close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2305.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ.

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный педагогический университет»
Н.М. Новак
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
РАЗДЕЛ «ОБЩАЯ МЕТОДИКА»
Оренбург 2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рецензенты:
В.В. Попов – кандидат педагогических наук, старший преподаватель
кафедры математического анализа и методики преподавания математики
ОГПУ
А.Д Сафарова – кандидат педагогических наук, доцент кафедры
алгебры, геометрии и истории математики ОГПУ
Новак Н.М. Методические указания и контрольная работа
по методике преподавания математики. Раздел «Общая методика»: учебно-методическое пособие для студентов физикоматематического факультета – Оренбург: издательство ОГПУ,
2012. – 28 с.
© Новак Н.М., 2012
© Издательство ОГПУ, 2012
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Методические указания к выполнению контрольной работы
по методике преподавания математики.
Образцы решений
З а д а н и е 1 . В данной теореме выделить условие, заключение и
разъяснительную часть. Сформулировать утверждения: обратное для данного, противоположное для данного, обратное для противоположного. Доказать данную теорему, а также истинность или ложность каждого сформулированного утверждения.
Р е ш е н и е . Дана теорема.
Диагонали прямоугольника равны. Чтобы легче было выделить
условие и заключение теоремы, ее формулируют в виде импликации, применяя союз: «если …, то …».
Сформулируем данную теорему в форме импликации.
Если четырехугольник является прямоугольником, то диагонали четырехугольника равны.
Это утверждение содержит два предложения: условие и заключение
теоремы.
Условие теоремы: А – четырехугольник является прямоугольником.
Заключение теоремы: В – диагонали четырехугольника равны.
Теорема рассматривается на множестве четырехугольников. В данном случае множество четырехугольников – это разъяснительная часть
теоремы.
Разъяснительной частью теоремы принято считать множество объектов, на котором рассматривается теорема.
Данную теорему на языке логики можно записать следующим образом: A  B .
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
N
Докажем эту теорему.
P
Дано: MNPQ – прямоугольник.
Доказать: MP  NQ .
Q
M
Доказательство. Чтобы доказать равенство отрезков МР и NQ,
найдем треугольники, сторонами которых они являются. Это треугольники
MNQ, NPQ, MNP, PQM. Рассмотрим MNQ и QPM . Эти треугольники
равны.
MN  PQ как противоположные стороны
прямоугольника
 MNQ  QPM
MQ – общая сторона
NMQ  PQM  90 как углы прямоугольника

MP  QN
Будем считать данную теорему прямой теоремой или прямым утвер-
ждением и сформулируем обратное, противоположное, обратное для пр отивоположного утверждения.
Обратное утверждение. ( B  A) . Если диагонали четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником.
Это утверждение ложно. Для доказательства достаточно привести
контрпример.
Диагонали
N
P
трапеции
равны, но она не является прямоугольником.
MNPQ
M
равнобедренной
Q
–
равнобедренная
трапеция,
MP  NQ .
Противоположное утверждение. ( A  B ) . Если четырехугольник
не является прямоугольником, то диагонали четырехугольника не равны.
Это утверждение ложно. Для доказательства достаточно привести
контрпример. Равнобедренная трапеция не является прямоугольником, но
ее диагонали равны.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обратное противоположному утверждение. ( B  A) .
Если диагонали четырехугольника не равны, то этот четырехугольник не является прямоугольником.
Докажем истинность этого утверждения методом «от противного».
Пусть диагонали четырехугольника не равны. Предположим, что он
является прямоугольником. По прямой теореме ( A  B ) сразу получается,
что диагонали данного четырехугольника равны. Это противоречит условию. Противоречие с условием получено из-за того, что мы сделали неверное предположение о том, что данный четырехугольник является прямоугольником. Значит, данный четырехугольник не является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Выполненное нами задание еще раз подтверждает, что прямое
утверждение
эквивалентно
обратному
для
противоположного:
( A  B)  ( B  A) ; обратное утверждение эквивалентно противополож-
ному: ( B  A)  ( A  B ) . В нашем случае прямое утверждение и обратное для противоположного истинны, а обратное и противоположное
утверждения ложны.
Если изменить разъяснительную часть теоремы, то картина истинности может измениться.
Рассмотрим нашу теорему не на множестве четырехугольников, а на
множестве параллелограммов. В этом случае все четыре утверждения будут истинными.
Прямая теорема будет формулироваться следующим образом.
Если параллелограмм является прямоугольником, то диагонали параллелограмма равны.
Это утверждение истинно.
Обратное утверждение формулируется следующим образом.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм яв-
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ляется прямоугольником.
Докажем истинность этого утверждения.
N
Дано: MNPQ – параллелограмм, MP  NQ .
P
Доказать: MNPQ – прямоугольник.
Доказательство. Для доказательства достаточQ
M
но установить, что хотя бы один угол этого парал-
лелограмма равен 90°.
Рассмотрим треугольники MNQ и QPM. Они равны по третьему признаку равенства треугольников. MN  QP как противоположные стороны
параллелограмма, MQ – общая сторона, MP  NQ по условию. Значит,
NMQ  PQM . Так как сумма углов, прилежащих к каждой стороне па-
раллелограмма, равна 180°, NMQ  PQM 
180
 90 . MNPQ – прямо2
угольник.
Истинность утверждения противоположного прямому будет следовать из его эквивалентности обратному утверждению.
Таким образом, рассмотренное нами задание раскрывает роль такого
понятия, как разъяснительная часть теоремы. Стоит изменить разъяснительную часть, и картина истинности может измениться.
З а д а н и е 2 . Дано некоторое утверждение. Провести относительно него рассуждения методом нисходящего анализа. Доказать данное
утверждение методом синтеза.
Поясним это задание.
Понятия анализа и синтеза имеют разнообразные трактовки в окружающей нас жизни.
Мы будем понимать анализ как прием мышления, при котором от
следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез – как
прием мышления, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сразу нужно отметить, что по отдельности эти приемы практически
не используются. Они, как правило, выступают во взаимодействии, образуя единый аналитико-синтетический метод. Мы их разделяем только для
того, чтобы лучше изучить.
Рассуждения методом анализа всегда начинаются с того утверждения, которое нужно доказать. Оно путем логически обоснованных шагов
сводится к утверждению, которое заведомо истинно.
Поясним сказанное примером. Пусть нам дано утверждение
ab
 a  b , где a  0 и b  0 .
2
Проведем рассуждения методом нисходящего анализа.
Предположим, что неравенство
ab
 a  b ( a  0 и b  0 ) верно.
2
Тогда из
ab
 ab  a  b  2 a  b .  a  b  2 a  b  0 .  ( a  b ) 2  0 .
2
Последнее неравенство заведомо верно.
Хотя мы и пришли к неравенству заведомо истинному, данное неравенство еще не доказано. Дело в том, что мы получали следствия, заранее
предположив, что данное неравенство верно. А ведь этот факт еще не
установлен! Итак, нисходящий анализ не является методом доказательства.
Для чего же его рассматривают в математике? Он зачастую помогает найти
путь доказательства. Вот и сейчас мы пришли к истинному неравенству
( a  b ) 2  0 , которое можно принять за исходное, чтобы доказать дан-
ное неравенство. Доказательство нередко проводят методом синтеза.
Сущность рассуждения синтетическим методом состоит в том, что
оно всегда начинается с заведомо истинного утверждения. Это утверждение путем логически обоснованных шагов преобразуется в доказываемое
утверждение.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Докажем данное неравенство методом синтеза.
Заведомо известно, что ( a  b ) 2  0 , где a  0 и b  0 . Теперь будем получать следствия из заведомо верных неравенств.
( a  b ) 2  0 .  a  2 a  b  b  0 .  a  b  2 ab . 
ab
 ab ,
2
ч. т. д.
Рассуждения, проведенные методом синтеза, являются математическим доказательством. Трудность применения синтеза заключается в том,
что подчас довольно трудно найти то истинное утверждение, с которого
следует начать доказательство. Но здесь приходит на помощь нисходящий
анализ.
Замечание. Кроме нисходящего анализа при обучении математике
используется еще метод восходящего анализа. Восходящий анализ является методом доказательства. Чаще всего он используется в ходе объяснения
учителем нового материала.
Рассуждения методом восходящего анализа начинаются, как и всегда
при анализе, с того утверждения, которое требуется доказать. При этом
доказательство состоит из отдельных шагов. На каждом шаге формулируется не только доказываемое утверждение, но и утверждение достаточное
для установления его истинности. Восходящий анализ заканчивается тогда, когда в качестве достаточного условия будет взято заведомо истинное
утверждение.
Приведем пример.
Теорема. Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Дано: ABCD – ромб.
В
Доказать: AC  BD .
А
О
С
Доказательство.
Первый шаг. Для того, чтобы доказать, что AC  BD ,
D
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
достаточно доказать, что ВО – высота ABC .
Второй шаг. Для того, чтобы доказать, что ВО – высота ABC , достаточно доказать, что ABC – равнобедренный и ВО – медиана ABC .
Утверждения о том, что ABC – равнобедренный и ВО – медиана
ABC , заведомо истинны. AB  BC , так как ABCD – ромб; AO  OC , так
как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Значит, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Восходящий анализ, как и другие методы доказательства, не универсален. Его основным недостатком является некоторая громоздкость. Зато
это компенсируется целым рядом достоинств:
а) восходящий анализ формирует умение осуществлять поиск решения задачи;
б) способствует развитию логического мышления, так как вынуждает
устанавливать причинно-следственные связи;
в) схема его применения довольно проста.
З а д а н и е 3 . Разработать методику введения определения понятия
конкретно-индуктивным или абстрактно-дедуктивным методом.
1. Введение понятия конкретно-индуктивным методом.
При введении математических понятий в школьном обучении полезно руководствоваться следующей схемой, которая, однако, должна быть
динамичной, сокращаться или дополняться в зависимости от объективно
меняющихся условий обучения (состава класса, характера математических
понятий и т. п.). В качестве примера рассмотрим методическую схему поэтапного изучения понятия «параллельные прямые». Представим это в виде таблицы:
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПсихологичеКонкретное словесное или
ские ступени
символическое выражение
Этапы процесса обучения
формирова- данного понятия; конкретные
ния понятия
модели данного понятия
1
2
3
1-й шаг. Отыскание
Восприятие
ярких практических при-
и ощущение
Строительство
железной
дороги на прямых участках
меров, показывающих це-
пути (укладка рельсов); конту-
лесообразность изучения
ры проема двери
этого понятия
2-й шаг.
Выявление
Переход от
различных существенных
восприятия
ложение
и несущественных при-
к представ-
ственный признак)
знаков данного понятия
лению
(учащиеся), введение термина,
1) Горизонтальное распопрямых
(несуще-
2) Равноотстоящие друг от
друга (существенный признак)
обозначающего
3) Прямые, не имеющие
данное понятие (учитель)
общих точек (существенный
признак)
4)
Прямые
бесконечно
продолжаются в обе стороны
(несущественный признак)
Рассмотрение особых
Отмечается, что совпада-
случаев, если они имеют-
ющие прямые также находятся
ся
друг от друга на одинаковом
(равном нулю) расстоянии
«Параллельный» – от греМотивировка термина,
обозначающего
ческого слова parallelos, озна-
данное
чающего «рядом идущий»
понятие (учитель)
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2
3
3-й шаг. Отбор суще-
Переход от
1) Параллельные прямые –
ственных свойств данного
представле-
пара равноотстоящих прямых
понятия и формулировка
ния к поня-
(нечетко, контрпример: сторо-
определения этого поня-
тию
ны некоторого угла являются
тия; первичное определе-
также в некотором смысле
ние, внесение поправок,
равноотстоящими по отноше-
вторичное
нию к его биссектрисе)
определение
(учащиеся)
2) Параллельные прямые
не имеют общей точки (неполное: контрпример – скрещивающиеся прямые, совпадающие прямые и т. п.)
Четкое
определение
3) Определение: «Две пря-
(учитель);
повторение
мые а и b, принадлежащие од-
определения (учащиеся)
ной плоскости, называются
параллельными, если они не
имеют общих точек или совпадают»
4-й шаг. Иллюстрация Образование
понятия
конкретными
понятия
1) Ступеньки лестницы
2) Плинтус пола в комнате
примерами; модели поня-
и линия пересечения потолка с
тия (динамичные и стати-
боковой стеной
ческие); контрпримеры
3) Соответствующие ребра
куба на его модели
4) Пересекающиенся прямые.
Символическое
обо-
a b или ( AB) (CD)
значение
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2
3
5-й шаг. Другие воз-
Усвоение
можные определения дан-
понятия
Можно дать определение
понятия «по частям»:
ного понятия (учитель не
1) Параллельные –
должен быть педантом,
требующим
это
прямые, которые:
дословного
а) лежат в одной плоско-
повторения формулиров-
сти; б) совпадают или совсем
ки определения, но дол-
не имеют общих точек;
жен проявлять нетерпи-
2) Параллельные прямые –
мость к математической
прямые, лежащие в одной
некорректности речи и за-
плоскости, которые не могут
писи)
иметь только одну общую точку
3) a  Pb  P :
a b  a  b  a 
 b  a  b  Ø
Этот способ введения нового понятия называют конкретноиндуктивным.
2. Введение понятия абстрактно-дедуктивным методом.
При введении понятий органически связанных с уже известными
учащимся понятиями можно применить другой путь, называемый абстрактно-дедуктивным.
Так, например, понятие квадратного уравнения можно ввести следующим образом:
1)
Дать
определение
нового
понятия
(уравнение
вида
ax 2  bx  c  0 , где a  0 , называется квадратным), мотивируя обознача-
ющий его термин (наибольший показатель степени неизвестного равен
двум; уравнение содержит квадрат неизвестного).
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия
( x 2  px  c  0 , ax 2  c  0 , ax 2  bx  0 , ax 2  0 ).
Привести некоторые контрпримеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет ли уравнение вида bx  c  0 неполным квадратным
уравнением).
3) Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами
( x 2  5 x  6  0 , 3x 2  27  0 и т. д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет
ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению.
4) Привести конкретные примеры приложения этого понятия
qt 2
(например, известную формулу S 
можно рассматривать как квад2
ратное уравнение qt 2  2S  0 ; использовать квадратное уравнение при
решении текстовых задач).
Конкретно-индуктивный метод находит большее применение в
младших классах; в старших классах чаще применяют абстрактнодедуктивный метод.
З а д а н и е 4 . Провести доказательство, используя один из следующих методов: метод полной индукции, метод «от противного», метод,
основанный на законе контрапозиции, метод контрпримера, метод математической индукции.
1. Доказать методом полной индукции, что при любом натуральном
n число n  (n  1) 2  (n  2) делится на 12.
Полная индукция – это метод доказательства, при котором истинность утверждения общего характера следует из истинности его во всех
частных случаях.
Таким образом, данное утверждение будет доказано, если мы установим его истинность для любого натурального n.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Д о к а з а т е л ь с т в о . Число 12 можно представить в виде 3  2 2 .
Для того, чтобы доказать, что число n  (n  1) 2  (n  2) при любом натуральном n делится на 12, достаточно доказать, что оно делится на 3 и 2 2 .
Перепишем число n  (n  1) 2  (n  2) в виде n  (n  1)  (n  2)  (n  1) . Числа
n, (n  1) , (n  2) – три непосредственно следующих одно за другим натуральных числа. Поэтому одно из них обязательно делится на 3. Так как хотя бы один из множителей делится на 3, то и все произведение
n  (n  1) 2  (n  2) делится на 3. Если n – четное число, то n делится на 2 и
(n  2) делится на 2. Таким образом, произведение n  (n  1) 2  (n  2) де-
лится на 2 2 . Если n – нечетное число, то (n  1) – четное число. Поэтому
(n  1) 2 делится на 2 2 . И в этом случае произведение n  (n  1) 2  (n  2) де-
лится
на
22 .
Итак,
при
любом
натуральном
n
произведение
n  (n  1) 2  (n  2) делится на 3 и 2 2 . Значит, n  (n  1) 2  (n  2) делится на
12 при любом натуральном n.
2. Доказать методом «от противного», что
5 – иррациональное
число.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что 5 – рациональное число.
Тогда его можно представить в виде
m
m
, где m N , n N и дробь
не
n
n
сократима. Кроме того, n  1. В этом случае 5 
m2
n2
. Следовательно,
5n 2  m 2 (*). Так как левая часть равенства (*) делится на 5, то и правая
делится на 5. То есть, m 2 делится на 5. А это значит, что m делится на 5.
Поэтому m можно представить в виде 5k , где k  N . Подставим полученное выражение для m в равенство (*). Получим 5n 2  25 k 2 . Разделим обе
части последнего равенства на 5. Будем иметь n 2  5k 2 . Так как правая
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
часть равенства делится на 5, то и левая делится на 5. То есть, n 2 делится
на 5. А это значит, что n делится на 5. Мы пришли к противоречию. Так
как дробь
m
несократима, ее числитель и знаменатель не могут иметь обn
щий делитель 5. Полученное противоречие с условием говорит о том, что
нами было сделано неверное предположение. Итак,
5 – иррациональное
число.
3. Доказать методом «от противного», что при любом натуральном n
число вида 4n  1 не является квадратом натурального числа.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что существует а ( a  N ) такое, что a 2  4n  1. а не кратно 4. В противном случае левая часть равенства делится на 4, а правая – нет. Значит, а нельзя представить в виде 4k ,
где k  N . Тогда a  4k  1 или a  4k  2 , или a  4k  3 , где k  N . Если
a  4k  1,
то
(4k  1) 2  4n  1 .
 16 k 2  8k  1  4n  1 .
 16 k 2  8k  4n  2 .  4(4k 2  2k  n)  2 . Левая часть последнего ра-
венства делится на 4, а правая – нет. Значит, а не может равняться 4k  1.
Если a  4k  2 , то по нашему предположению (4k  2) 2  4n  1 .
 16 k 2  16 k  4  4n  1.  16 k 2  16 k  4n  5 .  4(4k 2  4k  n)  5 .
Левая часть равенства делится на 4, а правая – нет. Значит, а не может
быть равно 4k  2 .
Если
a  4k  3, то
(4k  3) 2  4n  1.
 16 k 2  24 k  9  4n  1 .
 16 k 2  24 k  4n  10 .  4(4k 2  6k  n)  10 . Левая часть равенства
делится на 4, а правая – нет. Значит, а не может быть равно 4k  3 . Сделанное нами предположение привело к противоречию с заведомо истинным утверждением: из четырех непосредственно следующих друг за другом натуральных чисел одно обязательно делится на 4. Противоречие доказывает, что наше предположение неверно. Итак, не существует такого
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
натурального числа, квадрат которого равен 4n  1.
4. Доказать методом «от противного», что любой треугольник имеет
хотя бы два острых угла.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что есть треугольники, у которых два или три угла не острые. В первом случае сумма двух не острых
углов будет больше или равна 180º, так как каждый из них больше или равен 90º. Но это невозможно, потому что сумма всех углов треугольника
равна 180º. Во втором случае сумма трех не острых углов треугольника
больше или равна 270º. Это тоже невозможно. Полученные противоречия
доказывают, что наше предположение неверно. Значит, любой треугольник
имеет хотя бы два острых угла.
5. Доказать теорему, используя метод, основанный на законе контрапозиции.
Т е о р е м а . Если прямая, проходящая через конец радиуса, лежащий на окружности, не является касательной, то она не перпендикулярна к
этому радиусу.
Р е ш е н и е . Примем эту теорему за прямую, выделим условие и заключение.
Условие теоремы: А – прямая, проходящая через конец радиуса, лежащий на окружности, не является касательной.
Заключение теоремы: В – прямая, проходящая через конец радиуса,
лежащий на окружности, не перпендикулярна к этому радиусу.
На зыке логики эту теорему можно записать следующим образом:
A  B . По закону контрапозиции эта теорема эквивалентна теореме об-
ратной к противоположной, которая на языке логики записывается так:
B  A . Сформулируем и докажем эту теорему.
Т е о р е м а . Если прямая, проходящая через конец радиуса, лежащий на окружности, перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дано: окружность с центром в точке О, ОМ –
радиус окружности, MK  OM .
Доказать: МК – касательная.
О
Д о к а з а т е л ь с т в о . Чтобы доказать, что МК
N
M
– касательная к окружности, нужно показать, что М –
К
единственная общая точка окружности и прямой МК.
Возьмем произвольную точку прямой МК, отличную от точки М.
Обозначим ее N. Соединим N с О и рассмотрим MON . Так как
OM  MK , ON – гипотенуза MON , а поэтому ON  OM . Итак, ON
больше радиуса окружности. Значит, точка N лежит вне окружности.
Точку N мы выбирали произвольно на прямой МК. Таким образом,
точка М – единственная общая точка прямой МК и окружности. Прямая
МК – касательная к окружности.
Утверждение обратное к противоположному истинно, а значит и
прямое истинно.
Данная нам теорема доказана.
6. Доказать ложность утверждения, используя метод контрпримера.
У т в е р ж д е н и е . Если диагонали четырехугольника равны, то он
является прямоугольником.
Р е ш е н и е . Для доказательства ложности утверждения достаточно
привести хотя бы один пример того, что утверждение не будет верно. Таким примером является равнобедренная трапеция. Это – четырехугольник,
В
у которого диагонали равны. Но он не является
С
прямоугольником.
А
D
ABCD – трапеция, AB  CD и AC  BD .
7. Доказать, используя метод математической индукции, что сумма
квадратов n первых натуральных чисел равна
n  (n  1)  (2n  1)
.
6
Р е ш е н и е . Нам нужно доказать, что для любого натурального чис-
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ла n будет истинно равенство (*): 12  2 2  33  ...  n 2 
n  (n  1)  (2n  1)
.
6
Проведем доказательство методом математической индукции.
Метод (принцип) математической индукции обычно формулируется
в школе в виде следующей теоремы.
Если какое-либо утверждение, сформулированное для натурального
числа n, проверено для n  1 и из допущения его истинности для некоторого значения n  k следует (может быть логически выведена) его истинность для значения n  k  1 , то утверждение верно для любого натурального n.
Во-первых, проверим выполнимость равенства для n  1 .
При n  1 равенство (*) будет иметь вид
12 
1  (1  1)  (2  1  1)
.
6
Это равенство верно.
Во-вторых, предположим, что равенство (*) верно при n  k , и, исходя из этого, попытаемся доказать, что оно верно при n  k  1 .
При n  k равенство (*) примет вид
12  2 2  33  ...  k 2 
k  (k  1)  (2k  1)
.
6
А при n  k  1 оно должно принять вид
12  22  33  ...  k 2  (k  1) 2 
(k  1)  (k  2)  2(k  1)  1
.
6
Рассмотрим сумму 12  22  33  ...  k 2  (k  1) 2 . По нашему предположению сумма первых k слагаемых равна
18
k  (k  1)  (2k  1)
. Тогда
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12  2 2  33  ...  k 2  (k  1) 2 
k  (k  1)  (2k  1)
 (k  1) 2 
6
k  (k  1)  (2k  1)  6(k  1) 2 (k  1)  k  (2k  1)  6(k  1) 



6
6
(k  1)  (2k 2  k  6k  6) (k  1)  (2k 2  7k  6)
.


6
6
Разложим квадратный трехчлен 2k 2  7 k  6 на множители.
2k 2  7 k  6  0 ,
D  7 2  4  2  6  49  48  1 ,
k1 
 7 1
6
3
  ,
4
4
2
k2 
 7 1
8
   2 ,
4
4
3

2k 2  7k  6  2 k    k  2  k  22k  3 .
2

Итак,
12  22  33  ...  k 2  (k  1) 2 
(k  1)  (k  2)  2(k  1)  1
.
6
Все условия теоремы, в которой формулируется метод (принцип) математической индукции, выполнены.
Значит, формула (*) истинна для любого натурального n.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. В данной теореме выделить условие, заключение и разъяснительную часть. Сформулировать утверждения: обратное для данного,
противоположное для данного, обратное для противоположного. Доказать
данную теорему, а также истинность или ложность каждого сформулированного утверждения.
Вариант 1
Теорема. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся
пополам.
Вариант 2
Теорема. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
Вариант 3
Теорема. Противоположные стороны параллелограмма равны.
Вариант 4
Теорема. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Вариант 5
Теорема. Если две плоскости параллельны, то существует прямая,
перпендикулярная каждой из них.
Вариант 6
Теорема. Если точка, лежащая внутри неразвернутого угла, принадлежит его биссектрисе, то она равноудалена от сторон угла.
Вариант 7
Теорема. Если один из внешних углов треугольника в два раза больше
угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник – равнобедренный.
Вариант 8
Теорема. Если луч является биссектрисой внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, то он параллелен основанию.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант 9
Теорема. Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали
взаимно перпендикулярны.
Вариант 10
Теорема. Если точка лежит на срединном перпендикуляре к отрезку,
то она равноудалена от концов отрезка.
Задание 2. Дано некоторое утверждение. Провести относительно него рассуждения методом нисходящего анализа. Доказать данное утверждение методом синтеза.
Вариант 1
Дано утверждение: a 2  b 2  2(a  b  1) .
Вариант 2
Дано утверждение: 2a 2  b 2  c 2  2a(b  c) .
Вариант 3
Дано утверждение: a 
1
 2 , где a  0 .
a
Вариант 4

Дано утверждение: a 2  b 2

2
 4aba  b  2 .
Вариант 5
Дано утверждение: a 2  6ab  10 b 2  0 .
Вариант 6
Дано утверждение: (b  1)(3  b)  5 .
Вариант 7
Дано утверждение: a 2  3  2a .
Вариант 8
Дано утверждение:
a
c
a c
, где a  0 , b  0 , c  0 , d  0 и  .

ab cd
b d
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант 9
Дано утверждение:
a b
  2 , где a  0 , b  0 .
b a
Вариант 10
Дано утверждение:
ab cd
, где a  0 , b  0 , c  0 , d  0 и

b
d
a c
 .
b d
Задание 3. Разработать методику введения определения понятия
конкретно-индуктивным методом.
Вариант 1
Понятие перпендикулярных прямых (на плоскости).
Вариант 3
Понятие параллельных плоскостей.
Вариант 5
Понятие прямой, перпендикулярной к плоскости.
Вариант 7
Понятие перпендикулярных плоскостей.
Вариант 10
Понятие выпуклого многоугольника.
Разработать методику введения определения понятия абстрактнодедуктивным методом.
Вариант 2
Понятие линейного уравнения с одной переменной.
Вариант 4
Понятие линейной функции.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант 6
Понятие квадратичной функции.
Вариант 8
Понятие корня уравнения с одной переменной.
Вариант 9
Понятие вписанного угла.
Задание 4. Провести доказательство, используя один из следующих
методов: метод полной индукции, метод «от противного», метод, основанный на законе контрапозиции, метод контрпримера, метод математической
индукции.
Вариант 1
1. Доказать, используя метод полной индукции, что при любом натуральном n n 2  3n кратно 2.
2. Доказать теорему, используя метод, основанный на законе контрапозиции.
Теорема. Если прямая, проходящая на плоскости через основание
наклонной, не перпендикулярна к ее проекции на эту плоскость, то она не
перпендикулярна самой наклонной.
Вариант 2
1. Доказать, используя метод «от противного», что при любом натуральном n число вида 3n  1 не является квадратом натурального числа.
2. Доказать ложность утверждения, используя метод контрпримера.
Утверждение. Если две прямые не пересекаются, то они параллельны.
Вариант 3
1. Доказать, используя метод полной индукции, что при любом натуральном n число (n3  n) делится на 6.
2. Доказать теорему, используя метод «от противного».
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярно ей прямую, и только одну.
Вариант 4
1. Докажите, используя метод «от противного», что
3 – иррацио-
нальное число.
2. Доказать ложность утверждения, используя метод контрпримера.
Утверждение. Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.
Вариант 5
1. Докажите, используя метод математической индукции, что при
любом
натуральном
1  3  2  5  ...  n  (2n  1) 
выполняется
n
равенство
n  (n  1)  (4n  5)
.
6
2. Докажите ложность утверждения, используя метод контрпримера.
Утверждение. Высота треугольника соединяет его вершину с точкой,
принадлежащей противоположной стороне.
Вариант 6
1. Докажите, используя метод математической индукции, что сумма
первых n чисел натурального ряда равна
n  (n  1)
.
2
2. Доказать теорему, используя метод, основанный на законе контрапозиции.
Теорема. Если квадратное уравнение не имеет два действительных
различных корня, то его дискриминант не положителен.
Вариант 7
1. Докажите, используя метод математической индукции, что сумма
n 2  (n  1) 2
кубов n первых натуральных чисел равна
.
4
2. Доказать ложность утверждения, используя метод контрпримера.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждение. Если центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из середин сторон треугольника, то
эта окружность описана около треугольника.
Вариант 8
1. Доказать, используя метод «от противного».
Теорема. Если две различные прямые а и b параллельны третьей
прямой с, то они параллельны между собой.
2. Доказать теорему, используя метод, основанный на законе контрапозиции.
Теорема. Если у четырехугольника противоположные стороны не
равны, то он – не параллелограмм.
Вариант 9
1. Прямые АВ и CD параллельны и пересекают плоскость  . Используя метод, основанный на законе контрапозиции, доказать теорему.
Теорема. Если прямая АВ не перпендикулярна плоскости  , то и
прямая CD не перпендикулярна плоскости  .
2. Доказать, используя метод полной индукции, что при любом натуральном n число n  (3n  1) делится на 2.
Вариант 10
1. Доказать, используя метод полной индукции, что при любом натуральном n число n 3  3n 2  2n кратно 6.
2. Плоскости  и  параллельны друг другу и пересекаются прямой
а. Используя метод, основанный на законе контрапозиции, доказать теорему.
Теорема. Если прямая а не перпендикулярна плоскости  , то она не
перпендикулярна и плоскости  .
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней
школе. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2005.
2. Гусев В.А. и др. Методика обучения геометрии. – М.: Изд. центр
«Академия», 2004.
3. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.: 2003.
4. Евнишева О.О. Технология проектирования методики преподавания математики в контексте деятельностного подхода к обучению. – М.:
Просвещение, 2003.
5. Кожарин А.Ф. и др. Алгебра и геометрия. Методика и практика
преподавания в 9 – 11 кл. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.
6. Подготовка учителя математики: инновационные подходы. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности 032100
«Математика». Под ред. В.Д. Шадрикова. – М.: Гардарики, 2002.
7. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев:
математика 5 – 11 кл. (сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк). – М.: Дрофа,
2000.
8. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе. – М.: Просвещение, 2000.
9. Темербекова А.А. Методика преподавания математики. – М.: Гуманитарный издательский центр «ВЛАДОС», 2003.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Методические указания к выполнению контрольной работы
по методике преподавания математики. Образцы решений ……………. 3
Задания для самостоятельного решения …………………………... 20
Литература …………………………………………………………... 26
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Наталья Михайловна Новак
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
РАЗДЕЛ «ОБЩАЯ МЕТОДИКА»
Редактор И.Н. Рожков
Оригинал – макет изготовлен автором
Подписано в печать 27.09.12 г.
Усл. печ. л. 1,75
Тираж 100 экз.
Издательство Оренбургского государственного педагогического университета
460844, г. Оренбург, ул. Советская, 19
28
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
69
Размер файла
444 Кб
Теги
методика, указания, методические, контрольная, работа, математика, преподавании, 2305
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа