close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

23

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
П. И. Анферов, В. И. Загибалов, И. В. Шевелева
МАТЕМАТИКА
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром
высшего профессионального образования для межвузовского использования
в качестве учебного пособия для студентов радиотехнических направлений
и специальностей
Красноярск
ИПК СФУ
2010
АННОТАЦИЯ
УДК 517.518.45
Ряды Фурье и интеграл Фурье: Учебное пособие для студентов всех форм обучения/
Сост. П. И. Анферов, В. И. Загибалов , И. В. Шевелева. Красноярск: ИПЦ СФУ, 2010. 89 с.
Изложены элементы теории, методические указания и варианты заданий по теме
”Ряды Фурье и интеграл Фурье” для подготовки дипломированных специалистов по следующим направлениям и специальностям: 200100.62, 200101.65 ”Приборостроение”, 210100.62
”Электороника и микроэлектроника”, 210108.65 ”Микросистемная техника”, 210200.62
”Проэктирование и технология электронных средств”, 210201.65 ”Проэктирование и технология радиоэлектронных средств”, 210300.62, 210302.65 ”Радиотехника”, 210301.65 ”Радиофизика и электроника”, 210303.65 ”Бытовая радиоэлектронная аппаратура”, 210304.65
”Радиоэлектронные системы”, 210400.65 ”Телекоммуникации”, 210406.65 ”Сети связи и системы коммутации”, 160905.65 ”Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования”, 220402.65 ”Роботы и робототехнические системы”.
Составители: Анферов Петр Ильич
Загибалов Владимир Ильич
Шевелева Ирина Викторовна
3
ВВЕДЕНИЕ
Ряды Фурье1 играют важную роль в математике и ее приложениях, так
как дают средства для изображения и изучения функций и служат одним из
аппаратов теории функций. Ряды Фурье и интеграл Фурье широко применяются в математической физике, теории автоматического регулирования, теории
сигналов, теории колебаний, теории случайных функций.
Настоящее пособие предназначено для студентов радиотехнических специальностей Института инженерной физики и радиоэлектроники СФУ. Курс
”Радиотехнические цепи и сигналы” (РТЦиС) является базовым при подготовке современных радиоинженеров и требует углубленного изучения названного раздела математики. В существующих вузовских учебниках по математике
недостаточно полно отражены вопросы применения рядов Фурье и интеграла
Фурье в радиотехнике. Использование же монографий и нескольких учебников
затруднительно для студентов. Поэтому возникла потребность в небольшом по
объему учебном пособии, в котором излагались бы упомянутые выше разделы
матанализа. В предлагаемом пособии в сжатой, конспективной форме изложена теория рядов Фурье и интеграла Фурье и вопросы ее применения в курсе
РТЦиС. Подробно рассмотрены примеры решения типовых задач, встречающихся при анализе электронных цепей и сигналов. Приведены задания для самостоятельной работы, цель которых – сформировать навыки в применении
рядов Фурье и интеграла Фурье.
При выполнении заданий для самостоятельной работы потребуются
неопределенные интегралы, перечисленные ниже.
Z
Z
cos ax x sin ax
sin ax x cos ax
x cos ax dx =
+
,
x
sin
ax
dx
=
−
,
a2
a
a2
a
2
Z
2
2x
cos
ax
x
x2 cos ax dx =
+
−
sin ax,
a2
a a3
Z
Z
Z
1
2
2x
sin
ax
x
2
x2 sin ax dx =
−
−
cos ax,
a2
a a3
eax
e cos bx dx = 2 2 (a cos bx + b sin bx),
a +b
ax
eax sin bx dx =
eax
(a sin bx − b cos bx).
a2 + b 2
Фурье Жан Батист Жозеф (1768–1830) – французский математик и физик.
4
1. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ
Определение 1 . Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть,
конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода.
Известно, что кусочно-непрерывная на отрезке [a, b] функция интегрируема на нем.
Определение 2 . Скалярным произведением (f, ϕ) двух кусочнонепрерывных на отрезке [a, b] функций f (x) и ϕ(x) назовем интеграл
Rb
f (x) · ϕ(x) dx:
a
Zb
f (x) · ϕ(x) dx.
(f, ϕ) =
(1)
a
Очевидно, что для так определенного скалярного произведения справедливы следующие свойства:
1) (f, ϕ) = (ϕ, f );
2) (f + ϕ, g) = (f, g) + (ϕ, g);
3) (λf, ϕ) = λ(f, ϕ), где λ – любое число;
4) (f, f ) > 0, если f (x) 6= 0; (f, f ) = 0, если f (x) = 0.
Следовательно, множество кусочно-непрерывных на отрезке [a, b] функций со скалярным произведением (1) является евклидовым пространством.
Из курса линейной алгебры известно, что во всяком евклидовом пространстве
для любых двух его элементов f и ϕ справедливо неравенство Коши – Буняковского1
(f, ϕ)2 6 (f, f ) · (ϕ, ϕ),
(2)
которое в соответствии с определением 1 можно записать в виде

Zb
2
Zb
f (x) · ϕ(x) dx 6

a
a
f 2 (x) dx ·
Zb
ϕ2 (x) dx
(2a)
a
или
v
b
v
u b
b
Z
u
Z
u
uZ
u
f (x) · ϕ(x) dx 6 t f 2 (x) dx · u
t ϕ2 (x) dx.
a
1
a
(2б)
a
Коши Огюстен Луи (1789–1857) – французский математик. Буняковский Виктор Яковлевич (1804–1889) – российский математик.
5
s
Величину
Rb
f 2 (x) dx =
p
(f, f ) = kf k называют нормой функции f (x) на от-
a
резке [a, b].
Тогда неравенство Коши – Буняковского (2б) можно записать в виде
|(f, ϕ)| 6 kf k · kϕk.
Для нормы справедливы следующие свойства:
1) kf k > 0;
2) kf + ϕk 6 kf k + kϕk;
3) kλf k = |λ| · kf k, где λ – любое число.
Определение 3 . Два элемента f и ϕ евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (f, ϕ) = 0.
Определение 4 . Система кусочно-непрерывных функций
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ..., ϕn , ...
(3)
называется ортогональной на отрезке [a, b], если функции этой системы попарно ортогональны, т. е.
Zb
ϕn · ϕm dx = 0 при n 6= m.
(ϕn , ϕm ) =
a
При этом полагаем, что kϕn k > 0, т. е. что в системе нет функций, норма которых равна нулю.
Определение 5 . Система функций (3) называется ортонормированной
на отрезке [a, b], если
(
0, если n 6= m,
(ϕn , ϕm ) =
1, если n = m.
Теорема 1. Любую ортогональную систему функций {ϕn }, n = 1, 2, ...,
можно нормировать.
Доказательство. В самом деле, умножив каждую функцию ϕn на чис1
1
ло λn =
, получим kλn ϕn k = |λn | · kϕn k =
· kϕn k = 1 и (λn ϕn , λm ϕm ) =
kϕn k
kϕn k
= λn λm (ϕn , ϕm ) = 0 при n 6= m.
П р и м е р 1. Проверить ортогональность системы функций f1 (x) = 1,
f2 (x) = x − 1, f3 (x) = 3x2 − 6x − 1 на отрезке [−1; 3] и затем нормировать ее.
Решение. Проверим ортогональность заданной системы функций.
Z3
Z3
f1 (x) · f2 (x) dx =
−1
−1
1 · (x − 1) dx = 0;
6
Z3
Z3
f1 (x) · f3 (x) dx =
−1
3
1 · (3x2 − 6x − 1) dx = (x3 − 3x2 − x)−1 = 0;
−1
Z3
Z3
f2 (x) · f3 (x) dx =
−1
(x − 1) · (3x2 − 6x − 1) dx =
−1
3
5
3 4
x − 3x3 + x2 + x = 0.
4
2
−1
Итак, система функций ортогональна. Нормируем эту систему.
s
R3
1
kf1 (x)k =
12 dx = 2;
f1∗ (x) = ;
2
s−1
√
R3
4
3
kf2 (x)k =
(x − 1)2 dx = √ ;
f2∗ (x) =
(x − 1);
4
3
−1
s
√
R3
16
5
kf3 (x)k =
(3x2 − 6x − 1)2 dx = √ ; f3∗ (x) =
(3x2 − 6x − 1).
16
5
−1
Система функций f1∗ (x), f2∗ (x), f3∗ (x) ортонормированная на отрезке
[−1; 3].
П р и м е р 2. Доказать, что общая тригонометрическая система функπx
πx
2πx
2πx
nπx
nπx
ций 1, cos , sin , cos
, sin
, ..., cos
, sin
, ... ортогональна на
l
l
l
l
l
l
√
любом отрезке длины
2l,
а
если
первую
функцию
разделить
на
2l и каждую
√
из остальных – на l, то система функций будет ортонормированной.
Решение. Так как все эти функции имеют период 2l, то достаточно проверить утверждения примера на отрезке длины 2l, например на отрезке [−l, l].
Предоставляем читателю проверить это.
Итак,
Zl
nπx
mπx
cos
cos
dx =
l
l
−l
Zl
nπx
mπx
sin
cos
dx =
l
l
−l
Zl
sin
nπx
mπx
sin
dx = 0
l
l
−l
при n 6= m, и
Zl
−l
nπx
dx =
cos2
l
Zl
−l
nπx
sin2
dx = l,
l
Zl
12 dx = 2l.
−l
1
1
πx 1
πx 1
2πx 1
2πx
Система функций √ , √ cos , √ sin , √ cos
, √ sin
, ...,
l
l
l
l
2l
l
l
l
l
1
nπx 1
nπx
√ cos
, √ sin
, ... ортонормированная.
l
l
l
l
7
2. РЯД ФУРЬЕ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ
ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ
Пусть
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ..., ϕn , ...
(4)
является бесконечной ортогональной на отрезке [a, b] системой функций, норма
которых отлична от нуля, и f (x) – интегрируемая на этом отрезке функция.
Функциональный ряд
C1 ϕ1 + C2 ϕ2 + C3 ϕ3 + ... + Cn ϕn + ...
(5)
с коэффициентами
Rb
f (x) · ϕn (x) dx
(f, ϕn ) a
,
Cn =
=
Rb
kϕn k2
ϕ2n (x) dx
n = 1, 2, ...,
(6)
a
называется рядом Фурье функции f (x) по системе функций (4). Числа Cn называют коэффициентами Фурье функции f (x) по системе функций (4). Будем
писать
Rb
f (x) · ϕi (x) dx
∞
∞
∞
X
X
X
(f, ϕi )
a
f (x) ∼
Ci ϕi (x) =
ϕ (x) =
ϕi (x).
(7)
2 i
Rb 2
kϕ
k
i
i=1
i=1
i=1
ϕi (x) dx
a
Символ ∼ в (7) означает, что функции f (x) соответствует ряд Фурье, написанный справа. Знак ∼ можно заменить знаком ”равно” (=) только тогда, когда будет доказана сходимость ряда и равенство его суммы S(x) функции f (x). Если
система функций (4) ортонормированная (kϕi (x)k = 1), то ряд Фурье функции
f (x) примет вид
f (x) ∼
∞
X
i=1
(f, ϕi )ϕi (x) =
∞
X
i=1
Zb
f (x) · ϕi (x) dx.
ϕi (x)
a
Величину kf −gk называют отклонением функции g(x) от f (x) по норме
данного евклидова пространства.
2. Если
система
(4)
ортогональна,
то
норма
Теорема
N
P
достигает своего наименьшего значения, когда ко∆N = f
−
α
ϕ
(x)
k k
k=1
(f, ϕk )
эффициенты αk = Ck =
, k = 1, 2, ..., N , т. е. являются коэффициентами
kϕk k2
Фурье функции f (x).
8
Доказательство. Рассмотрим квадрат нормы:
2
!
N
N
N
X
X
X
αk ϕk (x) =
αk ϕk (x), f −
αk ϕk (x) = f −
∆2N = f −
= (f, f ) − 2
k=1
k=1
k=1
N
X
N
X
αk (f, ϕk (x)) +
X
αk2 (ϕk (x), ϕk (x)) + αk αm (ϕk (x), ϕm (x)).
k6=m
k=1
k=1
Последнее слагаемое равно нулю, так как система функций (4) ортогональна. Поэтому
∆2N
2
= kf k − 2
N
X
k=1
2
= kf k − 2
N
X
N
X
(f, ϕk )
2
αk
αk2 kϕk (x)k2 =
kϕ
(x)k
+
k
2
kϕk k
k=1
2
αk Ck kϕk (x)k +
k=1
+
N
X
N
X
Ck2 kϕk (x)k2 −
k=1
αk2 kϕk (x)k2 = kf k2 +
k=1
N
X
N
X
Ck2 kϕk (x)k2 +
k=1
N
X
(αk − Ck )2 kϕk (x)k2 −
k=1
Ck2 kϕk (x)k2 .
k=1
Итак,
∆2N
2
= kf k +
N
X
2
2
(αk − Ck ) kϕk (x)k −
k=1
N
X
Ck2 kϕk (x)k2 .
(8)
k=1
При αk = Ck , k = 1, 2, ..., N , квадрат отклонения ∆2N будет наименьшим,
так как при этом среднее слагаемое в (8) обращается в нуль, а остальные слагаемые от αk не зависят. Поэтому
2 2
N
N
N
X
X
X
2
αk ϕk (x) > f −
Ck ϕk (x) = kf k −
Ck2 kϕk (x)k2 .
(9)
f −
k=1
k=1
k=1
При αk = Ck выражение (8) принимает вид
!2
Zb
Zb
Zb
N
N
X
X
f−
Ck ϕk (x) dx = f 2 (x) dx −
Ck2 ϕ2k (x) dx,
a
k=1
k=1
a
(10)
a
который называется тождеством Бесселя1 .
Так как левая часть в тождестве Бесселя неотрицательна, то из него при
любом N имеем
Zb
Zb
N
X
f 2 (x) dx >
Ck2 ϕ2k (x) dx.
a
1
k=1
a
Бессель Фридрих Вильгельм (1784–1846) – немецкий астроном и геодезист.
9
Левая часть этого неравенства не зависит от N , а правая не убывает с ростом
N
P
N и ограничена значением интеграла. Поэтому ряд
Ck2 kϕk (x)k2 сходится.
k=1
Тогда
Zb
2
f (x) dx >
∞
X
Ck2 kϕk (x)k2 .
(11)
k=1
a
Неравенство (11) называется неравенством Бесселя.
3. ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Определение 6 . Ортогональная на отрезке [a, b] система функций (4)
называется полной, если для любой функции f (x) с интегрируемым квадратом
имеет место равенство Парсеваля – Стеклова1
Zb
2
f (x) dx =
∞
X
Ck2 kϕk (x)k2 ,
(12)
k=1
a
где Ck – коэффициенты Фурье функции f (x).
Если выполняется равенство Парсеваля – Стеклова, то, переходя к пределу в тождестве Бесселя (10), получим
Zb
f−
lim
N →∞
a
или
N
X
!2
Ck ϕk (x)
dx = 0
k=1
2
N
X
lim f −
Ck ϕk (x) = 0,
N →∞ (13)
k=1
и обратно, из (13) следует (12).
Если выполняется равенство (12) или (13), то говорят, что ряд Фурье
функции f (x) сходится к этой функции в среднем.
Теорема 3. Если система функций (4) полная, то не существует непрерывной функции f (x), не равной нулю тождественно и ортогональной всем
функциям системы (4).
1
Парсеваль Марк-Антуан (1755–1836) – французский математик. Стеклов Владимир Андреевич (1864–1926) – российский математик.
10
Доказательство. Если функция f (x) ортогональна ко всем функциям
системы (4), то это означает, что все коэффициенты Фурье Ck = 0, k = 1, 2, ...,
Rb 2
а из условия полноты (12) следует f (x) dx = 0. Отсюда, в силу непрерывности
a
функции f (x), следует, что f (x) = 0.
Отметим, без доказательства, что ряд Фурье может сходиться к функции
в среднем, т. е. выполняется равенство Парсеваля – Стеклова, но не сходиться
∞
P
к функции в обычном смысле, т. е. f (x) 6=
Ck ϕk (x).
k=1
Теорема 4. Если система функций (4) полная, функции системы непрерывны и ряд Фурье непрерывной функции f (x) сходится равномерно, то его
∞
P
сумма совпадает с f (x), т. е. f (x) =
Ck ϕk (x).
k=1
В курсе ”Радиотехнические цепи и сигналы” вводятся понятия энергии
и мощности сигнала. Если f (t) – сигнал, заданный в промежутке времени [t1 , t2 ],
а система функций (4) ортогональна на этом промежутке, то энергия сигнала
f (t) определяется равенством Парсеваля – Стеклова
Zt2
E=
2
f (t) dt =
t1
∞
X
Ck2 kϕk k2 ,
(14)
k=1
где Ck – коэффициенты Фурье, а средняя мощность (на единичном сопротивE
.
лении) P =
t2 − t1
4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
Общая тригонометрическая система функций
1, cos
πx
πx
2πx
2πx
nπx
nπx
, sin , cos
, sin
, ..., cos
, sin
, ...
l
l
l
l
l
l
(15)
√
ортогональна на любом
отрезке
длины
2l,
норма
первой
функции
равна
2l,
√
а каждой другой – l (см. пример 2 на с. 6).
Пусть f (x) – любая периодическая, с периодом T = 2l, интегрируемая на
отрезке [−l, l] функция. Обозначим коэффициенты Фурье, соответствующие
nπx
nπx
a0
функциям cos
, sin
, n = 1, 2, ..., через an и bn , а функции 1 – через .
l
l
2
11
Тогда (см. формулы (6))
a0 1
=
2 2l
Zl
1
a0 =
l
f (x) dx;
−l
Zl
f (x) dx;
−l
(16)
an =
1
l
Zl
f (x) cos
πnx
dx;
l
bn =
1
l
−l
Zl
f (x) sin
πnx
dx.
l
−l
Ряд Фурье функции f (x) по системе функций (15) примет вид
∞
a0 X nπx
nπx f (x) ∼ S(x) = +
an cos
+ bn sin
.
2 n=1
l
l
(17)
Этот ряд представляет сумму периодических функций с периодом 2l, и если
он сходится, то его сумма S(x) есть периодическая функция с периодом 2l
(S(x) = S(x + 2l)).
Замечание. Поскольку в формулах (16) интегрируются функции периода 2l по промежутку длиной 2l, то отрезок интегрирования [−l, l] может быть
заменен любым другим отрезком [a, a + 2l] той же самой длины.
Rb
Rb
Действительно, если ϕ(x) = ϕ(x + 2l), то ϕ(x) dx = ϕ(x + 2l) dx, где a
a
a
и b – произвольные числа. Сделаем замену t = x + 2l, dx = dt, тогда
Rb
ϕ(x) dx =
a
=
b+2l
R
ϕ(t) dt =
a+2l
грал
b+2l
R
ϕ(x) dx. К обеим частям последней формулы прибавим инте-
a+2l
a+2l
R
ϕ(x) dx:
b
Zb
a+2l
Z
b+2l
a+2l
Z
Z
ϕ(x) dx =
ϕ(x) dx +
ϕ(x) dx.
ϕ(x) dx +
a
b
a+2l
b
Объединив интегралы в обеих частях последнего выражения, получим
a+2l
Z
b+2l
Z
ϕ(x) dx =
ϕ(x) dx.
a
(18)
b
Равенство (18) означает, что интеграл от периодической функции по отрезку, длина которого равна периоду, не зависит от расположения этого отрезка на числовой оси, что иллюстрирует рис. 1: заштрихованные площади равны
между собой.
12
f (x)
a
a + 2l
b
O
b + 2l
x
Рис. 1
Поэтому наряду с (16) при вычислении an и bn будем использовать следующие формулы:
1
an =
l
a+2l
Z
πnx
dx;
f (x) cos
l
1
bn =
l
a
a+2l
Z
f (x) sin
πnx
dx,
l
(19)
a
где число a выбирается из соображений удобства вычислений интегралов.
∞
Rb 2
P
Рассмотрим неравенство Бесселя f (x) dx >
Ck2 kϕk (x)k2 (см. (11))
a
k=1
для ряда Фурье по тригонометрической
системе функций. Так как
2
πnx πnx 2
kϕ0 k2 = k1k2 = 2l; kϕn k2 = cos
= sin
= l, то неравенство Бесселя
l
l
по системе функций (15) примет вид
Zl
−l
или
1
l
∞
X
a20
f (x) dx > · 2l +
(a2n + b2n )l
4
n=1
2
Zl
−l
∞
a20 X 2
f (x) dx > +
(an + b2n ),
2 n=1
2
(20)
а равенство Парсеваля – Стеклова –
1
l
Zl
−l
∞
a20 X 2
f (x) dx = +
(an + b2n ).
2 n=1
2
Из (21) следует, что если интеграл
Rl
(21)
f 2 (x) dx сходится, то сходится и ряд в пра-
−l
вой части. Поэтому по необходимому признаку сходимости lim (a2n +b2n ) = 0, что
n→∞
равносильно существованию пределов
Zl
lim an = lim
n→∞
f (x) cos
n→∞
−l
πnx
dx = 0,
l
(22)
13
Zl
lim bn = lim
n→∞
f (x) sin
n→∞
πnx
dx = 0.
l
(23)
−l
Коэффициенты Фурье an , bn любой функции, интегрируемой с квадратом, стремятся к нулю с ростом номера n.
Справедливы и более общие равенства для непрерывной функции f (x):
Zb
lim
n→∞
f (x) cos
πnx
dx = 0,
l
(24)
f (x) sin
πnx
dx = 0,
l
(25)
a
Zb
lim
n→∞
a
где [a, b] – некоторый конечный отрезок.
Если на отрезке [a, b] производная f 0 (x) существует, то равенства (24)
и (25) очевидны, достаточно в них провести интегрирование по частям, например:
Zb
lim
n→∞
Zb
l
πnx
l
πx b
πnx
f (x) cos
dx = f (x) lim
sin − lim
f 0 (x) cos
dx = 0.
n→∞ πn
l
l a n→∞ πn
l
a
a
5. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ
ФУНКЦИЙ
Функция f (x) называется четной, если f (−x) = f (x), и нечетной, если
f (−x) = −f (x).
Проинтегрируем f (x) по отрезку [−l, l] и разобьем интеграл на сумму
двух интегралов:
Zl
Z0
Zl
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.
(26)
−l
−l
0
В первом интеграле в правой части заменим x на −x:
Zl
Z0
f (x) dx = −
−l
Zl
f (−x) dx +
l
f (x) dx.
0
(27)
14
Если f (x) нечетная, то f (−x) = −f (x). Тогда (27) перепишем в виде
Zl
Z0
f (x) dx =
−l
Zl
Zl
f (x) dx = −
f (x) dx +
0
l
Zl
f (x) dx +
0
f (x) dx = 0.
(28)
0
Интеграл от любой нечетной функции по симметричному отрезку
[−l; l] равен нулю, если он существует.
Если f (x) четная, то f (−x) = f (x). Тогда (27) перепишем в виде
Zl
Z0
Zl
Zl
Zl
Zl
f (x)dx =− f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = 2 f (x)dx. (29)
−l
0
l
0
0
0
Интеграл от любой четной функции по симметричному отрезку [−l; l]
равен удвоенному интегралу от этой функции по отрезку [0; l].
πnx
есть функция четная,
Если функция f (x) четная, то f (x) cos
l
πnx
а f (x) sin
– функция нечетная. В этом случае из формул (16) с учетом
l
(28) и (29) следует, что
bn = 0;
a0 =
2
l
Zl
f (x) dx;
an =
2
l
Zl
0
f (x) cos
πnx
dx;
l
n = 1, 2, ...
(30)
0
Ряд Фурье примет вид
∞
a0 X
nπx
f (x) ∼ S(x) = +
an cos
2 n=1
l
и будет содержать только косинусы.
πnx
Если функция f (x) нечетная, то f (x) cos
есть функция нечетная,
l
πnx
а f (x) sin
– функция четная. В этом случае из формул (16) с учетом (28)
l
и (29) следует, что
a0 = an = 0;
bn =
2
l
Zl
f (x) sin
πnx
dx;
l
n = 1, 2, ...
(31)
0
Ряд Фурье примет вид
f (x) ∼ S(x) =
∞
X
n=1
bn sin
nπx
l
и будет содержать только синусы.
Сформулируем два достаточных признака сходимости рядов Фурье
к функции f (x) по системе функций (15).
15
Теорема 5. Если функция f (x) периода 2l непрерывна на действительной оси и имеет кусочно-непрерывную производную на периоде, то ее ряд Фурье
равномерно сходится к ней.
Признак Дирихле1 . Если периодическая функция f (x) с периодом 2l
ограничена на отрезке [−l, l] и удовлетворяет следующим условиям:
1) f (x) кусочно-непрерывна в промежутке (−l, l);
2) промежуток (−l, l) можно разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых функция монотонна;
3) в точке −l она имеет предел справа, а в точке l имеет предел слева;
то ряд Фурье (17) этой функции сходится во всем промежутке (−l, l) и его
сумма S(x) равна:
а) f (x) во всех точках непрерывности функции f (x);
f (xi + 0) + f (xi − 0)
– среднему арифметическому пределов
б) S(xi ) =
2
справа и слева в точках разрыва xi ;
f (−l + 0) + f (l − 0)
в) S(−l) = S(l) =
.
2
S(x)
8
4
−6
−2
−4
6
O
2
4
x
Рис. 2
Пусть, например, функция f (x) = x2 − 2x разложена в ряд Фурье на отрезке [−2; 2]:
∞
nπx a0 X nπx
+ bn sin
f (x) ∼ S(x) = +
an cos
.
2 n=1
2
2
Тогда на интервале (−2; 2) сумма S(x) = x2 −2x = f (x), а в точках x = −2 и x = 2
функция f (x) терпит разрыв первого рода, поэтому
f (−2 + 0) + f (2 − 0) (−2)2 − 2(−2) + 22 − 2 · 2
=
= 4.
2
2
На рис. 2 изображен график суммы S(x) ряда Фурье функции f (x) = x2 − 2x.
S(−2) = S(2) =
1
Дирихле Петер Густав Лежён (1805–1859) – немецкий математик.
16
6. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ
НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В приложениях часто требуется разложить в ряд Фурье непериодическую функцию, заданную лишь на отрезке [a, b]. Отсутствие периодичности у функции не препятствует написанию ряда Фурье, так как в формулах (16) для коэффициентов Фурье интегрирование ведется по отрезку, длина которого равна периоду. Продолжив периодически функцию f (x) с отрезка [a, b] на всю числовую ось (рис. 3), получим периодическую, с периодом
2l = b−a, совпадающую с f (x) на [a, b] функцию, для которой ряд Фурье будет
тождественным с рядом Фурье для f (x).
f (x)
x
a O
a − 2l
b
b + 2l
b + 4l
Рис. 3
При разложении функции f (x) в ряд Фурье в интервале (a, b) коэффициенты Фурье находят по формулам
1
ao =
l
Zb
f (x) dx;
a
1
an =
l
Zb
a
πnx
1
f (x) cos
dx; bn =
l
l
Zb
f (x) sin
πnx
dx,
l
(32)
a
b−a
.
2
Если функция f (x) непериодическая, на отрезке [a, b] удовлетворяет условиям (1–3) признака Дирихле и получен ее ряд Фурье, то сумма S(x) ряда
совпадает с функцией f (x) на отрезке [a, b] в смысле признака Дирихле, а вне
этого отрезка сумма S(x) ряда Фурье является периодическим продолжением
функции f (x).
Если функция f (x) задана на интервале (0, l), то ее можно продолжить
четным образом и получить разложение по косинусам, или продолжить нечетным образом и получить ряд, содержащий только синусы, или продолжить произвольным образом и получить ряд Фурье произвольного вида.
Пусть f (x) задана на отрезке [0; l]. Продолжим ее нечетным образом на
отрезок [−l; 0]. Полученную нечетную функцию с отрезка [−l; l] периодически,
с периодом 2l, продолжим на всю ось OX. Эта процедура отображена графически на рис. 4.
Затем разлагаем f (x) по синусам на отрезке [0; l] в ряд Фурье, коэффициенты bn которого вычисляются по формуле (31).
где l =
17
f (x)
O
−2l
x
−l
l
2l
3l
Рис. 4
f (x)
x
−4l
−3l
−2l
−l
l
O
2l
3l
4l
Рис. 5
Теперь продолжим f (x) четным образом на отрезок [−l; 0] и получим
четную на отрезке [−l; l] функцию, которую периодическим продолжением, с
периодом 2l, распространяем на всю ось OX. Эту процедуру иллюстрирует
рис. 5.
Затем получаем ряд Фурье, содержащий только косинусы. Коэффициенты этого ряда вычисляются по формуле (30).
П р и м е р 3. Разложить функцию f (x) = x:
1) в общий ряд Фурье в интервале (0; 1);
2) в интервале (0; 1) по косинусам кратных дуг;
3) в интервале (0; 1) по синусам кратных дуг.
Построить графики сумм полученных рядов.
Решение
S(x)
1. Продолжим функцию f (x) = x,
1
x ∈ (0; 1) на всю числовую ось с периодом
2l = 1, т. е. так, что f (x) = f (x+1) (рис. 6).
1
−2
−1 O
1 πn
x
Так как l = ,
= 2πn, то из (32) нахо2 l
дим коэффициенты Фурье:
Рис. 6
Z1
a0 = 2
Z1
x dx = 1;
0
an = 2
Z1
x cos 2πnx dx = 0;
0
x sin 2πnx dx = −
bn = 2
0
Запишем ряд Фурье
∞
1 1 X sin 2πnx
f (x) ∼ S(x) = −
.
2 π n=1
n
1
.
πn
18
По признаку Дирихле
(
x, x ∈ (0, 1);
S(x) = 1
2 , x = 0, x = 1,
S(x + 1) = S(x) (см. рис. 6).
2.
Дополним
определение
функции
f (x) = x,
x ∈ (0; 1)
на
интервал (−1; 0) четным образом, приняв на нем f (x) = −x,
x ∈ (−1; 0). Тогда f (x) = |x|, x ∈ (−1; 1). Продолжим полученную функцию
с периодом 2l = 2 на всю числовую ось, т. е. так, что f (x + 2) = f (x). В результате получим четную периодическую функцию, ряд Фурье которой содержит
только косинусы. Коэффициенты Фурье вычисляем по (30) при l = 1:
Z1
bn = 0,
a0 = 2
x dx = 1;
0
Z1
an = 2
0
S(x)
−2
−1

0,
n = 2k,
x cos πnx dx =
4
− 2
,
π (2k − 1)2
n = 2k − 1.
Запишем ряд Фурье:
1
∞
1
O
1 4 X cos π(2n − 1)x
f (x) ∼ S(x) = − 2
.
2 π n=1 (2n − 1)2
x
По признаку Дирихле S(x) = |x| при
x ∈ [−1; 1] S(x + 2) = S(x) (рис. 7).
Рис. 7
3. Доопределим функцию f (x) = x, x ∈ (0; 1) на интервале (−1; 0) нечетным образом, приняв на нем f (x) = x, x ∈ (−1; 0). Тогда f (x) = x, x ∈ (−1; 1).
S(x)
1
O
−2
−1
2
1
x
−1
Рис. 8
Продолжив полученную функцию с периодом 2l = 2 на всю числовую
ось, будем иметь нечетную периодическую функцию, ряд Фурье которой
содержит только синусы. Коэффициенты Фурье вычисляем по (31) при l = 1:
19
Z1
a0 = an = 0,
b0 = 2
2(−1)n+1
x sin πnx dx =
πn
0
и получаем ряд Фурье
∞
2 X (−1)n+1
f (x) ∼ S(x) =
sin πnx.
π n=1
n
По признаку Дирихле S(x) = x при x ∈ (−1; 1) S(x + 2) = S(x),
f (−1 − 0) + f (−1 + 0) 1 − 1
f (1 − 0) + f (1 + 0) 1 − 1
S(−1) =
=
= 0, S(1) =
=
=0
2
2
2
2
(см. рис. 8).
П р и м е р 4. Разложить функцию f (x) = x в ряд Фурье в интервале
(1; 3). Построить график суммы полученного ряда. Записать равенство Парсе∞ 1
P
.
валя – Стеклова и с его помощью вычислить сумму числового ряда
2
n
n=1
πn
Решение. Длина заданного промежутка равна 2. Значит, l = 1,
= πn.
l
Вычислим коэффициенты Фурье по (32):
Z3
a0 =
Z3
x dx = 4;
an =
1
Z3
x cos πnx dx = 0;
bn =
1
2(−1)n+1
x sin πnx dx =
.
πn
1
Запишем ряд Фурье:
S(x)
3
2
∞
2 X (−1)n+1 sin πnx
f (x) ∼ S(x) = 2 +
.
π n=1
n
По признаку Дирихле
(
x, x ∈ (1, 3),
S(x) =
2, x = 1, x = 3
1
−3 −2 −1 O
Рис. 9
S(x + 2) = S(x) (рис. 9). Равенство Парсеваля – Стеклова
Z3
1
∞
26
4 X 1
x dx = = 8 + 2
.
3
π n=1 n2
2
2
∞
X
1
26
π
π2
Отсюда
=
−8
= .
2
n
3
4
6
n=1
1
2
3x
20
7. ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ.
ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ
Запишем ряд Фурье для периодической функции f (x) с периодом 2l = 2π:
∞
a0 X
(an cos nx + bn sin nx) .
f (x) ∼ +
2 n=1
(33)
Перейдем теперь к исследованию сходимости этого ряда в заданной точке
x = x0 к значению f (x) в этой точке. Запишем частичную сумму ряда Фурье
в точке x0 :
n
a0 X
(ak cos kx0 + bk sin kx0 ) .
(34)
Sn (x0 ) = +
2
k=1
Подставим в (34) вместо ak и bk их интегральные представления (16),
внесем постоянные cos kx0 и sin kx0 под знаки интегралов и объединим их:
"
#
Zπ
n
1
1 X
Sn (x0 ) =
f (x)
+
(cos kx cos kx0 + sin kx sin kx0 ) dx.
π
2
k=1
−π
В круглых скобках стоит косинус разности, поэтому
"
#
Zπ
n
1 X
1
Sn (x0 ) =
f (x)
+
cos k(x − x0 ) dx.
π
2
−π
(35)
k=1
Так как f (x) = f (x + 2π), то интеграл в (35) сохраняет свое значение на
любом отрезке интегрирования длины 2π, поэтому
"
#
xZ0 +π
n
X
1
1
Sn (x0 ) =
f (x)
+
cos k(x − x0 ) dx.
(36)
π
2
x0 −π
k=1
В интеграле (36) заменим переменную интегрирования по формуле
x − x0 = t, dx = dt:
"
#
Zπ
n
X
1
1
Sn (x0 ) =
f (x0 + t)
+
cos kt dt.
(37)
π
2
−π
k=1
t
Все члены в квадратных скобках в (37) умножим и разделим на sin :
2
!
n
n
1 X
1
t X
t
+
cos kt =
sin +
2 sin cos kt .
t
2
2
2
2 sin 2
k=1
k=1
21
1
t
1
Так как 2 sin cos kt = sin k +
t − sin k −
t, то
2
2
2
(
)
n
n X
X
1
1
t
1
1
cos kt =
sin k +
+
sin +
t − sin k −
t =
t
2
2
2
2
2
sin
2
k=1
k=1
t
3t
t
5t
3t
1
sin + sin − sin + sin − sin
+· · · +
=
2
2
2
2
2
2 sin 2t
1
1
+ sin n +
t − sin n −
t .
2
2
скобках взаимно уничтожаются все члены, кроме
В фигурных
1
t, поэтому
sin n +
2
n
sin n + 12 t
1 X
+
cos kt =
.
(38)
t
2
2
sin
2
k=1
Подставив (38) в (37), получим
Zπ
1
Sn (x0 ) =
π
−π
sin n + 12 t
f (x0 + t)
dt.
2 sin 2t
(39)
Это представление Sn (x0 ) и различные его модификации называются интегралом Дирихле. Из выражения (39) нельзя найти lim Sn (x), так как при n → ∞
n→∞
предел подынтегральной функции не существует. Разделим обе части (38) на
π, а затем проинтегрируем по t от −π до π. Интеграл от левой части в (38)
!
Zπ
n
X
1
1
+
cos kt dt = 1,
π
2
k=1
−π
поэтому интеграл от правой части в (38)
1
π
Zπ
−π
sin n + 12 t
dt = 1.
2 sin 2t
(40)
Умножим обе части (40) на f (x0 ) и вычтем почленно из (39), получим
Zπ
sin n + 21 t
1
Sn (x0 ) − f (x0 ) =
(f (x0 + t) − f (x0 ))
dt.
(41)
π
2 sin 2t
−π
Таким образом, вопрос о сходимости последовательности Sn (x0 ) к f (x0 )
сведен к задаче о стремлении к нулю интеграла в (41) при n → ∞.
22
t
1
t
Так как sin n +
t = sin nt cos +sin cos nt, то интеграл в (41) можно
2
2
2
разбить на два, обозначив в нем f (x0 + t) − f (x0 ) = F (t):
Sn (x0 ) − f (x0 ) =
1
π
Zπ
t
1
1
F (t) ctg sin nt dt +
2
2
π
−π
Zπ
1
F (t) cos nt dt.
2
(42)
π
Перейдем к пределу при n → ∞ в обеих частях (42), разбив первый интеграл в правой части на три:
 −δ

Z
Zπ
1
t
1
t
1
1
lim Sn (x0 )−f (x0 )= lim 
F (t) ctg sin ntdt+
F (t) ctg sin ntdt+
n→∞
n→∞ π
2
2
π
2
2
−π
1
n→∞ π
Zδ
+ lim
δ
1
t
1
F (t) ctg sin nt dt + lim
n→∞ π
2
2
Zπ
1
F (t) cos nt dt.
2
(43)
−π
−δ
Последний интеграл в (43) – это коэффициент Фурье an для функции
1
t
1
F (t), поэтому по (22) его предел при n → ∞ равен 0. Функция F (t) ctg
2
2
2
является ограниченной и кусочно-непрерывной на промежутках −π 6 t 6 −δ,
δ 6 t 6 π, поэтому по (25) пределы интегралов в квадратных скобках в (43) при
n → ∞ равны нулю.
Таким образом, для остатка ряда Фурье получили выражение
1
lim Sn (x0 ) − f (x0 ) = lim
n→∞
n→∞ π
Zδ
1
t
F (t) ctg sin nt dt.
2
2
(44)
−δ
Интегрирование в (44) производится по отрезку −δ 6 t 6 δ, а так как
F (t) = f (x0 + t) − f (x0 ), то интеграл зависит только от значений функции f (x)
на интервале (x0 −δ; x0 +δ). Это и доказывает принцип локализации: поведение
ряда Фурье функции f (x) в некоторой окрестности точки x0 зависит только
от значений функции f (x), принимаемых в сколь угодно малой окрестности
x0 . При этом значения f (x) вне интервала (x0 −δ; x0 +δ) не играют роли. Таким
образом, если взять две функции f1 (x) и f2 (x), значения которых в произвольно
малой окрестности точки x0 совпадают, то как бы они ни разнились вне этой
окрестности, соответствующие ряды Фурье ведут себя в точке x0 одинаково:
либо оба сходятся к одной и той же сумме, либо оба расходятся. Следует отметить, что коэффициенты Фурье для f1 (x) и f2 (x), зависящие от всех значений
этих функций на отрезке [−π; π], могут быть совершенно различными.
23
8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Пусть функция f (x) на отрезке [−π; π] имеет ряд Фурье
∞
a0 X
(an cos nx + bn sin nx) .
f (x) = +
2 n=1
(45)
Рассмотрим функцию
F (x) =
Zx a0 f (t) −
dt,
2
x ∈ [−π; π].
(46)
0
Так как ряд Фурье для f (x) существует, то функция F (x) непрерывная,
ограниченная и периодическая с периодом 2π. Действительно,
Zπ
F (π) − F (−π) =
0
a0 π
−
f (t) dt −
2
Z−π
Zπ
a0 π
f (t) dt −
= f (t) dt − a0 π.
2
−π
0
Zπ
f (t) dt = a0 π, поэтому F (π) − F (−π) = 0.
Однако
−π
Функция F (x) непрерывна, значит, она имеет сходящийся ряд Фурье на
отрезке [−π; π]:
∞
A0 X
F (x) =
+
(An cos nx + Bn sin nx) .
(47)
2 n=1
Установим связь между коэффициентами рядов Фурье (45) и (47). Подставим F (x) из (46) в подынтегральные выражения в (16), проинтегрируем по
частям и получим An и Bn .


Zπ
Zπ
1
1 
An =
F (x) cos nx dx =
F (x) sin xn|ππ − F 0 (x) sin xn dx .
π
πn
−π
−π
a0
, а sin(±πn) = 0, то
2
Zπ 1
a0 bn
An = −
f (x) −
sin nx dx = − .
πn
2
n
−π


Zπ
Zπ
1
1 
Bn =
F (x) sin nx dx =
−F (x) cos xn|ππ + F 0 (x) cos xn dx .
π
πn
Так как F 0 (x) = f (x) −
−π
−π
(48)
(49)
24
Поскольку F (−π) = F (π), то
1
Bn =
πn
Zπ an
a0 cos nx dx = .
f (x) −
2
n
(50)
−π
Чтобы найти A0 , подставим в формулу (47) x = 0:
∞
A0 X
F (0) =
+
An .
2 n=1
По определению (46) F (0) = 0, поэтому с учетом (48) находим
∞
∞
X
X
bn
A0
=−
An =
.
2
n
n=1
n=1
Подставив найденные
(51)
A0
, An и Bn в ряд (47), получим
2
F (x) =
∞
X
1
n=1
n
(an sin nx + bn (1 − cos nx)) .
(52)
Ряд (52) получается из ряда (45) почленным интегрированием. Таким
образом, почленное интегрирование ряда Фурье (45) всегда допустимо, причем
без всяких предположений о сходимости самого ряда.
9. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Рассмотрим функцию f (x), непрерывную на отрезке [−π; π], принимающую на его концах одинаковые значения f (−π) = f (π) и имеющую кусочнонепрерывную производную f 0 (x). Тогда
Zx
f (x) =
f 0 (x) dx + f (0)
(53)
0
и ряд Фурье для f (x) получается из ряда функции f 0 (x)
0
f (x) =
∞
X
(a0n cos nx + b0n sin nx)
n=1
почленным интегрированием (см. гл. 8).
(54)
25
Коэффициент a00 в ряду (54) равен нулю:
1
a0 =
π
Zπ
1
f 0 (x) dx = (f (π) − f (−π)) = 0.
π
(55)
−π
Таким образом, ряд (54) для f 0 (x) получается из ряда (45) почленным
дифференцированием. Следует обратить внимание на ту роль, которую играет
предположение о периодичности функции f (x). При нарушении этого условия
a0
свободный член 0 ряда Фурье для функции f 0 (x) был бы отличен от нуля
2
и, следовательно, ряд (54) не мог быть получен из ряда (45) почленным дифференцированием.
Отметим, что при дифференцировании функций cos nx и sin nx появляются натуральные множители n, повышающие порядок малости коэффициентов, что ухудшает шансы на сходимость ряда (54).
10. УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Пусть функции f (x) и F (x) интегрируемы с квадратом на отрезке [−π; π]
и для них известны ряды Фурье
∞
a0 X
f (x) = +
(an cos nx + bn sin nx) ,
2 n=1
(56)
∞
A0 X
F (x) =
+
(An cos nx + Bn sin nx) .
2 n=1
(57)
Составим ряд Фурье для произведения f (x)F (x). Это возможно: так как f (x)
и F (x) интегрируемы с квадратом, то произведение f (x)F (x) – заведомо интегрируемая функция и, следовательно, она имеет ряд Фурье
∞
α0 X
(αn cos nx + βn sin nx) .
f (x)F (x) = +
2 n=1
(58)
Выразим коэффициенты αn , βn ряда (58) через коэффициенты an , bn ,
An , Bn . Для этого запишем равенство Парсеваля – Стеклова для функций
f (x) + F (x) и f (x) − F (x):
1
π
Zπ
−π
∞
(a0 + A0 )2 X
(f (x) + F (x)) dx =
+
(an + An )2 + (bn + Bn )2 ,
2
n=1
2
(59)
26
1
π
Zπ
−π
∞
(a0 − A0 )2 X
+
(an − An )2 + (bn − Bn )2 .
(f (x) − F (x)) dx =
2
n=1
2
(60)
Вычтем почленно из равенства (59) равенство (60), с учетом тождества
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
получим
α0 1
=
2 π
Zπ
−π
∞
a0 A 0 X
+
(an An + bn Bn ) .
f (x)F (x) dx =
2
n=1
(61)
Определение коэффициентов αn и βn сводится к использованию выведенной формулы (61):
Zπ
1
αk =
f (x)F (x) cos kx dx.
π
−π
α0
тем, что функция F (x) в (61) заменена на
2
функцию F (x) cos nx, коэффициенты Фурье которой выражаются интегралами
Zπ
Zπ
1
1
F (x) cos kx cos nx dx =
F (x)(cos(n + k)x + cos(n − k)x) dx =
π
2π
Это выражение отличается от
−π
−π
1
= (An+k + An−k ),
2
1
π
Zπ
1
F (x) cos kx sin nx dx =
2π
−π
(62)
Zπ
F (x)(sin(n + k)x + sin(n − k)x) dx =
−π
1
= (Bn+k + Bn−k ).
(63)
2
Формулы (62) и (63) годны не только для n > k, но и для n < k, если
условиться, что A−n = An , B−n = −Bn . Теперь по формуле (61) находим
αk = a0 Ak +
∞
X
(an (An+k + An−k ) + bn (Bn+k + Bn−k )) .
(64)
Аналогично для βk получаем
∞
X
βk = a0 Bk +
(an (Bn+k − Bn−k ) − bn (An+k − An−k )) .
(65)
n=1
n=1
Формулы (61), (64), (65) дают решение задачи о составлении ряда Фурье для произведения f (x)F (x), если известны коэффициенты Фурье сомножителей.
27
11. ПОВЕДЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
ВБЛИЗИ ТОЧЕК РАЗРЫВА. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА
Непрерывность функции является необходимым условием равномерной сходимости ее ряда
Фурье. Исследуем поведение частичных сумм ряда Фурье на примере периодической, с периодом
2π, абсолютно интегрируемой функции f (x), имеющей точки разрыва первого рода при x = kπ, где
k – целое число:
(
1, 0 6 x 6 π,
f (x) =
0, π < x < 2π.
y
1
π x
O
Рис. 10
Составим для функции f (x) ряд Фурье и его частичную сумму:
∞
1 2 X sin(2k − 1)x
f (x) ∼ +
,
2 π
2k − 1
(66)
k=1
n
1 2 X sin(2k − 1)x
S2n−1 (x) = +
.
2 π
2k − 1
(67)
k=1
Zx
cos(2k −1)t dt =
Поскольку
запишем
sin(2k − 1)x
, то, подставив это выражение в (67),
2k − 1
0
1 2
S2n−1 (x) = +
2 π
Zx X
n
0
cos(2k − 1)t dt.
(68)
k=1
Рассуждая так же, как и при выводе формулы (38), можно показать, что
n
X
cos(2k − 1)t =
k=1
sin 2nt
.
2 sin t
(69)
sin 2nt
dt.
sin t
(70)
Подставив (69) в (68), получим
1 1
S2n−1 (x) = +
2 π
Zx
0
Дважды продифференцируем частичную сумму в (70):
1 sin 2nx
,
π sin x
1 2n cos 2nx sin x − sin 2nx cos x
00
S2n−1
(x) =
.
π
sin2 x
0
(x) =
S2n−1
(71)
(72)
28
mπ
0
(x) равна нулю в точках xm =
, m = 1, 2, ..., (2n − 1). ВтоПроизводная S2n−1
2n
рая производная в точках xm
mπ 2n(−1)m
00
=
S2n−1
.
(73)
2n
π sin mπ
2n
mπ 00
Знак S2n−1
совпадает со знаком (−1)m . При нечетных m точки
2n
(2k − 1)π
x2k−1 =
, k = 1, 2, . . . n являются точками максимума для S2n−1 (x).
2n
π
При четных m точки x2k = , k = 1, 2, . . . , n являются точками минимума для
k
S2n−1 (x).
π
Запишем частичную сумму S2n−1 (x) в точке максимума x1 = :
2n
π/2n
π 1 1 Z sin 2nt
S2n−1
= +
dt.
2n
2 π
sin t
(74)
0
С ростом n точка максимума x1 смещается к точке x = 0 (рис. 11–13). В интеξ
грале (74) заменим переменную интегрирования по формулам ξ = 2nt, t = ,
2n
dξ
dt =
и перейдем к пределу при n → ∞:
2n
!
Zπ
Zπ
ξ
ξ
π 1
sin ξ 2n
1 1
sin ξ
1
2n
dξ = +
dξ .
= + lim
·
· lim
lim S2n−1
ξ
ξ
n→∞
2n
2 n→∞ π
ξ sin 2n
2 π
ξ n→∞ sin 2n
0
0
Так как
lim
n→∞
!
ξ
2n
sin
ξ
2n
1
=
lim
n→∞
то
ξ
sin 2n
! = 1,
ξ
2n
π 1 1 Zπ sin ξ
= +
dξ.
lim S2n−1
n→∞
2n
2 π
ξ
0
Численное интегрирование в (75) дает значение интеграла
1
π
Zπ
sin ξ
dξ = 0, 5089.
ξ
0
π
Итак, lim S
= 1, 089 > 1.
n→∞
2n
(75)
29
S7 (x)
S3 (x)
1
1
x1
O
π
O
x
Рис. 11
S(x)
1
1
Рис. 13
x
Рис. 12
S11 (x)
O x1
π
x1
π
x
π
O
x
Рис. 14
Таким образом, вблизи разрыва x = 0 сумма (67) конечного числа членов ряда Фурье заметно превышает нужное значение. Когда число слагаемых
в S2n−1 возрастает, максимум не исчезает, а придвигается ближе к точке разрыва, что отражено на рис. 11–13. Аналогичная картина имеет место и вблизи
точки x = π при приближении к ней слева.
Можно сказать, что предельным геометрическим образом при n → ∞ для
кривых S2n−1 (x) является не ломаная на рис. 10, а ломаная на рис. 14.
Этот дефект сходимости впервые был отмечен Гиббсом1 на частном примере и известен под названием ”явление Гиббса”. То, что верно для рассматриваемой функции f (x), очевидно, верно и для более общих функций, поскольку
разрыв можно рассматривать как результат сложения прямоугольной волны
с главной функцией. Явление Гиббса – это предупреждение против прямого
использования рядов Фурье в вычислениях, если только коэффициенты не убывают хотя бы как n−3 .
1
Гиббс Джозайя Уиллард (1839–1903) – американский физик-теоретик.
30
12. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ
Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [−l; l]. Составим для нее
ряд Фурье (17) на интервале (−l, l):
∞
a0 X nπx
nπx f (x) ∼ S(x) = +
an cos
+ bn sin
.
2 n=1
l
l
(76)
nπx
nπx
и sin
через показательные функции, воспользовавl
l
шись формулами Эйлера1 :
Выразим cos
e
πnx
l i
e−
= cos
πnx
l i
πnx
nπx
i + sin
,
l
l
(77)
πnx
nπx
i − sin
,
l
l
(78)
= cos
Сложим почленно равенства (77) и (78), затем вычтем из (77) равенство (78)
и получим
nπx e
=
cos
l
πnx
l i
+ e−
2
πnx
l i
,
nπx
e
sin
= −i
l
πnx
l i
− e−
2
πnx
l i
.
(79)
Подставим выражения (79) в ряд Фурье и проведем преобразования:
πnx
πnx
πnx
πnx ∞ a0 X
e l i + e− l i
e l i − e− l i
f (x) ∼ +
an
− ibn
.
(80)
2 n=1
2
2
πnx
πnx
Сгруппировав члены, содержащие e l i и e− l i , запишем
∞ a0 X an − ibn πnx i an + ibn − πnx i
e l +
e l
.
f (x) ∼ +
2 n=1
2
2
(81)
Введем обозначения
C0 =
a0
;
2
Cn =
an − ibn
;
2
C−n =
an + ibn
.
2
(82)
Выразим коэффициенты Cn через интегралы (16) для an и bn :
an − ibn 1
Cn =
=
2
2l
Zl
−l
1
πnx
1
f (x) cos
dx − i
l
2l
Zl
f (x) sin
πnx
dx.
l
−l
Эйлер Леонард (1707–1783) – швейцарский математик, механик, физик и астроном.
(83)
31
Объединим интегралы и, принимая во внимание формулу Эйлера (77),
запишем
1
Cn =
2l
Zl
πnx 1
πnx
− i sin
dx =
f (x) cos
l
l
2l
−l
Zl
f (x)e−
πnx
l i
dx.
(84)
−l
Аналогично
1
C−n =
2l
Zl
f (x)e
πnx
l i
dx.
(85)
−l
Тогда ряд Фурье (76) примет вид
f (x) ∼ S(x) = C0 +
∞ X
Cn e
nπx
l i
+ C−n e
−nπx
l i
.
(86)
n=1
Формулы (83), (85) для вычисления комплексных коэффициентов Фурье
Cn и C−n можно объединить, так как одна из другой получается изменением
знака перед n:
1
Cn =
2l
Zl
f (x)e−
πnx
l i
n = 0, ±1, ±2, ...
dx,
(87)
−l
И окончательно ряд Фурье в комплексной форме запишем в более компактном виде
∞
X
nπx
Cn e l i .
f (x) ∼ S(x) =
(88)
n=−∞
Из (82) видно, что Cn и C−n являются комплексными сопряженными числами, поэтому
|C0 |2 =
a20
,
4
1
|Cn |2 = Cn C−n = (a2n + b2n ).
4
(89)
В формулах (16) для вычисления an и bn номер n входит сомножителем
только под знаком косинуса или синуса, поэтому an – четная относительно n
функция, а bn – нечетная. Следовательно, по (89) |Cn |2 – четная функция n.
С учетом (89) равенство (21) перепишем в виде
1
2l
Zl
2
f (x) dx =
−l
∞
X
|Cn |2 .
(90)
n=−∞
Выражение (90) – это формула Парсеваля для комплексной формы ряда Фурье.
32
13. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
В радиотехнике разложение (88) записывается в виде
∞
1 X
An eiωn x .
f (x) ∼ S(x) =
2 n=−∞
(91)
Определение 7 . Величина An , равная 2Cn , называется комплексной амπn
плитудой колебания с частотой ωn = :
l
An = 2Cn =
1
l
Zl
f (x)e−
πnx
l i
dx.
(92)
a2n + b2n .
(93)
−l
Из (89) следует
|An | =
A0 = a 0 ,
p
Определение 8 . Спектральной функцией, или спектральной плотностью, S(iωn ) периодического сигнала f (t) называется интеграл
Zl
f (t)e−iωn t dt = 2lCn = l(an − ibn ) = S(iωn ).
(94)
−l
Спектральная функция и комплексная амплитуда связаны зависимостью
1
An = S(iωn ).
l
Определение 9 . Амплитудным спектром S(ωn ) сигнала f (t) называется множество значений модуля спектральной плотности
(p
l a2n + b2n , n 6= 0,
(95)
|S(iωn )| = S(ωn ) =
l|a0 |, n = 0.
Определение 10 . Фазовым спектром Φn сигнала f (t) называется множество значений аргумента спектральной плотности S(iωn ), взятых с противоположным знаком:
Φn = − arg S(iωn ),
−π < Φn 6 π.
Поскольку
Zl
S(−iωn ) =
−l
f (t)eiωn t dt =
Zl
Zl
f (t) cos ωn t dt + i
−l
f (t) sin ωn t dt =
−l
(96)
33
= l(an + ibn ) = S(iωn ),
(97)
то функции S(iωn ) и S(−iωn ) – комплексно сопряженные числа, значит,
Φn = arg S(−iωn ) = arg S(iωn ) = − arg S(iωn ).
Черта сверху означает комплексное сопряжение.
Установим зависимость f (t) от |An |, ωn и Φn . Для этого умножим члены
|An |
:
ряда Фурье (76) на 1 = p
a2n + b2n
!
∞
X
an
bn
a0
nπt
nπt
|An | p
+p
.
(98)
f (t) ∼ S(t) = +
cos
sin
2 n=1
l
l
a2n + b2n
a2n + b2n
an
bn
bn
на p
, получим = tg Φn , что следует
an
a2n + b2n
a2n + b2n
an
bn
6 1 и p
p 2
6 1,
an + b2n a2n + b2n Поделив величину p
из (96). Так как
an
bn
и sin Φn =
.
|An |
|An |
Перепишем разложение (98) с учетом двух последних формул:
то принимаем cos Φn =
∞
a0 X
f (t) ∼ +
|An |(cos Φn cos ωn t + sin Φn sin ωn t).
2 n=1
С учетом формулы для косинуса разности двух углов окончательно
получим
∞
a0 X
f (t) ∼ +
|An | cos(ωn t − Φn ).
(99)
2 n=1
Здесь |An | – амплитуда n-го гармонического колебания, (ωn t−Φn ) – фаза этого
колебания, Φn – начальная фаза, т. е. при t = 0.
Отметим некоторые простейшие свойства спектральной функции, амплитудного и фазового спектров. Для четного по t сигнала f (t) все коэффициенты
bn = 0. Поэтому из (94) и (29) следует, что в этом случае
Zl
S(iωn ) = lan =
Zl
f (t) cos ωn t dt = 2
−l
f (t) cos ωn t dt.
(100)
0
Если f (−t) = f (t), то спектральная функция является четной и действительной
функцией номера n и частоты ωn , ввиду четности an по n. Следовательно, и ее
34
аргумент Φn тоже четная функция n, причем его возможные значения равны
нулю или π.
При нечетном сигнале f (t) все коэффициенты an = 0 и по (94) и (29)
Zl
S(iωn ) = −ilbn = −i
Zl
f (t) sin ωn t dt = −2i
−l
f (t) sin ωn t dt.
(101)
0
Если f (−t) = −f (t), то S(iωn ) – чисто мнимая величина и нечетная функция
π
n и ωn , а Φn принимает одно из возможных значений ± и является нечетной
2
функцией n и ωn .
Поскольку S(iωn ) и S(−iωn ) – комплексные сопряженные числа, то
arg S(−iωn ) = − arg S(iωn ) и для всех сигналов, не являющихся четными, фазовый спектр – нечетная функция номера n и частоты ωn . Коэффициенты
Фурье an – всегда четные функции номера n, а коэффициенты bn – нечетные.
Это следует из формул (16), поэтому амплитудный спектр по (95) – всегда четная функция номера n и частоты ωn , т. е. S(ωn ) = S(−ωn ).
В радиотехнике интеграл в левой части (90) называется средней за период
2l мощностью P , рассеиваемой периодическим сигналом f (t) на сопротивлении
1 Ом:
!
Zl
∞
∞
∞
2
2
2
X
X
X
1
A0
|An |
1 a0
2
2
2
P=
f (t) dt =
+
=
+
(an + bn ) =
|Cn |2 . (102)
2l
4 n=1 2
2 2 n=1
n=−∞
−l
П р и м е р 5. Разложить в комплексные ряды Фурье периодические
функции:
1) f (x) = x, x ∈ (−1; 1), f (x + 2) = f (x);
2) f (x) = ex , x ∈ (−π; π), f (x + 2π) = f (x);
3) функция задана графически на рис. 15.
Для каждой функции найти спектральную плотность, амплитудный и
фазовый спектры и построить их графики.
Решение
1. Период равен 2, значит, l = 1. Вычислим комплексные коэффициенты
Cn . Частота ωn = πn. Так как f (x) = x – нечетная функция, то Cn должны быть
чисто мнимыми величинами. При n 6= 0
1
Cn =
2
Z1
−ωn ti
te
−1
1
dt =
2
1
te−ωn ti e−ωn ti eωn i + e−ωn i
i
(−1)n i
+ 2
=−
=
cos ωn =
.
−ωn i
ωn −1
2ωn i
ωn
ωn
35
f (x)
2
−2
S(ωn )
1
−1
2
3
1
O
x
ω−3 ω−2 ω−1 O
−2
Рис. 15
ω1
ω2
ω3 ωn
Рис. 16
Φ(ωn )
π/2
ω−3
ω−1
ω−2
ω2
ω1
O
ω3
ωn
−π/2
Рис. 17
1
При n = 0 коэффициент C0 =
2
Z1
t dt = 0. Запишем комплексный ряд
−1
Фурье:
∞
X
(−1)n i ωn xi
f (x) ∼
e ,
πn
n=−∞
n 6= 0.
Спектральная плотность
2(−1)n i 2(−1)n i
S(iωn ) = 2Cn =
=
.
πn
ωn
Амплитудный спектр (его график приведен на рис. 16)
|S(iωn )| = S(ωn ) =
2
.
|ωn |
2(−1)n i
2(−1)n+1 i
Фазовый спектр Φn = − arg
= arg
является нечетной
ωn
ωn
функцией от номера n, поэтому достаточно найти его значения при n > 0. Поπ
скольку S(iωn ) – чисто мнимая величина, то Φn имеет лишь два значения: ± ,
2
n+1 π
выражаемые формулой Φn = (−1)
. Фазовый спектр Φn не определен, если
2
n = 0, так как аргумент 0 не существует. График Φn изображен на рис. 17.
36
2. Период функции равен 2π, l = π, а частота ωn = n. Вычислим комплексные коэффициенты Cn :
1
Cn =
2π
Zπ
−π
n
(1−ni)t π
eπ e−πni − e−π eπni
1
e
t −nti
=
ee
dt =
=
2π 1 − ni −π
2π(1 − ni)
(−1) (eπ − e−π ) (−1)n sh π (−1)n sh π(1 + ni)
=
=
=
.
2π(1 − ni)
π(1 − ni)
π(1 + n2 )
Запишем комплексный ряд Фурье:
∞
sh π X (−1)n (1 + ni) nxi
e .
f (x) ∼
π n=−∞
1 + n2
Спектральная плотность
2(−1)n (1 + ni)
S(in) = 2lCn =
sh π.
1 + n2
Амплитудный спектр
2 sh π
|S(in)| = S(n) = √
.
1 + n2
Фазовый спектр
Φn = − arg(−1)n (1 + ni).
Для построения амплитудного (рис. 18) и фазового (рис. 19) спектров
составим табл. 1. Так как Φn – нечетная функция, а S(n) – четная по n, то
рассмотрим только n > 0.
ωn = n
S(n)
Φn
0
23.1
0
1
16.3
0.75π
2
10.3
−0.35π
3
7.29
0.6π
Таблица 1
4
5.6
−0.42π
S(ωn )
15
10
5
ω−3
ω−2
ω−1
O
Рис. 18
ω1
ω2
ω3 ωn
37
Φ(ωn )
ω−3
π
ω−1
ω−2
ω1
O
ω2
ω3
ωn
−π
Рис. 19
πn
3. Период функции равен 4, l = 2, а частота ωn = . Вычислим комплекс2
ные коэффициенты Cn :
 1

Z
Z3
e−ωn i − 1 − e−3ωn i + e−2ωn i
1
−ωn ti
−ωn ti

2e
dt − 2e
dt =
=
Cn =
2
−2ωn i
0
−ωn i
=
(1−e
2
nπ
nπ
)(1−e−2ωn i ) (1−e− 2 i )(1−e−πni ) (1 − e− 2 i )(1− (−1)n )
=
=
.
2ωn i
πni
πni
Если n = 2m – четное число, то C2m = 0, m = ±1, ±2, ... Если n = 2m − 1 –
нечетное число, то
π(2m−1)
2(1 − e− 2 i ) 2 1 − cos −πm + π2 − i sin −πm + π2
C2m−1 =
=
=
π(2m − 1)i
π(2m − 1)i
2(1 − i cos πm) −2i(i + cos πm) 2((−1)m+1 − i)
=
=
=
.
π(2m − 1)i
π(2m − 1)i
π(2m − 1)
 1

Z
Z3
1
C0 =  2 dt − 2 dt = 0.
4
0
2
Запишем комплексный ряд Фурье:
∞
2 X (−1)m+1 − i π(2m−1) xi
f (x) ∼
e 2
.
π m=−∞ 2m − 1
Спектральная плотность

0, n = 2m,
S(iωn ) = 8((−1)m+1 − i)

,
π(2m − 1)
n = 2m − 1.
38
Амплитудный спектр


n = 2m,
0, √
|S(iωn )| = S(ωn ) =
8 2

, n = 2m − 1.

π|2m − 1|
Фазовый спектр

не определен, если n = 2m,
m+1
Φn =
−i
− arg (−1)
, если n = 2m − 1.
2m − 1
Для построения амплитудного (рис. 20) и фазового (рис. 21) спектров
составим табл. 2.
Таблица 2
m
−2
−1
0
1
2
3
n = 2m − 1
−5
−3
−1
1
3
5
S(ωn )
0.72
1.2
3.6
3.6
1.2 0.72
Φn
−π/4 −3π/4 −π/4 π/4 3π/4 π/4
S(ωn )
3
2
1
ω−4
ω−5
ω−2
ω−3
ω2
ω−1
O
ω4
ω1
ω3
ω5
ωn
ω1
ω3
ω5
ωn
Рис. 20
Φ(ωn )
ω−5
ω−3
π
ω−1
O
−π
Рис. 21
39
П р и м е р 6. Сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов, изображенных на рис. 22. Вычислить
среднюю мощность переменной составляющей этого сигнала.
Решение. Согласно формуле (102)
f (t)
средняя мощность P сигнала f (t) за пеU0
риод T
1
P=
T
T0 /2
Z
U02 T0
2
.
U0 dt =
T
O T0
2
−T0 /2
Постоянная составляющая сигнала
a0 =
2
T
T0 /2
Z
U0 dt =
T
2T
t
Рис. 22
2U0 T0
.
T
−T0 /2
a20 U02 T02
Мощность постоянной составляющей
= 2 . Поэтому мощность
4
T
переменной составляющей этого сигнала
a20 U02 T0 U02 T02 U02 T0 (T − T0 )
Pп = P − =
− 2 =
.
4
T
T
T2
14. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Сформулируем теорему.
Теорема 6. Если функция f (x) на любом конечном интервале оси OX
кусочно-непрерывна и абсолютно интегрируема в интервале (−∞, ∞), т. е.
R∞
|f (x)| dx = p < ∞, то она может быть представлена интегралом Фурье
−∞
1
f (x) =
π
Z∞
Z∞
dω
0
f (t) cos ω(x − t) dt.
(103)
−∞
В точках разрыва xi функции f (x) этот интеграл сходится к среднему
f (xi + 0) + f (xi − 0)
.
арифметическому пределов справа и слева, т. е. к числу
2
Формула (103) служит для разложения непериодического сигнала на гармонические колебания, частоты ω которых пробегают непрерывную совокупность значений 0 6 ω < ∞.
40
Запишем интеграл Фурье (103) в другом виде:
1
f (x) =
π
Z∞
Z∞
dω
−∞
0
1
=
π
f (t)(cos ωx cos ωt + sin ωx sin ωt) dt =
Z∞
Z∞
cos ωx dω
1
f (t) cos ωt dt +
π
Z∞
−∞
0
Z∞
sin ωx dω
f (t) sin ωt dt.
−∞
0
Обозначим
1
a(ω) =
π
Z∞
Z∞
1
b(ω) =
π
f (t) cos ωt dt;
−∞
f (t) sin ωt dt.
(104)
−∞
Тогда
Z∞
Z∞
a(ω) cos ωx dω +
f (x) =
0
b(ω) sin ωx dω.
(105)
0
Формулу (105) можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье
для функций, имеющих период 2l, когда l → ∞. При этом a(ω) и b(ω) аналогичны коэффициентам Фурье функции f (x).
Если f (x) – четная функция, то
2
a(ω) =
π
Z∞
f (t) cos ωt dt;
b(ω) = 0;
0
Z∞
a(ω) cos ωx dω
f (x) =
0
или
f (x) =
2
π
Z∞
Z∞
cos ωx dω
0
f (t) cos ωt dt.
0
Если f (x) – нечетная функция, то
a(ω) = 0;
2
b(ω) =
π
Z∞
f (t) sin ωt dt;
0
Z∞
f (x) =
b(ω) sin ωx dω
0
(106)
41
или
2
f (x) =
π
Z∞
Z∞
sin ωx dω
0
f (t) sin ωt dt.
(107)
0
Если функция f (x) задана на промежутке (0, ∞), то ее можно продолжить четным или нечетным образом для x < 0 и представить ее интегралом
Фурье в виде (106) или (107) соответственно.
r Z∞
2
f (t) cos ωt dt называется
Определение 11 . Интеграл Fc (ω) =
π
0
косинус-преобразованием Фурье функции f (t).
r Z∞
2
Определение 12 . Интеграл Fs (ω) =
f (t) sin ωt dt называется
π
0
синус-преобразованием Фурье функции f (t).
Если функция f (x) четная, то
r Z∞
2
Fc (ω) cos ωx dω.
f (x) =
π
(108)
0
Если функция f (x) нечетная, то
r Z∞
2
f (x) =
Fs (ω) sin ωx dω.
π
(109)
0
Выражения (108) и (109) называются соответственно обратными косинуси синус-преобразованиями Фурье.
П р и м е р 7. Представить функцию f (x) = e−x (x > 0) интегралом Фурье, продолжив ее: 1) четным образом; 2) нечетным образом.
Решение
1. Продолжив функцию четным образом, найдем косинус-преобразование
Фурье:
r Z∞
r Z∞
2
2
e−t (eωti + e−ωti )
−t
Fc (ω) =
dt =
e cos ωt dt =
π
π
2
0
0
√
−t(1−ωi)
∞
−t(1+ωi)
1
e
1
1
2
e
1
=√
√
=√
+
+
=
.
ωi − 1
−(ωi + 1) 0
π(1 + ω 2 )
2π
2π 1 − ωi 1 + ωi
r √ Z∞
Z∞
2
2
cos ωx
2
cos ωx
f (x) =
·√
dω
=
dω.
π
1 + ω2
π
1 + ω2
π
0
0
42
2. Продолжив функцию нечетным образом, найдем синус-преобразование
Фурье:
r Z∞
r Z∞
2
2
e−t (eωti − e−ωti )
−t
dt =
Fs (ω) =
e sin ωt dt =
π
π
2i
0
0
−t(1−ωi)
r
∞
1
e−t(1+ωi) 1
1
ω
e
1
2
√
= √
+
=
−
=
.
ωi − 1
ωi + 1 0 i 2π 1 − ωi 1 + ωi
π (1 + ω 2 )
i 2π
Z∞
2
ω sin ωx
f (x) =
dω.
π
1 + ω2
0
П р и м е р 8. Представить интегралом Фурье функцию
(
A0 , при 0 < x < a,
f (x) =
0,
при a < x < ∞,
продолжив ее: 1) нечетным образом; 2) четным образом. Вычислить интеграл
Z∞
sin ω
dω.
ω
0
Решение
1. Продолжив функцию нечетным образом, получим
Z∞
Za
2A0
sin ωx dω sin ωt dt =
f (x) =
π
0
0


Z∞
A0 , 0 < x < a,
2A0
sin ωx(1 − cos ωa)
=
dω = −A0 , −a < x < 0,

π
ω

0
0, x = 0, |x| > a.
f (x)
A0
−a
a x
O
Рис. 23
2. В силу формулы (106)
f (x) =
2A0
π
Z∞
Za
cos ωx dω
0
cos ωt dt =
2A0
π
0
Z∞
0
(
A0 , |x| < a,
cos ωx sin ωa
dω =
ω
0, |x| > a.
При a = 1 f (0) = A0 , так как функция продолжена четным образом
(рис. 23):
2A0
f (0) = A0 =
π
Z∞
0
sin ω
dω.
ω
43
Отсюда
Z∞
π
sin ω
dω = .
ω
2
0
15. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Запишем интеграл Фурье (103)
Z∞
1
f (x) =
π
Z∞
−∞
0
Функция Φ(ω, x) =
R∞
f (t) cos ω(t − x) dt.
dω
f (t) cos ω(t − x) dt, т. е. внутренний интеграл, является
−∞
четной относительно ω, ввиду четности косинуса, а поэтому
1
f (x) =
2π
Z∞
Z∞
dω
−∞
f (t) cos ω(t − x) dt.
(110)
−∞
Далее, из абсолютной интегрируемости функции f (x) следует, что интеграл
R∞
f (t) sin ω(t − x) dt существует и является нечетной функцией ω. Поэтому
−∞
i
2π
Z∞

Z∞
f (t) sin ω(t − x) dt dω = 0,

−∞

(111)
−∞
если здесь интеграл понимается в смысле главного значения, т. е. как lim
Ra
a→∞ −a
Вычитая равенство (111) из (110), получаем


Z∞ Z∞
1
 f (t)(cos ω(t − x) − i sin ω(t − x)) dt dω =
f (x) =
2π
−∞
−∞
1
=
2π
Z∞ Z∞
−∞ −∞
f (t)e−iω(t−x) dt dω.
.
44
Равенство
f (x) =
Z∞
1
2π

Z∞

−∞

f (t)e−iωt dt eiωx dω
(112)
−∞
будем называть интегралом Фурье в комплексной форме.
Обозначим внутренний интеграл в (112) как
Z∞
F̂ [f (t)] = F (iω) =
f (t)e−iωt dt
(113)
−∞
и назовем его преобразованием, или изображением, Фурье функции f (x).
Перепишем формулу (112) в виде
1
f (x) = F̂ −1 [F (iω)] =
2π
Z∞
F (iω)eiωx dω.
(114)
−∞
Выражение (114) называется обратным преобразованием Фурье. Формула (113)
имеет смысл для любой абсолютно интегрируемой функции f (x).
Свойства преобразования Фурье:
1. Линейность:
F̂ [af1 + bf2 ] = aF̂ [f1 ] + bF̂ [f2 ],
(115)
где a, b – константы.
2. Теорема запаздывания
F̂ [f (t − τ )] = e−iωτ F (iω).
(116)
1 ω
F̂ [f (at)] = F i
.
|a|
a
(117)
3. Теорема подобия
4. Теорема о модуляции:
F̂ [f (t)eiat ] = F [i(ω − a)],
1
1
F̂ [f (t) cos at] = F [i(ω − a)] − F [i(ω + a)],
2
2
i
i
F̂ [f (t) sin at] = F [i(ω + a)] − F [i(ω − a)].
2
2
5. Преобразование производной:
n df
d f
F̂
= iωF (iω);
F̂
= (iω)n F (iω).
n
dt
dt
(118)
(119)
(120)
(121)
45
6. Дифференцирование изображения:
dn
F̂ [t f (t)] = i
F (iω).
dω n
n
n
(122)
Доказательство
1. Поскольку преобразование Фурье – это интеграл, то ему присуще свойство линейности.
2. Подставим f (t − τ ) в (113):
Z∞
F̂ [f (t − τ )] =
f (t − τ )e−iωt dt.
−∞
Введем новую переменную интегрирования s = t − τ , t = s + τ , dt = ds. Тогда
Z∞
F̂ [f (t − τ )] =
f (s)e−iω(s+τ ) dt = e−iωτ
−∞
Z∞
f (s)e−iωs dt = e−iωτ F (iω).
−∞
3. Пусть a > 0. По определению (113)
Z∞
F̂ [f (at)] =
f (at)e−iωt dt.
−∞
1
s
Обозначим s = at, t = , dt = ds. Тогда
a
a
Z∞
1
1 ω
−iω as
F̂ [f (at)] =
f (s)e
.
ds = F i
a
a
a
(123)
−∞
Возьмем a < 0. Тогда
1
F̂ [f (at)] =
a
Z−∞
Z∞
s
1
1 ω
−iω a
−iω as
f (s)e
f (s)e
.
ds = −
ds = − F i
a
a
a
∞
(124)
−∞
Так как при a < 0 модуль |a| = −a, то формулы (123) и (124) легко объединить
и записать (117).
4. По определению (113)
F̂ [f (t)eiat ] =
Z∞
−∞
f (t)eiat e−iωt dt =
Z∞
f (t)ei(a−ω)t dt = F [i(ω − a)].
−∞
Формулы (119), (120) следуют из (118), если sin ωt, cos ωt выразить через
экспоненты по формулам (79).
46
dn f
df
, ..., n – абсолютно интегрируемые функции, то формулы
dt
dt
(121) получаются из (113) при подстановке в нее производных и интегрирования
по частям с учетом того, что абсолютно интегрируемые функции стремятся
к нулю на бесконечности.
6. Пусть f (t), tf (t) абсолютно интегрируемы на всей числовой оси. Продифференцируем интеграл (113) по ω:
Z∞
Z∞
dF (iω) d
=
f (t)e−iωt dt = −i
tf (t)e−iωt dt.
(125)
dω
dω
5. Если
−∞
−∞
Интеграл в правой части (125) сходится равномерно по ω вследствие абсолютdF (iω)
существует и имеет место выраженой интегрируемости tf (t), а значит,
dω
ние (125). Если f (t) такова, что tf (t), t2 f (t), ..., tn f (t) абсолютно интегрируемы,
то, рассуждая аналогично, получим
Z∞
dn F (iω)
= (−it)n f (t)e−iωt dt,
n
dω
−∞
откуда и следует равенство (122).
16. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
И СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
Определение 13 . Пусть f1 (t) и f2 (t) – интегрируемые на всей прямой
функции. Функция
Z∞
f (t) = f1 ∗ f2 =
f1 (τ )f2 (t − τ ) dτ
(126)
−∞
называется сверткой функций f1 (t) и f2 (t). Операция свертки обозначается
знаком ”звездочка” (∗).
Операция свертки коммутативна, т. е.
Z∞
f2 ∗ f1 =
f1 (t − τ )f2 (τ ) dτ = f1 ∗ f2 .
(127)
−∞
Если F̂ [f1 ] = F1 (iω), F̂ [f2 ] = F2 (iω), то имеет место равенство
F̂ [f1 ∗ f2 ] = F1 (iω)F2 (iω),
(128)
47
известное как теорема о свертке. Формулы (127) и (128) легко доказываются
заменой переменной интегрирования s = t−τ . Преобразование Фурье переводит
операцию свертки в более простую операцию – умножение изображений F1 (iω)
и F2 (iω).
В правой части формулы (126) f1 (τ ) заменим интегралом (114):
Z∞ Z∞
1
f1 ∗ f2 =
2π
F1 (iω)eiωτ dω f2 (t − τ ) dτ.
−∞ −∞
Обозначив s = t − τ , представим свертку в виде
1
f1 ∗ f2 =
2π
Z∞ Z∞
F1 (iω)eiω(t−s) dω f2 (s) ds.
−∞ −∞
Изменив порядок интегрирования, с учетом (113) получим


Z∞
Z∞
1
F1 (iω)eiωt
f2 (s)e−iωs ds dω =
f1 ∗ f2 =
2π
−∞
=
1
2π
−∞
Z∞
F1 (iω)F2 (iω)eiωt dω.
(129)
−∞
Если для функций f1
и
R∞
и f2
существуют интегралы
R∞
f12 (t) dt
−∞
f22 (t) dt, то имеет место равенство
−∞
Z∞
1
f1 (t)f2 (t) dt =
2π
−∞
Z∞
F1 (iω)F2 (−iω) dω,
(130)
−∞
известное как теорема Планшереля1 . В частности, если f1 (t) = f2 (t) = f (t), то
Z∞
−∞
f 2 (t) dt =
1
2π
Z∞
|F (iω)|2 dω,
(131)
−∞
так как F (iω) и F (−iω) по определению (113) комплексные сопряженные числа
и |F (iω)|2 = F (iω)F (−iω). Формула (131) является аналогом равенства Парсеваля (90) для рядов Фурье.
1
Планшерель Мишель (1885–1967) – швейцарский математик.
48
17. СПЕКТРАЛЬНЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ
АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
В радиотехнике интеграл (113) называется спектральной плотностью,
или спектральной функцией, S(iω) одиночного импульса f (t):
Z∞
S(iω) =
f (t)e−iωt dt = F̂ [f (t)] = F (iω).
(132)
−∞
Таким образом, по определению (132) свойства спектральной функции
идентичны рассмотренным выше свойствам преобразования Фурье.
Отделим в S(iω) действительную и мнимую части, применив в подынтегральном выражении (132) формулу Эйлера:
Z∞
Z∞
S(iω) =
f (t) cos ωt dt − i
f (t) sin ωt dt.
(133)
−∞
−∞
Из (133) следует, что если f (t) – четный сигнал, то S(iω) – действительная
величина и
Z∞
S(iω) = 2 f (t) cos ωt dt,
(134)
0
и если f (t) – нечетный сигнал, то S(iω) – чисто мнимая величина и
Z∞
S(iω) = −2i f (t) sin ωt dt.
(135)
0
Модуль спектральной функции S(iω) называется амплитудным спектром S(ω) импульса f (t):
∞
Z
S(ω) = |S(iω)| = f (t)e−iωt dt .
(136)
−∞
Из (133) следует, что действительная часть S(iω) – четная функция ω,
а мнимая часть – нечетная функция. Поэтому амплитудный спектр – всегда
четная функция S(−ω) = S(ω).
Амплитудные спектры сигнала f (t) и его временно́й копии f (t−τ ) равны.
Это следует из (136), теоремы запаздывания (116) и равенства |e−ωτ i | = 1.
Энергия сигнала f (t) (на единичном сопротивлении) определяется как
Z∞
Z∞
1
S 2 (ω) dω,
(137)
E=
f 2 (t) dt =
2π
−∞
−∞
49
а энергетический спектр сигнала f (x)
W (ω) = |F (iω)|2 = S 2 (ω).
(138)
Определение 14 . Аргумент спектральной функции, взятый с обратным
знаком, называется фазовым спектром:
Φ(ω) = − arg S(iω).
(139)
Поскольку S(iω) и S(−iω) – сопряженные комплексные числа, то
Φ(ω) = arg S(−iω).
(140)
Для четного сигнала (f (−t) = f (t)) фазовый спектр Φ(ω) – четная функция ω (Φ(ω) = Φ(−ω)), причем Φ(ω) = 0, если S(iω) > 0, и Φ(ω) = π, если
S(iω) < 0. Если же сигнал f (t) нечетный, то его фазовый спектр Φ(ω) – нечетная
π
функция ω, причем Φ(ω) = ± . Для сигнала f (t), не обладающего свойствами
2
четности или нечетности, Φ(ω) – всегда нечетная функция ω, значения которой
принадлежат промежутку (−π; π]. Эти свойства Φ(ω) следуют из формул (111),
(113) и определения Φ(ω).
В выражении (126) для свертки функций f1 ∗ f2 положим f1 = f (t),
f2 = f (−t). Тогда
Z∞
f (t)f (t − τ ) dt.
(141)
k(τ ) =
−∞
Величина k(τ ) в теории сигналов называется автокорреляционной функцией
(АКФ) и служит мерой количественного отличия сигнала f (t) от его временно́й
копии f (t − τ ). АКФ дает представление о длительности и скорости изменения
сигнала во времени. Функция k(τ ) является четной, потому что если в интеграле (141) сделать замену переменной интегрирования ζ = t − τ и учесть, что
обозначение переменной интегрирования не влияет на значение несобственного
интеграла, то получим
Z∞
Z∞
f (t)f (t − τ ) dt =
k(τ ) =
−∞
f (ζ)f (ζ + τ ) dζ = k(−τ ).
(142)
−∞
Поскольку интеграл (141) является частным случаем свертки, то, используя
формулы (129), (138), запишем
k(τ ) =
1
2π
Z∞
−∞
F (iω)F (−iω)eiωτ dω =
1
2π
Z∞
−∞
W (ω)eiωτ dω.
(143)
50
Если τ = 0, то по (131) АКФ равна энергии сигнала f (t):
1
k(0) =
2π
Z∞
|F (iω)|2 dω =
−∞
Z∞
f 2 (t) dt = E.
(144)
−∞
Поскольку |eiωτ | = 1, то
Z∞
Z∞
1
1
|k(τ )| = F (iω)F (−iω)eiωτ dω 6
|F (iω)|2 dω = E.
2π
2π
−∞
−∞
Таким образом, АКФ по модулю не превосходит энергию сигнала. Из сказанного
следует, что график АКФ симметричен относительно оси ординат, с максимальным значением при τ = 0, которое всегда положительно.
Из (141) следует, что АКФ сигнала f (t) и его временно́й копии f (t − t0 )
равны при любом конечном значении t0 :
Z∞
Z∞
f (t − t0 )f (t − t0 − τ ) dτ =
−∞
f (ξ)f (ξ − τ ) dξ = k(τ ), где ξ = t − t0 .
−∞
Сравнивая формулу (143)
1
k(τ ) =
2π
Z∞
W (ω)eiωτ dω
−∞
с формулой (114)
Z∞
1
f (x) = F̂ −1 [F (iω)] =
2π
F (iω)eiωx dω,
−∞
заключаем, что АКФ представляет собой обратное преобразование Фурье для
W (ω). Следовательно, W (ω) – это преобразование Фурье для k(τ ):
Z∞
W (ω) = F̂ [k(τ )] =
k(τ )e−iωτ dτ.
(145)
−∞
Соотношения (143), (145) имеют важное значение в радиотехнике, так как
по распределению энергии сигнала по спектру можно оценить корреляционные
свойства сигнала. Эти формулы позволяют вычислить одну из функций, если
другая определена экспериментально.
51
П р и м е р 9. Найти спектральную плотность прямоугольного импульса
(рис. 24), автокорреляционную функцию, энергию сигнала. Построить графики
амплитудного и фазового спектров, если T = 2, U0 = 1.
Решение. Поскольку сигнал f (t) – четная функция, то спектральная плотность – действительная величина и четная функция ω при ω 6= 0:
ZT /2
F (iω) =
−iωt
U0 e
Tω
e−iωT /2 − eiωT /2 2U0
=
sin
.
dt = U0
−iω
ω
2
−T /2
Амплитудный спектр
sin T ω 2 S(ω) = |F (iω)| = 2U0 .
ω При ω = 0 S(0) = U0 T. Если
T = 2, U0 = 1,
sin ω .
то S(0) = 2, S(ω) = 2 ω Фазовый спектр четного сигнала
f (t) – четная функция ω:
f (t)
U0
t
−T /2
O
T /2
Рис. 24
(
0, ω ∈ (2πn, 2πn + π) ∪ (−π − 2πn, −2πn),
2 sin ω
=
Φ(ω) = − arg
ω
π, в остальных интервалах,
n = 0, 1, 2, ...
Графики амплитудного и фазового спектров изображены на рис. 25 и 26
соответственно.
Для вычисления АКФ представим f (t) и f (t−τ ) аналитически при T = 2,
U0 = 1 и 0 6 τ 6 2:
(
1, если |t| < 1,
f (t) =
0, если |t| > 1,
f (t − τ ) =
(
1, если |t − τ | < 1, или τ − 1 < t < τ + 1,
0, если |t − τ | > 1, или t < τ − 1,
t > τ + 1.
Тогда
(
1, τ − 1 < t < 1,
f (t)f (t − τ ) =
0, t ∈ (−∞, τ − 1) ∪ (1, ∞).
52
S(ω)
2
−2π
−π
O
π
2π
ω
2π
3π
ω
Рис. 25
Φ(ω)
π
−π
O
π
Рис. 26
Функция f (t) отлична от нуля только на отрезке [−1; 1], а f (t − τ ) – на
отрезке [−1+τ ; 1+τ ]. При τ > 2 эти множества не пересекаются, в этом случае
f (t)f (f − τ ) = 0 при всех t, поэтому для АКФ получим

1

Z∞
 R dt = 2 − τ, если 0 6 τ 6 2,
f (t)f (t − τ ) dt = τ −1
k(τ ) =

0, если τ > 2.
−∞
Учитывая, что k(τ ) = k(−τ ), имеем для τ < 0
(
2 + τ, −2 6 τ 6 0,
k(τ ) =
0, τ < −2.
Объединяя оба выражения, запишем окончательно
(
2 − |τ |, |τ | 6 2,
k(τ ) =
0, |τ | > 2.
Z1
Энергия сигнала E =
−1
2
12 dt = 2 =
π
Z∞
sin2 ω
dω.
ω2
−∞
П р и м е р 10. Найти преобразование Фурье функции
(
1, 0 < t < 2,
f1 (t) =
0, t < 0, t > 2,
а также амплитудный и фазовый спектры. Построить их графики. Найти автокорреляционную функцию.
53
Решение. Импульс f1 (t) – это запаздывающий на 1 импульс f (t) из примера 9, т. е. f1 (t) = f (t − 1). Его преобразование Фурье находим по теореме запаздывания (116), используя результат предыдущей задачи:

 2 sin ω e−iω , ω 6= 0
−iω
(146)
F1 (iω) = F̂ [f (t − 1)] = e F̂ [f (t)] =
ω
2, ω = 0.
Поскольку f1 (t) – временна́я копия сигнала f (t), то амплитудные спектры
этих сигналов, а также АКФ одинаковы. Амплитудный спектр

 2| sin ω| , ω 6= 0,
|ω|
S1 (ω) = S(ω) =

2, ω = 0
изображен на рис. 25. Поскольку F1 (ω) – комплексная величина, то фазовый
спектр Φ(ω) – нечетная функция ω и можно ограничиться значениями Φ(ω)
при ω > 0:
Φ(ω) = − arg
2 sin ω(cos ω − i sin ω)
sin 2ω − i(1 − cos 2ω)
= − arg
.
ω
ω
Числитель в (146) есть периодическая функция с периодом π, поэтому для ω > 0 arg F (iω) достаточно рассмотреть при 0 < ω < π. Так как
tg arg F (iω) = − tg ω = tg(−ω), то arg F (iω) = −ω. Значит, Φ(ω) = − arg F (iω) = ω
в промежутке (0, π), а далее вправо график фазового спектра периодически
продолжается. При −π < ω < 0, аналогично, Φ(ω) = ω и далее влево график фазового спектра периодически продолжается (рис. 27).
Φ(ω)
π
−2π
−π
O
π
2π
ω
−π
Рис. 27
Автокорреляционные функции сигнала f (t) и его временно́й копии f1 (t)
равны, следовательно,
(
2 − |τ |, |τ | 6 2,
k(τ ) =
0, |τ | > 2.
54
18. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Введем единичную функцию Хевисайда1 и дельта-функцию δ(t):
(
(
1, если t > 0,
1, если t > t0 ,
η(t) =
η(t − t0 ) =
0, если t < 0;
0, если t < t0 ;
(
∞, при t = 0,
δ(t) =
0, при t 6= 0;
Z∞
(147)
(148)
Zt
δ(t) dt = 1;
δ(x) dx = η(t);
−∞
0
−∞
0
η (t − t0 ) = δ(t − t0 ).
η (t) = δ(t);
(149)
(150)
Фильтрующее свойство дельта-функции
Zb
f (t)δ(t − t0 ) dt =
a
Тогда
(
f (t0 ), a < t0 < b,
0,
t0 < a,
t0 > b.
(151)
Z∞
f (t)δ(t − t0 ) dt = f (t0 ).
(152)
−∞
Условия (149), (150) оказываются несовместимыми, если рассматривать
их с позиций классического математического анализа, и поэтому дельтафункция не является ”функцией” в обычном смысле. Она относится к классу
так называемых обобщенных функций. Дельта-функцию можно рассматривать
λ
при λ → ∞:
как предел последовательности функций f (λ, t) =
π(1 + λ2 t2 )
(
0, при t > 0,
lim f (λ, t) =
λ→∞
∞, при t = 0.
Причем
Z∞
−∞
∞
λ dt
1
1 π π = arctg λt =
− −
= 1.
π(1 + λ2 t2 ) π
π
2
2
−∞
При таком определении δ(t) является четной функцией t.
1
Хевисайд Оливер (1850–1925) – английский физик.
55
Найдем преобразование Фурье функции Хевисайда. Функция η(t) по
определению (147) не является абсолютно интегрируемой на всей числовой оси,
и поэтому преобразование Фурье (113) для такой функции не существует. Однако, используя понятие дельта-функции, функцию Хевисайда можно определить
с помощью следующего предельного перехода:
(
lim e−αt , если t > 0,
α→0
(153)
η(t) =
0, если t < 0.
Тогда преобразование Фурье функции η(t)
Z∞
F̂ [η(t)] = lim
α→0
e−αt e−iωt dt = lim
Z∞
α→0
0
1
.
α→0 α + iω
e−(α+iω)t dt = lim
0
Выполнив деление на α + iω, запишем
α − iω
α
ω
=
lim
−
i
lim
.
α→0 α2 + ω 2
α→0 α2 + ω 2
α→0 α2 + ω 2
F̂ [η(t)] = lim
(154)
При α = 0 первое слагаемое в правой части (154) равно нулю при всех ω, кроме
ω = 0, при котором обращается в бесконечность. Интеграл от первого слагаемого
по ω в пределах от −∞ до +∞
Z∞
α dω
=
α2 + ω 2
Z∞
−∞
−∞
ω ∞
ω 1
= arctg
= π,
ω 2 d
α
α −∞
1+
α
независимо от значений α. Поэтому пределом первого слагаемого в (154) можно
считать функцию πδ(ω). Предел второго слагаемого в (154)
ω
i
=
.
α→0 α2 + ω 2
ω
i lim
Из этого следует, что
Z∞
F̂ [η(t)] = lim
α→0
i
e−αt e−iωt dt = πδ(ω) − .
ω
(155)
0
Преобразование Фурье дельта-функции по фильтрующему свойству (152)
Z∞
F̂ [δ(t − t0 )] =
−∞
При t0 = 0 F̂ [δ(t)] = 1.
δ(t − t0 )e−iωt dt = e−iωt0 .
56
Понятие дельта-функции широко используется в радиоэлектронике и теории связи при исследовании воздействия очень коротких импульсов напряжения на линейные цепи. При этом нужно помнить, что дельта-функция не имеет самостоятельного значения, а имеет смысл только как множитель подынтегрального выражения.
П р и м е р 11. Найти преобразование Фурье функции
(
e−αx , x > 0,
f (x) =
0, x < 0,
α > 0. Построить амплитудный и фазовый спектры. Найти автокорреляционную
функцию.
Решение. Преобразование Фурье
Z∞
1
F (iω) = e−αt e−iωt dt =
.
α + iω
0
Амплитудный спектр
1
.
α2 + ω 2
График для случая α = 1 изображен на рис. 28.
S(ω) = √
S(ω)
1
−2
−1
O
1
2
ω
Рис. 28
Фазовый спектр (график изображен на рис. 29)
α − iω
ω
=
−
arg(α
−
iω)
=
arctg
.
α2 + ω 2
α
Найдем автокорреляционную функцию k(τ ) при τ > 0:
Φ(ω) = − arg
Z∞
k(τ ) =
−∞
−αt
e
−α(t−τ )
η(t)e
Z∞
η(t − τ ) dt =
−αt −α(t−τ )
e
e
e−ατ
dt =
.
2α
τ
eατ
Функция k(τ ) четная, поэтому для τ < 0 имеем k(τ ) =
. Объединив обе
2α
e−α|τ |
формулы, получим k(τ ) =
. График АКФ для α = 1 изображен на рис. 30.
2α
57
Φ(ω)
k(τ )
π/2
−3
−2
1
−1 O
1
2
3
ω
−2
−1 O
1
2
τ
−π/2
Рис. 29
Рис. 30
П р и м е р 12. Найти спектральную функцию импульса
(
1, t > t0 ,
f (t) =
0, t < t0 .
Решение. По условию f (t) = η(t−t0 ). В силу (150) f 0 (t) = η 0 (t−t0 ) = δ(t−t0 ).
Пусть F (iω) – искомая спектральная плотность. Используя свойство (121) преобразований Фурье, запишем F̂ [f 0 (t)] = iωF (iω). С другой стороны, применяя
формулы (113) и (152), получаем
F̂ [f 0 (t)] = F̂ [δ(t − t0 )] =
Z∞
e−iωt δ(t − t0 ) dt = e−ωt0 i = iωF (iω).
−∞
e−iωt0
Значит, F (iω) =
.
iω
П р и м е р 13. Найти спектральную функцию треугольного импульса
f (t) (рис. 31).
Решение. Зададим функцию аналитически:


t − 1, 1 < t < 2,
f (t) = 3 − t, 2 < t < 3,


0, t < 1, t > 3.
Так как f (t) – кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, то ее
производная существует всюду, кроме точек t = 1, t = 2 и t = 3:

1, 1 < t < 2,
df (t) 
= −1, 2 < t < 3,

dt

0, t < 1, t > 3.
На рис. 32 построен график функции
df (t)
. Если этот график сместить
dt
58
влево на две единицы, то получится график нечетной функции

1, −1 < t < 0,
df (t + 2) 
= −1, 0 < t < 1,

dt

0, |t| > 1,
преобразование Фурье которой легко вычисляется:
Z1
Z1
df (t + 2)
df (t + 2) −iωt
df (t + 2)
F̂
=
e
dt =
(cos ωt − i sin ωt) dt =
dt
dt
dt
−1
−1
Z1
= 2i
sin ωt dt =
2i
4i
ω
(1 − cos ω) = sin2 .
ω
ω
2
0
df (t)
dt
f (t)
1
1
O
O
1
2
3 t
Рис. 31
1
2
3 t
−1
Рис. 32
С другой стороны, используя формулы (116) и (121), получаем
df (t + 2)
df
2ωi
F̂
= e F̂
= e2ωi iωF (iω).
dt
dt
Выразив отсюда F (iω), получим
e−2ωi
df (t + 2)
4e−2ωi 2 ω
F (iω) =
F̂
=
sin .
ωi
dt
ω2
2
19. ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MATHCAD
ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ФУНКЦИЙ
Mathcad – это программное средство, позволяющее производить разнообразные математические и технические расчеты. Для этого пользователю предоставляются инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. Графический интерфейс пакета легко осваивается пользователями.
59
Окно Mathcad – это пространство, в котором размещены все инструменты, необходимые для работы, и рабочий документ, т. е. место, куда будут вводиться выражения для вычислений, команды и где будут отображаться результаты вычислений и строиться графики. Самая верхняя строка окна – это строка стандартных Windows-приложений. Все, что расположено ниже, относится
к работе в среде пакета. Вторая сверху строка – строка меню, содержащая пункты: ”Файл”, ”Правка”, ”Вид”, ”Добавить”, ”Формат”, ”Инструменты”, ”Символика”, ”Окно”, ”Справка”. Следующие строки окна содержат панели инструментов.
открывает список встроенных функций.
Например, кнопка
Панель математических операций содержит девять кнопок, каждая из
которых открывает дополнительную панель наиболее часто используемых математических действий (рис. 33).
Под строками панелей инструментов находится окно рабочего документа Mathcad (рис. 34). Щелчок мышью по любому месту в рабочем документе
обозначает крестиком позицию, с которой начинается ввод вычисляемого выражения. Для вычисления определенного интеграла нужно щелкнуть на панели инструментов по кнопке
(”Панель вычисления”), затем по значку
во всплывающем окошке ”Исчисление”. Появится шаблон, в который необходимо ввести пределы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную
интегрирования, потом выделить синим уголком всё выражение. Затем следует щелкнуть по кнопке ”Панель символьных ключевых слов”
– появится
панель ”Символьная”, где нужно выбрать кнопку
(рис. 33). Далее нужно
щелкнуть по рабочему документу вне выделенной рамки. Справа от стрелки
появится результат вычисления.
Для вычисления модуля комплексного числа следует на панели ”Калькулятор”
щелкнуть по значку
и ввести комплексное число, причем для
ввода мнимой единицы необходимо воспользоваться значком на той же панели, и поставить знак равенства.
Применение пакета Mathcad рассмотрим на следующем примере.
П р и м е р 14. Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую
функцию, заданную графически (рис. 35). Найти амплитудный и фазовый спектры, построить их графики.
Решение. Период функции 2l = 2, l = 1. Интеграл от периодической функции по отрезку, длина которого равна периоду, не зависит от расположения
этого отрезка на числовой оси, поэтому опишем функцию f (t) аналитически на
промежутке [−1; 1):
(
t + 1,
−1 6 t 6 0,
f (t) =
1,
0 6 t < 1.
60
Рис. 33
Рис. 34
61
f (t)
1
−3
−2
−1
O
1
2
t
Рис. 35
Найдем спектральную функцию F (n) по формуле (94). Поскольку f (t) задана двумя выражениями, отрезок интегрирования при вычислении F (n) разбиваем на два. Набираем интегралы, щелкнув по значку
в окошке ”Исчисление” и ex на панели ”Калькулятор”. Выделяем выражение уголком справа,
щелкаем по кнопке simplify на панели символьных ключевых слов. Затем щелкаем вне выделенной рамки. При n = 0 выражение в правой части не существует,
3
поэтому, щелкнув в окошке ”Исчисление” по кнопке lim, находим lim F (n) →
→a
n→0
2
(рис. 36).
Рис. 36
Так как f (t) > 0, из формулы (94) следует, что значение F (0) равно площади фигуры, построенной на отрезке [−1; 1] (рис. 35). Перепишем F (n), учитывая, что eiπn = e−iπn = (−1)n , в виде
1 − (−1)n i(−1)n
F (n) =
+
,
π 2 n2
πn
n 6= 0.
Из этого выражения следует, что если n = 2k – четное число, то (−1)2k = 1, и,
π
i
– чисто мнимая величина и фазовый спектр Φ(2k) = −
значит, F (2k) =
2πk
2
при k > 0.
3
3
Так как F (0) = , то Φ(0) = − arg = 0. Амплитудный спектр S(2k) =
2
2
1
= |F (2k)| =
при k > 0. Коэффициенты Cn комплексного ряда Фурье связаны
2πk
1
1
со спектральной функцией формулой (94), поэтому Cn = F (n), C0 = F (0).
2l
2l
62
Учитывая выражение для F (n), запишем комплексный ряд Фурье
для f (t):
∞
1 X 1 − (−1)n + iπn(−1)n iπnt
3
e ,
f (t) = + 2
4 2π n=−∞
n2
n 6= 0.
Здесь при вычислении суммы исключается слагаемое, соответствующее номеру
n = 0.
Амплитудный спектр
S(n) = |F (n)| =
1 p
1 p
n )2 + (πn)2 =
(1
−
(−1)
2(1 − (−1)n ) + (πn)2 ,
2
2
2
2
π n
π n
3
n 6= 0, и S(0) = .
2
Зададим выражения для вычисления S(n) и Φ(n) (рис. 37). Набираем
S(n) := и щелкаем по кнопке Add Line на панели ”Программирование”. В верхнюю позицию вносим |F (n)|, затем, щелкнув на той же панели по кнопке if,
набираем n 6= 0, используя панель ”Логический”. В нижнюю позицию заносим
1.5 if n = 0. Аналогично определяем Φ(n), учитывая, что Φ(0) = 0.
Рис. 37
63
Зададим диапазон изменения n с шагом 1, n := −10, −9..10. Для постропо кнопке ”Двумерный граения графиков щелкаем на панели ”Графики”
фик”
. Теперь в позицию, отмеченную посередине оси абсцисс, введем имя
аргумента n, а возле оси ординат – имя функции S(n). График появится после
щелчка вне поля графика.
Чтобы увеличить или сместить график, нужно щелкнуть левой кнопкой
по области графика – появится черная рамка вокруг графика. Подведем курсор
к черному квадратику (маркеру) в правом нижнем углу. Когда указатель мыши
превратится в двустороннюю стрелку, нажав и удерживая левую кнопку мыши,
изменим размер графика. Подведем курсор мыши к любой части рамки (кроме
маркеров) – появится всплывающий знак ”черная ладонь”. Нажав и удерживая левую кнопку мыши, переместим график в нужное место. Для изменения
толщины, цвета и типа линий графика служит окно форматирования, которое
появится, если два раза быстро щелкнуть по области графика (рис. 38). Окно
форматирования имеет пять вкладок:
”Оси X–Y” – задание параметров форматирования осей;
”Графики” – задание параметров форматирования линий графика;
”Формат чисел” – задание параметров форматирования чисел;
”Подписи” – задание параметров форматирования меток (надписей) осей;
”Умолчания” – назначение параметров форматирования параметрами по
умолчанию.
Рис. 38
64
На вкладке ”Оси X–Y” содержатся соответствующие параметры:
”Логарифмическая шкала” – установка логарифмического масштаба;
”Линии сетки” – установка масштабной сетки;
”Нумерованная” – установка цифровых данных по осям;
”Автомасштабирование” – автоматическое масштабирование графика;
”Показать маркеры” – установка делений по осям;
”Автосетка” – автоматическая установка масштабных линий;
”Число линий сетки” – установка числа масштабных линий.
Группа ”Стиль осей” задает стиль координатных осей:
”Рамка” – оси в виде прямоугольника;
”Пересекающиеся” – оси в виде креста;
”Нет” – без осей.
Вкладка ”Графики” позволяет управлять видом линий, отображающих
график. В этой вкладке представлены параметры в столбцах:
”Метка легенды” – выбор типа линии в легенде;
”Символ частота” – шаг при расчете значений;
Symbol – выбор символа, который помещается на линию для отметки
базовых точек графика;
”Символ вес” – величина символа;
”Линия” – установка типа линии;
”Линия вес” – установка толщины линии;
”Цвет” – цвет линий графика;
”Тип” – установка типа графика;
”Ось Y” – обозначение оси ординат.
В столбце ”Тип” можно выбрать различные типы линий графика: ”Линия” – сплошная линия, ”Основа” – вертикальные линии.
Амплитудный спектр S(n) – функция дискретной переменной n. Его график должен быть дискретной системой точек, а не сплошной линией. Во вкладке ”Графики” окна форматирования в столбце ”Тип” щелкаем по первой строчке ”Линия” – справа появится стрелка. Щелкаем по ней и выбираем строку
”Основа”. Затем щелкаем по кнопке ”Применить” – на графике появятся вертикальные линии. В столбце Symbol, щелкнув по первой строке, выбираем символ
×. Щелкаем по кнопке ”Применить” – и на графике значения S(n) отразятся
точками в центрах крестиков. Для удобства пользования графиком нанесем на
него масштабную сетку. Для этого в окне форматирования выбираем вкладку
”Оси X–Y”, в столбце ”Ось X” ставим галочки напротив ”Линии сетки”, ”Нумерованная”, ”Автомасштабирование” и в окошке ”Число линий сетки” набираем
число 20 (по числу отрезков, на которые разбит отрезок [−10; 10]). Выбираем
переключатель ”Рамка” и щелкаем по кнопке ”Применить”. Аналогичные действия производим в столбце ”Ось Y”, выбирая число линий сетки 7.
65
Рис. 39
Рис. 40
66
График фазового спектра строится аналогично (рис. 40). Различие состоит только в том, что оси координат лучше выбрать в виде креста, воспользовавшись переключателем ”Пересекающиеся”.
П р и м е р 15. Найти спектральную функцию сигнала, представленного на рис. 41. Найти амплитудный и фазовый спектры, автокорреляционную
функцию. Построить их графики.
Решение. Определим функцию f (t)
аналитически:
1


1, 0 6 t 6 3,
f (t) = 4 − t, 3 6 t 6 4,
O
1
3
4 t


0, t < 0, t > 4.
Рис. 41
Вычислим спектральную функцию F (ω) по
формуле (132). Выражение для F (ω) при
ω = 0 не определено, хотя F (0) существует, так как существует интеграл
Z4
F (0) = f (t) dt, равный площади фигуры на рис. 41. Значение F (0) можно
0
определить, совершив предельный переход (рис. 42).
Рис. 42
Преобразуем F (ω), вынося i за скобки и разлагая экспоненту по формуле
Эйлера (78):
2 sin 0,5ω(cos 3,5ω − i sin 3,5ω) − ω
F (ω) = i
.
ω2
Отделим действительную и мнимую части F (ω):
F (ω) =
(2 sin 0,5ω sin 3,5ω) + i(2 sin 0,5ω cos 3,5ω − ω)
.
ω2
Определим амплитудный S(ω) и фазовый Φ(ω) спектры, использовав панель программирования (рис. 43).
67
Рис. 43
Зададим диапазон изменения ω с шагом 0,01 (ω := −10, −9.99..10) и построим графики (рис. 44, 45).
Теперь найдем АКФ сигнала k(τ ). Так как сигнал f (t) отличен от нуля на интервале t ∈ (0; 4), то АКФ отлична от нуля на промежутке τ ∈ (−4; 4).
Поскольку k(τ ) – четная функция, то достаточно определить ее для τ > 0. Формула (141) в данном случае примет вид
Z∞
k(τ ) =
−∞
Z4
f (t)f (t − τ ) dt =
f (t)f (t − τ ) dt.
0
График f (t − τ ) получается из графика f (t) сдвигом последнего вправо
на τ единиц масштаба, что иллюстрирует рис. 46, из которого следует, что
подынтегральная функция f (t)f (t − τ ) отлична от нуля только на интервале
t ∈ (τ ; 4) и задается в зависимости от значений τ следующими выражениями:


1, τ < t < 3;
f (t)f (t − τ ) = 4 − t, 3 < t < 3 + τ ;
если 0 < τ < 1;


(4 − t)(4 − (t − τ )), 3 + τ < t < 4;
(
1, τ < t < 3;
f (t)f (t − τ ) =
если 1 < τ < 3;
4 − t, 3 < t < 4;
f (t)f (t − τ ) = 4 − t, при τ < t < 4, если 3 < τ < 4.
Таким образом, для АКФ будем иметь три разных выражения:


f 1(τ ), 0 < τ < 1;
k(τ ) = f 2(τ ), 1 < τ < 3;


f 3(τ ), 3 < τ < 4.
68
Рис. 44
Рис. 45
69
1
O τ
1
1
3
4
t
O
1
τ
3
4
t
1
O
1
3 τ
4
t
Рис. 46
Функции f 1(τ ), f 2(τ ), f 3(τ ) определяем, используя панель вычисления
(рис. 47).
Рис. 47
Обозначим через k1(τ ) значения k(τ ) для 0 6 τ 6 4. Наберем с клавиатуры k1(τ ) :=, затем два раза щелкнем по кнопке Add Line на панели ”Программирование” и в отмеченные позиции перенесем полученные выражения
для f 1(τ ), f 2(τ ) и f 3(τ ) (рис. 48). Значения АКФ для −4 6 τ 6 0 определим
как k2(τ ) = k1(−τ ).
Рис. 48
70
Рис. 49
Зададим промежуток изменения τ с шагом 0,001, τ := −4, −3, 999..4,
и построим АКФ (рис. 49).
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Упражнения
1. Доказать, что если интегрируемая периодическая функция f (x) имеет
период l, то
Za+l
Zl
Zl/2
f (t) dt = f (t) dt =
f (t) dt.
a
0
−l/2
2. Доказать, что система первых четырех функций Уолша W alk (x),
k = 0, 1, 2, 3 (рис. 50), ортонормирована.
3. Найти первые четыре коэффициента Фурье в разложении импульса
f (t) треугольной формы (рис. 51) по системе функций Уолша W alk (x) (рис. 50).
Сравнить графики импульса f (t) и его аппроксимации S4 (t) четырьмя первыми членами ряда по системе функций Уолша. Вычислить и сравнить энергии
импульса f (t) и его аппроксимации S4 (t).
Указание. При вычислении энергии использовать формулу (14).
71
W al0 (x)
W al1 (x)
1
1
−0.5
−0.5
0.5
O
x
0.5
O
x
−1
W al3 (x)
1
W al2 (x)
1
−0.5
0.5
0.5
O
x
−0.5
O
x
−1
Рис. 50
Ответ. Коэффициенты Фурье по системе первых четырех функций
U02
5U02
U0
U0
Уолша C0 = ; C1 = 0; C2 = ; C3 = 0; Ef = ; ES4 =
.
2
4
3
16
4. Разложить функцию f (x) = |x|, −1 6 x 6 1
f (t)
U0
в ряд Фурье, найти сумму ряда S(x) в точке x = 1.
Используя полученный ряд, найти суммы числовых
∞
∞
t
P
P
1
(−1)n (2n + 1)
рядов: а)
;
б)
.
2
2
2
0.5
−0.5 O
n=0 (2n + 1)
n=0 (4n + 1) (4n + 3)
2
2
π
π
Ответ: а) ; б) √ .
Рис. 51
8
64 2
π −x
5. Разложить периодическую функцию f (x) =
, 0 < x < 2π, периода
2
2π, в ряд Фурье и, используя равенство Парсеваля – Стеклова, найти сумму
∞ 1
P
ряда
.
2
n=1 n
∞ cos(nx)
∞ sin(nx)
P
P
6. Просуммировать ряды S1 (x) =
, S2 (x) =
.
n!
n!
n=0
n=0
Указание. Рассмотреть сумму S1 (x) + iS2 (x).
Ответ: S1 (x) = ecos x cos(sin x), S2 (x) = ecos x sin(sin x).
7. Пусть f (x) – непрерывная функция, удовлетворяющая условию
f (x + π) = f (−x). Доказать, что все четные коэффициенты ее тригонометрического ряда Фурье равны нулю a0 = a2 = b2 = a4 = b4 = ... = 0.
Указание. Разложить в ряды Фурье функции f (x) и f (x + π). Использовать ортогональность тригонометрической системы функций.
72
8. Пусть f (x) – непрерывная функция, разлагающаяся в тригонометрический ряд Фурье и удовлетворяющая условиям f (x+π) = f (−x), f (−x) = −f (x).
Доказать, что a0 = an = b2n = 0, n > 1.
1
9. Найти косинус-преобразование Фурье функции f (t) = 2 2 , 0 < t < ∞.
a +t
10. Доказать равенства:
(
Z∞
1, a < x < b,
1
sin ω(x − a) − sin ω(x − b)
dω;
а) f (x) =
=
ω
0, x < a, x > b π
0
(
Z∞
sin x, |x| < π, 2
sin πω
sin ωx dω.
б) f (x) =
=
1 − ω2
0,
|x| > π π
0
11. Пусть f (x) = 0 при |x| > l, а при |x| 6 l функция f (x) четная, вещественная. Доказать, что ее спектральная плотность – вещественная, четная функция,
а если f (x) нечетная, то и ее спектральная функция нечетная, мнимая.
12.
Свертка сигналов f1 (t) и f2 (t) определяется интегралом
R∞
f1 (t) ∗ f2 (t) =
f1 (τ )f2 (t − τ ) dτ , а спектральная плотность F1 (iω) = F̂ [f1 (t)] =
Z∞
=
−∞
f1 (t)e−iωt dt. Доказать, что если F̂ [f1 (t)] = F1 (iω), F̂ [f2 (t)] = F2 (iω), то
−∞
1
F1 (iω) ∗ F2 (iω).
2π
13. Доказать, что если функции f1 (t) и f2 (t) преобразуемы по Фурье и их
спектральные плотности есть соответственно F1 (iω) и F2 (iω), причем интеграR∞
R∞
лы
F1 (iω) dω,
F2 (iω) dω сходятся абсолютно, то справедливо равенство
F̂ [f1 (t) ∗ f2 (t)] = F1 (iω)F2 (iω), F̂ [f1 (t)f2 (t)] =
−∞
Z∞
Планшереля
−∞
1
f1 (t)f2 (t) dt =
2π
−∞
Z∞
F1 (iω)F2 (−iω) dω.
−∞
14. Доказать, что равенство Планшереля можно записать в вещеZ∞
Z∞
1
ственной форме
f1 (t)f2 (t) dt =
S1 (ω)S2 (ω) cos(ϕ1 (ω) − ϕ2 (ω)) dω, где
2π
−∞
−∞
S1 (ω) = |F1 (iω)|, S2 (ω) = |F2 (iω)|, ϕ1 (ω) = arg F1 (iω), ϕ2 (ω) = arg F2 (iω), и затем
Z∞
Z∞
1
доказать справедливость формулы Парсеваля
f 2 (t) dt =
S 2 (ω) dω, где
2π
−∞
S(ω) = |F (iω)|, F̂ [f (t)] = F (iω).
−∞
73
15. Автокорреляционная функция сигнала f (t) определяется
Z∞
Z∞
1
k(τ ) =
f (t)f (t − τ ) dt. Доказать, что k(τ ) =
S 2 (ω)eiωτ dω, где S(ω) –
2π
−∞
−∞
модуль спектральной плотности F (iω) = F̂ [f (t)].
16. Доказать свойства (115)–(122) преобразований Фурье.
Задачи
1. Проверить ортогональность системы функций f1 (x), f2 (x), f3 (x) на
указанном отрезке. Если система ортогональна, то нормировать ее.
1.1.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = 2x,
1.2.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = cos 2x,
3
f3 (x) = x3 − x,
5
f3 (x) = cos 3x,
1.3.
f1 (x) = sin x,
f2 (x) = sin 3x,
f3 (x) = sin 5x,
1.4.
f1 (x) = sin x,
f3 (x) = sin 3x,
1.5.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = sin 2x,
πx
f2 (x) = cos ,
2
[0; π].
h πi
0;
.
2
[0; π].
f3 (x) = cos πx,
[0; 2].
1.8.
1.9.
1.10.
πx
,
2
πx
f1 (x) = sin ,
4
f1 (x) = sin πx,
f1 (x) = cos πx,
f1 (x) = sin x,
3πx
,
4
f2 (x) = sin 2πx,
f2 (x) = cos 2πx,
f2 (x) = sin 3x,
1.11.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = x,
1.12.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = x,
1.13.
1.14.
f1 (x) = 1,
f1 (x) = sin 2x,
f2 (x) = cos x,
f2 (x) = sin 3x,
3πx
,
2
5πx
f3 (x) = sin
,
4
f3 (x) = sin 3πx,
f3 (x) = 1,
f3 (x) = sin 5x,
1
f3 (x) = x2 − ,
3
1
f3 (x) = (3x2 − 1),
2
f3 (x) = cos 3x,
f3 (x) = sin 4x,
1.15.
f1 (x) = sin 3x,
f2 (x) = sin 5x,
f3 (x) = sin 7x,
1.16.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = cos 2πx,
f3 (x) = sin 4πx,
1.17.
f1 (x) = sin 2πx,
f2 (x) = sin 4πx,
f3 (x) = sin 6πx,
1.18.
f1 (x) = sin
1.19.
f1 (x) = 1,
1.6.
1.7.
f1 (x) = sin
πx
,
2
f2 (x) = sin πx,
f2 (x) = sin
f2 (x) = sin
3πx
,
2
f2 (x) = x − 1,
f3 (x) = sin
f3 (x) = sin
5πx
,
2
2
f3 (x) = x2 − 2x + ,
3
[−1; 1].
[0; 2].
[0; 2].
[0; 1].
[0; 1].
[0; π].
[−1; 1].
[−1; 1].
[0; π].
[0; π].
h πi
0;
.
2
[0; 1].
1
0;
.
2
[0; 1].
[0; 2].
74
1.20.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = 2(x − 1),
1.21.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = 2(x − 1),
1.22.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = x + 1,
1.23.
f1 (x) = 1,
f2 (x) = sin 2x,
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
f1 (x) = 1,
f1 (x) = 1,
f1 (x) = 1,
f1 (x) = 1,
f1 (x) = 1,
f1 (x) = sin πx,
f1 (x) = cos πx,
f2 (x) = x − 3,
f2 (x) = x − 1,
f2 (x) = x,
f2 (x) = x,
f2 (x) = x − 2,
f2 (x) = cos πx,
f2 (x) = cos 2πx,
3
f3 (x)=(x−1)3− (x−1),
5
3 2
f3 (x) = x − 3x + 1,
2
2
f3 (x) = x2 + 2x + ,
3
x
f3 (x) = cos ,
2
2
f3 (x) = x − 6x + 6,
f3 (x) = x2 − 2x − 2,
f3 (x) = x2 − 3,
f3 (x) = 3x2 − 4,
f3 (x) = 3x2 − 12x + 8,
f3 (x) = sin 2πx,
f3 (x) = cos 3πx,
[0; 2].
[0; 2].
[−2; 0].
[0; 2π].
[0; 6].
[−2; 4].
[−3; 3].
[−2; 2].
[0; 4].
[0; 2].
[0; 1].
2. Разложить функцию f (x) в ряды Фурье в указанных трех интервалах.
В последнем из указанных интервалов разложить функцию тремя способами:
а) в общий ряд Фурье; б) по синусам; в) по косинусам. Построить графики
функций и графики сумм S(x) рядов. Записать равенства Парсеваля – Стеклова для каждого из полученных рядов.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
f (x) = 2 − x
f (x) = 2x
1. (−1; 1)
1. (−2; 2)
f (x) = 1 − x
f (x) = 0.5(x + 3)
1. (−π; π)
1. (−0.5; 0.5)
2. (−1; 3)
3. (0; 2)
2. (−1; 3)
3. (0; 2)
π π
3. (0; π)
f (x) = cos 2x
1. (−1; 1)
2. − ;
2 2
(
1. a = −1, b = 0, c = 1.
2x, a < x < b,
2. a = −1, b = 0, c = 3.
f (x) =
0,
b < x < c.
3. a = 0, b = 0.5, c = 1.
π x
f (x) = −
1. (−π; π)
2. (0; 2π)
3. (0; π)
4 2
f (x) = x + 1
1. (−π; π)
2. (−1; 3)
3. (0; π)
f (x) = x − 1
1. (−1; 1)
2. (−1; 3)
3. (0; 1)
(
1. a = −π, b = 0, c = π.
2, a < x < b,
f (x) =
2. a = −1, b = 0, c = 3.
x, b < x < c.
3. a = 0
b = π, c = 2π.
2. (−1; 3)
2. (−3; 1)
3. (0; 2π)
3. (0; 1)
75
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
(
x, a < x < b,
f (x) =
0, b < x < c.
f (x) = x
1. (−2; 2)
(
1. a = −2,
2, a < x < b,
f (x) =
2. a = −1,
0, b < x < c.
3. a = 0,
(
−x, a < x < b,
f (x) =
0,
b < x < c.
(
1,
f (x) =
2.20.
2.21.
2.22.
f (x) = x + π
f (x) = x + 1
f (x) = 1 − x
π −x
f (x) =
2
2.24.
2. (−1; 3)
3. (0; 4)
b = 0, c = 2.
b = 0, c = 3.
b = 2, c = 4.
f (x) = x2
1. (−π; π)
2. (0; 2π)
3. (0; π)
(
1. a = −π, b = 0, c = π.
−x, a < x < b,
f (x) =
2. a = −1, b = 1, c = 3.
x,
b < x < c.
3. a = 0,
b = π, c = 2π.
(
1. a = −π, b = 0, c = π.
−1, a < x < b,
f (x) =
2. a = 0,
b = 2, c = 4.
1,
b < x < c.
3. a = 0,
b = π, c = 2π.
(
1. a = −π/2, b = 0,
c = π/2.
x, a < x < b,
f (x) =
2. a = −1,
b = 2,
c = 3.
0, b < x < c.
3. a = 0,
b = π/2, c = π.
2.19.
2.23.
1. a = −3, b = 0, c = 3.
2. a = −3, b = 0, c = 5.
3. a = 0, b = 3, c = 6.
a < x < b,
−2, b < x < c.
2.25.
f (x) =
2.26.
f (x) = x − 2
1. a = −π, b = 0, c = π.
2. a = 0,
b = 3, c = 6.
3. a = 0,
b = π, c = 2π.
1. (−π; π)
1. (−2; 2)
1. (−2; 2)
2. (−1; 1)
2. (−1; 3)
2. (1; 3)
3. (0; π)
3. (0; 2)
3. (0; 2)
1. (−π; π)
2. (−1; 3)
3. (0; π)
(
2, a < x < b,
f (x) =
1, b < x < c.
(
2,
1. a = −π, b = 0, c = π.
2. a = 0,
b = 2, c = 4.
3. a = 0,
b = π, c = 2π.
a < x < b,
−1, b < x < c.
1. a = −π, b = 0, c = π.
2. a = −1, b = 1, c = 3.
3. a = 0,
b = 1, c = 2.
1. a = −π, b = 0, c = π.
2. a = 0,
b = 1, c = 2.
3. a = 0,
b = π, c = 2π.
1. (−2; 2)
2. (1; 3)
3. (0; 2)
76
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
(
−1, a < x < b,
f (x) =
1,
b < x < c.
1. a = −π, b = 0, c = π.
2. a = −1, b = 1, c = 3.
3. a = 0,
b = π, c = 2π.
f (x) = x + 2
1. (−2; 2)
(
1. a = −1,
1, a < x < b,
f (x) =
2. a = −1,
0, b < x < c.
3. a = 0,
(
−2, a < x < b,
f (x) =
x,
b < x < c.
2. (−2; 4)
3. (0; 2)
b = 0, c = 1.
b = 3, c = 5.
b = 2, c = 4.
1. a = −π, b = 0, c = π.
2. a = −1, b = 1, c = 2.
3. a = 0,
b = π, c = 2π.
3. Представить рядом Фурье в комплексной форме периодическую функцию f (x), заданную на периоде. Найти спектральную плотность, амплитудный
и фазовый спектры (графики функций и спектров построить). Вычислить среднюю мощность P сигнала за период.
3.1.
3.3.
3.5.
f (x) = 2 − x,
x ∈ (0; 2),
f (x + 2) = f (x).
2,
x ∈ (0; 1),
f (x) =
0,
x ∈ (1; 2),
f (x + 2) = f (x).
2x,
x ∈ (−1; 0),
f (x) =
0,
x ∈ (0; 3),
3.2.
3.9.
3.11.
3.13.
f (x) = x − 1,
x ∈ (−1; 1),
f (x + 2) = f (x).
f (x) = 1 − x, x ∈ (−π; π),
f (x + 2π) = f (x).
x,
x ∈ (0; 3),
f (x) =
0,
x ∈ (3; 6),
f (x + 6) = f (x).
−1,
x ∈ (−π; 0),
f (x) =
1,
x ∈ (0; π),
f (x + 2π) = f (x).
x ∈ (0; 2),
x ∈ (−2; 0),
2,
−2,
f (x + 4) = f (x).
3.4.
f (x) = 2x,
x ∈ (−1; 3),
f (x + 4) = f (x).
3.6.
f (x + 4) = f (x).
3.7.
f (x) =
3.8.
f (x) = x + 1,
x ∈ (−π; π),
f (x + 2π) = f (x).
0,
x ∈ (−π; 0),
f (x) =
2,
x ∈ (0; π),
3.10.
f (x + 2π) = f (x).
f (x) = 0, 5(x + 3),
f (x + 3) = f (x).
3.12.
f (x) = |x|,
3.14.
x ∈ (0; 3),
x ∈ (−π; π),
f (x + 2π) = f (x).
x,
x ∈ (−π/2; 0),
f (x) =
0,
x ∈ (0; π/2),
f (x + π) = f (x).
77
3.15.
f (x) =
x ∈ (−1; 2),
x ∈ (2; 5),
x,
0,
3.16.
f (x + 6) = f (x).
3.17.
f (x) = x + 2,
x ∈ (−2; 2),
3.18.
f (x + 4) = f (x).
3.19.
3.21.
f (x) = x,
x ∈ (0; 4),
f (x + 4) = f (x).
x + 1, x ∈ (−1; 0),
f (x) =
1 − x, x ∈ (0; 1),
3.20.
3.22.
f (x + 2) = f (x).
3.23.
3.25.
3.27.
3.29.
f (x) = 2 − |x|,
x ∈ (−2; 2),
f (x + 4) = f (x).
x + 1, x ∈ (0; 1),
f (x) =
0,
x ∈ (1; 2),
f (x + 2) = f (x).

 −1,
1,
f (x) =

0,
x ∈ (−1; 0),
x ∈ (0; 1),
x ∈ (1; 3),
f (x + 4) = f (x).

x ∈ (−2; −1),
 2,
x ∈ (−1; 1),
f (x) = 0,

1,
x ∈ (1; 2),
f (x + 4) = f (x).
3.24.
3.26.
3.28.
3.30.
f (x) =
−2,
0,
x ∈ (−π; 0),
x ∈ (0; π),
f (x + 2π) = f (x).
1,
x ∈ (0; 1),
f (x) =
0,
x ∈ (1; 3),
f (x + 3) = f (x).
2,
x ∈ (0; 2),
f (x) =
0,
x ∈ (2; 6),
f (x + 6) = f (x).

 1,
f (x) =
0,

−1,
x ∈ (0; 1),
x ∈ (1; 3),
x ∈ (3; 4),
f (x + 4) = f (x).
1,
x ∈ (−2; 2),
f (x) =
0,
x ∈ (2; 4),
f (x + 6) = f (x).
1,
x ∈ (−1; 0),
f (x) =
−1,
∈ (0; 1),
f (x + 2) = f (x).
2,
x ∈ (−1; 0),
f (x) =
1,
x ∈ (0; 1),
f (x + 2) = f (x).

x ∈ (0; 1),
 2,
f (x) = 1,
x ∈ (1; 2),

0,
x ∈ (2; 4),
f (x + 4) = f (x).
4. Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции f (x). Записать
их обратные преобразования. Построить графики функции и обратных преобразований.
(
x
cos , x ∈ (0; π),
1,
x ∈ (0; 2),
4.1. f (x) =
4.2. f (x) =
2
0,
x > 2.
x > π.
0,

x ∈ (1; 2),
 1,
1 − x,
x ∈ (0; 1),
4.3. f (x) = 0,
x ∈ (0; 1),
4.4. f (x) =
0,
x > 1.

0,
x > 2.
78
4.5.
f (x) =
4.7.
f (x) =
4.9.
f (x) =
4.11. f (x) =
4.13. f (x) =
4.15. f (x) =
4.17.
4.19.
4.21.
4.23.
4.25.
4.27.
4.29.
e−x ,
0,
x ∈ (0; 1),
x > 1.
sin x,
0,
x ∈ (0; π),
x > π.
x − 2,
0,
x ∈ (0; 2),
x > 2.
sin x,
0,
x ∈ 0; π/2),
x > π/2.
x,
0,
x ∈ (0; 1),
x > 1.
x − 1,
0,
x ∈ (0; 1),
x > 1.

 0,
f (x) = 1 − x,

0,
2,
f (x) =
0,
2x − 1,
f (x) =
0,

 x + 3,
f (x) =

0,

 1,
f (x) = 1 − x,

0,

 2,
f (x) = x,

0,
1 − x,
f (x) =
0,
x ∈ (0; 1),
x ∈ (1; 2),
x > 2.
x ∈ (0; 3),
x > 3.
x ∈ (0; 0,5),
x > 0,5.
4.6.
4.8.
x ∈ (0; π),
x ∈ (π; 2π),
x > 2π.
x ∈ (0; π),
x > π.
x ∈ (0; π),
x > π.
4x − 1,
0,
x ∈ (0; 0,25),
x > 0,25.
−1,
0,
x ∈ (0; 0,5),
x > 0,5.
sin 2x,
0,
x ∈ (0; π),
x > π.
ex ,
0,
x ∈ (0; 1),
x > 1.
2x − 3,
0,
x ∈ (0; 1,5),
x > 1,5.
x − 2,
0,
x ∈ (0; 2),
x > 2.
x + 1,
0,
x ∈ (0; 1),
x > 1.
e−2x ,
0,
x ∈ (0; 1),
x > 1.
f (x) =
4.10. f (x) =
4.12. f (x) =
4.14. f (x) =
4.16. f (x) =
4.18. f (x) =
4.20. f (x) =
4.22. f (x) =
4.24. f (x) =
x ∈ (0; 1),
x ∈ (1; 2),
x > 2.
cos x,
0,
f (x) =
x ∈ (0; 0,5),
x > 0,5.

 π − 2x, x ∈ (0; π),

0,

1,



0,
4.26. f (x) =
−1,



0,

 −2,
4.28. f (x) = x,

0,
2x − 4,
4.30. f (x) =
0,
x > π.
x ∈ (0; 1),
x ∈ (1; 2),
x ∈ (2; 3),
x > 3.
x ∈ (0; 1),
x ∈ (1; 2),
x > 2.
x ∈ (0; 2),
x > 2.
5. Найти прямое преобразование Фурье, спектральную плотность, амплитудный и фазовый спектры функции f (x). Построить графики функции,
амплитудного и фазового спектров. Записать обратное преобразование Фурье.
Найти АКФ k(τ ) и энергию E функции (сигнала) f (x).
79
(
5.1.
f (x) =
5.3.
5.5.
5.7.
5.9.
5.11.
5.13.
5.15.
5.17.
5.19.
f (x) =
x
cos ,
2
0,
|x| < π,
|x| > π.
1 − x,
0,
|x| < 2,
|x| > 2.

 1,
f (x) = 0,

0,
cos x,
f (x) =
0,
sin x,
f (x) =
0,
cos x,
f (x) =
0,
cos x,
f (x) =
0,
cos x,
f (x) =
0,
1 + x,
f (x) =
0,

 1,
f (x) = 0,

0,
5.21. f (x) =
5.23. f (x) =
5.29. f (x) =
|x| < 2,
|x| > 2.
x ∈ (0; π),
x 6∈ (0; π).
x ∈ (0; π/2),
x 6∈ (0; π/2).
x ∈ (0; 2π),
x 6∈ (0; 2π).
x ∈ (0; π),
x 6∈ (0; π).
|x| < 1,
|x| > 1.
1 < |x| < 3,
|x| < 1,
|x| > 3.
cos 2x, |x| < 2,
0,
|x| > 2.
sin 2x, x ∈ (0; 2π),
0,
x∈
6 (0; 2π).
5.25. f (x) = e−|x|

 −ex ,
5.27. f (x) = e−x ,

0,
1 < |x| < 2,
|x| < 1,
|x| > 2.
−ex ,
e−x ,
x ∈ (−∞; ∞)
x ∈ (−1; 0),
x ∈ (0; 1),
|x| > 1.
x < 0,
x > 0.
5.2.
5.4.
1,
0,
x ∈ (0; 2),
x 6∈ (0; 2).
1,
0,
|x| < 1,
|x| > 1.
f (x) =
f (x) =

 1,
5.6. f (x) = −1,

0,
sin x,
5.8. f (x) =
0,
cos x,
5.10. f (x) =
0,
5.12. f (x) = e−2|x| ,
5,
5.14. f (x) =
0,
1,
5.16. f (x) =
0,
1,
5.18. f (x) =
0,

 2,
5.20. f (x) = −2,

0,
|x| < π,
|x| > π.
x ∈ (0; π),
x 6∈ (0; π).
x ∈ (−∞; ∞)
x ∈ (0; 3),
x 6∈ (0; 3).
x ∈ (0; 4),
x 6∈ (0; 4).
|x| < 2,
|x| > 2.
x ∈ (−2; 0),
x ∈ (0; 2),
|x| > 2.
sin x,
0,
cos 2x, x ∈ (0; π/2),
0,
x∈
6 (0; π/2).
1 − |x|, |x| < 1,
0,
|x| > 1.
−e−x ,
ex ,
| sin x|, |x| < π,
0,
|x| > π.
5.22. f (x) =
5.24. f (x) =
5.26. f (x) =
5.28. f (x) =
5.30. f (x) =
x ∈ (−1; 0),
x ∈ (0; 1),
|x| > 1.
|x| < 2π,
|x| > 2π.
x > 0,
x < 0.
80
6. Задачи по теме ”Спектральное представление сигналов” из курса ”Радиотехнические цепи и сигналы”.
6.1. Периодический вещественный сигнал f (t) задан на отрезке 0 6 t 6 T
выражением f (t) = U0 e−αt . Найти выражения коэффициентов Cn комплексного
ряда Фурье, отвечающего этому сигналу. Вычислить амплитуду пятой гармоники |A5 | при следующих параметрах: U0 = 15, αT = 3.
U0 (1 − e−αT )
Ответ: Cn =
, |A5 | = 2|C5 | = 0, 903.
αT + 2πni
6.2. Периодический сигнал f (t) с периодом T задан на отрезке
T
T
πt
− 6 t 6 выражением f (t) = U0 cos . Найти выражение для коэффициен2
2
T
тов Cn комплексного ряда Фурье этого сигнала. Вычислить амплитуду второй
гармоники |A2 |, если U0 = 25.
2U0 (−1)n+1
Ответ: Cn =
, |A2 | = 2|C2 | = 2, 123.
π(4n2 − 1)
6.3. Периодический сигнал f (t) с периодом T задан на отрезке
T
T
2
− 6 t 6 выражением f (t) = U0 1 − |t| . Найти выражение для коэффи2
2
T
циентов Cn ряда Фурье этого сигнала. Найти среднюю мощность Pср сигнала
за период.

 2U0 , n нечетное,
U02
U0
2
2
Pср = .
Ответ: C0 = , Cn = π n
0,
2
3
n четное,
6.4. Осциллограмма видеоимпульса напряжения f (t) на отрезке 0 6 t 6 τ
имеет вид f (t) = Ae−αt . Найти спектральную плотность S(iω) этого импульса.
A > 0, α > 0.
A
Ответ: S(iω) =
(1 − e−(α+iω)τ ).
α + iω
6.5. Найти сигнал f (t), спектральная плотность которого задана выражеS0
нием S(iω) =
, где S0 , τ – некоторые постоянные.
1 + ω2τ 2
Указание. Использовать методы теории вычетов.
S0
Ответ: f (t) = e−|t|/τ .
2τ
6.6. Определить функцию f (t), описывающую сигнал со спектральной
A
плотностью S(iω) =
, где A – постоянная, α > 0.
(α + iω)3
At2 −αt
Ответ: f (t) =
e η(t).
2
81
6.7. Периодический сигнал
f (t) с периодом T задан на отрезке


U0 , − τ < t < 0,
T
T
2
− 6 t 6 выражением f (t) =
τ < T . Найти выражение для

2
2
−U , 0 < t < τ ,
0
2
коэффициентов Cn ряда Фурье этого сигнала.
2U0 i 2 2πτ
sin
.
πn
T
6.8. Прямоугольные видеоимпульсы положительной полярности, образующие бесконечную последовательность с периодом T , имеют амплитуду U0 .
T
Длительность каждого импульса равна , точка t = 0 совпадает с середи3
ной импульса. Вычислить коэффициент C1 комплексного ряда Фурье этого
импульса.
Ответ: Cn =
6.9. Осциллограмма периодического сигнала f (t) периода T на отрезке
T
2U0
T
t. Найти выражения для коэффи− 6 t 6 задается выражением f (t) =
2
2
T
циентов Cn комплексного ряда Фурье. Записать явное выражение этого сигнала
в виде суммы гармонических колебаний с кратными частотами.
U0 i(−1)n
Ответ: C0 = 0, Cn =
, n = ±1, ±2, ...,
πn
∞
2(−1)n+1 U0
2U0 X (−1)n+1
2πnt
bn =
, f (t) =
sin
.
πn
π n=1
n
T
an = 0,
Cn =
−bn i
,
2
6.10. Сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов с периодом T и амплитудой U0 . Длительность каждого
T
импульса равна , точка t = 0 совпадает с серединой импульса. Во сколько раз
5
полная средняя мощность больше мощности постоянной составляющей этого
сигнала?
U02
Ответ. Средняя мощность сигнала E = . Мощность постоянной со5
U02
ставляющей E0 = .
25
6.11. Найтиспектральную плотность S(iω) треугольного видеоимпульса
 A t, 0 < t < τ,
f (t), если f (t) = τ
Найти значение спектральной плотности на
0,
t < 0, t > τ.
частоте ω = 0.
A
1 iτ
1
Aτ
−iωτ
Ответ: S(iω) =
+
e
−
,
S(0)
=
.
τ
ω2 ω
ω2
2
82
6.12. Найти аналитическое выражение для автокорреляционной функции
k(τ ) двустороннего экспоненциального видеоимпульса f (t) = Be−β|t| , где B –
постоянное число, β > 0.
2Bβ
B 2 −β|τ |
Ответ: F (iω) = 2
,
k(τ
)
=
e
(1 + β|τ |).
β + ω2
β
6.13. Вычислить энергию Eu и норму kuk экспоненциального видеоим5
пульса u(t) = 30e−10 t · η(t).
Ответ: Eu = 4, 5 · 10−3 , kuk = 6, 708 · 10−2 .
6.14. Найти спектральную плотность F (iω) сигнала

3T
T


−U
,
−
6
t
6
−
,

0

2
2






T
T
f (t) =
U0 , − 6 t 6 ,

2
2







T
3T

 −U0 ,
6t6 .
2
2
ωT
3ωT
2U0
2 sin
− sin
.
Ответ: F (iω) =
ω
2
2
6.15. Сигнал f (t) представляет собой периодическую последовательность
пилообразных импульсов с периодом T , изображенных на рис. 52. Вычислить
комплексные амплитуды первых пяти гармоник этого сигнала.
U
Ответ: A0 = U , An = −i , n = 1, 2, ...
πn
f (t)
U
6.16.
Сигнал
f (t)
характеризуется
энергетическим
спектром
вида
(
W0 , |ω| < ωB
O
T t
S 2 (ω) =
Найти автокор0,
|ω| > ωB .
Рис. 52
реляционную функцию k(τ ) этого сигнала
и построить ее график.
W0
Ответ: k(τ ) =
sin ωB τ .
πτ
6.17. Экспоненциальный импульс тока i(t) = I0 e−βt η(t) протекает через сопротивление R. Какая доля всей энергии импульса выделяется в сопротивлении
R за время 1/β? Какая доля всей энергии сосредоточена в полосе частот (0–β)?
I02 R
I02
−2
(1 − e ), E0–β = R.
Ответ: E1/β =
2β
4β
83
6.18. Найти сигнал f (t), которому отвечает спектральная плотность
A
S(iω) =
, где A, ω0 , α – положительные числа.
(ω − ω0 − iα)(ω + ω0 − iα)
Ae−αt
sin(ω0 t)η(t).
Ответ: f (t) = −
ω0
6.19. Найти сигнал f (t), заданный своей спектральной плотностью
A
S(iω) =
, где β > 0, α > 0, α 6= β – положительные числа.
(α + iω)(β + iω)
A
Ответ: f (t) =
(e−αt − e−βt )η(t).
β −α
7
6.20. Импульсное колебание задано формулой f (t) = 15e−10 t η(t). Определить граничную частоту fгр (Гц) таким образом, чтобы в интервале частот
(0, fгр ) было сосредоточено 90 % всей энергии импульса.
Ответ: fгр = 107 tg(0,45π) ≈ 10,049 МГц.
6.21. Экспоненциальный видеоимпульс тока задается выражением
7
i(t) = 0,75e−4·10 t η(t). Найти амплитудный и фазовый спектры на частоте
ω
f = = 10 МГц.
2π
0,75
Ответ: F (iω) =
; S(10) ≈ 10−8 A; Φ(10) ≈ 57◦ 310 .
7
iω + 4 · 10
6.22.
( Спектральная плотность сигнала f (t) задана выражением
S0 e−α|ω| , |ω| < ωB ,
F (iω) =
где S0 , α, ωB – положительные числа. Найти со0,
|ω| > ωB ,
ответствующий сигнал.
S0 (α + it)
(1 − eωB (−α+it) ).
Ответ: f (t) =
2
2
π(α + t )
6.23. Спектральная плотность сигнала f (t) задана как F (iω) = S0 e−bω η(ω).
Найти соответствующий сигнал.
S0
Ответ: f (t) =
.
2π(b − it)
6.24. Найти связь между коэффициентами Cn , n = 0, ±1, ±2, ..., комплексного ряда Фурье периодического сигнала f (t) и коэффициентами C̃n ряда Фурье
сигнала f˜(t) = f (t−t0 ), полученного из исходного сигнала f (t) путем сдвига его
во времени на t0 секунд.
2πn
Ответ: C̃n = Cn e− T t0 i , где T – период, n = 0, ±1, ±2, ...
T
T
6.25. Комплексный периодический сигнал f (t) на отрезке − 6 t 6 име2
2
ет вид f (t) = f1 (t) + if2 (t). Доказать, что если функция f1 (t) четная, а f2 (t)
нечетная, то коэффициенты Cn ряда Фурье при любом n являются вещественными числами.
6.26.
Вычислить
свертку
экспоненциальных
импульсов
−α1 t
−α2 t
f1 (t) = A1 e
η(t) и f2 (t) = A2 e
η(t) двумя способами: а) прямым на-
84
хождением интеграла свертки; б) с помощью теоремы о преобразовании
Z∞
1
Фурье свертки f1 (t) ∗ f2 (t) =
F1 (iω)F2 (iω)eiωt dω = F̂ −1 [F1 (iω)F2 (iω)], где
2π
−∞
F̂ [f1 (t)] = F1 (iω), F̂ [f2 (t)] = F2 (iω).
A1 A2 −α2 t −α1 t
Ответ: f1 (t) ∗ f2 (t) =
(e
−e
).
α2 − α1
6.27. На какой частоте значение модуля спектральной плотности импуль3
са f (t) = 10e−10 t η(t) уменьшится в 10 раз по сравнению со значением модуля
спектральной плотности при ω = 0?
Ответ: ω ≈ 9950.
6.28. Доказать, что при n → ∞ дельта-функция δ(t)
r служит пределом поn
n −nt2 /2
следовательности функций: а) fn (t) = e−n|t| ; б) fn (t) =
e
.
2
2π
6.29. Даны два сигнала: прямоугольный видеоимпульс u(t) = U0 (η(t)−
−η(t − tu )) и экспоненциальный импульс v(t) = U0 e−αt η(t) (параметры U0 , α,
tu – положительные числа). Считая длительность tu фиксированной, найти величину параметра α, при которой расстояние (отклонение) ρ(u, v) = ku−vk минимально.
0,75
Ответ: α ≈ − ln
.
tu
6.30. Сигнал f (t) = t2 существует на отрезке времени 0 6 t 6 1. Найти приближение к этому сигналу с помощью линейной функции u(t) = At+B наилучшее в смысле минимума расстояния (отклонения) ρ(f, u) = kf − uk.
1
Ответ: u(t) = t − .
6
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Цель настоящего пособия – ознакомить студентов с теорией рядов
Фурье и интеграла Фурье и показать, как эта теория применяется для решения
практических задач.
Ряды Фурье играют важную роль в математике и ее приложениях, поскольку дают средства для изображения и изучения функций, являясь одним
из основных аппаратов теории функций. Теория рядов Фурье ”вызвала к жизни” ряд важных разделов математики, в частности теорию интеграла Фурье
как предельный случай ряда Фурье.
В различных областях науки и техники встречаются периодические процессы, анализ которых невозможен без использования рядов Фурье, например
в теориях радиотехнических цепей и сигналов, автоматического регулирования,
колебаний механических систем.
85
Интеграл Фурье является инструментом спектрального и корреляционного анализа непериодических сигналов в радиотехнике и основой частотных
методов исследования устойчивости линейных автоматических систем.
В пособии изложены основные положения теории рядов Фурье по
произвольной ортогональной системе функций. На основе данной теории как
частный случай вводится тригонометрический ряд Фурье, для вычисления
коэффициентов которого даны важные рекомендации. Рассмотрены примеры
разложений функций в ряды Фурье и спектрального анализа периодических
и непериодических сигналов. Даны необходимые указания по применению пакета Mathcad 14 для автоматизации Фурье-анализа функций, спектрального
и корреляционного анализа. Приведены задания для самостоятельной работы,
выполнение которых способствует формированию практических навыков использования аппарата рядов Фурье и интеграла Фурье.
Авторы надеются на то, что пособие поможет студентам успешно освоить
данный раздел математики и применять приобретенные знания в дальнейшем
не только при изучении специальных дисциплин, но и в будущей профессиональной деятельности.
86
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ряды Фурье и интеграл Фурье : метод. указания / сост. П. И. Анферов,
И. В. Бусаркина, В. И. Загибалов. – Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2004. – 66 с.
2. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы : учеб. для вузов /
С. И. Баскаков. – М. : Высшая школа, 1988. – 448 с.
3. Бугров, Я. С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. Функции комплексного переменного : учеб. для вузов / Я. С. Бугров,
С. М. Никольский. – М. : Наука, 1985. – 464 с.
4. Ефимов, А. В. Математический анализ (специальные разделы) : учеб.
для вузов : в 2 ч. Ч. 1/ А. В. Ефимов. – М. : Высшая школа, 1980. – 279 с.
5. Жуков, В. П. Задачник по курсу ”Радиотехнические цепи и сигналы” :
учеб. для вузов / В. П. Жуков, В. Г. Карташев, А. М. Николаев. – М. : Высшая
школа, 1986. – 159 с.
6. Иванов, В. А. Математические основы теории автоматического регулирования : учеб. для вузов : в 2 т. Т. 2 / В. А. Иванов, В. С. Медведев, Б. К. Чемоданов. – М. : Высшая школа, 1977. – 455 с.
7. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа : учеб. для вузов / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М. : Наука, 1976. –
544 с.
8. Очков, В. Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров : учеб. для вузов /
В. Ф. Очков. – Спб. : BHV, 2009. – 368 с.
9. Романовский, П. И. Ряды Фурье. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа : учеб. для вузов / П. И. Романовский. – М. :
Наука, 1973. – 336 с.
10. Толстов, Г. П. Ряды Фурье : учеб. для вузов / Г. П. Толстов. – М. :
Наука, 1980. – 384 с.
11. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учеб. для вузов : в 3 т. Т. 3 / Г. М. Фихтенгольц. – М. : Наука, 1966. –
656 с.
87
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Скалярное произведение двух функций f (x) и ϕ(x) на отрезке [a, b]
Zb
f (x) · ϕ(x) dx.
(f, ϕ) =
a
Норма функции f (x) на отрезке [a, b]
v
u b
uZ
p
u
t f 2 (x) dx = (f, f ) = kf k.
a
Ряд Фурье функции f (x) по ортогональной системе функций ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ,...,
ϕn ,... на отрезке [a, b]
∞
X
f (x) ∼
Ci ϕi (x),
i=1
где
Rb
f (x) · ϕi (x) dx
(f, ϕi ) a
Ci =
=
.
Rb 2
kϕi k2
ϕi (x) dx
a
Равенство Парсеваля – Стеклова
Zl
2
f (x) dx =
∞
X
Ck2 kϕk (x)k2 .
k=1
−l
Ряд Фурье периодической функции f (x) периода 2l по общей тригонометрической системе функций
∞
nπx a0 X nπx
+ bn sin
f (x) ∼ S(x) = +
an cos
,
2 n=1
l
l
где
1
an =
l
a+2l
Z
πnx
f (x) cos
dx;
l
a
1
bn =
l
a+2l
Z
f (x) sin
πnx
dx.
l
a
Равенство Парсеваля – Стеклова для тригонометрического ряда Фурье
1
l
Zl
−l
∞
a20 X 2
f (x) dx = +
(an + b2n ).
2 n=1
2
88
Комплексная форма ряда Фурье
f (x) ∼ S(x) =
∞
X
Cn eiωn x ,
n=−∞
πn
1
где ωn = , Cn =
l
2l
Zl
f (x)e−ωn xi dx.
−l
Комплексная амплитуда An = 2Cn .
Спектральная плотность (функция) ряда Фурье
Zl
f (t)e−iωn t dt = 2lCn .
S(iωn ) =
−l
Амплитудный спектр ряда Фурье S(ωn ) = |S(iωn )|.
Фазовый спектр ряда Фурье Φ(ωn ) = − arg S(iωn ).
Средняя мощность периодической функции (сигнала f (t) на единичном
сопротивлении) за период 2l
P=
A20
4
+
∞
X
|An |2
2
n=1
1
=
2
a20
∞
X
!
1
+
(a2n + b2n ) =
2 n=1
2l
Zb
f 2 (x) dx.
a
Интеграл Фурье
1
f (x) =
π
Z∞
Z∞
dω
0
f (t) cos ω(x − t) dt =
−∞
Z∞
=
Z∞
a(ω) cos ωx dω +
0
b(ω) sin ωx dω,
0
1 R∞
1 R∞
где a(ω) =
f (t) cos ωt dt; b(ω) =
f (t) sin ωt dt.
π −∞
π −∞
q R∞
Косинус-преобразование Фурье Fc (ω) = π2 f (t) cos ωt dt.
q R∞ 0
Синус-преобразование Фурье Fs (ω) = π2 f (t) sin ωt dt.
q 0R∞
Если функция f (x) четная, то f (x) = π2 Fc (ω) cos ωx dω.
q0 R∞
Если функция f (x) нечетная, то f (x) = π2 Fs (ω) sin ωx dω.
0
89
Интеграл Фурье в комплексной форме
1
f (x) =
2π
Z∞
eiωx dω
−∞
Z∞
f (t)e−iωt dt.
−∞
Прямое преобразование Фурье (спектральная плотность)
Z∞
F̂ [f (x)] = F (iω) =
f (t)e−iωt dt.
−∞
1 R∞
F (iω)eiωx dω.
2π −∞
Амплитудный спектр преобразования Фурье S(ω) = |F (iω)| = |S(iω)|.
Фазовый спектр преобразования Фурье Φ(ω) = − arg F (iω) = arg F (−iω).
Свойства преобразования Фурье
1. Линейность: F̂ [af1 + bf2 ] = aF̂ [f1 ] + bF̂ [f2 ], где a, b – константы.
2. Теорема запаздывания F̂ [f (t − τ )] = e−iωτ F (iω).
1 ω
3. Теорема подобия F̂ [f (at)] = F i .
|a|
a
4. Теорема о модуляции:
Обратное преобразование Фурье f (x) =
F̂ [f (t)eiat ] = F [i(ω − a)].
1
1
F̂ [f (t) cos at] = F [i(ω − a)] − F [i(ω + a)],
2
2
i
i
F̂ [f (t) sin at] = F [i(ω + a)] − F [i(ω − a)].
2
2
n df
d f
5. Преобразование производной: F̂
= iωF (iω); F̂
= (iω)n F (iω).
n
dt
dt
n
d
6. Дифференцирование изображения F̂ [tn f (t)] = in n F (iω).
dω
Единичная функция Хевисайда:
(
(
1, если t > 0,
1, если t > t0 ,
η(t) =
η(t − t0 ) =
0, если t < 0;
0, если t < t0 .
(
∞, при t = 0,
Дельта-функция δ(t) =
0, при t 6= 0.
Связь между функцией Хевисайда и дельта-функцией:
Z∞
Zt
δ(t) dt = 1;
−∞
δ(x) dx = η(t);
−∞
η 0 (t) = δ(t);
η 0 (t − t0 ) = δ(t − t0 ).
90
Фильтрующее свойство дельта-функции

a < t0 < b;

Zb
f (t0 ),
f (t)δ(t − t0 ) dt = 0, 5f (t0 ), t0 = a, t0 = b,


a
0,
t0 < a, t0 > b.
Z∞
f (t)δ(t − t0 ) dt = f (t0 ).
−∞
Преобразование Фурье дельта-функции
Z∞
F̂ [δ(t − t0 )] =
e−iωt δ(t − t0 ) dt = e−ωt0 i .
−∞
Свертка функций f (t) = f1 ∗ f2 =
R∞
f1 (τ )f2 (t − τ ) dτ .
−∞
Автокорреляционная функция
Z∞
k(τ ) =
Z∞
f (t)f (t − τ ) dt =
−∞
Энергия сигнала E =
1
f (t)f (t + τ ) dτ =
2π
−∞
−∞
R∞
−∞
f 2 (t) dt =
Z∞
1 R∞ 2
S (ω) dω.
2π −∞
Энергетический спектр W (ω) = |F (iω)|2 = S 2 (ω).
S 2 (iω)eiωτ dω.
91
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1. Ортогональная система функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций . . . . . . . .
7
3. Полные системы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4. Тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5. Ряд Фурье для четной и нечетной функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6. Разложение в ряд Фурье непериодических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7. Интеграл Дирихле. Принцип локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
8. Интегрирование рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
9. Дифференцирование рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
10. Умножение рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
11. Поведение рядов Фурье вблизи точек разрыва. Явление Гиббса . . . . . .
27
12. Комплексная форма ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
13. Спектральный анализ периодических сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
14. Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
15. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье . . . . . . .
43
16. Преобразование Фурье и свертка функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
17. Спектральный и корреляционный анализ непериодических сигналов .
48
18. Преобразование Фурье неинтегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
19. Применение пакета Mathcad для спектрального анализа функций . . . .
58
Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Приложение. Основные расчетные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
17
Размер файла
1 170 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа