close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1274

код для вставкиСкачать
Т. А. ФИЛИМОНОВА, Е. А. ЦАРЕГОРОДЦЕВ, Е. А. ШВЕД
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ЧАСТЬ 2
ОМСК 2014
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
_______________________________________________________________
Т. А. Филимонова, Е. А. Царегородцев, Е. А. Швед
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Часть 2
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний
для индивидуальной самостоятельной работы
студентов первого курса всех специальностей
Омск 2014
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73
Ф53
Основы линейной алгебры: Методические указания для индивидуальной самостоятельной работы студентов первого курса. Часть 2 / Т. А. Филимонова, Е. А. Царегородцев, Е. А. Швед; Омский гос. ун-т путей сообщения.
Омск, 2014. 35 с.
Методические указания написаны в соответствии с действующей программой дисциплины «Математика» для технических вузов по разделу «Линейная алгебра» и состоят из двух частей.
Первая часть содержит краткое изложение теоретических сведений по
основным изучаемым разделам линейной алгебры.
Настоящее издание является второй частью методических указаний. В
нем представлено 30 вариантов типового расчета «Основы линейной алгебры»
и приведены подробные примеры-образцы его выполнения.
Предназначены для индивидуальной самостоятельной работы студентов
первого курса всех специальностей очной и заочной форм обучения.
Библиогр.: 3 назв. Табл. 8.
Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор И. И. Гончар;
канд. физ.-мат. наук, доцент И. А. Зубарева.
_________________________
© Омский гос. университет
путей сообщения, 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1. Варианты типового расчета «Основы линейной алгебры» . . . . . . . . . 6
3.2. Примеры выполнения заданий типового расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Творческие задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4. Ответы к творческим задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
4
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания состоят из двух частей. Первая часть содержит краткие теоретические сведения по основным понятиям и методам линейной алгебры, касающимся определителей, матриц и систем линейных алгебраических уравнений, вторая – задания типового расчета по данной тематике,
примеры решения стандартных задач, творческие задания для самостоятельной
работы.
Вторая часть методических указаний является логическим продолжением
первой части и состоит из трех подразделов: 30 вариантов типового расчета для
индивидуальной самостоятельной работы студента, образец выполнения заданий типового расчета и творческие задания.
Задания типового расчета включают в себя задачи на вычисление определителей 2-го, 3-го, 4-го порядков, действия над матрицами, в том числе поиск
обратной матрицы и решение матричных уравнений, решение систем линейных
алгебраических уравнений различными методами: по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.
Задания типового расчета подобраны таким образом, что их выполнение
способствует в первую очередь закреплению навыков решения стандартных
задач. Это связано с тем, что разделы линейной алгебры, рассмотренные в данных методических указаниях, широко применяются в изучении последующих
разделов высшей математики. Так, определители используются в векторной алгебре, математическом анализе, системы уравнений – в задачах линейного
программирования, эконометрики и других дисциплин.
Творческие задачи, включенные в данные методические указания, содержат нестандартные формулировки и обобщения и призваны реализовать накопленный потенциал студентов, успешно освоивших решение стандартных задач
и желающих повысить уровень своей подготовки.
Настоящие методические указания предназначены для индивидуальной
самостоятельной работы студентов первого курса всех специальностей дневной
и заочной форм обучения.
Авторы выражают благодарность доценту О. В. Гателюку за предоставленные материалы и полезные советы по оформлению образцов решения некоторых задач.
5
3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
3.1. Варианты типового расчета «Основы линейной алгебры»
З а д а н и е 1. Вычислить определители 2-го, 3-го и 4-го порядков.
Таблица 1
Определители 2-го порядка к заданию 1
ВаВаВаВаВаОпредеОпредеОпредеОпредериририририлитель
литель
литель
литель
ант
ант
ант
ант
ант
1
6
11
16
21
26
2 1
3
0
1
2
2
7
2
7
7 6
12
5 4
3 3
1
7
2
3
4
5
2
5
17
22
27
7 8
5 1
6
0
3
2
3
8
3 5
2 4
13
7 8
6 1
2
18
5
6 5
1
23
3
7 2
28
3 1
1
6
2 3
2 3
8
5 6
2 7
5
6
2
2
1
4
1
2
1
2
4 4
3 2
20
1
1
2 3
15
3 4
29
9
9
1
24
5 4
0
7
1
1
3
5 7
25
9
1
6
2
4 3
30
7 9
5
1 2
10
5 7
19
4 1
0
3
2
5
2 5
14
3
3
5
9
9
1
4 1
4
Определитель
1
2
Таблица 2
Определители 3-го и 4-го порядков к заданию 1
Вариант
1
Определитель 3-го
порядка
2
1 1
1
3
0
6
0 2
4 5
Вариант
4
Определитель
4-го порядка
3
0
3
9
3
9
4
3
0
2
6
6
2
1
2
1
4
2
6
Определитель 3-го
порядка
5
3
2
9
1
4 1
1 5
0
Определитель
4-го порядка
6
9 2 2 8
3 4 4 2
3 2 3 5
1 0 1 0
1
2
3
2 0 4
3
3 1
7
0 5 3
3
5
7
3
2 4 0
1 2 7
2 2
7
1
4
1
2
1
0
4
9
13
15
3
1
2 1 0
1 2 3
1
11
1
2
4
5 6 1
0
1
2
1
2
2
4
1
4 4
3 1
0
5
1
2 3 4
2 1 5
0
9
3
1
4
0
4
0
3 2
0 4
3 2
9 1
8 1
0 9
8 3
6 1
4
2
4
4
0
0
2
1
1
4
0 1
6 4
4 0
2 1
0
0
4
9
4
6
3
1
0 2 6
8 6 3
3 3 3
1 1 2
0
1
2
4
6
0
6
4
6
1 3 2
0 4 1
1
8
2 1
6 0
2 4
1 1
1
3
2
4
2 1
0 9
5 1
1 4
3 4 5
3
6
1
2
1
0
5
4
П р о д о л ж е н и е т а б л. 2
5
6
6 0 2 5
1 2 3
7 6 9 5
1 1 6
3 8 6 9
3 3 7
1 0 2 3
10
3
5
3 0 1
2 2 4
1
1
1
2
2
2
4 4 0
2 2
12
3
1
1
2
14
1 2 1
3 6 0
2 1 4
4 1 8
16
7
3
3 3 0
4 2 1
3 2
1
2
1
4
1
1
0
1 1
2
2
1
3
0
3
9
8
5
0
4
1
5
3
4
2 0
6 9
4 1
2 1
2 0
5 9
8 3
0 9
1 2
6 0
3 4
2 2
7 1
3 2
3 2
1 1
1 8
1 4
3 1
9 8
0
1
0
6
2 0
6 3
4 1
2 1
1
5
3
4
6 0
0 7
2 3
0 5
1 1
4 0
4 4
2 2
0 12 0 8
2 2 7 4
3 2 5 1
1 1 7 8
1
17
2
2
0
3
5
6
0
1 1 4
3
19
4 6
7 6 5
3 2 1
2 3 4
21
0 1 2
3 4 5
1 2 3
23
25
27
29
1
4
3 1
5 3
1
4
8
1 2
0
3
1 1
5
3
1
2 2 0
1
2
3
3
3
7
1 2 7
5 0 5
0
1
9
8
0
8
3
1
3
2 5
6 3
3 1
1 0
7 1 0
4 9 5
0 1 1
3 4 6
18
3
1
2
0
7
6
5
1
1
3
2
4
0
1
9
8
0 2 5
8 6 3
3 3 1
1 1 0
20
3
2
1
0
4
5
4 1
2 0
6 7
0 8
1 9
0 1 2
0 4 0
5 1 4
1 4 1
3
8
2
1
4
О к о н ч а н и е т а б л. 2
5
6
2 9 2 1
4 2 0
1 3 6 2
5 4 3
6 5 4 10
1 1 1
9 0 2 0
0
2 2 7
22
24
3
1
1
0
1
1
0
3
2
2
5
3
1
1 1
3 3
1
26
1 2 1
3 0 0
2 1 4
0 1 6
6 0 2 0
2 8 0 6
4 1 1 5
1 2 3 4
4
2 3 5
1 1 1
4
28
0
4
0
3
2
1 0 5
2 6 2
4 4 1
30
8
5 6
0 2
7
4
2
0
0
7
1 1
1 0
2 3
1 5
2
1
0 5
2 2
3 2
1 1
0 3
1 1
5 3
0 7
4
2
8
7
2
1
4 2
1 1
0 3
0 5
7
8
9
10
0 1 1
0 1 0
3 2 1
1 8 0
0 9
1 2
3 2
1 1
1
1
9
8
0
1
6
0
4
5
6
7
9
4
1
0
0 7 8
0 4 2
3 6 2
1 0 4
1 0 
З а д а н и е 2. Решить матричное уравнение, если А = 
,
 2 2 
 2 1
В= 
 . Сделать проверку решения.
0 1 
Таблица 3
Исходные данные к заданию 2
Вариант
Данное уравнение
Вариант
Данное уравнение
1
3 А2  2 Х  ВT  Е
2
Х  АT  2В2  2Е
3
3 А2  2 Х  ВT  Е
4
А 
5
3  Х  2 А2  ВT  A  2Е
6
2 X  3B2  AT  3B  E
7
2 AT  3 X  2B2  E
8
E  2 X  3B  A2  2 AT
9
3 X  2 A2  E  4B  AT
10
2 A  B2  3 X  E  BT
11
 AT  X  3B2  B  2E
12
2BT  2 X  3 A  A2  2E
13
3 X  2 A  BT  2 A2  E
14
 AT  B  X  4B2  2E
15
B2  2 A  3BT  2 X  E
16
2B  AT  2 X   E  3 A2
17
2 A2  3 X  BT  3E
18
3 AT  2B2  3E  2 X
19
A  2E  4BT  3 X  2B2
20
2BT  2E  3 A2  2 X
21
 X  2 A2  BT  2B  3E
22
2 X  3 A   B2  AT  2E
23
2E  A  3BT  2 X  3B2
24
E  2 A2  4BT   X  2B
25
A2  5BT  4 X  E  2B
26
3 A2  2 X   B  2 AT  E
27
3 X  A  5BT  2B2  2E
28
3 A2  2 X  2BT  4B  E
29
2 A2  2 X  5B  AT  E
30
3 X  2 A2  4B  AT  2E
9
T
2
 2 Х  3В  Е
З а д а н и е 3. Найти произведение двух данных матриц.
Таблица 4
Исходные данные к заданию 3
Вариант
1
Задание а
Задание б
2
3
1
 2 0  3 2
 1 4    0 5 

 

2
 1 2 
1 2 1 

 4 1 0  4 5 

  6 1


3
2 1 1 1 0
 3 0 11 3   3


 1 1 6 1   2

 
 1 1 1 1   1
4
1

0

2
 3 1 4   2 0 0 
 5 6 0    0 1 0 

 

 1 2 3   0 0 3 

 

4
1

 2 1 3 4 5   0
 7 8 12 0 1   

 0
 2 5 7 9 8 0

 
0

5
 3
5
   1 2 3 4 
0
 
7
6
 2 1 3   8 
 1 3 1   5 

  
4 5 1   7 

  
2
1
0
2
0
1
1
2
1
4
1
1
2   1 10 1
2   0 2 1

2 0 8 0
 
0 3 3 3
0
0
2
1
1
1 
1

0
3
3 
3

0
 1 3 3 4   2 2 2 5 
 2 6 13 0   1 1 2 5 



 1 4 8 4   0 1 1 5 

 

 4 4 4 0  0 5 5 0
0
0 
0

1
0 
1
1

3

6
1
5
1
6
3
1
1
6
6   4 5 7 1
6   1 4 9 1

0   4 0 5 1
 

0   1 0 1 0 
 1 0 0 2   2 0 0 3 
 3 2 2 2   0 3 0 3 



 1 1 0 2   2 0 0 3 

 

 2 2 2 0   3 3 3 0 
 3 2 0 6   1 1
 2 2 0 6   1 3


 0 2 1 6   4 7

 
 6 6 6 0   6 7
10
1 0
4 0 
8 1

7 1
П р о д о л ж е н и е т а б л. 4
1
2
3
 1 1  2 3 
 2 1   0 2 

 

2 2 2 0 4 4
 2 1 2 2   7 0


 5 3 3 2  10 9

 
 1 0 2 0   1 2
8
 2 3  1 2 
 1 0   1 1 

 

 3
1

4

6
9
1 2
2 3 1  

 1 2 1   1 0 

  3 1


10
1 2 2  1 0 0 
1 0 3   1 1 0 

 

1 3 0  1 0 2 

 

11
 3 
 2   1 5

  
3
 
 1 5 2
0 2 7

 2 10 1

 3 1 6
12
2 1
 1 3 5 4  

 2 1 0 0    5 0 


 1 0 5 1   0 0 

 1 0


2 1
7 1

 3 1

1 3
13
 5 0 1   1
 2 3 2    0 

  
 0 1 2  3 

  
7
3 3
3 4
7 8
7 7
 2 2 2
 4 2 4

 10 6 6

 0 0 4
 3 2
0 1

 1 2

 1 3
1
2

0

3
11
1
2
4
0
0 4
3 3
3 5
5 6
1
3
1
2
0  4
3   5

0  6
 
3  0
4 0
0 4 
1 4 

1 4 
5 2 5 
7 3 5 
9 4 5 

5 5 0 
0   4 4 4
2   0 4 0

2  2 2 2
 
2  0 0 2
0
4 
4

4
1   2 3 4 2 
0   2 1 3 1 

2   1 2 1 0 
 

0   3 1 4 1 
3   2 1 3 0 
1   1 1 2 3 

5   0 4 1 5 
 

1  0 2 1 8 
0  2
1   2

2  6
 
1 2
3 3 4 
1 1 2 
2 1 0

3 0 5
2   1
3   3

8   2
 
9  1
0 2 3 
9 9 1 
7 1 6 

8 4 7
П р о д о л ж е н и е т а б л. 4
1
2
3
14
 2 1 
 3 5  2 0




 1 0   1 3 


0 3 
 1 1 3 1   2 0 3 3 
 0 0 3 3   1 1 1 1 



 1 1 1 5   1 1 5 7 

 

 4 2 0 5   0 1 3 1 
15
 2 5 0   1
 4 1 3    2 

  
 2 1 1  0 

  
16
1 2
0 4

0 0

 5 1
 1
3

6

2
0 3 0  1 2
2 1 1  2 2

4 3 4  3 3
 
0 1 2  4 4
 1 1
0 5

0 2

1 4
3
 1 0 
5  
  2 0 
6 

  1 5
0
2
7
5
3
2  4
0   1

3  0
 
0   1
17
 1 2   2 3 0 
 0 3  1 5 0

 

 2 1 1 0   4
 3 0 11 3   2


 1 0 0 5   2

 
 2 1 0 0   2
18
 2 3 
 1 0 5   1 5 
0 0 


 1 1 1
6 2 0

 8 2 0

 8 1 4
19
1
 1 0 3 2   
 2 3 1 3    0 


 3 6 1 8   3 

 0
 
 3
2

1

 1
20
 2 2 1 
 3 1 1  3 2 0 

 0 0 0

 5 4 1  


 0 0 0
1 0 0
2
0

1

4
12
0  3
1   0

1   6
 
1   4
2 0 1
2 1 3 
0 2 7 

2 3 1
2 0 1
1 1 1 
0 0 3

1 1 1
3
2
8
2
2 2 0   1 2
2 0 2   6 2

3 1 0   1 1
 
5 3 5 0 1
5 3 0   3
2 1 9   2

1 1 5   1
 
0 4 9   1
4
4 
4

4
3
3
3
4
3 0
0 3 
0 3 

4 3 
3
1
0
3
5
2 
0

7
2 2 0 
2 0 0 
3 1 2 

5 3 5
П р о д о л ж е н и е т а б л. 4
1
2
21
 3 1  1 1
 1 1   3 0 

 

22
23
24
25
3
 1
3

5

0
 1 2 2   1 1 2 
 0 1 3    0 1 2 

 

0 0 1  0 1 0

 

4 2 8   1 4 1 3 
7 3 0   2 0 5 5 

0 4 6   2 3 1 0 
 

8 8 1  2 5 4 0 
 1 1 1 1   1 0 2
 0 3 1 1   5 1 8


 2 1 0 2   1 0 6

 
 1 1 7 0   3 1 2
 1 1  2 0 0 
 0 1    2 3 1 

 

 2 1
 1 1

 3 5

 4 1
 1 2 3   2 2 
 2 4 6    0 1

 

 5 1 4  0 0 

 

2 2
 2 4

1 2

4 0
 2 3   4 1
 1 3    0 5 

 

27
 1 1
 1 3 1  

 4 2 3    4 4 

  5 1


0 0   2 1 1 4 
2 1   2 1 5 3 

1 0   0 2 0 2 
 

0 9   1 1 1 1 
1 2  1
1 0   2

3 2   0
 
1 0  1
7 1 1
1 3 1
1 1 0 

3 6 0
 1 1 2 3   2 0 0 2 
 1 7 9 1   2 4 1 1 



2 1
4 1  0 1 2 7 

 

 3 0 4 1   5 4 1 1
0 1
 1 0 1  

 2 3 1   1 0 

  2 1


26
1
1 
5

0
 5 2 7 1   1 1 3
 2 2 4 1   1 0 1


 0 1 1 2   1 7 1

 
1 2 7 0  2 1 0
 1 3 3 5   0 1
 1 1 1 1   3 1


1 8 1 0   1 8

 
 2 1 0 2   1 4
13
7
1 
0

2
0 1
0 3 
4 7 

0 1 
О к о н ч а н и е т а б л. 4
1
2
28
 3 1 0   2 0 2 
 5 6 0    3 1 0 

 

 1 2 4   7 0 3 

 

29
 4 
 2 
    0 4 3 4 
 3
 
7
30
1

 2 3 3 6 5   0
 7 8 8 0 1   

  1
2 1 7 0 7 0

 
2

3
1 0 4
 2 6 9

 4 0 4

 1 1 1
 4
 3

 2

 2
0
3 
0

1
0 
0
7
8
2
 2 1
0 8

1 1

 1 5
7 6
0   0

3 6
 
1 0
1 8 8 
0 1 1 
6 9 0

0 3 4 
4 1   1 1 1 3 
1 7   0 1 1 5 

6 0   8 5 3 5 
 

1 6   0 4 5 2 
4 1  1
6 4   7

7 2   2
 
1 3  2
2 0 3
1 5 0 
3 1 1

4 1 1
З а д а н и е 4. а) Найти матрицу, обратную к матрице, стоящей под знаком
определителя в задании 1 (см. табл. 2, определитель 3-го порядка); б) решить
матричное уравнение и сделать проверку.
Таблица 5
Исходные данные к заданию 3 б
Вариант
Матричное уравнение
Вариант
Матричное уравнение
1
2
3
4
1
 2 1
 1 1

X

3 1 
0 1 




2
 3 1  2 1 
X 


 2 1  3 1
3
 2 1
 3 1
 1 0   X   1 2 




4
 1 1  2 3 
X 
   4 0
3
0

 

5
 2 2 
 1 1

X

0 1 
4 0 




6
 1 1  1 2
X 
   1 3 
2
3

 

14
О к о н ч а н и е т а б л. 5
1
2
3
4
7
2 4 
 2 0 

X

 1 1
 3 1




8
 1 2   1 2 
X 


 2 0  3 6
9
 1 0
 2 3 
 1 2   X   1 5 




10
 1 2   2 0 
X 
   0 1

3

4

 

11
 1 2 
 3 4

X

 1 1
0 0




12
 0 2   2 3 
X 


 3 1   1 5 
13
 0 1
 2 0 
 2 3   X   4 2 




14
 3 1  1 2 
X 
   1 3 
2

1

 

15
 3 5 
 1 1 

X

 1 0 
 2 3




16
 2 0   1 2 
X 


 1 4   3 1
17
 5 1
 2 3 
 4 1  X   3 1 




18
 1 2   3 1
X 


3 4  2 0 
19
 1 3 
 4 1
 3 6   X   2 1




20
 1 1  3 5 
X 
   1 2 
4
1

 

21
 2 1 
 0 1

X

 1 1
 1 8




22
 1 5   4 1 
X 


 1 4   1 2 
23
2 3 
 0 2
 1 1  X   3 1 




24
 3 1  3 1 
X 
  1 0
2
1

 

25
 1 2 
3 4 

X

 1 3
 0 1




26
 2 0   2 0 
X 


 2 1   3 1
27
 0 1
 1 1
 4 1   X   3 4 




28
 5 2   2 2 
X 
   4 1 
2
1

 

29
 1 3 
 2 1 

X

 3 6
 2 5




30
 1 1  3 7 
X 
  1 3
5
3

 

15
З а д а н и е 5. Решить данную систему уравнений тремя способами: а) по
формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.
Таблица 6
Исходные данные к заданию 5
Вариант
1
1
Данная система
уравнений
2
 5 x  y  3z  1;

9 x  2 y  5 z  2;
 3x  3 y  4 z  5.

4
 3x  9 y  3z  6;

5 x  2 y  8 z  9;
 x  7 y  2 z  7.

7
7 x  6 y  9 z  6;

 8 x  9 y  4 z  3;
 2 x  y  7 z  2.

Вариант
3
2
Данная система
уравнений
4
 5 x  9 y  3z  4;

9 x  2 y  4 z  9;
7 x  4 y  6 z  7.

ВаДанная система уравринений
ант
5
6
4 x  2 y  2 z  9;

3
 6 x  4 y  6 z  8;
 3x  4 y  2 z  4.

5
8 x  5 y  6 z  2;

 5 x  9 y  8 z  5;
4 x  6 y  7 z  3.

8
 6 x  7 y  8 z  2;

3x  2 y  3z  3;
 5 x  7 y  6 z  9.

9
11
5 x  6 y  4 z  5;

5 x  2 y  9 z  9;
9 x  6 y  7 z  8.

12
14
 3x  9 y  z  7;

7 x  8 y  5 z  6;
9 x  7 y  8 z  4.

6 x  9 y  2 z  3;

16  4 x  2 y  9 z  15; 17
 9 x  7 y  5 z  1.

3x  9 y  6 z  7;

 7 x  8 y  8 z  6;
9 x  6 y  2 z  4.

 8 x  8 y  5 z  1;

9 x  5 y  8 z  13;
 7 x  9 y  3z  8.

6 x  5 y  3z  3;

 4 x  8 y  9 z  5;
 9 x  2 y  5 z  7.

10
13
19
9 x  5 y  2 z  5;

6 x  4 y  6 z  8;
7 x  7 y  2 z  4.

6 x  y  3z  6;

 4 x  3 y  9 z  15;
 2 x  7 y  5 z  7.

20
16
6
 3x  6 y  3z  3;

8 x  2 y  9 z  4;
 3x  7 y  8 z  9.

 5 x  9 y  3z  4;

9 x  2 y  4 z  9;
7 x  4 y  6 z  7.

8 x  9 y  5 z  4;

5 x  2 y  8 z  9;
7 x  9 y  3z  8.

15
3x  9 y  7 z  2;

 5 x  4 y  z  4;
7 x  9 y  7 z  7.

18
 3x  2 y  z  21;

7 x  4 y  4 z  9;
 x  9 y  3z  12.

21
 x  9 y  3z  6;

2 x  2 y  8 z  7;
 9 x  6 y  2 z  8.

1
22
25
28
2
 6 x  y  7 z  1;

 7 x  4 y  z  9;
 x  9 y  7 z  5.

3
23
6 x  9 y  7 z  2;

5 x  4 y  2 z  4;
 7 x  3 y  z  5.

3x  9 y  6 z  7;

7 x  8 y  5 z  6;
 x  7 y  8 z  4.

4
 3x  5 y  3 z  6;

 5 x  7 y  8 z  8;
3x  2 y  2 z  7.

26
 3x  9 y  2 z  7;

  x  2 y  6 z  9;
2 x  7 y  2 z  3.

29
3x  9 y  7 z  2;

5 x  4 y  4 z  4;
 7 x  9 y  z  7.

О к о н ч а н и е т а б л. 6
5
6
 4 x  y  3z  5;

24
 3x  2 y  5 z  7;
2 x  7 y  8 z  9.

27
 3x  y  2 z  6;

5 x  2 y  8 z  4;
 x  7 y  2 z  1.

30
  x  9 y  3z  3;

 5 x  8 y  9 z  12;
9 x  7 y  2 z  8.

З а д а н и е 6. Решить однородную систему линейных уравнений.
Таблица 7
Исходные данные к заданию 6
Вариант
1
1
Данная система
уравнений
2
5 x  9 y  7 z  0;

5 x  4 y  4 z  0;
7 x  9 y  7 z  0.

4
6 x  2 y  3z  0;

5 x  4 y  8 z  0;
7 x  3 y  7 z  0.

7
3x  6 y  7 z  0;

 5 x  5 y  2 z  0;
 x  9 y  5 z  0.

10
2 x  3 y  7 z  0;

8 x  4 y  9 z  0;
4 x  9 y  7 z  0.

Вариант
3
2
Данная система
уравнений
4
6 x  2 y  9 z  0;

 5 x  8 y  5 z  0;
7 x  2 y  2 z  0.

5
 6 x  9 y  z  0;

2 x  8 y  6 z  0;
3x  9 y  4 z  0.

8
 4 x  5 y  5 z  0;

7 x  2 y  4 z  0;
 9 x  4 y  8 z  0.

11
4 x  5 y  7 z  0;

 2 x  3 y  4 z  0;
7 x  9 y  6 z  0.

17
ВаДанная система уравринений
ант
5
6
7 x  9 y  3z  0;

3
 5 x  3 y  9 z  0;
 8 x  4 y  7 z  0.

6
 2 x  3 y  z  0;

8 x  2 y  3z  0;
4 x  6 y  5 z  0.

9
8 x  9 y  2 z  0;

3x  7 y  7 z  0;
9 x  8 y  4 z  0.

12
8 x  5 y  9 z  0;

5 x  3 y  4 z  0;
7 x  4 y  2 z  0.

1
13
2
3x  8 y  7 z  0;

5 x  7 y  4 z  0;
 7 x  6 y  z  0.

16
2 x  6 y  4 z  0;

 3x  4 y  2 z  0;
 x  9 y  6 z  0.

19
8 x  3 y  4 z  0;

 9 x  3 y  z  0;
 x  8 y  5 z  0.

22
 6 x  y  4 z  0;

8 x  3 y  2 z  0;
 4 x  4 y  z  0.

25
 4 x  y  10 z  0;

 2 x  5 y  4 z  0;
6 x  8 y  7 z  0.

28
 7 x  8 y  7 z  0;

 5 x  4 y  6 z  0;
3x  3 y  2 z  0.

3
14
4
6 x  2 y  2 z  0;

 2 x  3 y  3z  0;
 3x  9 y  3z  0.

17
 2 x  4 y  7 z  0;

 5 x  4 y  5 z  0;
 x  11y  6 z  0.

20
7 x  2 y  3z  0;

8 x  3 y  5 z  0;
7 x  7 y  5 z  0.

23
10 x  14 y  3z  0;

 5 x  2 y  4 z  0;
 9 x  9 y  3z  0.

26
 5 x  10 y  7 z  0;

 2 x  y  7 z  0;
5 x  5 y  2 z  0.

29
 8 x  8 y  z  0;

 x  6 y  6 z  0;
2 x  2 y  z  0.

О к о н ч а н и е т а б л. 7
5
6
 8 x  9 y  3z  0;

15
9 x  4 y  4 z  0;
 4 x  5 y  9 z  0.

18
9 x  4 y  5 z  0;

 5 x  8 y  3z  0;
3x  9 y  7 z  0.

21
 5 x  y  z  0;

7 x  3 y  2 z  0;
5 x  5 y  4 z  0.

24
2 x  3 y  2 z  0;

 x  4 y  9 z  0;
 8 x  3 y  z  0.

27
 6 x  9 y  3z  0;

 2 x  5 y  4 z  0;
4 x  4 y  9 z  0.

30
9 x  6 y  5 z  0;

5 x  8 y  5 z  0;
  x  y  7 z  0.

З а д а н и е 7. Дана однородная система линейных уравнений. Найти для
нее: а) общее решение; б) любое частное решение; в) фундаментальную систему решений.
18
Таблица 8
Исходные данные к заданию 7
Вариант
1
Данная система
уравнений
2
Ва
риант
3
1
 x1  4 x 2  4 x3  x 4  3x5  0;
 x  7 x  6 x  2 x  6 x  0;
 1
2
3
4
5

9 x1  8 x 2  4 x3  3x 4  9 x5  0;
7 x1  5 x 2  2 x3  2 x 4  6 x5  0.
3
 2 x1  3x 2  5 x3  4 x 4  x5  0;
 x  x  2 x  3x  5 x  0;
 1
2
3
4
5

3x1  7 x 2  8 x3  11x 4  3x5  0;
 2 x1  3x 2  5 x3  4 x 4  x5  0.
4
5
 3x1  x 2  3x3  2 x 4  5 x5  0;
5 x  3x  2 x  3x  4 x  0;
 1
2
3
4
5

x1  3x 2  5 x3  7 x5  0;

 7 x1  5 x 2  x3  4 x 4  x5  0.
6
7
 x1  3x 2  3x3  x 4  5 x5  0;
 6 x  2 x  2 x  x  0;

1
2
3
4

  x1  x 2  x3  2 x 4  3x5  0;
 11x1  3x 2  3x3  x 4  x5  0.
9
 3x1  x 2  2 x3  x 4  x5  0;
 2 x  x  7 x  3x  5 x  0;
 1
2
3
4
5

 x1  3x 2  2 x3  5 x 4  7 x5  0;
3x1  2 x 2  7 x3  5 x 4  8 x5  0.
11
 x1  2 x 2  3x3  2 x 4  0;
 x  x  3x  4 x  3x  0;
 1
2
3
4
5

2 x1  3x 2  x3  5 x 4  2 x5  0;
 x1  2 x 2  2 x3  3x 4  5 x5  0.
2
Данная система
уравнений
4
 x1  2 x 2  x3  x 4  x5  0;
 2 x  x  x  2 x  3x  0;
 1
2
3
4
5

 3x1  2 x 2  x3  x 4  2 x5  0;
2 x1  5 x 2  x3  2 x 4  2 x5  0.
 6 x1  x 2  3x3  9 x 4  5 x5  0;
 x  5 x  3x  9 x  7 x  0;
 1
2
3
4
5

 2 x1  4 x 2  x3  3x 4  2 x5  0;
4 x1  7 x 2  2 x3  6 x 4  5 x5  0.
 2 x1  3x 2  7 x3  x 4  2 x5  0;
 x  2 x  3x  2 x  4 x  0;
 1
2
3
4
5

 3x1  2 x 2  x3  2 x 4  4 x5  0;
4 x1  3x 2  2 x3  3x 4  6 x5  0.
8
x1  x 2  3x3  x5  0;


x1  x 2  2 x3  x 4  0;


4 x1  2 x 2  6 x3  3x 4  4 x5  0;
2 x1  4 x 2  2 x3  4 x 4  7 x5  0.
10
 x1  2 x 2  3x3  2 x 4  x5  0;
3x  6 x  5 x  4 x  3x  0;
 1
2
3
4
5

 x1  2 x 2  7 х3  4 x 4  5 x5  0;

2 x1  4 x 2  2 x3  3x 4  3x5  0.
12
9 x1  7 x 2  5 x3  6 x 4  9 x5  0;
 8 x  4 x  2 x  3x  0;

1
2
4
5

 5 x1  3x 2  x3  2 x 4  3x5  0;
7 x1  5 x 2  3x3  4 x 4  6 x5  0.
19
П р о д о л ж е н и е т а б л. 8
1
2
13
 x1  2 x 2  3x3  4 x 4  2 x5  0;

x1  2 x 2  x3  x5  0;


x1  x 2  2 x3  3x 4  0;


x 2  x3  x 4  2 x5  0.
15
 2 x1  x 2  x3  x 4  x5  0;
 x  x  x  x  2 x  0;
 1
2
3
4
5

3x1  3x 2  3x3  3x 4  4 x5  0;
4 x1  5 x 2  5 x3  5 x 4  7 x5  0.
17
 2 x1  2 x 2  x3  x 4  x5  0;
 x  2 x  x  x  2 x  0;
 1
2
3
4
5

 4 x1  x 2  5 x3  5 x 4  7 x5  0;
2 x1  4 x 2  x3  7 x 4  11x5  0.
19
 x1  3x 2  2 x3  2 x 4  x5  0;
 x  2 x  x  x  x  0;
 1
2
3
4
5

 x1  4 x 2  3x3  x 4  x5  0;
3x1  3x 2  4 x3  2 x 4  x5  0.
21
 x1  2 x 2  x3  3x 4  2 x5  0;
 2 x  x  x  x  3x  0;
 1
2
3
4
5

 x1  x 2  2 x3  2 x 4  2 x5  0;
2 x1  3x 2  5 x3  7 x 4  x5  0.
23
 2 x1  x 2  3x3  7 x 4  x5  0;
3x  2 x  2 x  9 x  x  0;
 1
2
3
4
5

2 x1  3x 2  x3  5 x 4  2 x5  0;
 3x1  x 2  x3  8 x 4  3x5  0.
25
 x1  2 x 2  x3  2 x 4  3x5  0;
3x  3x  2 x  4 x  6 x  0;
 1
2
3
4
5

 3x1  12 x 2  x3  3x5  0;
 7 x1  11x 2  2 x3  2 x 4  0.
3
4
14
5 x1  6 x 2  x 3  10 х 4  7 x 5  0;
 5 x  x  2 x  5 x  4 x  0;
 1
2
3
4
5

 4 x1  3x 2  x 3  7 x 4  5 x 5  0;
 3x1  2 x 2  x 3  4 x 4  3x 5  0.
16
13x1  2 x 2  x3  4 x 4  6 x5  0;
11x  2 x  x  2 x  3x  0;
 1
2
3
4
5

5 x1  4 x 2  7 х3  4 x 4  6 x5  0;
7 x1  2 x 2  5 x3  2 x 4  3x5  0.
18
5 x1  2 x 2  4 x3  3x 4  9 x5  0;
3x  2 x  5 x  2 x  6 x  0;
 1
2
3
4
5

 3x1  6 x 2  2 x3  x 4  3x5  0;
9 x1  4 x 2  3x3  2 x 4  6 x5  0.
20
6 x1  5 x 2  7 x3  5 x 4  3x5
14 x  5 x  3x  9 x  x
 1
2
3
4
5

4 x1  5 x 2  8 x3  4 x 4  4 x5
8 x1  5 x 2  4 x3  7 x 4  2 x5
22
5 x1  7 x 2  4 x3  6 x 4  6 x5  0;
 5 x  3x  x  8 x  3x  0;
 1
2
3
4
5

9 x1  6 x 2  5 х3  8 x 4  9 x5  0;
 6 x1  9 x 2  3x3  4 x 4  3x5  0.
24
 x1  x 2  3x3  2 x 4  3x5  0;
 2 x  2 x  4 x  x  3x  0;
 1
2
3
4
5

3x1  3x 2  5 x3  2 x 4  3x5  0;
2 x1  2 x 2  8 x3  3x 4  9 x5  0.
26
 2 x1  x 2  x3  2 x 4  4 x5  0;
3x  8 x  4 x  3x  6 x  0;
 1
2
3
4
5

5 x1  4 x 2  2 x3  3x 4  6 x5  0;
 3x1  2 x 2  x3  x 4  2 x5  0.
20
 0;
 0;
 0;
 0.
О к о н ч а н и е т а б л. 8
1
2
3
4
 x1  x 2  6 x3  x 4  2 x5  0;
 x  x  x  x  2 x  0;

2
3
4
5
27  1
28
4
x

x

5
x

3
x

6
x

0
;
1
2
3
4
5

2 x1  3x 2  4 x3  3x 4  6 x5  0.
 2 x1  3x 2  x3  6 x 4  9 x5  0;
 x  2 x  2 x  3x  0;

2
3
4
5

 2 x1  x 2  4 x3  2 x 4  3x5  0;
3x1  2 x 2  5 x3  4 x 4  6 x5  0.
 x1  3x 2  6 x3  3x 4  3x5  0;
 2 x  x  3x  4 x  x  0;
 1
2
3
4
5
29 
30
3
x

4
x

8
x

7
x

4
x

0
;
1
2
3
4
5

 4 x1  7 x 2  4 x3  x 4  7 x5  0.
 3x1  2 x 2  x3  x 4  x5  0;
 x  x  2 x  3x  0;

1
2
4
5

 x1  2 x 2  x3  x 4  x5  0;
 x1  x 2  x3  2 x 4  x5  0.
3.2. Примеры выполнения заданий типового расчета
З а д а н и е 1. Вычислить определители 2-го, 3-го и 4-го порядков:
5 1
2
4
0 4
6 0
0 2 ,
3 2
4 11
1 0
1 5
,
3
0
6
2
4
4
0
0
2
1
3
.
Решение.
Для того чтобы вычислить определитель 2-го порядка, воспользуемся
формулой (1.14):
5 1
2
4
 5  4  1  2  22.
Вычисление определителя 3-го порядка произведем по правилу треуголь1 5
ников и воспользуемся формулой (1.15):
3
0
6
0 2  1  0  11  5  (2)  0 
4 11
3  4  6  6  0  0  (1)  4  (2)  3  5 11  161.
Данный определитель 4-го порядка вычислим, пользуясь разложением
определителя по четвертой строке, так как она содержит нули. Воспользуемся
формулой (1.17), применив ее к четвертой строке, получим:
21
a41  A41  a42  A42  a43  A43  a44  A44 .
(3.1)
Согласно условию задачи a41  1, a42  a43  0, a44  3, значит, вычислять
A42 и A43 нет необходимости. Найдем алгебраические дополнения A41 и A44 по
4
2 0
4
2 0
формуле (1.16): A41  (1) 41  0 4 2  34, где определитель 0 4 2 полу2 4 1
2 4 1
чен из данного определителя 4-го порядка вычеркиванием четвертой строки и
0
первого столбца, A44  (1)
4 4
4
2
0
4
2
 6 0 4  72, где определитель 6 0 4
3 2 4
3 2 4
получен из данного определителя 4-го порядка вычеркиванием четвертой строки и четвертого столбца. Осталось подставить данные в формулу (3.1):
0 4
6 0
3 2
1 0
2
4
4
0
0
2
 1  34  3  (72)  182.
1
3
З а д а н и е 2. Решить матричное уравнение 2B  5 AT  7 X  B2  A  4E ,
 3 1 
 2 3 
если A  
, B

 . Сделать проверку решения.
2
0
4

1




Решение.
Из данного уравнения выразим неизвестную матрицу 7 X , для чего все
остальные слагаемые из левой части уравнения перенесем в правую:
7 X  B2  A  4E  2B  5 AT .
(3.2)
 2 3   2 3   b11 b12 
Далее вычислим B 2  
 , где элемент b11
   4 1   b
b
4

1

 
  21 22 
получим следующим образом: элементы первой строки первой матрицы умножим соответственно на элементы первого столбца второй матрицы, затем все
полученные произведения суммируем, в итоге имеем: b11  2  (2)  3  4  16.
22
Аналогичным образом, получаем элементы b12  9, b21  12, b22  13. Откуда
 16 9 
матрица B 2  
.
 12 13 
 3 1 
Проведем операцию транспонирования матрицы A  
 , для чего
2
0


 3 2 
запишем элементы строк в столбцы, получим: AT  
 . Умножая матрицы
1
0


 4 0
 4 6 
на нужные коэффициенты (см. п. 1.3 ), найдем: 4 E  
,
2
B


 8 2  ,
 0 4


 15 10 
 16 9   3 1   4 0 
Получим
уравнение:
5 AT  
.
7
X

 12 13    2 0    0 4  
0 
 5

 
 

 4 6   15 10   2 4 

 5
   13 11  . Здесь алгебраические операции сложения
8

2
0

 
 

и вычитания выполнены поэлементно (подробнее о сумме матриц см. подразд.
 2 4 
1
1.3). Умножив обе части полученного уравнения 7 X  
на
,


13
11
7


4
 2


 7
7
найдем: X  
 . Проведем проверку полученного решения, для чего
  13 11 


7 
 7
подставим найденную матрицу X в данное матричное уравнение:
4
 2
2


 7
 2 3   3 1 
7   2 3   3 1   1 0 
2
  5
  7  13 11    4 1   2 0   4  0 1  . (3.3)
 4 1  2 0 
 
 


 


7 
 7
T
Выполним необходимые вычисления в левой и правой частях полу 4 6   15 10   2 4   16 9 
ченного уравнения (3.3): 
 5
   13 11    12 13  
8

2
0

 
 
 

 4 6   15 10   2 4   16 9   3 1   4 0 




.
 8 2    5
0   13 11   12 13   2 0   0 4 

 
23
Осталось выполнить вычитание и сложение в обеих частях уравнения:
 9 8   9 8 
 10 9    10 9  . Уравнение решено верно.

 

З а д а н и е 3. Найти произведение двух данных матриц:
 1 3
 2 1 3   3 
 2 7




а)  2 3 1   5  , б) 
 1 2
4 2 5   3 


  
 0 5
0 1   2 3 0
1 0   3 3 5 

.
1 1  1 6 0 
 

1 0 

Решение.
а) Определим размеры исходных матриц и согласно правилу из подразд.
1.3 найдем размеры матрицы, равной произведению данных. Первая матрица в
произведении имеет размеры 3 × 3, вторая – 3 × 1, значит, матрица их произве2
дения будет иметь размеры 3 × 1. Таким образом,  2
4

где элементы ci1 (i  1, 2, 3) получены при суммировании
1
3
2
3   3   c11 
1   5    c21  ,
5   3   c31 
произведений элемен-
тов i  ой строки первой матрицы на соответствующие элементы единственного
столбца второй матрицы: c11  2  (3)  (1)  5  3  3  2, c21  2  (3)  3  5 
 2 1 3   3   2 
(1)  3  6, c31  4  (3)  2  5  5  3  13. Значит,  2 3 1   5    6  .
 4 2 5   3   13 

    
б) Определим размеры матрицы, равной произведению данных так, как
это сделано в предыдущем пункте: первая матрица в произведении имеет размеры 4 × 4, вторая – 4 × 3, значит, матрица их произведения будет иметь разме 1 3
 2 7
ры 4 × 3. Таким образом, 
 1 2

 0 5
0 1   2 3 0   c11 c12

1 0   3 3 5   c21 c22


1 1  0 3 3   c31 c32
 
 
1 0   1 6 0   c41 c42
Вычислим элементы cij (i, j  1, 2, 3) по формуле (1.21),
c11  (1)  2  3  (3)  0  0  1  (1)  12;
24
c13 
c23 
.
c33 

c43 
получим:
c12  (1)  3  3  (3)  0  3  1 6  6;
c13  (1)  0  3  6  0  (3)  1 0  18;
c21  2  2  (7)  (3)  1  0  0  (1)  25;
c22  2  3  (7)  (3)  1 3 0  6  30; c23  2  0  (7)  6  1 (3)  0  0  45; c31 
 (1)  2  2  (3)  1  0  (1)  (1)  7;
c32  (1)  3  2  (3)  1  3  (1)  6  11;
c33  (1)  0  2  6  1  (3)  (1)  0  9; c41  0  2  (5)  (3)  1  0  0  (1)  15;
c42  0  3  (5)  (3)  1 3  0  6  18; c43  0  0  (5)  6  1 (3)  0  0  21. Зна-
 1 3
 2 7
чит, 
 1 2

 0 5
0 1   2 3 0   12 6 18 
1 0   3 3 5   25 30 45 


.
1 1  0 3 3   7 11 9 
 
 

1 0   1 6 0   15 18 21 
 1 0 2 
З а д а н и е 4. а) Найти матрицу, обратную к матрице  3 3 3  , и сде 1 1 1 


 4 2   3 1 
лать проверку; б) решить матричное уравнение X  

 , сделать
 1 3 1 2
проверку.
Решение.
а) Вычислим определитель данной матрицы, которую обозначим через A.
Процесс вычисления проведем так же, как и в задании 1, т. е. воспользуемся
det A  (1)  3  (1)  0  3 1  3 1 (2)  (2)  3 1  3  0 1 
правилом
(1.15):
(1) 1  3  6. Поскольку определитель матрицы не равен нулю, матрица невы-
рождена, обратная матрица существует и вычисляется по формуле (1.24).
Найдем все нужные алгебраические дополнения так, как это описано при
вычислении определителя 4-го порядка в задании 1, получим:
A11  (1)11 
3
3
1 1
A21   (1)21 
A31   (1)31 
 6; A12  (1)12 
0 2
1 1
0 2
3
3
3
3
1 1
 2; A22  (1)22 
 6; A32  (1)32 
25
 6; A13  (1)13 
1 2
1
1
1 2
3
3
3 3
1 1
 3; A23  (1)23 
 3; A33  (1)33 
 0;
1 0
1
1
1 0
3
3
 1;
 3.
 6 6 0 
1
В результате получим матрицу A   2 3 1  . Тогда A1 
AT 
det A
 6 3 3 


 1  1
1 
3
 6 2 6  

1

1
  6 3 3    1
 1 .
2
2

6
 
0
1

3


1
0
1 
6
2

Выполним проверку, перемножив исходную матрицу и обратную к ней,
 1  1
1 
3
 1 0 2  
 1 0 0


1
полученную выше: A  A1   3 3 3    1
 1    0 1 0  .
2
2
 1 1 1  
0 0 1

 0

1
1  
6
2

б) Вычислим матрицу, обратную к матрице
 4 2 
A
 , для этого
1
3


 3 1 
найдем определитель det A  14, союзную матрицу A  
 и транспо 2 4 
 3 2 
нированную матрицу AT  
 (для получения транспонированной союз 1 4 
ной матрицы второго порядка достаточно в исходной матрице поменять местами элементы на главной диагонали и изменить знаки на противоположные у
элементов побочной диагонали). Итак, A1  
1  3 2 

 . Для получения мат14  1 4 
рицы X обе части данного матричного уравнения умножим на матрицу A1
справа, так как в силу отсутствия коммутативности произведения необходимо,
чтобы матрицы A и A1 оказались рядом. Далее, используя ассоциативность умножения, расставим скобки нужным образом:
26
  4 2 
X 

1
3


 1   3 2    3 1   1  3 2  
   
  
 
 ;
 14   1 4    1 2   14  1 4  

1   3 1   3 2  
1  8 10 





 


.
14   1 2   1 4  
14  1 10 
 3 1   1  3 2  
X E 
     1 4   
1
2

  14 

10 
8
14
14 
Получаем: X  
.
 1
10 
 14
14 
Выполним проверку, подставив найденную матрицу X в исходное матричное уравнение:




  8  (4)  10
10 
8
 1  8  2  10
 3  3 1 

4
2


14
14
14
14
14
14





.


  1 2 
 1
10   1 3    1  (4)  10  1
10
1

2
3
 14
14 

14
14
14
14 
 x  2 y  z  8;

З а д а н и е 5. Решите систему уравнений 3x  2 y  3z  5; тремя спосо 3x  4 y  5 z  10

бами: а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.
Решение.
1 2 1 
а) Составим матрицу системы A   3 2 3  и вычислим ее определи 3 4 5 


8 2 1
1 8 1
тель det A  76. Вычислим  x  5 2 3  146;  y  3 5 3  142;
10 4 5
3 10 5
1 2 8
 z  3 2 5  178 так, как это сделано в примере 8 (в  x вместо первого
3 4 10
столбца поставлен столбец свободных членов, в  y – вместо второго, в  z –
вместо третьего). Далее по формулам (2.6) находим: x 

146 73
142
 ; y

76 38
76
71
178 89
; z
 .
38
76 38
б) Запишем данную систему уравнений в матричном виде:
27
1 2 1   x   8 
 3 2 3    y    5  .

    
 3 4 5   z   10 

    
(3.4)
1 2 1 
Найдем матрицу, обратную к матрице системы A   3 2 3  , для
 3 4 5 


этого проведем вычисления, аналогичные вычислениям в задании 4 а, и полу 22 14 4 
1
 24 2
чим: A1 
6  . Осталось обе части уравнения (3.4) умножить

76 

 6 10 8 
 22 14 4    1 2 1   x    8 
1
 24 2
    3 2 3    y     5  .
на A1 слева, получим:
6
 
    
76 


    

 6 10 8    3 4 5   z    10 
Применив в левой части уравнения свойство ассоциативности умножения, по
 22 14 4   1 2 1    x 
 22 14 4   8 
1 
 1 

лучим: 
24 2
6    3 2 3     y  
24 2
6    5  .


 76  6 10 8   3 4 5    z  76  6 10 8   10 

 
  

  

 146
  73 
76   38 
 x
 22 14 4   8 
 146  
1 
1 
   71  .
24 2
6    5  
. 142    142
И далее:  y  

76   38 

 z  76  6 10 8   10  76  178  
  89 
 

  

  178
76   38 

1 2 1 8 


в) Составим расширенную матрицу системы  3 2 3 5  и приведем
 3 4 5 10 


ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований над строками так, как это показано в примере 11. В цепочках преобразований будем использовать запись: II  III  4  II, которая означает, что к элементам второй
строки прибавляются соответствующие элементы третьей строки, умноженные
на 4, и результат записывается во вторую строку.
28
Получим
цепочку
1 2
1 8 


 0 8 6 29 
 0 10 2 14 


преобразований:

ход
метода
Гаусса:
1 2
1 8 


 0 2 8 15 
 0 10 2 14 


II  III  II
1 2 1
8 


15
0
1

4

III   1
 III

2
38
 0 0 38


89



1 2 1 8 


 3 2 3 5 
 3 4 5 10 


II  I  3  II;
III  I  3  III
II  1  II;
2
III  II  5  III


1 2 1 8 
 0 1 4 15  . Выполним обратный
2

 0 0 1 89 


38 



8
1
2
1


 0 1 4 15 
2

 0 0 1 89 


38 

II  III  4  II;
I  II  2  II


23
1
0
9


 0 1 0 71 
38 

 0 0 1 89 


38 


73 
 1 0 0 38 
73
71
89
I  III  9  I  0 1 0 71  . Итак, получили ответ: x  ; y  ; z  .
38


38
38
38
 0 0 1 89 


38 

З а д а н и е 6.
Решить однородную систему линейных уравнений:
 2 x  y  3z  0;

 3x  2 y  z  0;
 x  4 y  7 z  0.

Решение.
Найдем определитель матрицы системы: det A  10  0. Значит, ранг матрицы системы равен 3. Так как система однородная, ранг расширенной матрицы системы также равен 3, это означает, что данная система уравнений имеет
единственное решение: x  y  z  0.
29
З а д а н и е 7. Дана однородная система линейных уравнений:
 x1  3x2  x3  2 x4  x5  0;
 2 x  x  x  2 x  3x  0;
Найти: а) общее решение; б) любое частное
 1 2 3
4
5

 x1  5 x2  x3  x4  2 x5  0; решение; в) фундаментальную систему реше
2 x1  x2  2 x3  3x4  2 x5  0. ний.
Решение.
а) Применим метод Гаусса и приведем данную матрицу системы к сту 1 3 1 2 1 
 2 1 1 2 3  II  I  2  II;
 III  I  II;
пенчатому виду: 
 1 5 1 1 2 

 IV  I  2  IV
2

1
2

3
2


III  II  II;
II  III
 1 3 1 2 1 
 0 1 1 3 6 


 0 7 3 6 5 


0 5 0 1 0 
 1 3

IV   1  III;  0 1
5

III  IV  2  IV  0 0
0 0



 1 3
0 1

0 0

 0 0

1
2
1
3
1 16
0
1
5
III  II  7  II;
IV  II  5  IV
 1 3 1 2 1 
 0 7 3 6 5 


 0 8 2 3 1 


0 5 0 1 0 
 1 3 1
0 1
1

 0 0 10

 0 0 5
2 1 
3 6 
27 47 

16 30 
2
1
1
3
6 
IV   1  IV
5
1 16
6
5

0
5 13 
1


1 
6 
6 .

13  Преобразованная матрица системы показывает, что
5
неизвестные x1, x2 , x3 , x4 являются базисными, а неизвестная x5 – свободной.
Обозначив свободную неизвестную через x5  c, выразим базисные неизвестные: x4  13 c; x3  16 x3  6c  16  13 c  6c  58 c; x2   x3  3x4  6c 
5
5
5
5
25
30
  58
25


c  3  13 c  6c  13 c; x1  3x2  x3  2 x4  c  3  13 c  58 c 
5
25
25
25
2  13 c  c  8 c. Таким образом, общее решение системы уравнений имеет
5
25
вид: x1  8 c; x2  13 c; x3  58 c; x4  13 c; x5  c, c  R.
25
25
25
5
б) Для поиска частного решения системы достаточно в общее решение,
полученное выше, подставить произвольное значение свободной неизвестной,
например, положим: c  25, тогда частным решением данной однородной си-
стемы уравнений будет следующее: x1  8; x2  13; x3  58; x4  65; x5  25.
в) Согласно формуле (2.15) фундаментальная система решений в данном
случае будет состоять из одного вектор-столбца. Положив значение единствен 8

 25 
 13 
25 

ной свободной неизвестной x5  1, получим: X  C   58  , где C  R.

25 
 13 

5 
 1 


3.3. Творческие задачи
1) Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенств:
sin 2 
cos 2 
cos 2
а) 2 3 2  2 3 2 ; б) sin 2 
4 5 3
4 5 11
sin 2 
cos 2 
cos 2   0.
cos 2 
cos 2
3
2 1
3
2
7
2) Найти все корни уравнения (решить уравнение):
1
1
1
1 1
1
1
1 1 x
1
1 1 x
1
1
 0; б) 1
а)
1
2 x
1 1
2 x
1
... ...
...
1 1
1
3 x
1
1
1
31
...
1
...
1
...
1
...
...
... ( n  1)  x
 0.
3) Вычислить определитель:
2
1
0
0 ... 0
3
2
0
0 ... 0
1
2
1
0 ... 0
1
3
2
0 ... 0
а) 0 1 2 1 ... 0 ; б) 0 1 3 2 ... 0 .
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 2
0 0 0 0 ... 3
4) Найти сумму алгебраических дополнений всех элементов определитеa1
0
ля: а) 0
0
a2
0
a1 0 0 ... 0
0 a2 0 ... 0
0 ; б)
.
... ... ... ... ...
a3
0 0 0 ... an
0
 1 1
 cos 
5) Выполнить действия: а) 
б)
;

 sin 
 0 1

n
 sin  
.
cos  
n
 2 1
6) Найти f  A : а) f ( x)  x 2  5 x  3, A  
; б) f ( x)  x 2  x  1,

 3 3 
2 1 1
1 2
1 x
A   3 1 2  ; в) f ( x) 
, A
.
2
1
1

x


 1 1 0 


7) Доказать, что если A  B  B  A, то а)  A  B   A2  2 A  B  B 2 ;
2
б) A2  B2   A  B    A  B .
 1 1
8) Найти все матрицы, коммутирующие с матрицей A, где A  
.
0
1


9) Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой
матрице.
10) Матрица A второго порядка удовлетворяет уравнению:
A2  2 A  E  0. Доказать, что det A  0, найти A1.
32
2 x1  x2  x3  x4  1;

11) Подобрать  так, чтобы система уравнений  x1  2 x2  x3  4 x4  2;
 x  7 x  4 x  11x  
2
3
4
 1
была совместна.
12) Определить, при каких значениях a и b система уравнений
3x  2 y  z  b;

5 x  8 y  9 z  3;
2 x  y  az  1

а) имеет единственное решение; б) не имеет решений;
в) имеет бесконечное множество решений.
 x  y  z  1;

13) Решить систему уравнений:  x   y  z   ;

2
x  y   z   .
3.4. Ответы к творческим задачам
3. а) n  1; б) 2n1  1.
2. б) x1  0, x2  1,..., xn1  n  2.
1
1 1
1 1
1 
4. а) a1a2  a1a3  a2a3  a1a2a3     ; б) a1a2 ...an    ...   .
an 
 a3 a2 a1 
 a1 a2
 sin n 
.
cos n 
5 1 3
0 0
 1 1
6. а) 
; б)  8 0 3  ; в) 

.
0
0

1

1




 2 1 2 


a b 
9. 
, b  c  a 2 .

 c a 
 1 0 
10. det A  1  0, A1  
 . 11.   5.
0

1


1 n
 cos n
5. а) 
; б) 

0 1
 sin n
a b
8. 
.
0
a


12. а) a  3; б) a  3, b  1 3; в) a  3, b  1 3.
 1
1
   1 .
x
; y
; z
2
2
2
2
33
13. Если
   1   2  0;
Библиографический список
1. В и л е н к и н И. В. Высшая математика для студентов экономических,
технических, естественнонаучных специальностей вузов / И. В. В и л е н к и н,
В. М. Г р о б е р. Ростов-на-Дону: Феникс, 2004.
2. В ы г о д с к и й М . Я . Справочник по высшей математике / М. Я. В ыг о д с к и й. М.: Астрель АСТ, 2005.
3. И л ь и н В. А. Линейная алгебра / В. А. И л ь и н, Э. Г. П о з н я к.
М.:Физматлит, 2004.
34
Учебное издание
ФИЛИМОНОВА Тамара Алексеевна,
ЦАРЕГОРОДЦЕВ Евгений Алексеевич,
ШВЕД Елена Анатольевна
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Часть 2
_______________________________
Редактор Н. А. Майорова
Корректор И. А. Сенеджук

Подписано в печать
.04.2014. Формат 60  84 1/16.
Офсетная печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,2. Уч.-изд. л. 2,4.
Тираж 1000 экз. Заказ 112.
**
Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа
Типография ОмГУПСа

644046, г. Омск, пр. Маркса, 35
35
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
738 Кб
Теги
1274
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа