных на формирование специалиста и не «абстрактного», а
специалиста в конкретной области.
Тем не менее, учитывая универсальный характер и общенаучную значи­
мость дисциплин логико-алгебраического цикла, уместно сформулировать
основную цель и задачи изучения этих дисциплин в их обобщенно­
интегрированной форме.
Дифференцированный подход к постановке целей и задач изучения этих
§ 2. Проектирование целей, как основы методической ...
27
дисциплин в системе целей общематематической подготовки специалиста
конкретного профиля потребует только лишь актуализации (или ослабления)
научной (фундаментальной или прикладной), мировоззренческой (методоло­
гической, гуманитарной, алгоритмической и тому подобное) направленности
тех или иных аспектов целей и задач, данных в их общем представлении.
Формулируя цели и задачи логико-алгебраической подготовки, необходи­
мо учитывать, прежде всего, что образование - не самоцель, а средство фор­
мирования личности обучающегося.
Исходя из этого, цели и задачи изучения дисциплин логико­
алгебраической ориентации можно сформулировать следующим образом:
Цели - формирование высокого уровня абстрактного мышления, осознан­
ных представлений о методах математического познания, умений и навыков
их применения для решения задач прикладного характера и проведения само­
стоятельных научных исследований на основе овладения системой средств
научно-мировоззренческого и идейно-методологического потенциала, свойст­
венного логико-алгебраическим дисциплинам.
Задачи: а) информационная - информирование студентов о новых науч­
ных результатах, полученных в приоритетных направлениях фундаменталь­
ных исследований в области математической логики, алгебры, дискретной
математики и теории алгоритмов и их приложений; об источниках получения
и использования дополнительной информации о развитии инновационных
средств методологии научного познания и возможностях их применения; о
состоянии и перспективах дальнейшего развития естественно-математических
наук; методах разработки и применения компьютерных, информационных и
коммуникационных технологий;
б) воспитательная - формирование у студентов осознанной убежденно­
сти в необходимости развития абстрактного логико-алгебраического мышле­
ния посредством системного освоения средств мировоззренческого и методо­
логического потенциала, аккумулированного в логико-алгебраических науках,
как необходимого условия интеллектуальной состоятельности и возможно­
стей творческой самореализации, профессионального становления, конку­
рентноспособности и востребованности на рынке труда в условиях современ­
ного социально-экономического развития;
в) учебная - формирование у студентов внутренних когнитивных струк­
тур мышления, обеспечивающих возможности системного усвоения матема­
тических знаний, посредством: отработки навыков и умений применения
схем, методов, технологий и конструкций канонического характера, свойст­
венных логико-алгебраическим дисциплинам; выявления и анализа структур­
ных свойств алгебраических систем, как математических моделей тех или
иных фрагментов реального мира;
г) научная - обеспечение условий формирования должного уровня науч­
но-теоретической, идейно-методологической и научно-исследовательской
28
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
подготовки студентов, позволяющего войти в проблематику современных
научных исследований в области логико-алгебраических наук и проводить
самостоятельные научные изыскания.
Дифференцируя цели и задачи, сформулированные для дисциплин логико­
алгебраической ориентации, можно получить их обобщенное выражение для
каждой из этих дисциплин или конкретизированное выражение целей и задач
их изучения в контексте той или иной специальности.
Конкретизация целей и задач для каждой из дисциплин логикоалгебраического цикла, применительно к педагогической системе обучения
рассматриваемой специальности, требует использования языка и понятийно­
терминологической базы, свойственных этой дисциплине и этой специально­
сти, что способствует получению формулировок целей в формах обеспечи­
вающих их диагностичность. В качестве примера, в дальнейшем будут кон­
кретизированы цели и задачи изучения курса «Математическая логика» в сис­
теме университетского образования по специальности «Математика».
Сформулированные на основе учета концептуальных положений совре­
менной философии образования, цели и задачи логико-алгебраической подго­
товки получили инновационное звучание. В соответствии с этим, в дальней­
шем они будут называться инновационными.
2.4.
Инновационные цели логико-алгебраического образования и воз­
можности их достижения методами традиционной педагогической техно­
логии
2.4.1.
Гуманизация и гуманитаризация математического образования.
Сформулировав общие цели логико-алгебраической подготовки студентов в
высших учебных заведениях по математическим направлениям в системе
стратегических целей высшего образования, естественно поставить вопрос о
возможности достижения этих целей, посредством следования традиционным
дидактическим принципам и применения методов обучения, свойственных
традиционной педагогической технологии. Прежде чем дать ответ на этот
вопрос, актуализируем некоторые положения, связанные с концепциями гу­
манизации и гуманитаризации математического образования, как концепция­
ми, оказавшими наиболее значимое влияние на необходимость кардинального
реформирования целей образования.
Как отмечается в [2], «гуманитаризация» и «гуманизация» образования яв­
ляются разными понятиями. Термин «гуманитаризация» «...все чаще появля­
ется в литературе для обозначения тенденции расширения перечня гумани­
тарных наук и увеличения объема гуманитарных знаний в учебных програм­
мах - в качестве альтернативы непомерному увлечению технократическими
тенденциями в образовании.» ([2], стр. 27).
Характеризуя сущность «гуманизации» необходимо подчеркнуть, что ба­
зовая ее идея заключается в изменении представлений о личности, как средст­
ве достижения результата к концепции личности, как цели. В соответствии с
$ 2. Проектирование целей, как основы методической ...
29
этим: «Основу современной философии образования составляют новые целе­
вые установки, которые в отличие от технократического подхода делают при­
оритетом человеческую личность, формирование ее творческого потенциала,
гуманного мировоззрения.» ([34], стр.21).
В настоящее время гуманизация высшего образования осуществляется в
основном за счет гуманитаризации. «Но считать этот путь магистральным, как справедливо замечено в [2], - конечно нельзя.... осуществить гуманиза­
цию естественно-научного образования только мерами гуманитаризации про­
сто невозможно.
Органический синтез естественно-научных и технических знании с гума­
нитарными (точнее, с их гуманитарным аспектом) может быть осуществлен
только на базе самих этих дисциплин ....» ([2], стр. 27 - 28)
Целостная концепция гуманизации естественно-математического образо­
вания развернута в работе [2]. Определяя пути реализации этой концепции, ее
авторы отмечают, прежде всего, необходимость очеловечения трех ключевых
звеньев образования:
а) объекта познания - изучаемого предмета;
б) субъекта познания - студента;
в) преподавателя.
Для дальнейшего важно выделить и проанализировать (с позиций выявле­
ния средств реализации) основные положения работы [2], определяющие
сущность очеловечения объекта познания. В контексте общематематической
(в частности, логико-алгебраической) подготовки представляет интерес сле­
дующее положение регламентационного характера.
В процессе педагогического воплощения той или иной математической
науки в соответствующей ей дисциплине необходимо:
1) органическое сочетание теоретического содержания дисциплины с ак­
туализацией прикладных и мировоззренческих ее возможностей, выявлением
генетических предпосылок возникновения основополагающих концепций и
структур соответствующей науки, движущих сил и механизмов, определяю­
щих логическую обусловленность и направленность их системного развития;
2) аккумулирование в содержании дисциплины средств и возможностей
активизации «духа пытливости» студентов, развития их интеллектуального
потенциала, творческих способностей и склонностей к исследовательской
деятельности научного характера.
Говоря о выявлении средств реализации этих положений, следует отме­
тил», что методическое обеспечение научно-воспитательного процесса требу­
ет в настоящее время, особенно в аспекте разработки и написания учебников,
учебных и учебно-методических пособий, кардинального обновления. Учеб­
ников нового поколения, то есть учебников, ориентированных на современ­
ные запросы высшего математического образования очень и очень мало. Как
отмечается в работе [2]: «Наши учебники представляют науку как сумматив-
30
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
ное множество готовых знаний, в них не видна логика изучаемой науки.» ([2],
стр. 29 - 30). И хотя эта критическая точка зрения была высказана в 1999 году,
тем не менее, в течение прошедшего периода положение менялось недопус­
тимо медленно.
Проблема предметного методического обеспечения современного высше­
го образования, в рассмотрении ее с позиций математической, в частности,
логико-алгебраической подготовки, обостряется в связи с тем, что уровень
выявления научно-обоснованных принципов, которые могли бы быть поло­
жены в основу создания учебников нового поколения, может быть охаракте­
ризован только, как соответствующий накоплению первичного опыта разра­
ботки и реализации инновационных подходов к обучению и его непосредст­
венной реализации в различных по уровню научно-методической обоснован­
ности учебно-методических пособиях и разработках.
Таким образом, до получения обобщающе-интегративных выводов отно­
сительно универсального характера, определяющих концепты воплощения
этого опыта в (относительно) стабильных учебниках нового типа, по видимо­
му, еще далеко.
Положение усугубляется в связи с тем, что небывалые ранее возможности
получения образования, появление новых моделей, форм и методов которого
было обеспечено поистине беспрецедентными темпами развития компьютер­
ной математики, информационных и коммуникационных технологий, и необ­
ходимость их оперативного внедрения в учебный процесс, как бы, отодвинули
на второй план научные исследования, связанные с выявлением и обоснова­
нием этих принципов.
Следует отметить, тем не менее, что внедрение инновационных техноло­
гий дистанционного и ускоренного обучения; разработка модульно­
рейтинговых, кредитных систем также мотивировано решением проблем гу­
манизации, так как обеспечивает возможности личности в получении непре­
рывного образования. Эта технологии доступны всем независимо от возраста
и места проживания, то есть они для всех и на протяжении всей жизни позво­
ляют повышать и изменять квалификацию, получать второе высшее образо­
вание в соответствии с теми временными параметрами, которые наиболее
адекватны уровню интеллектуальных возможностей и психологических осо­
бенностей личности. С другой стороны внедрение этих технологий представ­
ляет собой реальные шаги как в создании единой межвузовской среды России
и Казахстана, так и в решении проблем вхождения этих стран в мировое обра­
зовательное пространство.
Применение этих технологий предполагает, в качестве приоритетной фор­
мы образовательной деятельности, самостоятельную работу обучающихся, то
есть требует качественного методического обеспечения учебного процесса
еще в большей степени, чем очные формы получения образования.
Все это говорит о том, что образовательные возможности педагогической
§ 2. Проектирование целей, как основы методической ...
31
технологии существенным образом зависят от качества методического обес­
печения учебного процесса, осуществляемого ее средствами. Таким образом,
выявление этих возможностей, как прогностического результата применения
методов и принципов, свойственных этой технологии в тех или иных их соче­
таниях, должно осуществляться в неразрывной связи с соответствующим их
методическим обеспечением. Качество материалов учебно-методического
обеспечения существенным образом влияет на качество обучения в целом и в
значимой степени определяют его.
Новые возможности, появившиеся с развитием электронно-вычис­
лительной, аудио и видео-техники, широким распространением персональных
компьютеров и компьютерных технологий намного раздвинули рамки тради­
ционного понимания составляющих, входящих в понятие методического
обеспечения данной дисциплины, совокупности родственных дисциплин или
данной специальности в целом. Наряду с наличием традиционных состав­
ляющих: учебных планов, типовых и рабочих программ, квалификационных
характеристик, учебно-методической литературы, все более значимое место в
системе этих составляющих занимают обучающие программы, средства ком­
пьютерного обеспечения текущего и итогового контроля, электронные носи­
тели с записями авторских курсов лекций и опорных конспектов, вариантами
индивидуальных заданий и вариантами тестов оперативного и итогового кон­
троля и так далее.
Тем не менее, как правило, отдельные наборы этих составляющих не обра­
зуют системы. Даже качественно отработанные его компоненты направлены,
в основном, на непосредственное решение своих узких задач. То есть, разра­
ботка и внедрение всех составляющих методического обеспечения учебновоспитательного процесса ориентированных как на студента, так и на препо­
давателя, должны быть подчинены общим системообразующим установкам.
2.4.2.
К проблеме обогащения средств традиционной педагогической
технологии. Анализ потенциальных образовательных возможностей, аккуму­
лированных в базовых общедидактических принципах и методах (и свойст­
венных им приемах обучения) современной традиционной педагогической
технологии показывает, что даже те методы, которые в настоящее время отно­
сят к инновационным, выявлены, по меньшей мере, не один десяток лет назад.
Разработка многих из них осуществлялась, в основном, применительно к
средней общеобразовательной школе и, в соответствии с этим, к системе
высших педагогических заведений, осуществляющих подготовку учителей.
Многие из этих принципов, методов и приемов, с учетом специфики и осо­
бенностей обучения в условиях высшей школы, были перенесены затем и в
систему высшего образования.
Следует отметить, что, в своей основе, эти принципы, методы и приемы
были ориентированы на определенный образовательный цикл от четырех до
пяти лет, принятый в высшей школе, применительно к специфике очной фор­
32
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
мы обучения. В условиях кардинального изменения целей высшего образова­
ния, небывалого расширения спектра образовательных возможностей, эти
методы оказались не вполне адекватными уровню современных запросов об­
щества. Темпы внедрения новых моделей и форм получения образования в
значительной степени опережали (и опережают) возможности их научнометодического и психолого-педагогического обоснования, а также технологи­
ческого обеспечения.
В связи с необходимостью выявления средств обогащения технологиче­
ской составляющей современной концепции высшего образования, необхо­
димо актуализировать еще один важный аспект. С этой целью приведем ряд
положений, которые отмечены в документах, определяющих стратегию обра­
зования в XXI веке и принятых на международном уровне.
В частности: «В докладе Международной комиссии по образованию в XXI
веке «Образование: скрытое сокровище», представленном ЮНЕСКО в 1997
году отмечено, что «мы должны быть во всеоружии, чтобы преодолеть основ­
ные противоречия, которые, не будучи новыми, станут главными проблемами
XXI века.» Из таких проблем приведем лишь одну, имеющую наиболее близ­
кое отношение к теме данной работы: противоречие между невиданным раз­
витием знаний и возможностями их усвоения человеком с учетом таких новых
областей, как познание самого себя и средств обеспечения физического и пси­
хологического здоровья...» ([112], стр. 12).
Приведем также ряд положений из пакета документов, определяющих бо­
лонский процесс. В одной из его основных составляющих, положивших нача­
ло этому процессу, «Магна Хартия Университетов (1988г)» подчеркивается:
«Преподавание и наука в университете должны быть неразделимы, только
тогда обучение не отстанет от потребностей времени, изменяющихся запросов
общества и научного прогресса» ([81], стр. 15); в Сорбонской декларации
(1998г.)» говорится: «Мы входим в период значительных изменений системы
образования и условий труда, притом грядущая диверсификация профессио­
нальных карьер с очевидностью делает необходимым образование в течение
всей жизни. Мы обязаны выстроить нашим студентам - и обществу в целом такую систему высшего образования, которая представит им самые благопри­
ятные возможности для поиска и обретения их собственной области превос­
ходства.» ([81], стр. 17).
Далее в «Пражском коммюнике (2001г.)», и в «Берлинском коммюнике
(2003г.)» была актуализирована неизбежность перспективы обучения в тече­
ние всей жизни и, в связи с этим, - расширение возможностей академической
мобильности.
Из приведенных положений можно сделать вывод о том, что образова­
тельная стратегия в России и Казахстане строится в соответствии с перспек­
тивными ориентирами европейского (и мирового) развития системы высшего
образования.
§ 2. Проектирование целей, как основы методической
33
Из этих же положений следует и другой вывод о том, что главная пробле­
ма, связанная с пополнением традиционной педагогической технологии со­
стоит в нахождении такого ее обогащения, которое обеспечило бы достиже­
ние инновационных целей образования, вооружив каждого студента таким
арсеналом познавательных приемов и средств, которые, в сочетании с обще­
дидактическими и частнодидактическими принципами, приемами и методами
этой технологии позволили бы ему, в достаточной степени беспроблемно, на
основе возможностей академической мобильности, реализовывать свои обра­
зовательные интересы на протяжении всей жизни.
Второй вывод, который следует из этих положений, в частности, из поло­
жения о неразделимости преподавания и науки в университетах, состоит в
том, что учебники и учебно-методические пособия нового поколения должны
разрабатываться именно на основе университетской науки. При этом, необхо­
димость усвоения новых областей, связанных с познанием самого себя (то
есть с самопознанием), как исполнение одного из главных проявлений гума­
низации, накладывает на деятельность по созданию учебной литературы но­
вого типа необходимое условие всемерного содействия, средствами соответ­
ствующих дисциплин, реализации процессов самопознания.
Разрешение противоречия между темпами развития знаний и возможно­
стями их усвоения, посредством ориентации на освоение студентами сугубо
специальных знаний, которые могут определить (только на данный и доста­
точно короткий период времени) их узкопрофессиональную состоятельность,
порождает, в связи с этим, новое противоречие с принципами гуманизации и
гуманитаризации. Кроме того, этот подход возвращает к технократическому
способу мышления и преподавания, односторонняя и длительная практика
применения которого привела к кризису образовательной системы еще в
СССР. К тому же такое образование, при необходимости изменения профес­
сии, становится практически бесполезным.
Применение различных способов и приемов интенсификации образова­
тельного процесса, сопряженных с возможностями повышения темпов усвое­
ния знаний, в частности: компьютерных технологий, технологий активного
обучения, методов интенсификации и погружения и других, решают пробле­
му только отчасти и дают неоднозначные результаты в применении к различ­
ным дисциплинам или группам дисциплин.
В частности, в обучении математике и особенно в обучении дисциплинам
логико-алгебраической ориентации, применение методов интенсификации
дает позитивные результаты, но только до определенного уровня, так как для
качественного усвоения абстракций высокого порядка, изучаемых в матема­
тике, необходим фактор времени.
Кроме того, многие методы интенсификации, в аспекте их применения к
математике, не затрагивая структурной сущности систем математических зна­
ний, природы их возникновения, законов развития и функционирования, ка­
34
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
саются только лишь внешних проявлений структурных свойств этих систем,
то есть оперируют готовыми иерархиями понятий, определений, теорем, тео­
рий и так далее.
Основываясь на предпринятом в дальнейшей части этой главы анализе
общедидактических и частнодидактических принципов, приемов и методов
традиционной педагогической технологии, был сделан вывод о том, что пред­
ставления о сущности необходимых элементов обогащения этой технологии
могут быть получены в результате разрешения следующих вопросов:
1) опираясь на какие дополнительные основания?;
2) посредством каких дополнительных средств?;
3) в направлении каких дополнительных ориентиров?
необходимо осуществлять коррекцию действующей педагогической тех­
нологии для обеспечения возможностей достижения инновационных целей
логико-алгебраической подготовки студентов.
В качестве ответов на эти вопросы в данной работе были сформулирова­
ны, соответственно, следующие три принципа, которые можно классифици­
ровать, как принципы частнодидактического назначения:
1) принцип методологической обусловленности;
2) принцип идейно-содержательной мотивации;
3) принцип предметно-стимулирующего самопознания.
Эти принципы были сформулированы применительно к циклу предметных
дисциплин логико-алгебраической ориентации, но, по мнению авторов, они
могут быть применены и в процессе обучения другим дисциплинам. Тем не
менее, в дальнейшей части этой главы их характеризация, выявление образо­
вательных возможностей и применение будет осуществляться, в основном, на
примере логико-алгебраических дисциплин.
Авторы считают, что реализация вышеприведенных принципов, наряду со
следованием обще- и частнодидактическим принципам традиционной педаго­
гической технологии, в процессе отбора содержания и разработки структурно­
композиционного строения учебников и учебных пособий нового поколения,
будет способствовать повышению их научно-теоретической и психолого­
педагогической состоятельности и идейно-методологической значимости.
Как следствие анализа образовательных возможностей базовых методов
традиционной педагогической технологии и выявления их недостаточности
для достижения инновационных целей изучения дисциплин логико­
алгебраического цикла, далее в этой главе вводится, так называемый, метод
спиралевидного развертывания, как метод наиболее органичный природе
фундаментальных структур и базовых понятий этих дисциплин.
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
35
§ 3. Представление предметного содержания дисцип­
лин логико-алгебраической ориентации в рамках построе­
ния методической системы содержательного, мотивационно­
ориентированного обучения
3.1. Государственные стандарты, как основа построения предметного
содержания учебных дисциплин
3.1.1. Аннотированное отражение предметного содержания логико­
алгебраических дисциплин в Государственных стандартах Российской
Федерации и Республики Казахстан. Реализуя второй пункт плана проекти­
рования методической системы обучения дисциплинам логико-алгебраичес­
кого цикла, данного в разделе 1.5, заметим, что аннотированное представле­
ние о содержании предметного образования по тем или иным специальностям
обучения дается в Государственных образовательных стандартах, на основе
которых разрабатываются учебные программы, рекомендуемые высшим
учебным заведениям соответствующими директивными органами мини­
стерств образования и науки в качестве основы разработки учебных рабочих
программ, отражающих специфику постановки обучения по данной дисцип­
лине в каждом из конкретных образовательных учреждений высшей школы.
В целом конкретная педагогическая система и соответствующая ей педа­
гогическая технология реализуются в форме учебно-методических комплек­
сов данной дисциплины, предусматривающих отдельные составляющие для
преподавателей и студентов.
Даже в рамках действия одной и той же педагогической системы высшего
образования возникают проблемы периодического обновления образователь­
ных стандартов, учебных планов, учебных (рабочих) программ и всех других
материалов научно-теоретического и учебно-методического обеспечения
учебно-воспитательного процесса, включая разработку новых учебников и
учебно-методических пособий, в структуре и содержании которых находили
бы своевременное отражение результаты современных исследований в при­
оритетных направлениях развития как науки, педагогически отраженной в
данной дисциплине, так и других фундаментальных наук и их приложений,
связанных с данной дисциплиной общностью предмета исследования и при­
меняемых методов. Тем более, это характерно для периода реформирования,
как высшей, так и средней общеобразовательной школ, который переживает в
настоящее время образовательные системы России и Казахстана
Отмечая относительную преемственность содержания государственных
образовательных стандартов Российской федерации по математическим на­
правлениям, при их обновлении, следует сказать, что в Республике Казахстан
только за последние годы неоднократно предпринимались существенные из­
менения образовательных стандартов предметного математического образо­
36
Глава 1. Научно-теоретические предпосылки построения...
вания (включая дисциплины логико-алгебраического цикла).
В частности, говоря об аннотированном содержании логико­
алгебраических дисциплин в Государственных общеобязательных стандартах
образования Казахстана по специальности «Математика» (бакалавриат) 2001,
2004, 2006 годов, следует отметить, что: в стандарте 2001года алгебра, мате­
матическая логика и дискретная математика выступали как отдельные дисци­
плины, при этом элементы теории алгоритмов были включены в курс матема­
тической логики; в стандарте 2004 года курсы алгебры и геометрии были объ­
единены в рамках общей дисциплины «Геометрия и алгебра», что касается
математической логики, теории алгоритмов и дискретной математики, то они
были представлены в этом стандарте единственной дисциплиной - «Дискрет­
ная математика», в которую были включены элементы теории алгоритмов, но
содержание, традиционно свойственное курсу математической логики, прак­
тически полностью осталось за рамками этого стандарта; в образовательном
стандарте 2006 года алгебра вновь получила статус самостоятельной дисцип­
лины, математическая логика в этом стандарте появилась, как компонента
курса дискретная математика и математическая логика, в котором теория ал­
горитмов вновь была представлена своими отдельными элементами.
Признавая необходимость совершенствования стандартов, вызванную
объективными причинами, трудно согласиться со столь вольным обращением
с образовательными стандартами специальности «Математика» в их части,
касающейся дисциплин логико-алгебраического цикла Кроме того, что эти
дисциплины, как дисциплины, педагогически отразившие соответствующие
логико-алгебраические науки, являются носителями методологии научного
познания, в рамках этих дисциплин излагаются теоретические основы совре­
менной индустрии машинной математики, осуществляется построение логи­
ческих исчислений, формальные языки которых явились прообразами совре­
менных языков программирования, информационных и коммуникационных
технологий.
Следует подчеркнуть, что концу XX - го и началу XXI - го века характер­
но беспрецедентно быстрое развитие информатики и компьютерных техноло­
гий. Они проникают в обыденную жизнь людей в виде Интернета, новых
средств коммуникации (таких как электронная почта и 1С0), посредством
огромного числа мультимедийных возможностей, предоставляемых совре­
менными компьютерами. Информационные технологии определяют перспек­
тивы социально-экономического развития общества на принципиально новой
основе. Корпоративные информационные системы дают, к примеру, возмож­
ность автоматизировать работу огромных предприятий, синхронизировать
деятельность их подразделений, удаленных на сотни и тысячи километров.
Тем не менее, анализ содержания вышеупомянутых образовательных
стандартов, подверженных столь частым изменениям, не дает оснований ут­
верждать, что эти изменения являются следствием необходимости объектив­
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
Ъ1
ного отражения все ускоряющихся темпов развития информационных техно­
логий и логико-алгебраических наук, как их теоретической основы.
Бурное развитие информационных технологий ставит перед математиче­
ским образованием качественно новые задачи. Согласно этому, образователь­
ные стандарты логико-алгебраических дисциплин, кроме обеспечения воз­
можностей овладения основами соответствующих наук, должны обеспечивать
условия решения этих задач. В первую очередь это касается образовательного
стандарта дисциплины «Математическая логика», что обусловлено централь­
ной ролью, которую в системе логико-алгебраических наук играет математи­
ческая логика, как теоретическая основа информационных технологий. Фор­
мальной моделью работы компьютера является, в частности, теория вычисли­
мости; бизнес-анализ и бизнес-моделирование основаны на теории моделей;
аппаратом верификации программ и моделирования распределенных вычис­
лений являются неклассические логики.
В соответствии с эггим, проблема содержания логико-алгебраического об­
разования в высших учебных заведениях, а, следовательно, и разработка отно­
сительно стабильных Государственных стандартов логико-алгебраических
дисциплин приобретает в настоящее время все более актуальное значение.
Как показывает краткий (вышеприведенный) обзор Государственных
стандартов Республики Казахстан (2001, 2004 и 2006) по специальности «Ма­
тематика», именно логико-алгебраические дисциплины оказались подверже­
ны наиболее существенной коррекции, основное содержание которой своди­
лось к их сокращению, более того, аннотированное содержание таких дисцип­
лин, как математическая логика, дискретная математика и теория алгоритмов,
изменялось от предыдущего стандарта к последующему самым кардинальным
образом, не отражая тенденций развития наук, педагогическим отражением
которых эти дисциплины являются.
3.1.2 Принципы отбора учебного материала. В процессе работы, связан­
ной с анализом содержания логико-алгебраического образования, был сфор­
мулирован следующий базовый принцип (принцип бинарносги), характери­
зующий подходы к отбору содержания учебных дисциплин. Далее он приво­
дятся применительно к математической логике.
Принцип бинарносги отбора содержания представляет собой органиче­
ское единство следующих двух процессуальных составляющих:
а) включение в содержание разделов, обеспечивающих: овладение поня­
тийно-терминологической базой дисциплины «Математическая логика» (в
системно-логической и иерархической обусловленности ее строения); освое­
ние специфики применения методов, приемов, типичных схем и конструкций,
свойственных этой дисциплине; понимание основных (получивших статус
классических) результатов, определяющих целостность ее восприятия, как
науки со своим четко выраженным предметом изучения и своими методами;
б) выявление и анализ приоритетных направлений и фундаментальных
38
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
концепций, свойственных современному уровню развития математической
логики и приложений и адекватно достаточное (с позиций обеспечения науч­
но-теоретической и профессиональной состоятельности и востребованности
будущих специалистов) проецирование ее достижений в содержание теорети­
ческой и практической составляющих этого курса.
Касаясь первой части этого принципа, следует отметить, что в основу «ка­
нонической» компоненты содержания курса математической логики должны
быть включены:
- элементы теории множеств (включая теоретико-множественный подход к
изучению отношений и операций);
- классические исчисления математической логики - исчисление высказы­
ваний и исчисление предикатов, а также их содержательные прообразы - ал­
гебра высказываний и алгебра предикатов;
- методы построения классических семантик логических исчислений и ис­
пользования выразительных возможностей этих исчислений в логико­
математической практике;
- метод формальных аксиоматических теорий;
- постановка и подходы к решению проблем непротиворечивости, разре­
шимости, полноты и независимости систем аксиом для классических исчис­
лений высказываний и предикатов.
Переходя ко второй части принципа бинарности отбора содержания и его
синтезирующего воздействия на формирование структуры содержания дис­
циплины, необходимо, наряду с прослеживанием исторического пути, дать
анализ современного этапа развития математической логики, выявить его оп­
ределенные тенденции и перспективы ибо: «Лучший метод для предвидения
будущего развития математических наук заключается в изучении истории и
нынешнего состояния наук.» ([93], стр. 294).
Анализ результатов современного этапа развития математической логики
позволяет выделить следующие приоритетные направления ее развития:
1) теория формальных языков и исчислений;
2) теория моделей и другие математические методы и технологии по­
строения математической теории семантики формальных языков;
3) теория вычислимости;
4)основания математики и теория множеств.
С первым их этих направлений связаны: разработка концепции логическо­
го исчисления и становление метода формальных аксиоматических теорий,
как базового метода построения систем научных знаний; постановка и анализ
фундаментальных проблем непротиворечивости и полноты математических
теорий; выявление и практическая реализация подходов к построению систем
автоматического доказательства теорем; анализ сложности различных логик и
установление зависимостей между ними.
В рамках второго направления была выработана общая концепция модели,
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
39
как основного понятия семантики формализованных языков логических ис­
числений. В частности, на основе истинности по Тарскому - получена точная
математическая семантика классического исчисления предикатов, что позво­
лило использовать формальный язык этого исчисления в качестве универ­
сального синтаксического средства выражения структурных свойств, носите­
лями которых являются самые разнообразные алгебраические системы. Ана­
лиз основ математики привел к созданию интуиционистского исчисления и
других логических систем и построению их семантик. Эти семантики играют,
наряду с традиционными семантиками классических исчислений, фундамен­
тальную роль в разработке, как собственно теории формальных исчислений,
так и их приложений, связанных с созданием искусственного интеллекта, со­
временных языков программирования высокого уровня, языков специфика­
ций и верификации программ, языков и теории онтологий.
Характеризуя третье направление, следует отметить, что отправной точкой
создания математической теории вычислимости явилась проблема выявления
универсального метода решения математических проблем. Определяя роль и
место понятия вычислимости в современной математике, академик ЮЛ. Ер­
шов отмечал: «Понятие вычислимости становится в математике объектом все
более пристального внимания и исследований. Это в большей степени связано
с бурным развитием и использованием электронно-вычислительной техники
(как в практическом, так и в теоретическом аспекте)» ([37], стр.VII). Создание
математической теории вычислимости позволило выявить подходы к реше­
нию фундаментальной задачи, связанной с математически точной постанов­
кой проблемы разрешимости для различных математических теорий. На осно­
ве этих подходов К. Гёделем была доказана фундаментальная теорема о не­
полноте аксиоматизируемых расширений арифметики, Дж.Пеано, А. Тарским
- разрешимость теории вещественных и комплексных чисел, ЮЛ. Ершовым,
Аксом и Коченом - разрешимость теории />адических чисел. Эти теории яв­
ляются носителями базисных структур современной математики, свойствен­
ных подавляющему большинству фундаментальных и прикладных наук.
Кроме того, эти подходы привели к созданию теории вычислимых моде­
лей, которая синтезируя в себе методы теории вычислимости и теории моде­
лей, является математической основой для представления сложных про­
граммных систем на ЭВМ. Одновременно с созданием теории вычислимых
моделей начинается ее бурное применение к решению прикладных задач. В
современном программировании наблюдается тесное взаимодействие иссле­
дований в области верификации программ, построения новых предметно­
ориентированных структурированных языков программирования высокого
уровня, решения проблем информационной безопасности вычислительных
сетей и баз данных, экспертных систем искусственного интеллекта, гибрид­
ных систем.
Следует отметить, что возрастание структурной сложности решаемых за-
40
Глава 1. Научно-теоретические предпосылки построения...
дач привело к новым проблемам, связанным как с необходимостью создания
новых поколений вычислительных машин, так и разработкой соответствую­
щего математического обеспечения.
В четвертом направлении продолжаются исследования, связанные с даль­
нейшим развитием методов аксиоматической теории множеств, выдвижением
и обоснованием альтернативных теоретико-множественных концепций.
В предложенном выше обзоре фундаментальных и прикладных исследо­
ваний по приоритетным направлениям развития математической логики ука­
заны далеко не все сферы и области продуктивного приложения ее теоретиче­
ских результатов, философских концепций и научно-методологического по­
тенциала в целом. Но даже эта неполная информация дает впечатляющее
представление об исключительной актуальности, значимости и плодотворно­
сти современных исследований в области математической логики и их стиму­
лирующем воздействии на результативность развития фундаментальной нау­
ки и ее приложений.
Источником этого воздействия является концепция логического исчисле­
ния, в рамках которой, как это отмечалось ранее, формируется мощный арсе­
нал формализованных средств и технологий, обеспечивающих, при надлежа­
щем их содержательном истолковании, возможности выявления эффективных
решений широкого круга задач в процессе научного познания. В рамках таких
исчислений, в частности, исчисления предикатов, нашли естественное отра­
жение наиболее общие технологии описания структурных свойств, носителя­
ми которых являются самые разнообразные математические системы.
3.13 О возможностях интегрирования учебных дисциплин примени­
тельно к дисциплинам логико-алгебраического цикла. Объединение кано­
нической части дисциплины, отражающей классическую проблематику с со­
держательными аспектами, определенными посредством реализации второй
составляющей принципа бинарности, дает возможность выявить аннотиро­
ванное содержание дисциплин «Математическая логика», «Дискретная мате­
матика» и «Теория алгоритмов» и проанализировать интеграционные воз­
можности их структурно-композиционного построения.
Говоря о курсе «Математическая логика», следует подчеркнуть, что его
объединение с теорией алгоритмов или дискретной математикой, по меньшей
мере, нежелательны. Объединение математической логики с теорией алго­
ритмов так или иначе умалит роль и значимость математической логики, как
идейно-методологической и научно-теоретической основы математического
(и в целом научного) познания, так как центр внимания неизбежно сместится
с фундаментальных проблем теоретического характера в сферу, обеспечи­
вающую теоретические предпосылки ее прикладной направленности, связан­
ной с машинной математикой и проблемами вычислимости. В результате это­
го математическая логика утратила бы целостность, предметность, общемате­
матическую и, более того, общенаучную значимость, что совершенно не соот­
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
41
ветствует роли математической логики в системе математических наук, кото­
рую отводили ей многие выдающиеся математики и философы. В частности,
известный специалист в области оснований математики Дж. Шенфилд утвер­
ждал: «...за многие годы я пришел к выводу, что математическая логика явля­
ется не собранием разрозненных результатов, а действенным методом изуче­
ния некоторых наиболее интересных проблем, стоящих перед математикой»
([115], стр. 10).
По причинам аналогичного характера соединение математической логики
и дискретной математики в рамках одной дисциплины также представляется
несостоятельным, так как дискретная математика, являясь теоретической ба­
зой математической кибернетики, заимствует у математической логики лишь
некоторые алгоритмы, методы, конструкции и технику логических преобразо­
ваний, которые в той или иной мере отражают закономерности, свойственные
дискретным моделям систем управления, связи и переработки информации.
Если уж и говорить о слиянии математической логики с одной из дисцип­
лин логико-алгебраической ориентации, то наиболее продуктивным вариан­
том представляется слияние этой дисциплины с высшей алгеброй, так как
математическая логика по объекту изучения, который представляет собой
построение «...математических моделей рассуждений и истинности» ([24],
стр. 28-29) является логикой, а по методам изучения - алгеброй. О целесооб­
разности и белее того «.. .о необходимости объединения в одном курсе логики
и высшей алгебры » ([42], стр. 301) неоднократно говорил академик А.И.
Мальцев. Следует также напомнить, что объединение алгебры и логики, в
научном аспекте привело к разработке общей теории алгебраических систем,
одним из создателей которой он является.
ЗЛА Перспективы развития государственных стандартов Республики
Казахстан в плане совершенствования логико-алгебраической подготовки.
В результате анализа современного состояния и перспектив развития дис­
циплин логико-математического цикла, рассмотрения проекта Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования (ФГОС ВПО) России по математическим направлениям и Госу­
дарственных стандартов Республики Казахстан, а, также основываясь на мно­
голетнем опыте преподавания дисциплин логико-алгебраической ориентации
в ряде университетов, педагогических институтов и университетов России и
Казахстана, авторы работы [28] пришли к выводу, что наиболее оптимальным
вариантом структурно-композиционного и содержательного построения кур­
сов математическая логика, дискретная математика и теория алгоритмов явля­
ется следующий вариант:
•«Математическая логика», как самостоятельная учебная дисциплина,
предметное содержание которой определяет следующая тематика: основы
теории множеств, отношения и операции; алгебра высказываний, исчисление
высказываний и его семантики; выводимость из гипотез и теорема о дедукции
42
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
для исчисления высказываний; алгебра предикатов; алгебры, модели и алгеб­
раические системы; исчисление предикатов и его семантика; выводимость из
гипотез и теорема о дедукции для исчисления предикатов; алгоритмы и ре­
курсивные функции; тезис Черча; проблемы непротиворечивости, разреши­
мости, полноты и независимости систем аксиом логических исчислений; тео­
рема Геделя о полноте исчисления предикатов и теорема Мальцева о ком­
пактности; аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля и арифме­
тика Пеано; теорема Геделя о неполноте арифметики и теорема Черча о не­
разрешимости исчисления предикатов; алгоритмически неразрешимые про­
блемы и их методологическая сущность.
Теория алгоритмов и дискретная математика в рамках одной дисциплины
«Дискретная математика и вычислимость», предметное содержание которой
включает следующие вопросы: элементы комбинаторной математики, форму­
ла включений и исключений; рекуррентные соотношения; производящие
функции; булевы функции; элементарные функции и их свойства; принцип
двойственности; полнота и замкнутость; теорема о функциональной полноте;
дизъюнктивные нормальные формы (Д.Н.Ф.); проблема минимизации Д.Н.Ф.
и алгоритмы построения минимальных Д.Н.Ф..; графы и сети; деревья и их
свойства; автоматы и языки; алгоритмы и машины Тьюринга, функции вы­
числимые по Тьюрингу; тезис Тьюринга; теорема о существовании и единст­
венности универсальной функции; теорема о неподвижной точке, сводимости,
сложность вычислений; детерминированные и недетерминированные вычис­
ления; элементы теории кодирования; алфавитное кодирование; оптимальные
и самокорректирующиеся коды и методы их построения.
Следует отметить, что на протяжении длительного периода предлагаемое
содержание является основой для разработки рабочих программ по математи­
ческой логике, дискретной математике и теории алгоритмов в Новосибирском
государственном университете (Россия).
Ниже, в качестве примера, приводится рабочая программа двухсеместро­
вого
курса
«Математическая
логика»,
разработанная
членомкорреспондентом РАН, профессором Гончаровым С.С. для подготовки сту­
дентов по специальности «Математика» на механико-математическом фа­
культете Новосибирского государственного университета. Содержание этой
программы позволяет оценить степень ее соответствия требованиям к отбору
содержания и структурно-композиционному построению курса, а также ранее
отмеченным приоритетным направлением развития математической логики,
как науки.
Рабочая программа дисциплины «Математическая логика».
Элементы теории множеств
1. Основные понятия теории множеств. Операции над множествами.
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
43
2. Упорядоченные пары. Декартово (прямое) произведение множеств.
3. Отношения и функции над множествами, образы и прообразы, компози­
ция отображений, аксиома выбора и бесконечные прямые произведения мно­
жеств.
4. Отношения эквивалентности, предпорядка, порядка, линейного порядка
и фактор-множества Формулировка леммы Цорна.
5. Вполне упорядоченные множества, ординалы и кардиналы, трансфи­
нитная индукция, натуральные числа и ординалы в теории множеств. Аксиома
существования бесконечного множества и построение множества натураль­
ных чисел. Теорема о сравнимости ординалов. Теорема о сравнимости вполне
упорядоченных множеств. Формулировка теоремы Цермело, как принципа
вполне упорядоченности.
6. Теоремы Кантора и Кантора-Бернштейна. Операции на кординалах и
ординалах. Теорема о мощности квадрата (из теоремы Цермело).
Исчисление высказываний
1. Высказывания, их истинностная и теоретико-множественная семантики.
Теорема о следовании в истинностной семантике из следования в теоретико­
множественной.
2. Секвенциальное исчисление высказываний. Линейный и древовидный
выводы и их эквивалентность. Теорема о построении вывода для квазивывода.
Теорема о двузначности секвенциального исчисления высказываний. Основ­
ные эквивалентности, нормальные формы. Доказательство теоретико­
множественного следования из доказуемости соответствующей секвенции.
3. Гильбертовское исчисление высказываний. Теорема о дедукции. Теоре­
ма о доказуемости из секвенциального следования в гильбертовском исчисле­
нии. Доказательство тождественной истинности в теоретико-множественной
семантике формул, доказуемых в гильбертовском исчислении высказываний.
4. Теорема об эквивалентности исчислений и семантик. Теорема о сущест­
вовании конъюнктивной и дизъюнктивной нормальных форм в секвенциаль­
ном исчислении высказываний.
5. Теорема о характеризации доказуемых формул в секвенциальном ис­
числении высказываний и теорема Геделя о полноте.
Теория моделей
1. Предикаты, сигнатуры, алгебры и модели (алгебраические системы).
2. Синтаксис языка исчисления предикатов (термы, формулы, свободные и
связанные вхождения переменных).
3. Семантика языка исчисления предикатов (истинность формул на модели
и значение термов).
4. Гомоморфизмы, изоморфизмы; подмодели, связь теоретико-модельных
свойств с универсальными, экзистенциальными и позитивными формулами.
44
Глава 1. Научно-теоретические предпосылки построения...
5. Элементарные расширения и подсистемы; элементарные вложения;
объединение элементарных цепей.
6. Фильтры: главные и неглавные, максимальные и ультрафильтры.
Фильтрованные произведения и теорема Лося.
7. Теорема компактности Мальцева. Метод диаграмм и теорема Мальцева
о расширении.
Исчисление предикатов
1. Предикатное исчисление в секвенциальной и гильбертовской формах.
2. Теорема о подстановке. Основные эквивалентности.
3. Теорема о дедукции для гильбертовского исчисления. Теорема об экви­
валентности секвенциального и гильбертовского исчислений.
4. Пренексная и предваренная нормальные формы. Теорема о приведении
к нормальной форме.
5. Непротиворечивые множества формул и их свойства.
6. Теорема о существовании расширений Хенкина
7. Каноническая модель теории Хенкина
8. Теорема о существовании модели.
9. Теорема Геделя о полноте классического исчисления предикатов.
Аксиоматическая система теории множеств Цермело-Френкеля
1. Аксиоматика Цермело-Френкеля 2Р.
2. Теорема об эквивалентности аксиомы выбора леммы Цорна теоремы
Цермело и теоремы о мощности квадрата.
Аксиоматическая теория Пеано
1. Аксиоматика Пеано и ее свойства
2. Стандартные и нестандартные модели арифметики Пеано.
3. Концевые расширения. Формулы с ограниченными кванторами и 53
формулы.
-
Теория вычислимости и теорема Геделя о неполноте
1. Примитивно рекурсивные, частично рекурсивные и вычислимые функ­
ции. Операторы суммирования, произведения, ограниченной минимизации.
Составное определение. Теорема о X -представимости в стандартной модели
арифметики.
2. Теорема о представимости в аксиоматике Пеано.
3. Геделевская нумерация термов и формул и ее свойства
4. Примитивная рекурсивность и возвратная рекурсия. Примитивная рекурсивность: основных операций и отношений над термами и формулами:
множества формул; множества термов; операции подстановки; множества
аксиом гильбертовского исчисления предикатов; правил вывода; доказа­
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
45
тельств.
5. Вычислимо перечислимые множества и их свойства. Перечислимость
вычислимо аксиоматизируемых теорий и вычислимая аксиоматизируемость
вычислимо перечислимо аксиоматизируемых теорий. Теорема об универсаль­
ной функции и нормальной форме Клини. Вычислимая перечислимость дока­
зуемых формул.
6. Теорема о неразрешимости непротиворечивых расширений аксиомати­
ки Пеано.
7. Теорема Геделя о полноте. Теорема Черча о неразрешимости исчисле­
ния предикатов.
В предлагаемой программе находит отражение как преемственность кон­
цептуальных подходов А.И.Мальцева к постановке курсов «Математическая
логика» и «Теория алгоритмов», так и ориентация этих курсов на современ­
ные разработки в области математической логики и ее предложений.
Все это говорит о том, что в Новосибирском государственном университе­
те коллективом Сибирской школы алгебры и логики, в процессе осуществле­
ния научно-педагогической деятельности, накоплен огромный опыт подго­
товки специалистов как для проведения научных исследований в самых раз­
личных областях математической логики и ее приложений, так и для препода­
вания логико-алгебраических дисциплин в образовательных учреждениях
среднего и высшего уровня.
Сибирская школа алгебры и логики, основанная академиком А.И. Мальце­
вым, базовой основой для пополнения научных и научно-педагогических кад­
ров которой является механико-математический факультет этого университе­
та, представляет собой одну из наиболее известных в мире научных школ.
Академиком АН КазССР Таймановым А.Д., как одним из ведущих пред­
ставителей этой школы, еще в советское время в систему логико­
алгебраического образования Казахского государственного университета им.
С.М.Кирова (70 - е годы XX века) были внедрены многие положения и прин­
ципы, присущие сибирской школе. В дальнейшем, эти традиции продолжа­
лись его учениками. Учитывая прочность основ логико-алгебраического обра­
зования, заложенных А.Д.Таймановым и его школой в Казахстане, и то, что в
постсоветский период сохранилась преемственность традиций и достаточная
общность образовательного пространства России и Казахстана, отражение
современного опыта постановки курсов «Математическая логика» и «Дис­
кретная математика и вычислимость» Новосибирского государственного уни­
верситета (в дальнейшем НГУ) при разработке Государственных стандартов
Республики Казахстан по математическим специальностям было бы не только
желательным, но и, несомненно, полезным.
Современный Государственный стандарт Республики Казахстан (2006г)
специальности «Математика» по дисциплине «Дискретная математика и ма­
46
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
тематическая логика» (в содержательном аспекте) значительным образом от­
личается от приведенных выше аннотированных программ курсов «Матема­
тическая логика» и «Дискретная математика и вычислимость», принятых в
НГУ также по специальности «Математика». Что же касается объема в часах,
то на объединенный курс «Дискретная математика и математическая логика»,
в котором математической логике даже в названии отведена роль второго
плана, в образовательном стандарте Республики Казахстан приходится 135
(часов), в то время, как общий объем часов, который предоставляется образо­
вательным стандартом России дисциплинам «Математическая логика» и
«Дискретная математика и вычислимость» в НГУ составляет
240+120=360(часов). Даже с учетом особого статуса НГУ в системе универси­
тетов России, уменьшение объема часов в государственном стандарте Казах­
стана более чем в 2,5 раза, по сравнению с этим университетом, представляет­
ся неправомерным.
3.2. Средства представления предметного содержания
3.2.1.
Авторские опорные конспекты, как промежуточный этап в ре­
шении проблемы разработки учебной литературы нового типа. Действен­
ным средством достижения инновационных целей математического (в част­
ности, логико-алгебраического образования) является обеспечение образова­
тельных учреждений учебниками, учебными и учебно-методическими посо­
биями нового типа.
В «Докладе о совершенствовании структуры и содержания высшего обра­
зования в Республике Казахстан» [2] относительно проблемы обеспечения
учебниками высших учебных заведений Казахстана говорится, что в целях ее
решения: «делаются попытки написания учебников на кафедрах и их ротапринтного издания малыми тиражами непосредственно для собственных
учебных нужд. В то же время руководители вузов и кафедр признают, что к
подготовке «своих» учебников достаточно высокого уровня они еще не гото­
вы.» ([2], стр. 17).
В качестве паллиатива получает распространение практика разработки ав­
торских опорных конспектов по конкретным дисциплинам.
Далее предлагается опыт, отражающий представления авторов о назначе­
нии опорных конспектов, принципах их разработки и возможностей примене­
ния.
Прежде всего, необходимо заметить, что авторский опорный конспект
дисциплины, реализованный на электронном носителе, закономерное, в раз­
витии комплекса составляющих учебно-методического обеспечения, звено,
появление которого, с необходимостью, обусловлено современными техниче­
скими возможностями.
Определяя опорный авторский конспект по математической дисциплине,
как отвечающее требованиям Государственного стандарта специальности и
действующих типовых программ, отработанное в структурном и содержа­
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
47
тельном отношении краткое изложение материала данной дисциплины в тер­
минах строго выверенной и логически безупречной иерархии понятий, опре­
делений и теорем, в символах наиболее употребляемой в современной мате­
матической литературе системы символических обозначений и в формах, учи­
тывающих специфику специальности и способствующих максимальной мо­
билизации творческой активности студента на изучение дисциплины, авторы
ни в коей мере не претендует на истину в последней инстанции, а только де­
лают попытку отразить собственные представления об опорных конспектах,
выделяя в качестве определенных критериев, ряд требований к их форме и
содержанию.
Раскрывая отдельные положения этого определения, следует отметить, что:
1) Хотя инженер и получает в высшем учебном заведении полное матема­
тическое образование, оно существенным образом отличается, к примеру, от
математического образования будущего учителя (преподавателя) математики
в школе (вузе) прежде всего требованиями к уровню строгости в определении
понятий и при доказательствах теорем. Если математическое образование
инженера изначально имеет прикладную ориентацию, что позволяет не стре­
миться к абсолютной строгости, отдавая предпочтение реальности представ­
лений и интуиции, то математическое образование педагога-математика или
научного работника-математика предполагает, прежде всего, глубокое и стро­
гое изучение проблематики теоретического характера, что неизбежно приво­
дит к оперированию с математическими абстракциями высокого уровня, да­
лекими от интуитивных прообразов реального мира
В соответствии с этим, опорные конспекты по математическим дисципли­
нам должны учитывать особенности и специфику соответствующих специ­
альностей и конспекты, разработанные для инженерных специальностей, вряд
ли подойдут для специальностей педагогического профиля и наоборот.
В дальнейшем предполагается, что речь идет об опорных конспектах по
математике для студентов, обучающихся по педагогическим специальностям
с присвоением квалификации «Учитель математики» или по университетской
специальности с присвоением квалификации «Математик» («Математик, пре­
подаватель математики»).
2) Рамки и структура опорных конспектов не предполагают проведения
полных доказательств основных теорем, но базовые идеи доказательств, так
или иначе, должны найти в них отражение в воспроизведении основных эта­
пов конструктивного построения объекта (в доказательствах его существова­
ния), или в конкретизации промежуточных шагов, или в выделении, опреде­
ляющих ход доказательства цепочек логических умозаключений. При этом,
как правило, наиболее действенными являются такие воспроизведения, кото­
рые, апеллируя к нашей интуиции, посредством логических схем, диаграмм,
таблиц, графов, графиков и характерных рисунков способствуют преобразо­
ванию образных представлений в детали построений и доказательств.
48
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
3) Центральное место в опорных конспектах, как считают авторы, должно
принадлежать определениям. Это связано с тем, что именно определения в
значительной степени способствуют вхождению в мир образов, понятий и
идей современной математики.
Определения в опорных конспектах желательно давать только по мере не­
обходимости их непосредственного использования, стараясь, по возможности,
избегать определений, рассчитанных на будущее (в учебной литературе для
удобства расположения материала это нередко делается): невостребованные
определения легко забываются.
Следует подчеркнуть также, что многие определения в современной мате­
матике раскрывают и уточняют содержание используемых понятий без учета,
с необходимостью мотивированной, прежде всего проблемами теоретическо­
го характера, истории их развития и трансформации до современных форму­
лировок (достаточно вспомнить определение предела и непрерывности функ­
ции). Именно эти определения и предлагаются студентам.
Конспективный характер изложения, естественно, не позволяет просле­
дить поэтапную историю этой трансформации для подавляющего числа опре­
делений. Тем не менее, для основополагающих определений желательно отра­
зить своеобразную динамику зависимости между уровнем строгости и интуи­
тивными представлениями. Но в любом случае понижение требований к
уровню строгости недопустимо, так как будущий учитель (преподаватель)
математики, математик-исследователь должен во всем дойти до конца, а адап­
тированные определения не могут служить основой для проведения логически
безупречных доказательств. Значение определений в образовании математика-педагога глубоко проанализированы в [93].
4) Далеко не последнее место в опорных конспектах, по мнению авторов,
должно принадлежать примерам. При этом нужно особо подчеркнуть роль тех
примеров, которые: позволяют выявить совершенно не предполагаемые ранее
аналоги; содействуют осознанию общности идей и методов, лежащих в осно­
ве применения различных, на первый взгляд, математических конструкций
канонического характера; способствуют постижению своеобразной эстетики и
красоты математических построений.
Отметим также, что за счет специально подобранных примеров нестан­
дартного характера, нередко удается пройти все ступени процесса абстрагиро­
вания в формировании строгого определения данного понятия, начиная от
нечетких интуитивно-образных представлений о нем до современных строго
очерченных формулировок. Трудно переоценить роль и таких примеров, сущ­
ность которых находит зримое воплощение в наглядных интерпретациях гео­
метрического характера.
5) Вопрос о включении упражнений в опорный конспект авторы также
склонны решать положительно: опорный конспект должен предполагать оп­
ределенную заинтересованность и творческую активность студента. Но, как
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин .
49
считают авторы, роль упражнений в нем должна сводиться не только (и не
столько) к закреплению отрабатываемой темы, посредством исполнения об­
щих алгоритмов на конкретных числовых входах, то есть носить репродук­
тивный характер, а к расширению и углублению представлений об опреде­
ляемых понятиях; получению следствий из сформулированных теорем; по­
строению примеров, опровергающих верные, на первый взгляд, но ложные в
действительности, общетеоретические утверждения и тому подобное.
32.2.
Образовательные функции опорных конспектов. Новые формы
образования требуют разработки качественно новых учебников, ориентиро­
ванных на современные методы обучения. Авторские опорные конспекты,
учитывающие и использующие современные компьютерные технологии яв­
ляются, как это отмечалось ранее, необходимым звеном в этой работе.
Следует подчеркнуть, что роль и место опорных конспектов в системе со­
временных составляющих методического обеспечения учебного процесса
определяется, прежде всего, востребованностью обществом новых моделей
обучения.
Раскрывая и развивая высказанные положения, отметим, что:
а) традиционные технологии обучения отводят учебно-монографической
литературе, в определенном смысле, вторичную роль (не в порядке значимо­
сти, разумеется, а в порядке следования). К текстам учебников студенты, как
правило, обращаются после аудиторных занятий, на которых преподаватель
имеет широкие возможности для мотивированного изложения каждой темы,
органично увязывая изучаемый материал с экскурсами в историю развития
научного познания, с анализом сложных взаимоотношений теории и ее при­
ложений, что позволяет аргументировано объяснить причины возникновения
тех или иных математических понятий и конструкций, показать какой необ­
ходимости они отвечают. Аудиторные занятия, проводимые квалифициро­
ванным преподавателем, способствуют подготовке студента к восприятию,
нередко крайне ^формализованного, изложения материала учебников по ма­
тематическим дисциплинам. Дело в том, что используемые в настоящее время
учебники по математике ориентированы, в основном, на традиционные фор­
мы обучения, самостоятельное изучение этих учебников, без предваряющих
его лекционно-практических занятий, сопряжено, зачастую, с непреодолимы­
ми трудностями;
б) широкие возможности выбора форм обучения, включая дистанционные
и ускоренные, предполагают самостоятельную работу студента с учебными
материалами в качестве основного вида работы. Эффективность самостоя­
тельной работы студентов, обучающихся по этим формам, еще в большей, чем
при традиционных подходах, степени зависит от качества материалов методи­
ческого обеспечения, в частности учебников и учебных пособий. Краткость,
мотивационный принцип подачи материала, возможности неограниченного
тиражирования, быстрота воспроизведения как на экране компьютера, так и
50
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
на бумаге, превращают опорный конспект, реализованный на электронном
носителе, в наиболее приемлемое и действенное средство вхождения в про­
блематику данной дисциплины и постижения ее специфики при современных
нетрадиционных формах обучения;
в) содержание и форма опорных конспектов, разработанных в соответст­
вии с вышеизложенными положениями, позволяют использовать их и в дру­
гом плане. А именно, опорный конспект, по указанной теме, предлагается
студенту, в качестве основы, для выполнения реферативной работы творче­
ского характера. То есть, получив опорный конспект по той или иной теме,
студент, привлекая соответствующую учебно-методическую и монографиче­
скую литературу, записи лекций и практических занятий: расширяет материал
конспекта до определенного логически завершенного и самодостаточного (в
разумном смысле) фрагмента изучаемого курса, детально восстанавливая до­
казательства всех, приведенных в нем, теорем; включает, по необходимости,
дополнительные результаты; увеличивает число примеров, отражающих спе­
цифику определений; приводит аргументированные решения, включенных в
него упражнений. Находясь в рамках изначально заданной иерархии понятий
и определений и системы символических обозначений, принятых в опорном
конспекте, студент, будучи лишенным возможности непосредственного пере­
писывания материала учебников, будет, как минимум, творчески переосмыс­
ливать и перерабатывать его;
г) по своему содержанию и специфике, разработка опорных конспектов по
математическим дисциплинам, несомненно, может квалифицироваться, как
научно-методическая работа творческого характера, качественное выполнение
которой предполагает определенный научный уровень, высокую общематема­
тическую культуру, значительный опыт преподавания не только данной дис­
циплины (то есть дисциплины, по которой разрабатывается опорный кон­
спект), но и смежных с нею дисциплин. В соответствии с этим, авторские кон­
спекты, разработанные опытными профессорами и доцентами кафедры, могут
служить своеобразным методическим ориентиром для преподавателей, начи­
нающих па этой кафедре свою педагогическую деятельность;
д) кроме того, следует подчеркнуть, что разработка опорных конспектов
способствует совершенствованию педагогического мастерства преподавателя,
повышению уровня его методической культуры, стимулирует его творческую
активность, то есть и в этом плане роль опорных конспектов, несомненно,
высока.
В заключение уместно отметить, что апробированные, пользующиеся
спросом в студенческой среде и получившие позитивные отзывы со стороны
коллег по работе, опорные конспекты могут составить основу для последую­
щей разработки монографической, учебной и учебно-методической литерату­
ры по соответствующим дисциплинам или циклам дисциплин.
В приложении А дается фрагмент опорного конспекта для студентов, обу­
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
51
чающимся по математическим специальностям педагогических университе­
тов и институтов, по теме «Бинарные отношения» дисциплины «Математиче­
ская логика» («Дискретная математика и математическая логика»). В содер­
жании и структурном построении этого конспекта нашли отражение методи­
ческие взгляды авторов и их представления о предназначении подобной со­
ставляющей системы методического обеспечения учебного процесса. Основ­
ное содержание конспекта предваряют цели и задачи, достижение и решение
которых предполагает освоение материала темы, а также план изложения и
список рекомендуемой литературы.
3.23. К вопросу постановки дисциплины «Вводный курс математики»
в высших учебных заведениях Определив в пунктах 3.1.2- 3.1.4 предметное
содержание курса «Математическая логика», как центральной дисциплины в
системе дисциплин логико-алгебраической ориентации, следует подчеркнуть,
что достаточно широкий спектр основополагающих понятий этого курса
практически не имеет пропедевтической базы в школьной математике.
Следует отметить, что формирование абстрактного математического
мышления требует целенаправленной, системной и достаточно длительной
практики проведения преобразований и построений абстрактно­
символического характера, а также рассуждений формально-дедуктивного
толка, в результате которых формируются внутренние когнитивные структу­
ры мышления, отражающие в долговременной памяти конструктивные осо­
бенности построений, схемы преобразований и формы рассуждений в их
«чистом» виде. Наличие этих структур, мера способности их активизации и
«приведения в действие» в процессе познавательной деятельности и является
свидетельством того или иного уровня сформированное™ навыков абстракт­
ного логико-математического мышления.
Но, к сожалению, в школьных программах по математике не нашлось мес­
та тем разделам современной математики, систематическое изучение которых
явилось бы пропедевтической базой обеспечения подобной практики преоб­
разований, построений и рассуждений. И сейчас главенствующее положение в
школьной математике занимают традиционные разделы, связанные с изуче­
нием конкретных числовых систем. Уровень изучения «буквенной» алгебры,
изначально предполагающей в качестве области значений букв те или иные
(но только!) числовые множества, ни в коей мере не способствуют формиро­
ванию современных представлений об алгебраических операциях и их свой­
ствах. Объекты абстрактной, нечисловой природы, а также их простейшие
конфигурации: абстрактные множества и отношения, графы, деревья, булевы
алгебры; начальные понятия и методы математической логики, дискретной
математики, теории конечных автоматов, теории игр и так далее - то есть все
то, что так или иначе вводит в круг абстрактных образов и идей современной
математики и могло бы послужить естественным теоретическим и методоло­
гическим обеспечением процессов формирования абстрактного математиче­
52
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
ского мышления, все это не затрагивается в школьных математических про­
граммах. Более того, за рамками современных школьных программ по мате­
матике до недавнего времени оставались и такие некогда, в достаточной сте­
пени, основательно изучавшиеся разделы конечной (комбинаторной) матема­
тики, как соединения (перестановки, сочетания и размещения), бином Ньюто­
на и треугольник Паскаля. В последние годы в практику преподавания
школьной математики вводятся начала теории вероятностей и математиче­
ской статистики, а также элементы конечной математики, но всего лишь по­
стольку, поскольку этого требует обеспечение возможностей применения
простейших комбинаторных соотношений к вычислению классических веро­
ятностей. Таким образом, от этого шага до изучения непосредственно элемен­
тов конечной математики, целью которого являлась бы пропедевтика концеп­
ций конечности и дискретности, резкое повышение интереса к которым в со­
временном мире объясняется их органичностью природе информационных и
коммуникационных технологий, определивших особенности современных
кибернетических устройств, еще очень далеко. Существенным недостатком
установившейся практики преподавания математики в школах является и то,
что выразительные возможности символического языка математики в процес­
се школьных математических дисциплин, не подчеркиваются и не выделяют­
ся, не акцентируется при обучении также внимание на особенностях форм
применения этого языка.
Несмотря на то, что работе с функциями и их графиками в школьных про­
граммах по математике отводится значительное место, многие выпускники
школ фактически не владеют понятиями декартова произведения множеств,
соответствия, области определения и области значений отображения, путают
виды отображений; постоянно встречаясь в школе с примерами бинарных
отношений (равенства, параллельности, перпендикулярности, равновеликости, подобия, делимости, принадлежности, включения и так далее), они не
могут выявить простейших свойств этих отношений, тем более, записать их в
подходящем символическом языке; изучая в школе сложные и обратные
функции, студенты не осознают роли операций над отображениями, как осно­
ве их определения. Ряд этих примеров можно продолжать и далее.
Выше приводились и анализировались причины, приводящие к возникно­
вению трудностей, корни которых связаны со структурой, содержанием и ме­
рой усвоения материала школьных математических дисциплин. Для полноты
представлений, следует остановиться и на причинах осложнений, обуслов­
ленных особенностями вузовского математического образования.
Основы общей математической культуры студентов математических спе­
циальностей формируются в процессе изучения целого ряда дисциплин, среди
которых роль базовых дисциплин играет математический анализ, высшая ал­
гебра и аналитическая геометрия.
В связи с этим, традиционные подходы к изложению базовых дисциплин
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин...
53
наложили свой отпечаток на форму и последовательность введения, в дисцип­
линах к ним примыкающих, таких понятий и отношений математики, как:
множество, соответствие, отображение (функция); отношение частичного по­
рядка, отношение эквивалентности; алгебра, модель, алгебраическая система;
отношения гомоморфизма и изоморфизма. Указанные понятия вводятся и
используются в рамках дисциплин данной группы по мере необходимости,
применительно к потребностям именно этих дисциплин. Зачастую их трак­
товка при переходе к дисциплинам другой группы претерпевает значительные
изменения, отражая специфику базовой дисциплины этой группы.
Многие из приведенных выше понятий предполагаются известными из
школьной математики, но их школьная трактовка далеко не всегда приемлема
для целей высшего этапа изучения математики. Кроме того, как показывает
опыт работы с первокурсниками, все эти понятия усваиваются в школе очень
плохо. Тем не менее, ни в одной из вузовских математических дисциплин эти
фундаментальные понятия современной математики не являются непосредст­
венно предметом изучения. В лучшем случае краткие сведения о первичных
понятиях и отношениях, в учебниках и пособиях по изучению этих дисцип­
лин, составляют содержание вводной главы. В учебных программах базовых
математических дисциплин не предполагается выделения аудиторных
часов специально предназначенных для усвоения общих абстрактных
формулировок этих понятий посредством изучения методологии их введения
и выявления связей и зависимостей между ними.
Проблема реализации единого подхода к изучению основных понятий и
отношений современной математики (по возможности в «чистом» виде) не
могла быть удовлетворительно решена также вне представлений о современ­
ном математическом языке, синтаксические особенности и выразительные
возможности которого ни в школе, ни на младших курсах вузов, осуществ­
ляющих обучение студентов по математическим специальностям, не изуча­
лись.
Государственный стандарт специальности «Математика» Республики Ка­
захстан с 2003-2004 учебного года предусматривал изучение новой дисципли­
ны «Вводный курс математики». Структура и содержание дисциплины были
отражены в этом стандарте следующим образом: «Множества. Операции
над множествами. Алгебра множеств. Бинарные отношения и отношения
эквивалентности. Отношения порядка. Функции. Высказывания. Опе­
рации над высказываниями. Формулы алгебры высказываний. Логиче­
ское следствие. Предикаты и кванторы. Предикатные формулы. Элемен­
ты комбинаторики.»
С введением этой дисциплины появилась реальная возможность провести
в ее рамках пропедевтику, как базовых понятий теории множеств, так и на­
чальных понятий синтаксиса и семантики языка прикладного исчисления пре­
дикатов, как основы современного математического языка.
54
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
К глубокому сожалению, впоследствии, дисциплина «Вводный курс мате­
матики» была исключена из образовательного стандарта специальности «Ма­
тематика». Это решение представляется ошибочным. Практика апробирова­
ния этой дисциплины в Павлодарском педагогическом университете имени
С.Торайгырова и других вузах Республики Казахстан показала несомненную
полезность этой дисциплины.
Место этого курса в Государственных стандартах Республики Казахстан
занимает в настоящее время дисциплина «Введение в математику», содержа­
ние которой ориентированно на повторение традиционного материала школь­
ной математики (в основном материала учебника «Алгебра и начала анали­
за»). В отличие от «Вводного курса математики», в рамках этой дисциплины
не предусматривается акцентация ни логических, ни теоретико­
множественных начал современной математики. Содержание «Вводного кур­
са математики» позволяло решать вопросы, связанные с формированием пер­
вичных навыков работы с элементами синтаксической составляющей фор­
мальных языков базовых исчислений (исчисления высказываний и исчисле­
ния предикатов), способствуя тем самым, осознанию выразительных возмож­
ностей языка современной математики и выработке навыков их осознанного
использования в логико-математической практике. Значительное место отво­
дилось в этом курсе изучению начал конечной математики, что позволяло
заложить пропедевтические основы изучения дисциплин, природе которых
свойственны конечность и дискретность, как антиподы бесконечности и не­
прерывности.
Таким образом, «Вводный курс математики» действительно обеспечивал
возможности относительно беспроблемной адаптации студентов к своеобра­
зию содержания вузовских математических дисциплин и специфике их изуче­
ния в высших учебных заведениях.
По мнению авторов, дисциплина «Вводный курс математики» должна за­
нять свое утраченное место в системе базовых дисциплин учебных планов
подготовки специалистов не только по математике, но и по специальностям, в
учебных планах которых компонента математических дисциплин занимает
достаточно весомые позиции.
3.2.4.
О постановке и структурном строении специального курса «Бу­
левы алгебры»
Изучение классических алгебраических систем: групп, колец, полей, век­
торных пространств, линейных алгебр является обязательной составляющей
алгебраических курсов предназначенных для математических специальностей
высших учебных заведений. Предполагается, что в процессе изучения этих
систем, студенты получают не только конкретные знания, но и овладевают
методологией современной алгебры и приобретают навыки проведения само­
стоятельных исследований творческого характера
Тем не менее, как показывает опыт преподавания дисциплин «Алгебра»,
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
55
«Алгебра и теория чисел», «Алгебра и геометрия» в высших учебных заведе­
ниях, студенты, в своём подавляющем большинстве, даже продемонстрировав
относительно высокий уровень знаний и умений по всем традиционным раз­
делам алгебры, не могут реализовать их при переходе к классам абстрактных
алгебраических объектов, введение и изучение которых осуществляется на
более высоком уровне абстракции, демонстрируя, тем самым, свою методоло­
гическую несостоятельность. И это несмотря на то, что разрешение проблем­
ных ситуаций, возникающих в рамках изучения этих классов, требует тех же
самых схем, технологий и конструкций, которые были отработаны для случая
классических систем.
По мнению авторов, это связано с тем, что переход к изучению абстракт­
ных понятий, не имеющих явных прообразов ни в школьной математике, ни в
ранее изученных дисциплинах вузовской математики, требует их усвоения не
по отдельным образцам и аналогам применения конкретных ранее освоенных
подходов, методов, приемов, схем, конструкций и построений, а на основе
перехода от всего многообразия этих аналогов к более высокому уровню их
совокупного абстрактного восприятия, что предполагает наличия качественно
нового уровня логико-алгебраического мышления и соответствующего мето­
дологического обеспечения.
Всё это говорит о том, что формирование должного уровня методологиче­
ской культуры студентов не достигается только за счет изучения основного
курса алгебры и должно быть продолжено посредством изучения специаль­
ных курсов алгебраического характера за счет учебных часов вузовской со­
ставляющей учебных планов.
Выбор тематики специальных курсов, являясь компетенцией учебных за­
ведений, определяется, в основном, (помимо рекомендательных предложений,
имеющихся в некоторых учебных планах) направлениями научных исследо­
ваний, проводимых на кафедрах этих вузов ведущими специалистами.
Тем не менее, как считают авторы, на завершающем этапе логико­
алгебраической подготовки по специальностям математической направленно­
сти (в частности, по специальности «Математика» в педагогических универ­
ситетах и институтах), по меньшей мере, желательно проведение специально­
го курса «Булевы алгебры».
Авторами, на протяжении ряда лет в Новосибирском государственном
университете и в Павлодарском государственном университете имени
С. Торайгырова читался специальный курс «Булевы алгебры». По мнению
авторов, посредством изучения этого курса, при должной его постановке, мо­
гут быть заложены основы решения многих из ключевых проблем, связанных
с формированием абстрактного мышления, формированием методологиче­
ской культуры студентов и обеспечением возможностей для проведения ими
самостоятельных исследований творческого характера.
Приведем ряд положений, на которых основывается эта позиция.
56
Глава 1. Научно-теоретические предпосылки построения...
1) Теория булевых алгебр представляет в настоящее время одну из наибо­
лее развитых областей современной алгебры, имеющей многочисленные при­
менения, как теоретического, так и прикладного характера. Область техноло­
гий и методов теории булевых алгебр простирается далеко за пределы мате­
матических наук. Выразительная оценка роли булевых алгебр в интеллекту­
альной составляющей человеческого бытия дана в [62]: «Булевы алгебры про­
низывают не только всю математику, но и практически все духовные кладо­
вые человечества. Есть веские основания утверждать, что в концепции буле­
вой алгебры отражено нечто общее, присутствующее во всех сферах нашей
жизни».
2) Многие фундаментальные понятия науки, в частности, естественно­
научное и логическое понятия «событие» и «высказывание», соответственно,
посредством синтаксической компоненты концепции булевой алгебры, обре­
ли, благодаря Дж. Булю, возможность выражать свои свойства на одном и том
же формальном алгебраическом языке. Дж. Буль в своей монографии «Иссле­
дование законов мышления, на которых основаны математические теории
логики и вероятностей» [118] впервые выявил и обосновал реальную возмож­
ность единого алгебраического подхода к изучению высказываний и событий
и реализовал её, причём «... сделал это в лапидарной и элегантной форме, уже
более ста пятидесяти лет радующей, как начинающего исследователя, так и
зрелого мастера» [62].
3) Изучение структурных свойств алгебраических систем осуществляется
средствами логических исчислений. Булевы концепции, явившись формаль­
ным отражением определенных законов и процессов человеческого мышле­
ния, определили алгебраичность методологии построения базовых логических
исчислений, что обеспечило свойственность структуры булевых алгебр строе­
нию формализованного языка исчисления предикатов, составляющего син­
таксическую основу современного математического языка.
4) Органичность структуры булевых алгебр формализованному языку ис­
числения предикатов, определив специфику дедуктивных средств этого ис­
числения, простирается на структурные особенности классов моделей, свой­
ства которых задаются посредством аксиоматических систем этого языка Тем
самым булевы структуры привносятся в структурную ткань семантических
конструкций еще на уровне размышлений о них, то есть, говоря формально,
на синтаксическом уровне, как результат проявления всеобщего закона о диа­
лектическом единстве формы и содержания.
5) Булевы алгебры в свою очередь, являются, помимо собственно алгебраи­
ческих свойств, носителями структурных свойств порядкового и топологиче­
ского характера Аккумулируя в себе возможности проявления алгебраиче­
ских, порядковых и топологических структур, концепция булевой алгебры
представляет собой идеальное поле для развёртывания и мотивационно-обобщающего изучения многих понятий, конструкций и технологий, освоение ко­
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин
57
торых осуществлялось применительно к группам, кольцам, полям и векторным
пространствам на новом, более высоком уровне их абстрактного восприятия.
Вышеприведенный ряд положений аргументирующих насущную целесо­
образность изучения этого спецкурса можно продолжить и дальше. Отметим,
в частности, что аксиоматика булевых алгебр, отражая достаточно естествен­
ные аналогии между понятиями «множество», «событие» и «высказывание»
вполне доступна для понимания и анализа ее дедуктивных возможностей. В
этом плане, наиболее продуктивным представляется подход, связанный с рас­
смотрением взаимодвойственных систем аксиом, отражающий двойственный
характер бинарных булевых операций, ценность которого заключается в том,
что в процессе его реализации закладываются пропедевтические основы вос­
приятия «закона двойственности», свойственного булевым алгебрам и многим
другим математическим системам.
В технологическом арсенале современной теории моделей булевы алгебры
Линденбаума-Тарского [23], [45], каноническим образом определяемые по
непротиворечивым теориям первого порядка, играют исключительно важную
роль. С использованием аппарата этих алгебр удается получить топологиче­
скую характеризацию глубоких связей между синтаксическими и семантиче­
скими понятиями, продемонстрировать, в частности, топологическую сущ­
ность таких фундаментальных теорем математической логики, как теорема
Геделя о существовании модели и локальная теорема (или теорема компакт­
ности) Мальцева
Многие методологические концепции, свойственные общей теории алгеб­
раических систем, применительно к классу булевых алгебр наполняются яр­
ким содержанием нетрадиционного характера давая убедительное подтвер­
ждение правомерности и целесообразности их принятия. В частности, это ка­
сается концепции изучения алгебраических систем с точностью до изомор­
физма и теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр [23].
Следует отметить, что нередко процесс булевых реализаций этих концеп­
ций дает выразительные иллюстрации основных принципов теории познания.
В этом плане, абстрактная концепция булевой алгебры, явившись формаль­
ным обобщением аналогий, связанных с логико-алгебраическими, теоретико­
множественными и теоретико-вероятностными представлениями нашла бла­
годаря теореме Стоуна свою универсальную характеризацию на языке теории
множеств, то есть в терминах первичных представлений, породивших эту
концепцию. Таким образом, эта теорема дает красноречивое свидетельство
спиралевидности процесса математического познания: обогащенные исход­
ные представления, посредством развертывания очередного витка спирали
превозносятся на более высокий уровень их абстрактного восприятия.
Аналогичным образом, опыт построения фактор-алгебр булевых алгебр по
заданным конгруэнциям, позволяет продемонстрировать общие идейнометодологические подходы к реализации абстракции отождествления, как
58
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
одного из основных методов математического познания.
Следует отметить, что, концепция булевой алгебры существенным обра­
зом повлияла и на содержание математического образования, насыщая своим
присутствием такие учебные дисциплины, как алгебра, математическая логи­
ка, топология, теория алгоритмов, дискретная математика, информатика и
многие другие.
Представление о булевых структурах является, в настоящее время, неотъ­
емлемой компонентой математического образования. Различные фрагменты
теории булевых алгебр насущно необходимы как специалистам, работа кото­
рых связана с фундаментальными исследованиями во многих областях естест­
венно-математических наук, так и инженерам-исследователям, реализующим
прикладные возможности этих наук.
Трудно переоценить роль булевых алгебр в развитии теоретических кон­
цепций современного программирования и возможности их материального
воплощения в ЭВМ первых поколений. Достаточно вспомнить, не говоря о
других приложениях, что специфика структурных свойств булевых алгебр
способствовала превращению их в теоретическую основу анализа и синтеза
релейно-контактных схем.
В настоящее время формально-логический аппарат булевых алгебр неза­
меним в теоретической кибернетике, в создании системы автоматической об­
работки баз данных, в разработке проблем СотрШег 8с1епсе современных
языков программирования типа «1ауа» и т.д.
В заключение отметим, что становление дисциплины «Логика и методоло­
гия науки» также во многом обязано булевым концепциям. Эта дисциплина
[22] «.. .является промежуточной между философией и точными науками. От
философии она заимствует точки зрения на свой предмет, от точных наук способы выражения этих точек зрения (строгость, формализуемость, доказа­
тельность)», т.е. те черты, которые находят свое формальное выражение на
языке булевых алгебр.
Исходя из вышесказанного цель специального курса «Булевы алгебры»,
как дисциплины, входящей в число дисциплин логико-алгебраической ориен­
тации, может быть сформулирована следующим образом:
Цель спецкурса - формирование устойчивых представлений о методоло­
гическом потенциале современной математики, навыков и умений его приме­
нения в процессе математического познания, решения задач прикладного ха­
рактера и проведения самостоятельных научных исследований.
Изучение этого спецкурса, как показывает опыт его апробации, наиболее
продуктивно после прохождения студентами не только алгебраического, но и
логического цикла дисциплин, что позволяет достаточно обоснованно и осоз­
нанно применить к заданию и изучению класса булевых алгебр метод фор­
мальных аксиоматических теорий. В связи с вышеприведенными положения­
ми, использование этого метода применительно к булевым алгебрам, приоб­
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин...
59
ретает особую актуальность и методологическую значимость.
Целевая направленность спецкурса на решение задач формирования мето­
дологической культуры студентов, определила содержание, объём и методи­
ческие подходы к его изучению; опыт неоднократной его апробации позволил
выявить следующий оптимальный вариант его рабочей программы для подго­
товки студентов по специальности «Математика» в педагогических универси­
тетах и институтах. Углубляя теоретическую или прикладную направленность
предложенной программы, взяв ее за основу, можно получить рабочие про­
граммы спецкурса «Булевы алгебры» для подготовки студентов по другим
специальностям.
Рабочая программа специального курса «Булевы алгебры»
1. Логические исчисления и метод формальных аксиоматических теорий.
2. Классические аксиоматические теории. Выразительные возможности
формализованных языков исчисления предикатов первого порядка.
3. Алгебраические системы, алгебры и модели данной сигнатуры. Концеп­
ция изоморфизма.
4. Конгруэнции и фактор-алгебры. Общие подходы. Первая теорема о го­
моморфизмах алгебр.
5. Определения и простейшие свойства булевых алгебр. Примеры.
6. Технологии выявления теоретико-кольцевых свойств булевых алгебр.
Булевы кольца
7. Технологии выявления порядковых свойств булевых алгебр. Булевы
решетки.
8. Идеалы и фильтры булевых алгебр. Принцип максимума и методология
его применения.
9. Конгруэнции, изоморфизмы и гомоморфизмы булевых алгебр. Методо­
логия построения фактор-алгебр булевых алгебр.
10. Концепция изучения алгебраических систем с точностью до изомор­
физма Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр.
11. Реализация концепции изучения алгебраических систем с точность до
изоморфизма на примерах конечных и конечно-порожденных булевых алгебр.
12. Технологии выявления топологических свойств булевых алгебр. Стоуновские пространства булевых алгебр.
Данный спецкурс предлагается в качестве основного спецкурса логико­
алгебраической направленности и рассчитан на 90 часов, то есть на два триме­
стра: 45часов + 45часов, при кредитной форме организации и проведения
учебного процесса При этом, в первом триместре предлагается проведение
лекционных (Л) и практических (П) занятий: ЗОчасов + 15часов, соответст­
венно, а во втором - добавляется самостоятельная работа студентов под руко-
60
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
водством преподавателя (С.Р.С.П): 15часов + 15часов + 15часов, соответст­
венно.
Предлагается (смотри таблицу 1.1) следующая схема распределения часов.
Таблица 1.1 - Распределение учебных часов по специальному курсу «Бу­
левы алгебры»
и
и
триместр
I
П
1т
т
о
О
номер темы
1 2 3 4 5 6 7 г 8 9 10 11 12 г
О
о
Л
4 5 4 4 5 4 4 30 2 3 4 3 3 15
Количество
П
2 3 2 2 2 2 2 15 3 3 3 2 4 15
часов
С.Р.СЛ. 2 2 2 2 3 2 2 - 3 3 3 3 3 15
Следует отметить, что в процессе изучения программных вопросов основ­
ное внимание необходимо уделить анализу (с идейно-методологических по­
зиций) тех положений спецкурса, которые, в наиболее показательной форме,
отражают специфику математического познания.
Содержание первых четырех пунктов предлагаемой программы носит ин­
теграционный характер: группы, кольца, поля и другие классические алгебры
рассматриваются здесь в общем контексте понятия алгебраической системы,
классы которых задаются посредством аксиом на формализованном языке
исчисления предикатов соответствующей сигнатуры.
В рамках содержания этих тем, на примерах конкретных классов групп,
колец, полей и векторных пространств демонстрируются возможности фор­
мализованного языка исчисления предикатов первого порядка; на содержа­
тельном уровне и на уровне полуформальных рассуждений отрабатываются
технологии сравнения дедуктивных средств и возможностей различных ак­
сиоматик. Все это позволяет студентам осознать: что, как и почему может
быть выражено посредством формализованного языка логики первого поряд­
ка, а что - нет.
Переходя в теме 3 к изучению отношений изоморфизма и гомоморфизма,
следует подчеркнуть, что высокий уровень абстрактности, свойственный кон­
цепциям изоморфизма и гомоморфизма алгебраических систем, требует про­
блемно-мотивационного подхода к их изучению. Наиболее продуктивным
является, при этом, обобщенный вариант этого подхода, связанный с создани­
ем и разрешением последовательности проблемных ситуаций, имеющих
спланированную направленность, подчиненную определённой целевой уста­
новке. Как представляется авторам, именно такой путь может способствовать
выявлению адекватности содержательно-интуитивных представлений об этих
концепциях, сформированных на основе изучения классических алгебр, спе­
цифическим формам их абстрактного отражения в современных трактовках.
В пятой теме даётся абстрактное задание класса булевых алгебр и, посред­
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
61
ством построения примеров из различных областей математики, демонстри­
руется «универсальность» булевых концепций.
Аксиоматика булевых алгебр, в частности, предложенная в [23], отражая
аналогии между такими, в достаточной степени осязаемыми понятиями, как
«множество», «событие» и «высказывание», вполне доступна для понимания
и анализа её дедуктивных возможностей. Имея опыт абстрактного задания
классических алгебр, лектор, давая аксиоматическое определение класса бу­
левых алгебр, получает, в соответствии с этим, реальную (демонстрационную)
возможность последовательной и полной реализации всех основных этапов,
свойственных современному методу формальных аксиоматических теорий.
Наиболее продуктивным, в этом плане, представляется подход, связанный с
рассмотрением взаимодвойственных систем аксиом, отражающий двойствен­
ный характер бинарных булевых операций. Ценность этого подхода заключа­
ется с том, что в процессе его реализации закладываются пропедевтические
основы восприятия «закона двойственности», свойственного булевым алгеб­
рам и многим другим математическим структурам. Следуя этому подходу,
уместно определить понятие дуальной булевой алгебры и установить факт
изоморфизма между исходной и дуальной булевыми алгебрами, наличие ко­
торого и обеспечивает справедливость «закона двойственности» для классов
булевых алгебр.
Рассматривая примеры, иллюстрирующие выразительные возможности
аксиоматик, полезно, в первую очередь, остановиться на примерах булевых
алгебр множеств, событий, высказываний и простейших аналогах этих алгебр,
выделяя, тем самым, конкретные прообразы, послужившие формированию их
абстрактного задания, а также подчеркивая глубокие и далеко простирающие­
ся связи между теорией булевых алгебр, логикой, теорией множеств и теорией
вероятностей.
Рассматривая примеры булевых алгебр, целесообразно отдавать предпоч­
тение таким примерам, которые, допуская естественную теоретико­
множественную трактовку, предвосхищают, тем самым, возможности её фун­
даментального обобщения.
В качестве одного из примеров булевых алгебр необходимо рассмотреть
алгебры Линденбаума-Тарского для теорий первого порядка. В технологиче­
ском арсенале современной теории моделей эти алгебры играют исключи­
тельно важную роль. Кроме того, в рамках предлагаемого спецкурса с исполь­
зованием аппарата алгебр Линденбаума-Тарского [45], [25] удаётся получить
характеризацию глубоких связей между синтаксическими и семантическими
понятиями классической логики первого порядка, продемонстрировать, в ча­
стности, топологическую сущность локальной теоремы Мальцева (или теоре­
мы компактности) [72], [25] объясняющую, помимо непосредственной ценно­
сти полученной характеризации, её название.
Наполняя соответствующим содержанием тематику шестого и седьмого
62
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
пунктов программы спецкурса, следует отметить, что, несмотря на свою про­
стоту, аксиоматика булевых алгебр весьма содержательна, что позволяет не­
посредственно, основываясь на аксиомах, рассматривать булевы алгебры и
как булевы решетки, и как булевы кольца [23],[19]. При этом процессы взаимопереходов от одних точек зрения к другим предоставляют богатые возмож­
ности для введения производных операций и отношений и изучения их
свойств, исходя только из дедуктивных возможностей аксиоматик, задающих
основные операции. Следует подчеркнуть, что в процессе построения меха­
низмов соответствующих взаимопереходов и анализа специфики их реализа­
ции выявляется технологическая схема соответствующих процедур, имеющая
в математике широкий диапазон применимости.
Естественным результатом изучения этих тем является заключение о том,
что булевы алгебры, булевы решетки и булевы кольца представляют собой
различные, по синтаксическим средствам описания, семантические версии
одних и тех же абстрактных математических объектов.
Переходя к содержательной реализации восьмой темы, следует провести
аналогии между понятиями идеала кольца и идеала булевой алгебры, которые
обеспечиваются органичностью, отмеченных выше, взаимосвязей теоретико­
кольцевых и булевых структур.
Понятие фильтра булевой алгебры вводится, как двойственное по отноше­
нию к понятию идеала. В связи с необходимостью построения максимальных
идеалов и ультрафильтров, в рамках развертывания содержания этой темы
предоставляется мотивированная возможность выявления технологической
схемы применения принципа максимума.
Использование принципа максимума в математике сопряжено, в основном,
с методологическим обеспечением возможностей разрешения проблемных
ситуаций следующего характера. При изучении подобъектов математических
объектов, нередко приходится решать проблему существования подобъектов,
обладающих определёнными свойствами. При этом, как правило, наибольший
интерес представляют экстремальные относительно этих свойств подобъекгы,
то есть максимальные или минимальные, в смысле тех или иных порядковых
отношений, подобьекты, обладающие всеми свойствами из заданной сово­
купности свойств. В связи с этим, при изучении темы, необходимо актуализи­
ровать общие положения, определяющие подходы к описанию классов по­
добъектов, обладающих заданными свойствами, а также условия, выполнение
которых обеспечивает наличие в этих классах экстремальных подобъектов.
Изучение девятой темы позволяет, основываясь на опыте построения фак­
тор-групп и фактор-колец, остановиться на общих идеях, характеризующих
особенности реализации абстракции отождествления в математике, как одно­
го из основных методов математического познания.
В классе булевых алгебр процесс отождествления осуществляется с помо­
щью идеалов. На неформальном уровне элементы аиЬ булевой алгебры ото-
§ 3. Представление предметного содержания дисциплин ...
63
ждествлякггся (по заданному идеалу) тогда и только тогда, когда они «отли­
чаются» друг от друга на элемент из этого идеала. Здесь уместно провести
аналогию между процедурой отождествления по идеалу в теории булевых
алгебр и определениями сравнимости по подгруппе (нормальной подгруппе) в
теории групп и по идеалу в теории колец.
Переходя к характеризации десятой темы, основное содержание которой
связано с теоремой Стоуна о представлении булевых алгебр [127], следует
дать общее представление о методологической ценности теоремы Стоуна,
которое заключается в том, что она, наполняя концепцию изучения алгебраи­
ческих систем с точностью до изоморфизма ярким содержанием нетрадици­
онного характера, даёт убедительное подтверждение правомерности и целесо­
образности принятия этой концепции. Кроме того, теорема Стоуна занимает
одну из центральных позиций в многообразии теорем (о представлении), опи­
сывающих абстрактно заданные математические объекты посредством струк­
турных свойств хорошо известных (или ранее изученных) систем, что отража­
ет наиболее существенные черты, свойственные природе и особенностям раз­
вития математических наук.
В целом, теорема Стоуна о представлении булевых алгебр рассматривает­
ся в рамках спецкурса, как наиболее выразительная иллюстрация возможно­
стей и специфики математического познания: явившись формальным обоб­
щением аналогий, свойственных логико-алгебраическим, теоретикомножественным и теоретико-вероятностным представлениям, абстрактная
концепция булевой алгебры находит, как отмечалось ранее, свою универсаль­
ную характеризацию на языке теории множеств, то есть в образах представле­
ний, породивших эту концепцию. Тем самым, перед мысленным взором заин­
тересованного студента разворачивается очередной виток спирали познания,
превозносящий обогащенные исходные представления на более высокий уро­
вень их абстрактного восприятия.
В одиннадцатой теме спецкурса рассматриваются прикладные возможно­
сти теоремы Стоуна. А именно, даётся характеризация типов изоморфизма
конечных булевых алгебр. Согласно теореме Стоуна, для получения этой ха­
рактеризации достаточно описать типы изоморфизма булевых алгебр всех
подмножеств конечных непустых множеств. Перенос, выявленных, при этом,
технологий на абстрактные конечные булевы алгебры, приводит к выводу о
том, что тип изоморфизма конечной булевой алгебры однозначно определяет­
ся числом её атомов.
На основе полученного результата, на языке термальных операций, даётся
описание строения конечно-порожденных булевых алгебр. Доказывается в
частности, что эти алгебра являются конечными. Завершая изучение этой те­
мы, необходимо подчеркнуть методологическую значимость выявления струк­
турных свойств совокупностей подсистем алгебраической системы, так как это
нередко способствует выявлению структурных свойств самой системы.
64
Глава /. Научно-теоретические предпосылки построения...
Последняя, двенадцатая тема посвящена выявлению топологических
свойств булевых алгебр. А именно, на множестве всех ультрафильтров буле­
вой алгебры В вводится, посредством задания базиса открыто-замкнутых
множеств, структура топологического пространства и доказывается, что полу­
ченное пространство (так называемое, стоуновское подпространство булевой
алгебры В) является компактным хаусдорфовым топологическим пространст­
вом [25], [62]. В частности, это будет иметь место и для стоуновского про­
странства булевой алгебры Линденбаума-Тарского, определенной по любой
непротиворечивой теории первого порядка, что позволяет получить топологи­
ческую характеризацию связей между синтаксическими и семантическими
составляющими исчисления предикатов первого порядка.
В содержательном плане рабочая программа этого спецкурса с достаточ­
ной полнотой реализована в седьмой главе монографии авторов [25].
Пропедевтическая составляющая специального курса «Булевы алгебры»
приведена в приложении Б третьей главы.
В этом приложении, средствами технологического арсенала теории буле­
вых алгебр, реализуются возможности пропедевтического ознакомления сту­
дентов с методологией описания подсистем, построения фактор-систем, с
концепцией изучения алгебраических систем с точностью до изоморфизма и
даются методические рекомендации к их использованию.
В качестве демонстрационного поля развертывания основополагающих
понятий теории булевых алгебр в рамках алгебры высказываний, авторы оп­
ределяют булевы алгебры совершенных дизъюнктивных и совершенных
конъюнктивных нормальных форм, что позволяет наделить формальные кон­
струкции канонического характера, свойственные теории абстрактных буле­
вых алгебр, достаточно естественным содержательным смыслом. В этом пла­
не приложение и является пропедевтической составляющей спецкурса «Буле­
вы алгебры».
Интуитивно-содержательный подход к построению конкретных булевых
алгебр (совершенных дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм) и
их изучение средствами абстрактно заданных булевых алгебр предоставляет,
на основе использования естественных аналогий и связей, богатые возможно­
сти активизации и развития ассоциативного мышления, являющегося одной
из наиболее значимых составляющих общей математической культуры сту­
дентов.
Примеры и упражнения, данные в приложении, могут предлагаться сту­
дентам в качестве заданий для самостоятельной работы, а также использо­
ваться в качестве иллюстративного сопровождения при прохождении спец­
курса.
§ 4. Проблема диагностики целей логико - алгебраического образования
65
§ 4. Проблема диагностики целей логико • алгебраиче­
ского образования
4.1.
Конкретизация целей и задач на примере изучения дисциплины
«Математическая логика»
Сформулировав инновационные цели и задачи логико-математической
подготовки в высших учебных заведениях (по математическим направлениям)
и конкретное содержание дисциплин «Математическая логика» и «Дискрет­
ная математика и вычислимость», конкретизируем на примере первой из этих
дисциплин постановку целей и задач ее изучения. Далее, применительно к
полученным целям (и задачам), рассмотрим возможности их диагностики.
Целью изучения дисциплины «Математическая логика» является: разви­
тие абстрактного логико-алгебраического мышления посредством овладения
научно-мировоззренческим и идейно-методологическим потенциалом совре­
менной математики; системная организация знаний о строении, алгебраиче­
ских и алгоритмических свойствах базовых логических исчислений, как носи­
телей арсенала дедуктивных средств и индуктивных технологий, обеспечив­
ших: разработку формальных символических языков; формализацию понятий
доказательства, истинности, алгоритма и вычислимости; формирование навы­
ков, умений и способностей к творческой деятельности, связанной с поиском
решений математических задач фундаментального и прикладного характера.
Что касается задач изучения этой дисциплины, то ннформационная, вос­
питательная и научная задачи (сформулированные применительно только к
математической логике) остаются теми же самыми, что и для логико­
алгебраических дисциплин в целом.
Учебная задача требует определенной корректировки, учитывающей кон­
кретизацию целей. В этом плане она может быть сформулирована следующим
образом:
Формирование у студентов внутренних когнитивных структур мышления,
обеспечивающих:
-системное усвоение технологий выявления и описания структурных
свойств алгебраических систем посредством формального языка исчисления
предикатов;
- построение аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля и ак­
сиоматики Пеано посредством применения метода формальных аксиоматиче­
ских теорий, как системообразующей основы построения современной мате­
матики;
- формирование представлений о разрешимости и неразрешимости алго­
ритмических проблем и методологической сущности теорем Геделя о непол­
ноте формальной арифметики и теоремы Черча о неразрешимости исчисления
предикатов.
42 . Постановка проблемы диагностики целей и пути ее разрешения
66
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
на примере дисциплины «Математическая логика»
В узком смысле диагностика целей понимается, как контроль в учебном
процессе, то есть реализация заранее запланированного комплекса мероприя­
тий, направленных на выявление его результативности в соответствии с по­
ставленными целями. При более развернутом понимании и постановке про­
блемы диагностики в научном плане: «...в диагностику вкладывается более
широкий и более глубокий смысл, чем в традиционную проверку знаний и
умений обучаемых. Последняя, преимущественно, лишь констатирует резуль­
таты, не объясняя их происхождение. Диагностирование рассматривает ре­
зультаты в связи с путями и способами их достижения, выявляет тенденции и
динамику сформированное™ продуктов обучения. Диагностирование вклю­
чает в себя контроль, проверку, оценивание, накопленных статистических
данных, их анализ, выявление динамики, тенденций, прогнозирование даль­
нейшего развития событий.» ([112], стр. 280).
Таким образом, обеспечение диагностируемости целей логико­
алгебраического образования, после их уточнения и корректировки, помимо
использования возможностей непосредственной проверки результативности
обучения в ходе осуществления учебного процесса, предполагает на началь­
ном этапе разработки технологической составляющей методической системы,
проведение следующей работы:
- совершенствование методических подходов к разработке задач тестового
характера и формирование базы данных тестовых заданий и тестов различно­
го целевого назначения;
-уточнение и систематизацию представлений о логико-алгебраической
компетентности, как совокупности компетенций, которые должны быть
сформированы в процессе обучения логико-алгебраическим дисциплинам;
- определение качественных показателей логико-алгебраических компе­
тенций, и выявление возможностей получения их количественных оценок;
- выявление диагностических возможностей и эффективности применения
различных форм контроля в том или ином их системном сочетании;
- отработка оптимальной системы сочетания инновационных и традици­
онных форм проведения зачетов и итоговых экзаменов;
Возможности диагностики, как инструмента прогнозирования результатов
развития событий, также должны закладываться еще при разработке педаго­
гической технологии. Создание условий (относительно) беспроблемной адап­
тации студентов к специфике вузовского обучения логико-алгебраическим
дисциплинам требует предварительного выявления исходного уровня логико­
алгебраических представлений студентов, приступающих к изучению этих
дисциплин. В соответствии с этим, в начальный период обучения посредством
анкетирования, опросов и бесед определяются:
- мотивации учения и познавательные интересы студентов;
- представления о целях, задачах, значимости и месте логико-алгебраи­
§ 4. Проблема диагностики целей логико - алгебраического образования
67
ческих дисциплин в системе общематематической подготовки и высшего об­
разования в цепом;
- культура владения приемами анализа и синтеза, аналогии и классифика­
ции; обобщения и конкретизации, индукции и дедукции;
-уровень сформированное-™ представлений о методологии научного по­
знания;
- степень сформированное™ навыков абстрактного мышления;
- представления о роли дисциплин логико-алгебраической ориентации в
выработке и становлении мировоззренческих позиций и личностных качеств.
В этот же период необходимо проведение (составленного на основе
школьных математических программ) нулевого контрольного среза, направ­
ленного на выявление начального уровня логико-алгебраических представле­
ний. Один из вариантов теста для проведения нулевого контрольного среза по
дисциплине «Дискретная математика и математическая логика» приведен в
приложении третьей главы.
Исходя из анализа результатов всей этой работы, определяется степень ак­
туализации тех или иных разделов рабочей программы, выявляется круг во­
просов, требующих более детального отражения в УМК для студентов, опре­
деляется содержание графика контролирующих мероприятий, разрабатыва­
ются варианты рубежных индивидуальных заданий и заданий творческого
характера, тематика докладов и рефератов.
43.
Система тестовых заданий по разделу «Поля и многочлены» дис­
циплины «Алгебра»
Учитывая тематику данной работы, в приложении Г дается вариант систе­
мы тестовых заданий рубежного контроля знаний, умений и навыков по мо­
дулю «Поля и многочлены» курса «Алгебра», изучаемого в высших педагоги­
ческих учебных заведениях по естественно-математическим специальностям.
Традиционно раздел «Поля и многочлены» считается основным прообра­
зом современной алгебры, интегрирующим в себе многие идеи, методы и ре­
зультаты теории трупп, колец, векторных пространств. Центральное место в
системе алгебраических знаний, которое занимает этот раздел, определило
значительные трудности адекватного его отражения в тестовых формах. Есте­
ственно, что наиболее полное отражение в тестах нашли классические алго­
ритмы. Тем не менее, для многих, носящих ярко выраженный теоретический
характер, результатов и конструкций, авторам удалось подобрать тестовые
задания, отражающие их суть и специфику.
Потребовалось до 40 тестовых заданий для отражения всего раздела.
Практически все задания не требуют длительной работы вычислительного
характера И все же, авторы, при работе над тестами, и не предполагали, что
все 40 заданий будут предлагаться студентам одновременно. Отличительной
особенностью предлагаемого варианта тестовых заданий является то, что они
ориентированы на многоцелевое использование. Здесь реализовалось пред­
68
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
ставление авторов о системе тестовых заданий, как своеобразной базе данных,
на основе которой можно формировать конкретные, в том или ином (в зави­
симости от целей тестирования) объеме и содержании, варианты.
Теоретические основы раздела «Поля и многочлены» изложены в любом
из учебников [53], [57], [61]. Значительное число тестовых заданий разработа­
но непосредственно авторами. При составлении заданий использовались так­
же задачи и упражнения из сборников [92], [108].
Раздел «Поля и многочлены» дисциплины «Алгебра и теория чисел» тра­
диционно включает в себя следующие составные части:
а) многочлены от одной переменной над абстрактными полями;
б) многочлены от нескольких переменных;
в) симметрические многочлены;
г) многочлены над полями комплексных, действительных и рациональных
чисел;
д) элементы теории полей, простые и составные алгебраические расшире­
ния;
е) разрешимость алгебраических уравнений в радикалах.
В соответствии с этим, авторы при работе над тестами ставили перед со­
бой следующие задачи:
- утвердить терминологическую базу и систему символических обозначе­
ний;
- отразить логические связи и зависимости в иерархии представления ба­
зовых понятий и отношений;
-выявить алгоритмическую и методологическую составляющие, свойст­
венные процессам образования типичных объектов каждой из составных час­
тей этого раздела;
- сформировать представления о базовых конструкциях.
Как было отмечено выше, материалы тестовых заданий ориентированы на
многоцелевое использование.
По окончании изучения каждой темы модуля «Поля и многочлены» реко­
мендуется проведение контрольного среза. Студентам предлагаются варианты
тестов по 3 - 5 тестовых заданий в каждом. На выполнение всего варианта
отводится от 6 до 12 минут в зависимости от числа заданий и совокупной
трудности заданий, образующих тест.
Примерная тематика контрольных срезов и тестовые задания для их про­
ведения даются в таблице (тестовые задания среза выбираются из базовых
тестовых заданий варианта по указанным в таблице номерам).
Как отмечалось ранее, один из разработанных вариантов тестовых заданий
по разделу «Поля и многочлены» и соответствующие таблицы даются в при­
ложении Г.
§ 4. Проблема диагностики целей логико - алгебраического образования
69
4.4.
Логико-алгебраическая компетентность и возможности ее диагно­
стики
4.4.1.
Качественные оценки логико-алгебраических компетенций Цели
логико-алгебраического образования и его содержание, выявленные в пред­
шествующих параграфах этой главы, дают общее представление о логико­
алгебраической компетентности, как совокупности логико-алгебраических
компетенций, которые должны быть сформированы в процессе обучения. Вы­
ражение этих компетенций в терминах представлений, знаний, умений и на­
выков, с учетом необходимости их последующей диагностики, может быть
осуществлено следующим образом:
- восприятие составляющих понятийно-терминологической базы логико­
алгебраических дисциплин в их системно-иерархической обусловленности и
динамике развития;
-представления о теоретико-множественном и логическом основаниях
построения современной математики;
- представление о семантической составляющей формальных языков клас­
сических исчислений математической логики, как базовой основе обеспече­
ния выразительных возможностей современного математического языка;
- владение средствами дедуктивной и алгоритмической составляющих ло­
гико-алгебраических дисциплин;
-умения и навыки применения средств методологического потенциала
теории познания, органичных природе логико-алгебраических дисциплин, в
процессе изучения математики;
-постижение сущности научно-теоретических оснований, обеспечивших
прикладные возможности логико-алгебраических наук;
- представления о фундаментальных структурах и фундаментальных кон­
цепциях современной математики;
-осознанное понимание необходимости формирования абстрактного ло­
гико-алгебраического мышления, как важнейшего условия интеллектуальной
состоятельности, профессионального становления, конкурентноспособности и
востребованности личности в условиях рыночной экономики.
Исходя из содержания и процессуальной сущности этих компетенций, мо­
гут быть определены основные критерии и качественные показатели оценки
эффективности разработанной методической системы, применительно к каж­
дой из дисциплин логико-алгебраического цикла
Систему основных уровневых критериев оценки результатов сформиро­
ванное™ логико-алгебраических компетенций могут, по мнению авторов,
представлять следующие уровни:
1) уровень освоения понятийно- терминологической базы;
2) уровень сформированное™ теоретико-множественных представлений;
3) уровень сформированности навыков применения средств алгоритмиче­
ской и дедуктивной компонент;
70
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
4) уровень овладения синтаксической и семантической составляющими
современного математического языка;
5) уровень овладения прикладными возможностями;
6) уровень овладения средствами методологического потенциала;
7) уровень представлений об алгебраических системах, как носителях ал­
гебраических, порядковых, топологических и других структур современной
математики и о концепции изучения алгебраических систем с точностью до
изоморфизма;
8) уровень самооценки овладения теоретической и прикладной состав­
ляющими дисциплин логико-алгебраической ориентации и влияния логико­
алгебраических концепций на формирование навыков абстрактного мышле­
ния, методологической культуры и мировоззренческих позиций.
В систему качественных показателей были включены следующие катего­
рии показателей:
- полнота, прочность, осознанность, глубина (сформированное™ логико­
алгебраической компетенции);
- умение понять, классифицировать задачу, выявить схему, методы и тех­
нологические подходы к ее решению;
- умение трансформировать методы, технологические схемы, конструкции
и подходы канонического характера, свойственные одной из логико­
алгебраических дисциплин, в другие, применительно к условиям и объектам
другой природы.
В дальнейшем качественные показатели этих трех видов будут называться
качественными показателями (или просто показателями) 1-ой, 2-ой и 3-ей ка­
тегорий соответственно.
4.4.2 Количественные оценки качественных показателей
Показатели первой категории допускают количественную оценку посред­
ством вычисления соответствующих коэффициентов полноты, прочности,
осознанности и глубины, как усредненных характеризаций овладения теми
или иными логико-алгебраическими компетенциями.
В частности, для выявления коэффициента полноты, как числовой харак­
теристики уровня освоения понятийно-терминологической базы, составлялись
варианты тестовых заданий, каждое из которых было ориентировано на иден­
тификацию того или иного понятия. С этой целью необходима разработка
вариантов тестовых заданий, в которых соответствующие признаки, опреде­
ляющие понятия, приводятся или непосредственно (вербально) или опосредо­
ванно; на основе использования предсказательных и операционных функций
системы символических обозначений или с применением иллюстрапгивнографической информации.
В приложении Д (пункт 1) приводятся типичные примеры таких тестовых
заданий применительно к понятийно-терминологической базе дисциплины
«Математическая логика» («Дискретная математика и математическая логи­
^ 4. Проблема диагностики целей логико - алгебраического образования
71
ка» по специальности «Математика» для педагогических институтов и уни­
верситетов).
Каждый вариант, в зависимости от объема системы дидактических единиц
конкретной темы (или совокупности тем) может содержать от 10 до 30 тесто­
вых заданий.
Коэффициент полноты усвоения понятийно-терминологической базы вы­
числяется, при этом, по формуле
п
где щ - число верно идентифицированных понятий г - ым студентом,
г =1;2;...;л; а - общее число контролируемых дидактических единиц; п число студентов группы.
Коэффициент прочности усвоения вычисляется аналогичным образом, как
усредненный показатель характеристики остаточных знаний.
С целью вычисления коэффициента глубины усвоения и количественной
оценки качественных показателей второй и третьей категории студентам мо­
гут быть предложены системы индивидуальных заданий следующих видов:
- задания на сравнение объемов данных понятий;
- задания, предполагающие построение древовидных полей развертывания
конкретных понятий;
-задания, требующие получения описаний объектов или совокупностей
объектов, определенных в терминах исторически сложившейся системы пер­
вичных понятий и отношений, свойственных одной логико-алгебраической
дисциплине, в терминах и понятиях другой (математической) дисциплины;
- задания, предполагающие выявление возможностей привнесения в дан­
ную алгебраическую систему, наделенную той или иной системой структур­
ных свойств, структурных проявлений качественного иного характера;
- задания, связанные с выявлением индуктивной природы конкретных оп­
ределений и построений.
В приложении Д (пункт II), в частности, дается один из вариантов заданий
подобного типа применительно к дисциплине «Математическая логика»
(«Дискретная математика и математическая логика» по специальности « Ма­
тематика» для педагогических университетов и институтов).
Учитывая уровень сложности задач, решение которых требует навыков
работы исследовательского характера, каждой задаче целесообразно присваи­
вать весовой коэффициент, что позволяет более адекватно оценивать меру
завершенности решения тех задач, которые оказались не решенными полно­
стью. Далее, в таблице 1.2 приводятся весовые коэффициенты для заданий 1 5, данных в пункте П приложения Д.
Таблица 1.2 - Таблица весовых коэффициентов уровня сложности зада-
72
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
ний по дисциплине «Математическая логика» («Дискретная математика и
математическая логика») для вычисления коэффициента глубины.
№ задания
1 2 3
Весовой
5 15 25
коэффициент
4
5
35
20
Коэффициент глубины усвоения определяется по той же формуле, что и
коэффициент полноты, только в этом случае под <з, понимается суммарная
весовая оценка, полученная * -ым студентом, под а - общий вес заданий вари­
анта (в рассматриваемом случае а = 100), под п - число студентов группы.
Применительно к предложенному варианту заданий 1 - 5 количественная
оценка качественных показателей второй категории может был» получена по
результатам решения второго и пятого заданий; третьей категории - по ре­
зультатам решения четвертого задания, имеющего все признаки задания твор­
ческого характера. С учетом целевой предназначенности качественных пока­
зателей 2-ой и 3-ей категорий, заданиям 2, 4, 5 в соответствии с таблицей 1.3,
присваиваются в этом случае другие весовые коэффициенты.
Таблица 13 - Таблица весовых коэффициентов уровня сложности зада­
ний по дисциплине «Дискретная математика и математическая логика» для
получения количественных оценок показателей 2-ой и 3-ей категорий
№ задания
2
Весовой
40
коэффициент
4
5
100 60
Следует отметить, что коэффициенты полноты, прочности и осознанности
характеризуют сформированность логико-алгебраических компетенций на
репродуктивном уровне, оценки качественных показателей второй категории
—на продуктивном; коэффициент глубины усвоения и количественные оценки
показателей третьей категории характеризуют возможности работы студента
на творческом уровне. Необходимым условием эффективности работы на
этом уровне является достаточно глубокое освоение средств методологиче­
ского потенциала логико-алгебраических наук, свободное оперирование абст­
рактными аналогами технологических приемов, схем и конструкций, свойст­
венных дисциплинам, соответствующим этим наукам.
На завершающей стадии изучения каждой из логшсо-алгебраических дис­
циплин, с целью анализа общей направленности и устойчивости познаватель­
ного интереса студентов, а также с целью получения представлений о количе­
ственном выражении уровня самооценки владения теоретической и практиче­
ской составляющими этой дисциплины (критерий 8), желательно проведение
итогового контрольного среза. Для его проведения разрабатываются системы
заданий, которые условно можно дифференцировать по трем уровням:
- задания первого уровня, относящиеся к заданиям (преимущественно) ре­
§ 4. Проблема диагностики целей логико - алгебраического образования
73
продуктивного характера, должны быть ориентированы на проверку знания
понятийно-терминологической базы изученной дисциплины, предписаний
конкретных ее алгоритмов и умений применения этих предписаний;
- задания второго уровня, относящиеся к заданиям продуктивного харак­
тера, должны быть ориентированы на диагностику способностей системного
применения нескольких алгоритмов и выявление логически обусловленной
схемы, отражающей последовательность их применения;
- задания третьего уровня, относящиеся к заданиям творческого характера,
требующим проявления качеств эвристического мышления, должны быть
ориентированы на выявление способностей трансформации схем, конструк­
ций и построений, генетически присущих одному разделу изучаемой дисцип­
лины, в другие ее разделы или в те или иные области других дисциплин.
Желательно формирование нескольких вариантов заданий, по 30 задач в
каждом варианте, из которых 10 должны относиться к заданиям первого, 10 к заданиям второго и 10 - к заданиям третьего уровня. Уровневая градация
заданий, включенных в эти варианты, студентам не сообщается, но до их све­
дения доводится, что задания первого уровня будут оцениваться по 5-ти баль­
ной, второго уровня - по 7- бальной и третьего по 10 - бальной системе. Каж­
дому студенту предлагается решить 10 заданий своего варианта. Таким обра­
зом, выполняя контрольный срез, каждый студент выбирает 10 заданий, исхо­
дя из самооценки своих возможностей и собственных мотиваций. Учиты­
вая специфику целевых установок итогового среза, объемность и достаточную
сложность заданий третьего уровня, эти варианты выдаются студентам за 3 4 недели до завершения изучения дисциплины.
Один из вариантов таких заданий, ориентированных на студентов, обу­
чающихся по специальности «Математика» в педагогических университетах и
институтах, приводится в приложении Д (пункт III).
Предлагается следующая уровневая градация заданий этого варианта;
1 уровень: 1; 10; 11; 12; 13; 14; 20; 21; 24; 30 задания;
2 уровень: 2; 3; 8; 9; 15; 16; 22; 23; 25; 27 задания;
3 уровень: 4; 5; 6; 7; 17; 18; 19; 26; 28; 29 задания.
Как показывает практика проведения подобных срезов по дисциплинам
логико-алгебраического цикла с последующим (совместным со студентами)
анализом их результатов, студенты в основном правильно осуществляют
дифференциацию заданий по уровням в своих вариантах, но, тем не менее,
характер предпочтений выбора у студентов, как правило, оказывается сущест­
венно различным.
4.43. О контролирующих и обучающих возможностях тестовых тех*
нологий. Важнейшими принципами диагностирования являются объектив­
ность, систематичность и наглядность. Следование этим принципам при раз­
работке материалов методического обеспечения тех или иных методов и форм
контроля существенно повышает уровень соответствия полученных результа­
74
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
тов реальному качеству усвоения учебного материала.
Длительная практика совершенствования форм и методов образовательной
деятельности, опыт работы ведущих университетов мира [81], [112] показали,
что кредитные технологии обучения, в силу их наибольшей адекватности
уровню развития общества и уровню современных технических возможно­
стей, являются наиболее востребованными и действенными. В рамки кредит­
ной системы наиболее органично вписывается рейтинговая система контроля,
которая «.. .учитывает всю активную деятельность обучающихся, связанную с
приобретением знаний, умений и других показателей, формирующих лично­
стные качества студента, как-то: участие в научной работе на кафедре, напи­
сание реферата, участие в конкурсах научно-технического творчества, высту­
пление с докладом на студенческой научной конференции и др.» ([112],
сгр.289).
Учет всей этой деятельности неотделим от обеспечения систематического,
оперативного и объективного контроля. Использование кредитных техноло­
гий во многих ведущих университетах мира показало, что тестовые формы —
наиболее действенный и гибкий инструмент решения задач не только контро­
лирующего, но и обучающего характера
В рамках рейтинговой системы, применение тестовых технологий предпо­
лагает их органичное сочетание с традиционными методами контроля. Как
показывает опыт применения тестовых технологий контроля [79], это сочета­
ние дает наиболее достоверный результат при диагностике целей математиче­
ского образования и особую значимость приобретает при осуществлении ди­
агностических процедур, касающихся целей изучения дисциплин логико­
алгебраической ориентации.
Методологическими предпосылками широкого внедрения тестовых тех­
нологий проверки качества усвоения знаний явился, по-видимому, аксиома­
тический метод, который в последние десятилетия XX века утвердился в ка­
честве ведущего метода не только в системе математических наук, но и во
всей науке в целом. Индуктивно-дедуктивные технологии построения пред­
метного содержания логико-алгебраических дисциплин, свойственные методу
формальных аксиоматических теорий, естественным путем приводят к сле­
дующей концепции тестового контроля: проверить с помощью тестов знание
базовых объектов и алгоритмов и проследить далее, посредством специально
разработанных тестовых заданий, принципы и технологии, лежащие в основе
построения сложных объектов и алгоритмов и структуру системообразующих
связей этих дисциплин.
Следует отметить, что воплощение этой схемы, в случае конкретных учеб­
ных дисциплин, зачастую сопряжено со значительными осложнениями. Тес­
товой реализации наиболее поддаются те дисциплины, в которых форма в
достаточной степени определяет содержание и естественная интерпретация
формальных объектов однозначным образом исчерпывает спектр возможных
§ 4. Проблема диагностики целей логико - алгебраического образования
75
семантических интерпретаций.
Синтаксис и семантика математических наук связаны тончайшими логи­
ческими нитями. Многообразие семантических образов формально­
синтаксических конструкций чрезвычайно трудно поддается относительно
полной тестовой реализации. В соответствии с этим разработка вариантов
тестовых заданий по математическим дисциплинам является чрезвычайно
трудоемкой процедурой. В каждой математической дисциплине присутствует
ряд базовых конструкций, так или иначе определяющих особенности ее исто­
рического развития и современное состояние. Воспроизведение такой конст­
рукции в отдельном тесте практически невозможно, расчленение же ее на ряд
«атомных» составляющих, каждая из которых может быть реализована тесто­
вым заданием, ведет к утрате возможности проконтролировать сформированность целостного представления о подобной конструкции. То же самое отно­
сится и к ряду важнейших теорем, составляющих основу содержания данной
дисциплины. Даже понимание каждого отдельного шага (на которые можно
разбить доказательство теоремы) в доказательстве не гарантирует постижение
его сути в целом.
Сравнительно просто обстоит дело с реализацией первой части высказан­
ной концепции, то есть с разработкой тестовых заданий для контроля базовых
понятий и определений изучаемой дисциплины, хотя и здесь возникают свои
сложности при попытках отразить в тестовых заданиях «иерархию» понятий,
выявить связи и зависимости междутшми. Не возникает обычно сложности в
подборе тестовых заданий, позволяющих проконтролировать умения и навы­
ки решения конкретных задач, то есть практического применения тех или
иных процедур алгоритмического характера Но и здесь следует отметить, что
всякий алгоритм основывается обычно на некоторых общих и глубоких пред­
посылках сугубо теоретического характера Применяя алгоритмическую про­
цедуру к конкретным входным данным и получая на выходе конкретный (да­
же правильный) результат, студент может не иметь никакого представления
об этих предпосылках, зачастую составляющих содержание так называемых
теорем существования и единственности и занимающих центральное место в
каждой математической дисциплине.
Применительно к логико-алгебраическим дисциплинам это означает, что
даже тщательно составленные тесты, отвечающие всем требованиям к их
форме, содержанию и композиционному строению могут служить средством
проверки только формальных навыков исполнения тех или иных алгоритмов,
но не позволяют сделать правильного заключения об уровне общей математи­
ческой культуры и творческом потенциале обучающегося.
Тем не менее, осуществить диагностику, оценить степень овладения осно­
вами понятийно-терминологической базы, выявить навыки исполнения алго­
ритмов, определить пробелы в знаниях, как в масштабе массовой аудитории,
так и у отдельных студентов, осуществить текущий контроль при минималь-
76
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения..
ных временных затратах - все это несомненные преимущества тестов. Тем
самым, применительно к дисциплинам логико-алгебраической ориентации,
тесты следует рассматривать, прежде всего, как средство, облегчающее реше­
ние задач индивидуализации обучения и предназначенное для текущей опера­
тивной работы, но ни в коей мере - не как эквивалент непосредственному об­
щению с преподавателем.
Напротив, авторы, основываясь на собственных наблюдениях, считает, что
результаты тестирования позволяют каждому студенту сделать реальную объ­
ективную самооценку, служат стимулирующим фактором к ликвидации про­
белов в знаниях, побуждают к общению с лектором.
В связи с вышеизложенными замечаниями и исходя из собственного опы­
та разработки вариантов тестовых заданий по циклу логико-алгебраических
дисциплин, а также исходя из опыта применения тестовых технологий кон­
троля, авторы пришли к выводу, что полная замена итогового экзамена (семе­
стрового или годового), в его классическом понимании, чисто тестовым экза­
меном не целесообразна.
Тестовые технологии, вне всяких сомнений, дают возможность организо­
вать оперативный систематический и, исключая фактор субъективизма со
стороны преподавателя, в достаточной степени объективный контроль зна­
ний, умений и навыков студентов. Но тестирование, в современном его пони­
мании, как процедура чисто механического характера, дает возможность под­
вергнуть проверке только то, что так или иначе заложено в тестах самим пре­
подавателем, то есть мера адекватности программного материала тому, что
нашло воплощение в тестовых заданиях, напрямую зависит от «податливо­
сти» материала с одной стороны и от опыта, искусства и изобретательности
преподавателя с другой.
Тем не менее, следует отметить, что образовательно-контролирующие
возможности тестовых технологий в настоящее время, в полной мере, еще не
выявлены и используются еще далеко не в полном объеме.
В частности, в работе [82] предлагаются методические подходы к разра­
ботке многовариантных тестов, посредством применения которых удается
одновременно реализовать как задачи контроля, так и задачи обучения.
Согласно этой работе, в многовариантных тестах: «.. .как и в тестах с од­
нозначным выбором ответа, также предлагается несколько вариантов для вы­
бора, но среди которых может быть как один, так и несколько верных. Приме­
нение такой системы тестирования позволяет резко изменить характер рабо­
ты. Прежде всею, многовариантные тесты позволяют реализовать важную
обучающую функцию. Дело в том, что при бездумном выборе вариантов от­
ветов шансы получить за такую работу положительную оценку близки к ну­
лю. Для качественной работы с такими тестами приходится осмысливать каж­
дый из предлагаемых вариантов, устанавливать связи и соответствия между
ними, вспоминать достаточно полно соответствующий теоретический мастери-
§ 4. Проблема диагностики целей логико - алгебраического образования
77
ал, и т.д., то есть выполнять такую же работу, какую приходится выполнять
при осознанном отношении к учению и в других случаях.» ([82], стр. 18)
Говоря о преимуществах многовариантных тестов, авторы этой работы
отмечают, что: «... по отношению к контролирующей функции тестирования
использование многовариантных тестов позволяет значительно повысить дос­
товерность оценки качества усвоения учебного материала, по сравнению с
одновариантными тестами. ... Структура многовариантных тестов позволяет
более гибко подходить к принципам оценивания результатов работы, потому,
что кроме учета числа абсолютно правильно выполненных тестов можно по
разному подходить к оцениванию каждого из тестов. В частности, можно счи­
тать более грубой ошибкой включение неверных вариантов в число выбран­
ных ответов, и менее грубой - пропуск какого-то одного верного варианта.
Такой подход позволяет более объективно подходить к оценке качества ус­
воения изучаемого материала.» ([82], стр. 20)
Далее, на основе использования многовариантных тестов, авторы предла­
гают качественно новый уровень применения тестовых технологий в обуче­
нии, который: «... основан на применении разветвленных многовариантных
тестов, рассчитанных на работу по глубокой разветвленной схеме. Достигает­
ся это за счет того, что предлагаемые варианты ответов могут сами по себе
служить основой для создания новых встроенных тестов, связанных с каждым
из вариантов в основном тесте. В итоге структура каждого такого теста пред­
ставляет из себя дерево, вершинами которого являются предлагаемые для вы­
бора варианты, а ребра - переходы от одного варианта к другому. Дополни­
тельные предлагаемые варианты для выбора в каждом случае формируются с
той целью, чтобы пользователь попытался подтвердить причины своего пре­
дыдущего выбора, указав из нового приведенного списка причины, по кото­
рым он сделал соответствующий выбор. На этом этапе к некоторым из новых
вариантов выбора можно также добавить новые встроенные тесты, и.тд.
Наличие такой структуры является эффективной формой воздействия на
процесс мышления, ассоциированный с решаемой проблемой. Такой подход
заставляет пользователя после каждого своего шага еще раз осмысливать свои
предшествующие действия. Иногда, в процессе этого анализа может выявить­
ся, что принятое решение было неверным. Это позволит осознанно от него
отказаться, и тем самым своевременно исправить предыдущие ошибочные
действия. Таким образом, с помощью многовариантных разветвленных тестов
можно моделировать культуру мышления, присущую реальной исследова­
тельской деятельности человека.» ([82], стр. 20).
Выявляя преимущества многовариантных тестов, авторы работы [82] от­
мечают, что их разработка требует приложения значительно больших усилий,
чем составление одновариантных тестов и может быть отнесена к деятельно­
сти исследовательского характера.
Следует отметить, что создание и использование в условиях высшей шко-
78
Глава /. Научно-теоретические предпосылки построения...
лы, своеобразной «базы данных» многовариантных тестов по математическим
(в частности, логико-алгебраическим) дисциплинам, возможности компью­
терной реализации этих тестов и компьютерной обработки результатов их
применения, позволили бы поднять эффективность контролирующих и обу­
чающих функций всех форм контроля на качественно новый уровень.
Тем не менее, и при перспективном использовании многовариантных тес­
тов, обсуждение и анализ преподавателем совместно со студентами результа­
тов тестирования представляется необходимой составляющей текущих и ито­
говых мероприятий контролирующего характера.
В соответствии с этим, по мнению авторов, наиболее эффективной формой
проведения итогового экзамена по каждой из логико-алгебраических дисцип­
лин является своеобразный симбиоз традиционных и тестовых технологий
итогового контроля качества обучения. То есть экзамен проводится в два эта­
па; на первом этапе каждому студенту группы предлагается вариант теста (от
30 до 50 тестовых заданий в зависимости от объема изучаемой дисциплины
логико-алгебраической направленности) с четырьмя или пятью вариантами
ответов для каждого задания, один из которых - верный. На выполнение всей
работы отводится два академических часа Затем листы ответов собираются,
проверяются в присутствии и при участии студентов и, далее, проводится со­
беседование, целью которого является выявление и анализ типичных ошибок,
допущенных каждым из студентов в процессе тестирования.
Первый этап экзамена целесообразно проводить в дни консультаций, что
позволяет, после подведения его итогов, перейти непосредственно к консуль­
тации по концептуальным вопросам теоретического материала внесенным в
билеты для проведения второго этапа экзамена проводимого по классической
схеме.
§5. О методологическом потенциале современной об­
разовательной технологии
5Л/.Классификация методов обучения
Современное образование развивается в двух основных направлениях:
традиционном и инновационном. Развитие высшего инновационного образо­
вания, как закономерная реакция на кардинальное изменение целей обучения
и воспитания осуществляется непосредственно на наших глазах при опреде­
ляющей роли ученых в области педагогики, психологии, дидактики и других
наук и при той или иной степени участия в этом процессе коллективов про­
фессорско-преподавательского состава высших учебных заведений.
Сформулировав во втором параграфе данной главы цели изучения логико­
алгебраических дисциплин и на примере дисциплины «Математическая логи­
ка» - принципы отбора содержания, перейдем к выявлению совокупности ме-
§ 5. О методологическом потенциале современной образовательной. ..
79
тодов и приемов обучения этим дисциплинам, как основе технологической
компоненты методической системы содержательного, мотивационно­
ориентированного обучения, построение которой осуществляется в этой главе.
Остановимся предварительно на конкретизации терминологии и подходах
к решению проблемы классификации методов.
Греческое слово «тейюёе»» в переводе на русский язык, означает: путь;
способ изложения, исследования; способ продвижения к истине, к ожидаемо­
му результату. В педагогике метод обучения трактуется, как способ совмест­
ной деятельности преподавателя (учителя) и студента (ученика), направлен­
ный на решение дидактических задач.
В настоящее время в дидактике нет единого подхода к классификации ме­
тодов обучения. Существует несколько классификаций, в основу которых
положены те или иные признаки. В частности: по источнику получения зна­
ний методы делятся на словесные, наглядные, практические; по характеру
познавательной деятельности - на репродуктивные и продуктивные; по диа­
пазону применимости - на частнодидактические и общедидактические.
Широкое распространение получила классификация общедидактических
методов обучения по характеру познавательной деятельности обучающихся,
предложенная Лернером ИЛ. и Скаткиным М.И. ([67]). В дальнейшем эти
методы будут называться традиционными.
В их классификации выделено пять методов:
1) Объяснительно-иллюстративный метод обучения.
Суть этого метода состоит в том, что преподаватель сообщает (передает)
студентам информацию в готовом виде с помощью тех или иных средств, а
студент ее воспринимает, фиксирует в памяти и запоминает. Преподаватель,
таким образом, играет активную, а студент - пассивную роли.
2) Репродуктивный метод обучения.
Этот метод предполагает многократное повторение того, что уже сделано
преподавателем. То есть преподаватель демонстрирует образцы работы, а
студент их воспроизводит в аналогичных условиях.
3) Метод проблемного обучения.
Этот метод основывается на закономерностях творческого усвоения зна­
ний и способов деятельности. Суть метода заключается в том, что преподава­
тель в процессе обучения последовательно предлагает студентам ряд заранее
созданных проблемных ситуаций, преобразует их в учебные проблемы и про­
блемные задачи, намечает пути их разрешения и управляет процессом их раз­
решения студентами.
4) Частично-поисковый или эвристический метод обучения.
Суть метода заключается в обеспечении возможностей осуществления
продуктивной деятельности студентами под руководством преподавателя.
Преподаватель разбивает проблемную задачу на ряд подпроблем и, подводя
студентов к самостоятельному их разрешению, стимулирует их активную
80
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
творческую деятельность.
5) Исследовательский метод обучения.
Применение этого метода состоит в том, что преподаватель ставит перед
студентами проблемную задачу для самостоятельного поиска решения, сту­
дент сам определяет и планирует этапы решения, выдвигает гипотезы, дока­
зывает или опровергает их, контролирует, процесс получения промежуточных
результатов и оценивает их правильность.
5.2,Образовательные возможности методов традиционной педагогиче­
ской технологии
Касаясь потенциальных образовательных возможностей традиционных
общедидакгических методов, их результативности и эффективности следует
отметить, что:
1) Использование объяснительно-иллюстративного метода обеспечивает
усвоение знаний на уровне осознанного восприятия и запоминания, но не спо­
собствует формированию умений и навыков их использования. Следует под­
черкнуть, что это говорит только лишь об ограниченных возможностях этого
метода в достижении образовательных целей, то есть только о том, что обо­
собленное, изолированное применение этого метода в отрыве от других или
приоритетное его применение в современных условиях недопустимо. Тем не
менее, этот метод являлся и является в настоящее время одним из самых рас­
пространенных методов. Он наиболее экономичен, так как позволяет в огра­
ниченные сроки передать студентам значительный объем информации в усло­
виях массовой аудитории. В разумном сочетании с другими методами его
применение будет свойственно и технологической составляющей разрабаты­
ваемой инновационной методической системы обучения логико­
алгебраическим дисциплинам.
2) Репродуктивный метод позволяет овладеть умениями и навыками при­
менения полученных знаний, но по образцу, данному преподавателем и в ва­
риативных, легко опознаваемых ситуациях, то есть в рамках применения пре­
подавателем и объяснительно-иллюстративного и репродуктивного метода.
Деятельность студента классифицируется при этом, только как репродуктив­
ная. В связи с необходимостью свободного владения определенной системой
алгоритмов, свойственных каждой математической дисциплине без примене­
ния этого метода (в его сочетании с объяснительно-иллюстративным) в мате­
матике, в условиях действия любой концепции образования, не обойтись, осо­
бенно на начальной стадии формирования понятийно-терминологической
базы и алгоритмической культуры обучающихся.
Следует отметить, что первые два метода в совокупности с некоторыми
приемами, свойственными проблемному методу составляют базовую основу
традиционной педагогической технологии.
3) Выразительная характеризация возможностей метода проблемного обу­
чения дана Игошиным В.И.: «Этот метод воспитывает в обучаемых стремле­
§ 5. О методологическом потенциале современной образовательной. ..
81
ние к самостоятельности, к критической оценке фактов и гипотез, к творчест­
ву. Он наиболее полно отвечает содержанию и методам математики, как нау­
ки, хотя и требует от преподавателя больших затрат усилий и времени, неже­
ли метод объяснительно-иллюстративный.» ([41], стр. 163).
В условиях применения данного метода студент получает образцы науч­
ных подходов к решению конкретных проблем, как своеобразные эталоны
осуществления мыслительных процедур.
Следует отметить, что создание в процессе обучения преподавателем про­
блемных ситуаций предполагает потенциальную возможность превращения
этих ситуаций в учебные проблемы, то есть возможность принятия их к реше­
нию студентами на основе уже имеющихся у них знаний, умений и опыта,
сформированных ранее. Отсюда следует, что без создания у студентов: опре­
деленной базы знаний, умений и навыков; первичного опыта применения та­
ких средств, как анализ и синтез, обобщение и конкретизация и других прие­
мов мыслительной деятельности, без которых адекватное восприятие про­
блемных ситуаций невозможно, применение проблемного обучения теряет
всякий смысл. Таким образом, метод проблемного обучения предполагает
предварительное применение объяснительно-иллюстративного и репродук­
тивного методов с последующим подключением приемов проблемного мето­
да, который с обогащением системы знаний, умений и навыков постепенно
завоевывает приоритетные позиции.
4) Применение эвристического метода предполагает развитие способно­
стей трансформации знаний, умений и навыков, полученных относительного
объектов конкретной природы данной хорошо изученной предметной области
на объекты иной природы, другой и менее изученной области, основываясь на
использовании непредвиденных и непредполагаемых ранее аналогий, ассо­
циаций и общности конструктивных и структурных особенностей, отражаю­
щих ту или иную степень похожести.
Акцентация внимания студентов на возможностях получения новых зна­
ний, навыков и умений, посредством применения другой интерпретации пер­
вичных объектов и отношений, на языке которых выражаются закономерно­
сти рассматриваемой предметной области, способствует преодолению стерео­
типности мышления, закладывает основы осознанного восприятия концепции
изучения алгебраических систем с точностью до изоморфизма и может рас­
сматриваться, как пропедевтика метода формальных аксиоматических теорий.
В этом заключаются несомненные достоинства эвристического метода. Но его
применение сопряжено еще с большими затруднениями, чем применение ме­
тода проблемного обучения, так как требует высокого мастерства и естест­
венно-научной эрудиции преподавателя, с одной стороны, и соответствующе­
го уровня развития культуры абстрактного мышления студентов, с другой.
5) В условиях применения исследовательского метода студенты овладева­
ют первичными навыками самостоятельной творческой деятельности, приоб­
82
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
щаются к научной работе. Обращение к этому методу предполагает сформированность достаточно высокого уровня, как общей математической культу­
ры, так и абстрактного логико-алгебраического мышления студентов. В связи
с этим, его применение эффективно на старших курсах обучения в условиях
проведения спецкурсов и спецсеминаров, осуществления научного руково­
дства работой студентов в процессе курсового проектирования, написания
выпускных и дипломных работ и проведения исследований, связанных с под­
готовкой магистерских диссертаций.
В рамках каждого из пяти вышеприведенных методов, посредством актуа­
лизации и последующего развития некоторых отдельных составляющих сово­
купного потенциала его образовательных возможностей, было выявлено мно­
жество различных методов и приемов, которым свойственна сложная динами­
ка взаимопроникновений, углублений, конкретизаций, расширений, видоиз­
менений и взаимодополнений. Следует отметить, что эти методы и приемы
разрабатывались в основном применительно к педагогической технологии
средней общеобразовательной школы и системы высшего педагогического
образования.
Проблемный, эвристический и исследовательский методы часто относят к
методам инновационных технологий.
Тем не менее, в данной работе, авторы будут относить, придерживаясь ра­
нее принятого соглашения, методы, включенные в классификацию ЛернераСкаткина к числу традиционных, называя инновационными только те методы
и принципы, которые составят основу обогащения традиционной педагогиче­
ской технологии. В дополнение к этим методам педагогическую технологию
современной концепции образования пополнили контекстное обучение, как
концептуальная основа интеграции различных видов деятельности студентов
(учебной, научной, практической) ([15]); технологии модульного ([117]) и
дистанционного обучения ([30]).
В своем дальнейшем анализе мы будем касаться преимущественно пяти
ранее рассмотренных методов, так как дополнительные методы и технологии
затрагивают, в основном, реорганизацию форм образования (в частности, ма­
тематического) и в значительно меньшей степени касаются его сути. Таким
образом, говоря о методах традиционной педагогической технологии, мы бу­
дем иметь в виду именно эти общедидакгические методы.
§ 6. Общая характеристика методической системы со­
держательного, мотивационно-ориентированного обучения
дисциплинам логико-алгебраического цикла
6.1. Вводные замечания
Обращаясь к названию предлагаемой методической системы, остановимся.
§ б. Общая характеристика методической системы содержательного...
83
прежде всего, на терминологии. Трактовка обучения как содержательного,
может вызвать невольный вопрос, порожденный принципом бинарности,
свойственным мышлению человека: «А разве бывает бессодержательное обу­
чение?». Не пытаясь давать ответ на заданный вопрос, отметим, что в это сло­
восочетание авторами вкладывается иной смысл. В частности, в применении к
математике, в этой (авторской) трактовке находит отражение другое деление
дихотомического характера: содержательный - формальный. Первое пред­
ставление о содержательном подходе к обучению математике ассоциируется,
прежде всего, с непосредственным описанием свойств, признаков, отношений,
характеризующих структурные проявления изучаемых объектов, в их взаимообогащающих и взаимообуславливающих связях, в процессе которого нахо­
дят естественное разрешение неизбежные вопросы: а почему так?; с какой
целью?; для чего? и им подобные. В то время, как представления о формаль­
ном подходе связываются с подачей материала без всяких оживляющих его
мотиваций и содержательно-сущностных характеристик.
Следует подчеркнуть, что, выделяя эти обыденные представления о со­
держательном и формальном, авторы не предполагал давать им какие-то
оценки или предпочтения, а тем более, противопоставлять их. То есть речь
идет не о том, чтобы заменить формальные аспекты изложения на рассужде­
ния содержательного характера, тем более в дисциплинах логико­
алгебраической направленности, в которых именно форма играет определяю­
щее значение, а, напротив, выделяя и актуализируя роль и значимость фор­
мальных построений, обеспечить их интуитивно-содержательными предпо­
сылками.
Не затрагивая проблем диалектики взаимосвязи содержания и формы, как
философских категорий (не они являются предметом данной работы) приме­
нительно к мышлению и теории познания, отметим только, что : «.. .структура
мышления развивается по мере развития познания, и чем глубже и всесторон­
нее содержание мышления, тем в более развитых и конкретных формах оно
выражается.» ([109], сгр.622).
Это положение (но только) в определенном смысле проливает свет на то
«странное обстоятельство», что предметное содержание дисциплины, в част­
ности, ее отражение на страницах учебника, излагается в таких формах, за
которыми неискушенному читателю - студенту довольно сложно уловить его
смысл.
Трудно оспаривать, к примеру, с позиций современной математики, что
представление групповых структурных свойств, другими словами, того со­
держания, которое присуще многим алгебраическим системам, посредством
абстрактно заданных аксиом формального языка исчисления предикатов оп­
ределенной сигнатуры, имеет наиболее конкретную и развитую форму.
Но с позиций современной дидактики непосредственный переход к такому
введению групповых структур в учебной (учебно-методической) литературе,
84
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
естественно, невозможен. Авторами преднамеренно приведен такой, более
чем очевидный пример, в котором (не говоря о содержании) даже совершен­
ство формы неискушенному читателю почувствовать и оценить не дано.
Авторы учебников и учебных пособий, располагая глубокими и всесто­
ронними мыслительными представлениями о содержании излагаемого пред­
мета, (возможно) именно в силу закономерных проявлений приведенного вы­
ше положения, избирают хотя и развитые и конкретные, но увы, труднодос­
тупные, для восприятия заключенного в них содержания, формы.
В соответствии с этим, говоря о содержательном обучении, авторы данной
работы имеет в виду, прежде всего, такую взаимосвязь формы и содержания,
которая не противоречила бы дидактическим принципам наглядности и дос­
тупности.
Переходя к трактовке словосочетания мотивационно-ориентированное
обучение, следует, прежде всего, подчеркнуть, что тот смысл, который вкла­
дывают в него авторы, в значительной степени отличается от смыслового по­
нимания дидактического принципа положительной мотивации и благоприят­
ного климата обучения. Этот принцип, как отмечает ВЛ. Загвязинский регу­
лирует: «.. .коммугикативную сторону обучения, характер отношений в учеб­
ном коллективе; предусматривает деловое сотрудничество педагога и уча­
щихся, создание атмосферы доверия и благожелательности...»([39], стр. 45).
Сущность мотивационной ориентации логико-алгебраических дисциплин,
в ее аннотированном изложении, может быть определена в данной работе, как
возможность овладения идейно-методологическим потенциалом средств на­
учного познания в процессе изучения этих дисциплин. Важно подчеркнуть,
что в плане обеспечения условий для реализации одного из основных поло­
жений гуманизации: «Образование в течение всей жизни», эта мотивация на­
полняется качественно новым содержанием.
62. Частнодидактические принципы как элементы обогащения
6.2.1.
Принцип методологической обусловленности. Необходимость
обогащения средств традиционной педагогической технологии, вызванная
изменением целей образования, в частности, целей предметной логико­
алгебраической подготовки, привела авторов к формулировке трех дополни­
тельных частнодвдактических принципов: методологической обусловленно­
сти; идейно-содержательной мотивации и предметно-стимулирующего
самопознания. Следование этим принципам (в сочетании с другими обще и
частнодидактическими принципами) является одной из отличительных осо­
бенностей методической системы содержательного, мотивационноориентированного обучения. Раскроем содержательную сущность и регла­
ментационно-регулятивные возможности каждого из этих принципов отдель­
но, а также в их системном сочетании применительно к обучению дисципли­
нам логико-алгебраической ориентации.
В процессе этой работы будем апеллировать преимущественно к матема­
§ 6. Общая характеристика методической системы содержательного. ..
85
тической логике, которой в наиболее последовательной и выразительной
форме присуще алгебраическое начало и научные достижения которой в зна­
чительной степени определили предметное содержание таких дисциплин, как
теория алгоритмов и дискретная математика.
Применение тех или иных методов научного познания определяет струк­
туру и содержание знаний, то есть системы научных знаний являются, в из­
вестном смысле, функциями от методов, которые применялись для их полу­
чения. Таким образом, с этих позиций каждая система знаний методологиче­
ски обусловлена.
В частности, специфика алгебраических знаний была на протяжении дол­
гого периода развития математики, обусловлена особенностями геометриче­
ского мышления, то есть преобладанием геометрической методологии; со
времен Евклида система геометрических знаний была обусловлена (для всех
последующих поколений) применением метода содержательных аксиоматик;
долгое время содержание алгебры, воспринимаемой в качестве науки о реше­
нии алгебраических уравнений, было обусловлено набором частных методов
решения отдельных видов этих уравнений, то есть отсутствием общей мето­
дологии; содержание достаточно новой математической науки - теории дока­
зательств, в значительной мере, оказалось обусловлено методом арифметизации синтаксической составляющей метода формальных аксиоматических тео­
рий и так далее.
В историческом плане, развитие методов познания стимулировалось но­
выми задачами теоретического и прикладного характера.
Совершенствование методологии способствовало углублению и расшире­
нию представлений о той или иной области знаний и в некоторых случаях
являлось убедительным основанием для их критического переосмысления и
качественного обновления. С этих позиций, методологическая обусловлен­
ность носит исторический характер. Тем не менее, в периоды эволюционного
развития, она является относительно устойчивой и в достаточной степени
адекватной характеризацией системы научных знаний.
В соответствии с вышеизложенным, следование принципу методологи­
ческой обусловленности обучения той или иной дисциплине предусматри­
вает выделение, констатацию и актуализацию методологических средств пе­
дагогической технологии и типичных проявлений их применения (в формах
мыслительных действий и познавательных процедур) в процессе овладения
знаниями, составляющими содержание этой дисциплины, выявления внут­
ренних механизмов развития этих знаний и их системной организации.
Индивидуальные особенности, характерные структурным свойствам объ­
ектов реальной действительности и специфика их отражения налагают, в рам­
ках той науки, предметом изучения которой они являются, печать определен­
ного своеобразия на формирование системы методов, ориентированных на
выявление знаний об этих объектах. Следует отметить, что многие из этих
86
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
методов (синтезирования новых знаний) приобретают, в дальнейшем, для
данной науки характер универсальной применимости.
Тем не менее, облеченная в «доспехи» терминологии и символики, свойст­
венной различным разделам учебной дисциплины, отражающей эту науку,
призванная к оперированию элементами конкретной и всякий раз новой при­
роды, процессуальная составляющая каждого из этих методов, даже после ее
многократного воспроизведения, не будучи выявленной в чистом виде и за­
фиксированной в формах бесстрастных конструкций и схем, не обретет стату­
са внутренней знаниевой структуры.
Следование принципу методологической обусловленности, уже при пер­
вых проявлениях знаниевообразующих возможностей того или иного метода,
предполагает выявление схем осуществления мыслительных процедур, свой­
ственным этим проявлениям, и, использование дальнейшего материала дис­
циплины в качестве поля развертывания для демонстрации познавательных
возможностей, как самого метода, так и обогащения этих возможностей, за
счет его сочетания с другими методами научного познания.
Согласно концептуальным положениям когнитивной психологии: [106]
«...информация хранится в памяти преимущественно не в виде непосредст­
венных слепков того, что было воспринято, а в виде более или менее обоб­
щенных продуктов умственной переработки воспринятого - репрезентатив­
ных когнитивных структур или когнитивных схем.» ([106], стр. 58).
Многократное наделение одной и той же схемы, отражающей процессу­
альную составляющую метода познания различным содержанием (в рамках
изучаемой дисциплины), обеспечивает формирование устойчивых представ­
лений не только о способах такого наделения, но и о механизмах, обеспечи­
вающих возможность осуществления процедур, в определенном смысле, об­
ратных по отношению к этим процедурам - интерпретации схем в терминах
языка, органичного предмету изучения.
Именно этот путь приводит к формированию внутренних когнитивных
схем, а также механизмов их активизации и приведения в действие. Кроме
того на этом пути, что представляется наиболее существенным, формируются
способности осуществления мыслительной трансформации когнитивных
схем, соответствующих познавательным методам данной науки (отражающей
ее дисциплины) в другие области научных знаний (соответствующих дисцип­
лин), а также способность к оценочным действиям по выявлению возможно­
стей и эффективности применения этих схем, при тех или иных интерпрета­
циях, соответствующих специфике новых условий.
Методология, свойственная данной науке и нашедшая отражение в соот­
ветствующей ей дисциплине, рассматривается, таким образом, как совокуп­
ность интеллектуальных операций, познавательных процедур и методов по­
знания, посредством которых бьши получены, систематизированы и выраже­
ны в современных формах знания, составившие основу содержания как самой
§ 6. Общая характеристика методической системы содержательного...
87
науки, так и педагогически отразившей ее дисциплины.
То есть методология данной науки представляет собой арсенал средств,
которые (в своем развитии) обеспечили современное состояние науки (соот­
ветствующей учебной дисциплины), как нечто мгновенно данное, самодоста­
точное и относительно завершенное и которые аккумулируют в себе потенци­
альные возможности последующего развития и дальнейшей синтезации но­
вых знаний.
Педагогическая технология, со своей стороны включает в себя методы
обучения, рассматриваемые, как способы совместной, упорядоченной и пред­
варительно спроектированной деятельности преподавателя и студента, кото­
рая, будучи ограничена рамками ее применения к обучению конкретным дис­
циплинам, основывается на действиях и процедурах, связанных с передачей
готовых знаний, составляющих предметное содержание изучаемых дисцип­
лин.
Следование принципу методологической обусловленности предполагает
преднамеренное и целенаправленное проектирование своеобразного «эффекта
резонанса», достижение которого осуществляется посредством «наложения
методов обучения на методы познания»
Следует отметить, что вопросы необходимости выделения методологиче­
ской составляющей, при обучении математике в высших учебных заведениях,
поднимались преимущественно в связи с недостаточностью профессиональ­
ной подготовки учителей математики в педагогических институтах и универ­
ситетах и во многих случаях сводились к усилению методической направлен­
ности учебно-воспитательного процесса.
В частности Мордкович А.Г. еще в 1984 году констатировал: « Не иссле­
дованы возможности формирования методологических взглядов будущего
учителя в процессе преподавания математических дисциплин... При обуче­
нии а) математике, б) будущего учителя математики - проблема, что препода­
вать, пожалуй, даже уступает по значимости проблеме как преподавать.»
([76], стр. 43). Следует отметить, что аналогичные вопросы и в том же контек­
сте ставились и Л.Д.Кудрявцевым: «Трудности при обучении любому предме­
ту возникают уже при отборе материала, которому собираются учить и, быть
может, еще больше при установлении принципов, которыми следует руково­
дствоваться при обучении.» ([54], стр. 9). В работах ГЛЛуканкина [69] и
Н.Л.Стефановой [103], касающихся подготовки будущих учителей математи­
ки, обращается внимание на необходимость воспитания методологической
культуры будущих учителей, при этом методологии отдается предпочтение
перед методикой. Н.Я. Виленкин и А.Г. Мордкович в работе [17] предлагают,
в связи с недостаточностью профессионализируемосги математической под­
готовки учителей математики, ввести курс «История математики и ее методо­
логия».
Тем не менее, в относительно общей постановке проблема выявления про-
88
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
дуктивных возможностей органичного сочетания методологии познания и
методологии обучения применительно к высшей профессиональной школе ни
в этих, ни во многих других работах, связанных с дидактикой высшей школы,
не ставилась. Аналогичным образом, в этих работах, при постановке и реше­
нии задач гуманизации обучения, вопросы актуализации методологической
составляющей учебных дисциплин, как средства обеспечения возможностей
получения образования в ускоренных (дистанционных) формах в течение всей
жизни, также не поднимались.
6.22. Принцип идейно-содержательной мотивации. Принцип методоло­
гической обусловленности обучения конкретной дисциплине, способствуя
выявлению методологического потенциала соответствующей науки и воору­
жению его средствами студентов, обеспечивает тем самым достаточно высо­
кий уровень мотивации изучения этой дисциплины. В этом аспекте принцип
методологической обусловленности «пересекается» с принципом идейно­
содержательной мотивации.
Следование принципу идейно-содержательной мотивации обучения
конкретной дисциплине предполагает последовательное выявление первич­
ных идей, интуитивно-содержательных предпосылок, раскрывающих смысл
исторической необходимости и логической обусловленности введения новых
понятий; обоснование концептуальных положений, принципов и теорий в их
органичном и взаимообогащающем развитии, как обязательных связующих
элементов в логическом отражении естественно-исторического пути проис­
хождения знаний, составляющих предметное содержание этой дисциплины.
Таким образом, следование принципу идейно-содержательной мотивации
способствует «оживлению» дисциплины, посредством сообщения знаниям,
составляющим ее содержание, логики и динамики развития, структурно­
композиционной организации и системного функционирования. То есть мо­
тивационные возможности этого принципа раскрываются на основе выявле­
ния мировоззренческих, исторических, логических, эстетических и других
интеллектуальных ценностей, аккумулированных в информационнознаниевой составляющей этой дисциплины.
С другой стороны принцип идейно-содержательной мотивации обучения
конкретной дисциплине ориентирует преподавателя на применение таких
методов и приемов обучения, которые наиболее органичны (сообразны) при­
роде получения знаний, составляющих основу ее предметного содержания. С
этих позиций данный принцип, в свою очередь «пересекается» с принципом
методологической обусловленности.
Как отмечалось выше, принцип методологической обусловленности пре­
дусматривает применение гносеологических и дидактических методов обуче­
ния в их органическом сочетании (наложении, переплетении, слиянии). Спе­
цифика, особенности и характер взаимопроникновений методологий познания
и обучения в процессе этого наложения проявляется и, в значительной степе­
§ 6. Общая характеристика методической системы содержательного...
89
ни, определяется и регламентируется посредством следования принципу
идейно-содержательной мотивации.
Таким образом, принцип идейно-содержательной мотивации ориентирует
не просто (и не только) на процесс следования природе зарождения и развития
знаний и отражение особенностей этого развития в его историческом и логи­
ческом аспектах. Наиболее существенным представляется то, что следование
этому принципу предполагает (в сочетании с принципом методологической
обусловленности), в качестве наиболее значимой мотивации, вооружение сту­
дентов методологическим потенциалом и технологиями его применения в
процессе научного познания, наполняя, тем самым условия реализации прин­
ципов «академической мобильности» и «получения образования в течение
всей жизни» реальным содержанием.
6 2 3 . Принцип предметно-стимулирующего самопознания. В связи с
переходом к инновационной концепции высшего профессионального образо­
вания, знания сместились с позиции «цели», которую они неизменно занима­
ли в традиционной образовательной системе на позицию «средства», то есть
знания перестали рассматриваться как цель обучения и учения, а процесс ов­
ладения знаниями превратился в процесс формирования личности. Указанная
трансформация представляется вполне естественной с позиций гуманизации
образования: «Центральной задачей, ориентированного на человека образова­
ния, признается помощь в становлении личности как субъекта учебной, про­
фессиональной деятельности и жизнедеятельности в целом. Многими психо­
логами, а также педагогами, развивающими идеи личностно­
ориентированного образования (ВА. Гусев, В.В. Сериков, Н.Л. Стефанова,
И.С.Якиманская и другие), подчеркивается, что адекватные представления
человека о себе, других людях, психологических особенностях межличност­
ных взаимоотношений, творчества, развития, самореализации являются важ­
ным фактором становления личности.» ([70], стр. 29-30).
Образовательный процесс, во всей полноте его проявлений, еще классика­
ми мировой педагогики неразрывно связывался с процессом саморазвития
личности. В частности, А. Дисгервег утверждал [31], что, овладевая законом
создания, воспроизводства и развития собственных способностей, человек
становится творцом самого себя.
Включение студента в активную познавательную деятельность требует со­
ответствующей активизации саморазвития, что влечет за собой необходи­
мость формирования системы средств и создания условий, стимулирующих
самопознание, самоопределение и самовыражение.
Обязательное психологическое образование в системе высшей профессио­
нальной школы предусматривается, в основном, только для студентов, обу­
чающихся по педагогическим направлениям, то есть для будущих учителей,
призванных осуществлять общеобразовательную подготовку по тем или иным
направлениям. В связи с этим психологическая подготовка и в высших педа-
90
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
готических образовательных учреждениях ориентирована преимущественно
на педагогическую деятельность.
Таким образом, как справедливо отмечается в [70]: «...среди фундамен­
тальных знаний, осваиваемых человеком в процессе образования, практически
отсутствуют знания о внутреннем мире самого человека» ([70], стр.30).
Из этого следует, что средства развития способностей самопознания необ­
ходимо изыскивать, выявляя и мобилизуя внутренние возможности предмет­
ного содержания изучаемых дисциплин. Этот путь предполагает такое проек­
тирование методической системы обучения и соответствующей ей педагоги­
ческой технологии, непосредственная реализация которых способствовала бы
формированию этих способностей.
Речь идет, таким образом, о некотором дидактическом принципе, следова­
ние которому могло бы привнести в процессы разработки моделей и методик
предметного обучения (и в первую очередь их содержательной и технологи­
ческой составляющих) потенциальные возможности стимулирования процес­
са самопознания. В пункте 2.4.2 второго параграфа данной главы этот прин­
цип был назван принципом предметно-стимулирующего самопознания.
Как отмечалось ранее, принципы методологической обусловленности,
идейно-содержательной мотивации и предметно-стимулирующего самопо­
знания были выявлены и сформулированы применительно к системе логико­
алгебраической подготовки в высших учебных заведениях, как принципы ча­
стнодидактического назначения.
Определение и раскрытие принципов методологической обусловленности
и идейно-содержательной мотивации показывает, что следование этим прин­
ципам оказывает несомненное позитивное воздействие на развитие самопо­
знания, активизируя и стимулируя его.
Это воздействие сказывается и в процессе реализации логического и исто­
рического подходов в их органическом сочетании, ив актуализации средств
методологического потенциала свойственного логико-алгебраическим нау­
кам, и в выделении соответствующих этим средствам мыслительных схем, и в
отражении полученных схем в долговременной памяти сознания в формах
внутренних знаниевых структур. Тем не менее, это их влияние не исчерпывает
всех продуктивных возможностей в развитии самопознания при обучении
конкретным дисциплинам или циклам дисциплин.
Предметное содержание дисциплины, представляющее в своей основе од­
ну или несколько научных теорий, призвано раскрыть их основные функции:
описательную, методологическую, предсказательную и некоторые другие
гносеологические функции.
Касаясь описательной функции, отметим, что: «Описание - начальная сту­
пень познавательной деятельности человека состоящая, главным образом в
фиксировании внешней реальности, непосредственно воспринимаемой орга­
нами чувств человека а также результатов целенаправленных научных экспе­
§ 6. Общая характеристика методической системы содержательного...
91
риментов с помощью понятий и определенных систем обозначений, вырабо­
танных в данной науке. Описание производится путем как обычного языка,
так и специальными средствами, составляющими язык науки (символами,
матрицами, графиками т.п.). Описание подготавливает переход к теоретиче­
скому исследованию объектов с помощью абстрактного мышления, к объяс­
нению их сущности и причин в научных теориях.» ([86], стр. 79).
Объяснение, являясь важным этапом развития научных знаний на пути
движения познания от явления к сущности, нередко является описанием на
более высоком абстрактном уровне, требующем привлечения дополнитель­
ных средств символических обозначений.
Использование символической составляющей для описания закономерно­
стей, свойственных научным теориям, оказалось одним из важнейших стиму­
лирующих факторов развития научного познания. Особенно значимым и пло­
дотворным оказался процесс внедрения систем символических обозначений в
математику и далее в другие естественные науки через посредство использо­
вания в них математических методов.
Еще Г.Галилей считал переход: «.. .от поисков физического объяснения.. .к
поиску математического описания» ([47], стр. 59) истинной целью естество­
знания. И хотя объяснение первопричин, по которым происходит явление
также представляет несомненный интерес, но: «...принятое Галилеем реше­
ние ограничиться описанием явления было наиболее глубоким и наиболее
плодотворным новшеством, когда-либо внесенным в методологию естество­
знания. .. .значение этого нововведения состояло в том, что оно более четко и
определенно, чем ранее, поставило естествознание под эгиду математики.»
([47], стр. 60).
Что касается непосредственно математики, то исключительная значимость
математической символики подчеркивалась не только многими въедающимися
математиками (ГЛейбниц, Д.Буль, Ф.Клейн, Н.И.Лобачевский, Д.Гильберт и
другие), но и учеными из других областей науки (Л.Карно, М.Кондорсе,
Г.Герц, Дж.К.Максвелл и другие).
Математические символы, однажды возникнув в конкретной области ма­
тематики, начинают жить и функционировать относительно самостоятельно,
без опоры на конкретные реальные прообразы, их породившие. В частности
они могут расширять область своего применения, как и любые другие абст­
ракции, будучи наделены тем или иным содержательным смыслом.
Особую значимость представляют математические символы, реальными
прообразами которых являются не отдельные (относительно статические)
предметы реальной действительности, а процессы и явления «в действии» (в
динамике их изменения). Широкое распространение такие символы получили,
в частности, в анализе бесконечно малых, дифференциальном и интегральном
исчислениях и других разделах математики. Такие символы, как символы
«непрерывной изменчивости» в процессе развития, представляют интерес с
92
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
позиций их «оперативной» роли, то есть формального «эквивалента» преобра­
зовательным процедурам, осуществляющимся посредством этих процессов. В
операционной роли таких символов находят отражение акты мыслительной
деятельности, связанные с необходимостью мысленного охвата, не отдельных
образовательных процедур этого процесса, а всего процесса в целом. Осуще­
ствление этих актов обычно связано с применением абстракций потенциаль­
ной осуществимости и абстракций актуальной бесконечности.
Кроме описательной и объяснительной, математическим символам свой­
ственна еще и предсказательная функция, находящая свое выражение в их
эвристической роли.
В широком смысле под эвристической функцией математических абстрак­
ций (в частности символов) понимается: «...способность математики предска­
зывать открытие новых истин, благодаря таким ее особенностям, как исклю­
чительно общий характер ее абстракций и ...внутренние возможности отно­
сительно самостоятельного развития. Она проявляется в основном в двух раз­
личных способах приращения знаний: а) в установлении новых истин, отно­
сящихся к предметам, явлениям и процессам, какой-нибудь конкретной об­
ласти науки с помощью применения к ней готового математического аппара­
та; б) в выявлении объективных математических структур на основе внутрен­
него логического развития абстракций.» ([86], стр. 106).
Следует отметить еще одну важнейшую функцию математической симво­
лики - эстетическую. Известно высказывание Д.Гильберта о том, что всякая
формула - это геометрическая фигура, а любая геометрическая фигура, в свою
очередь, является формулой. Эстетика математических символов нередко от­
ражает одну из самых удивительных закономерностей реального мира - его
симметрию. Симметрия символов (для переменных и постоянных), входящих
в уравнения (то есть формулы) линий и поверхностей в аналитической гео­
метрии часто является отражением той или иной степени их симметричности.
Симметрия решений уравнений или их систем нередко служит поводом поис­
ка новых идеальных объектов в математике или выделения новых математи­
ческих структур, отражающих сущность «побочных» (на первый взгляд) ре­
шений. Таким образом, предсказательные функции математической символи­
ки находят свое проявление и в эстетике ее знакового воспроизведения.
Многие крупнейшие ученые XX века (в частности, Г.Вейль, А.Эйнштейн,
А.И.Мальцев и другие) неоднократно подчеркивали роль искусства (в самом
широком понимании этого слова) в их научном творчестве. Обратное влияние
математики на искусство находит выражение в следующих словах: «С другой
стороны место математики в раскрытии секретов искусства определило инте­
рес к ней (в частности, к геометрии) многих творцов прекрасного, в том числе
таких гигантов, как Леонардо да Винчи или Альбрехт Дюрер...»([88], стр.6).
Символическая составляющая языка любой науки (и математики, в пер­
вую очередь) является отражением уходящей в глубь веков практики челове-
§ 6. Общая характеристика методической системы содержательного...
93
ческого познания. Язык любой науки неразрывно связан с мышлением: «...в
языке объективизируется самосознание личности.» ([109], стр.816).
В соответствии с этим, выделение, актуализация и трактовка знаниевообразующих возможностей символической составляющей (в ее историческом
и логическом развитии) языка любой науки, как возможностей самопознания,
является необходимым элементом в осуществлении учебно-воспитательного
процесса.
Следует также подчеркнуть, что характер примеров, аргументов, демонст­
раций, сопровождающих изучение математических дисциплин традиционно
отражает (в известной мере) специфику деятельности человека в ее массовом
проявлении. В настоящее время содержание и особенности этого демонстра­
ционного сопровождения все еще определяют и наполняют в основном идеи и
представления, отражающие процессы механизации трудовой (то есть физи­
ческой) деятельности человека Тем не менее, с наступлением эры машинной
математики, кибернетических устройств и робототехники, то есть эры повсе­
местного внедрения автоматических систем, в той или иной степени, модели­
рующих мыслительную деятельность человека, подходы к разработке таких
примеров, выбору аргументов и демонстраций должны постепенно меняться.
Уже на языковом, ассоциативном уровне такое показательно-демонстрационное сопровождение должно вводить в мир образов и идей, обеспечивших
приход этой эры.
Кроме того, необходимо констатировать, что отличительной особенно­
стью идейно-методологического потенциала, свойственного содержанию об­
щематематической подготовки высших учебных заведениях является идея
непрерывности, что является закономерным отражением роли и места этого
понятия в современной математике. Тем не менее, основой современной ин­
дустрии машинной математики, ее информационного и коммуникационного
обеспечения служат устройства и технологии, которым свойственна дискрет­
ность. Таким образом, и методологическая составляющая и показательно­
демонстрационное сопровождение предметного содержания математических
дисциплин должны отражать, кроме того, и все более возрастающую значи­
мость понятия дискретности.
Особую актуальность приобретает это положение для цикла логико­
алгебраических дисциплин, в рамках которых были выявлены теоретические
предпосылки возникновения и развития индустрии машинной математики,
заложены основы разработки современных языков программирования, ин­
формационных и коммуникационных технологий.
Конкретизируя вышесказанное, отметим, что следование принципу пред*
метно-стимулирующего самопознания в процессе обучения конкретной
дисциплине предполагает обеспечение, в рамках предметного содержания
этой дисциплины, посредством структурно-композиционного строения, фор­
мы и стиля изложения, особенностей применения средств методологического
94
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
потенциала и показательно-демонстрационного сопровождения, актуализации
оперативных, описательных, эвристических и эстетических функций симво­
лической компоненты ее языка, условий формирования способностей к само­
познанию.
Таким образом, основное предназначение этого принципа заключается в
обеспечении средствами предметного содержания дисциплины и ее методоло­
гического потенциала возможностей активизации процессов самопознания,
как необходимого условия самовыражения и самореализации.
§7. Метод спиралевидного развертывания, как базо­
вый метод технологической составляющей методической
системы обучения логико-алгебраическим дисциплинам.
7.1. Подходы к разработке структурно-композиционного построения
предметного содержания учебных дисциплин
7.1.1. Предварительные замечания. Вышеописанное обогащение систе­
мы традиционных дидактических принципов, посредством введения дополни­
тельных частнодидакгаческих принципов, требует включения в технологиче­
скую составляющую, разрабатываемой методической системы обучения ло­
гико-алгебраическим дисциплинам, методов, способных обеспечить возмож­
ности следования привнесенным принципам. Касаясь дисциплин логико­
алгебраического цикла, следует отметить, что свойственная этим дисципли­
нам специфика выбора первичных понятий и объектов, особенности даль­
нейших определений и построений на их основе сложных объектов и сово­
купностей сложных объектов, посредством применения индуктивных методов
и метода определения от абстракции; использование дедуктивных возможно­
стей логических исчислений, лежащих в основе построения этих дисциплин,
позволяют, в качестве базового метода, ввести в методологическую компо­
ненту традиционной педагогической технологии метод спиралевидного раз­
вёртывания. Этот метод можно определить, как результат интеграции гене­
тического метода, метода развёртывания и концентрического метода.
Для непосредственной характеризации метода, а также для характеризации
его образовательных возможностей, рассмотрим его отдельные составляю­
щие.
Наиболее распространенные подходы к структурно-композиционному по­
строению содержания учебной дисциплины основываются на идеях: а) ли­
нейного и б) концентрического расположения материала.
Линейному расположению материала свойственны последовательное, ло­
гически обусловленное наращивание знаний с окончательной отработкой всех
вводимых понятий и получаемых результатов, от истоков зарождения науч­
ных знаний, соответствующих предмету изучения, до их современного со­
§ 7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод ...
95
стояния, то есть расположение, практически исключающее необходимость
возвращения к этим истокам.
Линейность расположения материала вполне применима в случае неболь­
ших учебных курсов описательного характера, а также отдельных тем (или
разделов). Но в случае достаточно объемных дисциплин, изложению материа­
ла которых свойственен высокий уровень абстрактности, метод линейного
расположения материала малоприемлем. Особенно это касается учебных дис­
циплин, изучение которых осуществляется в течение нескольких лет, что ха­
рактерно для изучения математики в средней школе, или нескольких семест­
ров, в случае посеместровой организации учебного процесса, в образователь­
ных учреждениях высшей школы. В частности, А.Н. Колмогоров, в связи с
попытками построения многолетнего курса школьной математики на основе
«принципа линейности», охарактеризовал этот принцип, как лишенный всяко­
го содержания [50].
7.1.2.
Концентрический и спиралевидный методы. Истоки концентриз­
ма то есть концентрического подхода к построению предметного содержания
педагогической системы восходят к Гегелю, который представлял процесс
познания в виде спирали, на каждом из последующих витков которой осуще­
ствляется возвращение к предыдущим виткам, но уже на более глубоком и
обогащенном уровне понимания.
Различные трактовки идеи концентризма или близких к нему идей приме­
нительно к обучению математике в средней общеобразовательной школе раз­
рабатывались многими известными учеными и методистами (Дж. Брунер,
Л.С. Выготский, А.Н. Колмогоров, Н.М. Бескин, и другие).
По Л.С. Выготскому, концентрическое расположение материала, а, следо­
вательно, и концентрический подход к преподаванию предмета заключается в
том: «...чтобы он в возможно кратком и упрощенном виде был пройден сразу
и в полном объеме. Затем учитель возвращается к тому же предмету, но не для
простого повторения уже бывшего, а для прохождения еще раз в углубленном
и расширенном виде, со множеством новых фактов, обобщений и выводов,
так что все заученное учениками повторяется вновь, но раскрывается с новой
стороны, а новое так связывается с уже знакомым, что интерес возникает сам
собой.» ([20], стр.87).
То есть трактовка концентризма Л.С. Выготским близка к традиционному,
наиболее распространенному его пониманию: «.. .предмет обучения разбивает­
ся на части - концентры, причем более поздние (по времени изучения) концен­
тры в определенной степени повторяют и углубляют предыдущие.» ([98],
стр. 173). Эта трактовка, в ее образном представлении, ассоциируется с систе­
мой концентрических окружностей, что и обусловило происхождение термина
Дж. Брунер особое внимание уделял задаче овладения основными поня­
тиями и применением этих понятий. По Брунеру, учебный план должен пре­
дусматривать постоянное возвращение к этим понятиям, надстраивая над ни­
96
Глава /. Научно-теоретические предпосылки построения...
ми все более новое содержание, до тех пор, пока учащиеся не овладеют всем
формальным аппаратом, связанным с этими понятиями. В этих положениях
уже усматривается самый известный на современный период вариант концентризма - «спиралевидная программа» Дж. Брунера.
Упрощенное понимание идеи концентризма, воспринимаемое как много­
кратное повторение одного и того же материала с незначительной долей обо­
гащения и степенью обобщения справедливо подвергалось критике в связи с
неоправданной практикой увеличения временных затрат, опасностью утраты
целостного представления о предмете изучения, непроизвольным содействи­
ем культивированию ложных представлений о монотонности и однообразии
изучаемой дисциплины.
Но как это часто бывает, критика, перешагнув рамки упрощенного пони­
мания, коснулась идеи концентризма в целом, не замечая многих неоспори­
мых преимуществ этого подхода, что дало повод А.Н. Колмогорову высказать
следующие положения: «После неумеренного увлечения «концентризмом»
преподавания это слово стало, с точки зрения методистов, запретным... . Од­
нако естественный порядок наращивания знаний и умений всегда имеет ха­
рактер «развития по спирали».... Логика науки не знает никакого одного пре­
имущественного «линейного» расположения материала (даже в пределах од­
ной научной дисциплины). Она не требует с другой стороны, и того, чтобы
процесс наращивания знаний, с неизбежным возвращением с новой точки
зрения к ранее изученному, распадался на «концентры». Говоря образно,
«спираль» не обязательно разбивать на отдельные витки.» ([50], стр.60).
Как отмечается в работе [98], в исследованиях по методике преподавания
вузовской математики требование концентризма почти не встречалось. В ка­
честве исключений приводятся работы А.Г.Мордковича [77], О.А.Иванова
[40], В-АЛестова [106], Г.Г.Хамова [111].
В частности, Г'.Г.Хамов при построении методической системы обучения
дисциплине «Алгебра и теория чисел» предлагает использовать спираль: «...
«витки» которой соответствовали бы уровням формирования основ профес­
сионального мастерства будущего учителя математики, причем методические
функции компонентов методической системы обогащались бы по мере разви­
тия методической системы, то есть от «витка» к «витку».» ([111], стр. 25).
Следует отметить, что здесь опора на спиралевидный подход преследовала
цель построения двухступенчатой структуры курса алгебры и теории чисел
для высших педагогических образовательных учреждений.
Имеются и другие работы, в которых спиралевидное построение сводится
к многоуровневой структуризации предметного содержания, к примеру: [29];
[87]; [56].
В предлагаемой работе представления авторов относительно трактовки
«концетризма» в основном соответствуют тем, которые были предложены
Дж. Брунером и А.Н.Колмогоровым. Тем не менее, в связи с определенным
§ 7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
97
своеобразием применения концентрического метода в системе высшей школы
к обучению математическим (в частности логико-алгебраическим) дисципли­
нам, скорректированный соответствующим образом концентрический метод,
в дальнейшем, будет называться спиралевидным.
Существенным отличием спиралевидного метода (в понимании авторов)
от концентрического является то, что изучение объекта, системы, теории
предполагается осуществлять не многократно, то есть, начиная с общего
представления, полученного при первом прохождении, которому могут быть
характерны известного рода пренебрежения к строгости, четкости, корректно­
сти определений и конструкций и (возможно неоднократных) последующих
возвращений, целью которых является прохождение этого же материала, но
на более высоком уровне строгости, обобщенности и абстрактности, а одно­
кратное прохождение материала, посредством спиралевидного восхождения к
постижению сущности фундаментальных структур, составляющих основу его
содержания. Познавательные возможности спиралевидного метода, как это
будет показано ниже, в наиболее полной мере проявляются в интегративном
его сочетании с методом развертывания и генетическим методом.
7.1.3.
Генетический метод. Разработке концепции обучения математиче­
ским дисциплинам в высшей педагогической школе на основе выявления и
использования естественный путей происхождения математических знаний
посвящена докторская диссертация Сафуанова И.С. «Генетический подход к
обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе»
[98]. Прослеживая историю возникновения и развития генетического подхода
к обучению, он, в частности, отметил: « По-видимому, первым использовал
словосочетание «генетическое изложение» выдающийся немецкий дидакт А.
Дистервег (1790 - 1866) в своем, вышедшем еще в 1835 году «Руководстве к
образованию немецких учителей».» ([98], стр. 95).
Говоря о формальной цели образования, как развитии способностей уча­
щихся, их мышления, воображения, памяти, воли, А.Дистервег отмечал:
«Формальная цель требует генетического изложения всех предметов, которые
его допускают, потому что они таким же путем возникли или проникли в соз­
нание человека... только ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую
человечество употребило тысячелетия. Однако его следует вести к цели не с
завязанными глазами, а зрячим: он должен воспринимать истину не как гото­
вый результат, а должен открыть ее. Учитель должен руководить этой экспе­
дицией открытий, следовательно, также присутствовать не только в качестве
простого зрителя...
Правильный метод обучения не просто внешняя форма, которая навязыва­
ется предмету: он проистекает из его природы, составляет его сущность. При
верном методе субъективная сторона вполне совпадает с объективной. Если
метод действительно соответствует природе учащегося индивидуума, то он
соответствует также сущности науки. Между субъектом и объектом здесь нет
98
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
расхождения...», (цит. по [98], сгр.95).
Еще раньше аналогичные идеи выдвигал Лейбниц, Гегель и другие фило­
софы. О необходимости обращения к генетическому способу изложения гово­
рили и писали многие выдающиеся математики и педагоги. В частности, об­
ращаясь к генетическому принципу, Д.Пойа писал: «Планирование курса это нечто большее, чем простой выбор подлежащих изучению фактов и тео­
рий. Здесь важно то, в каком порядке и какими методами будут изучаться эти
факты и теории. В этом отношении многое может дать генетический прин­
цип...» ([89], стр.325).
Самое важное и самое трудное для преподавателя в следовании этому
принципу состоит не только в том, чтобы совместно со студентами пройти по
пути великих открытий, а в обеспечении условий самостоятельного переоткрытия студентами того, что им предстоит изучить. Именно в такой интерпре­
тации генетический метод обучения, как метод, реализующий генетический
принцип, рассматривается далее, в качестве интегративной составляющей
метода спиралевидного развертывания.
12.
Метод спиралевидного развертывания и его образовательные
возможности
Принцип развертывания (опять же применительно к школьной математи­
ке) был выдвинут Л.М.Фридманом в следующем виде: «Каждое фундамен­
тальное понятие, включенное в курс математики, должно появляться в этом
курсе по возможности как можно раньше, сначала в неразвернутом виде, а
затем на протяжении многих лет оно должно в том или ином виде снова появ­
ляться, при этом развертываться, обогащаться, углубляться, концентрировать­
ся и применяться.» ([110], стр.80).
Применительно к вузовской математической подготовке этот принцип
представляет интерес, как некое руководство к работе с базовыми понятиями
изучаемых математических дисциплин.
С позиций применения метода спиралевидного развертывания, процессы
обобщения, углубления, конкретизации, как проявления принципа разверты­
вания, являются внутренними по отношению к внешнему спиралевидному
постижению сущности изучаемых объектов, систем, теорий, при этом логика
развития и ориентация этих процессов обусловлена задачами внешнего вос­
хождения по спирали и подчинена им. То есть итоговая цель внутреннего раз­
вертывания понятий —это формирование таких содержательных представле­
ний и таких четких определений этих понятий, формы которых в наиболее
адекватной степени отражали бы специфику и предопределенность их приме­
нения на соответствующем витке спиралевидного восхождения к постижению
структурной сущности изучаемых объектов.
Как показывает опыт, важнейшим условием продуктивности метода спи­
ралевидного развертывания является основательное изучение именно базовых
понятий, в динамике их внутреннего развития, как основы развертывания по-
§
7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
99
следующего витка в познании.
Начальный этап применения этого метода к изучению конкретных объек­
тов, систем, теорий связан с формированием интуитивно-содержательных
представлений о предмете изучения, что ни в коей мере не связывается с не­
посредственным изучением, а является своеобразной мотивационной прелю­
дией к нему. Прекрасным образцом такой преамбулы являются следующие
рассуждения из работы [68], предваряющие точные определения синтаксиче­
ской и семантической составляющих логического исчисления и изучение свя­
зей между ними: «Формальное изучение любого круга вопросов, связанного с
нашим повседневным опытом, начинается с замены реальных объектов неко­
торыми подходящим образом выбираемыми их абстрактными описаниями,
идеализациями, выбираемыми таким образом, чтобы в этих идеализациях
были отражены именно те свойства исходных объектов, которые мы собира­
емся изучать. В нашем случае речь пойдет об абстрактных «заместителях» для
таких понятий, как мышление, реальная действительность и связь между
мышлением и действительностью. Вместо мышления мы будем рассматри­
вать язык, точнее говоря, формализованный вариант некоторых аспектов есте­
ственного языка. Можно показать, что все чисто формальные аспекты мыш­
ления адекватным образом отображаются в таком языке. Вместо реальной
действительности мы будем рассматривать так называемую структуру, грубо
говоря, представляющую собой совокупность предметов, которые могут быть
сопоставлены в качестве значений различным выражениям языка. Наконец
роль связи между языком и действительностью будет у нас играть интерпре­
тация, то есть функция, приписывающая некоторым языковым выражениям в
качестве их значений некоторые определенные предметы, входящие в данную
структуру.» ([68], сгр.12).
Дифференциация общих представлений об объекте исследования, позво­
ляет выделить систему базовых подобьектов, понятий и отношений, типич­
ных конструкций и технологий, изучение которых в их соответствующей сис­
темной организации составляет содержание первого этапа применения метода
спиралевидного развертывания.
Необходимость и значимость этого метода заключается в том, что непо­
средственное обращение к базовым составляющим объекта изучения, без де­
монстрационного отражения их места и роли в процессе синтезирующего вос­
создания этого объекта, то есть забвение принципа идейно-содержательной
мотивации, нарушает естественную логику развития предметного содержания
дисциплины и существенно понижает уровень внутренней мотивации изуче­
ния этих базовых составляющих.
Следующий этап в применении метода спиралевидного развертывания
связан с всесторонним изучением выявленных понятий, на языке которых
осуществляется описание выделенных подобъекгов и их структурных
свойств. При этом, изучение осуществляется на более высоком уровне точно-
100
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения..
сти и корректности, то есть предлагаются и используются не адаптированные
аналоги понятий, а эти понятия изучаются на уровне строгих современных
формулировок.
Дальнейший этап применения метода спиралевидного развертывания свя­
зан с воссозданием объекта изучения, исходя из обогащенных представлений
о структурных свойствах его базовых составляющих, что дает качественно
новый уровень понимания структурной сущности этого объекта.
Следует обратить внимание, на некую вынужденную условность статиче­
ского представления о методе спиралевидного развертывания: этапы его про­
ведения как бы преднамеренно выделены из общего процесса и зафиксирова­
ны в состоянии «покоя». В действительности они составляют содержание од­
ного уровня (витка) непрерывного спиралевидного восхождения в процессе
познания. Каждое, вновь полученное представление об объекте изучения,
служит основой для «построения» очередного витка спирали, восхождение по
которому потребует тех же этапов, но применительно уже к другим сущест­
венно обогащенным представлениям о базовых составляющих этого объекта,
при этом на каждом из очередных витков восхождения к пониманию его сущ­
ности он будет строго и четко определен и логически обусловлен.
Следует также отметить, что основополагающие понятия, отношения и
конструкции, сопутствуя этому восхождению по спирали, сами будут претер­
певать аналогичное восходящее развитие от своих наиболее простых (но не
приблизительных) форм до такого их обогащения, которое необходимо для
адекватного отражения нового качества знаний об объекте изучения.
Согласно методу спиралевидного развертывания, с каждым достаточно
содержательным понятием связывается поле развертывания этого понятия. От
первичного наиболее общего определения такого понятия предполагается
прослеживание «нитей» различных его конкретизаций, обогащений и прояв­
лений во все более новых качествах. Совокупность всех этих проявлений, рас­
сматриваемая в системе их внутренних взаимосвязей и в отношениях с други­
ми сопутствующими понятиями, и представляет поле развертывания данного
понятия.
Продуктивное применение метода спиралевидного развертывания сущест­
венным образом зависит от прогностического умения такого расположения
изучаемого материала, что всякий раз к завершающему этапу очередного вит­
ка спиралевидного восхождения, связанного с осуществлением новой синте­
зирующей процедуры, было бы завершено соответствующее построение по­
лей развертывания всех составляющих, необходимых для проведения этого
синтеза.
Следует отметить, что метод спиралевидного развертывания имеет общие
черты с концепцией фундирования, выдвинутой В.Д.Шадриковым [114].
Прежде всего обращают на себя внимание следующие аналогии: внешняя
спираль восхождения к сущности объекта и глобальное фундирование; внут­
§ 7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
101
реннее (по отношению к внешней спирали) развертывание сопутствующих
понятий и локальное фундирование. Имеются и более глубокие аналогии,
связанные с актуализацией элементов вузовской математики и последующим
теоретическим обобщением структурных единиц, раскрывающих их сущ­
ность.
Тем не менее, имеются и отличия. Метод спиралевидного развертывания
предполагает, в частности, определенную синхронизацию динамических про­
цессов развертывания очередного витка внешней спирали с получением внут­
ренних полей развертывания сопутствующих понятий. Локальное фундирова­
ние хотя и подчинено целям глобального, тем не менее, их процессуальные
составляющие значительно более свободны относительно друг друга.
§ 8. Общедидактические принципы и методическая
система содержательного, мотивационно-ориентированного
обучения логико-алгебраическим дисциплинам
8.1. Общедидактические принщШы в системе высшей школы
Привнесение метода спиралевидного развертывания в педагогическую
технологию системы логико-алгебраической подготовки студентов в выс­
ших учебных заведениях завершает в своей основе построение методической
системы содержательного мотивационно-ориентированного обучения этим
дисциплинам.
В рамках каждой системы обучения должны реализоваться основопола­
гающие общедидактические принципы. В определенном смысле, жизнеспо­
собность методической системы в значительной мере определяется обеспече­
нием возможностей следования этим принципам, не выходя за рамки предла­
гаемой системы.
В современной педагогике под дидактическими принципами обучения по­
нимаются основные исходные положения, руководящие идеи и нормативные
требования, выражающиеся в формах общих указаний, положений и правил к
организации, регулированию и проведению процесса обучения.
Как отмечено в работе [41]: «Дидактические принципы или принципы
обучения - исходные положения теории и практики обучения, своего рода
научные категории дидактики. Они рассматриваются как практические реко­
мендации, призванные направить педагогическую деятельность по более оп­
тимальному пути к тем целям, которые поставлены перед обучением и воспи­
танием. Принципы дидактики определяют методы обучения, которые в свою
очередь, строятся так, чтобы наилучшим образом реализовать дидактические
принципы.» ([41], стр. 114).
Как отмечалось ранее, система общедидактических принципов определя­
лась, развивалась и пополнялась в основном применительно к потребностям
102
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
организации и проведения учебно-воспитательного процесса в средней обще­
образовательной школе. Каждый из них при соответствующей корректировке,
учитывающей уровень и специфику подготовки в условиях высшей школы,
способен аккумулировать в себе возможности исполнения тех же определяю­
щих, мобилизирующих и направляющих функций, что и в условиях образова­
тельных учреждений среднего звена
В различных исследованиях, касающихся проблем дидактики высшего пе­
дагогического образования, выделяется в основном одна и та же система об­
щедидактических принципов, хотя имеют место и различные отклонения. Так
В.А. Тестовым в [106] отмечаются следующие принципы: 1. принцип генера­
лизации знаний; 2. принцип взаимосвязанности знаний; 3. принцип научности
обучения; 4. принцип доступности обучения; 5. принцип систематичности и
последовательности; 6. принцип практической направленности обучения; 7.
принцип гуманитарной направленности обучения.
В.И.Игошиным в работе [41], также посвященной проблемам подготовки
учителей математики в педагогических высших учебных заведениях, выделя­
ются такие принципы:
1.
принцип профессионально-педагогической направленности обучения в
педвузе; 2. принцип научности; 3. принцип наглядности; 4. принцип связи
теории с практикой; 5. принцип индивидуального подхода в обучении; 6.
принцип сознательности, активности и прочности усвоения знаний; 7. прин­
цип контроля и самоконтроля в учебном процессе.
В предлагаемой работе авторы выделяют следующие принципы: 1) прин­
цип фундаментальности образования, как интегративный принцип, вклю­
чающий в себя, ряд отдельных принципов обучения в качестве составляющих;
2) принцип прикладной направленности обучения; 3) принцип наглядности
обучения; 4) принцип доступности обучения; 5) принцип гуманитарной на­
правленности обучения.
&2. Принцип фундаментальности
8.2.1.
К вопросу содержательной трактовки принципа фундаменталь­
ности. В условиях перехода к инновационной концепции развития высшей
школы в качестве одного из определяющих требований к образованию выдви­
гается требование фундаментальности. С позиций классической дидактики, к
основным принципам, характеризующим фундаментальность образования,
относят принципы научности, систематичности, последовательности.
ВАЛестов в работе [107] добавляет к ним принцип целостности, взаимосвя­
занности и генерализации.
Отмечая, что в педагогической науке пока еще нет единого понимания
фундаментальности образования, он выделяет два основных направления в
попытках трактовки этого понятия: «Первое из них существует давно. Его
сторонники фундаментальное образование понимают как более углубленную
подготовку по заданному направлению, изучение сложного круга вопросов по
§ 7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
103
основополагающим областям науки («образование вглубь»).» ([107], стр. 3).
Такой подход к пониманию фундаментальности образования ведет к абсолю­
тизации роли науки в содержании образования, порождает технократический
способ мышления и преподавания - особенно комплекса естественно­
математических дисциплин высшей школы, что явилось одной из причин кри­
зиса современной образовательной системы.
В рамках второй трактовки: «...фундаментальное образование предстает
как сочетание разностороннего гуманитарного и естественно-научного знания
на основе изучения определенного круга вопросов по основополагающим
областям знаний, как данного направления науки, так и общеобразовательных
дисциплин, без которых немыслим интеллектуальный человек («образование
вширь»).» ([107], сгр.З).
Проанализировав с различных точек зрения (гуманистической ориентации,
практической направленности, деятельностного подхода и тому подобное) те
или иные проявления фундаментальности, ВАЛестов приходит к следующе­
му ее пониманию: «...фундаментальность образования означает направлен­
ность содержания образования на методологически важные, долгоживущие и
инвариантные элементы человеческой культуры, способствующие инициа­
ции, развитию и реализации творческого потенциала обучаемого, обеспечи­
вающие качественно новый уровень его интеллектуальной эмоционально­
нравственной культуры, создающие внутреннюю потребность в саморазвитии
и самообразовании на протяжении всей жизни человека, способствующие
адаптации личности в быстро изменяющихся социально-экономических и
технических условиях.» ([107], стр.8).
Эта трактовка, как относительно новая, учитывающая инновационные це­
ли и задачи высшей школы, и принимается в данной работе в качестве основы
понимания фундаментальности образования. Тем не менее, авторы считают,
что в связи с темпами развития наукоемких технологий и производств, необ­
ходимо и «образование вглубь» по циклу базовых дисциплин, определяющих
будущую специальность и квалификацию. Таким образом, принимая эту трак­
товку, нужно обладать критерием отбора базовых (фундаментальных) дисци­
плин, как общего, так и специального назначения. В качестве одного их таких
критериев можно принять следующий, признаваемый многими дидактами
современности, критерий: «... к группе фундаментальных следует отнести
науки, чьи основные определения, понятия и законы первичны, не являются
следствиями других наук, непосредственно отражают, систематизируют, син­
тезируют в законы и закономерности факты, явления природы или общества.»
([107], стр.4).
С позиций данного критерия дисциплины логико-алгебраической ориен­
тации, как носители мировоззренческого и идейно-методологического потен­
циала изучения и построения систем научных знаний, наиболее адекватны
высказанным в нем требованиям. В соответствии с этим фундаментальность
104
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
математического образования существенным образом определяется уровнем
постановки и осуществления логико-алгебраической подготовки студентов.
Проследим возможности следования принципам научности, систематич­
ности и последовательности, целостности и взаимосвязанности и генерализа­
ции (которые определяют и раскрывают понятие фундаментальности) в рам­
ках предлагаемой методической системы содержательного мотивационно­
ориентированного обучения дисциплинам логико-алгебраического цикла.
8.2.2.
Принцип научности. Принцип научности является одним из важ
нейших принципов дидактики. Он восходит к ЯА.Коменскому, что явно про­
сматривается в основоположениях его «Великой дидактики» [51]. Следование
этому принципу предполагает: «... закономерную связь между содержанием
науки и учебной дисциплины. Он требует, чтобы содержание обучения озна­
комило обучаемых с объективными научными фактами, понятиями, законами,
теориями всех основных разделов соответствующей отрасли науки, в возмож­
ной мере приближалось к раскрытию современных ее достижений и перспек­
тив развития в дальнейшем.» ([6], стр.68 —69). Таким образом, основное пред­
назначение принципа научности состоит в обеспечении соответствия учебных
знаний научным.
Следует отметить, что применительно к дисциплинам логикоалгебраического цикла следование принципу научности обусловлено особен­
ностями предмета обучения. В частности, основу предметного содержания
дисциплины математическая логика составляют логические исчисления, спе­
цифике построения которых и их функциональной предназначенности совер­
шенно чужды практика упрощенных, приближенных формулировок, адапти­
рованных определений, пренебрежение к уровню строгости предлагаемых
доказательств, утрата логичности в изложении и другие тенденции, проявле­
ние которых несовместимо с требованиями научности. Таким образом, потен­
циальные возможности реализации принципа научности определяются спе­
цификой предмета изучения, закладываются, тем самым, еще на уровне раз­
работки структурно-композиционного строения предметного содержания и
выбора форм его представления. При этом, следование принципу бинарносги
отбора обеспечивает включение в предметное содержание этой дисциплины
как основных (классических) разделов соответствующей науки, так и совре­
менных ее достижений с учетом перспектив дальнейшего развития.
Принцип научности обучения предъявляет определенные требования и к
научной обоснованности выбора методов обучения. В частности, говоря о
дидактической целесообразности предпочтения индуктивных подходов, как
наиболее органичных начальному этапу обучения, дедуктивным, следует
иметь в виду положение о диалектическом единстве индукции и дедукции. В
процессах обучения, как и в процессах мышления, индукция и дедукция взаи­
мосвязаны. И только с целью отражения и конкретизации особенностей про­
явления знаниевообразующих (образовательных) возможностей этих методов
§
7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
105
осуществляется их выделение из свойственного им системного единства. Сле­
дует отметить также, что индуктивный метод, хотя и в большей степени акти­
визирует обучаемых, требует больших затрат времени на подведение учащих­
ся к самостоятельному заключению, обобщению, формулировке общих пра­
вил, закономерностей или теорем.
В соответствии с этим, предпочтение метода индукции дедуктивным под­
ходам заключается не в забвении этих подходов, а в их разумном дозирова­
нии: «Здесь уместно вспомнить слова выдающегося немецкого математика и
педагога Ф.Клейна: «Всегда находятся люди, которые по примеру средневе­
ковых схоластов начинают свое преподавание с самых общих идей и защи­
щают этот метод как якобы единственно научный. А между тем, и это основа­
ние неправильно: научно обучат» - значит научить человека научно думать, а
не оглушать его с самого начала холодной научно напряженной системати­
кой.» » (цит. по [41], стр.117) В частности перегруженность символикой и
доминированием общих формально-логических подходов дедуктивного ха­
рактера стала главной причиной того, что, несмотря на научность и строгость
изложения, учебники [78] и [57] не получили широкого распространения в
практике преподавания логико-алгебраических дисциплин в высшей школе.
823. Принцип системности и последовательности. Принцип системно­
сти и последовательности в обучении предполагает дидактическую целесооб­
разность построения предметного содержания дисциплины, введения и изу­
чения ее базовых понятий и фундаментальных структур в системном единстве
и логически обусловленной последовательности.
Важно подчеркнуть, что следование этому принципу при обучении кон­
кретной дисциплине, далеко не всегда обеспечивается внутренней логикой
развития педагогически отраженной в этой дисциплине науки, которой свой­
ственны исторически обусловленные необходимость и непредсказуемость.
Характеризуя принцип системности и последовательности, Ю.К.Бабанский, в
частности, отмечает, что: «Данный принцип допускает определенные вариан­
ты систем и последовательности обучения, но неизменным остается сохране­
ние логически стройного подхода к обучению, а не стихийного, не вытекаю­
щего из учета особенностей и внутренней логики предмета.» ([7], стр. 33 - 34).
Необходимость следования данному принципу приобретает особую зна­
чимость при обучении логико-алгебраическим дисциплинам. Эго обусловлено
особенностями строения классических исчислений (высказываний и предика­
тов), лежащих в основе построения этих дисциплин. Применение индуктив­
ных технологий, природе которых изначально свойственна системность, при
определении синтаксической составляющей этих исчислений, в частности,
формального языка исчисления предикатов, обеспечивает системность аксио­
матического задания и последующего изучения объектов семантики этого
исчисления.
Таким образом, системный подход к построению формально­
106
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
синтаксических конструкций языка исчисления предикатов, предопределяет
условия системной организации последующего материала
Полнота реализации принципа системности и последовательности в зна­
чительной степени зависит от методологии обучения. Следует подчеркнуть,
что введенный в седьмом параграфе этой главы метод спиралевидного развер­
тывания, как базовый метод технологической составляющей, предлагаемой в
работе методической системы обучения дисциплинам логико-алгебраической
ориентации, в наибольшей степени способствует реализации этого принципа
Кроме того, практическое применение, представленного в четвертом парагра­
фе второй главы метода построения математических моделей предметного
содержания учебных дисциплин, на основе которых предлагается алгоритм
выявления оптимальной последовательности введения и изучения дидактиче­
ских единиц рассматриваемых дисциплин, подводит под процедуру выбора
средств, обеспечивающих возможности следования этому принципу, опреде­
ленную научную базу.
8.2.4.
Принцип целостности и взаимосвязанности. Уже в рамках следо­
вания принципу системности и последовательности заложены некоторые
предпосылки реализации принципа целостности и взаимосвязанности знаний.
Действительно, системность содержания предполагает определенную целост­
ность и самодостаточность каждой из математических дисциплин логико­
алгебраического цикла законченность и взаимообусловленность каждого из
ее разделов.
Как отмечается в [106]: «Принцип взаимосвязанности знаний предполагает
рассмотрение устойчивых связей, обеспечивающих целостность изучаемого
объекта То, чему учат должно иметь много связей - этого требовал еще
Я.А.Коменский. ... Таким образом, этот принцип лежит в основе внутри - и
межпредметных связей.» ([106], стр. 123).
Объективной основой целостности и взаимосвязанности математических
знаний является единство языка методологии и предмета изучения. Базовой
составляющей математического языка является формальный язык исчисления
предикатов первого порядка базовыми компонентами методологического по­
тенциала математики являются методы образования научных абстракций, ме­
тоды индукции и дедукции, аксиоматические методы (методы содержательных
и формальных аксиоматик); предметом изучения - математические структуры.
Следует подчеркнуть, при этом, что формально-символический язык матема­
тики и его истинностная семантика определяются в рамках математической
логики; методология логико-алгебраических дисциплин являет собой методо­
логию математического познания в целом; алгебраические системы, как носи­
тели тех или иных математических структур, также изучаются в рамках дисци­
плин логико-алгебраической ориентации. Именно с этих позиций содержание
логико-алгебраических дисциплин выступает в качестве объединяющего нача­
ла и связующего звена в многообразии всех математических дисциплин, в ка-
§
7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
107
честве основы выявления предметных и межпредметных связей.
Во второй главе данной работы демонстрируются возможности продук­
тивного применения технологий, свойственным логико-алгебраическим дис­
циплинам, для выявления и использования далеко не всегда предполагаемых,
но, тем не менее, естественных аналогий между различными математически­
ми дисциплинами.
8.2.5.
Принцип генерализации. Принцип генерализации знаний предпо­
лагает выделение, в процессе построения предметного содержания учебной
дисциплины, ее базовых понятий и математических структур, выявление их
фундаментальных свойств, возможностей их логического развертывания и
системной организации. Как отмечается в [71]: «Для того, чтобы заложить
прочные основы формирования теоретического мышления, необходима гене­
рализация знаний, то есть объединение разрозненных понятий на основе об­
щей математической идеи. Следуя этому принципу, содержание предмета
должно представлять собой единое целое по научным идеям и методам его
изложения. Рассмотрение этого факта только тогда будет эффективным, когда
этот факт явится частью какой-то общей системы, но частностью, вытекаю­
щей из общего.» ([71], стр. 7).
Следует подчеркнуть, что отдельно взятое изолированное понятие, как по­
нятие, ввод которого не мотивирован непосредственными потребностями из­
ложения материала, а введенное по соображениям удобства, в расчете на его
возможное применение в перспективе, легко забывается. Здесь уместно будет
привести высказывание, принадлежащее Дж. Брунеру: «Быть может самое
главное, что можно сказать о памяти человека после столетия интенсивных
исследований, это то, что до тех пор, пока какой-либо частный факт не согла­
сован со структурой, он быстро забывается. Отдельные детали материала со­
храняются в памяти посредством включения их в определенную структуру
или схему... . Обучение общим или основным принципам способствует со­
хранению материала в памяти, позволяет нам восстановить отдельные под­
робности, когда это необходимо. Хорошая теория является не только средст­
вом понимания явлений, но и средством их последующего воспроизведения в
памяти.» ([10], стр. 25 - 26).
В соответствии с этим, в монографии авторов «Методические аспекты
изучения алгебраических систем в высшем учебном заведении» [25], при
обобщении опыта реализации концепции изучения алгебраических систем с
точностью до изоморфизма, следование принципу генерализации знаний
обеспечивается посредством выделения понятия алгебраической системы, в
качестве основополагающего, и таких базовых понятий, как множество, ал­
гебраическая операция, предикат, эквивалентность, конгруэнция, подсистема,
изоморфизм, гомоморфизм, фактор-система и ряда других, в качестве поня­
тий, сопутствующих и обеспечивающих поле развертывания этого основопо­
лагающего понятия.
108
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
Следует отметить, что немаловажную роль в обеспечении условий выпол­
нения положения о системной организации знаний, как одного из регламента­
ционных положений принципа генерализации играет применение метода спи­
ралевидного развертывания, а также заблаговременно-целевое привнесение в
содержательную «ткань» логико-алгебраических дисциплин средств обеспе­
чения возможностей следования принципам методологической обусловленно­
сти, идейно-содержательной мотивации и предметно стимулирующего само­
познания, сформулированных в шестом параграфе этой главы.
83. Принцип наглядности
Процесс познания, а, следовательно, и процесс обучения осуществляется в
диалектическом единстве конкретного и абстрактного, рационального и эмо­
ционального, репродуктивного и продуктивного. Важнейшим связующим
звеном, обеспечивающим это единство, выступают средства наглядности. Как
отмечается в [6]: «Многолетний опыт обучения и специальные психолого­
педагогические исследования показали, что эффективность обучения законо­
мерно зависит от степени привлечения к восприятию всех органов чувств че­
ловека. Чем более разнообразны чувственные восприятия учебного материала,
тем прочнее он усваивается. Эта закономерность уже давно нашла свое выра­
жение в дидактическом принципе наглядности.» ([6], стр.74)
Принцип наглядности, как один из важнейших принципов дидактики был
сформулирован еще Я.Л.Коменским и, в связи с его значимостью, был назван
золотым правилом дидактики.
Таким образом, согласно этому принципу эффективность обучения зави­
сит от разумно-целесообразного и преднамеренного привлечения всех орга­
нов чувств к восприятию, представлению и переработке учебного материала.
В определенном смысле, принцип наглядности ориентирует на заполнение
пространства между конкретным и абстрактным, чувственным и логическим,
мыслью и словом, обеспечивая их связь и единство.
По степени возрастания абстрактности отражения различают следующие
виды наглядности:
- естественная или натуральная наглядность: объекты, процессы и явления
окружающей реальности;
- изобразительная наглядность: фотографии, картины, рисунки;
- символическая наглядность: графики, графы, схемы, диаграммы, табли­
цы, формулы.
Применительно к дисциплинам логико-алгебраического цикла наиболь­
шую значимость имеют средства наглядности третьего вида Реализуя прин­
цип наглядности в процессе обучения математической логике, теории алго­
ритмов и дискретной математике, нужно, прежде всего, рационально исполь­
зовать возможности, органично присущие пред метному содержанию и мето­
дологии этих дисциплин. Дело в том, что для дисциплин логико­
алгебраической ориентации таблицы, схемы, графики, диаграммы, формулы,
§
7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый мет од ...
109
выполняя с одной стороны роль средств наглядности, являются с другой сто­
роны элементами содержания, то есть составляющими предмета обучения.
Значительное место в содержании логико-алгебраических дисциплин при­
надлежит объектам синтаксиса логических исчислений, в частности форму­
лам и их последовательностям. Формулы базовых логических исчислений исчисления высказываний и исчисления предикатов, обладая свойством отра­
жения, как конкретные объекты, построенные по специальным правилам,
имеют многие информативные свойства и качества, присущие средствам на­
глядности. В частности, представление формул алгебры логики посредством
таблиц истинности несет важную информацию не только о семантической
сущности этих формул, но и служит инструментом решения проблем равно­
сильности формул, приведения их к совершенным нормальным формам и
ряда других задач. Аналогично, диаграммы Эйлера-Венна, давая наглядную
интерпретацию результатов применения теоретико-множественных и логиче­
ских операций, обеспечивают с различных позиций формирование первичных
представлений о сущности булевых структур. Кроме того, диаграммы ЭйлераВенна, в случае их применения к формулам исчисления высказываний дают
выразительную наглядную иллюстрацию процедуры построения теоретико­
множественной семантики этих формул. Трактовка представления этих фор­
мул посредством деревьев дает не только возможность выявления их фор­
мально-логического строения, но и возможность наглядной демонстрации
специфики применения индуктивных методов построения формальных язы­
ков логических исчислений. Параллельно, в процессе рассмотрения подобных
наглядных иллюстраций, демонстраций и представлений, осуществляется и
алгоритмическая пропедевтика. В частности отрабатываются алгоритмы: а)
для слов фиксированного алфавита - «быть формулой», «быть аксиомой»; б)
для данной формулы, данной последовательности формул и данного правила
вывода - «следовать этой данной формуле из данных формул по данному пра­
вилу вывода»; в) для данной последовательности формул —«быть доказатель­
ством».
Аналогичным образом, диаграммы Эйлера-Венна дают возможность на­
глядного выявления теоретико-множественного смысла формульных преди­
катов.
Следует отметить также, что, воспроизведенные тем или иным способом,
процессы осуществления равносильных преобразований формул, построения
линейных или древовидных доказательств формул, выводимых в исчислении
высказываний или исчислении предикатов, в высшей степени наглядны и ин­
формативны. Наглядность формул играет существенную роль и в логико­
математической практике. Нередко словесные формулировки определений и
теорем затрудняют восприятие их логической структуры. Ситуация еще более
осложняется, если возникает необходимость получения отрицаний соответст­
вующих формулировок. Переход к имеющим прозрачную логическую струк-
110
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
туру формульным предикатам соответствующей сигнатуры, для которых чет­
ко очерчен список правил равносильных преобразований, позволяет избежать
этих осложнений.
В подобных ситуациях формулы в логике играют роль аналогичную чер­
тежам в геометрии: «По образному выражению АА.Столяра [189, стр. 77]
«так же как чертеж, обнажает геометрическую форму (структуру) предмета и
представляет ее в чистом виде, символическая запись на логико­
математическом языке предложений и рассуждений обнажает их логическую
форму (структуру) и представляет ее в чистом виде.» » (цит. по [41], стр.119).
На важнейшую особенность проявления функций наглядности, свойствен­
ных синтаксическим конфигурациям символического языка указывал еще Дж
Буль: «Те, кто знаком с настоящим состоянием символической алгебры, от­
дают себе отчет в том, что обоснованность процессов анализа зависит не от
интерпретации используемых символов, а только от законов их комбинирова­
ния. Каждая интерпретация, сохраняющая предложенные отношения, равно
допустима, и подобный процесс анализа может, таким образом, при одной
интерпретации представлять решение вопроса, связанного со свойствами чи­
сел, при другой - решение геометрической задачи и при третьей - решение
проблемы динамики или оптики. Необходимо подчеркнуть фундаменталь­
ность этого принципа...» ([118], стр.З).
В этом программном положении Дж Буля содержится многое из того, что
присуще современному методу формальных аксиоматических теорий. Воз­
можности становления этого метода и систематизации математики на его ос­
нове в значительной степени обусловлены особенностями отражения, свойст­
венными аксиомам и системам аксиом, как формулам и системам формул
формального символического языка.
В этом плане, работа с наглядно воспринимаемыми синтаксическими кон­
фигурациями формальных языков логических исчислений представляет собой
пропедевтическую работу, связанную с высшим этапом зрительного воспри­
ятия формул, как восприятия всего того содержания, которое аккумулировано
в них, то есть их потенциально возможных интерпретаций.
Здесь уместна следующая аналогия: цифра «5», воспринимаемая как сим­
вол (чертеж, формула) представляется нам вместе со всеми возможными ин­
терпретациями: пять пальцев руки, пять лепестков цветка и так далее. Посред­
ством натуральных чисел 1; 2; 3; ... , то есть одних и тех же символов (фор­
мул) мы пересчитываем объекты любой природы. Аналогичные ассоциации
должны возникать и при рассмотрении формул, выражающих в подходящей
сигнатуре законы коммутативности, ассоциативности бинарных алгебраиче­
ских операций, законы существования нейтральных элементов относительно
этих операций и тому подобное. В частности, имея аксиоматику группы (то
есть систему из двух или трех аксиом) мы, воспринимая их визуально, полу­
чаем в то же время возможность «пересчитывать» всевозможные конкретные
§
7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
111
групповые структуры.
Трудно переоценить роль средств наглядности при изучении бинарных
отношений. Таблицы, графики, графы, используемые для задания и выраже­
ния свойств бинарных отношений на конечных множествах, активизируя гео­
метрическую интуицию, способствуют формированию содержательных пред­
ставлений о специальных видах бинарных отношений и их роли в изучении
алгебраических систем.
Реализация функций алгебры логики посредством релейно-контактных
схем дает возможность ознакомления не только с еще одним способом пред­
ставления формул этой алгебры, но и продемонстрировать ее прикладные
аспекты.
Широкие возможности применения средств наглядности предоставляет и
предметное содержание дисциплины «Дискретная математика и теория алго­
ритмов». Особую значимость приобретает, при этом, модель «реально дейст­
вующего» вычислительного устройства (машины Тьюринга), позволяющая
формальное описание вычислительного процесса наглядно продемонстриро­
вать «в динамике» его пошагового осуществления на этом устройстве.
Подводя итог, можно констатировать, что возможности эффективной реа­
лизации принципа наглядности в рамках методической системы содержатель­
ного, мотивационно-ориентированного обучения логико-алгебраическим дис­
циплинам во многом закладываются еще при разработке методической и тех­
нологической составляющих разрабатываемой системы, в частности, при оп­
ределении предметного содержания этих дисциплин.
8 А Принцип доступности
Среди принципов современной дидактики принцип доступности занимает
одну из центральных позиций. Сформулированный в рамках педагогической
технологии, ориентированной на образовательные учреждения школьного
типа, этот принцип: «...требует учета особенностей развития учащихся, ана­
лиза материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организа­
ции обучения, чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, фи­
зических нагрузок. Еще Я.А.Коменский сформулировал несколько правил
этого принципа:
- переходить от изучения того, что близко.. .к тому, что далеко;
- переходить от простого к сложному, от неизвестного к известному.»
([85],стр. 183).
С определенной коррекцией этот принцип переносится и в систему прин­
ципов дидактики, регулирующих и определяющих процесс обучения в выс­
шей школе. В частности, нужно отметить, что к моменту поступления с выс­
шие учебные заведения, то есть к достижению 17 - 18 лет будущие студенты,
в отношении физического и психологического становления, естественно, от­
личаются от школьников, прежде всего в плане потенциальной готовности к
обучению в условиях значительно большей интенсификации учебного про-
112
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения.
цесса, тем не менее, суть регламентационных предписаний этого принципа
остается прежней и в условиях высших образовательных учреждений: «Пре­
подавание математики должно бьггь по возможности простым, ясным, естест­
венным и базироваться на уровне разумной строгости.» ([54] стр. 94). «На
первых порах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу,
постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход.» ([54], стр.127).
Покажем, вследствие чего и каким образом, в процессе применения техно­
логической составляющей методической системы содержательного, мотива­
ционно-ориентированного обучения обеспечивается реализация принципа
доступности.
Прежде всего, отметим, что применительно к дисциплинам логико­
алгебраической ориентации (и к математической логике в первую очередь),
строгость изложения является важнейшим условием доступности. Эго связано
с тем, что специфика предмета изучения математической логики, как науки,
формализующей закономерности определенных фрагментов системы челове­
ческого мышления, заключается в определении, посредством строгости форм
выражения этих закономерностей, их потенциально возможного содержания.
Примечательно, что именно Д. Гильберту, внесшему исключительно важный
вклад в развитие математической логики на завершающем этапе ее становле­
ния, как науки, принадлежат слова о том, что было бы ошибкой думать, что
строгость в доказательствах —враг простоты, что строгие методы (напротив)
являются самыми доступными и что именно стремление к строгости заставля­
ет искать наиболее простейшие доказательства. Таким образом, строгость в
математической логике выступает как фактор методологического характера.
Тем не менее, следование принципу доступности в процессе обучения ма­
тематике в высших учебных заведениях требует разумного и дозированного
сочетания логического и исторического, абстрактного и конкретного, фор­
мального и содержательного. Избирательное увлечение формальной стороной
математики в ущерб применению содержательных методов, развитию мате­
матической интуиции и способностей проводить рассуждения эвристического
характера может научить, в лучшем случае, только лишь использованию (по
аналогии) готовых схем алгоритмического характера и предписаний, регла­
ментирующих правила преобразования символических выражений.
Выразительная характеристика подобного подхода к обучению математи­
ке дана Л.Д.Кудрявцевым: «...символы...являются лишь внешним отражени­
ем сущности математики, подобно тому, как нотная грамота - отражение му­
зыки. Почти все математики... хорошо понимают, что чрезмерно формальное
изложение математических курсов в виде безупречно логической стройной
цепочки определений, лемм и теорем, без рассмотрений примеров и без при­
ложений к решению задач может бьггь уподоблено ...изучению музыки с по­
мощью одной лишь нотной грамоты без воспроизведения музыкальною зву­
чания.» ([54], стр.98).
§
7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод ...
113
Необходимо подчеркнуть, что возможность следования принципам мето­
дологической обусловленности, идейно-содержательной мотивации и пред­
метно-стимулирующего самопознания, заложенные в технологическую ком­
поненту
методической
системы
содержательного,
мотивационноориентированного обучения в процессе ее проектирования, отрицает (при
условии последовательного исполнения этой технологии) реальность прояв­
ления подобной избирательности увлечения формальной стороной математи­
ки, обеспечивая, тем самым, условие реализации принципа доступности. Для
этого достаточно обратиться хотя бы только к формулировкам, раскрываю­
щим суть этих принципов.
Говоря о разумности преобладания индуктивных подходов на начальном
этапе изучения дисциплины, следует иметь ввиду, что выделяя любое из базо­
вых понятий дисциплины и приступая к развертыванию содержательного по­
ля этого понятия, необходимо ответить, прежде всего, на следующие вопросы:
- с какой целью вводится данное понятие?;
- чем обусловлен выбор особенностей предлагаемой формы его определе­
ния?.
Получение аргументированных ответов на эти вопросы повышает заинте­
ресованность студентов в обучении, наполняя его процесс дополнительной
мотивацией. Но осмысленное восприятие подобных ответов студентами
предполагает сформированность представлений о понятиях более высокого
уровня сложности. К примеру, аргументация важности введения понятия ал­
гебраической операции необходимостью дальнейшего исполнения ею роли
базовой составляющей понятия алгебраической системы, подразумевает зна­
комство студентов с этим значительно более сложным понятием хотя бы на
уровне пропедевтических представлений. В соответствии с этим, формируя
эти первичные представления, приходится задействовать и дедуктивные ме­
тоды. С позиций теории познания в этом нет ничего удивительного: примене­
ние дедукции и индукции осуществляется в их неразрывной связи, подобно
анализу и синтезу.
Следует также отметить, что и с точки зрения педагогики эксперименталь­
но доказана и теоретически обоснована продуктивность обучения конкретно­
му предмету: «.. .не с простого, близкого, а с общего и главного, не с элемен­
тов, частей, а со структуры, с целого.» ([85], стр. 184). Соответствующая ди­
дактическая система была построена В.В. Давыдовым.
Кроме того, излишнее упрощение теоретического материала и системы
практических заданий приводит к ослаблению интереса студентов к учению,
замедляет формирование навыков абстрактного логико-алгебраического
мышления. В связи с этим, Л.В. Занковым был введен, применительно к
школьному образованию, принцип обучения на высоком уровне трудности, но
и этот принцип не противоречит требованию доступности. По мнению авто­
ров, реализация этого принципа, применительно к условиям высшей школы,
114
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
дает наибольший эффект при дифференцированном подходе.
Таким образом, процессу введения базовых понятий конкретного раздела
математической дисциплины или всей этой дисциплины в целом, в зависимо­
сти от ее объема, целесообразно предварять формирование пропедевтических
представлений о фундаментальных математических структурах, определяю­
щих предмет изучения данной дисциплины и составляющих ее содержание.
Эго как бы базисный виток спирали восхождения к современным представле­
ниям о рассматриваемых структурах в формах строгих, логически обуслов­
ленных определений и построений. Этот путь позволяет не только дать обос­
нованные ответы на поставленные выше вопросы, но и предопределяет роле­
вое предназначение и место вводимых понятий в системном подходе к изуче­
нию математических структур. Сформированность. на необходимом уровне
строгости научных представлений о базовых понятиях, обеспечивает возмож­
ность перехода к синтезированию на их основе более сложных понятий, в
частности понятий математических структур, что представляет следующий
виток в развитии их восприятия. Дальнейшее изучение обогащенных версий
базовых понятий приводит к новому, также обогащенному соответствующим
образом уровню восприятия изучаемых структур. В дальнейшем эти структу­
ры сами могут выступить в роли базовых при пропедевтическом анализе но­
вых математических объектов с еще более сложной системной организацией.
Обобщение вышеприведенного подхода привело к разработке метода спи­
ралевидного развертывания, более подробное описание образовательных воз­
можностей которого предпринято в седьмом параграфе данной главы.
Этот метод позволяет объединить историческое и логическое в подходах к
изучению математических понятий посредством оптимального выбора спрям­
ленного пути развертывания поля изучаемых понятий и объектов математики
от первичных интуитивно-содержательных представлений о них до абстракт­
ного их восприятия, характерного современному уровню развития математи­
ческих знаний.
Исходя из вышеприведенных соображений, можно заключить, что приме­
нение метода спиралевидного развертывания (в сочетании с другими метода­
ми традиционной педагогической технологии) во многом способствует воз­
можности реализации принципа доступности обучения.
85. Принцип прикладной направленности обучения
Познавательная активность мышления находит свое адекватное воплоще­
ние в методологии логико-алгебраических дисциплин. Эго обусловлено тем,
что в рамках математической логики, начиная с формального этапа развития
логики и включая современный этап ее становления, изучаются операции и
закономерности мышления, связи мышления с языком, строятся модели тех
или иных его фрагментов. Алгебраичность технологий построения этих моде­
лей, как следствие операционного характера мыслительной деятельности,
явилась объективной предпосылкой универсальности применения средств
§ 7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
115
методологического потенциала логико-алгебраических наук. Таким образом,
прикладное значение логико-алгебраических дисциплин выражается, прежде
всего, в универсальной применимости методологии, органичной этим дисци­
плинам, и формального языка, разработанного их средствами.
Эго, в известном смысле, теоретико-познавательный (гносеологический)
аспект прикладной направленности. Традиционно, следование принципу при­
кладной направленности предполагает связь обучения с практикой и в более
широком смысле, с жизнью. При таком подходе уместно рассмотреть регуля­
тивные концепты этого признака с нескольких точек зрения.
С одной стороны принцип прикладной направленности обучения ориенти­
рует на то, чтобы, в процессе проектирования педагогической технологии
обучения данной дисциплине, наряду с ее научно-теоретической составляю­
щей предусматривалась разработка и ее практической составляющей. При
изучении теоретических положений и принципов учебных дисциплин необ­
ходимо выделять те алгоритмы, теоремы, конструкции и построения теорети­
ческой составляющей, которые наиболее востребованы в практике разбора
конкретных, иллюстрирующих эти положения примеров, решении задач и
упражнений. Как показывает опыт многолетнего преподавания логико­
алгебраических дисциплин в высших учебных заведениях наиболее приемле­
мым, в методическом плане, подходом к непосредственной реализации связи
теории с практикой, является подход, основанный на выявлении общих схем
практической реализации алгоритмов теоретического характера. Преоблада­
ние индуктивных технологий в системной организации логико­
алгебраических знаний предопределило алгоритмическую природу объектов и
классов однотипных объектов, составляющих основу содержания дисциплин
логико-алгебраической ориентации.
Анализ особенностей реализации соответствующих алгоритмов позволяет
выделить ряд первичных алгоритмов, исполнение предписаний которых не
требует обращения к другим процедурам алгоритмического характера Это
позволяет синтезировать сложные алгоритмы на основе простых, посредством
составления их подходящих комбинаций.
Многократное повторение актов практической реализации выявленных
схем, на уровне их осознанного применения, способствует формированию
мыслительных образов этих схем, закреплению их в долговременной памяти и
включению механизмов их функционирования при необходимости решения
конкретных задач. При таком подходе изучение сложных алгоритмов осуще­
ствляется посредством выявления их поля развертывания.
Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что методологи­
ческой основой реализации принципа прикладной направленности (в его
трактовке, как принципа связи теории и практики) может служить метод спи­
ралевидного развертывания.
С другой стороны, следование принципу прикладной направленности обу­
116
Глава /. Научно-теоретические предпосылки построения...
чения предполагает (применительно к дисциплинам логико-алгебраической
ориентации) выявление возможностей стимулирования прикладных разрабо­
ток средствами этих дисциплин, а также демонстрирование возможностей
непосредственного применения результатов теоретических исследований в
разработках технического характера.
Возможность следования этому принципу (в вышеприведенной его трак­
товке) закладываются на уровне определения предметного содержания логи­
ко-алгебраических дисциплин. Наиболее характерными, в этом отношении
примерами, являются разделы, в которых изучаются технологии построения
формальных языков логических исчислений и разделы, посвященные элемен­
там анализа и синтеза релейно-контактных схем.
Формальные языки логических исчислений и технологии их построения,
послужили теоретическим прообразом создания символических языков про­
граммирования и разработки современных компьютерных технологий. Теория
релейно-контактных схем явилась теоретической основой проектирования и
создания ЭВМ первых поколений. Математическая логика, в целом, как наука
о свойствах и возможностях мышления человека, легла в основу математиче­
ской кибернетики.
Следует обратить внимание также на то, что акцентация принципа при­
кладной направленности содействует, в определенной степени, реализации
принципа идейно-содержательной мотивации. Как справедливо отмечает
М.В.Потоцкий: « Если учащийся видит, что наука возникла в результате оп­
ределенных потребностей человеческого общества, если он видит, что она
содействует ему в разрешении задач, которые ставит перед ним его собствен­
ная профессия, - то это одно уже пробуждает интерес к делу. Те теоретические
тонкости, которые часто так трудно преодолевать в сухом формальном изло­
жении, здесь будут усваиваться значительно легче, так как учащийся будет
чувствовать себя заинтересованным в их преодолении и будет понимать, по­
чему они возникают» ([91], стр. 95).
Подчеркивая плодотворность влияния и стимулирующего воздействия ре­
зультатов, полученных в рамках фундаментальных наук, на развитие при­
кладной математики и обратно - проблем теоретического характера, возни­
кающих в процессе решения прикладных задач на развитие «чистой» матема­
тики, Л.Д.Кудрявцев в работе [54] выдвинул положение о единстве математи­
ки, содержательный смысл которого сводится к тому, что чистая и прикладная
математика являются частями единого неразрывного целого, называемого
математикой, что нельзя отделить как прикладную математику от «чистой»,
так и «чистую» математику от прикладной.
Таким образом, изучение математических, в частности, логико­
алгебраических дисциплин, в органическом единстве теории и практики наи­
более органично природе математических знаний и наиболее адекватно отра­
жению ее внутреннего единства.
§ 7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
117
8.6. П ринцип гуманитарной направленности обучения
Традиционное разделение наук на естественные и гуманитарные, приме­
нительно к математике не дает однозначного ответа. Несмотря на многочис­
ленные применения математики в естествознании и технике, на процессы
проникновения математической методологии практически во все области че­
ловеческих знаний, математика к естественным наукам не относится, прежде
всего, по своему предмету и методам. Естественные науки изучают законы
природы, объекты, явления и процессы реальной действительности. Основ­
ным методом этих наук является эксперимент. Математические науки изуча­
ют, посредством создания идеальных мыслительных образов моделей реаль­
ных структур, прежде всего закономерности мышления, роль эксперимента
(не в мыслительном, а прикладном его понимании) сводится, при этом, к ми­
нимуму.
Многие современные ученые: философы, математики и педагоги относят
математику к разряду гуманитарных наук. К примеру, А.Г.Мордкович отме­
чает, что: «Математика - гуманитарный предмет, который позволяет субъекту
правильно ориентироваться в окружающей действительности.. . » (цит. по [99],
стр. 150).
Выразительную характеризацию Математики, как гуманитарной науки на
основе анализа ее языка дал Игошин В.И.: «Математика - это наука о матема­
тических моделях явлений и процессов, происходящих в окружающем мире.
Математические модели описываются математическим языком__Изучение
математики есть изучение математического языка. Наука, изучающая язык
есть наука гуманитарная. Конечно, здесь речь идет о специфическом языке,
отличающемся от общечеловеческого языка, языке математическом.
...Математика, развиваясь, довела свой язык до такого совершенства и такой
выразительной силы, что язык математический вплотную приблизился по
своим информационно-выразителыгым свойствам к общечеловеческому язы­
ку. Такого совершенства математический язык достиг, когда математикой был
разработан язык математической логики и через него - разнообразные алго­
ритмические языки и языки программирования. Язык математической логики
- эхо по существу открытое вторжение в общечеловеческий язык, математи­
зация общечеловеческого языка с целью более точного, более адекватного его
использования в первую очередь в самой математике. В языке математиче­
ской логики соединилась логика мышления, без которой немыслим общече­
ловеческий язык и математика, математическая логика выразила ту часть об­
щечеловеческого языка, которая в языковой форме передает (озвучивает) соз­
нательные мыслительные процессы, именно поэтому математическая логика и
ее язык оказались тем мостком, который накрепко связал язык и математику,
язык общечеловеческий и язык математический.» ([41], стр. 104 - 105)
Существует и другая точка зрения, разделяемая и авторами этой работы,
согласно которой математика занимает промежуточное положение между
118
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
естественными и гуманитарными науками.
Тем не менее, следует подчеркнуть, что в любом случае (независимо от
принятой точки зрения) неизменным остается представление о математике,
как о науке, обладающей поистине неисчерпаемым гуманитарным потенциа­
лом. Наполняя процессы гуманизации и гуманитаризации, как наиболее зна­
чимые составляющие реформирования традиционной образовательной систе­
мы, конкретным содержанием, необходимо, прежде всего (и в должной мере),
использовать многообразие всех средств этого потенциала.
В основу современной философии образования заложены новые целевые
установки, которые в отличие от технократической философии, провозгла­
шают приоритет человеческой личности. Перенос целевых приоритетов обра­
зования с традиционных целей и задач формирования составляющих извеч­
ной триады: «знания, умения, навыки» на формирование личностных качеств
студента, посредством его активного участия в общеобразовательной дея­
тельности, значительно повышает роль математических дисциплин (особенно
дисциплин логико-алгебраической ориентации) в достижении инновационных
целей высшего образования.
Как отмечалось в предисловии, такие качества личности, как: основатель­
ность и строгость, четкость и гибкость мышления; способность к абстрактно­
му и образному восприятию окружающей действительности; умение плани­
ровать и находить оптимальные пути реализации планов, анализировать и
предвидеть результаты тех или иных действий; готовность к поиску, усвое­
нию и использованию новой информации; к аргументированному дискурсу и
доказательному отстаиванию своей точки зрения и многие другие формиру­
ются, в первую очередь, в процессе изучения математических дисциплин.
Возможности следования принципу гуманитарной направленности закла­
дываются в педагогическую систему обучения данной дисциплине или группе
родственных дисциплин в процессе отбора содержания и разработки его
структурно- композиционного строения и реализуются в процессе обучения.
С этой целью, при проектировании соответствующей педагогической техно­
логии должны быть заранее предусмотрены и созданы условия для проявле­
ния возможностей: формирования мировоззренческих позиций; восприятия
математики, как своеобразного инструмента мироощущения и миропонима­
ния, как значимой части общественного сознания и важнейшей составляющей
общечеловеческой культуры.
Следует отметить, что в этом плане, введенные в данной главе частноди­
дактические принципы методологической обусловленности, идейно­
содержательной мотивации и предметно-стимулирующего самопознания,
содействуя овладению студентами методологическим потенциалом логико­
алгебраических дисциплин, повышению мотивационной значимости обуче­
ния и самопознанию немало способствуют реализации принципа гуманитар­
ной направленности. Важно также отметить и гуманитарную функцию прин-
§
7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый м ет од...
119
ципов наглядности и доступности, обеспечивающих помимо непосредствен­
ного решения своих задач возможности следования и принципу гуманитарной
направленности. Разумное сочетание этих принципов служит делу «оживле­
ния» учебных дисциплин, выявления содержательного смысла и эвристиче­
ских функций формально-синтаксических конструкций, свойственных этим
дисциплинам.
Важную роль в реализации принципа гуманитарной направленности иг­
рают как методы, так и формы обучения. Особо следует остановиться на осо­
бенностях применения такой формы, как лекция, но не с точки зрения ее клас­
сификационной принадлежности: лекция-беседа, проблемная лекция, лекцияконсультация и тому подобное, а с позиций ее продуктивного воздействия на
аудиторию: «Мы считаем, что лекции должны быть хорошо структурированы,
чтобы студенты могли иметь удобные для самостоятельных занятий конспек­
ты. ... Известный педагог-механик А.И.Минаков говорил: «Я за диктант, но
диктант своеобразный. Нужно все время заботиться о том, чтобы он не был
скучным и ужасным. А это уже дело преподавательской техники...» (цит. по
[98], стр. 219 - 220). Следует отметить, что в деле «оживления», наполнения
содержательным смыслом абстрактных понятий и формальных конструкций,
основополагающее значение имеют ■опыт и искусство лектора В установле­
нии контакта с аудиторией, активизации интереса повышения уровня моти­
вации и достижении необходимого образовательного эффекта далеко не по­
следнюю роль играют интонация и тональность речи, исторические экскурсы,
яркие аналогии бытового характера демонстрирование прикладных возмож­
ностей, жесты мимика и тому подобное.
Таким образом, говоря о важности структурно-композиционного аспекта в
лекционном преподавании, нельзя забывать о том, что в устном преподавании
важен и эмоциональный аспект: «Исследования психологов показали, что не
только понимание, но и эмоции влияют на запоминание материала: «...Вряд
ли можно считать спорным, что направленность на запоминание, желание
запомнить тот или иной материал, отношение к запоминанию в существенной
мере определяется тем, каково эмоциональное воздействие этого материала
каков его эмоциональный тон (Смирнов А.А., 1987, стр. 59) ». (цит. по [98],
стр. 220).
Следует отметить, что потенциальные возможности лекционного воспро­
изведения предметного содержания логико-алгебраических дисциплин, в от­
ношении проектирования «эмоциональной кривой» воздействия на аудито­
рию, многогранны и исключительно богаты по формам и средствам их выра­
жения. Многочисленные подтверждения этого положения находят свое отра­
жение в процессе дальнейшего изложения материала данной работы.
8 .7 .0 других частнодидактических принципах обучения дисциплинам
логико-алгебраической направленности
В.И.Игошин в работе [41], выявляя методологические и теоретические ос-
120
Глава I. Научно-теоретические предпосылки построения...
новы логической и логико-дидактической подготовки учителя математики
выделяет ряд положений, способствующих пониманию сути проникновения
логики в дидактику математического обучения и обосновывает их опреде­
ляющую роль в системе логических оснований методики обучения математи­
ке: «Мы называем формулируемые положения принципами, хотя, очевидно,
они, конечно же, менее обширны, ежели известные общие дидактические
принципы.... Реализация данных логических принципов при подготовке учи­
теля математики должна осуществляться следующим образом. Во-первых,
данные логические принципы должны быть осознаны будущими учителями
математики в процессе изучения математической логики. Во-вторых, вся сис­
тема преподавания курсов математики в педвузе должна бьггь подчинена этим
принципам с тем, чтобы будущий учитель математики на собственном опыте
убедился в необходимости их соблюдения, в их влиянии на формирование
логики мышления и мыслительных способностей. В-третьих, в курсе методи­
ки обучения математике должно быть продемонстрировано, как надлежит
реализовывал» данные принципы в ходе преподавания школьного курса ма­
тематики, какова методика такой реализации.... Роль этих принципов в мето­
дике обучения математике состоит в том, что они по существу образуют ее
остов, скелет. Именно вокруг них вращается вся методика обучения матема­
тики.» ([41], стр. 77-78).
В качестве этих положений в [41] формулируются следующие логические
принципы:
- принцип обучения строению (логической структуре) математических ут­
верждений;
- принцип обучения понятию доказательства математической теоремы;
- принцип обучения методам доказательства математических теорем;
- принцип обучения строению математических теорий.
Согласно первому из этих принципов, процесс обучения математике дол­
жен быть неразрывно сопряжен с необходимостью: формирования культуры
структурного восприятия определений, теорем и других математических ут­
верждений; выработки навыков выявления логической основы этих утвер­
ждений, как их формализованной модели и умений представления получен­
ной модели средствами синтаксической составляющей формального языка
современной математики. Следование этому принципу предполагает также
формирование навыков и умений осуществления равносильных преобразова­
ний синтаксических представлений математических утверждений посредст­
вом применения основных равносильностей (законов логики) логических ис­
числений.
Регламентационные предписания второго из вышеприведенных принци­
пов обеспечивают условия пропедевтического ознакомления обучающихся в
процессе обучения математике с понятием доказательства в современной его
трактовке.
§ 7. Метод спиралевидного развертывания, как базовый метод...
121
Реализация регламентационных предписаний третьего из этих принципов
предполагает; во-первых, выявление и использование в процессе обучения
математике возможностей, способствующих освоению синтаксического и
аналитического методов построения доказательств, как логически обуслов­
ленных цепочек умозаключений; во-вторых, выявление и анализ логических
схем, лежащих в основе различных вариантов доказательства методом от про­
тивного, методом разбора случаев, методом математической индукции; втретьих, выделение и актуализацию наиболее употребительных схем, обеспе­
чивающих возможности логически состоятельного перехода от одних умозак­
лючений к другим в процессе построения доказательств.
«К числу таких схем - отмечает В.И.Игошин - можно отнести следующие.
Модусы:
а) Р , Р —>121= (2 (тос1и8 ропепя, утверждающий модус, правило
отделения, от утверждения условия к утверждению заключения);
б) Р
0 ; ^ ^ = ^ (пкхкк ШНепз, отрицающий модус, от отрицания
заключения к отрицанию условия).
Дилеммы:
в) А —> С , В —> С ,А \/ В\ =С (простая конструктивная дилемма);
г) А —> С, В —> Д А V В \= С V И (сложная конструктивная дилемма);
д) А —> С, А
Д ~С V “Д N ''А (простая деструктивная дилемма);
е) А —» С, В —» Д "С V "X? &=^А V "В (сложная деструктивная дилемма);
Введение импликаций и эквивалентностей:
ж) Р —» (2;{2 —» /? М Р —» К (закон условного силлогизма);
з) Р - > ( ) ; ( ) - * Р Ъ=Р <-+ (2;
и) Р \ ^ 0 \ ,Рг~* 0.ър1'
'
Р
)
а (02-» /У (принцип пол­
ой дизъюнкции)» ([41], стр. 82).
Следование четвертому из приведенных принципов предполагает уясне­
ние сути аксиоматического метода, как метода систематизации и получения
новых знаний в процессе построений математических теорий, лежащих в ос­
нове математических дисциплин.
В [41] отмечается, что круг действия принципов логики ограничивается
обучением математики: «Возможно, их следует включить в расшифровку общедидактического принципа научности в обучении применительно к обуче­
нию математике.» ([41], стр. 77).
По мнению авторов, эти принципы могут рассматриваться в рамках даль­
нейшей детализации регламентационных возможностей принципа методоло­
гической обусловленности, введенного в пункте 6.2 данной работы.
Г лава II
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ
ЛОГИКО-АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ
§ 1. Аннотированное введение в содержание главы и
методические подходы к ее изложению
Во все времена в центре внимания философии науки стояли проблемы по­
стижения общих закономерностей научного познания, проблемы, связанные с
осознанием механизмов синтезирования новых знаний, выявления их роли и
места в системе ранее сложившихся научных представлений: «Еще Гегель
отмечал, что «метод обретения знания непременно предполагает познание
пути его достижения, и подлинное знание не может стать таковым без осоз­
нания процесса его достижения: путь к науке сам уже есть наука» ([8], стр. 3).
Имя этой науки - методология.
В философском словаре под методологией понимается: «...система прин­
ципов и способов организации и построения теоретической и практической
деятельности, а также учение об этой системе.» ([109], сгр.365).
Системе логико-алгебраических дисциплин и, в наибольшей степени ма­
тематической логике, как закономерном итоге развития формальной логики
доматематического периода, принадлежит особое место в обосновании мето­
дологии, как науки.
Как отмечается в [22]: «Исследования в области методологии науки зани­
мают в современной философии одно из центральных мест. «Логика и мето­
дология науки», «Логика науки», «Логика научного познания», просто «Ме­
тодология» и тому подобное - все это синонимы. Эти названия приняты в
отечественной литературе для обозначения дисциплины, в рамках которой
изучается совокупность интеллектуальных операций, познавательных проце­
дур и методов научного познания. Эта дисциплина является промежуточной
между философией и точными науками. От философии она заимствует точки
зрения на свой предмет, от точных наук - способы выражения этих точек зре­
ния (строгость, формализуемость, доказательность).» ([22], стр.5).
В настоящее время интерес к методологии науки все более повышается.
Эго вызвано и резким увеличением объема новых научных знаний, что вызы­
вает проблемы, связанные с их усвоением, и с необходимостью критического
пересмотра результатов предшествующих достижений, и с прикладными ас­
пектами методологических концепций фундаментальных наук.
Значимость методологии, необходимость ее дальнейшего развития, роль и
§ 1. Аннотированное введение в содержание главы и...
123
место этой науки в процессе научного познания позволили авторам работы
[22] сделать вывод о том, что: «...совершенствование логики и методологии
науки не менее важно для современного общества, чем совершенствование
самой науки.» ([22], стр.6).
Как отмечалось в первой главе данной работы, актуализация необходимо­
сти овладения студентами базовыми составляющими методологического по­
тенциала теории познания продиктована кардинальным изменением целей
образования, в том числе математического (и логико-алгебраического, в част­
ности).
Процесс гуманизации образования, как естественное отражение инноваци­
онных представлений о роли и месте личности в системе общественного бы­
тия, наделяя концептуальные положения «свободного развития и становления
личности на основе познания и самопознания», «академической свободы» и
«обучения в течение всей жизни» реальным нормативно-правовым обеспече­
нием не указывает, тем не менее, конкретных средств их реализации.
Методология научного познания, как отдельная дисциплина (или как
представленная определенной системой дисциплин) непосредственно вклю­
чается в систему профессиональной подготовки студента по весьма ограни­
ченному набору специальностей. В соответствии с этим, говоря о формирова­
нии методологической культуры обучающихся, следует исходить, в основ­
ном, из выявления и актуализации методологических возможностей базовых
дисциплин, определяющих содержание подготовки по конкретным специаль­
ностям. Для специальностей, профиль которых определяют дисциплины ма­
тематического, в частности, логико-алгебраического характера, эта задача
значительно упрощается в связи с тем, что методологическим возможностям
этих дисциплин свойственна общенаучная значимость.
Основу содержания этой главы составляет опыт изучения, методика вве­
дения и применения таких, наиболее органичных дисциплинам логико­
алгебраического цикла, составляющих методологического потенциала мате­
матики, как:
1) методы образования научных абстракций;
2) методы индуктивных доказательств, определений и построений;
3) дедуктивные методы;
4) методы содержательных и формальных аксиоматических теорий;
5) методы построения логически обусловленных иерархий систем дидак­
тических единиц.
Центральное место отводится, при этом, выделению и конкретизации систематизационных и знаниевообразующих возможностей этих методов.
Второй параграф этой главы посвящен разработке и реализации методиче­
ских подходов к изучению методологии образования научных абстракций и
выявлению специфики их применения в процессе математического познания.
Метод образования научных абстракций является одним из наиболее ши-
124
Глава II. Методологические основы методической системы
роко применяемых методов в познавательной деятельности человека. Форми­
рование приемов абстрагирования уходит своими корнями в практическую
чувственно-предметную деятельность по преобразованию окружающей дей­
ствительности. Осознанию возможностей эпгих приемов, как действенных ме­
ханизмов осуществления теоретико-познавательных актов, предшествовала
простирающаяся в глубь тысячелетий практика человеческого мышления.
Абстрагирование - необходимый элемент познания. Переход от чувствен­
ного опыта к абстрактному мышлению - это закономерный и логически обу­
словленный переход от первичного представления о предметах и явлениях к
познанию их основополагающих сущностей, системообразующих связей и
законов функционирования.
Наряду с методами образования научных абстракций, широкое распро­
странение в математике получили индуктивные и дедуктивные методы. В
дисциплинах логико-алгебраического цикла эти методы занимают основопо­
лагающие позиции.
Трудами многих ученых на протяжении более чем двух с половиной ты­
сячелетий индуктивные методы и технологии вырабатывались и совершенст­
вовались в рамках формальной, индуктивной, диалектической и математиче­
ской логики. Методам индуктивных доказательств, определений и построе­
ний, методике их введения и изучения посвящен третий параграф этой главы.
Центральное место в параграфе отводится принципу индукции, выявлению
возможных путей его обобщения и отработке применения индуктивных и
обобщению индуктивных технологий в процессе изучения логикоалгебраических дисциплин.
В четвертом параграфе, в рамках выявления структурной схемы построе­
ния логического исчисления, осуществляется формализация процессов де­
дукции, даются, в частности, общие подходы к формализации понятия дедук­
тивного вывода.
В пятом параграфе рассматривается метод формальных аксиоматических
теорий в процессе его развития от метода содержательных аксиоматик до
уровня его современного восприятия.
В процессе изучения методов математического познания значительное
внимание должно уделяться демонстрированию их эвристических возможно­
стей. В частности, при введении метода формальных аксиоматических теорий
особое место должно отводиться актуализации предсказательных потенций
формального символического языка, так как возможностям проявления эвристических функций методология математики в значительной степени обязана
именно своему символическому языку: «Чему обязаны своими блистатель­
ными успехами в последнее время математические и физические науки? спрашивал Н.ИЛобачевский и отвечал: «Без сомнения искусственному языку
своему.» ([86], стр.108 -109).
Исключительная важность символов в математике отмечалось многими
§ 1. Аннотированное введение в содержание главы и...
125
математиками и представителями других наук (ГЛейбницем, Ф.Клейном,
Д.Гильбертом и др.). «Символы играют эту замечательную роль благодаря
тому, что они позволяют создавать математические исчисления, в которых
математические умозаключения заменяются «выкладками», производимыми
по определенным правилам. Мыслительный процесс в математике представ­
ляет собой как бы «логическую технику» на языке символов. Символы облег­
чают процесс мышления, предоставляя математику зрительно воспринимае­
мые материальные объекты для рассуждений. Оперирование математически­
ми символами выступает в этом отношении как «идеализированный экспери­
мент.» ([86], стр. 109).
Подчиненные определенным правилам, этапы преобразования синтакси­
ческих конфигураций формализованного языка, представляют собой «мате­
риальные» воплощения актов мыслительной деятельности в «чистом виде»,
то есть в виде, отражающем только логический «каркас» этих преобразова­
ний. Интерпретируя первичные составляющие преобразуемых конфигураций
символического языка посредством объектов тех или иных алгебраических
систем (с соблюдением данных правил), мы получаем возможность перено­
сить соответствующий образ этого «каркаса» в рассматриваемую систему и
использовать его в «готовом» виде, не озадачиваясь воссозданием конкретной
версии этого «каркаса» в частных случаях.
Многократное повторение семантических вариантов такого «каркаса»
преобразований способствует формированию когнитивных мыслительных
схем, отображающих технику преобразований.
Выявление эвристических и эстетических возможностей рассматриваемых
методов математического познания, их ситемообразующего и знаниевообразующего потенциалов, акцентация внимания на их универсальной примени­
мости и прикладных аспектах, обеспечивает, в процессе изучения логико­
алгебраических дисциплин, условия следования дидактическому принципу
идейно-содержательной мотивации - второму из принципов, необходимость
обогащения которым средств образовательного потенциала традиционной
педагогической технологии была обоснована в первой главе.
Важно также отметить то, что творческое изучение математики, в процес­
се которого акцентируется методология познания, способствует саморазви­
тию, самовыражению и самопознанию.
Выразительная характеристика степени влияния математического образо­
вания на формирование личностных качеств человека была дана: «... в докла­
де В.Серю на ... XIX Международной конференции по народному просвеще­
нию: «Среди интеллектуальных свойств, развиваемых математикой, наиболее
часто упоминаются те, которые относятся к логическому мышлению: дедук­
тивное рассуждение, способность к абстрагированию, обобщению, специали­
зации, способность мыслить, анализировать, критиковать. Упражнение в ма­
тематике содействуют приобретению рациональных качеств мысли и ее вы­
126
Глава II. Методологические основы методической системы
ражения: порядок, точность, ясность, сжатость. Оно требует воображения и
интуиции. Оно дает чутье объективности, интеллектуальную честность, вкус
к исследованию и тем самым содействует образованию научного ума.
Изучение математики требует постоянного напряжения, внимания, спо­
собности сосредоточиться; оно требует настойчивости и закрепляет хорошие
навыки работы.
Таким образом, математика выполняет важную роль как в развитии ин­
теллекта, так и в формировании характера».» ([54], стр. 69).
Значительные средства, стимулирующие возможности самопознания и
самовыражения аккумулированы в знаниевообразующих технологиях мето­
дологического потенциала логико-алгебраических дисциплин. От логических
исчислений, в которых нашли выражение творческая активность сознания,
направленная на «самомоделирование» до моделирования интеллектуальных
возможностей человека, посредством современных ЭВМ - вот тот путь, сле­
дуя которому осуществлялось самопознание.
Как отмечалось в первой главе данной работы, на основе анализа пред­
принятого в рамках болонского процесса, человек во всех проявлениях его
интеллектуальных и личностных качеств, станет объектом самого присталь­
ного внимания науки и образования XXI века.
В соответствии с этим, отбор и разработка структурно-композиционного
строения, разработка предметного содержания логико-алгебраических дисци­
плин и методические подходы к его изложению должны быть ориентированы
и подчинены принципу предметно-стимулирующего самопознания - треть­
ему из принципов, необходимость обогащения которым традиционной педа­
гогической технологии была обоснована в первой главе.
Говоря о необходимости актуализации методологии познания средствами
логико-алгебраических дисциплин, важно выделить те приемы и методы обу­
чения, которые были бы наиболее адекватны выражению этой необходимо­
сти. Индуктивная природа строения базовых объектов логико-алгебраических
дисциплин находит свое выражение в пошаговых процедурах их построения,
то есть в их своеобразном «развертывании», начиная с первичных «атомных»
объектов до все более и более сложных. Эти особенности природного строе­
ния наложили существенный отпечаток не только на специфику формирова­
ния как отдельных понятий, так и всей понятийно-терминологической базы
логико-алгебраических дисциплин, но и определили роль индуктивных тех­
нологий, как наиболее органичных формально-логическому строению этих
дисциплин. Формальным аналогам дедуктивных методов в логических ис­
числениях также свойственны пошаговые процедуры, что позволяет осущест­
влять аналогичные развертывания доказательств.
В связи с этим, в данной работе был введен метод спиралевидного развер­
тывания как метод, в котором нашли органичное сочетание приемы обучения
и познания, разработка основных положений которого была предпринята в
§2. К вопросу об абстракциях
127
первой главе.
В процессе отбора и структурирования учебного материала, составляюще­
го содержание математических дисциплин, немаловажное значение имеет по­
рядок введения дидактических единиц. На смену многовековому опыту эм­
пирического подхода к определению этого порядка приходят научные мето­
ды, в частности методы математического моделирования.
В рамках логико-алгебраических наук (в частности, в теории графов, как
одном из разделов дискретной математики) были развиты эффективные тех­
нологии, способствующие (при их соответствующей трактовке) выявлению
научно обоснованных подходов к определению структурно-композиционного
построения как всей учебной дисциплины, так и отдельных составляющих ее
содержания.
В шестом параграфе данной главы, на основе использования этих техно­
логий, предлагается опыт построения возможных моделей систем дидактиче­
ских единиц и на основе этих моделей дается (как развитие и обобщение со­
ответствующих подходов работы [1]) алгоритм выявления оптимальной по­
следовательности их введения.
Далее в этом параграфе предлагается реализация полученного алгоритма
применительно к системе единиц, составляющих основу понятийнотерминологической базы отдельной темы «Бинарные отношения» и примени­
тельно к системе укрупненных дидактических единиц при разработке струк­
туры и содержания учебника [32].
В полном объеме опыт применения этих технологий бал предпринят акто­
рами при написании монографии [25].
§ 2. К вопросу об абстракциях
2.1. Методические подходы к проектированию содержания
Современному этапу развития математических знаний характерен высо­
кий (и все более прогрессирующий) уровень абстрактности. Эго связано,
прежде всего, с тем, что предметом изучения в математике являются не объ­
екты реальной действительности, а их идеализированные мыслительные об­
разы.
Традиционно, говоря об основных видах абстрагирования в математике,
называют такие виды, как абстракция отождествления (или обобщающая аб­
стракция), абстракция потенциальной осуществимости; абстракции потенци­
альной и актуальной бесконечности, идеализация, формализация и аксиома­
тизация.
Основное внимание во втором параграфе данной главы уделяется выявле­
нию и реализации методических подходов к введению и изучению абстрак­
ции отождествления, генетическое обоснование которой восходит к операции
128
Гпава II. Методологические основы методической системы
деления, изучаемой в формальной логике, и опыту классификационных под­
ходов к описанию тех или иных совокупностей объектов реальной действи­
тельности.
В математике (более конкретно, в дисциплинах логико-алгебраического
цикла) опыт классификационных процедур явился прообразом методологии
построения абстракций от абстракций, формальное воплощение которой на­
шло свое выражение в технологиях построения фактор-структур и теоремах о
гомоморфизмах алгебраических систем.
Для осознания природы действия механизмов, обеспечивающих системноорганизующие и знаниевообразующие возможности абстракции отождеств­
ления, необходимо своеобразное развертывание («препарирование») процесса
абстрагирования, с целью выявления основных этапов этого процесса, и во­
площения их в формах предписаний и схем.
В соответствии с этим, в разделе 2.2. осуществляется представление мето­
да образования абстракций, как необходимого элемента научного познания и,
на уровне пропедевтического описания, конкретизируются основные техно­
логические приемы, связанные с процессом абстрагирования.
Предметом изучения раздела 2.3 является специфика образования матема­
тических абстракций. Главное внимание в этом пункте уделяется выявлению
тех особенностей и механизмов процесса образования, которые обеспечивают
знаниевообразующий потенциал, получаемых при этом, математических аб­
стракций.
Пункт 2.4 непосредственно посвящен абстракции отождествления и де­
монстрационному отражению метода определения от абстракции, основан­
ному на принципе абстракции, как формальном образе абстракции отождест­
вления.
В разделе 2.5 продолжается изучение метода определения от абстракции,
при этом центр внимания перенесен на реализацию возможностей этого мето­
да применительно к получению абстрактных аналогов количественных при­
знаков и отношений, присущих реальным объектам и совокупностям. В про­
цессе этой работы, в пункте 2.5.1 выявляется роль теоремы о переходе, яв­
ляющейся (по существу) формальным воплощением схемы метода определе­
ния от абстракции, ориентированной на получение абстрактных образов коли­
чественных отношений. Далее схема применения метода определений от абст­
ракции корректируется и конкретизируется применительно к задачам выявле­
ния количественных характеристик. Методика применения полученной схемы
демонстрируется на конкретных примерах из теории множеств и алгебры.
2.2. Абстрагирование, как необходимый элемент научного познания
Ставя задачу выявления методологических основ абстрагирования и осо­
бенностей их проявления в научном познании, остановимся предварительно
на общенаучной трактовке понятия «абстракция». Слово «абстракция» проис­
ходит от латинского слова «аЬз1гасПо», что в переводе на русский язык означа-
§2. К вопросу об абстракциях
129
ет «удаление» («отвлечение»). В философском словаре абстракция характери­
зуется как «...формирование образов реальности (представлений, понятий,
суждений) посредством отвлечения, то есть путем использования (или усвое­
ния) лишь части из множества соответствующих данных и прибавления к этой
части новой информации, не вытекающей из этих данных. ... Отвлечением
упрощают, а пополнением усложняют образ реальности...» ([109], стр.7).
Как следует из этой трактовки, основной смысл абстрагирования состоит в
мысленном выделении отдельных сторон, свойств и признаков изучаемого
объекта при одновременном отвлечении от других его сторон, свойств и при­
знаков.
В соответствии с целями исследования, выделяются такие наиболее суще­
ственные свойства изучаемого объекта, которые в своем единстве способны
адекватным образом заменить его в тех или иных познавательных ситуациях.
Другими словами, в процессе абстрагирования человек как бы «очищает»
объект изучения от несущественных признаков, свойств, связей и отношений,
которые не только не способствуют процессу познания, но и в определенной
степени затрудняют его, то есть изучает выделенные свойства объекта в идеа­
лизированных условиях без учета влияния на них со стороны несуществен­
ных, в рассматриваемой ситуации, свойств этого реального объекта.
К числу несущественных признаков, как правило, относится то, что связа­
но с внешними, наиболее доступными восприятию, проявлениями объекта
(или системы однотипных объектов), которые хотя и оживляют его, но, тем
не менее, не затрагивают более глубоких (системообразующих) связей и зави­
симостей. Таким образом, абстрагирование всегда связано с огрублением,
обезличиванием объектов «живой» действительности. Но без этого временно­
го огрубления продуктивное познание невозможно, так как оно, с одной сто­
роны, упрощает задачу исследования, а с другой - за счет абсолютизации вы­
деленных существенных свойств, обобщения и рассмотрения их в чистом ви­
де, позволяет выявить и наделить изучаемые объекты новым смыслом, кото­
рый не дано познать посредством только чувственного опыта.
В науках получивших достаточно высокий уровень развития (прежде все­
го это касается математики) в процессах образования научных абстракций
широко используется идеализация, как мыслительный прием, представляю­
щий собой особый вид абстрагирования.
Процесс идеализации представляет собой: «...мысленное конструирова­
ние понятий об объектах, не существующих и не осуществимых в действи­
тельности, но таких для которых имеются прообразы в реальном мире. Про­
цесс идеализации характеризуется отвлечением от свойств и отношений, не­
обходимо присущих предметам реальной действительности, и введением в
содержание образуемых понятий таких признаков, которые в принципе не
могут принадлежать их реальным прообразам.» ([109], стр. 196). Важно под­
черкнуть, что «.. .реальные свойства, фиксируемые и отражаемые этими абст-
130
Глава //. Методологические основы методической системы
ракциями не существуют ... изолировано от других свойств изучаемого объ­
екта. Представление их в «чистом» виде, то есть в отрыве от других, влияю­
щих на них свойств, является результатом абстрагирующей деятельности по­
знающего ума» ([86], стр. 17 - 18).
Например, «...первые эмпирические понятия о фигурах тел в наблюдае­
мом пространстве создают индуктивно, отвлекаясь от всех индивидуальных
свойств наблюдаемых тел, кроме их формы и размера. Геометрический смысл
этим понятиям сообщают за счет их логической реконструкции, наполняя вы­
деленные эмпирические свойства теоретическими свойствами непрерывно­
сти, неограниченности, протяженности, параллельности и пр., то есть всеми
свойствами, которые необходимы для выражения чисто геометрических ис­
тин (теорем)». ([109], стр.7). Понятно, что идеальные геометрические свойст­
ва, о которых идет речь в этом примере и сообщают (в своем информацион­
ном единстве) объектам изучения тот новый смысл, выявление которого не­
возможно в процессе осуществления только чувственной ступени познания.
Таким образом, наделяя свои абстракции идеальными свойствами, научное
познание возмещает недостатки неизбежного огрубления, сопровождающего
процесс образования абстракций.
Продуктивность этого своеобразного «обмена» заключается в том, что на­
деление объектов познания «идеальными» свойствами обеспечивает возмож­
ность их исследования посредством «бесстрастных» законов формальной ло­
гики.
«Если отвлечение от определенных сторон рассматриваемого явления, отмечает Ю.Е.Петров, - в какой-то мере отделяет нас временно от изучения
его во всей полноте (во взаимосвязи и взаимодействии с другими явлениями в
процессе самодвижения, изменения и развития), то процесс выделения в па­
мяти и фиксация в том или ином виде некоторых других свойств этого явле­
ния создает реальную возможность оперирования мысленными объектами, то
есть моделями изучаемого объекта.» ([86], стр.8).
Следует подчеркнуть, что в гносеологическом отношении наиболее зна­
чимым фактором абстрагирования является выделение, фиксация и сохране­
ние наиболее существенных свойств объекта изучения.
23. Специфика образования математических абстракций
Широкое применение в научном познании находят такие виды абстраги­
рования, как идеализация, абстракция различия, абстракция отождествления,
изолирующая абстракция, абстракция потенциальной осуществимости, абст­
ракция потенциальной бесконечности и некоторые другие виды абстракций.
Наиболее развитой системой абстракций обладает математика, так как, в
определенном смысле, можно утверждать, что основополагающим ее мето­
дом является метод образования научных абстракций и предмет ее изучения
также составляют абстракции, как идеальные мыслительные объекты. Мате­
матическая наука не изучает действительность непосредственно; она ее ис-
§2. К вопросу об абстракциях
131
следует опосредованно, через призму научных абстракций.
В данном контексте уместно следующее высказывание Л.С. Понтрягина
«Математика имеет свою внутреннюю логику развития, следуя которой ма­
тематики создают понятия и даже целые разделы, являющиеся продуктом
чисто умственной деятельности, которые никак не связаны с окружающей нас
материальной действительностью и не имеют в настоящее время никаких
приложений...». ([90], стр.22 - 23).
И хотя Р. Курант справедливо замечает, что математика не обладает мо­
нополией на абстрактность, тем не менее «... было бы ошибкой не видеть из­
вестного своеобразия математических абстракций, которое обуславливается
специфическими особенностями математики». ([58], стр. 16).
В работе [16] приводятся важнейшие особенности математических абст­
ракций, отличающие процесс абстрагирования в математике от аналогичных
процессов в других науках:
а) по сравнению с естествознанием процесс абстрагирования в математике
идет значительно дальше. В известном смысле слова можно сказать, что там,
где естествознание останавливается, математическое исследование только на­
чинается;
б) абстрагирование в математике чаще всего выступает как многоступен­
чатый процесс, вследствие чего в математике часто встречаются абстракции
от абстракций;
в) в истории математики можно выделить три больших этапа в развитии ее
абстракций: первому этапу характерно отвлечение от конкретной качествен­
ной природы объектов; на втором стали отвлекаться от конкретных чисел и
величин, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике,
стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от кон­
кретного смысла отношений между ними;
г) в математической абстракции широко используются идеальные объекты;
д) многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта или
даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальней­
шем обращения к опыту.
В дополнение к этим особенностям необходимо выделить еще ряд отли­
чительных черт, свойственных математическим абстракциям.
1. Абстрагированные свойства объектов действительности наделяются
идеальным содержанием, которое не присуще реальным прообразам в явном
виде. Наиболее значимыми для математики характеризациями этого содержа­
ния являются абсолютная точность, строгость и неизменность во времени.
2. Математические абстракции, введенные на определенных этапах разви­
тия математики, обретают со временем самодавлеющее значение, то есть на­
чинают «жить» и функционировать в достаточной степени самостоятельно по
отношению к окружающему миру, образуя как бы новый идеализированный
уровень реальной действительности, идеальные объекты которого служат ис-
132
Глава II. Методологические основы методической системы
ходным материалом для образования новых абстракций. Специфика познания
требует периодического итерирования описанной процедуры, что характери­
зует математические абстракции, как продукт сложного процесса, которому
свойственны многоступенчатость и многоуровневость.
3. Процессы абстрагирования в математике сопряжены не только с наде­
лением объектов реальности идеальными свойствами, но и введением симво­
лических обозначений, отражающих ту или иную меру обладания выделен­
ными, посредством абстрагирования, свойствами. Роль этого акта в процессе
познания трудно переоценить: он обеспечивает качественный скачок в изуче­
нии закономерностей объективной действительности, так как позволяет наде­
лить вводимые символы помимо идеальных свойств, полученных в процессе
абстрагирования, новыми идеальными свойствами, вытекающими из выяв­
ленных, посредством применения к ним арсенала дедуктивных символиче­
ских средств формальной логики и ранее выявленных внутриматематических
закономерностей.
4. Выражение реальных объектов посредством абстракций, обретающих
обезличенную запись посредством определенных синтаксических конфигу­
раций символического языка, позволяет приписывать первичным составляю­
щим этих конфигураций иной содержательный смысл, чем тот, который по­
служил реальным прообразом для их получения. Как отмечается в [109], «Ре­
зультат научной абстракции - обобщенный образ, в котором определенная
контекстуальная свобода сочетается с информационной полнотой, оправды­
вающей абстракцию для широкого класса типичных обстоятельств - области
значения абстракции» ([109], стр.7). Таким образом, каждой абстракции свой­
ственно определенное многообразие реальных (содержательных) интерпрета­
ций (моделей абстракции), информация о свойствах которых извлекается из
самой этой абстракции.
5. Математические абстракции, помимо их непреходящей значимости для
математики, выполняют важную эвристическую функцию и по отношению к
другим наукам. Условия, обеспечивающие возможность выполнения этой
функции, связаны со спецификой проявления семантических возможностей
математических абстракций, заключающейся в их способности отражать
свойства широкого круга явлений и процессов реального мира, то есть бьггь
их общей моделью: «Математические абстракции отражают, следовательно,
то инвариантное содержание, которое наличествует в самых разнообразных
по своей физической природе явлениях и процессах объективного мира. Раз
установленные математические закономерности могут быть экстраполирова­
ны на области, до этого еще не изученные другими науками» ([86], стр. 30).
Эго положение нашло образное выражение в высказывании А. Пуанкаре, ко­
торый утверждал, что математика - это искусство давать различным вещам
одно название.
§2. К вопросу об абстракциях
133
2Л. Абстракция отождествления. Выявление технологических подхо­
дов к образованию понятий высокого уровня абстракции
Освоившись, в результате школьной математической практики, с про­
стейшими математическими абстракциями, выявленными в процессе воспри­
ятия предметов объективной действительности посредством чувственного по­
знания и получив навыки относительно свободного оперирования с ними,
студенты, тем не менее, испытывают подчас непреодолимые затруднения с
освоением более сложных понятий математики, познание которых выходит за
рамки чувственного опыта и осуществляется, как правило, формально­
логическим путем и, в первую очередь, средствами дедукции и индукции.
Ситуация усложняется в связи с тем, что гносеологическая сущность мате­
матических структур высокого уровня абстракции раскрывается только за счет
выявления их взаимосвязей с другими структурами, а также в результате ана­
лиза процесса воссоздания этих структур посредством неоднократного (после­
довательного) применения актов абстрагирования и идеализации к некоторой
совокупности базовых понятий, что требует свободного владения системами
понятий всех предшествующих уровней абстракции. Кроме того, нужно иметь
достаточно ясные представления о принципах, определяющих технологии вы­
явления абстрактных понятий (то есть иметь представление о механизмах,
обеспечивающих возможность перехода на новый уровень абстракции).
Далее, на основе рассмотрения абстракции отождествления, как наиболее
применяемой в математическом познании, раскрываются некоторые общие
методологические подходы к выявлению математических понятий высокого
уровня абстракции.
Относительно понятий (объектов) математики, выявленных в результате
применения абстракции отождествления, обычно говорят, что они определе­
ны посредством применения метода от абстракции (или через абстракцию).
В основе этого метода лежит принцип абстракции, как: «...логический
принцип, связывающий три типа универсалий - классы, свойства и отноше­
ния равенства (подобия). Согласно принципу абстракции, любое отношение
равенства, определенное на некотором множестве, производит разбиение это­
го множества, то есть делит, классифицирует его на попарно непересекающиеся и непустые части равных (в данном отношении) элементов. Указанные
классы называются классами абстракции, а само разбиение (семейство этих
классов) - фактор-множеством по данному отношению. Являясь обобщением
традиционного понятия классификации на случай произвольных отождеств­
лений в произвольных множествах, эта форма принципа абстракции выража­
ет двойной процесс абстракции: во-первых, введение абстрактных понятий
(видов) как классов равных, то есть в каком либо смысле одинаковых объек­
тов (классов абстракций); во-вторых, введение пошггия об «абстрактном»
(произвольном) объекте такого класса, поскольку с точки зрения целей, опре­
деляющих выбор данного отношения равенства, каждый «конкретный» объ­
134
Глава II. Методологические основы методической системы .
ект исходного множества понимается в качестве «абстрактного» представите­
ля (носителя) свойства общего всем элементам соответствующего класса аб­
стракции» ([109], стр. 6).
В общих чертах, на интуитивно-содержательном уровне, абстракция ото­
ждествления реализуется в математике по следующей схеме. При рассмотре­
нии множества однотипных (родственных) объектов выявляются (те или
иные) их общие свойства. Выбор этих свойств осуществляется в соответствии
с задачами исследования. При этом, происходит отвлечение от несуществен­
ных (по отношению к выделенному набору свойств) отличий между объекта­
ми рассматриваемого множества. Затем, те объекты этого множества, которые
не удаётся различить посредством выделенных свойств, отождествляются.
Каждый класс отождествленных между собой объектов мыслится, как объект
новой природы и фиксируется в мышлении посредством определенного тер­
мина или (символа) естественного (или формализованного) языка, который
становится (как бы) носителем (образом) меры обладания выявленным свой­
ством всех объектов этого класса. Тем самым, в определении понятий мето­
дом от абстракции принимает участие и другой вид абстрагирования - идеа­
лизация, как завершающий мыслительный приём.
Свойства, выделенные при рассмотрении множества однотипных объек­
тов, являют собой прообраз содержания нового понятия, выделенного мето­
дом определения от абстракции, а идеальные мыслительные образы, ассоции­
рованные с классами отождествленных элементов, - его объём.
В случае простейших, естественно-научных классификаций тех или иных
совокупностей объектов, в основе которых лежит некоторый признак или
система признаков, бинарное отношение сравнения элементов, определенное
по этому признаку (или системе признаков) является отношением эквива­
лентности, то есть эта совокупность распадается на классы и выявление но­
вых абстрактных понятий осуществляется в полном соответствии с принци­
пом абстракции.
В математике широко применяется метод определения от абстракции, ос­
нованный на непосредственном использовании принципа абстракции. Типич­
ными примерами таких определений являются определения понятия целого
числа на основе системы натуральных чисел, понятия рационального числа на
основе системы целых чисел и многие другие определения.
Напомним соответствующую схему применения абстракции отождествле­
ния (то есть метода определения от абстракции) к выявлению понятия рацио­
нального числа. Будем считать, что система целых чисел построена в полном
объеме, то есть на основном множестве 2 этой системы заданы естественный
порядок «<» и естественные операции сложения, умножения и вычитания,
обладающие соответствующими свойствами. Объекты, связанные с построе­
нием этой системы, сами по себе являются абстракциями высокого порядка,
но в рассматриваемой ситуации их удобно представлять в качестве (как бы)
§2. К вопросу об абстракциях
135
первичных объектов, исходя из логического анализа которых, требуется на
уровне рационального (абстрактного) мышления выявить понятие рацио­
нального числа и синтезировать на его основе систему рациональных чисел.
Согласно общей концепции абстрагирования, для этого нужно выделить
выявить, в соответствии с целями исследования, некоторый признак (некото­
рое свойство) или совокупность признаков (свойств), концентрация познава­
тельной активности мышления на которых приводит к выявлению качествен­
ного нового формально обобщенного и логически обусловленного воспри­
ятия этих признаков (свойств).
В рамках системы целых чисел вполне правомерна постановка вопроса:
«Сколько «раз» нужно взять по т ( т Ф 0 ), чтобы получить и?». При одних
целых значениях т и п ответы на подобные вопросы легко находятся и логи­
чески обосновываются, не выходя за пределы этой системы. При других же
значениях, к примеру т —1\ п = —18, получение такого ответа невозможно,
что находит свое выражение в словах: «-18 не делится на 7 нацело».
Естественной целью построения системы рациональных чисел явилась не­
обходимость распространения частичной операции деления на множество
всех пар целых чисел л и и ( и ^ О ) , то есть построение такого обобщения
системы целых чисел, в котором сформулированный выше вопрос для любых
элементов обобщенной системы решался бы положительно.
Таким образом, в качестве «наблюдаемого» в заданном нам «мире» целых
чисел (существенного в соответствии с поставленной целью свойства), следу­
ет взять свойство «делимости нацело».
Далее следует подчеркнуть, что вопросы, подобные приведенному выше
при различных парах (/и;п) целых чисел т и п (т Ф О), могут приводить к
одному и тому же ответу. Исходя из этого, нетрудно понять, что в качестве
множества однотипных объектов, о котором говорится в вышеприведенной
схеме реализации абстракции отождествления нужно взять множество О
упорядоченных пар (т\п) ( т ;л е 2 , т Ф 0), а в качестве отношения, по ко­
торому будет осуществляться процедура «отождествления» взять бинарное
отношение Р , определенное по правилу:
(У (т; п) е ф (У (г; з) е <2)((га; л) Р(г; х) <=> ( т •5) = (п • г)).
Важно обратить внимание студентов на то, что при переходе от содержа­
тельно интуитивных представлений об отношении Р к выражению его фор­
мально-символическими средствами используются только возможности, пре­
доставляемые системой целых чисел. Далее, исходя из формально­
символического определения отношения Р, в рамках системы целых чисел
доказывается, что это отношение является отношением эквивалентности на
множестве
136
Глава II. Методологические основы методической системы
что приводит к фактор-множеству
где через [(/я;п)]р обозначен класс эквивалентности (класс абстракции, в
терминологии принципа абстракции), порожденный парой (т;п).
В соответствии с принципом абстракции, получение классов [(т;п)]р за­
вершает первый акт процесса двойного абстрагирования. Второй акт этого
процесса приводит к восприятию каждого класса абстракции, как единого
объекта новой природы, который получает символическое обозначение —,
т
фиксируется в мышлении как рациональное число — и символизирует собой
т
меру свойства «делимости нацело» или степень «соизмеримости» чисел пит
в смысле ответа на тот же самый вопрос о возможности деления п на т наце­
ло (в общепринятом понимании соизмеримости любые целые числа соизме­
римы и их общая мера находится как наибольший общий делитель, посредст­
вом известного алгоритма Евклида).
Завершая эскизную демонстрацию «работы системообразующих меха­
низмов» абстракции отождествления на примере выявления системы рацио­
нальных чисел, полезно обратить внимание студентов на факт присутствия в
процессе ее построения абстракции потенциальной осуществимости, приме­
нение которой не усматривается в этом построении в явном виде. Тем не ме­
нее, обращение к этому приему абстрагирования неизбежно при непосредст­
венной попытке дать конкретный ответ на тот же самый вопрос: «Сколько
«раз» нужно взять по т {т Ф0), чтобы получить и?», в случае когда рацио­
нальное число — представляет собой (в десятичной системе счисления) бест
конечную периодическую дробь.
Следует отметить, что подобная ситуация имеет место и при построении
других числовых систем: «На основе абстракции потенциальной осуществи­
мости происходил процесс расширения понятия числа, в результате чего в
математическую теорию вводились понятия о числах дробных, отрицатель­
ных, иррациональных, мнимых. Каждый раз, явно или неявно, принимались
как решенные задачи, до тех пор заведомо не имевшие решения (например,
нельзя большее отнять от меньшего, практически невозможно безгранично
делить отрезок и так далее).» ([46], стр. 21).
Несмотря на определенную степень преднамеренной ориентации приве­
денного построения на иллюстрацию принципа абстракции «в действии»,
следует отметить, что это построение представляет собой, тем не менее, дей­
ствительную многовековую историю развития понятия рационального числа
в ее формальном, предельно концентрированном виде. Здесь уместно привес-
§2. К вопросу об абстракциях
137
ти цитату из книги [74], к которой характеризуется деятельность школы Пи­
фагора по построению теории отношений (VI век до н.э.): «Предметом теории
отношений пифагорейцев являются натуральные числа и отношения между
ними. Говорили, что две пары чисел {АЛ) и {С,О) пропорциональны или
имеют одинаковое отношение, если у А п В найдется такой общий делитель Р
, а у С и О общий делитель С, что А - тР; С - тС, В = пР\ О = п С .. . .
Все пары целых чисел разбивались на непересекающиеся классы пар,
имеющих одно и то же отношение. Из множества пар, имеющих одинаковое
отношение, выбирали наименьшую пару (соответствующую нашей несокра­
тимой дроби).» ([74], стр. 28)
2.5. Отношение квазипорядка и метод определения от абстракции
2.5.1.
Теорема о переходе как основа выявления схемы применения
метода от абстракции. В [86] справедливо замечено, что: «В современной
математике изучаются логические формы и системы отношений. Но неиз­
менным строительным кирпичиком, конструктивным элементом математиче­
ских структур, в отличие от логических, являются числа, как выражения ко­
личеств в их сложном взаимодействии.» ([86], стр. 25).
В связи с этим, при изучении совокупностей объектов, которым присущи
те или иные количественные признаки, посредством применения к ним абст­
ракции отождествления, для математики важно не только выявление идеаль­
ных обобщений этих признаков в чистом виде, но в значительно большей
степени важна мера их свойственности объектам рассматриваемой совокуп­
ности. Необходимость дать численное выражение меры обладания этими
признаками, в их абстрактном обобщении, продиктована системообразую­
щими особенностями, характерными процессу мышления человека. В описы­
ваемой проблемной ситуации, получение численных оценок обеспечивает
возможность привнесения определенной градации объектов рассматриваемой
совокупности по мере обладания идеальными обобщениями выделенных при­
знаков (в соответствии с численными оценками этих мер).
Рассмотрение математических абстракций количественных признаков и
свойств, с этой точки зрения, приводит к абстрактному обобщению и непо­
средственно самих понятий количества и меры.
Желание получить, наряду с выявлением абстрактной сущности количест­
венных свойств в чистом виде, возможность сравнения мер обладания ими,
сопряжено обычно с рассмотрением рефлексивных и транзитивных, но, как
правило, не являющихся симметричными, бинарных отношений на исследуе­
мой совокупности объектов.
Важно подчеркнуть, что в рамках применения данного подхода создаются
условия для восприятия и осознания методологической значимости многих
теорем, которые могли ранее рассматриваться студентами только в качестве
констатаций определенных достижений в конкретных областях математики.
Выявляется, в частности, роль этих теорем, как своеобразных носителей тех-
138
Глава II. Методологические основы методической системы .
нологических механизмов и средств, обеспечивающих логически обуслов­
ленные возможности включения конкретных проявлений изучаемых концеп­
ций в их абстрактно обобщенные версии.
Этот подход требует определенной коррекции ранее приведенной схемы
реализации абстракции отождествления.
Определяющая роль в осуществлении этой коррекции принадлежит одной
из абстракций порядковых представлений, нашедшей в математике формаль­
ное выражение в виде бинарного отношения квазипорядка и теоремы о пере­
ходе от квазиупорядоченного множества М =< М;Р > к отношению частич­
ного порядка, но уже не на самом множестве М, а на некотором его фактор­
множестве. Следует подчеркнуть, что эта теорема входит в число тех методо­
логически значимых теорем, о которых говорилось выше.
Теорема о переходе формулируется следующим образом: Пусть Р - отно­
шение квазипорядка на множестве М. Тогда:
а) бинарное отношение ~Р; определённое на М по правилу:
(Ухе А/)(Ууе М)((х ~р у) <=>((хРу) & (уРх)))
является отношением эквивалентности на множестве М;
б) бинарное отношение Р*, определённое на фактор-множестве М / ~р по
правилу:
№ ] _ е М / ~ Р)(У[у].е М!~РЖ х \_г
) <=>
«=> ((Зх'е М _ Д Э /е [у]_Д*7У)))
является отношением частичного порядка.
Канонический гомоморфизм
е: ( М ; Р )- > ( М / ~р;Р*),
определённый (в терминологии и символике этой теоремы) по правилу
(Удге М)(е(х) = [х]_ ), в случаях конкретных квазиупорядоченных мно­
жеств, лежит в основе введения новых понятий «методом от абстракции».
Формальная реализация «метода от абстракции», в данном случае, осуще­
ствляется по следующей схеме.
1) Отношение Р теоремы о переходе может рассматриваться как отноше­
ние, полученное на основе выявленного свойства (или совокупности свойств)
при сравнительном анализе элементов (объектов) множества М.
2) «Отождествление» различных в общем случае, но одинаково устроен­
ных с позиций этого признака, объектов приводит к отношению эквивалент­
ности на М (отношение ~р теоремы о переходе).
3) Выделенное отношение Р на объектах данной совокупности М естест­
венным образом переносится на отношение между классами отождествлён­
ных объектов, то есть на отношение между элементами новой природы - эле­
ментами фактор-множества М/ ~р (отношение Р* теоремы о переходе и ка­
нонический гомоморфизм е ).
§2. К вопросу об абстракциях
139
4)
Переход от отношения Р * к характеризации элементов фактор­
множества М ( ~ р « п о модулю» выделенного свойства (или совокупности
свойств) приводит к выявлению содержания и объёма нового понятия.
2.5.2.
Методические подходы к применению метода от абстракции.
Продемонстрируем применение этой схемы на примерах выявления понятий
мощности, порядкового числа и ранга.
1
При введении понятия мощности, согласно вышеприведённой схеме,
полезно изложить на содержательном уровне интуитивные предпосылки, ко­
торые приводят к этой схеме и только затем переходить к ее формальной реа­
лизации.
Оперируя с конечными множествами, мы связываем с каждым из них кон­
кретное натуральное число - число элементов этого множества. Тем самым,
мы получаем не только количественную характеристику этого множества, но
и одновременно - возможность сравнения конечных множеств «по величи­
не», полностью абстрагируясь от природы элементов этих множеств и срав­
нивая только соответствующие им количественные характеристики. Заметим,
что при таком подходе к сравнению конечных множеств существенную роль
играет возможность пересчета этих множеств, то есть попытки сравнения
бесконечных множеств, основанные на этом подходе, заранее обречены на
неудачу. Проблема количественной характеристики бесконечных множеств
была решена Г. Кантором. При её решении он основывался на том, что поня­
тие натурального числа и возможность сравнения конечных множеств, по­
средством пересчета их элементов, являются вторичными: им предшествова­
ло понятие взаимно однозначного соответствия. Понятно, что два конечных
множества будут иметь одну и ту же количественную характеристику, если
между элементами этих множеств можно установить биективное соответст­
вие. Если же это невозможно, то в процессе установления такого соответст­
вия, всегда можно выяснить какое из них содержит большее число элементов,
так как, в этом случае, все элементы одного из множеств будут уже исчерпа­
ны в то время, как в другом множестве ещё останутся «лишние» элементы.
Таким образом, сравнение количественных характеристик конечных мно­
жеств связано с возможностью установления взаимно однозначного соответ­
ствия между одним из данных множеств и некоторым подмножеством второ­
го. Другими словами, число элементов первого множества меньше числа эле­
ментов второго множества, если существует биективное отображение первого
в собственное подмножество второго.
Именно этот подход непосредственного обобщения первичных идей и был
реализован Кантором при решении проблемы количественной характериза­
ции бесконечных множеств и возможности их сравнения «по величине» («по
объёму»), что позволило ему выработать понятие мощности множества, кото­
рое для бесконечных множеств стало естественным аналогом «числа» эле­
ментов.
140
Глава II. Методологические основы методической системы .
Формальная версия этих соображений укладывается в схему определений
методом от абстракции следующим образом. Пусть М - класс всех множеств.
Введём на М бинарное отношение Р по правилу:
(\М е М)(УВе М)((АРВ) «существует биективное отображение мно­
жества А в множество В).
Нетрудно видеть, что отношение Р является рефлексивным, транзитив­
ным, но не антисимметричным (так как из того, что АРВ и ВРА, в общем слу­
чае, не следует, что А=В), то есть Р - отношение квазипорядка.
Согласно теореме о переходе, бинарное отношение ~Р, определённое на
М по правилу:
(УАе М)(УВе М)((А ~Р В) <=> (АРВ)&(ВРА))
является отношением эквивалентности, то есть М распадается на классы эк­
вивалентности: М = и [А] .
Ле М
Согласно теореме о переходе отношение Р* на фактор - множестве М / ~ р
будет отношением частичного порядка.
Приведем еще одну из теорем (теорема Кантора-Берштейна [59]), методи­
ческие возможности которой обеспечивают завершение процесса выявления
понятия мощности: если множество А биективно отображается в множество В
и множество В биективно отображается в множество А, то существует биек­
тивное отображение множества А на множество В.
Теорема Кантора - Бернштейна показывает, что между любыми двумя
множествами X; У из каждого конкретного класса эквивалентности [А]_г су­
ществует биективное соответствие, то есть эти множества имеют одну и ту же
количественную характеристику. Наличие этого факта и позволяет каждому
классу [А]_ поставить в соответствие некоторый символ, который становит­
ся количественной характеристикой всех множеств из этого класса.
Эти символы, названные кардинальными числами (мощностями), и явля­
ются обозначениями количественной сущности (меры) бесконечных мно­
жеств, подобно тому, как натуральные числа, обозначенные символами
1,2,3,4,...,л,..., выражают количественную сущность (меру) конечных мно­
жеств.
Следует отметить, что вышеизложенный подход был применён к классу
всех множеств (то есть и конечных и бесконечных) и что его ограничение
только на конечные множества приводит, естественно, к натуральным чис­
лам.
Наличие канонического гомоморфизма е даёт частичный порядок на кар­
динальных числах, ограничение которого на конечные мощности совпадает с
естественным порядком на натуральных числах.
Далее (уже с использованием понятия порядкового числа) доказывается,
что отношение Р является связным, что согласно теореме о переходе, даёт
§2. К вопросу об абстракциях
141
линейность порядка Р * на кардиналах. И, наконец, (с использованием поня­
тия начального порядкового числа данной мощности) доказывается [3], что
отношение Р * вполне упорядочивает любое множество мощностей.
2
Изучение числовых множеств с их естественными порядковыми отно­
шениями < ,< ,> ,> привело к рассмотрению многообразия возможных поряд­
ков на различных (не обязательно) числовых множествах. Подобно тому, как
необходимость сравнения количественных характеристик бесконечных мно­
жеств привела к понятию кардинального числа, потребность в сравнении их
возможных порядковых характеристик способствовала выработке понятия
порядкового (ординального) числа.
Ординальные числа служат порядковыми характеристиками вполне упо­
рядоченных множеств, то есть таких линейно упорядоченных множеств, в ко­
торых каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Напомним, что начальным отрезком вполне упорядоченного множества
<М\Р> [59] называется подмножество А множества М, такое что:
(\/дгб М )(Уу€ А/)(((уе А) & ( хРу )) => (дсе А))
Очевидно, что если А - начальный отрезок вполне упорядоченного мно­
жества <М\Р>, то <А\Р> также вполне упорядоченное множество.
Изложим некоторые интуитивные предпосылки, лежащие в основе выра­
ботки понятия порядкового числа.
Всякое конечное л-элементное множество М может быть упорядочено п\
способами (число перестановок из л элементов без повторений равно и!). Ка­
ждое такое упорядочение Р даёт вполне упорядоченное множество <М;Р>.
Очевидно, что порядковые свойства всех этих л! вполне упорядоченных мно­
жеств одинаковы. Формальным аналогом их идентичности является то, что
все они попарно изоморфны. Если же взять два конечных множества, содер­
жащих различное число элементов: т и п соответственно, причём т < п. то
при любом их упорядочении первое из них, как вполне упорядоченное мно­
жество, будет изоморфно начальному отрезку другого (также, как вполне
упорядоченного множества). Таким образом, порядковые свойства первого
множества, при всех возможностях его упорядочения, с точностью до изо­
морфизма, тождественны порядковым свойствам начального отрезка второго
множества, также при всех возможных его упорядочениях.
Формализуя и обобщая эти содержательные представления в рамках схе­
мы 1) - 4), для любых (то есть как конечных, так и бесконечных) вполне упо­
рядоченных множеств, приходим к понятию порядкового числа.
А именно, пусть М - класс всех вполне упорядоченных множеств. Опреде­
лим на М бинарное отношение Р следующим образом:
(У(А;Я>е Л/)(У(В;0)е М)(((А-,К)Р(В;0)) «=>
<=> существует изоморфное отображение вполне упорядоченного множе­
ства <А;К> на некоторый начальный отрезок вполне упорядоченного множе­
ства <В;0>).
142
Глава II. Методологические основы методической системы .
Нетрудно видеть, что Р - отношение квазипорядка на М.
В силу теоремы о переходе, бинарное отношение ~г, то есть отношение,
определённое на М по правилу:
0/<А;Я>€ М ) 0 / ( 5 ; е ) е М)(«А;/?>
<В;<?» « •
« • (((А;К)Р(В\0)) & « 5 ; 0 Р < А ;/?))))
является отношением эквивалентности. Таким образом, множество М рас­
падается на классы эквивалентности: М = и [(А;/?)] .
{А \Я )еМ
~г
Согласно теореме о переходе, отношение Р* на фактор-множесгве М / ~ р
будет отношением частичного порядка.
Основополагающей теоремой теории вполне упорядоченных множеств
является следующее утверждение [3]: для любых вполне упорядоченных
множеств <А;/?> и <В\\2> имеет место одна и только одна из следующих
возможностей:
1) <А'Д> изоморфно <5;<2>;
2) <А,К> изоморфно некоторому собственному начальному отрезку
3) <В',0> изоморфно некоторому собственному начальному отрезку
<А‘Д >.
В соответствии с этой теоремой, из < А;К> ~Р<В;(^> вытекает, что
<А,К> изоморфно <В\0>, то есть все вполне упорядоченные множества из
одного и того же класса эквивалентности [< А; К >]_ обладают одинаковыми
порядковыми свойствами. Наличие этого факта и позволяет каждому классу
[< А; К >]_ поставить в соответствие некоторый символ, который становится
порядковой характеристикой всех вполне упорядоченных множеств из этого
класса.
Вышеприведённая теорема показывает, что отношение Р на М является
связным, что, согласно теореме о переходе, даёт линейность порядка Р* на
ординалах. Далее, как и в случае кардинальных чисел, доказывается, что лю­
бое множество порядковых чисел является вполне упорядоченным.
3 Пусть V - произвольное векторное пространство [61]. Через М обозна­
чим множество всех конечных подмножеств основного множества этого про­
странства. Одним из важнейших понятий теории векторных пространств яв­
ляется понятие линейной независимости векторов. Ранг конечной системы
векторов определяется, как число векторов базиса этой системы (то есть ранг
—это некоторая количественная характеристика, независящая от выбора бази­
са). Схема 1) - 4) «метода от абстракции» приводит к понятию ранга следую­
щим образом. Пусть Р - бинарное отношение на М, заданное условием:
(УХ е М)(УУ е М)((ХРУ) <=> каждый вектор из X представляется в виде
линейной комбинации векторов из У).
Очевидно, что Р - отношение квазипорядка на Л/.
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
143
В соответствии с теоремой о переходе, отношение ~р, определённое на М,
является эквивалентностью, то есть М распадается на классы эквивалентно­
сти: М = и [ X ] .
хш
~г
Согласно теореме о переходе, отношение Р * будет частичным порядком.
На основе теоремы [57]: если а 11а2\...;аш1е Ь(Ь1\Ьг ',...;Ьт) , то векторы
а 1; а 2;...;ат+1 линейно зависимы (здесь Ь(Ъ1-,Ъг ',..;,Ът) - линейная оболочка
векторов Ь,;Ь2;...;Ьш) доказывается, что все конечные системы векторов из
одного и того же класса эквивалентности [Х]_р имеют одну и ту же характе­
ризацию степени внутренней независимости. А именно, число векторов лю­
бого базиса любой системы векторов из класса [X ]_ одно и то же, что позво­
ляет классу [Х]_г поставить в соответствие это число, которое и называется
рангом любой системы векторов У из класса [Х]_ .
Отметим, что отношение Р*, являясь несвязным, дает в этом случае толь­
ко частичный порядок. Более того, нетрудно привести такие конечные систе­
мы векторов X и У, что —I( ХР У ) и — 1 ( УРХ ), но ранг системы векторов X сов­
падает с рангом системы векторов У.
В частности, если V конечномерное векторное пространство, то, применяя
к фактор-системе ( М /
; Р *), как к квазиупорядоченому множеству теорему
о переходе повторно, получим соответствующее отношение (Р*)* на фактор-
{ /- У
/
множестве 4 7
/р *
»которое будет уже связным и будет задавать на этом
фактор-множестве полный порядок, типа п, го есть полученное вполне упоря­
доченное множество будет изоморфно начальному отрезку [0; 1; 2 ; . . . ; п \ на­
турального ряда с естественным порядком < (здесь п - размерность V).
Отметим также, что если в качестве исходного взять векторное простран­
ство V бесконечной, но счетной размерности, то аналогичное двукратное при­
менение теоремы о переходе даст вполне упорядоченное множество типа со.
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктив­
ных определений и построений
3.1.
Обзор содержания н методические рекомендации к изложению
Основу содержания этого параграфа составляет описание индуктивных
методов и технологий, свойственных современной математике: обоснование
их органичности специфике построения систем математических знаний; вы­
явление методических подходов и форм применения этих методов и техноло-
144
Глава II. Методологические основы методической системы
гий в процессе изучения дисциплин логико-алгебраической ориентации в
высших учебных заведениях.
Индукция традиционно трактуется, как переход от общего к частному в
процессе осуществления мыслительных процедур. Одним из первых индук­
тивными приёмами мышления начал пользоваться древнегреческий философ
Сократ (469-399 до н. э.). Изучением форм индуктивных рассуждений зани­
мался и Аристотель (384-322 до н. э). Он выявил, в частности, такой вид ин­
дукции, как индукция через простое перечисление. Значительный вклад в
развитие теории индукции внёс один из основателей индуктивной логики
Ф. Бэкон (1561-1626), который провозгласил индуктивный метод в качестве
основного орудия науки.
В формальной логике под индукцией понимается умозаключение, по­
средством которого осуществляется переход от знания меньшей степени
общности к новому знанию большей степени общности.
Индукция, в переводе с латинского, означает наведение. В философском
энциклопедическом словаре даётся следующее определение этого понятия,
объясняющее, в частности, его название: «Индукция - вид обобщения, свя­
занный с предвосхищением результатов наблюдений и экспериментов на ос­
нове данных опыта. В индукции данные опыта «наводятся» на общее или ин­
дуцируют общее...» ([109], стр. 207).
Объективной основой индукции, как формы и средства познания, являют­
ся закономерности, определяющие особенности бытия общего и единичного:
как общее в природе и в обществе не существует до и вне единичного, так и
единичное не существует вне общего, общее находит своё проявление в кон­
кретных предметах, явлениях, процессах.
В соответствии с этим, общее, существенное, повторяющееся и закономер­
ное в природе и обществе познаётся через конкретное, единичное, частное.
В мышлении процесс познания окружающего мира осуществляется по­
средством перехода от единичных суждений к общим, от частноутвердитель­
ных к общеутвердительным, то есть, на первый взгляд, процесс познания
осуществляется индуктивно. Тем не менее, следует подчеркнуть, что всякая
индукция является результатом предварительного изучения материала, при
этом индукция является подлинно научной тогда и только тогда, когда изуче­
ние отдельных частей явлений основано на знании уже известных каких-то
общих законов развития этих явлений. Таким образом, познание идет одно­
временно дедуктивно и индуктивно.
Диалектика соотношений индукции и дедукции находит свое отражение в
следующих словах Ф.Энгельса: «Индукция и дедукция связаны между собой
столь же необходимым образом, как синтез и анализ. Вместо того, чтобы од­
носторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться
применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том слу­
чае, если не упускать из виду их связь между собою, их взаимное дополнение
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
145
друг друга.» ([116], стр. 555).
Индуктивные умозаключения, о которых говорилось выше, применитель­
но к математике трансформировались в различные формы математической
индукции. Методы индуктивных определений, доказательств и построений,
являясь отражением принципа перехода от частного к общему, как одного из
основных принципов теории познания, находят в современной математике
самое широкое применение.
В частности, индуктивные методы играют основополагающую роль и в
построении логических исчислений, во многом определяя их алгебраические
и алгоритмические свойства [26], [27].
Методы индуктивных доказательств и индуктивных определений основы­
ваются на принципе индукции, который вводится в разделе 3.2 данного пара­
графа. Известно несколько версий этого принципа. В соответствии с этим,
определяя методические подходы к изучению индуктивных методов, целесо­
образно рассмотреть различные виды принципа индукции, доказать их экви­
валентность и выявить мотивации, обеспечившие необходимость появления
тех или иных форм обобщений принципа индукции.
Следует отметить, что доказательство эквивалентности различных видов
принципа индукции требует четкого представления логической структуры
каждого из утверждений, выражающих содержательную сущность той или
иной версии этого принципа. С этой целью «необходимо» перевести словес­
ные формулировки соответствующих утверждений на язык алгебры предика­
тов и соотнести синтаксический анализ строения получившихся формул с ви­
дением их логической структуры.
Непосредственное доказательство равносильности тех или иных версий
принципа индукции сопряжено с навыками свободного обращения с видами
теорем, необходимыми и достаточными условиями, методами содержатель­
ных доказательств и их логическими формами, а также с опытом содержа­
тельных
представлений
о
иерархическом
строении
понятийно­
терминологической базы современной математики. Методика формирования
соответствующих навыков и опыта осуществляется в пунктах 3.2.1 и 3.2.2
данной работы.
В частности, в пункте 3.2.2, основываясь на представлениях об аксиомах и
теоремах, полученных студентами в процессе изучения математики в школе,
рассматривается логическое строение теорем. Для теорем, имеющих форму
импликативных суждений, определяются необходимые и достаточные усло­
вия.
Следует отметить, что, не получив в процессе изучения школьных мате­
матических дисциплин должных навыков выявления формально-логической
структуры теорем, студенты часто путают эти понятия. В связи с этим, со­
держательный смысл соответствующей терминологии целесообразно нагляд­
но проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна.
146
Глава II. Методологические основы методической системы
При изучении видов теорем, полученных, исходя из импликативного суж­
дения, взятого в качестве основной теоремы, используются понятия истинной
и ложной теорем, что хотя и противоречит, сформированным в школе интуи­
тивным представлениям о теореме, как утверждении, несомненно, истинном,
тем не менее, в рамках рассуждений о видах теорем, необходимых и доста­
точных условиях эта терминология, в силу своей определенности и информа­
тивной выразительности, является общеупотребительной.
Одним из наиболее применяемых методов доказательств в математике яв­
ляется метод от противного. Этот метод будет неоднократно применяться и в
данной работе. В этом же пункте излагаются различные версии метода от
противного и решаются вопросы выявления его логических форм. Следует
отметить, что формулировка противных рассуждений, то есть, точнее, утвер­
ждений противоположных по отношению к данным, традиционно вызывает
серьёзные затруднения у студентов. Это связано, прежде всего, с тем, что в
программах математической подготовки учащихся общеобразовательных
школ не предусмотрено изучение даже начальных понятий ни формальной,
ни математической логики. Вопросы несомненной полезности и даже насущ­
ной необходимости включения элементов математической логики, как в про­
граммы средних школ с математической специализацией, так и в программы
средних общеобразовательных школ давно и неоднократно ставились многи­
ми известными учеными, как математиками, так и педагогами. Приведём
лишь одну цитату, достаточно полно характеризующую цели такого включе­
ния: «Целесообразность включения элементов математической логики в про­
грамму средней школы с математической специализацией у нас не вызывает
сомнений. Речь идет не об изучении абстрактных, аксиоматически построен­
ных логических исчислениях. Под элементами математической логики мы
понимаем здесь начала логики высказываний и предикатов в содержательной
интерпретации, описывающей часть обычной логики человеческого мышле­
ния, а также применение этого логического аппарата к анализу рассуждений,
к синтезу и анализу некоторых схем дискретного действия, к уточнению не­
которых математических понятий (алгебраическое выражение, тождествен­
ное преобразование, уравнение, неравенство и др.), к выявлению логической
структуры предложений и доказательств.» ([104], стр. 126).
Наличие школьного курса по элементам математической логики, про­
грамма которого была бы ориентирована на реализацию вышеприведенных
целей, могло бы в значительной степени упростить адаптацию школьников к
специфике построения и изучения математических дисциплин в высшем
учебном заведении.
Переходу к изучению индуктивных технологий предшествует пункт 3.2.3,
в котором на содержательном уровне рассматриваются различные формы ин­
дуктивных умозаключений.
Далее, в пункте 3.2.4 вводится принцип индукции, как основа проведе-
§
3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
147
ния метода полной математической индукции. При изучении принципа
индукции естественно встает вопрос о выявлении достаточности оснований,
обеспечивающих правомерность его применения. В соответствии с этим в
пункте 3.2.5 изучается природа предпосылок, определивших форму представ­
ления этого принципа. Опыт формирования навыков применения метода пол­
ной математической индукции показывает, что на начальном этапе освоения
наиболее продуктивной формой его реализации является выделение трёх эта­
пов: а) базиса индукции; б) индуктивного предположения и в) индукционного
шага, а не двух, более традиционных, оставляющих первый этап без измене­
ния и объединяющих два последние в один этап импликативного характера. В
предлагаемой (в пункте 3.2.6) трактовке этого метода, второй его этап разбит
на индукционное предположение и индукционный шаг для того, чтобы при
развёрнутой формулировке индуктивного предположения в терминах дока­
зываемого утверждения, полнее осознать предпосылки, на основе которых
осуществляется индукционный шаг.
Специфика введения и применения определений, доказательств и конст­
рукций индуктивного характера, как в процессе построения основных объек­
тов синтаксической составляющей языка, так и в процессе дальнейшего их
использования требует свободного владения различными формами принципа
индукции. В соответствии с этим, наряду с принципом индукции, необходимо
рассмотреть принцип возвратной индукции, принцип наименьшего числа
и принцип бесконечного спуска, акцентируя внимание на особенностях их
использования, выявлении и анализе логических схем этих принципов и на
доказательстве их эквивалентности (смотри раздел 3.3).
Доказательство эквивалентности целесообразно проводить на полуфор­
мальном уровне. Следует отметить, что, несмотря на то, что при первом зна­
комстве студентов с доказательствами подобного рода, содержательный
смысл полуформальных рассуждений проявляется далеко не сразу, тем не
менее, такие доказательства, требуя детального анализа логической структу­
ры формул, способов перехода от одних умозаключений к другим, способст­
вуют развитию представлений о методах доказательств; формируют предпо­
сылки восприятия доказательства, как логической цепочки, звеньями конторой
являются утверждения, записанные в виде формул; конкретизируют фор­
мальные правила, по которым осуществляется переход от предыдущих звень­
ев этой цепочки к последующим - в чём и заключается их значимость.
Нередко проведение индуктивных процедур сопряжено с применением,
так называемого принципа максимума, описание которого дается в пункте
3.4.1.
Многообразие форм и широта сферы применения индуктивных техноло­
гий, осуществляющихся индукцией по натуральному параметру приводят к
постановке задачи расширения принципа индукции на более общие области
изменения параметра индукции. Выявляя возможные мотивации выбора пу-
148
Глава П. Методологические основы методической системы
тей обобщения, следует отметить, что определяющую роль в получении со­
временных форм принципа индукции и эквивалентных ему принципов, а,
следовательно, и в обосновании метода полной математической индукции,
сыграло наличие естественного порядка на множестве натуральных чисел. В
соответствии с этим, проблема выявления возможностей обобщения принци­
па индукции приводит к рассмотрению вполне упорядоченных и частично
упорядоченных множеств, как возможных областей изменения параметра ин­
дукции.
Реализуя возможности таких обобщений, в пункте 3.4.2 этого параграфа
дается описание класса линейно упорядоченных множеств, изоморфных
множеству натуральных чисел с его естественным порядком, то есть поряд­
кового типа со. Дале на основе полученных представлений о линейно упоря­
доченных множествах типа со определяется понятие вполне упорядоченного
множества и даётся критерий «быть вполне упорядоченным» для бесконеч­
ных линейно упорядоченных множеств.
Следует отметить, что в процессе описания порядкового типа со, исполь­
зуются конструкции индуктивного характера, в которых предвосхищаются
основные этапы метода обобщенно индуктивных определений.
Определение понятия вполне упорядоченного множества, позволяет далее
ввести в пункте 3.4.3 принцип трансфинитной индукции, как основу для про­
ведения доказательств методом трансфинитной индукции.
В пятом разделе этого параграфа предлагается апробированная авторами
методика введения и применения индуктивных и обобщенно индуктивных
определений и построений.
Естественными примерами математических объектов, которые задаются
посредством применения метода индуктивных определений, являются число­
вые функции, то есть функции, аргументы которых, в качестве значений,
принимают натуральные числа и область значений которых также содержится
в множестве натуральных чисел. Основой определения, при этом, является
принцип возвратной рекурсии, реализованный в форме примитивно рекур­
сивных схем.
Подобные примеры, рассмотренные в первом пункте (пункт 3.5.1) этого
раздела, представляют интерес не только, как иллюстрации возможностей ме­
тода. Работа с такими примерами может рассматриваться в качестве своеоб­
разной пропедевтики последующего изучения классов рекурсивных функций.
Являясь обобщением принципа индукции на класс вполне упорядоченных
множеств, принцип трансфинитной индукции также может быть обобщён на
класс частично упорядоченных множеств, удовлетворяющих одному из трёх
эквивалентных друг другу условий: условию минимальности, условию ин­
дуктивности и условию обрыва убывающих цепей (смотри пункт 3.5.2).
Следует подчеркнуть, что содержательные особенности этих условий наи­
более полно раскрываются только в процессе непосредственного доказатель-
§
3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
149
ства их эквивалентности. Таким образом, проведение этого доказательства
является необходимым этапом восприятия смысловой сущности данных ус­
ловий. В пункте 3.5.3 этого параграфа предлагается опыт методики введения
и изучения этих методов; в пункте 3.5.4 - построения и анализа примеров (из
различных областей логико-алгебраических дисциплин) на их применение.
Далее, с использованием обобщенного принципа индукции обосновываются
возможности применения метода обобщенно индуктивных определений и по­
строений.
3.2. Принципы и методы индукции
3.2.1.
Первичные составляющие системы математических знаний. При со
держательном изложении математики используются предложения особого ро­
да: определения, аксиомы и теоремы. В определениях обычно вводятся те или
иные понятия математики (понятия формул, чисел, отношений, функций, гео­
метрических фигур и так далее), при этом в определениях указываются наибо­
лее существенные отличительные признаки предметов, охватываемых опреде­
ляемыми понятиями. Для описания этих признаков используются другие по­
нятия, которые считаются уже известными, то есть ранее определенными. Но
и эти ранее определенные понятия, в свою очередь, также должны бьггь ка­
ким-то образом определены (например, с использованием понятий, опреде­
ленных еще на более раннем этапе). Очевидно, что подобный спуск к все бо­
лее и более первичным понятиям не должен быть бесконечным, то есть, пыта­
ясь построить полную систему понятий какого-то раздела математики, мы не­
избежно придем к таким понятиям, которые можно только пояснить на интуи­
тивном уровне, вызывая соответствующие ассоциации, и проиллюстрировать,
подбирая подходящие примеры, но определить которые через другие уже не
представляется возможным. Эти понятия принимаются без каких-либо допол­
нительных определений. Они образуют класс исходных (основных, базовых)
понятий и служат как бы начальным уровнем в построении иерархии всех по­
нятий того или иного раздела математических наук. На каждом последующем
уровне формируемой иерархии используются понятия предыдущих уровней
для того, чтобы определить понятия этого нового уровня.
Ясно также, что в определении невозможно отразить все свойства, опре­
деляемого понятия, тем более, что многие из этих свойств усматриваются
только в сравнении их с другими понятиями, зачастую другой природы.
Сравнивая различные понятия, мы, в сущности, выявляем отношения и зави­
симости, присущие объёмам рассматриваемых понятий. При этом, пытаясь
описать выявленные отношения и зависимости, мы опираемся на некоторые
отношения и зависимости, полученные на более раннем этапе. Аналогично
ситуации с понятиями, мы также приходим к необходимости выделения не­
которых исходных (основных, базовых) отношений и зависимостей между
исходными понятиями, не пытаясь их каким-то образом обосновать. Опреде­
лив исходные понятия, исходные отношения и зависимости между ними, мы
150
Глава //. Методологические основы методической системы .
на языке (или, как говорят, в терминах) этих понятий, отношений и зависимо­
стей, формулируем различные утверждения и пытаемся их доказывать. В
процессе доказательств, мы используем ранее доказанные утверждения, в до­
казательствах которых, в свою очередь, могут использоваться утверждения,
доказанные на более раннем этапе. Ясно, что такой бесконечный спуск также
невозможен, и мы неизбежно должны прийти к таким простейшим утвержде­
ниям об исходных понятиях, исходных отношениях и исходных зависимостях
между ними, которые нужно принимать без доказательств. Эти утверждения
берутся в качестве исходных (базовых, основных) и называются аксиомами.
Другие утверждения, претендующие на роль истинных утверждений рассмат­
риваемого раздела математики, доказываются на основе аксиом и называются
теоремами. В этом смысле, под теоремой должно пониматься такое утвер­
ждение, которое действительно отражает истинные отношения и связи между
понятиями. Тем не менее, отдавая дань традиции, ниже мы будем употреб­
лять такие понятия, как истинная теорема и лож ная теорема.
3.2.2.
Виды теорем, необходимые и достаточные условия. М етоды до­
казательств и их формы. Многие теоремы математики могут быть сформу­
лированы (или переформулированы) в виде:
« Е с л и т о ...»,
то есть в виде сложной высказывательной формы. Будем предполагать,
что эта форма построена из двух простых одноместных высказывательных
форм. Первая часть этой теоремы: «Если ...,» называется ее условием, а вто­
рая часть «то ...» - заключением. Приведем типичный пример такой теоре­
мы: если у четырехугольника все стороны равны , то диагонали этого че­
тырехугольника взаимно перпендикулярны.
Проанализируем ее содержание. И в условии, и в заключении этой теоре­
мы речь идет о множестве четырехугольников; причем в условии фиксирует­
ся одно из свойств, которым могут обладать четырехугольники, а в заключе­
нии —другое свойство. По сути дела в условии и в заключении речь идет об
одноместных предикатах Р(х) и 0(х), определенных на множестве М всех че­
тырехугольников, а сама теорема утверждает логическую зависимость между
этими предикатами, которая на языке логики предикатов может быть выра­
жена формулой следующим образом: (Р(х) —> б (* )), гДе:
Р(х) = и тогда и только тогда, когда у четырехугольника х все стороны
равны;
()(х) = и тогда и только тогда, когда у четырехугольника х диагонали вза­
имно перпендикулярны.
Отметим, что в рассматриваемой теореме речь идет о любом четырех­
угольнике; поэтому свободная переменная х в сложном предикате
(Р(х) —» 0(х)) должна быть связана квантором всеобщности. То есть полным
переводом рассматриваемой теоремы на язык алгебры предикатов будет вы-
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
151
оказывание (Ух)(Р(х) —» б(*))- Таким образом, сформулированная выше
теорема верна тогда и только тогда, когда это высказывание истинно.
Следует обратить внимание на то, что обычно для упрощения записи и со­
кращения формулировок теорем квантор (Ух) опускается, но его наличие обя­
зательно должно подразумеваться.
Если теорема, сформулированная в виде (Удс)(Р(л) —> ()(х)), является ис­
тинной, то предикат Р называют достаточным условием для (?, а предикат О
называют необходимым условием для Р. Другими словами, при любом
а е М , для того чтобы высказывание (2(а) было истинным достаточно, что­
бы высказывание Р(а) было истинным и для того чтобы высказывание Р(а)
было истинным необходимо, по меньшей мере, чтобы высказывание (2(а)
было истинным, хотя само высказывание Р(а) в действительности может
быть и ложным. Эту терминологию желательно пояснить наглядно, используя
диаграмму Эйлера-Венна, отражающую зависимости между множествами М;
Р и , где Р’ и ()* - области истинности предикатов Р{х) и 0(х) соответст­
венно.
Если теорему, сформулированную в виде Р(х) —» <2(х), назвать прямой
теоремой, то естественно:
а) теорему 0(х) —> Р(х) назвать обратной;
б) теорему Р(х)
<2(*) - противоположной;
в) теорему (2(х) —> Р(х) - теоремой, противоположной к обратной.
Так как формулы Р(х) —> 0{х) и (2(х) —» Р(х) являются равносильными
формулами алгебры предикатов, то доказательство прямой теоремы часто за­
меняют доказательством теоремы, противоположной к обратной. По тем же
соображениям, доказательство обратной теоремы заменяют доказательством
противоположной.
Ясно, что, в общем случае, обратная теорема может бьггь не верна, если
даже прямая теорема оказалась верной. Тем не менее в конкретных случаях
могут одновременно оказаться верными и прямая теорема Р{х) —» ()(х) и об­
ратная теорема ()(х) —> Р(х) . Тогда, используя нашу терминологию, получа­
ем, что Р достаточно для
необходимо для Р и наоборот, что О. доста­
точно для Р и Р необходимо для (). Тем самым условия, выражаемые преди­
катами Р и @, оказались одновременно необходимыми и достаточными
друг для друга. На соответствующей диаграмме Эйлера-Венна это найдет от­
ражение в совпадении множеств Р' и <0*В алгебре предикатов этот факт най­
дет выражение в том, что сложный предикат ( Р(х) «-» @(х) ) окажется тожде­
ственно истинным на множестве М, в силу его равносильности на этом мно­
жестве предикату (Р(х) -4 (2(х))&{(2(х) —> Р(х)).
Если прямая и обратная теоремы верны, то их обычно объединяют в одну,
152
Глава II. Методологические основы методической системы
используя словосочетания: «тогда и только тогда»; «необходимо и доста­
точно»; «если и только если».
Вернёмся ещё раз к доказательству утверждения вида (Ух)(Р(х) —>(?(х)),
где Р = Р(х) и 0 = 0(х) - одноместные предикаты, заданные на множестве М
(понятно, что аналогичным образом можно было бы рассмотреть и п - мест­
ные предикаты, п > 1). Студенты, запомнив схему доказательства, рассуж­
дают так: пусть а е М и Р(а) = и , докажем, что тогда и ()(а) = и . Конечно
же, доказательство должно осуществляться именно по этой схеме. Тем не ме­
нее, как показывает практика преподавания, редко кто из студентов находит
правильные ответы на такие вопросы:
- почему берутся только такие элементы а е М , для которых Р(а) = и ,
хота в доказываемом утверждении говорится о любых элементах этого мно­
жества?
- почему автоматически отбрасываются те элементы а е М , для которых
Р(а) = л , не является ли это подменой доказательства более общего утвер­
ждения на доказательство его частного случая?
Рассуждая более последовательно, отметим, что в доказательстве, в дейст­
вительности, нуждается следующее утверждение: для любых а е М выска­
зывание
Р(а) -» 0 (а )
(2.1)
является истинным. Согласно правилам определения истинностных значений
сложных высказываний, высказывание импликативного вида при ложной по­
сылке всегда, то есть независимо от истинностного значения его заключения,
является истинным.
Таким образом, если а е М и Р{а) —л, то доказывать нечего, так как, в
этом случае, импликативное высказывание (2.1) является истинным. Поэтому
и ограничиваются только теми а е М , для которых посылка Р(а) является
истинным высказыванием. Но, для таких а, высказывание (2.1) становится
равносильным высказыванию
ы->б(а),
которое будет истинным тогда и только тогда, когда ()(а) = и .
В соответствии с этим и используется вышеупомянутая схема.
Одним из наиболее употребительных методов доказательств, применяе­
мых в математике, является метод от противного. Известно несколько вари­
антов этого метода. Общая идея метода заключается в том, что, предположив
верным отрицание доказываемого утверждения, мы приходим к противоре­
чию (которое проявляется в той или иной форме). То есть мы предполагаем
верным противоположное (или, как говорят, противное) тому, что хотим до­
казать и начинаем рассуждать, исходя из этого противного (или от противно­
го). Отсюда и произошло название метода Заметим, что если утверждение
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
153
(теорема) сформулировано (сформулирована) в виде А—>В, то его отрицание:
А -» В равносильно А & В. Общая схема применения метода от противного
к доказательству теоремы А—>В состоит, таким образом, из следующих шагов:
а) предполагаем противное, то есть А & В ;
б) для некоторого высказывания С, доказываем, что импликации
(л & в ) —>С и ( А & В ) С являются истинными;
в)исходя из того, что среди следствий утверждения А & В ; нашлись два
следствия, одно из которых является отрицанием другого, заключаем, что
противное предположение не может быть верным;
г) основываясь на законе исключения третьего, делаем вывод, что должно
быть истинным исходное утверждение, то есть теорема (А—>В).
Схема а) —г) показывает, что в основе метода доказательства от противно­
го лежит формула алгебры высказываний:
—>с|| ^—
) (а —)б).
Нетрудно проверить, что эта формула является тавтологией. Отсюда сле­
дует, что имеет место равносильность:
(А -> Я) = (((А & В) -> с)& ((а & в) -> с)),
(2.2)
которая и является логическим обоснованием возможности применения
метода от противного.
Заметим, что импликации (А & В) —> А и ( А & В ) —> В являются тавто­
логиями. Поэтому, полагая в (2.2) С —А (аналогично С = В), получаем равно­
сильности:
(А -> Б ) = ((а & в ) - > а );
(2.3)
(А-»Я)==((а & в ) - > в ).
(2.4)
Равносильности (2.3) и (2.4) являясь частными случаями общей схемы (2),
также являются логической основой доказательства методом «от противно­
го».'
3 2 3 . Формы индуктивных умозаключений. Исторически первой схе­
мой индукции явилась индукция через простое перечисление или попу­
лярная индукция. Она возникает в процессе изучения совокупностей одно­
родных предметов, когда при последовательном просмотре достаточно пред­
ставительного конечного ряда, доступных нашему восприятию предметов
этой совокупности выявляется, что всем им присуще одно и то же свойство.
Тогда на основании того, что в результате такого просмотра не встретилось
ни одного предмета, не обладающего выявленным свойствам, делается вывод,
что носителями этого свойства являются все предметы рассматриваемой со­
вокупности.
Таким образом, результатом популярной индукции является общеутвер­
дительное суждение, полученное на основе конечного числа частноутверди­
тельных суждений, при условии отсутствия противоречащих примеров в пре-
154
Глава II. Методологические основы методической системы
делах рассмотренного ряда частных случаев.
Популярная индукция является простейшим видом неполной индукции,
как такого вида индуктивного умозаключения «в результате которого получа­
ется какой-либо общий вывод о всём классе предметов на основании знания
лишь некоторых однородных предметов данного класса» ([52], стр. 329).
Неполная индукция применяется в тех случаях, когда по тем или иным
причинам не представляется возможным рассмотреть все объекты исследуе­
мого класса. В качестве таких причин можно назвать следующие.
Может оказаться, что:
а) не все предметы интересующего нас класса доступны для нашего обо­
зрения;
б) рассматриваемая совокупность объектов может оказаться бесконечной,
либо конечной, но объёмной в такой степени, что рассмотреть все её элемен­
ты практически невозможно;
в) изучение каждого из предметов рассматриваемого класса сопряжено с
его уничтожением.
Неполную индукцию часто называют расширяющей индукцией, так как
она в своём заключении содержит большую информацию, чем та, которая со­
держалась в посылках.
Популярная индукция, в общем случае, даёт только приблизительные, ве­
роятные, но не достоверные знания. Это связано, прежде всего, с тем, что её
выводы базируются на изучении далеко не всех предметов рассматриваемого
класса. Исключение составляет тот случай, когда изучаемый класс конечен,
число рассмотренных предметов совпадает с числом всех элементов этого
класса и при рассмотрении не встретилось ни одного противоречащего при­
мера. В этом случае индуктивное обобщение превращается в исчерпывающий
отчет о полученных фактах. Такой вид популярной индукции называется
полной или совершенной индукцией.
Вторым важным видом неполной индукции является индукция через
анализ и отбор фактов. В популярной индукции объекты рассматриваемого
класса, взятые для обозрения, выбираются случайным образом без всякой ар­
гументации и системы. Главным отличием индукции через анализ и отбор
фактов от популярной индукции заключается в том, что в этой версии непол­
ной индукции стремятся исключить случайность обобщений, так как изуча­
ются планомерно отобранные и наиболее типичные предметы.
Наиболее значимым видом неполной индукции является научная индук­
ция, как такой вид умозаключения, в котором на основании познания необ­
ходимых признаков или необходимой связи части предметов рассматривае­
мого класса делается общее заключение обо всех предметах этого класса. На­
учная индукция опирается не столько на большое число исследованных фак­
тов, сколько на глубину и всесторонность их анализа, а также на выявление
причинной зависимости, выделение существенных признаков и основопола­
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
155
гающих связей предметов и явлений. И хотя научная индукция, как один из
видов неполной индукции охватывает не все предметы изучаемого класса, а
только их небольшую, часть, она, тем не менее, даёт достоверное знание.
Достоверность заключений научной индукции объясняется, прежде всего,
тем, что при её проведении, учитывается важнейшая из необходимых связей причинная.
3.2.4 Принцип индукции. В математике часто встречаются утверждения,
зависящие от натурального параметра п. В связи с этим, их обозначают через
Р{п), отмечая наличие этой зависимости. Таким образом, Р{п) представляет
собой высказывательную форму от натурального параметра п. Как правило,
предполагается, что Р{п) имеет смысл при всех натуральных значениях п:
п = 0;п= 1; л = 2; ...;л = Аг,....
При каждом конкретном значении параметра п = к , Пк) превращается в
истинное или ложное утверждение. Естественно считать утверждение Р(п)
истинным вообще, без конкретизации параметра п, если оно истинно при лю­
бом значении этого параметра. Следует отметить, что если рассматриваемое
утверждение Р(п) является истинным даже для достаточно большого числа
начальных значений параметра п, вывод об истинности этого утверждения
для всех натуральных значений параметра п - неправомерен.
Наиболее показателен в этом отношении следующий пример, принадле­
жащий Эйлеру. Пусть рассматривается утверждение Р[п):
«Для любого натурального числа п, число п2 - п + 41 является простым».
При л = 0, 1,2, . . . ,4 0 число указанного вида действительно является про­
стым, но уже при п = 41 получаем: 412 —41 + 41 - составное число.
Понятно, что невозможно доказать утверждение Р[п) в общем виде после­
довательно устанавливая, что каждое из конкретных утверждений:
Р(0),Р( 1),...^ к ) , . .. является истинным.
Для доказательства утверждений, подобных Р{п), применяется метод
полной математической индукции, основанный на принципе индукции:
утверждение Р(п), зависящее от натурального параметра п, считается дока­
занным, если это утверждение верно для п = 0 и для любого натурального
значения параметра п, равного к, из предположения о том, что Р(к) является
верным, удается вывести, что Р(к+1) также является верным.
3.2.5 О природе предпосылок принципа индукции. Одним из естест­
венных вопросов, связанных с принципом индукции является вопрос о при­
роде предпосылок, определяющих правомерность перехода от условия этого
принципа к его заключению.
А. Пуанкаре в своей работе «Наука и гипотеза» [93], называет утвержде­
ния, доказанные на основе принципа индукции, умозаключениями путем рекурренции. Характеризуя эти утверждения, А.Пуанкаре писал: «Существен­
ная черта умозаключения путем рекурренции заключается в том, что оно со­
держит в себе бесчисленное множество силлогизмов, сосредоточенных, так
156
Гшва //. Методологические основы методической системы
сказать, в одной формуле.» ([93], стр. 16).
Здесь речь идет о силлогизмах, которые будучи представлены в форме
силлогизмов Аристотеля, имеют вид:
ДО)
/>(1)
Р(п)
Р( 0) -» > (!); Р(1) -» Р(2) ; ; Р(п) -» Р(к + 1) ;...
ТО
Р( 2)
Р(к + 1)
и о формуле
Р(0) & (Ук)(Р(к) -> /»(* +1))),
которая при к = 1;2;3;... порождает большие посылки ряда этих силлогизмов,
при этом заключение каждого из них является меньшей посылкой последую­
щего.
Имея ряд этих силлогизмов, всякое частное утверждение вида Р(к) может
бьггь, как замечает А.Пуанкаре, проверено чисто аналитическим путем. Дей­
ствительно, каким бы ни было большим число к, обосновав к силлогизмов из
полученного ряда, мы доказали бы, что утверждение Р(к) справедливо.
«Однако, - рассуждает далее А. Пуанкаре, - как бы далеко мы ни шли, мы
никогда не могли бы дойти до общей применимой ко всем числам теоремы,
которая одна только может быть предметом науки. Чтобы ее достигнуть, по­
надобилось бы бесконечно большое число силлогизмов - нужно перескочить
бездну, которую никогда не будет в состоянии заполнить терпение аналитика,
ограниченное одними средствами формальной логики.» ([93], стр. 17).
Таким образом, замечает А.Пуанкаре, способ рекурренции (то есть рассу­
ждение, основанное на принципе индукции) в применении к доказательству
конкретных теорем вида Р(п) представляет собой то орудие, которое позволя­
ет преодолеть эту бездну, то есть совершить переход от конечного к беско­
нечному.
Следует обратить внимание студентов на то, что в роли этих рассуждений
используется, по существу:
- абстракция потенциальной осуществимости, когда речь идет о потенци­
альной возможности проверить справедливость теоремы вида Р(п) при п рав­
ных к примеру 1СЮ100;
- абстракция потенциальной бесконечности, когда говорится о том, что
ряд силлогизмов, соответствующих этой теореме, мыслится потенциально
бесконечным, то есть хотя процесс его построения и не завершим, но после
каждого конкретного силлогизма, соответствующего сколь угодно большому
натуральному числу к, мы располагаем возможностями для построения и
обоснования следующего за ним силлогизма, отвечающему числу &+1;
- абстракция актуальной бесконечности, когда мы мыслим весь ряд силло­
гизмов, как полностью завершенный единый объект.
Анализ процесса получения умозаключений путем рекурренции, предпри­
нятый А.Пуанкаре показывает, что, оставаясь на уровнях потенциальной осу-
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
157
ществимосги и потенциальной бесконечности, невозможно, следуя этому пу­
ти, то есть, ограничиваясь только интуицией и опытом, получить новое знание
в виде некоторого универсального закона или общей теоремы, и только ис­
пользуя некое правило перехода от конечного к бесконечному, можно полу­
чить уверенность в справедливости полученного закона (теоремы). Характери­
зуя его, А. Пуанкаре отмечает: «Это правило не доступное ни для аналитиче­
ского, ни для опытного доказательства, есть истинный образец синтетического
априорного суждения. С другой стороны нельзя видеть в нем только соглаше­
ние, как в некоторых постулатах геометрии. ... Здесь сказывается только мо­
гущество разума, который способен постичь бесконечное повторение одного и
того же акта, раз этот акт оказался возможным однажды. В силу этого могу­
щества разум обладает непосредственной интуицией, а опыт может быть для
него только поводом воспользоваться ею и осознать ее.» ([93], стр. 18).
3.2.6 Метод полной математической индукции. Перейдем непосредст­
венно к конкретизации представлений о методе полной математической ин­
дукции, полученных в результате школьной математической практики. Ис­
пользуя приведенные ранее соглашения о целесообразности выделения трех
его этапов, отметим, что, согласно принципу индукции, проведение доказа­
тельства методом полной математической индукции предполагает:
а) обязательную проверку (доказательство) того, что утверждение Р(0) яв­
ляется верным (эта часть доказательства называется базисом индукции);
б) предположение о том, что утверждение Р(п) является верным при п = к ,
где к -любое (но конкретное) натуральное число (эта часть доказательства на­
зывается индукционным предположением);
в) доказательство того, что утверждение Р(п) является истинным и для,
непосредственно следующего за к, числа к+1 (эта часть доказательства назы­
вается индукционным шагом и, как правило, основывается на индукцион­
ном предположении).
С целью избежания разночтений с другими подходами к введению метода
полной математической индукции необходимо еще раз отметить, что часто в
формулировке основных положений метода полной математической индук­
ции пункты б) и в) не разделяются, то есть доказательство осуществляется в
два этапа. В предполагаемой формулировке второй этап разбит на индукци­
онное предположение и индукционный шаг для того, чтобы, как отмечалось
ранее, при формулировке индукционного предположения в терминах доказы­
ваемого утверждения, полнее осознать предпосылки, на основе которых осу­
ществляется индукционный шаг.
Следует отметить, что наиболее показательно суть метода раскрывается в
процессе решения задач комбинаторного характера, связанных с подсчетом
числа однотипных конфигураций, которые можно, по тем или иным правилам
образования, построить из элементов данного л-элементного множества. По­
добные задачи можно сформулировать в виде утверждений на доказательство
158
Глава II. Методологические основы методической системы .
того, что искомый результат, т.е. число конфигураций, задается некоторой
формулой Р(п ) , зависящей от натурального параметра п.
Важно подчеркнуть, что студенты не всегда отдают себе отчет в том, что
делается в базисе индукции. Задачи подобного рода позволяют конкретизиро­
вать соответствующие действия. По существу проведение базиса индукции
заключается в получении одного и того же результата двумя путями. Первый
- это путь непосредственного подсчета числа предварительно выписанных
конфигураций указанного вида, которые можно построить из элементов дан­
ного множества с наименьшим (возможным в соответствии с условием зада­
чи) числом элементов л. Второй - подсчет результата, исходя из предпола­
гаемой формулы, то есть нахождение числа Р{щ), где п0 - наименьшее нату­
ральное число, при котором утверждение Р имеет смысл.
Кроме того, для обеспечения возможностей осознанного использования
индукционного предположения, необходимо делать его в развернутом виде,
не ограничиваясь словами: «Предположим, что данное утверждение верно
при п = к » .
Наиболее существенным моментом в осуществлении индукционного шага
является выявление возможностей его сведения к индукционному предполо­
жению. В задачах комбинаторного характера процедура сведения осуществ­
ляется, как правило, разбиением числа конфигураций (при п = к + 1) на клас­
сы по тому или иному отношению эквивалентности таким образом, что по­
средством конфигураций из каждого класса эквивалентности исчерпываются
все конфигурации из элементов ^-элементного множества, тем или иным спо­
собом выбранных из данного множества, содержащего п = к +1 элементов.
33 Принципы, равносильные принципу индукцииПринцип индукции,
а, следовательно, и метод полной математической индукции может приме­
няться и в другой, эквивалентной, рассмотренной выше, форме: утверждение
Р{п), зависящее от натурального параметра л, считается доказанным, если это
утверждение верно для л = 0 и, для любого натурального числа к , из того,
что оно истинно при всех п< к , следует, что оно истинно и при л = к +1.
Принцип математической индукции, сформулированный в этой форме,
обычно называется принципом возвратной индукции. Характерной осо­
бенностью метода полной математической индукции, основанного на этой
форме принципа индукции является то, что индукционный переход в нём
осуществляется не от одного значения параметра п = к к следующему
л = к +1, а от всех предыдущих значений л < к к последующему л = к +1, то
есть в индукционном шаге доказательство утверждения Р(к +1) основывается
не на предположении о том, что Р(к) является верным, а на том, что все ут­
верждения /*(0); /*(1);. . Р{к) являются верными.
То есть индукционное предложение принципа возвратной индукции явля­
ется более объёмным и информативным, но именно эти качества обеспечива-
$
3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных.
159
ют вторую его характерную особенность. Эта особенность заключается в том,
что при, указанном в нём, переходе от индукционного предположения к ин­
дукционному шагу, то есть к Р(к +1) не требуется проведения базиса индук­
ции. В соответствии с этим, в формулировке принципа возвратной индукции,
положение о базисе индукции может не приводиться. Действительно, условие
к < 0 на множестве N - натуральных чисел является ложным, поэтому им­
пликация (к < 0 —» Р(к)) будет истинной для любого к < 0. Отсюда, по ин­
дукционному шагу, следует, что Р(0) верно.
Тем не менее, несмотря на то, что с формальной точки зрения возвратная
индукция не требует проверки (доказательства) базиса индукции, при практи­
ческом использовании этого принципа, доказательство утверждения Р(щ) для
наименьшего возможного значения параметра индукции п = п0, как правило,
требует отдельного рассмотрения, с целью адекватного понимания общей си­
туации. В связи с этим, и в принцип возвратной индукции, и в принцип обоб­
щенной индукции, которые вводятся в последующих параграфах, часто
включается пункт, требующий рассмотрения базиса индукции.
В математике, помимо принципа возвратной индукции применяются и
другие принципы, эквивалентные принципу индукции, в частности:
- принцип наименьшего числа: во всяком непустом подмножестве мно­
жества натуральных чисел найдётся (относительного естественного порядка
(<) наименьший элемент;
- принцип бесконечного спуска: если для всякого натурального числа,
удовлетворяющего свойству Р, найдется меньшее натуральное число, удовле­
творяющее этому же свойству, то чисел пе N , для которых Р(п) имеет ме­
сто, вообще не существует.
На языке исчисления предикатов формы принципа индукции, о которых
говорилось выше, могут быть представлены следующими схемами:
-принцип индукции
(К(0)&(Ук)(К(к)->К(к + 1)))^>(Уп)К(п);
(2.5)
- принцип возвратной индукции
( У Щ У 0 ( ( * < * ) - + Р ( г ) ) -4 /> (* ))->(Уп)Р(и);
(2.6)
- принцип наименьшего числа
(Зп)б(л) -> ( З к Ш к ) & (Уг)((г < к) Щ (2(Г)));
(2.7)
- принцип бесконечного спуска
№ ) ( 5 ( к ) -> (3/)((* < к ) & 5(0))
(Уп)5(п).
(2.8)
Каждая из схем (2.5) - (2.8) представляет собой бесконечное множество
формул, так как под /?; Р; О; 5 в этих схемах подразумеваются любые одноме­
стные предикаты (свойства), определённые на множестве N натуральных чи­
сел.
Далее, необходимо вместе со студентами обосновать на доказательном
160
Глава II. Методологические основы методической системы
уровне равносильность принципов (2.5) - (2.8) на множестве натуральных чи­
сел. Доказательства подобного рода проводятся обычно на полуформальном
уровне.
Практика проведения подобных доказательств является полезной
в плане формирования логико-алгебраического мышления и становится необ­
ходимой, как промежуточное звено пропедевтического характера, при пере­
ходе к полной формализации процессов дедукции в рамках конкретных логи­
ческих исчислений.
Параллельно проведенным доказательствам полуформального характера
целесообразно приводить и их содержательные варианты. Следует подчерк­
нуть, что последующий сравнительный анализ полуформальной и содержа­
тельной версий доказательств, способствует более глубокому пониманию, как
формальной структуры, так и содержательного смысла доказываемого утвер­
ждения. В полном объеме на уровне необходимой строгости эти доказатель­
ства изложены авторами в монографии [26].
3.4. Вполне упорядоченные множества и принцип трансфинитной ин­
дукции
3.4.1. Принцип максимума. В предыдущем пункте было отмечено, что
принципы индукции и наименьшего числа, сформулированные для множест­
ва натуральных чисел, эквивалентны. Определяющую роль в возможности
выявления этих принципов (а, следовательно, и в обосновании метода полной
математической индукции) сыграло наличие естественного порядка на мно­
жестве N.
Эффективность, многообразие форм и широта сферы применения метода
доказательств индукцией по натуральному параметру приводят к постановке
задачи расширения принципа наименьшего числа на абстрактные линейно
упорядоченные (и, далее, частично упорядоченные) множества. Основной це­
лью распространения принципа индукции является получение различных
обобщений метода полной математической индукции, которые обеспечили
бы возможность использования множеств из этих классов в качестве областей
изменения параметра индукции.
Прежде, чем переходить к описанию возможных обобщений, необходимо
напомнить студентам ряд основных понятий, связанных с порядковыми от­
ношениями на абстрактных множествах.
Кроме того, для дальнейшего необходимо сформулировать один из важ­
нейших принципов теории частично упорядоченных множеств, известный
под названием принципа максимума (или леммы Цорна): - если в частично
упорядоченном множестве М — {М,К) каждая цепь имеет верхнюю
грань, то в М найдется максимальный элемент.
Типичной ситуацией, связанной с необходимостью применения данного
принципа является, к примеру, следующая ситуация. Пусть изучается семей­
ство Р подсистем алгебраической системы М = (М\о) сигнатуры а , удовле­
творяющих некоторому свойству 5. Очевидно, что обычное теоретико-
$ 3 . Методы индуктивных доказательств, индуктивных .
161
множественное включение, является отношением частичного порядка на этом
семействе. Для того, чтобы доказать, что существует максимальная, по вклю­
чению, подсистема, удовлетворяющая свойству 5, нужно, в соответствии с
этим принципом, доказать, что всякая цепь
М х с М 2 с ... с Л /г с М,+1 с ;...
подсистем из Р имеет верхнюю грань. Как правило, роль этой верхней
грани играет подсистема, являющаяся объединением подсистем этой цепоч­
ки. Доказав, что посылка принципа максимума для частично упорядоченного
множества (Р ;с ) имеет место, получаем его заключение - в Р имеется мак­
симальный элемент, то есть система М имеет максимальную (по включению)
подсистему, обладающую свойством 5.
3.4.2 Типы изоморфизма частично упорядоченных множеств. Нетруд­
но видеть, что отношение изоморфизма (= ) является отношением эквива­
лентности на любой совокупности р частично упорядоченных множеств, что
позволяет с каждым частично упорядоченным множеством (А; /?)е р связать
класс эквивалентности:
Все частично упорядоченные множества из класса [(А;/?}]_ обладают
одинаковыми порядковыми свойствами, то есть отличаются только природой
элементов своих основных множеств. В соответствии с концепцией изучения
алгебраических систем с точностью до изоморфизма, частично упорядочен­
ные множества из этого класса не различают, что позволяет каждому такому
классу поставить в соответствие (взаимно однозначным образом) некоторый
новый объект Т([(А;/?)]5), называемый типом изоморфизма.
Так как любое линейно упорядоченное множество является частично упо­
рядоченным, то с каждым из них, как и в случае частично упорядоченных
множеств, связывается соответствующий тип изоморфизма Т([{А;/?)]Я). Ти­
пы изоморфизма линейно упорядоченных множеств называются порядко­
выми типами.
Нетрудно проверить, что любые два конечные п - элементные линейно
упорядоченные множества изоморфны, то есть все они попадают в один класс
эквивалентности (по отношению = ) и, следовательно, относятся к одному ти­
пу изоморфизма, который обозначается через п. Таким образом, символы
1,2,3,..., л,..., задающие натуральные числа в десятичной системе счисления,
можно рассматривать, как порядковые типы конечных множеств.
В плане выявления возможностей обобщения принципа индукции, пред­
ставляет естественный интерес характеризация порядкового типа со множе­
ства N =(УУ;<) - натуральных чисел, линейно упорядоченного отношением
< - «меньше или равно».
162
Глава II. Методологические основы методической системы
Кроме того, в процессе этой характеризации предоставляется возможность
продемонстрировать метод индуктивных определений и привести нетрадици­
онные примеры использования метода индуктивных доказательств, основан­
ных на принципе индукции.
Далее приводится описание порядкового типа со.
Если (А; Р ) - бесконечное линейно упорядоченное множество, то А имеет
порядковый тип со тогда и только тогда, когда:
а) в (А; Р) существует наименьший элемент а 0;
б) для любого элемента а е А существует элемент а ' ;
в) для любого подмножества X множества А из того, что,
в.1 а0 е X ;
в.2 (Уое А)((ае Х ) —>(а‘ е х ) )
следует,что X = А .
В этом описании через а* обозначается непосредственный последователь
элемента а. Таким образом, бесконечное линейно упорядоченное множество
(А; Р) имеет порядковый тип со, тогда и только тогда, когда:
- оно имеет наименьший элемент со;
-д л я любого элемента а е А существует его непосредственный последо­
ватель;
- если подмножество X множества А содержит наименьший элемент а0 и
с каждым своим элементом содержит его непосредственный последователь,
то X = А .
3.4.3.
Метод трансфинитной индукции. Распространение принципа наи­
меньшего числа, имеющего место для
на абстрактные линейно упоря­
доченные множества приводит к понятию вполне упорядоченного множества:
линейно упорядоченное множество ( М ; Р) называется вполне упорядочен­
ным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Из этого определения, в частности, следует, что всякое вполне упорядо­
ченное множество имеет наименьший элемент.
Согласно этому определению, (Л/;<) - вполне упорядоченное множество.
Нетрудно видеть, что:
а) всякое конечное линейно упорядоченное множество является вполне
упорядоченным;
б) любое подмножество вполне упорядоченного множества является
вполне упорядоченным.
Получение характеризации порядкового типа со, даёт возможность описа­
ния класса вполне упорядоченных множеств. С этой целью, с каждым поряд­
ковым отношением Р, заданным на множестве М, связывается отношение Р ’,
определённое, ранее, по правилу:
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных ...
163
(Чх',у е М)(хР*у <-» у Р х ).
Для всякого порядкового типа г частично упорядоченного множества
(А;Р) через т* обозначается порядковый тип частично упорядоченного мно­
жества ( а -,Р‘ У; В частности 6) - порядковый тип линейно упорядоченного
множества
В соответствии с порядком <*, натуральные числа распо­
лагаются следующим образом:
п + 1 ; л ; ; 3; 2 ; 1 ; 0 .
В связи с определением отношения Р ", возникает естественный вопрос о
связи отношений Р а Р * . Студентам предлагается самостоятельно убедиться в
том, что если ( М; Р) частично (линейно) упорядоченное множество, то
( М \ Р *) так же будет частично (линейно) упорядоченным множеством.
Предлагается также выяснить имеет ли место подобная ситуация для вполне
упорядоченных множеств и если —нет, то привести соответствующий при­
мер. Некоторые студенты приводят в качестве такого примера вполне упоря­
доченное множество (УУ;<). Отсюда делается совместный вьюод, что всякое
множество, упорядоченное по типу со' , не является вполне упорядоченным.
Таким образом, формируются предпосылки получения характеризации
класса вполне упорядоченных множеств в терминах порядкового типа со'.
Обобщая рассмотренную ситуацию, связанную с типом со' , получаем
следующее описание вполне упорядоченных множеств: для того чтобы ли­
нейно упорядоченное множество (А; Р) было вполне упорядоченным необ­
ходимо и достаточно, чтобы оно не содержало подмножества, тип которого,
относительно порядка Р, равен со' . Необходимость сформулированного усло­
вия очевидна. Важно отметить, что при доказательстве достаточности этого
условия, методом от противного предоставляется естественная возможность
для ознакомления студентов с аксиомой выбора.
Обобщение принципа индукции на вполне упорядоченные множества
осуществляется, далее, следующим образом. Пусть (М\ Р) - произвольное
вполне упорядоченное множество и 5 = 5(х) - некоторое предложение, зави­
сящее от переменной х, принимающей свои значения в М.
Пусть х е М . Для дальнейшего, то через Ах обозначим множество всех
элементов из М, строго предшествующих х, то есть
~ { / у е М & у <Р х}'
Принцип индукции, точнее - принцип возвратной индукции, в его распро­
странении на вполне упорядоченное множество (М ; Р ), приобретает тогда
следующую трактовку: предложение 5 считается верным для всех элементов
164
Глава II. Методологические основы методической системы .
множества М, если для любого х е М , из предположения о том, что 5 (у ) ~
верно для всех у е Ах следует, что это утверждение верно и для х.
Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются поряд­
ковыми (или трансфинитными) числами. В соответствии с этим, выше­
приведённый принцип называется принципом трансфинитной индукции.
Заметим, что в индукционном предположении этого принципа, аналогич­
но предположению принципа возвратной индукции, справедливость свойства
5 предполагается верной не для одного элемента х , а для целого подмноже­
ства Ахмножества М (дг€ М ) . Следует отметить также, что, как и в принципе
возвратной индукции, в формулировке принципа трансфинитной индукции
ничего не говорится о базисе индукции. Тем не менее, если а0- наименьший
элемент множества М, то 5(а0) , очевидно, является истинным утверждением.
Действительно, А = 0 , то есть можно считать, что 5 (у) верно для всех
у е А . Следовательно, исходя из шага индукции
(Vу е . А жЖ у Г * * $ ( х ) ,
при х = а0, получаем 5(а0), то есть в принципе трансфинитной индукции
наличие базиса индукции обеспечивается спецификой индукционного шага.
Принцип трансфинитной индукции является основой для проведения до­
казательств методом трансфинитной индукции. В качестве множества, ко­
торое пробегает, при этом, параметр индукции, берётся множество всех по­
рядковых чисел, меньших некоторого порядкового числа, определяемого,
обычно, исходя из задач исследования. Как правило, методом трансфинитной
индукции доказываются свойства объектов (классов объектов), определяемых
посредством, так называемых, обобщенно индуктивных определений, то есть
конструкций пошагового характера, обеспечивающих построение всех объек­
тов (классов объектов) определяемой совокупности только за счет использо­
вания шагов, «номера» которых, возможно, простираются далеко за пределы
порядкового числа а).
3.5. Методические подходы к введению метода индуктивных опреде­
лений и построений
3.5.1.
Индуктивные определения. Пошаговые конструкции индуктивно­
го характера используются не только при проведении доказательств, но и яв­
ляются одним из наиболее широко применяемых в математике методов опре­
деления понятий, задания объектов или классов однотипных объектов.
Индуктивные определения понятий А(п), то есть понятий, зависящих от
п, как от натурального параметра - простейший вид подобных конструкций.
Они осуществляются по следующей схеме:
а) понятие А(0) определяется непосредственно;
б) на основе предположения о том, что для любого натурального числа
л > 0 из того, что понятие А{п) определено, формулируется правило, позво-
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
165
ляющее определить понятие А(п +1).
В контексте этого определения понятия /4(0); /4(1);...; Л(к);... выступают в
роли частных случаев общего понятия А(п) .
Естественными вопросами, которые встают в связи с подобными схемами,
являются вопросы существования и единственности объектов или классов
объектов, определяемых посредством этих схем. У студентов также может
возникнуть вопрос о правомерности их применения: можно ли считать поня­
тие А(п) определенным в полном объёме, то есть для всех л, если удалось
выполнить пункты а) и б), приведенной выше схемы?
В связи с последним из этих вопросов, следует отметить, что основанием
для индуктивных определений также является принцип индукции.
Таким образом, для обоснования правомерности использования индук­
тивных определений, достаточно показать, каким образом индуктивное дока­
зательство, основывающееся на принципе индукции, может быть трансфор­
мировано в индуктивное определение. Для этого нужно заметить, что в каче­
стве утверждений Р(п ) , о которых говорится в принципе индукции, можно
рассматривать свойства Р, как одноместные предикаты, определенные на
множестве ЛГ, которыми могут обладать (не обладать) натуральные числа. В
случае индуктивного определения понятия А (га), нужно рассмотреть сле­
дующее свойство Р. натуральное число га обладает свойством Р тогда и толь­
ко тогда, когда понятие А(п) может быть определено. И тогда доказательство
свойства Р, основанное на принципе индукции, будет означать, что понятие
А(п) определено для всех гае N.
Вопросы существования и единственности объектов, задаваемых посред­
ством применения метода индуктивных определений, оставим для рассмот­
рения в дальнейшем.
Типичными примерами индуктивных определений являются определения
функций, аргументы которых, в качестве значений, принимают натуральные
числа и область значений которых также содержится в множестве натураль­
ных чисел. Такие функции обычно называются числовыми функциями.
Пусть, к примеру, #(х) и к(х; у; г) - всюду определенные числовые функ­
ции. С использованием этих функций определим новую числовую функцию
Дд:;у) по следующим правилам. Для данного фиксированного х еЫ, полагаем:
шаг ОДг, 0) = #(х).
Предполагаем, далее, что функция Ддг, к) определена для всех к<п.
шаг п +1 ПоложимДдг, л + 1) = й(дг, л;Ддг, л)).
Таким образом, функция Ддг, у) определяется индуктивно на основе прин­
ципа возвратной индукции, по схеме:
Гд * ;0 ) = *(*);
|/(дг, у + 1) = И(х\ у; /(* ; у)),
166
Глава II. Методологические основы методической системы
в которой роль натурального параметра индукции играет второй аргумент
у, при любом фиксированном значении первого аргумента х. Схема (2.9) на­
зывается схемой примитивной рекурсии. Согласно этой схемы, для того
чтобы вычислить, к примеру, значениеДло; 3), последовательно вычисляем:
/Сх0 ;0 ) | я(л;0);
/(х 0 ;1) = Н(х0;0 ; / ( х 0;0 )) = Л(дг0 ;0 ; §(х0));
(2 . 10)
/ ( х 0;2 ) | Н(хо;1;/(х 0 ;1)) ВН(х0;1; Н(х0;0 ; #(х0 )));
/(х 0 ;3) = й(*0 ;2;/(* 0 ;2)) = Н(х0;2; Н(х0;1;И(х0;0; # (*0)))).
Система равенств (2.10) показывает, что для вычисления значения Дх&З)
необходимо предварительно вычислитьД*о,0 );Ллй;1);Л*о;2 ).
Следует отметить, что общие рассуждения, подобные вышеприведенным,
далеко не всегда убеждают студентов в том, что, следуя предписаниям схемы
(2.9), действительно можно получить новую числовую функцию, для которой,
в конкретных случаях, несложно найти привычное аналитическое представ­
ление.
В соответствии с этим, необходимо продемонстрировать возмож­
ности схемы (2.9) общего вида на конкретных примерах.
Рассмотрим,
в
частности,
следующий
пример.
Пусть
$(х) = х5]Н(х;у;г) -?.-х2, то есть Н(х\у\г) зависит от у фиктивно. Найдем
функцию$х; у), которая получается по схеме (2.9) из функций §(х) и Н(х; у; т).
Схема (2.9) в этом конкретном случае примет вид:
(2-11)
так как, согласно второй строке схемы (2.9), при вычислении значения
Дл^у+1 )) значение Дл:^) подставляется в функцию И(х; у, г) вместо переменной
г. Чтобы сделать мотивированное предположение об аналитическом пред­
ставлении функции Лх] у), вычислим, подобно тому, как это было сделано в
(2 .1 0 ), несколько значений этой функции при фиксированном х:
/(х; 0 ) = х5 = х5+2°;
/ Ш ) = /(* ; 0 ) ■х2 = х 5 х2 = х$+2Л;
/ ( х\2) = / ( х;1) •х2 = х5 ■х2 ■х2 = х5 •х4 = х м 2;
(2.12)
/ ( х;3) = / ( х;2) •х2 = х5 ■х4 ■х2 = х5 ■х6 = х 5+2'3;
/(дг,4) = /(л:;3) -х2 = х 5 х6 -х2 = х 5 х8 = х5+2'А.
Система равенств (2.12) позволяет сделать предположение о том, что схе­
ма (2.11) задает функцию: /(*; у) = х5+2у. Для доказательства этого предпо­
ложения применяется метод полной математической индукции по натураль­
ному параметру у.
Заметим, что, в этом примере, в качестве определяемого объекта
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
167
А(п) = А (х \п) { х фиксировано), выступает конкретная числовая функция.
Завершая рассмотрение этого примера, необходимо акцентировать внима­
ние студентов на том, что, в рассматриваемом случае, в качестве параметра
индукции выступает параметр, по которому осуществлялось индуктивное оп­
ределение, то есть возможность проведения индуктивного доказательства
оказалась обеспеченной предварительным индукционным определением.
3.5.2.
Частично упорядоченные множества с условиями минимально­
сти и обобщенный принцип индукции. Анализируя схему индуктивного
определения и вышеприведённый пример, можно выявить следующие осо­
бенности:
1 ) параметр индукции п «пробегает» все элементы вполне упорядоченного
множества
которые составляют единую цепь: 0 < 1 < 2 < ... < I < •••.
2
) на наименьшем элементе 0 вполне упорядоченного множества
и
только на нём, понятие А(0) задаётся непосредственно;
3) имеется некоторое правило, рекуррентного характера, посредством ко­
торого понятие А(к +1) определяется через к и совокупность понятий
А(0); А(1);...; А ( к) , то есть через понятия, определенные для значений пара­
метра п = I , строго предшествующих значению к + 1 .
Отправляясь от этих замечаний, можно перейти к формулировке обоб­
щенного принципа индукции.
Прежде всего, следует отметить, что метод индуктивных определений
предполагает наличие тех или иных порядковых отношений на множествах,
которые пробегает параметр индукции. В соответствии с этим, возникает за­
дача выявления наиболее оптимального, в отношении возможностей получе­
ния рекуррентных схем, класса таких множеств. Подходящим в этом смысле,
является класс частично упорядоченных множеств с условием минимально­
сти: частично упорядоченное множество (М \ Р ) удовлетворяет условию ми­
нимальности, если каждое непустое подмножество А этого множества имеет
хотя бы один минимальный элемент.
Здесь важно подчеркнуть, что вполне упорядоченное множество является
частным случаем частично упорядоченного множества с условием минималь­
ности.
Условие минимальности эквивалентно следующим двум условиям:
условию индуктивности: все элементы частично упорядоченного мно­
жества (М ; Р ) обладают свойством 5 .если
*н>*
а) свойством 5 обладают все минимальные элементы этого множества (в
случае, когда они существуют);
б) из того, что свойством 5 обладают все элементы строго предшествую­
щие любому элементу а е А, следует справедливость этого свойства и для
самого элемента а;
168
Глава II. Методологические основы методической системы
-условию обрыва убывающих цепей: всякая строго убывающая цепь,
то есть цепь вида
а1 р *а2 р ' - ^ Ч ^ Ч н —. («, | ом ; 111;2;...;п;...),
построенная из элементов частично упорядоченного множества (М ; Р ),
обрывается на конечном шаге.
Так как на практике проверку условия минимальности обычно заменяют
проверкой условия обрыва убывающих цепей, проверка которого осуществ­
ляется более просто, целесообразно провести, совместно со студентами, дока­
зательство эквивалентности трех этих условий. Тем более, что специфика
проявления содержательного смысла этих условий и их влияние на особенно­
сти структурных свойств упорядоченных множеств, подчиненных вышепри­
веденным условиям, полностью раскрывается только в процессе проведения
этого доказательства. В полном объеме обоснование равносильности этих ус­
ловий приводится авторами в монографии [26].
Обобщенный принцип индукции (на основе условия минимальности)
может бьггь сформулирован теперь следующим образом: свойство 5 считается
верным для всех элементов частично упорядоченного множества (М;Р),
удовлетворяющего условию минимальности, если для любого элемента
х е М из того, что свойство 5 верно для всех элементов у, строго предшест­
вующих х следует, что это свойство верно и для элемента х.
Следует отметить, что форма индукционного перехода обобщенного
принципа показывает, что свойство 5 верно и для всех минимальных элемен­
тов множества М.
3 5 3 . Обобщенно индуктивные определения. Из результатов пункта
3.5.2 с очевидностью следует, что частично упорядоченное множество (Л/;<)
с условием минимальности удовлетворяет условию индуктивности аналогич­
но тому, как вполне упорядоченное множество удовлетворяет принципу
трансфинитной индукции, что и позволяет проводить индуктивные доказа­
тельства, определения и построения используя это частично упорядоченное
множество, как область изменения параметра индукции. Подобные доказа­
тельства, определения и построения будем называть в дальнейшем обобщен­
но индуктивными.
Существование и единственность объектов и совокупностей объектов, оп­
ределяемых обобщенно индуктивным методом, гарантирует следующая тео­
рема [60]:
Пусть ( М ;Р ) - частично упорядоченное множество с условием мини­
мальности. Тогда существует и притом единственная функция <р(х) опреде­
ленная на всем множестве М (со значениями в некотором множестве Т, в об­
щем случае отличном от М), принимающая произвольно заданные значения
на минимальных элементах множества М и удовлетворяющая рекуррентным
соотношениям, однозначно определяющим (для всякого не минимального
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
169
элемента а е М ) значение (р(а) по значениям <р(Ь) для некоторых из эле­
ментов Ь, строго предшествующих а.
Рекуррентные соотношения, о которых в этой теореме идет речь, пред­
ставляют собой соотношения вида
<р(а) = Ф(р(Ь,); <Р(Ь2
<р(Ь,)),
где Ф - некоторая I - местная алгебраическая операция Ф = Ф(*,;.г2
определённая на множестве Т\ а - произвольный (не минимальный) элемент
множества М и 6 , ;Ь2
некоторые из элементов строго предшествующих
элементу а и определяемые по а однозначным образом.
В теореме идёт речь о существовании и единственности отображения
<р(х) из М в Г, удовлетворяющего сформулированным условиям. В соответ­
ствии с этим, доказательства требует, как существование отображения <р(х) ,
так и его единственность.
Необходимо подчеркнуть, что детальное проведение этих доказательств
способствует, с одной стороны, постижению возможностей получения, орга­
низации и систематизации знаний посредством применения обобщенно ин­
дуктивных методов и содействует формированию навыков выявления индук­
тивной природы многих объектов и классов объектов, составляющих содер­
жание дисциплин логико-алгебраического цикла —с другой.
В соответствии с этой теоремой, для доказательства существования и
единственности объекта или класса К однотипных объектов, определение
(построение) которых осуществляется посредством конструкций обобщенноиндуктивного характера, нужно построить функцию <р(х) из подходящим
образом определенного частично упорядоченного, с условием минимально­
сти, множества М в некоторую совокупность объектов Т и затем посредством
этой функции выделить из Т определяемый класс К. Как правило, в подобных
случаях совокупность объектов Г также допускает индуктивное или обоб­
щенно индуктивное определение. Обычно класс объектов К, является обла­
стью значений определяемой функции <р{х).
Во многих случаях специфические особенности строения объектов из
класса К позволяют реализовать применение метода обобщенно индуктивных
определений, придерживаясь следующей схемы:
а) определяем множество М = йопкр ;
б) задаём на М соответствующий частичный порядок Р\
в) проверяем, что для частично упорядоченного множества (Л/; Р) выпол­
няется условие обрыва убывающих цепей, эквивалентное условию мини­
мальности;
г) непосредственно, исходя из содержательного смысла, задаём на мини­
мальных элементах с частично упорядоченного множества (Л/;Я) значения
<р(с) функции <р\
170
Глава //. Методологические основы методической системы
д)
выявляем рекуррентные соотношения, посредством которых вычисля­
ются значения <р(х) для элементов х, не являющихся минимальными, через
значения (р{у) для определенных элементов у, строго предшествующих х.
3.5.4.
Методика выявления индуктивной природы логико­
алгебраических объектов. Продемонстрируем методику реализации
вышеприведенной схемы применения метода обобщенно индуктивных опре­
делений на примерах из различных дисциплин логико-алгебраической ориен­
тации, так как только в результате многократного применения этой схемы
формируются внутренние структуры мышления, позволяющие выявлять ин­
дуктивную природу тех или иных определений, конструкций и построений.
Целесообразно начинать эту работу примерами из теории чисел, как дис­
циплины, имеющей определённую ретроспективу в школьной математике.
1
Первый пример связан с хорошо известными процедурами нахождения
наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного нескольких
натуральных чисел. Наибольший общий делитель двух чисел может быть
найден с помощью алгоритма Евклида. Нахождение наибольшего общего де­
лителя трех чисел может быть осуществлено двукратным применением этого
алгоритма: сначала он применяется к любым двум из трех данных чисел, а за­
тем к найденному наибольшему общему делителю этих двух чисел и треть­
ему числу. Подобным образом, наибольший общий делитель четырёх чисел
может быть найден трёхкратным применением алгоритма Евклида и так да­
лее. В этих рассуждениях явно просматривается процедура индуктивного ха­
рактера.
Аналогичные рассуждения позволяют выявить индуктивный характер
процесса нахождения наименьшего общего кратного любой конечной сово­
купности натуральных чисел.
Следуя полученной в 3.5.3 схеме, выявим, в частности, обобщенно индук­
тивное определение функции <р{х), позволяющей находить наибольший об­
щий делитель любого конечного подмножества множества натуральных чи­
сел, отличных от нуля:
а) непосредственно из формулировки поставленной задачи вытекает, что
областью определения функции (р(х) должно быть множество всех конечных
подмножеств множества N \ {0}. Таким образом, множество М = Эот<р уже
определено;
б) в качестве порядкового отношения Р на М возьмём обычное теоретико­
множественное отношение «включения». Очевидно, что система (М ;Р ) яв­
ляется частично упорядоченным множеством;
в) нетрудно видеть, что для частично упорядоченного множества ( М ;Р )
выполняется условие обрыва убывающих цепей. В связи с проверкой этого
условия, уместно сформулировать для студентов следующие задачи:
- найти наименьшую верхнюю грань длин убывающих цепей множества
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
(.М ;Р), начинающихся
N \{0) ( л е ЛЩ О});
с
«-элементного
подмножества
171
множества
выяснить, какие элементы частично упорядоченного множества (М; Р)
являются минимальными;
г) выяснив, что минимальными элементами в (М;Р) являются одноэле­
ментные подмножества {х}множества Л/Л{0}, полагаем: ф{{х)) = х . (заме­
тим, что это определение согласуется с интуитивными представлениями: наи­
большим общим делителем ненулевого числа, естественно, считать это чис­
ло);
д) обозначим через (а\Ь), как это принято в теории чисел [18], наиболь­
ший
общий
делитель
натуральных
чисел
а
и
Ь.
Пусть
дс= {х1;х2;...;л,;х,+1}е М . Заметим, что {х1;х2;...;х| } с { х ,;х 2;...;х,;х(+]} и
[х,+1] с [х,;х2;...;х,;хг+1), то есть можно считать, что значения
ср{\х1;хг',...',х1}) и <р({х,^ }) уже определены. Полагаем теперь:
то есть алгебраическая операция Ф(ух\у г), определяющая рекуррентную
схему, задаётся по правилу: Ф(>»,;>>2) = (_у1;>'2) .
Обозначая, как обычно, через [а;Ь] наименьшее общее кратное натураль­
ных чисел а и Ь и рассуждая аналогичным образом, получим функцию, кото­
рая по любому конечному подмножеству множества N \ {0} даёт их наи­
меньшее общее кратное. Тем самым, получаем следующие схемы для опреде­
ления функций О(х) и К{х) из М в 1Я, которые по любому
х = {х,;х2;...;х я}е М дают наибольший общий делитель и наименьшее об­
щее кратное чисел х,;х2;...;х 11, соответственно:
если
если х = {х 1;х2;...;х,;х/+1],
если
х = [х,};
если х = {х,;х2;...;х,;х|+1},
для любого х € М .
В качестве упражнений для самостоятельной работы можно предложить
студентам выявить рекуррентные схемы для задания следующих функций из
а) функций М ,(х) и Мг(х), которые по любому х = (х1;х2;...;хя}е М
дают наименьшее и наибольшее из чисел х,;х2;...; х„ соответственно;
б) функций 5(х) и Л’(х ), которые по любому х = [х,;х2;...;хя)е М дают,
соответственно, сумму и произведение чисел х,;х2;...; хя.
172
Глава II. Методологические основы методической системы
2
Функция Эйлера <р(х), определяемая в теории чисел [18], даёт по любо­
му натуральному числу х > 1 число натуральных чисел, не превосходящих х и
взаимно простых с х. При этом полагают, что (р{1) = 1. Известно, что функция
Эйлера мультипликативна, то есть для любого нетривиального представления
х —у-т. составного натурального числа х в виде произведения двух взаимно
простых чисел у и г имеет место равенство <р{х) - <р(у) •(р{т.). Это равенство
имеет вид рекуррентного соотношения, так как позволяет свести вычисление
значений функции Эйлера для составного числа х>1 к нахождению её зна­
чений от аргументов, строго предшествующих х, но не в смысле естественно­
го отношения < на натуральных числах, а в смысле некоторого нестандартно­
го отношения делимости, связанного с возможностью, приведенного выше,
разложения числа х. Чтобы выявить характер этого отношения необходимо
напомнить студентам вид канонического представления натурального числа
х > 1 в виде произведения степеней попарно различных простых чисел
а
а*
х~Р1
а,
Рг
— Р,
(а, е # \{ 0 } ; р 1-простоечисло, «= 1;2;3;...;г; р х < р 2 <... < р,).
Из этого представления следует, что, в нетривиальном разложении
х —у-т., у и г будут взаимно просты тогда и только тогда, когда
аИ
а .,
х = Р -н ' : Щ
а п
У = Рм ' - Р н
Щ
2 ■ ■ ■ 'р С
»
а1
а Н
-
’
где
^ О ]»Л ’•••>Л } -
,
То есть
{у,;
Л ) } - раз­
биение индексного множества ( 1;2 ; н а два непустых подмножества.
Тем самым искомое отношение делимости, определённое на множестве
М = { 2 ; 3 ; . д о л ж н о быть таким, чтобы все числа р а (р - простое чис­
ло; а е NN{0 }) играли, в смысле этого отношения, роль минимальных эле­
ментов.
Исходя из этих соображений, бинарное отношение Р на множест­
ве М определяем по правилу:
(Ух; у € М )(хРу <=> (Зг е М)((у = х ■г) & ((*; г) = 1))).
Тогда в частично упорядоченном множестве {М; Р ) будет выполняться
условие обрыва убывающих цепей, а, следовательно, и равносильное ему ус­
ловие минимальности. При этом, если у = х - г , 1< х < у, 1< г < у и (лс;г) =Т,
то хРу и гРу. Очевидно также, что минимальными элементами этого час­
тично упорядоченного множества будут являться числа р а .
Известно, что <р(ра) = р а - р а1. Таким образом, обобщённо индуктивное
определение функции Эйлера имеет вид:
=
§ 3. Методы индуктивных доказательств, индуктивных...
173
9*1) = 1
р а - р а~1, если х = р а,(р - простое число, а е Ы)',
<р(у) • <р(г), где х = у ■г - произвольное нетривиальное
представление числа х в виде произведения
(р{х) —\
двух взаимно простых чисел,если х имеет хотя бы
два простых делителя
При необходимости, можно исключить элемент неопределенности в раз­
ложении х = у ■г числа х, имеющего хотя бы два различных простых делите­
г = р? -р?
р “‘,
где
х ~ Р? ' р г’ Рз3
Р? - каноническое разложение числа х в произведение
степеней простых чисел.
Студентам, с целью осуществления самоконтроля в понимании методоло­
гии применения обобщенно индуктивных определений, целесообразно пред­
ложить найти аналогичные рекуррентным схемы для определения некоторых,
хорошо известных из теории чисел, функций [18]:
а) функции Мёбиуса
1,
если />= 1;
ля,
полагая,
к
примеру,
р(х) = <( - 1)' если х = р г ■р 2
О,
у = р “'
и
р 1, р { - простые числа, | = 1;2 ;...;Г;
если х делится на квадрат числа, большего 1 ;
б) функции т(х), которая дает число различных натуральных делителей
числа дге М ,
как функций из (М , Р ) в N.
Последующие примеры связаны с линейной алгеброй [61]. Основное их
предназначение состоит в том, чтобы выявить индуктивный характер опреде­
лений, хорошо известных и, на первый взгляд, не связанных с процессами ин­
дуктивного характера, понятий.
3
Пусть V - произвольное векторное пространство над полем К действи­
тельных чисел и Л/-множество всех конечных подмножеств множества
V \ {0}, где V - основное множество пространства V и 0 - нулевой вектор это­
го пространства. Ранг г(а1;а2;...;а,) конечной системы векторов а1;а2;...;а1
(а,. е V ,1 = 1;2;3;...;0, как функция из частично упорядоченного, с условием
минимальности, множества (М ;с) в множество натуральных чисел N может
быть определен, по обобщенно индуктивной схеме, следующим образом:
174
Глава II. Методологические основы методической системы.
1,
еслих = {а,},
<р{{ах\а2,...\ап}),
<р(х) - <
<р{{а, ;а2
если х = (а, \а2}1 ;в~Д
комбинация векторов а ,; а2;...;ап;
}) +1,
если х = (а, ;а2
а„;а Ц ]
линейной комбинацией векторов а, ;а2;...;ап.
Далее можно предложить студентам, с использованием утверждения: если
конечная система ненулевых векторов а ,;а 2 ;...;а, - линейно зависима, то хо­
тя бы один вектор а! ( 2 < | < I) является линейной комбинацией предшест­
вующих векторов а , ;а2;...;а{_1, самостоятельно определить функцию <р(х) из
(А /;с) в М, которая бы по любому элементу х = [а1;а2’,...',а1] е М давала бы
в качестве значения базис системы векторов а1;а2;...;а,.
4
В евклидовом векторном пространстве V (над полем К действительных
чисел) построение ортонормированного базиса конечной линейно независи­
мой системы векторов осуществляется посредством, так называемого, про­
цесса ортогонализации. Используя метод обобщенно индуктивных определе­
ний, можно построить функцию <р(х) , которая по любой конечной линейно
независимой системе векторов х = {а1;а2 .. ;ая} с: V даёт ортонормированную
систему {Ь{,Ь2\...\Ьп} ненулевых векторов Ъ1(/ = 1;2;3;...; п ) .
Здесь в качестве множества М, нужно взять множество всех конечных ли­
нейно независимых подмножеств множества V и предложить студентам само­
стоятельно определить эту функцию, как функцию из частично упорядочен­
ного множества (М;Щ в М.
В математической логике методы индуктивных определений и доказа­
тельств являются основными методами. При этом, индуктивное доказательст­
во свойства, присущего объектам той или иной совокупности, становится
возможным, если выявлен индуктивный характер построения этой совокуп­
ности, после чего в роли параметра индуктивного доказательства выступает
параметр индукции индуктивного определения.
§ 4. Дедуктивные методы
4.1. Вводные замечания
В переводе с латинского, «дедукция» означает «выведение». Согласно
[109], « ... под дедукцией понимается переход от общего к частному: в более
специальном смысле термин «Дедукция» обозначает процесс логического
вывода, т.е. перехода по тем или иным правилам логики от некоторых данных
предложений - посылок к их следствиям (заключениям).... Науки, предложе-
§ 4. Дедуктивные методы
175
ния которых преимущественно получаются как следствия некоторых общих
принципов, постулатов, аксиом, принято называть дедуктивными....» ([109],
стр. 139)
Как отмечалось ранее, в обучении конкретным математическим наукам
индуктивным методом, особенно на начальном этапе их изучения, отдается
предпочтение перед дедуктивными. Тем не менее, процесс обучения матема­
тике неразрывно связан с дедукцией. Следует подчеркнуть, что применение
любой теоремы, при решении конкретных задач, как школьной, так и вузов­
ской математики, представляет собой дедукцию. В частности, применяя тео­
рему Пифагора, как универсальное утверждение, охватывающее все множе­
ство прямоугольных треугольников, к конкретному, прямоугольному тре­
угольнику, с особенностями присущими только ему одному, мы осуществля­
ем переход от общего к частному, т.е. дедукцию.
И хотя это есть наиболее прямолинейный вариант дедукции, он свойстве­
нен, как обязательный элемент любому дедуктивному выводу (доказательст­
ву) в его современном понимании. Действительно, при формализации поня­
тия дедуктивного вывода средствами синтаксической составляющей тех или
иных логических исчислений, в системы аксиом этих исчислений включают
обычно, не конкретные аксиомы, а, так называемые, схемы аксиом. В соот­
ветствии с этим, конкретные аксиомы, входящие в любой конкретный вывод,
получаются из этих общих схем посредством конкретизации общего, т.е. по­
средством дедукции. В частности, вывод, состоящий из одной аксиомы, т.е.
вывод длины 1, представляет собой практическую реализацию вышеупомяну­
того «прямолинейного» аспекта дедукции.
Свойства дедукции раскрывались, начиная с силлогистики Аристотеля,
как первой логической теории дедуктивного вывода, в ходе построения кон­
кретных логических исчислений. Исчисление силлогизмов послужило от­
правным пунктом для разработки формальной логики, в рамках которой были
выработаны более общие, чем силлогистика, логические системы, как фор­
мальные модели определенных фрагментов мышления человека. Применение
математических методов к выявлению дедуктивных возможностей этих сис­
тем определило и стимулировало процессы создания базовых логических ис­
числений математической логики - исчисления высказываний и исчисления
предикатов.
Алгебра высказываний и алгебра предикатов, а также формализованные
версии этих алгебр - исчисление высказываний и исчисление предикатов, в
связи с их основополагающей ролью в деле создания современного матема­
тического языка, являются обязательными (и важнейшими) составляющими
дисциплин «Математическая логика» («Дискретная математика и математи­
ческая логика») и других дисциплин логико-алгебраической ориентации, изу­
чаемых в высших учебных заведениях.
Опыт преподавания этих дисциплин показывает, что предварительное
176
Глава И. Методологические основы методической системы
знакомство с общими принципами, положенными в основу построения искус­
ственных формализованных языков, оказывает позитивное воздействие на
процесс формирования навыков и умений работы с языками конкретных ис­
числений, в частности, с языками исчисления высказываний и исчисления
предикатов. Этот подход, в конечном итоге, способствует относительно бес­
проблемной адаптации студентов к специфике применения метода формаль­
ных аксиоматических теорий - одного из базовых методов современной ма­
тематики.
В соответствии с этим, излагая общие методические подходы к построению
символических языков, как основы синтаксической составляющей логических
исчислений, важно подчеркнуть, что специфика построения базовых компо­
нент этой составляющей и особенности введения совокупности, сопутствую­
щих этому построению понятий в значительной степени обусловлены широ­
ким использованием алгебраических методов и индуктивных технологий.
С точки зрения современной философии, исчисление - это:
«...основанный на четко сформулированных правилах формальный аппарат
оперирования со знанием определённого вида, позволяющий дать исчерпы­
вающе точное описание некоторого класса задач, а для некоторых подклассов
этого класса - и алгоритмы решения» ([109], стр. 233). Таким образом, алго­
ритмические возможности исчисления являются одной из его важнейших ха­
рактеристик, а использование этих возможностей для получения эффектив­
ных процедур разрешения естественных задач, возникающих в рамках этих
исчислений - одной из его первонасущных функций.
Согласно этому, Определив, в процессе построения логических исчисле­
ний, разумные требования эффективности к символам алфавита, формулам и
некоторым другим синтаксическим конфигурациям, необходимо акцентиро­
вать внимание студентов на выявлении условий, которым должны удовлетво­
рять правила образования, правила вывода и общие технологии построения
формализованного языка для обеспечения выполнения этих требований.
Практика постановки и изучения алгоритмических проблем, свойственных
логическим исчислениям показывает, что своевременная отработка алгорит­
мов «бьггь формулой, подформулой, аксиомой, выводом» оказывает позитив­
ное воздействие не только на качество усвоения соответствующей темы изу­
чаемой дисциплины, но и на формирование общей алгоритмической культу­
ры студентов.
4.2.
Методика введения и изучения базовых составляющих логиче­
ских исчислений
Логическое исчисление, как основной объект изучения в математической
логике, определяется следующими составляющими:
а) алфавит А и множество С(А) слов этого алфавита;
б) подмножество ДА) множества С(А). Слова из ДА) будут называться
далее формулами;
§ 4. Дедуктивные методы
177
в) подмножество А(А) множества Д А ). Формулы, принадлежащие под­
множеству А( А), будут называться, в дальнейшем, аксиомами;
г) множество Р = [Р* ;Р”2
} частичных операций, заданных на
множестве Д А ). Частичные операции из Р называются правилами вывода
логического исчисления.
Язык логического исчисления, в первом приближении, можно опреде­
лить, как формализованный образ некоторого фрагмента естественного языка.
Структура любого естественного языка предполагает выделение синтаксиче­
ской и семантической составляющих. При этом, под синтаксисом понимают­
ся: законы построения слов из букв алфавита; простых предложений из слов;
сложных предложений из простых, а также правила пунктуации, выступаю­
щие в роли регламентационных правил. Под семантикой понимается выяв­
ление возможных смысловых значений слов, простых и сложных предложе­
ний, то есть выявление содержательного смысла синтаксических конструк­
ций. Следует отметить, что в обычных языках синтаксис и семантика опреде­
лены нестрого; синтаксические правила нечетко очерчены и имеют множест­
во исключений, которые зачастую не находят ни исторических ни логических
мотиваций. Семантика даже простых предложений может оказаться неодно­
значной.
По этим причинам естественные языки не всегда пригодны для изложения
и передачи математических знаний. Для таких целей необходим искусствен­
ный (или частично искусственный) язык, построение которого осуществляет­
ся по четко сформулированным формальным правилам. Подобные языки на­
зываются формальными символическими языками и возникают на основе
естественных языков, но отличаются от них строгой определенностью алфа­
вита, синтаксиса и семантики. Описание формальных синтаксических конст­
рукций и правил семантики таких языков осуществляется в некотором естест­
венном языке, в данном случае - русском. Этот внешний, по отношению к ис­
кусственному символическому языку, язык называется метаязыком. Здесь
уместна аналогия с изучением незнакомого иностранного языка. Например,
изучая английский язык, мы используем грамматику этого языка, написанную
на русском языке. То есть английский язык, в данном случае, выступает в ро­
ли символического языка, а русский - в роли метаязыка.
Языком любого логического исчисления является формальный символи­
ческий язык.
Алфавит А символического языка задаётся посредством указания всех
его символов. Эти символы в дальнейшем будут называться исходными. Ис­
ходные символы предполагаются неделимыми в том смысле, что при по­
строении языковых конфигураций, никогда не будут использоваться их части.
В дальнейшем будут рассматриваться алфавиты, мощность множества симво­
лов которых не более чем счётна.
Словом алфавита А называется любая конечная линейно упорядоченная
178
Глава II. Методологические основы методической системы
последовательность исходных символов. К числу слов алфавита А относится
и, так называемое, пустое слово 0 , в записи которого не используется ни
один из символов алфавита А. Число символов алфавита, входящих в слово,
называется его длиной. Слова алфавита А будем обозначать через А\В\С\...
или с использованием индексов: А,;А2 ;...;А,.... Отметим, что
А,В,...;А];А2;... - символы метаязыка. Через С(А) обозначим множество всех
слов алфавита А.
Из множества всех слов по определенным правилам выделяются слова
специального вида, которые называются формулами. К алфавиту А и множе­
ству формул предъявляются следующие требования (требования эффектив­
ности):
-должен существовать метод, позволяющий эффективно определить, явля­
ется ли любой данный символ символом алфавита или нет;
-должен существовать метод, позволяющий эффективно определить, явля­
ется ли любое данное слово (построенное из символов алфавита) формулой
или нет.
С интуитивной точки зрения формулы алфавита А - это такие слова, кото­
рые в дальнейшем наделяются тем или иным содержательным смыслом. Мно­
жество всех формул алфавита А будем в дальнейшем обозначать через ЦА).
Следует обратить внимание студентов на то, что определение множества
всех слов алфавита А носит индуктивный характер.
Способ построения множества С(А) предопределяет, в известной степени,
и специфику получения множества формул алфавита А: множество ДА), как
правило, выделяется из множества слов этого алфавита также посредством
некоторой процедуры индуктивного характера. Осуществление индуктивного
шага этой процедуры предполагает наличие, так называемых правил образо­
вания, посредством которых из формул предшествующих шагов получаются
формулы следующего за ними шага. Число правил образования предполага­
ется, обычно, конечным.
В соответствии со схемой индуктивного определения класса однотипных
объектов:
а) формулы шага 0 задаются непосредственно. В нашем случае, на шаге О
должны быть непосредственно, эффективным образом, указаны слова алфа­
вита А, которые в дальнейшем будут считаться формулами;
б) к формулам шага й -1 относят такие формулы, которые получаются из
формул шага I посредством не более чем однократного применения к ним
одного из правил образования.
Следует подчеркнуть, что согласно приведенному описанию формул шага
М-1, в их число следует включить и все формулы шага I.
В нашем случае любое правило образования представляет собой конечно­
местную частичную операцию Г - Г{х{,хг\...\хп) , заданную на множестве
С(А). Каждая из этих операций предполагается эффективной в том смысле,
§ 4. Дедуктивные методы
179
что должен существовать метод, позволяющий по любой конечной упорядо­
ченной последовательности слов, число которых совпадает с местностью рас­
сматриваемой операции, эффективно определить, применима она к этой по­
следовательности слов или нет, и, если применима, то какое слово получится
в результате. Следует подчеркнуть, что эти частичные операции, как правила
образования, заведомо должны быть неприменимыми к таким последователь­
ностям слов, в которых хотя бы одно слово не является формулой.
Таким образом, эффективность частичной операции Р = Р(хх;х2;...;хп)
предполагает:
эффективность решения проблемы вхождения в область определения
этой операции, то есть эффективность предиката Р ( х , о п р е д е л ё н н о г о
по правилу:
(УА,;А2;...;А„е С(А))(Р(А1;Л2;„.;АВ) = 1<<=>(А,;А2;...;А|1)б ЭотР)
-эффективность процедуры вычисления значения Р (А Х\А 2\...\А,) опера­
ции Р на любом наборе (А ,;А 2;...;Ап) е ИотР значений для переменных
хх;х2',../,хп соответственно.
Следующей составляющей логического исчисления является множество
А(А) его аксиом. Обычно предполагается, что понятие аксиомы является эф­
фективным, то есть, что, исходя только из анализа синтаксического строения
любой формулы
ЦА), можно, посредством применения единой процедуры,
за конечное число шагов выяснить является эта формула аксиомой или нет.
Последней составляющей понятия логического исчисления является мно­
жество Р —правил вывода. К каждому из этих правил, как частичной опера­
ции, заданной на множестве ДА), предъявляются требования эффективности,
аналогичные требованиям эффективности, предъявляемым к правилам обра­
зования.
Если Р* € Р и Р? , как частичная операция, применима к набору
(А^А^-./.А > (Ауе Д А ),у = 1;2;...;п,), то формулы А Х\А 2,..;,АК называют­
ся посылками правила вывода Р "', а формула Г ”- (А,; А2;...; Ап ) его заклю­
чением, при этом употребляется развёрнутая запись результата применения
правила Р* в виде:
А, ,А2,...,А^
7 у Ч А 1 ;А 1 ;.";А я/
аналогичном записи модусов силлогистики Аристотеля.
Из всего вышесказанного следует, что переходу к изучению конкретных
логических исчислений должна предшествовать пропедевтическая работа,
связанная с рассмотрением эффективных предикатов и частичных операций,
заданных на множестве слов некоторого алфавита. Опыт проведения подоб­
ной работы предлагается в [26].
180
Глава II. Методологические основы методической системы .
43. Формализация понятия дедуктивного вывода
Определив логическое исчисление, опишем в общем виде, каким образом
средствами его символического языка формализуется понятие дедуктивного
вывода. Более обстоятельное описание вводимых, в связи с этим, понятий
предпринимается при изучении конкретных логических исчислений.
Под доказательством или выводом в логическом исчислении понимает­
ся конечная последовательность А1;А2;...;А1 формул языка данного исчисле­
ния такая, что каждая из формул А1 этой последовательности является или
аксиомой, или получается из некоторых предшествующих ей формул
А х;Аг',...\А1Л (в случае I > 1) по одному из правил вывода
Из этого определения следует, что формула Л,, то есть первая формула
вывода, должна быть аксиомой. Если же формула А,. получается по правилу
вывода
из некоторых предшествующих ей формул вывода, то это означа­
ет, что среди этих предшествующих находятся такие формулы А^ ; А ^ А, ,
что частичная операция /г4"‘ применима к набору (А, ;А^ ;...;А. ) и
А.= Г ^ (А. ; А( ;...; А. ). Другими словами А,, является следствием посылок
А. ;А^;...; А, в соответствии с правилом вывода Г^‘ .
Следует обратить внимание студентов на то, что введенное, указанным
образом, формализованное понятие доказательства вполне согласуется с ин­
туитивным его восприятием, как конечной цепочки умозаключений, которая
начинается с очевидного или ранее доказанного утверждения и каждое по­
следующее звено которой получается из предыдущих звеньев этой цепочки
по определенным правилам.
То же самое можно сказать и о формализованном понятии теоремы. В ин­
туитивном понимании, теорема - это такое утверждение, для которого суще­
ствует доказательство, то есть такая, логически обусловленная цепочка умо­
заключений, последнее звено которой совпадает с этим утверждением. Поня­
тие теоремы является формальной версией этих интуитивных представлений.
Формула А € ДА) называется выводимой (доказуемой или теоремой)
формулой логического исчисления, если в нём существует такой вывод, что А
является последней формулой этого вывода.
Из эффективности понятий аксиомы и правил вывода следует, что поня­
тие вывода также является эффективным, тем не менее, в общем случае, этого
нельзя сказать о понятии теоремы. Математическое доказательство этого фак­
та получается при изучении проблем, связанных с формализацией интуитив­
ного понятия эффективной процедуры или алгоритма. На данном этапе мож­
но ограничиться лишь следующими пояснениями содержательного характера.
В предположении счетности языка ДА), множество всех конечных после­
довательностей формул этого языка также будет не более чем счетным. Эф-
§ 4. Дедукт ивные методы
181
фективность понятия формулы и индуктивный характер построения формул
позволяют получить эффективную нумерацию множества Д А ), а затем и эф­
фективную нумерацию множества всех конечных последовательностей фор­
мул. Эффективность понятия вывода даёт возможность, по каждой очеред­
ной, в полученной нумерации, последовательности А1;А2;...;А, выявлять, яв­
ляется ли эта последовательность выводом или нет. В случае положительного
ответа, то есть, если рассматриваемая последовательность является выводом,
мы можем сравнить формулу В с последней формулой А, этого вывода. Если
В = А,, то формула В будет теоремой, согласно определению выводимой
формулы; если же В Ф А, , то мы должны переходить к аналогичному рас­
смотрению очередной, в полученной нумерации конечных последовательно­
стей формул, последовательности и так далее.
С интуитивных позиций нетрудно понять, что если В действительно вы­
водима, то осуществляя, в рамках полученной нумерации, пошаговый про­
цесс просмотра всех конечных в порядке возрастания их номеров последова­
тельностей, начиная с первой, мы на каком-то конечном шаге встретим по­
следовательность, являющуюся выводом формулы В, то есть такую последо­
вательность, последняя формула которой совпадет с В. При таком исходе, мы
получим положительный ответ на поставленный вопрос. Если же формула В
окажется невыводимой, то, определённый выше, пошаговый процесс будет
осуществляться бесконечно, так как ни отрицательного, ни положительного
ответа на поставленный вопрос, на каждом из конкретных шагов, мы не по­
лучим.
Одним из основных предназначений логических исчислений является
обеспечение, средствами своих формализованных языков, возможности изу­
чения свойств алгебраических систем, что требует наделения содержатель­
ным смыслом формул и других формальных конструкций этих языков, то
есть их семантического изучения. Основным понятием семантики является
пошггие семантической интерпретации, посредством которой определяются
истинностные значения формул и других синтаксических конфигураций язы­
ка рассматриваемого исчисления.
4А. Алгоритмические свойства логических исчислений
Дадим, в общем виде, постановку основных проблем, которые естествен­
ным образом возникают, как в рамках логических исчислений, так и при вы­
явлении связей и зависимостей между дедуктивными возможностями этих
исчислений и семантиками их формальных символических языков, выходя­
щих за рамки этих исчислений.
Детальная конкретизация понятий и отношений, в терминах которых да­
ется формулировка этих проблем, осуществляется при изучении конкретных
логических исчислений (в частности, исчисления высказываний и исчисления
предикатов).
182
Глава II. Методологические основы методической системы
Пусть задано логическое исчисление и некоторая его семантика. В рамках
этой семантики могут быть допустимы различные семантические интерпре­
тации языка заданного исчисления. Формулу А этого языка, естественно, счи­
тать истинной, если она принимает истинное значение при всех таких интер­
претациях.
Логическое исчисление называется [35]:
а) непротиворечивым по отношению к заданной семантике его языка,
если в этом исчислении доказуемы только истинные формулы и противоре­
чивым (по отношению к заданной семантике) в противном случае;
б) полным в широком смысле по отношению к заданной семантике язы­
ка, если в этом исчислении доказуемы все истинные формулы;
в) полным в узком смысле по отношению к заданной семантике, если в
результате добавления к его аксиомам любой недоказуемой в нём формулы
(без изменения системы правил вывода) получается противоречивое исчисле­
ние;
г) разрешимым, если существует единая эффективная процедура, испол­
няя предписания которой можно, по любой формуле А языка этого исчисле­
ния, за конечное число шагов выяснить, является в нем формула А выводимой
или нет.
Для формулировки проблемы независимости логического исчисления до­
полнительно необходимы следующие понятия:
- аксиома А е А(А) логического исчисления называется независимой от
остальных его аксиом, то есть от системы аксиом А(А)\{Л}, если эту ак­
сиому нельзя вывести, посредством правил вывода рассматриваемого исчис­
ления, из аксиом системы А( А) \ {А };
- система аксиом А(А) логического исчисления называется независимой,
если каждая из её аксиом независима от остальных;
- правило вывода Р"‘ е Р логического исчисления называется независи­
мым, если найдётся хотя бы одна выводимая в этом исчислении формула, ко­
торую нельзя вывести без использования этого правила, то есть используя
только правила вывода из системы Р \ {Р "‘} (/ = 1;2;...;г);
- система Р правил вывода логического исчисления называется независи­
мой, если каждое из его правил вывода независимо от остальных.
Логическое исчисление называется независимым, если независимыми
являются как система аксиом А(А) этого исчисления, так и система Р его
правил вывода.
Таким образом, в качестве основных проблем, связанных с логическими
исчислениями, ставятся проблемы выявления их непротиворечивости, полно­
ты (в широком и узком смыслах), разрешимости и независимости.
§ 5.
Метод формальных аксиоматических теорий
183
§ 5. Метод формальных аксиоматических теорий
5.1. Обзор содержания и методические рекомендации к его изложению
В качестве демонстрационного поля развертывания метода формальных
аксиоматических теорий целесообразно (на начальном этапе изучения) вы­
брать аксиоматику теории групп.
Наличие абстрактного определения понятия группы, посредством доста­
точно простой системы аксиом, представляет широкие возможности для де­
монстрации, на примере класса групп, основных положений метода.
Прослеживая историю развития теории групп можно указать три основ­
ных источника возникновения понятия группы.
1. Развитие концепции группы в рамках теории решения алгебраических
уравнений в радикалах. Достаточно полно путь этого развития отражен в [43]:
«От Лагранжа, стихийно применявшего группы подстановок для решения ал­
гебраических уравнений в радикалах (1771), через работы Руффини (1799) и
Абеля (1824) к Эваристу Галуа, в работах которого (1830) уже достаточно
сознательно используется идея группы (им же введен и сам термин), - вот
путь, по которому развивалась эта идея в рамках теории алгебраических
уравнений» ([43], стр. 10).
2. Независимо от теории алгебраических уравнений идея группы зарожда­
лась в геометрии, где в середине XIX века А. Кэли рассматривал группы гео­
метрических преобразований. Значительный вклад в развитие теории групп
внёс Ф. Клейн, благодаря своей «Эрлангенской программе», в которой он в
основу классификации различных геометрий положил понятие группы пре­
образований.
Красноречивая характеризация возможностей геометрических приложе­
ний теории групп даётся в [43]: «... группы - это мощный инструмент позна­
ния одной из наиболее глубоких закономерностей реального мира - симмет­
рии» ([43], стр. 13).
3. Понятие группы имеет свои корни и в теории чисел, где ещё в XVIII ве­
ке Л. Эйлер, работая с отношениями сравнения по модулю данного числа и
разбиениями множества целых чисел на классы вычетов, использовал, по су­
ществу, разложение группы по подгруппе на сменные классы.
Групповые структуры присущи многим алгебраическим системам, в част­
ности, классическим алгебрам: кольцам, полям, векторным пространствам.
Методология теории групп широко применяется не только в математике, но и
за её пределами; в частности, в кристаллографии, физике, квантовой механике.
Понятие группы, в связи с вездесущностью проявления в математике
групповых структур, встречается во многих математических дисциплинах,
изучаемых в высших учебных заведениях. Достаточно обстоятельное изуче­
ние начальных разделов теории групп, включающее теорему о гомоморфиз­
мах групп, предпринимается в курсе алгебры.
184
Глава II. Методологические основы методической системы
Следует отметить, что многие конструкции, методы и технологии, предна­
значенные для выявления структурных свойств алгебраических систем, апро­
бировались впервые на примерах потенциально группового характера.
Кроме того, наличие достаточно прозрачных аксиоматик, задающих клас­
сы групп, говорит в пользу выбора теории групп, как поля демонстрационно­
го развертывания апробации метода формальных аксиоматических теорий.
Общие подходы к изучению этого метода нашли представление в разделе
5.2 данного параграфа. Основное внимание в пунктах 5.2.1 и 5.2.2 этого раз­
дела было уделено отражению как систематизирующих, так и теоретико­
познавательных возможностей аксиоматического метода.
Говоря о преимуществах выбора теории групп для демонстрации возмож­
ностей аксиоматического метода, следует заметить также, что неоднознач­
ность выбора аксиоматик (различных сигнатур) для задания класса всех групп
позволяет продемонстрировать на содержательном уровне технологию срав­
нения дедуктивных средств и выразительных возможностей этих аксиоматик.
Методические рекомендации к проведению соответствующей работы и их
практическая реализация осуществлены в приложении Е.
5.2.
Аксиоматический метод, как способ систематизации, инструмент
исследования и средство получения новых знаний
5.2.1. Метод содержательных аксиоматик. Основные идеи метода со­
держательных аксиоматик были высказаны древнегреческими учеными в свя­
зи с построением геометрии (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид): «Пре­
вращение Геометрии в дедуктивную систему произовило в древней Греции.
Первые геометрические теоремы были доказаны учеными ионийской школы
натурфилософии (первая половина VI века до н.э.). ...Постепенное накопле­
ние и совершенствование определений, постулатов и теорем в работах грече­
ских математиков VI - Ш в. до н.э. вылилось в конце концов в стройную де­
дуктивную систему «Начал» Евклида (Ш в. до н.э.).» ([74], стр. 78).
Ряд идей, в известной мере предвосхитивших современные представления
об аксиоматическом методе, был высказан в трудах немецкого философа, ло­
гика и математика ГЛейбница (1646 - 1716). ГЛейбниц, по праву считаю­
щийся основателем математической логики, впервые в явном виде поставил
задачу создания универсального исчисления, на основе специально созданного
символического языка, которое могло бы охватить всю математику: «Если ал­
гебра работала с тождествами и преобразованиями тождеств, то Лейбниц по­
ставил задачу о том, нельзя ли создать такой формальный язык, который по­
зволяет точно говорить обо всем (вычислять).» ([38] стр. 137). И хотя Лейбни­
цу не удалось успешно решить задачу создания универсального формального
языка в полном объеме, в его подходах к проблематике, явно прослеживается
прообраз схемы, лежащей в основе построения современных логических ис­
числений математической логики и современного аксиоматического метода.
Логические взгляды Лейбница сложились под влиянием силлогистики
§ 5. Метод формальных аксиоматических теорий
185
Аристотеля. Лейбниц считал, что силлогическая форма - это: «...своего рода
универсальная математика, все значение которой еще не достаточно понято»
([65] стр.423). Дальнейшее усовершенствование и развитие логики он видел в
том, чтобы выявить все простые понятия, свести их к конечному числу пер­
вичных («атомных») понятий и остальные понятия получать из этих первич­
ных путем подходящего их сочетания (комбинирования). Перечень «атом­
ных» принятых без определения понятий составил бы по Лейбницу, своеоб­
разный «алфавит человеческих мыслей». Анализ сложных понятий позволил
бы, при этом, получить доказательства всех известных истин. Особое внима­
ние Лейбниц придавал системе символических обозначений, считая возмож­
ным введение «всеобщей символики». Он полагал, что символика послужит
не только основой языка для выражения существующих знаний, но и орудием
открытия и доказательства новых истин, то есть в его терминологии «искус­
ством изобретения». Он считал, что логика, построенная по этому плану, по­
зволит разрешить любые споры, так как при наличии различных мнений по
тем или иным вопросам нужно будет только взять перо и «посчитать».
Несмотря на всеобъемлющую постановку задач и незавершенность своих
работ в этом направлении, Лейбниц, как показало дальнейшее развитие мате­
матики (в частности, аксиоматического метода), оказался во многом прав.
Суть аксиоматического метода заключается в том, что он представляет со­
бой: «...способ построения научной теории, в основе которой имеются неко­
торые исходные положения, называемые аксиомами (постулатами) теории, а
все остальные предложения данной теории являются логическими следствия­
ми из этих аксиом.» ([86] стр. 143).
Впервые, как отмечалось выше, основные положения содержательного ак­
сиоматического метода были выявлены и наиболее последовательно реализо­
ваны Евклидом. Данное им аксиоматическое представление геометрии (около
300 г. до из.) оставалось непревзойденным образцом совершенства не только
в изложении систем математических знаний: « Более 2000 лет она служила
единственным руководством, по которому учились геометрии юноши и взрос­
лые в странах запада и востока. По своей распространенности эта книга может
конкурировать разве, что с Библией. «Начала» явились книгой, в которой был
подведен итог многовекового развития геометрии (и математики). Но это была
не просто сумма накопленных знаний. Это было революционное переосмыс­
ление системы устройства научных знаний. Эго была первая в истории чело­
вечества поистине научная книга: в ней геометрия была представлена как ак­
сиоматическая теория, исходя из тех принципов, которые восходили к Ари­
стотелю и Платону. Евклид окончательно прояснил их и от словесных форму­
лировок перешел к реальному делу: он явил нетленный образец непреходящих
истин.» ([41] стр.240). В «Началах» Евклида основное содержание геометрии
было получено чисто дедуктивным путем из некоторого, относительно не­
большого числа аксиом, истинность которых представлялась очевидной.
186
Глава И. Методологические основы методической системы .
Метод содержательных аксиоматик сыграл (и играет) выдающуюся роль
не только в математике, но и в других дисциплинах, тем не менее, с позиций
современных представлений ему свойственна определенная ограниченность.
Это касается, прежде всего, трех положений.
1 При выборе первичных понятий и отношений между ними, в рамках ме­
тода содержательных аксиоматик, даются описательные (словесные) их ха­
рактеризации. Таким образом, эти понятия и отношения, будучи введенными
в «ткань» аксиом, фигурируют в них, как наделенные (заблаговременно) кон­
кретным содержанием. Вследствие этого заранее внесенного смысла и скла­
дывалось представление об аксиомах, как изначально истинных утверждени­
ях. При таком подходе многообразие всех возможных интерпретаций сводит­
ся к одной «реальной» модели.
В частности, в геометрии Евклида таким первичным понятиям, как «точ­
ка», «прямая», «плоскость» и тому подобное, при содержательной интерпре­
тации аксиоматики, ставятся в соответствие «реальные» точка, прямая и
плоскость, то есть интерпретация осуществляется в полном соответствии с
тем смыслом, которым эти понятия были наделены изначально, до включения
в аксиомы. Понятно, что на этом пути раскрываются преимущественно толь­
ко системообразующие возможности аксиоматик.
2 При построении содержательных аксиоматик, постановка вопросов, свя­
занных с выявлением логических средств дедукции и обоснованием право­
мерности их применения не актуализировалась и не предполагалась необхо­
димой. В частности, Евклид при построении своей геометрии: «.. .относился к
логике как к чему-то само собой разумеющемуся» ([38], стр. 133).
3 Содержательным аксиоматикам нередко свойственен такой логический
изъян, как недостаточность выбранных аксиом для построения соответст­
вующих систем научных знаний. Эго находит свое проявление в том, что при
подобных построениях в явной или неявной форме используются такие ут­
верждения, которые не были сформулированы в виде аксиом и логически не
следуют из них. В частности, Евклид не ввел посредством аксиом и постула­
тов, многое из того, что он использовал в дальнейшем.
52.2.
Теоретико-познавательные аспекты аксиоматического метода.
Несмотря на приведенные в предыдущем пункте положения, отражающие из­
вестную ограниченность метода содержательных аксиоматик, следует заме­
тить, тем не менее, что выбор аксиом и постулатов в геометрии Евклида ока­
зался в значительной степени удачным и плодотворным. В частности, многие
из них вошли в современную аксиоматику построения геометрии на аксиома­
тической основе.
Наибольший интерес у последователей Евклида вызывал пятый постулат
«И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямы­
ми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше
двух прямых, эти прямые пересекаются с той стороны, с которой эта сумма
§ 5 . Метод формальных аксиоматических теорий
187
меньше двух прямых» ([5], стр. 244).
Как отмечено в [74]: «...пятый постулат удивлял ученых сложностью сво­
ей формулировки. Он походил более на теорему, чем на постулат. Уже в
древности его пытались заменить другим, более наглядным. Так, у Прокла (V
в.н.э.) встречается формулировка пятого постулата, которая вошла теперь во
все школьные курсы: через точку, лежащую вне прямой можно провести
только одну прямую, не пересекающую данной» ([74], стр. 79).
Явное отличие, прежде всего сложностью своей формулировки, пятого
постулата от остальных, явилось основным побудительным мотивом попыток
направленных на его доказательство, как теоремы, исходя из остальных акси­
ом и постулатов. Но со времен Евклида вплоть до начала XIX века эти попыт­
ки не приводили к успеху.
Безуспешность попыток доказательства пятого постулата, которые пред­
принимались на протяжении более чем двух тысячелетий привели в конечном
итоге к осознанию того, что этот постулат нельзя вывести из остальных акси­
ом и постулатов евклидовой геометрии, то есть что он от них логически неза­
висим. Первыми, кто понял, это были К.Гаусс (1777 - 1855), Н.И. Лобачевский(1792 - 1856) и Я. Бойаи (1802 - 1860). С именами этих математиков свя­
зывается новый этап в развитии аксиоматического метода. В работах Н.И.
Лобачевского и Я. Бойаи аксиоматический метод впервые послужил не толь­
ко средством логической организации и систематизации известных научных
результатов, но и методом получения новых знаний. «Н.И. Лобачевский и не­
зависимо от него Я. Бойаи заменили первичный и, казалось бы единственно
«объективно истинный» пятый постулат Евклида о параллельных прямых его
отрицанием и в результате выведения логических следствий из видоизменен­
ной системы аксиом Евклида установили, что можно логическим путем соз­
дать геометрическую теорию («воображаемую» геометрию, как назвал свою
геометрию Н.И. Лобачевский) столь же стройную и богатую содержанием,
как и геометрия Евклида.... Это побудило математиков и философов обра­
тить свое внимание на эвристические возможности и другие теоретико­
познавательные аспекты аксиоматического метода, изучать специально де­
дуктивный способ построения математических теорий, что повлекло за собой
возникновение новой проблематики, связанной с самим понятием аксиомати­
ческого метода, а также формальной (аксиоматической) математической тео­
рии.» ([86], стр. 144).
Следует подчеркнуть, что фундаментальные исследования, связанные с
разработкой неевклидовых геометрий и аксиоматического метода явились
фактором мощного стимулирующего воздействия на процесс логического
обоснования математики.
Третий современный этап развития аксиоматического метода связан, пре­
жде всего, с именем ДТильберта, который сыграл исключительно важную
роль в создании и формализации математической логики.
188
Глава //. Методологические основы методической системы
В книге [14] Г. Вейля указывается несколько «ироническое» замечание,
которое обронил Д.Гильберт, аргументируя необходимость полной формали­
зации синтаксиса: «Надо, чтобы такие слова, как точка, прямая, плоскость, во
всех предложениях геометрии можно было бы заменить, например, словами
стол, стул, пивная кружка.» ( [14], стр.237). Несмотря на несколько бытовой
подход к аргументации, в этом замечании содержится одна из основных идей
формального аксиоматического метода.
С позиций современных представлений этот метод характеризуется сле­
дующими положениями:
1) полная формализация языка, при которой ее утверждения рассматрива­
ются, как синтаксические конфигурации специального вида: формулы и по­
следовательности формул (построенные из символов конкретного алфавита),
которые приобретают конкретный смысл и научно-познавательную ценность,
только лишь при тех или иных интерпретациях символов данного алфавита. С
этих же позиций рассматриваются и аксиомы. Как отмечает Г. Вейль: «Евк­
лид пытался дать описательное определение основных пространственных
объектов и отношений, фигурирующих в аксиомах; Гильберт отказался от та­
кой попытки. Все, что нам нужно знать об этих основных понятиях, содер­
жится в аксиомах. Эти аксиомы служат, так сказать, неявным (и, разумеется,
неполным) их определением. Евклид считал, что аксиомы должны бьггь оче­
видными; предметом его рассмотрения было реальное пространство физиче­
ского мира. Но в дедуктивной системе геометрии очевидность и даже истин­
ность аксиом несущественны: последние выступают скорее в качестве пред­
ложений, из которых извлекаются логические следствия.» ( [14], стр.237);
2) явная формулировка (на основе использования синтаксической состав­
ляющей формализованного языка) логических средств, допустимых в процес­
се получения дедуктивных выводов, то есть при доказательстве теорем;
3) использование в процессе построения выводов (доказательств) только
тех положений (свойств, принципов, утверждений), потенциальная возмож­
ность проявления которых находит свое выражение в выбранных аксиомах, и
тех средств, которые внесены в систему допустимых правил вывода.
Непосредственное сравнение этих положений с вышеприведенными по­
ложениями 1) - 3) показывает, что развитие метода содержательных аксиома­
тик, в качестве одной из своих целей, преследовало цель устранения его фор­
мально-логических «несовершенств». Тем не менее, как указывает Н. Бурбаки, это далеко не единственная, и, тем более, не самая главная цель: «Способ
рассуждения, заключающийся в построении цепочки силлогизмов, является
только трансформирующим механизмом, который можно применять незави­
симо от того, каковы посылки, к которым он применяется, и который, следо­
вательно, не может характеризовать природу этих последних. Другими сло­
вами, это лишь внешняя форма, которую математик придает своей мысли,
орудие, делающее ее способной объединяться с другими мыслями, и, так ска-
§ 5 . Метод формальных аксиоматических теорий
189
зать, язык, присущий математике, не более того. Упорядочить словарь этого
языка и уточнить его синтаксис - это значит сделать очень полезное дело, эта
работа составляет одну из сторон аксиоматического метода, а именно ту, ко­
торую следует назвать логическим формализмом (или, как еще говорят, «ло­
гистикой»). Но —и мы настаиваем на этом — ... наименее интересная. ...Т о,
что аксиоматика ставит перед собой в качестве основной цели - уразумение
существа математики, именно этого не может дать логический формализм,
взятый сам по себ е... Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две
или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внеш­
нему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнару­
жению «неожиданной помощи», которую одна из них может оказать другой,
там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого откры­
тия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из
рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию.»
([13], стр.247 - 248).
Следует отметить, что именно на пути совершенствования аксиоматиче­
ских представлений (от метода содержательных аксиоматик до метода фор­
мальных аксиоматических теорий) были выявлены и конкретизированы поня­
тия непротиворечивости, полноты, независимости и разрешимости математи­
ческих теорий, являющиеся в настоящее время их важнейшими характери­
стиками. Более того, выработка этих понятий стимулировала исследования по
выявлению формальных аналогов понятий алгоритма, доказательства, истин­
ности и вычислимости, что в области фундаментальной математики привело
к порождению новых научных направлений: теории доказательств и теорети­
ческой кибернетики, а в области приложений - к созданию индустрии ма­
шинной математики и современных компьютерных технологий.
Важнейшую роль (далеко не только систематизирующего характера) в об­
ласти изучения познавательных возможностей формальных аксиоматик про­
должают играть исследования, связанные с проблематикой выявления логи­
ческой независимости (зависимости) конкретных аксиом и принципов от тех
или иных систем аксиом, что особенно характерно для современного периода
развития аксиоматической теории множеств.
Но и этим далеко не полностью исчерпываются знаниевообразующие
возможности формальных аксиоматик. В работе [38] Ю.Л. Ершов отметил,
что привнеся в «аморфную» ткань метода содержательных аксиоматик необ­
ходимые элементы формализма и логической строгости, свойственные исчис­
лению предикатов, математическая логика, казалось бы до конца выполнила
свою «историческую миссию». Но, как продолжает он далее, все оказалось
значительно сложнее, интереснее и плодотворнее. Как выяснилось, формаль­
ному языку исчисления предикатов - базовой аксиоматической теории мате­
матической логики присуще уникальное свойство компактности. Как пишет
ЮЛ.Ершов: «...в 1936г. А.И.Мальцев доказал очень важную теорему ком-
190
Глава П. Методологические основы методической системы .
пактности языка исчисления предикатов, которая послужила основой для соз­
дания целого раздела математической логики, носящего название «Теория
моделей» и вполне успешно развивающегося в настоящее время. Он обнару­
жил, что некоторые теоремы, которые носят название локальных теорем из
теории групп, каждая из которых имела свое собственное, часто довольно
сложное доказательство, на самом деле суть следствия общего принципа ма­
тематической логики, причем куда более простые следствия теоремы ком­
пактности, чем их конкретные доказательства.» ([38], стр. 138).
Таким образом, структурные свойства формализованных языков содержат
в себе потенциальные возможности не только определения алгебраических и
алгоритмических свойств моделей аксиоматических теорий, заданных по­
средством аксиом этого языка, но и влияния на них.
В завершение этого пункта хотелось бы привести следующее высказыва­
ние Н.Бурбаки: «Только имея в виду ... смысл слова «форма», можно говорить
о том, что аксиоматический метод является «формализмом». Единство, кото­
рое он представляет математике, это - не каркас формальной логики, не един­
ство, которое дает скелет, лишенный жизни. Эго - питательный сок организма
в полном развитии, податливый и плодотворный инструмент исследования,
который сознательно используют в своей работе, начиная с Гаусса, все вели­
кие мыслители-математики, все те, кто, следуя формуле Лежена-Дирихле, все­
гда стремились «идеи заменить вычислениями» .»([13], стр.259).
5 3 . Пропедевтика метода формальных аксиоматических теорий
Классические алгебры: группы, кольца, поля, изучение которых преду­
сматривается программами алгебраических дисциплин высшего учебного за­
ведения, задаются аксиоматически, то есть посредством тех или иных систем
аксиом. Обычно эти аксиомы записываются не на формализованном языке
алгебры предикатов подходящей сигнатуры, а в терминах их конкретных
операций, которые уже заданы на основных множествах рассматриваемых ал­
гебр. Таким образом, для их задания используется метод содержательных ак­
сиоматик, восходящий к Евклиду.
Этот подход имеет и преимущества и недостатки. Одним из преимуществ
является то, что он не требует детального рассмотрения синтаксиса формали­
зованного языка и связан с единственной (естественной) семантикой, то есть
конкретной исходной алгеброй. В то же время метод содержательных аксио­
матик затрудняет переход к аксиоматической характеризации классов алгебр,
что является его явным недостатком.
Тем не менее, метод содержательных аксиоматик является необходимым
звеном в ознакомлении студентов с аксиоматическим методом, в современ­
ном его понимании.
Переход к формированию представлений о методе формальных аксиома­
тических теорий желательно начинать с изучения простейших аксиоматик, в
которых находят формальное отражение известные свойства числовых опе-
§ 5. Мелки) формальных аксшшамычФских теории
раций и отношений.
Предложив конкретную аксиоматику, необходимо подчеркнуть, что ак­
сиомы (на данном этапе их рассмотрения) представляют конечные упорядо­
ченные цепочки символов некоторого алфавита, построенные по строго опре­
деленным правилам, и наполнение их конкретным содержательным смыслом
осуществляется посредством построения подходящих алгебраических систем,
на которых при надлежащем истолковании символов алфавита все эти аксио­
мы превращаются в истинные утверждения
Здесь уместна аналогия с фрагментом текста, написанным ка ипнакомом
иностранном языке. Для постижения смысла этого фрагмента в целом необ­
ходимо выяснить смысл отдельных его слон, звтем простых (далее сложных)
предложении, в него входящих, и, наконец, содержательный смысл всего это­
го фрагмента.
Многие классические алгебры и модели задаются различными системами
аксиом в разных сигнатурах. Доказательство равносильности у т и х аксиома­
тических определений сводится по существу к сравнению выразительных
возможностей языков у т и х сигнатур и осуществляется посредством содержа­
тельных рассуждений в рамках конкретных алгебраических систем. На пер­
вом этапе знакомства с методом формальных аксиоматических теорий нет
необходимости давать индуктивное определение семантической интерпрета­
ции в общем виде. Прежде всего, необходимо выработать у студентов четкие
представления об алгебраических системах конкретной сигнатуры, то есть
сформировать у студентов основу для понимания того, что делается в базисе
индукции, индуктивного определения процесса семантической интерпрета­
ции.
Опыт реализации этих положений нашел отражение в приложении Е «Со­
держательное определение группы н формальная аксиоматика».
Далее уместно остановиться на выразительных возможностях языка ис­
числения предикатов сигнатуры общего вида. С этой целью, выбрав аддитив­
ную форму записи бинарной алгебраической операции целесообразно задать,
посредством формул исчисления предикатов сигнатуры о - (+; 0) (где «+» символ для бинарной операции сложения; 0 - символ выделенного элемента)
понятие: а) группы; б) абелевой группы; в) абелевой группы, порядок любого
элемента которой не превосходит заданного натурального числа п\ г) полной
группы.
Важно обратить внимание студентов на то, что понятия: группы; абелевой
группы; абелевой группы, порядки элементов которой ограничены данным
натуральным числом, задаются конечным числом аксиом, чего нельзя сказать
о понятии полной группы. Тем не менее, важно показать, что это понятие мо­
жет быть задано бесконечным (счетным) списком аксиом сигнатуры о .
Как сказано в [102]: «Для большинства целей эффективно представленный
список аксиом также хорош, как и конечный список. Однако стоит убедиться
192
Глава //. Методологические основы методической системы .
для собственного удовлетворения, что не просто недостаток воображения за­
ставляет нас использовать бесконечный список формул для выражения этого
понятия» ([102], Т.1, стр. 16).
Для того, чтобы убедиться, в частности, в том, что понятие полной группы
нельзя задать конечным числом аксиом, нужно доказать следующее утвер­
ждение: любое конечное множество предложений сигнатуры <т, истинное во
всех полных абелевых группах, истинно и в некоторой неполной абелевой
группе.
В качестве отрицательного примера из области теории групп, то есть при­
мера, понятия, которое не может быть охарактеризовано посредством конеч­
ного или даже бесконечного множества аксиом сигнатуры о можно привести
понятие периодической абелевой группы. Отрицательный результат проясня­
ет следующее утверждение: множество предложений сигнатуры сг, истинных
во всех периодических абелевых группах, истинно в некоторой непериодиче­
ской абелевой группе.
Важно акцентировать внимание студентов на том, что оба вышеприведен­
ные утверждения доказываются на основе использования теоремы компакт­
ности А.И.Мальцева, о которой говорилось в пункте 5.2.2.
§ 6. Технологические подходы к построению матема­
тических моделей систем дидактических единиц
6.1. Вводные замечания
Задачи, связанные с определением содержания предметного математиче­
ского образования и выявления эффективных технологий изучения математи­
ческих дисциплин всегда были и остаются наиболее сложными, как для сред­
них общеобразовательных школ, так и для высших учебных заведений. Сле­
дует отметить, что апробированный столетиями педагогической практики,
эмпирический подход к решению этих задач и в настоящее время играет до­
минирующую роль.
Тем не менее, все более основательные позиции в исследованиях по про­
блемам дидактики, методики, педагогики начинают занимать научные подхо­
ды. Прежде всего - это построение математических моделей образования и
применение математических методов и технологий к их анализу.
В этом параграфе, развивая и конкретизируя технологические подходы из
работы [ 1 ], строятся и анализируются некоторые из возможных математиче­
ских моделей систем дидактических единиц, что позволяет применить мате­
матические методы к определению логически обусловленной очередности их
введения.
В математических дисциплинах в качестве дидактических единиц принято
рассматривать понятия и определения; отношения и их виды; свойства поня-
§ 6. Технологические подходы к построению математических.
193
тий и отношений; простейшие методы и алгоритмы; теоремы и доказательст­
ва теорем; задачи и решения задач. В зависимости от поставленных целей
обучения может осуществляться деление или укрупнение дидактических еди­
ниц.
Являясь основой конкретного раздела данной дисциплины множество ди­
дактических единиц определяет содержание этого раздела (или всей дисцип­
лины в целом). В связи с этим порядок их введения играет существенную
роль при изучении данной дисциплины.
При малых объемах множеств дидактических единиц, на основе эмпири­
ческого подхода (посредством анализа специфики связей между этими еди­
ницами), без особых затруднений удается определить тот или иной порядок
их изучения. Если же ставится задача выявления последовательности введе­
ния системы дидактических единиц значительного по объему раздела дисци­
плины (или всей дисциплины), то, опираясь только на эмпирические сообра­
жения, найти наиболее оптимальное решение этой задачи уже не так просто.
В частности, определяя очередность подачи дидактических единиц (при
их значительном числе), можно случайно просмотреть наличие замкнутых
цепочек, что в конечном итоге может привести к, так называемому, порочно­
му кругу в системе определений. Кроме того, личные предпочтения также мо­
гут оказать существенное влияние на выбор порядка изучения дидактических
единиц не в пользу его оптимальности.
Касаясь содержания параграфа, следует отметить, что во втором его раз­
деле, посредством введения отношения логического следования на множестве
дидактических единиц, составляющих основу предметного содержания рас­
сматриваемой математической дисциплины, определяется отношение квази­
порядка Р. Далее от полученного квазиупорядоченного множества (М;Р), с
использованием технологических возможностей теоремы о переходе, приве­
денной в разделе 2.5, осуществляется переход к частично упорядоченному
множеству (М* ;/**), которое и рассматривается в качестве первой модели.
Далее осуществляется представление этой модели посредством ориентиро­
ванного графа и матрицы смежности его вершин. После корректировки полу­
ченной модели (с целью обеспечения корректности ее применения) в разделе
6.3 этого параграфа на языке теории графов дается описание алгоритма выяв­
ления оптимальности введения дидактических единиц, регламентирующие
возможности которого демонстрируются далее в разделе 6.4 на соответст­
вующих примерах.
6*2. Системы дидактических единиц с позиций математической логики
С точки зрения математической логики, дидактические единицы пред­
ставляют собой простые или сложные высказывания. Пусть
М = {х,;х2
некоторое множество дидактических единиц. Отношение «логического
следования», то есть отношение Р, определенное на М по правилу:
194
Глава //. Методологические основы методической системы .
(V*, у е М )((*Ру) <=>(* -* у)) ,
является отношением квазипорядка. Действительно, оно, очевидным обра­
зом, является рефлексивным и транзитивным, но антисимметричным это от­
ношение, в общем случае, не будет. Это связано с тем, что:
- один и тот же класс объектов может задаваться посредством различных
определений;
- многие теоремы (задачи) доказываются (решаются) различными спосо­
бами;
- существуют равносильные теоремы;
- многие объекты, в процессе развития математики, получили различные
имена (вещественные числа и действительные числа, полиномы и многочле­
ны, предикаты и отношения, отображения и функции и тому подобное).
Так как от квазиупорядоченного множества №\Р) можно перейти к час(м--,р-)
тично упорядоченному множеству '
<, где
ШШШ I
/
р - фактор­
множество М по отношению эквивалентности « ~ р », заданному на М прави­
лом:
(V*; у € М )((* ~р у) <=>((дгРу) & (уЛг))),
а Р*- частичный порядок на А/, определенный следующим образом:
(\/[х].г е М ' Ш у \ _ г е А /*)([*]_, Р ‘[у 1 ,
(хРу)),
не нарушая логических связей и зависимостей между элементами множества
М, то без ограничений общности, можно сразу считать, что частично упоря­
доченное множество ( М ; Р ) является моделью данного множества М дидак­
тических единиц.
Далее, осуществляется переход от модели ( М ; Р ) к ориентированному
графу С(Р) отношения Р, наглядно представляющему систему логических
связей, существующих между дидактическими единицами из множества М.
По графу С(Р) строится матрица М (С) = Щ,|| (г =1;2;...;я; у = 1;2;...;л)
смежности вершин этого графа [84].
Представления ( М ; Р ) ; С ( Р ); М (С) множеств дидактических единиц яв­
ляются изоморфными копиями друг друга и с алгебраической точки зрения
тождественны. Тем не менее, специфика постановки и решения задач, связан­
ных с множеством дидактических единиц, делает в одних случаях более
предпочтительной одну из них, в других случаях - другую. В частности, об­
ращаясь к модели ( М ; Р ), получаем:
а) совокупность минимальных (максимальных) элементов модели (М;Р)
представляет собой совокупность тех дидактических единиц множества М,
изучение которых необходимо осуществлять в первую (последнюю) очередь;
б) так как ( М ; Р) - частично упорядоченное множество, то в нем отсутст­
§ 6. Технологические подходы к построению математических...
195
вуют контуры длины / > 2 (другими словами эта модель гарантирует отсут­
ствие предпосылок получения порочного круга).
Модель ( М ; Р ) , с теоретической точки зрения, наиболее полно отражает
структуру логических связей и зависимостей между дидактическими едини­
цами множества М, тем не менее, для практического использования она нуж­
дается в определенной корректировке.
При практическом выявлении связей и зависимостей между дидактиче­
скими единицами множества Л/обычно используют отношение Р' :
(Ух; у € М )(хР'у <=> изучение дидактической единицы у
опирается на дидактическую единицу х).
(2.13)
Так как изучать дидактическую единицу х, опираясь на эту же самую ди­
дактическую единицу, бессмысленно, то отношение Р', не являясь рефлек­
сивным, более приемлемо для решения поставленной задачи. Отношение Р'
не в полной мере тождественно отношению Р и по другим причинам. Это свя­
зано, в частности, с тем, что существуют несравнимые (в смысле отношения
Р' ) понятия, объемы которых имеют непустую общую часть. В связи с этим,
при практическом выявлении Р' - связей и зависимостей
между дидактическими единицами множества М могут возникнуть замк­
нутые цепи, что найдет отражение в появлении контуров длины / > 2 в соот­
ветствующем орграфе О ( Р ' ) . Естественно, что в целях логической безупреч­
ности, эти контуры необходимо выявить и преобразовать их в незамкнутые
пути (посредством удаления некоторых ребер или путем деления дидактиче­
ских единиц) и только после этого приступить к определению введения и по­
рядка изучения дидактических единиц исходной системы.
6 3 . Описание алгоритма
Решение задачи выявления контуров ориентированного графа (с целью их
последующего преобразования в простые пути) может быть получено с по­
мощью технологий, развитых в теории графов [84], [101].
В основе этих технологий лежат следующие результаты, позволяющие по
матрице смежности А(С) исследовать свойства путей графа С .
Если [а1;а2;...;ап] - множество вершин графа С , то:
1) в С существует путь из вершины а1 в вершину
тогда и только тогда,
когда (г, / ) - элемент матрицы
А ( С ) + А ( С ) 2 + ... + ЖС? ) " -1
не равен нулю;
2) 0; ] ) -ый элемент матрицы А(С)к = Л(С) ■А(С) ■... ■А(С) равен числу
/
4...................... 11'■■'■V'
краз
путей из вершины а1 в вершину а; длины к ;
3
) в С существует контур, содержащий вершину а , , тогда и только тогда,
196
Глава II. Методологические основы методической системы
когда (»; /) - элемент матрицы
А(С) + А(С)г +... + А(С)"~}
не равен нулю.
Возвращаясь к задаче получения алгоритма выявления оптимальной по­
следовательности введения дидактических единиц множества М, обозначим
для краткости матрицу М(С) через А. Исходя из вышеприведенных результа­
тов 1 ) - 3), отметим следующие свойства этой матрицы:
[1, еСЛИ
1) аи = 1
, , для любых х,; х, е М (у,] —1,2,...,»).
(2.14)
[О, если —{Х; Р х})
2) Если Ат= |ру|, то Ъц 6 N и равно числу путей длины т из х1 в х] (за­
метим, что путь из х{ в X, длины т может содержать в себе, в качестве подпути, контуры).
3) Пусть Ат§|р|||1 Ат*' В|Щ1 Если Щ
= 0, то максимально воз­
можная длина пути из вершины х( в вершину х] равна т (отсюда вытекает, в
частности, что все пути соединяющие вершины х, и х} являются простыми),
(г, у = 1,2 ,..., п).
4) Если матрица А не имеет нулевых столбцов, то граф С(Р') содержит
контуры длины 1> 2.
Основываясь на этих свойствах, получаем следующий критерий отсутст­
вия контуров в графе С(Р'):
граф С(Р') не имеет контуров тогда и только тогда, когда А" - нулевая
матрица (здесь п - число дидактических единиц множества М).
Действительно, если множество М содержит п дидактических единиц, то
максимально возможные длины простых путей графа не превышают п - 1 .
Возведение матрицы А в и-ую степень (даже при больших значениях и),
при условии использования компьютера, представляет несложную задачу, что
обеспечивает возможности применения этого критерия.
После, возможно неоднократного применения процедуры выявления и
удаления контуров, мы перейдем к бесконтурному орграфу С(Р') и его мат­
рице А-М(С), анализ которой и позволит выявить последовательность изуче­
ния дидактических единиц множества М.
Процесс выявления порядка основывается на следующем свойстве матри­
цы А: если у-ый столбец матрицы А является нулевым, то дидактическая еди­
ница х] является минимальным элементом в {М\РГ) (другими словами ди­
дактическую единицу х^ нужно изучать в первую очередь). Действительно.
наличие нулей в /-ом столбце говорит о том, что изучение дидактической
единицы х] не опирается на изучение других дидактических единиц из мно­
ФО,с^
§
6. Технологические подходы к построению математических...
197
жества М Ц = 1;2 ;...;л).
Таким образом, очередность изучения дидактических единиц будет опре­
деляться по шагам:
шаг 1. Пусть
;у ™
- номера нулевых столбцов матрицы Ах—А.
Тогда дидактические единицы х т ; х
'0) вводятся и изучаются (в люн *1 " Л,
бом порядке) в первую очередь. Далее вычеркиваем в матрице А\ строки и
столбцы с номерами
Д” , полученную матрицу обозначаем через
Л 2, и переходим к следующему шагу.
шаг 2. Пусть у,<2);
Д2) - номера (в исходной нумерации) нулевых
столбцов матрицы Аг. Тогда дидактические единицы х ,т; х
должны
Л
)г
Л2
изучаться (в любом порядке) во вторую очередь. Вычеркиваем в матрице Л2
строки и столбцы с номерами
, полученную матрицу обознача­
ем через Аз, и переходим к следующему шагу и так далее.
Этот пошаговый процесс осуществляется до тех пор пока не будут вы­
черкнуты на шаге $ последняя строка и последний столбец матрицы А. В ре­
зультате множество Л/дидактических единиц разобьется на группы:
Группы дидактических единиц изучаются в полученном порядке. Дидак­
тические единицы в рамках каждой отдельной группы, являясь независимыми
друг от друга, могут изучаться в произвольном порядке.
6.4.
Реализация предписаний алгоритма на примере изучения раздела
«Бинарные отношения»
Проиллюстрируем применение вышеизложенных технологий на примере
изучения раздела «Бинарные отношения», который является традиционной
составляющей многих дисциплин логико-алгебраической ориентации. Анализ
материала этого раздела приводит к выделению следующей системы дидак­
тических единиц, лежащих в основе его содержания:
I)множество;
2 ) отношение
принадлежности элемента множеству;
3) отношения над множествами; 4) пустое множество; 5) операции над
множествами; 6) упорядоченная пара; 7) декартово произведение мно­
жеств; 8) соответствия между множествами; 9) область определения и
область
значений
соответствия;
1 0 ) композиция
соответствий;
11) бинарные отношения; 12) виды бинарных отношений; 13) отношение эк­
вивалентности;
14) разбиение множества;
15) фактор-множество;
16) отображение; 17) виды отображений; 18) теорема о соответствии;
198
Глава II. Методологические основы методической системы .
19) теорема о разложении отображений; 20) отношение квазипорядка',
21)
частично упорядоченные множества; 2 2 ) теорема о представлении час­
тично упорядоченных множеств; 23) теорема о факторизации квазипоряд­
ка’, 24) максимальные (минимальные), наибольшие (наименьшие) элементы
частично упорядоченного множества; 25) нижние (верхние), точные нижние
(верхние) грани подмножеств частично упорядоченных множеств.
Рисунок 2.1
В соответствии с приведенной выше нумерацией, вводим элементы х1 со­
ответствующие перечисленным дидактическим единицам (У= 1;2;...;25). При
практическом выявлении связей и зависимостей между дидактическими единицами множества
будем использовать отношение
Р = Р' , определенное по правилу (2.13).
Непосредственно выявляя Р-связи и зависимости между элементами мно­
жества М, получаем ориентированный граф С(Р) (смотри рисунок 2.1).
Множеством вершин этого графа являются элементы множества М; упорядо­
ченная пара (х(;х .) вершин определяет ориентированное ребро тогда и толь­
ко тогда, когда
х,Рхг (<■;>€ {1Д,..25}).
По графу С(Р), в соответствии с правилом (2.14) строим квадратную мат­
рицу А(Р) =11ац II (/; ] 6 {1;2;...;25}) порядка 25 (смотри рисунок 2.2). Нумера­
цию строк и столбцов матрицы А(Р) в дальнейшем будем называть исходной
нумерацией.
Далее, для примера, приводятся и выделяются ненулевые фрагменты мат­
риц А(Р)', I = 7;8;9 (смотри рисунки 2.3, 2.4, 2,5, соответственно) . Элементы
этих матриц, вне выделенных фрагментов, равны 0. Десятая степень (А( / >) ) 10
§ 6.
Технологические подходы к построению математических...
199
матрицы А(Р) есть нулевая матрица, что говорит об отсутствии контуров в
графе С(Р).
Отметим, для примера, что в матрице (А(Р))* восемь элементов отличны
от нуля, д, 15 —1 , а1 ]8 —2 , а, 19 —1 , а1 ^ = 1 , а1 23 = 2 , а1 м —1 ; а, 25 = 4 ,
а2 и = 1. Сумма этих элементов равна 13. В соответствии со свойствами мат­
рицы А(Р) в графе С(Р) должно быть 13 путей длины 8 , а именно 1 путь из
х, в х,5; 2 пути из х1 в х,8; 1 путь из х1 в х19; 1 путь из х, в хи ; 2 пути из х, в
х п ; 1 путь из х1 в хм ; 4 пути из х, в х ^ ; 1 путь из х2 в х ^ .
Все зги пути на графе легко находятся. В частности, пути из х, в х^ - это:
X)
^
^Х 3
I
^ ^“11
^Х \г
^ *21
* *24
^^25 >
Ху —> х6 —■>Х7 ~ ) Хц -> Хц - ) Х|2 ^ Х2] >Х24 ^ Х2з ■
Х| —> ДГ2 —) Ху —> Х8 —> ДГ| | —) Хц —>
^ ^24 —^ *25 ’
X, - > х 2 -> х б -»Х 7 ->Х, > X], Ь х2, >Х24 - > х и ,
что полностью согласуется со свойствами матрицы А(Р), приведенными в
разделе 6.3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3 4
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 10
5
1
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
13
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
15
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1б! 17
1 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
18 19 20 21 22 23 24 25
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0! 0
0 10 1 л ш 0
Рисунок 2.2. Матрица А(Р)
200
Гпава II. Методологические основы методической системы .
13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25
4 0 1 9 6 1 1 4 9 4 5
10 0 2 10 0 1 2 1 3
1 1 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
о 1о 0 0 о 1
Рисунок 2.3. Матрица (А(Р) ) 7
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1 0 0 2 1 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
25
4
1 |
Рисунок 2.4. Матрица (А(Р))%
1
25
1
Рисунок 2.5. Матрица (А(Р))9
Граф С(Р) имеет единственный путь длины 9. Он является максималь­
ным, так как (/4( / >) ) 1 - нулевая матрица. Приведем этот путь:
X, —» х2 —| х6 —>х1 —>х8 —I хи —I хп —| х2) —I
—>ДГ25 .
Так как граф (7(р) не имеет контуров, то, основьшаясь на пошаговой про­
цедуре, приведенной в разделе 4.3, выявляем порядок изучения дидактиче­
ских единиц из М :
шаг 1 так как только первый столбец матрицы А является нулевым, то
7 ,(1) = 1 ; то есть дидактическая единица х1 изучается в первую очередь;
шаг 2 после удаления первого столбца и первой строки матрицы А, = А
получаем матрицу , у которой столбец с номером 2 (в исходной нумерации
столбцов) является нулевым, то есть у',(2) = 2 и дидактическая единица х^
изучается во вторую очередь;
шаг 3 после удаления столбца и строки с номером 2 матрицы Аг получаем
матрицу А3, у которой столбцы и строки с номерами 3; 4; 5; 6 являются нуле­
выми, то есть Л(3) = 3; 7 г3) = 4; 3) = 5; ^ = 6 и дидактические единицы
х3',хА',х5\х6 изучаются в третью очередь, в любом порядке относительно друг
друга;
шаг 4 после удаления столбцов и строк с номерами 3; 4; 5; 6 матрицы А3
получаем матрицу Д,, у которой столбцы с номерами 7; 14 являются нулевы­
ми, то есть /<4) = 7;
=14 и дидактические единицы хп;хи изучаются в
четвертую очередь, также в любом порядке относительно друг друга.
§ 6. Технологические подходы к построению математических...
201
Продолжая аналогичным образом процесс пошагового выявления очеред­
ных групп дидактических единиц и указывая только номера в исходной ну­
мерации нулевых столбцов и строк матриц Д , подлежащих вычеркиванию
(»= 5;6;...;10), получаем:
шаг 5 7 ,<3> = 8;
ш агб Л(б) = 9 ;Л 6) =11;
шаг 7 7 ,а) = 10; ;^7) = 1 2 ; = 16;
шаг 8 Л(8) = 13;
= 17;
= 20; ;<8) =21;
ш аг9 | | = 15;;<9) = 1 8 ;;‘9) = 1 9 ;^ 9) = 2 2 ;^ 9) = 2 3 ;^ 9) =24;
шаг 10 у Г = 25.
Таким образом, определилось следующее разбиение множества М дидак­
тических единиц на классы:
Как отмечалось ранее, классы, полученных дидактических единиц изуча­
ются в полученном порядке, дидактические единицы каждого отдельного
класса могут изучаться в произвольном порядке. Естественно, что в целях
удобства при изложении материала того раздела, множество дидактических
единиц которого исследовалось на выявление оптимальной и логически обос­
нованной очередности их введения, полученные результаты берутся за осно­
ву, то есть при практическом их использовании возможны те или иные пере­
носы отдельных дидактических единиц из группы в группу.
Аналогичным образом, считая темы (разделы) дисциплины укрупненными
дидактическими единицами, можно выявлять оптимальный, с позиций логи­
ческой обусловленности, порядок их изучения.
В частности, при разработке структуры и содержания учебника [32] было
выделено 11 укрупненных дидактических единиц:
1)
алгебра множеств; 2) алгебра высказываний; 3) бинарные отношения;
4) предикаты на данном множестве; 5) формулы алгебры предикатов; 6) ре­
лейно-контактные схемы\ 7) логико-математическая практика; 8) комби­
наторные конфигурации; 9) формула включений и исключений; 10) основные
понятия теории алгебр\ 11) гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр.
Продемонстрируем применение изложенной ранее методологии к обосно­
ванию выбора именно такой (как предложено выше) последовательности из­
ложения разделов.
В соответствии с нумерацией разделов, вводим дидактические единицы
хи * = 1 ;2 ;...; 1 1 .
Непосредственно выявляя основные Р - связи и зависимости между ди­
дактическими единицами множества
Глава II. Методологические основы методической системы .
202
М - { Щ'/г =
1},
получаем ориентированный граф С(Р) (рисунок 2.6)
Рисунок 2.6
По графу С(Р) построим квадратную матрицу А(Р) = ||а^|| (/ = 1;2;...11)
порядка 11 (матрица А(Р)).
Находя матрицы (А(Р ))2; (А(Р))3 ; (А(Р) ) 4 получаем, что (А(Р))3 - нену­
левая матрица, а матрица (А(Р) ) 4 является нулевой. Это говорит о том, что
граф О(Р) не имеет контуров длины / >2. Ниже приведены матрицы А(Р) и
(А( / >) ) 3 (смотри рисунки 2.7,2.8, соответственно).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
8
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
9
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
10
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
11
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
Рисунок 2.7. Матрица А(Р)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Рисунок 2.8. Матрица (А(Р) ) 3
10 11
0 2
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
§ 6. Технологические подходы к построению математических...
203
Так как граф С(Р) не имеет контуров, то, следуя описанной выше мето­
дологии, по матрице А(Р) выявляем порядок изучения дидактических единиц
множества М В результате получаем:
- дидактические единицы х{ и х2изучаются в первую очередь (в любом
порядке);
- дидактические единицы хэ-,х4;х5;х6 изучаются во вторую очередь (в лю­
бом порядке);
- дидактические единицы х1\хъ\х^;хю изучаются в третью очередь (в лю­
бом порядке);
- дидактическая единица х11 изучается в последнюю очередь.
На шаге 4 процесс завершается.
Для наглядности порядок изучения дидактических единиц множества
М = \Х '/г = 1;2;...;11} может быть представлен на диаграмме (смотри рисунок
2.9)
Рисунок 2.9
Глава III
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А: Фрагмет опорного конспекта по теме:
«Бинарные отношения»
Цель:
Формирование пропедевтических основ изучения алгебраических, поряд­
ковых и топологических структур, как базовых фундаментальных структур
современной математики.
Задачи:
1. Отработка навыков теоретико-множественного восприятия способов за­
дания и свойств бинарных отношений и операций над ними;
2. Формирование представлений о процедуре перехода к фактор­
множествам, как формализованном воплощении концепции классификации;
3. Выявление роли сюръективных, биективных и инъективных отображе­
ний, как «атомных» составляющих композиционных представлений произ­
вольных отображений множеств;
4. Проведение на основе доказательства теоремы о представлении ото­
бражений пропедевтики изучения теорем о гомоморфизмах алгебраических
систем.
Литература
1. Мальцев А.И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 1970. 392с.
2. Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. М.: Мир, 1968.231с.
3. Столяр АА. Логическое введение в математику. - Минск, 1971.224с.
4. Лавров И.А., Максимова ЛЛ. Задачи по теории множеств, математиче­
ской логике и теории алгоритмов. - М.: Физматлит, 2001.223с.
5. Гончаров С.С., Дроботун Б.Н., Никитин А.А. Методические аспекты
изучения алгебраических систем в высшем учебном заведении. - Новоси­
бирск: НГУ, 2007.257с.
6 . Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. - М.: Наука,
1965.376с.
План:
1.Бинарные отношения и способы их задания.
2. Операции над бинарными отношениями.
Приложение А
205
3. Свойства бинарных отношений.
4. Отношение эквивалентности.
5. Разбиение множеств. Фактор-множества. Теорема о соответствии.
6 . Теорема о представлении отображений.
1. Двухместное отношение Р на множестве А ф 0 называют бинарным
отношением (т.е.Р с А = А х А). Бинарные отношения на конечном множе­
стве А = {а1;а2',...;а„} удобно задавать а) таблицами; б) графиками; в) графа­
ми; г) сечениями.
В случае а), элементы множества А2 записываем в квадратную таблицу,
имеющую л строк и п столбцов, так, что элемент (а{’,аЛ ставится на пересе­
чение I -ой строки и ] -го столбца ( 1 = 1 ,2 ,...,и;у =1,2,...,л). В этой таблице
отмечаем те клетки, в которых расположены пары (а{;аЛе Р (смотри рису­
нок 3.1.а)).
В случае б), на осях ОХ и ОУ декартовой системы координат ОХУ на
плоскости выбираем, в общем случае произвольно, руководствуясь сообра­
жениями удобства, по п различных точек, которые «нумеруем», двигаясь сле­
ва направо и снизу вверх по осям ОХ и ОУ, соответственно, элементами
множества А. Отмечаем те точки декартовой плоскости ОХУ, координаты а,
и а) которых, как «номера» соответствующих точек, выбранных на осях ОХ
и ОУ , образуют упорядоченные пары (щ\а} ), принадлежащие отношению Р,
т.е. а1Ра} ((а,;а; )е Р ) (смотри рисунок 3.1.6 )).
В случае в), на плоскости (в общем случае, произвольно) выбираем л раз­
личных точек и ставим их в соответствие элементам множества А. Если
акРа- , то из точки, соответствующей элементу а; проводим стрелку в точку ,
соответствующую элементу й^ (смотри рисунок 3.1.в)).
В случае г), для каждого элемента а! е А выписываем подмножество
[а А* =•! 1 /
.. . . _ Л . Подмножество [аЛР ^ А называется сечени1 ,1р | / ( а , е А ) & ( а 1Ра{ ) ]
,1р ~
ем отношения Р по элементу о, (смотри рисунок 3.1 .г)).
Пример 1. Пусть у4= {а,;д2 ;йг3 ;а4}. Тогда:
А2 ={(а];а 1);(а 1 ;а 2 >;(а1;а 3 );(а,;а 4 );<а2 ;й11);(а 2 ;а 2 );(а 2 ;а 3 );(а 2 ;а4);
(аз;а,);(аз;а 2 );<аз;аз);<аз;а4 );<о4 ;а 1);<а4 ;а 2 );<а4 ;вз);<а4 ;а4)}.
Если
Р= {(а 1;а 2 );<а2 ;а,);(а 2 ;я 4 >;(а3 ;а,);<а3 ;а 2 >;<а3 ;а 3 );<а4 ;а 1>;<а4 ;а 2 >;(а4 ;а4>},
то представления а), б), в), г) будут иметь вид:
Глава III. Приложения
206
а)
щ
А
Д1
д2
дГ
(<*;«*>
<а,;аз>
"2
<02*а 2>
<а2;в3>
<в,;л,>
аЭ
<«3;о4>
<<*<;%>
«4
б)
«4
<*3
<а4 ; а 4 У
у \
(а2;<*4>
а*
<в в«>
<*э;рз>
;
аз
11 <«3^2>, (а “2>
«2>
а2
|«1> <«3^,) <в в|) в,
'' :'
а,
в31
«3
«4
X
в)
[а1]Р={а7]
[а2 ]|,-{а,,а4} ------------Течения би_
нарного
[аз]Р={а,;а2 ;а3} *..............
отношения Р
[о4]р ={а1;а2 ;а4}
Рисунок 3.1
Приложение А
207
2. Пусть Р и б - бинарные отношения на множестве А.
2.а. Композицией (произведением) отношений Р и б называется бинар­
ное отношение Р ° ( ) , определенное на множестве А по правилу:
#»о0 » { < * у Х /
.
]
1 / щ У)е А &(Эге А)((х] г)е Р&(г\у)<= 0 ) /
2.6. Обратным к бинарному отношению Р называется бинарное отноше­
ние Р ~], определенное на множестве А по правилу:
р -1 = к * ; у ) /
1
1 / (х;у)е А & (у ;д:)еР /
Образное представление об этих операциях дают диаграммы (фрагменты
графов) (смотри рисунок 3.2 а); б)).
2.с. Так как отношения Р и 0. - подмножества Л2, то к ним можно приме­
нять теоретико-множественные операции: и ; п; \ .
Упражнение 1. Доказать, что для любых бинарных отношений Р ;();К ,
определенных на множестве А, выполняются равенства:
1)
о/г = Р о ( ( 2 о / ? ) , 4 ) ( Р у б Г * = Р -1 и 0
(Р о0
1,
2) (Р о 0)~' = 0 " ' о Р 1,5)(Рп 0 Г ' =РГ' п 0 -1,
3) ( р - 1 Г 1 = Р , 6 ) ( Р и
0
) о /г = ( Р о / г ) и ( 0 о/г),
и включение
7) ( Р п 0 ) о / г с ( Р ° / ? ) п ( 0 о / ? ) .
Построить пример, показывающий, что включение 7) нельзя заменить ра­
венством.
Указание. Для доказательства тождеств 1) - 6) применить метод включе­
ний. Докажем, для примера, тождество 5). Для этого нужно доказать два
включения
а) ( Р п 0 ) -1 с Р ' 1п 0 _|
и
б) / , ч п
0
_1 с ( / , п
0
Г |.
Глава III. Приложения
208
Докажем включение а). Пусть (х; у) е ( Р п @)~ тогда:
((х;у) е ( Р п 0 -1) => ((у;х)е (Р п Ш => (((у;х) е Р) & ((у;х)е ф ) =>
=>(«х; у ) б Р ' * ) & « х ; у ) е (Г 1)) => «х; у ) е (Р-1 п <2~х)).
Обратное включение доказывается аналогично.
3.
Определение 1. Бинарное отношение Р, заданное на множестве А, на­
зывается:
1) рефлексивным, если (\/хе А)(хРх) ;
2) симметричным, если (Л/х;_уе Л)((хРу) => (>Рх));
3) антисимметричным, если (\/х;_у е Д)((хРу) & 0>Рх) => (х = 37));
4 транзитивным, если (Л/х;_у; г е А){(хРу) & (уРг) => (хРг));
5) связным, если (\/х;_уе А)((хРу) V (_уРх));
6) иррефлексивным, если (Ухе А)(—>(хРх)).
Простейшим примером рефлексивного отношения на множестве А являет­
ся отношение йА =
которое называется диагональю множества
А. (Почему!)
Упражнение 2. Пусть Р - бинарное отношение на множестве А. Доказать,
что отношение Р является:
1)рефлексивным « ^ д с Р ;
2) симметричным <=>Р-1 = Р ;
3) антисимметричным <=>Р п Р-1 с */л;
4) транзитивным <=> Р ° Р с: Р ;
5) связным « / \ ^ с Р и Р-1;
6)иррефлексивным < = > п Р = 0 .
Свойства бинарного отношения Р легко проследить на представляющих
его таблице, графике, графе. Например, наличие ребра-петли у каждой вер­
шины графа говорит о рефлексивности отношения Р, представленного этим
графом; симметрия графика относительно прямой у = х говорит о симмет­
ричности отношения, представленного этим графиком.
Упражнение 3. Для каждого из способов задания а), б), в), г) бинарного
отношения указать характерный признак, отражающий любое из свойств 1) б) определения 1.
4.
Определение 2. Бинарное отношение Р на множестве А называется от­
ношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пример 2. Отношениями эквивалентности на указанных множествах яв­
ляются:
а) Отношение «быть в одной группе» на множестве студентов университета;
б) отношение «подобия» на множестве всех треугольников плоскости;
Приложение А
209
в) отношение «равновеликости» на множестве всех выпуклых много­
угольников плоскости;
г) отношение «равносильности» на множестве всех формул алгебры вы­
сказываний;
д) отношение «параллельности» на множестве всех прямых плоскости;
е) отношение «иметь одну и туже сумму цифр» на множестве всех нату­
ральных чисел;
ж) отношение «иметь равные модули» на множестве всех комплексных
чисел;
з) отношение «иметь один и тот же год выпуска» на множестве всех авто­
мобилей города 5.
С каждым отображением ср\ А —>В можно связать бинарное отношение
(р* на множестве А, определенное по правилу:
(Уа;Ье А)((аф*Ь) <=> (<р(а) = <р(Ь))
Отношение <р* называется отношением равнообразности отображения
#Упражнение 4. Пусть / : А —> В. Доказать, что / ° / _1 - отношение экви­
валентности на множестве А.
Указание. Показать, что (\/а;Ъе А ) ( (а ( / о / _,)Ь<=>(/(а) = /(Ь))) (смотри
рисунок 3.3).
Упражнение 5. Пусть Р, и Р2 - отношения эквивалентности на множест­
ве А. Доказать, что:
1) Р, п Р 2 - отношение эквивалентности;
2) Р, и Р2 - отношение эквивалентности 0 ? г и Р 2
о Р2;
3) Р{ о Р 2 - отношение эквивалентности <=» Рхо Р2 = Р2 о Р1.
Указание. Использовать упражнения 1,2.
Докажем, к примеру, утверждение 3) справа налево. Пусть
Рх о Р2 = Р2 о Рх. Тогда (Р{ о Р2у х = Р 2-1 о р~1 = Р 2 о / )| = Р 1оР2, т.е. отно­
шение Р, о Р2 симметрично, согласно пункта 2) упражнения 1 и пункта 2) уп-
210
Глава III. Приложения
ражнения 2. Аналогичным образом доказывается, что из условия
Рх о Р2 = Р2 о Р] следует рефлексивность и транзитивность отношения Р1° Р2.
5.
Определение 3. система непустых подмножеств 2 множества М назы­
вается разбиением этого множества, если:
1) и Х = М \
ХеХ
2) (УХ\Уе Х)(((Х п У) * 0 ) =* (X = У)).
Пример 3. Пусть М = {а1;а2;а3;а4;а5,а6) . Тогда система подмножеств
Е = { {ах;а3};{а2;а4;<з6};{д5}} есть разбиение множества М
Пусть X - разбиение множества А. Определим по разбиению 2 бинарное
отношение
на множестве А по правилу:
(Уа\Ье А)(аРъЪ <=>(ЗХе Х)((де X) & (Ье X) ) .
Пример 4. По разбиению 2 примера 3 найдем отношение Рт и построим
граф этого отношения.
Р* ~{(а1 >а1 УЛо1‘,а3);(а3;а1);(а3;а3);(а2',а2);(а2;а4);(а4;а2);(а2;а6);
(а6;а2);(а4-,а4У,(а4-,а6);(а6;а4);(а6;а6);(а5;а5)}.
Граф отношения Рх представлен на рисунке 3.4.
О
О
3
О
Рисунок 3.4
Характер расположения стрелок (ребер графа) говорит о том, что граф,
изображенный на рисунке 3.4, является графом отношения эквивалентности.
Предложение 1. Если 2 - разбиение множества А , то Рх - отношение эк­
вивалентности на этом множестве.
Предложение 2. пусть Р —отношение эквивалентности на множестве А и
а е А. Положим [а]Р = { % е А) & {аРЬ)\. Тогда:
а) (Уа е А ) ( а ь [ а \ РУ,
б) (Уа;Ье Л)((([а],> п [ Ь ] ^ ) ^ 0 ) = > ( [ о ] я =[*]Р));
в) (\/а;Ь<Е АШаРЬ) <=>№ Р = [*>],,));
г) А= и[л]Р.
аеА
Предложение 2 показывает, что если Р - отношение эквивалентности на
множестве А, то система подмножеств
является разбиением
211
Приложение А
множества А, при этом: подмножество [а]р (ае А) называется классом эк­
вивалентности, порожденным элементом а\ множество
[а],
всех
/а е А
классов эквивалентности называется фактор-множеством множества А по
отношению Р и обозначается через А/р (смотри рисунок 3.5).
Ы
р
= { ь/
(Ье А) & (аРЬ)
класс эквивалентности,
Рисунок 3.5
X
а) Множество А
б) разбиение X
множества А
А= и X
Хё2
В) Л/
щ
ж
фак­
тор-множество множества А
по отношению эквивалент­
ности Р.
Пример 5. а) Пусть А - множество всех точек декартовой плоскости
ОХУ. Определим бинарное отношение 5 на А по правилу:
(V/5,;Р2 е А)(Р{5Р2 «=> точки Рх и Р2 находятся на одном и том же расстоя­
нии от начала координат) (смотри рисунок 3.6).
Нетрудно видеть, что 5 - отношение эквивалентности. На рисунке 3.6 да­
ны наглядные представления класса эквивалентности [Р]5 , порожденного
данной точкой Р е А. Этот рисунок позволяет дать наглядную геометриче­
скую иллюстрацию выполнимости условий а) - г) предложения 2:
а) каждая точка Р плоскости ОХУ принадлежит окружности, радиус кото­
рой равен расстоянию ОР этой точки от начала координат;
б) из того, что две концентрические окружности (в рассматриваемом при­
мере —с центром в начале координат) имеют общую точку следует совпаде­
ние этих окружностей;
в) точки Рх и Р2 лежат на одном и том же расстоянии от начала координат
тогда и только тогда, когда концентрические окружности радиусов ОР} и
ОР2, соответственно, совпадают;
г) объединение всех концентрических окру