close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

850

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Хабаровская государственная академия экономики и права»
Кафедра математики и математических методов в экономике
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор по учебной работе
_____________________И.Б. Миронова
«____»____________20____г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
для студентов 2-го курса дневной формы обучения специальности 080101 –
Экономическая теория
Всего часов:
в т.ч.
— лекции:
— практические
занятия:
— самостоятельная
работа:
— индивидуальная
работа:
д/о
180
54
з/о
д/о
Формы контроля по
семестрам:
— курсовая работа:
36
— зачёт:
90
— экзамен:
Хабаровск 2008
3
з/о
Рабочая программа составлена в соответствии с содержанием и требованиями
государственного образовательного стандарта по специальности 080101 – Экономическая
теория и программой дисциплины линейная алгебра.
Составитель : к. ф.-м. н., профессор Тиунчик М.Ф.
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры «МиММЭ»
«____»________20____г., протокол №____.
Зав. кафедрой______________________________/Вербицкий В.А./
«____»________20____г.
СОГЛАСОВАНО
Начальник учебного отдела
_________________Т.В. Клычникова
«____»________20____г.
1.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Настоящая программа предназначена для обучения студентов по специальности
«Экономическая теория» и составлена в соответствии
с Государственным
образовательным стандартом этой специальности.
Современная подготовка экономиста требует умения моделирования
экономических процессов, использования точных и приближенных методов для
обоснования и принятия управленческих решений. Построение экономической модели
процесса (операции), требует того или иного математического аппарата. Основные
достигнутые в этой области результаты опираются на математический анализ и линейную
алгебру. Геометрическая интерпретация методов и результатов способствует более
глубокому уяснению экономико-математических теорий.
Программа состоит из разделов: линейная алгебра, аналитическая геометрия,
линейные задачи оптимизации. В ней содержатся все основополагающие темы.
Преподавание этой дисциплины имеет цели:
1. Фундаментальность математической подготовки, воспитание высокой
математической культуры, дать представления о роли и месте математики в
современной науке;
2. Привитие навыков математического мышления и
оперирования с
абстрактными объектами;
3. Овладение методологией и методикой построения и анализа математических
моделей в решении прикладных экономических задач.
Контроль за работой студентов проводится путем опросов на практических
занятиях, выполнения текущих заданий, индивидуальных заданий и контрольных работ;
успеваемость определяется сдачей экзамена.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ УСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате освоения дисциплины студенты данной специальности должны
знать
1. элементы аналитической геометрии на плоскости;
2. арифметическое n-мерное векторное пространство;
3. основные вопросы линейной алгебры (матрицы и действия над ними, определители,
исследование систем линейных алгебраических уравнений, методы решения
систем, системы с базисом и канонические системы);
4. основы теории комплексных чисел, нахождение корней многочленов;
5. линейные пространства и линейные операторы;
6. линейные задачи оптимизации;
7. графический и симплексный методы решения задач линейного программирования;
8. теорию двойственности;
9. понятия о нелинейном и динамическом программировании;
уметь
1.
2.
3.
4.
5.
решать задачи на прямую линию на плоскости;
исследовать и строить кривые второго порядка на плоскости;
Выполнять действия над матрицами;
вычислять определители различными способами;
исследовать и решать различными методами системы линейных алгебраических
уравнений;
6. выполнять действия с комплексными числами, заданными в различных формах;
7. находить корни многочленов;
8. находить собственные значения и собственные векторы линейных преобразований;
9. приводить квадратичные формы к каноническому виду;
10. находить базисные и опорные решения;
11. решать
графическим
и
симплексным
методами
задачи
линейного
программирования.
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1. Тематический план и распределение часов по дисциплине
3 семестр
Наименование темы
1. Линейная алгебра и
аналитическая геометрия
2. Математическое
программирование
ВСЕГО
Всего
В том числе
Лекции
Практические
и
семинарские
занятия
д/о
з/о
д/о
з/о
28
18
-
Кол-во
часов сам.
работы
студентов
д/о
46
з/о
-
44
-
26
-
18
-
44
90
-
54
-
36
-
90
Кол-во
часов
индивид
. работы
студенто
в
46
3.2. Программа дисциплины
Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1.1.
Матрицы и операции над ними
Матрица и ее размерность. Виды матриц, транспонирование матриц. Равные
матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Применение матриц в экономике.
Линейное преобразование координат.
1.2.
Определители
Определители первого, второго и третьего порядков. Миноры и алгебраические
дополнения элементов матриц. Определители любого порядка. Свойства определителей.
Алгоритм Гаусса вычисления определителей.
Системы линейных алгебраических уравнений и их исследование
методами исключения неизвестных
Понятие о системе линейных алгебраических уравнений и ее решениях. Матрица
и расширенная матрица системы. Матричная запись системы. Однородные и
неоднородные системы, приведенная однородная система. Совместные и несовместные,
определенные и неопределенные системы. Эквивалентные системы. Элементарные
преобразования систем. Теорема о равносильности систем при элементарных
преобразованиях. Исследование систем методами Гаусса и Жордана-Гаусса. Базисные и
свободные неизвестные. Общее и частные решения системы. Применение систем
алгебраических уравнений в экономике.
1.3.
1.4.
Методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными
Методы Крамера, Гаусса и Жордана-Гаусса. Обратная матрица и ее нахождение.
Матричный метод решения систем.
1.5.
Арифметическое n-мерное векторное пространство
Понятие n-мерного арифметического вектора. Нулевой вектор, противоположный
вектор, равные векторы. Операции над векторами и их свойства. Экономический смысл
вектора и операций над векторами. Арифметическое n-мерное векторное пространство.
Линейные комбинации векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы
векторов. Свойства систем векторов, связанные с понятием линейной зависимости. Базис и
ранг системы векторов. Размерность и базис векторного пространства. Стандартный базис.
Разложение векторов по базисам и его единственность. Скалярное произведение векторов
и его экономический смысл. Длина вектора и расстояние между векторами. Угол между
векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы.
1.6.
Ранг матрицы и исследование систем линейных уравнений
Миноры матрицы, ранг матрицы по минорам. Ранг матрицы по строкам и
столбцам. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Теоремы о
ранге матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. Базисный минор, теорема о
базисном миноре. Критерий совместности системы линейных уравнений (теорема
Кронекера-Капелли). Критерий определенности системы. Исследование систем линейных
уравнений (однородной и неоднородной). Базисные и свободные неизвестные. Общее и
частные решения системы. Фундаментальная система решений однородной системы
уравнений. Структура общего решения системы (однородной и неоднородной).
1.7.
Системы с базисом и канонические системы
Базисные и опорные решения системы линейных алгебраических уравнений.
Системы с базисом. Приведение системы к системе с базисом методом Жордана-Гаусса.
Методы нахождения базисных решений. Канонические системы уравнений. Теорема о
возможности перехода от данной канонической системы к эквивалентной канонической
системе. Преобразование однократного замещения. Алгоритм преобразования
однократного замещения.
1.8.
Векторы и линейные операции над ними
Скалярные и векторные величины. Вектор как геометрический объект.
Коллинеарные и компланарные векторы. Нулевой вектор, противоположные векторы,
равные векторы. Сложение и вычитание векторов, свойства операции сложения.
Умножение вектора на число и свойства этой операции. Свойства операций сложения
векторов и умножения на число.
1.9.
Проекции векторов на ось
Величина вектора на оси и ее свойства. Проекция вектора на ось и ее вычисление.
Свойства проекций.
1.10. Декартовы системы координат. Координаты точек и векторов
Координатная прямая. Координаты точек и векторов на прямой. Одномерное
векторное пространство. Декартова прямоугольная система координат на плоскости.
Координаты точек и векторов на плоскости. Двумерное векторное пространство.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точек и
векторов в пространстве Трехмерное векторное пространство.
1.11.
Базисы и разложение векторов по базисам
Базисы на координатной прямой. Разложение вектора по базису на координатной
прямой. Базисы на координатной плоскости. Разложение векторов по базисам на
плоскости. Базисы в пространстве. Разложение векторов по базисам в трехмерном
пространстве.
Операции над векторами в координатной форме и некоторые
геометрические задачи.
Сложение векторов в координатной форме. Умножение вектора, заданного в
координатной форме, на число. Условия коллинеарности векторов. Деление отрезка в
данном отношении. Нахождение координат середины отрезка.
1.12.
1.13. Скалярное произведение векторов.
Определение скалярного произведения векторов.
произведения. Выражение скалярного произведения через
Расстояние между точками. Нахождение угла между векторами.
Свойства скалярного
координаты векторов.
1.14. Прямая линия и плоскость
Общие понятия о кривых, поверхностях и их уравнениях. Прямая линия на
плоскости. Взаимное расположение прямых линий на плоскости. Прямая и плоскость в
пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение
прямой и плоскости. Геометрическая интерпретация решений линейных уравнений и
неравенств.
1.15. Кривые второго порядка на плоскости
Окружность, эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения.
Преобразования координат и их применение к исследованию кривых
второго порядка
Общие понятия о линейных преобразованиях. Преобразование декартовых
координат при параллельном переносе осей. Преобразование прямоугольных декартовых
координат на плоскости при повороте осей. Исследование квадратичной функции.
Исследование дробно-линейной функции.
1.16.
1.17. Комплексные числа
Мнимая единица, мнимые числа, комплексные числа. Алгебраическая форма
комплексного числа. Операции над комплексными числами. Сопряженное число к
комплексному числу. Свойства сопряженных чисел. Геометрическая интерпретация
комплексных чисел. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного
числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Операции над комплексными числами в
тригонометрической форме. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.
1.18. Многочлены и их корни
Понятие функции комплексной переменной. Многочлен в комплексной
плоскости. Корень многочлена. Простой корень многочлена, кратность корня. Основная
теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена на множители. Многочлены с
действительными коэффициентами и их корни.
Двучленные уравнения n-й степени.
Линейные преобразования переменных. Собственные векторы и
собственные значения
Линейное преобразование переменных и его матрица. Произведение линейных
преобразований. Обратное преобразование для линейного преобразования с квадратной
матрицей. Теорема о существовании и единственности обратного линейного
преобразования. Явная формула обратного линейного преобразования. Собственные
векторы
и
собственные
значения
матрицы
(линейного
преобразования).
Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Характеристические
корни и спектр матрицы. Теорема Фробениуса-Перрона. Число Фробениуса и вектор
Фробениуса.
1.19.
1.20. Квадратичные формы
Квадратичная форма и ее ранг. Канонический и нормативный виды квадратичный
форм. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Положительно
определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра. Применение квадратичных
форм к исследованию кривых второго порядка.
1.21. Линейные пространства и линейные операторы
Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейная
зависимость элементов. Базисы и размерность пространства. Евклидово пространство.
Длины, углы, расстояния.
Понятие оператора. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Раздел 2. Математическое программирование
2.1.
Линейные задачи оптимизации
Задача об оптимальном использовании ресурсов. Задача о диете. Транспортная
задача. Основные определения линейного программирования. Основная, стандартные и
смешанные задачи линейного программирования.
2.2. Графический метод решения задач линейного программирования
Ограниченные и неограниченные множества в n-мерном пространстве. Выпуклые
множества и их свойства. Граничные и внутренние точки множества. Замкнутые
множества. Крайние точки выпуклого множества. Многоугольники и многогранники.
Теоремы о связи между опорными решениями и крайними точками. Теоремы об
оптимальных решениях задач линейного программирования. Алгоритм графического
метода.
2.3. Симплексный метод решения задач линейного программирования
Симплексные таблицы. Основные теоремы симплексного метода. Алгоритм
симплекс-метода.
2.4. Теория двойственности
Экономические задачи, приводящие к двойственным. Двойственная задача к
стандартной. Двойственная задача к основной. Основные теоремы двойственности.
Экономический смысл двойственных переменных.
2.5. Дискретное программирование
Экономические задачи, приводящие к понятию оптимального целочисленного
решения. Формулировка задачи целочисленного программирования. Метод Гомори.
Алгоритм метода Гомори.
2.6. Нелинейное программирование
Постановка задач нелинейного программирования. Решение задач графическим
методом. Метод множителей Лагранжа. Теорема Куна-Таккера.
2.7. Динамическое программирование
Основные понятия и постановка задачи динамического программирования.
Геометрическая интерпретация. Поэтапное построение оптимального управления.
Принцип оптимальности Беллмана. Задача о минимизации расхода горючего самолетом
при наборе высоты и скорости. Задача определения кратчайших расстояний по заданной
сети.
3.3. Развернутый тематический план лекций, семинарских и практических занятий
3 семестр
Наименование темы
1. Линейная алгебра и
аналитическая
геометрия
Содержание лекции
Кол-во
часов
Содержание семинарского и
практического занятий
Кол-во
часов
1.1. Матрицы и операции над ними
2
1.1. Матрицы и операции над ними
1
1.2. Определители
1.3. Системы линейных алгебраических
уравнений и их исследование методами
неизвестных
1.4. Методы решения n линейных
уравнений с n неизвестными
1.5. Арифметическое n-мерное векторное
пространство
1.6. Ранг матрицы и исследование систем
1.7. Системы с базисом и канонические
системы
1.8.-1.12. Векторы и линейные операции
над ними. Проекции векторов на ось.
Декартовы системы координат.
Координаты точек и векторов. Базисы и
разложение векторов по базисам.
Операции над векторами в координатной
форме.
1.13.-1.16. Скалярное произведение
векторов. Прямая линия и плоскость.
Кривые второго порядка на плоскости.
Преобразование координат и их
применение к исследованию кривых
2
2
1.2. Определители
1.3. Системы линейных алгебраических
уравнений и их исследование методами
неизвестных
1.4. Методы решения n линейных
уравнений с n неизвестными
1.5. Арифметическое n-мерное векторное
пространство
1.6. Ранг матрицы и исследование систем
1.7. Системы с базисом и канонические
системы
1.8.-1.12. Векторы и линейные операции
над ними. Проекции векторов на ось.
Декартовы системы координат.
Координаты точек и векторов. Базисы и
разложение векторов по базисам.
Операции над векторами в координатной
форме.
1.13. Скалярное произведение векторов.
1.14. Прямая линия и плоскость.
1.15.-1.16. Кривые второго порядка.
Преобразование координат.
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2. Математическое
программирование
Всего
второго порядка на плоскости.
1.17. Комплексные числа.
1.18. Многочлены и их корни.
1.19. Линейные преобразования
переменных. Собственные значения и
собственные векторы.
1.20. Квадратичные формы.
1.21. Линейные пространства и линейные
операторы.
2.1. Линейные задачи оптимизации.
Классификация задач ЛП
2.2. Графический метод
2.3. Симплексный метод
2.4. Теория двойственности
2.5. Дискретное программирование
2.6. Нелинейное программирование
2.7. Динамическое программирование
2
2
2
2
2
3
2
4
4
4
4
5
54
1.17. . Комплексные числа.
1.18. Многочлены и их корни.
1.19. Линейные преобразования
переменных. Собственные значения и
собственные векторы.
1.20. Квадратичные формы.
1.21. Линейные пространства и линейные
операторы.
2.2. Линейные задачи оптимизации.
Классификация задач ЛП
2.2. Графический метод
2.3. Симплексный метод
2.4. Теория двойственности
2.5. Дискретное программирование
2.6. Нелинейное программирование
2.7. Динамическое программирование
1
1
2
1
1
2
4
4
2
3
3
36
3.4. Самостоятельная работа студентов
Наименование темы
Кол-во часов
Форма контроля
1. Векторы и линейные операции над ними
6
Собеседование
2. Проекции векторов на ось
6
Собеседование
3. Декартовы системы координат.
6
Собеседование
6
Собеседование
8
Собеседование
6. Квадратичные формы
14
Собеседование
7. Дискретное программирование
12
Собеседование
8. Нелинейное программирование
16
Собеседование
9. Динамическое программирование
16
Собеседование
90
Собеседование
Координаты точек и векторов.
4. Операции над векторами в координатной
форме.
5. Преобразование координат и их
применение к исследованию кривых
второго порядка на плоскости.
ВСЕГО
4. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
4.1. Список рекомендуемой основной и дополнительной литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука,
1987. – 320 с.
Вербицкий В. А. и др. Математика в экономике (сборник задач): Учебное пособие.
– Хабаровск, РИЦ ХГАЭиП, 1999. – 84 с.
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н. Ш. Кремер и др.; Под
ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. - М: ЮНИТИ, 2001. – 471 с.
Дойхен Л.А. Математическое программирование: Учебное пособие. – Хабаровск:
РИЦ ХГАЭП, 2002. – 92 с.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975. – 272 с.
Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер и
др.; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 407 с.
Калихман И.Л. Сборник задач по математическому прогаммированию. – М.:
Высшая школа, 1975.
Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для
экономических вузов. Ч.1, ч.2. - М: Высшая школа, 1982.- 272 с., 320 с.
Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975.
Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование:
Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1980. – 300 с.
Лихолетов И. И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая
статистика.- Минск: Высшая школа, 1976. – 720 с.
Намм Р. В., Селезнева А. Н. Матричная алгебра: Учебное пособие. – Владивосток:
Издательство Дальневосточного университета, 1989. – 116 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.2. – М.: Наука,
1970. – 576 с.
Тиунчик М. Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ч. 1:
Учебное пособие – Хабаровск: ХГАЭиП, 1996. – 128 с.
Тиунчик М. Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ч. 2:
Учебное пособие – Хабаровск: ХГАЭиП, 1996. – 140 с.
Тиунчик М.Ф. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической
геометрии, Ч.1: Учебное пособие. – Хабаровск: ХГАЭиП, 2001. - 132 с.
Беспрозванная Т.Н., Тиунчик М.Ф. Математика, линейная алгебра: Варианты
контрольных заданий для студентов 1 курса дневного отделения. - Хабаровск: РИЦ
ХГАЭиП, 2001. - 20 с.
Тиунчик М.Ф. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической
геометрии, ч.2.: учебное пособие. – Хабаровск, РИЦ ХГАЭП, 2004 г.
5. КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ
5.1. Вопросы к экзамену
Матрицы и операции над ними.
Определители первого, второго и третьего порядков.
Миноры и алгебраические дополнения элементов. Определители n-го порядка.
Свойства определителей.
Алгоритм Гаусса вычисления определителей.
Общие сведения о системах линейных алгебраических уравнений.
Элементарные преобразования систем. Теорема о равносильности систем при
элементарных преобразованиях.
8. Исследование систем методом Гаусса.
9. Крамеровские системы, метод Крамера.
10. Методы Гаусса и Жордана-Гаусса.
11. Обратная матрица и её нахождение.
12. Матричный метод решения систем.
13. Арифметическое n-мерное векторное пространство.
14. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
15. Базис и ранг системы векторов.
16. Ранг матрицы, теоремы о ранге.
17. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).
18. Критерий определённости системы линейных уравнений.
19. Фундаментальная система решений однородной системы линейных
алгебраических уравнений.
20. Структура общего решения систем линейных уравнений (однородной и
неоднородной).
21. Системы с базисом. Приведение системы к системе с базисом методом ЖорданаГаусса.
22. Канонические системы. Преобразование однократного замещения.
23. Собственные векторы и собственные значения матрицы (линейного
преобразования).
24. Геометрические векторы и операции над ними.
25. Базисы и разложение векторов по базисам.
26. Скалярное произведение векторов и его свойства.
27. Выражение скалярного произведения векторов через их координаты.
28. Прямая линия на плоскости.
29. Взаимное расположение прямых линий на плоскости.
30. Окружность и эллипс (канонические уравнения).
31. Парабола (каноническое уравнение).
32. Гипербола (каноническое уравнение).
33. Исследование квадратичной функции.
34. Исследование дробно-линейной функции.
35. Квадратичная форма. Канонический и нормальный вид квадратичных форм.
36. Методы приведения квадратичных форм к каноническому виду.
37. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
38. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными
числами.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
39. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными
числами в тригонометрической форме.
40. Многочлены и их корни. Основная теорема алгебры.
41. Линейные пространства, примеры линейных пространств.
42. Базисы и размерность линейного пространства.
43. Линейные операторы в линейном пространстве.
44. Примеры линейных задач оптимизации.
45. Классификация задач линейного программирования.
46. Графический метод решения задач линейного программирования.
47. Теоремы симплексного метода.
48. Алгоритм симплекс-метода.
49. Двойственные задачи в линейном программировании.
50. Основные теоремы двойственности.
51. Метод Гомори решения задач целочисленного программирования.
52. Решение задач нелинейного программирования графическим методом.
53. Метод множителей Лагранжа решения задач нелинейного программирования.
54. Теорема Куна-Таккера.
55. Принцип оптимальности Беллмана.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
149 Кб
Теги
850
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа