МАТЕМАТИКА

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ
Теоритичні відомості _____________________________________
Рівняння виду ax=b де a i b - деякі числа, називають лінійним рівнянням зі змінною
х. Числа a i b -коефіцієнти рівняння ax=b , a - коефіцієнт при змінній x, b - вільний
член рівняння. Якщо a ≠ 0 , то рівняння ax=b називають рівнянням першого ступеня з
однією змінною. Кожне рівняння першого степеня з однією змінною має один корінь.
Лінійне рівняння може не мати коренів, мати один або безліч коренів.
Приклад. При яких значеннях a i b рівняння ax=b має:
1) один корінь;
2) безліч коренів;
3) не має коренів?
Розв’язання
Рівняння ax=b має корінь x=b/a, що показує, як обчислити числові корені будь-яких
рівнянь виду ax=b із числовими коефіцієнтами. Не при всіх числових значеннях
буквених коефіцієнтів рівняння ax=b має корінь, не при будь-яких числових
значеннях буквенних коефіцієнтів рівняння a має єдиний корінь. Залежно від
характеру числових значень коефіцієнтів a і b під час розв'язування рівняння ax=b
мають місце такі випадки:
ax=b
a≠0
a=0
b=0
b≠0
b=0
b≠0
Безліч
коренів
Немає
коренів
x=0
a=b/a
1
Одержані результати зручно записати так:
1) якщо a=0 i b=0, то будь-яке число є коренем рівняння ax=b, оскільки в цьому
випадку рівняння перетворюється на тотожність 0·x=0;
2) якщо a=0 i b≠0, то рівняння ax=b не має коренів, оскільки на нуль ділити не
можна;
3) якщо a≠0, рівняння має один корінь x=b/a . Цей корінь може бути додатним,
від*ємним або дорівнювати нулю.
Додатковий корінь дістанемо, якщо числа a i b мають однакові знаки, тобто якщо
a > 0,
a < 0,
або
b>0
b < 0.
Від’ємний корінь дістанемо, якщо числа a i b мають протилежні знаки, тобто якщо
a > 0,
a < 0,
або
b<0
b > 0.
Зупинимося на геометричному тлумаченні коренів рівняння ax=b . Побудуємо на
одному рисунку графіки функцій y=ax і y=b. Цими графіками будуть дві прямі, які
можуть мати різне взаємне розміщення.
1) Якщо a≠0, то в цьому випадку графіком функції y=ax є пряма, нахилена до осі 0x
під деяким кутом α.
Графік функції y=b ─ пряма, паралельна осі 0x. Ці прямі обов’язково перетинаються.
Абсциса точки перетину прямих є коренем рівняння ax=b.
2
2) Якщо a=0, b≠0, то в цьому випадку пряма y=ax збігається з віссю 0x, а пряма y=b
їй паралельна. Дві прямі не мають спільної точки, тому рівняння ax=b не має коренів.
3) Якщо a=0, b=0, то в цьому випадку прямі y=ax i y= b збігаються одна з одною і
збігаються з віссю 0x.
Можна сказати (умовно), що такі прямі перетинаються в кожній точці осі 0x . Отже,
коренем рівняння ax=b є будь-яке число.
Відповідь. При a≠0 рівняння має один корінь; при a=0 i b=0 рівняння має безліч
коренів; при a=0 i b≠0 коренів немає.
3
Приклади розв‘язування вправ _________________________________________
1. Доведіть, що при будь-яких значеннях параметра а рівняння (a² + 3)·x=5 має
єдиний корінь.
Доведення
4
5