close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1811.Применение интегралов типа Коши при решении краевых задач. Часть 2

код для вставкиСкачать
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ѕВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТї
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ
ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ЧАСТЬ 2
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель
В.Е. Петрова
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2010
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Утверждено научно-методическим советом математического факультета
29 апреля 2010 г., протокол ќ 8
Рецензент д-р физ.-мат. наук А.И. Шашкин
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета
Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3 5 курсов математического факультета
всех форм обучения.
Для направления 010100 Математика, специальности 010101 Математика.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Содержание
1 Краевая задача Римана Гильберта.
Некоторые вспомогательные теоремы и понятия
1.1
1.2
1.3
Принцип непрерывности. Продолжение по симметрии . . .
Принцип аргумента. Обобщенная теорема Лиувилля . . . .
Индекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Задача Римана Гильберта для односвязной области
2.1
2.2
4
4
8
9
12
Постановка задачи. Отыскание кусочно-аналитической функции по заданному скачку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Каноническая функция. Решение задачи . . . . . . . . . . 14
3 Задача Римана Гильберта для полуплоскости
23
4 Сингулярные интегральные уравнения с ядром
Коши. Основные понятия
26
5 Решение характеристического уравнения
31
6 Сингулярные интегральные уравнения,
разрешимые в замкнутой форме
39
7 Уравнение на действительной оси
43
4.1
4.2
5.1
5.2
5.3
7.1
7.2
Сингулярное интегральное уравнение . . . . . . . . . . . .
Интегральные уравнения Фредгольма . . . . . . . . . . . .
Сведение к краевой задаче Римана Гильберта . . . . . .
Решение уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Решение уравнения, союзного характеристическому . . . .
26
28
31
32
36
Исчезающие на бесконечности решения . . . . . . . . . . . 43
Решение в классе ограниченных на бесконечности функций 45
3
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1
Краевая задача Римана Гильберта.
Некоторые вспомогательные теоремы и понятия
Приведем здесь четыре наиболее часто используемые далее теоремы теории аналитических функций. Все они излагаются в руководствах по этой
теории, поэтому ограничимся лишь формулировками и разъяснением
терминологии.
1.1
Принцип непрерывности. Продолжение по симметрии
Теорема об аналитическом продолжении в соприкасающихся
областях (принцип непрерывности). Пусть две области D1 и D2
граничат вдоль некоторой гладкой кривой L; в D1 и D2 заданы аналитические функции f1 (z) и f2 (z). Предположим, что при стремлении
точки z к кривой L обе функции стремятся к предельным значениям, непрерывным на кривой L, причем эти предельные значения равны
между собой. При этих условиях функции f1 (z), f2 (z) будут аналитическим продолжением друг друга.
Доопределение функции по симметрии. Точками, симметрич-
ными относительно прямой, будем называть точки, являющиеся зеркальным отображением друг друга относительно прямой, т.е. точки, лежащие
на одном перпендикуляре к прямой, на равных расстояниях от нее по разные стороны. Если прямая действительная ось и координаты точки
z = x + iy , то координаты симметричной ей точки будут z ? = z = x ? iy .
Точками, симметричными относительно окружности, называются точки, являющиеся инверсией друг друга относительно этой окружности.
Если данная точка лежит на расстоянии r от центра окружности радиуса R, то симметричная ей точка лежит на том же радиусе на расстоянии
? = R2 /r от центра. Если окружность единичная и данная точка имеет
координату z , то симметричная ей точка имеет координату z ? = z1 .
Приведем ряд обозначений, необходимых для дальнейшего изложения
их:
1. f (z), как обычно, функция, сопряженная с данной;
2. f (z) функция, получаемая из f (z) путем замены в ней z на z , т.е.
y на ?y ;
3. f (z) функция, определяемая условием f (z) = f (z).
4
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Заменив в последнем равенстве z на z , получим f (z) = f (z).
Примеры. 1) f (z) задана рядом f (z) =
P
cn z n , тогда
X
X
X
f (z) =
cn z n , f (z) =
cn z n , f (z) =
cn z n .
2) f (z) = u(x, y) + iv(x, y), тогда
f (z) = u(x, y) ? iv(x, y), f (z) = u(x, ?y) + iv(x, ?y),
f (z) = u(x, ?y) ? iv(x, ?y).
3) Для функции, представленной интегралом типа Коши
1
f (z) =
2?i
Z
?(? )d?
,
?
?
z
L
будем иметь
1
f (z) = ?
2?i
Z
?(? ) · d?
1
, f (z) =
2?i
L ? ?z
Z
1
?(? ) · d?
f (z) = ?
.
2?i L ? ? z
Z
?(? )d?
,
t
?
z
L
Заметим, что если функция удовлетворяет условию f (z) = f (z), то
для вещественных значений z она принимает чисто действительные значения. Справедливо также и обратное предложение.
Продолжение аналитической функции по симметрии является в теории аналитических функций простым и эффективным средством аналитического продолжения. В таком виде оно под названием принципа
симметрии и излагается в руководствах по этой теории. В приложениях
к теории краевых задач условия аналитической продолжимости часто
не выполняются и метод доопределения функции по симметрии служит не для аналитического продолжения, а для образования кусочноаналитической функции.
Аналитическое доопредление по симметрии. Пусть Dz неко-
торая область плоскости z , Lz прямая или окружность, имеющие с контуром области Dz некоторую общую часть. Множество точек, симметричных точкам Dz относительно Lz , образуют область, которую обозначим Dz? и назовем областью, симметричной Dz относительно Lz . Пусть,
далее, ? = f (z) функция, аналитическая в Dz , отображающая ее в
5
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
некоторую область D? ; L? произвольная прямая или окружность в
плоскости ? и D?? область, симметричная D? относительно L? . Определим в Dz? функцию ? = f ? (z), ставя в соответствие точкам z ? , симметричным z , значения ? ? , симметричные значениям ? = f (z); в частности,
если Lz и L? действительные оси, то
f ? (z) = f (z) = f (z).
Лемма. Функция ? = f ? аналитична в области Dz? .
Приведем здесь доказательство, основанное на свойствах интеграла
типа Коши.
Пользуясь круговым свойством дробно-линейных преобразований, сделаем в плоскостях z и ? дробно-линейные преобразования такие, что Lz ,
L? переходят соответственно в отрезки действительных осей z и ? . В силу свойства инвариантности симметричных точек при дробно-линейном
преобразовании точки, симметричные относительно Lz , L? , перейдут в
точки, симметричные относительно действительных осей плоскостей z
и ? . Таким образом, дело сводится к случаю, когда парами симметричных точек будут (z , z ) и (? , ? ). Для доказательства аналитичности f ? (z)
воспользуемся интегралом Коши:
1
f (z) =
2?i
Z
Lz
f (? )
d?.
? ?z
По определению
1
f (z) = f (z) = ?
2?i
Z
?
Lz
f (? )
d? .
? ?z
Заменим под знаком интеграла ? на ? и f (? ) на f ? . При этом контур
Lz перейдет в L?z , проходимый в отрицательном направлении. Получим
1
f ? (z) =
2?i
Z
L?z
f ? (? )
d?,
? ?z
т.е. f ? (z) представляется интегралом Коши, следовательно, аналитична.
Функция
Ѕ
F (z) =
f (z), z ? Dz ,
f ? (z), z ? Dz? ,
6
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
является кусочно-аналитической в совокупности областей Dz , Dz? .
Перейдем теперь к установлению принципа симметрии в обычной формулировке.
Теорема (принцип симметрии). Пусть функция ? = f (z) анали-
тична в области Dz , имеющей частью своей границы отрезок прямой
или дугу окружности, и отражает область Dz в некоторую область
D? так, что указанные отрезок или дуга снова переходят в отрезок
прямой или дугу окружности. Тогда функция f ? (z), определенная по
симметрии в области Dz? , будет аналитическим продолжением функции f (z) в области Dz? .
Рассуждая, как при доказательстве леммы, можно свести рассмотрение к случаю, когда отрезок действительной оси плоскости z отображается на отрезок действительной оси плоскости ? . В силу леммы f ? (z)
аналитична в Dz? . Когда z стремится к точке действительной оси, то и
симметричнаяя ей точка z стремится к той же точке оси. По определению
симметрии и условию теоремы ? и ? стремятся к одной и той же точке действительной оси плоскости ? . Следовательно, граничные значения
f (z) и f ? (z) совпадают. Условия принципа непрерывности выполнены, и
теорема доказана.
Понятие симметрии может быть значительно обобщено. Пусть L аналитическая кривая, определяемая параметрически: x = ?(t), y =
?(t), где ?, ? аналитические функции действительного параметра
t. Равенство z = ?(t) + i?(t) при t действительном определяет точку
кривой L, при комплексном t оно задает некоторую точку комплексной плоскости, не принадлежащую L. Заменив t на t, получим точку
z ? = ?(t) + i?(t), симметричную по определению точке z относительно
L. Возьмјм в последнем выражении сопряжјнное значение и присоединим к нему выражение для z . Решая систему, получим
1
1
?(t) = x = (z + z ? ), ?(t) = y = (z ? z ? ).
2
2i
Если уравнение кривой L задано в неявной форме уравнением f (x, y) ==
0, то для определения точки z ? , симметричной z относительно кривой L,
получим уравнение
·
ё
1 ?
1 ?
f (z + z), (z ? z) = 0.
2
2i
7
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Для произвольной аналитической кривой алгоритм построения симметричных точек не изучен. Для более частного случая алгебраической
кривой он разработан.
1.2
Принцип аргумента. Обобщенная теорема Лиувилля
Пусть в области D, ограниченной контуром L, функция f (z) аналитична,
за исключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы.
Выпишем разложение в ряд в окрестности некоторой точки z0 :
f (z) = cn (z ? z0 )n + cn+1 (z ? z0 )n+1 + ... = (z ? z0 )n f1 (z),
f1 (z0 ) = cn 6= 0.
Число n называется порядком функции в точке z0 . Если n > 0, то
порядок функции есть порядок ее нуля, если n < 0, то порядок ее есть
порядок полюса с противоположным знаком. Если порядок функции в
z0 есть нуль, то в такой точке функция принимает конечное, отличное
от нуля, значение. При рассмотрении бесконечно удаленной точки бином z ? z0 нужно заменить на z1 . Если точка z0 лежит на контуре L, то
порядком функции будем считать число n/2.
Пусть ND , PD ; NL , PL соответственно числа нулей и полюсов в области и контуре, причем каждый из них берется столько раз, какова его
кратность. Символом [?]L обозначим приращение величины ? при обходе контура в положительном направлении. Положительным обходом,
как всегда, считается тот, при котором рассматриваемая область остается слева. Сформулируем теорему, называемую принципом аргумента.
Принцип аргумента. Пусть f (z) есть функция, аналитическая и
однозначная в многосвязной области D, ограниченной гладким контуром L = L0 + L1 + ... + Lm , за исключением конечного числа точек, где
она может иметь полюсы, непрерывная в замкнутой области D ? L
и имеет на контуре не более чем конечное число нулей целого порядка.
Тогда справедлива формула
1
1
ND ? PD + (NL ? PL ) =
[arg f (z)]L .
2
2?
Обобщенный принцип аргумента. Пусть f (z) аналитична в D,
за исключением конечного числа точек, где она имеет полюсы, и непрерывно продолжима на контур всюду, кроме точек tk в окрестности
8
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
которых она представима в виде
f (z) = fk (z)(z ? tk )?k lnµk (z ? tk )(k = 1, 2, ..., n),
где fk (z) 6= 0, ?k , µk некоторые, вообще говоря, комплексные постоянные.
Тогда
n
1X
1
N D ? PD +
?k Re?k =
[arg f (z)]L ,
2
2?
k=1
где ?k угол между касательными векторами в угловой точке.
Теорема Лиувилля (обобщенная). Пусть функция f (z) анали-
тична во всей плоскости комплексного переменного, за исключением
точек a0 = ?, ak (k = 1, 2, ..., n), где она имеет полюсы, причем главные части разложений функции f (z) в окрестности полюсов имеют
вид
G0 (z) = c01 z + c02 z 2 + ... + c0m0 z m0
в точке a0 ,
ckmk
1
ck1
ck2
Gk (
)=
+
+ ... +
z ? ak
z ? ak (z ? ak )2
(z ? ak )mk
в точке ak .
Тогда функция f (z) есть рациональная функция и может быть представлена формулой
µ
¶
n
X
1
.
f (z) = c + G0 (z) +
Gk
z ? ak
k=1
В частности, если единственная особенность функции f (z) есть полюс
порядка m в бесконечно удаленной точке, то f (z) есть многочлен степени
m:
f (z) = c0 + c1 z + ... + cm z m .
1.3
Индекс
Определение и основные свойства
Пусть L гладкий замкнутый контур и G(t) заданная на нем непрерывная функция, не обращающаяся в нуль.
9
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Определение. Индексом ж функции G(t) по контуру L называет-
ся разделенное на 2? приращение ее аргумента при обходе кривой L в
положительном направлении:
ж = IndG(t) =
1
[arg G(t)]L .
2?
(1.1)
Так как ln G(t) = ln |G(t)| + i arg G(t) и после обхода контура L функция |G(t)| возвращается к своему начальному значению, то [ln G(t)]L =
= i[arg G(t)]L и, следовательно,
1
[ln G(t)]L .
2?i
Индекс можно также представить в виде интеграла
Z
Z
1
1
ж = IndG(t) =
d ln G(t) =
d arg G(t).
2?i L
2? L
ж=
(1.2)
(1.3)
При этом, если G(t) не дифференцируема, но имеет ограниченную вариацию, то интеграл понимается в смысле Стилтьеса. В силу непрерывности
G(t) образ ? замкнутого контура L будет также замкнутым контуром и
приращение аргумента G(t) при обходе контура L будет кратным 2? ;
следовательно:
1. Индекс функции, непрерывной на замкнутом контуре и нигде не
обращающейся в нуль, есть целое число или нуль.
Из определения индекса непосредственно получаем:
2. Индекс произведения функций равен сумме индексов сомножителей. Индекс частного равен разности индексов делимого и делителя.
Пусть теперь G(t) дифференцируема и представляет собой краевое
значение аналитической внутри или вне контура L функции. Тогда
1
ж=
2?i
Z
1
d ln G(t) =
2?i
L
Z
G0 (t)
dt
G(t)
L
(1.4)
оказывается равным логарифмическому вычету функции G(t). Из
принципа аргумента вытекают следующие свойства индекса:
3. Если G(t) есть краевое значение функции, аналитической внутри
или вне контура, то индекс ее равен числу нулей внутри контура
или соответственно числу нулей вне контура, взятому со знаком
минус.
10
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
4. Если функция G(z) аналитична внутри контура, за исключением
конечного числа точек, где она может иметь полюсы, то число
нулей нужно заменить на разность числа нулей и числа полюсов.
Нули и полюсы считаются при этом столько раз, какова их кратность.
Заметим еще, что индексы комплексно сопряженных функций обратны по знаку.
Вычисление индекса
Пусть
t = t1 (s) + it2 (s)(0 ? s ? l)
уравнение контура L. Подставляя выражение комплексной координаты t в функцию G(t), получим
G(t) = G [t1 (s) + it2 (s)] = ?(s) + i?(s).
(1.5)
Будем рассматривать ? , ? как декартовы координаты. Тогда
? = ?(s), ? = ?(s)
представляет собой параметрическое уравнение некоторой кривой ?. В
силу непрерывности функции G(t) и замкнутости контура L кривая ?
будет замкнутой.
Число витков кривой ? вокруг начала координат, т.е. число полных
оборотов радиуса-вектора, когда переменная s изменяется от 0 до l, и
будет, очевидно, индексом функции G(t). Число это иногда называют
порядком кривой ? относительно начала координат.
Если кривую ? удается построить, то число витков легко посчитать.
Можно привести много примеров, когда индекс может быть определен по
виду кривой ?. Например, если G(t) действительная или чисто мнимая
функция, не обращающаяся в нуль, то ? есть отрезок прямой (проходимый четное число раз) и индекс G(t) равен нулю. Если действительная
часть ?(s) или мнимая ?(s) не меняет знака, то индекс, очевидно, также
равен нулю и т.п. Если функцию G(t) можно представить в виде произведения или частного функций, являющихся предельными значениями
аналитических внутри или вне контура функций, то индекс вычисляется
на основании свойств 2, 3, 4.
В общем случае индекс может быть вычислен по формуле (1.3). Полагая в ней на основании формулы (1.5)
d arg G(t) = d arctg
11
?(s)
?(s)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
и преполагая ? и ? дифференцируемыми, получим
1
ж=
2?
Z
?d? ? ?d?
1
=
2
2
2?
? ? +?
Z
l
0
?(s)? 0 (s) ? ?(s)? 0 (s)
ds.
? 2 (s) + ? 2 (s)
(1.6)
В некоторых простых случаях можно дать алгебраический алгоритм
для вычисления индекса.
Понятие индекса может быть распространено на случай незамкнутого
контура L, а также на случаи, когда G(t) имеет разрывы.
Замечание. Если G(t) есть краевое значение аналитической функции, то контур L можно менять в широких пределах, не меняя величины
индекса. Очевидно, индекс будет меняться всякий раз, когда контур, деформируясь, переходит через нуль или полюс G(z).
Пример. Вычислить индекс G(t) = tn по любому контуру L, окру-
жающему начало координат.
1-й способ. Функция tn есть краевое значение функции z n , имеющей
один нуль порядка n внутри контура. Следовательно,
ж = Indtn = n.
2-й способ. Если аргумент t есть ?, то аргумент tn равен n?. Ко-
гда точка t, обойдя контур L, возвращается к начальному значению, ?
получает приращение 2? . Следовательно,
Indtn = n.
Вычисление индекса может быть проведено численными методами.
Очевидно, что в силу целочисленности значений индекса приближенное
значение его, найденное с погрешностью, меньшей 1/2, и округленное до
ближайшего целого числа, даст точное значение.
2
2.1
Задача Римана Гильберта для односвязной области
Постановка задачи. Отыскание кусочно-аналитической функции по заданному скачку
Даны простой гладкий замкнутый контур L, делящий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область D+ и внешнюю D? , и
12
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
две функции точек контура G(t) и g(t), удовлетворяющие условию Гјльдера, причем G(t) не обращается в нуль.
Задача Римана Гильберта. Найти две функции: ?+ (z) ана-
литическую в области D+ , и ?? (z) аналитическую в области D? ,
включая z = ?, удовлетворяющие на контуре L линейному соотношению
?+ (t) = G(t)?? (t)
(2.1)
или
?+ (t) = G(t)?? (t) + g(t).
(2.2)
Соотношение (2.1) представляет собой однородную задачу, а соотношение (2.2) неоднородную задачу.
Функция G(t) называется коэффициентом задачи Римана Гильберта, а функция g(t) еј свободным членом.
Отыскание кусочно-аналитической функции по заданному
скачку
Рассмотрим задачу Римана Гильберта частного вида. Пусть на замкнутом контуре L дана функция ?(t), удовлетворяющая условию Гјльдера. Требуется найти кусочно-аналитическую функцию ?(z) (?(z) =
= ?+ (z) при z ? D+ , ?(z) = ?? (z) при z ? D? ), исчезающую на бесконечности и испытывающую при переходе через контур L скачок ?(t),
т.е. удовлетворяющую условию
?+ (t) ? ?? (t) = ?(t).
(2.3)
Функция
Z
?(? )
1
d?,
?(z) =
2?i L ? ? z
являющаяся интегралом типа Коши, дает решение этой задачи.
Легко показать единственность полученного решения. В самом деле, допуская существование двух решений и рассматривая их разность,
получим, что для этой разности скачок на линии L равен нулю; следовательно, это будет функция, аналитическая во всей плоскости и обращающаяся в нуль на бесконечности. Отсюда по теореме Лиувилля следует,
что эта разность тождественно равна нулю.
Решению рассмотренной задачи можно дать еще следующую формулировку:
13
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Заданную на замкнутом контуре произвольную функцию ?(t), удовлетворяющую условию Гјльдера, можно единственным образом представить в виде разности функций ?+ (t), ?? (t), являющихся краевыми
значениями аналитических функций ?+ (z), ?? (z), при дополнительном условии ?? (?) = 0.
Если отбросить дополнительное условие ?? (?) = 0, то решение задачи будет даваться формулой
1
?(z) =
2?i
2.2
Z
?(? )
d? + const.
L ? ?z
Каноническая функция. Решение задачи
Каноническая функция
Найдјм вспомогательную функцию, через которую, как будет показано
далее, выражается общее решение как однородной, так и неоднородной
краевых задач. Будем искать частное решение однородной задачи (2.1) в
классе функций, не обращающихся на контуре в нуль. Пусть N+ , N? число нулей искомых функций соответственно в областях D+ , D? . Взяв
индекс обеих частей равенства (2.1), на основании свойств индекса 2 и 3
получим
N+ + N? = IndG(t) = ж.
(2.4)
Индекс ж коэффициента задачи Римана Гильберта называется индексом задачи.
Пусть ж = 0. При этом условии ln G(t) будет однозначной функцией. Из (2.4) следует N+ = N? = 0, т.е. решение не имеет нулей во всей
плоскости. Функции ln ?± (z) будут поэтому аналитическими в своих областях и, следовательно, однозначными вместе со своими краевыми значениями ln ?± (t).
Логарифмируя краевое условие (2.1), получим
ln ?+ (t) ? ln ?? (t) = ln G(t).
(2.30 )
Для ln G(t) можно брать любую ветвь. Окончательный результат, как
легко проверить, не зависит от выбора ветви.
Пришли к задаче отыскания кусочно-аналитической функции ln ?(z)
по заданному на L скачку. Решение ее при дополнительном условии
ln ?? (?) = 0 дается формулой
1
ln ?(z) =
2?i
Z
14
ln G(? )
d?.
?
?
z
L
(2.5)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Обозначим для краткости
1
2?i
Z
ln G(? )
d? = ?(z).
L ? ?z
(2.6)
Решениями краевой задачи (2.1), удовлетворяющими условию ?? (?) =
= 1, будут, как это непосредственно вытекает из формул Сохоцкого Племеля, функции
?+ (z) = e?
+
(z)
?
, ?? (z) = e?
(z)
.
(2.7)
Если отбросить дополнительное условие ?? (?) = 1, то в формуле
(2.5) нужно добавить произвольное постоянное слагаемое и решение задачи будет иметь вид
?+ (z) = Ae?
+
(z)
, ?? (z) = Ae?
?
(z)
,
(2.8)
где A произвольная постоянная. Так как ?? (?) = 0, то A представляет собой значение ?? (z) на бесконечности.
Таким образом, в случае ж = 0 и при произвольном ?? (?) 6= 0 решение содержит одну произвольную постоянную, следовательно, имеется одно линейно независимое решение. Если ?? (?) = 0, то A = 0 и
задача имеет только тривиальное решение тождественный нуль, что
естественно в силу N? = 0. Отсюда можно получить важное следствие.
Следствие. Заданную на контуре L произвольную функцию G(t) 6= 0,
удовлетворяющую условию Гјльдера и имеющую индекс нуль, можно
представить в виде отношения функций ?+ (t) и ?? (t), являющихся краевыми значениями функций, аналитических в областях D+ , D? и не имеющих в этих областях нулей. Функции эти определяются с точностью до
произвольного постоянного множителя и даются формулами (2.8).
Переходя теперь к общему случаю, будем искать кусочно- аналитическую функцию, удовлетворяющую однородному краевому условию (2.1)
и имеющую нулевой порядок во всей плоскости, кроме одной особой точки, где ее порядок равен индексу задачи. За такую точку можно принять любую точку плоскости. В дальнейшем всюду, где не будет оговариваться противное, в качестве особой будем брать бесконечно удаленную
точку.
Определение. Канонической функцией X(z) будем называть функ-
цию, удовлетворяющую краевому условию (2.1) и кусочно-аналитическую
15
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
всюду в плоскости, за исключением бесконечно удаленной точки, где порядок ее равен индексу задачи.
Эту функцию можно построить приведением к случаю нулевого индекса. Запишем краевое условие в виде
?+ (t) = tж t?ж G(t)?? (t).
Представляя имеющую нулевой индекс функцию t?ж G(t) как отношение
краевых значений аналитических функций
+
?ж
t
e? (t)
1
G(t) = ?? (t) , ?(z) =
2?i
e
Z
ln [? ?ж G(? )]
d?,
? ?z
L
(2.9)
получим выражение для канонической функции:
X + (z) = e?
+
(z)
?
, X ? (z) = z ?ж e?
(z)
.
(2.10)
Из X + (t) = G(t)X ? (t) следует, что коэффициент задачи Римана Гильберта может быть представлен в виде отношения канонических функций:
G(t) =
X + (t)
.
X ? (t)
(2.11)
Иногда вместо X ? (z) берут 1/X ? (z) (порядок при этом меняет знак
на противоположный) и получают представление коэффициента в виде
произведения G(t) = X + (t)X ? (t). Такое представление называют факторизацией. Однако при этом окончательные формулы решения теряют
симметрию. В дальнейшем мы всюду будем пользоваться представлением (2.11).
При ж ? 0 каноническая функция, имея на бесконечности нуль порядка ж, является одним из частных решений краевой задачи (2.1). При
ж < 0 каноническая функция имеет на бесконечности полюс порядка
|ж| и уже не является решением, но она и в этом случае используется
в качестве вспомогательной функции при решении неоднородной задачи.
Решение однородной задачи
Пусть ж = IndG(t) есть любое целое число. Представляя G(t) по
формуле (2.11), приведем краевое условие (2.1) к виду
?? (t)
?+ (t)
=
.
X + (t) X ? (t)
В левой части последнего равенства стоит краевое значение функции,
аналитической в D+ ; в правой краевое значение функции, имеющей на
16
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
бесконечности порядок не ниже (?ж) (X(z) имеет, по определению, порядок ж). По принципу непрерывности функции левой и правой частей
являются аналитическим продолжением друг друга на всю плоскость, за
исключением разве что бесконечно удаленой точки, где в случае ж > 0
возможен полюс порядка не выше ж. Отсюда, исходя из обобщенной теоремы Лиувилля, эта единая аналитическая функция является многочленом степени ж с произвольными коэффициентами. Если ж < 0, то по
обычной теореме Лиувилля функция есть постоянная. Но так как на
бесконечности она должна обратиться в нуль, то отсюда следует, что
она есть тождественный нуль. Следовательно, получаем: при ж < 0 однородная задача имеет только тривиальное решение тождественный
нуль. Таким образом, однородная задача (2.1) при отрицательном индексе неразрешима.
При ж > 0, обозначая многочлен степени ж с произвольными коэффициентами Pж (z), получим решение в виде
?(z) = Pж (z)X(z),
или
?+ (z) = Pж (z)e?
+
(z)
, ?? (z) = z ?ж Pж (z)e?
?
(z)
,
(2.12)
где ?(z) определяется формулой (2.9). Рассмотренный в п. 2.2 случай
ж = 0 входит сюда как частный: Pж (z) здесь вырождается в постоянную.
Резюмируем результат.
Теорема. Если индекс ж краевой задачи Римана Гильберта неот-
рицателен (ж ? 0), то однородная задача (2.1) имеет ж + 1 линейно
независимых решений
+
k ?
?+
k (z) = z e
(z)
k?ж ?
, ??
e
k (z) = z
?
(z)
(k = 0, 1, ..., ж).
(2.13)
Общее решение содержит ж + 1 произвольных постоянных и определяется формулой (2.12). При отрицательном индексе (ж < 0) задача
(2.1) неразрешима.
Многочлен Pж (z) имеет в комплексной плоскости точно ж нулей. Из
формул (2.12) следует, что число всех нулей решения однородной краевой
задачи Римана Гильберта точно равно индексу ж. В зависимости от
подбора коэффициентов многочлена эти нули могут попасть в любую из
областей D± , а также и на контур. Обозначая, как и ранее, N± число
нулей решения в областях D± , а N0 число нулей на контуре L, получим,
17
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
что в общем случае формула (2.4) примет вид
N+ + N? + N0 = ж.
Решение неоднородной задачи
Заменяя коэффициент G(t) краевого условия (2.2)
?+ (t) = G(t)?? (t) + g(t)
отношением краевых значений канонической функции однородной задачи G(t) = X + (t)/X ? (t), приведем (2.2) к виду
?+ (t)
?? (t)
g(t)
= ? + + .
+
X (t) X (t) X (t)
Согласно свойству предельных значений интеграла типа Коши функция g(t)/X + (t) удовлетворяет условию Гјльдера. Заменим ее согласно
п. 2.1 разностью краевых значений аналитических функций:
g(t)
= ?+ (t) ? ?? (t),
+
X (t)
где
Z
g(? ) d?
1
.
?(z) =
2?i L X + (? ) ? ? z
Тогда краевое условие можно представить в виде
(2.14)
?+ (t)
?? (t)
+
? ? (t) = ? ? ?? (t).
X + (t)
X (t)
?? (z)
Заметим, что при ж ? 0 функция X ? (z) будет иметь на бесконечности
полюс, а при ж < 0 нуль порядка ж.
Рассуждая так же, как это делалось при решении однородной задачи,
получим следующие результаты:
10 . ж ? 0. Тогда
?+ (t)
?? (t)
+
? ? (t) = ? ? ?? (t) = Pж (t).
+
X (t)
X (t)
Отсюда имеем решение
?(z) = X(z) [?(z) + Pж (z)] ,
(2.15)
причем X(z), ?(z) выражаются формулами (2.10), (2.14), а Pж многочлен степени ж с произвольными коэффициентами.
18
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Легко видеть, что формула (2.15) дает общее решение неоднородной
задачи, так как оно содержит в качестве слагаемого общее решение однородной задачи X(z)Pж (z).
20 . ж < 0. В этом случае ?? (z)/X ? (z) равно нулю на бесконечности
и
+
?
? (t)
? (t)
+
?
?
(t)
=
? ?? (t) = 0,
+
?
X (t)
X (t)
откуда
?(z) = X(z)?(z).
(2.16)
В выражении функции ?? (z) первый множитель на основании формулы (2.10) имеет на бесконечности полюс порядка (?ж), а второй, как
интеграл типа Коши (2.14), имеет на бесконечности в общем случае нуль
первого порядка. Следовательно, ?? (z) имеет на бесконечности полюс
порядка не выше чем (?ж ? 1). Таким образом, если ж < ?1, неоднородная задача, вообще говоря, неразрешима. Она будет разрешима лишь
тогда, когда свободный член удовлетворяет некоторым дополнительным
условиям. Для получения их разложим в ряд интеграл типа Коши в
окрестности бесконечно удаленной точки
?
? (z) =
?
X
ck z ?k ,
k=1
где
1
ck = ?
2?i
Z
g(? ) k?1
? d?.
+ (? )
X
L
Для аналитичности ?? (z) в бесконечно удаленной точке нужно, чтобы первые (?ж ? 1) коэффициентов разложения ?? (z) обратились в
нуль. Отсюда получаем, что для разрешимости неоднородной задачи в
случае отрицательного индекса (ж < ?1) необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие (?ж ? 1) условий:
Z
g(? ) k?1
? d? = 0 (k = 1, 2, ..., ?ж ? 1).
+ (? )
X
L
(2.17)
Можно сформулировать следующий вывод.
Теорема. В случае ж ? 0 неоднородная задача Римана Гильбер-
та разрешима при любом свободном члене и ее общее решение дается
формулой
Z
X(z)
g(? ) d?
?(z) =
+ X(z)Pж (z),
(2.18)
2?i L X + (? ) ? ? z
19
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где каноническая функция X(z) определяется из (2.10), а Pж (z) полином степени ж с произвольными комплексными коэффициентами.
Если ж = ?1, то неоднородная задача также разрешима и имеет
единственное решение.
В случае ж < ?1 неоднородная задача, вообще говоря, неразрешима.
Для того чтобы она была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы свободный член задачи удовлетворял (?ж ? 1) условиям (2.17). При
выполнении последних единственное решение задачи дается формулой
(2.18), где нужно положить Pж (z) ? 0.
Важные применения в дальнейшем будет иметь решение с дополнительным требованием, чтобы оно обращалось в нуль в бесконечно удаленной точке. В этом случае вместо многочлена степени ж нужно взять
многочлен степени ж ? 1. Для разрешимости задачи в случае отрицательного индекса придется потребовать обращения в нуль также и коэффициента c?ж .
Следовательно, при условии ?? (?) = 0 решение будет задаваться
при ж ? 0 формулой
?(z) = X(z) [?(z) + Pж?1 (z)]
(2.180 )
(при ж = 0 нужно положить Pж?1 (z) ? 0).
Если ж < 0, то решение по-прежнему будет выражаться формулой
(2.18'), где Pж?1 (z) ? 0, при соблюдении (?ж) условий разрешимости:
Z
g(? ) k?1
? d? = 0 (k = 1, 2, ..., ?ж).
+
L X (? )
(2.19)
Таким образом, теорема о разрешимости неоднородной задачи принимает более симметричный вид.
При ж ? 0 общее решение неоднородной задачи линейно зависит от
ж произвольных постоянных.
При ж < 0 число условий разрешимости равно (?ж).
Заметим, что здесь при ж = 0 неоднородная задача безусловно разрешима и притом единственным образом.
Примеры
На основании изложенного решение краевой задачи Римана Гильберта сводится в основном к двум операциям:
20
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1. Представление произвольной функции, заданной на контуре, в виде
разности краевых значений функций, аналитических в областях D+
и D? . (Задача о скачке.)
2. Представление неисчезающей функции в виде отношения краевых
значений аналитических функций. (Факторизация.)
При этом вторая операция может быть сведена к первой путем логарифмирования. Некоторые осложнения при ненулевом индексе вносит
только неоднознозначность логарифма. Первая операция для произвольной функции равносильна вычислению интеграла типа Коши. В связи
с этим решение задачи по формулам (2.10), (2.14) (2.16) выражается
явно через интегралы типа Коши.
В общем случае нет простого алгоритма для вычисления таких интегралов. Нужно применять какой-нибудь из приемов приближенного
вычисления интегралов, что сопряжено с весьма трудоемкими вычислениями. Мы здесь ограничимся случаем, когда коэффициент и свободный
член задачи аналитически продолжимы с контура в плоскость комплексного переменного. Тогда операции 1 и 2 могут быть выполнены элементарно. Если при этом варьировать контур интегрирования L, то решение
будет меняться только при изменении положения относительно контура
нулей и особых точек коэффициента G(z).
Заметим, что значение излагаемого здесь способа решения задачи с
рациональными коэффициентами выходит за рамки иллюстрирующего
примера, так как произвольная непрерывная функция может быть с любой точностью приближена рациональными и решение задачи с рациональными коэффициентами может стать основой ее приближенного решения в общем случае.
Пример. Для иллюстрации решим краевую задачу Римана Гиль-
берта с контуром, состоящим из конечного числа простых кривых, коэффициент G(t) которой есть рациональная функция, не имеющая нулей и
полюсов на контуре:
?+ (t) =
p(t) ?
? (t) + g(t).
q(t)
(2.20)
Разложим многочлены p(z), q(z) в произведение
p(z) = p+ (z)p? (z), q(z) = q+ (z)q? (z),
(2.21)
где p+ (z), q+ (z) многочлены, корни которых лежат в D+ , а p? (z) и
q? (z) многочлены с корнями в D? . Из свойств индекса 4 легко полу21
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
чить, что ж = m+ ? n+ , где m+ , n+ числа нулей многочленов p+ (z),
q+ (z).
Ввиду того, что коэффициент задачи есть функция, аналитически
продолжимая в области D± , здесь целесообразнее не пользоваться общими формулами решения, а получить последнее непосредственно, пользуясь аналитическим продолжением. При этом следует учитывать, что
роль стандартной функции tж , используемой для сведения индекса к нулевому, способно играть произведение ?ж
j=1 (t?aj ), где a1 , ..., aж любые
+
точки области D . Представляя краевое условие в виде
q? (t) +
p+ (t) ?
q? (t)
? (t) ?
? (t) =
g(t)
p? (t)
q+ (t)
p? (t)
(каноническими функциями здесь являются X + = p? /q? , X ? = q+ /p+ ),
на основании тех же соображений, что и в п. 2.2, получим решение в
виде
?+ (z) =
?? (z) =
?(z) =
p? (z)
q? (z)
p+ (z)
q+ (z)
1
2?i
R
[?(z) + Pж?1 (z)] ,
[?(z) + Pж?1 (z)] ,
q? (? )
d?
L p? (? ) g(? ) ? ?z ,
(2.22)
(?? (?) = 0).
Если индекс окажется отрицательным, то нужно положить Pж?1 ? 0
и добавить условия разрешимости:
Z
q? (t)
g(? )? k?1 d? = 0(k = 1, 2, ..., ?ж).
L p? (t)
(2.23)
Полученное выражение согласуется с общими формулами (2.14), (2.15),
если учесть, что каноническая функция здесь будет иметь вид X + = pq?? ,
X ? = pq++ . Последнее можно получить, исходя из определения канонической функции (п. 2.2).
Заметим, что и в общем случае при практическом решении задачи Римана Гильберта выгодно бывает коэффициенты представлять в виде
G = p+ p? /q+ q? G1 , где G1 функция с нулевым индексом, а многочлены
p± , q± подбираются, исходя из вида коэффициента. При целесообразном
подборе этих многочленов решение может быть получено наиболее простым путем.
22
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
3
Задача Римана Гильберта для полуплоскости
Пусть контур L есть действительная ось. Как и ранее, задача Римана
Гильберта заключается в том, чтобы найти две ограниченные аналитические соответственно в верхней и нижней полуплоскостях функции
?+ (z), ?? (z) (кусочно-аналитическую функцию ?(z)), предельные значения которых на контуре удовлетворяют краевому условию
?+ (t) = G(t)?? (t) + g(t)(?? < t < ?).
(3.1)
Заданные функции G(t) и g(t) удовлетворяют условию Гјльдера как
в конечных точках, так и в окрестности бесконечно удаленной точки
контура. Считаем также, что G(t) 6= 0.
Решение будем проводить по тому же плану, что и для конечного контура. Главное отличие от рассмотренного ранее случая конечной кривой
состоит в том, что здесь бесконечно удаленная точка и начало координат лежат на самом контуре и потому не могут быть приняты в качестве
особой точки, где для канонической функции допустим ненулевой порядок. Вместо используемой ранее вспомогательной функции t, имеющей
по L индекс, равный единице, здесь будет введена обладающая тем же
свойством на действительной оси дробно-линейная функция
t?i
.
t+i
Аргумент этой функции
t?i
(t ? i)2
arg
= arg 2
= 2 arg(t ? i)
t+i
t +1
изменяется на 2? , когда t пробегает действительную ось в положительном направлении. Таким образом,
t?i
Ind
= 1.
t+i
Если IndG(t) = ж, то функция
µ
¶?ж
t?i
G(t)
t+i
имеет индекс, равный нулю. Ее логарифм будет на действительной оси
функцией однозначной.
Строим каноническую функцию, для которой особой точкой будет
точка (?i):
µ
¶?ж
z
?
i
+
?
X + (z) = e? (z) , X ? (z) =
e? (z) ,
(3.2)
z+i
23
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где
?(z) =
1
2?i
Z
"µ
?
ln
??
? ?i
? +i
#
¶?ж
G(? )
d?
.
? ?z
Пользуясь предельными значениями этой функции, преобразуем краевое
условие (3.1) к виду
?? (t)
g(t)
?+ (t)
=
+
.
X + (t) X ? (t) X + (t)
Далее, вводя аналитическую функцию
1
?(z) =
2?i
Z
?
g(? ) d?
,
+
?? X (? ) ? ? z
(3.3)
представим краевое условие в виде
?+ (t)
?? (t)
+
? ? (t) = ? ? ?? (t).
+
X (t)
X (t)
Заметим, что, в отличие от случая конечного контура, здесь, вообще
говоря, ?? (?) 6= 0. Применяя теорему об аналитическом продолжении
и учитывая, что единственной особенностью рассматриваемой функции
может быть лишь полюс в точке z = ?i порядке не выше ж (при ж > 0),
на основании обобщенной теоремы Лиувилля будем иметь
?+ (t)
?? (t)
Pж (t)
+
?
?
?
(t)
=
?
?
(t)
=
(ж ? 0),
X + (t)
X ? (t)
(t + i)ж
где Pж (t) многочлен степени не выше ж с произвольными коэффициентами. Отсюда получаем общее решение задачи
·
ё
Pж (t)
?(z) = X(z) ?(z) +
, ж ? 0,
(z + i)ж
(3.4)
?(z) = X(z) [?(z) + C] , ж < 0.
(3.5)
При ж < 0 функция X(z) имеет в точке z = ?i полюс порядка (?ж),
поэтому для разрешимости задачи нужно положить C = ??? (?i). При
ж < ?1, кроме того, должны выполняться еще следующие условия:
Z
?
g(? )
d?
= 0 (k = 2, ..., ?ж).
+ (? ) (? + i)k
X
??
(3.6)
Таким образом, получены результаты, аналогичные тем, которые имели
место в случае конечного контура.
24
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Теорема. При ж ? 0 однородная и неоднородная краевые задачи Ри-
мана Гильберта для полуплоскости безусловно разрешимы и решение
их зависит линейно от ж + 1 произвольных постоянных.
При ж < 0 однородная задача неразрешима.
Неоднородная задача при ж < 0 разрешима однозначно, причем в случае ж = ?1 безусловно, а при ж < ?1 лишь при выполнен??и (?ж ? 1)
условий (3.6).
До сих пор мы искали решения задачи Римана Гильберта, которые были просто ограничены на бесконечности. Сейчас остановимся на
случае исчезающих на бесконечности решений.
Подставляя в краевое условие ?+ (?) = ?? (?) = 0, получим g(?) = 0.
Следовательно, чтобы задача Римана Гильберта имела решение, исчезающее на бесконечности, свободный член краевого условия должен на
бесконечности обращаться в нуль. Будем считать это условие выполненным. Для получения решения в рассматриваемом случае нужно в (3.4)
вместо Pж взять Pж?1 , а в (3.5) постоянную C приравнять нулю. Таким
образом,
Pж?1 (z)
.
(3.7)
(z + i)ж
При ж ? 0 в этой формуле нужно положить Pж?1 ? 0. К условиям
разрешимости (3.6) добавится еще одно: ?(?i) = 0.
Таким образом, эти условия примут вид
Z ?
d?
g(? )
= 0 (k = 1, 2, ..., ?ж).
(3.8)
+
k
?? X (? ) (? + i)
?(z) = X(z) +
Теперь при ж > 0 будем иметь решение, зависящее от ж произвольных
постоянных, при ж ? 0 решение единственно, причем при ж < 0 для его
существования необходимо и достаточно выполнения (?ж) условий.
Для произвольного гладкого замыкающегося на бесконечности контура L решение краевой задачи Римана-Гильберта можно проводить так
же, как и для действительной прямой. Отличие состоит лишь в том, что
вместо имеющей на действительной оси индекс, равный 1, вспомогательной функции (t ? i)/(t + i) здесь вводится обладающая тем же свойством
на L функция (t ? z0 )/(t ? z1 ), где z0 ? D+ , z1 ? D? . Особой точкой является z1 .
25
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
4
Сингулярные интегральные уравнения с ядром
Коши. Основные понятия
Одним из важнейших теоретических приложений краевой задачи Римана
Гильберта является исследование сингулярных интегральных уравнений
с ядром Коши, что и будет рассмотрено в данном параграфе.
4.1
Сингулярное интегральное уравнение
Если в линейном интегральном уравнении
Z
?(t) +
K(t, ? )?(? )d? = f (t)
L
ядро имеет вид
K(t, ? ) =
M (t, ? )
(? ? t)?
(0 ? ? < 1),
где M (t, ? ) непрерывная функция, то при помощи итераций его можно привести к интегральному уравнению с непрерывным ядром. Такое
уравнение обладает всеми свойствами уравнения Фредгольма и называется фредгольмовым.
Если ? = 1, то интеграл становится особым (сингулярным) и указанный способ приведения уравнения к фредгольмову теряет силу. Для
таких уравнений нужно строить специальную теорию.
Здесь мы будем рассматривать уравнения с ядром Коши типа
1
K? ? a(t)?(t) +
?i
Z
M (t, ? )
?(? )d? = f (t).
L ? ?t
(4.1)
Интеграл, понимаемый в смысле главного значения, берется по контуру L, состоящему в общем случае из m + 1 замкнутых гладких кривых
L = L0 + L1 + ... + Lm . Заданные на L функции a(t), f (t), M (t, ? ) будем считать удовлетворяющими условию Гјльдера, причем последнюю
по обеим переменным.
Буква K (каппа) это символ операции, производимой над функцией
?(t) в левой части уравнения.
Совершив над ядром преобразование
M (t, ? ) M (t, ? ) ? M (t, t) M (t, t)
=
+
? ?t
? ?t
? ?t
и обозначив
M (t, t) = b(t),
1 M (t, ? ) ? M (t, t)
= k(t, ? ),
?i
? ?t
26
(4.2)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
запишем уравнение (4.1) в виде
b(t)
K? ? a(t)?(t) +
?i
Z
?(? )
d? +
L ? ?t
Z
k(t, ? )?(? )d? = f (t).
(4.3)
L
Из формул (4.2) следует, что функция b(t) удовлетворяет условию Гјльдера на всем контуре L, а k(t, ? ) всюду, кроме точек ? = t, где для нее
справедлива оценка
|k(t, ? )| <
A
|? ? t|1??
(0 < ? ? 1).
Уравнение (4.3) будем называть полным сингулярным интегральным
уравнением. Если f (t) не нуль, будем иметь неоднородное, в противном
случае однородное уравнение.
Выражение
Z
?(? )
b(t)
d?
(4.4)
?i L ? ? t
R
называется характеристической, а член L k(t, ? )?(? )d? регулярной
частью. Уравнение
Z
?(? )
b(t)
d? = f (t)
(4.5)
K0 ? ? a(t)?(t) +
?i L ? ? t
K0 ? ? a(t)?(t) +
будем называть характеристическим уравнением, соответствующим полному уравнению (4.3), а оператор K0 характеристическим оператором.
Вводя для регулярной части уравнения обозначение
Z
k? ?
k(t, ? )?(? )d?,
L
можем записать полное уравнение в виде
K? ? K0 ? + k? = f (t).
Уравнение
1
K ? ? a(t)?(t) ?
?i
0
Z
b(? )?(? )
d? +
? ?t
L
Z
k(?, t)?(? )d? = 0,
(4.30 )
L
получаемое из однородного уравнения K? = 0 перестановкой переменных в ядре, называется союзным или транспонированным. Оператор K0
называется союзным (транспонированным) оператору K.
В частности, уравнение
1
K ? ? a(t)?(t) ?
?i
00
27
Z
b(? )?(? )
d? = 0
?
?
t
L
(4.50 )
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
будет уравнением, союзным характеристическому уравнению (4.5). За0
метим, что оператор K0 , союзный характеристическому оператору K0 ,
0
не совпадает с оператором K0 , характеристическим для союзного. Последний определяется формулой
b(t)
K ? ? a(t)?(t) ?
?i
00
Z
?(? )
d?.
?
?
t
L
Формулу (4.3') нужно преобразовать
Z
b(? )?(? )
d? =
? ?t
L
Z
b(? ) ? b(t)
?(? )d? + b(t
? ?t
L
Z
(4.6)
?(? )
d? )
L ? ?t
и первый интеграл отнести к регулярной части.
В дальнейшем будем искать решения сингулярных уравнений, удовлетворяющие условию Гјльдера.
4.2
Интегральные уравнения Фредгольма
Приведем для справок основные факты теории линейных интегральных
уравнений Фредгольма 2-го рода
Z
a(t)?(t) + ?
K(t, ? )?(? )d? = f (t).
L
Предполагая a(t) не обращающимся в нуль, можно без ограничения
общности считать a(t) ? 1. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать
уравнения Фредгольма вида
Z
?(t) + ?
L
и
K(t, ? )?(? )d? = f (t) (неоднородное)
(4.7)
Z
?(t) + ?
L
K(t, ? )?(? )d? = 0 (однородное).
(4.8)
Определение. Если при некотором значении параметра ? = ?0 од-
нородное уравнение Фредгольма имеет нетривиальное решение, то ?0
называется собственным значением, а сами решения (линейно независимые) ?1 (t), ..., ?n (t) собственными функциями ядра K(t, ? ) или, что
все равно, однородного уравнения (4.8).
28
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Теоремы Фредгольма. Следующие три теоремы называют соответ-
ственно первой, второй и третьей теоремами Фредгольма.
Теорема I. Если ? = ?0 не является собственным значением яд-
ра, т. е. если однородное уравнение (4.8) неразрешимо, то неоднородное
уравнение (4.7) разрешимо при любой правой части f (t).
Общее решение дается формулой
Z
?(t) = f (t) ? R(t, ? )f (? )d?,
(4.9)
L
где функция R(t, ? ) резольвента уравнения определенным образом
выражается через ядро K(t, ? ).
Теорема II. Если ? = ?0 является собственным значением однород-
ного уравнения (4.8), то оно является собственным значением также
и для союзного уравненя
Z
?(t) + ? K(?, t)?(? )d? = 0,
(4.70 )
L
причем оба уравнения имеют одинаковое число линейно независимых
решений (собственных функций, принадлежащих собственному значению ?0 ).
Общее решение однородного уравнения представляется в виде
?(t) =
n
X
ck ?k (t),
k=1
где ?1 (t), ..., ?n (t) полная система линейно независимых собственных
функций, принадлежащих собственнму значению ?0 , а ck произвольные постоянные.
Теорема III. Если однородное уравнение разрешимо, то неоднород-
ное уравнение, вообще говоря, неразрешимо. Оно будет разрешимо тогда и только тогда, когда выполнены условия
Z
f (t)?k (t)dt = 0,
(4.10)
L
где ?k (t) (k = 1, 2, ..., n) есть полная система собственных функций
союзного уравнения (4.70 ), принадлежащих данному собственному значению ?0 .
29
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Если условия (4.10) выполнены, то общее решение неоднородного уравнения дается формулой
Z
?(t) = f (t) ?
H(t, ? )f (? )d? +
L
Pn
где H(t, ? ) обобщенная резольвента, а
соответствующего однородного уравнения.
n
X
ck ?k (t),
(4.11)
k=1
k=1 ck ?k (t)
общее решение
Определение. Множество собственных значений параметра ? инте-
грального уравнения называется его спектром.
Приведем две теоремы, характеризующие спектр уравнения Фредгольма.
Теорема IV. Множество собственных значений интегрального урав-
нения Фредгольма не имеет предельных точек на конечном расстоянии. Если множество собственных значений бесконечно, то его предельной точкой является бесконечно удаленная точка.
Иначе говоря, спектр интегрального уравнения Фредгольма есть множество изолированное (дискретное). Это следует из того, что собственные значения ?k интегрального уравнения Фредгольма являются корнями аналитической функции,
которая в частном
Г
! случае, когда ядро
уравнения вырождено
K(t, ? ) =
Pn
j=1 ?j (t)?j (? )
, обращается в мно-
гочлен, а в остальных случаях является целой трансцендентной.
Теорема V. Каждому собственному значению принадлежит конеч-
ное число собственных функций.
Последнее свойство уже использовалось в теореме III.
30
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
5
Решение характеристического уравнения
5.1
Сведение к краевой задаче Римана Гильберта
Рассмотрим простейший тип сингулярного интегрального уравнения характеристическое уравнение (4.5):
b(t)
K0 ? ? a(t)?(t) +
?i
Z
?(? )
d? = f (t).
L ? ?t
(5.1)
В этом случае решение уравнения можно свести к решению краевой
задачи Римана Гильберта и дать решение уравнения в замкнутой форме.
Введем кусочно-аналитическую функцию, заданную интегралом типа
Коши, плотностью которого служит искомое решение характеристического уравнения
Z
?(? )
1
d?.
2?i L ? ? z
Согласно формулам Сохоцкого Племеля
?(z) =
(5.2)
?(t) = ?+ (t) ? ?? (t),
1
?i
Z
?(? )
dt = ?+ (t) + ?? (t).
(5.3)
?
?
t
L
1 R ?(? )
Внося значения ?(t),
dt в уравнение (5.1) и решая его от?i L ? ? t
носительно ?+ (t), получим, что кусочно-аналитическая функция ?(z)
должна являться решением краевой задачи Римана Гильберта
?+ (t) = G(t)?? (t) + g(t),
(5.4)
где
a(t) ? b(t)
f (t)
,
g(t) =
.
(5.5)
a(t) + b(t)
a(t) + b(t)
В силу того, что искомая функция ?(z) представлена интегралом типа
Коши, она должна удовлетворять дополнительному условию
G(t) =
?? (?) = 0.
(5.6)
a(t) ? b(t)
задачи Римана Гильберта
a(t) + b(t)
(5.4) будем называть индексом интегрального уравнения (5.1).
Решив краевую задачу (5.4), по формуле (5.3) найдем решение уравнения (5.1).
Индекс коэффициента G(t) =
31
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Итак, интегральное уравнение (5.1) свелось к краевой задаче Римана
Гильберта (5.4). Чтобы установить равносильность уравнения и краевой задачи, нужно доказать, что и, обратно, ?(t), найденная указанным
образом из решения краевой задачи, удовлетворяет уравнению (5.1). Для
этого нужно установить, что справедлива и вторая из формул (5.3). Докажем это.
Если решение задачи (5.4) представлено интегралом типа Коши (5.2),
то будут справедливы обе формулы (5.3), и от краевой задачи можно однозначно прийти к исходному уравнению. Допустим теперь, что имеется
другая функция ?1 (z), удовлетворяющая тем же условиям. Тогда для
разности ?2 = ? ? ?1 будет справедливо равенство
?
?+
2 (t) ? ?2 (t) = 0.
По теореме об аналитическом продолжении и теореме Лиувилля (с учетом (5.6)) ?2 (z) ? 0. Следовательно, ?1 (z) = ?(z), что и требовалось.
Рассмотрим сначала нормальный случай, когда коэффициент G(t) задачи Римана Гильберта (5.4) не обращается в нуль или бесконечность,
что соответствует для уравнения (5.1) условию
a(t) ± b(t) 6= 0.
(5.70 )
Для упрощения p
дальнейших формул разделим предварительно всј
уравнение (5.1) на a2 (t) ? b2 (t) (нормируем), т.е. будем считать, что
коэффициенты этого уравнения удовлетворяют условию
a2 (t) ? b2 (t) = 1.
(5.7)
Заметим еще, что также можно составить интегральное уравнение,
соответствующее заданной краевой задаче (5.4). Подставляя в краевое
условие (5.4) предельные значения интеграла типа Коши, по формулам
Сохоцкого Племеля получим характеристическое сингулярное интегральное уравнение
1 ? G(t)
1
[1 + G(t)]?(t) +
2
2?i
Z
?(? )
d? = g(t).
L ? ?t
(5.8)
Из решений последнего уравнения по формуле (5.2) получим решение
краевой задачи Римана Гильберта.
5.2
Решение уравнения
Выпишем решение краевой задачи Римана Гильберта (5.4), считая
ж ? 0, и вычислим по формулам Сохоцкого Племеля предельные зна32
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
чения соответствующих функций
h 1 g(t)
i
1
? (t) = X (t)
+ ?(t) ? Pж?1 (t) ,
2 X+ (t)
2
h 1 g(t)
i
1
?
?
? (t) = X (t) ? + + ?(t) ? Pж?1 (t) ,
2 X (t)
2
1 R g(? ) d?
где ?(t) =
сингулярный интеграл. Произвольный
2?i L X+ (t) ? ? t
многочлен взят в форме ? 12 Pж?1 (t) для удобства дальнейших обозначений.
Отсюда по формуле (5.3)
"
#
"
#
i
?
?
X (t)
X (t) h
1
1
+
1+ +
g(t) + X (t) 1 ? +
?(t) ? Pж?1 (t) .
?(t) =
2
2
X (t)
X (t)
+
+
X? (t)
1
На основании краевого условия заменим +
=
, а функцию ?(t)
G(t)
X (t)
ее выражением. Тогда
"
?(t) =
#
"
1
1
1
1+
g(t)+ X+ (t) 1?
2
G(t)
G(t)
#"
1
2?i
Z
#
g(? ) d?
1
? Pж?1 (t) .
+
L X (t) ? ? t 2
Подставляя, наконец значения G(t) и g(t) из (5.5), имеем
b(t)Z(t)
?(t) = a(t)f (t) ?
?i
Z
f (? ) d?
+ b(t)Z(t)Pж?1 (t),
L Z(? ) ? ? t
(5.9)
где
+
?
Z(t) = [a(t) + b(t)]X (t) = [a(t) ? b(t)]X (t) = p
e?(t)
tж ?(t)
h
a(? ) ? b(? ) i
?ж
Z ln ? ?(? )
1
a(? ) + b(? )
?(t) =
d?,
2?i L
? ?t
m
X
?(t) =
(t ? zk )жk
,
(5.10)
(5.11)
k=1
и коэффициенты a(t), b(t) удовлетворяют условию (5.70 ). Здесь ?(t) ? 1
в случае, когда L простой контур, охватывающий односвязную область. Так как функции a(t), b(t), f (t) удовлетворяют условию Гјльдера, то на основании свойств предельных значений интеграла типа Коши
функция ?(t) также будет удовлетворять условию Гјльдера.
33
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Последний член формулы (5.9) представляет собой общее решение однородного уравнения (f (t) ? 0), а первые два члена некоторое частное
решение неоднородного уравнения.
Сравнивая формулу (5.9) с формулой (4.11), видим, что функция
b(t)Z(t)
для характеристического уравнения играет роль резоль?iZ(? )(? ? t)
венты, а его собственными функциями будут ?k (t) = b(t)Z(t)tk?1 (k =
= 1, 2, ..., ж). Частное решение уравнения (5.1) можно записать как Rf ,
где R оператор, определяемый равенством
Z
b(t)Z(t)
f (? ) d?
Rf = a(t)f (t) ?
.
?i
Z(?
)
?
?
t
L
Тогда общее решение уравнения (5.1) примет вид
?(t) = Rf +
ж
X
ck ?k (t).
(5.12)
k=1
(Оператор R обратен оператору K0 в том смысле, что оператор K0
функцию ? переводит в функцию f , а оператор R обратно f в ?.)
Заметим, что в тех случаях, когда задача Римана Гильберта (5.4) может быть решена непосредственно путем аналитического продолжения,
удобнее искать решение характеристического уравнения не по формуле
(5.9), а непосредстенно по формуле (5.3).
Если ж < 0, то, как мы знаем, задача Римана Гильберта (5.4), вообще говоря, неразрешима. Условия ее разрешимости
Z
g(? ) k?1
? d? = 0
+
L X (? )
(k = 1, 2, ..., ?ж)
будут вместе с тем и условиями разрешимости уравнения (5.1).
Заменяя g(? ) и X+ (? ) их выражениями (5.5) и (5.10), можно записать
условия разрешимости в виде
Z
f (? ) k?1
? d? = 0
Z(?
)
L
(k = 1, 2, ..., ?ж).
(5.13)
Если условия разрешимости соблюдены, то решение неоднородного
уравнения (5.4) дается формулой (5.9) при Pж?1 (t) ? 0.
Сформулируем результаты исследования (1-я и 2-я теоремы Нјтера)
10 . Если ж > 0, то однородное уравнение K0 ? = 0 имеет ж линейно
независимых решений
?k (t) = b(t)Z(t)tk?1
34
(k = 1, 2, ..., ж).
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
20 . Если ж ? 0, то однородное уравнение неразрешимо. (Тривиальное
нулевое решение в расчет не принимается.)
30 . Если ж ? 0, то неоднородное уравнение разрешимо при любой
правой части f (t) и его общее решение линейно зависит от ж произвольных постоянных.
40 . Если ж < 0, то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть f удовлетворяет ?ж условиям:
Z
?k (t)f (t)dt = 0,
(5.14)
L
где ?k (t) =
1 k?1
t .
Z(t)
Сравнивая перечисленные свойства характеристического сингулярного
интегрального уравнения со свойствами интегрального уравнения Фредгольма (п. 4.1), можно усмотреть между ними существенные различия.
Для уравнения Фредгольма в случае разрешимости однородного уравнения неоднородное, вообще говоря, неразрешимо и, наоборот, в случае
неразрешимости первого второе безусловно разрешимо. Для сингулярного же уравнения при разрешимости однородного безусловно разрешимо
и неоднородное, при неразрешимости же первого, вообще говоря, неразрешимо и второе.
Введем аналогично уравнению Фредгольма в ядро характеристического уравнения параметр ? и рассмотрим уравнение
?b(t)
K0? ? ? a(t)?(t) +
?i
Z
?(? )
d? = 0.
L ? ?t
Как было показано, последнее уравнение разрешимо, если
ж = Ind
a(t) ? ?b(t)
> 0.
a(t) + ?b(t)
Индекс непрерывной функции изменяется скачкообразно, причем только
для таких значений ?, для которых a(t) ? ?b(t) = 0. Если в комплексной
a(t)
, то они разделят
b(t)
плоскость на области, в каждой из которых индекс будет постоянным.
Таким образом, собственные значения характеристического сингулярного интегрального уравнения заполняют целые области, следовательно,
спектр его, в отличие от спектра уравнения Фредгольма, является не
дискретным, а сплошным.
плоскости ? = ?1 + i?2 провести кривые ? = ±
35
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
5.3
Решение уравнения, союзного характеристическому
Уравнение
1
K ? ? a(t)?(t) ?
?i
00
Z
b(? )?(? )
d? = h(t),
? ?t
L
(5.15)
союзное с характеристическим уравнением K0 ? = f , само не является
характеристическим. Однако путем подстановки
b(t)?(t) = ?(t)
(5.16)
оно превращается в характеристическое относительно функции ?(t):
b(t)
a(t)?(t) ?
?i
Z
?(? )
d? = b(t)h(t).
L ? ?t
Определив из последнего уравнения ?(t) по формуле
"
?(t) =
1
1
?(t) +
a(t) + b(t)
?i
Z
(5.17)
#
?(? )d?
+ h(t) ,
L ? ?t
получающейся сложением равенств (5.15) и (5.16), найдем искомую функцию ?(t).
Вводя кусочно-аналитическую функцию
1
?(z) =
2?i
Z
?(? )
d?
L ? ?z
(5.18)
тем же путем, что и в п. 5.1, придем к краевой задаче Римана Гильберта
?+ (t) =
a(t) + b(t) ?
b(t)h(t)
? (t) +
.
a(t) ? b(t)
a(t) ? b(t)
(5.19)
Коэффициент последней задачи есть величина, обратная коэффициенту
задачи Римана Гильберта (5.4), соответствующей уравнению K0 ? = f .
Следовательно,
ж0 = Ind
a(t) + b(t)
a(t) ? b(t)
= ?Ind
= ?ж.
a(t) ? b(t)
a(t) + b(t)
(5.20)
Вспоминая формулу, определяющую каноническую функцию однородной задачи Римана Гильберта, замечаем, что канонические функции
X0 (z) для уравнения (5.19) и X(z) для (5.4) будут обратны по величине:
X0 (z) =
36
1
.
X(z)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Поступая так же, как и в п. 5.1, получим решение сингулярного интегрального уравнения (5.15) при ж0 = ?ж ? 0 в виде
1
?(t) = a(t)h(t) +
?iZ(t)
Z
b(? )Z(? )h(? )
1
d? +
Qж0 ?1 (t),
? ?t
Z(t)
L
(5.21)
где Z(t) задается формулой (5.10), Qж0 ?1 (t) многочлен степени ж0 ? 1
с произвольными коэффициентами. (Если ж0 = 0, то Q(t) ? 0.)
Если ж0 = ?ж < 0, то для разрешимости уравнения (5.15) необходимо
и достаточно выполнение условий
Z
b(t)Z(t)h(t)tk?1 dt = 0
(k = 1, 2, ..., ?ж0 ),
(5.22)
L
при соблюдении которых решение дается формулой (5.21), где нужно
положить Qж0 ?1 ? 0.
Заметим, что условия разрешимости (5.13) и (5.22) имеют такой вид,
какой требуется третьей теоремой Фредгольма. В дальнейшем мы покажем, что это же имеет место и в общем случае для полного сингулярного
интегрального уравнения.
Результаты исследования характеристического и союзного уравнений
показывают новое существенное отступление от свойств уравнения Фредгольма. Вопреки второй теореме Фредгольма, союзные однородные сингулярные характеристические уравнения никогда не бывают одновременно разрешимы. Они или оба неразрешимы (ж = 0), или, при ненулевом
индексе, разрешимо то из них, которое имеет положительный индекс.
Разность чисел решений характеристического и союзного однородных уравнений равна индексу ж. Это свойство, справедливое и для полных уравнений, является характерным для сингулярных интегральных
уравнений.
Утверждения 10 , 20 и 30 , 40 , сформулированные в п. 5.2, называются
первой и второй теоремой Нјтера для характеристического уравнения,
а отмеченная здесь связь индекса уравнения с количеством решений од0
нородных уравнений K0 ? = 0 и K0 ? = 0 третьей теоремой Нјтера.
В дальнейшем они будут распространены на полное сингулярное уравнение.
Примеры. Как уже отмечалось, основная трудность практического
решения задачи Римана, а следовательно, и характеристического сингулярного интегрального уравнения заключается в вычислении сингулярных интегралов, входящих в формулу (5.9). Вычисление это в общем
случае может быть осуществлено применением приближенных методов
37
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
интегрирования. При этом чаще предпочитают не пользоваться окончательной формулой (5.9), а применяют приближенные методы непосредственно к самому уравнению (5.1).
Здесь ограничимся примером, когда решение краевой задачи Римана Гильберта (5.4), соответствующей интегральному уравнению, было
найдено элементарно, путем аналитического продолжения. Решение самого интегрального уравнения получим непосредственно по формулам
Сохоцкого Племеля (5.3).
Пусть дано интегральное уравнение
t2 ? t ? 1
K ? ? (t + t ? 1)?(t) +
?i
0
2
Z
і
?(? )
1ґ
3
d? = 2 t ? t + 1 + .
t
L ? ?t
Здесь
f (t)
t3 ? t2 + 1
g(t) =
=
a(t) + b(t)
t2 ? t
a(t) ? b(t)
t
= 2
,
G(t) =
a(t) + b(t) t ? 1
и, следовательно, краевое условие (5.4) примет вид
t
t3 ? t2 + 1
?
? (t) = 2
? (t) +
.
t ?1
t2 ? t
+
Решение этой краевой задачи, удовлетворяющее условию ?? (?) = 0,
было получено для различных контуров L.
1). Если L контур, который содержит внутри себя точку z1 = 0 и
не содержит точки z2 = 1, z3 = ?1, то
?+ (z) = z +
c
,
z2 ? 1
?? (z) = ?
z+1 c
+
z2
z
и решением заданного интегрального уравнения будет функция
?(t) = ?+ (t) ? ?? (t) =
t3 + t + 1
1 + t ? t2
+
c
.
t2
t3 ? t
2). Если L контур, который содержит внутри себя все точки z1 = 0,
z2 = 1, z3 = ?1, то индекс равен ?1; условие разрешимости задачи
Римана Гильберта, как было показано, выполняется, и
z+1
.
z2
Решение интегрального уравнения дается формулой
?+ (z) = z,
?? (z) = ?
t3 + t + 1
?(t) = ? (t) ? ? (t) =
.
t2
+
?
38
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
6
Сингулярные интегральные уравнения,
разрешимые в замкнутой форме
В предыдущих пунктах исследовалось характеристическое уравнение и
союзное с ним и было показано, что они решаются в замкнутой форме.
Полное сингулярное уравнение, в отличие от них, не решается, вообще говоря, в замкнутой форме и в общем случае может быть сведено
к уравнению Фредгольма. Однако имеется ряд случаев, когда и полное
уравнение может быть также решено в замкнутой форме. Рассмотрим
сейчас некоторые из таких случаев.
Решая полное уравнение
1
a(t)?(t) +
?i
Z
M (t, ? )
?(? )d? = f (t),
L ? ?t
(6.1)
будем основываться на некоторых аналитических свойствах функции
M (t, ? ).
Лемма 1. Пусть функция M (t, ? ), гјльдеровская по обеим перемен-
ным на контуре L, аналитически продолжима в область D+ по каждой переменной. Если M (t, t) ? 1, то решение уравнения
Z
M (t, ? )
1
?(? )d? = f (t),
(6.2)
?i L ? ? t
дается формулой обращения
1
?(t) =
?i
Z
M (t, ? )
f (? )d?.
?
?
t
L
Доказательство. Действительно, применяя формулу перестановки
Пуанкаре Бертрана, получим
1
?i
Z
M (t, ? ) 1
d?
?i
L ? ?t
Z
M (?, ?1 )
f (?1 )d?1 =
L ?1 ? ? Z
Z
1
1
M (?, ?1 )M (t, ? )
= M (t, t)M (t, t)f (t) +
f (?1 )d?1
d? =
?i L
?i L (?1 ? ? )(? ? t)
Z
1
f (?1 )d?1
= f (t) +
Ч
?i L ?1 ? t
· Z
ё
Z
1
1
M (?, ?1 )M (t, ? )
M (?, ?1 )M (t, ? )
Ч
d? ?
d? .
(6.3)
?i L
? ?t
?i L
? ? ?1
39
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Так как функция M (t, ? ) аналитически продолжима в D+ по каждой
переменной, то согласно условию аналитической продолжимости комплексной функции, заданной на контуре, в область
Z
1
M (?, ?1 )M (t, ? )
d? = M (t, ?1 )M (t, t) = M (t, ?1 ),
?i L
? ?t
Z
1
M (?, ?1 )M (t, ? )
d? = M (?1 , ?1 )M (t, ?1 ) = M (t, ?1 ).
?i L
? ? ?1
Следовательно, выражение в квадратных скобках в (6.3) равно нулю,
что и доказывает лемму.
Уравнение (6.2) можно решить, и не ограничивая функцию M (t, ? )
условием M (t, t) ? 1. Именно, пусть функция M (t, ? ) аналитически продолжима в D+ по каждой переменной, и пусть M (z, z) 6= 0 для z ? D+ .
Тогда решение уравнения (6.2) дается формулой
1
1
?(t) =
?i M (t, t)
Z
M (t, ? ) f (? )d?
.
L M (?, ? ) ? ? t
(6.4)
Рассмотрим теперь уравнение (6.1). Запишем его в виде
b(t)
a(t)?(t) +
?i
Z
?(? )
d? +
L ? ?t
Z
K(t, ? )?(? )d? = f (t),
(6.5)
L
где, очевидно, b(t) = M (t, t).
Покажем, что уравнение (6.5) решается в замкнутой форме, если
a(t) и b(t) постоянны, а K(t, ? ) любая функция, аналитически продолжимая в область D+ по каждой переменной.
Уравнение (6.5) при указанных предположениях имеет вид
1
a?(t) +
?i
Z
M (t, ? )
?(? )d? = f (t),
L ? ?t
(6.6)
где M (t, ? ) = b + ?i(? ? t)K(t, ? ), так что M (t, t) = b = const. Пусть
b 6= 0. Обозначим
Z
1
M (t, ? )
?(? )d?.
(6.7)
b?i L ? ? t
Согласно лемме 1 функция ?(t) выражается через ?(t) точно так же,
как ?(t) через ?(t). Уравнение (6.6) записываем в виде
?(t) =
a?(t) + b?(t) = f (t).
(6.8)
Применяя к обеим частям операцию (6.7), получим
a?(t) + b?(t) = g(t),
40
(6.9)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где обозначено
Z
M (t, ? )
1
g(t) =
f (? )d?.
b?i L ? ? t
Решая систему уравнений (6.8)(6.9), находим ?(t):
·
ё
Z
1
M (t, ? )
1
?(t) = 2
af (t) ?
f (? )d?
a ? b2
?i L ? ? t
(6.10)
при условии, что a 6= ±b.
Таким образом, при a 6= ±b и аналитически продолжимом ядре
K(t, ? ) уравнение (6.6) разрешимо и имеет единственное решение, даваемое формулой (6.10).
Уравнение (6.5) рассматривалось при b 6= 0. Это предположение естественно ввиду того, что при b ? 0 уравнение (6.5) перестает быть сингулярным.
Перейдем, наконец, к общему случаю разрешимости уравнения (6.5)
в замкнутой форме, когда функция
роморфна по t в области D+ .
Обозначим для краткости
K? =
и заметим, что
K(t, ? )
аналитична по ? и меa(t) + b(t)
Z
K(t, ? )?(? )d?
L
K?+ = 0
(6.11)
для всякой функции ?+ (t), аналитически продолжимой в область D+ .
Полагая ?(t) = ?+ (t) ? ?? (t), с учетом (6.11) приводим уравнение (6.5)
к соотношению типа задачи Римана Гильберта
?+ (t) ?
1
K?? = G(t)?? (t) + g(t),
a(t) + b(t)
(6.12)
где, как обычно,
G(t) =
a(t) ? b(t)
,
a(t) + b(t)
g(t) =
f (t)
.
a(t) + b(t)
По предположению имеем
A+ (t, ? )
K(t, ? )
=
,
a(t) + b(t)
?+ (t)
+
? (t) =
n
Y
(t ? zk )mk ,
(6.13)
k=1
где zk ? D+ , mk целые положительные числа, а функция A+ (t, ? )
аналитична по t и по ? в D+ .
41
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Соотношение (6.12) принимает вид
?+ (t)?+ (t) + A+ ?? = ?+ (t)[G(t)?? (t) + g(t)],
(6.14)
где A+ интегральный оператор с ядром A+ (t, ? ). Так как функция
A+ ?? аналитична в D+ , то последнее соотношение представляет собой
обычную задачу Римана Гильберта, из которой в замкнутой форме
определяются функции ?+ (t)?+ (t) + A+ ?? и ?? (t), а следовательно, и
X+ (t)
?(t). Именно, записывая G(t) в виде G(t) = ? , где X± (z) каноX (t)
ническая функция задачи Римана Гильберта, и приводя соотношение
(6.14) к виду, допуcкающему применение теоремы Лиувилля, придем к
многочлену степени ж ? 1 +
случае ж +
n
P
k=1
n
P
k=1
mk с произвольными коэффициентами (в
mk > 0). Однако наличие множителя ?+ (t) перед ?+ (t),
+
обращающегося в 0 в D с суммарным порядком нулей
n
P
k=1
mk , очевидно,
уменьшит число произвольных постоянных в общем решении.
Аналогично может быть рассмотрен случай, когда ядро K(t, ? ) меромрфно и по ? . Тогда уравнение (6.5) можно свести к задаче Римана Гильберта типа (6.12) и некоторой линейной алгебраической системе.
Примеры. Рассмотрим уравнения
1 R cos(? ? t)
?(? )d? = f (t).
?i L ? ? t
1 R sin(? ? t)
??(t) +
?(? )d? = f (t).
?i L (? ? t)2
1.
??(t) +
2.
Замечаем, что функции M (t, ? ) = cos(? ? t) и M (t, ? ) =
sin(? ? t)
? ?t
обладают свойством M (t, t) ? 1. Поэтому остается воспользоваться формулой (6.10), так что соответственно для 1 и 2 имеем
?
?(t) =
1 ?
1
?f
(t)
?
?2 ? 1
?i
?
cos(? ? t)
? ?t
f (? )d? ? .
L
?
?(t) =
Z
1 ?
1
?f
(t)
?
?2 ? 1
?i
Z
?
sin(? ? t)
(? ? t)2
f (? )d? ? .
L
Здесь L произвольный замкнутый контур и ? 6= ±1.
42
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
3. Уравнение
Q(t)
P (t)?(t) +
?i
Z
?(? )
d? +
? ?t
L
Z
p(t, ? )
?(? )d? = f (t),
R(t)
L
где P (t), Q(t), R(t) и p(t, ? ) многочлены, относится к рассматриваемому случаю и, следовательно, решается в замкнутой форме для любого
замкнутого контура L, не проходящего через нули многочлена R(t).
7
7.1
Уравнение на действительной оси
Исчезающие на бесконечности решения
Теория интеграла типа Коши показывает, что если плотность интеграла
типа Коши, взятого по бесконечной кривой, равна нулю на бесконечности, то свойства интеграла в случаях конечного и бесконечного контуров во всем существенном совпадают. В соответствии с этим теория
сингулярного интегрального уравнения на контуре в классе исчезающих на бесконечности решений совпадает с теорией уравнения на конечном контуре. В случае же ?(?) 6= 0 условия представимости кусочноаналитической функции для конечного и бесконечного контуров различны. Это ведет к далеко идущему различию в теории сингулярных интегральных уравнений на бесконечном и конечном контурах.
Так же, как в случае конечного контура, сингулярное интегральное
уравнение
b(t)
a(t)?(t) +
?i
Z+?
??
?(? )
d? = f (t)
? ?t
(7.1)
с помощью интеграла типа Коши
1
?(z) =
2?i
Z+?
??
?(? )
d?
? ?z
(7.2)
и формул (5.3) сводим к краевой задаче Римана Гильберта
a(t) ? b(t) ?
f (t)
? (t) +
(?? < t < ?).
(7.3)
a(t) + b(t)
a(t) + b(t)
Из формул Сохоцкого Племеля условие равносильности сингулярного уравнения и краевой задачи можно представить в виде
Z+? +
1
? (? ) ? ?? (? )
d? = ?+ (t) + ?? (t).
(7.4)
?i
? ?t
?+ (t) =
??
43
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Оно имеет тот же вид, что и в случае конечного контура, и автоматически удовлетворяется, если решение представимо интегралом типа Коши.
Условием такой представимости является выполнение равенства
?+ (?) + ?? (?) = 0.
Заметим, что это соотношение является условием равносильности интегрального уравнения (7.1) и краевой задачи (7.3). Здесь оно заменяет
аналогичное условие
?? (?) = 0,
справедливое для конечного контура.
Если условие ?+ (?) + ?? (?) = 0 выполнено, то из решения краевой
задачи (7.3) по формуле
?(t) = ?+ (t) ? ?? (t)
(7.5)
получим решение уравнения (7.1).
Для упрощения дальнейших формул будем считать выполненным условие
a2 (t) ? b2 (t) = 1.
(7.6)
a(t) ? b(t)
Обозначим ж = Ind
. Сначала будем искать решение уравнения
a(t) + b(t)
в классе исчезающих на бесконечности функций.
R? ?(? )
Полагая в уравнении (7.1) t = ? и учитывая, что limt??
? ?t d? = 0
??
и ?(?) = 0, получим необходимость выполнения условия f (?) = 0.
Из представлений ?+ (?) = 21 ?(?) и ?? (?) = ? 12 ?(?) следует, что
?+ (?) = ?? (?) = 0. Следовательно условие ?+ (?) + ?? (?) = 0
автоматически выполняется.
Используя формулы решения задачи Римана Гильберта для полуплоскости и поступая так же, как для конечного контура получим при
ж ? 0 решение интегрального уравнения
?(t) = a(t)f (t) ?
b(t)Z(t)
?i
Z?
??
Pж?1 (t)
f (? ) d?
+ b(t)Z(t)
.
Z(? ) ? ? t
(t + i)ж
(7.7)
В случае ж ? 0 нужно положить Pж?1 (t) ? 0 и потребовать при ж < 0
выполнения условий разрешимости
Z?
??
f (? ) d?
=0
Z(? ) (? + i)k
44
(k = 1, 2, ..., ?ж).
(7.8)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Можно так же, как это делается в п. 5.3, доказать справедливость
теорем Нјтера.
Как видим, результаты здесь аналогичны полученным для уравнения
на конечном контуре.
7.2
Решение в классе ограниченных на бесконечности функций
Исследуем прежде всего выполнимость условия равносильности
?+ (?) + ?? (?) = 0.
Вычислим, используя формулы ?+ (?) = 21 ?(?) и ?? (?) = ? 12 ?(?),
предельные значения решения задачи Римана Гильберта (7.3) в бесконечно удаленной точке. После некоторых выкладок получим
?+ (?) =
f (?)
c
+
,
2[a(?) + b(?)] a(?) + b(?)
a(?) + b(?)
+ c[a(?) + b(?)].
2
Здесь c коэффициент при старшем члене многочлена Pж (z), если ж ? 0,
и
Z?
g(? ) d?
1
,
если ж < 0.
(7.9)
c=?
2?i
X+ (? ) ? + i
?? (?) = ?f (?)
??
Отсюда ?+ (?) + ?? (?) = 2a(?) · c ? f (?) · b(?), и условие равносильности интегрального уравнения (7.1) и задачи Римана Гильберта (7.3)
примет вид
2a(?) · c = f (?) · b(?).
(7.10)
Из приведенных рассуждений следует
Теорема. Сингулярное уравнение (7.1) и задача Римана Гильберта
для действительной оси с дополнительным условием (7.10) равносильны в следующем смысле: если ?(z) есть общее решение краевой задачи
(7.3), удовлетворяющее условию (7.10), где c коэффициент при старшей степени многочлена Pж (z) при ж ? 0, и
1
c=?
2?i
Z?
??
f (? )
d?
[a(? ) + b(? )]X+ (? ) ? + i
45
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
при ж < 0, то функция (7.5) есть решение уравнения (7.1); обратно,
если ?(t) общее решение уравнения (7.1), то интеграл типа Коши
1
?(z) =
2?i
Z?
??
?(? )
d?
? ?z
есть решение задачи Римана Гильберта (7.3), удовлетворяющее условию (7.10).
Следует различать два существенно различных случая
a(?) 6= 0,
a(?) = 0.
Случай a(?) 6= 0
Здесь из условия (7.10) c определяется единственным образом. Для
однородного уравнения (f ? 0) c = 0. Общее решение однородного
уравнения при ж > 0 содержит произвольный многочлен Pж?1 (t), и,
следовательно, уравнение имеет ж линейно независимых решений. При
ж ? 0 однородное уравнение неразрешимо.
Для неоднородного уравнения из условия (7.10)
c=
f (?) · b(?)
.
2a(?)
Решение уравнения можно получить по формуле ?(t) = ?+ (t) ? ?? (t),
если при ж ? 0 в решении краевой задачи Римана Гильберта положить
старший коэффициент многочлена равным
f (?) · b(?)
,
2a(?)
а при ж < 0 к условиям разрешимости задачи Римана Гильберта
прибавить дополнительное условие
1
?i
Z?
??
d?
f (?) · b(?)
f (? )
=
?
.
a(?)
[a(? ) + b(? )]X+ (? ) ? + i
(7.11)
Можно показать, что третья теорема Нјтера о разности чисел решений транспонированных уравнений (n ? n0 = ж) остается справедливой;
вторая же теорема о разрешимости неоднородного уравнения будет верна, как следует из равенства (7.11), лишь при f (?) · b(?) = 0. В этом
состоит отличие теории интегрального уравнения по бесконечному контуру от теории на конечном.
46
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Случай a(?) ? 0
Для однородного уравнения (f ? 0) условие равносильности (7.10)
удовлетворяется автоматически для произвольных значений c. Общее решение однородного уравнения при ж ? 0 содержит произвольный многочлен Pж (t), и, следовательно, однородное уравнение имеет ж + 1 линейно
независимых решений. При ж < 0 однородное уравнение неразрешимо.
Учитывая, что на основании (7.6) b(?) = ±i 6= 0, для существования решений краевой задачи, удовлетворяющих неоднородному уравнению (7.1), и, следовательно, для разрешимости неоднородного уравнения
необходимо должно удовлетворяться равенство
f (?) = 0.
(7.12)
Если это условие не выполнено, то неоднородное уравнение (7.1) неразрешимо, каков бы ни был его индекс.
Допустим, что условие (7.12) удовлетворено. Тогда условие (7.10) выполняется для произвольного c; следовательно, решение неоднородного
уравнения при ж ? ?1 зависит линейно от ж + 1 произвольных постоянных. При ж < ?1, кроме (7.12), должны удовлетворяться ?ж ? ?1
условий разрешимости:
Z?
??
f (? ) d?
=0
Z(? ) (? + i)k
(k = 2, ..., ?ж).
Транспонированное к (7.1) однородное уравнение
a(t)?(t) ?
1
?i
Z?
??
b(? )?(? )
d? = 0
? ?t
обычным способом сводится к краевой задаче Римана Гильберта
?+ (t) =
a(t) + b(t) ?
? (t).
a(t) ? b(t)
Если индекс исходного уравнения есть ж, то индекс транспонированного будет ж0 = ?ж. Обозначим l, l0 числа линейно независимых решений
соответственно у данного и транспонированного уравнений. Тогда:
Если ж = 0, то ж0 = 0, l = l0 = 1, l ? l0 = 0.
Если ж > 0, то ж0 < 0, l = ж + 1, l0 = 0, l ? l0 = ж + 1.
Если ж < 0, то ж0 > 0, l = 0, l0 = ?ж + 1, l ? l0 = ж ? 1.
47
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Следовательно, в случае a(?) = 0 лишь при нулевом индексе соблюдается третья теорема Нјтера. В остальных случаях наблюдается
отклонение, причем различное в случае положительного и отрицательного индексов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М. : Наука, 1977. 640 с.
2. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М. : Наука, 1973. 749 с.
3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М. : Наука, 1968. 513 с.
48
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Учебное издание
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ
ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ЧАСТЬ 2
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель
Петрова Вера Евгеньевна
Редактор И.Г. Валынкина
Подписано в печать 01.07.10. Формат 60Ч84/16. Усл. печ. 2,8.
Тираж 25 экз. Заказ 914.
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. 208-298, 598-026 (факс)
http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: [email protected]
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133
? и для конечного контура. Главное отличие от рассмотренного ранее случая конечной кривой
состоит в том, что здесь бесконечно удаленная точка и начало координат лежат на самом контуре и потому не могут быть приняты в качестве
особой точки, где для канонической функции допустим ненулевой порядок. Вместо используемой ранее вспомогательной функции t, имеющей
по L индекс, равный единице, здесь будет введена обладающая тем же
свойством на действительной оси дробно-линейная функция
t?i
.
t+i
Аргумент этой функции
t?i
(t ? i)2
arg
= arg 2
= 2 arg(t ? i)
t+i
t +1
изменяется на 2? , когда t пробегает действительную ось в положительном направлении. Таким образом,
t?i
Ind
= 1.
t+i
Если IndG(t) = ж, то функция
µ
¶?ж
t?i
G(t)
t+i
имеет индекс, равный нулю. Ее логарифм будет на действительной оси
функцией однозначной.
Строим каноническую функцию, для которой особой точкой будет
точка (?i):
µ
¶?ж
z
?
i
+
?
X + (z) = e? (z) , X ? (z) =
e? (z) ,
(3.2)
z+i
23
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
где
?(z) =
1
2?i
Z
"µ
?
ln
??
? ?i
? +i
#
¶?ж
G(? )
d?
.
? ?z
Пользуясь предельными значениями этой функции, преобразуем краевое
условие (3.1) к виду
?? (t)
g(t)
?+ (t)
=
+
.
X + (t) X ? (t) X + (t)
Далее, вводя аналитическую функцию
1
?(z) =
2?i
Z
?
g(? ) d?
,
+
?? X (? ) ? ? z
(3.3)
представим краевое условие в виде
?+ (t)
?? (t)
+
? ? (t) = ? ? ?? (t).
+
X (t)
X (t)
Заметим, что, в отличие от случая конечного контура, здесь, вообще
говоря, ?? (?) 6= 0. Применяя теорему об аналитическом продолжении
и учитывая, что единственной особенностью рассматриваемой функции
может быть лишь полюс в точке z = ?i порядке не выше ж (при ж > 0),
на основании обобщенной теоремы Лиувилля будем иметь
?+ (t)
?? (t)
Pж (t)
+
?
?
?
(t)
=
?
?
(t)
=
(ж ? 0),
X + (t)
X ? (t)
(t + i)ж
где Pж (t) многочлен степени не выше ж с произвольными коэффициентами. Отсюда получаем общее решение задачи
·
ё
Pж (t)
?(z) = X(z) ?(z) +
, ж ? 0,
(z + i)ж
(3.4)
?(z) = X(z) [?(z) + C] , ж < 0.
(3.5)
При ж < 0 функция X(z) имеет в точке z = ?i полюс порядка (?ж),
поэтому для разрешимости задачи нужно положить C = ??? (?i). При
ж < ?1, кроме того, должны выполняться еще следующие условия:
Z
?
g(? )
d?
= 0 (k = 2, ..., ?ж).
+ (? ) (? + i)k
X
??
(3.6)
Таким образом, получены результаты, аналогичные тем, которые имели
место в случае конечного контура.
24
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Теорема. При ж ? 0 однородная и неоднородная краевые задачи Ри-
мана Гильберта для полуплоскости безусловно разрешимы и решение
их зависит линейно от ж + 1 произвольных постоянных.
При ж < 0 однородная задача неразрешима.
Неоднородная задача при ж < 0 разрешима однозначно, причем в случае ж = ?1 безусловно, а при ж < ?1 лишь при выполнен?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
66
Размер файла
374 Кб
Теги
интеграл, типа, решение, кошик, применению, задачи, 1811, краевых, сѓс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа