2263.Определение геометрических характеристик плоских сечений

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Оренбургский государственный университет"
Кафедра сопротивления материалов
А.В. КОЛОТВИН, Р.В. РОМАШОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ
СЕЧЕНИЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫХ
РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом
государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
"Оренбургский государственный университет"
Оренбург 2008
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 620.1(07)
ББК 30.121я7
К 61
Рецензент
кандидат технических наук, доцент С.Н. Горелов
К 61
Колотвин А.В.
Определение геометрических характеристик плоских сечений: методические указания к выполнению расчетнопроектировочных работ по сопротивлению материалов/
А.В. Колотвин, Р.В. Ромашов– Оренбург: ГОУ ОГУ, 2008. 43с.
Методические указания предназначены для самостоятельной
подготовки студентов при выполнении расчетно-проектировочных
работ по первой части курса сопротивления материалов.
ББК 30.121я7
© Колотвин А.В.,
Ромашов Р.В., 2008
© ГОУ ОГУ, 2008
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
1 Геометрические характеристики плоских сечений……………………....4
1.1 Статические моменты площади сечения. Центр тяжести
поперечного сечения …………………………………………………...4
1.2 Осевые, полярные и центробежные моменты инерции
плоских сечений………………………………………………………...5
1.3 Моменты инерции простейших сечений……………………………….6
1.4 Моменты инерции сложных сечений…………………………………...7
1.5 Моменты инерции при параллельном переносе осей………………….8
1.6 Зависимости между моментами инерции при повороте осей…………9
1.7 Главные оси. Главные моменты инерции………………………………9
2 Расчетно-проектировочная работа (РПР) № 1. Определение
геометрических характеристик плоских сечений…………………....12
2.1 Задача №1………………………………………………………………..12
2.2 Задача №2………………………………………………………………..15
2.3 Задача №3………………………………………………………………..19
Приложение А Геометрические характеристики плоских сечений……..27
Приложение Б Сортамент прокатной стали…………………………..…..28
Приложение В Исходные данные к задаче..…………………………..…..31
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Геометрические характеристики плоских сечений
В теории растяжения – сжатия основной геометрической характеристикой при определении напряжений является площадь поперечного сечения. В
теории кручения и изгиба используются более сложные геометрические характеристики сечения, называемые моментами инерции и статическими моментами этих сечений.
1.1 Статические
поперечного сечения
моменты
площади
сечения.
Центр
тяжести
Статическим моментом площади относительно оси называется взятая
по всей площади сечения сумма произведений элементарных площадей на их
расстояние до оси (рисунок 1.1):
S x = ∫ ydA; S y = ∫ xdA.
A
(1.1)
A
Статический момент имеет размерность м3, см3 или мм3.
y
A
x
xc
dA
y
yc
C
x
Рисунок 1.1
На основании известной из теоретической механики теоремы о моменте
равнодействующей можно написать:
S x = A ⋅ yc ; S y = A ⋅ xc ,
где ус, хс – координаты центра тяжести С сечения.
Отсюда
yc =
4
Sy
Sx
; xc =
.
A
A
(1.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из выражений (1.2) следует, что относительно осей, проходящих через
центр тяжести сечения (ус=0; хс=0), статические моменты равны нулю. Оси координат, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными
осями.
Для вычисления статических моментов сложных фигур их разбивают на
простые части, для каждой из которых известны площадь Аi и положение центра тяжести (yi, xi). Тогда:
n
S x = A1 ⋅ y1 + A2 y 2 + ... + An ⋅ y n = ∑ Ai ⋅ yi ;
i =1
n
(1.3)
S y = A1 ⋅ x1 + A2 x2 + ... + An ⋅ xn = ∑ Ai ⋅ xi .
i =1
На основании формул (1.3) легко найти координаты центра тяжести
сложной фигуры:
yc =
S x ∑ Ai ⋅ yi
=
;
A
A
∑ i
xc =
Sy
A
=
∑ Ai ⋅ xi .
∑ Ai
(1.4)
1.2 Осевые, полярные и центробежные моменты инерции плоских
сечений
Осевым моментом инерции плоского сечения относительно данной оси
называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до этой оси (рисунок 1.1):
J x = ∫ y 2 dA;
J y = ∫ x 2 dA .
A
(1.5)
A
Полярным моментом инерции сечения относительно точки пересечения
осей (начала координат) называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до начала координат
(рисунок 1.1):
J p = ∫ ρ 2 dA .
(1.6)
A
Так как ρ 2 = y 2 + x 2 , то J p = J y + J x .
Размерность осевых и полярного моментов инерции – м4, см4, мм4. Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны, так как под интегралом координаты у, х, и ρ берутся в квадрате.
Центробежный момент инерции сечения берется относительно двух
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
осей, и он равен взятой по всей площади сумме произведений элементарных
площадей на произведение их расстояний до двух данных взаимно перпендикулярных осей:
D xy = ∫ x ⋅ y ⋅ dA .
(1.7)
A
Центробежный момент инерции имеет размерность – м4, см4, мм4. В зависимости от расположения осей он может быть как положительным, так и отрицательным и в частных случаях равным нулю.
Осевой момент инерции сечения относительно какой-либо оси можно
представить в виде произведения площади сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции сечения:
J x = ∫ y 2 dA = A ⋅ i x2 .
A
Отсюда следует, что радиус инерции относительно оси х:
ix =
Jx
,м
A
(1.8)
1.3 Моменты инерции простейших сечений
Вычисление моментов инерции простейших сечений может быть проведено непосредственным интегрированием по формулам, приведенным в п.1.2.
Приведем результаты определения моментов инерции для нескольких наиболее
распространенных сечений.
Прямоугольник (рисунок 1.2). Осевые моменты инерции относительно
центральных осей х, у равны:
bh 3
;
Jx =
12
hb3
.
Jy =
12
(1.9)
Равнобедренный треугольник (рисунок 1.3):
bh 3
;
Jx =
36
6
hb3
.
Jy =
48
(1.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
y
h
y
dy
dA
h
x
x
bв
bв
Рисунок 1.2
Рисунок 1.3
Круг диаметром d. Вследствие симметрии для круга J x = J y :
Jx = Jy =
Jp =
πd4
64
πd 4
32
≈ 0,05d 4 ;
≈ 0,1d 4 .
(1.11)
Кольцо размером D × d (D – наружный диаметр кольца; d – внутренний
диаметр; отношение диаметров α = d ).
D
Jx = Jy =
Jp =
π
32
π
64
4
( D 4 − d 4 ) ≈ 0,05 D 4 (1 − α 4 );
(1.12)
4
4
4
( D − d ) ≈ 0,1D (1 − α ).
Моменты инерции прокатных профилей (двутавров, швеллеров, уголков)
приводятся в справочных таблицах.
1.4 Моменты инерции сложных сечений
Известно, что интеграл по площади равен сумме интегралов, взятых по
отдельным частям, составляющим эту площадь. Поэтому при вычислении моментов инерции сложного сечения относительно какой-либо оси можно последнее разбить на ряд простейших сечений и для каждого из них вычислить
момент инерции относительно этой оси. Тогда момент инерции всего сечения
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
определяется как сумма моментов инерции составных частей:
J x = J1x ± J 2 x ± J 3 x ± ....
(1.13)
Знак минус в формуле берется в том случае, если сечение имеет отверстия, пустоты и др. При этом моменты инерции всех составных частей должны
вычисляться относительно одной и той же оси. Суммировать моменты инерции
частей сечения относительно различных осей нельзя.
1.5 Моменты инерции при параллельном переносе осей
В расчетах часто используют зависимости между моментами инерции
относительно параллельных осей, одна из которых центральная (проходящая
через центр тяжести сечения). Осевые моменты инерции сечения относительно
центральных осей называются центральными моментами инерции.
y0
dA
xc
а
C
y
x
в
yc
y
x0
x
Рисунок 1.4
Пусть известны моменты инерции сечения ( J x0 , J y 0 , Dx0 y 0 ) относительно центральных осей х0 и у0, площадь сечения А, расстояние а между осями х0 и
х, а также расстояние в между осями у0 и у (рисунок 1.4). Формулы изменения
моментов инерции при переходе от центральных осей к параллельным им нецентральным таковы:
J x = J x0 + a 2 A;
J y = J y0 + в 2 A;
(1.14)
Dxy = Dx0 y0 + a ⋅ в ⋅ A .
Формулы (1.14) часто применяются для вычисления моментов инерции
сложных сечений. Из этих формул видно, что осевой момент инерции относительно любой нецентральной оси больше, чем относительно параллельной ей
центральной.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.6 Зависимости между моментами инерции при повороте осей
Пусть известны моменты инерции сечения Jx, Jy и Dxy относительно осей
х, у (рисунок 1.5). Повернем оси х, у на угол α против часовой стрелки, считая
угол поворота осей в этом направлении положительным.
y1
y
x
dA
y
x1
y1
x1
α
x
Рисунок 1.5
Моменты инерции сечения относительно нового положения осей х1, у1
равны:
Jx1=Jx·cos2α+Jy·sin2 α–Dxy·sin2 α
(1.15)
Jy1=Jx·sin2α+Jy·cos2 α+Dxy·sin2 α;
(1.16)
1
Dx1y1=Dxy·cos2 α– (Jy–Jx)·sin2 α.
2
(1.17)
Отметим, что формулы (1.15), (1.16) и (1.17), полученные при повороте любой
системы осей, справедливы и для центральных осей.
Складывая левые и правые части формул (1.15) и (1.16), получаем:
Jx1+Jy1=Jx+Jy.
(1.18)
Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции не
изменяется.
1.7 Главные оси. Главные моменты инерции
С изменением угла поворота α осей каждая из величин J x и J y меняется, а сумма их согласно выражению (1.18) остается неизменной. Следовательно,
существует такой угол α 0 (рисунок 1.6), при котором один из осевых моментов
инерции достигает своего максимального значения, а другой осевой момент
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
инерции принимает минимальное значение. Одновременно центробежный момент инерции при указанном угле обращается в нуль. Будем обозначать оси,
соответствующие углу α 0, буквами u, v.
y
v
u
α0
0
x
Рисунок 1.6
Оси u, v, относительно которых центробежный момент инерции Duv равен нулю, а осевые моменты инерции J u , J v принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты
инерции J u , J v относительно главных осей называются главными моментами
инерции.
Дифференцируя выражения (1.15) и (1.16) по α и приравнивая производную к нулю, находится выражение для угла α 0, определяющего положение
(направление) главных осей:
tg2α0=
2 Dxy
J y - Jx
.
(1.19)
Главные моменты инерции определяются по формулам:
Ju =
Jv =
Jx + Jy
2
Jx + Jy
2
+
−
Jx − Jy
2
Jx − J y
2
cos 2α 0 − Dxy sin 2α 0 ;
cos 2α 0 + D xy sin 2α 0
Учитывая, что
cos 2α 0 =
10
1
2
1 + tg 2α 0
и sin 2α 0 =
tg 2α 0
2
1 + tg 2α 0
,
(1.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
исключаем при помощи выражения (1.19) угол α 0 . Тогда получаем другую
формулу для определения главных моментов инерции:
J max =
Jx + Jy
min
2
±
1
( J y - J x )2 + 4 Dxy2
2
(1.21)
Верхний знак (плюс) соответствует максимальному моменту инерции, а
нижний (минус) – минимальному.
Если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось симметрии всегда является главной (рисунок 1.7). Действительно, центробежный
момент инерции Dxy такого сечения равен нулю. Это следует из того, что в этом
случае для какого-либо элемента dA с положительным значением х существует
равный и симметрично расположенный элемент dA/ c отрицательным х: в результате интеграл (1.7) обращается в нуль. Таким образом, для сечений, имеющих хотя бы одну ось симметрии, главные оси устанавливаются без вычислений. Одна ось совмещается с осью симметрии, а другая проводится перпендикулярно ей. На рисунке 1.7 оси у, х являются главными центральными осями
сечения.
y
dA
dA
-x +x
x
Рисунок 1.7
Главным осям сечения соответствуют главные радиусы инерции:
iu =
Ju
; iv =
A
Jv
.
A
(1.22)
Главные оси сечения указывают направление наибольшей (ось Jmin) и
наименьшей (ось Jmax) жесткости сечения. Отметим, что плоскости, проведенные через ось стержня и главные оси сечения, называются главными плоскостями.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Расчетно-проектировочная работа (РПР) № 1. Определение
геометрических характеристик плоских сечений
При выполнении РПР № 1 необходимо решить 3 задачи: в задачах № 1 и
№ 2 дается сечение, одна из центральных осей которого является осью симметрии фигуры; в задаче № 3 - сечение, не имеющее оси симметрии.
2.1 Задача №1
Дано: а = 100 см; b = 80 см; b = D (диаметр полукруга).
Определить положение главных осей и вычислить главные центральные
моменты инерции сечения.
Решение:
1 Заданное сечение вычерчивается в масштабе, каждая составляющая
часть сечения нумеруется (I - прямоугольник, II - полукруг). В соответствии с
нумерацией проводятся и обозначаются собственные центральные оси (рисунок
2.1) каждой части сечения (оси y1 и x1 , y2 и x2 ).
y
2D
3π
y2
y1
y0
I
xС2
xС1
C1
C2
xС
II
b
2
а
Рисунок 2.1
12
x1 , x2 , x0
b
C
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Вычисляются координаты yС и xС центра тяжести сечения.
Горизонтальная ось является осью симметрии сечения, поэтому центр
тяжести находится на этой оси: значит центральная ось x0 совпадает с х1, х2 (т.е.
yС=0).
Для определения абсциссы хC центра тяжести сечения выбирается вспомогательная ось y, тогда:
xС =
Sy
A
,
где Sy - статический момент площади сечения относительно вспомогательной оси y (определяется как разность статических моментов прямоугольника I и полукруга II диаметром D = b :
S y = S yI − S yII = A1 ⋅ xС1 − A2 ⋅ xС2 = ( a ⋅ b ) ⋅
a ⎛ π ⋅ D2 ⎞ 2 D
−⎜
⎟⋅ ⋅ =
2 ⎝ 4⋅2 ⎠ 3 π
3,14 ⋅ 802 2 80
= 100 ⋅ 80 ⋅ 50 −
⋅ ⋅
= 400000 − 42600 = 357400 см3;
4⋅ 2
3 3,14
А - площадь сечения (разность площадей прямоугольника и полукруга):
π ⋅ D2
3,14 ⋅ 80 2
A = A1 − A2 = a ⋅ b −
= 100 ⋅ 80 −
= 5488 см2,
4⋅ 2
4⋅2
Sy
357400
= 65 см.
5488
A
Абсцисса хс = 65 см откладывается (в масштабе) от вспомогательной оси
y, и отмечается положение центра тяжести сечения С. Проводится центральная
ось yo сечения.
Так как сечение имеет ось симметрии (ось х0), то центральные оси yо и хo
одновременно являются и главными осями. Таким образом y0, х0 - главные центральные оси.
3 Вычисляются главные центральные моменты инерции J x0 и J y0 сечения
как разность моментов инерции прямоугольника и полукруга:
тогда xС =
=
J x0 = J x I0 − J x II0 = J x 1I − J x II2 =
где
a ⋅ b3 π ⋅ D 4 100 ⋅ 803 3,14 ⋅ 804
=
−
=
−
= 326,3 ⋅ 10 4 см4,
12
128
12
128
I
II
J x 0 , J x 0 - моменты инерции прямоугольника и полукруга относи13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельно главной центральной оси х0;
J x 1I , J x II2 - моменты инерции прямоугольника и полукруга относительно
собственных центральных осей х1 и х2 .
При этом J x I0 = J x 1I , J x II0 = J x II2 так как оси х0 , х1 и х2 совпадают.
(
) (
)
J y 0 = J y I0 − J y II0 = J y 1I + С1С 2 ⋅ A1 − J y II2 + С2С 2 ⋅ A2 ,
где J y I0 , J y II0 - моменты инерции прямоугольника и полукруга относительно главной центральной оси у0;
J y 1I , J y II2 - моменты инерции прямоугольника и полукруга относительно
собственных центральных осей у1 и у2.
При этом J y I0 ≠ J y 1I , Jy0II ≠ Jy2II , так как оси у0, у1 и у2 не совпадают.
(
С С = (x
)
) - расстояние между осями у2 и у0.
С1С = xС − xС1 - расстояние между осями у1 и у0;
2
С
Тогда:
− xС2
(
J y0 = ⎡ J y 1I + xС − xС1
⎢⎣
)
2
(
⋅ A1 ⎤ − ⎡ J y II2 + xС − xС2
⎥⎦ ⎢⎣
)
2
⋅ A2 ⎤ =
⎥⎦
2
2
⎡ b ⋅ a3 ⎛
⎤ ⎡
a⎞
2 D ⎞ ⎛ π ⋅ D2 ⎞⎤
⎛
4
=⎢
+ ⎜ xС − ⎟ ⋅ ( a ⋅ b ) ⎥ − ⎢0,00686 D + ⎜ xС − ⋅ ⎟ ⎜
⎟⎥ =
⋅
12
2
3
π
4
2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥ ⎣⎢
2
⎡ 80 ⋅ 1003
⎤ ⎡
2 80 ⎞ ⎛ 3,14 ⋅ 80 2 ⎞ ⎤
⎛
2
4
=⎢
+ ( 65 − 50 ) ⋅ (100 ⋅ 80 ) ⎥ − ⎢0,00686 ⋅ 80 + ⎜ 65 − ⋅
⎟ ⎜ 4 ⋅ 2 ⎟⎥ =
12
3
3,14
⎝
⎠ ⎝
⎣
⎦ ⎣⎢
⎠ ⎦⎥
= 846,6 ⋅ 10 4 − 607,9 ⋅ 10 4 = 238,7 ⋅ 10 4 см4.
Ответ:
xС = 65 см;
yС = 0 ;
4
J x0 = 326,3 ⋅ 10 см ;
4
14
J y0 = 238,7 ⋅ 10 4 см4.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2 Задача № 2
Дано: швеллер № 20 - 2 шт., двутавр № 16, плита 200 мм × 8 мм.
Определить положение главных центральных осей и вычислить главные
центральные моменты инерции сечения.
200 мм
yС3
a3
h=8
Решение:
1 Заданное сечение вычерчивается в масштабе, каждая составляющая
часть сечения нумеруется (I - швеллеры, II - двутавр, III –плита прямоугольного
сечения). В соответствии с нумерацией (рисунок 2.2) проводятся и обозначаются собственные центральные оси каждой части сечения (оси y1 и x1 , y2 и x2 , y3
и x3 ).
2 Находятся значения площади и моментов инерции каждого элемента
сечения относительно собственных центральных осей, при этом для швеллера
№ 20 и двутавра № 16 эти значения берутся из таблиц Б.1 и Б.2 приложения Б
("Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент." ГОСТ 8240-97 и "Двутавры
стальные горячекатаные. Сортамент." ГОСТ 8239-89).
y2 , y3 , y0
y1
y1
200 мм
I
x3
I
III
z0 = 2,07
z0
xС1
x0
C1
C
C1
x1
C2
yС
а2
81 мм
yС1
a1
x1
x2
II
yС2
x
160 мм
I
Рисунок 2.2
Для швеллера № 20 (порядковый номер - I):
A1 = 23,4 см2; J xI1 = 1520 см4; J yI1 = 113 см4; z0 = 2,07 см (размер, опреде15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ляющий положение центра тяжести швеллера).
Для двутавра № 16 (порядковый номер - II):
A2 = 20,2 см2; J xII2 = 58,6 см4; J yII2 = 873 см4.
Отметим, что в таблице ГОСТ 8239-89 дано J xII2 = 873 и J yII2 = 58,6 , однако,
эти значения в нашем случае пришлось поменять местами, так как двутавр повернут на 90° по сравнению с тем, как он изображен в стандарте (т.е. оси y2 и
x2 поменялись местами).
Для плиты (порядковый номер - III):
A3 = b × h = 20 × 0,8 = 16 см2
b ⋅ h3 20 ⋅ 0,83
I =
=
= 0,85 см4
x3
12
12
III
b ⋅ h3 0,8 ⋅ 203
I =
=
= 533 см4
y3
12
12
III
3 Вычисляются координаты yС и xС центра тяжести сечения. Вертикальная ось является осью симметрии сечения, поэтому центр тяжести находится на
этой оси: значит, центральная ось y0 совпадает с y3 , y2 (абсцисса xC = 0 ).
Для определения ординаты yC центра тяжести сечения выбирается вспомогательная ось x , тогда:
yС =
Sx
,
A
где S x - статический момент площади сечения относительно вспомогательной оси x (определяется как сумма статических моментов двух швеллеров,
двутавра и плиты):
S x = 2 ⋅ S xI + S xII + S xIII = 2 A1 ⋅ yC1 + A2 ⋅ yC2 + A3 ⋅ yC3 =
= 2 ⋅ 23,4 ⋅
20
8,1
+ 20,2 ⋅
+ 16 ⋅ (20 + 0,4) = 877 см3;
2
2
А - площадь сечения (сумма площадей двух швеллеров, двутавра и плиты):
A = 2 A1 + A2 + A3 = 2 ⋅ 23,4 + 20, 2 + 16 = 83 см2.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда yС =
S x 877
=
= 10,6 см.
A 83
Ордината yС = 10,6 см откладывается (в масштабе) от вспомогательной
оси х , и отмечается положение центра тяжести сечения С. Проводится центральная ось x0 сечения.
Так как сечение имеет ось симметрии ( оси y0 ), то центральные оси y0 и x0
одновременно являются и главными осями. Таким образом, y0 и x0 - главные
центральные оси.
4 Вычисляются главные центральные моменты инерции J y0 и J x0 сечения
как сумма моментов инерции двух швеллеров, двутавра и плиты.
Главный центральный момент инерции сечения относительно оси y0 равен:
J
y0
⎛
⎞
= 2 J I + J II + J III = 2 ⎜ J I + xC1 2 ⋅ A1 ⎟ + J II + J III ,
y0
y0
y0
y
y2
y3
⎝ 1
⎠
J I , J II , J III - моменты инерции швеллера, двутавра и плиты отноy0 y0 y0
сительно главной центральной оси у0
J I , J II , J III - моменты инерции швеллера, двутавра и плиты относиy1 y 2 y 3
тельно собственных центральных осей y1, y2 и y3.
При этом J II = J II и J III = J III , так как оси y0, y2, y3 совпадают, но
y0
y2
y0
y3
J I ≠ J I , так как оси y0 и y1 не совпадают.
y0
y1
xC1 = (8 + z0 ) - расстояние между осями y0 и y1
Тогда:
где
J
⎡
⎤
= 2 J I + J II + J III = 2 ⋅ ⎢ J I + (8 + z0 ) 2 ⋅ A1 ⎥ + J II + J III =
y0
y0
y0
y0
y2
y3
⎣ y1
⎦
2
= 2 ⋅ ⎡113 + ( 8 + 2,07 ) ⋅ 23,4 ⎤ + 873 + 533 = 6378 см4.
⎣
⎦
Главный центральный момент инерции сечения относительно оси x0 (с
учетом формулы перехода при параллельном переносе осей) равен:
J
(
) (
)
(
= 2 J I + J II + J III = 2 J I + a12 ⋅ A1 + J II + a2 2 ⋅ A2 + J xIII3 + a32 ⋅ A3
x0
x0
x0
x0
x1
x2
),
где J I , J II , J II - моменты инерции швеллера, двутавра и плиты относиx 0 x0 x0
тельно главной центральной оси x0;
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
J I , J II , J II - моменты инерции швеллера, двутавра и плиты относительx1 x 2 x3
но собственных центральных осей x1 , x2 , x3 .
При этом J xI0 ≠ J xI1 , J xII0 ≠ J xII2 , J xIII0 ≠ J xIII3 , так как оси x0, x1, x2, x3 не совпадают.
a1 = ( yС1 − yС ) - расстояние между осями x1 и x0;
a2 = ( yС2 − yС ) - расстояние между осями x2 и x0;
a3 = ( yС3 − yС ) - расстояние между осями x3 и x0.
Тогда:
J
= 2 J I + J II + J III = 2 ⎡⎢ J I + ( yC1 − yC )2 ⋅ A1 ⎤⎥ + ⎡⎢ J II + ( yC2 − yC )2 ⋅ A2 ⎤⎥ +
x0
x0
x0
x0
⎣ x1
⎦ ⎣ x2
⎦
+ ⎡⎣ J xIII3 + ( yC3 − yC )2 ⋅ A3 ⎤⎦ = 2 ⎡⎣1520 + (10 − 10,6)2 ⋅ 23,4 ⎤⎦ +
+ ⎡⎣58,6 + (4,05 − 10,6)2 ⋅ 20, 2 ⎤⎦ + ⎡⎣ 0,85 + (20, 4 − 10,6)2 ⋅ 16⎤⎦ =
= 3075 + 925 + 1538 = 5520 см4.
Ответ:
18
yC = 10,6 см;
J y0 = 6378 см4;
xC = 0 ;
J x0 = 5520 см4.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3 Задача № 3
Дано: плита 20 см × 2 см; швеллер № 16; уголок неравнобокий №7,5/5
(d=8); l = 8 см.
Определить положение главных центральных осей, вычислить главные
центральные моменты инерции сечения и построить эллипс инерции.
V
y
y0
y2
II
y3
b3
α0
y03
Решение:
1 Заданное сечение вычерчивается в масштабе, каждая составляющая
часть сечения нумеруется (I – плита, II - швеллер, III - уголок неравнобокий). В
соответствии с нумерацией (рисунок 2.3) проводятся и обозначаются собственные центральные оси каждой части сечения ( оси y1 и x1 , y2 и x2 , y3 и x3 ) .
III
x3
C3
x03
z0
h2
a3
b2
iи
U
а2
xc
x2
C2
α0
x0
h1
b1
C1
l
b
I
yс
y1
a1
C
x1
x
iV
Рисунок 2.3
2 Находятся значения площади и моментов инерции каждого элемента
сечения относительно собственных центральных осей, при этом для швеллера
№ 16 и уголка неравнобокого № 7,5/5 эти значения берутся из таблиц сорта19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мента (ГОСТ 8240-97 "Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент." и
ГОСТ 8510-86 "Уголки стальные горячекатаные неравнобокие. Сортамент.").
Для плиты (порядковый номер - I):
A1 = b ⋅ h = 20 ⋅ 2 = 40 см2;
b ⋅ h3 20 ⋅ 23
J =
=
= 13,3 см4;
12
12
I
x1
h ⋅ b3 2 ⋅ 203
J =
=
= 1333 см4.
12
12
I
у1
Для швеллера № 16 (порядковый номер - II):
А2 = 18,1 см2; J xII2 = 747 см4; J yII2 = 63,3 см4; z0 = 1,8 см (размер, определяющий положение центра тяжести швеллера).
Для уголка № 7,5/5 (d=8) (порядковый номер - III):
А3 = 9, 47 см2; J xIII3 = 18,5 см4; J yIII3 = 52, 4 см4; x03 = 2,52 см; y03 = 1,29 см
(размеры, определяющие положения центральных осей y3 и x3 уголка).
tgα 3 = 0, 430 ( α 3 -угол наклона главных осей уголка).
Отметим, что в таблице ГОСТ 8510-86 дано J xIII3 = 52, 4 см4 и J yIII3 = 18,5
см4 однако, эти значения в нашем случае пришлось поменять местами, так как
уголок повернут на 90° по сравнению с тем, как он изображен в стандарте (т.е.
оси y3 и x3 поменялись местами). По той же причине поменялись местами значения x03 и y03 , определяющие положения осей y3 и x3 .
3 Вычисляются координаты xС и yС центра тяжести сечения. С этой целью выбираются вспомогательные оси y и x с началом координат 0 так, чтобы
сечение было расположено в первом квадранте. Тогда абсцисса xС центра тяжести сечения равна:
xC =
Sy
A
,
где S y - статический момент площади сечения относительно вспомогательной оси y (определяется как сумма статических моментов плиты, швеллера
и уголка):
S y = S yI + S yII + S yIII = A1 ⋅ xC1 + A2 ⋅ xC2 + A3 ⋅ xC3 =
= 40 ⋅ 10 + 18,1 ⋅ ( 8 − 1,8 ) + 9, 47 ⋅ ( 8 + 2,52 ) = 611,84 см3.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b
= 10 см; xС2 = l − z0 = 8 − 1,8 = 6,2 см; xС3 = l + x03 = 8 + 2,52 = 10,52 см
2
- абсциссы центров тяжестей отдельных частей сечения.
A - площадь сечения (сумма площадей плиты, швеллера и уголка):
A = A1 + A2 + A3 = 40 + 18,1 + 9, 47 = 67,57 см2.
Тогда
S
611,84
xC = y =
= 9,05 см
A
67,57
xС1 =
Ордината yС центра тяжести сечения равна:
Sx
,
A
yС =
где S x - статический момент площади сечения относительно вспомогательной оси х, равный:
S x = S xI + S xII + S xIII = A1 ⋅ уС 1 + A2 ⋅ уС2 + A3 ⋅ уС3 =
= 40 ⋅ 1 + 18,1 ⋅ (2 + 8) + 9, 47 ⋅ ( 2 + 16 − 1, 29 ) = 379, 2 см3
yС1 = h = 1 см; yС2 = h + 0,5h2 = 2 + 8 = 10 см; yС3 = h + h2 − y03 = 2 +
2
+16 − 1,29 = 16,71 см - ординаты центров тяжестей отдельных частей сечения.
Тогда
yС =
S x 379,2
=
= 5,61 см
A 67,57
Абсцисса xС = 9,05 см и ордината yС = 5,61 см откладываются (в масштабе) от начала координат О вспомогательной системы координат, и отмечается положение центра тяжести сечения С . Проводятся оси y0 и x0 - центральные оси сечения.
4 Вычисляются центральные осевые моменты инерции J x0 и J y0 сечения,
используя формулы перехода при параллельном переносе осей:
J
x0
(
) (
)
(
)
= J I + J II + J III = J I + a12 ⋅ A1 + J II + a2 2 ⋅ A2 + J xIII3 + a32 ⋅ A3 =
x0
x0
x0
x1
x2
= ⎣⎡13,3 + (−4,61) 2 ⋅ 40 ⎦⎤ + ( 747 + 4,39 2 ⋅ 18,1) + (18,5 + 11,12 ⋅ 9, 47 ) = 3144 см4,
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где a1 , a2 , a3 - расстояния от оси x0 до осей x1 , x2 , x3 соответственно:
a1 = ( yС1 − yС ) = 1 − 5,61 = −4,61 см,
a2 = ( yС2 − yС ) = 10 − 5,61 = 4,39 см,
a3 = ( yС3 − yС ) = 16,71 − 5,61 = 11,1 см.
Знак "минус" величины a1 означает, что центральная ось x1 плиты расположена ниже центральной оси x0 всего сечения.
J
⎛
⎞
= J I + J II + J III = ⎛⎜ J I + b12 ⋅ A1 ⎞⎟ + ⎛⎜ J II + b2 2 ⋅ A2 ⎞⎟ + ⎜ J III + b3 2 ⋅ A3 ⎟ =
y0
y0
y0
y 0 ⎝ y1
⎠ ⎝ y2
⎠ ⎝ y3
⎠
= (1333 + 0,952 ⋅ 40 ) + ⎡ 63,3 + ( −2,85 ) ⋅ 18,1⎤ + ( 52, 4 + 1, 47 2 ⋅ 9, 47 ) = 1652 см4
⎣
⎦
2
где b1; b2 ; b3 - расстояния от оси y0 до осей y1 , y2 , y3 соответственно:
b1 = ( xС1 − xС ) = 10 − 9,05 = 0,95 см
b2 = ( xС2 − xС ) = 6,2 − 9,05 = −2,85 см
b3 = ( xС3 − xС ) = 10,52 − 9, 05 = 1, 47 см
Знак "минус" величины b2 означает, что центральная ось y2 швеллера
расположена левее центральной оси y0 всего сечения. Отметим, что J x > J y 0
0
(3144 > 1652).
5 Вычисляется центробежный момент инерции сечения относительно
центральных осей x0 и y0 : Dx0 y0 = DxI0 y0 + DxII0 y0 + DxIII0 y0
Используя формулу перехода при параллельном переносе осей, для каждой из частей сечения получаем:
Для плиты: DxI0 y0 = DxI1 y1 + a1 ⋅ b1 ⋅ A1 = 0 + (−4,61) ⋅ 0,95 ⋅ 40 = −157 см4.
При этом центробежный момент инерции сечения плиты относительно
собственных центральных осей x1 и y1 равен нулю ( DxI1 y1 = 0) , так как это сечение имеет оси симметрии ( x1 и y1 ) , а значит, его центральные оси одновременно являются и главными осями.
Для швеллера: DxII0 y0 = DxII2 y2 + a2 ⋅ b2 ⋅ A2 = 0 + 4,39 ⋅ (−2,85) ⋅ 18,1 = −226,5 см4.
При этом DxII2 y2 = 0 ,так как швеллер имеет ось симметрии (ось x2 ).
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для уголка неравнобокого: DxIII0 y0 = DxIII3 y3 + a3 ⋅ b3 ⋅ A3
При этом DxIII3 y3 ≠ 0 , так как оси x3 и y3 не являются осями симметрии
уголка. Для расчета DxIII3 y3 можно воспользоваться формулой для определения
(
положения главных осей сечения tg 2α = 2 Dxy
(J
y
− Jx )
)
Из этой формулы следует:
D
III
x3 y 3
=
(
tg 2α 3 J yIII3 − J xIII3
2
) = 1,055 ⋅ ( 52, 4 − 18,5) = 17,9 см .
4
2
Значение tg 2α 3 = 1,055 определяется в следующем порядке:
согласно таблице ГОСТ 8510-86 tgα 3 = 0, 430 ;
2α 3 = 2 ⋅ 23o16′ = 46o32′ , a tg 2α 3 = tg 46o32′ = 1,055
Примечания
1
Для
определения
знака
центробежного момента инерции сечения
неравнобокого уголка можно воспользоваться следующей схемой: (т.е. для уголка, расположенного в I и III четвертях,
Dxy < 0 во II и IV четвертях - Dxy > 0 ).
2 Расчет центробежного момента
инерции равнобокого уголка удобнее
выполнять по формуле:
J x − J y0
Dxy = 0
⋅ sin 2α 0 + Dx0 y0 ⋅ cos 2α 0 ,
2
где α 0 = 45 0 - угол наклона главных
осей равнобокого уголка.
Тогда
J x − J y0
J x − J y0
⋅ sin 900 + 0 = 0
Dxy = 0
,
2
2
тогда
α 3 = 23o16′ ;
II
I
Dxy > 0
Dxy < 0
Dxy < 0
Dxy > 0
IV
III
Рисунок 2.4
где J x0 , J y0 - главные моменты инерции сечения равнобокого уголка (берутся из таблицы Б.3 приложения Б ГОСТ 8509-93 " Уголки стальные горячекатаные равнобокие. Сортамент."). При этом
Dx0 y0 = 0
Знак Dxy для равнобокого уголка можно определять по вышеуказанной
схеме для неравнобокого уголка (см. примечание п.1).
III
Таким образом, согласно указанной схеме знак Dx3 y3 для уголка № 7,5/5
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
необходимо принять положительным, т.е. DxIII3 y3 = +17,9 см4, так как уголок расположен в IV четверти. Тогда:
III
III
Dx0 y0 = Dx3 y3 + a3 ⋅ b3 ⋅ A3 = 17,9 + 11,1 ⋅1,47 ⋅ 9,47 = 172,4 см4
Для всего сечения:
I
II
III
Dx0 y0 = Dx0 y0 + Dx0 y0 + Dx0 y0 = −175 − 226,5 + 172, 4 = −229,1 см4
Итак, D x0 y0 = − 229,1 см4
6 Определяется угол наклона главных осей сечения:
tg 2α 0 =
2 Dx0 y0
J y0 − J x0
=
2 ⋅ ( −229,1)
= +0,308
1652 − 3144
Тогда tg 2α 0 = 17 o10′ , а α 0 = 8o35′
Угол α 0 > 0 , поэтому для определения положения главных осей U и V сечения центральные оси x0 и y0 поворачиваются против часовой стрелки на
угол α 0 = 8o35′ .
Рекомендуется следующая методика обозначения главных осей U и V.
Поворачивая центральную ось x0 на угол α 0 (против часовой стрелки, если
α 0 > 0 или по ходу часовой стрелки, если α 0 < 0 ), получаем главную ось U, а
ось V ей перпендикулярна. При этом если J x0 > J y0 , то максимальный момент
инерции будет относительно главной оси U ( JU = J max ) , а минимальный - относительно главной оси V ( J V = J min ) . Если же J x0 < J y0 , то J U = J min , а
JV = J max . В нашем случае J x0 > J y0 (3144 > 1652), значит JU = J max , а JV = J min
7 Вычисляются значения главных центральных моментов инерции сечения:
JU =
V
=
Тогда
24
J x0 + J у0
2
3144 + 1652 1
±
2
2
±
1
2
(J
x0
− J у0
)
( 3144 − 1652 )
JU = J max = 3178 см4,
JV = J min = 1618 см4.
2
+ 4 D 2x0 y0 =
2
+ 4 ( −229,1)
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проверка:
а) Сумма осевых моментов инерции не меняется при повороте
осей, то есть должно выполняться условие:
J x0 + J y0 = JU + JV
3144 + 1652 = 3173 + 1618, т.е. 4796 = 4796
б) Главный момент инерции, имеющий максимальное значение, должен
быть больше наибольшего осевого момента инерции относительно центральной
оси. Главный момент инерции, имеющий минимальное значение, должен быть
меньше наименьшего осевого момента инерции относительно центральной оси.
В рассматриваемом примере J U = J max , JV = J min , и J x0 > J y0 . Тогда должны выполняться неравенства: J U > J x0 и JV < J y0 что соблюдается, так как 3178
> 3144, и 1618< 1652.
8 Вычисляются значения главных радиусов инерции iU , iV , и строится
по ним эллипс инерции сечения:
iU =
JU
3178
=
= 6,86 см
67,57
A
iV =
JV
1618
=
= 4,9 см
67,57
A
Радиус инерции iU откладывается по оси V, а радиус инерции iV - по оси
U (в масштабе): в результате получаются полуоси, на которых и строится эллипс инерции сечения.
Ответ: xС = 9,05 см;
JU =3178 см4;
iU = 6,86 см;
α 0 = 8o35′ ;
yС = 5,61 см;
JV = 1618 см4;
iV = 4,9 см.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1 Феодосьев, В.Н. Сопротивление материалов./ В.Н. Феодосьев – М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2007. - 592 с.
2 Александров, А.В. Сопротивление материалов./ А.В. Александров,
В.Д. Потапов, Б.В. Державин. - М.: Высшая школа, 2003. – 560 с.
3 Ромашов, Р.В. Сопротивление материалов. Ч 1/ Р.В. Ромашов – Оренбург.: Изд-во ОГТУ, 1995 – 118 с.
4 Ромашов, Р.В. Методические указания к выполнению расчетнопроектировочных работ по сопротивлению материалов. Ч 1/ Р.В. Ромашов –
Оренбург.: Изд-во ОрПИ, 1991 – 55 с.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение А
(справочное)
Геометрические характеристики плоских сечений
Тип сечения
y
r
d
x
y
d
D
x
y
yC
r
x1
x
Площадь А
Осевой момент
инерции J x
Момент
сопротивления
Wx
πd 2
= πr 2
4
πd 2
= 0,05d 4
64
πd 3
= 0, d 3
32
π( D 4 − d 4 )
≈
64
π( D 4 − d 4 )
≈
32 D
≈ 0,05 D 4 (1 − α 4 )
≈ 0,1D3 (1 − α 4 )
0,11r 4
0,1912r 3
bh
bh3
12
bh2
6
2
a4
12
a3 2
≈ 0,118a3
12
BH 3 − bh3
12
BH 3 − bh3
6H
α=
d
D
π r2
2
y
x
h
b
a
y
x
a
x
BH − bh
H
h
B
y
b
y
h
x
b
bh
2
3
bh
36
bh 2
bh 2
24
12
- для верхних волокон;
-для нижних волокон.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Б
(справочное)
Сортамент прокатной стали
Таблица Б.1 – Двутавры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8239-89)
А — площадь поперечного сечения;
J — момент инерции;
i — радиус инерции;
W — момент сопротивления сечения;
S — статический момент полусечения
№
h,
мм
b,
мм
d,
мм
t,
мм
10
12
14
16
18
18а
20
20а
22
22а
24
24а
27
27а
30
30а
33
36
40
45
50
55
60
100
120
140
160
180
180
200
200
220
220
240
240
270
270
300
300
330
360
400
450
500
550
600
55
64
73
81
90
100
100
110
110
120
115
125
125
135
135
145
140
145
155
160
170
180
190
4,5
4,8
4,9
5,0
5,1
5,1
5,2
5,2
5,4
5,4
5,6
5,6
6,0
6,0
6,5
6,5
7,0
7,5
8,3
9,0
10,0
11,0
12,0
7,2 12,0 198 39,7
7,3 14,7 350 58,4
7,5 17,4 572 81,7
7,8 20,2 873 109,0
8,1 23,4 1290 143,0
8,3 25,4 1430 159,0
8,4 26,8 1840 184,0
8,6 28,9 2030 203,0
8,7 30,6 2550 232,0
8,9 32,8 2790 254,0
9,5 34,8 3460 289,0
9,8 37,5 3800 317,0
9,8 40,2 5010 371,0
10,2 43,2 5500 407,0
102 46,5 7080 472,0
10,7 49,5 7780 518,0
11,2 53,8 9840 597,0
12,3 61,9 13380 743,0
13,0 72,6 19062 953,0
14,2 84,7 27696 1231,0
15,2 100,0 39727 1589,0
16,5 118,0 55962 2035,0
17,8 138,0 76806 2560,0
28
А,
см2
J x,
см4
Wx,
см3
ix,
см
4,06
4,88
5,73
6,57
7,42
7,51
8,28
8,37
9,13
9,22
9,97
10,10
11,20
11,30
12,30
12,50
13,50
14,70
16,20
18,10
19,90
21,80
23,60
Sx ,
см3
J у.
см4
Wy.
см3
23,0 17,9 6,49
33,7 27,9 8,72
46,8 41,9 11,50
62,3 58,6 14,50
81,4 82,6 18,40
89,8 114,0 22,80
104,0 115,0 23,10
114,0 155,0 28,20
131,0 157,0 28,60
143,0 206,0 34,30
163,0 198,0 34,50
178,0 260,0 41,60
210,0 260,0 41,50
229,0 337,0 50,00
268,0 337,0 49,90
292,0 436,0 60,10
339,0 419,0 59,90
423,0 516,0 71,10
545,0 667,0 86,10
708,0 808,0 101,00
919,0 1043,0 123,00
1181,0 1356,0 151,00
1491,0 1725,0 182,00
iy,
см
1,22
1,38
1,55
1,70
1,88
2,12
2,07
2,32
2,27
2,50
2,37
2,63
2,54
2,80
2,69
2,95
2,79
2,89
3,03
3,09
3,23
3,39
3,54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Б.2 – Швеллеры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8240-89)
А – площадь поперечного сечения;
W-момент сопротивления;
S- статический момент полусечения;
J – момент инерции;
i – радиус инерции
№
h,
мм
b,
мм
d,
мм
t,
мм
А,
см2
J x,
см4
Wx
см3
ix
см
Sx
см3
Jy Wу,с
см4 м3
iy
см
zо,
см
5
50
32
4,4
7,0
6,16 22,8 9,10
1,92
5.59 5,61 2,75 0,945 1,16
6,5
65
36
4,4
7,2
7,51 48,6 15,0
2,54
9,00 8,70 3,68 1,08 1,24
8
80
40
4,5
7,4
8,98 89,4 22,4
3,16
13,3 12,8 4,75 1,19 1,31
10
100
46
4,5
7,6
10,9
174
34,8
3,99
20,4 20,4 6,46 1,37 1,44
12
120
52
4,8
7,8
13,3
304
50,6
4,78
29,6 31,2 8,52 1,53 1,54
14
140
58
4,9
8,1
15,6
491
70,2
5,60
40,8 45,4 11,0 1,70 1,67
14а
140
62
4,9
8,7
17,0
545
77,8
5,66
45,1 57,5 13,3 1,84 1,87
16
160
64
5,0
8,4
18,1
747
93,4
6,42
54,1 63,3 13,8 1,87 1,80
16а
160
68
5,0
9,0
19,5
823
103
6,49
59,4 78,8 16,4 2,01 2,00
18
18а
180
180
70
74
5,1
5,1
8,7
9,3
20,7 1090 121
22,3 1190 132
7,24
7,32
69,8 86,0 17,0 2,04 1,94
76,1 105 20,0 2,18 2,13
20
200
76
5,2
9,0
23,4 1520
152
8,07
87,8
113
20,5
2,20
2,07
20а
200
80
5,2
97
25,2 1670
167
8,15
95,9
139
21,2
2,35
2,28
22
220
82
54
9,5
26,7 2110
192
8,89
110
151
25,1
2,37
2,21
22а
220
87
5,4
10,2
28,8 2330
212
8,90
121
187
30,0
2,55
2,46
24
240
90
5,6
10,0
30,6 2900
242
9,73
139
208
31,6
2,60
2,42
24а
240
95
5,6
10,7
32,9 3180
265
9,84
151
245
37,2
2,78
2,67
27
270
95
6,0
10,5 35,2 4160
308
10,9
178
262
37,3
2,73
2,47
30
300
100
6,5
11,0
40,5 5810
387
12,0
224
327
43,6
2,84
2,52
33
330
105
7,0
11,7
46,5 7980
484
13,1
281
410
51,8
2,97
2,59
36
360
110
7,5
12,6
53,4 10200 601
14,2
350
513
61,7
3,10
2,68
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Б.3 – Уголки стальные горячекатаные неравнополочные (по
ГОСТ 8509-86)
А – площадь поперечного сечения;
α – угол наклона главной оси;
J – момент инерции;
i – радиус инерции
Размеры
Номер В h t
Площадь,
см1
x–x
Справочные величины для осей
у–у
x1 – x1
y1 – y1
u–u
3
4
2,42
3,17
Jx
6,17
7,98
6,3/4 63 40
4
5
6
8
4,04
4,98
5,9
7,68
16,3
19,9
23,3
29,6
2,01
2
1,99
1,96
5,16
6,26
7,28
9,15
1,13
1,12
1,11
1,09
33
41,1
49,9
66,9
2,03
2,08
2,12
2,2
8,51
10,8
13,1
17,9
0,91
0,95
0,99
1,07
3,07
3,72
4,36
5,58
0,87
0,86
0,86
0,85
7/4,5 70 45
8/5,0 80 50
5
5
6
5,59
6,36
7,55
27,8
41,6
49
2,23
2,56
2,55
9,05
12,7
14,8
1,27
1,41
1,4
56,7
84,6
102
2,28
2,6
2,65
15,2
20,8
25,2
1,05
1,13
1,17
5,34
7,58
8,88
0,98
1,09
1,08
5,5 7,86
6 8,54
8 11,18
65,3
70,6
90,9
2,88
2,88
2,85
19,7
21,2
27,1
1,58
1,58
1,56
132
145
194
2,92
2,95
3,04
32,2
35,2
47,8
1,26
1,28
1,36
11,8
12,7
16,3
1,22
1,22
1,21
6 9,59
7 11,1
8 12,6
10 15,5
98,3
113
127
154
3,2
3,19
3,18
3,15
30,6
35
39,2
47,1
1,79
1,78
1,77
1,55
198
232
266
333
3,23
3,28
3,32
3,4
49,9
58,7
67,4
85,8
1,42
1,46
1,5
1,58
18,2
20,8
23,4
28,3
1,38
1,37
1,36
1,35
7 14,1
12,5/8 125 80 8
16
10 19,7
227
256
312
4,01
4
3,98
73,7
83
100
2,29
2,28
2,26
452
518
649
4,01
4,05
4,14
119
137
173
1,8
1,84
1,92
43,4
48,8
59,3
1,76
1,75
1,74
8
18
10 22,2
364
444
4,49
4,47
120
146
2,58
2,56
727
911
4,49
4,58
194
245
2,03
2,12
70,3
85,5
1,98
1,96
16/10 160 100 9 22,9
10 25,3
12 30
606
667
784
5,15
5,13
5,11
186
204
239
2,85
2,84
2,82
1221
1359
1634
5,19
5,23
5,32
300
335
405
2,23
2,28
2,36
110
121
142
2,2
2,19
2,18
18/11 180 110 11 34,9
12 37,9
1449
1568
6,45
6,43
446
482
3,58
3,57
2920
3189
6,5
6,54
718
786
2,79
2,83
264
285
2,75
2,74
мм
5/3,2 50 32
9/5,6 90 56
10/6,3 100 63
14/9 140 90
30
ix
1,6
1,59
Jy
1,99
2,56
iy
0,91
0,9
Jx1
12,4
16,6
y0
1,6
1,85
Jy2
3,26
4,42
x0
0,72
0,76
Ju
1,18
1,52
iu
0,7
0,6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Б.4 – Уголки стальные горячекатаные равнополочные (по ГОСТ
8509-86)
А - площадь поперечного сечения;
J - момент инерции;
i - радиус инерции
№
h,
мм
b,
мм
А,
см2
Jx ,
см4
ix ,
см
4
40
4,5
45
5
50
5,6
56
6,3
63
7
70
7,5
75
8
80
9
90
3
4
5
3
4
5
3
4
5
4
5
4
5
6
4,5
5
6
7
8
5
6
7
8
9
5,5
6
7
8
6
7
8
9
2,35
3,08
3,79
2,65
3,48
4,29
2,96
3,89
4,80
4,38
5,41
4,96
6,13
7,28
6,20
6,86
8,15
9,42
10,7
7,39
8,78
10,1
11,5
12,8
8,63
9,38
10,8
12,3
10,6
12,3
13,9
15,6
3,55
4,58
5,53
5,13
6,63
8,03
7,11
9,21
11.2
13,1
16,0
18,9
23,1
27.1
29,0
31,9
37,6
43,0
48,2
39,5
46,6
53,3
59,8
66,1
52,7
57,0
65,3
73,4
82,1
94,3
106
118
1,23
1,22
1,20
1,39
1,38
1,37
1,55
1,54
1,53
1,73
1,72
1,95
1,94
1,93
2,16
2,16
2,15
2,14
2,13
2,31
2,30
2,29
2,28
2,27
2,47
2,47
2,45
2,44
2,78
2,77
2,76
2,75
Jx0 max , ix0 max , Jx0 min , ix0 min ,
см4
см4
см4
см4
5,63
7,26
8,75
8,13
10,5
12,7
11,3
14,6
17,8
20,8
25,4
29,9
36,6
42,9
46,0
50,7
59,6
68,2
76,4
62,6
73,9
84,6
94,9
105
83,6
90,4
104
116
130
150
168
186
1,55
1,53
1,54
1,75
1,74
1,72
1,95
1,94
1,92
2,18
2,16
2,45
2,44
2,43
2,72
2,72
2,71
2,69
2,68
2,91
2,90
2,89
2,87
2,86
3,11
3,11
3,09
3,08
3,50
3.49
3,48
3,46
1,47
1,90
2,30
2,12
2,74
3,33
2,95
3,80
4,63
5,41
6,59
7,81
9,52
11,2
12,0
13,2
15,5
17,8
20,0
16,4
19,3
22,1
24,8
27,5
21,8
23,5
27,0
30,3
34,0
38,9
43,8
48,6
0,79
0,78
0,79
0,89
0,89
0,88
1,00
0,99
0,98
1,11
1,10
1,25
1,25
1,24
1,39
1,39
1,38
1,37
1,49
1,49
1,48
1,48
1,47
1,46
1,59
1,58
1,58
1,57
1,79
1,78
1,77
1,77
zо,
см
1,09
1.13
1,17
1,21
1,26
1,30
1,33
1,38
1,42
1,52
1,57
1,69
1,74
1,78
1,88
1,90
1,94
1,99
2,02
2,02
2,06
2,10
2,15
2,18
2,17
2,19
2,23
2,27
2,43
2,47
2.51
2,55
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы Б.4
h,
b,
А,
№
мм
мм
см2
10
10
0
11
11
0
12
5
12,5
14
14
0
16
16
0
18
18
0
20
0
20
22
24
25
32
22
0
24
0
25
0
6,5
7
8
10
12
14
16
7
8
8
9
10
12
14
16
9
10
12
10
11
12
14
16
18
24
11
12
12
13
14
16
20
25
30
14
16
16
18
20
22
25
28
30
12,8
13,8
15,6
19,2
22,8
26,3
29,7
15,2
17,2
19,7
22,0
24,3
28,9
33,4
37.8
24,7
27,3
32,5
31,4
34,4
37,4
43,3
49,1
54,8
60,4
38,8
42,2
47,1
50,9
54,6
62,0
76,5
94,3
111,5
60,4
68,6
78,4
87,7
97,0
106,1
119,7
133,1
142,0
Jx ,
см4
ix ,
см
122
131
147
179
209
237
264
176
198
294
327
360
422
482
539
466
512
602
774
844
913
1046
1175
1299
1419
1216
1317
1823
1961
2097
2363
2871
3466
4020
2814
3175
4717
5247
5765
6270
7006
7717
8177
3,09
3,08
3,07
3,05
3,03
3,00
2,98
3,40
3,39
3,87
3,86
3,85
3,82
3,80
3,78
4,34
4,33
4,31
4,96
4,95
4,94
4,92
4,89
4,87
4,85
5,60
5,59
6,22
6,21
6,20
6,17
6,12
6,06
6)00
6,83
6,81
7,76
7,73
7,71
/,69
7,65
7,61
7,59
Jx0 max , ix0 max , Jy0 min , iy0 min ,
см4
см4
см4
см4
193
207
233
284
331
375
416
279
315
486
520
571
670
764
853
739
814
957
1229
1341
1450
1662
1866
2061
2248
1933
2093
2896
3116
3333
3755
4560
5494
6351
4470
5045
7492
8337
9160
9961
1112
1224
1296
3,88
3,88
3,87
3,84
3,81
3,78
3,74
4,29
4,28
4,87
4,86
4,84
4,82
4,78
4,75
5,47
5,46
5,43
6,25
6,24
6,23
6,20
6,17
6,13
6,10
7,06
7,04
7,84
7,83
7,81
7,78
7,72
7,63
7,55
8,60
8,58
9,78
9,75
9,72
9,69
9,54
9,59
9,56
50,7
54,3
60,9
74,1
86,9
99,3
112
72,7
81,8
122
135
149
174
200
224
192
211
248
319
348
376
431
485
537
589
500
540
749
805
761
970
1182
1438
1688
1159
1306
1942
2158
2370
2579
2887
3190
3389
1,99
1,98
1,98
1,96
1,95
1,94
1,94
2,19
2,18
2,49
2.48
2,47
2,46
2,45
2,44
2,79
2,78
2,76
3,19
3,18
3,17
3,16
3,14
3,13
3,12
3,59
3,58
3,99
3,98
3,97
3,96
3,93
3,91
3,89
4,38
436
4,98
4,96
4,94
4,93
4,91
4,89
4,89
zо,
см
2,68
2,71
2,75
2,83
2,91
2,99
3,06
2,96
3,00
3,36
3,40
3,45
3,53
3,61
3,68
3,78
3,82
3,90
4,30
4,35
4,39
4,47
4,55
4,63
4,70
4,85
4,89
5,73
5,42
5,46
5,54
5,70
5,89
6,07
5,93
6,02
6,75
6,83
6,91
7,00
7,11
7.23
7,31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложения В
(обязательное)
Исходные данные к задаче 1
Таблица В.1 – Данные к задаче № 1
№
а
b
гр.
1
100
60
2
104
64
3
108
68
4
112
72
5
116
76
6
120
80
7
124
84
8
128
88
9
132
92
10
136
96
11
140
100
12
144
104
13
148
108
14
152
112
15
156
116
16
160
120
17
164
124
18
168
128
19
172
132
20
176
136
Продолжение таблицы В.1
№
а
b
гр.
21
140
100
22
96
56
23
92
52
24
88
48
25
84
44
26
80
40
27
100
80
28
96
76
29
92
72
30
88
68
31
84
64
32
104
84
33
104
84
34
108
88
35
112
92
36
116
96
37
120
100
38
124
88
39
128
92
40
132
96
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица В.2 – Задание 1 к задаче 1
b/2
2
b/4
b
b/2
а/2
а/4
а/2
1
а
а
4
а/4
а/2
а/2
а/4
b
а/2
а
3
а
а
5
6
b/3
а/2
а/2
b/4
а
b
а/4
b/2
8
a/2
a/4
b/2
b
а
а/2
7
а
b
b/2
a
b
3a/2
a/2
b/2
2b/3
b/6
a/4
a/4
b/2
a
a/2
34
10
a/4
a/4
a/4
9
a
a/4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы В.2
12
a
b
b/2
b/2
a/4
a/4
b
11
a
a/2
14
13
a/4
a
b/2
b/2
b
a/2
a
b/2
b
a/2
15
16
a/4
a/2
b/2
b
b
a
a/4
b/4
b
a
b/4
b/2
b
a
20
a/5
a/5
a/5
b/2
a/6
b/2
a/4
a/2
a/4
b/4
b
a
19
18
a/4
b/2
a/2
b
17
a
a/4
a/2
a
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы В.2
b/4
22
b/2
b/4
b
b
a/5
a/4
b/2 b/4
21
a
23
a
24
b/2
b
b
b/4
a/2
a
25
a
26
a/2
a/2
a/4
b/4
b
b
b/4
b/3
a/4
a
27
a
28
b/2
b/2
b
b/2
b
b/2
b/2
b/4
a
a
30
b
b/2
b
b/2
29
a/3
b/2 2a/3
a
36
a
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица В.3 – Данные к задаче 2 и 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Швеллер Двутавр
Уголок
равнобокий
Уголок
неравнобокий
4
4
4,5
4,5
4,5
5
5
5
7
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
10
10
11
11
12
14
2,5/1,6
3,2/2
3,2/2
4/2,5
4/2,5
4/2,5
4,5/2,8
5/3,2
5/3,2
5,6/3,6
5,6/3,6
5,6/3,6
6,3/4
6,3/4
6,3/4
6,3/4
7/4,5
7/4,5
7/4,5
7/4,5
7,5/5
8/5
8/5
9,5/6
9,5/6
9,5/6
10/6,3
10/6,3
10/6,3
10/6,3
b
№ группы
Полоса
а
200×10
200×10
200×10
200×10
200×10
200×12
200×12
200×12
200×12
200×12
220×10
220×10
220×10
220×10
220×10
220×10
220×12
220×12
220×12
220×12
240×10
240×10
240×10
240×10
240×10
240×12
240×12
240×12
240×12
240×12
5
5
5
6,5
8
8
10
10
12
12
14
14а
14а
16
16
16а
16а
18
18
18а
18а
20
20
20а
20а
22
22
22а
22а
24
10
10
12
12
12
14
14
16
16
18
18
18а
20
20
20а
20а
22
22
22а
22а
24
24
24а
24а
20а
22
22
22а
22а
24
3
4
3
4
5
3
4
5
4,5
5
6
7
8
5,5
6
7
8
6
7
8
9
8
10
12
16
14
7
8
9
10
3
3
4
3
4
3
4
3
4
3,5
4
5
4
5
6
8
4,5
5
5
6
8
6
6
5,5
6
8
6
7
8
10
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица В.4 – Задание 1 к задаче 2
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы В.4
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы В.4
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица В.5 – Задание 1 к задаче 3
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы В.5
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы В.5
43