close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000100978

код для вставкиСкачать
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
На правах рукописи
Алесв Рифхат Ж а л я л о в и ч
Ц Е Н Т Р А Л Ь Н Ы Е ЕДИНИЦЫ
Ц Е Л О Ч И С Л Е Н Н Ы Х Г Р У П П О В Ы Х КОЛЕЦ
КОНЕЧНЫХ ГРУПП
01,01.06 — математическая логика, алгебра и
теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание у ч е н о й степени
доктора физико-математических наук
Екатеринбург, 2000
Работа выполнена на кафедре компьютерной топологии и ал1тбры
Челябинского государственно10 университета
Научный консультант.
доктор физико ма'1ематических наук,
профессор В.Д. Мгизуров
Официальные оппоненты:
доктор физико математических наук,
профессор В.А. Белоногов
доктор физико-математических наук,
профессор Л . С . Казарин
доктор физико-математических наук,
профессор В.М. Левчук
Ведущая организация:
Омский государственный
университет
Защита состоится 19 декабря 2000 г. в « 14 » часов на заседании
диссертсщионного совета Д 002.07.03 в Институте математики и меха­
ники УрО Р А Н по адресу
620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.
С диссертацией можно ознако.миться в библиотеке Института ма­
тематики и механики У р О Р А Н .
Автореферат разослан « f ? » ноября 2000 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат физ.-мат.наук,
доцент
В.В. Кабанов
lir/F
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Групповые кольца — естественный и важный объект совре­
менных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся
к групповым кольцам, используются не только в гшгебре, но и в
других разделах математики, например, в топологии.
В теории групповых колец можно выделить два следующих
основных направления.
1 . Исследование кольцевой с т р у к т у р ы . Изучается стро­
ение группового кольца с точки зрения теории колец: пер­
вичность, регулярность, примитивность и т.п. групповых
колец (см. [6]).
2. Исследование мультипликативной с т р у к т у р ы . Выяс­
няется строение мультипликативных групп (= групп обра­
тимых элементов = единиц) группового кольца.
Эгчз деление уаювно, так как зачастую невозможно достичь успе­
ха в одном направлении без изучения свойств, связанных с дру­
гим. Наши исследования будут, в основном, касаться второго на­
правления, то есть, мы будем изучать группы единиц групповых
колец.
Сначала вопросы мультипликативной структуры рассматривс1лись для колец целых элементов полей алгебраических чисел,
упомянем знаменитую теорему Дирихле о группах единиц ко­
лец целых попей алгебраических чисел (см. [7, Теорема 11.4.5)).
Впоследствии получено много разнообразных и впечатляющих
результатов. Укажем, к примеру, интересные и полезные резуль­
таты Синнота [24] и [25J о группах единиц колец целых абелевых
полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных
чисел).
В 1940 году была опубликована замечательная статья Хигмана "ТЛе units of group rings" [20]. После неё Хигман опубликовал
много работ, но его работа [20] не потеряла своей актуальности,
ее результаты определили дальнейшее развитие теории единиц
групповых колец и нашли свое применение в других областях.
В настоящее время можно выделить в мультипликативной те­
ории групповых кочец такие основные области исследований.
1. Построение таких подгрупп i-pynn единиц, которые име­
ют определённые свойства (свобода, центра.1ьность. конеч­
ность индекса и др.).
2. Выяснение свойств группы всех единиц.
Обзоры современного состояния исследований мультипликатив­
ной структуры групповых колец можно найти в работах (19| и
[211.
Классическими объектами исследований в теории групповых
колец служат целочисленные групповые кольца конечных групп.
Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них паи
более ярко проявляются самые важные и глубокие характеристи­
ки групповых колец конечных групп. В самом деле, если рассма­
тривать групповые алгебры конечных групп над полями харак­
теристики О, то классическая теория представлений сводит их
изучение к матричным кальцам над телами. Если же рассматри­
вать групповые алгебры над полями ненулевой характеристики,
то часто там работают совершенно иные методы. Например, при
изучении групп единиц таких алгебр используются методы тео­
рии р-групп.
Цель диссертации
Основная цель диссертации состоит в построении теории для
исследования центральных единиц целочисленных групповых ко­
лец, то есть, единиц (= обратимых элементов) центров таких ко­
лец. Так как группа центральных единиц совпадает с центром
группы всех единиц и полные описания групп всех единиц це­
лочисленных групповых колец получены лишь для некоторых
групп небольшого порядка, то получение информации о центре
этой группы - важнейшая часть информации о группе всех еди­
ниц. Дополнительную значимость этому придаёт результат [18,
Теорема 3.7], который утверждает, что в большинстве случаев на
центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц.
При изучении центральных единиц в диссертации получены как
результаты о свойствах отдельных центральных единиц, так и
свойства групп всех центральных единиц. Также впервые полу­
чены полные описания групп центральных единиц целочислен­
ных групповых колец некоторых конечных групп. Для изучения
центрсыьных единиц получены результаты о кольигис целых абелевых полей. имеЮ1цие самостоятельное значение для алгебраи­
ческой теории чисел.
Методика исследования
Для изучения центральных единиц привлекаются методы те­
ории конечных групп, теории характеров, теории чисел и ком­
пьютерной алгебры.
Можно выделить, как один из основных подходов к изучению
центральных единиц, развиваемых в диссертации — метод, кото­
рый мы называем локальным и который позволяет строить цен­
тральные единицы, связанные с единственным неприводимым
комплексным характером.
Применение локального метода позволяет строить подгруп­
пы конечного индекса в группах центральных единиц целочис­
ленных групповых колец любых конечных групп. После этого ис­
следование мультипликативной структуры центра целочисленно­
го группового кольца сводится к исследованиям фактор группы
группы центральных единиц по построенной подгруппе и тем
самым к работе в конечной абелевой группе, что позволяет су­
щественно упростить получение полного описания группы всех
центргшьных единиц целочисленных групповых колец конечных
групп.
Н а у ч н а я новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми и
снабжены полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность
Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы
диссертации могут быть использованы для исследований как в
алгебре и теории чисел, так и в их приложени?».
Результаты диссертации позволяют:
• определять показатели групп единиц фактор-колец колец
целых aбeлe^ыx полей, что полезно в исследованиях по ал­
гебраической теории чисел;
• находить центральные единицы целочисленных групповых
колец конечных групп, что очень важно при исследовании
мультипликативной структуры таких колец;
• строить подгруппы конечного индекса в группах цен'|р;1-1ьных единиц целочисленных групповых колец любых конем
ных групп;
• полностью описывать группы центральных единиц цело­
численных групповых колец любых конечных групп.
Следует отметить, что подходы изучения центральных единиц,
развиваемые Сегалом и его соавторами, не позволяют работать с
произвольными конечными группами, а могут применяться толь­
ко к группам близким к абелевым, таким как нильпотентные.
Более подробно эта тема освещена в обзоре (21, с. 147-149].
Полученные в диссертации результаты по теории чисел и при­
меняемые для их получения подходы имеют самостоятельный
интерес и могут иметь приложения в исследованиях колец це­
лых абелевых полей.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на I V Си­
бирской школе "Алгебра и анализ" (Омск, 1990), на Международ­
ной алгебраической
конференции, посвященной
памяти
А.И. Ширшова (Барнаул, 1991), на Международной алгебраиче­
ской конференции, посвященной памяти Д.К. Фаддеева (СанктПетербург, 1997), на Международной конференции по теории
групп, посвященной памяти С.Н. Черникова (Пермь, 1997), на
Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новоси­
бирск, 1997) — пленарный доклад по приглашению оргкомитета,
на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (Москва, 1998), на Международной конференции "Комби­
наторные и вычислительные методы в математике" (Омск, 1998)
— пленарный доклад по приглашению оргкомитета, на Междуна­
родной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1998),
на Международной конференции "Маломерная топология и ком­
бинаторная теория групп" (Челябинск, 1999), на Международ­
ной алгебраической конференции, посвященной бО-летию со дня
рождения Ю . И . Мерзлякова (Новосибирск, 2000), на алгебра­
ических семинарах И М М УрО Р А Н , Челябинского, Омского и
Южно-Уральского госуниверситетов.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах
|26|- И2|.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, библиографии
и приложений. Она изложена на 309 страницах (с библиографи­
ей, без приложений), библиография содержит 80 наименований.
Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя, например,
теорема 3.4 — четвёртая теорема третьей главы. Главы делятся
на параграфы, которые далятся на разделы, которые могут де­
литься на пункты. Укажем, что := означает равенство по опре­
делению.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Поскольку при обзоре содержания диссертации используется до­
вольно много обозначений и не все из них общеприняты, то при­
ведём основные из них.
1. Пусть К — оссочиатпивмое кольцо с е^имичмыл* элементом
1, рассматриваются только такие кольца. Тогда;
(a) U{K)
— группа единиц кольца К;
(b) Z{K)
центр кольца К (для центра группы исполь­
зуется такое же обозначение);
(c) ЦК) — (под)кольцо целых коммутативного кольца К,
в основном, рассматриваются коммутативные
коль­
ца.
2. ф ~ теоретико-числовая функция Эйлера.
3. и — число натуральных делителей данного числа.
4. Н О Д — наибольший общий делитель.
5. 7r(n) — множество всех простых делителей натурального
числа п.
6. Z
кольцо целых (рациональных) чисел.
7. Q — поле рациональных чисел.
8. R
- поле действительных чисел.
9. С — поле комплексных чисел.
10. Q(Cn) — Kpyi-OBoe поле, полученное присоединением (к по­
лю рациональных чисел Q ) корней степени п из 1.
11. Пусть K/Q — расширение Галуа. Тогда
(a) Gal [К)
группа Галуа расширения AT/Q,
(b) ivK — след относительно расширения AyQ,
(c) Nyf — норма относительно расширения Al/Q.
12. Пусть G — конечная группа. Тогда:
(a) KG — групповое кольцо группы G над кольцом К;
(b) \}{Z(KG)') — группа центральных единиц группового
кольца KG,
(c) У(2(1<ГС)) — нормализованная группа центра/1ьных
единиц группового кольца KG, то есть группа единиц,
имеюпц1х равную 1 сумму коэффициентов при разло­
жении по элементам группы.
(d) ехр((3) — показатель (наименьшее общее кратное по­
рядков всех элементов Сх) группы G ;
(e) Hig(G) = ехр{и(1(2(д(7)))/и(2(2(7))) - число ХигМсша конечной группы G;
(f) Х((?) — система представителей классов сопряжённо­
сти группы G ;
(g) у{х) — классовгш сумма в целочисленном групповом
кольце группы G класса сопряжённости ж^;
(h) Irr(G) — набор всех неприводимых комплексных ха­
рактеров группы G\
(i) Irr(G, aic) — система представителей классов эквива­
лентности алгебраически сопряжённых неприводимых
комплексных характеров;
8
(j) cc^iH X
характер из Irr(G), то
i. e(x) минимальный центральный идемпотент, со­
ответствующий характеру Х)
"
Q(x)
"Оле характера х (получается присоедине­
нием к Q всех значений характера x)t
т. х"
характер алгебраически сопряжённый с х с
помощью а е Gal ( Q ( x ) ) ,
iv. Irr(x, а/с) — класс характеров, алгебраически со­
пряжённых с Xi
- ^<^> - жу
vi. при А € Q(x) полагаем
nxW= Е
itltr{x,alc)
«(0+ Е '^w^xn,
<7-eGaI(Q(x))
напомним, что е(^) определяется нами только для
^ 6 1гг((?) и потому первая сумма берётся по всем
комплексным неприводимым характерам группы
G, алгебраически несопряжённым с х\
(к) ,9„ (х) ^ коэффициент при е(х) в разложении централь­
ного элемента v алгебры CG по базису {€(х) | X €
Irr(G)}.
П е р в а я глава
"Предварительные сведения и р е з у л ь т а т ы "
В этой главе содержатся необходимые определения, обозначе­
ния и результаты, которые используются в последующих главах.
В т о р а я глава
"Теоретико-числовые результаты"
Эта глава посвящена тем результатам из теории чисел, кото­
рые используются в дальнейшем в главах 3-5. Сначала исследу­
ются мультипликативные группы колец целых круговых полей,
полученных присоединением корней из 1 степеней 12, 15 и 17.
Затем изучаются показатели групп единиц фактор-колец колец
вычетов по натуральному модулю, то есть, находится показатгль
exp{V(l{K)/zl{K)))
группы единиц и (J(-ftr)/^I(/i')) фактор коль­
ца l{K)/zl{K),
где Z — натуральное число, К
абелево поле (по
ле с абелевой группой Галуа) и ЦК) - его кольцо целых Напо­
мним, что если р — единственное простое число в простом идеа^ш
Р, то индекс ветвления идеала Р (над р 1(К)) - наибольшее нату­
ральное число е, для которого Р* ЭрЦК),
и / — степень инерции
идеала Р, если \ЦК)/Р\ = pf. Если Р — простой идеал кольца
целых К поля с З б Р и 2 3 ' ' — индекс ветвления идеала Р, то для
X е РХР"^ определим d{x) — max{j | (1 +а:)3"*'' = 1 (mod Р^)} и
положим d — mm{d(a;) | х € Р \ Р^}. Используя китайскую тео­
рему об остатках, можно найти показатель exp{\j {1{К)1 zl{K)))
с помощью следующей теоремы, имеющей самостоятельный ин­
терес.
Теорема А (теорема 2.1).
Пусть К - абелево поле, Р — простой идеал в \{К), содер­
жащий простое число р, е — индекс вет.вления, f — степень
инерции идеала Р и г ^ натуральное число. Полооким также
ехр(1+ Р / Р " ) = р " .
1. Если р = 2, то е = 2^ и
[г-2
[r + i-1
при е — 1 , / = 1,г ^ 3,
в остальных случаях.
2. Еслир = 3, moe = g-3'',g = l , 2 u
г +г— 1
при q = \ или
q = 2,ei>2,d
в остальных
3. Еслир'^Ь,
= 2е,
случаях.
то е = q -р", q делитр -1 и
{
г
+г-1
.
г +г
при q = 1,
в остальных случаях.
10
Эго1 результат имеет значение не только для теории чисел,
но имеет важные приложения в теории центральных единиц це­
лочисленных групповых колец конечных групп (см. ниже теоре­
му Д).
В конце 1лавы 2 изучается отношение порядка группы единиц
и {l{K)/zl{K))
к её показателю, в частности, исследован вопрос
о совпадении порядка и показателя, то есть о том, когда группа
и{1{К)/г1(К))
будет циклической.
Т р е т ь я глава
"Основные результаты о центральных единицах''
Эта глава служит базисом для последующих исследований
в главах 4-5, а также показывает полезность результатов о по­
казателях из главы 2 для центральных единиц целочисленных
групповых колец конечных групп.
Первый параграф посвящен хигмановой теории центральных
единиц. Рассмотрим более подробно тему этого параграфа. В па­
раграфе 2 "Конечные абелевы группы" работы [20| была постро­
ена теория групп единиц групповых колец конечных абелевых
групп над кольцами целых полей алгебраических чисел, в част­
ности, над кольцом целых чисел. Эта теория сводит нахождение
единиц таких групповых колец, во многом, к нахождению единиц
в кольцах целых некоторых конечных расширений полей алге­
браических чисел, над которыми рассматриваются дгшные груп­
повые кольца. Отметим, что это сведение — именно во многом,
а не полностью, так как остаются нерешенными два следующих
важных вопроса.
1. Как нахо&ить единицы в таких числовых кольцах?
2. Какие числовые единицы нужны
групповых колец?
для нахождения единиц
Впоследствии на с. 15 мы более подробно обсудим эти вопросы.
Через 50 лет после работы Хигмана [20] автору удалось пере­
нести эту теорию на группы центргильных единиц целочисленных
ipynnOBbix колец, результаты получены в 1989-1990 г. и доложе­
ны на IV Сибирской школе "Алгебра и анализ" (Омск, сентябрь
11
1990 г.), а также на Международной коференции по алгебре па­
мяти А . И . Ширшова (Барнаул, 20-25 авг. 1991 г.) [26|, бьыи де­
понированы в (27) и опубликованы в [40|. Так как теория Хигмана именно переносится (сохраняются с незначительными из­
менениями основные формулировки и доказательства), то совер­
шенно правомерно говорить о "хигмановой теории центральных
единиц". Эта теория изложена в разделе 3.1.3 в теоремах 3.1
3.6. Приведём формулировки результатов (каждое утверждение
соответствует теореме).
Теорема Б (хигманова теория центральных единиц).
1. Центр Z(QG) рациональной групповой алгебры QG изо­
морфен прямой сумме полей Q(x)) X € 1гг((7,aic)}, то
есть
Z{QG) ^
0
X&ln(G,alc)
Q(x).
2. Группа единиц U ( I ( Z ( Q G ) ) ) кольца целых центра рацио­
нальной групповой алгебры QG изоморфна прямому произ­
ведению групп единиц U ( I ( Q ( x ) ) ) колец целых полей Q{x),
X € lTi(G,alc)}, то есть
U(I(Z(QG))) S
П
X6l"(G,o/c)
U(I(Q(x))).
3. Любая единица конечного порядка из Z{2G)
тривиальна,
то есть имеет вид ±z, где z - центральный элемент
группы G.
4- Существует такое целое I, \то 1-тая степень всякой еди­
ницы из I{Z(QG))
лежит в Z{ZG).
5. Группа \J{Z{ZG))
центральных единиц целочисленного
группового кольца Z G и группа единиц кольца целых цен­
тра Z{QG) рациональной групповой алгебры QG имеют
одинаковый ранг, то есть, одинаковое число бесконечных
циклических сомножителей при разлоокении в прямое про­
изведение циклических подгрупп.
12
6. Z{ZG) не имеет нетривиальных единиц тогда и только
тогда, когда значения любого неприводимого комплексно­
го характера группы G либо целые числа, либо принадле­
жат мнимому квадратич'ному тюлю Q ( \ / ^ ) для некото­
рого натурального числа d.
В разделе 3.J.4 хигманова теория уточняется для групп еди­
ниц целочисленных групповых колец конечных циклических
групп, в частности, определяется ранг группы единиц. В каче­
стве основных результатов этого раздела укажем два, которые
играют существенную роль в доказательстве приводимой ниже
теоремы Л .
Теорема В (теоремы 3.9 и 3.10).
Пусть G = {х) — циклическая группа порядка п, V ( Z G ) — нор­
мализованная группа единиц целочисленного группового кольца
группы G, С, — первообразный корень из 1 степени п, и для лю­
бого i = О
, п — 1 определим отобраокение
^Pi : V ( Z G ) -> U ( Z [ C ] ) ,
<Pi{v) = Pi,
где V = Yl^~o ^i^i " розлоокение единицы v 6 V ( Z G ) no ми­
нимальным идемпотентам eo, • •, e „ _ i комплексной групповой
алгебры, соответствующим
характерам Xoi--чХп-ь " ^■*'»
каждого j = О,..., п — 1 имеем Xji^) = С''•
/. Пусть г 6 {О,
п - 1}. Тогда следующие условия (а), (Ь),
(с) равносильны.
(a) Гомоморфизм ipi имеет конечное ядро.
(b) Ранги групп U ( Z G ) и U(Z[(']) совпадают.
(c) Выполняется
одно из следующих двух утверждений.
г. п€ {1,2,3,4,6}.
п. НОД(п,г) = 1 и п — 8,9,12 или п
ло.
- простое чис­
2 Пусть i 6 { О , . . . , п — 1}. Гомоморфизм ipi инъективен то­
гда и только тогда, когда выполняется одно из следующих
двух утверокдений.
13
(a) п = 1,
(b) НОД(п,г) — I ип
— простое число или п = 6,8,9,12.
Во втором параграфе третьей главы изучаются оби;ис свой
ства центральных элементов целочисленных групповых колец ко­
нечных групп. Основные результаты связаны с условиями, обес­
печивающими обратимость центральных элементов, то есчь с тем,
когда центральный элемент становится центральной единицей.
Они позволяют находить центральные единицы целочисленных
групповых колец конечных групп с помощью имеющих опреде­
лённые свойства единиц колец целых полей характеров.
Теорема Г (теоремы 3.13 и 3.14).
1. Пусть К ~ абелево поле, содержащее значения всех непри­
водимых характеров группы G uv = Z)x6irr{CJ) ^vixYix)
элемент из Z{ZG). Тогда следующие условия равносильны:
(a) V — центральная единица кольца ZG;
(b) для любого х € 1гг(С7) число 0v{x) является единицей
кольца I ( Q ( x ) ) ;
rc;n;,eirr(G,«/c)N/f(/3„(x)) = ±l2. Пусть для каждого х € 1гг((7, cdc) определена единица 0{х)
кольца I(Q(x))- Если для любого х е X ( G ) число
'>W = i ^
'
Е
X(l)trQ(;,)(^/3(X))
' x6l"(G,a/c)
является целым, то элемент и = Y!,xex(G) 'У(^)у{^) ~ Ч^мтральная единица кольца ЪО.
Первое утверждение приведённой теоремы даёт удобный кри­
терий обратимости элемента из Z(Z(7), в то время как второе
позволяет строить по единицам колец целых полей Q ( x ) , X ^
Irr(G', alc)^ центральные единицы кольца Z G , проверяя лишь ука­
занные в этом утверждении условия.
Третий параграф третьей главы посвяп1,ён локальной теории
центргшьных единиц, когда центральная единица строится для
14
сдинс! венного характера. Вводится и изучается понятие локаль­
ного соответствия Хигмана, которое устанавливает связь между
полем единственного характера и единицами центра рациональ­
ной групповой алгебры. М ы не приводим здесь эти результаты,
поскольку они носят технический характер. Отметим, что важ­
ную роль играют определённые ранее элементы u^W, каждый
из которых определяется по единственному элементу А 6 Q(x)
для единственного характера х € Irr(G). Этим обусловлено упо­
требление термина "локальный".
Вместе с переносом хигмановой теории на центральные еди­
ницы целочисленных групповых колец наследуются упомянутые
выше на с. 11 два основных вопроса.
Первый вопрос — это классический вопрос теории чисел, и по
нему имеется много различных результатов. При рг1Ссмотрении
центральных единиц целочисленных групповых колец конечных
групп нужно находить единицы в кольцах целых полей характе­
ров. Поле характера — подпале кругового поля, и здесь фунда­
ментальные результаты Синнота [24] и [25] во многом отвечают
на данный вопрос, позволяя найти подгруппы конечного вычис­
ляемого в этих результатах индекса и порождающие таких под­
групп в группах единиц колец целых полей характеров. Поэтому
можно считать, что первый вопрос почти закрыт.
Ответу на второй вопрос посвящен третий параграф третьей
главы, в котором он тоже почти закрывается. А именно, резуль­
таты этого параграфа позволяют найти такое натуральное число
/, что для любой единицы А кольца целых поля любого характера
X € 1гг(С) элемент u^i^^) будет центральной единицей целочис­
ленного группового кольца данной группы. Данное направление
исследований возникло из четвёртого утверждения теоремы Б,
откуда можно извлечь только очень грубую оценку сверху для
одного из таких чисел I. Так как это оценка сверху и она даже
для групп небольшого порядка оказывается чрезвычайно высо­
кой (например, в случае знакопеременной группы As эта оценка
дает I ^ 60^ — 1, в то время как реальное значение наименьшего
числа / = 12), то для применения конкретного значения I нужно
иметь оценку не сверху, а по делимости, то есть, указать число,
которое делится на наименьшее возможное значение /. Для этого
производится редукция к теоретико-числовой задаче уточнением
15
доказательства четвёртого утверждения теоремы Б.
Теорема Д (теорема 3.17.)
Пусть А - произвольная единица кольца целых поля характера
Q(X). Пусть I = e x p ( U ( I ( Q ( x ) ) A ( x ) I ( Q ( x ) ) ) ) - Тогда
и^{Х') G
V(Z(ZG)).
Каждое из полей характеров является подполем некоторого
кругового поля и потому является абелевым полем. Таким об­
разом, мы сводим изучаемый вопрос о центральных единицах к
следующей теоретико-числовой задаче:
Пусть Z —- натуральное число и К
лить показатель ехр { U (1(К)/г
ЦК))).
~ абелево поле. Опреде­
Эта задача рассмотрена в параграфе 2.2, ключевым резуль­
татом которого является приведённая ранее теорема А. Отметим
также, что полученные оценки во многих случаях оказываются
неулучшаемыми. Приведём лишь два примера.
PSL2{ll).
Группа центральных единиц целочисленного группо­
вого кольца группы РЗЬ2{И)
описана в [2], и из этого ре­
зультата следует, что 20 будет наименьшим значением та­
кого числа I, что u■^{X^) является центральной единицей це­
лочисленного группового кольца группы PSL^ill)
для лю­
бой единицы А из кольца I(Q(\/5)) и любого неприводимо­
го комплексного характера х группы PSL2(11). Вычисляя
I согласно теореме Д с использованием теоремы А, мы так­
же получим значение I = 20. Более подробно этот случай
рассмотрен в пункте 3.4.3.2 диссертации.
PSL2{16). Пусть р — первообразный корень степени 15 из 1.
Число I — 120, определенное по построенной теории (те­
орема Д с использованием теоремы А ) , является наимень­
шим показателем степени /, для которой U;^((p~* +рУ) будет
центральной единицей целочисленного группового кольца
группы Р51г2(16), здесь х ~ определённый неприводимый
характер группы P5'Z2(16). Все детали можно найти в пунк­
те 5.2.2.1 диссертации.
16
в Jaключeниc, как применение полученных результатов, по­
казывается, как построить подгруппу конечного индекса в груп­
пе центра^1ьных единиц целочисленного группового кольца про­
извольной конечной группы. Это позволяет дать ответ на есте­
ственное обобп№ние на группы центргыьных единиц целочислен­
ных групповых колец вопроса А.А. Бовди (см. [5, с. 45]) и про­
блемы [13, вопрос 12.1.6)].
Теорема Е (теорема 3.18.)
Допустим, \то для каокдого х € Irr(G, ale) определены свобод­
ная подгруппа А^ ранга г^ и конечного индекса а^ в U(I(Q(x))) и
такое натуральное число Ъ^, что u■^{\^''^) е U ( Z ( Z G ) ) для любой
единицы А 6 -4^.. Тогда
MG):=[
Является
П
x6lrr(G,а<с)
"(А'") I AG>lx,xeIrr(G,a/c)}
подгруппой в U ( 2 ( Z G ) ) конечного индекса, делящего
Если для каокдого х € Irr(G, ale) определена система свобод­
ных пороокдающих F^ подгруппы А^^, то
{u^{X<'-)\XeF^,X^lTT{G,alc)}
является
системой свободных порождающих подгруппы A{G).
Заключительный параграф третьей главы посвящен числам
Хигмана конечных групп. Основная цель этого параграфа — по­
лучение различных оценок по делимости чисел Хигмана групп
в зависимости от строения их полей характеров. Сначала при­
водятся результаты о различных подходах к нахождению чис­
ла Хигмана. Натуральные числа, удовлетворяющие четвёртому
утверждению теоремы Б, упорядочены по делимости и Hig(G)
делит все такие числа. Точное нахождение числа Хигмана яв­
ляется трудной задачей, поэтому важно найти числа, которые
делятся на него и, по возможности,
как можно меньшие. С
использованием результатов параграфа 1.2 и 2.2 доказаны раз­
нообразные утверждения о числах Хигмана. В последнем раз­
деле данного параграфа приведены известные числа Хигмана и
оценки ;у1Я них, полученные разными способами. Результаты о
17
числс1х Хигмана дово^шно громоздки, и потому приведём лишь
один из них.
Теорема Ж (часть теоремы 3.21).
Пусть здесь и далее ф - теоретико-числовая функция Эйле­
ра и п{п)
множество всех простых делителей натурального
числа п. Число Хигмана Hig(G) делит
|(?|-НОД(|С|,^(ехр(С)))
П
Рб7Г(|0|)
И'"''^''»-!)-
Первоначально вполне правдоподобной казалась гипотеза:
Hig((?) делит порядок \G\ группы G или, по крайней мере,
7r(Hig(G)) содерокится eTt{\G\).
Однако оказалось [1, 17|, что для группы Судзуки число Хиг­
мана Hig(5z(8)) — 672 делится на 3, в то время как порядок
|5г:(8)| на 3 не делится! Поэтому множители р*(в''Р(^)) - 1. р е
7r(|(7|), не являются лишними, как казгиюсь вначале.
Ч е т в ё р т а я глава
"Теория центральных единиц целочисленных
групповых колец групп Р 5 Х 2 ( 2 " ) "
Под словами "теория центральных единиц" понимается полу­
чение общих результатов, относящихся к центральным единицам
целочисленных групповых колец групп Р5£2(2") для произволь­
ных п, что отличает результаты этой главы от результатов раз­
дела 5.1.2, параграфа 5.2 и работы [4], где рассмотрены случаи
п = 2, гг = 4 и п = 3, соответственно. Надо отметить, что в по­
следних двух случаях применяются подходы и результаты дан­
ной ГЛ£1ВЫ.
В этой глгше всё формулируется и доказывается с помощью
таблиц характеров, так как основными базисами в центре ком­
плексной групповой алгебры конечной группы являются бази­
сы из классовых сумм и из минимальных центральных идемпотентов, связь между которыми описывается с помощью табли­
цы характеров (см. (12, § 33|). Поэтому, зафиксировав в таблице
характеров представители классов и характеры, будем получать
18
pcayjibiaThi о центральных единицах в терминах классовых сумм
для фиксированных представителей и центральных идемпотенгов для фиксированных характеров.
Можно сказать, что рассмотрение групп Рй'Х.гСЗ") - модель­
ная задача, так как подобные теории можно построить для дру­
гих классов групп, например, для линейных групп PSL2{q), q
нечётно, групп Судзуки Sz{q), но отметим, что для этих случаев
рассмотрения более сложные.
Теорема 3 (теоремы 4.1 и 4.2).
Пусть G = P 5 i 2 ( 2 " ) , ^ = 2", а и 6 — элементы из G порядков
g — 1 и q+l, соответственно. Тогда выполняются следующие
два утверокдения.
1. V ( Z ( Z G ) ) = АхВ,
где А~
{v £V \ 7Л&'") = О Vm} и
В ~ {v ^V \ 7„(а') = О V/} - подгруппы V.
2. Ранг группы U ( Z ( Z G ) ) равен q-¥\ - u{q - 1) - u{q + 1).
Заметим, что первое утверждение теоремы позволяет зна­
чительно упростить поиск центральных единиц в целочислен­
ных групповых кольцах групп P5L2(2"). Хорошее подтвержде­
ние этого можно найти в параграфе 5.2, где рассматривается
случай P5Zi2(16). Также отметим, что результаты аналогичные
второму утверждению теоремы 3 получены в [2] и [3|.
П я т а я глава
"Точное описание групп центральных единиц"
В этой главе получены полные описания групп центральных
единиц, которые будут приведены в терминах стандартных ба­
зисов из классовых сумм для центров целочисленных групповых
колец конечных групп. Следует отметить, что описания даются
с точностью до перестановки элементов таких базисов.
Получены описания групп центральных единиц целочислен­
ных групповых колец знакопеременных групп А^ ^ А^. Эти ре­
зультаты доказаны в 1989 1990 годах и доложены на I V Сибир­
ской школе "Алгебра и анализ" (Омск, сентябрь 1990 г.), а также
на Международной коференции по алгебре памяти А.И. Шир­
шова (Барнаул, 20 25 авг. 1991 г.) [26]. были депонированы в [27]
19
и опубликованы в [40] Значительно поз^шее в |22] для А^ был
приведен аналогичный результат.
Теорема И (теоремы 5.1 и 5.2).
1. Полоокхил j/oi • ■ ■ 11^4 — классовые суммы в групповом коль­
це ЪАъ- Тогда \}{2{ЪАъ)) = (-1) х {и), причём {и) — бес­
конечная циклическая группа и
и = 491/0 - 161/1 + 26J/3 - 10j/4.
2. Положг*м 3/OJ •• • IJ/6 — классовые суммы в групповом коль­
це ZAe. Тогда и(2(2Лб)) = (-1) х (v), причём (v) ~ бес­
конечная циклическая группа и
V = 18433уо - 2304(г/2 + уз) + 3728j/5 - U24ye.
Далее рассматривается группа центральных единиц целочис­
ленного группового кольца группы Р5Х/2(16). Первоначальная
цель этого параграфа состояла в явном построении подгруппы
конечного индекса группы центральных единиц согласно теоре­
ме Е, чтобы показать на примере применимость полученных в
теоремах А, Д и Е результатов (первое утверждение теоремы К ) .
Позднее удалось полностью описать группу центргшьных единиц
(третье утверждение теоремы К ) . К сожалению, полное описание
очень громоздко, поэтому приведём его лишь частично и укажем
число Хигмана для PSI,2(16) (второе утверждение теоремы К ) .
Теорема К (теоремы 5.3, 5.4 и 5.5).
Пусть G = PSL2b6).
1. Для S = 1,...,4 существуют такие единицы Ag в коль­
це целых поля Q(Ci5) П R, « для < = О,..,, 6 существуют
такие единицы /ij в кольце целых Q(Ci7) П R, ч т о
3
7
в-=\
<=0
D ■- ПКЛ-^.)) X Кз(А4)) X ]\{u9,{in))
- подгруппа в U ( Z ( Z G ) ) индекса, делящего 2''^3^^5^°, где
Xi ^Хз — характеры из \vv{G) степени17, причём Q{xi) =
Q(Ci5) O R к Q(X3) = Q(\/5), и $1 - характер из Irr(G)
степени 15 с Q(6i) = Q(Ci7) П R,
20
2. Число Хигмана Hig(P5L2{]6)) = 240.
3. Для S = 1
4 существуют такие единицы д, в коль­
це целых поля Q(Ci3) П R, и для t = О,... ,6 существуют
такие единицы Wi в кольце целых поля Q(Ci7) ^ R-j ^wio
п
7
v{Z{ZG)) = (-1) X П К Д А . ) ) X К з Ы ) X
«^1
Причём
ЦЫЫ)-
t=0
,37о4с:3
=2''^
3^5'
\VmZ{QG)))
ViZ{ZG))\
|U(I(Z(ZG)))
D\ = 283^5^
\V(1(Z{QG)))
D\ = 2*^3^^5^°.
Доказательство этой теоремы происходит в два этапа. Снача­
ла строим подгруппу D конечного индекса в группе центргшьных
единиц, а затем работаем в фактор-группе по подгруппе D. Та­
кая двухэтапность и эффективное использование групп Гсклуа по­
зволяет рассматривать это доказательство в качестве модели для
изучения других групп центральных единиц, особенно в серий­
ных случаях. В доказательстве теоремы К применяется система
компьютерной алгебры GAP [23).
В Челябинском государственном университете получены пол­
ные описания групп центральных единиц следуюищх неабелевых
групп:
1. Аъ ^ PS£2(5) ^ PSL2{4)
(1989-1990 годы);
2. PSL^iU)
и Лб = PSLiid)
[2] (1992 год);
3. P5L2(13) [8] и 51,2(5) [9] (1994 год);
4. SL2(9) [10] (1995 год);
5. J2 [11] (1996 год);
6. PSL-i{8] |4| (1997 год):
21
[26, 27, 40, 15|
7. Sz[8) [1. 17j и PGL2{9)
8. PSL2{16)
|16| (1998 год);
(32, 42] (1999 год);
9. 52.2(7) и 51-2(11) (14] (2000 год).
В заключение в этой главе рассматриваются группы единиц
целочисленных групповых колец циклических групп порядков 10
и 12. Это позволило в соединении с полученными ранее резуль­
татами полностью изучить случай групп порядка п для ф{п) — 4.
Этот случай следует сразу за случаем, когда ф{п) = 2, приводя­
щим к тривиальным группам единиц. Кроме того, случай п = 10
— это первый случай, когда гомоморфизм (pi, описанный в тео­
реме В, не инъективен.
Теорема Л (теоремы 5.6 и 5.7).
1. Пусть G = (х) — циклическая группа порядка 10. Тогда
U ( Z G ) = (-1) X (х) X (v) X (ш), где
v = -Z-l-4x^
-(х + х^ + х^+х'^)+ 3(х^ + х^+х'^ + х^),
w=^2-l + {x + x^ +х^)-{х^
+х^ +х''
+1*),
и элементы v uw имеют бесконечный порядок. Кроме то­
го, для описанного в теореме В гомоморфизма <fi
kerv?! = (и).
2. Пусть G = {х) - циклическая группа порядка 12. Тогда
U ( Z G ) = (-1) X (х) X {v),
где
V = -2-1 + Зх« + 2 ( - x + x 4 x ^ - i " ) + ( - х Ч х Ч х ^ - х ^ " )
U элемент v имеет бесконечный порядок.
ОСНОВНЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
Подводя итог o6i3opy содержания диссертации, можно ска­
зать, что создана э<4)фективная теория исследования централь­
ных единиц и групп центральных единиц целочисленных группо­
вых колец конечных групп, получены также важные результаты
в теории чисел, что выражается в следующих результатах.
22
1 Указано точное значение показателя группы 1 +PIP", где
Р
простой идеал в кольце целых \{К) абелева поля К,е —
его индекс ветвления и г натуральное число (теорема А),
что позволяет находить показатель группы l{K)/zl{K)
для
любо1 о натурального z и давать оценки данного показателя
по делимости. Эти результаты полезны не только для тео­
рии чисел, но также имеют важные приложения для цен­
тральных единиц целочисленных групповых колец..
2. Найдены простые условия для определения обратимости
центрального элемента 11елочисленного группового кольца
(теорема Г ) .
3. Указаны эффективные условия построения подгруппы ко­
нечного индекса в группе центральных единиц (теоремы Е,
ДиА).
4. Введено понятие числа Хигмана конечной группы, дающе­
го важную характеристику вложения группы центральных
единиц целочисленного группового кольца конечной груп­
пы в группу единиц кольца целых центра её рациональной
групповой алгебры. Указаны свойства чисел Хигмана (те­
орема Ж ) .
5. Построена теория групп центральных единиц целочислен­
ных групповых колец всей серии конечных групп PSL2{2")
(теорема 3), которая вместе с большим числом технических
результатов позволяет значительно упростить нахождение
всей группы центральных единиц, что показано на примере
группы P5L2(16) (теорема К ) .
6. Впервые получено полное описание групп центральных еди­
ниц целочисленных групповых колец групп А^, Ад (теоре­
ма И) и PSL^iW)
(теорема К ) .
7. Детально изучены свойства стандартных гомоморфизмов
из нормализованных групп единиц целочисленных группо­
вых колец конечных циклических групп в кольца целых
круговых полей (теорема В ) . Эти свойства использованы
23
для полного описания групп единиц целочисленных i рупповых колец циклических групп порядков 10 и 12 (чеорема Л ) .
Список литературы
[1] Алеев Р.ИС., И ш е ч к и н а Н . Б . , Пономарева Н.Г. Описа­
ние группы центральных единиц целочисленного группово­
го кольца группы Sz(8). Ред. Сиб. Мат. ж., Деп. В И Н И Т И ,
Л> 3180-В99 27.10.99,1999, 43 с.
(2| Алеев Р.5К., Перавина О . В . О центральных единицах
групп PSL2{q). Третья межд. конференция по алгебре памя­
ти. М.И. Каргаполова (1928-1976), (Красноярск, 23-28 авг.
1993 г.). Тезисы докладов. - Красноярск, 1993, с. 8-9.
[З] Алеев Р.5К., Перавина О . В . Ранги групп центральных
единиц целочисленных групповых колец групп PSL{2^q), q
нечётно. Вес1"ник Челяб. ГУ, серия "Математика. Механи­
ка", Л» 1(4), 1999, с. 5-15.
[4] А м и н е в а Н . Н . Группа центральных единиц целочисленно­
го группового кольца группы F5L2(8): Дипл. работа. ЧелГУ,
Челябинск — 1997. (Результаты анонсированы в А м и н е ­
ва Н . Н . Центральные единицы целочисленного группово­
го кольца группы PSL2(8). Kurosh algebraic conference '98.
Abstracts of talks. Москва, 1998, с. 136.)
[5] В о в д и A . A . Мультипликативная группа целочисленного
группового кольца ~ Ужгород, 1987. Рук. деп. УкрНИИНТ И , 24.09.87, Л» 2712-Ук87. - 210 с.
[6] Вовди А . А . Групповые кольца: Учеб. пособие. — Киев: У М К
В О , 1988. - 156 с.
[71 В о р е в и ч З . И . , Ш а ф а р е в и ч И . Р . Теория чисел - 3-е изд.,
доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. -1985. - 504 с.
[8] В е л и к а я Т . И . Центральные единицы группы
Дипл. работа. ЧелГУ, Чечябинск — 1994.
24
PSLii'iS)
[9] Ельцова Н . П . Центральные единицы SL2{5). Дипл. работа.
ЧелГУ, Челябинск
1994.
[10] К н я з е в а А . Г . Группы центральных единиц конечных линей­
ных групп Диил. работа. Че^1ГУ, Челябинск — 1995.
[11] К с е н з о в А . Д . Группы центральных единиц целочисленных
групповых колец спорадических групп. Дипл. работа. ЧелГУ,
Челябинск - 1996. (Результаты анонсированы в Ксензов
А . Д . О группах центральных единиц целочисленных груп­
повых колец спорадических групп. Межд. алг. конф.. поев,
памяти Д.К. Фаддева, Санкт-Петербург, 1997, с. 226-227.)
[12] К э р т и с Ч . , Райнер И . Теория представлений конечных
групп и ассоциативных алгебр- Пер. с англ. — М.: Наука —
1969. -668 с.
[13] Нерешённые вопросы теории групп. К о у р о в с к а я тет­
радь. Изд. 14-с, доп., Новосибирск, 1999. — 134 с.
[14] Обухова Е . Н . Группы центральных единиц целочисленных
групповых колец групп SL^iq) для q сравнимых с 3 по модулю
4 Квалифик. работа. ЧелГУ, Челябинск — 2000.
[15| П и л ы ц и к о в а С . Ю . Центральные обратимые элементы це­
лочисленных групповых колец знакопеременных групп: Дипл.
работа. ЧелГУ, Челябинск — 1990.
[16] Усов В . Ю . Группа центральных единиц для PGL^i^)' Дипл.
работа. ЧелГУ, Челябинск — 1998.
[17] Aleev R. Z h . , Ishcchkina N . В., Ponomaryova N . G .
Central unit group of integral group ring of group 5z(8). Челя­
бинск, Челяб. ГУ, Межд. конф. "Маломер. топол. и комби­
натор, теор. групп.". Тез. докл., 1999, с. 11.
[18] Агога Satya R., Passi I. В . S Central height of the unit group
of integral group ring Commun. Algebra, Vol. 21, No. 10(1993),
pp. 3673 3683
25
[19] B o v d i A . The group of units of a group algebra of
characteristic p. Publ. Math. Debrecen, Vol. 52, № 1 2(1966),
pp. 193 244.
[20] Higman G . The units of group rings. Proc. London Math.
Soc(2)., Vol. 46, (1940), pp. 231-248.
[21] Jespers E. Units in integral group rings: A survey. Marcel
Dekker, Meth. in ring theory (Lecture notes in pure appl. math,
ser.), Vol. 198, (1998), pp. 141 169.
[22] L i Y . , P a r m e n t e r M . M . Central units of the integral group
ring ZA5. Proc. Amer. Math. Soc, Vol. 125, No. 1(1997),
pp. 61 65.
[23] Schonert M a r t i n et aL GAP - Groups, Algorithms,
and Programming. Lehrstuhl D fur Mathematik, Rheinisch
Westfalische Technische Hochschule, Aachen, Germany, sixth
edition, 1997
[24] Sinnott W . On the Stickelberger ideal and circular units of a
cyclotomic field. Ann. of Math,, Vol. 108, no. 1(1978), pp. 107134.
[25] Sinnott W . On the Stickelberger ideal and circular units of an
abelian field. Invent. Math., Vol. 62, no. 2(1980), pp. 181-234.
Работы автора по теме диссертации
[26] Алеев Р . Ж . Хигмановская теория центральных единиц
и группы единиц целочисленные групповых колец конечных
циклических групп. Межд, конфер, по алг. (Барнаул, 2025 авг. 1991 г.). Тезисы докл. по теории колец, алгебр и мо­
дулей, Новосибирск, 1991, с. 5-6.
[27] Алеев Р . Ж ! . Хигмановская теория центральных единиц,
группы единиц целочисленных групповых колец конечных
циклических групп и числа Фибоначчи. Ред. Сиб. Мат. ж.
Деп. В И Н И Т И , Л> 1304-В92. 16.04.1992, 78 с.
26
[28| Алеев Р . Ж . О степенях центральных единиц. СпБ., Си Г У . Межд. конф. по алгебре, Тез. докл., 1997, с. 154.
|29| А л е е в Р.Ж^. Теория групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(2").
Омск, ОмГУ,
Межд. конф. "Комбинат, и вычислит, методы в матем.", Тез.
докл., 1998, с. 3-4.
[30| А л е е в Р . Ж . Единицы полей характеров и центральные
единицы целочисленных групповых колец конечных групп. »
Омск, ОмГУ, Межд. конф. "Комбинат, и вычислит, методы
в матем.", Тез. докл., 1998, с. 5-8.
[31] А л е е в Р . Ж . Теория центральных единиц целочисленных
групповых колец групп Р5^2(2"). Омск, ОмГУ, Сб. научн.
трудов "Комбинат, и вычислит, методы в матем.", 1999, с. 1 19.
[32] А л е е в Р.УК. Описание группы центральных единиц цело­
численного группового кольца группы P S L j ( 1 6 ) . Ред. Сиб.
Мат. ж. Деп. В И Н И Т И , № 3170-В99 27.10.99, 67 с.
[33] А л е е в Р.Ж!. Центральные единицы целочисленных груп­
повых колец конечных групп. Докл. Р А Н , 369, Л* 2(1999),
с. 151 152.
[34| А л е е в Р.Ж[. Единицы полей характеров и центральные
единицы целочисленных групповых колец конечных групп.
Матем. труды, 3, Л> 1(2000), с. 3-37.
[35] А л е е в Р.Ж;. Числа Хигмана конечных групп. Матем. тру­
ды, 3, Л» 2(2000), с. 3-28.
[36] А л е е в Р . Ж . Центральные элементы целочисленных груп­
повых колец. Алгебра и логика, 39, Л* 5(2000), с. 513-525.
[37] А л е е в Р . Ж . Локальное соответствие Хигмана. IV Межд.
алгебр, конфер. (Новосибирск, 7-11 авг. 2000 г.), Тез. докл.,
Новосибирск, 2000, с. 4-6.
27
РШ' ^.0
(38| А л е е в Р . Ж . О числах Хигмана. IV Межд. алгебр, конфер.
(Новосибирск, 7-11 авг. 2000 г.), Тез. докл., Новосибирск,
2000, с. 6-9.
[39] Алеев Р . Ж . Локальное соответствие Хигжвма. Proceed­
ings Intern. Confer. "Low-Dimensional Topology and Combina­
torial Group Theory", Kiev, 2000, 10 p.
[40] Aleev R . 21. Higman's central unit t/ieory, «nits of integral
group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers. In­
tern. J . of Algebra and Сотр., Vol. 4, No. 3(1994), pp. 309-358.
[41] Aleev R . Z h . Central units of group rings. M., Мехмат М Г У ,
Межд. алг. конф. памяти Куроша, Тез. докл., 1998, с. 25-26.
[42] Aleev R . Z h . Central unit group of integral group ring of group
PSLiiie).
Челябинск, Челяб. ГУ, Межд. конф. "Маломер.
топал, и комбинатор, теор. групп.", Тез. докл., 1999, с. 10.
РНБ Русский фонд
2006-4
19849
Подписано в печать 08.11.00
Формат 60x84yie. Бумага писчая.
Печать офсетнгш. Усл. печ. л, 1,6. Уч.-изд. л. 1,5.
Тираж 100 экз. Заказ 158. Бесплатно.
Челябинский государственный университет.
454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.
ПагшгргцЬический участок Издательского центра ЧелГУ.
454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57^
2 7110к::з
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 006 Кб
Теги
bd000100978
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа