close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bd000101825

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
iivj
Рукавишников Алексей Викторович
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОНФОРМНОГО
МЕТОДА К О Н Е Ч Н Ы Х ЭЛЕМЕНТОВ Д Л Я Р Е Ш Е Н И Я
ЗАДАЧИ СТОКСА С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
01.01.07 - вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Хабаропгк
2005
Работа вьтолнсна в Хабаровском отделении Института прикладной
математики Д В О РАН
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Кобельков Георгий Михайлович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Катрахов Валерий Вячеславович
кандидат физико-математических наук,
Власенко Виктор Дмитриевич
Ведущая организация:
Институт математического моделирования
Р А Н , г. Москва
Защита состоится 8 декабря 2005 г. в 15 часов на заседании диссертэг
ционного совета К 212.294.02 в Тихоокеанском государственном уни­
верситете по адресу:
680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136 ауд. 315л.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского го­
сударственного университета.
Автореферат разослан 21 октября 2005 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
^ //^'^-^
ВихтенкоЭ.М
^Т7^<Р
nOSS7\
I. О Б Щ А Я Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А РАБОТЫ»
Актуальность темы. Задача Стокса привлекает внимание иссле­
дователей в связи с ее многочисленными приложениями, а также тем
фактом, что эффективное решение этой задачи открывает путь к ре­
шению нелинейных уравнений Навье-Стокса.
Теория применения нестыкующихся сеток для приближенного ре­
шения краевых задач в настоящее время является интенсивно раз­
вивающимся направлением вычислительной математики. Использова­
ние таких сеток неразрывно связано с разбиением, или декомпозицией,
расчетной области. В предположении, что область разбита на несколь­
ко непересекающихся или пересекающихся подобластей, исходная кра­
евая задача переформулируется на подобластях так, чтобы выполня­
лись необходимые условия согласования решения на границе между
подобластями (интерфейсе). С этой целью, для решения краевых задач
эллиптического типа на декомпозиционной области с нестыкующимися сетками на интерфейсе, французскими математиками К. Бернарди,
И. Мадей и А. Патера в конце 80-х - начале 90-х годов был предложен
и изучен новый подход — метод мортарных конечных элементов.
Постановка задачи Стокса с разрывным множителем кинематиче­
ской вязкости в дивергентно-градиентной части уравнения возникает
при математическом моделировании физического процесса протекаю­
щего в химическом реакторе. В случае разрыва коэффициента задачи,
разумно разбивать исходную область на подобласти таким образом,
чтобы на каждой из них он был непрерывен, при этом использовать
сетки со скачком шага при переходе через границу между подобластя­
ми, и, следовательно, применять метод мортарных конечных элемен­
тов для построения эффективного численного подхода решения задачи
Стокса.
Т],ель работы — построение схемы неконформного метода конеч­
ных элементов на декомпозиционной области с использованием мор­
тарных склеек на границе между подобластями для двумерной ста­
ционарной задачи Стокса с разрывным (кусочно-постоянным) коэф­
фициентом кинематической вязкости в эллиптической части уравне­
ния; получение оценок скорости сходимости приближенного решения
'Работа выполнена при финансовой поддержке фонда Р Ф Ф И (грант 01-01-00375), фонда
Р Ф Ф И и Администрации Хабаровского края (грант 04-01-97004) и фонда Содействия отече­
ственной науке
90С. НАЦИОНА.МЬЬ
БИБЛИОТЕКА
«9
,
1
к точному; построение эффективного итерационного метода решения
системы линейных алгебраических уравнений, полученной в результат
те дискретизации исходной задачи; численная реализация подхода на
Э В М с анализом результатов тестовых примеров.
Общая методика исследований. В диссертации используется поня­
тийный и математический аппарат метода конечных элементов (М К Э ) ,
развитый в работах Ф. Брецци, М. Фортэна, Ф. Сьярле, Г. Стрэнга и
других авторов. При этом применяются методы и результаты теории
дифференциальных уравнений, вычислительной математики и функ­
ционального анализа, в частности, теория пространств С.Л. Соболева.
Научная H0Bji3Ha. Новыми в работе являются следующие основ­
ные результаты:
1. Для задачи Стокса с разрывным (кусочно-постоянным) коэф­
фициентом кинематической вязкости предложена новая вариационная
постановка, учитывающая условия согласования решения на линии его
разрыва (интерфейсе): (1) условие слабой непрерывности компонент
вектор-функции скорости; (2) равенство потоков скоростей с давлени­
ем на функционалах. Исследован вопрос существования и единствен­
ности обобщенного решения.
2. Построена схема неконформного М К Э с использованием мортарных элементов для сшивки решения на интерфейсе. Благодаря ис­
пользованию такого подхода и выбору пространств со специальными
нормами для задачи Стокса с разрывным множителем установлены
степенные (по шагу сетки) оценки скорости сходимости приближен­
ного по методу мортарных конечных элементов решения к точному
решению.
3. Для системы линейных алгебраических уравнений М К Э пред­
ложен новый способ ее преобразования, в результате применения ко­
торого, удалось существенно (почти вдвое) уменьшить число неизвест­
ных и уравнений. Построен эффективный итерационный метод реше­
ния поставленной задачи с переобуславливанием, используя обобщен­
ный метод минимальных невязок. На примере модельной задачи, для
которой известно аналитическое решение, показана сходимость метода
конечных элементов. Порядок сходимости приближенного решения к
точному согласуется с теоретическими (априорными) оценками оши­
бок решения.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты и методы ис-
следования, изложенные в диссертации, могут быть использованы при
построении и анализе схем М К Э других задач с разрывными коэффи­
циентами, а также для численного решения конкретных прикладных
задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на
Второй Международной конференции по вычислительной математи­
ке (МКВМ-2004; Новосибирск, 2004 г.), на Дальневосточной тколесеминаре по математическому моделированию и численному анализу
(FESS-MMNA'Ol; Находка, 2001 г.), на Конкурсах-конференциях мо­
лодых ученых и аспирантов Хабаровского края (Хабаровск, 2004, 2005
г.г), на Дальневосточных математических школах-семинарах име­
ни академика Е. В. Золотова (2002-2004 гг.), на совместных семинарах
лаборатории математического моделирования в физике и технике В Ц
ДНО РАН, кафедр математического анализа Хабаровского государ­
ственного педагогического университета и систем автоматизированно­
го проектирования Дальневосточного государственного университе­
та путей сообщения, а также на семинаре Института математического
моделирования (Москва).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
шести работах, указанных в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе­
ния, трех глав (с делением на пункты и подпункты) и списка исполь­
зованной литературы — 110 наименований, общий объем работы
146 стр.
П. С О Д Е Р Ж А Н И Е Р А Б О Т Ы
Во введении дается обзор литературы по тематике и излагается
содержание работы.
В первой главе рассматривается двумерная задача Стокса с кусоч­
но - постоянным коэффициентом кинематической вязкости ао{х. у) в
дивергентно-градиентной части уравнения. Для данной задачи исход­
ная область П разбивается на подобласти так, чтобы на каждой из них
коэффициент вязкости был постоянен. Для такой декомпозиции обла­
сти предложена новая вариационная постановка задачи, учитываюн1ая
c.^cдyюи^иc условия согласования на линии разрыва множителя: (1)
условие слабой непрерывности компонент вектор-функции скорости:
(2) равенство потоков скоростей с давлением на функционалах Изу-
чон вопрос о суи;ествовании и единственности обобщенного решения,
а также построена схема метода конечных элементов для нахождения
приближенного решения поставленной задачи с использованием мортарных склеек на интерфейсе между подобластями.
В п. 1.1 приведена постановка задачи Стокса в прямоугольной об­
ласти П с Я^, П = {(х, 2/) : О < а; < 27Г. О < 2/ < 7г} с границей Г,
n = fiur.
Требуется найти вектор-функцию скорости w = {v,v) и скаляр­
ную функцию давления р, удовлетворяющие следующей системе урав­
нений и граничных условий:
-div(ao(x, у) V w ) - ь V p = f, divw = O B n ,
\у = О н а Г ,
jpdxdy
= 0,
0-)
n
где f = (/i, /2) - известная вектор-функция массовых сил; положи­
тельная функция ао{х, у) имеет вид
^(^'^/^-las,
(х,у)€П2,
где П = Hi иПг и fii П ^2 = 0- Разрыв функции ао(х, у) происходит по
отрезку Г12 = {(х, у) : х = тг, О < у < тг}, который будем называть
интерфейсом между соседними подобластями Пх и С12,
fii = {{х- у)"- О < X < 7Г, О < у < ir}, а ^2 = fiWi.
В п. 1.2 введены пространства С.Л. Соболева на произвольной вы­
пуклой ограниченной области fio С Л^, По = По U Го, с достаточно
гладкой границей Го, 7о - часть Го. Для каждой функции г из Я^(Пo)
определена функция следа z\.y„ на 7о из Я^/^(7o); введены также про­
странства функций Яда (7о) и (Яоо (7о))', второе из них является ду­
альным к первому (относительно L2). Определены их аналоги для слу­
чая вектор-функций. Кроме этого, введены пространства с нормами:
и ( П ) = { w = {и, v); V е Ь2(П), V € ЬгСП), и* = и\п, € Ю{Пк),
1)^ = V\Q, е Я'(Пк).лу = О на r,fc = 1,2},
liwilu,. = (1|W||1„, + |lw||2,njV2.
V(P.) = { w = (i/, i;) e U ( f i ) ; H | r „ e Я^/^(Г,2), H | r „ e H^J^^T^i)},
l'w||v,n = (l|w||bn + ||[w]l|L/,
)i/2^ где [w]|r„ - вектор-функция раз" o o (^ w
Н0СТИ двух следов на Г12, т.е. [wjlr,, = w4r^,pn, - w 1г,,ппг
У{П) = {w = {v, v) e V ( n ) ;
1 /2
I [t/]|r,. ■ udy = 0, / |w]|r,, • i^dy -= 0,
Г 2
I'u
Vi/ e {HQQ (Г12))'} с нормой пространства V(r2);
Х{П) = {p € L2(n);p* =p|n. 6 L2{n,)},\\p\\x.a = (I|p||g,n, + Ilpllk)'^^
X/R{?t)
= {p € Х ( П ) ; Jpdxdy = 0} с нормой пространства X(Q);
n
W ( n ) = {w G Y ( f i ) ;
E / divw*V''rfa;rf2/ = 0,
Vi/; e Х ( П ) ,
V** = ^In*} С нормой пространства У ( П ) ;
Я ' ( П ) = {г е L2(n);z* = г ^ € Н'{Пк),к = 1,2, s е N } ,
ll~i:,fi = (iNII?,n. + l l * J ' / = ' ;
H'(fi) = { w = {и, v);u£
H'{Cl),v 6 Я ' ( П ) } ,
\Mla = {iM:fl)' + i\\v\\:^a?y''^
М(Г12) — пространство таких вектор-функций V, что каждая их ком­
понента принадлежит (Я^^(Г12))', ЦрЦмх,, =
<V,-p >,,гп= iT'-'pdy
Ги
sup
-щ^—^' ^^^
рен^'(г„) '"^"«i^-cru)
при Р € Ь2(Г12) и р е ЬгСГхг).
Рассмотрены их свойства и введены вспомогательные обозначения
V ' = L2(n), Х' = 12{П), М'=Ь2(Г12).
Обобщенное решение системы (1) определим (п 1.3) как решение
вариационной задачи: при заданной вектор-функции f е V ' найти
(w,p. А) € V X X X М , удовлетворяющие системе уравнений
a(w, v ) + b{(fi, р) + d{ifi, Л) =< f, (/J > V(p G V ,
6(w, V) = 0 Vt/> G X , rf(w, P) = 0 V P e M
и условию
Jpdxdy = 0.
в равенствах (2)
(3)
n
2
I.
t
n(w. !/?) = E afc(w, :^), aA(w, v?) = / a;t V w * • Vip^drdij
fc=l
2
n*
t
(2)
t
W^'. p) = E bitCy?, p), bkd-f- p)^ ! -p* • div!/r*rfr */.
< f . ^ > = E / j t M , /i(^)= / f * / d a - d y , (f* = f | u j .
t-i
nt
d{^. Л) - l <h {^. A). (k{^p. A) = I
-1)^ " A • ^*|,.,^n«. <'/•
Для гогла<;ования решения в (2), (3) на Г12 использованы условия;
1) равенства потоков скоростей с давлением на функционалах
/ ( - " 1 ^ ^ + P^"l) ■Ф<^У= J ~ ( " ~ ^ 2 ^ + Р^"2) -фйуУфе Ь2(Г12),
Гп
Ги
(4)
п^ - внешняя нормаль к Г12 — куску границы области П^, к — \,2\
2) слабой непрерывности вектора скоростей
/ (w4r,,nn, - w \ . , n n . ) • Frf2/= о V P е М
(5)
Для того чтобы замкнуть с помощью равенства (4), полученные на
подобластях Q,i и Пз уравнения, в (2) введена вспомогательная векторфункция А. определенная из соотношения
]^ф(1у=1
Г)2
{-a\-Q^ + p'ni) ■ фйу Уф € Ь2(Г12).
Г12
След}'ет отметить, что здесь, в отличие от стандартной обобщен­
ной постановки задачи, расширено пространство вектор-функций w и
(р с Но(П) до V ( n ) , что позволяет независимо находить решения на
подобластях П^, затем склеивать их с помощью условий (4), (5) на Г12.
В п. 1.4 установлено, что при выполнении определенных условий
рассматриваемой задачи Стокса существует единственное обобщенное
решение. А именно, имеет место
Теорема 1.1. Пусть о(-, •) - непрерывная билинейная форма на
V X V , /)('■ •) - непрерывная билинейная форма на V х X, а d{-, ■)
- билинейная форма на V х М ; 1т В и 1т D замкнуты в X' иЪЛ'
соответственно
{В:У->Х':<В^р,ф
>х'.х= Ь{<р, ф)У<р е V , V^ 6 X.,
£): V - ^ M ' : < Dip,p >м'хм= d(ip,p)y^ еУУр
т.е. существует
постоянная ко > О тауая, что
^-eY \m\v.ii
еМ),
и существует постоянная к\ > О такая, что
d{ip, р) .
^ " Р ТГТН
где \\Шм/1<егОг.г,, =
,
II II
- '''1 НРпМ/ЛегО-'-.Г,,,
J^L^.,
И^ + РоИм.г,,- Г»^ : М -- V
< ip.D'^-p >vxv'= d{ip,-p)yip
:
eV,VpeM.
Кроме этого, форма а{-, •) коэрцитивна на W , т . е . существует по­
стоянная ао > О такая, что
а{<р, ip) > ао llv'll^.n V9 е W .
Гог^а существует (w, р, X) е V х X х М . удовлетворяющая систе­
ме (2) и условию (3) для произвольной f € V'. Компоненты v/ и р
единственны, а Л определяется с точностью до элемента KerD^.
При этом справедливы оценки
||w||v.n < - ||f ||о,п.
«о
ll^llM//r«ri.r Г „ < f ( l
/4
Ых.и
< г (1 + — ) i|f 11о,п.
«о
«о
+ Т ^ ) ( 1 + T^)l|f|l0.n'
KQ
QO
где ||а|| и ||6|| - положительные постоянные в определениях непрерыв­
ности форм а(-, •) и 6(-, •) соответственно.
В п. 1.5 построена схема М К Э. С этой целью в пп. 1.5.1 выпол­
няется триангуляция Тн области Г2. Сначала каждую из подобластей
fifc вертикальными и горизонтальными линиями разбивается на эле­
ментарные квадраты со стороной 2hk,k = 1,2. Затем каждый из них
диагоналями делится на четыре треугольника, которые обозначают­
ся символом е и называются конечными элементами. Далее, вводится
TJi ' - триангуляция подобласти 0.к. а через П/, = U е, П*-/, = U е
обозначаются разбиения fi, Q.k-k = 1.2, соответственно. В качестве
узлов аппроксимации {а^ } для каждой компоненты вектор-функции
скорости на H i , выбираются середины сторон конечных элементов с,
совокупность которых обозначается через 5 . Подмножество узлов
принадлежащих 0,k\jT\2; определяется как .S'*'. А' = 1.2 Выбор уз­
лов аппроксимации для скалярной функции давления не принципиа­
лен В случае /г = 2/ii = 4/12 подмножества узлов аппроксимации S'"'
и S'"' для компонент W на Г12ПП1 и Г12ПП2 не совпадают, т.е. сетки
НС стыкуются на интерфейсе Г12.
В пп. 1.5.2 введены конечно-элементные пространства на П^/,.
1.V;, (fifch) - подпространство кусочно-линейных непрерывных на е
конечно-элементных функций из пространства L2{Clkh), в котором г-я
базисная функция {^) принимает значение единицы в г-м узле ап­
проксимации (о; € S'*^^) и значение нуль во всех остальных узлах.
При этом базисная функция (р^ тождественно равна нулю вне конеч­
ен)
ных элементов, содержащих узел а\ .
2. Xf^ {Clkh) - подпространство кусочно-постоянных конечно - элемент­
ных функций из пространства L^i'^kh), в котором г-я базисная функ­
ция (^*) принимает значение единицы наг-м конечном элементе и нуль
на всех остальных элементах.
Конечно-элементное решение системы (2), (3), на подобластях П^,
ищем в виде
иЦх, у)=
Е
wf • vf(а;, у). vj(z, у)=
p'hix.y)^
Е
{i.e.eil"}
Е
«.* • <РКХ, У),
P?-^?(x,j/),fc = l,2.
Определим (пп. 1.5.3) мортарное конечно-элементное простран­
ство на Г12. Отрезки
До = 1(7г, 0), (тг, hi)],
Л,- = [(тг, /Ji + 2 ( j - 1) /ii). (тг, hi + 2 j hi)],j = 1, ...,N- 1,
A N = [U, hi + 2{N~l)
hi), (тг, тг)], NeN:
N=^^,
N
образующие разбиение Tuh = U Дц называются мортарными элеi=0
ментами. В качестве узлов аппроксимации выбирается подмножество
S'^^ на Г12; обозначим через Лл(Г12/,) подпространство линейных на
Д^, j = 1,..., TV' - 1. и постоянных на До, Длг непрерывных функций
из пространства L2{Ty2i,)Функции склейки в пространстве Ль(Г12/,) ищем в виде
А^г/) = Е ' Af • Ф.у), Hkiy) = E^f • Ф,у),
1^0
t=0
10
где fi(7r.7/), i = О,..., iV - 1 - базисные функции пространства A/^Fiad).
На функции Л^ и /?^, А" = 1,2, наложены условия \и = Х[ = -Xf,,
3)^ = Р\ — -р:^, которые в свою очередь являются сеточными аналога­
ми компонент Л, определяющие конечно-элементную вектор-функцию
склейки A h ( I ' = (At/3£), fc = l,2).
В пп. 1.5.4 сначала введены сеточные пространства на Qh и на Г12л,
затем исследованы их свойства:
V ; . ( ^ = (w,. = {vh, Vh)\ ui - ин\ц, € Vt'\nkh),
4 = v,\^, € v!:''\a,,)], iiw.iiv, = (!iw,iiln, + \\Ы\\1/2хиУ"^ --д
||whlU,fl, = ( E W^HWIUJ'''
= ( Д E^^ Iw^lHU'^^
llMlll/2,h,Гn = /l-^^^IIKlllo,г,,;
Х , ( а д = {рн;Л = P^ln. 6 Xl^H^a)}, Ibhllx. = (IIPhfo,n,+IIP/.llk)'^';
М ь ( Г ш ) = {VH; Vh e ^h{^l2h) X Л ь С Г ^ ) } ,
\\Vh\\-i/2,hXt, = /i^^^ llJ^MIo.r»;
Yh(nh) = {wh e Vh(fiO; / K l r ^ n n , - ^hlr.^nn.) • ^h^?/ = oГц
VPh 6 M h } с нормой пространства У^(Пл);
Wh(nh) = {wh e YhCfih); E
E
/divwJi • Vt^ajdy = ОУфн € Xh(fih),
i>h = V'/ilfik e X^ '{Clkh)} с нормой пространства У,,(П/,).
Доказано (лемма 1.6), что отображение w/, —» ||wh|lvft является
нормой на V h , а согласно введенным конечно-элементным простран­
ствам, имеет место соотношения: V;, <^У, Ун Ч^. Y , W ) , (^ W ,
Xh С X , M h С М . Следовательно, рассмотренный метод является
неконформным методом конечных элементов.
Для произвольной вектор-функции w/, е Yhi^h)- имеет место
оценка l![w/,]!|i/2.h,rn ^ CidlwhULni^ + HwhUi.n,,) из которой, в част­
ности, вытекает эквивалентность норм || • \\\flk " II ' llv^ (лемма 1.9).
В пп. 1.5.5 определено приближенное решение задачи (1): требу­
ется найти (wh, ph, Xh) € V/, X Xh X Mh, удовлетворяюн;се системе
уравнений
ah(wh, iph) + bhi'fih, Ph) + 4(<Ph- Ah) -< f. '-fh >/..
bh(wh, rph) = 0, 4 ( w h . Ph) -= 0
11
(6)
.•;ля любых (у1„ %'!,. L'l,) е V/, X Xh х М/, и условию
jphdxdy
= 0.
(7)
В равенствах (6)
2
2
rt/.(wh, ^^л) = Е akh{yfh, (fih) = Т,
2
Е
f ajt V w J ■ V^p^dzdy,
2
bh{>fih, Ph) = E bihlv'h, Ph) = E
2
2
4(Vh, ^h) = ErftftCv'h,^л) = E
K=l
2
2
E
; -pj • div(^Jdxdj/,
jt
; \ • <^л1г,зП^5» ^^2/.
А=1Г|3
< f. iph >h== E /A:h(¥'/i) = E ; f* ■ (phdxdy,
2
4 ( w h , Vh) = E 4h(wA, Z7ft) = ; (wJlr^^pn^ + (-w^lp^^pi^J) ■ ^hdy.
Ar=l
I j3
Равенством rfh(w/,, p/,) = 0 определяется конечно-элементный аналог
условия слабой непрерывности (5) вектор-функции w/, на F i j .
Во второй главе установлены оценки (w—w^) в нормах пространств
Vhi^h) и L2{Qh) и (р - ph) в норме пространства Xh{flh)В п. 2.1 на основе вспомогательных утверждений получен аналог
второй леммы Стрэнга.
Вначале отмечено, что форма dh{-, ■) на интерфейсе Г12 удовлетво­
ряет условию Ладыженской - Бабушки - Брецци (утверждение 2.5) и
установлен факт существования единственного обобщенного решения
задачи Стокса на декомпозиционной области по М К Э (лемма 2.1).
В пп. 2.1.2 сформулирован и доказан аналог второй леммы Стр­
энга:
Теорема 2.1. Пусть vf up - компоненты решения задачи (1),
удоалетворяюш,ие системе
уравнений (В) и
условию (3), и
W е Y(_n) П H2(fi). р е Х/Н{П) П Н\П),
f 6 Ь2(П).
Пусть
(wh, Ph- А/,) - приблиэ/сенное решение, удовлетворяющее системе
уравнений (6) и условию (7), Wh 6 ¥/,(Г2л)-Рл € Xh{^h), ^h € М/,(Г12/,).
Тогда имеет место оценка
'|w - Wftllv,-t- \\p-ph\\x^ <
<C2(Jnf
w/icY/,
||w-Wh||v,-Ь inf \\p-qh\\x^
|r,;,(w. ^l) + h,M,
,
sup
-',;SY,
i?r€A/,
P) + dhi'A- A/.)- <f-'P°h>\,
jT-giWhlW.
12
),
где Ci - поло'лсительпая копстапта.
В п 2.2 на основе пспомогатсльных утверждений получены оценки
ошибок для вектора скоростей и функции давления в нормах сеточных
пространств.
Далее доказываются
Л е м м а 2.2. Пусть w и р - компоненты решения задачи (1),
удовлетворяющие
системе
уравнений (2) и
условию (S),
W е Y ( Q ) ЛН''*(П), р е X/R{Cl) П Н^{Q), и триангуляция на ка-ждой
подобласти fJ/t, к = 1,2, квазиравномерна. Тогда существует поло­
жительная постоянная Сз, не зависящая от компонент решения w
и р задачи (1) и h такая, что имеет место оценка
ы ||w-w°ik+ inf ib-9Aik<a/i(iiw|i;,„ + ibiii,„).
Л е м м а 2.4. Пусть w up - компонент,ы решения задачи (1),
удовлетворяющие системе уравнений (2) и' условию (3), и
W е Y ( 0 ) П H2(fi), р е Х/ЩП) л Я1(П), f е L2(n). Пусть
(wft. ph, X/,) - приблио1сенное решение, удовлетворяющее системе
уравнений (6) и условию (7), w^ £ Yh{^h),Ph £ Хн{0.к)-\ € Мн[Тпн)
Тогда существует такая полоэюительная постоянная Сц, не ,зависящая от w. р, f, пространств Yhi^h),Xh{'^h.),^hi^nh)
и h, что
имеет место оценка
sup la^Cw. 'Л) + Ьн{ч>1, Р) + dkH- А О - < f, ур^ > I ^
'Л^Ун
\H\WK
<C,h{\\w\\y + \\p\\l^).
При доказательстве леммы 2 4 использована
Л е м м а 2.3. Пусть (w,p, Л) - решение задачи (1) в вариаци­
онной постановке (2), а Л/, - компонента прибли-лсенного решения
в вариационной постановке (6), и при этом w 6 У(П)ЛН^(11)
р е Х1П{П)Г\Н^{^)- Тогда существует положительная постоянная
С^, не зависящая omw. р и h, такая, что справедлива оценка
l|A-A.||_,/2Ar„<C5/i(||w||;,„ + |b||t,n).
в пп. 2.2 2 получена оценка ошибок ( w - w ^ ) в норме простран­
ства V;,(Q/,) к (р — PI,) В норме пространства Хл(П/,):
13
Теорема 2.2. Пусть w и р - компоненты региепия задачи (1),
удовлетворяющие системе
уравнений (2) и условию (3), и
W е Y ( Q ) П Н2(а), р е Х/Я{П) П H\Q),
f € L2(n). Ят/сть
(wh. р;,. Ал) - приблиоюенное решение, удовлетворяющее системе
уравнений (б)иусловию (7), w^ е ¥/,(П;,),рл G Хн{'^ь.),\ е Мл(Г12/,).
7Ьг(?о существует такая положительная постоянная Се, не завися­
щая от W, р, w/„ ph, Л/, U /г, что для проведенной триангуляции Т^
области Q и разбиения {^t}^^Q интерфейса Г12 имеет место оценка
скорости сходимости
l|w - wMlv. + lb - PkWx, <Ceh(||w||J,„
+ |b||t_n).
В п. 2.3 установлена оценка для (w — w/i) в норме пространства
ЫйнУ.
Теорема 2.3. Пусть vf и р - компоненты решения задачи (1),
удовлетворяющие системе уравнений (2) и условию (3), и
W е ¥ ( П ) П Н 2 ( П ) , р G Х/Е{П)ПН^{П),
f G LJC^).
Пусть
(wft. ph, Ад) - приближенное решение, удовлетворяющее системе
уравнений (6) и условию (7), w^ е Yh{Clh),Ph G Х Й ( П Ь ) Д Л е М й ( Г т ) .
Тог^а существует такая положительная постоянная Ст, не завися­
щая от W, р, -Wh, ph, Aft и h, что для проведенной триангуляции Th
области С1 и разбиения {Д,}^о интерфейса Г12 имеет место оценка
скорости сходимости
||w-Wft||o,n,<C7A2(||w||*,„+||p||t.„).
в третьей главе приведено описание численной реализации неконфорного метода конечных элементов для двумерной задачи Стокса в
прямоугольнике с кусочно-постоянным коэффициентом в дивергентно
- градиентной части уравнения.
В п. 3.1 дана постановка дифференциальной задачи, а в п. 3.2 рас­
смотрена ее конечно-элементная аппроксимация.
Далее описан процесс построения приближенного обобщенного ре­
шения задачи Стокса по М К Э , получена система линейных алгебра­
ических уравнений и показано, как в результате преобразований си­
стемы уравнений можно суи1,сствсино (почти вдвое) умсныиить число
неизвестных и уравнений.
Множество узлов S'*'', к ~ 1,2. разбивается на три типа:
- середины вертикальных сторон элементарных квадратов;
14
- середины горизонтальных сторон элементарных квадратов;
- середины сторон элементарных треугольников, внутренних по отнотиению к сторонам элементарных квадратов
Переменные компонент вектор - функции скорости в узлах S'*'
таким же образом делятся на три типа. Поскольку давление постоянно
на каждом элементе е, оно определяется в одной внутренней точке
треугольника.
Из полученной системы исключаются узлы (и соответствующие
переменные) третьего типа:
(1) для уравнений, имеющих дивергентную структуру, берется линей­
ная комбинация на конечных элементах двух смежных элементарных
квадратов (8 треугольников);
(2) остальные уравнения преобразуются следующим образом: из урав­
нений, соответствующих узлам третьего типа, выражаются перемен­
ные того же типа и подставляются в уравнения, соответствующие со­
седним узлам первого и второго типов.
П. 3.3 посвящен построению и исследованию итерационного про­
цесса для решения преобразованной системы уравнений, матрица ко­
торой имеет седловую структуру
Л В
С^ О
С
v\
^ ^
[^
(8)
Для нахождения решения системы (8) построен итерационный процесс
с переобуславливанием матрицы системы, состоящий из четырех эта­
пов. На первом этапе находится вектор ^Oi решение системы ЛСо = t^
по формуле
сг' = а+аМ-'(й5-жл-
На втором этапе - ff, решение системы SiJ = С^^о — z^"+' = ^ " + alS-\C%
- г - 577").
(9)
(10)
Здесь S: S = С^Л'^В - дополнение по Шуру матрицы системы (8).
Далее, на третьем этапе, ищется поправка т к (о с помощью найден­
ного вектора г] как решение системы Ат = Вт]:
f'^^' = т^ + alЛ-\Br)-Лf").
На последнем этапе вычисляется вектор Q.
(=Cfi-f.
15
(И)
Здесь пара векторов {(^,ff) - решение системы (8); а,',, а^. л^, - пара­
метры процессов (9)-(11), Со""- jf"^'' ^"'^ и Со"' '/"■ ^" ~ значения
векторов на (г) + 1)-й и п-й итерации (9)-(11) соответственно; Со"- '7"т" - задаваемые начальные приближения процессов (9)-(11). Д и 5 персобуславливающие матрицы для ^ и <S соответственно.
В ходе численного эксперимента (п. 3.4) создана система программ
на языке Си для нахождения приближенного обобщенного решения с
помощью неконформного метода конечных элементов, проведены рас­
четы серии модельных задач с различными разрывами коэффициен­
та. Проделан численный анализ полученных результатов и сделаны
выводы об аппроксимационных свойствах неконформного метода ко­
нечных элементов для решения задачи Стокса данного типа. Кроме
того, выполненные расчеты тестовых задач с использованием обощенного метода минимальных невязок показывают эффективность данно­
го подхода.
III. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ
1. Для задачи Стокса с разрывным (кусочно-постоянным) коэф­
фициентом кинематической вязкости предложена новая вариационная
постановка, учитывающая условия согласования решения на линии его
разрыва (интерфейсе): (1) условие слабой непрерывности компонент
вектор-функции скорости; (2) равенство потоков скоростей с давлени­
ем на функционалах. Исследован вопрос существования и единствен­
ности обобщенного решения.
2. Построена схема неконформного М К Э с использованием мортарных элементов для сшивки решения на интерфейсе. Благодаря ис­
пользованию такого подхода и выбору пространств со специальными
нормами для задачи Стокса с разрывным множителем установлены
степенные (по шагу сетки) оценки скорости сходимости приближен­
ного по методу мортарных конечных элементов решения к точному
решению.
3. Для системы линейных алгебраических уравнений М К Э пред­
ложен новый способ ее преобразования, в результате применения ко­
торого удалось суп;сственно (почти вдвое) умсньптить число неизвест­
ных и уравнений. Построен эффективный итерационный метод реше­
ния поставленной задачи с переобуславливанисм, используя обобщен­
ный метод минимальных невязок. На примере модельной задачи, для
16
которой известно аналитическое решение, показана сходимость метода
конечных элементов. Порядок сходимости приближенного решения к
точному согласуется с теоретическими (априорными) оценками оши­
бок решения.
СПИСОК РАБОТ ПО Т Е М Е ДИССЕРТАЦИИ
1. Рукавишников А.В. Численный метод решения задачи Стокса с
разрывными коэффициентами в прямоугольнике, часть I/ Алек­
сей Рукавишников// Препринт N 10/ Хабар, отдел. Ин-та прикл.
матем. Д В О РАН. - Владивосток, 2002. - 38 с. (2.37 п.л.).
2. Рукавишников А.В. Численный метод решения задачи Стокса с
разрывными коэффициентами в прямоугольнике, часть П/ Алек­
сей Рукавишников// Препринт jV 04/ Хабар, отдел. Ин-та прикл.
матем. Д В О РАН. - Владивосток, 2003. - 20 с. (1.25 п.л.).
3. Рукавишников А.В. Оценка скорости сходимости неконформно­
го метода конечных элементов для задачи Стокса с разрывны­
ми коэффициентами/ А.В. Рукавишников, В.А. Рукавишников//
Препринт ЛУ 71/ Вычисл. центр ДВО РАН. - Хабаровск, 2003. 57 с. (3.5 П.Л.).
4. Рукавишников А.В. О дифференциальных свойствах решения за­
дачи Стокса с разрывным коэффициентом/ Алексей Рукавишни­
ков// Препринт N 09/ Хабар, отдел. Ин-та прикл. матем. Д В О
РАН. - Владивосток, 2004. - 36 с. (2.25 п.л.).
5. Rukavishnikov A.V. Method of numerical analysis for the Stokes prob­
lem with discontinuous coefficient/A.V. Rukavishnikov, V.A. Rukav­
ishnikov// Proceedings of the International Conference on Compu­
tational Mathematics. ICCM-2004. Part П/ Eds. G.A. Mikhailov,
V.P. Il'in, Yu.M. Laevsky. - Novosibirsk, 2004. - P. 907-915 (1 п.л.).
6. Рукавишников А.В. Численный метод решения задачи Стокса с
разрывным коэффициентом/Алексей Рукавишников// Вычисли­
тельные методы и программирование. - 2005. - Т.б, Л/" 1. - С 21-30
(1.12 п.л.).
17
Рукавишников Алексей Викторович
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОНФОРМНОГО
МЕТОДА К О Н Е Ч Н Ы Х ЭЛЕМЕНТОВ Д Л Я Р Е Ш Е Н И Я
ЗАДАЧИ СТОКСА С Р А З Р Ы В Н Ы М КОЭФФИЦИЕНТОМ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
';
Лицензия Л Р N 040118 от 15.10.96 г. Подписано в печать 14.10.2005 г.
Формат 60 X 84/16. Усл. п.л. 1.0. Уч.-изд.л. 0,92. Тираж 100 экз.
Издательство "Дальнаука"ДВО РАН
690041, г. Владивосток. Радио, 7
Отпечатано в Хабаровском отделении И П М Д В О РАН
680000, г. Хабаровск, Запари на, 92
19539
РЫБ Русский фонд
2006-4
21268
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
679 Кб
Теги
bd000101825
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа