close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

12

код для вставкиСкачать
В. В. Осипов
В .В. Осипов
ISBN 978-5-7638-2538-1
9 785763 825381
Моделирование динамических процессов
методом точечных представлений
В монографии рассматриваются теоретические вопросы моделирования многомерных функциональных
представлений и многомерных линейных нестационарных
систем управления, а также различные теоретические
аспекты терминального управления в одномерных динамических системах методом точечных представлений на
смежных чебышевских сетках.
Моделирование
динамических процессов
методом точечных
представлений
Монография
Институт фундаментальной подготовки
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. В. Осипов МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Монография Красноярск
СФУ
2012
УДК 519.6
ББК 22.192.3
0-741
Рецензенты:
А. М. Попов, доктор физико-математических наук, профессор, директор института информатики и телекоммуникаций Сибирского государственного аэрокосмического университета;
В. П. Григорьев, доктор физико-математических наук, профессор,
зав. кафедрой прикладной математики института кибернетики Томского политехнического университета;
В. И. Гончаров, доктор технических наук, профессор, зав. научнообразовательной лабораторией мехатроники, профессор каф. интегрированных компьютерных систем управления Томского политехнического университета
0-741
Осипов, В.В.
Моделирование динамических процессов методом точечных
представлений: монография / В.В. Осипов. – Красноярск : Сиб.
федер. ун-т, 2012. − 304 с.
ISBN 978-5-7638-2538-1
В монографии рассматриваются теоретические вопросы моделирования
многомерных функциональных представлений и многомерных линейных
нестационарных систем управления, а также различные теоретические аспекты терминального управления в одномерных динамических системах
методом точечных представлений на смежных чебышевских сетках.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и инженеров, использующих в своей работе методы прикладной математики.
УДК 519.6
ББК 22.192.3
ISBN 978-5-7638-2538-1
© Сибирский федеральный университет, 2012
Введение ВВЕДЕНИЕ Математическое моделирование − это математическое описание
разнообразных объективно существующих реальностей: явлений
и систем различной природы, процессов и сигналов, многообразных
зависимостей и причинно-следственных связей.
При этом классы и типы математических моделей как математические объекты сами становятся предметами теоретических исследований в различных разделах прикладной математики и не только прикладной, развивая и обогащая их новыми идеями и направлениями.
Для моделирования таких процессов и их взаимодействий (в линейных стационарных системах) широко используется метод операторно-частотных представлений, основанный на применении преобразования Лапласа и Фурье. Однако этот математический аппарат оказался в общем случае не конструктивным при переходе к временным
оригиналам, неэффективным и малопригодным для решения задач современной теории управления динамическими системами, связанных
по своему содержанию с конечным промежутком времени. Это задачи
управляемости и наблюдаемости, а особенно разнообразные задачи
терминального управления и др. Этот аппарат совершенно не годится
для описания (моделирования) нестационарных и нелинейных динамических систем. Другие математические методы, используемые в современной теории управления динамическими объектами (общая теория дифференциальных и интегральных уравнений, функциональный
анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном отношении также часто оказываются недостаточно конструктивными и мало приспособленными для компьютерной реализации.
Отметим также математический метод, основанный на замене
непрерывных (аналоговых) сигналов их значениями в дискретные
моменты времени (квантование) с последующей аппроксимацией
дифференциальных уравнений соответствующими разностными
уравнениями.
Используемое при этом дискретное преобразование создает аналитический аппарат моделирования непрерывных динамических систем, более конструктивный, чем традиционный подход.
Вместе с тем этот аппарат в значительной степени сохраняет
и те же недостатки, которые присущи традиционному подходу, основанному на преобразовании Лапласа.
3
Введение В связи с этим остается актуальной разработка эффективных
приближенно-аналитических методов моделирования и решения на
их основе разнообразных задач прикладной теории управляемых динамических систем.
В этом отношении, в частности, представляется весьма эффективным метод точечных представлений (точечного моделирования),
который позволяет достаточно просто преобразовывать и приближенно представлять в векторно-матричной форме линейные дифференциальные уравнения разного типа (с постоянными и переменными коэффициентами), описывающие динамические системы на
конечных временных промежутках. В результате разнообразные задачи теории управления формулируются как задачи линейной алгебры и конечномерного функционального анализа, для решения
которых может быть использован имеющийся уже мощный арсенал
вычислительных методов. В сущности он использует принципы
теории представления алгебраических структур − одного из фундаментальных разделов современной математики. Возникающие при
этом конечномерные модели есть гомоморфные образы соответствующих объектов, имеющие максимально возможную степень адекватности, увеличивающуюся с ростом размерности до нулевой эквивалентности.
Данная работа является продолжением исследований, опубликованных в [64−78], где были рассмотрены точечные модели скалярных
(одномерных) функциональных представлений, построенных на основе смежных чебышевских N-сеток.
Это точечные модели обыкновенных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка общего вида и эквивалентных им интегральных уравнений, а также различные аспекты точечного обращения интегральных преобразований Лапласа и Фурье.
Полученные точечные решения соответствующих задач при любом конечном N оказываются гомоморфными отображениями элементов функциональных алгебраических структур, что с ростом N
обеспечивает их сходимость к точным решениям через сплайновые
представления. Проведенные расчеты показывают высокую эффективность метода.
Его эффективность сохраняется и при решении задач многомерной прикладной математики. Это задачи Коши для n-мерных линейных дифференциальных уравнений общего вида, задачи управляемости и наблюдаемости, устойчивости линейных нестационарных сис4
Введение тем, а также задачи терминального управления. Ниже излагаются основные аспекты точечного моделирования и решения таких задач.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность
всем родным и близким, а особенно своему отцу, учителю и коллеге
д.ф-м.н., профессору В. М. Осипову, за понимание и всяческую помощь в написании данной работы.
Все замечания и предложения автор примет с благодарностью
по электронной почте: [email protected]
5
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Глава 1 ТОЧЕЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 1.1. Точечные представления вектор­функций и некоторых операций с ними Пусть xi (t ), (i = (1, n); t ≥ 0 компоненты вектор-функции
X (t ) = Colon[ x1 (t ),...xi (t ),...xn (t )]
(1.1.1)
есть ограниченные и непрерывные скалярные функции при всех t ≥ 0 ,
определенные на любом конечном промежутке [0, T].
t
Введем новую (безразмерную) переменную, полагая τ = ,
T
τ∈[0,1] или t = Tτ. Однако возникший параметр T в обозначении аргумента функций будем указывать лишь в необходимых случаях, т. е.
будем писать:
xi (t ) = xi (T τ) ⇒ xi ( τ) ∀i = 1, n; τ ∈ [0,1];
X (t ) = X (T τ) ⇒ X ( τ) = Colon[ x1 ( τ),...xi ( τ),...xn ( τ)]; τ ∈ [0,1]. (1.1.2)
Вектор-функция X (τ) (1.1.2) покоординатно окажется непрерывной на отрезке [0, 1] и, следовательно, определенной на каждой из
смежных чебышевских сеток:
TI
τ ⎯⎯
→ τv( N ) =
2v − 1
v
TII
,(v = 1, N ) и τ ⎯⎯
→ θv( N ) = , (v = 0, N ) ,
2N
N
(1.1.3)
причем при любых N.
Заметим, что вектор-функция X (τ) (1.1.2) будет определена на
сетках (1.1.3) и в тех случаях, когда она покоординатно окажется кусочно-непрерывной и ограниченной на [0, 1], т. е. когда её функциональные координаты будут принадлежать M (0,1), а сама векторфункция − n-мерному векторному пространству M n (0,1) . В таких
6
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений случаях они будут принадлежать и пространству L1( n ) (0,1) , т. к. окажутся абсолютно интегрируемыми при любых конечных T:
T
1
1
∫ xi (t ) dt = T ∫ xi (T τ) d τ = T ∫ xi (τ) d τ < ∞; (i = 1, n) .
0
0
(1.1.4)
0
Значения вектор-функции X (τ) (1.1.2) в узлах чебышевской Nсетки I рода τ(vN ) , (v = 1, N ) порождают множество из N n-мерных векторов:
(
)
TI
X ( τ) ⎯⎯
→ X τv( N ) = X vI , (v = 1, N ) ,
(1.1.5)
из которых, как из блочно-векторных компонент, взятых в их естественном порядке, можно образовать блочный N-вектор:
⎡ X 1I ⎤
⎢ " ⎥
⎢ # ⎥
⎢ " ⎥
TI
X (τ) ⎯⎯
→ X TI = Colon[ X 1I #"# X vI #"# X N I ] = ⎢ X vI ⎥ ,
⎢
⎥
"
⎢
⎥
⎢ "# ⎥
⎢
⎥
X
⎣⎢ N I ⎦⎥
(1.1.6)
который, очевидно, может рассматриваться в роли точечного изображающего вектора вектор-функции X (τ) (1.1.2), ассоциированного
с чебышевской N-сеткой I рода.
Аналогично можно образовать и точечный изображающий вектор X TII , ассоциированный с чебышевской сеткой II рода. Однако
здесь должна быть отмечена одна особенность, связанная с выделением из совокупности n-векторных значений вектор-функции X (τ)
v
(1.1.2) в узлах сетки II рода θv( N ) =
(v = 0, N ) – одного значения
N
в нулевом узле, т. е. нулевого значения X (0), так же, как это было
сделано в скалярном случае [78]. Такое выделение возникает автоматически, в частности при решении задач Коши для линейных дифференциальных уравнений.
7
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Из возникшей совокупности n-векторов
(
)
TII
X ( τ) ⎯⎯
→ X θ(vN ) = X vII , (v = 1, N ) и X (0) = X 0
(1.1.7)
может быть построен точечный изображающий блочно-векторный Nвектор вектор-функции X (τ) (1.1.2), ассоциированный с чебышевской
v
N-сеткой II рода θv( N ) = , (v = 1, N ) с дополнительным указанием её
N
нулевого значения:
⎡ X1II ⎤
⎢ " ⎥
⎢ # ⎥
⎢ " ⎥
TII
X (τ) ⎯⎯→ X TII = Colon[ X 1II #"# X vII #"# X N II ] = ⎢ X vII ⎥ ; X (0) = X 0 . 1.1.8)
⎢
⎥
"
⎢
⎥
⎢ "# ⎥
⎢
⎥
X
⎣⎢ N II ⎦⎥
Точечные N-векторы X TI и X TII , ассоциированные со сложными
N-сетками (1.1.3), связаны между собой приближенным соотношени⎛ 1 ⎞
ем с порядком точности не хуже 0 ⎜ 2 ⎟ :
⎝N ⎠
[( E N + Z ) ⊗ En ] X TII + (e1( N ) ⊗ En ) X 0 = 2 X TI ,
(1.1.9)
обобщая «скалярный» вариант связи такого рода, подробно рассмотренный в [78]. Символом ⊗ обозначено, как и ранее, кронекеровское
произведение матриц.
В нашем случае имеем произведение единичной матрицы –
столбца e1( N ) , ( N ×1) − и матрицы En ( n × n) :
(e
(N )
1
8
⊗ En
)
⎡ En ⎤
⎡X0 ⎤
⎢" ⎥
⎢" ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢0 ⎥
X0 = ⎢ ⎥ ⋅ X0 = ⎢ ⎥ ,
"
"
⎢# ⎥
⎢ # ⎥
⎢"⎥
⎢"⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
(1.1.10)
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений где нулями обозначены нулевые n-векторные блоки и кронекеровское
произведение [( E N + Z ) ⊗ En ] , определяющее блочную тёплицеву
матрицу (N×N) вида
⎡ En
⎢E
[( EN + Z ) ⊗ En ] = ⎢ n
⎢
⎢
⎣
En
%
%
En
⎤
⎥
⎥.
⎥
⎥
En ⎦
(1.1.11)
Итак, имеем некоторые линейные операторы, реализующие точечные изображения
TI X T
I
/
X (τ)
,
(1.1.12)
2
TII X T
II
ставящие в однозначное соответствие всякой вектор-функции X (τ)
(1.1.2) из пространства M n (0,1) ( n ≥ 1) точечный блочный вектор из
векторного пространства RNn , ассоциированный либо с чебышевской
2v − 1
N-сеткой I рода τv( N ) =
, (v = 1, N ) , либо со смежной N-сеткой II
2N
v
рода θv( N ) = , (v = 1, N ) , причем с выделением нулевого значения
N
X(0) вектор-функции X (τ).
Формульное представление этих операторов и алгебраические
свойства точечных отображений рассмотрим позднее, а сейчас найдем точечные представления наиболее употребительных операций
над вектор-функциями вида (1.1.2), причем в силу линейного преобразования (1.1.9), связывающего смежные точечные изображения, будем использовать в основном аналитически более удобные точечные
представления, ассоциированные с N-сетками I рода, хотя в ряде случаев неизбежно использование и смежных точечных представлений.
1. Пусть вектор-функции Y (τ) и X (τ) из пространства Mn (0,1),
имеющие точечные изображения YTI и X TI соответственно, связаны
линейным преобразованием, осуществляемым квадратной матрицей
n
A(τ) = [ aik (τ) ] , т. е.
9
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Y ( τ) = A( τ) ⋅ X ( τ); τ ∈ [0,1].
(1.1.13)
Будем предполагать, что все элементы aik ( τ) (i, k = 1, n) матрицы A(τ), (n×n) есть функции из M (0, 1) и, в частности, непрерывны на
[0,1], следовательно, они определены в узлах N-сетки I рода при любых N. Определенной в этом смысле окажется и сама матрица A(τ),
(n×n).
Очевидно, равенство (1.1.13) сохранится в каждом узле N-сетки
2v − 1
I рода τv( N ) =
, (v = 1, N ) , поэтому можем написать систему из N
2N
равенств:
(
)
(
) (
)
Y τv( N ) = A τ(vN ) ⋅ X τ(vN ) , (v = 1, N ) .
(1.1.14)
Введем блочную диагональную (квазидиаганальную) матрицу
(
)
(
)
(
)
(
)
Diag ⎡ A τ1( N ) ,... A τ(vN ) ,... A τ(NN ) ⎤ = DN ⎡ A τ(vN ) ⎤ , ( N × N ) ,
⎣
⎦
⎣
⎦
(1.15)
с помощью которой система (1.1.14) запишется компактно в виде одного равенства для точечных изображающих векторов из RNn :
(
)
YTI = DN ⎡ A τv( N ) ⎤ ⋅ X TI .
⎣
⎦
(1.1.16)
Таким образом, линейное преобразование (1.1.13) в пространстве
Mn(0,1) вектор-функции отображается в векторном пространстве RNn точечных представлений в виде линейного преобразования (1.1.16) соответствующих точечно-векторных изображений, осуществляемого блочной
диагональной матрицей (1.1.15), которая является точечной моделью (точечным представлением) функциональной матрицы A(τ).
В частном случае, когда A (τ) = A = const, точечное представление (1.1.15) получит вид
DN [ A] = Diag [ A,... A,... A] = ( EN ⊗ A)
(1.1.17)
и, следовательно, будем иметь
TI
Y ( τ) = A ⋅ X ( τ) ⎯⎯
→ YTI = ( E N ⊗ A) ⋅ X TI .
10
(1.1.18)
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Если же
Y (τ) = a ( τ) ⋅ X (τ),
(1.1.19)
где a(τ) – обычная скалярная величина из M(0,1), то получим отображение:
(
(
)
)
TI
Y ( τ) = a ( τ) ⋅ X ( τ) ⎯⎯
→ YTI = DN ⎡ a τv( N ) ⎤ ⊗ E N ⋅ X TI , (1.1.20)
⎣
⎦
осуществляемое в RNn блочной диагональной матрицей
( D ⎡⎣a ( τ )⎤⎦ ⊗ E ) = Diag ⎡⎣a ( τ ) E ,... a ( τ ) E ,...a ( τ ) E ⎤⎦ .
N
(N )
v
(N )
1
N
n
(N )
v
n
(N )
N
n
(1.1.21)
Отметим ещё один частный случай, когда функциональная матрица A(τ), ( n × n) оказывается диагональной:
A(τ) = Diag [ a1 (τ),...ai (τ),...an (τ) ] = Dn [ ai (τ) ] , (n × n)
(1.1.22)
со скалярными функциональными элементами ai ( τ), (i = 1, n) из M
(0,1). Тогда возникшее функциональное равенство
Y (τ) = Dn [ ai (τ) ] ⋅ X (τ); τ∈ [0,1]
в узлах N-сетки I рода τ(vN ) =
венств:
(1.1.23)
2v − 1
, (v = 1, N ) определит систему из N ра2N
Y ( τ(vN ) ) = Dn ⎡⎣ ai ( τ(vN ) ) ⎤⎦ ⋅ X ( τ(vN ) ); (v = 1, N ),
(1.1.24)
которую компактно можно представить в виде
YTI = DN ⎡⎣ Dn ⎣⎡ ai (τ(vN ) ) ⎦⎤ ⎤⎦ ⋅ X TI ,
(1.1.25)
если ввести блочную диагональную матрицу
DN ⎡⎣ Dn ⎡⎣ ai (τ(vN ) ) ⎤⎦ ⎤⎦ = Diag ⎡ Dn ⎡⎣ ai ( τ1( N ) ) ⎤⎦ ,...Dn ⎡⎣ ai ( τ(vN ) ) ⎤⎦ ,...Dn ⎡⎣ ai ( τ(NN ) ) ⎤⎦ ⎤ =
⎣
⎦
= ⎡ EN ⊗ Dn ⎡⎣ ai ( τ(vN ) ) ⎤⎦ ⎤ .
⎣
⎦
(1.1.26)
11
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений 2. Рассмотрим точечное представление вольтерровского оператора интегрирования от вектор-функции:
τ
t
τ
Y (t ) = ∫ X (t )dt = T ∫ X (T τ)d τ = Y (T τ) ⇒ Y (τ) = T ∫ X (τ)d τ.
0
0
(1.1.27)
0
Для вектор-функции Y ( τ) ∈ M n (0,1) в узлах N-сетки II рода
v
θ(vN ) = (v = 1, N ) получим систему определенных интегралов, котоN
рые по квадратурной формуле прямоугольников представляются
в виде всевозрастающих сумм от значений подынтегральной вектор2v − 1
функции X(τ) в узлах N-сетки, но I рода τ(vN ) =
, (v = 1, N ) . Это
2N
будут приблизительно средние значения функции X( ) между её значениями в соседних узлах II рода.
Итак, будем иметь систему из N векторных равенств:
⎫
⎪
∫0
⎪
⎪
θ(2N )
θ1( N )
θ(2N )
⎪
(N )
Y (θ2 ) = T ∫ X (τ)d τ = T ∫ +T ∫ =Y2II ≈ 2λ 0 ⎡⎣ X 1I + X 2I ⎤⎦ ;
⎪
⎬
0
0
θ1( N )
⎪
...............................................................................................
⎪
(N)
(N )
θ
θv
⎪
v k
v
(N )
Y (θv ) = T ∫ X (τ)d τ = T ∑ ∫ X (τ)d τ = YvII ≈ 2λ 0 ∑ X kI , (v = 1, N ), ⎪
⎪
k =1 θ( N )
k =1
0
k −1
⎭
Y (θ
(N )
1
) =T
θ1( N )
X (τ)d τ = Y1II ≈
T
X ( τ1( N ) ) = 2λ 0 ⋅ X 1I ;
N
(1.1.28)
где X kI есть значение подынтегральной функции X(τ) в k-м узле Nсетки I рода:
⎛ 2k − 1 ⎞ 1
(N )
(N )
X kI = X ( τ(kN ) ) = X ⎜
⎟ ≈ X ( θk −1 ) + X ( θk ) , (k = 1, N ).
⎝ 2N ⎠ 2
(
)
(1.1.29)
Систему (1.1.28) запишем развернуто и в векторно-матричной
форме:
12
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений ⎡ Y1II ⎤
⎡ En
⎢ ⎥
⎢E
⎢ Y2II ⎥
⎢ n
⎢ # ⎥
⎢#
YTII = ⎢ ⎥ = 2λ 0 ⎢
⎢ YvII ⎥
⎢ En
⎢ ⎥
⎢#
⎢ # ⎥
⎢
⎢YN ⎥
⎣ En
⎣ II ⎦
⎤ ⎡ X 1I ⎤
⎥ ⎢X ⎥
⎥ ⎢ 2I ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥⇒
⎥⋅⎢
X
⎥ ⎢ vI ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥
⎥ ⎢
En ⎦ ⎢ X N ⎥
⎣ I⎦
En
% %
"
%
En
En
% %
"
En
"
En
τ
⇒ YTII = 2λ 0 ⎣⎡( EN − Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ YTI ⎯⎯→ Y (τ) = T ∫ X (τ)d τ.
−1
(1.1.30)
TII
0
Но согласно (1.1.9) будем иметь
[( EN + Z ) ⊗ En ] ⋅ YT
II
= 2YTI ,
(1.1.31)
т. к. Y0 = Y (0) = 0 , поэтому получим представления для блочных точечных векторов, ассоциированных с N-сетками только I рода:
τ
TI
Y (τ) = T ∫ X (τ)d τ ⎯⎯
→ YTI = λ 0 [ ( EN + Z ) ⊗ En ] ⋅ ⎣⎡ ( EN − Z ) −1 ⊗ En ⎦⎤ ⋅ X TI =
0
= [ λ 0 I N ( Z ) ⊗ En ] ⋅ X TI = [ J N ( Z ) ⊗ EN ] ⋅ X TI ,
(1.1.32)
где символом J N ( Z ) обозначена тёплицева матрица интегрирования
(N×N) [64,78]:
N −1
−1
⎡
⎤
J N ( Z ) = λ 0 I N ( Z ) = λ 0 ( E N + Z )( E N − Z ) = λ 0 ⎢ E N + 2∑ Z v ⎥ ,
v =1
⎣
⎦
(1.1.33)
из которой в результате кронекеровского произведения матриц
J N ( Z ), ( N × N ) и E N , ( n × n ) следует блочная матрица ( J N ( Z ) ⊗ En ) ,
реализующая операцию интегрирования в векторном пространстве
RNn – пространстве точечно-векторных отображений вектор-функции
из Mn(0,1).
Выделим общий случай, когда подынтегральная вектор-функция
X(τ) предварительно линейно преобразуется некоторой функциональной матрицей A(τ), ( n × n) с элементами из M(0,1):
13
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Обобщая результат (1.1.32) и учитывая (1.1.16), найдем
τ
TI
Y (τ) = T ∫ A(τ)X (τ)d τ ⎯⎯
→[ J N ( Z ) ⊗ EN ] ⋅ DN ⎣⎡ A ( τ(vN ) ) ⎦⎤ ⋅ X TI = YTI ,
(1.1.34)
0
где
DN ⎡⎣ A ( τ(vN ) ) ⎤⎦ = Diag ⎡⎣ A ( τ1( N ) ) ,... A ( τ(vN ) ) ,... A ( τ(NN ) ) ⎤⎦
(1.1.35)
есть точечное представление функциональной матрицы A(τ), ( n × n) ,
значения которой в узлах N-сетки I рода и образуют блоки квазидиагональной матрицы (N×N) (1.1.35). Здесь действует прежнее правило: не указывается явно параметр T
в аргументах векторно-матричных функций.
В частном случае постоянной матрицы A(τ) = A получим
DN ⎡⎣ A ( τ(vN ) ) ⎤⎦ = DN [ A] = Diag [ A,... A,... A] = ( EN ⊗ A ) ,
(1.1.36)
и, следовательно,
τ
τ
0
0
TI
T ∫ A ⋅X (τ)d τ = TA∫ X (τ)d τ ⎯⎯
→ [ J N ( Z ) ⊗ E N ] ⋅ ( E N ⊗ A ) ⋅ X TI =
= [ J N ( Z ) ⊗ A] ⋅ YTI .
(1.1.37)
При A = En получим (1.1.32).
Отметим ещё случай скалярной функции a (τ) ∈ M (0,1) в роли
множителя у подынтегральной вектор-функции X ( τ) ∈ M n (0,1) .
Имея в виду (1.1.20) – точечное представление произведения –
и учитывая (1.1.32), найдём
τ
TI
T ∫ a(τ)X (τ)d τ ⎯⎯
→[ J N ( Z ) ⊗ EN ] ⋅ ⎡ DN ⎣⎡ a ( τ(vN ) ) ⎦⎤ ⊗ EN ⎤ ⋅ X TI =
⎣
⎦
0
= ⎡ J N ( Z ) ⋅ DN ⎡⎣ a ( τ(vN ) ) ⎤⎦ ⊗ En ⎤ ⋅ X TI .
⎣
⎦
(1.1.38)
3. Найдем точечное представление операции вольтерровского
интегрирования вектор-функции X ( τ) ∈ M n (0,1) , ассоциированное
14
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений только с чебышевской N-сеткой II рода θ(vN ) =
v
, (v = 1, N ) и с явным
N
выделением её нулевого значения X(0).
К системе интегральных равенств (1.1.28) применим квадратурную формулу трапеций. В результате получим для значения интеграла в v-м узле N-сетки II рода
Y (θ(vN ) ) = T
θ(v N )
∫
0
v −1
⎧⎡
⎫
⎤
X (τ)d τ = YvII ≈ λ 0 ⎨ ⎢ X (0) + 2∑ X kII ⎥ + X vII ⎬ , (v = 1, N ) , (1.1.39)
k =1
⎦
⎩⎣
⎭
где
⎛k ⎞
X kII = X ( θ(kN ) ) = X ⎜ ⎟ , (k = 1, v).
⎝N⎠
(1.1.40)
В развернутом виде и в векторно-матричной форме, подобно
(1.1.30), будем иметь
⎡ Y1II ⎤
⎡ En ⎤
⎡ En
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢2E
En
⎢ Y2II ⎥
⎢ ⎥
⎢ n
⎢ # ⎥
⎢# ⎥
⎢ #
YTII = ⎢ ⎥ = λ 0 ⎢ ⎥ ⋅ X (0) + λ 0 ⋅ ⎢
⎢ YvII ⎥
⎢ En ⎥
⎢ 2 En
⎢ ⎥
⎢# ⎥
⎢ #
⎢ # ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎢YN ⎥
En ⎦
⎣
⎣ 2 En
⎣ II ⎦
En
% %
" 2 En
%
" 2 En
En
% %
" 2 En
⎤ ⎡ X 1II ⎤
⎥ ⎢X ⎥
⎥ ⎢ 2II ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥⇒
⎥⋅⎢
⎥ ⎢ X vII ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥
⎥ ⎢
En ⎦ ⎢ X N ⎥
⎣ II ⎦
τ
⇒ YTII = λ 0 ( 1
(N )
T
⊗ En ) X (0) + [ J N ( Z ) ⊗ En ] ⋅ X TII ⎯⎯→ T ∫ X (τ)d τ, (1.1.41)
TII
0
где 1T( N ) = Colon[1,...1,...1] есть единичная матрица-столбец (N×1),
а J N ( Z ) – тёплицева матрица интегрирования (1.1.35).
Для более общего случая получим точечное представление:
τ
TII
T ∫ A(τ)X (τ)d τ ⎯⎯
→λ 0 ( 1T( N ) ⊗ En ) A(0) ⋅ X (0) +
0
+ [ J N ( Z ) ⊗ En ] ⋅ DN ⎡⎣ A ( θ(vN ) ) ⎤⎦ ⋅ X TII ,
(1.1.42)
15
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений поскольку
TII
A(τ) ⋅ X (τ) ⎯⎯
→ DN ⎡⎣ A ( θ(vN ) ) ⎤⎦ X TII =
= Diag ⎡⎣ A ( θ1( N ) ) ,... A ( θ(vN ) ) ,... A ( θ(NN ) ) ⎤⎦ X TII .
(1.1.43)
Частные варианты:
а) для постоянной матрицы A( τ) = A, ( n × n)
τ
TII
TA∫ X (τ)d τ ⎯⎯
→λ 0 ( 1T( N ) ⊗ En ) A ⋅ X (0) + [ J N ( Z ) ⊗ En ] ⋅ [ E N ⊗ A] ⋅ X TII =
0
= λ 0 ( 1T( N ) ⊗ En ) ⋅ AX (0) + [ J N ( Z ) ⊗ A] ⋅ X TII ;
(1.1.44)
б) для случая скалярного множителя A( τ) → a ( τ) ∈ M (0,1)
τ
TII
T ∫ a (τ) X (τ)d τ ⎯⎯
→λ 0 ( 1T( N ) ⊗ En ) a (0) ⋅ X (0) +
0
+ [ J N ( Z ) ⊗ En ] ⋅ ⎡ DN ⎡⎣ a ( θv( N ) ) ⎤⎦ ⊗ En ⎤ ⋅ X TII =
⎣
⎦
= λ 0 ( 1T( N ) ⊗ En ) ⋅ a(0) X (0) + ⎡ J N ( Z ) DN ⎡⎣ a ( θv( N ) ) ⎤⎦ ⊗ En ⎤ ⋅ X TII .
⎣
⎦
(1.1.45)
4. Найдем точечное представление операции свертывания двух
вектор-функций из Mn (0,1):
G (τ) = Colon[ g1 (τ),...gi (τ),...g n (τ)]; a) ⎫
⎬
X (τ) = Colon[ x1 (τ),...xi (τ),...xn (τ)], б) ⎭
(1.1.46)
обладающих свойством
G (τ) ≡ 0 и X (τ) ≡ 0 ∀τ < 0
(1.1.47)
и принимающих определенные – ограниченные – значения в каждом
узле обеих чебышевских N-сеток, причем при любых N, имеющих
также определенные и конечные начальные значения G(0) и X(0).
Прежде, однако, отметим одно алгебраическое свойство множества
M n (0,1) . Очевидно, aX ( τ) ∈ M n (0,1) ( a < ∞ ) и X ( τ) + G ( τ) ∈ M n (0,1) ,
16
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений поэтому Mn есть линейное пространство. Каждому элементу из Mn поставим в однозначное соответствие диагональную матрицу, полагая
∗
G (τ) ⎯⎯
→ G ∗ (τ) = Diag[ g1 (τ),...gi (τ),...g n (τ)]; a) ⎫⎪
⎬ (n × n).
∗
X (τ) ⎯⎯
→ X ∗ (τ) = Diag[ x1 (τ),...xi (τ),...xn (τ)]; б) ⎪⎭
(1.1.48)
Назовем эти матрицы инволюциями соответствующих элементов.
Определим теперь в Mn коммутативную бинарную операцию
покоординатного умножения элементов (вектор-функций), полагая
G (τ) ∗ X ( τ) = G ∗ ( τ) X (τ) = X ∗ (τ)G (τ) =
= Colon[ g1 (τ) x1 ( τ),...g i ( τ) xi ( τ),...g n ( τ) xn ( τ)].
(1.1.49)
В Mn существует, очевидно, и единичный элемент как n-вектор
с единичными компонентами
1(τ) = Colon[1,...1,...1].
(1.1.50)
Его инволюцией будет единичная матрица En , ( n × n) .
Очевидно,
1(τ) ⋅ X (τ) = En ⋅ X (τ) = X ∗ (τ) ⋅ 1(τ) = X (τ).
(1.1.51)
Таким образом, имеем линейное n-мерное пространство Mn
с определенной бинарной операцией умножения элементов и единичным элементом. Это будет уже коммутативная алгебра AMn n-мерных
вектор-функций – более сложная алгебраическая структура, свойства
которой рассмотрены в [64, 78] и дополнительно будут рассмотрены
позднее.
Введем в Mn ещё одну бинарную операцию элементов – определим свертку вектор-функций (1.1.46) как коммутативную интегральную операцию вида
τ
τ
Y (τ) = T ∫ G (τ − η)X (η)d η = T ∫ X ∗ (τ − η)G (η)d η = G ∗ X .
0
∗
(1.1.52)
0
Это – интегральное преобразование с разностным ядром вида
диагональной матричной функции, образованным инволюцией одного
17
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений элемента и некоторого другого элемента из Mn, в результате которого
получаем новую вектор-функцию Y(τ) из Mn. Её значения в узлах чеv
бышевской N-сетки II рода θ(vN ) = , (v = 1, N ) образуют систему из N
N
определенных интегралов вида
Y (θ
θv( N )
(N )
v
) = T ∫ G (θ
∗
(N )
v
− η)X (η)d η, (v = 1, N ).
(1.1.53)
0
Промежуток интегрирования ⎡⎣ 0, θ(vN ) ⎤⎦ каждого такого интеграла узлами N-сетки II рода может быть разбит на v промежутков ⎡⎣ θ(kN−1) , θ(kN ) ⎤⎦ ,
1
. В середине каждого из них будет расN
1
2k − 1
,
полагаться один узел N-сетки I рода τ(kN ) = ⎡⎣ θ(kN−1) + θ(kN ) ⎤⎦ =
2
2N
( k = 1, v ) .
Квадратурная формула по этим узлам (формула прямоугольников) даст приближенные значения интегралов:
( k = 1, v ) одинаковой длины
Y (θ
(N )
v
v
T v ∗ (N ) (N )
(N )
) ≈ N ∑ G ( θv − τk ) X ( τk ) = 2λ0 ∑ G∗ ⎛⎜⎝ 2(v −2 Nk ) + 1 ⎞⎟⎠ X ( τ(kN ) ) =
k =1
k =1
v
= 2λ 0 ∑ G ∗ ( τv( N−k)+1 ) X ( τ(kN ) ) , (v = 1, N ).
(1.1.54)
k =1
В развернутом виде получим систему
Y ( θ1( N ) ) = 2λ 0G ∗ ( τ1( N ) ) X ( τ1( N ) )
Y ( θ(2N ) ) = 2λ 0 ⎡⎣G ∗ ( τ(2N ) ) X ( τ1( N ) ) + G ∗ ( τ1( N ) ) X ( τ(2N ) ) ⎤⎦
Y ( θ3( N ) ) = 2λ 0 ⎡⎣G ∗ ( τ3( N ) ) X ( τ1( N ) ) + G ∗ ( τ(2N ) ) X ( τ(2N ) ) + G ∗ ( τ1( N ) ) X ( τ3( N ) ) ⎤⎦
...............................................................................................................
v
v
k =1
k =1
Y ( θ(vN ) ) = 2λ 0 ∑ G ∗ ( τ(vN−k)+1 ) X ( τ(kN ) ) = 2λ 0 ∑ Gv∗−k +1 ⋅ X k , (v = 1, N ).
(1.1.55)
18
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Или в векторно-матричной форме
⎡Y (θ1( N ) ) ⎤
⎡ G1*I
⎢
⎥
⎢ *
(N )
⎢Y (θ2 ) ⎥
⎢ G2I
⎢
⎢ G*
(N ) ⎥
θ
(
Y
⎢
3 )⎥
⎢ 3I
YTII = ⎢ : ⎥ = 2λ 0 ⋅ ⎢ #
⎢
⎥
⎢ *
N)
(
⎢Y (θv ) ⎥
⎢ GvI
⎢
⎥
⎢
⎢ : ⎥
⎢ #
⎢Y (θ( N ) ) ⎥
⎢GN*
⎣ I
N
⎣
⎦
(
⎤ ⎡ X 1I ⎤
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ X 2I ⎥
⎥ ⎢X ⎥
⎥ ⎢ 3I ⎥
⎥⋅⎢ # ⎥ ⇒
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ X vI ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥ ⎢
⎥
G1*I ⎦⎥ ⎢⎣ X N I ⎦⎥
G1*I
G2*I
G1*I
%
"
%
G3*I
%
G2*I
G1*I
Gv*I
%
"
%
G3*I
%
"
) (
)
(
%
G2*I
)
(
)
⇒ YTII = 2λ 0 ⎡⎣ EN ⊗ G1∗I + Z ⊗ G2∗I + .. + Z v −1 ⊗ Gv∗I + .. + Z N −1 ⊗ GN∗ I ⎤⎦ X TI =
N
)
(
)
(1.1.56)
Gv∗I = G ∗ ( τ(vN ) ) и X vI = X ( τ(vN ) ) , (v = 1, N ).
(1.1.57)
v =1
здесь
(
= 2λ 0 ∑ Z v −1 ⊗ Gv∗I ⋅X TI = 2λ 0 ⋅ TN GT∗I ; Z X TI ,
Коммутативность операции свертывания, указанная в (1.1.52),
переносится и на её точечное представление (1.1.56), поэтому можем
написать:
N
(
)
(
)
YTII = 2λ 0 ∑ Z v −1 ⊗ X v∗I ⋅GTI = 2λ 0 ⋅ TN X T∗I ; Z ⋅ GTI ,
v =1
(1.1.58)
где
GTI = Colon[G1I , G2I ,...GvI ,...GN I ].
(1.1.59)
Согласно (1.1.9) имеем приближенное равенство
⎡⎣( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ YTII = 2YTI
(1.1.60)
(т. к. Y0 = Y (0) ≡ 0 ), связывающее точечные изображающие векторы
вектор-функции Y(τ), ассоциированные со смежными N-сетками. Следовательно, для точечных представлений операции свертывания двух
19
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений вектор-функций из Mn (0,1), ассоциированных только с N-сеткой I рода, получим эквивалентные представления:
(
)
YTI = λ 0 ⎡⎣( EN + Z ) ⊗ EN ⎤⎦ ⋅ TN GT∗I ; Z ⋅ X TI =
(
)
= λ 0 ⎡⎣( E N + Z ) ⊗ E N ⎤⎦ ⋅ TN X T∗I ; Z ⋅ GTI .
(1.1.61)
Эти равенства обобщают ранее полученные точечные представления операции свертки в скалярном варианте (n = 1) [78].
В этих формулах символами GT∗I и X T∗I обозначены N-блочные
вектор-столбцы вида
⎡ G1*I ⎤
⎢ ⎥
⎢ # ⎥
∗
GTI = ⎢ Gv*I ⎥ и
⎢ ⎥
⎢ # ⎥
⎢ * ⎥
⎣⎢GNI ⎦⎥
⎡ X 1*I ⎤
⎢
⎥
⎢ # ⎥
X T∗I = ⎢ X v*I ⎥ ,
⎢
⎥
⎢ # ⎥
⎢ * ⎥
⎣⎢ X NI ⎦⎥
(1.1.62)
т. е. это – блочные матрицы ( nN × n) , блоки которых есть диагональные матрицы – значения матриц (1.1.48) в узлах N-сетки I рода:
Gv∗I = G ∗ ( τ(vN ) ) = Diag ⎣⎡ g1 ( τ(vN ) ) ,...gi ( τ(vN ) ) ,...g n ( τ(vN ) ) ⎦⎤ ;
X v∗I = X ∗ ( τ(vN ) ) = Diag[ x1 ( τ(vN ) ) ,...xi ( τ(vN ) ) ,...xn ( τ(vN ) )],
(v = 1, N ).
a) ⎫⎪
⎬
б) ⎪⎭
(1.1.63)
Это – точечные представления инволюций G ∗ (τ) и X ∗ (τ) соответствующих вектор-функций.
Отметим, что вольтерровский оператор интегрирования векторфункции из Mn (1.1.27) будет частным случаем оператора свертки
(1.1.52), а его точечное представление (1.1.32) будет частным случаем
точечного представления (1.1.61) оператора (1.1.52). Он возникает,
если рассматривать свертку вектор-функции X(τ) из Mn с единичной
вектор-функцией 1(τ).
Положим в (1.1.52)
G (τ) = 1(τ) = Colon[1,...1,...1] ,
20
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений и, следовательно,
G ∗ (τ) = 1∗ (τ) = En
∀τ∈ [0,1] и G ∗ (τ − η) = 1∗ (τ − η) = En
∀η ≤ τ .
В результате получим
τ
τ
τ
Y (τ) = T ∫ G (τ − η) X (η)d η = T ∫1 (τ − η) X (η)d η = T ∫ X (η)d η,
∗
0
∗
0
0
т. е. сверточный оператор становится вольтерровским оператором интегрирования (1.1.27).
Можно видеть, что при этом точечное представление (1.1.56)
сверточного оператора переходит в точечное представление (1.1.30)
оператора интегрирования Gv∗I = En , (v = 1, N ) .
(
)
Они будут, очевидно, совпадать и после перехода от YTII к YTI
согласно (1.1.31).
1.2. Точечные модели задач Коши для n­мерных линейных дифференциальных уравнений общего вида и эквивалентных интегральных уравнений Пусть дана для решения на отрезке [0,T] задача Коши
dX ( t )
+ A(t ) X (t ) = U (t ); X ( 0) = X 0 ,
dt
(1.2.1)
где X(t) есть n-вектор-функция (1.1), а A(t ) = ⎡⎣ aij ( t ) ⎤⎦ – матричная
функция (n×n) с непрерывными на [0,T] элементами. Будем предполагать также покоординатную непрерывность вектор-функции U(t).
Интегрируя (1.2.1), получим эквивалентное интегральное уравнение:
t
t
X ( t ) + ∫ A ( t )X ( t ) dt = ∫ U ( t )dt + X 0 .
0
(1.2.2)
0
21
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений t
, рассматривая T < ∞
T
как параметр, причем, как условились, в аргументах функций его явно
указывать не будем.
Уравнение (1.2.2) записывается в виде
Снова введем безразмерную переменную τ =
τ
X ( τ ) + T ∫ A(τ)X ( τ ) d τ = F (τ) + X 0 ; τ∈ [ 0,1] ,
(1.2.3)
X ( τ ) = X (T τ ) = Colon ⎡⎣ x1 ( τ ) ,..xi ( τ ) ,..xn ( τ ) ⎤⎦ ; X ( 0 ) = X 0 ,
(1.2.4)
0
где
а
τ
τ
F ( τ ) = T ∫ U (T τ )d τ = T ∫U ( τ )d τ; τ∈ [ 0,1] ,
0
(1.2.5)
0
U(τ) – заданная n-вектор-функция:
U ( τ ) = Colon ⎡⎣U1 ( τ ) ,..U i ( τ ) ,..U n ( τ ) ⎤⎦ .
(1.2.6)
Предполагается, естественно, что введенные интегралы существуют
и существует решение (1.2.4) задачи (1.2.3), что означает выполнение всех условий теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения (1.2.1) [20, 33, 45]. Это означает
также его определение в узлах N-сеток I и II рода, причем при любых N.
Найдем точечное представление интегрального уравнения
2v − 1
;
(1.2.3), ассоциированное с чебышевской N-сеткой I рода: τ(vN ) =
2N
v = 1, N .
(
)
С учетом точечных представлений (1.1.6), (1.1.32) и (1.1.34), будем иметь:
TI
X ( τ ) ⎯⎯
→ X TI = Colon ⎡⎣ X 1I #"# X vI #"# X N I ⎤⎦ ;
(1.2.7)
TI
→ ⎡⎣ J N ( Z ) ⊗ En ⎤⎦ DN ⎡⎣ A(τvN ) ⎤⎦ ⋅ X TI ;
T ∫ A ( τ )X ( τ ) d τ ⎯⎯
(1.2.8)
τ
0
22
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений τ
TI
F ( τ ) = T ∫ U (τ)d τ ⎯⎯
→ FTI = Colon ⎡⎣ F1I #"# FvI #"# FN I ⎤⎦ =
0
где
(1.2.9)
= [ J N ( Z ) ⊗ En ] ⋅ U TI ,
TI
→U TI = Colon ⎡⎣U1I #"#U vI #"#U N I ⎤⎦ ,
U ( τ ) ⎯⎯
(1.2.10)
а точечное представление постоянного n-вектора X ( 0 ) = X 0 имеет вид
TI
X 0 ⎯⎯
→ Colon [ X 0 #.. X 0 #.. X 0 ] = ( 1T( N ) ⊗ En ) X 0 = X 0I .
(1.2.11)
Нам понадобятся еще следующие тождества:
−1
⎡⎣ J N ( Z ) ⊗ En ⎤⎦ = λ 0 [ ( EN + Z ) ⊗ En ] ⎡( EN − Z ) ⊗ En ⎤ =
⎣
⎦
−1
= λ 0 ⎡( EN − Z ) ⊗ En ⎤ ⋅ [ ( EN + Z ) ⊗ En ];
⎣
⎦
[ EN ⊗ En ] = ⎡⎣( EN − Z )
−1
(1.2.12)
⊗ En ⎤ ⎡⎣( E N − Z ) ⊗ En ⎤⎦ = E Nn .
⎦
(1.2.13)
Переходя в уравнении (1.2.3) к точечным представлениям, получаем
X TI + ⎡⎣ J N ( Z ) ⊗ En ⎤⎦ DN ⎡⎣ A( τvN ) ⎤⎦ ⋅ X TI = FTI + X 0I .
(1.2.14)
Далее, имея в виду тождественное представление
X TI = E Nn ⋅ X TI = [ E N ⊗ En ] X TI = ⎡( E N − Z ) ⊗ En ⎤ ⎡⎣( E N − Z ) ⊗ En ⎤⎦ X TI ,
⎣
⎦
−1
следующее из тождества (1.2.13), и представление (1.2.12), запишем
уравнение (1.2.14) в виде
{
}
⎡⎣( EN − Z ) −1 ⊗ En ⎤⎦ ⎡⎣( EN − Z ) ⊗ En ⎤⎦ + λ 0 ⎡⎣( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ DN ⎡ A ( τvN ) ⎤ X TI =
⎣
⎦
{
}
= FTI + X 0I ⇒ [ ( EN − Z ) ⊗ En ] + λ 0 ⎡⎣( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ DN ⎡⎣ A ( τvN ) ⎤⎦ X TI =
= [ ( E N − Z ) ⊗ En ] ⋅ ⎡⎣ FTI + X 0I ⎤⎦ .
(1.2.15)
23
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Здесь использовано тождество
[ ( E N − Z ) ⊗ En ]
−1
−1
= ⎡ ( E N − Z ) ⊗ En ⎤ .
⎣
⎦
(1.2.16)
Развернутая запись уравнения (1.2.15) с учетом (1.1.35) и последующих преобразований дает
⎡( λ 0 A1 + En )
⎢
⎢ (λ 0 A1 − En )
⎢
%
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
( λ 0 A2 + En )
%
( λ 0 Av−1 − En )
⎤ ⎡ X 1I ⎤
⎥ ⎢X ⎥
⎥ ⎢ 2I ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥=
⎥⋅⎢
X
A
E
λ
+
( 0 v n)
⎥ ⎢ vI ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
%
%
⎥
⎥ ⎢
(λ 0 AN −1 − En ) (λ 0 AN + EN ) ⎦⎥ ⎢⎣ X N I ⎥⎦
⎡ En
⎡ F1I + X 0 ⎤
⎢B
⎢
⎥
⎢ 1
⎢ F2I − F1I ⎥
⎢
⎢
⎥
#
⎥ ⇒ DN ⎡( λ 0 Av + En ) ⎤ ⋅ ⎢
=⎢
⎣
⎦ ⎢
⎢ FvI − F( v −1)I ⎥
⎢
⎢
⎥
⎢
⎢#
⎥
⎢
⎢ FN − F
⎥
1
−
N
(
)
⎢
I
I ⎦
⎣
⎣
⎡ En
⎢− E
⎢ n
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
En
B2
En
% %
Bv En
%
⎤ ⎡ F1I ⎤ ⎡ X 0 ⎤
⎥ ⎢F ⎥ ⎢ 0 ⎥
En
⎥ ⎢ 2I ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥
% %
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
% %
⎥⋅⎢ ⎥ + ⎢ ⎥
⎥ ⎢ Fv ⎥ ⎢ 0 ⎥
− En En
⎥ ⎢ I⎥ ⎢ ⎥
%%
⎥ ⎢ # ⎥ ⎢# ⎥
⎢ ⎥
− En En ⎥⎦ ⎢ FN ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎣ I⎦
Здесь для сокращения записей обозначено:
24
%
BN −1
⎤ ⎡ X 1I ⎤
⎥ ⎢X ⎥
⎥ ⎢ 2I ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥
⎥ ⎢
⋅
⎥=
⎥ ⎢
⎥ ⎢Xv ⎥
⎥ ⎢ I⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎢
⎥
En ⎥⎦ ⎢ X N ⎥
⎣ I⎦
(1.2.17)
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений ( ) ) , ( v = 1, N );
Av = A τ(v
N
Bv =
(
λ 0 Av − En
−1
= ( λ 0 Av +1 + En ) ( λ 0 Av − En ) , v = 1, ( N − 1)
λ 0 Av +1 + En
)
a) ⎫
⎪
⎬
б) ⎪
⎭
(1.2.18)
Введем блочную диагональную матрицу
−1
DN−1 ⎡⎣( λ 0 Av + En ) ⎤⎦ = DN ⎡( λ 0 Av + En ) ⎤ =
⎣
⎦
−1
−1
−1
= Diag ⎡( λ 0 A1 + En ) ,"( λ 0 Av + En ) ,"( λ 0 AN + En ) ⎤ ,
⎣
⎦
(1.2.19)
естественно, предполагая существование всех обратных матриц
−1
( λ 0 Av + En ) , ( n × n ) , v = 1, N при любых N.
(
)
Обозначим также:
⎡0
⎢B
⎢ 1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
B2
⎡ En
⎢− E
⎢ n
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
En
%
⎤
⎥
⎥
⎥
0
⎥
% %
⎥ = ( Z ⊗ En ) ⋅ DN [ Bv ];
⎥
Bv 0
⎥
%% ⎥
BN −1 0 ⎥⎦
%
− En
(1.2.20)
⎤ ⎡ F1I ⎤ ⎡ X 0 ⎤
⎥ ⎢F ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢ 2I ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥
⎥⋅⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ =
En
⎥ ⎢ FvI ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢ # ⎥ ⎢# ⎥
%%
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− En En ⎦ ⎢ FN ⎥ ⎣ 0 ⎦
⎣ I⎦
= ⎡⎣( EN − Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ F TI + ( e1( N ) ⊗ En ) X 0 ,
(1.2.21)
25
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений где
e1( N ) = Colon [1,0," 0]
(1.2.22)
– первый единичный N-вектор.
Таким образом, с введенными обозначениями можем написать
следующее уравнение, эквивалентное уравнению (1.2.17):
{( Z ⊗ E ) D [ B ] + ( E
n
N
v
N
⊗ En )} X TI =
= DN ⎡( λ 0 Av + En ) ⎤ ⎡⎣( E N − Z ) ⊗ En ⎤⎦ FTI +
⎣
⎦
−1
+ DN ⎡( λ 0 Av + En ) ⎤ ⋅ e1( N ) ⊗ En X 0 .
⎣
⎦
−1
(
)
(1.2.23)
или развернуто, в форме системы для блочно-векторных компонент
X vI v = 1, N решения (1.2.7):
(
)
X 1I = ( λ 0 A1 + En ) ⋅ F1I + ( λ 0 A1 + En ) X 0 ;
−1
−1
B1 X 1I + X 2I = ( λ 0 A2 + En )
−1
(−F
1I
)
+ F2I ;
(
)
B2 X 2I + X 3I = ( λ 0 A3 + En ) ⋅ − F2I + F3I ;
−1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Bv −1 X ( v −1) + X vI = ( λ 0 Av + En )
I
−1
( −F
( v −1)I
)
+ FvI ;
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
BN −1 X ( N −1) + X N I = ( λ 0 AN + En )
I
−1
(−F
( N −1)I
+ FN I
)
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
.⎪
⎭
(1.2.24)
Это – точечные модели общей задачи Коши (1.2.3). Для более простой однородной задачи, когда U ( τ ) ≡ 0 ⇒ F (τ) ≡ 0,
dX 0 ( τ )
+ TA ( τ ) X 0 ( τ ) = 0;
dτ
X 0 (0) = X 0 ,
(1.2.25)
т. е. интегрального уравнения
τ
X
0
( τ) + T ∫ A( τ) X 0 ( τ) d τ = X 0
0
26
(1.2.25')
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений будет иметь частный случай точечной модели (1.2.23) с той же системной матрицей:
{( Z ⊗ E ) D [ B ] + ( E
n
N
v
N
−1
⊗ En )} X T0I = DN ⎡( λ 0 Av + En ) ⎤ ⋅ ( e1( N ) ⊗ En ) X 0
⎣
⎦
(1.2.26)
или в форме легко решаемой системы уравнений для точечновекторных компонент решения
X T0I = Colon ⎡⎣ X 10I #"# X v0I #"# X N0 I ⎤⎦ :
(1.2.27)
X 10I = ( λ 0 A1 + En ) ⋅ X 0 ;
−1
B1 X 10I + X 20I = 0 ⇒ X 20I = − B1 ⋅ X 10I ;
B2 X 20I + X 30I = 0 ⇒ X 30I = − B2 X 20I = B2 B1 ⋅ X 10I ;
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+ X = 0 ⇒ X = ( −1)
0
( v −1)I
Bv −1 X
0
vI
0
vI
v −1
v −1
(
)
⋅ ∏ Bv −i ⋅ X 10I ; v = 2, N .
i =1
(1.2.28)
Таким образом, получаем решение однородной задачи в виде
X 10I = ( λ 0 A1 + En ) ⋅ X 0 ;
−1
X = ( −1)
0
vI
v −1
v −1
∏B
i =1
v −i
⋅X ;
0
1I
( v = 2, N ).
а) ⎫
⎪
⎬
б) ⎪
⎭
(1.2.29)
Формула (б) порождает вычислительный алгоритм рекуррентного
типа:
X 10I = ( λ 0 A1 + En ) ⋅ X 0 ;
−1
X = − Bv −1 ⎡⎣( −1)
0
vI
v−2
v −2
∏B
i =1
v −i
⋅ X ⎤⎦ = − Bv −1 ⋅ X
0
1I
0
( v −1)I
;
(
а) ⎫
⎪
⎬
v = 2, N . б) ⎪
⎭
)
(1.2.29')
Выполним обращение системной матрицы
27
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений ⎡ En
⎢B
⎢ 1
⎢
{( Z ⊗ En ) DN [ Bv ] + ( EN ⊗ En )} = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
En
⎥
⎥
% %
⎥ = TN [ Bv ]
Bv En
⎥
⎥
%%
⎥
BN −1 En ⎦
(1.2.30)
в наших точечных моделях (1.2.23) и (1.2.26).
Это дает
⎡ B11
⎢B
⎢ 21
⎢ #
⎢
⎢ Bm1
⎢ #
−1
TN [ Bv ] = ⎢
⎢ #
⎢B
⎢ v1
⎢ #
⎢ #
⎢
⎢⎣ BN 1
B22
# %
Bm 2
Bv 2
#
#
BN 2
Bmm
B( m+1) m %
#
B( v −1)( v −1)
"
" Bv ( v −1)
Bvm
#
#
#
#
" BNm " BN ( v −1)
Bvv
# %
# " B( N −1)( N −1)
BNv " BN ( N −1)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
BNN ⎥⎦
(1.2.31)
Здесь блочные матричные элементы (n×n) получают представления
причем
v−m
∏B
Bvm = ( −1)
v −m
Bvv = En
(v = 1, N ), а Bv ( v −1)
i =1
v −i
⎫
а) ⎪
⎬
= − Bv −1 , (v = 1, N ). б) ⎪⎭
, (v, m = 1, N );
(1.2.31')
С помощью этой матрицы решение однородной задачи (1.2.29) получает представление
(
)
−1
N
X T0I = TN−1 [ Bv ] DN ⎡( λ 0 Av + En ) ⎤ ⋅ e1( ) ⊗ En X 0 .
⎣
⎦
28
(1.2.32)
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Точечная модель неоднородной задачи (1.2.1) или (1.2.3) [при
X0 = 0] может быть записана в виде
X
(U )
τ
τ
T
→
( τ ) + T ∫ A ( τ )X ( τ ) d τ = F ( τ ) = T ∫ U ( t )d τ ⎯⎯
(U )
I
0
0
TI
⎯⎯
→TN [ Bv ] ⋅ X TUI = DN ⎡( λ 0 Av + E n ) ⎤ ⋅ ⎡⎣( EN − Z ) ⊗ En ⎤⎦ FTI ,
⎣
⎦
−1
(1.2.33)
откуда следует
−1
U
X T(I ) = TN−1 [ Bv ] ⋅ DN ⎡( λ 0 Av + E n ) ⎤ ⋅ ( ( E N − Z ) J N ( Z ) ⊗ En )U TI ,
⎣
⎦
но
(1.2.34)
⎡⎣( E N − Z ) J N ( Z ) ⎤⎦ = λ 0 ( E N + Z ) ,
поэтому
−1
U
X T(I ) = TN−1 [ Bv ] ⋅ DN ⎡( λ 0 Av + E n ) ⎤ ⋅ ( λ 0 ( E N + Z ) ⊗ En )U TI . (1.2.34')
⎣
⎦
Решение X (τ) общей задачи Коши (1.2.1) или эквивалентной задачи
(1.2.3), как известно, равно сумме решений однородной задачи
X 0 ( τ ) ⎡⎣U ( τ ) ≡ 0 ⎤⎦ при ненулевых начальных условиях [ X 0 ≠ 0] и ре-
шения X ( ) ( τ ) задачи при U ( τ) ≠ 0 , но X0 = 0. То же будем иметь
и для точечных представлений этих решений:
U
X (τ) = X 0 ( τ ) + X (
U)
( τ ) → X T0 + X T(U ) = X T ,
I
I
I
(1.2.35)
которые определяются формулами (1.2.32) и (1.2.34).
Выделим особо важный частный случай рассматриваемой задачи Коши, когда матрица A (τ) оказывается постоянной,
[ A (τ) = A (n × n)] , т. е. найдем точечные представления решений задачи для дифференциального уравнения
dX 0 ( τ )
+ TA ( τ ) ⋅ X ( τ ) = T ⋅ U (τ);
dτ
X ( 0) = X 0 ,
(1.2.36)
являющимися решениями и эквивалентного интегрального уравнения
29
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений τ
τ
X ( τ ) + TA∫ X ( τ )d τ = T ∫ U ( τ )d τ + X 0 = F (τ) + X 0 .
0
(1.2.37)
0
В этом частном случае произойдет существенное упрощение введенных ранее блочных матриц в точечной модели задачи (1.2.23), так
и самой модели, т. к. определяющие матричные блоки (1.2.18)
и (1.2.19) в этом случае в узлах чебышевской N-сетки І рода
2ν − 1
N
τ(ν ) =
ν = 1, N окажутся постоянными.
2N
Будем иметь
(
( )) = A
)
( n × n ) ( ∀v = 1, N ) ;
а) ⎫⎪
⎪⎪
λ 0 Av − En
λ 0 A − En
Bv =
=
= B ( n × n ) ∀v = 1, ( N − 1) ;
б) ⎬
λ 0 Av +1 + En λ 0 A + En
⎪
−1
−1
−1
⎪
DN ⎡( λ 0 Av + En ) ⎤ = DN ⎡( λ 0 A + En ) ⎤ = ⎡ EN ⊗ ( λ 0 A + En ) ⎤ ∀v = 1, N . в) ⎪
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎭
Av = A τ(v
N
(
)
(
)
(1.2.38)
Блочная однодиаганальная матрица (1.2.20) получает представление
( Z ⊗ En ) ⋅ DN [ Bv ] = ( Z ⊗ B ) ,
(1.2.39)
а системная матрица точечной модели (1.2.23) оказывается двудиагональной и блочно-тёплицевой:
TN [ Bv ] = {( Z ⊗ En ) DN [ Bv ] + ( E N ⊗ En )} = ⎡⎣( Z ⊗ B ) + ( E N ⊗ En ) ⎤⎦ = TN ( B ) .
(1.2.40)
Обратная матрица TN−1 [ B ] будет частным случаем матрицы TN−1 [ Bv ]
(
)
(1.2.31), когда Bv = B ∀v = 1, ( N − 1) .
Получим блочную тёплицеву матрицу вида
−1
N
T
30
N
[ B ] = ∑ ( −1) ( Z v−1 ⊗ B v−1 ) =
v =1
v −1
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений ⎡ En
⎢ (− B)
En
⎢
2
⎢ (− B)
(− B)
⎢
%
=⎢ #
⎢ ( − B )v −1
"
⎢
%
⎢ #
⎢
N −1
"
⎢⎣( − B )
En
%
%
(− B) 2
(−B)
v −1
(− B)
%
En
%
"
(− B)2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
%
⎥
⎥
(− B) En ⎥⎦
(1.2.41)
А точечная модель (1.2.23) нашей задачи получает представление
−1
U
TN [ B ] X T(I ) = ⎡ EN ⊗ ( λ 0 A + E n ) ⎤ ⋅ ⎡⎣( EN − Z ) ⊗ En ⎤⎦ FTI +
⎣
⎦
N
+ [ EN ⊗ ( λ 0 A + En ) −1 ⎤⎦ e1( ) ⊗ En X 0 .
(
)
(1.2.42)
Определятся и точечные модели для отдельных составляющих решения
(1.2.35) в рассматриваемом частном случае. Для однородной задачи
dX 0 ( τ )
+ TAX 0 ( τ ) = 0;
dτ
τ
X
0
( 0 ) = X 0 ⇒ X ( τ ) + TA∫ X 0 ( τ ) d τ = X 0
0
0
(1.2.43)
получим модель
⎡X0 ⎤
⎡X0 ⎤
⎢0⎥
⎢0⎥
⎢ ⎥
−1
−1
0
TN [ B ] X TI = ⎡ EN ⊗ ( λ 0 A + En ) ⎤ ⋅ ⎢ 0 ⎥ = ( λ 0 A + En ) ⋅ ⎢ ⎥ ,
⎣
⎦ ⎢ ⎥
⎢# ⎥
#
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣0⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
(1.2.44)
и, следовательно, для точечного представления X T0I однородной задачи (1.2.43) будем иметь
⎡X0 ⎤
⎢0⎥
−1
0
−1
X TI = TN [ B ] ⋅ ( λ 0 A + EN ) ⋅ ⎢ ⎥ =
⎢# ⎥
⎢ ⎥
⎣0⎦
−1
v −1
n −1
= ( λ 0 A1 + En ) ⋅ Colon ⎡ En , ( − B ) ,"( − B ) ,"( − B ) ⎤ X 0 =
⎣
⎦
31
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений En
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎛ En − λ 0 A ⎞ ⎥
⎢ ⎜⎝ En + λ 0 A ⎟⎠ ⎥
⎢
⎥
#
⎢
⎥
⎢
v −1 ⎥
En
−1
N
=
⋅ ⎢ ⎛ En − λ 0 A ⎞ ⎥ ⋅ X 0 = ( λ 0 A + En ) ⋅ TN−1 [ B ] ⋅ e1( ) ⊗ En X 0 .
En + λ 0 A ⎢ ⎜
⎟
En + λ 0 A ⎠ ⎥
⎝
⎢
⎥
#
⎢
⎥
⎢
N −1 ⎥
⎢⎛ En − λ 0 A ⎞ ⎥
⎢⎜ E + λ A ⎟ ⎥
0
⎠ ⎦
⎣⎝ n
(
)
(1.2.45)
En − λ 0 A
записаны в форме
En + λ 0 A
дробно-рациональной функции от матрицы A (n×n).
Однородная задача (1.2.43) имеет точное решение:
Здесь представления для матрицы − B =
X 0 ( τ ) = e −TAτ X 0 = exp ( −TAτ ) ⋅ X 0 , τ∈ [ 0,1] ,
(1.2.46)
и, следовательно, его точечное представление, определяемое значениями экспоненты (1.2.46) в узлах чебышевской N-сетки І рода:
(
exp −TAτ(v
N)
) = exp ⎛⎜⎝ − 2TN A( 2v − 1) ⎞⎟⎠ = exp ( −λ A( 2v − 1) ) , ( v = 1, N ) ,
0
(1.2.47)
запишется в виде
⎡
⎤
⎡ X 10I ⎤
exp ( −λ 0 A )
⎢
⎥
⎢
⎥
#
⎢
⎥
⎢# ⎥
⎢
⎥
TI
X 0 ( τ ) = exp ( −TAτ ) ⋅ X 0 ⎯⎯
→ ⎢ exp ( −λ 0 A ( 2v − 1) ) ⎥ ⋅ X 0 = X T0I = ⎢⎢ X v0I ⎥⎥ .
⎢
⎥
⎢# ⎥
#
⎢
⎥
⎢ 0 ⎥
⎢⎣exp ( −λ 0 A ( 2 N − 1) ) ⎥⎦
⎢⎣ X NI ⎥⎦
(1.2.48)
Покомпонентно оно будет приближенно равно точечному представлению (1.2.45), полученному по точечной модели (1.2.44) однородной
задачи, т. е. будем иметь приближенные равенства:
32
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений e
−λ 0 A (2 v −1)
⎛ E − λ0 A ⎞
En
= exp ( −λ 0 A ( 2v − 1) ) ≈
⋅⎜ n
⎟
E n + λ 0 A ⎝ En + λ 0 A ⎠
= ( En + λ 0 A )
−1
( −B)
v −1
,
тем более точные, чем меньше λ 0 =
v −1
=
( v = 1, N ) ,
T
2N
(1.2.49)
– шаг дискретизации
T
= 2λ 0 задачи, и, следовательно, точность будет расти с ростом
N
N (при фиксированном Т).
Частный случай нашей задачи, когда матрица А оказывается
обычной вещественной и положительной величиной (А → а > 0), был
рассмотрен ранее [78]. Соответствующие представления [78] сразу
возникают формально из (1.2.49) при замене А на а > 0. То же происходит и при обратной замене. Проведенные расчеты показывают высокую точность полученных приближенных представлений даже при
сравнительно больших λ0. Отметим, что из формул (1.2.29'а)), определяющих точечное решение однородной нестационарной задачи, возникают рекуррентные представления для векторных координат решения (1.2.48) и в нашем стационарном случае:
Δt =
X v0I = ( − B ) ⋅ X (0v−1) , (v = 2, N );
I
X = ( En + λ0 A) X 0 .
−1
0
1I
а) ⎫⎪
⎬
б) ⎪⎭
(1.2.50)
Обратимся теперь к точечной модели неоднородной стационарной задачи, когда
τ
TI
F ( τ ) = T ∫ U ( τ )d τ ⎯⎯
→ FTI ⎡⎣ J N ( Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ UTI ≠ 0,
(1.2.51)
0
но нулевые начальные условия (X0 = 0).
Модель получает вид, следующий из (1.2.34) и (1.2.42), с учетом
(1.2.50):
−1
U
TN [ B ] X T(I ) = ⎡ E N ⊗ ( λ 0 A + E n ) ⎤ ⋅ ⎡⎣ λ 0 ( E N + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ U TI ,
⎣
⎦
(1.2.52)
откуда в связи с перестановочностью блочных тёплицевых матриц
будут следовать и представления для второй точечной составляющей:
33
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений −1
U
X T(I ) = TN−1 [ B ] ⎡ EN ⊗ ( En + λ 0 A ) ⎤ ⋅ ⎡⎣λ 0 ( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ U TI =
⎣
⎦
= ( En + λ 0 A ) ⋅ TN−1 [ B ] ⋅ ⎡⎣λ 0 ( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ U TI =
−1
= ⎡⎣λ 0 ( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ( En + λ 0 A) ⋅ TN−1 [ B ] ⋅ U TI .
−1
(1.2.53)
Рассматриваемая стационарная задача
dX ( ) ( t )
U
+ A ⋅ X ( ) (t ) = U (t );
dt
U
X(
U)
( 0 ) = 0;
t ∈ [ 0, T ]
(1.2.54)
имеет, как известно, точное решение, представляемое в виде интеграла свертки – интегрального преобразования:
t
X
(U )
(t ) = ∫ G ( t − ξ )U ( ξ ) d ξ,
(1.2.55)
0
в котором в качестве разностного ядра выступает матричная экспонента:
(1.2.56)
G ( t − ξ ) = e − A(t −ξ ) = exp ( − A(t − ξ) ) ,
являющаяся как функция аргумента t ∈[0, T ] ⎡⎣G (t ) = e − At ⎤⎦ и решением задачи при U (t ) = X 0 δ(t ) – δ-импульсной векторной функции.
В этом случае получим:
X
(δ)
t
(t ) = ∫ e
− A( t −ξ )
⋅ X 0δ ( ξ ) d ξ = e− At ⋅ X 0 = e−TAτ ⋅ X 0 ,
0
т. е. решение однородной задачи при начальном условии X0 ≠ 0.
С точки зрения теории линейных динамических систем этот
факт имеет принципиальное значение и будет рассмотрен позднее.
А сейчас отметим точечное представление сверточного преобразования (1.2.55) с ядром (1.2.56), т. е. точечное представление точного
решения нашей задачи как интеграла свертки:
X
(U )
t
(t ) = ∫ e
0
34
− A( t −ξ )
⋅U ( ξ) d ξ → X
(U )
τ
( τ ) = T ∫ e−TA( τ−η)U ( η)d η. (1.2.57)
0
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Применяя квадратную формулу прямоугольников и используя, по
существу, прежние выкладки, которые были сделаны в п. 1.1 при рассмотрении свертки двух вектор-функции [см. (1.1.56) и (1.1.61)],
а также имея в виду экспоненциальные равенства в узлах N-сетки І
рода
(N)
e −TAτv = e
−λ 0 A( 2 v −1)
( v = 1, N )
= exp ( −λ 0 A ( 2v − 1) ) ,
и связывающее равенство (1.1.9) для точечных векторов I и II рода
свертки (1.2.57):
⎡⎣( E N + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ X T(UII ) = 2 X T(IU ) ,
X (U ) (0) = 0,
(1.2.58)
получим
X(
U)
T
→ X T(U ) =
( τ ) ⎯⎯
I
I
⎡ e −λ0 A
⎢ −λ0 A3
⎢ e
⎢
#
= λ 0 ⎡⎣( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ ⎢ −λ0 A( 2 v−1)
⎢e
⎢
⎢#
⎢e −λ0 A( 2 N −1)
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ ⋅ UT .
I
e −λ0 A
⎥
⎥
% %
⎥
−λ 0 A3 −λ 0 A
e ⎥⎦
" e
e −λ0a
%
%
"
e −λ0 A3
"
e
−λ 0 A( 2 v −1)
Далее, принимая во внимание представления (1.2.49) для экспоненциальных элементов, найдем
X T(IU ) = λ 0 ⎡⎣( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ ( En + λ 0 A) ×
−1
⎡ En
⎢ −B
En
⎢ ( )
⎢ #
%
⎢
×
v −1
"
⎢ ( −B )
⎢ #
⎢
⎢( − B ) N −1 "
⎣
%
( −B )
( −B)
v −1
En
%
%
"
( −B)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ ⋅ UT =
I
⎥
⎥
⎥
En ⎥⎦
= λ 0 ⎡⎣( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ ( En + λ 0 A) ⋅ TN−1 [ B ] ⋅ U TI .
−1
(1.2.59)
35
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Это ранее найденное точечное представление (1.2.53) − решение нашей стационарной задачи [при X0 ≡ 0], как частного случая нестационарной, найденное по её точечной модели (1.2.34).
Перестановочность блочных тёплицевых матриц в представлении (1.2.59) позволяет записать его в виде
X T(IU ) = λ 0 ⋅ ( En + λ 0 A) ⋅ TN−1 [ B ] ⎡⎣( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ U TI .
−1
(1.2.60)
Произведение матриц дает
TN−1 [ B ] ⋅ ⎡⎣( EN + Z ) ⊗ En ⎤⎦ =
⎡ En
⎤ ⎡E
⎢ (− B)
⎥ ⎢ n
En
⎢
⎥ ⎢ En
⎢ (− B)2 (− B)
⎥ ⎢
En
⎢
⎥ ⎢
%
= ⎢#
% %
⎥⋅⎢
2
v −1
⎢
⎥ ⎢
−B )
(
"
−
B
( − B ) En
(
)
⎢
⎥ ⎢
⎢#
⎥ ⎢
%
% % %
⎢
⎥
N −1
" ( − B )v −1 " (− B) 2 (− B) En ⎥ ⎢⎣
⎢⎣(− B)
⎦
En
⎡
⎢
[(− B) + En ]
⎢
⎢ ⎡(− B)2 + (− B) ⎤
⎦
⎢ ⎣
#
=⎢
⎢
v −1
v−2
⎢ ⎣⎡(− B ) + (− B ) ⎦⎤
⎢
#
⎢
⎢⎡
N −1
N −2
⎤
⎣ ⎣(− B) + (− B) ⎦
En
En
⎤
⎥
⎥
⎥
En
⎥
% %
⎥=
⎥
En En
⎥
%% ⎥
En En ⎥⎦
En
[(− B) + En ]
En
%
%
%
"
[(− B) + En ]
En
%
⎣⎡(− B ) + (− B ) ⎦⎤
%
%
%
%
"
⎡⎣(− B )v −1 + (− B )v − 2 ⎤⎦
"
⎡⎣(− B ) 2 + ( − B ) ⎤⎦
[(− B) + En ]
2
(1.2.61)
(
)
И, следовательно, для векторных компонент X v(IU ) , v = 1, N решения
(1.2.60) получим
36
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥.
⎥
⎥
⎥
⎥
En ⎥⎦
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений X 1(I ) = λ 0 ( En + λ 0 A ) ⋅ U1I ;
−1
U
X 2( I ) = λ 0 ( En + λ 0 A )
−1
X 3(I ) = λ 0 ( En + λ 0 A )
−1
U
U
{( E
{( E
}
n
− B )U1I + U 2I ;
n
− B ) ⎡⎣( − B ) 0U1I + U 2I ⎤⎦ + U 3I ;
{
}
}
−1
2
U
X 4( I ) = λ 0 ( En + λ o A ) ⋅ ( En − B ) ⎡( − B ) U1I + ( − B )U 2I + U 3I ⎤ + U 4I ;
⎣
⎦
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
а) ⎫
⎪
б) ⎪
⎪
⎪
в) ⎬
⎪
г) ⎪
⎪
⎪
⎭
(1.2.62)
X vI = λ 0 ( En + λ 0 A )
(U )
−1
v
⎧
⎫
v−k
⎨( En − B ) ∑ ( − B ) ⋅ U ( k −1)I + U vI ⎬ ,
k =2
⎩
⎭
( v = 1, N ) ,
(1.2.63)
причем при v = 1
1
∑( −B )
k =2
1− k
U ( k −1) ≡ 0 .
(1.2.64)
I
Найдем теперь точечное представление решения задачи (1.2.1),
точнее говоря, точечного решения эквивалентного интегрального
уравнения для n-вектор функции X (Tτ), τ ∈ [0,1]:
τ
τ
X (T τ ) + T ∫ A (T η)X (T η) d η = T ∫ U (T η)d η + X 0 ,
0
(1.2.65)
0
ассоциированного, однако, с чебышевской сеткой ІІ рода двойной
размерности 2Ν. Такая сетка возникает как множество нулей функции
sin 2Nπτ на отрезке [0,1], объединяя N-сетки І и ІІ рода, т. к.
sin 2 N πτ = 2cos N πτ ⋅ sin N πτ = 0 ⇒
2v − 1
⎧
(N )
(N)
a) ⎫
⎪⎪cos N πτv = 0 ⇒ τv = 2 N ;
⎪⎪
⇒⎨
(v = 1, N ) ⎬
v
N
N
(
)
(
)
⎪ sin N πθ = 0 ⇒ θ = .
б) ⎪
v
v
⎪⎩
N
⎭⎪
(1.2.66)
Чередование узлов этих N-сеток означает их объединение и определяет 2N-сетку ІІ рода
{θ( )} = ⎧⎨⎩ 21N , 22N , 23N ," k2−N1 , 2kN ," 2 N2 N− 2 , 2 N2 N− 1 ,1⎫⎬⎭.
2N
k
(1.2.67)
37
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Точечное решение задачи на основе сетки удвоенной размерности будет означать существенное повышение точности такого решения [64, 78].
Напомним также, что сетка (1.2.67), как всякая чебышевская
сетка, будет ортогональной и равномерно распределенной на [0, 1].
Найдем значение интегрального уравнения (1.2.65) как функционального равенства для всякого τ из отрезка [0,1] в узлах 2N-сетки
2N
{ θ(k ) } (1.2.67), размещенных в этом отрезке.
При этом для приближенного точечного представления возни⎛ k −1 k ⎞
,
кающих определенных интегралов по интервалам ⎜
⎟,
⎝ 2N 2N ⎠
1
используем квадратурную форму( k = 1, 2 N ) одинаковой длины
2N
лу трапеций [78].
В результате будем иметь
k
2N
T
∫ A ( T η )X (T η ) d η ≅
k −1
2N
≅
T 1⎡ ⎛ T
⎞ ⎛ T
⎞
⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞⎤
⋅ ⎢ A⎜
(k − 1) ⎟ X ⎜
(k − 1) ⎟ + A ⎜
k⎟X ⎜
k ⎟⎥ =
2N 2 ⎣ ⎝ 2N
⎠ ⎝ 2N
⎠
⎝ 2 N ⎠ ⎝ 2 N ⎠⎦
1
= λ 0 ⎡⎣ A ( λ 0 (k − 1) ) X ( λ 0 (k − 1) ) + A ( λ 0 k ) X ( λ 0 k ) ⎤⎦ =
2
=
где
λ0 =
λ0
[ Ak −1 ⋅ X k −1 + Ak X k ]; (k = 1,2 N ),
2
T
;
2N
Ak = A(λ 0 k );
X k = X (λ 0 k ); (k = 1, 2 N ),
(1.2.68)
(1.2.69)
T
= Δt имеет смысл не половинного,
2N
а полного расстояния между узлами 2N-сетки на временной оси
t ∈[0, T ] .
Очевидно,
причем теперь параметр λ 0 =
38
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений k
2N
T
∫ U (T η)d η ≅
k −1
2N
λ0
λ
⎡⎣U ( λ 0 (k − 1) ) + U ( λ 0 k ) ⎤⎦ = 0 [U k −1 + U k ]; (k = 1,2 N ).
2
2
(1.2.70)
Значение интегрального уравнения (1.2.65) в k-м узле 2N-сетки
k
N)
(1.2.67), т. е. при τ = θ(2
, дает равенство
=
k
2N
Xk + T
k
2N
k
2N
0
0
∫ A (T η)X (T η) d η = T ∫ U (T η)d η + X
0
,
(1.2.71)
справедливое для всех k = 1, 2 N .
В соседнем (k – 1)-м узле нашей сетки будем иметь равенство
X k −1 +
k −1
2N
k −1
2N
∫ A (T η)X (T η) d η = T ∫ U (T η)d η + X
0
0
,
(1.2.72)
0
также справедливое для всех k = 1, 2 N .
Вычитая его из равенства (1.2.71), найдем
X k − X k −1 + T
k
2N
k
2N
k −1
2N
k −1
2N
∫ A (T η)X (T η) d η = T ∫ U (T η)d η;
(k = 1,2 N ).
(1.2.73)
Имея в виду интегральные представления (1.2.68) и (1.2.70), получим следующую систему приближенных алгебраических равенств
для точечных значений X k = X (λ 0 k ), ( k = 1, 2 N ), n-вектор-функции
X (T τ), τ ∈ [0,1] – решение нашей задачи:
X k − X k −1 +
λ0
λ
[ Ak −1 X k −1 + Ak X k ] = 0 [U k −1 + U k ], (k = 1,2 N ).
2
2
Эту систему после преобразований приведем к виду
( 2 En + λ0 Ak ) ⋅ [ −α k −1 ⋅ X k −1 + X k ] = λ0 [U k −1 + U k ];
(k = 1,2 N ). (1.2.74)
где символом αk – 1 обозначены матричные представления
39
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений ⎛ 2 E − λ 0 Ak −1 ⎞
−1
α k −1 = ⎜ n
⎟ ⋅ = ( 2 En + λ 0 Ak ) ⋅ ( 2 En − λ 0 Ak −1 ) , (n × n), (k = 1,2 N ).
⎝ 2 En + λ 0 Ak ⎠
(1.2.75)
Необходимо иметь в виду неперестановочность этих матриц.
При k = 1 получим равенство
− ( 2 En − λ 0 A0 ) X 0 + ( 2 En + λ 0 A1 ) X 1 = λ 0U 0 + λ 0U1 ,
(1.2.76)
позволяющее определить первый отсчет X1 = X (λ0) через известные
начальные условия задачи X0, U0 и отсчет U1 = U (λ0):
X 1 = λ 0 ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ U1 + λ 0 ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ U 0 + α 0 ⋅ X 0 .
−1
−1
(1.2.76')
Последующие значения k = 2,3,… в (1.2.74) породят систему равенств
−α1 X 1 + X 2 = λ 0 ( 2 En + λ 0 A2 )
(U1 + U 2 ) ;
−1
− α 2 X 2 + X 3 = λ 0 ( 2 En + λ 0 A3 ) (U 2 + U 3 ) ;
−1
− α 3 X 3 + X 4 = λ 0 ( 2 En + λ 0 A4 ) (U 3 + U 4 ) .
⎫
⎪
⎪⎪
⎬
⎪
⎪
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎪⎭
−1
Или с добавлением уравнения при k = 1:
−α k −1 X k −1 + X k = λ 0 ( 2 En + λ 0 Ak )
−1
(U k −1 + U k ) ; (k = 1,2 N ).
Эту систему уравнений представим в виде одного развернутого блочного векторно-матричного уравнения:
⎡ En
⎢ −α
En
⎢ 1
⎢
−α 2
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
40
⎤ ⎡ X1 ⎤
⎥ ⎢X ⎥
⎥ ⎢ 2 ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
En
⎥ ⎢
⎥
⋅
X
% %
k
1
−
⎥ ⎢
⎥=
⎥ ⎢ Xk ⎥
−α k −1 En
⎥ ⎢
⎥
#
%%
⎥ ⎢
⎥
⎥
⎢
−α 2 N −1 En ⎦ ⎣ X 2 N ⎥⎦
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений ⎡ En
⎢E
⎢ n
⎢
−1
= λ 0 ⋅ D2 N ⎡( 2 En + λ 0 Ak ) ⎤ ⋅ ⎢
⎣
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣
En
% %
En
En
% %
En
⎡ U1 ⎤
⎤ ⎢
⎥
⎥ ⎢ U2 ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⋅ ⎢U k −1 ⎥ +
⎥ ⎢U ⎥
⎥ ⎢ k ⎥
# ⎥
⎥
En ⎦ ⎢
⎢U ⎥
⎣ 2N ⎦
⎡ En ⎤
⎡ En ⎤
⎢0⎥
⎢0⎥
−1
⎢
⎥
+λ 0 ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅
⋅ U 0 + α0 ⎢ ⎥ X 0 ,
⎢# ⎥
⎢# ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣0⎦
⎣0⎦
(1.2.77)
где
−1
D2 N ⎡( 2 En + λ 0 Ak ) ⎤ =
⎣
⎦
−1
−1
−1
= Diag ⎡( 2 En + λ 0 A1 ) #"#( 2 En + λ 0 Ak ) #"#( 2 En + λ 0 A2 N ) ⎤
⎣
⎦
(1.2.78)
есть блочная диагональная (квазидиагональная) матрица (2N×2N)
c квадратными матричными блоками размерности (n×n). В компактной записи уравнения (1.2.77) будем иметь точечную модель решаемой задачи, построенную на основе 2N-сетки (1.2.67):
−1
T2 N [α k ] ⋅ X TII = λ 0 ⋅ D2 N ⎡( 2 En + λ 0 Ak ) ⎤ ⋅ ⎡⎣( E2 N + Z 2 N ) ⊗ En ⎤⎦ U TII +
⎣
⎦
+λ 0 ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ e1(2 N ) ( En ) ⋅ U 0 + α 0 ⋅ e1(2 N ) ( En ) ⋅ X 0
−1
(1.2.79)
c системной блочной матрицей
T2 N [α k ] = {( E2 N ⊗ En ) − ( Z 2 N ⊗ En ) ⋅ D2 N [α k ]} , (2 Nn × 2 Nn). (1.2.80)
Символами X TII и U TII обозначены блочные точечные изображающие
векторы n-вектор-функции X (Tτ) и U (Tτ) соответственно, ассоциированные с чебышевской 2N-сеткой II рода (1.2.67):
41
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений X TII = Colon [ X (λ 0 )#,...# X ( k λ 0 )#,... X (2 N λ 0 ) ] = Colon [ X 1 #,...# X k #,... X 2 N ] а) ⎫⎪
⎬
U TII = Colon [U (λ 0 )#,...#U ( k λ 0 )#,...U (2 N λ 0 ) ] = Colon [U1 #,...#U k #,...U 2 N ] б) ⎪⎭
Обращение блочной системной матрицы T2N[αk] (1.2.80) точечной модели (1.2.79) дает
⎡ En
⎢ α
1
⎢
⎢ α 2α1
⎢
#
⎢
T2−N1 [α k ] = ⎢ k −1
⎢ ∏ α k −v
⎢ v=1
⎢
#
⎢ 2 N −1
⎢ α
2 N −v
⎢⎣ ∏
v =1
En
α2
En
k −1
∏α
v =2
k −1
k −v
2 N −1
∏α
v=2
∏α
v =3
k −v
2 N −1
2 N −v
∏α
v =3
2 N −v
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥ . (1.2.81)
⎥
En
"
⎥
⎥
En
α 2 N −2
⎥
⎥
"
α 2 N −1 ⋅ α 2 N −2 α 2 N −1 En ⎥
⎦
Таким образом, точечное представление решения интегрального
уравнения (1.2.65) как решение его точечной модели (1.2.79) получает
следующее явное выражение:
−1
X TII = T2−N1[α k ] ⋅ D2 N ⎡( 2 En + λ 0 Ak ) ⎤ ⋅ ⎡⎣( E2 N + Z 2 N ) ⊗ En ⎤⎦ λ 0U TII +
⎣
⎦
+T2−N1 [α k ] ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ e1(2 N ) ( En )λ 0U 0 + T2−N1 [α k ]λ 0 ⋅ e1(2 N ) ( En ) ⋅ X 0 . (1.2.82)
−1
Точечное решение X T0II однородной задачи Коши для уравнения
(1.2.1), когда U (Tτ) ≡ 0, τ∈[0,1] , но X0 ≠ 0, т. е. точечное решение интегрального уравнения
τ
X (T τ ) + T ∫ A (T η)X (T η) d η = X 0 ; τ∈[0,1],
0
получаем из (1.2.82) при UTII = 0 и U0 = 0. Это дает
42
(1.2.83)
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений X T0II
α0
⎡ En ⎤
⎡
⎤
⎢ α
⎥
⎢ αα
⎥
⎡ X 10 ⎤
1
1 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 0⎥
⎢ α 2α1 ⎥
⎢ α 2α1α 0 ⎥
⎢ X2 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ X 30 ⎥
#
#
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥ α 0 X 0 = ⎢ k −1
⎥ ⋅ X 0 = ⎢ # ⎥.
= T2−N1 [α k ] ⋅ α 0 ⋅ e1(2 N ) ( En ) ⋅ X 0 = ⎢ k −1
⎢ ∏ α k −v ⎥
⎢ ∏ α k −v λ 0 ⎥
⎢X 0 ⎥
1
v
=
⎢
⎥
⎢ v =1
⎥
⎢ k −1 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
#
#
⎢ # ⎥
⎢ 2 N −1
⎥
⎢ 2 N −1
⎥
⎢X 0 ⎥
⎢ α
⎥
⎢ α α ⎥
⎣ 2N ⎦
∏
2 N −v ⎥
2 N −v 0 ⎥
⎢⎣ ∏
⎢
v =1
⎦
⎣ v=1
⎦
(1.2.84)
Отсюда непосредственно следует рекуррентное соотношение для отдельных блочных компонент точечного решения X T0II :
X k0 = α k −1 ⋅ X k0−1 ⇒ X 0 (k λ 0 ) = α k −1 ⋅ X 0 ( (k − 1)λ 0 ) ; (k = 1,2 N ),
(1.2.85)
причем
X 0 (λ 0 ) = X 10 = α 0 X 0 ,
(1.2.86)
т. е. первая компонента X 10 решения X T0II (1.2.84), по которой последовательно определяются все остальные компоненты, сама определится сразу по заданному начальному условию X0 задачи и известной
матрице αk – 1 (1.2.75) при k = 1:
α0 =
2 En − λ 0 A0
−1
= ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ ( 2 En − λ 0 A0 ) .
2 En + λ 0 A1
(1.2.87)
Другой важный частный случай нашей задачи возникает при
нулевых начальных условиях, т. е. при X (0) = X0 = 0 и U (0) = U0 = 0.
Тогда точечное решение X T(UII ) задачи будет представляться первым
слагаемым в блочной векторно-матричной сумме (1.2.82):
−1
X T(IIU ) = T2−N1 [α k ] ⋅ D2 N ⎡( 2 En + λ 0 Ak ) ⎤ ⋅ ⎡⎣( E2 N + Z 2 N ) ⊗ En ⎤⎦ λ 0U TII . (1.2.88)
⎣
⎦
Отметим еще один частный случай, когда при нулевом начальном условии задачи X0 ≡ 0 eё n-вектор-функция U (Tτ) оказывается дельтафункцией вида
43
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений U (T τ) =
λ0
λ
U 0 ⋅ δ(T τ) ⇒ U (t ) = 0 U 0 ⋅ δ(t ); t ∈ [0, T ].
2
2
(1.2.89)
В этом случае
τ
τ
t
λ
λ
T ∫ U (T η )d η = T ∫ U ( t )dt = 0 U 0T ∫ δ ( t )dt = 0 U 0 ⋅ 1(t ) =
2
2
0
0
0
⎧λ
λ0
⎪ 0 U 0 , τ∈ [0,1]
= U 0 ⋅ 1(T τ) = ⎨ 2
2
⎪⎩ 0,
τ≤0
(1.2.90)
и соответствующее интегральное уравнение задачи получает вид
τ
X (T τ) + T ∫ A (T η)X (T η)d η =
0
Его значение в первом узле θ1(2 N ) =
к равенству
X1 + T
1
2N
∫ A (T η)X (T η)d η =
0
λ0
U 0 ⋅ 1(T τ); τ∈ [0,1].
2
(1.2.91)
1
2N-сетки (1.2.67) приводит
2N
λ0
λ
λ
U 0 ⇒ X 1 + 0 ( A0 X 0 + A1 X 1 ) = 0 U 0 ,
2
2
2
из которого (X0 = 0) следует представление для X1:
X 1 = ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ λ 0U 0 .
−1
(1.2.92)
Найдем теперь значения уравнения (1.2.91) в двух соседних узk −1
k
N)
N)
лах θ(2
и θ(2
при всех k = 2, 3, … 2N:
=
k −1 =
k
2N
2N
⎫
λ0 ⎪
X k −1 + T ∫ A (T η)X (T η)d η = U 0 ⎪
2
⎪
0
⎬ , (k = 2,3,...2 N ).
k
⎪
2N
λ0
X k + T ∫ A (T η)X (T η)d η = U 0 ⎪
⎪⎭
2
0
k −1
2N
44
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Вычитая из 2-го уравнения первое, получим
X k − X k −1 + T
k
2N
∫ A (T η)X (η)d η = 0,
(k = 2,2 N ).
k −1
2N
Квадратичная формула (1.2.68) приводит к однородной системе
из (2N – 1) алгебраических уравнений
X k − X k −1 +
λ0
( Ak −1 X k −1 + Ak X k ) = 0 ⇒ − ( 2 En − λ0 Ak −1 ) X k −1 + ( 2 En + λ0 Ak ) X k ⇒
2
⎧⎪ ⎛ 2 E − λ 0 Ak −1 ⎞
⎫⎪
= ( 2 En + λ 0 Ak ) ⎨− ⎜ n
⎟ X k −1 + X k ⎬ = 0, (k = 2,2 N ).
⎪⎩ ⎝ 2 En + λ 0 Ak ⎠
⎪⎭
И, следовательно, учитывая обозначение (1.2.75), получим систему
−α k −1 X k −1 + X k = 0; (k = 2, 2 N ).
Добавим к ней в качестве первого уравнения представление (1.2.92)
для X1. В результате будем иметь систему, в которой неизвестные
блочные компоненты X k ( k = 1, 2 N ) точечного решения в рассматриваемом частном случае обозначены символом X k( δ ) ( k = 1, 2 N ) :
X 1( δ ) = ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ λ 0U 0
⎫
⎪ ⎡E
(δ)
(δ)
⎪ ⎢ n
−α1 X 1 + X 2 = 0
⎪ ⎢ −α1
− α 2 X 2( δ ) + X 3( δ ) = 0
⎪ ⎢
⎪
.................................
⎬⇒ ⎢
⎪ ⎢
− α k −1 X k( δ−1) + X k( δ ) = 0
⎪ ⎢
.................................... ⎪ ⎢
⎪ ⎣
− α 2 N −1 X 2( δN)−1 + X 2( δN) = 0 ⎪
⎭
−1
En
%
−α k −1
En
= ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ Colon [ En #0#"# 0] ⋅ λ 0U 0 .
−1
%
−α 2 N −1
⎤ ⎡ X 1( δ ) ⎤
⎥ ⎢ (δ) ⎥
⎥ ⎢X2 ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥ ⋅ ⎢ (δ) ⎥ =
⎥ ⎢Xk ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥
⎥ ⎢
En ⎦ ⎣⎢ X 2( δN) ⎦⎥
(1.2.93)
45
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Или в компактной записи
T2 N [α k ] ⋅ X T(IIδ) = ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ e1(2 N ) ( En ) ⋅ λ 0U 0 ,
−1
(1.2.94)
откуда следует представление для X T( δ ) :
II
X T(IIδ) = T2−N1[α k ] ⋅ ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ e1(2 N ) ( En ) ⋅ λ 0U 0 .
−1
(1.2.95)
Или в развернутой записи с учетом явного представления (1.2.81) для
матрицы T2−N1 [α k ] :
X T(IIδ )
⎡ En ⎤
⎡ En ⎤
⎢ α
⎥
⎡ X 1( δ ) ⎤ ⎢ α1 ⎥
1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ (δ) ⎥
⎥
⎢
⎥
#
#
⎢X2 ⎥ ⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
k −1
k −1
⎢ # ⎥
−1
−1
⎢
⎥
⎢
= ⎢ ( δ ) ⎥ = ∏ α k −v ⋅ ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ λ 0U 0 = ∏ α k −v ⎥ ⋅ ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ λ 0U 0 .
⎥
⎢ v =1
⎥
⎢ X k ⎥ ⎢ v =1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ # ⎥
#
#
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ( δ ) ⎥ 2 N −1
2
1
N
−
⎥
⎢
⎥
⎢⎣ X 2 N ⎥⎦ ⎢
⎢ ∏ α 2 N −v ⎥
⎢ ∏ α 2 N −v ⎥
⎣ v =1
⎦
⎣ v =1
⎦
(1.2.96)
Легко усматривается рекуррентное равенство для отдельных
блочных компонент точечного решения X T(IIδ ) :
X k( δ ) = α k −1 X k( δ−1) ; ( k = 2, 2 N ),
(1.2.97)
причем первая компонента X 1( δ ) , с которой начинается рекуррентная
процедура, имеет представление (1.2.92):
X 1( δ ) = ( 2 En + λ 0 A1 ) ⋅ λ 0U 0 .
−1
(1.2.98)
Итак, найдем точечное решение X T(IIδ ) (1.2.82) задачи Коши
(1.2.1), ассоциированное с 2N-сеткой (1.2.67), в общем случае представится в виде суммы трех составляющих блочных точечных векторных
изображений – решений задачи в характерных частных случаях:
46
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений X TII = X T0II + X T(IIU ) + X T(IIδ ) .
(1.2.99)
Это X T0II – точечное решение однородной задачи, определяемое формулой (1.2.84), блочные компоненты которого Xk = X (kλ0), ( k = 1, 2 N )
удовлетворяют рекуррентному равенству (1.2.85) при заданном начальном условии X (0) = X0.
Точечное решение неоднородной задачи при нулевом начальном
условии X (0) = X0 ≡ 0, ассоциированное с 2N-сеткой (1.2.67), может
быть представлено в виде суммы двух составляющих. Это 2N-вектор
X T(UII ) , определяемый формулой (1.2.88), т. е. как результат линейного
преобразования блочного 2N-вектора U TII – точечного изображения
n-вектор-функции U (Tτ) при нулевом начальном ее значении, т. е.
когда U (0) = U0 ≡ 0. Однако, если U0 ≠ 0, то появляется вторая составляющая в точечном решении неоднородной задачи Коши, обозначенная символом X T(IIδ ) и определяемая формулами (1.2.95)
и (1.2.96) в развернутой записи, что будет эквивалентно рекуррентному алгоритму (1.2.97). Эта составляющая возникает формально
при решении блочного векторно-матричного уравнения (1.2.79) – точечной 2N-мерной модели интегрального уравнения (1.2.65), эквивалентного задаче Коши (1.2.1) при X0 ≡ 0, но при U0 ≠ 0. Но её можно
трактовать как точечное решение задачи (1.2.1), когда n-векторλ0
U 0 ⋅ δ(T τ)
функция U (Tτ) имеет вид n-векторной δ-функции
2
(1.2.89).
Выделим особо частный случай задачи Коши (1.2.1) на временном отрезке [0, T], когда матрица A (Tτ) оказывается постоянной. Эта
задача для дифференциального уравнения
dX (T τ)
+ TA ⋅ X (T τ) = T ⋅ U (T τ); τ∈ [0,1]; X (0) = X 0 .
dτ
(1.2.100)
Будем ее называть стационарной задачей Коши. Она эквивалентна задаче решения интегрального уравнения Вольтерра II рода и вида
τ
τ
X (T τ) + A ⋅ T ∫ X (T η)d η = T ∫ U (T η)d η + X 0 .
0
(1.2.101)
0
47
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Ранее было найдено точечное решение X TI этой задачи, ассо2v − 1
циированное с чебышевской N-сеткой I рода: τ(vN ) =
; (v = 1, N ) .
2N
Найдем теперь более точное решение X TII задачи, ассоциированное с чебышевской 2N-сеткой II рода (2.67). Оно возникает из общего решения (1.2.82), когда Ak = A(λ 0 k ) = A → сonst ∀k = 1, 2 N и все
(
)
матрицы α k −1 k = 1,(2 N − 1) (1.2.75) также оказываются постоянными и равными и при всех k = 1, 2 N α:
α k −1 =
2 En − λ 0 A
−1
−1
= ( 2 En + λ 0 A ) ( 2 En − λ 0 A ) = ( 2 En − λ 0 A )( 2 En + λ 0 A ) = α.
2 En + λ 0 A
(1.2.102)
Матрица (1.2.78) окажется блочной квазискалярной матрицей вида
−1
D2 N ⎡( 2 En + λ 0 Ak ) ⎤ = D2 N ⎡( 2 En + λ 0 A
⎣
⎦
⎣
)
−1
⎤ = ( 2 E n + λ 0 A ) −1 ( E 2 N ⊗ E n ) ,
⎦
(1.2.103)
а системная матрица T2 N [α k ] (1.2.80) точечной модели задачи (1.2.79)
получает тёплицево представление
T2 N [α k ] = T2 N [α ] = ( E2 N ⊗ En ) + ( Z 2 N ⊗ α ) , (2 Nn × 2 Nn).
(1.2.104)
Ее обращение легко определяется из (1.2.81):
⎡ En
⎤
⎢ α
⎥
En
⎢
⎥
⎢ α2
⎥
α En
⎢
⎥
T2−N1 [α] = ⎢ #
% % %
⎥.
2
k −1
⎢α
⎥
" α
α En
⎢
⎥
% % %
⎢ #
⎥
⎢α 2 N −1 " α k −1 " α 2 α E ⎥
n⎦
⎣
(1.2.105)
Далее, имея в виду эти частные матричные представления, получим следующее точечное решение нашей стационарной задачи Коши, ассоциированное с 2N-сеткой (1.2.67):
48
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений X TII = T2−N1 [α] ( 2 En + λ 0 A )
−1
{⎡⎣( E
2N
}
+ Z 2 N ) ⊗ En ⎤⎦ λ 0U TII + e1(2 N ) ( En )λ 0U 0 +
+T2−N1 [α] ⋅ α ⋅ e1(2 N ) ( En ) ⋅ X 0 .
(1.2.106)
Отсюда очевидным образом определяются и отдельные составляющие частных точечных решений стационарной задачи.
Так, составляющая
X T0II = T2−N1 [α ] ⋅ α ⋅ e1(2 N ) ( En ) ⋅ X 0 = Colon[α # α 2 #...# α k #...# α 2 N ] X 0 , (1.2.107)
возникающая из более общего решения (1.2.84), есть точечное решение однородной стационарной задачи
τ
dX 0 (T τ)
+ TA ⋅ X 0 (T τ) = 0; X 0 (0) = X 0 ⇒ X (T τ) + AT ∫ X (T η)d η = X 0 ,
dτ
0
(1.2.108)
ассоциированное с 2N-сеткой (1.2.67).
Можно видеть рекуррентное равенство для отдельных блочных
компонент X k0 ( k = 1, 2 N ) точечного решения X T0II (2.107):
X k0 = α ⋅ X k0−1
(k = 1,2 N ),
X 00 = X 0 .
(1.2.109)
Но эта задача имеет точное решение в виде
X 0 (T τ) = e −TAτ ⋅ X 0 = exp(−TAτ) ⋅ X 0 , τ∈ [0,1].
N)
Его значения в узлах 2N-сетки θ(2
=
k
(
(1.2.110)
k
, ( k = 1, 2 N ) дадут
2N
X 0 (k λ 0 ) = X k0 = e −λ0 A⋅k ⋅ X 0 = e −λ0 A
)
k
⋅ X 0 , (k = 1,2 N ). (1.2.111)
Эти значения приближенно равны соответствующим блочным компонентам точечного решения (1.2.107), поэтому
(e )
−λ 0 A
k
≈ α k (k = 1, 2 N ) ⇒ e −λ0 A ≈ α =
2 En − λ 0 A
.
2 En + λ 0 A
(1.2.112)
49
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Эти равенства будут тем точнее, чем будет меньше параметр
T
λ0 =
= Δt – шаг дискретизации нашей задачи, т. е. чем больше
2N
размерность 2N-сетки (1.2.67) (при фиксированном Т). Заметим, что
приближенные представления (1.2.112) будут справедливыми для
квадратных матриц A (n×n) любой размерности. В частности, когда
она окажется просто обычной вещественной положительной величиной a > 0, т. е. матрицей размерности (1×1): A → a > 0. В этом случае
будем иметь приближенно
k
e
−λ 0 ak
⎛ 2 − λ0a ⎞
≅⎜
⎟ , (k = 1, 2 N ).
2
a
+
λ
0 ⎠
⎝
(1.2.113)
Ранее подобное представление для экспоненты было получено
при точечном решении однородной задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка, ассоциированного с чебышевской Nсеткой I рода [78]. Была показана высокая точность таких представлений для нечетных степеней экспоненты:
e
−λ 0 a (2 v −1)
1 ⎛ 1 − λ0a ⎞
≈
⎜
⎟
1 + λ 0a ⎝ 1 + λ 0a ⎠
v −1
⎛ 1 − λ0a ⎞
= X v( N ) = X v(−N1) ⎜
⎟ , (v = 2, N ), (1.2.114)
+
λ
1
a
0 ⎠
⎝
1
.
1 + λ0a
Это вообще связано с особым свойством чебышевских сеток
быть равномерно распределенными и ортогональными на [0, 1], обеспечивая наилучшее квадратичное приближение точечных представлений и соответствующую их сходимость через сплайны к точным
функциональным конструкциям с ростом размерности сетки [64, 78].
Более точные значения степеней экспоненты в (2.114) будем
иметь при использовании приближенного представления (2.113), полученного на основе 2N-сетки II рода (2.67):
причем X1( N ) =
e
−λ 0 a (2 v −1)
⎛ 2 − λ0a ⎞
≈⎜
⎟
⎝ 2 + λ0a ⎠
2 v −1
2
=X
⎛ 2 − λ0a ⎞
причем X1(2 N ) = ⎜
⎟.
2
+
λ
a
0 ⎠
⎝
50
(2 N )
v
=X
(2 N )
v −1
⎛ 2 − λ0a ⎞
⎜
⎟ , (v = 2, N ), (1.2.115)
2
a
+
λ
0 ⎠
⎝
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Отметим, что приближенные представления (1.2.113) окажутся
справедливыми и при комплексных значениях параметра а, т. е. при
замене a → a + ib. В этом случае могут быть найдены приближенные
точные значения более сложных экспоненциально затухающих колебательных временных процессов, т. к. будем иметь
e −λ0 ( a +ib ) k
k
⎧
⎛ 2 − λ 0 (a + ib) ⎞
−λ 0 ak
⎪e
cos λ 0bk ≈ Re ⎜
⎟
⎪
⎝ 2 + λ 0 (a + ib) ⎠
, (k = 1,2 N ). (1.2.116)
⇒⎨
k
⎛ 2 − λ 0 (a + ib) ⎞
⎪ −λ0ak
sin λ 0bk ≈ Im ⎜
⎟
⎪e
⎝ 2 + λ 0 (a + ib) ⎠
⎩
Не развивая эту тему, отметим, что эти представления окажутся уже
значительно более точными, чем подобные представления, полученные на основе N-сеток I рода [78], причем различие по точности при
фиксированном N быстро возрастает с ростом b, т. е. с ростом колебательности приближенных процессов.
Следующая составляющая X T(UII ) точечного решения стационарной неоднородной задачи Коши (1.2.100) (или эквивалентного интегрального уравнения (1.2.101)) возникает из решения X TII (2.106) при
нулевых начальных условиях, когда X0 = 0 и U0 = 0. Это решение
представляется в виде
X T(IIU ) = λ 0 ( 2 En + λ 0 A ) ⋅ T2−N1[α] ⋅ ⎡⎣( E2 N + Z 2 N ) ⊗ En ⎤⎦ ⋅ U TII .
−1
(1.2.117)
Или развернуто:
X T(IIU ) = λ 0 (2 E + λ 0 A) −1 ⋅
⎡ En
⎤ ⎡ En
⎢ α
⎥
⎢E
En
⎢
⎥ ⎢ n
2
⎢ α
⎥ ⎢
α En
⎢
⎥ ⎢
% % %
⋅⎢ #
⎥⋅⎢
⎢ α k −1 " α 2 α En
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
% % %
⎢ #
⎥ ⎢
⎢α 2 N −1 " α k −1 " α 2 α E ⎥ ⎢
n⎦ ⎣
⎣
En
En
En
% %
En
En
% %
En
⎤ ⎡U ⎤
⎥ ⎢ 1II ⎥
⎥ ⎢ U 2II ⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⋅
⎥ ⎢ U ⎥,
⎥ ⎢ kII ⎥
⎥ ⎢ # ⎥
⎥ ⎢
U ⎥
En ⎥⎦ ⎣ 2 N II ⎦
(1.2.117')
51
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений что эквивалентно следующей системе для блочных компонент решения:
X
(U )
kII
= λ 0 ( 2 En + λ 0 A )
k −1
⎡ k −1
⎤
⋅ ⎢α U1II + ∑ α k −1− j U jII + U ( j +1)II ⎥ , (k = 1,2 N ),
j =1
⎣
⎦
(
−1
)
(1.2.118)
причем следует считать
0
∑ ≡0 .
j=1
Преобразуя, получим более удобные представления:
k −1
⎤
−1 ⎡
X k(UII ) = λ 0 ( 2 En + λ 0 A ) ⋅ ⎢( α + En ) ∑ α k −1− jU jII + U k ⎥ , (k = 1,2 N ).
j =1
⎣
⎦
(1.2.119)
Матрицы (α + En) (n×n) записывается в виде
( α + En ) =
2 En − λ 0 A
4 En
−1
+ En =
= 4 ( 2 En + λ 0 A ) ,
2 En + λ 0 A
2 En + λ 0 A
(1.2.120)
и, следовательно,
X
(U )
kII
= 4λ 0 ( 2 En + λ 0 A )
−1
⎡ k −1 k −1− j
⎤
1
⋅ ⎢ ∑ α U jII + ( 2 En + λ 0 A )U k ⎥ , (k = 1,2 N )
4
⎣ j =1
⎦
(1.2.121)
и решение X T(U ) (2.177) преобразуется к виду линейного преобразования
II
X T(IIU ) = W2(NU ) (α ) ⋅ U TII
(1.2.122)
c блочной тёплицевой матрицей
2 N −1
⎡
⎤
−1
W (α) = 4λ 0 ( 2 En + λ 0 A) ⋅ ⎢( E2 N ⊗ α 0 ) + ∑ ( Z 2vN ⊗ α v−1 ) ⎥ =
v =1
⎣
⎦
⎡ α 0−1
⎤
⎢
⎥
α 0−1
⎢ En
⎥
−1
⎢ α
⎥ (1.2.123)
En α 0
⎥
−2 ⎢
= 4λ 0 ( 2 En + λ 0 A ) ⋅ ⎢ #
% % %
⎥,
⎢ α v−1 "
⎥
α En α 0−1
⎢
⎥
% % %
⎢ #
⎥
2
N
−
1
v
−
1
−
1
⎢α
" α
" α En α 0 ⎥⎦
⎣
(U )
2N
52
−2
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений в представлении которой символом α 0−1 обозначена матрица-блок
α 0−1 =
1
( 2 En + λ0 A) , (n × n) .
4
(1.2.124)
Отметим еще одну составляющую точечного решения стационарной задачи Коши (1.2.100), ассоциированного с чебышевской 2Nсеткой II рода (1.2.67). Она возникает при нулевом начальном условии X0 = 0, но U0 ≠ 0, что эквивалентно представлению n-векторλ
функции U (Tτ) в виде δ-функции с интенсивностью 0 U 0 , т. е. в ви2
де (1.2.89). В этом случае задача сводится к точечному решению интегрального уравнения (1.2.91) с постоянной матрицей:
X
(δ)
τ
(T τ) + A ⋅ T ∫ X ( δ ) (T η)d η =
0
λ0
U 0 ⋅ 1(T τ); τ∈[0,1].
2
(1.2.125)
Решение возникает из (1.2.106) как частный случай частного решения
(1.2.96) со степенями постоянной матрицы α (1.2.102):
X T(IIδ )
⎡ X 1( δ ) ⎤
⎡ En ⎤
⎢ (δ) ⎥
⎢ α ⎥
X
2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ # ⎥
⎢
⎥
#
−1
−1
= ⎢ ( δ ) ⎥ = λ 0 ( 2 En + λ 0 A ) ⋅ T2 N [α]e1(2 N ) ( En )U 0 = λ 0 ( 2 En + λ 0 A ) = ⎢ k −1 ⎥ U 0 .
⎢Xk ⎥
⎢α ⎥
⎢ # ⎥
⎢ # ⎥
⎢ (δ) ⎥
⎢ 2 N −1 ⎥
⎣⎢α
⎦⎥
⎣⎢ X 2 N ⎦⎥
(1.2.126)
Можно видеть рекуррентное равенство для отдельных блочных компонент точечного решения X T(IIδ ) :
X k( δ ) = α ⋅ X k( δ−1) , (k = 2,3,...2 N ) ,
причем
X 1( δ ) = λ 0 ( 2 En + λ 0 A ) ⋅ U 0 .
−1
(1.2.127)
(1.2.128)
Таким образом, точечное решение (1.2.106) стационарной задачи Коши (1.2.100) снова представляется в виде суммы трех составляющих
53
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений (1.2.99) с формульными записями (1.2.107), (1.2.116) [или (1.2.123)]
и (1.2.126) [или (1.2.127)].
1.3. Алгебраические свойства точечных моделей многомерных функциональных представлений Пусть Mn (0, 1) − множество вектор-функций со значениями из
Rn, компоненты которых есть ограниченные функции с определенными значениями из [0, 1]. Такое множество будет, очевидно, полным
линейным пространством, являющимся прямой суммой пространств
M (0, 1).
Если
(1.3.1)
X ( τ) = Colon[ x1 ( τ),...xi ( τ),...xn ( τ)] ∈ M n (0,1)
и введем норму
⎡ n
⎤
X = max ⎢ ∑ xi ( τ) ⎥ = X ( τ)
τ∈[0,1]
⎣ i =1
⎦
(1.3.2)
то Mn (0, 1) станет банаховым пространством [16, 94, 99].
Определим в нем коммутативную операцию умножения элементов: X (τ) (1.3.1) и
Y ( τ) = Colon[ y1 ( τ),... yi ( τ),... yn ( τ)] ∈ M n (0,1) ,
(1.3.3)
полагая
X ( τ) ⋅ Y ( τ) = Y ( τ) ⋅ X ( τ) = Colon[ x1 ( τ) y1 ( τ),...xi ( τ) yi ( τ),...xn (τ) yn (τ)] ∈ M n ,
(1.3.4)
а также единичный элемент
1(τ) = Colon[1,...1,...1] ∈ M n 1(τ) = 1
(1.3.5)
с естественным свойством
X ( τ)1(τ) = 1( τ) X ( τ) = X ( τ) ∈ M n .
Поскольку для любой пары элементов из Mn выполняется неравенство
54
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений X ⋅Y ≤ X ⋅ Y ,
(1.3.6)
то Mn (0, 1) становится коммутативной банаховой алгеброй с единицей. Обозначим ее символом AMn. Каждому элементу X ( τ) ∈ AM n
может быть поставлено в однозначное соответствие диагональная
матрица
X ∗ (τ) = Diag[ x1 (τ),...xi (τ),...xn (τ)] .
(1.3.7)
Эта матрица названа инволюцией элемента X ( τ) ∈ AM n . Снабдим ее
нормой, совпадающей с нормой (1.3.2) элемента X (τ) из AMn, т. е.
X = X∗
∀X ∈ AM n .
(1.3.8)
Инволюция обладает свойствами
1. (aX + bY )∗ = aX ∗ + bY ∗ ;⎫
⎪
2. ( XY )∗ = X ∗Y ∗ = X ∗Y ∗ ; ⎬
⎪
3. XY = X ∗Y = Y ∗ X .
⎭
(1.3.9)
∗
→ X ∗ есть биекция (биекТаким образом, отображение X ⎯⎯
тивное отображение) алгебры AMn на алгебру AM n∗ c инволютивными
элементами.
Кроме того,
4.
X ∗Y = Y ∗ X ≤ X ∗ ⋅ Y = Y ∗ ⋅ X ,
(1.3.10)
и, следовательно, банахова алгебра AMn с введенной инволюцией
(1.3.7) есть C∗-алгебра [52, 16].
Отметим еще следующие свойства инволюции, вытекающие из
свойства 3:
5. X = X ∗ ⋅ 1(τ) = 1∗ (τ) X = En X ;
(1.3.11)
6. X k = ( X ∗ ) k ⋅ 1(τ) = ( X k )∗ 1(τ), (k = 0,1,...).
(1.3.12)
τ∈[0,1]
Вектор-функции X (τ) (1.3.1) как элементы алгебры AMn однозначно определены в узлах обеих чебышевских N-сетках, причем при
55
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений любых N, и, следовательно, существуют однозначно определяемые
точечные изображающие векторы I и II рода этих вектор-функций.
Это будут N-векторы с n-векторными блочными компонентами вида
X TI = Colon[ X ( τ1( N ) )#"# X ( τv( N ) )#"# X ( τ(NN ) )] ,
(1.3.13)
где n-вектор-блок X (τ(vN ) ) (∀v = 1, N ) есть значение n-вектора X (τ)
(1.3.1) в v-м узле для определенности чебышевской N-сетки
2v − 1
, (v = 1, N ) , т. е. вектор из Rn, вида
τv( N ) =
2N
X (τ(vN ) ) = Colon[ x1 (τ(vN ) ),...xi (τ(vN ) ),...xn ( τ(vN ) )], (v = 1, N ) ,
(1.3.14)
а точечный изображающий вектор X TI (1.3.13) окажется вектором из
множества RNn. Это множество есть линейное векторное пространство
размерности Nn, полное относительно любой нормы и, в частности,
относительно нормы
⎡ n
⎤
⎡ n
⎤
X TI = max X (τv( N ) ) = max ⎢ ∑ xi (τ(vN ) ) ⎥ ≤ max ⎢ ∑ xi ( τ) ⎥ = X .
v
v
⎣ i =1
⎦ τ<[0,1] ⎣ i =1
⎦
X TII
(1.3.15)
Существуют, очевидно, и точечные изображающие N-векторы
n-вектор-функций X ( τ) ∈ AM n , ассоциированные с чебышевской
N-сеткой II рода. Векторы X TI и X TII связаны между собой линейным
преобразованием (1.1.9), поэтому достаточно рассмотреть множество
векторов одного типа. Остановимся на варианте множества точечных
векторов, ассоциированных с N-сеткой I рода.
Пусть RNn, как и раньше, означает множество таких векторов,
т. е. есть линейное пространство, соответствующее пространству
Mn (0, 1) вектор-функций.
Отметим сразу, что введенная норма (1.3.14) векторов из RNn
всегда не больше его эвклидовой нормы:
⎡ n
⎤
X TI ≤ X TII = ⎢ ∑ X ( τv( N ) ) ⎥ ∀X TI ∈ RNn .
⎣ v =1
⎦
(1.3.16)
В линейном пространстве RNn для любых двух его элементов
56
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений TI
→ X (τ) ∈ M n ; a) ⎫⎪
X TI = Colon ⎡⎣ X ( τ1( N ) )#"# X ( τv( N ) )#"# X ( τ(NN ) ) ⎤⎦ ⎯⎯
⎬
TI
→ Y (τ) ∈ M n .
YTI = Colon ⎡⎣Y ( τ1( N ) )#"#Y ( τv( N ) )#"#Y ( τ(NN ) ) ⎤⎦ ⎯⎯
б) ⎪
⎭
(1.3.17)
Кроме операций сложения и умножения на число, определим
еще одну операцию – коммутативную операцию покоординатного
умножения векторов:
X TI ⋅ YTI =
= Colon ⎡⎣ X ( τ1( N ) ) ⋅ Y ( τ1( N ) )#" X ( τv( N ) ) ⋅ Y ( τ(vN ) )#" X ( τ(NN ) ) ⋅ Y ( τ(NN ) ) ⎤⎦ ,
(1.3.18)
причем X TI ⋅ YTI = YTI ⋅ X TI ∈ RNn и произведение блочных n-векторных
компонент понимается таким в смысле их покоординатного произведения:
X ( τ1( N ) ) ⋅ Y ( τ1( N ) ) =
= Colon ⎡⎣ x1 ( τv( N ) ) ⋅ y1 ( τ(vN ) ) ,...xi ( τ(vN ) ) ⋅ yi ( τ(vN ) ) ,...xn ( τ(NN ) ) ⋅ yn ( τ(NN ) ) ⎤⎦ , (v = 1, N ).
(1.3.19)
В смысле нормы (1.3.15) выполняется неравенство
X TI ⋅ YTI ≤ X TI ⋅ YTI .
(1.3.20)
Множество RNn содержит единичный элемент
1 TI = Colon ⎡⎣1( τ1( N ) )#"#1( τv( N ) )#"#1( τ(NN ) ) ⎤⎦
(1.3.21)
с единичной нормой 1 T = 1 и определяющим свойством
I
X TI ⋅ 1 TI = 1 TI ⋅ X TI = X TI .
Таким образом, множество RNn блочных точечных векторов как
линейно нормированное пространство, в котором определена операция умножения элементов, оказывается коммутативной банаховой алгеброй с единицей. Обозначим ее символом ARNn.
57
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Каждому элементу X TI из ARNn поставим в соответствие инволюцию X T∗I квазидиагональную матрицу, элементами которой служат
(
)
блочные инвалютивные координаты вектора X TI , т. е. X ∗ τ(vN ) .
Получаем блочную матрицу (N×N):
X T∗I = Diag ⎡⎣ X ∗ ( τ1( N ) )#"# X ∗ ( τv( N ) )#"# X ∗ ( τ(NN ) ) ⎤⎦ = DN ⎡⎣ X ∗ ( τ(vN ) ) ⎤⎦ (1.3.22)
с прежней векторной нормой (1.3.15).
Для любой пары элементов X TI и YTI из ARNn с введенной инволюцией очевидным образом будут выполняться равенства типа
(1.3.9), (1.3.11), (1.3.12), а также неравенства типа (1.3.10). Будем
иметь
a) ⎫
⎪
∗
∗
∗
∗
∗
( X TI YTI ) = X TI ⋅ YTI = YTI ⋅ X TI ;
б) ⎪
⎪
⎪
∗
∗
X TI ⋅ YTI = X TI ⋅ YTI = YTI ⋅ X TI ;
в) ⎬ ,
⎪
X TI = X T∗I ⋅ 1TI = 1T∗I ⋅ X TI = ENn ⋅ X TI = ( En ⊗ En ) X TI ; г) ⎪
⎪
k
k
∗
X TI = X T∗I ⋅ 1TI = X TkI ⋅ 1TI ; (k = 0,1...)
д) ⎪⎭
(aX TI + bYTI )∗ = aX T∗I + bYT∗I ;
( ) ( )
(1.3.23)
( )
а также
X TI ⋅ YTI = X T∗I ⋅ YTI ≤ X T∗I ⋅ YTI = YT∗I ⋅ X TI .
(1.3.24)
Таким образом, банахова алгебра ARNn с введенной инволюцией
становится C∗-алгеброй [52, 16, 99].
Блочный точечный изображающий вектор X TI ∈ ARNn возникает
в результате точечного преобразования вектор-функции X (τ) из AMn,
осуществляемого оператором TI, ассоциированным с чебышевской
N-сеткой I ряда:
T
(1.3.25)
TI X ( τ) = X T ⇒ X ( τ) ⎯⎯
→ XT ,
причем при любых N.
Имеет место и точечное отображение инволютивных элементов
I
I
TI
X ∗ = X ∗ ( τ) ⎯⎯
→ X T∗I ,
58
I
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений а также соотношение норм:
X TI = X T∗I ≤ X = X ∗ .
(1.3.26)
Поскольку далее
TI
X ( τ) ⋅ Y ( τ) ⎯⎯
→ X TI ⋅ YTI = X T∗I ⋅ YTI = YT∗I ⋅ X TI ,
(1.3.27)
то точечное отображение TI есть непрерывный гомоморфизм алгебры
AMn на алгебру ARNn:
T
AM n ⎯⎯
→ ARNn .
(1.3.28)
I
Отсюда, в частности, следует, что равенства (1.3.23) есть гомоморфные образы соответствующих равенств (1.3.9), (1.3.11), (1.3.12) из
AMn.
Построим еще одну C∗-алгебру, изометрически изоморфную
C∗-алгебре ARNn. Ранее рассматривались алгебраические аспекты
множеств одномерных (скалярных) функций, возникающие при использовании сплайновых элементов нулевой свертки, ассоциированных с чебышевской сеткой II рода в качестве аппарата приближенного (ступенчатого) восстановления функций.
Введем теперь в рассмотрение множество сплайновых элементов
нулевой степени, ассоциированное с чебышевской N-сеткой I рода
2v − 1
, (v = 1, N ) . Это – прямоугольные импульсы единичной выτv( N ) =
2N
1
соты и ширины , т. е. характеристические функции N интервалов:
N
(θ
(N )
v −1
1 (N )
1 ⎞
⎛ v −1 v ⎞ ⎛ (N)
, θ(vN ) ) = ⎜
, ⎟ = ⎜ τv −
, τv +
⎟ ; (v = 1, N ), (1.3.29)
N
N
2
N
2
N
⎝
⎠ ⎝
⎠
которые расположены между узлами N-сетки II рода и на которые
разбивается промежуток [0,1] оси τ [78]:
1 (N )
1 ⎞
⎧
⎛ (N )
⎪1 τ∈ ⎜ τv − 2 N , τv + 2 N ⎟
⎪
⎝
⎠
(v = 1, N ).
π N ( τ − τv( N ) ) = ⎨
1
1
⎞
⎪0 τ∉ ⎛ τ( N ) −
, τv( N ) +
v
⎜
⎟
⎪⎩
2N
2N ⎠
⎝
(1.3.30)
59
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Всякой n-вектор-функции X (τ) из Mn (0, 1) поставим в соответствие интерполяционную ступенчатую конструкцию, построенную на
сплайновых элементах (1.3.30) и значениях X ( τv( N ) ), (v = 1, N ) векторфункции X (τ), как на интерполяционных данных, являющихся и координатами ее точечного изображения вектора X TI (1.3.17 а)):
πN
X (τ) ⎯⎯→ Sp
0
N
N
( X ; τ ) = ∑ X ( τ ) π ( τ − τ ) , τ∈[0,1].
TI
(N )
v
v =1
(N )
v
N
(1.3.31)
Полученное отображение отображает, очевидно, и все пространство
Mn (0, 1) на пространство Spn (0, 1) соответствующих сплайновых
форм (1.3.31):
π
M n ⎯⎯
→ Spn (0,1)
(1.3.32)
N
и в силу интерполяционных условий
(
)
X (τ(vN ) ) = Sp N0 X TI ; τ(vN ) ; ∀v = 1, N
(1.3.33)
окажется таковым и для точечных отображений:
TI
X (τ) ⎯⎯
→ Colon ⎣⎡ X ( τ1( N ) ) ,... X ( τ(vN ) ) ,... X ( τ(NN ) ) ⎦⎤ = X TI =
(
)
(
)
(
)
(
)
TI
= Colon ⎡⎣ SpN0 X TI ; τ1( N ) ,..SpN0 X TI ; τv( N ) ,..SpN0 X TI ; τ(NN ) ⎤⎦ ←⎯
⎯ SpN0 X TI ; τ .
(1.3.34)
Таким образом, отображение пространств (1.3.32), дополненное
точечными отображениями TI, даст диаграмму:
πN
M n ⎯⎯
→ Spn (0,1)
TI
(1.3.32')
0TI
2
RNn
Пространство Spn (0, 1) ступенчатых форм имеет и единичный элемент, т. к.
πN
1n (τ) ⎯⎯→ Sp
60
0
N
N
( 1 ; τ ) = ∑1( τ ) π ( τ − τ ) = 1 (τ) ⎯⎯→ 1 .
TI
v =1
(N )
v
N
(N )
v
n
TI
TI
(1.3.35)
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений А норма его элементов будет совпадать с нормой им соответствующих точечно-векторных изображений:
(
)
SpN0 X TI ; τ = X TI .
(1.3.36)
Следовательно, (1.3.32') есть отображение нормированных пространств, имеющих единичные элементы. Но множество сплайновых
форм (1.3.31) образует не только нормированное n-мерное пространство Spn (0, 1), но и коммутативную банахову алгебру ASpn относительно операции обычного умножения, как второй бинарной операции.
Дело в том, что интерполяционные элементы (1.3.30), являясь
базисными элементами пространства Spn (0, 1), обладают следующим
уникальным свойством:
πN ( τ − τ
(N )
v
) ⋅ π (τ − τ
N
(N )
k
⎧⎪π N ( τ − τ(kN ) ) v = k
)=⎨
0
v≠k
⎪⎩
(∀v, k = 1, N ) . (1.3.37)
Поэтому
( ) ( )
= ∑ X ( τ ) ⋅ Y ( τ ) π ( τ − τ ) = Sp ( X
πN
X (τ)Y (τ) ⎯⎯
→ SpN0 X TI ; τ ⋅ SpN0 YTI ; τ =
N
v =1
(N )
v
(N )
v
N
(N )
v
0
N
TI
)
⋅ YTI ⎯⎯
→ X TI ⋅ YTI ,
TI
(1.3.38)
т. е. произведение двух сплайновых элементов пространства Spn (0, 1)
есть снова элемент этого пространства, являющийся гомоморфным образом произведения соответствующих элементов алгебры AMn. Это означает, что пространство Spn (0, 1) замкнуто относительно бинарной операции умножения своих элементов, что и определяет его как алгебру ASpn.
Таким образом, гомоморфное отображение πN пространства
Mn (0, 1) на свое n-мерное подпространство Spn (0, 1) сплайновых форм
(1.3.31) переходит в гомоморфизм алгебры AMn на алгебру ASpn, причем последняя при любом N изометрически изоморфна алгебре ARNn.
Получаем следующую диаграмму алгебраических отображений:
AM n
π N 0 2 TI
ASpn
R
(1.3.39)
RNn
61
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Операторы πN и TI реализуют гомоморфизм банаховой алгебры с единицей AMn на такие же алгебры ASpn и ARNn соответственно.
Двойными встречными стрелками в (1.3.39) обозначено изоморфное отображение этих алгебр.
При N → ∞ последовательность SpN0 ( X T ; τ ) ступенчатых ин-
{
}
I
терполяционных форм сходится почти всюду к любой функции X (τ)
из Mn (0, 1) и если вектор-функция X (τ) покоординатно непрерывна
на [0,1], то и равномерно.
При этом гомоморфные отображения πN и TI становятся изоморфизмами, а все алгебры в (1.3.39) – изометрически изоморфными.
В алгебре ASpn сплайновых форм введем инволюцию – инволютивный элемент, под которым будем понимать результат πNотображения инволютивного элемента C∗-алгебры AMn:
∗
πN
( ( X ; τ)) = ∑ X ( τ ) ⋅ π ( τ − τ ) ⎯⎯→ X
X (τ) ⎯⎯→ Sp
0
N
∗
TI
N
∗
v =1
(
(N )
v
N
)
(N )
v
TI
∗
TI
. (1.3.40)
Каждому элементу Sp N0 X TI ; τ из ASpn может быть поставлен в одно-
(
значное соответствие инволютивный элемент SpN0 ( X T ; τ )
I
)
∗
(1.3.40),
что делает банахову алгебру ASpn C∗-алгеброй, изометрически изоморфной C∗-алгебре ARNn блочных точечных векторных изображений.
Можно видеть, что все свойства инволюции X∗(τ), указанные
в (1.3.9)−(1.3.12), переносятся и на ее гомоморфный сплайновый инволютивный образ
( ( X ; τ)) .
SpN0
∗
TI
(
) (
(
Таким образом, отображение SpN0 X TI ; τ → SpN0 X TI ; τ
))
∗
со-
храняет расстояние и все операции, т. е. является биекцией алгебры
ASpn на себя.
В порядке краткого подведения основных итогов проведенным рассуждениям [64,78] сформулируем следующие утверждения.
Утверждение 1.3.1
Сплайновое преобразование πN, ассоциированное с чебышевской
2v − 1
N-сеткой I рода τv( N ) =
, (v = 1, N ) , при всяком N осуществляет го2N
моморфное отображение C∗-алгебры AMn n-вектор-функций (1.3.1):
62
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений X ( τ) = Colon[ x1 ( τ),...xi ( τ),...xn ( τ)]
в C∗-алгебру ASpn соответствующих сплайновых форм – интерполюционных представлений (1.3.31):
(
N
)
πN
X (τ) ⎯⎯
→ SpN0 X TI ; τ = ∑ X ( τv( N ) ) π N ( τ − τ(vN ) )
v =1
Обе эти алгебры точечным преобразованием TI гомоморфно отображаются в C∗-алгебру ARNn блочных точечно-векторных изображений:
AM n ∈ X (τ)
↓ πN
ASpn ∈ SpN0
(
⎫
⎪ TI
→ X TI = Colon ⎡⎣ X ( τ1( N ) ) ,... X ( τ(vN ) ) ,... X ( τ(NN ) ) ⎤⎦ ∈ ARNn ,
⎬ ⎯⎯
X TI ; τ ⎪⎭
)
(1.3.41)
TI
→ ARNn оказывается изометрипричем отображение алгебр ASpn ⎯⎯
чески изоморфным.
πN
→ ASpN
С ростом N оба гомоморфных отображения AM n ⎯⎯
TI
→ ARNn становятся все ближе к изометрическому изомори AM n ⎯⎯
физму, представляя все точнее элемент X ( τ) ∈ AM n элементами
(
)
SpN0 X TI ; τ ∈ ASpn и X TI ∈ ARNn .
Добавим к этому некоторые результаты и комментарии по
сплайновым (интерполяционным) представлениям сложных векторно-матричных функциональных конструкций.
Прежде всего укажем еще одно важное свойство сплайновых
элементов (1.3.30) как базисных элементов пространства Spn (0,1). Это
их ортогональность на отрезке [0,1] как следствие свойства (1.3.37):
1
∫ π (τ − τ ) ⋅ π (τ − τ )dτ =
N
(N )
v
N
(N )
k
0
⎧
1
(N )
⎪ ∫ π N ( τ − τv ) d τ = , v = k
= ⎨0
N
⎪
0,
v≠k
⎩
1
(∀v, k = 1, N ).
(1.3.42)
63
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Поэтому векторные коэффициенты βv (v = 1, N ) в сплайновом представлении вектор-функции X ( τ) ∈ AM n
N
X ( τ) ≈ ∑ βv π N ( τ − τ(vN ) )
(1.3.43)
v =1
могут быть определены как коэффициенты Фурье:
1
βv = N ∫ X (τ)π N ( τ − τ(vN ) ) d τ, (v = 1, N ),
(1.3.44)
0
что делает сплайновые суммы (1.3.43) суммами Фурье, доставляющими минимум квадратичным ошибкам приближения (покоординатно) вектор-функцию X ( τ) ∈ M n (0,1).
Но для коэффициентов Фурье (1.3.44) имеем очевидные приближенные квадратурные равенства
1
βv = N ∫ X (τ)π N ( τ − τ(vN ) ) d τ = N
0
τ(v N ) +
∫
τ(v N ) −
1
2N
X (τ)d τ ≈ X ( τ(vN ) ) , (v = 1, N ), (1.3.45)
1
2N
которые с ростом N становятся все точнее, а суммы Фурье (1.3.43)
оказываются интерполяционными представлениями (сплайновыми
ступенчатыми приближениями):
N
X (τ) ≈ ∑ X ( τv( N ) )π N ( τ − τ(vN ) ) ,
(1.3.46)
v =1
становясь все ближе к суммам Фурье с ростом N и все точнее представляя X (τ) из Mn не только в квадратичной метрике, но и по метрике этого пространства, а также и в равномерной метрике для непрерывных (покоординатно) вектор-функций [62, 64].
Согласно (1.3.35) сплайновыми N-суммами при любых N будет
точно представляться лишь единичная n-вектор-функция (n ≥ 1):
N
TI
1n (τ) = ∑1n ⋅π N ( τ − τv( N ) ) = SpN0 (1TI ; τ) = 1n (τ) ⎯⎯
→ 1TI , τ∈ [0,1], (1.3.47)
v =1
64
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений т. к.
1n ( τv( N ) ) = 1n = Colon[1,...1,...1] ∀v = 1, N .
(1.3.48)
Но сплайновая форма в (1.3.47) как πN-образ единичного элемента
1n(τ) алгебры AMn становится, очевидно, единичным элементом в алгебре ASpn, который при отображении TI становится единичным элементом 1TI в алгебре ARNn:
(
)
TI
1n ( τ ) = SpN0 1TI , τ ⎯⎯
→ 1TI = Colon[1n #"#1n #"#1n ].
(1.3.49)
Таким образом, согласно (1.3.38) и с учетом свойства единичных элементов из алгебры AMn и ARNn
X ( τv( N ) ) ⋅ 1n ( τ(vN ) ) = X ( τ(vN ) ) ⋅ 1n = X ( τ(vN ) ) ∀v = 1, N ⇒ X TI ⋅ 1TI = X TI ,
можем написать
(
)
(
)
N
πN
X ( τ ) = X ( τ ) ⋅ 1n ( τ ) ⎯⎯
→ SpN0 X TI ; τ ⋅ SpN0 1TI ; τ = ∑ X ( τv( N ) ) ⋅ 1n π N ( τ − τv( N ) ) =
N
(
v =1
)
TI
= ∑ X ( τv( N ) ) ⋅ π N ( τ − τv( N ) ) = SpN0 X TI ; τ = ⎡⎣ X TI , Π N (τ) ⎤⎦ ⎯⎯
→ X TI ,
v =1
т. е.
(
πN
→ ⎡⎣ X TI , Π N ( τ) ⎤⎦ = SpN0 X TI ; τ
X ( τ ) ⎯⎯
)
(1.3.50)
есть другая форма πN-образа элемента X ( τ) ∈ AM n , где
Π N (τ) = Colon ⎡⎣1n ⋅ π N ( τ − τ(vN ) )#"#1n ⋅ π N ( τ − τ(vN ) )#"#1n ⋅ π N ( τ − τ(NN ) ) ⎤⎦ ,
(1.3.51)
есть блочный базисный N-вектор алгебры ASpn, а символом ·,· обозначено вводимое квазискалярное произведение блочных N-векторов
с n-векторными блоками, в котором произведение по блочным координатам осуществляется скалярно, а произведение самих n-векторных
блоков выполняется не скалярно, а как введенное ранее покоординатное произведение, дающее в результате новый n-вектор. Для единичных элементов будем иметь равенство
65
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений (
)
1n ( τ ) = ⎡⎣ 1TI , Π N ( τ) ⎤⎦ = SpN0 1TI ; τ .
(1.3.52)
Можно видеть, что единичные элементы всех алгебр имеют и единичные нормы.
Отметим еще следующее свойство базисного блочного вектора
Π N (τ) (1.3.51):
Π N (τ(vN ) ) = Colon[0#"# 0#1n # 0#"# 0], (v = 1, N ),
(1.3.53)
v
что обеспечивает интерполяционные равенства в узлах N-сетки I рода
для сплайновых представлений вектор-функций:
(
)
Sp N0 X TI ; τv( N ) = ⎡⎣ X TI , Π N ( τv( N ) ) ⎤⎦ = X ( τv( N ) ) ⋅ 1n = X ( τ(vN ) ) , (v = 1, N ). (1.3.54)
Рассмотрим в завершение некоторые вопросы сплайновых приближений (ступенчатых моделей) более сложных n-мерных функциональных образований, чем вектор-функции, дополняя результаты
предыдущих параграфов настоящей главы.
Такие сплайновые приближения, как интерполяционные конструкции, могут быть найдены непосредственно по соответствующим
точечным представлениям, но могут быть получены в результате операторного воздействия на сплайновую модель заданной векторфункции с последующим сплайновым моделированием.
Так, точечное представление линейного преобразования nвектор-функции X (τ) из Mn (0,1), осуществляемого квадратной матрицей A (τ) (n×n) с элементами aik ( τ) ∈ M n (0,1) согласно (1.1.16), имеет вид
T
(1.3.55)
Y (τ) = A(τ) ⋅ X (τ) ⎯⎯
→ DN ⎡⎣ A(τ(vN ) ) ⎤⎦ ⋅ X T = YT ,
I
I
I
где DN ⎡⎣ A( τ(vN ) ) ⎤⎦ есть квазидиагональная матрица (1.1.15), определенная в узлах N-сетки I рода при любых N. Поэтому для πN-отображений
будем иметь
(
)
πN
Y (τ) = A(τ) ⋅ X (τ) ⎯⎯
→ ⎡⎣ DN ⎡⎣ A(τ(vN ) ) ⎤⎦ ⋅ X TI , Π N (τ) ⎤⎦ = SpN0 YTI ; τ .
(1.3.56)
С ростом N это отображение (модель) будет все точнее представлять вектор-функцию Y ( τ) ∈ M n (0,1) , обеспечивая при N → ∞
66
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений сходимость сплайновых приближений (ступенчатых моделей) по
норме пространства Mn (0,1) (и в этом смысле сходимость точечных
представлений, на которых строятся сплайновые модели), а также
и равномерную сходимость при непрерывных на [0,1] функциональных координатах вектор-функции Y (τ) = A (τ) · X (τ). То же будет
иметь место и в частном случае постоянной матрицы A (τ) (n×n), когда линейное преобразование получает вид (1.1.13) и, следовательно,
для π N -отображений
(
)
πN
→ ⎣⎡ ( En ⊗ A) ⋅ X TI , Π N ( τ) ⎦⎤ = SpN0 YTI ; τ ∈ ASpn . (1.3.57)
Y ( τ) = A ⋅ X ( τ) ⎯⎯
Это означает все более точное представление с ростом N точечной
моделью этого линейного преобразования
TI
A ⋅ X ( τ) ⎯⎯
→( En ⊗ A) ⋅ X TI ∈ ARNn
(1.3.58)
обеспечивается все более точное представление соответствующей
сплайновой моделью вектор-функции AX (τ).
Предположим теперь, что заданы: Bτ – вполне непрерывный линейный оператор, преобразующий пространство Mn (0,1) в себя, или
в его подпространство (в частности, в Cn (0,1)), и X (τ) – векторфункция из Mn (0,1), определенная на чебышевской N-сетке I рода при
любых N.
Утверждение 1.3.2
При выполнении указанных условий точечное представление
вектор-функции Bτ X ( τ) ∈ M n (0,1) получает вид линейного преобразования точечного вектора X TI вектор-функции X ( τ) ∈ M n (0,1) :
TI
Bτ ⋅ X ( τ) ⎯⎯
→ BNn ⋅ X TI = ( BN ( Z ) ⊗ En ) ⋅ X TI ,
(1.3.59)
осуществляемого блочной тёплицевой матрицей
⎡ β1En
⎢ #
⎢
BNn ⋅ X TI = ⎢ βv En
⎢
⎢ #
⎢⎣β N En
%
" β1En
%
" βv En
⎤
⎥
⎥
⎥ = ( BN ( Z ) ⊗ En ), (1.3.60)
⎥
%
⎥
" β1En ⎥⎦
67
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений где теплицева матрица BN (Z) имеет вид
⎡ β1
⎢#
⎢
BN ( Z ) = ⎢ βv
⎢
⎢#
⎢⎣β N
%
" β1
%
" βv
⎤
⎥
⎥
⎥ ; ( N × N ).
⎥
%
⎥
" β1 ⎥⎦
(1.3.61)
Доказательство. Воздействуем оператором Bτ на приближенное
сплайновое представление (1.3.50) вектор-функции X ( τ) ∈ M n (0,1) :
Bτ ⋅ X (τ) ≈ Bτ ⎡⎣ X TI , Π N ( τ) ⎤⎦ = ⎡⎣ X TI , BτΠ N ( τ) ⎤⎦ ,
где
BτΠ N (τ) = Colon ⎡⎣1n Bτ π N ( τ − τ1( N ) )#"#1n Bτ π N ( τ − τ(vN ) )#"#1n Bτ π N ( τ − τ(NN ) ) ⎤⎦
(1.3.62)
(
)
Векторная координата 1n Bτ π N τ − τ(NN ) этой блочной вектор-функции
есть n-вектор-функция из Mn (0,1), определенная на всем промежутке
[0,1]. Она может быть разложена по базисным сплайновым элементам
этого пространства, т. е. приближенно представлена в виде
1n Bτ π N ( τ − τ1( N ) ) ≈ 1n β1π N ( τ − τ1( N ) ) + ... + 1n βv π N ( τ − τ(vN ) ) + ... + 1n β N π N ( τ − τ(NN ) ) .
(
)
Следующая векторная координата в (1.3.62) 1n Bτ π N τ − τ(τN ) – эта та
же n-вектор-функция, но сдвинутая на один узел N-сетки вправо. Ее
1
1
первая «ступенька» начинается в точке τ1( N ) +
, а на ин= τ(2N ) −
2N
2N
⎛ ⎛
1 ⎞⎞
тервале ⎜ 0, ⎜ τ(2N ) −
⎟ она равна нулю. Такая «сдвинутая» ступен2 N ⎠ ⎟⎠
⎝ ⎝
чатая функция представится в виде
1n Bτ π N ( τ − τ(2N ) ) ≈ 1n β1π N ( τ − τ(2N ) ) + ... + 1n βv −1π N ( τ − τ(vN ) ) + ... + 1n β N −1π N ( τ − τ(NN ) ) .
68
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений (
А для v-й векторной координаты 1n Bτ π N τ − τv( N )
)
– вектор-
функция, сдвинутой по оси τ на «v» узлов чебышевской N-сетки I рода, получим сплайновое представление
1n Bτ π N ( τ − τ(vN ) ) ≈ 1n β1π N ( τ − τ(vN ) ) + ... + 1n βv π N ( τ − τ(NN ) ) .
Таким образом, развернуто (1.3.62) может быть записано в виде
⎡1n Bτ π N ( τ − τ1( N ) ) ⎤
⎢
⎥
#
⎢
⎥
⎢
⎥
BτΠ N (τ) = ⎢1n Bτ π N ( τ − τ(vN ) ) ⎥ ≈
⎢
⎥
#
⎢
⎥
⎢1 B π ( τ − τ( N ) ) ⎥
N
⎣n τ N
⎦
⎡β1En " βv En
⎢
%
#
⎢
≈⎢
β1En
⎢
⎢
⎢⎣
(N )
⎡
⎤
" β N En ⎤ ⎢1n π N ( τ − τ1 ) ⎥
#
⎥
%
# ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
" βv En ⎥ ⋅ ⎢1n π N ( τ − τ(vN ) ) ⎥ =
⎥
⎥
%
# ⎥ ⎢
#
⎢
⎥
β1En ⎥⎦ ⎢1 π τ − τ( N ) ⎥
N )⎦
⎣ n N(
+
= BNn
⋅ Π N (τ) = ( B + ( Z ) ⊗ En ) ⋅ Π N (τ).
(1.3.63)
Поэтому
πN
Bτ X (τ) ⎯⎯
→ ⎡⎣ X TI , BτΠ N (τ) ⎤⎦ = ⎡⎣ BNn X TI , Π N (τ) ⎤⎦ =
TI
= ⎣⎡( Bn ( Z ) ⊗ En ) X TI , Π N (τ) ⎦⎤ ⎯⎯
→ BNn ⋅ X TI = ( Bn ( Z ) ⊗ En ) X TI ,
(1.3.64)
т. е. фактически получаем (1.3.59), имея в виду явные представления
(1.3.60) и (1.3.61) для возникших тёплицевых матриц BNn и BN(Z)
в (1.3.63). Этим доказательство закончим.
Заметим, что отображения в (1.3.63) более информативно записать в виде
πN
→ ⎡⎣ BNn X TI , Π N (τ) ⎤⎦
Bτ X (τ) ⎯⎯
TI
TI
.
(1.3.65)
BNn ⋅ X TI
69
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Такая запись четко показывает одинаковость точечно-векторных изображений вектор-функции оригинала Bτ X ( τ) ∈ M n (0,1) и её сплайнового (ступенчатого) приближения ⎡⎣ BNn X TI , Π N ( τ) ⎤⎦ .
Выделим теперь важный частный случай, когда оператор Bτ есть
вольтерровский оператор интегрирования:
τ
Bτ X (τ) ≡ T ∫ X (τ)d τ∈ Cn (0,1) ⊂ M n (0,1).
(1.3.66)
0
В этом случае
Bτπ N ( τ − τ
τ
(N)
v
) = T ∫ π ( τ − τ ) d τ = TN e
N
(N )
v
(N )
v
(τ) ∈ M n (0,1), (v = 1, N ).
0
(1.3.67)
График (рис.1.3.1) функции
τ
(N )
v
e
(τ) = N ∫ π N ( τ − τ(vN ) ) d τ
0
показывает естественный вариант сплайнового (ступенчатого)
моделирования этой функции при любых N и v = 1, N :
1
ev( N ) (τ) ≈ π N ( τ − τ(vN ) ) + π N ( τ − τ(vN+1) ) + ... + π N ( τ − τ(NN ) ) , (v = 1, N ),
2
(1.3.68)
1
ev( N ) (τ) 1
2
0
•
τ v( N )
•
τ (v N+ 1)
Рис. 1.3.1
70
•
τ (NN ) 1
τ Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений и для интегралов в (1.3.67) получим
τ
T ∫ πN ( τ − τ
0
(N )
v
N
⎡
(N )
) d τ ≈ λ0 ⎢πN ( τ − τv ) + 2 ∑ πN ( τ − τ(kN ) )⎤⎥ , (v = 1, N ), (1.3.69)
k =v +1
⎣
⎦
T
.
2N
Очевидно, вместо (1.3.63) будем иметь
где λ 0 =
τ
⎡
⎤
(N )
⎢1n ⋅ T ∫ π N ( τ − τ1 ) d τ ⎥
0
⎢
⎥
⎢
⎥
#
⎢
⎥
τ
τ
⎢
⎥
T ∫ Π N (τ)d τ = ⎢1n ⋅ T ∫ π N ( τ − τ(vN ) ) d τ ⎥ ≈
0
0
⎢
⎥
⎢
⎥
#
⎢
⎥
τ
⎢1 ⋅ T π τ − τ( N ) d τ ⎥
N )
⎢ n ∫ N(
⎥
0
⎣
⎦
⎡ En
⎢
⎢
⎢
≈⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 En
%
" 2 En " 2 En ⎤ ⎡1 ⋅ π ( τ − τ( N ) ) ⎤
n
N
1
⎥
%
% # ⎥ ⎢
⎥ ⎢
#
⎥
En 2 En
2 En ⎥ ⎢
(N ) ⎥
⎥ ⋅ ⎢1n ⋅ π N ( τ − τv ) ⎥ =
% % # ⎥
⎢
⎥
#
⎥
% 2 En ⎥ ⎢
⎥ ⎢1 ⋅ π ( τ − τ( N ) ) ⎥
N
En ⎦ ⎣ n N
⎦
= ( J N+ ( Z ) ⊗ En ) ⋅ Π N (τ),
(1.3.70)
и, следовательно,
τ
⎡
⎤
T ∫ X (τ)d τ ⎯⎯→ ⎢ X TI , T ∫ Π N (τ)d τ ⎥ ≈ ⎡⎣ X TI ( J N+ ( Z ) ⊗ En ) , Π N (τ) ⎤⎦ =
0
0
⎣
⎦
TI
= ⎡⎣( J N ( Z ) ⊗ En ) X TI , Π N (τ) ⎤⎦ ⎯⎯
→ ( J N ( Z ) ⊗ En ) X TI ,
(1.3.71)
τ
πN
т. е. получаем прежнее точечное представление (1.1.32) для операции
интегрирования вектор-функции X ( τ) ∈ M n (0,1) . Символом JN(Z), как
и раньше, обозначена тёплицева матрица интегрирования (1.1.33):
71
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений ⎡1
⎤
⎢2 1
⎥
⎢
⎥
N −1
⎢# % %
⎥
⎡
⎤
2
J N (Z ) = λ0 ⎢
=
λ
E
+
Zk ⎥ =
⎥
∑
0⎢ n
2 1
k =1
⎣
⎦
⎢2
⎥
⎢# %
% % ⎥
⎢
⎥
⎣ 2 " 2 " 2 1⎦
= λ 0 ( En + Z )( En − Z ) −1 , ( N × N ).
(1.3.72)
Отметим полученный ранее и более общий результат (1.1.34):
τ
TI
→ ( J N ( Z ) ⊗ En ) ⋅ DN ⎡⎣ A ( τ(vN ) ) ⎤⎦ ⋅ X TI .
T ∫ A(τ) X (τ)d τ ⎯⎯
(1.3.73)
0
А также случай постоянной матрицы (1.1.37):
τ
TI
T ∫ A ⋅ X (τ)d τ ⎯⎯
→ ( J N ( Z ) ⊗ En ) ⋅ X TI .
(1.3.74)
0
Соответствующие сплайновые отображения
τ
πN
→ ⎡( J N ( Z ) ⊗ En ) ⋅ DN ⎣⎡ A ( τ(vN ) ) ⎦⎤ ⋅ X TI , Π N (τ) ⎤ ;
T ∫ A(τ) X (τ)d τ ⎯⎯
⎣
⎦
(1.3.75)
0
τ
πN
→ ⎡⎣( J N ( Z ) ⊗ A) , Π N (τ) ⎤⎦
T ∫ A ⋅ X (τ)d τ ⎯⎯
(1.3.76)
0
дают ступенчатые восстановления этих интегралов как векторфункций.
Это восстановление, как и восстановление других линейных
операций, производится на основе сплайнов нулевой степени. Отметим, однако, что вектор-функции, как и их одномерные варианты, могут восстанавливаться по своим точечным моделям не только на основе таких сплайнов [78].
Могут рассматриваться приближающие модели, полученные на
основе полиноминальных сплайнов и более высоких степеней, причем с возрастающей точностью приближения гладких функций путем
повышения степени полиноминальных сплайнов.
72
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений В классе полиноминальных сплайнов сплайны нулевой степени занимают особое место благодаря уникальному свойству (1.3.37)
операции умножения своих базисных элементов, которое распространяется и на сплайновые модели вектор-функции, построенные
на основе этих элементов, т. е. на их ступенчатые приближения
(модели).
Произведение ступенчатых моделей двух вектор-функций из
Mn (0,1), ассоциированных с чебышевской N-сеткой I рода, оказывается ступенчатой моделью того же типа произведения (покоординатного) этих вектор-функций.
Таким образом, в пространстве Spn таких сплайновых (ступенчатых) моделей четко наблюдается вторая бинарная операция умножения своих элементов – ступенчатых приближений соответствующих
вектор-функций из пространства Mn (0,1), что делает пространство Spn
алгеброй по умножению ASpn, являющейся гомоморфным образом алгебры AMn соответствующих вектор-функций. Это будут C∗-алгебры,
поскольку они имеют изометрически изоморфные отображения на себя алгебр своих инволютивных элементов [см. утверждение 1.3.1].
Отметим, что с ростом N-размерность чебышевской сетки, отображения алгебр в (1.3.39) становятся все ближе к изометрическим изоморфизмам, а их элементы все более адекватными друг другу, т. е. точечные и ступенчатые модели вектор-функций из AMn и некоторых линейных операций над ними с ростом N будут представлять их все
точнее [см. утверждения 1.3.1, 1.3.2].
Отметим, что рассмотренные ступенчатые сплайновые преобразоπN
→ ASpn
вания вектор-функций, т. е. πN-отображение алгебр AM n ⎯⎯
обладают еще одним замечательным свойством.
Оказывается, оно отображает не только линейные операции над
вектор-функциями, но и разнообразные нелинейные многомерные
функциональные конструкции через их точечные инволютивные модели.
Это самостоятельная и обширная тема для разработки, которой
здесь мы касаться не будем.
В заключение отметим еще одну бинарную операцию над точечными изображающими векторами n-вектор-функций X (τ) и Y (τ)
из Mn (0,1) (а также из алгебры AMn) т. е. над блочными векторами
(1.3.17) – их гомоморфными образами из RNn (а также из алгебры ARNn –
гомоморфного отображения алгебры AMn).
73
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Речь идет об обобщении понятия скалярного произведения на
эти блочные векторы, которое, имея в виду представления (1.3.1)
и (1.3.3), естественно определить формулой
N
(
X TI , YTI = ∑ X ( τ
v =1
(N )
v
) ,Y ( τ ))
(N )
v
⎡ n
⎤
= ∑ ⎢ ∑ xi ( τ(vN ) ) ⋅ yi ( τ(vN ) ) ⎥.
v =1 ⎣ i =1
⎦
N
(1.3.77)
Отсюда следует представление для нормы блочного Nn-вектора X TI ,
обобщающее понятие эвклидовой нормы вектора из Rn:
X TI
2
э
N
N
2
⎡ n
⎤ N
= X TI , X TI = ∑ X ( τv( N ) ) , Y ( τv( N ) ) = ∑ ⎢ ∑ xi2 ( τv( N ) ) ⎥ =∑ X v э ,
v =1
v =1 ⎣ i =1
⎦ v =1
(
)
(1.3.78)
т. е. квадрат эвклидовой нормы блочного Nn-вектора равен сумме
квадратов эвклидовых норм N его n-векторных компонент. Скалярное
произведение можно ввести и в функциональном пространстве Mn (0,1)
полагая для пары n-вектор-функций X (t ) = X (T τ) = X ( τ) ∈ M n (0,1)
и Y (t ) = Y (T τ) = X ( τ) ∈ M n (0,1) :
( X (τ),Y (τ) ) L
2
n
T
1
0
0
= ∫ ( X (t ),Y (t )) э dt = T ∫ ( X (τ), Y (τ) )э d τ,
(1.3.79)
что сделает это пространство гильбертовым пространством L2n (0,1)
с нормой
X
2
L2n
= X (τ)
2
L2n
1
1
0
0
= ( X (τ), X (τ) ) L2 = T ∫ ( X (τ),X (τ))э d τ = T ∫ X (τ) э d τ.
n
2
(1.3.80)
Квадраторное значение этого интеграла, ассоциированное с че2v − 1
бышевской N-сеткой I ряда τv( N ) =
, (v = 1, N ) , свяжет норму
2N
(1.3.80) вектор-функции X (τ) ∈ L2n (0,1) с нормой (1.3.78) ее точечного
изображающего Nn-вектора X TI , поскольку при любых конечных N
будем иметь приближенное равенство
74
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений X
2
L2n
= X ( τ)
2
L2n
1
=T∫
0
N
2
T N
X (τ) э d τ ≈ ⋅ ∑ X ( τ(vN ) ) =
э
N v =1
= 2λ 0 ∑ X v
v =1
2
2
э
2
= 2λ 0 X TI .
(1.3.81)
э
T
гомо2N
TI
→ ARNn становится все ближе
морфное отображение алгебр AM n ⎯⎯
к изометрическому изоморфизму и, следовательно, приближенное равенство (1.3.81) для норм становится все более точным и получает вид
С ростом N и неизменном значении параметра λ 0 =
X
2
L2n
= X (τ)
2
L2n
2
= 2λ 0 X TI .
э
(1.3.82)
Скалярные произведения в указанных пространствах порождают
функционалы виде квадратичных и билинейных форм, построенные
на матрицах гомоморфно связанных линейных преобразований, определенных в этих пространствах.
Пусть матрица
A(t ) = A(T τ) = A(τ) = [ aik (τ) ]q ,n , τ∈ [0,1]
(1.3.83)
осуществляет линейное преобразование над n-вектор-функцией X (τ),
в результате которого получаем q-вектор-функцию Y (τ).
Согласно (1.1.16) будем иметь соответствующее отображение
такого преобразования в пространстве точечных представлений:
TI
Y (τ) = A(τ) ⋅ X (τ) ⎯⎯
→ YTI = DN ⎡⎣ A ( τv( N ) ) ⎤⎦ ⋅ X TI = DN [ Av ] ⋅ X TI .
(1.3.84)
Определим квадрат эвклидовой нормы блочного Nq-вектора YTI
в (1.3.84):
YTI
2
э
= YTI , YTI = DN [ Av ] X TI , DN [ Av ] X TI = DN [ Av+ ] ⋅ DN [ Av ] X TI , X TI .
(1.3.85)
Возникает квадратичная форма, образованная симметричной квазидиагональной матрицей
DN [ Av+ ] ⋅ DN [ Av ] = DN [ Av+ ⋅ Av ].
(1.3.86)
75
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Форма в (1.3.85) с множителем 2λ 0 есть квадратурное значение
интеграла, определяющего соответствующую квадратичную форму
в функциональном пространстве M q (0,1) → L2q (0,1) :
YTI
2
L2q
1
1
0
0
= T ∫ Y (τ) э d τ = T ∫ ( A+ (τ) A(τ)X (τ), X (τ))d τ ≈
N
(
)
≈ 2λ 0 ∑ A+ ( τ(vN ) ) ⋅ A ( τ(vN ) ) X ( τ(vN ) ) , X ( τ(vN ) ) =
v =1
= 2λ 0 DN [ Av+ ] ⋅ D N [ Av ] X TI X TI .
(1.3.87)
В общем случае при любых конечных N это равенство квадратичных форм, определенных в гомоморфно связанных пространствах,
может быть только приближенным [1, 34, 63].
Однако основные их свойства могут совпадать по существу
и уже при конечных N, как свойства гомоморфно связанных объектов.
Так, можно утверждать, что если имеет место алгебраическое соотношение (типа >, <, = ,≥ ,≤) между квадратичными формами в пространстве точечных представлений, существующее при любых N и T
T
⎛
⎞
= const ⎟ , то оно переносится и на соответствующие квадра⎜ λ0 =
2N
⎝
⎠
тичные формы, определенные в функциональном пространстве.
Вернемся к определению (1.3.85) для квадрата эвклидовой нормы точечного изображающего Nq-вектора YTI
2
э
q-вектор-функции
Y ( τ), τ ∈ [0,1] , получаемого в результате линейного преобразования
(1.3.84), осуществляемого матрицей A (τ) (q×n).
Запишем его в виде
YTI
=
2
э
= DN [ Av+ ] ⋅ D N [ Av ] X TI , X TI =
DN [ Av+ ] ⋅ D N [ Av ] X TI , X TI
X TI , X TI
2
≤ DN [ Av ] ⋅ X TI
76
2
э
⇒ YTI
2
э
⋅ X TI , X TI ≤
≤ DN [ Av ] ⋅ X TI ,
э
(1.3.88)
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений где обозначено [55, 112]:
DN ( Av ) = max
2
DN ( Av+ ) ⋅ DN ( Av ) X TI , X TI
X TI
X TI =1
э
= max
2
X TI
X TI =1
э
э
2
DN ( Av ) X TI
э
2
(1.3.89)
э
или для первых степеней:
DN ( Av ) = max =
DN ( Av ) X TI
X TI
X TI =1
э
э
⋅
(1.3.90)
э
Получаем представление для спектральной нормы точечного
изображения матрицы A (τ) (q×n) линейного преобразования (1.3.84),
т. е. для квазидиагональной матрицы:
DN ( Av ) = Diag ⎡⎣ A ( τ1( N ) )#"# A ( τ(vN ) )#"# A ( τ(NN ) ) ⎤⎦ , ( Nq × Nn).
(1.3.91)
Однако формула справедлива и для блочной квадратной матрицы
H N [ hik ] ( Nq × Nn ) произвольной структуры с блочными элементами
hik одинаковой размерности (q×n):
H N [hik ] = [hik ], (i, k = 1, N ), hik ( q × n)(∀i, k = 1, N ).
(1.3.92)
Это матрица линейного преобразования
YTI = H N [hik ] ⋅ X TI ,
(1.3.93)
отображающего RNn в RNq.
Для ее нормы будем иметь
H N [ hik ] = max =
2
X TI =1
э
H N [ hik ] X TI
X TI
2
э
2
э
= max =
H N+ ⎡⎣ hik+ ⎤⎦ ⋅ H N [ hik ] X TI , X TI
X TI =1
э
X TI
2
.
э
(1.3.94)
Блочная матрица (1.3.92) может быть и прямоугольной размерности
( N1q × Nn) ( N1 ≠ N ) , преобразуя блочный точечный Nn-вектор
X TI = Colon ⎡⎣ X ( τ1( N ) )#"# X ( τv( N ) )#"# X ( τ(NN ) ) ⎤⎦
(1.3.95)
77
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений (
)
с N блочными n-векторными элементами X τv( N ) , (v = 1, N ) в некоторый блочный N1q-вектор
YTI = Colon ⎡⎣Y1 #"#Yk #"#YN1 ⎤⎦
(1.3.96)
с N1 блочными элементами в виде q-векторов Yk ( k = 1, N1 ) .
При N1 = 1 получаем блочную прямоугольную матрицу H N+ [hv ]
(q×Nn), т. е. блочную матрицу-строку:
H N+ [hv ] = Colon [ h1 #"# hv #"# hN ]; hv (q × n)(∀v = 1, N ) , (1.3.97)
которая осуществляет линейное преобразование Nn-вектора (1.3.95)
в обычный q-вектор:
Y = Colon ⎡⎣ y1 #"# ym #"# yq ⎤⎦ .
(1.3.98)
Это преобразование вида
N
Y = H N+ [hv ] ⋅ X TI = ∑ hv ⋅ X ( τ(vN ) ) .
(1.3.99)
v =1
Именно такое точечное представление возникает при применении
квадратурной формулы, ассоциированной с чебышевской N-сеткой I
2v − 1
ряда τv( N ) =
, (v = 1, N ) , к определенному интегралу от q-вектор2N
функции Th (τ) X (τ):
1
N
T N
(N )
(N )
T ∫ h(τ) X (τ)d τ ≈ ∑ h ( τv ) ⋅ X ( τv ) = 2λ 0 ∑ hv X ( τ(vN ) ) .
N v =1
v =1
0
(1.3.100)
Введем матрицу-столбец как блочный N-вектор:
H N [hv ] = Colon [ h1 #"# hv #"# hN ] ,
(1.3.101)
осуществляя транспонирование матрицы-строки (1.3.97), но без
транспонирования ее матричных блочных элементов. Тогда векторноматричное произведение в (1.3.99) как бинарная операция может быть
записано в виде
78
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений N
Y = H [hv ] ⋅ X TI = H N [hv ], X TI = ∑ hv ⋅ X ( τ(vN ) ) .
+
N
(1.3.102)
v =1
Для обозначения этой бинарной операции между блочными Nвекторами H N [hv ] (1.3.101) и X TI (1.3.95) использован символ ,
скалярного произведения блочных векторов одинаковой размерности
с блочными векторными элементами, в результате которого возникает
скалярная величина [см.( 1.3.77)]. Однако теперь в произведении
(1.3.102) заключительная операция реализуется в виде векторноматричных произведений матриц-элементов hv (q×n) столбца (1.3.101)
и n-векторов X τ(vN ) − элементов блочного вектора X TI . В результате
(
)
возникает не скаляр, как раньше, а сумма из N q-мерных векторов,
указанная в (1.3.102).
Такое произведение будем называть квазискалярным. Оно не является коммутативной операцией, т. к. некоммутативно векторно-матричное
произведение.
Выделим особый частный случай блочного вектора-столбца
(1.3.101), когда все его матричные блоки-компаненты есть нулевые
матрицы (n×n), за исключением единственного блока hv, который оказывается единичной матрицей En. Когда ν «пробегает» значения от 1
до N возникает множество блочных Nn-векторов [или блочных матриц размерности (Nn×n)] вида
(e
(N )
v
⊗ En ) = Colon[0#"# 0# En # 0#"# 0] = ev( N ) ( En ), (v = 1, N ) .
(1.3.103)
v
Символами ev( N ) (v = 1, N ) обозначены единичные N-векторы:
ev( N ) = Colon[0,...0,1,0,...0];
(v = 1, N ) ,
(1.3.104)
v
а символ ⊗ , как и раньше, означает кронскеровское произведение
матриц ev( N ) (N×1) и En (n×n).
Множество единичных блочных векторов (1.3.103) в линейной
алгебре блочных векторно-матричных представлений играет такую
же роль, какую в обычной линейной алгебре играет множество единичных векторов (1.3.104). Дело в том, что множество (1.3.103), по79
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений добно множеству векторов (1.3.104) из RN, образует своеобразный
канонический базис в пространстве RNn блочных векторов, причем ортогональный базис, если ортогональность понимать как свойство введенного псевдоскалярного произведения:
⎧ 0, v ≠ k
ev( N ) ( En ), ek( N ) ( En ) = ⎨
⎩ En , v = k
(v, k = 1, N ) .
(1.3.105)
Очевидно, всякий точечный блочный Nn-вектор X TI (1.3.95) может быть
представлен в виде
⎡ X (τ1( N ) ) ⎤
⎢
⎥
#
⎢
⎥ N
X TI = ⎢ X (τv( N ) ) ⎥ = ∑ ev( N ) ( En ) ⋅ X ( τ(vN ) ) ,
⎢
⎥ v=1
#
⎢
⎥
⎢ X ( τ( N ) ) ⎥
N
⎣
⎦
(1.3.106)
т. е. в виде разложения по базисным элементам (1.3.10), причем в силу их ортоганальности (1.3.105) получаем для коэффициентов разложения
ev( N ) ( En ), X TI = ⎡⎣ ev( N ) ( En ) ⎤⎦ ⋅ X TI = X ( τv( N ) ) ; (v = 1, N ) .
+
(
(1.3.107)
)
Таким образом, n-векторные компоненты X τ(vN ) , (v = 1, N ) Nnвектора X TI оказываются своеобразными коэффициентами Фурье
в разложении по ортогональному каноническому базису (1.3.103).
Найдем представления для таких коэффициентов в разложении по базису (1.3.103) Nn-вектора YTI , возникающего в результате линейного
преобразования Nn-вектора X TI , осуществляемого некоторой квадратной блочной матрицей LN [lik ] (Nn× Nn) произвольной структуры
с блоками-элементами lik (n×n) (i, k = 1, N ) :
YTI = LN [lik ] ⋅ X TI = Colon [Y1 #"#Yv #"#YN ] .
80
(1.3.108)
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Задача сводится к доказательству следующего свойства квазискалярного произведения базисных элементов (1.3.103) с Nn-вектором YTI
(1.3.108).
Утверждение 1.3.3
Для n-векторных компонент Yv (v = 1, N ) блочного Nn-вектора YTI ,
возникающего в результате линейного преобразования (1.3.108), осуществляемого квадратной блочной матрицей произвольной структуры
⎡ l11 " l1k " l1N ⎤
⎢#
#
# ⎥
⎢
⎥
LN = LN [lvk ] = ⎢ lv1 " lvk " lvN ⎥ ( Nn × Nn); lvk (n × n), (v, k = 1, N )
⎢
⎥
#
#
#
⎢
⎥
⎢⎣lN 1 " lNk " lNN ⎥⎦
(1.3.109)
справедливы представления
Yv = ev( N ) ( En ), YTI = ev( N ) ( EN ), LN ⋅ X TI =
= L+N ⋅ ev( N ) ( EN ), X TI ⋅ X TI = X ( τv( N ) ) , (v = 1, N ),
(1.3.110)
где L+N = L+N [lvk ] (Nn× Nn) есть результат транспонирования матрицы
(1.3.109) без транспонирования ее матриц-элементов lvk (n×n)
(v, k = 1, N ) .
Доказательство: Имеем в подробной записи для первого псевдоскалярного произведения в (1.3.110):
ev( N ) ( EN ), LN ⋅ X TI =
⎡ 0 ⎤ ⎡ l11 " l1k " l1N ⎤ ⎡ X 1 ⎤
⎢# ⎥ ⎢#
#
# ⎥ ⎢ # ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢
⎢ En ⎥ , lv1 " lvk " lvN ⎥ ⋅ ⎢ X k ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
#
# ⎥ ⎢ # ⎥
⎢# ⎥ ⎢#
⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣lN 1 " lNk " lNN ⎥⎦ ⎢⎣ X N ⎥⎦
=
N
= ∑ lvk ⋅X k ; (v = 1, N ).
k =1
81
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Для последнего произведения в (1.3.110) получим точно такое же
представление:
L+N ⋅ ev( N ) ( EN ), X TI =
⎡ l11 " lv1 " lN 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ X 1 ⎤
⎢#
#
# ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ l1k " lvk " lNk ⎥ ⋅ ⎢ EN ⎥ , ⎢ X k ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
#
#
#
⎢
⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥
⎢⎣l1N " lvN " lNN ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ X N ⎥⎦
=
N
= ∑ lvk ⋅X k ; (v = 1, N ).
k =1
Равенство этих представлений и доказывает (1.3.110). Обобщая скалярный вариант [78], решим теперь задачу об определении граничного значения X (T ) = X (T ⋅1) → X (1) n-вектор-функции
X (t ) = X (T τ) → X ( τ) = Colon[ x1 ( τ),...xi ( τ),...xn ( τ)]
(1.3.111)
по ее блочному точечному изображающему Nn-вектору X TI (1.3.95), ас2v − 1
социированному с чебышевской N-сеткой I ряда τ(vN ) =
, (v = 1, N ) .
2N
Для этого необходимо предварительно перейти к блочному точечному изображающему Nn-вектору:
X TII = Colon ⎡⎣ X (θ1( N ) )#...# X (θv( N ) )#...# X (θ(NN ) ) ⎤⎦ ,
(1.3.112)
ассоциированному со смежной чебышевской N-сеткой II ряда
v
θ(vN ) = , (v = 1, N ) .
N
Последняя блочная компонента этого вектора
X ( θ(vN ) ) = X (1) = Colon[ x1 (1),...xi (1),...xn (1)]
(1.3.113)
будет искомым граничным значением.
Ранее [см. (1.1.9)] была получена связь между смежными точечными блочными Nn-векторами X TI (1.3.95) и X TII (1.3.112) как обобщение подобной связи в «скалярном» варианте [78]:
82
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений [( EN + Z ) ⊗ En ] X T
II
= 2 ⋅ X TI − e1( N ) ( En ) ⋅ X 0 ,
(1.3.114)
где
⎡ En ⎤
⎡X0 ⎤
⎢# ⎥
⎢ # ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
(N )
e1 ( En ) ⋅ X 0 = ⎢ 0 ⎥ ⋅ X 0 = ⎢ 0 ⎥ ,
⎢ ⎥
⎢ ⎥
#
⎢ ⎥
⎢ # ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
X 0 = X (0) .
(1.3.115)
Утверждение 1.3.4
Если
TI
X ( τ) ∈ M n (0,1) ⎯⎯
→ X TI = Colon ⎡⎣ X ( τ1( N ) )#...# X ( τv( N ) )#...# X ( τ(NN ) ) ⎤⎦ ,
(1.3.116)
⎛ 1 ⎞
то с точностью порядка 0 ⎜ 2 ⎟ будем иметь для граничного значения
⎝N ⎠
X(1) n-вектор-функции X ( τ) τ ∈ [0,1] следующее представление:
X (T ) → X (1) = 2 Γ N ( En ), X TI − (−1) N −1 ⋅ X 0 ,
(1.3.117)
где
+
Γ N ( En ) = ⎡⎣ ( En + Z ) −1 ⊗ En ⎤⎦ eN( N ) ( En ) =
⎡(−1) N −1 ⎤
⎢
⎥
#
⎢
⎥
= Colon ⎡⎣(−1) N −1 En #...# (−1)v En #...# En ⎤⎦ = ⎡⎣Γ1 ⊗ En ⎤⎦ = ⎢ (−1)v ⎥ ⊗ En .
⎢
⎥
⎢ # ⎥
⎢⎣ 1 ⎥⎦
(1.3.118)
Доказательство. Из (1.3.114) находим с покомпонентной точ⎛ 1 ⎞
ностью порядка 0 ⎜ 2 ⎟
⎝N ⎠
X TII = ⎡⎣ ( E N + Z ) −1 ⊗ En ⎤⎦ ⋅ 2 X TI − ⎡⎣ ( E N + Z ) −1 ⊗ En ⎤⎦ ⋅ e1( N ) ( EN ) X 0 .
83
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Согласно (1.3.110) для последней n-векторной
X (θ(NN ) ) = X (1) блочного вектора X TII (1.3.112) при
компоненты
⎡ En − En " (−1)v En " (−1) N −1 En ⎤
⎢
⎥
%%
%
#
⎢
⎥
+
v
L+N [lin ] = ⎡⎣( EN + Z ) −1 ⊗ En ⎤⎦ = ⎢
En − En "
(−1) En ⎥
⎢
⎥
%%
#
⎢
⎥
⎢
En − En ⎥⎦
⎣
(1.3.119)
будем иметь
X (1) = eN( N ) ( En ), X TI = 2 Γ N ( En ), X TI − Γ N ( En ), e1( N ) ( En ) X 0 =
= 2 Γ N ( En ), X TI − (−1) N −1 X 0 .
(1.3.120)
Символом ГN (En) обозначим блочный Nn-вектор (1.3.110), псевдоскалярное произведение с которым блочного точечного Nn-вектора X TI
и определяет граничное значение X(1) n-вектор-функции X(τ) из
Mn (0,1). При этом с учетом (1.3.115) было найдено
Γ N ( En ), e1( N ) ( En ) X 0 = (−1) N −1 ⋅ X 0 .
(1.3.121)
При X0 = 0 получаем простое представление для граничного значения:
X (1) = 2 Γ N ( En ), X TI .
(1.3.122)
Описанная выше алгебраическая ситуация по точечному представлению многомерных функциональных операций определена в ассоциации с чебышевской N-сеткой I ряда.
Подобная картина будет наблюдаться и при использовании чебышевской сетки II ряда, причем удвоенной размерности, т. е. 2Nсетки
N)
T θ(2
=T
k
k
= λ0k ,
2N
(k = 1,2 N ),
(1.3.123)
объединяющей смежные сетки I и II ряда размерности N. При этом,
однако, наблюдаются и некоторые особенности.
84
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Пусть имеем точечные отображения TII(2 N ) двух функций из пространства Mn (0,1), ассоциированные с чебышевской 2N-сеткой
(1.3.123):
⎫
⎡ x1 (τ) ⎤
⎡ X (λ 0 ) ⎤
⎪
⎢ # ⎥
⎢
⎥
#
⎪
⎢
⎥
⎢
⎥
TII( 2 N )
X (T τ) = X (τ) = ⎢ xi (τ) ⎥ ⎯⎯⎯
→ X T(2II N ) = ⎢ X (λ 0 k ) ⎥ ; a) ⎪
⎪
⎢
⎥
⎢
⎥
#
#
⎪
⎢
⎥
⎢
⎥
⎪⎪
⎢⎣ xn (τ) ⎥⎦
⎢⎣ X (λ 0 2 N ) ⎥⎦
⎬
⎡ y1 (τ) ⎤
⎡ Y (λ 0 ) ⎤
⎪
⎢ # ⎥
⎢
⎥
⎪
#
⎢
⎥
⎢
⎥
⎪
TII( 2 N )
N)
⎢
⎥
Y (T τ) = Y (τ) = ⎢ yi (τ) ⎥ ⎯⎯⎯
Y
(
k
)
→ YT(2
=
λ
.
б)
⎪
0
II
⎢
⎥
⎢
⎥
⎪
#
⎢ # ⎥
⎢
⎥
⎪
⎢⎣ yn (τ) ⎥⎦
⎢⎣Y (λ 0 2 N ) ⎥⎦
⎪⎭
(1.3.124)
Возникшие блочные точечные изображающие 2N-векторы X T(2II N )
N)
есть элементы пространства R2Nn. Очевидно, имеет место отои YT(2
II
бражение TII(2 N ) пространства Mn (0,1) на пространство R2Nn, т. е.
(2N )
TII
M n (0,1) ⎯⎯⎯
→ R2 Nn .
Пространства нормированы, причем
X
(2 N )
TII
n
= max X (λ 0 k ) ≤ max ∑ xi (τ) = X (τ) .
k
τ∈[0,1]
(1.3.125)
i =1
В пространствах Mn (0,1) и R2Nn кроме операций сложения элементов и умножения на число введем еще одну бинарную и коммуникативную операцию покоординатного умножения векторов:
a) ⎫
⎪⎪
N)
X T(2II N ) ⋅ YT(2
=
⎬
II
⎪
= Colon [ X (λ 0 )Y (λ 0 )#...# X (λ 0 k )Y (λ 0 k )#...# X (λ 0 2 N )Y (λ 0 2 N )] ∈ R2 Nn . б ) ⎪⎭
X (τ) ⋅ Y (τ) = Colon[ x1 ( τ) y1 ( τ),...xi ( τ) yi (τ),...xn ( τ) yn (τ)] ∈ M n (0,1);
(1.3.126)
85
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Эти векторы, естественно, связаны между собой точечным отображением TII(2 N ) :
(2 N )
TII
N)
X (τ) ⋅ Y (τ) = Y (τ) ⋅ X (τ) ⎯⎯⎯
→ X T(2II N ) ⋅ YT(2
= YTII(2 N ) ⋅ X T(2II N ) .
II
(1.3.127)
Для норм (1.3.125) выполняются неравенства
(2N )
TII
X (τ) ⋅ Y (τ) ≤ X (τ) ⋅ Y (τ) ⎯⎯⎯
→ X T(2II N ) ⋅ YTII(2 N ) ≤ X T(2II N ) ⋅ YTII(2 N ) .
(1.3.128)
В пространствах Mn (0,1) и R2Nn существуют единичные элементы
(2N )
TII
N)
1n (τ) = Colon[1(τ),...1(τ),...1(τ)] ⎯⎯⎯
→ 1T(2
= Colon[1n (λ 0 )#...#1n (λ 0 2 N )]
II
(1.3.129)
N)
с единичными нормами 1n ( τ) = 1T(2
= 1 и определяющим свойством:
II
(2N )
TII
N)
X ( τ) ⋅ 1n ( τ) = X ( τ) ⎯⎯⎯
→ X T(2II N ) ⋅ 1T(2
= X T(2II N ) .
II
Таким образом, снова имеем ситуацию, когда в векторных нормированных пространствах Mn (0,1) и R2Nn определены бинарные
и коммутативные операции умножения элементов, что превращает
эти пространства в коммутативные банаховы алгебры с единицами.
Обозначим их прежними символами: AMn и AR2Nn и отметим, что точечное отображение TII(2 N ) реализует гомоморфизм этих алгебр
(2N )
TII
AM n ⎯⎯⎯
→ AR2 Nn .
(1.3.130)
Элементам X ( τ) ∈ AM n и X T(2II N ) ∈ AR2 Nn , как и раньше, могут быть
поставлены в однозначное соответствие инвалютивные элементы
X∗(τ) и X T∗II в виде диагональных матриц:
a) ⎪⎫
⎬ (1.3.131)
= Diag ⎣⎡ X ∗ (λ 0 )#...# X ∗ (λ 0 k )#...# X ∗ (λ 0 2 N ) ⎦⎤ . б ) ⎭⎪
∗
→ X ∗ (τ) = Diag[ x1 (τ),...xi (τ),...xn (τ)];
X (τ) ⎯⎯
∗
→ X T∗II
X T(2II N ) ⎯⎯
86
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений Причем имеем отображения
(2N )
TII
∗
X (τ) ⎯⎯
→ X ∗ (τ) ⎯⎯⎯
→ X T∗II ← X T(2II N ) ;
(2N )
TII
→⋅YTII(2 N ) = X T∗II ⋅ YTII(2 N )
X (τ)Y (τ) = X ∗ (τ)Y (τ) = Y ∗ (τ) X (τ) ⎯⎯⎯
a) ⎫⎪
⎬
= YT∗II ⋅ X T(2II N ) , б ) ⎪⎭
(1.3.132)
что и определяет алгебры в (1.3.130) как C∗-алгебры, и в рассматриваемом варианте точечных представлений может быть определена
C∗-алгебра ASp2N ступенчатых форм как сплайновых представлений
элементов X ( τ) ∈ AM n , однозначно построенных на их точечных отображениях X T(2II N ) ∈ AR2 Nn .
Получаем взаимно однозначное и изометричное отображение
⎯⎯
→ AR2 Nn .
ASp2 N ←⎯
⎯
Однако теперь ступенчатые формы как сплайновые представления
n-вектор-функций X ( τ) ∈ AM n , т. е. как π2N-отображения
(
)
π2 N
X (τ) ⎯⎯
⎯
→ Sp20N X T(2II N ) ; τ ,
(1.3.133)
имеют одну особенность, заключающуюся в том, что сплайновые
N)
элементы π2 N τ − θ(2
, ( k = 1, 2 N ) определены на интервалах
k
(
)
⎛ (2 N ) 1 ⎞ ⎛ (2 N ) 1 ⎞
⎜ θk −
⎟ , ⎜ θk +
⎟ , ( k = 1, 2 N ) , фактически расположенных
4N ⎠ ⎝
4N ⎠
⎝
2k − 1
N)
между узлами чебышевской 2N-сетки I ряда τ(2
=
, (k = 1, 2 N ) ,
k
4N
которые не введены в рассмотрение и не используются явно в данном
варианте точечных представлений. В возникающих ступенчатых
формах
π2 N
X (τ) ⎯⎯⎯
→ Sp
0
2N
(X
(2 N )
TII
)
2N
N)
; τ = ∑ X (λ 0 k )π2 N ( τ − θ(2
).
k
(
Нулевые значения Sp20N X T(2II N ) ;0
Приближенно
в
скалярном
(1.3.134)
k =1
)
оказываются неопределенными.
представлении
на
это
значение
87
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений (
)
X 0 = Sp20N X T(2II N ) ;0 ≈ X (0) может быть указано как на величину от-
резка, отсекаемого на вертикальной оси X прямой:
N)
X = X (τ) = 2 N ⎡⎣ X (λ 0 2) ( τ − θ1(2 N ) ) − X (λ 0 ) ( τ − θ(2
)⎤⎦ ,
2
проходящей через точки
(θ
(2 N )
,
1
X (λ 0 )
)
и
(θ
(2 N )
,
2
(1.3.135)
)
X (λ 0 2) , располо-
женные на приближаемой кривой Х(τ) [рис. 1.3.2].
Полагая в (3.135) τ = 0 и имея в виду, что θ1(2 N ) =
получим для X (0) = X0:
1
1
N)
и θ(2
,
=
2
N
2N
X 0 = 2 X (λ 0 ) − X (λ 0 2).
(1.3.136)
Таким образом и при использовании 2N-сетки II рода получаем
диаграмму алгебраических отображений
AM n
π2 N 0 2 TII(2 N )
(1.3.137)
ASp2 N R AR2 Nn
совпадающую по сути с диагональной (1.3.39), которую имели при
использовании N-сетки I рода. Операторы π2N и TII(2 N ) реализуют гомоморфное отображение алгебры AMn на алгебры ASp2N и AR2Nn соответственно.
Двойными стрелками в (1.3.137) обозначено изоморфное отображение этих алгебр. Для варианта чебышевской 2N-сетки II рода
окажется справедливым утверждение 1.3.1, так же, как и другие точечные представления, ранее полученные для варианта N-сетки I рода. Однако квадратурная формула прямоугольников при использовании 2N-сетки II рода дает иное представление, что связано с использованием граничных значений подынтегральной n-вектор-функции
X (Tτ) = X (τ) [см. рис. 1.3.2]:
1
1
T ∫ X (T τ)d τ = T ∫ X ( τ)d τ ≈ X (0)
0
0
T
T
+
4N 2N
2 N −1
k =1
2 N −1
λ0 ⎡
⎤
= ⎢ X (0) + 2 ∑ X (λ 0 k ) + X (1) ⎥ .
2 ⎣
k =1
⎦
88
T
∑ X (λ k ) + X (1) 4 N =
0
(1.3.138)
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений X(τ) X0 X(λ02) X(λ0) X(λ0k) X(λ0 (2N-1)) 0
θ1(2 N )
N)
θ(2
2
N ) (2 N ) (2 N )
τ(2
θk τk +1
k
N)
θ(2
2 N −1
1
τ Рис.1.3.2
Тот же результат получим при применении квадратурной формулы
трапеций:
1
T 2N 1
⎡⎣ X ( λ 0 (k − 1) ) + X (λ 0 k ) ⎤⎦ =
T ∫ X (τ)d τ ≈
∑
2
N
2
k
=
1
0
2 N −1
λ0 ⎡
⎤
= ⎢ X (0) + 2 ∑ X (λ 0 k ) + X (1) ⎥ .
2 ⎣
k =1
⎦
Отметим еще один факт, характерный при использовании чебышевских сеток II рода любой размерности.
В блочные точечные представления X TII n-вектор-функций X(τ),
входят как последние блочные компоненты и их граничные значения
X (1) = X (λ02N), т. е. будем иметь
X (λ 0 2 N ) = X (T ⋅ 1) = X (1) = X T(2II N ) , e2(2NN ) ( En ) .
(1.3.139)
89
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Глава 2 ТОЧЕЧНЫЕ МОДЕЛИ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 2.1. Точечные модели многомерных линейных динамических систем. Передаточные матрицы Рассмотрим линейную нестационарную динамическую систему:
dX (τ)
+ Т ⋅ А(τ) X (τ) = Т ⋅ K (τ)U (τ);
dτ
Y (τ) = С (τ) ⋅ Х (τ) + D(τ)U (τ),
⎫
а) ⎪
⎬
б ) ⎪⎭
(2.1.1)
приведенную к отрезку [0, 1]безразмерного времени τ с параметром Т
и имеющую q входов, r выходов и n фазовых переменных. Дифференциальное уравнение в (2.1.1) может быть заменено эквивалентным
интегральным:
τ
τ
Х (τ) + Т ∫ А(τ) Х (τ)dτ = Т ∫ K (τ)U (τ)dτ + Х 0 .
0
(2.1.1а)
0
Матричные функции А(τ), K(τ), С(τ) и D(τ) имеют размерности (n×n),
(n×q), (r×n) и (r×q) соответственно, а
Х (τ) = Сolon[ хl (τ),..хi (τ),..хn (τ)]
(2.1.2)
есть n-вектор состояния (n-вектор – функция фазовых переменных);
Х0 = Х(0) – вектор n начальных условий;
U (τ) = Сolon[ul (τ),..ui (τ),..uq (τ)],
(2.1.3)
где q-вектор входных сигналов (q-вектор – функция входа);
Y (τ) = Сolon[ y1 (τ),.. уi (τ),.. уr (τ)]
(2.1.4)
есть r-вектор выходных сигналов (r-вектор – функция выхода), причем в общем случае q ≠ n, r ≠ n и q ≠ r.
90
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Будем предполагать, что все координаты векторов функций
и элементы матриц в (2.1.1) как непрерывные (и, возможно, кусочнонепрерывные) функции определены в узлах чебышевских N-сеток I
и II рода:
2ν − 1
;
2N
(ν = 1, N )
ν
=
N
τ (νN ) =
θ
(N)
ν
а) ⎫
⎪
⎬
б ) ⎪⎭
(2.1.5)
причем при любых N, т. е. это функции из М (0, 1).
Таким образом, будут определены все их точечные представления, в частности, на N-сетке I рода (2.1.5 а).
Это будут блочные представления с элементами – блоками соответствующей размерности.
Для вектор-функций будем иметь
ТI
Х (τ) ⎯⎯
→ Х Т I = Colon ⎡⎣ Х ( τ1( N ) )
ТI
U (τ) ⎯⎯
→U Т I = Colon ⎣⎡U ( τ1( N ) )
ТI
Y (τ) ⎯⎯
→Y Т I = Colon ⎡⎣Y ( τ1( N ) )
Х ( τ (νN ) )
Х ( τ (NN ) ) ⎤⎦ ;
U ( τ (νN ) )
Y ( τ (νN ) )
U ( τ (NN ) ) ⎦⎤ ;
Y ( τ(NN ) ) ⎤⎦ .
а) ⎫
⎪
⎪
б) ⎬
⎪
в ) ⎪⎭
(2.1.6)
Векторные блоки-компоненты этих точечно-векторных изображений будут элементами алгебр ARNn, ARNq и ANr соответственно (см.
п.1.3), изометрически изоморфных соответствующим алгебрам ASPn,
ASPq и ASPr сплайновых (ступенчатых) представлений, возникающим
в результате гомоморфных πN-отображений функциональных алгебр
AМn, AМq и AМr.
Существуют, очевидно, и инволютивные элементы как элементы соответствующих алгебр:
ТI
*
→ Х Т*I ∈ ARNn
Х * (τ) ∈ АМ п* ⎯⎯
;
ТI
*
→U Т*I ∈ ARNq
U * (τ) ∈ АМ q* ⎯⎯
;
*
ТI
*
Y * (τ) ∈ АМ r* ⎯⎯
→ Y Т I ∈ ARNr
.
а) ⎫
⎪⎪
б) ⎬
⎪
в ) ⎪⎭
(2.1.7)
Точечные модели матричных функций представятся в виде
блочных (квазидиогональных) матриц
91
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
ТI
А(τ) ⎯⎯
→ DN ⎡⎣ А ( τ νN ) ⎤⎦ = Diag А ( τ1N ) ··· А ( τ νN ) ··· А ( τ NN ) ; а ) ⎫
⎪
⎪
N
ТI
N
N
N
K (τ) ⎯⎯→ DN ⎡⎣ K ( τ ν ) ⎤⎦ = Diag K ( τ1 ) ··· K ( τ ν ) ··· K ( τ N ) ; б ) ⎬
⎪
ТI
ТI
N
N
в ) ⎪⎭
С (τ) ⎯⎯→ DN ⎡⎣С ( τ ν ) ⎤⎦ и D (τ) ⎯⎯→ DN ⎡⎣ D ( τ ν ) ⎤⎦ .
(2.1.8)
Найдем точечную модель нашей динамической системы (2.1.1).
Имея в виду точечные представления интегральных преобразований вида (1.2.8) и матрично-векторных функциональных произведений вида (1.1.16), будем иметь
Х Т I + [ J N ( Z ) ⊗ Еп ] ⋅ DN ⎡⎣ А ( τ (νN ) ) ⎤⎦ ⋅ Х Т I = [ J N ( Z ) ⊗ Еп ] DN ⎡⎣ K ( τ (νN ) ) ⎤⎦ U Т I ; а ) ⎫⎪
⎬
YТ I = DN ⎡⎣С ( τ (νN ) ) ⎤⎦ ⋅ Х Т I + DN ⎡⎣ D ( τ (νN ) ) ⎤⎦ U Т I .
б ) ⎪⎭
(2.1.9)
Первое из этих векторно-матричных уравнений есть точечная модель рассматриваемой линейной динамической системы в важном частном случае, когда вектор Х(τ) ее фазовых переменных оказывается и ее
вектором выхода, т. е. когда С(τ) = Еn, а D(τ) ≡ 0 и Y(τ) = Х(τ). В этом
случае получаем точечную модель задачи Коши, рассмотренной в п. 1.2
при нулевых начальных условиях и K(τ) ≠ Еn. Это модель вида
{Е
Nn
+ [ J N ( Z ) ⊗ Еn ] DN [ Аν ]} Х Т I = [ J N ( Z ) ⊗ Еn ] ⋅ DN [ K ν ] ⋅ U Т I , (2.1.10)
где для сокращения записи обозначено
DN [ Аν ] = DN ⎡⎣ А(τ(νN ) ) ⎤⎦ и DN [ K ν ] = DN ⎡⎣ K (τ(νN ) ) ⎤⎦ .
(2.1.11)
Умножая обе стороны уравнения (2.1.10) на блочную теплицеву
матрицу [ ( Еn − Z ) ⊗ Еn ] , получим
{[( Е
N
− Z ) ⊗ Еn ] + λ 0 [ ( ЕN + Z ) ⊗ Еn ] ⋅ DN [ Аν ]} Х Т I =
= λ 0 [ ( ЕN + Z ) ⊗ Еn ] ⋅ DN [ K ν ] ⋅ U Т I .
(2.1.12)
А последующие преобразования [см. п.1.2] приводят модель к виду
DN [ ЕN + λ 0 Аν ] ⋅ Т N [ Вν ] Х Т I = λ 0 [ ( ЕN + Z ) ⊗ Еn ] ⋅ DN [ K ν ] ⋅ U Т I , (2.1.13)
92
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления где
Аν = А(τ νN ); K ν = K (τ νN ) (ν = 1, N );
Вν = (λ 0 Аν+1 + Еn )−1 ⋅ (λ 0 Аν − Еn ) =
λ 0 Аν − Еn
λ 0 Аν +1 + Еn
(ν = 1,( N − 1).
(2.1.14)
(2.1.15)
Необходимо иметь в виду, что запись этого матричного произведения в виде дроби лишь сделано ради его сокращения. Матрицы
в произведении неперестановочны.
⎡ Еn
⎤
⎢ В1 Еn
⎥
⎥.
Т N [ Вν ] = ЕNn + ( Z ⊗ Еn ) ⋅ DN [ Вν ] = ⎢
⎢
Вν Еn ⎥
⎢
⎥
ВN −1 Еn ⎦
⎣
(2.1.16)
Из равенства (2.1.13) следует представление для Х Т I :
Х Т I = Т N−1[ Bν ] ⋅ DN ⎡⎣(λ 0 Аν + Еn ) −1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ ( ЕN + Z ) ⊗ Еn ] ⋅ DN [ K ν ] ⋅ U Т I .
(2.1.17)
Введем блочную матрицу WN(АνiKν), полагая
WN (Аνi ; K ν ) = Т N−1[ Bν ] ⋅ DN ⎡⎣(λ 0 Аν + Еn)−1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ ( ЕN + Z )⊗Еn ] ⋅ DN [ K ν ].
(2.1.18)
Тогда представление (2.1.17) запишется в виде
Х Т I = WN (Аνi ; K ν ) ⋅ U ТI = WN (Аν ) ⋅ DN [ K ν ] ⋅ U ТI ,
(2.1.19)
и, следовательно, матрица WN(Аν; Kν) (2.1.18), связывающая точечные
изображающие вектора входа U TI и выхода Х Т I динамической системы, оказывается передаточной матрицей в пространстве точечных
представлений временных сигналов, действующих в рассматриваемой
динамической системе (рис. 2.1.1).
U ТI
Х ТI
⎯⎯⎯
→ WN ( Аν ; K ν ) ⎯⎯⎯
→
Рис. 2.1.1
93
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Обратные блочные матрицы в (2.1.18) имеют явные представления (1.2.19) и (1.2.31):
−1
DN ⎡⎣( λ 0 Аν + ЕN ) ⎤⎦ =
−1
= Diag ⎡⎣( λ 0 А1 + ЕN )
En
− В1
Т N−1 [ Вν ] =
ν−1
(−1)ν −1 ∏ Вν− i
i =1
N −1
−1
( λ 0 АN + ЕN )
−1
⎤.
⎦
(2.1.20)
En
ν− 2
(−1)ν− 2 ∏ Вν−i
(−1) N −1 ∏ ВN − i (−1)
i =1
( λ 0 Аν + ЕN )
i =1
N −2
N −2
∏В
i =1
N −i
Bν−2 ⋅ Bν−1
BN −2 ⋅ BN −1
− Bν−1
. (2.1.21)
En
− BN −1
En
Представление (2.1.17) для X TI (или (2.1.19)) есть решение уравнения (2.1.13), являющегося точечной моделью интегрального уравнения (2.1.1а) (при X0 = 0) – ее гомоморфным алгебраическим образом
и, следовательно, оказывается точечным отображением решения этого
интегрального уравнения, ассоциированным с чебышевской N-сеткой
I рода (2.1.5 а) при выбранных значениях параметров Т и λ0 = Т/2N > 0.
Это, в частности, означает, что если существует хотя бы одно
решение функционального уравнения (2.1.1а) (и соответствующей задачи Коши), то будет существовать (при заданных N и Т) соответствующее решение точечного уравнения (2.1.13) – его гомоморфного отоπN
TI
→ AS pn ⎯⎯
→ ARNn
бражения, − в силу отображения алгебр AM N ⎯⎯
(см. п. 1.3).
Очевидно, будет верным и обратное утверждение: существование решения точечного уравнения (2.1.13) (при всяком конечном N,
заданном Т > 0 и заданной правой части) будет означать существование и его гомоморфного прототипа – решения интегрального уравнения (2.1.1а) которое затем по его точечному изображению может быть
представлено приближенно, в частности в виде сплайновой (ступенчатой) модели (см. п. 1.3).
Но существование решения точечного уравнения (2.1.13), т. е.
представление (2.1.19) для X TI , означает существование и самой точечной модели интегрального уравнения (2.1.1), т. е. существование
94
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления передаточной матрицы WN(Аν; Kν) (2.1.18) рассматриваемой динамической системы.
Возникает вопрос: при каких условиях эта матрица будет существовать, обеспечивая алгебраическую связь вектора входа U TI (2.1.6 б),
с вектором выхода X TI (2.1.6а) в форме точечной модели (2.1.19) динамической системы (2.1.1).
Может быть доказана следующая теорема – теорема о существовании точечной модели линейной динамической системы (о существовании решения соответствующей задачи Коши для уравнения (2.1.1а)).
Теорема 2.1.1. Если матричная функция
[λ 0 А(T τ) + Еп ] = [λ0 А(τ) + Еп ], (п×п), τ∈[0, 1]
(2.1.22)
с матрицей А(τ) (п×п) – системной матрицы динамической системы
(2.1.1а), при некотором Т > 0 и всяком N (всяком λ0 = Т/2N > 0) окажется положительно определенной, то будет существовать точечная модель (2.1.19) такой системы с передаточной матрицей WN (Аν; Kν)
(2.1.18), т. е. представление вектора X TI как точечного изображающего
вектора решения функционального уравнения (2.1.1а), описывающего
поведение системы на отрезке [0, 1] (на временном отрезке [0, Т]).
Доказательство. Положительная определенность матрицы
(2.1.22) означает положительную определенность квадратичной формы, построенной на этой матрице, т. е. выполнение условия
([ λ А(τ) + Е ] η, η) = λ ( А(τ)η, η) +
0
0
п
η э2 > 0
(2.1.23)
при всяком ненулевом п-векторе η.
Оно будет выполняться, если все угловые миноры матрицы
(2.1.22), включая и ее определитель, будут положительными (критерий Сильвестра).
Таким образом, положительная определенность матрицы (2.1.22)
означает ее невырожденность и, следовательно, существование обратной матрицы [λ0А(τ) + Еп]–1 τ∈[0, 1] и всех обратных матриц – ее значений в узлах N-сетки I рода:
−1
⎡⎣ λ 0 А(τ(νN ) ) + Еп ⎤⎦ = ( λ 0 Аν + Еп ) ,
−1
( ν = 1, N ) ,
(2.1.24)
95
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
а также матриц (2.1.15):
Вν = ( λ 0 Аν +1 + Еп ) ⋅ ( λ 0 Аν − Еп )
−1
−1
( ν = 1, ( N − 1) ).
(2.1.25)
Это будет также означать и существование блочных матриц
DN [(λ 0 Av + En )−1 ] (2.1.20) и Т N−1 [ Вν ] (2.1.21) и передаточной матрицы
WN(Аν; Kν) (2.1.18), а значит, и существование решения в виде блочного вектора N-вектора X TI точечного уравнения (2.1.13) при заданной
правой части.
По этому решению при всяком N и заданном Т может быть построено единственное сплайновое (в частности, ступенчатое) представление:
T
SpN0 ( X T ; τ) = [ X T , Π N (τ)] ←⎯
→ XT :
(2.1.26)
I
I
I
I
– элемента алгебры АSpn, являющегося гомоморфным πNобразом вектор-функции Х(τ);
– решения уравнения (2.1.1 а) на отрезке[0, 1] и элемента алгебры
AMN. С ростом N гомоморфное πN-отображение алгебры AMN на алгебру АSpn сплайновых форм нулевой степени становится все ближе к их
изометрическому изоморфизму, а элементы SpN0 ( X TI ; τ) из АSpn будут
все точнее представлять элемент Х(τ) из AMN – единственное решение
функционального уравнения (2.1.1а) (см. утверждение 1.3.1).
На этом доказательство закончим.
Замечание 1. Для выполнения условия теоремы достаточно положительной определенности на временном отрезке [0, Т] матрицы
А(t) = А(Тτ) = А(τ) τ∈[0, 1],
т. е. условия
(А(τ)η,η) > 0
при всяком п-векторе η, отличном от нулевого и всяком λ0 = Т/2N > 0.
Замечание 2. Для однородной задачи Коши (2.1.1 а), когда K ≡ 0,
условие теоремы является необходимым и достаточным для существования единственного решения, определяемого заданным начальным
условием
ТI
Х (0) = Х 0 ⎯⎯
→ 1Т(I N ) ⊗ Х 0
и передаточной матрицей
96
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления WN ( Аν ;0) = Т N−1 [ Вν ] ⋅ DN ⎡⎣(λ 0 Аν + Еп ) −1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ ( Еп + Z ) ⊗ Еп ] ,
(2.1.27)
имеющей в этом случае ранг Nn.
Рассмотрим теперь п-мерную линейную стационарную динамическую систему как частный вариант системы (2.1.1), когда все ее
матрицы (2.1.8) оказываются постоянными:
dX (τ)
⎫
а) ⎪
+ ТА ⋅ Х (τ) = ТK ⋅ U (τ);
dτ
⎪
τ ∈[0,1] ⎬
⎪
Y (τ) = С ⋅ Х (τ) + D ⋅ U (τ).
б ) ⎪⎭
Интегральное уравнение,
в (2.1.28), имеет вид
τ
эквивалентное
(2.1.28)
дифференциальному
τ
Х (τ) + ТА∫ Х (τ)dτ = ТK ∫ U (τ)dτ + Х 0
0
(2.1.28а)
0
и решение
τ
Х (τ) = Т ∫ е − А(τ−ζ) ⋅ K ⋅ U (ζ) dζ + Х 0е − АТτ , τ ∈ [0,1],
Т
(2.1.29)
0
представляемое при Х0 = 0 в виде интеграла свертки матричной функции е–АТτ (n×n) τ∈[0, 1] и п-векторной функции KU(τ).
Найдем точечную модель интегрального уравнения (2.1.28) при
Х0 = 0, которую снова будем рассматривать как модель динамической
системы (1.28), когда Y(τ) = Х(τ). Это модель (2.1.13) в рассматриваемом
частном случае, когда матрицы (2.1.15) оказываются постоянными:
Аν = А(τ νN ) = А,(п × п); K ν = K (τ νN ) = K ,(п × q); (ν = 1, N ); а) ⎫
⎪
Еп − λ 0 Аν
Еп − λ 0 А
⎬ (2.1.30)
− Вν =
=
= − В,(п × п); (ν = 1,( N − 1)), б ) ⎪
Еп + λ 0 Аν+1 Еп + λ 0 А
⎭
а блочные матрицы в (2.1.13) получают представления
DN [ ЕN + λ 0 Аν ] = DN [ ЕN + λ 0 А] =
= Diag [ ( ЕN + λ 0 А)
( ЕN + λ 0 А)
( ЕN + λ 0 А)] = [ ЕN ⊗ ( ЕN + λ 0 А) ]; а)
DN [ K ν ] = DN [ K ] = Diag [ K
K ] = [ ЕN ⊗ K ];
K
б)
(2.1.31)
97
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
⎡ ЕN
⎢(− В) Е
N
Т N [ Вν ] = Т N [ (− В)] = ЕNп + [ Z ⊗ (− В)] = ⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ . (2.1.32)
⎥
⎥
(− В) ЕN ⎦
Сама же модель получает вид
DN [ Еn + λ 0 А] ⋅ Т N [− B] ⋅ Х Т I = λ 0 [ ( ЕN + Z ) ⊗ Еn ] ⋅ ( ЕN ⊗ K ) ⋅ U Т I , (2.1.33)
и, следовательно, будем иметь
Х Т I = Т N−1[− B] ⋅ DN ⎡⎣( Еn + λ 0 А)−1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ ( ЕN + Z ) ⊗ Еn ] ⋅ ( ЕN ⊗ K ) ⋅ U Т I =
= WN ( А; K ) ⋅ U Т I .
(2.1.34)
Блочная матрица
WN(А; K) = Т N−1 [–В]·DN[(Еп + λ0А)–1] · λ0[(ЕN + Z) ⊗ Еп] (ЕN ⊗ K) (2.1.35)
является, очевидно, передаточной матрицей в рассматриваемом частном случае стационарной динамической системы (2.1.28). Она имеет
блочную нижнетреугольную структуру, причем из (2.1.20) и (2.1.21),
как частные случаи, следует:
а) ⎫
⎪
N −1
N −1
⎬
Т N−1[− В] = ∑[ Z ν ⊗ (− В)ν ] = ∑[ Z ν ⊗ (− В) ν ]. б ) ⎪
ν =0
ν =0
⎭
−1
DN ⎡⎣( ЕN + λ 0 А) ⎤⎦ = ⎡⎣ ЕN ⊗ ( ЕN + λ 0 А) −1 ⎤⎦ ;
(2.1.36)
Предполагается, естественно, существование обратной матрицы
(Еп + λ0А)–1, т. е. выполнение условия теоремы 2.1.1 в рассматриваемом частном случае.
Все блочные матрицы в представлении (2.1.35) оказываются
теплицевыми нижнетреугольными и, следовательно, перестановочными, поэтому (2.1.35), учитывая (2.1.36), может быть записано
в виде
WN ( А; K ) =
N −1
= λ 0 [ ( Еп + Z ) ⊗ Еп ] ⋅ ∑ [ Z ⊗ (− В ) ] ⋅ [ Еп ⊗ ( Еп + λ 0 А) ] ( Еп ⊗ K ) =
ν
−1
ν =0
= λ 0 [ ( Еп + Z ) ⊗ Еп ] ⋅ WNТ I ( А; K ),
98
(2.1.37)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления где
N −1
WNТ I ( А; K ) = ∑ [ Z ⊗ (− В ) ] ⋅ [ Еп ⊗ ( Еп + λ 0 А) ] ( Еп ⊗ K ).
−1
ν
(2.1.38)
ν =0
Таким образом, вместо (2.1.34) можем написать для X TI :
Х Т I = WN ( А; K ) ⋅ U Т I = λ 0 [ ( ЕN + Z ) ⊗ Еn ] ⋅ WNТ I ( А; K ) ⋅ U Т I .
(2.1.39)
Этот блочный вектор есть точечное представление п-вектор функции
Х(τ) – интеграла свертки в (2.1.28а) при Х(0) = Х0 = 0, ассоциированное с чебышевской N-сеткой I рода (2.1.5а).
Возможно точечное представление этого интеграла, ассоциированное с N-сеткой II рода (2.1.5б).
Имеем, следовательно, следующую картину по точечным отображениям:
τ
ТI
→ Х Т I = ⎡⎣ Х (τ1( N ) )
Т ∫ е− АТ (τ −ζ) ⋅ KU (ζ)dζ = Х (τ) ⎯⎯
Х (τ (νN ) )
0
τ
Т II
→ Х Т I = ⎣⎡ Х (θ1( N ) )
Т ∫ е− АТ (τ −ζ) ⋅ KU (ζ)dζ = Х (τ) ⎯⎯
Х (θ (νN ) )
0
⎫
Х (τ (NN ) ) ⎤⎦ ; а ) ⎪
⎪
⎬
(N )
Х (θ N ) ⎦⎤ . б ) ⎪
⎪
⎭
(2.1.40)
Но согласно (1.1.9) смежные блочные точечные изображения
связаны между собой соотношением
[( ЕN + Z ) ⊗ Еn ] Х Т
II
= 2 Х Т I , (Х0 = 0).
(2.1.41)
Подставляя сюда представление (2.1.39) для X TI , найдем следующее представление для X TII :
Х Т II = 2λ 0 ⋅ WNТ I ( А; K ) ⋅ U Т I .
(2.1.42)
Таким образом, введенная матрица WNТ I ( А; K ) (2.1.38) со скалярным множителем 2λ0 играет роль передаточной матрицы, связывая
точечный вектор входа U TI , ассоциированный с N-сеткой I рода, и точечный вектор выхода X TII , ассоциированный со смежной с N-сеткой
II рода в точечной модели динамической системы (2.1.28 а).
99
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Но такого рода связывающее функциональное равенство, как
уже отмечалось, представляется в виде сверточного соотношения
(2.1.29) (Х0 = 0), поэтому согласно (1.1.56) будем иметь
τ
N
0
ν =1
Т II
Т ∫ е − АТ (τ−ζ) KU (ζ)dζ = Х (τ) ⎯⎯
→ Х Т II = 2λ 0 ∑ [ Z ν −1 ⊗ е − АТτ ν
(N)
] ( ЕN ⊗ K )U Т .
I
(2.1.43)
Сравнивая с (2.1.42), можно видеть представление (приближенное) для матрицы WNТ I ( А; K ) (2.1.38):
WNТ I ( А; K ) = Т N−1 [ − В ] ⋅ DN ⎡⎣( Еп + λ 0 А) −1 ⎤⎦ ( ЕN ⊗ K ) =
N −1
= ∑ [ Z ⊗ (− В) ] ⋅ [ ЕN ⊗ ( Еп + λ 0 А) ] ( ЕN ⊗ K ) ≈
−1
ν
ν =0
N
≈ ∑ ⎡⎣ Z ν −1 ⊗ (е − АТτ ν ) ⎤⎦ ( ЕN ⊗ K ),
(N )
(2.1.44)
ν =1
откуда следует равенство теплицевых матриц
Т [ − В ] ⋅ DN ⎡⎣( Еп + λ 0 А) −1 ⎤⎦ ≅ ∑ [ Z ν −1 ⊗ е − АТτ
N
−1
N
(N )
ν
]
(2.1.45)
ν =1
и соответствующее равенство их элементных блочных N-векторов,
которое получим, если умножим (2.1.45) на блочный единичный
N-вектор:
е1( N ) ( Еп ) = (е1( N ) ⊗ Еп ) = Colon [ Еп 0
0
0 ].
(2.1.46)
В подробной записи для правой теплицевой матрицы в (2.1.45) имеем
(см. также п. 1.2):
е
N
− АТ τ1( N )
∑[Z ν−1 ⊗ е− АТτν ] = е− АТτ(νN )
(N )
ν =1
е
− АТ τ (NN )
е
− АТ τ1( N )
(N)
е − АТτ ν
.
е
(2.1.47)
− АТ τ1( N )
Можно видеть, что элементный блочный N-вектор этой матрицы
(это ее первый столбец) есть точечный изображающий вектор мат100
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления ричной экспоненциальной функции е–АТτ, τ∈[0, 1], ассоциированный
с N-сеткой I рода, т. к.
ТI
е− АТτ ⎯⎯
→ Colon [ е− АТτ1
(N)
N
(N)
(N )
е− АТτ N
е− АТτ ν
]=
(2.1.48)
= ∑[ Z ν −1 ⊗ е− АТτν ] ⋅ е1( N ) ( Еп ).
(N )
ν=1
Далее для элементного блочного N-вектора левой теплицевой
матрицы в равенстве (2.1.45) получим
Т N−1 [ − В ] ⋅ DN ⎡⎣( Еп + λ 0 А)−1 ⎤⎦ е1( N ) ( Еп ) =
= ( Еп + λ 0 А) −1 Colon ⎡⎣ Еп
(−В )
⎡ ⎛ Е − λ0 А ⎞
= ( Еп + λ 0 А) Colon ⎢ Еп ⎜ п
⎟
⎣⎢ ⎝ Еп + λ 0 А ⎠
−1
( − В ) N −1 ⎤⎦ =
( − В ) ν −1
⎛ Еп − λ 0 А ⎞
⎜ Е +λ А⎟
0
⎝ п
⎠
ν −1
⎛ Еп − λ 0 А ⎞
⎜ Е +λ А⎟
0
⎝ п
⎠
N −1
⎤
⎥.
⎦⎥
(2.1.49)
Равенство блочных элементных векторов (2.1.48) и (2.1.49) теплицевых матриц в (2.1.45) дает точечное представление для матричной функции е–АТτ:
е
− АТ τ1( N )
е − λ0 А
Еп
⎛ Еп − λ 0 А ⎞
⎜ Е + λ А⎟
0
⎝ п
⎠
(N)
е − АТτ ν
е
− АТ τ
=
е − λ0 А(2 ν −1)
≈ ( Еп + λ 0 А) −1 ⋅ ⎛ Еп − λ 0 А ⎞ ν −1
⎜ Е + λ А ⎟ . (2.1.50)
0
⎝ п
⎠
⎯⎯→ =
ТI
е
− АТ τ (NN )
е
− λ 0 А (2 N −1)
⎛ Еп − λ 0 А ⎞
⎜ Е + λ А⎟
0
⎝ п
⎠
N −1
Ранее [78] были рассмотрены и решены задачи об обращении
операторных изображений по Лапласу вида рациональных дробей методом точечных представлений. В частности, были найдены точечные
101
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
представления временных экспоненциальных оригиналов простейших
операторных дробей, возникающих при следующих отображениях:
1 i − аt t =Tτ
TI
=i е ⎯⎯⎯
→ е − аТτ ⎯⎯
→ Colon [ е − аλ0 , ⋅ ⋅ е − аλ0 (2 ν −1) , ⋅ ⋅ е − аλ0 (2 N −1) ] ≈
р+а
⎡ ⎛ 1 − λ 0 а ⎞ ⎛ 1 − λ 0 а ⎞ ν −1 ⎛ 1 − λ 0 а ⎞ N −1 ⎤
1
(2.1.51)
≈
⋅ Colon ⎢1, ⎜
⎟ ,⋅ ⋅ ⎜
⎟ ,⋅ ⋅ ⎜ 1 + λ а ⎟ ⎥ ,
1 + λ0а
⎢⎣ ⎝ 1 + λ 0 а ⎠ ⎝ 1 + λ 0 а ⎠
⎥⎦
0 ⎠
⎝
F ( р; а ) =
когда параметр «а» принимает различные комплексные значения
и когда над операторным изображением F(р; а) и его оригиналом е–аt,
как функциями параметра «а», производятся аналитические операции,
в частности, операция дифференцирования.
Отображение сохранятся и в том случае, когда параметр «а»
окажется квадратной матрицей А (п×п). В этом случае, приближенное
точечное отображение в (2.1.51) становится блочно-матричным и получает вид (2.1.52), совпадающий с (2.1.50):
⎡ е − λ0 А ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
i
Еп
t =Tτ
TI
− Аt
− АТτ
− λ 0 А (2 ν−1) ⎥
⎢
= е ⎯⎯⎯
→е
⎯⎯
→ е
≈
F ( р; А) =
⎢
⎥
рЕп + А i
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ − λ0 А(2 N −1) ⎥
⎣е
⎦
Еп
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎛ Е − λ А ⎞ν−1 ⎥
п
0
⎥
−1 ⎢ ⎜
⎟
+
λ
Е
А
≈ ( Еп + λ 0 А ) ⎢ ⎝ п
0
⎠ ⎥.
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎛ Е − λ А ⎞ N −1 ⎥
0
⎢⎜ п
⎟ ⎥
⎢⎣⎝ Еп + λ 0 А ⎠ ⎥⎦
(2.1.52)
Итак, блочно-матричный N-вектор в (2.1.50) есть элементный
вектор блочной теплицевой матрицы
102
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления N −1
ν
Т [ − В ] ⋅ DN ⎡⎣( Еп + λ 0 А) −1 ⎤⎦ = ∑ [ Z ⊗ (− В) ] ⋅ ⎡⎣ ЕN ⊗ ( Еп + λ 0 А) −1 ⎤⎦ , (2.1.53)
−1
N
ν =0
входящей в роли системной в состав передаточной матрицы (2.1.35):
WN ( А; K ) = Т N−1 [ − В ] ⋅ DN ⎡⎣( Еп + λ 0 А) −1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ ( ЕN + Z ) ⊗ Еп ] ( ЕN ⊗ K ) (2.1.54)
линейной стационарной динамической системы (2.1.28а), связываюTI
→UTI
щей, как уже отмечалось, точечные изображения входа U (τ) ⎯⎯
TI
→ X TI :
и выхода X (τ) ⎯⎯
Х Т I = WN ( А; K ) ⋅ U Т I .
(2.1.55)
В общем случае нестационарной системы (2.1.1) введенное понятие передаточной матрицы сохранится, но системные матрицы
(2.1.20) и (2.1.21) в ее составе уже не будут теплицевыми. Это будет
нижетреугольная блочная матрица вида (2.1.18), обобщающая вид
(2.1.54) в стационарном случае
WN ( Аν ; K ν ) = Т N−1 [ Вν ] ⋅ DN ⎡⎣( Еп + λ 0 Аν ) −1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ ( ЕN + Z ) ⊗ Еп ] DN [ K ν ] , (2.1.56)
но также связывающая точечные изображения векторных сигналов
входа и выхода (2.1.19) (см. рис. 1.1.1):
Х Т I = WN ( Аν ; K ν ) ⋅ U Т I .
(2.1.57)
Построим теперь точечную модель динамической системы
(2.1.1), ассоциированную с чебышевской 2N-сеткой II рода
k
N)
=
θ (2
, (k = 1, 2 N ) .
k
2N
Точечная модель соответствующей задачи Коши для уравнения
(2.1.1а) при K(τ) = Еп была рассмотрена ранее (см. п. 1.2).
Рассмотрим снова частный случай динамической системы, когда
п-вектор Х(τ) ее фазовых переменных совпадает с ее вектором выхода
Y(τ), т. е. при С(τ) = Еп и D(τ) ≡ 0.
Будем предполагать также нулевые начальные условия:
Х(0) = Х0 = 0 и U(0) = U0 = 0. В этом случае точечная модель динамической системы, связывающая блочные точечные векторы входа
103
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
UТ(2II N ) = Colon [U (λ 0 )
U (λ 0 k )
U (λ 0 2 N )] = Colon [U1
Uk
U2N ]
(2.1.58)
и выхода
Х Т(2II N ) = Colon [ Х (λ 0 )
Х (λ 0 k )
Х (λ 0 2 N )] = Colon [ Х 1
Хk
Х 2 N ],
(2.1.59)
N)
определенные в узлах 2N-сетки II рода Tθ (2
=
k
T
⋅ k = λ 0 k , (k = 1, 2 N ) ,
2N
U
будет совпадать с моделью для соответствующей X TII точечного решения рассмотренной ранее задачи Коши (см. п. 1.2) при замене в нем
U TII на D2 N [ K k ]UT(2II N ) с квазидиагональной матрицей вида
D2 N [ K k ] = Diag [ K (λ 0 )
K (λ 0 k )
K (λ 0 2 N ) ].
(2.1.60)
Ее матричные блоки K = (λ 0 k ), ( k = 1, 2 N ) имеют размерность
(n×q).
Из (1.2.79) получаем точечную модель рассматриваемой динамической системы:
D2 N [ 2 Еп + λ 0 Аk ] ⋅ Т 2 N [ α k ] ⋅ Х Т(2II N ) = ⎡⎣( Е2 N + Z 2 N ) ⊗ Еп ⎤⎦ λ 0 D2 N [ K k ] ⋅ U Т(2II N ) ,
(2.1.61)
и, следовательно, представление «вход – выход» запишется в виде
−1
Х Т(2II N ) = Т 2−N1 [ α k ] ⋅ D2 N ⎣⎡( 2 Еп + λ 0 Аk ) ⎤⎦ ⋅ λ 0 ⎡⎣( Е2 N + Z 2 N ) ⊗ Еп ⎤⎦ D2 N [ K k ] ⋅ UТ(2II N ) =
= W2 N ( Аk ; K k ) ⋅ UТ(2II N ) = W2 N ( Аk ) ⋅ D2 N [ K k ] ⋅ UТ(2II N ) ,
(2.1.62)
в котором введенная блочная матрица
W2 N ( Аk ; K k ) = W2 N ( Аk ) ⋅ D2 N [ K k ]
(2.1.63)
при
−1
W2 N ( Аk ) = Т 2−N1 [ α k ] ⋅ D2 N ⎡⎣( 2 Еп + λ 0 Аk ) ⎤⎦ ⋅ λ 0 ⎡⎣( Е2 N + Z 2 N ) ⊗ Еп ⎤⎦ (2.1.64)
будет иметь смысл передаточной матрицы точечной модели динамической системы (2.1.1а). Заметим, однако, что по существу роль пере104
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления даточной, т. е. системной матрицы в точечной модели рассматриваемой динамической системы, играет выделенная явно блочная матрица W2N(Ak) (2.1.64), т. к. лишь она определяется по блочно точечным
значениям Ak = A(λ0k), ( k = 1, 2 N ) системной матрицы А(τ) (п×п)
в (2.1.1а).
Отметим еще, что в стационарном случае, когда А(τ) = А = const,
τ∈[0, 1] и, следовательно, Ak = A, (k = 1, 2 N ) , системная матрица
W2N(Ak) (2.1.64) точечной модели (2.1.62) получает более простой вид
блочной нижнетреугольной теплицевой матрицы (см. (1.2.117)).
2.2. Управляемость линейных динамических систем как свойство их точечных моделей Пусть имеем линейную нестационарную динамическую систему
типа (2.1.1):
dХ (τ)
+ ТА(τ) Х (τ) = ТK (τ) ⋅ U (τ)
dτ
(2.2.1)
п-фазовых переменных которой (п-вектор состояния Х(τ) (2.1.2)) оказываются ее выходными переменными, а q-вектор U(τ) (2.1.3) является вектором ее выходных сигналов (вектор-функции входа). Рассматриваются управляемые динамические системы, выходные процессы
Х(τ) в которых, определяющие их динамику на отрезке [0, 1] безразмерного времени τ (или [0, T] времени t = Tτ), возникают под воздействием входных сигналов U(τ), т. е. управляются этими сигналами.
Будем их называть управлением.
Возникает естественный вопрос: при каких условиях система
будет обладать таким свойством, которое будем называть свойством
управляемости или просто управляемостью.
Дадим следующее определение.
Определение 2.1. Линейную систему (2.2.1) назовем управляемой на отрезке [0, τ] ⊂ [0, 1], если для всякого конечного состояния
Х(τ0) на этом отрезке существует управление U0(τ), которое переводит
систему из состояния покоя Х(0) = 0 в состояние Х(τ0).
Выделим сразу множество линейных стационарных систем – частного случая нестационарных систем (2.2.1), когда матрицы А(τ),
(п×п) и K(τ), (п×q) оказываются постоянными:
105
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
τ
τ
dХ (τ)
+ ТА ⋅ Х (τ) = Т ⋅ K ⋅ U (τ) ⇒ Х (τ) + Т ⋅ А∫ Х (τ)dτ = Т ⋅ K ∫ U (τ)dτ.
dτ
0
0
(2.2.1)
Будем искать условия управляемости систем (2.2.1) на основе их
точечных моделей, точнее, точечных моделей их эквивалентных интегральных уравнений вида (2.1.1 а) (X0 = 0):
τ
τ
0
0
Х (τ) + Т ∫ А(τ) Х (τ)dτ = Т ∫ K (τ)U (τ)dτ,
(2.2.2)
которые являются гомоморфными алгебраическими образами этих
уравнений.
Однако переход к точечным моделям требует несколько иного
определения свойства управляемости уже на языке метода точечных
представлений. Для линейной динамической системы (2.2.2), точечная модель которой, ассоциированная с чебышевской N-сеткой I рода,
связывает блочные точечные вектора входа и выхода:
ТI
→U Т I = Colon ⎡⎣U ( τ1( N ) )
U (τ) ⎯⎯
Х (τ) ⎯⎯→ Х Т I = Colon ⎣⎡ Х ( τ1( N ) )
ТI
U ( τ (νN ) )
Х (τ
(N )
ν
)
U ( τ (NN ) ) ⎤⎦ ;
а ) ⎫⎪
⎬
Х ( τ (NN ) ) ⎤⎦ б ) ⎪⎭
(2.2.3)
в форме линейного преобразования
Х Т I = WN ( Аν ; K ν ) ⋅ U Т I ,
(2.2.4)
реализуемого ранее определенной (см. (2.1.18)) блочной передаточной матрицей
−1
WN ( Аν ; K ν ) = Т N−1 [ Вν ] ⋅ DN ⎡⎣( Еп + λ 0 Аν ) ⎤⎦ ⋅ λ 0 ⎡⎣( ЕN + Z ) ⊗ Еп ⎤⎦ ⋅ DN [ K ν ] ,
(2.2.5)
может быть дано следующее определение свойства управляемости.
Определение 2.2. Линейную динамическую систему (2.2.2), имеющую точечную модель (2.2.4), назовем управляемой на отрезке [0, 1]
безразмерного времени (или на отрезке [0, T] для переменной t = Tτ),
если для всяких состояний Х (τ (νN ) ) (ν = 1, N ) как значений выходного
п-мерного сигнала Х(τ), τ ∈ [0, 1] в узлах чебышевской N-сетки I рода
106
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления 2ν − 1
, (ν = 1, N ) , т. е. для всякого выходного точечного вектора
2N
(2.2.3 б), существуют такие соответствующие q-мерные управле-
τ (νN ) =
Х ТI
ния U (τ (νN ) ), (ν = 1, N ) , образующие точечные векторы входа U Т I
(2.2.3а), которые переводят динамическую систему из состояния покоя Х(0) =Х0 = 0 в любое из заданных состояний Х (τ (νN ) ) (ν = 1, N ) при
любой размерности чебышевской сетки.
Замечание. Управляемость всякой линейной динамической системы вида (2.2.2) означает и существование управления U(t) = U(Tτ),
способного переводить систему и из состояния покоя Х(0) = 0 в некоторое конечное состояние Х(T) за конечный промежуток времени
[0, T] и удерживать ее в таком состоянии в последующее время.
Но такое свойство может реализовываться лишь в асимптотически устойчивых системах. Таким образом, устойчивость системы вида
(2.2.2) является необходимым условием для ее управляемости.
Используя это определение, найдем условие управляемости
прежде, для стационарной динамической системы (2.2.1) – более простого частного случая системы (2.2.2).
Точечная модель такой системы (см. (2.1.34))
Х Т I = WN ( А; K ) ⋅ U Т I
(2.2.6)
имеет более простую передаточную матрицу (2.1.35), которую представим в виде произведения двух блочных теплицевых матриц, одна
из которых определяется только системной матрицей А, (п×п), другая
только матрицей K (п×q):
WN ( А; K ) = Т N−1 [ – В ] ⋅ DN [( Еп + λ 0 А) –1 ] ⋅ λ 0 [( Е N + Z ) ⊗ Еп ]( ЕN ⊗ K ) =
= WN ( А) ⋅ ( Е N ⊗ K ) = WN ( А) ⋅ DN [ K ].
(2.2.7)
Для матрицы WN(A), учитывая перестановочность блочных теплицевых матриц, будем иметь представление
WN ( А) = DN [( Еп + λ 0 А) –1 ] ⋅ Т N−1 [ (– В ) ] ⋅ λ 0 [( Е N + Z ) ⊗ Еп ]
(2.2.8)
Для матриц в ее составе найдем развернутые представления.
107
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Так, обращение матрицы TN[(–B)] (2.1.32) дает для матрицы
Т N−1 [ (– В ) ] :
N −1
Т N−1 [(– В)] = {Т N [(– В)]} = {ЕNп + [ Z ⊗ (– В )]} = ∑ (−1) ν [ Z ⊗ (– В)] =
−1
−1
ν
ν =0
ЕN
−( − В )
N −1
(− В)
= ∑ [ Z ⊗ (−1) (– В ) ] =
ν
ν
ЕN
−( − В )
2
ЕN
ν
ν =0
(−1) ν (– В) ν
(− В)2
(−1) N −1 (– В ) N −1
(−1) ν (– В) ν
−( − В ) ЕN
( − В ) 2 −( − В ) Е N
(2.2.9)
В компактной записи для нулевых степеней предполагается, что
Z = EN; (–В)0 = Еп => [Z0 ⊗ (–В)0] = (EN ⊗ Еп) = ENп. Символом (–В) обозначен дробно-рациональный матричный блок (см. (2.1.30)):
0
(− В) =
Еп − λ 0 А
−1
−1
= ( Еп + λ 0 А) ( Еп − λ0 А) = ( Еп − λ 0 А)( Еп + λ0 А) , (п × п) .
Еп + λ0 А
(2.2.10)
Обратную матрицу ( Еп + λ 0 А) часто удобно представлять в виде дробно-рациональной функции матрицы А (п×п) с положительным
параметром λ0 = Т/2N > 0, полагая
−1
( Еп + λ0 А)
−1
=
Еп
( п × п) .
Еп + λ 0 А
(2.2.11)
Тогда квазидиагональная матрица DN[(Еп + λ0А)–1] в (2.2.7)
и (2.2.8) запишется в виде
DN ⎡⎣( Еп + λ 0 А)−1 ⎤⎦ = Diag
Еп
Еп + λ0 А
Еп
Еп + λ0 А
Еп
. (2.2.12)
Еп + λ0 А
Для последней блочной матрицы в произведении (2.8) будем
иметь
108
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления ⎡⎣( Еп + Z ) ⊗ Еп ⎤⎦ = ( Еп ⊗ Еп ) + ( Z ⊗ Еп ) =
Еп
Еп
Еп
.
(2.2.13)
Еп Еп
Подставим теперь в (2.2.8) найденные явные представления
матриц (2.2.9), (2.2.12) и (2.2.13) и осуществим операции матричных
умножений. При этом возникают следующие преобразования блочных матричных элементов:
[(−1)ν (− В)ν + (−1)ν−1 ⋅ (− В)ν−1] = (−1)ν−1 ⋅ (− В)ν−1 [−(− В) + Еп ] =
2λ 0 А
⎡ Е − λ0 А
⎤
= (−1) ν −1 (− В ) ν −1 ⎢− п
+ Еп ⎥ = ( −1) ν −1 ( − В ) ν −1 ⋅
, (ν = 1,( N − 1)),
Еп + λ 0 А
⎣ Еп + λ 0 А
⎦
(2.2.14)
которые и определят блочные элементы результирующей матрицы
WN(А) (2.2.8):
WN ( А) =
⎡
⎤
Еп
⎢
⎥
⎢
⎥
2λ 0 А
Еп
⎢
⎥
Еп + λ 0 А
⎢
⎥
⎢
⎥
Еп
ν−
ν−
1
1
⎢
⎥.
=
⋅ 2λ (−1) (− В) А
А
2λ
0
Еп + λ 0 А ⎢ 0
⎥
Еп
Еп + λ 0 А
Еп + λ 0 А
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
N −2
N −2
2λ 0 (−1)ν−1 (− В)ν−1 А
2λ 0 А
⎢ 2λ 0 (−1) (− В) А
Еп ⎥
⎢⎣
Еп + λ 0 А
Еп + λ 0 А
Еп + λ 0 А ⎥⎦
(2.2.15)
В связи с представлением (2.2.7) для передаточной функции
в стационарном случае динамической системы ее точечная модель
(2.2.6) может быть записана в виде
Х Т I = WN ( А; K ) ⋅ U Т I = WN ( А) ⋅ DN ( K ) ⋅ U Т I ,
(2.2.16)
109
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
где квазидиогональная матрица DN(K) (NqxNq) имеет прямоугольную
матрицу K (nxq) в качестве своих блочных элементов:
DN ( K ) = ( ЕN ⊗ K ) = Diag [ K
K
K ].
(2.2.17)
Если матрица (Еп + λ0А) (n×n) при всяких положительных значениях параметра λ0 = Т/2N окажется невыраженной, то будут существовать все блочные элементы матрицы WN(А) (2.2.15) и она также
окажется невырожденной, и, следовательно, для всяких λ0 > 0 будет
существовать обратная матрица
WN−1 ( А) =
−1
1
⎡⎣( ЕN + Z ) ⊗ Еп ⎤⎦ ⋅ Т N [ (− В) ] ⋅ DN ⎡⎣( Еп + λ 0 А ) ⎤⎦ . (2.2.18)
λ0
Поэтому точечная модель (2.2.16) может быть представлена
в форме следующего векторно-матричного равенства
WN−1 ( А) ⋅ Х Т I = DN ( K ) ⋅ U Т I .
(2.2.19)
Теперь на основе известных положений обычной линейной алгебры может быть доказана следующая теорема об управляемости
линейных стационарных динамических систем.
Теорема 2.2.1. Если матрица А (n×n) стационарной динамической
системы (2.2.1) положительно определена, а матрица K (п×q) (q ≥ п)
имеет ранг п, то такая система с точечной моделью (2.2.16) окажется
управляемой на [0, T]. При этом ее передаточная матрица WN(А; K)
(2.2.7) при любых N будет иметь ранг Nn, равный размерности точечного вектора выхода Х Т I .
Доказательство. Положительная определенность матрицы А
означает отрицательность вещественных частей собственных значений матрицы (–А), т. е. устойчивость динамической системы (2.2.1) –
необходимого условия ее управляемости.
Означает также, как было показано, и положительную определенность матрицы (Еп + λ0А) (n×n) при любых λ0 = Т/2N > 0 (т. е. любых N при фиксированных Т), т. е. означает выполнение условия
теоремы 2.1.1 о существовании передаточной матрицы WN(А; K)
в точечной модели (2.2.6) динамической системы в рассматриваемом
случае.
110
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Это будет означать также невырожденность матрицы WN(А)
(2.2.15) и существование обратной матрицы WN–1(А) (2.2.18). Введем
блочный вектор
(2.2.20)
YТ = WN−1 ( А) ⋅ Х Т ,
I
I
который будет однозначно определен для всякого заданного вектора
Х Т I , и запишем точечную модель (2.2.19) в виде линейного уравнения
для блочного вектора управления U Т I с системной матрицей λ0DN(K)
(Nn×Nq) и правой частью (2.2.20), т. е. в виде
DN ( K ) ⋅ U Т I = YТ I = WN−1 ( А) ⋅ Х Т I .
(2.2.21)
Это уравнение окажется совместным, т. е. будет иметь решение
U Т I , если его системная матрица DN(K) (Nn×Nq) (2.2.17) будет иметь
ранг Nn.
Последнее будет наблюдаться лишь тогда, когда все блочные
элементы этой квазидиагональной матрицы, т. е. матрица K (п×q) будет иметь ранг п, что возможно, если q ≥ п, т. к. Rang (K) ≤ min(n, q).
Решение окажется единственным, если матрица K ранга п окажется
квадратной (q = n), т. е. невырожденной.
Таким образом, если выполняется и второе условие теоремы
2.2.1 относительно ранга матрицы K (п×q), т. е. для всякого однозначного заданного вектора Х Т I существует вектор управления U Т I ,
и, значит, по определению 2.2 стационарная динамическая система
с точечной моделью (2.2.16) окажется управляемой на временном отрезке [0, T].
Точечную модель (2.2.6) (или (2.2.16)) запишем в виде уравнения для вектора U Т I с системной матрицей WN(А; K) (2.2.7) и правой
частью Х Т I :
WN ( А; K ) ⋅ U Т I = Х Т I .
(2.2.22)
Это уравнение эквивалентно уравнению (2.2.21), поэтому оно
также совместно, и, следовательно, его системная матрица, а это передаточная матрица WN(А; K) (Nn×Nq) рассматриваемой динамической системы будет иметь ранг Nn, равный размерности вектора Х Т I .
На этом доказательство теоремы закончим.
111
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Логика доказательства теоремы об управляемости динамической
системы частного вида, основанного на известных положениях линейной
алгебры, и само определение понятия управляемости линейной динамической системы общего вида со всей очевидностью показывают, что
свойство управляемости линейной динамической системы, описываемой
функциональным уравнением (2.2.2), есть, в сущности, свойство ее точечной модели (2.2.4) как линейного уравнения для точечного вектора
управления U Т I при любых N иметь решение (в общем случае множество
решений) для любого заданного вектора Х Т I с конечной нормой.
Имеет место общий факт, который сформируем в виде следующей теоремы.
Теорема 2.2.2. Если ранг передаточной матрицы WN(Аν; Kν) (q ≥ п)
(2.2.5) линейной динамической системы (2.2.2) при любых N будет равен Nn, то такая система окажется управляемой на отрезке [0, T].
Доказательство. Утверждение теоремы становится очевидным,
т. к. оно, в сущности, устанавливает хорошо известный факт о том,
что линейное алгебраическое уравнение
WN ( Аν ; K ν ) ⋅ U Т I = Х Т I
(2.2.4)
относительно вектора U Т I и системной матрицей WN(Аν; Kν) (Nn×Nq)
(q ≥ п), окажется совместным, т. е. будет иметь решение U Т I при любой
заданной правой частью Х Т I и любых N, если его системная матрица будет иметь ранг Nn, совпадающий с размерностью блочного вектора Х Т I .
Отметим, что в теореме 2.2.1 об управляемости динамических
систем частного вида фактически строго доказан именно этот факт.
На этом доказательство можно закончить.
Утверждение теоремы 2.2.2 может рассматриваться как факт,
характеризующий полностью и само понятие управляемости линейной динамической системы общего вида (2.2.2).
Очевидно, свойства системных матриц А(τ) (n×n) и K(τ) (п×q) нестационарной динамической системы (2.2.2), как и в стационарном
случае, будут определять свойства ее точечной модели (2.2.4), т. е.
свойства ее передаточной матрицы WN(Аν; Kν) (2.2.5). В частности, для
этих матриц могут быть указаны условия управляемости динамическими системами типа (2.2.2).
112
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Может быть доказана следующая теорема, обобщающая теорему
2.2.1 на этот более общий тип динамических систем.
Теорема 2.2.3. Если матрица А(τ), (n×n), τ ∈ [0, 1] нестационарной
динамической системы (2.2.2) будет положительно определенной, а ее
матрица Kν(τ), (п×q), (q ≥ п), τ ∈ [0, 1] будет иметь ранг n, то передаточная матрица WN(Аν; Kν) (Nn×Nq) (2.2.5) такой системы при любом N будет ранга Nn, совпадающим с размерностью блочного вектора Х Т I
и система окажется управляемой на отрезке [0, Т] (по времени t = Tτ).
Доказательство. Оно сводится к установлению того факта, что
при выполнении указанных условий передаточная матрица WN(Аν; Kν)
(2.2.5) динамической системы (2.2.2) будет иметь ранг Nn.
Приведем соответствующие рассуждения, повторяя по существу
логику доказательства теоремы 2.2.1. Представим прежде передаточную матрицу WN(Аν; Kν) в виде
WN ( Аν ; K ν ) = WN ( Аν ) ⋅ DN ( K ν ).
(2.2.23)
как это было сделано в стационарном случае (см. (2.2.7)). Теперь, однако, будем иметь
WN ( Аν ) = DN ⎡⎣ ( Еп + λ 0 Аν ) −1 ⎤⎦ ⋅ Т N−1 [ Вν ] ⋅ [ ( Е N + Z ) ⊗ Еп ] λ 0 .
и
DN ( K ν ) = Diag [ K1
K N ].
Kν
(2.2.24)
(2.2.25)
Явные представления блочных матриц Т N−1 [ Вν ] и DN[(Еп + λ0Аν)–1]
были указаны в предыдущем параграфе (см. (2.1.20) и (2.1.21)). Их невырожденность при выполнении условия положительной определенности матрицы А(τ), τ ∈ [0, 1] и матриц (Еп + λ0Аν) (ν = 1, N ) при всех
λ0 = Т/2N > 0 была указана там же при доказательстве теоремы 2.1.1.
Это означает, очевидно, и невырожденность матрицы WN(Аν)
(2.2.24) и существование обратной ей матрицы WN−1 ( Аν ) . Это означает
также, что точечная модель (2.2.4) нестационарной динамической
системы (2.2.2) согласно (2.2.23) может быть представлена в следующем эквивалентном виде, подобном виду (2.2.19) для стационарного
случая:
Х Т = WN ( Аν ; K ν ) ⋅ U Т ⇔ WN−1 ( Аν ) ⋅ Х Т = DN ( K ν ) ⋅ U Т . (2.2.26)
I
I
I
I
113
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Или в виде линейного уравнения для блочного вектора управления
U ТI с системной матрицей DN(Kν) (2.2.25) и вектором правой частью
WN−1 ( Аν ) Х Т I , который однозначно определен заданным вектором со-
стояния Х Т I , т. е. представлена в виде
DN ( K ν ) ⋅ U Т I = WN−1 ( Аν ) ⋅ Х Т I .
(2.2.27)
Это уравнение окажется совместным, т. е. будет иметь решение U Т I ,
если его системная матрица DN(Kν) (2.2.25) будет иметь ранг Nn, совпадающий с размерностью блочного вектора правой части.
Последнее будет иметь место лишь тогда, когда все N матричных блокэлементов Kν (п×q), (q ≥ п), (ν = 1, N ) системной квазидиагональной матрицы DN(Kν) (2.2.25) будут иметь ранг n.
Заметим, что решение окажется единственным, если матрицы
K ν = K (τ (νN ) ) (ν = 1, N ) ранга n окажутся квадратными (q = п) и, следовательно, невырожденными. Уравнение
WN ( Аν ; K ν ) ⋅ U Т I = Х Т I ,
(2.2.26)
как уже отмечалось, эквивалентно уравнению (2.2.27). Оно также совместно при всяких N, и, следовательно, его системная матрица
WN(Аν; Kν) (Nn×Nq), а это – передаточная матрица линейной нестационарной системы (2.2.2), будет иметь ранг Nn, совпадающий с размерностью блочного вектора Х Т I правой части, что и доказывает
управляемость системы на временном отрезке [0, Т].
В заключении параграфа сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Если нестационарная динамическая система (2.2.2)
с точечной моделью (2.2.26) (или в эквивалентном виде (2.2.27))
управляема, то существуют такие управления U(τ) τ ∈ [0, 1] и их точечные представления U Т I , которые способны на отрезке [0, 1] (т. е.
за время [0, Т]) перевести систему из некоторого начального состояния Х (τ(νN ) ) (это первая блочная компонента точечного вектора состояния Х Т I ) в состояние покоя Х(0), точнее, в конечное состояние
Х (τ(NN ) ) , близкое к Х(0) = 0 (это последняя блочная компонента вектора Х Т I ), причем при наличии множества различных других проме114
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления жуточных состояний Х (τ (νN ) ), (ν = 2, ( N − 1)) . Такие точечные управления U Т I могут быть найдены как решения совместного уравнения
(2.2.27) при заданном векторе состояния Х Т I .
Замечание 2. Выделим случай, когда q = п, т. е. когда совпадает
число входов и выходов, совпадающих с числом фазовых переменных, у линейной динамической системы (управляемого объекта, описываемой дифференциальным уравнением (2.2.1) или интегральным
(2.2.2)). В этом случае будем иметь п-вектор функции Х(τ) и U(τ)
и квадратные матрицы А(τ) и K(τ) одинаковой размерности (п×п).
Блоки точечных представлений входа U Т I и выхода Х Т I окажутся
одинаковыми как п-векторные значения U ( τ (νN ) ) и Х ( τ (νN ) ) , (ν = 1, N ) ,
полученные в узлах чебышевской N-сетки I рода.
Одинаковыми окажутся и размерности (п×п) матричных блоков
А ( τ (νN ) ) = Аν и K ( τ (νN ) ) = K ν для всех ν = 1, N , а передаточная матрица
в точечной модели (2.4), определяемая формулой (2.1.18):
WN ( Аν ; K ν ) = Т N−1 [ Вν ] ⋅ DN ⎡⎣ (λ 0 Аν + Еп ) −1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ ( Е N + Z ) ⊗ Еп ] DN [ K ν ]
(2.2.28)
окажется квадратной размерности) (Nn×Nn), и если динамическая
система управляема, то согласно теореме 2.2.2 это матрица будет
иметь полный ранг Nn, т. е. окажется невырожденной. Она окажется
и блочной нижнетреугольной матрицей и теплицевой – в стационарном случае.
Замечание 3. Отметим следующую особенность матричных произведений в точечных моделях линейных динамических систем.
Так, рассмотрим произведение матриц в представлении (2.2.28)
передаточной матрицы (ПМ) точечной модели (2.2.26) линейной нестационарной динамической системы:
λ 0Т N−1 [ Вν ] ⋅ DN ⎡⎣ (λ 0 Аν + Еп ) −1 ⎤⎦ ⋅ [ ( Е N + Z ) ⊗ Еп ] DN [ K ν ] = WN ( Аν ; K ν ).
(2.2.28)
Если отдельные блочные матрицы – сомножители в произведении (2.2.28) рассматривать в роли ПМ точечных моделей отдельных
динамических звеньев, то при схемном (графическом) представлении
всей точечной модели системы будем иметь последовательную
115
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
цепочку этих динамических звеньев, причем порядок их следования
окажется обратным порядку следования их ПМ в произведении
(2.2.28). Покажем это.
Прежде отметим, что все блочные матрицы в произведении
(2.2.28) оказываются квадратными размерности (Nn×Nn), за исключением последней матрицы DN[Kν] (Nn×Nq). Такую же размерность будет
иметь и ПМ WN(Аν; Kν) (2.2.28).
Введем динамические звенья с передаточными матрицами – сомножителями из произведения в (2.2.28):
DN [ K ν ] ⋅ U Т I = W1 ⋅ U Т I = Х 1;
U ТI
Х1
⇒ ⎯⎯→
→; а ) ⎫
W1 ⎯⎯
⎪
Х1
Х2
⇒ ⎯⎯→ W2 ⎯⎯→; б ) ⎪⎪
[( ЕN + Z ) ⊗ Еп ] Х 1 = W2 ⋅ Х 1 = Х 2 ;
⎬ (2.2.29)
Х3
Х2
→ W3 ⎯⎯
→; в ) ⎪
DN ⎣⎡( Еп + λ 0 Aν ) −1 ⎦⎤ Х 2 = W3 ⋅ Х 2 = Х 3 ; ⇒ ⎯⎯
⎪
Х ТI
Х3
⇒ ⎯⎯
→ W4 ⎯⎯→
λ 0Т N−1 [ Вν ] Х 3 = W4 ⋅ Х 3 = Х Т I ;
. г ) ⎪⎭
Очевидно, теперь точечная модель (2.2.28) может быть записана
в виде
WN ( Аν ; K ν ) ⋅ U Т I = W4 ⋅ W3 ⋅ W2 ⋅ W1 ⋅ U Т I = Х Т I ,
(2.2.30)
т. е. ее ПМ получит представление
WN ( Аν ; K ν ) = W4 ⋅ W3 ⋅ W2 ⋅ W1 ,
(2.2.31)
которое будем иметь, если последовательно будем исключать промежуточные сигналы «вход – выход» введенных динамических звеньев
(2.2.9). Возникает следующая процедура с соответствующими схемными иллюстрациями.
Умножим обе стороны равенства (2.2.29а) – точечные модели
1-го динамического звена − на W2 – передаточную матрицу 2-го звена
(2.2.29б) и, учитывая равенство (2.2.29б), получим
U
Х1
Х2
TI
W2 ⋅ W1 ⋅ U TI = W2 ⋅ Х 1 = Х 2 ; ⇒ ⎯⎯→
W1 ⎯⎯
→ W2 ⎯⎯
→.
(2.2.32)
Следующий шаг: умножим возникшее равенство в (2.2.32) на W3 –
ПМ динамического звена (2.2.29в). В результате будем иметь
116
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления W3 ⋅ W2 ⋅ W1 ⋅ U TI = W3 X 2 =
(2.2.33)
U
X3
X1
X2
TI
= X 3 ⇒ ⎯⎯→
W1 ⎯⎯
→ W2 ⎯⎯
→ W3 ⎯⎯
→.
Наконец, умножая (2.2.33) на матрицу W4 и учитывая (2.2.29г),
найдем
W4 ⋅ W3 ⋅ W2 ⋅ W1 ⋅ U TI =
U
X
X3
X1
X2
TI
TI
= X TI ⇒ ⎯⎯→
W1 ⎯⎯
→ W2 ⎯⎯
→ W3 ⎯⎯
→ W4 ⎯⎯→
,
т. е. получим точечную модель (2.2.30) рассматриваемой динамической системы с ПМ (2.2.31), которая схемно представляется в виде
последовательной цепочки динамических звеньев, соединенных в обратном порядке по сравнению с порядком следования их ПМ в произведении (2.2.31), образующей ПМ динамической системы.
Отметим, что для управляемой динамической системы с точечной моделью (2.2.30) и с ПМ (2.2.31) ранга Nn введенные динамические звенья (2.2.29) также окажутся управляемыми и ранги их ПМ
также будут равны Nn.
Замечание 4. Отметим более общий и практически важный случай, когда число выходных переменных линейной динамической системы не равно числу ее переменных состояния. В этом случае система
описывается уравнениями (2.1.1) (при D(τ) ≡ 0):
dХ (τ)
+ T ⋅ A(τ) Х (τ) = T ⋅ K (τ) ⋅ U (τ);
dτ
Y (τ) = С (τ) ⋅ Х (τ)
⎫
а) ⎪
⎬
б ) ⎪⎭
(2.2.34)
Пусть по-прежнему q – размерность векторного сигнала входа
U(τ) (вектора управления), а n – размерность вектора состояний Х(τ)
(число фазовых переменных), который линейным преобразованием,
осуществляемом матрицей C(τ) (r×n) определяет r – вектор выхода
Y(τ), причем r ≤ n. Соответствующая точечная модель такой динамической системы, как ее гомоморфный алгебраический образ, представляется равенствами [см. (2.1.9)]:
WN (Av ; Kv )UTI = Х TI ;
DN (Сv ) Х TI = YTI ,
а) ⎪⎫
⎬
б ) ⎪⎭
(2.2.35)
117
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
где WN (Av ; K v ) (Nn × Nq ) есть прежняя ПМ (2.2.3) для Nn – вектора
состояний Х TI , а квазидиагональная матрица
DN (Сv ) = DN ⎡⎣С (τ(vN ) ) ⎤⎦ = Diag [С1 ⋅ ⋅ Сv ⋅ ⋅ С N ] (Nr × Nn) (2.2.36)
с блоками-элементами Сv (r × n) (v = 1, N ) связывает точечный вектор состояний Х TI с Nr – вектором выхода YTI .
Умножим обе стороны равенства (2.2.35а) на матрицу DN(Cv)
(2.2.36б) и учитывая (2.2.35б), получим точечную модель связи «входвыход» для динамической системы (2.2.34):
DN (Сv ) ⋅ WN (Av ; K v ) ⋅ U TI = YTI
(2.2.37)
DN (Сv ) ⋅ WN (Av ; K v ) (Nr × Nq ).
(2.2.38)
с ПМ
Ее схемное представление изображено на рис 2.2.1.
U
X
Y
TI
TI
TI
⎯⎯→
WN (Av ; K v ) ⎯⎯→
DN (Cv ) ⎯⎯
→⇒
Рис. 2.2.1
Обращает на себя внимание отмеченный ранее факт взаимнообратного порядка следования отдельных динамических звеньев
в схемном представлении и в следовании их ПМ в произведении
(2.2.38), образующим ПМ модели (2.2.37). И еще одно: для динамической системы (2.2.35), управляемой по выходу, ранг ее ПМ (2.2.38)
должен быть равен Nr – размерности вектора выхода YTI , а это означает, что ПМ, образующие ПМ (2.2.38), должны иметь соответствующие ранги.
Замечание 5. Утверждения всех ранее доказанных теорем относительно управляемости различных линейных динамических систем,
как свойства их точечных моделей, ассоциированных с чебышевской
N-сеткой I рода, непосредственно распространяются и на их точечные
модели, ассоциированные с чебышевской 2N-сеткой II рода, с передаточными матрицами W2 N (Ak ; K k ) (2.1.63).
118
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Необходимо лишь в соответствующих утверждениях и выкладках N заменить на 2N, а вместо ранга Nn передаточных матриц
WN (Av ; K v ) указывать ранг 2Nn передаточной матрицы (2.1.63), равный размерности точечного вектора выхода Х T(2IIN ) . Для этого варианта
точечной модели динамической системы окажутся справедливыми
и все предыдущие замечания.
2.3. Наблюдаемость в линейных нестационарных динамических системах Введем в рассмотрение n-мерную линейную нестационарную
динамическую систему:
dX (t )
⎫
+ A(t ) x(t ) = K (t )U (t ); a) ⎪
dt
⎬ (t ≥ 0)
Y (t ) = C (t ) ⋅ X (t ), á ) ⎪⎭
(2.3.1)
U (t ) = Colon ⎡⎣U1 (t ),..U i (t ),..U q (t ) ⎤⎦ ;
(2.3.2)
Y (t ) = Colon [ y1 (t ),.. yi (t ),.. yn (t ) ]
(2.3.3)
имеющую q входов:
r входов:
и n фазовых переменных (переменных состояния):
X (t ) = Colon [ x1 (t ),..xi (t ),..xn (t ) ] .
(2.3.4)
Системные матрицы определены для всех t ≥ 0 и имеют соответствующие размерности:
A(t )(n × n);
K (t ) (n × q ); C (t ) (r × n).
В реальных динамических системах с математическими моделями вида (2.3.1), как правило, нет доступа ко всем переменным состояния X(t) (2.3.4). Вместе с тем исследование свойств таких систем
предполагает знание этих переменных как функций времени или, по
крайней мере, их оценку в определенном смысле. Последнее может
быть выполнено по известным сигналам выхода yi (t ) (i =1, r ) (t ≥ 0),
119
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
к которым всегда есть доступ и которые всегда могут быть измерены,
т. е. наблюдаемы, если ранг системной матрицы С(t)(r×n) векторноматричного уравнения (2.3.1б), связывающего r сигналов выхода
yi (t ) (i =1, r ) с n фазовыми переменными xi (t ) (i =1, n), будет равным n,
т. е. числу этих переменных. Последнее возможно при условии r ≥ n,
т. е. когда число выходных сигналов динамической системы (2.3.1)
окажется не меньше числа ее фазовых переменных.
Возникает задача о построении такового линейного динамического устройства, которое было бы способно по наблюдаемым сигналам
выхода динамической системы (2.3.1) формировать на своем выходе такую оценку
(2.3.5)
Xˆ (t ) = Colon [ xˆ1 (t ),..xˆi (t ),..xˆn (t ) ]
n-вектора состояния X(t), что
t →∞
lim ⎣⎡ X (t ) − Xˆ (t ) ⎦⎤ = lim ε(t ) ⇒ X (t ) − Xˆ (t ) = ε (t ) э ⎯⎯⎯
→ 0, (2.3.6)
t →∞
t →∞
э
т. е. функция рассогласования (ошибки)
ε(t ) = ⎡⎣ X (t ) − Xˆ (t ) ⎤⎦ = Colon [ ε1 (t )..εi (t ),..ε n (t ) ]
(2.3.7)
асимптотически стремится к нулю при любом конечном значении
ε(0) = ε0 ≠ 0.
Такое динамическое устройство с выходным сигналом Xˆ (t ) , называемое асимптотическим наблюдателем, получим из динамической
системы (2.3.1), если к ее входному сигналу K(t)·U(t) добавить в качестве корректирующего сигнал
S (t ) = ⎡⎣Y (t ) − C (t ) Xˆ 1 (t ) ⎤⎦ = S (t ) ⋅ C (t ) ⎡⎣ X (t ) − Xˆ (t ) ⎤⎦ = S (t )C (t )ε(t ), (2.3.8)
где S(t) есть некоторая матрица размерности (n×r) и ранга n, подлежащая
определению (идентификации), а ε(t) – сигнал рассогласования (3.7).
Таким образом, наблюдаемый сигнал оценки Xˆ (t ) для нестационарной линейной динамической системы (2.3.1) определяется
уравнением
dXˆ (t )
+ A(t ) Xˆ (t ) = K (t )U (t ) + S (t )C (t )ε(t ); t ≥ 0,
dt
120
(2.3.9)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления а соответствующее уравнение динамического устройства, т. е. наблюдателя, получим, если из уравнения (2.3.1а) вычтем уравнение (2.3.9).
В результате будем иметь
d ε(t )
+ A(t )ε(t ) = − S (t )C (t )ε(t )
dt
или в форме однородного уравнения
d ε(t )
+ P(t )ε(t ) = 0
dt
с матрицей
P(t ) = [ A(t ) + S (t )C (t ) ] (n × n); t ≥ 0,
(2.3.10)
(2.3.11)
которое и определит процесс рассогласования ε(t) (2.3.7) при ε(0) =
= ε0 ≠ 0 [4].
Таким образом, задача сводится к определению такой матрицы
S(t) (n×r), t ≥ 0, при которой решение задачи Коши для уравнения
(2.3.10) асимптотически стремится к нулю:
t →∞
T →∞
ε(t ) ⎯⎯⎯
→ 0 ⇒ ε (T ) э ⎯⎯⎯
→ 0,
(2.3.12)
т. е. оказывается асимптотически устойчивым решением.
Матрицу Р(t) (n×n) (2.3.11) назовем матрицей наблюдателя,
*
а (2.3.10) – его уравнением.
Это уравнение, как n-векторно-функциональную конструкцию,
умножим скалярно на n-вектор ε(t) – его решение. В результате получим дифференциальное уравнение:
2
d ε (t ) э
⎛ d ε(t )
⎞
,
(
t
)
(
P
(
t
)
(
t
),
(
t
))
0
ε
+
ε
ε
=
⇒
+ 2( P(t )ε(t ), ε(t )) = 0. (2.3.13)
⎜
⎟
dt
⎝ dt
⎠
В нем символом ε (t )
2
э
обозначен квадрат эвклидовой нормы n-
вектора ε(t) (2.3.7) – скалярная функция переменной t ≥ 0:
*
Это – одна из форм уравнения наблюдателя с выходным сигналом ε(t),
имеющим смысл функции рассогласования (2.3.7).
121
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
ε (t )
2
э
n
= (ε(t ), ε(t )) = ∑ εi2 (t ); t ≥ 0.
(2.3.14)
i =1
Введем симметричную матрицу Q(t ) = Q + (t ) t ≥ 0, полагая
1
Q(t ) = ⎡⎣ P(t ) + P + (t ) ⎤⎦ (n × n), t ≥ 0.
2
(2.3.15)
Тогда квадратичная форма в (2.3.13), учитывая равенство квадратичных форм
( P(t )ε(t ), ε(t )) = ( P + (t ) ε(t ), ε(t )),
(2.3.16)
запишется в виде
⎛ P (t ) + P + (t )
⎞
2( P (t )ε(t ), ε(t )) = 2 ⎜
ε(t ), ε(t ) ⎟ = 2(Q (t )ε(t ), ε(t ))
2
⎝
⎠
(2.3.17)
(верхний индекс «+» означает транспонирование), а дифференциальное уравнение (2.3.13) получит представление
d ε(t )
dt
2
э
+ 2(Q(t )ε(t ), ε(t )) = 0.
(2.3.18)
Все n собственных значений симметричной матрицы Q(t)
(2.3.15) есть вещественные скалярные функции переменной t ≥ 0, заключенные между минимальным значением min λ j (Q (t )) и максиj
мальным max λ j (Q (t )) j , причем при любых t ≥ 0, т. е. будем иметь неj
равенство
min λ j (Q(t ) ≤ λ j (Q(t ) ≤ max λ j (Q(t ), ( j =1, n ); t ≥ 0
j
(2.3.19)
j
и, следовательно, для квадратичной формы в (2.3.18) получим оценку
[32]:
2
2
2min λ j (Q) ε(t ) э ≤ 2(Q(t ) ε(t ), ε(t )) ≤ 2max λ j (Q) ε(t ) э . (2.3.20)
j
122
j
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Но из (2.3.18) следует
2(Q(t ) ε(t ), ε(t )) = −
d ε(t )
2
,
э
dt
и для положительного значения символа производной будет справедливым обратное неравенство:
2
−2min λ j (Q) ε(t ) э ≥
j
d ε(t )
2
э
dt
2
≥ − 2max λ j (Q) ε(t ) э .
j
(2.3.21)
Интегрируя, будем иметь
t
−2 ∫ min λ j (Q ( x))dx ≥ 2ln ε(t )
0
t
t
э 0
≥ − 2 ∫ max λ j (Q ( x ))dx; ∀t ≥ 0
0
ε(t ) э (2.3.14) n-вектор
и, следовательно, для эвклидовой нормы
функции ε(t) (2.3.7) получим неравенство
t
t
exp(− ∫ min λ j (Q ( x)) dx) ε 0 ≥ ε(t ) э ≥ exp(− ∫ max λ j (Q ( x ))dx) ε 0 ,
0
j
0
j
(2.3.22)
справедливое для всех t ≥ 0, которое известно как неравенство Важевского [32], теперь может быть доказана следующая теорема.
Теорема 2.3.1. Если матрицу S(t) (n×r); t ≥ 0 можно определить
так, что матрица наблюдателя
P(t ) = [ A(t ) + S (t )C (t ) ] (n × n); t ≥ 0
(2.3.11)
при положительно определенной матрице A(t) (n×n) и заданной матрице
С(t) (r×n) окажется положительно определенной при всех t ≥ 0, то линейная нестационарная динамическая система (2.3.1) окажется асимптотически наблюдаемой, т. е. решение уравнения наблюдателя (2.3.10)
при любых конечных значениях ε(0) = ε0 ≠ 0 будет асимптотически устойчивым:
T →∞
lim ε (t ) э = 0 ⇒ε(T ) ⎯⎯⎯
→ 0.
(2.3.23)
t →∞
123
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Доказательство. Положительная определенность матрицы P(t)
(2.3.11) при всех t > 0 означает положительную определенность
и симметричной матрицы Q(t) (2.3.15) и, следовательно, положительность всех «n» ее собственных значений λj(Q(t)) > 0( j = 1, n) при всех
t > 0 как непрерывных скалярных вещественных функций переменной
t ≥ 0, имеющих положительные пределы согласно (2.3.19). В этом
случае неравенство (2.3.22) будет означать, что эвклидова норма
ε(t )
э
n-вектор функции ε(t) как скалярная положительная функция
переменной t при всех t > 0 и ε0 >0 заключается в положительных экспоненциально затухающих пределах, т. к. положительные функции
t
∫
t
min λ j (Q ( x))dx è
j
0
∫
0
max λ j (Q( x))dx
j
непрерывно возрастают, стремясь к ∞. Это будет означать также, что
сама функция ε(t )
э
с ростом t будет непрерывно затухать по некото-
рой «средней» экспоненциальной кривой т. е. асимптотически, согласно (2.3.23), что и требовалось доказать.
Утверждения теоремы становятся почти очевидными для линейных стационарных динамических систем вида (2.3.1), когда все
матрицы постоянны. И в этом случае, выбрав соответствующим образом постоянную матрицу S(n×r), сделаем положительными и все вещественные собственные числа λ j ( j = 1, n) симметричной и постоян1
ной матрицы Q = ( P + P + ) (n × n) (и отрицательность собственных
2
чисел матрицы – Q). Тогда эвклидова норма ε(t ) э решения ε(t) задачи
Коши уравнения наблюдателя
d ε(t )
+ P ⋅ ε(t ) = 0; ε(0) =ε0 ≠ 0
dt
(2.3.24)
как функция t ≥ 0 в силу неравенства (2.3.22), которое в этом случае
получает вид
exp(− min λ jt ) ε0 ≥ ε(t ) э ≥ exp(− max λ jt ) ε0 ,
j
124
j
(2.3.25)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления окажется между обычными затухающими экспонентами с показателями − min λ j и − max λ j , как наименьшим и наибольшим их значеj
j
ниями. Происходит экспоненциальное затухание по некоторой «средней» кривой (рис. 2.3.1).
Замечание 1. Матрица S(t) (n×r), способная преобразовывать
матрицу наблюдателя P(t) (2.3.11) в положительно определенную при
всех t ≥ 0, должна иметь ранг n и должна выполняться как обязательное, отмеченное ранее условие: r ≥ n, и т. к. ранг системной матрицы
C(t) (r ≥ n) в уравнении (2.3.1б) также должен быть равен n, то их
произведение S(t)C(t) в представлениях (2.3.11) и (2.3.15) окажется
квадратной матрицей размерности (n×n) и ранга n, т. е. будем иметь
для всех t ≥ 0:
r ≥ n; Rang S (t ) = n; Rang C (t ) = n; Rang S (t )C (t ) = n .
(2.3.26)
Замечание 2. Положительная определенность матриц P(t)
(2.3.11) и Q(t) (2.3.15) означает, что их ранг равен n, причем для симметричной матрицы Q(t) выполняется условие
Det Q(t ) > 0; ∀t > 0,
(2.3.27)
что следует из критерия Сильвестра.
ε0
ε (t )
э
exp(− min λ j t ) ε0
j
exp(− min λ j t ) ε0
j
t
0
Рис. 2.3.1
125
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Этот критерий может быть положен в основу практического
способа определения неизвестных элементов матрицы S(t), обеспечивающей ПО симметричной матрицы Q(t) (2.3.15).
Замечание 3. Положительная определенность (ПО) системной
матрицы A(t) (n×n) (t ≥ 0) нестационарной динамической системы
(2.3.1) вместе с условием Rang K(t) = n (t ≥ 0) будет означать управляемость такой системы на отрезке [0, Т] (см. теорему 2.2.3). Но матрица А(t) входит как слагаемая в состав матрицы наблюдателя P(t)
(n×n) (2.3.11), поэтому при ее положительной определенности получим асимптотический наблюдатель (2.3.10) управляемой нестационарной динамической системы (2.3.1), которая также будет асимптотически устойчивой.
Уравнение наблюдателя (2.3.10) с матрицей P(t) (n×n) (2.3.11),
определяющее процесс рассогласования ε(t) (2.3.7), будем рассматривать на конечном временном отрезке [0, Т] (Т > 0). Ранее введенную
симметричную матричную функцию Q(t) (2.3.15) также будем рассматривать на конечном отрезке [0, Т] и определим ее как функцию
безразмерной переменной τ∈ [0,1] с параметром T > 0:
Q(t ) = Q(T τ) =
=
1
⎡⎣ P(T τ) + P + (T τ) ⎤⎦ =
2
{
1
[ A(T τ) + A(T τ)] + [ S (T τ]C (T τ) + C + (T τ) S + (T τ)} (n × n).
2
(2.3.28)
Далее, имея в виду равенство квадратичных форм (2.3.16) и тождественное представление (2.3.17), получим для скалярных произведений в (2.3.13):
⎛ d ε(t )
⎞
, ε(t ) ⎟ + ( P (t )ε(t ), ε(t )) = 0 ⇒
⎜
⎝ dt
⎠
⎛ d ε(t )
⎞
⇒⎜
, ε(t ) ⎟ + (Q(t )ε(t ), ε(t )) = 0,
⎝ dt
⎠
(2.3.29)
откуда следует однородное дифференциальное уравнение
d ε(t )
d ε(T τ)
+ Q(t )ε(t ) = 0; t ∈[T τ] ⇒
+ TQ (T τ)ε(T τ) = 0,
dt
dτ
126
(2.3.30)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления определяющее процесс рассогласования ε(t) = ε(Tτ) на отрезке τ∈ [0,1] ,
как решение задачи Коши при ε(0) = ε0 ≠ 0 эквивалентно такой же задаче, но для уравнения (2.3.10). Уравнение (2.3.30) есть другая форма
уравнения наблюдателя с симметричной матрицей Q(Tτ) (2.3.28).
Рассмотрим прежде задачу Коши для частного случая этого
уравнения, когда его системная матрица Q(Tτ) τ∈ [0,1] оказывается
постоянной, т. е. рассмотрим наблюдатель для стационарной динамической системы:
dX (T τ)
⎫
+ TA ⋅ x(T τ) = TK ⋅ U (T τ); a) ⎪
dτ
⎬ τ∈[0,1](τ> 0),
Y (T τ) = C ⋅ X (T τ), б ) ⎪⎭
(2.3.31)
имеющую, как и в нестационарном случае, q входов U(Tτ) (2.3.2),
r выходов Y(Tτ) (2.3.3) и n фазовых переменных Х(Tτ) (2.3.4). Постоянные матрицы имеют соответствующие размерности:
А(n×n); K(n×q) и C(r×n).
Постоянная симметричная матрица Q(n×n) наблюдателя
d ε(T τ)
+ TQ ⋅ ε(T τ) = 0; ε(0) =ε0 , τ∈[0,1]
dτ
(2.3.32)
в этом частном случае определится представлением (2.3.28) при всех
постоянных матрицах
1
Q = [( A + A+ ) + ( SC + C + S + )](n × n),
2
(2.3.33)
где S есть некоторые матрицы размерности (n×r) и ранга n, способные
формировать системные симметричные матрицы Q (2.3.33) наблюдателя при заданных постоянных матрицах А(n×n) и C(r×n), обладающих определенными свойствами.
Теорема 2.3.2. Если системная матрица А(n×n) стационарной
динамической системы (3.31), число выходов которой r не меньше
числа фазовых переменных n(r ≥ n), окажется положительно определенной, а матрица С(r×n) будет иметь ранг n, то существует множество матриц {S} размерности (n×r) и ранга n, способных при таких дан127
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
ных формировать симметричные и положительно определенные (ПО)
матрицы Q (2.3.33) асимптотического наблюдателя (2.3.32) определяя
соответствующее множество ортогональных матриц
{U(S)}(n×n); [U+(S) = U-1(S)] и UU+ = U+U = En,
(2.3.34)
осуществляющих преобразования подобия матриц Q(n×n), превращая
их в диагональные:
U (S ) ⋅ Q ⋅U + (S ) =
1
1
*
Diag [ λ1 (Q)1.. λ i (Q)1.. λ n (Q) ] = Dn [λ i (Q )] (2.3.35)
λ0
λ0
с произвольным желаемым набором положительных элементов
в (2.3.35). В частности, возможен набор из одинаковых единичных
элементов, т. е. реализация преобразования вида
U ( S )Q ⋅ U + ( S ) =
1
1
En ⇒ Q =
En .
λ0
λ0
(2.3.36)
Доказательство. При заданных условиях (см. замечание 1 к теореме 2.3.1, справедливое и для стационарного случая) становится почти очевидным утверждением теоремы о преобразовании симметричных матриц Q (2.3.33) в ПО матрицы с помощью соответствующего
множества различных матриц S размерности (n×r) и ранга n.
Но такие матрицы Q подобны диагональным матрицам, составленным из их собственных вещественных и положительных значений,
которые произвольно можно устанавливать, выбирая соответствующим
образом матрицы S, устанавливая в конечном итоге и саму матрицу Q.
В общем случае для каждого такого назначения существует
множество соответствующих преобразующих матриц S(n×r) ранга n.
Определяется и множество матриц {SE}, способных преобразовывать
1
En . Сдесимметричную матрицу Q (2.3.33) в скалярную матрицу
λ0
лаем соответствующие формульные пояснения.
Представления (2.3.33) с учетом (2.3.35) запишем следующим
образом:
2Q = ( A + A+ ) + ( SC + ( SC ) + ) =
*
128
2 +
U ( S ) Dn [λ i (Q)] ⋅ U ( S ),
λ0
Введен вещественный и положительный параметр λ0.
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления откуда следует:
SC + ( SC ) + = 2Q − ( A + A+ ) = (Q − A) + (Q − A) + ⇒
1
⇒ SC = (Q − A) = U + ( S ) Dn [λ i (Q )] ⋅ U ( S ) − A.
λ0
(2.3.37)
Далее, задавшись некоторым набором положительных собственных значений λi(Q) > 0(i = 1, n ) матрицы Q, определим тем самым и
саму эту матрицу, что позволяет найти решения уравнения (2.3.37)
при заданных матрицах А и С, т. е. определить всё множество {S}
преобразующих матриц S(n×r).
В частности, если матрица С окажется квадратной размерности
(n×n) (r = n) и невырожденной (т. е. снова ранга n), то будем иметь
единственное решение
S = (Q − A) ⋅ C −1 (n × n) .
Если реализован вариант Q =
(2.3.38)
1
En , то надлежит найти решение
λ0
{SE} уравнения
SEC =
1
En − A; S (n × r ); C (r × n) .
λ0
(2.3.39)
В случае квадратичных матриц получаем единственное решение:
⎛ 1
⎞
S E = ⎜ E n − A ⎟ ⋅ C −1 ( n × n ) .
⎝ λ0
⎠
(2.3.40)
Вариант (2.3.36) преобразования системной матрицы наблюда1
En является наиболее простым,
теля (2.3.32) в скалярную матрицу
λ0
и уравнение наблюдателя в форме соответствующей задачи Коши получает наиболее простой вид
d ε(T τ) T
+ En ⋅ ε(T τ) = 0; ε(0) =ε0 ; τ∈[0,1]
dτ
λ0
(2.3.41)
129
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
с явным решением
ε(T τ) = e
−
T
En τ
λ0
⋅ ε0 = e
−
T
τ
λ0
⋅ En ε 0 = e
−
T
τ
λ0
⋅ ε 0 , τ∈[0,1],
(2.3.42)
описывающим процесс рассогласования на [0,1]
ε(T τ) = ⎡⎣ X (T τ) − Xˆ (T τ) ⎤⎦ ⇒ εi (T τ) = [ xi (T τ) − xˆi (T τ)] (i =1, n) (2.3.43)
между неизвестными фазовыми переменными xi (T τ), (i =1, n ) стационарной динамической системы (2.3.31) и их оценками xˆi (T τ), (i =1, n) –
выходными сигналами наблюдателя как линейного динамического
устройства.
Найдем точечный изображающий вектор экспоненциальной nвектор-функции (2.3.42), ассоциировав его с чебышевской N-сеткой II
k
N)
рода θ(2
=
(k =1, N ), узлы которой с нечетными номерами обраk
2N
2v − 1 ( N )
N)
зуют и чебышевскую N-сетку I рода: θ(2
τv (v =1, N ) .
2 v −1 =
2N
В связи с этим параметру λ0 придадим смысл расстояния между
T
. В результате n-вектор-функция
узлами, т. е. положим λ 0 =
2N
(2.3.42) в узлах N-сетки получает представления
⎛ T
N)
N) ⎞
−k
) =ε(λ 0 k ) = exp ⎜ − θ(2
ε(T θ(2
⎟ ε 0 = e ⋅ ε 0 (k = 1, 2 N ) ,
k
k
⎝ λ0
⎠
(2.3.44)
и для нескольких первых k будем иметь
ε(λ 0 ) = e −!ε0 = 0,386 ⋅ ε0 ; ε(2λ 0 ) = e −2ε0 = 0,135 ⋅ ε0 ; ε(3λ 0 ) = 0,0498 ⋅ ε0 ;
ε(4λ 0 ) = 0,0183 ⋅ ε 0 ; ε(5λ 0 ) = 0,0067 ⋅ ε 0 ; ε(6λ 0 ) = 0,0025 ⋅ ε 0 .
Очевидно, n-векторы (2.3.44) и являются координатными блоками точечного изображающего 2N-вектора функции (2.3.42):
(2N )
TII
ε(T τ) ⎯⎯⎯
→ Colon [ε(λ 0 )..ε(λ 0 k )..ε(2 N λ 0 )] = εTII =
= Colon [e −1ε0 ..e − k ε0 ..e −2 N ε0 ]
130
(2.3.45)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления – вектор-функции рассогласования – выходного сигнала наблюдателя
(2.3.41).
Найденные численные значения нескольких первых блочных
координат дают представление о скорости экспоненциального затухания функции ε(Тτ) (2.3.42).
Определим теперь n-вектор-функцию Xˆ (T τ) – оценку вектора
фазовых переменных Х(Тτ) стационарной динамической системы
(2.3.31) – сигнала на выход фактического наблюдателя, построенного
линейного динамического устройства.
Функциональное векторное равенство
Xˆ (T τ) = X (T τ) − ε(T τ); τ∈[0,1]
(2.3.46)
умножим на матрицу С размерности (r×n) и ранга n(r≥n) и, учитывая
представление (2.3.31б), получим равенство
C ⋅ Xˆ (T τ) = C ⋅ X (T τ) − C ⋅ ε(T τ) = Y (T τ) − C ⋅ ε(T τ),
умножая которое на транспонированную матрицу С+(n×r), будем
иметь
(C +C ) ⋅ Xˆ (T τ) = C + ⋅ Y (T τ) − (C +C ) ⋅ ε(T τ),
откуда следует представление
Xˆ (T τ) = (C +C ) −1 ⋅ C + ⋅ Y (T τ) − ε(T τ); τ∈ [0,1].
(2.3.47)
Обратная матрица (С+С)–1, очевидно, существует, т. к. матрица
(С+С) – квадратная размерность (n×n) и ранга n.
Представление (2.3.47) позволяет находить оценку Xˆ (T τ) по сигналу выхода Y(Tτ) динамической системы (2.3.31), к которому имеется
доступ, и сигналу рассогласования ε(Тτ) – решению задачи Коши для
преобразовательного уравнения (2.3.41). Это решение (2.3.42).
Таким образом, (2.3.47) получает вид
Xˆ (T τ) = (C C ) ⋅ C ⋅ Y (T τ) − ε 0 ⋅ e
+
−1
+
−
T
τ
λ0
; τ∈ [0,1].
(2.3.48)
Начальное значение ε0 = ε(0) функции рассогласования ε(Тτ)
может быть определено следующим образом.
131
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Естественно предположить, что оценка Xˆ (T τ) в конце промежутка [0,1], т. е. при τ = 1, обращается в ноль. Тогда из (2.3.48) будет
следовать
Xˆ (T ) = 0 = (C C ) ⋅ C ⋅ Y (T ) −ε0 ⋅ e
+
−1
+
⇒ε0 = (C +C ) −1 ⋅ C + ⋅ Y (T ) −ε0 ⋅ e
−
−
T
λ0
⇒
(2.3.49)
T
λ0
и представление (2.3.48) запишется в виде
Xˆ (T τ) = (C +C ) −1 ⋅ C + ⋅ [Y (T τ) − Y (T ) ⋅ e
−
T
(1−τ )
λ0
].
(2.3.50)
Граничное значение Y(T) выходной векторной переменной Y(Tτ)
рассматриваемой динамической системы есть последняя r-векторная
T
координата Y (T ) = Y (
⋅ 2 N ) = Y (λ 0 2 N ) ее блочного-точечного изо2N
бражающего вектора YTII, ассоциированного с чебышевской N-сеткой
II рода:
T
Y (T τ) ⎯⎯⎯
→ YT = Colon[Y (λ 0 ) Y (λ 0 K ) Y (λ 0 2 N )] . 2.3.51)
(2 N )
II
II
Очевидно, будем иметь
Y (T ) = Y (λ 0 2 N ) = YTII , e2(2NN ) ( Er ) .
(2.3.52)
Ранее (см. п. 1.2) было найдено явное представление точечного
блочного вектора YTII как точечного решения задачи Коши для уравнений (2.3.31) (при Х0 = 0) [см. (1.2.106)]:
YTII = CYTII = CT2−N1 [α ](2 En + λ 0 A) −1 ⋅ λ 0{[( E2 N + Z 2 N ) ⊗ K ]U TII + e1(2 N ) ( K )U 0 } .
(2.3.53)
При этом учтено, что
[( E2 N + Z 2 N ) ⊗ K ] ⋅ DN [ K ] = [( E2 N + Z 2 N ) ⊗ K ];
e1(2 N ) ( En ) ⋅ K = e1(2 N ) ( K ) = Colon[ K 0 ... 0].
a) ⎫
⎬
б) ⎭
(2.3.54)
Тёплицева блочная матрица T2−N1 [α](2 Nn × 2 Nn) имеет явное
представление (1.2.105) при
132
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления α=
2 En −λ 0 A
= (2 En + λ 0 A) −1 ⋅ (2 En −λ 0 A) = (2 En −λ 0 A) ⋅ (2 En + λ 0 A) −1 .
2 En + λ 0 A
(2.3.55)
В силу связывающих равенств
Y (T τ) = C ⋅ X (T τ) и Y (T ) = C ⋅ X (T )
(2.3.56)
представление (2.3.53) может быть записано и через фазовые переменные:
X (T τ) = X (T τ) − X (T )e
T
(1−τ )
λ0
,
(2.3.57)
где Х(Т) = Х(λ02N) есть последняя блочная координата точечного вектора X TII :
(2N )
TII
X (T τ) ⎯⎯⎯
→ X TII = Colon[ X (λ 0 ) .. X (λ 0 K ) .. X (λ 0 2 N )] , (2.3.58)
который имеет явное представление в (2.3.53).
Вернемся теперь к более общей задаче о построении наиболее
простого асимптотического наблюдателя для нестационарной динамической системы вида (2.3.1).
Как и в стационарном случае, все временные процессы будем
рассматривать на конечном промежутке [0,1], определяя многомерt
ные функции переменной τ = на отрезке [0,1] с параметром T >0.
T
Итак, рассмотрим задачу Коши для уравнения
d ε(T τ)
+ TQ(T τ) ⋅ ε(T τ) = 0; ε(0) =ε0 ; τ∈[0,1]
dτ
(2.3.59)
с симметричной системной матрицей
1
Q(T τ) = [( A(T τ) + A+ (T τ)) + ( S (T τ) ⋅ C (T τ) + C + (T τ) S + (T τ))], (n × n),
2
(2.3.60)
т. е. рассмотрим наблюдатель (2.3.59) для нестационарной динамической системы
133
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
dX (T τ)
⎫
+ T ⋅ A(T τ) ⋅ X (T τ) = T ⋅ K (T τ) ⋅ U (T τ); a) ⎪
dτ
⎬ τ∈[0,1];(T > 0) , (2.3.61)
Y (T τ) = C (T τ) ⋅ X (T τ) á ) ⎪⎭
имеющей, как и прежде, q входов:
U (T τ) = Colon [U1 (T τ),...U i (T τ),..U q (T τ)]; a ) ⎫
⎪
r выходов
⎪
⎪
Y (T τ) = Colon [ y1 (T τ),... yi (T τ),.. yr (T τ)], б ) ⎬ τ∈[0,1] .
⎪
и n фазовых переменных
⎪
X (T τ) = Colon [ x1 (T τ),...xi (T τ),..xn (T τ)], в ) ⎪⎭
(2.3.62)
Переменные матрицы в (2.3.61) имеют соответствующие размерности:
А(Tτ) (n×n); K(Tτ) (n×q) и C(Tτ) (r×n).
(2.3.63)
Будем предполагать, что введенные в (2.3.60) матрицы S(Tτ),
способные формировать симметричные матрицы Q(Tτ) наблюдателя
(2.3.59) с определенными свойствами, имеют размерности (n×r) и
ранг n (r≥n).
Оказывается, ранее полученные результаты, устанавливаемые
теоремой 2.3.2 для наблюдателей стационарных динамических систем
имеют место и в нестационарном случае.
Прежде чем доказывать более общую теорему такого рода, отметим одно обстоятельство, ранее уже отмеченное в форме замечания
3 к теореме 2.3.1. Речь идет об условии положительной определенности (ПО) системной матрицы А(Тτ) (n×n) в (2.3.61) (или матрицы
А(n×n) в стационарном случае (2.3.31), указанном в теоремах 2.3.1
и 2.3.2. Это условие означает ПО и симметричных матриц
1
1
[( A(T τ) + A+ (T τ)] и [ A + A+ ] и асимптотическую устойчивость со2
2
ответствующих динамических систем, что непосредственно следует
*
из неравенства Важевского.
Именно для таких реально функционирующих асимптотически
устойчивых динамических систем могут быть построены и асимпто*
Подробно вопрос об устойчивости линейных динамических систем вида
(2.3.61) рассматривается далее [см. п. 2.5].
134
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления тические наблюдатели – динамические устройства, способные оценивать их фазовые переменные.
Таким образом, свойство наблюдаемости, как и свойство управляемости является характерным для устойчивых динамических систем и соответствующее условие обязательно для существования этих
свойств.
Оказывается справедливой следующая теорема.
Теорема 2.3.3. Если системная матрица А(Тτ) (n×n) нестационарной динамической системы (2.3.61), число выходов которой r не
меньше n-числа фазовых переменных (r ≥ n) при всех τ∈ [0,1] и Т > 0,
окажется положительно определенной (ПО), а матрица С(Тτ) (r×n)
при этом будет иметь ранг n, то существует множество матриц
{S(Тτ)} τ∈ [0,1] размерности (n×r) и ранга n, способных формировать
симметричные и ПО системные матрицы Q(Тτ) (2.3.60) асимптотического наблюдателя (2.3.59), представляя их в форме диагональных
матриц с заданными положительными элементами. В частности, воз1
En .
можно представление в виде скалярной матрицы
λ0
Доказательство. Рассмотрим множество точечных значений
симметричной матрицы Q(Тτ) (2.3.60), ассоциированных с чебышевk
N)
ской 2N-сеткой II рода θ(2
=
( k =1, 2 N ) :
k
2N
1
N)
N)
N)
Q(T θ(2
) = [ A(T θ(2
) + A+ (T θ(2
)+
k
k
k
2
N)
N)
N)
N)
+ S (T θ(2
) ⋅ C (T θ(2
) + C + (T θ(2
) ⋅ S + (T θ(2
)].
k
k
k
k
(2.3.64)
При всяком k из перечня {1, 2, 3, … 2N} все матрицы из этих
представлений оказываются постоянными, образуя также постоянные
N)
) = Qk . При этом постоянные матрисимметричные матрицы Q(T θ(2
k
N)
N)
) = Ak (n × n) и C (T θ(2
) = Ck (r × n) удовлетворяют требоцы A(T θ(2
k
k
ваниям, указанным в теореме 2.3.2.
Это означает, что, согласно утверждению теоремы при всяком
N)
) = Sk (n × r )
k = 1, 2, 3, …2N существует множество матриц S (T θ(2
k
ранга n, способных формировать из симметричных матриц
135
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
1
N)
Q(T θ(2
) = QK = [( Ak + Ak+ ) + ( Sk Ck + ( Sk Ck ) + )] (n × n)(k = 1,2 N )
k
2
(2.3.65)
положительно определенные матрицы, определяя при каждом
( k = 1, 2 N ) соответствующие множества ортогональных матриц
{U ( S k )} (n × n); U + ( Sk ) = U −1 ( Sk ) и U ( Sk ) ⋅ U + ( Sk ) = En ,
(2.3.66)
осуществляющих преобразования подобия матрицы Qk (2.3.65), превращая их в диагональные:
U ( Sk ) ⋅ Qk ⋅ U + ( S k ) =
1
Diag [λ1 (Qk ),..λ i (Qk ),..λ n (Qk )],
λ0
(2.3.67)
с произвольными желаемыми наборами положительных элементов.
В частности, при всяком k возможен набор из одинаковых и единичных элементов, т. е. реализация преобразования вида
U ( S k ) ⋅ Qk ⋅ U + ( S k ) =
1
1
En ⇒ Qk =
En (k =1,2 N ).
λ0
λ0
(2.3.68)
Поскольку это возможно при любом k, т. е. для всех постоянных
матриц в (2.3.65) как значений соответствующих переменных матриц
k
N)
в (2.3.60) в узлах чебышевской 2N-сетки II рода θ(2
=
( k =1, 2 N )
k
2N
и всяких значений N и T > 0, в том числе и сколь угодно больших, то
преобразование (2.3.68) будет выполняться и для переменных матриц
в (2.3.60), что и доказывает теорему.
Таким образом, при выполнении условий теоремы представлением
S (T τ) ⋅ C (T τ) = Q(T τ) − A(T τ) =
1
1
En − A(T τ) = [ En − λ 0 A(T τ)], (2.3.69)
λ0
λ0
обобщающим представление (2.3.37) на случай переменных матриц,
определяется матрица S (T τ) ( n × r ); τ ∈ [0,1] ранга n, осуществляющая
преобразования вида (2.3.68):
U ( S (T τ)) ⋅ Q(T τ) ⋅ U + ( S (T τ)) =
136
1
1
En ⇒ Q(T τ) = En ; τ∈[0,1].
λ0
λ0
(2.3.70)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления В случае квадратной и невырожденной матрицы С(Тτ) (n×n) (n =
r), получим единственное решение матричного уравнения (2.3.69) –
единственную преобразующую и также невырожденную матрицу
S(Тτ) (n×n):
⎡1
⎤
1
S (T τ) = ⎢ En − A(T τ) ⎥ ⋅ C −1 (T τ) = [ En − λ 0 A(T τ)] ⋅ C −1 (T τ), τ ∈ [0,1].
λ0
⎣ λ0
⎦
(2.3.71)
Итак, и для нестационарных динамических систем (2.3.61) может быть построен наблюдатель (2.3.59) с постоянной системной мат1
En = Q(T τ) τ∈ [0,1]. Его уравнение, как и в стационарном
рицей
λ0
случае, имеет вид (2.3.41) и явное решение (2.3.42):
ε(T τ) = e
−
T
τ0
λ0
⋅ ε 0 ; τ∈[0,1] (T > 0),
(2.3.72)
определяя теперь процесс рассогласования между n-вектор-функцией
Х(Тτ) фазовых переменных нестационарной динамической системы
(2.3.61) и ее оценкой Xˆ (T τ) , даваемой наблюдателем.
Соответствующие формульные выкладки и представления, полученные ранее для стационарных систем, остаются справедливыми
и для систем вида (2.3.61).
Так, будут справедливыми представления вида (2.3.50) и (2.3.57)
для оценки Xˆ (T τ) фазовых переменных динамических систем
(2.3.61):
T
Xˆ (T τ) = (C + (T τ) ⋅ C (T τ)) −1 ⋅ C + (T τ)[Y (T τ) − Y (T )]e λ 0
T
Xˆ (T τ) = X (T τ) − X (T )e λ 0
(1−τ )
, τ∈ [0,1].
(1−τ )
, τ∈ [0,1]; (2.3.73)
(2.3.74)
Однако теперь вектор-функции Х(Тτ) и Y(Тτ) = С(Тτ)·Х(Тτ) могут быть определены по их точечным изоображениям, полученным
как точечные решения уравнений (2.3.61), ассоциированные с чебышевской 2N-сеткой II рода. Будем иметь [см. (1.2.82)]:
137
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
(2N )
TII
X (T τ) ⎯⎯⎯
→ X TII = T2−N1 [α k ] ⋅ D2 N [(2 En + λ 0 Ak ) −1 ]λ 0 ×
{
}
× [( E2 N + Z 2 N ) ⊗ En ]D2 N [ K k ]U TI + e1(2 N ) ( K 0 ) ⋅ U 0 ;
(2N )
TII
Y (T τ) ⎯⎯⎯
→YTII = D2 N [Ck ]⋅ X TII .
⎫
⎪
⎪
a) ⎬
⎪
б ) ⎪⎭
(2.3.75)
Как и ранее, Х(Т) = Х(λ02N) есть последняя блочная координата
точечного вектора X TII :
(2N )
TII
X (T τ) ⎯⎯⎯
→ X TII = Colon[ X (λ 0 ) .. X (λ 0 k ) .. X (λ 0 2 N )] ,
(2.3.76)
т. е.
X (T ) = X (λ 0 2 N ) = X TII , e2(2NN ) ( En ) ,
(2.3.77)
а
Y (T ) = C (T ) ⋅ X (T ).
(2.3.78)
В заключение сделаем еще одно замечание.
Замечание. Для наблюдаемости динамической системы (2.3.1),
т. е. способности наблюдателя (2.3.11) или (2.3.30) давать оценку n
недоступным фазовым переменным Х(Тτ) по r переменным выхода
Y(Tτ), доступ к которым имеется, необходимо, как было уже отмечено, чтобы ранг матрицы С (Tτ) (r×n) τ ∈ [0,1] в уравнении (2.3.1б) был
равен n-числу фазовых переменных [размерности вектора Х(Тτ)], т. е.
был не больше r или, в крайнем случае, был равен r (r ≥ n).
Дело здесь в том, что при детерминистском подходе трудно дать
вполне достоверную оценку n величинам по некоторым другим r величинам, линейно с ними связанным, если их число будет меньше n,
т. е. если окажется r < n. Для этого недостаточно исходной информации. Но при r > n и при RangC(Tτ) = n система (2.3.1) окажется неуправляемой по r-выходу Y(Tτ).
Таким образом, для одновременного существования у системы
(2.3.1) свойств асимптотической наблюдаемости и управляемости по rвыходу Y(Tτ) необходимо и достаточно равенства r = n и невырожденности определенной квадратной матрицы С (Tτ) (n×n) при всех τ ∈ [0,1].
Рассмотренная задача о построении асимптотического наблюдателя не является единственно возможной в своей постановке.
Для нестационарной динамической системы вида (2.3.1) может
быть построено (синтезировано) линейное динамическое устройство
(наблюдатель), на выходе которого сигнал Xˆ (T τ) окажется оценкой
138
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления фазового состояния x (Tτ) τ ∈ [0,1] наблюдаемой динамической системы, понимаемой в смысле совпадения Xˆ (T τ) и X (Tτ) в некотором конечном множестве точек из промежутка [0,1].
В качестве такого множества целесообразно взять чебышевскую
2v − 1
N-сетку I рода: τv( N ) =
(v =1, N ) .
2N
Тогда для решения задачи о построении наблюдателя, выдающего на своем выходе оценку Xˆ (T τ) τ ∈ [0,1], понимаемую в указанном смысле, может быть использован адекватный и эффективный математический аппарат метода точечных представлений.
Задача сводится к построению точечной модели наблюдателя,
ассоциированной с чебышевской N-сеткой I рода, на выходе которого
блочный точечный Nn-вектор Xˆ TI окажется равным Nn-вектору X TI точечному изображающему вектору фазовых переменных заданной
динамической системы вида (2.3.1). Для решения такой задачи используем точечную модель динамической системы (2.3.1) [см. (2.2.35)
и (2.2.37)], структурная схема которой изображена на рис. 2.2.1. Покажем далее, что динамическое устройство, «подключенное» к выходу такой динамической системы, имея соответствующую точечную
модель, структурная схема которой представлена на рис. 2.3.2, решает
эту задачу при выполнении определенных условий.
Вместе с известными блочными передаточными матрицами
(ПМ) WN(Av; Kv) (Nn×nq) и DN(Cv)(Nr×Nn) динамической системы точечную модель наблюдателя [см. рис. 2.3.2] образуют и новые, введенные ПМ: WN(hv) (Nq×Nr) и квазидиагональная невырожденная
матрица DN(λv) (Nn×Nn).
U TI
X TI
WN ( Av ; K v )
Y TI
DN (Cv )
–
WN (hv )
DN (Cv )
WN ( Av ; K v )
DN (λv ) ⋅ Xˆ TI
DN (λ v )
Рис.2.3.2
139
Xˆ TI
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Из структурной схемы следут
Xˆ TI =WN ( Av ; K v ) ⋅ WN (hv )[YTI − DN (Cv ) ⋅ DN (λ v ) Xˆ TI ].
В силу представления YTI = DN (Cv ) ⋅ X TI
Xˆ TI =WN ( Av ; K v ) ⋅ WN (hv ) ⋅ DN (Cv )[ X TI −⋅ DN (λ v ) Xˆ TI ],
откуда
(2.3.79)
Xˆ TI = [ ENn + WN ( Av ; K v ) ⋅ WN (hv ) ⋅ DN (Cv ) ⋅ DN (λ v )]−1 ×
×[WN ( Av ; K v ) ⋅ WN (hv ) ⋅ DN (Cv )] ⋅ X TI .
(2.3.80)
Это точечное представление явной связи между Nn-векторным точечным изображением X TI фазовых переменных X(Tτ) заданной динамической системы и его оценкой Xˆ . Оно имеет смысл точечной модеTI
ли наблюдателя как явного оценочного динамического устройства
вида
Xˆ T = H N (hv ; λ v ) ⋅ X T
(2.3.81)
I
I
с передаточной матрицей
H N (hv ; λ v ) = [ ENn + WN ⋅WN (hv ) DN (Cv ) DN (λ v )] −1 ⋅ WN ⋅ WN (hv ) DN (Cv ),
(2.3.82)
где для сокращения записи обозначено WN = WN (Аv; Kv), и структурной схемой, изображенной на рис. 2.3.3.
Матрица DN(λv) (Nn×Nn) оказалась передаточной матрицей канала обратной связи (ОС).
X TI
+
DN (Cv )
DN (λv ) ⋅ Xˆ TI
WN (hv )
DN (λ v )
Рис. 2.3.3
140
WN ( Av ; K v )
Xˆ TI
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Введенные блочные матрицы WN(hv) (Nq×Nr) и DN(λv) (Nn×Nn)
выберем так, чтобы в (2.3.81) тождественно выполнялось равенство
Xˆ TI = X TI , т. е. из условия
H N ( hv ; λ v ) = E Nn = ( E N ⊗ En ) ,
которое в силу представления (2.3.82) сводит задачу к решению матричного уравнения:
WN ( Av ; K v ) ⋅WN (hv ) DN (Cv ) = E Nn + WN ( Av ; K v )WN ( hv ) ⋅ DN (λ v ) ⇒
⇒ WN ( Av ; K v ) ⋅WN ( hv ) DN (Cv ) = [ E Nn − DN (λ v )] = E Nn
(2.3.83)
или уравнения
WN ( Av ; K v ) ⋅WN (hv ) DN (Cv ) = [ ENn − DN (λ v )]−1 = DN [( En − λ 0 En ) −1 ].
(2.3.84)
Упростим его, задавшись одной из неизвестных матриц, а именно – квазидиагональной матрицей
DN (λ v ) = Diag[λ1En
λ v En
λ N En ]( Nn × Nn ),
(2.3.85)
полагая ее равной блочной скалярной матрице
1
2
1
DN (λ v ) = ENn ,
2
(2.3.86)
т. е. в (2.3.85) λ v = (v =1, N ).
Тогда
1
[ ENn − DN (λ v )] = ENn ⇒ [ ENn − DN (λ v )] −1= 2 ENn
2
(2.3.87)
и матричное уравнение (2.3.84) относительно другой неизвестной
матрицы WN(hv) (Nq×Nr) получит вид
WN ( Av ; K v ) ⋅WN ( hv ) DN (Cv ) = 2 E Nn .
(2.3.88)
Предполагая существование всех этих матричных представлений запишем ПМ точечной модели (2.3.81) в виде
1
H (hv ; λ v ) = ENn = WN ( Av ; K v ) ⋅ WN (hv ) ⋅ DN (Cv ); ( Nn × Nn) ,
2
(2.3.89)
141
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
а саму точечную модель наблюдателя в виде
1
λ
Xˆ TI = WN ( Av ; K v ) ⋅WN (hv ) DN (Cv ) ⋅ X TI = 0 WN ( Av ) ⋅ DN ( K v ) ⋅ WN (hv ) ⋅ YTI ,
2
2
(2.3.90)
т. к. WN ( Av ; K v ) = λ 0 ⋅WN ( Av ) DN ( K v ) и DN (Сv ) X T = YT .
Это – точечная модель наблюдателя для заданной динамической
системы
(2.3.91)
YT = DN (Cv )WN ( Av ; K v ) ⋅U T ,
I
I
I
I
позволяющая по ее сигналу выхода YTI в (2.3.90) находить оценку Xˆ TI
фазового Nn-вектора X TI , реализуя при этом в силу представления
(2.3.89) равенство Xˆ TI = X TI .
Получаем, таким образом, наблюдатель (2.3.90), осуществляющий точечно-тождественную оценку фазовых переменных n-мерной
динамической системы вида (2.3.1).
Назовем его ТТ-наблюдателем, в отличие от асимптотического
наблюдателя, рассмотренного ранее.
Будем иметь структурную схему представленную на рис. 2.3.4.
Выясним теперь условия, выполнение которых будет означать
существование ТТ-наблюдателя (2.3.90), что эквивалентно решению
задачи об определении введенной блочной матрицы WN(hv) (Nq×Nr)
при устойчивости наблюдаемой динамической системы (2.3.91), т. е.
системы (2.3.1).
U TI
X TI
WN ( Av ; K v )
Y TI
DN (Cv )
Динамическая система
Y TI
WN (hv )
1
WN ( Av ; Kv )
2
ТТ-наблюдатель
Рис. 2.3.4
142
Xˆ TI
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Преобразуем ПМ модели (2.3.90), используя определяющие
представления для ПМ WN(Av; Kv) (Nn×Nq) динамической системы
(2.3.91) и имея в виду (2.1.18) и (2.1.19) [см. также (2.2.23); (2.2.24)
и (2.2.25)]:
WN ( Av ; K v ) = WN ( Av ) ⋅ λ 0 DN ( K v ), ( Nn × Nq );
а) ⎫
⎪
WN ( Av ) = DN [( EN + λ 0 Av ) −1 ] ⋅ TN−1 ( Bv ) ⋅ [( EN + Z ) ⊗ En ], ( Nn × Nn); б) ⎬ (2.3.92)
в) ⎪⎭
DN ( K v ) = Diaq[ K1 .. K v .. K N ], ( Nn × Nq ).
Используя эти представления, получим вместо (2.3.88)
λ0
DN ( K v )WN (hv ) ⋅ DN (Cv ) =WN −1 ( Av ) =
2
= [( EN + Z ) ⊗ En ]−1 ⋅ TN ( Bv ) ⋅ DN [( En + λ 0 Av )].
(2.3.93)
Имеем матричное уравнение относительно неизвестной матрицы
WN(h) (Nq×Nr) которую будем называть матрицей ТТ-наблюдателя.
Задача теперь состоит в том, чтобы определить условия, при выполнении которых матричное уравнение (2.3.93) имеет решение, т. е. существует матрица ТТ-наблюдателя.
При этом предполагаются известными и заданными все другие
матрицы соответствующей размерности, входящие в уравнение. В частности, предполагается доступной и явно определенной квазидиагональная матрица
DN (Cv ) = Diag[C1 .. Cv .. C N ] ( Nr × Nn)
(2.3.94)
из точечной модели (2.3.91) рассматриваемой динамической системы,
т. е. функциональной матрицы C (T τ) τ∈ [0,1] из модели (2.3.1).
Первое и совершенно необходимое условие какого-либо функционирования всякой динамической системы – это ее устойчивость.
Рассматриваемая динамическая система будет устойчивой, если ее
системная матрица A(T τ) τ∈ [0,1] и всё множество её точечных значений A(T τ(vN ) ) = Av (v =1, N ) окажутся положительно определёнными
матрицами (ПО-матрицами). В этом случае системный матричный
оператор WN−1 ( Av ) точечной модели нашей динамической системы
[см. (2.2.19)] окажется квадратной (Nn×Nn) и невырожденной матри143
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
цей, т. е. ранга Nn. Но это – правая часть уравнения (2.3.93), поэтому
ясно, что для его существования необходимо, чтобы и его левая блочная матрица была квадратной и невырожденной, т. е. имела ранг Nn.
Это первое и необходимое условие, вытекающее из требования
об устойчивости рассматриваемой динамической системы и в то же
время определяющее как ограничивающий и необходимый фактор
свойства блочных ПМ в составе матрицы – произведений левой части
уравнения (2.3.93). Это квазидиагональные матрицы DN(Kv) (Nn×Nq)
(2.3.92в) и DN(Cv) (Nr×Nn) (2.3.94).
Так, если потребовать у этих матриц ранга равных Nn и квадратных размерностей (Nn×Nn), т. е. наличие соответствующих показателей у их функциональных оригиналов K(Tτ) (n×q) и C(Tτ) (r×n) при
всех τ∈[0,1] и, следовательно, n-мерности динамической системы
(2.3.1) не только по фазовым переменным X (T τ); τ∈ [0,1] , но и по выходу Y (T τ); τ∈ [0,1] , то блочная матрица WN(hv) ТТ-наблюдателя также
окажется размерности (Nn×Nn) и ранга Nn и как единственное решение уравнения (2.3.93) определится формулой
λ0
WN (hv ) = DN −1 ( K v ) ⋅ WN−1 ( Av ) ⋅ DN −1 (Cv ).
2
(2.3.95)
В этом крайнем случае, когда q = n = r, динамическая система
с точечной моделью (2.3.91) окажется не только ТТ-наблюдаемой, но
и управляемой как по X TI , так и по YTI [см. теоремы 2.2.2 и 2.2.3].
Рассмотрим общий случай.
Для блочных передаточных матриц (ПМ-матриц)
DN ( K v )( Nn × Nq ); WN ( hv )( Nq × Nr ); DN (Cv )( Nr × Nn) ,
(2.3.96)
образующих в левой части матричного уравнения (2.3.93) матрицупроизведение (Nn×Nn), имеем как необходимое условие существования самого уравнения (2.3.93) следующее равенство
Rang [ DN ( K v ) ⋅ WN ( hv ) ⋅ DN (Cv )] = Nn,
(2.3.97)
которое эквивалентно равенству
min[ Rang DN ( K v ), Rang WN (hv ), Rang DN (Cv )] = Nn. (2.3.97′)
144
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Это формульное представление ранее, указанного и необходимого условия существования решения матричного уравнения (2.3.93)
и должно выполняться в любом случае, не только при равенстве, но
и при других комбинациях по размерностям матриц (2.3.96), т. е. фактически при некоторых других сравнительных отношениях между показателями q, n и r, отличных от их равенства.
В частности, предположим более общий вариант, когда n ≤ q
и n ≤ r, т. е. когда размерность q-вектор-функции входа U(Tτ) рассматриваемой динамической системы и размерность r ее вектора выхода Y (Tτ) не меньше n-размерности самой системы (2.3.61).
В этом случае ранги блочных матриц DN(Kv) (Nn×Nq)
и DN(Cv) (Nr×Nn) не могут превысить наименьших показателей их
размерностей, т. е. Nn.
Естественно считать, что
Rang [ DN ( K v ) = Rang DN (Cv )] = Nn.
(2.3.98)
А вот блочная матрица WN(hv) (Nq×Nr) в составе матричного
произведения уравнения (2.3.93) может иметь ранг, равный как Nq,
так и Nr, в зависимости от вида сравнительного отношения между показателями q и r (Nq×Nr). Так, если Nq < Nr, то ранг будет равен Nq,
т. к. он не может превышать наименьшего из этих показателей. Если
же Nq > Nr, то следует считать ранг равным Nr.
В обоих этих случаях и при выполнении условий q ≥ n и r ≥ n
решение матричного уравнения (2.3.93) существует и определенная
блочная матрица WN(hv) (Nq×Nr) как его решение завершит задачу
о построении ТТ-наблюдателя (2.3.90).
Но строгое неравенство (r > n) (Nr > Nn) означает неуправляемость асимптотической и ТТ-наблюдаемой динамической системы по
Nr-выходу YTI (см. теоремы 2.2.2 и 2.2.3 с замечанием 4).
В рассматриваемом варианте возможен случай равенства r = n,
реализующий управляемость динамической системы и по выходу.
Таким образом, условие (r = n ≤ q) (Nr = Nn ≤ Nq) является достаточным для одновременного существования у устойчивой динамической системы (2.3.1) (2.3.61) свойства управляемости как по n фазоTI
вым координатам X (T τ) ⎯⎯
→ X TI , так и по r = n переменных выхода
TI
Y (T τ) ⎯⎯
→ YTI , а также свойства наблюдаемости как в смысле асим-
птотической, так и точечно-тождественной (ТТ) наблюдаемости.
145
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Подведем итог проведённым рассуждениям, распространяющим,
по существу, утверждения теоремы 2.3.3 об асимптотической наблюдаемости динамической системы (2.3.61) на ее ТТ-наблюдаемость.
Может быть сформулирована следующая теорема.
Теорема 2.3.4. Если системная матрица А(Тτ)(n×n) динамической
системы (2.3.61), число выходов которой r не меньше n-числа фазовых
переменных (r ≥ n) при всех τ∈ [0,1] и T > 0, окажется положительно определенной (ПО-матрицей), а блочная матрица WN(hv) (Nq×Nr) может
быть определена так, что произведение
DN ( K v ) ⋅ WN ( hv ) ⋅ DN (Cv )
(2.3.99)
окажется квадратной размерности (Nn×Nn) и невырожденной, т. е.
ранга Nn, то при таком же ранге квазидиагональных матриц
DN(Kv) (Nn×Nq) и DN(Cv) (Nr×Nn), т. е. при выполнении условия
(2.3.98), будет определен ТТ-наблюдатель как динамическое устройство с точечной моделью (2.3.90). При этом, однако, ТТ-наблюдаемая
и устойчивая динамическая система (2.3.91) окажется неуправляемой
по Nr-выходу YTI . Условие(r = n ≤ q) (Nr = Nn ≤ Nq) является достаточным для одновременного существования у этой системы свойств
ТТ-наблюдаемости и управляемости как по n фазовым переменным
TI
TI
X (T τ) ⎯⎯
→ X TI , так и по r = n переменным выхода Y (T τ) ⎯⎯
→ YTI .
Замечание. Утверждения теоремы остаются справедливыми
и для стационарной динамической системы вида (2.3.31) [см. также
(2.1.28)], когда матрицы А(n×n); K(n×q) и C(r×n) оказываются постоянными. В этом частном случае ПМ соответствующей точечной модели
WN ( A) ⋅ DN ( K ) ⋅ U TI = X TI
DN (C ) ⋅ X TI = YTI )
а) ⎪⎫
⎬
б) ⎪⎭
(2.3.100)
получают ранее указанные представления.
Для квадратной и невырожденной матрицы WN(A) (Nn×Nn) – это
представление (2.2.8) с последующей расшифровкой, а для квазидиагональных матриц будем иметь
DN ( K ) = ( E N ⊗ K )( Nn × Nq ) и DN (C ) = ( E N ⊗ C )( Nr × Nn) . (2.3.101)
146
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Уравнение же (2.3.93) в этом случае получит вид
λ0
DN ( K ) ⋅ WN (h) ⋅ DN (C ) =WN −1 ( A).
2
(2.3.102)
Его решение при указанных условиях для показателей размерностей этих блочных матриц определит и матрицу WN(h) (Nq×Nr) ТТнаблюдателя стационарной динамической системы (2.3.100).
В заключение поясним подробнее отмеченную ранее ситуацию,
связанную с оценкой фазовых переменных X(t) = X(Tτ) динамической
системы вида (2.3.1) или (2.3.61) по её переменным выхода Y(t) =
Y(Tτ), доступ к которым имеется.
Построение наблюдателей – динамических устройств, способных решать такую оценочную задачу в том или ином смысле, предполагает явное знание матрицы C(t) = C(Tτ) (r×n), связывающей фазовые переменные динамической системы с её переменными выхода.
Такое знание реализует доступ и к фазовым переменным динамической системы, осуществляя их оценку причем делает это с различной
информативностью в зависимости от свойств самой матрицы
C(t) = C(Tτ) (r×n).
Так, при явном построении функционирующего асимптотического наблюдателя непосредственное использование матрицы
C(t) (r×n) предполагает наличие таких указанных её свойств, что матрица наблюдателя P(t) (2.3.11) окажется положительно определённой
(см. теорема 2.3.1).
Большие возможности решения оценочных задач возникают при
использовании метода точечных представлений. При таком подходе
функциональная матрица C(Tτ) (r×n) преобразуется в квазидиагональную:
TI
C (T τ) ⎯⎯
→ DN (Cv ) = Diag[C (T τ1( N ) ) .. C (T τ(vN ) ) .. C (T τ(NN ) )]( Nr × Nn),
(2.3.103)
а динамическая система получает точечную модель вида (2.2.35) с соответствующими блочными матрицами. В частности, при определённых данных о матрице (2.3.103) как задача линейной алгебры построен ТТ-наблюдатель, способный давать весьма эффективную оценку фазового n-вектора Х(Тτ) динамической системы (2.3.61) по её r-вектору
выхода Y(Tτ), а именно: оценочный точечный Nn-вектор Xˆ TI оказыва147
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
ется равным X TI – точечному изображающему вектору фазовых переменных X (T τ)[ Xˆ TI = X TI ] , причем при любых N и T > 0.
Отметим, однако, что точечный подход при явно заданной матрице DN(Cv) (2.3.103), связывающей X TI и YTI в виде линейного векторно-матричного уравнения
DN (Cv ) ⋅ X TI = YTI ,
(2.3.104)
являющегося частью точечной модели (2.2.35), позволяет иначе решать
оценочную задачу, а именно как задачу по решению этого уравнения.
Всякое существующее его решение есть представление Nnвектора X TI в виде линейного преобразования Nr-вектора YTI и может
рассматриваться в роли точечной модели некоторого наблюдателя,
дающего оценку Xˆ TI вектору X TI по вектору YTI .
Решение уравнения (2.3.104) существует, если r = n, а его квадратная матрица DN(Cv) (Nn×Nn) невырожденна, т. е. имеет ранг Nn.
В этом случае, имеем единственное решение
X TI = DN−1 (Cv ) ⋅ YTI ,
(2.3.105)
которое является точечной оценкой Xˆ TI фазового n-вектора X (Tτ);
τ ∈ [0,1], решая задачу наблюдения в динамической системе в этом частном случае, причем иначе, чем это делает ТТ-наблюдатель.
При r > n уравнение (2.3.104) с прямоугольной блочной матрицей DN(Cv) (Nr×Nn), но по-прежнему ранга Nn оказывается переопределённым линейным уравнением и, вообще говоря, несовместимым.
Но если ранг её блочной матрицы DN(Cv) (Nr×Nn) будет равен Nn, то
имеется так называемое псевдорешение. Это такой блочный Nnвектор Xˆ TI , который минимизирует квадрат эвклидовой нормы Nn-
векторной невязки
2
2
Δ э = DN (Cv) X TI − YTI = min.
э
Псевдорешение единственное и имеет представление
X TI = [ DN+ (Cv ) ⋅ DN (Cv )]−1 ⋅ DN+ (Cv ) ⋅ YTI ,
148
(2.3.106)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления которое следует рассматривать как точечную модель некоторого наблюдателя, решающего задачу наблюдения в этом случае, а псевдорешение (2.3.106) − как точечную оценку фазового Nn-вектора X TI .
Однако при r > n, как уже отмечалось, динамическая система
окажется неуправляемой по выходу.
Только при равенстве r = n устойчивая динамическая система
может быть наблюдаемой и управляемой как по фазовым переменным, так и по переменным выхода. Заметим, что построение наблюдателей по явно заданной матрице DN(Cv) (3.103) не предполагает ПО
системной матрицы A(Tτ) (n×n) динамической системы – условия её
устойчивости, хотя это условие присутствует при построении наблюдателей, дающих оценки в других смыслах.
Но оно должно обязательно выполняться как условие нормального функционирования всякой динамической системы.
2.4. Обратная связь в точечных моделях линейных динамических систем. Управляемость и наблюдаемость Пусть q-векторным управлением U(t) = U(Тτ) некоторая линейная динамическая система (объект) за временный промежуток [0, Т]
(или [0, 1] для безразмерного времени τ = t/Т) переводится из состояния покоя Х(0) = 0 в некоторое фиксированное состояние Х(Т) – точку
в n-мерном пространстве состояний. Движение может происходить по
различным траекториям. Предположим, что среди таких траекторий
существуют более предпочтительные по определенным показателям.
Это – желательные траектории Х0(Тτ). Им соответствуют управления
U0(Тτ), которые могут быть определены как некоторые отображения
из n-мерного пространства состояний в q-мерное пространство управлений, т. е. в виде некоторого закона U0(Тτ) = FОС(τ; X0(Тτ)).
Он решает как бы обратную задачу, определяя требуемое управление U0(Тτ) для заданной предпочтительной траектории движения
Х0(Тτ). Возникает мысль отправить этот q-мерный сигнал U0(Тτ) на
вход управляемого объекта, сформировав его по указанному закону
в некотором канале обратной связи, где бы он мог, взаимодействуя
с установленным там уже управлением U(Тτ), образовать корректирующие поправки в процессе управления, способные обеспечить
движение по желаемой траектории или по близким к ней.
149
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
U(Тτ) +
ε(Тτ)
–
U0(Тτ)
Объект
управления
Х(Тτ)
Foc(Х(Тτ))
Рис. 2.4.1
Такие поправки, естественно, определены как сигнал разности
этих управлений ε(Тτ) = U(Тτ) – U0(Тτ), который обычно называют
сигналом ошибки. Таким образом реализуется отрицательная обратная связь.
В идеальном случае ε(Тτ) = 0 ∀τ ∈ [0, 1] , т. е. установленное
управление U (Тτ) в любой момент τ из [0, 1] в точности равно требуемому сигналу U0(Тτ), поступающему по каналу обратной связи.
Происходит автоматическое поддержание ошибки ε(Тτ) на нулевом
уровне. Для реальных объектов, обладающих инерционностью, это невозможно.
Кроме того, различные возмущения f(Тτ), действующие на объект, не влияя на установленное управление U(Тτ), влияют на состояние Х(Тτ) и выходной r-векторный сигнал Y(Тτ) всей системы и, следовательно, учитываются сигналом обратной связи (ОС), который
автоматически формирует соответствующий сигнал управления
ε(Тτ). Он уже не может быть нулевым, даже в случае безынерционного объекта.
Описание взаимодействия сигналов реализуется по схеме, указанной на рис. 2.4.1, в предположении Y(Тτ) = Х(Тτ).
В общем случае фазовые переменные (переменные состояния)
Х (Т τ ) = Сolon [x1 (Т τ),...xi (Т τ),...xn (Т τ)]; τ∈ [0,1]
(2.4.1)
и его выходные переменные
Y (Т τ ) = Сolon [y1 (Т τ),...yi (Т τ),...yr (Т τ)]; τ∈ [0,1]
(2.4.2)
не совпадают.
Различно и их число, т. е. r ≠ n. Имеем, таким образом, объект
управления в виде n-мерной нестационарной динамической системы,
описываемой уравнениями (2.3.61):
150
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления dХ (Т τ)
+ Т А(Т τ) ⋅ X (Т τ) = T ⋅ K (Т τ) ⋅ U (Т τ);
dτ
Y (Т τ) = C (Т τ) ⋅ X (Т τ)
⎫
а) ⎪
⎬ τ ∈ [0,1];(Т > 0)
б ) ⎪⎭
(2.4.3)
и имеющей q-входов:
U (Т τ ) = Сolon [u1 (Т τ),...ui (Т τ),...uq (Т τ)]; τ∈ [0,1]
(2.4.4)
r-выходов Y(Тτ) (2.4.2) и n фазовых переменных Х(Тτ) (2.4.1), причем
в общем случае n ≠ r ≠ q.
Переменные матрицы в уравнениях (2.4.3) имеют соответствующие размерности:
А(Т τ)(n × n); K (Т τ)(n × q ); C (Т τ)(r × n); τ∈ [0, 1].
(2.4.5)
Объект управления (2.4.3) как динамическую систему замкнем
отрицательной обратной связью (ОС), предполагая линейное преобразование выходного сигнала Y (Тτ) в канале ОС, осуществляемое постоянной матрицей KOC (q×r), т. е. полагая
U 0 (Т τ) = K OC ⋅ Y (Т τ) = K OC ⋅ C (Т τ) X (Т τ) = U OC (Т τ); τ ∈ [0, 1].
(2.4.6)
Соответствующий сигнал ошибки
ε(Т τ) = U (Т τ) − U OC (Т τ) = U (Т τ) − K OC ⋅ C (Т τ) X (Т τ); τ ∈ [0, 1], (2.4.7)
поступая на вход объекта, образует уже замкнутую систему управления, которая будет описываться уже другими уравнениями. Вместо
дифференциального уравнения (2.4.3а) будем теперь иметь
dX (Т τ)
+ TА(Т τ) ⋅ X (Т τ) = Т K (Т τ)[U (Т τ) − K OC ⋅ C (Т τ) X (Т τ)]
dτ
или
dX (Т τ)
+ T [А(Т τ) + K (Т τ) ⋅ K OC ⋅ C (Т τ)] X (Т τ) = Т ⋅ K (Т τ) ⋅ U (Т τ).
dτ
(2.4.8)
Введем матрицу
γ (Т τ) = [А(Т τ) + K (Т τ) ⋅ K OC ⋅ C (Т τ)](n × n); τ ∈ [0, 1]
(2.4.9)
151
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
– системную для дифференциального уравнения (2.4.8), которое вместе с равенством (2.4.3б) будет определять уже замкнутую систему
управления объектом (2.4.3):
dХ (Т τ)
+ Т ⋅ γ (Т τ) X (Т τ) = T ⋅ K (Т τ) ⋅ U (Т τ);
dτ
Y (Т τ) = C (Т τ) ⋅ X (Т τ);
⎫
а) ⎪
⎬ τ∈ [0, 1];(Т > 0).
б ) ⎪⎭
(2.4.10)
Она представляется в прежней форме (2.4.3), т. е. в виде некоторого эквивалентного объекта управления, имеющего, однако, внутренние каналы управления. В частности, каналы ОС, по которым преобразованный выходной сигнал Y(Тτ) поступает на вход системы,
осуществляя как бы автоматическое слежение за сигналом входа
U(Тτ), корректируя его.
Этим и решается задача автоматического управления с определенными показателями качества. Но свойства разомкнутой системы
вида (2.4.3), как было установлено по его точечной модели (см. п.п:
2.1, 2.2, 2.3), определяются на [0, 1] свойствами системной матрицы
A (Tτ) (n×n) и преобразующими матрицами входа K (Tτ) (n×q) и выхода C (Tτ) (r×n). В частности, были установлены условия управляемости таких систем.
Очевидно, свойства замкнутой динамической системы (2.4.10),
имеющей тот же вид (2.4.3), будут определяться свойствами таких же,
но своих матриц, т. е. системной матрицы γ(Тτ) и прежними матрицами
K(Тτ) и C(Тτ), а также KOC (Tτ) (q×r) – преобразующей матрицей канала обратной связи (ОС). И в этом случае все может быть установлено
по точечной модели – гомоморфному образу функциональной модели
(2.4.10). Получим ее. В силу сказанного и в соответствии с выкладками
п. 2.1 [см. (2.1.13)], будем иметь следующую точечную модель замкнутой системы (2.4.10), ассоциированную с чебышевской N-сеткой I рода
2v − 1
τ(vN ) =
(v = 1, N ):
2N
DN [ (En + λ 0 γ v ) ] ⋅ TN [ В (γ v ) ] ⋅ X TI = λ 0 ⋅ [ (En + Z ) ⊗ En ] DN [ K v ]U TI ;
YTI = DN [Cv ] ⋅ X TI .
а ) ⎪⎫
⎬
б ) ⎪⎭
(2.4.11)
152
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Здесь, как и в случае разомкнутой системы, блочные точечные
векторы имеют смысл, представленный в (2.1.6). То же относится
и к квазидиагональным передаточным матрицам (ПМ) DN [Cv] (Nr×Nn)
(2.1.8в) и DN [ Kv ] = DN ⎡⎣ K (Т τ(vN ) ) ⎤⎦ (Nn × Nq) (2.1.8б). А вот для квазидиагональной ПМ
DN [ (En + λ 0 γ v ) ] = Diag [ (En + λ 0 γ1 )
(En + λ 0 γ v )
(En + λ 0 γ N ) ] , (2.4.12)
где γ (v = 1,N ) есть значения системной матрицы γ(Тτ) (2.4.9) замкнутой системы (2.4.10) в узлах чебышевской N-сетки I рода, т. е. значения
γ (Т τ(vN ) ) = γ v = [ Av + K v ⋅ K ОС ⋅ Сv ] (n × n);(v = 1, N ),
(2.4.13)
а для блочной ПМ TN [B(γv)] в (2.4.11а) будем иметь
⎡ En
⎤
⎢ B (γ ) E
⎥
1
n
⎢
⎥,
TN [ B(γ v ) ] = ENn + (Z ⊗ En ) ⋅ DN [ B (γ v ) ] =
⎢
⎥
B(γ v −1 ) En
⎢
⎥
B(γ N −1 ) En ⎦
⎣
(2.4.14)
где матричные блоки B(γv-1) (v = 2, N ) имеют представления [см.
(2.1.15)]:
B (γ v −1 ) = −(En +λ 0 γ v ) -1 ⋅ (En − λ 0 γ v −1 )(n × n)(v = 2, N ).
(2.4.15)
Обращая в (2.4.11а) системный матричный оператор, найдем
Х TI = TN−1 [ B (γ v ) ] ⋅ DN ⎡⎣ (En +λ 0 γ v ) -1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ (E N +Z ) ⊗ En ] DN [ K v ] ⋅ U TI =
= WN (γ v ; K v ) ⋅ U TI = WN [ γ v ] DN [ K v ] ⋅ U TI .
(2.4.16)
Здесь имеем для блочной ПМ WN [ γ v ] (Nn × Nn):
WN [ γ v ] = TN−1 [ B (γ v ) ] ⋅ DN ⎡⎣(En +λ 0 γ v ) −1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ (EN +Z ) ⊗ En ] .
(2.4.17)
153
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Добавляя к (2.4.16) представление (2.4.11б), получим точечную
модель замкнутой системы управления (2.4.10), ассоциированную
с чебышевской N-сеткой I рода и в форме
X TI = WN ⋅ [ γ v ] DN [ K v ]U TI ;
YTI = DN [Cv ] ⋅ X TI
а ) ⎪⎫
⎬
б ) ⎪⎭
(2.4.18)
или в форме связи «вход-выход»:
YTI = DN [Сv ] ⋅ WN [ γ v ] ⋅ DN [ K v ]U TI .
(2.4.19)
Этим представлениям соответствует структурная схема, изображенная на рис. 2.4.2
UTI
DN [ K v ]
WN [ γ v ]
Х TI
DN [Сv ]
YTI
Рис. 2.4.2
Такую же по форме точечную модель будем иметь и для разомкнутой системы (2.4.3).
Необходимо лишь, как уже отмечалось, поступить наоборот:
в ПМ WN[γv] модели (2.4.18) матрицу γ v (v = 1, N ) (2.4.13) заменить на
матрицу Av = A(Т τ(vN ) )(1, N ) , т. е. положить в (2.4.13) KOC ≡ 0.
В результате получим рассмотренную ранее точечную модель
разомкнутой системы в форме (2.4.18) и (2.4.19) [см. также (2.2.35)]:
X TI = WN ⋅ [ Av ] DN [ K v ]U TI ;
а ) ⎪⎫
⎬;
б ) ⎪⎭
(2.4.20)
YTI = DN [Cv ] ⋅ WN [ Av ] ⋅ DN [ K v ]U TI
(2.4.21)
YTI = DN [Cv ] ⋅ X TI
и соответствующую структурную схему (рис. 2.4.2), в которой только
динамическое звено с ПМ WN (γv) (2.4.17) заменено на такое же, по сути, звено с ПМ:
WN [ Av ] = TN−1 [ Bv ] DN ⎡⎣(EN +λ 0 Av ) −1 ⎤⎦ ⋅ λ 0 [ (EN +Z ) ⊗ EN ] ,
154
(2.4.22)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления где
Bv = В (Av ) = −(En + λ 0 Av ) −1 (En − λ 0 Av −1 )(n × n)(v = 2 ,N ).
(2.4.23)
Отметим следующие итоговые результаты, полученные ранее
для разомкнутых динамических систем вида (2.4.3) по их точечным
моделям (2.4.20) с системными ПМ в (2.4.20а):
WN (Av ; K v ) = WN [ Av ] ⋅ DN [ K v ] (Nn × Nq ),
(2.4.24)
где WN[Av] есть (2.4.22) и ПМ в (2.4.21):
DN [Cv ] ⋅ WN (Av ; K v ) = DN [Сv ] ⋅ WN [ Av ] ⋅ DN [ K v ] (Nr × Nq ) .
(2.4.25)
Обобщение полученных результатов позволило сформулировать
следующие утверждения.
Утверждение 2.4.1. Если системная матрица A(Т τ)(n × n); τ∈ [ 0,1]
разомкнутой динамической системы (2.4.3) и матричное множество
A(Т τ(vN ) ) = Av (v = 1, N ) окажутся положительно определенными (ПО)
T
при конечных Т > 0, всяком N, но фиксированном λ 0 =
> 0 , то су2N
ществует точечная модель такой системы вида (2.4.20) с передаточными
матрицами (ПМ) (2.4.24) и (2.4.25) [см. теорему 2.1.1 с замечанием 1].
Утверждение 2.4.2. Если матрица A (Tτ) (n×n); τ∈ [ 0,1] динамической системы (2.4.3) положительно определена и ее точечная модель
(2.4.20) существует, при этом ее ПМ WN(Av; Kv) (2.4.24) при всяком N
имеет ранг Nn, а ПМ (2.4.25) – ранг Nr, то разомкнутая система (2.4.3)
TI
окажется управляемой как по фазовым переменным Х (Т τ) ⎯⎯
→ Х TI ,
т. е. Nn-вектору Х T , так и по выходному Nr-вектору YTI . При этом Nq ≥
I
Nn ≥ Nr (q ≥ n ≥ r) [см. теоремы 2.2.2 и 2.2.3 с замечаниями].
Подобные утверждения могут быть распространены и на замкнутые нестационарные динамические системы (2.4.10), имеющие вид
(2.4.3).
При этом существенное влияние, естественно, будет оказывать
матрица преобразования KOC(q×r) канала ОС.
Теорема 2.4.1. Если для разомкнутой динамической системы
(2.4.3) с точечной моделью (2.4.20) выполняются все условия, указан155
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
ные в утверждениях 1 и 2 и она оказывается управляемой по Х (Тτ)
и Y (Тτ), то и замкнутая система (2.4.10) с точечной моделью (2.2.4.11)
окажется управляемой по Х (Тτ) и Y (Тτ), если преобразующая матрица KOC(q×r) ее канала ОС будет такой, что системная матрица
γ (Т τ) = [ A(Т τ) + K (Т τ) ⋅ K ОС ⋅ С (Т τ) ] (n × n): τ∈ [ 0,1]
(2.4.26)
и все матрицы
γ (Т τ(vN ) ) = γ v (v = 1, N )
(2.4.27)
окажутся положительно определенными, то блочные ПМ
WN (γ v ; K v ) = WN [ γ v ]⋅ DN [ K v ] (Nn × Nq )
(2.4.28)
точечной модели (2.4.18) и
DN [Сv ]⋅ WN (γ v ; K v ) = DN [Сv ]⋅ WN [ γ v ] ⋅ DN [ K v ] (Nr × Nq)
(2.4.29)
точечной модели (2.4.19) будут иметь ранги N n и N r соответственно.
Доказательство. Оно вытекает из факта идентичности формульных представлений моделей разомкнутой и замкнутой систем. Одна
получается из другой, если поменять местами только их системные
A (Tτ) (n×n); τ∈ [ 0,1] и γ (Tτ) (n×n); τ∈ [ 0,1] (2.4.26) в функциональных
моделях (2.4.3) и (2.4.10) или блочные ПМ WN[Av] (Nn×Nn) (4.24)
и WN[γv] (Nn×Nn) (4.17) в точечных моделях (2.4.20) и (2.4.24). Все другие матрицы в этих моделях остаются прежними и будут совпадать,
поэтому свойства этих моделей, в частности, свойство управляемости,
будут иметь место как для разомкнутой, так и для замкнутой системы,
если их указанные системные матрицы будут ПО или, как следствие,
ПМ (2.4.24) и (2.4.28) будут иметь ранг Nn, а ПМ (2.4.25) и (2.4.29) –
ранг Nr.
Замечание. Возникает вопрос: может ли одна из этих систем
быть управляемой, а другая – нет? Ответ утвердительный. Такая ситуация может иметь место.
Для замкнутых динамических систем вида (2.4.10) все основные
свойства определяются преобразующей матрицей KOC(q×r) канала
ОС, играющей существенную роль в формировании ее системной
матрицы γ (Тτ) (2.4.26). Она может быть такой, что матрица γ (Тτ) не
будет положительно определенной (ПО) при всех τ∈ [ 0,1] , и, следова156
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления тельно, не будет управляемой замкнутая система (2.4.10), хотя матрица A (Tτ) (n×n) разомкнутой системы (2.4.3) будет ПО при всех
τ∈ [ 0,1] и система окажется управляемой.
Возможен случай, когда, наоборот, разомкнутая система (2.4.3)
не является управляемой [матрица A (Тτ) не является ПО при всех
τ∈ [ 0,1] ], а замкнутая система (2.4.10) обладает таким свойством, т. к.
ее системная матрица γ (Тτ) (2.4.26) выбором матрицы KOC определится как ПО матрица при всех τ∈ [ 0,1] .
Факт идентичности точечных моделей разомкнутых и замкнутых динамических систем делает идентичными и формульные условия наличия у них не только свойства управляемости, как было показано, но также и свойства наблюдаемости, означающей существование для них наблюдателей – динамических устройств, дающих оценку
их фазовым переменным, доступ к которым отсутствует.
Так, теорема 2.3.3, определяющая существование асимптотического наблюдателя для разомкнутой системы, окажется справедливой
и для системы замкнутой, если, как и раньше, условно положительную
определенность (ПО) системной матрицы A (Tτ) (n×n) заменить таким
же условием, накладываемом на матрицу γ (Тτ) (2.4.9) – системную
матрицу замкнутой системы (2.4.10), не меняя другие матрицы.
Подобная ситуация будет иметь место и при построении ТТнаблюдателя замкнутой динамической системы. С системной матрицей γ (Тτ) (2.4.9); точечной моделью (2.4.18) и точечными значениями
γ (Т τ(vN ) ) = γ v (v = 1, N ) (2.4.13), которые, заменяя соответствующие значения A(Т τ(vN ) ) = Av (v = 1, N ) в точечной модели (2.4.20) и всех других
точечных представлениях разомкнутой системы, делают справедливыми утверждения теоремы 2.3.4 и для замкнутых систем, решая задачу о построении ТТ-наблюдателя и в этом случае. Отметим также, что
решения задач о построении наблюдателей для разомкнутых систем по
явно заданным матрицам DN (Cv) (2.3.103) также остаются справедливыми со всеми утверждениями и для систем замкнутых.
В заключение укажем более естественную форму точечной модели динамической системы (2.4.18) [или (2.4.11) в подробной записи] с явно выраженной отрицательной обратной связью (ОС) с передаточной матрицей (ПМ) DN (K ОС ) = (E N ⊗ K ОС ) (Nq × Nr ), которой
и замыкается динамическая система (2.4.20), названная разомкнутой
системой.
157
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
UTI
+
−
WN (Av ; K v )
Х TI
DN (Сv )
YTI
DN (K ОС ) ⋅ YTI
DN (K ОС )
Рис. 2.4.3
В прил. 1 приведены преобразования точечной модели (2.4.11)
замкнутой системы, которые в конечном итоге и приводят модель к ее
естественному виду с явно выраженной замыкающей ОС.
Это точечная модель (1.13):
YTI = [ E Nn + DN (Сv )WN (Av ; K v ) DN (K ОС ) ] ⋅ DN (Сv )WN (Av ; K v )U TI , (2.4.30)
−1
эквивалентная точечной модели (2.4.19), что означает равенство их
ПМ, которое, учитывая представление WN(Av; Kv) = WN(Av) · DN(Kv)
(2.4.24), приводит к матричному равенству
DN (Сv )WN (γ v ) = [ ENn + DN (Сv )WN (Av ; K v ) DN (K ОС ) ] ⋅ DN (Сv )WN (Av ).
−1
(2.4.31)
Его можно рассматривать в роли определяющего для блочной
ПМ WN(γv) (Nn×Nn). Отметим еще, что точечной модели (2.4.30) соответствует структурная схема (рис. 2.4.3), указанная и в прил. 1.
2.5. Устойчивость и точечные модели линейных нестационарных динамических систем Динамические системы управления вида (2.3.1)
dX (t )
+ A(t ) ⋅ X (t ) = K (t ) ⋅ U (t );
dt
Y (t ) = С (t ) ⋅ X (t )
⎫
а) ⎪
⎬ t ≥ 0,
б ) ⎪⎭
(2.5.1)
рассмотренная на конечном временном отрезке [0,T], получает представление (2.4.3) [или (2.2.34)]:
158
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления dX (Т τ)
+ ТA(Т τ) ⋅ X (Т τ) = Т ⋅ K (Т τ) ⋅ U (Т τ);
dτ
Y (Т τ) = С (Т τ) ⋅ X (Т τ)
⎫
а) ⎪
⎬ τ∈ [ 0,1]
б ) ⎪⎭
(2.5.3)
и точечную модель (2.4.20)[или (2.2.35)], ассоциированную с чебы2v − 1
шевской N-сеткой I рода τ(vN ) =
v = 1, N :
2N
(
X TI = WN (Av ) ⋅ DN (K v ) ⋅ U TI ;
YTI = DN (Сv ) ⋅ X TI
)
а ) ⎪⎫
⎬
б ) ⎪⎭
(2.5.3)
и с соответствующими представлениями блочных матриц (2.4.22),
(2.4.23) [см. также (2.2.24), (2.2.25) и (2.2.36)]. Необходимым условием нормального функционирования всякой системы управления является ее устойчивость, т. е. способность возвращаться в состояние покоя, из которого она была выведена некоторым возмущением.
Уже отмечалось, что это свойство − обязательное условие существования у динамической системы таких свойств, как управляемость
и наблюдаемость. В частности, построение асимптотического наблюдателя для нестационарного динамического устройства, выдающего на
своем выходе затухающий сигнал рассогласования, сводится к выяснению условий существования асимптотически устойчивого решения
задачи Коши для однородного n-мерного дифференциального уравнения (2.3.10) с переменной системной матрицей P(t) (n×n) (2.3.11). Положительная определенность этой матрицы в силу неравенства Важевского [32] и оказалась таким условием (см. теорему 2.3.1).
Такой классический подход может быть использован и для непосредственного решения задачи об устойчивости динамической системы вида (2.5.1). Прежде дадим следующее определение.
Определение 2.3. Нестационарную динамическую систему вида
(2.5.1) назовем асимптотически устойчивой, если при всяком начальном условии X(0) = X0, конечным по норме X 0 < ∞ , существует асимптотически устойчивое решение задачи Коши
dX ( t )
+ A(t ) ⋅ X (t ) = 0; X (0) = X 0 ; X 0
dt
э
< ∞,
(2.5.4)
причем
lim X (t ) = 0; ⇒ lim X (t ) э = 0 ⇒ lim X (Т ) э = 0.
t →∞
t →∞
Т →∞
(2.5.5)
159
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Введем симметричную переменную матрицу:
1
R(t ) = ⎡⎣ A(t ) + A+ (t ) ⎤⎦ (n × n); t ≥ 0; R + (t ) = R(t ).
2
(2.5.6)
Она возникает при преобразовании квадратичной формы, построенной на матрице A(t); (n×n):
1
2
( A(t ) X (t ), X (t ) ) = ( A(t ) X (t ), X (t ) ) +
1
X (t ), A+ (t )X (t ) ) =
(
2
(2.5.7)
⎛1
⎞
= ⎜ ⎡⎣ A(t ) + A+ (t ) ⎤⎦ X (t ), X (t ) ⎟ = ( R(t ) X (t ), X (t ) ) .
⎝2
⎠
Положительность этих квадратичных форм, т. е. условие
( A(t ) X (t ), X (t ) ) = ( R(t ) X (t ), X (t ) ) > 0; ∀t ≥ 0
(2.5.8)
означает положительную определенность (ПО) матрицы A(t) (n×n)
и симметричной матрицы R(t) (n×n) (2.5.6) при всех t ≥ 0, что может
иметь место тогда и только тогда, когда все вещественные собственные значения матрицы R(t) (2.5.6), т. е. величины λ j ( R( t )) j = 1,n ,
(
)
и одновременно вещественные части комплексных собственных значений матрицы A(t), т. е. величины Re λ j ( A( t )) j = 1,n , окажутся
(
)
положительными и заключенными в положительных пределах:
(
)
0<min λ j ( R ) ≤ λ j ( R ) ≤ max λ j ( R ) j = 1, n , t ≥ 0;
j
j
(
)
0<min Re λ j ( A) ≤ Re λ j ( A) ≤ max Re λ j ( A) j = 1, n , t ≥ 0.
j
а) ⎫
⎪
⎬
б)⎪
⎭
(2.5.9)
В матричном исчислении рассматриваются различные матричные нормы [112]. В частности, т. н. спектральная норма, которая для
нашей симметричной и ПО-матрицы R = R(t) (n×n) (2.5.6) определится
представлениями
R
160
2
= max
x ≠0
(R (t ) X (t ), X (t ) ) = max λ (R ),
j
2
X (t )
э
j
(2.5.10)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления откуда, в частности, следуют оценки для положительных квадратичных форм (2.5.8), учитывая (2.5.9):
λ j (R) =
( R( t )X ( t ), X ( t )) = ( A( t )X ( t ), X ( t )) ≤ max
j
2
X (t ) э =
= max Re λ j ( A ) ⋅ X ( t ) э .
2
(2.5.11)
j
Окажутся справедливыми и двусторонние оценки
min λ j ( R ) ≤
j
( R ( t ) X ( t ) , X ( t ) ) ≤ max λ ( R ) ;
min Re λ j ( A)
j
X (t )
j
2
э
( A( t ) X ( t ) , X ( t ) ) ≤ max Re λ
≤
X (t )
2
j
( A) .
э
⎫
а) ⎪
⎪⎪
⎬
⎪
б) ⎪
⎪⎭
(2.5.12)
Вместе с тем отметим, что поскольку для ПО симметричной
матрицы R = R(t) (n×n) имеем равенство R + R = R 2 = R = R( t ), t ≥ 0 ,
то ее спектральная норма (2.5.10) преобразуется к виду
(R(t ) X (t ), X (t ) ) =
( R R X , X )= (
+
)
RX , RX =
RX
2
э
(2.5.13)
и из (2.5.10) будет следовать
R = max
X э ≠0
RX
X
э
= R (t ) ,
(2.5.14 а)
э
что явно показывает согласованность матричной спектральной нормы
с эвклидовой векторной нормой, поэтому ее также называют еще эвклидовой. Для просто вещественной и ПО-матрицы A = A(t) (n×n) спектральная норма A определится формулой
1
2
⎡
A(t ) X (t ), X (t ) ⎤
A = A(t ) = ⎢ max
⎥ = max Re λ j ( A).
2
X (t ) э
j
⎢⎣ X э ≠0
⎥⎦
(2.5.14 б)
Теорема 2.5.1. Если системная матрица A = A(t) (n×n) t ≥ 0 однородной задачи Коши (2.5.4) положительно определена (ПО) при всех
161
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
t ≥ 0, то всякое ее решение с конечным по норме начальным условием
X ( 0 ) = X 0 ; X 0 э <∞ , окажется асимптотически устойчивым.
Доказательство. Однородное дифференциальное уравнение
(2.5.4) умножим скалярно на n-вектор функцию
X (t ) = Colon [ x1 (t ),… xi (t ),… xn (t )].
(2.5.15)
В результате получим, учитывая тождество (2.5.8),
⎛ d X (t )
⎞
, X (t ) ⎟ + ( A (t ) X (t ), X (t ) ) = 0 ⇒
⎜
⎝ dt
⎠
⇒
d X (t )
2
э
dt
+ 2 ( R (t ) X (t ), X (t ) ) = 0; t ≥ 0,
(2.5.16)
где R(t) есть симметричная матрица (2.5.6), а
n
X (t ) э = ∑ xi2 (t ), t ≥ 0 .
2
(2.5.17)
i =1
Поделим уравнение (2.5.16) почленно на (2.5.17) и запишем результат
в виде
d X (t )
dt
2
э
⋅
1
X (t )
2
= −2
( R (t ) X (t ), X (t ) ) ,
X (t )
э
2
t ≥ 0.
(2.5.18)
э
По условию системная матрица A(t) (n×n) положительно определе1
на, будет такой же и симметричная матрица R( t ) = ⎡⎣ A( t ) + A+ ( t ) ⎤⎦
2
(2.5.6), поэтому окажется справедливым и двустороннее неравенство
(2.5.12а), которое для отрицательных функций запишется в виде
− 2 min λ j ( R ) ≥ −2
j
(R (t ) X (t ), X (t ) ) ≥ −2 max λ
X (t )
2
j
э
j ( R) ,
которое в силу равенства (2.5.18) получит представление
d
X (t )
dt
−2 min λ j ( R ) ≥
2
j
X (t ) э
162
2
э
≥ −2 max λ j ( R ).
j
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Интегрируя, будем иметь
t
⎛ X (t ) э ⎞
−2 ∫ min λ j ( R (t )) d t ≥ 2ln ⎜
≥ −2 ∫ max λ j ( R (t )) d t
⎜ X 0 ⎟⎟
j
j
0
0
э ⎠
⎝
t
(2.5.19)
и, следовательно, для эвклидовой нормы X (t ) э решения нашей задачи Коши получаем оценку
⎛ t
⎞
⎛ t
⎞
X 0 ⋅ exp ⎜ − ∫ min λ j ( R (t )) d t ⎟ ≥ X (t ) э ≥ X 0 ⋅ exp ⎜ − ∫ max λ j ( R (t ))d t ⎟ ,
j
⎝ 0
⎠
⎝ 0 j
⎠
(2.5.20)
справедливую для всех t ≥ 0 и известную как неравенство Важевского [32].
Двусторонняя оценка (2.5.9а) для собственных значений
λ j ( R( t )) j = 1,n матрицы R(t), как n ее положительных скалярных
(
)
функций переменной t ≥ 0, будет означать, что интегральные предельные функции
t
λ j ( R (t ))d t
∫ min
j
0
и
t
λ j ( R (t ))d t
∫ max
j
0
также окажутся положительными, причем неограниченно возрастающими, стремящиеся к +∞ при t → ∞. Последнее означает, что экспоненциальные предельные функции в двусторонней оценке (2.5.20) для
эвклидовой нормы X ( t ) э при любом конечном значении X 0 э окажутся экспоненциально затухающими функциями и, следовательно,
таким же свойством будет обладать и функция X ( t ) э . В частности,
обязательное выполнение условия (2.5.5), т. е. асимптотическую устойчивость всякого решения задачи Коши (2.5.4). На этом доказательство можно закончить.
Замечания. Положительная определенность матриц A(t) (n×n)
и R(t) (2.5.8), t ≥ 0 означает, что их ранги равны n и существуют обратные и ПО-матрицы A−1 ( t ) и R −1 ( t ) . Несколько повторяясь приведем, однако, более подробный список свойств ПО-матриц:
163
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
1. Все главные подматрицы есть ПО-матрицы с положительными определителями.
2. Диагональные элементы – положительные функции.
3. Все собственные значения ПО-матрицы R(t) (2.5.6) − вещественные положительные функции для всех t ≥ 0, а ПО-матрицы A(t)
имеют положительными вещественные части всех своих собственных
значений.
4. Для ПО-матрицы R(t) (n×n), t ≥ 0 существует унитарная (ортогональная) матрица U ( n × n ) U + = U −1 , преобразующая ее в диаго-
(
)
нальную матрицу с диагональными элементами:
U ⋅ R (t ) ⋅ U − 1 = U ⋅ R (t ) ⋅ U + Λ ( R (t ) ) =
[
]
= Diag λ1 (R (t ) ), ⋅ ⋅λ j (R (t ) ), ⋅ ⋅λ n (R (t ) ) ,
причем
(
λ j (R(t ) ) > 0 ∀j = 1, n
)
(2.5.21)
5. ПО-матрицы A(t) той же унитарной матрицей U преобразуется
в диагональную с положительными элементами, равными вещественным частям всех ее собственных значений:
1
⎡1
⎤
U ⋅ R (t ) ⋅ U −1 =U ⋅ R(t ) ⋅ U + = Λ ( R (t ) ) = U ⎢ A(t ) + A+ (t ) ⎥ U −1 =
2
⎣2
⎦
1
1
= U ⋅ A(t )U −1 + U ⋅ A+ (t )U −1 =
2
2
(
) (
)
( )
( )
( )
1
1
⎧1
⎫
= Diag ⎨ ⎡ λ1 ( A ) + λ1 A+ ⎤ , ⋅ ⋅ ⎡ λ j ( A ) + λ j A+ ⎤ , ⋅ ⋅ ⎡ λ n ( A ) + λ n A+ ⎤ ⎬ =
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
2
2
⎩2
⎭
( )
( )
= Diag ⎡ Re λ1 ( A) , ⋅⋅ Re λ j A+ , ⋅⋅ Re λ n A+ ⎤ = Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ =
⎣
⎦
= U ⋅ A(t ) ⋅ U −1 ,
причем
(2.5.22)
(
)
λ j ( R (t ) ) = Re λ j ( A(t ) ) > 0; j = 1, n .
(2.5.23)
Следующее и последнее замечание оказывается наиболее значимым для наших целей и, по-видимому, могло быть выделено после
164
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления дополнения и доработки в самостоятельный блок, однако ограничимся изложенным ниже.
В связи с тем, что всякая ПО-матрица (в общем случае – это
матричная функция вещественной переменной t ≥ 0) некоторым унитарным преобразованием приводится к диагональной форме с положительными элементами, может быть введено понятие положительности таких матриц, а для (полу) ПО-матриц и понятие неотрицательности. Может быть определено и понятие сравнения ПО-матриц
с положительными скалярными матрицами, которые также будут
ПО-матрицами.
Определение 2.4. Вещественную
матричную
ПО-функцию
A = A(t) (n×n) t ≥ 0 назовем положительной (с обычной символикой
A = A(t) > 0 (t ≥ 0)), если вещественные части всех ее собственных значений окажутся положительными скалярными функциями (величинами):
Re λ j ( A(t ) ) = Re λ j ( A ) > 0; t ≥ 0 ( j = 1, n ) ,
(2.5.24)
и неотрицательной, если хотя бы одна из этих функций (величин)
окажется нулевой.
Очевидно, для ПО-матрицы A(t) по этому понятно будем иметь
(–A(t)) < 0 и можно говорить об отрицательности матриц(–A(t)).
Для диагональных ПО-матриц с вещественными элементами
Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ = Diag ⎡⎣ Re λ1 ( A(t ) ) , ⋅ ⋅ Re λ j ( A(t ) ) , ⋅ ⋅ Re λ n ( A(t ) ) ⎤⎦ t ≥ 0
(2.5.25)
эти понятия возникают естественным образом. Матрицу вида (2.5.25)
назовем положительной, если все ее элементные скалярные функции
Re λ j ( A(t ) ) ; ( t ≥ 0 ) j = 1, n (величины) окажутся положительными,
(
)
и назовем неотрицательной, если хотя бы один из этих элементов обратился в ноль. Очевидно, положительной матрица вида (2.5.25) может быть лишь тогда, когда она ПО-матрица. Отрицательной, естественно назвать матрицу (2.5.25) со всеми отрицательными своими элементами, т. е. матрицу противоположную по знаку положительной
матрице:
Dn ⎡⎣ − Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ = − Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ ; ( n × n ) ; ( t ≥ 0 ) ,
165
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
причем
Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ > 0.
Неопределенной по знаку окажется такая диагональная матрица
вида (2.5.25), которая имеет элементы обеих знаков или элементные
функции переменного знака.
Поскольку существует унитарная (n×n)-матрица U(t) = U+(t) = U–1(t)
переводящая (полу) ПО-матрицу A(t) (n×n) (t ≥ 0) в диагональную:
U ⋅ A(t ) ⋅ U −1 = U ⋅ A(t ) ⋅ U + = Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ ⇒
⇒ A(t ) = U −1 ⋅ Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ ⋅ U ,
(2.5.26)
то понятия, естественно определенные для диагональных вещественных матриц вида (2.5.25), столь же естественно могут быть определены и для (полу) ПО-матриц A(t) (n×n) общего вида.
На основе всего этого можно определить и понятие сравнения
положительных диагональных матриц, в частности, сравнивать их
с положительными скалярными матрицами той же размерности и которые также будут ПО-матрицами.
Положительные диагональные ПО-матрицы вида (2.5.25) могут,
конечно, сравниваться и с матрицей β(t) En со скалярным функциональным коэффициентом β(t) (t ≥ 0) отрицательного знака либо
имеющего перемены знака с изменением t ≥ 0.
Так, положительную диагональную матрицу вида (2.5.25) назовем неменьшей скалярной матрицы β(t) En (n×n) (t ≥ 0) и запишем
в виде неравенства
Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ ≥ β(t ) En ; t ≥ 0,
(2.5.27)
если будем иметь неравенство
Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) − β(t ) ⎤⎦ =
(
) (
)
= Diag ⎡⎣ Re λ j ( A ) − β ( t ) , ⋅ ⋅ Re λ j ( A ) − β ( t ) , ⋅ ⋅ ( Re λ n ( A ) − β ( t ) ) ⎤⎦ ≥ 0
для всех t ≥ 0 т. е. разность этих матриц как диагональная матрица
окажется неотрицательной в смысле, указанном ранее.
166
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Но неравенство (2.5.27) унитарным преобразованием вида(5.26)
приводится к следующему эквивалентному виду:
Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ ≥ β ( t ) En ⇒ U −1 ⋅ Dn ⎡⎣ Re λ j ( A(t ) ) ⎤⎦ U ≥ β ( t )U −1 ⋅ U ⇒
⇒ A(t ) ≥ β ( t ) En ; t ≥ 0,
(2.5.28)
которое означает, что понятие «не меньше» [т. е. «равно» (=) или
«больше» (>)] естественным образом распространяется и на ПОматрицы A(t) (n×n) (t ≥ 0).
Заметим, что строгие неравенства в (2.5.27) и (2.5.28) немедленно распространяются и на (спектральные) нормы, образующих их
матриц:
max Re λ j ( A) = A(t ) > β(t ) , t ≥ 0.
j
(2.5.29)
Очевидно, отношение «меньше», т. е. неравенство, противоположное неравенству (2.5.28):
A(t ) ≥ β ( t ) En ; t ≥ 0
для ПО-матрицы A(t) (n×n) и при вещественной скалярной функции
β(t) будет означать отрицательность диагональной матрицы:
[
]
Dn Re λ j ( A(t ) ) − β(t ) < 0 .
(2.5.30)
Рассмотрим теперь решение задачи об асимптотической устойчивости задачи Коши (2.5.4), используя только точечные модели этой
задачи. Иначе говоря, выполним доказательство теоремы 2.5.1 на основе только точечных моделей. Точечное решение задачи Коши сводится к точечному решению интегрального уравнения
τ
X (T τ) + T ∫ A(T η) X (T η)dη = X 0 ; τ ∈ [ 0,1] ,
(2.5.31)
0
что и было ранее выполнено (см. п. 1.2), так и на основе как чебышевской N-сетки I рода [см. (2.2.32)], так и на основе чебышевской 2Nсетки II рода [см. (2.2.84)].
167
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Для таких решений были получены следующие представления
по варианту N-сетки I рода:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
−
1
X TI = TN−1 [ − Bv ] ⋅ ( En + λ 0 A1 ) ⋅ ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
X0
0
0
0
⎡ En ⎤
⎥
⎤ ⎢⎢
⎥ ⎢ B ⎥⎥
1
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ N −1
−1
⎥ = ⎢ B ⎥⎥ ( En + λ 0 A1 ) X 0 .
v −i
⎥ ⎢П
⎥
i =1
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ N −1
⎥
⎦
⎢ П BN −i ⎥
⎣ i =1
⎦
(2.5.32)
Для последней блочной компоненты этого решения будем иметь
X (T τ(NN ) ) =
N −1
X ( λ 0 (2 N − 1) ) = П BN −i ⋅ ( En + λ 0 A1 ) ⋅ X 0 .
(2.5.33)
(
(2.5.34)
−1
i =1
Здесь обозначено:
)
− BN −i = ( En + λ 0 AN −i +1 ) ⋅ ( En − λ 0 AN −i ) i = 1,( N − 1) , λ 0 =
−1
(
)
AN −i +1 = A T τ(NN−)i +1 = A ( λ 0 (2( N − i )) + 1) ; а ) ⎫⎪
⎬
AN −i = A T τ(NN−)i = A ( λ 0 (2( N − i )) − 1)
б )⎪
⎭
(
)
( i = 1,( N − 1) ).
При использовании чебышевской 2N-сетки II рода
N)
θ(2
=
k
было найдено [см. (2.2.84)]:
168
k
( k = 0,1,...2 N )
2N
T
;
2N
(2.5.35)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления ⎡ En
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ α1
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ α 2α1 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
-1
(2 N )
−
1
k
⎢
⎥ ⋅ α0 X 0.
X TII = T2 N [ α k ] ⋅ α 0 е1
( En ) ⋅ X 0 =
⎢ Пα k −v ⎥
⎢ v =1
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 2 N −1
⎥
⎢ П α 2 N −v ⎥
⎣ v =1
⎦
(2.5.36)
Для последней блочной компоненты этого решения будем иметь
(
)
N)
X T θ(2
= X (T ) = X ( λ 0 ⋅ 2 N ) =
2N
2 N −1
2N
v =1
v =1
П α 2 N −v ⋅ α0 ⋅ X 0 = Пα 2 N −v ⋅ X 0 ,
(2.5.37)
где
−1
α 2 N −v
λ
λ
⎛
⎞ ⎛
⎞
= ⎜ En + 0 ⋅ A2 N −v +1 ⎟ ⋅ ⎜ En − 0 ⋅ A2 N −v ⎟ v = 1, 2 N ;
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
(
)
(
N)
A2 N −v = A T θ(2
2 N − v = A ( 2λ 0 (2 N − v ) ;
A2 N −v +1 = A
(
N)
T θ(2
2 N − v +1
) = A ( 2λ (2 N − v + 1)
0
а ) ⎫⎪
⎬
б)⎪
⎭
)
(2.5.38)
( v = 1, 2 N ). (2.5.39)
Асимптотическая устойчивость решений задачи (2.5.4), устанавливаемая по их точечным представлениям (2.5.32) и (2.5.36), означает существование нулевых предельных значений для последних
блочных компонент (2.5.33) и (2.5.36) при T → ∞ и N → ∞, но при
T
= сonst , т. е. преконечном и заданном значении параметра λ 0 =
2N
делов
169
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
lim X ( λ 0 (2 N − 1) ) = lim
N →∞
N −1
⎫
а) ⎪
⎪
⎬ (2.5.40)
б )⎪
⎪
⎭
ПBN −i ( En + λ 0 A1 ) ⋅ X 0 = 0;
−1
N →∞ i =1
lim X ( λ 0 2 N ) = lim
N →∞
2 N −1
α 2 N −v ⋅ X 0
П
v =1
N →∞
= 0.
Выбранные нормы векторов и матриц должны быть согласованы
между собой. Введем 1 – норму X 0 1 n-вектора:
X 0 = Colon [ x1 (0), ⋅ ⋅ xi (0), ⋅ ⋅xn (0) ] ,
полагая
n
X 0 1 = ∑ xi (0) .
i =1
С ней согласована т. н. максимальная столбцевая норма всякой
матрицы (n×n), [112, 9, 11], поэтому оценки для норм векторноматричных представлений в (2.5.40) могут быть записаны в виде
N −1
BN −i ( En + λ 0 A1 )
П
i =1
2 N −1
α 2 N −v ⋅ X 0
П
v =1
≤
1
−1
N −1
BN −i
П
i =1
⋅ X0 ≤
1
2 N −1
α 2 N −v
П
v =1
⋅ ( En + λ 0 A1 )
−1
1
1
⋅ X0 1;
⋅ X0 1;
и для пределов в (2.5.40) будем иметь оценки
N −1
lim X ( λ 0 (2 N − 1) ) 1 ≤ lim
N →∞
−1
BN −i ⋅ ( En + λ 0 A1 )
⋅
П
1
i =1
N →∞
lim X ( λ 0 2 N ) 1 ≤ lim
N →∞
N →∞
1
2 N −1
α 2 N −v
П
v =1
1
X0 1;
⋅ X0 1.
Они будут давать нулевые значения при X 0 1 ≠ 0, если окажется
lim
N −1
П BN −i ⋅ ( En + λ 0 A1 )
N →∞ i =1
lim
N →∞
170
1
2 N −1
α 2 N −v
П
v =1
= 0.
1
−1
1
= 0;
⎫
а) ⎪
⎪
⎬
б)⎪
⎪
⎭
(2.5.41)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Отметим конечность нормы
( En + λ0 A1 )
−1
1
при любых N и вы-
полнении условия λ 0 A1 1 < 1, поскольку в этом случае будем иметь
( En + λ 0 A1 )
−1
1
=
∞
∑ ( −λ 0 A1 )
k =0
∞
≤ ∑ λ 0 A1
k
1
k =0
k
1
=
1
1 − λ 0 A1
.
1
Теорема 2.5.2. Если системная матрица A(t) (n×n) задачи Коши
(2.5.4) окажется ПО-матрицей при всех t ≥ 0, то нормы матриц
в произведениях представлений (2.5.41) при любых N будут иметь
оценки
BN −i 1 ≤ b <1;
i = 1, ( N − 1);
α 2 N −v 1 ≤ a <1; v = 1, 2 N ,
а ) ⎫⎪
⎬
б ) ⎪⎭
(2.5.42)
и, следовательно, будем иметь нулевые пределы для норм произведений:
lim
N →∞
lim
N →∞
N −1
П BN −i ≤ lim
i =1
N →∞ П
i =1
1
2 N −1
α 2 N −v
П
v =1
N −1
2 N −1
N →∞ П
v =1
≤ lim
1
BN −i 1 ≤ lim b N −1 = 0;
N →∞
α 2 N −v 1 ≤ lim a 2 N −1 = 0,
N →∞
⎫
а) ⎪
⎪
⎬
б )⎪
⎪
⎭
(2.5.43)
означающие выполнение пределов (2.5.41), т. е. асимптотическую устойчивость решений задачи (2.5.4).
Доказательство. Положительная определенность матрицы
A(t) (n×n); t ≥ 0 означает ее положительность в смысле определения 2
и очевидное выполнение строгих неравенств:
− A(t ) < A(t ); t ≥ 0 ⇒ − A(T τ) < A(T τ); τ∈ [ 0,1] (T > 0 )
(2.5.44)
и, в частности, системы неравенств для матриц (2.5.39), ассоциированных с чебышевской 2N-сеткой II рода
− A(T θ 22 NN −v ) < A(T θ 22 NN −v +1 ) ⇒ − A ( 2λ 0 (2 N − v ) ) < A ( 2λ 0 (2 N − v + 1) ) ⇒
⇒ − A2 N −v < A2 N −v +1
( ∀v = 1, 2 N )
(2.5.45)
171
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
и, как следствие, выполнение строгих неравенств
λ0
λ
T
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
A2 N − v ⎟ < ⎜ E n + 0 A2 N − v +1 ⎟ ; v = 1, 2 N ⎜ λ 0 =
>0⎟.
⎜ En −
2
2
2N
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
(2.5.46)
Умножим их на положительные матрицы, обратные матрицам
справа. В результате будем иметь при всех v = 1, 2 N :
−1
−1
λ0
λ
λ
λ
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
A2 N −v +1 ⎟ ⋅ ⎜ En − 0 A2 N −v ⎟ < ⎜ En + 0 A2 N −v +1 ⎟ ⋅ ⎜ En + 0 A2 N −v +1 ⎟ = En
⎜ En +
2
2
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
(
α 2 N −v < En ⇒ α 2 N −v 1 <1 v = 1,2 N
)
(2.5.47)
Неравенство для норм может быть записано в виде
(
)
α 2 N −v 1 ≤ a < 1; v = 1,2 N ,
(2.5.48)
где a = Sup α 2 N −v есть то положительное число, которого могут досv
тигать нормы α 2 N −v 1 при изменении v от 1 до 2N и любом N. Оно будет означать также и выполнение предельного равенства (2.5.43б) и,
следовательно, предельного равенства (2.5.40б), т. е. асимптотическую устойчивость решений задачи (2.5.4).
Подобным образом могут быть установлены аналогичные неравенства и оценки для матриц, ассоциированных с чебышевской Nсеткой I рода. Так, строгие матричные неравенства
( En − λ 0 AN −i ) < ( En + λ 0 AN −i +1 )
( i = 1,( N − 1) ) ; λ
0
>0
(2.5.49)
после умножения на положительные матрицы
( En + λ 0 AN −i+1 )
−1
; i = 1,( N − 1)
и учета представления (2.5.34) преобразуются к виду
BN −i = ( En + λ 0 AN −i +1 ) ⋅ ( En − λ 0 AN −i ) < En
−1
172
( i = 1,( N − 1) ) .
(2.5.50)
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Для норм этих матриц, окажется при любых N:
(
)
(
)
BN −i 1 <1 i = 1,( N − 1) ⇒ BN −i 1 ≤ b < 1; i = 1,( N − 1) , (2.5.51)
где b = Sup BN −i 1 < 1 есть предельное значение для норм всех матриц
(
i
)
BN −i i = 1,( N − 1) при любых N.
Неравенства (2.5.51) есть оценки (2.5.42a), означающие выполнение нулевого предельного значения (2.5.43a), и так как норма
−1
есть конечная величина, будет выполняться и нуле( En + λ 0 A1 )
1
вая асимптотика (2.5.41а). Теорема доказана.
Замечание. Поскольку условие асимптотической устойчивости
решений задачи Коши (2.5.4), полученное при доказательстве теоремы по ее точечной модели (2.5.36), ассоциированной с чебышевской
2N-сеткой II рода, означает выполнение предельного условия
(2.5.40б), то существующее равенство пределов
lim X ( λ 0 2 N ) 1 = lim X ( λ 0 (2 N − 1) ) 1 = 0 при λ 0 =
N →∞
N →∞
T
= const
2N
будет непосредственно доказывать асимптотику (2.5.40а), т. е. асимптотику решений задачи (2.5.4) полученную по точечной модели, ассоциированной с чебышевской N-сеткой I рода.
Следствие. Если системная матрица A(t) (n×n) задачи (2.5.4)
окажется ПО-матрицей при всех t ≥ 0, то для норм матриц
TN−1 [ − Bv ] ( Nn × Nn ) и T2−N1 [ α k ] ( 2 Nn × 2 Nn ) в точечных представлениях
(2.5.32) и (2.5.36) соответственно, а это точечные решения задачи
(2.5.4), при любых N будем иметь оценки
1 − bN
;
1
1− b
1 − a2N
−1
T2 N [ α k ] ≤
,
1
1− a
TN−1 [ − Bv ] ≤
⎫
а) ⎪
⎪
⎬
б )⎪
⎭⎪
(2.5.52)
а для норм блочных векторов X TI и X TII в этих точечных представлениях справедливыми окажутся оценки
173
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
⎫
а) ⎪
⎪
⎬
б)⎪
⎭⎪
1 − bN
−1
⋅ ( En + λ 0 A1 )
⋅ X0 1;
X TI ≤
1
1
1− b
1 − a2N
⋅ a X0 1,
X TII ≤
1
1− a
(2.5.53)
которые для асимптотически устойчивых решений (N → ∞) получают
вид
⎫
а)⎪
⎪
⎬
б) ⎪
⎪⎭
1
−1
⋅ ( En + λ 0 A1 )
⋅ X0 1;
1
1
1− b
a
⋅ X0 1.
X TII ≤
1
1− a
X TI ≤
(2.5.54)
Действительно, нижнетреугольный вид блочных системных
матриц TN[–Bv] (1.2.31) и TN−1 [ α k ] (1.2.81) с положительными матрично-блочными элементами в точечных решениях (2.5.32) и (2.5.36) позволяет определить их нормы как нормы их первых матричных
столбцов, содержащих наибольшее число блочных элементов, которые в силу (2.5.42) получают оценки
TN−1
T2−N1
N
v −1
[ − Bv ] 1 = ∑ П Bv−i
i =1
v =1
1
2 N k −1
[α k ] 1 = ∑ Пα 2 N −v
v =1
k =1
1
N v −1
N
v =1 i =1
v =1
2 N k −1
2N
k =1 v =1
k =1
(
)
≤∑ П − Bv −i 1 ≤ ∑ bv −1; b 0 = 1 ;
(
)
≤∑ П α 2 N −v 1 ≤ ∑ a k −1; a 0 = 1 .
⎫
а) ⎪
⎪
⎬
б )⎪
⎪
⎭
(2.5.55)
Получившиеся суммы есть суммы геометрических прогрессий
с положительными знаменателями b < 1 и a < 1. Они, как известно,
могут быть представлены в виде компактных выражений, определяя
оценки (2.5.52), порождающие все остальные.
Выделим, как важный частный случай, случай постоянной системной матрицы A(t) = A = const в задаче (2.5.4). Если A (n×n) окажется
ПО-матрицей, то все утверждения теоремы 2.5.2 и её следствия, естественно, остаются в силе, причем для параметров − Bv −1 ; v = 1, N
(
)
(
)
и α k −1 = k = 1, 2 N в точечных моделях (2.5.32) и (2.5.36) задачи (2.5.4)
в этом случае будем иметь явные оценки для норм вида (2.5.42):
174
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления (
)
− Bv −1 = B v −1 v = 1, N ; B =
α k −1 = α k −1
(
En − λ 0 A
( n × n ) ; B 1 ≤ b <1;
En + λ 0 A
λ0
A
2
k = 1, 2 N ; α =
( n × n ) ; α 1 ≤ a <1.
λ0
En +
A
2
En −
)
⎫
а) ⎪
⎪
⎪ (2.5.56)
⎬
б )⎪
⎪
⎪⎭
Очевидным образом устанавливается и асимптотическая устойчивость решений задачи (2.5.4) и в этом частном случае.
Отметим следующий факт, относящийся к теоретическим основам самого метода точечного моделирования (представления) различных многомерных функциональных связей, что трактуется как гомоморфное отображение элементов соответствующих алгебр и операций
над ними (см. п.1.3).
Так, согласно утверждению 1.3.1 точечный изображающий вектор
(
X TI = Colon ⎡ X τ1( N )
⎣
)
(
X τv( N )
)
(
)
X τ(NN ) ⎤
⎦
как элемент C∗-алгебры ARNn при любых N есть гомоморфный образ
n-вектор-функции
X (τ) = Colon [ x1 (τ)
xi (τ),
xn (τ) ]
– элемента функциональной C∗-алгебры AMn.
При конечных N имеет место взаимно однозначное гомоморфT
⎯⎯
→ ARNn . При этом происходит соотное отображение алгебр AM n ←⎯
⎯
ветствующее отображение всех свойств элементов этих алгебр, т. е.
все свойства элемента одной алгебры находят гомоморфную трактовку у своего гомоморфного образа – соответствующего элемента другой алгебры.
При N → ∞ гомоморфное отображение алгебр становится изометрически изоморфным, в точности отображая свои элементы и их
свойства.
Сказанное оказывается справедливым и при гомоморфном тоTII
⎯⎯
→ AR2 Nn , ассоциированном
чечном отображении алгебр AM n ←⎯
⎯
I
с чебышевской 2N-сеткой II рода (см. п.1.3).
175
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Это означает, в частности, что все утверждения теоремы 2.5.2 и ее
следствия о свойствах решений задачи (2.5.4) имеют соответствующую
трактовку у их точечных изображений – их гомоморфных образов, и наоборот: свойства, установленные для точечных изображений, будут
иметь соответствующее воплощение у их гомоморфных оригиналов.
Решения нашей однородной задачи Коши в форме точечных
блочных векторов X TI и X TII , ассоциированных с чебышевскими сетка2v − 1
ми: N-сеткой I рода τv( N ) =
v = 1, N и 2N-сеткой II рода
2N
k
N)
θ(2
=
k = 0, 2 N , представляются формулами (2.5.32) и (2.5.36):
k
2N
(
(
)
)
X TI = TN−1 [ − Bv ] ⋅ ( En + λ 0 A1 ) ⋅ е1( N ) ( En ) X 0 ;
−1
X TII
= T2−N1
[ ]
α k ⋅ α 0 ⋅ е1(2 N )
( En ) X 0 .
а ) ⎫⎪
⎬
б ) ⎪⎭
(2.5.57)
Блочные нижнетреугольные матрицы TN−1 [ − Bv ] (1.2.31) и T2−N1 [ αk ]
(1.2.81) играют роль системных матриц в точечных моделях задачи
(2.5.4), определяя все свойства точечных решений в (2.5.57) и, следовательно, свойства решений X (T τ) τ ∈ [0,1] задачи (2.5.4). В частности, ограниченность норм X TI и X TII блочных точечных решений
X TI = Colon ⎡⎣ X (λ 0 )
X ( λ 0 (2v − 1) )
X ( λ0k )
X TII = Colon ⎣⎡ X (0) X (λ 0 )
X ( λ 0 (2 N − 1) ) ⎤⎦ ;
X ( λ 0 2 N ) ⎦⎤
а ) ⎫⎪
⎬ (2.5.58)
б ) ⎪⎭
при любых N, включая и предельный случай N → ∞ означает существование конечных значений сумм
N
X TI = ∑ X ( λ 0 (2v − 1) ) 1;
1
v =1
2N
X TII = ∑ X ( λ 0 k ) 1.
1
k =1
⎫
а) ⎪
⎪
⎬
б) ⎪
⎪⎭
(2.5.59)
Но в предельном случае, когда N → и T → ∞, но
T
λ0 =
= const, получаем ряды
2N
176
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления lim X TI
N →∞
lim X TII
N →∞
1
1
N
= lim
N →∞
∑
v =1
= lim
N →∞
2N
∑
k =0
⎫
а) ⎪
⎪
⎬ (2.5.60)
б)⎪
⎪⎭
∞
X ( λ 0 (2v − 1) ) 1 = ∑ X ( λ 0 (2v − 1) ) 1 ;
v =1
∞
X ( λ0k ) 1 = ∑ X ( λ0k ) 1 ,
k =0
сходимость которых к некоторым конечным величинам будет иметь
место лишь при выполнении условий
lim X ( λ 0 (2 N − 1) ) 1 = 0 и lim X ( λ 0 2 N ) 1 = 0 ,
N →∞
(2.5.61)
N →∞
т. е. условий (2.5.40) асимптотической устойчивости решений задачи
(2.5.4).
Итак, показано, что ограниченность норм Х Т 1 и Х Т 1 , т. е.
I
II
выполнение конечных неравенств
Х Т I ≤ Т N−1 [ − Вν ] ⋅ ( Е N + λ 0 А1 )
1
1
Х Т II ≤ Т
1
−1
2N
[α K ] 1 ⋅
−1
1
α0 1 ⋅ Х 0 1 ,
⋅ Х 0 1 ; а) ⎪⎫
⎬
б )⎪
⎭
(2.5.62)
Т
⎞
при всех N, включая и предельный случай N → ∞ ⎛⎜ λ 0 =
= const ⎟ ,
2N
⎝
⎠
означает асимптотическую устойчивость соответствующих решений
задачи (2.5.4) – гомоморфных временных оригиналов точечных представлений (2.5.58).
Но конечные оценки для норм вида (2.5.62) будут наблюдаться
лишь тогда, когда нормы Т N−1 [ − Вν ] 1 и Т 2−N1 [ α K ] 1 системных блочных
матриц в точечных моделях (2.5.57) будут иметь конечные значения
при всех N, включая и предельный случай N → ∞. При этом
Т
⎛
⎞
= const ⎟ и матричные нормы
⎜ λ0 =
2N
⎝
⎠
(Е
N
+ λ 0 А1 )
−1
= ( Е N + λ 0 А(λ 0 ) )
1
−1
−1
1
;
α 0 1 = ⎜⎛ Е N + λ 0 А(λ 0 ) ⎟⎞ ⋅ ⎜⎛ Е N − λ 0 А(0) ⎟⎞
⎝
⎠ ⎝
⎠1
2
2
а) ⎫
⎪⎪
⎬
б)⎪
⎪⎭
(2.5.63)
окажутся конечными величинами и от N зависеть не будут.
177
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Возникшую ситуацию с точечными представлениями (2.5.57)
решений задачи (2.5.4) удобно трактовать как свойство точечных моделей линейных динамических устройств, записанных в виде
Х Т I = Т N−1 [ − Вν ] ⋅ VТ I ; а ) ⎫⎪
⎬
Х Т II = Т 2−N1 [ α K ] ⋅ VТ II , б ) ⎪⎭
(2.5.64)
связывающих входные блочные точечно-векторные сигналы
−1
VТ I = ( Еп + λ 0 А1 ) ⋅ е N ( Еп ) Х 0 ; а) ⎫⎪
⎬
VТ II = α 0е12 N ( Еп ) Х 0
б ) ⎪⎭
(2.5.65)
с соответствующими блочными сигналами выходов Х Т I и Х Т II . Сис-
−1
темные блочные матрицы Т N− 1 [ − Вν ] (Nn×Nп) и Т 2N
[α K ] (2Nn×2Nп)
в этих моделях будут, очевидно, играть роль передаточных матриц. Ограничивающие неравенства (2.5.62) могут быть теперь записаны в виде
Х Т I ≤ Т N−1 [ − Вν ] ⋅ VТ I ; а ) ⎫⎪
1
1
1
⎬
−1
Х Т II ≤ Т 2 N [ α K ] ⋅ VТ II
)
б
⎪⎭
1
1
1
(2.5.66)
и должны рассматриваться как условия устойчивости введенных динамических устройств, понимаемой в смысле «ограниченных вход –
ограниченный выход».
Но эти же условия, как показано, будут и условиями асимптотической
устойчивости решений задачи (2.5.4).
Таким образом, по существу доказано следующее утверждение.
Утверждение 2.5.1. Если нормы Т N−1 [ − Вν ] 1 и Т 2−N1 [ α K ] 1 системных матриц в точечных моделях (2.5.57) и (2.5.64) решений задачи
(2.5.4) при любых N (но при λ 0 =
Т
= const ) окажутся конечными, то
2N
согласно (2.5.62) или (2.5.66) ограниченными окажутся нормы точечных представлений этих решений, что будет означать их асимптотическую устойчивость.
Отметим сразу, что ограниченность указанных норм, как было
показано, будет иметь место, если системная матрица A(t) (n×n) задачи
Коши (2.5.4) окажется ПО-матрицей при всех t ≥ 0.
178
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Для стационарного случая, когда матрица A(t) = A(n×n) постоянная, ее положительная определенность означает выполнение хорошо
известного условия устойчивости: отрицательности вещественных
частей всех корней характеристического уравнения для матрицы –
А : Det [ λЕп − (− А)] = Det [ λЕп + А] = 0.
Итак, найдены условия существования асимптотически устойчивых решений однородной задачи Коши (2.5.4), полученные по их
точечным представлениям, т. е. определенные как свойства соответствующих точечных моделей.
Но согласно определению 1, эти условия будут одновременно
и условиями асимптотической устойчивости и нестационарных динамических систем, описываемых уже неоднородными уравнениями
вида (2.5.1), т. е. условиями устойчивости решения уже неоднородной
задачи Коши вида (2.5.1) при нулевых начальных условиях – одной из
составляющих общего решения (см. п. 1.2). Однако при этом возникает ряд особенностей, поэтому рассмотрим эту тему подробнее.
Были найдены точечные представления для этих составляющих
(U )
Х Т I (1.2.34') и Х Т(UI I ) (1.2.88), ассоциированные с чебышевскими сет2ν − 1
ками – N-сеткой I рода τ (νN ) =
, (ν = 1, N ) и 2N-сеткой II рода
2N
k
N)
θ (2
, (k = 1, 2 N ) . Это представления вида
=
k
2N
−1
Х Т(UI ) = Т N−1 [ − Вν ] ⋅ DN ⎡( Еп + λ 0 Аν I ) ⎤ λ 0 ⎣⎡( Еп + Z N ) ⊗ Еп ⎦⎤ DN ( K ν )U Т I ;
⎣
⎦
Х Т(UII )
а) ⎫
⎪⎪
−1
⎬
⎡
⎤λ
= Т 2−N1 [ α k ] ⋅ D2 N ⎢⎜⎛ Еп + λ 0 Аk ⎟⎞ ⎥ 0 ⎣⎡( Е2 п + Z 2 N ) ⊗ Еп ⎦⎤ D2 N ( K k )U Т II , б ) ⎪
2 II ⎠ ⎦ 2
⎣⎝
⎭⎪
(2.5.67)
где
Аν I = А (Т τ(νN ) ) = А ( λ 0 (2ν − 1) ) ; (ν = 1, N );
N)
АkII = А (Т θ(2
) = А( λ 0k ) ; (k = 1,2 N )
k
а) ⎫⎪
⎬
б ) ⎪⎭
( п × п)
(2.5.68)
есть точечные значения системной матрицы A(t) = A(Тτ) (n×п); τ ∈ [0, 1]
задачи (2.5.1) (или (2.5.2)) в узлах указанных чебышевских сеток,
а символами Kν и Kk в квазидиоганальных матрицах DN(Kν) и D2N(Kk)
обозначены элементные матричные блоки
179
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
K ν = K (Т τν( N ) ) = K ( λ 0 (2ν − 1) ) ; (п х п); (ν = 1, N );
а) ⎪⎫
⎬
б ) ⎪⎭
N)
K k = K (Т θ(2
) = K ( λ 0k ) ; (п х q); (k = 1,2 N ).
k
(2.5.69)
Укажем еще явные представления для точечных изображений qвектор-функции управления динамической системы (2.5.1) (или
(2.5.2)) (см. п.2.1):
U (Тτ (νN ) )
Т IN
U (Тτ) ⎯⎯→
U Т I = Colon ⎡⎣U (Тτ1( N ) )
Т II2N
U (Тτ) ⎯⎯⎯
→U Т II = Colon ⎡⎣U (Тθ1(2 N ) )
N)
U (Тθ (2
)
k
Точечные представления (2.5.67) запишем в виде
( )
= W ( А ) ⋅ D ( K ) ⋅U
U (Тτ (NN ) ) ⎤⎦ ;
U (Т ) ⎤⎦ ,
(2.5.70)
*
Х Т I = WN Аν I ⋅ DN ( K ν ) ⋅ U Т I = WN ( Аν ; K ν )U Т I ;
Х Т II
2N
k II
2N
k
Т II
а ) ⎫⎪
⎬
б ) ⎪⎭
а) ⎫⎪
⎬
= W2 N ( Аk ; K k )U Т II , б ) ⎪⎭
(2.5.71)
обозначив
−1
WN ( Аν I ) = Т N−1 [ − Вν ] ⋅ DN ⎣⎡( Еп + λ 0 АνI ) ⎦⎤ ⋅ λ 0 ⎣⎡( Еп + Z N ) ⊗ Еп ⎦⎤ ;
а) ⎫
⎪⎪
−1
⎬
⎡
⎤ λ
W2 N ( АkII ) = Т 2−N1 [ α k ] ⋅ D2 N ⎢⎜⎛ Еп + λ 0 Аk ⎟⎞ ⎥ ⋅ 0 ⎣⎡( Е2 п + Z 2 N ) ⊗ Еп ⎦⎤ . б ) ⎪
2 II ⎠ ⎦ 2
⎣⎝
⎭⎪
(2.5.72)
Тогда точечные модели динамической системы (2.5.1) (или
(2.5.2)), ассоциированные с указанными чебышевскими сетками, получат следующие формульные представления:
( )
Х Т I = WN Аν I ⋅ DN ( K ν ) ⋅ U Т I а) ⎫⎪
⎬ ⇒ YТ I = DN ( Сν ) ⋅ WN Аν I ⋅ DN ( K ν ) ⋅ U Т I ;
YТ I = DN ( Сν ) ⋅ Х Т I
б ) ⎪⎭
( )
(2.5.73)
( )
Х Т II = W2 N АkII ⋅ D2 N ( K k ) ⋅ U Т II а) ⎫⎪
⎬ ⇒ YТ II = D2 N ( Сk )W2 N АkII D2 N ( K k ) ⋅ U Т II .
YТ II = D2 N ( Сk ) ⋅ Х Т II
б ) ⎪⎭
( )
(2.5.74)
*
Опустить в обозначениях Х Т(U ) и Х Т(U ) верхний индекс U.
I
180
II
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Вопросы устойчивости динамических систем вида (2.5.1), рассматриваемые на основе их точечных моделей (2.5.73) и (2.5.74), тесно связаны, как было показано, с оценками норм блочных матриц, образующих эти модели. В частности, были найдены оценки для норм
нижнетреугольных блочных матриц, которые определялись как суммы норм матричных блочных элементов их первых столбцов (или последних строк) (см. следствие теоремы 2.5.2). Среди всех N сумм
норм элементов матричных столбцов таких матриц именно сумма
норм элементов 1-го столбца имеет наибольшее значение и может
рассматриваться в качестве «первой» нормы всей матрицы.
Квазидиагональные (клеточно-диагональные) матрицы вида
DN [ Н ν ] = Diag [ Н1
Н N ] , ( Nn × Nn)
Нν
(2.5.75)
могут рассматриваться по структуре как частные случаи нижнетреугольных блочных матриц (Nn×Nп), поэтому их нормы будем определять по тому же правилу – это суммы норм блочных элементов того
столбца матрицы, которые оказываются наибольшими. Но квазидиагональная матрица в каждом своем столбце имеет по одному матричному элементу, поэтому ее норма определится как наибольшее значение нормы из норм всех ее блочных диагональных элементов, т. е.
DN [ Н ν ] 1 = max Н ν .
v
(2.5.76)
Норма Н ν обычной матрицы Нν (п×п) также может пониматься как «первая» норма Н ν 1 . Отметим некоторые частные случаи.
Естественно, будем иметь Еп 1 = 1 , поэтому
DN [ Еп ] 1 = ( Е N ⊗ Еп ) 1 = Еп 1 = 1.
(2.5.77)
Также получим для нормы нижнетреугольной матрицы (ZN ⊗Еп)
с единственной диагональю:
(ZN ⊗ Е) 1 =
Еп 1 = 1.
(2.5.78)
Следовательно, будем иметь оценки
⎡⎣( Е N + Z N ) ⊗ Еп ⎤⎦ =
1
= ( Е N ⊗ Еп ) + ( Z N ⊗ Еп ) 1 ≤ ( Е N ⊗ Еп ) 1 + ( Z N ⊗ Еп ) 1 = 2.
(2.5.79)
181
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Далее найдем
( Еп + λ 0 АνI )
∞
−1
1
≤ ∑ ( −λ 0 Аν I )
(
= 1 − λ 0 Аν I
1
m =0
1
)
−1
=
∞
m
(
≤ ∑ λ 0 Аν I
m =0
1
1 − λ 0 Аν I
1
)
m
=
, (ν = 1, N ),
(2.5.80)
1
предполагая, конечно, что λ 0 Аν I 1 < 1 (ν = 1, N ) . Этот результат доказывает, по существу, и конечность норм матриц в (2.5.63).
Укажем и оценки для норм матриц, ассоциированных с чебышевской 2N-сеткой II рода
⎫
⎣⎡( Е2 N + Z 2 N ) ⊗ Еп ⎦⎤ 1 = ( Е2 N ⊗ Еп ) + ( Z 2 N ⊗ Еп ) ≤ 2; а) ⎪
⎪
1
−1
, (k = 1,2 N ).
б )⎬
( Еп + λ 0 АkII ) 1 ≤ λ 0
⎪
АkII
1−
⎪⎭
1
2
(2.5.81)
Найдем теперь оценки для норм блочных точечных изображений векторных сигналов выходов динамических систем вида (2.5.1)
(или (2.5.2)), определяемых точечными (2.5.73) и (2.5.74).
Точечные векторно-матричные представления
YТ I = DN ( Сν ) ⋅ Х Т I = DN ⎣⎡С ( λ 0 (2ν − 1) ) ⎦⎤ ⋅ Х Т I ; а) ⎫⎪
⎬
YТ II = D2 N ( Сk ) ⋅ Х Т II = D2 N ⎡⎣С ( λ 0 k ) ⎤⎦ ⋅ Х Т II
б ) ⎪⎭
(2.5.82)
определяют связь точечных векторов выхода YТ I и YТ I I динамической
системы (2.5.2) с соответствующими точечными изображениями Х Т I
и Х Т I I п-мерной фазовой переменной Х(Тτ) этой системы.
Передаточные матрицы в (2.5.82) есть квазидиагональные матрицы вида
DN ⎣⎡С ( λ 0 (2ν − 1) ) ⎤⎦ = Diag ⎡⎣С ( λ 0 )
D2 N ⎡⎣С ( λ 0 k ) ⎤⎦ = Diag ⎡⎣С ( λ 0 )
С ( λ 0 (2ν − 1) )
С ( λ 0k )
С ( λ 0 (2 N − 1) ) ⎤⎦ ; а) ⎫⎪
⎬
б ) ⎭⎪
С ( λ 0 2 N ) ⎤⎦ .
(2.5.83)
182
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Их матричные элементы есть значения матричной функции
С(Тτ) (r×n), τ ∈ [0, 1], (T > 0) в узлах чебышевских сеток:
2ν − 1
N-сетки I рода Тτ (νN ) = Т
= λ 0 ( 2ν − 1) , (ν = 1, N ) ;
2N
k
N)
2N-сетки II рода Tθ (2
=
T
= λ 0 k , ( k = 1, 2 N ) соответственно.
k
2N
Матрицы (2.5.83) будем называть матрицами выхода точечных
моделей динамической системы (2.5.2). Оценки для норм YТ 1 и YТ 1
I
II
точечных векторов в (2.5.82) получают представления
YТ I ≤ DN ( Сν ) 1 ⋅ Х Т I = max С ( λ 0 (2ν − 1) ) 1 ⋅ Х Т I ; а) ⎫
1
1
1
⎪
v
⎬
YТ II ≤ D2 N ( Сk ) 1 ⋅ Х Т II = max С ( λ 0 k ) 1 ⋅ Х Т II .
б)⎪
1
1
1
k
⎭
Для норм же Х Т
I
1
и ХТ
II
1
(2.5.84)
в силу (2.5.7 а) и (2.5.73 б) будем
иметь оценки
Х Т I ≤ WN ( Аν I ) ⋅ DN ( K ν ) 1 ⋅ U Т I ;
1
1
1
Х Т II ≤ W2 N ( АkII ) ⋅ D2 N ( K k ) 1 ⋅ U Т II
1
1
а) ⎫⎪
⎬
. б) ⎪
1
⎭
(2.5.85)
Нормы DN ( K ν ) 1 и D2 N ( K k ) 1 квазидиагональных матриц
DN ( K ν ) = DN ⎡⎣ K ( λ 0 (2ν − 1) ) ⎤⎦ =
= Diag ⎡⎣ K ( λ 0 )
K ( λ 0 (2ν − 1) )
K ( λ 0 (2 N − 1) ) ⎤⎦ ;
D2 N ( K k ) = D2 N ⎡⎣ K ( λ 0 k ) ⎤⎦ =
= Diag ⎡⎣ K ( λ 0 )
K ( λ 0k )
K ( λ 0 2 N ) ⎤⎦ ,
⎫
⎪
а) ⎪⎪
⎬
⎪
⎪
б ) ⎪⎭
(2.5.86)
с блочными элементами (п×q), которые будем называть матрицами
входа точечных моделей (2.5.73) и (2.5.74), определятся по прежнему
правилу:
DN ( K ν ) 1 = max K ( λ 0 (2ν − 1) ) 1 ; а) ⎫
⎪
ν
⎬
D2 N ( K k ) 1 = max K ( λ 0 k ) 1 .
б )⎪
k
⎭
(2.5.87)
183
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
Матрицы WN ( Аν I ) (Nn×Nn) и W2 N ( АkI I ) (2Nn×2Nn) в моделях
(2.5.73) и (2.5.74) имеют явные представления (2.5.72), поэтому для их
норм, учитывая оценки для норм матричных блоков, их образующих,
(2.5.79) – (2.5.81), а также оценки (2.5.52), справедливые при положительной определенности системной матрицы А(Тτ) (п×n) динамической системы (2.5.2), получим оценки
⎫
1− bN
2λ 0
⋅ max
; а) ⎪
1
Аν I
ν 1− λ
1− b
0
1
⎪⎪
N
⎬
1− а
λ0
А
. б )⎪
⋅ max
W2 N ( kII ) ≤
1
λ0
k
1− а
⎪
АkII
1−
1
⎪⎭
2
WN ( Аν I ) ≤
(2.5.88)
Таким образом, для норм точечных векторов в моделях (2.5.73)
и (2.5.74) будем иметь оценки
Х Т I ≤ WN ( Аν I ) ⋅ DN ( K ν ) 1 ⋅ U Т I ; а ) ⎫
1
1
⎪
⎬⇒
YТ I ≤ DN ( Сν ) 1 ⋅ Х Т I ;
б )⎪
1
1
⎭
(2.5.89)
⇒ YТ I ≤ DN ( Сν ) 1 ⋅ WN ( Аν I ) ⋅ DN ( K ν ) 1 ⋅ U Т I ;
1
1
1
Х Т II ≤ W2 N ( АkII ) ⋅ D2 N ( K k ) 1 ⋅ U Т II ; а ) ⎫
1
1
⎪
⎬⇒
YТ II ≤ D2 N ( Сk ) 1 ⋅ Х Т II ;
б )⎪
⎭
1
1
(2.5.90)
⇒ YТ II ≤ D2 N ( Сk ) 1 ⋅ W2 N ( АkII ) ⋅ D2 N ( K k ) 1 ⋅ U Т II .
1
1
1
Эти оценки для норм выходных точечных векторов дают их ограничения некоторыми конечными величинами при всех N, включая
и предельный случай N → ∞, что будет иметь место при ограниченности норм точечных векторов входа и если системная матрица A(Тτ)
(n×п), τ ∈ [0, 1] (Т > 0) моделируемой динамической системы (2.5.2)
окажется ПО-матрицей (условие устойчивости системы) и также будет выполняться условие λ 0 А(Т τ) 1 < 1. Вместе с тем, очевидно,
должны быть ограниченными и нормы входной матрицы K(Тτ) (n×q)
динамической системы (2.5.2) и ее матрицы выхода С(Тτ) (r×п).
184
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Уместно напомнить, что размерности этих матриц и их ранги
в векторно-матричных взаимодействиях модели (2.5.2) динамической
системы играют важную роль, определяя, в частности, такие ее свойства, как управляемость и наблюдаемость.
Так, если ранг матрицы K(Тτ) (n×q) (n ≤ q) будет равен п (в частности, она окажется квадратной и невырожденной), то устойчивая
динамическая система (2.5.2) окажется управляемой по п фазовым переменным, а если еще п = r, то будет управляемость и по выходу.
Ранее было показано, что условие r = n ≤ q с соответствующими
рангами матриц является достаточным для одновременного существования у устойчивой динамической системы (2.5.2) не только свойства управляемости по фазовым и выходным переменным, но и свойства наблюдаемости как в смысле асимптотической, так и точечнотождественной (ТТ) наблюдаемости.
Вернемся к оценкам норм.
При N → ∞ ограниченность норм точечных векторов выхода
Х Т 1 и YТ 1 означает сходимость соответствующих рядов, представляющих их в этом предельном случае:
⎫
Х Т I = ∑ Х ( λ 0 ( 2ν − 1) ) ⎯⎯⎯
→ ∑ Х ( λ 0 ( 2ν − 1) ) 1; а ) ⎪
1
1
⎪
ν=1
ν=1
⎬
N
∞
N →∞
YТ I = ∑ Y ( λ 0 ( 2ν − 1) ) ⎯⎯⎯
→ ∑ Y ( λ 0 ( 2ν − 1) ) 1 ,
б) ⎪
1
1
⎪⎭
ν=1
ν=1
N
N →∞
∞
(2.5.91)
Т
= const .
2N
То же будем иметь и для норм точечных представлений, ассоциированных с чебышевской 2N-сеткой II рода:
причем λ 0 =
2N
∞
⎫
N →∞
Х Т II = ∑ Х ( λ 0 k ) ⎯⎯⎯
;
)
→
а
λ
Х
k
(
)
∑
0
⎪
1
1
1
Т
⎪
K =1
ν=1
λ
=
= const . (2.5.92)
⎬
0
∞
2N
N
2
N →∞
YТ II = ∑ Y ( λ 0 k ) ⎯⎯⎯
→ ∑ Y ( λ 0 k ) 1;
б) ⎪
1
1
⎪⎭
K =1
K =1
Но сходимость всех указанных рядов может иметь место лишь
тогда, когда для обеих точечных моделей выполняются условия
185
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
N →∞
Х ( λ 0 ( 2 N − 1) ) 1 ⎯⎯⎯
→ 0;
→ 0;
Х ( λ 0 2 N ) 1 ⎯⎯⎯
N →∞
N →∞
Y ( λ 0 ( 2 N − 1) ) 1 ⎯⎯⎯
→ 0; а) ⎪⎫
⎬
N →∞
б ) ⎪⎭
→ 0,
Y ( λ 0 2 N ) 1 ⎯⎯⎯
(2.5.91)
т. е. условия асимптотической устойчивости, в частности, однородной
задачи Коши (2.5.4) как понятие, распространенное и на моделируемую динамическую систему вида (2.5.2).
Таким образом, ограниченность норм (2.5.89) и (2.5.90) точечных
векторов выхода при всех N, включая и предельный случай N → ∞, что
может иметь место при ограниченности норм DN ( K ν ) ⋅ U Т I
1
и D2 N ( K k ) ⋅ U Т II , будет, очевидно, означать и асимптотическую ус1
тойчивость выходных сигналов Х(t) и Y(t) моделируемой динамической
системы (2.5.1), т. е. ее устойчивость в обычном смысле.
Однако такую ее устойчивость, определяемую по точечным моделям, естественно, пожалуй, назвать устойчивостью в смысле «ограниченный вход – ограниченный выход».
Это понятие будет эквивалентно понятию асимптотической устойчивости выходных временных процессов динамической системы
с математической моделью вида (2.5.1) (или (2.5.2)).
Подведем итоги по проведенным рассуждениям, учитывая ранее
полученные результаты утверждения, в виде следующей теоремы.
Теорема 2.5.3. Если для нестационарной динамической системы
(2.5.1) (или (2.5.2)) выполняются условия:
1) системная матрица A(t) = A(Tτ) (n×n); τ ∈ [0, 1] при всех T > 0
оказывается ПО-матрицей с конечной нормой А(Т τ) 1 ;
Т
при всех Т и N фиксирован некоторым зна2) параметр λ 0 =
2N
чением, при котором выполняется строгое неравенство
λ 0 А(Т τ) 1 < 1; Т > 0; τ ∈ [0, 1];
(2.5.94)
3) нормы K (Т τ) 1 и С (Т τ) 1 матриц входа K(Тτ) (n×q) и выхода
С(Тτ) (r×п) при любых T > 0 и τ ∈ [0, 1] окажутся ограниченными;
4) для размерности этих матриц выполняется условие r = n ≤ q,
при этом матрица K(Тτ) (n×q) имеет ранг n, такой же ранг имеет
и квадратная матрица С(Тτ) (r×п), то:
186
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления а) существуют точечные модели (2.5.73) и (2.5.74), являющиеся
гомоморфными точечными отображениями решений задачи Коши для
уравнений (2.5.2) при нулевых начальных условиях и ограниченных
воздействиях U (Т τ) 1 τ ∈ [0, 1];
б) точечные модели будут обладать свойством устойчивости
в смысле «ограниченный вход – ограниченный выход», что для их
временного оригинала – динамической системы (2.5.1) (или (2.5.2))
будет означать устойчивость в обычном смысле;
в) система (2.5.2) окажется управляемой как по фазовым переменным Х(Tτ), так и по переменным выхода Y(Tτ), а также наблюдаемой в обоих указанных смыслах.
Прокомментируем и дадим еще некоторые дополнения и пояснения по поводу введенных понятий устойчивости динамической
системы (2.5.2).
Решение однородной задачи Коши (2.5.4) эквивалентно решению интегрального уравнения
τ
Х (Т τ) + Т ∫ А(Т η) X (Т η) d η = Х 0 ; τ ∈ [0, 1], (T > 0).
(2.5.95)
0
Решение такой же задачи для неоднородного дифференциального уравнения (2.5.2а) при нулевых начальных условиях сводится
к решению интегрального уравнения того же вида, но с иной правой
частью:
τ
τ
0
0
Х (Т τ) + Т ∫ А(Т η) X (Т η) d η = Т ∫ K (Т η)U (Т η) d η; τ ∈ [0, 1], (T > 0).
(2.5.96)
Это математическая модель нестационарной динамической системы с матрицей A(Tτ) (n×n), q-мерным входным сигналом U(Тτ) и пмерным выходным сигналом Х(Тτ), имеющим смысл фазовых переменных динамической системы.
Процесс Х(Тτ) (τ ∈ [0, 1]) будет совпадать с решением интегрального уравнения (2.5.95), т. е. с решением задачи Коши (2.5.4),
если на вход динамической системы (2.5.96) будет подан сигнал
U δ (Т τ) , определяемый равенством
187
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
τ
∫ K (ξ)U
0
(δ)
τ
(ξ) d ξ = Х 0 ⇒ Т ∫ K (Т η)U ( δ ) (Т η)d η = Х 0 ; τ ∈ [0, 1]; (T > 0).
0
(2.5.97)
В этом случае интегральные уравнения (2.5.95) и (2.5.96) будут
просто совпадать.
Равенство (2.5.97), как тождество, должно выполняться при любых τ ∈ [0, 1], поэтому возможно при различных значениях переменной τ и, вообще говоря, при различных вариантах характера изменения подынтегральной функции.
В частности, рассмотрим естественные для нас значения переменной τ в узлах чебышевских сеток: N-сеткой I рода
2ν − 1
k
N)
( k = 1, 2 N ) , перτ (νN ) =
, (ν = 1, N ) и 2N-сетки II рода θ (2
=
k
2N
2N
1
вые узлы которых совпадают и равны τ1( N ) = θ1(2 N ) =
.
2N
В этом узле имеем интегральное равенство
1
2N
Т
∫ K (Т η)U
(δ)
(Т η)d η = Х 0 .
(2.5.98)
0
Во вторых узлах, имея в виду, что τ (2N ) =
чим для N-сетки I рода:
τ(2N )
Т
∫
K (Т η)U ( δ ) (Т η)d η = Х 0 ⇒ Т
0
1
2N
∫ K (Т η)U
(δ)
3
1
N)
= , полуи θ (2
2
2N
N
(Т η)d η + Т
0
3
2N
∫ K (Т η)U
(δ)
(Т η)d η = Х 0 ,
0
откуда в силу равенства (2.5.98) будет следовать равенство
3
2N
∫ K (Т η)U
(δ)
(Т η)d η = 0
1
2N
и, как возможный вариант, тождественное равенство нулю подынте1
3
гральной функции в промежутке (
,
).
2N 2N
188
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления Тот же результат получим и во втором узле 2N-сетки II рода,
т. к. снова окажется
1
2N
Т
∫ K (Т η)U
(δ)
(Т η)d η = Х 0 ,
0
но теперь
1
N
∫ K (Т η)U
(δ)
(Т η)d η = 0 , что тоже возможно, т. к. промежуток
1
2N
(
1 1
1
3
, ] входит в (
,
].
2N N
2N 2N
В произвольных узлах наших сеток будем иметь
⎧ τν
⎫
(δ)
K
(
Т
)
U
(
Т
)
d
0
(ν
1,
N
);
а
)
η
η
η
=
=
⎪
⎪
∫1
1
⎪
⎪
2N
⎪ 2N
⎪
(δ)
Т ∫ K (Т η)U (Т η)d η = Х 0 ⇒ ⎨ ( 2 N )
⎬
θ
0
⎪k
⎪
(δ)
⎪ ∫ K (Т η)U (Т η)d η = 0 (k = 1,2 N ), б ) ⎪
⎪ 1
⎪
⎩ 2N
⎭
(N )
(2.5.99)
что возможно как частный вариант, если подынтегральная функция
1
в промежутке (
, 1] будет тождественно равна нулю, что и потре2N
буем в качестве условия решения нашей задачи (2.5.98) и в (2.5.99).
Предположим, и снова в частности, что подынтегральная век1
] буторная функция в этих уравнениях на малом промежутке [0,
2N
дет постоянным п-вектором, т. е. п-векторной величиной Х0 со скалярным множителем в виде прямоугольного импульса в начале оси τ
длительностью
1
(рис. 2.5.2):
2N
⎧ Х0
Х0 ⎡
1 ⎞⎤
⎛
⎡ 1 ⎤ ; а) ⎫
Δ
=
−
τ∈
(
)
(
)
1
1
,
τ
−
τ
τ
⎜
⎟
N
⎪⎪ λ
⎪⎪
⎢⎣0, 2 N ⎥⎦
λ 0 ⎢⎣
2 N ⎠ ⎥⎦
⎝
(δ)
0
K (Т η)U (Т η) = ⎨
⎬
⎪0, τ > 1 .
б)⎪
⎪⎭
2N
⎩⎪
(2.5.100)
189
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
1
Δ N ( τ)
λ0
2N 1
=
Т
λ0
1
2N
0
τ
Рис. 2.5.2
Действительно, в этом случае при любых N будем иметь
1
2N
Т
∫ K (Т η)U
(δ)
0
(Т η)d η = Х 0 ⇒ Т
Х0
λ0
1
2N
∫Δ
0
N
(η)d η = Т
Х0 1
⋅
= Х 0.
λ0 2N
Заметим, что
Т
1 ⎤
N →∞
,
Δ N (τ) = 2 N Δ N (τ) ⎯⎯⎯
→δ(τ) τ∈ ⎡⎢0,
λ0
⎣ 2 N ⎥⎦
т. е. в предельном случае N → ∞ импульсное входное воздействие
(2.5.100) оказывается векторной δ-функцией, а выходной сигнал – реакция динамической системы на это воздействие – ее импульсной
векторной характеристикой.
Таким образом, импульсное представление (2.5.100) при всяком
конечном N можно рассматривать как модель δ-импульсного воздействия, а решение интегрального уравнения динамической системы
(2.5.96), которое будет совпадать с уравнением (2.5.95) задачи Коши
(2.5.4), оказывается моделью ее импульсной переходной характеристики (при единичном п-векторе Х0!).
Асимптотическая устойчивость решения этой задачи, как понятие, оказывается такой же и для модели импульсной характеристики
динамической системы, т. е. ее устойчивостью в обычном смысле.
Но асимптотическая устойчивость решений задачи Коши (2.5.4)
означает устойчивость в смысле «ограниченный вход – ограниченный
190
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления выход» их точечных представлений, т. е. ограниченность при всех N
нормы Х Т 1 решений интегральных уравнений (2.5.95) и (2.5.96) при
I
входном воздействии (2.5.100):
Х Т I ≤ Т N−1 [ − Вν ] ⋅ ( Е N + λ 0 А1 )
1
1
−1
То же будем иметь для оценки нормы Х Т
(2.5.73), а также для нормы Х Т
II
1
1
I
1
⋅ Х0 1.
(2.5.101)
по точечной модели
по модели (2.5.74).
Ранее (см. п. 2.4) была получена точечная модель нестационарной динамической системы вида (2.5.2) как объекта управления, охваченного жесткой отрицательной обратной связью (ОС), реализуемой постоянной матрицей KОС (п×п), т. е. как системы автоматического управления (регулирования). Показано, что эта замкнутая система
будет описываться векторно-матричными уравнениями вида
dX (Т τ)
⎫
+ Т γ( Т τ) ⋅ Х ( Т τ) = ТK ( Т τ) U ( Т τ); а ) ⎪
dτ
⎬ τ ∈ [0, 1]; (T > 0),
Y ( Т τ) = С ( Т τ) ⋅ Х ( Т τ).
б ) ⎭⎪
(2.5.102)
т. е. прежнего вида разомкнутой системы (2.5.2), однако с иной системной матрицей [см. (2.4.1)]:
γ (T τ) = [ A(T τ) + K (T τ) ⋅ K OC ⋅ С ( Т τ)] , (n × n); τ∈ [0,1].
(2.5.103)
Это означает, что точечные модели системы (2.5.102) построены
2ν − 1
на основе чебышевских сеток: N-сетки I рода τ (νN ) =
, (ν = 1, N )
2N
k
N)
и 2N-сетки II рода θ (2
, ( k = 1, 2 N ) , имеют прежние формуль=
k
2N
ные представления вида (2.5.73) и (2.5.74):
Х Т I = WN ( γ ν I ) ⋅ DN ( K ν ) ⋅ U Т I а ) ⎫⎪
⎬ ⇒ YТ I = DN ( Сν ) ⋅ WN ( γ ν I ) ⋅ DN ( K ν ) ⋅ U Т I
YТ I = DN ( Сν ) ⋅ Х Т I
б ) ⎪⎭
(2.5.104)
191
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
и
Х Т II = W2 N ( γ kII ) ⋅D2 N ( K k ) ⋅ U Т II а) ⎫⎪
⎬ ⇒YТ II = D2 N ( Сk ) ⋅ W2 N ( γ kII ) ⋅ D2 N ( K k )U Т II ,
YТ II = D2 N ( Сk ) Х Т II
б ) ⎪⎭
(2.5.105)
где
γ ν I = γ (Т τ(νN ) ) = ⎡⎣ А (Т τ νN ) + K (Т τ νN ) ⋅ K ОС ⋅ С (Т τ νN ) ⎤⎦ ( п × п) (ν = 1, N );
(2.5.106)
γ ν II = γ (Т θ(k2 N ) ) = ⎡⎣ А (Т θ(k2 N ) ) + K (Т θ(k2 N ) ) ⋅ОС С (Т θ(k2 N ) ) ⎤⎦ ( п × п) ( k = 1, 2 N ).
(2.5.107)
Явные представления блочных матриц W N ( γ ν I )
(Nn×Nn)
и W2 N ( γ kI I ) (2Nn×2Nn) определяются прежними формулами (2.5.72)
с заменой в них Aν I на γ ν I (2.5.106) и AkII на γ k I I (2.5.107), а также подстановками для блоков
− Вν = ( Еп + λ 0 γ ν+1 ) ⋅ ( Еп − λ 0 γ ν ) (ν = 1,( N − 1));
а) ⎫
Т
⎪
−1
λ0 =
, (2.5.108)
⎬
λ0
λ0 ⎞
⎛
⎞
⎛
N
2
α k = ⎜ Еп + γ k +1 ⎟ ⋅ ⎜ Еп − γ k ⎟ (k = 1,(2 N − 1)); б ) ⎪
⎝
⎠ ⎝
2
2 ⎠
⎭
−1
имеем, таким образом, формульную идентичность математических
моделей разомкнутых и замкнутых п-мерных линейных динамических систем вида (2.5.2).
Они отличаются лишь различными системными матрицами:
ТI
А(Тτ) ⎯⎯
→ А (Тτ (νN ) ) = Аν I
(ν = 1, N );
Т II
N)
А(Тτ) ⎯⎯
→ А (Тθ (2
) = АkII
k
(k = 1,2 N )
(2.5.109)
и
ТI
γ(Тτ) ⎯⎯
→ γ (Тτ (νN ) ) = γ ν I
Т II
N)
γ(Тτ) ⎯⎯
→ γ (Тθ (2
) = γ kII
k
которые и определяют их свойства.
192
(ν = 1, N );
(k = 1,2 N ),
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления В частности, итоговые результаты, сформулированные для разомкнутых динамических систем в форме утверждений теоремы 2.5.3,
при соответствующих словесных и формульных корректировках оказываются справедливыми и для замкнутых систем. Возникает следующая теорема.
Теорема 2.5.4. Если для замкнутой динамической системы
(2.5.102) выполняются условия:
1) системная матрица γ (Tτ) (2.5.103) при всех Т > 0 оказывается
ПО-матрицей с конечной нормой γ(Тτ) 1 ;
Т
2) параметр λ 0 =
при всех Т и N фиксирован некоторым зна2N
чением, при котором выполняется строгое неравенство
λ 0 γ (Т τ) 1 < 1; Т > 0; τ ∈ [0, 1];
(2.5.110)
3) нормы K (Т τ) 1 и С (Т τ) 1 при любых T > 0 и τ ∈ [0, 1] окажутся ограниченными;
4) для размерности этих матриц выполняется условие r = n ≤ q,
при этом матрица K(Тτ) (n×q) имеет ранг n, такой же ранг имеет
и квадратная матрица С(Тτ) (n×п), то:
а) существуют точечные модели (2.5.104) и (2.5.105) решений задачи Коши для уравнений (2.5.102) при нулевых начальных условиях
и ограниченных воздействиях U (Т τ) 1 τ ∈ [0, 1];
б) точечные модели будут обладать свойством устойчивости
в смысле «ограниченный вход – ограниченный выход», что для их
временного оригинала – замкнутой динамической системы (2.5.102),
будет означать устойчивость в обычном смысле;
в) система (2.5.102) окажется управляемой как по фазовым переменным Х(Tτ), так и по переменным выхода Y(Tτ), а также наблюдаемой в обоих указанных смыслах.
В заключение сделаем следующее замечание. В прил. 1 приведено
преобразование точечной модели замкнутой динамической системы
(2.5.102) к своему более привычному виду, в котором заданная разомкнутая динамическая система с точечной моделью, ассоциированной,
в частности, с чебышевской N-сеткой I рода, т. е. вида (2.4.20) (или
(2.5.73)), действительно замыкается явно выраженной отрицательной
ОС. Модель получает формульное представление:
193
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных нестационарных систем управления
−1
YТ I = ⎡⎣ Е Nn + DN ( Сν ) ⋅ WN ( Аν ; K ν ) ⋅ DN ( K ОС ) ⎤⎦ DN ( Сν ) ⋅ WN ( Аν ; K ν ) ⋅ U Т I ,
(2.5.111)
где
WN ( Аν ; K ν ) = WN ( Аν ) ⋅ DN ( K ν ) ( Nn × Nq )
(2.5.112)
со структурной схемой, изображенной на рис. П.1. Обратная связь реализуется передаточной квазидиагональной матрицей DN (Kα) (Nq×Nn).
Преобразуя подобным образом и точечную модель (2.5.105)
замкнутой динамической системы, найдем ее представление с явно
выраженной ОС и в форме связи «вход – выход».
−1
YТ II = ⎡⎣ Е2 Nn + D2 N ( Сν ) ⋅ W2 N ( Аk ; K k ) ⋅ D2 N ( K ОС ) ⎤⎦ D2 N ( С k ) ⋅ W2 N ( Аk ; K k )U Т I ,
(2.5.113)
где
W2 N ( Аk ; K k ) = W2 N ( Аk ) ⋅ D2 N ( K k ) (2 Nn × 2 Nq ),
а D2N (KOC) (2Nq×2Nn) есть ПМ по каналу ОС.
194
(2.5.114)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Глава 3 ЗАДАЧИ ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ 3.1. Точечные модели. Алгебраические свойства Пусть управляемая линейная и стационарная динамическая система (объект) с одним входом U(t) и одним выходом x(t)
(рис. 3.1.1) при всех t∈ [0,Т] (T ≤ ∞), описываемая дифференциальным уравнением вида
Рис. 3.1.1
d nx
d n−1 x
d n−k x
d x
+ a0 x =
an ⋅ n + an−1 n−1 + ... + an−k ⋅ n−k + ... + a1 ⋅
dt
dt
dt
dt
m −i
d mU
U
dU
m d
=b
+ ... + b
+ ... + b1 ⋅
+ b0U ,
m
m −i
dt
dt
dt
m
(3.1.1)
причем m < n. Решение этого уравнения (решение задачи Коши), устанавливающее явно связь «вход − выход» динамического объекта,
имеет вид
t
x(t ) = x (t ) + ∫ g (t − η) ⋅ U (η)d η ,
0
(3.1.2)
0
где x 0 (t ) – решение, определяемое только ненулевыми начальными
условиями (когда U(t) = 0), а
⎧ g (t − η)
g (t − η) = ⎨
⎩0
t>η
t≤η
(3.1.3)
есть разностное ядро в интегральном преобразовании (3.1.2) (весовая
функция), имеющее смысл импульсной переходной характеристики
(ИПХ) динамического объекта, как решения дифференциального
уравнения (3.1.1) при подаче в момент t = 0 на вход объекта воздействия в виде смещенной δ -функции: U (t) = δ (t – η) при нулевых начальных условиях.
195
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Если до момента t = 0 рассматриваемая динамическая система
находилась в состоянии покоя, то начальные условия окажутся нулевыми и x0 (t) ≡ 0. В этом случае поведение управляемой динамической
системы определится интегральным представлением
t
x(t ) = ∫ g (t − η) ⋅ U (η)d η ,
(3.1.4)
0
известным как интеграл свертки. Впрочем, если начальные условия
задачи окажутся ненулевыми, то можно ввести разность
x1 (t ) = x(t ) − x 0 (t ) ,
(3.1.5)
имеющую смысл отклонения управляемого процесса x(t) от некоторого
фиксированного свободного временного процесса x0 (t), и тогда поведение управляемой динамической системы снова будет определяться соотношением вида (3.1.4). Это означает, что ее поведение не зависит от
начальных условий и процессы управления могут рассматриваться при
нулевых начальных условиях на основе интеграла свертка (3.1.4). Относительно подынтегральных функций U (η) и g (t – η) в этом представлении будем предполагать, что они ограничены на любом конечном промежутке [0,T) (T ≤ ∞) и кусочно-непрерывны. Это означает, что обе они
принадлежат полным нормированным пространствам Lp (0,T) p ≥ 1, т. к.
их Lp-нормы конечны при любых p∈ [1,∞):
1
U
Lp
⎛T
⎞p
p
= ⎜ ∫ U (η) d η ⎟ < ∞,
⎝o
⎠
1
g
Lp
⎛T
⎞p
p
= ⎜ ∫ g (θ) d θ ⎟ < ∞,
⎝0
⎠
⎫
а) ⎪
⎪
⎪⎪
∀p ≥ 1. ⎬
⎪
⎪
б) ⎪
⎪⎭
(3.1.6)
Заметим, что
T
∫ g (T − η)
0
196
p
0
p
T
p
d η = − ∫ g (θ) d θ = ∫ g (θ) d θ = g
T
0
p
Lp
p ≥ 1.
(3.1.7)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Особо выделим следующие частные случаи значений p:
а) p = 1. Это случай пространства L1 (0, Т ) c нормой
T
U
= U 1 = ∫ U (η) d η .
L1
(3.1.8)
0
б) p = 2. Это случай гильбертова пространства L2 (0, T ) :
U
L2
= U
2
1
2
⎛
⎞
2
= ⎜ ∫ U (η) d η ⎟ .
⎝0
⎠
T
(3.1.9)
в) p = ∞. Это случай пространства L∞ (0, Т ) c нормой
U
L∞
= U
∞
= max U (η) .
0≤η≤T
(3.1.10)
Рассмотрим функционал
T
x(T ) = ∫ g (T − η) ⋅ U (η)d η = x(T ;U ) ,
(3.1.11)
0
имеющий смысл конечного состояния объекта, в которое он переводится из состояния покоя ограниченным управлением U(t) за конечный промежуток времени [0,Т]; или иначе: x(T) есть значение временного процесса на выходе динамического объекта в состоянии t = T,
определяемое некоторым управлением U(t), действующим на входе в
течение промежутка времени [0,Т] (терминальное управление). Поэтому функционал x(T), определяемый для данного динамического
объекта, следует записывать в виде x(T;U), что будет явно указывать
на зависимость от управления U( η ). Введенные нормы позволяют
дать следующие оценки для x(T ;U ) , т. е. для интеграла в (3.1.11):
T
⎧
U (η) ⋅ ∫ g (θ) d θ = U ∞ ⋅ g 1 ; а)
⎪max
T
0≤η≤T
⎪
0
x(T ;U ) ≤ ∫ g (T − η) U (η) d η ≤ ⎨
T
0
⎪ max g (θ) ⋅ U (η) d η = g ⋅ U . б)
∫0
1
∞
⎪ 0≤θ≤T
⎩
(3.1.12)
197
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Можем написать также в силу неравенства Коши-Буняковского:
1
1
⎛T
⎞2 ⎛ T
⎞2
2
2
x(T ;U ) = ∫ g (T − η)U (η)d η ≤ ⎜ ∫ g (θ) d θ ⎟ ⎜ ∫ U (η) d η ⎟ = q 2 ⋅ U 2 .
0
⎝0
⎠ ⎝0
⎠
T
(3.1.13)
Отметим, что равенство в этой оценке достигается при
g (T − η) = α ⋅ U (η); ∀η∈[0, T ] , т. е. когда подынтегральные функции
отличаются друг от друга лишь масштабным множителем. В этом
случае будем иметь
T
T
x(T ,U ) = ∫ g (T − η) ⋅ U (η)d η = α ⋅ ∫ U 2 (η)d η = α ⋅ U 2 .
0
2
(3.1.14)
0
Можно видеть, что это действительно максимально возможное значение функционала. Оно пропорционально квадрату гильбертовой
нормы (3.1.9) управления U (η) ∈ L2 (0, T ). Коэффициентом пропорциональности служит α − модуль масштабного множителя.
Преобразуя по Лапласу интеграл свертка, получим операторное
представление связи «вход−выход» рассматриваемой динамической
системы:
X ( p) = W ( p) ⋅ U ( p) .
(3.1.15)
Здесь
∞
g (t ) ≒ W ( p ) = ∫ g (t )e − pt dt = G ( p )
(3.1.16)
0
есть изображение по Лапласу импульсной переходной характеристики g(t) (весовой функции в (3.1.4)), называемое передаточной функцией (ПФ) системы, а
∞
x(t ) ≒ X ( p ) = ∫ x(t )e dt
0
− pt
∞
и
U (t ) ≒ U ( p ) = ∫ U (t )e − pt dt (3.1.17)
0
есть изображения по Лапласу соответственно x(t) выходного и входного U(t) временных сигналов. Все временные оригиналы – ограничи198
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами тельные функции на любом конечном промежутке из [0,∞], поэтому
их операторные изображения существуют.
Преобразуя по Лапласу при нулевых начальных условиях, дифференциальное уравнение (3.1.1), получим равенство
D( p) ⋅ X ( p ) = H ( p ) ⋅ U ( p ),
(3.1.18)
в котором
D( p ) = an ⋅ p n + an−1 ⋅ p n−1 + ... + an−k ⋅ p n−k + ... + a1 p + a0 ;
H ( P ) = bm ⋅ p m + bm−1 ⋅ p m−1 + ... + bm−i ⋅ p m−i + ... + b1 ⋅ p + b0
а) ⎫
⎬ (3.1.19)
б) ⎭
есть операторные полиномы с вещественными коэффициентами степени n и m соответственно, причем m < n. Из (3.1.18) найдем
и X ( p) =
H ( p)
U ( p) и, следовательно, для ПФ окажется
D( p)
W ( p) =
H ( p)
.
D( p)
(3.1.20)
Займемся теперь построением точечного представления связи
«вход−выход» рассматриваемой линейной динамической системы.
Речь идет о построении некоей «передаточной» матрицы, связывающей точечно-векторные изображения временных функций входа U(t)
и выхода x(t), определенных на некотором конечном промежутке [0,T]
и ассоциированных со смежными чебышевскими N-сетками. Дело
сводится, очевидно, к точечным представлениям интеграла свертки
t
(3.1.4) x(t ) = ∫ g (t − η) ⋅ U (η)d η.
0
Будем иметь следующие точечные модели рассматриваемой динамической системы:
τ
TI
T ∫ g (T (τ − ξ)) ⋅ U (T ξ)d ξ
0
TII
X TI = λ 0 ⋅ g ( Z ) ⋅ ( EN + Z ) ⋅ U TI ; а) ⎫
⎪⎪
⎬
⎪
X TII = 2λ 0 ⋅ g ( Z ) ⋅ U TII .
б) ⎪⎭
(3.1.21)
199
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами TI
Символическая запись
X TI
означает переход к точечно-
x(t )
TII
X TII
векторным изображениям X T и X T функции x(t)∈ M (0;T ), ассоциированным соответственно с чебышевской N-сеткой I рода:
I
tν( IN ) = T ⋅ τν( N ) =
II
T
(2ν − 1) = λ 0 ⋅ (2ν − 1); ( ν = 1, N )
2N
(3.1.22)
и N-сеткой II рода:
tν( IIN ) = T θν( N ) =
T
⋅ ν = λ 0 ⋅ 2ν; ν = 1, N .
N
(3.1.23)
Узлы этих смежных чебышевских сеток взаимно чередуются, причем
временное расстояние между любыми соседними узлами этих N-сеток
(рис. 3.1.2) одинаково и равно параметру λ 0 :
Δt ( N ) = tν( IIN ) − tν( IN ) = λ0 ⋅ 2ν − λ0 ⋅ (2ν − 1) = λ0 =
T
.
2N
(3.1.24)
Расстояние же между узлами одной и той же чебышевской NT
сетки равно удвоенному значению этого параметра: 2 λ 0 = 2 ⋅ Δt ( N ) = .
N
Положение же узла каждой чебышевской сетки как точки на
временной оси определяется ее расстоянием от начала отсчета t = 0.
Итак, можем написать
TI
→ X TI = Colon ⎡⎣ x(t1(IN ) ),...x(tν( IN ) ),...x(t N( NI ) ) ⎤⎦ ;
x(t ) ⎯⎯
TII
→ X TII = Colon ⎡⎣ x(t1(IIN ) ),...x(tν( IIN ) ),...x(t((NN−)1)II ), x(T ) ⎤⎦ .
x(t ) ⎯⎯
t1(IIN )
t1(IN )
N)
tν( IIN )
t((ν−
1) II
tν( IN )
N)
t((ν−
1) I
Рис. 3.1.2
200
t((NN−)1)II
N)
t((ν−
1) I
а) ⎫⎪
⎬
б) ⎪⎭
(3.1.25)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами ⎛ 1 ⎞
окажется [78]:
2 ⎟
⎝N ⎠
Причем с точностью порядка 0 ⎜
1
( E N + Z ) X TII = X TI .
2
(3.1.26)
Можем написать также для точечного изображения U T управляющего
воздействия U (t ) ∈ M (0, T ) :
I
TI
→U TI = Colon ⎡⎣U (t1(IN ) ),...U (tν( IN ) ),...U (t N( NI ) ) ⎤⎦ .
U (t ) ⎯⎯
(3.1.27)
Тёплицева матрица
⎡ g1
⎢
N
⎢
ν+1
g (Z ) = ∑ gν Z = ⎢ gν
⎢
ν=1
⎢
⎢⎣ g N
...
g1
...
gν
...
⎤
⎥
⎥
⎥ (N × N )
⎥
⎥
g1 ⎥⎦
(3.1.28)
в точечных представлениях (3.1.21) имеет элементный N-вектор, совпадающий с точечно-векторным изображением g T импульсной переходной характеристики g(t) t ∈ [0; t ] системы, ассоциированным с чебышевской N-сеткой I рода (1.22):
I
TI
g (t ) ⎯⎯
→ g TI = Colon[ g (t1(IN ) ),...g (tν( IN ) ),...g (t N( NI ) )] = Colon[ g1 ,...g ν ,...g N ].
(3.1.28)
Этот точечный вектор (и, следовательно, матрица (3.1.28)) могут быть
определены непосредственно по лапласовому изображению функции
g(t), т. е. по передаточной функции (3.1.16):
∞
W ( p) = ∫ g (t )e− pt dt
(3.1.29)
0
рассматриваемой динамической системы.
Действительно, как установлено [64, 78, 72], точечные представления интеграла свертки в (3.1.21), являющегося оригиналом опе201
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами раторной связи «вход−выход» динамической системы (3.1.15), могут
быть записаны в виде
T
∫ g (t − η) ⋅ U (η)dη = x(t ) ⎯⎯→ X
TI
= Wg* ( Z ) ⋅ U TI ,
(3.1.30)
⎤
⎥
⎥
⎥ (N × N )
⎥
⎥
... W0 ⎥⎦
(3.1.31)
TI
0
где тёплицева матрица (P-матрица)
⎡ W0
⎢
N −1
⎢
Wg* ( Z ) = ∑Wk ⋅ Z k = ⎢ Wk
⎢
k =0
⎢
⎢⎣WN −1
... W0
... Wk
возникает из ПФ W(p) (3.1.29) динамической системы [64].
Пусть σ ≥ 0 есть величина, не меньшая абсциссы абсолютной
интегрируемости импульсной приходной характеристики g(t), тогда
∞
∫ g (t ) ⋅ e
−σt
dt < ∞ ,
0
и ее преобразование Лапласа, т. е. ПФ W(p) (3.1.29), окажется аналитической функцией в полуплоскости Rep ≥ σ , которая при замене пе1 ⎛
1⎞
ременного p = ; ⎜ λ = ⎟ приходит в круговую область
λ ⎝
p⎠
2
2
1
1
1 ⎞
⎛
⎛ 1 ⎞
2
λ−
≤
⇔ ⎜α −
⎟ +β ≤⎜ ⎟ ,
2σ 2σ
2σ ⎠
⎝
⎝ 2σ ⎠
(3.1.32)
т. к.
2
2
1
1
α
1 ⎞
⎛
⎛ 1 ⎞
2
Re p ≥ σ ⇒ Re p = Re = Re
= 2
≥ σ ⇔ ⎜α −
⎟ +β ≤⎜ ⎟ .
2
2σ ⎠
λ
α + iβ α + β
⎝
⎝ 2σ ⎠
⎛1⎞
⎝ ⎠
Функция W ( p) = W ⎜ ⎟ = Wg * (λ) комплексной переменной λ =
λ
= α + iβ – инверсная передаточная функция динамической системы −
будет аналитической в круговой области (3.1.32). Заметим, что при
202
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами σ → 0 эта круговая область, расширяясь, переходит в правую полуплоскость Re λ ≥ 0 плоскости λ , т. к.
Re p ≥ 0 ⇒ Re
1
α
= 2
≥ 0 ⇒ α = Re λ ≥ 0 .
λ α + β2
Введем круговую область
1 + r 2 2λ 0 r
λ − λ0
≤
1− r2 1− r2
(λ 0 > 0),
(0 < r ≤ 1),
(3.1.33)
также расположенную в правой полуплоскости Re λ ≥ 0 . Ее граничная
окружность отсекает на вещественной оси Reλ = α отрезок
1+ r ⎤
4λ 0 r
⎡ 1− r
λ
,
λ
,
длина
которого
равна
, т. е. диаметр круговой
0
0
⎢⎣ 1 + r
1 − r ⎥⎦
1− r2
области (3.1.33). Если потребовать выполнения условий
λ0
1+ r 1
1 − λ 0σ
≤ ⇒r≤
;
1− r σ
1 + λ 0σ
λ0 <
1
; 0 < r ≤ 1,
σ
(3.1.34)
⎡ 1⎤
то указанный отрезок окажется внутри отрезка ⎢0, ⎥ , отсекаемого
⎣ σ⎦
круговой областью (1.32), а их длины, т. е. диаметры круговых областей (3.1.32) и (3.1.33), будут удовлетворять неравенству
4λ0r 1
2λ0 r
1
≤
⇒
≤
.
1 − r 2 σ 1 − r 2 2σ
(3.1.35)
Это означает, что при выполнении условий (3.1.34) круговая область
(3.1.33) окажется полностью внутри круговой области (3.1.32) и, следовательно, W * (λ) -инверсная передаточная функция динамической
системы будет в ней также аналитической функцией.
Отметим, что при σ → 0 параметр r → 1 − 0 и обе области сливаются, превращаясь в полуплоскость Re λ = α ≥ 0 .
Введем ещё одну комплексную переменную, z = x + iy, полагая
z=
1+ z
λ − λ0
⇒ λ = λ0
1− z
λ + λ0
(λ 0 > 0) .
(3.1.36)
203
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Эти взаимно-обратные линейно-дробные преобразования комплексных переменных λ и z, как установлено [64,78], конформно отображают друг в друга круговую область (1.33) и центральную круговую
область радиуса r:
z ≤ r ≤ 1 ⇒ x2 + y2 ≤ r 2 ≤ 1
(3.1.37)
комплексной плоскости z, причем точка λ = λ 0 переходит в начало координат z = 0 плоскости z. При σ → 0 , когда r → 1 − 0 область (3.1.33) вырождается в правую полуплоскость плоскости λ , а (3.1.37) становится
центральным кругом единичного радиуса: z ≤ 1. Таким образом, рассмотренные дробно-линейные взаимно-однозначные преобразования
комплексных переменных, определяют конформные отображения соответствующих областей, в которых оказываются аналитическими возникающие при этом функции соответствующих комплексных переменных:
1+ z ⎞
⎛1⎞
⎛
*
* ⎛ λ − λ0 ⎞
W ( p) = W ⎜ ⎟ = Wg* (λ) = Wg* ⎜ λ 0 ⋅
⎟.
⎟ → Wg ( z ) = Wg ⎜
1− z ⎠
λ
+
λ
⎝λ⎠
⎝
0 ⎠
⎝
(3.1.38)
Отметим следующее. Стрелкой → обозначен переход от функции Wg* (λ ) комплексной переменной λ к функции Wg* ( z ) переменной
1+ z
. Эти функции формульно,
1− z
конечно, различны, хотя и обозначены одинаковым символом Wg* ( • ).
z, связанных преобразованием λ = λ 0
Функция Wg* ( z ) , как аналитическая в круге (3.1.37), имеет в нем
представление в виде степенного ряда
k
⎛ λ − λ0 ⎞
∗ ⎛ λ − λ0 ⎞
∗
W ( z ) = ∑Wk ⋅ z = ∑Wk ⋅ ⎜
⎟ =W ⎜
⎟ → W (λ )
k =0
k =0
⎝ λ + λ0 ⎠
⎝ λ + λ0 ⎠
*
g
∞
k
∞
(3.1.39)
с вещественными коэффициентами [64,78]:
1 dk ∗
Wk =
Wg ( z )
k ! dz k
z =0
2λ 0 d k
=
[Wg∗ (λ)(λ + λ 0 )k −1 ] λ=λ0
k
k! dλ
(k = 0,1,2...) .(3.1.40)
Последнюю формулу можно представить в более конструктивной
форме, если произведение в скобках развернуть по формуле Лейбница. В результате будем иметь [64]:
204
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами 2λ 0 d k
Wk =
[Wg∗ (λ)(λ + λ 0 )k −1 ]
=
k
λ=λ 0
k ! dλ
⎧Wg∗ (λ 0 ),
k = 0,
⎪
= ⎨ k (2λ 0 ) q
(k − 1)!
⋅
[Wg∗ (λ)]( q ) λ=λ0
⎪∑
⎩ q =1 q ! (k − q )!(q − 1)!
(k = 1,2,...).
(3.1.41)
Согласно теореме о точечном изображении свертки можем написать
t
∫ g (t − η) ⋅ U (η)d η = x(t ) ⎯⎯→ X
TI
TI
= Wg∗ (TJT ) ⋅ U TI ,
(3.1.42)
0
где Wg∗ (TJ T ) есть результат формальной подстановки в инверсной ПФ
Wg∗ (λ ) вместо комплексной переменной λ точечной матрицы интегрирования TJ T , имеющей представление через каноническую матриц
сдвига Z того же вида, что и дробно-линейное преобразование комплексных переменных (3.1.36), а именно
TJ T = λ 0 ⋅
EN + Z
= λ 0 ( EN + Z )( EN − Z ) −1
EN − Z
(N × N ) .
(3.1.43)
Поэтому при выполнении указанных условий, определяющих конформные отображения этих условий, в которых функции соответствующих переменных оказываются аналитическими, формально будем
иметь:
N −1
⎛ E +Z ⎞
λ→TJT
∗
Wg∗ (λ) ⎯⎯⎯
W
Z
Wk ⋅ Z k .
(
)
→Wg∗ (TJ T ) = Wg∗ ⎜ λ 0 N
=
=
⎟
∑
g
k =0
⎝ EN − Z ⎠
(3.1.44)
Каноническая матрица сдвига Z (N×N) при любой размерности имеет только нулевые собственные значения, попадающие
в центр круга z ≤ r ≤ 1 сходимости ряда в (3.1.39), поэтому и матричный ряд в (3.1.44) будет сходиться, причем в силу нильпотентности с показателем N матрицы Z (N×N) ряд обрывается на N-м
члене, превращаясь в матричный полином степени (N – 1), и, следовательно,
205
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами ⎡ W0
⎢
N −1
⎢
k
∗
∗
Wg (TJ T ) = Wg ( Z ) = ∑Wk ⋅ Z = ⎢ Wk
⎢
k =0
⎢
⎢⎣WN −1
W0
... Wk
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
... W0 ⎥⎦
( N × N ) . (3.1.45)
Таким образом, можем написать для точечных представлений
интегральной свертки (3.1.4) как точечных моделей рассматриваемой
динамической системы:
⎧λ 0 g ( Z )( EN + Z ) ⋅ U T ;
а)
⎪
I
→ X TI = ⎨ ∗
x(t ) = ∫ g (t − η)U (η)d η ⎯⎯
(3.1.46)
∗
⋅
=
⋅
W
(
TJ
)
U
W
(
Z
)
U
,
б)
0
⎪⎩ g
T
g
TI
TI
t
TI
а также при точечном представлении выходного сигнала, ассоциированного с чебышевской N-сеткой II рода [78],
⎧⎪2λ 0 g ( Z ) ⋅ U TI ,
a)
TII
→ X TII = ⎨ ∗
x(t ) = ∫ g (t − η)U (η)d η ⎯⎯
(3.1.47)
−1
⋅
+
⋅
2
W
(
TJ
)
(
E
Z
)
U
.
б)
T
0
I
⎪⎩ g
T
N
t
Из приближенного равенства теплицевых матриц в точечных
моделях (3.1.46) (а также (3.1.47)):
λ 0 g ( Z )( E N + Z ) ≅ Wg∗ ( Z )
(3.1.48)
следует равенство соответствующих элементных векторов [64,78]:
λ 0 ( EN + Z ) ⋅ g TI = W gTI = Colon[W0 ,...Wk ,...WN −1 ] ,
(3.1.49)
где g T есть элементный N-вектор матрицы g(Z) (1.28), являющийся
одновременно точечным изображающим вектором импульсной переходной характеристики:
I
TI
g (t ) ⎯⎯
→ g TI = Colon[ g (t1(IN ) ),...g (tν( IN ) ),...g (t N( NI ) )] = Colon[ g1 ,...g ν ,...g N ] .
(3.1.50)
Векторно-матричное равенство (3.1.48) распадается на N эквивалентных скалярных неравенств:
206
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами N)
(N )
λ 0 [ g (t((ν−
(ν = 1, N ),
1) I ) + g (tν I )] = Wν−1 ;
(3.1.51)
g (t0( IN ) ) = 0 и λ 0 ⋅ g (t0( IIN ) ) = W0 .
(3.1.52)
причем
Представление
g TI =
1
( EN + Z ) −1 ⋅ W gTI ,
λ0
(3.1.53)
обратное представлению (3.1.49) и эквивалентное системе равенств
g (tν( IN ) ) =
1 ν
(−1)ν−k ⋅ Wk −1;
∑
λ 0 k =1
(ν = 1, N ),
(3.1.54)
позволяет находить изображение g T временного оригинала g(t) по его
Лапласову изображению W(p) через предварительное определение величин {Wk} компоненты элементного вектора W g (1.49), что подробнее рассмотрено в [78].
Вопросы о восстановлении функций из M (0,T) по их N-мерным
точечным изображающим векторам, ассоциированных со смежными
чебышевскими N-сеткам, подробно рассмотрены в [64, 78].
Среди всевозможных восстанавливающих интерполяционных
конструкций особое место в нашей теории принадлежит сплайновым
представлениям нулевой степени, построенным на чебышевских Nсетках I и II рода:
I
TI
N
⎫
X TΙ ∼ SpN0 ( X TΙ ; t ) = ∑ x tv(ΙN ) ⋅ π N t − tv(ΙN ) ; a) ⎪
v =1
⎪⎪
⎬
⎪
N
0
(N )
(N)
X TΙΙ ∼ SpN ( X TΙΙ ; t ) = ∑ x tkΙΙ ⋅ π N t − tkΙΙ , б) ⎪
⎪⎭
k =1
( )
TΙ
x(t )
TΙΙ
( )
(
(
)
(3.1.55)
)
где
(
π N t − tv(ΙN )
)
⎧
⎛ (N) T (N ) T ⎞
⎪1 t ∈ ⎜ tvΙ − 2 N , tvΙ + 2 N ⎟
⎪
⎝
⎠
(v = 1, N )
=⎨
T
T
⎛
⎞
⎪0 t ∉ t ( N ) −
, tv(ΙN ) +
⎜ vΙ
⎟
⎪⎩
2N
2N ⎠
⎝
(3.1.56)
207
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами и
(
π N t − tk(ΙΙN )
)
⎧
⎛ (N ) T (N ) T ⎞
⎪1 t ∈ ⎜ tkΙΙ − 2 N , tkΙΙ + 2 N ⎟
⎪
⎝
⎠
(k = 1, N ) ,
=⎨
T
T
⎛
⎞
⎪0 t ∉ t ( N ) −
, tk(ΙΙN ) +
⎜ kΙΙ
⎟
⎪⎩
2N
2N ⎠
⎝
(3.1.57)
есть финитные прямоугольные элементы единичной высоты и шириT
= 2λ0 , с осями симметрии, расположенными в узлах чебышевной
N
ских N-сеток I и II рода соответственно:
2v − 1 T
⎫
=
(2v − 1) = λ 0 (2v − 1); (v = 1, N ); а) ⎪
⎪
2N
2N
⎬
k
T
(N )
tkΙΙ = T =
⋅ 2k = λ 0 ⋅ 2k ; (k = 1, N ).
б) ⎪
⎪⎭
N 2N
tv(ΙN ) = T
(3.1.58)
Особая роль сплайновых (ступенчатых) представлений (3.1.55)
связана и определяется рядом замечательных свойств, которыми обладают эти приближающие конструкции.
Имеем следующую алгебраическую ситуацию, подробно рассмотренную [78].
Множество M (0,T) всевозможных кусочно-непрерывных функций x(t), заданных на [0,T], при любых T > 0 образует нормированное
пространство относительно Sup-нормы своих элементов. Оно одновременно является и нормированной коммутативной алгеброй с единицей относительно операций обычного умножения своих элементов,
как второй бинарной их операции. Эта алгебра AM(0,T). Каждому её
элементу x(t) ставится в соответствие N-мерный точечный изображающий вектор X T или X T .
Возникающие при этом множестве RT и RT таких векторов
также образуют и нормированные пространства, и нормированные
коммутативные алгебры с единицей относительно операции покоординатного умножения своих векторных элементов, как второй бинарной операции, соответствующей операции бинарного обычного умножения элементов – оригиналов из M (0,T). Это алгебры ART и ART .
Будем иметь гомоморфные отображения этих алгебраических структур, т. е. гомоморфное отображение пространства M (0,T) на пространства RT и RT , а также алгебры AM (0,T) на алгебры ART и ART .
Ι
ΙΙ
Ι
ΙΙ
Ι
Ι
208
ΙΙ
Ι
ΙΙ
ΙΙ
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Далее. Приближаемые сплайновые представления (3.1.55) (с по⎛ 1 ⎞
рядком приближения Ο ⎜ 2 ⎟ ) элементы x(t) из AM(0,T) через их то⎝N ⎠
чечные представления X T из RT (и ART ) и X T из RT (и ART ) также
оказываются гомоморфными образами элементов x(t) и их точечных
N-векторов X T и X T . Будем иметь гомоморфные отображения алгебΙ
Ι
Ι
Ι
ΙΙ
ΙΙ
ΙΙ
ΙΙ
0
0
ры AM(0,T) на алгебры AS pT и AS pT сплайновых форм (3.1.55), но
изометрический изоморфизм при любых конечных N этих алгебр
и алгебр ART и ART соответственно. При любых конечных N будем
иметь ситуацию алгебраических отображений, которая может быть
представлена в виде следующей диаграммы:
Ι
Ι
ΙΙ
ΙΙ
TΙ
TΙΙ
ARTΙ ←⎯
→ AM ←⎯
→ ARTΙΙ
π NΙ
SpNΙ ↓↑
π NΙΙ
0
↑↓ SpNΙΙ
(3.1.59)
0
AS pTΙ
AS pTΙΙ
Операторы точечных отображений TΙ и TΙΙ реализуют гомоморфизм алгебры AM на алгебры ART и ART точечных N-мерных векторов,
изображающих элементы x(t) из AM = AM (0,T), причем последние изометрически изоморфны (по Sup-нормам) соответствующим алгебрам
Ι
ΙΙ
0
0
сплайновых (ступенчатых) форм AS pT и AS pT (двойные стрелки на
диаграмме). Операторы π N и π N реализуют указанные алгебраические
гомоморфизмы, ставя в однозначное соответствие каждому элементу
x(t) из AM (0,T) приближающие сплайновые представления (3.1.55), построенные на смежных чебышевских N-сетках (3.1.58).
Ι
Ι
ΙΙ
ΙΙ
3.2. Управление конечным состоянием при фиксированном времени процесса Полученные точечные модели линейной стационарной и одномерной динамической системы, как уже отмечалось, есть гомоморфные образы свёрточной модели системы, связывающей входной и выходной сигналы как функции времени, возникающие при точечных
209
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами преобразованиях, ассоциированных со смежными чебышевскими Nсетками:
⎧λ 0 g ( Z )( EN + Z ) ⋅ U T ,
⎪
I
∫0 g (t − η)U (η)d η =x(t ) ⎯⎯→ X TI = ⎨W ∗ (TJ ) ⋅ U = W ∗ (Z ) ⋅ U ;
T
g
TI
TI
⎩⎪ g
t
TI
а) ⎫⎪
⎬
б) ⎪
⎭
(3.2.1)
⎧⎪2λ 0 g ( Z ) ⋅ U TI ,
a) ⎫⎪
TII
−
η
η
η
=
⎯⎯
→
=
g
(
t
)
U
(
)
d
x
(
t
)
X
TII
⎨ ∗
⎬
∫0
−1
⎪⎩2Wg (TJ T ) ⋅ ( EN + Z ) ⋅ U TI . б) ⎭⎪
t
(3.2.2)
Это, в частности, означает, что числовые характеристики, которые могут быть получены по временной модели динамической системы, приближенно (при конечных N) могут быть получены и по точечным моделям. Так, конечное состояние объекта (системы)
T
∫ g (T − η)U (η)d η =x(T );
(T < ∞),
(3.2.3)
0
в которое он переводится некоторым ограниченным управлением U(t)
за конечный промежуток времени [ 0, T ]; T < ∞ , может быть приближенно определено (как результат гомоморфного отображения моделей при точечных преобразованиях) следующим образом.
Поскольку х(0) = 0, то связь между точечно-векторными изображениями выходного сигнала x(t ) t ∈ [ 0, T ] , т. е. вектор
TI
→ X TI = Colon ⎣⎡ x(t1(IN ) ),...x(tν( IN ) ),...x(t N( NI ) ) ⎦⎤ ;
x(t ) ⎯⎯
x(t ) ⎯⎯→ X TII = Colon ⎣⎡ x(t
TII
(N)
1II
(N)
ν II
),...x(t
),...x(t
(N )
( N −1)II
), x(T ) ⎦⎤ ,
а) ⎫⎪
⎬
б) ⎪⎭
(3.2.4)
ассоциированными со смежными чебышевскими N-сетками
tν( ΙN ) =
T (2ν-1)
,
2N
(ν = 1, N );
tν( ΙΙN ) =
Tν
,
N
⎛ 1 ⎞
(ν = 1, N );
(3.2.5)
как установлено, с точностью порядка 0 ⎜ 2 ⎟ определится формулой
⎝N ⎠
210
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами 1
( E N + Z ) X TII = X TI ⇔ X TII = 2( E N + Z ) −1 X TI .
2
(3.2.6)
Поскольку x(T) есть последняя компонента точечного вектора
(3.2.4б), то можем написать
X TII
x(T ) = ( X TII , e N )
(3.2.7)
и, следовательно, умножая скалярно второе равенство в (3.2.6) на Nвектор
e N = Colon [ 0,.....0,.....1] ,
(3.2.8)
получим выражение для x(T) через точечный N-вектор X T :
I
(
) (
)
x(T ) = 2 ( EN + Z ) −1 X TI , e N = 2 X TI ,( EN + Z + ) −1 e N = 2( X TI , Г N ),
(3.2.9)
где граничный N-вектор Г N имеет представление
Г N = ( E N + Z + ) −1 e N = Colon ⎡⎣ (−1) N −1 ,( −1) N −2 ,..., −1,1⎤⎦ ,
(3.2.10)
т. к.
⎡1 −1
⎢
⎢
N −1
+ −1
k
+ k
( EN + Z ) = ∑ (−1) ( Z ) = ⎢
⎢
k =0
⎢
⎢⎣
(−1) N −2
1
−1
(−1) N −1 ⎤
⎥
(−1) N −2 ⎥
⎥
⎥
−1 ⎥
1 ⎥⎦
(N × N )
(3.2.11)
и обратное представление
e N = ( EN + Z + ) Г N .
(3.2.12)
Подставим в (3.2.7) точечную модель (3.2.2 а)). В результате будем иметь
x(T ) = 2λ0 ( g ( Z ) ⋅ U TI , e N ) = 2λ0 (U TI ,g + (Z)e N ) = 2λ0 (gˆ TI ,U TI ),
(3.2.13)
211
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами где символом gˆT обозначен инверсный изображающий точечный Nвектор импульсной характеристики g (t ) t ∈ [ 0, T ] рассматриваемой динамической системы. Он определяется формулой
I
⎡ g1
⎢
⎢
gˆ TI = g + ( Z )e N = ⎢
⎢
⎢
⎢⎣
gν
g1
g N ⎤ ⎡0 ⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
gν ⎥ ⋅ ⎢0 ⎥ = Colon [ g N ,..., gν ,..., g1 ] = gˆ TI
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
g1 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦
(3.2.14)
и отличается от точечного изображающего N-вектора gTI (3.1.29)
функции g (t ) t ∈ [ 0, T ] , т. е. от элементного N-вектора теплицевой матрицы g (Z) только обратным порядком следования компонент. Модель
(3.2.2а) для инверсных точечных изображений имеет вид [78]:
Xˆ TII = 2λ 0 g + ( Z )Uˆ TI .
(3.2.15)
Теперь x(T) окажется первой компонентой вектора Xˆ T , поэтому,
умножая скалярно равенство (3.2.15) на единичный N-вектор
II
e1 = Colon [1,0,...0 ] = eˆN ,
(3.2.16)
получим
( X TII , e1 ) = x(T ) = 2λ 0 ( g + ( Z )Uˆ TI , e1 ) = 2λ 0 (Uˆ TI , g ( Z ) e1 ) = 2λ 0 ( g TI ,Uˆ TI ).
(3.2.17)
Таким образом, для граничного значения x(T) выходного сигнала имеем два представления
T ⎞
⎛
x(T ) = 2λ 0 ( g TI ,Uˆ TI ); ⎜ 2λ 0 = ⎟
N⎠
⎝
(3.2.18)
как следствие коммутативности операции интегральной свёртки. Равенства скалярных произведений в (3.2.18) становятся очевидными
при координатном развёртывании этих произведений:
212
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами N
N
i =1
ν=1
( gˆ TI ,U TI ) = ∑ g N −i +1U i = ∑ g νU N −ν+1 = ( g TI ,Uˆ TI ),
(3.2.19)
где
g N −i +1 = g (t((NN−) i +1)I )
(i = 1, N );
)
U N −ν+1 = U (t((NN−ν+
1)I )
(ν = 1, N ) (3.2.20)
есть координаты инверсных точечно-векторных изображений gˆT
I
и Uˆ TI соответственно, следующие в порядке, обратном порядку следования компонент в точечно-векторных изображениях gT и UT .
Как уже отмечалось, точечные модели (3.2.1) приближённо,
I
I
⎛ 1 ⎞
с точностью порядка 0 ⎜ 2 ⎟ адекватны друг другу, так же, как и мо⎝N ⎠
дели (3.2.2), поэтому имеет место приближённое равенство соответствующих тёплицевых матриц:
λ 0 g ( Z )( E N + Z ) = Wg* ( Z ) ⇔ λ 0 g ( Z ) = Wg* ( Z ) ⋅ ( E N + Z ) −1
(3.2.21)
и их элементных N-векторов
λ 0 ( E N + Z ) ⋅ gTI = Wg*T ⇔ λ 0 g ( Z ) = ( E N + Z ) −1 ⋅ Wg*T .
I
I
(3.2.22)
Умножим равенство (3.2.6) скалярно на N-вектор eN (3.2.8), учитывая
(3.2.7), будем иметь
(
)
( X TII , e N ) = x(T ) = 2 ⋅ ( EN + Z ) −1 X TI , e N ,
(3.2.23)
подставим теперь вместо точечного N-вектора X T его представление
(3.2.1). В результате с учётом (3.2.21)
I
x(T ) =
⎧⎪ 2λ0 ( g ( Z ) U T , e N ) = 2λ0 (U T , g + ( Z )e N ) = 2λ0 (U T , gˆ T ),
I
I
I
I
=⎨
−1
*
⎪⎩ 2(( EN + Z ) Wg ( Z )U TI , e N ) = 2λ0 ( g ( Z )U TI , e N ) = 2λ0 (U TI , gˆ TI ).
a ) ⎫⎪
⎬
б ) ⎪⎭
(3.2.24)
В силу адекватности точечных моделей, естественно, получили для
x(T) прежнее представление (3.2.13).
213
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Из (3.2.22) следует равенство и для инверсных точечных векторов:
λ0 gˆ TI = ( EN + Z + ) −1 Wg I ,
(3.2.25)
T
поэтому x(T) может быть представлен в виде
x (T ) = 2(U TI ,( E N + Z + ) −1 ⋅ Wˆ gT ) .
(3.2.26)
I
Итак, имеем функционал
x(T ) = x(T ;UTI ) = 2λ0 ( gˆTI ,UTI ) =
T
( gˆT ,UT )
N I I
(3.2.27)
в форме скалярного произведения точечно-векторных изображений:
gˆ TI = Colon ⎡⎣ ( g (t N( NI ) ),..., g (t((NN−) i +1)I ),..., g (t1(IN ) ) ⎤⎦
(3.2.28)
– инверсного точечного изображающего N-вектора импульсной характеристики g (t ) t ∈ [ 0, T ] , ассоциированного с инверсной чебышевской N-сеткой I рода
t((NN−) i +1)I = T −
T (2i − 1) T [ 2( N − i + 1) − 1]
=
2N
2N
(i = 1, N ) ,
(3.2.29)
узлы которой в интервале (0,Т) следуют в обратном порядке по сравнению с обычной N-сеткой (3.2.5):
U TI = Colon ⎡⎣U (t1(IN ) ),....U (tν( IN ) ),....U (t N( NI ) ) ⎤⎦
(3.2.30)
– точечного изображающего N-вектора управляющего воздействия
U (t ) t ∈ [ 0, T ] , действующего на входе динамической системы, ассоциированного с обычной чебышевской N-сеткой I рода:
tν( IN ) =
T (2v − 1)
, (v = 1, N ).
2N
(3.2.31)
Функционал x(T ) = x(T ;U T ) (3.2.27), как уже отмечалось, имеет смысл
конечного состояния x(Т) динамического объекта (системы), в котоI
214
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами рое он переводится некоторым управлением UT из состояния покоя
x(0) = 0 за промежуток времени [0,T]. Управление такого рода обычно
называют терминальным.
Управляющий ресурс всегда ограничен.
Обычно это ограничение реализуется в виде ограничений, накладываемых на возможные функциональные нормы управления
U (t ) t ∈ [ 0, T ] . При использовании точечных представлений ограничения накладываются, естественно, на векторные нормы точечных изображений.
Это – нормы векторов в N-мерных пространствах (pN ) при различных p ≥ 1:
I
U TI
⎛
= ⎜ ∑ U (tν( IN ) )
⎜ ν=1
⎝
N
p
p
⎞
⎟⎟
⎠
1
p
( p ≥ 1) .
(3.2.31)
Такая векторная норма называется нормой Гельдера с показателем p
[18]. Обычно используют следующие частные случаи таких норм:
⎫
а) ⎪
⎪
⎪
⎪
б) ⎬
⎪
в) ⎪
⎪
⎪⎭
N
p = 1: U TI = ∑ U (tν( N ) ) ;
1
p = 2 : U TI
p = ∞ : U TI
ν=1
2
1
2
⎛
⎞
= ⎜ ∑ U (tν( N ) ) ⎟ ;
⎝ ν=1
⎠
N
∞
2
= max U (tν( N ) ) .
(1≤ν≤ N )
(3.2.32)
Вторую из этих норм обычно называют евклидовой.
Будем рассматривать ограничения на управление U (t ) t ∈ [ 0, T ]
как ограничения на нормы (3.2.32) его точечного изображения Nвектора UT :
I
U TI ≤ K1;
U TI
1
2
≤ K2;
U TI
∞
≤ K∞.
(3.2.33)
Все нормы (3.2.32) эквивалентны. Это, в частности, означает, что если
некоторый N-вектор ограничен по какой-либо из этих норм, то он будет ограничен и по другим нормам из (3.2.32). Множество точечновекторных изображений UT управляющих воздействий U (t )∈ M [ 0, T ]
I
215
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами будем называть допустимым множеством управления, если все Nвектора из этого множества ограничены по какой-либо норме (3.2.32).
Отдельно взятые варианты ограничений (3.2.33) будут определять соответствующие подмножества допустимых управлений в соответствии со смыслом решаемых задач.
Рассмотрим задачи терминального управления, т. е. задачи
управления конечным состоянием динамического объекта за временной отрезок [0,T].
Речь идёт о процессе привода динамического объекта из состояния покоя: x(0) = 0 в некоторое состояние x(Т), осуществляемое допустимым управлением, действующим на входе в течение конечного
и фиксированного промежутка времени [0,T].
Такое свойство динамического объекта, т. е. его способность
под действием допустимого управления за конечный промежуток
времени [0,T] переходить из состояния покоя в некоторое конечное
состояние x(Т), назовём управляемостью.
Это свойство означает, что допустимые управляющие воздействия преобразуются динамическим объектом в выходные временные
процессы х(t)-траектории, начинающиеся с нулевого значения при
t = 0, а их концы при фиксированном Т скользят по вертикальной
прямой t = T (рис. 3.2.1).
Концевые значения x(Т) временных траекторий x(t ) t ∈ [ 0, T ] могут быть определены по точечному представлению (3.2.27):
N
x(T ) = 2λ 0 ( gˆ TI ,U TI ) = 2λ 0 ∑ g (t((NN−) i +1)I )U (ti(I N ) ) .
i =1
x(t)
t
0
T
Рис. 3.2.1
216
(3.2.34)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Легко оценить абсолютное значение этой величины. Очевидно, можем написать
x(T ) ≤ 2λ 0 max U (t
i =1, N
(N )
iI
N
) ⋅ ∑ g (t((NN−) i +1)I ) = 2λ 0 U TI
i =1
∞
⋅ gTI ,
1
(3.2.35)
где
N
gTI = ∑ g (t
1
i =1
(N)
( N −i +1) I
N
) = ∑ g (t
ν=1
(N)
νI
N
) = ∑ g (λ 0 (2ν − t ))
(3.2.36)
ν=1
есть 1( N ) -норма точечного изображения N-вектора gT импульсной переходной характеристики динамического объекта g (t ) t ∈ [ 0, T ] , ассоциированного с чебышевской N-сеткой I рода
I
tν( IN ) =
T (2ν − 1)
= λ0 (2ν − 1),
2N
(ν = 1, N ) .
(3.2.37)
Отметим, что векторная норма (3.2.36) представляется через
квадратурное значение интегральной L1 -нормы g L (0,T ) импульсной
1
переходной характеристики динамического объекта g (t ) на временном отрезке [0,T], ассоциированное с N-сеткой (3.2.37), т. к.
T
g
N
T N
(N )
= ∫ g (t ) dt ⎯⎯
→ ∑ g (tνI ) = 2λ 0 ∑ g (tν( IN ) ) = 2λ 0 gTI .
1
N ν=1
ν=1
0
TI
L1
(3.2.38)
Оценка величины x(T) может быть сделана и через функциональные
нормы интегральной связи «вход – выход» динамического объекта
в момент t = T:
T
T
x(T ) = ∫ g (T − η )U (η )dη ≤ max U (η ) ⋅ ∫ g (T − η ) dη =
η∈[ 0,T ]
0
0
T
= U (η ) ∞ ⋅ ∫ g (θ ) dθ = U (η ) ∞ ⋅ g
0
L1 (0,T )
.
(3.2.39)
Оценка (3.2.35) является точечным представлением оценки (3.2.39),
ассоциированным с чебышевской N-сеткой I рода.
Динамический объект (систему) назовём вполне управляемым,
если он обладает свойством управляемости в смысле данного нами
217
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами определения, и достигнутое за некоторый промежуток времени [0,T]
конечное состояние x(Т) с помощью допустимого управления может
быть сохранено и в последующие моменты времени t > T.
В этом случае величина x(Т) приобретает смысл установившегося значения выходной величины после затухания переходной составляющей и обусловленной постоянной управления U(t) при t > T.
Возможно иное эквивалентное определение этого понятия.
Динамический объект назовём вполне управляемым, если он
управляем на любом конечном промежутке времени [0,T]. Это означает, что с помощью допустимого управления объект может быть переведён из состояния покоя при t = 0 в любое конечное состояние x(Т)
(при t = T) за любой конечный промежуток времени [0,T].
Для полной управляемости необходимо выполнение условия
конечности L1 -нормы ИПХ g (t ) на всей временной полуоси t > 0:
∞
g
L1
= ∫ g (θ) d θ < ∞ .
(3.2.40)
0
Но это – известное условие устойчивости динамического объекта, которое будет выполнено, если все полюса ПФ объекта
W ( p) =
H ( p)
,
D( p )
(3.2.41)
т. е. корни характеристического уравнения
D( p) = p n + an−1 p n −1 + ... + an−k p n − k + ... + a1 p + a0 = 0
(3.2.42)
окажутся в левой полуплоскости комплексной плоскости p.
Условие абсолютной интегрируемости ИПХ g (t ) динамического
объекта, т. е. условие (3.2.40), означает наличие у g(t) асимптотического нуля
t →∞
(3.2.43)
g (t ) ⎯⎯⎯
→0
и гарантирует существование косинус-преобразования Фурье:
∞
G (ω) = ∫ g (t )cos ωtdt
0
218
(3.2.44)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами как чётной непрерывной и ограниченной функции частоты ω∈ (−∞, ∞) ,
также имеющей асимптотический нуль
ω →∞
G (ω) ⎯⎯⎯
→0 .
(3.2.45)
Функция G (ω) есть вещественная частотная характеристика
(ВЧХ) рассматриваемого динамического объекта, определяемая как
вещественная часть W (iω) – амплитудно-фазовой частотной характеристики
G (ω) = ReW (iω) = Re
H (iω)
.
D(iω)
(3.2.46)
Частотные представления играют важную роль в теории линейных
динамических систем [19, 20, 64].
При некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых
на g (t ) ∈ L1 (0, ∞) , в частности абсолютная интегрируемость производной g ′(t ) , т. е. её принадлежность пространству L1 (0, ∞ ) [64, 78], будет
существовать и обратное косинус-преобразование
∞
2
g (t ) = ∫ G (ω)cos ωtd ω,
π0
(3.2.47)
однозначно определяющее временной оригинал g(t) по (ВЧХ) G (ω) .
Последняя также обладает свойством абсолютной интегрируемости,
поскольку
∞
2
g (t ) ≤ ∫ G (ω ) d ω < ∞.
π0
(3.2.48)
Наличие асимптотических нулей у ИПХ g (t ) ∈ L1 (0, ∞) и ВЧХ
G (ω) ∈ L1 ( −∞, ∞) устойчивой динамической системы означает существование для этих функций областей существенных, определяющих
значений, за пределами которых функции принимают столь малые
значения, что ими можно пренебречь, рассматривая тем самым эти
функции заданными на конечных промежутках.
Для ИПХ g (t ) рассматриваемого устойчивого динамического
объекта асимптотический ноль имеет характер экспоненциального затухания
219
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами g (t ) ≤ ε(T0 )e −σt ; ∀t ≥ T0 ⇒ g (t ) ∈ L1 (0, T0 ) ,
(3.2.49)
где σ есть вещественная часть ближайшего в мнимой оси корня характерного уравнения (3.2.42). Поэтому возникающий временной
промежуток [ 0,T0 ] , определяемый выбором величины ε(T0 ) , приобретает смысл переходного процесса.
Для ВЧХ G (ω) возникающий частотный промежуток [ −ω0 , ω0 ]
G (ω) ≤ δ(ω0 ); ∀ ω > ω0 ⇒ G (ω) ∈ L1 (−ω0 , ω0 )
(3.2.50)
есть область существенных частот, равная ширине (ограниченного)
частотного спектра временного оригинала
ω
2 0
g (t ) = ∫ G (ω)cos ωtd ω∈ L1 (0, ∞) ,
π0
(3.2.51)
который незначительно отличается от ИПХ g (t ) , причём это отличие тем
меньше, чем меньше «вклад» отбрасываемого «хвостика» кривой G (ω)
при ω ≥ ω0 . Его размеры и, следовательно, ширина частотного спектра
[ −ω0 , ω0 ] определяются порядком асимптотического нуля ВЧХ G (ω) .
В [78] даны соответствующие оценки погрешностей в зависимости от
дифференциальных свойств ИПХ g (t ) , а также приведены приближённые представления для g (t ) и G (ω) в виде сумм Фурье. Установлена
также связь между точечно-векторными изображениями этих функций.
Здесь же подчеркнём следующее обстоятельство.
Временной оригинал g (t ) (3.2.51), мало отличающийся от ИПХ
g (t ) при всех t ∈ [o, ∞) , имея ограниченный частотный спектр [ −ω0 , ω0 ]
( ω0 < ∞ ) , согласно теореме Котельникова, может быть точно представлен совокупностью своих отчётов, следующих друг за другом через
временной интервал (шаг)
Δt =
π
= 2λ 0 .
ω0
(3.2.52)
Речь идёт о совокупности ординат { g ( λ 0 ( 2ν − 1) )} в узлах чебышевской сетки I рода
tv(IN ) = λ 0 (2ν − 1)
220
(v = 1, 2,3,...)
(3.2.53)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами бесконечной размерности, узлы которой располагаются на временной
полуоси t > 0 на одинаковом расстоянии друг от друга, т. к.
t((vN+1)) I − tv(IN ) = λ 0 (2ν + 1) − λ 0 (2ν − 1) = 2λ 0 = Δt
(ν = 1, 2,3,...) .
Сетку (3.2.53) можно рассматривать как предельный случай для
N-мерной чебышевской сетки I рода, заданной на конечном временном интервале (0,Т):
tν( IN ) (T ) =
T (2ν − 1) T
=
(2ν − 1)
2N
2N
(ν = 1, N ) ,
(3.2.54)
когда T и N стремятся к ∞, однако так, что при этом отношение этих
величин, равное расстоянию между узлами сетки, остаётся неизменным, т. е.
T
(2ν − 1) = λ 0 (2ν − 1)
T →∞ 2 N
N →∞
tν( IN ) = lim tν( IN ) (T ) = lim
T →∞
N →∞
(ν = 1,2,3,...) . (3.2.55)
Это означает, что несобственный интервал в (3.2.40) – условие устойчивости динамического объекта, может сколь угодно точно быть
представлен в виде квадратурной формулы, ассоциированной с сеткой (2.54), т. к.
∞
∫
0
∞
T
∞
T N
(N )
g (t ) dt ≈ ∫ g (t ) dt = lim ∫ g (t ) dt ≈ lim ∑ g (tν (T )) = 2λ 0 ⋅ ∑ g lim (tν( N ) (T )) ≈
T →∞
T →∞ N
T →∞
ν=1
ν=1
0
0
N →∞
N →∞
∞
∞
ν=1
ν=1
≈ 2λ 0 ⋅ ∑ g (λ 0 (2ν − 1)) = 2λ 0 ⋅ ∑ g (tν ) .
(3.2.56)
Утверждение 3.2.1. Если линейный стационарный динамической объект с ИПХ g (t ) устойчив, т. е. g (t ) ∈ L1 (0, ∞) , то числовой ряд
в (3.2.56) сходится.
Действительно, в этом случае g (t ) имеет экспоненциально затухающую асимптоту
t >T0
g (t ) ⎯⎯⎯
→ε(T0 )e −σt
и, следовательно, применяя признак Даламбера в числовому ряду
с положительными числами в (3.2.56), получим
221
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами g (tn+1 )
e −σtn +1
e −σλ0 (2 n+1)
lim
= lim −σtn = lim −σλ0 (2 n−1) = e −σ 2 λ0 < 1,
n →∞ g (t )
n →∞ e
n→∞ e
n
что и доказывает сходимость ряда и выполнение условия
∞
∞
∫ g (t ) dt ∼ 2λ ⋅ ∑ g (t ) < ∞ .
0
ν=1
0
(3.2.57)
ν
Введём для ИПХ g (t ) ∈ L1 (0, ∞) точечный изображающий вектор,
ассоциированный с бесконечномерной чебышевской сеткой I рода
(3.2.55):
TI
g (t ) ⎯⎯
→ gT(I∞ ) = Colon [ g (t1 ),..., g (tν ),..., g (t N ), g (t N +1 ),...].
(3.2.58)
Тогда его L1 -норма будет представлять собой рассмотренный выше
сходящийся числовой ряд:
gT(I∞ )
∞
L1
= ∑ g (tν ) < ∞ .
(3.2.59)
ν=1
Таким образом, если динамический объект устойчив, то он
вполне управляем, т. е. существует такое допустимое управление
U (t ) t ∈ [0, ∞) , что значение выходного сигнала x(Т), достигаемое на
конечном промежутке [0,T], будет сохранено и в последующие моменты времени, причем
x (T ) = 2λ 0 ⋅ U TI
∞
⋅ gT(I∞ )
L1
.
(3.2.60)
3.3. Некоторые экстремальные задачи терминального управления Пусть
рассматриваемый динамический
g (t ) ∈ L1 (0, ∞) и передаточной функцией (ПФ)
∞
Wg ( p) = ∫ g (t )e- pt dt =
0
222
объект
с
ИПХ
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами H ( p ) bm ⋅ p m + bm−1 ⋅ p m−1 + ... + bm−i ⋅ p m−i + ... + b1 ⋅ p + b0
=
=
D( p)
p n + an−1 ⋅ p n−1 + ... + an−k ⋅ p n−k + ... + a1 p + a0
(3.3.1)
вполне управляем.
Связь «вход − выход» для такого объекта кроме классических представлений
t
x(t ) = ∫ g (t − η) ⋅ U (η)d η ≒ X ( p) = Wg ( p) ⋅ U ( p)
(3.3.2)
0
может быть задана и в форме точечных представлений (3.2.1)
и (3.2.2), ассоциированных со смежными чебышевскими N-сетками,
заданными на [0,T].
В частности, будем иметь
⎧⎪2λ 0 g ( Z ) ⋅ U TI ,
TII
g
(
t
)
U
(
)
d
x
(
t
)
X
−
η
η
η
=
⎯⎯
→
TII = ⎨
∫0
−1
∗
⎩⎪2( EN + Z ) ⋅ Wg ( Z ) ⋅ U TI ,
t
a) ⎫⎪
⎬ (3.3.3)
б) ⎭⎪
где g(Z) – теплицева матрица N×N с элементным вектором g ( Z )e1 ,
совпадающим с точечным изображающим вектором gT ИПХ g (t ) , ассоциированным с чебышевской N-сеткой I рода (3.2.5):
I
TI
g (t ) ⎯⎯
→ g TI = g ( Z )e1 = Colon ⎡⎣ g (t1(IN ) ),..., g (tν( IN ) ),..., g (t N( NI ) ) ⎤⎦ .
(3.3.4)
Теплицева матрица Wg* ( Z ) ( N × N ) возникает из ПФ Wg ( p) (3.3.1) динамического объекта следующим образом [78].
С помощью инверсного преобразования комплексной перемен1
ной p = ПФ Wg ( p) динамического объекта преобразуется в инверсλ
ную функцию комплексной переменной
Wg ( p )
p=
1
λ
λ n−m ( bm + ... + bm−i λ i + ... + b1λ m−1 + b0λ )
⎛1⎞
*
= Wg ⎜ ⎟ = Wg (λ) =
.
k
n −1
n
λ
1
+
...
+
a
λ
+
...
+
a
λ
+
a
λ
⎝ ⎠
n−k
1
0
(3.3.5)
При этом для устойчивого объекта правая полуплоскость Re p ≥ 0
плоскости p – область аналитичности функции Wg ( p) , преобразуется
223
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами в правую же полуплоскость Re λ ≥ 0 плоскости λ, которая оказывается
областью аналитичности инверсной функции Wg* (λ ) .
Дробно-линейное преобразование
λ = λ0
1+ z
1− z
(λ 0 > 0)
(3.3.6)
отображает полуплоскость Re λ ≥ 0 в единичный круг z ≤ 1 комплексной плоскости z.
Таким образом, функция комплексной переменной z
⎛ 1+ z ⎞
*
Wg* ⎜ λ 0
⎟ = Wg ( z )
⎝ 1− z ⎠
оказывается аналитической в единичном круге и, следовательно,
представима в нём рядом Тейлора при z = 0:
∞
W ( z ) = ∑Wk ⋅z k .
*
g
(3.3.7)
k =0
Множества таких функций и их представлений в виде степенных
рядов как алгебраические структуры порождают важные изоморфные
и гомоморфные отображения. Эти алгебраические взаимодействия
подробно изучены в [78]. В частности, установлено, что заменой
в (3.3.7) комплексного переменного z на каноническую матрицу
Z (N×N), в силу её нильпотентности порядка N, осуществляется гомоморфное отображение алгебры функций, аналитических в круге z ≤ 1,
на алгебру тёплицевых матриц (N×N) (P-матриц) с элементными Nвекторами, составленными из первых N коэффициентов степенных
разложений вида (3.3.7) [78].
Таким образом,
⎡ W0
⎢
N −1
⎢
Wg∗ ( Z ) = ∑Wk ⋅ Z k = ⎢ Wk
⎢
k =0
⎢
⎢⎣WN −1
224
W0
... Wk
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
... W0 ⎥⎦
(N × N )
(3.3.8)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами и
Wg*T = Wg* ( Z )e1 = Colon [W0 ,...,Wk ,...,WN -1 ] .
(3.3.9)
I
Определение компонент этого элементного N-вектора матрицы
(3.3.8), т. е. N первых коэффициентов в разложении (3.3.7), подробно
рассмотрено в [78], в частности, для случая ПФ Wg ( p) дробнорационального вида (3.3.1).
Сравнивая между собой точечные представления в (3.3.3), приходим в матричному равенству
λ 0 g ( Z ) = ( E N + Z ) −1Wg* ( Z ) ⇔ −λ 0 ( E N + Z ) g ( Z ) = Wg* ( Z ) ,
(3.3.10)
а умножением на N-вектор e1 получаем равенство для элементных
векторов этих теплицевых матриц:
λ 0 g ( Z )e1 = λ 0 gTI = ( EN + Z ) =1WgT ⇔ λ 0 ( EN + Z ) gTI = WgT .
I
I
(3.3.11)
Эти формулы выражают заключительный этап процедуры обращения
преобразования Лапласа методом точечных представлений [78].
Соответствующие равенства будем иметь и для инверсных элементных N-векторов:
λ 0 gˆ TI = λ 0 g + ( Z )eˆ1 = λ 0 g + ( Z )eˆN = ( E N + Z + ) −1 ⋅ (Wg* ( Z )) + eN =
= ( E N + Z + ) −1 (Wg* ( Z )) + ⋅ eˆ1 = ( E N + Z + ) −1 ⋅ Wˆ gT .
I
(3.3.12)
С учётом этих равенств конечное состояние x(T) объекта, в котором он окажется в момент t = T в результате воздействия управлеT
нием U (t ) ⎯⎯
→U T , определится формулой (3.2.27):
I
I
⎧⎪
⎫⎪
2λ 0 ( g ( Z )UTI , eN ) = 2λ 0 (UTI , g + ( Z )eN )
x(T ) = ( xTII , eN ) = ⎨
⎬=
−1
+ −1
+
*
*
+
=
+
⋅
2((
E
Z
)
W
(
Z
)
U
,
e
)
2(
U
,(
E
Z
)
(
W
(
Z
)
e
)
⎪
N
g
TI
N
TI
N
g
N ⎭
⎩⎪
= 2λ 0 (U TI , gˆ TI ) = 2(U TI ,( E N + Z + ) −1 ⋅ Wˆ gT ) ,
I
(3.3.13)
т. е. представляется в виде скалярного произведения точечновекторного изображения управления UT и инверсного точечного изоI
225
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами бражения gˆT ИПХ g(t) динамического объекта, связанного с инверсI
ным вектором Wˆ g соотношением (3.3.12).
TI
Пусть рассматриваемый динамический объект вполне управляем. Поставим следующую задачу: Определить управление UT из заданного класса допустимых управлений, которое за промежуток времени [0,T] выводило бы объект на максимально возможный уровень
конечного значения x(T).
В математической формулировке речь пойдёт о двух типах указанной экстремальной задачи в зависимости от выбранного класса
допустимых управлений.
Первый тип таких задач связан с ограничением на гельдертовскую норму вектора UT : определить управление UT , заданное на [0,T]
с ограниченной сверху гельдеровской нормой
I
I
I
1
UTI
p
p ⎞p
⎛ N
= ⎜ ∑ U (tν( N ) ) ⎟ ≤ K p ⇒ UTI ∈
⎝ ν=1
⎠
(N )
p
p ≥1
,
(3.3.14)
и доставляющее максимум функционалу (3.3.13). Такой вектор будем
называть оптимальным вектором управления первого типа (с ограничением на гельдеровские нормы).
Что касается показателя p ≥ 1 в выражении нормы, то рассматривают обычно частные случаи p = 1,2 и ∞ и соответствующие нормы:
N
U TI = ∑ U (tν( N ) ) ≤ K1 ⇒ U TI ∈
1
U TI
U TI
ν=1
∞
1
2
;
⎛
⎞
= ⎜ ∑ U (tν( N ) ) ⎟ ≤ K 2 ⇒ U TI ∈
⎝ ν=1
⎠
N
2
(N )
1
2
= max U (tν( N ) ) ≤ K ∞ ⇒ U TI ∈
(1≤ν≤ N )
(N)
2
(N )
∞
.
;
⎫
a) ⎪
⎪
⎪
⎪
б) ⎬
⎪
в) ⎪
⎪
⎪⎭
(3.3.14′)
Второй тип экстремальной задачи, практически, пожалуй, более
важной связан с ограничением на управление иного вида, а именно:
рассматривается класс управлений как кусочно-непрерывных функций времени, ограниченных по модулю во всём промежутке [0,T]. Для
всякой функции U(t) из этого класса выполняется условие
226
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами U (t ) ≤ U 0 ,
t ∈ [ 0, T ] .
(3.3.15)
Очевидно, все координаты точечно-векторного изображения
всякой такой функции, т. е. координаты N-вектора
TI
U (t ) ⎯⎯
→U TI = Colon ⎡⎣U (t1( N ) ),...U (tν( N ) ),...U (t N( N ) ) ⎤⎦ ,
(3.3.16)
также будут ограничены по модулю величиной U0.
Будем иметь систему неравенств
U (tν( N ) ) ≤ U 0
(ν = 1, N ),
(3.3.17)
эквивалентную условию (3.3.15) в смысле основной идеи метода точечных представлений.
Геометрически неравенства (3.3.17) в пространстве с системой
координат вектора (3.3.16) описывают гиперкуб с длиной рёбер 2U0.
Это – гиперкуб управления.
Ограничение вида (3.3.15) может быть названо ограничением по
амплитуде. Ограниченные по амплитуде функции могут быть и кусочно-постоянными в промежутке [0,T].
В частности, отметим вариант, когда функция U(t) с ограничением по амплитуде в каждом из n интервалов, на которые каким-то
образом может быть разбит промежуток [0,T], последовательно принимая значения ±U 0 , как бы переключается поинтервально с краевого
значения одного знака на такое же значение другого знака, поэтому
такие функции называют функциями переключений.
Это свойство переносится и на соответствующие точечновекторные изображения (3.3.16) кусочно-постоянных функций U(t): N
координат этих векторов разбиваются на конечные подмножества
в соответствии с поинтервальным разбиением промежутка [0,T]; все
координаты каждого такого подмножества последовательно принимают только крайние значения ±U0.
Описанные кусочно-постоянные функции управления называют
обычно релейными управлениями.
Множество функций релейного типа, определённых на [0,T],
пространства, конечно, не образуют, но являются некоторым подмножеством в функциональном пространстве L∞(0,T) с нормой U ∞ , т. к.
U
∞
= max U (t ) = U (t ) = U 0 ,
(0≤t ≤T )
227
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами а соответствующие точечные N-векторы образуют подмножество
в ∞ ( N ) , т. к. в этом случае
U TI
∞
= max U (tν( N ) ) = U (tν( N ) ) = U 0 для всех ν = 1, N .
(1≤ν≤ N)
Таким образом, указанные модули для функций релейного типа
могут рассматриваться в роли норм, а неравенства (3.3.15) и (3.3.17),
следовательно, − в роли ограничений на эти нормы.
Сформируем теперь и вторую экстремальную задачу терминального управления: найти такой точечный N-вектор управления UT
(3.3.16) с ограничениями на координаты в виде неравенств (3.3.17),
который доставляет максимум функционалу (3.3.13). Допустимый Nвектор UT , решающий эту задачу, будем называть оптимальным вектором релейного типа.
Приступим к решению поставленных задач. Из задач первого
типа, когда U T0 ∈ (pN ) (p ≥ 1) , рассмотрим здесь наиболее простой частный случай p = 2, т. е. неравенство Коши-Буняковского для скалярного произведения в (3.3.13), определяющего максимум для этого функционала. В этом частном случае
I
I
I
x (T ) = 2λ 0 ⋅ (U TI , gˆ TI ) ≤ 2λ 0 ⋅ U TI
2
⋅ gˆ TI
2
⇒
1
⇒ x(T ) max = 2λ 0 ⋅ U T0I ⋅ gˆTI
2
2
1
N
⎛ N
2 ⎞2 ⎛
2 ⎞2
= 2λ 0 ⋅ ⎜ ∑ U ν ⎟ ⋅ ⎜ ∑ g N −ν+1 ⎟ (3.3.18)
⎝ ν=1
⎠ ⎝ ν=1
⎠
с ограничением (3.3.14′б) на (2N ) -норму (эвклидову норму) оптимального точечного N-вектора управления U T0 в виде равенства.
Утверждение 3.3.1. Оптимальный точечный N-вектор управления U T0 с заданной эвклидовой нормой (3.3.14′б) имеет представление:
I
I
UT0I =
U TI
K2
⋅ gˆTI =
gˆTI
gˆTI
2
2
⋅ Colon [ g N ,...g N −ν+1 ,...g1 ] .
(3.3.19)
2
Он доставляет функционалу (3.3.13) максимум, равный
x (T ) max = 2λ 0 ⋅ K 2 gˆ TI
228
2
2
= 2λ 0 ⋅ U TI
2
⋅ gˆ TI .
2
(3.3.20)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Доказательство. Максимальное значение функционала (3.3.13)
как скалярного произведения N-векторов UT и gˆT достигается, когда
эти векторы совпадают по направлению. Поэтому оптимальный точечный вектор управления U T0 следует искать в виде U T0 = λ ⋅ gˆ T с вещественным положительным множителем λ , подлежащим определению. По условию задачи для (2N ) -нормы U T 2 должно выполняться
I
I
I
I
I
I
неравенство (3.3.14′ б) как равенство, и поэтому для оптимального
вектора U T0 будем иметь
I
U
0
TI 2
UT0I
K2
= λ ⋅ gˆTI = K 2 ⇒ λ =
=
2
gˆ TI
gˆTI
2
2
.
(3.3.21)
2
Таким образом, искомый оптимальный вектор управления U T0
получает представление (3.3.19), а максимальное значение функционала (3.3.13)
I
x (T ) max = 2λ 0 ⋅ λ ⋅ ( gˆ TI , gˆ TI ) = 2λ 0 ⋅ K 2 gˆ TI
2
2
= 2λ 0 ⋅ U TI
2
⋅ gˆ TI .
2
Утверждение 3.3.2. Оптимальный точечный N-вектор управления U T0 релейного типа с (∞N ) -нормой (3.3.14′ в), ограниченной величиной U 0 , имеет представление
I
U T0I = U 0 ⋅ Colon [Sign g N ,...Sign g N −ν+1 ,...Sign g1 ].
(3.3.22)
Он доставляет функционалу (3.3.13) максимум, равный
x (T ) max = 2λ 0 ⋅ U 0 ⋅ gˆ TI = 2λ 0 ⋅ U T0I
1
∞
⋅ gˆ TI .
1
(3.3.23)
Доказательство. Максимально возможное значение функционалу x(T ) = 2λ 0 ⋅ (U T , gˆ T ) (3.3.13) как скалярному произведению Nвекторов UT и gˆT может доставить точечный вектор управления UT
I
I
I
I
I
(N)
∞
-нормы лишь
релейного типа с фиксированным значением своей
тогда, когда его координаты будут совпадать по знаку с соответствующими координатами вектора gˆT . Геометрически это означает
расположение векторов в одном ортанте N-мерного пространства
I
229
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами (угол между ними окажется меньше
π
), что гарантирует положитель2
ность их скалярного произведения.
Таким образом, оптимальный точечный N-вектор управления
UT следует искать в виде
I
U T0I = Λ ( N ) ⋅ gˆ TI = Colon [ λ1 g N ,....λ ν g N -ν+1 ,...λ N g1 ] ,
(3.3.24)
т. е. в виде линейного преобразования, осуществляемого диагональной матрицей
(3.3.25)
Λ ( N ) = diag [ λ1 ,...λ ν ,...λ N ]
с вещественными положительными компонентами.
Определим их из условия ограниченности (∞N ) -нормы вектора
U TI = Colon ⎡⎣U (t1( N ) ),...U (tν( N ) ),...U (t N( N ) ) ⎤⎦
(3.3.26)
в соответствии с (3.3.14′ в), что означает выполнение системы неравенств
(3.3.27)
U (tν( N ) ) = λ ν g N -ν+1 ≤ U 0
(ν = 1, N ) ,
которые для оптимального вектора U T0 переходят в равенства
I
λ ν ⋅ g N -ν+1 = U 0 ;
∀ν = 1, N ,
из которых и следуют представления для λ ν :
λν =
U0
;
g N -ν+1
(ν = 1, N ) .
(3.3.28)
Подставляя их в (3.3.24), будем иметь для оптимального вектора U T0
релейного типа
I
⎡
g
g
g ⎤
U T0I = Colon ⎢U 0 ⋅ N ,....U 0 ⋅ N −ν+1 ,....U 0 ⋅ 1 ⎥ =
gN
g N −ν+1
g1 ⎦
⎣
= U 0 ⋅ Colon [Sign g N ,...Sign g N −ν+1 ,...Sign g1 ] ,
230
(3.3.29)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами т. к.
⎧+1 g N -ν+1 > 0
g N −ν+1
= Sign g N −ν+1 = ⎨
g N −ν+1
⎩ −1 g N -ν+1 < 0
(ν = 1, N ) .
(3.3.30)
Таким образом, (3.3.29) и есть доказываемое представление
(3.3.22).
Для максимального значения функционала (3.3.13) получим
x(T ) max = 2λ 0 ⋅ (U , gˆ TI ) = 2λ 0 ⋅ (Λ
0
TI
N
= 2λ 0 ⋅ U 0 ⋅ ∑
ν=1
(N )
N
gˆ TI , gˆ TI ) = 2λ 0 ⋅ ∑ λ ν g N2 -ν+1 =
ν=1
N
g N2 −ν+1
= 2λ 0 ⋅ U 0 ⋅ ∑ g N −ν+1 = 2λ 0 ⋅ U 0 ⋅ gˆTI ,
1
g N −ν+1
ν=1
т. е. представление (3.3.23).
Утверждение может быть доказано и непосредственно как решение задачи об определении максимума скалярного произведения
в (3.3.13) при ограничении (3.3.14′ в) на (∞N ) -норму точечного Nвектора UT при K ∞ = U 0 , т. е. при ограничениях (3.3.17) на компоненты этого вектора.
Действительно, имеем для максимума
I
N
N
N
N
ν=1
ν=1
ν=1
ν=1
(U TI , gˆ TI ) = ∑U ν g N -ν+1 ≤ ∑ U ν ⋅ g N -ν+1 ≤ U 0 ∑ g N -ν+1 = ∑U 0 Sign g N -ν+1 ⋅ g N -ν+1 =
= (U T0I , gˆ TI ) = U 0 ⋅ gˆ TI ,
(3.3.31)
1
что и означает справедливость представления (3.3.22) для U T0 . На этом
доказательство закончим.
Заметим, что по точечным моделям (3.3.3) динамического объекта может быть найден точечный изображающий N-вектор
I
TII
X T0II = 2λ 0 ⋅ g ( Z ) ⋅ U T0I ⎯⎯
→ x 0 (t )
(3.3.32)
выходной оптимальной функции времени x 0 (t ) t ∈ [0, T ] . Именно по
этой кривой объект под действием оптимального управления
231
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами TI
TI
U 0 (t ) ⎯⎯
→U T0I с ИПХ g (t ) ⎯⎯
→ gTI «разгоняется» за фиксированный
промежуток [0,T] до максимального значения x(T ) max своего выходного сигнала.
Можно видеть, что решенные экстремальные задачи терминального управления есть частные следствия известных оценок для норм
в матрично-векторных представлениях связи «вход − выход» для линейных динамических систем.
Полученные решения возникают как векторы, преобразующие
в равенства некоторые частные неравенства Гёльдера для функционала в виде модуля скалярного произведения в Rn, имеющего смысл ∞ нормы точечного вектора выходного сигнала. Таким путем может
быть получено и всё существующее множество оптимальных управлений релейного типа при всевозможных других значениях отношения
q
= q − 1 (q ≥ 1) параметров неравенства Гёльдера.
p
Рассмотрим прежде задачу (как чисто математическую) по определению векторов из Rn с различными заданными p -нормами, доставляющих максимально возможные значения модулю скалярных
произведений этих векторов с некоторым системным вектором из Rn.
Последние имеют смысл ∞ -норм некоторого вектора, который при
точечном моделировании динамических систем оказывается точечным вектором выходного сигнала.
3.4. Некоторые экстремально­оценочные задачи для норм в матрично­векторных представлениях Пусть некоторый n-мерный вектор
связан с n-вектром
ψ = Colon [ ψ1 , ⋅ ⋅ψ k , ⋅ ⋅ψ n ]
(3.4.1)
V = Colon [ v1 , ⋅ ⋅ vk , ⋅ ⋅ vn ]
(3.4.2)
линейным преобразованием
ψ = H ⋅V ,
232
(3.4.3)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами осуществляемым квадратной и невыраженной матрицей
H = ⎡⎣ h1
hn ⎤⎦ ( n × n ) ; Det H ≠ 0,
hk
(3.4.4)
столбцы которой, следовательно, образуют линейно-независимую
систему векторов, т. е. базис l в пространстве Rn.
Вектор ψ (3.4.3) из Rn может быть представлен в виде разложения по этому базису
(
)
hk = Colon [ h1k ⋅ ⋅hik ⋅ ⋅hnk ] k = 1, n ,
(3.4.5)
т. е. в виде
n
ψ = H ⋅ V = ∑ vk ⋅ hk ,
(3.4.6)
k =1
причем
коэффициентами разложения
vk ( k = 1, n ) n-вектора V (3.4.2).
оказываются
координаты
Введем эвклидовы нормы векторов ψ (4.1) и V (3.4.2):
ψ 2 = ( ψ, ψ ) = ( HV , HV ) = ( H + HV ,V ) = ψ э ;
2
V
2
2
2
n
= (V ,V ) = ∑ vk2 ; V
k =1
2
= V
э
=
n
∑v
k =1
2
k
(3.4.7)
(3.4.8)
и поставим следующую задачу: определить n-вектор V (3.4.2), имеющий заданную эвклидову норму
V
э
= V
2
1
2
⎛
⎞
= ⎜ ∑ vk2 ⎟ = N 2 (V ) ⇒ V
⎝ k =1 ⎠
n
2
2
= N 22 (V )
(3.4.9)
и доставляющий максимум квадрату эвклидовой нормы вектора ψ
(3.4.1).
В математической постановке имеем следующую экстремальную задачу: найти максимум положительной квадратичной
формы
ψ 2 = ( H + HV ,V ) >0
2
(3.4.10)
233
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами при условии
2
V
2
2
= (V ,V ) = N 22 (V ) = Const ⇒ ⎡ N 22 (V ) − V 2 ⎤ = 0. (3.4.11)
⎣
⎦
Имеем классическую задачу на условный экстремум для функции векторного аргумента, которая эффективно решается методом
Лагранжа. Возможное решение находится среди стационарных точек
функции Лагранжа, которая в нашем случае имеет вид
L (V ) = ( H + HV ,V ) + λ ⎡⎣ N 22 (V ) − (V ,V ) ⎤⎦ .
(3.4.12)
Ее стационарные точки в Rn, т. е. векторы V 0 , определятся как
решения при некоторых λ следующего векторно-матричного уравнения:
dL (V )
dV
= 0 ⇒ 2 H + HV 0 − 2λV 0 = 0 ⇒ H + HV 0 = λV 0 .
(3.4.13)
Его решения оказываются собственными векторами V j0 ( j = 1, n )
положительно определенной симметричной матрицы H + H ( n × n ) при
соответствующих
положительных
собственных
значениях
λ j >0 ( j = 1, n ) , т. е. имеем n определяющих уравнений
(
)
H + H ⋅ V j0 = λ jV j0 j = 1, n .
(3.4.14)
Векторам V j0 ( j = 1, n ) соответствуют n стационарных значений
квадратичной формы (3.4.10):
(H
+
HV j0 ,V j0 ) = λ j (V j0 ,V j0 ) = λ j V j0
2
2
( j = 1, n ) ,
(3.4.15)
среди которых находится и искомое максимальное значение, т. е.
максимальное значение эвклидовой нормы n- вектора ψ (3.4.1), которое будет равно
2
max ψ 2 = ψ M
234
2
2
= max ( H + HV j0 ,V j0 ) =
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами = max λ j V j0
2
2
2
=λ max ⋅ VM0
2
= λ max ⋅ N 22 (V )
(3.4.16)
Символом ψ M обозначен n-вектор (3.4.1), имеющий максимально
возможную эвклидову норму (3.4.7), определяемую n-вектором VM0 –
собственным вектором матрицы H + H , соответствующему ее максимальному собственному значению λ max . Явная связь этих векторов
имеет представления
H + HVM0 = λ max ⋅ VM0 ⇒ H + ψ M = λ max ⋅ VM0 ⇒ ψ M = ( H + ) ⋅ λ max ⋅ VM0 .
−1
(3.4.17)
Таким образом, для эвклидовой нормы ψ э = ψ 2 всякого nвектора ψ (3.4.1), определяемого линейным преобразованием (3.4.3),
будем иметь оценку
ψ 2 ≤ ψM
2
= λ max ⋅ VM0
2
= λ max ⋅ N 2 (V ) .
(3.4.18)
Заметим, что n-вектор VM0 , как всякий собственный вектор матрицы H + H ( n × n ) , находится из уравнения (3.4.13) с точностью до
произвольного множителя, который может быть определен по заданной норме N 2 (V ) вектора V , т. е. из равенства VM0 2 = N 2 (V ) .
Положительно определенная и симметричная матрица H + H
имеет во множестве своих положительных собственных значений
λ j ( j = 1, n ) и наименьшее значение λ min >0 , поэтому из представления
(3.4.15), которое запишем в виде
( H HV ,V ) = λ j = 1, n ,
(
)
(V ,V )
+
0
j
0
j
0
j
j
0
j
(3.4.19)
будет следовать двустороннее неравенство
λ min
(H
≤
+
HV ,V )
(V ,V )
≤ λ max .
(3.4.20)
235
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Отметим также, что представление
H
2
2
(H
= max
+
HV ,V )
= max
(V ,V )
V
2
HV
V
V
= λ max ⇒ H
2
2
2
= λ max
(3.4.21)
определяет спектральную норму матрицы H ( n × n ) и, следовательно,
оценка (3.4.18) может быть записана в виде
ψ 2 ≤ H 2 ⋅ VM0
2
= H 2 ⋅ N 2 (V ) .
(3.4.22)
Эвклидова норма (l2-норма) n-вектора (3.4.1)
⎛
2⎞
ψ 2 = ( ψ, ψ ) = ⎜ ∑ ψ k ⎟
⎝ k =1
⎠
n
1
2
1
2
(4.23)
является частным случаем гёльдеровской векторной нормы (ℓpнормы) определяемой формулой
ψ
1
p
⎛
p⎞
= ⎜ ∑ ψ k ⎟ , p ≥ 1.
⎝ k =1
⎠
n
p
(3.4.24)
Кроме частного случая (3.4.23) (p = 2) широко используются
и случаи p = 1 и p = ∞, т. е. ℓ1-норма (первая норма)
n
ψ 1 = ∑ ψk
( p = 1)
(3.4.25)
k =1
и ℓ∞-норма (амплитудная норма)
ψ
∞
( p = ∞).
= max ψ k
k
(3.4.26)
Последняя возникает в силу оценки
1
p
(
⎛
p⎞
⎡
ψ p = ⎜ ∑ ψ j ⎟ ≤ ⎢ n ⋅ max ψ k
k
⎣
⎝ j =1
⎠
n
1
p
=n ψ
236
)
p
1
p
1
p
∞
⇒ ψ p ≤n ψ
1
⎤
p
ψk =
⎥⎦ = n max
k
∞
( p ≥ 1) .
(3.4.27)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Предельное значение для гёльдеровской нормы ψ
p
( p ≥ 1) в по-
⎛ 1p n→∞
⎞
→1⎟ и объявляется ℓ∞лученном неравенстве при p → ∞ ⎜⎜ n ⎯⎯⎯
⎟
⎝
⎠
нормой вектора ψ ∈ Rn .
В частности, при p = 1 неравенство (3.4.27) устанавливает сравнительную связь между нормами ψ 1 (3.4.25) и ψ ∞ (3.4.26):
ψ 1 ≤ n⋅ ψ
∞
,
(3.4.28)
а при p = 2 − между ℓ2-нормой (3.4.23) и ℓ∞-нормой (3.4.26):
1
2
ψ 2 ≤n ⋅ ψ ∞.
(3.4.29)
Неравенство в (3.4.27) означает, что всякая норма Гёльдера вектора из Rn ограничена сверху значением, явно определяемым ℓ∞нормой этого вектора и его размерностью. Для гёльдеровских норм nвекторов существуют сравнительные оценки, не зависящие от размерности n.
Утверждение 3.4.1. Все ℓp-нормы произвольного n-вектора ψ
при всех p ≥ 1 ограничены сверху его ℓ1-нормой:
1
ψ
p
n
⎛ n
p ⎞p
= ⎜ ∑ ψ k ⎟ ≤ ψ 1 = ∑ ψ k , p ≥ 1.
k =1
⎝ k =1
⎠
(3.4.30)
В частности, при p = 2 получаем оценку для эвклидовой нормы
1
2
⎛
2⎞
ψ 2 = ⎜ ∑ ψk ⎟ ≤ ψ 1 ,
⎝ k =1
⎠
n
(3.4.31)
а при p = ∞ − оценку для ℓ∞-нормы
ψ
∞
= max ψ k ≤ ψ 1 ,
k
(3.4.32)
причем
ψ
∞
≤ ψ 2 ≤ ψ 1.
(3.4.33)
237
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Доказательство. Сводится к доказательству неравенства
p
n
∑ψ
k =1
p
k
⎛ n
⎞
≤ ⎜ ∑ ψ k ⎟ , p ≥ 1.
⎝ k =1
⎠
(3.4.34)
При n = 2 и любом целом p, т. е. для бинома Ньютона, получаем
очевидное неравенство
p
p −1
+∑
m =1
p
p
p
⎛ 2
⎞
ψ
=
ψ
+
ψ
=
ψ
+
ψ
+
(
)
(
)
(
)
∑
k
1
2
1
2
⎜
⎟
⎝ k =1
⎠
2
p ( p − 1) ⋅⋅ ⋅ ( p − m + 1)
p
p −m
m
p
p
ψ1
⋅ ψ1 ≥ ψ1 + ψ 2 = ∑ ψ k , p ≥ 1. (3.4.35)
m!
k =1
С учетом этого будем иметь при n = 3
p
p
p
⎛ 3
⎞ ⎛ 2
⎞ ⎛ 2
⎞
p
⎜ ∑ ψ k ⎟ = ⎜ ∑ ψ k + ψ3 ⎟ ≥ ⎜ ∑ ψ k ⎟ + ψ3 ≥
⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠
3
≥ ψ1 + ψ 2 + ψ 3 = ∑ ψ k , p ≥ 1.
p
p
p
p
k =1
В силу этого при n = 4
p
p
p
p
⎛ 4
⎞ ⎛ 3
⎞ ⎛ 3
⎞
ψ
=
ψ
+
ψ
4 ⎟ ≥ ⎜ ∑ ψk ⎟ + ( ψ4 ) ≥
⎜∑ k ⎟ ⎜∑ k
⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠
3
4
≥ ∑ ψ k + ψ 4 = ∑ ψ k , p ≥ 2.
p
p
k =1
p
k =1
Действуя последовательно подобным образом, получим для любого n неравенство (3.4.34):
p
p
p
⎛ n
⎞ ⎛ n−1
⎞ ⎛ n−1
⎞
p
⎜ ∑ ψk ⎟ = ⎜ ∑ ψk + ψn ⎟ ≥ ⎜ ∑ ψk ⎟ + ψn ≥
⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠
n −1
n
≥ ∑ ψ k + ψ n = ∑ ψ k , n ≥ 1, p ≥ 1.
k =1
p
p
p
(3.4.36)
k =1
Оно будет справедливо и для любых нецелых показателей степени p. В этом случае бином Ньютона в неравенстве (3.4.35), исходном в наших рассуждениях, просто преобразуется в степенной ряд.
238
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Извлекая корень p-степени из обеих частей доказанного неравенства (3.4.34), получим неравенство (3.4.30), из которого непосредственно будут следовать и частные варианты (3.4.31) и (3.4.32), а также неравенство
1
2
⎛
2⎞
ψ 2 = ⎜ ∑ ψk ⎟ ≤ ψ 1 .
⎝ k =1
⎠
n
(3.4.37)
Далее в силу очевидного неравенства
1
⎛ n
2 ⎞2
ψ ∞ = lim ψ i ≤ ⎜ ∑ ψ k ⎟ = ψ
1≤i ≤ n
⎝ k =1
⎠
2
будет следовать и сравнение (3.4.33) для этих норм.
Пусть в Rn снова задано линейное преобразование
ψ = H ⋅V ,
(3.4.38)
связывающее n-векторы V (3.4.2) и ψ (3.4.1).
Матрицу H ( n × n ) с помощью n-вектор-строк
(
gi+ = [ hi1 , hi 2 , ⋅⋅hik , ⋅⋅hin ] i = 1, n
и n-вектор-столбцов
(
)
hk = Colon [ hik , h2 k , ⋅ ⋅hik , ⋅ ⋅hnk ] k = 1, n
(3.4.39)
)
(3.4.40)
представим следующим образом:
⎡ h11
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
H = ⎢ hi1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢h
⎣ n1
h12
h1k
hi 2
hik
hn 2
hnk
h1n ⎤ ⎡ g1+ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
hin ⎥ = ⎢ gi+ ⎥ ⎡⎣ h1 h2 ⋅ ⋅ hk ⋅ ⋅ hn ⎤⎦ .
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
hnn ⎥⎦ ⎣ g n+ ⎦
(3.4.41)
239
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Отметим, что n-вектор-столбцы
(
gi = Colon [ hi1 , hi 2 , ⋅ ⋅hik , ⋅⋅hin ] i = 1, n
)
(3.4.42)
окажутся таковыми для транспонированной матрицы H + :
H + = [ g1 g 2 ⋅ ⋅ gi ⋅ ⋅ g n ] ( n × n ) .
(3.4.43)
Заметим также, что предположение о невырожденности матрицы H ( n × n ) [и матрицы H + ] означает линейную независимость векторных систем (3.4.40) и (3.4.42), которые, следовательно, будут образовывать базисы в Rn. В силу матричного представления (3.4.41) nвектор ψ (3.4.38) запишется в виде
+
⎡ ψ1 ⎤ ⎡ g1 V ⎤ ⎡ ( g1 ,V ) ⎤
⎥
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ … ⎥ ⎢……⎥ ⎢
⎢
⎥
ψ = ⎢ ψi ⎥ = ⎢ gi+V ⎥ = ⎢ ( gi ,V ) ⎥ .
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢
⎥
⎢ψ ⎥ ⎢ + ⎥
⎣ n ⎦ ⎣ g n V ⎦ ⎢⎣( g n ,V ) ⎥⎦
(3.4.44)
Его координаты представляется в виде скалярных произведений
n-вектор-столбцов (3.4.42) и n-вектора V (3.4.2):
(
)
ψ i = ( gi ,V ) i = 1, n .
(3.4.45)
Максимальная координата по модулю из этого множества даст
ℓ∞-норму n-вектора ψ . Найдем ее оценку:
n
ψ ∞ = max ψi = max ( gi ,V ) = max ∑ hik vk ≤
1≤i ≤n
i
i
n
≤ max ∑ hik ⋅ vk ≤ max vk ⋅ max ∑ hik ≤ V
i
240
k =1
k =1
n
k
i
k =1
∞
⋅ max gi 1 .
1≤i ≤ n
(3.4.46)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Выражение max g i
имеет смысл максимума ℓi-нормы n-вектор-
1
1≤ i ≤ n
столбца транспонированной матрицы H + (3.4.43) и поэтому называется максимальной столбцевой ℓi-нормой матрицы [55, 112]:
n
H + = max gi 1 = max ∑ hik = g M 1 .
1
1≤i ≤ n
1≤i ≤ n
(3.4.47)
k =1
Таким образом, будем иметь следующую оценку для ℓ∞-нормы
вектора ψ (3.4.44):
ψ ∞ ≤ V ∞ ⋅ gM 1 = V ∞ ⋅ H + .
(3.4.48)
1
Умножая обе стороны этого неравенства на положительную ве1
p
личину n ( p ≥ 1) , согласно (3.4.27) получим оценку и для любой ℓpнормы вектора ψ :
1
p
ψ p ≤n ψ
1
p
∞
≤ ⋅n V
∞
⋅ H+
1
( p ≥ 1) .
(3.4.49)
В частности, получим для ℓ1-нормы
ψ 1<n V
∞
⋅ H+ ,
(3.4.50)
1
а для эвклидовой нормы
1
2
ψ 2≤n V
∞
⋅ H+ .
(3.4.51)
1
Заметим, что полученные предельные значения для этих норм
1
отличаются лишь множителем n 2 , но характер взаимоотношения самих норм ψ 1 и ψ 2 остается неопределенным.
Для ℓ1-нормы ψ 1 = HV
1
при неврожденной матрицы H (n×n)
(3.4.41) может быть получено и иное предельное значение, выражаемое только через ℓ1-нормы, что следует из цепочки преобразований:
n
n
n
ψ 1 = HV 1 ≤ ∑ vk hk =∑ vk hk ≤ ∑ vk max hi =
k =1
n
n
1
k =1
1
k =1
1≤i ≤ n
1
= ∑ vk ⋅ hM = ∑ vk ⋅ H 1 = H 1 ⋅ V 1 ⇒ ψ 1 ≤ H 1 ⋅ V 1 .
k =1
1
(3.4.52)
k =1
241
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Теперь имеем столбцевую ℓ1-норму матрицы H (3.4.41):
H 1 = max hk = hM .
1
1≤ k ≤ n
(3.4.53)
1
Подобные задачи могут быть поставлены, в частности, и для ℓ∞нормы n-вектора ψ = H ⋅ V , а именно: во множестве n-векторов V
с некоторой заданной ℓp-нормой (p ≥ 1) найти такой вектор Vp0 , который доставлял бы максимальное значение ℓ∞-норме ψ ∞ вектора ψ .
Задавая различные ℓp-нормы вектора V , будем иметь различные
ограничивающие условия в возникающих задачах на условный экстремум (максимум).
Рассмотрим три задачи такого рода при значениях p = ∞, 2 и 1,
т. е. при задании норм V ∞ , V 2 и V 1 . Итоговые результаты представим в виде следующей теоремы.
Теорема 3.4.1. Если матрица H (3.4.41) в представлении ψ = H ⋅ V
невырожденна, то в Rn существуют векторы Vp0 с заданными нормами V ∞ ,
V
2
и V 1 , доставляющие максимумы ℓ∞-норме ψ
∞
вектора ψ . Эти век-
торы и соответствующие им максимальные значения max0 ψ
V =V p
( p = ∞,2,1)
∞
определяться следующими формулами:
1) p = ∞
V∞0 = V
max0 ψ
V20 =
V
V =V2
242
∞
V
∞
(3.4.54)
∞
= V
∞
⋅ gM 1 = V
∞
⋅ H+ ;
1
⋅ gM ;
2
(3.4.55)
(3.4.56)
2
= max0 V , g M =
V =V2
V
gM
2
⋅ gM
2
2
= V
2
⋅ gM
2
(3.4.57)
2
⋅ gM ;
1
gM
max0 ψ
V =V1
V =V∞
gM
max0 ψ
3) p = 1 V10 =
= max0 HV
∞
V =V∞
2) p = 2
⋅ Sign g M ;
∞
(3.4.58)
1
=
V
gM
1
1
⋅ gM
2
2
≤ V 1 ⋅ gM 1 .
(3.4.59)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Доказательство. Указанные решения существуют, если представление ψ = H ⋅ V (3.4.38), связывающее n-векторы ψ и V , окажется
невырожденным ( Det H ≠ 0 ), т. е. будет взаимно однозначным.
При этом условие, координаты ψi ( i = 1, n ) вектора ψ (3.4.1), как
установлено, могут быть представлены однозначно в виде скалярных
произведений n-вектор-столбцов gi ( i = 1, n ) транспонированной матрицы H + (3.4.43), образующих базис в производстве Rn, и n-вектора V ,
т. е. в виде (3.4.45):
ψi = ( gi ,V ) ( i = 1, n ) .
(3.4.60)
Среди этих координат вектора ψ (3.4.1) найдется максимальная
по модулю координата, которая и объявляется ℓ∞-нормой вектора ψ .
С учетом (3.4.46) и (3.4.47) будем иметь
ψ ∞ = max ψi = max ( gi ,V ) = max ( gi ,V ) = ⎛⎜ max gi ,V ⎞⎟ = ( gM ,V ) . (3.4.61)
i
i
gi 1
⎝ gi 1
⎠
Получаем представление для ℓ∞-нормы вектора ψ :
ψ
∞
= ( g M ,V ) ,
(3.4.62)
в которой g M есть n-вектор-столбец транспонированной матрицы H+
(3.4.43), имеющий максимальную ℓ1-норму, т. е. столбцевую ℓ1-норму
этой матрицы.
В представлении (3.4.62) определим теперь n-вектор V с заданной
и фиксированной ℓ∞-нормой V ∞ и таким, что модуль скалярного произведения в этом представлении оказался бы максимально возможным.
Это будет иметь место, если координаты скалярно перемножаемых векторов в (3.4.62) будут иметь одинаковые знаки и окажутся
в одном октанте пространства Rn и, вместе с тем координаты vi ( i = 1, n )
вектора V (3.4.2) будут иметь максимально возможные модульные
значения, т. е. были бы равны его ℓ∞-норме V ∞ : vi = V ∞ ( ∀i = 1, n ) .
Сказанное означает, что искомый n-вектор V имеет представление
V = V∞0 = V
∞
⋅ Sign g M ,
(3.4.63)
243
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами где Sign g M есть n-вектор знаков координат вектор-столбца матрицы
H + (3.4.43), имеющего максимальную l1-норму:
Sign g M = Colon [Sign hM 1 , ⋅⋅⋅ Sign hMk , ⋅⋅⋅ Sign hMn ] ,
⎧+1
Sign hMk = ⎨
⎩−1
hMk >0
(3.4.64)
( k = 1, n) .
hMk <0
(3.4.65)
Таким образом, максимальное значение ℓ∞-нормы ψ ∞ , доставляемое n-вектором V∞0 (3.4.63),
max0 ψ
V =V∞
∞
= max0 HV
∞
V =V∞
= V
∞
⋅ ( Sign g M 1 , g M ) = V
∞
⋅ gM 1 = V
∞
⋅ H+
1
Формулы (3.4.54) и (3.4.55) доказаны.
Отметим в связи с этим оценку для произвольной ℓ∞-нормы ψ
(3.4.62) вектора Ψ = H ⋅ V :
Ψ
∞
≤ max0 Ψ
V =V∞
∞
= V
⋅ gM
∞
1
= V
+
⋅
H
.
∞
1
∞
(3.4.66)
Покажем теперь справедливость формул (3.4.56) и (3.4.57).
Эти представления возникают как решение прежней задачи, но
при задании вместо ℓ∞-нормы V ∞ вектора V его эвклидовой нормы
V
э
= V 2.
Итак, в представлении (3.4.62) для V
∞
найдем такой n-вектор V
заданной длины, который доставлял бы максимум скалярному произведению в этом представлении.
Решением, очевидно, будет n-вектор V20 с заданной эвклидовой
нормой V20 э = V 2 , совпадающий по направлению со скалярно умножаемым n-вектором g M , т. е. вектор вида
V20 = α 2 ⋅ g M .
(3.4.67)
Скалярно положительный коэффициент α2 определится по заданной эвклидовой норме вектора V20 и известной ℓ2-норме n-вектора
g M , т. е. из равенства
244
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами V20 = V20 = V
э
2
V
= α1 ⋅ gM 2 ⇒ α2 =
2
gM
2
.
(3.4.68)
2
Это значение α2 и приводит к формулам (3.4.56) и (3.4.57).
Для ℓ∞-нормы V ∞ (3.4.62) в рассматриваемом случае будем
иметь оценку
ψ ∞ ≤ max0 ψ ∞ =
V =V2
V
2
gM
( gM , gM ) = V
2
⋅ gM 2 .
(3.4.69)
2
Если же значение α1 коэффициента в (3.4.67) определить по ℓ1нормам скалярно умножаемых векторов, т. е. из равенства
V
V 1 = α1 gM 1 ⇒ α1 =
gM
1
,
(3.4.70)
1
то получим представление уже для вектора V10 в виде (3.4.58), доставляющего максимум ℓ∞-норме V ∞ , равный
max0 ψ ∞ = αi ( gM , gM ) =
V =V2
V
gM
1
⋅ gM
2
2
≤ V 1 ⋅ gM 1 .
(3.4.71)
1
Неравенство здесь возникает в силу утверждения 3.4.1, согласно
которому будем иметь
gM
2
2
≤ gM
2
1
.
На этом доказательство теоремы закончили.
Скалярное произведение в (3.4.62) запишем в виде
ψ
∞
= ( g M ,V ) = ( g M , α p V1 ) = α p ⋅ ( g M , V1 ) ,
(3.4.72)
где положительный скалярный множитель αp, связывающий nвекторы V и V1 (V = α p ⋅V1 ) , как масштабный множитель будет определяться заданием нормы (в частности, длины) вектора V .
245
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Решения некоторых экстремально-оценочных задач для модуля
скалярного произведения в (3.4.62) были получены на основе неравенства Коши-Буняковского. Однако для этого представления, т. е. функционала (3.4.72), как уже отмечалось, существует еще одно неравенство, более сильное и общее, чем неравенство Коши-Буняковского – его
частного варианта. Это неравенство Гёльдера [55, 112]:
ψ
n
∞
= ( g M ,V ) = α p ⋅ ( g M , V1 ) = α p ⋅ ∑ hMk v1k ≤
k =1
1
q
1
p
⎛ n
⎛ n
q⎞
p⎞
≤ α p ⎜ ∑ hMk ⎟ ⋅ ⎜ ∑ v1k ⎟ = g M
⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠
q
⋅ α p V1 p ,
(3.4.73)
имеющее место при выполнении условия
1 1
+ = 1 (1 ≤ p ≤ ∞ ) ( ∞ ≥ q ≥ 1) .
p q
(3.4.74)
При p = q = 2 это неравенство становится неравенством КошиБуняковского.
Векторы g M и V1 согласно (3.4.42) и (3.4.2) определятся в виде
g M = Colon [ hM 1, ⋅⋅ hMk , ⋅⋅ hMn ];
V1 = Colon[ v11, ⋅⋅ v1k , ⋅⋅ v1n ] ,
а) ⎪⎫
⎬
б) ⎪⎭
(3.4.75)
где g M есть n-вектор-столбец транспонированной матрицы H +
(3.4.43), имеющий максимальную 1-норму (3.4.47):
n
g M 1 = max gi 1 = max ∑ hik .
1≤i ≤n
(α
i =M
(3.4.76)
k =1
Поставим следующую задачу: определить n-вектор V = α p ⋅V1M
p
>0 )
( p ≥ 1) с заданной p-нормой:
ψ ∞ = α p ⋅ V1M
246
1
p
1
p
⎛
⎛
p⎞
p⎞
=
α
⋅
=
v
v
∑
∑
p
k
k
1
⎜
⎟
⎜
⎟ ,
p
⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠
n
n
(3.4.77)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами который делал бы положительный функционал (3.4.72), т. е. модуль
скалярного произведения в (3.4.73), максимально возможным, превращая тем самым неравенство Гёльдера в равенство.
Это произойдет, если соответствующие члены гельдеровских
сумм в (3.4.73) будут просто совпадать, т. е. при условиях
p
v1k = hMk
( k = 1, n);
q
1 1
+ =1
p q
(3.4.78)
и, следовательно, при равенстве
n
∑v
p
1k
k =1
n
= ∑ hMk ;
q
k =1
1 1
+ = 1.
p q
(3.4.79)
При этом в силу условий (3.4.74) и (3.4.79)
q
1
⎡ n
⎤
⎛
⎛
⎛
q⎞
q⎞
q
q ⎞q
⎢
max ( g M ,V1 ) = ⎜ ∑ hMk ⎟ ⋅ ⎜ ∑ hMk ⎟ = ∑ hMk = ⎜ ∑ hMk ⎟ ⎥ =
V1 =V1M
⎢⎝ k =1
k =1
⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠
⎠ ⎥
⎣
⎦
1
q
n
n
1
p
n
p
= gM
q
q
n
= ∑ v1k
p
k =1
1
⎡ n
⎤
⎛
p ⎞p
= ⎢⎜ ∑ v1k ⎟ ⎥ = V1M
⎢⎝ k =1
⎠ ⎥
⎣
⎦
p
p
(3.4.80)
,
а функционал (3.4.73) получает максимальное значение, равное
max ψ
V
∞
= α p ⋅ max ( g M ,V1 ) = α p g M
V1 =V1 M
q
q
= α p V1M
p
p
,
(3.4.81)
причем скалярный положительный коэффициент αp определяется заданием ℓp-нормы V p (3.4.77).
Будет справедливой следующая теорема.
Теорема 3.4.2. Если матрица H ( n × n ) (3.4.41) в представлении
ψ = H ⋅ V (3.4.38) невырожденна, то в Rn определится вектор
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
M
V
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
1M
= α p ⋅V
(3.4.82)
247
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами с заданной
p-нормой
V
p
(3.4.77) при всех заданных p и q, удовле-
творяющих условию (3.4.74), и вида
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
M
V
q
q
q
⎡
⎤
= α p ⋅ Colon ⎢ hM 1 p ⋅ SignhM 1, ⋅⋅ hMk p ⋅ SignhMk , ⋅⋅ hMn p ⋅ SignhMn ⎥ , (3.4.83)
⎣
⎦
доставляющий максимально
(3.4.73), которое будет равно
max ψ
V
∞
= α p gM
возможное
q
q
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
1M
значение
функционалу
p
= αp V
=V
p
⋅ gM q ,
(3.4.84)
p
т. к. коэффициент αp получает представление
αp =
V
gM
p
q −1
q
;
⎛1 1 ⎞
⎜ p + q = 1⎟ .
⎝
⎠
(3.4.85)
Доказательство. Вектор V1M из Rn, способный доставить максимум своему скалярному произведению с некоторым вектором g M ∈ Rn ,
по крайней мере должен иметь все свои координаты совпадающими
по знаку с координатами n-вектора g M , т. е. находиться с ним в одном
ортанте пространства Rn, хотя может и не совпадать с ним по норме
(длине). Это означает, что такой вектор V1M ∈ Rn должен быть связан
с вектором g M ∈ Rn , линейным преобразованием, осуществляемым
положительной диагональной матрицей
Ω = Diag [ ω1 , ⋅⋅ωk , ⋅⋅ωn ] ( n × n ) ,
(3.4.86)
т. е. иметь представление
V1M = Ω ⋅ g M = Colon [ ω1hM 1 , ⋅⋅ωk hMk , ⋅⋅ωn hMn ] = Colon [ v11 , ⋅⋅v1k , ⋅⋅v1n ] .
(3.4.87)
Элементы ωk ( k = 1, n ) матрицы Ω (3.4.86) могут быть найдены из
условий (3.4.78), выполнение которых означает переход неравенства
Гёльдера в (3.4.73) в равенство приобретение функционалом (3.4.73)
своего максимального значения.
248
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Именно такой подход был реализован при решении задачи оптимального управления одномерным линейным динамическим объектом на основе метода точечных представлений (точечных моделей).
Из условий (3.4.78) следуют равенства
⎛1 1 ⎞
p
p
q
ωk hMk = v1k = hMk ∀k = 1, n; ⎜ + = 1⎟
⎝p q ⎠
или в виде
ωk hMk = hMk
q
p
⇒ ωk =
hMk
hMk
q
p
( k = 1, n) .
(3.4.88)
И для компонент v1k = ωk hMk ( k = 1, n ) искомого вектора (3.4.87) будем
иметь
q
q
hMk p
v1k = ωk ⋅ hMk =
⋅ hMk = hMk p Sign hMk ; k = 1, n ,
hMk
(
)
(3.4.89)
где
⎧+1 hMk >0;
hMk
= Sign hMk = ⎨
hMk
⎩−1 hMk <0.
( k = 1, n)
(3.4.90)
есть функция знака.
Таким образом, искомый вектор VM = α p ⋅ V1M в выделяемой сим⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
M
волике V
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
M
V
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
1M
= α p ⋅V
получит представление (3.4.83):
q
q
q
⎡
⎤
= α p ⋅ Colon ⎢ hM 1 p Sign hM 1, ⋅⋅ hMk p Sign hMk , ⋅⋅ hMn p Sign hMn ⎥ ,
⎣
⎦
а максимум функционала ψ
max ψ
V =VM
∞
∞
(3.4.73), согласно (3.4.81), будет равен
= α p ⋅ gM
q
q
= α p V1M
p
p
,
(3.4.91)
что совпадает с указанным в теореме значением (3.4.84).
249
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Определим коэффициент αp, задав
ψ
p-норму
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
M
вектору V
p
(3.4.83). Имеем
V
p
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
M
⎛
= α p ⋅ ⎜ ∑ hMk Sign hMk
⎜ k =1
⎝
n
=V
p
q
p
p
q
p
⎡ n
⎤
⎛
q⎞
⎢
α p ⋅ ⎜ ∑ hMk ⎟ ⎥ = α p ⋅ g M
⎢⎝ k =1
⎠ ⎥
⎣
⎦
1
q
1
p
1
⎞
⎛ n
q ⎞p
⎟⎟ = α p ⋅ ⎜ ∑ hMk ⎟ =
⎝ k =1
⎠
⎠
q
p
q
= α p ⋅ gM
q −1
q
,
(3.4.92)
т. к.
⎛
q
1
1⎞
= q ⋅ = q ⎜ 1 − ⎟ = q − 1.
p
p
p⎠
⎝
(3.4.93)
Следовательно,
V
p
= α p ⋅ gM
q −1
q
⇒ αp =
V
gM
p
q −1
(3.4.94)
q
для всех p и q, удовлетворяющих условию (3.4.74),что совпадает
с (3.4.85).
В результате для max ψ ∞ (3.4.91) получим
V =VM
max ψ
V =VM
∞
= α p ⋅ gM
q
q
=
V
gM
p
q −1
⋅ gM
q
q
=V
p
⋅ gM q ,
(3.4.95)
q
что совпадает с доказываемым представлением (3.4.84).
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
M
Отметим, что вектор VM = V
(3.4.83), доставляющий функционалу ψ ∞ этот максимум, запишется явно в виде
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
M
V
=
V
gM
p
q −1
q
q
q
q
⎡
⎤
⋅ Colon ⎢ hM 1 p Sign hM 1, ⋅⋅ hMk p Sign hMk , ⋅⋅ hMn p Sign hMn ⎥ .
⎣
⎦
(3.4.96)
Теорема доказана.
250
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Отметим, однако, что представление (3.4.95) для предельного
(максимально возможного) значения функционала ψ ∞ (3.4.72) может
быть получено и непосредственно при решении задачи на максимум по
V модуля скалярного произведения в (3.4.72), т. е. для функционала
ψ
∞
= ( g M ,V ) ,
(3.4.97)
причем без применения неравенства Гёльдера, а в результате подста⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
M
новки в (3.4.97) найденного решения V
(3.4.94):
= VM (3.4.83) и в силу
q
n
n
q
⎛
⎞
max ψ ∞ = ⎜ g M ,VMp ⎟ = α p ⋅ ∑ hMk p hMk Sign hMk = α p ⋅ ∑ hMk
⎜
⎟
V
k =1
k =1
⎝
⎠
n
= α p ⋅ ∑ hMk
q
H
p
k =1
n
=α p ⋅ ∑ hMk =α p ⋅ g M
q
k =1
q
q
=V
p
q
p
⋅ gM q ,
hMk =
(3.4.98)
т. е. получаем прежнее предельное значение (3.4.95) для функционала
(3.4.72) или (3.4.97), найденное ранее по неравенству Гёльдера:
ψ
∞
≤V
p
⋅ gM
q
= max ψ ∞ .
(3.4.99)
V
Отметим некоторые частные случаи значений показателей q и p,
связанных условием (3.4.74), задавая значения их отношения
q
p
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
q
q
p ⎞
⎜ 0 ≤ < ∞ ⎟ ⇒ ⎜ q = + 1⎟ и ⎜ p = + 1⎟ .
p
p ⎠ ⎝
q
⎝
⎠ ⎝
⎠
q
1. = 0; ( q = 1) ; ( p = ∞ ) . Представления теоремы 3.4.2 в этом слуp
чае получают вид
VM( ) = V
0
∞
⋅ Colon [Sign hM 1 , ⋅⋅⋅ Sign hMk , ⋅ ⋅⋅ Sign hMn ]
(3.4.100)
и
max ψ
V =VM( 0 )
∞
= V
∞
⋅ gM 1 = V
∞
⋅ H+ ,
1
(3.4.101)
что совпадает с результатом, указанном уже в теореме 3.4.1.
251
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами 2.
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
M
V
=
q 1 ⎛
3⎞
= ; ⎜ q = ⎟ ; ( p = 3) . Общие формулы дают в этом случае
2⎠
p 2 ⎝
V
g
3
1
2
M 3
2
1
1
1
⎡
⎤
⋅ Colon ⎢ hM 1 2 Sign hM 1, ⋅⋅ hMk 2 Sign hM 1, ⋅⋅ hMn 2 Sign hMn ⎥ (3.4.102)
⎣
⎦
и
max
ψ
⎛1⎞
⎜ ⎟
V =VM⎝ 2 ⎠
∞
= V 3 ⋅ gM 3 .
(3.4.103)
2
q
= 1; ( q = 2 ) ; ( p = 2 ) . Все векторные нормы в общих формулах
p
в этом случае становятся эвклидовыми:
3.
VM( ) =
1
V
gM
2
V
⋅ Colon[ hM 1, ⋅⋅ hMk , ⋅⋅ hMn ] =
gM
2
т. к.
(
hMk Sign hMk = hMk k = 1, n
2
⋅ gM ,
(3.4.104)
2
)
и
max1 ψ
V =VM( )
∞
= V 2 ⋅ gM
2
.
(3.4.105)
Этот случай был отмечен ранее в теореме 3.4.1.
q
3⎞
⎛
= 2; ( q = 3) ; ⎜ p = ⎟ . Имеем некоторое зеркальное отражение
2⎠
p
⎝
q
в этих случаях есть взаимно обратные велислучая 2 – отношение
p
4.
чины, что меняет местами и показатели p и q. В результате получим
( 2)
V
VM =
gM
3
2
2
2
2
2
⋅ Colon ⎡ hM 1 Sign hM 1 , ⋅⋅ hMk SignhMk , ⋅⋅ hMn SignhMn ⎤ (3.4.106)
⎣
⎦
3
и
max ψ
2
V =VM( )
∞
= V
3
2
⋅ gM 3 .
Ограничимся этими частными случаями.
252
(3.4.107)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами 3.5. Множество оптимальных управлений. Задача о максимальном быстродействии Полученные решения экстремальных задач терминального
управления линейными динамическими объектами носят частный характер и могут быть существенно дополнены, определяя, в частности,
все возможное множество существующих оптимальных управлений.
Это можно сделать, применяя полученные абстрактные результаты к определению точечных N-векторов управления с заданными pнормами, доставляющих максимальные значения соответствующим
∞-нормам выходного точечного вектора в точечной модели объекта
управления.
Несколько повторяясь, опишем коротко имеющуюся ситуацию
по образованию точечных моделей линейных динамических объектов
и постановке задач оптимального управления ими.
Будем предполагать, как и ранее, что вполне управляемый, т. е.
устойчивый стационарный линейный динамический объект задачи
своей импульсной переходной характеристикой (ИПХ) g (t ) t ∈ [0, T ] ,
причем g L < ∞. Его динамика на конечном временном промежутке
1
[0, Т ] в точечных представлениях может быть описана точечной мо-
делью
X TII = 2λ 0 g ( Z ) ⋅ U TI ,
(3.5.1)
связывающей точечный изображающий N-вектор
( ) ) ,...U (t ( ) ) ,...U (t ( ) )⎤⎦ = ⎡⎣U
U TI = Colon ⎡U t1(I
⎣
N
N
vI
N
NI
1I
,...U vI ,...U N I ⎤⎦
(3.5.2)
T
входного сигнала, т. е. управления U ( t ) t ∈ [ 0, T ] ⎡⎣U ( t ) ⎯⎯
→U T ⎤⎦ , ассоI
I
циированный с чебышевской N-сеткой I рода
tν( IN ) =
T (2ν − 1) T
=
(2ν − 1) = λ0 (2ν − 1)
2N
2N
(ν = 1, N )
(3.5.3)
,...xkIΙ ,...xN IΙ ⎤⎦
(3.5.4)
и точечный изображающий N-вектор
( ) ) ,...x ( t ( ) ) ,...x (t ( ) )⎦⎤ = ⎡⎣ x
X TIΙ = Colon ⎡ x t1(IΙ
⎣
N
N
k IΙ
N
N IΙ
1IΙ
253
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами выходного сигнала x ( t ) t ∈ [ 0, T ], ассоциированный, однако, с чебышевской N-сеткой II рода
tk(ΙΙN ) = T
k
= 2λ0 ⋅ k ; (k = 1, N ); t N( NΙΙ ) = T .
N
(3.5.5)
Связь «вход – выход» управляемого объекта может быть описана
и точечной моделью, ассоциированной только с N-сеткой I рода. Эта
модель
1
X TI = 2λ 0 g ( Z ) ⋅ ( EN + Z )U TI ,
2
(3.5.6)
возникающая из модели (3.5.1) в силу приближенного равенства
(с точностью
⎛ 1 ⎞
0⎜ 2 ⎟ )
⎝N ⎠
1
( E N + Z ) X TΙΙ = X TΙ .
2
(3.5.7)
Системная (передаточная) матрица g (Z ) ( N × N ) в моделях (3.5.1)
и (3.5.6) есть есть тёплицева нижнетреугольная матрица
N
( ) )Z
g ( Z ) = ∑ g tv(I
v =1
N
v −1
(N × N)
(3.5.8)
с элементным N-вектором
( ) ) ,...g (t ( ) ) ,...g (t ( ) )⎤⎦ = Colon ⎡⎣ g
gTI = g ( Z ) e1 = Colon ⎡ g t1(I
⎣
N
N
vI
N
NI
1I
,...g vI ,...g N I ⎤⎦ ,
(3.5.9)
который одновременно является точечным изображающим вектором
ИПХ g (t ) t ∈ [0, Т ], ассоциированным с чебышевской N-сеткой I рода
T
(3.5.3) g ( t ) ⎯⎯
→ gT .
Вводится инверсный точечный N-вектор
I
I
+
gˆTI = g ( Z ) eN = Colon ⎡ g NI ,...g( N −v+1) ,...g1I ⎤
I
⎣
⎦
(3.5.10)
с обратным порядком следования координат по сравнению с таковым
у вектора gT (3.5.9). Это – элементный N-вектор верхнетреугольной
I
254
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами тёплицевой матрицы g (Z )+ ( N × N ). Он является одновременно точечным изображающим вектором функции g (T − t ) t ∈ (0, T ), ассоциироT
ванным с чебышевской N-сеткой I рода (3.5.3), т. е. g (T − t ) ⎯⎯
→ gˆ T .
Покажем последнее. Имеем
I
I
(
TI
g (T − t ) ⎯⎯
→ Colon ⎡ g T − t1(I
⎣
N)
) ,...g (T − t ( ) ) ,...g (T − t ( ) )⎤⎦ ,
N
vI
N
NI
(3.5.11)
причем
2v − 1 ⎞
⎛
⎛ 2 N − 2v + 1 ⎞
⎛ 2( N − v + 1) − 1 ⎞
g T − tv(IN ) = g ⎜ T − T
⎟ = g ⎜T
⎟ = g ⎜T
⎟=
2N ⎠
2N
2N
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
(
)
g t((NN −) v +1)I = g ( N −v +1)I
(ν = 1, N ) ,
(3.5.12)
и, следовательно,
TI
→ Colon ⎡ g NI ,...g( N −v+1) ,...g1I ⎤ = gˆTI .
g (T − t ) ⎯⎯
⎣
⎦
I
(3.5.13)
Будем снова предполагать, что в момент t = 0 управляемый объект находится в состоянии покоя x(0 ) = 0, а в конечный момент t = T
промежутка [0, Т ] его состояние характеризуется значением x (T ) выходного сигнала x(t ) , возникающего под воздействием управления
U (t ); t ∈ (0, T ) , т. е. значением функционала
T
(
)
x (T ) = ∫ g (T − η)U ( η) d η = 2λ0 gˆTI ,UTI ,
0
(3.5.14)
приближенно равного квадратуре интеграла на чебышевской (ортогоT
нальной) N-сеткой I рода (3.5.3) ⎛⎜ 2λ 0 = = Δt ⎞⎟ .
⎝
N
⎠
Значение x(T ) , как было указано [см. (3.3.13)], может быть определено и непосредственно по точечной модели управляемого объекта (3.5.1):
x (T ) = ( xTII , eN ) = 2λ 0 ( g ( Z )U TI , eN ) = 2λ 0 (U TI , g + ( Z )eN ) =
= 2λ 0 (U TI , gˆ TI ) = 2λ 0 ( gˆ TI ,U TI ) .
(3.5.15)
255
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Ставилась и решалась задача по определению точечного Nвектора управления UTI из некоторого класса допустимых управлений,
доставляющего максимум функционалу (3.5.15), точнее модулю скалярного произведения N-векторов gˆT и UT .
В силу неравенства Коши-Буняковского будем иметь оценку
сверху для x (T ) :
I
x (T ) = 2λ0
(
)
I
N
gˆTI ,UTI = 2λ0 ∑ g( N −v+1) ⋅ U v ≤
I
1
2 2
⎞
v =1
1
2 ⎞2
⎛
⎛
≤ 2λ0 ⎜ ∑ g( N −v+1) ⎟ ⋅ ⎜ ∑ U v ⎟ = 2λ0 gˆTI
I
⎠
⎝ v=1
⎠ ⎝ v=1
N
N
2
⋅ UTI .
(3.5.16)
2
Но свое максимальное значение модуль скалярного произведения двух векторов из RN заданной длины будет достигать лишь тогда,
когда эти векторы совпадают по направлению. Это означает, что решение поставленной задачи имеет представление U T = λ ⋅ gˆ T а положительный скалярный множитель λ находят по заданной эвклидовой
норме вектора UT , определяющей класс допустимых управлений.
Именно такая идея была реализована ранее при решении поставленной экстремальной задачи. Была решена и одна задача по определению оптимального управления релейного типа (см. п. 3.3.).
Рассмотренные экстремальные задачи терминального управления устойчивыми динамическими объектами могут быть решены и на
основе более общего подхода, который позволяет определить все
множество возможных оптимальных управлений.
Вернемся к точечной модели (3.5.1), которую запишем в виде
следующего развернутого представления:
I
I
I
⎡ g1I
⎢
⎢ g 2I
⎢
X TIΙ = 2λ 0 g ( Z ) ⋅ UTI = 2λ 0 ⎢
⎢ g kI
⎢
⎢
⎢gN
⎣ I
256
g1I
g 2I
g kI
g1I
g 2I
⎤ ⎡ U1I ⎤
⎥⎢
⎥
U
2
⎥⎢ I ⎥
⎥⎢
⎥
⎥⎢
⎥=
⎥ ⎢ U vI ⎥
⎥⎢
⎥
⎥⎢
⎥
⎥
⎢
g1I ⎦ ⎣U NI ⎥⎦
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами ⎡
g1IU1I
⎡
⎤
⎢
⎢
⎥
⎢
⎢ g 2IU1I + g1IU 2I ⎥
⎢
⎢
⎥
⎢
⎢
⎥
⎢
⎢N
⎥
= 2λ 0 ⋅ ⎢ ∑ g k −v +1 ⋅U v ⎥ = 2λ0 ⋅ ⎢
(
)I
I
⎢
⎢ v =1
⎥
⎢
⎢
⎥
⎢
⎢
⎥
N
⎢
⎢
⎥
⎢
⎢ ∑ g( N −v+1)I ⋅U vI ⎥
⎣ v=1
⎦
⎣⎢
( gˆ ( ) ,U ) ⎤⎥
⎥
( )
ˆ
⎥
g
U
,
)⎥
(
(
1
TI
TI
2
TI
TI
)
k
gˆT( ) , UTI
I
( gˆ (
N)
TI , UTI
)
⎡ x1II ⎤
⎢
⎥
⎢ x2II ⎥
⎥
⎥ ⎢
⎢
⎥.
=
⎥
⎢
xkII ⎥
⎥
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥ ⎣ xNII ⎥⎦
⎥
⎦⎥
(3.5.17)
Введенные инверсные N-векторы gˆ T( Ik ) ( k = 1, N ) имеют явные
представления
⎡
⎤
k
gˆT(I ) = Colon ⎢ g kI ,...g1I ,0...0⎥
N −k ⎦
⎣
( k = 1, N ) ,
(3.5.18)
N
gˆ T( I ) = gˆ TI , т. е. будем иметь «полный», ранее введен-
причем при k = N
ный инверсный N-вектор (3.5.10), а для k-й координаты xkII N-вектора
X TII получим
( )
(
)
( k = 1, N ) .
N
N
k
xkII = x tk( II ) = 2λ 0 gˆT( I ) ,UTI = 2λ 0 ∑ g( k −v+1) U vΙ
I
v =1
(3.5.19)
При X(T) окажется для x(T)
(
)
N
xNII = x(T ) = 2λ 0 gˆTI ,UTI = 2λ0 ⋅ ∑ g( N −v+1) ⋅ U vΙ
(3.5.20)
I
v =1
что совпадает с представлением (3.5.15).
Для 1-норм инверсных векторов gˆT( Ik ) ( k = 1, N ) (3.5.18), т. е. величин
(
k
)
k
gˆT( I ) = ∑ g( k −v+1) ; k = 1, N ,
I
1
v =1
(3.5.21)
очевидно, будем иметь последовательное возрастание
1
2
k −1
k
N −1
N
0< gˆ T( I ) ≤ gˆ T(I ) ≤ ⋅⋅ ≤ gˆT( I ) ≤ ⋅⋅ ≤ gˆ T( I ) ≤ ⋅⋅ ≤ gˆ T( I ) ≤ gˆT( I )
1
1
1
1
1
1
(3.5.22)
257
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами и, следовательно, окажется
k
N
max gˆ T(I ) = gˆ T( I ) = gˆ TI .
1≤ k ≤ N
1
Определим теперь ℓ∞-норму N-вектора
(3.4.48) будем иметь
X TII
∞
= Max xkII = 2λ 0 g ( Z ) UTI
(1≤k ≤ N )
∞
(3.5.23)
1
1
X TII
(3.5.17). Согласно
≤ 2λ 0 g + ( Z ) ⋅ UTI
1
= 2λ 0 gˆTI ⋅ UTI
∞
1
∞
=
.
(3.5.24)
Но в силу (3.4.61)
max xkII = 2λ 0 max
(1≤k ≤ N )
(1≤k ≤ N
() gˆ ( ) ,U ) = 2λ max ( gˆ ( ) ,U ) =
k
TI
0
TI
(k )
gˆ
TI
(
)
k
TI
TI
1
2λ 0 gˆ TI ,U TI = xN II = x (T ) .
Таким образом, для ℓ∞-нормы вектора
X TII
∞
(
X TII
(3.5.25)
получаем представление
)
= max xkII = 2λ 0 gˆTI ,U TI = xN II = x(T ) ,
k
(3.5.26)
т. е. эта величина оказывается тем функционалом в уже решенных
экстремально-оценочных задачах, в которых были найдены оптимальные управления U T0 из некоторых классов допустимых управлеΙ
ний, определяемых заданием вида нормы
и которые доставляют
UTI
максимумы функционалу (3.5.26). Эти максимумы оказываются предельными значениями в соответствующих частных оценочных неравенствах для модуля скалярных произведений в (3.5.26), представляемых через выбранные нормы перемножаемых векторов.
Эти неравенства есть частные варианты одного очень общего
неравенства для модуля скалярного произведения векторов. Это неравенство Гёльдера:
( gˆ
TΙ
N
) ∑ gˆ
,U TΙ =
v =1
( N − v +1)Ι
= gˆ TΙ
258
1
q
⎛
⎞ ⎛
⎞
⋅ U vΙ ≤ ⎜ ∑ gˆ ( N −v +1)Ι ⎟ ⋅ ⎜ ∑ U vΙ ⎟
⎝ v =1
⎠ ⎝ v =1
⎠
N
q
⋅ U TΙ
q
p
,
N
p
1
p
(3.5.27)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами имеющее место при всех положительных значениях параметров q и p,
удовлетворяющих условию
1 1
q
+ = 1 ⇒ = (q − 1) ≥ 0 (1 ≤ p ≤ ∞ ) (∞ ≥ q ≥ 1) .
p q
p
(3.5.28)
Выбор положительных значений параметров p и q, связанных
условием (3.5.28), определит частный вариант неравенства. При этом
1
вектор U T с выбранной
p
Ι
-нормой U T
Ι
p
p ⎞p
⎛ N
= ⎜ ∑ U vΙ ⎟ , преобразую⎝ v =1
⎠
щий это неравенство в равенство, что означает получение модулем
скалярного произведения максимально возможного значения, окажется искомым оптимальным вектором.
При p = q = 2 неравенство Гёльдера становится неравенством
Коши-Буняковского и была решена соответствующая экстремальная
задача (см. п. 3.3.). А при q = 1 и p = ∞ будем иметь вариант, рассмотренный в п. 3.3., определяющий один частный случай оптимального
управления релейного типа.
Поставим теперь более общую задачу. Для линейного управляемого объекта, динамика которого на временном промежутке [0, T]
описывается точечной моделью
X TII = 2λ 0 g ( Z ) ⋅ U TI ,
(3.5.29)
нужно определить точечный N-вектор управления UT с заданной коI
нечной ℓp-нормой U T
Ι
1
p
p
p⎞
⎛ N
= ⎜ ∑ U vΙ ⎟ , максимум функционалу
⎝ v =1
⎠
X TII
∞
(
)
= x (T ) = 2λ 0 gˆ TI ,U TI ,
(3.5.30)
имеющий смысл значения модуля выходного сигнала (кривой «разгона») x(T ) в конце промежутка [0, T].
Будем искать решение поставленной задачи в виде векторного
представления
UTI = α p ⋅ VTI = α p ⋅ Colon ⎡⎣v1I ,...vνI ,...vNI ⎤⎦ ,
(3.5.31)
259
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами в котором скалярный множитель αp > 0 может быть определен по заданной ℓp-норме U T p при найденном решении VT0I . Оптимизирующий
Ι
функционал (3.5.30) запишется в виде
X TII
∞
(
)
= x (T ) = 2λ 0α p ⋅ gˆ TI ,VTI ,
(3.5.32)
и задача сводится к определению N-вектора VTI , доставляющего максимум модулю скалярного произведения в (3.5.32), который, в силу
неравенства Гёльдера
( gˆ
TI
)
,VTI ≤ gˆTI
q
1
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TI
⋅V
p
1
q ⎞q ⎛ N
p ⎞p
⎛ N
= ⎜ ∑ g( N −v+1) ⎟ ⋅⎜ ∑ vvI ⎟ ,
I
⎝ v=1
⎠ ⎝ v=1
⎠
(3.5.33)
определяется формулой
(
)
x(T ) max = max gˆTI ,VTI ⋅ 2λ 0α p = 2λ 0α p ⋅ gˆTI
VTI
p
q
⋅
⎛q⎞
⎜ ⎟
VT⎝I p ⎠
= 2λ 0 gˆTI
q
⋅
⎛q⎞
⎜ ⎟
UT⎝I p ⎠
p
,
p
(3.5.34)
из которой будет следовать представление для коэффициента αp:
⎛q⎞
⎜ ⎟
U T⎝I p ⎠
αp =
p
⎛q⎞
⎜ ⎟
VT⎝I p ⎠
( ∀p ≥ 1) .
(3.5.35)
p
Окажется справедливой следующая теорема.
Теорема 3.5.1. Если динамический объект с ИПХ g(t) вполне
управляем, т. е. устойчив, и его динамика на любом конечном промежутке [0, T] может быть описана точечной моделью (3.5.1) [или
(3.5.29)], то во множестве всевозможных векторов управления их RN
и вида U TI = α p ⋅ VTI с заданной и фиксированной ℓp-нормой U T p опΙ
ределится оптимальный вектор
260
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами ⎛q⎞
⎜ ⎟
U T⎝I p ⎠
=
⎛q⎞
⎜ ⎟
α p ⋅ VT⎝I p ⎠
=
q
q
q
⎡
⎤
p
p
= α p ⋅ Colon ⎢ g N I Sign g NI ,... g ( N −ν+1)I Sign g ( N −ν+1)I ,... g1I p Sign g1I ⎥ ,
⎣
⎦
(3.5.36)
который при всех p и q, связанных условием (3.5.28) доставляет максимум функционалу x(T ) (3.5.32), равный (3.5.34):
x
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
(T ) = 2λ 0 gˆTI
q
⋅
⎛q⎞
⎜ ⎟
UT⎝I p ⎠
q
= 2λ 0 ⋅ α p gˆTI ,
q
(3.5.37)
p
с представлением (3.5.35) для коэффициента αp, которое преобразуется к виду
⎛q⎞
⎜ ⎟
UT⎝I p ⎠
αp =
⎛q⎞
⎜ ⎟
UT⎝I p ⎠
p
⎛q⎞
⎜ ⎟
VT⎝I p ⎠
=
gˆTI
p
q −1
q
.
p
; q −1 =
(3.5.38)
q
p
0
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
( ) = x (t ( ) ) ( k = 1, N ) точечного N-вектора
(N)
Для координат x tkII
X
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TII
N
kII
= 2λ0 g ( Z )U
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TI
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TI
= 2λ0 ⋅ α p g ( Z )V
(3.5.39)
выходного сигнала x(t ) t ∈[0, T ] при оптимальном управлении U
(3.5.36) (оптимальной кривой «разгона») получим
x
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
( t ) = 2λ α
(N)
kII
0
k
p
q
p
∑ g ( k −ν+1)I ⋅ g( N −ν+1)I Sign g ( N −ν+1)I
ν=1
( k = 1, N )
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TI
(3.5.40)
Доказательство. По сути оно следует из теоремы 3.4.2, доказанной для невырожденного линейного преобразования вида ψ = HV ,
261
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами связывающего взаимно однозначно два вектора из RN. Именно таким
преобразованием оказывается и точечная модель (3.5.1) [или (3.5.29)]
вполне управляемого динамического объекта. Согласно теореме 3.4.2,
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TI
в RN определится оптимальный вектор управления U
вида (3.5.36),
способный при любых p и q, связанных условием (3.5.28) доставить
максимум функционалу (3.5.32) как модулю скалярного произведения
2λ 0 ( gˆTI ,U TI ) вектора gˆ TI и вектора управления U TI , равному ℓ∞-норме
X TII
∞
= x (T ) точечного вектора X TII выходного сигнала x (t )
t ∈ [0, T ] .
Вектор gˆ TI в произведении, как показано, оказывается вектор –
столбцом транспонированной передаточной матрицы g + ( Z ) ( N × N )
динамического объекта, имеющего максимальную ℓ1-норму [см.
(3.5.23)]. Искомый максимум есть предельное значение, которое, по
неравенству Гёльдера, достигает модуль скалярного произведения
в представлении функционала (3.5.32).
Найдем его, подставляя в (3.5.32) оптимальный вектор управления U
x
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TI
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
(3.5.36):
⎛q⎞⎞
⎛
⎜ ⎟
(T ) = 2λ 0 ⋅ ⎜ gˆTI ,U T⎝I p ⎠ ⎟ = 2λ 0 ⋅ α p
⎜
⎟
⎝
⎠
N
= 2λ 0 ⋅ α p ∑ g ( N −v +1)
I
v =1
q
p
N
⋅ g ( N −v +1) Sign g ( N −v +1) = 2λ 0 ⋅ α p ∑ g ( N −v +1)
I
I
I
⎛ N
= 2λ 0 ⋅ α p ⎜ ∑ g( N −v+1)
I
⎜ v =1
⎝
Здесь учтено, что
⎛q⎞⎞
⎛
⎜ ⎟
⎜ gˆ T ,VT⎝ p ⎠ ⎟ =
⎜ I I ⎟
⎝
⎠
v =1
1
q q
q
+1
p
=
q
⎞
⎟ = 2λ ⋅ α gˆ q .
0
p
TI q
⎟
⎠
(3.5.41)
q
q
= q − 1 ⇒ + 1 = q , а также представление для
p
p
функций знака:
⎧⎪ 1
= Sign g( N −v+1) = ⎨
I
g( N −v+1)
⎪⎩−1
I
g( N −v+1)
262
I
g( N −v+1) >0
I
g( N −v+1) <0
I
( v = 1, N ) .
(3.5.42)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Для ℓp-нормы оптимального вектора VT0I в (3.5.41) найдем
VT0I
p
q
⎛N
= ⎜ ∑ g( N −v +1) p Sign g( N −v+1)
I
I
⎜ v=1
⎝
⎛ N
⎜∑g
⎜ v=1 ( N −v+1)I
⎝
1
q q
p
1
1
⎞p
q p
N
⎞
⎟ =⎛∑ g
⎜
N −v +1)I ⎟ =
(
⎟
⎝ v=1
⎠
⎠
q
⎞p
⎟ = gˆ
TI
⎟
⎠
q
p
q
= gˆTI
q −1
q
,
(3.5.43)
и, следовательно, для коэффициента αp окажется справедливым представление (3.5.38).
Осталось показать справедливость представления (3.5.40) для
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TII
при оптимальном управлекомпонент точечного N-вектора X = X
нии (3.5.36). По точечной модели (3.5.1) будем иметь следующее развернутое представление N-вектора X T0 :
0
TII
II
X T0II = 2λ 0 g ( Z )U T0I = 2λ 0 ⋅ α p g ( Z )VT0I =
⎡ g1I
⎢
⎢ g 2I
⎢
= 2λ0α p ⎢
⎢ g( k −v+1)
I
⎢
⎢
⎢ g
N
⎢⎣
g1I
g 2I
g( k −v+1)
g1I
I
Можно видеть, что его координаты x
g 2I
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥V 0 .
⎥ TI
⎥
⎥
g1I ⎥⎥
⎦
(3.5.44)
(t ( ) ) ( k = 1, N ) действиN
kII
тельно определяются формулой (3.5.40). Этим закончим доказательства утверждений теоремы, однако дополним его следующим замечанием.
Замечание. Оно было отмечено ранее (см. п. 3.3) как свойство
оптимальных управлений релейного типа принадлежать классу ку263
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами сочно-постоянных функций, т. е. иметь ограничение по амплитуде (по
ℓ∞-норме) в каждом из n интервалов, на которые каким-то образом
может быть разбит промежуток управления [0, T], переключаясь поинтервально с амплитудного значения одного знака на такое значение, но другого знака.
Это свойство оптимальных управлений как функций времени, определенных на [0, T], находит свое отражение в их точечно-векторных
изображениях, представляя их координаты через функции знака –
функции переключения. Восстановление таких оптимальных управлений, как функции времени, по их найденным точечно-векторным изображениям, выполненное в форме сплайновых представлений нулевой
степени и будут давать им соответствующий «релейный» вид.
Однако и в общем случае оптимальные управления как функции
времени из заданного класса допустимых управлений могут быть восстановлены по их найденным точечно-векторным изображениям в соответствии с общим подходом метода точечных представлений
в форме сплайновых приближений нулевой степени, получая в результате ступенчатый график.
В таких случаях возможно и восстановление в виде непрерывных кривых, что и будет рассмотрено далее.
Отметим некоторые частные случаи, определяемые выбором частных значений отношения
⎞
q
q ⎛
0
≤
<
∞
⎜
⎟ параметров p и q, связанp
p ⎝
⎠
ных условиями (3.5.28) существования неравенства Гёльдера (3.5.27).
Сделаем это, решая как иллюстративные примеры возникающие
задачи оптимального управления объектом с ИПХ g (t ) t ∈ [0, T ] вида
затухающего колебательного процесса
g (t ) = e − at cos bt t ∈ [0, T ]
(3.5.45)
и точечным изображающим N-вектором gTI , ассоциированным с че2v − 1
N
= λ0 ( 2v − 1) , v = 1, N :
бышевской N-сеткой I рода (3.5.3) tv(I ) = T
2N
(
N
N
N
TI
→ gTI = Colon ⎡ g1(I ) ,...g v(I ) ,...g N( I ) ⎤ ,
g ( t ) ⎯⎯
⎣
⎦
где
264
( )
(
)
(3.5.46)
)
N
− aλ 2 v −1
g tv(I ) = e 0 ( ) cos bλ 0 ( 2v − 1) , v = 1, N .
(3.5.47)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Вектор gTI (3.5.46) является элементным N-вектором тёплицевой
матрицы g ( Z ) ( N × N ) точечной модели объекта управления
т. е.
X TII = 2λ 0 g ( Z )U TI ,
(3.5.48)
gTI = g ( Z ) e1 ,
(3.5.49)
а X TII есть точечный изображающий N-вектор выходного сигнала объекта, ассоциированный, с чебышевской N-сеткой II рода (3.5.5):
k
N
tk( II ) = T = 2λ0k , k = 1, N . т. е.
N
(
)
( ) ( )
N
N
TII
→ X TII = Colon ⎡ x t1(II ) ,...x tk( II ) ,...x (T ) ⎤ .
x ( t ) ⎯⎯
⎣
⎦
(3.5.50)
Последняя координата этого вектора, т. е. значение x (T ) выходного сигнала объекта в конце временного промежутка [0, T], определится по модели (3.5.48) формулой
(
)
(
)
(
)
xN II = x(T ) = X TII , eN = 2λ 0 g ( Z )U TI , eN = 2λ 0 U TI , g + ( Z )eN =
(
)
= 2λ 0 U TI , gˆ TI ,
(3.5.51)
т. е. представляется в виде скалярного произведения точечного Nвектора управления U TI (3.5.2) и инверсного точечного системного Nвектора
(3.5.52)
gˆ T = g + ( Z )eN = Colon ⎡ g N ,...g ( N −v +1) ,...g1 ⎤
I
⎣
I
I
I
⎦
с обратным порядком следования координат по сравнению с таковым
у вектора (3.5.46) [см. (3.5.13)].
Итак, в качестве иллюстрации к теореме 3.5.1 рассмотрим задачи
оптимального управления динамических объектов с заданной ИПХ вида
(3.5.45) и точечной моделью (3.5.48) при некоторых значениях параметров p и q (их отношения
q
≥ 0 ), подчиненных условию (3.5.28).
p
Проведенные расчеты и полученные результаты позволяют сделать сравнение вариантов. Решались варианты экстремальной задачи
265
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами по определению управлений динамическим объектом, способных за
заданный промежуток времени [0, T] вывести его из состояния покоя
на максимально возможный уровень конечного значения x(T ) max выходного сигнала x (t ) t ∈ [0, T ], определяемого как предельное значение в неравенстве Гёльдера для функционала (3.5.32) при разных частных значениях отношения
деляют ограничение на
U
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TΙ
p
q
= q − 1 . Выбор этого отношения опреp
-норму точечного вектора управления
= K p и связь векторных норм соответствующего варианта
p
U
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TΙ
= α p gˆ TI
q −1
q
p
⎛q
⎞
; ⎜ = q − 1⎟ ,
⎝p
⎠
(3.5.53)
а также само максимальное значение
x (T ) max = x
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
(T ) = 2λ 0 gˆ TΙ
⋅U
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TΙ
.
(3.5.54)
Будем сравнивать эти значения при различных
q
= q − 1, предp
q
p
полагая, однако, неизменными при этом значения
оптимального управления U
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TΙ
U
p
-норм вектора
:
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TΙ
= K p = NU = const .
(3.5.55)
p
Эта постоянная будет характеризовать возможности управляющего воздействия. В результате для всех выбранных
q
= q −1
p
при t = T на выходе динамической системы будем иметь следующие
величины:
266
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами x
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
(T ) = 2λ0 NU ⋅
gˆTI , ( q ≥ 1) .
(3.5.56)
q
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
Это – максимально возможные значения x(T ) max = x (T ) , которые может получить выходной сигнал x (t) динамической системы
в конце временного промежутка [0, T] при воздействии различных
управлений U
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
TΙ
, определяемых выбором отношения
q
= ( q − 1) ≥ 0 , но
p
с фиксированной при этом ℓp-нормой (3.5.55).
Эффективность выбранных оптимальных управлений можно
оценить, сравнивая соответствующие значения величин (3.5.56), т. е.
по критерию оптимальности поставленной задачи при различных ее
вариантах.
Для рассмотренного иллюстративного примера (см. прил. 2)
и для выбранных значений отношения
q
= ( q − 1) ≥ 0 в предположении
p
(3.5.55) будем иметь
1)
q
= 0; q = 1; p = ∞,
p
x( 0 ) (T ) = 2λ 0 NU ⋅ gˆTI = 2λ 0 NU ⋅ 1,712;
1
2)
q 1
3
= ; q = ; p = 3,
p 2
2
x
3)
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
(T ) = 2λ 0 NU ⋅
gˆTI
= 2λ 0 NU ⋅ 0,9896;
q
= 1; q = 2; p = 2,
p
1
x( ) (T ) = 2λ 0 NU ⋅ gˆTI
4)
3
2
2
= 2λ 0 NU ⋅ 0,7869;
3
= 2λ 0 NU ⋅ 0,6567.
q
3
= 2; q = 3; p = ,
p
2
2
x( ) (T ) = 2λ 0 NU ⋅ gˆ TI
(3.5.57)
267
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Можно видеть, что при принятых условиях с ростом выбираемых значений
q
= ( q − 1) эффективность соответствующих оптимальp
ных управлений падает, т. к. уменьшаются значения (3.5.56), являющиеся мерами их оптимальности.
Наибольший эффект будем иметь при варианте 1, когда
q
=0
p
и q = 1 т. е. при управлении релейного типа.
Можно видеть также последовательное убывание значений ℓqнорм вектора gˆ TI с ростом показателя q ≥ 1 начиная с максимального
значения ℓ1-нормы gˆ TI . Этот факт имеет место и в общем случае
1
и должен быть отмечен как характерное свойство гёльдеровских норм
всякого вектора
X = Colon[ x1 ,...xk ,...x N ] ∈ RN
( N ≥ 1) .
(3.5.58)
Будет справедливым следующее утверждение.
Утверждение 3.5.1. Из всех ℓq-норм вектора X (3.5.58)
( ∞ ≥ q ≥ 1) наибольшее значение будет иметь его ℓ1-норма, а наименьшее – ℓ∞-норма, т. е. неравенству для показателя q будет соответствовать, инверсно неравенство и для ℓq-норм:
X 1≥ X
≥ X
q
∞
1
q
q⎞
⎛
⇔ ∑ xk ≥ ⎜ ∑ xk ⎟ ≥ max xk ,
k
k =1
⎝ k =1
⎠
N
N
(3.5.59)
причем с ростом q будем иметь убывающую последовательность ℓqнорм
X q ≥ X q при всех 1 ≤ q1 < q2 ≤ ∞ и N ≥ 1 .
(3.5.60)
1
2
Доказательство. Введем в рассмотрение N-вектор вида (3.5.58),
максимальная по модулю координата которого равна 1, т. е. выполняется условие
Max xk = x M = 1,
k
(3.5.61)
а значения всех других его координат по модулю единицы не превышают.
268
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Обозначим такой вектор символом
1
1
1
1
1
X ( ) = Colon ⎡ x1( ) ,...xk( ) ,...xN( ) ⎤ при max xk( ) = 1 .
⎣
⎦
k
(3.5.62)
Для всех таких векторов и всех q ≥ 1 будут выполнятся неравенства
N
(1)
N
(1)
∑ xk ≥ ∑ xk
k =1
q
k =1
q
q
N
⎛N 1 ⎞
1
≥ 1 ⇒ ⎜ ∑ xk( ) ⎟ ≥ ∑ xk( ) ≥ 1,
⎝ k =1
⎠ k =1
а также доказываемое неравенство (3.5.59) для вектора X (1) частного
вида (3.5.62):
1
q q
N
1
1
(1) ⎛
(1) ⎞
∑ xk ≥ ⎜ ∑ xk ⎟ ≥ 1 ⇔ X ( ) 1 ≥ X ( )
k =1
⎝ k =1
⎠
N
q
≥ 1 ( q ≥ 1) .
(3.5.63)
Но это частное неравенство доказывает и общее неравенство
(3.5.59), т. к. оказывается ему эквивалентным. Действительно, умножим его на положительную скалярную величину Max xk = x M >0.
k
Тогда возникшее неравенство
⎛
N
q
N
1
⎞q
(1)
(1)
xk
∑ x M ⋅ xk ≥ ⎜ ∑ ⎡⎣ x M ⋅ xk ⎤⎦ ⎟ ≥ x M = Max
k
k =1
k =1
⎝
⎠
(3.5.64)
будет эквивалентным исходному и получит вид (3.5.59), если обозначить xM ⋅ xk(1) = xk ( k = 1, N ) .
Осталось показать справедливость неравенства (3.5.60):
X
q1
≥ X
⎛
⇔ ⎜ ∑ xk
⎝ k =1
N
q2
1
q
q1 ⎞ 1
⎛
⎟ ≥ ⎜ ∑ xk
⎠
⎝ k =1
N
1
q
q2 ⎞ 2
⎟
⎠
(1 ≤ q1 <q2 ≤ ∞ ) .
(3.5.65)
Можно видеть, что оно будет выполняться для всякого Nвектора X (1) (3.5.62) с единичной максимальной координатой и всяких показателей q1 и q2, подчиненных условию (1 ≤ q1 < q2 ≤ ∞):
1
1
⎛ N (1) q1 ⎞ q1 ⎛ N (1) q2 ⎞ q2
⎜ ∑ xk ⎟ ≥ ⎜ ∑ xk
⎟ .
⎝ k =1
⎠
⎝ k =1
⎠
(3.5.66)
269
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Умножим его на максимальную по модулю координату вектора
X (3.5.58), т. е. на положительную величину Max xk = x M >0. В реk
зультате получим эквивалентное неравенство вида
1
1
N
⎛N
(1) q1 ⎞ q1 ⎛
(1) q2 ⎞ q2
x
⋅
x
≥
x
⋅
x
⎜∑ M k ⎟
⎜∑ M k
⎟ (1 ≤ q1 <q2 ≤ ∞ ) ,
⎝ k =1
⎠
⎝ k =1
⎠
(3.5.67)
которое и окажется доказываемым неравенством (3.5.65), если, как
и раньше, обозначить
q
1
1
x M ⋅ xk( ) = xk ⇒ ⎡ x M ⋅ xk( ) ⎤ = xk
⎣
⎦
q
( k = 1, N ).
(3.5.68)
На этом доказательство утверждения закончим.
Вернемся теперь к задачам оптимального управления устойчивыми линейными динамическими объектами, заданными своими
ИПХ g (t) на конечном временном промежутке [0, T]. Оптимальность
процесса управления U (t) понимается в смысле его способности вывести объект из состояния покоя на максимально возможный уровень
значений его выходного сигнала x (t) за время Т с, [т. е. величиной
x (T ) max ], имея ограниченный ресурс, определенный заданием величины некоторой функциональной нормы U L . Критерием оптимальp
ности будет служить величина x(T ) max . Чем она больше при данных
условиях, тем эффективней оптимальное управление.
На языке метода точечных представлений оказалось возможным
заданием отношения
q
= ( q − 1) ≥ 0 определить целый класс задач опp
тимального управления в указанном смысле как экстремальных задач
линейной алгебры.
Их решение определено утверждениями теоремы 3.5.1. Так, если
зафиксировать
p
-нормы
⎛q⎞
⎜ ⎟
U T⎝I p ⎠
N-вектора управления
⎛q⎞
⎜ ⎟
UT⎝I p ⎠
некото-
p
рым значением, полагая
⎛q⎞
⎜ ⎟
UT⎝I p ⎠
= NU при различных
p
270
q
= ( q − 1) ≥ 0, то
p
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами для критериев оптимальности x(T ) max будем иметь представления
(3.5.56):
x
⎛q⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
(T ) = 2λ0 NU ⋅
gˆTI
q
= x (T ) max , ( q ≥ 1) ,
т. е. их значения будут определяться величинами ℓq-норм gˆ TI
(3.5.56)
q
= gTI
q
системного вектора gTI при различных q ≥ 1 .
Но значения этих норм согласно утверждению 3.5.2 убывают
⎛q
⎞
= 0; p = ∞ ⎟ , равный
⎝p
⎠
с ростом q, имея максимум при q = 1 ⎜
N
N
v =1
v =1
gˆTI = ∑ g( N −v+1) = ∑ gvI ,
1
I
(3.5.69)
и, следовательно, максимум критерия оптимальности (3.5.56) при
⎛q
⎞
q =1 ⎜ = 0⎟
⎝p
⎠
N
x0 (T ) = 2λ0 ⋅ NU ⋅ gˆTI = NU ⋅ 2λ 0 ∑ g( N −v+1) .
1
I
v =1
(3.5.70)
Это – случай оптимального управления релейного типа
0
U T(I ) = α ∞ ⋅ Colon ⎡Sign g N I , ⋅⋅ ⋅Sign g( N −v+1) , ⋅⋅ ⋅Sign g1I ⎤ , (3.5.71)
⎣
⎦
I
⎛q
⎞
= 0; p = ∞ ⎟
⎝p
⎠
где для α∞ согласно (3.5.38) при q = 1 ⎜
α ∞ = U T(I )
0
Этот случай
∞
= Max U v = NU .
v
(3.5.72)
q
= 0 должен быть выделен из всех возможных ваp
риантов оптимального управления, возникающих при различных других значениях
q
> 0 не только как наиболее эффективный по приняp
271
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами тому критерию, но еще и потому, что он, по существу, порождает целый класс двойственных задач, известных под названием задач о максимальном быстродействии.
Имеем следующую ситуацию. Связь «вход – выход» для управляемого линейного и устойчивого динамического объекта с заданной
ИПХ g ( t ) и, следовательно, с заданной передаточной функцией ПФ
∞
W ( p ) = ∫ e − pt g ( t ) dt
(3.5.73)
0
и ВЧХ
∞
G ( ω) = ReW ( jω) = Re ∫ e
− jωt
0
∞
g ( t ) dt = ∫ g ( t ) cos ωtdt ,
(3.5.74)
0
представим в классической форме – в виде интеграла свертки
t
x(t ) = ∫ g (t − η)U (η)d η; x(0) = 0 .
(3.5.75)
0
В конце временного промежутка [0, T] выходной сигнал x ( t )
может получить максимально возможное значение, определяемое как
оценка возникшего определенного интеграла:
T
T
0
0
x (T ) = ∫ g (t − η)U (η)d η ≤ Max U (t ) ⋅ ∫ g (T − t ) dt =
t∈[0,T ]
T
T
0
0
= NU ⋅ ∫ g (T − t ) dt =NU ⋅ ∫ g (t ) dt .
(3.5.76)
Таким образом, x (T ) max определится представлением
T
T
0
0
x (T ) max = NU ⋅ ∫ g (T − t ) dt = NU ⋅ ∫ g ( t ) dt = NU ⋅ g
L1
(T ) .
(3.5.77)
Но возникшие определенные интегралы приближенно (точно
при N → ∞ ) будут равны своим квадратурным значением, построенным на чебышевской N-сетке I рода:
T
T
0
0
∫ g (T − t ) dt = ∫ g ( t ) dt ≈
272
T N
T N
∑ g( N −v+1)I = ∑ g vI =
N v=1
N v=1
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами = 2λ 0 gˆTI = 2λ 0 gTI ,
1
(3.5.78)
1
т. е. для L1-нормы ИПХ g ( t ) , определенной на конечном промежутке
[0, T], при достаточно больших N будем иметь сколь угодно точное
представление
T
g
L1
(T ) = ∫ g ( t ) dt = 2λ 0 gˆTI ,
1
0
(3.5.79)
и, следовательно, для рассматриваемой задачи оптимального управления релейного типа (3.5.71) значение критерия оптимальности
(3.5.70) может быть записано в виде
x (T ) max = x
( 0)
(T ) = NU ⋅ 2λ0
T
gˆTI = NU ⋅ ∫ g ( t ) dt ,
1
(3.5.80)
0
т. е. окажется возрастающей функцией аргумента T (рис. 3.5.1), т. к.
0
d x( ) (T )
dT
= NU ⋅ g (T ) ≥ 0,
(3.5.81)
асимптотически стремящейся к значению
NU ⋅ g
L1
T
0
d x ( ) (T )
0
dT
= NU ⋅ ∫ g ( t ) dt ;
x (T )
NU g
max
T →∞
⎯⎯⎯
→0 .
(3.5.82)
0
= x( ) (T )
L1
0
x ( ) (T1 )
0
Т1
Т
Рис. 3.5.1
273
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Зададимся некоторым значением x ( 0 ) (T ) < NU g
L1
. Тогда при за-
данной норме NU управления релейного типа найдется такое значение
времени T1, что выходной сигнал
0
x( ) (T )
достигнет указанного значе-
ния, как максимально возможного, именно за время T1 (см. рис. 3.5.1).
И это время T1 при заданной норме NU управления U (t ) нельзя
уменьшить. Это можно сделать, лишь увеличив NU – естественный
эффект от увеличения нормы управляющего воздействия:
0
x( ) (T1 )
NU
T1
= ∫ g ( t ) dt = 2λ 0 ⋅ gˆTI < g
1
0
L1
.
(3.5.83)
Таким образом, рассмотренная задача о максимально возможном отклонении динамического объекта от состоянии покоя за время
T1 заданным управлением релейного типа, имеет двойственную трактовку.
Существует оптимальное управление релейного типа (3.5.71)
с некоторой ℓ∞-нормой U T(I0) = α∞ = NU , способное вывести динами∞
TI
ческий объект с ИПХ g ( t ) ⎯⎯→ gTI из состояния покоя x(0) = 0 на заданный уровень
T
0
x( ) (T ) = 2λ 0 gˆTI ⋅ NU = NU ⋅ ∫ g ( t ) dt
1
(3.5.84)
0
за минимально возможное время T при заданной размерности N всех
точечных представлений задачи, которая и будет задачей о максимальном быстродействии.
Ее решение также определится формулами теоремы 3.5.1 и своT
дится к определению неизвестного параметра λ 0 =
, точнее, вели2N
чин Т – времени (длительности) оптимального процесса управления,
цель которого, говоря иначе, достижение выходным сигналом за время Т своего максимально возможного значения x ( 0 ) (T ) (3.5.84).
Величину Т можно найти, решая (приближенно!) уравнение
(3.5.84) при заданном аналитическом представлении ИПХ
g ( t ) t ∈ [ 0, T ] . Но такой способ трудно реализуем.
274
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Величину Т будем рассматривать как параметр финитности
ИПХ g ( t ) определенной на [0, T], который согласно теореме Котельникова будет однозначно связан с показателем финитности ω0 ВЧХ
G (ω) = G (ω0 x ) x ∈ [0,1] управляемого динамического объекта как косинус-преобразование
Фурье
финитной
функции-оригинала
g ( t ) = g (T τ ) τ∈ [ 0,1]:
T
T
0
0
G ( ω ) = ∫ g ( t ) cosωt dt ⇒ G ( ω0 x ) = ∫ Tg (T τ ) cos N πxτ dt .
(3.5.85)
Показатели финитности Т и ω0 спектрально-инверсной пары
функций { g (T τ ) ; G ( ω0 x )} будут связаны между собой и размерностью
N точечных представлений согласно теореме Котельникова следующими равенствами:
T
π
π
π
=
⇒ T = N ; 2λ 0 = .
N ω0
ω0
ω0
(3.5.86)
Этим определится и соответствующая спектрально-инверсная
пара точечных N-векторов GT(IN ) ; gT(IN ) , по которым финитные функ-
{
}
ции пары могут быть приближенно восстановлены в форме интерполяционных конструкций.
Может быть определено и управление U T(I0) релейного типа
(3.5.71), т. к. для функций знака
⎧⎪1 g( N −v +1) >0
I
v = 1, N
Sign g( N −v+1) = ⎨
I
g
1
<0
−
( N −v +1)I
⎪⎩
(
)
(3.5.87)
приближенность найденных значений координат N-вектора gˆ T( IN ) роли
не играет.
Такой подход к решению задачи об оптимальном управлении
устойчивым динамическим объектом в смысле максимального быстродействия легко реализуется и является весьма конструктивным при
задании объекта передаточной функцией (ПФ) W ( p) (3.5.73), по которой без затруднений определятся и его ВЧХ G ( ω) (3.5.74), и его об275
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами ласть ( −ω0 , ω0 ) существенных частот, т. е. параметр финитности ω0,
а также в силу связей (3.5.86) параметры Т и λ 0 при заданном N.
Далее может быть найден точечный N-вектор GT(IN ) и его спектрально-инверсная пара gT( IN ) и, следовательно, вектор U T(I0) (3.5.71) оп-
тимального управления.
Реализуем такой подход, продолжая иллюстративный пример
прил. 2.
Проведенные расчеты убедительно показывают его эффективность даже при сравнительно небольшой размерности использованной чебышевской N-сетки (N = 8).
3.6. Точечно­векторные и формульные представления сигналов и теорема Котельникова Решения всякой задачи, полученные по методу точечных представлений, т. е. в форме точечных изображающих векторов, предполагает восстановление изображаемых функций-оригиналов в той или
иной форме.
Не являются исключением и решенные задачи оптимального
управления линейными динамическими объектами.
В задачах приближенного восстановления функциональных связей различного рода, заданных в пространстве М [0, T] по соответствующим связям в формах точечных представлений, особо выделен
вариант сплайновых приближенных моделей нулевой степени – ступенчатых форм, образующих не только Sup-нормированное пространство Sp N0 ( 0, T ) , но и коммутативную алгебру АSpN0 относительно операции обычного умножения, причем при любых N.
Эта алгебра становится изометрически изоморфной при любых
N алгебре ART(IN ) соответствующих точечных векторов, ассоциированных с чебышевской N-сеткой I рода, при их покоординатном умножении в качестве второй бинарной операции имеем также алгебраический гомоморфизм функциональной алгебры АМ на алгебру ART(IN )
и АSpN0 . При N → ∞ все эти алгебраические структуры оказываются
изометрически изоморфными, т. к. при этом сплайновые приближе276
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами ния Sp 0 ( fTΙ ; t ) t ∈ [0, T ] становятся точными для любой функции f (t) из
М [0, T], т. е. их последовательность будет сходиться почти всюду
к f (t), а если функция непрерывна на [0, T], то и равномерно.
Такую же алгебраическую ситуацию будем иметь и при использовании смежной чебышевской сетки II рода. В этом случае, однако,
(и при включении в число узлов N-сетки точки t = 0) представляет интерес также выбор в качестве приближающих конструкций – сплайновые модели 1-й степени.
В этом случае функция восстанавливается в виде ломаной кривой, составленной из отрезков прямых, что более точно, чем это делает ступенчатая модель [78].
Однако такие модели, образуя линейное нормированное пространство, алгебры уже не образуют, т. к. не замкнуты относительно
операции умножения. Будем иметь лишь гомоморфное отображение
пространств. Эти модели в отличие от сплайнов нулевой степени не
способны представлять нелинейные операции, хотя и являются точными приближенными интерполяционными моделями.
Существует еще один аспект приближенного представления функций из М [0, T] по их точечно-векторным изображениям. Он связан
с преобразованием Фурье – важным аппаратом современной прикладной
математики, определившим «частотную» трактовку разнообразных физических явлений. Этот аппарат применительно к задачам приближенного моделирования функций по их точечным представлениям, ассоциированным с чебышевскими N-сетками, подробно рассмотрен в работе [78].
Имеются в виду финитные спектрально-инверсные точечные
представления, связанные между собой в силу косинус-преобразований
Фурье. Отметим коротко некоторые полученные результаты.
Рассмотрим пару взаимно обратных косинус-преобразований
Фурье:
∞
G ( ω) = ∫ g ( t ) cos ωtdt ;
0
2∞
g ( t ) = ∫ G ( ω) cos ωtd ω ,
π0
⎫
а) ⎪
⎪
⎬
б)⎪
⎭⎪
(3.6.1)
предполагая принадлежность преобразуемых функций пространству
L1 (0, ∞ ) и полную идентичность их свойств. Пара функций (3.6.1) названа спектрально-инверсной парой.
277
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Функция G ( ω) из L1 (0, ∞ ) в физических приложениях обычно
имеет смысл частотной характеристики временного процесса
g ( t ) ∈ L1 ( 0, ∞ ) и оказывается фактически полностью определенной на
конечном частотном промежутке ( 0, ω0 ) ω0 <∞ и с большой точностью
может рассматриваться как финитная и четная функция, определенная на [ −ω0 ,ω0 ] [78].
При этом отбрасываемый «хвостик» G ( ω) , ω >ω0 оказывается
столь мало значимым, что им при образовании функции-оригинала
g ( t ) в (3.6.1б) можно пренебречь, допуская некоторую ошибку, оцениваемую малой величиной εt (t ) > 0 для всех t ∈ [0, ∞), т. е. будем
иметь
∞
2 ω0
g ( t ) − ∫ G ( ω) cos ω td ω = ∫ G ( ω) cos ω td ω ≤ εt ( t ) t ∈ [0, ∞). (3.6.2)
π0
ω0
Но временная функция g (t ) t ∈ [0, ∞) с финитной частотной характеристикой G ( ω ) = G ( ω ) , ω ≤ ω0 согласно теореме Котельникова
[109, 78] вполне определяется множеством (совокупностью) своих
мгновенных значений, следующих друг за другом через промежуток
Δt =
π
, т. е. отсчетами
ω0
⎛ π ⎞
g ( tk ) = g ( k ⋅ Δt ) = g ⎜ k ⎟ ( k = 0,1,2,...) .
⎝ ω0 ⎠
(3.6.3)
В связи с формульной идентичностью преобразований (3.6.1)
и полным «равноправием» функций этой спектрально-инверсной пары по всем их свойствам, все рассуждения, проведенные для функции
G ( ω) , могут быть повторены и для функции g ( t ) ∈ L1 ( 0, ∞ ) . В частности, доопределим ее до четной, полагая g ( t ) = g ( t ) , t >0 и, поскольку
lim g ( t ) = 0 , получаем основание рассматривать ее как финитную,
t →∞
определенную на конечном промежутке [0, Т], за пределами которого
значения функции оказываются малыми и ими можно пренебречь,
допуская некоторую ошибку при образовании функции G ( ω) спектрально-инверсной пары (3.6.1). Аналогично (3.6.2) будем иметь
278
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами T
∞
0
T
G ( ω) − ∫ g ( t ) cos ωtdt = ∫ g ( t ) cos ωtdt ≤ εω ( ω) ; ∀ω∈ [ 0, ω0 ].
(3.6.4)
Но финитная теперь функция g ( t ) , t ∈ [ 0, T ] с финитной же спектральной характеристикой G ( ω) , ω∈ [ 0, ω0 ] согласно теореме Котельникова будет определяться теперь конечным набором своих отсчетов,
следующих через Δt =
π
.
ω0
На конечном отрезке [0, Т] таких отсчетов будет N, поэтому
окажется
T = N Δt = N
T
π
π
ω
π
⇒ 2λ 0 = Δt = =
⇒ 0= .
N ω0
N T
ω0
(3.6.5)
Но теорему Котельникова можно применить и к финитной
функции G ( ω) , ω∈ [ 0, ω0 ] , считая ее оригиналом в паре (3.6.1), а также
финитную функцию g ( t ) , t ∈ [ 0, T ] – ее спектральной характеристикой.
Это будет обозначать, что функция G(ω) на отрезке [0, ω0] полностью
определится своими N отсчетами, следующими друг за другом через
ω
π
промежуток Δω = 0 = , т. е. отсчетами
N T
⎛ π⎞
⎛k
⎞
G ( ωk ) = G ( k ⋅ Δω) = G ⎜ k ⎟ = G ⎜ ω0 ⎟ ( k = 0,1,2,...N ) .
⎝ T⎠
⎝N ⎠
(3.6.6)
Введем новые переменные, полагая
t = T τ; ω = ω0 x и ωt = ω0Txτ = N πxτ.
(3.6.7)
Тогда для финитной спектрально-инверсной пары
{ g (T τ ) ; G ( ω0 x )} , τ∈ [0,1];
x ∈ [ 0,1]
(3.6.8)
получим интегральные представления
⎛ π ⎞ 1
G ( ω0 x ) = G ⎜ N x ⎟ = ∫ Tg (T τ ) cos N πxτd τ ,
⎝ T ⎠ 0
1
⎛ π ⎞
Tg (T τ ) = 2 N ∫ G ⎜ N x ⎟ cos N πxτdx ,
T ⎠
0 ⎝
⎫
x ∈ [0,1]; а) ⎪
⎪
⎬
τ∈ [0,1]. б ) ⎪
⎪⎭
(3.6.9)
279
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Эти косинус-преобразования финитных функций естественным
образом вписываются в эффективный аналитический аппарат всего метода точечных представлений на основе чебышевских N-сеток, что
в значительной степени связано с фактом их ортогональности [78]. Последнее определяется ортогональностью систем косинусов. Важную
роль играет также тот факт, что чебышевские сетки I и II рода на конечных промежутках образуют множества точек, указанных теоремой Котельникова, отчеты функций в которых способны наилучшим образом
описывать спектрально-инверсные пары финитных функций (3.6.8).
В тех случаях, когда необходимо отметить это свойство чебышевских сеток, будем говорить об их «стрельниковости».
По представлениям (3.6.9) найдем значения функций пары
(3.5.52)в узлах чебышевских (N + 1)-сеток II рода:
τ(kNII ) =
k
k
и xk( IIN ) =
(k = 0, N ) ,
N
N
(3.6.10)
образующих на отрезках [0, Т] и [ 0,ω0 ] осей t и ω, первоначально заданных независимых переменных пары функций (3.6.1), множества
«стрельниковских» значений:
k T
⎫
= k = Δt ⋅ k = 2λ 0k ; а) ⎪
⎪
N N
⎬ (k = 0, N ).
π
k ω0
= ω0 =
= Δω⋅ k = k ; б) ⎪
⎪⎭
N N
T
tk(IIN ) = T τ(kNII ) = T
ω(kNII )
=
ω0 xk( IIN )
(3.6.11)
Итак, найдем
⎛ π⎞ 1
G ω0 xk( IIN ) = G ⎜ k ⎟ = ∫ Tg (T τ ) cos k πτd τ ;
⎝ T⎠ 0
1
⎛ T ⎞
⎛ π ⎞
(N)
Tg T τkII = Tg ⎜ k ⎟ = 2 N ∫ G ⎜ N x ⎟ cos k πxdx;
T ⎠
⎝ N⎠
0 ⎝
(
)
(
)
⎫
а) ⎪
⎪
⎬ (k = 0, N ). (3.6.12)
б)⎪
⎪⎭
Но четные подынтегральные функции могут рассматриваться
как 2-периодические по переменным τ и x [78]. Тогда значения
(3.6.12) инверсно получают смысл коэффициентов Фурье этих четных
2-периодических функций, и они получают представления в виде
сумм Фурье:
280
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами N
⎫
⎛ π ⎞
⎛ T ⎞
2 NG ⎜ N x ⎟ = Tg (0) + 2 ∑ Tg ⎜ k ⎟ cos k πx, x ∈ [0,1]; а) ⎪
k =1
⎝ T ⎠II
⎝ N⎠
⎪
⎬ (3.6.13)
N
⎛ π⎞
Tg (T τ )II = G (0) + 2 ∑ G ⎜ k ⎟ cos k πτ, τ∈ [0,1].
б )⎪
⎪⎭
k =1 ⎝ T ⎠
Эти суммы, как известно, являются наилучшими аналитическими приближениями 2-периодических функций в смысле метрики
гильбертова пространства L2 (0,1) . Из косинусных функций в (3.6.13)
составим вектор-функции
⎫
⎡1
⎤
CII( N ) ( x) = Colon ⎢ ,cos πx,...cos νπx,...cos N πx ⎥ ; a) ⎪
⎣2
⎦
⎪
⎬
⎡1
⎤
(N )
CII (τ) = Colon ⎢ ,cos πτ,...cos νπτ,...cos N πτ ⎥ б) ⎪
⎪⎭
⎣2
⎦
(3.6.14)
и введем точечные векторы, ассоциированные с чебышевскими (N + 1)сетками II рода (3.6.10):
⎫
⎡
⎛ π ⎞
⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎤
TII
(N)
G ⎜ N x ⎟ ⎯⎯
→
G
=
Colon
G
0
,
⋅
⋅
⋅
G
k
,
⋅
⋅
⋅
G
N
;
а
)
(
)
⎜
⎟
⎜
⎟⎥
⎪
TII
⎢
⎝ T ⎠ II ∼
⎝ T⎠
⎝ T ⎠⎦
⎣
⎪
⎬ (3.6.15)
⎡
⎤
T
⎛
⎞
TII
(N)
g (T τ )II ⎯⎯
б )⎪
∼ → gTII = Colon ⎣⎢ g ( 0 ) , ⋅ ⋅ ⋅g ⎝⎜ k N ⎠⎟ , ⋅ ⋅ ⋅g (T ) ⎦⎥ .
⎭⎪
Тогда суммы (3.6.8) могут быть записаны в виде скалярных
произведений введенных векторов:
(
)
⎛ π ⎞
N
N
2 N ⋅ G ⎜ N x ⎟ = 2T gT(II ) , CII( ) ( x ) ;
⎝ T ⎠ II
(
)
N
N
Tg (T τ )II = 2 GT(II ) , CII( ) ( τ ) .
⎫
а) ⎪
⎪
⎬
б ) ⎪⎪
⎭
(3.6.16)
Таким образом, точечные векторы (3.6.15), ассоциированные
с чебышевской (N + 1)-сеткой II рода (3.6.10), которая оказывается
также «стрельниковским» набором точек в промежутке [0, 1], способны представить спектрально-инверсную пару финитных функций
(3.6.8) в виде сумм Фурье (3.6.13) и (3.6.16) – наилучших приближающих представлений этих функций.
281
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Из (3.6.16) следуют представления для координат точечных век⎛
⎝
торов (3.6.15) ⎜ λ 0 =
T
⎞
; T = 2 N λ0 ⎟ :
2N
⎠
(
+
⎫
⎡ ( N ) ⎛ k ⎞⎤
N
= 2λ 0 ⎢CII ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ gT(II ) ; а ) ⎪
⎝ N ⎠⎦
⎣
⎪
⎬
+
⎪
1 ⎡ ( N ) ⎛ k ⎞⎤
N
C ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ GT(II ) , б ) ⎪
=
⎢
N λ0 ⎣
⎝ N ⎠⎦
⎭
( ))
⎛ π N ⎞
⎛π ⎞
N
N
N
G ⎜ N xk( II ) ⎟ = G ⎜ k ⎟ = 2λ 0 gT(II ) , CII( ) xk( )
⎝ T
⎠ II
⎝ T ⎠II
(
g T τ(kII )
N
)
II
(
( ))
1
⎛T ⎞
N
N
N
GT(II ) , CII( ) τ(k )
= g⎜ k⎟ =
⎝ N ⎠II N λ 0
(3.6.17)
а сами векторы получат представление в виде взаимно связывающих
линейных преобразований
N
N
N
GT(II ) = 2λ 0 ⋅ CII( ) ⋅ gT(II ) ;
gT( II ) =
N
1
N
N
⋅ CII( ) ⋅ GT(II ) ,
N λ0
а) ⎫
⎪
⎬
б) ⎪
⎭
(3.6.18)
реализуемых матрицей
⎡1
1
⎢2
⎢
⎢
⎢1
k
=⎢
cos π
N
⎢2
⎢
⎢
⎢1
−1
⎣⎢ 2
282
⎡ ⎡ ( N ) ⎤+ ⎤
⎢ ⎣C ( 0 ) ⎦ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
⎢⎡
k ⎤ ⎥
N
CII( ) = ⎢ ⎢C ( N ) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ ⎥ =
⎢⎣
⎝ N ⎠⎦ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎡ (N ) ⎤+ ⎥
⎢⎣ ⎣C 1⎦ ⎥⎦
⎤
1
1 ⎥
⎥
⎥
⎥
k
cos vπ
cos k π ⎥ ( ( N + 1) × ( N + 1) ) . (3.6.19)
N
⎥
⎥
⎥
v
N
( −1)
( −1) ⎥⎥
⎦
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Все полученные спектрально-инверсные представления при всех
конечных N следует понимать в том смысле, что при точно заданных
⎛
⎝
π
⎞
⎠
(
точечных значениях G ⎜ N xk( IIN ) ⎟ и g T τ(kNII )
T
)
( k = 0, N ) инверсно будем
получать их приближенные значения, причем
⎛π ⎞
⎛π ⎞
G ⎜ k ⎟ ≠ G ⎜ k ⎟;
⎝ T ⎠II
⎝T ⎠
и
⎛T ⎞
⎛T ⎞
g ⎜ k ⎟ ≠ g ⎜ k ⎟ (k = 0, N )
⎝ N ⎠II
⎝N ⎠
(3.6.20)
N
N
N
N
GT(II ) ≠ GT(II ) ; gT(II ) ≠ gT(II ) .
(3.6.21)
Отметим еще одно представление для функции-оригинала
g (T τ ) τ∈ [ 0,1] как четной 2-периодической функции спектральноинверсной пары (3.6.9), определяемой, однако, точечным изображением именно этой функции.
Аналитическое представление спектральной характеристики
⎛ π ⎞
G ⎜ N x ⎟ (3.6.13а) финитного временного процесса g (T τ ) τ∈ [ 0,1] , за⎝ T ⎠
писанное в виде
N
⎛ π ⎞
⎡
⎤
G ⎜ N x ⎟ = λ 0 ⎢ g ( 0 ) + 2 ∑ g ( 2k λ 0 ) cos k πx ⎥ , x ∈ [ 0,1] ,
k =1
⎣
⎦
⎝ T ⎠
(3.6.13а')
подставим в (3.6.9б)
В результате будем иметь
1 1 ⎛ π ⎞
g (T τ ) = ∫ G ⎜ N x ⎟ cos N πxτ dx =
λ0 0 ⎝ T ⎠
1
N
⎡
⎤
= ∫ ⎢ g ( 0 ) cos N πxτ+ 2 ∑ g ( 2k λ 0 ) cos k πx ⋅ cos N πxτ ⎥dx =
k =1
⎦
0⎣
1
N
sin N πτ
= g (0)
+ ∑ g ( k 2λ 0 ) ∫ ⎡⎣cos ( N πτ − k π ) x + cos ( N πτ + k π ) x ⎤⎦ dx =
N πτ
k =1
0
⎡ sin ( N τ − k ) π sin ( N τ + k ) π ⎤
sin N πτ N
= g ( 0)
+ ∑ g ( 2k λ 0 ) ⎢
+
⎥=
N πτ
N
k
N
k
τ
−
π
τ
+
π
(
)
(
)
k =1
⎣
⎦
(
)
sin τ + τ(kII ) N π
N
sin ( N τ + k ) π
= ∑ g ( 2k λ 0 )
= ∑ g ( 2k λ 0 )
. (3.6.22)
N
( N τ + k ) π k =− N
k =− N
τ + τ(k ) N π
N
(
N
II
)
283
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Это – высокоточная интерполяционная конструкция с характерным свойством:
⎧0
v≠k
sin ( v + k ) π ⎪
N
g T τ(vII ) = g ( 2vλ 0 ) = ∑ g ( 2k λ 0 )
= ⎨ g ( 2k λ 0 ) v = k ≠ 0 . (3.6.23)
(v + k ) π ⎪
k =− N
v=0
⎩ g ( 0)
(
)
N
Представления, подобные указанным, можно получить для
функций спектрально-инверсной пары (3.6.9), используя по обеим переменным только чебышевскую N-сетку I рода [78]:
2v − 1
2v − 1
N
N
TI
TI
τ ⎯⎯
→τ(vI ) =
; t ⎯⎯
→ T τ(vI ) = T
= λ 0 ( 2v − 1) ;
2N
2N
2v − 1
2v − 1 π
N
N
TI
TI
x ⎯⎯
; ω ⎯⎯
→ xv(I ) =
→ω0 xv(I ) = ω0
=
( 2v − 1) .
2N
2N
2T
⎫
а) ⎪
⎪
⎬ v = 1, N .
б)⎪
⎪⎭
(
)
(3.6.24)
ω0 π
= (3.6.5), согласующее параметры
N T
финитности функций пары (3.6.9).
Укажем снова на свойство ортогональности этой сетки [62,78]
и ее «стрельниковость» – свойство, указанное теоремой Стрельникова
для функций, связанных косинус-преобразованием Фурье (3.6.1)
и имеющих ограниченный спектр.
К обеим интегралам в (3.6.9) применим квадратурные процедуры на основе чебышевских N-сеток I рода (3.6.24). Они окажутся точными для подынтегральных функций вида тригонометрических сумм
порядка не более (2 N − 1) , т. е. значительно большего порядка, чем
размерность N-сетки (ортогональность!). В самом же «неблагоприят⎛ 1 ⎞
ном» случае порядок приближения будет не менее 0 ⎜ 2 ⎟ . При
⎝N ⎠
N → ∞ будет гарантирована равномерная сходимость квадратурных
представлений к точным (равномерная распределенность чебышевских сеток!).
Итак, применяя к обеим интегралам в (3.6.9) квадратурные формулы, ассоциированные с N-сетками (3.6.24), получим для спектрально-инверсных функций представления в виде следующих тригонометрических сумм:
Здесь учтено равенство
284
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами π
⎫
⎛ π ⎞ T N
G ⎜ N x ⎟ = ∑ g T τ(νNI ) cos(2ν − 1) x; x ∈ [0,1]; а ) ⎪
2
⎝ T ⎠I N ν=1
⎪
(v = 1, N )
⎬ (3.6.25)
N
π
⎛ π (N ) ⎞
Tg (T τ )I = 2 ∑ G ⎜ N xνI ⎟ cos(2ν − 1) τ; τ∈ [0,1]. б ) ⎪
⎪⎭
2
T
ν=1 ⎝
⎠
(
)
Можно видеть, что значения рассматриваемых функций в узлах
чебышевской N-сетки (3.6.24), определенные по их интегральным
представлениям (3.6.9), т. е. наборы величин
1
⎫
π
⎛ π (N ) ⎞
G ⎜ N xvI ⎟ = T ∫ g (T τ)cos(2v − 1) τd τ;
а) ⎪
2
⎝ T
⎠
⎪
0
⎬ (v = 1, N ) (3.6.26)
1
π
⎛ π ⎞
(N )
Tg T τvI
= 2 N ∫ G ⎜ N x ⎟ cos(2v − 1) xdx, б ) ⎪
⎪⎭
I
T ⎠
2
0 ⎝
(
)
есть косинусные коэффициенты Фурье этих функций, как четных, но
уже периодических с периодом в 4 единицы [78], при их разложении
π ⎫
2 ⎭
⎧
⎩
по системе косинусов ⎨cos(2v − 1) η⎬ (v = 1, N ) ортогональной на
[0, 1].
Следовательно, тригонометрические суммы (3.6.25) есть суммы
Фурье – наилучшие приближающие конструкции по матрице пространства L2 (0,1) . Очевидно, эти наборы одновременно есть координаты точечных изображающих N-векторов рассматриваемой пары
спектрально-инверсных функций, ассоциированных с чебышевскими
сетками I рода (3.6.24):
⎛ π ⎞ TI
N
G ⎜ N x ⎟ ⎯⎯
→ GT(I ) =
⎝ T ⎠I
⎫
⎪
⎪
⎪
⎡ ⎛ π N ⎞
⎛ π N ⎞
⎛ π N ⎞⎤
= Colon ⎢G ⎜ N x1(I ) ⎟ ,…G ⎜ N xv(I ) ⎟ ,…G ⎜ N xN( I ) ⎟ ⎥ ; а ) ⎪
⎬ (3.6.27)
⎠
⎝ T
⎠
⎝ T
⎠⎦
⎣ ⎝ T
⎪
N
TI
g (T τ )I ⎯⎯
→ gT(I ) =
⎪
⎪
N
N
N
б )⎪
= Colon ⎡ g T τ1(I ) ,… g T τ(vI ) ,… g T τ(NI ) ⎤ .
⎣
⎦
⎭
(
)
(
)
(
)
Связь между этими векторами можно получить, если интегралы
представления (3.6.26) для их координат заменить соответствующими
285
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами квадратурными значениями, ассоциированными с сетками (3.6.24).
Эти квадратуры дадут следующие системы связывающих уравнений
π
⎫
⎛ π
⎞ T N
G ⎜ N xν( NI ) ⎟ = ∑ g T τ(kNI ) cos(2ν − 1) τ(kNI ) ; а) ⎪
2
⎝ T
⎠I N k =1
⎪
⎬ (v = 1, N ). (3.6.28)
N
π
π
⎛
⎞
Tg T τ(νNI ) = 2 ∑ G ⎜ N xk( IN ) ⎟ cos(2ν − 1) xk( IN ) ; б ) ⎪
I
⎪⎭
2
T
k =1 ⎝
⎠
(
(
)
)
Они могут быть записаны в виде следующей пары взаимнообратных векторно-матричных представлений для спектральноинверсных векторов (3.6.27) и их приближений:
1 N
N
N
N
N
GT(I ) = CI( ) ⋅ TgT(I ) = 2λ 0CI( ) ⋅ gT(I ) ;
N
2
1
N
N
N
gT( I ) = CI( N ) ⋅ GT(I ) =
CI( N ) ⋅ GT(I ) .
T
N λ0
⎫
а) ⎪
⎪
⎬
б) ⎪
⎪⎭
(3.6.29)
Матрица CI( N ) ( N × N ) с общим элементом
π
π
π
cos(2ν − 1) τ(kNI ) = cos(2ν − 1) xk( IN ) = cos(2ν − 1)(2k − 1)
2
2
4N
(v, k = 1, N )
(3.6.30)
окажется симметричной вида
π (N )
⎡
τ
cos
⎢
2 1I
⎢
⎢
⎢
π
N
CI( ) = ⎢ cos(2ν − 1) τ1( N )
2 I
⎢
⎢
⎢
⎢cos(2 N − 1) π τ( N )
2 1I
⎣⎢
π
cos τ(kN )
2 I
π
cos(2ν − 1) τ(kNI )
2
π
cos(2 N − 1) τ(kN )
2 I
π
cos τ(NN )
2 I
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
π
cos(2ν − 1) τ(NNI ) ⎥
2
⎥
⎥
⎥
π (N ) ⎥
cos(2 N − 1) τ N
2 I ⎦⎥
(3.6.31)
и свойством
(
N
N
CI( ) = CI( )
286
).
+
(3.6.32)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Укажем еще одно высокоточное аналитическое представление
для финитной функции-оригинала g (T τ ) τ∈ [0,1] из спектральноинверсной пары (3.6.8), аналогичное представлению (3.6.22), но ассоциированному с чебышевской N-сеткой I рода (3.6.26). С этой целью
⎛
⎝
π ⎞
⎠
представление спектральной характеристики G ⎜ N x ⎟ (3.6.25а) фиT
нитного временного сигнала подставим в его интегральное представление (3.6.9б).
В результате получим
g (T τ ) =
2N 1 ⎛ π ⎞
∫ G ⎜ N x ⎟ cos N πxτ dx =
T 0 ⎝ T ⎠
1 N
π ⎤
⎡
= 2 ∫ ⎢ ∑ g T τν( NI ) cos(2ν − 1) x ⎥ cos N πxτ dx =
2 ⎦
0 ⎣ ν=1
(
N
=∑g
ν=1
(
N
T τν( NI )
=∑g
ν=1
(
)
)∫ ⎡⎢⎣cos ⎛⎜⎝ N πτ − (2ν − 1) π2 ⎞⎟⎠ x + cos ⎛⎜⎝ N πτ + (2ν − 1) π2 ⎞⎟⎠ x ⎥⎦⎤ dx =
1
0
)∫ ⎡⎣cos ( τ − τ ) N πx + cos ( τ + τ ) N πx ⎤⎦ dx =
1
T τν( NI )
N
0
=∑g
ν=1
(N )
νI
(
T τν( NI )
)
(N )
νI
(
)
(
⎡ sin N π τ − τ(νN )
sin N π τ + τν( NI )
I
⋅⎢
+
⎢ N π τ − τν( NI )
N π τ + τν( NI )
⎣
(
)
(
)
) ⎤⎥ .
⎥
⎦
(3.6.33)
Можно видеть, что для полученной интерполяционной конструкции выполняется характерное свойство
g
(
T τ(kNI )
)
⎧⎪0
=⎨
(N )
⎪⎩ g T τν I
(
)
k ≠v
k =v
( k = 1, N ) .
(3.6.34)
Таким образом, точечные изображающие векторы gT(IIN ) (3.6.15б)
и gT(IN ) (3.6.27б) финитной функции-оригинала g (T τ ) τ∈ [0,1] , ассоциированные с чебышевскими сетками II и I рода, своими координатами определят интерполяционные представления этой функции
вида
287
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами g (T τ ) =
(
)
(
N
⎧
⎡ sin N π τ − τ( N )
sin N π τ + τ(kII )
N
kII
sin
N
πτ
N
(
)
⎪ g ( 0)
+ ∑ g T τkII ⎢
+
N
⎪
⎢ N π τ − τ( N )
N πτ
k =1
N π τ + τ(kII )
kII
⎪
⎣
=⎨
(N) ⎤
⎡ sin N π τ − τ( N )
⎪N
sin
N
π
τ
+
τ
k
kI
I
⎥.
⎪ ∑ g T τ(kN ) ⎢
+
I
N
N
(
)
(
)
⎢ Nπ τ − τ
⎥
⎪ k =1
N π τ + τ kI
kI
⎣
⎦
⎩
(
(
)
(
(
)
)
(
)
)
(
(
(
)
)
)
) ⎤⎥ ; а)⎪⎫
⎥
⎦
⎪
⎪
⎬
⎪
б) ⎪
⎪
⎭
(3.6.35)
Они могут быть существенно упрощены и приведены к более
конструктивным формам, если, имея в виду значения тригонометрических функций в узлах чебышевских сеток, т. е. значения
sin N πτ(kII ) = sin k π = 0;
N
(N)
cos N πτkII = cos k π = ( −1) ;
k
а) ⎫⎪
⎬
б ) ⎪⎭
( k = 0, N ) ;
π
k
k +1
⎫
N
sin N πτ(kI ) = sin ( 2k − 1) = − cos k π = − ( −1) = ( −1) ; а ) ⎪
⎪
2
⎬
π
π
(N)
cos N πτkI = cos ( 2k − 1) = sin k π ⋅ sin = 0,
б)⎪
⎪⎭
2
2
(3.6.36)
( k = 0, N ) ,
(3.6.37)
использовать тождественные представления
(
)
sin N π τ + τ(kII ) = sin N πτ ⋅ cos N πτ(kII ) ± cos N πτ ⋅ sin N πτ(kII ) =
N
N
N
= sin N πτ ⋅ cos N πτ(kII ) = sin N πτ ⋅ cos k π = sin N πτ ⋅ ( −1) k ;
N
(
(3.6.38)
)
N
N
N
sin N π τ + τ(kI ) = sin N πτ ⋅ cos N πτ(kI ) ± cos N πτ ⋅ sin N πτ(kI ) =
π
k +1
N
= ± cos N πτ ⋅ sin N πτ(kI ) = ± cos N πτ ⋅ sin ( 2k − 1) = ± cos N πτ ⋅ ( −1) ,
2
(3.6.39)
288
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами по которым найти
(
)
(
) ⎤⎥ = 2τ sin N πτ ( −1) ;
(
)
(
) ⎥⎦ τ − ( τ( ) )
⎡ sin N π ( τ − τ( ) ) sin N π ( τ + τ( ) ) ⎤ 2τ( ) cos N πτ −1
( )
⎢
⎥=
+
⎢
τ − τ( ) )
τ + τ( ) ) ⎥
(
(
τ − ( τ( ) )
⎣
⎦
N
⎡ sin N π τ − τ( N )
sin N π τ + τ(kII )
kII
⎢
+
N
N
⎢
τ − τ(kII )
τ + τ(kII )
⎣
N
kI
k
N
kI
N
kI
2
N
kII
2
N
kI
N
kI
N
kI
2
2
⎫
а) ⎪
⎪
⎪
⎬ k = 0, N .
k
⎪
⎪
;б)
⎪
⎭
(
)
(3.6.40)
В результате (3.6.35) преобразуются к виду
g (T τ )II
(
k
⎡
N
1
−
⋅ g T τ(kII )
(
)
N
sin N πτ ⎢ 1
2
g (0) + τ ∑
=2
(N ) 2
2
N πτ ⎢ 2
k =1
τ
−
τ
⎢⎣
kII
( )
( −1) τ( ) ⋅ g (T τ( ) )
cos N πτ
g (T τ ) = 2
;
⋅∑
( )
N πτ
τ − (τ )
N
I
k =1
k
N
kI
2
N
kI
N
kI
2
) ⎤⎥ ; а)⎫⎪
⎥
⎥⎦
⎪
⎪⎪
⎬ τ∈ [0,1]. (3.6.41)
⎪
⎪
б)
⎪
⎪⎭
Подведем итог проделанным рассуждениям и выкладкам в виде
следующего утверждения.
Утверждение 3.6.1. Всякая временная функция g ( t ) ∈ L1 ( 0, ∞ ) ,
имеющая
финитную
спектральную
характеристику
G ( ω) , ω ≤ ω0 ⇔ G ( ω0 x ) , x ≤ 1, согласно теореме Котельникова на любом
своем конечном промежутке [0, T], т. е. как финитная функция
g (T τ ) , τ∈ [ 0,1] , может быть описана своими точечными изображающими
векторами gT(IIN ) (3.6.15б) и gT(IN ) (3.6.27б), ассоциированными с чебышевскими N-сетками II (3.6.10) и I (3.6.24) рода, если показатели финитности
Т, ω0 и N спектрально-инверсной пары функций { g (T τ ) ; G ( ω0 x )} (3.6.8)
ω
π
(3.6.5). При этом для финитной
будут связаны равенством 0 =
N T
функции g (T τ ) , τ∈ [ 0,1] определятся интерполяционные представления вида (3.6.41), построенные по координатам ее точечных векторов
gT(IIN ) и gT(IN ) соответственно, как по интерполяционным данным.
289
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Введем вектор-функции
⎫
⎪
а) ⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
б)⎪
⎪
⎪⎭
⎡
⎤
k
N
2
−1) τ2
−1) τ2 ⎥
(
(
⎢ 1 ( −1) τ
I II ( τ ) = Colon ⎢ ,
, ⋅⋅⋅
, ⋅⋅⋅
;
(N) 2
(N) 2 ⎥
2
2
2 τ2 − τ( N ) 2
τ − τkII
τ − τ NII ⎥
⎢⎣
1II
⎦
⎡
k (N)
N (N) ⎤
(N)
1
1
1
−
τ
−
τ
−
τ NI ⎥
(
)
(
)
(
)
kI
1I
⎢
I I ( τ ) = Colon ⎢
,
,
.
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
(N) 2
(N) 2
(N) 2 ⎥
2
2
2
τ − τ kI
τ − τ NI ⎥
⎢⎣ τ − τ1I
⎦
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(3.6.42)
Тогда интерполяционные представления (3.6.41) могут быть записаны в виде
(
(
)
)
sin N πτ
sin N πτ +
N
N
I II ( τ ) , gT(II ) = 2 ⋅
I II ( τ ) gT(II ) ;
N πτ
N πτ
2 ⋅ cos N πτ
cos N πτ +
N
N
g (T τ )I =
I I ( τ ) , gT(I ) = 2 ⋅
I I ( τ ) gT(I ) .
Nπ
Nπ
g (T τ )II = 2 ⋅
(
Найдем теперь значения g T τ(vIN )
) ( v = 1, N )
(
⎫
а) ⎪
⎪
⎬ (3.6.43)
б) ⎪
⎪⎭
и g T τ(vIIN )
II
) ( v = 0, N )
I
2ν − 1
ν
N
ν = 1, N и τ(νII ) =
ν = 0, N
N
2N
при их инверсной подстановке в интерполяционные представления
(3.6.43), не предполагая равенства этих значений соответствующим
значениям функции g (T τ )
В результате будем иметь
(
N
в узлах чебышевских N-сеток τ(νI ) =
(
(N)
g T τν I
)
sin N πτ(νI )
N
II
= 2⋅
(N)
N πτνI
( )
(
(N)
N
g T τνII
=
290
)=
I
( )
2 ⋅ cos N πτ(νII )
N
Nπ
( )
(
)
I II+ τ(νI ) ⋅ gT(II ) =
4 ( −1)
N
N
= ⋅
⋅ I II+ τ(νI ) ⋅ gT(II ) ,
π 2ν − 1
ν+1
)
N
( ν = 1, N ) ;
(3.6.44)
( )
N
N
I I+ τ(νII ) ⋅ gT(I ) =
4
ν 1
N
N
⋅ ( −1)
⋅ I I+ τ(νII ) ⋅ gT(I ) ,
π
2N
( ν = 0, N ).
(3.6.45)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами Полученные системы уравнений, записанные в векторноматричной форме, дадут представление для точечных векторов
(
N
N
gT( I ) = Colon ⎡ g T τ1(I )
⎣⎢
)
II
(
, ⋅ ⋅ ⋅ g T τ(νI )
(
N
)
)
II
(
, ⋅ ⋅ ⋅ g T τ(N I )
N
(
)
) ⎤⎦⎥ ;
II
N
N
N
gT( II ) = Colon ⎡ g ( 0 )I , ⋅ ⋅ ⋅ g T τ1(II ) , ⋅ ⋅ ⋅ g T τ(νII ) , ⋅⋅ ⋅ g (T )I ⎤ .
⎢⎣
⎥⎦
I
I
а) ⎫
⎪
⎬ (3.6.46)
б )⎪
⎭
в виде линейных преобразований
N
N
N
gT( I ) = CI(−II) ⋅ gT(II ) ;
(N)
(N)
а) ⎫⎪
⎬
б ) ⎪⎭
(N)
gTII = CII−I ⋅ gTI ,
(3.6.47)
осуществляемых матрицами CI(−NII) ( N × ( N + 1)) и CII( N−I) (( N + 1) × N ) над
заданными точечными векторами gT(IIN ) (3.6.15б) и gT(IN ) (3.6.27б). Эти
взаимно-обратные связывающие представления носят приближенный
характер в том смысле, что при точно заданных векторах gT(IIN ) и gT(IN )
и любых конечных N будут инверсно определять приближенно векторы gT( IN ) (3.6.46а)и gT(IIN ) (3.6.46б), которые с ростом N будут становиться все более точными.
Найдем явные представления для матриц CI(−NII) и CII( N−I) . Для ν-й
строки матрицы CI(−NII) , учитывая (3.6.42а), получим
4 ( −1)
N
⋅
⋅ I II+ τ(νI ) =
π 2ν − 1
ν+1
( )
( ) ( )
⎡
(N) 2
1
−
τ
(
)
νI
4 ( −1) ⎢ 1
,
= ⋅
2
π 2ν − 1 ⎢ 2 τ( N ) − τ( N )
⎢⎣
1II
νI
ν+1
( )
( −1)k ( τ(νN ) )
( −1) N ( τ(νN ) )
⎤
⎥
, ⋅⋅⋅
, ⋅⋅⋅
=
2
2
2
2
2⎥
(N )
(N)
(N)
(N)
τν I
− τkII
τν I
− τ NII ⎥
⎦
I
2
( ) ( )
2
I
( ) ( )
(2ν − 1) ⎤
4 ⎡ ( −1)
( −1) (2ν − 1) , ⋅⋅⋅ ( −1) (2ν − 1) , ⋅⋅⋅ ( −1)
,
ν = 1, N
⎢
2
2
2
2⎥
π ⎣⎢ 2(2ν − 1) ( 2ν − 1)2 − 4
2
1
2
2
1
2
k
N
ν
−
−
ν
−
−
(
) ( ) (
) ( ) ⎦⎥
ν+1
ν+ 2
k +ν+1
N +ν+1
(
(3.6.48)
291
)
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами и для матрицы CI(−NII) будем иметь
СI(−II) =
N
⎡ ( −1)1+1
⎢
2
⎢
⎢
⎢
ν+1
⎢
4 ⎢ ( −1)
=
π ⎢ 2 ( 2ν − 1)
⎢
⎢
⎢
N +1
⎢ ( −1)
⎢ 2 ( 2 N − 1)
⎣
− ( −1)
3
( −1)k +2
2
1 − ( 2k )
( −1) ( 2ν − 1)
( 2ν − 1)2 − 4
( −1) ( 2ν − 1)
( 2ν − 1)2 − ( 2k )2
( −1) ( 2 N − 1)
( 2 N − 1)2 − 4
( −1)
( 2 N − 1)
2
( 2 N − 1) − ( 2k )2
1+ 2
ν+ 2
( −1) N +2
2
1 − ( 2N )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
ν+ N +1
( −1)
( 2ν − 1) ⎥⎥
( 2ν − 1)2 − ( 2 N )2 ⎥
⎥
⎥
⎥
2 N +1
( −1) ( 2 N − 1) ⎥
( 2 N − 1)2 − ( 2 N )2 ⎥⎦
ν+ k +1
N +2
N + k +1
(3.6.49)
А для ν-й строки матрицы CII( N−I)
( )
4
ν 1
N
⋅ ( −1)
⋅ I I+ τ(νII ) =
π
2N
ν ⎡
( −1) τ1(IN )
4 ( −1) ⎢
= ⋅
π 2 N ⎢ τ ( N ) 2 − τ( N )
⎢⎣ νII
1I
( ) ( )
⎤
⎥
, ⋅⋅⋅
, ⋅⋅⋅
=
2
2
2
2
2⎥
(N )
(N)
(N)
(N )
τνII − τkI
τνII − τ NI ⎥
⎦
( −1)
k
N
τ(kI )
( ) ( )
( −1)
N
τ(NI )
N
( ) ( )
ν+ 2
ν+ k +1
ν+ N +1
2k − 1) ( −1)
−1)
4 ⎡ ( −1)
(
(
( 2 N − 1) ⎤ ν = 0, N ,
,
,
= ⎢
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⎥
π ⎢⎣1 − ( 2ν )2
( 2k − 1)2 − ( 2ν )2 ( 2 N − 1)2 − ( 2ν )2 ⎥⎦
(
)
(3.6.50)
где ее νk-й элемент преобразуется к виду
( −1)
k
N
τ(kI )
( −1) ( 2k − 1) ⋅ 2 N
=−
2
2
2
2
(N)
(N)
2
−
1
−
2
ν
k
(
)
(
)
τ
−
τ
(ν ) (k )
II
I
k
( −1) ( 2k − 1) ,
= 2N
( 2k − 1)2 − ( 2ν )2
k +1
Таким образом, матрица CII( N−I) получает представление
292
(k = 1, N ),(ν = 0, N ).
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами ⎡ ( −1)2
⎢
1
⎢
⎢
⎢
⎢ ( −1)ν+ 2
4
N
СII( −I) = ⎢
2
π ⎢ 1 − ( 2ν )
⎢
⎢
N +2
⎢
1
−
(
)
⎢
⎢1 − ( 2 N ) 2
⎣
( −1)k +1
( 2k − 1)
( −1) N +1
( 2 N − 1)
( −1)ν+k +1 ( 2k − 1)
( 2k − 1)2 − ( 2ν )2
( −1) N +k +1 ( 2k − 1)
( 2k − 1)2 − ( 2 N )2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
ν+ N +1
( −1)
( 2 N − 1) ⎥⎥
.
( 2 N − 1)2 − ( 2ν )2 ⎥
⎥
⎥
2 N +1
( −1) ( 2 N − 1) ⎥⎥
( 2 N − 1)2 − ( 2 N )2 ⎥⎦
(3.6.51)
Ее ν-я строка (ν = 1, N ) совпадает с k-м столбцом ( k = 1, N ) матрицы CI(−NII) (3.6.49) при перемене местами этих номеров и взаимном
транспонировании указанных векторов.
Что же касается такой процедуры при ν = 0 и k = 0 , т. е. сравнения 1-го столбца матрицы CI(−NII) (3.6.49) (k = 0) и первой строки матрицы CII( N−I) (3.6.51) (v = 0), то можно видеть, что их элементы будут отличаться множителем
1
.
2
Таким образом, с помощью диагональной матрицы
Diag[2,1,...1,...1]; ( N + 1) × ( N + 1)
(3.6.52)
могут быть записаны следующие равенства, связывающие матрицы
(3.6.49) и (3.6.51):
(
N
(C )
(N)
II − I
+
);
+
⎫
а) ⎪
⎬
(N )
= CI−II ⋅ Diag[2,1,...1,...1]. б) ⎪
⎭
CII( −I) = Diag[2,1,...1,...1] ⋅ CI(−II)
N
(3.6.53)
В прил. 3 рассмотрен пример, иллюстрирующий эффективность
полученных представлений и преобразований.
В частности, показано, что при сравнительно небольшой размерности точечных векторов (N = 4) удается получить по ним приемлемые по точности приближенные аналитические представления для
293
Глава 3. Задачи терминального управления линейными объектами «не очень гладкой» периодической временной функции g ( τ ) τ∈ [ 0,1],
особенно при их определении чебышевской N-сетке II рода.
Отметим еще следующий результат. По интерполяционному
представлению (3.6.41б), построенному по чебышевской N-сетке I рода, может быть найдено начальное значение g ( 0 )I приближаемой
функции:
4 N ( −1)
N
g ( 0 )I = ∑
g T τ(kI ) ≈ g ( 0 ) .
π k =1 ( 2k − 1)
k +1
(
)
(3.6.54)
Оно будет равно первой координате вектора gT( IIN ) , определяемого
уравнения (3.6.47б).
294
Список литературы СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Альберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения/ Дж. Альберг,
Э. Нильсон, Дж. Уолш: пер. с англ.− М.: Мир, 1972.
2. Ахиезер, Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом
пространстве/ Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. − Харьков : Изд-во Харьк.
ун-та, 1977.
3. Атанс, М. Оптимальное управление/ М. Атанс, П. Фолб. – М. :
Машиностроение,1968.
4. Афанасьев, В.Н. Математическая теория конструирования
систем управления: учеб. пособие для втузов / В.Н. Афанасьев, В.Б.
Колмановский, В.Р. Носов. – М. : Высш. шк.,1989.
5. Амосов, А.А. Вычислительные методы для инженеров /
А.А. Амосов, Ю.А. Дубенский, Н.В. Копченова. – М. :Высш. шк.,
1994.
6. Анго, А. Математика для электро- и радиоинженеров: пер.
с фр./ А. Анго, Ю.А. Брычков, А.П. Прудников. – М. : Наука, 1967.
7. Антосик, П. Теория обобщённых функций. Секвинциальный
подход: пер. с англ. / П. Антосик, Я. Микусинский, Р. Сикорский. –
М. : Мир, 1976.
8. Атабеков, Г.И. Теория линейных электрических целей/
Г.И Атабеков. – М. : Советское радио, 1960.
9. Бромберг, П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования / П.В. Бромберг. − М. : Наука, 1967.
10. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения /
Р. Беллман, К.Л. Кук. – М. :Мир, 1967.
11. Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. – 2-е
изд. – М. : Наука, 1976.
12. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен,
А. Эрдейи : в 3 т. Т. 2. − М. : Наука, 1974.
13. Беймен, Г. Таблицы интегральных преобразований. Т. Ι. Преобразование Фурье, Лапласа, Меллина: пер. с англ., в 2 т. / Г. Беймен,
А. Эрдейн. – М. : Наука, 1969.
14. Бремерман, Г. Распределения, комплексные переменные
и преобразование Фурье: пер. с англ. / Г. Бремерман. – М. : Мир, 1968.
15. Брычков, Ю.А. Интегральные преобразования обобщённых
функций / Ю.А. Брычков, А.П. Прудников. – М. : Наука, 1977.
295
Список литературы 16. Вулех, Б.З. Введение в функциональный анализ. – М. : Физматгиз, 1958.
17. Винер, Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. −
М. : Физматгиз, 1963.
18. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин,
Ю.А. Кузнецов. − М. : Наука, 1984.
19. Воронов, А.А. Основы теории автоматического регулирования / А.А. Воронов. − М. − Л. : Энергия.1965.
20. Воронов, А.А. Введение в динамику сложных управляемых
систем / А.А. Воронов. – М. : Наука, 1985.
21. Владимиров, В.С. Обобщённые функции в математической
физике / В.С. Владимиров. – М. : Наука, 1976.
22. Владимиров, В.С. Обобщённые функции и их применение.
Математика. Кибернетика: науч.-попул. сер. 1/1990 / В.С. Владимиров.
– М. : Знание, 1990.
23. Гарднер, М.Ф. Переходные процессы в линейных системах /
М.Ф. Гарднер, Бэрнс Дж.Л. − М. : Физматгиз, 1961.
24. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей/ А.О. Гельфонд. − М. : Наука, 1967.
25. Гончаров, В.Л. Теория интерполирования и приближения
функций / В.Л. Гончаров. − М.-Л. : ГИТТЛ, 1934.
26. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. − М. : Физматиз, 1962.
27. Гурецкий, Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием / Х. Гурецкий. – М. : Машиностроение, 1974.
28. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей/ Б.В. Гнеденко –
М. : Наука, 1961.
29. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические
формулы/ Г.Б. Двайт. − М. : Наука, 1966.
30. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / Г. Деч. − М. : Наука, 1971.
31. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения
функций полиномами / В.К. Дзядык. − М. : Наука, 1977.
32. Демидович, Б.А. Лекции по математической теории устойчивости / Б.А. Демидович. − М.: Наука, 1967.
33. Директор, С. Введение в теорию систем / С. Директор, Р. Рорер. – М. : Мир, 1974.
296
Список литературы 34. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов,
Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. − М. : Наука, 1980.
35. Забрейко, П.П. Интегральные уравнения / П.П. Забрейко,
А.И. Кошелев, М.А. Красносельский и др. − М. : Наука, 1968.
36. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд :в 2 т. −
М. : Мир, 1965. Т. 1.
37. Заездный, А.М. Гармонический синтез в радиотехнике
и электросвязи / А.М. Заездный. – М. : Госэнергоиздат, 1961.
38. Иванов, В.А., Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, В.С. Медведев, Б.К. Чемоданов,
А.С. Ющенко – 2-е изд. доп. Учеб. пособие для втузов. – М. : Высш.
школа,1977. В 2 томах-Т.1.
38. Иванов, В.А., Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, В.С. Медведев, Б.К. Чемоданов,
А.С. Ющенко. учеб. пособие для втузов: в 2 т. Т.2. – М. : Высш. шк.,
1977. – 2-е изд.
39. Катковник, В.Я. Многомерные дискретные системы /
В.Я. Катковник, Р.А. Полуэктов. − М. : Наука, 1966.
40 Кейперс, Л. Равномерное распределение последовательностей / Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер. − М. :Наука, 1985.
41. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. − М. :Наука, 1976.
42. Кузин, Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем
управления / Л.Т. Кузин. − М. : Машиз, 1962.
43. Крылов, В.И. Приближенное вычисление интегралов /
В.И. Крылов. – М. : ГИФМЛ, 1959.
44. Краснов, М.Л. Интегральные уравнений: учеб. пособие для
втузов / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – 2-е изд., доп. –
М. : Наука, 1976.
45. Кеч, В. Введение в теорию обобщённых функций с приложениями в технике: пер. с румын / В.Кеч, Л. Геодерсску. – М. : Мир,
1978.
46. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа: в 3 т. /
Л.Д. Кудрявцев. – М. : Выс. шк., 1987. Т. 3.
47. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре / А.Г.Курош. – М. :
Физматиз, 1962.
48. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. − 2-е изд. – М. :
Наука, 1982.
297
Список литературы 49. Лизоркин, П.И. Курс дифференциальных и интегральных
уравнений с дополнительными главами анализа. / П.И. Лизоркин. −
М. : Наука, 1981.
50. Лурье, А.М. Операционное исчисление и его приложения
к задачам механики / А.М. Лурье. − М. : Гостехиздат.,1950.
51. Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа /
Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. − М. : Высш. шк., 1982.
52. Маслов, В.П. Операторные методы / В.П. Маслов. – М. :
Наука,1973.
53. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. − М.: Наука, 1977.
54. Маркус, М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств /
М. Маркус, Х. Минк. – М. : Наука, 1972.
55. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 5 т. Т. Ι. Математические модели, динамические характеристика и анализ систем автоматического управления. – М. :
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
56. Микусинский, Я. Элементарная теория обобщённых функций: пер. с англ. / Я. Микусинский, Р. Сикорский. – М. : Изд-во
иностр. лит., 1963.
57. Мишина, А.Л. Высшая алгебра / А.Л. Мишина, И.В. Проскуряков. – М. : Изд-во физико-матем. лит., 1962.
58. Маркушевич, А.Н. Краткий курс теории аналитических
функций / А.Н. Маркушевич. – М. : Гостехиздат, 1957.
59. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натансон − М.-Л. : ГИТТЛ, 1949.
60. Натансон, И.П. Теория функций вещественного переменного /
И.П. Натансон. − М. : Наука, 1974.
61. Осипов, В.М. Обобщенные функции в теории приближения /
В.М. Осипов. − Новосибирск : Изд-во Новосиб. ун-та, 1992.
62. Осипов, В.М. Основы метода изображающих векторов / В.М.
Осипов. − Томск : Изд-во Том.ун-та, 1983.
63. Осипов, В.М. Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений / В.М. Осипов, В.В. Осипов. −
M. : МАКС Пресс, 2005.
64. Osipov V.M. Osipov V.V. Pointwise representation method
2004 Conference on Diff. Eqns. and Appl. In Math. Biology, Nanaimo,
BC, Canada. Electronic Journal of Differential Equations, Conference 12,
298
Список литературы 2005. − pp. 103−116. URL: http://ejde.math.txstate.edu or http://
ejde.math.unt.edu.
64. Осипов, В.М. Положительная определённость и положительность функций. Элементы теории и некоторые приложения / В.М. Осипов, В.В. Осипов. − Красноярск : Сибирский федеральный университет, 2008. − 415 с.
65. Осипов, В.В. Аналитические модели переходных характеристик линейных динамических систем / В.В. Осипов // ГИАБ № 3. −
2008. − С. 29–37.
66. Осипов, В.В. О непосредственной связи устойчивости линейных динамических систем с устойчивостью тёплицевых матриц /
В.В. Осипов // ГИАБ. – № 6. − 2008. − С. 44−57.
67. Осипов, В.М. О положительной определённости и положительности функций и некоторых приложениях. / В.М. Осипов, В.В. Осипов //
ГИАБ. – № 8 − 2008. − С. 93−102.
68. Осипов, В.В. Решение экстремальных задач терминального
управления методом точечных представлений/ В.В. Осипов // Системы. Методы. Технологии. − 2009. − № 3. − C. 52−58.
69. Осипов, В.В.. Решение уравнений с запаздывающим аргументом методом точечных представлений / В.В. Осипов // Системы.
Методы. Технологии. − 2009. − № 3. − C. 45−51.
70. Осипов, В.В. Точечное моделирование операции свертки /
В.В. Осипов // Системы. Методы. Технологии. − 2009. − № 4. − C. 56–63.
71. Осипов, В.В. Идейные основы метода точечных представлений / В.В. Осипов // Системы. Методы. Технологии. − 2010. − № 4. −
C. 32−38.
72. Осипов, В.В. Осипов В.М. Основы вариационного исчисления и
оптимального управления: учеб. пособие / В.В. Осипов, В.М. Осипов. −
Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2010. – 115 с.
73. Осипов, В.В. О связи точечных представлений функций и их
изображений по Лапласу / В.В. Осипов // Вестн. СибГАУ. – 2011 −
Вып. 1(34). – С. 56 – 62.
74. Осипов, В.В. Точечные модели многомерных линейных динамических систем / В.В. Осипов // Вестн. Кемер. гос. ун-та. – 2011. − №3. –
С. 85–92.
75. Осипов, В.В. Управляемость линейных динамических систем
как свойство их точечных моделей / В.В. Осипов // Вестн. Кемер. гос.
ун-та. – 2011. – № 4. – С. 78–84.
299
Список литературы 76. Осипов, В.В. Точечное моделирование и преобразования Лапласа и Фурье / В.В. Осипов. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2011.
77. Острём, К. Системы управления с ЭВМ: пер. с англ. / К. Острём, Б. Виттенмарк. − М. : Мир, 1987.
78. Попов, Е.П. Динамика систем автоматического регулирования./ Е.П. Попов. − М. : ГИТТЛ,1954.
79. Пугачев, В.С. Основы автоматического управления / В.С. Пугачев. − М. : Физматиз, 1962.
80. Полиа, Г. Задачи и теоремы анализа: в 2 ч. / Г. Полиа, Г. Сеге. − М. : Наука, 1978. – Ч.1.
81. Полиа, Г. Задачи и теоремы анализа: в 2 ч. / Г. Полиа, Г. Сеге. − М. : Наука, 1978. – Ч.2.
82. Пухов, Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых
электронных цепей / Г.Е. Пухов – Киев : Наук. думка, 1967.
83. Пухов, Г.Е. Преобразование Тейлора и их применение в электротехнике и электронике / Г.Е. Пухов – Киев : Наук. думка, 1978.
84. Пашковский, С. Вычислительные применения многочленов
и рядов Чебышева / С. Пашковский. – М. : Наука, 1983.
85. Прудников, А.Л. Интегралы и ряды. Элементарные функции /
А.Л. Прудников, Ю.А. Брычков. – М. : Наука, 1981.
86. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу: пер. с фр. /
Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. − М. : Мир, 1979
87. Риордан, Дж. Комбинаторные тождества. / Дж. Риордан. – М. :
Наука, 1982.
88. Рихмайер, Р. Принципы современной математической физики: пер. с англ. / Р. Рихмайер. − М. : Мир, 1982.
89. Рудин, У. Основы математического анализа: пер с англ. /
У. Рудин. − М. : Мир, 1976.
90. Современные численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений / ред. Дж. Холл и Дж. Уятт. – М. :
Мир, 1979.
91. Солодов, А.В. Системы с переменным запаздыванием. /
А.В Солодов, Е.А. Солодова. − М. : Наука, 1980.
92. Стрейц, В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления / В. Стрейц. – М. : Наука, 1985.
93. Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены /
П.К. Суетин. – М. : Наука,1979.
300
Список литературы 94. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. −
М. : Наука, 1980.
95. Трахтман, А.М. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах/ А.М. Трахтман, В.А. Трахтман. – М. : Советское
радио, 1975.
96. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я Аррсенин. − М. : Наука, 1979.
97. Тихомиров, В.М. Банахова алгебра. Дополнение к кн.: Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа / В.М. Тихомиров. − 7-е изд. – М. : Наука, 2004.
98. Тихомиров, В.М. Некоторые вопросы теории приближений /
В.М. Тихомиров. − М. : Изд-во Моск. ун-та, 1976.
99. Толстов, Г.П. Ряды Фурье / Г.П. Толстов. − М. : Физматиз,
1966.
100. Теоретические основы электротехники: в 2 т. Т. Ι. Основы
теории линейных цепей / под ред. проф. П.А. Ионкина. – М. : Высш.
шк., 1976.
101. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. / В. Феллер. − М. : Мир, 1984.− Т.2.
102. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г.М. Фихтенгольц. − М. : Наука, 1970.−Т.2.
103. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г.М. Фихтенгольц. − М.: Наука, 1970.−Т.3.
104. Фор, Р. Современная математика / Р.Фор, А. Кофман,
М. Дени – Папен. − М. : Мир, 1966.
105. Фрид ,Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру /
Э. Фрид. − М. : Мир.1979.
106. Харкевич, А.А. Линейные и нелинейные системы: избр.тр.:
в 3 т. / А.А. Харкевич. − М. : Наука, 1973.− Т. 2.
107. Харкевич, А.А. Спектры и анализ / А.А. Харкевич. − М. :
ГИТТЛ, 1957.
108. Халмаш, П. Конечномерные векторные пространства: пер.
с англ. / П. Халмаш. − М. : Физматгиз, 1963.
109. Халмаш, П. Гильбертово пространство в задачах: пер.
с англ. / П. Халмаш. − М.: Мир, 1970.
110. Хорн, Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. − М. :
Мир, 1989.
301
Список литературы 111. Хургин, Я.И. Финитные функции в физике и технике /
Я.И. Хургин, В.П. Яковлев. − М. : Наука, 1971.
112. Цыпкин, Я.З. Теория линейных импульсных систем /
Я.З. Цыпкин. − М. : Физматиз, 1963.
113. Штокало, И.З. Операционное исчисление / И.З. Штокало. −
Киев : Наукова Думка, 1972.
114. Шварц, Л. Математические методы для физических наук:
пер. с фр. / Л. Шварц. – М. : Мир, 1963.
115. Эльсгольц, Л.Э. Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц,
С.Б. Норкин. − М. : Наука, 1971.
116. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. − М. : Наука, 1969.
117. Эдвардс, Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2 т. /
Р. Эдвардс − М. : Мир,1985. − Т.1.
118. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. − М. : Наука, 1964.
302
Оглавление ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ........................................................................................................
Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных
представлений .............................................................................
1.1. Точечные представления вектор-функций и некоторых
операций с ними ...............................................................................
1.2. Точечные модели задач Коши для n-мерных линейных
дифференциальных уравнений общего вида и эквивалентных
интегральных уравнений.................................................................
1.3. Алгебраические свойства точечных моделей многомерных
функциональных представлений ...................................................
Глава 2. Точечные модели многомерных линейных
нестационарных систем управления .....................................
2.1. Точечные модели многомерных линейных динамических
систем. Передаточные матрицы .....................................................
2.2. Управляемость линейных динамических систем как свойство
их точечных моделей .......................................................................
2.3. Наблюдаемость в линейных нестационарных динамических
системах ............................................................................................
2.4. Обратная связь в точечных моделях линейных динамических
систем. Управляемость и наблюдаемость .....................................
2.5. Устойчивость и точечные модели линейных нестационарных
динамических систем ......................................................................
Глава 3. Задачи терминального управления одномерными
линейными динамическими объектами ................................
3.1. Точечные модели. Алгебраические свойства ................................
3.2. Управление конечным состоянием при фиксированном
времени процесса .............................................................................
3.3. Некоторые экстремальные задачи терминального
управления ........................................................................................
3.4. Некоторые экстремально-оценочные задачи для норм в матрично-векторных представлениях .................................................
3.5. Множество оптимальных управлений. Задача о максимальном
быстродействии................................................................................
3.6. Точечно-векторные и формульные представления сигналов
и теорема Котельникова ..................................................................
3
6
6
21
54
90
90
105
119
149
158
195
195
209
222
232
253
276
Список литературы .................................................................................... 295
303
Научное издание
Осипов Владимир Владимирович МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Монография Редактор И. Н. Байкина
Компьютерная верстка О. А. Кравченко
Подписано в печать 17.09.2012. Печать плоская. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 17,67. Тираж 100 экз. Заказ № 6732
Редакционно-издательский отдел
Библиотечно-издательского комплекса
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Тел/факс (391)206-21-49, e-mail: [email protected]
Отпечатано полиграфическим центром
Библиотечно-издательского комплекса
Сибирского федерального университета
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а
Тел/факс (391)206-26-58, 206-26-49
E-mail: [email protected]; http://lib.sfu-kras.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
23
Размер файла
2 725 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа