close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

104

код для вставкиСкачать
Е. А. ШВЕД
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
ЧАСТЬ 1
ОМСК 2010
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
_______________________________________________________________
Е. А. Швед
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
ЧАСТЬ 1
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве
методических указаний для индивидуальной самостоятельной работы
студентов первого курса всех специальностей
Омск 2010
5
УДК 514.12(07)
ББК 22.151.54я7
Ш34
Плоскость в пространстве. Часть 1: Методические указания для индивидуальной самостоятельной работы студентов первого курса / Е. А. Швед;
Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2010. 18 с.
Соответствуют действующей программе курса для технических вузов,
содержат краткие теоретические сведения об основных видах уравнений плоскости в пространстве. Рассмотрены следующие виды уравнений: общее, детерминантное, «в отрезках», нормальное. Описаны случаи взаимного расположения плоскостей относительно координатных осей и координатных плоскостей.
Представлены аналитические условия перпендикулярности, параллельности
двух плоскостей, а также рассмотрены случаи взаимного расположения плоскостей и точек в пространстве.
Предназначены для студентов первого курса всех специальностей очной
и заочной форм обучения.
Библиогр.: 3 назв. Рис. 10.
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент М. Б. Моисеев;
канд. техн. наук, доцент Ю. Ф. Савельев.
_________________________
© Омский гос. университет
путей сообщения, 2010
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Плоскость в пространстве: виды уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки . . . . . . . 7
1.4. Уравнение плоскости «в отрезках» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Нормальное уравнение плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Полярные параметры плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве
относительно системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1. Условие, при котором четыре точки лежат в одной плоскости . . . . . . . . 14
2.2. Взаимное расположение плоскости и пары точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Пучок плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5. Угол между плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей . . . . . . . . 16
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания состоят из двух частей. Первая часть содержит краткие теоретические сведения по теме «Плоскость в пространстве» из
курса аналитической геометрии, вторая – примеры решения стандартных задач
по данной тематике и варианты задания типового расчета для самостоятельной
работы. В методических указаниях использованы формулы из классического
справочника по высшей математике М. Я. Выгодского [2].
Цель указаний – помочь студентам в изучении одного из основных геометрических объектов – плоскости в пространстве.
Первая часть методических указаний состоит из двух разделов. Первый
раздел содержит описание различных видов уравнений плоскости в пространстве (общее, детерминантное, «в отрезках», нормальное), для полноты изложения материала рассмотрены полярные параметры плоскости. Для каждого
из возможных случаев расположения плоскости в пространстве относительно
координатных плоскостей или осей приведен пример схематичного изображения такой плоскости в системе координат.
Во втором разделе представлены случаи расположения плоскостей относительно друг друга, приведены формулы, позволяющие вычислить расстояние
от точки до плоскости, угол между плоскостями, а также решить вопрос о взаимном расположении плоскости и пары точек в пространстве. Аналитические
условия перпендикулярности и параллельности плоскостей дополнены соответствующими иллюстрациями.
Структура теоретического материала такова, что позволяет легко найти
формулу, необходимую для решения той или иной задачи.
Автор выражает благодарность доценту Т. А. Филимоновой за ценные
советы по содержанию данных методических указаний.
8
1. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ: ВИДЫ УРАВНЕНИЙ
1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
Зададим в пространстве декартову прямоугольную систему координат (ДПСК). Пусть М 0 ( х0 ; y0 ; z0 ) – фиксированная точка пространства,
r
n = { A; B; C} – ненулевой вектор. Тогда уравнение плоскости в пространr
стве, проходящей через точку М 0 перпендикулярно к вектору n , может быть
записано в векторной форме:
r r r
n ⋅ (r − r0 ) = 0,
(1)
r
r
где векторы r и r0 – радиусы-векторы то-
чек М ( х; у; z ) (произвольной точки этой
плоскости) и М 0 соответственно (рис. 1).
r
В этом случае вектор n называют нормальным вектором данной плоскости или
нормалью. Переписав уравнение (1) в координатной форме, получим:
z
x
A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0. (2)
r
n
M
М0
r •
r
r
r0
O
y
Рис. 1
Раскроем скобки в левой части равенства (2) и введем обозначение:
− Ax0 − By0 − Cz0 = D , тогда уравнение плоскости можно записать в виде:
Ax + By + Cz + D = 0.
(3)
Утверждение 1. Если в уравнении (3) хотя бы один из коэффициентов
A, B, C не равен нулю, то уравнение (3) в пространстве определяет некоторую
плоскость. Уравнение вида (3) называется общим уравнением плоскости в
пространстве.
З а м е ч а н и е. Вывод уравнения (3) позволяет считать, что вектор с координатами { A; B; C} является нормальным вектором плоскости, заданной общим уравнением: Ax + By + Cz + D = 0. Например, если плоскость задана уравнением 3 x − 4 y + z − 2 = 0, то вектор нормали будет иметь координаты:
r
n = {3; − 4;1} .
9
1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
Пусть в пространстве заданы фиксированная точка М ( х0 ; у0 ; z0 ) и два неr
r
коллинеарных вектора – a = {a x ; a y ; a z } и b = {bx ; by ; bz } . Рассмотрим плоскость в пространстве, проходящую через данную точку параллельно заданным
векторам. Если М ( х; у; z ) – произвольная
r
uuuuur r
r
r
b
точка плоскости, то векторы М М , a и b
a
0
M
компланарны (рис. 2). Условием компланарности трех векторов является равенство
нулю их смешанного произведения, запишем это условие в координатной форме:
М0 •
Рис. 2
x − x0
y − y0
z − z0
ax
ay
az
bx
by
bz
= 0.
(4)
Из уравнения (4), раскрыв определитель и приведя подобные, получим
общее уравнение плоскости, проходящей через данную точку М 0 параллельно
двум неколлинеарным векторам. Уравнение вида (4) называют детерминантным уравнением плоскости.
1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Рассмотрим три фиксированные точки пространства (рис. 3), не лежащие
на одной прямой, и запишем их координаты: М 1 ( х1; у1; z1 ) , М 2 ( х2 ; у2 ; z2 ) ,
uuuuuur
М 3 ( х3 ; у3 ; z3 ) . Поскольку точки не лежат на одной прямой, то векторы M 1M 2 и
uuuuuur
M 1M 3 не являются коллинеарными. Таким
M
М2
образом, плоскость, проходящая через точки
М3
•
M 1 , M 2 , M 3 совпадает с плоскостью, проМ1
ходящей через точку M 1 параллельно двум
Рис. 3
заданным (неколлинерным) векторам –
10
uuuuuur
uuuuuur
M 1M 2 и M 1M 3 . Если М ( х; у; z ) – произвольная точка рассматриваемой плоскости, то ее уравнение можно записать, пользуясь формулой (4). В качестве
r
r
точки М 0 возьмем точку M 1 (см. рис. 3), координаты векторов a и b
uuuuuur uuuuuur
заменим координатами векторов M 1M 2 и M 1M 3 соответственно и получим:
x − x1
y − y1
z − z1
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1 = 0.
x3 − x1
y3 − y1
z3 − z1
(5)
Таким образом, уравнение (5) является уравнением плоскости в пространстве, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой.
1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
Пусть плоскость задана своим общим уравнением: Ax + By + Cz + D = 0 .
Предположим, что коэффициент D ≠ 0 . Перепишем данное уравнение плоскости: Ax + By + Cz = − D, разделим обе части полученного равенства на − D и
получим уравнение плоскости в виде:
Ax By Cz
+
+
= 1.
−D −D −D
(6)
D
D
D
= a , − = b , − = c , тогда уравA
B
C
нение (6) примет вид, называемый уравнением плоскости «в отрезках»:
Введем следующие обозначения: −
x y z
+ + = 1.
a b c
(7)
Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Очевидно, что точки пространства с координатами (a; 0; 0) , (0; b; 0) ,
(0; 0; c) принадлежат плоскости, заданной уравнением (7). Следовательно, рас-
сматриваемая плоскость отсекает на осях координат отрезки, значения длины
которых соответствуют значениям параметров a, b, c , взятым по модулю. При
этом положительный знак параметра означает, что отрезок отсекается на положительной части соответствующей оси координат, а отрицательный – на отрицательной.
11
П р и м е р. Записать уравнение плоскости σ 3 x − 2 y + z − 6 = 0 «в отрезках» и построить данную плоскость в ДПСК.
Решение. Перенесем свободный член данного уравнения в его правую
часть: 3 x − 2 y + z = 6. После деления уравнения на 6 проведем соответствующие
z
преобразования коэффициентов и получим:
6
x y z
+
+ = 1 – это и есть требуемое уравне2 −3 6
ние плоскости σ «в отрезках». Схематичное
изображение плоскости, которая отсекает на
положительной части оси Ox отрезок длиной
−3
у 2, на отрицательной части оси Oy – отрезок
О
х
2
Рис. 4
длиной 3, на положительной части оси Oz
– отрезок длиной 6, приведен на рис. 4.
1.5. Нормальное уравнение плоскости
Рассмотрим в ДПСК какую-либо плоскость σ . Проведем через начало
координат прямую n, перпендикулярную плоскости σ , и обозначим буквой P
точку пересечения прямой n и плоскости σ . Возьмем на прямой n единичный
r
z
вектор n = {cos α ; cos β ; cos γ } , направление
uuur
n
которого совпадает с направлением OP (в
случае совпадения точек O и P направление
P•
M
r
r
n
выберем произвольно). Обозначим длиn
y
ну отрезка OP через p . Запишем уравнеO
ние плоскости, проходящей через точку
r
x
P( х0 ; у0 ; z0 ) перпендикулярно к вектору n :
Рис. 5
cos α ⋅ ( x − x0 ) + cos β ⋅ ( y − y0 ) + cos γ ⋅ ( z − z0 ) = 0.
Учитывая, что cos α ⋅ x0 + cos β ⋅ y0 + cos γ ⋅ z0 = p , получим уравнение:
12
(8)
cos α ⋅ x + cos β ⋅ y + cos γ ⋅ z − p = 0,
(9)
называемое нормальным уравнением плоскости.
З а м е ч а н и е. Общее уравнение плоскости (3) легко приводится к нормальному виду при умножении его на соответствующий нормирующий
множитель
µ=±
1
A2 + B 2 + C 2
,
(10)
взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена в уравнении (3).
1.6. Полярные параметры плоскости
Пусть плоскость задана нормальным уравнением (9). Тогда длина p
перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, есть полярное
расстояние плоскости. Полярное расстояние положительно или равно нулю.
Полярными углами плоскости называют углы α , β , γ из уравнения (9), эти
углы связаны между собой соотношением: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 . Полярное
расстояние и полярные углы называют полярными параметрами плоскости.
Если плоскость задана общим уравнением:
Ax + By + Cz + D = 0 , то по-
лярные параметры плоскости можно определить по формулам:

D
;
p =
2
2
2
A
+
B
+
C


A
;
cos α = ±

A2 + B 2 + C 2

B
cos β = ±
;
2
2
2

A + B +C

C
cos γ = ±
,

A2 + B 2 + C 2
(11)
где в последних трех формулах системы (11) знак «+» берется при D < 0 , а
знак «–» – при D > 0 . Если D = 0 , то знак можно выбрать произвольно (в этом
случае выбирают только знак «+» или только знак «–».
13
1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве
относительно системы координат
Исследуем общее уравнение плоскости (3):
1) при D ≠ 0 Ax + By + Cz = − D , плоскость не проходит через начало ко-
ординат; в этом случае возможны следующие варианты расположения плоскости относительно системы координат:
y z
а) при A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 получим: By + Cz = − D или + = 1 , плоскость
b c
параллельна оси Ох и отсекает на осях координат Оу и Оz отрезки b и c соответственно (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когда
b > 0 и c > 0, см. на рис. 6);
x z
+ = 1 , плоскость
a c
параллельна оси Оy и отсекает на осях координат Оx и Оz отрезки a и c соответственно (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когда
a < 0 и c > 0, см. на рис. 7);
б) при A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 получим: Ax + Cz = − D или
z
z
y
x
y
x
Рис. 6
Рис. 7
x y
+ = 1 , плосa b
кость параллельна оси Оz и отсекает на осях координат Оx и Оy отрезки a и b
соответственно (схематичное изображение плоскости такого вида для случая,
когда a < 0 и b < 0, см. на рис. 8);
в) при A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 получим: Ax + By = − D или
14
D
, плоскость параллельна коорA
динатной плоскости yОz (схематичное изображение плоскости такого вида для
г) при A ≠ 0, B = 0, C = 0 получим: x = −
 D
случая, когда  −  > 0, см. на рис. 9);
 A
z
z
x
y
x
y
Рис. 8
Рис. 9
D
, плоскость параллельна коB
ординатной плоскости xОz (схематичное изображение плоскости такого вида
д) при A = 0, B ≠ 0, C = 0 получим: y = −
 D
для случая, когда  −  < 0, см. на рис. 10);
 C
е) при A = 0, B = 0, C ≠ 0 получим: z = −
D
, плоскость параллельна коорC
динатной плоскости xOy (схематичное изображение плоскости такого вида для
 D
случая, когда  −  > 0, см. на рис. 11);
 C
z
z
y
x
y
x
Рис. 10
Рис. 11
15
2) при D = 0 Ax + By + Cz = 0 , плоскость проходит через начало коорди-
нат; в этом случае возможны следующие варианты расположения плоскости
относительно системы координат:
C
а) при A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 получим: y = − z = kz , плоскость проходит чеB
рез ось Ох (рис. 12);
C
б) при A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 получим: x = − z = kz , плоскость проходит чеA
рез ось Оу (рис. 13);
z
z
y
x
y
x
Рис. 12
Рис. 13
в) при A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 получим: x = −
B
y = ky , плоскость проходит чеA
рез ось Оz (рис. 14);
г) при A ≠ 0, B = 0, C = 0 получим: x = 0 – уравнение координатной плоскости yОz (рис. 15);
z
z
y
x
y
x
Рис. 14
Рис. 15
д) при A = 0, B ≠ 0, C = 0 получим: y = 0 – уравнение координатной
плоскости xОz (рис. 16);
16
е) при A = 0, B = 0, C ≠ 0 получим: z = 0 – уравнение координатной плоскости xОy (рис. 17).
z
z
y
x
y
x
Рис. 16
Рис. 17
З а м е ч а н и е. В случае, когда A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 , плоскость, представленную уравнением (3), называют плоскостью общего положения, проходящей
( D = 0) или не проходящей ( D ≠ 0) через начало координат.
2. ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ: ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
2.1. Условие, при котором четыре точки лежат в одной плоскости
Четыре точки пространства – M 1 ( x1; y1; z1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) , M 3 ( x3 ; y3 ; z3 ) ,
M 4 ( x4 ; y4 ; z4 ) – лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы
uuuuuur uuuuuur uuuuuur
M 1M 2 , M 1M 3 , M 1M 4 компланарны, т.е. выполнено условие:
x2 − x1
x3 − x1
x4 − x1
y2 − y1
y3 − y1
y4 − y1
z2 − z1
z3 − z1 = 0.
z4 − z1
(12)
Равенство нулю определителя (12) означает, что объем параллелепипеда,
uuuuuur uuuuuur uuuuuur
построенного на векторах M 1M 2 , M 1M 3 , M 1M 4 , равен нулю.
2.2. Взаимное расположение плоскости и пары точек
Взаимное расположение точек
M 1 ( x1; y1; z1 ), M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) и плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 можно определить по следующим признакам:
17
1) выражения Ax1 + By1 + Cz1 + D = k1 и Ax2 + By2 + Cz2 + D = k2 имеют
одинаковые знаки, в этом случае точки M 1 ( x1; y1; z1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) лежат по
одну сторону от плоскости;
2) числа k1 и k 2 , определенные в п. 1, имеют противоположные знаки, в
этом случае точки M 1 ( x1; y1; z1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) лежат по разные стороны от
плоскости (отрезок M 1M 2 пересекает плоскость);
3) одно из чисел k1 , k 2 равно нулю или они оба равны нулю, в этом слу-
чае одна из точек M 1 ( x1; y1; z1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) соответственно или обе точки
принадлежат плоскости.
2.3. Расстояние от точки до плоскости
M1
•
d
Расстояние d от точки M1 ( x1; y1; z1 )
до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 (рис. 18)
вычисляется по формуле:
d=
Ax1 + By1 + Cz1 + D
A2 + B 2 + C 2
.
(13)
Рис. 18
2.4. Пучок плоскостей
Через одну фиксированную прямую l в пространстве (рис. 19) проходит
бесконечное множество плоскостей. Это множество называется пучком плоскостей, а прямая l – осью пучка.
l
σ1
l
σ2
σ1
Рис. 19
Если пара различных плоскостей –
и σ 2 , принадлежащих пучку, задана
уравнениями
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
и
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 соответственно, λ1
и λ2 – произвольные, одновременно не
равные нулю числа, то каждую плоскость
пучка можно представить уравнением вида:
18
λ1 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ2 ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0,
(14)
которое называется уравнением пучка плоскостей.
З а м е ч а н и е . Уравнение (14) также задает плоскости σ 1 и σ 2 . Например, при λ1 = 0 получим уравнение плоскости σ 2 , а при λ2 = 0 – уравнение
плоскости σ 1 .
2.5. Угол между плоскостями
Если пара плоскостей в пространстве (рис. 20) задана общими уравнениями: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +
α
+ C2 z + D2 = 0 , то косинус угла между
этими плоскостями вычисляется по формуле:
A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 + C1 ⋅ C2
cos α =
. (15)
A12 + B12 + C12 ⋅ A2 2 + B2 2 + C2 2
Рис. 20
З а м е ч а н и е . Углом между плоскостями принято считать тот из образованных ими двугранных углов, который является острым. Обозначим значение
выражения, полученного по формуле (15) через a . Тогда при cos α > 0 угол
между плоскостями равен arccos a , а при cos α < 0 – ( π − arccos a ).
2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Утверждение 2. Пусть в пространстве заданы две плоскости:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 . Тогда выполняется одно и
только одно из трех условий:
A B C
D 
1) плоскости не имеют общих точек  1 = 1 = 1 ≠ 1  ;
 A2 B2 C2 D2 
A
B
2) плоскости пересекаются по прямой  1 ≠ 1
 A2 B2
B1 C1 
≠
;
B2 C2 
19
или
A1 C1
≠
, или
A2 C2
A B C
D 
3) плоскости совпадают  1 = 1 = 1 = 1  .
 A2 B2 C2 D2 
Пусть
σ1
плоскости
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и
и
σ2
заданы
общими
уравнениями
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 соответственно. Очевидно,
что рассматриваемые плоскости (рис. 21) параллельны в том, и только в том
случае, если параллельны (коллинеарны) их нормальные векторы. Так как
ur
плоскость σ 1 имеет нормальный вектор n1 = { A1 , B1 , C1} , а плоскость σ 2 –
uur
n2 = { A2 , B2 , C2 } , то условие коллинеарности векторов соответствует услоur
uur
вию: n1 = k ⋅ n2 (для некоторого коэффициента пропорциональности k ≠ 0 ). Для
r
n2
σ2
r
n1
σ1
векторов, заданных координатами, это
означает пропорциональность соответствующих координат. Таким образом, согласно утверждению 2 несовпадающие
плоскости σ 1 и σ 2 параллельны, если выполняется условие:
Рис. 21
A1 B1 C1 D1
=
=
≠
.
A2 B2 C2 D2
(16)
З а м е ч а н и е. Если для плоскостей σ 1 и σ 2 выполняется условие
A1 B1 C1 D1
=
=
=
, то уравнения
A2 B2 C2 D2
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
и
A2 x + B2 y +
+ C2 z + D2 = 0 задают в пространстве одну и ту же плоскость, представленную
различными уравнениями, причем одно из уравнений легко получить из другого умножением его на соответствующий множитель.
Если нарушается хотя бы одно из раr
n2
r
венств в условии (16), то согласно утn1
верждению 2 плоскости σ 1 и σ 2 пересекаσ
1
σ2
Рис. 22
ются по прямой. В этом случае можно
рассматривать угол, под которым пересекаются рассматриваемые плоскости. В
случае перпендикулярности плоскостей
(рис. 22) имеем перпендикулярность (орто20
гональность) их нормальных векторов, что соответствует равенству нулю их
скалярного произведения. Таким образом, условие перпендикулярности плоскостей можно записать так:
A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 + C1 ⋅ C2 = 0.
(17)
Библиографический список
1 . В и л е н к и н И. В. Высшая математика для студентов экономических,
технических, естественнонаучных специальностей вузов. 2-е изд., испр. /
И. В. В и л е н к и н, В. М. Г р о б е р. Ростов-на-Дону: Феникс, 2004.
2. В ы г о д с к и й М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. В ы г о д с к и й. М.: Астрель, 2005.
3. Е ф и м о в Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. 13-е изд. /
Н. В. Е ф и м о в. М.: Физматлит, 2004.
_______________________________________________________________
Учебное издание
ШВЕД Елена Анатольевна
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Часть 1
_______________________________
Редактор Т. С. Паршикова
∗∗∗
Подписано в печать
.04.2010. Формат 60 × 84 1/16.
Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,1. Уч.-изд. л. 1,3.
Тираж 1000 экз. Заказ .
**
Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа
Типография ОмГУПСа
∗
644046, г. Омск, пр. Маркса, 35
21
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
203 Кб
Теги
104
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа