close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3541

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 1 (21)
2012
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Бойков И. В., Захарова Ю. Ф. Оптимальные методы вычисления
многомерных гиперсингулярных интегралов ....................................................... 3
Карчевский Е. М., Фролов А. Г. Собственные волны
слабонаправляющего волновода в полупространстве ........................................ 22
Мельников Б. Ф., Мельникова А. А. Многоаспектная минимизация
недетерминированных конечных автоматов
(Часть II. Основные алгоритмы) ........................................................................... 31
Алехина М. А., Грабовская С. М. Нижняя оценка ненадежности
неветвящихся программ с оператором условной остановки ............................. 44
Алехина М. А., Барсукова О. Ю. О надежности схем,
реализующих функции из P3 ................................................................................ 57
Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г., Широкова Е. А. Численный метод
в задаче о распространении электромагнитных ТЕ-волн
в двухслойной нелинейной волноведущей структуре ........................................ 66
Зарембо Е. В. Об одном численном методе решения нелинейной краевой
задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн,
распространяющихся в слое с Керровской нелинейностью .............................. 75
Медведик М. Ю. Субиерархический метод
решения задачи дифракции электромагнитной волны
на теле, расположенном в свободном пространстве........................................... 83
Смирнов Ю. Г., Щербаков А. А., Цветков А. В. Метод интегральных
уравнений для решения задачи Дирихле в возмущенном трехмерном слое .... 92
ФИЗИКА
Кревчик В. Д., Разумов А. В., Козенко С. Е., Зайцев Р. В. Оптические
свойства квантовой проволоки с одномерной сверхрешеткой
из потенциалов нулевого радиуса во внешнем электрическом поле .............. 103
Кревчик В. Д., Семенов М. Б., Зайцев Р. В., Манухина М. А.,
Калинин Е. Н. Электрооптические свойства квантовых
молекул с резонансными донорными состояниями .......................................... 118
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Домкин К. И., Юрков Н. К. Моделирование процесса сухого
измельчения порошковых материалов ............................................................... 131
Кузьмичев Н. Д., Федченко А. А. Математическое моделирование процесса
намагничивания цилиндрического сверхпроводника в модели Бина.............. 139
Ротова М. П., Щиголев В. К. Тахион-квинтомная модель
в космологии Фридмана....................................................................................... 149
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 517.392
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова
ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Аннотация. Предложен общий метод оценки снизу погрешности вычисления
многомерных гиперсингулярных интегралов кубатурными формулами, использующими N узлов подынтегральной функции. Оценки получены для
произвольного класса функций Ψ , интегрируемых в смысле Адамара. Для ряда классов функций построены оптимальные по порядку по точности кубатурные формулы.
Ключевые слова: многомерные гиперсингулярные интегралы, кубатурные
формулы, оптимальные по точности алгоритмы.
Abstract. The authors suggest a method of lower estimate of calculation error of
multidimensional hypersingular integrals by cubature formulas, applying N nodes of
a subintegral function. The estimations has been obtained for arbitrary class of the
function Ψ , integrated in the sense of Hadamard. For the range of function classes
the authors have built cubatury formulas, optimal in order and accuracy.
Key words: multidimensional hypersingular integrals, cubatury formulas, accuracyoptimal algorithms.
Введение
Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов в
настоящее время являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Активное развитие этого направления обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых, начиная с 50-х гг. прошлого века методы
гиперсингулярных интегральных уравнений находят все больше применение
в задачах аэродинамики [1–4] и становятся инструментом математического
моделирования в электродинамике [5], ядерной физике [6], геофизике [7].
Во-вторых, непосредственное вычисление гиперсингулярных интегралов
возможно лишь для нескольких очень узких классов функций.
Необходимо отметить, что большинство опубликованных к настоящему времени работ посвящено одномерным гиперсингулярным интегралам,
для приближенного вычисления которых предложено большое число различных методов [8–14], их подробный анализ приведен в работах [12–14]. Оптимальные методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов изложены в работах [12–14].
Значительно слабее разработаны приближенные методы вычисления
полигиперсингулярных и многомерных гиперсингулярных интегралов.
Насколько авторам известно, приближенным методам вычисления полигиперсингулярных интегралов посвящены только работы [12, 13], в которых
построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления полигиперсингулярных интегралов.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Возможно несколько подходов к приближенному вычислению
многомерных гиперсингулярных интегралов. Изложим их на примере интеграла
1 1
ϕ(τ , τ )d τ d τ
  ((τ1 − t1 )12 +2(τ2 −1 t2 )22 ) p /2 ,
p = 3, 4, , − 1 ≤ t1 , t2 ≤ 1 .
(1)
−1−1
Можно считать точку (t1 , t2 ) фиксированной и рассматривать (1) как
интеграл с фиксированной особенностью. Приближенному вычислению гиперсингуляных интегралов вида (1) с фиксированной особенностью посвящены работы [11–13, 15].
Другой подход заключается в том, что параметр (t1 , t2 ) считается переменным и интеграл (1) вычисляется в предположении, что −1 ≤ t1 , t2 ≤ 1 .
В работах [4, 12, 13] предложено несколько алгоритмов вычисления интеграла (1).
Основным недостатком этих алгоритмов является необходимость значительной предварительной обработки кубатурных формул, предшествующей их программной реализации.
В разд. 5 настоящей статьи предложены оптимальные по порядку
методы вычисления интегралов вида (1), лишенные указанного выше недостатка.
Статья построена следующим образом. В разд. 1 даны определения гиперсингулярных интегралов. В разд. 2 приведены определения классов функций, используемых в работе. В разд. 3 приведены определения оптимальных
алгоритмов. В разд. 4 исследованы оптимальные по порядку кубатурные
формулы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов.
1. Определение гиперсингулярных интегралов
В работе [16] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов.
b
Определение 2.1 [16, 17]. Интеграл вида
A( x) dx
 (b − x) p+α
при целом p и
a
0 < α < 1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла как предел при x → b суммы
x
A(t ) dt
B ( x)
 (b − t ) p+α + (b − x) p+α−1 ,
a
если предположить, что A( x) имеет p производных в окрестности точки b .
Здесь B ( x) − любая функция, на которую налагаются два условия:
а) рассматриваемый предел существует;
б) B( x) имеет по крайней мере p производных в окрестности точки
x=b.
Произвольный выбор B( x) никак не влияет на значение получаемого
предела: условие (а) определяет значения ( p − 1) первых производных от
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
B( x) в точке b , так что произвольный добавочный член в числителе есть
бесконечно малая величина по меньшей мере порядка (b − x) p .
Первое определение многомерных интегралов в смысле Адамара дано
в монографиях [16, 17], где были определены интегралы вида
ϕ( τ , τ , τ )
 (G((τ1,1τ2 ,2τ3 ))3 p+α d τ1d τ2d τ3 , p = 3, 4,,
0 < α < 1,
T
при условии, что T является цилиндрической областью с нижним основанием S , расположенным на координатной плоскости OXY и верхним основанием, являющимся поверхностью Ляпунова G = 0. Предполагается, что поверхность G не содержит особых точек, т.е. ни в одной из ее точек первые
частные производные G не обращаются в нуль одновременно.
Приведем определение гиперсингулярных интегралов вида
Lϕ ≡
ϕ(τ , τ ) d τ d τ
 ((τ1 − t1)12 +2(τ2 −1 t2 )22 ) p /2 ,
G
где t = (t1 , t2 ) – внутренняя точка области G; p ( p > 2) – целое число.
В зависимости от того, является ли p целым или нецелым числом,
вводятся две регуляризации интеграла Lϕ .
Обозначим через R (t , ε) круг с центром в точке t и с радиусом ε, где
ε < ρ(t , ∂G ), ∂G – граница области G; ρ(t , ∂G ) – расстояние от точки t до ∂G.
Пусть p – целое число, тогда имеет место следующее определение.
Определение 2.2. Пусть функция ϕ(t1 , t2 ) имеет частные производные
∂|v|ϕ(t1 , t2 )
,
v v
∂t11 ∂t22
∂ ρ−1ϕ(t1 , t2 )
v v
∂t11 ∂t22
| v |= v1 + v2 ,
0 ≤ v ≤ p − 1,
i = 1, 2,
причем
производные
удовлетворяют условию Дини – Липшица.
Регуляризацией интеграла Lϕ при p ≥ 3 называется предел


p −2
Bk (ε)
ϕ(τ1 , τ2 )d τ1d τ2
−
− C (ε) ln ε  ,
Lϕ = lim 

ε→0 
((τ − t )2 + (τ2 − t2 ) 2 ) p /2 k =1 ε k
 G \ R ( t ,ε ) 1 1

 

где B ( x), C ( x) – любые функции, на которые налагаются следующие
условия:
а) рассматриваемый предел существует;
б) Bk ( x) имеет непрерывные производные до k порядка в окрестности
нуля;
в) функция C ( x) удовлетворяет условию Дини – Липшица в окрестности нуля.
Замечание. В ряде случаев более удобно использовать следующее
определение гиперсингулярного интеграла:
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


p −2
ϕ(τ1 , τ2 )d τ1d τ2
B ( h)

−
− C (h) ln h  ,
Lϕ = lim


k
2
2 p /2
h →0
((τ − t ) + ( τ2 − t2 ) )
k =1 h
 Ω \Ω1 1 1


 
где Ω1 = [t1 − h, t1 + h; t2 − h, t2 + h].
Замечание. Можно показать, что эти определения эквивалентны.
При p нецелом имеет место следующее определение.
Определение 2.3. Регуляризацией интеграла Lϕ при p = k + α,
k = 2,3, , 0 < α < 1, называется предел


ϕ(τ1 , τ2 )d τ1d τ2
B (ε) 

−
Lϕ = lim
,
2
2 p /2
p−2 
ε→0 
((
)
(
)
)
τ
−
+
τ
−
ε
t
t
1
1
2
2
 G \ R ( t ,ε )

 
где B (ε) – некоторая функция, на которую налагаются следующие условия:
а) рассматриваемый предел существует;
б) B (ε) имеет непрерывные производные до ( p − 1) порядка в окрестности нуля.
3. Классы функций
Ниже описываются используемые в работе классы функций.
Для простоты обозначений даны определения классов функций двух
переменных. Распространение этих определений на функции многих переменных очевидно.
Через H α α 2 ( D, M ) обозначен гельдеровский класс функций f ( x, y ),
1
определенных в области D( D = [a, b; c, d ] = [a, b] × [c, d ] и удовлетворяющих
α
α
условию | f ( x1 , y1 ) − f ( x2 , y2 ) |≤ M (| x1 − x2 | 1 + | y1 − y2 | 2 ).
Через W r ,s ( D, M ), D = [ a, b; c, d ], 0 < M < ∞ , обозначен класс определенных на D функций f ( x, y ) , имеющих частные производные
f (α,β) ( x, y ) = ∂ α+β f ( x, y ) / ∂x α ∂yβ (0 ≤ α ≤ r , 0 ≤ β ≤ s ),
причем  f ( r ,s ) ( x, y ) C ( D ) ≤ M ,  f ( r , j ) ( x,0) C ( D ) ≤ M , j = 0,1, ..., s − 1,
 f (i,s ) (0, y ) C ( D ) ≤ M , i = 0,1, ..., r − 1.
Через Clr (Ω,1), Ω = [a1 , b1; ...; al , bl ] обозначен класс функций l независимых переменных, у которых существуют и ограничены по модулю единицей все частные производные до r -го порядка включительно.
Пусть Ω = [−1,1]l , l = 1, 2 Функция ϕ( x1 ,, xl ) принадлежит классу
v
v
Qr ,γ (Ω, M ), если выполнены условия: max | ∂|v|ϕ( x) / ∂x11 ... ∂xl l |≤ M
x∈Ω
v
v
при
0 ≤| v |≤ r и | ∂|v|ϕ( x) / ∂x11 ... ∂xl l |≤ M / (d ( x, Γ))|v|− r −ζ , x ∈ Ω \ Γ, при r <| v |≤ s,
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
где s = r + [ γ ] + 1, γ = [ γ ] + μ, 0 < μ < 1, ζ = 1 − μ при γ нецелом; s = r + γ
при γ целом.
Здесь x = ( x1 ,, xl ), v = (v1 ,, vl ), | v |= v1 +  + vl , d ( x, Γ) – расстояние
от точки x до границы Γ области Ω, вычисляемое по формуле
d ( x, Γ) = min1≤i≤l min(|1 + xi |, |1 − xi |).
Пусть Ω = [−1,1]l , l = 1, 2, , r = 1, 2, , 0 < γ ≤ 1. Функция f ( x1 ,, xl )
принадлежит классу Br ,γ (Ω, M ), если выполнены условия:
v
v
|v|
|v|
|v|
max | ∂ ϕ( x1 ,, xl ) / ∂x11  ∂xl l |≤ M | v | при 0 ≤| v |≤ r ,
x∈Ω
v
v
| ∂|v|ϕ( x1 ,, xl ) / ∂x11  ∂xl l |≤ M |v| | v ||v| /(d ( x, Γ))|v|− r −1+γ при r <| v |≤ ∞.
4. Постановка задачи построения оптимальных алгоритмов
вычисления гиперсингулярных интегралов
Постановка задачи построения оптимальных квадратурных формул
принадлежит А. Н. Колмогорову. В дальнейшем Н. С. Бахвалов [18] сформулировал задачу построения оптимальных, асимптотически оптимальных и
оптимальных по порядку алгоритмов решения задач математической физики,
из которой следует постановка задачи построения оптимальных, асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку кубатурных формул.
Приведем определения оптимальных, асимптотически оптимальных и
оптимальных по порядку кубатурных формул вычисления двумерных интегралов. Их распространение на интегралы конечной размерности очевидно.
Для вычисления интегралов в смысле Римана эта постановка заключается в следующем. Рассмотрим кубатурную формулу
1 1
m n ρ1 ρ2
−1−1
k =1l =1i =0 j =0
  ϕ(τ1, τ2 )d τ1d τ2 =  pklij ϕ
(i , j )
( xk , yl ) + Rmn ( xk , yl ; pklij ; ϕ) , (2)
где −1 ≤ x1 < x2 <  < xm ≤ 1, −1 ≤ y1 < y2 <  < yn ≤ 1 – узлы кубатурной
формулы; pklij – ее коэффициенты.
Абсолютной погрешностью
| Rmn ( xk , yl ; pklij ; ϕ) | .
формулы
(2)
является
величина
Пусть Ψ – некоторый класс заданных в квадрате Ω = [−1,1]2 функций.
Положим
Rmn ( xk , yl ; pklij ; Ψ ) = sup | Rmn ( xk , yl ; pklij ; ϕ) |,
ϕ∈Ψ
ζ mn [Ψ ] =
| Rmn ( xk , yl ; pklij ; Ψ ) | .
inf
( xk y l ; pklij )
Здесь нижняя грань берется по всевозможным узлам ( xk , yl ) ∈ Ω,
1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n, и коэффициентам
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
pklij (1 ≤ k ≤ m,1 ≤ l ≤ n, 0 ≤ i ≤ ρ1 , 0 ≤ j ≤ ρ2 ) .
Кубатурная формула (2), построенная на векторах
*
( xk* , yl* ; pklij
)
(0 ≤ k ≤ m, 0 ≤ l ≤ n, 0 ≤ i ≤ ρ1 , 0 ≤ j ≤ ρ2 ) , называется оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если
*
| Rmn ( xk* , yl* ; pklij
; Ψ ) | / ζ mn [ Ψ ] = 1,  1,  1.
Замечание. Говорят, что α n  βn , если lim α n / βn = 1. Аналогично,
n→∞
α n  βn , если 0 < A ≤ α n / βn ≤ B < ∞, A, B – константы.
Распространим эту постановку на многомерные гиперсингулярные интегралы.
Рассмотрим многомерный гиперсингулярный интеграл
1 1
Lϕ =

−1−1
ϕ(τ1 , τ2 )d τ1d τ2
( (τ1 − t1)2 + (τ2 − t2 ) )
2 p /2
, (t1 , t2 ) ∈ Ω = [−1,1]2 , p > 2.
Интеграл Lϕ будем вычислять по кубатурной формуле
Lϕ =
m n ρ1 ρ2
 pklij (t1, t2 )ϕ(i, j ) ( xk , yl ) + Rmn (t1, t2 ; xk , yl ; pklij ; ϕ).
(3)
k =1l =1i =0 j =0
Обозначим через Ψ класс функций, на которых определены кубатурные формулы вида (3). Погрешность кубатурной формулы (3) определяется
формулой
Rmn ( xk , yl ; pklij ; ϕ) =
sup | Rmn (t1 , t2 ; xk , yl ; pklij ; ϕ) | .
(t1 ,t2∈Ω )
Введем функционалы:
Rmn [Ψ ] = sup Rmn ( xk , yl ; pklij ; ϕ);
ϕ∈Ψ
ζ mn [Ψ ] =
inf
xk , yl , pklij
Rmn ( xk , yl ; pklij ; Ψ ),
где нижняя грань берется по всем узлам ( xk , yl ) ∈ Ω и всем коэффициентам
pklij .
*
и узлами
Кубатурная формула вида (3) с коэффициентами pklij
( xk* , yl* ) называется оптимальной, асимптотически оптимальной, оптималь*
ной по порядку, если Rmn ( xk* , yl* ; pklij
; Ψ ) / ζ mn [Ψ ] = 1,  1,  1.
Наряду с кубатурной формулой (3) интеграл Lϕ будем вычислять по
кубатурной формуле
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Lϕ =
Физико-математические науки. Математика
N ρ1
ρ2
   pkij (t1, t2 )ϕ(i, j ) (M k ) + RN (t1, t2 ; M k ; pkij ; ϕ),
(4)
k =1 i1 =0 j2 =0
где M k∈Ω – узлы кубатурной формулы; ρkij – ее коэффициенты.
Обозначим через Ψ класс функций, на котором определены кубатурные формулы вида (4). Введем числовые характеристики:
RN ( M k , pkij , ϕ) =
sup RN (t1 , t2 ; M k ; pkij ; ϕ) |;
(t1 ,t2 )∈Ω
RN ( M k , pkij , Ψ ) = sup RN ( M k ; pkij ; ϕ);
ϕ∈Ψ
ζ N [Ψ ] =
inf
M k ∈ pkij
| RN ( M k , pkij , Ψ ) | .
*
и узлами ( M k* )
Кубатурная формула вида (4) с коэффициентами pkij
называется оптимальной по порядку, если
*
RN ( M * , pkij
, Ψ ) / ζ N [Ψ ] = 1,  1,  1.
При оценке погрешности оптимальных кубатурных формул понадобится следующее утверждение, принадлежащее С. А. Смоляку и цитируемое по
работе [18].
Лемма Смоляка. Пусть функционалы L( f ), L1 ( f ),, LN ( f ) линейные
и Ω – выпуклое центрально-симметричное множество с центром симметрии
Q в линейном метрическом пространстве. Пусть sup f ∈Ω L( f ) < ∞, где
0
Ω0 ≡ { f ; f ∈ Ω, Lk ( f ) = 0, k = 1, 2,..., N }. Тогда существуют числа D1 , , DN
такие, что sup f ∈Ω | L( f ) −
 k =1Dk Lk ( f ) |= R(T ),
N
т.е. среди наилучших мето-
дов есть линейный.
Следствие. R (T ) = sup f ∈Ω Lf .
0
5. Оптимальные методы вычисления многомерных
гиперсингулярных интегралов с переменной сингулярностью
В данном разделе строятся оптимальные по порядку кубатурные
формулы вычисления гиперсингулярных интегралов вида
1
Hϕ =
1
ϕ(τ ,, τ ) d τ  d τ
  ((τ1 − t1 )12 + l + (τ1l − tl )2l ) p /2 ,

−1
(5)
−1
где p − вещественное число, p > l.
На функцию ϕ(t1 ,, tl ) налагаются условия, достаточные для того,
чтобы существовал гиперсингулярный интеграл (5) и были осуществимы
вычисления по предлагаемым ниже кубатурным формулам.
Для вычисления интеграла (5) будем использовать кубатурные формулы следующих видов:
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Hϕ =
N1
Nl ρ1
ρl
    pk1⋅⋅⋅k i ⋅⋅⋅i (t1, ..., tl )ϕ 1

k1=1

kl =1 j1=0
(i ,...,il )
l 1
jl =0
l
( x1,k , ..., xl ,k ) +
l
1
+ RN ( x1,k , ..., xl ,k ; pk ⋅⋅⋅kl i1⋅⋅⋅il ; ϕ)
1
1
l
(6)
и
N
Hϕ =
 pk (t1,, tl )ϕ(μk ) + RN (μk , pk , ϕ).
(7)
k =1
Здесь
pk k i i (t1 , , tl )
1
l1 l
{x1,k , , xl ,k },
и
1
l
(−1 ≤ xi ,k ≤ 1),
i
ki = 1, 2, , Ni , i = 1, 2, , l – коэффициенты и узлы кубатурной формулы (6),
а pk (t1 ,, tl ) и μ k (μ k ∈ Ω = [ −1,1]2 ), k = 1, 2, , N − коэффициенты и узлы
кубатурной формулы (7).
(i ,...,i )
Через ϕ 1 l (t1 , , tl ) обозначены частные производные:
i
ϕ(i1 ,...,il ) (t1 , , tl ) = ∂ 1
++il
i
i
ϕ(t1 , , tl ) / ∂t11 , , ∂tll , 0 ≤ i j ≤ ρ j , j = 1, , l.
Ниже для простоты обозначений в кубатурной формуле (6) будем
полагать: N1 = N 2 =  Nl = N и ρ1 = ρ2 =  = ρl = ρ, l = 2. Распространение
полученных результатов на общий случай не вызывает затруднений.
Теорема 5.1. Пусть Ψ – класс функций, заданный на области
Ω, Ω = [ −1,1]2 и такой, что существует гиперсингулярный интеграл (5) от
каждой функции ϕ∈ Ψ. Пусть интеграл (5) вычисляется по кубатурной
формуле (6), использующей n = (( N + 1)(ρ + 1)) 2 значений подынтегральной
функции и ее производных. Тогда
ζ n (Ψ ) ≥ An( p − 2)/2 inf
sup
ϕ(σ1, σ2 )d σ1d σ2 .
ξk ,kl ϕ∈Ψ (ξ ,kl )
Ω
k
Здесь нижняя грань берется по всевозможным сеткам узлов
{ξk , κl }, k , l = 0,1, ..., 2 N + 1, таким, что (ξk , κl ) ∈ Ω, k , l = 0,1, ..., 2 N + 1;
Ψ (ξk , κl ), k , l = 0,1, ..., 2 N + 1, означает множество функций ϕ(σ1 , σ2 ),
входящих в класс функций Ψ и удовлетворяющих условиям:
1) функции ϕ(σ1 , σ2 ) – неотрицательные;
2) функции ϕ(σ1 , σ 2 ) обращаются в нуль вместе с производными
ϕ(i, j ) (t1 , t2 ) (0 ≤ i ≤ ρ1 , 0 ≤ j ≤ ρ2 ) в узлах {ξk , κl }, k , l = 0,1, ..., 2 N + 1.
Доказательство. Покроем область Ω квадратами: Δ k ,l = [vk , vk +1;
vl , vl +1 ], k , l = 0,1, , N − 1, где vk = −1 + 2k / N , k = 0,1, , N .
Обозначим через {ζ k , ηl }, k , l = 0,1, ..., 2 N + 2, сетку, являющуюся объединением сетки {vi , v j }, i, j = 0,1, ..., N , и узлов {xα , xβ }, α, β = 0,1, ..., N кубатурной формулы (6).
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Замечание. Для простоты обозначений полагаем, что узлы кубатурной
формулы {xα , xβ }, α, β = 0,1, ..., N , не совпадают с узлами сетки {vi , v j },
i, j = 0,1, ..., N .
Обозначим через ϕ* (t1 , t2 ) неотрицательную функцию, принадлежащую классу функций Ψ и обращающуюся в нуль вместе с производными
(i ,i )
ϕ 1 2 (t1 , t2 ), 0 ≤ i j ≤ ρ j , j = 1, 2, в узлах {ζ k , ηl }, k , l = 0, 1, ..., 2 N + 2.
Каждому узлу (vk , vl ) поставим в соответствие функцию ϕk ,l (σ1 , σ2 ),
определенную формулой
0,
(σ1 , σ2 ) ∈ Δ*kl ;
ϕk ,l (σ1 , σ2 ) = 
ϕ* (σ1 , σ2 ), (σ1 , σ 2 ) = [−1,1]2 \ Δ*kl ,
где Δ*kl = Ω ∩ [vk −1 , vk +1; vl −1 , vl +1 ].
Тогда
RN (vk , vl ; xk , xk ; pk1k2i1i2 ; ϕk ,l ) =
1
2
1 1
=
ϕk ,l (τ1 , τ2 )d τ1d τ2
  ((τ1 − vk )2 + (τ2 − vl )2 ) p /2
−1−1
≥
k −2 l −2
  
i =0 j =0 Δ
ij
+
+
+
k −2 l −2
i =0 j =0 Δ
ij
k − 2 N −1
k − 2 N −1
((τ1 − vk ) 2 + (τ2 − vl ) 2 ) p /2
  
ϕ* (τ1 , τ2 )d τ1d τ2
((τ1 − vk ) 2 + (τ2 − vl )2 ) p /2
N −1 l − 2
  
ϕ* (τ1 , τ2 )d τ1d τ2
2
2 p /2
i = k + 2 j =0 Δ (( τ1 − vk ) + ( τ2 − vl ) )
ij
N −1 N −1
  
ϕ* (τ1 , τ2 )d τ1d τ2
1
p
N
2
2 p /2  2 
i =0 j =l + 2 (( k − i − 1) + ( j + 1 − l ) )

1
≥
+
+
+
((τ1 − vk ) 2 + (τ2 − vl ) 2 ) p /2
N
2
2 p /2  2 
i =0 j =0 (( k − i − 1) + (l − j − 1) )

ϕk ,l (τ1 , τ2 )d τ1d τ2
ϕ* (τ1 , τ2 )d τ1d τ2
i = k + 2 j =l + 2 Δ
ij
≥
  
((τ1 − vk ) 2 + (τ2 − vl ) 2 ) p /2
i =0 j =l + 2 Δ
ij
+
=
N −1N −1
≥
  ϕ (τ1, τ2 )d τ1d τ2 +
*
Δij
p
  ϕ (τ1, τ2 )d τ1d τ2 +
*
Δij
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
N −1 l − 2
N
+
2
2 p /2  2 
i = k + 2 j =0 ((i + 1 − k ) + (l − j − 1) )
1

+
N −1 N −1
p
*
Δij
N
2
2 p /2  2 
i = k + 2 j =l + 2 ((i + 1 − k ) + ( j + 1 − l ) )
1
 
  ϕ (τ1, τ2 )d τ1d τ2 +
p
  ϕ (τ1, τ2 )d τ1d τ2 .
*
Δij
Осредняя предыдущее неравенство по k и l , 0 ≤ k , l ≤ N − 1, имеем
sup maxRN (t1 , t2 ; xk , xk ; pk1k2i1i2 ; ϕ) ≥
1
2
ϕ∈Ψ t1 ,t2
≥
1 N −1N −1
RN (vk , vl ; xk , xk ; pk1k2i1i2 ; ϕ*k ,l ) ≥
2
1
2
N k =0 l =0


p
1

N
ϕ* (τ1 , τ2 )d τ1d τ2 +
≥

 
N 2 k =0 l =0  i =0 j =0 ((k − i − 1) 2 + (l − j − 1) 2 ) p /2  2  Δ
ij

1
N −1N −1 k − 2 l − 2
  
+
k − 2 N −1

N
2
2 p /2  2 
i =0 j =l + 2 (( k − i − 1) + ( j + 1 − l ) )
1

N −1 l − 2
N
2
2 p /2  2 
i = k + 2 j =0 ((i + 1 − k ) + (l − j − 1) )

1
N −1 N −1
1
+
N
+
2
2 p /2  2 
i = k + 2 j =l + 2 ((i + 1 − k ) + ( j + 1 − l ) )
 
p
  ϕ (τ1, τ2 )d τ1d τ2 +
*
Δij
p
  ϕ (τ1, τ2 )d τ1d τ2 +
*
Δij
p


ϕ (τ1 , τ2 )d τ1d τ2  =

Δij


*

p
D(k − 2 − i, l − 2 − j )

N
=
ϕ* (τ1 , τ2 )d τ1d τ2 +
 

N 2 k =0 l =0  i =0 j =0 ((k − i − 1)2 + (l − j − 1)2 ) p /2  2  Δ
ij

1
N −1N −1 N −1N −1
 
+
+
N −1N −1

D(k − 2 − i, j − l − 2)
N
2
2 p /2  2 
i =0 j =0 (( k − i − 1) + ( j + 1 − l ) )
p
N −1N −1
D(i − k − 2, l − 2 − j )
p
N
2
2 p /2  2 
i =0 j =0 ((i + 1 − k ) + (l − j − 1) )

N −1N −1
D(i − k − 2, j − l − 2)
N
+
2
2 p /2  2 
i =0 j =0 ((i + 1 − k ) + ( j + 1 − l ) )

12

  ϕ (τ1, τ2 )d τ1d τ2 +
*
Δij
p
  ϕ (τ1, τ2 )d τ1d τ2 +
*
Δij


ϕ (τ1 , τ2 ) d τ1d τ2  =

Δij


*
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика

 N −1N −1
p
N −1N −1



D(k − 2 − i, l − 2 − j )
N 1
*
= 
(
,
)
d
d
ϕ
τ
τ
τ
τ
+

1
2
1
2


2
2
2 p /2
 2  N i =0 j =0  Δ
 k =0 l =0  ((k − i −1) + (l − j −1) )
 ij

 
+

D(k − 2 − i, j − l − 2)
2
2 p /2
((k − i − 1) + ( j + 1 − l ) )
+
+
D(i − k − 2, l − 2 − j )
((i + 1 − k )2 + (l − j − 1) 2 ) p /2
D(i − k − 2, j − l − 2)

2 p /2 
2
((i + 1 − k ) + ( j + 1 − l ) )

+
=


p
N −1N −1


N 1
*
= 
ϕ (τ1 , τ2 )d τ1d τ2  ×

 2  N 2 i =0 j =0  Δ

 ij

 
 N −1 N −1
1

×
+
2
2 p /2
 k =i + 2l = j + 2 ((k − i − 1) + (l − j − 1) )
 
+
N −1 j − 2
1
i − 2 N −1
1
  ((k − i − 1)2 + ( j + 1 − l )2 ) p /2  
+
k =i + 2 l =0
+
i −2 j −2
2
2 p /2
k =0l = j + 2 ((i + 1 − k ) + (l − j − 1) )
+

1
  ((i + 1 − k )2 + ( j + 1 − l )2 ) p /2  ≥

k =0 l =0
N −2 N −2
p
1
N 1
≥ 
ϕ* (σ1 , σ 2 )d σ1d σ 2 ≥
2
2
 2  N k =1 l =1 (k + l 2 ) p /2 Ω

≥
где B =
N −2 N −2
B
2p
N p −2

ϕ (σ1, σ2 )d σ1d σ2 ,
*
Ω
1
  (k 2 + l 2 ) p /2 .
k =1 l =1
Здесь D(i, j ) = 1 , если i ≥ 0 и j ≥ 0, и D(i, j ) = 0 в противоположном
случае.
Из построения функции ϕ* (σ1 , σ2 ) (напомним, что функция ϕ* (σ1 , σ2 )
обращается в нуль на сетке
{ζ k , ηl },
k , l = 0,1, ..., 2 N + 2, в состав которой
входит фиксированная сетка узлов {vi , v j }, i, j = 0,1, ..., N , и сетка узлов кубатурной формулы (6)) следует, что
ϕ (σ1, σ2 )d σ1d σ2 ≥ ξinf, k
*
Ω
sup
ϕ(σ1, σ2 )d σ1d σ2 ,
k k ϕ∈Ψ (ξk ,kl ) Ω
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где нижняя грань берется по всевозможным сеткам узлов {ξk , κl },
k , l = 0,1, ..., 2 N + 1, таким, что (ξk , κl ) ∈ Ω, k , l = 0,1,..., 2 N + 1.
Общее число функционалов, используемых в кубатурной формуле (6),
равно n = ((ρ + 1)(2 N + 2))2 . Поэтому оценка снизу погрешности кубатурных
формул вида (6) оценивается неравенством
ζ n (Ψ ) ≥ cn( p −2)/2 inf
sup
ϕ(σ1, σ2 )d σ1d σ2 .
ξk , kl ϕ∈Ψ (ξ , kl )
Ω
k
Функционалы inf
ϕ(σ1, σ2 )d σ1d σ2
sup
ξk ,kl ϕ∈Ψ ( ξ , kl )
Ω
k
известны для многих
классов функций Ψ.
Известна также связь между функционалами
inf
ϕ(σ1, σ2 )d σ1d σ2
sup
ξk , k ϕ∈Ψ (ξ , kl )
Ω
k
и наилучшими кубатурными формулами вычисления интегралов вида
ϕ(σ1, σ2 )d σ1d σ2 , основанная на лемме Смоляка.
Ω
Воспользовавшись этими результатами, получаем следующие оценки.
Теорема 5.2. Пусть Ψ ∈W r ,r (1). Для всевозможных кубатурных
формул вида (6) справедлива оценка ζ N [ Ψ ] ≥ AN −( r + 2− p ) = An −( r + 2− p )/2 , где
n – число узлов кубатурной формулы (6).
Теорема 5.3. Пусть Ψ = C2r (1). Для всевозможных кубатурных формул
вида (6) справедлива оценка ζ N [Ψ ] ≥ AN −( r + 2− p ) = An −( r + 2− p )/2 , где n –
число узлов кубатурной формулы (6).
Анализируя доказательство теоремы 5.1, нетрудно заметить, что в нем
не использовался тот факт, что сетка узлов в кубатурной формуле (6)
прямоугольная. Дословно повторяя доказательство теоремы 5.1, приходим к
следующему утверждению.
Теорема 5.4. Пусть Ψ – класс функций, заданных на области
Ω, Ω = [ −1,1]2 , и такой, что существует гиперсингулярный интеграл (5) от
каждой функции ϕ∈ Ψ. Пусть интеграл (5) вычисляется по кубатурной
формуле (7). Тогда
ζ N (Ψ ) ≥ cN ( p − 2)/2 inf
sup
ϕ(σ1, σ2 )d σ1d σ2 ,
γ k ϕ∈Ψ ( γ )
k Ω
где нижняя грань берется по всевозможным сеткам узлов {γ k },
k = 0,1,..., 2 N + 2, таким, что ( γ k ) ∈ Ω, k = 0,1, ..., 2 N + 2; Ψ ( γ k ) означает
множество функций ϕ(σ1 , σ 2 ), входящих в класс функций Ψ и удовлетворяющих условиям:
1) функции ϕ(σ1 , σ2 ) – неотрицательные;
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
2) функции ϕ(σ1 , σ2 ) обращаются в нуль вместе с производными
ϕ(i , j ) (σ1 , σ 2 ), 0 ≤ i, j ≤ ρ, в узлах γ k .
Приведем, пользуясь результатами [19, 20], оценки снизу функционалов
ζ N [Ψ ] на ряде других классов функций Ψ.
В приводимых ниже неравенствах оценки зависят от размерности l
рассматриваемых интегралов. Поэтому будем рассматривать интегралы (5) и
кубатурные формулы (6) при l ≥ 2.
Теорема 5.5. Пусть Ψ = Qr ,γ (Ω, M ),
Ω = [−1,1]l , l = 2,3, Пусть
интеграл (5) вычисляется по кубатурной формуле (6). Тогда

n −( r +1)/(l −1) , v > l / (l − 1);

ζ n (Qr ,γ (Ω, M )) ≥ An( p − 2)/ l n − s / l , v < l / (l − 1);
 1+ s / l
n
 ln
, v = l / (l − 1),
 n s / l
где v = s / ( s − γ ), n – число узлов кубатурной формулы.
Теорема 5.6. Пусть Ψ = Br ,γ (Ω, M ). Пусть интеграл (5) вычисляется по
кубатурной формуле (6). Тогда
ζ n ( Br ,γ (Ω, M )) ≥ An( p −2)/ l n −( r + 2−γ )/(l −1) ,
где n – число узлов кубатурной формулы.
Построим оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления
интегралов вида (5) на классах функций W r ,r (1) и C2r (1).
Покроем область Ω = [−1,1]2 квадратами Δ kl = [vk , vk +1; vl , vl +1 ],
k , l = 0,1,, N − 1,
vk = −1 + 2k / N ,
k = 0,1, , N .
Обозначим через
Pr ,r (ϕ, Δ k ,l ) интерполяционный полином степени r по каждой переменной,
построенный в области Δ k ,l по r + 1 равноотстоящему узлу по переменной
σ1 и по r + 1 равноотстоящему узлу по переменной σ2 . Отметим, что
вершины квадрата Δ k ,l входят в число узлов интерполяции.
Пусть (t1 , t2 ) ∈ Δij , i, j = 1, , N − 2. Интеграл (5) будем вычислять по
кубатурной формуле
Hϕ =
+
N −1N −1
  ' 
Prr (ϕ, Δ kl )d τ1d τ2
2
2 p /2
k =0 l =0 Δ (( τ1 − t1 ) + ( τ2 − t2 ) )
kl

Prr (ϕ, Δ*ij )d τ1d τ2
((τ1 − t1 )2 + (τ2 − t2 ) 2 ) p /2
Δ*
+ RN (ϕ),
+
(8)
ij
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
' означает суммирование по k
где Δ*ij = [vi −1 , vi + 2 ; v j −1 , v j + 2 ];
и l таким,
что мера пересечения квадратов Δ kl с квадратом Δ*ij равна нулю.
Теорема 5.7. Пусть Ψ = W r ,r (1). Среди всевозможных кубатурных
формул вида (6) оптимальной по порядку является формула (8), имеющая
погрешность RN [Ψ ]  N −( r + 2− p )  n −( r + 2− p )/2 , где n – число узлов
кубатурной формулы.
Доказательство. Оценим погрешность кубатурной формулы (8).
Очевидно,
N −1N −1
 '  
| RN (ϕ) |≤
((τ1 − t1 ) 2 + (τ2 − t2 )2 ) p /2
Δ kl
k =0 l =0
+
ψ rr (ϕ, Δ kl )d τ1d τ2
ψ rr (ϕ, Δ*ij )d τ1d τ2

((τ1 − t1 )2 + (τ2 − t2 ) 2 ) p /2
Δ*
+
= I1 + I 2 ,
(9)
ij
где ψ rr (ϕ, Δ kl ) = ϕ(τ1 , τ2 ) − Prr (ϕ, Δ kl ), (τ1 , τ2 ) ∈ Δ kl , k , l = 0,1, , N − 1.
Оценим каждое из выражений I1 , I 2 в отдельности.
Нетрудно видеть, что
I1 ≤
i −2 j −2
i
k =0 l =0
+
+
2
1

k =0l = j + 2 ((vi
2
k
| ψ rr (ϕ, Δ kl ) | d τ1d τ2 +

| ψ rr (ϕ, Δ kl ) | d τ1d τ2 +

| ψ rr (ϕ, Δ kl ) | d τ1d τ2 +
− vk ) + (vl − v j +1 ) 2 ) p /2 Δ
kl
N −1 j − 2
  ((v

− vk ) + (v j − vl )2 ) p /2 Δ
kl
i − 2 N −1
k =i + 2 l =0
+
1
  ((v
1
2
− vi +1 ) + (v j − vl ) 2 ) p /2 Δ
kl
N −1 N −1
1
 

2 p /2
k =i + 2l = j + 2 ((vk − vi +1 ) + (vl − v j +1 ) )
Δ kl
≤
+
2
| ψ rr (ϕ, Δ kl ) | d τ1d τ2 ≤
i − 2 N −1
 i −2 j −2
Np
Np

+
+
N r + 2  k =0 l =0 (u1 + u2 ) p /2 k =0l = j + 2 (u1 + u3 ) p /2
C

N −1 j − 2
  (u
k =i + 2 l =0
Np
4
+ u2 ) p /2

+

C
≤
,
p /2 
r + 2− p
k =i + 2l = j + 2 (u4 + u2 )
 N
N −1 N −1
 
Np
где u1 = (i − k − 1)2 , u2 = ( j − l − 1) 2 , u3 = (l − j − 1) 2 , u4 = (k − i − 1)2 .
16
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Интеграл I 2 представим следующим образом:
I2 ≤
+

ψ rr (ϕ, Δ*ij )d τ1d τ2

Δ*ij \ R (t12 ,δ0 )
((τ1 − t1 )2 + (τ2 − t2 ) 2 ) p /2
ψ rr (ϕ, Δ*ij )d τ1d τ2
 
((τ1 − t1 ) 2 + (τ2 − t2 ) 2 ) p /2
R (t12 ,δ0 )
+
= I 21 + I 22 ,
(11)
t12 = (t1 , t2 ),
δ0 = min(| t1 − xi −1 |,| xi + 2 − t1 |,| t2 − x j −1 |,| x j + 2 − t2 |),
R (t12 , δ0 ) – круг с центром в точке t12 радиуса δ0 .
Учитывая, что δ0 ≥ 2 / N , интеграл I 21 оценивается неравенством
где
I 21 ≤ cN p

ψ rr (ϕ, Δ*ij ) | d τ1d τ2 ≤
Δ*ij
c
N
r + 2− p
.
(12)
При оценке интеграла I 22 нужно отдельно рассмотреть случаи, когда
p – целое число и когда p – нецелое число.
Вначале рассмотрим случай, когда p – целое число.
Для оценки интеграла I 22 воспользуемся определением 2.3:


ψ rr (ϕ, Δ*ij )d τ1d τ2
B (η)
+
+ C (η) ln η  .
I 22 = lim 

η→0 
((τ − t )2 + ( τ2 − t2 )2 ) p /2 η p −2
 R (t12 ,δ0 ) \ R (t12 ,η) 1 1



Отметим, что приведенное выше выражение эквивалентно тому, что
интеграл

ψ rr (ϕ, Δ*ij )d τ1d τ2

R (t12 ,δ0 ) \ R (t12 ,η)
((τ1 − t1 )2 + ( τ2 − t2 ) 2 ) p /2
берется по частям и слагаемые, стремящиеся при η → 0 к ∞, «отбрасываются».
Из этого замечания нетрудно видеть, что, переходя к полярным координатам, имеем
I 22 ≤ c
ψ*rr (δ0 )
δ0p − 2
+
(ψ*rr )′(δ0 )
δ0p −3
ψ*rr (δ0 ) =
+ +
2π
(ψ*rr ) p −3 (δ0 )
+ (ψ*rr ) p − 2 (δ0 ) ln δ0 ,
δ0
 ψ rr (ϕ, Δij )(δ0 , Θ)d Θ,
*
0
где через ψ rr (ϕ, Δ*ij )(ρ, Θ) обозначена функция ψ rr (ϕ, Δ*ij ), записанная
в полярной системе координат с центром в точке t12 .
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Отсюда следует, что
c
| ψ*rr (δ0 ) |≤
N
r
, ,
ψ*rr (δ0 )
δ0p − 2
≤
c
N
r − p+2
.
Для оценки | ψ*'rr (δ0 ) | воспользуемся неравенством Маркова [21] и
методом С. Н. Бернштейна доказательства обратных теорем конструктивной
теории функций [21]. В результате имеем
| ψ*rr '(δ0 ) |≤
c
N
r −1
,
| ψ*rr '(δ0 ) |
δ0p −3
≤
c
N
r − p+2
.
Продолжая этот процесс, окончательно получаем оценку
I 22 ≤
c
,
N r − p+2
справедливую при целых значениях p.
Рассмотрим теперь случай, когда p – нецелое число, p = k + α > 2.
В этом случае для оценки I 22 следует воспользоваться определением 2.3.
Повторяя приведенные выше рассуждения, имеем
I 22 ≤ c
ψ*rr (δ0 )
δ0k +α−2
+
ψ*rr′ (δ0 )
δ0k +α−3
≤
+ +
(ψ*( k −2) (δ0 )
δ0α
c
N
r − k −α+ 2
c
=
r − p+2
N
+ ψ*( k −1) (δ0 )δ10−α ≤
.
Таким образом, как при p целом, так и при p нецелом
I 22 ≤
c
N
r − p+2
(13)
.
Из оценок (9)–(13) следует неравенство
| RN (ϕ) |≤
A
N
r + 2− p
=
A
n
( r + 2− p )/2
.
Из произвольности функции ϕ∈ Ψ имеем
RN [ Ψ ] ≤
A
n
( r + 2− p )/2
.
(14)
Сопоставляя неравенство (14) с утверждением теоремы 5.3, завершаем
доказательство теоремы.
Теорема 5.8. Пусть Ψ = C2r (1). Для всевозможных кубатурных формул
вида (6) оптимальной по порядку является формула (6). Ее погрешность
1
равна RN [Ψ ] 
, где n – число узлов кубатурной формулы.
( r + 2− p )/2
n
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Доказательство подобно доказательству предыдущей теоремы и поэтому опускается.
Непосредственное применение кубатурной формулы (8) затруднительно. Построим оптимальную по порядку кубатурную формулу непосредственно применимую для программной реализации.
Обозначим через Trr (ϕ, Δ kl ,(t1 , t2 )) отрезок ряда Тейлора функции
ϕ∈ C (Δ kl ) по степеням (τ1 − t1 ) и (τ2 − t2 ) до r -го порядка по каждой
переменной. Отметим, что точка (t1 , t2 ) не обязательно принадлежит области
Δ kl .
Интеграл (5) будем вычислять по кубатурной формуле
Hϕ =
N −1N −1
  ' 
Tr ,r ( Prr (ϕ, Δ kl ), Δ kl ,(t1 , t2 ))
k =0 l =0 Δ
kl
Prr (ϕ, Δ*ij )d τ1d τ2
4
+
 
v =1 Δ*
ij ,v
(( τ1 − t1 )2 + ( τ2 − t2 ) 2 ) p /2
((τ1 − t1 ) 2 + (τ2 − t2 ) 2 ) p /2
d τ1d τ2 +
+ RN (ϕ).
(15)

Здесь (t1 , t2 ) ∈ Δij , i, j = 1, 2, , N − 2, Δ*ij = [vi −1 , vi +1; v j −1 , v j +1 ];
'
означает суммирование по k и l таким, что мера пересечения квадратов Δ kl
и Δ*ij равна нулю. Опишем построение областей Δ*ij ,v , v = 1, 2,3, 4. Соединим
точку (t1 , t2 ) с вершинами квадрата Δ*ij отрезками прямых. В результате
область Δ*ij окажется покрытой четырьмя областями Δ*ij ,k , k = 1, 2,3, 4.
Для вычисления интегралов
 
Prr (ϕ, Δ*ij )d τ1d τ2
Δ*ij ,v
((τ1 − t1 ) 2 + (τ2 − t2 ) 2 ) p /2
,
(16)
v = 1, 2,3, 4, перейдем к полярной системе координат с центром в точке
(t1 , t2 ). В результате вычисление интегралов (16) сводится к последовательному интегрированию в полярных координатах элементарных функций.
Вычисление интегралов в первом слагаемом в правой части формулы
(15) сводится также к табличным интегралам.
Нетрудно видеть, что погрешность кубатурной формулы (15) совпадает
с погрешностью кубатурной формулы (8) и является оптимальной по порядку.
Список литературы
1. Н е к р а с о в, А . И . Теория крыла в нестационарном потоке / А. И. Некрасов. –
М. : Изд-во АН СССР, 1947. – С. 3–65.
2. Б и с п л и н г х о фф, Р . Аэроупругость / Р. Бисплингхофф, Х. Эшли, Р. Халфмен. –
М. : Иностр. лит., 1958. – 283 с.
3. Э ш л и, Х . Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / Х. Эшли,
М. Лэндал. – М. : Машиностроение, 1969. – 318 с.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
4. В а й н и к к о , Г . М . Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. – М. :
Янус–К, 2001. – 508 с.
5. Н а з а р ч у к , З . Т. Численное исследование дифракций на цилиндрических
структурах / З. Т. Назарчук. – Киев : Наукова думка, 1989. – 256 с.
6. М а р ч у к , Г . И . Численные методы в теории переноса нейтронов / Г. И. Марчук, В. И. Лебедев. – М. : Атомиздат, 1971. – 496 с.
7. Б о й к о в а , А . И . Об одном приближенном методе вычисления трансформаций
потенциальных полей / А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. – 2004. –
№ 1. – С. 58–69.
8. C r i s c u l o , G . A new algorithm for Cauchy principal value and Hadamard-type
finite integrals / G. Crisculo // Journal of Comput. Appl. Math. – 1997. – V. 78. –
Р. 255–275.
9. H i l d e n b r a n d , J . Numerical computation of hypersingular integrals and application
to the boundary integral equation for the stress tensor / J. Hildenbrand, G. Kuhn // Eng.
Anal. Boundary Elements. – 1992. – V. 10. – Р. 209–217.
10. K o l m , P . Numerical quadratures for singular and hypersingular integrals / P. Kolm
and V. Rokhlin // Computers and Mathematics with Applications. – 2001. – V. 41. –
Р. 327–352.
11. M o n e g a t o , G . Numerical evaluation of hypersigular integrals / G. Monegato // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 1994. – V. 50. – Р. 9–31.
12. Bo ik o v , I . V . Numerical methods of computation of singular and hypersingular
integrals / I. V. Boikov // International Journal of Mathematics and Mathematical
Sciences. – 2001. – V. 28 (3). – Р. 127–179.
13. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть вторая. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. –
Пенза : Изд-во ПензГУ, 2009. – 252 с.
14. Bo y k o v , I . V . Accuracy optimal methods for evaluating hypersingular integrals /
I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. –
2009. – V. 59, № 6. – Р. 1366–1385.
15. З а х а р о в а , Ю . Ф. Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений : дис. ...
канд. физ.-мат. наук / Захарова Ю. Ф. – Саранск : Изд-во Морд. гос. ун-та
им. Н. П. Огарева, 2004. – 197 с.
16. H a d a m a r d , J . Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique. Herman / J. Hadamard. – Paris, 1903. – 320 p. (reprinted by Chelsea. – New
York, 1949).
17. А да м а р , Ж . Задача Коши для линейных уравнений с частными производными
гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. – 351 с.
18. Ба х в а л о в , Н . С . О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / Н. С. Бахвалов // Вычислительная математика и математическая
физика. – 1970. – Т. II, № 3. – С. 555–568.
19. Б о й к о в , И . В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными
сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
20. Б о й к о в , И . В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 236 с.
21. Н а та н с о н, И . П . Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М. ; Л. :
ГИФМЛ, 1949. – 688 с.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет
Boykov Ilya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
Zakharova Yuliya Fridrikhovna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.392
Бойков, И. В.
Оптимальные методы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. –
№ 1 (21). – С. 3–21.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.9
Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов
СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ СЛАБОНАПРАВЛЯЮЩЕГО
ВОЛНОВОДА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ1
Аннотация. Задача о собственных волнах слабонаправляющего диэлектрического волновода в полупространстве сведена к нелинейной спектральной задаче для фредгольмовой голоморфной оператор-функции. Поверхностные волны
определяются как решение линейной задачи на собственные значения для интегрального оператора с симметричным, положительным, слабо полярным ядром. Изучаются качественные свойства спектра: локализация, существование,
зависимость от параметров.
Ключевые слова: распространение электромагнитных волн в волноводе, задача
на собственные значения, интегральные уравнения.
Abstract. The problem for eigenwaves of weakly guiding dielectric waveguide in
the half-space is reduced to nonlinear eigenvalue problem for holomorphic
Fredholm operator-valued function. The problem for surface waves is reduced to the
linear eigenvalue problem for integral operator with symmetric, positive, weakly polar kernel. The existence, localization, and dependence on parameters of the spectrum are investigated.
Key words: propagation of electromagnetic waves in waveguides, eigenvalue problem, integral equations.
Введение
Задача о собственных волнах слабонаправляющего диэлектрического
волновода в полупространстве возникает при математическом моделировании одного из базовых элементов оптических интегральных схем, которые
в последнее время широко используются в радиоэлектронной промышленности вместо классических электрических [1]. Поэтому изучение качественных
свойств спектра таких волноводов весьма актуально. Эффективным и универсальным методом теоретического исследования задач дифракции в неограниченных областях является метод интегральных уравнений (см., например,
[2, 3]). В данной статье этим методом задача о собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве сводится к нелинейной спектральной задаче для фредгольмовой голоморфной оператор-функции. Изучаются качественные свойства спектра: локализация постоянных распространения на соответствующей поверхности Римана и их зависимость от частоты
электромагнитных колебаний. Для поверхностных волн задача сводится к линейной спектральной задаче для интегрального оператора с симметричным,
положительным, слабо полярным ядром. Доказывается теорема о существовании характеристических чисел и собственных функций.
1. Постановка задачи и локализация спектра
Задача о собственных волнах слабонаправляющего диэлектрического
волновода в полупространстве заключается [4] в определении таких значений
частоты электромагнитных колебаний ω > 0 и комплексных постоянных рас1
22
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-97009.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
пространений β , при которых существуют ненулевые функции u , удовлетворяющие уравнениям (рис. 1):
Δu + χ 2u = −λp 2u , x ∈ Ω;
Δu + χ 2u = 0,
x ∈ Ω∞ =R 2+ \ Ω;
∂u + ∂u −
=
,
∂ν
∂ν
u+ = u− ,
(1)
u = 0,
(2)
x ∈ Γ;
(3)
x ∈ L,
(4)
где Ω – область поперечного сечения волновода – ограниченная область
в верхней полуплоскости R+2 = {−∞ < x1 < ∞, x2 > 0} , целиком лежащая
в полукруге радиуса R с центром в начале координат. Через u + (u − ) обозначено предельное значение функции u извне (изнутри) контура Γ (границы
–
производная
по
внешней
нормали;
области
Ω );
∂u / ∂ν
L = {−∞ < x1 < ∞, x2 = 0} . Предполагается, что Γ – липшицева кривая, показатель преломления n непрерывен и непрерывно дифференцируем в области Ω , а также, что n( x) > n∞ при x ∈ Ω , где n∞ > 0 – постоянный показатель преломления окружающей среды. Использованы также следующие обо2
n 2 ( x) − n∞
2
> 0 , где n+ = max n( x) ; λ = k 2 n+2 − n∞
значения: p 2 ( x) =
>0;
2
x∈Ω
n+2 − n∞
(
)
2
χ = k 2 n∞
− β2 – поперечное волновое число; k = ω ε0μ0 – продольное
волновое число; ε0 (μ0 ) – электрическая (магнитная) постоянная.
x2
| x |= R
Ω
n = n( x )
Γ
Ω∞
n = n∞
L
x1
0
Рис. 1. Поперечное сечение волновода
Будем разыскивать нетривиальные решения u уравнений (1), (2), удовлетворяющие условиям (3), (4) в классе комплекснозначных функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в Ω и Ω∞ , дважды непрерыв-
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
но дифференцируемых в Ω и Ω∞ . Обозначим это множество функций через
U . Дополнительно будем предполагать, что функция u , являющаяся решением уравнения Гельмгольца (2), удовлетворяет парциальным условиям излучения (см., например, [5]), т.е. что эта функция для всех x ∈ Ω∞ , x ≥ R ,
разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся, допускающий почленное
дифференцирование ряд следующего вида:
u=
∞
 al Hl(1) (χ(β)r )sin(ilϕ) .
(5)
l =−∞
Здесь H l(1) – функции Ханкеля первого рода порядка l [6], через ( r , ϕ )
обозначены полярные координаты точки x .
Значения комплексного параметра β будем разыскивать на римановой
поверхности Λ функции ln χ(β) . Поверхность Λ состоит из бесконечного
числа листов и имеет две точки ветвления β = ± kn∞ . Всюду далее будем
предполагать, что точки ветвления не принадлежат поверхности Λ . Обозна-
чим символом Λ (1)
0 главный («физический») лист римановой поверхности Λ ,
который определяется следующими условиями:
Λ (1)
0 = {β∈ Λ : − π 2 < arg χ(β) < 3π 2, Im ( χ(β) ) ≥ 0}.
(2)
С листом Λ (1)
0 соединяется лист Λ 0 , который называется «нефизическим» и определяется следующим образом:
Λ (2)
0 = {β∈ Λ : − π 2 < arg χ(β) < 3π 2, Im ( χ(β) ) < 0} .
Ненулевую функцию u ∈U будем называть собственной функцией задачи (1)–(5), отвечающей собственным значениям ω > 0 , β∈ Λ , если выполнены условия (1)–(5).
Теорема 1. При любом фиксированном ω > 0 на Λ (1)
0 собственные значения β задачи (1)–(5) могут принадлежать лишь множеству
{
}
G = β ∈ Λ (1)
0 : kn∞ < β < kn+ , Im β = 0 .
Эта теорема доказывается аналогично теореме 3.9 в [3].
Отметим, что вещественным собственным значениям β∈ G отвечают
поверхностные собственные волны, а комплексным β∈ Λ (2)
0 – вытекающие.
С уменьшением частоты электромагнитных колебаний ω постоянные распространения β могут перемещаться с физического листа поверхности Λ на
нефизический. Другими словами, поверхностные собственные волны могут
трансформироваться в вытекающие. Поэтому для приложений важно изучить
зависимость функций β = β(ω) .
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Сведем задачу (1)–(5) к нелинейной спектральной задаче для интегрального уравнения по области поперечного сечения волновода. Рассуждая
аналогично доказательству леммы 3.6 в [3], нетрудно показать, что если
u ∈ U – собственная функция задачи (1)–(5), отвечающая некоторым собственным значениям ω > 0 , β ∈ Λ , то

u ( x) = λ (ω) Φ (ω, β; x, y ) p 2 ( y )u ( y )dy ,
x ∈ R 2+ ,
(6)
Ω
где
Φ (ω, β; x, y ) =
)
(
i
H 0(1) (χ(ω, β) | x − y |) − H 0(1) (χ(ω, β) | x − y* |) ,
4
y* = ( y1 , − y2 ).
Заметим, что равенство (6) при x ∈ Ω представляет собой интегральное
уравнение, которое, обозначив
K (ω, β; x, y ) = Φ (ω, β; x, y ) p ( x) p( y ) , v( x) = p( x)u ( x) ,
запишем в виде

v( x) = λ(ω) K (ω, β; x, y )v( y )dy ,
x∈Ω .
(7)
Ω
2. Дискретность характеристического множества и зависимость
характеристических значений β от ω
Пусть ω > 0 , β ∈ Λ . Введем в рассмотрение интегральный оператор
правой части уравнения (7):
(T (ω, β) ) v( x) =  K (ω, β; x, y )v( y )dy,
x∈Ω .
Ω
Будем рассматривать оператор T (ω, β) как оператор, действующий
в пространстве комплекснозначных интегрируемых с квадратом функций
L2 (Ω) со стандартным скалярным произведением. Запишем уравнение (7)
в операторном виде:
v = λ(ω) (T (ω, β) ) v .
(8)
Будем искать такие ω > 0 , β ∈ Λ , при которых существуют ненулевые
функции v ∈ L2 (Ω) , удовлетворяющие уравнению (8). Для всех ω > 0 , β ∈ Λ
ядро K слабо полярно. Опираясь на известные свойства интегральных операторов со слабо полярными ядрами [7], аналогично доказательству теоремы
3.10 в [3] доказывается следующая теорема (отметим, что в ходе доказательства существенным образом используются требования гладкости контура Γ и
функции n ).
Теорема 2. Если u ∈ U является собственной функцией задачи (1)–(5),
отвечающей некоторым собственным значениям ω > 0 , β ∈ Λ , то v = pu принадлежит пространству L2 (Ω) и дает нетривиальное решение уравнения (8)
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
при тех же самых значениях параметров ω > 0 , β ∈ Λ . Если при некоторых
значениях ω > 0 , β ∈ Λ уравнение (8) имеет нетривиальное решение
v ∈ L2 (Ω) , то u = v / p удовлетворяет уравнению (6), принадлежит множеству
U и является собственной функцией задачи (1)–(5), отвечающей собственным значениям ω > 0 , β ∈ Λ .
Фиксируем некоторое значение ω > 0 . Положим,
A(β) = I − λT (β) ,
(9)
где I – единичный оператор в L2 (Ω) . Для всех β ∈ Λ ядро K слабо полярно,
следовательно, оператор T (β) вполне непрерывен, а оператор A(β) – фредгольмов [7].
Ненулевую функцию v ∈ L2 (Ω) будем называть собственной функцией
оператор-функции A(β) , отвечающей характеристическому значению β ∈ Λ ,
если выполнено уравнение
A(β)v = 0 .
(10)
Характеристическим множеством оператор-функции A(β) будем называть множество чисел β ∈ Λ , для которых оператор A(β) не имеет ограниченного обратного в L2 (Ω) . Это множество будем обозначать символом
σ( A) . Обозначим множество регулярных точек оператора A(β) через
{
}
ρ( A) = β ∈ Λ : ∃A−1 (β) : L2 (Ω) → L2 (Ω) .
Теорема 3. Регулярное множество определенной в (9) оператор-
функции A(β) не пусто, а именно Λ (1)
0  G ⊂ ρ( A) . Характеристическое
множество оператор-функции A(β) может состоять лишь из изолированных
точек, являющихся характеристическими значениями оператор-функции A(β) .
Каждое характеристическое значение β оператор-функции A(β) непрерывно
зависит от параметра ω > 0 . Кроме того, с изменением ω > 0 характеристические значения оператор-функции A(β) могут появляться и исчезать только на
границе поверхности Λ , т.е. в точках ± kn∞ и на бесконечности.
Доказательство. Рассуждая аналогично [8, с. 459], нетрудно показать,
что оператор-функция A(β) голоморфна по β ∈ Λ и непрерывна как функция
двух переменных β ∈ Λ и ω > 0 . В силу фредгольмовости оператора A(β) ,
теоремы 1 о локализации собственных значений задачи (1)–(5) и теоремы 2 о
спектральной эквивалентности задач (1)–(5) и (8) оператор A(β) обратим для
любых ω > 0 и Λ (1)
0  G . Таким образом, справедливость теоремы вытекает
из теоремы [9] об изолированности характеристических значений фредгольмовой голоморфной оператор-функции A(β) при наличии в области ее голоморфности хотя бы одной регулярной точки и теоремы [10] о поведении характеристических значений такой оператор-функции в зависимости от изменения вещественного параметра ω в случае, если оператор-функция является
совместно непрерывной функцией β и ω . Теорема доказана.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
3. Существование поверхностных волн
Поверхностные волны отвечают ω > 0 и β ∈ G. В этом случае вещественная часть поперечного волнового числа χ равна нулю, а мнимая часть
положительна: χ = iσ, где σ > 0 . Тогда ядро интегрального уравнения (7)
становится не только слабо полярным, но и симметричным:
K (ω, β; x, y ) = Φ (σ(ω, β); x, y ) p( x) p( y ) ,
Φ (σ(ω, β); x, y ) =
для
(
)
1
K 0 (σ(ω, β) | x − y |) − K 0 (σ(ω, β) | x − y* |) .
2π
Здесь K 0 – функция Макдональда (см., например, [6]). Действительно,
x− y = y−x ,
любых x, y ∈ Ω в силу очевидных равенств
x − y* = y − x* имеем K ( x, y ) = K ( y , х) . Потребуем дополнительно, чтобы
область Ω не касалась прямой L . Тогда ядро становится положительным:
K ( x, y ) > 0 . Действительно, функция Макдональда монотонно убывает на положительной полуоси, а для любых x, y ∈ Ω имеем | x − y |<| x − y* | .
В этом случае интегральный оператор правой части уравнения (7)
удобно рассматривать как оператор
(T (σ) ) v( x) =  K (σ; x, y )v( y )dy,
x∈Ω ,
(11)
Ω
действующий в пространстве вещественных функций L2 (Ω) со стандартным
скалярным произведением, а задачу (7) – как линейную спектральную задачу
определения характеристических чисел λ и собственных функций v оператора T (σ) :
v = λT ( σ ) v.
(12)
Если ω > 0 и β ∈ G , то параметры σ и λ должны удовлетворять следующим условиям: λ > 0 , 0 < σ < λ . Итак, требуется найти такие (λ, σ) ∈ Ψ ,
где Ψ = {(λ, σ) : 0 < σ < λ , λ > 0}, и ненулевые функции v ∈ L2 (Ω) , удовлетворяющие равенству (12).
При χ = iσ , где σ > 0 , решения задачи (1)–(5) следует разыскивать
в классе вещественных функций U . Задачи (12) и (1)–(5) спектрально эквивалентны, а именно справедлива
Теорема 4. Если ненулевая функция u ∈U и параметры ω > 0 и β∈ G
удовлетворяют условиям (1)–(5), то
2
v = pu ∈ L2 (Ω), λ = ω2ε0μ0 (n+2 − n∞
),
2
σ = β2 − ω2 ε0μ0 n∞
удовлетворяют равенству (12). С другой стороны, если для ненулевой функции v ∈ L2 (Ω) и (λ, σ) ∈ Ψ выполняется равенство (12), то
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2

n∞
u = v / p, β =  σ 2 + λ
2

n+2 − n∞

1/2




1/2


λ
, ω=

 ε μ (n 2 − n 2 ) 
∞ 
 0 0 +
удовлетворяют уравнению (6), функция u принадлежит множеству U и является собственной функцией задачи (1)–(5), отвечающей собственным значениям β и ω .
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1 [11] и основано на свойствах интегральных операторов со слабо полярными ядрами [7].
Относительно существования решений задачи (12) справедлива
Теорема 5. Для любого σ > 0 справедливы следующие утверждения:
1. Существует счетное множество положительных характеристических
чисел λi , i = 1, 2, , с единственной точкой накопления на бесконечности.
2. Система собственных функций
{vi }i∞=1
может быть выбрана орто-
нормированной.
3. Наименьшее по модулю характеристическое число λ1 положительное и простое, соответствующая собственная функция v1 положительна в Ω .
4. λ1 → c > 0 при σ → 0 .
Доказательство. Первые три утверждения теоремы непосредственно
следуют из результатов спектральной теории интегральных операторов
с симметричными, положительными, слабо полярными ядрами [7]. Отметим,
что предположение о том, что область Ω не касается прямой L , требуется
лишь для доказательства утверждения 3 (оно основано на теореме Ентча,
справедливой для интегральных операторов с положительными ядрами).
Утверждения 1, 2 и 4 имеют место и без этого предположения, так как оператор T (σ) остается положительным. Докажем четвертое утверждение, т.е. что
λ1 → c > 0 при σ → 0 . Используем вариационный принцип для первого характеристического числа [7]:
λ1 =
(f, f)
.
f ∈L2 (Ω ) (T (σ) f , f )
inf
В силу непрерывной зависимости ядра оператора T от σ функция
λ1 = λ1 (σ) непрерывна на положительной полуоси. Нетрудно видеть, что для
любой функции f ∈ L2 (Ω) имеем (T (σ) f , f ) → M < ∞ при σ → 0 . Действительно, справедливы равенства
K 0 (σ | x − y |) = ln
K 0 (σ | x − y* |) = ln
1
+ f (σ | x − y |),
σ
1
+ f * (σ | x − y |) ,
σ
где функции f и f * не имеют особенности при σ → 0 . Следовательно (рассуждая аналогично [3, с. 141]), заключаем, что λ1 → c > 0 при σ → 0 . Теорема доказана.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Утверждение 4 этой теоремы устанавливает, что у слабонаправляющего
волновода в полупространстве не существует фундаментальной собственной
волны (поверхностной волны, распространяющейся при любой положительной частоте). В этом заключается принципиальное отличие спектральных
характеристик волновода в полупространстве от волновода в однородной
окружающей среде, у которого фундаментальная собственная волна существует [11].
Список литературы
1. L i f a n t e , G . Integrated photonics: fundamentals / G. Lifante. – John Wiley and Sons,
2003. – 184 p.
2. С м и р н о в , Ю . Г . Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. – 268 с.
3. Д а у то в , Р . З . Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов / Р. З. Даутов,
Е. М. Карчевский. – Казань : Изд-во Казан. гос. ун-та, 2009. – 271 с.
4. В о й т о в и ч , Н . Н . Собственные волны диэлектрических волноводов сложного
сечения / Н. Н. Войтович, Б. З. Каценеленбаум, А. Н. Сивов, А. Д. Шатров // Радиотехника и электроника. – 1979. – Т. 24, № 7. – С. 1245–1263.
5. S h e s t o p a lo v , Y u . V . Logarithmic integral equations in electromagnetics /
Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, E. V. Chernokozhin. – VSP, 2000. – 117 p.
6. Я н к е , Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде., Ф. Леш. – М. : Наука,
1968. – 344 с.
7. В л а д и м и р о в, В. С . Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. –
М. : Наука, 1976. – 527 c.
8. К а то , Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. – М. : Мир,
1972. – 740 с.
9. Г о х б е р г , И . Ц . Основные положения о дефектных числах, корневых числах и
индексах линейных операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн // Успехи матем.
наук. – 1957. – Т. 12, № 2. – С. 44–118.
10. S t e i n b e r g , S . Meromorphic families of compact operators / S. Steinberg // Arch.
Rat. Mech. Anal. – 1968. – V. 31, № 5. – P. 372–379.
11. К а р ч е в с к и й , Е. М . Численное решение задачи о распространении электромагнитных волн в слабонаправляющих волноводах / Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 1 (17). – С. 47–57.
Карчевский Евгений Михайлович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра прикладной
математики, Казанский (Приволжский)
федеральный университет
Karchevsky Evgeny Mikhaylovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of applied mathematics, Kazan
(Volga region) Federal University
E-mail: [email protected]
Фролов Александр Геннадьевич
аспирант, Казанский (Приволжский)
федеральный университет
Frolov Alexander Gennadyevich
Postgraduate student,
Kazan (Volga region) Federal University
E-mail: [email protected]
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.9
Карчевский, Е. М.
Собственные волны слабонаправляющего волновода в полупространстве / Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. –
№ 1 (21). – С. 22–30.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 519.178
Б. Ф. Мельников, А. А. Мельникова
МНОГОАСПЕКТНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ
НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ
(ЧАСТЬ II. ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМЫ)
Аннотация. Во второй части статьи подробно рассматривается пример построения бинарного отношения # и множества блоков заданного регулярного
языка – в процессе выполнения процедуры канонизации задающего его автомата. Приведены два алгоритма объединения состояний недетерминированного автомата. На основе этих алгоритмов сформулированы сокращенный вариант алгоритма дуговой минимизации, а также алгоритм добавления дуги.
Ключевые слова: недетерминированный конечный автомат, базисный автомат,
алгоритмы эквивалентного преобразования, вершинная минимизация, дуговая
минимизация.
Abstract. In the second part of this paper the authors consider the detailed example
of construction of binary relation # and the set of grids of the given regular language; this construction is made in the process of canonization of an automaton defining this language. The article considers two algorithms of combining states of
nondeterministic automaton. Based on these algorithms, the researchers formulate a
brief algorithm of the edge-minimization, and also an algorithm for adding an edge.
Key words: nondeterministic finite automaton, basis automaton, algorithms of
equivalent transformation, state-minimization, edge-minimization.
Введение
Во второй части данной статьи продолжено подробное рассмотрение
примера, начатого в первой части. А именно: в процессе выполнения процедуры канонизации автомата получены бинарное отношение # и множество
блоков (разд. 2). Приведены два алгоритма объединения состояний недетерминированного автомата (разд. 3 и 4); на их основе сформулированы сокращенный вариант алгоритма дуговой минимизации (разд. 5), а также алгоритм
добавления дуги (разд. 6). Приведенный в статье алгоритм решения проблемы дуговой минимизации является упрощением двух алгоритмов, опубликованных авторами ранее. Однако, к сожалению, даже этот алгоритм использует полный перебор, и поэтому в заключении нами сформулированы некоторые задачи для возможного решения в будущем. Их решение (а также решение некоторых задач, сформулированных в заключении первой части данной
статьи) должно помочь для описании быстрых алгоритмов решения задачи
дуговой минимизации.
Как было отмечено в первой части данной статьи, мы всегда формулируем алгоритмы с целью их возможного использования в реальных программных системах, однако не рассматриваем сложность минимизационных
проблем. При этом очевидно, что алгоритм дуговой минимизации, приведенный ниже, является более эффективным, чем алгоритм, приведенный ранее
([1]).1
1
Вообще, в реальных программных системах желательно применять различные подходы к эффективности алгоритмов, а не только их сложность (см. [2]).
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1. Предварительные замечания
Во второй части статьи мы будем использовать все обозначения, описанные в части I. Мы продолжим нумерацию формул, рисунков и таблиц,
начатую в первой части, – однако для разделов и библиографических ссылок
нумерация здесь начинается заново.
Мы продолжим рассмотрение бинарного отношения #. Как было отмечено в части I, его элементы можно рассматривать как состояния базисного
автомата. Но, кроме того, оно формирует множество так называемого псевдоблоков (псевдогридов); мы можем считать, что каждый из них – это некоторая пара (P,R), где P ⊆ Qπ и R ⊆ Qρ, причем такая, что для каждой пары состояний p ∈ P и r ∈ R выполнено условие p#r. Если для некоторого псевдоблока (P, R) мы не можем расширить ни P, ни R для получения нового
псевдоблока, то будем называть этот псевдоблок блоком (гридом).
Каждый из этих псевдоблоков соответствует состоянию некоторого
конкретного автомата для заданного языка. Более того, необходимым условием для определения данного языка конечным автоматом является то, что
подмножество псевдоблоков, соответствующих множеству состояний рассматриваемого автомата, покрывает все элементы отношения #.1 В работе [3]
нами был получен алгоритм, описывающий все возможные дуги автомата,2
состояния которого соответствуют данному множеству псевдоблоков.
Однако в реальных задачах теории формальных языков эти множества
псевдоблоков содержат слишком много элементов. Так, блок, имеющий
4 «строки» и 3 «столбца», формирует (24 – 1) · (23 – 1) = 105 псевдоблоков.
Поэтому, по-видимому, одна из главных проблем для прикладных задач состоит в описании алгоритмов, использующих множества блоков, вместо
множеств псевдоблоков: обычно последние множества гораздо меньше.
Одна из таких проблем – дуговая минимизация недетерминированного
автомата, т.е. построение автомата, определяющего заданный регулярный
язык и имеющего наименьшее возможное число дуг. Используя упомянутый
алгоритм из [3] в качестве вспомогательного, мы в [1] получили возможные
алгоритмы решения проблемы дуговой минимизации.
Очень кратко подобные алгоритмы – причем не только для задачи дуговой минимизации – можно описать следующим образом. Мы рассматриваем такое множество псевдоблоков на декартовом произведении Qπ × Qρ, которое покрывает все элементы отношения #, и получаем все возможные дуги, а
также стартовое и финальное состояния соответствующего автомата. Рассматривая все возможные подмножества такого множества дуг, мы решаем,
определяется ли полученным автоматом заданный язык. Среди всех таких
подходящих автоматов3 мы выбираем «лучший» – например, с наименьшим
1
Мы не будем рассматривать различные возможные версии достаточных
условий этого факта. Конечно, такие условия могут быть просто получены построением эквивалентного канонического автомата, однако такое решение проблемы дает
слишком неэффективный алгоритм.
2
Также там описаны возможные стартовые и финальные состояния. Однако,
как уже было отмечено в первой части, в указанной статье рассматривались не автоматы, а специальные «автомато-подобные» структуры.
3
По терминологии [4] каждый них можно назвать подходящим (допустимым)
решением.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
числом дуг. Вариант алгоритма, кратко описанный здесь, будет подробнее
переформулирован ниже.
Как уже говорилось во введении, в данной статье приводятся два алгоритма объединения состояний. Они используются в алгоритме дуговой минимизации, в котором применяется множество блоков (а не псевдоблоков).
2. Подробный пример (продолжение) –
построение отношения # и множеств блоков
Простейший путь получения бинарного отношения # состоит в исполь
зовании процедуры канонизации, а точнее, в построении автомата LR ,
начатом в части I статьи. Для получения эквивалентных состояний построим
табл. 10 для отношения  последнего автомата1.
Таблица 10
Как и в разд. 2 части I, запишем в пустых клетках 0, а в остальных 1, и
произведем транзитивное замыкание  + . Получим табл. 11.
Таблица 11
1
Отметим, что здесь рассматриваются все возможные пары состояний, поэтому построение последнего столбца не требует комментариев. Метод этого построения был описан ранее.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Каждая клетка последнего столбца содержит 1, поэтому эквивалентных
состояний в автомате нет. Следовательно, автомат, задаваемый табл. 9, – ка
нонический, т.е. LR (рис. 4). Таблицы 8 и 9 сразу определяют отношение #,
задаваемое табл. 12. Заметим, что это отношение может рассматриваться как
множество состояний базисного автомата BA(L). 1
Рис. 4
Таблица 12
На основе последней таблицы получаем такое множество блоков:
α = {A, C, D}×{Y, Z}, β ={A, B, C, D}×{ Z}, γ ={B, C, D}×{ X, Z},
δ ={C}×{ X , Y, Z, U}, ζ ={C, D}×{ X , Y, Z}.
Отметим, что множество псевдоблоков содержит слишком много элементов. Например, блок α формирует (23 – 1) · (22 – 1) = 21 псевдоблок.2
3. Первый алгоритм объединения состояний
Отметим, что далее, при описании алгоритма дуговой минимизации,
мы не будем непосредственно использовать алгоритм, формулируемый теоремой 1; мы будем использовать там только второй алгоритм объединения
состояний, который мы рассмотрим в следующем разделе. Однако эти два алПри рассмотрении примера мы не строили функцию ϕout
K . Вместо этого
нами была проведена канонизация автомата KR. Конечно же, полученный автомат

будет эквивалентен LR .
2
Согласно терминологии [5], можно покрыть все значения # тремя блоками –
которые мы обозначили α, γ и δ; рассмотренный пример демонстрирует такое покрытие. Отметим, что существуют и другие множества псевдоблоков, имеющих то же
самое свойство.
1
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
горитма объединения состояний имеют общие случаи; более того, можно сказать, что первый алгоритм объединения состояний косвенно используется во
втором.
Теорема 1. Пусть следующее равенство верно для автомата (1) и некоторых его состояний q, q' ∈ Q:
in
ϕin
K (q) = ϕ K (q').
(5)
Тогда автоматы K'= J q q′ (K) и K эквивалентны. Кроме того,
in
ϕin
K (q) = ϕ K (q).
(6)
Доказательство. Рассмотрим слово v ∈ L(K') такое, что при его чтении
автомат K' проходит через состояние q; будем считать, что такой проход через q происходит ровно n раз. Поэтому можно записать v в виде
v=u v1 v2… vn w,
(7)
io
out
где u ∈ L in
K ' (q); ( ∀i ∈ {1,2,…,n})( vi∈ L K ' (q)); w∈ L K ' (q), а также:
io
– u не может быть записано как u = u' u'', где u' ∈ L in
K ' (q), u''∈ L K ' (q);
– vi не может быть записано как vi = v' v'', где v', v'' ∈ L io
K ' (q);
out
– w не может быть записано как w = w' w'', где w' ∈ L io
K ' (q), w'' ∈ L K ' (q).
Заметим, что, вообще говоря, автомат K' неоднозначный, т.е. может
существовать и другой путь чтения слова v автоматом K'.
Будем использовать индукцию по n для доказательства следующего
факта: для любого v, которое может быть записано в виде (4), имеем v ∈ L(K).
Базис очевиден, потому что если n = 0, то автомат K' допускает слово v без
прохождения через состояние q; поэтому автомат K может допустить слово v
без прохождения обоих состояний q и q'. Докажем шаг индукции.
Обозначим v' = v1 v2…vn–1, v''= vn . Без ограничения общности можно
in
предполагать, что u ∈ L in
K (q) (случай, когда u ∈ L K (q'), аналогичен), поэтому
рассмотрим следующие 8 случаев:
io
out
A. v' ∈ L io
K (q, q'), v'' ∈ L K (q',q), w ∈ L K (q');
io
out
B. v' ∈ L io
K (q, q'), v'' ∈ L K (q,q'), w ∈ L K (q');
io
out
C. v' ∈ L io
K (q', q), v'' ∈ L K (q',q), w ∈ L K (q');
io
out
D. v' ∈ L io
K (q', q), v'' ∈ L K (q,q'), w ∈ L K (q');
io
out
E. v' ∈ L io
K (q, q'), v'' ∈ L K (q',q), w ∈ L K (q);
io
out
F. v' ∈ L io
K (q, q'), v'' ∈ L K (q,q'), w ∈ L K (q);
io
out
G. v' ∈ L io
K (q', q), v'' ∈ L K (q',q), w ∈ L K (q);
io
out
H. v' ∈ L io
K (q', q), v'' ∈ L K (q, q'), w ∈ L K (q).
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Для подробного рассмотрения этих случаев докажем следующие
леммы.
Лемма 1. Пусть для некоторого состояния q автомата (1) выполняется
in
 R ∈ L in
q∈<A
 (X) .
X >K , u ∈ L  (A) , w
LR
L
Тогда u w ∈ L(K).
Доказательство следует из определений функций φin и φout, а также базисного автомата (разд. 1 части I). Действительно, состояние A
X базисного автомата допускает все входные слова состояния A автомата L (а следовательно, и рассматриваемое слово u ) как входные слова и все выходные слова со
стояния автомата ( LR )R (а следовательно, и рассматриваемое слова w ). Лемма доказана.
Обобщением леммы 1 является следующая
Лемма 2. Пусть для некоторого состояния q автомата (1) выполняется
ϕout
K (q) ∋ X , u ∈

A∈ϕin
K (q)
L in (A) , w ∈ L out
K (X) .
L
Тогда u w ∈ L(K).1
Заметим, что, в отличие от лемм 1 и 2, которые могут быть сформулированы для произвольного состояния q рассматриваемого автомата, в двух
следующих леммах будет рассматриваться состояние q, непосредственно
указанное в восьми сформулированных случаях. В каждом из них мы попрежнему полагаем u ∈ L in
K (q).
 ∈ L(K).
Лемма 3. Пусть w ∈ L out
K (q'). Тогда u w
out
Лемма 4. Пусть u ∈ L in
K (q) и w ∈ L K (q'). Тогда u w∈ L(K).
Леммы 3 и 4 следуют из леммы 2.
Теперь подробно рассмотрим случаи A–H (рис. 5–9).
Рис. 5. Случай Е
Случай E (рис. 5) очевиден.
Рис. 6. Случай А
1
Заметим, что «зеркальные образы» лемм 1 и 2 также выполняются, однако
они не используются в доказательстве рассматриваемой нами теоремы 1.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
В случае A имеем: u v' v''∈L in
K (q) – и получаем факт, доказанный
в лемме 4.
Рис. 7. Случай D
В случае D имеем: v' v'' w∈L out
K (q') – и получаем факт, доказанный
в лемме 3.
Рис. 8. Случай B
В случае B (рис. 8) имеем:

uv' ∈L in
K (q') ⊆
A∈ϕin
K ( q′ )
L in (A) ⊆
L

A∈ϕin
K (q)
L in (A),
L
поэтому получаем этот случай на основе леммы 2.
Рис. 9. Случай H
Для случая H мы сначала опишем модифицированный случай A, где q и
q' меняются местами; назовем этот случай A'. Мы уже доказали, что в случае
A выполнено условие u v' v''w ∈ L. По определению функций φin и φout получаем
u∈

A∈ϕin
K
(q)
L in (A) =
L

A∈ϕin
K
( q′ )
L in (A).
(8)
L
Поэтому для случая A' мы имеем:

v' v''w∈
A# X ,
A∈ϕin
K
(q)

L out
 (X) =
L
A# X ,
A∈ϕin
K
(q)
A
L out
BA( L ) ( X )
(9)
Оба этих факта (8) и (9) для случая A' доказывают случай H.
Как и при описании случая A', рассмотрим модификацию B' случая B,
где q и q' меняются местами. Докажем, что для случая B (а поэтому и для B')
uv'v''w ∈ L. Также аналогично случаям H и A' мы имеем для G и B' (рис. 10):
uv' ∈L in
K (q) ⊆

A∈ϕin
K
(q)
L in (A) =
L

A∈ϕin
K
( q′ )
L in (A);
L
(10)
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
in
в (10) может рассматриваться любое слово u ∈L in
K (q)  L K (q'), поэтому

v'' w∈
A# X ,
A∈ϕin
K
(q)

L out
 (X) =
L
A# X ,
A∈ϕin
K
(q)
A
L out
BA( L ) ( X ).
(11)
Рис. 10. Случай G
Факты (10) и (11) доказывают случай G.
Для получения случая F (рис. 11) рассмотрим случай G, заменив q на q' и
наоборот.
Рис. 11. Случай F
Опишем случай F, где q и q' меняются местами; обозначим его через F'.
Мы доказали, что для случая F (и поэтому для F') uv'v''w ∈ L. Тогда
uv'v'' ∈ L in
K (q) ⊆

w∈
A# X ,
A∈ϕin
K
( q′ )

A∈ϕin
K
(q)
L in (A) =
L

L out
 (X) =
L
A# X ,

A∈ϕin
K
A∈ϕin
K
( q′ )
( q′ )
L in (A);
L
A
L out
BA( L ) ( X ).
Факты (12) и (13) для произвольного слова u ∈ L in
K (q)
вают случай C (рис. 12).
(12)
(13)
L in
K (q') доказы-
Рис. 12. Случай C
Таким образом, мы доказали все случаи для условия L(K') ⊆ L(K), т.е.
эквивалентность рассматриваемого автомата, так как условие L(K) ⊆ L(K')
очевидно. А согласно [6] равенство (6) выполнено согласно определениям детерминированного автомата и функции φin, так как существует канонический
автомат, эквивалентный обоим автоматам K и K'.□
Аналогично предыдущей выполнена и следующая теорема.
Теорема 2. Пусть следующее равенство верно для автомата (1) и некоout
торых его состояний q, q' ∈ Q выполнено условие φ out
K (q) = φ K (q'). Тогда
out
автоматы K'= J qq′ (K) и K эквивалентны. Кроме того, φ out
K (q) = φ K ' (q).□
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Важно отметить, что такое объединение состояний может изменять
функции разметки состояний (см. некоторые примеры в [6]).
4. Второй алгоритм объединения состояний
Первая часть следующей теоремы была сформулирована в [3], но не
была доказана. В данном разделе мы рассмотрим ее полное доказательство.
Теорема 3. Пусть для автомата (1) и некоторых его состояний q, q' ∈ Q
выполнены два следующих условия:
in
out
out
φ in
K (q') ⊆ φ K (q) и φ K (q') ⊆ φ K (q).
(14)
Тогда автоматы K'= J qq′ (K) и K эквивалентны. Кроме того,
in
out
out
φ in
K (q) = φ K ' (q) и φ K (q) = φ K ' (q).
Доказательство. Сначала докажем следующую лемму1.
io
 ∈ L out
Лемма 5. Пусть u ∈ L in
K (q), v ∈ L K (q'), w
K (q). Тогда
u v w ∈ L(K).
Доказательство:
L io
K (q') ⊆
⊆

out
A∈ϕin
K ( q′ ), X ∈ϕ K ( q′ )

out
A∈ϕin
K ( q ), X ∈ϕ K ( q )
L io
(A ) ⊆
BA( L ) X
L io
( A ),
BA( L ) X
оставшаяся часть доказательства очевидна.
В качестве обобщения леммы 5 можно рассматривать следующий факт.
Лемма 6. Пусть
in
u ∈ L in
K (q) ∪ L K (q'),
io
io
io
v ∈ L io
K (q) ∪ L K (q,q') ∪ L K (q', q) ∪ L K (q'),
out
w ∈ L out
K (q) ∪ L K (q').
Тогда u v w ∈L(K).
Доказательство:
u ∈ L in
K (q)
L in
K (q') ⊆
 


 

in
in

⊆
L  (A) ∪
L  (A) =
L in
 (A);


L
L
L
in
in
in



′
A∈ϕK ( q )
 A∈ϕK ( q )
  A∈ϕK ( q )




io
io
io
u v ∈ u ·(L io
K (q)  L K (q,q')  L K (q',q)  L K (q') ⊆
1
Заметим, что в условиях теоремы 1 такая лемма, вообще говоря, может не
выполняться.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



⊆
L in
A
 ( ) ⋅

L
in

 A∈ϕK ( q )





 { p ,r}⊆{q,q′}





in

L  (A) ⋅

L
in

 A∈ϕK ( q )


w ∈


io
A 

L BA L X   =
( )

in
out

 A∈ϕK ( p ), X ∈ϕK ( r )

( )



io
A 

L BA L X   ,
( )

in
out

 A∈ϕK ( q ), X ∈ϕK ( q )

( )


X ∈ϕout
K (q)
L out
 (X) –
L
также аналогично. Поэтому согласно лемме 2 мы получаем u v w ∈L(K) (как
было сказано ранее, лемма 2 выполняется в любом случае – не только для
утверждения 1). Лемма доказана.
Все случаи A−H, рассмотренные в предыдущем доказательстве и также
не упомянутые здесь 8 случаев, в которых u ∈ L in
K (q'), могут быть получены
на основе леммы 6. □
Заметим, что примеры из [2], где функции разметки изменяются при
объединении состояний, тоже могут быть отнесены к теореме этого раздела.
5. Сокращенный вариант дуговой минимизации
Как уже отмечалось во введении, ранее в нашей задаче мы использовали блоки, а не псевдоблоки. Точнее, в [1] это использование было названо
вторым алгоритмом дуговой минимизации. Также во введении говорилось,
что алгоритм, сформулированный в этом разделе, является более приемлемым1. Ниже мы получим решение последней из задач, ранее сформулированных нами в заключении статьи [1]; иными словами, мы получим специальное
«объединение» двух алгоритмов, описанных в [1], т.е. нами используется
описание всех возможных дуг (как в первом алгоритме из [1]) и блоки (а не
псевдоблоки, как во втором алгоритме из [1]).
Таким образом, используя теорему 3 для нового алгоритма дуговой минимизации, мы можем исключить рассмотрение псевдоблоков, не являющихся блоками. Итак, мы можем переформулировать алгоритм дуговой минимизации в следующей сокращенной форме2.
1. Рассмотрим некоторое подмножество блоков множества Qπ × Qρ такое, что эти блоки покрывают все элементы бинарного отношения #.
2. Рассматривая каждый блок как состояние формируемого конечного
автомата, определяем стартовые и финальные состояния на основе утверждений 3 и 4 из [3].
3. Определяем множество возможных дуг на основе утверждения 2 из
[3]; назовем это множество М .
1
Как уже отмечалось ранее, мы не рассматриваем вопросы сложности алго-
ритмов.
2
Заметим, что автомат COM(L) (см. [3], а также подробнее [7]), соответствующий всему множеству возможных дуг и всем множествам стартовых и финальных
состояний, определяет заданный язык.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
4. Рассматривая все подмножества множества М, определяем такое его
подмножество, что соответствующий ему автомат определяет заданный язык
и имеет минимально возможное число дуг.
Однако даже такая сокращенная версия алгоритма слишком неэффективна1, поэтому одна из важнейших подзадач для ускорения его работы состоит в формулировке приемлемого необходимого условия того, что построенное подмножество дуг действительно определяет заданный язык.
6. Алгоритм добавления дуги
Теорема 4. Пусть заданы язык L и некоторый определяющий его автомат (1); пусть заданы некоторые состояния q1, q2 ∈ Q. Пусть для некоторых
B
состояний A
X и Y базисного автомата BA(L) (мы допускаем возможность A = B
и/или X = Y) выполнено следующее: A ∈φin(q1), X ∈φout(q1), B ∈φin(q2),
Y ∈φout(q2), и, кроме того, для некоторой буквы a ∈ ∑ выполнено условие
A
X
a
⎯⎯
→ YB . Тогда для автомата K', полученного из автомата (1) добавлением
BA( L )
a q , выполнено условие L(K') = L(K).
дуги q1 ⎯⎯
→ 2
K'
Доказательство. Достаточно доказать, что L(K') ⊆ L(K).
Рассмотрим любое состояние Y' ∈φout(q2) и любое соответствующее ему
слово v' такое, что (v')R ∈ L in
(Y') . Пусть u – произвольное слово из L in
 (A).

R
L
L
Вследствие ua ∈ L in
 (B) (этот факт следует из доказанного в части I статьи
L
утверждения 1) и B ∈φin(q2), мы получаем uav' ∈ L. Из последнего следует, что

в автомате LR выполнено условие (v')Ra ∈ L in
(X'), причем для некоторого

R
L
такого состояния X' ∈ Qρ, для которого выполняется условие A#X'.
in
Итак, L out
K (q1) ∋ av', поэтому для любого состояния A' ∈φ (q1) существует слово u' ∈ L in
 (A') такое, что u'av' ∈ L; а отсюда (согласно [6, Prop. 2]),
L
для любого слова u' ∈ L in
 (A') выполнено u'av' ∈ L. Последний факт доказываL
ет теорему, поскольку мы для любой пары состояний (A' ∈φin(q1) и Y' ∈φout(q2))
R ∈ in
и для любых их входов (u' ∈ L in
(Y')) получили, что u'av' ∈ L. □
 (A') и (v') L 
R
L
L
Итак, в этом разделе мы получили алгоритм добавления дуги в недетерминированный конечный автомат. Важно отметить, что в реальных задачах применение такого алгоритма часто дает не усложнение, а упрощение
рассматриваемого автомата. Некоторые рассуждения (по поводу того, что
данный алгоритм описывает упрощение автомата) приведены в [10]2. Кроме
этого, возможны (по крайней мере) следующие два варианта применения.
1
Для компьютерной проверки этого факта мы использовали теорию генерации
случайных автоматов, приведенную в [8] и на сайте http://paranthoen.thomas.free.fr.
См. также [9].
2
Точнее, в [10] рассматривалось добавление цикла, но мотивация при этом та
же самая.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Во-первых, нередко добавление дуги позволяет получить автоматы, удовлетворяющие условиям приведенных выше теорем 1–3, и после применения
одной из них получить автомат, имеющий меньшее число состояний. Вовторых, на основе алгоритма добавления дуг возможно еще одно доказательство совпадения автомата COM [7] c универсальным автоматом Конвэя [11];
соответствующая статья в настоящее время готовится к печати.
Заключение
Как и в части I данной статьи, приведем некоторые возможные проблемы для будущего решения, связанные с материалом части II:
1. Вычисление сложности алгоритмов, приведенных в этой статье и
в [1, 3, 6, 7].
2. Формулирование необходимых условий того, что некоторое построенное нами подмножество множества дуг определяет заданный язык.
3. Формулировка условий выбора дуги, которую нужно добавлять (на
основе теоремы 4), например, для последующего упрощения автомата.
Авторы надеются, что возможное решение этих подзадач поможет решению различных проблем теории формальных языков и конечных автоматов.
Список литературы
1. M e l n i k o v , B . Edge-minimization of non-deterministic finite automata / B. Melnikov, A. Melnikova // The Korean J. Comp. and Appl. Math. – 2001. – V. 8, № 3. –
Р. 469–479.
2. М е л ь н и к о в, Б. Мультиэвристический подход к задачам дискретной оптимизации / Б. Мельников // Кибернетика и системный анализ (НАН Украины). – 2006. –
№ 3. – Р. 32–42.
3. M e l n i k o v , B . Possible edges of a finite automaton defining a given regular language /
B. Melnikov, N. Sciarini-Guryanova // The Korean J. Comp. and Appl. Math. – 2002. –
V. 9, № 2. – Р. 475–485.
4. H r o m k o v ič , J . Algorithmics for Hard Problems / J. Hromkovič // Introd. to Combinatorial Optimization, Randomization, Approximation, and Heuristics. – Springer,
2004. – 548 p.
5. М е л ь н и к о в, Б. Недетерминированные конечные автоматы / Б. Мельников. –
Тольятти : Изд-во ТГУ, 2009. – 160 с.
6. M e l n i k o v , B . Some properties of the basis finite automaton / B. Melnikov,
A. Melnikova // The Korean J. Comp. and Appl. Math. – 2002. – V. 9, № 1. – Р. 131–150.
7. М е л ь н и к о в, Б. Построение автомата COM на основе базисного автомата /
Б. Мельников, М. Зубова // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. – 2010. – № 4. – Р. 30–32.
8. C h a m p a r n a u d , J . Random generation models for NFA's / J. Champarnaud,
G. Hansel, T. Paranthoеn, D. Ziadi // J. of Automata, Languages and Combinatorics. –
2004. – V. 9. – Р. 203–216.
9. М е л ь н и к о в, Б. Репрезентативность случайно сгенерированных недетерминированных конечных автоматов с точки зрения соответствующих базисных автоматов / Б. Мельников, С. Пивнева, О. Рогова // Стохастическая оптимизация в информатике (СПбГУ). – 2010. – Т. 6. – Р. 74–82.
10. M e l n i k o v , B . Extended nondeterministic finite automata / B. Melnikov // Fundamenta Informaticae. – 2010. – V. 104, № 3. – Р. 255–265.
11. L o m b a r d y , S . The Universal Automaton / S. Lombardy, J. Sakarovitch // Logic and
Automata, Texts in Logic and Games. Amsterdam Univ. Press. – 2008. – V. 2. –
Р. 457–504.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Мельников Борис Феликсович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра прикладной
математики и информатики,
Тольяттинский государственный
университет
Melnikov Boris Felixovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of applied mathematics and informatics,
Tolyatti State University
E-mail: [email protected]
Мельникова Александра Александровна
старший преподаватель, кафедра высшей
математики, Димитровградский филиал
Ульяновского государственного
университета
Melnikova Alexandra Alexandrovna
Senior lecturer, sub-department of higher
mathematics, Dimitrovgrad branch
of Ulyanovsk State University
E-mail: [email protected]
УДК 519.178
Мельников, Б. Ф.
Многоаспектная минимизация недетерминированных конечных
автоматов (Часть II. Основные алгоритмы) / Б. Ф. Мельников, А. А. Мельникова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 31–43.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.718
М. А. Алехина, С. М. Грабовская
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА НЕНАДЕЖНОСТИ НЕВЕТВЯЩИХСЯ
ПРОГРАММ С ОПЕРАТОРОМ УСЛОВНОЙ ОСТАНОВКИ
Аннотация. Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися
программами с оператором условной остановки. Предполагается, что функциональные операторы с вероятностью ε (ε ∈ (0, 1/ 2)) подвержены инверсным
неисправностям на выходах, а операторы условной остановки абсолютно
надежны. Доказано, что любую функцию f ∈ K (класс K найден явно) нельзя
реализовать неприводимой неветвящейся программой с ненадежностью
меньше ε(1 – ε)m , где m – число функциональных операторов в программе. Из
этого и ранее полученного результата о верхней оценке ненадежности неветвящихся программ следует, что почти все функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности неветвящимися программами, функционирующими с ненадежностью, асимтотически равной ε при ε→0.
Ключевые слова: булевы функции, неветвящиеся программы, оператор условной остановки, синтез, надежность.
Abstract. The article considers a problem of synthesis of nobranching programs with
conditional stop-operator. All functional operators are supposed to be subject to
output inverse failures with probability ε (ε ∈ (0, 1/ 2)) . Conditional stop-operators
are absolutely reliable. Any boolean function f ∈ K (class K is found explicitly) is
proved to be impossible to realize by irreducible nobranching program with unreliability of less than ε(1 – ε)m, where m – the number of functional operators in the
program. These and the previous results on the upper bound for the unreliability of
the nobranching programs prove that almost all functions can be realized by asymptotically optimal reliable nobranching programs that operate with unreliability asymptotically equal to ε at ε → 0.
Key words: boolean functions, nobranching programs, conditional stop-operator,
synthesis, reliability.
Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с оператором условной остановки. Неветвящиеся программы
с оператором условной остановки характеризуются наличием управляющей
команды, дающей возможность досрочного прекращения работы программы
при выполнении определенного условия [1]. Сформулируем необходимые
определения и понятия.
Пусть X = { x1 , ..., xn } – множество независимых булевых переменных,
x = ( x1 ,  , xn ) – набор независимых переменных, n∈N. Введем множество
переменных Y = { y1 , ..., yl } , которое назовем множеством внутренних переменных, l ∈ N. Кроме того, обозначим через z выходную переменную.
Пусть далее a ∈ Y  {z} , b1 , , bd ∈ X  Y  {z} (d ∈ {1,  , n}) , h – булева функция из базиса B, зависящая не более чем от d переменных. Вычислительной командой p назовем выражение p : a = h ( b1 ,  , bd ) . Переменную a
назовем выходом вычислительной команды, переменные b1 , ..., bd – входами
этой команды.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Пусть теперь a ∈ X  Y  {z} . Командой остановки p назовем выражение p: stop(a). Переменную a назовем входом команды остановки p.
Последовательность Pr = p1…pi…pL, состоящая из вычислительных команд и команд остановки, называется неветвящейся программой с условной
остановкой, если при любом j ∈ {1, …, L} каждый вход команды pj есть либо
независимая переменная, либо выход некоторой вычислительной команды.
Неветвящаяся программа работает в дискретные моменты времени
t = 0, 1, 2, …, не изменяет значения независимых переменных и изменяет
значения внутренних переменных yi (I ∈ {1, …, n}) и значение выходной переменной z.
Пусть pt1 , ..., ptr – все команды остановки из Pr, причем t1 <…< tr, т.е.
r – число команд остановки. Тогда через sj будем обозначать j-ю команду
остановки программы Pr (т.е. s j ≡ pt j ), а через qj – аргумент команды остановки sj.
Будем говорить, что первая команда остановки s1 прекращает вычисления программы Pr на наборе x , если q1 ( x ) = 1 ; k-я команда остановки sk
(k ∈ {2, …, r}) прекращает вычисления программы Pr на наборе x , если
q1 ( x ) = ... = qk −1 ( x ) = 0, qk ( x ) = 1 . Результат действия программы Pr на наборе
x обозначим через Pr( x ) и определим следующим образом:
 z ( x; t1 ), если q1 ( x ) = 1;

Pr( x ) =  z ( x; tk ), если q1 ( x ) = … = qk −1 ( x ) = 0, qk = 1 (k = 2, ..., r );
 z ( x; L), если q ( x ) = … = q ( x ) = 0;
1
r

т.е. Pr( x ) равно значению выходной переменной z в момент остановки программы. Легко видеть, что
Pr( x ) = q1 ( x ) z ( x; t1 ) ∨ q1 ( x )q2 ( x ) z ( x; t2 ) ∨ ... ∨ q1 ( x )q2 ( x ) ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅qk −1 ( x )qk ( x ) z ( x; tk ) ∨ ... ∨ q1 ( x )q2 ( x ) ⋅⋅⋅ qr −1 ( x )qr ( x ) z ( x; tr ) ∨ ...
... ∨ q1 ( x )q2 ( x ) ⋅⋅⋅ qr ( x ) z ( x; L).
(1)
Иногда формулу (1) удобнее использовать в преобразованном виде:
Pr( x ) = q1 ( x ) z ( x; t1 ) ∨ q1 ( x ) ( q2 ( x ) z ( x; t2 ) ∨ q2 ( x )(( ⋅⋅⋅
(
) ))
... qk −1 ( x ) z ( x; tk −1 ) ∨ qk −1 ( x ) (... ∨ qr −1 ( x ) ( qr ( x ) z ( x; tr ) ∨ qr ( x ) z ( x; L) ) ...) ... . (2)
Программа Pr вычисляет n-местную булеву функцию f, если
Pr( x ) = f ( x ) для любого x из {0,1}n .
Всюду далее будем считать, что операторы условной остановки абсолютно надежны (и, значит, срабатывают, если на вход поступает единица),
а все вычислительные операторы базиса B независимо друг от друга с вероятностью ε (ε ∈ (0, 1/2)) подвержены инверсным неисправностям на выходах.
Инверсные неисправности на выходах вычислительных операторов характеризуются тем, что в исправном состоянии вычислительный оператор реализует приписанную ему булеву функцию ϕ, а в неисправном – функцию ϕ .
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Считаем, что программа с ненадежными вычислительными операторами реализует булеву функцию f ( x ) , если при отсутствии неисправностей
в программе на каждом входном наборе α значение выходной переменной z
равно f (α ) .
Ненадежностью N(Pr) программы Pr, вычисляющей f ( x ) , назовем максимальную вероятность ошибки на выходе программы Pr при всевозможных
входных наборах α . Надежность программы Pr равна 1 – N(Pr).
Ранее [2] доказана теорема 1 о верхней оценке ненадежности неветвящихся программ с условной остановкой.
Теорема 1. В произвольном полном конечном базисе любую функцию
можно реализовать неветвящейся программой Pr f , реализующей f, для ненадежности которой при всех ε ∈ (0,1/ 960] верно неравенство N( Pr f ) ≤
≤ ε + 81ε2.
Цель данной работы – получить ненулевую нижнюю оценку ненадежности неветвящихся программ. Очевидно, что если программа не содержит
ненадежных (в нашем случае функциональных) операторов, то ее ненадежность равна нулю. Выясним, какие функции, кроме x1, x2, …, xn, вычисляют
такие программы. Для этого рассмотрим неветвящуюся программу с k (k ≥ 1)
стоп-операторами, в которой нет функциональных операторов, т.е. программа имеет следующий вид:
z = x j1
stop( xi1 )
z = x j2
stop( xi2 )
………..
z = x jk
stop( xik )
z = x jk +1 .
Очевидно, эта программа вычисляет функцию
fk (x1,…, xn) = xi1 · x j1 ∨ xi1 · xi2 · x j2 ∨ xi1 · xi2 · xi3 · x j3 ∨
….∨ xi1 · xi2 ·…· xik −1 · xik · x jk ∨ xi1 · xi2 ·…· xik −1 · xik · x jk +1 ,
(3)
где im, jl ∈ {1, …, n}, m ∈ {1, …, k}, l ∈ {1, …, k + 1}.
Обозначим A0(n) = {x1, …, xn}, Ak(n) – множество всех булевых функций
fk (x1, …, xn) вида (3), k ≥ 1.
Булевы функции f1 и f 2 назовем конгруэнтными, если одна из них
может быть получена из другой заменой переменных (без отождествления).
Обозначим Congr( M ) − множество всех функций, зависящих от переменных
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
x1 , x2 , ..., xn (n ≥ 3), каждая из которых конгруэнтна некоторой функции множества M. Например, если M = {x1, x1&x2, 1}, то Congr( M ) = {x1, …, xn, xi & xj,
1| i, j ∈ {1, 2, …, n}, i ≠ j}.
Пусть функция f 2 получена из функции f1 подстановкой переменных
(т.е. заменой и/или отождествлением переменных). Обозначим Subst( f1 ) –
множество всех функций, зависящих от переменных x1 , x2 , ..., xn и полученных из f1 всевозможными подстановками (substitution (англ.) − подстановка).
Очевидно, что A1(n) = Subst( x1x2 ∨ x1 x3 ). Нетрудно проверить, что
A1(n) = Congr{x1, x1·x2, x1 ∨ x2, x1x2 ∨ x1 x3 }. Если n ≥ 5, то A2(n) =
= Subst( x1x2 ∨ x1 x3 x4 ∨ x1 x3 x5 ). Используя пакет прикладных программ
«Maple», находим A2(n) = Congr{x1, x1·x2, x1∨x2, x1 x2 ∨ x1 x3 , x1 ∨ x2 x3 ,
x1x2 ∨ x2 x3 ,
x1 ∨ x2 x3 ,
x1 ∨ x2 ∨ x3 ,
x1x2 ∨ x2 x3 ,
x1x2 ∨ x1x2 x3 ,
x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x3 x2 , x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x1x3 , x1x2 ∨ x1 x3 ∨ x1 x4 , x1 ∨ x2 x3 ∨ x2 x4 ,
x1 x2 ∨ x1 x3 x4 ,
x1x2 ∨ x1x3 x4 ,
x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x1 x3 x4 ,
x1x2 ∨ x2 x3 ∨ x1 x2 x4 ,
x1x2 ∨ x2 x3 ∨ x1 x3 x4 , x1x2 ∨ x1 x3 x4 ∨ x1 x3 x5 }.
В частности, если n = 3, то A2(3) = Congr{x1, x1·x2, x1∨x2, x1x2 ∨ x1 x3 ,
x1 ∨ x2 x3 , x1x2 ∨ x2 x3 , x1 ∨ x2 x3 , x1 ∨ x2 ∨ x3 , x1x2 ∨ x2 x3 , x1x2 ∨ x1x2 x3 ,
x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x3 x2 , x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x1x3 }.
Очевидно, что Ak(n) = Subst( xi1 · x j1 ∨ xi1 · xi2 · x j2 ∨ xi1 · xi2 · xi3 · x j3 ∨…
∨ xi1 · xi2 ·…· xik −1 · xik · x jk ∨ xi1 · xi2 ·…· xik −1 · xik · x jk +1 ).
Заметим, что если в выражении (3) отождествить переменные xik и
xik −1 , то получим функцию
xi1 · x j1 ∨ xi1 · xi2 · x j2 ∨ xi1 · xi2 · xi3 · x j3 ∨ … ∨ xi1 · xi2 ·…· xik − 2 · xik −1 · x jk −1 ∨
∨ xi1 · xi2 ·…· xik −1 · xik · x jk ∨ xi1 · xi2 ·…· xik −1 · xik · x jk +1 = xi1 · x j1 ∨ xi1 · xi2 · x j2 ∨
∨ xi1 · xi2 · xi3 · x j3 ∨ … ∨ xi1 · xi2 ·…· xik − 2 · xik −1 · x jk −1 ∨ xi1 · xi2 ·…· xik −1 · x jk +1 = fk–1,
(x1,…, xn) ∈ Ak-1(n).
Таким образом, имеет место утверждение 1.
Утверждение 1. При всех k ≥ 1 верно, что Ak–1(n) ⊆ Ak(n).
Обозначим через T0(n) и T1(n) множества булевых функций, зависящих
от n переменных x1,…, xn и сохраняющих константы 0 и 1 соответственно.
Утверждение 2. При всех k ≥ 0 и n ≥ 3 верно, что Ak(n) ⊂ (T0(n) ∪ T1(n)).
Действительно, функция x1 x2 x3 принадлежит множеству T0(n) ∪ T1(n),
но ни при каких k ≥ 0 не принадлежит множеству Ak(n).
Заметим также, что при n = 1 верно A0(n) = T0(n) ∪ T1(n), а при n = 2
верно A1(n) = T0(n) ∪ T1(n).
Пусть A(n) =
∞
 Ak (n) .
k =0
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Утверждение 3. Существует такое число k0 ∈ N, что Ak0 (n) = A(n) .
Действительно, с одной стороны, A0(n) ⊆ A1(n) ⊆ A2(n) ⊆ ... ⊆ Ai(n) ⊆…
С другой стороны, при всех i ≥ 2 имеем вложение Ai(n) ⊂ (T0(n) ∪ T1(n)). Следовательно, существует такое число r ∈ N, что Ar (n) = Ar +1 (n) = ... Обозначим через k0 наименьший номер множества, начиная с которого наступает
стабилизация. Тогда
A0(n) ⊂ A1(n) ⊂ A2(n) ⊂ ... ⊂ Ak0 (n) , а
∞
 Ak (n) = Ak
k =0
0
( n) = A(n) .
Рассмотрим два множества:
An–1(n) = Subst(x1· x j1 ∨ x1 ·x2· x j2 ∨ x1 · x2 ·x3· x j3 ∨
∨ … ∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · x jn −1 ∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · x jn )
и
An(n) = Subst(x1· x j1 ∨ x1 ·x2· x j2 ∨ x1 · x2 ·x3· x j3 ∨ … ∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · x jn −1 ∨
∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · xn · x jn ∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · xn · x jn +1 ).
Нетрудно видеть, что для функции, порождающей множество An(n),
верно равенство
x1· x j1 ∨ x1 ·x2· x j2 ∨ x1 · x2 ·x3· x j3 ∨ … ∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · x jn −1 ∨
∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · xn · x jn ∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · xn · x jn +1 =
= x1· x j1 ∨ x1 ·x2· x j2 ∨ x1 · x2 ·x3· x j3 ∨ …
∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · x jn −1 ∨ ∨ x1 ·…· xn −2 · xn −1 · xn x jn ,
из которого следует, что An(n) = An–1(n), поэтому k0 = n – 1.
Утверждение 4. |A(n)| ≤ n 2 n−1 .
Доказательство следует из определения множества An–1(n) и равенства
A(n) = An–1(n).
Пусть K (n) – множество булевых функций f (x1,…, xn), не принадлежащих множеству A(n) и отличных от констант, т.е. K(n) = P2(n) \ (A(n)∩{0,1}).
Обозначим K =
∞
 K ( n) .
n =3
Замечание 1. Поскольку lim
n→∞
| A(n) |
2n
= 0 , доля функций из множества
2
A(n) стремится к 0 с ростом n. Следовательно, почти все булевы функции содержатся в классе K.
Замечание 2. Очевидно, что если функция f ∈ K, то любая реализующая ее программа содержит хотя бы один функциональный оператор.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Пример 1. Пусть имеются две программы Pr1 и Pr2 (рис. 1).
z = x1
……
y1 = ϕ1 ( x )
stop(y1)
…….
……
y2 = ϕ2 ( x )
stop(y2)
…………
……
yr = ϕr ( x )
stop(yr)
z = x1
z = x1
……
y1 = ϕ1 ( x )
stop(y1)
z = x1
……..
y2 = ϕ2 ( x )
stop(y2)
z = x1
……….
yr = ϕr ( x )
stop(yr)
z = x1
а)
б)
Рис. 1
Каждая из программ содержит r стоп-операторов, для вычисления входов которых (не обязательно всех) используются функциональные операторы. Очевидно, что эти программы вычисляют одну и ту же функцию (формула (1)):
f ( x ) = x1 [ ϕ1 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) ϕ3 ( x ) ∨ …
… ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) … ϕr −1 ( x ) ϕr ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) … ϕr −1 ( x ) ϕr ( x ) ]=
= x1 [ ϕ1 ( x ) ∨ ϕ2 ( x ) ∨ ϕ3 ( x ) ∨…∨ ϕr ( x ) ∨ ϕr ( x ) ] = x1.
Из этого примера следует, что хотя в программе и присутствуют функциональные операторы, она реализует функцию x1 ∈ A0(n).
Пример 2. Пусть имеются две программы Pr1 и Pr2 (рис. 2).
По формуле (1) найдем функции f1 ( x ) и f 2 ( x ) , вычисляемые программами Pr1 и Pr2 соответственно:
f1 ( x ) = ψ1 ( x ) ϕ1 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) ψ 2 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) ϕ3 ( x ) ψ3 ( x ) ∨…
… ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) …. ϕr −1 ( x ) ϕr ( x ) ψ r ( x ) ∨
∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) …. ϕr −1 ( x ) ϕr ( x ) ψ r +1 ( x ) ]=
= ψ1 ( x ) ϕ1 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ψ 2 ( x ) (поскольку ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) =0),
f 2 ( x ) = ψ1 ( x ) ϕ1 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ψ 2 ( x ) .
Таким образом, программы Pr1 и Pr2 вычисляют одну и ту же функцию
f1 ( x ) = f 2 ( x ) = ψ1 ( x ) ϕ1 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ψ 2 ( x ) .
Из этого примера следует, что если в программе есть входы yj и yk стопоператоров с функциями ϕ j ( x ) и ϕk ( x ) = ϕ j ( x ) (k > j), то можно построить
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
новую программу, эквивалентную исходной, удалив все команды после команды z = ψ k ( x ) .
……….
z = ψ1 ( x )
……
y1 = ϕ1 ( x )
stop(y1)
z = ψ 2 ( x )
………..
Z = ψ1 ( x )
……
y1 = ϕ1 ( x )
stop(y1)
z = ψ 2 ( x )
……
y2 = ϕ1 ( x )
stop(y2)
………..
Z = ψ r ( x )
……
yr = ϕr ( x )
stop(yr)
z = ψ r +1 ( x )
а)
б)
Рис. 2
Пример 3. Пусть имеются две программы Pr1 и Pr2 (рис. 3).
……….
………..
z = ψ1 ( x )
……
y1 = ϕ1 ( x )
stop(y1)
…………
Z = ψ r −1 ( x )
……
yr–1 = ϕr −1 ( x )
stop(yr-1)
………..
z = ψ r ( x )
…..
yr = ϕr ( x )
stop(yr)
…………
z = ψ r ( x )
z = ψ1 ( x )
……
y1 = ϕ1 ( x )
stop(y1)
…………
z = ψ r −1 ( x )
……
yr–1 = ϕr −1 ( x )
stop(yr-1)
………..
z = ψ r ( x )
а)
б)
Рис. 3
По формуле (1) найдем функции f1 ( x ) и f 2 ( x ), вычисляемые программами Pr1 и Pr2 соответственно:
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
f1 ( x ) = ψ1 ( x ) ϕ1 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) ψ 2 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) ϕ3 ( x ) ψ3 ( x ) ∨…
…∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) … ϕr − 2 ( x ) ϕr −1 ( x ) ψ r −1 ( x ) ∨
∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) … ϕr −1 ( x ) ϕr ( x ) ψ r ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) … ϕr −1 ( x ) ϕr ( x ) ψ r ( x ) ]=
= ψ1 ( x ) ϕ1 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) ψ 2 ( x ) ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) ϕ3 ( x ) ψ3 ( x ) ∨ …
… ∨ ϕ1 ( x ) ϕ2 ( x ) … ϕr −1 ( x ) ψ r ( x ) = f 2 ( x ) .
Из этого примера следует, что если функции на выходах последней и
предпоследней подпрограмм равны, то можно построить новую программу,
эквивалентную исходной, удалив все команды после того, как впервые вычислено значение z = ψ r ( x ) (см. рис. 3).
Программу Prf назовем неприводимой, если выполнены следующие
условия одновременно:
1) никакие две команды остановки программы Prf не имеют общего
входа;
2) вход любого стоп-оператора не является тождественной постоянной;
3) нет двух входов стоп-операторов с функциями ϕ j ( x ) и ϕk ( x ), для
которых верно равенство ϕk ( x ) = ϕ j ( x ) .
Теорема 2. Для любой булевой функции f ∈ K и любой неприводимой
программы Pr f , реализующей f, верно неравенство N( Pr f ) ≥ (1–ε)m–1 · ε, где
m – число функциональных операторов программы Pr f .
Доказательство. Пусть функция f (x1, …, xn) ∈ K(n) и Pr f – любая неприводимая программа, реализующая f. Пусть программа Pr f содержит m
функциональных операторов. Поскольку f (x1, …, xn) ∈ K(n), число m ≥ 1.
Предположим, что программа Prf содержит также r операторов условной остановки. Если r = 0, то программу Prf можно считать схемой из функциональных элементов, для которой N(Prf) ≥ε [3], т.е. утверждение теоремы
верно. Поэтому далее будем рассматривать программы Prf, в которых число
стоп-операторов r ≥ 1.
В программе Prf выделим r + 1 подпрограмму (в зависимости от количества стоп-операторов в программе) (рис. 4). Если какой-либо s-й (1≤ s ≤ r)
стоп-оператор срабатывает, то выполнение программы прекращается и на
выход идет значение z(s), вычисленное до остановки. Тогда результат работы
программы совпадает с результатом работы s-й подпрограммы Pr sf . Если ни
один из стоп-операторов не срабатывает, то результат работы программы
совпадает с результатом работы подпрограммы Pr rf +1 .
Оценим снизу вероятность ошибки на выходе программы Prf.
1. Допустим, что при всех k ∈{1, …, r + 1} верно z(k) = xi(k) (i(k) ∈
∈ {1, …, n}), т.е. на выходе всех подпрограмм переменные, а все ненадежные
функциональные операторы программы используются лишь для вычисления
входов стоп-операторов). Возможны два варианта.
1.1. Найдется такое i ∈{1,…,n}, что при всех k ∈{1,…,r +1} верно
z(k) = xi (т.е. на выходе всех подпрограмм имеем одну и ту же независимую
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
переменную xi ∈ {x1, x2, …, xn}). Тогда (см. пример 1) программа Pr f реализует функцию xi ∉ K(n), что противоречит условию.






 1



 Pr f 



stop(a1 ) 

 Pr 2f …


pk

 Pr r 


 f

 r +1


stop(a2 )
 Pr f











stop(ar )






pL

p1
Рис. 4
1.2. В программе Prf найдется такая подпрограмма Pr kf , что z(k) = xi(k),
k ≤ r , а для вычисления входа стоп-оператора используются функциональные
операторы:
..........
z (k ) = xi ( k )
ak = ϕ( x )
stop(ak )
..........
k
Пусть Pr f 0 – подпрограмма с названным свойством, с наименьшим
номером k0. В программе Prf найдется такая подпрограмма Pr sf (j <s ≤ r + 1) ,
s
что z(s) = xi(s), причем xi(s) ≠ xi ( k0 ) . Пусть Pr f 0 – одна из таких подпрограмм,
номер s0 которой наименьший. Обозначим через ϕs0 ( x ) вход стоп-оператора
s
подпрограммы Pr f 0 . Из определения программы следует, что существует такой входной набор α программы Pr f , что αi ( s0 ) ≠ αi ( k0 ) и ϕk0 (α ) = 0,
ϕs0 (α ) = 1 . Тогда если функциональный оператор, вычисляющий ϕk0 (α ),
ошибется при исправной работе всех остальных функциональных операторов
k
подпрограммы Pr f 0 , то произойдет остановка, и при этом значение выходной
переменной будет отлично от значения функции f ( x ) . Вероятность этого события не меньше ε(1 − ε)m−1 , т.е. вероятность ошибки на выходе программы
P (Pr f , α ) ≥ (1 − ε) m −1 ⋅ ε . Следовательно, N (Pr f ) ≥ (1 − ε) m−1 ⋅ ε .
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
2. Допустим, что найдется такое k ∈{1,…, r + 1}, что z(k) = ψ ( x ) , причем ψ( x ) ≠ xi(k) (i(k) ∈ {1, …, n}), т.е. на выходе подпрограммы Pr kf имеем
функцию, отличную от любой из независимых переменных x1, x2, …, xn.
Пусть j (j ∈ {1,…, r + 1}) – наименьший номер подпрограммы Pr fj , которая
удовлетворяет этому условию. Обозначим через z(j) выход подпрограммы
Pr fj , а через m j – количество вычислительных операторов подпрограммы
Pr fj . Очевидно, что m j ≤ m .
Рассмотрим два случая: 1) j = r + 1; 2) j < r + 1, т.е. j ∈ {1, …, r}.
2.1. Пусть j = r + 1. Тогда выходная переменная z(r + 1) программы равна выходу некоторого вычислительного оператора (в силу выбора параметра j).
Найдется такой набор α = (α1 ,..., α n ) независимых переменных x1,…,
xn, что при отсутствии неисправностей в программе не сработает ни один
стоп-оператор, и тогда на выходе программы появится z(r + 1). Если функциональный оператор, вычисляющий z(r + 1), ошибется при исправной работе
остальных операторов подпрограммы, то на выходе программы появится
ошибка. Вероятность этого события равна (1 − ε) mr +1 −1 ⋅ ε = (1 − ε) m−1 ⋅ ε , где
mr+1 – число функциональных операторов подпрограммы Pr rf +1 , m – число
функциональных операторов программы Pr f , mr+1 = m. Тогда на этом входном наборе вероятность ошибки на выходе программы
P (Pr f , α ) ≥
≥ (1 − ε)m −1 ⋅ ε . Следовательно, N (Pr f ) ≥ (1 − ε)m −1 ⋅ ε .
2.2. Пусть j∈{1,…, r}.
2.2.1. Предположим, что aj = xi(j), т.е. на вход стоп-оператора подается
независимая переменная xi(j). Пусть α – такой входной набор программы
Pr f , что αi ( j ) = 1 . Если функциональный оператор, вычисляющий z(j), ошибется при исправной работе остальных (если они есть) функциональных операторов подпрограммы Pr fj , то на выходе программы появится ошибка. Вероятность этого события (1 − ε)
m j −1
ошибки на выходе программы
⋅ ε ≥ (1 − ε) m −1 ⋅ ε . Поэтому вероятность
P (Pr f , α ) ≥ (1 − ε) m −1 ⋅ ε . Следовательно,
N (Pr f ) ≥ (1 − ε) m−1 ⋅ ε .
2.2.2. Предположим, что aj = ϕ( x ) , причем ϕ( x ) ≠ xi(j), т.е. вход стопоператора – некоторая функция ϕ( x ) , отличная от любой из независимых переменных x1, x2, …, xn. Возможны три варианта.
2.2.2.1. Пусть ϕ( x ) и z(j) = ψ( x ) (ψ – некоторая функция) функционально независимы.
Рассмотрим такой входной набор α программы Pr f , что ϕ(α ) = 1
(набор α существует, поскольку программа неприводима).
Если функциональный оператор, вычисляющий z(j), ошибется при исправной работе остальных (если они есть) функциональных операторов под-
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
программы Pr fj , то на выходе программы появится ошибка. Вероятность этого события равна (1 − ε)
m j −1
⋅ ε ≥ (1 − ε)m −1 ⋅ ε . Тогда на этом входном наборе
вероятность ошибки на выходе программы P (Pr f , α ) ≥ (1 − ε) m −1 ⋅ ε . Следовательно, N (Pr f ) ≥ (1 − ε) m−1 ⋅ ε .
2.2.2.2. Пусть z(j) функционально зависит от ϕ( x ) . Тогда подпрограмма
Pr fj имеет следующий вид:
………..
aj = ϕ( x )
………..
z(j) = ψ( x , a j )
stop(aj)
………..
Рассмотрим такой входной набор α программы Pr f , что ϕ(α ) = 1
(набор α существует, поскольку программа неприводима). Если функциональный оператор, вычисляющий вход стоп-оператора aj, работает без ошибки, а оператор, вычисляющий z(j), ошибется при исправной работе остальных
(если они есть) функциональных операторов подпрограммы Pr fj , то на выходе
программы появится ошибка. Вероятность этого события равна (1 − ε)
≥ (1 − ε)
m −1
m j −1
⋅ε ≥
⋅ ε . Тогда на этом входном наборе вероятность ошибки на выходе
программы P (Pr f , α ) ≥ (1 − ε) m −1 ⋅ ε . Следовательно, N (Pr f ) ≥ (1 − ε)m −1 ⋅ ε .
2.2.2.3. Пусть ϕ( x ) функционально зависит от z(j) (в частности, например, ϕ( x ) = z(j)). Тогда подпрограмма Pr fj имеет вид
………..
z(j)= ψ( x )
………….
aj = ϕ( x , z ( j ))
stop(aj)
………….
Рассмотрим те входные наборы α программы Pr f , для которых при отсутствии неисправностей aj = ϕ(α ) = 1 , а следовательно, z(j) = f (α ) . Предположим, что функциональный оператор, вычисляющий z(j), ошибается, а все
остальные операторы, кроме вычисляющего aj, работают исправно. Чтобы
ошибка прошла на выход программы, требуется, чтобы aj было равно 1. Для
каждого из входных наборов α программы возможен один из вариантов:
1) оператор, вычисляющий aj, выдает 1 с вероятностью (1 – ε); 2) оператор,
вычисляющий aj, выдает 1 с вероятностью ε.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
2.2.2.3.1. Допустим, существует такой входной набор α программы,
что оператор, вычисляющий aj, выдает значение 1 с вероятностью (1 – ε).
В этом случае на выходе программы появится ошибка с вероятностью
P (Pr f , α ) ≥ (1 − ε)
m j −1
⋅ ε ≥ (1 − ε)m −1 ⋅ ε . Следовательно, N (Pr f ) ≥ (1 − ε) m−1 ⋅ ε .
2.2.2.3.2. Допустим, что при всех входных наборах α программы оператор, вычисляющий aj, выдает значение 1 с вероятностью ε. Следовательно,
при всех α (для которых aj = 1) имеем ϕ(α , z ( j )) = 1 и ϕ(α , z ( j )) = 0 . Тогда
или ϕ(α , z ( j )) = z ( j ) , или ϕ(α , z ( j )) = z ( j ) , т.е. подпрограмма Pr fj имеет вид
……….. ………..
z(j) = ψ( x ) z(j) = ψ( x )
aj = z ( j ) или aj = z ( j )
stop(aj) stop(aj)
………. ………...
2.2.2.3.2.1. Рассмотрим первую подпрограмму. Очевидно, при всех нулевых наборах α функции f верно, что z(j) = ψ(α ) = f (α ) = 0. Если хотя бы на
одном из нулевых наборов z(j) = ψ(α ) ≠ f (α ) , т.е. z(j) = ψ(α ) = 1, тогда при
отсутствии неисправностей сработает стоп-оператор stop(aj) и на выходе программы появится ошибка.
Ошибка оператора, вычисляющего z(j) на наборе α , приведет к остановке и ошибке на выходе программы. Вероятность этого события равна
(1 − ε)
m j −1
⋅ ε ≥ (1 − ε)m −1 ⋅ ε . Тогда на этом входном наборе вероятность ошиб-
ки на выходе программы P (Pr f , α ) ≥ (1 − ε) m −1 ⋅ ε . Следовательно, N (Pr f ) ≥
≥ (1 − ε)m −1 ⋅ ε .
2.2.2.3.2.2. Рассмотрим вторую подпрограмму. Очевидно, при всех единичных наборах α функции f верно, что z(j) = ψ(α ) = f (α ) = 1. Если хотя бы
на одном из единичных наборов z(j) = ψ(α ) ≠ f (α ) , т.е. z(j) = ψ(α ) = 0, тогда
при отсутствии неисправностей сработает стоп-оператор stop(aj) и на выходе
программы появится ошибка.
Ошибка оператора, вычисляющего z(j) на наборе α , приведет к остановке и ошибке на выходе программы. Вероятность этого события равна
(1 − ε)
m j −1
⋅ ε ≥ (1 − ε)m −1 ⋅ ε . Тогда на этом входном наборе вероятность ошиб-
ки на выходе программы P (Pr f , α ) ≥ (1 − ε) m −1 ⋅ ε . Следовательно, N (Pr f ) ≥
≥ (1 − ε)m −1 ⋅ ε .
Теорема 2 доказана.
Из теоремы 2 следует, что любую функцию f ∈ K нельзя реализовать
неприводимой программой Prf, ненадежность которой меньше ε (1 – ε )m–1, где
m – число функциональных операторов в программе Prf.
Из теорем 1 и 2 следует, что почти все функции можно реализовать
асимптотически оптимальными по надежности неветвящимися программами,
функционирующими с ненадежностью, асимтотически равной ε при ε → 0.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. Ч а ш к и н , А . В. О среднем времени вычисления значений булевых функций /
А. В. Чашкин // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. – 1997. –
Т. 4, № 1. – С. 3–17.
2. А л е х и н а , М . А . О надежности неветвящихся программ в произвольном полном конечном базисе / М. А. Алехина, С. М. Грабовская // Известия высших
учебных заведений. Математика. – 2012. – № 2. – С. 13–22.
3. N e u m a n , J . V o n . Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from
unreliable components / J. Von Neuman // Automata studies / ed. by Shannon C.,
Mc. Carthy J. – Princeton University Press, 1956. (Русский перевод: Автоматы. –
М. : ИЛ, 1956. – С. 68–139).
Алехина Марина Анатольевна
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующая кафедрой
дискретной математики, Пензенский
государственный университет
Alekhina Marina Anatolyevna
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of discrete mathematics,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Грабовская Светлана Михайловна
старший преподаватель, кафедра
дискретной математики, Пензенский
государственный университет
Grabovskaya Svetlana Mikhaylovna
Senior lecturer, sub-department of discrete
mathematics, Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 519.718
Алехина, М. А.
Нижняя оценка ненадежности неветвящихся программ с оператором условной остановки / М. А. Алехина, С. М. Грабовская // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 44–56.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 519.718
М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова
О НАДЕЖНОСТИ СХЕМ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ФУНКЦИИ ИЗ P3 1
Аннотация. Рассматривается реализация функций трехзначной логики схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе Россера – Туркетта.
Предполагается, что вероятность появления одного неверного значения на выходе любого базисного элемента на каждом входном наборе равна ε, а следовательно, вероятность ошибки равна 2ε. Доказано, что любую функцию трехзначной логики f ( x1 ,..., xn ) можно реализовать схемой, ненадежность которой при
(
всех ε ∈ 0, 1 / 8 ⋅ 3n ⋅ (2n + 1)(1 + 3n ⋅ 4(2n + 1))  не превосходит 6ε + 420ε2 .

Ключевые слова: функции трехзначной логики, функциональный элемент,
схема, ненадежность.
Abstract. The article examines a realization of ternary logics functions by the
circuits with unreliable functional element in base of Rosser – Turkett. It is assumed that probability of appearance of one incorrect meaning at the output of
any basis element on every input vector equals ε , and, hence, probability of
error equals 2 ε . It is proved that any ternary logics function f ( x1 ,..., xn ) can be
realized by the circuit with unreliability no more
ε ∈ 0, 1 / 8 ⋅ 3n ⋅ (2n + 1)(1 + 3n ⋅ 4(2n + 1))  .

(
6ε + 420ε2
for all
Key words: ternary logics function, functional element, circuit, unreliability.
В современной технике управляющих и вычислительных устройств
важное место занимают дискретные преобразователи, т.е. устройства, которые обладают некоторым числом входов и выходов. Наборы сигналов, поступающие на входы и возникающие на выходах, принадлежат известным конечным множествам. Устройства осуществляют преобразования входных
наборов сигналов в выходные.
Интересным подклассом дискретных преобразователей является класс
устройств, в которых время преобразования существенно мало по сравнению
с длительностью сигналов (или устройства, временем преобразования в которых можно пренебречь). Математической моделью таких устройств являются
так называемые схемы из функциональных элементов [1].
Пусть E = {0,1, 2},
x = ( x1 ,..., xn ) . Рассмотрим функции
n ≥ 1,
f ( x1 , ..., xn ) : ( E3 ) n → E3 , т.е. функции трехзначной логики.
Обозначим через P3 множество всех функций трехзначной логики и
рассмотрим реализацию функций из P3 схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе Россера – Туркетта {0, 1, 2, J 0 ( x1 ), J1 ( x1 ), J 2 ( x1 ),
max{x1 , x2 }, min{x1 , x2 }} . Для краткости обозначим max{x1 , x2 } через ∨ , а
min{x1 , x2 } через &.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер проекта 11-01-00212а).
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Будем считать, что схема из ненадежных элементов реализует функцию

f ( x) , если при поступлении на входы схемы набора a при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение f (a ) [2].
Предположим, что каждый элемент базиса на любом входном наборе
a (a = (a , a )) таком, что f (a ) = τ , с вероятностью ε (ε ∈ (0,1 / 2)) выдает
1 2
значение τ = μ и с вероятностью ε выдает значение μ . Все элементы схемы
переходят в неисправные состояния независимо друг от друга.
Пусть схема S реализует функцию f ( x ) . Обозначим через Pf ( a )≠τ ( S , a )
вероятность ошибки на выходе схемы S при входном наборе a , на котором
f (a ) = τ . Таким образом, Pf ( a )≠τ ( S , a ) = Pτ+1 ( S , a ) + Pτ+ 2 ( S , a ) . Например, если схема S реализует функцию f ( x ) и входной набор a является нулевым,
т.е. f (a ) = 0 , то вероятность ошибки равна P  ( S , a ) = P ( S , a ) + P ( S , a ) .
f ( a )≠ 0
1
2
Ненадежностью схемы S будем называть число
P( S ) =
= max{Pf ( a )≠τ ( S , a )} , где максимум берется по всем входным наборам a
схемы S.
Рассмотрим функциональный элемент E& с функцией &. Вычислим
p0 , p1 , p2 вероятности появления 0, 1, 2 соответственно на выходе элемента
E& (табл. 1).
Таблица 1
x1
x2
x1 & x2
0
0
0
1
1
1
2
2
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
0
0
0
1
1
0
1
2
p0
1 – 2ε
1 – 2ε
1 – 2ε
1 – 2ε
ε
ε
1 – 2ε
ε
ε
p1
ε
ε
ε
ε
1 – 2ε
1 – 2ε
ε
1 – 2ε
ε
p2
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
1 – 2ε
Замечание. Очевидно, что P( E& ) = 2ε , а надежность элемента E&
равна (1 − 2ε) .
Пусть f ( x ) – произвольная функция из P3 . Пусть S – произвольная
схема, реализующая f ( x ) . Возьмем два экземпляра схемы S и соединим их
выходы со входами элемента E c функцией e (рис. 1) [3].
Обозначим Pi ( B, a ) – вероятность появления значения i на выходе B
при входном наборе a .
Справедлива лемма 1.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Рис. 1
Лемма 1. Пусть e = & (рис. 1); p0 ( S , a ), p1 ( S , a ), p2 ( S , a ) – вероятности
появления 0, 1, 2 соответственно на выходе схемы S при входном наборе a .
Тогда вероятности появления неверных значений на выходе схемы B равны:
P1 ( S , a ) = ε + p12 ( S , a )(1 − 3ε) + p1 ( S , a ) p2 ( S , a )(2 − 6ε) ,
P2 ( S , a ) = ε + p22 ( S , a )(1 − 3ε) + 2 p1 ( S , a )ε − 2 p12 ( S , a )ε ,
если набор a такой, что f (a ) = 0 ;
P0 ( S , a ) = ε + p02 ( S , a )(3ε − 1) + p0 ( S , a )(2 − 6ε) ,
P2 ( S , a ) = ε + p22 ( S , a )(1 − 3ε) ,
если набор a такой, что f ( a ) = 1 ;
P0 ( S , a ) = ε + p02 ( S , a )(3ε − 1) + p0 ( S , a )(2 − 6ε) ,
P1 ( S , a ) = ε + p12 ( S , a )(3ε − 1) + p1 ( S , a )(2 − 6ε) + p0 ( S , a ) p1 ( S , a )(6ε − 2) ,
если набор a такой, что f (a ) = 2 .
Доказательство. Пусть входной набор a = (a1 , a2 , ..., an ) схемы S такой, что f (a ) = 0 , тогда правильное значение на выходе схемы B (см. рис. 1)
равно 0. Вычислим по формуле полной вероятности вероятности появления 1
и 2 на выходе схемы B:
P1 ( B, a ) = p02 ε + 2 p0 p1ε + 2 p0 p2 ε + p12 (1 − 2ε) + 2 p1 p2 (1 − 2ε) + p22 ε .
Так как p0 = 1 − p1 − p2 , то
P1 ( B, a ) = (1 − p1 − p2 ) 2 ε + 2(1 − p1 − p2 ) p1ε + 2(1 − p1 − p2 ) p2 ε +
+ p12 (1 − 2ε) + 2 p1 p2 (1 − 2ε) + p22ε = ε + p12 ε + p22 ε − 2 p1ε − 2 p2 ε + 2 p1 p2ε +
+2 p1ε − 2 p12 ε − 2 p1 p2 ε + 2 p2 ε − 2 p1 p2 ε − 2 p22 ε + p12 − 2 p12 ε + 2 p1 p2 −
−4 p1 p2 ε + p22 ε = ε + p12 (1 − 3ε) + p1 p2 (2 − 6ε);
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
P2 ( B, a ) = p02 ε + 2 p0 p1ε + 2 p0 p2ε + p12 ε + 2 p1 p2ε + p22 (1 − 2ε).
Учитывая, что p0 = 1 − p1 − p2 , получим
P2 ( B, a ) = (1 − p1 − p2 ) 2 ε + 2(1 − p1 − p2 ) p1ε + 2(1 − p1 − p2 ) p2 ε +
+ p12ε + 2 p1 p2 ε + p22 (1 − 2ε) = ε + p12 ε + p22ε − 2 p1ε − 2 p2 ε + 2 p1 p2ε +
+2 p1ε − 2 p12ε − 2 p1 p2 ε + 2 p2 ε − 2 p1 p2ε − 2 p22 ε + p12 ε + 2 p12ε +
+ p22 − 2 p22 ε = ε + p22 (1 − 3ε) + 2 p1ε − 2 p12 ε.
Пусть набор a = (a1 , a2 , ..., an ) такой, что f ( a ) = 1 , тогда правильное
значение на выходе схемы B (см. рис. 1) равно 1. Вычислим вероятности появления 0 и 2 на выходе схемы B:
P0 ( B, a ) = p02 (1 − 2ε) + 2 p0 p1 (1 − 2ε) + 2 p0 p2 (1 − 2ε) + p12 ε + 2 p1 p2 ε + p22ε .
Принимая во внимание, что p1 = 1 − p0 − p2 , получим
P0 ( B, a ) = p02 (1 − 2ε) + 2 p0 (1 − p0 − p2 )(1 − 2ε) + 2 p0 p2 (1 − 2ε) +
+(1 − p0 − p2 )2 ε + 2(1 − p0 − p2 ) p2 ε + p22 ε = p02 − 2 p02 ε + 2 p0 − 2 p02 − 2 p0 p2 −
−4 p0 ε + 4 p02 ε + 4 p0 p2ε + 2 p0 p2 − 4 p0 p2 ε + ε − 2 p0 ε − 2 p2ε + 2 p0 p2ε +
+ p02ε + p22 ε + 2 p2ε − 2 p0 p2 ε − 2 p22 ε + p22 ε = ε + p0 (2 − 6ε) + p02 (3ε − 1);
P2 ( B, a ) = p02 ε + 2 p0 p1ε + 2 p0 p2ε + p12 ε + 2 p1 p2 ε + p22 (1 − 2ε) .
Так как p1 = 1 − p0 − p2 , то
P2 ( B, a ) = p02ε + 2 p0 (1 − p0 − p2 )ε + 2 p0 p2 ε + (1 − p0 − p2 )ε + 2(1 − p0 − p2 ) p2 ε +
+ p22 (1 − 2ε) = p02 ε + 2 p0 ε − 2 p02 ε − 2 p0 p2 ε + 2 p0 p2 ε + ε + p02 ε + p22 ε − 2 p0 ε −
−2 p2 ε + 2 p0 p2ε + 2 p2 ε − 2 p0 p2 ε − 2 p22 ε + p22 − 2 p22 ε = ε + p22 (1 − 3ε).
Пусть набор a = (a1 , a2 , ..., an ) такой, что f (a ) = 2 , тогда правильное
значение на выходе схемы B (см. рис. 1) равно 2. Вычислим вероятности появления 0 и 1 на выходе схемы B:
P0 ( B, a ) = p02 (1 − 2ε) + 2 p0 p1 (1 − 2ε) + 2 p0 p2 (1 − 2ε) + p12 ε + 2 p1 p2 ε + p22ε .
Учитывая, что p2 = 1 − p0 − p1 , получим
P0 ( B, a ) = p02 (1 − 2ε) + 2 p0 p1 (1 − 2ε) + 2 p0 (1 − p0 − p1 )(1 − 2ε) + p12 ε +
+2 p1 (1 − p0 − p1 )ε + (1 − p0 − p1 ) 2 ε = ε + p02 (3ε − 1) + p0 ε(2 − 6ε);
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
P1 ( B, a ) = p02 ε + 2 p0 p1ε + 2 p0 p2 ε + p12 (1 − 2ε) + 2 p1 p2 (1 − 2ε) + p22 ε .
Так как p2 = 1 − p0 − p1 , то
P1 ( B, a ) = p02ε + 2 p0 p1ε + 2 p0 (1 − p0 − p1 )ε + p12 (1 − 2ε) + 2 p1 (1 − p0 − p1 ) ×
×(1 − 2ε) + (1 − p0 − p1 ) 2 ε = ε + p12 (3ε − 1) + p1 (2 − 6ε) + p0 p1 (6ε − 2).
Лемма доказана.
Рассмотрим функциональный элемент E∨ с функцией ∨ . Вычислим
вероятности p0 , p1 , p2 появления 0, 1, 2 на выходе элемента E∨ (табл. 2).
Таблица 2
x1
x2
x1 ∨ x2
0
0
0
1
1
1
2
2
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
1
1
2
2
2
2
p0
1 – 2ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
p1
ε
1 – 2ε
ε
1 – 2ε
1 – 2ε
ε
ε
ε
ε
p2
ε
ε
1 – 2ε
ε
ε
1 – 2ε
1 – 2ε
1 – 2ε
1 – 2ε
Справедлива лемма 2.
Лемма 2. Пусть e = ∨ (рис. 1); p0 ( S , a ), p1 ( S , a ), p2 ( S , a ) – вероятности
появления 0, 1, 2 соответственно на выходе схемы S при входном наборе a .
Тогда вероятности появления неверных значений на выходе схемы B равны:
P1 ( S , a ) = ε + p12 ( S , a )(3ε − 1) + p1 ( S , a )(2 − 6ε) + p1 ( S , a ) p2 ( S , a )(6ε − 2) ,
P2 ( S , a ) = ε + p22 ( S , a )(3ε − 1) + p2 ( S , a )(2 − 6ε),
если набор a такой, что f (a ) = 0 ;
P0 ( S , a ) = ε + p02 ( S , a )(1 − 3ε) + 2 p0 ( S , a )ε + 2 p2 ( S , a )ε ,
P2 ( S , a ) = ε + p2 ( S , a )(2 − 2ε) − p22 (1 + ε) ,
если набор a такой, что f ( a ) = 1 ;
P0 ( S , a ) = ε + p02 ( S , a )(1 − 3ε) ,
P1 ( S , a ) = ε + p12 ( S , a )(1 − 3ε) + p0 ( S , a ) p1 ( S , a )(2 − 6ε) ,
если набор a такой, что f (a ) = 2 .
Доказательство аналогично доказательству леммы 1.
С помощью лемм 1 и 2 доказывается теорема 1.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема 1. Пусть f ( x ) – произвольная функция, пусть схема S реализует f ( x ) c ненадежностью P(S). Тогда схема ψ( S ) (рис. 2) реализует функцию f ( x ) c ненадежностью
P (ψ ( S )) ≤ max {6ε + 4ε ⋅ P ( S , a ) + 8P 2 ( S , a ), 4ε + 5ε 2 + 8ε P ( S , a ) + 8 P 2 ( S , a ),
a
2ε + 4ε 2 + 16ε P ( S , a ) + 12 P 2 ( S , a )}.
Доказательство. Пусть f – произвольная функция из P3 . Для построения схемы ψ( S ) возьмем два экземпляра схемы В (рис. 1) и соединим их выходы со входами элемента E∨ (рис. 2).
Рис. 2
Пусть набор a = (a1 , a2 , ..., an ) такой, что f (a ) = 0 , тогда правильное
значение на выходе схемы ψ( S ) (рис. 2) равно 0. Используя результаты леммы 2, найдем вероятности появления 1 и 2 на выходе схемы ψ( S ) :
P1 (ψ ( S ), a ) = ε + P12 ( B, a )(3ε − 1) + P1 ( B, a )(2 − 6ε) +
+ P1 ( B, a ) P2 ( B, a )(6ε − 2) ≤ ε + 2 P1 ( B, a ) ;
P2 (ψ( S ), a ) = ε + P22 ( B, a )(3ε − 1) + P2 ( B, a )(2 − 6ε) ≤ ε + 2 P2 ( B, a ).
Подставим значения для P1 ( B, a ) и P1 ( B, a ) из леммы 1 в случае, когда
набор a = (a , a , ..., a ) такой, что f (a ) = 0 :
1
2
n
P1 (ψ ( S ), a ) ≤ ε + 2 P1 ( B, a ) = ε + 2(ε + p12 ( S , a )(1 − 3ε) +
+ p1 ( S , a ) p2 ( S , a )(2 − 6ε)) ≤ 3ε + 2 p12 ( S , a ) + 4 p1 ( S , a ) p2 ( S , a );
P2 (ψ ( S ), a ) ≤ ε + 2 P2 ( B, a ) ≤ ε + 2(ε + p22 ( S , a )(1 − 3ε) +
+2 p1 ( S , a )ε) ≤ 3ε + 2 p22 ( S , a ) + 4 p1 ( S , a )ε.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Пусть набор a = (a1 , a2 , ..., an ) такой, что f ( a ) = 1 , тогда правильное
значение на выходе схемы ψ( S ) (см. рис. 2) равно 1. Используя результаты
леммы 2, найдем вероятности появления 0 и 2 на выходе схемы ψ( S ) :
P0 (ψ( S ), a ) = ε + P02 ( B, a )(1 − 3ε) + 2 P0 ( B, a )ε + 2 P2 ( B, a )ε ≤
≤ ε + P02 ( B, a ) + 2 P0 ( B, a )ε + 2 P2 ( B, a )ε,
P2 (ψ ( S ), a ) = ε + P2 ( B, a )(2 − 2ε) − P22 ( B, a )(1 + ε) ≤ ε + 2 P2 ( B, a ) .
Подставим значения для P0 ( B, a ) и P2 ( B, a ) из леммы 1 в случае, когда
набор a = (a , a , ..., a ) такой, что f ( a ) = 1 :
1
2
n
P0 (ψ( S ), a ) ≤ ε + P02 ( B, a ) + 2 P0 ( B, a )ε + 2 P2 ( B, a )ε ≤
≤ ε + (ε + 2 p0 ( S , a )) 2 + 2(ε + 2 p0 ( S , a ))ε + 2(ε + 2 p22 ( S , a ))ε =
= ε + 5ε 2 + 8 p0 ( S , a )ε + 4 p02 ( S , a ) + 2 p22 ( S , a ) ;
P2 (ψ ( S ), a ) ≤ ε + 2 P2 ( B, a ) ≤ ε + 2(ε + 2 p22 ( S , a )) = 3ε + 2 p22 ( S , a ).
Пусть набор a = (a1 , a2 , ..., an ) такой, что f (a ) = 2 , тогда правильное
значение на выходе схемы ψ( S ) (см. рис. 2) равно 2. Используя результаты
леммы 2, получим, что вероятности появления 0 и 1 на выходе схемы ψ( S )
равны:
P0 (ψ( S ), a ) = ε + P02 ( B, a )(1 − 3ε) ≤ ε + P02 ( B, a ) ,
P1 (ψ( S ), a ) = ε + P12 ( B, a )(1 − 3ε) + P0 ( B, a ) P1 ( B, a )(2 − 6ε) ≤
≤ ε + P12 ( B, a ) + 2 P0 ( B, a ) P1 ( B, a ).
Подставим значения для P0 ( B, a ) и P1 ( B, a ) из леммы 1 в случае, когда
набор a = (a , a , ..., a ) такой, что f (a ) = 2 :
1
2
n
P0 (ψ( S ), a ) ≤ ε + (ε + 2 p0 ( S , a )) 2 = ε + ε 2 + 4εp0 ( S , a ) + 4 p02 ( S , a ) ,
P1 (ψ ( S ), a ) ≤ ε + P12 ( B, a ) + 2 P0 ( B, a ) P1 ( B, a ) ≤
≤ ε + (ε + 2 p1 ( S , a )) 2 + 2(ε + 2 p1 ( S , a ))(ε + 2 p0 ( S , a )) =
= ε + 3ε2 + 8 p1 ( S , a )ε + 4 p0 ( S , a ) + 8 p0 ( S , a ) p1 ( S , a ).
Найдем вероятности ошибок на выходе схемы ψ( S ) :
Pf ( a )≠ 0 ( S , a ) = P1 ( S , a ) + P2 ( S , a ) ≤ 6ε + 2 p12 ( S , a ) +
+4 p1 ( S , a ) p2 ( S , a ) + 2 p22 ( S , a ) + 4 p1 ( S , a )ε.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Следовательно,
Pf ( a )≠ 0 (ψ ( S ), a ) ≤ 6ε + 8P 2 ( S , a ) + 4ε ⋅ P ( S , a ) ;
Pf ( a )≠1 (ψ ( S ), a ) = P0 (ψ( S ), a ) + P2 (ψ ( S ), a ) ≤ 4ε + 5ε 2 + 8ε p0 ( S , a ) +
+4 p02 ( S , a ) + 4 p22 ( S , a ) ≤ 4ε + 5ε 2 + 8ε P( S , a ) + 8P 2 ( S , a );
Pf ( a )≠ 2 (ψ( S ), a ) = P0 (ψ( S ), a ) + P1 (ψ ( S ), a ) ≤ ε + ε 2 + 4ε ⋅ p0 ( S , a ) +
+4 p02 ( S , a ) + ε + 3ε2 + 8ε ⋅ p1 ( S , a ) + 4 p0 ( S , a )ε + 8 p0 ( S , a ) p1 ( S , a ) ≤
≤ 2ε + 4ε 2 + 16ε P( S , a ) + 12 P 2 ( S , a ).
Так как P ( S ) = max{Pf ( a )≠τ ( S , a )} , то
P (ψ ( S )) ≤ max {6ε + 4ε ⋅ P ( S , a ) + 8P 2 ( S , a ), 4ε + 5ε 2 + 8ε P ( S , a ) + 8 P 2 ( S , a ),
a
2ε + 4ε 2 + 16ε P ( S , a ) + 12 P 2 ( S , a )}.
Теорема 1 доказана.
С помощью теоремы 1 доказывается теорема 2.
Теорема 2. Любую функцию f ( x1 , x2 ,..., xn ) можно реализовать такой
(
схемой А, что при всех ε ∈ 0,1 / 8 ⋅ 3n ⋅ (2n + 1)(1 + 3n ⋅ 4(2n + 1))  верно нера
венство
P( S ) ≤ 6ε + 420ε 2 .
Доказательство. Рассмотрим представление произвольной функции
f ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ P3 в первой форме:
f ( x1 ,..., xn ) = max
(σ1 ,...,σn )
( Iσ ( x1) & ... & Iσ ( xn ) & f (σ1,..., σn ) ) .
1
n
Промоделируем формулу схемой S, используя 3n ⋅ (2n + 1) элементов:
P( S ) ≤ 3n ⋅ (2n + 1) ⋅ 2ε .
(1)
По условию ε ≤ 1 / (8 ⋅ 3n (2n + 1)(1 + 3n ⋅ 4(2n + 1))) . Нетрудно проверить,
что 1 / (8 ⋅ 3n (2n + 1)(1 + 3n ⋅ 4(2n + 1))) ≤ 1 / (2 ⋅ 3n (2n + 1))2 . Поэтому справедливы неравенства ε ≤ 1 / (4 ⋅ 32n (2n + 1) 2 ) и ε ≤ 1 / (2 ⋅ 3n (2n + 1)) . Подставляя
последнее неравенство в формулу (1), получаем
P( S ) ≤ ε .
(2)
Возьмем четыре экземпляра схемы S и построим схему ψ( S )
(см. рис. 2). По теореме 1 оценим ненадежность схемы ψ( S ) и получим
P (ψ( S )) ≤ max{6ε + 4ε ⋅ ε + 8ε 2 , 4ε + 5ε 2 + 8ε ⋅ ε + 8ε 2 ,
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
2ε + 4ε 2 + 16ε ⋅ ε + 12ε 2 } = 6ε + 4ε ⋅ ε + 8ε 2 .
Нетрудно проверить, что
ε + 2ε ≤ 1 / 4 , поэтому
P (ψ( S )) ≤ 6ε + 4ε ⋅ ε + 8ε 2 ≤ 7ε.
Выполним еще одну итерацию и построим схему ψ(ψ ( S )) , заменив на
рис. 2 схему S схемой ψ( S ) . Тогда
P(ψ(ψ( S )) ≤ 6ε + 4ε ⋅ 7ε + 8 ⋅ (7ε) 2 ≤ 6ε + 420ε 2 .
Следовательно, схема ψ(ψ ( S )) – искомая схема А.
Теорема 2 доказана.
Таким образом, любую функцию f ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ P3 при n → ∞
(а следовательно, ε → 0 ) можно реализовать схемой, ненадежность которой
асимптотически не больше 6ε . Тем самым доказана принципиальная возможность построения надежных схем в P3.
Список литературы
1. Я б л о н с к и й , С . В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. – М. :
Наука, 1986. – 384 с.
2. А л е х и н а , М . А . Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем /
М. А. Алехина. – Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2006. – 156 с.
3. В а с и н , А . В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе
{x & y, x ∨ y, x} при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2008. – № 4. – С. 3–17.
Алехина Марина Анатольевна
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующая кафедрой
дискретной математики, Пензенский
государственный университет
Alekhina Marina Anatolyevna
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of discrete mathematics,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Барсукова Оксана Юрьевна
аспирант, Пензенский
государственный университет
Barsukova Oksana Yuryevna
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 519.718
Алехина, М. А.
О надежности схем, реализующих функции из P3 / М. А. Алехина,
О. Ю. Барсукова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 57–65.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.927, 519.62, 517.958
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов, Е. А. Широкова
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЛНОВЕДУЩЕЙ СТРУКТУРЕ
Аннотация. Рассматривается распространение электромагнитных волн в волноведущей структуре, состоящей из двух плоских слоев с нелинейной средой.
Задача сводится к краевой задаче сопряжения на собственные значения в четырехсвязной области. Предложен численный метод для решения указанной
задачи. Приведены результаты расчетов.
Ключевые слова: задача сопряжения в многосвязной области, нелинейное
обыкновенное дифференциальное уравнение, задача Коши.
Abstract. The article considers electromagnetic wave propagation in a two nonlinear
layers’ plane waveguide. The problem is reduced to a boundary conjugation problem in a quadruply-connected domain. A numerical method for solving the problem
is proposed. Some numerical results are shown.
Key words: conjugation problem in a multiply-connected domain, nonlinear ordinary differential equation, Cauchy problem.
Введение
В работе рассматривается задача о распространении ТЕ-волн в плоском
двухслойном диэлектрическом волноводе. Волновод помещен между двумя
полубесконечными средами с постоянными электродинамическими параметрами. Диэлектрическая проницаемость в каждом из двух слоев зависит от
2
электрического поля по закону Керра: ε = εconst + α E , где εconst – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости, α – коэффициент нелинейности. Задача сводится к отысканию постоянных распространения электромагнитной волны в рассматриваемой волноведущей структуре. Предложен численный метод (который будем называть «метод задачи Коши») отыскания собственных значений.
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через два однородных, изотропных, немагнитных диэлектрических слоя. Диэлектрическая проницаемость в слоях зависит от электрического поля по закону Керра. Слои
расположены между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой
системе координат Oxyz и h = h1 + h2 . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости ε1 и ε 4 соответственно ( ε1 и ε 4 – произвольные
действительные постоянные). Считаем, что всюду μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Предполагаем гармоническую зависимость полей от времени в виде
 ( x, y, z , t ) = E ( x, y, z ) cos ωt + E ( x, y, z ) sin ωt ;
E
+
−
 ( x, y, z, t ) = H ( x, y, z ) cos ωt + H ( x, y, z ) sin ωt ,
H
+
−
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
где ω – круговая частота; E+ , E− , H + , H − – вещественные искомые
функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E , H [1]: E = E+ + iE− ;
H = H + + iH − . Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла
rot H = −iωεE; rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0 , x = h1 , x = h1 + h2 и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x → ∞
в областях x < 0 и x > h . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет
2
вид ε = εi + αi E , где i = 2,3 и εi , αi – произвольные постоянные. Будем
искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 показана геометрия задачи.
x
h1 + h2
h = h1
ε = ε4
2
ε = ε3 + α 3 E
2
ε = ε2 + α 2 E
0
z
ε = ε1
Рис. 1
Рассмотрим
T
ТЕ-поляризованные
волны
(
E = 0, E y , 0
T
)
,
T
H = ( H x ,0, H z ) , где () – операция транспонирования. Легко показать,
что компоненты полей E и H не зависят от переменной y . Волны, распространяющиеся вдоль границы раздела сред z , гармонически зависят от z .
Тогда компоненты полей E , H имеют вид
H y = H y ( x ) eiγz , E x = E x ( x ) eiγz , E z = E z ( x ) eiγz .
(2)
Подставив компоненты (2) в уравнения Максвелла (1), выполнив норεj
d
d
γ
мировку в соответствии с формулами x = kx ,
= k , γ = , ε j =
(j = 1,
ε0
k
dx
dx
α
2, 3, 4), α i = i (i = 1, 2), где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и
ε0
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
k 2 = ω2με0 с μ = μ0 , обозначив E y ( x ) ≡ Y ( x ) и опуская значок тильды, получаем следующее уравнение [2]:
Y ′′ ( x ) = γ 2Y ( x ) − εY ( x ) ,
(3)
где γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения).
Будем искать действительные решения Y ( x ) уравнения (3). Полагаем
γ действительным (так что E
2
не зависит от z) и
x < 0;
ε1 ,

2
ε 2 + α 2Y , 0 < x < h1;
ε=
ε3 + α3Y 2 , h1 < x < h1 + h2 ;

x > h1 + h2 .
ε 4 ,
(4)
Считаем, что функция Y дифференцируема в слоях так, что
Y ( x ) ∈ C ( −∞; + ∞ ) ∩ C1 ( −∞; ∞ ) ∩ C 2 ( −∞; 0 ) ∩
∩C 2 ( 0; h1 ) ∩ C 2 ( h1; h ) ∩ C 2 ( h; + ∞ ) .
(5)
2. Решение системы дифференциальных уравнений
Введем
обозначения:
k12 = γ 2 − ε1 ,
k22 = ε 2 − γ 2 ,
k32 = ε3 − γ 2 ,
k42 = γ 2 − ε 4 .
Для ε = ε1 в полупространстве x < 0 из (3) и (4) получаем уравнение
Y ′′ = k12Y , его общее решение Y ( x ) = A1e− k1x + Aek1x , в силу условия на бесконечности получаем
Y ( x ) = Aek1x ,
Y ′ ( x ) = Ak1e k1x .
(6)
Для ε = ε 4 в полупространстве x > h1 + h2 из (3) и (4) получаем уравне-
−k x−h
k x −h
ние Y ′′ = k42Y , его общее решение Y ( x ) = B1e 4 ( ) + Be 4 ( ) . В силу условия на бесконечности получаем
Y ( x ) = Be
− k4 ( x − h )
, Y ′ ( x ) = − Bk4 e
− k4 ( x − h )
.
(7)
Постоянные A и B в (6) и (7) определяются граничными условиями.
Из формул (6) и (7) легко видеть, что выполняется неравенство
γ > max ε1 , ε 4 .
(
)
Внутри слоя 0 < x < h1 уравнение (3) принимает вид
(
)
Y ′′ = − k22 + Y 2 Y .
68
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Внутри слоя h1 < x < h1 + h2 уравнение (3) принимает вид
(
)
Y ′′ = − k32 + Y 2 Y .
(9)
3. Условия сопряжения
Как известно, касательные компоненты электромагнитного поля непрерывны на границах раздела сред. В нашем случае касательными компонентами являются E y и H z . Учитывая сказанное, получаем для функций Y и Y ′
следующие условия сопряжения:
[Y ]x=0 = 0 , [Y ]x=h1 = 0 , [Y ]x=h1+h2 = 0 ,
[Y ′]x=0 = 0 , [Y ′]x=h1 = 0 , [Y ′]x=h1 +h2 = 0 ,
(10)
где [ f ] x = x = lim f ( x ) − lim f ( x ) .
0
x→ x0 −0
x→ x0 + 0
Пусть Y0 := Y ( 0 ) , Yh := Y ( h ) и постоянная Yh считается известной, тогда B = Yh , A = Y0 . Далее, используя (5), (6), получаем
Y ′ ( h ) = −k4Yh , Y ′ ( 0 ) = k1Y0 .
(11)
Сформулируем задачу сопряжения (задачу Р): необходимо найти собственные значения γ и собственные функции Y ( x; γ ) , удовлетворяющие
уравнениям (8), (9) и условиям (6), (7), (10).
4. Линейный случай
В случае, когда все четыре среды линейны, можно вывести точное дисперсионное уравнение. Это дисперсионное уравнение окажется полезным для
тестирования метода задачи Коши, описанного ниже.
Внутри слоя 0 < x < h1 решение уравнения (3) имеет вид
Y ( x ) = C11 sin k2 x + C12 cos k2 x , Y ′ ( x ) = k2 ( C11 cos k2 x − C12 sin k2 x ) . (12)
Внутри слоя h1 < x < h1 + h2 решение уравнение (3) имеет вид
Y ( x ) = C21 sin k3 x + C22 cos k3 x , Y ′ ( x ) = k3 ( C21 cos k3 x − C22 sin k3 x ) . (13)
Пользуясь условиями сопряжения (10) и решениями (6), (7), (12), (13),
получаем
 A = C12 ,

 Ak1 = k2C11 ,
C11 sin k2 h1 + C12 cos k2 h1 = C21 sin k3h1 + C22 cos k3h1 ,

k ( C cos k h − C sin k h ) = k ( C cos k h − C sin k h ) ,
2 1
12
2 1
3 21
3 1
22
3 1
 2 11
C21 sin k3 ( h1 + h2 ) + C22 cos k3 ( h1 + h2 ) = B,

k3 ( C21 cos k3 ( h1 + h2 ) − C22 sin k3 ( h1 + h2 ) ) = − Bk4 .
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Предполагая, что cos k2 h1 ≠ 0 и cos k3h1 ≠ 0 , получаем дисперсионное
уравнение в такой форме:
( k22k4 + k1k32 ) tg k2h1 tg k3h2 − k3 ( k1k4 − k22 ) tg k2h1 +
+ k2 ( k32 − k1k4 ) tg k3h2 − k2 k3 ( k1 + k4 ) = 0 .
(14)
Уравнение (14) удобно переписать одним из следующих способов:
k1k4 − k22 ) tg k2 h1 + k2 ( k1 + k4 )
(
tg k3h2 = k3
;
( k22k4 + k1k32 ) tg k2h1 + k2 ( k32 − k1k4 )
k32 − k1k4 ) tg k3h2 − k3 ( k1 + k4 )
(
tg k2 h1 = k2
,
k3 ( k1k4 − k22 ) − ( k22 k4 + k1k32 ) tg k3h2
(15)
(16)
или
(

)
 + πn ;
(
)
(
)  k3

k32 − k1k4 ) tg k3h2 − k3 ( k1 + k4 )  πm
(
1

+
h1 = arctg k2
,


2
2
2
k2
 k3 ( k1k4 − k2 ) − ( k2 k4 + k1k3 ) tg k3h2  k2



k1k4 − k22 tg k2 h1 + k2 ( k1 + k4 )
1

h2 = arctg k3

k3
k22 k4 + k1k32 tg k2 h1 + k2 k32 − k1k4


где n ≥ 0 , m ≥ 0 – целые числа.
Из представлений (17), (18) легко видеть, что γ < min
(
(17)
(18)
)
ε 2 , ε3 . Окончательно получаем, что в линейном случае выполняется неравенство
max ( ε1 , ε 4 ) < γ 2 < min ( ε 2 , ε3 ) ,
причем левая часть этого неравенства справедлива и для нелинейного случая.
5. Описание метода задачи Коши
Будем считать, что h1 задано, а h2 изменяется. Опишем метод нахождения
γ
( (
γ ∈ max
в зависимости от
) )
h2 . Будем считать, что
( )
h2 ∈ 0, h∗
( ) и ( max (
ε1 , ε 4 , γ∗ . Разбиваем интервалы 0, h∗
и
) )
ε1 , ε 4 , γ∗
на n и m частей соответственно. Поскольку Yh известно, то для всякого
( (
γ j ∈ max
) )
ε1 , ε 4 , γ∗
( )
и hi∗ из формулы (12) найдем Y j′ hi∗
(как легко
видеть из (12), значения Yh и Yh′ от h не зависят, но так писать удобнее). Теперь можно решать задачу Р следующим образом. На отрезке x ∈  h1 , hi∗ 


70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
можно поставить задачу Коши для уравнения (9) с начальными условиями
( )
Yh , Y j′ hi∗ и γ = γ j . Решив ее, получим Yij ( h1 ) , Yij′ ( h1 ) – значения функции
Y и ее производной Y ′ в точке x = h1 . Теперь мы можем поставить задачу
Коши на отрезке x ∈ [ 0, h1 ] для уравнения (8) с начальными условиями Yh1 ,
Yij′ ( h1 ) и γ = γ j . Решив ее, получим значения Yij ( 0 ) , Yij′ ( 0 ) – значения
функции Y и ее производной Y ′ в точке x = 0 . С другой стороны, из (6) и
(12) нам известно, что Y ( 0 ) = A и Y ′ ( 0 ) = γ 2 − ε1 A . Используя полученные
результаты для γ = γ j , приходим к выводу, что A = Yij ( 0 ) . Сконструируем
(
)
функцию F hi∗ , γ j = Yij′ ( 0 ) − γ 2j − ε1Yij ( 0 ) . Можно показать, что функция
( )
F hi∗ , γ непрерывна по γ [3].
hi∗
Пусть для заданного
(
F hi∗ , γ j
(
)
F hi∗ , γ j +1
)
γj
существуют такие
(
и
γ j +1 , что
)
< 0 . Это значит, что существует γ j ∈ γ j , γ j +1 такое, что γ j яв-
ляется собственным значением рассматриваемой задачи о распространении
волн. Значение γ j может быть найдено с любой степенью точности, например методом дихотомии.
Пусть γ j есть предельное1 значение для γ j (где γ j определяется некоторым итерационным процессом, например методом дихотомии). Тогда γ j
есть собственное значение задачи Р, которому соответствуют толщины hi∗ и
h1 слоев и собственная функция Y x; γ j , определенная на x ∈ ( −∞, +∞ ) .
Обозначим через f ( x )
(
Θ
(
)
сужение функции f ( x ) на множество x ∈Θ .
)
Тогда собственная функция Y x; γ j удовлетворяет следующим условиям:
(
1) Y x; γ j
(
2) Y x; γ j
(
γ 2j − ε1  ;

) [0,h ] – решение уравнения (8);
1
3) Y x; γ j
) h ,h  – решение уравнения (9);
(
) h ,+∞ ) = Yij ( hi∗ ; γ j ) exp  − ( x − hi∗ )
4) Y x; γ j
1
(
) ( −∞,0] = Yij ( 0; γ j ) exp  x


∗
1 i 
∗
i
γ 2j − ε 4  ;

(
Ясно, что указанный предел существует, если F hi∗ , γ
)
)
непрерывна по γ и
F hi∗ , γ меняет знак при переходе от γ j к γ j+1 .
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
(
5) функция Y x; γ j
)
удовлетворяет условиям сопряжения (9) в точках
x = 0 , x = h1 , x = h1 + hi∗ .
Отметим, что описанный в данной работе метод обладает важными достоинствами:
– метод прост в реализации (все известные математические пакеты могут решать задачу Коши);
– метод позволяет находить собственные значения с любой заданной
точностью;
– метод может быть применен для изучения не только керровской нелинейности;
– метод может быть обобщен на произвольное число слоев.
6. Численные результаты
На рис. 2–4 изображены графики дисперсионных кривых. При расчетах
использованы следующие значения параметров: A = 1 (см. (6)); ε1 = 1 ; ε 4 = 1 ;
h1 = 1 . На рис. 2–4 вертикальная ось соответствует изменению γ , а горизонтальная – изменению h2 .
Рис. 2. ε 2 = 2 , ε3 = 2,5 , α = 0, 02 , β = 0, 01
Заключение
Рассматриваемая задача на собственные значения для керровской нелинейности (и даже для обобщенной керровской [4]) может быть решена точно:
дисперсионное уравнение выписывается в эллиптических функциях. Однако
исследование такого дисперсионного уравнения не является тривиальной задачей и будет усложняться при увеличении числа слоев. В то же время такие
многослойные структуры (линейные), носящие название одномерных фотонных кристаллов, активно изучаются в настоящее время [5, 6]. Все это оправдывает разработку численных методов решения указанного класса задач.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Рис. 3. ε 2 = 2 , ε3 = 2,5 , α = 0, 02 , β = 0, 05
Рис. 4. ε 2 = 2,5 , ε3 = 2 , α = 0, 02 , β = 0, 03
Список литературы
1. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / L. G. Oganes’yants,
P. N. Eleonskii, V.P. Silin // Soviet physics JETP. – 1972. – V. 35, № 1. – P. 44–47.
2. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах / Д. В Валовик., Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2010. –
264 с.
3. П о н тр я г и н , Л. С . Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. – М. : ГИФМЛ, 1961. – 312 с.
4. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. –
Т. 56, № 5. – С. 587–599.
5. J o a n n o p o u l o s , J . D . Photonic crystals: Molding the flow of light / J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. Meade. – Princeton : Princeton University
Press, 2008. – 304 p.
6. L o u r t i o z, J . - M . Photonic crystals / J.-M. Lourtioz et al. – Berlin : Springer-Verlag
Berlin Heidelberg, 2005. – 430 p.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Valovik Dmitry Victorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: [email protected]
Широкова Екатерина Алексеевна
аспирант, Пензенский
государственный университет
Shirokova Ekaterina Alekseevna
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.927, 519.62, 517.958
Валовик, Д. В.
Численный метод в задаче о распространении электромагнитных
ТЕ-волн в двухслойной нелинейной волноведущей структуре / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов, Е. А. Широкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 1 (21). –
С. 66–74.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.927, 519.62, 517.958
Е. В. Зарембо
ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН,
РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ С КЕРРОВСКОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Аннотация. Рассматривается задача о распространении электромагнитных
ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью. Физическая задача сводится
к решению нелинейной краевой задачи на собственные значения для системы
двух обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе предложен новый метод решения рассматриваемой нелинейной краевой задачи. Предложенный метод позволяет исследовать нелинейности более сложного типа.
Приведены численные результаты.
Ключевые слова: нелинейная краевая задача на собственные значения, обыкновенное дифференциальное уравнение, задача Коши.
Abstract. The article considers electromagnetic TM-waves propagation in a layer
with Kerr nonlinearity. The physical problem is reduced to a nonlinear boundary
Eigenvalue problem for a system of two ordinary differential equations. A new
method for solving the nonlinear boundary eigenvalue problem is suggested. The
method can be applied to study more complicated nonlinearities. Some numerical
results are shown.
Key words: nonlinear boundary eigenvalue problem, ordinary differential equation,
Cauchy problem.
Введение
Задача распространения электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью решена в работе [1]. Об актуальности и сложности рассматриваемой проблемы см., например, [1, 2] и библиографию там. Однако
подход, предложенный в [1] и развитый в [3], несмотря на свою общность,
все же не позволяет исследовать любые произвольные нелинейности. Это
связано с тем, что метод из [1, 3] может быть применен, когда явно найден
первый интеграл системы дифференциальных уравнений, описывающих задачу. Ясно, что это возможно не всегда. Поэтому важно разработать подход,
который был бы свободен от подобного недостатка. Численно-аналитический
метод, предложенный в этой работе, позволяет, в принципе, работать с любыми нелинейностями. В рассматриваемой работе этот метод применен к
керровской нелинейности в слое. Возможность решить задачу для керровской
нелинейности методом из [1] позволяет провести численную проверку работы предложенного метода. Такая проверка показывает хорошее согласие результатов, полученных на основе предложенного здесь метода с результатами, полученными методом из [1].
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой
без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость
ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где ε0 – диэлектрическая проницаемость
вакуума. Считаем, что μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Далее считаем, что поля гармонически зависят от времени:
 ( x, y , z , t ) = E ( x, y , z ) cos ωt + E ( x, y, z ) sin ωt ,
E
+
−
 ( x, y, z , t ) = H ( x, y, z ) cos ωt + H ( x, y, z ) sin ωt ,
H
+
−
где ω – круговая частота; E+ , E− , H + , H − – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E и H :
E = E + + iE − ,
H = H + + iH − .
Множители cos ωt и sin ωt ниже будут опущены.
Электромагнитное поле удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H = −iωεE , rot E = iωμH ,
(1)
условию непрерывности касательных компонент электромагнитного поля на
границе раздела сред x = 0 и x = h , а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x → ∞ в областях x < 0 и x > h .
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается законом
2
Керра: ε = ε 2 + α E , где α и ε 2 > max ( ε1 , ε3 ) – положительные постоянные.
2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:
T
(
E = ( E x ,0, E z ) , H = 0, H y ,0
T
)
,
где E x = E x ( x, y , z ) , E z = E z ( x, y, z ) , H y = H y ( x, y , z ) ;
( ⋅ )T
– операция
транспонирования.
Легко показать [3], что компоненты полей не зависят от переменной y .
Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред, гармонически зависит от z . Учитывая все сказанное, получаем, что компоненты полей E и H имеют представление
E x = E x ( x ) eiγz , E z = E z ( x ) eiγz , H y = H y ( x ) eiγz ,
где γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения
электромагнитной волны).
Можно показать, что система (1) сводится к следующей системе (подробности см. в [3]):
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
− Z ′′ + γX ′ = εZ ,

−1
− Z ′ + γX = γ εX .
(2)
Система (2) получена из (1) после нормировки в соответствии с формуεj
d
d
γ
α
= k , γ = , ε j = ( j = 1, 2,3) , α =
, где k 2 = ω2με0
лами x = kx ,

k
dx
dx
ε0
ε0
и μ = μ0 . Используя следующие обозначения E z = Z ( x ) , iE x = X ( x ) и опуская тильду, получаем систему (2).
Будем искать те значения спектрального параметра γ (собственные
X ( x) ,
значения), для которых существуют действительные решения
Z ( x ) системы (2), γ полагаем действительным числом (так что E
сит от z ) и считаем, что
2
не зави-
x < 0;
ε1 ,

ε = ε 2 + α X 2 + Z 2 , 0 < x < h;

x > h.
ε3 ,
(
)
В данной работе мы рассмотрим случай, когда спектральный параметр
γ удовлетворяет неравенствам max ( ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε 2 . Это условие соответствует классической задаче распространения ТМ-волн в линейном слое при
ε1 ≥ ε0 , ε3 ≥ ε0 и ε 2 > max ( ε1 , ε3 ) .
Считаем, что функции X ( x ) и Z ( x ) дифференцируемы так, что
X ( x) ∈ C ( −∞,0] ∩ C [ 0, h ] ∩ C [ h, +∞ ) ∩ C1 ( −∞,0] ∩ C1 [ 0, h ] ∩ C1 [ h, +∞ ) ;
Z ( x) ∈ C ( −∞, +∞ ) ∩ C1 ( −∞,0] ∩ C1 [ 0, h ] ∩
∩ C1 [ h, +∞ ) ∩ C 2 ( −∞,0 ) ∩ C 2 ( 0, h ) ∩ C 2 ( h, +∞ ) .
Такие условия непрерывности и дифференцируемости функций X и Z
соответствуют физическому смыслу задачи. Очевидно, что система (2) является автономной. Такую систему после приведения к нормальной форме
можно рассматривать как динамическую систему с аналитическими по X и
Z правыми частями. Известно, что решения X , Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой переменной
[4]. Этот факт очень важен для вывода дисперсионного уравнения.
3. Решение системы дифференциальных уравнений
В полупространствах x < 0 и x > h диэлектрическая проницаемость ε
в уравнениях Максвелла (1) имеет постоянное скалярное значение ε1 и ε3
соответственно.
При x < 0 получаем ε = ε1 . Из (2) получаем решение (где учтены условия на бесконечности)
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
X ( x ) = Ae
x γ 2 −ε1
, Z ( x ) = γ −1 γ 2 − ε1 Ae
x γ 2 −ε1
.
(3)
Легко видеть, что γ 2 − ε1 > 0 [3].
При x > h получаем ε = ε3 . Из (2) получаем решение (где учтены условия на бесконечности):
− x − h γ 2 −ε3
− x − h γ 2 −ε3
X ( x ) = Be ( )
, Z ( x ) = −γ −1 γ 2 − ε3 Be ( )
.
(4)
Здесь, как и в первом случае, можно показать, что γ 2 − ε3 > 0 [3].
Постоянные A и B в решениях (3) и (4) определяются условиями сопряжения и начальными данными.
(
)
Внутри слоя 0 < x < h , тогда ε = ε 2 + α X 2 + Z 2 . Систему (2) можно
привести к следующему виду [3]:
(
(
))
(
(
) )
2
2
2
+ 2α ε 2 + α X 2 + Z 2 − γ 2 X 2
dX γ ε 2 + α X + Z
Z;
=
dx
γ 2α X 2 + ε 2 + α X 2 + Z 2
(
(
(
(
dZ 1 2
= γ − ε2 − α X 2 + Z 2
dx γ
))
)) X .
(5)
(6)
Поделив (6) на (5), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
(
(
)) (
(
))
) ) )
γ 2 − ε 2 − α X 2 + Z 2 X ⋅ 2αX 2 + ε 2 + α X 2 + Z 2
dZ
=
.
dX
γ 2 ε 2 + α X 2 + Z 2 + 2α ε 2 + α X 2 + Z 2 − γ 2 X 2 Z
( (
(
))
(
(
(7)
4. Условия сопряжения
Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными
составляющими являются компоненты H y и E z . Отсюда получаем:
H y ( h + 0) = H y ( h − 0) , H y ( 0 + 0) = H y ( 0 − 0) ,
Ez ( h + 0 ) = Ez ( h − 0 ) , Ez ( 0 + 0 ) = Ez ( 0 − 0 ) .
Нормальные компоненты электромагнитного поля на границе раздела
сред имеют разрыв первого рода. В рассматриваемом случае нормальной
компонентой является E x . Но произведение εE x остается непрерывным на
границе раздела сред.
Мы считаем, что значение Z ( h + 0 ) (см. (4)) задано (начальное
условие).
Из условий сопряжения получаем следующие условия для функций
X, Z:
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
[εX ] x=0 = 0 , [εX ] x=h = 0 , [ Z ] x=0 = 0 , [ Z ] x=h = 0 ,
где [ f ]
x = x0
=
lim
x→ x0 −0
f ( x ) − lim
x→ x0 + 0
(8)
f ( x) .
Обозначим
X h = X ( h − 0 ) , X 0 = X ( 0 + 0 ) , Z h = Z ( h − 0 ) , Z0 = Z ( 0 + 0 ) .
γ
Кроме того, имеем X ( h + 0 ) = −
γ 2 − ε3
Zh , X ( 0 − 0) =
γ
γ 2 − ε1
Z0 ,
поскольку Z h = Z ( h + 0 ) и Z 0 = Z ( 0 + 0 ) .
Из условий (8) получаем два уравнения (для точек x = 0 и x = h соответственно):
ε + αZ h2
γε3 Z h
ε + αZ 02
γε1Z 0
Xh +
= 0 . (9)
X 03 + 2
X0 −
= 0 , X h3 + 2
α
α
α γ 2 − ε3
α γ 2 − ε1
При α > 0 и ε 2 > 0 из предыдущих уравнений получаем, что X 0 и Z 0
имеют одинаковые знаки, а X h и Z h – разные.
Поскольку Z h известно, то можно найти и X h . Теперь мы можем по-
ставить задачу Коши для уравнения (7) с начальным условием Z h = Z ( X h ) .
Решая задачу Коши, мы можем, используя первое уравнение (9), определить
значения X 0 , Z 0 . Величина γ является параметром. Находя решение задачи
Коши для различных γ , мы следим за знаком левой части первого уравнения
(9). Если между двумя последовательными значениями γ′ и γ ′′ левая часть
первого уравнения (9) меняет знак, значит, для некоторого γ∗ ∈ ( γ ′, γ ′′ ) это
уравнение удовлетворяется. И мы можем это γ∗ эффективно вычислить.
Найденное γ∗ является собственным значением задачи. Но пока мы не знаем
значение толщины слоя, которому найденное γ∗ отвечает. В следующем
пункте приведено дисперсионное уравнение, которое позволяет вычислить
толщину слоя, соответствующую найденному γ∗ .
5. Дисперсионное уравнение
Введем новые переменные:
τ( x) =
(
ε2 + α X 2 ( x ) + Z 2 ( x )
) , η( x ) = γ X ( x ) τ ( x ) ,
Z ( x)
γ2
ε
обозначим τ0 = 2 . Тогда справедливы равенства
γ2
2
X =
γ 2 η2 ( τ − τ0 )
(
α η2 + γ 2 τ2
)
2
, Z =
γ 4 τ 2 ( τ − τ0 )
(
α η2 + γ 2 τ2
)
,
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
XZ =
γ 3τη ( τ − τ0 )
(
α η2 + γ 2 τ2
)
.
Система (5), (6) в новых переменных примет вид
dτ
τ 2 η ( τ − τ0 ) ( 2 − τ )
 = 2γ 2
,
τ η2 + γ 2 τ2 + 2η2 ( τ − τ0 )
 dx

 d η γ 2 τ2 + η2 ( τ − 1)

=
τ
 dx
(
)
(10)
и
2γ 2 τ3η ( τ − τ0 ) ( 2 − τ )
dτ
=
.
d η τ η2 + γ 2 τ2 + 2η2 ( τ − τ ) γ 2 τ2 + η2 ( τ − 1)
0
((
)(
)
(11)
)
Можно показать [3], что дисперсионное уравнение имеет вид
η0
−
 wd η + ( N + 1)T = h ,
(12)
ηh
где
N ≥0
w ≡ w ( η) =
–
целое
число;
τ
2 2
γ τ + η2 ( τ − 1)
η0 =
ε1
2
γ − ε1
>0,
ηh = −
ε3
2
γ − ε3
<0;
и τ = τ ( η) определяется из решения задачи Коши
для уравнения (11) с начальными условиями
ηh = −
ε3
γ 2 − ε3
, τh =
(
ε 2 + α X h2 + Z h2
γ2
) ; T ≡ +∞ wd η .

−∞
Формула (12) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого
конечного h . Когда N ≠ 0 , возникает несколько уравнений при различных
значениях N . Необходимо решать относительно γ каждое из получающихся
уравнений.
Можно показать [3], что все рассматриваемые несобственные интегралы сходятся.
Для того чтобы вычислить значение h для конкретного γ∗ из уравнения (12), поступаем следующим образом. Пределы интегрирования в (12) при
заданном γ∗ известны. Для вычисления интегралов в (12) используем какойлибо из известных численных методов. Важный момент заключается в том,
что при вычислении любого слагаемого в интегральной сумме (квадратурной
формуле) необходимо вычислить значение подынтегральной функции в некоторой точке η . Но в подынтегральную функцию входит τ ≡ τ ( η) . Поскольку
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
мы решили задачу Коши для уравнения (12) с начальными данными ηh , τh ,
то теперь, находя из этого решения значение τ , соответствующее значению
η , мы получаем τ ( η ) .
6. Численные результаты
Расчеты были проведены для двух вариантов с различными значениями
параметров. Результаты расчетов, выполненные по предложенному в этой
статье алгоритму (столбцы А в табл. 1), сравниваются с результатами расчетов, полученными с использованием метода, предложенного в [1] (столбцы Б
в табл. 1).
Таблица 1
γ
2,01
2,81
3,61
4,41
5,21
6,01
6,81
7,61
8,41
9,21
Вариант I
Толщина слоя h
А
Б
1,055103780
1,055103746
1,258344557
1,258345487
1,315944922
1,315944931
1,368822993
1,368822998
1,451190636
1,451190601
1,551874308
1,551874267
1,696922546
1,696922519
1,920714312
1,920714306
2,324479963
2,324479956
3,266717891
3,266716288
γ
1,42
1,54
1,67
1,79
1,91
2,03
2,16
2,28
2,41
2,53
Вариант II
Толщина слоя h
А
Б
4,395919968
4,395922112
5,072436712
5,072436071
5,489085973
5,489086404
5,916565209
5,916564798
6,340189967
6,340192095
7,016026419
7,010633460
7,782348020
7,782363560
8,931384541
8,931414989
10,866417185
10,86647914
15,110655334
15,11084544
Вариант I соответствует следующим значениям параметров: ε1 = ε3 = 4 ,
ε 2 = 99 , 2 < γ < 99 , α = 0,01 .
Вариант II соответствует следующим значениям параметров:
ε1 = ε3 = 2 , ε 2 = 7 , 2 < γ < 7 , α = 0,01 .
Из рассмотрения табл. 1 можно заключить, что предложенный здесь
метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения действительно позволяет решить поставленную задачу.
Важное достоинство предложенного метода заключается в том, что он
может быть применен для изучения не только керровской нелинейности, но и
таких нелинейностей, для которых уравнение (7) (или (12)) не может быть
проинтегрировано в явном виде.
Автор благодарит Ю. Г. Смирнова за полезные замечания и внимание
к работе.
Список литературы
1. В а л о в и к , Д . В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных
волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической
физики. – 2008. – Т. 48, № 12. – С. 2186–2194.
2. Nonlinear surface electromagnetic phenomena (Modern problems in condensed matter
sciences, Vol. 29) / ed.: H.-E. Ponath, G.I. Stegeman. – Netherlands : Elsevier Science
publishers, 1991.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2010. –
264 с.
4. Ба у тин , Н . Н . Методы и приемы качественного исследования динамических
систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. – М. : Наука, 1990. – 488 с.
Зарембо Екатерина Викторовна
соискатель, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Zarembo Ekaterina Viktorovna
Applicant, sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.927, 519.62, 517.958
Зарембо, Е. В.
Об одном численном методе решения нелинейной краевой задачи
на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с Керровской нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 75–82.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.3, 519.6
М. Ю. Медведик
СУБИЕРАРХИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ТЕЛЕ,
РАСПОЛОЖЕННОМ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитной волны на неоднородном теле, расположенном в свободном пространстве. Задача сведена
к интегральному уравнению. Рассмотрено применение субиерархического метода для решения интегрального уравнения. Представлены численные результаты.
Ключевые слова: задача дифракции, интегральное уравнение, субиерархический метод, численные результаты.
Abstract. The article considers a problem of diffraction of an electromagnetic wave
on inhomogeneous body located in free space. The problem is reduced to an integral
equation. The application of the subhierarchical method for solving integral equations is considered. The numerical results are presented.
Key words: problem of diffraction, integral equation, subhierarchical method, numerical results.
Введение
Одной из актуальных задач электродинамики является определение
рассеянного поля неоднородных диэлектрических телах. Рассмотрим рассеяние электромагнитной волны на трехмерных неоднородных телах. В подобных задачах иногда удается получить аналитические решения для фигур простой геометрической формы [1, 2], но в большинстве случаев удается получить только численные решения. Существующие на сегодня пакеты математических программ (такие как Ansis, Quikwave и т.д.) не позволяют получить
решение с достаточной точностью. Основным недостатком рассматриваемых
математических пакетов является использование в них методов конечных
элементов, которые не могут обеспечить требуемую точность в резонансном
диапазоне частот. Поэтому приходится разрабатывать программное обеспечение, использующее иные подходы для решения задачи. Одним из перспективных методов является метод объемных сингулярных интегральных уравнений [3, 4]. С помощью него краевая задача сводится к решению объемного
сингулярного интегрального уравнения. Решение получающегося интегрального уравнения в общем случае возможно лишь численными методами, но
благодаря сокращению области решения задачи за счет сведения к интегралу
по телу происходит значительное упрощение численных расчетов. Решение
таких задач с приемлемой для практики точностью требует большого объема
вычислений.
Поскольку численные решения подобных задач дифракции могут быть
получены лишь для ограниченного числа тел правильной геометрии, большое
значение для практических приложений представляет развитие различных
приближенных и численных методов, справедливых для тел произвольной
формы. Таким образом, возникает необходимость разработки новых методов
решения подобных задач. Представленный в статье метод позволяет решать
подобные задачи на телах сложной геометрической формы, опираясь на ре-
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
зультаты, полученные при решении задачи на теле базовой (канонической)
формы [5–16].
Постановка задачи
Пусть тело Q ∈ R3 , расположенное в свободном пространстве, имеет
диэлектрическую проницаемость, характеризующеюся функцией ε ( x ) , и кусочно-гладкую границу ∂Q . Рассмотрим задачу дифракции электромагнитного поля на теле Q . Вне тела Q диэлектрическая проницаемость ε = ε0 , где
ε0 – диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Источник
поля J E0 ∈ R3 / Q находится за пределами Q . Падающее поле выражается через ток J E0 [3].
E 0, H 0
E, H
Q
Рис. 1. Дифракция электромагнитных волн на неоднородном теле
Данная задача описывается системой уравнений Максвелла:

 
rotH = −iωεˆ E + jE0 ;


rot E = iωμ0H .
 
Для E , H должны выполняться краевые условия на границе тела:


E τ  |∂Q = 0, H τ  |∂Q = 0,
 
 
(1)
(2)
где [⋅] – скачок предельных значений.
 
Для E , H должны выполняться краевые условия излучения на бесконечности:
 ∂E

 1   ∂H

1
− ikE  = o   , 
− ikH  = o   , r → ∞ .

 ∂r

 r   ∂r

r
(3)
Рассматриваемая задача (1)–(3) является векторной и может быть сведена к объемному сингулярному интегральному уравнению [3] следующего
вида:




E 0 ( x ) = ξ ( x ) J ( x ) − k02 G ( r ) J ( y ) dy − grad div G ( r ) J ( y ) dy, x ∈ Q . (4)

Q
84

Q
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Здесь G ( x, y ) – функция Грина вида
G ( x, y ) =

E 0 ( x)
– падающее поле;

J ( x)
e
ik x − y
x− y
,
– токи поляризации внутри тела;
−1
−1

 ε( x) 
 ε ( x )  
ξ( x) = 
− 1 и J ( x ) = 
− 1 E ( x ) .
 ε0

 ε0

 
Требуется определить электромагнитное поле E , H ∈ L2 ( Q ) . Ядро
уравнения (4) имеет особенность и является гиперсингулярным. Для задачи
(1)–(2) справедливо следующее утверждение о единственности.
Утверждение [5]. Пусть однородное уравнение (4) имеет только тривиальное решение и тензор диэлектрической проницаемости таков, что
 ε( x)  
1
ess sup 
− 1 < 1 +

2 
x∈Q  ε0
 
−1
,
тогда уравнение (4) однозначно разрешимо для любой правой части.
Метод коллокации
Пусть тело Π = {x : a1 < x1 < a2 , b1 < x2 < b2 , c1 < x3 < c2 } является прямоугольным параллелепипедом. Построим на Π равномерную сетку, т.е.
разобьем Π на элементарные подобласти Π i с кусочно-гладкими границами
∂Π i так, чтобы выполнялись условия Π i ∩ Π j = ∅ при i ≠ j и Π =  Π i
i
(рис. 2). Будем использовать трехиндексную нумерацию подобластей:
Π klm = {x : x1,k < x1 < x1,k +1 , x2,l < xl < x2,l +1 , x3,m < x3 < x3,m+1} ,
a −a
b −b
c −c
x1,k = a1 + 2 1 k , x2,l = b1 + 2 1 l , x3,m = c1 + 2 1 m,
n
n
n
где k , l , m = 0, ..., n − 1 .
Выберем в каждой подобласти Π i точку (узел) коллокации xi . Рассмотрим базисные функции:
1, x ∈ Π i ,
vi = 
0, x ∉ Π i .
(5)
Пусть подпространства X n являются линейными оболочками базисных
функций: X n = span{vl ,  , vn } . Потребуем, чтобы для выбранных базисных
функций выполнялось условие аппроксимации
∀x ∈ X lim inf x − x = 0.
n→∞ x∈X n
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Q
Рис. 2. Тело Π , разбитое на элементарные параллелепипеды
Для уравнения Aϕ = f (ϕ, f ∈ X ) с линейным ограниченным оператором A : X → X в гильбертовом пространстве X рассмотрим метод коллокации, который формулируется следующим образом. Приближенное решение
ϕn ∈ X n определяется из уравнения Pn Aϕn = Pn f . Здесь ϕn ∈ X n ( X n есть
n -мерное подпространство пространства X ), Pn : X → X n – оператор проектирования на конечномерное подпространство, который определяется ниже.
Уравнение Pn Aϕn = Pn f эквивалентно следующему:
( Aϕn )( x j ) = f ( x j ), j = 1,  , n.
Представим приближенное решение в виде линейной комбинации баn
зисных функций: ϕn =
 ck vk . Подставив это представление в схему метода
k =1
коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для
отыскания неизвестных коэффициентов ck :
n
 ck ( Avk )( x j ) = f ( x j ), j = 1, , n.
(6)
k =1
Расширенную матрицу, полученную из метода коллокации, удобно
представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
A12
A22
A32
B1 

B2  .
A33 B3 
A13
A23
(7)
Элементы Bk и Akl определяются из соотношений:
Bks = E0k ( xs ) ;
86
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика

Aklsj = ξkl f jl ( xs ) − δ kl k02 G ( xs , y ) f jl ( y )dy −
Q
∂
∂xk
∂
 ∂xl G( xs , y) f j ( y)dy.
l
(9)
Q
Здесь xs – координаты точки коллокации:
xs = ( xs1 , xs 2 , xs 3 ) , xs1 = ( s1 + 0,5 ) h1 , xs 2 = ( s2 + 0,5 ) h2 , xs 3 = ( s3 + 0,5 ) h3 ,
k , l = 1, 2,3 ; s1 , s2 , s3 , j1 , j2 , j3 = 0,, n − 1 .
Продифференцировав выражение (9), можно расписать отдельно формулы для диагональных и недиагональных блоков матрицы (7).
В случае s ≠ j и k = l матричные элементы принимают вид

Allsj = ξll f jl ( xs ) − k02 G ( xs , y ) f jl ( xs ) dy −
Q
 ( x − y )2  3 3ik
1  l
l
2  ik0
k
f ( x ) dy ,
− G ( xs , y )  l
−
−
+
−
0 
 2
2
2 j s

r
r
r
r
r


Q



(10)
где r = xs − y .
Для s ≠ j и k ≠ l матричные элементы принимают вид
( ) 
Aklsj = ξkl f jl x j − G ( xs , y )
( xl − yl )( xk − yk ) 
r
Q
3 3ik
2 l
 2 − r − k0  f j ( xs ) dy, (11)
r

2
где r = xs − y .
Для совпадающих носителей можно применить следующую формулу
[3] выделения особенности:
 ( x − yl )( xk − yk )  l
Akljj = ξkl f jl x j − αl δkl − δkl k02G x j , y 1 − l
 f j xj +
r2


Q
( )

(
)
( )

( x − yl )( xk − yk )
k2 
+ 0  3Φ ( r ) l
− Φ ( r )  f jl x j dy .
r 
r2

( )
Здесь Φ ( r ) =
(12)
eikr − ikreikr − 1
– всюду дифференцируемая функция, а
r 2k 2
αl = 1/ 3 – в случае, если h1 = h2 = h3 .
Численные результаты
Пусть фигура Π имеет форму прямоугольного параллелепипеда
(см. рис. 2), будем ее называть фигурой канонической формы. Построим расчетную сетку для фигуры Π. Алгоритм построения расчетной сетки описан в
[6]. Метод расчета электромагнитного поля внутри прямоугольного параллелепипеда представлен выше. Используем субиерархический метод для полу-
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
чения решения интегрального уравнения на теле сложной геометрической
формы Q (рис. 3).
Q
Рис. 3. Тело Q, «выделенное» из тела канонической формы Π
Для этого создадим вектор геометрии W для фигуры Q [6]. Воспользуемся матрицей, полученной методом коллокации для фигуры канонической
формы. Для решения задачи дифракции на теле сложной геометрической формы Q необходимо, чтобы Q целиком вмещалось в прямоугольный параллелепипед Π и состояло из элементов сетки Π i . Справедлива следующая теорема.
Теорема [6]. Пусть U – решение интегрального уравнения (1) на
фигуре канонической формы
Π = {0 < x1 < d1, ...,0 < xn < dn} . Пусть
m
Q=Π\
 Πi ,...,i
k =1
1
n
– фигура канонической формы, не содержащая m -носите-
лей Π i1 ,...,in . Опишем геометрию этой фигуры с помощью вектора W и
найдем решения интегрального уравнения (1), применив субиерархический
алгоритм. Найденное решение будет являться решением интегрального уравнения на фигуре Q .
Субиерархический метод позволяет составить подматрицу для определения электромагнитных полей внутри тела сложной формы при использовании матрицы, вычисленной для фигуры канонической формы. При помощи
вектора W описываем геометрию фигуры Q сложной формы, тем самым
строим новую сетку. Используя построенный вектор, решаем задачу на фигуре сложной геометрической формы. Решая систему линейных алгебраических
уравнений для матрицы, составленной с использованием новой сетки, находим
значения поля внутри фигуры сложной формы. Скорость построения новой
матрицы будет напрямую зависеть от размера фигуры и размера сетки.
Рассматриваемый метод позволил избежать повторных расчетов, связанных с вычислением матричных элементов. Особенно хорошо данный метод проявляет себя при расчете серии задач на телах различной формы.
Таким образом, представлен субиерархический метод для решения задачи дифракции на диэлектрическом теле произвольной формы (расположен-
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
ном в свободном пространстве), реализованный с использованием суперкомпьютерных вычислений.
Приведем результаты решения интегрального уравнения на кубе с размерной сеткой 12×12×12. Волна падает вдоль оси 0y. Для решения рассматриваемой задачи использовался суперкомпьютерный комплекс Московского
государственного университета имени М. В. Ломоносова (рис. 4).
Рис. 4. Первое и второе сечение куба, сетка 12×12×12, ξ = 2,1, волна E 0 = (0,1, 0)
Список литературы
1. Г у р и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в
прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2010. – № 2. – С. 44–53.
2. Г р и ш и н а , Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью,
расположенных в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гришина, Е. Д. Деревянчук,
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 4. – С. 73–81.
3. С а м о х и н , A . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и связь, 1998. – 160 с.
4. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких
экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : Радиотехника, 1996. – 176 с.
5. С м и р н о в , Ю . Г . Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной
диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 3. – С. 39–55.
6. М е дв е ди к , М . Ю . Применение субиерархического метода в задачах электродинамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование. –
2012. – Т. 13. – С. 87–97.
7. М е дв е ди к , М . Ю . Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в
электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов,
С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. – 2005. – Т. 6. –
С. 99–108.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
8. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2008. – Т. 53,
№ 4. – С. 441–446.
9. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом
теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 2. – С. 2–14.
10. В а с ю н и н , Д . И . Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. –
№ 3. – С. 71–87.
11. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4. – С. 54–69.
12. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в
волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2010. – № 2. – С. 32–43.
13. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана-Швингера / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 4. –
С.82–88.
14. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитных вол на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56,
№ 8. – С. 940–945.
15. М е дв е ди к , М . Ю . Метод коллокации для решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в резонаторе /
М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 2. – С. 28–40.
16. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение задачи дифракции электромагнитных
волн на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе /
М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 3. – С. 22–31.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
90
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.3, 519.6
Медведик, М. Ю.
Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на теле, расположенном в свободном пространстве /
М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 83–91.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.3
Ю. Г. Смирнов, А. А. Щербаков, А. В. Цветков
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ВОЗМУЩЕННОМ ТРЕХМЕРНОМ СЛОЕ
Аннотация. Краевая задача Дирихле для уравнений Лапласа в трехмерном
слое с локально возмущенной границей решается методом граничного интегрального уравнения. Единственность решения и его фредгольмовость доказаны. Метод Галеркина для численного решения граничного интегрального
уравнения, направленный на использование параллельных расчетов, усовершенствован и подтвержден.
Ключевые слова: возмущенный слой, граничное интегральное уравнение, метод Галеркина.
Abstract. A Dirichlet boundary value problem for the Laplace equation in a threedimensional layer with a local perturbation of the boundary is solved by the method
of boundary integral equation (IE). The unique solvability of the IE and its
Fredholm property are proved. A Galerkin method of the IE numerical solution
aimed at the use of parallel computations is developed and justified.
Key words: perturbed layer, boundary integral equation, Galerkin method.
Введение
Краевые задачи в слоях с возмущенными границами были рассмотрены
многими авторами. Отметим здесь результаты Вернера [1, 2], где краевая задача Дирихле для уравнений Гельмгольца в трехмерном слое с локально возмущенной границей была рассмотрена детально.
Преобразование краевых задач для многообразий с границами к граничным интегральным уравнениям – это всем известный подход, усовершенствованный Стефаном [3], Костабелем [4], Ильинским [5] и другими учеными. Метод граничного интегрального уравнения дает возможность уменьшить размер задачи и предлагает техническое решение, применимое в таких
областях, где методы, базирующиеся на дискретизации, не работают или возникают существенные трудности.
Краевые задачи в слоях с возмущенными границами возникают, среди
прочего, в математических моделях электромагнетизма и контактной механики. В соответствии с последними данными Шестопалова [6] моделирование
контакта между клише и подложкой (бумага или доска) в процессе флексопечати ведет к краевой задаче для системы уравнения Ламе в двухмерном и
трехмерном слое – так называемые краевые контактные задачи. Решение
краевых контактных задач методом приближенного разложения с заданным
количеством итераций порождает последовательности вспомогательных
краевых задач для уравнения Лапласа в слоях, имеющих границы с большим количеством практически идентичных непересекающихся локальных
возмущений.
В этом труде мы развиваем метод решения краевой задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в трехмерном слое с локальной возмущенной границей Ω,
основанный на эквивалентном преобразовании границы интегрального уравнения над Ω. Мы доказываем единственно возможную разрешимость инте-
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
грального уравнения и его фредгольмовость и совершенствуем численный
метод решения, направленный на использование параллельных расчетов.
Принимая во внимание аналитическое и численное решение, использование метода граничного интегрального уравнения является актуальной задачей, особенно когда рассматриваются задачи в неограниченных областях.
В самом деле, последнее требует в особенности разработку методов, основанных на преобразовании и дальнейшем численном анализе краевой задачи
в ограниченных (вырезанных) областях. Специфические трудности возникают, когда бесконечная граница области (например, слоя) возмущается набором многих мелких (по отношению к характерному размеру проблемы) неоднородностей, сравнимых с ячейкой сети. В этом случае необходимо разрезать
область и применить плотные сетки к каждой неоднородности, которая ведет
к огромным размерам матрицы и резкому уменьшению точности.
Метод граничного интегрального уравнения свободен от этих недостатков. Фактически для краевой задачи в возмущенном слое результирующее интегральное уравнение решается только на неоднородной поверхности,
и решение целой области определяется при помощи потенциалов, где снова
интеграция уменьшается к области, занятой неоднородностями. Более того,
метод интегрального уравнения доказывает свою эффективность, когда интегральное уравнение на разных непересекающихся областях решается численным методом с использованием параллельных вычислений. Разработка математической основы для соответствующей вычислительной техники также является целью данного исследования.
1. Формулировка
Представим задачу Дирихле в трехмерном слое с локально возмущенной границей:
Δu = 0, x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈U ,
(1)
u Ω = μ, u ∂U / Ω = 0 ,
(2)
 1 
1
2
2
u = O   , ∇u = O 
 , R := x1 + x2 → ∞ ,
2
R
 
R 
(3)
где U = {x : ϕ( x1 , x2 ) < x3 < 1} обозначает слой, ограниченный двумя плоскостями ( x3 = 0 и x3 = 1 ), с локальным возмущением границы, обозначенной
ϕ( x1 , x2 ) . Мы принимаем, что функция x3 = ϕ( x1 , x2 ) имеет компактный носитель, таким образом, supp ϕ = Ω0 , где Ω0 является ограниченной областью
на плоскости переменных x1, x2 с кусочно-гладкой границей ∂Ω0. Примем во
внимание также, что 0 < ϕ( x1 , x2 ) < 1 и ϕ∈ C1 ( R 2 ) (один раз непрерывно
дифференцируемая). Ω = {x : ( x1 , x2 ) ∈ Ω0 , x3 = ϕ( x1 , x2 )} обозначает возмущенную часть границы U.
Функция u модулирует компонент поля перемещений в слое между
двумя плоскостями (возмущенной и невозмущенной) под влиянием граничной силы (давления) точно определяющей границы перемещений µ.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Давайте сформулируем краевую задачу для решения: необходимо
определить функцию
u ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 2 (U ) ∩ C (U \ ∂Ω0 ) ,
удовлетворяющую
1) уравнению Лапласа Δu = 0 в неограниченной области U;
2) граничным условиям
u Ω = μ( x1 , x2 , x3 ) ,
где μ( x1 , x2 , x3 ) является заданной непрерывной функцией на возмущенной
части границы Ω (и u = 0 на границе u снаружи Ω);
3) условия на бесконечности (3).
2. Единственность и устойчивость
Теорема 1. Задача (1)–(3) может иметь не более одного решения.
Доказательство. В слое U 0 = {x : 0 < x3 < 1} отделить цилиндр
U R = {x : 0 < x3 < 1, x12 + x22 < R}
достаточно широкого радиуса R. Принимая во внимание существование двух
решений u1 и u2, удовлетворяющих условиям 1–3, мы видим, что разность
u0 = u – u2 является решением задачи (1)–(3) с однородными граничными
условиями. Применяя к u0 в UR принцип максимума, мы получаем неравенство
u0 ≤ max u0 ( x) .
x∈∂U R
Возьмем x* ∈U R . Когда условие (3) также удовлетворяет функции u0,
мы имеем
u0 ( x* ) ≤ max u0 ( x) → 0, R → ∞ .
x∈∂U R
Следовательно, u0 ( x* ) = 0 и u0 ( x) = 0 в области UR, и также в целой области U, что доказывает единственность решения краевой задачи Дирихле.
Давайте докажем устойчивость, т.е. непрерывную зависимость решения
рассматриваемой задачи от граничных данных.
Вспомним, что задача называется устойчивой (или физически корректной), если небольшая вариация определенных данных, описывающих решение (что и является граничными данными) производит небольшую вариацию
решения.
С этой целью возьмем две разные функции u1 и u2, удовлетворяющие
условиям
Δu1 = 0, x ∈U ,
Δu2 = 0, x ∈U ,


u1 Ω = μ1 , u1 ∂U \Ω = 0; u2 Ω = μ 2 , u2 ∂U \ Ω = 0,
так, чтобы разница их граничных значений не превышала ε,
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
μ1 − μ 2 ≤ ε .
Это легко проверить, применяя обоснование, подобное доказательству
единственности теоремы, что принцип максимума имеет место и для пространственной неограниченной области U. Следовательно, следующий расчет
верен:
u1 − u2 ≤ μ1 − μ 2 ≤ ε ,
что подразумевает непрерывную зависимость решения задачи Дирихле от
граничных данных.
3. Преобразование до граничного интегрального уравнения
Мы приведем задачу Дирихле (1)–(3) к граничному интегральному
уравнению, используя метод функции Грина.
Давайте сначала определим функцию Грина GU = GU ( x, y ), x, y ∈U 0 ,
для слоя U 0 = { x : 0 < x3 < 1} , используя ряды представления Моргенротера
[7]:
GU ( x, y ) =
∞ 
1
1
1

−
*
4π j =−∞  x − y − 2 je3
x − y + 2 je3



,



где e3 = (0, 0, 1) и y* = (y1, y2, –y3).
Функция Грина удовлетворяет граничным условиям Дирихле
GU
x3 =0
= GU
x3 =1
=0
и исчезает, следовательно, на границе U0, образованной двумя плоскостями
x3 = 0 и x3 = 1.
Вводя обозначения
r j = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 + ( x3 − y3 − 2 j )2
и
r j' = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 + ( x3 + y3 − 2 j )2 ,
мы получаем альтернативную формулу для функции Грина:
GU =
∞ 

1
 1 − 1 .
4π j =−∞  r j r j' 



(4)
Метод функции Грина основан на формуле Грина для области V, ограниченной кусочно-гладкой границей Σ:
∂u
∂v
 (vΔu − uΔv)dx =  (v ∂n − u ∂n )d σ ,
V
(5)
Σ
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
∂
∂
∂
∂
= cos α1
+ cos α 2
+ cos α3
– произ∂n
∂x1
∂x2
∂x3
водная в направлении n, α1, α2, α3 – углы между внешними нормалями и осями Ox1, Ox2, Ox3 соответственно. Мы имеем
где n – внешняя нормаль к Σ;
2
2
2
2
 ∂ϕ   ∂ϕ 
 ∂ϕ   ∂ϕ 
∂ϕ
∂ϕ
cos α1 =
/ 1+ 
/ 1+ 
 +
 , cos α 2 =
 +
 ,
∂x1
∂x2
 ∂x1   ∂x2 
 ∂x1   ∂x2 
2
2
 ∂ϕ   ∂ϕ 
cos α3 = −1 / 1 + 
 +
 .
 ∂x1   ∂x2 
Принимая v = GU в (5), мы получаем
 (
)
GU Δu − u ΔGU dx =
U

∂u
∂GU
−u
 GU

∂n
∂n
Ω


d σ .


Затем, допустим, что u – это решение к задаче (1)–(3). Мы видим, что
первый элемент слева исчезает и второй элемент имеет δ-особенность при
x = y. Затем, u на Ω равно µ, которое дает интегральное представление решения
u( y) =

GU
Ω
∂u
dσ −
∂n

Ω
μ
∂GU
dσ ,
∂n
(6)
где µ и GU – известные функции,
∂GU
∂GU
∂GU
∂GU
= cos α1
+ cos α 2
+ cos α3
.
∂n
∂x1
∂x2
∂x3
∂u
входит в первый интеграл
∂n
представления (6), в то время, как вторая подынтегральная функция является
продуктом известных функций и, следовательно, может быть вычислена; мы
обозначаем второй интеграл как
Единственная неизвестная функция ψ :=
F=

Ω
μ
∂GU
dσ .
∂n
Однако последний интеграл испытывает разрыв на границе области
в соответствии со свойствами двухслойных потенциалов [8]. Следовательно,
при осуществлении перехода к границе x → y ∈ Ω во втором интеграле (6)
1
добавляется величина μ( y ) ,
2
μ( y ) =
 G
U
Ω
96
1
ψd σ − F ( y ) + μ( y ), y ∈ Ω.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Таким образом, функция ψ может быть определена как решение интегрального уравнения
 G
U
Ω
1
ψd σ = μ( y ) + F ( y ), y ∈ Ω.
2
(7)
4. Интегральное уравнение и его свойства
Запишем интегральное уравнение (7) в операторной форме:
Aψ + Kψ = f,
(8)
где
Aψ =
1
4π
1
 x − y ψd σ ;
(9)
Ω
K ψ := K1ψ + K 2 ψ ;
K1ψ =
1
4π
(10)
1
 x − y * ψd σ ;
(11)
 GK ψd σ ;
(12)
K 2ψ =
Ω
U
Ω
1
f = μ+F
2
(13)
и
GU
K ( x, y ) =
−1 
1
1
1

−

4π j =−∞  x − y − 2 je3
x − y* + 2 je3


∞ 
1
1
1

+
−

*
4π j =1 x − y − 2 je3
x − y + 2 je3



.




+



(14)
Допустим, что M – это бесконечно дифференцируемое двухмерное
компактное многообразие, бесконечное в R3. Многообразие ориентировано и
не обязательно связное. Мы будем считать Ω ⊂ M как подмногообразие, конечное в многообразии M, которое не обязательно конечно и имеет конечное
число соединенных компонентов; каждый из этих компонентов имеет размерность 2. Мы имеем, что граница ∂Ω – это кусочно-гладкое одномерное
компактное бесконечное многообразие.
Мы фиксируем конечное покрытие Q = {Qα} из M при помощи координатных окрестностей и определим при помощи χα : Qα → Vα ⊂ R 2 локальные
карты, и при помощи {φα} – разбиение единицы, зависимой от Q. Для функции
g ∈ C ∞ ( M ) мы задаем gα = ϕα g . Для каждой s ∈ R мы определим пространство Соболева Hs(M) как дополнение C ∞ ( M ) с соблюдением нормы ⋅ s , где
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
g s =
 gα s .
2
α
Скалярное произведение и норма определены для Hs(R2) обычным способом:
(u , v) s =

2
2
ξ u (ξ)v (ξ)d ξ , u s = (u , u ) s ,
где
ξ := 1 + ξ
2
.
Здесь и далее мы принимаем, что интеграл, для которого область интегрирования не указана, берется для целого пространства R2. Для любого другого покрытия, разбиения единицы и карт нормы эквивалентны. Таким образом, определение пространства Hs(M) корректно.
 s (Ω) в соДля любого s ∈ R мы определим пространства H s (Ω) и H
ответствии с обозначением, используемым Ремпелем [9]:
{
}
H s (Ω) = u Ω : u ∈ H s ( M )
и
{
}
 s (Ω) = u ∈ H s : supp u ⊂ Ω .
H
Посмотрим на решение уравнения (7) в пространстве Соболева
1
1
 − 2 (Ω) ; правая сторона f ∈ H 2 (Ω) ; интегральные операторы A и K
ψ∈H
определены соответственно
1
1
1
1
 − 2 (Ω) → H 2 (Ω) , K : H
 − 2 (Ω ) → H 2 (Ω ) .
A: H
Нетрудно доказать, что оператор A ограничен и фредгольмов (с индексом нуль) в выбранных пространствах.
Поскольку гладкий оператор GU
K ( x, y ) функции Грина и его производные случайного порядка по переменным x и y являются непрерывными
∞
в Ω × Ω (и не имеют особенности при x = y), т.е. GU
K ∈ C (Ω × Ω) , в соответствии с Моргенротером [7] и Егоровым [10] оператор K2 компактный в этих
пространствах.
Рассмотрим интегральный оператор
1
1
 − 2 (Ω) → H 2 (Ω) .
K1 : H
Для ядра интегрального оператора K1 мы имеем
1
x− y
98
*
∈ C ∞ (Ω × Ω) (и
1
x− y
*
∈ C ∞ (Ω × Ω) ),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
так как ядро имеет особенность только на границе ∂Ω для x = y* ∈∂Ω . Можно также показать, что K1 является компактным оператором.
Таким образом,
1
1
 − 2 (Ω) → H 2 (Ω),
A+ K :H
это фредгольмов оператор (с индексом нуль) [11]. В соответствии с теоремой
1 краевая задача не имеет более одного решения, что подразумевает, что однородное уравнение Aψ + Kψ = 0 (с f = 0) имеет только тривиальное решение.
В самом деле, если это однородное уравнение имело бы нетривиальное реше∂u
= ψ и µ = 0 в (6), мы получаем нетривиальное решение ψ, тогда, заменяя
∂n
ние u для краевой задачи (1)–(3), что противоречит утверждению теоремы 1. В
дополнение: оператор A+K является обратным ограниченным
(A + K)
−1
1
1
 − 2 (Ω).
: H 2 (Ω) → H
Таким образом, доказана следующая теорема.
1
 − 2 (Ω) интегрального уравнения Aψ + Kψ = f
Теорема 2. Решение ψ ∈ H
(и для уравнения (7)) существует и является единственным для правой части
f
1
∈ H 2 (Ω) .
Рассмотрим интегральное уравнение (7), для которого задача (1)–(3)
была упрощена. Преобразуем поверхностный интеграл над Ω для двойного
интеграла над Ω0:
U
 G
 ( x)dx dx = F
 ( y ), y = ( y , y ) ∈ Ω ;
( x, y )ψ
1 2
1 2
0
(15)
Ω0
 ( y , y ) = 1 μ ( y , y , ϕ( y , y ) ) + F ( y , y , ϕ( y , y ) ) ;
F
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
(16)
 U ( x , x ; y , y ) = GU ( x , x , ϕ( x , x ); y , y , ϕ( y , y ) ) ;
G
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
(17)
2
2
 ( x , x ) = ψ ( x , x , ϕ( x , x ) ) 1 +  ∂ϕ  +  ∂ϕ  .
ψ

 

1 2
1 2
1 2
 ∂x1   ∂x2 
(18)
Интегральное уравнение в форме (15)–(18) будет решаться численным
методом Галеркина.
5. Метод Галеркина
Возьмем схему метода Галеркина для решения интегрального уравнения (8) в соответствии с Крессом [12]:
( A + K )ψ N , uk = f , uk , k = 1,..., N .
(19)
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Здесь ψ N ∈ H N – это приблизительное решение, u N ∈ H N – это базис1
 − 2 – конечномерные пространства. Скобки ⋅, ⋅
ные функции, H N ⊂ H = H
обозначают двойное отношение к паре двойных пространств H′ и H, где
1
1
 2 (Ω) , с учетом билинейно формы ψ, f =
H ' = H 2 (Ω) и H = H
 ψfd σ .
Ω
Стефан [3] и Кресс [12] доказали, что метод Галеркина (19) сходится,
если следующие условия приближения
u N − ψ → 0, N → ∞
inf
u N ∈H N
(20)
выполнены для каждого ψ ∈ H .
Мы решим интегральное уравнение (15) численно методом Галеркина.
Возьмем Ω0 = Π , где Π := {x : 0 < x1 < a1 ,0 < x2 < a2 } , это прямоугольник.
Выберем в Π решетку прямоугольной формы с вершинами
( x1i , x2j ), x1i = ih1 , x2i = ih2 ,
a
a
где h1 = 1 , h2 = 2 , N1 ≥ 1, N 2 ≥ 1, i = 0,..., N1 , j = 0,..., N 2 .
N1
N2
Определим базис функций методом Галеркина:
)
)(
(
uij = χ( x1 − x1i ) − χ( x1 − x1i +1 ) χ( x2 − x2j ) − χ( x2 − x2j +1 ) ,
где χ(t ) = 0 для t < 0 и χ(t ) = 1 для t ≥ 0. Таким образом, каждый базис
функций имеет компактный носитель
{
}
Π ij := x : x1i < x1 < x1i +1 , x2j < x2 < x2j +1 .
Применяя метод Галеркина, мы получаем линейную систему уравнений
N1 −1 N 2 −1
  aijkl cij = f kl , k = 0,..., N1 − 1, l = 0,..., N2 − 1 ,
(21)
i =0 j =0
где элементы aijkl и компоненты правой стороны fkl вычисляются как кратные
интегралы:
aijkl =
U
  G
( x1 , x2 ; y1 , y2 ) dx1dx2 dy1dy2 ;
(22)
Π ij Π kl
f kl =
 F ( y1, y2 )dy1dy2 .
(23)
Π kl

Приблизительное решение ψ
N1 , N 2 представлено как

ψ
N1 , N 2 =
100
N1 −1 N 2 −1
  cij uij .
i =0 j =0
(24)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Математика
Общее преимущество предлагаемого метода по сравнению с существующими техниками в том, что двухмерное уравнение решается в области,
занятой неоднородными объектами, лучше, чем трехмерная задача в неограниченной области.
Заключение
Метод граничных интегральных уравнений применим и к математическому, и к численному анализу краевой задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в трехмерном слое с локально возмущенной границей. Доказаны однозначность разрешимости интегрального уравнения и его фредгольмовость.
Разработан и обоснован метод Галеркина для численного решения интегрального уравнения.
Список литературы
1. W e r n e r , P . Resonance Phenomena in Local Perturbations of Parallel-Plane
Waveguides / P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences, 1996. –
Р. 773–823.
2. M o r g e n r o t h e r , K . On the Principles of Limiting Absorption and Limit Amplitude
for a Class of Locally Perturbed Waveguides. Part I: Time-independent Theory /
K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences, 1988. –
Р. 125–144.
3. S t e p h a n , E . P . Boundary integral equations for screen problems in R3 /
E. P. Stephan // J. Int. Eqs. Operator Theory, 1987. – Р. 236–257.
4. C o s t a b e l , M . Boundary integral operators on Lipschitz domains: elementary results /
M. Costabel // SIAM J. Math. Anal. –1988. – Р. 613–626.
5. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих
экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : Радиотехника. – С. 81–167.
6. S h e s t o p a lo v , Y u . Approximate decomposition for the solution to boundary value
problems for elliptic systems arising in mathematical models of layered structures /
Yu. Shestopalov, N. Kotik // Proc. Progress in Electromagnetics Research Symposium
(Cambridge, MA, March 26–29, 2006). – Cambridge, 2006. – Р. 514–518.
7. M o r g e n r o t h e r , K . On the instability of resonances in parallel-plane waveguides /
K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences. –
1989. – Р. 279–315.
8. В л а д и м и р о в, В. С . Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. –
М. : Наука, 1981. – С. 412–438.
9. R e m p e l , S . Index Theory of Elliptic Boundary Value Problems / S. Rempel,
B.-W. Schulze. – Berlin : Akademie Verlag, 1982. – Р. 104–161.
10. Ег о р о в , Ю . В. Линейные дифференциальные уравнения в частных
производных. Элементы современной теории / Ю. В. Егоров // Современные
проблемы математики. Основные тенденции. – М. : ВИНИТИ, 1992. – С. 5–125.
11. Ta y lo r , M . Pseudodifferential Operators / M. Taylor. – Princeton : Princeton Univ.
Press, 1981. – P. 7– 194.
12. K r e s s , R . Linear Integral Equations / R. Kress // Applied Mathematical Science 82, –
New York : Springer-Verlag, 1989. – Р. 125–290.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: [email protected]
Щербаков Антон Алексеевич
аспирант, Пензенский
государственный университет
Shcherbakov Anton Alekseevich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Цветков Александр Витальевич
аспирант, Пензенский
государственный университет
Tsvetkov Alexander Vitalievich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.3
Смирнов, Ю. Г.
Метод интегральных уравнений для решения задачи Дирихле
в возмущенном трехмерном слое / Ю. Г. Смирнов, А. А. Щербаков,
А. В. Цветков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 92–102.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, С. Е. Козенко, Р. В. Зайцев
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВОЙ
ПРОВОЛОКИ С ОДНОМЕРНОЙ СВЕРХРЕШЕТКОЙ
ИЗ ПОТЕНЦИАЛОВ НУЛЕВОГО РАДИУСА
ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Аннотация. В рамках обобщенного варианта модели Кронига – Пенни теоретически исследованы эффекты влияния внешнего продольного электрического
поля на оптические свойства квантовой проволоки с примесной зоной, образованной локализованными состояниями электрона в поле регулярной цепочки
D0-центров, расположенных вдоль оси проволоки. Показано, что фотоионизационный спектр для квантовой проволоки с примесной зоной представляет
собой отдельные полосы, промежутки между которыми заполнены осцилляциями интерференционной природы.
Ключевые слова: квантовая проволока, примесная зона, регулярная цепочка
D0-центров, продольное электрическое поле, фотоионизационные спектры,
осцилляции интерференционной природы.
Abstract. The effects of the influence of an external longitudinal electric field on the
optical properties of quantum wires with an impurity band formed by the localized
states of an electron in the regular chain of D0-centers along the wire axis have been
theoretically investigated in the framework of a generalized version of the Kronig Penney model.
Key words: quantum wire, impurity band, regular chain of D0-centers, longitudinal
electric field, photoionization spectra, interferencial oscillations.
Введение
Применительно к объемным полупроводникам в литературе длительное время рассматривались электронные состояния лишь изолированного
примесного атома. Примесные образования молекулярного типа с расстоянием между «ядрами», зависящим от концентрации примесей, были экспериментально обнаружены достаточно давно [1]. Возможность реализации примесных молекулярных систем различного типа с варьируемым расстоянием
между «ядрами» позволяет моделировать в полупроводниковых наноструктурах соответствующие атомно-молекулярные системы. Кроме того, новая
физическая ситуация, связанная с размерным квантованием, позволяет исследовать влияние пространственной конфигурации примесных молекулярных
систем в объеме наноструктуры на энергию связи локализованных носителей
заряда и их оптические свойства. В случае D − -, D2− -, D3− -центров удовлетворительной моделью для описания локализованных электронных состояний
является модель потенциала нулевого радиуса, которая позволяет получить
аналитическое решение для волновой функции связанного электрона, а также
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
дисперсионные уравнения для определения энергии связи соответствующих
примесных состояний [2–4]. Во всех упомянутых выше применениях метода
изучалось связанное состояние электрона в поле конечного числа потенциалов нулевого радиуса. В настоящей работе рассматривается случай бесконечного числа потенциальных ям в квантовой проволоке (КП), когда дополнительно возникает задача о вычислении бесконечных сумм по всем примесным
центрам. Однако вычисление сумм облегчается в том физически важном случае, когда одинаковые потенциальные ямы нулевого радиуса расположены регулярно и образуют одномерную сверхрешетку. Подобные системы могут рассматриваться как обобщение известной модели Кронига – Пенни [5]. Цель
настоящей работы заключается в теоретическом исследовании электрооптических свойств КП с примесной зоной, образованной регулярной цепочкой
D0-центров, расположенных вдоль оси КП. Расчет примесной зоны проведен
в рамках обобщенного варианта модели Кронига – Пенни в модели потенциала
нулевого радиуса. Расчет вероятности оптических переходов электрона из состояний нижней границы примесной зоны в размерно-квантованные состояния
КП в продольном электрическом поле выполнен в дипольном приближении.
1. Расчет примесной зоны в квантовой проволоке, образованной
регулярной цепочкой D0-центров во внешнем электрическом поле
Для описания одноэлектронных состояний в КП используем симметричный потенциал конфайнмента вида
V (ρ) =
m*ω02 2
ρ ,
2
(1)
где ρ ≤ L ; m* – эффективная масса электрона; ω0 – характерная частота
удерживающего потенциала КП.
КП находится в продольном по отношению к ее оси электрическом поле E = ( 0,0, E z ) . Решение соответствующей спектральной задачи имеет вид
1
m
 2  ρ2  2
 ρ2  m
1 
n
Ψ n,m,k ( ρ, ϕ, z ) =
exp

 − 2  Ln

 
 4a 
2πa  ( n + m )!  2a 2 




 z −W (E)k2 
exp ( imϕ ) ;
× Ai 
1 


 W ( E )  3 
En,m,k = ω0 ( 2n + m + 1) +
2k 2
2m*
 ρ2 
 2 ×
 2a 


(2)
,
(3)
где k – проекция квазиволнового вектора электрона в КП на ось Oz; Lcn ( x ) –
полиномы Лагерра [6]; W ( E ) = Ed ad2 eE ; Ed и ad – соответственно эффективная боровская энергия и боровский радиус; n = 0,1, 2,... ; m = 0, ±1, ±2,... –
магнитное квантовое число.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
Для решения задачи о связанных состояниях электрона в поле регулярной цепочки D0-центров во внешнем продольном электрическом поле воспользуемся следующими модельными представлениями: потенциал регулярной цепочки D0-центров моделируется суперпозицией потенциалов нулевого
радиуса:
Vδ ( ρ, ϕ, z ) = γ
+∞

∂
∂
 δ ( ρ ) δ ( κ ) δ ( z − pa0 ) 1 + ρ ∂ρ + ( z − pa0 ) ∂z  ,
(4)
p =−∞
где γ – мощность потенциала нулевого радиуса; ρ , ϕ , z – цилиндрические
координаты; a0 – период цепочки D0-центров.
( QW )
Волновая функция Ψ λ
( ρ, ϕ, z ) локализованного электрона удовлетворяет уравнению Шредингера:
( QW ) ρ, ϕ, z = E Ψ ( QW ) ρ, ϕ, z ,
(
) λ λ (
)
Hδ Ψλ
где
Eλ = −  2 λ 2
( 2m* )
(5)
– собственные значения оператора Гамильтона
H δ = H + Vδ ( ρ, ϕ, z;0,0, pa0 ) .
Решение уравнения (5), удовлетворяющее теореме Блоха, можно представить в виде
( QW ) ρ, ϕ, z =
(
)
Ψλ
+∞

p =−∞
( QW ) ρ, ϕ, z,0,0, pa ,
(
0)
exp ( iqpa0 ) Ψ λ
(6)
( QW )
где q – квазиимпульс электрона; Ψ λ
( ρ, ϕ, z,0,0, pa0 ) – одноцентровая
волновая функция.
В методе потенциала нулевого радиуса волновая функция
( QW ) ρ, ϕ, z ,0,0, pa лишь постоянным множителем отличается от одно(
0)
Ψλ
электронной функции Грина,
r1 = ( ρ1 , ϕ1 , z1 ) и энергии Eλ :
соответствующей
источнику
в
точке
( QW ) ρ, ϕ, z ,0,0, pa = −CG ρ, ϕ, z ,0,0, pa ; E ,
(
(
0)
0 λ)
Ψλ
(7)
где
G ( ρ, ϕ, z , ρ1 , ϕ1 , z1; Eλ ) =
+∞
 
dk
−∞
n,m
Ψ*n,m,k ( ρ1 , ϕ1 , z1 ) Ψ n,m,k ( ρ, ϕ, z )
( Eλ − En,m,k )
.
(8)
Используя явный вид одночастичных волновых функций (2) и энергетический спектр (3), для одноэлектронной функции Грина в (8) будем иметь


 ρ2  +∞
 z −W (E)k2 
G ( ρ, ϕ, z ,0,0, pa0 ; Eλ ) =
exp  −
×
 dkAi 
1 
 4a 2 
4π2 a 2



 −∞
 (W ( E ) ) 3 
1

105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


−1
 ρ2 
 pa0 − W ( E ) k 2  ∞
2k 2 
× Ai 
Ln 
 E − ω0 ( 2n + 1) −
 .

1
 2  λ
2m* 

 n =0  2a 
 (W ( E ) ) 3 

(9)
Выражение (9) можно представить в виде


 ρ2  +∞
 z −W (E)k2 
G ( ρ, ϕ, z ,0,0, pa0 ; Eλ ) = −
exp  −
×
 dkAi 
1 
 4a 2 
4π2 a 2 Ed



 −∞
 (W ( E ) ) 3 
β



 pa0 − W ( E ) k 2 
× Ai 
×
1


 (W ( E ) ) 3 
∞
(

0
∞

2

)  Ln  2ρa2  exp [−2nt ] ,
n =0
× dt exp  − βη2 + βk 2 ad2 + 1 t 


(10)
 4 U *  ; L* = 2 L a ; U * = U E ; η2 = E E .

0
0 d
d
λ
d
0


Вычисление суммы ряда по квантовому числу n в (10) можно выполнить посредством следующей формулы [6]:
где β = Ed
( ω0 ) = L*
∞
 ρ2 
 exp ( −2t ) ρ2 
−1
Ln 
exp [ −2nt ] = (1 − exp ( −2t ) ) exp  −

.
 2a 2 
 1 − exp ( −2t ) 2a 2 




n =0

(11)
В результате для одноэлектронной функции Грина G ( ρ, ϕ, z ,0,0,
pa0 ; Eλ ) получим
G ( ρ, ϕ, z ,0,0, pa0 ; Eλ ) = −
+∞
×

0
(
 ρ2 
exp  −
×
 4a 2 
4π2 a 2 Ed ad


βπ
)
dt
exp  − βη2 + βk 2 ad2 + 1 t J ( E0 , t , z , pa0 ) ×


t
× (1 − exp ( −2t ) )
−1
 exp ( −2t ) ρ2 
exp  −
,
 1 − exp ( −2t ) 2a 2 


(12)
здесь посредством J ( E0 , t , z , pa0 ) обозначен интеграл вида

 

 z − W ( E ) k 2   pa0 − W ( E ) k 2 
2 2
J ( E0 , t , z , pa0 ) = Ai 
Ai
 exp  −βad k t  dk . (13)
1  
1

−∞  (W ( E ) ) 3  

  (W ( E ) ) 3 
+∞

106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
Для выделения в (12) расходящейся части воспользуемся интегралом
Вебера [6]:
+∞ − 3
x 2

0
 ρ2

2π
− μx dx =
exp  −
exp  − 2μ ρ  , Re ρ2 > 0, Re μ > 0 , (14)
2
x
ρ


( )
который в принятых здесь обозначениях имеет вид
+∞ − 3
t 2

0
 ρ2 + ( z − pa )2
0
− βη2 + 1
exp  −
2

4
β
a
t
d

(


exp  −
=
2

ρ2 + ( z − pa0 )

2 πβad

) t  dt =

(βη2 + 1) (ρ2 + ( z − pa0 )2 )  .
(15)



βad2
Тогда выражение (12) для одноэлектронной функции Грина запишется как
 +∞ 1

exp  − βη2 + 1
G ( ρ, ϕ, z;0,0, pa0 ; Eλ ) = −
3


t
0
22 π 2 Ed ad3 β 
1
(

) t  ×
 ( z − pa )2 
−1
0 
2 J ( E0 , t , z , pa0 ) (1 − exp [ −2 t ]) ×
× exp  −
2


4βad t  

2 

 1

exp [ −2 t ] ρ2
 − exp  − ρ   dt +
× exp  −
2
2 


 t
 4βad t  
 2a (1 − exp [ −2 t ]) 


exp  −
+
2

ρ2 + ( z − pa0 )

2 πβad
(βη2 + 1) (ρ2 + ( z − pa0 )2 )   .
βad2
(16)

 
 
С учетом (7) и (16) выражение для волновой функции (6) примет вид
( QW ) ρ, ϕ, z =
Ψλ
(
)
 +∞ 1
exp ( iqpa0 ) 
exp  − βη2 + 1
3


t
p =−∞
 0
22 π 2 Ed ad3 β
C
+∞


(
) t  ×
 ( z − pa )2 
−1
0 
× exp  −
2 J ( E0 , t , z , pa0 ) (1 − exp [ −2 t ]) ×
2

4βad t  


 1

exp [ −2 t ] ρ2
ρ2  


× exp −
− exp  −
 dt +
2
2 


 t
 4βad t  
 2a (1 − exp [ −2 t ]) 
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


2 πβad
exp  −
+
2

ρ2 + ( z − pa0 )

(βη2 + 1) (ρ2 + ( z − pa0 )2 )   .

 
 
βad2
(17)
Перепишем (17) в виде
( QW ) ρ, ϕ, z = Ψ ( QW ) ρ, ϕ, z
(
) λ (
)
Ψλ
−C
+∞

p =−∞
′
где
p =0
−
′ exp ( iqpa0 ) G ( ρ, ϕ, z;0,0, pa0 ; Eλ ) ,
(18)
означает, что из суммы исключается член с p = 0, при этом
( QW ) ρ, ϕ, z
Ψλ
(
)
 +∞ 1

exp  − βηλ2 + 1
p =0 =
3


t
0
22 π 2 Ed ad3 β 
C
(

) t  ×

z2  
−1
× exp  −
2 J ( E0 , t , z ,0 ) (1 − exp [ −2 t ]) ×

 4βa 2 t  
d 

2 

 1

exp [ −2 t ] ρ2
 − exp  − ρ   dt +
× exp  −
 4βa 2 t  
 2a 2 (1 − exp [ −2 t ])  t
d 




2 πβad

exp  −
+
ρ2 + z 2


(βηλ2 + 1)(ρ2 + z 2 )   .



βad2
(19)
Для получения дисперсионного уравнения электрона, локализованного
в поле регулярной цепочки D0-центров во внешнем продольном электрическом поле, воспользуемся граничным условием вида
(T Ψ( ) ) (0,0,0) ≡ lim 1 + ρ ∂ρ∂ + z ∂∂z  Ψ(
1
QW
λ
ρ→0
z →0
QW )
( ρ, ϕ, z ) .
λ
(20)
С учетом (19) получим


( QW )
2
−1
 T Ψ λ
 ( 0,0,0 ) = 2 πβ ηλ + β .
p =0 

(21)
В процессе вычисления появляются суммы следующего вида:
2exp  − pa0* ηλ2 + β−1 
2 ( cos qa0 − 1) exp  − a0* ηλ2 + β−1 

 cos qpa =

+
( 0)
*


pa0
p =1
a0*  1 − exp  −a0* ηλ2 + β−1  

 

∞

108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
+
2
a0*
ln 1 − exp  −a0* ηλ2 + β−1  ;


(22)
и
∞

p =1

 exp  −
 qa*a
 a*2  
p 2 a0*2 
 exp ( iqpa0 ) = θ3  0 d ,exp  − 0   − 1 ,
 2t  
2t 
 2


(23)
где a0* = a0 ad , θ3 [ x, y ] – тэта-функция Якоби [6].
Учитывая (22) и (23), дисперсионное уравнение, определяющее зависимость энергии связи локализованного электрона от параметров КП и величины внешнего электрического поля, можно записать в виде
ηi =
ηλ2
+β
−1
2exp  −a0* ηλ2 + β−1 


cos qe a0*ad − 1 +
−


a0* 1 − exp  −a0* ηλ2 + β−1  






(
2
+ ln 1 − exp  −a0* ηλ2 + β−1  −


a0*
× (1 − exp [ −2 t ])
−1
∞

0
(
)
) t  {S ( E0 , qe , t ) ×
dt
exp  − βηλ2 + 1

t
 a*2   
1  q a* a
− θ3  e 0 d ,exp  − 0    ,


t  2
 2t   

(24)
где S ( E0 , t ) определяется выражением вида
S ( E0 , qe , t ) =

1


π
−
eiqe pa0 
Ai ( 0 ) Ai  W ( E0 ) 3 a0  −


 βa 2 t


p =−∞
d

+∞

2
1

πW ( E0 ) 3  
−
 Ai  W ( E0 ) 3 a0  Ai′ ( 0 ) +
−

3  

2 βad2 t  
(
)

4
1
1






π
3
W
E
( 0 )3 ′
−
−
Ai ( 0 ) Ai′  W ( E0 ) 3 a0   , (25)
+ Ai ( 0 ) Ai′  W ( E0 ) 3 a0   +





  4 βa 2 t 5


d

(
)
где Ai′ ( x ) – первая производная функции Эйри [6].
При qe a0 = 0 и qe a0 = π уравнение (24) распадается на два уравнения,
определяющие границы примесной зоны:
ηi = η12 + β−1 +
2
a0*
ln 1 − exp  −a0* η12 + β−1  −


109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 a*2   
dt
−1 1 
exp  − βη12 + 1 t   S ( E0 ,0, t ) (1 − exp [ −2 t ]) − θ3  0,exp  − 0    , (26)
 2t  


t 
t

  

0

∞
−
(

)
и
4exp  − a0* η22 + β−1 


ηi = η22 + β−1 −
+
*
*
2
−1  

a0 1 − exp − a0 η2 + β

 

+
2
ln 1 − exp  − a0* η22 + β−1  −
*


a0
× (1 − exp [ −2 t ])
При этом
Δε = ( η2 − η1 ) Ed .
ширина
−1
∞

0

) t  S  E0 , aπ0 , t  ×
(
dt
exp  − βη22 + 1

t
 a*2   
1  πa
− θ3  d ,exp  − 0    .
 2t  
t  2

  

примесной
зоны
Δε
(27)
определяется
как
В следующем разделе с помощью дисперсионных уравнений (26) и (27)
будет исследована зависимость ширины примесной зоны от периода регулярной цепочки D0-центров в КП и величины внешнего продольного электрического поля.
2. Зависимость ширины примесной зоны от периода регулярной
цепочки D0-центров и величины внешнего электрического поля
На рис. 1 представлена зависимость ширины примесной зоны Δε в КП
на основе InSb от величины напряженности E электрического поля для различных значений периода цепочки a0* , нормированного на эффективный боровский радиус. Видно, что с ростом величины внешнего электрического поля ширина примесной зоны увеличивается за счет увеличения степени перекрытия одноцентровых волновых функций. Подобная ситуация имеет место и
с уменьшением периода регулярной цепочки D0-центров (сравн. кривые 1 и 2
на рис. 1).
3. Расчет спектра поглощения, связанного с переходами электрона
из примесной зоны в размерно-квантованные состояния КП
Рассмотрим оптические переходы электрона из состояний примесной
зоны в размерно-квантованные состояния КП при наличии внешнего продольного электрического поля. Волновая функция начального состояния имеет следующий вид:
( QW ) ρ, ϕ, z = 2β
(
) ( )
Ψλ
110
3 −3
−
4 ad 2
 +[ Lz 2a0 ] +[ Lz 2 a0 ]


Y ( E0 , p, p′ ) 
 ′

 p =−[ Lz 2 a0 ] p =−[ Lz 2a0 ]



−1 2
×
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
×
Физико-математические науки. Физика
+[ Lz 2 a0 ]
∞
 
* 
( z − rad a0* )2  
 1
eirqad a0 
exp  −  βη2 + w t +
 ×
2


t

β
4
a
t

d

r =−[ Lz 2 a0 ]
 
0

(

× 2 J ( E0 , t , z ) (1 − exp ( −2wt ) )
−1
)
 ρ2 w (1 + exp ( −2wt ) ) 
 dt ,
exp  −
 4βad2 (1 − exp ( −2wt ) ) 


(28)
где
Y ( E0 , p, p′ ) =
+∞

−∞


2
1 βa 2 k 2   pa − W ( E0 ) k 
1 ε
d ( a0 k ) ψ( )  λ + + d Ai 
×
1 


 2
2
2



W ( E0 )  3




 p`a − W ( E0 ) k 2 
× Ai 
.
1


 W ( E0 )  3 
(29)
Δε, эВ
E, В/см
Рис. 1. Зависимость ширины примесной зоны в КП на основе InSb
от величины напряженности электрического поля E при U0 = 0,3 эВ;
Ei = 5 · 10–3 эВ; L = 70 нм: 1 – a0 = 35 нм; 2 – a0 = 28 нм
Волновая функция конечного состояния определяется выражением (2).
Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны
запишется в следующем виде (для случая eλ ⊥ E ):
1/2
 2π 2α* 
Hint = −iλ 0  
I 
 ωm*2 0 
i



∂ 1
∂ 
 cos ( θ − ϕ ) + sin ( θ − ϕ )  ,
∂ϕ 
∂ρ ρ

(30)
где λ0 – коэффициент локального поля; I 0 – интенсивность света; ω – частота
поглощаемого света; α* – постоянная тонкой структуры с учетом диэлектри-
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ческой проницаемости материала КП; θ – полярный угол единичного вектора поляризации; mi* – эффективная масса примесного электрона.
Выражение для матричного элемента M ( ) ( ω) , определяющего оптические переходы электрона из состояний примесной зоны в размерноквантованные состояния КП, можно записать в виде
t
t
M ( ) ( ω) = −
i λ 0  2β
9 9
2
4π ( 2β ) 4 ad2 Ed
 +[ Lz 2a0 ] +[ Lz 2 a0 ]

×
Y ( E0 , p, p′ ) 
 ′

 p =−[ Lz 2a0 ] p =−[ Lz 2a0 ]


 ρ2 
×

 2a 2 



m 2
12

n! 
I0 

2πmi* 2 ω  ( n + m )!
α∗
−1 2
×
+∞ ∞ 2 π
 ρ2 
ρd ρd ϕdz exp  −
×
 2a 2 


−∞ 0 0



∞
2   z −W E k2 

(
)
ρ
m
0
Ln 
Ai 
exp ( −imϕ ) dt exp  − ηλ2 β + 1


1
 2a 2  


  W E  3 
0
(
)
0
 
 

× (1 − exp( −2t ) )
−1
(
 1 + exp(−2t )ρ2  +[ Lz /2 a0 ]
exp  −
J ( z , p, E0 , t ) .

2
 1 + exp(−2t )4a  p =−[ Lz /2a0 ]

) t  ×
(31)
При вычислении матричного элемента (31) появляется интеграл вида
2π
 d ϕ exp ( − i m ϕ) cos ( θ − ϕ) = π ( e
− iθ
)
δm,+1 + eiθδm,−1 ,
0
(32)
где δm,n – символ Кронекера.
Учитывая правила отбора для магнитного квантового числа m, для интеграла по ρ в (31) получим
3
+∞
 ρ2  2 1  ρ2 

1
ρ2 
exp  −
dρ
Ln 
⋅


=
 2a 2 
 2a 2 
 1 − exp ( −2t ) 2a 2 






0

=
a ( n + 1)
2
2
exp ( −2nt ) (1 − exp ( −2t ) ) .
Интегрирование по z дает


 z − W ( E0 ) k 2 
Ai 
J ( z , p, E0 , t ) dz =
1 


−∞
 W ( E0 )  3 
 
 
+∞

112
(33)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
= 2W (
2
−
E0 3
)


 ra0 − W ( E0 ) k 2 
2 2
Ai 
 exp −βad tk ,
1


 W ( E0 )  3 
(
)
(34)
где было учтено, что [6]
δ ( b − a ) , если α = β,

+∞



1
 x+a  x+b
Ai 


1
b−a
 dx = 
 Ai 
αβ
Ai 
 α   β 
 , если α ≠ β,

1
3
1
3
−∞
 β3 − α3

 β3 − α3




(
)
здесь δ ( x ) – дельта-функция Дирака.
С учетом (32), (33) и (34) матричный элемент (31) запишется в виде
i λ 0  2β
t)
(
M ( ω) = −
ad7 2 Ed
π
 +[ Lz 2a0 ] +[ Lz 2a0 ]

Y ( E0 , p, p′ ) 
×
 ′

 p =−[ Lz 2a0 ] p =−[ Lz 2a0 ]


α∗ I 0
mi* 2 ω
−1 2

(
+ ηλ2 β + 2n + βad2 k 2 + 3
)
( n + 1)1 2 ×
(
)
−1

×  ηλ2 β + 2n + βad2 k 2 + 1 +



 ra − W ( E0 ) k 2 
.
Ai 
×
1 
 r =−[ Lz 2a0 ] 

 W ( E0 )  3 
−1 
+[ Lz 2 a0 ]

(35)
Вероятность оптического перехода электрона из состояний примесной
зоны в размерно-квантованные состояния КП в продольном электрическом
поле определяется как
2π
t
W ( ) ( ω) =
I 0
+∞

−∞
dk
2
 M (t ) ( ω) δ ( En, ±1, k + E λ − ω) .
(36)
n
Вычисление интеграла в (36) требует нахождения корней k ( ) ( ) аргумента δ -функции Дирака, удовлетворяющих закону сохранения энергии для
рассматриваемых оптических переходов:
1, 2
β−1 ( 2n + 1) + k 2 ad2 + ηλ2 − X = 0 ,
(37)
где X = ω / Ed – энергия фотона в единицах эффективной боровской
энергии.
1, 2
Корни k ( ) ( ) уравнения (37) имеют вид
1, 2
k ( ) ( ) = ± ad−1 X − ηλ2 − β−1 ( 2n + 1) .
(38)
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
t
Тогда выражение для W ( ) ( X ) запишется как
 +[ Lz 2a0 ] +[ Lz 2a0 ]

1 N
t
W ( ) ( X ) = w0
Y ( E0 , p, p′ ) 
( n + 1) 

X n =0
 p′=−[ Lz 2a0 ] p =−[ Lz 2 a0 ]



−1

×
−1  2

×  X −1 + X + 2β−1  ×


(
)

 *
−2
−1
2
 +[ Lz 2a0 ]
 ra0 ad − W ( E0 ) ad X − ηλ − β ( 2n + 1)
Ai 
×
1
 r =−[ Lz 2a0 ] 


W
E
 ( 0 ) 3


(

где
w0 = λ 02α* Ed m*2
(
C1 = β X − ηλ2
)
( πmi*2 ) ;
N = [C1 ]
–
целая
)
2


 ,
 
 
часть
(39)
выражения
2 −1 2 .
В следующем разделе с помощью полученной формулы (39) будет исследована зависимость спектров примесного поглощения от величины внешнего продольного электрического поля, параметров КП и регулярной цепочки
D0-центров.
4. Зависимость спектров поглощения от величины
внешнего электрического поля и параметров КП
На рис. 2 приведена рассчитанная спектральная зависимость величины
W для разных значений напряженности внешнего электрического поля E
(рис. 2,а), периода регулярной цепочки a0* = a0 ad (рис. 2,б) и длины КП Lz
(рис. 2,в). Из рис. 2 видно, что фотоионизационный спектр для КП с примесной зоной представляет собой отдельные полосы, промежутки между которыми заполнены осцилляциями интерференционной природы. С ростом величины E край полосы примесного поглощения сдвигается в коротковолновую область спектра (см. рис. 2,а) из-за увеличения ширины примесной зоны
(см. рис. 1). При этом растет амплитуда и период осцилляций, что связано
с увеличением степени перекрытия одноцентровых волновых функций. Увеличение периода регулярной цепочки и длины КП приводит к подавлению
осцилляций (см. рис. 2,б,в).
(t)
Заключение
Теоретически исследованы эффекты влияния внешнего продольного
электрического поля на оптические свойства КП с примесной зоной, образованной локализованными состояниями электрона в поле регулярной цепочки
D0-центров, расположенных вдоль оси КП.
Для описания одноэлектронных состояний в КП использовался потенциал двухмерного гармонического осциллятора, а потенциал регулярной цепочки D0-центров в КП моделировался суперпозицией потенциалов нулевого
радиуса одинаковой мощности.
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
W(t),
ħω, эВ
а)
W(t),
ħω, эВ
б)
Рис. 2. Спектральная зависимость вероятности оптического перехода
из состояний нижней границы примесной зоны в размерно-квантованные
состояния КП InSb с регулярной цепочкой D0-центров в продольном
электрическом поле при U 0 = 0,3 эВ: а – для различных значений Е:
1 – 0,3 кВ/см; 2 – 3 кВ/см ( a0* = 0, 08 , Lz = 0,35 мкм); б – для различных значений Lz:
1 – 0,35 мкм; 2 – 0,45 мкм (Е = 3 кВ/см; a0* = 0, 08 ); в – для различных значений a0* :
1 – 0,2; 2 – 0,08 (Е = 3 кВ/см; Lz = 0,35 мкм) (см. также с. 116)
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
W(t),
ħω, эВ
в)
Рис. 2. Окончание
В рамках обобщенного варианта модели Кронига – Пенни получены
дисперсионные уравнения, определяющие границы примесной зоны. Показано, что с ростом величины внешнего электрического поля ширина примесной
зоны увеличивается за счет увеличения степени перекрытия одноцентровых
волновых функций. Найдено, что подобная ситуация имеет место и с уменьшением периода регулярной цепочки D0-центров. В дипольном приближении
получена аналитическая формула для вероятности оптических переходов из
состояний нижней границы примесной зоны в размерно-квантованные состояния КП с регулярной цепочкой D0-центров в продольном электрическом поле.
Показано, что фотоионизационный спектр для КП с примесной зоной представляет собой отдельные полосы, промежутки между которыми заполнены
осцилляциями интерференционной природы. Найдено, что с ростом величины напряженности внешнего электрического поля край полосы примесного
поглощения сдвигается в коротковолновую область спектра из-за увеличения
ширины примесной зоны, при этом растет амплитуда и период осцилляций,
что связано с увеличением степени перекрытия одноцентровых волновых
функций. Установлено, что увеличение периода регулярной цепочки и длины
КП приводит к подавлению осцилляций.
Список литературы
1. С о б о л е в , М . М . Емкостная спектроскопия глубоких состояний в InAs/GaAsгетероструктурах с квантовыми точками / М. М. Соболев, Ф. Р. Ковш,
В. М. Устинов, А. Ю. Егоров, А. Е. Жуков, Ю. Г. Мусихин // Физика и техника
полупроводников. – 1999. – Т. 33, № 2. – С. 184–193.
2. К р е в ч и к , В. Д . Анизотропия магнитооптического поглощения комплексов
«квантовая точка – примесный центр» / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, Р. В. Зайцев //
Физика и техника полупроводников. – 2002. – Т. 36, № 10. – С. 1225–1232.
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
3. К р е в ч и к , В. Д . Магнитооптические свойства молекулярного иона D2− в квантовой нити / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, А. А. Марко // Физика и техника полупроводников. – 2004. – Т. 46, № 11. – С. 2099–2103.
4. К р е в ч и к , В. Д . Оптические свойства квазинульмерных структур с D3− центрами / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Сер. «Естественные науки». – 2005. – № 6. – С. 179–190.
5. Д е м к о в, Ю . Н . Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике /
Ю. Н. Демков, В. Н. Островский. – Л. : Изд-во ЛГУ, 1975. – 240 с.
6. Б е й т м е н , Г . Высшие трансцендентные функции. Т. 1, Т. 2 / Г. Бейтмен,
А. Эрдейи. – М. : Наука, 1973. – 294 с.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: [email protected]
Разумов Алексей Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики,
Пензенский государственный
университет
Razumov Aleksey Viktorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of physics,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Козенко Сергей Евгеньевич
аспирант, Пензенский
государственный университет
Kozenko Sergey Evgenyevich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Зайцев Роман Владимирович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики,
Пензенский государственный
университет
Zaytsev Roman Vladimirovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of physics,
Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
Кревчик, В. Д.
Оптические свойства квантовой проволоки с одномерной сверхрешеткой из потенциалов нулевого радиуса во внешнем электрическом поле / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, С. Е. Козенко, Р. В. Зайцев // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 103–117.
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов,
Р. В. Зайцев, М. А. Манухина, Е. Н. Калинин
ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ МОЛЕКУЛ
С РЕЗОНАНСНЫМИ ДОНОРНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ
Аннотация. В модели потенциала нулевого радиуса теоретически исследовано
влияние внешнего электрического поля на спектры фотоионизации D–-центра
с резонансным примесным уровнем в квантовой молекуле в условиях диссипативного туннелирования. Показано, что квантово-размерный эффект Штарка проявляется в красном смещении порога фотоионизации, а также в увеличении силы осциллятора дипольного оптического перехода. Исследован дихроизм примесного электрооптического поглощения, связанный с изменением
правил отбора для осцилляторных квантовых чисел. Выявлена высокая чувствительность фотоионизационных спектров к параметрам диссипативного
туннелирования.
Ключевые слова: резонансные примесные состояния, диссипативное туннелирование, квантовая молекула, спектр фотоионизации D–-центра с резонансным
примесным уровнем, примесное электрооптическое поглощение.
Abstract. In the model of zero-range potential the authors have theoretically investigated the influence of an external electric field on the photoionization spectra of the
D–-center of the resonant impurity level in the quantum molecule during dissipative
tunneling. It is shown that the quantum-dimensional Stark effect appears in a red
shift of the photoionization threshold, as well as in increase of the oscillator strength
of the dipole optical transition. The researchers have investigated an electroabsorption dichroism of the impurity, the change in selection rules for the oscillator
quantum numbers. Photoionization spectra is highly sensitive to the parameters of
the dissipative tunneling.
Key words: resonant impurity states, dissipative tunneling, quantum molecule, photoionization spectrum of the D–-center of the resonant impurity level, impurity of
electrooptical absorption.
Введение
Как известно [1, 2], примеси в полупроводниковых наноструктурах могут приводить к образованию не только локализованных состояний, энергетические уровни которых расположены в запрещенной зоне, но и резонансных (квазистационарных) состояний с энергетическими уровнями в разрешенных зонах. Интерес к резонансным примесным состояниям (РПС) связан
с перспективой создания новых источников стимулированного излучения на
примесных переходах [1]. Исследованиям РПС в квантовых ямах посвящено
достаточно большое число работ (см. обзор в [1]). Необходимо отметить, что
в полупроводниковых квантовых точках (КТ) эффект размерного квантования выражен значительно сильнее в сравнении с квантовыми ямами и, соответственно, следует ожидать более существенной модификации РПС в квазинульмерных структурах. Между тем оптические свойства туннельносвязанных КТ (квантовых молекул (КМ)) с РПС к настоящему времени изучены не достаточно подробно. Отчасти это связано с известными трудностями учета туннельных процессов, рассмотрение которых в основном проводится в рамках численных методов. В некоторых практически важных случа-
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
ях использование науки о квантовом туннелировании с диссипацией может
оказаться достаточно продуктивным, поскольку, несмотря на использование
инстантонных подходов, появляется возможность в сочетании с моделью потенциала нулевого радиуса для РПС получить основные результаты в аналитической форме. При этом в рамках указанного подхода возможно учесть
влияние эффектов электрического поля [2] на РПС в КМ. Это актуально, поскольку в КМ с РПС имеется высокая степень свободы в управлении энергетическим спектром и оптическими свойствами с помощью внешнего электрического поля. Теоретическое исследование резонансного D–-состояния
в КМ в условиях туннельного распада во внешнем электрическом поле проведено нами ранее в работе [2]. Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании особенностей примесного электрооптического поглощения в КМ, связанных с влиянием внешнего электрического поля и параметров диссипативного туннелирования на РПС в туннельно-связанных
квантовых точках.
1. Расчет вероятности фотоионизации D–-центра в квантовой
молекуле при наличии внешнего электрического поля
Рассмотрим процесс фотоионизации D–-центра с резонансным примес
ным уровнем в КМ при наличии внешнего электрического поля E = ( E ,0,0)
в рамках тех же модельных представлений, которые использовались в [2].
Энергетический спектр электрона в КТ при наличии внешнего электрического поля En ,n ,n и собственные волновые функции Ψ εn ,n ,n ( x, y , z )
1
2
3
1
2
3
даются соответственно выражениями вида
3  e2 E 2

;
En ,n ,n = ω0  n1 + n2 + n3 +  −
1 2 3
2  2m∗ω02

(
ψ εn ,n ,n ( x, y, z ) = a03 ⋅ π3/ 2 ⋅ n1! n2 !n3 !⋅ 2n1 + n2 + n3
1 2 3
)
(1)
−1/ 2
×
 ( x − x )2 + y 2 + z 2 
 x − x0 
 y 
 z 
0
 ⋅ Hn 
× exp  −
⋅ H n2   ⋅ H n3   ,

1


2a02
 a0 
 a0 
 a0 


где a0 =  /(m*ω0 ) ; x0 = e E
(2)
( m∗ω02 ) ; n1, n2 , n3 – осцилляторные квантовые
числа; H n ( x ) – полиномы Эрмита.
Волновая функция резонансного D–-состояния в КМ во внешнем электрическом поле имеет вид [2]
3
 r 2 + Ra2 
−
 
ε
Ψ λ r , Ra = CQD π 2 exp  −
×

2a02 

(
)
∞
 
3 iГ 0
e2 E 2  
× dt exp  −  −ελ + +
−
t ×
* 2 

ε
2

ω
ε
2
m
0
0 0  
 
0

119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
× (1 − exp [ −2t ])
−
3
2

 exp(−2t ) r 2 + R 2 − 2exp(−t ) r , R 
a
a 
,
exp  −
2


a0 (1 − exp [ −2t ])


(
)
(
)
(3)
ε
определяется как
где CQD

 7 i Г 0
ε   3 iГ0
ε 
e2 E 2
e2 E 2

− * 2 + λ   +
− * 2 − λ
Г +

 


 4 2ε0 4m ω0 ε0 2   4 2ε0 4m ω0 ε0 2 
ε
=  2 πa03
×
CQD
2

2 2
 3 i Г 0

e E

− * 2 − ελ 
 +



ε0
2m ω0 ε0
2


−
1
2 2
  1 i Г
 7 i Г 0
ελ 
ελ     2
e2 E 2
0 − e E
Ψ +
−
−
Ψ
+
−
−


  + 1
 4 2ε0 4m*ω2ε
  4 2ε0 4m*ω2 ε
2 
2    
0
0
0
0



 
, (4)
×
2 2
 1 i Г 0


ελ
e E
− * 2 − 
Г +




 4 2ε0 4m ω0 ε0 2 

где Ψ ( x ) = Г′ ( x ) Г ( x ) – логарифмическая производная гамма-функции [3];
Г0 – вероятность туннельного распада D–-состояния [2].
Выражение для вероятности фотоионизации D(–)-центра в КМ при
наличии внешнего электрического поля имеет вид
Pfελ ( ω) =
2
Г 0
2π
M εf λ
,
2
 n
ε
2 2
E f − Eλ +  Г0

(
)
(5)
где M εf λ – матричный элемент рассматриваемого оптического перехода,
определяемый выражением
∧
M εf λ = Ψ εf n  m H int Ψ λ .
(6)
Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны

H int , характеризуемой волновым вектором q и единичным вектором поля
ризации eλ , запишется следующим образом:
∧
∧
H int = λ 0
2π 2 α*
  
I 0 exp ( iqr )  eλ
m*2 ω

∧ 
p ,

(7)
где λ 0 = Ee f f / E0 – коэффициент локального поля, учитывающий увеличение амплитуды оптического перехода за счет того, что эффективное локальное поле D(–)-центра Ee f f превышает среднее макроскопическое поле в кри-
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
2
(
)
сталле E0 ; α ∗ = e / 4 πε 0 ε  c – постоянная тонкой структуры с учетом
статической относительной диэлектрической проницаемости ε ( c – скорость
света в вакууме; e – абсолютное значение электрического заряда электрона);
I 0 – интенсивность света; ω – частота поглощаемого излучения.
Выполняя последовательно замены переменной в (3) в
χ = exp[−2t ] , а затем ς = χ (1 − χ ) и используя известный интеграл [3]
∞

x ν−1 ( x + β )
−ρ −μx
e
виде
ν−ρ−1 ρ−ν−1 βμ
dx = β 2 μ 2 e 2 Г ( ν )W1−ν−ρ ν−ρ ( βμ ) ,
0
2
,
(8)
2
получим для волновой функции начального состояния Ψ λ ( x, y, z ) в случае,
когда D(–)-центр расположен в точке Ra* = ( 0,0,0 ) , следующее выражение:
−
3
 r2  4
 r2   1 
3
Ψ λ ( x, y, z ) = C ε   exp   Г   −βη2 + + 4iГ*0β −
 a2 
 a2   2 
2
 0
 0
 r2 
x2a2  
− 0 d   W ε i Г x 2 a 2 1   ,
a02   λ − 0 + 0 2d ,  a02 
2
ε0
(9)
2 a0 4
3
1 ε −2
π ; Wα,β ( x ) – функция Уиттекера [3].
где С = CQD
2
Волновая функция конечного состояния Ψ εf n  m ( x, y , z ) имеет вид (2).
 
Рассмотрим случай, когда eλ  E . В дипольном приближении матричный элемент (6) с учетом (7) запишется в виде
ε
M εf λ = iλ 0
2πα* I 0
 
Ψ εf n  m eλs r Ψ λ .
ω
(10)
Подставляя (2) и (9) в (10) и вычисляя интегралы по переменным x, y
 
и z, получим для матричного элемента в случае eλ  E следующее выражение:
M (fsλ)
5+ 2 n1
3 1
 3x02  N1 ( −1)m 2n1 −m
− −
2πα* I 0 − 4
5/ 2
4
4
2
×
= iλ 0
π β Ed 2Cad n1 !exp  −

2
ω
 4a0  m=0 m!( n1 − 2m )!

×
n1 − 2 m

k =0
×2
Cnk −2m ( −1)
n2 + n3
n1 − 2 m − k
1
( n2 !n3 !)
−1/2


x2a2
3
 −βη2 + + 4iГ*0β − 0 2d + n1 + n2 + n3  ×


2
a0


N
2
2−2 p

n
 n
×
Г  2 + 1 Г  3 + 1 ( k + 1)!
k + 1 − 2 p )! p !
 2
  2

p =0 (

121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
x 
× 0 
 a0 
n1 − 2 m − 2 p + 2

1
3
B  k + 2 − p,  −βη2 + + 4iГ*0β −

2 
2


1
3
× F  k + 2 − p,  −βη2 + + 4iГ*0β −

2 
2

где Сnk

x02 ad2 
+ n2 + n3  ×


a02 

x02 ad2 
x 
+ n2 + n3 + k − 2 − p, 0  , (11)

a0 
a02 

– биномиальные коэффициенты [3]; B (α, β) – бэта-функция;
F ( α, β, x ) – вырожденная гипергеометрическая функция [3]; N1 = [ n1 2] ;
N 2 = ( k + 1) 2  .
В процессе вычисления в (10) появлялись интегралы вида
+∞
 y2

 y 
dy exp  − cth t  H n2   =
 a2

 a0 
 0

−∞

0, если n2 = 2k + 1, k = 0,1, 2,...

n2
n2
n 1
=  n2
 1 + n2 
− 2+
cth
1
cth
t
−
t
(
)
(
)
2
2 2 , если n2 = 2k ;
 2 2 a0 ( −1) 2 Г 

 2 

(12)
+∞
 z2

 z 
dz exp  − cth t  H n3   =
 a2

 a0 
 0

−∞

0, если n3 = 2k + 1, k = 0,1, 2,...

n3
n3
n 1
=  n3
 1 + n3 
− 3+
t
−
t
cth
1
cth
(
)
(
)
 2 2 a0 ( −1) 2 Г 
2
2 2 , если n3 = 2k .

 2 

(13)
Как видно из (12) и (13), оптические переходы из резонансного
D -состояния возможны в размерно-квантованные состояния КТ с четными
значениями осцилляторных квантовых чисел n2 и n3 соответственно в yи z-направлении. Подставляя (11) в (5), после преобразований получим для вероятности фотоионизации D–-центра с резонансным примесным уровнем в КМ
–
Pfελ( s ) ( ω) при наличии внешнего электрического поля следующее выражение:
1/2
3

 + iμ n − λ n − ξ n 
2

Pfελ( s ) ( ω) = Р0 X −1 exp ( −6λ n )
×
( n1 !)2 2−n1 
7


1/2
n1 =0 n2 =0 n3 =0
Г  + iμ n − λ n + ξn 
4

N1/
N 2/
N3/

1/2


1

Г  + iμ n − λ n − ξn 


4


×
 3
  1

7
 
 + iμ n − λ n − ξn   Ψ  + iμ n − λ n − ξn  − Ψ  + iμ n − λ n − ξ n   + 1 
  4

4
 
 4
122
×
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
×
( −1)m 2n1 −m n1 −2m C k
 n1 !( n1 − 2m )!  n1−2m ( −1)n1−2m−k ×
m =0
k =0
N1
3


×  −2ξn + + 2iμ n − 4λ n a0*−2 + n1 + n2 + n3  ×
2


×2n2 + n3 ( n2 !n3 !)
×
N2
−1/2

n
 n
Г  2 + 1 Г  3 + 1 ( k + 1)! ×
 2
  2

n1 − 2 m − 2 p + 2
2−2 p
2 λn
×
1
2
!
!
+
−
k
p
p
(
)
p =0

(
)
3


× B  k + 2 − p, n2 + n3 − ξn + + iμ n − 2λ n a0*− 2  ×
4


2
3

×F ( k + 2 − p, n2 + n3 + k − 2 − p − ξn + + iμ n − 2λ n a0*−2 , 2 λ n  ×
4

×
2μ n
2
3
2


*−2
 n1 + n2 + n3 + − 4λ n a0 − 2ξn − X β  + ( 2μ n )
2


,
(14)
где
Р0 = 2−3/ 2 π−3λ 02 α*β1/ 2 ad5 a0−3 I 0 , X = ω / Ed , β = R0* /  4 U 0*  , R0* = 2 R0 / ad ,


( )
U 0* = U 0 / Ed , ξn = η2β / 2 , μ n = 2Г*0β , λ n = x02 / 4a02 , Г*0 = Г0 / ( 4 Ed ) ,
3


a0* = a0 / ad , N1′ =  2ξn + 4λ n a0*−2 − + X β  , N 2′ = [C2 ] , N3′ = [C2 ] , С2 = С1 – n1.
2




Рассмотрим случай, когда eλ ⊥ E . В дипольном приближении матричный элемент (6) с учетом (7) запишется в виде
M εf λ = iλ 0
2πα* I 0
 
Ψ εf n  m eλt r Ψ λ ,
ω
(15)
 
где ( eλt r ) = y cos δ + z cos γ , cos δ и cos γ – направляющие косинусы вектора

поляризации света eλ .
Подставляя (2) и (9) в (15) и вычисляя интегралы по переменным x, y


и z, получим для матричного элемента в случае eλ ⊥ E :
M (ftλ)
5+ 2 n1
3 1
 3x 2  N1 ( −1)m 2n1 − m
− −
2πα* I 0 − 4
= iλ 0
π 4 β 4 Ed 2Cad5 / 2 n1 !exp  − 0 
×
2
2
ω
 4a0  m=0 m!( n1 − 2m )!

123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
×
n1 − 2 m

k =0
Cnk −2m ( −1)
n1 − 2 m −k
1
×2n2 + n3 ( n2 !n3 !)
x 
× 0 
 a0 
n1 − 2 m− 2 p −1
−1/2

3
 −βη2 + + 4iГ*0β −

2

x02 ad2
a02

+ n1 + n2 + n3  ×


 n + 1  n + 1  N3
2−2 p


3
×
Г
k ! Г  2
 

  2   2  p =0 ( k − 2 p )! p !



1
3
B  k + 2 − p,  −βη2 + + 4iГ*0β −

2 
2


1
3
×F  k + 2 − p,  −βη2 + + 4iГ*0β −

2 
2


x02 ad2 
+ n2 + n3 − 1 ×


a02 

x02 ad2 
x 
+ n2 + n3 + k + 1 − p, 0  cos δ +

a0 
a02 

N
2−2 p
 3
n
 n
+ Г  2 + 1 Г  3 + 1
×
 2
  2
 p =0 ( k − 2 p )! p !

x 
× 0 
 a0 
n1 − 2 m − 2 p

1
3
B  k + 2 − p,  −βη2 + + 4iГ*0β −

2 
2


x02 ad2 
+ n2 + n3 − 1 ×


a02 


x2a2 
x 
1
3
× F  k + 2 − p,  −βη2 + + 4iГ*0β − 0 d  + n2 + n3 + k + 2 − p, 0  cos γ , (16)

2 
2
a0 
a02 


где N3 = [ k 2] – целая часть числа k/2.
В процессе вычисления появлялись интегралы вида
+∞
 y2

 y 
dyy exp  − cth t  H n2   =
 a2

 a0 
 0

−∞

0, если n2 = 2k , k = 0,1, 2,...

n2 −1
n2
n 3
= n
(17)
 n2

− 2+
2 a ( −1)
2
Г
1
cth
t
1
cth
t
+
−
(
)
(
)
2
2
2 2 , если n2 = 2k + 1;
0

 2




+∞
 z2

 z 
dzz exp  − cth t  H n3   =
2
 a

 a0 
 0

−∞

0, если n3 = 2k , k = 0,1, 2,...

n3 −1
n3 −1
n 3
= n
(18)
 n3

− 3+
3
 2 a0 ( −1) 2 Г  + 1 ( cth t − 1) 2 ( cth t ) 2 2 , если n3 = 2k + 1.
 2


Из (17) и (18) видно, что оптические переходы из резонансного
D -состояния возможны в размерно-квантованные состояния КТ с нечетными
–
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
значениями осцилляторных квантовых чисел n2 и n3 соответственно в yи z-направлении КТ. Подставляя (16) в (15), получим для вероятности фотоионизации D–-центра с резонансным примесным уровнем в КМ Pfελ(t ) ( ω)


в случае eλ ⊥ E :
1/2
3

 + iμ n − λ n − ξn 

Pfελ(t ) ( ω) = Р0 X −1 exp ( −6λ n )
×
( n1 !)2 2−n1  2 7


n1 =0 n2 =0 n3 =0
Г1/2  + iμ n − λ n + ξn 
4

N1/
N 2/
N3/

1/2


1

Г  + iμ n − λ n − ξ n 


4


×
 3
  1

7
 
 + iμ n − λ n − ξn   Ψ  + iμ n − λ n − ξn  − Ψ  + iμ n − λ n − ξ n   + 1 
  4

4
 
 4
×
×
( −1)m 2n1 −m n1 −2m C k
 n1 !( n1 − 2m )!  n1−2m ( −1)n1−2m−k ×
m =0
k =0
N1
3


×  −2ξn + + 2iμ n − 4λ n a0*−2 + n1 + n2 + n3  ×
2


×2n2 + n3 ( n2 !n3 !)
(
× 2 λn
)
−1/2
n1 − 2 m − 2 p −1
 n + 1  n + 1  N3
2−2 p


3
k ! Г  2
×
Г
 

  2   2  p =0 ( k − 2 p )! p !


3


B  k + 2 − p, n2 + n3 − ξ n + + iμ n − 2λ n a0*−2  ×
4


3


×F  k + 2 − p, n2 + n3 + k − p + 1 − ξn + + iμ n − 2λ n a0*− 2 , 2 λ n  cos δ +
4


N
n1 − 2 m − 2 p
2−2 p
 3
n
 n
B ( k + 2 − p, n2 +
+ Г  2 + 1 Г  3 + 1
2 λn
 2
  2
 p =0 ( k − 2 p )! p !

+ n3 − 1 − ξn +
(
)
3
3
 
+ iμ n − 2λ n a0*−2  F  k + 2 − p, n2 + n3 + k − p + 2 − ξn + + iμ n −
4
4
 
)
−2λ n a0*−2 , 2 λ n cos γ
)
2
2μ n
2
3
2


*− 2
 n1 + n2 + n3 + − 4λ n a0 − 2ξ n − X β  + ( 2μ n )
2


. (19)
В следующем разделе с использованием полученных аналитических
формул (14) и (19) будет исследовано влияние внешнего электрического поля
и параметров диссипативного туннелирования на фотоионизационные спектры для КМ с резонансным D–-состоянием.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Зависимость фотоионизационных спектров от величины внешнего
электрического поля и параметров диссипативного туннелирования
На рис. 1 приведены рассчитанные спектральные зависимости вероятности фотоионизации D − -центра с резонансным примесным уровнем в КМ
для различных значений параметров ε*T , ε*С , ε*L . Они рассчитаны с помощью

 

формул (14) и (19) для случаев eλ  E (рис. 1,а) и eλ ⊥ E (рис. 1,б). Как видно из рис. 1, квантово-размерный эффект Штарка проявляется в красном
смещении порога фотоионизации, а также в увеличении силы осциллятора
дипольного оптического перехода (сравн. кривые 1 и 2 на рис. 1,а и на
рис. 1,б). Видно также, что в КМ с РПС имеет место дихроизм примесного
электрооптического поглощения (сравн. кривые на рис. 1,а и на рис. 1,б), связанный с изменением правил отбора для осцилляторных квантовых чисел в yи z-направлении КТ. Из рис. 1 видна высокая чувствительность фотоионизационных спектров к параметрам диссипативного туннелирования: с ростом
параметров ε*T и ε*L имеет место красное смещение порога фотоионизации,
что обусловлено уменьшением средней энергии связи РПС (сравн. кривые 2,
3 и 4 на рис. 1,а и на рис. 1,б), связанное с ростом вероятности туннельного
распада (уменьшением времени жизни РПС).
ħω, эВ
а)
Рис. 1. Спектральная зависимость вероятности фотоионизации D–-центра
в КМ при R0 = 70 нм, U0 = 0,42 эВ (кривые 2–5 построены при E = 35 кВ/см):




а – для случая eλ  E ; б – для случая eλ ⊥ E : 1 – ε*T = 1 , ε*L = 1 , ε*С = 1
(E = 0 кВ/см); 2 – ε*T = 1 , ε*L = 1 , ε*С = 1 ; 3 – ε*T = 1 , ε*L = 0, 2 , ε*С = 1 ;
4 – ε*T = 3 , ε*L = 1 , ε*С = 1 ; 5 – ε*T = 1 , ε*L = 1 , ε*С = 3
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
б)
ħω, эВ
Рис. 1. Окончание
На рис. 2 представлена зависимость вероятности фотоионизации D − центра с резонансным примесным уровнем и вероятности диссипативного
туннелирования Г0 от напряженности внешнего электрического поля при
фиксированной энергии фотона (кривая 1).
Как видно из рис. 2, кривая 1 содержит два характерных пика. Первый
пик появляется при напряженности поля, при которой исходно асимметричный двухъямный потенциал КМ становится симметричным. Переход к симметричной форме сопровождается появлением пика на полевой зависимости
вероятности туннелирования в КМ (кривая 2 на рис. 2). Природа второго пика (кривая 1 на рис. 2) связана с трансформацией огибающих волновых функций, вызванной электрическим полем.
Заключение
Теоретически исследовано влияние внешнего электрического поля на
спектры фотоионизации D–-центра с резонансным примесным уровнем в КМ
в условиях диссипативного туннелирования. В дипольном приближении проведен расчет вероятности фотоионизации D–-центра с резонансным примесным уровнем для случаев продольной и поперечной по отношению к направ
лению внешнего электрического поля поляризации света eλ . Выявлены сле 
дующие правила отбора: в случае, когда eλ  E , оптические переходы с резонансного примесного уровня возможны только в размерно-квантованные состояния КТ с четными значениями осцилляторных квантовых чисел n2 и n3
 
в у- и z-направлении КТ соответственно, а в случае eλ ⊥ E – с нечетными
значениями осцилляторных квантовых чисел n2 и n3.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 2. Зависимость вероятности фотоионизации D–-центра Pf λ
с резонансным примесным уровнем в КМ (кривая 1) и вероятности
туннелирования Г0 (кривая 2) от величины напряженности внешнего

электрического поля E при Ei = 10–3 эВ, U 0 = 0,48 эВ, ε*T = 1 , ε*L = 1 , ε*С = 1
Рассчитаны спектральные зависимости вероятности фотоионизации D– 
центра с резонансным примесным уровнем в КМ для случаев eλ  E и
 
eλ ⊥ E . Показано, что квантово-размерный эффект Штарка проявляется
в красном смещении порога фотоионизации, а также в увеличении силы осциллятора дипольного оптического перехода. Найдено, что в КМ с РПС имеет место дихроизм примесного электрооптического поглощения, связанный
с уменьшением правил отбора для осцилляторных квантовых чисел в yи z-направлении КТ. Выявлена высокая чувствительность фотоионизационных спектров к параметрам диссипативного туннелирования: с ростом параметров ε*T и ε*L , определяющих соответственно температуру и частоту фононной моды, имеет место красное смещение порога фотоионизации, что
обусловлено уменьшением средней энергии связи РПС, связанное с ростом
вероятности туннельного распада.
Исследована зависимость вероятности фотоионизации D–-центра с резонансным примесным уровнем от напряженности внешнего электрического
поля при фиксированной энергии фотона. Показано, что данная зависимость
содержит два характерных пика. Найдено, что первый пик появляется при
напряженности поля, при которой исходно асимметричный двухъямный
потенциал КМ становится симметричным. Природа второго пика связана
с трансформацией огибающих волновых функций, вызванной электрическим
полем.
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
Список литературы
1. А л е ш к и н , В. Я . Примесные резонансные состояния в полупроводниках /
В. Я. Алешкин, Л. В. Гавриленко, М. А. Одноблюдов, И. Н. Яссиевич // ФТП. –
2008. – Т. 42, № 8. – C. 899–922.
2. К р е в ч и к , В. Д . Резонансные состояния доноров в квантовых молекулах во
внешнем электрическом поле / В. Д. Кревчик, Е. Н. Калинин, З. А. Гаврина //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2 (18). – C. 131–139.
3. Г р а д ш т е й н , И . С . Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений /
И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М. : Физматгиз, 1962. – 1100 с.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: [email protected]
Семенов Михаил Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра физики, Пензенский
государственный университет
Semenov Mikhail Borisovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: [email protected]
Зайцев Роман Владимирович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра физики,
Пензенский государственный
университет
Zaytsev Roman Vladimirovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of physics,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Манухина Мария Александровна
аспирант, Пензенский государственный
университет
Manukhina Maria Alexandrovna
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Калинин Евгений Николаевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра общей физики,
Пензенский государственный
педагогический университет
им. В. Г. Белинского
Kalinin Evgeny Nikolaevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of general physics,
Penza State Pedagogical University
named after V. G. Belinsky
E-mail: [email protected]
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322
Кревчик, В. Д.
Электрооптические свойства квантовых молекул с резонансными
донорными состояниями / В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Р. В. Зайцев,
М. А. Манухина, Е. Н. Калинин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 1 (21). –
С. 118–130.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
УДК 678
К. И. Домкин, Н. К. Юрков
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СУХОГО
ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ1
Аннотация. Приведены результаты экспериментальных исследований процессов
сухого измельчения порошковых материалов для толстопленочной и чип-технологии. Также определены характерное время и вид функции разрушения, необходимые для оптимизации процессов измельчения в механических аппаратах.
Ключевые слова: сухое измельчение, порошковые материалы, толстопленочная и чип-технология.
Abstract. The authors introduce research results of dry milling of powder materials
for thich-film and chip technologies. The researchers also determine charachterisitc
time and type of destruction function, which are necessary for optimization of milling processes in mechanical devices.
Key words: dry milling, powder materials, thick-film and chip technologies.
Технология получения керметных толстопленочных резистивных материалов включает приготовление резистивной композиции в виде пасты, получение отпечатка резистивной пасты требуемой конфигурации на диэлектрическом основании, выжигание резистивного слоя, подгонку к заданному
значению сопротивления и контроль параметров. Эта технология отличается
достаточной простотой по сравнению с технологией получения резистивных
элементов методом испарения или технологией изготовления проволочных и
фольговых резисторов. Несмотря на кажущуюся простоту технологии, на
электрические и эксплуатационные свойства изделий из керметных композиций оказывают существенное влияние факторы, которые можно условно разделить на две основные группы:
– собственно резистивная композиция (ее состав, метод подготовки,
дисперсность составляющих частей и т.д.);
– технологические режимы трафаретной печати и термообработки резистивного слоя.
При измельчении в мельницах образуется полимодальный гранулометрический состав [1–4], причем в процессе обработки такое распределение сохраняется. Однако в работе [5] показано, что при некоторых довольно общих
условиях гранулометрический состав измельчаемой системы должен стремиться к логарифмически-нормальному распределению. Такое расхождение
эксперимента и теории говорит о том, что в данном случае нарушаются какие-то исходные посылки теоретической модели. Для объяснения особенностей поведения гранулометрического состава в работах [1, 2, 6] было сделано
предположение, что мелкие частицы при ударе попадают в пустоты между
крупными, где оказываются в других условиях разрушения. При этом про1
Статья подготовлена в рамках реализации проекта «Исследование научнометодологических и материаловедческих основ нанокомпозиционных резисторных
структур и создание суперминиатюрных чип-резисторов и самовосстанавливающихся предохранителей на фазовом переходе первого рода» (ГК № 716П от 20 мая 2010 г.)
ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (2009–
2013 гг.)».
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
цесс приобретает коллективный характер: то, как будет разрушаться данная
частица, зависит от ее окружения. Такой коллективный эффект является
нарушением посылок модели [5], где полагается, что частицы разрушаются
независимо друг от друга. В качестве первого приближения для описания
процесса разрушения можно было бы попытаться использовать модель индивидуального разрушения частиц, наложив на нее некоторые связи.
Будем рассматривать дисперсную систему как множество частиц, каждая из которых описывается одним параметром (например, размером r или
массой m). Гранулометрический состав дисперсной системы как функцию
времени опишем функцией распределения φ(r, t) или φ(m, t). Масса – более
удобный параметр, так как она, во-первых, в отличие от размера, однозначно
определена для частиц любой формы; во-вторых, интеграл ее по всей системе
сохраняется в ходе разрушения. Если все частицы дисперсной системы имеют изометрическую форму и одинаковую плотность, то размер и масса связаны зависимостью т ~ r3. Количество частиц будем измерять в массовых долях, т.е. φ(а, t)da представляет собой долю массы частиц с параметром а в интервале [a, a + da].
Изменение состояния дисперсной системы складывается из актов разрушения отдельных частиц, каждый из которых описывается функцией разрушения f(m, m') [7, 8]. Здесь f(m, m') представляет собой состояние системы,
образовавшееся из идеальной монофракции за один акт разрушения. Другими
словами, f(m, m') равна вероятности обнаружить частицу массой m среди
осколков частицы массой т'.
Экспериментально вид функции f(m, m') можно было бы определить,
подвергнув разрушению монофракцию частиц материала массой m' в короткий промежуток времени. Он должен быть таким, чтобы основная масса частиц в мельнице испытала не более одного удара (здесь и далее имеются
в виду эффективные, т.е. приводящие к разрушению, удары). Тогда дисперсную систему можно представить состоящей из двух подсистем: частицы, не
испытавшие удара (исходная монофракция), и осколки частиц, образовавшиеся за один удар. Гранулометрия последней системы описывается функцией
φ(m) = f(m, m'), если исходное распределение достаточно узкое.
Для постановки такого эксперимента необходимо знать характерное
время процесса – промежуток, в течение которого основная масса частиц испытает в мельнице один удар. Чтобы определить его, был поставлен следующий эксперимент. Монофракция материала обрабатывалась в мельнице некоторое время. Затем проводили гранулометрический анализ продуктов помола.
Зависимость доли исходной фракции ω от времени должна описываться следующим уравнением [8–10]:
ω = ехр(–t/τx),
(1)
где τх – характерное время разрушения.
Материалом для исследования служили частицы порошков стекол
ЗС-71, помолотые в мельнице FRITSCH в четырех режимах: 4, 6, 8 и 10 часов. Гранулометрический анализ измельченных порошков производится методом лазерной дифракции на приборе «Analysette 22» COMPACT.
Параллельно был проведен тест на самоизмельчение – материал обрабатывался при тех же условиях, но без шаров. В каждом таком эксперименте
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
определяли долю самоизмельчения ω0. Так как самоизмельчение является параллельным процессом, то при вычислениях τх по формуле (1) параметр ωэ
следует заменить на ω = ωэ/ω0. Величина ω0 оказалась не зависящей от времени в пределах точности эксперимента и составила 0,8–0,9.
Материалы проводящей фазы и стекла перед приготовлением резистивной пасты подвергаются измельчению. Целью данной технологической
операции является получение высокодисперсных порошков заданного гранулометрического состава и дисперсности.
Для помола небольших лабораторных партий композиций используют
малогабаритные шаровые мельницы с керамическими барабанами внешним
диаметром 90, 120, 150, 180, 210, 240 и 360 мм. Шаровые мельницы имеют
устройство для плавной регулировки частоты вращения. В барабан загружают в необходимом количестве исходные компоненты, воду или раствор спирта, шары, и при вращении происходит мокрое измельчение. При этом эффективность процессов зависит от числа оборотов барабана, размера и массы
шаров, а также количества загруженного материала. Оптимальную частоту
вращения N при мокром смешивании обычно рассчитывают по формуле
N=
32
,
D
(2)
где D – внутренний диаметр керамического барабана.
Отклонение частоты вращения шаровой мельницы от оптимальной недопустимо. Пусть частота вращения равна f, с–1; масса шаров m, кг, ускорение
свободного падения g, м/с2; диаметр барабана D, м. Если частота вращения
слишком высока (рис. 1,а), то шары вращаются вместе с барабаном. Если же
она слишком мала, то шары лишь скапливаются внизу (рис. 1,б). При оптимальной частоте вращения (рис. 1,в) шары поднимаются до наивысшей точки, а
затем падают вниз, при этом эффективность процесса помола наибольшая. При
такой частоте вращения условия таковы, что сила тяжести шаров несколько
больше центробежной силы, обеспечивающей вращение шаров. Поскольку
D
центробежная сила равна m ω2 , а сила тяжести mg , получим
2
m
D 2
D
2
ω = m ( 2πf ) = η2 mg ,
2
2
где η – константа, η < 1 .
а)
б)
в)
Рис. 1. Зависимость движения шаров от частоты вращения шаровой мельницы:
а – частота завышения; б – недостаточная; в – оптимальная; ωа > ωб > ωв
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если частоту вращения в минуту обозначить через N, об/мин, то получим
N = 60 f = η
60 g
2π D
=η
42, 4
.
D
(3)
Экспериментально установлено, что η = 0,66...0,75. Подставив эту величину в (3), получим выражение (2).
Если бы каждое касание мелющего тела приводило к разрушению, экспериментально определяемое время разрушения τк было бы минимальным и
зависело только от кинематики движения шаров в аппарате. Очевидно и обратное: чем менее эффективен для исследуемого процесса удар (касание), тем
больше будет характерное время разрушения.
Приняв во внимание тот факт, что не все удары одинаково эффективны,
можно было бы объяснить расхождение наших оценок τх с оценками других
авторов [9, 11]. По всей видимости, определяемые по кинетике разрушения
значения τж более близки к τк, чем τх процессов, описанных в [9, 11]. Представленные в этих работах данные τж определены по кинетике образования
структур, характерных для сильно деформированного материала. При хрупком разрушении эффективными могут оказаться сравнительно слабые удары,
и искажения кристаллической решетки могут быть небольшими.
Рассмотрим теперь функцию разрушения f(m, m'). Для определения ее
вида использовали данные ситового анализа. Типичная гранулометрия в виде
диаграммы показана на рис. 2 (для стекла ЗС-71). Она имеет вид чередующихся пиков и провалов. С увеличением времени обработки их положение
почти не меняется, происходит в основном «перекачка» из одного пика в другой. Отношение размеров, соответствующее соседним пикам, составляет около 0,6–0,8. Отношение масс осколков при раскалывании пополам m/m' ~ 0,5
соответствует отношению размеров r/r' ~ (m/m')1/3 ~ 0,78, что близко к экспериментально наблюдаемому r/r' – 0,75. Следовательно, можно считать, что
частицы раскалываются преимущественно на две части. Выраженные минимумы функции распределения указывают, по-видимому, на то, что функция
f(m/m') довольно узкая.
Рассчитаем гранулометрический состав дисперсной системы после
нескольких разрушений. Согласно (1) за промежуток времени Δt = τx будет
разрушена доля частиц а = 1 – ехр(–1). Учитывая этот остаток, при помощи
алгоритма, близкого к описанному в [5], после одного шага деления
(N = t/ τx = 1) запишем
∞

ϕ(m,1) = α f (m, m′)ϕ( m′,0)dm′ + (1 − α)ϕ(m,0) ,
(4)
0
то есть гранулометрический состав является суперпозицией функций распределения для исходных частиц и их осколков.
Аналогично для N-го шага получим
∞

ϕ( m, N ) = α f (m, m′)ϕ(m′, N − 1)dm′ + (1 − α)ϕ(m, N − 1)
0
134
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
и т.д. Положим согласно [5], что частицы разрушаются подобным образом,
т.е. функция разрушения зависит только от относительной массы частиц
m/m'. Выберем функцию разрушения в виде гауссиана с максимумом
в m/m' = 0,5:
f ( m, m′) =
2
 1 m
A
 
−
exp  −
0,5
  .
 2σ 2  m′
m′
 

(6)
а)
б)
Рис. 2. Гранулометрический состав образцов ЗС-71
после механической обработки в течение 4 ч (а) и 8 ч (б)
Начальную функцию распределения примем в виде используемой в
эксперименте монофракции 160–200 мкм и проведем численное моделирование. На рис. 3 сравнены результаты расчета по формулам (4)–(6) и
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
данные эксперимента по измельчению фракции 160–200 мкм. Количество
ударов определяли как отношение времени обработки к длительности одного
удара. Соответствие результатов расчета и эксперимента указывает на корректность процедуры моделирования (4)–(5).
В наших экспериментах функция разрушения соответствует числу
осколков N = 2. Возникает вопрос, насколько общим будет этот результат. Количество образующихся при хрупком разрушении осколков можно связать
с эффектом ветвления трещины. Известно, что достигнув некоторой критической скорости, трещина начинает ветвиться [12]. В таком случае можно ожидать
образования множества осколков: N > 2, иначе частица раскалывается единственной трещиной; N = 2, если, конечно, рост магистральной трещины не стимулирует развитие других зародышевых трещин или таковых вообще нет. Скорость трещины является функцией ее длины и растет с ее увеличением [12].
Следовательно, должен существовать некоторый критический размер частицы
такой, ниже которого трещина не успевает набрать необходимую скорость и который раскалывает частицу, не начав ветвиться. При размерах частицы больше
критического, ветвление может произойти, и число осколков окажется больше
двух, причем, чем больше частица, тем более разветвленной может быть трещина, тем больше осколков получится. Это подтверждается экспериментами: для
больших частиц наблюдалось N ~ 104, при уменьшении размера – N ~ 102 [13].
Попробуем оценить критический размер частицы r*, ниже которого она
разрушается на две части. Для скорости хрупкой трещины можно использовать формулу Мотта [14]:
v = 0,38vω 1 − l0 / l ,
(7)
где vω – скорость звука; l0 – гриффитсовская длина трещины.
Экспериментально установлено, что ветвление трещины начинается
при v = 0,95vmax [12], отсюда r* = 10l0. Можно было бы оценить нижнюю
границу критического размера, рассматривая разрушение абсолютно хрупкого тела при напряжениях порядка теоретического предела прочности. В этом
случае: l0  ( γE ) / σ2 ; γ  (Ga) / 8 , l0  a(G / σ)2 ; a  5 ⋅ 10−10 м ; σ т = G / 25 ,
l0  5 ⋅ 10−7 .
Тогда r* ~ (1–10 мкм). Для реальных материалов необходимо учитывать работу пластической деформации, т.е. в (7) вместо l0 подставлять длину
трещины по Оровану, а она в зависимости от пластичности материала может
быть на 1–3 порядка больше гриффитсовской [15]. Кроме того, критический
размер является функцией σ, а значит, зависит от аппарата и его режима, так
как а, развиваемое в аппарате, может быть меньше σт. С учетом этих замечаний сделанная оценка критического размера является нижней границей, т.е.
реально и более крупные частицы могут разрушаться на два осколка.
Заключение
Экспериментально определено характерное время разрушения в планетарно-центробежной мельнице: 1–3 с. Существенен тот факт, что оно, как
оказалось, зависит от материала, поэтому эффективность ударов в мельнице
различна.
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
Определен вид функции разрушения для модельных веществ. Она оказалась довольно узкой и центрированной на m/m' ~ 0,5.
Множественность образования осколков рассмотрена с точки зрения
теории хрупкого разрушения. Существует критический размер, ниже которого частицы раскалываются пополам.
Список литературы
1. Г о л ь д б е р г , Е. Л. Моделирование разрушения при стесненном ударе /
Е. Л. Гольдберг, С. В. Павлов // Порошковая металлургия. – 1990. – № 7. – С. 1–5.
2. Г о л ь д б е р г , Е. Л. Эффект «плотной упаковки» при измельчении / Е. Л. Гольдберг, А. Ф. Еремин, В. В. Болдырев // Изв. Сиб. отделения АН СССР. Сер. хим.
наук. – 1988. – № 2. – С. 51–53.
3. Д о м к и н , К . И . Физические основы гранулометрического анализа частиц с помощью «ANALYSETTE-22» COMPACT / К. И. Домкин // Надежность и качество :
тр. Междунар. симпозиума. – Пенза, 2007. – Т. 2. – С. 63–64.
4. К а м и н с к а я , Т. П . Исследование гранулометрического распределения порошков стекла для толстопленочной технологии с применением лазерной дифракции
на приборе «ANALYSETTE-22» COMPACT / Т. П. Каминская, С. В. Подшибякин,
К. И. Домкин // Надежность и качество : тр. Междунар. симпозиума. – Пенза,
2007. – Т. 2. – С. 69–70.
5. Д о м к и н , К . И . Гранулометрическое распределение порошков стекол для толстопленочной и чип-технологии / К. И. Домкин // Надежность и качество : тр.
Междунар. симпозиума. – Пенза, 2011. – Т. 2. – С. 148–150.
6. П а в л о в, С . В. Эволюция функции распределения частиц по размерам при разрушении / С. В. Павлов, Е. Л. Гольдберг, А. Ф. Еремин // Тезисы 10-го Всесоюз.
симп. по механоэмиссии и механохимии твердых тел. – Ростов н/Д, 1986. –
С. 211–212.
7. P e t e r s o n , Т. W . Comparison of comminution data witty analytical solution of the
fragmentation equation / Т. W. Peterson, М. V. Scotto, A. F. Sarojim // Powder TechnoL. – 1985. – V. 45, № 1. – P. 87–93.
8. Д о м к и н , К . И . Оптические методы определения размеров мелкодисперсных
материалов / К. И. Домкин, В. А. Трусов, В. Г. Недорезов // Надежность и качество : тр. Междунар. симпозиума. – Пенза, 2011. – Т. 2. – С. 154–158.
9. Д о м к и н , К . И . Физические основы измерения размера частиц / К. И. Домкин,
В. А. Трусов, А. М. Гусев // Надежность и качество : тр. Междунар. симпозиума. –
Пенза, 2011. – Т. 2. – С. 256–259.
10. A u s t i n , L . G . Comminution kinetics of fine powder pulverizing technology /
L. G. Austin // Proc. 2-nd Seishin Enterprise Company Symposium on powder technology. – Tokyo, 1985. – P. 36–71.
11. Д о м к и н , К . И . Физические основы гранулометрического анализа частиц методом лазерной дифракции / К. И. Домкин // Надежность и качество : тр. Междунар.
симпозиума. – Пенза, 2011. – Т. 2. – С. 150–152.
12. Ф и н к е л ь , В. М . Физика разрушения / В. М. Финкель. – М. : Металлургия,
1970. – 376 с.
13. Х о да к о в , Г . С . Физика измельчения / Г. С. Ходаков. – М. : Наука, 1972. – 307 с.
14. Д а н и л о в а , Е. А . Классификация дисперсных систем и влияние размеров частиц на некоторые свойства / Е. А. Данилова, А. М. Гусев, К. И. Домкин //
Надежность и качество : тр. Междунар. симпозиума. – Пенза, 2011. – Т. 2. –
С. 376–379.
15. В л а д и м и р о в, В. И . Физическая природа разрушения металлов / В. И. Владимиров. – М. : Металлургия, 1984. – 280 с.
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Домкин Кирилл Иванович
аспирант, Пензенский государственный
университет
Domkin Kirill Ivanovich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: [email protected]
Юрков Николай Кондратьевич
доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой конструирования
и производства радиоаппаратуры,
Пензенский государственный
университет
Yurkov Nikolay Kondratyevich
Doctor of engineering sciences, professor,
head of sub-department of radio
equipment design and production,
Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 678
Домкин, К. И.
Моделирование процесса сухого измельчения порошковых материалов / К. И. Домкин, Н. К. Юрков // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 1 (21). –
С. 131–138.
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
УДК 519.64; 538.945; 537.62
Н. Д. Кузьмичев, А. А. Федченко
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА
НАМАГНИЧИВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО
СВЕРХПРОВОДНИКА В МОДЕЛИ БИНА
Аннотация. Смоделирован процесс намагничивания жестких сверхпроводников второго рода в форме цилиндров конечной длины, находящихся в критическом состоянии, в рамках приближения Бина с учетом искривления линий
магнитного поля. На основе найденной модели рассчитаны полная напряженность магнитного поля, петля гистерезиса намагниченности и распределение
экранирующего сверхтока для образцов вышеуказанной формы в разных
случаях.
Ключевые слова: жесткий сверхпроводник второго рода, критическое состояние, модель Бина, интегральные уравнения, задача оптимизации, распределение экранирующего сверхтока, гистерезис намагниченности.
Abstract. The authors have modeled magnetization process for hard type II superconductors in form of finite length cylinders in the critical state according to Bean
approximation and taking into account curvature of magnetic field lines. On the basis of this model the researchers have calculated total magnetic field intensity, hysteretic loops and distribution of screening supercurrent in different cases.
Key words: hard type II superconductor, critical state, Bean model, integral equation, optimization problem, distribution of screening supercurrent, magnetization
hysteresis.
Введение
Магнитные свойства высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП)
важны для применения в электро- и радиоизмерительной технике. В связи
с этим важно знать отклик различной геометрической формы сверхпроводников на переменное и постоянное магнитные поля. Для этого необходимо
иметь карту распределения экранирующего сверхпроводящего тока (сверхтока) и намагниченность образца. Работы по вышеотмеченной тематике ведутся давно как в отечественной, так и зарубежной литературе [1–7]. В простейших расчетах намагниченности жестких сверхпроводников второго рода,
находящихся в критическом состоянии, принимается полная экранировка
внешнего поля в центре образца или на его оси, например цилиндра или пластины. В этом случае задача одномерная и описывается дифференциальным
уравнением.
Точное решение задачи распределения сверхтока для бесконечно тонких дисков найдено Михеенко и Кузовлевым в работе [3]. В работах Брандта
(например в [5]) численным методом решения интегрального уравнения второго рода получены численные распределения сверхтока в цилиндрах любой
длины (двумерный случай). Для этого интегральное уравнение первого рода
было сведено к уравнению второго рода путем задания явного вида вольтамперной характеристики сверхпроводника с помощью уравнений электродинамики, описывающих сверхпроводник. Имеются и другие работы, но мы
отметили наиболее значимые.
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Численные зависимости не всегда удобны, и их нахождение для конкретных случаев требует на каждом этапе численных решений интегральных
уравнений. В связи с этим возникает необходимость иметь в своем арсенале
аналитическое выражение распределения экранирующего сверхтока в сверхпроводнике, имеющем форму, например, цилиндра любой длины.
1. Постановка задачи и модель расчета
В настоящей работе найдено приближенное аналитическое решение
интегрального уравнения, описывающего распределение экранирующего
сверхтока, и численно смоделирован процесс проникновения магнитного поля в короткий цилиндр жесткого сверхпроводника второго рода, находящегося в критическом состоянии в рамках модели Бина [1] с учетом искривления
силовых линий магнитного поля (двумерный случай). Магнитное поле в такие сверхпроводники проникает в виде потока, образованного нитями Абрикосова, и распространяется фронтом внутрь сверхпроводника, преодолевая
силу пиннинга. Силовые линии магнитного поля как внутри такого сверхпроводника, так и вне его искривлены. Изменение магнитного потока внутри
указанного сверхпроводника вызывает в области проникновения нитей Абрикосова электрическое поле, которое, в свою очередь, мгновенно создает экранирующий сверхток с критической плотностью Jc. В модели Бина величина Jc
не зависит от локальной плотности магнитного потока.
Полное магнитное поле (сумма внешнего аксиально-направленного поля и поля, созданного экранирующим сверхтоком сверхпроводящего цилиндра) определяется следующими линейными интегральными уравнениями
первого рода, записанными в цилиндрической системе координат [2, 8]. Аксиальная составляющая напряженности Hz полного магнитного поля определяется выражением
1
2р
H z ( r,z ) = H 0 +
 Gz ( r,z,r ′,z′) J(r ′,z′)dr ′dz′ .
D
(1)
+
Здесь
Gz ( r , z , r ', z ') =
2


r ′2 − r 2 − ( z − z ' )
K (k ) +
E ( k )

( r ′ − r )2 + ( z − z ')2
( r ′ + r )2 + ( z − z ')2 

1
и
k2 =
4rr '
( r′ + r )
2
+ ( z − z ')
2
.
Радиальная составляющая Hr полного поля есть
H r ( r, z ) =
где Gr ( r , z , r ', z ') =
140
1
2π
 Gr ( r , z, r ', z ') J (r ', z ')dr ' dz′ ,
D
(2)
+
2


r ′2 + r 2 + ( z − z ' )
−K ( k ) +
E ( k ) .
2
2

( r ′ − r )2 + ( z − z ')2
r ( r ′ + r ) + ( z − z ') 

z − z′
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
Здесь H0 – напряженность внешнего аксиально-направленного магнитного поля; J (r , z ) – экранирующий сверхток, заполняющий область сверх
проводника D+, который направлен в силу симметрии вдоль орта ϕ и не зависит от полярного угла ϕ ;
K (k ) =
π /2
 dθ /
0
1 − ( k sin θ )
2
и E (k ) =
π /2

2
1 − ( k sin θ ) d θ –
0
полные эллиптические интегралы.
Для того чтобы найти J (r , z ), необходимо иметь хотя бы приближенные левые части интегральных уравнений (1) и (2) [9, 10]. Задачи такого рода
относятся к классу некорректных задач математической физики (см. например, [9]). Исходя из физических соображений, имеем следующие сведения.
Подынтегральные выражения (ядра) уравнений (1) и (2) описывают напряженность магнитного поля, создаваемого бесконечно тонким кольцом радиуса r′, несущим силу тока, равную Jdr′dz′, и являются точными решениями
уравнений Максвелла [8]. В силу симметрии осевая Hz (1) и радиальная Hr (2)
составляющие напряженности полного магнитного поля не зависят от угла φ.
При z → ∞ и (или) r → ∞ составляющие поля Hz → H0 и Hr → 0. В области
сверхпроводника, где сверхток отсутствует (экранированная область), т.е.
J (r , z ) = 0, величины Hz = 0 и Hr = 0. Кроме того, имеется точное решение
J (r ) для одномерного случая [3], т.е. распределение тока в бесконечно тонком диске.
Следуя вышеприведенным предпосылкам, в настоящей работе определили приближенная аналитическая зависимость экранирующего сверхтока
J (r , z ) в модели Бина для двумерного случая в цилиндрической геометрии.
Найденное выражение имеет следующий вид (рис. 1):
 J = − J = const при r , z ∈ D + ;
c
c
J (r , z ) = 

0 при r , z ∈ D − .

(3)
Область D+ проникновения вихрей в цилиндр от области D−, в которой
вихри отсутствуют (т.е. область, в которой J(r, z) = 0), отделяется поверхностью, заданной уравнением


2 

 1 −  a   
 2
r
 R  
z ( r ) = b 1 − arctg 
2 
a
r
 π




1 −   



 a  


p( a )
.
(4)
Здесь R – радиус и d = 2b – длина (толщина) цилиндра (диска); a – радиус проникновения поля при z = 0 (рис. 1). Показатель степени p(a) меняется в пределах 0 < p(a) < 2 и зависит также от отношения b/R (при b → 0 величина p → 1 и не зависит от значения a, а при b → ∞ следует, что p → 0).
В качестве критерия уклонения ρ(z, zt) приближенного z от точного решения zt [9, 10] строилась целевая функция S, которая выбиралась следую-
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
щим образом. Как было отмечено выше, сверхток и магнитное поле в экранированной области сверхпроводника отсутствуют. То есть в области D− мы
знаем точное решение. Учитывая, что в области D− выполняются равенства
Hz = 0 и Hr = 0, параметр p можно определить из условия минимума целевой
функции:
S z ,r ( p ) =
z
1
N

(
H z ,r ri , z j , p
ri , z j ∈D
H0
−
) ≤ε.
(5)
dHr(r, z)
dHz(r, z)
r
H0
z
dr′
z(r)
dz′
r′
D+
D–
J = Jc
J=0
b = d/2
z′
z(r)
0
a
R
r
Рис. 1. Сечение четверти диска. В закрашенной области D+
течет сверхток Jc. В области D– сверхток отсутствует.
Области отделены поверхностью, заданной уравнением Z(r)
Здесь N есть число выбранных точек в области D−, а величина ε определяет точность найденного решения интегральных уравнений (1) и (2).
В нашем случае она составляла менее 0,01 (1 %). В случае точных решений
S = 0.
2. Алгоритм и структура программы
Для расчета величины p(a) была разработана специальная программа на
языке С#. Она позволяет достаточно быстро и с заданной точностью произвести расчет параметра p и карты распределения аксиальной (1) и радиальной
(2) составляющих напряженности магнитного поля, а также намагниченности
образца в целом с учетом найденных J(r, z) и z(r).
При вычислении использовалась сетка L×K, в частности, на приведенных ниже рисунках сетка размером 100×50 (100 шагов вдоль радиуса r и
50 вдоль оси z). Разработанная программа позволят использовать сетки больших размеров. Для каждого узла этой сетки рассчитываются соответствую-
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
щие ей величины Hz и Hr при заданной величине напряженности H0 внешнего
магнитного поля и найденном значении p. При этом важно было подобрать
верный численный метод для решения этой части задачи, обладающий устойчивостью [10, 11]. Также важной частью решаемой задачи было вычисление
оптимальной величины параметра p, определяемого выражением (5). Для его
нахождения при помощи программы была решена отдельная задача оптимизации. Применен численный метод поиска экстремума функции, известный
как метод «золотого сечения» [11, 12], модифицированный для нашей задачи
с учетом особенностей ядер интегральных уравнений (1) и (2).
В качестве целевой функции при решении данной задачи оптимизации
была выбрана сумма отклонений S (5) для области (N = 200 точек), в которой
отсутствует магнитное поле (область D− на рис. 1).
Для каждой составляющей Hz и Hr оптимальное значение параметра p
было рассчитано отдельно. Однако можно отметить, что параметры для радиальной pr и аксиальной pz составляющих поля (рис. 2) несколько отличаются при проникновении поля на достаточно большую величину. Данное
расхождение обусловлено приближенным характером выражения (4).
pr, pz
pr
pz
a/R
Рис. 2. Зависимости показателей степени от глубины проникновения поля
3. Результаты расчета магнитного поля
и петли гистерезиса намагниченности
Полученный в итоге двумерный массив представляет собой распределение напряженности магнитного поля в одной четверти фронтального сечения сверхпроводящего образца.
Трехмерный график, демонстрирующий это распределение поля Hz(z, r)
для цилиндра с d/2R = 0,25, представлен на рис. 3. При этом принималось, что
внешнее поле проникло на глубину, определяемую значением радиуса a:
a = 0,5R.
На рисунках величина поля представлена в единицах поля полного
проникновения Hp, т.е. минимальной напряженности внешнего поля H0, при
которой весь объем сверхпроводника будет занят экранирующим сверхтоком.
Величина Hp определяется численно или ее можно рассчитать по формуле
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2
R
R 

H p = J c b ⋅ ln
+ 1+   .
b
b 


Hz/Hp, %
z/b
r/R
Рис. 3. Распределение аксиального поля Hz(z, r). Значение поля
приведено в процентах от поля полного проникновения Hp
Данная формула легко получается из решения дифференциального
уравнения критического состояния в модели Бина в одномерном приближении для короткого цилиндра радиуса R и полутолщины b:
dH z
=
dr
Jc
r
1+  
b
2
, H z ( R ) = H0 .
(6)
Отметим, что при H0 = Hp задачи в постановках (1)–(2) и (6) приводят
к одинаковым результатам, так как экранированная область сверхпроводника
стягивается в точку, находящуюся в центре на оси цилиндра.
Из рис. 3 видно, что внутренняя область образца D−, не затронутая магнитным полем, образует почти ровную поверхность, контур которой определяется уравнением (4). В то же время в остальной области напряженность
поля отлична от нуля, а на границе сверхпроводника наблюдается значительный острый «излом» напряженности. При удалении от образца значение поля
стремится к величине внешнего поля H0, как было отмечено в разд. 1.
Аналогичные графики для другой составляющей – Hr(z, r), представлены на рис. 4 (a = 0,5R). Вне объема сверхпроводника вдали от него напря-
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
женность радиальной составляющей близится к нулю, так как вектор напряженности внешнего магнитного поля направлен вдоль оси вращения образца.
Hr/Hp, %
z/b
r/R
Рис. 4. Распределение радиального поля Hr(z, r). Значение поля
приведено в процентах от поля полного проникновения Hp
Начальная кривая и петля гистерезиса намагниченности приведены на
рис. 5. Расчет производился по найденному распределению экранирующего
сверхтока.
Намагниченность M цилиндрического сверхпроводника вычисляли согласно формуле, используемой для определения магнитного момента системы токов [8], учитывая, что экранирующий сверхток в силу цилиндрической симметрии является азимутальным:
M=
1
2V
 [ r , J c ] dV ,
D
(7)
+
где V – объем сверхпроводника; D+ – область внутренней части цилиндра, занятая сверхтоком.
Интеграл (7) разбивается на сумму нескольких интегралов с противоположно текущими сверхтоками. На рис. 5 приведены кривые намагниченности для разных величин максимальных полей циклов намагничивания. По оси
абсцисс отложена напряженность магнитного поля в единицах поля полного
проникновения Hp. По оси ординат отложена намагниченность цилиндра
в единицах намагниченности насыщения M(Hp) = M0 = JcR/3, которая получается из решения уравнения (6).
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
–M/M0, %
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
H/Hp, %
Рис. 5. Начальная кривая намагниченности и петли гистерезиса
намагниченности для разных значений максимальных полей цикла
намагничивания. Значения поля указаны в процентах от Hp,
а намагниченности – в единицах намагниченности насыщения M0
Заключение
Результатами работы являются карта распределения экранирующего
сверхтока (3) в жестких сверхпроводниках второго рода, имеющих форму цилиндров конечной длины и дисков (таблеток) в рамках модели Бина, и простое уравнение (4) поверхности, отделяющей области цилиндра с током и без
тока (см. рис. 2). Данные уравнения получены с учетом искривления силовых
линий магнитного поля. Формула (4) включает единственный параметр p (показатель степени), который легко определяется нахождением минимума целевой функции (5). Целевая функция строится на экранированной области
цилиндра и является по своей сути отклонением точного значения поля от
приближенного. Расчеты радиальной и аксиальной составляющих поля показали правильность выбора методики. Разработанную методику можно применять и в случае полевой зависимости критической плотности тока [13].
В этом случае интегральные уравнения (1) и (2) будут нелинейными. В качестве начального приближения можно использовать полученные в работе выражения. Результаты работы можно использовать, например, при разработке
магнитометра слабых магнитных полей [14] на основе ВТСП поликристаллов. Как было показано в работе [15], экранирующий сверхток в таких
системах в слабых магнитных полях не зависит от величины поля.
Список литературы
1. B e a n , C . P . Magnetization of hard superconductors / C. P. Bean // Phys. Rev. Lett. –
1962. – V. 8. – P. 250–251.
2. F r a n k e l , D . Critical-state model for the determination of critical currents in diskshaped superconductors / D. Frankel // J. Appl. Phys. – 1979. – V. 50. – P. 5402–4849.
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
3. M i k h e e n k o , P . N . Inductance measurements of HTSC films with high critical currents / P. N. Mikheenko, Yu. E. Kuzovlev // Physica C. – 1993. – V. 204. – P. 229–236.
4. C l e m , J . R . Hysteretic ac losses and susceptibility of thin superconducting disks /
J. R. Clem, Alvaro Sanchez // Phys. Rev. B. – 1994. – V. 50. – P. 9355–9362.
5. B r a n d t , E . H . Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field. I. Flux
penetration and magnetization curves / E. H. Brandt // Phys. Rev. B. – 1998. – V. 58. –
P. 6506–6522.
6. К у з ь м и ч е в , Н . Д . Гистерезисная намагниченность и генерация гармоник магнитными материалами: Анализ спектра гармоник намагниченности на примере
высокотемпературных сверхпроводников / Н. Д. Кузьмичев // ЖТФ. – 1994. –
Т. 64, № 12. – С. 63–74.
7. К у з ь м и ч е в , Н . Д . Гармоники намагниченности текстурированных поликристаллов YBa2Cu3O7–x выше температуры перехода в сверхпроводящее состояние /
Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // ФТТ. – 2007. – Т. 49. – С. 1549–1553.
8. Ла нда у , Л. Д . Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. –
М. : Наука, 1982. – 620 с.
9. Ти х о н о в , А . Н . Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов,
В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1986. – 288 с.
10. В е р л а н ь А . Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы /
А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. – Киев : Наукова думка, 1986. – 544 с.
11. Т у р ч а к , Л. И . Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. –
М. : Физматлит, 2005. – 304 с.
12. С а м а р с к и й , А . А . Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М. :
Наука, 1989. – 432 с.
13. К у з ь м и ч е в , Н . Д . Математическое моделирование нелинейного отклика короткого цилиндра из жесткого сверхпроводника / Н. Д. Кузьмичев, А. А. Федченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2011. – № 3 (19). – С. 110–119.
14. Г о л о в а ш к и н , А . И . Простое чувствительное устройство для измерения слабых магнитных полей на основе высокотемпературного сверхпроводящего иттриевого купрата / А. И. Головашкин, Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // ЖТФ. –
2006. – Т. 18, № 3. – С. 373–377.
15. К у з ь м и ч е в , Н . Д . Критическое состояние среды Джозефсона / Н. Д. Кузьмичев // Письма в ЖЭТФ. – 2001. – Т. 74, № 5. – С. 291–295.
Кузьмичев Николай Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
общенаучных дисциплин, Мордовский
государственный университет
им. Н. П. Огарева (г. Саранск)
Kuzmichev Nikolay Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of general scientific disciplines, Mordovia
State University named after N. P. Ogaryov
(Saransk)
E-mail: [email protected]
Федченко Александр Андреевич
аспирант, Мордовский государственный
университет им. Н. П. Огарева
(г. Саранск)
Fedchenko Alexander Andreevich
Postgraduate student, Mordovia State
University named after N. P. Ogaryov
(Saransk)
E-mail: [email protected]
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.64; 538.945; 537.62
Кузьмичев, Н. Д.
Математическое моделирование процесса намагничивания цилиндрического сверхпроводника в модели Бина / Н. Д. Кузьмичев, А. А. Федченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 139–148.
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
УДК 530.12:531.51; 524.834
М. П. Ротова, В. К. Щиголев
ТАХИОН-КВИНТОМНАЯ МОДЕЛЬ
В КОСМОЛОГИИ ФРИДМАНА
Аннотация. Исследуются модели тахионного поля в космологии при условии
его взаимодействия с полем квинтэссенции или фантомным полем. Предложена тахион-квинтомная модель, учитывающая такое взаимодействие без обычно используемого феноменологического подхода, когда взаимодействие описывается энергетическим потоком от одной компоненты источника гравитации к другой. В нашей модели взаимодействие тахионного поля с классическим скалярным полем учитывается потенциалом взаимодействия, который,
однако, не входит аддитивным образом в лагранжиан системы подобно случаю двух и более полей нетахионной природы.
Ключевые слова: космология, тахионное поле, квинтомная модель, точные решения.
Abstract. The article investigates the tachyon field model in cosmology, provided its
interaction with the quintessence or phantom fields. The researchers propose a tachyon-quintom model, which takes into account this interaction without a phenomenological approach usually used when the interaction is described by the energy flow
from one component of the source of gravitation to another. In this model, the interaction of tachyon field with a classical scalar field is taken into account through the
interaction potential, which is not included additively in the Lagrangian of the system like in the case of two or more fields of non-tachyon nature.
Key words: cosmology, tachyon field, quintom model, exact solutions.
Введение
Измерения соотношения «яркость – красное смещение» для ряда вновь
открытых сверхновых звезд типа Ia показывают, что в настоящее время Вселенная расширяется в ускоренном режиме [1–3]. Этот факт явился причиной
появления многочисленных моделей темной энергии [4–7], которая могла бы
быть причиной позднего космологического ускорения. Для ускорения расширения уравнение состояния темной энергии w = p / ρ , где p и ρ суть давление и плотности энергии соответственно, должно удовлетворять условию w < −1/ 3 . Простейшим кандидатом на роль темной энергии является
космологическая постоянная, для которой уравнение состояния w = −1 . Однако имеются некоторые свидетельства, показывающие, что темная энергия
может развиваться от w > −1 в удаленном прошлом до w < −1 в настоящее
время. Был изучен большой класс скалярно-полевых моделей темной энергии, включая тахионные [8], фантомные [9], квинтомные [10] и другие модели. Кроме того, предложения по темной энергии включают модели взаимодействующей темной энергии [11], модели на бранах [12] и модели голографической темной энергии [13]. Квинтомный сценарий темной энергии был разработан для того, чтобы понять природу темной энергии с пересекающем −1
уравнением состояния. Квинтомные модели темной энергии отличаются от
квинтэссенции, фантома, k-эссенции и других в характере развития и судьбы
Вселенной. Чтобы реализовать жизнеспособный квинтомный сценарий темной энергии, необходимо ввести дополнительную степень свободы в обычную
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
теорию с единственной жидкостью или единственным скалярным полем. Первая модель квинтомного сценария темной энергии с двумя скалярными полями была получена в [10]. Эта модель подробно исследовалась позже [14, 15].
В последнее время большой интерес проявляется к тахионным моделям
в космологии [16], где появление тахиона в основном мотивировано теорией
струн [17]. Тахионные модели способны дать объяснение инфляции на ранних этапах и могли бы способствовать описанию новых форм космологической темной материи в поздние эпохи эволюции Вселенной [18]. Инфляция
в тахионной модели обсуждался в работах [16, 19, 20]. Поля тахионов обладают потенциалом с неустойчивым максимумом в начале координат и падающим почти до нуля по мере того, как поле стремится к бесконечности. Были
проведены исследования тахионной темной энергии в зависимости от различных форм этого потенциала [21–24]. Фантомные поля (с отрицательной кинетической энергией) были также предложены в качестве кандидата на роль
темной энергии, так как они допускают достаточное отрицательное давление
с w < −1 [25, 26]. Отличительной особенностью фантомной модели является
то, что эволюция Вселенной закончится «большим разрывом» (Big Rip).
В целях развития тахионных моделей естественным представляется исследование гибридных моделей типа квинтомных, включающих в себя тахионное поле, т.е. особый интерес представляют модели, учитывающие взаимодействия тахионного поля с другими полями (квинтэссенцией, фантомным
полем и др.). Однако учет взаимодействия тахионных полей с другими полями представляет собой известную проблему. До сих пор такой учет взаимодействия производился на феноменологическом уровне (см., например, [27–
37]). Такие модели описывают поток энергии между компонентами так, что
отдельные компоненты гибрида полей не удовлетворяют закону сохранения
энергии-импульса, но удовлетворяют ему для всей системы. Известны работы
по взаимодействию между темной энергией (тахионов или фантом) и темной
материей (см., например, [38–42]), где опять же феноменологически введены
различные формы взаимодействия компонентов смеси.
В нашей работе мы используем предложенное в работе [43] переопределение тахионного поля для введения взаимодействия между скалярными
полями (квинтэссенции, фантомов и др.), описываемыми каноническими лагранжианами, и тахионным полем в космологии Фридмана – Робертсона –
Уокера (ФРУ). Мы применяем наш подход к описанию взаимодействия тахионов в простой модели, демонстрируя возможность получения точных решений как в теории свободного тахионного поля, так и в тахион-квинтомной
модели.
1. Модели взаимодействия скалярных полей
Моделирование темной энергии как системы двух взаимодействующих
скалярных полей (квинтэссенции, фантомов и др.) базируется на плотности
лагранжиана [30] вида
LDE =
1
(∂ μ χ)2 + ε(∂ μ ϕ) 2  − Vint (χ, ϕ),
2
(1)
где ε = ±1 для квинтэссенции и фантомного поля соответственно, а последнее
слагаемое отвечает за потенциальное взаимодействие и может аддитивно
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
включать в себя потенциалы самодействия полей. В случае однородной и
изотропной ФРУ модели Вселенной
(
ds 2 = dt 2 − a 2 (t ) dr 2 + r 2 d Ω 2
)
(2)
и однородных полей χ, ϕ эффективное уравнение состояния гибрида записывается как
w=
p χ 2 + εϕ 2 − 2Vint (χ, ϕ)
,
=
ρ χ 2 + εϕ 2 + 2Vint (χ, ϕ)
для случая фантомного поля ϕ (т.е. ε = −1 ) w может быть больше или меньше −1 в зависимости от соотношения между χ 2 и ϕ 2 . На таком же принципе
строится, например, хантомная модель темной энергии [29, 44].
Иная ситуация возникает, если предположить, что χ является тахионным полем, для которого плотность лагранжиана равна
LT = −V (χ) 1 − χ 2
(3)
при условии однородности поля. Здесь потенциал V (χ) не может быть интерпретирован так же, как для канонического поля, поскольку не является аддитивным членом в полной энергии наряду с кинетическим членом. Поэтому
понятно, что невозможно включение взаимодействия тахионного поля с другими полями через потенциал взаимодействия Vint (χ, ϕ) , т.е. заменой им потенциала V (χ) в плотности лагранжиана (3). По этой причине в отмеченных
выше статьях рассматривается взаимодействие тахионного поля на основе закона сохранения энергии-импульса для гибрида полей Tνμ; μ = 0 . Будучи записанным через эффективные значения плотности энергии и давления для полной системы взаимодействующих полей, этот закон читается как
ρ tot + 3 H (ρtot + ptot ) = 0,
(4)
где H = a / a суть параметр Хаббла. При этом ρtot = ρχ + ρϕ и ptot = pχ + pϕ ,
где для тахионного поля χ
ρχ =
V (χ)
2
1− χ
, pχ = −V (χ) 1 − χ 2 ,
(5)
а для скалярного поля ϕ
ε
ε
ρϕ = ϕ 2 + U (ϕ), pϕ = ϕ 2 − U (ϕ).
2
2
(6)
Исходя из того, что для отдельных компонент гибрида ( ρχ , pχ ) и
( ρϕ , pϕ ) закон сохранения (4) не выполняется в силу взаимодействия компонент, в упомянутых выше и других статьях уравнение (4) записывают в виде системы уравнений:
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ρ χ + 3H (ρχ + pχ ) = −Q(t ),
ρ ϕ + 3H (ρϕ + pϕ ) = +Q(t ),
(7)
где Q(t ) описывает взаимодействие полей. Сумма уравнений (7) приводит
к закону сохранения (4), но при этом отсутствует какая-либо возможность
получить выражение для Q(t ) из известных или гипотетических законов потенциального взаимодействия. Поэтому используя феноменологический подход, предполагают ту или иную зависимость Q(t ) , например: Q = 3δH ρχ или
Q = 3δH ρϕ , где δ суть безразмерный параметр взаимодействия. Важно отметить, что во всех этих попытках учета взаимодействия тахионного поля исходят из аддитивности потенциала взаимодействия, что не является очевидным
в отношении тахионного поля.
2. Моделирование взаимодействия тахионного поля
Мы предлагаем подход к описанию взаимодействия тахионного поля,
основанный на специальном представлении тахионного поля, предложенного
в статье [43] для других целей. При таком подходе производится преобразование тахионного поля χ → φ по следующему правилу:

χ → φ = ± d χ V (χ) ⇔ χ = ±
φ
.
V (χ )
(8)
В результате такого переопределения тахионного поля плотность лагранжиана (3) принимает форму
LT = −V (φ) 1 −
φ 2
.
V (φ)
(9)
Как было отмечено в [43], такой лагранжиан естественно возникает в
обобщенной теории Дирака – Борна – Инфельда с плотностью лагранжиана
LDBI = f −1 (φ) 1 − f (φ)(∇φ) 2 − f −1 (φ) + V (φ),
(10)
в случае специального выбора обратной величины напряжения брана f (φ) :
f (φ)V (φ) = 1 .
В цитируемой статье переопределение тахионного поля (8) использовано для получения широких классов решений уравнений ФРУ космологии, заполненной тахионным полем. Нам представляется привлекательным применение указанного представления в попытках дать описание взаимодействующих тахионных полей в космологии. Такая привлекательность представления
обязана более стандартной интерпретации потенциала V (φ) по сравнению
с V (χ) при определенных энергетических условиях. Действительно, если кинетический член лагранжиана (10) удовлетворяет условию малости по сравнению с потенциальной энергией ( φ 2 << V (φ) ), то
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
1
LT ≈ φ 2 − V (φ),
2
(11)
откуда и следует возможность интерпретации V (φ) как потенциала самодействия поля φ .
В следующем разделе мы иллюстрируем примером точного решения
уравнений ФРУ для Вселенной, заполненной тахионным полем с лагранжианом (9), полезность такого представления в проблемах тахионной космологии.
Основная идея настоящего исследования заключается в замене потенциала самодействия V (φ) в представлении (9) потенциалом взаимодействия
Vint (φ, ϕ) , что диктуется обычной процедурой введения взаимодействия
в пределе (11), и возвращении к исходному лагранжиану (9). Как видно, такое
представление соответствует предположению зависимости обратной величины напряжения брана f от параметра ϕ в DBI-лагранжиане (10) вида
f (φ, ϕ)Vint (φ, ϕ) = 1 . Построенный таким образом лагранжиан взаимодействующих полей (тахионного и канонического скалярного) принимает следующий вид:

φ 2
ε 
L = − g  −Vint (φ, ϕ) 1 −
+ ϕ 2  ,
Vint (φ, ϕ) 2 



(12)
где мы включили потенциал U (ϕ) поля ϕ в потенциал взаимодействия
Vint (φ, ϕ) . Принимая во внимание метрику (2), находим из лагранжиана (12)
следующие уравнения для тахионного и скалярного полей:

 ∂Vint (φ, ϕ)  3

φ 2
φ 2

φ + 3H φ 1 −
+
−
1


 =0;
∂φ
 Vint (φ, ϕ) 
 2 Vint (φ, ϕ) 
 + 3H ϕ + ε
ϕ
∂Vint (φ, ϕ)
∂ϕ
1−
1
φ 2
2 Vint (φ, ϕ)
φ 2
1−
Vint (φ, ϕ)
= 0.
(13)
(14)
Вместе с тем найденные из лагранжиана (12) с помощью соотношения
для тензора энергии-импульса
Tμν = 2
∂L
∂g μν
− gμν L
эффективные значения плотности энергии и давления представляются в следующем виде:
ρtot =
Vint (φ, ϕ)
φ 2
1−
Vint (φ, ϕ)
ε
+ ϕ 2 ;
2
(15)
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ptot = −Vint (φ, ϕ) 1 −
φ 2
ε
+ ϕ 2 .
Vint (φ, ϕ) 2
(16)
После подстановки выражений (15) и (16) в уравнение для закона сохранения энергии-импульса (4) мы имеем


 ∂Vint (φ, ϕ)  3

φ 2
φ 2
1−
φ + 3H φ  1 −
+



 +
3/2
 Vint (φ, ϕ) 
 2 Vint (φ, ϕ)  
∂φ

 




φ 2
1 −

 Vint (φ, ϕ) 


φ
−1/2 



∂Vint (φ, ϕ)  1
φ 2
φ 2


 + 3H ϕ ) +
= 0.
+ϕ ε(ϕ
1 −
1 −


 2 Vint (φ, ϕ)  Vint (φ, ϕ) 
∂ϕ





Видно, что это уравнение тождественно выполняется в силу уравнений
(13) и (14), но никак не копирует уравнения (7). Взаимодействие полей φ и ϕ
выражается по-разному в силу различия в их природе. Как следует из уравнений (13) и (14), влияние тахионного поля φ на скалярное поле ϕ имеет
∂V (φ, ϕ)
), а влияние скавполне традиционный вид (т.е. через слагаемое ∼ int
∂ϕ
лярного поля ϕ на тахионное поле происходит через зависимость от потенциала Vint (φ, ϕ) неканоническим образом, что вполне соответствует особенностям тахионного поля.
Поведение системы теперь определяется уравнениями (13), (14) и уравнением Фридмана, которое получается с учетом метрики (2) и плотности
энергии (15) в следующем виде:
V (φ, ϕ)
3
ε
H 2 = int
+ ϕ 2 .
8πG
2
φ 2
1−
Vint (φ)
(17)
3. Точное решение тахионной модели
Рассмотрим тахионную модель в метрике ФРУ (2) на основе представления (10) однородного поля φ(t ) . Исходя из лагранжиана
 R
φ 2
L = − g −
− V (φ) 1 −
V (φ)
 2κ


,


(18)
где R – скаляр кривизны Риччи; κ = 8πG суть гравитационная постоянная;
V (φ) – потенциал самодействия тахионного поля φ , легко найти основные
уравнения модели в виде
−1

8πG
φ 2 
H =
V (φ)  1 −
;

3
V (φ) 


2
154
(19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
φ 2
2 H + 3H 2 = 8πGV (φ) 1 −
;
V (φ)
(20)

 3 φ 2 
φ 2 

′
V
(
)
φ + 3H φ 1 −
+
φ

1 −
 = 0,
 V (φ) 
 2 V (φ) 
(21)
где V ′(φ) ≡ ∂V / ∂φ .
Покажем, что хорошо известное решение тахионной космологии получается из некоторого простого предположения относительно кинетического
члена без предварительного задания потенциала самодействия. Допустим, что
кинетический член тахионного поля пропорционален его потенциальной
энергии:
φ 2 = βV (φ),
(22)
где константа β∈ [0, 1) .
Легко проверить, что из трех уравнений (19)–(21) только два независимы. Поэтому будем решать уравнения (19) и (21), а уравнение (20) следует из
них. Вследствие (22) уравнения динамики модели принимают вид
H2 =
8πG V (φ)
;
3 1− β

φ + 3H φ (1 − β) + V ′(φ)[1 − 3β / 2] = 0.
(23)
(24)
φ и
Подстановка дифференциального следствия (22) вида V ′(φ) = 2β−1
полученного из (22), (23) следствия вида
H=
2B 
3 8πGβ
φ, B =
3β
2 3 1− β
в уравнение (24) приводит его к виду: 
φ + Bφ 2 = 0. Решением этого уравнения
является функция
φ=
1
ln( Bt + C ) + φ0 ,
B
(25)
где C , φ0 суть константы интегрирования.
Тогда из (22) и (23) вследствие (25) легко найти, что
a = a0 ( Bt + C ) 2/3β , V (φ) = β−1 exp{−2 B(φ − φ0 )}.
(26)
Таким образом, нами получен характерный для теории струн экспоненциальный потенциал V = σ exp(−λφ) , где σ = β−1 , λ = 2 B . Как видно из (26),
ускоренный режим расширения осуществляется при значениях β ≤ 2 / 3 .
4. Тахион-квинтомная однородная космологическая модель
В предлагаемом подходе тахион-квинтомная модель описывается полевыми уравнениями (13), (14) и уравнением Фридмана (17). Для решения
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
этой системы уравнений следует задать потенциалы Vint (φ, ϕ) и U (ϕ) , что
может быть продиктовано определенными физическими мотивациями. В целях демонстрации особенностей предложенного подхода в применении к тахион-квинтомным моделям и имея в виду полученное в предыдущем разделе
решение для свободного тахионного поля, положим аналогично (22)
φ 2 = βVint (φ, ϕ).
(27)
Одновременно будем считать, что потенциал самодействия U (ϕ) поля
включен в потенциал взаимодействия Vint (φ, ϕ) аддитивным образом:
Vint (φ, ϕ) = V (φ) + U (ϕ).
(28)
Заметим, что в случае канонических полей (квинтэссенции и фантомного поля), входящих в гибрид, представление потенциала Vint (φ, ϕ) в виде
суммы (28) означало бы просто отсутствие взаимодействия между его компонентами. Но в случае тахионного поля даже такое представление Vint (φ, ϕ)
приводит к взаимодействию полей, что видно из системы (13), (14), (17) и последующих построений модели. С помощью подстановок (27) и (28) система
определяющих уравнений перепишется в виде
∂V (φ)

φ + 3H φ (1 − β) +
(1 − 3β / 2 ) = 0;
∂φ
 + 3H ϕ + ε
ϕ
∂U (ϕ) 1 − β / 2
= 0;
∂ϕ
1− β
3
φ 2
ε
H2 =
+ ϕ 2 .
8πG
β 1− β 2
(29)
(30)
(31)
Для решения системы (29)–(31) требуется задать потенциалы или любые другие две функции из пяти: φ(t ) , ϕ(t ) , H (t ) , V (φ) , U (ϕ) .
Приведем один пример точного решения для исследуемой модели.
Пусть, подобно рассмотренному выше решению, мы имеем
m
a = a0 ( Bt + C )  H =
mB
1
, φ = ln( Bt + C ) + φ0 ,
B
Bt + C
(32)
тогда из уравнения (31) с учетом (32) находим
−1
ϕ = D ⋅ ( Bt + C ) ,
(33)
 3m 2 B 2
2 
где D 2 = ε 
−
.
 4πG

β
−
β
1


Умножив уравнения (29), (30) соответственно на φ , ϕ и подставив
в них выражения для последних и H из (32), (33), получаем уравнения для
потенциалов, после интегрирования которых имеем
V=
156
3m − 1
1
3m − 1
⋅
=
⋅ exp {−2 B (φ − φ0 )} ;
2
2 − 3β ( Bt + C )
2 − 3β
(34)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
U=
Физико-математические науки. Физика
(3m − 1) 1 − βεD 2
(2 − β)( Bt + C )
2
=
(3m − 1) 1 − β 2
 B

εD exp −2 (ϕ − ϕ0 )  .
2−β
 D

(35)
Единственное ограничение на параметры модели получается в результате подстановки выражений из полученного решения (32)–(35) в (27) с учетом (28) и имеет следующий вид:
 β
2
3m 2 B 2 β 1 − β 
(3m − 1) 
−
+
 = 1.
 2 − 3β 2 − β
4πG 2 − β 

(36)
Из двух алгебраических соотношений (33), (36) можно найти явные выражения для констант B и D через параметры модели m и β , задающие
темп эволюции модели и соотношение (27) для энергии. Заметим, что по
сравнению с моделью тахионного поля в предыдущем разделе дополнительная степень свободы, обязанная скалярному полю ϕ(t ) , позволяет выбирать
m произвольным образом и согласовывать mB в выражении для функции
Хаббла (32) с наблюдательными данными.
Из выражения (34) для потенциала V (φ) или непосредственно из вида
уравнения (29) видно, что случай β = 2 / 3 является особым и требует отдельφ + H φ = 0 . Отного исследования. При этом уравнение (29) запишется как 
сюда, предполагая степенную зависимость масштабного фактора от времени
вида (32), имеем в случае m ≠ 1 :
φ =
1
a0 ( Bt + C )
m
⇔ φ = φ0 −
1
a0 mB ( Bt + C )m−1
,
(37)
где φ0 = const ≥ (a0 mB )−1 C1−m . Тогда из уравнения (31) получаем, что
ε 2
3
m2 B 2
3 3
ϕ =
−
.
2
2
2
8πG ( Bt + C )
2a0 ( Bt + C ) 2m
(38)
С учетом этого выражения уравнение (30) можно проинтегрировать и
получить следующее выражение для потенциала U (t ) :
U (t ) =
3 (3m − 1) 3m 2 B 2
9
−
− U0 ,
2
2
8πG 2( Bt + C )
2a ( Bt + C ) 2m
(39)
где U 0 – константа интегрирования.
Тогда из уравнений (27), (28) и (37), (39) получаем
V (t ) =
6
a0 2 ( Bt + C )2 m
−
3 (3m − 1) 3m 2 B 2
+ U0.
8πG 2( Bt + C ) 2
(40)
Заметим, что для произвольного m ≠ 1 вследствие проблемы с нахождением аналитического решения для уравнения (38) не представляется возможным найти явную зависимость U (ϕ) . Вместе с тем зависимость тахионного потенциала V (φ) согласно (37), (40) может быть представлена в виде
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
2m
2
V (φ) = a0 m −1 (mB) m −1 (φ0 − φ) m−1  6(φ0 − φ)2 − Am  + U 0 ,


4
−
1
3(3m − 1)a0 m .
(41)
где Am = (3/16πG )
На рис. 1 продемонстрирована зависимость поведения тахионного поля
и формы тахионного потенциала от показателя степени m > 1 в законе эволюции масштабного фактора (32), соответствующей ускоренному расширению Вселенной. Для случая m = 1 решение уравнения (37) сводится с точностью до постоянного к рассмотренному выше решению (32) и экспоненциальным потенциалам (34), (35).
φ(t )
m=4
φ0
m=3
m=2
t
а)
V (φ)
m=2
m=3
m=4
φ
б)
Рис. 1. Зависимости от m > 1 (а) скорости выхода на асимптотику φ0
тахионного поля и (б) формы тахионного потенциала V (φ)
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
Заключение
Таким образом, нами исследована модель тахионного поля в космологии Фридмана при условии его взаимодействия с полем квинтэссенции или
фантомным полем. Была предложена тахион-квинтомная модель, учитывающая взаимодействие полей стандартным способом через потенциал взаимодействия, но с предварительным переопределением тахионного поля типа (8).
При этом потенциал взаимодействия не включается аддитивным образом
в лагранжиан системы, подобно случаю двух и более стандартных полей нетахионной природы. Получены точные решения для тахионной модели в
предложенном представлении поля и для тахион-квинтомной модели. Для
обеих моделей допустим ускоренный режим расширения, поэтому полученные результаты можно рассматривать в аспекте проблемы темной энергии в
космологии [45]. Разумеется, решенными примерами не исчерпываются возможности модели в решении отмеченной проблемы. Система уравнений динамики системы (29)–(31) поддается решению исходя только из заданной зависимости H (t ) даже в случае общей зависимости потенциала взаимодействия от полей (27) без подстановки (28), что будет продемонстрировано в
нашей следующей работе.
Список литературы
1. R i e s s , A . G . Results from the High-z Supernova Search Team / A. G. Riess et al. //
Astron. J. – 1998. – V. 116. – P. 1009.
2. P e r l m u t t e r , S . Measurements of Ω and Λ from 42 High-Redshift Supernovae /
S. Perlmutter, et al. // Astrophys. J. – 1999. – V. 517. – P. 565.
3. K n o p , R . A . New Constraints on ΩM, ΩΛ, and w from an Independent Set of 11
High-Redshift Supernovae Observed with the Hubble Space Telescope / R. A. Knop
et al. // Ap. J. – 2003. – V. 598. – P. 102.
4. S a h n i , V . The Case for a Positive Cosmological Lambda-term / V. Sahni and
A. A. Starobinsky // Int. J. Mod. Phys. D. – 2000. – V. 9. – P. 373–444.
5. Peebles, P. J. E. The Cosmological Constant and Dark Energy / P. J. E. Peebles and
B.Ratra // Rev. Mod. Phys. – 2003. – V. 75. – P. 559–606
6. P a d m a n a b h a n , T . Cosmological Constant – the Weight of the Vacuum / T. Padmanabhan // Phys. Rept. – 2003. – V. 380. – P. 235–320.
7. C o p e l a n d , E . J . Dynamics of dark energy / E. J. Copeland, M. Sami, S. Tsujikawa //
Int. J. Mod. Phys. D. – 1998. – V. 15. – P. 1753–1936.
8. S e n , A . Tachyon Matter / A. Sen // JHEP. – 2002. – V. 0207. – P. 065.
9. P i a zza , F . Dilatonic ghost condensate as dark energy / F. Piazza, S. Tsujikawa //
JCAP – 2004. – V. 0407. – P. 004.
10. F e n g , M . R . Dark Energy Constraints from the Cosmic Age and Supernova /
B. Feng, X. Wang and X. Zhang // Phys. Lett. B. – 2005. – V. 607. – P. 35–41.
11. S e t a r e , M . R . Interacting holographic dark energy model in non-flat universe / M.
R. Setare // Phys. Lett. B. – 2006. – V. 642. – P. 1–4.
12. S a r i d a k i s , E . N . Restoring holographic dark energy in brane cosmology /
E. N. Saridakis // Phys. Lett. B. – 2008. – V. 660. – P. 138.
13. E l i z a ld e , E . Dark Energy: Vacuum Fluctuations, the Effective Phantom Phase and
Holography / E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov and P. Wang // Phys. Rev. D. –
2005. – V. 71. – P. 103504.
14. A p o s t o l o p o u l o s , P . S . Late acceleration and w = –1 crossing in induced gravity /
P. S. Apostolopoulos, N. Tetradis // Phys. Rev. D. – 2006. – V. 74. – P. 064021.
15. Zh a n g , H . - S . Crossing w = –1 by a single scalar on a DGP brane / H.-S. Zhang,
Z.-H. Zhu // Phys. Rev. D. – 2007. – V. 75. – P. 023510.
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
16. F e i n s t e i n , A . Power-Law Inflation from the Rolling Tachyon / A. Feinstein // Phys.
Rev. D. – 2002. – V. 66. – P. 063511.
17. S a m i , M . Implementing Power Low Inflation with Tachyon Rolling on the Brane /
M. Sami // Mod. Phys. Lett. A. – 2003. – V. 18. – P. 691.
18. S a m i , M . Aspects of Tachyonic Inflation with Exponential Potential / M. Sami,
P. Chingangbam, T. Qureshi // Phys. Rev. D. – 2002. – V. 66. – P. 043530.
19. F a i r b a i r n , M . Inflation from a Tachyon Fluid / M. Fairbairn, M. H. G. Tytgat //
Phys. Lett. B. – 2002. – V. 546. – P. 1–7.
20. P a d m a n a b h a n , T . Accelerated expansion of the universe driven by tachyonic matter / T. Padmanabhan // PhysRev. D. – 2002. – V. 66. – P. 021301.
21. C o p e l a n d , E . J . Dynamics of dark energy / E. J. Copeland, M. Sami, S. Tsujikawa //
Int. J. Mod. Phys. D. – 2006. – V. 15. – P. 1753.
22. S a m i , M . Cosmology with rolling tachyon / M. Sami, P. Chingangbam, T. Qureshi //
Pramana – 2004. – V. 62. – P. 765.
23. C o p e l a n d , E . J . What is needed of a tachyon if it is to be the dark energy? /
E. J. Copeland, M. R. Garousi, M. Sami and S. Tsujikawa // Phys. Rev. D. – 2005. –
V. 71. – P. 043003.
24. C a l c a g n i , G . Tachyon dark energy models: Dynamics and constraints / G. Calcagni,
A. R. Liddle // Phys. Rev. D. – 2006. – V. 74. – P. 043528.
25. P o l a r s k i , D . Reconstruction of a Scalar-Tensor Theory of Gravity in an Accelerating
Universe / D. Polarski, A. A. Starobinsky // Phys. Rev. Lett. – 2000. – V. 85. – P. 2236.
26. C a l d we l l , R . R . Phantom Energy: Dark Energy with w < –1 Causes a Cosmic
Doomsday / R. R. Caldwell // Phys. Lett. B. – 2002. – V. 545. – P. 23.
27. [Электронный ресурс] S. K. Srivastava. – URL: http://arxiv.org; article-id: arXiv:
[gr-qc] 0409074
28. M a c o r r a , d e l a A . Interacting Tachyon: Generic cosmological evolution for a
tachyon and a scalar field / A. de la Macorra, U. Filobello // Phys. Rev. D. – 2008. –
V. 77. – P. 023531.
29. C a l d e r a - C a b r a l , G . Dynamics of interacting dark energy / G. Caldera-Cabral,
R. Maartens // Phys. Rev. D. – 2009. – V. 79. – P. 063518.
30. S e t a r e , M . R . Interacting tachyon dark energy in non-flat universe / M. R. Setare,
J. Sadeghi, A. R. Amani // Phys. Lett. B. – 2009. – V. 673. – P. 241–246.
31. [Электронный ресурс] A. Sheykhi. – URL: http://arxiv.org; article-id: arXiv:[gr-qc]
0907.2491v2
32. K a r a m i , K . Interacting new agegraphic tachyon, K-essence and dilaton scalar field
models of dark energy in non-flat universe / K. Karami, M. S. Khaledian, F. Felegary,
Z. Azarmi // Phys. Lett. B. – 2010. – V. 686. – P. 216–220.
33. C h a t t o p a d h y a y , S . Tachyonic field interacting with Scalar (Phantom) Field /
S. Chattopadhyay, U. Debnath // Braz. J. Phys. – 2009. – V. 39. – P. 86–91.
34. C h a t t o p a d h y a y , S . Interaction Between Tachyon and Hessence (or Hantom) Dark
Energies / S. Chattopadhyay, U. Debnath // Int J. Theor Phys. – 2011. – V. 50. –
P. 3166–3175.
35. [Электронный ресурс] M. U. Farooq, M. A. Rashid, M. Jamil. – URL: http://arxiv.org;
article-id: arXiv:[gr-qc] 1003.4098v2
36. [Электронный ресурс] M. Jamil, Ahmad Sheykhi. – URL: http://arxiv.org; article-id:
arXiv:[physics.gen-ph] 1003.5043v2
37. C h a t t o p a d h y a y , S . Generalized second law of thermodynamics in the presence of
interacting tachyonic field and scalar (phantom) field / S. Chattopadhyay, U. Debnath //
Canadian Journal of Physics – 2010. – V. 88. – P. 933–938.
38. W e i , H . Cosmological Evolution of Quintessence and Phantom with a New Type of
Interaction in Dark Sector / H. Wei // Nucl. Phys. B. – 2011. – V. 845. – P. 381–392.
39. H e r r e r a , R . Exact solutions for the interacting tachyonic-dark matter system /
R. Herrera, D. Pavon, W. Zimdahl // Gen. Rel. Grav. – 2004. – V. 36. – P. 2161.
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (21), 2012
Физико-математические науки. Физика
40. Cai, R.-G. Cosmology with Interaction between Phantom Dark Energy and Dark Matter and the Coincidence Problem / R.-G. Cai, A. Wang // JCAP. – 2005. – V. 0503. –
P. 002.
41. G u o , Z. - K . Cosmological Evolution of Interacting Phantom Energy with Dark Matter / Z.-K. Guo, R.-G. Cai, Y.-Z. Zhang // JCAP. – 2005. – V. 0505. – P. 002.
42. G o n za l e z, T . Exact models with non-minimal interaction between dark matter and
(either phantom or quintessence) dark energy / T. Gonzalez, I. Quiros //
Class.Quant.Grav. – 2008. – V. 25. – P. 175019.
43. Q u i r o s , I . A study of tachyon dynamics for broad classes of potentials / I. Quiros,
T. Gonzalez, et al. // Class.Quant.Grav. – 2010. – V. 27. – P. 215021.
44. W e i , H . Hessence: a new view of quintom dark energy / H. Wei, R. G. Cai,
D. F. Zeng // Class. Quant. Grav. – 2005. – V. 22. – P. 3189.
45. [Электронный ресурс] A. Y. Kamenshchik, S. Manti. – URL: http://arxiv.org; articleid: arXiv:[gr-qc] 1111.5183
Ротова Марина Петровна
аспирант, Ульяновский
государственный университет
Rotova Marina Petrovna
Postgraduate student,
Ulyanovsk State University
E-mail: [email protected]
Щиголев Виктор Константинович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра теоретической физики,
Ульяновский государственный
университет
Shchigolev Victor Konstantinovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of theoretical physics,
Ulyanovsk State University
E-mail: [email protected]
УДК 530.12:531.51; 524.834
Ротова, М. П.
Тахион-квинтомная модель в космологии Фридмана / М. П. Ротова,
В. К. Щиголев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2012. – № 1 (21). – С. 149–161.
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.
Необходимо представить статью в электронном виде ([email protected], дискета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.
Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт
статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электронном виде – RTF.
Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннотацией и ключевыми словами на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word
Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть
набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и
матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием
шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указывается:
•
для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;
•
для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;
•
для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетного листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень,
ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.
Рукопись, полученная редакцией, не возвращается.
Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную
правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований, к
рассмотрению не принимаются.
162
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
16
Размер файла
2 603 Кб
Теги
3541
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа