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1138.Из истории математики.

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Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
Составители:
Л.В. Бенедиктова
С.А. Трухина
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждено научно-методическим советом факультета РГФ 16 февраля
2010, протокол № 2
Рецензент канд. филол. наук, доц. Г.С. Бородкина
Учебное пособие подготовлено на кафедре немецкого языка факультета
РГФ Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 2 курса дневного отделения математического
факультета. Тексты и задания ориентированы на самостоятельную работу
учащихся в рамках «Домашнего чтения», предусмотренного программой.
Тексты передают в хронологическом порядке историю развития математики как науки от Древнего Египта, Вавилона до средневековой Европы.
Грамматические задания соответствуют программе и предназначены для
самостоятельного изучения грамматических тем с последующим самоконтролем.
Для специальности 010100 – Математика
ГСЭ.Ф.01.1
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1. Text
Zur Besonderheit der Mathematik als Wissenschaft.
Bevor ich über einige Aspekte der Geschichte der Mathematik spreche,
möchte ich auf die berechtigte Frage eingehen, was denn Mathematik eigentlich
ist. In Auseinandersetzung mit dieser Frage werden nicht nur die Leistungen
unserer mathematischen Vorfahren aus Jahrtausenden besser gewürdigt, auch
wird der Gegenstand klarer, den Sie zum Studium ausgewählt haben. Was ist nun
die Mathematik? Meyers Taschenlexikon von 1963 beschreibt sie als
„Wissenschaft von den Zahlen und Raumgrößen, die die Eigenschaften und den
wechselseitigen Zusammenhang dieser Größen mittels abstrakter Begriffe,
Zeichen und Formeln untersucht.“ Die mathematische Enzyklopädie von 1982
drückt das Wesen der Mathematik etwas konzentrierter aus: „ Die Mathematik ist
eine Wissenschaft von quantitativen Verhältnissen und räumlichen Formen der
realen Welt“. Diese Definitionsversuche gefallen mir nicht besonders. Sie
schauen auf die Mathematik zu sehr von außen. Den beiden Mathematikern Mark
Kas und Stanislaw Ulam hat es besser gelungen, die Mathematik zu definieren. In
ihrem lebenswerten Buch „Mathematik und Logik“ beschreiben Sie die
Besonderheiten der Mathematik, die ihr im Denken und im Vergleich zur realen
Welt zukommen.
Sie sehen die Mathematik als „in sich abgeschlossener Mikrokosmos, der
jedoch die starke Fähigkeit zur Widerspiegelung und Modellierung beliebiger
Prozesse des Denkens und der ganzen Wissenschaft überhaupt besitzt. Die
Mathematik stellt das mächtige Instrument des menschlichen Geistes dar, um die
Naturgesetze präzise zu formulieren und eröffnet die Möglichkeiten, in die Welt
der Elementarteilchen sowie in die Weiten des Universums vorzudringen. Ohne
Mathematik ist unser heutiges Leben angesichts gesellschaftlichen und
ökologischen Probleme nicht denkbar.Die Menschen berechnen die Statik von
Häusern und Brücken, bauen diese nach den Plänen und die Bauwerke halten bis sie einstürzen. Die Realität kennt auch Fehler. Somit wird die Mathematik,
genauer werden die Ergebnisse ihrer Anwendungen, zu unserer Realität.
Flugzeuge fliegen, Computertomographen arbeiten so, wie es berechnet und
gewollt wurde. Die Praxis ist das Kriterium der Wahrheit. Diese pragmatische
Sicht sollen wir nicht vergessen. Sie ist auch ständige Quelle von Motivation und
Inspiration in der mathematischen Forschung. In diesem Sinne ist die Mathematik
ihr Hauptwerkzeug. So wie Bäcker, Bauer oder Lockführer werden Sie mit ihren
mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten ein vollständiges Mitglied der
Gesellschaft.
Die Mathematik aber umfasst wesentlich mehr. Wenden wir uns nun der
inneren Seite der Mathematik zu. Die Mathematik arbeitet mit abstrakten
Objekten und ihre Methode des logischen Schließens ist auch abstrakt. Gerade
durch dieses Schließen, durch den mathematischen Beweis wurde die
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Mathematik vor etwa 2 500 Jahren im antiken Griechenland zu einer
Wissenschaft. Zuerst werden einige als wahr angenommene Sätze – die Axiome
– postuliert, dann werden nach strengen logischen Regeln neue Aussagungen
abgeleitet. Ist also die Mathematik als die Wissenschaft des logischen Schließens
zu betrachten? Aber einfache Kette von logischen Schließen ist sicher noch keine
Mathematik! Die mathematische Methode umfasst also mehr als nur die Logik.
In diesem Sinne ist die Mathematik auch eine Kunst. Die Spezifik des
Mathematikstudiums besteht in der Erarbeitung der gemeinsamen Sätze, in der
Vermittlung eigener Gedanken und Ansichten. Die allerersten mathematischen
Objekte waren die natürlichen Zahlen und einfache geometrische Objekte wie
Punkte, Geraden, Dreiecke usw. Sie schienen so vertraut, dass sie lange Zeit als
gegeben angesehen wurden. Erst zu Ende des 19. Jahrhunderts wurde von Peano,
Russel, Hilbert in stärkerem Maße nach ihren Grundlagen gefragt. Von den ersten
Objekten wird zu immer komplizierteren Objekten geschritten, zu Mengen von
Zahlen, zu Abbildungen zwischen derartigen Mengen, zu Klassen solcher
Abbildungen usw. Die mathematischen Objekte sind Abstraktionen! Den idealen
Kreis gibt es nur im Denken. Ein Wesenszug der Mathematik ist es auch, mit
Objekten zu arbeiten, ohne sie zu definieren. So schreibt Hilbert in seinem
berühmten „ Grundlagen der Geometrie“ im Jahre 1899: „ Wir denken drei
verschiedene Systeme von Dingen: die Dinge des ersten Systems nennen wir
Punkte..., die Dinge des zweiten Systems nennen wir Geraden..., die Dinge des
dritten Systems nennen wir Ebenen... „ Das ist schon alles, dann kommen die
Axiome, die sagen, in welchen Beziehungen die Punkte, Geraden und Ebenen
zueinander stehen sollen. Die Anschauung, Vorstellung, Intuition spielen in der
Mathematik auch eine wesentliche Rolle. Sie weisen oft den Weg zur Lösung.
Aber gesicherte mathematische Erkenntnis ist nur, was exakt bewiesen wurde.
VOKABELN ZUM TEXT
Die Besonderheit (-en) – особенность
auf Akk eingehen – (i, a) – затронуть, коснуться
die Auseinandersetzung (-en) mit Dat – объяснение чего-либо
würdigen Akk ( te, t) – ценить кого-либо, отдавать должное
der Vorfahr (-en) – предок, предшественник
die Leistung (-en) – достижение
auswählen ( te, t) выбирать
die Eigenschaft (-en) – свойство
der Zusammenhang (-e) – связь
das Zeichen – знак, символ
ausdrücken (te, t) – выражать
das Verhältnis (-e) – отношение
gefallen (ie, a) – нравиться
schauen (te, t) – рассматривать
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gelingen (a,u) – удаваться
lebenswert – жизненно важный
der Vergleich ( -e) – сравнение
(Dat) zukommen ( a, o) – подходить, подобать
die Fähigkeit (-en) – способность
die Widerspiegelung (-en) – отражение
der Geist (-e) – дух
die Möglichkeit (-en) – возможность
vordringen (a, u) – проникать
nicht denkbar sein – быть немыслимым
die Brücke (-en) – мост
der Fehler – ошибка
das Ergebnis (-e) – результат
die Anwendung (-en) – использование
das Flugzeug (-e) – самолёт
die Wahrheit (-en) – правда, истина
die Sicht (-e) – вид, перспектива
die Inspiration (-en) – вдохновение
die Quelle (-en) – источник
die Forschung (-en) – исследование
der Sinn – смысл
der Bäcker – пекарь
der Lockführer – машинист
die Fertigkeit (-en) – умение, навык
umfassen (te, t) – охватывать
sich Dat. zuwenden (wandte sich zu, sich zugewandt) – обращаться к чему-либо
das Schließen – вывод, заключение
streng – строгий, чёткий
betrachten (te, t) – рассматривать
die Kette (-e) – цепь
der Schluss (-e) – завершение, конец, вывод
die Kunst (-e) – искусство
die Vermittlung (-en) – передача (знаний)
die Ansicht – взгляд
vertraut sein – быть знакомым
die Grundlage (-en) – основа
schreiten (i, i) – шагать, идти
die Menge ( -n) – множество
die Abbildung (-en) – производная величина
das Ding (-e) – предмет, тело
die Ebene (-n) – плоскость
die Beziehung ( -en) – отношение
die Vorstellung (-en) – представление
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der Weg (-e) – путь
die Lösung (-en) – решение
beweisen (ie, ie) – доказывать
1.1 Schreiben Sie aus dem Text die Wörter, die Ihrer Meinung nach die
Bedeutung und Besonderheit der Mathematik als Wissenschaft unterstreichen.
1.2 Vergleichen Sie die Vorstellungen des Autors über das Wesen der
mathematischen Wissenschaft mit den Auffassungen der im Text erwähnten
Wissenschaftler. Sind diese Namen Ihnen vertraut? Erzählen Sie über diese
Wissenschaftler. Mit wessen Meinung sind Sie einverstanden?
1.3 Lesen Sie den Text noch einmal. Entscheiden Sie, welche Grundidee dem
Leser nahe gebracht wird:
• Die Mathematik ist eine Wissenschaft von den Zahlen und Raumgrößen.
• Die Mathematik ist in sich abgeschlossener Mikrokosmos.
• Die Mathematik hat starke Fähigkeit zur Widerspiegelung und
Modellierung beliebiger Prozesse.
• Die Mathematik stellt das mächtige Instrument des menschlichen Geistes dar.
• Die Praxis ist das Kriterium der Wahrheit in der mathematischen
Wissenschaft.
• Die mathematischen Objekte sind Abstraktionen.
• Die Welt ist ohne Mathematik nicht denkbar.
1.4 Finden Sie Argumente, die Ihre Meinung bestätigen.
1.5 Was bedeutet der Spruch der amerikanischen Schriftstellerin Anita Joachim
Daniel? „Dummheit ist nicht: Wenig wissen. Auch nicht: Wenig wissen wollen.
Dummheit ist: Glauben, genug zu wissen.“
Ist die Mathematik das Instrument der fortschrittlichen Entwicklung der
menschlichen Intelligenz? Diskutieren Sie zu diesem Thema!
Vergleichen Sie die Lage der Dinge vor vielen Jahren und heute. Was können Sie
hinzufügen?
1.6. Entscheiden Sie sich für eine der folgenden Aufgaben:
a) Schreiben Sie aus dem Text die starken Verben in Ihren Grundformen aus.
b) Finden Sie im Text und schreiben Sie die als Attribute gebrauchte
Adjektive in der Kurzform aus.
c) Schreiben Sie die durch Partizipien I und II ausgedrückte Attribute und
erklären Sie ihren Gebrauch.
1.7 Beweisen Sie Ihrem Gesprächspartner die Bedeutung der praktischen
Anwendungen der Mathematik und die Vorteile ihrer weiteren
wissenschaftlichen Entwicklung.
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1.8. Schlagen Sie nach, wie die nachstehenden Vokabeln in einem Wörterbuch
definiert sind. Führen Sie Beispiele an.
- der Begriff
-die Raumgröße
- die Lösung
- die Lehre
- die Gerade
- der Kreis
- die Zahl
- das Dreieck
- der Vergleich
- das Verhältnis
- die Menge
- der Gegenstand
- die Beziehung
- die Ebene
- die Wahrheit
1.9 Inszenieren Sie ein Gespräch zwischen dem Mathematiklehrer und dem
Studenten. Sie besprechen die Bedeutung und praktische Anwendung der
Mathematik. Stützen Sie sich dabei auf die durchgearbeiteten Vokabeln und
Redewendungen.
1.10. Hier sind Themen für einen Vortrag.
Wählen Sie.
a) Was ist denn Mathematik eigentlich?
b) Die Definitionsversuche des mathematischen Wesens aus den Jahren 1963
und 1982.
c) Die
Mathematik
als
Triebkraft
der
Wissenschaftsund
Gesellschaftsentwicklung.
d) Die praktische Bedeutung der Mathematik und ihre Anwendungsmöglichkeiten.
e) Die Anziehungskraft des Mathematikstudiums.
Üben Sie Grammatik
1.11. Übersetzen Sie ins Russische:
1. Niemand wird bestreiten, dass Ärzte die besten Helfer der Menschheit sind.
2. Wir erfuhren von ihm manches, was wir noch nicht wussten.
3. Allgemein gilt, dass eine n-te Wurzel (reele oder nicht reele) Lösungen hat.
4. Es ist darauf zu achten, dass die Zahlenwerte auf beiden Seiten der
Gleichung auch zu gleichen Maßeinheiten ausgedrückt werden.
5. Die Geschichte der Mathematik insbesondere der letzten 150 Jahre zeigt,
dass zahllose mathematische Resultate und ganze mathematische Theorien die
größte Bedeutung für die praktische Anwendung haben.
6. Unter einer diophantischen Gleichung versteht man eine Gleichung mit
zwei Oder mehr Unbekannten, von denen verlangt wird, dass ihre Werte
ganzzahlig sein sollten.
7. Bei der Verschiebung des Bildes der Funktion y=A2 in senkrechter
Richtung sehen wir, dass der Scheitel auf der Ordinatenachse liegt.
8. Uns ist bekannt, dass eine Gleichung mit zwei Unbekannten keine
eindeutige Lösung besitzt.
9. Das Wesen der Dreieckskonstruktion mit Hilfe von geometrischen Örtern
besteht darin, dass die einzelnen Punkte der Figur nacheinander bestimmt
werden.
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10. Es ist jedem Anfänger der Geometrie bekannt, dass sich verschiedene
ordentliche Vielecke namentlich Dreieck, Fünfeck, Fünfzehneck geometrisch
konstruieren lassen.
11. Es ist im allgemeinen bei beliebigen Theorien nicht entscheidbar, ob ein
Ausdruck aus einer vorgegebenen Menge von Sätzen folgt oder nicht.
12. Es muss untersucht werden, ob die Addition bei Verwendung anderer
Repräsentanten die gleiche Zahl ergibt.
13. Die Teilbarkeit einer beliebigen Zahl durch 9 hängt davon ab, ob die
Summe der Reste durch 9 teilbar ist.
14. Es muss bei unseren geometrischen Betrachtungen verstanden werden, wem
eine gebrochene Zahl entsprechen soll. Eine gebrochene Zahl entsprechen soll.
1.12. Bilden Sie Objektnebensätze:
Muster: Es ist bekannt, (es gibt gerade und ungerade Potenzen).
Es ist bekannt, dass es gerade und ungerade Potenzen gibt.
1. Die Inder wussten, (die quadratische Gleichung und die Quadratwurzel sind
doppeldeutig).
2. Man entdeckte, (Euklid hat beim Beweis seiner Sätze außer den
ausgesprochenen Axiomen weitere fundamentale Aussagen benutzt).
3. Es ist zu erwarten, (die Durchführung von Denkexperimenten auf der
Grundlage der mathematischen Modelle wird an Bedeutung gewinnen).
4. Es lässt sich beim Nachweis erbringen, (jede gerade Zahl ist durch eine
Summe voneinander verschiedener Potenzen der Zahl 2 und jede ungerade Zahl
durch Hinzufügen der Zahl 1 zur Zerlegung der vorhergehenden geraden Zahl
darstellbar).
5. Die Bedeutung der endlichen regelmäßigen Kettenbrüche liegt darin, (mit ihrer
Hilfe können Brüche mit großem Zähler und Nenner durch Nährungsbrüche mit
kleineren Zählern und Nennern ersetzt werden)
6. Es ist wohl bekannt, (die ganze mathematische Kybernetik ist ein Beweis für
das Unterliegen aller Wissenschaften dem Prozess der Mathematisierung auf der
Grundlage der allgemeinen Mengenlehre).
7. Beim Beweis ergibt sich, (keine der drei Bedingungen ist entbehrlich).
8. Wir erkennen nicht, (dieser Kettenbruch ist periodisch).
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2. Text
ERSTE ANFÄNGE DER MATHEMATIK
Das Zählen von Dingen des umgehenden Lebens brachte schon in früherer Zeit
die natürlichen Zahlen hervor. In diesem Zusammenhang muss das Abzählen
durch Zuordnen erwähnt werden. Tatsächlich ist die Mathematik beinahe so alt
wie die Menschheit selbst. Der Mensch wurde durch zwei Bedürfnisse praktisch
gezwungen, sich mit Zahlen zu befassen. Das eine war die Anzahl von Dingen –
z.B. Speere, Feuersteine u.s.w. Das primitive System des Zählens hatte die Finger
einer oder beider Hände zur Grundlage. Die Vorherrschaft der Zahlen 5 und 10
für die meisten heutigen Zahlensysteme ist die Folge. Das zweite Bedürfnis ist
das Schaffen von Ordnungen, z.B. die Einteilung der Jagdgefährten nach der
Jagd. So entstanden die ersten Vorstellungen von den Zahlen – z.B. Kerbhölzer.
Die ältesten Kerbhölzer datieren von vor 50 000 Jahren, man fand 25 000 alte
geometrische Ornamente.
Die erste heute bekannte Hochkultur der Sumerer verfügte vor 5 000 Jahren über
Schriftzeichen und Zahlensymbole. Die alten Babilonier benutzen ein
Sexagesimalsystem als Positionssystem vor 4 000 Jahren.
Ab etwa dieser Zeit gibt es in Ägypten Bruchrechnung, in Mesopotamien werden
lineare und quadratische Gleichungen gelöst, der Satz des Pythagoras ist den
Babiloniern bekannt. Um 575 v.u.Z. tritt die Null im Positionssystem der
Babilonier auf.
Die Bedürfnisse von Feldmessung, Astronomie und Schiffahrt förderten die
Herausbildung der Mathematik auch in anderen alten Kulturen wie Indien und
China. Wie die ägyptische Geometrie dient auch die babilonische Geometrie in
erster Linie den Bedürfnissen der Praxis. In der Praxis wurde in dieser Zeit
Erstaunliches geleistet.
So wurden die Flächeninhalte vor regelmäßigen Figuren berechnet, die einem
Kreis eingeschrieben sind, so wurden die Rauminhalte komplizierter Körper
bestimmt. Das größte Staunen unter den Mathematikern unserer Zeit aber rief die
Entdeckung hervor, dass die Babilonier den populärsten Satz der Geometrie, der
später den Namen „pythagoreischer Lehrsatz“ erhielt, bereits gekannt und
angewendet haben.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die typischen Fragestellungen der
vorgriechischen Mathematik aus den Problemen des täglichen Lebens kamen.
Man strebte nicht nach Allgemeingültigkeit. Definitionen, Sätze und Beweise
kannte man nicht.
Im antiken Griechenland wurde die Mathematik zur Wissenschaft. Die Griechen
unternahmen die Elemente der Mathematik sowohl von den Babiloniern als auch
von den Ägyptern. Neu bei den Griechen war jedoch die Einführung einer
abstrakten Mathematik, die sich auf logische Strukturen von Definitionen,
Axiomen und Beweisen gründete. Die Griechen des 6. und 7. Jahrhunderts waren
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die ersten, die die Gesetzmäßigkeiten zu beweisen versuchten. Die Arbeiten der
Griechen schufen grundlegende Beiträge zur Physik und Astronomie. Das
Wirken der griechischen Mathematik kann man als Geburtsstunde der
wissenschaftlichen Mathematik bezeichnen.
Thales von Milet, der Vater der griechischen Mathematik bewies einige
geometrische Sätze um etwa 600 v.u.Z. Pythagoras und seine Schüler
entwickelten die Arithmetik und Geometrie um 500 v.u.Z. Ein Pythagoräer
entdeckte, dass Diagonale und Seite eines Quadrates nicht im rationalen
Verhältnis zueinander stehen, wobei er einen Widerspruchsbeweis führte. Diese
Existenz von nicht rationalen Zahlen löste die erste Krise der Mathematik aus
und führte zu einer getrennten Entwicklung von Geometrie und Arithmetik. Die
Pythagoräer wollten die Welt nur in rationalen Verhältnissen sehen.
Eudoxos (408-355 v.u. Z.) entwickelte die Proportionenlehre und überwand
somit diese erste Krise.
Ein Höhepunkt in der griechischen Mathematik ist das Werk von Euklid (365300 v.u.Z.). Seine „ Elemente“ sind für 2 000 Jahre das Standardwerk der
Geometrie. Die axiomatische Methode ist Vorbild für die ganze Mathematik.
Von Euklid stammt der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Er hat
auch einen vorsichtigen Schritt in die Unendlichkeit getan.
Den wesentlichen Abschluss der antiken Mathematik bildet das Werk von
Archimedes (287-212 v.u.Z.).
Es gilt als größter Mathematiker des Altertums, er kam dem Grenzwertbegriff
und der Integralrechnung sehr nahe und wandte sein mathematisches und
physikalisches Wissen unmittelbar an, indem er viele Vorrichtungen und
Maschinen konstruierte, die auch der Verteidigung seiner Stadt Syrakus gegen
die Römer dienten.
Parallel zu den rein mathematischen Sachverhalten befassten sich die Gelehrten
auch mit Optik, Mechanik und Astronomie. Mit der Ermordung Archimedes von
den Römern folgten in der Entwicklung der Mathematik Jahrhunderte der
Stagnation, in denen die Haupttätigkeit im Kopieren, Kommentieren und
Bewahren lag. Aber die Griechen waren es, die die Geometrie von einer reinen
Technik zur Wissenschaft erhoben und diese ständig erweiterten, vertieften und
festigten. Ihre große Neuerung lag darin, dass sie mit einer anderen Einstellung
an dieses Wissensgebiet herangingen, als die Völker davor.
WÖRTERLISTE
das Ding (-e) – предмет
hervorbringen (brachte hervor, hervorgebracht) – порождать
der Zusammenhang (-e) - взаимосвязь
erwähnen (te, t) – упоминать
das Bedürfnis (-se) - потребность
zwingen – (a, u) – вынуждать
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sich mit D befassen (te, t) – заниматься чем либо
der Feuerstein (-e) – кремень
der Speer (-e) – копьё
die Vorherrschaft (-en) – господство
die Folge (-en) - следствие
der Gefährte (-en) – спутник, товарищ
die Jagd (-e) – охота
das Schaffen - создание
das Kerbholz (-er) – деревянная палочка
über Akk verfügen (te, t) – располагать чем - либо
benutzen (te,t) - использовать
sexagesimal – шестидесятеричный
der Bruch (e) - дробь
auftreten (a,e) - возникать
die Feldmessung (-en) – землемерные работы
Akk fördern – ускорять, двигать
das Erstaunliche - удивительное
leisten (te,t) – достигать, добиваться
der Flächeninhalt (-e) – размер площади
Dat. eingeschrieben sein – быть вписанным
der Rauminhalt (-e) – размер пространства
das Staunen - удивление
hervorrufen (ie, u) - вызывать
erhalten (ie,a) - получать
anwenden (wandte an, angewandt) - применять
nach Dat. streben (te,t) – стремиться к чему- либо
die Allgemeingültigkeit - общепринятое
übernehmen (a, o) - перенимать
die Einführung (-en) - введение
die Gesetzmäßigkeit (-en) - закономерность
versuchen (te, t) - пытаться
der Beitrag (e) - вклад
schaffen (u, a) - создавать
die Geburtstunde (-en) – час рождения
entdecken (te, t) - открывать
das Verhältnis (-se) - отношение
der Widerspruch (-e) - противоречие
die Existenz – существование
die Entwicklung (-en) – развитие
überwinden (a,u) – преодолевать
der Höhepunkt (e) – высшая точка кульминации
das Standardwerk (e) – образец
das Vorbild (-er) – образец
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von D stammen (te,t) – происходить от кого-либо
vorsichtig – осторожный
der Schritt (e) – шаг
der Grenzwert (e) – предел
die Vorrichtung (en) – устройство
die Verteidigung (en) - защита
der Sachverhalt (e) – содержание
die Ermordung (en) – убийство
die Stagnation (en) – застой
vertiefen (te,t) – углублять
erheben (o,o) – поднимать
festigen (te,t) – укреплять
2.1. Lesen Sie den Text und suchen Sie im Text die Absätze, in denen die
Anfänge der Mathematik beschrieben sind. Schreiben Sie aus dem Text die
Wörter, die die Notwendigkeit der Entstehung der Mathematik begründen (z.B. –
das Bedürfnis, das Ding, die Vorherrschaft u.s.w.)
2.2. Beantworten sie die Fragen, vergewissern Sie sich, dass Sie den Text richtig
verstanden haben. Fertigen Sie dazu selbst ein Wortgeländer an.
1. Was brachte die natürlichen Zahlen hervor?
2. Wodurch wurde der Mensch gezwungen, sich mit Zahlen zu befassen?
3. Welche Hochkultur verfügte vor 5 000 Jahren über Schriftzeichen und
Zahlensymbole?
4. Was förderte die Herausbildung der Mathematik in anderen alten
Kulturen?
5. Woraus kamen die typischen Fragestellungen der vorgriechischen
Mathematik?
6. Wer ist der Begründer der griechischen Mathematik?
7. Was ist der Höhepunkt der griechischen Mathematik?
2.3. Vergleichen Sie die Leistungen der Mathematik in der Antike und im
Griechenland. Füllen sie die Tabelle aus, indem Sie sich auf den Text stützen.
In der Antike
• das Zählen der Dinge
• die Bestimmung von Ordnungen
• das Sixagesimalsystem benutzen
• die Bruchrechnung verwenden
• die Flächeninhalte berechnen
• ...
• ...
In Griechenland
• Die Einführung der abstrakten Mathematik
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• Die logische Struktur der Definitionen
• Das Verhältnis der Diagonalen und Seiten
• Die rationalen Zahlen
• Die axiomatische Methode
• ...
• ...
2.4. Entscheiden Sie sich für eine der folgenden Aufgaben.
a) Referieren Sie mit Hilfe der ausgefüllten Tabelle in 2,3 über die
Leistungen der Mathematik in der Antike oder in Griechenland.
b) Schreiben Sie einen Bericht von der Entwicklung der Mathematik,
in dem Sie sich auf die Tabelle stützen.
2.5. Was meinen Sie, welche Etape der Entwicklung der mathematischen
Wissenschaft die wichtigste und die produktivste ist? Bestätigen Sie ihre
Meinung mit den folgenden Vokabeln: dienen, beweisen, stammen, zählen,
zwingen, lösen, fördern, leisten, bestimmen, gründen, bezeichnen, führen, bilden,
erweitern.
Nennen Sie die Grundformen dieser Verben.
2.6. Schreiben Sie Antonyme zu den Vokabeln:
-richtig - ...
–viel - ...
-endlich - ...
– bekannt -...
-früh - ...
– linear - ...
-alt -...
– regelmäßig -...
-kompliziert -...
– groß -...
-abstrakt -...
– richtig -...
Nennen Sie drei Komparationsstufen dieser Wörter.
2.7. Welchen Geschlechts sind die Substantive: Zusammenhang, Begriff,
Grenzwert, Verhältnis, Entwicklung, Primzahl, Höhepunkt, Unendlichkeit,
Vorbild, Diagonale, Lehrsatz, Entdeckung, Beweis, Rauminhalt, Wert, Methode,
Wissenschaft, Schrift, Vorstellung, Gesetzmäßigkeit, Definition, Körper, Ding,
Struktur, Altertum.
2.8. Diskutieren Sie zum Thema: Die Entwicklungsetappen der Mathematik.
Gebrauchen Sie dabei:
• Ich meine, finde, glaube, denke, dass...
• Ich bin der Meinung, der Ansicht, der Überzeugung, dass...
• Daraus folgt, dass...
• Wir können mit Recht sagen, dass...
• Sie haben Recht, wenn Sie sagen...
• Einerseits ... , andererseits ...
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2.9. Betiteln Sie die Absätze des Textes. Verallgemeinern Sie die Ergebnisse
ihrer Besprechung schriftlich.
2.10. Referieren Sie zu folgenden Themen:
a) Die Entstehung der Mathematik in den alten Kulturen ( Ägypten, Babilonien,
Mesopotamien, Indien, China).
b) Der Beitrag der griechischen Wissenschaft in die Entwicklung der
Mathematik.
c) Die größten mathematischen Leistungen und Entdeckungen des Altertums.
Schlagen Sie eigene Themen zum Besprechen der Entwicklungsetappen der
mathematischen Lehre vor.
Üben Sie Grammatik
2.11. Übersetzen Sie ins Russische:
1. Das Dreieck ist eine geradlinig begrenzte Figur mit drei Endpunkten, die mit
A, B, C bezeichnet werden.
2. Der Strahl, der vom Scheitel eines Winkels ausgeht, und ihn in zwei gleiche
Teile teilt, heißt „Winkelhalbierende“ des Winkels.
3. Die Fläche, die von den beiden Radien RM und SM sowie dem zugehörigen
Bogen eingeschlossen ist, heißt der Kreisausschnitt oder Sektor.
4. Die natürlichen Zahlen bilden die Grundlagen, auf der man alle anderen
Zahlenbereiche aufbauen kann.
5. Der italienische Mathematiker Rafaele Bombelli, der als erster das Wort
potenza verwendet hatte, bezeichnete damit das Quadrat der Unbekannten.
6. Die mit unbestimmten Zahlen gelösten Aufgaben haben ein Ergebnis, das auch
für bestimmte Zahlen gültig ist.
7. Die Zahlenwerte, die die Gleichung erfüllen, nennt man die Lösungen oder die
Wurzel der Gleichungen.
8. In der Differentialrechnung kann man zu jeder Funktion, die als geschlossener
analytischer Ausdruck gegeben ist, die eine Ableitung bilden und als
geschlossenen Ausdruck mit Hilfe der elementaren Funktionen angeben.
9. Zwei Zahlen, deren Reihenfolge festgelegt ist, bilden ein geometrisches
Zahlenpaar.
10. Eine Pyramide ist ein Körper, dessen Seitenkanten in einem Punkt S
zusammenlaufen und dessen Grundflächen ein Viereck sind.
2.12. Bilden Sie Attributnebensätze:
Muster: Leonhard Euler erklärte die Funktion als eine veränderliche Größe.
Diese Größe ist von einer anderen Größe abhängig.
Leonhard Euler erklärte die Funktion als eine veränderliche Größe, die
von einer anderen Größe abhängig ist.
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1. Zu bestimmten Objekten gehören andere Objekte. Diese Objekte werden in
einer Menge zusammengefasst.
2. Die Mathematik wurde immer als eine empirische Wissenschaft geschätzt.
Diese Wissenschaft besitzt große Anwendungsmöglichkeiten.
3. Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in einem
Punkt M. Dieser Punkt hat von den Ecken des Dreiecks gleiche Entfernung.
4. Die Höhen eines Parallelogramms sind Strecken. Diese Strecken liegen
zwischen zwei parallelen Gegenseiten und liegen auf diesen Seiten senkrecht.
5. Unter dem Euklidischen Beweisverfahren versteht man die Begründung eines
Lehrsatzes. Dieser Lehrsatz besteht aus Voraussetzung, Behauptung und Beweis.
6. Die Kugelfläche ist der geometrische Ort aller Punkte im Raum. Diese Punkte
haben von einem festen Punkt einen festen Abstand.
7. Die gelösten Aufgaben haben ein Ergebnis. Dieses Ergebnis ist nur für
bestimmte Zahlen gültig.
8. Eine Gerade beschreibt die Mantelfläche eines Kreises. Sie geht durch einen
festen Punkt S und gleitet längst des Umlaufs einer Kurve.
9. Winkelpaare heißen Gegenwinkel. Sie liegen auf derselben Seite der
schneidenden Geraden und auf denselben Seiten der Parallelen.
10. Die Zahlenfolge ist konvergent. Sie hat einen eindeutig bestimmten endlichen
Grenzwert.
Setzen Sie „dessen“ oder „deren“ ein:
1. Alle Größen, … Wert wir als unveränderlich ansehen, heißen die
Konstanten.
2. Der Kreis ist eine in sich geschlossene Linie, … sämtliche Punkte von
einem festen Punkt, dem Kreismittelpunkt M gleichwert entfernt sind.
3. Identische Gleichungen sind Gleichungen, … beide Seiten auf Grund der
Rechengesetze gleich sind.
4. Die Zahl, … Logarithmus bestimmt werden soll, nennt man auch den
Numerus.
5. Unter einer algebraischen Funktion versteht man eine Funktion, …
Veränderliche mit den konstanten Größen verbunden sind oder als Basis
einer Potenz mit ganzen oder gebrochenen Exponenten auftreten.
6. Der Winkel, … Scheitel der Kreismittelpunkt M und … Seiten zwei
Halbmesser des Kreises sind, heißt Mittelpunktwinkel.
7. Der Kreis ist eine geschlossene krummlinige Linie, … sämtliche Punkte
von einem festen Punkt dieselbe Entfernung haben.
8. Das Produkt aus zwei Funktionen, … Faktor einer Summe ist, ist die
Summe der Einzelprodukte aus dem Sumanden und dem anderen Faktor
gleich.
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9. Eine Pyramide ist ein Körper, … Seitenkanten in einem Punkt S
zusammenlaufen und … Grundflächen ein Viereck ist.
10. Winkel, … Scheitel paarweise aufeinander senkrecht stehen, sind gleich
oder sind Supplementwinkel.
3. TEXT
DIE INDISCHE UND ARABISCHE MATHEMATIK UND
WEITERENTWICKLUNG DER MATHEMATIK
Nach dem Zusammenbruch des Weströmischen Reiches folgte eine Jahrhunderte
lange Periode in Europa, in der antikes Wissen weitgehend verschüttet war,
vieles wurde später mühevoll wiederentdeckt oder von anderen Kulturen,
namentlich den Arabien übernommen. In dieser Zeit wirkten im arabischen Raum
viele Gelehrte, die an antike Kenntnisse anknüpfen, so kamen die sogenannten
Ziffern, eigentlich indische Ziffern, nach Europa. Im Gegensatz zur griechischen
Mathematik entwickelte sich die indische Mathematik mehr auf dem
numerischen und algebraischen Bereich. Von herausragender Bedeutung war die
Entwicklung eines Zahlensystems, das auch die Null enthielt. Grundlage war das
Dezimalsystem. Die indischen Gelehrten beschäftigten sich sowohl mit
mathematischen Problemen als auch mit Sachverhalten aus der Astronomie. Sie
berechneten die Kreiszahl Pi auf vier Stellen hinter dem Komma, führten die
Sinusfunktion in die Astronomie ein, arbeiteten mit negativen Zahlen und führten
die kanonische Form für quadratische Gleichungen ein.Von den Indern wurden
bedeutende Leistungen in die Zahlentheorie, die Algebra und die Analysis
gebracht.
Viele Schriften der indischen Mathematik und Astronomie waren in der
arabischen Welt bekannt. Einige von ihnen wurden ins Arabische oder auch ins
Persische übersetzt. Die arabischen und persischen Gelehrten bauten auf den
Erkenntnissen der Inder auf und entwickelten diese Sachverhalte weiter.
Ungefähr um das Jahr 900 begannen die arabischen Gelehrten mit der
Weiterentwicklung.
Diese
Mathematiker
erweiterten
das
dezimale
Positionensystem von der Arithmetik ganzer Zahlen um die Dezimalbrüche. Auf
dem Gebiet der Algebra brachten sie bedeutende Erweiterungen. Arabische
Geometer setzten die Untersuchungen des Archimedes über Flächen und
Volumina fort. Sie verwendeten die Theorie der Kegelschnitte zum Lösen von
Problemen aus der Optik. Die Methode des Quadrat- und Kubikwurzelziehens
der Hindus wurde auf vierte, fünfte und höhere Wurzeln verallgemeinert. Die
Ansätze der ebenen und sphärischen Trigonometrie wurden weiter entwickelt.
Die Mathematik war eine der Wissenschaftszweige, der mit großem Erfolg
gefördert wurde. Beispielsweise übernahm der Westen vom 13. Jahrhundert das
Dezimalsystem. Auch die Algebra verdankt ihren Namen den islaminischen
Mathematikern: ursprünglich bezeichnete das Wort Algebra eine von ihnen
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entwickelte Methode zur Umformung und Lösung von Gleichungen. Für die
Bedürfnisse der Praxis erfanden und verfeinerten sie diverse arithmetische und
geometrische Verfahren, um Oberflächen, Rauminhalte und Entfernungen zu
berechnen.
Mit dem Italiener Fibonacci (1180 – 1250) beginnt die Wiederbelebung der
abendländichen Mathematik. Er rechnete mit arabischen Ziffern, leistete Beiträge
zu Algebra und Zahlentheorie und verbreitete die islamische und indische
Mathematik in Europa. Nun treten wieder mehr Mathematiker und Gelehrte des
späten Mittelalters und Renaissanse auf, wie Regiomontanus, Leonardo da Vinci,
Copernicus, Adam Ries, Vieta. Adam Ries, der sächsische Rechenmeister, ist zur
Verbreitung des Rechnens mit dem Abakus sowie des schriftlichen Rechnens mit
arabischen Zahlen in Deutschland zu nennen. Der erste wesentliche Schritt über
das mathematische Wissen der Antike hinaus wurde 1545 von Jeronimo Cardano
mit seiner Methode zur Lösung von algebraischen Gleichungen 3. und 4. Grades
getan. Diese Methode lenkte die Aufmerksamkeit von Mathematikern auf
komplexe Zahlen und regte eine Suche nach Lösungen von Gleichungen höheren
Grades an. Diese Suche führte wiederum Ende des 18. Jahrhunderts zum ersten
Werk über Gruppentheorie und Anfang des 19. Jahrhunderts zu der Theorie des
französischen Mathematikers Evariste Galois.
Um 1550 verwendet Rafael Bombielli systematisch schon komplexe Zahlen. In
der Folge drängt die Entwicklung der Mathematik, insbesondere der Analysis,
zur Meisterung von Grenzwerten und unendlich kleinen Größen. Mit der an
Archimedes angeknüpfte Methode waren die krummlinig begrenzten Flächen
berechnet. Die Entwicklung der Seeschiffahrt, Astronomie, Mechanik usw.
trugen der Entwicklung der Mathematik bei. Das 16. Jahrhundert erlebte die
Anfänge moderner algebraischer und mathematischer Symbole, sowie die weitere
Entwicklung der Lösungen der Gleichungen. Namen dieser Zeit sind: Galilei,
Kepler, Descartes, Fermat, Pascal. Das Werk von Rene Descartes, z.B. schuf eine
Verbindung zwischen der Geometrie und Algebra, indem es zeigte, wie man
Methoden der einen Disziplin auf die andere anwenden kann.
WÖRTERLISTE
-der Zusammenbruch (e) - крушение
-das Reich (e) – государство, империя
-verschütten (te,t) – потрясти
-übernehmen (a,o) – перенимать
- der Gelehrte (en) – учёный
- anknüpfen (te,t) - связывать
- der Gegensatz (e) – противоположность
- der Bereich (e) – область
-enthalten (ie,a) – содержать
-die Grundlage (en) – основа
-sich beschäftigen mit Dat (te,t) – заниматься чем-либо
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-der Sachverhalt (e) – содержание
-das Komma (en) – запятая
-dezimal – десятичный
- einführen (te,t) – вводить
-die Leistung (en) – достижение, успех
- die Schrift (en) – труд, работа
- ungefähr – приблизительно
-erweitern (te,t) – расширять
-bringen (brachte, gebracht) – приносить
- der Dezimalbruch (e) – десятичная дробь
-die Untersuchung (en) – исследование
- fortsetzen (te,t) – продолжать
-die Fläche (en) – площадь
-der Regelschnitt (e) – сечение
- das Wurzelziehen – извлечение корня
- die Wurzel – корень
- verallgemeinern (te,t) – обобщать
- eben – плоский
- der Zweig (e) – ветвь, область
-der Erfolg (e) – успех
- unternehmen (a,o) – предприниматель
-Dat. verdanken (te,t) – быть обязанным чем-либо
-ursprünglich – изначально
-die Umformung (en) – преобразование
-die Gleichung (en) – уравнение
-die Lösung (en) – решение
-verfeinern (te,t) – оттачивать
-divers – разный, различный
- das Verfahren – метод
-die Entfernung (en) – расстояние, удаление
-die Wiederbelebung (en) – воскрешение
-abendländisch – западный
-den Beitrag leisten (te,t) – вносить вклад
-verbreitern (te,t) – распространять
-auftreten (a,e) – выступать
-sächsisch – саксонский
-der Grad (e) – степень
-die Aufmerksamkeit (en) – внимание
-lenken( te, t) – направлять
-die Suche – поиск
-anregen (te, t) – побуждать
-verwenden (te, t) – применять
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-zu Dat. drängen (te, t) – торопить
-die Meisterung (en) – освоение, овладение
-der Grenzwert (e) – предел
-krummlinig – криволинейный
-begrenzen (te,t) – ограничивать
-die Seeschiffahrt (e) – судоходство
-Dat. beitragen (u,a) – способствовать чему-то
-der Name (en) – имя
-die Verbindung (en) – связь
-anwenden (wandte an, angewandt) – использовать
3.1. Lesen Sie den Text aufmerksam. Schreiben Sie die Wörter daraus, die auf die
Entwicklungsmöglichkeiten der arabischen Mathematik hinweisen.
3.2. Belegen Sie ihre Antwort mit passenden Textstellen.
a) Von wem wurde die arabische Mathematik übernommen?
b) Womit beschäftigten sich die indischen Gelehrten?
c) Wessen Untersuchungen wurden von den arabischen Geometern
fortgesetzt?
d) Welche Entdeckungen der Araber haben für die Weiterentwicklung
besonders große Bedeutung?
e) Wessen Namen sind in diesem Zusammenhang zu nennen?
3.3. Welches Wort passt in alle Kontexte? Setzen Sie es in der richtigen Form
ein:
1. Antikes Wissen wurde von den anderen Kulturen mühevoll ... .
2. Die indischen Gelehrten ... mit negativen Zahlen.
3. Viele Schriften der indischen Mathematik wurden in der arabischen Welt
... .
4. Auf dem Gebiet der Algebra brachten die Araber bedeutende ... .
5. Der Italiener Fibonassi ... die islamische und indische Mathematik in
Europa.
6. Um 1550 ... Rafael Bombielli systematisch komplexe Zahlen.
7. Das 16. Jahrhundert ... weitere Entwicklung der Lösungen der
Gleichungen.
3.4. Bilden Sie von den Substantiven Adjektive mit Hilfe von Suffixen. Es
können mehrere Varianten sein.
die Methode
die Algebra
der Durchschnitt
das Ende
die Geometrie
das Symbol
das Lösen
das Wesen
die Theorie
das Messen
der Name
die Verantwortung
der Erfolg
das Quadrat
das Abendland
der Ursprung
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3.5. Welchen Geschlechts sind die Substantive?
Zusammenbruch, Gegensatz, Komma, Gleichung, Leistung, Sachverhalt, Fläche,
Dezimalsystem, Beitrag, Grad, Zahl, Anfang, Entwicklung, Folge, Grenzwert,
Lösung, Verbindung.
3.6. Kombinieren Sie die Verben und Substantive richtig. Nennen Sie
Grundformen dieser Verben:
die Untersuchung
leisten
den Beitrag
entwickeln
die Kreiszahl
fortsetzen
das Positionssystem
berechnen
die Methode des Kubikziehens
verallgemeinern
den wesentlichen Schritt
übernehmen
die Suche
tun
die Aufmerksamkeit
verwenden
die komplexen Zahlen
lenken
3.7. Sehen Sie den Text noch einmal durch und schreiben Sie daraus alle
Substantive heraus.
Überlegen Sie sich: a) Wie sind sie gebildet? b) Wie bestimmt man ihr
grammatisches Geschlecht?
3.8. Besprechen Sie die Entwicklungsstufen der Mathematik in den im Text
erwähnten Kulturen des Altertums und im Mittelalter mit ihren
Gesprächspartnern.
Gebrauchen Sie dabei die Schlüsselwörter und Redewendungen, die ihre
Meinung bestätigen können.
Zum Beispiel: die arabische Mathematik – (das dezimale Positionssystem, die
Untersuchungen über Flächen und Volumina, die Theorie der Kegelschnitte, die
Verallgemeinerung des Wurzelziehens auf vierte, fünfte und höhere Wurzeln, der
Dezimalbruch, die Lösung von Gleichungen und so weiter).
3.9. Entscheiden Sie sich für die produktivste Entwicklungsstufe der
mathematischen Lehre. Schreiben Sie einen kurzen Bericht darüber. Sagen Sie
anschließend, welche Mathematiker besonders großen Beitrag für die
Entwicklung geleistet haben.
3.10. Wie benennen Sie verschiedene
Entwicklung?
Referieren Sie darüber auf Deutsch.
Perioden
der
mathematischen
Üben Sie Grammatik
3.11. Übersetzen Sie folgende Sätze ins Russische:
1. Die Gleichungen sind linear, wenn die Unbekannten nur in der ersten Potenz
auftreten.
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2. Die Gleichung bleibt richtig, wenn auf beiden Seiten gleiche
Rechenoperationen mit gleichen Zahlen vorgenommen werden.
3. Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, so bleiben die Vorzeichen der
Glieder beim Weglassen der Klammern erhalten.
4. Addition und Multiplikation von Brüchen sind nur dann ausführbar, wenn die
Brüche gleichnamig sind.
5. Wenn zwei Winkel ein Nebenwinkelpaar bilden, betragen sie 180 Grad.
6. Der Wert eines Verhältnisses bleibt unverändert, wenn man seine Glieder mit
derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert.
7. Ein gemeiner Bruch ergibt einen unendlichen Dezimalbruch, wenn sein
Nenner in gekürzter Form nur die Primfaktoren 2 oder 5 oder deren Potenz
enthält.
8. Soll eine gemischte Zahl mit einem Bruch multipliziert werden, so verwandelt
man sie in einen unechten Bruch.
9. Wählt man für den Nenner eines Bruchs immer kleinere positive Zahlen, so
wird der Wert des Bruchs immer größer.
10. Einige Mengen heißen abzählbar, wenn sie unendlich sind und man ihre
Elemente mit natürlichen Zahlen durchnumerieren kann.
11. Sind die Wurzelgrößen irrational, so können Quadratwurzel in die Form
unendlicher, periodischer, regelmäßiger Kettenbrüche gebracht und dann durch
gewöhnliche Brüche mit beliebig genauer Annäherung bestimmt werden.
12. In einer Ebene schneiden sich zwei Kreise, bezüglich der
Verbindungsgeraden der Mittelpunkte in einem Punkt, wenn der Abstand der
Mittelpunkte und die Kreisradien der Dreieckgleichung genügen.
13. Wenn man die Außenglieder oder die Innenglieder oder die beiden Seiten der
Proportion miteinander vertauscht, bleibt die Proportion richtig.
14. Wenn zwei Dreiecke in einer Höhe übereinstimmen, so verhalten sich ihre
Flächeninhalte, wie die zu dieser Höhe gehörigen Seiten.
3.12. Bilden Sie aus zwei Sätzen einen Konditionalsatz mit der Konjunktion
„wenn“, beachten Sie dabei die Wortfolge.
Muster: Der Exponent der Potenz ist durch zwei teilbar. Die Potenz ist gerade.
a) Wenn der Exponent der Potenz durch zwei teilbar ist, so ist die Potenz
gerade.
b) Die Potenz ist gerade, wenn der Exponent der Potenz durch zwei
teilbar ist.
1. Die Mengen A und B bestehen aus den gleichen Elementen. Diese Mengen
sind gleich.
2. Man bildet a+b. Man erhält aus zwei Zahlen a und b eine neue Zahl.
3. Ein Faktor ist Null. Der Wert des Produkts ist auch Null.
4. Eine Gleichung geht in eine andere Gleichung über. Auf beiden Seiten der
Gleichung wird dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert.
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5. Man betrachtet das Integral als Funktion der oberen Grenze. Mit Hilfe des
bestimmten Integrals erhält man zu einer stetigen Funktion F eine
Stammfunktion.
6. Die nicht parallelen Schenkel einer Trapez sind gleich lang. Die Trapez heißt
gleichschenklich.
7. Der Exponent der Wurzel und der Exponent des Produkts werden mit ein und
derselben Zahl multipliziert. Der Wert der Wurzel ändert sich nicht.
8. Man nennt zwei Größen indirekt proportional. Die Vervielfachung einer Größe
führt die entsprechende Teilung der anderen herbei.
9. Die Gerade beschreibt eine Ebene. Sie dreht sich um einen festen Punkt und
gleitet dabei an einer festen Geraden außerhalb des Punktes entlang.
10. Zwei Gleichungen sind voneinander unabhängig. Die eine Gleichung kann
durch eine Rechenoperation in eine andere überführt werden.
3.13. Bilden Sie aus zwei Sätzen einen Konditionalsatz ohne Konjunktion.
Muster: Die Funktionswerte von f im Intervall (a, b ) sind nicht negativ.
Man kann den Mittelwertsatz der Integralrechnung leicht geometrisch
veranschaulichen.
Sind die Funktionswerte von f im Intervall (a,b) nicht negativ, so kann
man den Mittelwertsatz der Integralrechnung leicht geometrisch
veranschaulichen.
1. Zu einer gegebenen Funktion f existiert in einem Intervall eine
Stammfunktion. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen.
2. Man kennt nur eine einzige Stammfunktion F der gegebenen Funktion f.
Man kennt bereits eine Menge aller Stammfunktionen von f.
3. Man betrachtet das Integral als Funktion der oberen Grenze. Mit Hilfe des
bestimmten Integrals erhält man zu einer stetigen Funktion f eine
Stammfunktion.
4. An der letzten Stelle steht eine Null hinter dem Komma. Man kann sie
weglassen.
5. Eine veränderliche Größe ist zu dem reziproken Wert einer anderen
veränderlichen Größe proportional. Diese Größen sind indirekt
proportional.
6. In einer der beiden Gleichungen eines Gleichungssystems ist die Summe
der Unbekannten gegeben. Man kann aus der anderen Gleichung die
Differenz dieser Unbekannten bestimmen.
7. Die Wechselwinkel an geschnittenen Geraden sind gleich. Diese Geraden
sind parallel.
8. Zwei veränderliche Größen sind einander direkt proportional. Sie stehen
im direkten oder geraden Verhältnis zueinander.
9. In einer Funktionsgleichung y = f (x) sind die Veränderlichen vertauscht.
Es entsteht eine Inverse- oder Umkehrfunktion x = f (y).
10. Die Trapez heißt gleichschenklich. Die nicht parallelen Seiten sind gleich lang.
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4. TEXT
DIE NEUZEITLICHE MATHEMATIK
Als Schöpfer der neuzeitlichen Mathematik gilt Isaac Newton (1643 – 1723).
Während des 17. Jahrhunderts wurden in der Mathematik die großen Erfolge
erzielt. Das Jahrhundert begann mit der Entdeckung von Logarithmen durch den
schottischen Mathematiker John Napier. Zu den herausragenden mathematischen
Ergebnissen des 17. Jahrhunderts zählt ohne Zweifel Newtons Erfindung des
Infinitesimalrechnung. Seine Arbeiten wurden aber erst 1736 veröffentlicht. In
den Publikationen 1684 und 1686 veröffentlichte der deutsche Philosoph und
Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz analoge Abhandlungen der
Infinitesimalrechnung. Die beiden Gelehrten führten einen erbitterten Streit, wer
von ihnen als erster die Differenzial- und Integralrechnung entwickelte. Von
Newton stammt der Ableitungspunkt, der heute vielfach in den physikalischen
Anwendungen benutzt wird, von Leibniz stammt die Schreibweise der
Differenziale. Beide verfügten jedoch nicht über einen exakten Grenzwertbegriff
und operierten mit unendlich kleinen Größen. Heute steht fest, dass beide
unabhängig voneinander zu dieser Entdeckung gelangten.
Die Analysis dieser Zeit ist eng mit mechanischen Fragestellungen, z.B. nach der
Augenblicksgeschwindigkeit verbunden. In heutigen Darlegungen der Analysis
ist dieser Bewegungsstandpunkt aus den exakten Formulierungen verschwunden
und dient nur nach der Motivation. So definieren wir heute den Grenzwert als
etwas Statisches . Neue Möglichkeiten wurden ausprobiert und weiterentwickelt,
es entstehen die klassischen Variationsrechnungen, die Theorie der gewöhnlichen
und partiellen Differenzialgleichungen und Differenzialgeometrie während des
17. Jahrhunderts gab es zwei wichtige Entwicklungen in der reinen Geometrie.
Die erste steht im Werk von Descartes aus dem Jahr 1637. Hier berichtet
Descartes über die Entdeckung der analytischen Geometrie. Er zeigte, wie man
die Algebra für Untersuchung der Geometrie von Kurven verwenden konnte.
Fermat machte zwar dieselbe Entdeckung, aber er veröffentlichte sie nicht. Die
zweite Entdeckung ist die Publikation des französischen Technikers Gerard
Desargues seiner Entdeckung der projektiven Geometrie im Jahr 1639.
Ein weiterer wichtiger Schritt in der Mathematik des 17. Jahrhunderts war der
Beginn der Ausarbeitung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Ausgangspunkt
dieser Theorie fand sich in der Korrespondents zwischen dem französischen
Mathematiker Paskol und Fermat über ein Problem beim Spiel wieder. Das
inspirierte die weiteren Abhandlungen über die Wahrscheinlichkeiten in
Würfelspielen.
Im 18. Jahrhundert wurde die Analysis zur beherrschenden Wissenschaft der
Zeit, sie verband sich eng mit Mechanik und Astronomie und hatte viele
unmittelbare Anwendungen. Die Welt schien berechenbar. Es gab sogar
Versuche, Ergebnisse der Mathematik in die Philosophie zu übernehmen.
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Leonard Euler (1707 – 1783) gilt als produktivste Mathematiker aller Zeiten,
seine Werke umfassen 72 Bände. Euler lieferte sowohl grundlegende Beiträge zur
Analysis und allen anderen Zweigen der Mathematik als auch zu den
Anwendungen der Mathematik. Er schrieb Lehrbücher über die Differential-und
Integralrechnung, über Mechanik und über Algebra. Euler prägte die Mathematik
des 18. Jahrhunderts in entscheidendem Maße. Seine Hauptarbeit richtet sich auf
die Analysis. Euler stellte den Begriff der Funktion mehr in den Mittelpunkt und
untersuchte die trigonometrische Funktion und die Exponentialfunktion. Dabei
erkannte er die grundlegenden Zusammenhänge zwischen diesen. Damit schuf
Euler die Basis für eine allgemeine Funktionstheorie.
Im 18. Jahrhundert wurden auch neue Gebiete der Mathematik entdeckt. Johann
und Jakob Beinalli führten die Variationsrechnung ein und der französische
Mathematiker Jaspard Monye die Differentialgeometrie. Ebenso in Frankreich
verfasste Joseph Louis Logrange in seiner großen Analytischen Mathematik eine
rein analytische Untersuchung der Mechanik. 1788 stellte er die berühmten
Gleichungen für ein dynamisches System auf. Er lieferte Beiträge zur
Zahlungstheorie und zur Variationsrechnung. Sein Zeitgenosse Laplace schrieb
die Analytische Theorie der Wahrscheinlichkeiten (1812) und die klassische
Himmelsmechanik.
Anfang des 19. Jahrhunderts fand der französische Mathematiker Augustin Louis
Chauchy einen logisch befriedigenden Zugang zur Analysis. Julius
W.R.Dedehind lieferte die Definition der reellen Zahlen mit Hilfe von rationalen
Zahlen. Zur gleichen Zeit brachten die deutschen Mathematiker Georg Cantor
und Karl Weierstraß weitere Definitionen.
Mathematiker des 19. Jahrhunderts festigten die Grundlagen der Analysis und
machten auch große Fortschritte auf diesem Gebiet. Carl Friedrich Gauß lieferte
eine befriedigende Erklärung der komplexen Zahlen. Diese Zahlen ergaben ein
ganz neues Gebiet der Analysis: die Funktionentheorie. Sie wurde in den
Arbeiten von Cauchy, Weierstraß und dem deutschen Mathematiker Riemann
entwickelt. G.Cantor untersuchte unendliche Mengen und Arithmetik der
unendlichen Zahlen. Cantors Lehre bildet nun einen Teil der Grundlagen der
Mathematik.
Eine weitere Entdeckung des 19. Jahrhunderts war die nichteuklidische
Geometrie. In der nichteuklidischen Geometrie können mehr Parallelen als nur
eine zu einer gegebenen Gerade durch einen festen Punkt außerhalb der Geraden
gezogen werden. Unabhängig voneinander erhielten der russische Mathematiker
Nikolaj Lobatschewskij und der Ungar Janos Bolyai dieselben Ergebnisse.
Nichteuklidische Geometrien wurden von Riemann bei seiner Einführung der
Mannigfaltigkeiten in einem sehr allgemeinen Zusammenhang untersucht. Sie
haben auch seit Einsteins Arbeiten im 20. Jahrhundert in der Physik Anwendung
gefunden.
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WÖRTERLISTE
der Schöpfer – создатель
große Erfolge erzielen (te,t) – добиваться успехов
herausragen (te,t) – выделяться
das Ergebnis (se) – результат, итог
ohne Zweifel – без сомнения
die Infinitesimalrechnung (en) – исчисление бесконечно малых
veröffentlichen (te,t) – публиковать
die Abhandlung (en) – труд, работа
der Streit (e) – спор
von Dat. stammen (te,t) – происходить от кого-либо
die Ableitung (en) – производная величина
benutzen (te,t) – применять
die Schreibweise (en) – способ написания
über Akk. verfügen (te,t) – располагать, владеть
der Grenzwert (e) – предел
zu Dat. gelangen (te,t) – добраться, дойти
der Augenblick (e) – взгляд
die Geschwindigkeit (en) – скорость
die Darlegung (en) – изложение
der Standpunkt (e) – точка зрения, позиция
die Bewegung (en) – движение
verschwinden (a,u) – исчезать
Dat. dienen (te,t) – служить чему-либо
die Möglichkeit (en) – возможность
berichten (te,t) – сообщать
der Beginn – начало
die Wahrscheinlichkeitstheorie (en) – теория вероятности
der Ausgangspunkt (e) – исходная точка
inspirieren (te,t)- вдохновлять
der Würfel – кубик
das Würfelspiel – игра в кости
beherrschen (te,t) – господствовать, владеть
sich verbinden (a,u) – связываться
unmittelbar – непосредственно
berechenbar – исчислимый
der Versuch (e) – попытка
umfassen (te,t) – охватывать, включать в себя
der Band (e) – том, книга
den Beitrag liefern (te, t) – вносить вклад
der Zweig – отрасль, область
prägen (te,t) – создавать
sich auf Akk. richten (te,t) – обращаться к чему-либо
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der Mittelpunkt (e) – центр
erkennen (erkannte, erkannt) – открывать, узнавать
der Zusammenhang (e) – связь
einführen (te,t) – вводить
verfassen (te,t) – создавать
die Himmelmechanik – механика, движение небесных тел
der Zugang (e) – подход
festigen (te,t) – укреплять
mit Hilfe – с помощью
die Erklärung (en) – объяснение
bilden (te,t) – составлять, образовывать
außerhalb – вне
eine Gerade ziehen (o,o) – проводить прямую
erhalten (ie,a) – получать
das Ergebnis (e) – результат
die Mannigfaltigkeit (en) – разнообразие
die Anwendung finden (a,u) – находить применение
allgemein – общий
4.1. Lesen Sie den Text durch. Arbeiten Sie am Text in Schritten:
a) Bestimmen Sie die Zeit der Handlung.
b) Nennen Sie die Hauptleistungen der Mathematik, die im Text erwähnt
sind.
c) Finden Sie die ungewöhnlichen Vokabeln im Text, schlagen Sie ihre
Bedeutung im Wörterbuch nach, und erklären Sie diese Bedeutung.
d) Finden Sie im Text die Stellen, wo darüber berichtet wird, wer die
Entwicklung der Mathematik im 18. Jahrhundert geprägt hat. Gebrauchen
Sie dabei die Wortgruppen aus c).
4.2. Lesen Sie den Text nochmals und betiteln Sie die
Hauptentwicklungsperioden in der neuzeitlichen Mathematik.
4.3. Schreiben Sie aus dem Text alle zusammengesetzten Substantive heraus und
überlegen Sie sich: Wie entziffert man ihre Bedeutung (vom Grundwort zum
Bestimmungswort
oder umgekehrt)?
4.4. Leiten Sie von den Verben Substantive ab. Notieren Sie diese mit dem
bestimmten Artikel:
zählen
veröffentlichen
führen
einführen
darlegen
entwickeln
rechnen
berichten
gründen
erklären
26
bilden
liefern
ziehen
erfinden
verfassen
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4.5. Nennen Sie die Grundformen der oben gegebenen Verben und führen Sie
Beispiele mit diesen Verben an. Stützen Sie sich auf den Text dabei:
4.6. Vergleichen Sie die Lage der Dinge in der Entwicklung der Mathematik im
18. und im 19. Jahrhundert. Lassen Sie sich vom Inhalt des Textes leiten.
Gebrauchen Sie dabei die Schlüsselwörter!
18.Jahrhundert
19.Jahrhundert
die herrschende Wissenschaft
die Definition der reelen Zahlen
den Beitrag zur Analysis liefern
die komplexen Zahlen
die Differential- und Integralrechnung
die Mengenlehre
der Begriff der Funktion
die Funktionentheorie
die Basis der allgemeinen Funktionstheorie
die nichteuklidische Geometrie
die Variationsrechnung
praktische Anwendung
die analytische Mechanik
unabhängig voneinander
die Wahrscheinlichkeitstheorie
die unendlichen Zahlen
4.7.Welche Namen der Gelehrten sind im Zusammenhang mit den Fortschritten
der Mathematik zu nennen? Wählen Sie den Wissenschaftler, von dessen
Leistungen Sie besonders begeistert sind und kommentieren Sie ihre
Stellungsnahme. Schreiben Sie einen kurzen Vortrag über diese Gelehrten.
Notieren Sie ihre Meinung in den Sätzen:
1. Ich finde (meine, glaube, denke), dass ... .
2. Ich bin der Meinung (Ansicht), dass ... .
3. Meiner Meinung (Ansicht) nach ... .
4. Ich habe den Eindruck (das Gefühl), dass .. .
5. Man könnte (beinahe) meinen (glauben, annehmen),dass ... .
4.8. Verteidigen Sie ihre Auffassung in dem Gespräch mit ihren Kommilitonen.
4.9. Wählen Sie eine der unten angeführten Themen und referieren Sie darüber,
sich auf den Text stützend:
1.
2.
3.
4.
Die Entwicklung der Mathematik im 17. Jahrhundert.
Die Entwicklungsetappen der Analysis.
Die Bedeutung des 18. Jahrhunderts in der Mathematikgeschichte.
Die Entwicklung der nichteuklidischen Geometrie als eine Wende in der
Mathematik.
5. Die neuzeitlichen Leistungen in der Entwicklung der mathematischen
Lehre.
6. Die produktivsten Mathematiker aller Zeiten.
4.10. Schlagen Sie die weiteren Themen zum Referieren vor!
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Üben Sie Grammatik
4.11. Übersetzen Sie ins Russische:
1. Man rechnete mit den irrationalen Zahlen, weil sie sich zur Begründung der
materiellen Bedürfnisse als nützlich erweisen.
2. Die 2 ist die kleinste und die einzige gerade Primzahl, weil jede größere gerade
Zahl immer 2 zum Teiler hat.
3. Da das kommutative Gesetz der Addition allgemeingültig ist, drücken wir es
kurz durch a+b = b+a aus.
4. Da die Quadratwurzeln sehr oft gebraucht werden, lässt man den
Wurzelexponenten 2 gewöhnlich weg.
5. Im Gegensatz zu den Quadratwurzeln lassen sich die Kubikwurzeln aus
negativen Zahlen ziehen, weil die dritte Potenz einer negativen Zahl negativ ist.
6. Da sich die Hälfte des Parallelogramms durch Drehung um den Mittelpunkt M
in die andere Hälfte überführen lässt, ist das Parallelogramm
zentrialsymmetrisch.
7. Nach dem Satz von Thales liegt der Punkt Z auf dem Kreis DE, denn die
Winkelhalbierenden ZD und ZE stehen aufeinander senkrecht.
8. Die mathematische Logik und die Mengenlehre gehören zu den Grundlagen
der Mathematik, weil die meisten mathematischen Disziplinen, Begriffe und
Schlussweisen aus Logik und Mengenlehre entstehen und auf ihnen aufbauen.
9. Mathematische Logik hat einen großen Aufschwung, weil grundlegende
Schwierigkeiten logischer Natur in der Mathematik aufgetreten sind.
10. Die moderne Logik bezeichnet man als mathematische Logik, denn ihre
Entwicklung ist mit den Bemühungen um eine exakte logische Begründung der
Mathematik verbunden.
11. Da sich unsere Industrie in immer schnellerem Tempo entwickelt, braucht sie
viele hochqualifizierte Leute.
12. Die natürlichen Zahlen beginnen mit 1 und wachsen unbeschränkt, weil jede
noch so große Zahl um eine Einheit erhöht werden kann.
4.12. Bilden Sie aus zwei Sätzen einen Kausalnebensatz mit „weil, da“, oder
„denn“.
1. Die Addition der gebrochenen Zahlen ist stets ausführbar. Wir machen die
Brüche gleichnamig.
2. Wir müssen zwischen der Operationszeichen + und (+) unterscheiden. Sie sind
in ganz anderen Bereichen definiert.
3. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl lässt sich im reellen Zahlenkörper
nicht ziehen. Es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert, negativ
ist.
4. Die benachbarten Winkel sind Nebenwinkel und ergänzen einander zu 180
Grad.
Die halbierten Winkel ergänzen einander zu 90 Grad.
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5.Von einer Ecke können nach jeder anderen Ecke außer der Ausgangsstrecke
und den beiden benachbarten Ecken eines Dreiecks diagonalen gezogen werden.
Der Satz gilt: von jeder Ecke eines n-Ecks aus lassen sich (n – 3) Diagonalen
ziehen.
6. Die Grenzwerte der beiden Zahlenfolgen der Funktionswerte sind verschieden.
Die Funktion besitzt für x=0 keinen Grenzwert.
7. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen.
Alle natürlichen Zahlen sind rationale Zahlen.
8. Man darf bei der Addition die Summanden vertauschen. Die Addition ist
kommutativ.
9. Die Mathematik hat große Bedeutung für die Entwicklung anderer
Wissenschaften. Sie hat viele Anwendungsmöglichkeiten.
10. Der Name von Euler ist in der ganzen Welt bekannt. Dieser Wissenschaftler
kann zu den Begründern der Geometrie gerechnet werden.
TEXT ZUM ÜBERSETZEN
Übersetzen Sie den Text mit Hilfe des Wörterbuches. Schreiben Sie die
Schlüsselwörter zum Thema „Die begrenzte Unendlichkeit der natürlichen
Zahlen“
Das System der Darstellung der natürlichen Zahlen
Gegenstand der Einführung (des ungekürzten, unter Complete Thesis
abgespeicherten Textes) ist zunächst das Verfahren der sukzessiven Erweiterung
der Menge der natürlichen Zahlen über die Menge der ganzen sowie rationalen
Zahlen zur Menge der reellen Zahlen. Das ist dasjenige Verfahren wie es der
mathematischen Biographie bzw. – wenn man so will – Evolution eines jeden
Menschen auch zugrunde liegt. Herausgestellt wird dabei von Anfang an, dass
solche Zahlbereichserweiterungen natürlich immer auch eine Materialfrage sind.
Was unendliche Mengen anbelangt – und es handelt sich bei allen diesen
Zahlbereichserweiterungen allesamt auch um unendliche Mengen – so sind
solche Erweiterungen darüber hinaus immer auch eine Verfahrens- und mithin
auch Darstellungsfrage. Unendliche Mengen lassen sich nicht vollständig
Element für Element aufzählen. Wie mit Zahlen gerechnet wird, ist immer auch
eine Frage der Darstellung dieser Zahlen. Gerechnet wird immer im Medium
bzw. im System der Darstellung von Zahlen. Es bedarf dann einfach eines
Regelwerks für die Darstellung so einer Menge ausgehend von einer endlichen
Menge an Zahlenmaterial. Es kann dann nicht das ganz eigene Zeichen für jede
eigene natürliche Zahl geben. Und feststeht natürlich auch, dass Zahlen einer
Darstellung bedürfen, soll mit Zahlen auch umgegangen werden (können).
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Darstellung ist Zahlen insofern wesentlich. Zahlen teilen sich uns über ihre
Darstellung mit. Für den operativen Umgang mit Zahlen ist deren Darstellung
konstitutiv. Um so merkwürdiger ist es, wenn in Philosophie aber auch
Mathematik von Fragen der Zahldarstellung abstrahiert wird. Auch die ganze
Grundlagenproblematik der Mathematik zeigt sich von Darstellungsfragen von
Zahlen völlig unberührt. Es wird dabei so getan als ob die Verfassung von
Mathematik auch eine Frage der Festlegung des Regelwerks – Axiomensystems –
sein könnte, das man dieser Mathematik zugrunde liegt.
Insbesondere in der philosophischen Logik wird das so gesehen und praktiziert.
Dieser Auffassung gegenüber versteht sich die vorgelegte Arbeit auch als
Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis der Mathematik, ganz so wie solche Beweise
in der mathematischen Praxis immer wieder auch zu führen sind, sobald
irgendwelchen neuen Objekte definiert werden. Den experimentellen
Wissenschaften gegenüber maßt man sich schließlich so etwas auch nicht an.
Dort ist es die Natur an sich und als solche, die für Existenz und Eindeutigkeit in
gleicher Weise bürgt.
Die experimentellen Wissenschaften finden in der Natur einen unverrückbaren
Bezugspunkt vor, auf den man sich in allem bezogen weiß und der alles an
Gestaltungsmöglichkeiten in der Entwicklung dieser Wissenschaften überlagert.
Diese Natur ist einfach ein Fixpunkt für alle diese Wissenschaften von der Natur.
Über alle Veränderungen in der Natur hinweg bleibt sich Natur immer gleich.
Das schließt nicht aus, dass es in der Natur nichts geben könne, was nicht auch
einer möglichen Veränderung unterworfen ist. Inzwischen wird ja auch darüber
diskutiert, dass bzw. wie sich die Naturkonstanten im Laufe der Zeit verändert
haben könnten. Also auch diese Naturkonstanten müssen nicht immer auch von
ein und demselben Wert gewesen sein.
Das in einem Gutachten so überaus inkriminierte Zitat gewinnt von daher eine
hohe Aktualität. Es sollte damit gesagt sein, dass auch solche Veränderungen
Natur gleichwohl immer auch nur Natur sein lassen. Auch diese Veränderungen
vollziehen sich in Raum und Zeit sowie entsprechend den Gesetzmäßigkeiten von
Natur. Auch die Natur als Ganze unterliegt insofern einem Zeitindex, wenn dieser
Zeitindex bzw. diese Zeitbezogenheit auch anderer Natur ist als wir sie bei
natuwissenschaftlichen Theorien und Hypothesen haben. Jede solche Theorie
bzw. Hypothese ist zwangsläufig Konstruktion und Abstraktion und als solche
unsicher, was die daraus abzuleitende Prognosefähigkeit hinsichtlich des
konkreten Verhaltens von Natur anbelangt. Es ist der schlichte und einfache
Zeitablauf, der sichere Prognosen ausschließt. Das wird sich auch nie sicher
prognostizieren lassen, einfach weil so etwas die Aufhebung des Zeitablaufes zur
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Voraussetzung hätte. Was noch nicht ist, steht grundsätzlich unter dem Vorbehalt
ihrer möglichen Verwirklichung. Dieser Verwirklichung kann man sich dann
solange nicht sicher sein, solange es auch nicht verwirklicht ist. In diesem
Kontext wird auch die Mathematik eingeordnet. Es wird gezeigt, dass in der
philosophischen Logik und zum Teil auch in der Mathematik selbst zu Unrecht
ein größerer Gestaltungsspielraum, was insbesondere die stoffliche Basis dieser
Disziplin anbelangt, reklamiert wird.
„Die reellen Zahlen sind der Stoff, aus dem die Mathematik ist.“Mit diesem Satz
setzt meine Arbeit ein. Diese reellen Zahlen sind für die Mathematik das, was die
Natur für die experimentellen Wissenschaften ist. „ In diesem Sinne auch ist die
Mathematik eine nicht weniger positive Wissenschaft als die experimentellen
Wissenschaften auch“. In der Mathematik weiß man schließlich auch um die
Eindeutigkeit dieser reellen Zahlen. Es gibt diese Zahlen so nur ein einziges Mal.
Die Begründung der Mathematik ist Begründung der reellen Zahlen. Jedes
Analysislehrbuch setzt auch mit einer axiomatischen Begründung dieser Zahlen
ein. Das entspricht so natürlich nicht der mathematischen Biographie eines
Menschen. Die Entwicklung des mathematischen Denkens eines Menschen
beginnt mit einer ersten Reihe von natürlichen Zahlen. Mit der einleitenden
axiomatischen Begründung der reellen Zahlen wird allerdings nur etwas
zusammengefasst, was dann – implizite zumindest – Etappe für Etappe
nachzuholen ist, genauso wie sich das in der mathematischen Biographie eines
Menschen abspielt.
Übersetzen Sie folgende Sätze ins Deutsche, beachten Sie dabei den Inhalt der
gelesenen Texte. Gebrauchen Sie dabei die erlernte Grammatik: die
Attributnebensätze, die Kausalnebensätze, die Objektnebensätze und die
Bedingungssätze.
Text 1.
Расскажите, что такое собственно математика.
1. Математика – это наука, которая изучает свойства и всестороннее
взаимодействие числовых и пространственных величин.
2. В 1982 году была опубликована энциклопедия, в которой была
сформулирована сущность математики.
3. Математика – это микрокосмос, который имеет огромные возможности для моделирования любых процессов мышления.
4. Необходимо подчеркнуть, что математика является наукой абстрактного заключения.
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5. Роль математики в развитии всех наук очень велика, так как она
помогает точно сформулировать законы природы.
6. Так как математика работает с абстрактными объектами, то её методы
исследования также абстрактны.
7. Методы логического заключения и математического доказательства,
на основе которых математика развивается с античных времён,
действительны и сегодня.
Text 2.
1. Давно известно, что десять пальцев обеих рук являются основой
примитивной системы вычисления.
2. Сегодня известна культура шумеров, которая уже 5000 лет назад
располагала числами и числовыми символами.
3. Математика развивалась стремительными темпами, так как возникла
практическая потребность в измерении земельных участков и в счёте
предметов.
4. Если возникала потребность считать предметы, то разрабатывались
специальные методы этого счёта.
5. В это время в математике было многое достигнуто, так как
существовала практическая потребность в счёте.
6. Греки 6-го и 7-го столетия до нашей эры были первыми, кто
попытался доказать основные закономерности математики.
7. Пифагорейцы открыли, что диагонали и стороны квадрата не
находятся в рациональном соотношении друг с другом.
8. Высшим достижением греческой математики является произведение
Евклида, которое уже 2000 лет рассматривается как стандарт
геометрической науки.
9. Евклидом разработано доказательство, что множество простых чисел
является бесконечным.
10. Аксиоматический метод, который был разработан в античной Греции,
до сих пор является образцом во всей математической науке.
11. Евклид доказал, что существует бесконечное множество простых
чисел.
Текст 3.
1.В Европе существовал длительный период, когда античная наука была
в забвении.
2. Арабские учёные ввели так называемые цифры, которые они
позаимствовали в Индии.
3. Была создана система чисел, которая содержала также ноль.
4. Индийские учёные развивали математику, так как она помогала им
изучать астрономию.
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5. Труды индийских математиков и астрономов, которые были
переведены на арабский и персидский языки, стали известны в арабском
мире.
6. Математика стала отраслью науки, которая развивалась с большим
успехом.
7. Слово «алгебра» обязано своим происхождением исламским
математикам, которые первоначально называли так метод
преобразования и решения уравнений.
8. В 1545 году был сделан значительный рывок в развитии математики,
так как был открыт метод решения алгебраических уравнений 3-ей и 4ой степени.
9. Рене Декарт показал, как можно применять методы одной дисциплины
для другой.
Текст 4.
1. Назовите имя великого шотландского математика, который открыл
логарифмы.
2. В 17 веке Ньютон написал выдающиеся работы по математике,
которые были опубликованы только столетие спустя.
3. Развитие математики в 17 веке обусловлено тем, что открытия в
механике требовали точных расчётов.
4. В 1637 году Декарт опубликовал книгу, в которой он излагает основы
аналитической геометрии.
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Список литературы
Основная литература
1. Dirk J.Struik. Abriss der Geschichte der Mathematik./Dirk J.Struik. –
Berlin.:Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1965.- 238 с.
Дополнительная литература
1. http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_babylonier.htm
2. http:www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_anfaenge.htm
3. http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_aegypter.htm
4.http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_griechen.htm
5. http:/www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_araber.htm
6. http:/www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_neuzeit.htm
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Учебное издание
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
Составители:
Бенедиктова Людмила Васильевна,
Трухина Светлана Александровна
Подписано в печать 29.04.2010. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,0.
Тираж 25 экз. Заказ 589.
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета.
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http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: [email protected]
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета.
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