close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

47

код для вставкиСкачать
А. Ю. Семушева
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ
АНАЛИЗУ
Учебное пособие
Красноярск
ИПК СФУ
2009
0
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А. Ю. Семушева
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ
АНАЛИЗУ
Рекомендовано Инновационно-методическим управлением СФУ
в качестве учебного пособия
Красноярск
ИПК СФУ
2009
1
УДК 517.98
ББК 22.16
С30
Рецензенты: доктор физико-математических наук, зав. кафедрой прикладной математики СибГАУ им. ак. Решетнева
К.В. Сафонов; кандидат физико-математических наук, доцент
А.В. Багачук
С30
Семушева, А. Ю.
Решение задач по функциональному анализу : учеб. пособие /
А. Ю. Семушева. – Красноярск : ИПК СФУ, 2009. – 112 с.
ISBN 978-5-7638-1187-2
В пособии изложены основы функционального анализа. Подробно разобраны основные типы задач.
Для самостоятельной работы студентов технических вузов
разных специальностей, а также для подготовки к практическим
занятиям студентов математических специальностей.
УДК 517.98
ББК 22.16
 Сибирский федеральный
университет, 2009
ISBN 978-5-7638-1187-2
2
ВВЕДЕНИЕ
Курс функционального анализа, изучаемый студентами в университетах, а также в некоторых технических вузах, относится к одному из
наиболее абстрактных и поэтому довольно трудных курсов. Абстрактность позволяет исследовать далекие, на первый взгляд, друг от друга
вопросы. Сегодня концепции функционального анализа и его аппарат
пронизывают почти все области математики (а также ряд смежных дисциплин, например: гидромеханику, статистическую физику, квантовую
механику, квантовую теорию поля), объединяя их в единое целое. Поэтому необходимо научить студентов активно применять методы и
принципы функционального анализа, а также освоить методику решения
соответствующих задач.
Как самостоятельная ветвь математики, функциональный анализ
сложился в конце XVIII–начале XIX в. Первые работы по функциональному анализу принадлежат итальянскому математику Вольтера, французскому математику Пуанкаре и немецкому математику Гильберту.
Метрические пространства введены в науку французским математиком
Фреше в начале ХХ в., нормированные пространства – в 1922 г. польским математиком Банахом и независимо от него американским математиком Винером.
Пособие состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются
основные классы абстрактных пространств: метрические, линейные топологические, нормированные и гильбертовы. Во второй – теория линейных операторов в нормированных пространствах, которая составляет
основу функционального анализа.
Каждый параграф начинается с изложения основных понятий и
теоретических сведений. Это связано с тем, что в литературе имеются
некоторые различия в терминологии, в системе основных понятий.
В каждом параграфе разбирается достаточное число примеров и задач,
иллюстрирующих основные методы функционального анализа, а в конце
приведены задачи для самостоятельной работы.
Задачи подобраны различной трудности, начиная с простейших,
иллюстрирующих основные понятия, для решения которых достаточно
только знакомства с определениями, и кончая задачами, требующими
владения аппаратом функционального анализа.
3
1. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВ
1.1. Метрические пространства
Из жизненного опыта известно, что в слова «расстояние между
пунктами А и В» даже в повседневной жизни вкладывается различный
смысл в зависимости от ситуации. Если летчик это расстояние скорее
всего будет измерять вдоль прямой, то автомобилист будет считать расстоянием длину пути из А в В вдоль шоссейных дорог, которые могут
существенно отклоняться от прямолинейного пути.
Обычное расстояние между двумя точками Ax1 , y1  и Bx2 , y2 
на плоскости определяется так: соединяем эти точки отрезком и берем
его длину за расстояние между этими точками. Математическая формула
для этого расстояния, обычно называемого евклидовым, выглядит так:
  A, B  
2
2
x2  x1  y2  y1 .
Но легко привести примеры, в которых более естественным оказывается другое определение. Допустим, мы находимся в городе с очень правильной планировкой. В этом городе n  k прямоугольных кварталов, разделенных n – 1 горизонтальными и k – 1 вертикальными улицами (рис. 1.1).
y
B
A
x
Рис. 1.1
В таком городе разумно взять за расстояние между пунктами А и В длину кратчайшего пути по улицам города. Так понимаемое расстояние будет естественным, например, с точки зрения водителя, который не может
проезжать через дворы. Это расстояние определяется следующим образом:
4
1 ( A, B )  x 2  x1  y 2  y1 .
О п р е д е л е н и е. Множество, состоящее из элементов любой
природы, для которого установлено понятие предельного перехода, называется абстрактным пространством.
О п р е д е л е н и е. Множество Е называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие действительное число ( x, y ) , удовлетворяющее условиям (аксиомам):
1) ( x, y )  0 ; x, y   0 тогда и только тогда, когда x = y (аксиома тождества);
2) x, y    y, x  (аксиома симметрии);
3) x, y   x, z   z , y  (неравенство треугольника).
Число ( x, y ) называется метрикой или расстоянием между элементами x и y. Поскольку в одном и том же множестве X можно задавать
разные метрики  , то, чтобы различать получающиеся при этом пространства, иногда вводят обозначение  X ,   .
Пусть E – некоторое множество. Рассмотрим множество ограниченных на E функций, принимающих действительные (или комплексные) значения. Для двух таких функций  и  положим  ,    sup  t    t  .
tE
Легко проверяется, что функция  ,   является метрикой. Справедливость свойств расстояния  ,    0     и  ,    ,  
следует из определения. Проверим справедливость свойства
 ,     , h   h,  , где  ,  , h – ограниченные функции, определенные на множестве E. Для любого элемента t  E имеем
 t   t    t   ht   ht   t    t   ht   ht   t  ,
поэтому
 t   t   sup  t   ht   sup ht   t  ,
tE
tE
откуда
sup  t   t   sup  t   ht   sup ht    t  ,
tE
tE
tE
т.е.  ,     , h   h,  .
5
Пусть на множестве X определены метрики 1 ( x, y ) и  2 ( x, y ) . Они
называются эквивалентными, если для произвольной последовательности
xn   X из того, что 1 ( xn , y )  0 ( x  X ), следует 2 ( xn , y )  0 , и наоборот. Для эквивалентности метрик 1 и  2 достаточно существования
таких положительных постоянных С1 и С 2 , что
С11 ( x, y )   2 ( x, y )  С 2 1 ( x, y ) ( x, y )  X .
Такие метрики называются топологически эквивалентными.
В зависимости от рассматриваемых задач в анализе часто вводятся разные, но эквивалентные между собой понятия предела для последовательности одних и тех же математических объектов (вещественные
числа, комплексные числа, функции и т. п.). Однако все они связаны в
основном тем, что между исследуемыми объектами можно измерять
«расстояние».
Пользуясь понятием расстояния, можно дать общее определение
предела.
О п р е д е л е н и е. Элемент x метрического пространства X называется пределом последовательности элементов x1 , x2 ,  , xn ,  из X, если xn , x   0 при n   .
В этом случае будем писать
x n  x или lim xn  x
n 
и говорить, что последовательность xn  сходится к x.
Т е о р е м а. Если последовательность точек xn  метрического
пространства Е сходится к точке x  E , то и любая подпоследовательность xnk последовательности xn  сходится к этой же точке.
 
Т е о р е м а. Подпоследовательность точек xn  метрического
пространства может сходиться не более чем к одному пределу.
Т е о р е м а. Если подпоследовательность xn  точек из Е сходится к точке x  E , то числа ( xn , ) ограничены для любой фиксированной точки  пространства Е.
Введение той или иной метрики в функциональных пространствах
зависит от требований задачи. Когда имеется расстояние, то ясно, что
близкими надо считать те элементы, расстояние между которыми мало.
Иногда бывает естественным считать непрерывные функции близкими,
если мал максимум модуля расстояния между ними. Если речь идет о
6
функциях, имеющих производные порядка m, естественно считать близкими такие элементы x(t) и y(t), у которых при всех значениях t близки
не только значения самой функции, но и значения их производных порядка m. В других случаях естественно считать функции x(t) и y(t) близкими, если они близки в интегральном смысле и т.д.
Таким образом, определение метрического пространства представляется достаточно гибким, чтобы удовлетворять самым разным конкретным запросам математического анализа.
Примеры метрических пространств
Рассмотрим примеры наиболее часто употребляющихся метрических пространств.
1. Пространство изолированных точек (или дискретное метрическое пространство) – это произвольное множество, для которого
1, x  y,
( x, y )  
0, x  y.
2. Множество вещественных чисел (точек одномерного пространства), расстояние между элементами которого определяют по формуле
 x , y   x  y ,
называется пространством R1 .
3. Множество точек n-мерного пространства x  x1 , x2 ,, xn  ,
расстояние между элементами которого находят по формуле
n
x, y  
 xi  yi 2 ,
i 1
будем называть пространством R n или n-мерным евклидовым пространством.
4. Пространство непрерывных функций C a, b . Введем метрику,
полагая
( x, y)  max x(t )  y(t ) .
t
Расстояние в этом пространстве означает максимальное отклонение одной функции от другой.
5. Пусть X  C a, b  . Введем понятие метрики иначе:
7
b
( x, y )   x(t )  y (t ) dt .
a
6. Пространство ограниченных вещественных функций M a, b  .
Пусть множество ограниченных функций xt  задано на отрезке
a, b . Расстояние между элементами этого множества определяют по
формуле
x, y   sup x t   y t  .
ta ,b 
7. Пространство C n , состоящее из n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке a, b функций, расстояние между элементами которого определяют по формуле
n i 
i 
x, y   max  xt  y t  .
ta ,b 
i 0
8. Множество измеримых и суммируемых с p-й степенью  p  1
b
функций, т.е. интеграл p-й степени существует
 xt 
p
dt   и
a
b

p
( x, y )    xt   y t  dt 


a

называется пространством L p a, b .
1
p
,
9. Пространство m ограниченных ( sup xi   ) числовых последоi
вательностей x  x1 , x2 ,  , xn ,  , y  y1, y2 ,, yn , имеет метрику
x, y   sup xi  yi .
i
10. Пространство l2 (координатное пространство Гильберта):
элементами служат числовые последовательности, удовлетворяющие

условию
 xi2   , а метрикой – функция
1
x, y  

 xi  yi 2 .
i 1
8
11. Пространство l p
 p  1 есть множество всех числовых после
довательностей x  x1 , x2 , , для которых ряд
 xi
2
сходится и рас-
1
стояние определяется по формуле

x, y     xi  yi
 i 1
1
pp



(при p = 2 получаем гильбертово пространство).
12. Пространство L2 есть множество всех измеримых функций xt  ,
определенных на отрезке a, b , для которых существует интеграл в
b
смысле Лебега:
 xt  dt , метрика в
2
L2 определяется формулой
a
x, y  
b
 xt   yt  dt .
2
a
13. Пространство L p  p 1 есть множество всех измеримых функций xt  , определенных на отрезке a, b , для которых существует интеb
грал в смысле Лебега:
 xt 
p
dt , метрика в L p определяется формулой
a
1
b
p
p
x, y     xt   y t  dt  ,


a

(в частности, при p = 2 получаем пространство L2 ).
14. Пространство s всех числовых последовательностей. Метрику
в нем определяет функция
 i  i

( x , y )  
i 1
2 1   i  i 
i
.
15. Метрическое пространство с является подпространством пространства m (это означает, что все его элементы принадлежат m и, кроме
того, сохраняется метрика пространства m). Элементами пространства с
9
являются такие последовательности x   x1 , x2 ,... из m, у которых существует конечный предел lim xk .
k 
В свою очередь, подпространством пространства с, а следовательно, и пространства m, является следующее метрическое пространство c0 .
16. Метрическое пространство c0 состоит из последовательностей x   x1 , x2 ,... из с, предел которых равен нулю: lim xk  0 .
k 
17. p-адическая метрика. Рассмотрим метрику, которая определена на множестве рациональных чисел, превращая это множество в метрическое пространство, весьма отличающееся по своим геометрическим
свойствам от привычного евклидового пространства.
Зафиксируем некоторое простое число p. Если рациональные числа a и b равны, то положим
 ( a, b)  0 .
В случае a  b представим разность этих чисел в виде
m
,
n
где m, n и k – целые числа, причем m и n не делятся на p. Метрику в этом
случае определим равенством
a  b  pk 
 ( a, b) 
1
.
pk
Так определенная метрика называется p-адической. Первые три
аксиомы для этой метрики, очевидно, выполнены. Для проверки неравенства треугольника попарные разности трех рациональных чисел a, b и
c представим в виде
a  b  p k1 
m
m
m1
k
, a  c  p k2  2 , c  b  p 3  3 ,
n3
n2
n1
где все числа mi , ni не делятся на p. Поскольку
p k1 
m
m1
m
k
 a  b  ( a  c )  (c  b )  p k 2  2  p 3  3 ,
n1
n2
n3
где k1 не может быть меньше, чем наименьшее из чисел k 2 и k 3 . По-

этому p k1  min p k 2 , p
k3
, откуда
10
1
k
p1
 1
1 
1
1
 max  k , k   k  k .
2
3
2
p  p
p3
 p
Таким образом, мы доказали для нашей метрики не только неравенство треугольника, но и более сильное неравенство
(a, b)  max(a, c), (c, b) .
(1.1)
Метрику, обладающую этим свойством, называют неархимедовой.
Метрика, не являющаяся неархимедовой, называется архимедовой. р-адическая метрика является неархимедовой.
Чтобы убедиться в необычности свойств пространства с неархимедовой метрикой, посмотрим на три точки такого пространства a, b и c
как на вершины треугольника, а на попарные расстояния между этими
числами как на длины сторон треугольника. Пусть  ( a, c )  (c, b) . Допустим, что при этом  ( a, c )  (c, b) . Тогда в соответствии с неравенством (1.1)  ( a, b)  (c, b) . Но неравенство (1.1) остается справедливым,
если точки пространства a, b и c написать в другом порядке. Например,
(с, b)  max (с, a ), (a, b) . Но неравенство  (c, b)  (a, c) не выполнено по предположению. Поэтому выполнено  (c, b)  (a, b) . Тем самым получаем, что  (a, b)  (c, b) .
Таким образом, в пространстве с неархимедовой метрикой все
треугольники равнобедренные. При этом в случае 2-адической метрики
(т.е. при p = 2) эти равнобедренные треугольники не могут оказаться
равносторонними (если они не вырождаются в точку). В самом деле,
1
пусть  (a, b)  (b, c)  k , причем
2
a  b  2k 
m1
m
и b  c  2k  2 ,
n1
n2
где числа m1, n1 , m2 , n2 нечетные. Тогда
m m 
m n  m2 n1
a  c  2 k   1  2   2 k  1 2
.
n
n
n1n2
2 
 1
Число m1n2  m2 n1 является четным, поэтому
(a, c) 
1
2
k 1

11
1
 (a, b) .
2k
Примеры решения задач
1. Доказать, что если x(t ), y (t )  L2 a, b  , то x(t )  y (t )  L1 a, b .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как x(t )  L2 a, b , то существует
последовательность непрерывных функций xn (t )  x(t ) таких, что
n 
b
b
 xn dt n
 x dt .

2
a
2
a
Так как y (t )  L2 a, b , то отсюда следует, что существует последовательность y n (t )  C a, b  такая, что yn (t )  y (t ) и, следовательn 
b
но,
b
 yn dt n
y

a
2
2
dt .
a
Тогда, так как для любого t  a, b 


1 2
xn (t )  y n2 (t ) ,
2
то из свойств интеграла следует, что существует
xn (t ) y n (t ) 
b
b
a
a
lim  xn (t ) y n (t ) dt   x(t ) y (t ) dt ,
n 
т.е. x(t )  y (t )  L1 a, b .
2. Сходится ли последовательность xn (t ) 
t n 1 t n  2

в проn 1 n  2
странстве C 0,1 ?
Р е ш е н и е. Возможный предел этой последовательности равен 0,
так как t  0,1 , а n   :
t n 1 t n  2
xn , x   xn ,0  max xn (t )  max

.
t0,1
t0,1 n  1 n  2
Найдем максимум:
t n 1 t n  2

n 1 n  2

 t n  t n 1  t n (1  t )  0 ,
t0,1
а значит, t  0, t  1 . Поскольку xn (0)  0 , xn (1) 
последовательность сходится.
12
1
1

 0 , то
n  1 n  2 n 
3. Привести пример функции:
а) x(t )  L2 0,1 , но x(t )2  L2 0,1 ;
б) x(t )  L1 0,1 , но x(t )  L2 0,1 .
Решение
а) Возьмем, например, x(t )  t

1
4
1
. Отсюда
1 1
t 2 dt
 x(t ) dt  
2
0
1
интеграл
 x(t ) dt
4
 2 , но
0
расходится, т.е. x(t )2  L2 0,1 .
0
x(t )  t
б) Пусть

1
2
1
. Тогда
существует
 x(t ) dt  2 ,
т.е.
0
1
1  1 
t 2 
2
1
dt
расходится, т.е. x(t )  L2 0,1 .
t


0
0
0

4. Проверить выполнение аксиом метрики для расстояний
x(t )  L1 0,1 , но
 x(t ) dt  
2
dt  
1 ( A, B )  x 2  x1  y 2  y1 ,
 2 ( A, B )  max  x 2  x1  y 2  y1  .
Р е ш е н и е. И для расстояния 1 , и для расстояния  2 аксиома 1
(см. с. 4) выполняется по определению функций, задающих расстояние,
так как модуль не принимает отрицательных значений. Далее, если точки совпадают, то расстояние между ними равно нулю. А если точки не
совпадают, то хотя бы одно из двух выражений x2  x1 , y 2  y1 больше нуля.
Аксиома 2 (см. с. 5) очевидно следует из равенства x   x .
Осталось проверить неравенство треугольника. Пусть точки А, В и С
имеют координаты x1 , y1  , x2 , y2  и x3 , y3  соответственно. Для 1 имеем
1 ( A, B)  x2  x1  y 2  y1 
 x2  x3  x3  x1  y 2  y3  y3  y1 
 1 ( A, C )  1 (C , B).
Теперь докажем неравенство треугольника для  2 . Не ограничи-
вая общности, можно считать, что max  x 2  x1 , y 2  y1   x 2  x1 , тогда
13
x2  x1  x2  x3  x3  x1 
 max x2  x3 , y 2  y3  max x3  x1 , y3  y1 .
5. Доказать, что хаусдорфова метрика


 H (1, 2 )  maxmax min ( x, y ), max min ( x, y ) ,
x1 y2
 y2 x1

где  – евклидово расстояние, удовлетворяет аксиомам 1–3 (см. с. 5).
Тем самым будет доказано, что пространство кривых (замкнутых в том
смысле, что им должны принадлежать по крайней мере концевые точки)
с таким расстоянием – метрическое пространство.
Р е ш е н и е. Если кривые совпадают, то очевидно, что хаусдорфово расстояние между ними равно нулю. Если же кривые не совпадают,
выберем точку a на кривой 1 , не принадлежащую кривой 2 . Вычислим min ( x, a ) . Это число больше нуля, потому что можно выбрать шар
x1
с центром в точке а достаточно малого радиуса, такой, чтобы в нем не
было точек кривой 1 . А значит,  H 1 , 2   0 .
Свойство симметрии для  H вытекает из свойства симметрии для
метрики  .
Проверим неравенство треугольника. По определению


 H (1, 2 )  maxmax min ( x, y ), max min ( x, y ) .
x1 y2
 y2 x1

Оценим каждое из выражений, стоящих в фигурных скобках.
Обозначим через x0 и y0 точки кривых 1 и 2 соответственно, в которых достигается max min ( x, y ) (рис. 1.2). Пусть z0 – точка кривой 3 ,
y2 x1
в которой достигается min ( z , y0 ) , а x1 – точка кривой 1 , в которой
z3
достигается min ( x, z 0 ) .
x1
Имеем:
max min ( x, y )  ( x0 , y 0 )  ( x1 , y0 ) 
y2 x1
 ( x1 , z 0 )  ( z 0 , y 0 ) 
 max min ( x, z )  max min ( z , y ).
z3
x1
z3 y2
14
Следовательно,


 H (1 , 2 )  max  max min ( x, z ), max min ( x, z ) 
z


x


x


z


1
3
 1 3



 max  max min ( z , y ), max min ( z , y ) 
z3 y2
 x2 z3

  H (1 , 3 )   H (3 , 2 ).
x0
y0
z0
x1
1
2
3
Рис. 1.2
6. Построить пример непустых и непересекающихся замкнутых
множеств, расстояние между которыми равно нулю.
Р е ш е н и е. На плоскости R 2 рассмотрим замкнутые множества
M  ( x, y ) : y  0 и N  ( x, y ) : xy  1 . Для них M  N   , но в то же
время M , N   0 .
7. Доказать, что следующие метрики являются архимедовыми:
1) ( A, B) 
p
x2  x1
p
 y 2  y1
p
;
2) хаусдорфова метрика


( A, B)  max max min ( x, y ), max min ( x, y ) ,
x

A
y

B


y
B
x
A


где ( x, y ) – евклидово расстояние;
15
3) равномерная метрика ( f1, f 2 )  max f1 ( x)  f 2 ( x) .
xa ,b 
Р е ш е н и е. 1). Для того, чтобы определить, является ли метрика  архимедовой, достаточно предъявить три точки А, В и С такие, что
1
1
и (C , B)  . Действительно, в этом случае
2
2
( A, B )  max ( A, C ), (C , B ) и метрика  не является неархимедовой.
Рассмотрим точки А(–1/2,0), В(1/2, 0) и С(0,0). Имеем:
( A, B)  1 , ( A, C ) 
1
 1 1  p
p
( A, B )       (0  0) p   1 ;
 2 2 

1
p
p 1
 1

( B, C )    0   (0  0) p   ;
2


 2
1
p

p 1
1
(C , A)   0    (0  0) p   .
2
2


Таким образом, метрика архимедова.
2, 3). Рассмотрим три функции на отрезке [0,1]:
1
1
f1 ( x )   , f 2 ( x )  , f 3 ( x )  0 .
2
2
Расстояния
 f3 , f1  
между
ними
равны
 f1 , f 2   1 ,
 f 2 , f3  
1
для обеих метрик.
2
Задания для самостоятельного решения
1. Пусть на прямой R расстояние определяется формулой
( x, y ) 
x y
1 x2 1 y2
x, y  R .
Проверить, что  действительно является метрикой.
16
1
,
2
2. Пусть ( x, y ) – метрика на множестве X. Доказать, что
функции
x y
x, y  R ;
а) ( x, y ) 
1 x2 1 y2
( x , y )
;
1  ( x, y )
в) ( x, y )  ln 1  ( x, y ) 
также являются метриками.
3. Показать, что на множестве N натуральных чисел функции
mn
а) (m, n) 
;
mn
0, m  n


б) ( m, n)  
1
1  m  n , m  n
определяют метрику.
4. Является ли сходящейся в метрическом пространстве X
последовательность точек xn  1( n ) ,  (2n ) ,...,  (kn ) ,... , если
X  l3 ,
б) ( x, y ) 


1
 1

xn  1, ,..., ,0,0,... .
n
 2

5. Пусть X – множество всех точек окружности радиуса R с центром в начале координат. Примем за расстояние между двумя его точками длину кратчайшей дуги окружности, их соединяющей. Является ли X
метрическим пространством?
6. Является ли метрическим пространством множество X:
а) всех прямых на плоскости, если расстояние между двумя прямыми L1 : x cos 1  y sin 1  p1  0 и L2 : x cos  2  y sin  2  p 2  0 определить формулой L1 , L2   p1  p 2  sin 1  sin  2 ;
б) тех прямых x cos   y sin   p  0 , для которых 0   

2
(с тем же расстоянием)?
7. Пусть f (x) – дважды непрерывно дифференцируемая на R 
функция, удовлетворяющая условиям: а) f (x) = 0 и f(x) > 0 при x > 0;
б) f(x) не убывает; в) f ( x )  0 при х > 0. Доказать, что формулой
( x, y )  f  x  y  определяется метрика в R.
17
8. Пусть на множестве X определено расстояние ( x, y ) , причем
(X,  ) не является метрическим пространством, а X 0  X . Может ли
быть метрическим пространством множество  X 0 ,   ?
  
9. Пусть X    ,  , 1 ( x, y ) | x  y | , 2 ( x, y ) | tg x  tg y | .
 2 2
Доказать, что метрики 1 и  2 эквивалентны.
10. Привести пример последовательности непрерывных на [0,1]
функций xn (t ), n  N , сходящейся в пространствах L1[0,1] и L2 [0,1] , но
не сходящейся в пространстве C[0,1] .
Ответы. 4. Да, так как последовательность фундаментальна. 5. Да.
6. а – нет, ибо не выполняется аксиома тождества; б – да. 8. Да, см. пример 5.
Шары в метрическом пространстве
Если на множестве определено расстояние, то с его помощью
можно описать геометрические объекты, например, шары или окрестности точек в смысле этого расстояния.
О п р е д е л е н и е. Открытым шаром с центром в точке А радиуса r называется множество
S r ( A)   x  X : ( x, a )  r .
О п р е д е л е н и е. Замкнутым шаром с центром в точке А радиуса r называется множество
Sr ( A)   x  X : ( x, a)  r .
Используются также обозначения S (A, r), S [A, r]. В пространстве R1 открытой сферой будет интервал a  r , a  r  , а замкнутой – отрезок a  r , a  r  .
2
2
Для евклидова расстояния ( x, y)  x1  y1   x2  y 2  единичный шар с центром в нуле на плоскости будет обычным кругом (рис. 1.3, а).
Построим единичный шар с центром в нуле для метрики
1 ( A, B )  x 2  x1  y 2  y1 .
Точка С тогда и только тогда принадлежит единичному шару в
этой метрике, когда выполнено неравенство x  y  1 . Все такие точки
18
принадлежат квадрату (рис. 1.3, б). Единичным шаром с точки зрения
расстояния
  max  x 2  x1 , y 2  y1 
по определению будет

 

S1 (0)  x  R 2 : max x1  0 , x2  0   1  x  R 2 : max x1 , x 2   1 ,
т.е. тоже квадрат, но другой, со сторонами, параллельными осям (рис. 1.3, в).
y
y
y
x
а
x
б
x
в
Рис. 1.3
О п р е д е л е н и е. Точка x  X называется точкой прикосновения множества M  X , если любая ее окрестность содержит хотя бы
одну точку из М, а совокупность M всех точек прикосновения множества М называется замыканием этого множества.
О п р е д е л е н и е. Точка x  X называется предельной точкой
множества M  X , если в любой ее окрестности содержится бесконечно много точек из М.
Каждая предельная точка множества М является его точкой прикосновения. Она может либо принадлежать множеству М, либо нет. Если
точка х принадлежит множеству М и в некоторой ее окрестности нет точек из М, отличных от х, то ее называют изолированной точкой этого
множества.
Т е о р е м а. Всякая точка прикосновения множества М является
либо предельной для него, либо изолированной точкой этого множества.
Отсюда следует, что замыкание M множества М состоит из точек
трех типов:
1) изолированные точки М;
2) предельные точки множества М, принадлежащие М;
3) предельные точки множества М, не принадлежащие М.
19
А это, в свою очередь, означает, что замыкание M множества М
получается присоединением к М всех его предельных точек.
О п р е д е л е н и е. Множество М, лежащее в метрическом пространстве X, называется замкнутым, если M  М (т.е. оно содержит все
свои предельные точки).
Из теоремы вытекает, что замыкание любого множества есть
замкнутое множество.
Т е о р е м а. Пересечение любого числа и объединение любого
конечного числа замкнутых множеств являются замкнутыми множествами.
О п р е д е л е н и е. Точка x  M называется внутренней точкой
этого множества, если она принадлежит М вместе с некоторой своей окрестностью.
Множество М, все точки которого внутренние, называется открытым.
Приведем утверждение, характеризующее все открытые множества на числовой прямой.
Т е о р е м а. Всякое открытое множество на числовой прямой является объединением конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
О п р е д е л е н и е. Точка x0  X называется граничной точкой
множества M  X , если в произвольной ее окрестности содержатся как
точки из М, так и точки, множеству М не принадлежащие. Совокупность
граничных точек множества М обозначается через М и называется
границей этого множества.
О п р е д е л е н и е. Множество М называется ограниченным в
метрическом пространстве X, если оно содержится в некотором шаре.
В С [0,1] множество функций U  x(t ) : A  x  B открыто, а
множество U   x(t ) : x(0)  0 замкнуто.
В пространстве l2 множество последовательностей xn  при условии 0  xn 
1
замкнуто.
n
Примеры решения задач
1. Изобразить единичный шар в пространстве непрерывных функций с равномерной метрикой ( f1 , f 2 )  max f1 ( x)  f 2 ( x ) .
xa ,b 
Р е ш е н и е. Без ограничения общности можно считать, что отрезок [a, b] = [0, 1], а центр единичного шара будет в нуле (речь идет о ну-
20
ле метрического пространства). В качестве нуля выступает тождественно нулевая функция – одна точка метрического пространства. Единичным шаром с центром в нуле по определению являются все непрерывные функции, которые удалены от тождественно нулевой функции на


расстояние не большее, чем 1: S1 (0)   x  X : max f1 ( x)  1 . Их можно
x0,1


представить как функции, графики которых лежат в полосе, ограниченной пунктирными линиями на рис. 1.4.
Действительно, расстояние от каждой точки графика такой функции по вертикали для оси Ox не превосходит единицы, а с другой стороны, любая функция, выходящая за пределы полосы, находится уже на
расстоянии, большем, чем единица, от тождественно нулевой функции.
f(x) + 1
y
y
f(x)
1
x
1
x
-1
f(x) – 1
Рис. 1.4
Рис. 1.5
Теперь представим единичный шар с центром в какой-нибудь
фиксированной точке f 0 нашего метрического пространства. Аналогично
получаем, что единичный шар с центром f 0 – это все непрерывные функции, лежащие на отрезке [0,1], которые ограничены сверху функцией
f 0 ( x )  1 , а снизу – функцией f 0 ( x)  1 . Все эти функции тоже лежат
внутри полосы, ограниченной пунктирными линиями (рис. 1.5).
2. Изобразить единичный шар в евклидовом пространстве с метрикой

x, y     xi  yi
 i 1
21
1
p
p
 ,


p  1.
Р е ш е н и е. Для p = 2 получаем евклидову метрику
( x, y ) 
 x1  y1 2   x2  y2 2 ,
и единичный шар изображен на рис. 1.3, б. При увеличении р от 1 до 2
единичные шары будут раздуваться от ромба до шара (рис. 1.6). Далее,
когда р станет больше 2, единичный шар все больше и больше будет заполнять большой квадрат. И при p   получается тот квадрат, который является единичным шаром для расстояния   max  x 2  x1 , y 2  y1 .
p=∞
y
p=2
p=1
0
1
x
-1
Рис. 1.6
3. Доказать, что в произвольном метрическом пространстве
S ( x0 , r )  S x0 , r  . Привести примеры метрических пространств, в кото-
рых S ( x0 , r )  S x0 , r  .
Р е ш е н и е. Пусть x  S ( x0 , r ) . Тогда x  lim xn , где xn  S ( x0 , r ) и
n 
x, x0   x, x n   xn , x0   x, xn   r .
Переходя здесь к пределу при n   , получаем, что x, x0   r ,
т.е. что x  S x0 , r  .
Приведем пример метрического пространства, в котором
S ( x0 , r )  S x0 , r  . Пусть X – произвольное множество, содержащее более одной точки, и (X,  ) – метрическое пространство с метрикой
22
1, x  y,
( x, y )  
0, x  y.
Тогда для произвольной точки x  X имеем S ( x0 ,1)  S x0 ,1  x0  ,
а S x0 ,1  X . Следовательно, S ( x0 , r )  S x0 , r  .
4. Рассмотрим круг с центром в точке a радиуса r:
S r ( a )  x : ( x, a )  r .
Доказать, что в случае, когда метрика  является неархимедовой,
любая точка этого круга является его центром, т.е. если b  S r (a) , то
S r (b)  S r ( a ) .
Р е ш е н и е. Сначала докажем, что все точки шара S r (a ) содержатся в шаре S r (b) . Выберем произвольную точку c  S r (a) и рассмотрим треугольник abc. Точки b и с лежат в шаре Dr (a ) , следовательно,
( a, b)  r и ( a, c)  r . А так как метрика  является неархимедовой,
получаем
(b, c)  max(b, a ), (a, c)  r .
Это означает, что точка с содержится в шаре Dr (b) .
Докажем, что все точки шара S r (b) содержатся в шаре S r (a ) . Теперь точки a и b поменялись ролями. Рассуждая аналогично, получаем,
что шар S r (b) содержится в шаре S r (a ) , т.е. S r (b) и S r (a ) совпадают.
5. Построить метрическое пространство (X,  ) и в нем замкнутые
шары S1x1 , r1  и S 2 x2 , r2  так, что S1  S 2 , а r1  r2 .
Р е ш е н и е. Пусть (X,  ) - метрическое пространство, состоящее
из всех точек (х, у) круга x 2  y 2  9 с обычной евклидовой метрикой.
Положим S 2  X , а


S1  S 2  ( x, y ) : ( x  2) 2  y 2  16 .
Тогда S1  S 2 , r1  4 , r2  3 и r1  r2 .
Задания для самостоятельного решения
1. Доказать:
a) diam S x0 , r   2r ;
б) diam M = diam M.
23
2. Доказать, что точка x0 является точкой прикосновения (соответственно предельной точкой) множества М в метрическом пространстве X тогда и только тогда, когда x0 , M   0 (соответственно x0 , M \ x0   0 ).
3. Доказать, что открытый шар S x0 , r  – открытое множество,
замкнутый шар S x0 , r  – замкнутое множество и замыкание S x0 , r 
совпадает с S x0 , r  .
4. Пусть S a, r   S [b, R ]  X . Доказать, что r  R .
5. Доказать, что если хотя бы одно из множеств A, B  X открыто, то А + В – открытое множество.
6. Пусть A1 , A2  X – замкнутые множества, причем A1  A2   .
Построить открытые множества B1 , B2  X такие, что A1  B1 , A2  B2
и B1  B2   .
7. Конечное множество М открыто в метрическом пространстве X
тогда и только тогда, когда каждая его точка является изолированной
в X. Доказать это утверждение.
Полнота и пополнение
метрических пространств
О п р е д е л е н и е. Последовательность xn  точек метрического
пространства X называется фундаментальной, или последовательностью
Коши, если xm , xn   0 при m, n   . Это означает, что для любого
числа   0 найдется номер N () , такой, что xm , xn    при m, n  N .
Иными словами, у последовательности Коши члены с большими
номерами не могут сильно отличаться друг от друга, и lim xm , xn   0 .
n 
m 
Фундаментальные последовательности также называют сходящимися в себе.
На вещественной прямой работает критерий Коши: последовательность xn   R сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
В произвольном метрическом пространстве это уже не так. Принципиальную роль играет полнота X.
Т е о р е м а. Если последовательность xn  сходится к пределу
x0 , то она фундаментальна.
24
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть x0  lim xn . Тогда   0
n
найдется номер N () такой, что xn , x0  
тельно,

при n  N () . Следова2
xn , xm   x n , x0   xm , x0   
для m, n  N .
Обратное утверждение для произвольного метрического пространства неверно, так как существуют метрические пространства, в которых имеются фундаментальные последовательности, не сходящиеся
ни к какому пределу.
П р и м е р. Пусть X – множество рациональных чисел, причем
расстояние определяется по формуле ( r1 , r2 )  r1  r2 . Тогда X есть метрическое пространство.
1
1
1
Возьмем последовательность r1  , r2  ,…, rn  n ,… Эта
2
4
2
последовательность сходится фундаментально и к пределу r0  0 .
n
 1
Возьмем теперь последовательность rn  1   . Эта последова n
тельность сходится фундаментально, но не имеет предела в пространстве
n
 1
X, так как lim 1    e не является рациональным числом.
n  
n
О п р е д е л е н и е. Метрическое пространство X называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.
Вернемся к рассмотренным ранее метрическим пространствам.
1, x  y,
полное, так как в
1. Пространство с метрикой ( x, y )  
 0, x  y
этом пространстве фундаментальны только стационарные последовательности, т.е. такие, что, начиная с некоторого номера, повторяется все
время одна и та же точка. Всякая такая последовательность, естественно,
сходится.
2. Пространство R n . Сходимость точек этого пространства равносильна сходимости по координатам. Таким образом, из сходимости




xk x k1 , xk2  ,  , xkn   x0 x01 , x02  ,  , x0n  ,
которую мы предполагаем данной, следует сходимость
25
xkl   x0l ,
l  1,2,  , n.
Так как предел каждой сходящейся последовательности коорди-
 
нат xkl  (как последовательности действительных чисел) является числом действительным, то точка x x 1, , x n   R n , а это и означает пол0

0
0

n
ноту пространства R .
3. Пространство C a, b . Как следует из определения расстояния в
пространстве C a, b , сходимость последовательности точек этого пространства сводится к равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пределом такой последовательности является непрерывная функция, то есть элемент того же пространства C a, b .
Также полными пространствами из приведенных выше примеров
метрических пространств являются пространства l p , ( p  1) ; L p a, b , p  1 ;
m; M [a, b].
Приведем примеры неполных пространств.
1. Пусть Lp 0,1 – совокупность всех непрерывных функций, определенных на отрезке [0,1] с метрикой
1
1
p
p
x, y     xt   y t  dt  .


0

Пространство Lp 0,1 неполное, так как последовательность непрерывных функций, сходящихся в среднем со степенью р к разрывной
функции, есть последовательность, фундаментальная в Lp 0,1 , но не
имеющая предела в этом пространстве. Действительно, легко проверить,
что последовательность xn t   arctg nt  Lp , предел же этой последова-
тельности x0 t   Lp , так как он является разрывной функцией:
 
 2,t 0

x0 t    0, t  0
 
 , t  0.
 2
2. Возьмем пространство l p , состоящее из всевозможных упоря-


доченных систем 1 ,  2 ,...,  k1 ,0,0,... , где  i – любые вещественные
числа, k1 – любое натуральное число. Если
26


x  1 ,  2 ,...,  k1 ,0,0,... , y  1 ,  2 ,...,  k 2 ,0,0,...
и k2  k1 , то полагаем
 k1
( x, y )    i  i
 i 1

1
p
p
p
  i  .

i  k1 1

k2
Пространство l p – подпространство пространства l p , и притом не1
 1

полное, так как, например, последовательность xn  1, ,..., n 1 ,0,0,... ,
2
 2

n = 1, 2, 3, …, сходится в себе:
 n
1
( xn , xm )    (i 1) p
 i  m 1 2
1
p
  0 при m < n, m, n   ,


но в пространстве l p не имеет предела.
Если метрики 1 и  2 топологически эквивалентны, то пространства (X, 1 ) и (X,  2 ) одновременно либо полны, либо нет.
О п р е д е л е н и е. Метрические пространства X и Y называются
изометрическими, если между ними можно установить такое взаимнооднозначное соответствие, что расстояние между прообразами x1 и x2
в X равно расстоянию между образами y1 и y2 в Y, т.е.
  x1 , x2   Y  y1, y2  .
О п р е д е л е н и е. Множество M называется плотным в множестве G, если его замыкание M содержит G, т.е. M  G .
О п р е д е л е н и е. Множество M всюду плотно в пространстве X , если M  X .
Имеет место утверждение о пополнении метрических пространств:
Т е о р е м а. Пусть X 0 – неполное метрическое пространство. Тогда существует такое полное метрическое пространство X , в котором
содержится подпространство X 1 , всюду плотное в X и изометричное
пространству X 0 .
Пространство X называется пополнением пространства X 0 .
27
Т е о р е м а (о пополнении). Любое метрическое пространство допускает пополнение, единственное с точностью до изометрии.
Пусть X 0 – некоторое метрическое пространство, не являющееся
полным, т.е. в этом пространстве имеется фундаментальная последовательность, не имеющая в X 0 предела. Рассмотрим всевозможные последовательности xn  ,  yn  , z n  ,…, составленные из элементов пространства X 0 и сходящиеся в себе. Отнесем к одному классу любые две такие
последовательности xn  и xn  , что 0 xn , xn   0 при n   .
Эти классы x примем за элементы нового пространства X и положим  x, y  lim 0 xn , yn  . Указанный предел всегда существует и не
 
n
зависит от выбора последовательностей xn  ,  yn  в соответствующих
классах.
Поскольку введенное в X расстояние удовлетворяет аксиомам
метрики, то X – метрическое пространство. Кроме того, оно полно и
всюду в дальнейшем будет называться пополнением пространства X 0 .
Нетрудно видеть, что X 0 – всюду плотное подмножество X. Иными
словами, пополнение метрического пространства X 0 – это полное метрическое пространство, содержащее X 0 в качестве всюду плотного подмножества.
Всякое метрическое пространство имеет пополнение. Все пополнения одного и того же метрического пространства изометричны
между собой.
Отметим, что процесс пополнения метрических пространств напоминает известный из курса математического анализа процесс пополнения
множества рациональных чисел к множеству всех вещественных чисел.
Кроме того, справедлив и аналог леммы о вложенных промежутках.
Т е о р е м а. Пусть в полном метрическом пространстве X дана
последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы
которых стремятся к нулю. Тогда существует и притом только одна точка, принадлежащая этим шарам.
Эта теорема допускает известное обобщение и на тот случай, когда замкнутые шары заменить произвольными замкнутыми множествами, диаметры которых стремятся к нулю. При этом под диаметром ограниченного множества F метрического пространства X понимаем число
diam F = sup ( x, y ) .
x , yF
28
Оказывается, что теорема о вложенных шарах является естественной характеристикой полных метрических пространств.
Т е о р е м а. Если в метрическом пространстве X любая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, диаметры которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение, то пространство X
полное.
Примеры решения задач
1. Будет ли полным метрическим пространством вещественная
прямая  ,  с метрикой
( x, y )  e x  e y ?
(1.2)
Р е ш е н и е. Очевидно, что (4) задает метрику на  ,  , так как
1) ( x, y )  0 и ( x, y )  0  x  y ;
2) ( x, y )  ( y, x ) ;

 

x
y
x
z
z
y
3) ( x, y )  e  e  e  e  e  e 
 e x  e z  e z  e y  ( x, z )  ( y, y ).
Рассмотрим последовательность
xn   n   , , n  натуральное.
Покажем, что эта последовательность фундаментальна в метрике (1.2).
Берем   0 и N ()   ln ,   1 .
Тогда для n  N () и любого натурального p имеем


 xn , xn  p  e n  e( n  p )  e n  e N ()  eln    .
Но xn     ,  , т.е. предельная точка не принадлежит
рассматриваемому множеству, а значит, нет полноты.
Далее рассмотрим отображение нашего метрического пространства в множество 0,  с метрикой ( x, y )  x  y :
f :  ,   0,  , f ( x )  e x .
Очевидно, что f – изометрия:
( x, y)  e x  e y  f ( x)  f ( y)  ( f ( x), f ( y))
29
и пополнение последнего пространства, очевидно, есть множество
[0,) с метрикой ( x, y )  x  y .
Итак, пополнение множества  ,  с метрикой (1) изометрично метрическому пространству [0,) с метрикой ( x, y )  x  y .
2. Через C1 0,2 обозначим пространство всех непрерывных на
[0,2] функций с метрикой, определяемой функцией
2
( x, y )   x(t )  y (t ) dt .
0
Доказать, что C1 0,2 не является полным пространством.
Р е ш е н и е. Пусть
1

 1, 0  t  1  n

1
 n (t )  n(1  t ), 1   t  1
n

0, 1  t  2.


Покажем, что последовательность n (t )  фундаментальна в C1 0,2
(очевидно, что  n  C1 0,2 при каждом n  N ), но она не сходится в
этом пространстве.
Действительно, если, например, n > m, то
1
 n ,  m  
1
n
1
 1  m(1  t )dt (n  m) 
1
1
m
1
(1  t ) dt 
1
n
nm
1
.

2mn 2m
1
, откуда следует фунда2 min(n, m)
ментальность рассматриваемой последовательности.
Пусть теперь f – произвольная функция из C1 0,2 , а
Поэтому вообще  n ,  m  
 1, 0  t  1
 (t )  
0, 1  t  2.
Воспользуемся очевидными неравенствами
2
2
2
0
0
0
0   f (t )   (t ) dt   f (t )   n (t ) dt    n (t )   (t ) dt
30
(левое неравенство – следствие непрерывности функции f на [0; 2]). Так
2
как
 n (t )  (t ) dt 
0
1
 0 при n   , то величина
2n
2

f (t )   n (t ) dt ,
0
совпадающая с  n , f  , стремиться к нулю при n   не может ни для
одной функции f  C1 0,2 . Утверждение доказано.
3. Показать, что пространство C 0(1) 0,1 всех непрерывно дифференцируемых на [0; 1] функций с метрикой
( x, y )  max x(t )  y (t )
t[ 0,1]
не является полным.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию Вейерштрасса
 

f (t )   a k cos b k t ,
k 1
3
.
2
Из курса математического анализа известно, что f непрерывна на
[0; 1] (как сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций), но ни в одной точке отрезка [0; 1] она не имеет производной. Это
означает, что последовательность частичных сумм этого ряда (непрерывных функций с непрерывными производными) сходится равномерно
и поэтому является фундаментальной в пространстве C 0(1) 0,1 , но не
имеет в нем предела.
4. Доказать полноту пространства AR . (Пространство AR состоит
где 0 < а < 1, а b – целое нечетное число, причем ab  1 
из всех однозначных и аналитических в круге z  R 0  R   функций, а метрика определяется функцией

( x, y )  
1
k 1 2
k
max x ( z )  y ( z )

| z | rk
1  max x( z )  y ( z )
,
| z | rk
где rk – некоторая монотонно возрастающая к R последовательность неотрицательных чисел.)
Р е ш е н и е. Пусть xn (z )  – некоторая фундаментальная в AR
последовательность функций, т.е. для всякого   0 существует n0 такое, что при всех n, m  n0
31

( xn , xm )  
1
k 1 2
k

max xn ( z )  xm ( z )
| z | rk
1  max xn ( z )  xm ( z )
.
| z | rk
Отсюда следует, что последовательность xn (z )  равномерно сходится на каждом круге z  rk (так как она удовлетворяет условиям критерия Коши). То, что предельная функция х(z) аналитична в каждом круге z  rk и не зависит от k, следует, соответственно, из теоремы Вейерштрасса и теоремы единственности для аналитических функций, а соотношение lim xn , x   0 получается путем почленного перехода к преn 
делу под знаком суммы ряда

( xn , x)  
1
k 1 2
k

max xn ( z )  x ( z )
| z | rk
1  max xn ( z )  x( z )
| z | rk
(ввиду его равномерной сходимости по n). Утверждение доказано.
5. Показать, что пространство С [–1; 1] является пополнением
пространства Р заданных на [–1; 1] алгебраических многочленов
n
p(t )   ak t k с метрикой
k 0
( p, q )  max p (t )  q (t ) .
t[ 1,1]
Р е ш е н и е. Рассмотрим последовательность полиномов
pn (t ) 
n
tk
 k !, n  0, 1, ...
k 0
Ее предел, функция e t , не принадлежит Р, т.е. Р не является полным пространством. Однако из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса следует, что пространство Р всюду плотно в полном пространстве
С [–1; 1]. Значит, С [–1; 1] можно рассматривать как пополнение пространства Р.
6. Является ли сходящейся в метрическом пространстве X последовательность точек xn  1( n ) ,  (2n ) ,..., (kn ) ,... :


32


1

1
a) при X  l1 , xn   ,..., ,0,0,...  ;
n 
n
 

 n





1
1
б) при X  l2 , xn   ,..., ,0,0,...  .


n 
n
 

2
 n

Р е ш е н и е. а) То, что xn  l1 при каждом n  N , очевидно. Однако последовательность xn  не является сходящейся в пространстве l1 ,
ибо она не является фундаментальной.
Действительно, при всех n  N
n
xn , x2n   
k 1
2n
1 1
1

 
 1.
n 2n k  n 1 2n
б) Последовательность xn  также не фундаментальна в l2 , так
как нетрудно проверить, что  2 xn , x2 n   1 .
Задания для самостоятельного решения
1. Доказать, что пространство C0  ,  определенных и непрерывных на R функций, для которых lim x(t )  0 , с метрикой ( x, y ) 
|t |
 sup | x(t )  y (t ) | является полным.
tR
2. Введем на прямой R метрику по формуле ( x, y )  arctg | x  y | .
Является ли это пространство полным?
3. Пусть на R задана метрика ( x, y )  |arctg x – arctg y|. Доказать,
что полученное метрическое пространство не является полным, и найдите его пополнение.
4. Доказать, что пространство всех многочленов, определенных
на [0; 1], с чебышевской метрикой
( P, Q)  max | P (t )  Q(t ) |
t[0,1]
не полно, и найти его пополнение.
5. Найти пополнение пространства C p [0,1] , состоящего из непрерывных на [0,1] функций, с метрикой
33
1
1
p
( x, y )    | x(t )  y (t ) | p  .


0

  
Ответы: 2. Нет. 3. Пополнение изометрично пространству X  ,  с
 2 2
обычной евклидовой метрикой и получается прибавлением к R точек

 и  . При этом нужно положить  , x    arctg x,  , x  
2

= arctg x  и  ,    . 4. С [0; 1]. 5. L p [0,1] .
2
Принцип сжимающих отображений
О п р е д е л е н и е. Пусть  X ,1  и Y , 2  – два метрических
пространства и f – некоторое отображение X в Y, т.е. каждому элементу
x  X ставится в соответствие некоторый элемент у = f (х) из Y. Это
отображение называется непрерывным в точке x0  X , если
  0   0 x  X : 1 x, x0      2  f ( x), f x0    .
Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X, то
его называют непрерывным на X.
Понятие непрерывности отображения f метрического пространства X в метрическое пространство Y равносильно следующему: отображение f непрерывно в точке x0  X тогда и только тогда, когда для любой последовательности xn   X , сходящейся к x0 , последовательность
 f xn  сходится к f x0  .
Заметим, что если X и Y – числовые множества, то приведенное
определение совпадает с известным из курса математического анализа
определением непрерывности функции.
О п р е д е л е н и е. Отображение f : X  X называется сжимающим, если существует число 0  q  1 такое, что x, y  X выполнено
 f ( X ), F (Y )   q  ( x, y ) ,
при этом коэффициент q называется коэффициентом сжатия отображения.
О п р е д е л е н и е. Точка x называется неподвижной точкой отображения f : X  X , если f  X   X .
34
Т е о р е м а (о сжимающем отображении). Пусть в полном метрическом пространстве дано отображение F, переводящее элементы пространства X снова в элементы этого пространства. Пусть, кроме этого,
для всех x и y из X
Fx, Fy   q  ( x, y ) ,
где q < 1 и не зависит от x и y. Тогда существует одна и только одна точка x0 такая, что Fx0  x0 , причем имеет место следующая оценка скорости сходимости:
qn
 x, Fx  .
1 q
 x n , x 0  
(1.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольный фиксированный
элемент x  X и положим x1  Fx , x2  Fx1 , …, xn  Axn 1 ,… Покажем,
что последовательность xn  сходится в себе. Для этого заметим, что
x1 , x2   Fx, Fx1   qx, x1   qx, Fx  ,
x 2 , x3   Fx1 , Fx 2   qx1 , x 2   q 2 x, Fx  ,
………………………………………………..
xn , xn 1   q nx, Fx  ,
………………………………………………...
Далее,
 xn , xn  p  xn , xn 1   xn 1 , xn  2   ...   xn  p 1 , xn  p 





 q n  q n 1  ...  q n  p 1 x, Fx  

qn  qn p
x, Fx .
1 q
(1.4)
Так как по условию q < 1, то


 xn , xn  p 
qn
x, Fx ,
1 q


Откуда, в свою очередь, следует, что  xn , xn  p  0 при n   ,
p > 0. Значит, последовательность xn  сходится в себе. В силу полноты
пространства X существует элемент x0  X , являющийся пределом этой
последовательности: x0  lim xn . Докажем, что Fx0  x0 . В самом деле,
x0 , Fx0   x0 , xn   xn , Fx0   xn , x0   Fxn 1 , Fx0  
 xn , x0   qxn 1 , x0 .
35
Но при любом заданном   0 и достаточно большом n имеем


x0 , xn   , qx0 , xn 1   . Следовательно, x0 , Fx0    . Так как
2
2
  0 произвольно, то x0 , Fx0   0 , т.е. Fx0  x0 .
Предположим, что существуют два элемента x0 , y0  X такие, что
Fx0  x0 , Fy 0  y 0 . Тогда x0 , y 0   Fx0 , Fy 0   qx0 , y 0  . Если допустить, что x0 , y0   0 , то из предыдущего следует, что 1  q , что невозможно в силу условия.
Если в формуле (1.4) перейти к пределу при p   , то придем к
оценке ошибки n-го приближения (1.3).
Замечание. Построение последовательных приближений xn , сходящихся к неподвижной точке x0 , можно производить, исходя из любого элемента x  X . Выбор элемента x сказывается лишь на быстроте
сходимости xn  к своему пределу.
П р и м е р. На числовой прямой дан отрезок. Проведем его
сжатие. Это значит, что его концы переместятся в новые точки
a  a1 , b  b1.
Точки, ранее занимавшие положение a1 , b1 , переместятся в точки
a1  a 2 , b1  b2 . и т. д. Интуитивно можно предположить, что на отрезке a, b существует точка С, которая при его сжатии останется неподвижной. Точнее говоря, отрезок a, b лежит на числовой прямой. Каждой точке х, принадлежащей отрезку a, b , поставим в соответствие некоторую точку f x   a, b , которая является отображением точки х. Неподвижная точка, если она существует, удовлетворяет равенству
x  f x  .
Принцип сжимающих отображений, доказанный впервые С. Банахом, имеет многочисленные приложения. Рассмотрим некоторые из них.
n
 in, j 1 такова, что  aij
Т е о р е м а. Если матрица aij
 1 для всех i,
j 1
n
то система уравнений i   aij i  bi , i  1, 2, ..., n имеет единственное
j 1
решение.
Т е о р е м а. Пусть k (t, s) – действительная функция, определенная и измеримая в квадрате a  t , s  b и такая, что
36
bb
 k
2
(t , s) dtds   ,
aa
и пусть f (t )  L2 [a, b] . Тогда интегральное уравнение
b
x(t )  f (t )    k (t , s) x( s) ds
a
имеет при каждом достаточно малом значении параметра  единственное решение x(t )  L2 [a, b] . Это решение можно найти с помощью метода последовательных приближений.
Т е о р е м а (Пикара). Пусть дано дифференциальное уравнение
y   f ( x, y ) с начальным условием y x0   y0 , причем функция f определена и непрерывна в некоторой плоской области G, содержащей точку
x0 , y0  , и удовлетворяет условию Липшица по у:
f x, y1   f x, y 2   C y1  y 2 , С = const.
Тогда на некотором сегменте x  x0  d существует, и притом
только одно, решение y  (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
Эта теорема обобщается и на случай системы дифференциальных
уравнений.
Примеры решения задач
1. При движении планеты вокруг Солнца по эллиптической орбите ее положение в момент времени t, отсчитываемый от момента прохождения перигелия, определяется уравнением Кеплера
t
,
(1.5)
T
где E – определяющая положение планеты эксцентрическая аномалия;
 – эксцентриситет орбиты ( 0    1 ); T – период обращения по орбите.
а) Доказать, что уравнение Кеплера имеет для любого t единственное решение, которое определяет функцию E (t )  C 0, T  ;
б) принимая   0,5 , t  0, T  , определить число итераций, необходимых для нахождения E(t) с погрешностью, не превышающей 0,01,
если в качестве нулевого приближения взято E0  0 .
E   sin E  2
37
Решение
а) Перепишем (1.5) в виде
 sin E  2
значит f ( E )   sin E  2
 C  0, T  .
t
T
t
 E (t ) ,
T
– такое отображение, что f : C  0, T  
Докажем, что f – сжимающее отображение:
2 t
2 t
 f ( x), f ( y )   max  sin x(t ) 
  sin y (t ) 
 q  max x(t )  y (t ) .
0,T 
0,T 
T
T
По теореме Лагранжа (t )  (t1 )  (C )  t  t1  , отсюда (принимая  sin x (t )  (t ) и  sin y (t )  1 (t ) ), получаем неравенство
max  sin x(t )   sin y (t )    max x(t )  y (t )   cos C 
0,T 
0,T 
  max x(t )  y (t )   q  max x(t )  y (t )  ,
0,T 
0,T 
верное при   q . Поскольку по условию задачи 0    1 , то и 0  q  1 ,
а значит, отображение f сжимающее и решение уравнения Кеплера существует и единственно на отрезке 0, T  .
1
б) Так как   q , то выберем q  . А поскольку имеет место
2
оценка скорости сходимости (1.3), получаем
1
2 n 0, f (0)   1  max 2 t .
1
2 n 1 0,T  T
1
2
2 t
 2 и полагая   4 , имеем
Так как max
0,T  T
1
2
n 1
 2 
1
.
100
Отсюда
1
2
n4

38
1
.
100
Последнему неравенству удовлетворяет n – 4 = 7, а значит, n = 11.
Таким образом, получили 11 итераций.
2. Систему линейных уравнений
2 x  y  2

 x  3y  1
привести к виду, удобному для итераций.
y

 x  1 2
Р е ш е н и е. Приведем систему уравнений к виду 
1 x
y    .
3 3

y 

 x   1 2 
.
Рассмотрим отображение A   
 y    1  x 
 3 3
 x 
 y  y 2 x1  x 2
 x 
,
 A 1   A 2    max 1
y
y
2
3
 2 

  1
 y  y 2 x1  x2
,
 max 1
2
2


 


.

1
и А – сжимающее отображение.
2
3. Рассмотрим уравнение 2tet  1 , t  R .
а) Доказать, что это уравнение имеет единственное решение и что
это решение лежит на интервале (0, 1).
б) Привести уравнение к виду, пригодному для составления итераций и определить число итераций, необходимых для того, чтобы приближенное решение отличалось от точного не более чем на 0,001, если в
качестве начального приближения принято t0  0 .
Отсюда q 
Р е ш е н и е. Приведем уравнение к виду t 
1 t
e . Функция
2
e t
: [0,)  [0,) и непрерывная, а значит, отображение будет
2
сжимающим тогда и только тогда, когда
f 
f ( x )  q  1 .
39
У нас

1 t
 1 t 
 e   e  1,
2
2

а значит, отображение сжимающее.
Выберем q равным max f (t ) 
[ 0, )
1
.
2
Поскольку
t n , t  
qn
 t 0 , f (t1 ) 
1 q
1
1
1
1 
, t 2  f (t1 ) 
, t3  e 2 e ,…
2
2
2 e
Принимая во внимание заявленную точность, получаем
и t0  0 , то t1 
1 2n 1
1
1
  n 
12 2 2
1000
 2 n  1000  n  10 .
Итак, получили 10 итераций.
4. Доказать, что если отображение A : X  X полного метрического пространства X в себя такое, что при некотором n  N его степень
(n-я итерация) An является сжимающим отображением, то А имеет и
притом единственную неподвижную точку.
Р е ш е н и е. Пусть существует q: 0 < q < 1 такое, что
 A n x, A n y  q( x, y ) . Тогда отображение An имеет единственную не-


подвижную точку x0 : An x0  x0 . Покажем, что x0 является также единственным решением уравнения Ах = х.
Действительно,


x0 , Ax 0    A n x0 , A n  Ax 0   qx0 , Ax 0  ,
откуда следует, что x0 , Ax0   0 , т.е. Ax0  x0 .
Если x1 – другая неподвижная точка для А, то эта же точка неподвижна и для An . Поэтому


x0 , x1    A n x0 , A n x1  qx0 , x1  .
Значит, x1  x0 .
40
Пользуясь доказанным утверждением, проверяем, что уравнения
x
( x  t ) n 1
 (n  1)! (t )dt  ( x)
0
при каждом n  N имеют в пространствах С [0; q] лишь тривиальные
решения.
Действительно, определим отображение (оператор) А: С [0, q] →
x
→ С [0, q] по формуле  A( x)   (t ) dt . Для него
0
 
x
( x  t ) m 1
A m  ( x)  
(t ) dt (m  N )
(m  1)!
0
и поэтому при
q pn
 1 ( p  N ) оператор A pn является сжимающим
( pn)!
отображением.
Пусть  0 ( x) – неподвижная точка отображения An , т.е. решение
данного уравнения. Из доказанного следует, что  0 ( x) является решеx
нием и уравнения
 (t ) dt  ( x) .
Отсюда   C (1) [0, q ] , (0)  0 и
0
( x)  ( x) . Значит, ( x)  0 .
5. Пусть в полном метрическом пространстве X заданы два сжимающих отображения А и В, причем
 Ax, Ay   q A( x, y ), Bx, By   q B ( x, y ) .
Доказать, что если при всех x  X  Ax, Bx    (такие отображения А и В называются ε-близкими), то их неподвижные точки находятся

, где q  max q A , q B   1 .
на расстоянии, не превосходящем
1 q
Р е ш е н и е. Пусть x0 – неподвижная точка отображения А. Неподвижную точку y0 сжимающего отображения В построим как предел
последовательности yk  B k x0 (k  0, 1, ...) . Тогда
x0 , y k   x0 , y1    y1 , y 2   ...   y k 1 , y k  


 x0 , Bx0  1  q B  ...  q Bk 1 
41
x0 , Bx0 
,
1  qB
откуда при k → ∞ следует, что
x0 , y 0  
x0 , Bx0   Ax0 , Bx0 

.


1  qB
1  qB
1 q
6. Доказать, что последовательность xn  цепных дробей
1
1
2, 2  , 2 
,...
1
2
2
2
является сходящейся и найти ее предел.
Р е ш е н и е. Поскольку последовательность xn  определяется и
рекуррентно: x1  2, xn  2 
1
xn 1
(n  2) , то из соотношения
xn  2 
1
xn  2
5
5
5
и оценок x1  , x2  следует, что x 
2
2
2
(n  3)
n  1 . Кроме того,
(n  1) . Рассмотрим отображение f ( x)  2 
xn  2
1
 5
отрезка 2,  в себя.
x
 2
Оно является сжимающим, так как
 f ( x), f ( y )   f ( y)  f ( x) 
1 1 1
1
  x  y  ( x, y ) ,
x y 4
4
и поэтому имеет единственную неподвижную точку
x0  lim xn , где xn  f xn 1   2 
n 
1
xn 1
x0 , причем
(n  2), x1  2 . Решая уравнение
1
, находим, что x0  1  2 . Это число и является пределом
x0
данной последовательности цепных дробей.
x0  2 
1
7. Показать, что отображение A : f ( x) 
1
5
xtf (t ) dt  x являет2 0
6
ся сжимающим в пространстве С [0; 1], и найти его неподвижную точку f 0 ( x ) .
42
Р е ш е н и е. То, что данное отображение является сжимающим,
вытекает из оценок
Af1  Af 2 
1
2
1
1
1
f1 (t )  f 2 (t )   f1 , f 2 .
 xt f1 (t )  f 2 (t )dt  2 tmax
[ 0,1]
2
0
Положим f 0 ( x)  0 . Тогда
f1 ( x)  Af 0 ( x) 
5
x;
6
1
f 2 ( x)  Af1 ( x) 
1
5
5
 5 5
xt t dt  x   2   x ;

20 6
6
6
6
5 5
 5
f 3 ( x)  Af 2 ( x)   3  2   x ;…;
6
6
6
5
5
 5
f n ( x)  Af n 1 ( x)   n  n 1  ...   x
6
6
6
.
Поэтому f 0 ( x)  lim f n ( x) , т.е. эта функция является естественn 
ным в С [0; 1] решением интегрального уравнения
1
f ( x) 
1
5
xtf (t ) dt  x .
2 0
6
Задания для самостоятельного решения
1. Проверить, что отображение f ( x) 
x2  2
является сжимаю2x
щим на отрезке [1; 2].
2. Отображение f переводит каждую точку x полупрямой (1,) в
1
х. Является ли оно сжимающим? Имеет ли оно неподвижную точку?
x
3. Пусть f – дифференцируемая на отрезке [0; 1] функция, причем
1
0  f ( x)  1 , 0  f ( x)  0. Будет ли уравнение f (x) – x = 0 иметь решение?
2
1
4. Пусть f  C[a, b] . Показать, что уравнение x  sin x  f (t )  0
2
имеет в пространстве С [а; b] единственное решение х = x (t).
x
43
5. Начиная с какого приближения xn точность приближения решения уравнения 3x  cos x  sin x  arctg x = 0 не превосходит 0,01?
Ответы. 2. Нет. Нет. 3. Да. 5. Начиная с xn0 , где


2
n0  
 1 .
 lg 6  lg 5 
1.2. Линейные пространства
При построении метрических пространств мы сосредоточили
внимание только на одном важном свойстве множества вещественных
чисел – на наличии расстояния в нем. Если рассматривать алгебраические операции, определенные на множестве вещественных чисел, то
можно прийти к понятию линейного пространства.
Понятие линейного пространства
Пусть X – множество элементов некоторой природы, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. X – абелева группа относительно групповой операции сложения.
Это значит, что определена сумма x+y двух любых элементов
x, y  X , являющаяся элементом того же множества, причем операция
сложения обладает следующими свойствами:
x + y = y + x – закон коммутативности;
x + (y + z) = (x + y) + z – закон ассоциативности;
Существует нулевой элемент 0  X такой, что x  0  x для любого x из X.
Для каждого элемента x  X существует обратный элемент (–x)
того же пространства такой, что x + (–x) = 0.
2. Определено умножение элементов x, y, z,... множества X на вещественные (комплексные) числа , , , ..., причем x является снова
элементом множества X и выполнены условия:
(x)  ( ) x – закон ассоциативности;
( x  y )  x  y – закон дистрибутивности;
1 x  x .
Множество X, удовлетворяющее аксиомам 1 и 2, называется линейным (или векторным) пространством. В зависимости от того, на какие числа, вещественные или комплексные, допускается умножение
44
элементов множества X, мы получаем вещественное или комплексное
линейное пространство.
Приведем примеры линейных пространств.
1. Совокупность R n вещественных n-мерных векторов образует
вещественное линейное пространство.
2. Совокупность комплекснозначных решений обыкновенного однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка образует комплексное линейное пространство.
3. Совокупность элементов вещественного (комплексного) класса
L p a, b  образует вещественное (комплексное) линейное пространство.
4. В арифметическом пространстве R1 элементы (действительные
числа) можно складывать и умножать на действительные числа, не выходя за пределы пространства R1 : если x, y  R1 , то x  y  R1 , ax  R1 ,
где a – действительное число.
5. В пространстве C a, b непрерывных на отрезке a, b функций f (x) в результате операций f1 ( x)  f 2 ( x), c  f (x ) вновь получаем
непрерывные функции.
6. Сходящееся последовательности x   i  с покоординатными
операциями сложения и умножения на числа образуют линейное пространство с.
Рассмотрим множества, не являющиеся линейными пространствами.
1. Множество всех векторов пространства, за исключением векторов, коллинеарных некоторой прямой l (так как в пределах этого множества нельзя складывать векторы, симметричные относительно указанной
прямой l).
2. Множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу n (Σ2х таких многочленов может оказаться многочленом
степени ниже n).
3. Множество всех многочленов степени, не превышающей натурального числа n, коэффициенты которых положительны (элементы такого
множества нельзя умножить на отрицательные вещественные числа).
Норма
Если при построении пространств есть такие важные свойства
множества вещественных чисел, как наличие расстояния и наличие алгебраических операций, то можно прийти к определению нормированных пространств.
О п р е д е л е н и е. Линейное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x этого множества по45
ставлено в соответствие вещественное число x – норма этого элемента, удовлетворяющая трем аксиомам:
1. x  0 , норма любого элемента x не отрицательна, причем
x  0 тогда и только тогда, когда x = 0;
2. x    x ,
3. x  y  x  y – неравенство треугольника.
Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в нем расстояние по формуле ( x, y )  x  y . Если
расстояние определено по этой формуле, то говорят, что оно согласовано
с нормой. Справедливость аксиом метрического пространства вытекает
из свойств 1–3 нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все понятия и факты, которые были изложены для метрических пространств.
Расстояние, определяемое этой формулой, будет удовлетворять
еще двум свойствам:
(x, y )  ( x, y ) – однородность расстояния;
( x  z , y  z )  ( x, y ) – транзитивность.
Можно показать, что если расстояние какого-либо метрического
пространства обладает однородностью и транзитивностью, то такое метрическое пространство можно сделать нормированным.
Примерами метрических пространств, расстояние которых обладает
однородностью и транзитивностью, являются следующие пространства:
1) R1 , ( x, y )  x  y , x  x ;
n
 xi  yi 2 ,
2) R n , ( x, y ) 
x 
i 1
3) C a, b , ( x, y )  max x(t )  y (t ) ;
ta ,b 
n
 xi2 ;
i 1
1
1
b
b
p
p
p
p
4) L p a, b , ( x, y )    x(t )  y (t ) dt  , x    x(t ) dt  ;




a
a



5) l p , ( x, y )    i  i
 i 1

1
pp

 , x  
i



 i 1
6) m, ( x, y )  max i  i , x  max i .
i
i
46
1
pp
 ;


Простейшие свойства сходимости в нормированных пространствах выражаются следующими утверждениями:
1. Если x n  x (в смысле сходимости по норме ( x, y )  x  y ),
то xn  x ( xn , x  E ).
2. Если x n  x , y n  y , то xn  y n  x  y ( xn , x, y n , y  E ).
3. Если x n  x ,  n   , то  n xn  x (  n ,   C , xn , x  E ).
4. Если xn  0 , ( xn  E ) а последовательность  n   C ограничена, то  n xn  0 .
5. Если  n  0 (  n  C ), а последовательность xn   E ограничена, то  n xn  0 .
О п р е д е л е н и е. Две нормы

1
и 
2
называются эквивалент-
ными, если существуют положительные постоянные с1 , с 2 такие, что
с1 x 1  x 2  с2 x 1 x  E .
Если нормы

1
и 
2
эквивалентны, то сходимость по одной из
норм влечет сходимость по другой и наоборот. Отметим, что в каждом
конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны.
Рассмотрим примеры линейных нормированных пространств.
1. Множество вещественных чисел является нормированным пространством, если за норму в нем взять абсолютную величину чисел, а также
линейное пространство n-мерных векторов x  x1 , x2 ,..., xn  с нормой
x  x12  x22  ...  xn2 .
2. Линейное пространство всех ограниченных вещественных
функций, определенных на отрезке a, b , превращается в нормированное,
если в нем ввести норму по формуле   sup (t ) . Его нормированное
a ,b 
подпространство непрерывных на a, b функций обозначается C a, b .
3. В линейном пространстве C a, b положим
f  max f ( x ) .
xa ,b 
4. В линейном пространстве L2 a, b  положим
1
b
2
1 
2
f 
f ( x) dx  .


b  a  a

47
О п р е д е л е н и е. Нормированное пространство называется банаховым, если оно является полным относительно метрики, порожденной нормой.
Каждое нормированное пространство имеет пополнение.
Примерами банаховых пространств могут служить метрические
пространства R1 , R n , C a, b  , M a, b , L p a, b  ( p  1), l p ( p  1), c, m , в
которых норма элемента x определяется как его расстояние до нуля, т.е.
x   x ,0  .
Линейными нормированными, но не банаховыми пространствами
являются пространства С1 a, b, C 2 a, b всех непрерывных на отрезке [a; b]
функций, нормы в которых определяются, соответственно, формулами
b
x1  x,0   
a
1
2
b
2 
x(t ) dt , x2  x,0    x(t ) dt  .


a

Примеры решения задач
1. Является ли нормой в C 1 a, b
x 1  x(b)  x ( a )  max x (t ) ?
ta ,b 
Р е ш е н и е. Не является, так как если взять постоянную функцию
x(t )  c ,
то
x(t )  0 , x (t )  C 1 a, b  ,
но
x(t ) 1  x(b)  x( a )  max x(t )  c  c  0  0 ,
ta ,b 
т.е. не удовлетворяет первой аксиоме нормы: x  0  x = 0.
2. Является ли нормой функция x  arctg x, x  R1 ?
Р е ш е н и е. Нет, не является, так как не выполняется вторая ак1
сиома нормы. Действительно, если взять x  3 ,   , то
3
 x  arctg
48
3 
 ,
3
6
а
 x 
1
1  
arctg 3    ,
3 3 9
3
поэтому  x   x .
3. Определяет ли норму в R 2 функция x   1 , 2   x 
 1   2 ? Если да, то что представляет собой единичный шар в R 2 от-
носительно введенной нормы?
Р е ш е н и е. Да, определяет. Выполнение первых двух аксиом
очевидно. Нетрудно видеть, что выполняется также и третья аксиома:
если x  1 ,  2  , y  1 ,  2  , то
x  y  1  1   2   2  1   2  1   2  x  y .


Единичный шар S 0,1  x  1 ,  2   R 2 : 1   2  1 в R 2 относительно введенной нормы представляет собой единичный квадрат с
вершинами в точках (1, 0), (0, –1), (–1, 0), (0, 1), лежащих на осях координат OX и OY.
4. Является ли нормой функция max x(t ) на множестве опреa t 
a b
2
деления x  C a, b ?
Р е ш е н и е. Нет, так как не выполняется первая аксиома нормы:
 a b
, но, вообще
если x  0 , то max x(t )  0 , т.е. x(t )  0 на a,
a b
2 

a t 
2
говоря, x(t )  0 на отрезке a, b .
5. Является ли нормой в C 1 a, b выражение
b
x

  x(t ) dt  max x(t ) ?
ta ,b 
a
Р е ш е н и е. Да, является. Покажем, что существуют числа
c1  0, c2  0 такие, что
c1 x  x   c2 x
для любых x  C 1 a, b .
49
(1.6)
Известно, что
x  max x(t )  max x(t ) –
ta ,b 
ta ,b 
стандартная норма в C 1 a, b . Так как x(t ) непрерывна, то
b
x(t ) .
 x(t ) dt  (b  a) tmax
a ,b 
a
Пусть
c2  max(b  a),1 .
Тогда
x   c2 x .
С другой стороны, x(t ) непрерывна, а значит,
t
x(t )  xt 0    x() d для любых t0  a, b  .
t0
Отсюда
x (t )  x t 0  
t
x   .
 x() d  xt 0   t  t0 max
a ,b 
t0
Поэтому
max x(t )  xt 0   (b  a ) max x   .
a ,b 
ta ,b 
Интегрируя это неравенство по t0 , получаем
b
(b  a) max x(t )   xt 0  dt0  (b  a) 2 max x(t ) ,
ta ,b 
ta ,b 
a
т.е.
b


 max1, b  a  (b  a)  x
(b  a ) x   xt  dt  (b  a )  (b  a ) 2 max x(t ) 
ta ,b 
a
2
50

Таким образом,
c1 x  x  , где c1 

ba
max 1, b  a  (b  a) 2
 0 ,
и неравенство (1.6) доказано, т.е. x  можно считать нормой в C 1 a, b ,
так как нормы  и 

оказались эквивалентными.
6. Проверить, что нормы
1
1
2
x 1  max x(t ) и x 2    x 2 (t ) dt 


0t 1
0

не эквивалентны в C 0,1 .
Р е ш е н и е. Напомним, что две нормы, введенные на одном линейном пространстве, эквивалентны тогда и только тогда, когда из сходимости последовательности по одной из этих норм вытекает ее сходимость по другой норме и наоборот. В данном случае, например, последовательность xn (t )  t n сходится к нулю по норме  2 , так как
1
xn
2
1
2
   t 2 n dt  


0

1
2n  1
0
при n   , но не сходится по норме  1 , так как сходимость по норме 
1
эквивалентна равномерной сходимости, а последовательность xn (t ) поточечно сходится к функции
0, 0  t  1
x(t )  
 1, t  1,
которая разрывна и не принадлежит пространству C 0,1 . Следовательно, нормы  1 и  2 не эквивалентны.
7. Построить пример последовательности xn (t ) непрерывных
функций, сходящейся в пространстве L1 0,1 и L2 0,1 , но не сходящейся
в C 0,1 .
Р е ш е н и е. Рассмотрим следующую последовательность функций (рис. 1.7):
51

1 1
0, если t  

2 n


1 1
1
n
xn (t )   nt   1, если
 t  ;
2
2
2
n


1
1 1
n
nt  2  1, если 2  t  2  n

xn C  max xn (t )  1 ;
t0,1
1
xn
xn
L1
  xn (t ) dt 
0
1
;
n

2

.
  xn2 (t ) dt  
3
n

 0
1
L2
xn (t )
1
1
1 1

2 n
1 1

2 n
t
Рис. 1.7
Отсюда очевидно, что xn  0 в L1 0,1 и L2 0,1 , а в C 0,1 предеn 
1
1
xn  0 .
ла не существует, так как xn    1 и для любого t 
n 
2
2
 
8. Доказать, что последовательность xn (t )  n 2te  nt поточечно
сходится к функции x(t )  0 для любого t  0 , но не сходится в L2 0,1 .
52
Р е ш е н и е. Очевидно, что xn (0)  0 . Пусть t > 0. Тогда, применяя правило Лопиталя, получим
lim xn (t )  lim
n 
n
n 2t
e
nt
 lim
2nt
n   te nt
 lim
2t
n   t 2 e nt
 0.
Интегрируя же по частям, имеем
xn (t )
2
L2
1


2
1
1
1
1
  n 2te nt dt    n3  n 2  e 2 n   ,
2
2
4 n  4
0
т.е. L2 0,1 последовательность к нулю не сходится.
9. Доказать, что в пространстве C[a, b] множество X функций x(t)
таких, что для любого t  a, b  выполняется неравенство x (t )  1 , является открытым.
Доказательство. Пусть a(t) – любая непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству a (t )  1 для любого t  a, b  , т.е. a  X .
Но тогда
a  max a (t )  1
ta ,b 
и r  1  a  0 . Пусть x(t) – любая функция из открытого шара
S r (a )  x (t )  C a , b  : x (t )  a (t )  r  .
Тогда для любого t  a, b 
x(t )  max x()  x  ( x  a )  a 
a ,b 
 x  a  a  r  a  1  a  a  1,
т.е. x (t )  1 для любого t  a, b  , а значит x  X , т.е. указали шар
S r (a )  X и X – открытое множество.
Задания для самостоятельного решения
1. Можно ли в R 2 определить норму формулой
x  max1  2 2 , 1   2 , x  1 ,  2   R 2 ?
2. Являются ли нормами на множествах определения функции:
53
1
1
2
2
а) x    p(t ) x(t ) dt  , x, p  C 0,1, p  0 на [0,1];


0

b
б) x   x(t ) dt  max x(t ) , x  C (1) 0,1 ;
t[ a ,b ]
a
в) x  max x(t ) , x  C (1) 0,1 .
t[ a ,b ]
3. Можно ли в линейном пространстве C ( 2) a, b дважды непрерывно
дифференцируемых на [а; b] функций принять за норму элемента х (t):
а) x (a )  x (a )  max x (t ) ;
t[ a ,b ]
б) x (a )  x(b)  max x (t ) ;
t[ a ,b ]
1
2
b
2 
в) max x(t )    x(t ) dt  .


t[ a ,b ]
a

4. В множестве всех многочленов, степени которых не превышают
n ( n  N ), определить норму соотношением x  max x (t )  x(t ) . Проt[ 0,1]
верить аксиомы нормы.
5. В пространстве C ( k ) a, b k раз непрерывно дифференцируемых
на [а; b] функций определить норму элемента х (t) формулой:


а) x  max  sup p j (t ) x( j ) (t )  ;
0  j  k ta ,b 


1
b k
q
q
б) x     p j (t ) x ( j ) (t ) dt  , q  1 ;
 j 0

a

в) x  sup
k
 p j (t ) x( j ) (t ) ,
t[ a ,b ] j  0
где p j  C[ a, b], j  0,1,..., k – поло-
жительные функции. Показать, что все аксиомы нормы выполняются и
что C ( k ) a, b в случаях а) и в) является банаховым.
6. Выяснить, сходится ли в нормированном пространстве последовательность xn  :
а) при E  C[0, 1], xn (t )  t n  t n 1 ;
54
б) E  C[0, 1], xn (t )  sin t  sin
t
;
n


1
,...,
0, ,0,... ;
в) E  l1 , xn   0




n
 n

 1

1
,...,
,0,... ;
г) E  l2 , xn  1,
n
2


 nt
д) E  L1[0,1], x n (t )  ne ;

 1
1  nt , t  0, 
 n
е) E  L2 [0,1], xn (t )  
 0, t   1 ,1.


n 
7. Эквивалентные ли нормы x 1  max | x(t ) | и в С [a, b]?
a t b
8. Эквивалентны ли в пространстве C (1) [ a, b] нормы
x 1  max | x(t ) |  max | x(t ) |
a t b
a t b
и
x
2
| x(a) |  max | x(t ) | ?
a t  b
Ответы. 1. Да. 2. а, б – да; в – нет. 3. а–в – да. 6. а–в, е – да; г, д –
нет. 8. Да.
1.3. Гильбертовы пространства
В аналитической геометрии и линейной алгебре вводятся важные
понятия скалярного произведения векторов и, соответственно, элементов
линейного пространства; при этом центральное место занимают понятия
ортогональности и ортонормированного базиса, отсутствующие в нормированных пространствах. Гильбертово пространство является непосредственным обобщением n-мерного евклидова пространства R n , поэтому его «геометрия» ближе, чем в случае любого другого банахова
пространства, подходит к евклидовой геометрии. Кроме того, оно обладает многими такими свойствами евклидова пространства, которыми ба55
наховы пространства общего вида не обладают. Это обстоятельство позволило развить функциональный анализ на основе гильбертова пространства гораздо шире и полнее, чем на основе общих нормированных
пространств, благодаря чему теория гильбертова пространства выделилась в большую самостоятельную ветвь функционального анализа со
своими результатами и методами.
Скалярное произведение
О п р е д е л е н и е. Скалярное произведение элементов x и y вещественного линейного пространства X определяется как функция x, y  ,
принимающая вещественные значения и удовлетворяющая условиям:
1. x, x   0 , x, x   0  x  0 ;
2. x, y    y , x  ;
3. x1  x2 , y   x1 , y   x2 , y  ;
4. x, y   x, y  .
Таким образом, понятие скалярного произведения является естественным обобщением понятия скалярного произведения векторов.
В случае комплексного пространства вводятся небольшие видоизменения. Во-первых, произведение x, y  может принимать комплексные значения. Во-вторых, аксиома x, y    y , x  заменяется более общим
требованием x, y    y , x  (черта обозначает комплексное сопряжение).
Линейное действительное пространство H с фиксированным в нем
скалярным произведением называется евклидовым пространством.
Отметим, что в евклидовом пространстве сумма, произведение на
число и скалярное произведение непрерывны, т.е. если при n   имеем x n  x , yn  y (в смысле сходимости по норме),  n   (как числовая последовательность), то и xn  y n  x  y ,  n xn  x ,
 x n , y n   ( x, y ) .
Скалярное произведение позволяет ввести в X норму
1
x   x, x  2
и в итоге – метрику
1
( x, y )  x  y, x  y  2 .
Пространства со скалярным произведением в классе всех нормированных пространств характеризуются определенным свойством.
56
Т е о р е м а (тождество параллелограмма). Пусть L – нормированное пространство. На L можно ввести скалярное произведение, согласованное с нормой тогда и только тогда, когда в L выполнено тождество
параллелограмма:
x, y  L
x y
2
 x y
2

2
2 x  y
2
.
О п р е д е л е н и е. Пространство H со скалярным произведением
называется гильбертовым, если оно полно относительно метрики, порожденной скалярным произведением.
Если в гильбертовом пространстве Н существует счетное всюду
плотное множество, то Н называется сепарабельным гильбертовым пространством.
Примеры гильбертовых пространств приведены ниже.
1. n-мерное арифметическое пространство R n , элементами которого являются наборы действительных чисел x  1 ,...,  n  с обычными
операциями сложения, умножения и скалярным произведением
n
 x , y     k k ,
k 1
y  1,..., n   R n
есть гильбертово пространство.
2. Пространство C n гильбертово, если скалярное произведение
двух наборов комплексных чисел z  z1 ,..., z n  и w  w1,.., wn  ввести по
формуле
n
 z , w    z k wk .
k 1
3. Пространство l2 , элементами которого являются такие последовательности комплексных чисел  k  , что

 k
2
  , есть гильбер-
k 1
тово пространство, если скалярное произведение в нем ввести соотношением

x, y    k k ,
k 1
x   k   l2 , y  k   l2 .
Пространство l2 сепарабельно. В качестве плотного в l2 счетного
множества можно взять совокупность всех векторов с конечным (своим
для каждого вектора) числом отличных от нуля компонент при условии,
57
что этими компонентами являются числа вида   i , где  и  – рациональные числа.
4. Пространство C2 [a, b] всех непрерывных на [ a, b] действительных
функций является евклидовым относительно скалярного произведения
b
x, y    x(t ) y(t ) dt .
a
1
2
b
Поскольку пространство C2 [a, b] с нормой x    x 2 (t ) dt  не


a
полно, то C2 [a, b] представляет пример евклидова, но не гильбертова
пространства.
5. Пространство L2 a, b  , состоящее из классов эквивалентных
между собой комплекснозначных функций, интегрируемых с квадратом
модуля, со скалярным произведением
b
x, y    x(t ) y(t ) dt,
x, y  L2 a, b ,
a
есть сепарабельное гильбертово пространство. Счетным всюду плотным
множеством в нем является, например, множество многочленов с коэффициентами вида   i , где  и  – рациональные числа.
Наличие в H скалярного произведения позволяет ввести в этом
пространстве не только норму (т.е. длину) вектора, но и угол между векторами. Углом между ненулевыми элементами х и у евклидова пространства называется угол  , заключенный между 0 и  , такой, что
cos  
Если (х, у) = 0, то  
( x, y )
.
x  y

; при этом векторы х и у называются орто2
гональными ( x  y ).
Если элемент x  H ортогонален каждому элементу некоторого
множества L  H (т.е. ( x, y )  0 y  L ), то говорят, что x ортогонален L, и
пишут x  L . Множество всех элементов x  H , ортогональных данному множеству L, обозначается L .
58
Т е о р е м а. Пусть М – замкнутое множество в гильбертовом пространстве H и x  M . Тогда существует такой единственный элемент
y  M , что ( x, M )  x  y .
Ортогональные элементы обладают следующими свойствами.
1. Если x  y1 и x  y 2 , то x  1 y1   2 y 2 , а, следовательно,
x1 , 1 y1   2 y 2   1 x1 , y1   1 x2 , y2   0 .
2. Если xn  x и xn  x0 , то x0  x .
Т е о р е м а. Чтобы система элементов xk  была полной в гиль-
бертовом пространстве H, т.е. чтобы Lxk   H , необходимо и достаточно,
чтобы не существовало элемента xk  0 и элемента x0  xk для всех k.
О п р е д е л е н и е. Система векторов в гильбертовом пространстве называется ортогональной, если xi , x j  0 при i  j . Если, кроме то-




го, xi , x j  1 при i  j , то система называется ортонормированной.
О п р е д е л е н и е. Полная ортонормированная система элементов называется ортонормированным базисом гильбертова пространства.
Ортогональный базис
гильбертова пространства
Доказано, что относительно ортонормированной системы всякий
элемент x  H представим в форме
x   an hn ,
(1.7)
n
где an равны коэффициентам Фурье an  x, hn  элемента x, причем такое представление единственно. Формула (1.7) называется разложением
Фурье элемента x по элементам hn .
Если элементы f n  H образуют полную ортогональную систему,
но еще не нормированную ( f n  0 ), то, полагая h 
fn
, мы построим
fn
полную ортонормированную систему. Тогда для любого x  H справедли1
xn , h  и разложение примет вид
во разложение x   an hn , где an 
f
n
n
59
x
xn , hn  f
2
fn
n
n
.
Если в H дана произвольная система линейно независимых элементов h1 , h2 ,..., hn ,... , то из нее легко получить ортонормальную систему
с помощью процесса ортогонализации Шмидта. А именно, полагают
h
e1  1 , а затем подбирают  21 так, чтобы h2   21e1 было ортогональh1
но e1 , что всегда возможно, и полагают e2 
h2   21e1
. Далее подбиh2   21e1
рают  21 и 31 так, чтобы h3   32e2   31e1 было ортогонально e2 и e1 ,
и полагают e3 
h3  32e2  31e1
и т.д.
h3  32e2  31e1
Рассмотрим примеры ортонормированных систем.
1. Тригонометрическая система функций
1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,..., cos nx, sin nx,...
является ортогональной системой в пространстве L2  ,  . Ортонормированная система, соответствующая приведенной системе, имеет вид
1
2
,
1

cos x,
1

sin x,
1

cos 2 x,
1

sin 2 x, ...,
1

cos nx,
1

sin nx,...
2. Многочлены
P0 ( x)  1, P1 ( x)  x, P2 ( x) 


n
3 2 1
1 dn  2
x  , Pn ( x)  n
x 1 
n 

2
2
2 n! dx 
называются полиномами Лежандра. Система полиномов Лежандра есть
ортонормированная система в пространстве L2  1,1 .
3. В пространстве l2 ортонормированный базис образует система
векторов


, k  1,2,...
,0
,...,
0
,
1
,
0
,...
ek   0



 k 1

60
Примеры решения задач



1. Доказать, что в пространстве l1   x  x1, x2 ,... :  xn   с
n 1


нормой

x   xn
n 1
нельзя ввести согласованное с этой нормой скалярное произведение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что в l1 не выполняется равенство параллелограмма
x y
2
 x y
2

2
2 x  y
2
.
Для этого возьмем x  (1,1,0,0,...) , y  (1,1,0,0,...) .
Тогда
x  2, y  2, x y  2, x y  2
и
x y
2
 x y
2

2
82 x  y
2
  16,
т.е. равенство параллелограмма не выполнено.
2. В линейном пространстве H непрерывных на [0,  ) функций

x(t) таких, что
 x(t )
2 t
e dt сходится, положим
0

x, y    x(t ) y(t )e t dt .
0
Проверить выполнение аксиом скалярного произведения.
Решение

1. x, x    x(t ) x(t )e t dt  0 x  H .
0
Если x, x   0 , то

 x(t )e
t 2
dt  0 и x(t) непрерывна, то по свойству
0
интеграла Римана x(t )  0 . Если же x(t )  0 , то очевидно, что x, x   0 . Таким образом, для любого x  H x, x   0 и x, x   0  x = 0.
61

2.
x, y    x(t ) y(t )e t dt   y, x  ,
причем интеграл сходится для
0
любых x, y  H , так как для любого конечного T > 0
1
T
2
T 2
2
t
t
t 
x
(
t
)
y
(
t
)
e
dt
x
(
t
)
e
dt
y
(
t
)
e
dt


 .





 0
0
0
T


0
0
3. x, y    x(t ) y (t )e t dt     x(t ) y (t )e t dt  x, y  .
4.

x  y, z    x(t )  y (t ) z (t )e  t dt 
0


0
0
  x(t )  z (t )e  t dt   y (t )  z (t )e  t dt 
 x, z    y, z ,
причем все интегралы сходятся, если x, y, z  H .
Таким образом, все четыре аксиомы скалярного произведения выполнены.



3. В пространстве l2   x  x1 , x2 ,..., xn  R :  xn2    положим
n 1



x, y     n xn yn ,
n 1
где  n  R, 0   n  1 . Будет ли полученное пространство последовательностей с таким скалярным произведением гильбертовым пространством?
Р е ш е н и е. Пространство с таким скалярным произведением не
будет гильбертовым. Для доказательства этого выберем
1
n   
2
и рассмотрим последовательность
xn 
n
(1.8)
элементов из l2 , таких, что


xn  1
, ...,1, 0, 0,...  . Тогда последовательность



 n
62
xn 
фундаментальна в
норме, порожденной скалярным произведением (1.8), так как если
n  N ()  1  2 log 2  , где   0 – произвольное, наперед заданное достаточно малое число, то для любого p  0
n p
xn p  xn , xn p  xn     12 
 
k

k  n 1
1
 2 ,
2n
т.е. xn  p  xn   для n  N () и для любого p  0 .

Но
 , т.е. для последовательности xn  не сущест xnk2  n n

k 1
вует предельной точки в l2 , т.е. l2 со скалярным произведением (1.8) не
является гильбертовым.
4. В линейном пространстве H непрерывных на [0,  ) функций

x(t) таких, что
 x(t )
2 t
e dt сходится, положим
0

x, y    x(t ) y(t )e t dt .
(1.9)
0
Построить три первых члена ортогональной системы многочленов
Чебышева-Лаггера.
Р е ш е н и е. Итак, требуется ортогонализировать многочлены
2
1, t , t ,... , используя скалярное произведение (1.9). Имеем
f 2 (t )  t   21 f1 (t ) ;  f 2 , f1   0 .
f1 (t )  1 ;
Отсюда

 t   21 f1 (t )1 e
t
dt  0  ,
0
так как


0
0
t
t
 e dt  1 ,  te dt  1 ,
то
1   21  0 , т.е.  21  1 ,
63
а значит,
f 2 (t )  t  1 , f 3 (t )  t 2   31 f1 (t )   32 f 2 (t ) ;  f3 , f1   0 .
Отсюда
 31  
t , f  ,
2

t
 f1, f1  0
Тогда
 32  
1
t , f  ,
2
2 t
e dt  2   31  2 ,

t
 f 2 , f 2  0
2
 f3 , f 2   0 .
3 t
e dt  6   32  (6  2)  4 .
Следовательно,
f 3 (t )  t 2  4t  2 .
Итак,
f1 (t )  1 , f 2 (t )  t  1 , f 3 (t )  t 2  4t  2 .
5. Найти углы треугольника (рис. 1.8), образованного элементами
x1 (t )  0, x2 (t )  1, x3 (t )  t пространства L2  1,1 .
x2
2
3
1
x1
x3
Рис. 1.8
Решение
По определению
 x2  x1 , x3  x1 
1
 1

  tdt    dt   t 2 dt 
cos 1 
x2  x1  x3  x1 1
 1 1

1
64

1
2
0;
cos 2 
 x1  x2 , x3  x2 
1
 1

  (1)(t  1)dt    (1) 2 dt   (t  1) 2 dt 
 1

1
1
1
cos 3 

x1  x2  x3  x2

1
2
2
 x1  x3 , x2  x3 
1
 1

  (t )(1  t )dt    (t ) 2 dt   (1  t ) 2 dt 
1
1
 1


3
2
3
3
;
2

x1  x3  x2  x3
1
2


1
2

2
3
1
 .
2
2 2

3 3
3
3
1
, cos 3  .
2
2
Итак, cos 1  0 , cos 2 
6. Провести ортогонализацию в L2  1,1 элементов
x0 (t )  1, x1 (t )  t , x 2 (t )  t 2 , x3 (t )  t 3 .
Р е ш е н и е. f 0 (t )  x0 (t )  1 .
f1 (t )  x1 (t )  10 f 0 (t )  t  10 и  f1, f 0   0 
1
 t  10 1dt  0

1
 0  210  0  10  0  f1 (t )  t .
f 2 (t )  x2 (t )   20 f 0 (t )   21 f1 (t ) и  f 2 , f 0   0 , 
 x2 , f 0    20  f 0 , f 0   0 
1
10   
3

1
1
1
1
2
 t dt   20  dt  0 
 f 2 , f1   0
1
1
1
1
2
2
 t  tdt   21  t dt  0

2
 2 20  0 
3
x2 , f1    21  f1 , f1   0
2
3

1
3
 0   21  0  f 2 (t )  t 2  .
65
f 3 (t )  x3 (t )   30 f 0 (t )   31 f1 (t )   32 f 2 (t ) ,  f3 , f 0   0 
1
 x3 , f 0    30  f 0 , f 0   0 
  30  0 

1
t
1
4
1
 f3 , f1   0
dt   31  t 2 dt  0 
1
t
1

1
x3 , f1    31  f1 , f1   0

1
 f3 , f 2   0
1
1
3
 t dt  30  dt  0  0  2 30  0 

3
2
2
 31  0  31   .
5
5
3
x3 , f 2   32  f 2 , f 2   0

2
1
1
2 4 2
 2 1
 t   dt   32   t   dt  0  0   32       0
3
3
5 9 9



1
3 2

3
  32  0  f 3 (t )  t 3  t .
5
3
1
Ответ: f 0 (t )  1 , f 2 (t )  t 2  , f 3 (t )  t 3  t .
5
3
7. Провести ортогонализацию элементов
x0 (t )  1, x1 (t )  t , x 2 (t )  t 2 , x3 (t )  t 3
в пространстве
H1  1,1 : x, y  H 1  1,1  x, y  
1
 x(t ) y (t )  x(t ) y(t ) dt
.
1
Р е ш е н и е. f 0 (t )  x0 (t )  1 ,
f1 (t )  x1 (t )  10 f 0 (t )  t  10 , 10  
x1, f0  , x , f   1 t 1dt
 f0 , f0  1 0 1

 10  0  f1 (t )  t .
f 2 (t )  x2 (t )   20 f 0 (t )   21 f1 (t ) ,  2i  

1
x2 , f0    t 2dt  2
3
1
1

 f0 , f 0    dt  2
 x2 , f i 
 fi , fi 
x2 , f1    t 2  t  2t  1dt  0
1

  21  0 .
1
  20  
1
66
1
1
 f 2 (t )  t 2  .
3
3
f 3 (t )  x3 (t )   30 f 0 (t )   31 f1 (t )   32 f 2 (t ) , 3i  
1
 x3 , f 0    t 3dt  0  30  0 , x3 , f1  
1
 f1 , f1    t 2  1dt  8
1
3
1

 t
1
3

 t  3t 2  1 dt 
1
 31  
x3 , f 2    t 3   t 2  1   3t 2  2t  dt  0

3
 f 3 (t )  t 3 

2
12
.
2
5
5
9

10
1
1
x3 , fi 
 fi , fi 

  32  0 ,
9
t.
10
9
1
Ответ: f 0 (t )  1 , f1 (t )  t , f 2 (t )  t 2  , f 3 (t )  t 3  t .
10
3
8. Для функции et найти многочлен второй степени p (t ) такой,
что норма e t  p(t ) минимальна в L2  1,1 .
Р е ш е н и е. Поскольку при заданном n в пространстве со скалярным произведением от элемента х наименее уклоняется его n-я частичная сумма ряда Фурье, то искомый многочлен совпадает с многочленом
Фурье второй степени функции et , т.е.
p (t )  c0 e0 (t )  c1e1 (t )  c 2 e2 (t ) ,
где e0 (t ), e1 (t ), e2 (t ) – элементы ортонормированной системы в L2  1,1 ,


ck  e t , ek , k  0, 1, 2 – коэффициенты Фурье функции et . Для того чтобы найти e0 (t ), e1 (t ), e2 (t ) , применим процесс ортогонализации к линей-
но независимым функциям 1, t , t 2 .
1
 1 2
1
1

Учитывая, что 1    dt   2 , найдем e0 (t ) : e0 (t ) 
.


1
2
 1 
Далее, e1 (t ) 
1
h1 (t )
1
, где h1 (t )  t  t , e0  e0 . Так как t , e0  
 t dt  0 ,
h1
2 1
67
то
h1 (t )  t . Кроме того,
1
 h1, h1    t 2 dt 
2
h1
1
e1 (t ) 
2
. Следовательно,
3
3
t . Перейдем теперь к построению функции e2 (t ) :
2
e2 (t ) 
где
h2 (t )
h2


,


h2 (t )  t 2  t 2 , e0 e0  t 2 , e1 e1 .
Нетрудно видеть, что
t , e  
2
 
1
1
0
2
1
2
, t 2 , e1 
3
2
 t dt 
1
3 3
t dt  0 .
2 1
1
Поэтому h2 (t )  t 2  . Поскольку
3
h2
2
1
1
8

,
 h2 , h2     t 2  dt 
3
45

1
то
e2 (t ) 
3 5  2 1
t   .
3
2 2
Итак, чтобы построить искомый многочлен, осталось подсчитать
коэффициенты Фурье c0 , c1, c2 функции et :



 e dt 
2
1
1



3 5
2 2
1

  t
1
t
e2  1
e 2
;
3
6
;
t e t dt 

2 1
e
c1  e t , e1 
c 2  e t , e2 
1
1
c0  et , e0 
2
1
  e t dt 
3
68

5 e2  7
e 2
.
Тогда
p (t )  c0 e0 (t )  c1e1 (t )  c2 e2 (t ) 

2
e 1 1
e 2
2


6
e
3
2
t
5(e2  7)  2 1 
t   
3
e 2

2
3 11  e
3 15 e2  7 2
 t
t .
e
4 e
4 e
Задания для самостоятельного решения
1. Доказать, что функция
b
b
a
a
x(t )   x(t ) y (t ) dt   x(t ) y (t ) dt
определяет скалярное произведение в пространстве C1[a, b] непрерывно
дифференцируемых на отрезке [а; b] функций. Является ли пространство
C1[a, b] гильбертовым?
2. Доказать, что функция

( x, y )    k k k , 0  k  1 k  N ,
k 1
где x  1 ,  2 ,..., y  1 ,  2 ,... определяет скалярное произведение в l2 .
3. Доказать, что в нормированных пространствах c0 и m норма не
порождается скалярным произведением.
4. Проверить ортогональность в Н следующих систем:


, n  N ;
,...,
0
,
1
,
0
,...
а) H  l 2 , xn   0
 

 n 1

б) H  l2 , xn  1,  2 ,...,  2 n , 0, 0...,
где 1  ...   n 1  1,  n 1  ...   2 n  1, n  N ;
2
2
1
в) H  L2 [0,2], 1, cos nt , sin nt , n  N  .
5. Найти коэффициенты разложения по базису en (t )  e 2  int пространства L2 [0,1] для функций x (t )  et .
Ответы. 1. Не является. 5. cn 
e 1
,   2in .
  2in
69
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
2.1. Операторы. Основные понятия
Если переносить понятие функции (из математического анализа)
как отображение точек одного множества на другое в произвольные
метрические пространства, то мы придем к более широкому обобщению
понятия функции. Будем рассматривать операции, определяющие преобразование (или отображение) одного метрического пространства в самого себя или другое метрическое пространство.
Пусть X и Y – метрические пространства, D – некоторое множество в пространстве X.
О п р е д е л е н и е. Если каждой точке x  D по определенному
правилу поставлена в соответствие некоторая точка y  Y , то говорят,
что на множестве D задан оператор со значениями в пространстве Y.
Обозначим этот оператор А, тогда само соответствие между точками x  D и y  Y записывается в виде
y  Ax .
Множество D называется областью задания (или отображения)
оператора А. Символ x, обозначающий переменную точку из множества D,
называется аргументом оператора А. Каждая точка y  Y , представимая
в виде y  Ax , называется значением оператора А или образом соответствующей точки x  D . Относительно оператора А говорят, что он устанавливает отображение множества D в пространство Y. Если совокупность значений оператора А совпадает со всем пространством Y, то говорят, что установлено отображение множества D на пространство Y. Если
P  D , то совокупность всех значений y  Ax оператора А, когда
x  P , называется образом множества Р.
Приведем примеры операторов.
1. Оператор возведения в квадрат в пространстве C(0,1):
Ax (t )  x 2 (t ) . Областью определения оператора А служит все пространство C(0, 1), областью значений – совокупность всех неотрицательных
функций из C(0, 1).
70
2. Матрицу
 a11  a1n 


A  aij      
a

 n1  ann 
 
можно рассматривать как оператор, действующий из R n в R n , т.е. как
устанавливающий соответствие каждому вектору x  x1 ,..., x n   R n век-
тор y   y1 ,..., y n   R n , компоненты которого вычисляются по формулам
n
yi   aij x j , i  1,..., n .
j 1
x
3. Интеграл
 f (t ) dt
с переменным верхним пределом является
a
оператором, определенным в пространстве непрерывных функций со
значениями в том же пространстве.
4. Оператор A: C[0, 1] → C[0, 1] (действующий из C[0, 1] в C[0, 1])
по правилу
1
A : x(t )   k ( s, t ) x( s ) ds ,
0
где k(s, t) – ядро оператора, являющееся непрерывной функцией двух переменных 0  s, t  1 .
Оператор А называется интегральным оператором.
Линейные операторы. Аддитивные операторы
Приведенные ниже определения и утверждения позволят раскрыть
самое общее понятие функциональной зависимости. Пусть X и Y – вещественные линейные пространства, А – оператор, действующий из X в Y.
О п р е д е л е н и е. Оператор y = А(x) называется аддитивным, если Ax1  x2   Ax1  Ax 2 для любых x1 , x2  X .
О п р е д е л е н и е. Оператор y = А(x) называется однородным, если
Ax     Ax 
для любого x  X и любого числа  .
Если оператор А аддитивен, то выполнимы свойства:
1. A   , где  – нулевой элемент обоих пространств.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого x  X
Ax  Ax    Ax  A  A  Ax  Ax   .
71
(2.1)
2. A( x)   Ax для любого x  X .
Доказательство. Так как x  x   , то
Ax  x   Ax  A x   A    Ax  A x     A x    Ax  .
3. Равенство (2.1) выполнимо для рациональных  .
m
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если   , где m, n  N , то по свойству
n
однородности (1)
m 
 x
1  m
A x   A m   mA x   A( x)  Ax .
n 
 n
n  n
Это свойство легко проверить и в случае, когда  натуральное
или отрицательное число.
Отметим, что из аддитивности оператора А не всегда вытекает его
однородность в полном объеме при любом  .
Линейные непрерывные операторы
Пусть теперь X и Y – нормированные пространства. Дадим определение оператора, используя свойство непрерывности.
О п р е д е л е н и е. Оператор A : X  Y называется непрерывным
в точке x0  X , если из того, что последовательность xn  x0 в X вытекает, что последовательность Ax n  Ax0 в Y.
О п р е д е л е н и е. Оператор y = Ax называется линейным, если
он аддитивен и непрерывен.
У т в е р ж д е н и е. Если линейный оператор непрерывен в нуле,
то он непрерывен в любой точке пространства.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0  X и xn  x0 в X, тогда, в силу
непрерывности оператора А в нуле, Axn  x0   A в Y (  – нуль),
 Ax n  Ax0   , Ax n  Ax0 в X.
У т в е р ж д е н и е. Всякий линейный оператор однороден, т.е.
Ax     Ax  .
У т в е р ж д е н и е. В конечномерном нормированном пространстве всякий аддитивный и однородный оператор линеен:
 n
 n
A  ai xi    ai  Axi  .
 i 1
 i 1
72
Это свойство называется свойством дистрибутивности оператора.
Ниже приведены примеры операторов.
1. Пусть A : R n  R n , оператор, который задается матрицей
 a11  a1n 


A  aij       .
a

 n1  a nn 
 x1   a11  a1n  x1 
  
 
A :            .
 x  a
 
 n   n1  a nn  xn 
 
Пусть x, x  R n , y=Ax, y   Ax  . Тогда
n
 n

y  y     aij xi  xi 

 i 1
 j 1
2
 n

   aij xi  xi  
j 1  i 1

n
(неравенство Коши-Буняковского)

2
n
 n
 a 2 x  x   
   ij  i i 
j 1  i 1
i 1

n
2
n
 xi  xi 
i 1

n
 aij2
 x  x 
i , j 1
n
 aij2 ,
i , j 1
т.е. оператор А является непрерывным (если x  x , то из этой оценки
следует, что y  y  ).
2. Интегральный оператор A : C 0,1  C 0,1 .
1
A : x(t )   k ( s, t ) x( s ) ds .
0
Оператор А непрерывен, так как если x n  x в C 0,1 , то xn (t )
равномерно сходится к x(t) на [0, 1]:
1
lim  Axn (t )   lim  k ( s, t ) xn ( s) ds 
n 
n 
0
= (вследствие равномерной сходимости) =
1
1
=  k ( s, t )  lim xn ( s) ds   k ( s, t ) x( s) ds  Ax(t ).
0
n 
0
73
3. Дифференциальный оператор D : x(t )  x(t ) . Оператор D действует из C 0,1 в C 0,1 . Этот оператор не является непрерывным.
Для доказательства рассмотрим последовательность функций
t n 1
t n 1
xn (t ) 
, xn (t )  0 в C 0,1 . К функциям xn (t ) 
применим
n 1
n 1
оператор D: D x n   t n 
 0 в C 0,1 .
Пространство линейных операторов
В множестве линейных операторов, определенных на линейном
пространстве X и принимающих значения в линейном пространстве Y,
можно ввести линейные операции. Пусть А и В такие операторы. Определим сумму этих операторов равенством
(A + B) x = Ax + Bx
и умножение оператора на число – равенством
(λA) x = λAx.
Очевидно, что при таких определениях все необходимые аксиомы
выполнены и рассматриваемое множество линейных операторов является линейным пространством. В частности, нулем этого пространства
служит такой оператор  , что  (x) = 0 для любого x  X .
В пространстве операторов можно определить предел последовательности операторов, полагая, например, что An  A , если для любого
x  X имеем lim An x  Ax . Возможны и другие определения предела
n
последовательности операторов.
Ограниченные операторы. Норма оператора
О п р е д е л е н и е. Оператор A : X  Y (X, Y – нормированные
пространства) называется ограниченным, если существует такая постоянная M > 0, что Ax  M x для любого x  X (здесь норма Ax берется в смысле метрики пространства Y, которому принадлежит область
значений оператора А, а x берется в смысле метрики пространства X).
Согласно этому определению, ограниченный оператор преобразует ограниченное множество элементов x  X в ограниченное же множество элементов Ax  Y .
74
Т е о р е м а. Для того, чтобы линейный оператор А был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
Доказательство. Необходимость. Пусть линейный оператор А непрерывен. Предположим, что А – неограничен. Тогда
n  N
Рассмотрим
 n  0 , т.е.
A n  
x n  X :
Ax n  n x n .
n 
последовательность
n  0  0

xn
.
n xn
(2.2)
Понятно,
что
1
 xn  0 . С другой стороны,
n xn
1
 Axn 
 A(0)  0 , что следует из (2.2).
n xn
Если бы A n   0 , то и A n   0 , но A n  
1
 Axn  1,
n xn
а это противоречит непрерывности оператора А.
Достаточность. Пусть оператор А ограничен и x n  x . Тогда
Axn  Ax  Axn  x   M xn  x  0 ,
n 
т.е. Axn  Ax .
О п р е д е л е н и е. Пусть А – линейный ограниченный оператор.
Нормой оператора А называется наименьшее из чисел М, для которых
выполнено неравенство
Ax  M x или A  sup Ax .
x 1
Таким образом, норма оператора A обладает следующими свойствами:
1. x  X Ax  A  x ;
2.   0 x  X :
Ax   A    x .
Вследствие однородности линейного оператора верны формулы:
A  sup Ax ,
x 1
A  sup
x 0
75
Ax
x
.
Т е о р е м а. Линейный ограниченный оператор A0 , заданный на
линейном многообразии L, всюду плотном в линейном нормированном
пространстве X, и принимающий значения в полном линейном нормированном пространстве Y, может быть продолжен на все пространство без
увеличения нормы.
Иными словами, на пространстве X можно определить оператор А
такой, что Ax  A0 x для x  L и A X  A0 L .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x – элемент пространства X, не
принадлежащий L. Так как L всюду плотно в X, то найдется последовательность xn  L такая, что x n  x  0 при n   и, значит,
xn  xm  0 при n, m   . Но тогда
A0 xn  A0 xm  A0 xn  xm   A0
L
 xn  xm  0
при n, m   , т.е. последовательность A0 xn  сходится в себе, а следовательно, в силу полноты Y и к некоторому пределу. Обозначим этот
предел через Ax. Пусть  n   L – другая последовательность, сходящаяся к x. Имеем, очевидно, xn   n  0 , откуда A0 xn  A0 n  0 .
Следовательно, A0 n  Ax . Это означает, что оператор А определен на
элементах X однозначно. Если x  L , то берем xn  x для всех n и тогда
Ax  lim A0 xn  A0 x .
n
Построенный оператор А аддитивен, так как


Ax1  x2   lim A0 x n(1)  xn( 2)  lim A0 xn(1)  lim A0 xn( 2)  Ax1  Ax 2 ,
n
n
n
и ограничен, так как из неравенства A0 xn  A0
делу получаем Ax  A0
Ax
X
L
L
 xn переходом к пре-
 x . Из этого же неравенства следует, что
 A0 L . Так как при продолжении оператора норма, очевидно, не
может уменьшиться, то A
X
 A0
L
и теорема доказана.
Примеры решения задач
dx
,
dt
с областью определения L – линейным многообразием непрерывно дифференцируемых на 0,1 функций?
1. Будет ли ограниченным оператор A : С 0,1  С 0,1 , Ax(t ) 
76
Р е ш е н и е. Оператор не ограниченный. Для доказательства рассмотрим последовательность x n (t )  t n  С 0,1 . Тогда
xn (t )  max xn (t )  max t n  1
t0,1
t0,1
и
dx (t )
Axn (t )  max n
 max nt n 1  n .
t0,1 dt
t0,1
Поэтому Axn (t )   и x n (t )  1 , т.е. оператор А не ограничен.
n 
1
2. Доказать, что оператор A : L2 0,1  R , A : x(t )   t  x(t )dt не0
прерывный.
Р е ш е н и е. Найдем норму оператора А:
1
A  sup Ax  sup  tx(t )dt  sup t  x  t ,
x 1
x 1 0
1
t 
x 1
t
2
dt 
0
1
3
.
Мы доказали ограниченность оператора, а следовательно, и его
непрерывность.
3. Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными, и найти их нормы:
а) A : С 0,1  С 0,1 , Ax (t )  t 2 x (0) ;
1
б) A : L2 0,1  L2 0,1 , Ax(t )  t  x d .
0
Р е ш е н и е. а) Линейность оператора очевидна:
Ax(t )  t 2 x x 0    t 2 x x 0  Ax(t ) .
Проверим его ограниченность:
1
max t 2 x(0)  max t 2 x(t )  max t 2  max x(t )  max x(t ) ,
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
причем неравенство (1) превращается в равенство, когда x = const. Таким
образом, мы доказали ограниченность оператора А и нашли его норму,
которая равна 1.
77
б) Линейность оператора следует из линейности интеграла. Докажем ограниченность оператора:
1
1
0
0
1
t  x d   x d 
2
 t dt 
1
1
0
3
 x d 
0
≤ [неравенство Коши – Буняковского] 
1
3
1
2
 x  d .
0
Значит, оператор ограничен, причем равенство возможно, если
1
x     const. Следовательно, норма оператора A 
.
3
4. Найти норму оператора A : R n  l2 , если





A1,..., n    1 ,..., n ,..., 1 ,..., n ,... ,
1
1
k
k


n
x  1,...,  n   R .
Р е ш е н и е. Из соотношения
1
Ax
l2
1
1
   2  ...  2  2   1  2  n
2
   1 2 n     2     k2  


k
 k 1 k 
 k 1 
 k 1

1
  1 2
   2   x
 k 1 k 
Rn
1
  1 2
находим A    2  .
 k 1 k 
5. Найти норму интегрального оператора с непрерывным ядром
1
y (t )   K (t , s) x( s) ds ,
0
рассматривая его как оператор, отображающий C[0,1] в C[0,1].
1
Р е ш е н и е. Полагая Ax   K (t , s) x( s) ds , получим
0
78
1
1
Ax  max  K (t , s ) x( s ) ds  max  K (t , s ) ds max x ( s ) 
t
t
0
s
0
1
max  K (t , s ) ds x .
t
0
Следовательно,
1
A  max  K (t , s) ds .
t
(2.3)
0
1
Так как
 K (t , s) ds
– непрерывная функция, то она достигает
0
максимума в некоторой точке t0 отрезка [0,1]. Положим z0 ( s )  sign
K t 0 , s  . Пусть xn (s ) – непрерывная функция такая, что xn ( s )  1 и
1
, где
2Mn
M  max K (t , s ) . На множестве En всюду x n ( s )  z 0 ( s )  2 . Имеем
xn ( s )  z0 ( s ) всюду, кроме множества En меры, меньшей
t ,s
1
1
1
0
0
0
 K (t , s) z0 (s) ds   K (t , s) xn (s) ds   K (t , s) z0 ( s)  xn ( s) ds 

 K (t , s)
xn ( s)  z 0 ( s ) ds  2 max K (t , s) 
t ,s
En
1
1

2Mn n
.
Это неравенство справедливо для любого t  0,1 .
Следовательно, для всех t  0,1 имеем
1
1
0
0
 K (t , s) z0 (s) ds   K (t, s) xn (s) ds 
1
1
 A  xn 
n
n
.
Полагая в этом равенстве t  t0 , получим
1
 K (t0 , s) ds 
0
A  xn 
1
.
n
Так как xn  1 , то предыдущее неравенство в пределе при n   дает
79
1
 K (t0 , s) ds 
A ,
0
т.е.
1
max  K (t 0 , s) ds  A .
t
(2.4)
0
Из неравенств (3) и (4) получаем
1
A  max  K (t0 , s ) ds .
t
0
6. Пусть E  C 0,  – пространство всех тех функций x(t ) , непрерывных на полуоси 0,  , для которых
x  sup x (t )   .
t0,  
Будет ли ограниченным оператор A : E  E , действующий по
формуле
 Ax (t )  tx(t )
t  0,  ?
Р е ш е н и е. Оператор А линеен, его область определения состоит из
функций х(t), для которых sup tx (t )   . Однако для функций х(t) из Е
t0 ,  
имеем sup tx (t )   тогда и только тогда, когда sup (t  1) x (t )   .
t0 ,  
t0 ,  
Значит, D(A) совпадает с множеством функций, удовлетворяющих нераc
венству x(t ) 
, где постоянная с – своя для каждой функции из D(A).
1 t
1
 E , но в то же
Ясно, что D(A)  E (например, функция x(t ) 
1 t
время x(t )  D ( A) ).
Оператор A неограничен. Действительно, рассмотрим последовательn
, n  N . Заметим, что xn (t )  D ( A) , так как
ность функций xn (t ) 
nt
n
n
n
xn (t ) 

. Кроме того, xn (t )  1 и Axn (t )  sup
n.
n  t 1 t
t0,   n  t
80
Следовательно,
A  sup Ax  Axn  n n  N ,
x 1
xD ( A)
откуда вытекает, что A   .
7. Привести пример линейного нормированного пространства E и
таких операторов A, B  L ( E , E ) , что AB  A  B .
Р е ш е н и е. Пусть E = С [0; 1], а операторы A, В действующие в
С [0; 1], определим соотношениями
t
 Ax (t )   x d, Bx (t )  tx(t ) .
0
Очевидно, что операторы А, В линейны. Непрерывность оператора А
следует из неравенства
t
t
Ax  max  x d  max x(t )  max  d  x ,
0 t 1
0 t 1
0
0t 1
0
t
т.е. A  1 . Возьмем функцию x0 (t )  1 . Тогда  Ax0 (t )   d  t и, оче0
видно, Ax0  1 . Отсюда следует, что
A  sup Ax  Ax0  1 ,
x 1
т.е. ||А|| = 1. Аналогично устанавливаем, что ||В|| = 1. Таким образом,
A, B  L(C[0,1], C[0,1]) .
Рассмотрим теперь оператор АВ, действие которого задается формулой
t
 AB ( x(t ))  A(tx(t ))   x d .
0
Из оценки
 AB x
t
t
 max  x d  max x (t )  max  d 
0 t 1
0
0 t 1
81
0 t 1
0
1
x ,
2
1
1
, причем  AB x0  , если x0 (t )  1 , т.е.
2
2
1
1
AB  . Следовательно, AB   1  A  B .
2
2
8. Исследовать последовательность операторов  An   L( E , E ) на
равномерную и поточечную сходимость в следующих случаях:



а) E  l2 , An x   1 ,..., k ,..., x   k   l2 ;
n 
n
б) E  l 2 , An x  1 ,...,  n , 0, 0,..., x   k   l 2 ;
получаем, что
AB 
в) E  C[0,1],  An x (t )  t n (1  t ) x (t ), t  [0,1] ;
г) E  C[0,1],  An x (t )  t n x (t ), t  [0,1] .
Р е ш е н и е. а) Последовательность  An  сходится к нулевому
оператору равномерно, для любого x  l2
An x
2

1
n
2

 k
2

k 1
1
n
2
2
x .
1
 0 при n   .
n
б) Последовательность  An  сходится к единичному оператору I поточечно, но не равномерно. Действительно, для любого x  1 ,  2 ,...  l 2
Следовательно, An 
2
An x  x 

 k
2
0
k  n 1
при n   как остаток сходящегося ряда. Это и означает, что
An  I поточечно. Возьмем теперь при каждом n  N элемент


l , e
x  en 1   0
,...,
0
,
1
,
0
,...
 1 . Тогда An en 1  en 1  en 1  1 .
 
 2 n 1
 n

Значит,
An  I  sup An x  x  An en 1  en 1  1 
 0
x 1
при n   , т.е. равномерной сходимости последовательности операторов  An  к I нет.
82
в) Последовательность  An  сходится равномерно к нулевому
оператору. Действительно, для любой функции x(t )  C[0,1]
An x  max t n (1  t ) x(t )  max t n  t n 1  x 
t[ 0,1]
t[ 0,1]
и поэтому An 
nn
(n  1) n 1
 x
nn
 0 ( n  ) .
(n  1) n 1
г) Последовательность  An  не сходится, ибо для произвольно
фиксированной функции x(t )  C[0,1] такой, что x (1)  0 , последовательность t n ( x (t )) сходится поточечно (в смысле поточечной сходимости последовательности функций) к функции
0, 0  t  1
(t )  
 x(1), t  1,
которая разрывна и не принадлежит пространству С [0; 1]. Следовательно, поточечной (а значит, и равномерной) сходимости последовательности операторов  An  нет.
Задания для самостоятельного решения
1. Пусть a – фиксированная функция из С [0; 1] и (Ах) (t) = a (t) x (t),
t  [0,1] . Доказать, что А – линейный непрерывный оператор в L p [0,1], p  1 ,
и найти его норму.
2. Найти норму тождественного оператора, действующего:
а) из C (1) [ a, b] в С [а; b];
б) из L p [a, b] в Lq [ a, b], p  q .
 
3. Для каких α > 0 оператор  Ax (t )  x t  линеен и непрерывен в
С [0; 1]? Найти его норму.
4. Для каких α > 0 оператор  Ax (t )  x t  линеен и непрерывен в
L2 [0,1] ? Найти его норму.
 
 
5. Для каких ,  оператор ( Ax )(t )  t  x t  линеен и непрерывен
в L2 [0,1] ? Найти его норму.
6. Пусть p, q  L2 [a, b] . Доказать, что оператор A : L2 [a, b] 
 L2 [a, b] , действие которого задается формулой
83
b
( Ax)(t )   p(t )qx d, t  [a, b] ,
a
является линейным и непрерывным. Найти норму оператора А.
7. а) Доказать, что оператор A : L  C[a, b] , где ( Ax)(t )  x (t ) ,
a L – пространство непрерывно дифференцируемых на [а; b] функций с
нормой x  max x(t ) , не является ограниченным.
a t b
б) Доказать, что оператор A : C (1) [ a, b]  C[ a, b] , где ( Ax)(t )  x (t ) ,
является линейным и ограниченным. Найти его норму.
8. Пусть Е – нормированное пространство. Показать, что оператор A : E  E является линейным непрерывным в Е, и найти его норму:
а) если E  l 2 Ax  0, 1 ,  2 ,..., x   k   l 2 ;
б) E  l 2 Ax   2 ,  3 ,..., x   k   l 2 ;
1
в) E  C[0,1], ( Ax)(t )   t   x d,   0,   1 ;
0
1
г) E  C[0,1], ( Ax)(t )   e 3t  2  x d ;
0
2
д) E  L2 [0,2], ( Ax)(t )   sin(t  ) x d ;
0
2
е) E  L2 [0,2], ( Ax)(t )   cos(2t  3) x d .
0
9. Проверить, что операторы А и В, где
t
( Ax)(t )  tx(t ), ( Bx)(t )   x() d,   [0,1]
0
линейны и непрерывны в L2 [0,1] , но не являются перестановочными,
т.е. AB  BA .
Ответы. 1. A  max a(t ) . 2. а, б – 1. 3. α > 0, ||A|| = 1.
0t 1
4. 0    1, A 
1

. 5.   0,   0,   2  1, A 
1

. 6. A  p  q .
7. б – ||A|| = 1. 8. а, б – ||A|| = 1, в – A  (1  ) 1 , г – A 
д, е – A   .
84


1 3
e 1  e 2 ,
2
2.2. Функционалы
Понятие функционала является более простым, по сравнению с
оператором, обобщением понятия функции.
О п р е д е л е н и е. Пусть Е – линейное нормированное пространство. Если каждому элементу x  E поставлено в соответствие некоторое (вещественное или комплексное) число f (x ) , то говорят, что на Е
определен функционал f.
Приведем примеры функционалов.
1. f ( x)  x, a  – скалярное произведение произвольного вектора x,
x  x1 , x2 ,..., xn  и данного вектора a  a1 , a 2 ,..., a n  .
2. f ( x )  x , где x – элемент пространства R n .
Рассмотрим общие свойства непрерывных функционалов.
Из определения непосредственно следует, что непрерывный
функционал обладает всеми свойствами непрерывной функции, хотя
формулировки многих теорем о функционалах выглядит более общо,
чем формулировки соответствующих теорем о функциях.
Т е о р е м а. Сумма, разность, произведение двух функционалов
f1 и f 2 , непрерывных в точке x0 множества X, на котором они определены, являются функционалами, непрерывными в той же точке x0 . Чаf1
также непрерывно в точке x0 при условии, что f 2 x0   0 .
f2
Т е о р е м а. Функционал f(x), определенный и непрерывный на
компактном в себе множестве X метрического пространства R, ограничен на этом множестве.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем эту теорему методом от противного. Положим, что функционал f(x) неограничен. Тогда, взяв неограниченно возрастающую последовательность натуральных чисел N1 , N 2 ,... ,
мы сможем построить последовательность точек x1 , x 2 ,... множества R,
удовлетворяющих условиям:
f x1   N1 , f  x2   N 2 ,...
стное
т.е. таких точек, что числовая последовательность
 f  xn    .
Так как множество R компактно, то из последовательности xn 
можно выделить сходящуюся подпоследовательность
85
xn   x0 ,
предел которой x0 принадлежит множеству R. В точке x0 функционал f(x) по
условию определен и непрерывен, следовательно,
 f  xn   f x0  ,
а по построению последовательности
 f xn    .
Полученное противоречие опровергает наше предположение и
доказывает теорему.
Т е о р е м а. Функционал f(x), определенный и непрерывный на
компактном в себе множестве X метрического пространства R, достигает
на этом множестве своих верхней и нижней граней.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A  sup f x  (существование верхней
грани sup f x  на множестве R вытекает из предыдущей теоремы).
Возьмем убывающую последовательность положительных чисел
1,
1 1
1
, , ..., ,... ,
2 3
n
сходящуюся к нулю. По определению верхней грани числового множе1 
ства для любого члена взятой последовательности   , n = 1, 2, ... найn
дутся такие значения f(x), x  R , что
1
 f x   A .
n
Обозначим одну из точек, удовлетворяющих последним неравенствам, x n , тогда окажутся справедливыми неравенства
A
1
 f  xn   A .
n
Заставив в последних неравенствах число n пробежать значения
чисел натурального ряда, построим последовательность
x1 , x2 ,...
A
точек множества R. Выберем из этой последовательности сходящуюся
подпоследовательность xn   x0  R , что благодаря компактности в се86
бе множества R возможно. В точке x0 функционал f(x) определен и непрерывен, а следовательно,
 
f  x0   lim f x n  A .
n 
О п р е д е л е н и е. Непрерывный функционал f(x), определенный
на линейном нормированном пространстве называется линейным, если
f x   y   f ( x)   f ( y ) , x, y  R  .
Из непрерывности линейного функционала в одной точке следует
его непрерывность всюду.
Рассмотрим примеры линейных функционалов.
b
1. f  x    x(t )dt , где x(t )  C a, b  .
a
Аддитивность функционала вытекает из аддитивности интеграла:
b
b
b
a
a
a
f x1  x2    x1 (t )  x2 (t )dt   x1 (t )dt   x2 (t )dt  f x1   f  x2  .
Непрерывность следует из возможности предельного перехода
под знаком интеграла благодаря равномерной сходимости последовательности непрерывных функций xn (t ) по метрике C a, b .
2. Непрерывный функционал f ( x )  x не является линейным,
так как
x1  x2  x1  x2 .
О п р е д е л е н и е. Функционал Ax, определенный на линейном
нормированном пространстве Е, называется ограниченным, если существует такое число  , что
Ax   x для всех x  E .
О п р е д е л е н и е. Наименьшее из чисел  в определении ограниченности функционала называется его нормой:
A  sup
x0
Ax
x
.
Т е о р е м а. Всякий линейный функционал ограничен, и всякий
ограниченный аддитивный функционал линеен.
87
Теорема Хана – Банаха
Если в линейном пространстве Е задан оператор или функционал,
определенный не на всем пространстве, а лишь на некотором многообразии L  E , то естественно возникает вопрос о его продолжении на все
пространство с сохранением тех или иных свойств. Иными словами, требуется построить новый оператор или функционал, определенный уже
на всем пространстве, обладающий определенными свойствами и совпадающий на L с ранее заданным.
Для линейных ограниченных операторов данный вопрос решается
легко, если исходный оператор задан на линейном многообразии, всюду
плотном во всем пространстве. А именно, если область определения
D A0   L линейного ограниченного оператора A0 всюду плотна в линейном нормированном пространстве Е, то оператор A0 может быть
продолжен на все пространство без увеличения нормы, т.е. существует
оператор А, заданный на всем пространстве Е и такой, что Ax  A0 x для
всех
x  D  A0 
и
A
E
 A0
L
. D A0   L
Действительно, так как
D A0   E , то для любого элемента x  E существует последовательность элементов xn  D A0  такая, что x n  x при n   . Тогда полага-
ем Ax  lim A0 xn (если x  D  A0  , то xn  x для всех n). Построенный
n 
оператор является линейным и непрерывным. Указанный процесс продолжения называется продолжением по непрерывности. Если оператор
не является ограниченным, то его продолжение обычно называется расширением. Теория расширений операторов составляет самостоятельную
и важную область функционального анализа. Если задан линейный непрерывный функционал, то его можно продолжать с сохранением нормы, даже если первоначально он задан на линейном многообразии, необязательно всюду плотном в пространстве Е. Соответствующая теорема
играет важную роль в анализе и носит название принципа продолжения
Хана – Банаха.
О п р е д е л е н и е. Функционал р, определенный на линейном
пространстве X называется однородно-выпуклым, если
1. x, y  X верно p ( x  y )  p ( x)  p ( y ) ;
2.   0 px   p (x) .
О п р е д е л е н и е. Однородно-выпуклый функционал называется
полунормой, если
1. x, y  X верно p ( x  y )  p ( x)  p ( y ) ;
2.  p x    p ( x ) .
88
О п р е д е л е н и е. Пусть f – функционал, определенный на линейном многообразии L линейного пространства X. Функционал F называется продолжением f, если F определен на X и для любого x  L
f(x)=F(x).
Т е о р е м а Хана – Банаха. Пусть f – линейный функционал, определенный на линейном многообразии L линейного пространства X. И
пусть для любого x  L выполнено
f ( x)  p( x) ,
где p(x) – однородно-выпуклый функционал на X. Тогда существует
продолжение F функционала f на X с сохранением этого неравенства, т.е.
x  X
F ( x)  p ( x) .
Т е о р е м а. Если p(x) – полунорма, то в условиях теоремы Хана –
Банаха возможно продолжение f(x) с выполнением оценки
F ( x)  p( x) .
Т е о р е м а. Пусть X – линейное нормированное пространство,
f – линейный непрерывный функционал, заданный на линейном многообразии L  X . Тогда существует продолжение F функционала f с сохранением нормы, т.е.
F
X
 f
L
.
Примеры решения задач
1. Будут ли ограниченными в пространстве C[0,1] следующие линейные функционалы:
1
 
а) x, f   x t 2 dt ;
0
1

б) x, f  lim  x t n dt ?
n 
0
Р е ш е н и е. По определению линейный функционал f ограничен,
если число
f  sup
x 1
xD ( f )
89
x, f
ограничено. В рассматриваемых случаях x(t) непрерывна на [0, 1], а значит, ограничена на [0, 1], т.е. существует константа C  0 :
x (t )  C t  0,1 .
Но x (t )  sup x (t ) конечна и в качестве C можно взять x , т.е.
t0,1
x (t )  x t  0,1 .
Но тогда при n > 0
1
 
 
1
1
n
n
 x t dt   x t dt   x dt  x
0
0
(2.5)
0
Следовательно, в случае а) будем иметь
1
 
 sup  x t 2 dt  1 ,
sup x, f
x 1
x 1 0
т.е. функционал f ограничен.
В случае б) для любого n > 0 имеем в силу (2.5)
 xt
1
n
dt  1 .
0
Отсюда
1
 
1
 
x, f  lim  x t n dt  lim  x t n dt  1
n 
0
n
0
для любого x  C 0,1 и x  1 , т.е. f – ограниченный линейный функционал.
2. Доказать, что следующие функционалы являются линейными
непрерывными, и найти их нормы:
1
а) x, f   tx (t ) dt , x  L2  1,1 ;
1
б) x, f  x1  x 2 , x  x1 , x2 ,...  l2 ;

в) x, f   2  k 1 xk , x  x1, x2 ,...  c0 .
k 1
90
Р е ш е н и е. а) Линейность f следует из линейности интеграла,
следовательно, непрерывность f будет следовать из ограниченности f.
В силу неравенства Коши – Буняковского
2
1
 t , x(t )   t
2
 tx(t ) dt
2
2
x ,
(2.6)
1
t
1
2
  t 2 dt 
1
2
.
3
2
x , т.е. f ограничен (а значит и непрерывен) и
3
Поэтому x, f 
2
.
3
f  sup x, f 
x 1
(2.7)
Известно, что равенство в (2.6) возможно в случае, когда
x(t )  t .
1
t , f 
Тогда
 t
2
dt   
1
2

3
2
 t
3
и если  
3
, то
2
1
2
1
t    t 2 dt   1 .



 1
Поэтому в (2.7) имеем
2
,
3
sup x, f 
x 1
2
2
, т.е. f 
.
3
3
Значит, верхняя грань равна
б) линейность f очевидна:
 x, f  x1   x 2   x1  x 2    x, f .
Покажем ограниченность f:

x, f  x1  x2  x1  x 2 2


x12

x12

x22


1
x22 2
 2

x12

91
  x
1
2
2
1

1
x22 2
 2 x1 x2  x22
1

1
2


2
 2   xk2   2  x ,
 k 1 
т.е. для любого x  l2
x, f  2 x ,
значит, f ограничен, а следовательно, непрерывен, так как f – линейный
функционал и
f  sup x, f  2 .
(2.8)
x 1

Рассмотрим элемент y  

1

видно, что y  1 и y, f 
2
1
2
1
,
2
1
2

, 0, ...  пространства l2 . Оче
 2 . Поэтому
sup x, f  2 ,
x 1
что с учетом (2.8) дает f  2 .
в) c0 – это пространство стремящихся к нулю последовательно-
стей x   x1 , x2 ,... с нормой x  max xk . Тогда функционал f определен
k
на всем c0 и линеен, так как ряд

x, f   2  k 1 xk
k 1
сходится абсолютно для любых x  c0 , а сумма сходящихся рядов – сходящийся ряд. Покажем ограниченность функционала f:
x, f 



k 1
k 1
k 1
 2k 1 xk   2k 1 xk   2k 1  max xk  2  x .
k
Значит, f ограничен, следовательно, в силу линейности непрерывен и
f  sup x, f  2
(2.9)
x 1


,...,1,0,...,0   c0 . Тогда l n , f  2 1  2  n
Рассмотрим элемент l n  1


 n раз

ln  1 для любого конечного n. Поэтому для любого n  N

и


sup x, f  2 1  2  n , т.е. f  2 , что совместно с (2.9) дает f  2 .
x 1
92

3. Какие из следующих функционалов f являются линейными, непрерывными:
1
а) ( x, f )   x 2 (t ) dt , x  C[0,1] ;
0
1
б) ( x, f )   x(t ) sin 2 t dt , x  L2 [0,1] ;
0

в) x   k , ( x, f )    k sin k , x  L , где L – линейное пространство
k 1
элементов x  l2 , для которых сходится ряд

 k sin k ,
с нормой
k 1
1
 
2 2
x     k  ?
 k 1

Р е ш е н и е. а) Функционал f в данном случае непрерывен, но не
линеен. Действительно, если последовательность xn  x0 в С [0; 1]
( xn , x  C[0,1], n  N ), то и xn2  x02 в С [0; 1], так как
max xn2 (t )  x02 (t ) 
0 t 1
 max xn (t )  max xn (t )  x0 (t )  max x0 (t )  max xn (t )  x0 (t ) 
0 t 1
0t 1


0 t 1
0 t 1
 C  max xn (t )  max xn (t )  x0 (t )  0
0t 1
0t 1
при n   (здесь мы воспользовались тем, что последовательность
норм xn ограничена: существует константа С > 0 такая, что xn  C


для всех n  N . Таким образом, последовательность x n2 (t ) сходится
x02 (t ) .
равномерно к функции
Следовательно, на основании соответствующей теоремы об интегрировании равномерно сходящейся функциональной последовательности заключаем, что
1
1
0
0
2
2
 xn (t ) dt   x0 (t ) dt , т.е.
f xn   f x0  при n   . Значит, f - непрерывный функционал. Одна1
ко если x1 , x2  C[0,1] и
 x1 (t ) x2 (t ) dt  0 , то
0
93
1


f x1  x2    x12 (t )  2 x1 (t ) x2 (t )  x22 (t ) dt 
0
1
 2  x1 (t ) x2 (t ) dt  f x1   f x2 ,
0
т.е. f x1  x2   f x1   f x2  .
б) Функционал f линеен и непрерывен: для любых 1,  2  R ,
x1 , x2  L2 [0,1] имеем
1
f  1 x1   2 x2     1 x1 (t )   2 x2 (t )  sin 2 t dt 
1
0
1
0
0
 1  x1 (t ) sin 2 t dt   2  x2 (t ) sin 2 t dt  1 f  x1    2 f  x2 
и
1
1
f ( x)  
0
1
1
2  1
2
x(t ) sin 2 t dt    sin 2 t dt     x(t ) dt   x ,

 

0
 0

т.е. f  1 .
в) Функционал f в этом случае линеен, так как для любых
1,  2  R , x1, x2  L



(2)
f  1 x1   2 x2    1(1)
sin k 
k   2 k
k 1


k 1
k 1
(2)
 1  (1)
k sin k   2   k sin k  1 f  x1    2 f  x2  .
Однако функционал f не ограничен. В самом деле, рассмотрим
при каждом n  N элемент
xn 
где  
и xn
2
1  sin 1 sin 2
sin n

,  ,...,  ,0,0,...

n
2
c 1
,

1
1
1
 , 0    , c   2 . Ясно, что xn  L при каждом n  N
2
2
k 1 k

1  sin 2 k 1  1
  2  1 .

c k 1 k
c k 1 k 2
94
Однако
f xn  
при n   , так как ряд


1

sin 2 k
 

k 1 k

c
sin 2 k
, как известно из курса математическоk
го анализа, является расходящимся.
Следовательно, f  sup f ( x)   , т.е. функционал f не являетk 1
x 1
xL
ся ограниченным (непрерывным).
Задания для самостоятельного решения
1. Являются ли линейными, непрерывными функционалы:
1
а) ( x, f )   t x(t ) dt , x  C[0,1] ;
0
б) ( x, f ) | x |, x  C[0,1] ;
1
в) ( x, f )   x 2 (t ) dt , x  L2 [0,1] ;
0

k
, x  1, 2 ,...  l1 ?
k 1 k
2. Являются ли линейными, непрерывными в С [0; 1] следующие
функционалы:
г) ( x, f )  
1
а) f ( x)   t 2 x(t ) dt ;
0
1
б) f ( x)   t 2 x(t ) dt ;
0
в) f ( x )  max x 2 (t ) ;
t[ 0,1]
  k x k , 0    1 ?
n
г) f ( x)  lim
n
k 0
95
3. Найти нормы следующих функционалов:
1
а) x  x(t )   x(t ) cos t dt в C[0,1];
0
б) x  x(t )  x (0)  x(1)  x (1) в C[–1,1];
1
2
в) x  x(t )   x(t ) dt в L2 [0,1] .
0
1
4. Найти норму функционала f ( x )   tx (t ) dt в пространствах:
1
а) C[-1,1]; б) L1[0,1] ; в) L2 [0,1] .
Ответы. 1. а–в – нелинейный, непрерывный; г, е – линейный и не1
прерывный. 2. а – линейный, непрерывный, f  ; б – нелинейный,
3
1
непрерывный; f  , в – нелинейный, не непрерывный; г – линейный,
3
непрерывный, f 

2
1
. 3. а –
; б – 3; в –
. 4. а, б – 1; в –
1 

2
2
.
3
Сопряженное пространство
Пусть E  – множество всех линейных непрерывных функционалов, определенных на Е. Введем в E  операции сложения элементов f1
и f 2 и умножения элемента f1 на число  следующим образом:
1) f  f1  f 2 есть функционал на Е такой, что
f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x), x  E  ;
2) f  f1 означает, что
f ( x)  f1 ( x ) x  E  .
Эти операции над элементами из E  не выводят за пределы E  и
удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства. Примем за норму
элемента f  E  норму f соответствующего функционала. Поскольку
96
она также удовлетворяет всем требованиям, содержащимся в определении
нормированного пространства, то E  становится линейным нормированным пространством. Оно называется сопряженным пространством к Е.
Сильная и слабая сходимости в E  . Пространство E  , сопряженное к нормированному, может быть наделено естественной структурой
нормированного пространства. Сходимость по норме часто называют
сильной сходимостью последовательности функционалов.
О п р е д е л е н и е. Последовательность  f n   E  сходится к элементу f  E  сильно, если f n  f  0 при n   .
О п р е д е л е н и е. Последовательность
 fn   E
называется

слабо сходящейся к элементу f  E , если для каждого фиксированного
xE
lim f n ( x)  f ( x) .
n 
Таким образом, для линейных функционалов понятие слабой сходимости совпадает с понятием поточечной сходимости операторов.
Сильная сходимость элементов из E  всегда влечет за собой слабую, однако обратное утверждение для бесконечномерных пространств
верно не всегда.
Аналогично предыдущему, последовательность элементов xn 
нормированного пространства Е называется слабо сходящейся к x  E ,
если для любого f  E  числовая последовательность  f x n  сходится
к f(х). Сходимость в E по норме называется сильной.
Всякая слабо сходящаяся в Е последовательность xn  является
ограниченной, т.е. для некоторой постоянной C  0
xn  C n  .
Т е о р е м а. Последовательность xn  элементов нормированного
пространства Е слабо сходится к x  E тогда и только тогда:
1) когда она ограничена;
2) когда f xn   f (x) для всякого f   , где  – некоторое
множество, линейная оболочка которого всюду плотна в E  .
Аналогичное утверждение справедливо и относительно слабой
сходимости последовательности элементов  f n   E  .
97
Пусть Е – линейное нормированное пространство и E  – ему сопряженное. Поскольку E  – также линейное нормированное простран-
 
ство, то можно построить E   E 

и т. д. Нетрудно проверить, что

всегда E  E .
Те пространства Е, для которых E   E , называются рефлексивными. В этом случае для любых x  E  E  и f  E  f ( x)  x( f ) .
Т е о р е м а. Для того чтобы полное нормированное пространство Е было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы для всякого
 
f  E  существовал такой элемент x f  E , что x f  1 и f x f  f .
Общий вид функционалов в некоторых
функциональных пространствах
Для многих конкретных функциональных пространств можно
указать общий вид линейных функционалов, определенных на этих пространствах. Знание общего вида линейных функционалов может оказаться полезным при различных исследованиях функциональных пространств.
1. Пусть E  R n с евклидовой нормой
 n
x    i
 i 1
1
2 2
 , x  1 ,...,  n  .


Тогда каждый функционал f  E  представим в виде
n
f ( x )   i f i ,
i 1
1
2 2
 
 n

причем f    f i  . Значит, R n  R n и, следовательно, R n – реф i 1

лексивное пространство.
2. Если Е совпадает с пространством c0 сходящихся к нулю по-
следовательностей

f ( x)   f n n и
n 0
x   n  с нормой
f 
x  sup n , а
f  E  , то
n


n0
f n . Следовательно, сопряженное к c0 про-
98
странство c0 изоморфно пространству l1 всех абсолютно суммируемых
последовательностей f   f n  с нормой f 


n0
fn .
3. Пространство l1 изоморфно пространству m всех ограничен-
ных последовательностей x   n  с нормой x  sup n , причем если
n

f  l1 , то f ( x)   f n n и f  sup f n .
n
n 0
4. Пусть p > 1 и l p – пространство всех последовательностей
x   n  , для которых

x    i
 i 0
1
pp
   .


Тогда l p  изоморфно пространству lq , где

f ( x)   f n n и f
q
n 0



n0
1 1
  1 , причем
p q
q
fn .
5. В пространстве L p a , b  при p > 1 каждый линейный непрерывный функционал f представим в виде
b
f ( x)   x(t )(t ) dt ,
a
где (t )  Lq a, b, q 
p
. При этом
p 1
1
q
b
q
f    (t ) dt 


 ,
a
т.е. пространство L p a, b изоморфно Lq a , b  .
Если же p = 1, то пространство L1 a, b  изоморфно пространству M a, b  .
99
Примеры решения задач
1. В пространстве

2
E2
с элементами

1
2 2
x 
x   1 
 x2 
и нормой


на подпространстве L  x  E 2 : 2 x1  x 2  0 задан
линейный функционал f  x, f   x1 . Доказать, что существует единстx  x1  x2
венное продолжение f на все E 2 с сохранением нормы, и найти это продолжение.
Р е ш е н и е. Пусть f – искомое продолжение функционала на все E 2 .
f линеен, значит x  E 2 x, f   1 x1   2 x2 . Если x  L , то x2  2x1 и
выполняется x1  x, f   1 x1   2 2 x1   1  2 2 x1 для любого x1 .
Следовательно,
 1  2 2  1 .
(2.10)
Вычислим норму f. С одной стороны,
f  sup x, f  
xL
x 1
sup
2 x1  x2  0
x 2  x 2 1
1
2
x1 
sup
2
x 2   2 x  1
1  1
x1  sup x1 
1
x2 
1 5
1
5
.
С другой стороны,
f  sup x, f   sup 1x1   2 x2  12   22 .
x 1
x12  x 22 1
Так как продолжение функционала происходит с сохранением
нормы, то получаем второе соотношение на 1 ,  2 :
1
.
5
В силу (2.10) 1  1  2 2 , отсюда
12   22 
1  2 2 2   22  1
5
или 5 22  4 2 
4
 0,
5
2
1
и 1  . Таким образом, получаем, что продолжение
5
5
1
2
единственно и x, f   x1  x2 .
5
5
тогда  2 
100
2. Пусть X – банахово пространство; xn , x  X , f n , f  X  , n  N 
и x n  x , f n  f при n   . Доказать, что xn , f n   x, f  при
n.
Р е ш е н и е. Если x n  x , то значит, что существуют такие   0
и N   N , что для n  N 
xn   . Пусть f  0 . Так как x n  x , то
  0 N x  N такое, что для n  N x xn  x 

.
2 f
Так как по условию f n  f , то для   0 N f  N такое, что
для n  N f будет
имеем
fn  f 

. Тогда при n  N   max N  , N x , N f
2


 xn , f n   ( x, f )   xn , f n   ( xn , f )  ( xn , f )  ( x, f ) 
  xn , f n  f    xn  x, f   xn  f n  f  xn  x  f 



 f  .
2 2 f
  0 нашлось N   0
 
Итак,
для
xn , f n   ( x, f )   , значит, xn , f n   x, f  при
такое,
что
n  N 
n.
В случае, когда f = 0 имеем цепочку неравенств:
 xn , f n   ( x, f )   xn , f n    xn , f n  
  xn , f n  f   xn  f n  f .
Аналогично заключаем, что xn , f n   x, f  .
3. Пусть X – линейное нормированное пространство, f n , f  X  и
f n  f (n  ) . Доказать, что f n  f (n  )  – слабо.
Р е ш е н и е. Возьмем x  X и x  0 . Так как f n  f при n   ,
то для   0 N   N такое, что для n  N  будет f n  f 
этому при n  N  имеем
 x n , f n   ( x, f )   x n , f n  f  
что и требовалось доказать.
101
x  fn  f   ,

. Поx
4. Пусть H – гильбертово пространство, xn , x  H n  N  , x n  x
слабо и xn  x . Доказать, что x n  x при n   .
Р е ш е н и е. В случае, когда x = 0 сходимость x n  x следует из
сходимости xn  x  0 . Поэтому считаем, что x  0 . Тогда из того,
что x n  x слабо и из теоремы Рисса об общем виде линейных функционалов в H следует, что для   0 N C  N такое, что n  N C будет выполнено
 x n  x, x    .
3
xn  x
Так как
при n   , то
xn
2
 x
2
и для   0
N H  N такое, что

.
2
Обозначим через N   maxN C , N H  . Тогда для n  N  имеем
xn
xn  x
 xn
2
2
2
 x
2

  x n  x, x n  x    x n , x n    x n , x    x , x n   ( x , x ) 
 x  xn , x   ( x, x)  2( x, x)  x, xn   ( x, x) 
2
 xn
 xn
2
 x  xn  x, x   x, xn  x  
2
2
 x
2
 2  x n  x, x  


 2 ,
3
3
т.е. для  нашлось N   N такое, что для n  N  будет xn  x
2
 .
Это как раз и означает, что x n  x при n   .
5. Пусть X – линейное нормированное пространство, x0  X и для
любого f  X  : f  1 выполнено x0 , f   1 . Доказать, что x0  1 .
Р е ш е н и е. Допустим противное: x0  1 . Тогда по теореме Хана –
Банаха существует всюду определенный в X линейный ограниченный
функционал f 0 такой, что f 0  1 и x0 , f 0   x0 . Но по предположению
x0  1 , а значит, нашелся функционал f 0  X  : f 0  1 и
противоречит условию задачи.
102
x0 , f   1 , что
6. Пусть р > 1 фиксировано. При каких   R функционал
1
x(t )
f  ( x)  
t
0
dt
принадлежит L p  0,1 ?
Р е ш е н и е. Поскольку L p  0,1  Lq 0,1 , причем
f   L p 0,1 тогда и только тогда, когда
1
интеграл
1 1
  1 , то
p q
1
 Lq 0,1 , т.е. когда сходится
t
dt
 t q . Это будет, как известно, лишь в том случае, если q  1 ,
0
т.е.  
1
. При этом
q
1
 1 dt  q
1
f    q  
1
 t 
0

1  q q .
7. Доказать, что в пространстве R n сильная и слабая сходимости
совпадают.
 
Р е ш е н и е. Пусть xm  i( m)
n
i 1
и последовательность xm  слабо
 
сходится к некоторому элементу x0  i( 0)  R n .
Рассмотрим линейные непрерывные функционалы
 
fi : fi  i , i  1,..., n, x  i
n
n
i 1  R
.
Тогда при каждом i f i xm   i( m )  i0 m    и, следовательно,
xm  x0
2
n

  i( m )  i( 0)
i 1
  0 при m   , т.е. x
2
m
сильно сходится к x0 .
Поскольку из сильной сходимости всегда вытекает слабая, равносильность этих сходимостей в R n доказана.
8. Проверить, что в пространстве l2 сильная и слабая сходимости
не совпадают.
103
Р е ш е н и е. Рассмотрим в l2 последовательность элементов



 , i = 1, 2, … и пусть f  l  . Тогда f ( x) 
ei   0
,...,
0
,
1
,
0
,...
f n n , где

2
 

n 0
 i 1

 f n   l2 , и поэтому f ei   f i  0 при i   . Значит, эта последовательность слабо сходится в l2 .
В то же время последовательность ei  не сходится в полном пространстве l2 сильно, так как она в нем даже не является фундаментальной. Действительно, при n  m
en  em  2 
 0 (n, m  ) .
9. Для x(t )  L2 [1,1] полагаем
1
x, f n    x(t ) cos nt dt .
1
а) Доказать, что f n – ограниченный линейный функционал, и
найти f n .
б) Доказать, что f n  0 (n  )  – слабо.
в) Верно ли, что f n  0 (n  ) .
Р е ш е н и е. а) Определение функционала f n можно переписать в
виде x, f n    x, cos nt  , где ( , ) – скалярное произведение в L2 [1,1] .
Поэтому
x, f n   x, cos nt  
так как cos nt
2
1
  cos 2 nt dt 
1
1
x  cos nt  x ,
(2.11)
1
 2 1  cos 2nt  dt  1 .
1
Следовательно, функционал f n ограничен. Равенство в (2.11)
достигается только тогда, когда
x(t )    cos nt
и, взяв   1 , получаем
1
cos nt , f n    cos 2 nt dt  1 .
1
Следовательно, в силу (2.11) f n  1 .
104
б) Из математического анализа известно, что любая непрерывная
функция может быть разложена в ряд Фурье
a
f (t )  0   a n cos nt  bn sin nt  , t  [1,1] ,
2
причем an  0 . Множество же непрерывных на [–1,1] функций плотно
n 
в L2 [1,1] и на любой из непрерывных функций значения функционалов
f n  0 при n   . По а)  f n  ограничена. Поэтому можно применить
теорему Банаха – Штейнгауза (см., например, [13]), откуда и следует * –
слабая сходимость функционалов  f n  к нулю.
в) Неверно, т.к. по пункту а) f n  0  f n  1 , а значит, f n не
сходится к нулю.
10. В пространстве С [0,1] задана последовательность операторов
 1 1 
An x(t )  x t n , n  N .




Доказать, что при n   An сильно сходится к тождественному
оператору I.
Р е ш е н и е. Необходимо показать, что для x(t )  C[0,1]
An x  I x  0 . Для этого оценим сверху функцию
n 
1 

 n (t )  t 1  t n  ;




 n (t )  

n 1 
t
n2
 n 
 n (t )  0 , значит, t  

 n 1
отрезке [0,1], следовательно,
n 1
n
n 1 n
t ;
n
 0 при t  [0,1] ,
n
0  max  n (t ) 
t[ 0,1]
1
 n (t )  1 
– точка максимума функции n (t ) на
1
1
1
,


n
n 1  1 
2(n  1)
1  
 n
n
1 n
1
 1
так как 1    1  n    cnk  2 .
n k 2 n
 n
105
Берем любое x(t )  C[0,1] и произвольное ε > 0. Покажем, что
N () такое, что для n  N () будет An x  I x   . Функция x(t) непрерывна на отрезке, а значит, равномерно непрерывна на нем,
т.е. ()  0 , такое что при t  t   () будет x (t )  x (t )   . Возьмем
1
N ( )    ,
 2 
тогда при n  N () имеем
 1
An x  I x  x t  t n   x (t )   ,




так как
1
t t n
1 

1
1

 t  t 1 t n  

.

 2(n  1)
1
2


2
Задания для самостоятельного решения
1. Пусть р > 1 фиксировано. При каких   R функционал


x  1,  2 ,...   k в l p принадлежит соответствующему сопряженk 1 k
ному пространству?
2. Доказать, что в пространстве l1 сильная и слабая сходимости
совпадают.
3. Убедиться, что не для всякого f  C  [1,1] найдется такое
x (t )  C[ 1,1], x (t )  0 , что f ( x )  f  x .
4. Совпадают ли в С [а; b] слабая и сильная сходимости?
5. Доказать, что в пространстве l1 сильная и слабая сходимости
совпадают.
6. Какие из последовательностей xn , n  N :
1

 1
a) xn  1, ,..., ,0,0,... ;
n
 2

106

1 1 
,0
,...,
0,1, , ,... ;
б) xn   0


2 3 
 n 1



1 1
в) xn  1
,... 
,..,1, ,


 n 1 n n  1 
сходятся в пространстве l2 сильно, слабо?
Ответы. 1.  
1 1

   1 . 3. Указание: рассмотреть функp q

1
q
0
1
1
0
ционал f ( x)   x(t ) dt   x(t ) dt  f  2 . 4. Нет. 6. а – сильно; б – слабо;
в – не сходится.
107
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ
СПИСОК
1. Ефимов, А. В. Математический анализ (специальные разделы) :
в 2 т. / А. В. Ефимов, Ю. Г. Золотарев, В. М. Терпигорьева. – М. : Высш.
шк., 1989.
2. Макаров, И. П. Дополнительные главы математического анализа / И. П. Макаров. – М. : Просвещение, 1968. – 312 с.
3. Жевержеев, В. Ф. Специальный курс высшей математики для
втузов / В. Ф. Жевержеев, Л. А. Кальницкий, Н. А. Сапогов. – М. : Высш.
шк., 1970. – 416 с.
4. Вулих, Б. З. Введение в функциональный анализ / Б. З. Вулих. –
М. : Наука, 1967. – 416 с.
5. Люстерник, Л. А. Краткий курс функционального анализа /
Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. – М. : Наука, 1982. – 272 с.
6. Функциональный анализ / под общей ред. С. Г. Крейна. – М. :
Наука, 1972.
7. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М. : Наука, 2004. – 572 с.
8. Скворцов, В. А. Примеры метрических пространств / В. А. Скворцов. – М. : МЦНМО, 2002. – 24 с.
9. Ворович, И. И. Функциональный анализ и его приложения в
механике сплошной среды : учеб. пособие / И. И. Ворович, Л. П. Лебедев. – М. : Вузовская книга, 2000. – 320 с.
10. Городецкий, В. В. Методы решения задач по функциональному анализу : учеб. пособие / В. В. Городецкий, Н. И. Нагнибида,
П. П. Настасиев. – Киев : Вища шк., 1990. – 479 с.
11. Кириллов, А. А. Теоремы и задачи функционального анализа :
учеб. пособие для вузов / А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани – М. : Наука.,
1988. – 400 с.
12. Босс, В. Лекции по математике : в 10 т. : Функциональный
анализ / В. Босс. – М. : КомКнига, 2005. Т. 5. – 216 с.
13. Треногин, В. А. Задачи и упражнения по функциональному
анализу / В. А. Треногин, Б. М. Писаревский, Т. С. Соболева. – М. : Наука, 1984. – 256 с.
108
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………
3
1. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВ…………………………..
4
1.1. Метрические пространства…………………………………………. 4
Примеры метрических пространств………………………………. 7
Шары в метрическом пространстве………………………………. 18
Полнота и пополнение метрических пространств………………. 24
Принцип сжимающих отображений……………………………… 34
1.2. Линейные пространства…………………………………………….. 44
Понятие линейного пространства………………………………… 44
Норма………………………………………………………………... 45
1.3. Гильбертовы пространства…………………………………………. 55
Скалярное произведение…………………………………………... 56
Ортогональный базис гильбертова пространства………………... 59
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ……………..
70
2.1. Операторы. Основные понятия…………………………………….
Линейные операторы. Аддитивные операторы…………………..
Линейные непрерывные операторы……………………………….
Пространство линейных операторов………………………………
Ограниченные операторы. Норма оператора……………………..
70
71
72
74
74
2.2. Функционалы………………………………………………………...
Теорема Хана – Банаха……………………………………………..
Сопряженное пространство………………………………………..
Общий вид функционалов в некоторых
функциональных пространствах…………………………………..
85
88
96
98
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………….. 108
109
Учебное издание
Семушева Анастасия Юрьевна
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ
АНАЛИЗУ
Учебное пособие
110
Редактор И.Н. Байкина
Компьютерная верстка И.В. Манченкова
Подписано в печать 03.02.09.
Формат 60х84/16.
Бумага офсетная.
Печать ризографическая.
Усл. печ. л. 6,51.
Уч.-изд. л. 6,0.
Тираж 100 экз.
Заказ 3/125
111
Издательско-полиграфический комплекс
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Отпечатано в типографии ИПК СФУ
660025, г. Красноярск, ул. Вавилова, 66а
112
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
25
Размер файла
924 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа