close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3621.Уравнения математической физики.

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра математического анализа
А. Н. Павленко, О. А. Пихтилькова
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом
Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
в качестве методических указаний для студентов,
обучающихся по программам высшего профессионального образования
по направления подготовки 010300.62 Фундаментальные информатика и информационные технологии
Оренбург
2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.95(076.5)
ББК 22.311я7
П 12
Рецензент – доцент, кандидат педагогических наук Е.Н. Рассоха
Павленко, А. Н.
Уравнения математической физики: методические указания к выполнению
контрольной работы /А. Н. Павленко, О. А. Пихтилькова; Оренбургский
гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2013. – 87 с.
П 12
Методические указания предназначены для выполнения контрольной работы по дисциплине «Уравнения математической физики» для студентов направления подготовки 010300.62 Фундаментальные информатика и информационные технологии.
УДК 517.95(076.5)
ББК 22.311я7
© Павленко А. Н.
© Пихтилькова О. А., 2013
© ОГУ, 2013
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение ................................................................................................................. 4
1 Варианты контрольной работы .......................................................................... 5
2 Решение типового варианта контрольной работы .......................................... 52
Список использованных источников .................................................................. 86
Обозначения и сокращения ................................................................................. 87
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Методические указания предназначены для выполнения контрольной работы
по дисциплине «Уравнения математической физики» для студентов направления
подготовки 010300.62 – «Фундаментальные информатика и информационные технологии».
В них приводятся 32 варианта контрольной работы и подробные решения задач типового варианта данного задания.
Несмотря на то, что для технических направлений по этому разделу высшей
математики имеется ряд отлично зарекомендовавших себя задачников, содержащих
большое количество вариантов типовых заданий (например [1, 3]), написание данных методических указаний представляется актуальным для выполнения следующих требований:
1) максимально точное соответствие заданий контрольной работы рабочей
программе;
2) написание методических указаний как составной части комплекса по данной дисциплине, включающего в себя: курс лекций, тесты для контроля усвоения
материала, методические указания для выполнения контрольной работы;
3) необходимости регулярной замены вариантов заданий контрольной работы.
Следует отметить, что данные методические указания могут быть использованы студентами и других инженерных специальностей всех форм обучения.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Варианты контрольной работы
1. Приведя данное уравнение к каноническому виду, найти его общее решение.
1.1. u xx  16u xy  64u yy  u x  8u y  0 .
1.2. u xx  14u xy  49u yy  u x  7u y  0 .
1.3. u xx  12u xy  36u yy  u x  6u y  0 .
1.4. u xx  10u xy  25u yy  u x  5u y  0 .
1.5. u xx  8u xy  16u yy  u x  4u y  0 .
1.6. u xx  6u xy  9u yy  u x  3u y  0 .
1.7. u xx  4u xy  4u yy  u x  2u y  0 .
1.8. u xx  2u xy  u yy  u x  u y  0 .
1.9. u xx  16u xy  64u yy  u x  8u y  0 .
1.10. u xx  14u xy  49u yy  u x  7u y  0 .
1.11. u xx  12u xy  36u yy  u x  6u y  0 .
1.12. u xx  10u xy  25u yy  u x  5u y  0 .
1.13. u xx  8u xy  16u yy  u x  4u y  0 .
1.14. u xx  6u xy  9u yy  u x  3u y  0 .
1.15. u xx  4u xy  4u yy  u x  2u y  0 .
1.16. u xx  2u xy  u yy  u x  u y  0 .
1.17. u xx  16u xy  64u yy  u x  8u y  1 .
1.18. u xx  14u xy  49u yy  u x  7u y  1 .
1.19. u xx  12u xy  36u yy  u x  6u y  1 .
1.20. u xx  10u xy  25u yy  u x  5u y  1.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.21. u xx  8u xy  16u yy  u x  4u y  1 .
1.22. u xx  6u xy  9u yy  u x  3u y  1 .
1.23. u xx  4u xy  4u yy  u x  2u y  1 .
1.24. u xx  2u xy  u yy  u x  u y  1 .
1.25. u xx  16u xy  64u yy  u x  8u y  1 .
1.26. u xx  14u xy  49u yy  u x  7u y  1.
1.27. u xx  12u xy  36u yy  u x  6u y  1 .
1.28. u xx  10u xy  25u yy  u x  5u y  1 .
1.29. u xx  8u xy  16u yy  u x  4u y  1.
1.30. u xx  6u xy  9u yy  u x  3u y  1.
1.31. u xx  4u xy  4u yy  u x  2u y  1 .
1.32. u xx  2u xy  u yy  u x  u y  1.
2. Решить задачу Коши для бесконечной струны.
2.1. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  8 x  7 , ut x,0   x  5 (    x   ).
2.2. УЧП: utt  5u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  3x  2 , ut x,0   x  4 (    x   ).
2.3. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  4 x  3 , ut x,0   x  3 (    x   ).
2.4. УЧП: utt  4u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  3x  5 , ut x,0   x  4 (    x   ).
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.5. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  5 x  3 , ut x,0   x  2 (    x   ).
2.6. УЧП: utt  6u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  4 x  5 , ut x,0   x  6 (    x   ).
2.7. УЧП: utt  5u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  6 x  7 , ut x,0   x  3 (    x   ).
2.8. УЧП: utt  5u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  4 x  4 , ut x,0  x  7 (    x   ).
2.9. УЧП: utt  4u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  5 x  3 , ut x,0   x  8 (    x   ).
2.10. УЧП: utt  5u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  2 x  3 , ut x,0  x  5 (    x   ).
2.11. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  4 x  5 , ut x,0   x  3 (    x   ).
2.12. УЧП: utt  7u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  4 x  7 , ut x,0   x  3 (    x   ).
2.13. УЧП: utt  8u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  5 x  5 , ut x,0   x  4 (    x   ).
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.14. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  5 x  5 , ut x,0   x  6 (    x   ).
2.15. УЧП: utt  7u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  8 x  8 , ut x,0  x  7 (    x   ).
2.16. УЧП: utt  4u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  3x  6 , ut x,0  x  7 (    x   ).
2.17. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  7 x  3 , ut x,0  x  7 (    x   ).
2.18. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  5x  7 , ut x,0   x  6 (    x   ).
2.19. УЧП: utt  7u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  7 x  2 , ut x,0   x  2 (    x   ).
2.20. УЧП: utt  8u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  8 x  7 , ut x,0   x  3 (    x   ).
2.21. УЧП: utt  4u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  7 x  2 , ut x,0  x  7 (    x   ).
2.22. УЧП: utt  6u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  2 x  6 , ut x,0  x  7 (    x   ).
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.23. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  7 x  7 , ut x,0   x  6 (    x   ).
2.24. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  8 x  7 , ut x,0  x  5 (    x   ).
2.25. УЧП: utt  5u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  8 x  2 , ut x,0  x  7 (    x   ).
2.26. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  5x  4 , ut x,0   x  3 (    x   ).
2.27. УЧП: utt  7u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  4 x  4 , ut x,0   x  4 (    x   ).
2.28. УЧП: utt  4u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  5 x  3 , ut x,0   x  3 (    x   ).
2.29. УЧП: utt  4u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  2 x  4 , ut x,0   x  8 (    x   ).
2.30. УЧП: utt  3u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  6 x  3 , ut x,0   x  4 (    x   ).
2.31. УЧП: utt  5u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  5x  2 , ut x,0  x  5 (    x   ).
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.32. УЧП: utt  4u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  8 x  3 , ut x,0   x  3 (    x   ).
3. Найти решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны.
3.1. УЧП:
НУ:
u x,0   7 sin 3x , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
3.2. УЧП:
utt  9u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   7 sin 5x , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
3.3. УЧП:
utt  16u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   5 sin 7x , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
3.4. УЧП:
utt  25u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ:
u x,0   6 sin 7x , ut x,0   0 ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
3.5. УЧП:
utt  64u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ:
u x,0   3 sin 2x , ut x,0   0 ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
3.6. УЧП:
10
utt  49u xx ( t  0 , 0  x  5 );
utt  25u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   3 sin 6x , ut x,0   0 ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.7. УЧП:
utt  4u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   4 sin 8x , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
3.8. УЧП:
utt  36u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   6 sin 4x , ut x,0   0 ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
3.9. УЧП:
utt  16u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   7 sin 4x , ut x,0   0 ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
3.10. УЧП: utt  9u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   7 sin 4x , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
3.11. УЧП: utt  16u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   4 sin 4x , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
3.12. УЧП: utt  36u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   5 sin 5x , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
3.13. УЧП: utt  16u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   3 sin 7x , ut x,0   0 ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.14. УЧП: utt  49u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   5 sin 3x , ut x,0   0 ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
3.15. УЧП: utt  16u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ:
u x,0   8 sin 3x , ut x,0   0 ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
3.16. УЧП: utt  64u xx ( t  0 , 0  x  8 );
НУ:
u x,0   8 sin 6x , ut x,0   0 ( 0  x  8 );
ГУ:
u 0, t   u 8, t   0 ( t  0 ).
3.17. УЧП: utt  9u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0  63 sin 3x ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
3.18. УЧП: utt  16u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   84 sin 7x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
3.19. УЧП: utt  25u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   140 sin 7x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
3.20. УЧП: utt  4u xx ( t  0 , 0  x  6 );
12
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   48 sin 8x ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.21. УЧП: utt  4u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   40 sin 4x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
3.22. УЧП: utt  9u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   48 sin 4x ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
3.23. УЧП: utt  25u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   180 sin 6x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
3.24. УЧП: utt  49u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   280 sin 8x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
3.25. УЧП: utt  25u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   100 sin 5x ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
3.26. УЧП: utt  49u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   98 sin 7x ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
3.27. УЧП: utt  64u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   64 sin 2x ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.28. УЧП: utt  16u xx ( t  0 , 0  x  8 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   40 sin 5x ( 0  x  8 );
ГУ:
u 0, t   u 8, t   0 ( t  0 ).
3.29. УЧП: utt  25u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   100 sin 4x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
3.30. УЧП: utt  25u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   75 sin 3x ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
3.31. УЧП: utt  49u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   168 sin 6x ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
3.32. УЧП: utt  9u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   84 sin 4x ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
4. Найти решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны.
4.1. УЧП:
НУ:
u x,0   x 5  x  , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
4.2. УЧП:
14
utt  u xx ( t  0 , 0  x  5 );
utt  4u xx ( t  0 , 0  x  4 );
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
u x,0   x 4  x  , ut x,0   0 ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
4.3. УЧП:
utt  9u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   x 3  x  , ut x,0   0 ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
4.4. УЧП:
utt  16u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   x 2  x  , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
4.5. УЧП:
utt  25u xx ( t  0 , 0  x  1 );
НУ:
u  x,0   x 1  x  , ut x,0   0 ( 0  x  1);
ГУ:
u 0, t   u 1, t   0 ( t  0 ).
4.6. УЧП:
utt  36u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   x 5  x  , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
4.7. УЧП:
utt  49u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   x 4  x  , ut x,0   0 ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
4.8. УЧП:
utt  u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   x 3  x  , ut x,0   0 ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
4.9. УЧП:
utt  4u xx ( t  0 , 0  x  2 );
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
u x,0   x 2  x  , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
4.10. УЧП: utt  9u xx ( t  0 , 0  x  1 );
НУ:
u  x,0   x 1  x  , ut x,0   0 ( 0  x  1);
ГУ:
u 0, t   u 1, t   0 ( t  0 ).
4.11. УЧП: utt  16u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   x 5  x  , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
4.12. УЧП: utt  25u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   x 4  x  , ut x,0   0 ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
4.13. УЧП: utt  36u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   x 3  x  , ut x,0   0 ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
4.14. УЧП: utt  49u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   x 2  x  , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
4.15. УЧП: utt  u xx ( t  0 , 0  x  1 );
НУ:
u  x,0   x 1  x  , ut x,0   0 ( 0  x  1);
ГУ:
u 0, t   u 1, t   0 ( t  0 ).
4.16. УЧП: utt  4u xx ( t  0 , 0  x  5 );
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
u x,0   x 5  x  , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
4.17. УЧП: utt  9u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   x 4  x  , ut x,0   0 ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
4.18. УЧП: utt  16u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   x 3  x  , ut x,0   0 ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
4.19. УЧП: utt  25u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   x 2  x  , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
4.20. УЧП: utt  36u xx ( t  0 , 0  x  1 );
НУ:
u  x,0   x 1  x  , ut x,0   0 ( 0  x  1);
ГУ:
u 0, t   u 1, t   0 ( t  0 ).
4.21. УЧП: utt  49u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   x 5  x  , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
4.22. УЧП: utt  u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   x 4  x  , ut x,0   0 ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
4.23. УЧП: utt  4u xx ( t  0 , 0  x  3 );
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
u x,0   x 3  x  , ut x,0   0 ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
4.24. УЧП: utt  9u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   x 2  x  , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
4.25. УЧП: utt  16u xx ( t  0 , 0  x  1 );
НУ:
u  x,0   x 1  x  , ut x,0   0 ( 0  x  1);
ГУ:
u 0, t   u 1, t   0 ( t  0 ).
4.26. УЧП: utt  25u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   x 5  x  , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
4.27. УЧП: utt  36u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   x 4  x  , ut x,0   0 ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
4.28. УЧП: utt  49u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   x 3  x  , ut x,0   0 ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
4.29. УЧП: utt  u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   x 2  x  , ut x,0   0 ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
4.30. УЧП: utt  4u xx ( t  0 , 0  x  1 );
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
u  x,0   x 1  x  , ut x,0   0 ( 0  x  1);
ГУ:
u 0, t   u 1, t   0 ( t  0 ).
4.31. УЧП: utt  9u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   x 5  x  , ut x,0   0 ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
4.32. УЧП: utt  16u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   x 4  x  , ut x,0   0 ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
5. Найти решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны.
5.1. УЧП:
utt  72 u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   280 cos 8x ( 0  x  5 );
ГУ:
u x 0, t   u x 5, t   0 ( t  0 ).
5.2. УЧП:
utt  72 u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   105 cos 5x ( 0  x  7 );
ГУ:
u x 0, t   u x 7, t   0 ( t  0 ).
5.3. УЧП:
utt  32 u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   63 cos 3x ( 0  x  3 );
ГУ:
u x 0, t   u x 3, t   0 ( t  0 ).
5.4. УЧП:
НУ:
utt  22 u xx ( t  0 , 0  x  8 );
u x,0   0 , ut x,0   84 cos 7x ( 0  x  8 );
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ:
5.5. УЧП:
u x 0, t   u x 8, t   0 ( t  0 ).
utt  72 u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   126 cos 6x ( 0  x  3 );
ГУ:
u x 0, t   u x 3, t   0 ( t  0 ).
5.6. УЧП:
utt  52 u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   125 cos 5x ( 0  x  5 );
ГУ:
u x 0, t   u x 5, t   0 ( t  0 ).
5.7. УЧП:
utt  42 u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   72 cos 6x ( 0  x  3 );
ГУ:
u x 0, t   u x 3, t   0 ( t  0 ).
5.8. УЧП:
utt  52 u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   105 cos 7x ( 0  x  7 );
ГУ:
u x 0, t   u x 7, t   0 ( t  0 ).
5.9. УЧП:
utt  82 u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   240 cos 6x ( 0  x  5 );
ГУ:
u x 0, t   u x 5, t   0 ( t  0 ).
5.10. УЧП: utt  62 u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   120 cos 5x ( 0  x  3 );
ГУ:
u x 0, t   u x 3, t   0 ( t  0 ).
5.11. УЧП: utt  72 u xx ( t  0 , 0  x  7 );
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   196 cos 4x ( 0  x  7 );
ГУ:
u x 0, t   u x 7, t   0 ( t  0 ).
5.12. УЧП: utt  72 u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   245 cos 7x ( 0  x  3 );
ГУ:
u x 0, t   u x 3, t   0 ( t  0 ).
5.13. УЧП: utt  52 u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   150 cos 6x ( 0  x  6 );
ГУ:
u x 0, t   u x 6, t   0 ( t  0 ).
5.14. УЧП: utt  42 u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   56 cos 7x ( 0  x  4 );
ГУ:
u x 0, t   u x 4, t   0 ( t  0 ).
5.15. УЧП: utt  42 u xx ( t  0 , 0  x  8 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   84 cos 3x ( 0  x  8 );
ГУ:
u x 0, t   u x 8, t   0 ( t  0 ).
5.16. УЧП: utt  52 u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   120 cos 6x ( 0  x  2 );
ГУ:
u x 0, t   u x 2, t   0 ( t  0 ).
5.17. УЧП: utt  72 u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   42 cos 3x ( 0  x  4 );
ГУ:
u x 0, t   u x 4, t   0 ( t  0 ).
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.18. УЧП: utt  42 u xx ( t  0 , 0  x  8 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   84 cos 7x ( 0  x  8 );
ГУ:
u x 0, t   u x 8, t   0 ( t  0 ).
5.19. УЧП: utt  42 u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   96 cos 8x ( 0  x  5 );
ГУ:
u x 0, t   u x 5, t   0 ( t  0 ).
5.20. УЧП: utt  52 u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   45 cos 3x ( 0  x  4 );
ГУ:
u x 0, t   u x 4, t   0 ( t  0 ).
5.21. УЧП: utt  72 u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   147 cos 3x ( 0  x  5 );
ГУ:
u x 0, t   u x 5, t   0 ( t  0 ).
5.22. УЧП: utt  52 u xx ( t  0 , 0  x  8 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   80 cos 2x ( 0  x  8 );
ГУ:
u x 0, t   u x 8, t   0 ( t  0 ).
5.23. УЧП: utt  42 u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   80 cos 5x ( 0  x  5 );
ГУ:
u x 0, t   u x 5, t   0 ( t  0 ).
5.24. УЧП: utt  62 u xx ( t  0 , 0  x  8 );
22
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   180 cos 6x ( 0  x  8 );
ГУ:
u x 0, t   u x 8, t   0 ( t  0 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.25. УЧП: utt  22 u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   80 cos 5x ( 0  x  4 );
ГУ:
u x 0, t   u x 4, t   0 ( t  0 ).
5.26. УЧП: utt  32 u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   12 cos 2x ( 0  x  3 );
ГУ:
u x 0, t   u x 3, t   0 ( t  0 ).
5.27. УЧП: utt  42 u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   16 cos 2x ( 0  x  5 );
ГУ:
u x 0, t   u x 5, t   0 ( t  0 ).
5.28. УЧП: utt  62 u xx ( t  0 , 0  x  8 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   54 cos 3x ( 0  x  8 );
ГУ:
u x 0, t   u x 8, t   0 ( t  0 ).
5.29. УЧП: utt  52 u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   150 cos 6x ( 0  x  7 );
ГУ:
u x 0, t   u x 7, t   0 ( t  0 ).
5.30. УЧП: utt  52 u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   160 cos 4x ( 0  x  7 );
ГУ:
u x 0, t   u x 7, t   0 ( t  0 ).
5.31. УЧП: utt  72 u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   112 cos 4x ( 0  x  4 );
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ:
u x 0, t   u x 4, t   0 ( t  0 ).
5.32. УЧП: utt  72 u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ:
u x,0   0 , ut x,0   126 cos 6x ( 0  x  7 );
ГУ:
u x 0, t   u x 7, t   0 ( t  0 ).
6. Найти решение смешанной задачи
6.1. УЧП:
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.2. УЧП:
utt  49u xx  e 8t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.3. УЧП:
utt  9u xx  e 6t sin 6 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.4. УЧП:
utt  9u xx  e 2 t sin 6 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.5. УЧП:
24
utt  64u xx  e 7t sin 5x ( t  0 , 0  x   );
utt  36u xx  e 4t sin 3x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.6. УЧП:
utt  49u xx  e 6t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.7. УЧП:
utt  16u xx  e 3t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.8. УЧП:
utt  25u xx  e 5t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.9. УЧП:
utt  64u xx  e 5t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.10. УЧП: utt  9u xx  e 7 t sin 3x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.11. УЧП: utt  36u xx  e 4t sin 6 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.12. УЧП: utt  49u xx  e 2t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.13. УЧП: utt  64u xx  e 6t sin 5 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.14. УЧП: utt  16u xx  e 4 t sin 3x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.15. УЧП: utt  9u xx  e 5t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.16. УЧП: utt  36u xx  e 3t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.17. УЧП: utt  9u xx  e 3t sin 6 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.18. УЧП: utt  9u xx  e 7 t sin 6 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.19. УЧП: utt  9u xx  e 3t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
26
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.20. УЧП: utt  49u xx  e 6t sin 8 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.21. УЧП: utt  4u xx  e 4t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.22. УЧП: utt  16u xx  e 7 t sin 6 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.23. УЧП: utt  64u xx  e 3t sin 2 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.24. УЧП: utt  49u xx  e 7t sin 3x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.25. УЧП: utt  64u xx  e 7 t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.26. УЧП: utt  16u xx  e 6t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.27. УЧП: utt  9u xx  e 2 t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.28. УЧП: utt  49u xx  e 7t sin 2 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.29. УЧП: utt  36u xx  e 8t sin 5 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.30. УЧП: utt  25u xx  e 6t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.31. УЧП: utt  9u xx  e 5t sin 2 x ( t  0 , 0  x   );
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
6.32. УЧП: utt  36u xx  e 2t sin 6 x ( t  0 , 0  x   );
28
НУ:
u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Найти решение смешанной задачи
7.1. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  7u xx ( t  0 , 0  x  5 );
u x,0   5 sin 8x ( 0  x  5 );
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
7.2. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  7u xx ( t  0 , 0  x  5 );
u x,0   7 sin 4x ( 0  x  5 );
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
7.3. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  5u xx ( t  0 , 0  x  7 );
u x,0   4 sin 2x ( 0  x  7 );
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
7.4. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  4u xx ( t  0 , 0  x  4 );
u x,0   6 sin 3x ( 0  x  4 );
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
7.5. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  6u xx ( t  0 , 0  x  6 );
u x,0   7 sin 6x ( 0  x  6 );
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
7.6. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  7u xx ( t  0 , 0  x  6 );
u x,0   8 sin 4x ( 0  x  6 );
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
7.7. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  3u xx ( t  0 , 0  x  2 );
u x,0   2 sin 4x ( 0  x  2 );
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
7.8. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  7u xx ( t  0 , 0  x  3 );
u x,0   6 sin 4x ( 0  x  3 );
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
7.9. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  2u xx ( t  0 , 0  x  3 );
u x,0   5 sin 5x ( 0  x  3 );
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.10. УЧП: ut  7u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ: u x,0   4 sin 2x ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
7.11. УЧП: ut  3u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ: u x,0   4 sin 4x ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
7.12. УЧП: ut  6u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ: u x,0   7 sin 4x ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
7.13. УЧП: ut  7u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ: u x,0   4 sin 4x ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
7.14. УЧП: ut  4u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ: u x,0   7 sin 4x ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
7.15. УЧП: ut  6u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ: u x,0   6 sin 4x ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
7.16. УЧП: ut  3u xx ( t  0 , 0  x  2 );
НУ: u x,0   5 sin 7x ( 0  x  2 );
ГУ:
u 0, t   u 2, t   0 ( t  0 ).
7.17. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  8 );
НУ: u x,0   6 sin 5x ( 0  x  8 );
ГУ:
u 0, t   u 8, t   0 ( t  0 ).
7.18. УЧП: ut  7u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ: u x,0   3 sin 7x ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.19. УЧП: ut  3u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ: u x,0   6 sin 5x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
7.20. УЧП: ut  6u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ: u x,0   6 sin 4x ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
7.21. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ: u x,0   6 sin 8x ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
7.22. УЧП: ut  8u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ: u x,0   3 sin 8x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
7.23. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ: u x,0   4 sin 7x ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
7.24. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ: u x,0   5 sin 2x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
7.25. УЧП: ut  3u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ: u x,0   6 sin 6x ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
7.26. УЧП: ut  6u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ: u x,0   7 sin 4x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
7.27. УЧП: ut  3u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ: u x,0   6 sin 6x ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.28. УЧП: ut  6u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ: u x,0   3 sin 5x ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
7.29. УЧП: ut  7u xx ( t  0 , 0  x  7 );
НУ: u x,0   4 sin 3x ( 0  x  7 );
ГУ:
u 0, t   u 7, t   0 ( t  0 ).
7.30. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ: u x,0   5 sin 5x ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
7.31. УЧП: ut  9u xx ( t  0 , 0  x  4 );
НУ: u x,0   2 sin 7x ( 0  x  4 );
ГУ:
u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
7.32. УЧП: ut  9u xx ( t  0 , 0  x  5 );
НУ: u x,0   8 sin 3x ( 0  x  5 );
ГУ:
u 0, t   u 5, t   0 ( t  0 ).
8. Найти решение смешанной задачи
8.1. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  7u xx ( t  0 , 0  x  4,5 );
u x,0   3 sin 5x ( 0  x  4,5 );
u 0, t   u x 4,5; t   0 ( t  0 ).
8.2. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  4u xx ( t  0 , 0  x  4,5 );
u x,0   4 sin 9x ( 0  x  4,5 );
u 0, t   u x 4,5; t   0 ( t  0 ).
8.3. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  7u xx ( t  0 , 0  x  7,5 );
u x,0   8 sin 3x ( 0  x  7,5 );
u 0, t   u x 7,5; t   0 ( t  0 ).
8.4. УЧП:
ut  3u xx ( t  0 , 0  x  4,5 );
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
ГУ:
u x,0   3 sin 5x ( 0  x  4,5 );
u 0, t   u x 4,5; t   0 ( t  0 ).
8.5. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  7u xx ( t  0 , 0  x  3,5 );
u x,0   6 sin 7x ( 0  x  3,5 );
u 0, t   u x 3,5; t   0 ( t  0 ).
8.6. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  5u xx ( t  0 , 0  x  1,5 );
u x,0   5 sin 5x ( 0  x  1,5 );
u 0, t   u x 1,5; t   0 ( t  0 ).
8.7. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  5u xx ( t  0 , 0  x  5,5 );
u x,0   3 sin 9x ( 0  x  5,5 );
u 0, t   u x 5,5; t   0 ( t  0 ).
8.8. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  3u xx ( t  0 , 0  x  0,5 );
u x,0   6 sin 5x ( 0  x  0,5 );
u 0, t   u x 0,5; t   0 ( t  0 ).
8.9. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  5u xx ( t  0 , 0  x  5,5 );
u x,0   7 sin 3x ( 0  x  5,5 );
u 0, t   u x 5,5; t   0 ( t  0 ).
8.10. УЧП: ut  6u xx ( t  0 , 0  x  4,5 );
НУ: u x,0   3 sin 7x ( 0  x  4,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 4,5; t   0 ( t  0 ).
8.11. УЧП: ut  4u xx ( t  0 , 0  x  6,5 );
НУ: u x,0   8 sin 5x ( 0  x  6,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 6,5; t   0 ( t  0 ).
8.12. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  2,5 );
НУ: u x,0   4 sin 5x ( 0  x  2,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 2,5; t   0 ( t  0 ).
8.13. УЧП: ut  3u xx ( t  0 , 0  x  3,5 );
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
ГУ:
u x,0   5 sin 9x ( 0  x  3,5 );
u 0, t   u x 3,5; t   0 ( t  0 ).
8.14. УЧП: ut  4u xx ( t  0 , 0  x  6,5 );
НУ: u x,0   7 sin 7x ( 0  x  6,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 6,5; t   0 ( t  0 ).
8.15. УЧП: ut  6u xx ( t  0 , 0  x  5,5 );
НУ: u x,0   2 sin 3x ( 0  x  5,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 5,5; t   0 ( t  0 ).
8.16. УЧП: ut  4u xx ( t  0 , 0  x  5,5 );
НУ: u x,0   3 sin 7x ( 0  x  5,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 5,5; t   0 ( t  0 ).
8.17. УЧП: ut  3u xx ( t  0 , 0  x  1,5 );
НУ: u x,0   5 sin 7x ( 0  x  1,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 1,5; t   0 ( t  0 ).
8.18. УЧП: ut  2u xx ( t  0 , 0  x  4,5 );
НУ: u x,0   7 sin 7x ( 0  x  4,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 4,5; t   0 ( t  0 ).
8.19. УЧП: ut  6u xx ( t  0 , 0  x  4,5 );
НУ: u x,0   3 sin 3x ( 0  x  4,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 4,5; t   0 ( t  0 ).
8.20. УЧП: ut  7u xx ( t  0 , 0  x  4,5 );
НУ: u x,0   5 sin 7x ( 0  x  4,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 4,5; t   0 ( t  0 ).
8.21. УЧП: ut  4u xx ( t  0 , 0  x  3,5 );
НУ: u x,0   3 sin 5x ( 0  x  3,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 3,5; t   0 ( t  0 ).
8.22. УЧП: ut  8u xx ( t  0 , 0  x  6,5 );
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
ГУ:
u x,0   5 sin 7x ( 0  x  6,5 );
u 0, t   u x 6,5; t   0 ( t  0 ).
8.23. УЧП: ut  8u xx ( t  0 , 0  x  5,5 );
НУ: u x,0   7 sin 3x ( 0  x  5,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 5,5; t   0 ( t  0 ).
8.24. УЧП: ut  7u xx ( t  0 , 0  x  2,5 );
НУ: u x,0   5 sin 5x ( 0  x  2,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 2,5; t   0 ( t  0 ).
8.25. УЧП: ut  3u xx ( t  0 , 0  x  3,5 );
НУ: u x,0   2 sin 7x ( 0  x  3,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 3,5; t   0 ( t  0 ).
8.26. УЧП: ut  4u xx ( t  0 , 0  x  4,5 );
НУ: u x,0   3 sin 9x ( 0  x  4,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 4,5; t   0 ( t  0 ).
8.27. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  5,5 );
НУ: u x,0   6 sin 7x ( 0  x  5,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 5,5; t   0 ( t  0 ).
8.28. УЧП: ut  4u xx ( t  0 , 0  x  5,5 );
НУ: u x,0   8 sin 9x ( 0  x  5,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 5,5; t   0 ( t  0 ).
8.29. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  0,5 );
НУ: u x,0   5 sin 5x ( 0  x  0,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 0,5; t   0 ( t  0 ).
8.30. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  5,5 );
НУ: u x,0   4 sin 7x ( 0  x  5,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 5,5; t   0 ( t  0 ).
8.31. УЧП: ut  4u xx ( t  0 , 0  x  5,5 );
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
ГУ:
u x,0   5 sin 5x ( 0  x  5,5 );
u 0, t   u x 5,5; t   0 ( t  0 ).
8.32. УЧП: ut  5u xx ( t  0 , 0  x  4,5 );
НУ: u x,0   7 sin 7x ( 0  x  4,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 4,5; t   0 ( t  0 ).
9. Найти решение смешанной задачи
9.1. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  26u xx  e 3t sin 5x ( t  0 , 0  x   );
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.2. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  30u xx  e 5t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.3. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  29u xx  e 2t sin 5x ( t  0 , 0  x   );
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.4. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  10u xx  e 8t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.5. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  23u xx  e 6t sin 8 x ( t  0 , 0  x   );
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.6. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  14u xx  e 5t sin 5 x ( t  0 , 0  x   );
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.7. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  18u xx  e 7t sin 8 x ( t  0 , 0  x   );
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.8. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  12u xx  e 8t sin 2 x ( t  0 , 0  x   );
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.9. УЧП:
НУ:
ГУ:
ut  20u xx  e 8t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.10. УЧП: ut  20u xx  e 7t sin 2 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.11. УЧП: ut  10u xx  e 7t sin 2 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.12. УЧП: ut  11u xx  e 2t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.13. УЧП: ut  21u xx  e 2t sin 8 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.14. УЧП: ut  14u xx  e 7t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.15. УЧП: ut  26u xx  e 5t sin 3x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.16. УЧП: ut  28u xx  e 4 t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.17. УЧП: ut  18u xx  e 9t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.18. УЧП: ut  28u xx  e 4 t sin 6 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.19. УЧП: ut  12u xx  e 7t sin 5x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.20. УЧП: ut  22u xx  e 5t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.21. УЧП: ut  30u xx  e 4 t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.22. УЧП: ut  16u xx  e 4t sin 9 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.23. УЧП: ut  18u xx  e 6t sin 5x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.24. УЧП: ut  23u xx  e 6t sin 3x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.25. УЧП: ut  28u xx  e 3t sin 9 x ( t  0 , 0  x   );
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ:
ГУ:
u  x,0   0 ( 0  x   );
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.26. УЧП: ut  21u xx  e 8t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.27. УЧП: ut  23u xx  e 4t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.28. УЧП: ut  17u xx  e 7t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.29. УЧП: ut  22u xx  e 6t sin 7 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.30. УЧП: ut  13u xx  e 8t sin 4 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.31. УЧП: ut  19u xx  e 9t sin 9 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
9.32. УЧП: ut  24u xx  e 5t sin 9 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
10. Найти решение задачи для уравнения Лапласа в круге
10.1. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0    2 );
ГУ: u  2  7 cos 2 ( 0    2 ).
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.2. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0    2 );
ГУ: u  2  2 sin 2 ( 0    2 ).
10.3. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0    2 );
ГУ: u  3  4 cos 2 ( 0    2 ).
10.4. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0    2 );
ГУ: u  3  4 sin 2 ( 0    2 ).
10.5. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0    2 );
ГУ: u  4  2 cos 2 ( 0    2 ).
10.6. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0    2 );
ГУ: u   4  6 sin 2 ( 0    2 ).
10.7. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0    2 );
ГУ: u  5  4 cos 2 ( 0    2 ).
10.8. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0    2 );
ГУ: u  5  6 sin 2 ( 0    2 ).
10.9. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0    2 );
ГУ: u  2  4 cos 3 ( 0    2 ).
10.10. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0    2 );
ГУ: u   2  4 sin 3 ( 0    2 ).
10.11. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0    2 );
ГУ: u  3  7 cos 3 ( 0    2 ).
10.12. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0    2 );
ГУ: u  3  9 sin 3 ( 0    2 ).
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.13. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0    2 );
ГУ: u  4  4 cos 3 ( 0    2 ).
10.14. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0    2 );
ГУ: u  4  6 sin 3 ( 0    2 ).
10.15. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0    2 );
ГУ: u  5  5 cos 3 ( 0    2 ).
10.16. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0    2 );
ГУ: u  5  3 sin 3 ( 0    2 ).
10.17. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0    2 );
ГУ: u  2  5 cos 4 ( 0    2 ).
10.18. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0    2 );
ГУ: u   2  8 sin 4 ( 0    2 ).
10.19. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0    2 );
ГУ: u  3  3 cos 4 ( 0    2 ).
10.20. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0    2 );
ГУ: u  3  3 sin 4 ( 0    2 ).
10.21. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0    2 );
ГУ: u  4  5 cos 4 ( 0    2 ).
10.22. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0    2 );
ГУ: u  4  7 sin 4 ( 0    2 ).
10.23. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0    2 );
ГУ: u  5  3 cos 4 ( 0    2 ).
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.24. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0    2 );
ГУ: u  5  8 sin 4 ( 0    2 ).
10.25. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0    2 );
ГУ: u  4  3 cos 2 ( 0    2 ).
10.26. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0    2 );
ГУ: u   4  8 sin 2 ( 0    2 ).
10.27. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0    2 );
ГУ: u  5  2 cos 2 ( 0    2 ).
10.28. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0    2 );
ГУ: u  5  5 sin 2 ( 0    2 ).
10.29. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0    2 );
ГУ: u  2  3 cos 3 ( 0    2 ).
10.30. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0    2 );
ГУ: u  2  5 sin 3 ( 0    2 ).
10.31. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0    2 );
ГУ: u  3  2 cos 3 ( 0    2 ).
10.32. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0    2 );
ГУ: u  3  2 sin 3 ( 0    2 ).
11. Найти решение задачи для уравнения Лапласа в круге
11.1. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  2 2  5  3 ( 0    2 ).
11.2. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ: u  1  2 2  4  8 ( 0    2 ).
11.3. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  6 2  3  4 ( 0    2 ).
11.4. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  4 2  8  6 ( 0    2 ).
11.5. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  5 2  9  7 ( 0    2 ).
11.6. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  7 2  3  3 ( 0    2 ).
11.7. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  5 2  5  4 ( 0    2 ).
11.8. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  4 2  5  1 ( 0    2 ).
11.9. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  5 2  3  2 ( 0    2 ).
11.10. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  7 2  7  7 ( 0    2 ).
11.11. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  2 2  8  3 ( 0    2 ).
11.12. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  5 2  7  9 ( 0    2 ).
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.13. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  6 2  4  4 ( 0    2 ).
11.14. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  3 2  6  7 ( 0    2 ).
11.15. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  4 2  9  8 ( 0    2 ).
11.16. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  7 2  2  2 ( 0    2 ).
11.17. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  4 2  7  1 ( 0    2 ).
11.18. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  9 2  3  7 ( 0    2 ).
11.19. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  4 2  9  5 ( 0    2 ).
11.20. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  6 2  9  5 ( 0    2 ).
11.21. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  5 2  4  3 ( 0    2 ).
11.22. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  5 2  4  6 ( 0    2 ).
11.23. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  3 2  5  5 ( 0    2 ).
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.24. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  8 2  4  5 ( 0    2 ).
11.25. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  8 2  5  2 ( 0    2 ).
11.26. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  7 2  6  2 ( 0    2 ).
11.27. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  8 2  5  2 ( 0    2 ).
11.28. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  6 2  7  9 ( 0    2 ).
11.29. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  7 2  6  6 ( 0    2 ).
11.30. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  4 2  3  9 ( 0    2 ).
11.31. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  8 2  7  4 ( 0    2 ).
11.32. УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
ГУ: u  1  6 2  3  3 ( 0    2 ).
12. Найти решение задачи для уравнения Лапласа в секторе круга

12.1. УЧП: u  0 ( 0    10 , 0    );
2

ГУ: u  10  7 cos 5 ( 0    );
2
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
u
 0
 0 , u   / 2  0 ( 0    10 ).
12.2. УЧП: u  0 ( 0    9 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    9 ).
ГУ: u  9  5 cos 9 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2

);
2

 8 cos 13 ( 0    );
2
 0 , u   / 2  0 ( 0    8 ).
12.3. УЧП: u  0 ( 0    8 , 0   
ГУ: u  8
u
 0

);
2

 6 cos 17 ( 0    );
2
 0 , u   / 2  0 ( 0    7 ).
12.4. УЧП: u  0 ( 0    7 , 0   
ГУ: u  7
u
 0

);
2

 5 cos 21 ( 0    );
2
 0 , u   / 2  0 ( 0    6 ).
12.5. УЧП: u  0 ( 0    6 , 0   
ГУ: u  6
u
 0

);
2

 7 cos 25 ( 0    );
2
 0 , u   / 2  0 ( 0    5 ).
12.6. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0   
ГУ: u  5
u
 0
12.7. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0   
46

);
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

);
2
 0 ( 0    4 ).
ГУ: u  4  3 cos 29 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2

);
2

ГУ: u  3  9 cos 33 ( 0    );
2
u
 0 , u   / 2  0 ( 0    3 ).
12.8. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0   
 0
12.9. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    2 ).
ГУ: u  2  2 cos 5 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.10. УЧП: u  0 ( 0    10 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    10 ).
ГУ: u  10  7 cos 9 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.11. УЧП: u  0 ( 0    9 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    9 ).
ГУ: u  9  7 cos13 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.12. УЧП: u  0 ( 0    8 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    8 ).
ГУ: u  8  8 cos17 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.13. УЧП: u  0 ( 0    7 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    7 ).
ГУ: u  7  6 cos 21 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.14. УЧП: u  0 ( 0    6 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    6 ).
ГУ: u  6  8 cos 25 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.15. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    5 ).
ГУ: u  5  5 cos 29 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.16. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    4 ).
ГУ: u  4  5 cos 5 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.17. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    3 ).
ГУ: u  3  9 cos 9 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.18. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0   

);
2
 0 ( 0    2 ).
ГУ: u  2  6 cos13 ( 0   
u
48
 0
 0 , u   / 2

);
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.19. УЧП: u  0 ( 0    10 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    10 ).
ГУ: u  10  5 cos 17 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.20. УЧП: u  0 ( 0    9 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    9 ).
ГУ: u  9  5 cos 21 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.21. УЧП: u  0 ( 0    8 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    8 ).
ГУ: u  8  9 cos 25 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.22. УЧП: u  0 ( 0    7 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    7 ).
ГУ: u  7  9 cos 29 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.23. УЧП: u  0 ( 0    6 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    6 ).
ГУ: u  6  7 cos 5 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.24. УЧП: u  0 ( 0    5 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    5 ).
ГУ: u  5  5 cos 9 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.25. УЧП: u  0 ( 0    4 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    4 ).
ГУ: u  4  3 cos13 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.26. УЧП: u  0 ( 0    3 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    3 ).
ГУ: u  3  9 cos17 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.27. УЧП: u  0 ( 0    2 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    2 ).
ГУ: u  2  3 cos 21 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.28. УЧП: u  0 ( 0    10 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    10 ).
ГУ: u  10  4 cos 25 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.29. УЧП: u  0 ( 0    9 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    9 ).
ГУ: u  9  7 cos 29 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.30. УЧП: u  0 ( 0    8 , 0   

);
2
 0 ( 0    8 ).
ГУ: u  8  6 cos 5 ( 0   
u
50
 0
 0 , u   / 2

);
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.31. УЧП: u  0 ( 0    7 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    7 ).
ГУ: u  7  7 cos 9 ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
12.32. УЧП: u  0 ( 0    6 , 0   

);
2

);
2
 0 ( 0    6 ).
ГУ: u  6  cos  ( 0   
u
 0
 0 , u   / 2
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 Решение типового варианта контрольной работы
Задача 1. Приведя уравнение
u xx  18u xy  81u yy  u x  9u y  2
к каноническому виду, найти его общее решение.
Решение.
1. Так как данное уравнение имеет вид
A x, y u xx  2 B x, y u xy  C  x, y u yy  a  x, y u x  b x, y u y  c x, y u  f  x, y  ,
то тогда оно является линейным уравнением с частными производными второго порядка.
В данном случае A x, y   1 , B x , y   9 , C x, y   81 .
Определим тип данного уравнения [1, с. 76-77]
 x, y   B 2  x, y   A x, y C x, y   92  1  81  0 .
Так как  x, y   0 , то уравнение является параболическим.
2. Составим и решим уравнение характеристик
2
dy
 dy 
A   2 B  C  0 ,
dx
 dx 
2
 dy 
 dy 
   18   81  0 .
 dx 
 dx 
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введя замену t 
dy
, получим квадратное уравнение t 2  18t  81  0 . Решив
dx
которое, получим корень второй кратности t  9 .
Так как
dy
 9 , то y   9dx  9 x  C и y  9 x  C - единственный общий интеdx
грал уравнения характеристик.
3. Перейдем к новым переменным:
  y  9x .
В качестве переменной  можно взять любую функцию, линейно независимую с функцией   y  9 x и удовлетворяющую условию
x  y
 0 . Для упрощеx  y
ния преобразований возьмем   x .
4. Приведем данное уравнение к каноническому виду.
Найдем частные производные u x , u y , u xx , u xy и u yy :
1) u x  u   x  u  x  u   9  u 1  9u  u ;
2) u y  u   y  u  y  u 1  u  0  u ;


3) u xx  u x x   9u  u x   9 u   x  u  x  u   x  u  x 
 9u   9  u  1  u   9  u 1  81u  9u  9u  u 
►Так как предполагается, что функция u имеет все непрерывные частные
производные до второго порядка включительно, то тогда u  u .◄
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 81u  18u  u .
4) u xy  u y x  u x  u   x  u  x  u   9   u 1   9u  u .
5) u yy  u y y  u y  u   y  u  y  u 1  u  0  u .
Подставим полученные частные производные в данное уравнение:
81u 18u  u  18 9u  u   81u  9u  u  9u  2 ,
u  u  2 .
Получили канонический вид данного уравнения.
5. Введя замену v  u , получим уравнение с частными производными
v  v  2 .
Будем рассматривать функцию v  ,  как функцию одной переменной  и
содержащую параметр  . Тогда получим обыкновенное дифференциальное уравнение
dv
 v  2.
d
Полученное уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Решим сначала соответствующее однородное уравнение
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dv
v  0.
d
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решим
его методом разделения переменных:
dv
dv
dv
  d ,
v  0,
 v ,
v
d
d

dv
   d , ln v    ln C   .
v
Произвольная постоянная понимается в том смысле, что она не зависит от переменной  , но от параметра  она может зависеть.
ln v  ln C     , ln
v
v
  ,
 e  , v  C   e  .
C  
C  
Так как произвольная функция C   может быть любого знака, то знаки модулей можно опустить.
v  C  e  .
Получили решение соответствующего однородного уравнения.
Так как исходное неоднородное уравнение имеет очевидное частное решение
v1  2 , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид v  C  e   2 .
6. Найдем функцию u . Так как v  u , то


u   vd   C  e   2 d  C  e   2  C1   .
7. Вернемся к переменным x и y
u    y  9 x e  x  2 x    y  9 x  .
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь  и  - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции одной переменной.
Задача 2. Решить задачу Коши для бесконечной струны.
УЧП: utt  7u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0  x 2  6 x  4 , ut x,0   x  5 (    x   ).
Решение.
Используем, что решение задачи Коши для бесконечной струны
УЧП: utt  a 2u xx ( t  0 ,    x   );
НУ: u x,0     x  , ut x,0    x  (    x   ).
можно найти, используя формулу Даламбера [2, с. 248]
x  at
  x  at     x  at  1
u  x, t  

  d .
2
2 a x at
В данном случае имеем a  7 ,  x   x 2  6 x  4 ,   x   x  5 .
Тогда получим
x 
u  x, t  
56
2 


2 

7 t 6 x 7 t 4 x 7 t 6 x 7 t 4

2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

x 7 t
1
2 7
   5d 
x 7 t
►Для нахождения определенного интеграла используем формулу Ньютонаb
Лейбница
 f x dx  F b  F a  .◄
a
u  x, t  
x 2  2 7 xt  7t 2  6 x  6 7 t  4  x 2  2 7 xt  7t 2  6 x  6 7 t  4

2

1  2
  5 


2 7  2


1  x  7 t

2
2 7


2  5x 
x 7 t
 x 2  7t 2  6 x  4 
x 7 t
 
 x 7t
7 t 

2

2  5x 

7 t    x 2  7t 2  6 x  4 



 x 2  2 7 xt  t 2

1  x 2  2 7 xt  t 2
 5 x  5 7 t  
 5 x  5 7 t   

2
2
2 7 


 x 2  7t 2  6 x  4 

1  4 7 xt

 10 7 t   x 2  7t 2  6 x  4  xt  5t .
2 7 2

Получили решение данной задачи Коши:
u x, t   x 2  7t 2  6 x  4  xt  5t .
Задача 3. Найти решение смешанной задачи
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УЧП: utt  0,81u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ: u  x,0   2 sin 3x ( 0  x  6 );
ut  x,0   4 sin 5x ( 0  x  6 );
ГУ:
u 0, t   u 6, t   0 ( t  0 ).
Решение.
1. Используем, что решение смешанной задачи
УЧП: utt  a 2u xx ( t  0 , 0  x  L );
НУ: u  x,0   u 0  x  ( 0  x  L );
ut  x,0   u1  x  ( 0  x  L );
ГУ:
u 0, t   u L, t   0 ( t  0 ).
следует искать в виде [1, с. 74-75]

na
na  n

u  x, t     An cos
 Bn sin
 sin x .
L
L
L

n 1
Найдем коэффициенты An и Bn .

1. u  x,0    An sin
n 1
58

n
n
  18
x   An sin x  u 0  x   2 sin 3x  2 sin
x.
L
6
6
n 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда A18  2 , а все остальные коэффициенты An равны 0.
2. Найдем

na na
na
na  n

ut  x, t      An
sin
 Bn
cos
 sin x
L
L
L
L 
L
n 1
и тогда

0,9n
n
na n
ut  x,0    Bn
sin x   Bn
sin x  u1  x   4 sin 5x 
L
L
6
6
n 1
n 1

8 0,9  30   30
 
sin
x.
9
6
6
8
Отсюда B30  , а все остальные коэффициенты Bn равны 0.
9
Тогда решением данной задачи является функция

  18  0,9
  18
na
na  n

u  x, t     An cos
 Bn sin
t sin
x
 sin x  2 cos
L
L
L
6
6


n 1
8   30  0,9
  30
8
 sin
t sin
x  2 cos 2,7t sin 3x  sin 4,5t sin 5x .
9
6
6
9
Задача 4. Решить смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке:
УЧП: utt  0,81u xx ( 0  x  4 , t  0 );
НУ: u  x,0   x x  4  , ut  x,0   0 ( 0  x  4 );
ГУ: u 0, t   u 4, t   0 ( t  0 ).
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
Используем, что решение задачи для волнового уравнения на отрезке:
УЧП: utt  a 2u xx ( 0  x  L , t  0 );
НУ: u  x,0   u 0  x  , ut  x,0   u1  x  ( 0  x  L );
ГУ: u 0, t   u L, t   0 ( t  0 )
следует искать в виде [1, с. 74-75]

na
na  n

u  x, t     An cos
t  Bn sin
t  sin x ,
L
L
L


n 1
где
L
L
2
n
2
n


An   u 0  x sin xdx , Bn 
u
x
sin
xdx . ( n  1, 2, 3, ... )
1
L0
L
na 0
L
Найдем:
L
4
2
n
2
n
An   u 0  x sin xdx   x x  4 sin xdx 
L0
L
40
4
►Полученный определенный интеграл удобнее найти в любом компьютерном
математическом пакете:
4
1
n
64 cos n 32 sin n
64


x
x

4
sin
xdx



.
3 3
2 2
3 3
2 0
4
 n
 n
 n
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как n - натуральное число, то cos n   1n , sin n  0 .
0, n  четное число,
4
1
n
64

n
x x  4 sin xdx  3 3  1  1   128

20
4
 n
  3 n 3 , n  нечетное число.


A2 m 1  
128
 3 2m  13
.◄
L
2
n
Bn 
u1  x sin xdx  0 ,

na 0
L
так как u1  x   0 на всем отрезке интегрирования.
Таким образом, решение данной задачи имеет вид:
u  x, t  


128
    3 2m  13 cos
m 1

 2m  1  0,9
na   2m  1
t  0  sin
t sin
x
4
L 
4
128 
1
9 2m  1
 2m  1
cos
t

sin
x.

40
4
 3 m 12m  13
Задача 5. Найти решение смешанной задачи
УЧП: utt  0,81u xx ( t  0 , 0  x  6 );
НУ: u  x,0   2 cos 3x ( 0  x  6 );
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ut  x,0   4 cos 5x ( 0  x  6 );
ГУ:
u x 0, t   u x 6, t   0 ( t  0 ).
Решение.
1. Рассмотрим смешанную задачу
УЧП: utt  a 2 u xx ( t  0 , 0  x  L );
НУ: u  x,0     x  ( 0  x  L );
ГУ:
a1u 0, t   b1u x 0, t   0 ( t  0 );
a 2u L, t   b2u x L, t   0 ( t  0 ),
где
a1
a2
b1
 0 , ai  bi  0 ( i  1, 2 ).
b2
При ее решении методом Фурье будет получена задача Штурма-Лиувилля [2,
с. 24-28]
ОДУ: X   2 X  0 (   0 );
ГУ:
a1 X 0   b1 X 0   0 ,
a 2 X  L   b2 X L   0 .
2. В данном случае получим задачу
ОДУ: X   2 X  0 (   0 );
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ:
X 0   X 6   0 .
Пусть   0 , тогда ОДУ примет вид X   0 , и X  x   C1 x  C 2 - его общее решение.
Используем ГУ. Так как X  x   C1 и X 0   X 6   0 , то тогда C1  0 и
X  x   C 2 . Получили, что собственному значению 0  0 отвечает собственная
функция X 0  x   1 .
Пусть теперь   0 . В этом случае характеристическое уравнение данного
ОДУ k 2  2  0 имеет корни k1,2    i . Отсюда общим решением ОДУ
X   2 X  0 будет являться
X  x   C1 cos x  C2 sin x .
Найдем C1 , C2 и  , используя ГУ.
Так как X 0   0 , то получим:
X  x   C1 sin x  C2  cos x , X 0   C2   0 .
Из того, что   0 следует C2  0 и X  x   C1 cos x .
Так как X 6   0 , то получим:
X  x   C1 sin x , X 6   C1 sin 6  0 .
Из того, что   0 следует C1  0 или sin 6  0 .
Очевидно, что равенство C1  0 не возможно, так как в противном случае
X  x   0 и u  x, t   0 .
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, верно равенство sin 6  0 . Отсюда 6  n ( n  1,2,3,... ). Тогда n 
n
( n  1,2,3,... ) - собственные значения задачи Штурма-Лиувилля, а
6
X n  x   cos
n
x - ее собственные функции.
6
С учетом случая   0 , получим:
1) n 
n
( n  0,1,2,... ) - собственные значения задачи Штурма-Лиувилля;
6
2) X n  x   cos
n
x ( n  0,1,2,... ) - собственные функции задачи Штурма6
Лиувилля.
3. Решение исходной задачи будем искать в виде [3, с. 232]
u  x, t  

 Tn t X n x  , где Tn t   An cos ant  Bn sin ant .
n 0
В данном случае будем иметь
u  x, t  


n
n 
n
  An cos 0,9 6 t  Bn sin 0,9 6 t  cos 6
n 0



3n
  An cos 20 t  Bn sin
n 0
3n 
n
t  cos x .
20 
6
4. Используем НУ.
4.1. u  x,0  

n
 An cos 6
n 0
x  u0  x   2 cos 3x  2 cos
  18
x.
6
Отсюда A18  2 , а все остальные коэффициенты равны An .
64
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2. Найдем
ut  x , t  


   An
n 0
ut  x,0  

 Bn
n 0
3n
3n
3n
3n 
n
sin
t  Bn
cos
t  cos x .
20
20
20
20 
6
3n
n
8 3  30
  30
cos x  u1  x   4 cos 5x  
cos
x.
20
6
9
20
6
8
Отсюда B30  , а все остальные коэффициенты равны Bn .
9
5. Решением данной задачи является функция
u  x, t  


3n
  An cos 20 t  Bn sin
n 0
3  18
  18
3n 
n
t  cos x  2 cos
t cos
x
20 
6
20
6
8
3  30
  30
8
 sin
t cos
x  2 cos 2 , 7 t cos 3 x  sin 4,5t cos 5x .
9
20
6
9
Задача 6. Найти решение смешанной задачи
УЧП: utt  9u xx  e 3t sin 5 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u x,0   ut x ,0  0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
Решение.
1. Используем, что решение задачи для неоднородного УЧП
УЧП: utt  a 2u xx  f ( x, t ) ( t  0 , 0  x  L );
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ: u  x,0     x  ( 0  x  L );
ut  x,0    x  ( 0  x  L );
ГУ:
u 0, t   u  L, t   0 ( t  0 )

следует искать в виде u x, t    un t X n  x  [3, с. 231-232].
n 1
Здесь:
1) X n t  - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля
ОДУ: X   X  0 (   0 ),
ГУ:
X 0   X  L   0 ;
2) un t  - решения задачи Коши
ОДУ: un  a 2 n un  f n t  ,
НУ: un 0    n ,
un 0    n ;

3) f n t  - коэффициенты разложения функции f  x, t    f n t  X n  x  ;
n 1

4)  n - коэффициенты разложения функции   x     n X n  x  ;
n 1
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5)  n - коэффициенты разложения функции   x    n X n x  .
n 1
2. В данном случае будем иметь задачу Штурма-Лиувилля
ОДУ: X   X  0 (   0 ),
ГУ:
X 0   X    0 .
Характеристическое
уравнение данного ОДУ
k2    0
имеет корни
k1,2     i . Отсюда общим решением ОДУ X   X  0 будет являться
X  x   C1 cos   x  C2 sin   x .
Найдем C1 , C2 и  , используя ГУ.
Так как X 0   0 , то получим:
X 0  C1 cos   0  C 2 sin   0  C1  0 , X  x   C 2 sin   x .
Так как X    0 , то получим:
X 3  C2 sin   .
Отсюда следует, что C2  0 или sin    0 .
Очевидно, что равенство C2  0 не возможно, так как в противном случае
X x  0 .
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, верно равенство sin    0 . Отсюда    n ( n  1,2,... ),
  n . Тогда n  n 2 ( n  1,2,... ) - собственные значения задачи Штурма-Лиувилля,
а X n  x   sin nx - ее собственные функции.
3. Найдем для функции f x , t   e 3t sin 5 x ее коэффициенты разложения f n t 
в ряд по собственным функциям X n  x   sin nx :

f  x, t    f n t  X n  x  .
n 1
Получим:
e
3t

sin 5 x   f n t sin nx .
n 1
Отсюда следует, что f5 t   e 3t , а при n  5 выполняется f n t   0 .
4. Так как для данной задачи   x   0 и  x   0 , то тогда все коэффициенты
разложений функций   x  и   x  в ряды по собственным функциям X n  x   sin nx
равны нулю:  n  0 ,  n  0 .
5. Из пунктов 3 и 4 следует, что задача Коши
ОДУ: un  a 2 n un  f n t  ,
НУ: un 0    n ,
un 0    n
при n  5 примет вид
ОДУ: u5  9  52 u5  e 3t ,
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НУ: u5 0  0,
u5 0  0 .
При n  5 имеем un t   0 .
С помощью операционного исчисления [4, с. 578-598] решим полученную задачу Коши
ОДУ: u5  225u5  e 3t ,
НУ: u5 0  0,
u5 0  0 .
Используем свойства преобразования Лапласа:
1) L f x   p 2 F  p   p  f 0  f 0 ;
 
2) L e at 
1
.
pa
Получим изображение данной задачи Коши:
p 2U 5  p   pu 0  u 0   225U 5  p  
p 2U 5  p   225U 5  p  
1
,
p3
1
.
p3
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда:

1
1
, U5  p  
.
p3
( p  3) p 2  152

U 5  p  p 2  225 


Применим к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, используя любой компьютерный математический пакет.
Тогда получим
u5 t  
1 3t
1
1
1
e 
cos15t 
sin 15t 
5e 3t  5 cos15t  sin 15t .
234
234
1170
1170


6. Решением исходной задачи является функция
u ( x, t )  u5 t X 5  x  
1
5e 3t  5 cos15t  sin 15t sin 5 x .
1170

Задача 7. Найти решение смешанной задачи
УЧП: ut  10u xx ( t  0 , 0  x  3 );
НУ: u x,0   5 sin 3x ( 0  x  3 );
ГУ:
u 0, t   u 3, t   0 ( t  0 ).
Решение.
1. Используем, что решение смешанной задачи
УЧП: ut  a 2u xx ( t  0 , 0  x  L );
НУ: u  x,0     x  ( 0  x  L );
70

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ:
u 0, t   u L, t   0 ( t  0 ).
следует искать в виде [2, с. 82]
2

u  x, t    An
 an 

 t
L 

e
n 1
sin
n
x,
L
где An являются коэффициентами разложения функции   x  в ряд Фурье по синусам на отрезке 0, L.
2. В данном случае получим:

  x    An sin
n 1
n
 9
x  u x,0   5 sin 3x  5 sin
x.
L
3
Отсюда A9  5 , а все остальные коэффициенты равны 0.
Тогда решением данной задачи является функция
2
u  x, t 
  9 10 
 t

3


 5e
sin
2
 9
x  5e 90 t sin 3x .
3
Задача 8. Найти решение смешанной задачи
УЧП: ut  10u xx ( t  0 , 0  x  1,5 );
НУ: u  x,0   4 sin 7x ( 0  x  1,5 );
ГУ:
u 0, t   u x 1,5; t   0 ( t  0 ).
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
1. Рассмотрим смешанную задачу [2, с. 141]
УЧП: ut  a 2u xx ( t  0 , 0  x  L );
НУ: u  x,0     x  ( 0  x  L );
ГУ:
a1u 0, t   b1u x 0, t   0 ( t  0 );
a 2u L, t   b2u x L, t   0 ( t  0 ),
где
a1
a2
b1
 0 , ai  bi  0 ( i  1, 2 ).
b2
При ее решении методом Фурье будет получена задача Штурма-Лиувилля
ОДУ: X   X  0 (   0 );
ГУ:
a1 X 0   b1 X 0   0 ,
a 2 X  L   b2 X L   0 .
2. В данном случае получим задачу
ОДУ: X   X  0 (   0 );
ГУ:
72
X 0   X 1,5  0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть   0 , тогда ОДУ примет вид X   0 , и X  x   C1 x  C 2 - его общее решение.
Используем ГУ:
1) X 0   C2  0 , следовательно X  x   C1 x ;
2) X  x   C1 , X 1,5  C1  0 , следовательно X  x   0 .
Получили, что значению   0 отвечает нулевое решение.
Пусть теперь   0 . В этом случае характеристическое уравнение данного
ОДУ k 2    0 имеет корни k1,2     i . Отсюда общим решением ОДУ
X   X  0 будет являться
X  x   C1 cos   x  C2 sin   x .
Найдем C1 , C2 и  , используя ГУ.
Так как X 0   0 , то получим:
X 0  C1 cos   0  C 2 sin   0  C1  0 , X  x   C 2 sin   x .
Так как X 1,5  0 , то получим:
X  x   C2  cos   x , X 1,5  C2  cos1,5  .
Из того, что   0 следует C2  0 или cos1,5   0 .
Очевидно, что равенство C2  0 не возможно, так как в противном случае
X  x   0 и u  x, t   0 .
Таким образом, верно равенство cos1,5   0 . Отсюда
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1,5  

  2n
 n , 1,5  
,
2
2

  2n
,
3

 (1  2n)
( n  0,1,2,... ).
3
2
  (1  2n) 
Тогда n  
 ( n  0,1,2,... ) - собственные значения задачи Штурма3


Лиувилля, а X n  x   sin
 (1  2n)
x - ее собственные функции.
3
3. При решении смешанной задачи методом Фурье будет получено еще одно
ОДУ:
Tn  nTn  0 .
Его общее решение Tn t   Cn e  a
2
 nt
и тогда в данном случае получим
2
Tn t   Cn
  (1 2 n ) 
10
 t
e  3 

 Cn e
10 2 (1 2 n ) 2
t
9
.
4. Решение исходной задачи будем искать в виде
u  x, t  


 Tn t X n  x    Cn e
n 0
n 0

10 2 (1 2n ) 2
t
9
sin
 (1  2n)
x.
3
5. Используем НУ.
u  x ,0  

 Cn sin
n 0
 1  2  10 
 (1  2n)
x  4 sin 7x  4 sin
x.
3
3
Отсюда C10  4 , а все остальные коэффициенты равны 0.
6. Решение данной задачи имеет вид
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
u  x, t   4 e

10 2 (1 210) 2
t
9
sin
2
  1  2  10
x  4e  490 t sin 7x .
3
Задача 9. Найти решение смешанной задачи
УЧП: ut  10u xx  4 sin 3t sin 5 x ( t  0 , 0  x   );
НУ: u  x,0   0 ( 0  x   );
ГУ:
u 0, t   u  , t   0 ( t  0 ).
Решение.
1. Используем, что решение задачи для неоднородного УЧП
УЧП: ut  a 2u xx  f ( x, t ) ( t  0 , 0  x  L );
НУ: u  x,0     x  ( 0  x  L );
ГУ:
u 0, t   u  L, t   0 ( t  0 )
следует искать в виде

u  x, t    Tn t  X n  x  [3, с. 233].
n 1
Здесь:
1) X n t  - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля
ОДУ: X   X  0 (   0 ),
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ:
X 0   X  L   0 ;
2) Tn t  - решения задачи Коши
ОДУ: Tn  a 2 nTn  f n t  ,
НУ: Tn 0    n ;

3) f n t  - коэффициенты разложения f  x, t    f n t  X n  x  ;
n 1

4)  n - коэффициенты разложения   x     n X n  x  .
n 1
2. В данном случае будем иметь задачу Штурма-Лиувилля
ОДУ: X   X  0 (   0 ),
ГУ:
X 0   X    0 .
Характеристическое
уравнение данного ОДУ
k2    0
имеет корни
k1,2     i . Отсюда общим решением ОДУ X   X  0 будет являться
X  x   C1 cos   x  C2 sin   x .
Найдем C1 , C2 и  , используя ГУ.
Так как X 0   0 , то получим:
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
X 0  C1 cos   0  C 2 sin   0  C1  0 , X  x   C 2 sin   x .
Так как X    0 , то получим:
X 3  C2 sin   .
Отсюда следует, что C2  0 или sin    0 .
Очевидно, что равенство C2  0 не возможно, так как в противном случае
X x  0 .
Таким образом, верно равенство sin    0 . Отсюда    n ( n  1,2,... ),
  n . Тогда n  n 2 ( n  1,2,... ) - собственные значения задачи Штурма-Лиувилля,
а X n  x   sin nx - ее собственные функции.
3. Найдем для функции f  x, t   4 sin 3t sin 5 x ее коэффициенты разложения
f n t  в рад по собственным функциям X n  x   sin nx :

f  x, t    f n t  X n  x  .
n 1
Получим:

4 sin 3t sin 5 x   f n t  sin nx .
n 1
Отсюда следует, что f 5 t   4 sin 3t , а при n  5 выполняется f n t   0 .
4. Так как для данной задачи   x   0 , то тогда все коэффициенты разложения
функции   x  в ряд по собственным функциям X n  x   sin nx равны нулю:  n  0 .
5. Из пунктов 3 и 4 следует, что задачи Коши
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОДУ: Tn  a 2 nTn  f n t  ,
НУ: Tn 0    n
примет вид
ОДУ: T5  10  52 T5  4 sin 3t ,
НУ: T5 0   0 .
Очевидно, что при n  5 имеем Tn t   0 .
Решим полученную задачу Коши
ОДУ: T5  250T5  4 sin 3t ,
НУ: T5 0   0 .
Полученное ОДУ является линейным ОДУ первого порядка. Решим его с помощью подстановки Бернулли T5  uv . Получим:
uv  uv  250uv  4 sin 3t , u v  u (v  250v)  4 sin 3t .
Найдем любое частное решение уравнения v  250v  0 . Разделим переменные:
dv
dv
dv
 250v  0 ,
 250v ,
 250dt ,
dt
dt
v
ln v  250t , v  e 250t .
78

dv
 250  dt ,
v
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставив v  e 250t в уравнение u v  u (v  250v)  4 sin 3t , получим:
u e 250t  4 sin 3t , u   e 250t 4 sin 3t , u   4e 250t sin 3tdt 
e 250t

1000 sin 3t  12 cos 3t   C .
62509
 e 250t

T5  uv  
1000sin 3t  12 cos 3t   C  e 250t  1000 sin 3t  12 cos 3t 
62509
 62509

 Ce 250t .
Найдем C , используя НУ T5 0   0 :
T5 (0)  
12
12
 C  0, C 
.
62509
62509


1000sin 3t  12 cos3t
12 250t 1000sin 3t  12 e 250t  cos 3t
T5 t  

e

.
62509
62509
62509
6. Решение исходной задачи:


1000 sin 3t  12 e  250t  cos 3t
u ( x, t )  T5 t  X 5  x  
 sin 5 x .
62509
Задача 10. Найти решение задачи для уравнения Лапласа в круге
УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ: u  1  3 cos 5 ( 0    2 ).
Решение.
Используем, что решение задачи
УЧП: u  0 ( 0    R , 0    2 );
ГУ: u   R  f   ( 0    2 ).
следует искать в виде [1, с. 78]
n

A

u  ,    0      An cos n  Bn sin n  ,
2 n 1  R 
где
1
A0 

2

0
1
f  d , An 

2

0
1
f   cos nd , Bn 

2
 f  sin nd .
0
Так как числа A0 , An , Bn являются коэффициентами разложения функции
f    3 cos 5 в ряд Фурье по функциям 1, sin  , cos  , sin 2 , cos 2 ,…, sin n ,
cos n , то A5  3 , а все остальные коэффициенты равны 0.
Тогда решением данной задачи является функция
5

u  ,       3 cos 5  3 5 cos 5 .
1
Задача 11. Найти решение задачи для уравнения Лапласа в круге
УЧП: u  0 ( 0    1 , 0    2 );
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ: u  1  5 2  7  6 ( 0    2 ).
Решение.
Используем, что решение задачи
УЧП: u  0 ( 0    R , 0    2 );
ГУ: u   R  f   ( 0    2 );
следует искать в виде [1, с. 78]
n
A0    
u  ,   
     An cos n  Bn sin n  ,
2 n 1  R 
где
1
A0 

2

0
1
f  d , An 

2

0
1
f   cos nd , Bn 

2
 f  sin nd .
0
Значения коэффициентов A0 , An , Bn удобно искать в каком-либо компьютерном математическом пакете («MathCAD», «Derive» и т. п.):
1
A0 

2
  5
2

 7  6 d  
0
1
An 

2
  5
0
2

40 2
  14  12 ,
3
 7  6 cos nd  
20
,
n2
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
Bn 

2
  5

2
 7  6 sin nd 
0
20  14
.
n
Тогда решением данной задачи является функция

u  ,   
40 2
n
  14  12 
20  14
    20

3
      2 cos n 
sin n  
2
n

n 1  1   n

20 2
20  14
 20

    7  6    n   2 cos n 
sin n  .
3
n
 n

n 1
Задача 12. Найти решение задачи для уравнения Лапласа в секторе круга
УЧП: u  0 ( 0    1 , 0   
ГУ:

);
12
u 1,    3 sin 18 ( 0   

),
12
u  ,0   0 ( 0    1 ),
  
u   ,   0 ( 0    1 ),
 12 
Решение.
Используем, что решение задачи
УЧП: u  0 ( 0    R , 0     );
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГУ:
u  R,    f ( ) ( 0     ),
a1ur ,0  b1u r ,0  0 ( 0    R ),
a2u r ,    b2u r ,    0 ( 0    R ), ai  bi  0 ( i  1,2 )
следует искать в виде [2, с. 83]


u  ,     Cn  
 R
n 0
n
 n   .
Здесь n - собственные значения, а  n   - собственные функции задачи
Штурма-Лиувилля
ОДУ:     0 (   0 , 0     );
ГУ:
a10   b10   0 ,
a 2    b2    0 .
В данном случае получим задачу Штурма-Лиувилля
ОДУ:     0 (   0 , 0   
ГУ:

);
12
 
0  0 ,    0 .
 12 
При   0 имеем ОДУ   0 . Очевидно, что его общее решение имеет вид
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
   C1  C2 .
Используя граничное условие 0  0 , получим, что 0   C2  0 , и тогда
   C1 .
 
Теперь используем граничное условие    0 :
 12 
 
   C1 ,    C1  0 .
 12 
Итак, при   0 задача Штурма-Лиувилля имеет нулевое решение.
Рассмотрим теперь случай   0 . Так как характеристическое уравнение
k 2    0 для ОДУ     0 имеет корни k1, 2     i , то общим решением рассматриваемого ОДУ будет являться функция
   C1 cos   C2 sin  .
Используя граничное условие 0  0 , получим:
0   C1  0 .
Тогда
   C2 sin  .
 
Используя граничное условие    0 , получим:
 12 
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
   C2  cos  . Отсюда C2  0 или   0 или cos

  0.
12
Если C2  0 , то тогда получаем нулевое решение    0 ; случай   0 рассмотрен выше.
Рассмотрим случай cos

  0:
12


   n ,
12
2
  6  12n ,   (6  12n) 2 .
Таким образом, n  (6  12n) 2 ( n  0,1,2,... ) – собственные значения, а
 n    sin n   sin 6  12n  - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.
Решение данной задачи примет вид
n


u  ,     Cn  
 R
n 0


 n     Cn  
1
n 0
612 n
sin 6  12 n  


 Cn  612n sin 6  12n  .
n 0
Теперь используем граничное условие u 1,    3 sin 18 :
u 1,   

 Cn sin 6  12n   3 sin 18 .
n 0
Отсюда C1  3 , а все остальные коэффициенты равны 0.
Тогда решением данной задачи является функция
u  ,    3 18 sin 18 .
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1. Чудесенко, В. Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты): учеб. пособие для втузов / В. Ф. Чудесенко. – М.: Высш.
школа, 1983. – 112 с.
2. Боголюбов, А. Н. Задачи по математической физике: учеб. пособие /
А. Н. Боголюбов. – М.: Изд-во МГУ, 1998. – 350 с.
3. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты:
учеб. пособие / Л. А. Кузнецов. 11-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2008. – 240 с.
4. Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак,
Е. А. Бричикова. – 7-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2006. – 640 с.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначения и сокращения
1. ГУ – граничное условие;
2. НУ – начальное условие;
3. ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение;
4. УЧП – уравнения с частными производными.
87
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
15
Размер файла
627 Кб
Теги
физики, уравнения, математические, 3621
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа