close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1550

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОСИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанская государственная сельскохозяйственная
академия имени П. А. Костычева»
В. А. Ксендзов
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ МАШИН
С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ ОБРАТНЫМИ
СВЯЗЯМИ
Печатается по решению
Совета инженерного факультета Рязанской
государственной сельскохозяйственной академии
им. П. А. Костычева от 18 ноября 2005
(протокол № 8)
Рязань 2005
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 531 (075.8) 621.01 631.3
ББК 40.72-01
Рецензенты:
Заслуженный деятель науки и техники РФ доктор технических наук профессор ОАО Висхом им. В. П. Горячкина
Панов И. М.
Почетный работник высшего профессионального образования заведующий
кафедрой «Эксплуатация машинно-тракторного парка» Рязанской Государственной сельскохозяйственной академии им. П. А. Костычева
доктор технических наук профессор
Бышов Н. В.
Ксендзов В. А.
Введение в механику машин с запаздывающими обратными связями – Рязань. 2005. - 178 с.
В монографии излагаются основы механики почво и грунтообрабатывающих машин, имеющих опоры, расположенные за рабочими органами. Изложены кинематика и
динамика наиболее простых моделей таких машин в детерминированном и статистических аспектах.
Монография предназначена для научных работников НИИ сельскохозяйственного
и дорожно-стороительного профиля, работников КБ, а также преподавателей и студентов
соответствующих вузов.
ISBN
ã Рязанская гос. с.-х. академия, 2005 г.
ã В.А. Ксендзов, 2005
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. МАШИНЫ И МЕХАНИЗМЫ С
ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ ......................... 5
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАШИН
С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ.................... 16
1. 1 Плоская кинематическая модель машины с положительной
запаздывающей обратной связью (п. з. о. с.) .................................................... 16
Уравнения движения и передаточные функции ............................................... 16
1.2 Переходные процессы машины с. п. з. о. с. .............................................. 20
1.3 Частотные свойства машины с п. з. о. с. ................................................... 27
1.5 Кинематика машин с отрицательными запаздывающими обратными
связями ................................................................................................................ 37
1.6 Кинематика пространственной модели машины с положительной
запаздывающей обратной связью.................................................................... 50
ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАШИН С
ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ ....................... 59
2.1 Плоская модель машины с одной степенью свободы и положительной
запаздывающей обратной связью (п. з. о. с.) .................................................. 59
2.2 Дифференциальное уравнение движения машины с п.з.о.с. и
передаточные функции ...................................................................................... 65
2.3 Линейная модель машины с положительной запаздывающей обратной
связью ................................................................................................................. 69
2.4 Решение дифференциального уравнения движения машины при
постоянном возмущающем воздействии ........................................................ 73
2.5 Программа решения дифференциально-разностного уравнения ............ 89
2.6 Свободные движения машины как материальной точки, охваченной
п.з.о.с. .................................................................................................................. 93
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.7 Переходные процессы машины с п.з.о.с. .................................................... 96
2.8 Частотные свойства машин с положительными запаздывающими
обратными связями .......................................................................................... 102
2.9 Устойчивость движения машин с положительными запаздывающими
обратными связями .......................................................................................... 120
2.10 Случай малого времени запаздывания .................................................... 127
2.11 Элементы статистической динамики машин с запаздывающими
обратными связями .......................................................................................... 132
2.12 Учет вязкого трения в упругой опоре .................................................... 137
2.13 Нелинейная динамическая модель машины с положительной
запаздывающей обратной связью ……………………………………………143
ГЛАВА 3. ДИНАМИКА МАШИН КАК СИСТЕМ С
ФОРМИРУЕМЫМ ТИПОМ СВЯЗИ ................................................ 152
3.1 Формирование связей машиной .............................................................. 152
3.2 Дифференциальное уравнение движения машины с формируемым
типом связи и его решение методом последовательного интегрирования
(методом шагов) ............................................................................................... 154
3.3 Описание движения машины дифференциально-разностным
уравнением нейтрального типа ..................................................................... 161
3.4 Общее решение уравнения движения ..................................................... 167
3.5 Определение корней характеристического уравнения......................... 168
3.6. Расчет переходного процесса ................................................................... 169
3.7 Частотные свойства модели и ее устойчивость .................................... 171
ЛИТЕРАТУРА ...................................................................................... 177
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
МАШИНЫ И МЕХАНИЗМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ
ОБ-
РАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
Среди почвообрабатывающих, посевных и других машин,
орудий и отдельных механизмов сельскохозяйственного назначения, а также мелиоративных и строительно-дорожных для земляных работ имеются такие, у которых опоры (колеса, катки, лыжи,
пяты и тому подобное) расположены за рабочими органами и перемещаются по поверхностям своего движения, создаваемым этими
рабочими органами во время выполнения технологических процессов (рис.1). К таким машинам среди сельскохозяйственных относятся лемешно-отвальные плуги, имеющие задние бороздные колеса, перемещающиеся по дну борозд, образуемых лемехом идущего
впереди корпуса (рис. 1а); лемешно-овальные плуги, рассматриваемые в горизонтальной плоскости, полевые доски корпусов которых скользят по стенкам борозд, образуемых их полевыми обрезами (рис. 1б); фрезерные и комбинированные агрегаты, имеющие
опорные прикатывающие катки, расположенные за фрез барабаном
(рис. 1в); некоторые сошниковые узлы, имеющие прикатывающие
катки, расположенные за сошником (рис. 1г); различного рода выравниватели поверхности поля с катками за рабочими органами
(рис. 1д) и другие. Из мелиоративных и строительно-дорожных
машин можно отметить каналокопатели и однокорпусные плуги
для прокладки временных оросителей (рис. 1е); грейдеры и планировщики (рис. 1ж); скреперы, бульдозеры (рис. 1з), и прочие.
Показанные на рис.1 и подобные им машины и механизмы
имеют в своих кинематических схемах замкнутые контуры передачи воздействий: отклонение по вертикали опор, расположенных за
рабочим органом, передается через раму к рабочему органу, и от
последнего через формируемую им поверхность движения к опоре,
рис. 2. Передачу воздействий по цепи опора рама-рабочий орган
будем считать прямой связью, а от рабочего органа через формируемую им поверхность вновь к опоре – обратной.
Обратная связь у указанных машин – запаздывающая. Отклонения опор, расположенных за рабочим органом, вызываются смещениями последнего, но по отношению к ним происходят с запаз5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дыванием во времени, которое зависит от расстояния от рабочего
органа до опоры и поступательной скорости движения машины.
V
V
а
V
V
в
V
V
д
V
б
г
V
ж
е
з
Рисунок 1 – Машины и механизмы с запаздывающими обратными связями.
РАМА
ОПОРА
РАБОЧИЙ
ОРГАН
ФОРМИРУЕМАЯ
ПОВЕРХНОСТЬ
Рисунок 2 - Замкнутый контур передачи
воздействий
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разумеется, у реальных машин колебания опор не являются
буквальным повторение колебаний рабочего органа, так как вопервых не для всех машин можно отождествлять смещение кромки
рабочего органа и формируемый ею профиль поверхности (см. главу 1). Во-вторых, поверхность движения опор не является абсолютно твердой, как и некоторые опоры, например, пневматические колеса, и, наконец, в силу геометрии самих опор, имеющих большое
конструктивное разнообразие и не являющихся идеальными копирами неровностей своего профиля движения.
Имея в виду рассмотреть наиболее простые, и, следовательно,
наиболее общие механические модели машин, необходимо ввести
определенные упрощения. В этой связи далее предполагается, что
на всем рабочем пути движения машины рабочий орган не выходит
из обрабатываемого слоя почвы или грунта. Кромка (лезвие) рабочего органа является абсолютно острой и ни в какие моменты времени не является дополнительной «опорой» машины. Профиль
формируемой поверхности представляет собой либо траекторию
движения кромки (лезвия) рабочего органа, либо функционально
связан с ней. Поверхности движения опор, в том числе и формируемая рабочим органом, абсолютно жесткие. Опоры машин имеют
вид либо жестких стоек, либо упругой подвески (пружины) с линейной характеристикой, идеально копирующих профиль поверхности своего движения. Последнее допущение широко распространено в теории транспортных машин и вводится для возможности
построения теории их колебаний на упругих (пневматических) колесах: [1, 2, 3], и др.
Все модели рассматриваемых машин можно разделить на два
класса, различие между которыми рассмотрим на примере плоских
моделей, приведенных на рисунке 3. В первом случае можно пренебречь деформациями опор и поверхностей их движения и считать, что опоры имеют вид жестких стоек, идеально копирующих
жесткие профили своего движения, рис.3а. В этом случае положение машины как плоского твердого тела в любой момент времени
определяется положением двух ее точек В и С соприкосновения
опор с поверхностями (траекториями) своего движения. Следовательно, в рассматриваемом случае движение машины исследуется в
чисто кинематическом аспекте, как копирование точками В и С некоторых профилей и передачи через раму отклонений этих точек на
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кромку рабочего органа D. Однако движение машины, и в частности точки D, определяемое достаточно просто в случае движения
опор по заранее заданным профилям (траекториям), в рассматриваемом случае не является вполне очевидным из-за наличия в ее
кинематической схеме обратной связи даже для плоской модели,
приведенной на рис. 3а. В случае же пространственной модели,
имеющей две опоры, перемещающихся по образуемой рабочим органом поверхности (грейдер, планировщик), задача становится достаточно сложной.
V
C
D
B
a
C
D
B
б
C
D
B
в
Рисунок 3 – Плоские модели машин с п.з.о.с.
Модели, показанные на рис. 3б и в, имеют одну или две упруго деформируемые опоры, и, следовательно, для описания их движения необходимо составлять соответствующие системы дифференциальных уравнений. Модель, показанная на рис. 3а и ей подобные, можно назвать кинематической, или системой программного
движения, а на рис. 3б и в – динамическими.
Рассматривая рис. 3а и б в сравнении с рис. 3в, можно отметить два способа реализации обратной связи. В первых двух имеем
жесткую опору, расположенную за рабочим органом, перемещающуюся по образуемой им абсолютно жесткой поверхности. Эта поверхность, ограничивая число степеней свободы машины, как твердого тела, является связью и обладает всеми свойствами, учитываемыми существующей их классификацией. Она может быть голономной и неголономной (последнее, например, при опорах в виде
колес с ребордами), стационарной и нестационарной, односторонней и двусторонней, (последнее в случае, если какие-либо конст8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
руктивные особенности опор препятствуют отрыву их от поверхностей движения). Наряду с этим поверхность движения опор С на
рис. 3а и б обладает еще тем свойством, что образуется самой машиной, рабочим органом в процессе его движения. Уравнение этой
поверхности (или траектории в плоском случае) заранее не задано и
должно определяться исходя из анализа движения самой машины.
V
х
-1 C
0 D
у
1
B
2
Рисунок 4 – Образование поверхности движения опоры С
Образование поверхности движения опор происходит по участкам, рис. 4. В начальном положении машины необходимо предположить некоторую поверхность между опорой С и рабочим органом – (-1,0), так как без этого задача исследования ее движения
становится неопределенной. Назовем этот участок начальным. Передняя опора В движется по заранее заданной поверхности. При
движении машины опора С движется по начальному участку, а рабочий орган D в этот отрезок времени формирует новый участок
(0,1), вид которого определяется характером движения машины, и
уравнение которого в общем случае не конгруэнтно начальному.
Это уравнение необходимо рассчитать исходя из найденных законов движения машины, и в частности, ее точки D. В последующем
для плоской схемы машины, показанной на рис. 4, траекторию
движения точки D принимаем за траекторию движения точки С. В
следующий отрезок времени точка С копирует первый участок
(0,1), а рабочий орган D образует второй участок (1,2), и т. д. Таким
образом, траектория движения точки С состоит из ряда участков,
последовательно образуемых рабочим органом при копировании
опорой С каждого предыдущего. С позиции механики приведенный
на рис. 4 случай можно представить, как плоское движение твердого тела, некоторой точке С которого предписано движение по траектории другой его точки D.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для пространственных схем машин рабочий орган формирует
поверхность движения, которая также образуется по участкам, и
точкам С опор предписывается нахождение на этих поверхностях.
Назовем связи, уравнения которых суть уравнения траекторий
некоторых точек исследуемого тела или уравнения поверхностей,
образуемых некоторыми линиями этого тела в процессе его движения – автоформируемыми. Таким образом, первый способ реализации обратной связи между текущим и предшествующим движениями твердого тела (машины) состоит в наложении на некоторые
его точки автоформируемого типа связи.
На рис. 3в показан другой способ реализации обратной связи.
Опора С, расположенная за рабочим органом, упруго деформируемая. Колебания рамы машины вызываются, в частности, и смещениями точки С и не являются заранее определенными безотносительно к движению машины, как это имеет место для передней
опоры В, а определяются предшествующими смещениями кромки
D рабочего органа. Если уC(t) – вертикальные смещения точки С, а
у(t) – то же точки D, то они связаны уравнением
уC ( t ) = y ( t - t )
(1)
где t - некоторое время запаздывания. Поэтому действующая
на раму реакция упругой опоры будет определяться не только текущим смещением рамы машины, вызывающим смещение верхней
точки опоры С, но и предшествующим ее поведением, зафиксированным в профиле формируемой поверхности. Следовательно, на
машину будут действовать силы, зависящие также и от предшествующих ее состояний.
Отсюда следует, что вторым способом реализации обратной
связи между текущим и предшествующим движениями машины,
как твердого тела, является приложение к нему запаздывающих сил,
зависящих от предшествующих состояний этого тела. Как будет
показано в последующем, каждый из приведенных на рис.3 случаев
требует своего механико-математического описания движения.
Движение кинематических моделей описывается при помощи разностных уравнений и их систем, динамических с наложенными на
них автоформируемыми связями – дифференциальными с членом
Лагранжа, содержащим сменяемое уравнение связи, либо дифференциально-разностными уравнениями нейтрального типа, и наконец, динамических с приложенными к ним запаздывающими сила10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ми – дифференциально-разностными уравнениями запаздывающего
типа и их системами.
Известно, что обратные связи могут быть положительными и
отрицательными. Положительные обратные связи обладают способностью форсировать процесс, усиливать реакцию системы на
воздействие. Отрицательные наоборот, обладают свойством стабилизировать процессы, уменьшать реакцию системы. Среди рассматриваемой группы имеются машины, как с положительной, так
и отрицательной обратными связями. К первым относятся машины,
показанные на рис. 1а, б, д, з, е, ж. Рассмотрим, к примеру, планировщик на рис. 1ж. Предположим, что в начальным момент времени его нож заглубили так, что он начал образовывать поверхность,
лежащую ниже исходной. Опоры, расположенные за ножом, копируя это понижение, через раму вызовут новое заглубление ножа и
формирование поверхности, расположенной еще ниже. Новое копирование вызовет снова заглубление ножа, и т. д. Очевидно, что
суммарное заглубление ножа будет превышать начальное.
Другие машины и механизмы, такие как фрезерные агрегаты,
заравниватели с прикатывающими катками, некоторые сошниковые
узлы (рис. 1в, г) имеют отрицательную обратную связь. У этих машин и механизмов заглубление рабочих органов вызывает вспушение или сгребание почвы, грунта к центру и возвышение дневной
поверхности. Последующий наезд опоры, например прикатывающего катка, на это возвышение вызывает уменьшение заглубления
рабочих органов, а следовательно, и величины вспушенности почвы, и т. д. Как правило, работа этих машин и механизмов сопровождается значительным уплотнением вспушенного слоя прикатывающими катками, что может существенно уменьшать эффект действия обратной связи.
Большое влияние на поведение рассматриваемых машин оказывает время запаздывания, которое определяется как время прохождения расстояния между рабочим органом и задней опорой. С
этой точки зрения машины можно разделить на имеющие переменное или постоянное запаздывание. Первое наблюдается при перемещении рабочего органа вдоль рамы машины, переменной скорости движения и при значительных углах наклона рамы машины в
процессе работы. Если же рабочий орган жестко закреплен на раме,
скорость движения постоянна и углы наклона машины в процессе
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ее движения невелики (в том смысле, что допустима замена нелинейных тригонометрических функций линейной частью разложения в ряд Тейлора), то можно принять время запаздывания постоянным. В настоящей работе рассматривается лишь этот случай.
Изложенные классификационные признаки – тип обратной
связи, способ ее реализации в моделях, постоянство или нет времени запаздывания – являются специфическими для рассматриваемой
группы машин и механизмов, как систем с запаздывающими обратными связями. Однако их можно классифицировать и по признакам, являющихся общими для всех мобильных машин.
Так, можно рассматривать различные модели машин – плоские, пространственные, имеющие различное число степеней свободы. Математическое описание их движения можно вести в рамках линейной теории, если допустима линеаризация имеющихся
нелинейностей, или наоборот, математические модели (дифференциальные и иные уравнения движения) будут существенно нелинейными.
Возмущающие воздействия на машину (профили движения
опор, силы, действующие на рабочие органы, и др.) могут быть
приняты в виде детерминированных или случайных функций. В качестве детерминированных входных воздействий для рассматриваемых машин целесообразно принять единичный толчок, имитирующий резкое изменение условий работы машины и являющийся
с точки зрения технической устойчивости (стабильности) ее движения одним из наиболее неблагоприятных режимов, и гармоническое воздействие, что необходимо для выяснения частотных
свойств модели, выявления области резонансов и последующего
перехода к изучению ее поведения в условиях случайных воздействий. Эти виды воздействий среди детерминированных являются
наиболее типичными и широко используются в исследованиях подобного рода, что впрочем, не исключает и иные их виды.
Важным аспектом для рассматриваемой группы машин является исследование их движения в условиях, когда вынуждающие
воздействия имеют вид случайных функций времени. Именно такой вид в реальных условиях чаще всего имеют нагрузки на рабочие органы и профили движения опор. При равномерной поступательной скорости движения машин во многих случаях эти случайные воздействия допустимо считать стационарными. На рисунке 5
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
приведена классификация машин с запаздывающими обратными
связями в кинематических схемах.
Модели машин с запаздывающими обратными связями
Вид механической
модели
Тип обратной
связи
Запаздывание
Число степеней
свободы, n
а) кинематическая
а) положительная
а) постоянное
б) динамическая
б) отрицательная
б) переменное
а) плоские
(n = 0 … 3)
б) пространственные(n = 2 … 6)
Способ реализации
обратной связи
Математическая
модель
Параметры модели
Характер внешних воздействий
а) через формируемый тип связи
б) через запаздывающие силы
а) линейная
б) нелинейная
а) постоянные
б) переменные
в) сосредоточенные
г) распределенные
а) детерминированый
б) стохастический
Рисунок 5 – Классификация машин и механизмов с запаздывающими обратными
связями в кинематических схемах.
Выбор моделей для рассмотрения в настоящей монографии
основывался на следующих соображениях. Машины рассматриваемой группы имеют большое конструктивное разнообразие. Учет
конкретных конструктивных особенностей связан, как правило, с
усложнением их механико-математических моделей, введение в
уравнения движения нелинейных членов. Понятно, что подобные
модели узко специализированы и не могут быть распространены на
иные типы машин.
С другой стороны рассматриваемые машины работают в разнообразнейших условиях. Например, для сельскохозяйственных
почвообрабатывающих машин почвенные и климатические условия
могут меняться в пределах одного обрабатываемого поля и одних
суток в достаточно широких пределах. Поэтому их математические
модели не отличаются высокой надежностью: коэффициенты дифференциальных уравнений движения могут варьировать в широких
пределах. Более того, может происходить и смена самой модели,
например, вязкого трения опорных поверхностей о почву на иной
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
его тип. Это ведет к значительному расхождению между теоретическим описанием и экспериментальными данными.
Следует добавить, что требования, налагаемые на работу почвообрабатывающих и иных машин рассматриваемой группы, как
правило, более простые, нежели аналогичные требования к работе
машин и механизмов в машиностроении. Так, от переходного процесса этих машин требуется, чтобы он не выходил за некоторые
пределы, обусловленные техническими условиями. Сам же вид
процесса обычно роли не играет.
В этой связи для рассматриваемой группы машин наиболее
актуальной является задача исследования прежде всего линейных
моделей, выявление влияния основного свойства – запаздывающей
обратной связи – на их поведение. Это создаст предпосылки для
дальнейшего развития теории конкретных машин путем учета конкретных конструктивных особенностей и условий их функционирования.
В настоящей книге исследуются наиболее простые кинематические схемы, лежащие в основе большинства машин рассматриваемого типа. Их описание выполнено в рамках линейных математических моделей – линейных разностных и дифференциальноразностных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянным запаздыванием.
В главе 1 рассмотрены кинематические модели машин, имеющих
положительную и отрицательную обратные связи. В главе 2 подробно
рассмотрена динамическая модель с одной степенью свободы, у которой обратная связь реализуется посредством запаздывающей силы. В
главе 3 рассмотрена плоская динамическая модель с наложенным на
нее формируемым типом связи.
В качестве общего метода их решения было принято преобразование Лапласа, что позволило на едином языке изображений получить
такие важные характеристики, как передаточные функции, и проводить их сопоставление для различных моделей машин.
Значительная трудоемкость аналитического исследования
систем с запаздыванием, в частности, нелинейных, делает целесообразным применение вычислительных машин, которые могут
применяться для расчета корней характеристических уравнений и
самих решений, расчета различных характеристик – частотных,
спектральных и других.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нумерация формул, рисунков и таблиц следующая. В каждом
параграфе нумерация своя - с 1 до n. Ссылки на объекты этого же
параграфа даются однозначным числом. Ссылки на объекты другого параграфа этой же главы даются двузначным числом. Например,
2.3 означает третью формулу из второго параграфа этой же главы.
Ссылки на объекты другой главы даются трехзначными числами.
Например, 2.3.4 означает формулу 4 из параграфа 3 главы 2.
Монография предназначена для научных работников, конструкторов, инженеров-эксплуатационников и учащихся вузов, занимающихся разработкой, эксплуатацией и изучением машин, орудий
и механизмов, в кинематических схемах которых имеются запаздывающие обратные связи. Монография должна помочь глубже понять механику поведения указанных машин в различных режимах,
овладеть методами анализа их движения и расчета параметров,
обеспечивающих приемлемое качество протекания технологических процессов.
Все замечания и пожелания по монографии будут с признательностью приняты и их следует направлять по адресу:
[email protected] .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАШИН С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ
ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
1. 1
ПЛОСКАЯ КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАШИНЫ С
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ
СВЯЗЬЮ (П. З. О. С.)
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Рассматриваемая здесь основная схема (рис.1) является моделью тех машин, орудий и механизмов, при работе которых можно
пренебречь деформациями опор и поверхностей их движения. Наиболее близкий к этой модели класс машин – планировщики типа П4, П-2,8 и другие. Вместе с тем результаты анализа могут быть
применены ко всем машинам, у которых можно допустить вводимые ниже упрощения.
V
x
-1
C
0
D
1
B 2
y
Рисунок 1 – Плоская кинематическая модель с
запаздывающей обратной связью.
Примем, что опоры В и С имеют вид жестких стоек, идеально
копирующих абсолютно жесткие поверхности своего движения.
Будем считать ломаную BDC практически не отличающейся от
прямой ВС. Отклонения точек В, С и D по вертикали примем достаточно малыми по сравнению с базой машины BC = L , и следовательно углы наклона рамы и, в частности, прямой ВС также будут
малы. Скорость движения машины по горизонтали (ее центра масс)
примем постоянной, v = const .
Будем также считать, что на всем пути движения машины
точка С задней опоры копирует без отрыва профиль движения, образуемый кромкой D рабочего органа.
Вводимые упрощения позволяют построить линейную модель
движения машины, имеющую постоянное запаздывание. Этот слу16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чай может быть рассмотрен в чисто кинематическом аспекте. Действительно, полагая, что машины «прижата» своим весом и силами,
действующими на рабочий орган, к поверхностям движения, приходим к выводу, что смещение ее точки D по вертикали будет определяться копированием опорами В и С профилей своего движения.
Как отмечалось выше поверхность, создаваемая рабочим органом, состоит из ряда участков (0,1), (1,2), (2,3) и т. д. последовательно образуемых им при копировании опорой С каждого предыдущего и имеющих в общем случае разные уравнения.
L
l
x
yC(0)
yC(t)
y(0)
y(t)
f(0)
f(t)
C
D
B
y
Рисунок 2 – Расчет отклонения кромки рабочего
органа.
Пусть CD = l , CB = L (рис. 2). Отклонение точки D по вертикали в
текущий момент времени от начального при принятых допущениях
можно записать в виде
y ( t ) - y ( 0 ) = k éë yC ( t ) - yC ( 0 ) ùû + (1 - k ) éë f ( t ) - f ( 0 ) ùû
(1)
где k = ( L - l ) L ; f(0), yС(0), y(0) – начальные ординаты точек В,
С и D соответственно, f(t), y0(t), y(t) – ординаты тех же точек в текущий момент времени t.
Уравнение (1) связывает вертикальные отклонения точки D с
вертикальными отклонениями точки С (прямая связь) и точки В
(возмущающее действие). Наряду с ним необходимо записать уравнения обратной связи, а именно: точка С опоры копирует с запаздыванием на некоторое время t отклонения кромки D рабочего органа:
yC ( t ) = y ( t - t )
(2)
В силу введенных выше допущений будем считать t = l / v = const
.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставив (2) в (1), получим следующее разностное уравнение
движения машины, или точнее, вертикальных отклонений точки D:
y ( t ) - k y ( t - t ) = y ( 0 ) - k y ( -t ) - (1 - k ) f ( 0 ) + (1 - k ) f ( t ) .
(3)
Если точка D располагается на прямой ВС, то величина
А = y ( 0 ) - k y ( -t ) - (1 - k ) f ( 0 ) , и уравнение (1.1.3) примет вид
y ( t ) - k y ( t - t ) = (1 - k ) f ( t )
(4)
Анализ уравнений (3) и (4) при различных начальных условиях и видах возмущающей функции f(t) дает возможность исследовать типовые движения машины. Наиболее экономно такой анализ
проводится при помощи преобразования Лапласа. Преобразуя
уравнение (3) по Лапласу, получим изображение решения в виде
y
1- k
1
Y (s ) =
F ( s) +
× 0+
1 - k exp ( - st )
1 - k exp ( - st ) s
k exp ( - st )
0
ò y0 ( u ) exp ( - su ) du
-t
1 - k exp ( - st )
(5)
где Y(s), F(s) – изображения функций y(t), f(t).
Последний член в (5) отражает вклад в решение так называемого начального участка при -t £ t < 0 . В начальном положении машины точка D расположена на оси ординат, а точка С – на вертикали, проведенной через точку (-1) (рис.1), и для того, чтобы можно
было рассчитать движение машины, необходимо в ее начальном
положении задать уравнение участка поверхности между точками
С и D. Таким образом, к начальным условиям – начальным отклонениям точек В, С, и D – необходимо присоединить и уравнение
начального участка y0(t), без чего задача была бы неопределенна.
Из выражения (5) вытекают следующие передаточные функции машины:
по отношению к возмущающей функции y(t), описывающей
отклонения передней опоры В, копирующей заданный профиль
движения:
Фf ( s) =
1- k
1 - k exp ( - st )
(6)
По отношению к начальному смещению рабочего органа:
1- k
Фу ( s ) =
,
(7)
1 - k exp ( - st )
и другие.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В соответствии с уравнением (5) на рис. 3 показана структурная схема передачи воздействий. Видно, что модель машины, как
система, преобразующая исходный профиль своего движения в
формируемый рабочим органом, имеет положительную запаздывающую обратную связь с коэффициентом k = ( L - l ) L . У реальных
машин как правило k < 1.
Y0(s)
y0 /s
k
+
F(s)
Y(s)
1–k
+
ke
–st
Рисунок 3 – Структурная схема преобразования
начального участка, начального отклонения и исходного
профиля в формируемый
Рассмотрим структуру профиля поверхности, формируемого
машиной, положив уC ( 0) = f ( 0) = 0 , у (0) ¹ 0 , т. е. опоры В и С в начальном положении машины находятся на оси х, в то время как
точка D – кромка рабочего органа – смещена на величину у(0). При
обращении
выражения
(5)
учтем,
что
выражение
¥
1
= å k i exp ( -ist )
1 - k exp ( - st )=i 0
- бесконечный геометрический ряд. Обра-
щая (5), получим решение в виде
уn ( t ) =
n-1
1- k n
y ( 0 ) + k n y0 ( t - nt ) + (1 - k ) å k i f ( t - it ) ,
1- k
i =0
(8)
где ( n -1) t £ t < nt , n = 1, 2, ..., ¥ .
Выражение (8) может быть получено и методом шагов из
уравнения (3), записанного как
(9)
y ( t ) = y ( 0 ) + k y ( t - t ) + (1 - k ) f ( t ) .
На первом шаге отрезка времени 0 £ t < t , полагая n = 1 , имеем
y1 ( t ) = y ( 0 ) + k y 0 ( t - t ) + (1 - k ) f ( t ) .
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На втором шаге для t £ t < 2t , n = 2 , подставляя выражение
у1 ( t - t ) вместо y 0 ( t ) в выражение y1 ( t ) , получим
1
y 2 ( t ) = (1 + k ) y ( 0 ) + k y0 ( t - 2t ) + (1 - k ) å k i f ( t - it ) ,
2
i =0
и так далее. На n – ом шаге приходим к выражению (8).
Из него следует, что n – й участок образуется, как сумма начального участка, n раз перекопированного опорой С (множитель
kn), отрезков f (t - it) , на которые разбивается воздействие от заданного профиля движения, перекопированного один раз опорой В
(множитель 1 - k ) и i раз опорой С (множитель k i ). Каждый n – й
сформированный отрезок нового профиля смещен по вертикали на
(
)
n
(1 - k )ùúû y ( 0 ) (за счет перекопирования опорой С
величину éêë 1 - k
начального смещения у (0) рабочего органа).
Уравнение (8) вскрывает фундаментальное свойство рассматриваемой модели, как устройства с «памятью». Каждый вновь образованный отрезок yn ( t ) содержит информацию о пройденном
профиле движения точки В и профиле начального участка, в результате чего его уравнение прогрессирующе усложняется. Наряду
с этим происходит «стирание» ранее зафиксированных отрезков за
счет множителя k i <1, которое тем больше, чем раньше пройден
этот отрезок. Оценка эффекта «стирания» дана в следующем параграфе.
1.2
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАШИНЫ С. П. З. О. С.
Рассмотрим поведение машины при резком (теоретически
мгновенном) отклонении передней опоры В, происшедшего в результате копирования ею ступени рельефа высотой f ( 0) = f0 в момент времени t = 0 . Все начальные условия положим равными нулю: y ( 0 ) = yC ( 0 ) = 0 , y 0 ( t ) = 0 при -t £ t < 0 , то есть в начальный момент
времени точки В, С и D находились на оси абсцисс, и начальный
участок (-1,0) также совпадал с этой осью. Скачкообразное смещение передней опоры в момент t = 0 может происходить и по причинам, например, резкой деформации опоры, либо опорной поверхности, которую в дальнейшем считаем неизменной.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Умножая передаточную функцию (6) на изображение скачка
f 0 s , и обращая изображение переходного процесса, либо подставляя значение скачка и начальные условия в решение (8), получим
уравнение переходного процесса в виде (рис. 1)
y n ( t ) = (1 - k n ) f 0 , ( n -1) t £ t < nt , n = 1, 2, 3,...,
(1)
где n – число перекопирований.
Переходный процесс представляет собой ступенчатую функцию с уменьшающейся высотой ступенек. Такой вид процесса обуславливается действием положительной обратной связи, иными
словами многократным перекопированием опорой С начального
отклонения глубины обработки, равного (1 - k ) f0 .
y
4
3
k y0
k y0
2
k y0
f0
y0
k y0
t (x)
-t
0
t
2t
3t
4t
Рисунок 1 – Переходные процессы модели с п.з.о.с. при
скачкообразном отклонении рабочего органа и передней опоры.
Величина каждой последующей ступени в k раз меньше предыдущей, и так как для рассматриваемой модели k < 1, то эти величины составляют геометрическую прогрессию: (1 - k ) f0 , (1 - k ) k f0 ,
(1 - k ) k 2 f0 , и так далее. Коэффициент k = ( L - l ) L показывает величину
текущего смещения точки D, как долю от предшествующего ее
смещения, и является таким образом коэффициентом обратной связи в замкнутом контуре кинематической цепи: опора С – рама - рабочий орган D - формируемая им поверхность - опора С и одним из
основных параметров рассматриваемой модели.
Полное изменение глубины хода рабочего органа получим,
устремив n к ¥, и учитывая, что k < 1. Имеем
lim y ( t ) = f0
n®¥ n
.
(2)
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, рассматриваемая модель по отношению к
смещению передней опоры В по вертикали обладает свойством самовыравнивания: по истечении достаточно длительного (теоретически – бесконечно большого) времени полное изменение глубины
хода рабочего органа равно этой величине. Принято считать переходный процесс завершившимся, когда суммарное изменение глубины хода достигнет значения 0, 95 f0 [23] : 0, 95 f0 = (1 - k n ) f0 . Отсюда количество перекопирований до завершения переходного процесса
n = éë log k 0, 05 ùû , а пройденный путь Sn = éëlog k 0, 05 ùû l , где скобки [] означают выделение целой части числа.
Рассмотрим переходный процесс, возникающий от малого начального смещения рабочего органа на величину y ( 0) = y0 . Остальные начальные условия примем нулевыми. Из решения (8) находим, что
1- k n
yn (t ) =
y0 ,
1- k
( n -1) t £ t < nt ,
n = 1, 2, 3, ..., .
(3)
Решение (3) показывает также, что возникшее по каким-либо
причинам малое начальное отклонение y0 в последующем многократно перекопируется опорой С. Полное отклонение рабочего органа найдем, положив n = ¥ :
1
y (¥ ) =
y0 .
(4)
1- k
Это решение совпадает с приведенным на рис. 1 при
y 0 = (1 - k ) f 0 .
Из (4) следует, что чем больше k, то есть чем ближе рабочий
орган к опоре С, тем больше суммарное его отклонение. Назовем
m 0 = y ( ¥ ) y 0 - чувствительностью рассматриваемой модели по отношению к начальному отклонению рабочего органа и сформулируем второе ее свойство: чувствительность модели по отношению к
начальному смещению рабочего органа D тем выше, чем больше
коэффициент обратной связи k.
Приведенные рассуждения можно распространить и на случай
деформации опоры С или опорной поверхности ее движения. Можно принять, что в начальный момент времени t = 0 произошла мгновенная скачкообразная деформация опоры (опорной поверхности)
на величину h, которая в дальнейшем на всем пути движения ма-
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шины осталась неизменной. Так как согласно рис. 1
мулу (4) можно представить в виде
k
y (¥) =
h,
y 0 = kh ,
то фор(4а)
1- k
откуда формула чувствительности модели по отношению к
начальной деформации опоры (опорной поверхности) имеет вид:
mh =
k
.
1- k
(4б)
Выражения (4а) и (4б) позволяют в известной мере выяснить
влияние геометрических параметров машины (или коэффициента
обратной связи k) на стабильность хода ее рабочего органа. Так, пятикорпусные плуги с задним бороздным колесом имели значения
k » 0, 77 ... 0, 8 и m h » 3, 3...4 . Построение многокорпусных плугов (до 10
корпусов) по той же схеме вызвало увеличение коэффициента обратной связи до 0,9, а величина чувствительности возросла до 9,
что в производственных условиях привело к нестабильности глубины обработки.
Предельное отклонение хода рабочего органа можно также
рассчитать, если ввести понятие угла атаки схемы g, рис. 2, под которым будем понимать угол, составленный линией CD с линией
вектора скорости v , принятого параллельным оси абсцисс. Очевидно, что рабочий орган не отклоняется по вертикали, если линия CD
V
a
-1 C
0
y
D
1
В
2
3
x
Рисунок 3 – Копирование начального участка в виде полуволны.
коллинеарна вектору v . В случае возникновения угла атаки g и,
следовательно, начального отклонения рабочего органа y 0 » l tgg изменение его положения прекратится, если схема повернется вокруг
точки В на тот же угол в противоположном направлении. При этом
добавочное изменение глубины хода составит y* = ( L - l ) tgg , а полное –
y ( ¥ ) = y 0 + y * = y0
L
1
=
y
l 1- k 0
, что совпадает с (4).
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим копирование машиной начального участка в виде
полуволны синусоиды, рис. 3 (сплошная линия): y 0 ( t ) = a sin w t ,
-t £ t < 0 , t = p / w .
При нулевых начальных условиях и возмущающем воздействии f ( t ) = 0 реакция машины на копирование начального участка
будет иметь вид:
k exp ( - st ) 0
Y (s) =
y 0 ( u ) exp ( -su ) du
(5)
1 - k exp ( - st ) ò
-t
Для удобства интегрирования положим y 0 ( t ) = a exp ( jw t ) и после
интегрирования возьмем только мнимую часть решения:
0
- a (1 + exp ( st ) )
u =0
-a
exp éë - ( s - jw ) u ùû
a ò exp ( jw u ) exp ( -su ) du =
=
u =-t
s - jw
-t
с учетом того, что
выражения равна
Im =
exp ( - jwt ) = exp ( - jp ) = -1 .
-aw
s2 +w 2
s - jw
Мнимая часть этого
(1 + exp ( st ) ) . Следовательно, изображение
решения имеет вид
k (1 + exp ( - st ) ) -aw
Y (s) =
×
,
(6)
1 - k exp ( - st ) s 2 + w 2
а оригинал
y ( t ) = a k n+1 sin w t , nt £ t £ ( n +1) t , n = 0, 1, 2, ...,
(7)
График решения показан на рис.3. Амплитуда бугра убывает
по закону геометрической прогрессии со знаменателем k. Пусть,
например, а =10 см , k = 0, 8 . После десяти копирований амплитуда бугра уменьшится до 1,1 см. Отсюда видно, что эффект «стирания»
неровностей в данном случае достаточно высок. У реальных машин
он, видимо, еще выше вследствие отличия опор от жестких стоек, а
также деформации опор и поверхностей их движения.
В этой связи по окончании переходных процессов можно изучать только стационарную составляющую формируемого профиля,
обусловленную внешним воздействие заданного профиля поверхности f ( t ) . Ее можно выделить из решения (8), если все начальные
условия принять нулевыми:
¥
y ( t ) = (1 - k ) å k i f ( t - it ) .
(8)
i =0
При одновременном действии возмущающей функции f(t),
начального участка y0(t) и начального отклонения рабочего органа
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у0 расчет может быть произведен по следующей программе, составленной в программном пакете Mathcad:
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y(t) : = y0
y0
for nÎ 1 .. N
n -1
1- k n
× y0 + k n × u 0 (t - n × τ) + (1- k) × å k i × f(t - i × τ) if (n - 1) × τ £ t < τ × n
1- k
i=0
Задавая количество шагов решения N, коэффициент обратной
связи k, время запаздывания t, начальное отклонение рабочего органа у0, а также профиль начального участка u0(t), получим профиль
формируемой рабочим органом поверхности. Пусть, к примеру, N =
5, k = 0,5, t = 1, u 0 (t ) = -2 sin w t , где w = p t . График решения приведен
на рис.4.
V
y0
x
-1
C
D
y0
y
y0
Рисунок 5 – Случай неустойчивого движения машины.
y0
5
4
y ( t)
3
u0 ( t )
y0
2
1
0
1
0
1
2
3
4
5
шаг
Рисунок 4 – Реакция модели на внешние воздействия.
Выше были рассмотрены переходные процессы, при которых значение отклонения точки D стремилось к некоторой конечной величине. Такие переходные процессы называют устойчивы26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ми. Если же отклонение точки D при n ® ¥ стремится к бесконечности, то такой процесс называют неустойчивым. Из формул (4)
видно, что неустойчивый процесс при каком угодно малом
нии начального отклонения у0 имеет место при значениях k ³ 1, при
которых каждая последующая ступень равна или больше предыдущей. На рис.5 показана схема крепления некоторого
тывающего орудия к трактору в виде параллелограммной навески,
реализующая случай k = 1. При каждом копировании ступени,
разуемой точкой D, орудие поворачивается вокруг мгновенных
центров поворота, лежащих в бесконечности, в результате чего
ждая последующая ступень равна предыдущей. Таким образом,
критерием устойчивости рассмотренных выше схем машин будет
неравенство k < 1.
1.3
ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА МАШИНЫ С П. З. О. С.
Примем, что смещение точки В опоры по вертикали в результате копирования исходного профиля движения имеет вид
f ( t ) = a1 sin w t .
(1)
Рассчитаем вынужденные установившиеся колебания по вертикали кромки рабочего органа D, формирующей новый профиль
движения. Сделав замену в выражении передаточной функции (1.6)
s = jw , где j – мнимая единица, w - частота возмущающего воздействия, и разделив действительную и мнимую части, получим выражения действительной и мнимой частотных характеристик:
(1 - k )(1 - k cos wt ) ,
U=
(2)
1 - 2 k cos wt + k 2
V =-
(1 - k )(1 - k sin wt ) ,
(3)
1 - 2 k cos wt + k 2
откуда по формулам h = U 2 + V 2 , j = arctg (V / U ) приходим к выражениям амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик
(а. ч. х. и ф. ч. х.):
h=
a2
a1
=
1- k
1 - 2 k cos wt + k 2
é k sin wt ù
j = arctg ê ú.
ë 1 - k cos wt û
,
(4)
(5)
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь а2 – амплитуда синусоидального профиля формируемой
поверхности.
Исключив из выражений (4) и (5) угол y = wt , представляющего собой фазу запаздывания (фазу, с которой опора С смещается по
отношению к смещению кромки рабочего органа D), получим выражения амплитудно-фазовых характеристик (а. ф. х.)
2
2
1 ö
æ
2 æ k ö
çU ÷ +V =ç
÷
1+ k ø
è
è1+ k ø
.
(6)
Они приведены на рис. 1, и представляют собой семейство окружностей с радиусом
k / (1 + k ) , центры которых расположены на оси абсцисс на расстоянии 1/ (1 + k ) от начала координат. Здесь же нанесены линии равных частот, которые находят путем исключения из вещественной и
мнимой частотных характеристик коэффициента обратной связи k
V0.6
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
) 0.1
) 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 0.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
U
Рисунок 1 – Амплитудно-фазовые характеристики.
(уравнение 7):
(U - 0, 5 )
2
+ (V + 0, 5 × tg0, 5y ) = ( 0, 5 sec 0, 5y )
2
2
.
(7)
Линии равных частот также представляют собой окружности,
центры которых имеют координаты U0 = 0, 5 , V0 = 0,5 tg 0,5y и радиус
0,5sec0,5y. На рис. 1 показаны линии при значениях y = 200, 400, …
3600. Последняя линия совпадает с осью U соответствует значениям
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
w = ip /t
, где i = 1, 2, 3, … . Четные значения i соответствуют точке
U =1.
Из уравнения (4) следует, что амплитуды профиля образуемой
поверхности равны между собой при значениях wt =m 2 p , m = 0, 1, 2, ...
, или же t = mT , где Т – временной период синусоидального рельефа поля. Умножив последнее равенство на V, получим l =mT * , где
период Т * выражен в единицах длины. Тривиальный случай m = 0
практически означает, что рельеф, период которого во много (теоретически в бесконечно большое число) раз превышает базу машины, не выравнивается (пропускается), рис. 2а.
V
а.
С
D
б.
B
C
D
B
в.
Рисунок 2 – Копирование машиной синусоидальных
профилей.
Когда расстояние l укладывается целое число периодов Т * ,
модель, имеющая опоры в виде жестких стоек, образует рельеф,
амплитуда которого равна амплитуде рельефа поля, рис. 2б. Наилучшее сглаживание синусоидального рельефа достигается при
y = wt = ( 2 m -1) p , m = 0, 1, 2, ... , то есть при l = éê(2 m + 1) T * ùú 2 . При этом
ë
û
Основные частотные свойства рассматриваемой
модели можно сформулировать следующим образом: линейная модель, подобно полосовому фильтру, пропускает рельеф, период которого укладывается на расстоянии l целое число раз, и в наибольшей мере подавляет (выравнивает) рельеф, у которого половина
периода укладывается на расстоянии l нечетное число раз, рис. 2в.
a2 = a1 (1 - k ) (1 + k ) .
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приведенные выше выкладки справедливы для опор в виде
жестких стоек (идеального копирования). Реальные опоры, например, в виде колес, внесут определенные искажения. Очевидно, что
колеса плохо «пропускают» или вообще «не пропускают» рельеф,
периоды которого сравнимы или меньше их диаметра (случаи
m = 2, 3, ... ).
Полученные результаты имеют определенное значение для
расчета некоторых сельскохозяйственных орудий. Рассмотрим, к
примеру, работу планировщика, рис.1.1. Внешним воздействием
для него является рельеф поля до планирования, вызывающий
смещение оси передних колес. Положим его синусоидальным и
пренебрежем влиянием формы колес при копировании. Выходной
величиной является рельеф поля после прохода орудия, образованный рабочим органом. Если период неровностей укладывается на
отрезке l целое число раз, то точки В и С смещаются синфазно, рама орудия перемещается параллельно самой себе и рабочий орган
образует рельеф полностью повторяющий рельеф не спланированного поля. Так, для планировщика П-4, и следовательно, синусоидальный рельеф с периодом Т * = 4, 8 м этим планировщиком будет
выравниваться плохо. В наилучшей степени будет выравниваться
тот рельеф, половина периода которого укладывается на отрезке l
нечетное число раз. В этом случае точки В и С будут двигаться в
противофазе, и амплитуда смещений рабочего органа будет минимальной. Так, для П-4 коэффициент. При амплитуде входных колебаний, равной единице, амплитуда выходных колебаний будет равна: а2 = 0,19 .
Улучшить работу планировщиков возможно, увеличив значение k до 0,8 - 0,9, что равносильно сдвигу рабочего органа к задним
колесам. При этом колебания, полупериоды которых укладываются
на отрезке l нечетное число раз, будут подавляться орудием в наибольшей мере. Так, для k = 0, 9 h min = 0, 052 . Другим фактором, способствующим улучшению работы, являлось бы то, что частоты колебаний, пропускаемых орудием, сдвигаются в область высоких, период их уменьшается. Например, если сдвинуть рабочий орган у П4 назад, достигнув значения k = 0, 9 , то расстояние CD = l будет равно
примерно 1,5 м. Следовательно, будут пропускаться частоты с периодами 1,5 м, 0,75 м и т. д. Но это произойдет в случае опор в виде
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жестких стоек, перемещающихся по абсолютно жестким профилям.
Постановкой колес соответствующего диаметра или гусеничного
хода можно достигнуть уменьшения отклонений орудия на этих
частотах. Наконец, при сдвиге рабочего органа к задним колесам
увеличивается количество одиночных возвышенностей, срезаемых
планировщиком, так как им полностью срезаются лишь те возвышенности, протяженность которых не превышает расстояние от передних колес до рабочего органа. Одиночные же возвышенности,
протяженность которых превышает базу орудия, также будут срезаться в большей мере тем орудием, у которого коэффициент обратной связи k больше.
Однако следует иметь в виду, что увеличение коэффициента
обратной связи k приводит к увеличению чувствительности орудий
по отношению к деформациям задних опор и опорных поверхностей. Поэтому необходимо принимать меры к их уменьшению путем постановки дополнительных колес, гусеничного хода и иных
конструктивных мероприятий.
Копирование машиной с п. з. о. с. профиля в виде случайной
стационарной функции.
В реальных условиях копируемый опорами машин профиль
поверхности движения чаще всего имеем вид реализации некоторой случайной функции. Будем считать, что возмущающая функция f (t ) является стационарной случайной, и рассчитаем показатели
формируемого машиной случайного профиля. Известными является корреляционная функция K f ( r ) , или спектральная плоскость
S f (w ) профиля движения до прохода машины. Все начальные условия положим равными нулю. Рассчитаем корреляционную функцию и спектральную плотность стационарной составляющей формируемого профиля.
¥
y ( t ) = (1 - k ) å k i f ( t - it ) .
(2.8)
i =0
Применяя к уравнению (2.8) операцию математического ожидания (м.о.), получим взаимосвязь между м. о. профилей до и после
прохода машины
¥
m y = (1 - k ) å k i m f = m f .
(1)
i =0
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что если линия м. о. функции f (t ) совпадает с осью
абсцисс, то my = m f = 0
Вычитая из (2.8) выражение (1.4.1), получим зависимость для
центрированных функций:
¥
0
0
y ( t ) = (1 - k ) å k i f ( t - it ) .
(2)
i =0
Корреляционную функцию формируемого профиля найдем,
применив к уравнению (2) теорему о корреляционной функции линейной комбинации случайных функций f ( t - it ) :
Ky
(
é¥ ¥
2
1
,
t1 t 2 = ( - k ) M ê å å k i k
êëi = 0 j = 0
)
j
ù
0
f t1 - it f t 2 - jt ú ,
úû
0
(
) (
)
(3)
где М – операция математического ожидания.
Беря попарно всевозможные произведения
0
(
) (
0
функций
)
и вычисляя соответствующие математические
ожидания, получим окончательно:
k ik
j
f t1 - it f t 2 - jt
Ky (r) =
¥
üï
1 - k ìï
n
í K f ( r ) + å k éë K f ( r + nt ) + K f ( r - nt ) ùû ý ,
1 + k îï
n=1
þï
(4)
или короче
Ky (r) =
1 - k ìï ¥
í å k
1 + k ïn = -¥
î
n
üï
K f ( r + nt ) ý
þï
(5)
На рис.1 показан характер образования корреляционной
функции K y ( r ) . На рис. 2 приведены нормированная корреляционная функция формируемого профиля 2 и корреляционная функция
исходного профиля 1 для случая аппроксимации K f ( r ) = exp ( -a r ) .
Выражение (5) можно также получить, воспользовавшись изn
k Kf (r ± nt)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
r
4
3
2
1
0
1
2
3
4
Рисунок 1 – Характер образования корреляционной функции
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вестным соотношением между функциями спектральных плотностей для одномерной системы:
S y (w ) = h 2 S f (w ) ,
(6)
где h2 – квадрат амплитудно-частотной характеристики. Следовательно, для исследуемой машины
(1 - k ) 2
× S f (w ) .
(7)
S y (w ) =
2
1 - 2 k cos wt + k
Разлагая квадрат модуля амплитудно-частотной характеристики в ряд 1.447.3 [1] и применяя обратное преобразование Фурье,
получим выражение корреляционной функции (5).
Корреляционные функции профилей движения рассматриваемых машин обычно аппроксимируют выражениями: K f ( r ) = cd ( r ) «белый шум». Здесь d (r) – дельта-функция Дирака.
K f ( r )= s 2f exp ( -a r ) ;
s 2f exp ( -a r ) cos b r ;
s 2f exp ( -a 2 r 2 ) ;
æ
ö
a
s 2f exp ( -a r ) ç cos b r + sin b r ÷
b
è
ø
и другими. Соответствующие выраже-
ния спектральных плотностей имеют вид
s 2f
p
×
a
a +w 2
2
;
s 2f
exp é - ( b + w ) / 4a 2 ù
êë
úû
2a p
S f (w ) =
S f (w ) =
2
s 2f a
p
s 2f a
p
S f (w ) = c / 2p = const ;
×
×
;
a 2 + b 2 +w 2
éa 2 + ( b - w ) 2 ù éa 2 + ( b + w ) 2 ù
ëê
ûú ëê
ûú
(
2 a2 +b2
(
)
)
w 2 - a 2 - b 2 + 4a 2 b 2
;
, и так далее [5].
Из рассмотрения кривой 2 (рис.2) следует, что в области r = nt
корреляция возрастет, что понятно из изложенного выше. Общий
вид кривых – затухающий, причем, чем больше коэффициент обратной связи k, тем быстрее они стремятся к нулю. Величину дисперсии найдем, положив в (5) r = 0:
D y = s y2 = K (0) =
1- k ¥
å k
1 + k n =-¥
n
K f ( nt )
(8)
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определим ее, к примеру, для случая
ставляя K f ( r ) в (8), имеем
Dy =
(
K f ( r ) = s 2f exp ( -a r
) . Под-
)
1- k 2 é
s y ê1 + 2 k exp ( -at ) + k 2 exp ( -2 at ) + ... ùú .
ë
û
1+ k
Использую формулу суммы членов бесконечной убывающей
геометрической прогрессии, получим
2 k exp ( -at ) ù 2
1- k é
Dy =
ê1 +
ú s , или
1 + k ë 1 - k exp ( -at ) û f
1 - k 1 + k exp ( -at ) 2
(9)
Dy =
×
s .
1 + k 1 - k exp ( -at ) f
Среднеквадратическое отклонение неровностей формируемого рельефа вычисляется соответственно по формуле
s y = Dy
(10)
На рис. 3 приведена нормированная спектральная плотность
S y (w ) рельефа образуемой поверхности при S f (w ) = a / p (a 2 + w 2 ) для
значений k = 0,8, a = 10.
Kf (r),
Ky (r)
1
)
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Рисунок
исходного 1 и
0 2 – Корреляционные функции
r
4
r
4
формируемого 2 профилей.
При входном воздействии типа белый шум спектральная
плотность S y (w ) представляет собой периодическую кривую с периодом Т = t и имеющую максимумы в точках wt = 2pn. Следовательно, машина представляет собой фильтр, пропускающий частоты, периоды которых примерно кратны времени t (или расстоянию
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
l). Это свойство было рассмотрено ранее при изучении реакции
машины на копирование синусоидального профиля. Первый максимум соответствует частоте w0 = 0. Это понятно, так как те неровности рельефа, периоды которых, выраженные в единицах длины,
во много раз превышают базу машины L, пропускаются им полностью. Второй максимум соответствует периоду Т1 = t (Т1* = l ) , третий –
периоду Т = t / 2 (Т * = l / 2 ) , и так далее.
Если кривая спектральной плотности входного воздействия
представляет собой затухающую экспоненту, то каждый последующий максимум меньше предыдущего, что является результатом
уменьшения доли составляющих, имеющих частоты w n = 2p n / t , во
входном воздействии (рис. 3). С точки зрения качества работы различных машин, предназначенных для выравнивания микрорельефа
полей, наиболее опасными являются максимумы, соответствующие
частотам w0 и w1. Последующие максимумы обычно малы, поскольку спектральная плотность входного воздействия обычно
имеет вид затухающей экспоненты, либо содержит последнюю в
качестве сомножителя. Кроме того, неровности рельефа, периоды
которых хотя и кратны t (или l), но малы, достаточно хорошо отфильтровываются опорами в виде колес большого диаметра. Для
отфильтровывания же первого максимума необходимы специальные конструктивные мероприятия.
Sf (w),
1.2
Sy(w)
1
2 ×p
4 ×p
0.8
1
0.6
0.4
2
0.2
0
0
5
10
15
20
25
w
Рисунок 3 – Спектральные плотности исходного
w 1 и формируемого 2 профиля.
В экспериментах и производственных условиях неоднократно
отмечалось, что при многократном проходе таких машин, как планировщики полей, по одному следу, рельеф планируемого поля
приобретает волнообразный характер, который с увеличением числа проходов выявляется все более отчетливо.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Встает вопрос, как должен двигаться планировщик, чтобы
достигнуть наилучшего сглаживания микрорельефа?
Очевидно, что после первого прохода второй проход необходимо совершать под углом так, чтобы достичь наилучшего подавления возникающих гармоник, что имеет место, когда на расстояние l укладывается нечетное число полупериодов, то есть под углом » 600 к первоначальному направлению движения.
Для оценки выравнивающей способности планировщиков,
грейдеров и других аналогичных машин применяют показатель,
представляющий собой отношение средних квадратических отклонений профилей движения после и до прохода - s у s f . Удобнее
этот показатель брать в виде n = 1 - (s y s f ) , так как в этом случае при
s у = s f , то есть отсутствии выравнивания профиля n = 0 , а при s у = 0
(идеальное выравнивание) n =1 . Считается, что всегда s f ¹ 0 , так как
в противном случае задача лишена смысла. Значение s у найдем из
выражения (8):
s y = K y (0) =
1- k ¥
å k
1 + k n = -¥
n
K f ( nt ) .
(11)
Если корреляционная функция K f (r ) обладает сильным затуханием, то среднее квадратическое отклонение формируемого профиля может быть подсчитано по приближенному выражению
sy »
1- k
sf ,
1+ k
(12)
а показатель выровненности профиля
n = 1-
1- k
.
1+ k
(13)
Конкретно для случая, представленного формулой (10), формула (12) получается при k exp ( -at ) <1, что имеет место при больших
значениях a (достаточно сильном затухании экспоненты) и больших значениях времени запаздывания t.
Так, для планировщика, имеющего коэффициент обратной
связи k = 0,7, n = 0,58. Вместе с тем необходимо иметь в виду недостатки показателя n, который оценивает выровненность «в среднем», не учитывая распределение дисперсии (или с. к. о.) по частотам профиля.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.5 КИНЕМАТИКА МАШИН С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ
ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
В «Введении» отмечалось, что существуют машины, орудия и
механизмы, имеющие в своих кинематических схемах отрицательные запаздывающие обратные связи. Рабочие органы этих машин
производят вспушение, рыхление обрабатываемой среды, почвы,
или сгребание ее от краев к центру так, что это ведет к возвышению
ее дневной поверхности. Чем больше глубина хода рабочего органа, тем выше расположена дневная поверхность. Последующий наезд на него опор, расположенных за рабочими органами (обычно
прикатывающих катков), ведет к уменьшению глубины обработки
и, как следствие, к понижению дневной поверхности почвы из-за
уменьшения толщины ее обрабатываемого слоя. Таким образом,
увеличение глубины хода рабочих органов ведет в последующем к
ее уменьшению, затем к новому увеличению, и так далее, в противоположность машинам, имеющим положительные обратные связи.
К машинам и механизмам сельскохозяйственного назначения,
имеющим отрицательные обратные связи, можно отнести различные фрезерные агрегаты, имеющие фрезерные рабочие органы,
производящие рыхление почвы, и расположенные за ним прикатывающие катки, причем те и другие закреплены на одной раме машины рис.1в; различного рода сошниковые узлы, имеющие загортачи, сгребающие почву к центру узла, и прикатывающие катки,
рис. 1г, и другие.
Движение машины с отрицательной обратной связью (о. с. с.)
изучим аналогично движению машин с положительными обратными связями (п. о. с.). Рассмотрим модель, приведенную на рис. 1.
V
x
-1 yC C
yD D
y
y
1
B 2
Рисунок 1 – Плоская кинематическая модель с
отрицательной запаздывающей обратной связью (озос).
Примем те же допущения относительно размеров машины,
малости вертикальных отклонений глубины хода рабочего органа и
опор В и С по сравнению с базой машины BC = L . Пусть CD = l . Ось
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
абсцисс направим по средней линии заранее заданного профиля
движения опоры В, которую будем считать прямой. Ось ординат –
вниз, в сторону заглубления рабочего органа. Зависимость приращения глубины обработки от смещения опор С и В за некоторый
достаточно малый промежуток времени D i t имеет вид
Di y = k Di yC + (1 - k ) Di f ,
(1)
где Di y - смещение точки D рабочего органа по вертикали за
малый отрезок времени Di t ;
Di yC и Di f - вертикальные отклонения опор С и В соответственно за тот же отрезок времени. Коэффициент k как и прежде равен: k = BD BC = ( L - l ) L . Уравнение (1) описывает преобразование
вертикальных отклонений опор В и С через раму в отклонения рабочего органа D.
Пусть в некоторый момент времени глубина хода рабочего органа (ордината точки D) была y. Этой глубине хода соответствует
вспушение обрабатываемой среды yD , отсчитываемое вверх от оси
абсцисс, рис. 1. Введем коэффициент вспушенности обрабатываемой среды, определив его, как kD = yD y . При yD = 0 коэффициент
k D = 0 , рабочий орган не производит вспушения. Коэффициент
вспушенности зависит от многих факторов, как, например, физикомеханические свойства обрабатываемой среды, тип рабочего органа
машины, механизма, его настройка и режим работы, и так далее.
Учитывая, что рассматриваются достаточно малые отклонения глубины обработки при постоянных параметрах машины, считая постоянными также свойства обрабатываемой среды, режимы работы
машины и ее рабочего органа, примем, что kD = const .
Наряду со вспушением обрабатываемой среды у машин,
имеющих о. о. с., происходит довольно значительное ее уплотнение
опорой С. (У ряда машин опора С имеет вид прикатывающих катков, назначение которых и является уплотнение почвы). Введем
оценку уплотнения среды опорой С при помощи коэффициента
kC = ( yD - yC ) yD , где yC - отсчитываемая от оси абсцисс высота уплотненного слоя; yD - yC - величина уплотнения, а следовательно,
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
коэффициент kC показывает относительную величину уплотнения
почвы. Он зависит от физико-механических свойств вспушенного
слоя, формы опоры, нагрузки на нее, скорости движения машины и
других факторов. Примем также kC = const . Вводимые упрощения
преследуют цель упростить математическую модель движения машины, выявить влияние основного фактора – обратной связи – на
ее движение.
Из определения коэффициента вспушенности получаем, что
y D ( t ) = -k D y ( t ) , то есть образование поверхности за рабочим органом
происходит одновременно с изменением глубины обработки. Поверхность же за опорой С образуется по отношению к изменению
глубины обработки на время t = l v позже.
Отсюда, а также из определения коэффициента kC следует:
yC ( t ) = (1 - kC ) y D ( t - t ) . Подставляя значение y D , найдем, что
yC ( t ) = - (1 - kC ) k D y ( t - t ) = -kd y ( t - t ) .
(2)
Коэффициент kd = (1 - kC ) kD , характеризует общую деформацию
обрабатываемой среды рабочим органом и опорой С. Коэффициент
kd = 0 в случаях kC = 1 (величина уплотнения равна величине вспушения), либо kD = 0 (рабочий орган не производит вспушения обрабатываемой среды).
Уравнение (2), связывая вертикальные отклонения опоры С в
текущий момент времени с предшествующими им отклонениями
рабочего органа, является, таким образом, уравнением обратной
связи. Записывая уравнение (2) для приращений Di yC ( t ) и Di yD ( t ) и
подставляя его в уравнение (1), находим разностное уравнение отклонений рабочего органа в приращениях
Di y ( t ) = (1 - k ) Di f ( t ) - k k d Di y ( t - t ) .
(3)
Суммируя все приращения в (3) от момента времени t0 = 0 до
текущего, и заменяя суммы разностями конечных значений функций,
n
n
y
y
t
y
0
,
D
=
(
)
(
)
ån i
å Di f = f ( t ) - f ( 0 ) ,
i =1
i =1
å D yC = yC ( t ) - yC ( 0) = y ( t - t ) - y ( -t ) ,
i =1
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
получим
y ( t ) - y ( 0 ) = -k k d éë y ( t - t ) - y ( -t ) ùû + (1 - k ) éë f ( t ) - f ( 0 ) ùû .
Перенося искомые члены в левую часть, а заданные в правую,
окончательно будем иметь
y ( t ) + k 0 y ( t - t ) = y ( 0 ) + k 0 y ( -t ) - (1 - k ) f ( 0 ) + (1 - k ) f ( t ) ,
(4)
где k0 = kkd . При нулевых начальных условиях (точки В, С и D
расположены на оси абсцисс) уравнение (4) переходит в следующее
y ( t ) + k 0 y ( t - t ) = (1 - k ) f ( t ) .
(5)
Преобразуя уравнение (1.5.4) по Лапласу, находим изображение решения
0
k0 exp ( - st ) ò y ( u ) exp ( - su ) du
y0 + k0 y ( -t ) - (1 - k ) f 0 1
1- k
t
(6)
× +
Y (s) =
F (s) +
1 + k0 exp ( - st )
1 + k0 exp ( - st )
s 1 + k0 exp ( - st )
Уравнению в изображениях (6) соответствует структурная
схема на рис.2.
Y0(s)
y0 /s
k
F(s)
1–k
+
Y(s)
-
k0 e
–st
Рисунок 2 – Структурная схема преобразования начального участка,
начального отклонения и исходного профиля в формируемый.
Из (6) могут быть получены следующие передаточные функции машины:
по отношению к возмущающему действию заданного профиля
движения (вертикальным отклонениям опоры В ) - f ( t ) :
Ф f (s) =
1- k
,
1 + k 0 exp ( - st )
(7)
По отношению к начальному отклонению рабочего органа у0:
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фy ( s ) = -
1
,
1 + k 0 exp ( - st )
(8)
и другие.
Коэффициент k 0 = k k d = k k D (1 - kC ) является, коэффициентом обратной связи в замкнутом контуре кинематической цепи: опора С –
рама машины – рабочий орган – формируемая поверхность – опора
С. Величина k 0 ³ 0 . Значение k 0 = 0 отвечает случаям либо kD = 0 (отсутствует вспушение почвы), либо k C = 1 (опора С уплотняет вспушенный слой до исходного состояния), при этом влияние обратной
связи исчезает. В дальнейшем будем рассматривать лишь случай
k 0 > 0 , что имеет место при kC < 1 (вспушение почвы преобладает над
его уплотнением опорой С).
Как и ранее, к уравнениям (4) и (5) может быть применен метод шагов и получена формула, аналогичная (8), определяющая
значение глубины хода рабочего органа D на отрезке времени
( n -1)t ... nt . Однако предпочтительно использовать полученные выше
передаточные функции Ф f и Ф0 .
Рассмотрим реакцию машины на резкое отклонение точки В –
воздействие типа толчка. Пусть величина толчка равна f 0 , его изображение - f 0 s . Изображение реакции машины при условии равенства нулю всех начальных отклонений опор и начального участка
будет иметь вид:
Y (s) =
f0
1- k
.
×
1 + k 0 exp ( - st ) s
(9)
Оригинал можно построить, использую ряд №208 [4], стр. 279.
учитывая затухание, вносимое коэффициентом обратной связи k0 ,
изменение глубины обработки y ( t ) запишется в виде
y ( t ) = (1 - k )
1 + ( -1)
n-1 n
k0
1+ k0
f0
(10)
для отрезка времени ( n -1) k £ t < nt , n = 0, 1, 2, ... . Графически уравнение (10) приведено на рис. 3а.
Физическая картина изменения глубины обработки такова.
Начальное отклонение передней опоры В на величину f 0 вызывает
отклонение глубины обработки на величину y 0 = (1 - k ) f 0 , которое
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
через время запаздывания t вызывает смещение опоры С на величину k 0 (1 - k ) f 0 в обратную сторону, затем на величину k 02 (1 - k ) f 0 в
первоначальную сторону, и так далее.
В работе машины можно отметить три режима. В первом величина коэффициента обратной связи меньше единицы, k 0 < 1 . В
этом случае процесс будет затухающим, как это показано на рис.
3а. Конечное значение изменения глубины обработки найдем, положив в (10) n = ¥ , либо воспользовавшись соотношением
lim sY ( s )= lim y ( t ) :
s ®0
n,t ®¥
y (¥) =
1- k
f0 .
1+ k0
(11)
Во втором режиме k 0 = 1, что вызывает незатухающие колебания машины – граничный случай, рис.3б. Этот режим будет наблюдаться при k D = 1 k (1 - k C ) . Проиллюстрируем этот режим примером.
Пусть проектируемая сошниковая система имеет зогортачи, засыпающие семена и прикатывающий каток, расположенный сзади,
k = 0, 8 . Коэффициент уплотнения вспушенной почвы k C = 0, 2 .Отсюда
допускаемый коэффициент вспушения (сгребания) почвы должен
быть равен kD = 1, 56 , то есть высота слоя почвы, сгребаемой загортачами, должен быть не более 1,56 значения глубины обработки. При
невыполнении этого условия будет происходить волнообразное,
колебательное движения сошника и некачественная заделка семян.
В третьем режиме k 0 > 1 и машина совершает расходящиеся колебательные движения, рис.3в. В реальных условиях расхождение
прекращается в момент выхода рабочих органов из почвы, и устанавливаются автоколебания с амплитудой, равной максимальному
значению глубины обработки.
Этот режим наблюдался у ряда фрезерных агрегатов при жестком относительно рамы закреплении оси прикатывающего катка.
Вызванное по каким-либо причинам чрезмерное заглубление одного края фрезбарабана вызывало значительное вспушение почвы на
этом крае и отбрасывание ее назад к одноименному краю катка, перед которым формировался бугор почвы. Наезд на него края катка
приводил к подъему одноименного края фрезбарабана, подчас полностью вытаскивая его из обрабатываемого слоя почвы, вспушение
прекращалось. Одновременно вследствие перекоса фрезбарабана и
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
всей машины в целом в поперечной плоскости происходило заглубление противоположного края фрезбарабана, на котором развивался аналогичный процесс, но со сдвигом фазы на 1800. В итоге
у машины наблюдались интенсивные поперечные колебания, технологический процесс ее работы нарушался.
y
k0 y 0
k03y0
k02y0
k04y0
y0 = (1-k) f0
x
t
0
2t
3t
4t
а
y
y0
y0 /2
x
б
y
y0
x
в
Рисунок 3 – Переходные процессы модели с о.з.о.с.
Из необходимого для успешной работы машины условия k 0 < 1
следует равенство, связывающее ее конструктивные и технологические параметры: k < k D (1 - kC )-1 .
Реакция машины на начальное отклонение глубины обработки
исчерпывается аналогично, так как начальное отклонение точки В
на величину f 0 вызывает в тот же момент времени отклонение глубины обработки на величину y 0 = (1 - k ) f 0 . Поэтому в формулах (10)
и (11) следует лишь заменить (1 - k ) f 0 на y 0 . Так же может быть рассмотрена и реакция орудия на начальную деформацию опоры С yC (или дополнительную возмущающую деформацию опорной поверхности, не учитываемую коэффициентом kC ). Здесь y 0 = k yC .
Расчет реакции машины на все три вида воздействия одновременно может быть произведен по следующей программе:
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y(t) : =
y0
y0
k0
k0
k
k
for n Î 1 .. N
1- ( -1)
n-1
k 0n
1- k
n-1
(1- k) × å ( -1)
× y0 + ( -1)
n-1
n-1
k 0 n × u 0 (t - n × τ) + ...
k 0i × f(t - i × τ) if (n - 1) × τ £ t < τ × n
i=0
На рисунке 4 показана реакция машины на следующие виды
воздействий: y0 = 1, f(t) = 1, u0(t) = a sin(w t) при -t < t £ 0 и значениях параметров k0 = 0.4, k = 0.8, w = p /t, t = 1, N = 5.
y
8
7
6
5
4
3
0
1
2
3
4
5
шаг
Рисунок 4 – Переходный процесс машины
с отрицательной запаздывающей обратной
связью
Рассчитаем путь переходного процесса, в течение которого
доля отклонения глубины обработки от установившегося значения
составит менее 0,05. Полагая в (10) y ( t ) = 0, 95 y ( ¥ ) или 1, 05 y ( ¥ ) , так
как кривая переходного процесса приближается к установившемуся
значению попеременно с двух сторон, и, учитывая (1.5.11), получим k 0n = 0, 05 . Откуда число перекопирований до окончания переходного процесса:
(
)
n = log kC 0, 05 .
(12)
Здесь символ [] – выделение целой части числа. Путь переходного процесса S = nl .
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим поведение машины в режиме гармонических воздействий, подаваемых на точку В. Пусть f ( t ) = a1sin w t где w - круговая частота. Подставляя в передаточную функцию Ф f оператор
s = jw , получаем действительную и мнимую, а также амплитудно и
фазочастотную характеристики:
(1 - k ) (1 + k 0 cos wt )
U (w ) =
,
(13)
2
1 + 2 k 0 cos wt + k 0
V (w ) =
h (w ) =
а1
а2
(1 - k ) k 0 sin wt
1 + 2 k 0 cos wt + k 02
=
,
(14)
1- k
1 + 2 k 0 cos wt + k 20
,
(15)
где а2 – амплитуда установившихся колебаний рабочего органа.
j (w ) = arctg
k 0 sin wt
1 + k 0 cos wt
.
(16)
Находя из (13) coswt и sinwt и подставляя их в (14), получаем
уравнение годографа амплитудно-фазовой характеристики.
2
2
é
ù
é k (1 - k ) ù
êU - 1 - k ú + V 2 = ê 0
ú .
ê
ê 1- k 2 ú
1 - k 02 ú
0 û
ë
ë
û
(17)
Амплитудно-фазовые характеристики представляют собой окружности, рис. 5,
V
R
w=0
j
U
h
U0
Рисунок 5 – Амплитудно-фазовая
характеристика модели с о.з.о.с.
U0 =
центр которых расположен на оси абсцисс на расстоянии
(1 - k ) (1 - k 02 ) от начала координат, а радиус R = k 0 (1 - k ) (1 - k 02 ) . Ми45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нимальное значение вектора а. ф. х. h min = (1 - k ) (1 - k 0 ) и соответствует значениям угла запаздывания j= 2 mp . Максимальное
h max = (1 - k ) (1 - k 0 ) при j = (2 m -1) p , m = 0, 1, 2, ... . Точка w = 0 соответствует h min при m = 0 , направление возрастания частот показано стрелкой.
Исключая из (13) и (14) коэффициент обратной связи k, получим уравнения семейства кривых равных частот:
2
{V + 0.5 éëctgy + (1 / kд ) cscy ùû} + (U - 0.5 ) 2 = 0.25 éë1 + ctgy + (1/ kд ) cscy ùû 2
Линии равных частот также представляют собой окружности,
имеющие центрами точки с координатами V0 = 0.5 éëctgy + (1 / kд ) cscy ùû ,
U 0 = 0.5 , и радиусы
R 0 = 0.5 éë1 + ctgy + (1 / kд ) cscy ùû .
На рис. 6 приведено семейство огибающих годографов амплитудно-фазовых характеристик при значениях kд от 0,2 до 0,8 при k
= 0,8 и y = 1 рад. Рис. 7 показывает изменение а. ф. х. при изменении kд от 0,2 до 0,8 при k = 0,8 (k0 = k kд = 0.16 … 0.64).
V
0.2
kд=0,8
0.1
0,2
0
0.1
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
(
)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
U
Рисунок 6 – Амплитудно-фазовые характеристики модели с о.з.о.с. и их огибающие.
kд = 0,2 … 0,8; k = 0.8; y = 1 рад.
Для оценки устойчивости движения машины можно воспользоваться, например, критерием устойчивости Найквиста–Цыпкина
Я. З. Из рис. 2 следует передаточная функция разомкнутой системы
W ( s ) = k 0 exp ( - st ) . Делая подстановку s = jw , получаем выражение ам46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
плитудно-фазовой характеристики W ( jw ) = k 0 exp ( - jwt ) . Отсюда следует, что а. ф. х. представляет собой окружность радиуса k 0 . Согласно критерию устойчивости она не должна охватывать точку с
координатами U = -1 , V = 0 , где U + V j = W ( jw ) . Отсюда следует, что
условие устойчивости принимает вид k 0 £ 1 .
V
0.2
0.1
0
0.1
0.2
U
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
( )
Рисунок 7 – Амплитудно-частотные характеристики
машины с о.з.о.с. k = 0.8.
Так как k 0 = k kd , то граница устойчивости на плоскости параметров k, kd будет гипербола k =1 kd . К этому следует добавить, что
для реальных машин величина коэффициента k < 1. В этой связи область допускаемых значений параметров показана на рис. 8 (штриховка направлена в область устойчивости).
k
1
kд
1
Рисунок 8 – Область допустимых
параметров k, kд.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если функция f ( t ) - случайная стационарная, то характеристики стационарной составляющей изменения глубины обработки –
спектральную плоскость и корреляционную функцию – получим,
используя амплитудно-частотную характеристику (15) и
известное соотношение между спектральными плотностями
входной
и
выходной
величин
одномерной
системы:
2
S y (w=
) ëéФ ( jw )ûù S f (w ) . Имеем
S y (w ) =
(1 - k ) 2
1 + 2 k 0 cos wt + k 02
S f (w )
,
(18)
Раскладывая выражение (18) в ряд 1.447.3 [1] и применяя к
нему обратное преобразование Фурье, получим выражение корреляционной функции профиля, формируемого рабочим органом:
2
¥
üï
1 - k ) ìï
(
n n
é
ù
1
(19)
r
+
´
r
t
+
r
+
t
Ky (r) =
K
k
K
n
K
n
(
)
(
)
(
)
(
)
í
å
f
f
f
0 ë
ûý ,
2
1 - k 0 ïî
ïþ
n =1
или
Ky (r) =
(1 - k ) 2
¥
n n
å ( -1) k 0 K f ( r + nt ) .
( 20)
1 - k 02 n = -¥
На рис.9 показан характер образования корреляционной
функции (20) для случая аппроксимации K f ( r ) = exp ( -a r ) . Каждая
составляющая описывается выражением K yn ( r ) = ( -1) n k 0n e-a r . На
рис.10 приведены нормированные корреляционные функции исходного и формируемого профилей. На рис. 11 показаны спектральные плотности исходного и формируемого профилей. Спектральная плотность исходного профиля аппроксимирована выражением S f (w ) = 1 2 a 2 , где а = 10.
p a +w
Дисперсия колебаний рабочего органа определится по выражению Dy = K y ( 0 ) , а среднеквадратическое отклонение s y = Dy .
Рассмотрим в качестве примера расчет дисперсии Dy для
внешнего стационарного случайного воздействия, имеющего автокорреляционную функцию K f ( r ) = D f exp éë a r ùû , которой соответствует спектральная плотность
48
(
S f = 2a a 2 + w 2
).
Подставляя выраже-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
K f (r)
ние
K y ( r )=
Kyn(r)
в
(1 - k )2 ìï D
1 - k 02
í
ïî
f
формулу
будем
(19),
exp ( -a r ) + D f
¥
å ( -k 0 )
n= 1
n
иметь
(формула(21))
üï
é exp ( -a r - nt ) + exp ( -a r + nt ) ù ý
ë
û
ïþ
1
0.6
0.2
0.2
0.6
1
6
4.5
3
1.5
0
1.5
3
4.5
6
r
Рисунок 9 – Характер образования корреляционной функции
Kf (r), 1
Ky (r)
1
)
0.5
1
0
2
0.5
1
1
r
0
0.75
1.5
2.25
3
3.75
4.5
5.25
6
Рисунок 10 – Нормированные корреляционные функции
исходного 1 и формируемого 2 профилей
Отсюда, полагая в (21) r = 0 , определим выражение дисперсии:
(1 - k ) 2 ìï1 + 2 ¥ -k n exp -nat üï D .
Dy =
(
)ý f
å( 0)
2 í
Так как
1 - k 0 ïî
n =1
¥
- k 0 exp ( -at )
n
å -k 0 exp ( -at ) = 1 + k exp ( -at ) ,
0
n =1
(
)
þï
то
2
1 - k ) 1 - k 0 exp ( -at )
(
×
Dy =
Df ,
1 - k 02 1 + k 0 exp ( -at )
(22)
а среднеквадратическое отклонение соответственно
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
sy =s f
(1 - k )2 × 1 - k 0 exp ( -at ) .
1 - k 02 1 + k 0 exp ( -at )
(23)
При k 0 < 1 и большом значении a членом k 0 exp ( -a t ) можно пренебречь в сравнении с единицей. При этом получаем приблизительное значение среднего квадратического отклонения
sy »s f
1- k
1 - k 02
.
(24)
1.6 КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МОДЕЛИ
МАШИНЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Приведенная на рис.1 пространственная схема планировщика
(вид в плане) имеет опоры в виде жестких стоек, из которых В1 и В2
копируют рельеф поля, а С1 и С2 – рельеф, образуемый расположенным спереди рабочим органом (ножем) в точках D1 и D2 соответственно. Положение ножа D1D2 перпендикулярно продольной
базе орудия OH.
O v
B1
E2 a E1
× ×
B2
D1
D2
×
G1 × ×
G2
F2
F1
C1
C2
K
H
Рисунок 1- пространственная
схема машиныс п.з.о.с.
С точки зрения теоретической механики имеем твердое тело,
одна точка О которого копирует заранее заданный профиль движения, а две другие С1 и С2 – находятся на поверхности, образуемой
линией D1D2, принадлежащей этому телу. В общей постановке эта
задача достаточно сложна. В статье рассматривается частный случай движения этого тела, при котором отклонения точек О, C и D
по вертикали достаточно малы по сравнению с базой машины ОН,
что позволяет построить линейную модель ее движения. Эта задача
имеет определенное практическое значение для расчета движения и
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выбора параметров таких машин, как планировщики, и некоторых
других. Считаем также, что в начальном положении машины точки
О, D и С расположены в одной плоскости, совпадающей со средней
плоскостью планируемого рельефа поля, и начальные отклонения
этих точек равны нулю.
Смещение по вертикали центрального шарнира О переднего
моста во времени равно полусумме смещений опор В; примем это
смещение в виде известной функции времени - f(t). При смещениях
по вертикали опор С планировщик поворачивается вокруг линий
ОС2 и ОС1 соответственно. Обозначим смещения по вертикали точек D ножа через y1 и y2, а опор С – через h1 и h2. Смещения по вертикали точек D1 и D2 зависят от смещений точек О, С1 и С2:
y1 (t ) = (1 - k ) f (t ) + ah1(t ) + bh2 (t ),
(1)
y 2 (t ) = (1 - k ) f (t ) + ah2 (t ) + bh1(t ),
где
a=
DE
DG
BD L - l
, b=
, k=
, где l = DC, L = BC =
CF
CF
BC
L
база машины. Сум-
ма и разность величин a и b равны: a + b = 1, a – b = k. Действительно,
a+b =
a -b =
D 1E 1 - D1G 1
C1F1
=
D 1E 1 + D 2G 2
C1F1
=
D1E 1 + C1K
C1F1 - C1K - D 1G 1
C1F1
C1F1
=
=1 .
2 L sin a - 2l sin a
=k.
2 L sin a
Точки С опор копируют смещения соответствующих точек D
ножа с запаздыванием на некоторое время t . Считая вертикальные
смещения точек планировщика достаточно малыми и его поступательную скорость постоянной, время запаздывания определим, как
t = l v = const . Тогда смещения опор С по вертикали можно записать в
виде уравнений запаздывающих обратных связей:
h1(t ) = y1 (t - t ), h2 (t ) = y 2 (t - t ),
и система уравнений (1) примет вид системы разностных
уравнений:
y1 (t ) = (1 - k ) f (t ) + ay1(t - t ) - by 2 (t - t ),
y 2 (t ) = (1 - k ) f (t ) + ay 2 (t - t ) - by1(t - t ).
(2)
В начальном положении машины воздействия от профилей
начальных участков, расположенных между точками D и С, примем
равными u1(t ) и u 2 (t ).
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассчитаем движение машины (отклонения точек D по вертикали, как функции времени), применив преобразование Лапласа. Преобразуя уравнения (2) по Лапласу, получим их изображения:
Y1(s ) = (1- k ) F (s ) + ae- st Y1(s) + éë1ùû - be- st Y2 (s ) - éë 2 ùû ,
(3)
Y2 (s) = (1- k ) F (s) + ae-st Y2 (s) + éë3 ùû - be- st Y1(s ) - éë 4 ùû ,
[1] = ae
- st
где
[3] = ae
- st
0
ò u1(t ) e
-t
- st
0
ò u 2 (t ) e
-t
dt;
- st
[2 ] = be
- st
[4 ] = be
dt;
0
ò u 2 (t ) e
-t
- st
- st
0
ò u1(t ) e
-t
dt ;
- st
dt .
Запишем уравнения (3) в следующем виде:
(1 - ae- st )Y1 ( s ) + be- st Y2 ( s ) = (1 - k ) F ( s ) + [1] - [2 ] ,
(4)
be - st Y1( s ) + (1 - ae- st )Y2 (s ) = (1 - k ) F ( s ) + [3] - [4 ].
Детерминант системы (4)
D = (1 - ae - st )2 - ( be- st ) .
2
Решение системы (4) в изображениях
В соответствии с (5) структурная схема машины приведена на
рисунке 2.
éë(1 - k ) F (s ) + [1] - [2 ]ùû (1 - ae - st ) - éë (1 - k ) F (s ) + [3] - [ 4 ]ùû be - st
Y1( s ) =
Y2 ( s ) =
D
(
éë (1 - k ) F ( s ) + [3] - [4 ]ùû 1 - ae
- st
,
) - éë(1 - k ) F (s) + [1] - [2 ]ùû be
(5)
- st
.
D
Передаточная функция по возмущающему воздействию F(s)
- st
- st
Y1( s) Y2 ( s ) (1 - k ) (1 - ae ) - (1 - k ) be
1- k
1- k
WF (s) =
F ( s)
=
F ( s)
=
=
D
(1- ae ) + be
- st
- st
=
1 - ke - st
Реакции машины на начальные участки следующие:
точки D1 на участок u1(t):
[1] (1 - a e- st ) + [4 ] b e- st ae- st (1 - ae- st ) + b2e-2 st 0
Y1(1) ( s ) =
=
D
D
или
ae - st - (a 2 - b 2 ) e -2 st
Y1 (1) ( s ) =
D
0
ò
u1(t ) e
- st
52
D
a - ke - st ) e - st
(
dt =
D
=
-b e- st
D
- st
dt ;
-t
-t
точки D1 на участок u2(t):
- [2 ] (1 - ae - st ) - [3] b e - st
Y1(2 ) (s ) =
ò u1(t ) e
. (6)
0
ò u1(t ) e
-t
0
ò u1(t ) e
-t
- st
dt ;
- st
dt;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точки D2 на участок u1(t):
- [ 4 ] (1 - a e- st ) - [1] b e - st
Y2 (1) ( s ) =
D
точки D2 на участок u2(t):
[3] (1 - ae- st ) + [2 ] be- st
Y2 (2 ) ( s ) =
D
-b e- st
=
D
0
ò u1(t ) e
- st
dt ;
-t
ae- st (1 - ae - st ) + b 2 e-2 st
=
D
0
ò u 2 (t ) e
- st
dt ,
-t
или
Y2 ( 2 ) ( s ) =
(a - ke- st ) e - st
D
0
ò u2 (t ) e
- st
dt.
-t
Из передаточной функции W (s) следует, что по отношению к
возмущающему воздействию f(t) пространственная модель планировщика ведет себя как плоская, подробно рассмотренная выше.
Для получения оригинала реакции на воздействие f(t) разложим (6)
в бесконечный геометрический ряд
é¥
ù
Y ( s ) = WF ( s ) × F ( s ) = (1 - k ) ê å k i e-ist ú × F (s )
êë i =1
úû
и применим обратное преобразование Лапласа. Ограничиваясь
n членами ряда, получим запись решения на n – ом шаге:
n -1
y n (t ) = (1 - k ) × å k i f (t - it )
i =0
ae
U 1 (s)
a
+
b
-
-
Y1 (s)
be
F(s)
1- k
be
U 2 (s)
b
-
a
+
- st
- st
- st
-
Y2 (s)
ae
- st
Рисунок 2 - Структурная схема машины.
Из передаточной функции W (s) следует, что по отношению к
возмущающему воздействию f(t) пространственная модель плани53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ровщика ведет себя как плоская, подробно рассмотренная выше.
Для получения оригинала реакции на воздействие f(t) разложим (6)
в бесконечный геометрический ряд
é¥
ù
Y ( s ) = WF ( s ) × F ( s ) = (1 - k ) ê å k i e-ist ú × F (s )
êë i =1
úû
и применим обратное преобразование Лапласа. Ограничиваясь
n членами ряда, получим запись решения на n – ом шаге:
n -1
y n (t ) = (1 - k ) × å k i f (t - it )
i =0
Для нахождения оригиналов реакций на начальные участки
запишем выражение
1
1
A
B
.
=
=
+
s
t
s
t
s
t
s
t
s
t
D 1 - ae
1 - ( a + b) e
1 - (a - b)e - st
- be
× 1 - ae
+ be
(
)(
)
Приводя к общему знаменателю и составляя тождества для
числителя, найдем, что A = a + b , B = - a - b . Записывая реакцию точек
2b
2b
D – Yi ( j ) (i = 1, 2; j = 1, 2) на начальные участки Uj(s), раскладывая в
соответствующие геометрические ряды и применяя обратное преобразование Лапласа, получим оригиналы соответствующих реакций. Полные решения системы (2) на n – ом шаге имеют вид:
é floor ( n 2 )
ù
n!
y1( n) = (1 - k ) å k f (t - it ) + ê å (-1)2 m
a n -2 mb 2 m ú u1(t - nt ) +
2 m !(n - 2 m)!
êë m = 0
úû
i =0
(7а)
éceil ( n 2 )
ù
n!
n - 2 m-1) 2 m -1
ú u 2 (t - nt ),
a (
b
+ ê å (-1)2 m-1
(2m -1)!éë n - (2m -1)ùû !
êë m =1
úû
n -1
é floor ( n 2 )
ù
n!
y 2 ( n) = (1 - k ) å k i f (t - it ) + ê å (-1)2 m
a n -2 mb 2 m ú u 2 (t - nt ) +
2 m !(n - 2 m)!
êë m =0
úû
i =0
(7б)
é ceil ( n 2 )
ù
n!
n - 2 m-1) 2 m-1
ú u1(t - nt ).
a (
b
+ ê å (-1) 2 m-1
( 2 m -1)! éën - ( 2 m -1) ùû !
êë m =1
úû
n -1
i
Выражения в скобках перед функциями u представляют собой
суммы нечетных и четных членов бинома Ньютона (a - b) n .
Операторы floor(x) и ceil(x) вычисляют соответственно наименьшее и наибольшее целые числа, ближайшие или равные х.
Предположим,
что
начальные
участки
равные:
u=
1(t ) u=
2 (t ) u 0 (t ) при -t £ t < 0. Тогда уравнения (4) примут вид
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n -1
n -1
i=0
m =0
y1( n) (t ) = y 2 ( n) (t ) = (1 - k ) å k i f (t - it ) +
n!
å (-1)m m!(n - m)! a n-m b m u1(t - mt ),
или
n -1
y( n ) = (1 - k ) å k i f (t - it ) + k n u 0 (t - nt ),
i =0
что совпадает с (28.9) в [2] при y(0) = 0.
Рассмотрим устойчивость движения машины. Так как детер2
минант D = (1 - ae- st )2 - ( be- st ) , то характеристическое уравнение
(
)=
2
(1 - ae - st )2 - be - st
0,
или
1 - ae - st = ± b e- st .
(8)
Отсюда имеем следующие случаи выполнения равенства (8)
(напомним: a + b = 1, a – b = k):
1) 1 = e - st , ln1 = - st , 0 = - st , s = 0 , и движение неустойчиво.
1
1 1
2 ) 1 = k e- st , ln = - st , - ln = s , и движение устойчиво при 0 £ k <1.
t
k
y1(t)
k
1.4
0.8
y2(t)
0.2
0.4
1
0
1
2
3
4
5
6
шаг
t
Рисунок 3 – Переходный процесс модели.
При нулевых начальных участках и начальном отклонении
точки О на величину f0 = const установившееся значение у имеет место при s = 0:
WF (0) =
1- k
= 1,
1- k
и
y (¥) = f0 = const .
Этот результат также
известен из 1.3.
При f(t) = 0 и начальном заглублении одного края D1 при
-t £ t < 0 и y1(t) =1 при t = 0
Y1(1) (0) =
a(1 - a ) + b2
a-a +b
b
×1 =
=
=
=¥
2
2
(1 - a ) - b
1 - 2 a + (a - b ) 1 - 2 a + a - b a + b - a - b
2
2
a - ( a 2 - b2 )
,
то есть движение машины неустойчиво. На рисунке 3 приведен переходный процесс планировщика, рассчитанный по уравнениям (7), при начальном заглублении левого края его ножа D1 на
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
условную единицу: u1 = 1 и параметрах a = 0.8, b = 0.3, k = 0.7,
t = 1. Видно, что левый край ножа (сплошная линия – y1(t)) систематически заглубляется, в то время как правый его край (пунктирная
линия – y2(t)), наоборот, выглубляется. Подобное «винтовое» движение планировщика свидетельствует о недостатках его конструкции и устраняется ручным или автоматическим регулированием
положения ножа.
В реальных условиях копируемый опорами профиль поверхности движения имеет вид реализации некоторой случайной
функции. Примем, что функция f(t) является случайной стационарной, и рассчитаем показатели формируемого машиной случайного
профиля при нулевых значениях начальных участков: ui(t) = 0, i =
1,2. Полагаем, что известными считаются корреляционная функция
Kf(r) или спектральная плотность Sf(w) профиля, копируемого точкой
О машины. В начальном положении машины точки О, С и D находятся в горизонтальной координатной плоскости. Рассчитаем корреляционную функцию и спектральную плотность стационарной составляющей формируемого профиля
¥
y (t ) = (1 - k ) å k i f (t - it ).
(9)
i =0
Применяя к уравнению (9) операцию математического ожидания (м.о.), получим взаимосвязь между м.о. профилей до и после
прохода машины:
¥
m y = (1 - k ) å k i m f = m f .
(10)
i =0
Отметим, что если линия м.о. функции f(t) совпадает с осью
абсцисс, то my = m f = 0 .
Вычитая из (9) выражение (10), получим зависимость (11) для
центрированных функций:
o
¥
o
y (t ) = (1 - k ) å k i f (t - it ).
(11)
i =0
Корреляционную функцию формируемого профиля найдем,
применив к (11) теорему о корреляционной функции линейной
комбинации случайных функций f(t – it):
é¥ ¥
K y (t1, t 2 ) = (1 - k )2 M ê å å k i k
êëi =0 j =0
56
j
ù
o
o
f (t1 - it ) f (t 2 - it ) ú ,
úû
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где М – операция математического ожидания. Беря попарно
o
o
всевозможные произведения функций k i k j f (t1 - it ) f (t 2 - it ) и вычисляя соответствующие математические ожидания, получим (r = t2 –
t1):
Ky (r) =
¥
üï
1 - k ìï
ié
ù
K
r
+
k
K
(
r
+
i
t
)
+
K
(
r
i
t
)
í f( ) å ë f
f
ûý ,
1+ k ï
i =0
î
þï
(12а)
или короче
¥
üï
1 - k ìï
i
K
r
+
k
K
(
r
+
i
t
)
í f( ) å
ý.
f
1+ k ï
i =-¥
î
þï
Ky (r) =
(12б)
Вид корреляционной функции K ( r ) для случая аппроксимации K f ( r ) = exp ( -a r ) показан на рисунке 4 (a = 6, t = 0.5, k = 0.7 ) .
y
НОРМИРОВАННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Kf(r)
1
Ky(r)
0.8
0.6
2
0.4
0.2
0
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
r
r
Рисунок 4 – Корреляционные
функции
исходного 1 и формируемого 2 профиля.
Выражение (11) можно также получить, воспользовавшись известным соотношением между спектральными плотностями для
одномерной системы:
S y (w ) = h 2 S f (w )
(13)
где
h=
1- k
1 - 2 k cos wt + k 2
-
амплитудно-частотная характеристика машины, как одномерной
системы, получаемая из передаточной функции W ( s) = 1 - k
при
1 - k exp( st )
подстановке
S y (w ) =
s = it , i = -1 .
(1 - k )
Следовательно
2
1 - 2 k cos wt + k 2
S f (w )
(14)
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разлагая квадрат модуля амплитудно-частотной характеристики в ряд 1.447.3 [1] и применяя обратное преобразование Фурье,
получим выражение корреляционной функции (12).
Дисперсию формируемого профиля найдем, положив в (12)
r= 0:
D y = s 2y
1- k ¥ i
= K (0) =
å k K f (it ) .
1 + k i =-¥
(15)
Подставляя принятую выше аппроксимацию корреляционной
функции исходного рельефа, получим
2 k exp ( -at ) ù 2
1- k é
Dy =
× ê1 +
ús f .
1 + k ë 1 - k exp ( -at ) û
Среднеквадратическое отклонение неровностей формируемого профиля определится соответственно по формуле
2 k exp ( -at ) ù
1- k é
× ê1 +
sy =
ú ×s f .
1 + k ë 1 - k exp ( -at ) û
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 2
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАШИН С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
2.1
ПЛОСКАЯ МОДЕЛЬ МАШИНЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ
СВОБОДЫ И ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ (П. З. О. С.)
При исследовании движения рассматриваемой группы машин
в ряде случаев нельзя пренебрегать упругими свойствами опоры
(например, пневматического колеса), либо деформацией опорных
поверхностей их движения. При определенных упрощающих предположениях эти случаи могут быть сведены к случаю упруго деформируемой опоры, имеющей соответствующие характеристики и
перемещающейся по жесткой поверхности своего движения, рис. 1.
N
L
lG
C1
Ry
O
h
j
G
V
a
-l
C
0
l
y
D
Rx
F
l
2l
x1
x
y
Рисунок 1 – Модель машины с одной степенью свободы, положительной
запаздывающей обратной связью и упруго деформируемой опорой.
Рассмотрим некоторые из выражений, связывающих деформацию пневматического колеса с нагрузкой на него. Замена деформируемого пневматического колеса упругим элементом – широко
практикуемый прием при рассмотрении динамики транспортных
машин [3, 4, 5], и др. Аппроксимирующее выражение его статической характеристики берут, например, в виде [6]
N = c ( h + g hm ) = c f ( h ) ,
(1)
где N – нагрузка на колесо; c – постоянный множитель жесткости; h – деформация колеса; g - малый параметр, зависящий от
конструктивного устройства колеса, m - коэффициент, зависящий от
типа колеса; обычно 0 £ m £ 3 . Виды зависимости (1) для различных
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пневматических шин приводятся на рис. 1.33 – 1.37 в [5]. Из этих
схем следует, что во многих случаях зависимость между нагрузкой
на колесо и его деформацией может быть принята в виде модели,
приведенной на рис. 2б (соответственно на рис. 1.38 в [5]). Значения статических жесткостей и коэффициентов демпфирования приведены там же в табл. 1.3.
Зависимость (1) линеаризуема около точки статического равновесия. Пусть при установившемся движении колеса нагрузке N0
отвечает деформация h0. Раскладывая правую часть в ряд Тейлора,
вычитая уравнение, отвечающее равновесному состоянию
N 0= c ( h0 + g h0m ) , и ограничиваясь линейным членом, получим уравнение в приращениях
(
)
DN = c + g m h0m -1 Dh ,
откуда может быть определе-
на приведенная жесткость колеса:
c n = DN / Dh = c + g m h0m -1
(2)
В [3, стр. 242] отмечается, что «многочисленные испытания
показывают, что жесткость шины мало меняется при средних и
больших нагрузках. Поэтому при расчетах можно заменить шину
упругим элементом с линейной характеристикой».
Замена жесткого колеса, катящегося по деформируемой поверхности, упругим элементом может быть произведена на основе
изучения процесса деформации поверхности и образования колеи,
рис. 2.
N0
N1
N0
Dh
Dh
V
h0
h1
C
а
N1
C
б
Рисунок 2 – Замена жесткого колеса, катящегося по деформируемому
основанию, упругим элементом.
Приведем некоторые из рекомендуемых формул для различных колес.
Формула Градвуанэ-Горячкина [8]:
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
N = A 2 / 3bDh 3 / 2 = ch 3 / 2 ,
(3)
где h – глубина колеи, b – ширина обода, D – диаметр колеса,
А – опытный коэффициент, обусловленный физико-механическими
свойствами поверхности качения.
Формула, приводимая в [9], [10]
N = ( 2 / 3 ) qbD1/ 2 h 3 / 2 = ch 3 / 2 ,
(4)
где q - коэффициент сопротивления почвы вдавливанию, характеризующий физико-механические свойства поверхности качения колеса.
В
[11]
приводится
аналогичная
зависимость:
1/ 2 3 / 2
3/2
=
N kbD h = ch ; там же дано выражение радиальной приведенной жесткости колеса.
В [12] приводится следующая зависимость между нагрузкой
на жесткое колесо и глубиной образуемой им колеи:
c ( 3 - m ) 1/ 2 m +0,5
N=
D h
, где с и m - коэффициенты, зависящие от физико3
механических свойств почвы, причем 0 £ m £ 1 . При m = 1 получаем зависимость между нагрузкой на колесо и его «утопанием» в деформируемом основании, то есть глубиной образуемой колеи.
Таким образом, в процессе движения жесткого колеса по деформируемой поверхности увеличение вертикальной нагрузки вызывает его заглубление, увеличение глубины коли, и наоборот,
уменьшений нагрузки ведет к уменьшению глубины колеи,
«всплыванию» колеса вследствие его набегания на недеформированную поверхность качения. Основываясь на зависимостях (3), (4)
и других, заменим колесо линейным упругим элементом, рис. 2б, с
жесткостью, которую определим посредством линеаризации приведенных зависимостей около положения статического равновесия
(5)
cn = ( 3 / 2 ) ch10/ 2 ,
где h0 - «средняя» глубина колеи, относительно которой рассматриваются ее колебания.
Наконец, может быть случай качения деформируемого (пневматического) колеса по деформируемой поверхности движения. В
этом случае зависимость для деформации колеса hk от нагрузки на
него N имеет вид [13]:
hk = 0,15
N 1+ p
,
p Db
(6)
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где p – давление воздуха в шине, D и b – соответственно диаметр и ширина профиля шины.
Глубина погружения пневматика в грунт:
1+ p ) N 2
(
,
(7)
h = 0, 65
ш
q 2 Db 2
где q – коэффициент объемного смятия грунта, кН / м 3 . Используя (6) и (7), можно подсчитать приведенную жесткость упругого элемента [13, стр. 34, 35]. В табл. 6 [13] приведены значения
радиальной приведенной жесткости шины 15,00-20 при качении ее
по поверхностям различной твердости.
Часть машин рассматриваемой группы имеет иные виды опор,
отличные от колес – опорные доски, лыжи и прочие. Для некоторых видов этих опор также установлены зависимости между нормальной к поверхности движения нагрузкой и величиной деформации этой поверхности (глубиной «колеи»). Так, для полевых досок
лемешно-отвальных плугов установлена линейная зависимость между этими величинами [14]:
N = 0, 5 qBL h ,
(8)
где q – коэффициент объемного смятия почвы; L – длина полевой доски. Видно, что и зависимость (8) позволяет произвести
замену реальной опоры упругим элементом, перемещающимся по
недеформируемой стенке борозды. Назовем подобный упругий
элемент упругой приведенной опорой. Для дальнейших расчетов
принимаются линеаризованные зависимости между нагрузкой на
опору и ее деформацией, либо деформацией опорной поверхности.
Схема машины, приведенная на рис.1, представляет собой
модель тех почвообрабатывающих, мелиоративных, дорожных и
других машин, орудий и механизмов, для которых выполняются
вводимые ниже ограничения. Она является наиболее простой и необходимой при изучении динамики рассматриваемой группы машин с запаздывающими обратными связями.
Предположим, что расстояние h от точки прицепа О до оси х1
(средней линии профиля заданной поверхности, которая принята в
виде прямой) и скорость движения орудия постоянны: h = const ,
v = const . Примем, что ОС1 и OD >> h + a где а – средняя глубина обработки. Это справедливо для таких орудий и механизмов, как прицепные и полунавесные плуги, планировщики, некоторые сошниковые узлы и других. Обозначим ОС1 = L , CD = l .
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На машину действуют силы: R x y - сила, действующая на рабочий орган; ее составляющие R x и R y ; F y - сила сопротивления вертикальным перемещениям рабочего органа; G - вес машины; N реакция упругой опоры. Силы технологического сопротивления
почвы или обрабатываемого грунта R x и R y зависят от типа рабочего органа, физико-механических свойств почвы или грунта, глубины обработки, скорости движения машин, степени износа рабочего
органа и других факторов. Применительно к лемешно-отвальной
поверхности корпуса плуга, представляющей собой один из наиболее сложных пассивных рабочих органов почвообрабатывающих
машин, акад. Горячкин В.П. дает следующее упрощенное выражение горизонтальной составляющей сопротивления, находящее широкое применение при расчетах [9]:
R x = g1 ( a + y ) B ,
(9)
где g 1 - удельное сопротивление плужного корпуса в кн / см 2 (
кг / см 2 ), a + y - текущее значение глубины вспашки, B – ширина захвата корпуса. Это выражение справедливо при постоянной поступательной скорости движения орудия, остром лезвии лемеха и пренебрежении силами трения Fx поверхностей корпуса о почву в горизонтально-продольном направлении. Согласно [15], [16] величина Fx при правильной регулировке плуга составляет 5-10% от R x .
Выражение для R x , аналогичное (9), принимается и для иных рабочих органов, воздействующих на почвенный пласт прямоугольного
сечения - каналокапателей, планировщиков, и т. п. Вместе с тем в
исследованиях неоднократно отмечалась, что лемех воспринимает
большую долю сопротивления пласта, доходящую до 60%, а изношенные – до 80% общего сопротивления. В этом случае формулу
для R x можно записать в виде
(
)
R x = g л h л B + g от a - h л + y B ,
(10)
где g л - удельное сопротивление лемеха, hл - его захват по
вертикали, g от - то же для отвала: g л g от = 1, 5, ..., 4 . В случае, если величина g от невелика, например, поверхностный слой – рыхлый, что
имеет место на ряде песчаных почв и при перепашке, а также при
отсутствии отвала (у орудий безотвальной обработки почвы), второй составляющей можно пренебречь, и выражение для R x примет
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вид: R x = g л hл В . Подобное выражение тягового усилия рабочего органа принимается для многих почвообрабатывающих машин, рабочие органы которых движутся в слое почвы, а стойка, на которой
они крепятся, относительно узкая и воспринимает небольшую долю
этого усилия. Обычно эту формулу переписывают в виде R x = g B B ,
где g В - удельное сопротивление, приходящееся на единицу ширины захвата.
Коэффициент удельного сопротивления почв g1 для определенного типа рабочего органа зависит от большого числа факторов,
к которым относится острота лемехов, глубина вспашки, скорость
поступательного движения и такие свойства почвы, как механический состав, степень уплотненности и задернелости, влажность, агрофон и др. Применительно к плугам освещение этого вопроса
приведено в [17]. Отмечается, что для различных почв удельное сопротивление варьирует в пределах 0, 2 -1, 5 Н/см 2 . Для расчетов R x при
постоянной скорости движения орудия удельное сопротивление
можно записать в виде:
(11)
g1 = g 0 + g (t ) ,
где g 0 = const - среднее значение удельного сопротивления для
данного типа рабочего органа, почвы и скорости движения, отвечающая средней глубине обработки а; g ( t ) - переменная составляющая, обусловленная изменением физико-механических свойств
почвы на данном гоне. Примем эту запись для всех типов рабочих
органов рассматриваемых почво и грунтообрабатывающих машин.
Вертикальная составляющая R y для данного типа рабочего органа, типа почвы и скорости движения обычно исчисляется в долях
от R x :
R y = g 2 Rx .
(12)
Так, для лемешно-отвальных рабочих органов плугов рекомендуется брать R y = ±0, 2 R x . Знак (+) соответствует острым лемехам,
а (-) – затупленным [18]. Численное значение коэффициента определены и для других типов рабочих органов рассматриваемых машин.
Сила F y представляет собой суммарное сопротивление вертикальным смещениям рабочих органов в почве и обуславливается
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
трением их поверхностей о почву и ее смятием. Вопрос о природе
силы F y , зависимости ее от вертикальной скорости смещения рабочего органа для различных их типов, на различных почвах, при
равных горизонтальных скоростях движения орудия и других факторов изучен недостаточно. Вместе с тем при рассмотрении динамики почвообрабатывающих машин широко используют зависимость:
Fy = b y&
(13)
с последующим определением коэффициента демпфирования
из опытов. Подобная зависимость может быть принята при вязкопластическом состоянии почвенного пласта и достаточно малых
скоростях вертикального смещения орудия. Модели, в которых был
принят приведенный вид зависимости, в ряде случаев показали
достаточную степень точности описания поведения реальных машин.
Примем, что силы R x , R y , F y приложены к лезвию рабочего
органа. Вводимые при этом неточности в оценках плеч этих сил,
например, для рабочих органов плугов будут невелики, а математические выкладки упрощаются.
2.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ С П.З.О.С.
И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
При изучении движения рассматриваемых машин, имеющих в
своей кинематической схеме запаздывающую обратную связь, важное значение имеет учет этой связи. Рассмотрим особенности вывода дифференциального уравнения малых вертикальных отклонений простой модели указанных машин (“однокорпусный плуг”,
рис. 1.1), имеющую упруго деформируемую опору ВС (например,
пневматическое колесо), которая перемещается по профилю, образуемого расположенным спереди рабочим органом D, по отношению к точке прицепа О и смысл возникающих при этом коэффициентов,. Демпфирование в опоре СС1 временно учитывать не будем
(ее учет произведен в разделе 2.12).
Примем, что точка прицепа О перемещается горизонтально с
постоянной скоростью V, не отклоняясь по вертикали, а также то,
что a + h << L, где а - средняя глубина обработки почвы, h – высота
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точки прицепа над средней линией рельефа, L – база плуга. На плуг
действуют: сила технологического сопротивления, представленная составляющими Rx , R y и сила вязкого сопротивления вертикальным
смещениям рабочего органа F, приведенными к лезвию рабочего органа D, сила тяжести плуга G, упругая сила деформации опоры СС1 N. Примем следующие зависимости сил:
Rx = Rx (a ) + cx y + R(t ); R y = Ry (a) + c y y + Ry (t ),
где Rx (a) и Ry (a) - средние значения сил, отвечающие средней
глубине обработки а;
Rx (t ) и R y (t ) - зависящие от времени составляющие, обусловленные изменением рельефа поверхности и физико – механических свойств почвы;
cx y и c y y - составляющие, обусловленные отклонением
глубины обработки у от среднего значения а; cx и c y - коэффициенты пропорциональности (“жесткости” этих сил).
Силу вязкого сопротивления среды примем в виде F = b y& ,
где b – коэффициент вязкого сопротивления вертикальным смещениям рабочего органа, y& - скорость вертикальных смещений рабочего органа.
Оси координат показаны на рис.1. В начальный момент времени носок рабочего органа D располагался на оси y. Отклонения у
точки D по вертикали примем достаточно малыми в сравнении с
базой плуга L и расстоянием h + a , так что угол наклона рамы связан
с отклонением у приближенной зависимостью ( L - l ) j » y. Плечо силы Rx относительно точки прицепа О равно h + a + y.
Дифференциальное уравнение угловых колебаний плуга вокруг точки О имеет вид
J O j&& = å M O ( Fi ),
или
J O j&& = Ry ( L - l ) - R x (h + a + y ) - F ( L - l ) - N L + Gl G ,
где
(1)
J O - момент инерции плуга относительно точки прицепа О;
lG - плечо
силы тяжести G относительно той же точки.
Реакция упругой опоры СС1 запишется следующим образом,
рис.2:
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
С1
hст
yC 1
0
C
yC
y
Рисунок 2 – Деформация
упругой опоры.
N = c (hст + yC1 - yC ),
где
yC1
и
yC -
(2)
текущие смещения верхнего и нижнего концов
опоры СС1 соответственно;
hст - статическая деформация опоры СС1, отвечающая средней глубине обработки а.
с – жесткость упругой опоры СС1.
Подставим значения сил R x , R y и N в (1) и вычтем уравнение
моментов, соответствующее установившемуся режиму работы
плуга при глубине обработки а:
R y (a)( L - l ) - R x (a )(h + a ) - chст L + Gl G = 0 .
Уравнение (1) при этом примет вид
J O j&& = éë c y ( L - l ) - c x ( h + a + y ) ùû y - b ( L - l ) y& - L c yC1 + Lc yC + R y (t )( L - l ) (3)
- Rx (t )(h + a + y ).
Перейдем в уравнении (3) от угла поворота рамы j к отклонению у точки D рабочего органа с учетом малых их изменений:
j » y /( L - l ) и значит j&& » &&
y ( L - l ). Отклонение верхней точки С1 по вертикали при принятых допущениях yC1 » [ L /( L - l )] y. Подставив в (3) j&&
и yC1 и разделив на (L - l ) , получим следующее дифференциальное
уравнение
(4)
m &&
y + b y& + c* y + [cx ( L - l )] y2 - c éë L ( L - l ) ùû yC = Q (t ) - ( yR x (t ) ) /( L - l ),
где
( L - l )2 - приведенная к координате у масса плуга;
2
c* = éc x ( h + a ) ( L - l ) + c L2 ( L - l ) - c y ù - приведенная к координате
ëê
ûú
m = JO
у суммарная жесткость сил
Rx, Ry
иN;
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q (t ) = R y (t ) - éë( h + a ) ( L - l ) ùû Rx (t ) -
приведенная возмущающая си-
ла.
Точка C упругой опоры копирует вертикальные смещения
точки D рабочего органа, но с запаздыванием на некоторое время
t » l v = const , то есть
yC (t ) = y (t - t ).
(5)
Равенство (5) можно считать уравнением обратной связи в
замкнутом контуре цепи: опора СС1– рама плуга – рабочий орган D
– образуемый профиль – опора СС1. Введя равенство (5) в уравнение (4) и разделив на приведенную массу, окончательно получим
дифференциальное уравнение малых колебаний плуга на упругой
опоре:
&&
y (t ) + 2 n y& (t ) + l 2 éë y (t ) - k y y (t - t ) ùû + éë cx m ( L - l ) ùû y2 (t ) =
(6)
= f (t ) - éë( Rx (t ) ) m ( L - l ) ùû y (t ),
где 2 n = b / m, l 2 = c* m , f (t ) = Q(t ) m , k y = ( c c* ) ( L ( L - l ) ) .
Таким образом, даже простейшая модель «однокорпусного
плуга» с запаздывающей обратной связью описывается нелинейным дифференциально – разностным уравнением (запаздывающего
типа).
При применении для вывода дифференциальных уравнений
движения рассматриваемых машин с упруго деформируемыми
опорами, перемещающихся по поверхностям, образуемым расположенными спереди рабочими органами, уравнений Лагранжа 2-го
рода последние будут содержать также запаздывающие обобщенные силы:
d æ ¶T ö ¶T
= Q1 éë q ( t ) , q& ( t ) ùû+ Q2 éëq ( t - t ) ùû ,
ç
÷dt è ¶ q& ø ¶ q
(7)
где Q2 - обобщенная сила, зависящая от прошедших значений
обобщенной координаты. В общем случае следует предполагать зависимость обобщенных сил также от обобщенных скоростей (см.
далее). Если движение машины описывается при помощи n обобщенных координат q r , то система уравнений Лагранжа 2-го рода
примет вид:
d æ ¶T
ç
dt çè ¶ q& r
ö ¶T
= Q é q ( t - t i ) ,..., q n ( t - t i ) , q&1 ( t - t i ) ,..., q& n ( t - t i ) ùû ,
÷÷ ¶ q r å ri ë
i
ø
r =1, 2, ..., n ; t 0 = 0
68
.
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3 ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ МАШИНЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ
ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Анализ уравнения (2.6) представляет определенные сложности
и может быть проведен численными методами с применением ЭВМ
(см. раздел 2.13). В данном параграфе ограничимся изучением поведения модели, описываемой лишь линейным дифференциальноразностным уравнением. При достаточно малых пределах изменения отклонений y нелинейные члены уравнения (2.6) можно разложить в ряд Маклорена и ограничиться линейными членами ряда.
Последний будет равен нулю, поскольку величины y и g представляют собой отклонения глубины обработки и удельного сопротивления обрабатываемой среды от их средних значений – а и g 0 :
f ( y ) = y 2 » f (0) + y f ¢ (0) = 0
при достаточно малых значениях y и g, и так далее. С учетом
принятых допущений уравнение (2.4) примет вид
L
(1)
m &&
y + b y& + c* y c yC = Q ( t ) ,
L -l
где m = I0 ( L - l ) - приведенная к точке D масса машины; b –
коэффициент демпфирования машины (рабочего органа) в обрабатываемой среде;
2
2
éh + a
ù æ L ö
c = g0B ê
-g2 ú + cç
÷ ë L-l
û è L-l ø
*
приведенная к точке D суммарная жесткость опоры
сткость» сил R x ,
кость опоры СС1 .
R y ; c¢ = c éë L ( L - l ) ùû
Q ( t ) = aB éëg 2 - ( h + a ) ( L - l ) ùû g ( t ) -
2
(2)
СС1
и «же-
- приведенная к точке D жест-
внешнее возмущающее воздейст-
вие.
Уравнение (1) описывает преобразование внешнего воздействия Q ( t ) в вертикальные отклонения рабочего органа от установленного значения глубины обработки а и в этом смысле может
быть названо уравнением прямой связи. С другой стороны точка С
опоры копирует профиль поверхности, формируемый кромкой рабочего органа D, но с запаздыванием, определяемым расстояние
CD = l и скоростью движения машины V. При малых углах наклона
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рамы машины j время запаздывания t » l /V = const и уравнение обратной связи будет иметь прежний вид (2.5): yC ( t ) = y ( t - t ) ,
При этом уравнение (1) перейдет в следующее:
(3)
m &&
y ( t ) + b y& ( t ) + c * éë y ( t ) - k y y ( t - t ) ùû = Q ( t ) ,
где
(
)
(
)
2
k y = é( L ( L - l ) ) × c c* ù éë( L - l ) L ùû = c¢ c* k
úû
ëê
,
k = (L -l) L .
Из вида уравнения (3) следует, что наряду с силами, зависящими от текущих значений обобщенной координаты и ее скорости,
на нее также действует сила, зависящая от прошедших значений
обобщенной координаты. Причина появления этой силы состоит в
том, что за счет движения опоры в виде упругого элемента по измененному профилю пути машина подвержена кинематическому
возбуждению, причем профиль поверхности движения точки С
опоры не является заранее заданным, а формируется самой машиной, кромкой D принадлежащего ей рабочего органа, движение которого фиксируется («запоминается») в этом профиле. По истечении времени t этот профиль вызывает смещение нижней точки
опоры С и появление запаздывающей
силы
c yC =
0
Q(t)
(t ) c y (t - t ) .
y
v
Механическая
моС1
дель машины может быть
y
ky
изображена в виде схемы,
приведенной на рис. 1.
-l С
0
D
l
x
Звено « k y » показывает,
-v
yD
k y yD
что смещения точки С поРисунок 1 – Схема модели с п.з.о.с.
вторяют смещение С1 , но
с коэффициентом преобразования k y . Демпфирование колебаний
массы осуществляется посредством вязкого трения ее о стенку.
Демпфирование, характеризующее диссипацию энергии в самой
опоре, в данном параграфе не учитывается.
В рассматриваемом случае обратная связь усиливает эффект
смещения машины. Так, увеличение внешнего воздействия Q ( t )
приводит к некоторому увеличению глубины обработки, а последующее копирование опорой СС1 этого понижения поверхности вы-
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зывает новое увеличение глубины обработки. Таким образом, обратная связь у рассматриваемой модели машины – положительная.
Уравнение (3) относится к дифференциально-разностным запаздывающего типа, называемым также дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом. Их основная особенность
рассмотрена в следующих параграфах.
y(+0)
y(+0)
W1(s)
+
F(s)
W2(s)
+
U(s)
W3(s)
Y(s)
W4(s)
Рисунок 2. – Структурная схема преобразования воздействий
машиной с п.з.о.с.
Разделив уравнение (3) на приведенную массу, окончательно
получим уравнение относительных движений машины в виде
&&
(6)
y ( t ) + 2 n y& ( t ) + l 2 éë y ( t ) - k y y ( t - t ) ùû = f ( t ) ,
где n = b 2m , l 2 = c * m , f (t ) = Q (t ) m . Новым здесь является коэффициент ky. Его физический смысл раскрывается в следующем параграфе.
Преобразуя уравнение (6) по Лапласу получим следующее
уравнение в изображениях
é s2 + 2 ns + l 2 (1 - k y exp ( - st ) ) ù Y ( s ) = ( s + 2 n ) y ( +0 ) +
ë
û
+ y& ( +0 ) + l 2 k y exp ( - st )
0
ò
y 0 ( u ) exp ( s u ) d u + F ( s )
(7)
-t
где Y ( s ) ® y ( t ) , F ( s ) ® f ( t ) , ® - знак преобразования Лапласа.
Изображение решения имеет вид
( s + 2 n ) y ( +0 ) + y& ( +0 )
Y (s) = 2
+
s + 2 n s + l 2 (1 - k y exp ( - st ) )
F (s)
+ 2
.
s + 2 n s + l 2 (1 - k y exp ( - st ) )
l k y exp ( - st )
2
0
ò u 0 ( t ) exp ( st ) dt
-t
(
s 2 + 2 n s + l 2 1 - k y exp ( - st )
)
+
(8)
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Первое слагаемое числителя отражает вклад в решение начальных условий. Второе, содержащее интеграл, вклад от начального участка, расположенного между рабочим органом D и опорой
С в начальном положении машины. Его уравнением u0 (t ) , -t £ t < 0 ,
необходимо задаться, так как без этого задача не определена.
Структурная схема преобразования воздействий приведена на рис.
W2 ( s) =
l 2 k y exp(- st ) ,
2, где W1(s) = s + 2n ,
W3 ( s) = 1 ( s2 + 2 ns + l 2 ) ,
W4 ( s) = k y exp ( - st ) ,
0
U ( s) =
ò u 0 (t ) e
- st
dt .
Для получения передаточной
-t
функции машины по отношению к возмущающему воздействию,
содержащей постоянные времени, положим в (8) все начальные условия, включая начальный участок, равными нулю, и разделим
числитель и знаменатель на квадрат частоты собственных колебаний машины l 2 . Тогда (8) запишется в виде
Y ( s ) = Ф ( s ) F1 ( s ) ,
(9)
где F1 ( s ) = F ( s ) l 2 - изображение возмущающего воздействия
f ( t ) l2 .
Ф (s) =
1
T22 s 2 + T1 s + 1 - k y exp ( -st )
-
(10)
передаточная функция машины.
Здесь T2 = 1 / l = m / c ; T1 = 2n l 2 = b / c . Передаточную функцию
(2.3.15) можно также записать в виде
W ( s)
Ф(s) =
,
(11)
1 - W ( s ) k y exp ( - st )
где
1
W (s) = 2
(12)
2
T2 s + T1 s + 1
передаточная функция линейного осциллятора с затуханием;
Woc ( s ) = k y exp ( - st ) - передаточная функция звена обратной связи.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F1(s)
Y(s)
+
W(s)
Wос(s)
Рисунок 3 – Структурная схема преобразования
возмущающего воздействия f(t)/l2.
Структурная схема преобразования возмущающего воздействия
f ( t ) l 2 в отклонение рабочего органа, отвечающая передаточной
функции (11), приведена на рис. 3. Видно, что машина, как преобразующее устройство, представима в виде гармонического осциллятора
с затуханием, охваченного положительной запаздывающей обратной
связью с коэффициентом преобразования k y .
2.4 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ ПРИ ПОСТОЯННОМ
ВОЗМУЩАЮЩЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Применим к расчету дифференциального уравнения (3.6) метод шагов, положив возмущающее воздействие равным f(t) = q =
const. С целью получения более общих результатов рассмотрим
решение следующего дифференциально-разностного уравнения
нейтрального типа:
&&
y (t ) - k a &&
y (t - t ) + 2 n éë y& (t ) - k v y& (t - t ) ùû + l 2 éë y (t ) - k y y (t - t ) ùû = q,
q
линейный
осциллятор
запаздывающие
обратные связи
по смещению
по скорости
по ускорению
Рисунок 1 – блок – схема модели.
y
(1)
из которого уравнение ( 3.6) получается, если положить ka = 0, kv = 0.
Уравнению (1) соответствует следующий линейный осциллятор, охваченный запаздывающими обратными связями по смещению, скорости и ускорению, блок – схема которого приведена на рис.1, где n и l –
коэффициент затухания и частота
свободных колебаний линейного ос-
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
циллятора без обратной связи; k a , k v , k y - коэффициенты обратных
связей по ускорению, скорости и смещению; t = const - время запаздывания.
В качестве метода расчета применим расчет методом шагов,
что позволит получить рекуррентные соотношения между коэффициентами решений на смежных шагах и составить программу
для расчета свободных и вынужденных движений при возмущающем воздействии q = const.
Запишем уравнение (1) следующим образом:
&&
y (t ) + 2 n y& (t ) + l 2 y (t ) = q + k a &&
y (t - t ) + 2n k v y& (t - t ) + l 2 k y y (t - t ).
(2)
Положим начальный участок u 0 (t ) = 0, - t £ t < 0, а начальные
условия y0 и y&0 - не равными нулю. Корни характеристического
уравнения левой части (2) s1,2 = -n ± n 2 - l 2 , и могут быть различными или равными действительными и комплексно – сопряженными.
Рассмотрим эти случаи по отдельности.
I. Корни различные действительные, n > l.
1 – ый шаг. Уравнение (2) на временном отрезке 0 £ t < t с учетом заданного значения начального участка имеет вид:
&&
y (t ) + 2 n y& (t ) + l 2 y (t ) = q.
Его решение
Скорость
y1(t ) = A1,0 exp( s1t ) + B1,0 exp( s2 t ) + q l 2 .
отклонения
величины
y
=
y&1(t ) A1,0 s1 exp(s1t ) + B1,0 s 2 exp( s 2 t ).
Постоянные интегрирования определим из системы уравнений y1(0) = y 0 и y&1(0) = y& 0 :
y 0 = A1,0 + B1,0 + q l 2 , üï
ý
y& 0 = A1,0 s1 + B1,0 s 2 , ïþ
Отсюда
A1,0 = ( P1s 2 - R1)
или
( s2 - s1 ) ,
A1,0 + B1,0 = y0 - q l 2 = P1, üï
ý
A1,0 s1 + B1,0 s 2 = y& 0 = R1. ïþ
(
B1,0 = - P1s1 - R1
) ( s2 - s1 ) .
Конечные значения величин y и y& на 1- ом шаге получим, подставив в (4) и (5) t = t :
y1 = q l 2 + A1,0 exp( s1t ) + B1,0 exp( s 2t ); y&1 = A1,0 s1 exp( s1t ) + B1,0 s 2 exp( s 2t ).
Эти значения примем за начальные на втором шаге.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2-ой шаг. Рассмотрим отрезок времени
y (t - t ) t £ t < 2t = y (t ) 0 £ t < t , и вообще на любом шаге
t £ t < 2t .
Функция
y (t - t ) ( m-1)t £ t < mt = y (t ) ( m-2 )t £ t < ( m-1)t .
(3)
Подставим y1(t ) и y&1(t ) , а также &&y1 (t ) = A1,0 s12 exp( s1t ) + B1,0 s22 exp( s2 t ) в
правую часть (2) и учтем зависимость (3). Введем на каждом шаге
свое время tm : для (m -1)t £ t < mt , m = 1, 2, 3, … , 0 £ t m < t . Исходя из
принципа суперпозиции будем искать часть решения, содержащее
лишь коэффициенты А. Часть решения с коэффициентами В получим, заменив букву А на В и корень s1 на s2. Имеем
q + ka A1,0 s12 exp( s1t 2 ) + 2 nk v A1,0 s1 exp(s1t 2 ) + l 2 k y A1,0 exp( s1t 2 ) + l 2 k y × q l 2 =
= q(1 + k y ) + A1¢,0 exp(s1t 2 ),
где
A¢1,0 = (k a s12 + 2 n kv s1 + l 2 k y ) A1,0 .
Первое слагаемое решения имеет вид
(
q 1+ ky
)
l2 .
Реакцию на
возмущающее
A1' ,0 exp( s1t 2 )
воздействие
ищем в виде
y*2 (t 2 ) =A2,1t 2 exp( s1t 2 ), так как s1 - корень характеристического уравнения. Найдем производные:
y& *2 (t 2 ) = A2 ,1 exp( s1t 2 ) + A2,1t 2 s1 exp( s1t 2 ),
&&
y *2 (t 2 ) = 2 A2 ,1 s1 exp( s1t 2 ) + A2 ,1t 2 s12 exp( s1t 2 ).
Подставив искомое решение и его производные в левую часть
уравнения (2), приравняв левую и правую части и сократив на
exp( s1t 2 ) , получим тождество
2 A2,1 s1 + A2,1t 2 s12 + 2 n éë A2,1 + A2,1t 2 s1 ùû + l 2 A2 ,1t 2 = (ka s12 + 2 nk v s1 + l 2 k y ) A1,0 .
Учитывая, что ( s12 + 2ns1 + l 2 ) = 0, из приведенного тождества находим
A2 ,1 =
k a s12 + 2 nk v s1 + l 2 k y
(
2 s1 + n
)
A1,0 .
Аналогично
B2 ,1 =
k a s 22 + 2 nk v s 2 + l 2 k y
(
2 s2 + n
)
B1,0 .
Решение на втором шаге
(
y 2 (t 2 ) = q 1 + k y
)
l 2 + éë A2 ,1t 2 + A2,0 ùû exp( s1t 2 ) + éë B2 ,1t 2 + B2 ,0 ùû exp(s1t 2 ),
и производная от него
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
(
)
y& 2 (t 2 ) = é A2,1 + A2,1t 2 + A2,0 s1 ù exp( s1t 2 ) + é B2 ,1 + B2 ,1t 2 + B2 ,0 s 2 ù exp( s 2 t 2 ),
ë
û
ë
û
где
A2,0 , B2 ,0 - постоянные,
y 2 (0) = y1
и
определяемые из системы уравнений
y& 2 (0) = y&1 :
(
)
l 2 + A2 ,0 + B2,0 , üï
ý
y&1 = A2,1 + B2,1 + A2,0 s1 + B2 ,0 s 2 , ïþ
y1 = q 1 + k y
или
A2,0 + B2,0 = y1 - q (1 + k y ) l 2 = P2 , üï
ý.
A2,0 s1 + B2,0 s2 = y&1 - A2 ,1 - B2 ,1 = R2 .ïþ
Отсюда A2,0 = ( P2 s 2 - R2 ) ( s2 - s1), B2,0 = -( P2 s1 - R2 ) ( s2 - s1).
Конечные значения отклонения и скорости на втором шаге
y2 = y2 (t ), y&2 = y&2 (t ). Эти значения примем за начальные на следующем
шаге.
3 – ий шаг, 2t £ t < 3t , 0 £ t3 < t . Рассчитаем правую часть уравнения (2), подставив в него часть выражений y 2 (t 2 ) и y& 2 (t 2 ) , содержащих
коэффициенты
А,
а
также
**
2
2
&&
y=
2 (t 2 ) (2 A2 ,1 s1 + A2 ,1 s1 t 2 ) exp( s1t 2 ) + A2 ,0 s1 exp( s1t 2 ). С учетом зависимости (3)
получим
æ 2
ö
q ç å k iy ÷ + é A2 ,1(ka s12 + 2 nk v s1 + l 2 k y ) t3 + A2 ,12(ka s1 + k v n) +
ç
÷ ë
è i =0 ø
æ 2
ö
+ A2,0 (ka s12 + 2 nkv s1 + l 2 k y ) ù exp( s1t3 ) = q ç å k iy ÷ + A2¢ ,1t3 + A2¢ ,0 exp( s1t3 ),
ç
÷
û
è i =0 ø
(
)
где
A¢2,1 = (k a s12
+ 2 nk v s1 + l k y ) A2,1,
2
A2¢ ,0 = 2 (ka s1 + k v n ) A2 ,1 + (ka s12 + 2 nk v s1 + l 2 k y ) A2 ,0 .
Для приведенного вида правой части первое слагаемое решения
y*3 (t3 )=
равно
æ 2
ö
q ç å k iy ÷ l 2 ,
ç=i 0 ÷
è
ø
а
остальные
ищем
( A3,2 t23 + A3,1t3 ) exp(s1t3 ).
Вычислив производные
) (
(
)
y& *3 (t3 ) = é 2 A3,2 t3 + A3,1 + A3,2 t 32 + A3,1t3 s1 ù exp(s1t3 )
и
úû
ëê
&&
y*3 (t3 ) = éê2 A3,2 + 2 2 A3,2 t3 + A3,1 s1 + A3,2 t32 + A3,1t3 s12 ùú exp( s1t3 ),
ë
û
(
76
)
(
)
в
виде
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
подставим их и y*3 (t3 ) в левую часть (2) и приравняем второму слагаемому правой части. Сокращая на exp( s1t3 ), приводя подобные
члены и учитывая, что
(
)
( s12 + 2ns1 + l2 ) = 0, получим тождество
(
)
2 A3,2 + 2 A3,1 s1 + n + A3,2 4 s1 + n t3 =
(
)(
)
(
)
= A2,1t3 + A2 ,0 k a s12 + 2 nk v s1 + l 2 k y + A2,12 k a s1 + k v n .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях времени t, находим искомые:
A3,2 =
A3,1 =
k a s12 + 2 nk v s1 + l 2 k y
(
2 × 2 s1 + n
k a s1 + k v n
( s1 + n )
)
A2 ,1 +
A2,1,
k a s12 + 2 nk v s1 + l 2 k y
(
1× 2 s1 + n
)
A2,0 -
(
1
2 s1 + n
)
A3,2 .
Решение на третьем шаге
æ 2
ö
y 3 (t3 ) = q ç å k yi ÷
ç i =0 ÷
è
ø
æ 2
ö
æ 2
ö
l 2 + ç å A3,i t3i ÷ exp s1t3 + ç å B3,it3i ÷ exp s 2 t3 .
ç i =0
÷
ç i =0
÷
è
ø
è
ø
( )
(
)
Скорость
é2
y& 3 (t3 ) = ê å A3,i it3i -1 + A3,i t3i s1
êë i = 0
(
Постоянные A3,0 и
y 3 (0) = y 2 и y& 3 (0) = y& 2 :
)
B3,0
ü
æ 2
ö
y 2 = q ç å k yi ÷ l 2 + A3,0 + B3,0 ,ïï
ç i =0 ÷
ý
è
ø
ï
y& 2 = A3,1 + A3,0 s1 + B3,1 + B3,0 s 2 , ïþ
ù
é2
ú exp s1t3 + ê å B3,i it 3i -1 + B3,i t3i s 2
úû
êëi =0
( )
(
ù
)úúû exp ( s t ).
2 3
определим из системы уравнений
или
ü
æ 2
ö
A3,0 + B3,0 = y 2 - q ç å k yi ÷ l 2 = P3 , ïï
ç i =0 ÷
ý.
è
ø
ï
A3,0 s1 + B3,0 s 2 = y& 2 - A3,1 - B3,1 = R 3.ïþ
Отсюда A3,0 = ( P3 s 2 - R3 ) ( s2 - s1) , B3,0 = -( P3 s1 - R3 ) ( s2 - s1).
Конечные значения отклонения и скорости найдем, положив в
y 3 (t ) и y& 3 (t ) t 3 = t .
Эти значения используются в качестве начальных на следующем шаге.
Из изложенного расчета трех шагов видно, что с каждым шагом вид решения и зависимости его коэффициентов от коэффициентов исходного дифференциального уравнения усложняется. Усложнение с каждым шагом решения - следствие наличия у рассматриваемой системы машина - образуемая поверхность – «памяти».
Реакция машины на простое возмущающее воздействие типа еди77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ничного толчка силы, имея вид y1(t), фиксируется в профиле образуемой рабочим органом поверхности. На втором шаге копирование точкой С упругой опоры этого профиля приводит вследствие
кинематического возбуждения в возмущающему воздействию более сложного вида. Реакция машины на это воздействие, имея более
сложный вид y2(t), чем на предыдущем шаге, вновь фиксируется в
профиле образуемой поверхности, и т. д. Усложняющиеся с каждым шагом зависимости решения и его коэффициентов от коэффициентов исходного уравнения затрудняют его анализ после ряда
начальных шагов. Методика расчета по шагам (метод припасовывания) может быть применена при численных расчетах конкретных
схем машин и механизмов. Вместе с тем анализ решений для ряда
проделанных шагов позволяет получить рекуррентные соотношения для коэффициентов решений на предшествующем и последующем шагах, и предложить метод расчета переходных процессов
рассматриваемых машин, пригодный для реализации на ЭВМ.
Анализ полученных решений на трех шагах позволяет записать решение на m – ом шаге, (m -1)t £ t < mt , 0 £ tm < t , и определить
производные от него:
æ m-1 ö
æ m -1
ö
æ m-1
ö
ym (tm ) = q ç å k yi ÷ l 2 + ç å Am,i tmi ÷ exp(s1tm ) + ç å B m,i tmi ÷ exp( s 2 tm ).
(4)
ç i =0 ÷
ç i =0
÷
ç i =0
÷
è
ø
è
ø
è
ø
æ m-1
ö
æ m-1
ö
y& m (tm ) = ç å Am,i itmi -1 + tmi s1 ÷ exp(s1t m ) + ç å B m,i itmi -1 + t mi s 2 ÷ exp(s 2 t m ), (5)
ç i =0
÷
ç i =0
÷
è
ø
è
ø
æ m-1
ö
i -2
i -1
&&
+ 2it m
ym (tm ) = ç å Am,i i ( i -1) t m
s1 + t im s12 ÷ exp(s1tm ) +
ç i =0
÷
è
ø
(6)
æ m-1
ö
i -2
i -1
i 2 ÷
+ ç å B m,i i ( i - 1) t m
+ 2it m
s2 + t m
s 2 exp( s 2 t m ).
ç i =0
÷
è
ø
(
)
(
(
)
)
(
)
Запишем также решение и его производные для m -1 – го шага, для чего в выражениях (4) – (6) заменим индекс m на m -1. Верхний предел у сумм при этом будет равен m - 2. Соответствующие
формулы обозначим через (7) – (9). Подставив выражения (4) – (6) в
левую часть уравнения (2) и (7) – (9) – в правую с учетом (3) получим тождество. Вынужденная реакция осциллятора на постоянное
воздействие
78
æ m -1 ö
q ç å k yi ÷
ç i =0 ÷
è
ø
равна
æ m-1 ö
q ç å k yi ÷ l 2 ,
ç i =0 ÷
è
ø
и в тождестве она сократит-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ся. Сократим также на
тов А примет вид
exp(stm ). При
этом тождество для коэффициен-
å Am,i ( i ( i + 1) t mi-2 + 2it mi-1 s1 + t mi s12 + 2 nit mi-1 + 2nt mi s1 + l 2 tmi ) =
m-1
i =0
=
m-2
å Am-1,i (ka i ( i -1) t im-2 + ka 2itmi-1s1 + ka tmi s12 + 2 nkv itmi-1 + 2 nkv tmi s1 + l 2 k y tmi ).
i =0
Учитывая, что
s12 + 2 ns1 + l 2 = 0,
получим тождество в виде
m-1
å Am,i ( i ( i -1) tmi-2 + 2itmi -1s1 + 2nitmi-1 ) =
i =0
m-2
=
(10)
å Am-1,i (ka i ( i -1) tmi-2 + ka 2itmi-1 s1 + ka tmi s12 + 2nk v itmi-1 + 2 nkv tmi + l 2 k y tmi ).
i =0
Приравниваем коэффициенты при одинаковых переменных t mi .
Рекуррентное соотношение для i – го коэффициента на m – ом
шаге имеет вид
Am,i = ( LA i ) Am-1,i -1 + M A Am-1,i + ka N A ( i + 1) Am -1,i +1 - N A ( i + 1) Am,i +1,
(11)
i = 1, 2, 3, …, m-1.
Постоянные
LA =
ka s12 + 2 nkv s1 + l 2 k y
(
2 s1 + n
)
; MA =
k a s1 + kv n
( s1 + n )
Из (10) следует, что коэффициенты
этому
; NA =
(
1
2 s1 + n
)
.
Am,m = Am-1,m = Am-1,m-1 = 0.
По-
Am,m-1 = ( LA / i ) Am-1,m-2 ; Am,m-2 = ( LA / i) Am-1,m-3 + M A Am-1,m-2 - N A (i + 1) Am,m-1.
Коффициент Am,m-3 и последующие подсчитываются по формуле
(11).
Рекуррентные соотношения для коэффициентов B m,i получаем
из (11) путем замены А на В. Постоянные коэффициенты LB, MB и
NB получаем заменой корня s1 на s2. При i = 0 левая часть тождества
(10) равна нулю, а коэффициенты Am,0 и B m,0 определяют по формулам
Am,0 =
Pm s2 - R m
s 2 - s1
; B m,0 = -
Pm s1 - R m
s 2 - s1
,
(12)
где
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
æ m-1 ö
Pm = ym-1 - q ç å k yi ÷ l 2 , R m = y& m-1 - Am,1 - Bm,1.
ç i =0 ÷
è
ø
На рис.2 приведена матрица коэффициентов Am,i , где стрелками показаны коэффициенты решений предыдущего и этого же шага, участвующие в образовании данного коэффициента. Пунктиром
отделены постоянные интегрирования. Аналогичная матрица имеет
место и для коэффициентов В. Конечные значения отклонения ym и
скорости y& m на каждом шаге получим, положив в (4) и (5) tm = t .
2. Корни равные действительные, s1 = s2 = s = -n. Расчет выполняется аналогично изложенному выше с учетом того, что s двукратный корень характеристического уравнения. Анализ решений 3-4 – х шагов позволяет записать решение для m – го шага:
æ m-1 ö
æ 2 m -1
ö
i
ym (tm ) = q ç å k yi ÷ l 2 + ç å Am,i tm
÷÷ exp(stm ),
ç
÷
ç
è i=0 ø
è i= 0
ø
m = 1, 2, 3 … .
éæ 2 m-1
ö æ 2 m-1
ö ù
y& m (tm ) = êç å Am,i itmi -1 ÷ + ç å Am,i tmi ÷ s ú exp( stm );
÷ ç
÷ ú
êëçè i =0
ø è i =0
ø û
(13)
(14)
éæ 2 m-1
ö æ 2 m-1
ö æ 2 m-1
ö ù
&&
ym (tm ) = êç å Am,i i (i -1)tmi -2 ÷ + 2 ç å Am,i itmi -1 ÷ s + ç å Am,i tmi ÷ s 2 ú exp( stm ).
÷ ç
÷ ç
÷ ú
êëçè i =0
ø è i =0
ø è i =0
ø û
(15)
Решение на предыдущем шаге и производные от него получим
№
шага
Коэффициенты
1
А 1,0
2
0
0
0
0
0
А 2,0 А 2,1
0
0
0
0
3
А 3,0 А 3,1
А 3,2
0
0
0
4
А 4,0
А 4,1 А 4,2
А 4,3
0
0
5
А 5,0
А 5,1 А 5,2
А 5,3
А 5,4
0
Рисунок 2 – матрица коэффициентов.
из (13) – (15), заменив индекс m на m - 1 (выражения (16) – (18) соответственно).
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставим выражения (13) – (15) в правую часть уравнения
(2), а (16) – (18)- в левую и учтем условие (3). Сокращая на exp( stm ),
получим тождество
æ 2 m-1
ö æ 2 m-1
ö æ 2 m-1
ö 2
i -2
i -1
i
çç å Am,i i (i - 1)tm ÷÷ + 2 çç å Am,i itm ÷÷ s + çç å Am,i tm ÷÷ s +
è i =0
ø è i =0
ø è i =0
ø
éæ 2 m-1
ö æ 2 m-1
ö ù
æ 2 m-1
i ö
2
i -1
i
+2 n êç å Am,i itm ÷ + ç å Am,i tm ÷ s ú + l ç å Am,i t m
,i ÷÷ =
ç
÷ ç
÷ ú
ç
ø è i =0
ø û
è i =0
ø
ëêè i =0
é æ 2 m -3
ö æ 2 m-3
æ 2 m-3
ö ù
i -1 ö
i -2
= ka êç å Am-1,i i (i - 1)tm ÷ + 2 ç å Am-1,i itm ÷ s + ç å Am-1,i tmi ÷ s 2 ú +
ç
÷ ç
÷ ç
÷ ú
ø è i =0
ø è i =0
ø û
ëêè i =0
2 m-3
éæ 2 m -3
ù
æ 2 m-3
ö
i -1 ö æ
i ö
2
+2 nkv êç å Am-1,i itm ÷ + ç å Am-1,i tm ÷ s ú + l k y ç å Am -1,i tmi ÷ .
÷ ç
÷ ú
ç
÷
êëçè i =0
ø è i =0
ø û
è i =0
ø
Сгруппировав члены с одинаковыми переменными tmi и учитывая, что (s2 + 2ns + l 2 ) = 0 и (s + n) = 0 , получим тождество в виде
2 m-1
æ 2 m-3
æ 2 m-3
ö
i -2 ö
= k a ç å Am-1,i i (i -1)tm ÷ + 2 (ka s + kv n ) ç å Am -1,i itmi -1 ÷ +
å
ç
÷
ç
÷
i =0
è i =0
ø
è i =0
ø
æ 2 m-3
ö
+ ka s2 + 2 nk v s + l 2 ç å Am -1,i tmi ÷ .
ç
÷
è i =0
ø
Am,i i (i - 1)tmi -2
(
)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых переменных
i – го шага
(19)
tmi .
Am,i = ( L / i (i -1)) Am-1,i -2 + ( M / i ) Am-1,i -1 + k a Am-1,i ,
где L = ka s2 + 2nkv s + k y l 2 ,
эффициенты
M = 2 (ka s + kv n).
Для
(20)
Из (18) следует, что ко-
Am-1,2 m-1 = Am-1,2 m-2 = 0,
а
коэффициенты
Am,2 m=
-1 ( L /(2 m - 1)(2 m - 2)) Am-1,2 m-3 ,
и
Am,2 m-2 = ( L /(2 m - 2 )(2 m - 3)) Am-1,2 m-4 + ( M /(2 m - 2)) Am-1,2 m-3 . Коэффициент
и последующие определяются по формуле (20).
При i = 0 или 1 левая часть (19) обращается в ноль, а постоянные интегрирования Am,0 и Am,1 определяются по начальным условиям из (13) и (14) при t m = 0 :
Am,2 m-3
æ m-1 ö
ym-1 = Am,0 + q ç å k yi ÷ l 2 ,
ç
÷
è i =0 ø
y& m-1 = Am,1 + s Am,0 ,
где ym-1 и y& m-1 - конечные значения отклонения и скорости на
предыдущем шаге, принимаемые за начальные условия на текущем.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда
æ m-1 ö
Am,0 = ym-1 - q ç å k yi ÷ l 2 ,
ç
÷
è i =0 ø
Am,1 = y&m-1 - s Am,0
(21)
æ
ö
æ m-1 ö
= y& m-1 + n ç ym-1 - q ç å k yi ÷ l 2 ÷ .
ç
÷
ç
÷
è i =0 ø
è
ø
Конечные значения отклонения ym и скорости y&m на m–ом шаге
получим из (13) и (14), подставив tm = t . Матрица коэффициентов
приведена на рис.3
№
шага
Коэффициенты
1
А1,0
0
0
0
0
0
2
А2,0 А2,1 A2,2 A2,3
0
0
0
0
3
А3,0 А3,1 А3,2
A3,3 A3,4
A3,5
0
0
4
А4,0
А4,3 A4,4 A4,5 A4,6 A4,7
A1,1
А4,1
0
А4,2
Рисунок 3 – матрица коэффициентов.
3.
Корни
–
комплексно –
сопряженные,
s1,2 = a ± w j
,
Анализ решений 4-5 шагов позволяет записать решение для m – го шага и производные:
a = -n, w =
l 2 - n2 , j =
-1.
éæ m-1
ù
æ m-1 ö
ö
æ m-1
ö
ym (tm ) = q ç å k yi ÷ l 2 + êç å Am,i tmi ÷ cos w tm + ç å Bm,i tmi ÷ sin w tm ú exp(a tm ).
ç
÷
÷
ç
÷
êëçè i =0
úû
è i =0 ø
ø
è i =0
ø
ìï é m-1
æ m-1
ö
æ m-1
ö ù
y& m (tm ) = í ê å Am,i i tmi -1 + ç å B m,i t i ÷ w + ç å Am,i tmi ÷ a ú cos w tm +
ç
÷
ç
÷ ú
ïî êë i =0
è i =0
ø
è i =0
ø û
é m-1
æ m -1
ö
æ m-1
ö ù
ïü
+ ê å B m,i i tmi -1 - ç å Am,i tmi ÷ w + ç å B m,i tmi ÷ a ú sin w tm ý exp(a tm );
ç
÷
ç
÷ ú
êë i =0
ïþ
è i =0
ø
è i =0
ø û
82
(22)
(23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ìï é m-1
æ m-1
ö
æ m-1
ö ù
&&
ym (tm ) = í ê å Am,i i (i - 1)tmi -2 + ç å B m,i i tmi -1 ÷ w + ç å Am,i i tmi -1 ÷ a ú cos(w tm ) ç
÷
ç
÷ ú
ïî êë i =0
è i =0
ø
è i =0
ø û
é m-1
æ m-1
ö
æ m-1
ö ù
é m-1
- ê å Am,i i tmi -1 + ç å B m,i tmi ÷ w + ç å Am,i tmi ÷ a ú w sin w tm + ê å B m,i i (i - 1)tmi -2 +
ç
÷
ç
÷ ú
êë i =0
êë i =0
è i =0
ø
è i =0
ø û
é m-1
æ m -1
ö
æ m-1
ö ù
æ m-1
ö
i -1
i -1
i -1
+ ç å B m,i i tm ÷ a - ç å Am,i i t ÷ w ú sin(w tm ) + ê å Bm,i i tm + ç å B m,i tmi ÷ a ç
÷
ç
÷ ú
ç
÷
è i =0
ø
è i =0
ø û
è i =0
ø
ëê i =0
é m-1
æ m-1
ö ù
æ m-1
ö
æ m-1
ö ù
- ç å Am,i tmi ÷ w ú w cos w tm + a ê å Am,i i tmi -1 + ç å B m,i tmi ÷ w + ç å Am,i tmi ÷ a ú cos w tm +
ç
÷ ú
ç
÷
ç
÷
êë i =0
è i =0
ø û
è i =0
ø
è i =0
ø úû
ü
m-1
é m-1
ù
æ m-1
ï
i -1 æ
i ö
i ö
+a ê å Bm,i i tm + ç å B m,i tm ÷ a - ç å Am,i tm ÷ w ú sin w tm ý exp(a tm ).
ç
÷
ç
÷ ú
êë i =0
ïþ
è i =0
ø
è i =0
ø û
(24 )
Запишем также решение и производные от него для (m – 1)-го
шага, заменив в выражениях (22) – (24) индекс m на (m - 1) (выражения (25)-(27)). Подставим (22) – (24) в левую часть (2), а (25) –
(27) – в правую и сократим на exp(a tm ) . Приводя подобные члены и
учитывая также, что (a 2 - w 2 ) + 2 na + l 2 = 0, и 2w (a + n) = 0, получим тождество в виде
m-1
m-1
é m-1
é m-1
ù
i -2
i -1 ù
i
A
i
i
t
+
w
B
i
t
w
t
+
B
i
i
t
w
1
2
1
2
(
)
cos
(
)
ê å m ,i
å m,i m ú
å Am,i itmi-1 ú sin w tm =
m
m ê å m ,i
m
êë i =0
úû
êë i =0
úû
i =0
i =0
ìï æ m-2
æ m-2
æ m-2
ö
i -2 ö
i -1 ö
= íka ç å Am-1,i i (i - 1) tm
+
k
+
k
n
A
i
t
+
k
B m-1,i i tmi -1 ÷ +
2
2
a
w
÷
ç
÷
(
)
ç
å
å
1
,
a
v
m
i
m
a
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ø
è i =0
ø
è i =0
ø
îï è i =0
m-2
ü
æ m -2
i ö é 2
i öï
2
2 ùæ
k
n
k
k
A
t
cos w tm +
2w ( ka a + kv n ) × ç å B m-1,i tm
2
+
a
w
+
a
+
l
÷
ç
÷
ý
å
a
v
y
m
i
m
1
,
ç
÷ ëê
÷
ûú ç
è i =0
ø
è i =0
ø þï
(
)
ìï æ m-2
æ m -2
æ m-2
ö
i -2 ö
i -1 ö
k
k
n
B
i
t
k
Am-1,i i tmi -1 ÷ 2
2
+ íka ç å B m-1,i i (i - 1) tm
+
+
a
w
(
)
÷
ç
÷
ç
å
å
a
v
m
i
m
a
1
,
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ø
è i =0
ø
è i =0
ø
îï è i =0
ü
æ m -2
ö
æ m-2
i öï
sin w tm
-2w ( ka a + kv n ) × ç å Am-1,i tmi ÷ + éê a 2 - w 2 ka + 2 na kv + l 2 k y ùú ç å B m-1,i tm
÷
ç
÷ ë
÷ý
ûç
è i =0
ø
è i =0
ø ïþ
(
)
Приравниваем коэффициенты при
cos w tm
и
sin w tm :
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m-1
æ m-2
ö
i -2
i -1
i -2 ÷
ç
1
2
1
+
=
+
A
i
i
t
B
i
t
k
A
i
i
t
w
(
)
(
)
å m,i
å m,i m a ç å m-1,i
m
m
÷
0
=
i =0
i =0
i
è
ø
æ m-2
ö
æ m -2
ö
i -1
i -1
2 ( ka a + kv n ) ç å Am-1,i i t m
+ 2 ka w ç å B m-1,i i t m
÷
÷÷ +
ç
÷
ç
è i =0
ø
è i =0
ø
m-1
m -2
æ m-2
ö
ö
2
2
2 ùæ
i
i
é
2w k a a + k v n × ç å B m-1,i t m
2
+
+
+
k
n
k
k
A
t
a
w
a
l
÷
ç
÷÷ .
å
,
a
v
y
1
m
i
m
ç
÷ ëê
ûú ç
è i =0
ø
è i =0
ø
m-1
m-1
æ m -2
ö
å B m,i i(i -1) t mi-2 - 2w å A m,i it mi-1 = ka çç å B m-1,i i (i -1) t mi-2 ÷÷ +
è i =0
ø
i =0
i =0
(
(
)
)
æ m-2
ö
æ m-2
i -1 ÷
i -1 ö
+2 k a a + k v n ç å B m-1,i it m
- 2 ka w ç å Am-1,i it m
÷÷ ç
ç i =0
÷
è i =0
ø
è
ø
æ m-2
ö
æ m-2
ö
i ÷ é 2
i ÷
-2w k a a + k v n × ç å Am-1,i t m
+ ê a - w 2 ka + 2 na k v + l 2 k y ùú ç å Bm-1,i t m
.
ûç
ç i =0
÷ ë
÷
=
0
i
è
ø
è
ø
(
)
(
(
)
)
Выписываем тождества при одинаковых переменных. При
из первого равенства вытекает следующее тождество:
i -1
tm
Am,i +1(i + 1)i + 2w iB m,i = ka Am-1,i +1 (i + 1) i + 2 (ka a + kv n)i Am-1,i +
(
)
+ éê a 2 - w 2 ka + 2 na k v + l 2 k y ùú Am-1,i +1 + 2 k a w iB m-1,i + 2w (ka a + kv n) Bm -1,i -1.
ë
û
Отсюда находим коэффициент B m,i (формула (28)):
B m,i =
Am ,i
LB
P
Am -1,i -1 + M B Am -1,i + N B (i + 1) Am -1,i +1 - QB (i + 1) Am ,i +1 + B B m -1,i -1 + k a B m -1,i .
i
i
Аналогично из второго уравнения определяется коэффициент
(формула (29)):
A m ,i =
LA
P
B m-1,i -1 + M A B m-1,i + N A (i + 1) B m-1,i +1 - QA (i + 1) B m ,i +1 + A Am-1,i -1 + k a Am -1,i ,
i
i
где постоянные коэффициенты, не зависящие от порядкового
номера коэффициентов А и В в решении на данном шаге m = 1, 2, 3,
…, определяются следующим образом:
LB = - LA
a 2 - w 2 ) ka + 2 na k v + l 2 k y
(
=
;
NB = -N A =
84
2w
M B = -M A =
k a a + kv n
ka
1
; QB = -Q A =
; PB = PA = n (k v - k a ).
2w
2w
w
=
n(k v - k a )
w
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для определения постоянных интегрирования
=
tm 0.
ложим
в
(22)
и
(23)
æ m-1 ö
ym-1 = q ç å k yi ÷ l 2 + Am,0 ,
ç
÷
è i =0 ø
Отсюда
(
Am,0
и B m,0 поПолучим
y& m-1 = Am,1 + a Am,0 + w B m,0 .
æ m-1 ö
Am,0 = ym-1 - ç å k yi ÷ l 2 ,
ç
÷
è i =0 ø
)
(
)
B m,0 = y& m-1 - Am,1 - a Am,0 w = y& m -1 - Am,1 + nAm,0 w .
(30)
Конечные значения отклонения уm и скорости y& m на m – ом
шаге получим, положив в (22) и (23) tm = t . Эти значения принимаются за начальные на следующем шаге. На рис.4 приведена матрица коэффициентов, из которой видно, что коэффициенты
№
Коэффициенты
шага
1
А1,0
В1,0
0
0
0
2
А2,0
В2,0
А2,1
В2,1
0
3
А3,0
В3,0
А3,1
В3,1
4
А4,0
В4,0
А4,1
5
А5,0
В5,0
А5,1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
А3,2
В3,2
0
0
0
0
В4,1
А4,2
В4,2
А4,3
В4,3
0
0
В5,1
А5,2
В5,2
А5,3
В5,3
А5,4
В5,4
Рисунок 4 – Матрица коэффициентов.
Am,m = B m,m = Am -1,m = B m-1,m = Am-1,m-1 = B m -1,m-1 = 0. Поэтому
Am,m-1 = ( LA / i ) B m -1,m-2 + ( PA / i) Am-1,m-2 ,
B m,m-1 = ( LB / i ) Am -1,m-2 + ( PA / i) B m-1,m-2 ,
Am,m-2 = ( LA / i ) B m-1,m-3 + M A B m-1,m-2 + ( PA / i ) Am-1,m -3 + k a Am-1,m -2 ,
B m,m-2 = ( LB / i ) A m-1,i -3 + M B A m-1,m -2 + ( PB / i ) B m-1,m-3 + k a B m-1,m-2 .
Остальные коэффициенты, кроме Am,0 и B m,0 , определяются по формулам (28) и (29).
Из изложенного вытекает, что расчет процесса складывается
из следующих этапов.
Расчет корней характеристического уравнения, определение
их вида (действительные различные, равные или комплексно85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сопряженные) и выбор одного из трех алгоритмов расчета коэффициентов решений.
Расчет произвольных постоянных на 1-ом шаге.
Расчет конечных значений отклонения и скорости отклонения
на 1-ом шаге, принимаемых за начальные на 2-ом шаге.
Расчет первого этапа переходного процесса. Для остальных
шагов алгоритм расчета состоит из следующих этапов.
Расчет коэффициентов решения на m – ом этапе. Этот расчет
начитается с самых старших коэффициентов, следующими за произвольными постоянными.
Расчет произвольных постоянных по начальным условиям на
данном шаге.
Расчет данного этапа переходного процесса и конечных значений, принимаемых за начальные для следующего этапа.
По данному алгоритму составлена расчетная программа для
ЭВМ в программном пакете MatrhCAD, приведенная в следующем
разделе 2.5. Программа позволяет рассчитывать переходные процессы и свободное движение моделей машин с запаздывающими
обратными связями. Критерием окончания расчетов служит количество этапов рассчитываемого переходного процесса.
Другим методом расчета переходного процесс является получение решения в виде сходящегося к нему трансцендентного ряда.
Здесь целесообразно применение преобразования Лапласа.
Изображение толчка величиной q имеет вид F ( s ) = q s , а изображение переходного процесса
1
q
Y (s) = 2
× = éë1 R ( s ) ùû × ( q s ) ,
(31)
2
s + 2 ns + l (1 - k y exp ( -st ) ) s
где R ( s ) = s2 + 2 ns + l 2 (1 - k y exp ( - st ) ) - характеристический квазиполином.
Из (31) следует, что изображение переходного процесса в данном случае не имеет других особых точек, кроме полюсов, соответствующих нулям приведенного выражения. Если корни характеристического уравнения простые, то переходный процесс y ( t ) может
быть записан в виде следующего выражения (формулы Хевисайда –
(32)) [20]:
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y (t ) =
1
1
q
q
exp ( si t ) = 2
exp ( si t ) В
+å
+å
2
R ( 0 ) i si R¢ ( si )
é
ù
l 1- k y
2
s
s
n
k
s
exp
+
+
l
t
t
(
)
(
)
i ië
i
y
i û
(
)
случае, если какой-либо корень si окажется двойным, то соответствующий член ряда (32) заменится выражением [20]:
2
d ( s - si )
(33)
exp ( st ) s =s .
i
ds sR ( s )
Дифференцируя и раскрывая неопределенность по правилу
Лопиталя, получим в общем виде
é
ù
2 R¢¢¢ s i
2
ê
ú
t - 1 / si ) ú exp s i t ,
+
(
ê2
R¢¢ ( si ) si
ê 3 é R ¢¢ s i ù si
ú
û
ë ë
û
( )
( )
( )
(34)
а конкретно для уравнения (32)
2
si
é
l 2 k y t 3 exp s i
ê
êê 3 2 - l 2 k y t 2 exp s i
ë
(
ù
( ) +
( t -1 / s i )
ú
ú exp ( s i t )
2
2
2
2 - l k y t exp ( - s i t ) ú
( ))
û
(35)
Комплексные корни в ряд (35) входят всегда комплексносопряженными парами ai ± wi j . В этом случае соответствующие два
члена ряда имеют вид
( Ai + jBi ) exp éë(a i + jw i ) t ùû + ( Ai - jBi ) exp éë(a i - jw i ) t ùû = éëc1i cosw i t + c2i sin w i t ùû exp (a i t )
где c1i = 2Ai, c2i = -2Bi. Таким образом, расчет переходного процесса
по формуле (35) сводится к расчету корней характеристического
уравнения
R ( s ) = s2 + 2 ns + l 2 - l 2 k y exp ( - st ) = 0 .
(36)
Особенностью решаемой задачи является то, что выражение
R (s ) является трансцендентной функцией и в силу этого имеет бесконечное множество корней. Поэтому ряд (32) – бесконечный.
Обычно ограничиваются подсчетом нескольких гармоник ряда и
заменяют переходный процесс приближенным. Метод нахождения
корней следующий. Подставляя в характеристическое уравнение
значение какого-либо корня s = a + jw, разделяя действительные и
мнимые части, получим систему уравнений:
ìa 2 - w 2 + 2 na + l 2 = l 2 k y exp ( -a t ) cos w t ,
ï
(37)
í
2
ïî2 (a + n ) w = -l k y exp ( -a t ) sin w t .
Задаваясь значениями w и определяя из приведенной системы
уравнений a и наоборот, строим на плоскости корней (a, w) две
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кривые, точки пересечения которых определят (37) видно, что значение w0 = 0 является его корнем. При этом первое уравнение переходит в следующее:
(38)
a 2 + 2 na = l 2 éë -1 + k y exp ( -a t ) ùû .
Его решение относительно a даст действительные корни.
Можно графически определить точки пересечения кривой, описываемой первым уравнением системы (37) с осью абсцисс, уравнение
которой w = 0 .
Для удобства расчета кривых при определении комплексных
корней разрешим систему (37) относительно a и w. Возводя оба
уравнения в квадрат и складывая, получим уравнение
(
)
(
)
2
w = + éê l 2 - a 2 - 2 n (a + n ) ùú + 4 n2 - l 2 ( n + a ) + l 4 k 2y exp ( -2 a t ) .
ë
û
(39)
Разделив уравнения системы (37) одно на другое, придем к
выражению
(40)
a = - (w ctgwt + n ) ± n2 - l 2 + w 2 csc2 wt .
Ввиду симметричности расположения корней относительно
оси абсцисс достаточно определить точки пересечения кривых (39)
и (40) только в одной, например, верхней полуплоскости (перед
корнем взять знак +).
Для устойчивого переходного процесса все корни лежат слева
от оси ординат. Наибольшее влияние на его затухание оказывают
корни, расположенные ближе к мнимой оси, т. е. имеющие меньшие значения ai. Ограничиваясь несколькими корнями (5-10), ближайшими к мнимой оси, по формуле (32) находят приближенно вид
переходного процесса y = y(t).
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.5 ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ
y ¢¢(t ) - ka y ¢¢(t - t ) + 2 n [ y¢(t ) - kv y ¢(t - t ) ] + l 2 ëé y (t ) - k y y (t - t ûù = q = const
Исходные данные: l : = 8, n : = 5, t : = 1, ka : = 0, kv : = 0, ky : = 0.5, q : = 64, N : = 8.
Начальные условия: y0 : = 0, V0 : = 0. (Данные взяты произвольно).
y(t): =
“Ввод исходных данных”
l ¬ l n ¬ n t ¬ 1 ka ¬ ka kv ¬ kv ky ¬ ky y0 ¬ y0 V0 ¬ V0 q ¬ q
“ Корни действительные
различные” 2 2
2
2
s1
¬
n
+
Ö
n
l
s2 ¬ - n - Ö n - l
if l < n
2
ka× s1 +2×n×kv×s1 + ky×l
2
LA ¬
MA ¬
(ka×s1 +n×kv)
2
LB ¬
2
MB ¬
NA ¬
(s1 + n)
2×(s1 +n)
(ka×s2 +n×kv)
1
2×(s1 + n)
ka× s2 +2×n×kv×s2 + ky×l
1
2×(s2 + n)
NB ¬
(s2 +n)
2×(s2 +n)
for m Î 2 .. N
for i Î 1 .. N
+1
Am, i ¬ 0
Bm, i ¬ 0
q
P1 ¬ y0 –
l
R1 ¬ V0
2
P1× s2 – R1
A1,1 : =
s2 – s1
P1× s1 – R1
B1,1 : =
s2 – s1
q
y1 ¬
l
2
+ A1,1×exp(s1×t) + B1,1×exp(s2×t) V1 ¬ A1,1×s1×exp(s1×t) + B1,1×s2×exp(s2×t)
for m Î 2 .. N
for i Î N .. 2
+1
Am, i ¬
LA
× Am -1, i -1 + MA× Am -1, i + ka×NA× i × Am - 1, i + 1 - NA× i× Am, i + 1
i-1
LB
Bm, i ¬
× ×Bm - 1, i - 1 + MB× Bm - 1, i + ka×NB× i × Bm - 1, i + 1 - NB× i× Am, i + 1
i-1
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m
å ky i -1
Pm ¬ ym - 1 – q ×
Rm ¬ Vm - 1 – Am, 2 – Bm, 2
i =1
l
2
Pm× s2 - Rm
Pm× s1 - Rm
Am,1 ¬
Bm,1 ¬ s2 – s1
s2 – s1
m
å ky i-1
ym ¬ q×
m
m
+ å (Am,i × t )× exp(s1× t) +å (Bm,i × t - )× exp(s2× t)
i -1
i =1
i 1
i -1
l2
i -1
m
m
Vm ¬ å [Am, i ×(i –1 + t×s1)×t ] ×exp(s1× t) +å [Bm, i × (i –1 + t× s2)×t
i -2
i =1
i -2
]×exp(s2× t)
i -1
for m Î 2 .. N
m
å ky i -1
m
+ å [Am, i ×[t - (m -1)×t]
i =1
q×
l
i -1
)×exp[s1×[t - (m -1)×t]] … if (m-1)×t £ m×t
i=1
2
m
+å [Bm, i × [t - (m -1)×t]
i -1
]× exp[s2×[t – (m -1)×t]]
i =1
“Корни комплексно-сопряженные”
if n < l
w ¬ Öl - n
2
2
2
2
2
2
ka× (n - w ) - 2×n × kv + l × ky
LB ¬
n× (kv – ka)
MB ¬
w
2×w
LA ¬ - LB
MA ¬ - MB NA ¬ - NB
PB ¬ n×(kv – ka)
for m Î 1 .. N
for i Î 1 .. N + 1
+1
Am, i ¬ 0
Bm, i ¬ 0
90
PA ¬ - PB
ka
NB ¬
2× w
1
QB ¬
QA ¬ QB
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
V0 + n × A1,1
q
A1,1 ¬ y0 –
l
B1,1 ¬
2
w
q
y1 ¬
l
2
+ (A1,1× cos(w× t) + B1,1× sin(w× t))× exp(-n× t)
V1 ¬ [[A1,1 × (-n) + B1,1 × w] × cos(w × t) – (A1,1× w + B1,1× n) × sin(w×t)] × exp(-n× t)
for m Î 2 .. N
for i Î N .. 2
LA
PA
A m, i ¬
× B m -1, i -1 + MA × B m -1, i + NA × i × B m -1,i +1 +
i –1
× A m -1, i -1 …
i-1
+ ka × A m -1, i – QA × i × B m,i +1
LB
B m,i ¬
× A m -1, i -1 + MB × B m -1, i + NB × i × A m-1,i+1 +
i–1
i-1
+ ka × B m -1, i – QA × i × A m, i +1
PB
× Bm -1, i –1 …
m
å kyi -1
Am, 1 ¬ ym -1 - q×
(Vm-1 + n× Am,1- Am,2)
i =1
l
Bm, 1 ¬
2
w
m
å ky i -1
ym ¬ q×
m
l
m
+ å (Am, i × t )× cos(w× t) + å (Bm, i × t
i -1
i =1
2
i -1
i -1
)×sin(w×t) × exp(-n× t)
i -1
m
Vm ¬ å [(-n)×Am, i×t
i =1
i-1
+ w×Bm, i×t
i -1
+ (i-1)×Am, i×t
i -2
]×cos(w×t) … × exp(-n×t)
m
+ å [(-n)×Bm, i×t
i -1
i -1
+ w×Am, i×t
i -1
+(i-1)×Bm,i×t
i -2
]×sin(w×t)
for m Î 1 .. N
m
å ky i -1
q×
i =1
l
2
m
+ å [Am, i ×[t-(m-1)×t]
i –1
]×cos[w×[t-{m-1)×t]] … if (m-1)×t £ t<m×t
i -1
× exp[-n×[t-(m-1)×t]]
i =1
m
+ å [Bm,i × [t-(m-1)×t]
]× sin[w×[t-{m-1)×t]]
i =1
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
“Корни равные действительные”
if l =n
MA ¬ 2× n × (kv – ka)
NA ¬ n2 × (ka – 2 × kv) + l2 × ky
for m Î 1 .. N
for i Î 1 .. 2×N
Am, i ¬ 0
q
A1,1 ¬ y0 –
l
Q
A1,2 ¬ V0 +A1,1 × n
2
2
2
+ å A1, i × exp(-n×t)
y1 ¬
l
2
V1 ¬ å A1, i × (i -1-n×t)×t
i =1
i -2
×exp(-n×t)
i =1
for m Î 2 .. N
for i Î 2×N .. 3
MA
Am, i ¬ ka × Am -1, i +
NA
× Am -1, i -1 +
i –1
× Am -1, i -2
(i – 1)× (i – 2)
m
å ky i -1
Am, 1 ¬ ym -1 - q×
i =1
l
Am,2 ¬ Vm -1 + n× Am,1
2
m
å ky i -1
ym ¬ q×
i=1
l
2
2× m
+ å (Am, i × t
i -1
)× exp(-n× t)
i =1
2×m
Vm ¬ å [Am, i × (i –1 - t× n)× t
i -2
] ×exp(-n× t)
i =1
for m Î 1 .. N
m
å ky i -1
q×
l
2× m
+ å [Am,i ×[t-(m-1)×t]
i =1
2
i -1
)×exp[-n×[t-{m-1)×t]]
if (m-1)×t £ m×t
i =1
Примечания: 1) Операторы следует располагать в столбец.
2) Для ускорения счета комментарии рекомендуется устранить
из программы.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.6 СВОБОДНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ
КАК МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ, ОХВАЧЕННОЙ П.З.О.С.
Для расчета свободных движений положим в уравнении (3.6)
возмущающее воздействие f (t) = 0, начальное отклонение равным
единице, у0 =1, а значения параметров и начальную скорость согласно данным, приведенным в таблице 1.
Таблица 1 – Параметры системы
Задаваемая величина
а
б
в
г
д
е
ж
з
Коффициент
затухания n
8
6
8
8
2
4
4
2
Частота l
8
12
8
8
5
3
16
11
Коэффициент обратной
связи ky
0.5
0.5
0.5
0.9
0.5
0.5
0.5
0.5
Начальная скорость V0
0
0
12
0
0
0
0
0
На графиках рис.1а-е показаны виды свободных движений
(кривая 1; для сравнения кривой 2 показано свободное движение
системы без обратной связи, ky = 0). По оси ординат отложены отклонения «у». Виды свободных движений при этом может быть
следующими.
На рис. 1а, в и г движение на первом шаге имеет апериодический характер и почти успевает завершиться к концу первого шага.
На втором шаге вследствие копирования точкой С упругой опоры
профиля, образованного точкой D, возникает новый процесс движения, обусловленный кинематическим возбуждением системы.
Этот процесс также почти успевает завершиться к концу второго
шага. Затем следует новое копирование, и т.д. Максимальное отклонение на каждом шаге уменьшается вследствие того, что ky < 1 и
асимптотически стремится к нулю. Но на рис. 1г это снижение
меньше из-за большего значения коэффициента обратной связи.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
График на рис 1в отличается от графика на рис 1а тем, что
точке С1 наряду с начальным отклонением сообщена также начальная скорость V0 = 12.
Движение на рис.1б на первом шаге имеет колебательный характер, но также почти успевает завершиться к концу первого шага.
На втором шаге следует кинематическое возбуждение системы, что
вызывает новые колебания, но меньшей интенсивности, которые
также почти успевают завершиться к концу второго шага. На третьем шаге вновь возникает колебательный процесс, и т.д. С каждым
шагом интенсивность колебаний уменьшается вследствие того, что
коэффициент обратной связи k y <1 .
На рис. «д» и «е» показано свободное движение системы при
малом времени запаздывания. На рис. «д» процесс имеет колебательный характер, а на рис. «е» – апериодический. В обоих случаях
процесс движения не успевает завершиться, как наступает новое
возбуждение, и в результате чего наблюдаются интенсивные колебания (рис.1д), либо замедление спада кривой (рис.1е).
Если на первом шаге система совершает интенсивные колебания, то на последующих шагах вследствие непрерывного кинематического возбуждения процесс движения может принять вид незатухающих или даже нарастающих колебаний, рис. 1ж и з соответственно. На последние большое влияние оказывает фаза кинематического возбуждения, которая может способствовать либо гашению
колебаний, либо их поддержанию и нарастанию. В последнем случае возникает процесс неустойчивый движения.
Вопрос устойчивости рассматриваемых машин, как механических систем с запаздывающей обратной связью, рассмотрен ниже.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
1
1
1
1
0.75
0.75
а
) 0.5
1
1
0.25
0.25
0
y
0
2
0.250.25
1.5
0
2
1
2
3
4
шаг
0.25 0.25
5
1.5
в
5
шаг
1
0.25
0
22
0.250.25
0
0
1
2
0
3
4
t
шаг
5 0.25 0.25
5
1
1
0.75
д
2
0
1
2
3
4
0.75
е
0.5
1
) 0.5
1
0.25
0
2
2
0
0.25
0.5 0.5
5
шаг
1
0.25
y
4
0.5
0.25
1
3
г
0.75
1
0.5
)
2
1
0.75
y
1
1.25
1
1
0
1.5
1.5
1.25
)
б
0.5
0
1
2
3
4
шаг
5
1
0.25 0.25
1
0
1
ж
0.5
3
1
4
шаг
5
з
0.75
0.75
2
1
0.5
1
)
0.25
0.25
0
0
0.25
2
0.25
0.5
0.5 0.5
0.75 0.75
0
1
2
3
4
шаг
5
2
0
1
2
3
4
5
шаг
Рисунок 1 – Свободные движения системы.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.7 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАШИНЫ С П.З.О.С.
Рассматриваемые машины работают в чрезвычайно разнообразных условиях. Воздействие f(t), определяемое изменением физико-механических свойств грунта, почвы, обычно имеет характер
случайных колебаний. Вместе с тем встречаются случаи резкого
изменения физико-механических свойств, например, при переходе
машины с участка рыхлых почв на плотные и наоборот. Реакция
машины на резкое, скачкообразное воздействие возмущающего
фактора носит название переходного процесса, так как при этом
обычно происходит переход от одного установившегося значения
(глубины обработки, ширина захвата) к другому. С точки зрения
выполнения поставленных требований на стабильность глубины
обработки (ширина захвата) переходные процессы для почвообрабатывающих машин являются одними из наиболее неблагоприятных режимов работы. Отклонение машин в переходном процессе
обычно больше абсолютных отклонений его при знакопеременных
воздействиях, равных по размаху скачку возмущающей функции,
если не учитывать резонансных режимов работы. Орудие, рассчитанное на определенное отклонение в переходном процессе, при
работе в реальных условиях будет, как правило, иметь меньшие отклонения.
При расчетах рассматриваемых машин подчас бывает не столь
важен конкретный точный вид переходного процесса, который на
практике во многих случаях имеет малую вероятность осуществления из-за большой вариации физико-механических свойств обрабатываемой среды и, следовательно, широких пределах изменения
коэффициентов дифференциального уравнения движения, подчас
самих его членов (например, смены вязкого трения на сухое или
смешанное). Важнее бывает оценка максимального отклонения
машины и подбор ее параметров так, чтобы это отклонение не превышало допускаемых пределов. В этой связи рассмотрим переходный процесс машины, пренебрегая инерционными и демпфирующими силами, что имеет место при достаточно малой массе машины и малых значениях демпфирующих сил. К подобным легким
практически незадемпфированным системам относятся, например,
сошниковые механизмы с прикатывающими катками.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Положим в уравнении (3.3) m = 0 и b = 0, а возмущающую
функцию равной
ì0 при t < 0,
Q (t ) = í
î1 при t ³ 0.
(1)
В этом случае получим следующее разностное уравнение для t
> 0:
y ( t ) - k y y ( t - t ) =1 / c * .
(2)
Сопоставляя (2) с (1.1.4) видим, что они совпадают, и, следовательно, имеют подобные переходные процессы. Рассчитав последний методами, изложенными в главе 1, получим, что отклонение точки D рабочего органа при толчке силы Q ( t ) =1 на n – ом шаге
имеет вид
yn ( t ) =
1
c*
n -1
å
i =0
k yi
1 - k yn 1
=
×
1 - k y c*
(3)
при ( n -1)t £ t < nt .
y
ky4y0
ky3y0
y( ¥)
ky2y0
kyy0
y0
-t
0
t
t (x)
2t
3t
4t
Рисунок 1 – Переходные процессы модели с п.з.о.с. при
воздействии единичного скачка силы.
На рис. 1 ступенчатой линией показан процесс, описываемый
выражением (3), если положить y0 = 1/ c * . Максимальное отклонение
глубины обработки получим, устремив n к ¥ ( t ® ¥ ) :
y ( ¥ ) = lim yn ( t ) =
n®¥
*
(
1
c 1- k y
)
.
(4)
Сравнивая формулу (4) с (1.2.3), видим, что они также совпадают при условии, что 1 c * = y 0 и k y = k . Переходный процесс имеет
тот же физический смысл многократного перекопирования ступенчатых изменений глубины обработки. Множитель 1 c * = y 0 пред97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ставляет собой мгновенное отклонение рабочего органа, а выражение 1/ (1 - k y ) - сумму членов бесконечной геометрической прогрессии, описывающих процесс перекопирования этого начального отклонения.
Если в (4) положить k y = 0 , то получим отклонение глубины
обработки для машины без обратной связи: y * ( ¥ ) = 1 c * (опора СС 1
перемещается по заранее заданной ровной поверхности, а глубина
обработки меняется в пределах, обусловленных лишь деформацией
этой упругой опоры). Отношение
y (¥)
1
=
my = *
(5)
y (¥) 1- ky
показывает, во сколько раз отклонение глубины обработки у
машины с обратной связью больше отклонения этой величины у
машины без таковой.
Рассмотрим влияние параметров машины на величину коэффициента обратной связи k y :
2
æ L ö
cç
÷
c¢
L-l
è L-l ø
.
×
ky = * k =
2
L
c
+
h
a
L
é
ù æ
ö
-g2 ú + cç
g0 B ê
÷
L
l
L
l
ë
û è
ø
(6)
Сопоставляя это выражение с выражением коэффициента обратной связи в случае жесткой опоры k = ( L - l ) / L , видим, что они отличаются на множитель, представляющий собой отношение приведенной к точке D жесткости опоры CC 1 к суммарной приведенной
жесткости опоры CC 1 и действующих на рабочий орган сил.
Здесь можно отметить три случая.
Первый состоит в том, что g 2 > ( h0 + a ) ( L - l ) . Это соответствует
случаю, когда заглубляющий момент от вертикальной силы R y относительно точки прицепа О больше выглубляющего момента силы
Rx относительно той же точки. Поэтому приведенная жесткость с¢
больше суммарной приведенной жесткости с*, и каждая образуемая
рабочим органом ступень переходного процесса больше аналогичной ступени у машины с жесткими опорами в с¢ с* раз (см. выражение (1.2.4) в сравнении с (4)).
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Во втором случае заглубляющий и выглубляющий моменты
сил R y и Rx равны в любом положении машины. При этом k y = k и
опора СС 1 «работает» как жесткая, не деформируясь в процессе изменения глубины обработки. Это имеет место при g 2 = ( h + a ) ( L - l ) .
В третьем случае выглубляющий момент силы Rx преобладает
над заглубляющим моментом силы R y . При этом с¢ < с* или
g 2 < ( h + a ) ( L - l ) . Каждая образуемая рабочим органом ступень меньше в с¢ / с* раз аналогичной, формируемой машиной с жесткими
опорами.
Можно отметить также случай k y ³1 . Как следует из характера
переходного процесса и (5.4), этот случай отвечает неустойчивому
поведению машины, теоретически неограниченному изменению
глубины хода ее рабочего органа. Этого случая на практике необходимо избегать. Упрощая выражение (6), представим условие k y ³1
в виде, более удобном для его проверки
1/ k =
g B é L-l h+ aù
L
.
£ 0 êg 2
L-l
c ë
l
l úû
(7)
Длительность переходного процесса можно оценить по формуле S n = éëlog k y 0, 05 ùû l , приведенной в (1.2, стр. 11).
у
2.25
2.25
2
) 1.75
1.5
2
3
1.25
)
1
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0
1
2
3
4
5
шаг
Рисунок 2 – Переходные процессы
Учет массы машины и ее демпфирования в обрабатываемой
среде в корне меняет вид переходного процесса. На рис. 2 приведены переходные процессы машины без обратной связи (кривая 1; в
уравнении (3.7) следует положить k y = 0 , что дает решение (3.9) для
разных действительных корней), безинерционной машины (кривая
2) и машины, отклонение технологического параметра «у», которо99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
го описывается уравнением (3.7) - кривая 3 соответственно. Кривой
3 соответствуют следующие значения параметров: n = 8, l = 8, ky =
0.5, t = 1.
На рис. 3 приведены переходные процессы, соответствующие
параметрам, приведенным в таблице 1.
Таблица 1 – Значения параметров
Параметры системы
а
б
в
г
д
е
Коэффициент затухания n
8
8
4
8
6
2
Частота колебаний l
4
8
8
8
12
11
0.5
0.5
0.5
0.8
0.5
0.5
Коэффициент обратной связи ky
По оси ординат отложено нормированное отклонение величины «у», для чего начальное отклонение во всех случаях положено
равным y0 = 1.
Вид переходного процесса определяется соотношением коэффициентов l и n, а также временем запаздывания t. У хорошо задемпфированных машин ( n ³ l , переходный процесс системы без
обратной связи апериодичен, рис. 3б, кривая 1) при большом t переходный процесс слагается и ряда процессов, возникающих вследствие последовательного перекопирования опорой СС 1 «частных»
процессов отклонений глубины обработки.
Формируется он следующим образом. Под воздействием
толчка силы возникает первый этап переходного процесса изменения глубины обработки вследствие деформации упругой опоры СС 1
; точка С ее при этом движется по ровному начальному участку.
Так как время запаздывания достаточно велико, то глубина обработки почти успевает достигнуть нового состояния статического
равновесия. Первый этап процесса имеет экспоненциальный вид,
что видно из уравнения (3.4) и численных значений коэффициентов
l и n. Затем наступает второй этап процесса, вызванный тем, что
точка опоры С начинает копировать первое экспоненциальное изменение глубины обработки. Реакция линейной системы на это кинематическое возбуждение также представляет собой сумму экспонент, но более растянута во времени. Второй этап процесса не ус-
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
певает закончиться, как наступает второе копирование и третий
этап переходного процесса и так далее.
y
2.25
y
2.25
2.25
2
2
а
1.75
1.5
1.5
1
1.25
2.25
1
0.75
2
0.5
0.5
0.25
0.25
0
0
1
2
1
1.25
1
0.75
0
б
1.75
3
4
шаг
5
2
0
0
1
2
3
4
5
шаг
5
2.25
2
г
в
1.75
4
1
1.5
3
1.25
1
1
0.75
2
2
2
0.5
1
0.25
0
0
0
2.5
1
2
3
4
шаг
5
0
0
3
д
1
2
3
4
5
6
7
8
шаг
е
2.5
2
1
1
2
1.5
1.5
1
2
1
0.5
0
2
0.5
0
1
2
3
4
шаг
5
0
0
1
2
3
4
шаг
5
Рисунок 3 – Переходные процессы.
При малом времени запаздывания отклонение глубины обработки достаточно быстро вызывает отклонение точки С опоры, а
следовательно, и новое изменение глубины обработки в том же направлении (кривая 1 на рис. 3а). Так как время запаздывания играет
большую роль в характере переходного процесса, то и скорость
движения машины v = l / t оказывает большое влияние на ее поведение
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В случае выполнения неравенства l > n первый этап переходного процесса имеет колебательный характер (рис. 3д). Дальнейшее
развитие переходного процесса зависит от того, с какой фазой запаздывания y = l 2 - n2 t точка С опоры начнет копировать колебания глубины обработки.
Уменьшение соотношения n / l ведет к увеличению колебательности переходных процессов (рис. 3а, б, в) и может вызвать
расходящийся колебательный процесс (рис. 3е, кривая 1) – своеобразный резонанс. Его причиной является как совпадение частот
собственных колебаний машины и кинематического возбуждения
ее за счет цепи обратной связи, что обеспечивается всегда вследствие копирования точкой С опоры колебаний глубины обработки
самой машины, так и соответствующей фазой запаздывания.
Точность расчета переходных процессов у аналитических методов определяется количеством найденных корней или количеством
рассчитанных шагов, а также точностью вычислений. Варьируя этими
величинами можно добиться нужного качества переходного процесса,
например, устранить его колебательность, обеспечить необходимую
длительность и т. п., и затем по выбранным коэффициентам подобрать
необходимые параметры машины – ее геометрию, жесткость опоры СС
, демпфирование, и т. п.
Вопрос устойчивости рассматриваемых машин рассмотрен в
разделе 2.9.
1
2.8 ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА МАШИН
С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ
ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
Для выяснения вынужденного движения модели машины с
положительной запаздывающей обратной связью, рис.3.1, при гармоническом воздействии f (t ) = a1 sin wt (см. уравнение (3.6)) получим
ее передаточную функцию, положив в (3.6) все начальные условия
и начальный участок равными нулю. Имеем
1
Ф (s) = Y ( s) / F (s) = 2
.
(1)
2
s + 2 ns + l - k y l 2 exp ( - st )
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полагая в (1) s = jw и разделяя действительную и мнимую части, получим действительную U и мнимую V частотные характеристики
2
1 - (w / l ) - k y cos wt
U=
2
ì
2ü
2
l í éê1 - (w / l ) - k y cos wt ùú + éë2 ( n / l )(w / l ) + k y sin wt ùû ý
û
îë
þ
2 ( n / l )(w / l ) + k y sin wt
V =2
2ü
ì
2
l 2 í éê1 - (w / l ) - k y cos wt ùú + éë2 ( n / l )(w / l ) + k y sin wt ùû ý
û
îë
þ
(2)
2
(3)
и выражение амплитудно-фазовой характеристики (а. ф. х.)
Ф ( jw ) = U (w ) + jV (w ) . Амплитудно-частотную (а. ч. х.) и фазочастотную (ф. ч. х.) характеристики найдем по выражениям A = U 2 + V 2 ,
j = arctg (V / U ) . Имеем
А=
где
а2
a2
=
a1
1
l
2
(4)
2
é1 - (w / l )2 - k cos wt ù + é2 ( n / l )(w / l ) + k sin wt ù 2
y
y
ë
û
ëê
ûú
- амплитуда вынужденных колебаний машины.
é 2 ( n / l )(w / l ) + k sin wt ù
y
ú,
j = arctg ê 2
ê 1 - (w / l ) - k y cos wt ú
ë
û
(5)
и выражение а. ф. х. можно записать также в виде
Ф ( jw )= A (w ) exp éë j (w t + j ) ùû .
Величина 1/ l 2 представляет собой смещение у машины без
обратной связи ( k y = 0 ), вызванного постоянной единичной силой f ( t ) = 1 . Разделив А на 1 / l 2 , получим выражение коэффициента динамичности
1
h=
2
é1 - (w / l )2 - k cos wt ù + é2 ( n / l )(w / l ) + k sin wt ù
y
y
ë
û
ëê
ûú
(6)
2
На рис. 1 приведены зависимости h = h (w / l ) и для значений
n / l = 0.2, 0.5, 0.8 (слабо, средне и сильно задемпфированная система,
соответственно кривые 1, 2, 3). Коэффициента обратной связи k y :
для рис. а), г), ж), к), н), р) – 0,2; для рис. б), д), з), л), о), с), - 0,5;
для рис. в), е), и), м), п), т), - 0,8 - соответственно слабая, средняя и
сильная обратная связь. Третья варьируемая величина - фаза кинематического возбуждения со стороны обратной связи по отношению к коле103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
баниям машины (точки D): y = wt = (w / l )y А , где y А = lt - фаза запаздывания кинематического возбуждения при частоте собственных колебаний безинерционной и незадемфированной машины.
Величина y равна: для рис. а), б), в), - 0 рад; г), д), е), - p /3; ж), з),
и), - 2p /3; к), л), м), - p; н), о), п), - 4p /3; р), с), т), - 5p /3. Пунктиром на
рис. 1а показаны зависимости системы без обратной связи (классического линейного осциллятора, ky = 0).
На рис.2 а…т приведены фазочастотные характеристики.
Влияние положительной обратной связи на амплитуду (коэффициент динамичности) и фазу колебаний сводится к следующему. При
частоте w = 0 кривая h = h (w ) начинается в точке h = 1 (1 - k y ) и тем больше, чем ближе значение k y к единице. Это свойство объясняется многократным перекопированием опорой СС 1 изменений положений опорной поверхности, происходящих с частотой w ® 0 . Отсюда следует, что
рассматриваемая машина, имеющая в своей кинематической схеме положительную обратную связь, тем чувствительней к силовым воздействиям, чем меньше частота их протекания и выше коэффициент обратной связи k y . При k y ®1 h ® ¥ , что свидетельствует о неустойчивой
работе машины.
При значениях w / l ® ¥ поведение машины с п. о. с. и без нее примерно одинаково, рис. 1. То есть при силовом воздействии, меняющемся с высокой частотой, амплитуда колебаний рабочего органа и машины в целом мала в силу ее инерции и демпфирующих свойств обрабатываемой среды. Амплитуда колебаний тем меньше, чем выше частота
внешнего силового воздействия, рис.1.
Фазочастотные характеристики начинаются в точке j = 0 и при
значениях w / l ® ¥ стремятся к -p. Все графики проходят через точку p/2.
Поведение коэффициента динамичности в области средних частот
определяется следующими факторами. Приведенная масса, рис.2.4, находится под воздействием как независимой силы Q ( t ) = ma1 sin wt , так и
воздействия со стороны обратной связи вследствие кинематического
возбуждения-смещения по вертикали точки С приведенной пружины.
h
3
а
1
2.5
h
3
г
2.5
2
104
2
1
1.5
2
1.5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h
h
3
ж
2.5
3
к
2.5
1
2
2
1
1.5
1.5
2
2
1
1
3
0.5
0
h
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
0
3
3
0
0.5
1
1.5
h
3
з
2
2.5
3
w/l
w
0
3
6
л
2.5
5
1
2
4
1.5
3
1
1
2
2
0.5
2
1
3
3
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
w
h
0
3
h
6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
w/l
12
и
м
5
10
1
4
8
3
6
2
4
1
2
1
2
2
3
3
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
3
ж. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 2p/3
з. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 2p/3
и. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 2p/3
0
0
0.5
1
1.5
w
2
2.5
w/l
3
к. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = p
л. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = p
м. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = p
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h
h
6
6
н
р
5
5
4
4
1
1
3
3
2
2
2
2
1
1
3
0
0
0.5
3
1
1.5
2.5
w/l
w
0
h
2
12
0
3
0
0.5
1
8
8
1
6
4
4
2
2
2
3
1
1.5
2
2.5
w/l
w
h
3
1
6
0.5
w/l
с
10
0
2.5
h 12
о
2
2
3
10
0
1.5
6
0
3
h
п
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
3
10
т
5
8
1
4
6
1
3
2
4
2
2
2
1
3
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
3
н. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 4p/3
о. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 4p/3
п. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 4p/3
0
3
0
0.5
1
2
2.5
w/l
3
р. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 5p/3
с. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 5p/3
т. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 5p/3
Рисунок 1 – Графики коэффициентов динамичности.
106
1.5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
j
j
0
а
1
1
3
p
2
p
2
3
4
j
1
-p
3
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
2
-p
-p 3
1.5
2
2.5
w/l
w
j
j
-p
3
p
2
3
-p
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
3
е
2
2
0
0
0
1
3
4
3
д
1
1
p
2
3
2
в
2
w/l
2
3
3
0
1
2.5
0
4
1
2
w
1
p
2
0.5
1.5
1
2
0
1
0
3
p
2
0.5
б
1
1
0
3
j
0
4
3
2
2
-p
г
2
2
1
0
2.5
w/l
а. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 0
б. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 0
в. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 0
3
3
2
3
4
0
0.5
1
1.5
2
w/l
2.5
3
г. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = p/3
д. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = p/3
е. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = p/3
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
j
0
1
1
3
-p
2
j
ж
0
3
-p
2
2
3
3
-p
-p
j
2
1
2
2
4
k
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
0
4
3
j
з
1
1
2
2
2.5
w/l
3
2.5
w/l
3
л
2
3
2
3
3
-p
0
0.5
1
1.5
2
0
2.5
w/l
4
3
j
и
0
0.5
1
1.5
2
0
м
1
2
2
1
1
1
-p
2
3
3
-p
2
2
2
3
3
1
3
3
-p
4
1.5
1
-p
j
1
0
-p
2
2
4
0.5
1
3
-p
2
0
-p
0
0.5
1
1.5
w
2
2.5
w/l
3
ж. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 2p/3
з. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 2p/3
и. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 2p/3
108
4
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
к. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = p
л. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = p
м. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = p
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
j
0
j
н
1
1
2
3
-p
2
0
1
2
3
3
-p
-p
4
j
0
0.5
1
1.5
2
0
2.5
w/l
4
3
j
о
1
0
0.5
2
2.5
w/l
3
с
2
3
1
-p
2
2
2
3
3
1
1
3
3
-p
j
1.5
1
3
-p
2
1
0
2
1
4
2
3
-p
2
2
р
1
-p
0
0.5
1
1.5
2
0
2.5
w/l
0
0.5
j
2
2.5
w/l
3
т
1
3
-p
2
1.5
0
2
1
1
w
п
1
4
3
2
3
1
-p
2
2
2
3
1
3
3
-p
4
3
1
-p
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
3
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
w/l
н. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 4p/3
р. ky = 0.2 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 5p/3
о. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 4p/3
с. ky = 0.5 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 5p/3
п. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 4p/3
т. ky = 0.8 n/l = 0.2; 0.5; 0.8 y = 5p/3
3
Рисунок 2 – Графики фазочастотных характеристик
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При установившихся колебаниях приведенной массы и «рабочего органа» D это воздействие также носит гармонический характер:
pc ( t ) = c *k y y ( t - t ) = c *k y a2 sin (wt + j - wt ) ,
где а2 - амплитуда колебаний приведенной массы, определяемая по выражению (4); k y a2 - амплитуда колебаний «рабочего органа» D на рис. 3.1 ;
j - смещение по фазе колебаний приведенной массы по отношению к возмущающей силе Q ( t ) , определяемое по выражению (5);
y = wt - величина запаздывания по фазе колебаний точки С приведенной пружины по отношению к точке D «рабочего органа».
h
8
h
а
7
9
б
8
7
6
5
5
1
6
1
6
5
4
4
2
4
3
3
2
2
2
1
0
5
3
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
w
l
0
4
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
w
l
Рисунок 3 – Влияние коэффициента обратной связи ky и фазы запаздывания y на
коэффициент динамичности h.
Таким образом, силовое воздействие pc (t ) по отношению к
воздействию p(t ) смещено по фазе на величину j - y , и в зависимости от величины последней может либо усиливать силу Q ( t ) , либо
ослаблять ее. На рис.3 показано влияние коэффициента обратной
связи ky (рис.3а, ky = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, кривые 1 …5 соответственно при n/l = 0.1, y = 0.5 рад) и фазы запаздывания y (рис.3б, y = 0,
p/4, p/2, 3p/4, p, 5p/4, кривые 1 .. 6 соответственно при n / l = 0.1 и
ky = 0.5) на протекание кривой коэффициента динамичности h.
Видно значительное разнообразие кривых коэффициента динамичности.
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если суммарное отклонение по фазе j - y близко или равно m12p , m1 = 0, 1, 2, 3, ... , то это ведет к усилению суммарного силового
воздействия и соответственно увеличению амплитуды колебаний
приведенной массы а2 . Наоборот, при j -y » - (2m1 +1) p воздействие
со стороны обратной связи pc ( t ) ослабляет внешнее воздействие
Q ( t ) , что ведет к уменьшению амплитуды колебаний а2 . Усиление
или ослабление внешнего воздействия со стороны обратной связи
зависит также и от коэффициента обратной связи k y . Если ослабление или усиление внешнего воздействия происходит на резонансных частотах, то это приводит к уменьшению резонансного пика
(рис. 1г, ж в сравнении с а) и даже полному его исчезновению
(рис.1д в сравнении с б), либо наоборот, к существенному его увеличению (рис. 1н, р в сравнении с а), а при определенных условиях
– к неограниченному его росту (возникновению колебательной неустойчивости).
На рис. 4 приведены примеры изменения коэффициента динамичности в зависимости от фазы y при w / l = const , рассчитанные по
выражению (6) при значениях ky = 0,5, w / l =1 и n / l = 0, 2; 0, 5; 0, 8 (кривые 1, 2, 3 соответственно).
h 12
Так как угол y = wt входит
10
p
3× p
под знаком cos и sin, то
2
2
8
приведенные зависимости
6
имеют периодический ха4
рактер с периодом 2p.
2
Для определения экстремальных значений зави0
0
2.09
4.19
6.28
8.38
10.47 12.57 y
симости h = h (y ) исследуем
Рисунок 4 – Зависимость коэффициента диподкоренное выражение в
намичности h от фазы запаздывания y
(6) на экстремум:
2
dh / dy = é1 - (w / l ) ù k y siny + 2 ( n / l )(w / l ) k y cosy = 0 .
úû
ëê
Откуда значения y, отвечающие экстремальным значениям h,
определятся из выражения
é 2 ( n / l )(w / l ) ù
ú.
(7)
tgy = ê êë 1 - (w / l ) 2 úû
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для случая w / l = 1 , приведенного на рис.2, фаза запаздывания
y = ( 2 m1 +1) (p / 2 ) m1 = 0, 1, 2,... . Исходя из выражения (7), найдем
-2 ( n / l )(w / l )
siny =
,
2
é1 - (w / l )2 ù + é2 ( n / l )(w / l ) ù 2
ë
û
ëê
ûú
1 - (w / l )
2
cosy =
.
2 ù2
é1 - (w / l )
êë
úû + éë2 ( n / l )(w / l ) ùû
2
Подставляя эти функции в (6), получим зависимость для расчета (первых после w / l = 0 ) экстремальных значений функции
h (w / l ) :
h ext =
1
2
k y ± éê1 - (w / l ) ùú + éë2 ( n / l )(w / l ) ùû
ë
û
Знак плюс отвечает
w / l = 1,
.
2
h min ,
показанного на рис. 2,
а минус h ext =
(8)
2
h max .
Для частного случая
1
. Из (8) в частности
ky ± 2(n / l )
вытекает, что если коэффициент обратной связи стремится к значению:
2
2
2
k y ® éê1 - (w / l ) ùú + éë2 ( n / l )(w / l ) ùû
ë
û
, то
h max ® ¥
несмотря на демп-
фирование машины (наличие коэффициента затухания n > 0 ). Таким
образом, подбором времени t и фазы y, а также коэффициента усиления k y можно обеспечить как уменьшение амплитуды колебаний
машины, так и увеличение их.
Влияние коэффициента n или отношения n / l на протекание
амплитудно-частотной характеристики такое же, как и для машины
без обратной связи. Его увеличение ведет к уменьшению амплитуд
колебаний, резонансного пика, и его исчезновению (рис.1б, г).
Положим в (6) n / l = 0 . Тогда (формула (9))
h0 =
1
2
é æ w ö2
ù
2
ê1 - ç ÷ - k y cos wt ú + ëé k y sin wt ûù
êë è l ø
úû
=
1
2
é æ w ö2 ù
é æ w ö2 ù
ê1 - ç ÷ ú - 2 k y ê1 - ç ÷ ú cos wt + k 2y
êë è l ø úû
êë è l ø úû
Из выражения (9) следует, что при w = l h n / l =0 = 1 / k y в отличие
от системы без обратной связи, у которой резонанс имеет месть при
w =l.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найдем резонансные частоты, приравняв нулю выражения в
квадратных скобках:
ìïk y sin wt = 0,
í
2
ïî1 - (w / l ) k y sin wt = 0.
(10)
Из первого выражения следует
y = wt = m1p , m1 = 0,1, 2,... .
h
(11)
5
1
4
2
3
1
2
1
1
2
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
w
0
w/l
3
Рисунок 5 – Зависимость коэффициента динамичности h от относительной
частоты w/l при коэффициенте затухания n = 0.
При этом во втором выражении
cosy = ±1 ,
откуда
w1 = l 1 - k y , w 2 = l 1 + k y .
(12)
Значения w1 отвечают m1 - четным, а w 2 - нечетным.
Рассчитаем значение фазы j, отвечающее резонансным значениям частоты.
Подставляя значения y из (11) и w из (12) в (5), получим неопределенность j = arctg ( 0 / 0 ) . Раскрывая по правилу Лопиталя, получим (дифференцирование по y):
lim tgj =
y ®0
-k y cos wt
-2 (1 / lt ) w t + k y sin wt
2
.
(13)
Для значения y = 0 j 0 = mp / 2, ( m1 = 0 ) .
Для значений y = (2 m1 -1)p , m1 = 0, 1, 2, 3,...
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для значений
é k ( lt ) 2 ù
y
ú.
j 1 = arctg ê ê 4 m1p ú
ë
û
y = 2 m1p , m1 = 0, 1, 2, 3,...
é k ( lt ) 2 ù
y
ú.
j 2 = arctg ê 4 m1p ú
ê
ë
û
(14)
(15)
При n / l ¹ 0 резонансные пики имеют конечное значение, показанное на рис. 5. Однако и при значениях n / l ¹ 0 может наблюдаться неограниченный рост амплитуды колебаний (см. раздел 5).
Наряду с пиками амплитудно-частотной характеристики, обусловленной резонансом, раскачкой колебательной системы, могут
наблюдаться пики, обусловленные периодическим усилением и ослаблением внешнего воздействия воздействием со стороны обратной связи. Для пояснения этого явления положим в дифференциальном уравнении (3.3) m = b = 0 , лишив тем самым систему инерционных и демпфирующих свойств. При этом (3.3) перейдет в следующее:
1
y (t ) - k y y (t - t ) = * Q (t ) .
(16)
c
Это уравнение совпадает с (1.1.4). Отсюда по аналогии с
(1.3.4) и (1.3.5) запишем выражения коэффициента динамичности и
фазочастотной характеристики:
h=
1
1 - 2 k y cos wt + k 2y
,
(17)
é k y sin wt ù
j = arctg ê ú.
êë 1 - k y cos wt úû
18)
Так как частота свободных колебаний l = c* m , и при m ® 0
l ® ¥ , то область определения 0 < w < ¥ ( 0 < w / l < 1) является дорезонансной. Из выражения (17) и вида а. ф. х. следует, что при изменении частоты вынуждающей силы w от 0 до ¥ коэффициент динамичности h меняется периодически в промежутке между
h max =
Значения
114
и h min =
отвечают
hmax
=
y wt
= 2 m1p , m
=
1 0, 1, 2, 3,...,
1
1- k y
а при
h min
1
1+ ky
фазе
запаздывания
y = ( 2 m1 + 1)p . Из (18) следует, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фаза j = 0 при y = m1p . Значит для значений h max эти воздействия
смещены на p. При резонансе у фазочастотных характеристик наблюдается опрокидывание фазы на p (рис.2 м, о, п, с, т). Исходя из
сказанного при неравных нулю, но достаточно малых значениях m
и b следует ожидать появление пиков а. ч. х., обусловленных периодическим усилением внешнего воздействия воздействием со
стороны обратной связи.
Исследование кривой динамичности предполагает определение значений w /l, при которых наблюдается резонансный пик, а
также максимальные и минимальные значения коэффициента динамичности, точек их перегиба и значений h в этих точках. Для
этих целей целесообразно применение ЭВМ, что позволяет получить как значения последнего, так и его экстремальные значения и
соответствующие им значения корней.
Для определения значений w /l, при котором наблюдается
бесконечно большой резонансный пик, следует определить корень
подкоренного выражения а.ч.х.
Найдем, для примера, значение w/l, отвечающее бесконечно
большому значению hрез кривой 1 на рис.5 (см. рис.6, ky = 0.8, n /l =
0, l = 14.05, t = 1, y = lt = 14.05 рад.). Расчет проведем в программе MathCAD.
h
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
w/l
w
Рисунок 6 – Резонансная амплитудно – частотная характеристика.
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначив подкоренное выражение как
( )
( )
é
B w l = ê1 - w l
ë
2
(
)
2
2
ù
- k y cos w l × l × t ú + éë2 × n l × w l ùû
û
(19)
где wl = w / l, nl = n / l, найдем корень выражения (19) оператором root:
wl = root ( B(wl ), wl )
Имеем wl = 0.447, а B(wl) = 5.625×10-10. Для построения графиков зададим диапазон изменения w в виде ранжированной переменной w i = 0.00001× i × l, где i = 0, 1 .. 30000, и запишем подкоренное выражение также в виде ранжированной переменной
2
é
æw ö
B i = ê 1 - ç i ÷ - k y c o s (w i × t
è l ø
êë
ù
)ú
úû
2
é æ n wi ö
ù
+ ê2 ç
×
÷ + k y s i n (w i × t ) ú
ë è l l ø
û
2
(20)
Расчет экстремальных точек может быть выполнен методами,
изложенными в программе MathCAD. Выделив по графику h = h(w
/ l) область локализации соответствующего экстремума, можно затем воспользоваться оператором Maximize или Minimize, либо вычислительным блоком Given – Maximize (Minimize). Так как экстремальным точкам а.ч.х. соответствуют корни производной от
подкоренного выражения (19) – B1(w l ) = d B dwl , то целесообразно
также определять значения hext через определение корней функции
B1(w l ) при помощи оператора root, либо вычислительным блоком
Given – Find.
h
5
4
3
2
1
0
0
0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05 1.2 1.35 1.5 1.65 1.8 1.95 2.1 2.25 2.4 2.55 2.7 2.85 3
w
Рисунок 9 – Кривая коэффициента
динамичности.
116
w
l
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приведем пример. Пусть дана амплитудно – частотная характеристика (коэффициент динамичности) (6), параметры которой
равны: l = 1 рад /сек, n = 0.1 рад /сек, ky = 0.5, t = 12 сек, y = lt =
12 рад, и график которой приведен на рис.9.
B1(wl) 5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
w
l
3
w
Рисунок 10 – График зависимости B1(wl)
Функция подкоренного выражения
2
2
2
B (w l ) = éê1 - (w l ) - k y × cos (w l ×y ) ùú + éë2 × ( nl × w l ) + k y sin (w l ×y ) ùû ,
ë
û
а производная
B1(w l ) = 2 × (1 - w 2wl - k y × cos (w l ×y ) ) × ( -2 × w l + k y × sin (w l ×y ) ) +
(
)(
)
2 × nl × w l + k y × sin (w l ×y ) × 2 × nl + k y × cos (w l ×y ) ×y ,
(21)
которая после подстановки значений параметров примет вид
B1(w l ) = 2 × w l3 - 1.96 × w l + ( 6.10 - 6.00 × w l2 ) × sin (12 × w l ) + 2.20 × cos (12 × w l ) . 21а)
График зависимости (21а) показан на рис.10.
Задавая примерное значение первого корня wl = 0,25 и применяя оператор root(B1(wl),wl), получим значение корня w1l = 0.247,
по которому вычислим первый максимум коэффициента динамичности: h(w1l) = 0.696. Таким же образом вычисляются и другие
экстремальные значения коэффициента динамичности.
Данная методика имеет тот недостаток, что зависимости h(wl)
для рассматриваемой системы с запаздывающей обратной связью
имеют много экстремальных точек (см. рис 9) и соответственно
много значений корней функции B1(wl) (см. рис. 10), которых в
данном случае имеется 13, что приводит к излишним затратам времени.
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В монографии Д. Кирьянова [29] (стр. 171-172) изложен метод
сканирования, позволяющий рассчитать все корни функции B1(wl),
представив решение в виде таблицы, содержащей значения корней.
Вместе с тем этот метод приводит к тому, что при малом шаге сканирования один и тот же корень может быть подсчитан не один раз,
что отражается в таблице. При большом шаге сканирования есть
опасность пропустить какие-либо корни. Подсчет каждого корня
только один раз возможен, если удастся так выбрать шаг сканирования, что на этом шаге обеспечивается локализация лишь одного
корня (см. например, [30] стр. 163-164). Но для кривых коэффициентов динамичности этот метод во многих случаях неприменим изза «неупорядоченного» расположения корней.
Изложим дальнейшее усовершенствование метода сканирования.
Введем ранжированные переменные i : = 0,1 .. 30, wi : = 0.1×i,
и запишем функцию B1(wl) также в виде ранжированной переменной B1i = 2 × (0.1× i )3 -1.96 × 0.1× i + 6.10 - 6.00 × (0.1× i )2 × sin (12 × 0.1× i ) + 2.20 × cos (12 × 0.1 × i ) .
)
(
(22)
По выражению (22) подсчитаем значения корней (выражение
(23))
(
(
zi = root 2 × (0.1× i )3 - 1.96 × 0.1× i + 6.10 - 6.00 × ( 0.1× i )
2
) × sin (12 × 0.1× i ) + 2.20 × cos (12 × 0.1× i ) , i ).
Результаты расчета приведены в таблице z, а значения корней – в
таблице Z = 0.1×z. Видно, что при выбранном шаге сканирования
один и тот же корень входит в таблицу не один раз. (Для просмотра
всех значений корней необходимо, находясь в программе
MathCAD, щелкнуть на таблице и воспользоваться прокруткой).
Для дальнейшего расположим корни в порядке возрастания, воспользовавшись операцией sort: Z1 : = sort(Z). Для устранения дублирования корней воспользуемся следующей программой:
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ORIGIN : = 1
z=
0
0.000000
0
P (x) :=
n¬ 1
7.169986·10 -8
0
0
0
0
2.473301
1
7.17·10 -9
1
7.17·10 -9
2.473285
2
0.247
2
0.247
7.272119
3
0.247
3
0.247
5.162728
4
0.727
4
0.516
continue if xi
5.162810
5
0.516
5
0.516
7.271975
6
0.516
0.727
n¬n+ 1
7.272128
Z= 7
6
0.727
Z1 = 7
0.727
9.488981
8
0.727
8
0.727
9.488997
9
0.949
9
0.949
11.474630
10
0.949
10
0.949
11.474514
11
1.147
11
1.147
13.244100
12
1.147
12
1.147
13.244189
13
1.324
13
1.147
11.474839
14
1.324
14
1.324
15
1.324
15
1.147
k
for iÎ 2 .. rows( x)
xi ¬ round( xi , 3)
zn ¬ xi
1
Вычислив
P(Z1),
получим таблицу, не содержащую дублирования корней, исходя из которой определяем
значения экстремальных точек коэффициента
динамичности (w : = P(Z1), hi : = h(wi); для
удобства расположения таблица h(w) транспонирована).
T
1
h =
1
2
2 0.696
3
4
5
4.119
1.027
3.481
6
7
1.17
3.18
xi-1
1
0
2
0.247
3
0.516
4
0.727
5
0.949
6
1.147
7
1.324
8
1.646
9
1.804
10
2.179
11
2.301
12
2.725
13
2.794
P( Z1) =
8
9
10
11
0.466
0.538
0.244
0.252
12
0.15
13
0.151
Аналогичным образом рассчитывают значения wl точек перегиба, для чего вычисляют вторую производную от B¢¢ (wl) или первую производную от B1(wl): B2(wl) = d B1(wl) / dwl, по которой и
рассчитывают значения корней для точек перегиба. Ранжированная
функция B2(wl) имеет вид:
(
B2i := rootéë -1.96 + 75.40 ×cos (1.2 ×i) + 6. ×10
)
×i - 3.840 ×i×sin( 1.2 ×i) - .720 ×i ×cos ( 1.2 ×i) , iùû
-2 2
2
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5
5
4
hj
3
h2 k
( )
h1 w l
2
1
0
0
0
0
0.5
1
1.5
2
W j , W2 k , w l
2.5
3
3.5
3.5
Рисунок 11 – Кривая коэффициента динамичности с нанесенными
на нее экстремальными точками и точками перегибов.
После указанных выше процедур расположения корней в порядке возрастания и устранения их дублирования по приведенной
выше программе получаем таблицу корней, отвечающих точкам
перегиба, по которым и вычисляем значения hпер. На рис.11 приведена кривая коэффициента динамичности с нанесенными на нее
точками максимумов, минимумов и точек перегиба (ромбики).
2.9 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МАШИН
С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ ОБРАТНЫМИ
СВЯЗЯМИ
Из рассмотренных переходных процессов и амплитудночастотных характеристик следует, что при определенных значениях
параметров рассматриваемой модели машины (коэффициентах
уравнения (2.11)) ее проведение может быть неустойчивым: глубина обработки монотонно или колебательно стремится теоретически
возрастать до бесконечно большой величины. Причиной такого поведения машины в сравнении с машиной без обратной связи является наличие в ее кинематической цепи положительной запаздывающей обратной связи. При расчете подобных машин проверка
устойчивости их движения должна являться первым шагом.
Для проверки устойчивости систем с запаздывающими обратными связями Цыпкиным Я.З. предложен критерий, являющийся
аналогом критерия Найквиста [21, 22]. Исходя из передаточных
функций (2.15), (2.16), а также структурной схемы машины, рис.
3.2, найдем передаточную функцию разомкнутого контура
W p ( s ) = -W ( s ) k y exp ( - st ) ,
(1)
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где передаточная функция W (s ) (см.2.17) благодаря положительности всех ее коэффициентов имеет два полюса, лежащие слева
от мнимой оси на плоскости корней характеристического уравнения
T22 s + T1 s + 1 = 0 .
(2)
В этой связи амплитудно-фазовая характеристика W ( jw ) может быть двух видов, рис.1, отвечающих либо апериодическому
звену (при действительных корнях уравнения (2), кривая 1), либо
колебательному (при комплексноV
сопряженных корнях, кривая 2).
w=¥
w=0
Для апериодического звена макси0
1
U
мальное значение вектора W ( jw )
O
r
1
равно единице при частоте w = 0 , а
r
для колебательного – некоторому
2
значению, отвечающего резонансРисунок 1 – Амплитудно-фазовые
ной частоте w p .
характеристики линейного осциллятора с
п.з.о.с.
Исходя из передаточной
функции (1), запишем выражение
амплитудно-фазовой характеристики разомкнутого контура в виде
W p ( jw ) = k yW0 (w ) exp éë - j (wt + q + p ) ùû ,
(3)
где W ( jw ) = W0 exp ( - jq (w ) ) , а exp ( - jp ) = -1 . В свою очередь амплитудно-частотная W0 (w ) и фазо-частотная q(w) характеристики равны
(см. 3.17):
1
,
(4)
W0 (w ) =
2
(1 - T w )
2
2
2
+ T12w 2
é Tw ù
1
ú.
q (w ) = arctg ê
ê1 - T 2w 2 ú
2
ë
û
(5)
Формула (5) записана для абсолютного значения фазы колебаний q, а знак минус учтен в формуле (3).
Из передаточных функций (3) и (4) следует, что амплитуднофазовая характеристика W p ( jw ) начинается при w = 0 в точке
W p ( 0 ) =-k y , расположенной на отрицательной оси абсцисс, рис. 2а.
Если звено W ( s ) - апериодическое, то максимальное значение
вектора W p ( jw ) = U p (w ) + jV p (w ) равно k y и отвечает частоте w = 0 , рис.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2а. Отсюда следует, что если корни характеристического уравнения
(2) – действительные, что имеет место при условии
T1 ³ 2 T2 ,
(6)
то критерием устойчивости будет являться неравенство
k y £1 .
(7)
Этот случай показан на рис. 2б. Этот же вывод вытекал и из
рассмотрения переходных процессов. Сами условия (6) являются
условиями монотонности переходных процессов как в случае машины (системы) без обратной связи, так и в рассматриваемом случае.
Если же корни уравнения (2) –
V
комплексно-сопряженные, то услоwi
w=0
yi
вие (7) еще не гарантирует устойчи-1
qi
U
вости системы с положительной за- ky
O w=¥
паздывающей обратной связью поa
казан на рис. 2в.
V
w=0
w
Таким образом, критерий ус-1
U
тойчивости формулируется в том же
-ky
q +wt
виде, что и в случае систем с обратными связями, но без запаздывания:
б
если
годограф
амплитудноw”
V
частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает
q + wt
d2
U
точку (-1, 0), то система устойчи-1
-ky
ва, в противном случае – неустойd1
r
w
чива. При использовании критерия
w’
в
целесообразно вначале проверить
Рисунок 2 – Амплитудно – фазовые
действительность корней по услохарактеристики.
виям (6) и в случае их выполнения –
устойчивость по частотному критерию (7). При невыполнении условий (6) (комплексно-сопряженных корнях) следует перейти к построению годографа а. ф. х. разомкнутой системы W p , либо проверке условия устойчивости по выражения (3). Полагая фазу
wt + q = ( 2 m + 1) p , m = 0, 1, 2, ..., получим уравнение
wt = ( 2 m + 1) p - arctg
122
T1w
1 - T22w 2
.
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построив линии, описываемые правой и левой частями уравнения (8), найдем по точкам их пересечений значения частот, отвечающих общей фазе запаздывания в j = -p . Подставляя эти значения частот в выражение амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы
A p = k y W0 ( w ) ,
(9)
A p <1.
(10)
Количество частот w j = -p рассчитывают либо до частоты, доставляющей неустойчивость системе, либо до частоты, после которой следует систематическое убывание значения А р .
Построение годографа амплитудно-фазовой характеристики
разомкнутой системы (3) следующее. Строят годограф системы без
обратной связи k y W ( jw ) . Затем для каждой частоты вычисляют фазу
запаздывания y i = w i t , и соответствующую точку смещают по дуге
окружности на этот угол, рис. 2а.
Предположим, что имеется неустойчивая система, годограф
которой приведен на рис. 2в. Встает вопрос, как выбрать запаздывание t k , чтобы обеспечить устойчивость системы. Для этого проведем окружность единичного радиуса и получим две точки ее пересечения с годографом -w ¢k и w ¢¢k , что следует из передаточной
функции (1) (частотная характеристика W ( jw ) имеет одну область
резонанса). Поэтому все векторы а. ф. х. для частот w ¢ > w > w ¢¢ имеют
модули, меньше единицы. Отсюда следует, что если уменьшить фазу запаздывания на величину, большую d, рис. 2в, то годограф системы не охватит точку (-1, 0). Для этого необходимо выполнение
условия q + wt < 2p m - d 1, m = 1, 2, ... , или
(11)
t < ( 2p m - d 1 - q ) w k .
Определение устойчивости системы (машины) путем построения годографа ее
а. ф. х. имеет тот недостаток, что его надо
строить каждый раз для новых значений параметров. От этого недостатка свободен метод D – разбиения [23], позволяющий определить область одного или двух параметров, обеспечивающих устойчивое поведение системы.
Выполним D – разбиение по параметрам – коэффициент обратной связи k y и фаза запаздывания y = wt , для чего применим
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
критерий
Михайлова к характеристическому уравнению
s2 + 2 ns + l 2 - l 2 k y exp ( -st=
) 0 . Делая замену s = jw , разделяя действительную и мнимую части, приходим к системе уравнений:
2
X ( k yy ) = 1 - (w / l ) - k y cosy = 0,
(
(12)
)
Y k yy = 2 ( n / l )(w / l ) + k y sin y = 0.
Из (12) находим значения k y и y:
Уравнения (13) определяют в параметрическом виде колебательную границу области неустойчивости. Задавая значение w при
известных параметрах n, l и t, строим зависимости k y = k y (y ) . Они
приведены на рис. 3 для значений m1 = 0, n /l = 0.1, 0.2, … 0.7.
Для определения области устойчивости находим якобиан
¶X
¶y
¶X
¶k y
¶Y
¶y
¶Y
¶k y
=
k y sin y - cosy
k y cosy - sin y
= ky > 0 .
Так как определитель положителен для интервала - ¥ < w < ¥ ,
то области неустойчивости вырождаются в линии неустойчивости,
(рис.3). Если при значениях параметров k y и y соответствующая
точка не лежит на линии, отвечающей данному значению n / l , то
система устойчива. При n / l = 0 линия неустойчивости состоит из
отрезков прямых y = 0, y = -p и k y = 0 .
Второе уравнение системы (12) имеет также корень w = 0 , при
m1 = 0 , откуда из первого уравнения следует k y = 1 . Из анализа переходных процессов было видно, что последние неустойчивы при
k y ³1 . Поэтому на графике D – разбиения следует ограничить область допускаемых параметров зоной, расположенной ниже линии
k y = 1 . Кривые D – разбиения имеют общую точку соприкосновения
y = 0 (w = 0 ) , k y =1 и общую асимптоту: при k y ® ¥ параметр w / l ® ± ¥ ,
а y ® -p . Значения w / l , отвечающие заданным параметрам k y и n / l ,
найдем из первого выражения (13) (для k y ).
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Возводя обе части выражения в квадрат, получаем биквадратное уравнение
(w / l ) 4 - 2 éêë1 - 2 ( n / l ) 2 ùúû (w / l ) 2 +1 - k y2 = 0 ,
откуда
2
é
æw ö
ænö ù
1
2
=
ê
ç ÷
ç ÷ ú±
è l ø1и2
è l ø úû
êë
2
2
é
ænö ù
2
1
2
ê
ç ÷ ú - 1- k y
è l ø úû
êë
(
).
(14)
Перед внешним корнем следует брать знак «плюс», так как
относительная частота изменяется в пределах 0 £ w l £ ¥ .
Проанализируем формулу (14). При 0 £ k y < 1 выражение под
внутренним корнем может быть меньше или больше нуля, или же
равно нулю. Приравняв это выражение нулю, построим зависимость k y = k y ( n l ) , которая описывается формулой
2
n
ænö
ky = 2
1- ç ÷
l
èlø
(15)
Эта зависимость приведена на рис.4. Области А и Г над кривой соответствуют выражению под внутренним корнем в (14) больше нуля, а для областей Б и Д (под кривой) – меньше нуля.
Рассмотрим формулу (14) при значении ( n l ) = 1 2 = 0, 707 . При
этом из (14) следует, что выражения в квадратных скобках равны
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нулю, а выражение под внутренним корнем отрицательно. Это значит, что не существует действительных корней (w/l)1 и 2 , при которых амплитуда колебаний точки С1 стремится неограниченно возрастать, то есть колебательная система устойчива.
При ( n l ) > 1 2 = 0, 707 подкоренное выражение под внутренним
корнем может быть меньше нуля (область В), равно нулю (отрезок
кривой, правее линии ( n l ) = 0, 707 ) и больше нуля (область Г ). Во
всех этих случаях не существует действительных корней (w / l) и,
следовательно, система устойчива. В первом случае вследствие отрицательного подкоренного выражения под внутренним корнем, во
втором – под внешним корнем. В третьем случае (область Г) внутренний корень по абсолютной величине меньше éëê1 - 2 ( n / l )2 ùûú , и выражение под внешним корнем отрицательно.
Рассмотрим формулу (14) при условии n / l <1 2 . Здесь можно
выделить три случая.
Корни (w / l )1и2 - действительные различные, что имеет место
при
2
(
)
é2 ( n / l )2 -1ù - 1 - k 2 > 0 ,
y
ëê
ûú
или (область А)
ky > 2
n
2
1- ( n / l )
l
.
Двум значениям корней отвечает две фазы запаздывания y 1 и 2 .
Так, на графике D – разбиения (рис.13) прямая k y = 0, 4 пересекает
линию n / l = 0,1 в двух точках А и В, отвечающих значениям (w / l ) =
0,80 и 1,15, и соответственно y 1 и 2 = -0, 42 и - 2, 52 рад.
Имеется один корень
2
w / l = 1- 2 ( n / l ) ,
(16)
что имеет место в случае, если выражение под внутренним
корнем в (13) равно нулю. При этом
2
ky = 2 (n / l ) 1- ( n / l )
(17)
и является минимально возможным значением для данной
кривой n / l , рис. 3. При этом зависимость (17) описывает отрезок
кривой на рис.4, который расположен слева от линии n /l = 0.707.
Так, прямая k y = 0, 2 касается кривой n / l = 0,1 в одной точке С, рис.4.
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для данного случая корень w / l = 0.99 и имеется одна фаза запаздывания и один резонансный пик амплитудно-частотной, принимающий бесконечно большое значение. Величина фазы yс определится
из зависимости второй зависимости (13) при подстановке в нее
корня (16):
2
é
ù
(18)
y с = arctg ê - 1 - 2 ( n / l ) ( n / l ) ú .
ë
û
1
ky
Г
0.8
0.707
А
0.6
Б
В
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n/l
Рисунок 4 – Области (не)устойчивости
При
n / l = 0,1
имеем y с = -1, 47 рад .
Если же k y < 2 ( n / l ) 1 - ( n / l )2 , выражение под внутренним корнем отрицательно (область Б), а значит отсутствует значение w / l ,
при котором наблюдается бесконечно большая величина амплитуды колебаний (резонансный пик). Это не исключает, однако, пиков
амплитудно-частотной характеристики конечной высоты, для выявления которых необходимо исследовать амплитудно-частотную
характеристику (8.4) на максимум.
2.10 СЛУЧАЙ МАЛОГО ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Для некоторых почвообрабатывающих машин время запаздывания t весьма мало. Так, полевые доски плугов, скользящие по
стенкам борозд, образуемым полевыми обрезами корпусов, примыкают почти вплотную к последним. В этой связи дифференциально
– разностное уравнение
&&
(3.6)
y ( t ) + 2 n y& ( t ) + l 2 éë y ( t ) - k y y ( t - t ) ùû = f ( t )
можно свести к обыкновенному дифференциальному, разложив запаздывающую функцию y(t - t ) в ряд Тейлора:
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
y ( t - t ) = y ( t ) - t × y& (t ) + t 2 / 2 &&
y ( t ) - ... + Rm ( t ) ,
(1)
где остаточный член
m+1 m+1 m+1
y
-1)
t
(
( t - q t ) , 0 < q < 1.
Rm =
(2)
( m + 1)!
Ограничившись конечным числом членов разложения (1),
вместо исходного дифференциального уравнения (3.6) получим
приближенное уравнение.
Встает вопрос, сколько членов степенного ряда (1) необходимо взять и каковы дополнительные условия того, чтобы решение
приближенного дифференциального
уравнения было достаточно близким к решению исходного
уравнения (3.6)? Этот вопрос исследован Л.Э. Эльсгольцем в [24].
Определено, что удовлетворительные приближения получаются
лишь при m £ n , где n – порядок исходного дифференциального
уравнения. При этом для пренебрежения остаточным членом (2)
необходимо также, чтобы функция y m+1 ( t - qt ) была бы не очень велика по модулю. Если ограничиться в (1) двумя членами ряда
y ( t - t ) » y ( t ) - t y& ( t ) ,
(3)
то остаточный член примет вид R m = (t 2 / 2 ) &&y ( t - qt ) и, следовательно, требуется, чтобы вторая производная &&y ( t - qt ) была бы ограничена по модулю. Это выполняется по крайней мере для апериодических переходных процессов при условии, если начальный участок стыкуется с первым гладко. Этого всегда можно добиться выбором начальных условий и вида начального участка (в последующих точках соединения участков гладкость возрастает). Из анализа
решения уравнения (3.11) по шагам вытекает, что для апериодических переходных процессов величины первой и второй производных в соответствующих точках с каждым последующим шагом
уменьшаются. Максимальные значения первой и второй производной достигаются на первом шаге. В этой связи оценим модуль второй производной на первом шаге.
Реакция машины на первом шаге имеет вид
y1(t ) = A1,0 exp(s1t ) + B1,0 exp( s 2 t ) + q l 2 .
где
s1и2 = -n ± n 2 - l 2
вается случай
128
n > l,
,
A1,0 =
-s 2
(
l 2 s 2 - s1
y ( 0 ) = y& ( 0 ) = 0 ).
)
,
B1,0 =
(
s1
l 2 s 2 - s1
)
(рассматри-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вторая производная соответственно равна
&&
(4)
y ( t ) = A1,0 s12 exp ( s1t ) + B1,0 s 22 exp ( s 2 t ) .
Для определения максимального значения второй производной найдем третью производную и приравняем ее нулю:
&&&
(5)
y ( t ) = A1,0 s13 exp ( s1t ) + B1,0 s 23 exp ( s 2 t ) = 0 .
Из (5) найдем время t m достижения максимального значения
tm =
s2
2
ln
s1 - s 2 s1
. Подставляя значение
tm
в выражение (6.4), заменяя
значения корней s1 и s 2 , а также произвольные постоянные А1,0 и
В1,0 их выражениями через коэффициенты дифференциального
уравнения n и l, окончательно получим
&&
y max
æ s1 ö
=ç ÷
ç s2 ÷
è ø
-
s1 + s 2
s1 - s 2
æ -n + n 2 - l 2
=ç
ç -n - n 2 - l 2
è
ö
÷
÷
ø
n
2
æ
n 2 -l 2
1- 1- (l / n )
ç
=
çç
2
è1+ 1- (l / n)
ö
÷
÷÷
ø
1
1-( l / n )
2
.
(6)
Условие n = l разграничивает колебательные переходные процессы от апериодических. Следовательно, для последних lim &&y max = 1
n ®l
.
Чем сильнее задемпфирована система, тем более плавным является переходный процесс на первом шаге и тем меньшее значение имеет &y&max . В пределе при n ® ¥ &&y max ® 0 . Приближенный и точный переходные процессы сливаются с осью абсцисс.
Таким образом, по крайней мере для апериодических переходных процессов возможно разложение запаздывающего члена в
ряд Тейлора с ограничением двумя членами ряда.
Подставляя (3) в (3.6), сведем дифференциально-разностное уравнение движения машины к обыкновенному дифференциальному
&&
y ( t ) + 2 n* y& ( t ) + l*2 y ( t ) = f ( t ) ,
(7)
где n* = n + k y l 2t / 2, l* = l 1 - k y .
Передаточная функция машины по отношению к возмущающему воздействию f1 ( t ) = (1/ l 2 ) f ( t ) :
Ф* ( s ) =
k*
T22* s 2 + T1* s + 1
,
(8)
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где коэффициент усиления
ни равны:
T1* =
(
2 n + k l 2t
(
l 2 1- ky
)
),
(
k* = 1 / l 2 1 - k y
T2 * =
1
l 1- ky
) , а постоянные време-
.
Реакция машины на воздействие в виде единичного точка силы, f ( t ) =1 при t ³ 0 , имеет вид
y* (t ) =
(
1
l 1- k y
2
)
( )
(
+ A* exp s1* t + B* exp s 2* t
),
(9)
где корни характеристического уравнения
(
) ( n + k y l 2t / 2 )
s1*,2* = - n* ± n*2 - l *2 = - n + k y l 2 t / 2 ±
2
(
- l 2 1- k y
).
(10)
Так как рассматривается случай n > l , то дискриминант в (10)
заведомо больше нуля, n *2 - l *2 > 0 , и приближенное выражение (9)
также имеет апериодический характер.
Произвольные постоянные равны:
A* =
(
- s 2*
l *2 s1* - s 2*
)
, B* =
(
s1*
l *2 s1* - s 2*
)
.
Максимальное отклонение рабочего органа машины найдем из
(9), положив t ® ¥ , и учтя, что корни s1* и s2* - отрицательны. Получим y ¥ = 1/ l 2 (1 - k y ) , что совпадает с (3.4). Механический смысл приведенного выражения прежний и отражает последовательное перекопирование упругой опорой СС1 начального отклонения 1/ l 2 , возникшего от действия единичного толчка силы. Максимальное отклонение машины с положительной запаздывающей обратной связью превышает таковое у машины без обратной связи в 1/ (1 - k y ) раз.
Если в ряде Тейлора ограничиться тремя членами, то будем
иметь
y (t - t ) = y (t ) - t × y& (t ) +
t2
&&
y(t ),
2
(11)
остаточным членом
R3 =
t 3 (3)
y (t + qt ),
3!
где
0 £ q £ 1.
При этом уравнение (3.6) перейдет в уравнение
&&
y (t ) + 2 n * y& (t ) + (l * ) 2 y (t ) = q * ,
где
130
(12)
с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
*
n =
n + 0, 5l 2 k y t
1 - 0, 5l k y t
2
, l* = l
2
Предположим, что
имеет вид
1- ky
1 - 0, 5 l k y t
2
n* > l * .
2
, q* =
1
1 - 0, 5 l 2 k y t 2
q0.
Решение уравнения (12) при этом
æ
y * (t ) = éC 1*exp(n1*t ) + C 2* exp(-n1*t ) ù exp(n *t ) + ç q *
ë
û
è
(l* )
2
ö
÷,
ø
(13)
где
n*1 =
é
ù
é
ù
* ú
* ú
ê
ê
q
q
+ v0
(n* + n*1 ) ê y 0 (n* - n*1 ) ê y 0 ú + v0
2
2ú
*
*
ê
ê
l ú
l ú
2
2
ë
û
ë
û
*
=
n* - l * , C1* =
C
,
,
2
*
*
2 n1
2 n1
( )
( ) ( )
( )
y 0 и v0 - начальные
отклонение и скорость носка рабочего органа.
На рис.1 показаны решение уравнения (3.6) (сплошная кривая
1), выполненное по программе, приведенной в разделе (2.5), и
уравнение (13) (точечная кривая 2), выполненное по программе,
приведенной в конце этого раздела, для значений
n = 3, 2; l = 6; k y = 0, 5; t = 0,1; q0 = 1; y0 = 0; v0 = 0; n* = 4, 505; l * = 4, 447; q* = 1,1;
C1* = -0, 201; C2* = 0,146.
Видно, что решения совпадают с достаточно высокой степенью точности. Кривая 3 – разность между кривыми 1 и 2. В масштабе графика на рис.1 она практически сливается с осью абсцисс.
y(t) 0.08
y*(t)
y(t) 0.0327
y*(t)
0.06
0.03217
1
0.04
1
2
2
0.03163
0.02
3
0
0.02
0.0311
0.436
0
0.25
0.5
0.75
1
Рисунок 1 – Решение уравнений
(3.6) и (13).
t, сек
0.437
0.438
0.439
t, сек
Рисунок 2 – Решение
уравнений (3.6) и (13).
На рис.2 в увеличенном масштабе приведен участок графика, на
котором видно отклонение кривых друг от друга. Максимальное
отклонение между ними составляет Dy max = [ y(t ) - y* (t )] max = 1, 318 ×10-4 .
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Программа расчета отклонения y*(t) – (13)
*
y (t): =
n + 0.5 × l 2 × k y × t )
(
n* ¬
(1- 0.5 × l2 × k y ×t 2 )
q* ¬
1
1 - 0.5 × l 2 × k y × t
*
if n > l
1- k y
l* ¬ l ×
×q
2 0
n1* ¬
1 - 0.5 × l 2 × k y × t 2
( n* ) - ( l * )
(
e
*
if n = l
*
C1*
l1* ¬
(l * ) - ( n* )
2
2
)
( )
é
ù
* ú
ê
q
-n* + n1* × ê y0 - v0
2ú
*
ê
l ú
ë
û
C 2* ¬
*
2 × n1
(
)
( )
*
q*
æ * n1*
* - n1 ×t ö
× ç C1 × e + C 2 × e
÷+
è
ø l* 2
( )
*
C1* ¬ y 0 -
if n < l
2
*
é
ù
* ú
ê
q
n* + n1* × ê y0 + v0
2ú
*
ê
l ú
ë
û
C1* ¬
*
2 × n1
- n*t
2
q*
C 2* ¬ v 0 + n * × C1*
(l* )
2
e-n
*
×t
× éC1* + C 2* × t ù +
ë
û
q*
(l * )
2
*
¬ y0 -
q*
C 2*
¬
v 0 + n × C1*
l
(l )
e- n×t × ( C1* × cos ( l1* × t ) + C 2* × sin ( l1* × t ) ) +
*
2
*
q*
(l * )
2
Примечание: при расчете операторы следует расположить в
столбец
2.11 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
МАШИН С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
В реальных условиях работы рассматриваемых машин возмущающее воздействие f(t), как правило, является случайной функцией времени. Во многих случаях эту функцию допустимо считать
стационарной. К ним относятся, например, случаи работы машин в
условиях примерно однородных фонов, когда отсутствуют достаточно резкие и значительные по величине изменения условий рабо-
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ты. В дальнейшем ограничимся лишь стационарными случайными
воздействиями.
Задача, решаемая в динамике случайных колебаний, заключается в отыскании вероятностных характеристик колебаний машины, в частности кромки D ее рабочего органа, по заданным вероятностным характеристикам возмущающего воздействия.
Ход решения задачи следующий. По экспериментальным записям f(t), имеющим вид реализации случайных функций, рассчитывают экспериментальные корреляционные функции (их оценку),
которые аппроксимируют каким-либо подходящим аналитическим
выражением. В качестве таковых обычно берут выражения вида
[5]: R f ( r ) = 2p cd ( r ) - корреляционная функция воздействия типа
«белый шум». Здесь d(r) - дельта-функция Дирака; с – интенсивность белого шума. R f ( r ) = (p c / r ) sin w n r - белый шум с ограниченной спектральной плотностью; здесь ±w n - границы полосы частот
спектральной
плотности;
R=
f ( r ) D f exp ( -a r ) ;
R f ( r ) = D f exp ( -a r ) cos b r ; и другие. По найденным выражениям корреляционных функций определяют спектральные плотности воздействий. Эта связь дается формулой прямого преобразования Фурье, которая для четных вещественных функций Rf(r) имеет вид
¥
S f (w ) = ò R f ( r ) cos w r d r
.
(1)
0
Для приведенных выше выражений корреляционных функций
соответствующие спектральные плотности равны: S f (w ) = c = const спектральная плотность белого шума;
ìïS f (w ) = c, w < w n ,
- спектральная плотность белого шума с огí
ïîS f (w ) = 0, w < w n
раниченной
полосой
2a
w 2 +a 2 + b 2
S f (w ) = D f
p w 2 - a 2 - b 2 + 4a 2w 2
(
)
спектра;
S f (w ) D f
2a
1
2
p a +w 2
;
. Исходя из выражений спектральных
плотностей возмущающих воздействий рассчитывают спектральные плотности выходных величин. Для модели машины, приведенной на рис. 2.1, - это колебания точки D, а значит и формируемый
ею профиль новой поверхности. Для систем с одной степенью сво133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
боды при стационарных воздействиях связь между спектральными
плотностями входной и выходной величин имеет простой вид
2
S y (w ) = Ф ( jw ) S f (w ) ,
(2)
где Ф ( jw ) - амплитудно-частотная характеристика системы.
И наконец, по найденной спектральной плотности выходной
величины рассчитываются иные статистические характеристики,
представляющие интерес – корреляционную функцию, дисперсию,
среднеквадратическое отклонение и пр.
Корреляционная функция определяется по формуле обратного
преобразования Фурье. Для четных и вещественных функций
S y (w ) она имеет вид:
1
Ry (r) =
p
¥
ò S y (w ) cos w r dw .
(3)
0
Дисперсия выходной величины определяется как
¥
1
D y = Ry ( 0 ) = ò S y (w ) dw
p
,
(4)
0
а среднеквадратическое отклонение
s y = Dy .
(5)
Рассмотрим реакцию машины, приведенной на рис. 2.1, на
входное воздействие, спектральные плотности которых имеют приведенный выше вид.
Квадрат амплитудно-частотной характеристики согласно (4)
имеет вид:
(
é
Ф ( jw ) = ê l 2 - w 2 - k y l 2 cos w t
ë
) (
2
+ 2 nw + k y l 2 sin wt
)
2ù
-1
ú
û
. Отсюда
спектральная плотность колебаний точки D машины, а значит и
формируемого рельефа, равна
(
é
S y (w ) = ê l 2 - w 2 - k y l 2 cos w t
ë
) + (2 nw + k y l
2
2
sin w t
)
2ù
-1
ú
û
S f (w ) .
(6)
Таким образом, расчет спектральных плотностей выходных
величин не представляет больших затруднений. Например, для
входного воздействия типа «белый шум»
(
é
S y (w ) = ê l 2 - w 2 - k y l 2 cos wt
ë
) (
2
+ 2 nw + k y l 2 sin wt
)
2ù
ú
û
-1
×с .
(7)
Имея амплитудно-частотные характеристики, нетрудно представить протекание спектральной плотности S y (w ) и зависимость ее
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
от параметров системы машины. Так, увеличение коэффициента
обратной связи «ky» приводит к резкому увеличению значения
спектральной плотности в области низких частот ввиду квадратичной зависимости ее от w. При w ® 0 и k y ®1 спектральная плотность. Это еще раз подчеркивает, что рассматриваемые машины,
имеющие положительные обратные связи, чувствительны к низкочастотным воздействиям.
Однако расчет иных характеристик случайной выходной
функции – ее корреляционной функции, дисперсии – представляет
подчас большие трудности из-за сложности подынтегрального выражения в (3) и (4), ввиду чего вычислить эти интегралы и получить
аналитические выражения для R y ( r ) и Dy не всегда представляется
возможным. Рассчитать их можно численными методами с применением ЭВМ.
Дисперсия выходной случайной функции Dy может быть успешно рассчитана для случая, когда время запаздывания t мало.
При этом знаменатель передаточной функции машины Фy - ( 5 ) не
содержит трансцендентных членов, ввиду чего подынтегральное
2
B ( jw )
G ( jw )
выражение в (4) представимо в виде
, где
=
2
A ( jw ) A ( - jw )
A ( jw )
n
n-1
2 n-2
2 n-4
A ( jw ) = a 0 ( jw ) + a1 ( jw ) + ... + a n ,
G ( jw ) = b0 ( jw )
+ b1 ( jw )
+ ... + bn -1 .
Для этого случая вычисление дисперсии сводится к нахождению
интеграла
¥
G ( jw )
1
In =
dw .
(8)
ò
A ( jw ) A ( - jw )
2p
-¥
Для устойчивой системы и любого n интеграл (8) может быть
представлен в виде [23]:
1 Mn
In =
×
,
(9)
2a 0 D n
где D n и M n - определители, составленные из коэффициентов
полиномов A ( jw ) и G ( jw ) :
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Dn =
a1 a 3 a 5 ... 0
b0 b1 b2 ... bn-1
a 0 a 2 a 4 ...0
a 0 a 2 a 4 ...0
0 a1 a 3 ... 0
0 a 2 a 4 ... 0
Mn =
,
...............
0 0 0 ... a n
0 a1 a 3 ...0
0 a 0 a 2 ...0
.
...............
0 0 0 ... a n
Интегралы вида I n вычислены до n = 7 и приводятся, например, в [23].
Рассмотрим реакцию модели машины (рис. 2.1), имеющей малое запаздывание t, на входное воздействие со спектральной плотностью c = const .
Квадрат модуля а. ф. х. в этом случае имеет вид
2
1
(10)
Ф ( jw ) =
2
2
æ
ö
él 2 1 - k y - w 2 ù + 4 ç n + l t k y ÷ w 2
ë
û
ç
÷
2
è
ø
(
)
а спектральная плотность выходной величины «y»
с
S y (w ) =
2
(
él 2 1 - k y
ë
)
æ
l 2t ö 2
2ù
-w + 4 ç n +
ky ÷ w
û
ç
÷
2
è
ø
(11)
Используя выражения 13.10-13.14 [5], перепишем (11) в виде
S y (w ) =
где:
2s 2y a
p
×
(w
a2 + b2
2
-a - b
2
)
+ 4a w
(
) (
2 2
2
,
(12)
2
a = n + k l 2 t 2 , b = l 2 1 - k y - n + k y l 2t / 2
)
2
, а среднеквадрати-
ческое отклонение равно
sy =
1
l
(
pc
)(
2 n + k yt l 2 2 1- k y
)
.
(13)
Из выражения (13) следует, что при k y ® 1 s y ® ¥ . При этом с
увеличением коэффициента обратной связи дисперсия сосредотачивается во все более низкочастотной области спектра. Иными словами, увеличение s происходит за счет все более низкочастотных
составляющих входного воздействия. Подобное протекание спектральной плотности S y (w ) и дисперсии Dy = s 2 связано опять-таки с
наличием в кинематической схеме машины положительной обратной связи. Низкочастотные составляющие внешней возмущающей
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
силы, действующей на машину, вызывают вследствие деформации
упругой опоры относительно медленные изменения положения рабочего органа, а, следовательно, и формируемой поверхности. Эти
медленные изменения успевают многократно перекопироваться
опорой СС1, расположенной за рабочим органом D, и вызвать увеличение отклонений последнего тем большие, чем ниже частота
возмущающего воздействия.
Так как рассматривается нерезонансный случай ( l < n ) , при котором возможна замена запаздывающего члена y ( t - t ) двумя членами разложения его в ряд Тейлора, то с учетом того, что k y £ k <1 и
при достаточно малом запаздывании t членом k y l 2t 2 в знаменателе (13) можно пренебречь в сравнении с n. В этом случае
sy »
1
l
pc
2n 1- k y
(
)
.
(14)
Если бы опора СС1 перемещалась по заранее заданной поверхности, то обратная связь отсутствовала бы, и колебания рабочего
органа обусловливались бы лишь деформациями самой опоры.
Среднеквадратическое отклонение этих колебаний можно подсчитать по выражению (14), в котором следует положить k y = 0 :
s y* =
1
l
pc
.
2n
(15)
Отношение среднеквадратических отклонений показывает
влияние введения обратной связи на стабильность движения машины:
sy
s y*
=
1
1- k y
(16)
Пусть, к примеру, k y = 0, 7 . Тогда s y »1, 82s y* и может быть неприемлемым по техническим условиям работы машины.
2.12 УЧЕТ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ В УПРУГОЙ ОПОРЕ
Учет в рассматриваемой модели новых факторов, осуществляемой с целью ее приближения к реальной машине, приводит к
появлению в дифференциальных уравнениях движения новых членов и коэффициентов, физический смысл которых и влияние на поведение модели необходимо выяснить.
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учтем трение в упругой опоре СС1, которое представим в виде эквивалентного демпфера (рис.1). Этим самым будет учтено
трение, пропорциональное относительной скорости смещения точек С и С1, что справедливо при известной степени приближения
для гистерезисного трения между внутренними слоями шинного
колеса [1, 2]. Остальные параметры модели и упрощения примем,
как и выше.
0
Q(t)
y0
v
С1
y
ky
-l С
-v
0
yD
D
ky y D
l
x
Рисунок 1 – Схема модели с п.з.о.с. и
демпфированием в опоре.
Усилие N, действующее на раму со стороны упругой опоры
СС1, зависит теперь и от относительной скорости смещения точек С
и С1:
(1)
N = c ( hст + yC1 - yC ) + bc ( y&C1 - y&C ) ,
где bс – коэффициент вязкого трения во внутренних слоях
опоры. Подставляя (1) в уравнение (2.3), учитывая введенные выше
допущения, а также зависимость yC ( t ) = y ( t - t ) , получим следующее
уравнение точки D:
2
L
æ L ö &
m &&
y ( t ) + bD y& ( t ) + bc ç
bc y& ( t - t ) + c * ëé y ( t ) - k y y ( t - t ) ûù = Q ( t ) .
÷ y (t ) L-l
è L -l ø
(2)
Здесь bD - коэффициент сопротивления смещению рабочего
органа в обрабатываемой среде. Обозначим bc éë L ( L - l ) ùû 2 = b n - приведенный к точке D коэффициент демпфирования опоры СС1 . Тогда
уравнение (2) примет вид
(3)
m &&
y ( t ) + b éë y& ( t ) - kv y& ( t - t ) ùû + c * éë y ( t ) - k y y ( t - t ) ùû = Q ( t ) ,
где
b = bD + b n .
Здесь
k y = é( L - l ) c n Lc * ù
ë
û
- по-прежнему коэффици-
ент обратной связи, показывающий величину смещения кромки D
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рабочего органа при копировании точкой С ступени единичной высоты. Назовем k y коэффициентом обратной связи по смещению.
Коэффициент
kv =
bn
ky
L - l bn
× = ky
=
L b
b 1 + ( bD bc ) k y2
(4)
характеризует долю скорости, возвращающуюся на точку D
после передачи ее через замкнутый контур: образуемая поверхность опора СС1 - рама – рабочий орган. Иными словами kv - это
скорость смещения точки D по вертикали, когда точка С опоры
смещается со скоростью, равной единице. Назовем kv коэффициентом обратной связи по скорости. Если опору СС1 сделать жесткой за
счет замыкания демпфера, то bn= bc= ¥ , и отношение
b n b= b n ( bD + bn )= 1 , k v = ( L - l ) L = k y , то есть в этом случае k v характеризует отношение скоростей двух точек рычага – D и С. Отсюда
следует, что величина k v находится в пределах: 0 £ k v £ k y .
Структурная схема машины приведена на рис.2, где
W5 (s)= T1 s k v e -st , Т1 – постоянная времени, равная T1 = 2 n l 2 .
Разделив уравнение (3) на массу m и введя коэффициент затухания n и частоту свободных колебаний l, получим окончательно
уравнение вертикальных отклонений точки D в виде
&&
(5)
y ( t ) + 2 n éë y& ( t ) - k v y& ( t - t ) ùû + l 2 éë y ( t ) - k y y ( t - t ) ùû = f ( t ) ,
где как и прежде f ( t ) = Q ( t ) m .
у*
2
2
1.67
Расчет переходного
1
)
процесса мо1.33
жет
быть осу1
2
ществлен мето0.67
дом
шагов или
0.33
по рекуррент0 0
ным
соотноше0
1
2
3
4
5 шаг
ниям
для коэфРисунок 3а – Переходный процесс.
фициентов
в
выражениях решений на каждом шаге (см. 2.4). Необходимо лишь
положить в этих выражения коэффициент ka = 0.
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример расчета пяти шагов кривой переходного процесса для
значений n = 8 c-1 , l = 8 с-1 , k v = 0, 4 , k y = 0, 5 приведен на рис. 3. Через у*,
как и ранее, обозначена нормированная величина отклонения, получаемая, если положить в (5) f(t) = q = l2 = const. Сравнивая с процессом на рис. 7.3б видим, что переходный процесс стал более
“резким”, с меньшим временем протекания. Это обусловлено тем,
что опора С при введении демпфера стала более жесткой. На рис.3б
приведен переходный процесс при значениях параметров n = 6 c-1, l
= 12 c-1, kv = 0,4, ky = 0,5, а на рис. 3в – при параметрах параметрах n
= 2 c-1, l = 11 c-1, kv = 0,4, ky = 0,5. Эти графики следует сопоставить
соответственно с графиками на рис. 7.3д и 7.3е.
При расчетах методом преобразования Лапласа получим изоt := 0 , 0.01.. 5
2
2
1.67
1
)
1.33
)
2.67
1
1
2
2
0.67
0.33
0 0
4
4
3.33
1.33
0
1
2
3
4
5
0.67
0 0
2
0
1
2
3
4
5
Рис.3в – Переходный процесс
Рис.3б – Переходный процесс
бражение уравнения движения
é s 2 + 2 ns + l 2 - 2 nk v s exp ( - st ) - l 2 k y exp ( -st ) ù Y ( s ) =
ë
û
(
= F ( s ) + ( s + 2 n ) y ( +0 ) + y& ( +0 ) + 2 n k v s + l k y
2
0
) ò y (u ) exp ( -su ) d u
.
(5)
-t
Отсюда получим изображение решения
Y (s) =
(
)
F ( s ) + ( s + 2 n ) y ( +0 ) + y& ( +0 ) + 2 nk v + l k y ´ exp ( - st )
2
0
ò y (u ) exp ( - su ) d u
-t
. (6)
s + 2 ns + l - 2 nk v s exp ( - st ) - l k y exp ( - st )
2
2
2
Полагая y ( +0) = y& ( +0) = 0 , y ( u ) = 0 , при -t £ u < 0 , получим передаточную функцию орудия по возмущающему воздействию
.
f ( t ) ¬¾
¾ F (s) :
(
)
Ф f ( s ) = éê s 2 + 2 n s + l 2 - 2 n k v s + l 2 k y exp ( - s t ) ùú
ë
û
140
-1
.
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Передаточная функция машины, где в качестве коэффициентов фигурируют постоянные времени, имеет вид возмущающее
.
воздействие - f1 ( t ) = f ( t ) l 2 ¬¾
¾ F1 ( s ) :
W ( s)
,
(8)
Ф (s) =
1 - W ( s ) (T1 sk v + k y ) exp ( - st )
где W ( s ) дается формулой (3.12).
Видно, рис.2, что передаточная функция машины представляет собой передаточную функцию линейного осциллятора, охваченного обратными связями по смещению и скорости этого смещения.
Для расчета переходного процесса полагаем F ( s ) = 1/ s . Тогда
его изображение
1
1 1
Y ( s) = Ф f ( s) × =
× ,
(9)
s R ( s) s
где R ( s ) = s 2 + 2 ns + l 2 - ( 2 n kv s + l 2 k y ) exp ( - st ) - характеристический
квазиполином. При разных корнях s i выражение переходного процесса
согласно
формуле
Хевисайда
[20]
имеет
вид
y ( t=
)
(
1
l 2 1- k y
( )
¥
exp s i t
+å
) =i 1 si {2 ( si + n ) ëé2 nkv ( -1 + si t ) + l 2 k yt ûù exp ( -si t )}
.
(10)
В случае двойных корней следует пользоваться выражением
(3.39).
Для расчета самих корней, следуя [20], подставим в характеристическое уравнение значение корня s = a + jw , и, приравнивая нулю действительную и мнимую части, получим систему уравнений
a 2 - w 2 + 2 na + l 2 = ( l 2 k y + 2 nk v a ) exp ( -at ) cos wt + 2 n w k v exp ( -at ) sin wt ,
(
)
2 (a + n ) w = - l 2 k y + 2 nkv a exp ( -at ) sin wt + 2 n w k v exp ( -at ) cos wt .
(11)
Эти уравнения определяют в плоскости (a, w) две кривые,
точки пересечения которых дают значения действительных и мнимых частей корня. Из второго уравнения следует один корень - w = 0
. Введем обозначения ( l 2 k y + 2 nk va ) = A cos b , 2 n k v w = A sin b . Новые постоянные А и b определяются по формулам
А=
( l 2 k y + 2nk va ) + (2nk v w )
2
2
,
(12)
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b = arctg
2 nk v w
l 2 k y + 2 nk v a
.
(13)
В этом случае систему (19) можно переписать в виде
a 2 - w 2 + 2 na + l 2 = А exp ( -at ) cos (wt - b ) ,
(14)
2 (a + n ) w = - А exp ( -at ) sin (wt - b ) .
Возведя оба уравнения в квадрат, и складывая, получим биквадратное уравнение в отношении мнимой части корня
2
w 2 = ( l 2 - a 2 ) - 2 n (a + n ) + 4 ( n 2 - l 2 ) ( n + a ) + A 2 exp ( -2at ) ,
(15)
a = - éëw ctg (wt - b ) + n ùû ± n 2 - l 2 + w 2 Csc 2 (wt - b ) .
(16)
Однако уравнения (23) и (24) не являются разрешенными относительно w и a, так как в них входят А = А (a , w ) и b = b (a , w ) .
В тех случаях, когда вид переходного процесса интереса не
представляет, а интересуется лишь максимальным отклонение хода
рабочего органа, последнее, если оно существует, можно получить
на основании предельного перехода lim y ( t ) = lim sY ( s ) . Имеем
t ®¥
(
)
y ( ¥ ) = él 2 1 - k y ù
ë
û
-1
s ®0
.
(17)
Следовательно, учет демпфирования в опоре СС1 не влияет на
величину максимального отклонения рабочего органа, изменяя
лишь вид и длительность переходного процесса. Так как максимальное отклонение машины без обратной связи (точка С опоры
движется по заранее заданной ровной поверхности) определяется
лишь деформацией опоры СС1 и равно (полагаем в (17) k y = 0 )
y * = 1 l 2 , то отклонение машины с положительной обратной связью
больше отклонений без таковой в
my =
1
1- k y
(18)
раз.
Частотные свойства машины описываются следующими амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками (формулы
(19) и (20)):
ì
ï
A = íl 2
ï
î
142
2
2ü
é æw ö
ù
nw
é nw
ù ï
1 - k v cos wt + k y sin wt ú ý
k v sin wt - k y cos wt ú + ê2
ê1 - ç ÷ - 2
ll
ë ll
û ï
ëê è l ø
ûú
þ
2
(
)
-1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
é
ù
nw
ê
ú
2
1 - k v cos wt + k y sin wt
l
l
ê
ú
j = arctg 2
ê
ú
w
nw
ê 1 - æç ö÷ - 2
k y sin wt - k v cos wt ú
ll
êë
úû
èlø
(
)
(20)
На рис. 4 показано влияние коэффициента обратной связи по
скорости kv на коэффициент динамичности; остальные параметры
были равны: ky = 0.5, n / l = 0.05, t = 1.
Из формулы (4) следует, что коэффициент обратной связи kv
увеличивается с увеличением коэффициента демпфирования в
опоре bn, стремясь к предельному значению, равному k y (при bn = 0
kv = 0, при bn® ¥ kv ® ky, что понятно, так как при
bn = ¥ опора
СС1 становится абсолютно жесткой, и мы имеем случай кинематической модели.
Протекание амплитудно и фазочастотной характеристик в
рассматриваемом случае определяется суперпозицией трех силовых
воздействий, носящих гармонический характер: независимого p ( t )
и двух зависимых, обусловленных кинетическим возбуждением упругодеформируемой опоры – от предыдущей скорости b y& ( t - t ) и
смещения с y ( t - t ) . Определение максимальных значений амплитуд
колебаний может быть проведено путем исследования подкоренного выражения (19) на минимум.
Исследование устойчивости движения машины может быть
проведено при помощи критерия Цыпкина Я.З [21],[22]. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид (рис. 2.17)
(21)
W p ( s ) = -W ( s ) (T1 sk v + k y ) exp ( - st ) .
Амплитудно-фазовая характеристика, получаемая из (21) путем подстановки s = jw , равна
W p ( jw ) = -W0 (w ) exp ( - jq (w ) ) éë k y + T1k vw j ùû exp ( -tw j ) .
Учитывая, что
æp
exp ç
è2
ö
j ÷ = j , exp ( - jp ) = -1 ,
ø
получим
W p ( jw ) = W0 (w ) T1kv w exp ( - j (wt + q + p / 2 ) ) + W0 (w ) k y exp ( - j (wt + q + p ) ) .
(22)
Таким образом, амплитудно-частотная характеристика может
быть построена, как векторная сумма двух характеристик. Для каждого значения частоты w i строят два вектора правой части (22), а
затем их складывают.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h
4
4
3
3
2
2
1
Критерий ус1
тойчивости
прежний:
если годограф амплитудночастот0
w/l
ной характеристи0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ки
при
w ® ¥ не
0
w
3
Рисунок
4
–
Амплитудно-частотные
хаохватывает
точку (рактеристики. Кривая 1 – kv = 0, 2 – kv =
1, 0), то
система
0.8, 3 – kv = 1.6, 4 – kv = 2.4
устойчива,
в
противном
случае –
неустойчива.
Приведенный критерий упрощается в случае, если корни характеристического уравнения – действительные, что отвечает соотношению коэффициентов T1 > 2T2 или n > l . В этом случае критерием
устойчивости будет условие k y <1 , так как при w0 = 0 частотная характеристика начинается в точке k y на отрицательной оси абсцисс и
при увеличении частоты w ее модуль всегда меньше единицы.
Определение области устойчивости двух параметров может
быть выполнено путем построения D – разбиения. Остальным параметрам при этом придают численные значения. Система уравнений для расчета области устойчивости имеет вид
ì æ w ö2
w
w
nw
ï1 - ç ÷ - 2
k v sin y l - k y cos y l = 0,
ï èlø
ll
l
l
í
w
w
ö
ï nwæ
ï2 l l çè1 - k v cos l y l ÷ø + k y sin l y l = 0,
î
(23)
где y l = lt , y = wt .
Уравнения (23) в параметрическом виде (параметр w /l) определяют границу устойчивости. Проведем D – разбиение по параметрам y - фаза запаздывания и k y - коэффициент обратной связи
по скорости k v и остальные параметры будем считать постоянными. Запишем систему (23) в виде
ì æ w ö2
nw
k v sin y + k y cosy ,
ï1 - ç ÷ = 2
ï èl ø
ll
í
nw
ï nw
ïî2 l l = 2 l l k v siny + k y cosy .
144
(24)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для разделения параметров k y и y положим k y = A cos b ,
2 k v ( n / l )(w / l ) = A sin b , где новые величины А и b равны:
A=
é nw ù
k y2 + ê2
kv
ë l l úû
æ n w kv ö
b = arctg ç 2
÷.
ç l l ky ÷
è
ø
2
,
Тогда система (24) перепишется
в виде
2
æw ö
1 - ç ÷ = A cos (y - b ) ,
èlø
nw
-2
= A sin (y - b ) .
ll
(25)
Возводя уравнения (25) в квадрат и складывая, получим
2
2
2
é æ w ö2 ù
é n wù
ù
2
2 é nw
kv
= A = k y + ê2
ê1 - ç ÷ ú + ê2
ë l l ûú
ë l l ûú
êë è l ø úû
.
(26)
Разделив второе уравнение на первое, придем к уравнению
nw
tg (y - b ) = - l l 2
æw ö
1- ç ÷
èl ø
2
.
(27)
Из уравнения (26) находим коэффициент
2
2
é æ w ö2 ù
é nwù
k y = ê1 - ç ÷ ú + ê2
1 - k v2
ú
ë l lû
êë è l ø úû
(
ky
:
).
(28)
Из уравнения (27) находим фазу запаздывания y:
2
é nwé
æ
w öù ù
ê -2
ê k y - k v ç1 - æç ö÷ ÷ ú ú
ç
÷
ê llê
è è l ø ø úû ú
ë
ú ± m1p
y = arctg ê
2ú
ê é æ w ö2 ù
n
w
æ
ö
ê k y ê1 - ç ÷ ú + k v ç 2
÷ ú
è l lø ú
êë êë è l ø úû
û
.
(29)
В этом уравнении вместо k y следует подставить
его выражение (28). Задаваясь значением w / l , рассчитываем значения k y и y и строим в осях (y, k y ) границу устойчивости. На рис.
5а, б, в, г приведены графики D – разбиения для значений m1 = 0 , k v =
0.4; 0.6; 0.8; 0,95. Область устойчивости расположена вне кривых.
При возмущающем воздействии f(t) в виде случайной стационарной
функции статистические характеристики вынужденной составляющей y(t) могут быть рассчитаны по выражениям (7.2) – (7.5).
m1 = 0, 1, 2, ... .
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.13 НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
МАШИНЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
В разделе 2.2 показано, что динамика простой модели машин,
имеющего в своей кинематической схеме запаздывающую обратную связь, описывается следующим нелинейным дифференциально
– разностным уравнением (2.6):
&&
y (t ) + 2 n y& (t ) + l 2 [ y (t ) - k y y (t - t )] + [cx m( L - l )] × y 2 (t ) = f (t ) - [ Rx (t ) m( L - l )] × y (t ),
где у – отклонение носка рабочего органа от средней глубины
обработки;
члены, подчеркнутые одной чертой – нелинейные члены, обусловленные нелинейными зависимостями силы технологического
сопротивления от глубины обработки (коэффициент сх – « жесткость» этой силы) и составляющей Rx(t) от изменения рельефа и
физико – механических свойств обрабатываемой среды;
подчеркнутый двойной чертой – сила вязкого сопротивления,
оказываемая вертикальным смещениям рабочего органа; эта сила
может иметь нелинейный характер, например, быть силой сухого
или смешанного трения, что определяется большим разнообразием
фонов и свойств обрабатываемой среды.
Y
Z
2
1
1
2
3
0
1
0
20
40
60
80
100
шаг.
s
Рисунок 1 – Переходные процессы модели с п.з.о.с. с
«сухим» (кривая 1) и вязким (кривая 2) трением
Аналитическое решение и исследование нелинейных дифференциальных уравнений указанного вида, как правило, затруднено.
Подобное исследование может быть выполнено численными методами с применением ЭВМ, что обеспечивает достаточную точность
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
решения. В конце раздела приведена программа решения уравнения
(2.6), составленная на основе метода Рунге – Кутта в системе MathCAD [29], [31], [32], [33], [34].
Приведем примеры решения некоторых частных видов уравнения (2.6), показывающие влияние нелинейностей различного вида на протекание тех или иных процессов.
На рис.1 показаны переходные процессы модели с п.з.о.с. и
сухим трением (кривая 1 - Y) в сравнении с имеющей вязкое трение
(точечная кривая 2 - Z) для значений n = 3, b = 4.1, l = 8, ky = 0.5, kv
= 0, ka = 0, q = 1, Y110(начальное отклонение) = 0, Y120(начальная
скорость) = 0, N9(число рассчитываемых шагов) = 5, N0(число рассчитываемых точек на каждом шаге) = 20, L1 = L, L2 = 1, J : = 1 .. 4.
Кривая 3 – разность между кривыми 1 и 2 (Y – Z). Для задания численных значений параметров при расчете следует применять знак
присваивания, : = , а само уравнение (2.6) представить в виде системы уравнений первого порядка:
y1(t) = y(t),
d
y1(t) = y2(t),
dt
é
ù
y2
d
Rx
cx
y2(t) = λ 2 × k y × y1(t - τ) - ê 2 × n × b × s + λ 2 × y1(t) +
[ y1(t ) ]2 ú + q
dt
M × (L-1) êë
y2s
M × (L-1)
úû
При расчете графика рис.1 было положено сх = 0, Rx(t) = 0. Для
расчета кривой 1 в уравнении (2.6) вместо силы вязкого трения
2 n y& (t ) введена сила сухого трения 2 nb[ y& (t ) y& (t ) ] и получена кривая
Y11. Кривая 2 (пунктирная) обозначена как Y01 и отвечает линейной модели с п.з.о.с. (3.6) с вязким трением 2 ny& (t ) . Обе кривые пронормированы так, что при t ® ¥ оба процесса стремятся к 1:
é
Ymax := if êq
ê
ë
=
0, Y110 ,
5× q
(
λ × 1- k y
2
)
ù
ú
ú
û
Y:=
Y11
Ymax
Z:=
Y01
Ymax
Из графика рис.1 видно значительное отличие в протекании
процессов, что обусловлено существенной нелинейностью. Сила
вязкого трения зависит от скорости, в то время как сила сухого трения постоянна, а ее направление определяется знаком скорости.
Коэффициент b служит для подбора величины силы сухого трения,
а также для того, чтобы сделать графики более сопоставимыми.
При выводе результата в виде матрицы возможна численная оценка
различия процессов (максимальное их отклонение друг от друга,
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
среднее квадратичное отклонение, спектральный анализ процессов
и т.п.).
На рис.2 приведены графики свободных движений модели с
сухим (сплошная кривая 1) и с вязким (точечная кривая 2) трением
при значениях b = 23, q = 0, Y110 (начальное отклонение) = 10. Значения иных параметров – прежние. Кривая 3(пунктирная) – разность между кривой 1 и 2. В программе все функции времени представлены как ранжированные переменные: t ® s, где число точек s
= 1 … 20 на каждом шаге.
Y
Z
1
0.5
2
1
0
0.5
3
0
20
40
60
80
100
шаг
Рисунок 2 – Свободные движения модели с п.з.о.с.
с «сухим» (кривая 1) и вязким (кривая 2) трением.
Y
Z
2
0.8
1
0.4
3
0
0.4
0
20
40
60
80
100
шаг
Рисунок 3 – Переходный процесс модели с п.з.о.с. при
гармоническом возмущающем воздействии.
На рис.3 приведены кривые переходных процессов нелинейной модели с вязким трением и гармоническим возмущающем воздействием (сплошная кривая 1, сх = 0, R x (t) = A1sin(ω1× t), A1= 200, ω1= 0.5 )
и линейной (точечная кривая 2) при n = 8, l = 8, q = 2, cx = 0.
Отчетливо видно наложение периодической составляющей
Rx(t) на движение линейной модели.
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис.4 показано свободное движение модели при гармоническом возмущающем воздействии (сплошная кривая 1,
R x (t) = A1sin(ω1× t), A1= 300, ω1= 0.5 ) в сравнении с линейной (точечная
кривая 2) при n = 8, l = 8, q = 0, cx = 0, Y110 = 2.
Таким образом, разработанная программа позволяет выявлять
влияние различного рода нелинейностей и вида возмущающей
функции Rx(t) на движение модели плуга, описываемого уравнением (1).
ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ (2.6)
Y11: =
T ¬ 0 s ¬ 0 x1 ¬ 0 K10 ¬ 0 K20 ¬ 0 Y110 ¬ 0 Y120 ¬ 0
æ 0 ö
ç 0 ÷
ç ÷
c ¬ ç 0.5 ÷
ç ÷
ç 0.5 ÷
ç 1 ÷
è ø
1
h¬
N0
for pÎ 1 .. N9
T ¬ N0 if p ³ 2
for I Î 1 .. N0
s¬s+1
for J Î 1 .. 4
x ¬ x1 + cJ×h
y1s ¬ Y11s-1
+ cJ ×K1J-1
y2s ¬ Y12s-1
Y11
+ cJ ×K2J-1
f1 ¬ y2s
f2 ¬ λ 2 × k y × y1s-T -2 × n × y2s - λ 2 × y1s ×
-
cx
2
× ( y1s ) ...
M × ( L1 - L2 )
R(s)
× y1s + q
M × ( L1 - L2 )
K1J ¬ h× f1
K2J ¬ h× f2
K1 + 2 × K12 + 2 × K13 + K14
Y11s ¬ Y11s -1 + 1
6
K2 + 2 × K22 + 2 × K23 + K2 4
Y12s ¬ Y12s -1 + 1
6
x1 ¬ x1 + h
Примечание: при применении программы все операторы следует расположить в столбец.
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 3
ДИНАМИКА МАШИН КАК СИСТЕМ
С ФОРМИРУЕМЫМ ТИПОМ СВЯЗИ
3.1
ФОРМИРОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МАШИНОЙ
Обратимся ко второму аспекту динамики машин с запаздывающими обратными связями – реализации последней посредством
связей, формируемых самой машиной в процессе ее движения,
рис.1.
M
P
C1
j
N
B1
O
С
x
D
-1
0
B
1
2
y
Рисунок 1 – Схема машины с наложенным на нее формируемым типом
связи.
Примем, что опора СС1 машины имеет вид жесткой стойки,
перемещающейся по абсолютно жесткой поверхности своего движения (случай идеального копирования), а передняя опора ВВ1 имеет вид упруго деформируемой подвески.
В процессе движения на машину, ее рабочий орган будут действовать возмущающие силы, например, от изменения физикомеханических свойств обрабатываемой среды. Это будет приводить
к изменению положения рамы и закрепленного жестко на ней рабочего органа, что в свою очередь будет вести к изменению профиля
формируемой им поверхности. Через некоторое время t опора СС1
скопирует этот профиль, вызывая новое смещение рамы машины и
рабочего органа. Таким образом, образуемая машиной поверхность
движения будет состоять из ряда участков (-1, 0), (0, 1), (1, 2),…,
последовательно образуемых рабочим органом при копировании
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
опорой СС1 в текущий момент времени, так и характер движения
самой машины, кромки ее рабочего органа D.
Образуемая поверхность движения накладывает ограничения
на перемещения машины, ее точки С (уменьшая число степеней
свободы), и следовательно, является связью, обладая всеми свойствами, учитываемыми существующей их классификацией. Вместе с
тем эта поверхность обладает еще и тем свойством, что образуется
самой машиной в процессе ее движения, и положение и вид уравнения этой поверхности определяется перемещениями самой машины, кромки ее рабочего органа D. Так, у реальных машин рабочий орган – нож грейдера, планировщика, бульдозера и т. п., формирует поверхность движения для своих опор, расположенных за
ним.
Существующая классификация связей в механике рассматривает в основном характер ограничений, накладываемых на движение точек системы. Уравнениями связей при этом заранее задаются.
В рассматриваемом случае также необходимо считать известным
уравнение начального участка (-1, 0), рис. 1, без чего задача исследования движения машины будет неопределенной. Однако все последующие участки образуемой поверхности (траектории точки D
на рис. 1) необходимо рассчитывать исходя из анализа движения
самой машины. Резюмируя сказанное, приходим к выводу, что
классификацию связей возможно расширить, разделив их на независимые от движения системы (уравнение связи задано заранее), и
зависимые, образуемые самой системой в процессе ее движения. В
последнем случае уравнение связей априори полностью не заданы,
и их надо находить из анализа движения самой системы. Назовем
подобные связи автоформируемыми, и дадим определение.
Под автоформируемым типом связей будем понимать связи,
формируемые самой системой в процессе ее движения. При этом
каким-либо точкам системы (твердого тела) предписывается движение по траекториям других ее точек, либо нахождение на по153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верхностях, образуемых перемещениями некоторых отрезков, принадлежащих твердым телам, движение которых рассматривается.
F1
F2
3
N
2
1
0
D
-1
C
Рисунок 2 – Движение плоской фигуры с наложенным на нее
формируемым типом связи.
С точки зрения теоретической механики в плоском случае мы
имеем некоторую плоскую фигуру, движущуюся под действием
приложенных к ней сил Fi, причем некоторой ее точке С предписано движение по траектории другой точки D, принадлежащей этой
же фигуре, рис.2.
3.2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ С ФОРМИРУЕМЫМ ТИПОМ СВЯЗИ И ЕГО
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ (МЕТОДОМ ШАГОВ)
Пусть в начальном положении машины (рис. 1.1) точка С совпадала с точкой – 1, а точка D с 0. В этом положении уравнение
участка поверхности (-1, 0) необходимо считать известными, и при
расчетах им задаются. Иными словами, наряду с «обычными» начальными условиями – начальными значениями обобщенных координат и скоростей – необходимо задать дополнительное условие –
уравнение начального участка f0 ( xC , yC ) = 0 . При движении точки С
по начальному участку поверхности (-1, 0) без отрыва рабочий орган создает новый участок образуемой поверхности (0, 1), уравнение которого в общем случае отлично (то есть не конгруэнтно) от
предыдущего, копируемого опорой, f1 ( xC , yC ) = 0 . Затем создается
второй участок и т. д. Для s-го формируемого участка
f s ( xC , yC ) = 0, s = 0, 1, 2,... .
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как машина совершает плоское движение, то в качестве
обобщенных координат примем координаты центра масс 0 ( x, y ) и
поворот ее относительно центра масс на угол j 1 . Предположим, что
связь f s = 0 , накладываемая на точку С, идеальная, голономная, и
заменим ее действие соответствующей реакцией связи N , нормальной к образуемой поверхности. Примем, что на всем исследуемом
пути движения рабочий орган не выходит из обрабатываемого слоя.
Особенность в уравнения Лагранжа 2 рода вносит реакция N
опорной поверхности. Проекции силы N на оси координат равны:
N x = l ( ¶f s ¶xC ) , N y = l ( ¶f s ¶yC ) ,
где l - неопределенный множитель Лагранжа, l = N / Df s ,
- орт нормали к формируемой поверхности,
n
Df=
s
( ¶f s
¶xC
) + ( ¶f s
2
¶yC
)
2
.
N
°
j 0+j1
rCO
rC
0
y
n
C
O(x,y)
rO
x
Рисунок 1 – К расчету реакции формируемой
поверхности и ее момента относительно центра
масс.
Момент силы N относительно центра масс M N = N × OC sin ( OC , n ) .
Из рис. 1 следует, что sin ( OC , n ) = sin ( i , n ) cos (j1 + j 0 ) - cos ( i , n ) sin (j1 + j 0 ) ,
где j 0 - угол Ð ( OC , n ) в начальном положении орудия. Отсюда
é ¶f
ù
¶f
M N = l ê s cos j1 + j 2 - s sin j 1 + j 2 ú × OC .
¶xC
ë ¶yC
û
(
)
(
)
Из рис. 1 также следует, что связь между обобщенными координатами x, y, j1 и координатами точки С можно найти, спроецировав на оси координат векторное равенство rO = rC + rCO , где rCO = const
(радиусы-векторы проведены из начала неподвижной системы координат 0 x y). Получим
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
y - yC = OC sin (j 1 + j 0 ) .
x - xC = OC cos j 1 + j 0 ,
(1)
Находя из (1) значения xC , yC и подставляя их в уравнение образуемой поверхности, получим уравнение связи между обобщенными координатами f s ( xx , yC ) = f s ( x, y,j1 ) = 0 .
Из (2.1) следует, что ¶f s ¶xC = ¶f s ¶x , ¶f s ¶yC = ¶f s ¶y , а также
¶xC ¶j1 = OC sin (j1 + j 0 ) , ¶yC ¶j1 = -OC cos (j 1 + j 0 ) . Проекции N x , N y и момент M N перепишутся в виде: N x = l ¶f s ¶x , N y = l ¶f s ¶y , M N = l ¶f s ¶j1 .
Пусть остальные силы и моменты, действующие на машину,
приведены к главному вектору Р и главному моменту М , приложенным к центру масс и зависящим от текущих значений обобщенных
координат,
скоростей
и
времени:
P ( x, y, j1, x& , y& , j&1, t ) , M ( x, y, j 1, x&, y& , j&1, t ) . Составляя уравнения Лагранжа 2
рода, получим
d æ ¶T
ç
dt çè ¶ q& r
ö ¶T
¶f
= Qr + l s ,
÷÷ ¶q r
¶q r
ø
s = 0, 1, 2,...
(2)
где q1 = x, q2 = y, q3 = j1, Q1 = Px , Q2 = Py , Q3 = M .
Уравнение (2) получено путем рассмотрения конкретного
примера. В общем случае вывод этого уравнения приведен в [25],
стр. 66. Член l ( ¶ fs ¶qr ) является обобщенной реакцией связи и содержит в явном виде уравнение связи. Но отличием уравнения (2)
от (3.34) в [25] является то, что в рассматриваемом случае уравнение образуемой поверхности f s ( xC , yC ) = 0 и обусловленное им уравнение связи f s ( x, y,j1 ) = 0 не является заранее заданным, а состоит из
отдельных участков, последовательно образуемых рабочим органом машины при копировании точкой С каждого предыдущего.
Уравнения s – тых участков для s =1, 2, 3,... заранее неизвестны, за
исключением начального (s = 0) , уравнением которого задаются.
Из изложенного вытекает, что одним из методов расчета движения машин с наложенными на них формируемым типом связи по
схеме рис. 2 может быть метод шагов (последовательного интегрирования или припасовывания), при котором функциональное выражение связи f s ( x, y, j1 ) выступает в роли переменного параметра.
Каждый последующий отрезок связи необходимо рассчитывать ис156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ходя из найденного движения машины x = x ( t ) , y = y ( t ) , j1 = j1 ( t ) при
перемещении опоры СС1 по предыдущему участку образуемой поверхности. Для его расчета, проецируя на оси координат векторное
равенство rD = rO + rDO , где модуль rDO = const , получают систему
уравнений xD = xD ( x, y, j1 ) , yD = yD ( x, y ,j1 ) , и, исключая время, получают
траекторию движения точки D, которую и принимают за уравнение
следующего участка поверхности f s+1 ( xC , yC ) = 0 , после чего находят
новое уравнение отрезка связи f s+1 ( x, y, j1 ) = 0 .
Для расчета движения машины с наложенным на нее следующим отрезком связи необходимо располагать новыми начальными
значениями обобщенных координат и скоростей. Относительно последних следует заметить, что смена связи (например, участка поверхности (-1, 0) на (0, 1), (см. рис. 1.1 и 1) может сопровождаться
ударными явлениями или отрывом опоры от поверхностей движения в случае, если гладкость поверхностей в точках их соединения
нарушена. Поэтому определение правосторонних начальных условий для каждого участка по левосторонним значениям координат и
скоростей в точках соединения 0, 1, 2,… нуждается всякий раз в отдельном рассмотрении.
Учитывая гипотезу о малых отклонениях системы от положения равновесия, уравнение поверхности, формируемой лезвием рабочего органа, целесообразно записывать в явной форме y = y ( x, j1 ) .
Это упростит составление таких уравнений и исследование соответствующих уравнений Лагранжа.
Если машина имеет больше, чем одну жесткую опору, перемещающуюся по жесткой образуемой поверхности, то уравнения
Лагранжа 2 рода могут быть записаны в виде:
d æ ¶T
ç
dt çè ¶ q& r
m
ö ¶T
¶f
= Q r + å l s , r = 1, 2,..., n, s = 0,1, 2,... ,
÷÷ ¶q r
i =1 ¶ q r
ø
(3)
где m – число формируемых связей, наложенных на машину.
Следует иметь в виду, что s – тые отрезки могут накладываться не одновременно для всех m связей. Примером такой машины
может служить грейдер с косо поставленным ножом. Как только
один из предыдущих участков f i s сменился на последующий f i( s +1) ,
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
необходимо его уравнение подставить в систему (3) и решать ее
при новых начальных условиях.
В случае неидеальных связей в уравнении (3) появятся члены,
обусловленные силой трения точки С о поверхность ее движения и
моментом этой силы относительно центра масс реакция формируемой поверхности.
B1
D1
B2
D
C1
0
D2
C2
Рисунок 2 – Пространственная схема машины с наложенным на нее
формируемым типом связи.
Рассмотрим порядок расчета уравнений связей для пространственной модели машины, рис. 2. Такой машиной является, например, планировщик, нож которого образует поверхность движения
для его задних колес. Для определения уравнения образуемой поверхности необходимо, исходя из законов изменения обобщенных
координат определить законы движения двух каких-либо точек ножа D1 и D2 :
r1 = r1 éë q1 ( t ) , q 2 ( t ) , ..., q n ( t ) ùû ,
r2 = r2 éë q1 ( t ) , q 2 ( t ) ,..., q n ( t ) ùû .
(4)
Зная законы движения двух точек ножа, необходимо рассчитать уравнение поверхности в следующем порядке. Очевидно, что
для какой-либо промежуточной точки D линии D1 D2 , определяемой
вектором r , имеет место векторное уравнение
( r - r1 ) ´ ( r2 - r1 ) = 0 ,
(5)
так как векторы в скобках коллинеарны. В проекциях на оси
декартовой системы координат уравнение (5) имеет вид:
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
i
j
k
( x - x1 ) ( y - y1 ) ( z - z1 ) = 0
( x2 - x1 )( y 2 - y1 )( z2 - z1 )
(6)
Исходя из (6), получаем систему двух уравнений, например
( y - y1 )( z - z1 )
( x - x1 )( z - z1 )
= 0,
=0.
y
y
z
z
x
x
z
z
( 2 1 )( 2 1 )
( 2 1 )( 2 1 )
(7)
( x - x1 )( y - y1 )
= 0 , как нетрудно убедиться,
( x2 - x1 )( y2 - y1 )
является следствием первых двух. Подставляя в (7) выражения (4),
предварительно спроектированные на оси координат, получаем
систему уравнений в виде:
ìï F1 ( x, y, z , t ) = 0,
(8)
í
F
x
y
z
t
,
,
,
=
0
,
(
)
2
ïî
которая является уравнением искомой поверхности в параметрическом виде. Исключая, если это возможно, параметр t, получим
уравнение поверхности в виде f s ( x, y, z ) = 0 , которой должны удовлетворять координаты точек С1 и С 2 опор, движущихся по ней.
Следовательно, имеем:
Третье уравнение
(
)
f 2 s ( x C , y C , z C ) = 0.
f 1s x C1 , y C1 , z C1 = 0,
2
2
(9)
2
Выражая декартовы координаты точек С1 и С 2 через обобщенные, получаем уравнения связей для подстановки в (3):
(
)
f 2 s ( q1, q 2 ,..., q n ) = 0.
f 1s q1, q 2 ,..., q n = 0,
(10)
Таким образом, решение задач динамики при наложенных на
систему формируемых связях распадается на ряд «обычных» задач
с последовательным определение движения системы с различными
уравнениями связей f i s = 0 . Порядок решения таков.
Подставляя в дифференциальные уравнения движения известные начальные участки связей f i0 = 0 , находят движение системы
q r = q r ( t ) при известных начальных условиях.
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По уравнениям q r = q r ( t ) находят законы движения точек, образующих новые участки. Исключая время t, получают их уравнения
f is = 0 . Границы участков определяют исходя из соответствующих
граничных условий.
Из рассмотрения механики перехода опор через точки и линии
соединения участков по левосторонним значениям координат и
скоростей в этих точках находят правосторонние значения, являющиеся начальными условиями для расчета движения на следующем
участке.
Все расчеты повторяют снова для f i s = 0 участка связи, и т. д.
Из изложенного видно, что аналитическое исследование движения машин с формируемыми связями весьма
b1
b2
x
громоздко,
и
поs
видимому, не всегда моy
жет быть выполнено даVC(+s)
же в плоском случае.
b1
b2 V0
s
x
Поэтому важное практическое значение имеют
VC(-s)
различные
обоснованные упрощения излоРисунок 3 – Соединение участков формируемого
профиля.
женной общей задачи.
Рассмотрим некоторые из них.
При малых значениях изменения глубины обработки отдельные участки (-1, 0), (0, 1), (1, 2) и т. д. (рис. 3) будут соединяться
под углами b, близкими к p, что на общем фоне неровностей реальной поверхности, изменения ее физико-механических свойств, небольших деформаций опоры и опорной поверхности и других причин не будет выделяться сколько-нибудь заметно и оказывать существенное влияние на динамику агрегата. Отсюда можно принять,
что горизонтальная скорость агрегата, в том числе точки С, постоянна: vC x = v 0= const . Вертикальная же составляющая скорости точки
С опоры найдется, vC y = v 0 tg b 2 » v0 b , рис.3 (угол b 2 полагаем достаточно малым). Подобное допущение упрощает расчет начальных
значений скоростей для каждого участка связи.
Другим соображением является то, что можно по своему усмотрению выбрать форму начального участка и начальные скоро160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сти орудия. В частности, можно распорядиться ими так, что участки образующейся поверхности будут гладко переходить друг в друга (левосторонние и правосторонние производные в точках их соединения 0, 1, 2, … будут равны). В этом случае вопрос об определении начальных условий для каждого последующего участка существенно упрощается.
3.3
ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЕМ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
Для ряда простых моделей машин и упрощающих предположений возможно получение одного дифференциального уравнения
ее движения, анализ которого позволяет получить ряд характеристик
движения, представляющих практический интерес, как, например,
максимальное отклонение рабочего органа, амплитудно-частотные
характеристики и другие. Обратимся к рис. 1.
Fи
j1
NB
C1
yC
yB1
NC
x
R
O
B1
yB
C
V
D
r
G
B
lO
L
y
Рисунок 1 – Модель машины с наложенным на нее формируемым
типом связи.
При небольших углах поворота машины j1 относительно центра масс и угловых скоростях этого поворота поступательные горизонтальные скорости отдельных точек машины отличаются незначительно от средней скорости движения агрегата V , и можно принять, что точка С опоры движется по горизонтали с этой постоянной скоростью. При этом ее смещение по вертикали будет определяться копированием рельефа поверхности, образуемой расположенным спереди рабочим органом D.
Применим метод обращения движения, придав плоскости чертежа движение в обратную сторону со скоростью -V с целью исключения поступательной скорости агрегата. При этом точка С бу161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дет смещаться только по вертикали под действием профиля поверхности (линейного кулачка), который формируется кромкой рабочего органа D. В этих условиях рассмотрим движение машины
как переносное вместе с полюсом С по вертикали и относительное
вращательное всей машины относительно полюса С.
Известно, что уравнение Лагранжа 2 рода для относительного
движения имеют вид [26]:
d æ ¶T
ç
dt çè ¶ q& r
ö ¶T
= Q r + R r , r = 1, 2,..., n,
÷÷ ¶q r
ø
(1)
где Т – кинетическая энергия системы в относительном движении;
Q r - обобщенные силы обусловленные активными силами,
действующими на машину;
R r - обобщенные силы обусловленные переносными и кориолисовыми силами инерции;
n – число степеней свободы системы.
Поскольку в рассматриваемом случае переносное движение –
поступательное, то на каждую элементарную массу машины действуют одинаковые элементарные силы инерции, равнодействующая
которых приложена в центре масс орудия О и по модулю равна
Fи = m y& C , где m – масса машины, и в любой момент времени параллельна оси ординат. Кинетическая энергия в относительном движении есть энергия вращения машины относительно точки С :
T = 0, 5 I C j&12 , где IC - момент инерции орудия относительно точки С.
Тогда
d æ ¶T
ç
dt çè ¶ q& r
ö ¶T
= I C j&&1 .
÷÷ ¶qr
ø
Обобщенная сила представляет собой сумму моментов всех
сил, включая переносные силы инерции, относительно полюса С.
Примем те же упрощающие предположения, что и ранее. Перемещения точек В1 , С, С1 и D по вертикали достаточно малы по
сравнению с базой машины В1С1 , ввиду чего угол наклона рамы j 1
также мал на столько, что допустима замена sin j 1 » j 1, cos j 1 » 1 . Высказанное предположение для рассматриваемых машин в реальных
условиях их работы обычно выполняется.
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дифференциальное уравнение относительного поворота машины, показанной на рис. 1, имеет вид (поворот по часовой стрелки
и соответствующее направление момента примем за положительное):
IC j&&1 = - Fи l 0 - N В L + G l 0 + R r ,
(2)
где Fи , G, R , N B - соответственно переносная сила инерции, сила
тяжести, реакция пласта, набегающего на рабочий орган, реакция
передней упруго деформируемой опоры ВВ1 ; последнюю будем
считать ортогональной оси x в любой момент времени.
l 0 , r , L - плечи соответствующих сил относительно полюса С.
Сила R , действующая на рабочий орган, как по величине, так
и по направлению и точке приложения зависит от смещения полюса С по вертикали - yC и скорости этого смещения - y&C , угла поворота машины - j&1 , а также содержит составляющую, зависящую от
времени, обусловленную изменением физико-механических
свойств обрабатываемой среды.
Отсюда и момент этой силы M R = R r = M R ( yC , y&C , j , j& , t ) . Предположим, что составляющая момента, зависящая от времени, входит в
M R аддитивно:
(3)
M R = M R 1 ( yC , y&C , j 1, j&1 ) + M R 2 ( t ) ,
и разложим M R в ряд Тейлора около положения статического
равновесия, отвечающего начальному установившемуся движению
рабочего органа на некоторой глубине обработки:
æ ¶M
æ ¶MR ö
R
M R = M R0 + ç
÷ yC + çç
y
¶
¶
j
è C ø0
1
è
ö
æ ¶M ö
æ ¶M R ö
R
yC + ç
÷ j1 + ç
÷ j1 +
÷
÷
ç
÷
&
&
y
¶
¶
j
,
è C ø0
1 ø0
ø0
è
+ M R2 ( t ) = M R 0 + a1 yC + a 2j1 - b1 y&C - b2j& + M R2 ( t )
(4)
где M R0 - момент относительно точки С силы R , действующей на рабочий орган машины, в установившемся ее движении
(при yC = 0 и j1 = 0 ).
Реакция упруго деформируемой опоры ВВ1 зависит от ее статического сжатия hст , отвечающего начальному установившемуся
режиму движения машины, а также разности текущих значений ординат верхней В1 и нижней В ее точек:
(
)
N B = c hст + y B1 - y B ,
(5)
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где с – жесткость опоры ВВ1 .
Подставляя выражения для Fи , а также (4), (5) в уравнение (2)
и вычитая уравнение статики G l 0 + M R0 - c hст L = 0 , получим уравнение в отклонениях
I j&&1 = -m &&
yC l 0 - cL ( y B1 - yB ) + a1 yC + a 2 j1 + b1 y& C - b2 j&1 + M R2 ( t ) .
(6)
Знак минус перед коэффициентами b1 и b2 учитывает направление силы и момента сил сопротивления при переносном смещении машины и ее повороте в положительном направлении.
Между углом поворота машины и смещениями точек C - yC ,
D - y и B1 - y1 можно записать следующие соотношения (с учетом
малых пределов их изменений): lj1 » y - yC , L j1 » y B1 - yC , где l = CD ,
L = C1B1 .
Отсюда
j1 » ( y - yC ) l , yB1 = yC + Lj1 = yC + L ( y - yC ) / l .
значения отклонения
уравнению
yB1
и угла
j1
Подставляя
в уравнение (6), приходим к
æ L2 a 2
l0 ö
b2
æ IC
æ b2 b1 ö
&&
&&
&
&
y
m
y
+
y
y
+
ç
÷
ç
÷
C
C çç c 2 - 2
2
2
l ø
l ø
l2
l2
l
èl
èl
è l
æ L L - l a1 a 2 ö
-ç c
+ - ÷ yC = Q ( t )
l l2 ø
è l l
IC
ö
÷y÷
ø
(7)
где Q ( t ) = M R2 ( t ) l + c ( L l ) yB ( t ) - приведенная к точке D возмущающая сила. Разделив уравнение (7) на приведенную к точке D
массу mпр = IC l 2 , получим уравнение
&&
(8)
y ( t ) - k a yC ( t ) + 2 n éë y& ( t ) - kv y&C ( t ) ùû + l 2 ëé y ( t ) - k y yC ( t ) ûù = f ( t ) .
Здесь
ky =
ka =
IC l 2 - ml 0 l
cL ( L - l ) + a1l - a 2
cL2 - a 2
IC l 2
;
= 1-
m l0 l
IC
f ( t ) = Q ( t ) m пр
;
n=
b2
2 IC
;
kv = 1 -
b1l
b2
;
l =
2
cL2 - a 2
IC
;
. Наряду с уравнением (8) запишем
уравнение обратной связи: точка С копирует с запаздыванием на
время t смещения точки D, происходящее в некоторый предшествующий момент времени
(9)
yC ( t ) = y ( t - t ) .
При незначительных углах наклона рамы машины t » l / v = const .
Подставляя (9) в уравнение (8), приходим к следующему дифференциальному уравнению движения машины (точнее, кромки рабо164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чего органа D по вертикали, формирующей новый профиль поверхности):
&&
(10)
y ( t ) - ka &&
y ( t - t ) + 2 n éë y& ( t ) - kv y& ( t - t ) ùû + l 2 ëé y ( t ) - k y y& ( t - t ) ûù = f ( t ) .
Видно, что уравнение (10) имеет вид дифференциальноразностного нейтрального типа. В отличие от обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка это уравнение содержит
запаздывающие члены и параметры ka, kv и k y , которые могут быть
названы коэффициентами обратных связей по ускорению, скорости
и смещению.
Выясним их физический смысл. Положим коэффициенты
n = l = 0 , а также Q ( t ) = 0 . Тогда уравнение (8) превратиться в следующее: &&y ( t ) = k a &&y ( t - t ) = k a yC ( t ) . Отсюда k a = &&y ( t ) &&y ( t - t ) . Таким образом, коэффициент ka показывает, какая доля ускорения вертикального смещения точки D будет иметь место в текущий момент времени, если в предшествующий момент t сек. назад это ускорение
было равно единице. То есть коэффициент ka численно характеризует возврат ускорения по цепи обратной связи.
Аналогично kv является коэффициентом обратной связи по
скорости смещения, а k y - по смещению точки D.
Получим передаточные функции машины. Преобразуя (10) по
Лапласу, имеем:
é s 2 + 2 ns + l 2 - k s 2 + 2 nk s + l 2 k exp ( -st ) ù Y ( s ) ) (a
v
y)
ëê(
ûú
(
)
(
)
- éê s 2 + 2 n y ( +0 ) + y& ( +0 ) - k a s + 2 nkv y ( -t ) - k a y& ( -t ) ùú + .
ë
û
(
)
+ k a s + 2 nkv s + l k y exp ( - st ) ´
2
2
0
ò y ( u ) exp ( -su ) du = F ( s )
-t
Отсюда находим изображение решения
F (s) + Q ( s)
,
Y (s) =
R (s)
.
где F (s ) ¾
¾®
f (t ) - изображение возмущающей функции;
Q ( s ) = é( s + 2 n ) y ( +0 ) + y& ( +0 ) - ( k a s + 2 nk v ) y ( -t ) - k a y& ( -t ) ù +
ë
û
(
)
+ k a s 2 + 2 nkv s + l 2 k y exp ( - st ) ´
(11)
(12)
0
ò y (u ) exp ( -su ) du
-t
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
) (
)
R ( s ) = s 2 + 2 ns + l 2 - k a s 2 + 2 nkv s + l 2 k y exp ( -st )
- характеристиче-
ский квазиполином системы. Выражение Q ( s ) отражает вклад в решение начальных условий и начального участка y0 ( t ) при -t £ t < 0 .
Если все начальные условия положить равными нулю, то выражение (12) примет вид
Y ( s) = Ф ( s) F ( s) ,
(13)
где
(
)
Ф ( s ) = éê s 2 + 2 ns + l 2 - k a s 2 + 2 nkv s + l 2 k y exp ( -st ) ùú
ë
û
-1
-
(14)
- передаточная функция машины по возмущающему воздействию f (t ) . Выражение (14) можно переписать, введя постоянные
времени, для чего числитель и знаменатель его разделим на l 2 . Запишем (14) в виде
W (s)
Ф1 ( s ) =
,
(15)
2 2
1 - W ( s ) ( k a T2 s + kv T1 s + k y ) exp ( -st )
где
T1 = 2 n l 2
,
T22 = 1 l 2
,
W ( s ) = éT22 s 2 + T1 s + 1ù
ë
û
-1
- передаточная
функция линейного осциллятора.
Тогда (13) запишется в виде
Y ( s ) = Ф1 ( s ) F1 ( s ) ,
(16)
где F1 ( s ) = F ( s ) l 2 .
Структурная схема выражения (16) приведена на рис. 2. Вид-
F(s)
+
W 1 (s)
+
W 2(s)
+
W 3 (s)
Y(s)
W 4(s)
Рисунок 2 – Структурная схема преобразования воздействий
машиной с п.з.о.с. и формируемым типом связи.
но, что модель машины можно представить как линейный осцилля166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тор, охваченный запаздывающими обратными связями по отклонению, скорости и ускорению выходной величины y.
Передаточные функции звеньев схемы следующие:
1
W1( s)=
; W2 ( s) = k y e -st ; W3 (s) = T1 k v s e -st ; W4 (s ) = T22 s 2 k a e -st
2 2
T2 s + T1 s + 1
.
Постоянные времени равны:
3.4
T2 = 1 l
,
T1 = 2 n l 2 .
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Решение уравнения движения (3.10), как оригинал выражения
(3.12), представим интегралом обратного преобразования Лапласа
1
y (t ) =
2p j
c+ j¥
ò
Y ( s ) exp ( st ) ds ,
(1)
c - j¥
который можно записать также в виде
¥
(
y ( t ) = å Выч Y ( s ) , s i
i =1
)
(2)
где вычеты берутся по особым точкам подынтегральной
функции.
Как следует из (3.12), изображение решения можно представить в виде отношения квазиполиномов. Для случая y0 ( t ) = 0 при
-t £ t < 0 (начальный участок ровный, совпадающий с осью абсцисс)
степень полинома F ( s ) + Q ( s ) меньше степени квазиполинома R ( s ) . В
этом случае задача получения решения сводится к исследованию
корней характеристического трансцендентного уравнения R ( s ) = 0 .
Предположим, что все корни расположены слева от мнимой
оси, что означает асимптотическую устойчивость решения, а также,
что все корни – простые. В этом случае выражение (2) представимо
в виде формулы Хевисайда [23]:
¥ Q(s ) + F (s )
i
i
(3)
y (t ) = å
exp ( s i t ) .
R¢ ( s i )
i =1
Видно, что особенностью решаемой задачи является то, что
характеристическое уравнение R ( s ) = 0 в силу своей трансцендентности имеет бесчисленное множество корней. При этом чем дальше
отстоит корень si от мнимой оси, тем быстрее затухает соответст-
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вующая экспонента при t ® ¥ . Это позволяет ограничиться в (3) конечным числом корней, получив приближенное решение.
Если характеристический квазиполином можно представить в
виде sR ( s ) , то решение в случае простых корней имеет вид [20, 27,
28]
F ( 0 ) + Q ( 0 ) ¥ Q ( si ) + F ( s i )
y (t ) =
exp ( s i t )
+å
(4)
R (0)
R¢ ( s i )
i =1
В случае если корень si имеет кратность
щий член ряда в (3.4.3) заменится членом
ni
å
r =1 (
Air
t
ni - r !
)
n i -r
( )
å
r =1
(
(
)
(5)
вычисляется по выражению
Air
ì r -1 s - s
i
ïd
í r -1 ×
ni - r ! ï d s
î
Air
)
ni
éëQ ( s ) + F ( s ) ùû üï
ý.
Rs
ï
þ
Аналогично вычисляется и выражение
ni
виде (3.4): å
r =1
(
(
ì r -1 s - s
i
ïd
í r -1 ×
ni - r ! ï d s
î
Air
то соответствую-
exp s i t ,
где коэффициент
ni
ni ,
)
)
ni
éëQ ( s ) + F ( s ) ùû üï
ý.
Rs
ï
þ
(6)
Air
в случае решения в
Более сложные случаи
нуждаются в отдельном рассмотрении каждый.
3.5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Расчет корней характеристического уравнения изложим, следуя [20], для чего запишем его в виде
s 2 + 2 ns + l 2 = ( k a s 2 + 2 nk v s + l 2 k y ) exp ( - st ) .
(1)
Положим общий вид корня s = a + w j , и подставив его в характеристическое уравнение, приравняем отдельно действительные и
мнимые части
ka (a 2 - w 2 ) + 2 nkv a + l 2 k y = éê(a 2 - w 2 ) + 2 na + l 2 ùú cos wt - 2w (a + n ) sin w t exp (at )
ë
û
{
(
2w ka a + nk v
){éëê(a 2 - w 2 ) + 2 na + l 2 ùûú sin wt + 2w (a + n ) cos wt } exp (at ) .
}
(2)
При заданных параметрах ka , k v , k y , n, l, t выражения (2)
представляют собой две кривые в плоскости a, w. Координаты точек их пересечения и определяют действительные и мнимые части
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
корней. Комплексно-сопряженные корни всегда выступают парами:
a ± w j . Поэтому достаточно рассчитать корни в верхней полуплоскости корней, для нижней они находятся, как сопряженные. Ввиду
значительной трудоемкости расчета корней характеристического
уравнения целесообразно применение ЭВМ.
3.6. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
Положим в (3.13) F ( s ) = 1/ s , являющуюся изображением единичного толчка возмущающей функции. Тогда переходный процесс
изменения положения рабочего органа машины при указанных выше ограничениях на вид корней можно рассчитать по уравнению
(4.4)
y (t ) =
(
1
l 2 1- ky
¥
)
( )
1
exp s i t .
¢
s
R
s
i =1 i
i
+å
( )
(1)
Первый член в (1) является новым установившимся значением
отклонения рабочего органа машины, а второй – переменной составляющей. Переменная составляющая обычно отражает реальный
процесс изменения положения рабочего органа машины лишь приближенно ввиду большой изменчивости условий работы, физикомеханических свойств обрабатываемой среды, ввиду чего коэффициенты дифференциального уравнения движения имеют значительный разброс и изменчивость в процессе работы почво и грунтообрабатывающих машин. В этой связи практически важными являются некоторые показатели переходного процесса, по которым
можно рассчитать те или иные конструктивные параметры машины. К таким показателям можно отнести максимальную величину
отклонения рабочего органа машины, длительность переходного
процесса и его вид – колебательный или апериодический.
Максимальное отклонение рабочего органа машины дается
выражением:
1
y (¥) = 2
.
(2)
(
l 1- ky
)
Если бы опора С перемещалась по заранее заданной поверхности, то максимальное отклонение рабочего органа было бы равно
y* ( ¥ ) = 1 / l 2 . Отсюда коэффициент m y = y ( ¥ ) / y * ( ¥ ) , как и выше, пока169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зывает, во сколько раз максимальное отклонение рабочего органа у
машины с обратной связью больше, чем у машины без нее:
my =
1
.
1- k y
(3)
Следовательно, если необходимо уменьшить отклонения рабочего органа, то это возможно как путем уменьшения начального
отклонения 1/ l 2 (увеличение жесткости передней подвески, геометрических параметров машины), так и уменьшение коэффициента
обратной связи машины k y .
y 2.4
2.4
2
2.4
2
1.6
1.6
1
1.2
1.2
0.8
0.8
2
0.4
0
2
0.4
0
1
2
3
4
0
5
шаг
а
у 2.4
0
1
2
3
4
2.4
5
шаг
б
2
2.4
2
1.6
1.6
1
1.2
1
1.2
0.8
0.8
2
0.4
0
1
2
0.4
0
1
2
в
3
4
шаг
0
5
0
0
1
2
г
3
4
шаг
5
Рисунок 1 – Переходные процессы
Длительность переходного процесса можно приближенно
оценить по абсолютной величине ближайшего к мнимой оси корня,
либо абсолютной величине действительной части ближайшей пары
комплексно-сопряженных корней. Согласно [23] имеем
tn »
170
1
1
ln
a1 d
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
для первого случая, и
tn £
1
1
ln
a1 d
(5)
для второго, где d - допустимое отклонение расчетного переходного процесса от установившегося значения. Обычно берут
d = 0 ,01 - 0 ,05 . Для последнего значения t n £ 3 / a1 .
На рисунке 1 показаны переходные процессы при значениях
параметров l = 8, n = 8, t = 1, ky = 0.5, kv = 0.2 и ka = 0.5, 1, 1.5, 2
(графики а, б, в, г соответственно). Видно, что на протяжении всех
шагов сохраняется гладкость первого порядка, что является характерным признаком дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа. По мере увеличения коэффициента обратной связи
по ускорению возрастает колебательность процесса вплоть до возникновения его неустойчивости (рис. г)
При необходимости полного расчета переходного процесса
помимо применения формулы (1) следует воспользоваться методами, изложенными в 2.3.
Колебательных переходных процессов при работе указанных
машин следует по возможности избегать, так как это связано с непроизвольными затратами энергии и более быстрым износом узлов
машины. Для этого проводят различные конструктивные мероприятия в виде демпфирования упруго деформируемых подвесок, конструктивных изменений опор, и т. п.
3.7
ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ
И ЕЕ УСТОЙЧИВОСТЬ
Вынужденную реакцию модели машины на гармоническое
воздействие f ( t ) = a1 sin w t можно изучить, как и выше, путем построения амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик.
Полагая в (3.14) s = jw , избавляясь от иррациональности в знаменателе, получим выражения коэффициента динамичности и фазочастотной характеристики:
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
h=
2
,
(1)
2
ìï æ w ö2
üï
é
nw
æw ö ù
1
2
sin
wt
cos
w
t
k
k
k
ê
ú
í ç ÷
ý +
y
aç ÷
v
l
l
l
l
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
îï
þï
2
2
ìï n w é
üï
nw
æw ö ù
+ í2
+ ê k y - k a ç ÷ ú sin wt - 2
kv cos wt ý
ll
è l ø úû
ïî l l êë
ïþ
2
é
ù
nw é
nw
æw ö ù
ê 2
+ ê k y - ka ç ÷ ú sin wt - 2
kv cos wt ú
l l êë
ll
è l ø úû
ê
ú
j = arctg ê ú.
2
2ù
é
ê
ú
nw
æw ö
æw ö
ê 1 - ç l ÷ - 2 l l k v sin wt - ê k y - ka ç l ÷ ú cos wt ú
è ø
è ø ûú
êë
úû
ëê
(2)
Анализ приведенных выражений достаточно сложен из-за их
громоздкости.
h 15
1
2
10
3
4
5
0
0
1
2
3
4
w/l
Рисунок 1 – Амплитудночастотные характеристики
j
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
w/l
1
1
-p
2
2
3
4
2
-p
3
4
Рисунок 2 – Фазочастотные
характеристики
172
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим следующие особенности кривой h = h (w ) . При w = 0
h = 1 / (1 - k y ) , а при w ® ¥ h ® 0 , как и у всех приведенных выше зависимостей h = h (w ) . Приведение коэффициента динамичности в области средних частот зависит как от величин коэффициентов обратных связей, так и от того, с какой фазой запаздывания y = w t
воздействия со стороны обратных связей поступают на машину. На
рис. 1 показано влияние коэффициента обратной связи по ускорению на протекание коэффициента динамичности для значений n/l
= 0.2, y = wt = 0, ky = 0.2, kv = 0 и ka = 0, 0.3, 0.6 и 0.9 (кривые 1, 2, 3
и 4 соответственно). Штрих - пунктирной линией обозначено значений h = 1. На рис.2 показано протекание фазо-частотных характеристик для тех же значений параметров. Штрих-пунктирными линиями
обозначены значения j = -p / 2 и -p.
Следует отметить полиэкстремальность кривой (3.7.1) из-за
наличия периодических членов. Экстремальные значения коэффициента динамичности и фазы колебаний и их частоты можно определить обычным путем, исследуя на минимум подкоренное выражение (1). Из всех максимумов можно выделить такие, при которых
h ® ¥ , то есть имеет место резонанс. Приравнивая нулю подкоренное выражение, будем иметь
2
2
é
nw
æw ö ù
æw ö
k v sin wt = 1 - ç ÷ ,
ê k y - k a ç ÷ ú cos wt + 2
ll
è l ø úû
èlø
êë
2
é
nw
nw
æw ö ù
k v cos wt - ê k y - k a ç ÷ ú sin wt = 2
.
2
ll
ll
è l ø úû
êë
(3)
Система уравнений (3) позволяет построить графики D – разбиений по различным параметрам. В качестве переменных могут
быть взяты, например, коэффициент обратной связи по смещению
k y и фаза воздействия со стороны обратной связи y = wt . Разрешим
систему (3) относительно величин k y и y. С этой целью обозначим
2
æw ö
k y - k a ç ÷ = A cos b
èlø
nw
2
k = А sin b , .
ll v
(4)
(5)
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
nw
kv
l
l
.
b = arctg
2
æw ö
ky - ka ç ÷
èl ø
2
(6)
После подстановки выражений (4) – (6) в систему уравнений
(3), последнюю можно записать как
2
æw ö
A cos (y - w ) = 1 - ç ÷ ,
èl ø
nw
A sin (y - w ) = -2
.
ll
(7)
Возводя в квадрат обе части обоих уравнений и складывая их,
2
получим
2
é æ w ö2 ù
é nwù
А = ê1 - ç ÷ ú + ê2
ë l l ûú
ëê è l ø ûú
2
. Подставив значение А из (5), полу-
чим выражение для коэффициента обратной связи по отклонению
2
2
2
é æ w ö2 ù
æw ö
é nwù
k y = k a ç ÷ + ê1 - ç ÷ ú + ê2
1 - k v2 .
ú
èl ø
ë l lû
êë è l ø úû
(
)
(8)
Разделив второе уравнение системы (7) на первое, получим
nw
tg (y - b ) = - 2
ll
é æ w ö2 ù
ê1 - ç ÷ ú
êë è l ø úû
откуда
ìï é n w ù
y = b - arctg í ê2
ú
ïî ë l l û
é æ w ö 2 ù üï
ê1 - ç ÷ ú ý .
êë è l ø úû ïþ
Подставив значение b из (6) и свернув выражение разности
арктангенсов, получим выражение для фазы воздействия со стороны обратной связи:
2
2
n w ìï é æ w ö ù é
æ w ö ù üï
1
k
k
k
ê
ú
ê
í
ç ÷
a ç ÷ úý
l l ï vê èl ø ú ê y
è l ø úû þï
û ë
î ë
.
y = arctg
2
2
é æ w ö2 ù é
æw ö ù æ n w ö
ê1 - ç ÷ ú ê k y - k a ç ÷ ú + ç 2
÷ kv
è l ø úû è l l ø
êë è l ø úû êë
2
(9)
По выражениям (8) и (9) строят графики D – разбиения при
k a = const , k v = const , рис.3
а - г. Из рис. 3г видна абсолютная неустойчивость рассматриваемой модели. Из значения коэффициента
динамичности при частоте w = 0 следует, что рассматриваемая модель машины устойчива при k y < 1 и неустойчива при k y ³1 . Эти условия справедливы для всех рассмотренных выше динамических
моделей машины с одной степенью свободы.
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Статистические свойства машины предпочтительно изучать в
частной
области
на
основе
известного
соотношения
2
S y (w=
) Ф ( jw ) S f (w ) ,
где S f (w ) - спектральная плотность возмущающего воздействия;
S y (w ) - спектральная плотность формируемого профиля
рельефа;
Ф ( jw ) - амплитудно-частотная характеристика системы.
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛИТЕРАТУРА
1. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. «Наука» М. 1971
2. Лачуга Ю. Ф., Ксендзов В. А. Теоретическая механика. Москва «КолосС» 2005
3. Ротенберг Р. В. Подвеска автомобиля. М. "Машиностроение" 1972
4. Смирнов Г. А. Теория движения колёсных машин. М.
"Машиностроение" 1981
5. Вонг Дж. Теория наземных транспортных средств. М..
«Машиностроение» 1982
6. Хайлис Г. А. К теории качения пневматического колеса.
Механизация и Электрификация социалистического сельского хозяйства №2 1967
7. Ишлинский А. Ю. О качении жёстких и пневматических
колёс по деформируемому грунту. Прикладные задачи механики т.
1 М. «Наука» 1986
8. Горячкин В. П. Теория плуга. Промиздат М. 1927
9. Горячкин В. П. Собрание сочинений. т. 1,2,3 «Колос» 1965
10. Львов Е. Д. Теория трактора. Машгиз. М. 1963
11. Гоберман Л. А. К аналитическому определению сопротивления,
качения колеса с жёстким ободом со скольжением и буксованием.
Сельхозмашина №3 1955
12. Полетаев А. Ф. Основы теории сопротивления качения и
тяги жесткого колеса по деформируемому основанию. «Машиностроение».М 1971.
13. Гоберман Л. А. Прикладная механика колёсных машин.
"Машиностроение" М, 1974
14. Сергеев М. П. Виноградов В.И. Сандин С.С. Взаимодействие полевой доски плуга со стенкой борозды. Труды Челябинского
института механизация и электрификации сельского хозяйства.
Выпуск 46, 1969
15. Синеоков Г. H. Равновесие плуга в горизонтальной плоскости. Тракторы и сельхозмашины, № 3 I960
16. Синеоков Г. Н. Экспериментальное определение сопротивления рабочих органов плугов и культиваторов. Сборник научно-исследовательских работ ВИСХОМ. Выпуск 4, 1949
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. Синеоков Г. Н. Панов И. М. Теория и расчет почвообрабатывающих машин. М.: «Машиностроение». - 1977.
18. Синеоков Г. Н. Силовые характеристики рабочих органов
лемешного плуга. Сельхозмашина. №6 1956
19. Гноенский Л. С. Каменский Г.А. Элъсгольц Л. Э. Математические основы теории управляемых систем, «Наука» 1969
20. Булгаков Б. В. Колебания. т. 1 Гостехиздат. М.Л. 1949
21. Цыпкин Я. З. Основы теории автоматических систем.
«Наука» М. 1977
22. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. «Машиностроение». М. 1974
23. Бессекерский В. А. Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. «Наука» М. 1975
24. Эльсгольц Л. Э. Качественные методы в математическом
анализе. ГИИТЛ М. 1955.
25. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных
функций. "Наука'" 1968
26. Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. «Наука» М. 1971
27. Бутенин H. B. Лунц Я. Л. Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. т. 2 «Наука» М. 1971
28. Бабаков И. М. Теория колебаний. «Наука» М. 1965
29. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z – преобразования. «Наука» М. 1971
30. Кирьянов Д.В. Mathcad 12 в подлиннике. СПб «БХВ – Петербург» 2005
31. Алексеев Е. Р. Чеснокова О. В. Mathcad 12. Самоучитель.
NT Press. Москва 2005
32. Кудрявцев Е. М. Mathcad 2000 Pro. ДМК Москва 2001
33. Плис А. И. Сливина Н. А. MATHCAD: математический
практикум. Москва «Финансы и статистика» 2003
34 Херхагер М. Партолль Х. Mathcad 2000. «Ирина» BHV Киев 2000.
178
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 958 Кб
Теги
1550
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа