52.Теоретические основы электротехники (для абитуриентов)

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Типовые задачи
для подготовки к экзаменационным испытаниям
при поступлении в БГАТУ выпускников агротехнических колледжей
на сокращенный срок обучения
Методические указания
МИНСК 2007
УДК 621.3(07)
ББК 31.2я7
Т 33
Теоретические основы электротехники : Типовые задачи для подготовки к
экзаменационным испытаниям при поступлении в БГАТУ выпускников агротехнических колледжей на сокращенный срок обучения : методич. указания.
Составители: Крутов Анатолий Викторович
Кочетова Эмма Леонидовна
Гузанова Татьяна Викторовна
2
Содержание
Введение ……………………………………………………………………..
Тематический план подготовки к экзаменационным испытаниям
по дисциплине «Теоретические основы электротехники»
для выпускников агротехнических колледжей ……………………………
Типовое экзаменационное задание № 0 вступительного испытания
по теоретическим основам электротехники (с решением) ……………….
Методические указания к решению задач по расчету простых
и сложных электрических цепей постоянного тока ………………………
Методические указания по расчету линейных электрических цепей
синусоидального тока ……………………………………………………….
Типовое экзаменационное задание № 01 вступительного испытания
по теоретическим основам электротехники ……………………………….
Типовое экзаменационное задание № 02 вступительного испытания
по теоретическим основам электротехники ……………………………….
Типовое экзаменационное задание № 03 вступительного испытания
по теоретическим основам электротехники ……………………………….
Типовое экзаменационное задание № 04 вступительного испытания
по теоретическим основам электротехники ……………………………….
Типовое экзаменационное задание № 05 вступительного испытания
по теоретическим основам электротехники ……...………………………..
Литература …………………………………………………………………...
Приложение 1 ……………………………………….……………………….
Приложение 2 ………………………………………………………………..
3
4
5
7
13
22
28
30
32
34
36
38
39
44
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания имеют своей целью оказание помощи выпускникам агротехнических коллежей при подготовке к экзаменационным испытаниям по курсу «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ).
Дисциплина базируется на курсе физики (электричество и магнетизм),
а также на таких разделах высшей математики и вычислительной техники,
как
теория
матриц,
дифференциальное
и
интегральное
исчисления,
дифференциальные уравнения и методы их решения, включая численные,
теорию функции комплексного переменного, преобразование Фурье–
Лапласа, уравнения в частных производных, теорию поля.
В данном пособии приведен тематический план содержания дисциплины ТОЭ, в рамках которого предполагается проведение экзаменационных
испытаний в 2007 году. Содержатся также типовые варианты заданий экзаменационных испытаний 2006 года, один из них с решением. С учетом того,
что многие абитуриенты по результатам вступительных экзаменов прошлого
года показали слабые знания по расчету электрических цепей с использованием законов Кирхгофа или других методов, в пособии излагаются методические указания по расчету простых и сложных цепей постоянного тока, а
также синусоидального тока.
В приложениях в качестве справочного материала даны сведения по
элементарной математике, комплексным числам, основным законам, формулам, уравнениям и соотношениям в электротехнике, основная литература.
4
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ПОДГОТОВКИ
К ЭКЗАМЕНАЦИОННЫМ ИСПЫТАНИЯМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ»
ДЛЯ ВЫПУСКНИКОВ АГРОТЕХНИЧЕСКИХ КОЛЛЕДЖЕЙ
№№
п/п
Наименование раздела и темы
1.
Электрическое поле и электрическая ёмкость.
Величины, характеризующие электрическое поле, связь между ними.
Закон Кулона, теорема Гаусса. Ёмкость плоского конденсатора. Энергия
электрического поля конденсатора. Эквивалентная ёмкость последовательно и параллельно соединенных конденсаторов.
2.
Электрические цепи постоянного тока.
Законы Ома, Кирхгофа, Джоуля–Ленца. Последовательное, параллельное и смешанное соединение резистивных элементов. Расчет электрических цепей постоянного тока с одним источником энергии. Расчет
сложных цепей постоянного тока по методу уравнений Кирхгофа и методу контурных токов.
3.
Магнитное поле и электромагнитная индукция.
Величины, характеризующие магнитное поле и связь между ними. Закон
электромагнитной индукции, ЭДС самоиндукции. Энергия магнитного
поля индуктивной катушки. Механические силы в магнитном поле. Законы Кирхгофа для магнитных цепей. Расчет неразветвленных магнитных цепей постоянного тока.
4.
Электрические цепи синусоидального тока.
Синусоидальные ток, напряжение, ЭДС и основные характеризующие
их величины. Действующие значения тока, напряжения, ЭДС. Синусоидальный ток и напряжение в элементах R, L, C. Активное, реактивное и
полное сопротивления. Треугольник сопротивлений. Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока. Комплексное сопротивление,
комплексная проводимость. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной
форме. Полная, активная, реактивная и комплексная мощности. Неразветвленные электрические цепи со взаимной индуктивностью.
5.
Трехфазные электрические цепи.
Основные схемы соединения, соотношения фазных и линейных величин
в симметричном режиме. Активная, реактивная и полная мощности
трехфазных цепей. Обрыв и короткое замыкание фазы приемника в цепи
при соединении звездой без нейтрального провода. Обрыв фазы и обрыв
линии при соединении треугольником.
5
№№
п/п
Наименование раздела и темы
6.
Электрические цепи с несинусоидальными периодическими напряжениями и токами.
Определение действующих значений несинусоидальных токов и напряжений. Определение активной мощности несинусоидального тока.
7.
Нелинейные цепи.
Графический расчет нелинейной цепи постоянного тока при последовательном и параллельном соединении нелинейных резисторов. Катушка с
ферромагнитным сердечником в цепи переменного тока. Связь между
напряжением на катушке и магнитным потоком в сердечнике.
8.
Переходные процессы в линейных электрических цепях постоянного тока.
Переходные процессы в цепях R, L, и R, C. Законы коммутации. Определение начальных и установившихся значений токов и напряжений после коммутации.
6
ТИПОВОЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ № 0
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
(С РЕШЕНИЕМ)
1. К источнику постоянного напряжения подключен резистор с сопротивлением R = 25 Ом, напряжение на зажимах которого U R = 50 В. Напря-
жение источника без нагрузки U x = 56 В. Определите внутреннее сопротив-
ление источника (Ом).
2. Определите мощность (Вт), потребляемую двумя последовательно
соединенными резисторами с сопротивлением R1 = 4 Ом и R2 = 7 Ом и подключенными к источнику постоянного напряжения с U = 110 В.
3. Определите действующее значение тока в цепи (А) с последовательно соединенными резистором R = 4 Ом и конденсатором, реактивное сопротивление которого X C = 3Ом. К электрической цепи приложено синусоидальное напряжение U = 25 В.
4. Мгновенное значение тока задано уравнением i = 28,2sin(314t + π) А.
Определите частоту тока f (Гц).
5. Найти напряжение U ab (см.
а
схему цепи на рисунке 1), если
E1 = 100 В; E2 = 120 В; R1 = 3 Ом;
R2 = 2 Ом.
R1
I
R2
U ab
Е2
E1
b
Рисунок 1
7
6. Симметричный приемник и генератор соединены по схеме «треугольник». Фазный ток приемника I ф = 3 А. Чему равен линейный ток приемника?
7. В цепи переменного тока с последовательным соединением элементов R и L измерены напряжение на входе U = 100 В, ток I = 5 А, мощность
P = 300 Вт. Определите сопротивление X L (Ом).
8. Плоский воздушный конденсатор обладает электрической ёмкостью
10 пФ. Между электродами конденсатора поместили парафин, для которого
относительная диэлектрическая проницаемость ε r = 2 . Определите, какой величины стала ёмкость конденсатора. Ответ дайте в пикофарадах.
9. Прямолинейный проводник длиной 0,5 м с током 2 А расположен в
однородном магнитном поле под углом 90 o к линиям магнитной индукции.
Определите магнитную индукцию В (Тл) поля, если оно действует на проводник с силой 1 Н.
10. Параметры цепи (см. рисунок 2) следующие: R1 = 20 Ом,
R2 = 30 Ом, C = 100 мкФ. До какого напряжения надо предварительно зарядить конденсатор, чтобы в цепи при подключении к источнику постоянного
напряжения с U = 220 В сразу наступил установившийся режим?
Рисунок 2
8
Решение
Задача 1. Дано: U R = 50 В; U x = 56 В; R = 56 Ом.
____________________________
Rвт — ?
ЭДС источника с нагрузкой определяется выражением:
E = I ( R + Rвт ) ,
(1)
где Rвт — внутреннее сопротивление источника.
U R 50
=
= 2 А. ЭДС источника Е без нагрузки равна напряжеR 25
нию U x = 56 В. Подставляем в уравнение (1) соответствующие значения и
получаем:
56 = 2(25 + Rвт ) ,
откуда
56 − 50
Rвт =
= 3 Ом.
2
Ответ: 3.
Ток I =
Задача 2. Дано: U = 110 В; R1 = 4 Ом; R2 = 7 Ом.
________________________________
Р−?
Мощность в цепи можно определить по закону Джоуля–Ленца:
P = I 2R ,
где I — ток, R — активное сопротивление цепи. Общее активное сопротивление цепи при последовательном соединении двух резисторов будет
R = R1 + R2 = 4 + 7 = 11 Ом. Тогда согласно закону Ома I =
U 110
=
= 10 А.
R 11
U 2 110 2
P=
=
= 1100 Вт. Если в формулу закона Джоуля–Ленца под11
R
ставить выражение тока, определенное выше, то мощность можно найти и по
формуле:
P=
U 2 110 2
=
= 1100 Вт.
R
11
Ответ: 1100.
9
Задача 3. Дано: R = 4 Ом; X С = 3 Ом; U = 25 В.
__________________________________
I −?
Подобные задачи можно решать в комплексной форме.
Определим комплексное сопротивление
цепи: Z = R − jX C = 4 − j 3 Ом. Полное сопротивление цепи найдем из треугольника сопротивлений:
Z = 4 2 + 3 2 = 5 Ом.
Согласно закону Ома для замкнутой цепи
I=
U 25
=
= 5 А.
Z
5
Рисунок 3
Ответ: 5.
Задача 4.
Дано: i = 28,2sin(314t + π) А.
__________________________
f—?
Угловая частота ω = 2πf . Согласно условию ω = 314 c-1. Тогда
ω 314
f =
=
= 50 Гц.
2π 6,28
Ответ: 50.
Задача 5. Дано: E1 = 100 В; E2 = 120 В; R1 = 3 Ом; R2 = 2 Ом.
____________________________________________
U ab — ?
По второму закону Кирхгофа:
E2 − E1 = I ( R1 + R2 )
I=
—
находим
20
= 4 А. Для контура, проходя5
а
I
R1
R2
щего по участкам E2, R2 и U ab , также
U ab
по второму закону Кирхгофа записываем: U ab + IR2 = E2 . Следовательно,
E1
b
U ab = E2 − IR2 = 120 − 2 × 4 = 112 В.
Ответ: 112.
Рисунок 4
10
E2
Задача 6. Дано: I ф = 3 А.
____________________
Iл — ?
В симметричном приемнике, соединенном по схеме «треугольник»,
линейный ток в
3 раз больше фазного. Следовательно, линейный ток будет
I л = 3I ф = 3 3 = 3 А.
Ответ: 3.
Задача 7. Дано: U = 100 В; I = 5 А; P = 300 Вт.
______________________________
XL — ?
Определим полное сопротивление цепи:
Z=
U 100
=
= 20 Ом.
I
5
Согласно закону Джоуля–Ленца P = I 2 R . Откуда R =
P 300
=
= 12 Ом.
25
I2
2
2
2
2
Из треугольника сопротивлений найдем X L = Z − R = 20 − 12 = 16 Ом.
Ответ: 16.
Задача 8.
Дано: C0 = 10 пФ; ε r пар = 2.
________________________
С—?
Ёмкость конденсатора определяется по формуле:
C = εr ε0
S
.
d
Так как для воздуха ε r = 1, размеры пластин конденсатора и расстояние
между ними не изменились, то ёмкость конденсатора увеличилась на величину относительной диэлектрической проницаемости, т.е. в 2 раза. Следовательно, C = 2 × 10 × 10 −12 = 20 пФ.
Ответ: 20.
11
Дано: I = 2 A; l = 0,5 м; F = 1 H; α = 90°.
_________________________________
В—?
Задача 9.
Сила, действующая на проводник с током, находящийся в магнитном
поле, определяется по закону Ампера: F = IBlsinα .
Откуда B =
F
1
=
= 1 Тл.
Ilsinα 2 × 0,5 × 1
Ответ: 1.
Задача 10. Дано: U = 220 В; R1 = 20 Ом; R2 = 30 Ом; C = 100 мкФ.
______________________________________________
UC — ?
После коммутации установившийся режим в цепи наступит тогда, когда конденсатор зарядится до напряжения U C = U 2 = U − U 1 , где U1 — падение напряжения на R1 . Известно, что для постоянного тока конденсатор
имеет бесконечно большое сопротивление (равнозначно разрыву в цепи).
Следовательно, мы имеем в таком случае цепь, состоящую из последовательно соединенных сопротивлений R1 , R2 . Найдем ток в цепи при установившемся режиме.
I=
U
220
=
= 4 ,4 А, тогда U 1 = IR1 = 4 ,4 × 20 = 88 В.
R1 + R2 20 + 30
Следовательно,
U C = U 2 = 220 − 88 = 132 В.
Ответ: 132.
12
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО РАСЧЕТУ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Для решения задач по расчету электрических цепей необходимо иметь
понятие об электрической цепи, токе, напряжении, источнике ЭДС, схеме
электрических цепей (ветвь, узел, контур) и знать законы Ома и Кирхгофа,
закон Джоуля–Ленца, формулы для расчета мощностей источников и приемников электрической энергии. Как минимум следует изучить порядок составления уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа
или метод контурных токов. Указанные вопросы можно изучить по учебникам [1], [3] и др.
В цепи с одним источником энергии и смешанным соединением сопротивлений при расчете токов используют преобразование последовательно и
параллельно соединенных сопротивлений в эквивалентное сопротивление.
Элемент электрической цепи, предназначенный для использования его
электрического сопротивления, называется резистором.
Последовательным соединением резисторов называют соединение, при
котором через все резисторы проходит один и тот же ток, так как между резисторами нет ответвлений тока.
Rэкв = R1 + R2 + ... + Rn .
Параллельным соединением резисторов называют соединение, при котором все резисторы присоединены к одной паре узлов и находятся под одним
и тем же напряжением.
1
1
1
1
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
или g экв = g1 + g 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + g n ,
Rэкв R1 R2
Rn
где
1
= g — проводимость.
R
В случае для двух параллельно соединенных сопротивлений R1 и R2
R экв =
R1 R2
.
R1 + R2
13
Узлом электрической цепи называют место соединения трех и более
ветвей.
Ветвью называют участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток. В ветви все элементы соединены последовательно,
ветвь находится между двумя узлами. По числу ветвей в цепи определяют
число разных токов.
Контур — замкнутый путь, проходящий в общем случае по нескольким
ветвям электрической цепи.
Токи в цепях находят по законам Ома и Кирхгофа.
Закон Ома: ток через сопротивление R равен напряжению на этом сопротивлении, деленному на величину этого сопротивления:
I=
U
.
R
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:
∑ I = 0.
Подтекающие к узлу токи считаются положительными, утекающие —
отрицательными.
Вторая формулировка первого закона Кирхгофа: сумма токов, подтекающих к узлу, равна сумме токов, утекающих от узла:
∑ I подт = ∑ I утек .
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме напряжений на сопротивлениях этого контура:
∑ E = ∑ I × R.
В каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс,
если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если
они не совпадают с ним.
Мощность источника постоянной ЭДС
P = EI .
14
Мощность тока в резисторе
P = UI или P = I 2 R .
Формула P = I 2 R есть закон Джоуля–Ленца. Согласно этому закону
вся энергия электрического тока в резисторе преобразуется в теплоту.
Примеры
I. Расчет электрической цепи со смешанным соединением сопротивлений.
В схеме электрической цепи
(рисунок 5)
E = 140 B,
R1 = 10 Ом,
R2 = 100 Ом,
R3 = 30 Ом,
R4 = 300 Ом,
R5 = 200 Ом.
Рисунок 5
Определить токи в ветвях цепи, составить баланс мощностей.
Решение
1. Отмечаем в схеме узлы и указываем направления токов в ветвях в
соответствии с направлением ЭДС.
2. Для определения токов в ветвях используем метод эквивалентных
преобразований. Найдем эквивалентное сопротивление цепи относительно
источника ЭДС. Рекомендуется поэтапное преобразование последовательно
и параллельно соединенных сопротивлений, начиная с ветвей, наиболее удаленных от источника ЭДС.
Сопротивления R4 и R5 соединены параллельно:
R45 =
R4 R5
300 × 200
=
= 120 Ом.
R4 + R5
500
15
Получаем схему цепи (рисунок 6).
Рисунок 6
В схеме цепи сопротивления R3 и R45 соединены последовательно:
R345 = R3 + R45 = 150 Ом.
Получаем схему цепи (рисунок 7).
В схеме цепи сопротивления R2
и R345 соединены последовательно:
R2345 =
R2 R345
100 × 150
=
= 60 Ом.
R2 + R345
250
Рисунок 7
Получаем схему цепи (рисунок 8).
В схеме цепи сопротивления R1 и R2345 соединены последовательно:
Rэкв = R1 + R2345 = 10 + 60 = 70 Ом.
3. Определяем токи в ветвях электрической цепи. По второму закону
Кирхгофа для схемы цепи (рисунок 8):
I1 =
Рисунок 8
16
E
140
=
=2A.
R1 + R2345 70
Для определения токов в других ветвях цепи находим напряжения на
этих ветвях.
По закону Ома в схеме цепи на рисунке 8
U ab = I1 R2345 = 2 × 60 = 120 B .
По закону Ома в схеме цепи на рисунке 7
I2 =
U ab 120
=
= 1,2 A ,
R2 100
I3 =
U ab 120
=
= 0 ,8 A .
R345 150
По закону Ома в схеме цепи рисунке 6
U cd = I 3 R45 = 0,8 × 120 = 96 B .
По закону Ома в схеме цепи на рисунке 5
I4 =
U cd
96
=
= 0 ,32 A ,
R4 300
I5 =
U cd
96
=
= 0 ,48 A .
R5 200
4. Составляем баланс мощностей.
Мощность источника энергии
Pист = EI1 = 140 × 2 = 280 Вт .
Мощность приемников энергии рассчитываем по закону Джоуля–Ленца:
Pпр = I 12 R1 + I 22 R 2 + I 32 R 3 + I 42 R 4 + I 52 R 5 = 2 2 × 10 +
+ 1,2 2 × 100 + 0 ,8 2 × 30 + 0 ,32 2 × 300 + 0 ,48 2 × 200 = 280 Вт.
Pист = Pпр .
Баланс мощностей соблюдается, следовательно, токи определены правильно.
II. Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими ЭДС.
I2
a
R2
b
I4
E2 I11
I3 R3
R1
I1
R4
I33
c
R6
I6
I22
E1
I5
В электрической цепи (рисунок 9):
R5
d
E1 = 40 B,
E2 = 20 B,
R1=15 Ом,
R2 = 27 Ом,
R3 = 5 Ом,
R4 = 15 Ом,
R5 = 12 Ом, R6 = 10 Ом.
Рисунок 9
17
Составить систему уравнений для расчета токов методом уравнений
Кирхгофа. Рассчитать токи методом контурных токов. Составить баланс
мощностей в схеме. Определить ток I1 методом эквивалентного генератора.
Решение
1. Выбираем произвольно направления токов в ветвях (рисунок 9).
2. Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для определения токов в ветвях.
Так как в схеме 6 ветвей, необходимо составить 6 уравнений: по первому закону Кирхгофа — три уравнения (на единицу меньше числа узлов) и
по второму закону Кирхгофа недостающее число уравнений, т.е. также три
уравнения.
Система уравнений для расчета токов имеет вид:
I 2 + I 3 − I1 = 0
⎧
⎪
− I 4 − I 2 − I5 = 0
⎪
⎪
I 4 + I6 − I3 = 0
⎨
⎪ − I 2 R2 + I 4 R4 + I 3 R3 = E2
⎪− I 3 R3 − I 6 R6 − I1 R1 = − E1
⎪
⎩ I 5 R5 + I 6 R6 − I 4 R4 = 0
(для узла а);
(для узла b);
(для узла с);
(для контура abca);
(для контура acda);
(для контура bdcd).
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
В уравнениях (2)–(4) притекающие к узлу токи принимали положительными, оттекающие от узла токи –— отрицательными. В уравнениях (5)–(7)
все ЭДС и напряжения, совпадающие с направлением обхода по контуру (по
часовой стрелке), записывали положительными, не совпадающие — отрицательными.
Решая полученную систему уравнений (2)–(7), можем найти токи в ветвях.
Рассмотренный метод в большинстве случаев является достаточно громоздким, при большом числе уравнений для решения системы целесообразно
применять ЭВМ.
18
Для упрощения расчета разработаны методы, в основе которых также
положены уравнения Кирхгофа, но количество уравнений значительно сокращено.
3. Определяем токи в ветвях методом контурных токов. Считаем, что в
каждом независимом контуре схемы (рисунок 9) течет свой контурный ток:
I11, I22, I33. Для единообразия контурные токи направляют в одну сторону, в
нашем случае по часовой стрелке.
Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. Направления обхода контуров примем также по часовой
стрелке.
Система уравнений имеет вид:
I11 (R2 + R3 + R4 ) − I 22 R3 − I 33 R4 = E 2 ;
I 22 (R1 + R3 + R6 ) − I11 R3 − I 33 R6 = − E1 ;
I 33 (R4 + R5 + R6 ) − I11 R4 − I 22 R6 = 0.
Подставляем известные значения сопротивлений и ЭДС:
47 I11 − 51I 22 − 15 I 33 = 20;
− 5 I11 + 30 I 22 − 10 I 33 = −40;
(8)
− 15 I11 − 10 I 22 + 37 I 33 = 0.
Дальнейший расчет можно вести или методом последовательного исключения неизвестных, или методом определителей. Выбираем последний
как более упорядоченный.
Находим главный определитель, используя разложение по элементам
столбца:
47 − 5 − 15
30 − 10
− 5 − 15
− 5 − 15
+ 5×
− 15 ×
=
Δ = − 5 30 − 10 = 47 ×
− 10 37
− 10 37
30 − 10
− 15 − 10 37
= 47 × (1110 − 100) + 5 × (−185 − 150) − 15 × (50 + 450) = 38295
19
Для нахождения контурного тока I11 заменяем в главном определителе
первый столбец на свободные члены системы (8).
20
− 5 − 15
Δ1 = − 40 30 − 10 = 6800 ;
0
− 10 37
I 11 =
Δ 1 6800
=
= 0 ,177 А.
Δ 38295
I 22 =
Δ 2 − 53860
=
= −1,4 A.
Δ
38295
Для контурного тока I22
47
20 − 15
Δ 2 = − 5 − 40 − 10 = −53860 ;
− 15
0
37
Для контурного тока I33
47 − 5 20
Δ 3 = − 5 30 − 40 = −11800 ;
− 15 10
0
I 33 =
Δ 3 − 11800
=
= −0,308 A.
Δ
38295
Чтобы убедиться в правильности расчета, подставим найденные контурные токи в первое уравнение системы (8):
47 × 0,177 − 5 × (− 1,4 ) − 15 × (− 0,308) = 19,93.
Полученное значение 19,93 ≈ 20 равно правой части первого уравнения
системы (8), т.е. система уравнений решена правильно.
Определяем истинные токи в ветвях. Ток в ветви равен алгебраической
сумме контурных токов, протекающих в этой же ветви.
Рассчитываем значения токов в ветвях схемы рисунке 9, сравнивая направления контурных токов в ветвях с направлением истинных токов.
20
I1 = − I 22 = 1,44 A;
I 2 = − I11 = −0,177 A;
I 3 = I11 − I 22 = 0,177 + 1,4 = 1,577 A;
I 4 = − I 33 + I11 = 0,308 + 0,177 = 0,485 A;
I 5 = I 33 = −0,308 A;
I 6 = I 33 − I 22 = −0,308 + 1,4 = 1,09 A.
Действительные направления токов I2 и I5 противоположны принятым
для них на рисунке 9 за положительные.
4. Составляем баланс мощностей.
На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться
энергии, доставляемой за то же время источниками питания.
Уравнение энергетического баланса имеет вид:
∑I2 × R = ∑E × I .
Мощность источника энергии EI записывается со знаком плюс, если
ток в источнике совпадает с направлением ЭДС. Если же ток противоположен направлению ЭДС, то этот источник ЭДС является потребителем энергии и его мощность записываем со знаком минус.
В нашем случае
∑ E × I = E1 I1 − E 2 I 2 = 40 × 1,4 − 20 × (− 0,177 ) = 59,54
Вт.
Мощность тепловых потерь в сопротивлениях
∑ I 2 × R = I12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 + I 42 R4 + I 52 R5 + I 62 R6 = 1,4 2 × 15 +
+ 0 ,177 2 × 27 + 1,577 2 × 5 + 0 ,485 2 × 15 + 0 ,308 2 × 12 + 1,09 2 × 10 = 59 ,22 Вт.
Расхождения в результатах вычислений не превосходят 1%, это означает, что токи рассчитаны правильно.
21
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАСЧЕТУ
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Для решения задач этого типа необходимо изучить по учебникам следующие разделы: синусоидальный ток и основные характеризующие его величины (период T, частота f, угловая частота ω, амплитуда Iт, начальная фаза
ψ); действующее значение тока; изображение синусоидально изменяющихся
величин векторами на комплексной плоскости, синусоидальный ток в активном сопротивлении; индуктивность в цепи синусоидального тока; конденсатор в цепи синусоидального тока; основы символического метода расчета
цепей синусоидального тока; комплексное сопротивление; закон Ома для цепи синусоидального тока; законы Кирхгофа в символической форме записи;
активная, реактивная и полная мощности) [1, 3].
При расчете цепей синусоидального тока необходимо учитывать не
только активное сопротивление резистора R, но и индуктивное сопротивление X L = ωL , создаваемое индуктивной катушкой, и ёмкостное сопротивления X С =
1
, создаваемое конденсатором.
ωC
Кроме того, синусоидальное напряжение на активном сопротивлении R
совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности L опережает ток по
времени на четверть периода T или по фазе на
π
. Напряжение на ёмкости С
2
отстает от тока по времени на четверть периода T или по фазе на
π
. Поэтому
2
для расчета разветвленных цепей синусоидального тока наиболее целесообразным является комплексный метод (см. приложение 1).
22
•
Закон Ома в комплексной форме: комплексный ток I через комплекс•
•
ное сопротивление Z равен отношению комплексного напряжения U на
этом сопротивлении к величине этого комплексного сопротивления:
•
•
U
Ι= .
Z
Для участка цепи с последовательным соединением элементов R, L, C
закон Ома имеет вид:
•
I=
•
U
1
R + jωL − j
ωC
•
•
U
I=
.
R + jX L − jX C
или
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: алгебраическая сумма
комплексных токов в узле равна нулю:
•
∑I = 0.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме: алгебраическая сумма
комплексных ЭДС в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме комплексных напряжений на сопротивлениях этого контура:
•
•
∑E = ∑IZ .
Активная мощность в цепи синусоидального тока: P = UIcos ϕ ,
Реактивная мощность: Q = UIsinϕ ,
Полная мощность: S = UI .
В выражении мощностей I и U — действующие значения тока и напряжений, ϕ — угол сдвига тока по фазе относительно напряжения.
Основные законы, формулы и уравнения электротехники, соотношение
между током и напряжением, соотношение между током и напряжением на
элементах электрической цепи приведены в приложении 2.
Для расчета электрической цепи синусоидального тока со смешанным
соединением приёмников так же, как в цепях постоянного тока, используют
23
преобразование последовательно и параллельно соединенных сопротивлений
в эквивалентное сопротивление.
Для расчета разветвленных цепей синусоидального тока с несколькими
ЭДС используют метод уравнения Кирхгофа, метод контурных токов и в частном случае схемы, только с двумя узлами — метод двух узлов. Все расчеты
выполняют в комплексной форме.
Пример
Расчет электрической цепи синусоидального тока со смешанным соединением приёмников.
В схеме электрической цепи
(рисунок 10)
U = 260 В,
f = 50 Гц,
R1 = 6 Ом,
R2 = 10 Ом,
R3 = 10 Ом,
L1 = 57,33 мГн,
L2 = 95,55 мГн,
C = 79,6 мкФ.
Рисунок 10
Определить токи и напряжения в ветвях цепи, рассчитать мощность на
входе цепи по формуле P = UI cos ϕ , проверить полученный результат по закону Джоуля–Ленца.
Решение
1. Указываем направления токов и напряжений в ветвях.
2. Рассчитываем индуктивное и ёмкостное сопротивления.
Угловая частота заданного синусоидального напряжения
ω = 2πf = 314 рад/с.
X L1 = ωL1 = 314 × 57,33 × 10 −3 = 18 Ом,
24
X L 2 = ωL2 = 314 × 95,55 × 10 −3 = 30 Ом,
XC =
1
1
=
= 40 Ом.
ωC 314 × 79,6 ×10− 6
3. Записываем комплексные сопротивления ветвей:
Z 1 = R1 + jωL1 = 6 + j18 Ом,
Z 2 = R2 + jωL2 = 10 + j30 Ом,
Z 3 = R3 − j
1
= 10 − j 40 Ом.
ωС
4. Рассчитываем эквивалентное сопротивление цепи по отношению к
входным зажимам.
Сопротивления Z2 и Z3 соединены параллельно:
Z23=
Z2Z3
(10 + j 30) × (10 − j 40) (1300 − j100)(20 + j10)
=
=54+j22 Ом.
=
Z2 + Z3
20 − j10
20 2 + 10 2
Сопротивления Z1 и Z23 соединены последовательно:
Z экв = Z 1 + Z 23 = 6 + j18 + 54 + j 22 = 60 + j 40 Ом.
5. Рассчитываем токи и напряжения в ветвях цепи.
Ток на входе цепи определяем по закону Ома:
•
I=
•
260
260 × (60 − j 40)
U
=
=
= 3 − j 2 A.
Z экв 60 + j 40
60 2 + 40 2
Действующее значение тока I1 = 32 + 2 2 = 3,6 А.
Напряжение U2 на участке цепи с параллельным соединением ветвей
можно найти двумя способами:
а) по второму закону Кирхгофа для левого контура электрической цепи:
•
•
•
0 = U1 + U 2 − U .
•
•
•
Следовательно, U 2 = U −U 1 ,
25
•
•
где U 1 = I 1 Z 1 = (3 − j 2)(6 + j18) = 54 + j 42 B.
•
U 2 = 260 − (54 + j 42 ) = 206 − j 42 B.
•
•
б) по закону Ома: U 2 = I 1 Z 23 = (3 − j 2)(54 + j 22) = 206 − j 42 B.
Действующее значение напряжения U 2 = 206 2 + 42 2 = 210,2 В.
Действующее значение напряжения: U1 = 54 2 + 42 2 = 68,4 В.
Токи в параллельных ветвях находим по закону Ома:
•
•
U 2 206 − j 42 (206 − j 42)(10 − j 30)
=
=
I2 =
= 0 ,8 − j 6 ,6 А.
Z 2 10 + j 30
10 2 + 30 2
Действующее значение тока I 2 = 0,8 2 + 6,6 2 = 6,65 А.
•
•
U 2 206 − j 42 (206 − j 42)(10 + j 40)
I3 =
=
=
= 2,2 + j 4,6 А.
Z 3 10 − j 40
10 2 + 40 2
Действующее значение тока I 3 = 2 ,2 2 + 4 ,6 2 = 5,1 А.
Проверка по первому закону Кирхгофа:
•
•
•
I 1 = I 2 + I 3 = 0 ,8 − j 6 ,6 + 2 ,2 + j 4 ,6 = 3 − j 2 А.
6. Рассчитываем активную мощность цепи по формуле: P = UI1cosϕ .
Угол ϕ — сдвиг тока по фазе относительно напряжения на входе цепи.
Его можно определить, пользуясь эквивалентным сопротивлением цепи:
Z экв = 60 + j 40 Ом.
В этом выражении Rэкв= 60 Ом; Xэкв= 40 Ом.
26
Из прямоугольного треугольника сопротивлений (рисунок 11):
ϕ = arctg
Zэкв
φ
Хэкв
cosϕ =
X экв
40
= arctg
= 33,7 o .
Rэкв
60
Rэкв
=
Z экв
60
602 + 40 2
= 0,832 .
Rэкв
Рисунок 11
Следовательно, P = 260 × 3,6 × 0,832 = 778,7 Вт.
Рассчитываем активную мощность по закону Джоуля–Ленца:
P = I12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 = 3,6 2 × 2 + 6 ,65 2 × 10 + 5,12 × 10 = 780 ≈ 778,7 Вт.
Мощность и токи цепи рассчитаны правильно.
27
ТИПОВОЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ № 01
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
1. В электрической цепи смешанное соединение. На неразветвленном
участке соединены последовательно три резистора по 5 Ом каждый, а в разветвленной части параллельно соединены 2 резистора по 10 Ом. Определите
эквивалентное сопротивление цепи и эквивалентную проводимость.
2. Мгновенное значение тока задано уравнением:
π
i = 10 2sin( 314t + ) , А.
3
Определите частоту тока f (Гц), период, Т (с), угловую частоту, амплитудное и действующее значения тока, начальную фазу тока.
3. Симметричный трехфазный приемник и генератор соединены по
схеме «треугольник». Фазный ток приемника I ф = 3 А, а линейное напряжение — U л = 220 В. Чему равны линейный ток приемника и его фазное напряжение? Аналогичная задача может быть задана для соединения приемника и генератора по схеме «звезда».
4. Определите мощность (Вт), потребляемую двумя последовательно
соединенными резисторами с сопротивлением R1 = 4 Ом и R2 = 7 Ом и подключенными к источнику постоянного напряжения с U = 110 В.
5. Определите ток через резистор
R4 , если известно: E = 120 В, R1 = 10 Ом,
R2 = 4 Ом, R3 = R4 = 12 Ом.
R1
I
E
R3
R4
Рисунок 12
28
R2
6. Определите действующее значение тока в цепи (А) с последовательно соединенными резистором R = 4 Ом и конденсатором, реактивное сопротивление которого X С = 3 Ом. К электрической цепи приложено синусоидальное напряжение U = 25 В.
7. В цепи переменного тока с последовательным соединением элементов R и L измерены напряжение на входе U = 100 В, ток I = 5 А, мощность
P = 300 Вт. Определите сопротивление X L (Ом).
8. Плоский воздушный конденсатор находится под напряжением 20 кВ.
Расстояние между обкладками конденсатора равно 2 см. Определите запас
электрической прочности конденсатора, если электрическая прочность воздуха 30 кВ/см.
9. Прямолинейный проводник длиной 0,5 м с током 2 А расположен в
однородном магнитном поле под углом 90 о к линиям магнитной индукции.
Определите магнитную индукцию B (Тл) поля, если оно действует на проводник с силой 1 Н.
10. Параметры цепи (см. рисунок 13) следующие:
R1 = 20 Ом,
R2 = 30 Ом, С = 10 мкФ. До какого
напряжения надо предварительно зарядить конденсатор, чтобы в цепи
при подключении к источнику постоянного напряжения с U = 220 В сразу
наступил установившийся режим?
29
ТИПОВОЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ № 02
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
1. В электрической
I
R1
R2
U1
U2
R3
цепи (см. рисунок 14)
U = 100 B; I = 5 A; R1 =
U
U3
= 10 Ом; R2 = 6 Ом. Определите Rэкв.
Рисунок 14
2. Чему равен угол сдвига фаз (в градусах) между напряжением и током
в цепи синусоидального тока с ёмкостным элементом?
3. Трехфазные симметричный приемник и генератор соединены по
схеме «звезда» без нейтрального провода. Линейное напряжение U л = 220 В.
Произошел обрыв одной фазы приемника. Чему равно напряжение на остальных фазах приемника?
4. В электрической цепи синусоидального тока смешанное соединение
элементов. На входе и параллельном участке напряжения соответственно
U& = 160 + j130 В и U& 2 = 80 + j 70 В. Определить действующее значение напряжения на неразветвленном участке.
5. Амперметры PA1 и PA2 (см. ри-
PA1
сунок 15) показывают токи соответст-
A
E
венно 2,4 и 1,6 мА. Определите сопротивление R5, если R1 = R2 = 5 кОм;
R3 = 1,5 кОм; R4 = 2 кОм. Ответ запи-
R1
PA2
A
шите в килоомах.
Рисунок 15
30
R3
R5
R4
6. К полюсам источника с ЭДС Е = 16 В присоединили резистор сопротивлением R = 7 Ом. Определите внутреннее сопротивление источника, если
сила тока в цепи I = 2 А.
7. В электрической цепи синусоидального тока с напряжением на входе
u = 2 × 100sin314t В последовательно включены резистор сопротивлением
R = 30 Ом и катушка индуктивностью L = 127,4 мГн. Определите действующее значение напряжения на катушке. Ответ округлите до целого числа.
8. В цепи с последовательным соединением элементов R и L измерены напряжение на входе U = 100 В, ток I = 5 А, мощность P = 300 Вт. Определите реактивную мощность цепи.
9. Магнитный поток Ф, пронизывающий катушку с числом витков
N = 15 , за время t = 0,01 с изменялся с постоянной скоростью от 0 до 0,1 Вб.
Определите модуль ЭДС, наведенной в катушке.
10. Катушка с активным сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью
L = 0,1 Гн включается на постоянное напряжение U = 100 В. Какое количест-
во энергии накопится в магнитном поле катушки за время переходного процесса?
31
ТИПОВОЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ № 03
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
1. Какой эквивалентной ёмкостью (мкФ) обладают два конденсатора,
соединенных последовательно, если С1 = 20 мкФ, С 2 = 30 мкФ?
2. Изменяющийся во времени ток имеет период T = 0,02 с. Определите
угловую частоту. Примите π = 3,14.
3. В трехфазной цепи при соединении фаз генератора треугольником
фазное напряжение равно 660 В. Чему равно при этом линейное напряжение?
4. На входе двухполюсника приложено синусоидальное напряжение,
действующее значение которого U = 100 В, комплекс тока I& = 6 − j8 А. Определить эквивалентное реактивное сопротивление цепи X экв .
5. Определите ток через реE1
зистор R3, если известно, что
E2
I2
E1 = 40 B, E 2 = 30 В, R1 = 10 Ом,
R2 = 4 Ом, R3 = 6 Ом. Ответ округ-
R1
R3
R2
лите до целого числа.
I1
Рисунок 16
6. Три последовательно соединенных резистора с сопротивлениями
R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом подключены к источнику ЭДС. Напряжение на втором резисторе U2 = 10 В. Определите ЭДС источника. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
7. К электрической цепи приложено синусоидальное напряжение
u = 2 × 25sin314t , В. Определите действующее значение тока в цепи с последовательно соединенными резистором R = 4 Ом и конденсатором, реактивное сопротивление которого XC = 3 Ом.
32
8. В цепи с последовательным соединением элементов R и L измерены
ток I = 5 А, мощность P = 300 Вт. Определите активное сопротивление цепи.
9. Определите магнитную индукцию В, если в равномерном магнитном
поле контур площадью S = 10 см2, расположенный перпендикулярно линиям
магнитной индукции, пронизывает магнитный поток Ф = 10 × 10-4 Вб.
10. Определите установившееся
значение напряжения на сопротивлении R1 после коммутации, если
U = 100 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом,
L = 1 Гн.
Рисунок 17
33
ТИПОВОЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ № 04
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
1. В цепи постоянного тока последовательно соединены три резистора
с сопротивлениями R1 = 5 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом. Через резистор R2 протекает ток 2 А. Какой ток протекает через резистор R1?
2. Начальная фаза синусоидального напряжения равна 0 градусов, а начальная фаза синусоидального тока равна − 30 о . Определите угол сдвига фаз.
3. Трехфазные генератор и приемник соединены по схеме «треугольник». Линейное напряжение генератора равно 220 В. Чему равно фазное напряжение приемника?
4. В электрической цепи смешанное соединение. На последовательном
и параллельных участках напряжения соответственно U& 1 = 50 + j 40 В и
U& 2 = 150 + j110 В. Определить действующее значение приложенного к цепи
напряжения.
5. Определите ток через источник
ЭДС, если
R3 = 3 Ом,
E = 42
R1
R4
В, R1 = R2 = 2 Ом,
R4 = 1 Ом,
R5 = 2 Ом,
R6 = 3 Ом.
E
R3
R2
R6
R5
Рисунок 18
6. Определите мощность, потребляемую двумя последовательно соединенными резисторами с сопротивлением R1 = 7 Ом и R2 = 4 Ом, если они
подключены к источнику постоянного напряжения с U = 110 В.
7. В электрической цепи последовательно соединены резистор
R = 6 Ом, катушка индуктивности и конденсатор, реактивные сопротивления
которых X L = 12 Ом, X С = 4 Ом. Если на входе электрической цепи сину34
соидальное напряжение, действующее значение которого U = 80 В, то какое
действующее напряжение на конденсаторе?
8. Три одинаковых приемника с сопротивлением по 30 Ом соединены
треугольником и включены в сеть трехфазного трока с линейным напряжением 380 В. При каких сопротивлениях приемников, соединенных звездой,
линейные токи останутся прежними?
9. Напряженность электрического поля на расстоянии 20 см от центра
заряженного шара составляет 20 кВ/м. Радиус шара — 4 см. Определите напряженность поля (кВ/м) на расстоянии 8 см от центра шара.
10. Определите напряжение на конденсаторе в момент
коммутации, если U = 400 В,
R1 = R2 = 10 Ом, C = 318 мкФ.
Рисунок 19
35
ТИПОВОЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ № 05
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
1. В электрической цепи (см. ри-
I
сунок 20) U = 100 B; I = 5 A;
R1 = 10 Ом; R2 = 6 Ом.
Определите U1.
U
R1
R2
R3
U1
U2
U3
Рисунок 20
2. Начальная фаза синусоидального напряжения равна 0 градусов, а начальная фаза синусоидального тока равна 73 o . Определите угол сдвига фаз.
3. Какое соотношение линейного и фазного токов в приемнике, соединенном звездой?
4. Определите эквивалентное полное сопротивление параллельно соединенных двух элементов, если комплексное сопротивление каждого из них
Z 1 = Z 2 = 40 + j 30 .
5. Два источника с ЭДС E1 = 16 В и E2 = 24 В соединены разноименными полюсами. Внутренние сопротивления источников ЭДС соответственно Rвт1 = 2,5 Ом, Rвт 2 = 1,5 Ом. Определите силу тока в цепи.
6. Определите добавочное сопротивление для подключения лампы накаливания мощностью P = 36 Вт, напряжением U = 12 В к источнику с ЭДС
E = 36 В.
7. Определите действующее значение тока в цепи синусоидального напряжения с последовательно соединенными резистором R = 8 Ом, катушкой
индуктивности и конденсатором, реактивные сопротивления которых
X L = 13 Ом, X С = 7 Ом. На входе электрической цепи действующее значение напряжения U = 160 В.
36
8. В цепи переменного тока приемник потребляет активную мощность
P = 600 Вт, реактивную мощность Q = 800 вар. Определите полную мощность приемника в вольт-амперах (ВА).
9. Скорость нарастания напряжения на конденсаторе составила
1000 кВ/c. Определите ток (А) через конденсатор, если его ёмкость
С = 1 мкФ.
10. В цепи на рисунке 21
определите
установившееся
значение тока в ветви с индуктивностью после коммутации,
если U = 120 В, R1 = 10 Ом,
R2 = 20 Ом, L = 10 мГн.
Рисунок 21
37
ЛИТЕРАТУРА
1. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи / Л. А. Бессонов. — М.: Высшая школа, 1984. — 559 с.
2. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле / Л. А. Бессонов. — М.: Высшая школа, 1985. — 230 с.
3. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке [и др.]. — М.: Энергоатомиздат,
1989. — 528 с.
4. Евдокимов, Ф.Е. Теоретические основы электротехники. — М.: Издательский центр «Академия», 2004. — 560 с.
5. Теоретические основы электротехники : в 3 т. / К.С. Демирчян [и др.].
— СПб.: Питер, 2004.
Т. 1. — 463 с. — Содерж.: Основные понятия и законы теории электромагнитного поля и теории электрических и магнитных цепей. Теория линейных электрических цепей.
Т. 2. — 576 с. — Содерж.: Теория линейных электрических цепей. Теория электрических и магнитных цепей.
Т. 3. — 377 с. — Содерж.: Теория электромагнитного поля.
6. Сборник задач по теоретическим основам электротехники / под ред.
Л.А. Бессонова. — М.: Высшая школа, 2000. — 528 с.
7. Коровкин, Н.В. Теоретические основы электротехники : сборник задач / Н.В. Коровкин, Е.Е. Селина, В.Л. Чечурин. — СПб.: Питер, 2004. —
512 с.
8. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники / под. ред. П.А. Ионкина. — М.: Энергоатомиздат, 1982. —768 с.
9. Зайчик, М.Ю. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике : учеб. пособие для техникумов. — М.: Энергоатомиздат, 1988. —
496 с.
38
Приложение 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
1. Умножение многочленов
( а + b )( а − b ) = а 2 − b 2 ;
( а + b )2 = а 2 + 2аb + b 2 ;
( а − b )2 = а 2 − 2аb + b 2 .
2. Действия с дробями
а с аd ± bс
± =
;
b d
bd
а с ас
× =
;
b d bd
а с аd
÷ =
.
b d bс
3. Пропорция
а с
= ;
b d
а=
аd = bс;
bс
;
d
с=
dа
.
b
4. Действия со степенями и корнями
m
n
а ⋅a =a
1
a = a;
m+n
аm
;
an
0
a = 1;
=a
m−n
a
m n
; (a ) = a
−n
39
=
1
a
n
;
m⋅n
;
1
an
n
= n a.
a
m
=
m
an;
5. Действия с нулем и бесконечностью
а
= 0;
∞
а
= ∞;
0
а × 0 = 0;
а × ∞ = ∞.
6. Неопределенности
∞
;
∞
0
;
0
00 ;
0 × ∞;
∞0 ;
1∞ .
7. Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора
с2 = а 2 + b2 ;
с α
β
b
а
с = а2 + b2 ;
а = c ⋅ cosβ;
a = c ⋅ sinα;
a = b ⋅ tgα;
b = c ⋅ cosα;
b = c ⋅ sinβ;
b = a ⋅ tgβ;
Рисунок 22
8. Формулы тригонометрии
sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ ;
1
sinαsinβ = [cos (α − β) − cos(α + β)];
2
sin 2α =
1 − cos2α
;
2
sin 2α + cos 2α = 1 .
40
9. Раскрытие определителя третьего порядка:
а) по элементам строки или столбца:
а11
Δ = а 21
а 31
а12
а 22
а 32
а13
а
а 23 = а11 22
а 32
а 33
а 23
а
− а12 21
а 33
а 31
а 23
а
+ а13 21
а 33
а 31
= а11 ( а 22 а33 − а32 а 23 ) − а12 ( а 21 а33 − а31 а 23 ) + а13 ( а 21 а32 − а31 а 22 ) ;
б) по правилу треугольников:
«−»
«+»
а11
а12
а13
Δ = а21
а22
а23
а31
а32
а33
а11
+
а21
а31
а12
а13
а22
а23
а32
в) приписыванием двух первых столбцов справа:
+
−
+
+
а11
а12
а13
а11
а12
Δ = а21
а22
а23
а21
а22
а31
а32
а33
−
а31
а32
−
41
а33
а 22
=
а 32
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексное число, соответствующее точке, в которой лежит конец
вектора А& (рисунок 23), может быть записано в следующих формах:
+j
.
A
b
α
+1
a
Рисунок 23
.
A = a + jb — алгебраической;
.
A = A(cos α + jsin α) — тригонометрической;
.
A = A ⋅ e jα
— показательной;
A& = A∠α — полярной.
Здесь a = Acos α — действительная часть комплексного числа, А;
jb = jА sin α — мнимая часть комплексного числа;
j = − 1 — мнимая единица;
A =| A& |= a 2 + b 2 — модуль комплексного числа;
α = arctg
b
— угол (или аргумент) комплексного числа.
a
42
Комплексное число А& = a − jb = A ⋅ e − jα называется сопряженным комплексному
числу
А& = a + jb = A ⋅ e jα .
Произведение
комплексно-
сопряженных чисел — число вещественное, равное квадрату их модуля:
A& ⋅ A& = А ⋅ е jα ⋅ A ⋅ e − jα = A2 .
e
jϕ
— оператор поворота на угол φ.
.
Умножение комплексного числа A на число e jϕ сводится к повороту
.
вектора A в комплексной плоскости на угол φ:
.
A⋅ e jϕ = A ⋅ e jα ⋅ e jϕ = A ⋅ e j(α + ϕ) .
ϕ > 0 — поворот против часовой стрелки.
ϕ < 0 — поворот по часовой стрелке.
Действия над комплексными числами
Вычисления над комплексными числами производятся так же, как и
2
над обыкновенными двучленами, полагая j = − 1, j = −1.
При делении одного комплексного числа на другое, записанных в алгебраической форме, уничтожают мнимость в знаменателе, для чего умножают числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:
a + jb (a + jb )(c − jd) ac − jad + jbс + bd ac + bd
bc − ad
=
=
=
j
.
+
c + jd (c + jd)(c − jd)
c2 + d 2
c2 + d 2
c2 + d 2
Возведение в степень: А& n = (A ⋅ e jα ) n = A n ⋅ e jnα .
α + 2kπ
n
jα
n
n
,
Извлечение корня: A& = A ⋅ e = n A ⋅ e
j
где k — целое число.
43
Приложение 2
Основные законы электротехники
u
R
Закон Ома
i=
Первый закон Кирхгофа
∑i = 0
Второй закон Кирхгофа
∑e = ∑u
p = i2R
Закон Джоуля–Ленца
e= −
Закон электромагнитной индукции
dФ
dt
r
r q1q2 R0
F=
4πε 0 R 2
r r
H
∫ d l = Σi
Закон Кулона
Закон полного тока
Основные формулы и уравнения электротехники
p = ui
Мощность
W = ∫ uidt
Энергия
Li 2
Wмаг =
2
Cu 2
Wэл =
2
r r
∫ DdS = Σq св
Энергия магнитного поля катушки
Энергия электрического поля
конденсатора
Теорема Гаусса
r
r
r
∂E
rot H = J + ε a
∂t
r
r
∂B
rot Е = −
∂t
r r
∂Wэм
− ∫ ПdS = ∫ γE 2 dv +
∂t
V
Первое уравнение Максвелла
Второе уравнение Максвелла
Теорема Умова–Пойнтинга
44
Соотношения между током и напряжением на элементах
электрической цепи
Элемент
цепи
Вид тока
Переменный Синусоидальный
ток, мгновенное ток, комплексное
значение
значение
u = iR
R
i=
u
R
u L= L
L
C
U& = I& R
U = IR
U = IR
&
I& = U
I =U
I =U
U& = jωL I&
U&
I& =
jω L
U = ωLI
R
R
di
dt
1
i = ∫ u L dt
L
uC =
Синусоидальный Постоянный ток
ток, действующее
значение
1
∫ idt
С
i = C du C
I=
1 &
U& = − j
I
U=
ωC
I& = jωC U&
dt
U
ωL
1
I
ωC
I = ωCU
R
Индуктивность
не оказывает
сопротивления
постоянному току
Ёмкость представляет собой
разрыв цепи для
постоянного тока
Закон Ома
в комплексной форме для цепи синусоидального тока
&
I& = U ; I& =
Z
U&
R + j (ω L −
1
)
ωC
45
=
U&
.
R + j( X L − X C )