close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1565

код для вставкиСкачать
МЕТРОЛОГИЯ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ЧАСТЬ 1
ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
ОМСК 2014
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
МЕТРОЛОГИЯ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Часть 1
ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Учебное пособие
Омск 2014
УДК 621.317(075.8)
ББК 30.10я73
М54
Каштанов А. Л. Метрология и электрические измерения: Часть 1.
Виды измерений. Обработка результатов наблюдений Учебное пособие /
А. Л. Каштанов, А. А. Комяков, А. А. Кузнецов, О. Б. Мешкова, Д. В. Пашков;
Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2014. 68 с.
Целью издания учебного пособия является оказание помощи студентам при
изучении научно-технических, методических и организационных основ метрологии, стандартизации и сертификации. В первой части учебного пособия рассмотрены правила обработки результатов измерения, виды измерений и способы
достижения единства измерений.
Приведены элементы теории, типовые примеры, задания для самостоятельной работы и методические указания для проведения лабораторных работ
по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация».
Предназначено для студентов очной и заочной форм обучения, обучающихся по специальностям 190901.65 – «Системы обеспечения движения поездов» (специализации «Электроснабжение железных дорог» и «Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте»), 190300.65 – «Подвижной состав железных дорог» (специализация «Электрический транспорт железных дорог»), направлениям бакалавриата 140400 – «Электроэнергетика и электротехника», 221700 – «Стандартизация и сертификация», 200100.62 – «Приборы и методы контроля качества и диагностики».
Библиогр.: 6 назв. Табл. 21. Рис. 16. Прил. 4.
Рецензенты: доктор техн. наук, профессор К. К. Ким;
доктор техн. наук, профессор Л. Н. Степанова;
доктор техн. наук, профессор А. В. Бородин.
ISBN 978-5-949-41094-3
© Омский гос. университет
путей сообщения, 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ........................................................................................................... 5
1. Основные сведения из теории...................................................................... 6
1.1. Основные понятия метрологии ........................................................... 6
1.2. Классификация погрешностей измерения ......................................... 7
1.3. Систематическая погрешность ............................................................ 8
1.4. Случайная погрешность ..................................................................... 13
1.5. Грубые погрешности (промахи) ........................................................ 15
1.6. Виды измерений .................................................................................. 17
1.7. Обработка результатов однократных наблюдений ......................... 18
1.8. Обработка результатов многократных наблюдений ....................... 21
1.9. Обработка результатов косвенных измерений ................................ 23
2. Задания для самостоятельного решения ................................................... 27
2.1. Задача № 1. Обработка результатов однократных наблюдений .... 27
2.2. Задача № 2. Обработка результатов прямых измерений, содержащих случайные погрешности.................................................................... 29
2.3. Задача № 3. Обработка результатов косвенных измерений......... 31
3. Лабораторный практикум........................................................................... 34
Лабораторная работа 1. Определение метрологических характеристик электроизмерительных приборов ..................................................... 34
Лабораторная работа 2. Обработка результатов однократных
наблюдений ...................................................................................................... 38
Лабораторная работа 3. Измерение сопротивлений методом
двух приборов .................................................................................................. 44
Лабораторная работа 4. Обработка результатов многократных
наблюдений входного сопротивления электрических цепей ..................... 49
Библиографический список ......................................................................... 62
Приложение 1. Функция распределения Лапласа ....................................... 63
Приложение 2. Функция распределения Стьюдента ................................... 64
Приложение 3. Коэффициенты Стьюдента .................................................. 65
Приложение 4. Правила округления результата измерения ....................... 67
ВВЕДЕНИЕ
На предприятиях железнодорожного транспорта широко используются
различные виды средств измерения. Перед выполнением любого измерения
проводится планирование эксперимента с последующей обработкой результата.
В законе «О техническом регулировании» важное место отводится обеспечению единства выполняемых измерений.
Правильность планирования и проведения измерительного эксперимента
в условиях железнодорожного транспорта имеет важное значение, поскольку
результаты измерений имеют не только количественное, но и стоимостное выражение. Так, при неправильной организации учета потребляемой электроэнергии потери могут значительно превышать затраты на правильную организацию
измерений. Выполнение требований точности при измерениях в устройствах
автоматики и телемеханики обеспечивает безопасность перевозок.
Целью данного учебного пособия является оказание помощи студентам
при выполнении лабораторных работ, индивидуальных заданий, в овладении
практическими навыками при организации измерений и обработке результатов
при различных видах измерений.
Материал в пособии представлен тремя разделами: основные сведения из
теории, задания для самостоятельного решения и лабораторный практикум.
Теоретический материал первой части учебного пособия представлен
разделами обработки однократных измерений, измерений, содержащих случайные погрешности, и косвенных измерений. Приводится классификация
погрешностей и методов измерения. Приведенные сведения из теории соответствуют положениям, принятым в нормативных документах.
Настоящее пособие предназначено для студентов очной и заочной форм
обучения. Студентам заочного обучения рекомендуются задачи из раздела «Задания для самостоятельного решения» (стр. 27, 29, 31). Номера вариантов выбираются в соответствии с двумя последними цифрами шифра студента.
При выполнении заданий следует соблюдать требования стандартов по
оформлению электрических схем и пояснительной записки (СТП ОмГУПС-1.2).
1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1.1. Основные понятия метрологии
В документе РМГ 29-99 «Метрология. Основные термины и определения» [1] дано такое определение метрологии: «Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения
требуемой точности».
Метрология делится на три взаимодополняющих раздела, основным из
которых является «Теоретическая метрология». В нем излагаются общие вопросы теории измерений. Раздел «Прикладная метрология» посвящен изучению
вопросов практического применения результатов теоретических исследований
в различных сферах. В разделе «Законодательная метрология» рассматриваются правила, требования и нормы, нуждающиеся в контроле со стороны государственных организаций.
Основным инструментом метрологии является измерение – это операции
по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, обеспечивающие определение соотношения (в явном или неявном виде)
измеряемой величины с ее единицей измерения и получение значения этой величины.
Таким образом, центральной проблемой метрологии является нахождение
значения физической величины, которое в метрологии подразделяется на три
вида: истинное, действительное и измеренное значения.
Истинное значение физической величины xи – это значение, которое
идеальным образом отражает в качественном и количественном отношениях
соответствующие свойства объекта измерения. Истинное значение существует
и оно постоянно, однако измерить его невозможно – философский аспект метрологии. Поэтому на практике истинное значение заменяют действительным
значением xд , которое может быть найдено экспериментальным путем, например, с помощью более точных (образцовых) средств измерения (СИ). В дальнейшем действительное значение мы будем обозначать x0 .
Измеренное значение физической величины x – это значение, полученное по отсчетному устройству любого рабочего СИ.
1.2. Классификация погрешностей измерения
При практическом использовании тех или иных видов измерения важно
оценить их точность. Точность измерения – одна из характеристик качества
измерения, отражающая близость к нулю погрешности результата измерения.
Для количественной оценки точности используется понятие «погрешность измерения». Оценка погрешности измерения – одно из важных мероприятий по
обеспечению единства измерения.
Количество факторов, влияющих на точность измерений, достаточно велико, поэтому классификация погрешностей измерения является чрезвычайно
обширной. Для практических целей важно рассмотреть виды погрешностей,
выраженных в абсолютных и относительных единицах в зависимости от характера их проявления.
Различают следующие виды погрешностей:
абсолютная погрешность измерения – это отклонение результата измерения x от истинного (действительного) значения измеряемой величины:
  x  x0 ;
(1.1)
относительная погрешность измерения – это отношение абсолютной
погрешности к действительному или измеренному значению:
 


100 % или    100 % ;
x0
x
(1.2)
приведенная погрешность измерения – это отношение абсолютной погрешности к нормированному значению:
 

100 % .
xN
(1.3)
В зависимости от характера проявления, источников возникновения и
возможности устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также грубые погрешности (промахи).
1.3. Систематическая погрешность
Систематическая погрешность – составляющая погрешности результата измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при
повторных измерениях одной и той же физической величины.
Систематические погрешности принято классифицировать по трем признакам.
1. По характеру поведения в процессе измерения выделяют постоянные и
переменные систематические погрешности.
Постоянные систематические погрешности возникают, например,
при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке СИ и
остаются постоянными при всех повторных наблюдениях. Поэтому, если они
возникли, их очень трудно обнаружить в результатах наблюдений.
Среди переменных систематических погрешностей принято выделять
прогрессивные и периодические.
Прогрессивная погрешность возникает, например, при взвешивании, когда одно из коромысел весов находится ближе к источнику тепла, чем другое,
поэтому быстрее нагревается и удлиняется. Это приводит к систематическому
сдвигу начала отсчета и к монотонному изменению показаний весов. Другой
пример – постепенный разряд аккумуляторных батарей, питающих СИ.
Примером периодической погрешности может быть погрешность, возникающая вследствие суточных колебаний напряжения питающей сети, температуры окружающей среды и т. п.
Все остальные виды систематических погрешностей принято называть
погрешностями, изменяющимися по сложному закону.
2. В зависимости от причин возникновения различают методические, инструментальные и личностные погрешности.
Методическая погрешность обусловлена несовершенством выбранного
метода измерения или некорректностью расчетных формул. Например, при измерении неизвестного сопротивления rx методом двух приборов по схеме,
представленной на рис. 1.1, возникает методическая погрешность, связанная с
наличием внутреннего сопротивления амперметра rA .
Инструментальная погрешность возА
никает из-за собственной погрешности СИ, определяемой его классом точности.
rА
Личностная (субъективная) погрешrx ность связана с индивидуальными особенноV rV
стями оператора. Как правило, эта погрешность
возникает из-за ошибок в отсчете показаний и
недостаточных навыков оператора.
3. По возможности устранения различают
Рис. 1.1. Измерение
следующие виды систематических погрешностей:
сопротивления методом
учитываемые погрешности, неисключенные осдвух приборов
татки систематической погрешности.
Учитываемые погрешности можно устранить из результата измерения
путем введения поправок. Согласно РМГ 29-99 поправка  – это значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения х с целью исключения
составляющих систематической погрешности. Поправка рассматривается как известное значение систематической погрешности, взятое с обратным знаком:
  c .
(1.4)
Уточненное путем введения поправок значение величины называется исправленным результатом измерения:
x  x  .
(1.5)
В практических расчетах исправленный результат измерения может считаться действительным значением физической величины x0 .
Неисключенные остатки систематической погрешности (НСП) остаются в результате измерения после введения поправок. Результирующее значение НСП характеризуется его границами рез (рис. 1.2).
x  рез
x
x  рез
x
Рис. 1.2. Границы неисключенных остатков систематической погрешности
При оценке границ неисключенных остатков систематической погрешности в соответствии с требованиями ГОСТ Р 8.736-2011 их рассматривают как
случайные величины. При равномерном распределении неисключенных остатков систематической погрешности относительные значения границ определятся
по выражению:
рез  k
m
b 
i 1
2 2
i i
,
(1.6)
где k – поправочный коэффициент, зависящий от числа компонентов m и доверительной вероятности Рд (табл. 1.1);
i – значение погрешности i-й составляющей НСП;
bi – коэффициент влияния i-го слагаемого на конечный результат. Если нет
данных о степени влияния каждой составляющей НСП, то указанный коэффициент принимают равным единице.
Т а б л и ц а 1.1
Значения коэффициента k в зависимости от числа слагаемых и
доверительной вероятности Рд
Число
слагаемых m
2
3
4
5
6
…

Значение погрешности k при доверительной вероятности Рд
0,9
0,95
0,99
0,9973
0,97
1,10
1,27
1,34
0,96
1,12
1,37
1,50
0,96
1,12
1,41
1,58
0,96
1,12
1,42
1,61
0,96
1,12
1,42
1,64
…
…
…
…
0,95
1,13
1,49
1,73
Результирующее значение границ НСП описывается выражением:
рез 
рез x
100
.
(1.7)
Оценка систематической погрешности представляет собой достаточно
трудную метрологическую задачу. Важность ее определяется тем, что знание
систематической погрешности позволяет внести соответствующую поправку в
результат измерения и тем самым повысить его точность. Трудность же заключается в сложности обнаружения систематической погрешности, поскольку она
не может быть выявлена путем повторных измерений.
Как правило, систематическую погрешность стараются исключить непосредственно в процессе измерения. Для этого применяется ряд методов, например, метод замещения, метод противопоставления (перестановки), метод компенсации погрешности по знаку, метод рандомизации и др. Рассмотрим некоторые из них.
Метод замещения. Этот метод является одним из наиболее распространенных. Суть метода – производится сравнение путем замены измеряемой величины известной величиной таким образом, чтобы воздействием известной
величины привести средство измерения в то состояние, которое оно имело при
воздействии измеряемой величины.
Например, необходимо определить массу груза, используя пружинные
весы, у которых имеется постоянная систематическая погрешность, например,
вследствие изменения упругости пружины или смещения шкалы (рис. 1.3).
MX
MN
а
б
Рис. 1.3. Схема метода замещения
Измерения проводятся в два этапа. Вначале (рис. 1.3, а) на чашу весов помещают груз Мх, массу которого необходимо определить, и отмечают положение указателя. Затем груз замещают набором гирь общей массой МN таким образом, чтобы указатель оказался в прежнем положении (рис. 1.3, б). Очевидно,
что при одинаковом отклонении указателя Мх = МN постоянная систематическая погрешность не окажет влияния на результат измерения.
Метод противопоставления (перестановки) заключается в том, что измерения проводят два раза, причем так, чтобы причина, вызывающая погреш-
ность при первом измерении, оказала противоположное действие на результат
второго измерения. В качестве примера рассмотрим взвешивание на равноплечих
весах (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Взвешивание груза с использованием метода
противопоставления (перестановки)
Условие равновесия весов:
M X l1  M N l2 ,
(1.8)
где Мх – неизвестная масса груза;
МN – масса набора гирь;
l1 и l2 – длина плеч.
Если длина плеч одинакова, то Мх = МN, если нет, то при взвешивании
каждый раз возникает систематическая погрешность. Для исключения этой
погрешности взвешивание проводится в два этапа. Первый этап – уравновешивание груза Мх гирями массой МN1:
M X l1  M N1l2 .
(1.9)
Второй этап – повторное уравновешивание весов после перемещения груза
Мх на ту чашу весов, на которой были гири. Равновесие будет достигнуто при использовании гирь массой МN2:
M N 2l1  M X l2 .
(1.10)
Разделив уравнение (1.7) на (1.8), получим:
M X  M N 1M N 2 .
(1.11)
Как видно из полученного выражения (1.11), длина плеч не входит в окончательный результат взвешивания.
В тех случаях, когда не представляется возможным исключить систематическую погрешность непосредственно в процессе измерения, ее оценивают
при обработке результатов измерения. Такая задача в каждом конкретном случае решается индивидуально.
1.4. Случайная погрешность
В соответствии с РМГ 29-99 случайная погрешность – это составляющая
погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по
знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью.
Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений легко обнаруживается из-за разброса относительно некоторого значения в ходе многократных измерений. Для анализа случайных погрешностей применяются методы теории вероятности и математической статистики.
В качестве действительного значения при анализе случайных погрешностей выступает среднее арифметическое значение
n
x
x
i
i 1
n
,
(1.12)
где хi – значение величины, полученное в результате i-го эксперимента;
n – количество выполненных измерений (объем выборки).
Для оценки рассеяния отдельных результатов измерения xi относительно
среднего значения определяют среднее квадратическое отклонение (СКО) результата измерения:
n
S
(x  x )
i 1
2
i
n 1
.
(1.13)
Для оценки возможного отклонения среднего арифметического значения
от истинного значения рассчитывают СКО среднего арифметического:
Sx 
S
.
n
(1.14)
При обработке результатов измерений, содержащих случайную погрешность, необходимо иметь информацию о законе распределения случайной
величины. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны. Выявлено более 200 фактических распределений случайных погрешностей, имеющих место при измерении электрических и неэлектрических величин
разнообразными приборами.
В практике измерений наиболее часто встречаются равномерный и нормальный законы распределения, а также распределение Стьюдента.
Равномерное распределение (рис. 1.5, а) имеют погрешности квантования в цифровых приборах, округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора. Плотность равномерного распределения определяется по выражению:
 1
, x   a; b ;

p ( x)   b  a
0,
x   a; b .

(1.15)
Распределение Стьюдента (рис. 1.5, б) применяется при анализе случайных погрешностей, когда число наблюдений относительно невелико
(2 < n < 20). Плотность распределения Стьюдента характеризуется формулой:
n
n

Г( )
2
2


x
2
p ( x) 
1 
 .
n 1
n

1


Г(
)  (n  1)
2
(1.16)
При увеличении n распределение Стьюдента переходит в нормальное
распределение (распределение Гаусса).
р(x)
0
р(x)
a
x
а
b
x 0
x
б
x
Рис. 1.5. Графики плотности распределения случайных величин:
а – равномерный закон; б – закон распределения Стьюдента, нормальный закон
Нормальное распределение (см. рис. 1.5, б) наиболее распространено в
практике электрических измерений. Этот закон характеризуется действием совокупности влияющих факторов, каждый из которых не является существенно
преобладающим.
Нормальный закон распределения случайной погрешности описывается
выражением для плотности распределения случайной величины:
p ( x) 
1
Sx
 ( x  x )2 
 exp  
.
2
2
S
2
x


(1.17)
Как правило, если число измерений n ≥ 20, то результаты измерений распределены по нормальному закону.
Если Рд означает вероятность того, что среднее значение результата измерения x отличается от истинного на величину не более чем  , то в этом случае Рд называют доверительной вероятностью, а интервал от ( x   ) до
( x   ) – доверительным интервалом.
Связь между доверительной вероятностью и доверительным интервалом
описывается следующими выражениями:
если число измерений больше или равно 20, то
 2  c 
1     c 
Pд  Ф  1

Ф


  ;
2   S x 
S
x

 
(1.18)
если число измерений меньше 20, то
   c 
 2  c 
Pд  Fn  1

F

  1 .
n
 S
 S

x


x

(1.19)
В выражениях (1.18), (1.19) 1 ,  2 – границы доверительного интервала;
Ф  z  – функция распределения Лапласа, значения которой для различных Pд
представлены в прил. 1; Fn  t  – функция распределения Стьюдента, значения
которой в зависимости от Pд и n приведены в прил. 2;  c – систематическая
погрешность.
1.5. Грубые погрешности (промахи)
Грубая погрешность (промах) – это случайная погрешность, которая для
данных условий резко отличается от остальных результатов ряда наблюдений.
Такая погрешность, как правило, возникает из-за ошибок или неправильных
действий оператора (его психофизиологического состояния, неверного отсчета,
ошибок в записях или вычислениях, неправильного включения приборов или
сбоев в их работе и др.). Возможной причиной возникновения промахов могут
быть кратковременные резкие изменения условий проведения измерений.
Для оценки промахов применяется ряд критериев.
Если число наблюдений больше 20, то можно воспользоваться правилом
трех сигм. По этому критерию считается, что если при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера сомнительное показание x*
отличается от среднего арифметического значения x более чем на 3S, то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным и должно быть исключено из массива данных:
x*  x  3S .
(1.20)
Второй способ применяется при небольшом количестве экспериментальных данных (менее 20), он основан на критерии Романовского:
x*  x
S
 т ,
(1.21)
где  т – теоретическое значение критерия Романовского, принимаемое по
табл. 1.2 в зависимости от числа измерений и вероятности.
Т а б л и ц а 1.2
Теоретические значения критерия Романовского
Вероятность
Р
Число измерений n
4
6
8
10
12
15
20
0,99
0,98
0,95
0,9
1,73
1,72
1,71
1,69
2,16
2,13
2,10
2,00
2,43
2,37
2,27
2,17
2,62
2,54
2,41
2,29
2,75
2,66
2,52
2,39
2,90
2,80
2,64
2,49
3,08
2,96
2,78
2,62
Если неравенства (1.20) и (1.21) выполняются, то x* считается промахом.
1.6. Виды измерений
В зависимости от способа обработки экспериментальных данных измерений для получения результата различают следующие виды измерений: прямые,
косвенные, совместные и совокупные. Они же в зависимости от числа измерений делятся на однократные и многократные.
Прямое измерение  это измерение, при котором значение величины находят непосредственно из опытных данных.
Пример прямого измерения: измерение напряжения вольтметром, длины – линейкой, температуры – термометром.
Косвенное измерение  это определение искомого значения физической
величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной. При косвенном измерении значение измеряемой величины получают путем решения уравнения
Y  F( x1 , x2 , x3 , ..., xn ) , где x1 ,x2 ,x3 ,...,xn  значения величин, полученные в ре-
зультате прямых измерений.
Пример косвенного измерения: сопротивление резистора определяют из
U
выражения rx  , в которое подставляют результат прямых измерений падеI
ния напряжения U и протекающего через резистор тока I (см. рис. 1.1).
Совместные измерения  одновременные измерения значений нескольких неодноименных величин для определения зависимости между ними.
Например, требуется определить градуировочную характеристику термосопротивления. Выбирается зависимость вида rt  r0 (1  At  Bt 2 ) . Измеряется сопротивление при трех различных значениях температуры. Из системы трех уравнений определяют r0, А, В.
Совокупные измерения  одновременное измерение нескольких значений
одноименных величин, при котором искомое значение находят решением
системы уравнений, составленных по результатам прямых измерений различных сочетаний значений этих величин. Например, необходимо измерить сопротивления rab , rbc , rca , включенные по схеме треугольника. Прямым методом измеряют сопротивления rвх1, rвх2 , rвх3 (рис. 1.6), составляют систему уравнений с
тремя неизвестными:

(rвс  rса )rав
r

;
 вх1
r

r

r
ав
вс
са


(rав  rса )rвс
r

;
 вх 2
r

r

r
ав
вс
са


(r  r )r
rвх3  ав вс са .
rав  rвс  rса

a
rвх1
rвх3
rса
rав
(1.22)
c
в
rbс
rвх2
Рис. 1.6. Пример совокупного метода
измерения
Решение системы уравнений (1.22) позволяет найти искомые сопротивления rab , rbc , rca .
1.7. Обработка результатов однократных наблюдений
При однократных наблюдениях результат измерения может содержать
только систематическую погрешность, случайная погрешность отсутствует. Задача обработки результатов однократных измерений включает в себя следующие основные этапы:
1) определение методической погрешности измерений;
2) внесение поправки в результат измерения;
3) определение НСП и оценка их результирующего значения;
4) запись результата измерения с учетом доверительных границ НСП.
Рассмотрим порядок обработки однократных измерений на примере
следующей задачи.
Пример.
Производится однократное измерение напряжения на резисторе r (рис. 1.7). Известно:
r = (50  1) Ом, вольтметр имеет внутреннее сопротивление rv = 5 кОм, измеренное с относительной погрешностью rv = 0,5 %. Номинальное
значение вольтметра UN = 15 В, класс точности
I  const
J
r
V rv
Рис. 1.7. Измерение
напряжения на резисторе
kп = 1 %, шкала равномерная, максимальное число делений αmax = 150 дел.
Вольтметр показал значение U = 12,3 В. Необходимо записать результат измерения для доверительной вероятности 0,95.
Решение.
В данной задаче методическая погрешность является составляющей систематической погрешности и возникает из-за наличия в схеме вольтметра с конечным значением внутреннего сопротивления. В соответствии с выражением
(1.1) абсолютное значение методической погрешности определится по формуле:
мет  U  U 0 ,
(1.23)
где U0 = Ir – действительное значение напряжения на резисторе, которое определяется из условия rv = ∞.
Измеренное значение U определится по выражению:
U I
r  rv
.
r  rv
(1.24)
Подставив U и U0 в формулу для определения мет, получим:
 r  rv

r2
.
 мет  I 
 r   I
r

r
r

r
v
v


(1.25)
Значение I неизвестно, поэтому от абсолютных значений перейдем к относительным, т. е. вычислим относительную методическую погрешность:
мет
r2
I
 мет
r  rV
r

100 % 
100 %  
100 % .
U
Ir
r  rV
(1.26)
Таким образом, относительная погрешность не зависит от показаний приборов и от значения тока и напряжения в схеме, она зависит только от соотношения сопротивлений.
Зная мет, найдем мет и, следовательно, поправку 
   мет 
cU
r

U;
100 % r  rV
  0,122 В.
(1.27)
Значение поправки вносится в результат наблюдения и получается несмещенное оценочное значение измеряемого напряжения
U U   ;
(1.28)
~
U  12,3  0,122  12,422 В.
Далее определяются составляющие неисключенных остатков.
1. Инструментальная погрешность, обусловленная классом точности измерительного прибора:
1 
1 
kпU N
;
U
(1.29)
1  15
 1,22 %.
12,3
2. Личностная погрешность:
2 
0,5С
 100 % ,
U
(1.30)
где С – цена деления вольтметра, В/дел.;
2 
15 0,5
 100 %  0,41 %.
150 12,3
3. Инструментальная погрешность, связанная с размытостью внутреннего
сопротивления вольтметра:
3 = rv = 0,5 %.
4. Погрешность сопротивления r или модельная погрешность:
4  r 
1
 100 % = 2 %.
50
Результирующее значение НСП определится по выражению (1.6). Для заданной доверительной вероятности Рд = 0,95 по табл. 1.1 определяем значение
k = 1,12, коэффициент bi = 1. Тогда
рез  k 12  22  32  42 ;
рез  1,12 1,222  0,412  0,52  22  2,7 %.
(1.31)
Далее определяются граничные значения измеряемой величины по выражению (1.7):
рез 
рез 
резU
100
;
(1.32)
2,7  12,422
 0,335 В.
100
Результат измерения с округлением:
U  (12,4  0,3) В при Рд = 0,95.
1.8. Обработка результатов многократных наблюдений
Если эксперимент состоит в многократном измерении одной и той же величины постоянного размера, то результатом измерения является группа из n
независимых показаний (измерений), составляющих массив экспериментальных данных. В общем случае результат измерения может содержать систематические и случайные погрешности.
Задача обработки результатов многократных наблюдений включает в себя следующие основные этапы:
1) вводятся поправки для исключения всех известных систематических
погрешностей;
2) вычисляется среднее арифметическое исправленных показаний, СКО результата измерения, а также СКО среднего арифметического;
3) при необходимости применяются критерии для проверки гипотезы о том,
что показания принадлежат нормальному распределению;
4) проверяется наличие грубых погрешностей и промахов, при этом показания, содержащие грубые погрешности, исключают из массива данных;
5) вычисляются доверительные границы случайной погрешности и НСП
(при их наличии);
6) записывается окончательный результат измерения.
Пример.
Произведено пять независимых наблюдений напряжения, результаты которых представлены в табл. 1.3.
Т а б л и ц а 1.3
Результаты наблюдений
Номер наблюдения
Напряжение Ui, B
1
2
3
4
5
70,7
72,1
71,3
69,5
69,8
Предполагая, что случайные погрешности наблюдений распределены по
нормальному закону, а систематические погрешности отсутствуют, определить
достоверное значение измеряемого напряжения с доверительной вероятностью
Рд = 0,9.
Решение.
Рассчитаем среднее арифметическое результатов наблюдений по выражению (1.12):
1 5
U  U i ;
n i 1
U
(1.33)
70,7  72,1  71,3  69,5  69,8
 70,68 В.
5
Найдем абсолютные погрешности заданного ряда:
(1.34)
Ui  Ui  U ;
U1  70,7  70,68  0,02 В.
Аналогично U 2  1,42 В; U3  0,62 В; U 4   1,18 В; U5   0,88 В.
Среднее квадратическое отклонение погрешности рассчитывается по выражению (1.13)
5
S
 U
i
i
U 
n 1
2
(1.35)
;
0,022  1,422  0,622  1,182  0,882
S
 1,07 В.
5 1
Найдем среднее квадратическое отклонение среднего арифметического
по формуле (1.14):
Sx 
Sx 
S
;
n
(1.36)
1,07
 0,478 В.
5
Так как число измерений меньше 20, то доверительный интервал для заданной доверительной вероятности и результат измерения рассчитываются по
выражению (1.19). Принимая условие, что границы доверительного интервала
симметричны относительно среднего значения ( 1 =  2 =  ), а систематическая
погрешность равна нулю, получаем:

Pд  2 Fn 
S
 x

Fn 
S
 x

Fn 
S
 x

  1 .

(1.37)
 Pд  1
;
 =
2

(1.38)
 0,9  1
 0,95.
 
2

Далее из прил. 2 для Fn (t) = 0,95 и n – 1 = 5 – 1 = 4 определяем t = 2,2,
откуда
  Sx  t;
(1.39)
  0,478  2,2  1,05 B.
Запишем результат измерения:
U = (70,68  1,05) B при Pд  0,9.
1.9. Обработка результатов косвенных измерений
Обработка результатов косвенных измерений ведется в соответствии с
приведенным ниже алгоритмом.
1. Определяется линейность зависимости Y  F( x1 , x2 , x3 , ..., xm ). Если
функция линейна, можно записать:
m
Y  b1x1  b2 x2  b3 x3  ...   b j x j .
j 1
2. Дисперсия результата определяется по выражению:
(1.40)
m
m
D  SY2   b2j S xj2  
j 1
где b j 
l 1
m
r b b S
k 1
kl k l
xk
S xl ,
(1.41)
F
– коэффициенты влияния аргументов xj ;
x j
rkl – коэффициент парной корреляции аргументов xj .
3. Дисперсии аргументов определяются по формуле:
2
n
1
DS 
 x j  x j  .
n( n  1 ) j 1
2
xj
(1.42)
4. Коэффициент корреляции рассчитывается по выражению:
rkl 
n
1
  xki  xk  xli  xl  .
n( n  1 )S xk S xl i1
(1.43)
Если rkl  1, то имеется тесная связь между аргументами. Если rkl  0, то
связи между аргументами нет и ее можно не учитывать.
5. Наилучшей оценкой результата измерения является выражение:
Y  F( x1 ,x2 ,x3 ,...,x j ,...xm )  F( x1 ,x2 ,x3 ,...,x j ,...,xm )  Y .
(1.44)
6. Результат линейных косвенных измерений записывается в виде:
Y  Y  ( n,P ),Pд ,
(1.45)
где ( n,P )  t( n,P )SY – доверительные границы результата косвенных измерений;
t( n,P ) – значения коэффициента Стьюдента, принимаемые в зависимости
от количества измерений и доверительной вероятности (прил. 3).
7. Если функциональная зависимость F нелинейна, оценочное значение
результата можно записать в виде ряда Тейлора:
F( x1 ,x2 ,x3 ,...,xm )
x j  R ,
x j
j 1
m
Y  F( x1 ,x2 ,x3 ,...,xm )  
(1.46)
где x j – абсолютные погрешности измерения аргументов;
R – остаточный член, который для функции двух аргументов определяется
по формуле:

1  2F 2 2F 2
2F
R   2 x1  2 x2  2
x1x2  .
2  x1
x2
x1x2

(1.47)
Остаточным членом пренебрегают, если выполняется условие R  0,8SY .
Результат нелинейных косвенных измерений записывается аналогично
линейным измерениям.
Пример.
Входное сопротивление цепи, изображенной на
R2
R1
рис. 1.8, измеряется косвенным методом. В результате 10 прямых измерений каждого сопроR3
тивления цепи получены значения, приведенные
в табл. 1.4.
Рис. 1.8. Схема
для исследования
Т а б л и ц а 1.4
Результаты наблюдений
R1 , Ом
R 2 , Ом
R3 , Ом
S R1 , Ом
S R 2 , Ом
S R 3 , Ом
10
15
20
1
3
4
Корреляционная связь между аргументами отсутствует, а при разложении
нелинейной функции Rвх  F( R1 ,R2 ,R3 ) в ряд Тейлора остаточным членом R
можно пренебречь.
Найти входное сопротивление цепи и записать результат его измерения
для доверительной вероятности Р = 0,99.
Решение.
Результат измерения входного сопротивления в соответствии с уравнением (1.45) имеет вид:
Rвх  Rвх  Rвх ,
(1.48)
где Rвх – среднее значение входного сопротивления;
Rвх – оценочное значения погрешности результата косвенного измерения.
Входное сопротивление цепи можно рассчитать по формуле:
R 2  R3
Rвх  R1 
;
R 2  R3
следовательно,
(1.49)
(1.50)
R 2 R3
;
R 2  R3
15  20
Rвх  10 
 18,57 Ом.
15  20
Оценочное значение погрешности результата косвенного измерения Rвх
Rвх  R1 
рассчитывается по формуле:
Rвх  SRвх  t( n,P ) ,
(1.51)
где S Rвх – СКО среднего арифметического значения Rвх ;
t( n,P ) – коэффициент Стьюдента;
n – число измерений;
P – доверительная вероятность.
Число степеней свободы ν рассчитывается по формуле:
  n  1.
(1.52)
Для рассматриваемой задачи   10  1  9 .
Учитывая, что корреляционная связь отсутствует, а остаточным членом
ряда Тейлора можно пренебречь, СКО среднего арифметического значения Rвх
определится по формуле:
S Rвх
2
 R 
   вх  S Rj2 .


j 1  R j 
3
(1.53)
При нахождении производных функции необходимо воспользоваться
правилом дифференцирования частного:
 f  f g  g f
.
g 
g2
 
Взяв производные по каждому аргументу функции, получим:
(1.54)
Rвх
 1;
R1
Rвх R3( R 2  R3 )  R 2R3
R32
Rвх
R 22



.
;
R 2
( R 2  R3 )2
( R 2  R3 )2 R3 ( R 2  R3 )2
При расчете среднего квадратического отклонения используются средние
значения сопротивлений. Тогда
 R 
 R 
 R 
  вх  S R21   вх  S R2 2   вх  S R2 3 
 R1 
 R 2 
 R3 
2
S Rвх
2
2
4
4
 R3  2  R 2  2
 1 S  
 SR2  
 SR3 ;
R
2

R
3
R
2

R
3




S Rвх  1,58 Ом.
2
R1
(1.55)
Для   9 и Р = 0,99 по прил. 3 определяем t( n,P )  3,25 , тогда
Rвх  S Rвх  t( n,P );
(1.56)
Rвх  1,58  3,25  5,14 Ом.
Таким образом, результат косвенного измерения входного сопротивления
схемы будет таким:
Rвх  (19  5) Ом с Рд = 0,99.
2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.1. Задача № 1. Обработка результатов однократных наблюдений
Аналоговыми приборами класса точности kп с номинальным значением IN
для амперметра или UN для вольтметра и шкалой, рассчитанной на
 max = 150 делений, измеряется ток или напряжение в цепи, содержащей сопротивление r. Сопротивление r имеет погрешность r . Измерение выполняется
при температуре окружающей среды Токр, оС. Отсчетное устройство показывает
 делений с округлением при отсчете до половины деления шкалы. Внутреннее сопротивление амперметра равно rA, а вольтметра – rV. Температурная
погрешность не превышает значения m основной на каждые Т оС и рассчитывается по формуле:
T  mkп
20  Tокр
Т
.
(2.1)
По данным варианта (табл. 2.1) записать результат измерения тока
(рис. 2.1) или напряжения (рис. 2.2).
rA
A
I  const
E
r
J
Рис. 2.1. Измерение
тока в цепи
V rV
r
Рис. 2.2. Измерение
напряжения на резисторе
Т а б л и ц а 2.1
Исходные данные для задачи № 1
Заданная
величина,
размерность
Предпоследняя цифра
шифра
Номер рисунка
r, Ом
r , %
о
Токр, С
kп , %
, дел.
IN, А
rA, Ом
UN, кОм
rV, кОм
о
Т , С
m
–
–
Последняя цифра шифра
0
2.1
10
1
2.2
20
2
2.1
30
3
2.2
40
4
2.1
50
5
2.2
60
6
2.1
70
7
2.2
80
8
9
2.1 2.2
90 100
1,0
0,5
2,0
5,0
2,0
2,0
5,0
1,0
0,1
1,0
–
–
15
16
17
18
19
21
22
23
24
25
0,1
0,2
0,5
1,0
1,5
0,1
0,2
0,5
1,0
1,5
–
0; 2
4; 6
8
0; 2
4; 6
8
1; 3
140
0,3
7,5
3
0,3
2
5
3
137
0,75
30
1,5
0,7
0,1
3,7
7,5
132
1,5
0,3
0,75
3,7
0,3
1
15
145 138 141 122 127 131 148
3 7,5 15 30 1,5 0,75 7,5
1,5 15 0,75 3 7,5 15 0,3
0,3 30 7,5 15 30 0,3 3
5
4 0,5 0,1 3,7 0,7 4
3,7 0,5 0,7 5
4
1 0,2
0,2 0,5 2 0,7 0,3 0,4 4
30 75 1,5 3 7,5 15 1,5
5; 7
1,5
3
7,5
15
30
75
1,5
3
7,5
75
9
75
0,3
0,5
3
5
1,2
30
1
0,3
2,5
7
1,4
1,5
2,5
2
0,5
10
1,6
7,5
3
0,5
0,9
3
1,8
3
2,5
1
0,3
2
2,0
15
2,5
2,5
1
1
1,9
30
1
0,5
1,5
3
1,7
15
0,3
1
0,9
8
1,5
1,5
1,5
2,5
0,5
4
1,3
3
0,5
3
0,3
6
1,1
1; 3
5; 7
9
–
–
2.2. Задача № 2. Обработка результатов прямых измерений,
содержащих случайные погрешности
Для определения достоверного значения измеряемого напряжения с заданной доверительной вероятностью Рд выполнен в одинаковых условиях и
одним и тем же прибором ряд повторных измерений напряжения в количестве
n = 11.
Измеренные значения напряжения (в милливольтах) рассчитываются по
формуле:
Ui  MNK  R  MNK  ai ,
(2.2)
где MNK – последние три цифры номера шифра студента;
ai – случайные числа в интервале от 0 до 1, определяемые по табл. 2.2;
R – безразмерный коэффициент, определяемый по табл. 2.2.
Например, последние цифры шифра студента 403, тогда измеренные значения напряжения будут такими:
U1  403  0,1 403  0,753  433,3 мВ;
U 2  403  0,1 403  0,379  418,3 мВ.
По данным табл. 2.2 и считая, что погрешности распределены по закону
Стьюдента, определить:
а) среднее значение измеряемого напряжения;
б) абсолютные погрешности и среднее квадратическое отклонение
погрешности заданного ряда измерений;
в) среднее квадратическое отклонение среднего арифметического;
г) результат измерения и доверительный интервал для заданной доверительной вероятности.
При расчете принять, что систематические погрешности в результате
измерения отсутствуют.
Для решения задачи необходимо воспользоваться формулами (1.13), (1.14),
(1.19) и данными таблицы функции распределения Стьюдента (см. прил. 2).
Т а б л и ц а 2.2
Исходные данные для решения задачи № 2
Наименование
заданной
величины
Коэффициент R
Предпоследняя
цифра
шифра
–
Случайные числа ai
–
Доверительная
вероятность Рд
0; 5
1; 6
2; 7
3; 8
4; 9
Последняя цифра шифра
0
0,1
0,548
0,298
0,645
0,187
0,743
0,705
0,142
0,194
0,967
0,818
0,345
0,9
0,95
0,98
0,99
0,995
1
0,15
0,581
0,374
0,082
0,509
0,470
0,817
0,822
0,067
0,506
0,885
0,778
0,999
0,98
0,9
0,95
0,99
2
0,2
0,627
0,114
0,934
0,636
0,768
0,380
0,948
0,833
0,341
0,227
0,810
0,95
0,9
0,995
0,98
0,99
3
0,1
0,753
0,379
0,469
0,455
0,354
0,434
0,142
0,741
0,179
0,773
0,617
0,98
0,99
0,95
0,9
0,999
4
0,15
0,783
0,269
0,195
0,678
0,845
0,290
0,655
0,390
0,125
0,622
0,686
0,99
0,995
0,999
0,98
0,95
5
0,2
0,005
0,719
0,227
0,050
0,342
0,559
0,337
0,868
0,667
0,820
0,249
0,995
0,999
0,98
0,9
0,99
6
0,1
0,447
0,801
0,357
0,352
0,922
0,586
0,924
0,725
0,653
0,058
0,972
0,9
0,98
0,995
0,95
0,999
7
0,15
0,195
0,250
0,940
0,807
0,479
0,290
0,823
0,070
0,115
0,108
0,169
0,98
0,99
0,95
0,999
0,9
8
0,2
0,236
0,227
0,288
0,078
0,008
0,461
0,561
0,303
0,882
0,323
0,634
0,99
0,9
0,98
0,995
0,999
9
0,1
0,326
0,053
0,309
0,796
0,809
0,634
0,975
0,452
0,945
0,455
0,355
0,999
0,95
0,9
0,98
0,995
2.3. Задача № 3. Обработка результатов косвенных измерений
Косвенные - это измерения, при которых значение величины определяют на основании известной зависимости между искомой величиной и величинами, значения которых находят прямыми измерениями. Таким образом,
значение измеряемой величины вычисляют по формуле с использованием
значений величин, полученных прямыми измерениями. Примеры косвенных
измерений: определение объема тела по прямым измерениям его геометрических размеров, нахождение удельного электрического сопротивления проводника по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения, измерение среднего диаметра резьбы методом трёх проволочек и т.д. Косвенные измерения широко распространены в тех случаях, когда искомую величину невозможно или слишком сложно измерить прямым измерением.
Встречаются случаи, когда величину можно измерить только косвенным путём, например геометрические параметры астрономического или внутриатомного порядка.
Входное сопротивление электрической цепи, состоящей из четырех
элементов, измеряется также косвенным методом. В результате n прямых измерений каждого сопротивления цепи получены средние арифметические
значения сопротивлений Ri и их средние квадратические отклонения  Ri .
Корреляционная связь между аргументами отсутствует, а при разложении
нелинейной функции Rвх  F( R1 ,R2 ,R3 ,R4 ) в ряд Тейлора остаточным членом
ряда можно пренебречь, систематической погрешностью тоже можно
пренебречь.
Необходимо найти входное сопротивление цепи и записать результат
его измерения для заданной доверительной вероятности. Исходные данные
для расчета приведены в табл. 2.3 и на рис. 2.3.
Для решения задачи необходимо воспользоваться формулами
(1.48) – (1.53) и данными из прил. 3.
Т а б л и ц а 2.3
Исходные данные для решения задачи № 3
Наименование Предпоследняя
показателя
цифра шифра
0,1
Номер схемы
2,3
для исследо4,5
вания
6,7
(рис. 2.3)
8,9
0, 2, 4, 6, 8
R1 , Ом
1, 3, 5, 7, 9
0, 2, 4, 6, 8
R2 , Ом
1, 3, 5, 7, 9
0, 2, 4, 6, 8
R3 , Ом
1, 3, 5, 7, 9
0, 2, 4, 6, 8
R4 , Ом
1, 3, 5, 7, 9
S R1 , %
–
0
а
б
в
г
д
100
150
100
80
200
220
90
85
5
1
б
в
г
д
е
110
155
95
75
205
225
85
80
5
2
в
г
д
е
ж
120
160
90
70
210
230
80
75
7
Последняя цифра шифра
3
4
5
6
г
д
е
ж
д
е
ж
з
е
ж
з
и
ж
з
и
к
з
и
к
а
130
140
150
160
165
170
175
180
85
80
75
70
65
60
55
50
215
220
225
230
235
240
245
250
75
70
65
60
70
65
60
55
7
8
8
10
7
з
и
к
а
б
170
190
65
45
235
255
55
50
10
8
и
к
а
б
в
180
200
60
40
240
260
50
45
12
9
к
а
б
в
г
190
205
55
35
245
265
45
40
12
S R2 , %
–
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
S R3 , %
–
10
10
12
12
14
14
16
16
18
18
S R4 , %
Число измерений n
–
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
–
20
30
41
51
61
71
81
91
101
121
R4
R2
R1
R1
R2
R4
R3
R3
а
R1
б
R3
R2
R1
R2
R4
R3
R4
в
г
R1
R2
R1
R3
R2
R4
R3
R4
д
е
R1
R2
R4
R1
R4
R2
R3
R3
ж
з
R1
R2
R4
R1
R3
R3
R4
R2
и
к
Рис. 2.3. Расчетные схемы к задаче № 3
3. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Лабораторная работа 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ
Цель работы: изучение и определение погрешностей измерительных
приборов и их технических характеристик.
3.1. Основные теоретические сведения
Погрешность измерений – это отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. Различают абсолютную,
относительную и приведенную погрешность измерительных приборов.
Абсолютная погрешность прибора  – это разность между показанием
прибора х и истинным значением х0 измеряемой величины:
  х  х0 .
(3.1)
Относительная погрешность прибора – это отношение абсолютной
погрешности к истинному значению измеряемой величины, выраженное в процентах:

(3.2)
  100 %.
х0
Для практических расчетов в знаменателе формулы (3.2) истинное значение х0 заменяется результатом измерения х.
Отношение абсолютной погрешности к нормированному (номинальному)
значению хN, выраженное в процентах, называется приведенной погрешностью:


xN
100 %.
(3.3)
Для приборов с нулевой отметкой на краю шкалы нормированное значение хN равно конечному значению диапазона измерений хmax (максимальное
значение измеряемой величины).
Основная наибольшая допустимая приведенная погрешность характеризует цифру класса точности прибора:

max

 max
100 % ,
xN
(3.4)
где Кп – цифра класса точности средства измерения;
max – наибольшая допустимая абсолютная погрешность (инструментальная),
max  0,01K П X N .
(3.5)
Постоянной прибора С (ценой деления) называется количество единиц
измеряемой величины, приходящееся на одно деление шкалы:
I
для амперметра, А/дел.,
CI  N ;
 max
U
для вольтметра, В/дел.,
(3.6)
CU  N ;
 max
I U
для ваттметра, Вт/дел.,
CI  N N ,
 max
где I N и U N – номинальные значения тока и напряжения приборов;
max – максимальное число делений шкалы прибора.
Величина S, обратная постоянной прибора, называется чувствительностью прибора,
S
1
.
C
(3.7)
3.2. Порядок выполнения работы
1) Собрать электрическую цепь по схеме, представленной на рис. 3.1.
*
A
~U
AТ
V
*
W
Zn
Рис. 3.1. Схема проведения эксперимента
2) Снять показания амперметра, вольтметра и ваттметра при двух значениях нагрузки, указанных преподавателем.
3) Используя обозначения на шкалах измерительных приборов, для каждого из них вычислить постоянную С, чувствительность S, наибольшую допустимую абсолютную погрешность max.
4) По результатам измерений вычислить относительную погрешность по
формуле (1.2) в числителе, в качестве  выбрать max , х0 принять равным измеренному значению х, предполагая, что показания приборов являются достоверными.
5) По результатам измерений и вычислений заполнить табл. 3.1, 3.2.
6) Провести анализ относительной погрешности  в зависимости от измеряемой величины х. Сделать вывод о подборе предела измерения.
3.3. Контрольные вопросы
1) Перечислить основные метрологические характеристики электроизмерительных приборов.
2) Что называют диапазоном показаний и диапазоном измерений? В каком случае данные понятия совпадают?
3) Миллиамперметр рассчитан на ток IN = 1 А и имеет постоянную по току CI = 10 мА/дел. Определить максимальное число делений и ток в цепи, если
стрелка отклонилась на 75 делений.
4) Шкала амперметра с пределом измерения 5 А разбита на 100 делений.
Определить цену деления и ток в цепи, если указатель отклонился на 60 делений.
5) Определить предел измерения вольтметра, если max = 150 дел.,
CU = 0,2 В/дел.
6) Определить постоянную ваттметра, если UN = 150 В, IN = 2 А,
max = 100 дел.
7) Определить максимальную абсолютную погрешность ваттметра класса
точности 0,5 c UN = 150 В, IN = 0,5 А.
Т а б л и ц а 3.1
Технические характеристики средств измерения
Наименование
прибора
Амперметр
Система прибора
Класс точности
Диапазон измерений
Заводской
номер
Вольтметр
Ваттметр
Т а б л и ц а 3.2
Результаты измерений в различных точках шкалы приборов
Максимальное число Постоянная
НоминальВнутренприбора С,
Наименова- Класс точноное значение делений
нее сопроА/дел.,
шкалы
ние прибора сти прибора
хN ,
тивление
В/дел.,
А, В, Вт
max
Вт/дел.
Амперметр
Вольтметр
Ваттметр
ОтносительЧувствиНаибольшая Показание
ная погрештельность
прибора
допустимая
ность
прибора S,
х
погрешность
, %
дел./А,
max,
дел. А, В, Вт
дел./В,
А, В, Вт
дел./Вт
Лабораторная работа 2
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОДНОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Цель работы: исследование составляющих систематической погрешности и обработка результатов однократных наблюдений.
2.1. Основные теоретические сведения
При однократных наблюдениях имеет место лишь систематическая составляющая погрешности, информация о случайной погрешности отсутствует.
Систематическая погрешность  с характеризует правильность измерений, т. е. степень близости полученного значения измеряемой величины к тому
значению, которое может быть получено с максимально возможной точностью
на данном этапе развития науки и измерительной техники.
Систематическая погрешность классифицируется по нескольким признакам, например: учитываемые погрешности, неисключенные остатки.
Учитываемые систематические погрешности, в свою очередь, характеризуются возможным вычислением с последующим введением поправок и невозможным вычислением, но с возможной схемотехнической компенсацией.
Для определения неисключенных остатков  необходимо выполнить
комплекс исследований по их оценке. При этом решаются следующие задачи:
1) изучение природы источников возникновения систематической
погрешности;
2) описание с ;
3) оценка размеров с ;
4) исключение с с помощью поправок;
5) исключение с без оценки ее размера;
6) проведение оценки неисключенных остатков.
После выполнения двух первых задач и определения составляющих
сj ( j  1,2,...,k ) вычисляется результирующая систематическая погрешность
с.рез .
Если известны знаки составляющих сj , то
k
с.рез   сj .
(3.8)
j 1
Для вычисления несмещенного результата определяется поправка
(см. подразд. 1.7.):
  c.рез .
(3.9)
Оценка значения измеряемой величины осуществляется по выражению:
х  х  ,
(3.10)
где х – результат наблюдения.
Имеют место случаи, когда оценку размера  c выполнить невозможно,
однако исключение  c возможно путем схемных или других решений. Исследование неисключенных остатков  предполагает выполнение следующей работы:
 анализ источников возникновения;
 оценка i (i  1,2,...,k ) по каждому источнику возникновения;
 оценка результирующей составляющей неисключенных остатков систематической погрешности.
Особенность исследования неисключенных остатков, представляющих
собой составляющую систематической погрешности, заключается в том, что
значения i недетерминированы, т. е. представляют собой случайную величину, которую можно характеризовать средним квадратическим отклонением
(СКО)  i .
Тогда рез соответствует свое результирующее СКО:
 рез 
k
b 
i 1
2
i
2
i
,
(3.11)
где bi – функция влияния i на конечный результат.
Если неизвестно влияние значения СКО  i на конечный результат, то
вводится гипотеза об одинаковом влиянии каждого компонента ( bi  1 ) .
В том случае, когда закон изменения каждого компонента неизвестен
и нет возможности определить хотя бы его вид, вводится гипотеза о том, что
отдельные компоненты неисключенных остатков распределены равномерно.
Реализация этой гипотезы позволяет для каждого i выбрать границы  i ,
для рез –  рез
 рез  k
m
b 
i 1
2
i
2
i
(3.12)
,
где k – поправочный коэффициент, зависящий от числа компонентов и доверительной вероятности.
Зависимость k от числа компонентов слабая. Значения k при доверительной вероятности приведены в табл. 3.3.
Т а б л и ц а 3.3
Значение коэффициента k в зависимости
от доверительной вероятности
Доверительная
вероятность
Значение
коэффициента
0,9
0,95
0,99
0,9978
0,95
1,13
1,49
1,73
Результат измерения при доверительной вероятности Р записывается в
виде:
х  х  рез
(3.13)
Значения х и рез округляются в соответствии с правилами (прил. 4).
2.2. План выполнения рабты
1) Собрать схему для измерения падения напряжения на резисторе
(рис. 3.2).
2) В табл. 3.4 записать исходные данные для проведения метрологических исследований:
а) номинальное значение сопротивления резистора Rном (модели) и модельной погрешности ± ∆R;
IA
R
б) внутреннее сопротивление
A
вольтметра rv и погрешность  r , опUV
V
Uист
rv
Рис. 3.2. Схема измерений
ределяемую размытостью внутреннего сопротивления вольтметра;
в) номинальное значение вольт-метра UN;
г) максимальное число делений шкалы вольтметра αmax;
д) класс точности вольтметра K п .
3) Получить по одному результату наблюдения UV и IА на двух различных
резисторах. Результаты вычислений свести в табл. 3.5.
Т а б л и ц а 3.4
Исходные данные для метрологических исследований
Номер
опыта
Rном±∆R,
Ом
r ,
%
rV,
Ом
UN,
В
αmax,
дел
Kп ,
%
UV,
В
IА ,
А
1
2
Т а б л и ц а 3.5
Результаты вычислений
c ,
1 ,
2,
3,
4,
В
%
%
%
%
 рез , %
 рез , В
при Р
0,95
0,99
при Р
0,95
0,99
U  U  рез , В
при Р
0,95
0,99
4) Рассчитать методическую погрешность при определении результатов
наблюдений.
Действительное значение напряжения на сопротивлении R
Rном rv
)
Rном  rv
.
Rа  Rном
I A R( Rа 
U0 
Абсолютная погрешность измерения
(3.14)
c  U 0  UV .
(3.15)
5) Определить поправку  c и оценку результатов измерения U. Поправка
определяется из соотношения:
c  c .
(3.16)
Оценка результата наблюдений
U  UV  c .
(3.17)
6) Определить составляющие неисключенных остатков:
а) инструментальную погрешность  1 , вносимую классом точности измерительного прибора  max .
Инструментальная погрешность определяется по формуле:
1 
K ПU N
;
UV
(3.18)
б) личностную погрешность (оператора)  2 .
Погрешность оператора
 2  0,5
CV
100 % ,
UV
(3.19)
где СV – постоянная вольтметра, В/дел.;
в) инструментальную погрешность  3 , определяемую размытостью значения внутреннего сопротивления вольтметра (принять  r = 0,02 %);
г) погрешность модели  4 , определяемую размытостью модели  R .
7) Определить результирующую погрешность неисключенных остатков
при Р = 0,95; 0,99 по выражению:
 рез  k
n
 bi2 i2 ,
(3.20)
i 1
где bi  1 (при нормальном законе распределения);
k – поправочный коэффициент (см. табл. 3.3).
8) Записать результат в измерения при Р = 0,95; 0,99. Результат измерения представить в виде:
U  U  рез ,
(3.21)
где  рез – граничное значение случайной величины,
 рез 
 резU
.
100
(3.22)
9) Показать на графике границы изменения значения измеряемой величины при Р = 0,95; 0,99.
10) Результаты вычисления свести в табл. 3.5.
2.3. Контрольные вопросы
1) Понятие систематической погрешности.
2) Классификация систематической погрешности по возможности
ее учета.
3) Порядок обработки однократных наблюдений.
4) Оценка результирующей систематической погрешности и внесение
поправок.
5) Форма представления результата измерения.
6) Вывести формулу для расчета абсолютной погрешности, если в схеме присутствует источник тока.
Лабораторная работа 3
ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ МЕТОДОМ ДВУХ ПРИБОРОВ
Цель работы: изучение косвенного метода измерения сопротивления
амперметром и вольтметром, выбор рациональной схемы включения приборов.
Оценка точности измерения.
3.1. Основные теоретические положения
Измерение сопротивления rx с использованием амперметра и вольтметра
производят по схеме, представленной на рис. 3.3. В основу метода положен закон Ома, согласно которому значение измеряемого сопротивления rx' определяется по показаниям измерительных приборов:
rx' 
U
.
I
(3.23)
Точность измерения сопротивления этим способом сравнительно невысока,
она ограничена классом точности измерительных приборов и систематической
погрешностью метода, которая
A
обусловлена влиянием собственных сопротивлений амперметра ra
П
и вольтметра rv на результат
1
2
rx
r
измерения. Систематическая погV
решность самого метода измерения исключается при учете этих
сопротивлений
измерительных
–
Рис. 3.3. Измерение сопротивления
приборов.
методом двух приборов
При расположении ручки
переключателя П в положении 1
(см. рис. 3.3) неизвестное сопротивление рассчитывается по формуле:
rx 
U  Ira U 
.

I
I
(3.24)
Относительная систематическая погрешность метода, на величину которой внесена поправка, в этом случае определяется по формуле:
rx,  rx
r
δ=
 100 %  a  100 %
rx
rx
(3.25)
Когда переключатель П находится в положении 2,
rx 
U
U
 .
U I
I
rv
(3.26)
Относительная систематическая погрешность метода, на величину которой внесена поправка, в этом случае определяется по уравнению:
rx,  rx
r
δ=
 100 %   x  100 % .
rx
rx  rv
(3.27)
Наибольшая возможная относительная погрешность при косвенном методе измерения сопротивления определяется по формуле:
 r  U2   I2 .
(3.28)
Величины U, I – относительные неисключенные остатки систематической погрешности при измерении напряжения и тока соответственно вольтметром и амперметром, которые приближенно определяются классом точности
Kn и их нормирующими значениями UN и IN.
Для 1-го положения переключателя
δU =
U
К U
 100 %  П ' N ;
'
U
U
(3.29)
ΔI
К I
 100 %  П N ;
I
I
(3.30)
δI =
где U, I – наибольшие абсолютные погрешности прямого измерения;
U, I – показания приборов.
Когда переключатель находится в положении 2, формулы для U, I
запишутся следующим образом:
δU =
U
К U
 100 %  П N ;
U
U
(3.31)
δI =
ΔI
КП I N

100
%

;.
I'
I'
(3.32)
Абсолютная погрешность rx и предел изменения действительного значения измеряемого сопротивления rx определяются соотношением:
rx  
rx r
.
100
(3.33)
3.2. Порядок выполнения работы
1) Собрать цепь, показанную на рис. 3.3, для косвенного измерения
сопротивления rx.
2) Установить на приборах заданные преподавателем пределы измерения.
После проверки схемы подать напряжение.
3) Изменяя сопротивления потенциометра на входе, установить показания амперметра и вольтметра, соответствующие значениям, превышающим 1/3
шкалы. Произвести измерения заданного сопротивления для двух положений
переключателя П, при этом выбранный предел измерения приборов не изменять. Результаты измерений записать в табл. 3.5.
4) По номинальным значениям напряжения и тока измерительных приборов вычислить собственные сопротивления амперметра rа и вольтметра rv:
ra 
U NA
;
IN
(3.34)
rv 
UN
,
I NV
(3.35)
где UNA – падение напряжения на амперметре при использованном пределе
измерения амперметра IN;
INV – ток полного отклонения стрелки вольтметра при UN. Номинальные
значения UNA, IN, UN, INV указываются на шкалах приборов.
5) Вычислить относительные погрешности прямых измерений по формулам (3.51), (3.53) для вольтметра и амперметра.
6) По результатам измерений произвести следующие вычисления:
а) сопротивления rx' и rx – по формулам (3.23), (3.24) и (3.26);
б) относительные погрешности определения сопротивлений  rx – по выражениям (3.25) и (3.27);
в) для двух исследуемых схем определить абсолютные погрешности rx
по формуле (3.33).
7) Результаты расчета и измерения занести в табл. 3.6, записать пределы
изменения действительного значения измеряемого сопротивления в виде
r  rx  rx .
8) Сравнить значения относительных погрешностей для двух вариантов
включения вольтметра и выбрать наиболее рациональную схему для данного
измеряемого сопротивления.
9) Сравнить значения rx', rx и соответствующие относительные погрешности и сделать вывод о том, можно ли пренебречь систематической погрешностью метода, и если можно, то при каких условиях.
Т а б л и ц а 3.6
Результат измерения сопротивления методом двух приборов
Результат вычисления
Измеряемое
сопротивление и
пределы измерения
Вариант
подключения
вольтметра
Прямые
измерения
сопротивление
приборов
r'x
U, В
rA
IN =
UN =
2
R0N
IN =
UN =
1
1
2

U
I
r
r
r = rx  r
rV
I, A
Ом
R0M
rx
%
Ом
3.3. Контрольные вопросы
1) Дать определение прямого и косвенного методов измерения.
2) Перечислить условия, на основании которых пренебрегают систематической погрешностью метода.
3) Как вычисляется относительная погрешность прямых измерений?
4) Как вычисляется систематическая погрешность метода для двух схем
включения приборов?
5) Какой прибор показывает неверное значение, когда переключатель
находится в положении 1 и 2 соответственно?
Лабораторная работа 4
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Цель работы: исследование случайной погрешности входного сопротивления электрической цепи путем моделирования многократных измерений.
4.1. Основные теоретические сведения
4.1.1. Построение статистических моделей
Случайные погрешности проявляются в том, что повторные измерения
одной и той же величины, казалось бы, в одних и тех же условиях приводят к
результатам, отличающимся один от другого. При исследовании случайных погрешностей используется аппарат математической статистики и теории вероятностей, решающих две группы задач:
1) проверка статистических гипотез:
– о соответствии эмпирической функции распределения выбранной теоретической;
– о промахах;
2) обработка результатов наблюдений при различных видах измерений:
– при прямых однородных;
– косвенных;
– совместных;
– корреляционно связанных.
В настоящей работе ставится задача проверки перечисленных статистических гипотез при прямых равноточных измерениях. Результаты наблюдения
входного сопротивления исследуемой цепи могут быть получены методом статистических испытаний (математическим моделированием действительных
значений сопротивлений резисторов цепи в пределах допускаемых отклонений
от номинальных с последующим вычислением входных сопротивлений). При
этом принимается во внимание, что распределение действительных значений
сопротивлений в границах допускаемых отклонений изменяется по равномерному закону распределения. Разыгрывается от 60 до 300 моделей каждого из
сопротивлений исследуемой цепи (по заданию преподавателя). Лабораторная
работа выполняется с применением программы Microsoft Office Excel.
Для составления моделей можно использовать равнораспределенные случайные числа в интервале [0;1]. Так как интервалы, в которых моделируются
характеристики, отличны от [0;1], то необходимо произвести некоторые преобразования над случайными числами.
Закон равномерного распределения (рис. 3.4) аналитически записывается
в виде:
1
(3.36)
P( X ) 
,
ba
где b, a – границы допускаемо- P(x)
го отклонения сопротивления
резистора от номинального
значения (максимальное и минимальное значения возмож0
a
b
x
ного разброса параметра).
Рис. 3.4. Плотность равномерного распределения
Функция распределения для равномерного закона на интервале [a, b]
xi
1
x a
dx  i
,
b

a
b

a
a
xi
yi   P( x )dx  
a
(3.37)
где xi – значения сопротивления в интервале [a, b] с равномерным законом
распределения.
Из выражения (3.37) можно вычислить xi:
xi  a  yi ( b  a ),
(3.38)
где yi – случайные числа в интервале [0; 1]. Случайные числа задаются с применением функции Excel «СЛЧИС».
Для определения модели входного сопротивления следует воспользоваться аналитическим выражением для расчета входного сопротивления исследуемой схемы. По полученным статистическим моделям параметров резисторов и
входного сопротивления цепи строятся гистограммы.
Количество интервалов гистограммы определяется по выражению:
L  1  3,322 lg n ,
(3.39)
где n – число моделей.
При дальнейших расчетах количество интервалов L округляется до ближайшего целого числа L’.Шаг интервала гистограммы определяется в соответствии с формулой Стэджеса:
h  ( xmax  xmin ) L ,
где xmin и
(3.40)
xmax – минимальное и максимальное значения моделей каждого из
параметров. Для определения максимального и минимального значений результатов измерений используются функции Excel «МАКС» и «МИН» соответственно.
За начало первого интервала рекомендуется принимать величину
x1 = xmin ; начало второго интервала совпадает с концом первого: x2  x1  h ; начало третьего – с концом второго: x3  x2  h . Построение интервалов продолжают до тех пор, пока конец интервала не совпадет с xmax .
После установления шкалы интервалов следует сгруппировать результаты моделей. В интервал включаются данные, больше нижней границы интервала или равные ей и меньшие верхней границы. Распределение результатов по
интервалам выполняется с применением функции Ехсеl «Частота». Данная
функция включает в себя массив данных (ссылка на множество данных – значения моделей) и массив интервалов (ссылка на множество интервалов – конечные значения интервалов). Ввод массива завершается нажатием клавиши F2
и последующим одновременным нажатием клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал Pj* определяется выражением:
Pj* 
nj
n
,
(3.41)
где n j – число моделей, попадающих в каждый интервал.
4.1.2. Алгоритм критерия Пирсона
Исходя из вида кривой распределения P* ( x ) выдвигается гипотеза
подчинения случайной величины закону распределения P( x ) .
Сравнение эмпирического P* ( x ) и теоретического P( x ) распределений
производится с помощью специально подобранной случайной величины – критерия  2 (Пирсона) для нормального закона распределения.
Проверка выполняется по следующему алгоритму.
1) Для полученной выборки входных сопротивлений { Rвхi } определяют
математическое ожидание
n
R вх 
R
i 1
вх i
(3.42)
n
и среднее квадратическое отклонение выборки
n

( R
вх .i
i 1
 R вх )2
.
n 1
(3.43)
2) Для каждого интервала построенной гистограммы определяют середи0
ну Rвх.
j и подсчитывают число попавших в него наблюдений  э .
3) Вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее нормальному распределению. Для этого от реальных
(0)
середин Rвх
j интервалов переходят к нормированным:
Zj 
Tj 
(0)
Rвх
j  R вх
;
(3.44)
fT ( Z j ) ,
(3.45)

hj n

где fT ( Z j ) – значение функции плотности вероятности нормированного нормального распределения
fT ( Z j ) 
1  Z j2 / 2
e
.
2
(3.46)
Если для некоторого интервала Tj  5 , то интервал объединяется с соседним. Расчеты повторяются с п. 2 при L – числе интервалов после объединения интервалов. Определяют число степеней свободы, равное L  3 .
4) Вычисляют показатель разности частот:
L
( эj  Tj )2
j 1
 Tj
X 
2
.
(3.47)
5) Задаются уровнем значимости q. Значение q выбирают из диапазона
0,02  q  0,1.
6) По таблице Пирсона (табл. 3.7) находят теоретическое значение
 T 2 ( p,L  3 ) , где p  1  q – доверительная вероятность.
7) Сравнивают  2 и  T2 и делают вывод. Если  2   T2 – гипотеза о
нормальности отвергается; если  2   T2 – нет оснований отвергать гипотезу о
нормальности.
Т а б л и ц а 3.7
Критические значения  Т2 при доверительной вероятности Р и
числе степеней свободы L' – 3
Число
Доверительная вероятность Р
степеней
свободы
0,80
0,90
0,95
0,98
0,99
0,999

L 3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
5,99
7,29
8,56
9,80
11,03
12,24
13,44
14,63
15,80
17,00
18,20
19,30
25,00
36,30
7,78
9,24
10,64
12,02
13,36
14,68
15,99
17,30
18,50
19,80
21,10
22,30
28,40
40,30
9,49
11,07
12,59
14,07
15,51
16,90
18,30
19,70
21,00
22,40
23,70
25,00
31,40
43,80
11,67
13,39
15,03
16,60
18,20
19,70
21,20
22,60
24,10
25,50
26,90
28,30
35,00
48,00
13,28
15,09
16,08
18,50
20,10
21,70
23,20
24,20
26,20
27,70
29,10
30,60
37,60
50,90
18,5
20,5
22,5
24,30
26,1
27,9
29,6
31,30
32,9
34,5
36,1
37,7
45,3
59,7
4.1.3. Алгоритм проверки гипотезы о промахах
Промах – неудачный результат наблюдения, который следует исключить.
*
Предположим, что в выборке { Rвхi } значение Rвх
представляет собой сомнительный результат. Следует решить вопрос: выбросить или оставить в выборке
*
значение Rвх
. На промахи проверяют максимальное R *вх max и минимальное
R *вх min входные сопротивления. Исключение подобного результата из рассмотрения осуществляется с помощью следующего метода:
1) предполагается, что гипотеза о нормальном законе непротиворечива;
*
2) вычисляются среднее арифметическое R вх и среднее квадратическое
отклонение  * выборки без сомнительных результатов;
3) вычисляется значение
t
Rвх*  R вх
*
.
(3.48)
Данные для доверительной вероятности и определенного числа результатов (без сомнительных) tтеор ( P,n* ) приводятся в табл. 3.8. Если tтеор ( P,n* )  t , то
*
*
– промах; если tтеор ( P,n )  t , то нет оснований Rвх
считать промахом.
Rвх
*
Т а б л и ц а 3.8
Критические значения tтеор ( P,n* )
n
*
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Доверительная вероятность
Р
0,95 0,98 0,99 0,999
3,04 4,11 5,04 9,43
2,78 3,54 4,36 7,41
2,62 3,36 3,96 6,37
2,51 3,18 3,71 5,73
2,43 3,05 3,54 5,31
2,37 2,96 3,41 5,01
2,33 2,89 3,31 4,79
2,29 2,83 3,23 4,62
2,26 2,78 3,17 4,48
2,24 2,74 3,12 4,37
2,22 2,71 3,08 4,28
2,20 2,63 3,04 4,20
2,18 2,66 3,01 4,13
n
*
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
110
Доверительная вероятность
Р
0,95 0,98 0,99 0,999
2,145 2,602 2,932 3,979
2,105 2,541 2,825 3,819
2,079 2,503 2,802 3,719
2,061 2,476 2,768 3,652
2,048 2,456 2,742 3,602
2,038 2,441 2,722 3,565
2,030 2,429 2,707 3,532
2,018 2,411 2,683 3,492
2,009 2,399 2,667 3,462
2,003 2,389 2,655 3,439
1,998 2,382 2,646 3,423
1,994 2,377 2,639 3,409
1,960 2,326 2,576 3,291
*
Если по результатам расчетов Rвх
является промахом, то следует исклю-
чить его из общей выборки и уточнить среднее значение R вх и СКО  .
4.1.4. Запись результата измерений
При записи результата измерений предположим, что систематическая
составляющая погрешности отсутствует. Тогда за оценку результата измерения
следует принять математическое ожидание, т. е.
Rвх  Rвх .
(3.49)
Для определения границ случайной погрешности вычисляется оценка
среднего квадратического отклонения среднего арифметического:
n'
 Rвх  S 
( R
i 1
вхi
 R вх )2
n'( n'  1 )


n'
,
(3.50)
где n' – число наблюдений после удаления промахов.
Границы случайной погрешности определяются по выражению:
  tст ( p, )S ,
(3.51)
где tст ( p, ) – коэффициент Стьюдента (табл. 3.9);
Р – заданное значение доверительной вероятности;
  n'  1 – число степеней свободы.
4.2. Порядок выполнения работы
1) Получить у преподавателя вариант исследуемой электрической цепи.
Исследуемые схемы приведены на рис. 3.5.
2) В соответствии с исходными данными для расчетов (табл. 3.10) записать параметры элементов схемы замещения в табл. 3.11.
Т а б л и ц а 3.9
Значение коэффициентов Стьюдента
Число степеней
свободы ν
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
∞
0,9
6,31
2,92
2,53
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
1,83
1,81
1,78
1,76
1,75
1,73
1,73
1,72
1,71
1,71
1,70
1,70
1,64
Доверительная вероятность Р
0,95
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,18
2,15
2,12
2,10
2,09
2,07
2,06
2,06
2,05
2,04
1,96
0,99
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,06
2,98
2,92
2,88
2,85
2,82
2,80
2,76
2,76
2,75
2,58
R1
R1
R2
R3
R3
R2
R4
R5
R5
R3
R1
R4
R4
е
a
R1
л
R1
R1
R4
R2
R4
R3
б
ж
R1
R3
R1
R5
R2
г
R5
R2
д
н
з
в
R1 R 3
R3
R4 R5
R3
R5
R2 R4
R2
R4
R3 R4
R5
R1
R5
м
R2
R1
R4
R3
R1
R2
R2
R5
R3
R5
R1
R5
R2
R2
R3
R4
R3
R1
R4
R5
R5
и
о
R2
R4
R3
R4
R2
R1
R3
R5
к
Рис. 3.5. Схемы для исследования
п
R4
R5
Т а б л и ц а 3.10
Исходные данные для расчета к лабораторной работе 4
Наименование
показателя
Номер схемы
для исследования
R1, Ом
R2, Ом
R3, Ом
R4, Ом
R5, Ом
δR1, %
δR2, %
δR3, %
δR4, %
δR5, %
Число измерений
n
Предпоследняя
цифра шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0, 2, 4, 6, 8
1, 3, 5, 7, 9
0, 2, 4 , 6, 8
1, 3, 5, 7, 9
0, 2, 4, 6, 8
1, 3, 5, 7, 9
0, 2, 4, 6, 8
1, 3, 5, 7, 9
0, 2, 4, 6, 8
1, 3, 5, 7, 9
–
–
–
–
–
–
0
о
д
к
п
д
к
п
д
к
п
100
50
150
205
230
185
200
250
130
175
5
10
7
8
6
1
а
е
л
а
е
л
а
е
л
а
95
60
155
200
225
190
205
245
135
170
5
10
7
8
6
2
а
е
л
а
е
л
а
е
л
а
90
65
160
190
220
195
210
240
140
165
6
8
6
7
10
Последняя цифра шифра
3
4
5
6
б
б
в
в
ж
ж
з
з
м
м
н
н
б
б
в
в
ж
ж
з
з
м
м
н
н
б
б
в
в
ж
ж
з
з
м
м
н
н
б
б
в
в
85
80
75
70
70
75
80
85
165
170
175
180
180
175
170
165
215
210
205
200
200
205
210
215
215
220
230
235
235
230
225
220
145
150
155
160
160
155
150
145
6
7
7
8
8
7
7
6
6
5
5
10
7
6
6
5
10
8
8
10
60
100
120
150
180
200
220
7
г
и
о
г
и
о
г
и
о
г
65
90
190
160
195
220
240
215
165
140
8
6
10
5
10
8
г
и
о
г
и
о
г
и
о
г
60
95
200
155
190
225
245
210
170
135
10
5
8
7
6
9
д
к
п
д
к
п
д
к
п
д
50
100
205
150
185
230
250
205
175
130
10
5
8
7
6
240
250
300
Т а б л и ц а 3.11
Параметры элементов схемы замещения
Номер элемента
1
2
3
4
5
(R  R), Ом
Rmin, Ом
Rmax, Ом
3) Методом статистических испытаний разыграть n моделей каждого резистора (см. п. 4.1.1). Результаты испытаний привести в табл. 3.12.
Т а б л и ц а 3.12
Результаты статистических испытаний
Номер
испытаний
Параметры моделей, Ом
R1i
R2i
R3i
R4i
R5i
Входное
сопротивление
Rвх i, Ом
1
2
3
…
n
n
R
i 1
вх i
4) Построить эмпирические распределения параметров элементов и
входного сопротивления (п. 4.1.1).
5) Результаты обработки статистического ряда для каждого резистора заданной цепи и входного сопротивления свести в табл. 3.13.
Т а б л и ц а 3.13
Результаты обработки статистического ряда
Номер интервала j
Граница
интервала
Число моделей
интервала nj
Вероятность попадания случайной величины
в интервал Pj*
1
2
…
L'
L'
nj
j 1
L'
P
j 1
*
j
6) Исследовать экспериментальный закон распределения входного сопротивления цепи на соответствие нормальному теоретическому. Заполнить
табл. 3.14.
7) Проверить гипотезу о наличии промахов.
8) Записать результат измерения входного сопротивления.
4.3. Контрольные вопросы
1) Понятие случайной погрешности. Критерии учета.
2) Проблема исследования систематической погрешности.
3) Случайные величины и способы их описания.
4) Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности.
5) Практические рекомендации по выбору доверительной вероятности.
6) Два подхода проверки гипотезы о промахах.
Т а б л и ц а 3.14
Результаты исследования входного сопротивления на соответствие
условиям нормального теоретического распределения
Номер
интервала j
Границы
интервала
Число
наблюдений,
попавших
в интервал  эj
Середина
интервала
Rвх( 0 j)
Zj 
(0)
Rвх
j  R вх

fT ( Z j )
Tj 
hjn

fT ( Z j )
( эj  Tj )2
 Tj
1
2
…
L'
L'
n
j 1
j
L'
( эj  Тj )2
j 1
 Tj

Библиографический список
1. К и м К. К. Метрология и техническое регулирование / К. К. Ким,
В. Ю. Барбарович, Б. Я. Литвинов М.: Маршрут, 2006. 256 с.
2. С е р г е е в А. Г. Метрология стандартизация и сертификация. А. Г.
С е р г е е в. М.: Юрайт, 2011. 820 с.
3. Т а р т а к о в с к и й Д. Ф. Метрология, стандартизация и технические средства измерений: Учебник / Д. Ф. Т а р т а к о в с к и й,
А. С. Я с т р е б о в . М.: Высшая школа, 2008. 213 с.
4. Н е ф е д о в В. И. Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах: Учебник / В. И. Н е ф е д о в. М.: Высшая
школа, 2005. 599 с.
5. Ш и ш к и н И.Ф. Теоретическая метрология. Часть 2. Обеспечение
единства измерений: Учебник / И.Ф. Ш и ш к и н . СПб.: Питер, 2012. 240 с.
6. К у з н е ц о в А. А. Методы и средства измерений, испытаний и
контроля: Учебное пособие / А. А. К у з н е ц о в, О. Б. М е ш к о в а,
Т. А. Т и г е е в а / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2009. Ч. 1,
80 с.; Ч. 2, 50 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Функция распределения Лапласа
Z
0,000
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0,100
0,110
0,120
0,130
0,140
0,150
0,160
0,170
0,180
0,190
0,200
0,210
0,220
0,230
0,240
0,250
0,260
0,270
0,280
0,290
0,300
0,310
0,320
0,330
0,340
0,350
0,360
0,370
0,380
0,390
0,400
0,410
0,420
0,430
Ф(z)
0,000
0,008
0,016
0,024
0,032
0,040
0,048
0,056
0,064
0,072
0,080
0,086
0,096
0,103
0,111
0,119
0,127
0,135
0,143
0,151
0,159
0,166
0,174
0,182
0,190
0,197
0,205
0,213
0,221
0,228
0,236
0,243
0,251
0,259
0,266
0,274
0,281
0,289
0,296
0,304
0,311
0,318
0,326
0,333
Z
0,440
0,450
0,460
0,470
0,480
0,490
0,500
0,510
0,520
0,530
0,540
0,550
0,560
0,570
0,580
0,590
0,600
0,610
0,620
0,630
0,640
0,650
0,660
0,670
0,680
0,690
0,700
0,710
0,720
0,730
0,740
0,750
0,760
0,770
0,780
0,790
0,800
0,810
0,820
0,830
0,840
0,850
0.860
0,870
Ф(z)
0,340
0,347
0,355
0,362
0,369
0,376
0,383
0,390
0,397
0,404
0,411
0,418
0,425
0,431
0,438
0,445
0,452
0,458
0,465
0,471
0,478
0,484
0,491
0,497
0,504
0,510
0,516
0,522
0,529
0,535
0,541
0,547
0,553
0,559
0,565
0,571
0,576
0,582
0,588
0,594
0,599
0,605
0,610
0,616
Z
0,880
0,890
0,900
0,910
0,920
0,930
0,940
0,950
0,960
0,970
0,980
0,990
1,000
1,010
1,020
1,030
1,040
1,050
1,060
1,070
1,080
1,090
1,100
1,110
1,120
1,130
1,140
1,150
1,160
1,170
1,180
1,190
1,200
1,210
1,220
1,230
1,240
1,250
1,260
1,270
1,280
1,290
1,300
1,310
Ф(z)
0,621
0,627
0,632
0,637
0,642
0,648
0,653
0,658
0,663
0,668
0,673
0,678
0,683
0,688
0,692
0,697
0,702
0,706
0,711
0,715
0,720
0,724
0,729
0,733
0,737
0,742
0,746
0,750
0,754
0,758
0,762
0,766
0,770
0,774
0,778
0,781
0,785
0,789
0,792
0,796
0,800
0,803
0,806
0,810
Z
1,320
1,330
1,340
1,350
1,360
1,370
1,380
1,390
1,400
1,410
1,420
1,430
1,440
1,450
1,460
1,470
1,480
1,490
1,500
1,510
1,520
1,530
1,540
1,550
1,560
1,570
1,580
1,590
1,600
1,610
1,620
1,630
1,640
1,650
1,660
1,670
1,680
1,690
1,700
1,710
1,720
1,730
1,740
1,750
Ф(z)
0,813
0,817
0,820
0,823
0,826
0,829
0,832
0,836
0,839
0,842
0,844
0,847
0,850
0,853
0,856
0,858
0,861
0,864
0,866
0,869
0,872
0,874
0,876
0,879
0,881
0,884
0,886
0,888
0,890
0,893
0,895
0,897
0,899
0,901
0,903
0,905
0,907
0,909
0,911
0,913
0,915
0,916
0,918
0,920
Z
1,760
1,770
1,780
1,790
1,800
1,810
1,820
1,830
1,840
1,850
1,860
1,870
1,880
1,890
1,900
1,910
1,920
1,930
1,940
1,950
1,960
1,970
1,980
1,990
2,000
2,050
2,100
2,150
2,200
2,250
2,300
2,350
2,400
2,450
2,500
2,600
2,700
2,800
2,900
3,000
3,200
3,400
3,600
4,000
Ф(z)
0,922
0,923
0,925
0,927
0,928
0,930
0,931
0,933
0,934
0,936
0,937
0,939
0,940
0,941
0,943
0,944
0,945
0,946
0,948
0,949
0,950
0,951
0,952
0,953
0,955
0,960
0,964
0,968
0,972
0,976
0,979
0,981
0,984
0,986
0,988
0,991
0,993
0,995
0,996
0,997
0,999
0,999
0,999
0,999
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
1
0,500
563
621
672
715
0,750
779
803
822
839
0,852
864
874
883
891
0,898
904
909
914
918
0,922
Функция распределения Стьюдента
n–1
2
3
4
5
0,500
0,500
0,500
0,500
570
573
574
575
636
642
645
647
695
705
710
713
746
759
766
770
0,789
0,804
0,813
0,818
824
842
852
858
852
872
883
890
875
896
908
915
894
915
927
934
0,908
0,930
0,942
0,949
921
942
954
960
931
952
963
969
938
960
970
976
946
966
976
981
0,952
0,971
0,980
0,985
957
975
984
988
961
979
986
990
965
982
989
992
969
984
990
994
0,971
0,986
0,992
0,995
10
0,500
577
651
719
779
0,830
871
904
930
949
0,963
974
981
987
991
0,993
995
997
998
998
0,999

0,50000
57926
65542
72545
78814
0,84134
88493
91924
94520
96407
0,97725
98610
99180
99534
99744
0,99865
99931
99966
99984
99993
0,99997
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Коэффициенты Стьюдента
Число
степеней
свободы, ν
1
1
2
3
4
5
6
Доверительная вероятность Р
0,80
0,90
0,95
0,98
0,99
0,995
0,998
0,999
2
3,0770
1,8850
1,6377
1,5332
1,4759
1,4390
3
6,3130
2,9200
2,35340
2,13180
2,01500
1,943
4
12,7060
4,3020
3,182
2,776
2,570
2,4460
5
31,820
6,964
4,540
3,746
3,649
3,1420
6
63,656
9,924
5,840
4,604
4,0321
3,7070
7
127,656
14,089
7,458
5,597
4,773
4,316
8
318,306
22,327
10,214
7,173
5,893
5,2070
9
636,619
31,599
12,924
8,610
6,863
5,958
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1,4149
1,3968
1,3830
1,3720
1,363
1,3562
1,3502
1,3450
1,3406
1,8946
1,8596
1,8331
1,8125
1,795
1,7823
1,7709
1,7613
1,7530
2,3646
2,3060
2,2622
2,2281
2,201
2,1788
2,1604
2,1448
2,1314
2,998
2,8965
2,8214
2,7638
2,718
2,6810
2,6503
2,6245
2,6025
3,4995
3,3554
3,2498
3,1693
3,105
3,0845
3,1123
2,976
2,9467
4,2293
3,832
3,6897
3,5814
3,496
3,4284
3,3725
3,3257
3,2860
4,785
4,5008
4,2968
4,1437
4,024
3,929
3,852
3,787
3,732
5,4079
5,0413
4,780
4,5869
4,437
4,178
4,220
4,140
4,072
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1,3360
1,3334
1,3304
1,3277
1,3253
1,3230
1,3212
1,3195
1,3178
1,3163
1,7450
1,7396
1,7341
1,7291
1,7247
1,7200
1,7117
1,7139
1,7109
1,7081
2,1190
2,1098
2,1009
2,0930
2,08600
2,0790
2,0739
2,0687
2,0639
2,0595
2,5830
2,5668
2,5514
2,5395
2,5280
2,5170
2,5083
2,4999
2,4922
2,4851
2,9200
2,8982
2,8784
2,8609
2,8453
2,8310
2,8188
2,8073
2,7969
2,7874
3,2520
3,2224
3,1966
3,1737
3,1534
3,1350
3,1188
3,1040
3,0905
3,0782
3,6860
3,6458
3,6105
3,5794
3,5518
3,5270
3,5050
3,4850
3,4668
3,4502
4,0150
3,965
3,9216
3,8834
3,8495
3,8190
3,7921
3,7676
3,7454
3,7251
26
27
28
29
30
32
34
1,315
1,3137
1,3125
1,3114
1,3104
1,3080
1,3070
1,705
1,7033
1,7011
1,6991
1,6973
1,6930
1,6909
2,059
2,0518
2,0484
2,0452
2,0423
2,0360
2,0322
2,478
2,4727
2,4671
2,4620
2,4573
2,4480
2,4411
2,778
2,7707
2,7633
2,7564
2,7500
2,7380
2,7284
3,0660
3,0565
3,0469
3,0360
3,0298
3,0140
3,9520
3,4360
3,4210
3,4082
3,3962
3,3852
3,3650
3,3479
3,7060
3,6896
3,6739
3,8494
3,6460
3,6210
3,6007
О к о н ч а н и е п р и л. 3
7
8
9
1
2
3
4
5
6
36
38
40
42
44
46
48
50
55
1,3050
1,3042
1,303
1,320
1,301
1,300
1,299
1,298
1,2997
1,6883
1,6860
1,6839
1,682
1,6802
1,6767
1,6772
1,6759
1,673
2,0281
2,0244
2,0211
2,018
2,0154
2,0129
2,0106
2,0086
2,0040
2,4345
2,4286
2,4233
2,418
2,4141
2,4102
2,4056
2,4033
2,3960
2,7195
2,7116
2,7045
2,6980
2,6923
2,6870
2,6822
2,6778
2,6680
9,490
3,9808
3,9712
2,6930
3,9555
3,9488
3,9426
3,9370
2,9240
3,3326
3,3190
3,3069
3,2960
3,2861
3,2771
3,2689
3,2614
3,2560
3,5821
3,5657
3,5510
3,5370
3,5258
3,5150
3,5051
3,4060
3,4760
60
65
70
80
90
100
120
150
1,2958
1,2947
1,2938
1,2820
1,2910
1,2901
1,2888
1,2872
1,6706
1,6686
1,6689
1,6640
1,6620
1,6602
1,6577
1,6551
2,0003
1,997
1,9944
1,9900
1,9867
1,9840
1,9719
1,9759
2,3901
2,3851
2,3808
2,3730
2,3885
2,3642
2,3578
2,3515
2,6603
2,6536
2,6479
2,6380
2,6316
2,6259
2,6174
2,6090
3,9146
3,9060
3,8987
2,8870
2,8779
2,8707
2,8598
2,8482
3,2317
3,2204
3,2108
3,1950
3,1833
3,1737
3,1595
3,1455
3,4602
3,4466
3,4350
3,4160
3,4019
3,3905
3,3735
3,3566
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ
1. Погрешность измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них начинается с цифр 1 или 2, и одной, если она начинается с
цифры 3 и более.
2. Оценочное значение результата измерения округляется до того же
десятичного разряда, до которого округлена погрешность результата измерения.
3. Округление производится лишь в окончательном ответе, промежуточные вычисления проводятся с одним-двумя лишними знаками.
Пример.
1. Если измеренное значение силы тока 2,65 А, а погрешность вычислена с промежуточной точностью ±0,006145 А, то результат округляется по
правилу 1:
I = (2,650 ± 0,006) А.
2. Если погрешность составила ±0,21544 А, тот же результат округляется по правилу 2:
I = (2,65 ± 0,22) А.
3. Если погрешность ±0,514 А, округлить необходимо следующим образом:
I = (2,7 ± 0,5) А.
Учебное издание
КАШТАНОВ Алексей Леонидович, КОМЯКОВ Александр Анатольевич,
КУЗНЕЦОВ Андрей Альбертович, МЕШКОВА Ольга Борисовна,
ПАШКОВ Денис Владимирович
МЕТРОЛОГИЯ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Часть 1
ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Учебное пособие
Редактор Н. А. Майорова
Корректор И. А. Сенеджук
***
Подписано в печать .11. 2014. Формат 60 84 116 .
Офсетная печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,3. Уч.-изд. л. 4,8.
Тираж 500 экз. Заказ
.
**
Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа
Типография ОмГУПСа
*
644046, г. Омск, пр. Маркса, 35
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
31
Размер файла
1 299 Кб
Теги
1565
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа