Прогресії

Презентація з математики
На тему: Арифметична та
геометрична прогресії
КЗШ №17
Вчитель: Данко Н.В.
Термін «ПРОГРЕСІЯ»
був введений
римським філософом
Боецієм
У творі "Обчислення піщинок"
Архімед вперше зіставляє
арифметичну і геометричну
прогресії, і вказує на зв'язок
між ними.
Папірус єгиптянина Ахмеса
«Наставлення до придбання знань всіх
таємних речей»
(1700-2000 рр. до Різдва Христова)
У клинописних табличках вавілонян, в єгипетських
папірусах (IIст. до н.е.) зустрічаються приклади
арифметичних прогресій.
Перші із пришедших до нас завдань на прогресії
пов'язані із запитами господарського життя і
суспільної практики, як, наприклад, розподіл
продуктів, розподіл спадщини ...
Задача з папірусу
Ахмеса
«Нехай тобі сказано: поділи 10 мір ячменю між 10
чоловіками, щоб кожен ідущий отримав на 1/8
заходів більше, ніж предидущій».
Ось формула,
якою користувалися єгиптяни:
a1 
S
n
 ( n  1) 
d
2
Відповідь:
1
100
1
9
151
8
a1 
 (10  1)   10  9 
 10 

 9 , 4375 мір
10
2
16
16
16
Задача з папірусу Ахмеса
У будинку було 7 кішок.
Кожна кішка з'їдає 7 мишей.
Кожна миша з'їдає 7 колосків.
Кожен колос дає 7 рослин.
На кожній рослині виростає 7мер зерна.
Скільки всіх разом?
Задача-легенда о шаховій дошці
Шахова гра була придумана в Індії. Коли цар Шерам познайомився
з нею, він був захоплений її дотепністю і різноманітністю можливих у
ній положень шахових фігур. Дізнавшись, що гра була винайдена
одним з його підданих, цар закликав до себе її винахідника, вченого
Сету, щоб гідно винагородити його. Він сказав, що досить багатий,
щоб виконати будь-яке бажання вченого. Сета попросив царя видати за
першу клітку шахівниці 1 пшеничне зерно, за другу - 2 зерна, за третю
- 4, за четверту - 8, за п'яту - 16 і т.д.
Чи зможе цар Шерам виконати бажання Сета?
Відповідь:
Зрозуміло, що нам доведеться знаходити суму 64 членів
геометричной прогресії 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...,
де b1 = 1, q = 2, n = 64
S 64 
1( 2
64
 1)
2 1
2
64
 1  18 . 446 . 744 . 073 . 709 . 551 . 615 зерен
18 квінтильйонів 446 квадрильйонів
744 трильйона 73 мільярда
709 мільйонів 551 тисяча 615 зерен
Якби Шераму дуже вже захотілося виконати
бажання Сети, то йому довелося б перетворити
земні царства в орні поля, осушити моря й
океани, розтопити льоди і сніги, що покривають
далекі північні пустелі і засіяти весь цей простір
пшеницею. Тоді, мабуть, років за п'ять він зміг
би розплатитися з Сетой.
Якби Сета став рахувати зерна і рахував безперервно день і ніч, відраховуючи по 1 зерну в
секунду, то в першу добу він відрахував би всього
86400 зерен. Навіть якщо б він все життя відраховував зерна, все одно б зумів забрати лише малу
частину своєї нагороди.
«Арифметика» Л. Ф. Магницького
Задача з «Арифметики» Л.Ф.Магніцкого
Хтось продавав коня і просив
за нього 156 руб. Купець сказав, що
за коня запитана надто велика ціна.
"Добре, - відповів продавець, візьми коня даром, а заплати тільки
за цвяхи в його підковах. А цвяхів у
кожній підкові по 6 штук. За перший
цвях півкопійки, за другий цвях – дві
копійки, за третій цвях – чотири і
т.д., за кожен цвях в два рази більше, ніж за попередній.
Купець ж, думаючи, що заплатить не більше 10 руб., погодився.
Проторгувався чи купець?
Розв'язання:
1
Складемо послідовність чисел: 4
;
1
2
21
; 1; 2 ; 2 ;  , 2 .
2
Дана послідовність є геометричною прогресією, де
q =2, n = 24, b1=1/4.
b1 q  b1
n
Sn 
За формулою:
1
маємо:
S 24  4
2
24

q 1
,
1
4  1  2 24  1  2 22  1  4194303 3  42000  p 
2
2 1
4
4
4
2
Правило для знаходження
суми членів довільній
арифметичній прогресії
вперше зустрічається в
творі «Книга абака» у
1202 р.
Леонардо Пізанський
У XVIII в. в англійських підручниках
з'явилися позначення
арифметичної та геометричної
прогресій:
Арифметична
Геометрична
Карл Фрідріх Гаус
(1777–1855)
Математичний талант Гаусса
проявився ще в дитинстві.
За легендою, шкільний вчитель
математики, щоб зайняти дітей
на довгий час, запропонував їм
порахувати суму чисел від 1 до 100.
Юний Гаус миттєво отримав
результат.
А ви зможете?
Відповідь:
S
a1  an
 n,
2
S 
1  100
 100  101  50  5050 .
2
Юний Гаус помітив, що попарні суми з
протилежних кінців однакові: 1 +100 = 101,
2 + 99 = 101 і т. д.,
і миттєво отримав результат:
50 * 101=5050.
Прогресії у літературі
Навіть у літературі ми зустрічаємося з математичними
поняттями! Так, згадаємо рядки з "Євгенія Онєгіна".
...Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить...
Ямб - це віршовий розмір з наголосом на парних
складах 2, 4, 6; 8 ... Номери ударних складів утворюють
арифметичну прогресію з першим членом 2 і різницею
прогресії 2.
Хорей - це віршовий розмір з наголосом на непарних
складах вірша. Номери ударних складів утворюють
арифметичну прогресію 1; 3; 5; 7 ...
Приклади:
Ямб
«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»
Прогресія : 2; 4; 6; 8...
Хорей
«Я пропАл, как звЕрь в загОне»
Б. Л. Пастернак
Прогресія : 1; 3 ;5; 7...
Чи думали ви коли-небудь, що
представляв би собою наш світ, якщо
всі живі істоти розмножувалися б
безперешкодно.
Легко показати, що закон геометричної
прогресії розмноження привів би такий
світ до самого сумного стану, яке тільки
можна собі уявити!
В Америку були ввезені горобці для боротьби
з шкідливими комахами. Вони стали швидко розмножуватися.
Незабаром
кількість
шкідливих комах поменшало, і горобці взялися
за рослини і стали спу- Якщо рахувати, що
стошувати посіви.
муха відкладає по 200
яєчок і протягом літа
з'являється 7 поколінь,
Кроликів привезли до
Австралії в кінці 18 стото за літо з'явилося б
ліття, а так як там немає
більше ніж
хижаків, що харчуються
800 000 000 000 000
кроликами, то незабаром
мух.
полчища кроликів заполоПотомство однієї
нили всю Австралію,
пари мух за 2 роки
завдаючи страшної шкоди
мало б масу, що пересільському господарству.
вищує масу земної
кулі.
Література
 Алгебра 9 клас. Завдання для навчання і розвитку
учнів / сост. Беленкова Є.Ю. «Інтелект - Центр». 2005.
 Бібліотека журналу «Математика в школі». Випуск 23.
 Математика в ребусів, кросвордів, чайнворд,
криптограми. Худадатова С.С. Москва. 2003.
 Математика. Додаток до газети «Перше вересня».
2000. № 46.
 Різнорівневі дидактичні матеріали з алгебри для
 9 класу / сост. Т.Є. Бондаренко. Воронеж. 2001.