close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3973

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ,
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ
И ИНФОРМАТИКЕ
Владикавказ
2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ББК 22.16+32.97
УДК 517 + 519 + 004.9
И88
Ответственные редакторы:
доктор физико-математических наук Ю.Ф. КОРОБЕЙНИК,
доктор физико-математических наук А.Г. КУСРАЕВ
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 06-01-10051.
Исследования по математическому анализу, математическому моделированию и информатике / отв. ред. Ю. Ф. Коробейник, А. Г. Кусраев.—Владикавказ: Владикавказский научный
центр РАН и РСО-А, 2007.—344 с. — ISBN 978-5-93000-042-9.
В сборник вошли материалы Международной конференции «Порядковый
анализ и смежные вопросы математического моделирования», состоявшейся в
июне 2006 года в г. Владикавказе. Конференция была приурочена к 10-летию
Института прикладной математики и информатики ВНЦ РАН.
ISBN 978-5-93000-042-9
c Институт прикладной математики
и информатики ВНЦ РАН, 2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРЕДИСЛОВИЕ
В сборник вошли материалы Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования», состоявшейся 14–18 июня 2006 года в г. Владикавказе. В соответствии с основными научными направлениями конференции материал сборника разбит
на четыре части.
Первая часть состоит из работ, относящихся к различным направлениям современного анализа. В трех статьях ключевым объектом является понятие спектра. Самосопряженный оператор, действующий в модуле
Капланского — Гильберта над кольцом измеримых функций, допускает
представление в виде измеримого семейства самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, причем спектр этого оператора есть
расслоение, составленное из спектров представляющего семейства операторов (Ганиев И. Г., Арзиев А. Д.). Техника измеримых расслоений применяется также к исследованию спектра элемента алгебры Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функций (Кудайбергенов К. К.). Помимо таких общих постановок рассмотрена задача оценки кратности спектра самосопряженного расширения минимального симметрического оператора (Филиппенко В. И.). Получены также новые результаты о классе
так называемых нелинейных атомических операторов в локально ограниченных пространствах измеримых вектор-функций и даны приложения к
интегральным уравнениями Урысона (Фетисов В. Г.). Две работы относятся к теории оптимизации: задача наблюдаемости систем управления
сводится к минимизации интегрального функционала и устанавливается
вариант принципа Лагранжа (Карелин В. В.); изучаются условия минимума функции, представимой в виде разности полиэдральных выпуклых
функций (Полякова Л. Н., Лабас Н. В.). Найдены необходимые и достаточные условия, при которых семейство окружностей на плоскости служит разбиением плоскости с проколотым началом (Шрайфель И. С., ТерОсипова Е. А.). Остальные статьи относятся к различным вопросам математического анализа. Установлено несколько фактов о необходимых условиях существования бесконечного числа нулей у некоторой мероморфной
функции и сформулированы гипотезы о достаточных условиях (Коробейник Ю. Ф.). Найдены условия, при которых пространство голоморфных
функций на пространстве Фреше с базисом также имеет базис (Кондаков В. П.). Указан пример непрерывной функции, ряд Фурье которой
расходится в каждой точке множества нулевой меры, но мощности континуума (Казбеков К. К.).
Во второй части собраны доклады, относящиеся к дифференциальным
уравнениям и численным методам. Устанавливается корректность постановки краевой задачи для уравнений смешанного типа третьего порядка (Балкизов Ж. А.); получены априорные оценки для первой начальнокраевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка в
многомерной области (Бештоков М. Х.). Доказаны существование и единственность решения нелокальной краевой задачи со смещением для уравнения гиперболо-параболического типа (Елеев В. А., Езаова А. Г.) и нелокальной краевой задачи для нагруженного смешанного уравнения третьего порядка в прямоугольной области (Елеев В. А., Кодзоков А. Х.), а также краевой задачи типа Стеклова для нагруженного уравнения гиперболо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
Предисловие
параболического типа третьего порядка (Жемухова З. М.). Метод вспомогательных уравнений применен к изучению устойчивости по части переменных решений линейных стохастических уравнений (Кадиев Р. И.).
Теоремы типа Фрагмана — Линделефа установлены для уравнений газовой динамики (Кочетов А. В., Миклюков В. М., Полупанов С. С.). Построены квадратурные формулы повышенной точности для сингулярных
интегралов и указаны применения к численному решению сингулярных
интегральных уравнений (Хубежты Ш. С.).
Третья часть посвящена математическому моделированию. Исследованы математические модели эволюции границы жидкостей различных
вязкостей и плотностей в кусочно-неоднородном грунте (Пивень В. Ф.),
процесса взмучивания-оседания ила в прямолинейном подводном судоходном канале (Чикин А. Л., Сидиропуло С. Г.), процесса распространения загрязняющих веществ в южной части Цимлянского водохранилища
(Чикин А. Л., Шабас И. Н., Сидиропуло С. Г.). Рассмотрены математические модели конвективного облака с детальным описанием термодинамических, микрофизических и электрических процессов в нем (Аджиева А. А., Шаповалов А. В.) и рассеяния оптического излучения искусственным облаком, состоящим из обводненных частиц сажи в инфракрасном диапазоне длин волн (Андриевская В. Ю.). Разработан аналитический метод решения начально-краевой задачи вынужденных поперечных
колебаний упругого непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций (Вазиева Л. Т., Музаев И. Д.). Рассмотрены
вопросы численного моделирования обтекания кругового цилиндра потоком идеальной жидкости и влияние эжекции потока на аэродинамические
характеристики цилиндра (Апаринов А. А., Лифанов И. К.). Построена
модель межотраслевого баланса многосекторной экономики, описываемая
системой сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (Баракова Ж. Т., Иманалиев З. К.).
Четвертая часть содержит статьи по информатике, большая часть
из которых посвящена обсуждению задачи объединения цифровых ресурсов Российской академии наук и создания Единого научного информационного пространства (ЕНИП) РАН. Сформулированы цели и задачи, а также концепция формирования ЕНИП РАН (В. А. Серебряков).
Рассмотрены разные аспекты создания ЕНИП: схема метаданных (Бездушный А. А.), интеграция информационных систем научных институтов (Масич Г. Ф., Созыкин Г. Ф., Бобров А. В.), опыт разработки портала Санкт-Петербургского научного центра РАН (Перминов С. В., Воробьев В. И., Марков В. С., Шишкин В. М.), технологии интеграции распределенных систем (Сысоев Т. М.). Рассмотрены также вопросы архитектуры распределенной геоинформационной среды в проекте «Электронная Земля» (Вершинин А. В.), автоматизации процессов интеграции интеграции распределенных информационных ресурсов (Нестеренко А. А.),
очистки интегрируемых данных (Атаева О. М., Шиолашвили Л. Н.). Особняком стоит работа, в которой предложен подход к проблеме представления знаний о сложных моделируемых объектах, основанный на разработке формальных аксиоматических теорий для фрагментов реальности с
последующим их объединением в глобальную теорию (Мишин А. В.).
Ю. Ф. Коробейник, А. Г. Кусраев, В. А. Серебряков
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Часть I
Математический
анализ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.98
СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА
НА МОДУЛЯХ ГИЛЬБЕРТА — КАПЛАНСКОГО НАД L0
И. Г. Ганиев, А. Д. Арзиев
В настоящей статье исследуется спектр самосопряженного оператора на модулях Гильберта — Капланского над L0 .
Введение
Самосопряженные операторы на гильбертовых пространствах играют важную роль в функциональном анализе, математической и
теоретической физике, квантовой механике. Изучению спектра линейных операторов от самых конкретных примеров до самых общих посвящена обширная литература. Отметим, например, книги
Н. Данфорда и Дж. Шварца [1], М. Рида и Б. Саймона [2], Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова [3].
Понятие модулей Гильберта — Капланского восходит к работе
И. Капланского [4]. В настоящее время модули Гильберта — Капланского достаточно хорошо изучены (см. [5, 6]) и имеется подробный
обзор.
В настоящей работе исследуется спектр самосопряженного оператора на H, где H — произвольный модуль Гильберта — Капланского
над L0 . С этой целью дано представление H в виде измеримого расслоения комплексных гильбертовых пространств, а также дано описание C ∗ -алгебры L0 -линейных L0 -ограниченных операторов на H.
1. Предварительные сведения
Пусть (Ω, Σ, µ) — пространство с полной конечной мерой, L0 =
L0 (Ω) — алгебра классов комплексных измеримых функций на
(Ω, Σ, µ). Рассмотрим комплексное векторное пространство H над
полем комплексных чисел C.
Определение 1 ([5, стр. 32]). Отображение ·, · : H × H → L0
называется L0 -значным внутренним произведением, если для любых
x, y, z ∈ H и α ∈ C, выполнены условия:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ганиев И. Г., Арзиев А. Д.
8
1) x, y 0, x, x = 0 ⇔ x = 0;
2) x, y + z = x, y + x, z;
3) αx, y = αx, y;
4) x, y = y, x.
Известно [5], что формула |x| = x, x задает на H L0 -значную
норму. Если (H, | · |) есть пространство Банаха — Канторовича, то
(H, ·, ·) называется модулем Гильберта — Капланского над L0 . Примеры таких пространств можно найти в [5, 6].
Пусть H — отображение, ставящее в соответствие каждой точке
ω ∈ Ω некоторое гильбертово пространство H (ω). Сечением H называется функция u, определенная почти всюду в Ω и принимающая
значение u(ω) ∈ H (ω) для всех ω ∈ dom(u), где dom(u) есть область
определения u.
Пусть L — некоторое множество сечений. Следуя [7], пару (H , L)
назовем измеримым расслоением гильбертовых пространств над Ω,
если
1) λ1 c1 + λ2 c2 ∈ L для всех λ1 , λ2 ∈ C, c1 , c2 ∈ L, где λ1 c1 + λ2 c2 :
ω ∈ dom(c1 ) ∩ dom(c2 ) → λ1 c1 (ω) + λ2 c2 (ω);
2) функция |c| : ω ∈ dom(c) → c(ω)H (ω) измерима при всех
c ∈ L;
3) для каждой точки ω ∈ Ω множество {c(ω) : c ∈ L, ω ∈ dom(c)}
плотно в H (ω).
n
χAi (ω)ci (ω),
Сечение s называется ступенчатым, если s(ω) =
i=1
где ci ∈ L, Ai ∈ Σ, i = 1, . . . , n.
Сечение u называется измеримым, если найдется такая последовательность (sn )n∈N ступенчатых сечений, что для почти всех ω ∈ Ω
sn (ω) − u(ω)H (ω) → 0.
Пусть M (Ω, H ) — множество всех измеримых сечений. Символом L0 (Ω, H ) обозначим результат факторизации M (Ω, H ) по
отношению равенства почти всюду. Через u
обозначим класс из
L0 (Ω, H ), содержащий сечение u. Отметим, что функция ω →
u(ω)H (ω) измерима для любого u ∈ M (Ω, H ), а поэтому, измерима и функция
1
u(ω), v(ω) H (ω) =
u(ω) + v(ω)2H (ω) − u(ω) − v(ω)2H (ω)
4
для всех u, v ∈ M (Ω, H ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектр самосопряженного оператора
9
Обозначим через u, v элемент L0 , содержащий (u(ω), v(ω))H (ω) .
Ясно, что ·, · является L0 -значным внутренним произведением.
Обозначим через |
u| элемент L0 , содержащий функцию u(ω) для
любого u ∈ M (Ω, H ). Тогда
2
|
u|2 = u(ω)
u, u
,
H (ω) = (u(ω), u(ω))H (ω) = u, u
.
т. е. |
u| = По теореме 4.1.14 (см. [6, стр. 113] и [7, стр. 144]) (L0 (Ω, H ), | · |)
является пространством Банаха — Канторовича. Таким образом,
(L0 (Ω, H ), ·, ·) есть модуль Гильберта — Капланского над L0 .
Пусть L ∞ (Ω) — множество всех существенно ограниченных измеримых функций, L∞ (Ω) — алгебра классов эквивалентности существенно ограниченных функций. Положим
L ∞ (Ω, H ) = {u ∈ M (Ω, H ) : u(ω)H (ω) ∈ L ∞ (Ω)}.
Элементы L ∞ (Ω, H ) называются существенно ограниченными измеримыми сечениями. Множество классов эквивалентности существенно ограниченных сечений обозначается символом L∞ (Ω, H ).
Пусть ∇ — булева алгебра всех идемпотентов в L0 . Если {uα } ⊂
πα uα (bo)-схоL0 (Ω, H ) и {πα } разбиение единицы в ∇, то ряд
α
дится в L0 (ω, H ) и сумма этого ряда называется перемешиванием
{uα } относительно {πα }. Это сумма обозначается через mix(πα uα ).
Для k ⊂ L0 (ω, H ) через mix k обозначается множество всех перемешиваний произвольных семейств элементов из k. Множество k называется циклическим, если mix k = k. Для направленного множества
a через ∇(a) обозначается множество всех разбиений единицы в ∇,
заиндексованных элементами a. Пусть {uα : α ∈ a} сеть в L0 (ω, H ).
Для каждого ν ∈ ∇(a) положим uν = mix(ν(α)uα ) и получим новую
сеть {uν : ν ∈ ∇(a)}. Произвольная подсеть сети {uν : ν ∈ ∇(a)}
называется циклической подсетью сети {uα : α ∈ a}.
Подмножество K ⊂ L0 (ω, H ) называется циклически компактным, если оно циклично и всякая сеть в K имеет циклическую подсеть, сходящуюся к некоторой точке из K (см. [5]).
Пусть p : L∞ (Ω) → L ∞ (Ω) лифтинг (см. [8]).
Определение 2 [7]. Отображение ρ : L∞ (Ω, H ) → L ∞ (Ω, H )
называется векторнозначным лифтингом, ассоциированным с числовым лифтигом p, если:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ганиев И. Г., Арзиев А. Д.
10
а) для всех u
∈ L∞ (Ω, H ) выполнено ρ(
u) ∈ u
, dom ρ(
u) = Ω;
б) ρ(
uH (ω) = p(|
u|)(ω) для всех u
∈ L∞ (Ω, H );
в) если u
, v ∈ L∞ (Ω, H ), то ρ(
u + v) = ρ(
u) + ρ(
v );
г) если u
∈ L∞ (Ω, H ) и e ∈ L∞ (Ω), то ρ(e
u) = p(e)ρ(
u);
∞
д) множество {ρ(
u)(ω) : u
∈ L (Ω, H )} плотно в H (ω) для всех
ω ∈ Ω.
Пусть U — произвольная ∗-алгебра над полем комплексных чисел
и U есть модуль над L0 , причем (f u)∗ = f u∗ , (f u)v = f (uv) = u(f v)
для всех f ∈ L0 и u, v ∈ U . Рассмотрим на U L0 -значную норму · ,
наделяющую U структурой пространства Банаха — Канторовича, в
частности, f u = |f | u для всех f ∈ L0 , u ∈ U .
Будем говорить, что (U, · ) является C ∗ -алгеброй над L0 , если
для любых u, v ∈ U имеют место соотношения:
1) u · v u v;
2) u∗ u = u2 .
Оператор T : H → H называется L0 -линейным, если T (αx +
βy) = αT (x) + βT (y) для всех α, β ∈ L0 , x, y ∈ H. Оператор T :
H → H называется L0 -ограниченным, если существует такой k ∈ L0 ,
что |T x| k|x| при всех x ∈ H. В этом случае L0 -значная норма
определяется по правилу (см. [5, 6])
|T | = sup{|T x| : |x| 1}.
Относительно такой нормы пространство всех L0 -линейных и L0 ограниченных операторов B(H) является пространством Банаха —
Канторовича. Более того, относительно этой нормы B(H) является
C ∗ -алгеброй над L0 , где операция «инволюция», т. е. сопряженный
оператор определяется равенством
T x, y = x, T ∗ y,
x, y ∈ H.
L0 -линейный L0 -ограниченный оператор T : H → H называется самосопряженным, если T ∗ = T . Если π ∈ ∇, π = 0, то подалгебру
πB(H) = {πT : T ∈ B(H)} будем рассматривать как алгебру с единицей πI, где I — единичный оператор на H.
Пусть T : H → H — L0 -линейный L0 -ограниченный оператор
такой, что
ker(T ) = {x : T x = 0} = {0},
R(T ) = {T x : x ∈ H} = H.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектр самосопряженного оператора
11
Тогда в силу теоремы 2 из [9] оператор T −1 является L0 -ограниченным. В этом случае скажем, что T обратим в B(H).
Пусть X — отображение, ставящее в соответствие каждой точке
ω ∈ Ω некоторую C ∗ -алгебру X(ω), где X(ω) = ∅ для всех ω ∈ Ω.
Сечением X называется функция u, определенная почти всюду в Ω
и принимающая значения u(ω) ∈ X(ω) для всех ω ∈ dom(u). Пусть
L — некоторое множество сечений.
Определение 3. Пару (X, L) назовем измеримым расслоением
C ∗ -алгебр, если:
1) пара (X, L) — измеримое расслоение банаховых пространств;
2) u ∈ L влечет u∗ ∈ L, где u∗ : dom(u) → u(ω)∗ ;
3) если u, v ∈ L, то u · v ∈ L, где
u · v : ω ∈ dom(u) ∩ dom(v) → u(ω) · v(ω).
Пусть M (Ω, X) — множество всех измеримых сечений, L0 (Ω, X) —
факторизация M (Ω, X) по отношению равенства почти всюду. Через
û обозначим класс, содержащий сечение u ∈ M (Ω, X) и û — класс
из L0 , содержащий функцию ω → u(ω).
∗ . Известно [10], что
Положим û · v̂ = u(ω)
· v(ω) и û∗ = u(ω)
∗
L0 (Ω, X) является C -алгеброй над L0 .
Определение 4 [10]. Отображение l : L∞ (Ω, X) → L ∞ (Ω, X)
называется векторнозначным лифтингом, ассоциированным с числовым лифтингом p, если для любых û, v̂ ∈ L∞ (Ω, X) и e ∈ L∞ (Ω)
имеют место соотношения:
1) l(û) ∈ û и dom(l(û)) = Ω;
2) l(û)X(ω) = p(û)(ω);
3) l(û + v̂) = l(û) + l(v̂);
4) l(û · v̂) = l(û) · l(v̂);
5) l(û∗ ) = l(û)∗ ;
6) l(eû) = p(e)l(û);
7) множество {l(û)(ω) : û ∈ L∞ (Ω, X)} плотно в X(ω) (∀ ω ∈ Ω).
Для любой C ∗ -алгебры U над L0 (Ω) существует единственное
с точностью до изометрии измеримое расслоение C ∗ -алгебр с векторнозначным лифтингом такое, что U ∗-изометрически изоморфно
L0 (Ω, X).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ганиев И. Г., Арзиев А. Д.
12
2. Измеримые расслоения гильбертовых пространств
и C ∗ -алгебры ограниченных операторов
Теорема 1. Для любого модуля Гильберта — Капланского H
над L0 существует измеримое расслоение гильбертовых пространств
(H , L) с векторнозначным лифтингом такое, что H изометрически
изоморфно L0 (Ω, H ).
Положим Γ = {x ∈ H : |x| = x, x ∈ L∞ (Ω)}. Ясно, что Γ
L∞ (Ω)-подмодуль H и (bo)-плотно в H.
Пусть p — лифтинг на L∞ (Ω). Определим на Γ полунорму αω
равенством αω (x) = p(|x|)(ω) для всех ω ∈ Ω. Для
x, y ∈ Γ по(x, x)0ω . Пусть
ложим (x, y)0ω = p(x, y)(ω). Ясно, что αω (x) =
Iω = {x ∈ Γ : αω (x) = 0}, Γω = Γ/Iω и · ω норма на Γω , порожденная полунормой αω .
Предположим, что πω : Γ → Γω — проекция. Ясно, что тогда
πω (x)ω = αω (x) для всех x ∈ Γ. Положим (πω (x), πω (y))ω = (x, y)0ω .
Тогда (πω (x), πω (y))ω = p(x, y)(ω) для любых x, y ∈ Γ и (·, ·)ω порождает норму · ω . Таким образом, (Γω , (·, ·)ω ) — предгильбертово
пространство. Пусть H (ω) — пополнение Γω , iω : Γω → H (ω) —
каноническое вложение. Пусть H — отображение, ставящее в соответствие каждой точке ω ∈ Ω гильбертово пространство H (ω).
Положим L = {
x: x
(ω) = γω (x), x ∈ Γ}, где γω = iω ◦ πω . Ясно, что
(H , L) — измеримое расслоение гильбертовых пространств.
Через U0 обозначим отображение из Γ в L0 (Ω, H ), полагая
U0 (x) = γ
ω (x). Ясно, что U0 — линейное отображение. Поскольку
|U0 (x)| = γ
ω (x)H (ω) = (πω (x)H (ω) = p(|x|)(ω) = |x|, то U0 — изоn
метрия. Очевидно, что элементы вида
ei xi где xi ∈ Γ, ei — идемi=1
потенты из L∞ (Ω), также лежат в Γ. Покажем, что U0 (λx) = λU0 (x)
для любого λ ∈ L∞ (Ω) и x ∈ Γ. Так как U0 (x) = γ
ω (x) = iω (πω (x)),
предварительно покажем, что πω (λx) = p(λ)(ω)πω (x) для всех ω ∈ Ω.
Пусть χA ∈ L∞ (Ω) и x ∈ Γ, тогда χA · x ∈ Γ. Лифтинг p :
∞
L (Ω) → L ∞ (Ω) индуцирует p̃ : Σ̃ → Σ, где Σ̃ — полная булева
алгебра классов равных п. в. множеств из Σ, причем p(χA ) = χp̃(A)
(см. [8, стр. 128, теорема 3.1]). Так как
πω (χA x)ω = αω (χA · x) = p(|χA · x|)(ω) = p(χA )(ω) · p(|x|)(ω) =
πω (x)ω , ω ∈ p̃(A),
= p(χA )(ω) · πω (x)ω = χp̃(A) (ω)πω (x)ω =
0,
ω ∈ p̃(A),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектр самосопряженного оператора
13
получим, что πω (χA · x) = 0, если ω ∈
/ p̃(A). Если ω ∈ p̃(A), то
πω (χA · x) − πω (u)ω = πω (χΩ\A · x)ω = p(|χΩ\A · x|)(ω) =
= p(χΩ\A )(ω) · p(|x|)(ω) = χp̃(Ω\A) (ω) · πω (x)ω = 0.
Таким образом,
πω (χA · x) =
πω (x),
0,
ω ∈ p̃(A),
=
ω ∈ p̃(A),
= χp̃(A) (ω) · πω (x) = p(χA )(ω) · πω (x)
для всех ω ∈ Ω.
n
Пусть λ =
ri χAi ∈ L∞ (Ω) — простая функция. Тогда
i=1
πω (λx) = πω
n
ri χAi x =
i=1
=
n
πω (ri χAi x) =
i=1
n
ri p(χAi )(ω)πω (x) = p(λ)(ω)πω (x).
i=1
Поскольку множество простых функций плотно в L∞ (Ω), то для
любого λ ∈ L∞ (Ω) существует последовательность {λn } простых
функций, для которых λn − λL∞ (Ω) → 0 при n → ∞. Из соотношений
πω (λn x) − πω (λx)ω = πω ((λn − λ)x)ω = p(|(λn − λ)x|)(ω) =
= p(|λn − λ|)(ω) · p(|x|)(ω) p(λn − λ)L ∞ (Ω) · p(|x|)L ∞ (Ω) =
= λn − λL∞ (Ω) · |x| L∞ (Ω)
имеем πω (λx) = lim πω (λn x) для всех ω ∈ Ω. Поэтому
n→∞
πω (λx) = lim πω (λn x) = lim p(λn )(ω)πω (x) = p(λ)(ω)πω (x)
n→∞
n→∞
для всех ω ∈ Ω.
Таким образом,
γω (λx) = iω (πω (λx)) = iω (p(λ)(ω)πω (x)) =
= p(λ)(ω)iω (πω (x)) = p(λ)(ω)γω (x).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ганиев И. Г., Арзиев А. Д.
14
Поэтому для любых λ ∈ L∞ (Ω) и x ∈ Γ имеем
U0 (λx) = γ
ω (λx) = p(λ)(ω)γω (x) = λγω (x) = λU0 (x).
Покажем теперь, что U0 (Γ) (bo)-плотно L0 (Ω, H ). Так как элеn
ei xi , где xi ∈ Γ, ei — идемпотенты из L0 , лежат
менты вида
i=1
n
n
ei xi =
ei U0 (xi ) для любых xi ∈ Γ, ei =
в Γ, имеем, что U0
i=1
i=1
e2i ∈ L0 . Поскольку любое ступенчатое сечение из (H , L) имеет вид
n
ei x̃i , где x̃i ∈ L, i = 1, . . . , n, то это означает, что U0 (Γ) содержит
i=1
все ступенчатые сечения из M (Ω, H ).
Пусть x̂ ∈ L0 (Ω, H ), тогда x ∈ M (Ω, H ) и, следовательно, существует такая последовательность {x̃n } ступенчатых сечений, что
(o)
ˆn − x̂|L (Ω,H ) −→
0. Это означает, что
x̃n (ω) → x(ω). Отсюда |x̃
(bo)
0
U0 (xn ) −→ x̂, т. е. U0 (Γ) (bo)-плотно L0 (Ω, H ). Поэтому U0 однозначно продолжается до изометрического изоморфизма U из H в
L0 (Ω, H ).
Теперь покажем, что (H , L) — измеримое расслоение с векторнозначным лифтингом. Сначала покажем, что U (Γ) = L∞ (Ω, H ).
Ясно, что U (Γ) ⊂ L∞ (Ω, H ).
Пусть x̂ ∈ L∞ (Ω, H ), тогда |x̂| ∈ L∞ (Ω) и существует x ∈ H
такое, что U (x) = x̂. Из |x̂|L0 (Ω,H ) = |U (x)|L0 (Ω,H ) = |x| получим,
что |x| ∈ L∞ (Ω), т. е. x ∈ Γ. Таким образом, U (Γ) = L∞ (Ω, H ).
Следовательно, Γ = L∞ (Ω, H ) (более точно, Γ отождествляется с
L∞ (Ω, H ) с помощью построенной выше изометрии U ). Так как
γω (x̂)H (ω) = πω (x̂)H (ω) = p(|x̂|)(ω) p(|x̂|)L ∞ (Ω) = |x̂| L∞ (Ω)
для всех x̂ ∈ Γ, ω ∈ Ω, то γω (x̂) ∈ L ∞ (Ω, H ).
Определим отображение ρ : L∞ (Ω, H ) → L ∞ (Ω, H ) по правилу
ρ(x̂)(ω) = γω (x̂). Поскольку Γ отождествляется с L∞ (Ω, H ) с помощью изометрии U , то элемент x̂ ∈ Γ отождествляется с элементом
U (x̂) = γ
ω (x̂). Это означает, что ρ(x̂) ∈ x̂. Точно так же из определения ρ следует, что ρ(x̂)(ω)H (ω) = p(|x̂|). Линейность ρ очевидна.
Так как {γω (x̂) : x̂ ∈ Γ} плотно в H (ω) для всех ω ∈ Ω, то
{ρ(x̂)(ω) : x̂ ∈ Γ} плотно в H (ω). Справедливость аксиомы г) установлена выше. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектр самосопряженного оператора
15
Предложение 1. Если x̂, ŷ ∈ L∞ (Ω, H ), то
(ρ(x̂)(ω), ρ(ŷ))H (ω) = p(x, y)(ω)
для всех ω ∈ Ω.
В дальнейшем H и L0 (Ω, H ) будем отождествлять.
Пусть оператор T : H → H является L0 -линейным L0 -ограниченным. Известно (см. [11]), что
|T | = sup{|T x| : |x| = 1}.
Теорема 2. Для C ∗ -алгебр (B(H ), L ) существует измеримое
расслоение c векторозначным лифтингом такое, что B(H) изометрически ∗-изоморфна L0 (Ω, B(H )).
Положим Γ̃ = {T ∈ B(H) : |T | ∈ L∞ (Ω)}. Как и в случае теоремы 1 имеем, что Γ̃ (bo)-плотно в B(H). Если T ∈ Γ̃ и x̂ ∈ L∞ (Ω, H ),
то из неравенств |T x̂| |T ||x̂| следует, что T x̂ ∈ L∞ (Ω, H ).
Пусть ω ∈ Ω. Для любого T ∈ Γ̃ определим линейный оператор
T (ω) из {ρ(x̂)(ω) : x̂ ∈ L∞ (Ω, H )} в H (ω) следующим образом:
T (ω)(ρ(x̂)(ω)) = ρ(T x̂)(ω).
Имеем
T (ω)(ρ(x̂)(ω))H (ω) = ρ(T x̂)(ω)H (ω) = p(|T x̂|)(ω) p(|T ||x̂|)(ω) = p(|T |)(ω)p(|x̂|)(ω) = p(|T |)(ω)(ρ(x̂)(ω))H (ω) .
Это означает, что оператор T (ω) определен корректно и является
ограниченным. Поскольку множество {ρ(x̂)(ω) : x̂ ∈ L∞ (Ω, H )}
плотно в H (ω), то T (ω) продолжается до ограниченного линейного оператора на H (ω). Продолжение обозначим также через T (ω).
Ясно, что T (ω)(x(ω)) = (T x̂)(ω) для любого x̂ ∈ L∞ (Ω, H ). Из (bo)плотности L∞ (Ω, H ) в L0 (Ω, H ) и (bo)-плотности Γ̃ в B(H) следует,
что (T x̂)(ω) = T (ω)(x(ω)) п. в. для любых x̂ ∈ L0 (Ω, H ) и T ∈ B(H).
Пусть B(H )(ω) замыкание множества {T (ω) : T ∈ Γ̃} в
B(H (ω)) и T (ω) из B(H )(ω). Покажем, что T (ω)∗ ∈ B(H )(ω).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ганиев И. Г., Арзиев А. Д.
16
Пусть
x(ω) = lim ρ(x̂n )(ω),
n
y(ω) = lim ρ(ŷn )(ω),
n
и
T (ω)(x(ω)) = lim T (ω)(ρ(x̂n )(ω)).
n
Поскольку T ∈ Γ̃, то верно также T ∗ ∈ Γ̃. Поэтому
(T (ω)x(ω), y(ω))H (ω) = lim(T (ω)(ρ(x̂n )(ω), ρ(ŷn )(ω))H (ω) =
n
= lim(ρ(T x̂n )(ω), ρ(ŷn )(ω))H (ω) = lim pT x̂n , ŷn (ω) =
n
n
∗
= lim px̂n , T ŷn (ω) = lim(ρ(x̂n )(ω)), ρ(T ∗ ŷn )(ω))H (ω) =
n
n
∗
= lim(ρ(x̂n )(ω), T (ω)(ρ(ŷn )(ω))H (ω) = (x(ω), T ∗ (ω)y(ω))H (ω) =
n
= (x(ω), T (ω)∗ (y(ω)))H (ω) .
Отсюда T (ω)∗ ∈ B(H )(ω), T (ω)∗ = T ∗ (ω) п. в. и B(H )(ω) замкнутая ∗-подалгебра B(H (ω)). В частности, T (ω)∗ = T ∗ (ω) для любого
T ∈ Γ̃. Поэтому B(H )(ω) является C ∗ -алгеброй для любого ω ∈ Ω.
Рассмотрим отображение B(H ), ставящее в соответствие каждой точке ω ∈ Ω C ∗ -алгебру B(H )(ω) и множество сечений B(H )
L = {T (ω) : T ∈ Γ̃}. Легко показать, что пара (B(H ), L ) является
измеримым расслоением C ∗ -алгебр.
Пусть L0 (Ω, B(H )) — C ∗ -алгебра над L0 , построенная по
(B(H ), L ). Покажем, что B(H) изометрически ∗-изоморфна
(ω). Поскольку
L0 (Ω, B(H )). Для T ∈ Γ̃ положим Φ0 (T ) = T
T (ω)(ρ(x̂)(ω))H (ω) p(|T |)(ω)ρ(x̂)(ω)H (ω) , то T (ω)B(H )(ω) p(|T |)(ω). В силу предложения 2 из [11] для любого ε > 0 существует
x = 1, такое, что T x̂ T − ε1. Отсюда
x̂ ∈ L0 (Ω, H), T (ω)(ρ(x̂)(ω))H(ω) ρ(T x̂)(ω)H(ω) = p(T x̂)(ω) p(|T |)(ω) − ε
для всех ω ∈ Ω. В силу произвольности ε > 0 получим, что
p (|T |)(ω) T (ω)B(H )(ω) .
Тем самым T (ω)B(H )(ω) = p(|T |)(ω) и, значит, класс |T | ∈ L∞ (Ω)
содержит T (ω)B(H )(ω) . С другой стороны, класс |Φ0 (T )|L0 (Ω,B(H ))
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектр самосопряженного оператора
17
также содержит функцию T (ω)B(H ) . Это означает, что Φ0 : Γ̃ →
∗ (ω) = T
(ω)∗ =(T
(ω))∗ =
L0 (Ω, B(H )) — изометрия. Из Φ0 (T ∗ ) = T
∗
Φ0 (T ) следует, что Φ0 сохраняет инволюцию.
Для λ ∈ L∞ (Ω) имеем
(λT )(ω)(ρ(x̂)(ω)) = ρ(λT x̂)(ω) =
= p(λ)(ω)ρ(T x̂)(ω) = p(λ)(ω)T (ω)(ρ(x̂)(ω)).
Отсюда (λT )(ω) = p(λ)(ω)T (ω), т. е. Φ0 (λT ) = λΦ0 (T ) для всех λ ∈
L∞ (Ω), T ∈ Γ̃.
Ясно, что Φ0 (Γ̃) содержит все ступенчатые сечения из
M (Ω, B(H )). Если Ã ∈ L0 (Ω, B(H )), то A ∈ M (Ω, B(H )). Поэтому существует последовательность {An } ступенчатых сечений такая,
(o)
что An (ω) → A(ω) п. в. Отсюда |Ân − Â|L0 (Ω,B(H )) −→ 0. Это означает, что Φ0 (Γ̃) (bo)-плотно в L0 (Ω, B(H )). Поэтому Φ0 однозначно продолжается до L0 -модульного изометрического ∗-изоморфизма
из B(H) на L0 (Ω, B(H )). Также как и в теореме 1 имеем, что
Φ(Γ̃) = L∞ (Ω, B(H )).
Отождествим Γ̃ с L∞ (Ω, B(H )) с помощью изометрии Φ, и определим отображение l : L∞ (Ω, B(H )) → L ∞ (Ω, B(H )) равенством
l(T̂ )(ω) = T (ω), т. е. l(T̂ )(ω)(ρ(x̂(ω)) = ρ(T̂ x̂)(ω) для любых T̂ ∈
L∞ (Ω, B(H )) и x̂ ∈ L∞ (Ω, H ).
Покажем, что l векторозначный лифтинг на L∞ (Ω, B(H )).
1) Поскольку dom(ρ(T̂ x̂)) = Ω, то dom(l(T̂ )) = Ω. Так как T̂ ∈
L (Ω, B(H )) отождествляется с элементом T̂
(ω), то l(T̂ ) ∈ T̂ .
2) Имеем
∞
l(αTˆ1 + β Tˆ2 )(ω)(ρ(x̂)(ω)) = l(αTˆ1 x̂ + β Tˆ2 x̂)(ω) =
= αl(Tˆ1 x̂)(ω) + βl(Tˆ2 x̂)(ω) = (αl(Tˆ1 ) + βl(Tˆ2 ))(ω)(ρ(x̂)(ω)),
т. е. l(αTˆ1 + β Tˆ2 ) = αl(Tˆ1 ) + βl(Tˆ2 ).
Свойства 3), 4) доказаны выше.
Из построения B(H )(ω) следует, что {l(T̂ )(ω)
L∞ (Ω, B(H ))} плотно в B(H )(ω) для всех ω ∈ Ω.
:
T̂
∈
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ганиев И. Г., Арзиев А. Д.
18
Из равенств
l(T̂ Ŝ)(ω)(ρ(x̂)(ω)) = ρ((T̂ Ŝ)x̂)(ω) = l(T̂ )(ω)(ρ(Ŝ x̂)(ω)) =
= l(T̂ )(ω)(l(Ŝ)(ω)(ρ(x̂)(ω))) = (l(T̂ )(ω)(l(Ŝ)(ω))(ρ(x̂)(ω))
следует, что l(T̂ Ŝ) = l(T̂ )l(Ŝ).
Для всех ω ∈ Ω из соотношений
(l(T ∗ )(ω)(ρ(
x)(ω), ρ(
y )(ω))H (ω) = (ρ(T ∗ x
)(ω), ρ(
y )(ω))H (ω) =
= pT ∗ x
, y(ω) = p
x, T y(ω) = (ρ(
x)(ω), ρ(T y)(ω))H (ω) =
= (ρ(
x)(ω), l(T )(ω)(ρ(
y )(ω))H (ω) = (l(T )(ω)∗ (ρ(
x)(ω), ρ(
y )(ω))H (ω)
имеем, что l(T ∗ ) = l(T )∗ .
самосопряженный оператор, то l(T )∗ =
В частности, если T ∈ Γ
l(T ). Аналогично, если T обратим, то l(T −1 ) = l(T )−1 . 3. Спектр самосопряженного оператора
на модулях Гильберта — Капланского над L0
В дальнейшем T — самосопряженный оператор на модуле Гильберта — Капланского H над L0 . Пусть T : H → H L0 -линейный
L0 -ограниченный оператор,
m = inf T x, x,
|x|=1
M = sup T x, x
|x|=1
нижние и верхние границы оператора T .
Предложение 2. Имеет место равенство
|T | = sup |T x, x|.
|x|=1
Без ограничения общности будем считать, что |T | = 1. Пусть
CT = sup |T x, x|. Очевидно, что CT |T |. Поскольку |T x, x| |x|=1
CT для любого |x| = 1, то
p(CT )(ω) p(|T x, x|)(ω) = |p(T x, x)|(ω) =
= |(ρ(T x)(ω), ρ(x)(ω))H (ω) | = |l(T )(ω)(ρ(x)(ω), ρ(x)(ω))H (ω) |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектр самосопряженного оператора
19
и Cl(T )(ω) p(CT )(ω), где
Cl(T )(ω) =
sup
x(ω)H (ω) =1
|l(T )(ω)(x(ω), x(ω))H (ω) |.
Тогда из соотношений
p(|T x|)(ω) = ρ(T x)(ω)H (ω) = l(T )(ω)ρ(x)(ω)H (ω) Cl(T )(ω) ρ(x)(ω)H (ω) p(CT )(ω)p(|x|)(ω)
имеем, что |T x| CT |x| или |T | CT . Таким образом, |T | =
sup |T x, x|. |x|=1
Определение 5. Резольвентное множество R(T ) оператора T
состоит из таких элементов λ ∈ L0 , что существует L0 -линейный
L0 -ограниченный обратный оператор (T − λI)−1 .
Определение 6. Спектром оператора T называется множество
σ(T ) элементов λ ∈ L0 , для которых необратим оператор π(T − λI)
для любого 0 = π ∈ ∇ в πB(H).
Вообще говоря, R(T ) ∪ σ(T ) = L0 .
Элемент C ∈ L0 называется строго положительным, если
C(ω) > 0 для п. в. ω ∈ Ω и обозначается C 0.
Теорема 3. λ ∈ R(T ) тогда и только тогда, когда существует
C ∈ L0 , C 0, такое, что |(T − λI)x| C|x|.
Необходимость. Пусть λ ∈ R(T ). Тогда (T − λI) обратим и b =
|(T −λI)−1 | 0. Отсюда |(T −λI)| 1/b. Поэтому |(T −λI)x| 1b |x|.
Достаточность. Пусть существует C ∈ L0 , C 0, такое, что
|(T − λI)x| C|x|. Тогда ker(T − λI) = {0}. Из самосопряженности T
легко установить (стандартными в теории самосопряженных операторов рассуждениями), что R(T −λI) = H. Следовательно, из [9, теорема 2] следует, что оператор (T − λI)−1 является L0 -ограниченным.
Это означает, что λ ∈ R(T ). Следующее следствие является аналогом критерия Вейля для самосопряженного оператора на модулях Гильберта — Капланского.
Следствие 1. λ ∈ σ(T ) тогда и только тогда, когда
inf |(T − λI)x| = 0.
|x|=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ганиев И. Г., Арзиев А. Д.
20
Необходимость. Пусть λ ∈ σ(T ). Положим
C = inf |(T − λI)x|.
|x|=1
Пусть Ω0 = {ω ∈ Ω : C(ω) = 0}, π = χΩ0 . Предположим, что π = 0.
По определению π|(T − λI)x| πC для любого x ∈ H. Используя
теорему 3 в случае πB(H), получим, что πλ ∈ R(πT ). Это противоречит включению λ ∈ σ(T ). Тем самым получили, что π = 0, т. е.
C = 0.
Достаточность. Пусть inf |(T − λI)x| = 0. Предположим, что
|x|=1
λ∈
/ σ(T ). Тогда существует идемпотент π = 0 такой, что π(T − λI)
1
.
обратим в πB(H). Пусть |π(T −λI)−1 | = K. Тогда |π(T −λI)| 1+K
1
Поэтому π|(T − λI)x| 1+K для любого |x| = 1. Это противоречит
тому, что inf |(T − λI)x| = 0. Поэтому λ ∈ σ(T ). |x|=1
Пусть λ ∈ σ(T ). Из цикличности единичной сферы в H (см. [6])
следует существование последовательности {xn } ⊂ H, |xn | = 1, та(o)
кой, что |T xn − λxn | → 0 при n −→ ∞, т. е.
λ = o-limT xn , xn .
n→∞
Теорема 4. Если T — L0 -линейный L0 -ограниченный самосопряженный оператор на модуле Гильберта — Капланского H над L0 .
Тогда λ ∈ σ(T ) в том и только в том случае, когда λ(ω) ∈ σ(T (ω))
для п. в. ω ∈ Ω.
Необходимость. Пусть λ ∈ σ(T ). Ввиду следствия 1 существует
(o)
такая последовательность xn ∈ H, |xn | = 1, что |T xn − λxn | −→ 0
при n → ∞. Поэтому T (ω)xn (ω) − λ(ω)xn (ω)H (ω) → 0 для почти
всех ω ∈ Ω. Это означает, что λ(ω) ∈ σ(T (ω)) для почти всех ω ∈ Ω.
Достаточность. Пусть λ ∈ L0 такой, что λ(ω) ∈ σ(T (ω)) для
почти всех ω ∈ Ω. Положим C = inf |(T − λI)x|. Без ограни|x|=1
чения общности можно считать, что |(T − λI)| ∈ L∞ (Ω). Пусть
Ω0 = {ω ∈ Ω : p(C)(ω) = 0}. Фиксируем ω ∈ Ω0 . Пусть x(ω) ∈
H (ω), x(ω)H (ω) = 1. В силу [12, лемма 2] существует такой x ∈ H,
|x| = 1, что ρ(x)(ω) = x(ω). Имеем
(T (ω) − p(λ)(ω)I(ω))x(ω)H (ω) =
= (l(T )(ω) − p(λ)(ω)l(I)(ω)))ρ(x)(ω)H (ω) =
= p(|(T − λI)x|)(ω) p(C)(ω) > 0,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектр самосопряженного оператора
21
т. е.
(T (ω) − p(λ)(ω)I(ω))x(ω)H (ω) p(C)(ω) > 0.
Отсюда
inf
(x)(ω)H (ω) =1
(T (ω) − p(λ)(ω)I(ω))x(ω)H (ω) p(C)(ω) > 0.
Это показывает, что p(λ)(ω) ∈
/ σ(T (ω)). Поскольку λ(ω) ∈ σ(T (ω))
для почти всех ω ∈ Ω, то µ(Ω0 ) = 0. Следовательно, C = 0. В силу
следствия 1 имеем, что λ ∈ σ(T ). Из следствия 1 вытекают вложения σ(T ) ⊆ [m, M ] и следующая
теорема, обеспечивающая непустоту спектра.
Теорема 5. Границы оператора T являются точками спектра.
Применяя послойные свойства операторов получим следующую
теорему.
Теорема 6. Если λ ∈ σ(T ), то λ = λ.
В силу теоремы 4 множество σ(T ) представляется как измеримое
расслоение компактных множеств. Из [13, теорема 2] вытекает
Следствие 2. Спектр σ(T ) является циклически компактным
подмножеством L0 .
Литература
1. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория.—М.:
Мир. 1966.—1063 с.
2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1977.—357 с.
3. Kaplansky I. Modules over operator algebras // Amer. J. Math.—1953.—V. 75,
№ 4.—P. 839–859.
4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный аналилиз.—М.: Наука,
1984.—750 с.
5. Кусраев А. Г. Векторная двойственность.—Новосибирск: Наука, 1985.—256 с.
6. Кусраев А. Г. Мажорирумые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
7. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск:
Изд-во Ин-та матем. СО РАН.—1995.—Т. 29.—C. 63–211.
8. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространстве измеримых функций и его
применение в математике и экономике.—М.: Наука, 1985.—352 с.
9. Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К. Теорема Банаха об обратном операторе в
пространствах Банаха — Канторовича // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6,
вып. 3.—С. 21–25.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22
Ганиев И. Г., Арзиев А. Д.
10. Ганиев И. Г., Чилин В. И. Измеримые расслоения C ∗ -алгебр // Владикавк.
мат. журн.—2003.—Т. 5, вып. 1.—С. 35–38.
11. Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К. Принцип равномерной ограниченности Банаха — Штейнгауза для операторов в расширенных пространствах Банаха —
Канторовича над L0 // Матем. труды.—2006.—Т. 9, № 1.—С. 21–33.
12. Ganiev I. G., Kudaybergenov K. K. Measurable bundles of compact operators
// Methods of Func. An. And Top.—2001.—V. 7, № 4.—P. 1–6.
13. Кудайбергенов К. К., Ганиев И. Г. Измеримые расслоения компактных множеств // Узб. мат. журн.—1999.—№ 5.—C. 37–44.
Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта;
Институт математики и информационных технологий АН РУз
(Ташкент, Узбекистан);
E-mail: [email protected], [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.213(214.1)
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ КОСИНУСНОЙ ФУНКЦИИ
ВЕЙЕРШТРАССА — МАНДЕЛЬБРОТА
К. К. Казбеков
В работе рассматривается множество MC -точек расходимости формального тригонометрического ряда Фурье косинусной функции Вейерштрасса —
Мандельброта C(t), заданной на сегменте [−1, 1]. В частности, показано, что
на сегменте [0, 1] ряд Фурье функции C(t) расходится во всех точках подмножества MC (1/2) ⊆ MC , имеющего меру нуль и мощность континуума,
при параметрах функции b = 3 и D = 1,5.
1. Введение
Как известно [1], одна непрерывность 2π-периодической функции
f (x) на сегменте [−π, π] без дополнительных условий не обеспечивает не только равномерной сходимости тригонометрического ряда
Фурье, но даже сходимости этого ряда в наперед заданной точке указанного сегмента. Например (Дю Буа Раймон, Фейер), существуют
непрерывные на сегменте [−π, π] функции, удовлетворяющие условию f (−π) = f (π), тригонометрические ряды Фурье которых расходятся на бесконечном множестве точек сегмента [−π, π], всюду плотном на этом сегменте.
Наиболее сильный результат по расходимости тригонометрических рядов Фурье получил в 1923 г. А. Н. Колмогоров [2], который
построил пример функции, принадлежащей лебегову классу L, ряд
Фурье которой расходится всюду на действительной оси R. Позже
стало известно, что пример Колмогорова нельзя усилить. Согласно
фундаментальной теореме Л. Карлесона [3], доказанной в 1966 г.,
тригонометрический ряд Фурье любой функции f (x) из пространства L2 [−π, π], т. е. функции,
π для которой существует понимаемый в
смысле Лебега интеграл −π f 2 (x)dx, сходится к этой функции почти
всюду на сегменте [−π, π]. Так как класс C[−π, π] непрерывных на
сегменте [−π, π] функций содержится в пространстве L2 [−π, π], т. е.
C[−π, π] ⊂ L2 [−π, π], то это утверждение Карлесона имеет место и
для всякой непрерывной на действительной оси функции периода 2π.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Казбеков К. К.
24
Несмотря на достигнутые результаты, вопрос о сходимости ряда Фурье произвольной непрерывной на некотором сегменте [−l, l]
2l-периодической функции f (x), далек от полного завершения. В
частности, отметим следующую проблему.
Из теоремы Л. Карлесона следует, что для всякой непрерывной
функции f (x) класса C[−l, l], вообще говоря, существует множество
Mf меры нуль, в каждой точке которого ряд Фурье функции f (x)
расходится. Однако помимо меры нуль, множество Mf , очевидно,
имеет и другие характеристики: кардинальное и ординальное числа,
размерность и пр.
Неясно по каким признакам и как непрерывная функция f (x) ∈
C[−l, l] связана с этими характеристиками множества Mf . Отсюда
также следует вопрос о существовании (или выборе) такой характеристики множества Mf , по которой возможна однозначная классификация на некотором сегменте [−l, l] множества непрерывных
функций f (x).
В связи с указанной проблемой для начала интересно найти
функцию f (x) класса C[−l, l], ряд Фурье которой расходится на множестве Mf с нетривиальной характеристикой. Например, непрерывную на некотором сегменте [−l, l] функцию f (x) с рядом Фурье, расходящимся на множестве Mf меры нуль и мощности континуума.
Ниже показано, что частный вид косинусной функции Вейерштрасса — Мандельброта доставляет пример такой функции на сегменте [−1, 1].
2. Ряд Фурье функции C(t)
Отметим сразу и без доказательства определение и некоторые
основные свойства рассматриваемой нами косинусной функции Вейерштрасса — Мандельброта C(t) [4, 5]:
1◦ . функция C(t) на произвольном интервале [a, b] ⊂ R задается
в виде бесконечного ряда
C(t) = C(t; b, D) =
∞
1 − cos bq t
,
b(2−D)q
q=−∞
где параметры функции b и D принимают значения в диапазонах:
1 < D < 2, 1 < b < ∞;
2◦ . C(t) — четная функция, т. е. C(−t) = C(t) для любого t ∈ R;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сходимость ряда Фурье косинусной функции
25
3◦ . C(t) — непрерывная и нигде недифференцируемая функция
всюду на R;
4◦ . C(t) — однородная (самоподобная) функция, удовлетворяющая соотношению однородности: C(bt) = b2−D C(t), и, следовательно, заданная на некотором интервале t ∈ [a, b], функция C(t) будет
известна при любых значениях t ∈ R.
Построим формальный ряд Фурье для функции C(t), определенной на сегменте [−1, 1], т. е. с полупериодом l = 1 и 2l = 2-периодическим образом продолженную на всю действительную ось R.
Лемма 2.1. Функция C(t) на сегменте [−1, 1] разлагается в сле :
дующий формальный тригонометрический ряд Фурье C(t)
∞
bq − sin bq
−
b(3−D)q
q=−∞
∞ ∞
sin(bq + kπ) sin(bq − kπ)
1
−
+
cos kπt. (2.1)
bq + kπ
bq − kπ
b(2−D)q
q=−∞
C(t) ∼
k=1
Будучи четной функцией, C(t) раскладывается в тригонометрический ряд Фурье только по косинусам:
∞
a0 +
ak cos kπt,
2
(∗.1)
k=1
где коэффициенты Фурье равны
1
ak =
C(t) cos kπt dt,
k = 0, 1, 2, . . .
(∗.2)
−1
Вычисление коэффициентов (∗.2) приводит к следующим выражениям
∞
bq − sin bq
a0 = 2
,
(∗.3)
b(3−D)q
q=−∞
ak =
∞
q=−∞
(−1)
b(2−D)q
sin(bq + kπ) sin(bq − kπ)
+
.
bq + kπ
bq − kπ
(∗.4)
Подстановка (∗.3) и (∗.4) в ряд (∗.1) дает нам формальный ряд
C(t).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Казбеков К. К.
26
Лемма 2.2. Формальный ряд Фурье C(t)
функции C(t) на сегменте t ∈ [−1, 1] удовлетворяет свойству однородности
C(bt)
= b(2−D) C(t)
(2.2)
при любых значениях параметров b и D.
Доказательство следует сразу из свойства 4◦ функции C(t) и
леммы 2.1. Действительно, по лемме 2.1 для функции C(t) на сег
менте [−1, 1] выполнено формальное равенство C(t) ∼ C(t).
Так как
разложение Фурье (2.1) 2-периодическим образом распространено на
все R, то при любом t ∈ [−1, 1] и b ∈ (1, ∞) верно аналогичное равен
ство C(bt) ∼ C(bt),
откуда по транзитивности получается свойство
однородности (2.2) для формального ряда C(t).
Так как функция C(t) четная, то всюду ниже достаточно рассматривать функцию C(t) только на сегменте t ∈ [0, 1].
Для множества точек расходимости формального ряда Фурье
C(t)
функции C(t) на сегменте t ∈ [0, 1] введем обозначение MC .
Лемма 2.3. Формальный ряд C(t)
функции C(t) расходится в
точках t = 0 и t = 1/2 и сходится в точке t = 1.
Согласно лемме 2.1 для всех t из сегмента [−1, 1] функция C(t)
раскладывается в ряд по косинусам вида (2.1).
Оценим вначале нулевой член:
∞
∞
a0
bq − sin bq
sin bq
b2−D
=
−
=
+
2
b2−D − 1 q=0 b(3−D)q
b(3−D)q
q=−∞
+
∞
b
q=1
(2−D)q
−
∞
q=1
b(2−D)q
sin(1/bq )
.
(1/bq )
Так как при q → ∞ верно асимптотическое равенство
O(1), то
∞
b2−D
sin bq
a0
= 2−D
−
,
2
b
− 1 q=0 b(3−D)q
sin(1/bq )
(1/bq )
=
(∗.1)
откуда следует оценка
b3−D − b2−D
a0
2−D
> 0.
2
(b
− 1)(b3−D − 1)
(∗.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сходимость ряда Фурье косинусной функции
27
Таким образом, нулевое слагаемое a20 конечно и расходимость ряда
связана с суммой ∞ ak cos kπt. Для вычисления последней в
C(t)
k=1
конкретных точках заметим, что при k = 1, 2, . . ., коэффициенты ak
удобно представить в виде:
ak = 2(−1)k+1
∞
b(D−1)q
sin bq .
2q − (kπ)2
b
q=−∞
(∗.3)
Тогда при t = 1 выводим
∞
ak cos kπ = 2
q=−∞
k=1
−
∞
sin bq
b(3−D)q
−
∞
∞
bq 1 sin bq bq sin bq − bq cos bq
ψ
−
−
ψ
=
,
π q=−∞ b(2−D)q
π
π
b(3−D)q
q=−∞
где ψ(x) — пси-функция [6]. Общий ряд C(1)
имеет вид:
C(1)
=
(∗.4)
∞
1 − cos bq
= C(1),
b(2−D)q
q=−∞
т. е. ряд Фурье C(t)
в точке t = 1 сходится к C(1) и значит 1 ∈
/ MC .
При t = 0 справедливы соотношения
∞
∞
ak = 2
k=1
q=−∞
sin bq
b(3−D)q
=
+
∞
bq 1 sin bq bq ψ
−
−
ψ
=
π q=−∞ b(2−D)q
π
π
∞
3 sin bq + bq cos bq
→ ∞,
b(3−D)q
q=−∞
(∗.5)
т. е. мы получаем расходящийся ряд, откуда следует, что 0 ∈ MC .
Наконец, при t = 1/2 имеем
∞
k=1
∞
ak cos
∞
1 + (−1)k
kπ =
ak =
(−1)[k/2]
(−1)k a2k =
2
2
k=1
=3
∞
q=−∞
sin bq
b(3−D)q
k=1
∞
1 sin bq
bq
+
ctg
(2−D)q
2 q=−∞ b
2
(∗.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Казбеков К. К.
28
и мы снова получаем
t = 1/2 ∈ MC . расходящийся
ряд,
так
что
точка
3. Мощность множества расходимости MC
Для нахождения мощности множества MC проведем обобщение
при учете
свойства однородности леммы 2.2 формального ряда C(t)
свойства периодичности функции C(t) для частных значений параметров b и D.
Лемма 3.1. Для любого натурального j = 1, 2, . . . и произвольного значения аргумента t из сегмента [0, 1] формальный ряд Фурье
C(t)
частной функции C(t) = C(t; b = 3, D = 1,5) удовлетворяет
обобщенному свойству однородности:
j (t)],
= 3σj /2 C[τ
C(t)
где
τj (t) =
1 t + 2(1 + 3σ1 + 3σ2 + . . . + 3σj−1 ) ,
σ
j
3
j
σj ≡
ni , ni ∈ N, σ0 = 0.
(3.1)
(3.2)
i=1
Рассмотрим свойства периодичности и однородности функции
C(t) совместно для значений аргумента t ∈ [0, 1]. При этом свойство
однородности представим для обратных степеней параметра (b) в
виде
t
(∗.1)
C
= bD−2 C(t),
b
откуда при произвольном натуральном n ∈ N вытекает
t
C n = b−n(2−D) C(t),
(∗.2)
b
что достигается n-кратным применением свойства (∗.1) к функции C
в точке t.
Выберем значения параметров функции C(t) : b = 3, D = 1,5. Тогда определяющая система функциональных соотношений для функции C(t), t ∈ [0, 1], примет вид
C(t) = C(t + 2),
t
C n = 3−n/2 C(t),
3
n ∈ N.
(∗.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сходимость ряда Фурье косинусной функции
29
Из леммы 2.2 и 2-периодичности функции cos kπt следует, что анало функции
гичная система верна и для формального ряда Фурье C(t)
найC(t; 3, 3/2). Проводя последовательные преобразования для C
дем
= C(t
+ 2) = 3n1 /2 C
t + 2 = 3n1 /2 C
t+2 +2 =
C(t)
3n1
3n1
n1
t + 2(1 + 3 ) = . . . =
= 3(n1 +n2 )/2 C
3n1 +n2
σ1
+ . . . + 3σj−2 )
σj−1 /2 t + 2(1 + 3
C
=
=3
(∗.4)
3σj−1
σ1
σj−2
)
t + 2(1 + 3 + . . . + 3
+2 =
= 3σj−1 /2 C
σ
j−1
3
σ1
+ . . . + 3σj−1 )
σj /2 t + 2(1 + 3
C
,
=3
3σj
т. е. равенство (∗.4) верно для любого натурального j. Замечание. Из леммы 3.1 следует, что если формальный ряд
Фурье C(t)
функции C(t) расходится в некоторой точке t = t0 сегмента [0, 1], то он расходится сразу во всех точках множества {τj (t0 )}
для каждого натурального j; n1 , . . . , nj ∈ N. Таким образом, если ряд
C(t)
функции C(t) расходится хотя бы в одной точке t0 ∈ [0, 1], то
он расходится на бесконечном множестве точек {τj (t0 )}∞
j=1 ⊂ [0, 1],
порожденном исходной точкой t = t0 .
В следующей лемме рассмотрим подмножества MC (1/2) и MC (0)
множества MC , порожденные точками расходимости t = 1/2 и t = 0
соответственно, на сегменте [0, 1], формального ряда Фурье C(t)
частной функции C(t; 3, 3/2).
Лемма 3.2. Подмножество MC (1/2) есть прямая сумма двух
подмножеств:
(3.3)
MC (1/2) = T10 ⊕ T20 ,
∞
где множество T10 = j=1 {t10 }j — объединение множеств {t10 }j , состо1
ящих из точек 2·3σj , n1 , . . . , nj ∈ N, а множество T20 = MC (0) = K,
где K есть бинарное множество Кантора.
По определению MC (1/2) есть множество точек расходимо функции C(t; 3, 3/2), порожденное
сти формального ряда Фурье C(t)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Казбеков К. К.
30
точкой расходимости t = 1/2. Рассмотрим как преобразуется точка
t = 12 при отображении τj (t) : [0, 1] → [0, 1], определенном в лемме
3.1 для каждого натурального j = 1, 2, . . . Очевидно имеем, что
1
= {t10 }j + {t20 }j ,
(∗.1)
2 j
где {t10 }j есть множество точек 2·31σj , n1 , . . . , nj ∈ N, и по существу
состоящее из счетного множества точек 2·31 n , n ∈ N. Множество
{t20 }j есть множество точек вида
1
1
1
1
2 nj + nj−1 +nj + . . . + n2 +...+nj + n1 +...+nj ,
3
3
3
3
(∗.2)
где n1 , . . . , nj ∈ N.
∞
Следовательно объединение T10 = j=1 {t10 }j будет по-прежнему
давать
от множества
∞ счетное множество точек неотличимое
∞ 2
1
2
.
В
тоже
время,
объединение
T
=
{t
}
0
j=1 0 j , как видно из
2·3n
n=1
(∗.2), образует всевозможные троичные дроби вида 0, a1 a2 . . . an . . .,
у которых все ai равны либо 0, либо 2. Последнее свойство есть основное арифметическое свойство дисконтинуума Кантора [7], откуда и
следует, что T20 = K. Для получения же выражения T20 = MC (0) следует лишь заметить, что множество MC (0) порождается смещенным
отображением τj (t0 − 1/2) при выборе точки расходимости t0 = 12 . Лемма 3.2 позволяет сформулировать следующий основной результат данного сообщения.
Теорема 3.1. Формальный тригонометрический ряд Фурье C(t)
косинусной функции Вейерштрасса — Мандельброта вида
∞
1 − cos(3q t)
C(t; 3, 3/2) =
,
3q/2
q=−∞
определенной на сегменте [−1, 1] и 2-периодическим образом продолженной на все R, при значениях аргумента t ∈ [0, 1] расходится
на множестве MC ⊂ [0, 1] меры нуль, имеющем в качестве правильной части подмножество MC (1/2) ⊆ MC мощности континуума, причем само подмножество MC (1/2) есть прямая сумма счетного множества T10 и бинарного множества Кантора K.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сходимость ряда Фурье косинусной функции
31
Из леммы 3.2 следует, что подмножество MC (1/2), множества
расходимости MC частной функции Вейерштрасса — Мандельброта
C(t) = C(t; 3, 3/2), является прямой суммой точек счетного множества T10 и несчетного множества Кантора K. Поэтому остается только показать несчетность прямой суммы T10 ⊕ K. Для этого, в силу
свойства множества K, являющегося множеством мощности континуума [7], достаточно установить взаимнооднозначное соответствие
между точками множества K и подмножества MC (1/2) ⊆ MC .
Из выражения (∗.2) леммы 3.2 непосредственно видно, что любая
точка k ∈ K однозначно определяется набором значений натуральnj при каждом натуральном j.
ных показателей n1 , . . . , ∞
Так как K = T20 = j=1 {t20 }j , то всякую точку подмножества
2
{t0 }j можно представить
как k(j; n1 , . . . , nj ). Аналогично, для мно∞
жества T10 = j=1 {t10 }j , всякую точку подмножества {t10 }j можно
представить, как t10 (j; n1 , . . . , nj ).
Определим на множестве K линейную дискретную функцию F =
F [k] следующим образом:
F [k(j; n1 , . . . , nj )] = k(j; n1 , . . . , nj ) + t10 (j; n1 , . . . , nj )
(∗.1)
для любых j; n1 , . . . , nj ∈ N. Тогда, очевидно, что
F [{t20 }j ] = {t10 }j + {t20 }j ,
j = 1, 2, . . . ,
(∗.2)
и вообще
F [K] = T10 ⊕ T20 = MC (1/2),
(∗.3)
т. е. функция F осуществляет прямое сложение множеств T10 и
T20 = K. Обратно, всякая точка µ множества MC (1/2) по лемме 3.2
представима в виде суммы
µ = k(j; n1 , . . . , nj ) + t10 (j; n1 , . . . , nj ) ≡ µ(j; n1 , . . . , nj ),
(∗.4)
где k ∈ K и t10 ∈ T10 при соответствующих натуральных j и n1 , . . . , nj .
Следовательно, на множестве MC (1/2) можно определить линейную
дискретную функцию F −1 = F −1 [µ], осуществляющую однозначное
отображение F −1 : MC (1/2) → K, согласно выражению
F −1 [µ(j; n1 , . . . , nj )] = F [k(j; n1 , . . . , nj )] − t10 (j; n1 , . . . , nj ).
(∗.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Казбеков К. К.
32
Покажем из (∗.1), (∗.4) и (∗.5), что функции F и F −1 являются взаимно обратными для соответствующих j; n1 , . . . , nj ∈ N:
F F −1 [µ] = F F [k] − F [t10 ] = F [k + t10 ] − F [t10 ] = F [k] = µ,
F −1 F [k] = F −1 [k + t10 ] = F −1 [µ] = k.
F [t10 ]
(∗.6)
(∗.7)
2t10 .
В (∗.6) под
следует формально полагать
Таким образом,
данные построения показывают, что функция F осуществляет биективное отображение множеств K и MC (1/2), из чего следует утверждение теоремы. Литература
1. Лузин Н. Н. Интеграл и тригонометрический ряд.—М.; Л.: Гостехиздат, 1951.
2. Бари Н. К. Тригонометрические ряды.—М.: Физматгиз, 1961.
3. Карлесон Л. Сборник переводных статей «Математика».—М.: Изд-во иностр.
лит., 1967.—Т. II, № 4.—С. 113–132.
4. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ.—М.: Мир, 1991.—254 с.
5. Mandelbrot B. B. The Fractal Geometry of Nature.—New York: Freman, 1983.
6. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды.—М.:
Наука, 1981.—800 с.
7. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств.—М.: Мир, 1966.
Институт прикладной математики и
информатики ВНЦ РАН (Владикавказ, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.3
ТОЧНЫЕ ШТРАФЫ В ЗАДАЧЕ
НАБЛЮДАЕМОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ1
В. В. Карелин
Задача наблюдаемости систем управления сводится к минимизации интегрального функционала. Для последней устанавливается вариант принципа
Лагранжа.
Задачу нахождения состояния динамической системы в начальный момент времени называют задачей наблюдения. Фиксированный процесс в пространстве состояний, описываемый системой дифференциальных уравнений
ẋ = f (x, t),
(1)
генерирует однозначно процесс в соответствии с уравнением выхода
y(t) = Bx(t),
(2)
где B — n-мерный вектор. Возникает вопрос: единственный ли процесс x(t) может вызвать этот выход y(t). Если процессы x(t) и
y(t) находятся во взаимно однозначном соответствии, то задача наблюдения разрешима. Обозначим вектор неизвестных параметров
x(0) = x0 и рассмотрим функционал
I(x0 ) =
0
T
F (x(t, x0 ))dt,
(3)
где F (x(t, x0 )) имеет вид F (x(t, x0 )) = (y(t) − Bx(t, x0 ))2 , и x(t, x0 ) —
решение уравнений (1), (2) с x0 ∈ Rn . Пусть x, x0 ∈ Rn , y ∈ Rm ,
t ∈ [0, T ], T > 0, f : Rn × R → Rn дифференцируема по x. Функции
n
f, ∂f
∂x , непрерывны на R × R. Введем множество
Ω := {[z, x0 ] : z ∈ C[0, T ], ϕ(z, x0 ) = 0},
1 Работа
(3)
выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 06-01-00276.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Карелин В. В.
34
где
ϕ(z, x0 ) =
T
z(t) − f x0 +
0
0
1/2
2
t
z(τ )dτ, x0 , t
dt
.
Заметим, что ϕ(z, x0 ) 0 для любых z, x0 ∈ C[0, T ]. Если [z, x0 ] ∈ Ω,
t
то функция x(t) = x0 + 0 z(τ )dτ удовлетворяет условиям (1), (2), и
наоборот. Таким образом, задача нахождения решения системы (1),
(2) для некоторого x0 ∈ Rn эквивалентна нахождению z ∈ C[0, T ]
такого, что ϕ(z, x0 ) = 0.
Пусть g := [v, q], где v ∈ C[0, T ], q ∈ Rn . Положим
1/2
T
2
(v(t)) dt
, q := q 2 .
g := max{v, q}, где v :=
0
Пара g определяет направление (на множестве C[0, T ] × Rn ). Функция ϕ в точке [z, x0 ] удовлетворяет неравенству ϕ(z, x0 ) > 0 в направлении g. Теперь определим
ϕ (z, x0 ; g) = lim
α↓0
1
[ϕ(z + αv, x0 + αq) − ϕ(z, x0 )].
α
Можно показать, что предел существует и конечен, т. е. верно следующее утверждение.
/ Ω), то функция ϕ
Лемма 1 [4]. Если ϕ(z, x0 ) > 0 (т. е. [z, x0 ] ∈
дифференцируема в окрестности точки [z, x0 ]. При этом
∗
T
T
∂f (τ )
ϕ (z, x0 ; g) =
w(τ )dτ dt−
v(t), w(t) −
∂x
0
t
∗
T
∂f (t)
w(t)dt, q = (ϕ, g),
(4)
−
∂x0
0
где
ϕ = w(t) −
t
T
∂f (τ )
∂x
∗
w(τ )dτ, −
T
0
∂f (t)
∂x0
∗
w(t)dt .
(5)
Так как (4) линейно в g, мы заключаем что ϕ дифференцируема
около [z, x0 ] вместе с «градиентом» ϕ (на множестве C[0, T ] × Rn ).
Более того, справедливо утверждение.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точные штрафы в задаче наблюдаемости систем управления
35
Лемма 2. Существует a > 0 такая, что
min (ϕ, g) −a < 0
g=1
∀[z, x0 ] ∈
/ Ω.
(6)
Докажем сначала, что
ϕ = 0,
(7)
где 0 — нулевой элемент в пространстве C[0, T ] × Rn . Предположим,
что это не так, тогда
∗
T
∂f (τ )
w(t) −
w(τ )dτ = 0n ∀t ∈ [0, T ],
(8)
∂x
t
т. е. w(t) = 0n для любого t ∈ [0, T ], получили противоречие. Предположим теперь что (6) неверно. Тогда существует последовательность
[zk , xk0 ] такая, что
/ Ω, ϕk → 0,
(9)
[zk , xk0 ] ∈
где
ϕk = wk (t) −
t
T
∂fk (τ )
∂x
∗
wk (τ )dτ, −
T
0
∂fk (t)
∂x0
∗
wk (t)dt ,
∂f (xk (t), xk0 , t)
∂fk (t)
=
,
∂x
∂x
∂fk (t)
∂f (xk (t), xk0 , t)
=
,
∂x0
∂x0
t
xk (t) = x0 +
zk (τ )dτ,
0
1
zk (t) − f x0 +
wk (t) =
ϕ(zk , xk0 )
0
t
zk (τ )dτ, xk0 , t
.
Отметим, что
wk = 1.
(10)
Из соотношения (9) следует, что
hk → 0,
где
hk (t) = wk (t) −
t
T
∂fk (τ )
∂x
(11)
∗
wk (τ )dτ.
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Карелин В. В.
36
Из соотношений (11) и (12) вытекает, что wk → 0, а это противоречит (10).
Теперь рассмотрим случай когда ϕ(z, x0 ) = 0. Отметим, что
ϕ(z, x0 ) = max
v̄=1
T
z(t) − f x0 +
0
v̄ =
T
t
0
z(τ )dτ, x0 , t , v̄(t) dt, (13)
1/2
2
v̄ (t) dt
.
0
t
Если ϕ(z, x0 ) = 0, то h(t) = z(t) − f (x0 + 0 z(τ )dτ, x0 , t) = 0 для
t ∈ [0, T ].
Так как
t
(z(τ ) + αv(τ )) dτ, x0 + αq, t =
z(t) + αv(t) − f x0 +
0
∂f (t) t
∂f (t)
= h(t) + α v(t) −
v(τ ) dτ −
q + o(α),
∂x 0
∂x0
то (см. (13))
ϕ (z, x0 ; g) = max
v̄=1
T
0
v̄(t), v(t) −
∂f (t)
∂x
0
t
v(τ ) dτ −
∂f (t)
q
∂x0
dt.
(14)
Используя ту же процедуру что и в (11)–(12), для (14) имеем:
∗
T
T
∂f
(t)
v̄(τ ) dτ dt−
v(t), v̄(t) −
ϕ (z, x0 ; g) = max
∂x
v̄=1
0
t
−
0
T
∂f (t)
q
∂x0
∗
v̄(t) dt, q
.
(15)
Из (14) и (15) следует
Лемма 3. Если ϕ(A, z) = 0, то функция ϕ дифференцируема в
направлении точки [x0 , z]; и даже субдифференцируема, т. e.
ϕ (z, x0 ; g) =
max
G∈∂ϕ(z,x0 )
(G, g),
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точные штрафы в задаче наблюдаемости систем управления
37
где
∂ϕ(z, x0 ) =
G = [v ∗ , q ∗ ] : v ∗ ∈ C[0, T ], q ∗ ∈ Rn ,
∗
T
v (t) = v̄(t) −
q∗ = −
T
∂f (t)
∂x0
0
t
∗
∂f (τ )
∂x
∗
v̄(τ )dτ,
v̄(t)dt, v̄ ∈ C[0, T ], v̄ 1 . (17)
Таким образом, задача наблюдаемости свелась к проблеме минимизации функционала
T t
φ(z, x0 ) =
F x0 +
z(τ )dτ dt,
(19)
0
0
подчиненного условиям
ϕ(z, x0 ) = 0.
(20)
Функционал φ(z, x0 ) дифференцируем,
t
T
1
φ (z, x0 ; g) = lim
F x0 +
(z(τ ) + αv(τ ))dτ dt − φ(z, x0 ) =
α↓0 α
0
0
=
0
T
∂F (x(t))
, v(t) dt
∂x
и его «градиент» (на множестве C[0, T ] × Rn ) имеет вид
∂F (x(t))
, 0m .
φ(z, A) =
∂x
(21)
Следуя работам [1–3] можем доказать утверждение:
Теорема. Если ϕ Липщицева на C[0, T ] × Rn , то найдется λ0 0
такое, что для всех λ λ0 множество минимумов функции φ на
множестве Ω = {[z, x0 ] : ϕ(z, x0 ) = 0} совпадает с множеством минимумов функции
ψλ (z, x0 ) = φ(z, x0 ) + λϕ(z, x0 )
на всем множестве C[0, T ] × Rn .
(22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Карелин В. В.
38
Таким образом, если [z ∗ , x∗0 ] — точка минимума функции ψλ (z, x0 )
(для λ λ0 ), то ϕ(z ∗ , x∗0 ) = 0 и φ содержит его минимальные
значения на Ω около [z ∗ , x∗0 ]. Это также означает, что функция
t
x∗ (t) = x0 + 0 z ∗ (τ )dτ является решением дифференциальной системы уравнений
ẋ(t) = f (x(t), x∗0 , t),
x(0) = x0 ,
и функционал I(x0 ) имеет минимальное значение в точке x∗0 .
Функция ψλ (z, x0 ) субдифференцируема и ее субдифференциал
имеет вид
(23)
∂ψλ (z ∗ , x∗0 ) = φ(z ∗ , x∗0 ) + λ∂ϕ(z ∗ , x∗0 ),
где φ определен равенством (21), а ∂ϕ — (17) (множество
ϕ(z ∗ , x∗0 ) = 0).
Необходимое условие оптимума имеет вид
0 ∈ ∂ψλ (z ∗ , x∗0 ).
(24)
Из него следует, что существует функция v̄ ∈ C[0, T ] такая, что v̄ 1 и при этом
∗
T
∂f (τ )
∂F (x∗ (t))
+ λ v̄(t) −
v̄(τ )dτ = 0n ∀t ∈ [0, T ], (25)
∂x
∂x
t
−λ
где
T
0
∂f (t)
∂x0
∗
∂f (t)
∂f (x∗ (t), A∗ , t)
=
,
∂x
∂x
v̄(t) dt = 0m ,
(26)
∂f (t)
∂f (x∗ (t), x∗0 , t)
=
.
∂x0
∂x0
Заменяя λv̄(t) на v(t) в (25) и (26) получаем, что если x∗ (t) = x(t, x∗0 )
минимизирует (18), то существует вектор-функция v(t) ∈ C[0, T ] такая, что
∗
T
∂f (τ )
∂F (x∗ (t))
+ v(t) −
v(τ )dτ = 0 ∀t ∈ [0, T ]
(27)
∂x
∂x
t
и
0
T
∂f (t)
∂x0
∗
v(t)dt = 0m .
(28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точные штрафы в задаче наблюдаемости систем управления
39
Если F (x) дважды непрерывно дифференцируема, то (27) можно
переписать в дифференциальной форме
∗
∂f (t)
d ∂F (x∗ (t))
v̇(t) = −
v(t) −
,
(29)
∂x
dt
∂x
∂F (x∗ (τ ))
.
(30)
∂x
В заключение, запишем следующие условия оптимальности:
Если x∗0 ∈ Rn минимизирует I(x0 ) с системой дифференциальных
уравнений (1)–(2), то функция v(t) ∈ C[0, T ], определенная уравнениями (29) и (30), удовлетворяет условию (28).
v(T ) = −
Литература
1. Di Pillo G., Grippo L. On the exactness of a class of nondifferentiable penalty
functions // J. Optim. Theory Appl.—1988.—V. 57.—P. 397–408.
2. Giannessi F., Niccolucci F. Connections between nonlinear and integer
programming problem // Symposia Mathematica.—New York: Acad. press,
1976.—V. 19.—P. 161–176.
3. Demyanov V. F., Facchinei F., Karelin V. V. Optimal Control Problems via exact
penalty function // J. of Global Optimiz.—1998.—V. 12, № 3.—P. 215–223.
4. Карелин В. В. Штрафные функции в одной задаче управления // Автоматика и телемеханика.—2004.—№ 3.—С. 137–147.
Санкт-Петербургский государственный университет
(Санкт-Петербург, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 513.88+517.55
О ДОПОЛНЯЕМОСТИ И РЕШЕТОЧНОСТИ
ПОДПРОСТРАНСТВА m-ОДНОРОДНЫХ ПОЛИНОМОВ В
ПРОСТРАНСТВЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
В. П. Кондаков
В работе изучаются некоторые свойства пространства H(E) голоморфных
функций и его подпространств m-однородных полиномов при дополнительных ограничениях на пространство E.
Пусть задано линейное топологическое пространство E. Для изучения внутренних свойств этого пространства вводят определяемые
им объекты, например, сопряженное пространство, пространства голоморфных и других функций. Некоторые такие объекты полностью
определяют строение пространства E и в то же время их изучение
представляет значительный интерес.
Пусть E — пространство Фреше с базисом (en )∞
n=1 , т. е. полное
метризуемое локально выпуклое пространство, каждый элемент которого представляется единственным образом в виде сходящегося
ряда
∞
zn en (zn ∈ C, n ∈ N).
e=
n=1
Через H (E) обозначим пространство непрерывных функций, голоморфных в обычном смысле на каждом конечномерном подпространстве в E и ограниченных на полидисках вида
A = {e ∈ E : sup |en (e)an | 1},
n
где en — координатные функционалы базиса (en ), т. е. en (e) = zn ,
e ∈ E, а последовательность неотрицательных чисел (an )∞
n=1 удовлетворяет условию (∀r ∈ N)(∃M (r)) an en r для всех n > M (r),
где ( · r ) — любая фиксированная монотонная система полунорм,
определяющая топологию E.
Заметим, что в силу равностепенной непрерывности базиса (en )
пространства Фреше (см., например, [1]) и критерия компактности
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О дополняемости и решеточности подпространства полиномов
41
множества в пространстве с базисом (см., например, [2]) любое компактное множество в E будет подмножеством некоторого полидиска
описанного вида.
В общем случае пространство H (E) будем рассматривать с топологией τ равномерной сходимости на полидисках, которые можно
записывать как
A(r(n)) = {e ∈ E : sup |en (e)|en r(n) 1}
n
при подходящем выборе последовательности натуральных индексов
r(n) с lim r(n) = ∞.
n→∞
Пусть N(N) — множество финитных последовательностей неотрицательных целых чисел вида m = (m1 , m2 , . . . , mψ(m) , 0, . . .). Для
последовательности комплексных чисел (zn )n и m ∈ N(N) мономом
называют функции
mψ(m)
zn en → z m = z1m1 z2m2 . . . zψ(m)
,
n
которые будут голоморфными однородными степени |m| =
mi
i
(сумма конечна).
Рассмотрение голоморфной функции f на линейных оболочках
конечных наборов базисных элементов приводит к представлению
zn en =
am z m
(1)
f
n
m∈N(N)
с единственным выбором набора чисел am , m ∈ N(N) , и при z из
линейной оболочки множества базисных элементов.
Нас интересует случай, когда разложение (1) верно для всех
z ∈ E и его сходимость в топологии τ абсолютна. Это равносиль
но условию: для каждого полидиска A ⊂ E существуют полидиск A
и константа C = C(A) > 0 такие, что
|am |z m A C
am z m A
m∈N(N)
m∈N(N)
для каждой
am z m ∈ H (E), где f A = sup{|f (z)| : z ∈ A}. Из
приведенного условия выводится ядерность исходного пространства.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кондаков В. П.
42
Для этой цели предлагается использовать оценки норм случайных
тригонометрических полиномов из [3]. Приведем удобную для наших
целей форму следствия упомянутых оценок из [3].
Лемма (ср. [3, теорема 4]). Если заданы комплексные числа aij ,
|aij | 1, i, j = 1, 2, . . . , n, то существует такой набор знаков + и −,
что
12
n
n
3
i(ktk +jtj ) 2
sup
±ak,j e
|ak,j | log 2n Cn 2 log 2n,
<C n
t1 ,t2 ,...,tn
k,j=1
k,j=1
где C — некоторая абсолютная постоянная.
Заметим, что вопрос базисности системы мономов в пространствах голоморфных функций, наделенных различными топологиями, исследовался в работах [4–7] с использованием других оценок.
Комбинируя утверждение леммы с приемами [8] и предшествующих
работ, получаем следующее утверждение.
Теорема 1. В пространстве (H (E), τ ) голоморфных функций,
заданных на пространстве Фреше E с базисом, система мономов
(z m )m∈N(N) является абсолютным базисом Кёте в том и только том
случае, когда пространство E ядерно. Пространство (H (E), τ ) в
этих случаях изоморфно пространству Кёте и топология τ совпадает с топологией τ0 равномерной сходимости на компактных множествах.
Как и в [8] можно получить матрицу Кёте для H (E, τ ) и дополнительно установить ядерность H (E, τ0 ).
Функция P на E называется m-однородным полиномом (m —
натуральное число), если существует единственная симметрическая
m-линейная форма A (на E m ) такая, что P (e) = A(e, . . . , e) для каждого e ∈ E.
Ясно, что пространство m-однородных полиномов, которое обычно обозначают P (m E), является подпространством в пространстве
H (E) и наделяется обычно индуцированной топологией.
Приведенными выше рассуждениями доказывается и следующий
факт.
Теорема 2. Пусть E — пространство Фреше с безусловным базиm
сом (en )∞
n=1 . В пространстве P ( E) всех m-однородных полиномов
на E при m 2 с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах существует абсолютный базис тогда и только тогда,
когда E ядерно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О дополняемости и решеточности подпространства полиномов
43
В случае m = 1 имеем сопряженное пространство Eβ и утверждение теоремы, очевидно, не распространяется на этот случай.
Заметим, что в случае, когда E является банаховым пространством с безусловным базисом (en ), рассматривают обычно нормированное пространство m-однородных полиномов и пространство
H (E).
Известно [9], что пространство H (m E) в этом случае является
банаховой решеткой тогда и только тогда, когда система m-однородных мономов, определяемых базисом (en ), является безусловной
базисной последовательностью в H (m E).
Из доказательства теоремы 2 следует, что в случае ядерного пространства E с базисом пространство P (m E) с топологией равномерной сходимости на компактных множествах является дополняемым
подпространством в H (E, τ0 ) и одновременно ядерной локально выпуклой решеткой.
Литература
1. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства.—М.: Мир, 1967.
2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа.—
М.: Высшая школа, 1982.—271 с.
3. Кахан Ж. П. Случайные функциональные ряды.—М.: Мир, 1973.
4. Dineen S. Monomial expansions in infinite dimensional holomorphy // In:
Advances in the Theory of Frechet Spaces / Ed. T. Terzioglu.—1989.—P. 155–
171.
5. Dineen S., Timoney R. M. Absolute bases, tensor products and a theorem of
Bohr // Studia Math.—1989.—V. 84.—P. 227–234.
6. Ryan R. A. Holomorphic mappings on l1 // Trans. Amer. Math. Soc.—1987.—
V. 302.—P. 797–811.
7. Boland P. J., Dineen S. Holomorphic functions on fully nuclear spaces // Bull.
Soc. Math. France.—1978.—V. 106.—P. 311–336.
8. Кондаков В. П. О представлении в виде пространств Кёте пространств голоморфных функций на пространствах числовых последовательностей // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, вып. 4.—С. 23–29.
9. Defant A., Kalton N. Unconditionality in spaces of m-homogeneons polynomials // Quart. J. Math.—2005.—V. 56.—P. 53–64.
Ростовский государственный университет
(Ростов-на-Дону, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.537
О НУЛЯХ ОДНОЙ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ
Ю. Ф. Коробейник
В работе исследуются нулевые множества функций Re Ff , Im Ff , Ff , где
Ff — произвольная функция из некоторого класса функций, аналитических
в полосе | Re z| 12 всюду, кроме двух точек ± 12 , являющихся простыми
полюсами Ff . Главное внимание уделяется получению необходимых условий
существования в полосе | Re z| < 12 бесконечного числа нулей Re Ff , Imf , Ff .
Пусть s ∈ N0 = {0, 1, 2, . . .} и M̃s — совокупность всех отображений f : [1, +∞) → R, непрерывных на [1, +∞) вместе со своими
производными до s-го порядка включительно и таких, что
1
ln |f (j) (x)|
<− ,
x→+∞
ln x
2
lim
j = 0, 1, . . . , s.
Рассмотрим функцию
Ff (z) :=
1
Φf (z) :=
2
∞
z2
3
1
−
z
1
4
+ Φf (z),
z
f (x)x− 4 (x 2 + x− 2 )dx,
(1)
z = σ + iλ.
(2)
1
Пусть Π := {z ∈ C : | Re z| < 12 }. Введем множества C(Π) всех функций, непрерывных в полосе Π := {z ∈ C : | Re z| 12 } и A(Π) — всех
функций, аналитических в Π. Легко показать, что если f ∈ M̃0 , то
Φf ∈ A(Π) ∩ C(Π). Что же касается функции Ff (z) = z−1 1 − z+1 1 +
2
2
Φf (z), то в этом случае Ff ∈ A(Π), причем Ff (z) непрерывна в любой
точке Π, кроме точек ± 12 , каждая из которых является простым
полюсом Ff .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О нулях одной мероморфной функции
45
Выполним в (2) «техническую» замену переменных, x = et , чтобы
представить Ff в виде, более удобном для дальнейшего исследования. После этой замены получим
Ff (z) = A1 + B1 + i(A2 + B2 ),
где
∞
λt
σ
t dt = 2
f (e )e ch t cos
2
2
t
A1 =
0
t
4
∞
A2 = 2
∞
t
f (e2t )e 2 ch σt cos λt dt;
0
t
f (e2t )e 2 sh σt sin λt dt;
0
−λ2 − 14 + σ 2
2σλ
B1 =
, B2 = −
;
δ
δ
2
2
1
1
δ :=
σ−
+ λ2
+ λ2 .
σ+
2
2
Далее рассматриваются нулевые множества функций Ff , Im Ff
и Re Ff , т. е. совокупности всех нулей соответствующих функций в
полосе Π. Например, Z(Im Ff ) := {z ∈ Π : (Im Ff )(z) = 0}. Аналогично определяются множества Z(Ff ), Z(Re Ff ). Все эти три множества симметричны относительно координатных осей. Кроме того,
Z(Im Ff ) содержит «нулевой крест»
1
1
D :=
σ = 0} ∪ {λ = 0, − < σ <
.
2
2
Опишем некоторые свойства введенных нулевых множеств. Предварительно положим
(+̃)(k)
Π+ := {z ∈ Π : Re z > 0};
t (k)
(k)
:= f (e2t )e 2
; (+̃)0 = (+̃)(k) ,
t=0
k = 0, 1, 2, . . .
Предложение 1. Пусть f ∈ M̃3 и в полуполосе Π+ находится бесконечное множество точек (σn , λn ) из Z(Re Ff ) таких, что
lim λn = +∞. Тогда
n→∞
1
(1)
(3)
(+̃)0 = − .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коробейник Ю. Ф.
46
Несложное доказательство проводится с помощью интегрирования по частям правой части равенства
λ2n + 14 − σn2
=
[λ2n + (σn − 12 )2 ][λ2n + (σn + 12 )2 ]
∞
=2
t
f (e2t )e 2 ch σn t cos λn t dt,
n = 1, 2, . . .
0
и последующего перехода к пределу при n → ∞. Оно совершенно
аналогично доказательству предложения 1 из [1], которое является
аналогом предложения 1 настоящей работы. Применяя метод полной математической индукции, устанавливаем без особого труда такой результат:
Предложение 2. Пусть m 1, f ∈ M̃2m+1 и пусть в Π+ содержится бесконечное множество точек (σn , λn ) из Z(Re Ff ) таких, что
lim λn = +∞. Тогда
n→∞
(2k−1)
(+̃)0
= −21−2k ,
k = 1, 2, . . . , m.
(4)
Следствие 1. Пусть m 1, f ∈ M̃2m+1 и пусть в Π+ содержится
бесконечное множество нулей Ff . Тогда справедливы равенства (4).
Положим
∞
M̃∞ =
0
M̃s ; M̃∞
= f ∈ M̃∞ : (+̃0 )(2k−1) = −21−2k , k = 1, 2, . . . .
s=1
Следствие 2. Пусть f ∈ M̃∞ и в Π+ имеется бесконечная после0
.
довательность нулей Ff . Тогда f ∈ M̃∞
Обращаясь к множеству Z(Im Ff ), получаем тем же методом, что
и предложение 1, следующий результат
Предложение 3. Пусть f ∈ M̃4 и в Π+ содержится бесконечная
последовательность точек (σn , λn ) из Z(Im Ff ) такая, что lim λn =
+∞, lim σn = τ = 0. Тогда справедливо равенство (3).
n→∞
n→∞
Заметим, что доказательство предложения 3 такое же, как и его
аналога — предложения 4 из [1].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О нулях одной мероморфной функции
47
Вновь используя метод полной математической индукции, устанавливаем справедливость такого результата.
Предложение 4. Пусть m 1, f ∈ M̃2m+2 и в Π+ имеется бесконечная последовательность точек (σn , λn ) из Z(Im Ff ) такая, что
lim λn = +∞, lim σn = τ = 0. Тогда верны равенства (4).
n→∞
n→∞
Возникает естественный вопрос о непустоте (при любом m 1)
(2k−1)
0
классов M̃m и M̃2m+1
= {f ∈ M̃2m+1 : (+̃)0
= −21−2k , k =
1, 2, . . . , m}. Ясно, что каждый такой класс непуст, если непуст, со0
.
ответственно, класс M̃∞ или M̃∞
На стр. 13–15 работы [1] приведены примеры функций, принад0
. Положим, следуя [1],
лежащих M∞ и M∞
∞
M∞ =
Ms ;
s=1
0
M∞
=
∞
Ms0 ;
s=1
ln |f (j) (x)|
(j)
= −∞, j = 0, 1, . . . , s ;
Ms := f (x) ∈ CR ([1, +∞)), lim
x→+∞
ln x
!
"
(2k−1)
Ms0 := f ∈ Ms : (+)0
= −41−2k , k = 1, 2, . . . , s ,
(2k−1)
(+)0
t d2k−1 (f (et )e 4 ) =
,
dt2k−1
t=0
k = 1, 2, . . .
Как отмечено в [1], если P (x), Q(x) — любые многочлены с вещественными коэффициентами, причем степень Q(x) 1 и его
старший коэффициент отрицателен, то P (x) exp[Q(x)] ∈ M∞ . Далее (см. [1, стр. 13–15]), если k 1, 0 < λk ↑ +∞ и вещественные (а не комплексные, как ошибочно написано на 14-ой странице (первая сверху строка) работы [1]) числа dk таковы, что при
∞
∞
|dk |(λk )p e−λk < ∞, то сумма ряда
dk e−λk x принадp ∈ N0
k=1
k=1
лежит M∞ .
Ясно, что Ms ⊆ M̃s для любого s 1, откуда M∞ ⊆ M̃∞ . Да0
0
⊆ M̃∞
.
лее, для тех же s верно Ms0 ⊆ M̃s0 и, следовательно, M∞
Как мы убедились, класс M∞ (подавно M̃∞ ) непуст. Еще одним общим примером функции из M̃∞ может служить сумма любого ряда
∞
ak x−µk с показателями µk такими, что 12 < µk ↑ +∞ и веществен-
k=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коробейник Ю. Ф.
48
ными коэффициентами {ak }, для которых
∞
|ak |µk (µk + 1) . . . (µk +
k=1
l − 1) < ∞, l = 1, 2, . . .
0
Непустота множества M∞
доказана на стр. 14–15 статьи [1],
0
бесконечного множества линейногде установлено наличие в M∞
независимых функций f , каждая из которых зависит от счетного
∞
dk e−λk x , где
числа произвольных постоянных. При этом f (x) =
k=1
{λk }∞
k=1 — произвольно зафиксированная последовательность такая,
что 0 < λk ↑ +∞, {f (2k) (1)}∞
k=0 — также произвольная последовательность чисел из R (то, что (∀k 0) f (2k) (1) ∈ R, k = 0, 1, . . ., в [1]
не отмечено, но подразумевается). Остальные числа {f (2k+1) (1)}∞
k=0
определяются последовательно из соотношений
t
(2k−1)
(f (et )e 4 )t=0
= −41−2k , k = 1, 2, . . .
Наконец, коэффициенты {dm }∞
m=1 находятся из системы
f (m) (1) =
∞
−λk
dk (−1)m λm
, m = 1, 2, . . . ,
k e
k=1
с помощью одной теоремы Полиа (см., например, [2, гл. 2, § 2.5]).
0
(а, слеБезусловно, наиболее важным представителем класса M∞
0
довательно, и M̃∞ ) является функция f0 (x) = 2ω(x), где ω(x) =
∞
2
e−πn x — функция, использованная Б. Риманом при исследоваn=1
нии дзета-функции ζ(z) (см. по этому поводу [3, гл. II, п. 6]). На
0
(и постр. 15–17 двумя разными способами доказано, что f0 ∈ M∞
0
давно f0 ∈ M̃∞ ).
Пока неясно, допускают ли обращение предложения 1–4 и их
следствия. Автору кажутся правдоподобными следующие три гипотезы.
0
, то в Π имеется бесконечное множеГипотеза Ã1 . Если f ∈ M̃∞
ство нулей Ff .
0
, то множество Z(Ff ) лежит на мниГипотеза Ã2 . Если f ∈ M̃∞
мой оси.
0
, то все нули Ff простые.
Гипотеза Ã3 . Если f ∈ M̃∞
Не исключено, что эти гипотезы справедливы лишь в случае,
0
, а его более
когда функция f принадлежит не всему классу M̃∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О нулях одной мероморфной функции
49
0
0
узкому подклассу M̂∞
, состоящему из всех функций f из M̃∞
,
∞
−λk x
представимых в виде ряда Дирихле f (x) =
bk e
, в котоk=1
ром {λk }∞
k=1 — произвольная последовательность чисел такая, что
k
0 < λk ↑ ∞, lim ln
λk = 0, а коэффициенты ряда dk удовлетворяют
k→∞
условию lim sup lnλ|dkk | 0. (На стр. 18 работы [1] вместо последнего
k→∞
условия записано ошибочно lim
k→∞
ln |dk |
λk
0.) Соответствующие пред-
положения будем называть ослабленными гипотезами A˜k , k = 1, 2, 3.
Заметим, что из ослабленной гипотезы Ã2 (в частном случае f = f0 )
следует хорошо известная гипотеза Римана о нулях дзета-функции
в критической полосе.
Заметим еще, что результаты работы [1] и настоящей статьи
совершенно аналогичны, но не следуют друг из друга, так как в
них рассмотрены различные ситуации (в [1] на функцию f накладываются более жесткие ограничения, обеспечивающие включение
Φf (z) ∈ A(C), а нулевые множества Z(Im Ff ), Z(Re Ff ), Z(Ff ) исследуются в области C \ A, где A = { 12 } ∪ {− 12 }).
Пользуясь случаем, отметим некоторые затрудняющие чтение погрешности
и опечатки, допущенные в [1].
На стр. 14, 1-я строка сверху, вместо dk ∈ C должно быть dk ∈ R.
На стр. 16, 1-я и 5-я строки снизу, вместо множителя 4n в знаменателе сла(−1)n
гаемого 4n λ2n (4λ2 +1) должно быть 4n−1 .
На стр. 18, 10-я сверху строка, вместо
ln |dk |
lim
k→∞ λk
lim
k→∞
ln |dk |
λk
0 должно быть
0.
Наконец, на стр. 19, 7-я сверху строка, вместо ν(x2 , y2 ) < 0 должно быть
ν(x2 , y2 ) > 0.
Литература
1. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе четных мероморфных функций // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Сер. естеств. наук.—2006. Приложение № 5 (41).—С. 8–20.
2. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей.—М.:
Физматгиз, 1960.—417 с.
3. Титчмаш Е. К. Теория дзета-функции Римана.—М.: Изд-во иностр. лит.,
1953.—406 с.
Ростовский государственный университет
(Ростов-на-Дону, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.98
О СПЕКТРЕ ЭЛЕМЕНТОВ АЛГЕБР
БАНАХА — КАНТОРОВИЧА
НАД КОЛЬЦОМ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
К. К. Кудайбергенов
Устанавливается, что всякая алгебра Банаха — Канторовича над кольцом
измеримых функций может быть представлена в виде измеримого расслоения банаховых алгебр с векторнозначным лифтингом. С помощью такого
представления доказана непустота и циклическая компактность спектра элементов алгебр Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функции.
Структурная теория C ∗ -модулей начинается с работ И. Капланского [1], использовавшего эти обьекты для алгебраического подхода
к теории W ∗ -алгебр. Рассмотрение C ∗ -алгебр, AW ∗ -алгебр и W ∗ алгебр как модулей над их центрами, позволяет использовать методы булевозначного анализа для описания различных свойств указанных классов ∗-алгебр (см., например, Г. Такеути [2], А. Г. Кусраев [3]
и А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе [4]). C ∗ -модули являются полезными примерами модулей Банаха — Канторовича, теория которых
в настоящее время активно развивается (см., например, [3, 5]). Важным инструментом при изучении таких модулей Банаха — Канторовича, наряду с булевозначным анализом стала теория непрерывных и измеримых банаховых расслоений [4]. В частности, это позволило представить C ∗ -модуль над кольцом измеримых функций в
виде измеримого расслоения классических C ∗ -алгебр [6], что дает
возможность получать свойства C ∗ -модулей с помощью «склейки»
соответствующих свойств C ∗ -алгебр над полем C. В настоящей работе такой подход реализуется при доказательстве варианта теоремы
Гельфанда о спектре для элементов алгебр Банаха — Канторовича
над кольцом измеримых функций.
Пусть (Ω, Σ, µ) — измеримое пространство с полной конечной мерой µ, а L0 = L0 (Ω, Σ, µ) — алгебра всех комплексных измеримых
функций на (Ω, Σ, µ) (равные почти всюду функции отождествляются).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О спектре элементов алгебр Банаха — Канторовича
51
Рассмотрим векторное пространство E над полем C комплексных
чисел. Отображение · : E → L0 называется L0 -значной нормой на
E, если для любых x, y ∈ E, λ ∈ C имеют место соотношения:
x 0; x = 0 ↔ x = 0;
λx = |λ|x;
x + y x + y.
Пара (E, · ) называется решеточно нормированным пространством (РНП) над L0 . Говорят, что РНП E d-разложимо, если для
любого x ∈ E и для любого разложения x = λ1 + λ2 в сумму неотрицательных дизъюнктных элементов найдутся такие x1 , x2 ∈ E,
что x = x1 + x2 и x1 = λ1 , x2 = λ2 . Сеть (xα )α∈A элементов
из E называется (bo)-сходящейся к x ∈ E, если сеть (xα − x)α∈A
(o)-сходится к нулю в L0 (напомним, что (o)-сходимость сети из L0
равносильна ее сходимости почти всюду). Пространством Банаха —
Канторовича (ПБК) над L0 называется (bo)-полное d-разложимое
РНП над L0 (см. [3]).
Известно, что всякое ПБК E над L0 является модулем над L0 и
λu = |λ|u при всех λ ∈ L0 , u ∈ E (см. [3]).
Пусть U — произвольная алгебра над полем комплексных чисел и U является модулем над L0 , причем (λu)v = λ(uv) = u(λv)
для всех λ ∈ L0 , u, v ∈ U . Рассмотрим на U некоторую L0 -значную
норму · , наделяющую U структрой пространства Банаха — Канторовича, в частности, λu = |λ|u для всех λ ∈ L0 , u ∈ U .
Определение. U называется алгеброй Банаха — Канторовича
над L0 , если для всех u, v ∈ U имеет место соотношение u · v uv.
Если U — алгебра Банаха — Канторовича над L0 с единицей e
такой, что e = 1, где 1 — единица в L0 , то U назовем унитальной
алгеброй Банаха — Канторовича.
Пусть X — отображение, ставящее в соответствие каждой точке
ω ∈ Ω некоторую банахову алгебру (U (ω), · U (ω) ), где U (ω) = {0}
для всех ω ∈ Ω. Сечением X называется функция u, определенная
почти всюду в Ω и принимающая значения u(ω) ∈ U (ω) для всех
ω ∈ dom(u), где dom(u) есть область определения u.
Пусть L — некоторое множество сечений.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кудайбергенов К. К.
52
Определение. Пара (X , L) называется измеримым расслоением
банаховых алгебр, если
1) λ1 c1 + λ2 c2 ∈ L для всех λ1 , λ2 ∈ C и c1 , c2 ∈ L, где λ1 c1 + λ2 c2 :
ω ∈ dom(c1 ) ∩ dom(c2 ) → λ1 c1 (ω) + λ2 c2 (ω);
2) функция c : ω ∈ dom(c) → c(ω)U (ω) измерима при всех
c ∈ L;
3) для каждой точки ω ∈ Ω множество {c(ω) : c ∈ L, ω ∈ dom(c)}
плотно в U (ω);
4) если u, v ∈ L, то u · v ∈ L, где u · v : ω ∈ dom(u) ∩ dom(v) →
u(ω) · v(ω).
Вместо (X , L) будем писать просто X . Сечение s называется стуn
χAi (ω)ci (ω), где ci ∈ L, Ai ∈ Σ, i = 1, . . . , n.
пенчатым, если s(ω) =
i=1
Сечение u называется измеримым, если найдется такая последователность (sn )n∈N ступенчатых сечений, что sn (ω) − u(ω)U (ω) → 0
для почти всех ω ∈ Ω.
Пусть M (Ω, X ) — множество всех измеримых сечений. Символом L0 (Ω, X ) обозначим факторизацию M (Ω, X ) по отношению равенства почти всюду. Через û обозначим класс из L0 (Ω, X ), содержащий сечение u ∈ M (Ω, X ). Отметим, что функция ω → u(ω)U (ω)
измерима для любого u ∈ M (Ω, X ). Класс эквивалентности, содержащий функцию u(ω)U (ω) обозначим через û. Для û, v̂ ∈
· v(ω).
L0 (Ω, X ) положим û · v̂ = u(ω)
Предложение 1. Если X — измеримое расслоение банаховых
алгебр, то (L0 (Ω, X ), · ) — алгебра Банаха — Канторовича над L0 .
Согласно [5, теорема 4.1.14] L0 (Ω, X ) есть пространство Банаха — Канторовича над L0 . Так как U (ω) — банахова алгебра
· v(ω)U (ω) =
(ω ∈ Ω), то û · v̂ = u(ω)
· v(ω)U (ω) u(ω)U (ω)
· v(ω)
= û · v̂. Следовательно, (L0 (Ω, X ), · )
u(ω)
U (ω)
U (ω)
является алгеброй Банаха — Канторовича над L0 . Пусть L ∞ (Ω) — множество всех комплексных ограниченных измеримых функций на (Ω, Σ, µ) и
L∞ (Ω) = {f ∈ L0 : ∃λ ∈ R, λ > 0, |f | λ1}.
Положим L ∞ (Ω, X ) = {u ∈ M (Ω, X ) : u(ω)U (ω) ∈ L ∞ (Ω)} и
L∞ (Ω, X ) = {û ∈ L0 (Ω, X ) : û ∈ L∞ (Ω)}. Рассмотрим произвольный лифтинг p : L∞ (Ω) → L ∞ (Ω) (см. [3]).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О спектре элементов алгебр Банаха — Канторовича
53
Определение. Отображение lX : L∞ (Ω, X ) → L ∞ (Ω, X ) называется векторнозначным лифтингом (ассоциированным с лифтингом p), если для всех û, v̂ ∈ L∞ (Ω, X ) и λ ∈ L∞ (Ω) имеют место
следующие соотношения:
1) lX (û) ∈ û, dom(lX (û)) = Ω;
2) lX (û)(ω)U (ω) = p(û)(ω);
3) lX (û + v̂) = lX (û) + lX (v̂);
4) lX (λû) = p(λ)lX (û);
5) lX (ûv̂) = lX (û)lX (v̂);
6) множество {lX (û)(ω) : û ∈ L∞ (Ω, X )} плотно в U (ω) для всех
ω ∈ Ω.
Пусть X и Y измеримые расслоения банаховых алгебр над Ω.
Отображение H : ω → Hω , где Hω : X(ω) → Y (ω) — иньективный гомоморфизм банаховых алгебр, назовем вложением X в Y ,
если {Hω (u(ω)) : u ∈ M (Ω, X )} ⊂ M (Ω, Y ). В случае равенства
{Hω (u(ω)) : u ∈ M (Ω, X )} = M (Ω, Y ) вложение H называется изоморфизмом из X на Y (в этой ситуации расслоения X и Y будут
называться изоморфными).
Предложение 2. Для всякой алгебры Банаха — Канторовича
U над L0 существует единственное с точностью до изоморфизма
измеримое расслоение банаховых алгебр (X , L) с векторнозначным
лифтингом lX такое, что U изометрически изоморфна L0 (Ω, X ), и
{lX (x)(ω) : x ∈ L∞ (Ω, X )} = X(ω) для всех ω ∈ Ω. При этом, если
U — унитальная алгебра, то X(ω) также — унитальная алгебра для
всех ω ∈ Ω.
Положим Ub = {u ∈ U : u ∈ L∞ (Ω)}. Ясно, что Ub является L∞ (Ω)-модулем, (bo)-плотным в U . С другой стороны, Ub —
банахова алгебра относительно нормы
u∞ = (u(·))L∞ (Ω) ,
u ∈ Ub .
Определим полунорму αω на Ub равенством αω (u) = p(u)(ω)
для всех ω ∈ Ω, где p — лифтинг на L∞ (Ω). Пусть Iω = {u ∈ Ub :
αω (u) = 0}. Возьмем такую последовательность (un )n∈N в Iω , что
un − u∞ → 0 для некоторого u ∈ Ub . Тогда αω (u) αω (un − u) +
αω (un ) un − u∞ → 0. Поэтому u ∈ Iω . Ясно, что λ1 u + λ2 v ∈ Iω
для всех u, v ∈ Iω , λ1 , λ2 ∈ C. Для u ∈ Iω , v ∈ Ub имеем αω (u ·
v) = p(u · v)(ω) p(u)(ω)p(v)(ω) = αω (u)p(v)(ω) = 0, т. е.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кудайбергенов К. К.
54
u · v ∈ Iω . Следовательно, Iω — замкнутый идеал в (Ub , · ∞ ). Пусть
X(ω) = Ub /Iω — фактор-алгебра и iω : Ub → X(ω) — естественный
гомоморфизм из Ub на X(ω). Тогда X(ω) — банахова алгебра [7,
теорема 1.11.1] относительно нормы
iω (u)0ω = inf{v∞ : u − v ∈ Iω },
u ∈ Ub , ω ∈ Ω.
Пусть ·ω — норма на X(ω), порожденная полунормой αω , ω ∈ Ω,
т. е. uω = αω (u), u ∈ Ub . Покажем, что
iω (u)ω = iω (u)0ω ,
u ∈ Ub , ω ∈ Ω.
Фиксируем ω ∈ Ω и u ∈ Ub . Если v ∈ Ub и u − v ∈ Iω , то
iω (u)ω = αω (u) αω (v) v∞ . Отсюда iω (u)ω iω (u)0ω . Покажем обратное неравенство. Пусть ε > 0. Положим Aε = {ω ∈ Ω :
p(u)(ω ) αω (u) + ε} и πε = χAε , uε = πε u. Тогда
πε u (αω (u) + ε)πε
и
(1)
πε⊥ u (αω (u) + ε)πε⊥ .
Из последнего неравенства получим, что p(πε⊥ u)(ω) (αω (u) +
ε)p(πε⊥ )(ω). Отсюда p(πε⊥ )(ω)(p(u)(ω) − αω (u)) εp(πε⊥ )(ω). Следовательно, 0 εp(πε⊥ )(ω) или p(πε )(ω) = 1. Поэтому αω (u − uε ) =
αω (πε⊥ u) = p(πε⊥ u) = p(πε⊥ )(ω)p(u)(ω) = αω (u) = 0. Следовательно, u − uε ∈ Iω . А из неравенства (1) получим uε = πε u =
πε u (αω (u) + ε)πε . Следовательно, uε ∞ αω (u) + ε. В силу произвольности ε > 0 получим, что iω (u)0ω iω (u)ω + ε,
т. е. iω (u)0ω iω (u)ω . Теперь зададим отображение X , ставящее в соответствие каждому ω ∈ Ω построенную выше банахову алгебру X(ω). Через L обозначим множество всех сечений вида
ω ∈ Ω : ω → iω (u), где u ∈ Ub . Ясно, что (X , L) является измеримым
расслоением банаховых алгебр.
Рассмотрим алгебру Банаха — Канторовича L0 (Ω, X ) с L0 -значной нормой · L0 (Ω,X ) . Покажем, что U изометрически изоморфно
L0 (Ω, X ). Для u ∈ Ub положим τ (u) = i
ω (u). Тогда для u ∈ Ub
и ω ∈ Ω имеем iω (u)ω = αω (u) = p(u)(ω). Следовательно,
∞
i
ω (u)L0 (Ω,X ) = u, и поэтому τ — изометрия из Ub в L (Ω, X ).
Так как τ (Ub ) содержит множество всех ступенчатых сечений, то
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О спектре элементов алгебр Банаха — Канторовича
55
τ — изометрия из Ub на L∞ (Ω, X ). Кроме того, τ (u · v) = iω
(u · v) =
iω (u)iω (v) = iω (u)iω (v) = τ (u)τ (v). Следовательно, τ — изометрический изоморфизм из Ub на L∞ (Ω, X ). Так как Ub (bo)-плотно в
U , то τ продолжается до изометрического изоморфизма из U на
L0 (Ω, X ). Кроме того, ясно, что τ будет сохранять умножение, т. е.
τ есть изоморфизм алгебр U и L0 (Ω, X ).
Теперь покажем, что (X , L) — измеримое расслоение с векторнозначным лифтингом. Определим отображение lX : L∞ (Ω, X ) →
L ∞ (Ω, X ) равенством
lX (û)(ω) = iω (τ −1 (û)),
û ∈ L∞ (Ω, X ).
Так как iω (τ −1 (û)) определен для всех ω ∈ Ω, то dom(lX (û)) = Ω.
Для û ∈ L∞ (Ω, X ) и ω ∈ Ω имеем
p(û)(ω) = p(τ −1 (û))(ω) =
= αω (τ −1 (û)) = iω (τ −1 (û))ω = lX (û)(ω)ω .
Линейность lX очевидна. Для û, v̂ ∈ L∞ (Ω, X ) имеем lX (û ·
v̂)(ω) = iω (τ −1 (ûv̂)) = iω (τ −1 (û))iω (τ −1 (v̂)) = lX (û)(ω) · lX (v̂)(ω).
По построению {lX (û)(ω) : û ∈ L∞ (Ω, X )} = X(ω). Покажем
единственность X . Пусть Y — измеримое расслоение банаховых
алгебр с векторнозначным лифтингом lY такое, что L0 (Ω, Y ) изометрически изоморфно U . Пусть i — изометрический изоморфизм
между L∞ (Ω, X ) и L∞ (Ω, Y ). Линейный оператор Hω : X(ω) →
Y (ω) (ω ∈ Ω) определим по правилу Hω (lX (û)(ω)) = lY (i(û))(ω), û ∈
L∞ (Ω, X ). Для û ∈ L∞ (Ω, X ) имеем
Hω (lX (û)(ω))Y (ω) = lY (i(û))(ω)Y (ω) =
= p(i(û))(ω) = p(û)(ω) = lX (û)(ω)X(ω) ,
т. е. Hω — изометрия. Точно так же из свойств векторнозначного лифтинга вытекает, что Hω — гомоморфизм и {Hω (u(ω)) : u ∈
M (Ω, X )} = M (Ω, Y ). Следовательно, X и Y изометрически изоморфны.
Теперь, если e — единица в U , то e ∈ Ub . Так как iω : Ub →
X(ω) — гомоморфизм, то eω = iω (e) — единица в X(ω) для всех
ω ∈ Ω. Подмножество K ПБК E над L0 называется циклическим, если
∞
πn xn ∈ E для всякой последовательности (xn ) из K и разбиения
n=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кудайбергенов К. К.
56
единицы (πn ) в ∇. Оператор T : E → E называется сохраняющим
∞
∞
πn xn =
πn T (xn ) для всякой послеперемешивания, если T
n=1
n=1
довательности (xn ) из E и разбиения единицы (πn ) в ∇. Для элементов a, b ∈ L0 будем писать a b, если a(ω) < b(ω) для почти
всех ω ∈ Ω. Как обычно, через Inv(U ) обозначим множество всех
обратимых элементов алгебры U .
Предложение 3. Пусть U — унитальная алгебра Банаха — Канторовича над L0 . Тогда имеют место утверждения:
а) если x ∈ U , x 1, то элемент e − x обратим и
(e − x)−1 − e x(1 − x)−1 ;
б) если x ∈ Inv(U ), h ∈ U и 2h x−1 −1 , то x + h ∈ Inv(U ) и
(x + h)−1 − x−1 2x−1 2 h;
(2)
в) отображение x ∈ Inv(U ) → x−1 непрерыво и сохраняет перемешивания.
а): Поскольку
∞
n=0
то ряд
(e − x)
∞
n=0
k
xn ∞
xn = (1 − x)−1 ,
n=0
xn (bo)-сходится к некоторому y ∈ U . Последовательность
xn = e − xk+1 (bo)-сходится одновременно и к (e − x)y =
n=0
y(e − x), и к e, поэтому y является обратным к e − x. Далее,
#
#
# ∞ n#
# x(1 − x)−1 .
x
(e − x)−1 − e = #
#
#
n=1
б): Так как x + h = x(e + x−1 h) и x−1 h x−1 h 1, то из
а) получаем, что x + h ∈ Inv(U ) и (x + h)−1 − x−1 2x−1 2 h.
в): Из неравенства (2) следует, что отображение u ∈ Inv(U ) →
u−1 ∈ Inv(U ) непрерывно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О спектре элементов алгебр Банаха — Канторовича
57
Пусть (xn )n∈N ⊂ Inv(U ), (πn )n∈N — разбиение единицы в ∇ и
∞
πn xn . Ясно, что
x=
n=1
∞
∞
−1
x
πn x−1
π
x
=
x = e.
n n
n
n=1
Поэтому x−1 =
∞
n=1
n=1
−1
πn x−1
—
n . Это означает, что x ∈ Inv(U ) → x
сохраняющее перемешивания отображение. Через Sp(x) (x ∈ U ) обозначим множество всех λ ∈ L0 , для которых элемент λe − x необратим.
Предложение 4. Для всякого x ∈ U множество Sp(x) непусто.
Так как Sp(x) = {(1 + x)λ : λ ∈ Sp((1 + x)−1 x)}, то можно считать, что x 1. Поэтому для всех ω ∈ Ω имеет место
lX (x)(ω)U (ω) 1. Следовательно, для каждого ω ∈ Ω существует
λω ∈ C, |λω | 1, такое, что
λω ∈ Sp(lX (x)(ω)).
(2)
Предположим, что Sp(x) = ∅. Пусть D = {λ ∈ L0 : |λ| 1}. Так как
отображение λ ∈ D → (λe − x)−1 непрерывно и сохраняет перемешивания, то существует
sup{(λe − x)−1 : λ ∈ D} = c ∈ L0 .
Возьмем ненулевой π ∈ ∇ такой, что πc ∈ L∞ (Ω). Тогда множество Ω0 = {ω ∈ Ω : p(π)(ω) = 1} имеет положительную меру.
Фиксируем ω ∈ Ω0 . По определению π(λe − x)−1 πc при всех
λ ∈ D. Поэтому π(λe − x)−1 ∈ L∞ (Ω, X ) при всех λ ∈ D. Применяя
лифтинг lX к равенству π(λe − x)−1 (λe − x) = πe получим
lX (π(λe − x)−1 )(ω)(p(λ)(ω)lX (e)(ω) − lX (x)(ω)) = lX (e)(ω).
Это показывает, что p(λ)(ω)eω − lX (x)(ω) — обратимый элемент
в U (ω) при всех λ ∈ D. Из свойств числового лифтинга p имеем {p(λ)(ω) : λ ∈ D} = {λω ∈ C : |λω | 1}. Поэтому всякий
λω ∈ C, |λω | 1, не принадлежит Sp(lX (x)(ω)) при всех ω ∈ Ω0 .
А это противоречит (2). Из полученного противоречия получим, что
Sp(x) = ∅. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кудайбергенов К. К.
58
Пусть ∇ — булева алгебра всех идемпотентов в L0 . Если U —
унитальная алгебра Банаха — Канторовича над L0 , то подалгебру
πU = {πx : x ∈ U }, π ∈ ∇, π = 0, будем рассматривать как унитальную алгебру с единицей πe. Через Spm(x) обозначим множество всех λ ∈ Sp(x) таких, что для всякого π ∈ ∇, π = 0, элемент
π(λe − x) ∈
/ Inv(πU ).
Следующий результат является вариантом теоремы Гельфанда о
спектре для элементов алгебр Банаха — Канторовича над L0 .
Теорема 5. Для всякого x ∈ U множество Spm(x) является непустым, (o)-замкнутым, циклическим и ограниченным подмножеством
в L0 .
1) Непустота. Для λ ∈ L0 положим
∇λ = {π ∈ ∇ : π = 0, π(λe − x) ∈ Inv(πU )}.
$
Пусть πλ = ∇λ . Ясно, что πλ (λe − x) ∈ Inv(πλ U ), и для всякого
π ∈ ∇, π πλ⊥ , верно
π(λe − x) ∈
/ Inv(πU ).
(4)
%
Положим π0 = {πλ : λ ∈ L0 } и π0 = 0. Тогда π0 (λe − x) ∈
Inv(π0 U ) для всех λ ∈ L0 . Это противоречит тому, что Spπ0 U (π0 x) =
∅. Поэтому π0 = 0. Теперь возьмем такую последовательность
%∞
(λn )n∈N ⊂ L0 , что n=1 πλn = 0. Положим q1 = πλ⊥1 , qn = πλ⊥n ∧
∞
⊥
, n > 1, и λ =
qn λn . Тогда (qn )n∈N — разбиение единиqn−1
n=1
цы в ∇. Возьмем π ∈ ∇, π = 0. Тогда πqk = 0 для некоторого
k ∈ N. По определению qk вытекает, что πqk πλ⊥k . Поэтому из
(4) получим πqk (λk e − x) ∈
/ Inv(πqk U ). Так как πqk λ = πqk λk , то
π(λe − x) ∈
/ Inv(πU ). Следовательно, λ ∈ Spm(x).
2) Цикличность. Пусть (λn )n∈N ⊂ Spm(x), (πn )n∈N — разбиение
∞
πn λn . Возьмем π ∈ ∇, π = 0. Тогда ππk = 0
единицы в ∇ и λ =
n=1
для некоторого k ∈ N. По определению πk вытекает, что ππk (λk e −
x) ∈
/ Inv(ππk U ). Так как ππk λ = ππk λk , то π(λe − x) ∈
/ Inv(πU ).
Следовательно, λ ∈ Spm(x).
(o)
3) Замкнутость. Пусть (λn )n∈N ⊂ Spm(x) и λn −→ λ. Предположим, что λ ∈
/ Spm(x). Тогда существует π ∈ ∇, π = 0, такое, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О спектре элементов алгебр Банаха — Канторовича
59
(o)
π(λe − x) ∈ Inv(πU ). Так как λn −→ λ, то из предложения 3а) найдется n ∈ N такое, что π(λn e − x) ∈ Inv(πU ). А это противоречит
тому, что λn ∈ Spm(x). Поэтому λ ∈ Spm(x).
4) Ограниченность. Пусть λ ∈ Spm(x). Предположим, что множество A = {ω ∈ Ω : |λ(ω)| > x(ω)} имеет положительную меру.
Из предложения 3а) получим, что χA (λe − x) обратим в χA U . А это
противоречит тому, что λ ∈ Spm(x). Поэтому χA = 0 и |λ| x. Литература
1. Kaplansky I. Modules over operator algebras // Amer. J. Math.—1953.—V. 75,
№ 4.—P. 839–858.
2. Takeuti G. C ∗ -algebras and Boolean valued analysis // Japan. J. Math.—1983.—
V. 9, № 2.—P. 207–246.
3. Кусраев А. Г. Мажорирумые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
4. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Введение в булевозначный анализ.—М.:
Наука, 2003.—526 с.
5. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск:
Изд-во Ин-та матем. СО РАН.—1995.—Т. 29.—C. 63–211.
6. Ганиев И. Г., Чилин В. И. Измеримые расслоения C ∗ -алгебр // Владикавк.
мат. журн.—2003.—Т. 5, вып. 1.—С. 35–38.
7. Иосида К. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1967.
Институт математики АН Республики
Узбекистан (Ташкент, Узбекистан);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.3
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА РАЗНОСТИ
ПОЛИЭДРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ1
Л. Н. Полякова, Н. В. Лабас
Изучаются условия минимума для функции, представимой в виде разности
полиэдральных выпуклых функций.
Изучение оптимизационных свойств разности выпуклых функций опирается на теоремы выпуклого анализа. Полиэдральные
функции являются наиболее простыми среди негладких выпуклых
функций.
Функция
f (x) = max{ai , x + bi }, ai ∈ Rn , bi ∈ R, i ∈ I := {1, . . . , m},
i∈I
называется полиэдральной функцией. Здесь и в дальнейшем через
∗, ∗ обозначено скалярное произведение. Полиэдральная функция
непрерывна на Rn и в каждой точке x ∈ Rn ее субдифференциал есть выпуклый многогранник. Для функции f в каждой точке x ∈ Rn для любого ε 0 существует ε-субдифференциал, при
n
этом ε-субдифференциальное отображение ∂ε f : Rn × (0, +∞) → 2R
непрерывно по Хаусдорфу. Для полиэдральной функции формула
ε-субдифференциала в каждой точке x ∈ Rn имеет вид [1]:
m
m
n
λi ai ∈ R ,
λi (f (x) − ai , x − bi ) ε,
∂ε f (x) = v =
i=1
i=1
m
λi = 1, λi 0, i ∈ I .
i=1
Таким образом, ε-субдифференциал полиэдральной функции f в
каждой точке x ∈ Rn есть выпуклый многогранник. Очевидно, что
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 06-01-00276.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оптимизационные свойства разности полиэдральных функций
61
ε-субдифференциал функции f в точке x при ε = 0 совпадает с ее
субдифференциалом в этой точке.
Замечание 1. Следует отметить тот факт, что точка ai , i ∈ I,
будет принадлежать множеству ∂ε f (x) при всех ε f (x)−ai , x−bi .
Используя сопряженную функцию, можно дать другое определение ε-субдифференциала выпуклой замкнутой собственной функции
f в точке x ∈ dom(f ):
!
"
∂ε f (x) = v ∈ Rn : f (x) + f ∗ (v) − x, v ε .
Демьянов В. Ф. ввел понятие гиподифференцируемой функции
и гиподифференциала [2]. Функция f называется гиподифференцируемой в точке x ∈ Rn , если существует такой выпуклый компакт
df (x) ⊂ Rn+1 , что справедливо разложение
f (x + ∆) = f (x) +
max
[a + v, ∆] + o(x, ∆), a ∈ R, v ∈ Rn ,
[a,v]∈df (x)
где
o(x, α∆)
→ 0 при α → 0 (∀∆ ∈ Rn ).
α
Множество df (x) называется гиподифференциалом функции f в точке x ∈ Rn . Гиподифференциал функции f в точке x ∈ Rn определяется неоднозначно. Функция f называется непрерывно гиподифференцируемой в точке x ∈ Rn , если она гиподифференцируема в
ней и в окрестности этой точки существует непрерывное (в метрике
Хаусдорфа) гиподифференциальное отображение df (x).
Полиэдральная функция является непрерывно гиподифференцируемой на Rn . В качестве непрерывного гиподифференциала полиэдральной функции f в точке x ∈ Rn можно, например, взять множество
& ai
(1)
⊂ Rn × R.
df (x) = co
ai , x + bi − f (x)
i∈I
n+1
непрерывЭто гиподифференциальное отображение df : Rn → 2R
но по Хаусдорфу. Очевидно, что это множество df (x) ⊂ Rn+1 есть
также выпуклый многогранник, содержащийся в полупространстве
H = {z = (z1 , . . . , zn , zn+1 )T ∈ Rn × R : zn+1 0}, где знак T обозначает транспонирование вектора. Для полиэдральной функции f
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полякова Л. Н., Лабас Н. В.
62
в точке x ∈ Rn определим число ε∗ (x) 0 по формуле
ε∗ (x) = max{f (x) − fi (x)}.
(2)
i∈I
Зафиксируем ε ∈ R, удовлетворяющее условию 0 ε ε∗ . Положим
dε f (x) = {z ∈ Rn+1 : z ∈ df (x),
z = (v, t)T , v ∈ Rn , t ∈ R, −ε t 0}.
(3)
Очевидно, что множество dε f (x) непусто, замкнуто и выпукло для
любых 0 ε ε∗ . Нетрудно заметить, что
dε1 f (x) ⊂ dε2 f (x),
0 ε1 ε2 ε∗ .
Лемма 1. Для любых 0 ε ε∗ (x) справедливо следующее
равенство:
(4)
∂ε f (x) = {v ∈ Rn : (v, t)T ∈ dε f (x)}.
Таким образом, если спроектировать множество dε f (x) на Rn , то
его проекцией будет ε-субдифференциал функции f в точке x.
Следствие 1. Для каждого ε ε∗ (x) справедливо равенство
&
∂ε f (x) = ∂ε∗ (x) f (x) = co
ai = dom(f ∗ ).
i∈I
Следствие 2. Если v ∈ ∂ε f (x), то точка zt = (v, t)T ∈ dε f (x) для
любого t ∈ [−ε, 0].
Пример 1. Пусть f (x) = max{x + 1, 2x}, x ∈ R.
Для данной функции dom(f ∗ ) = co{1, 2} ⊂ R. Используя формулу (1), имеем
1
2
df (x) = co
,
⊂ R2 .
x + 1 − f (x)
2x − f (x)
но,
1
2
Если x = 1, то df (1) = co
,
, и ε∗ (1) = 0. Следователь0
0
∂ε f (1) = ∂ε∗ (1) f (1) = ∂f (1) = co{1, 2}
(∀ε 0).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оптимизационные свойства разности полиэдральных функций
63
1
2
,
, и ε∗ (2) = 1. Следова−1
0
Если x = 2, то df (x) = co
тельно,
∂ε f (2) = co{2 − ε, 2} ⊂ R,
0 ε < ε∗ (2),
∂ε f (2) = ∂ε∗ (2) f (2) = ∂f (1) = dom(f ∗ ) (∀ε ε∗ (2)).
1
2
Если же x = 0, то df (0) = co
,
. Тогда из формулы
0
−1
∗
(2) имеем ε (0) = 1. Следовательно,
∂ε f (0) = co{1, 1 + ε} ⊂ R,
0 ε < ε∗ (0),
∂ε f (0) = ∂ε∗ (0) f (0) = ∂f (1) = dom(f ∗ ) (∀ε ε∗ (0)).
Обозначим через T (f, x) = df (x) + K, Tε (f, x) = T (f, x) ∩ P (ε), где
K = g ∈ Rn+1 : g = λe, e = (0, . . . 0, −1)T , λ 0 ,
' () *
n
H(ε) = z = (z1 , . . . , zn , zn+1 )T ∈ Rn+1 : zn+1 = −ε .
Лемма 2. Для любого фиксированного ε > 0 в каждой точке
x ∈ Rn справедливо равенство
!
"
∂ε f (x) = v ∈ Rn : (v, t)T ∈ Tε (f, x) .
Пусть f1 , f2 — конечные выпуклые на Rn функции и
f (x) = f1 (x) − f2 (x),
x ∈ Rn .
Функция f (x) квазидифференцируема на Rn и Df (x) = [∂f1 (x),
−∂f2 (x)] — ее квазидифференциал в точке x ∈ Rn , где ∂fi (x) — субдифференциалы выпуклых функций fi (x), i = 1, 2, в точке x ∈ Rn
в смысле определения выпуклого анализа.
Рассмотрим оптимизационную задачу: найти
inf f (x).
x∈Rn
Приведем необходимые условия оптимальности функции f на Rn .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полякова Л. Н., Лабас Н. В.
64
Теорема 1 [3]. Для того чтобы точка x∗ ∈ Rn была точкой
минимума функции f на Rn , необходимо, чтобы
∂f2 (x∗ ) ⊂ ∂f1 (x∗ ).
(5)
Если в точке x∗ ∈ Rn выполнено включение
∂f2 (x∗ ) ⊂ int ∂f1 (x∗ ).
(6)
то эта точка является точкой строгого локального минимума функции f на Rn .
Впервые необходимые и достаточные условия глобального минимума разности выпуклых функций были получены Ириа-Уррути [4].
Ириа-Уррути при выводе необходимых и достаточных условий глобального минимума разности выпуклых функций на Rn использовал
ε-субдифференциалы этих функций. Приведем формулировку этих
условий.
Теорема 2. Для того чтобы точка x∗ ∈ Rn была точкой глобального минимума функции f на Rn , необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось включение
∂ε f2 (x∗ ) ⊂ ∂ε f1 (x∗ ) ∀ ε 0,
(7)
где ∂ε fi (x∗ ) — ε-субдифференциалы выпуклых функций fi , i = 1, 2,
в точке x∗ .
Пусть f1 и f2 — полиэдральные функции, определенные на Rn ,
т. е.
f1 (x) = max f1i (x), f1i = {ai , x + bi }, I = {1, . . . , m},
i∈I
f2 (x) = max f2j (x), f2j (x) = {cj , x + dj }, J = {1, . . . , p},
j∈J
где ai , cj ∈ R , bi , dj ∈ R, i ∈ I, j ∈ J.
Рассмотрим функцию f (x) = f1 (x) − f2 (x). Тогда
n
f (x) = max{ai , x + bi } − max{cj , x + dj } =
i∈I
j∈J
= max{ai , x + bi } + min{−cj , x − dj } =
i∈I
j∈J
= min{−cj , x − dj + max{ai , x + bi }} =
j∈J
i∈I
= min max{ai , x + bi − cj , x − dj } =
j∈J i∈I
= min max{ai − cj , x + bi − dj } = min max hij (x) = min hj (x),
j∈J i∈I
j∈J i∈I
j∈J
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оптимизационные свойства разности полиэдральных функций
65
где hj (x) = maxi∈I hij (x), hij (x) = ai − cj , x + bi − dj , i ∈ I, j ∈ J.
Требуется минимизировать функцию f (x) на Rn . Несложно заметить, что
inf f (x) = infn min max hij (x) = inf infn max hij (x).
x∈Rn
x∈R
j∈J i∈I
j∈J x∈R
i∈I
Таким образом, решение данной задачи можно свести к решению конечного числа минимаксных задач, которые в свою очередь
сводятся к задачам линейного программирования. Если на каком-то
этапе целевая функция является неограниченной снизу, то, очевидно, и исходная задача также неограничена снизу. Поэтому эта задача
может быть решена за конечное число итераций.
Рассмотрим некоторые оптимизационные свойства функции f .
Приведем условия неограниченности функции f на Rn .
Теорема 3. Для того чтобы функция f была неограниченной
снизу на Rn , необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор
cj ∗ , j ∗ ∈ J, для которого выполняется условие
cj ∗ ∈ co
&
ai
.
(8)
i∈I
Заметим, что условие (8) всегда может быть проверено, поскольку множества I и J конечны.
Из теоремы 3 вытекают следующие необходимые и достаточные
условия:
Следствие 3. Для того чтобы функция f была неограниченной
снизу на Rn , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
dom(f2∗ ) ⊂ dom(f1∗ ).
Следствие 4. Для того чтобы функция f была ограниченной
снизу на Rn , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение
dom(f2∗ ) ⊂ dom(f1∗ ).
(9)
Предположим, что функция f ограничена снизу на Rn , т. е. выполнено условие (9). Приведем необходимые и достаточные условия
глобального минимума функции f на Rn .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полякова Л. Н., Лабас Н. В.
66
Теорема 4. Для того чтобы точка x∗ ∈ Rn была точкой глобального минимума функции f на Rn , необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие
cj
c
∗
, j
= ∅ ∀j ∈ J,
(10)
df1 (x ) ∩ co
f2j (x∗ ) − f2 (x∗ )
0
Необходимость. Пусть точка x∗ является точкой глобального минимума функции f на Rn . Предположим, что условие (10) не
выполняется. Тогда существует такой индекс j ∗ = j(x∗ ) ∈ J, что
cj ∗
c∗
, j
= ∅.
df1 (x∗ ) ∩ co
∗
∗
∗
f2j (x ) − f2 (x )
0
Обозначим через ε(x∗ ) = f2 (x∗ ) − f2j (x∗ ). Следовательно,
∗
dε(x∗ ) f1 (x ) ∩ co
cj ∗
f2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
c∗
, j
= ∅.
0
Из замечания 1 вытекает, что точка cj(x∗ ) ∈ ∂ε(x∗ ) f2 (x∗ ), но из формул (3) и (4) следует, что данная точка не принадлежит множеству
∂ε(x∗ ) f1 (x∗ ). Это противоречит тому факту, что точка x∗ является точкой глобального минимума функции f на Rn , поскольку для
каждого ε 0 справедливо включение (7). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть выполнено условие (10). Тогда ∂f2 (x∗ ) ⊂
∂f1 (x∗ ). Следовательно, необходимое условие локального минимума
функции f на Rn выполнено. Покажем, что выполнено включение
T (f2 , x) ⊂ T (f1 , x). Для этого докажем,
что справедливовключеcj ∗
ние df2 (x) ⊂ T (f1 , x). Если все точки
, j ∈ J,
f2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
содержатся в гиподифференциале функции f1 в точке x∗ , то
df2 (x∗ ) ⊂ df1 (x∗ ).
Поэтому для любого ε 0 в силу формулы (4) имеем
∂ε f2 (x∗ ) ⊂ ∂ε f1 (x∗ ).
Следовательно, точка x∗ является точкой глобального минимума
функции f на Rn .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оптимизационные свойства разности полиэдральных функций
67
−
Определим
индексное
множество J ⊂ J, для которого точcj ∗
ки
, j ∈ J − ⊂ J, не содержатся в множеf2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
стве df1 (x∗ ). Очевидно, что f2j (x∗ ) − f2 (x∗ ) < 0, если j ∈ J − . Таким образом, в множество J − не входят индексы j, для которых
f2j (x∗ ) − f2 (x∗ ) = 0.
Выберем произвольный индекс j ∈ J − и пусть
cj ∗
cj ∗
y(λj ) = λj
+ (1 − λj )
, λj ∈ [0, 1],
0
f2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
т. е. точка y(λj ) лежит на отрезке
cj ∗
cj ∗
,
.
co
f2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
0
Так как выполнено условие (10), то на каждом отрезке
cj ∗
c∗
co
, j
f2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
0
определим точки y(λ2j ) по правилу λ2j = minλj ∈[0,1] λj , если y(λj ) ∈
df1 (x∗ ), j ∈ J − .
cj ∗
Следовательно, отрезок co y(λ2j ),
соf2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
−
держится в множестве
T (f1 , x) для
каждого j ∈ J . Стало быть,
cj ∗
и все точки
, j ∈ J, принадлежат множеству
f2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
T (f1 , x). Отсюда вытекает, что df2 (x) ⊂ T (f1 , x). Из этого включения,
из леммы 2 и теоремы 2 следует выполнение достаточных условий
глобального минимума функции f в точке x∗ на Rn . Следствие 5. Условие (10) эквивалентно следующему условию:
cj ∗
c∗
0n+1 ∈ df1 (x∗ ) − co
, j
∀j ∈ J.
f2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
0
Следствие 6. Условие (10) эквивалентно следующему условию:
cj ∗
c∗
0n+1 ∈
, j
.
df1 (x∗ ) − co
f2j ∗ (x∗ ) − f2 (x∗ )
0
j∈J
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полякова Л. Н., Лабас Н. В.
68
Пример 2. Пусть f (x) = f1 (x) − f2 (x), x ∈ R, где
f1 (x) = max{|6x + 24|, |3x + 30|},
f2 (x) = max{|2x + 5|, |3x + 5|}.
Или
f1 (x) = max{6x + 24, 3x + 30, −6x − 24, −3x − 30},
f2 (x) = max{2x + 5, 3x + 5, −2x − 5, −3x − 5}.
Тогда имеем
⎧
⎪
⎨−6x − 24,
f1 (x) = 3x + 30,
⎪
⎩
6x + 24,
−∞ < x −6,
−6 < x 2,
2 < x ∞.
⎧
⎪
⎨−3x − 5, −∞ < x −2,
f2 (x) = 2x + 5,
−2 < x 0,
⎪
⎩
3x + 5,
0 < x ∞.
⎧
⎪
−3x − 19, −∞ < x −6,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−6 < x −2,
⎨6x + 35,
f (x) = x + 25,
2 < x 0,
⎪
⎪
⎪
25,
0 < x 2,
⎪
⎪
⎪
⎩3x + 19,
2 < x ∞.
Нетрудно заметить, что dom(f1∗ ) = co{−6, 6}, dom(f2∗ ) = co{−3, 3}.
Таким образом, функция f ограничена снизу, поскольку выполнено
включение dom(f2∗ ) ⊂ dom(f1∗ ).
Для данной функции точка x = −6 является точкой глобального
минимума. В этой точке f (−6) = −1 и
∂f1 (−6) = co{−6, 3}, ∂f2 (−6) = −3,
6
3
−6
−3
,
,
,
,
df1 (−6) = co
−24
0
0
−24
df2 (−6) = co
2
−20
−2
3
−3
,
,
,
.
−6
−26
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оптимизационные свойства разности полиэдральных функций
69
Очевидно, что условия (5) и (10) выполняются.
Точка x = 1 является точкой локального минимума, f (1) = 25,
функции f1 и f2 в этой точке дифференцируемы, при этом f1 (1) = 3,
f2 (1) = 3 и
6
3
−6
−3
,
,
,
,
df1 (1) = co
−3
0
−63
−66
df2 (1) = co
2
−1
−2
3
−3
,
,
,
.
−15
0
−16
Для этой точки необходимое условие минимума (5) выполняется,
а условие (10) не выполняется.
Рассмотрим точку x = 2. Эта точка является точкой строгого
локального минимума. В ней f (2) = 25 и
∂f1 (2) = co{6, 3}, ∂f2 (2) = 3,
6
3
−6
−3
,
,
,
,
df1 (2) = co
0
0
−72
−72
2
−2
3
−3
,
,
,
.
df2 (2) = co
−2
−20
0
−22
В данной точке необходимое условие строгого локального минимума (6) выполняется, условие (10) не выполняется.
Литература
1. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.—М.: Мир, 1973.—472 с.
2. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление.—М.: Наука, 1990.—431 с.
3. Полякова Л. Н. Необходимые условия экстремума квазидифференцируемых
функций // Вестн. Ленингр. ун-та.—1980.—№ 13.—С. 57–62.
4. Hiriart-Urruty J.-B. From convex minimization to nonconvex minimization:
Necessary and sufficient conditions for global optimality // In: Nonsmooth
Optimization and Related Topics / Ed. F. N. Clarke, V. F. Demyanov, and
F. Gian nessi.—New York: Plenum, 1989.—P. 219–240.
Санкт-Петербургский государственный
университет (Санкт-Петербург, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.98
АТОМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
В ЛОКАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В. Г. Фетисов
Статья содержит новые результаты, относящиеся к основным свойствам
класса атомических операторов в локально ограниченных пространствах
измеримых вектор-функций и к вопросу о разрешимости нелинейного
функционально-интегрального уравнения Урысона в пространствах измеримых вектор-функций.
Пусть (T, Σ, µ) — измеримое пространство с конечной неатомической мерой µ(T ) < +∞, Σ — σ-алгебра всех его µ-измеримых подмножеств. Обозначим через Σ0 σ-идеал подмножеств нулевой меры.
Отождествим все множества в Σ, которые различаются в смысле
симметрической разности на множествах нулевой меры, обозначим
:= Σ/Σ0 σ-алгебру классов измеримых множеств (часто начерез Σ
зываемую измеримой алгеброй).
с их предВ общем случае мы отождествляем элементы из Σ
ставлением из Σ, в частности, для e ∈ Σ соответствующий класс
обозначим через e или же через [e]. Условимся
эквивалентности в Σ
обозначать u|e = v|e , если u(s) = v(s) почти всюду на µ-измеримом
множестве e ⊂ T .
Через Lp (T, Σ, µ; X) (кратко Lp (X)) обозначим пространство Лебега — Бохнера всех классов µ-эквивалентных вектор-функций, суммируемых с показателем p > 0 на T и принимающих значения в некотором сепарабельном локально ограниченном пространстве X. Аналогично, обозначим через E(X) локально ограниченное простран→
ство (кратко ЛОП) всех измеримых вектор-функций −
x : T → X,
→
−
→
−
где x E(X) = x X E < +∞. Так, в ЛОП Лебега — Бохнера
Lp (X) F -норма определяется формулой вида:
→
−
x ; LP (X) =
T
p1
→
−
x (s)pX dµ(s)
< +∞ (0 < p < ∞);
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атомические операторы в локально ограниченных пространствах
71
соответственно, в пространстве Орлича — Бохнера L∗ϕ (X) — формулой
→
−
→
−
∗ϕ
ϕ( x (s)X /ε) dµ(s) ε ,
x ; L (X) = inf ε > 0 :
T
где ϕ-функция ϕ : R+ → R+ принадлежит классу Φ(L) П. Л. Ульянова.
Отображение ρ : E(X) → R+ назовем аддитивной формой, обусловленной F -нормой · на E(X), если:
→
→
→
→
а) для любых −
u, −
v ∈ E(X), где supp(−
u ) ∩ supp(−
v ) = ∅, выпол→
−
→
−
→
−
→
−
няется условие ρ( u + v ) = ρ( u ) + ρ( v );
→
→
x n ↓ 0 при n → ∞;
б) ρ(−
x n ) ↓ 0 ⇐⇒ −
→
→
x n kα , n ∈ N и (α, kα ) ∈ R2 .
с) ρ(−
x n ) α ⇐⇒ −
Примерами аддитивных форм для конкретных пространств из→
меримых вектор-функций −
u : T → X являются интегральные модуляры вида:
→
→
→
−
−
u (s)pX dµ(s), −
u ∈ Lp (X), p > 0,
ρ( u ) =
T
и
→
ρ(−
u)=
→
ϕ(−
u (s)X ) dµ(s),
−
→
u ∈ L∗ϕ (X),
T
если ϕ-функция удовлетворяет ∆2 -условию.
Назовем ЛОП E(X) пространством типа L(X), если: а) индикатор χT (s) принадлежит E(X); b) E(X) обладает абсолютно непрерывной F -нормой; c) в E(X) существует аддитивная форма. Так,
например, ЛОП Lp (X) (0 < p < ∞) является пространством типа
L(X); аналогично, для пространства Орлича L∗ϕ (X), если ϕ-функция ϕ : R+ → R+ удовлетворяет ∆2 -условию при всех значениях
аргумента.
Пусть (T1 , Σ1 , µ) и (T2 , Σ2 , µ) — два измеримых пространства.
если
Отображение F : Σ1 → Σ2 называется σ-гомоморфизмом,
/∞
)
=
(Σ
),
F
(T
\e)
=
T
\F
(e),
где
e
∈
Σ
и
F
(
e
F
(Σ
2
1
2
1
k=1 k ) =
/∞ 1
F
(e
)
для
любого
набора
попарно
дизъюнктных
µ-измеримых
k
k=1
/
— символ дизъюнктной суммы.
множеств {ek }∞
k=1 , где
Рассматриваемый σ-гомоморфизм сохраняет нуль-множества,
т. е. µ2 (F (e1 )) = 0, где µ1 (e1 ) = 0 (∀e1 ∈ Σ1 ). Естественно, что F
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фетисов В. Г.
72
1 → Σ
2 соотношением F(
индуцирует σ-гомоморфизм F : Σ
e1 ) :=
[F (e1 )].
1. Обозначим через Ek (Tk , Σk , µk ; Xk ) (или же кратко Ek (Xk )),
k = 1, 2 локально ограниченные пространства Лебега — Бохнера.
Следуя работе [1, стр. 469], введем
Определение 1. Назовем памятью оператора A : E1 (X1 ) →
2 семейство всех возможных e1 ∈ Σ
1,
E2 (X2 ) на множестве e2 ∈ Σ
→
−
→
−
таких, что для каждых элементов x , y ∈ E1 (X1 ), подчиняющихся
→
→
→
→
y |e1 имеем A(−
x )|e2 = A(−
y )|e2 . Иными словами,
условию −
x |e1 = −
→
→
→
→
1 : −
e2 ) := e1 ∈ Σ
x |e1 = −
y |e1 ⇒ A(−
x )|e = A(−
y )|e .
Mem(
2
A
2
Пример 1. Оператор сдвига Ag : S(X1 ) → S(X2 ) (где S — пространство измеримых функций с метрикой, индуцированной сходимостью по мере) определяет внутреннюю суперпозицию по формуле
→
→
x )(s2 ) := −
x (g(s2 )), где g : T2 → T1 есть (Σ2 , Σ1 )-измеримая
(Ag −
функция.
Для оператора Ag выполнено условие µ2 (g −1 (e1 )) = 0 для e1 ∈
1 : e1 ⊃ g(e2 )}.
e2 ) = {
e1 ∈ Σ
Σ1 , µ1 (e1 ) = 0. Отсюда MemAg (
n
Пример 2. Пусть T ⊂ R — компакт с n-мерной лебеговой мерой
µ, Σ — лебегова σ-алгебра. Зададим оператор A : L(X) → L(X) с
помощью формулы
→
−
x (t)X dt,
(Ax)(s) := χT (s)
T
т. е., оператор A отображает каждую функцию в ее интеграл Лебега
по множеству T . Тогда, очевидно, что MemA (
e) = {T} при µ(e) = 0
и MemA (
e) = Σ при µ(e) = 0.
Определение 2. Копамятью оператора A : E1 (X1 ) → E2 (X2 ) на
2 таких,
множестве e1 ∈ Σ1 назовем семейство всех возможных e2 ∈ Σ
−
→
→
−
что для каждых элементов x , y ∈ E1 (X1 ) выполняется условие: из
→
→
→
→
−
y |e1 следует A(−
x )|e2 = A(−
y )|e2 .
x |e1 = −
Иными словами,
→
→
→
→
2 : −
e1 ) := e2 ∈ Σ
x |e1 = −
y |e1 ⇒ A(−
x )|e1 = A(−
y )|e1 .
Comem(
A
Пусть даны S(X1 ) и S(X2 ) — пространства всех измеримых векторфункций, определенных на T1 и T2 и принимающих свои значения в
X1 и X2 соответственно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атомические операторы в локально ограниченных пространствах
73
Определение 3. Оператор A : S(X1 ) → S(X2 ) называется ло→
→
e) для всех e ∈ Σ таких, что −
x |e1 = −
y |e1
кальным, если e ∈ MemA (
→
−
→
−
→
−
→
−
влечет равенство образов A( x )|e = A( y )|e для всех x , y ∈ S(X1 ).
Это определение эквивалентно определению 1 работы [2] (см.
стр. 97), где локальный оператор A для любого множества e ∈ Σ
→
→
и любых двух функций −
x (s) и −
y (s) из S(X1 ), совпадающих почти
всюду на множестве e, действует так, что их соответствующие обра→
→
зы A(−
x ) и A(−
y ) также совпадают на e почти всюду.
Пример 3. Пусть X1 и X2 — сепарабельные локально ограниченные пространства, f : T × X1 → X2 — суперпозиционно-измеримая
функция [1, стр. 470]. Тогда нелинейный функциональный оператор
→
→
x )(s) := f (s, −
x (s)) является локальсуперпозиции Немыцкого (Nf −
ным.
Если f : T ×X1 → X2 есть каратеодориевая функция, то оператор
суперпозиции Немыцкого, являясь локальным, непрерывен по мере
µ (как оператор, действующий в S).
Определение 4. Оператор A : E1 (X1 ) → E2 (X2 ) называется
атомическим, если существует σ-гомоморфизм F : Σ1 → Σ2 , подe1 ) для всех e1 ∈ Σ1 тачиняющийся условию [F (e1 )] ∈ ComemA (
→
→
→
→
y |e1 влечет A(−
x )|F(e1 ) = A(−
y )|F(e1 ) для любых
ких, что −
x |e1 = −
→
−
→
−
x , y ∈ E1 (X1 ).
Как известно [1], каждый локальный оператор A : E1 (X1 ) →
E2 (X2 ) является атомическим; класс локальных операторов у́же
класса атомических операторов (см. примеры 3.2 и 3.3. на стр. 471
работы [1]).
Пример 4. Оператор сдвига Ag : S(T1 ; X) → S(T2 ; X) (называ→
x )(s) :=
емый внутренней суперпозицией), заданный формулой (Ag −
→
−
x (g(s)), где g : T2 → T1 , есть (Σ2 , Σ1 )-измеримая функция.
Для этого оператора сдвига, определенного на классах измеримых вектор-функций, имеем
e2 ) = {
e1 ∈ Σ1 , µ1 (e1 ) µ(g(e2 )), т. е. e1 ⊃ g(e2 )},
Mem(
Tg
причем µ2 (g −1 (e1 )) = 0 для e1 ∈ Σ1 , где µ1 (e1 ) = 0.
Наконец, класс атомических операторов замкнут относительно
композиций двух атомических операторов, например, композиции
оператора Немыцкого и оператора сдвига (т. е. оператор-композиция
→
(A−
x )(s) := Nf (Ag (x(s))) является атомическим).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
74
Фетисов В. Г.
Определение 5. Оператор A называется Д-оператором (или
оператором, сохраняющим дизъюнктность), если он преобразует
функции с дизъюнктными носителями в функции с дизъюнктными
→
→
носителями, т. е. для каждой пары −
x, −
y ∈ S(T ) имеем:
→
→
→
→
[supp(−
x )] ∩ [supp(−
y )] = ∅ ⇒ [supp(A(−
x ))] ∩ [supp(A(−
y ))] = ∅,
→
→
→
где supp(−
x ) := {s ∈ T : −
x (s) = Θ} для −
x ∈ S(X) (аналогично
→
−
определяется supp( y )).
Хорошо видно, что каждый линейный атомический оператор A
является Д -оператором. Верно и обратное (как следует из работ Дж.
фон Неймана и Сикорского), каждый Д -оператор представляет из
себя линейный атомический оператор, см. [6, гл. 5]. А что будет в
нелинейном случае?
Нелинейный Д -оператор в общем случае является неатомическим, как показывает пример 3.6. из [1, стр. 473–474].
Каждый атомический (атомный) оператор, действующий в «хороших» пространствах измеримых функций есть композиция локального оператора (типа оператора суперпозиции Немыцкого и оператора сдвига (простого или весового).
Последнее утверждение представляет собой основной результат
работы [1, теорема 3.8], где Xi , i = 1, 2, — сепарабельные банаховы
пространства, а атомический оператор A действует в пространствах
измеримых функций, т. е. A : S(X1 ) → S(X2 ).
Аналогичный результат (следствие 3.9. на стр. 476 работы [1])
имеет место, если (T1 , Σ1 , µ) есть стандартное измеримое пространство, Xi , i = 1, 2, — сепарабельные метрические пространства. Тогда
при условиях континуум-гипотезы для любого атомического оператора A, действующего в паре (S(X1 ), S(X2 )), справедливо представ→
x ∈ S(X1 ) имеет место
ление A = Nf ◦ Tg , т. е. для всех функций −
→
−
−
→
равенство: (A x )(s) = f (s, x (g(s))) почти всюду на T2 по мере µ.
Наконец, считая, что (T2 , Σ2 , µ) есть носитель неатомической меры µ, а X1 , X2 — сепарабельные банаховы пространства, в работе [1] изучались свойства действия, непрерывности и ограниченности
непрерывного по мере µ атомического оператора A : S(X1 ) → S(X2 ),
действующего в частном случае лебеговых банаховых пространств
Lp (X), где p 1. Было установлено, что атомический оператор,
действующий из одного лебегова пространства в другое, не всегда
непрерывен, что, конечно, контрастирует со свойствами локального
оператора суперпозиции Немыцкого (см. пример 3.12 из [1]).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атомические операторы в локально ограниченных пространствах
75
Атомический оператор, действующий в пространствах измеримых функций и являющийся локальным оператором, обладает важным свойством некомпактности (см. теорему 3.13 в работе [1] для
случая пространств Лебега — Бохнера Lp (X), 0 p ∞), если он
не является постоянной.
В работе М. Драхлина и Е. Степанова [3] доказано, что сильный предел последовательности операторов сдвига в пространствах
Лебега — Бохнера Lp (X) является оператором сдвига.
Аналогичное утверждение (см. [1, теорема 3.15]) справедливо и
для атомических операторов, действующих в пространстве Лебега —
Бохнера Lp (X) и сходящихся сильно к оператору A.
Рассмотрим теперь случай произвольных ЛОП E(X), где E —
ЛОП, а X — сепарабельное ЛОП, дополнительно считая, что исходное ЛОП E(X) является пространством типа L(X).
Множество M ⊂ E(X) назовем абсолютно ограниченным, если
lim
→
x ; E(X) = 0,
sup PΩ −
−
µ(Ω)→0 →
x ∈M
→
→
где PΩ −
x := χΩ (s) · −
x (s), χΩ (s) — индикатор измеримого множества Ω ⊂ T . Локально ограниченное пространство E(X) назовем
→
правильным, если любая вектор-функция −
x : T → X из E(X) имеет
абсолютно непрерывную F -норму [4].
Модельными примерами ЛОП типа L(X), являющихся правильными, могут служить ЛОП Лебега — Бохнера Lp (X) (0 < p < ∞);
Орлича — Бохнера L∗ϕ (X), если ϕ-функция ϕ : R+ → R+ удовлетворяет ∆2 -условию при всех значениях аргумента; Лебега — Рисса —
Бохнера L(α) (X), L(α) (X) и ряд других.
2. Рассмотрим оператор суперпозиции Немыцкого, действующий
в паре правильных пространств (E1 (X), E2 (X)), вида
→
→
x (s) := f (s, −
x (s)),
Nf −
характеристика f : T × X1 → X2 которого является каратеодориевой
функцией.
→
Лемма 1. Пусть некоторый элемент −
x ∗ правильного ЛОП
E1 (X1 ) обладает тем свойством, что для каждой последовательности
→∗
−
→
{−
x 0k }∞
k=1 , сильно сходящейся в E1 (X1 ) к элементу x , соответству−
→
0
ющая последовательность {f (s, x k (s))} есть абсолютно ограниченное множество M1 ⊂ E2 (X2 ). Тогда для любой последовательности
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фетисов В. Г.
76
→
{−
x 0k }∞
k=1 , сильно сходящейся в E1 (X1 ), последовательность образов
→
{f (s, −
x k (s))} представляет собой некоторое абсолютно ограниченное
множество M1 ⊂ E2 (X2 ).
Предположим противное. Тогда существует такое ε > 0, что
для любого δ > 0 и любого N > 0 найдутся множество e(δ) ⊂ T1 и
номер n(δ) > N такие, что µ(e(δ)) < δ, однако
→
x n(δ) (s)); E2 (X2 ) > ε,
Pe(δ) f (s, −
где P — оператор проектирования на множестве e(δ) ⊂ T1 , т. е.
→
→
x ) := χe(δ) · −
x (s).
Pe(δ) (−
Определим последовательность положительных чисел {δk }∞
k=1 ,
δk → 0 при k → ∞, и найдем соответствующие измеримые множества в T1 : e(δ1 ), e(δ2 ), . . . , e(δk ), . . . и номера n(δ1 ), n(δ2 ), . . . , n(δk ), . . .
→
→
Рассмотрим измеримые вектор-функции −
y k (s) = −
x n(δk ) (s) при
→
−
→
−
∗
s ∈ e(δk ) и, соответственно, y k (s) = x (s) при s ∈ T1 \e(δk ), k =
→
1, 2 . . . Докажем, что последовательность функций {−
y k (s)}∞
k=1 силь→
−
∗
но сходится к элементу x (s) ∈ E1 (X1 ). Имеем
→
→
→
→
−
yk −−
x ∗ ; E1 (X1 ) |−
yk −−
x ∗ |χ(T1 \e(δk )) (s); E1 (X1 )+
→
→
x k (s) · χe(δk) ; E1 (X1 ).
+−
x ∗ (s) · χe(δk ) (s); E1 (X1 ) + −
Так как ЛОП E1 (X1 ) — правильное, а по условию настоящей леммы
→
последовательность {−
x k (s)}∞
k=1 сходится сильно в E1 (X1 ), то данная последовательность представляет собой абсолютно ограниченное множество в E1 (X1 ).
Значит, при достаточно больших номерах k N правая часть
последнего неравенства становится сколь угодно малой. Итак,
→
→
x ∗ ; E1 (X1 ) → 0 при k N.
−
yk −−
Но тогда по условию леммы 1 последовательность функций
→
{f (s, −
y k (s))}∞
k=1 является абсолютно ограниченным множеством, а
→
x n(δ) (s)); E2 (X2 ) > ε. это противоречит неравенству Pe(δ) f (s, −
Доказанная лемма является важным базовым результатом для
следующего критерия непрерывности локального оператора Немыцкого в паре правильных ЛОП E(X) типа L(X), содержание которого
охватывается следующими двумя теоремами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атомические операторы в локально ограниченных пространствах
77
Теорема 1. Для того, чтобы атомический оператор суперпозиции Немыцкого N : E1 (X1 ) → E2 (X2 ), где Ek (Xk ), k = 1, 2, — правильные ЛОП, был непрерывен в любой точке из E1 (X1 ), необходимо и достаточно, чтобы для каждой сходящейся к нулю после→
довательности {−
x n (s)}∞
n=1 ⊂ E1 (X1 ) последовательность образов
−
→
∞
{f (s, x n )(s)}n=1 была абсолютно ограничена в E2 (X2 ).
Необходимость условия, очевидно, вытекает из непрерывности оператора N . Действительно, если функциональная последова→
тельность {−
x n (s)}∞
n=1 сходится в ЛОП E1 (X1 ) к нулевому элементу Θ(s), то в силу непрерывности оператора N последовательности
{f (s, xn )(s)}∞
n=1 должна сходиться в ЛОП E2 (X2 ). В условиях леммы 1 она должна быть абсолютно ограничена.
→
Докажем достаточность. Пусть {−
x k (s)}∞
k=1 — последователь→
x ∗ (s). В
ность функций из ЛОП E1 (X1 ), сходящаяся к элементу −
−
→
∞
силу леммы 1 последовательность «образов» {f (s, x k )(s)}k=1 представляет собой абсолютно ограниченное множество M ⊂ E2 (X2 ).
Как известно, локальный оператор N , являясь атомическим, сохраняет сходимость по мере [1]. Значит, последовательность «образов», сходящаяся по мере и являющаяся абсолютно ограниченным
→
x ∗ (s)). Следовамножеством, сходится по F -норме E2 (X2 ) к f (s, −
тельно, оператор Немыцкого является непрерывным в произвольно
выбранной точке ЛОП E1 (X1 ). Теорема 2. Если оператор Немыцкого N : E1 (X1 ) → E2 (X2 )
→
непрерывен лишь на одном элементе −
x ∗ (s) ∈ E1 (X1 ), то он непрерывен во всем пространстве E1 (X1 ).
Доказательство непосредственно следует из леммы 1 и теоремы 1, поэтому его опускаем. Всюду в дальнейшем рассматриваются ЛОП E(X) типа L(X) (в
частности, пространства с почти интегральной F -нормой [4]), операторы, содержащие внутренний оператор суперпозиции, а также атомические H-операторы, являющиеся обобщением вышеуказанных.
Теорема 3. Пусть оператор Немыцкого N действует из ЛОП
E1 (X1 ) в ЛОП E2 (X2 ) типа L(X). Тогда он является непрерывным
и ограниченным в паре (E1 (X1 ), E2 (X2 )).
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2
работы [5, cтр. 298–300], поэтому, мы его не приводим.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фетисов В. Г.
78
3. Рассмотрим далее поведение атомического оператора Урысона, имеющего вид
→
−
→
(A x )(s) :=
K(s, t, −
x (t)) dt, t ∈ T1 , s ∈ T2
T1
и действующего в паре ЛОП (E1 (X1 ), E2 (X2 )) типа L(X). Оператор
Урысона A : E1 (X1 ) → E2 (X2 ) является композицией A = I ◦ K0 ,
→
→
→
u )(s, t) := K(s, t, −
u (t)), а оператор (I −
υ (s)) :=
где
оператор (K0 −
−
→
υ
(s,
t)
dt.
Первый
из
них
действует
из
пространства
измериT1
мых вектор-функций одной переменной в ЛОП функций двух переменных, а второй — наоборот, из пространства измеримых векторфункций двух переменных в ЛОП функций одной переменной.
При исследовании различных свойств операторов такого типа, а
также разрешимости уравнений, содержащих вышеуказанные операторы, все большее применение получает принцип мажорации. Согласно ему, если для заданного оператора A существует мажоранта
B, т. е. оператор A подчиняется условию Aw B(w), то в этой
ситуации поведение оператора A (а значит, и соответствующее операторное уравнение Aw = f ) в некотором смысле «контролируется»
мажорантой B.
Эти основополагающие соображения явились базой метода мажорации, разработанного Л. В. Канторовичем, Б. З. Вулихом,
A. Г. Пинскером, Г. П. Акиловым и существенно продвинутого в
работах А. Г. Кусраева (см. монографию [6]).
В частности, на этом пути получена следующая
Теорема 4. Пусть E1 (X1 ) и E2 (X2 ) — два ЛОП типа L(X),
→
u (t)) и
причем E2 (X2 ) — правильное ЛОП, а функции K(s, t, −
−
→
R(s, t, u (t)) удовлетворяют условиям Каратеодори и
→
→
K(s, t, −
u (t))X1 R(s, t, −
u (t))X1 , t ∈ T1 , s ∈ T2 .
→
→
Пусть оператор Урысона (B −
u )(s) := T1 R(s, t, −
u (t))dt действует
и непрерывен в паре (E1 (X1 ), E2 (X2 )). Тогда оператор Урысона A :
E1 (X1 ) → E2 (X2 ) непрерывен в этой паре ЛОП.
→
→
Тот факт, что оператор Урысона A−
u (s) :=
K(s, t, −
u (t))dt
T1
действует из E1 (X1 ) в E2 (X2 ) непосредственно вытекает из условия
теоремы и определения ЛОП типа L(X). В доказательстве нуждается непрерывность исходного оператора A.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атомические операторы в локально ограниченных пространствах
79
→
Обозначим через {−
u n (s)}∞
n=1 произвольную последовательность
µ-измеримых вектор-функций, сходящуюся по F -норме ЛОП E1 (X1 )
→
теоремы мажорирующий
к функции −
u 0 (s) ∈ E1 (X1 ). По
условию
→
→
u (t))dt непрерывен как опеоператор Урысона (B −
u )(s) := T1 R(s, t, −
→
→
u n −B −
u 0 ; E2 (X2 ) →
ратор B : E1 (X1 ) → E2 (X2 ). Значит, имеем B −
0 при n → ∞, что свидетельствует о сходимости последовательности
→
−
→
«образов» B{−
u n (s)}∞
n=1 по мере µ к функции B u 0 (s).
→
−
∞
Поэтому, из { u n (s)}n=1 можно выбрать такую подпоследова→
−
→
тельность {−
u nk (s)}∞
n, k=1 , что «образы» — функции B u nk (s) схо→
−
дятся к B u 0 (s) почти всюду на T2 .
Очевидно, что и значения подынтегральных функций — ядер
→
R(s, t, −
u nk (t)) таковы, что можно считать, что подпоследователь→
ность {−
u nk (s)} выбрана таким образом, что соответствующая подпо−
→
→
следовательность {R(s, t, −
u nk (t))}∞
n=1 сходится к R(s, t, u 0 (t)) почти
всюду на T1 .
→
Из теоремы Витали следует, что интегралы B −
u nk (s) равносте→
пенно абсолютно непрерывны, поэтому и интегралы A−
u nk (s) равностепенно абсолютно непрерывны. Тем самым можно считать, что
→
подпоследовательность {−
u nk (s)}∞
n, k=1 выбрана таким образом, что
→
и подпоследовательность «образов» {K(s, t, −
u nk (t)}∞
n, k=1 сходится
−
→
на T1 почти всюду к функции K(s, t, u 0 (t)). Значит, последователь−
→
→
ность {A−
u nk (s)}∞
n, k=1 сходится к Au0 (s) почти всюду на T2 .
→
А так как подпоследовательность {R−
u nk (t)}∞
n, k=1 абсолютно
ограничена, то из условия теоремы вытекает, что и подпоследо→
вательность {K −
u nk (t)}∞
n, k=1 абсолютно ограничена. Отсюда уже
→
следует, что подпоследовательность {K −
u nk (t)}∞
n, k=1 сходится к
→
−
K u 0 (t) по F -норме пространства E2 (X2 ). Используя идею работы [7], обозначим через M (E(X)) множество
→
всех µ-измеримых по (s, t) ∈ T2 × T1 вектор-функций −
u (s, t), для
→
−
→
−
которых вектор-функция w (s) = T1 u (s, t)dt будет принадлежать
ЛОП E(X). Множество M (E(X)), будучи линейным, превращается
в ЛОП типа L(X), если F -норму в M (E(X)) задать формулой вида:
#
#
#
#
→
→
−
→
# = −
w ; E(X).
u
(s,
t)
dt;
E(X)
−
u (s, t); M (E(X)) := #
#
#
T1
Лемма 2. Если ЛОП E(X) — правильное пространство, то и
M (E(X)) — правильное пространство.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фетисов В. Г.
80
→
Пусть вектор-функция −
u (s, t) принадлежит ЛОП M (E(X)),
∞
а {Ωn }n=1 — такая последовательность измеримых множеств из T1 ,
для которых µ(Ωn ) → 0 при n → ∞. Тогда из свойства абсолютной
непрерывности интеграла Лебега
следует, что функциональная по
→
→
u (s, t)}∞
следовательность {−
y n (s) := Ωn ⊂T1 −
n=1 сходится к нулевой
→
−
функции Θ (s) почти при всех значениях s ∈ T2 .
Далее из неравенства вида:
→
→
−
→
|−
y n (s)| = u (s, t)dt |−
u (s, t)| dt (n = 1, 2, . . . ; Ωn ⊂ T1 ),
Ωn
Ωn
и из того факта, что ЛОП E(X) — правильное (по условию леммы), непосредственно вытекает, что последовательность вектор→
функций {−
y n (s)}∞
n=1 представляет собой абсолютно ограниченное множество в ЛОП E(X). Значит, в силу леммы 1 имеем
→
y n (s); E(X) = 0, откуда сразу следует правильность
limn→∞ −
ЛОП M (E(X)). Теорема 5. Пусть ядро интегрального оператора Урысона яв→
ляется каратеодориевой функцией и для каждой −
u (t) ∈ E1 (X1 )
−
→
ее «образ» K(s, t, u (t)) ∈ C(E2 (X2 )). Тогда оператор Урысона A :
E1 (X1 ) → E2 (X2 ), и для каждого абсолютно ограниченного множества M1 (E1 (X1 )) его «образ» M2 (E2 (X2 )) := AM1 (E1 (X1 )) есть
также абсолютно ограниченное множество в ЛОП E2 (X2 ).
Тот факт, что интегральный оператор Урысона
→
→
(A−
u )(s) :=
K(s, t, −
u (t)) dt
T1
действует из ЛОП E1 (X1 ) в ЛОП E2 (X2 ), очевидным образом следует из условия настоящей теоремы.
Покажем теперь, что для каждого множества C вектор-функций
из E1 (X1 ), имеющих абсолютно непрерывные F -нормы и для любого
числа ε > 0 существует такое δ = δ(ε) > 0, что из неравенства
→
u (t))|dt; E2 (X2 ) < ε,
µ(Ω) < δ вытекает неравенство Ω |K(s, t, −
→
−
где Ω ⊂ T1 , u (s) ∈ C(E1 (X1 )).
Предположим противное. Тогда найдутся такие ε0 > 0, после→
довательность вектор-функций {−
x k (s)}∞
k=1 из E1 (X1 ), представляющая абсолютно ограниченное множество, и такая последователь-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атомические операторы в локально ограниченных пространствах
81
−
→
ность { Ω k }∞
k=1 ⊂ T1 , что µ(Ωk ) → 0 при k → ∞, однако
#
#
#
#
−
→
#
#
|K(s,
t,
x
(t))|
dt;
E
(X
)
k
2
2 # > ε0 > 0,
#
Ω
где
считать, что
∞ можно
∞ k = 1, 2, . . . Без ограничения общности
→
−
x
µ(Ω
)
<
∞
и
выполняется
условие
P
k
Ωk
k ; E1 (X1 ) <
k=1
k=1
→
→
x k := χk · −
x k (χk — индикатор измеримого множества
∞, где PΩk −
Ωk ⊂ T1 при k = 1, 2, . . .).
В условиях настоящей теоремы при каждом номере k справедливо соотношение
#
#
#
#
−
→
#
lim #
|K(s, t, x k (t))| dt; E2 (X2 )#
# = 0,
µ(Д m )→0
Дm
∞
где Д m = i=m+1 Ωi .
Поэтому, существует такая целочисленная функция η = η(k), что
η(k) > k и выполняется условие
#
#
#
#
−
→
#
|K(s, t, x k (t)| dt; E2 (X2 )#
# > ε0 > 0.
#
Ω\Д η (k)
Полагаем далее k1 = 1, k2 = η(k1 ), k3 = η(k2 ), . . ., kn+1 =
η(kn ), . . . Тогда, очевидно, что меры множеств Gn := Ωkn \Д kn+1 ,
где n = 1, 2, . . ., стремятся к нулю при n → ∞, а сами множества
являются попарно дизъюнктными.
→
→
x kn (s) (n = 1, 2, . . .). Очевидно, что
Обозначим через −
z n (s) = −
→
−
→
−
вектор-функция u (s) := z n (s), если s ∈ Gn и, соответственно, рав∞
→
−
→
на нулевой (−
u (s) = Θ (s)), если s ∈ T1 \ n=1 Gn , будет принадлежать
E1 (X1 ).
Следовательно, по условию теоремы ядро оператора Урысона
будет принадлежать абсолютно ограниченному множеству в ЛОП
→
u ) имеет абсолютно непрерывную F -норму в
E2 (X2 ), т. е. K(·, ·, −
E2 (X2 ), где µ(Gn ) → 0 при n → ∞.
→
u (t))|dt; E2 (X2 ) > ε0 > 0 и
Но, с другой стороны, Gn |K(s, t, −
ясно, что получим противоречие. 4. Рассмотрим далее вопрос о существовании положительного решения функционально-интегрального нелинейного уравнения Урысона, имеющего вид
→
→
→
K(s, t, −
u (t)) dt + −
w (s) = Φ(s, −
u (s)), s ∈ T2 ,
T1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фетисов В. Г.
82
−
→
→
→
u (s) — искомое решение, −
w (s) и Φ(s, −
u (s)) — известные функции.
→
Будем предполагать, что вектор-функция Φ(s, −
u (s)) удовлетворяет условиям Каратеодори и является возрастающей функцией по
→
−
u при каждом фиксированном значении s ∈ T2 и, кроме того,
−
→
→
−
Φ(s, Θ ) = Θ , что, впрочем, не ограничивает
вопроса. Пусть
решение
→
→
ядро K оператора Урысона (A−
u )(s) := T1 K(s, t, −
u (t))dt является
→
возрастающей каратеодориевой непрерывной функцией по −
u при
−
→
→
−
почти всех значениях (s, t) ∈ T2 × T1 , и аналогично K(s, t, Θ ) = Θ .
Для простоты решение ищем в правильном ЛОП E(X) типа L(X).
→
→
w (s) ∈ E2 (X2 ).
Теорема 6. Пусть −
w (s) > 0 при каждом s ∈ T2 и −
→
→
−
u 0 (s)) ∈
Пусть существует вектор-функция u 0 (s) такая, что Φ(s, −
→
−
−
→
→
−
→
u 0 )(s).
E2 (X2 ), причем (A u 0 )(s) ∈ E2 (X2 ) и Φ(s, u 0 (s)) w (s)+(A−
Тогда исходное функционально-интегральное уравнение Урысона
→
имеет по крайней мере одно положительное решение −
u ∗ (s), причем
→
−
→
−
u ∗ (s) u 0 (s).
Теорема, аналогичная теореме 6, была доказана М. М. Вайнбергом, но только для частных случаев B-пространств C(T ) и
Lp (T ), p 1, скалярных измеримых функций.
→
−
→
→
Рассмотрим вектор-функцию −
y 0 (s) = Θ (s). Так как Φ(s, −
u)—
→
−
возрастающая по u функция, то существует единственная измери→
−
→
→
→
→
мая функция −
y 1 (s) Θ такая, что Φ(s, −
y1 (s)) = (A−
y 0 )(s) + −
w (s) =
−
→
−
→
→
−
→
−
−1
w (s), где y 1 (s) = Φ (s, w (s)). Кроме того, из оценки Φ(s, y1 (s)) =
→(s)) (согласно условию теоремы)
→
−
→
→
u
w (s) −
w (s) + (A−
y 0 )(s) Φ(s, −
0
→
−
→
→
−
y 1 (s) ∈ E2 (X2 ).
вытекает, что y 1 (s) u 0 (s), т. е. функция −
→
Теперь достаточно построить последовательность {−
y n (s)}∞
n=1
→
−
∗
итераций, сходящуюся в E2 (X2 ) к точному решению u (s).
→
→
→
y i−1 (s) −
y i (s) Если i-я итерация −
y i (s) уже построена, где −
→
−
→
−
u 0 (s), то (i + 1)-я итерация y i+1 (s) определяется из уравнения
→
→
→
Φ(s, −
y i+1 (s)) = (A−
y i )(s) + −
w (s),
i = 1, 2, . . .
Из последней оценки вытекает, что последовательность
→
{−
y i (s)}∞
i=1 сходится почти всюду на множестве T2 к некоторой
→
→
→
вектор-функции −
y (s), причем −
y (s) −
u 0 (s), откуда следует, что
→
−
функция y (s) ∈ E2 (X2 ).
→
Кроме того, так как вектор-функция −
u 0 (s) ∈ E2 (X2 ) (пра→
вильному ЛОП), то исходная последовательность {−
y i (s)}∞
i=1 абсолютно ограничена. Значит, согласно лемме 1, последовательность
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атомические операторы в локально ограниченных пространствах
83
→
→
−
{−
y i (s)}∞
i=1 сходится к вектор-функции y (s) по F -норме в ЛОП
E2 (X2 ).
→
→
Заметим, что выполняется равенство Φ(s, −
y (s)) = (A−
y )(s) +
→
−
→
−
→
−
→
w (s), где y (s) — решение исходного уравнения (A u )(s) + −
w (s) =
−
→
Φ(s, u (s)).
→
Можно показать, что −
y (s) — наименьшее из положительных решений исходного уравнения. Начиная с начального приближения
→
→
→
→
−
u i+1 (s)) = (A−
u i )(s)+ −
w (s), i = 0, 1, 2, . . ., можu 0 (s) и полагая Φ(s, −
но так же, как для случая B-пространств C(T ) и Lp (T ), p 1, убе→
диться в том, что итерационная последовательность {−
u i (s)}∞
i=1 схо→
дится по F -норме к наибольшему положительному решению −
u ∗ (s)
исходного функционально-интегрального уравнения Урысона. Теорема 7. Пусть E1 (X1 ) — произвольное ЛОП, E2 (X2 ) —
ЛОП типа L(X); ρ — аддитивная форма, обусловленная F -нормой
в E2 (X2 ); атомический оператор A : E1 (X1 ) → E2 (X2 ) подчиняется
условиям:
→
→
u 0 почти всюду на
(1) A(−
u ) 0 почти всюду на T2 , если −
→
−
T1 , u ∈ E1 (X1 );
→
→
→
→
u 1 + χΩ 2 −
u 2 ) χΩ1 · A(−
u 1 ) + χΩ2 · A(−
u 2 ) почти всюду
(2) A(χΩ1 −
→
−
→
−
на T2 , если u 1 , u 2 0 почти всюду на T1 , Ω1 и Ω2 — измеримые
подмножества в T1 , T1 = Ω1 ∪ Ω2 , Ω1 ∩ Ω2 = ∅.
Тогда для любого абсолютно ограниченного множества M ⊂
E1 (X1 ) образ A(M ) абсолютно ограничен в ЛОП E2 (X2 ).
От противного. Допустим, что найдется абсолютно ограниченное множество C в E1 (X1 ) такое, что образ A(C) ⊂ E2 (X2 ) не будет
абсолютно ограниченным.
Иными словами, существуют
числа ε0 > 0, последовательности
→
∞
⊂
C
и
{Ω
}
∈
{−
u k (s)}∞
k
k=1
k=1
1 , Ωk ⊂ T1 при каждом k, такие, что
→
−
µ(Ω
µ(Ωk ) → 0 при k → ∞, Σ∞
k ) < ∞, но χΩk · A( u k ); E2 (X2 ) >
k=1
ε0 > 0.
Обсуждая проблему, можно видеть, что найдется последовательность µ-измеримых множеств {Ωk }∞
k=1 ⊂ T1 такая, что Ωi ∩
→
u n (s)} ∈
Ωj = ∅, ∀i = j, и последовательность вектор-функций {−
→
−
всюду
на
T
при
каждом
n
∈
N, подE1 (X1 ), u n (s) 0 почти
1
∞
→
−
χ
(s)
·
u
(s);
E
(X
)
<
+∞,
но
чиняющаяся условиям
Ωn
n
1
1
n=1
→
u n ); E2 (X2 ) > ε0 > 0.
χΩn (s) · A(−
→
u n )) > ε0 > 0
Следовательно, найдется ε0 такое, что ρ(χΩn · A(−
при каждом n ∈ N.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фетисов В. Г.
84
→
→
→
Полагаем −
υ (s) = −
u n (s) при s ∈ Ωn и, соответственно, −
υ (s) = Θ
→
−
∞
при s ∈ T1 \(∪n=1 Ωn ). Очевидно, что функция υ (s) ∈ E1 (X1 ) и,
→
значит, по условию теоремы A(−
υ ) ∈ E2 (X2 ), так как оператор A
действует из E1 (X1 ) в E2 (X2 ).
С другой стороны, имеем
∞
∞
→
−
→
A(−
υ)=A
χΩ n · →
un χΩn · A(−
u n ),
n=1
n=1
∞
→
→
откуда следует, что A(−
υ ; E2 (X2 )) n=1 χn · A(−
u n ); E2 (X2 ).
Но так как для аддитивной формы ρ имеет место равенство
∞
∞
→
−
→
ρ
χΩn · A( u n ) =
ρ(χΩn · A(−
u n )) = ∞,
n=1
n=1
∞
→
→
то n=1 χΩn · A(−
u n) ∈
/ E2 (X2 ), т. е. A(−
υ)∈
/ E2 (X2 ). Получили противоречие. Лемма 3. Пусть χT (s) ∈ E10 (X1 ) (подпространству в E1 (X1 )
элементов, имеющих абсолютно непрерывную F -норму). Следующие
предложения эквивалентны:
→
а) A непрерывен по мере в «точке» −
u 0 ∈ E1 (X1 );
→
−
→
−
→
−
→
→
−
б) lim u →Θ µ(t : |A( u 0 + z ) − A( u 0 )| > α) = 0, где α > 0 и −
z
фиксированы.
Литература
1. Drakhlin M. E., Ponosov A., Stepanov E. On some classes of operators determined
by the structure of their memory // Proc. Edinburgh Math. Soc.—2002.—V. 45.—
P. 467–490.
2. Шрагин И. В. Локально определенные операторы и гипотеза Немыцкого // В
сб.: Функционально-дифференциальные уравнения.—Пермь: Изд-во Перм.
политех. ин-та, 1991.—С. 95–101.
3. Drakhlin M. E., Stepanov E. Convergence of composition operators and optimal
control problems // J. Nonlin. Anal.—1997.—V. 30.—P. 505–512.
4. Фетисов В. Г. Операторы и уравнения в F -квазинормированных пространствах: Дис. ... докт. физ.-мат. наук.—Новосибирск: ИМ СО РАН, 1996.—250 с.
5. Фетисов В. Г., Козоброд В. Н. Нормальные интегранты в локально ограниченных пространствах измеримых функций // Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию / под
ред. Ю. Ф. Коробейника и А. Г. Кусраева.—ВНЦ РАН, 2004.—С. 291–303.
6. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атомические операторы в локально ограниченных пространствах
85
7. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и
операторные дифференциальные уравнения.—М.: Мир, 1978.—335 с.
8. Фетисов В. Г., Безуглова Н. П. Локально ограниченные пространства векторфункций и нелинейные операторы в них // Владикавк. мат. журн.—Т. 3,
вып. 1.—2001.—С. 41–48.
Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН;
Южно-Российский государственный университет
экономики и сервиса (Шахты, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.984
ОЦЕНКА КРАТНОСТИ СПЕКТРА
КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
В. И. Филиппенко
Для самосопряженных расширений минимального симметрического оператора найдены оценки кратности спектра.
Введение
Пусть T0 — минимальный симметрический оператор с плотной
в гильбертовом пространстве H = L 2 [0, ∞) = L 2 (I ) областью
определения, порожденный некоторой формально самосопряженной
обыкновенной дифференциальной операцией произвольного четного прядка. Теория расширений симметрических операторов с выхо (H ⊂ H)
дом в некоторое объемлющее гильбертово пространство H
позволяет оценить ранг спектральной матрицы-функции самосопряженного расширения A : H → H оператора T0 [1].
Наймарк М. А. [2] и ряд других авторов с помощью различных
асимптотических методов теории обыкновенных дифференциальных
уравнений исследовали индексы дефекта, природу спектра и другие
спектральные характеристики минимального квазидифференциального оператора в терминах его коэффициентов. В этой работе для
самосопряженных расширений минимального симметрического оператор T0 найдены оценки кратности спектра в зависимости от поведения коэффициентов операции τ (y).
Пусть Eλ — спектральная функция оператора A; говорят, что
векторы u1 , u2 , . . . , um образуют порождающий базис этого оператора, если линейная оболочка множества всех векторов E∆ uk ,
k = 1, 2, . . . , m, плотна в L 2 [0, ∞). Спектр оператора A называется m-кратным, если m — минимальное число векторов, образующих
порождающий базис.
Сформулируем теорему, которая позволяет судить о кратности
спектра самосопряженного оператора A с областью определения
D(A) по поведению коэффициентов выражения τ (y) в окрестности
сингулярного конца [3].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка кратности спектра квазидифференциального оператора
87
Теорема. Пусть при любых λ ∈ [α, β] уравнение τ (y) = λy имеет
q линейно независимых решений v1 (x, λ), v2 (x, λ), . . . , vq (x, λ) таких,
что
1) v(x, λ) ∈ L 2 [0, ∞) (k = 1, 2, . . . , q);
2) f∗ (x)J
vk (x; λ)
= 0 (k = 1, 2, . . . , q) для любой функции
x=∞
f (x) ∈ D(A), где матрица J определена соотношением J = (εjk )2n
1 ,
причем εjk = 0 при j + k = 2n + 1, εjk = sign(j − k) при j + k =
2n + 1 (j, k = 1, 2, . . . , 2n);
q
3) среди линейных комбинаций k=1 ck vk (x, λ) нет собственных
функций оператора A;
4) каждая из вектор-функций vk (x; λ) при фиксированном x ∈ I
удовлетворяет условию Липшица относительно λ на сегменте [α, β].
Тогда кратность части спектра оператора A, заключенной в сегменте [α, β], не превосходит n − q.
1. Кратность спектра самосопряженного оператора
с суммируемыми коэффициентами
В этом параграфе получена оценка кратности спектра самосопряженного оператора A, порожденного обыкновенной дифференциальной операцией τ произвольного четного порядка 2n и разделяющимися краевыми условиями в гильбертовом пространстве L 2 [0, ∞).
1.1. Как известно, всякое формально самосопряженное обыкновенное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами имеет вид
τ (y) =
n
l=0
dk
(−1)
dxk
k
dk y
pn−k (x) k
dx
,
(1)
где p−1
0 (x), p1 (x), . . . , pn (x) — вещественные функции, суммируемые в
каждом конечном интервале [0, b], b > 0. Выражение (1) в пространстве L 2 [0, ∞) определяет замкнутый симметрический оператор T0
с индексом дефекта (m, m), где n m 2n. Обозначим через A
самосопряженное расширение оператора T0 , определяемое разделяющимися краевыми условиями. Кратность спектра оператора A не
превосходит n.
Предположим, что функции p10 , p1 , p2 , . . . , pn−1 , pn суммируемы в любом интервале [x0 , ∞), где x0 > 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Филиппенко В. И.
88
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
d
y
= A(x, λ)
y
dx
(2)
на промежутке [0, ∞), где A(x, λ) — квадратная матрица, состоящая из 2n строк и 2n столбцов, y(x) — 2n-мерный вектор-столбец.
Положим A = A0 + A1 , где
⎛
⎞
0
1 ... 0
0
0 ... 0
⎜ ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎟
⎜
⎟
⎜ 0
0 ... 1
0
0 ... 0 ⎟
⎜
⎟
1
⎜ 0
0 ... 0
0 ... 0 ⎟
p0
⎟
A=⎜
⎜ 0
0 ... 0
0 −1 . . . 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎟
⎜
⎟
⎝ 0
0 ... 0
0
0 . . . −1⎠
pn − λ 0 . . . 0
0
0 ... 0
и
⎛
0
⎜. . .
⎜
⎜0
⎜
A1 = ⎜
⎜0
⎜. . .
⎜
⎝0
0
0
...
0
0
...
pn−1
0
...
...
...
...
...
...
...
0
...
0
p1
...
0
0
0
...
0
0
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
⎞
0
. . .⎟
⎟
0⎟
⎟
0⎟
⎟,
. . .⎟
⎟
0⎠
0
причем в матрице A0 элемент p10 находится на пересечении n-й
строки и (n + 1)-го столбца, а все неотмеченные элементы в обе их матрицах равны нулю. Предположим, что функции p10 , p1 ,
p2 , . . . , pn−1 , pn суммируемы в интервале (x0 , ∞). Составим характеристическое уравнение матрицы A0 :
⎛
⎞
−w
1
... 0
0
0 ...
0
0
⎜ 0
−w . . . 0
0
0 ...
0
0 ⎟
⎜
⎟
⎜ ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..⎟
⎜
⎟
⎜ 0
0
. . . −1 0
0 ...
0
0 ⎟
⎜
⎟
1
0
... 0
0 ...
0
0 ⎟
det ⎜
p0
⎜ 0
⎟ = 0,
⎜ 0
0
... 0
0 −1 . . .
0
0 ⎟
⎜
⎟
⎜ ...
... ... ... ... ... ... ... ...⎟
⎜
⎟
⎝ 0
0
... 0
0
0 . . . −w −1 ⎠
pn − λ
0
... 0
0
0 ...
0
−w
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка кратности спектра квазидифференциального оператора
89
причем в этом определителе все неотмеченные места заняты нулями.
Раскрывая его в виде суммы произведений миноров первых n строк
и последних n строк, получим уравнение
w2n + (−1)
Предположим, что lim
x→∞
pn − λ
= 0.
p0
(3)
1
= 0, тогда из соотношения
p0 (x)
1
1
=
+
lim
x→∞ p0 (x)
p0 (x0 )
∞
x0
1
p0 (x)
dx
следует, что
p0 (∞) = lim
x→∞
1
= 0
p0 (x)
и, следовательно, при x0 достаточно большом p0 (x) сохраняет знак
в интервале (x0 , ∞).
Рассмотрим случай, когда p0 (x) > 0 в интервале (x0 , ∞); противоположный случай сводится к этому заменой λ и p0 на −λ и
−p0 . Обозначим через ρ = ρ(x; λ) измеримую функцию, значения
которой при любом значении x являются одним их корней 2n-й стеn
пени из (−1)n λ−p
p0 , тогда решениями уравнения (3) будут функции
wi = ρ(x, λ)εi , i = 1, 2, . . . , 2n, где ε1 , ε2 , . . . , ε2n — все различные
корни 2n-й степени из единицы.
Найденные собственные значения матрицы A0 составляют диагональную матрицу W. Как известно, существует некоторая матрица
B такая, что A0 B = BW. Повторяя рассуждения М. А. Наймарка
(см. [2, стр. 319]), получим
B = PEδ,
где P = diag(1, ρ, ρ2 , . . . , ρn−1 , p0 ρn , −p0 ρn+1 , . . . , (−1)n−1 p0 ρ2n−1 ),
δ = diag(δ1 , δ2 , . . . , δ2n ),
⎛
1
⎜ ε1
E=⎜
⎝ ...
ε2n−1
1
1
ε2
...
ε2n−1
2
...
...
...
...
⎞
1
ε2n ⎟
⎟.
... ⎠
ε2n−1
2n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Филиппенко В. И.
90
Функция ρ (x) суммируема в интервале (x0 , ∞), так как
∞
1
1 ∞
(λ − pn (x)) 2n −1 pn (x) dx = 2n(λ − pn ) 2n < ∞.
−
x0
x0
Предположим, что limx→∞ p0 (x) = 1, тогда, в силу соотношения
limx→∞ pn (x) = ∞, элементы матрицы dP
dx , а, значит, и матрицы
dB
суммируемы,
а
элементы
матриц
B
и
B−1 = E−1 P−1 ограничеdx
z приводит
ны в интервале (x0 , ∞). Поэтому преобразование y = B
систему (2) к L-диагональному виду
d
z
= (W + C)
z,
dx
(4)
где элементы матрицы C = B−1 A1 B − B−1 dB
dx суммируемы в интервале (x0 , ∞).
Пусть теперь вещественное число λ таково, что при x достаточно
большом (x > x0 ), вещественная часть каждой из функций wj −wk =
ρ(εj − εk ), j = k (j, k = 1, 2, . . . , 2n), сохраняет знак.
Если limx→∞ pn (x) = α, то элементы матриц C(x, λ) и W(x, λ)
будут аналитическими функциями параметра λ в угловой области
G, содержащей полуось Im λ = 0, Re λ > α. Следовательно, система
(4) имеет 2n линейно независимых решений
z1 = z1,k , z2 = z2,k , . . . , z2n = z2n,k ,
k = 1, 2, . . . , 2n,
таких, что zjk = exp(εk ξ)ηjk , j = 1, 2, . . . , 2n, где
x
1, если j = k,
ξ=
ρ(x) dx.
lim ηjk = δjk =
x→∞
0, если j = k,
x0
1.2. Преобразование y = B
z переводит эти решения в некоторые
решения системы (2) аналитические по λ в некоторой угловой области G. Учитывая формулы для матрицы B, приходим к следующей
теореме.
Теорема. Если функции p10 , p1 , p2 , . . . , pn−1 , pn суммируемы
в интервале [0, ∞), limx→+∞ p0 (x) = 1 и limx→+∞ pn (x) = α,
то уравнение τ (y) = λy имеет 2n линейно независимых решений
y1 (x, λ), y2 (x, λ), . . . , y2n (x, λ), аналитически зависящих от параметра λ в угловой области G λ-плоскости, содержащей полуось (α, ∞),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка кратности спектра квазидифференциального оператора
91
вместе со всеми своими квазипроизводными до (2n − 1)-го порядка
и такие, что при x → ∞
yk = exp(εk ξ)(1 + o(1)),
[1]
yk = εk ρ exp(εk ξ)(1 + o(1)),
.................................
[n−1]
yk
= εn−1
ρn−1 exp(εk ξ)(1 + o(1)),
k
..........................................
[2n−1]
yk
= (−1)n−1 p0 ε2n−1
ρ2n−1 exp(εk ξ)(1 + o(1)),
k
[ν]
где yk (ν = 1, 2, . . . , 2n − 1) — квазипроизводные функции
yk , εk —
x
все различные корни 2n-й степени из единицы, ρ = x0 ρ(t)dt.
Теорема. Если коэффициенты дифференциального выражения
τ (y) удовлетворяют условиям теоремы 1, то индекс дефекта оператора T0 , порожденного этим выражением в пространстве L 2 [0, ∞)
равен (n, n).
Учитывая знаки вещественных частей корней 2n-й степени из
единицы, приходим к следующей теореме.
Теорема. Если функции p10 , p1 , p2 , . . . , pn−1 , pn суммируемы в
интервале [0, ∞) и, кроме того, limx→+∞ p0 (x) = 1, limx→+∞ pn (x) =
α, то кратность непрерывного спектра самосопряженного оператора
A в промежутке [0, +∞) не превосходит единицы.
Учитывая, что при любом вещественном положительном λ число решений уравнения τ (y) = λy, принадлежащих пространству
L 2 [0, ∞), равно n − 1, т. е. меньше дефектного числа, можно утверждать, что в условиях теоремы 2 кратность непрерывного спектра,
заполняющего полуось [0, +∞), равна единице.
2. Кратность спектра самосопряженного
дифференциального оператора при pn (x) → ∞
2.1. Предположим, что коэффициенты выражения τ (y) удовлетворяют условиям:
(1) limx→∞ p0 (x) = 1, limx→∞ |pn (x)| = ∞;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Филиппенко В. И.
92
−2k
(2) пределы lim pk (x)p−1
(x) = ck существуют и конечны,
0 (x)τ
x→∞
1
2n ;
где τ (x) = (pn (x)p−1
0 (x)) n
(3) уравнение g(ξ) = k=0 (−1)k ck ξ 2n−2k = 0 не имеет кратных
корней;
4n+1
2 − 2n
(4) функции pk pn
(5)
− 2k+1
2n
, pk pn
− 2k+1
pk (x)pn 2n → 0 при
∞
1
|pn (x)|−1+ 2n dx =
x0
суммируемы в I при 0 k n;
x → ∞;
∞.
(6)
Обозначим через µj (x) корни уравнения
f (x, µ) =
n
(−1)k pk (x)µ2n−2k = 0
k=0
и положим
µ(x) = max |µj (x)|,
j
α(x) =
−2k
max |pk (x)p−1
(x)|,
0 (x)µ
k
−2k
(x)|.
β(x) = max |pk (x)p−1
0 (x)µ
k
В рассматриваемой ситуации асимптотика решений уравнения
τ (y) = λy определяется следующей теоремой.
Теорема. Пусть условия (1)–(5) выполнены и
∞
Re(µi (x) − µj (x)) dx < ∞,
0
а также
0
∞
x
1
|pn (τ )|−1+ 2n dτ
|pn (x)|(α2 + β) dx < ∞,
x0
если выполняется (6). Фиксируем R > 0. Тогда существует 2n линейно независимых решений yj (x, λ) уравнения τ (y) = λy, −∞ < λ <
+∞, для которых имеют место асимптотические формулы
x
− 2n−1
µj (t) dt (1 + o(1)),
yj (x, λ) = (pn (x)) 4n exp
x0
которые при любом фиксированном x 0 являются регулярными
функциями λ при |λ| R вместе со всеми своими квазипроизводными до порядка 2n − 1 включительно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка кратности спектра квазидифференциального оператора
93
Лемма. Пусть коэффициенты pk удовлетворяют условиям
iπ
)ξj ) при 1 j 2k,
(1)–(6) и, кроме того, Re ξj = 0 (ξj = exp( 2n
Re ξj = 0 при остальных j и λ ∈ [α, β]
g (ξi ) = g (ξj ),
i = j,
1 i, j 2k.
Пусть при Re ξi = 0 из равенства Re ξi = Re ξj следует, что либо
i = j, либо ξi = ξ j , и в этом случае выполнено условие Im g (ξj ) = 0.
Если при i = j и при достаточно больших x функции
µij (x, λ) = Im (µi (x, λ) − µj (x, λ))
(λ ∈ [α, β])
монотонны по x при любом λ ∈ [α, β]) и pn (x) = 0 при достаточно больших x, то число линейно независимых решений уравнения
τ (y) = λy (λ ∈ [α, β]), принадлежащих L 2 (I ), равно n − k.
2.2. С помощью теоремы, приведенной во введении, теоремы 4 и
леммы 1, получим следующее утверждение.
Теорема. Пусть условия предыдущей леммы выполнены и
∞ x
1
−1+ 2n
|pn (τ )|
dτ |pn (x)|(α2 + β) dx < ∞.
0
x0
Тогда кратность непрерывного спектра самосопряженного оператора A на отрезке [α, β] не превосходит k.
Литература
1. Филиппенко В. И. Спектральные разложения квазидифференциальных операторов по собственным функциям // Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование / Под. ред. Ю. Ф. Коробейника и
А. Г. Кусраева.—Владикавказ. ВНЦ РАН.—2006.—С. 232–236.
2. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.—М.: Наука, 1969.
—528 с.
3. Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве // Исследования по функциональному анализу и его
приложениям / Под ред. А. Г. Кусраева и В. М. Тихомирова.—М.: Наука,
2005.—С. 293–344.
Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН;
Южно-Российский государственный университет
экономики и сервиса (Шахты, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.9
ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВА ВСЕХ РАЗБИЕНИЙ ПЛОСКОСТИ
С ВЫКОЛОТОЙ ТОЧКОЙ НА ОКРУЖНОСТИ
И. С. Шрайфель, Е. А. Тер-Осипова
Найдены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы семейство
окружностей в комплексной плоскости C являлось разбиением множества
C\{0}. Доказана существенность каждого из этих условий.
Для произвольной окружности L = {z ∈ C : |z − z0 | = r}, где z0 ∈
C, r > 0, введем обозначения: J (L) = {z ∈ C : |z − z0 | < r}, K(L) =
J (L) ∪ L, E(L) = C\K(L). Докажем одно простое вспомогательное
утверждение.
Лемма. Для произвольной пары окружностей Cj = {z ∈ C :
|z − aj | = rj }, j = 1, 2, в комплексной плоскости C1 ⊂ J (C2 ) ⇔
|a2 − a1 | < |r2 − r1 | = r2 − r1 .
C1 ⊂ J (C2 ) ⇔ |a2 −a1 |+r1 < r2 (левая часть этого неравенства
есть расстояние от центра окружности C2 до наиболее удаленной от
него точки окружности C1 ) ⇔ |a2 − a1 | < r2 − r1 = |r2 − r1 |. Теорема. Пусть α — множество окружностей в комплексной
плоскости. Следующие три утверждения равносильны:
(A) α является разбиением множества C\{0};
(B) α имеет вид
α = {Cr }r>0 ,
Cr = {z ∈ C : |z − a(r)| = r},
(1)
a(r) — комплекснозначная функция положительного аргумента, удовлетворяющая условиям
(∀r > 0) |a(r)| = r,
∀r1 , r2 > 0, r1 = r2
|a(r2 ) − a(r1 )| < |r2 − r1 |,
lim (r − |a(r)|) = +∞;
r→+∞
(2)
(3)
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Описание множества всех разбиений плоскости
95
(C) α имеет вид (1), где комплекснозначная функция a(r) удовлетворяет условиям (3), (4), а также условию
(∀r > 0) |a(r)| < r.
(5)
(A) ⇒ (C): Покажем, что
(∀L ∈ α) 0 ∈ J (L).
(6)
Допустим, что это не так, т. е. существует окружность L0 ∈ α такая,
что 0 ∈ E(L0 ). В силу теоремы Хаусдорфа [1], во множестве {K(L) :
L ∈ α, K(L) ⊂ K(L0 )} можно найти максимальную цепь β, содержащую цепь {K(L0 )}. Поскольку β — центрированное семейство
замкнутых множеств6в компактном пространстве (K(L0 ), |z − w|),
D непусто [1]. Выберем какую-либо точку
то множество B =
D∈β
z1 ∈ B. Так как B ⊂ K(L0 ), то z1 = 0. Пусть γ — множество границ
кругов из β, z1 ∈ L1 ∈ α. Тогда для всякой окружности L ∈ γ\{L1 }
связное множество L1 лежит в той же компоненте связности множества C \ L, что и z1 , т. е. в J (L) [2]. Выбрав произвольную точку
z2 ∈ J (L1 ) (очевидно, что z2 = 0), аналогично найдем, что проходящая через
нее окружность L2 ∈ α содержится в J (L1 ), а зна6
J (L). В силу максимальности цепи β, L2 ∈ γ, откуда
чит, и в
L∈γ
z1 ∈ B ⊂ K(L2 ) ⊂ J (L1 ), что противоречит выбору L1 . Следовательно, условие (6) выполнено. Из него вытекают такие следствия:
(∀L, M ∈ α)
L ⊂ J (M ) или M ⊂ J (L);
(7)
в разбиении α нет двух окружностей одинакового радиуса. Докажем, что в семействе α найдется окружность произвольного положительного радиуса. При каждом x > 0 обозначим через C(x)
окружность из α, проходящую через точку x. Покажем, что радиус r(x) этой окружности является возрастающей на (0; +∞) функцией. В силу (6), K(C(x)) ∩ [0; +∞) = [0; x] при каждом x > 0.
Для любых 0 < x1 < x2 отрезок [0; x2 ] выходит за пределы круга
K(C(x1 )), подавно в этом круге не содержится круг K(C(x2 )). На
основании (7) заключаем, что C(x1 ) ⊂ J (C(x2 )) ⇒ r(x1 ) < r(x2 ).
Теперь докажем непрерывность слева функции r(x) в каждой точке x > 0. Пусть это не так, т. е. r(x0 ) > r0 для некоторой точlim r(x) (этот предел существует и коки x0 > 0, где r0 =
x→x0 −0
нечен, в силу возрастания функции r(x)). Выберем возрастающую
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Шрайфель И. С., Тер-Осипова Е. А.
96
последовательность (xn )∞
n=1 такую, что 0 < x1 < x0 = sup{xn :
∞
K(C(xn )). Поскольку K(C(xn )) ⊂
n 1}. Положим F =
n=1
J (C(xn+1 )), n = 1, 2, . . ., то ввиду непрерывности меры Лебега [1]
mes F = lim mes K(C(xn )) = lim π(r(xn ))2 = πr02 < π(r(x0 ))2 =
n→∞
n→∞
mes J (C(x0 )). Из этой оценки и включения F ⊂ J (C(x0 )) вытекает неравенство mes(J (C(x0 ))\F ) > 0, следовательно, существует
z ∈ J (C(x0 ))\F ; z = 0. Пусть z ∈ L ∈ α, {x } = L ∩ (0; +∞)
(в соответствии с (6) каждая окружность семейства α пересекает луч (0; +∞) в одной и только одной точке). Из принадлежно∞
6
E(C(xn ))) = G и связности множества
сти z ∈ J (C(x0 )) ∩ (
n=1
L следует вложение L ⊂ G [2], откуда вытекают неравенства
r(xn ) < r(x ) < r(x0 ) ⇒ xn < x < x0 , n = 1, 2, . . . ⇒ lim xn =
n→∞
x0 x < x0 . Полученное противоречие доказывает, что функция
r(x) непрерывна слева в каждой точке x > 0. Аналогично устанавливается ее непрерывность справа для всех x > 0. Итак, r(x)
непрерывна на (0; +∞). Отметим, далее, что в силу (6) при любом
x > 0 отрезок [0; x] является частью хорды окружности C(x), поэто−−−−
→ +∞. Из возрастания и положительному x < 2r(x), откуда r(x)−
x→+∞
сти на (0; +∞) функции r(x) следует существование неотрицательного предела lim r(x) = r̃. Предположим, что r̃ > 0, и рассмотрим
x→0+0
∞
6
множество U =
n=1
J (C( n1 )). Вновь воспользуемся непрерывностью
меры Лебега: mes U = lim mes J (C( n1 )) = lim π(r( n1 ))2 = πr̃2 >
n→∞
n→∞
0 ⇒ U \{0} = ∅, т. е. существует z̃ ∈ U, z̃ = 0. Пусть точка x̃ > 0
такова, что z̃ ∈ C(x̃) = L̃. Имеем L̃ ⊂ J (C( n1 )) ⇒ r(x̃) < r( n1 ),
n = 1, 2, . . . ⇒ r(x̃) lim r( n1 ) = r̃. С другой стороны, из возрасn→∞
тания r(x) на (0, +∞) следует неравенство r(x) > r̃ при всех x > 0,
в том числе и при x = x̃. Полученное противоречие означает, что
r̃ = 0. На основании всего сказанного приходим к заключению: множество значений функции r(x) есть (0; +∞), т. е. разбиение α имеет
вид (1). При этом выполнены условия (5)(⇔ (6)) и (3): в силу леммы,
(3) равносильно импликации
0 < r1 < r2 ⇒ Cr1 ⊂ J (Cr2 ).
(8)
Осталось доказать соотношение (4). Допустим, что оно не выполне-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Описание множества всех разбиений плоскости
97
но. Найдутся τ > 0 и бесконечно большая последовательность положительных чисел (rn )∞
n=1 такие, что rn − |a(rn )| τ , n = 1, 2, . . .
Положим an eiϕn = a(rn ), где an 0, ϕn ∈ [0; 2π), n = 1, 2, . . . Перейдя в случае необходимости к подпоследовательности, можем считать, что существует ϕ0 ∈ R такое, что |ϕn − ϕ0 | < π3 , n = 1, 2, . . .
Зафиксируем произвольное r > 0 и покажем, что z = −2τ eiϕ0 ∈ Cr .
Пусть номер n 1 таков, что rn > r ⇒ Cr ⊂ K(Crn ). При всех
z ∈ K(Crn ) имеем Re ze−iϕn Re a(rn )e−iϕn − rn = an − rn −τ >
i(ϕ0 −ϕn )
) = Re ze−iϕn ⇒ z ∈
/ K(Crn ) ⇒
−2τ cos(ϕ0 − ϕ
n ) = Re(−2τ e
/
Cr = C\{0} ⇒ |
z | = 2τ = 0. Полученное противореz ∈
/ Cr ⇒ z ∈
r>0
чие устанавливает (4).
(C) ⇒ (B): Очевидно.
(B) ⇒ (A): Покажем, что семейство (1) является разбиением
множества C\{0}. Выше было отмечено, что (3) ⇔ (8), подавно
окружности семейства α попарно не пересекаются. Условие (3) влечет непрерывность функции a(r) на (0; +∞), значит, то же можно
утверждать относительно функции f (r) = r −|a(r)|. В силу (4) существует r0 > 0 такое, что f (r0 ) > 0. Допущение неравенства f (r1 ) 0
при некотором r1 > 0 приводит к существованию корня r2 функции f (r) на отрезке с концами r0 , r1 , что противоречит условию (2).
Поэтому для любого r > 0 f (r) > 0, следовательно,
lim a(r) = 0.
(9)
r→0+0
Зафиксируем произвольное z ∈ C\{0} и убедимся в принадлежности
z некоторой окружности из α. Во-первых, отметим, что функция
g(r) = |a(r) − z| − r непрерывна на (0; +∞). Во-вторых, lim g(r) =
|z| > 0, в силу (9), а
r→0+0
lim g(r) =
r→+∞
lim (|a(r) − z| − (r − |a(r)|) −
r→+∞
|a(r)|) = −∞ на основании (4) и оценки |a(r) − z| − |a(r)| |z|.
Следовательно,существует ρ > 0 такое, что g(ρ) = 0 ⇒ z ∈ Cρ . Так
Cr , то α является разбиением множества C\{0}. как (2) ⇔ 0 ∈
/
r>0
Приведем примеры, доказывающие независимость условий (2),
(3), (4) в том смысле, что выполнение любых двух из них не гарантирует выполнения третьего (то же можно сказать и о системе
условий (2), (3), (5)).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Шрайфель И. С., Тер-Осипова Е. А.
98
1) Пусть
a(r) =
1,
r
2
− 1,
0 < r 4,
r > 4.
Тогда условия (3) и (4) выполнены, а условие (2) нарушено: a(1) = 1.
2) Если
⎧
r
⎪
0 < r 2,
⎨2,
a(r) = r − 1, 2 < r 4,
⎪
⎩r
2 + 1, r > 4,
то имеют место условия (4), (5), но не выполнено условие (3): |a(4) −
a(3)| = |4−3|. Заметим, что в этом примере функция a(r) непрерывна
на (0; +∞).
3) Пусть график действительнозначной функции a(r) на луче
1
− 1), n =
[0; +∞) есть ломаная с вершинами в точках (n; n + n+1
0, 1, . . . Тогда угловой коэффициент n-го звена ломаной равен 1 −
1
n(n+1) ∈ (0; 1), n = 1, 2, . . . ; отсюда вытекает условие (3). Кро1
− 1 n при n = 0, 1, . . ., приме того, 0 a(n) = n + n+1
чем равенства здесь достигаются лишь при n = 0. Следовательно,
|a(r)| = a(r) < r и при всех r > 0; условие (5) выполнено. Вместе с
1
−→ 1 при целых n 1, т. е. условие (4)
тем n − |a(n)| = 1 − n+1
n→∞
нарушено.
В заключение заметим, что не существует разбиения плоскости на окружности. Это утверждение может быть доказано тем
же способом, что и утверждение (6) из доказательства импликации
(A) ⇒ (C).
Литература
1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.—М.: Наука, 1989.—624 с.
2. Куратовский К. Топология. Т. 2.—М.: Мир, 1969.—624 с.
Южно-Российский государственный университет
экономики и сервиса (Шахты, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Часть II
Дифференциальные
уравнения и
численные методы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.946
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
С ОПЕРАТОРОМ ТРИКОМИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
Ж. А. Балкизов
В работе доказывается корректность постановки краевой задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка методом интегральных уравнений.
Рассмотрим уравнение
Uxxx − Ux − Uy − λU, y > 0,
0=
y<0
yUxx + Uyy ,
(1)
в области Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ AB, где Ω1 = {0 < x < 1, 0 < y < 1}, а
Ω2 — характеристический треугольник, ограниченный отрезком AB
прямой y = 0 и двумя характеристиками AC и BC уравнения (1),
выходящими из точек A(0, 0) и B(1, 0) соответственно и пересекающимися в точке C.
Задача. Найти функцию U (x, y) со следующими свойствами:
1. U (x, y) — регулярное решение уравнения (1) при y = 0;
2. U (x, y) ∈ C(Ω) ∩ C 1 (Ω);
3. U (x, y) удовлетворяет следующим граничным условиям:
UAC = ψ(x), 0 x 1/2,
Ux x (0, y) = ϕ1 (y), Ux (0, y) = ϕ2 (y),
Ux x (1, y) − β(y)U (1, y) = ϕ3 (y), 0 y 1,
(2)
(3)
где ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , β и ψ — известные достаточно гладкие функции.
Единственность решения поставленной задачи доказывается методом интегралов энергии. Докажем существование решения задачи (1)–(3). Обозначим U (x, 0) = τ (x), Uy (x, 0) = v(x). В уравнении (1)
в области Ω1 перейдем к пределу при y → 0+ . Учитывая граничные
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Балкизов Ж. А.
102
условия (3), получим функциональное соотношение между τ (x) и
v(x) принесенное из области Ω1 на прямую y = 0:
τ (x) − τ (x) − λ1 τ (x) = ν(x),
(4)
τ (0) = ϕ1 (0), τ (0) = ϕ2 (0), τ (1) − β(0) τ (1) = ϕ3 (0).
(5)
Чтобы получить функциональное соотношение между τ (x) и
v(x), принесенное из гиперболической части Ω2 на линию y = 0,
рассмотрим для уравнения (1) при y < 0 задачу Коши, считая τ (x),
v(x) заданными.
Задача Коши. Найти регулярное решение уравнения (1) при
y < 0, удовлетворяющее начальным условиям:
U (x, 0) = τ (x),
0 x 1,
(6)
Uy (x, 0) = ν(x), 0 < x < 12 .
Решение задачи (1)–(6) можно записать в виде [1]:
(1/3)
U (x, y) = 2
(1/6)
1 2
τ x + (−y)3/2 (2t − 1) t−5/6 (1 − t)−5/6 dt +
3
0
1 (5/3)
2
+2
ν x + (−y)3/2 (2t − 1) t−1/6 (1 − t)−1/6 dt.
(5/6)
3
0
(7)
Приравнивая выражение (7) на характеристике AC к функции
ψ(x), с применением известной формулы обращения интегрального
уравнения Абеля, будем иметь:
√
x
3 d
(x − ξ)−2/3 τ (ξ) dξ,
(8)
ν(x) = ψ(x) +
2π γ dx
где γ =
2/3
3
4
0
Γ2 (1/6)
3π Γ(1/3) ,
ψ(x) = −
√
3 x1/6 d
2π γ
dx
x
0
(x − ξ)−5/6 ψ(ξ/2) dξ .
Далее, исключая из (4) и (8) неизвестную функцию v(x), учитывая (5), получим краевую задачу для интегро-дифференциального
уравнения третьего порядка:
√
x
3 d
(x − ξ)−2/3 τ (ξ) dξ, (9)
τ (x) − τ (x) − λτ (x) = ψ(x) +
2π γ dx
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка
τ (0) = ϕ1 (0),
τ (0) = ϕ2 (0),
τ (1) − β(0) τ (1) = ϕ3 (0).
103
(10)
Решение задачи (9)–(10) эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода [2]
1
Gi (x, ξ)f (ξ) dξ+
τ (x) =
0
√ 1
ξ
d
3
+
Gi (x, ξ)
(ξ − s)−2/3 τ (s) ds dξ
2π γ
dξ
0
(11)
(i = 1, 2, 3),
0
где f (x) = ψ(x) + [ϕ1 (0)x2 /2 + ϕ2 (0)x − ϕ1 (0)/2 − ϕ2 (0) + (ϕ1 (0)−
ϕ3 (0))/β(0)]λ + ϕ1 (0) x + ϕ2 (0).
В зависимости от значений коэффициента λ, функция Gi (x, ξ)
определяется одной
√ из следующих формул:
1. при λ = ±(2 3)/9 функция Грина имеет вид
⎧
⎪
[k1 k2 (4 − 3k2 x) ek2 x − k22 ek1 x ] f1 (ξ) δ1−1 ,
0 x < ξ,
⎪
⎪
⎨
G1 (x, ξ) = [k1 k2 (4 − 3k2 x) ek2 x − k22 ek1 x ] f1 (ξ) δ1−1 +
⎪
⎪
2k2 ξ+k1 x
⎪
+(3k2 (x−ξ)−1) ek2 (x−ξ)
⎩
,
ξ < x 1,
+e
(k2 −k1 )2
где δ1 = [k1 k2 (k1 − k2 )(2k2 + k22 − β) − (k22 − β)(k1 − 2k2 )k1 ] ek2 − k22 (k12 −
β) ek1 = 0,
f1 (ξ) = −
e2k2 ξ+k1 (k12 −β)+e(k1 +k2 )ξ+k3 (k22 −β) (k2 −k1 )−(3k3 ξ+1) ek2 (1−ξ)
,
(k2 −k1 )2
√
√
3
2
0, k1 = ± 3 3 = −2k; k2 = k3 = k = ∓ 3 — корни
3
β = β(0) <
характеристического уравнения k − k − λ = 0 [3], соответствующего
однородному√уравнению√τ (x) − τ (x) − λτ (x) = 0.
2. при − 2 9 3 < λ < 2 9 3 имеем, что
⎧
⎪
[k2 k3 (k2 − k3 ) ek1 x + k1 k3 (k3 − k1 ) ek2 x +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
+k1 k2 (k1 − k2 ) ek3 x ]f2 (ξ) δ2−1 ,
0 x < ξ,
⎪
⎪
⎪
⎨
k x
k x
G2 (x, ξ) = [k2 k3 (k2 − k3 ) e 1 + k1 k3 (k3 − k1 ) e 2 +
⎪
⎪
−k2 )e(k3 +k2 )ξ+k1 x
⎪
⎪ +k1 k2 (k1 − k2 ) ek3 x ] f2 (ξ) δ2−1 − (k(k23−k
+
⎪
1 )(k1 −k3 )(k3 −k2 )
⎪
⎪
⎪
(u1 +k3 )ξ+k2 x
(k2 +k1 )ξ+k3 x
⎪
+(k2 −k1 )e
⎩ + (k1 −k3 )e
,
ξ < x 1,
(k2 −k1 )(k1 −k3 )(k3 −k2 )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Балкизов Ж. А.
104
√
√
2
1
где k1 = α0 , k2 = − α20 + 23 β0 , k3 = − α20 − 23 β0 , D = λ4 − 27
,
7
7
7
7
3 λ
3 λ
3 λ
3 λ
α0 =
+ |D| +
− |D|, β0 =
+ |D| +
− |D|,
2
2
2
2
δ2 = k1 k2 (k1 − k2 ) (k32 − β) ek1 + k2 k3 (k2 − k3 ) (k12 − β) ek2 +
+k1 k3 (k3 − k1 ) (k22 − β) ek3 = 0,
f2 (ξ) =
e(k1 +k2 )ξ+k3 (k32 − β) + (k3 − k2 )e(k2 +k3 )ξ+k1 (k12 − β)
+
(k1 − k2 )(k2 − k3 )(k3 − k1 )
+
(k1 − k3 )e(k1 +k3 )ξ+k2 (k22 − β)
.
(k1 − k2 )(k2 − k3 )(k3 − k1 )
√
√
3. при λ ∈ (−∞; − 2 9 3 ) ∪ ( 2 9 3 ; +∞) имеем
G3 (x, ξ) =
⎧
[α0 (4β02 − 3α02 − 8β0 α0 ) exp(− α20 x ) − β0 (α02 + 4β02 )]×
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0 x < ξ,
×f3 (ξ)(4δ3 )−1 · exp(− α20 x ),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨[α0 (4β02 − 3α02 − 8β0 α0 ) exp(− α20 x ) − β0 ( α02 + 4β02 )]×
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
×f3 (ξ)(4δ3 )−1 exp(− α20 x ) +
[6α0 (sin β0 ξ−cos β0ξ)
−
β0 (4β02 +9α20 )
α
4β0 (sin β0 ξ+cos β0 ξ)] exp( 20 (ξ−x))
+
β0 (4β02 +9α20 )
+4 exp(α0 (x − ξ))/(4β02 + 9α02 ),
−
ξ < x 1,
где
δ3 = α0 (β02 − 3α02 /4)[(α02 /4 − β02 − β) sin β0 − β0 α0 cos β0 ]×
× exp(−α0 /2) − β0 (α02 + 4β02 )(α02 − β) exp(α0 )−
−2β0 α02 [(α02 /4 − β02 − β) cos β0 + β0 α0 sin β0 ] exp(−α0 /2) = 0;
f3 (ξ) = −(6α0 sin β0 ξ − 4β0 cos β0 ξ)[(α02 /4 − β02 − β) sin β0 −
−β0 α0 cos β0 ] · exp((ξ − 1)α0 /2)/[β0 (9α02 + 4β02 )] − (α02 − β)×
× exp(α0 (1 − ξ))/(9α02 + 4β02 ) + (6α0 cos β0 ξ + 4β0 sin β0 ξ)×
×[(α02 /4 − β02 − β) cos β0 + β0 α0 sin β0 ] · exp(−α0 /2)/[β0 (9α02 + 4β02 )].
Разрешимость интегрального уравнения (11) устанавливается методом последовательных приближений. После того как найдено значение функции τ (x), значение v(x) можно найти по формуле (4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка
105
или (8). Следовательно, для нахождения решения исходной задачи в
области Ω1 приходим к задаче (1), (3) и U (x, 0) = τ (x), исследованной в работах [4, 5], а в области Ω2 оно определяется по формуле (6).
Литература
1.
2.
3.
4.
Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа.—М.: Изд-во иностр. лит., 1966.
Коллатц Л. Задачи на собственные значения.—М.: Изд-во иностр. лит., 1969.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры.—СПб.: Лань, 2005.
Елеев В. А. Краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка гиперболо-параболического типа //Украинский мат. журн.—1995.—Т. 47,
№ 47.—С. 20–29.
5. Абдиназаров С. О единственности решения одной краевой задачи типа задачи Бицадзе — Самарского для уравнения третьего порядка // Докл. АН
УзССР.—1982.—№ 9.—С. 13–15.
Кабардино-Балкарский государственный
университет (Нальчик, Россия)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.635.4
О СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ
М. Х. Бештоков
В данной работе получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решения первой начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка в многомерной области. Откуда следует единственность и устойчивость решения по начальным данным
и правой части в норме на слое.
1. Постановка задачи и априорная оценка
В цилиндре QT = G × [0 < t T ], основанием которого служит
p-мерный параллелепипед G = {x = (x1 , . . . , xp ) : 0 < xα < α ,
α = 1, 2, . . . , p} c границей Γ, G = G + Γ, рассматривается первая
начально-краевая задача
∂u
= Lu + f (x, t),
∂t
u(x, t) = 0,
x ∈ Γ,
u(x, 0) = u0 (x),
где
Lu =
p
(x, t) ∈ QT ,
(1)
0 t T,
(2)
x ∈ G,
(3)
Lα u,
α=1
∂ ∂ ∂ ∂u ∂u kα (x, t)
+
kα (x, t)
+
∂xα
∂xα
∂t ∂xα
∂xα
∂u
+ rα (x, t)
− qα (x, t)u,
∂xα
Lα u =
0 < c1 kα (x, t) c2 , |kαt (x, t)|,
|kαxα (x, t)|, |rαxα (x, t)|, |rα (x, t)|, |qα (x, t)| c3 ,
c1 , c2 , c3 — постоянные, α = 1, 2, . . . , p.
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О сходимости разностных схем
107
Будем считать, что заданные в уравнении (1) коэффициенты удовлетворяют необходимым, по ходу изложения, условиям гладкости.
Допуская существование регулярного решения дифференциальной задачи (1)–(3), получим априорную оценку для ее решения. Введем скалярное произведение
uvdx,
(u, v) =
(u, u) =
G
u2 dx = u20 ,
G
u2L2 (0,α ) =
α
u2 (x, t)dxα ,
u2x =
p
u2xα .
α=1
0
Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Для этого уравнение (1) умножим скалярно
на u и получим основное энергетическое тождество
p
(ut , u) =
+
(kα uxα )xα , u +
α=1
p
rα uxα , u −
p
α=1
p
α=1
(kα uxα )xα t , u +
(5)
qα u, u + (f, u).
α=1
Преобразуем интегралы, входящие в тождество (5), с учетом
условий (2):
(ut , u) =
p
ut udx =
G
1 ∂
u20 ;
2 ∂t
(kα uxα )xα , u
α=1
p
=
p
(kα uxα )xα udx = −
G α=1
(kα uxα )xα t , u
α=1
=
p
p α=1 G
(kα uxα )xα t udx =
G α=1
=−
kα u2xα dx;
p p 1 ∂ 1
kα u2xα dx −
kαt u2xα dx;
2 ∂t α=1
2 α=1
G
G
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
108
p
Бештоков М. Х.
rα uxα , u
=
α=1
p
G
p
1
rα uxα udx =
2
α=1
α=1
1
+
2 α=1
p
rα2 u2xα dx
G
u2 dx;
G
p
p
p qα u, u = −
qα u2 dx c3
u2 dx;
−
α=1
G α=1
f udx (f, u) =
α=1 G
1
1
f 20 + u20 .
2
2
G
Подставляя полученные оценки в тождество (5), находим
p p p
1 ∂
1 ∂ 1
u20 +
kαu2xα dx +
kαu2xα dx −
kα tu2xα dx+
2 ∂t
2
∂t
2
α=1
α=1
α=1
G
G
p 1
1
2
kαt uxα dx +
rα2 u2xα dx+
+
2 α=1
2 α=1
p
G
+
p p 1
1
1
u2 dx + c3
u2 dx + u20 + f 20 .
2 α=1
2
2
α=1
G
G
Откуда следует неравенство
p ∂
∂ 2
2
u0 +2c1 ux 0 +
kα u2xα dx M1 (ux 20 +u20 )+f 20 , (6)
∂t
∂t α=1
G
где M1 — положительная постоянная.
Проинтегрируем (6) по τ от 0 до t, тогда получим
u20
t M2
0
+
ux 20
t
+
ux 20 + u20 dτ + M3
ux 20 dτ 0
t
(7)
f 20 dτ + u0 (x)2W 1 (G) ,
2
0
где M2 , M3 — положительные постоянные, зависящие только от
входных данных задачи (1)–(3).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О сходимости разностных схем
109
Применяя к (7) лемму Гронуолла, получаем априорную оценку
u2W 1 (G)
2
t
+
ux 20 dτ
t
2
2
M (t)
f 0 dτ + u0 (x)W 1 (G) ,
0
2
(8)
0
где M (t) — зависит только от входных данных задачи (1)–(3).
Из априорной оценки (8) следует единственность решения исходной задачи (1)–(3) и непрерывная зависимость решения задачи от
входных данных на каждом временном слое в норме пространства
W21 (G).
2. Построение разностной схемы.
Устойчивость и сходимость
Перейдем к построению разностной схемы для дифференциальной задачи (1)–(3). Разобьем p-мерное пространство переменных
x1 , x2 , . . . , xp (p − 1)-мерными гиперплоскостями xiαα = iα hα , α =
1, 2, . . . , p, hα = Nαα на p-мерные параллелепипеды. Вершины этих
параллелепипедов будем называть узлами сетки. Множество узлов,
принадлежащих открытой области G = G\Γ назовем внутренними
(i )
(i )
узлами и обозначим через wh = {xi = (x1 1 , . . . , xp p ), 0 < α < Nα }.
Множество узлов, принадлежащих границе Γ, назовем граничными узлами γh = {xi ∈ Γ}. Тогда в замкнутой области QT равномерная сетка примет вид [2]:
ω hτ = ω h × ω τ = {(xi , tj ) : x ∈ ω h , t ∈ ω τ },
ωh =
p
8
ω hα ,
ω = {xiαα = iα hα : iα = 0, 1, 2, . . . , Nα , Nα hα = α },
α=1
ω τ = {tj = jτ : j = 0, 1, . . . , m, mτ = T }.
На сетке ω hτ дифференциальной задаче (1)–(3) поставим в соответствие разностную схему с весами, порядка аппроксимации O(h2 +
τ mσ ):
t̄)(σ) +
yt = Λ(
p
α=1
(aα yx̄α )xα t + ϕ,
(x, t) ∈ ωh × ωτ ,
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бештоков М. Х.
110
y |γh = 0,
p
t̄) =
где Λ(
y(x, 0) = u0 (x),
x ∈ ωh ,
(10)
α (t̄),
Λ
α=1
(σ)
(σ)
+1 (σ)
−
(σ)
α (t̄)y (σ) = χα (aα yx̄α
Λ
)xα + b+
, χα =
α aα yxα + bα aα yx̄α − dα y
Rα =
0,5hα |rα |
kα
1
1+Rα ,
— разностное число Рейнольдса,
y (σ) = σ ŷ + (1 − σ)y, ŷ = y j+1 , y = y j , rα = rα+ + rα− , |rα | = rα+ − rα− ,
rα+ = 0,5(rα + |rα |) 0, rα− = 0,5(rα − |rα |) 0,
aα = kα (x(−0,5α) , t̄), t̄ = tj+0,5 = (j + 0,5)τ, tj+ αp = tj +
b±
α
r±
= α,
kα
dα (x, tj ) = qα (x, t̄j ),
2,
mσ =
1,
α
ατ
= j+
τ,
p
p
σ = 12 ,
σ = 12 ,
yi − yi−1
yi+1 − yi
y j+1 − y j
, ψ = O(h2 + τ 2 ),
, yxα =
, yt =
hα
hα
τ
= x1 , . . . , xα−1 , xα − 0,5hα , xα + 1, . . . , xp , ϕ(xi , tj ) = f (xi , t̄j ),
yx̄α =
x−0,5α
τ, h — шаги сетки.
Для схемы (9), (10) не справедлив принцип максимума, поэтому
получить априорную оценку для ее решения в равномерной метрике не удается. Воспользуемся методом энергетических неравенств и
введем скалярное произведение в виде
(u, v) =
u(x)v(x)h1 h2 . . . hp =
x∈ωh
=
N
1 −1 N
2 −1
Np −1
···
i1 =1 i2 =1
u(i1 h1 , i2 h2 , . . . , ip hp )×
ip =1
× v(i1 h1 , i2 h2 , . . . , ip hp )h1 h2 · · · hp ;
(u, v] =
N1 N2
i1 =1 i2 =1
···
Np
u(i1 h1 , i2 h2 , . . . , ip hp )×
ip=1
× v(i1 h1 , i2 h2 , . . . , ip hp )h1 h2 · · · hp .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О сходимости разностных схем
111
p
Введем норму (u, u) = u2 , (u, v] = u]|2 , Yx̄ ]|2 = α=1 Yx̄α ]|2 .
Умножим теперь разностное уравнение (9) скалярно на Y = y + y
и перепишем при σ = 0,5
t̄)Y, Y ) +
(yt , Y ) = 0,5(Λ(
p
(aα yx̄α )xα t , Y
+ (ϕ, Y ).
(11)
α=1
Преобразуем суммы, входящие в тождество (11), с учетом условий (10):
(yt , Y ) =
1
(ŷ − y), ŷ + y
τ
t̄)Y, Y ) =
(Λ(
p
=
(1, ŷ 2 ) − (1, y 2 )
= (1, y 2 )t ;
τ
α (t̄)Y, Y
Λ
=
α=1
=
p
−
(aα λα Yx̄2α ]
α=1
+
−
p
(a+
α yx̄α , Y
α=1
=−
+1
(b+
α aα , Y Yxα )+
α=1
(b−
α aα , Y Yx̄α ) −
p
(aα λαx̄α , Y Yx̄α ) +
α=1
p
α (t̄)Y, Y ) =
(Λ
α=1
α=1
p
p
p
(dα , Y 2 );
α=1
p
(aαt yx̄α , Yx̄α ] −
α=1
p
2
aj−1
α (1, yx̄α ]t ;
α=1
Учитывая полученные результаты, из (11) находим
(1, y 2 )t +
=−
+
p
p
1
2
2
(aα χα , Yx̄α
]+
(aj−1
α (1, yx̄α ]t =
2 α=1
α=1
p
p
1 + +1
1
(aα χαx̄α , Y Yx̄α ] +
(b a , Y Yxα )+
2 α=1
2 α=1 α α
(12)
p
p
p
1 −
1
(bα aα , Y Yx̄α ) −
(aαt yx̄α , Yx̄α ] −
(dα , Y 2 ) + (ϕ, Y ).
2 α=1
2
α=1
α=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бештоков М. Х.
112
В (12) оценим каждое слагаемое следующим образом:
(1, y 2 )t = y2 t ;
p
aα χ, Yx̄2α
M1
α=1
p
1, Yx̄2α = M1 (1, Yx̄ ] = M1 (Yx̄2 ] = M1 Yx̄2 ]|;
α=1
p
2
aj−1
α (1, yx̄α ]t c1
α=1
−
p
p
(1, yx̄2α ]t = c1 (1, yx̄2 ]t = c1 (yx̄ ]|2 )t ;
α=1
(aα χαx̄α , Y Yx̄α ) +
α=1
p
p
−
+1
b+
+
bα aα , Y Yx̄α a
,
Y
Y
x̄α
α α
α=1
α=1
M2 Yx̄ · Y ]| M2
−
p
p
2
(dα , Y ) c3
α=1
Y 2 ;
1
2
Y ;
ε1 Yx̄ ]| +
4ε1
2
(ϕ, Y ) ε2 Y 2 +
α=1
1
ϕ2 .
4ε
Учитывая полученные оценки, из (12) получим
1
y2 t + δYx̄ ]|2 + c1 yx̄ ]|2 t M3 Y 2 + M4 yx̄ ]|2 + ϕ2 , (13)
2
где δ, M3 , M4 — положительные постоянные, зависящие от c3 , c4 .
Просуммируем (13) по j от 0 до j :
y j+1 2 + c1 yx̄j+1 ]|2 + σ
j
Yx̄j ]|2 τ M3
j =0
+M4
j
yx̄j ]|2 τ
+ M5
j =0
j
y j
+1
+ y j 2 τ +
j =0
j
j 2
0 2
ϕ τ + y +
yx̄0 ]|2
.
j =0
(14)
Пусть F (tj ) =
j
j =0
ϕj τ + y 0 2 + yx̄0 ]|2 , тогда, учитывая
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О сходимости разностных схем
σ
j
j =0
113
Yx̄j ]|2 τ 0, (14) можно переписать в следующей форме
y j+1 2 + c1 yx̄j+1 ]|2 M3
j
y j
+1
+ y j 2 τ +
j =0
+M4
j
yx̄j ]|2 τ
(15)
+ M5 F (tj ).
j =0
Откуда при τ τ0 , τ0 =
1−σ1
2M3
получаем
j σ1 y j+1 2 + c1 yx̄j+1 ]|2 M6
y j 2 + yx̄j ]2 | τ + F1 (tj ),
(16)
j =0
где σ, M5 , M6 — положительные постоянные, F1 (tj ) = 2M3 y 0 2 τ +
M4 yx̄0 ]|τ + M5 F (tj ).
К (16) применим аналог леммы Гронуолла для сеточной функций [3] при малом τ τ0 . Тогда получим требуемую априорную
оценку:
j
j
ϕj 2 τ +y 0 2 +yx̄0 ]|2 .
y j+1 2 + yx̄j +1 +yx̄j ]|2 τ +yx̄j+1 ]|2 M
j =0
j =0
(17)
Из этой априорной оценки следует
Теорема. Пусть выполнены условия (4) в классе гладких коэффициентов, тогда для решения задачи (9)–(10) при всех τ τ0 (c1 , c2 , c3 ) справедлива априорная оценка
y j+1 21 M
j
ϕj 2 τ + y 0 2 + yx̄0 ]|2
j =0
на каждом временном слое, где
y j+1 21 = y j+1 2 +
j
yx̄j +1 + yx̄j ]|2 τ + yx̄j+1 ]|2
j =0
и M — положительная постоянная, не зависящая от |h| и τ .
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бештоков М. Х.
114
Из оценки (18) следует сходимость схемы (9)–(10) со скоростью
O(|h|2 + τ 2 ), |h|2 = h21 + h22 + . . . + h2p .
Литература
1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.—М.: Наука,
1973.—407 с.
2. Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1977.—656 c.
3. Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках
для уравнений параболического типа // Журнал вычисл. матем. и матем.
физики.—1963.—Т. 3, № 2.—С. 266–298.
Кабардино-Балкарский государственный
университет (Нальчик, Россия)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.956
НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО
ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В. А. Елеев, А. Г. Езаова
Рассматриваются нелокальные краевые задачи со смещением для уравнения гиперболо-параболического типа. Установлены условия существования
и единственности поставленных задач.
Рассмотрим уравнение
Uxx − Uy + a (x, y) Ux + b (x, y) U, y > 0,
0=
y 2m+1 Uxx + y 2 Uyy + α y Uy + β U, y < 0,
(1)
где α и β — действительные постоянные.
Пусть область Ω состоит из параболической части Ω1 , ограниченной отрезками AB, BB0 , B0 A0 и A0 A прямых y = 0, x = 1, y = h,
x = 0, и гиперболической части Ω2 , ограниченной характеристиками
AC : ξ = x−
2m+1
2m+1
2
2
(−y) 2 = 0, BC : η = x+
(−y) 2 = 1,
2m + 1
2m + 1
уравнения (1) при y < 0, а I означает интервал 0 < x < 1 прямой
y = 0.
Через Θ0 (x) и Θ1 (x) обозначены аффиксы точек пересечения характеристик, выходящих из точки (x, 0) с характеристиками AC и
BC соответственно
2
2
2m+1
2m + 1 2m+1
2m + 1
x
1+x
x
−i
(1 − x)
, Θ1 (x) =
.
Θ0 (x) = −i
2
4
2
4
Вначале преобразуем уравнение (1) при y < 0. В характеристических переменных ξ и η оно принимает вид
Uξη −
1
2α + 2m − 1 1
4β
(Uξ − Uη ) −
U = 0.
2
2(2m + 1) ξ − η
(2m + 1) (ξ − η)2
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Езаова А. Г.
116
Если в уравнении (2) сделать подстановку
γ
U (ξ, η) = (ξ − η) V (ξ, η),
(3)
то приходим к уравнению
2 γ+2
2m + 1
Vξη −
ξ−η
2m + 1 γ+
4
γ+1
2
2m + 1
2α + 2m − 1
(Vξ − Vη ) −
γ(γ − 1)+
+
ξ−η
2
2
(2α + 2m − 1)(2m + 1)
γ + β (ξ − η)γ V = 0.
+
4
2m + 1
2
(4)
Потребуем теперь, чтобы параметр γ удовлетворял уравнению
4β
2(α − 1)
γ+
2 = 0,
2m + 1
(2m + 1)
9
2
1−α
1
т. е. чтобы γ1,2 = 2m+1
± 2m+1
(α − 1) − 4β.
Учитывая значения γ в равенстве (4), получим уравнение Эйлера — Дарбу — Пуассона
γ2 +
Vξη −
Θ̄0 Vξ − Vη = 0,
ξ−η
(5)
9
2
1
где Θ̄0 = 12 ± 2m+1
(α − 1) − 4β.
Уравнение (1) гиперболично при y < 0, а вдоль прямой y = 0 имеет место вырождение его типа и порядка. В работе [1] А. В. Бицадзе
показал, что когда β ≡ 0, наличие вдоль линии y = 0 вырождения
порядка вносит новый аспект в теорию уравнения (1) при y < 0.
Он показал как нужно видоизменить корректные постановки задач
Коши для случаев, когда α = (1 − 2m)/2, (1 − 2m)/2 < α < 1. Для
таких значений α были исследованы корректные постановки нелокальных краевых задач со смещением в работах А. В. Бицадзе [2],
Х. Г. Бжихатлова [3], Т. И. Ланиной [4]. В. А. Елеев распространил результаты этих авторов на случай, когда постоянная α меньше
(1 − 2m)/2, больше или равна единице [5]. А. М. Нахушев распространил результаты А. В. Бицадзе на многомерный случай [6].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальные краевые задачи со смещением
117
Отметим также работы С. К. Кулажанова [7], И. Л. Кароля [8–10],
Н. К. Мамадалиева [11], М. М. Смирнова [12], С. А. Терсенова [13],
в которых исследованы краевые задачи как с локальными так и с
нелокальными условиями при различных значениях α.
Для уравнения (1) при y < 0, β = 0 в работе М. М. Зайнулабидова [14] был исследован вопрос корректной постановки задач типа
задачи Коши в области гиперболичности и задач Трикоми, корректно поставленные в смешанной области Ω. Он показал, как сильно
могут влиять на корректную постановку этих задач коэффициенты
при младших производных и степень вырождения порядка уравнения.
В данной работе используются представления решений задач типа задачи Коши для уравнения (1) при β = 0 и исследуется вопрос
корректной постановки нелокальных краевых задач со смещением
для уравнения (1) в смешанной области Ω для различных случаев
коэффициента Θ̄0 уравнения (5), а значит, решение уравнения (1)
для соответствующих значений α и β.
Задача 1. Найти регулярное в Ω\{y = 0} и непрерывное в Ω̄\I¯
решение U (x, y) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям
(α1 Ux + β1 U ) |x=0 = µ1 (y),
(α2 Ux + β2 U ) |x=1 = µ2 (y),
h1 (x)U [Θ0 (x)] + h2 (x)U [Θ1 (x)] = h3 (x)
¯
∀x ∈ I,
(6)
(7)
на интервале I обладающее свойствами
lim U (x, y) = lim (−y)δ U (x, y) = τ (x),
y→+0
y→−0
δ+α
lim Uy (x, y) = lim (−y)
y→+0
y→−0
1
δ
Uy (x, y) − U (x, y) = ν(x),
y
−1
f (x) h1 (x)xδ1
U (x, 0)dx = 0,
(7 )
0
где 2δ = 1 − α − (α − 1)2 − 4β, α1 , α2 , β1 , β2 — постоянные, причем
¯ ∩
функции τ (x), ν (x) непрерывны в I, h1 (x), h2 (x), h3 (x) ∈ C 1 (I)
2
C (I).
9
2
Пусть 0 < 2 (α − 1) − 4β 2m+1. Тогда существует единственное регулярное в Ω2 и непрерывное в Ω̄2 \I¯ решение U (x, y) уравнения (1) при y < 0, которое обладает на интервале I свойствами (7 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Езаова А. Г.
118
Решение U (x, y), удовлетворяющее условиям (7’), представимо в
виде [14]
2m+1
(−y)δ
2
(−y) 2 +
U (x, y) =
τ x−
2
2m + 1
2m+1
2
(−y) 2
−
+τ x +
(61 )
2m + 1
1
2m+1
2(−y)1−α−δ
2(1 − 2t)
(−y) 2 dt,
−
ν x+
2m + 1
2m + 1
0
9
2
если 2 (α − 1) − 4β = 2m + 1.
Учитывая значения Θ0 (x) и Θ1 (x) в равенстве (61 ), получим
x
U [Θ0 (x)] = n1 (x)τ (x) + n2 (x) ν(t)dt + n3 (x),
(71 )
0
1
U [Θ1 (x)] = m1 (x)τ (x) + m2 (x) ν(t)dt + m3 (x),
(8)
x
где n1 (x) = c1 x , n2 (x) = c2 x , n3 (x) = c1 xδ0 τ (0), m1 (x) = c1 (1 −
x)δ0 , m2 (x) = c2 (1 − x)δ1 ,
δ0
δ1
m3 (x) = c1 (1 − x)δ0 τ (1), δ0 = 2δ/(2m + 1),
δ1 = [2(1 − α − δ) − 2m − 1]/(2m + 1),
δ
δ
2m + 1 1
1 2m + 1 0
2
, c2 = −
.
c1 =
2
4
2m + 1
4
Подставляя (71 ), (8) в краевое условие (7), после несложных преобразований, получим функциональное соотношение между τ (x) и
ν(x), принесенное из гиперболической части области Ω на линию
y=0
x
1
(9)
p(x)τ (x) + q(x) ν(t)dt + g(x) ν(t)dt = f (x),
0
x
где p(x) = h1 (x)n1 (x) + h2 (x)m1 (x), q(x) = h1 (x)n2 (x), g(x) =
h2 (x)m2 (x), f (x) = h3 (x) − h1 (x)n3 (x) − h2 (x)m3 (x).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальные краевые задачи со смещением
119
Будем исследовать разрешимость интегрального уравнения (9)
относительно ν(x) для различных случаев задания коэффициентов
p(x), q(x), g(x).
Пусть имеет место случай q(x) = 0, g(x) = 0.
Обозначим
z0 (x) = p(x)/q(x),
z1 (x) = −f (x)/q(x),
(10)
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
h1 (x)xδ0 + h2 (x)(1 − x)δ0 = 0; ax (x, y) − 2b(x, y) − 2 > 0, (x, y) ∈ Ω̄1 ;
[α2 a(1, y) − 2β2 ]/α2 0,
b(x, 0) − a (x, 0) 0,
[α1 a(0, y) − 2β1 ]/α1 0;
z0 (0) 0,
z0 (1) 0.
Тогда задача 1 имеет тривиальное решение, если µ1 (y) = µ2 (y) =
h3 (y) = 0.
Переходя к пределу при y → +0 в уравнении (1), из параболической части будем иметь
ν(x) = τ (x) + a(x, 0)τ (x) + b(x, 0)τ (x).
(11)
Из равенства (11) интегрированием по частям, и с учетом граничных условий (6), получим соотношение
1
I1 =
1
τ (x)ν(x)dx =
0
1
τ (x)τ (x)dx +
0
U (x, 0)τ (x)τ (x)dx+
0
1
α2 a(1, 0) − 2β2 2
α1 a(0, 0) − 2β1 2
+ b(x, 0)τ 2 (x)dx =
τ (1) +
τ (0)−
2α2
2α1
0
1
1
2
− τ (x)dx + (b(x, 0) − a (x, 0)) τ 2 (x)dx.
0
(12)
0
В силу условий, наложенных на a, b, αi , βi , i = 1, 2, замечаем,
что I1 0.
Покажем теперь, что из гиперболической части Ω2 имеет место
1
неравенство I1 = τ (x)ν(x)dx 0.
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Езаова А. Г.
120
Действительно, из равенства (9) имеем
ν(x) = −z0 (x)τ (x) + z0 (x)τ (x).
(13)
Домножая (13) на τ (x), а затем интегрируя по частям от 0 до 1,
получим
1
I1 =
0
1
1
1
τ (x)ν(x)dx = z0 (0)τ 2 (0) − z0 (1)τ 2 (1) −
2
2
2
1
z0 (x)τ 2 (x)dx.
0
(16)
В силу условий на z0 (x), замечаем, что I1 0. Сравнивая равенства (12), (14) приходим к заключению, что τ (x) ≡ 0, 0 x 1.
В области Ω1 рассмотрим тождество
∂
a
U ((Uxx + a(x, y)Ux + b(x, y)U − Uy ) =
U Ux + U 2 −
∂x
2
(15)
2
∂ U
1
−
+ (b(x, y) − ax (x, y) U 2 − Ux2 ).
∂y
2
2
Проинтегрировав тождество (17) по области Ω1 , получим равенство
1
1
2
U dx + U Ux + a(x, y)U dy−
0=
2
2
γ
(18)
1
(ax (x, y) − 2b(x, y))U 2 dxdy −
Ux2 dxdy,
2
Ω1
Ω1
где γ = AB ∪ BB1 ∪ B1 A1 ∪ A1 A, а AB, BB1 , B1 A1 , A1 A отрезки
прямых y = 0, x = 1, y = h, x = 0 соответственно. Учитывая в (16)
однородные граничные условия (6) и τ (x) ≡ 0, получим
1
−
2
1
0
1
U (x, h)dx −
2
2
h
0
α2 a(1, y) − 2β2 2
U (1, y)dy−
2α2
h
α1 a(0, y) − 2β1 2
U (0, y)dy−
2α1
0
− [ax (x, y) − 2b(x, y)]U 2 (x, y)dxdy − Ux2 (x, y)dxdy = 0.
−
Ω1
1
2
Ω1
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальные краевые задачи со смещением
121
Равенство (17) имеет место тогда и только тогда, когда
U (x, h) = 0, ∀x ∈ A1 B1 ; U (x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ Ω̄1 ; Ux (x, y) ∈ Ω1 .
Отсюда следует, что U (x, y) ≡ 0 в Ω̄1 . При τ (x) = 0 из равенства
(13) имеем ν(x) = 0. Тогда U (x, y) ≡ 0 в Ω2 как решение видоизмененной задачи Коши с нулевыми данными.
Переходя к доказательству существования решение задачи 1, исключим ν(x) из (11) и (13) и учтем граничные условия (6). В результате приходим к следующей задаче относительно τ (x)
τ (x) + ã(x)τ (x) + b̃(x)τ (x) = −z1 (x),
(18)
α1 τ (0) + β1 τ (0) = µ1 (0), α2 τ (1) + β2 τ (1) = µ2 (0),
(19)
где ã(x) = a(x, 0) + z0 (x), ]b̃(x) = b(x, 0) − z0 (x).
Задача (18), (19) заменой
τ (x) = V (x) + w(x) = V (x)+
+
µ2 (0)α1 − (α2 + β2 ) µ1 (0)
µ1 (0)β2 − µ2 (0)β1
x+
,
α1 β1 − (α2 + β2 ) β1
α1 β1 − (α2 + β2 ) β1
приводится к виду
V (x) + ã(x)V (x) + b̃(x)V (x) = z̃1 (x),
(20)
α1 V (0) + β1 V (0) = 0,
(21)
α2 V (1) + β2 V (1) = 0,
(22)
где z̃1 (x) = −ã(x)w (x) − b̃(x)w(x) − z1 (x).
Единственное решение задачи (20)–(22) задается формулой
1
V (x) =
G(x, t)z̃1 (t)dt,
0
где G(x, t) — функция Грина задачи (20)–(22).
Таким образом, решение задачи (18), (19) принимает вид
1
τ (x) =
G(x, t)z̃1 (t)dt + w(x).
0
(23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Езаова А. Г.
122
После нахождения τ (x) из равенства (11) или (13) находим ν(x).
Следовательно, решение задачи 1 в области Ω2 задается формулой (61 ), а в области Ω1 приходим к задаче (1), (6) и U (x, 0) = τ (x).
Уравнение (1) при y > 0 заменой
1
U (x, y) = z(x, y) exp −
2
x
(23∗ )
a(t, y)dt ,
0
приводится к виду
zxx − zy + c(x, y)z = 0,
(24)
x
где 4c(x, y) = −2ax (x, y) − a2 (x, y) + 4b(x, y) + 2 ay (t, y)dt.
0
Краевые условия при такой замене принимают вид
α1
a(0, y) z(0, y) = µ1 (y),
α1 zx (0, y) + β1 −
2
α2
a(1, y) z(1, y) =
α2 zx (1, y) + β2 −
2
1
1
= µ2 (y) exp
a(t, y)dt = µ∗2 (y),
2
(25)
(26)
0
1
z(x, 0) = τ (x) exp −
2
1
a(t, 0)dt
= τ ∗ (x),
(27)
0
где τ (x) определяется по формуле (23).
Известно [15–18], что основная интегральная формула, дающая
представление произвольных решений уравнения теплопроводности
Wxx − Wy = 0 с начальным условием W (x, 0) = ϕ0 (x) в области Ω1
имеет вид
1
W (x, y) =
W (ξ, 0)G(ξ, 0; x, y)dξ+
0
y ∂W (ξ, η)
∂G(ξ, η; x, y)
G(ξ, η; x, y) − W (ξ, η)
+
∂ξ
∂ξ
0
ξ=1
dη−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальные краевые задачи со смещением
y
−
0
∂W (ξ, η)
∂G(ξ, η; x, y)
G(ξ, η; x, y) − W (ξ, η)
∂ξ
∂ξ
123
dη,
(28)
ξ=0
где G(ξ, η; x, y) — функция Грина соответствующей краевой задачи.
Например, при α1 = α2 = 0, β1 = β2 = 1, т. е. первой краевой задачи,
равенство (28) принимает вид
y
Gξ (x, y; 0, η)µ1 (η)dη−
z(x, y) =
0
y
1
∗
− Gξ (x, y; 1, η)µ1 (η)dη + G(x, y; ξ, 0)τ ∗ (ξ)dξ,
0
(29)
0
где функция Грина имеет вид
∞ 1
(x − ξ + 2n)2
G(x, y; ξ, η) =
exp −
−
4(y − η)
2 π(y − η) n=−∞
(x + ξ + 2n)2
− exp −
.
4(y − η)
Решение задачи
zxx − zy = f (x, y),
имеет вид
z(0, y) = 0, z(1, y) = 0, z(x, 0) = 0
y 1
z(x, y) = −
G(x, t; ξ, η)f (ξ, η)dξdη.
0
(30)
0
В связи с этим, решение задачи (24)–(27) будем искать в виде суммы двух функций z(x, y) = z1 (x, y) + z2 (x, y), где z1 (x, y) — решение
задачи
z1xx − z1y = 0,
z1 (0, y) = µ1 (y), z1 (1, y) = µ∗2 (y), z1 (x, 0) = τ ∗ (x),
которое определяется по формуле (29), а z2 (x, y) — решение задачи
z2xx − z2y + c(x, y)z2 = −c(c, y)z1 (x, y),
(31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Езаова А. Г.
124
z2 (0, y) = 0, z2 (1, y) = 0, z2 (x, 0) = 0.
(32)
В силу равенств (29), (30), для определения функции z2 (x, y) приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода
y 1
z2 (x, y) =
c(ξ, η)z1 (ξ, η)G(x, y; ξ, η)dξdη+
0
0
y 1
+
c(ξ, η)z2 (ξ, η)G(x, y; ξ, η)dξdη,
0
(33)
0
которое однозначно разрешимо в силу единственности решения задачи 1.
Обращая уравнение (33) через резольвенту R(x, y; ξ, η) ядра
c(ξ, η)G(x, y; ξ, η), получим
y 1
z2 (x, y) =
c(ξ, η)z1 (ξ, η)G(x, y; ξ, η)dξdη+
0 0
η1 1
y 1
+
R(x, y; ξ, η)
0
0
c(ξ, η)z1 (ξ1 , η1 )G(ξ1 , η1 ; ξ, η)dξdηdξ1 dη1 .
0
0
Таким образом решение задачи (24)–(27) при α1 = α2 = 0, β1 =
β2 = 1 найдено, а в силу равенства (23*) — и решение задачи 1.
Опираясь на свойства функции Грина третьей краевой задачи [19],
аналогичным образом можно найти решение задачи (24)–(27) при
α1 , α2 = 0; β1 , β2 = 1, а, следовательно, и решение задачи 1.
Случай, когда q(x) = 0, g(x) = 0 рассматривается аналогично.
Пусть теперь q(x) = 0, g(x) = 0, q(x) = g(x). Обозначая через
x
ν1 (x) = ν(t)dt первообразную функции ν(x), уравнение (9) запи0
шем в виде [20]
p(x)τ (x) + [q(x) − g(x)]ν1 (x) + g(x)ν1 (1) = f (x),
(34)
ν1 (0) = 0.
(35)
Из равенства (34) получаем
ν1 (x) = f˜(x) + p̃(x)τ (x) + g̃(x)ν1 (1),
где f˜(x) =
f (x)
q̄(x) ,
p̃(x) =
p(x)
q̄(x) ,
g̃(x) =
g(x)
q̄(x) ,
q̄(x) = q(x) − g(x).
(35)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальные краевые задачи со смещением
125
Учитывая (35), находим
ν1 (1) = −
f˜(0) + p̃(0)τ (0)
.
g̃(0)
(37)
Таким образом, из равенства (36) будем иметь
ν(x) = f1 (x) + (p̃(x)τ (x)) + g̃ (x)ν1 (1),
(38)
где ν1 (1) определяется из формулы (37).
Учитывая (38) в (11), снова приходим к задаче (18), (19).
Задача 2. Эта задача отличается от задачи 1 тем, что вместо
условия (7) берется условие
h1 (x)U [Θ0 (x)] + h2 (x)U [Θ1 (x)] + h3 (x)
+h4 (x)
d
U [Θ0 (x)]+
dx
d
U [Θ1 (x)] = h5 (x).
dx
(39)
Подставляя (7), (8) в краевое условие (39) и делая несложные
преобразования, получим равенство
x
1
s0 (x)ν(x) + s1 (x) ν(t)dt + s2 (x) ν(t)dt+
0
x
(40)
+s3 (x)τ (x) + s4 (x)τ (x) + s2 (x)ν1 (1) = s5 (x),
где
s0 (x) = n2 (x)h3 (x) − m2 (x)h4 (x),
s1 (x) = n2 (x)h1 (x) + n2 (x)h3 (x),
s2 (x) = m2 (x)h2 (x) + m2 (x)h4 (x),
s3 (x) = n1 (x)h3 (x) + m1 (x)h4 (x),
s4 (x) = n1 (x)h1 (x) + m1 (x)h2 (x) + n1 (x)h3 (x) + m1 (x)h4 (x),
s5 (x) = h5 (x) − [n3 (x)h1 (x) + m3 (x)h2 (x) + n3 (x)h3 (x) + m3 (x)h4 (x)],
причем ν(x) ∈ L[0, 1] ∩ C ]0, 1].
x
Обозначим снова ν1 (x) = ν(t)dt. Тогда относительно ν1 (x) полу0
чаем задачу Коши для неоднородного нагруженного обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка
s0 (x)ν1 (x) + s̃1 (x)ν1 (x) + s2 (x)ν1 (1) = s̃5 (x),
(41)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Езаова А. Г.
126
ν1 (0) = 0,
(42)
где s̃1 (x) = s1 (x) − s2 (x), s̃5 (x) = s5 (x) − s3 (x)τ (x) − s4 (x)τ (x).
Как и в случае задачи 1, будем исследовать разрешимость задачи
(41), (42) при различных значениях коэффициентов уравнения (41).
Случай 1. Пусть выполнены условия s0 (x) = 0, s̃1 (x) = 0 для
¯ Тогда задачу (41), (42) можно переписать в виде
x ∈ I.
ν1 (x) + ω0 (x)ν1 (x) = ω1 (x),
(41 )
ν1 (0) = 0,
(42 )
s5 (x)−s̃5 (x)−s2 (x)ν1 (1)
где ω0 (x) = s̃s10 (x)
.
(x) , ω1 (x) =
s0 (x)
Решение задачи (41 ), (42 ) имеет вид
x
ν1 (x) =
x
− ω0 (t)dt
ξ
ω1 (ξ)e
dξ = ω̃0 (x) − ω̃1 (x) ν1 (1),
(43)
0
где
x
ω̃0 (x) =
0
x
s̃5 (ξ) −ξ
e
s0 (ξ)
x
ω0 (t)dt
dξ,
ω̃1 (x) =
0
x
s2 (ξ) −ξ
e
s0 (ξ)
ω0 (t)dt
dξ.
ω̃0 (1)
, если
Полагая в равенстве (43) x = 1, получим ν1 (1) = 1−ω̃
1 (1)
1 − ω̃1 (1) = 0.
Из равенства (43) находим
x ν(x) = υ0 (x)τ (x) + υ1 (x)τ (x) + υ2 (x) − ω0 (x)
υ0 (ξ)τ (ξ) −
0
−x ω (t)dt
0
dξ = υ0 (x)τ (x) +
−ω0 (x)υ1 (ξ)τ (ξ) − ω0 (x)υ2 (ξ) e ξ
x
+υ1 (x)τ (x) +
x
N0 (x, ξ)τ (ξ) dξ +
0
где υ0 (x) =
(44)
N1 (x, ξ)τ (ξ) dξ + Θ0 (x),
0
− ss30 (x)
(x) ,
υ1 (x) =
− ss40 (x)
(x) ,
x
− ω0 (t)dt
N0 (x, ξ) = −ω0 (x)υ0 (ξ)e
ξ
v2 (x) =
s̃5 (x)
s0 (x)
−
s2 (x)ω̃1 (1)
s0 (x)(1−ω̃1 (1)) ,
x
− ω0 (t)dt
, N1 (x, ξ) = −ω0 (x)υ1 (ξ)e
x
− ω0 (t)dt
Θ0 (x, ξ) = υ2 (x) − ω0 (x)e
ξ
.
ξ
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальные краевые задачи со смещением
127
Случай 2. Пусть выполнены условия s0 (x) = 0, s̃1 (x) = 0 для
¯ s2 (0) = 0, т. е. δ1 h4 (0) − h2 (0) = 0 или s̃1 (1) = s1 (1). В
всех x ∈ I,
этом случае уравнение (41) принимает вид
s̃1 (x)ν1 (x) + s2 (x)ν1 (1) = s̃5 (x).
(45)
Учитывая условие (42), из (43) получим соотношение
s2 (0)ν1 (1) = s̃5 (0).
Отсюда имеем ν1 (1) = s̃s52 (0)
(0) или ν1 (1) =
из равенства (44), имеем
s̃5 (1)
s̃1 (1)−s2 (1)
. Следовательно,
ν(x) = s̃3 (x)τ (x) + (s̃3 (x) − s̃4 (x)) τ (x) + s̃4 (x)τ (x) + s̃2 (x),
где s̃3 (x) =
s3 (x)
s̃1 (x) ,
(46)
s2 (x)
s̃4 (x) = − s̃s14 (x)
,
s̃
(x)
=
−
2
(x)
s̃1 (x) ν1 (1).
Случай 3. Пусть выполнены условия s0 (x) = 0, s̃1 (x) = 0, т. е.
¯ В этом случае уравнение (41) принимает вид
s1 (x) = s2 (x) для x ∈ I.
s0 (x)ν1 (x) + s2 (x)ν1 (1) = s̃5 (x),
откуда находим
x
ν1 (x) =
0
s̃5 (ξ) − s2 (ξ) ν1 (1)
dξ.
s0 (ξ)
(47)
Из равенства (46) при x = 1 также получим
ν1 (1) =
где κ1 =
1
0
s̃5 (ξ)
s0 (ξ)
dξ, κ2 = 1 +
1
0
s2 (ξ)
s0 (ξ)
κ1
,
κ2
(48)
dξ, причем κ2 = 0.
Учитывая (48) в (47), находим
ν(x) = z0 (x)τ (x) + z1 (x)τ (x) + z2 (x),
где z0 (x) =
s3 (x)
s0 (x) ,
s2 (x)ν1 (1)
z1 (x) = − ss40 (x)
(x) , z2 (x) = − s0 (x) .
(49)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Езаова А. Г.
128
Учитывая значение ν(x) из равенств (44), (46), (49) и делая
несложные преобразования, получим нагруженное интегро-дифференциальное уравнение второго порядка
τ (x) + ῡ0 (x)τ (x) + ῡ1 (x)τ (x) =
x
N̄0 (x, ξ)τ (ξ)dξ + Θ0 (x) − N0 (x, 0)τ (0),
=
(50)
0
где ῡ0 (x) = a(x, 0)−υ0 (x), ῡ1 (x) = b(x, 0)−υ1 (x)−N0 (x, x), N̄0 (x, ξ) =
N1 (x, ξ) − N0ξ (x, ξ), если имеет место случай 1;
τ (x) + η0 (x)τ (x) + η1 (x)τ (x) = s̃2 (x),
(51)
где η0 (x) = [a(x, 0) + s̃4 (x) − s̃3 (x)]/(1 − s̃3 (x)), η1 (x) = [b(x, 0) −
s̄4 (x)]/(1 − s̃3 (x)), причем s̃3 (x) = 1 и имеет место случай 2;
τ (x) + η2 (x)τ (x) + η3 (x)τ (x) = z2 (x),
(52)
где η2 (x) = a(x, 0) − z0 (x), η3 (x) = b(x, 0) − z1 (x), если имеет место
случай 3.
Пусть имеет место случай 1. Интегрируя равенство (50) дважды
от 0 до x и учитывая граничные условия (19), получим нагруженное
интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода относительно τ (x)
x
τ (x) −
M (x, t)τ (t)dt = Ñ0 (x)τ (0) + τ (0)x + Θ̃(x),
(53)
0
где M (x, t) = −ã(t) + (x − t)(b̃(t) − ã (t)) +
x
(x − ξ)Ñ0 (ξ, t)dξ,
t
x
Ñ0 (x) = ã(0)x −
x
(x − t)N0 (t, 0)dt + 1,
0
(x − t)Θ0 (t)dt.
Θ̃0 (x) =
0
В силу условий, наложенных на заданные функции, легко заметить, что
M (x, t) ∈ C(Ω1 ),
Ñ0 (x),
¯
Θ̃0 (x) ∈ C(J).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальные краевые задачи со смещением
129
Если предварительно считать правую часть уравнения (53) известной, то для τ (x) имеем интегральное уравнение типа Вольтерра
второго рода. Обращая (53), получаем
x
τ (x) =
R(x, t)θ0 (t)dt + Θ̃0 (x) + k1 (x)τ (0) + k2 (x),
(54)
0
где R(x, t) — резольвента ядра M (x, t),
x
1
R(x, t)Ñ0 (t)dt −
x − R(x, t)tdt ,
α1
x
k1 (x) = Ñ0 (x) +
0
µ1 (0)
x+
α1
k2 (x) =
0
x
R(x, t)tdt .
0
Учитывая в равенстве (54) значение Θ̃0 (x), будем иметь
τ (x) = H0 (x)τ (0) + H1 (x)τ (1) − ν1 (1)H2 (x),
где H0 (x) = k1 (x)+c1
x
H1 (x) = c1 δ0
(55)
x δ0
δ0 −1
0 h3 (t)t
x − t + I0 (x, t) + R̄(x, t) h1 (t)t +δ
dt,
s0 (t)
0
x − t + I0 (x, t)+
0
h4 (t)(1 − t)δ0 − h2 (t)(1 − t)δ0
dt,
+ R̄(x, t)
s0 (t)
x
H2 (x) =
(t − t1 )
R(x, t)dt
0
t
0
s2 (t1 )
−
s0 (t1 )
t1
t1
s2 (ξ) − ξ z0 (ζ)dζ
− z0 (t1 )
e
dξ dt1 ,
s0 (ξ)
0
x
ξ
− z0 (t1 )dt1
(x − ξ)z0 (ξ)e
I0 (x, t) =
t
t
dξ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Езаова А. Г.
130
x
R(x, ξ)[ξ − t + I0 (ξ, t)]dξ,
R̄(x, t) =
t
1
c1 =
2
2m + 1
4
δ0
,
1
c2 = −
2
2m + 1
4
δ1 −1
,
1
ν1 (1) =
c̄0 + (c̄1 − s̄0 (0)) τ (0) + (c̄2 + s̄0 (1)) τ (1)+
1 + c̄3
1
+
(s̄1 (ξ) − s̄0 (ξ)) τ (ξ) dξ , (56)
0
1
c̄0 =
0
1
c̄1 = −c1
0
1
c̄2 = c1
0
1
h5 (ξ) −ξ
e
s0 (ξ)
z0 (t)dt
dξ,
1
h1 (ξ) ξ δ0 + δ0 h3 (ξ) ξ δ0 −1 −ξ
e
s0 (ξ)
z0 (t)dt
dξ,
1
δ0 h4 (ξ) (1 − ξ)δ0 −1 − h2 (ξ) (1 − ξ)δ0 −ξ
e
s0 (ξ)
z0 (t)dt
dξ,
1
h3 (ξ) ξ δ0 + δ0 h4 (ξ) ξ δ0 −1 −ξ z0 (t) dt
e
s̄0 (ξ) =
,
s0 (ξ)
h1 (ξ)ξ δ0 + h2 (ξ)(1 − ξ)δ0
+
s̄1 (ξ) = −c1
s0 (ξ)
1
− z0 (t)dt
δ0 h3 (ξ) ξ δ0 −1 + h4 (ξ) (1 − ξ)δ0 −1
+
,
e ξ
s0 (ξ)
1
c̄3 = c2
0
1
h2 (ξ) (1 − ξ)δ1 + δ1 h4 (ξ) (1 − ξ)δ1 −1 −ξ
e
s0 (ξ)
причем 1 + c̄3 = 0.
z0 (t)dt
dξ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальные краевые задачи со смещением
131
Учитывая (56) в (55) и делая несложные преобразования, получим
1
(57)
τ (x) − λ H2 (x)d0 (ξ)τ (ξ)dξ = d1 (x),
0
где d0 (ξ) = s̄1 (ξ) − s̄0 (ξ), d1 (x) = [H0 (x) − λ(c̄1 − s̄0 (0))H2 (x)]τ (0) +
1
.
[H1 (x) − λ(c̄2 + s̄0 (1))]τ (1) − λc̄0 H2 (x), λ = 1+c̄
3
Если считать временно d1 (x) известной, то равенство (56) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода с
вырожденным ядром [21].
1
Если обозначить d0 (ξ)τ (ξ)dξ = B0 , то будем иметь
0
1
B0 1 − λ
H2 (ξ)d0 (ξ)dξ
1
=
0
d0 (ξ)d1 (ξ)dξ.
(58)
0
Из равенства (58) находим
1
B0 =
0
d0 (ξ)d1 (ξ)dξ
1
1 − λ H2 (ξ)d0 (ξ)dξ
,
(59)
0
1
если ω̄0 = 1 − λ H2 (ξ)d0 (ξ)dξ = 0.
0
Таким образом, с учетом (59), имеем
τ (x) = q0 (x)τ (0) + q1 (x)τ (1) + q2 (x),
где q0 (x) = H0 (x) − λ[c̄1 − s̄0 (0)]H2 (x) −
(60)
1
λ
ω0 H2 (x)
−λ[c̄1 − s̄0 (0)]H2 (ξ)]dξ,
0
d0 (ξ)[H0 (ξ)−
q1 (x) = H1 (x) − λ[c̄2 + s̄0 (1)]H2 (x)−
1
λ
− H2 (x) d0 (ξ)[H2 (ξ) − λ[c̄2 + s̄0 (1)]H2 (ξ)]dξ,
ω0
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Езаова А. Г.
132
1
λ
q2 (x) = H2 (x) −
H2 (x) d0 (ξ)H2 (ξ)dξ.
ω0
0
Удовлетворяя (60) второму граничному условию из (19), однозначно находим
τ (0) =
[µ2 (0) − α2 q2 (1)] (1 − q1 (1)) − [β2 + α2 q1 (1)]q2 (1)
,
q0 (1)[α2 (1 − q2 (1)) + β2 + α2 q1 (1)]
τ (1) =
q0 (1)τ (0) + q2 (1)q2 (1)
,
1 − q1 (1)
если выполнены условия q0 (1) = 0, α2 (1 − q2 (1)) + β2 + α2 q1 (1) = 0,
q1 (1) = 1.
Случаи 2 и 3 исследуются аналогично.
Таким образом, для каждого рассмотренного случая однозначно
определяется функция τ (x), а из соотношения (9) находим ν(x). Следовательно, решение задачи 2 в области Ω2 задается формулой (61 ),
а в области Ω1 снова приходим к задаче (1), (6) и U (x, 0) = τ (x),
однозначная разрешимость которой устанавливается так же как для
задачи 1.
Литература
1. Бицадзе А. В. К теории одного класса уравнений смешанного типа // Некоторые проблемы математики и механики.—М.: Наука, 1970.—C. 112–119.
2. Бицадзе А. В. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа // В кн.: Механика сплошных сред
и родственные проблемы анализа.—М., 1972.—C. 42–47.
3. Бжихатлов Х. Г. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения и сингулярные интегральные уравнения третьего порядка
// Диф. уравнения.—1971.—Т. 7, № 1.—C. 3–14.
4. Ланин Т. И. О некоторых задачах для уравнений гиперболического и смешанного типов // Диф. уравнения.—1973.—Т. 9, № 1.—C. 115–122.
5. Елеев В. А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Диф.
уравнения.—1976.—Т. 12, № 1.—C. 46–58.
6. Нахушев А. М. К теории уравнений смешанного типа в многомерных областях // Диф. уравнения.—1974.—Т. 10, № 12.—C. 2184–2191.
7. Кулажанов С. К. О спектре смешанной задачи для уравнения смешанного
типа // Диф. уравнения.—1984.—Т. 20, № 1.—C. 56–60.
8. Кароль И. Л. О краевых задачах для уравнения смешанного типа // Вестник
ленинградского университета.—1956.—№ 1.—C. 176–181.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальные краевые задачи со смещением
133
9. Кароль И. Л. К теории уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР.—
Т. LXXX VIII, № 3.—C. 397–400.
10. Кароль И. Л. Краевые задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Докл. АН СССР.—Т. 101, № 5.—C. 793–796.
11. Мамадалиев Н. К. О представлении решения видоизмененной задачи Коши
// Сиб. мат. журн.—Т. 40, № 5, 200.—C. 1087–1097.
12. Смирнов М. М. Единственность решения краевой задачи для уравнения
смешанно-составного типа второго рода // Нелокальные задачи и их приложения к автоматизированным системам.—Нальчик, 1989.—C. 211–218.
13. Терсенов С. А. К теории гиперболических уравнений с данными на линии
вырождения типа // Сиб. мат. журн.—1961.—Т. 2, № 6.—C. 197–200.
14. Зайнулабидов М. М. Об одном уравнении, порядок которого вырождается
вдоль линии изменения типа // Диф. уравнения.—1973.—Т. 9, № 1.—C. 177–
179.
15. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.—М.: НЛ, 1957.—
444 с.
16. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.—М.,
1977.
17. Положий Г. П. Уравнения математической физики.—М., 1964.
18. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых
тел.—М., 1985.
19. Карслоу Х. С. Теория теплопроводности.—М.; Л., 1947.
20. Наджафов Х. М. Об одной общей краевой задаче со смещением для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Известия КБНЦ РАН.—2002.—№ 1 (8).—
С. 63–71.
21. Привалов И. И. Интегральные уравнения.—М.; Л., 1935.
Интститут информатики и проблем
регионального управления КБНЦ РАН;
Кабардино-Балкарский государственный
университет (Нальчик, Россия)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.946
НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
В. А. Елеев, А. Х. Кодзоков
Доказаны существование и единственность решения нелокальной краевой
задачи для нагруженного смешанного уравнения третьего порядка в прямоугольной области. Доказаны три теоремы из которых следует единственность решения задачи для различных случаев расположения корней характеристического уравнения. Существование решения задачи доказывается
методом эквивалентной редукции к интегральному уравнению Фредгольма
второго рода, которое однозначно разрешимо.
Рассматривается уравнение
uxxx − uy + b1 (x, y)ux + d1 (x, y)u(x̄, ȳ),
y > 0,
0 = Lu =
(1)
uxxy + b2 (x, y)ux + c2 (x, y)uy + d2 (x, y)u(x̄, ȳ), dy < 0
в области Ω, ограниченной отрезками A0 A1 , A1 B1 , B1 B0 , B0 A0 прямых x = 0, y = y1 , x = l, y = −y0 соответственно, причем l, y0 , y1 > 0;
Ω1(2) = Ω ∩ {y > 0 (y < 0)}; I — интервал 0 < x < l.
Здесь предполагается, что: 1) (x̄, ȳ) = (x0 , y) или 2) (x̄, ȳ) = (x, 0),
где x0 — фиксированная точка интервала I.
Относительно коэффициентов уравнения (1) полагаем, что
b1 (x, y) ∈ C(Ω̄1 ) ∩ C 1 (Ω1 ),
1
2
b2 (x, y) ∈ C (Ω̄2 ) ∩ C (Ω2 ),
d1 (x, y) ∈ C(Ω̄1 );
C2 (x, y), d2 (x, y) ∈ C(Ω̄2 ).
Пусть имеет место случай 1).
Задача 1. Найти функцию u(x, y) со следующими свойствами:
3,1
2,1
(Ω1 ) ∩ Cx,y
(Ω2 );
1) u(x, y) ∈ C(Ω̄) ∩ C 1 (Ω) ∩ Cx,y
2) u(x, y) — регулярное решение уравнения (1) при y = 0;
3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям
ux (0, y) = ϕ1 (y),
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения
λ(y)uxx (0, y) + δ(y)u(0, y) = ϕ2 (y),
3
α(y)uxx (l, y) + β(y)ux (l, y) + γ (y)u(l, y) = ϕ3 (y),
u(0, y) = µ(y),
1
(3)
0 y y1 , (4)
−y0 y 0,
u(l, y) = µ(y),
2
135
(5)
где ϕi (y) ∈ C[0, y1 ], i = 1, 2, 3, µ(y) ∈ C 1 [−y0 , 0], j = 1, 2, причем
j
λ(0) = 0, j(0) = 0.
В силу того, что u(x, y) ∈ C 1 (Ω), мы можем в уравнении (1) перейти к пределу при y → 0±. В результате получим функциональные
соотношения между τ (x) и ν(x), приносимые из областей Ω1 и Ω2 на
линию y = 0
τ (x) + b1 (x, 0)τ (x) + d1 (x, 0)τ (x0 ) = ν(x),
ν (x) + c2 (x, 0)ν(x) = ρ(x),
0 x l,
0 x l,
(5)
(6)
где ρ(x) = −b2 (x, 0)τ (x)−d2 (x, 0)τ (x0 ), u(x, 0) = τ (x), uy (x, 0) = ν(x).
Легко заметить, что для функции ν(x) выполняются следующие
граничные условия
ν(0) = µ(0),
1
ν(l) = µ(0).
(7)
2
Правую часть равенства (6) временно объявим известной. Пусть
вначале b1 (x, 0) ≡ λ = const, c2 (x, 0) = λ̄ = const. Так как функция
Грина задачи ν(0) = ν(l) = 0 оператора Lν = ν + λ̄1 ν имеет вид
⎧
sin k(t − l) sin kx
⎪
⎨
, 0 x t,
k sin kl
G0 (x, t) =
если λ̄1 = k 2 ,
⎪
⎩ sin kt sin k(x − l) , t x l,
k sin kl
⎧
sh k(t − l) sh kx
⎪
⎨
,
k sh kl
G1 (x, t) =
⎪
⎩ sh kt sh k(x − l) ,
k sh kl
0 x t,
если λ̄1 = −k 2 ,
t x l,
то решение задачи (6), (7) имеет вид
l
ν(x) = n(x) +
Gi (x, t)ρ(t)dt,
0
i = 0, 1,
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Кодзоков А. Х.
136
где
n(x) = µ(0) +
1
x [µ(0) − µ(0)] − µ(0)λ̄1
1
1
l 2
2
1
l
Gi (x, t)dt −
0
λ̄1
×
l
l
×[µ(0) − µ(0)]
Gi (x, t)tdz,
i = 0, 1.
0
Учитывая значение ρ(x) в (8), получим
l
ν(x) =
Ii (x, t)τ (t)dt + ω(x)τ (x0 ) + ñ(x),
(9)
0
где
Ii (x, t) =
[Gi (x, t)b2 (t, 0)]t ,
l
ω(x) =
Gi (x, t)d2 (t, 0)dt,
0
ñ(x) = Gi (x, 0)b2 (0, 0) + n(x),
i = 0, 1.
Далее, исключая из (5) и (9) неизвестную функцию ν(x), учитывая краевые условия (2)–(4), получим задачу для нагруженного интегро-дифференцию уравнения третьего порядка относительно τ (x).
τ (x) + λ̄0 τ (x) = ḡ(x),
(10)
τ (0) = ϕ1 (0),
(11)
λ(0)τ (0) + δ(0)τ (0) = ϕ2 (0),
(12)
α(0)τ (l) + β(0)τ (l) + γ(0)τ (l) = ϕ3 (0),
(13)
где
l
ϕ(x, t)τ (t)dt + ω̃(x)τ (x0 ) + ñ(x), ω̃(x) = ω(x) − d1 (x, 0).
ḡ(x) =
0
(13 )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения
137
Общее решение однородного уравнения τ (x) + λ̄0 τ (x) = 0 имеет
вид:
⎧
2
⎪
3x ,
⎨c1 + c2 x + c
τ (x) = c1 + c2 exp( −λ̄0 x) + c3 exp(− −λ̄0 x),
⎪
⎩
c1 + c2 cos λ̄0 x + c3 sin λ̄0 x,
если λ̄0 = 0;
если λ̄0 < 0;
если λ̄0 > 0.
Методом вариации произвольных постоянных найдем общее решение неоднородного уравнения (10). Будем иметь
2
x
τ (x) = γ1 + γ2 x + γ3 x +
M (x, t)g(t)dt,
если λ̄0 = 0,
(14)
0
где γi , i = 1, 2, 3 — произвольные постоянные, M (x, t) = W1−1 (t)[(t −
x)2 +xt(t−x)], W1 (t) = 1+(1−x)2 — определитель Вронского системы
уравнений, полученной относительно ci (x), i = 1, 2, 3.
Удовлетворяя (14) условиям (11)–(13), получим нагруженное интегральное уравнение Фредгольма второго рода
l
T (x, t)τ (t)dt + τ (x0 )ρ(x) + f (x),
τ (x) =
(15)
0
где
l l 1
1 − t1
f (x) =
+
2α(0)
ϕ3 (0) +
γ(0)
W1 (t1 )
0
0
+β(0)Mx (l, t1 ) + γ(0)M (l, t1 ) dt1 ñ(t)dt
−
[β(0) + γ(0)l]ϕ1 (0) + [2α(0) + 2β(0)l + γ(0)l2 ] [ϕ2 (0) − δ(0)ϕ1 (0)]
+
γ(0)
x
ϕ2 (0) − δ(0)ϕ1 (0) 2
+ϕ1 (0)x +
x + M (x, t)ñ(t) dt,
λ
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Кодзоков А. Х.
138
x
ρ(x) =
M (x, t)ñ(t)dt,
0
T (x, t) =
W1 (t)
−
γ(0)
l
W1−1 (t)
α(0) 2
l [G(x, t)b2 (t, 0)]t −
γ(0)
x2
(t
−
x)
(t − x)[t(1 − x) − 2]+
l2
0
+γ(0)[(t − x)2 + xt(t − x)] [G(t, t1 )b2 (t, 0)]t dt+
x2
+(t − x)[t + (1 + x) − x] − 2 [(t − x)(t(1 − x) − 2)] .
l
W1−1 (t)
2α(0)(1 − t) − β(0)
В силу свойств функции Грина G(x, t), коэффициентов α, β, γ, δ,
b2 , определителя Вронского W1 (t) нетрудно заметить, что T (x, t) ∈
c{[0 x l] × [0 x l]}, f (x) ∈ c[0, l], ρ(x) ∈ c[0, l]. Пусть выполнено условие lT̄ < 1, где T̄ = max |T (x, t)|.
0x,tl
Обозначив через R(x, t) резольвенту ядра T (x, t), решение уравнения (15) мы можем представить по формуле
l
R(x, t)f (t)dt + ρ(x) +
τ (x) = f (x) +
0
l
R(x, t)ρ(t)dt τ (x0 ). (16)
0
Полагая в равенстве (16) x = x0 , однозначно найдем τ (x0 ) по
формуле
:
l
τ (x0 ) = f (x0 ) + R(x0 , t)f (t)dt ∆0 ,
0
если положить
l
∆0 = 1 − ρ(x0 ) −
R(x0 , t)ρ(t)dt = 0.
0
Рассмотрим теперь случай, когда λ̄0 < 0. Общее решение уравнения (10) в этом случае имеет вид
τ (x) = γ1 + γ2 ek1 x + γ3 e−k1 x + g̃(x),
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения
где γi , i = 1, 2, 3 — произвольные постоянные, g̃(x) =
x
139
M (x, t)ḡ(t)dt,
0
2
¯
¯
M (x, t)
= 2/∆0 (k1 ch k1 (x − t) + sh k1 (x − t) − k1 ), ∆0 = 2k1 (k1 − 1) = 0,
k1 = −λ̄0 , а функция ḡ(x) определяется формулой (13 ), причем
g̃(0) = g̃ (0) = 0, ḡ (0) = M1 (0)/(k12 − 1).
Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнений (1) и граничных
условий (2)–(4) удовлетворяют условиям
D0 = 2χ0 γ(0) + 2(χ1 ch k1 l + β(0)χ1 sh k1 l)δ(0) = 0,
(18)
¯ 0 − {2∆
¯ 0 − 2(∆
¯ 0 δ(0) ch k1 l − [χ0 ∆
¯ 0 ϕ2 (0)−
D1 = D0 ∆
−2λ(0)k1 µ (0)][x1 ch k1 l + β(0)k1 sh k1 l]} = 0,
(19)
¯ 0 [2δ(0) ch k1 l − (χ1 ch k1 l + β(0) sh k1 l)]×
π̄(x, t) = ∆
×π(l, t) − 2D0 N (x, t) = 0,
(20)
1
где χ0 = λ(0)k12 + δ(0), χ1 = α(0)k12 + γ(0),
π(l, t) = α(0)Nxx (l, t) + β(0)Nx (l, t) + γ(0)N (x, t),
2
N (x, t) = ¯
∆0
x
M (x, t1 )ϕ(t1 , t)dt1 .
0
Тогда задача (10)–(13) имеет единственное решение.
Удовлетворив (17) граничным условиям (11)–(13), получим систему алгебраических уравнений относительно γi , i = 1, 2, 3.
⎧
⎪
⎨γ2 − γ3 = θ0 ,
(21)
δ(0)γ1 + ε1 γ2 + ε1 γ3 = θ1 ,
⎪
⎩
δ(0)γ1 + ε2 γ2 + ε3 γ3 = θ2 ,
где ε1 = λ(0)k12 + δ(0), ε2 = (α(0)k12 + β(0)k1 + γ(0))ek1 l , ε3 = (α(0)k12 −
β(0)k1 +γ(0))e−k1 l , θ0 = ϕ1 (0)/k1 , θ1 = ϕ2 (0)−λ(0)g̃ (0), θ2 = ϕ3 (0)−
α(0)g̃ (l) − β(0)g̃ (l) − γ(0)g̃(l).
Определитель D0 системы (22) имеет вид (18). Решая систему
уравнений (21), получим
γ1 = { [(ε3 − ε2 )θ0 + 2θ2 ]ε1 − (ε3 + ε2 )θ1 }/D,
γ2 = [(θ0 ε1 + θ1 )γ(0)−(θ2 + θ0 ε3 )δ(0)]/D,
γ3 = [(θ1 − θ0 ε1 )γ(0) + (θ0 ε2 − θ2 )δ(0)]/D.
(22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Кодзоков А. Х.
140
Подставляя (22) в равенство (17) и делая несложные преобразования, получим
(23)
τ (x) = p(x)τ (x0 ) + r(x),
где
1 [2δ(0) ch k1 l − (x1 ch k1 l + β(0)k1 sh k1 l)]×
D0
×(α(0)k (l) + β(0)k (l) + γ(0)k(l)) + D0 k(x) ,
p(x) =
2
k(x) = ¯
∆0
x
M (x, t)ω̃(t)clt,
0
1 ¯
∆0 [x1 sh k1 l + β(0)k1 ch k1 l + (2δ(0) ch k1 l − x0 )×
r(x) =
D0
×(α(0)m (l) + β(0)m (l) + γ(0)m(l)) + 2D0 b2 (0, 0)m̄(x) ,
2
m(x) = ¯
∆0
x
x
M (x, t)ñ(t)dt,
0
m̄(x) =
M (x, t)Gi (t, 0)dt.
0
Полагая в равенстве (23) x = x0 и учитывая условие (19), получим
¯ 0 r(x0 )
D0 ∆
.
(24)
τ (x0 ) =
D1
Таким образом, подставляя в равенство (23) значение τ (x0 ) из
(24), однозначно находим решение τ (x) задачи (10)–(13).
Пусть теперь нарушено условие (20), т. е. π̄(x, t) = 0. Тогда задача (10)–(13) эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма
второго рода относительно τ (x)
l
τ (x) =
Q(x, t)τ (t)dt + p(x)τ (x0 ) + r(x),
(25)
0
где
¯ 0 ).
Q(x, t) = π̄(x, t)/(D0 ∆
В силу сделанных предположений относительно заданных функций, коэффициентов уравнения (1) и свойств функции Грина
Gi (x, t), легко заключить, что Q(x, t) ∈ C(Ω̄1 ) ∩ C 2 (Ω1 ), p(x), r(x) ∈
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения
141
¯ ∩ C 2 (I). Если выполняется условие Ll < 1, где L = max|Q(x, t)|,
C(I)
Ω̄1
то уравнение (25) обратно, и его решение представимо в виде
l
R̄(x, t)p(t)dt)τ (x0 ) + r̄(x),
τ (x) = (p(x) +
(26)
0
где R̄(x, t) — резольвента ядра Q(x, t), r̄(x) = r(x) +
l
R̄(x, t)r(t)dt.
0
Полагая в равенстве (26) x = x0 , получим
τ (x0 ) =
r̄(x0 )
,
l
1 − p(x0 ) − R̄(x0 , t)p(t)dt
0
если
l
1 − p(x0 ) −
R̄(x0 , t)p(t)dt = 0.
0
После определения τ (x) мы приходим к следующей задаче A1 [2]:
найти регулярное в области Ω1 решение u(x, y) уравнения (1) непрерывное вместе с производными ux , uxx в области Ω̄1 и удовлетворяющее краевым условиям (11)–(13) и u(x, 0) = τ (x).
Имеет место
Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (1) и функции α(y),
β(y), γ(y) и δ(y) и удовлетворяют дополнительным условиям:
d1 (x, y) < 0,
b2 (0, 0) = 0,
x1 sh k1 l + β(0)k1 ch k1 l+
+(2δ(0) ch k1 l − x0 )(h0 ch k1 (l − t) + h1 sk1 (l − t) − γ(0)k1 ) = 0,
β 2 (y) + α(y)(λ̄0 α(y) − 2γ(y)) 0,
[(β 2 (y) + 3α(y)β(y)λ(y) + (λ̄0 λ(y) − 2δ(y))α2 (y)]λ(y) 0,
где h0 = α(0)k13 + (β(0) + γ(0))k1 , h1 = (α(0) + β(0))k12 + γ(0).
Тогда решение u(x, y) уравнения (1) в области Ω1 тождественно
равно нулю, если ϕi (y) = 0, i = 1, 2, 3 и µ(y) = 0, j = 1, 2.
j
Легко заметить, что при сделанных предположениях относительно заданных функций, τ (x) = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Кодзоков А. Х.
142
Допустим, что однородная задача имеет нетривиальное решение
u(x, y). Положим
u = v(x, y) exp(hy),
(28)
где h — некоторое число. Для функции v(x, y) при y > 0 получим
уравнение
(29)
Lv = vxxx + λ̄0 vx − hv + d1 v(x0 , y) = 0
и краевые условия
v(x, 0) = 0,
0 x l,
λ(y) vxx (0, y) + δ(y)v(0, y) = 0,
(30)
vx (0, y) = 0,
α(y) vxx (l, y) + β(y)vx (l, y) + γ(y)v(l, y) = 0,
0 y k1 .
(31)
(32)
По предположению и в силу (28) эта задача имеет нетривиальное
решение v(x, y).
Рассмотрим тождество
2cvLv = {2cvxx − 2cx vvx − cvx2 + [cxx + λ̄0 c]v 2 }x − (cv 2 )y +
+3cx vx2 − [cxxx + λ̄0 cx + 2hc − cy ]v 2 + 2cd1 vv(x0 , y) = 0.
(33)
Интегрируя это тождество по области Ω1 и учитывая однородные
граничные условия (30)–(32), получим
l
−
y1 2
− 2cx (l, y) − 2c(l, y)
c(x, y1 )v (x, y1 )dx +
0
0
×v(l, y)vx (l, y) −
c(l, y)vx2 (l, y)
β(y)
×
α(y)
+ − cxx (l, y)+
y1 γ(y)
2
cxx (0, y) − 3cx (0, y)+ (34)
+ λ̄0 − 2
c(l, y) v (l, y) dy −
α(y)
0
δ(y)
2
+ λ̄0 − 2
c(0, y) v (0, y)dy + 3 cx vx2 dxdy+
λ(y)
Ω1
+2 cd1 vv(x0 , y)dxdy − [cxxx + λ̄0 cx + 2hc − cy ]v 2 dxdy = 0.
Ω1
Ω1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения
143
Подчиним теперь функции c(x, y), α(y), β(y), γ(y) и δ(y) и постоянные числа h и λ0 таким условиям, чтобы все интегралы в левой
части равенства (34) были неположительны. Для этого достаточно,
чтобы выполнялись следующие неравенства:
1) c(x, y1 ) 0;
β(y)
2) cx (l, y) + α(y)
c(l, y) = 0;
3) c(l, y) 0;
γ(y)
4) cxx (l, y) + λ̄0 − 2 α(y)
c(l, y) 0;
δ(y)
5) cxx (0, y) − 3cx (0, y) + λ̄0 − 2 λ(y)
c(0, y) 0;
6) cx (x, y) 0;
7) c(x, y) > 0;
8) cxxx + λ̄0 cx + 2hc − cy 0.
Если положить c(x, y) = exp[−β(y)/α(y)]x, β(y)α(y) 0, а число
h выбрать так, чтобы выполнялось неравенство
h>
1
max(−cxxx − λ̄0 xx + cy ),
min c(x, y) Ω̄1
Ω̄1
тогда все неравенства 1)–8) выполняются.
Полагая в равенстве (34) x = x0 , получим
l
−
2
y1 c(x, y1 )v (x0 , y1 )dx +
0
− c(l, y)vx2 (l, y)+
0
γ(y)
2
+ cxx (l, y) + λ̄0 − 2
c(l, y) v (l, y) dy−
α(y)
y1 δ(y)
cxx (0, y) − 3cx (0, y) + λ̄0 − 2
−
c(0, y) v 2 (0, y)dy+
λ(y)
0
+3 cx (x0 , y)vx2 (x, y)dxdy + 2 c(x0 , y)d1 (x0 , y)dxdy−
Ω
Ω
1
1
cxxx (x0 , y)λ̄0 cx (x0 , y) + 2hc(x0 , y) − cy (x0 , y) v 2 (x0 , y)dxdy = 0,
−
Ω1
(35)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Кодзоков А. Х.
144
что невозможно, если v(x0 , y) = 0. Следовательно, v(x0 , y) = 0. Учитывая это в равенстве (34), будем иметь, что v(x, y) ≡ 0 для любого
(x, y) ∈ Ω̄1 и согласно (28) u(x, y) ≡ 0 для любого (x, y) ∈ Ω̄1 .
Рассмотрим теперь случай, когда λ̄0 > 0. Общее решение уравнения (10) в этом случае имеет вид
τ (x) = γ1 + γ2 cos k̄1 x + γ3 sin k̄1 x + r̄¯(x),
(36)
где
r̄¯(x) =
1
∆1
x
M̄ (x, t)ḡ(t)dt,
M̄ (x, t) = k̄1 −
√
2 sin
0
π
4
− (x + t)k̄1 ,
k̄1 =
λ̄0 , функция ḡ(t) определяется формулой (13 ), ∆1 =
2
(k̄1 + 1)k̄1 = 0.
Пусть ∆2 = δ(0)x̄0 cos k̄1 l − γ(0)x̄1 = 0, где x̄0 = γ(0) − α(0)k̄12 ,
x̄1 = δ(0) − λ(0)k̄12 . Тогда, удовлетворяя (36) граничным условиям
(11)–(13), получим
!
γ1 = x̄0 [ϕ2 (0) − λ(0)(k̄1 − 1)∆−1
1 ḡ1 (0)] cos k̄1 l − x̄1 [ϕ3 (0)−
"
−(x̄0 sin k̄1 l + β(0)k̄1 cos k̄1 l)γ3 − (α(0)r̄¯ (l) + β(0)r̄¯ (l) + γ(0)r̄¯(l)) /∆2 ,
!
γ2 = δ(0)[ϕ3 (0) − (x̄0 sin k̄1 l + β(0)k̄1 cos k̄1 l)γ̄3 ] − δ(0)r̄¯(l)−
"
¯ −1 ḡ (0) /∆2 ,
−γ(0)ϕ2 (0) + γ(0)λ(0)(k̄1 − 1)∆
1
γ3 = (∆1 ϕ1 (0) − k̄1 + 1)/(∆1 k̄1 ).
Подставляя значения γi , i = 1, 2, 3 в равенство (27) и делая несложные преобразования, получим нагруженное интегральное
уравнение Фредгольма второго рода относительно τ (x)
l
τ (x) =
K(x, t)τ (t)dt + V (x)τ (x0 ) + N (x),
0
где
K(x, t) = z0 (x)ϕix (0, t) + z1 (x)ϕi (l, t)+
(37)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения
145
l
x
+ Γ(t1 , t)dt1 + M̄ (x, t1 )ϕi (t1 , t)dt1 ,
0
0
l
V (x) = z0 (x)ω̃ (0) + z1 (x)ω̃(l) +
N (x) = z0 (x)ñ (0) + z1 (x)ñ(l) +
x
M̄ (x, t)ω̃(t)dt,
Γ(t)ω̃(t)dt +
0
0
l
x
M̄ (x, t)ñ(t)dt,
Γ(t)ñ(t)dt +
0
0
z0 (x) = [−(k̄1 − 1)λ(0)(x̄0 cos k̄1 x + γ(0) sin k̄1 x)]/(∆1 ∆2 ),
z1 (x) = (x̄1 cos k̄1 x − δ(0) sin k̄1 x)/∆2 ,
√
π
− (l + t)k̄1 −
Γ(t) = γ(0)k̄1 + 2 β(0)k̄1 cos
4
π
− (l + t)k̄1
/∆1 .
−H̄0 sin
4
Легко заметить, что K(x, t) ∈ C(Ω̄1 ) ∩ C 2 (Ω1 ), V (x), H(x) ∈
¯ ∩ C 2 (I). Пусть lk̄¯ < 1, где k̄¯ = max|K(x, t)|. Тогда решение
C(I)
Ω̄1
уравнения (37) представимо в виде
τ (x) = V̄ (x)τ (x0 ) + N̄ (x),
где V̄ (x) = V (x) +
l
R̄(x, t)V (t)dt, N̄ (x) = N (x) +
0
(38)
l
R̄(x, t)N (t)dt,
0
R̄(x, t) — резольвента ядра K(x, t).
Полагая в равенстве (38) x = x0 , получаем
τ (x0 ) =
N̄ (x0 )
,
1 − V̄ (x0 )
(39)
если 1 − V̄ (x0 ) = 0.
Подставляя значение τ (x0 ) из равенства (39) в (38), однозначно
находим τ (x).
Теорема 3. Пусть коэффициенты уравнения (1) и граничных
условий (2)–(4) удовлетворяют условиям: b2 (0, 0) = 0 или x̄0 cos k̄1 x+
γ(0) sin k̄1 x = 0.
Тогда решение u(x, y) уравнения (1) в области Ω1 тождественно
равно нулю, если ϕi (y) = 0, i = 1, 2, 3, µj (y) = 0, j = 1, 2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Елеев В. А., Кодзоков А. Х.
146
Доказательство справедливости теоремы 3 проводится также как
для теоремы 2.
Существование решения задачи A1 сначала доказывается для однородного модельного уравнения
uxxx − uy = 0.
(40)
Опираясь на свойства фундаментальных решений уравнения
(40) [2–4]
x−ξ
1
V (x, y; ξ, η) =
f
,
(y − η)1/3
(y − η)1/3
x−ξ
1
ϕ
V (x, y; ξ, η) =
, (η = y)
(y − η)1/3
(y − η)1/3
где
√
πc z
[I1/3 (cz 3/2 ) + I−1/3 (cz 3/2 )],
f (z) =
2
√
3πc z
2
[I1/3 (cz 3/2 ) − I−1/3 (cz 3/2 )], c = √ ,
ϕ(z) =
2
3 3
Iν (t) — функция Бесселя, решение задачи A1 ищется в виде
y
V (x, y; 0, η)α1 (η)dη+
u(x, y) =
0
y
y
+ V (x, y; 1, η)α2 (η)dη + V (x, y; 0, η)α3 (η)dη,
0
0
где αi (η), i = 1, 2, 3 — неизвестные функции.
Удовлетворяя (40) граничным условиям (2)–(4), u(x, 0) = τ (x),
после несложных вычислений получаем систему интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций αi (y), i =
1, 2, 3, u(x0 , y), однозначная разрешимость которой устанавливается
в [3].
Решение задачи A1 для уравнения (1) с младшими членами проводится аналогично тому, как это сделано в работе [2]. Задача A1
в этом случае эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо в силу единственности решения задачи A1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения
147
В области Ω2 приходим к задаче A2: найти регулярное в области
Ω2 решение u(x, y) уравнения (1), непрерывное на Ω̄2 , удовлетворяющее краевым условиям (5 ) и u(x, 0) = τ (x), причем τ (0) = µ1 (0),
τ (l) = µ2 (0).
Опираясь на свойства функции Римана, задача A2 эквивалентно
редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода,
которое однозначно разрешимо [5].
Пусть теперь b1 (x, y), c2 (x, y) = const. В этом случае решение задач (6), (7) и (10)–(13) проводится аналогично тому, как это сделано
в работе [6]. После определения неизвестной функции τ (x), в области Ω1 снова приходим к задаче A1, а в области Ω2 — к задаче A2,
однозначная разрешимость которых доказывается так же как это
сделано в работах [3] и [6] соответственно.
Литература
1. Cattabriga L. Unproblema al contorno per una eqnazione parabolica di ordine
dispfre // Annali della. Scnola Normale Snporiose di Pisa Soienze Fislche e
Matematiche.—1959.—V. 8, Fase.—P. 163–203.
2. Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с
кратными характеристиками // Диф. уравнения.—1981.—Т. 17, № 1.—С. 3–
12.
3. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов.—Ташкент: Фан, 1979.—с. 238.
4. Иргашев Ю. Некоторые краевые задачи для уравнения третьего порядка
с кратными характеристиками // Краевые задачи для дифференциальных
уравнений и их приложения.—Ташкент: Фан, 1976.—С. 17–27.
5. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых
средах // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, № 4.—С. 689–699.
6. Сопуев А., Кожобеков К. Г. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка с младшими членами с характеристической линией изменения типа // Труды научной конференции. Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики.—Ташкент.—2004.—Т. 1.—С. 147–152.
Кабардино-Балкарский государственный
университет (Нальчик, Россия)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.956
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
ТИПА ЗАДАЧИ СТЕКЛОВА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
З. М. Жемухова
В работе исследуется одна краевая задача типа задачи Стеклова для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка.
Методом эквивалентной редукции к интегральным уравнениям Вольтерра
второго рода доказана однозначная разрешимость постановленной задачи.
Рассмотрим нагруженное уравнение
∂
(uxx − uy ) − λ1 u (x, 0) , y > 0,
0 = ∂x
∂
∂x (uxx − uyy ) − λ2 u (x, 0) , y < 0,
(1)
где λ1 , λ2 — вещественные числа в области D.
Пусть D1 — область, ограниченная отрезками AB, BB0 , B0 A0 и
A0 A прямых y = 0, x = 1, y = h и x = 0 соответственно, а D2 —
характеристический треугольник, ограниченный отрезком AB оси
Ox и двумя характеристиками AC : y + x = 0, BC : x − y = 1
уравнения
выходящими из точек A и B и пересекающимися в
(1),
точке C 12 , 12 .
Совокупность областей D1 и D2 , вместе с открытым отрезком
AB, обозначим через D.
Задача A. Найти регулярное в области D (при y = 0) решение
u(x, y) уравнения (1), непрерывное в D̄, обладающее непрерывными
производными ux и uy в области D̄\BC и удовлетворяющее условиям
u|AC
u(x, 0) = u(x, h),
(2)
u (l, y) = u (0, y) ,
(3)
ux (l, y) = ux (0, y) + u (0, y) ,
∂u 1
= ψ1 (x) ,
= ψ2 (x) , 0 x ,
∂n AC
2
(4)
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одной краевой задаче типа задачи Стеклова
149
здесь n — внутренняя нормаль, ψ1 , ψ2 — заданные функции, причем
ψ1 , ψ2 — непрерывны.
В области D2 рассмотрим следующую вспомогательную задачу:
Задача B. Найти регулярное в области D2 , непрерывное в D̄2
решение u(x, y) уравнения (1), обладающее непрерывными производными ux и uy в области D̄2 \BC и удовлетворяющее граничным
условиям
(6)
u|y=0 = τ (x) ,
u|AC = ψ1 (x),
∂u = ψ2 (x),
∂n (7)
(8)
AC
где функция τ непрерывна для любого x ∈ (0, 1).
Общим решением уравнения (1) при y < 0 будет функция [1, 2]
λ2
u(x, y) = Φ(x + y) + Φ1 (x − y) + ω(y) +
2
x
τ (s)(x − s)2 ds.
0
Подчинив u (x, y) условиям (6)–(8), получим
λ2
τ (x) = Φ (x) + Φ1 (x) +
2
x
ψ2
2
2
2
τ (s) (x − s) ds,
(10)
0
x
(11)
0
Из (11), при x = 0, имеем Φ (0) =
разуем к виду
ψ2
x
2
2
x
√ 1 x λ2
= 2Φ (0) + √ ω −
+√
− s ds.
τ (s)
2
2
2
2
x
(9)
0
λ2
ψ1 (x) = Φ (0) + Φ1 (2x) + ω (−x) +
2
x
2
τ (s) (x − s) ds,
ψ2 (0)
√ .
2
x
λ2
1
= ψ2 (0) + √ ω −
+ √
2
2
4 2
Выражение (11) преоб-
x s
2
(x − s) ds.
τ
2
0
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Жемухова З. М.
150
Из (12) найдем неизвестную функцию
√ x √
x x
t
2
2
λ2
s
=−
ψ2 (0)x +
(x − s)2 ds.
ψ2
τ
ω −
dt +
2
2
2
2
16
2
0
0
Заменив в последнем равенстве − x2 на y, найдем
−2y
√ −2y
s
√
t
2
λ2
2
(−2y − s) ds.
ψ2
τ
ω (y) = −
dt − 2ψ2 (0) y +
2
2
16
2
0
0
Из (10) определим Φ1 (x) в виде
Φ1 (x) = ψ1
x x
λ2
s
2
−ω −
− Φ (0) −
(x − s) ds.
τ
2
2
16
2
x
0
Подставив Φ1 (x) в (9), найдем Φ (x)
Φ(x) = τ (x) − ψ1
λ2
+
16
x
x
+ω −
+ Φ (0) +
2
2
x x
s
λ2
2
2
(x − s) ds −
τ
τ (s) (x − s) ds.
2
2
0
0
Подставив найденные функции ω(x), Φ1 (x), Φ(x) в выражение
u(x, y), получим решение задачи B
λ2
u (x, y) = τ (x + y) +
8
λ2
−
2
x+y
0
λ2
+
16
x+y
τ
−2y
0
s
2
0
λ2
τ (s) (x + y − s) ds −
8
2
s
x−y
τ
s
0
λ2
(−2y − s) ds +
τ
2
2
2
2
(x + y − s) ds−
x
2
2
(x − y − s) ds+
2
τ (s) (x − s) ds−
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одной краевой задаче типа задачи Стеклова
√
2
−
2
151
√ x−y
t
t
x+y
2
ψ2
ψ2
dt +
dt − ψ1
+
2
2
2
2
x+y
0
0
+ψ1
x−y
2
√
2
−
2
(13)
t
ψ2
dt.
2
−2y
0
В области D1 рассмотрим вспомогательную задачу:
Задача С. Найти регулярное в области D1 решение u(x, y) уравнения (1), непрерывное и имеющее непрерывные первые производные ux и uy в области D̄1 и удовлетворяющее краевым условиям
(2)–(4).
Перепишем уравнение (1) при y > 0 в виде
Lu = uxx − uy = F (x) ,
(14)
где
x
F (x) = λ1
u(y, 0)dy.
0
Используем свойства функции
2
(x − ξ)
1
− 12
,
Γ (x, y; ξη) = √ (y − η) exp −
4 (y − η)
2 π
η < y.
По переменным (x, y) функция Γ (x, y; ξ, η) удовлетворяет однородному уравнению Lu = 0, по переменным ξ, η сопряженному уравнению
L∗ u = 0
или
L∗ u = γξξ + Γη = 0.
Справедливо тождество
ΓLu − uL∗ Γ = ΓF (x, y) =
∂
∂
(Γux − uΓx ) −
(Γu) .
∂x
∂y
(15)
Пусть существует регулярное в области D1 решение уравнения (14), которое непрерывно в D̄1 и имеет непрерывную при 0 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Жемухова З. М.
152
y h производную по пространственной переменной x. Тогда решение u(x, y) задачи (1), (2)–(4) имеет вид [3]
1
u (x, y) = − √
2 π
y
− 12
(y − η)
0
x2
exp −
4 (y − η)
×
y
1
x
−1
u (0, η) dη + √
(y − η) 2 ×
2 (y − η)
2 π
0
2
(x − l)
x−l
× exp −
u (l, η) dη+
uξ (l, η) −
4 (y − η)
2 (y − η)
l
2
1
(x − ξ)
− 12
+ √
dξ − I (x, y) ,
u (ξ, 0) y exp −
4y
2 π
× uξ (0, η) −
(16)
0
где
l y
I (x, y) = λ1
F (ξ) Γ (x, y; ξ, η)dξdη.
0
0
Используя условия (2)–(4), перепишем (16) в виде
1
u (x, y) = − √
2 π
y
− 12
(y − η)
0
exp −
x2
4 (y − η)
×
y
1
x
−1
u (0, η) dη + √
(y − η) 2 ×
× uξ (0, η) −
2 (y − η)
2 π
0
(17)
2
(x − l)
x−l
× exp −
uξ (0, η) + u (0, η) −
u (0, η) dη+
4 (y − η)
2 (y − η)
l
2
1
(x − ξ)
− 12
+ √
dξ − I (x, y) .
u (ξ, h) y exp −
4y
2 π
0
Дифференцируя (17) по x, а затем переходя к пределу в полученном равенстве и в (17) при x → 0 и y → h получим систему
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одной краевой задаче типа задачи Стеклова
153
интегральных уравнений
⎧
y
y
1
1
1
− 12
⎪
√
√
⎪
u(0,
y)
−
(y
−
η)
u(0,
η)P
(y,
η)dη
=
(y − η)− 2 ×
1
⎪
2 π
2 π
⎪
⎪
0
0
⎪
⎪
⎪
l
⎪
1
⎪
×uξ (0, η)P2 (y, η)dη + 2√π u(ξ, h)P3 (ξ, y)dξ − I(0, y),
⎪
⎪
⎪
0
⎪
⎪
⎪
y
y
⎪
3
1
1
−
−3
⎪
2
√
⎪
⎨ux (0, y)− 2 π (y − η) uξ (0, η)N1 (y, η)dη = 2√π (y − η) 2 ×
0
0
l
⎪
⎪
×u(0, η)N2 (y, η)dη + 2√1 π u(ξ, h)N3 (ξ, y)dξ + Ix (0, y),
⎪
⎪
⎪
0
⎪
⎪
⎪
l
h
⎪
1
⎪
1
1
⎪
√
√
u(ξ,
h)L
(ξ,
η)dξ
=
(h − η)− 2 u(0, η)×
u(x,
h)
−
⎪
1
2 π
2 π
⎪
⎪
0
0
⎪
⎪
⎪
h
⎪
1
1
⎪
−
⎩
(h − η) 2 u(0, η)L (h, η)dξ − I(x, h),
×L (h, η)dη − √
2
2 π
где
3
0
(18)
l2
l
P1 (y, η) = exp −
1+
,
4(y − η)
2(y − η)
2
l2
ξ
− 12
P2 (y, η) = exp −
− 1, P3 (ξ, y) = y exp −
,
4(y − η)
4y
l2
N1 (y, η) = l exp −
,
4(y − η)
l2
l2
l2
N2 (y, η) = exp −
l+
+ l exp −
+ 1,
4(y − η)
2(y − η)
4(y − η)
2
1
ξ
ξ
(x − ξ)2
N3 (ξ, y) = − 1 exp −
, L1 (ξ, h) = h− 2 exp −
,
4y
4h
2y 2
l2
+
2(h − η)
(x − l)2
x−l
+ exp −
1−
,
4(h − η)
2(y − η)
x2
(x − l)2
L3 (h, η) = exp −
− exp −
.
4(h − η)
4(h − η)
x2
L2 (h, η) = exp −
4(h − η)
l+
Первое и второе уравнения системы (14) есть уравнения Вольтерра второго рода, а третье — уравнение Фредгольма второго рода.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Жемухова З. М.
154
Решение первого уравнения системы (18) можно представить как
решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода в виде
y
u(0, y) = F1 (y) + λ
F1 (η)R1 (y, η)dη,
(19)
0
где
1
F1 (y) = √
2 π
R1 (y, η) =
1
(y − η)− 2 uξ (0, η)P2 (y, η)dη+
0
l
1
+ √
2 π
∞
y
u(ξ, h)P3 (ξ, y)dξ + I(0, y),
0
1
K1 (y, η) = (y − η)− 2 P1 (y, s),
λn Kn+1 (y, η),
n=0
y
Kn+1 (y, η) =
1
(y − s)− 2 P1 (y, s)Kn (s, η)ds,
1
λ= √ .
2 π
η
Подставим значение F1 (y) в (19) и с учетом полученного равенства, второе уравнение системы (18) перепишется в виде
ux (0, y) = λ
2
y
y
uξ (0, s)ds
0
+λ
2
s
l
y
u(ξ, h)P3 (ξ, y) dξ
0
+λ2
y
+λ
2
0
N2 (y, η)
3
0
2(y − η)
2(y − η) 2
N2 (y, η)
2(y − η) 2
y
N2 (y, η)
3
0
y
1
(η − s)− 2 P2 (η, s)
3
2
dη + λ
dη
2(y − η) 2
I(0, y)dη+
0
l
R1 (η, s) ds
0
N2 (y, η)
dη+
R1 (η, s)I(0, η) ds+
η
dη
3
2(y − η) 2
3
0
η
N2 (y, η)
u(ξ, h)P3 (ξ, η) dξ+
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одной краевой задаче типа задачи Стеклова
+λ2
y
N2 (y, η)
dη
3
0
+λ2
η
2(y − η) 2
y
0
N2 (y, η)
+λ
η
uξ (0, z)dz
0
1
R1 (η, s)(s − z)− 2 P2 (s, y)ds+
1
R1 (η, s)(s − z)− 2 P2 (s, y)ds+
z
l
N1 (y, η)
3
0
155
z
dη
2(y − η) 2
y
uξ (0, z)dz
η
3
0
η
2(y − η) 2
uξ (0, η) dη + λ
u(ξ, h)N3 (ξ, y)dξ + Ix (0, y).
0
Обозначив через
F2 (y) = λ
y
+λ
y
N2 (y, η)
3
+λ2
y
I(0, y) dη + λ
2
y
N2 (y, η)
dη
dη+
η
N2 (y, η)
3
0
2(y − η) 2
3
2(y − η) 2
0
2(y − η) 2
η
3
0
N2 (y, η)
u(ξ, h)P3 (ξ, y) dξ
0
2(y − η) 2
0
l
2
dη
R1 (η, s)I(0, η) ds+
0
l
R1 (η, s)ds
0
u(ξ, h)P3 (ξ, η)dξ+
0
l
+λ
u(ξ, h)N3 (ξ, y)dξ + Ix (0, y),
0
(20)
получим равенство
ux (0, y) = λ
+λ
2
y
2
y
y
uξ (0, s)ds
0
s
η
− 12
(s − z)
uξ (0, z)dz
0
1
(η − s)− 2 P2 (η, s)
P2 (s, y)ds
+λ
3
0
R1 (η, s)
0
N1 (y, η)
2(y − η) 2
3
2(y − η) 2
η
z
y
N2 (y, η)
uξ (0, η) dη + F2 (y),
dη+
N2 (y, η)
3
2(y − η) 2
dη+
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Жемухова З. М.
156
или
y
ux (0, y) = λ
uξ (0, z)B(y, z)dz + F2 (y),
(21)
0
где
y
η
N2 (y, η)
− 12
B(y, z) =
(η − s) P2 (η, s)ds R1 (η, s)
3 + λ
3 dη.
2(y − η) 2
2(y − η) 2
N1 (y, η)
0
s
Равенство (21) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции ux (0, y).
Тогда, решение уравнения (21) можно записать в виде
y
ux (0, y) = F2 (y) + λ
R2 (y, z)F2 (z)dz,
(22)
0
здесь
R2 (y, z) =
∞
λn Kn+1 (y, z),
n=0
где
y
Kn+1 (y, z) =
1
λ= √ ,
2 π
B(y, s)Kn (s, z)ds,
K1 (y, z) = B(y, z).
z
Подставляя F2 (y) в уравнение (22), а затем, подставляя найденные значения u(0, t) и ux (0, t) в третье уравнение системы (18), поступая аналогичным образом, решение этого уравнения можно записать
в виде
l
u(x, h) = F3 (h) + λ Γ(ξ, h; λ)F3 (ξ)dξ,
0
где Γ(ξ, h; λ) =
∞
λm Km+1 (ξ, η).
m=0
Вернемся теперь к задаче А. Если найдены решения уравнения (1) при y > 0 (т. е. решение задачи В) и при y < 0 (т. е. решение
задачи С), то остается определить τ (x) = u(x, 0). Для этого продифференцируем обе части равенства (9) по y и перейдем к пределу при
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одной краевой задаче типа задачи Стеклова
157
y → 0. В результате получим основное функциональное соотношение
между τ (x) и ν(x), принесенное из гиперболической части области D
x
ν(x) = τ (x) − λ
0
λ
τ (s)(x − s)ds +
2
x s
(x − s)ds − F1 (x), (23)
τ
2
0
√
√
здесь ν(x) = uy (x, 0), F1 (x) ≡ 2ψ2 x2 + ψ1 x2 − 2ψ2 (0).
Дифференцируя (17) по переменной y, а затем переходя в полученном равенстве к пределу при y → 0, получим ν(x)=0. Учитывая
это в равенстве (23), получим интегро-дифференциальное уравнение
относительно τ (x)
x
τ (x) − λ
0
λ
τ (s)(x − s)ds +
2
x s
(x − s)ds − F1 (x) = 0.
τ
2
(24)
0
Интегрируя равенство (24) от 0 до x и учитывая условие τ (x) =
u(0, 0), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
τ (x) −
λ
2
x
τ (s)(x − s)2 ds +
0
где
λ
4
x s
(x − s)2 ds = F̃1 (x),
τ
2
(25)
0
x
F̃1 (x) =
F1 (t)dt + u(0, 0).
0
Согласно [1] решение уравнения (25) получается в виде ряда Неймана, который равномерно сходится.
Литература
1. Джураев Т. Д., Сопуев А. С., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений
параболо-гиперболического типа.—Ташкент: Фан; 1986.—220 с.
2. Керефов А. А. К задачам Стеклова для уравнений третьего порядка // Труды международной научной конференции. Дифференциальные уравнения с
частными производными и родстенные проблемы анализа и информатики.—
Ташкент.—2004.—Т. 1.—С. 93–95.
3. Нагорный А. М. Краевые задачи для нагруженного уравнения смешанного
типа третьего порядка.—Ташкент: ФАН, 1985.—С. 55–66.
Кабардино-Балкарский государственный
университет (Нальчик, Россия)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.929.4+519.21
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ РЕШЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
Р. И. Кадиев
В работе для линейных стохастических функционально-дифференциальных
уравнений изучаются вопросы устойчивости по части переменных с помощью «W -метода» (метода вспомогательных или «модельных» уравнений).
Задача об устойчивости по части переменных для детерминированных функционально-дифференциальных уравнений, ввиду ее
практического значения, изучалась многими авторами. Для стохастических функционально-дифференциальных уравнений подобные
вопросы мало изучены. В настоящей работе для линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений изучаются вопросы устойчивости по части переменных с помощью «W метода» (метода вспомогательных или «модельных» уравнений).
Описанный ниже W -метод является, в принципе, универсальным.
Это не означает, конечно, что он всегда дает наилучшие результаты, но, по крайней мере, он может помочь во многих «безнадежных»
ситуациях, где трудно использовать более традиционный инструментарий. Во многих случаях, этот подход можно также рассматривать
как дополнение к классическим методам.
Пусть (Ω, F , (F )t0 , P ) — полное вероятностное пространство с
фильтрацией (см., например, [1]), Z := col(z 1 , . . . , z m ) — m-мерный
семимартингал [1] на нем.
В дальнейшем используются следующие линейные пространства
случайных процессов:
Ln (Z) состоит из n × m-матричных предсказуемых случайных
процессов, заданных на [0, +∞), чьи строки являются локально интегрируемыми по семимартингалу Z;
k n состоит из n-мерных F0 -измеримых случайных величин (обозначение: k := k 1 );
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устойчивость по части переменных решений
159
Dn состоит из n-мерных случайных процессов на [0, +∞), которые могут быть представлены в виде:
t
H(s)dZ(s)
x(t) = x(0) +
(t 0),
0
где x(0) ∈ k n , H ∈ Ln (Z).
Главным объектом исследования является следующее уравнение:
dx(t) = [(V x)(t) + f (t)]dZ(t)
(t 0),
(1)
где V : Dn → Ln (Z) — k-линейный (т. е. (V (α1 x1 + α2 x2 ) = α1 V x1 +
α2 V x2 для любых ограниченных α1 , α2 ∈ k и любых x1 , x2 ∈ Dn )
вольтерров (для любого момента остановки [1] τ = τ (ω) ∈ [0, +∞)
п. н. и при любых x1 , x2 ∈ Dn из равенства x1 (t) = x2 (t), t ∈ [0, τ ]
п. н., следует, что (V x1 )(t) = (V x2 )(t), t ∈ [0, τ ] п. н.) оператор.
Заметим, что частными случаями уравнения (1) являются, например, линейные функционально-дифференциальные уравнения
Ито и их гибриды, линейные функционально-дифференциальные
уравнения в мерах, а также другие линейные стохастические дифференциальные уравнения с последействием.
Используя k-линейность оператора V , непосредственно убеждаемся, что верна
Лемма. Пусть через любое x(0) ∈ k n проходит единственное (с
точностью до P -эквивалентности) решение x(t) уравнения (1). Тогда
имеет место представление
x(t)) = X(t)x(0) + (Kf )(t)
(t 0),
(2)
где X(t) (X(0) = Ē, Ē — единичная матрица) — n×n-матрица, столбцами которой являются решения однородного уравнения (1) (f ≡ 0)
(фундаментальная матрица), а K : Ln (Z) → Dn — k-линейный оператор (оператор Коши) такой, что (Kf )(0) = 0 и Kf — решение
уравнения (1).
Пусть в дальнейшем l — некоторое фиксированное число, удовлетворяющее неравенству 1 l < n, E — символ математического
ожидания, 1 p < ∞. Для любого x ∈ Dn , x = col(x1 , . . . , xn )
введем обозначения y = col(x1 , . . . , xl ), h = col(xl+1 , . . . , xn ). Тогда
x = col(y, h), Dn = Dl × Dn−l . Кроме того, если xi , i = 1, . . . , n, являются столбцами фундаментальной матрицы уравнения (1), то Y
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кадиев Р. И.
160
будет l × n-матрица, столбцами которой являются yi , i = 1, . . . , n,
построенные по xi , i = 1, . . . , n.
Определение 1. Тривиальное решение однородного уравнения
(1) назовем:
py-устойчивым, если для любого > 0 найдется такое η() > 0,
что E|Y (t)x(0)|p для всех x(0) ∈ Rn , |x(0)| < η, t 0;
асимптотически py-устойчивым, если оно py-устойчиво, и, кроме того, lim E|Y (t)x(0)|p = 0 для всех x(0) ∈ Rn ;
t→+∞
экспоненциально py-устойчивым, если найдутся такие числа c̄ >
0, β > 0, что выполнено неравенство
E|Y (t)x(0)|p c̄|x(0)|p exp{−βt}(t 0) для всех x(0) ∈ Rn .
Отметим, что в определении 1 употреблен термин «py-устойчивость» вместо термина «p-устойчивость по первым l компонентам», применяемый обычно в определениях устойчивости по части
переменных. Кроме того, эти определения отличаются от определения 1, но эквивалентны ему.
Аналогично даются определения py-устойчивости (асимптотической, экспоненциальной py-устойчивости) любого решения уравнения (1). Однако из формулы (2) видно, что py-устойчивость
(асимптотическая, экспоненциальная py-устойчивость) любого решения уравнения (1) не зависит от f и эквивалентна py-устойчивости
(асимптотической, экспоненциальной) тривиального решения однородного уравнения (1). Поэтому в дальнейшем вместо термина «pyустойчивость (асимптотическая, экспоненциальная py-устойчивость)
тривиального решения однородного уравнения» будем употреблять
термин «py-устойчивость (асимптотическая, экспоненциальная pyустойчивость) уравнения».
Пусть γ(t), t ∈ [0, +∞), — положительная скалярная функция и
1 p < ∞. Нам в дальнейшем также понадобятся некоторые подпространства пространства начальных данных k n и пространства
решений Dn :
kpn = {α : α ∈ k n , αkpn = (E|α|p )1/p < ∞};
Mpγ = {x : x ∈ Dn , xMpγ = sup(E|γ(t)x(t)|p )1/p < ∞}, Mp1 := Mp .
t0
Теорема 1. А) Уравнение (1) py-устойчиво тогда и только тогда,
когда Y x(0) ∈ Mp для всех x(0) ∈ Rn .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устойчивость по части переменных решений
161
Б) Уравнение (1) асимптотически py-устойчиво тогда и только
тогда, когда существует функция γ(t), γ(t) δ > 0 (t 0) и
lim γ(t) = +∞, такая, что Y x(0) ∈ Mpγ для всех x(0) ∈ Rn .
t→+∞
В) Уравнение (1) экспоненциально py-устойчиво тогда и только
тогда, когда существует β > 0 такое, что Y x(0) ∈ Mpγ для всех x(0) ∈
Rn , где γ(t) = exp{βt}.
Теорема 1 устанавливает эквивалентность между различными
видами py-устойчивости уравнения (1) и принадлежности Y x(0) соответствующему функциональному пространству при x(0) ∈ Rn . На
основе этой теоремы удобно ввести новое общее понятие устойчивости уравнения (1).
Определение 2. Уравнение (1) назовем Mpγ -устойчивым, если
для любого x(0) ∈ kpn имеем Y x(0) ∈ Mpγ .
Из теоремы 1 следует, что для уравнения (1):
(а) из Mp y-устойчивости следует py-устойчивость;
(б) из Mpγ -устойчивости (где γ(t) δ > 0 (t 0) и lim γ(t) =
t→+∞
+∞) следует асимптотическая py-устойчивость;
(в) из Mpγ -устойчивости (где γ(t) = exp{βt} при некотором β > 0)
следует экспоненциальная py-устойчивость.
Для установления Mpγ -устойчивости уравнения (1) необходимо
проверить принадлежность Y x(0) пространству Mpγ при x(0) ∈ kpn .
Будем проверять это условие используя W -метод. Сначала уравнение (1) перепишем в удобном для этого виде.
Так как x = col(y, h) и Dn = Dl × Dn−l , то уравнение (1) эквивалентно системе вида
dy(t) = [(V1 y)(t) + (V2 h)(t) + f y (t)]dZ(t) (t 0),
(3)
dh(t) = [(V3 y)(t) + (V4 h)(t) + f h (t)]dZ(t) (t 0),
где V1 : Dl → Ll (Z), V2 : Dn−l → Ll (Z), V3 : Dl → Ln−l (Z),
V4 : Dn−l → Ln−l (Z) суть k-линейные вольтерровы операторы, определяемые оператором V , f y ∈ Ll (Z), f h ∈ Ln−l (Z), f = col(f y , f h ).
В силу того, что через x(0) ∈ k n проходит единственное решение x(t) уравнения, каждое из уравнений системы (3) в отдельности будет иметь единственное решение при любых фиксированных
y(0) ∈ k l , h ∈ Dn−l и h(0) ∈ k n−l , y ∈ Dl соответственно. Тогда, в
силу леммы, второе уравнение системы эквивалентно уравнению
h(t) = H(t)h(0) + (C1 (f h + V3 y))(t)
(t 0),
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кадиев Р. И.
162
где H — фундаментальная матрица, а C1 — оператор Коши для второго уравнения системы (3). Следовательно, из первого уравнения
системы (3), учитывая (4), получим
dy(t) = [(V5 y)(t) + (V2 (Hh(0)))(t) + (V2 C1 f h )(t) + f y (t)]dZ(t)
(t 0),
(5)
где V5 = V1 + V2 C1 V3 .
Отсюда следует, что уравнение (1) Mpγ -устойчиво тогда и только тогда, когда при x(0) ∈ kpn , f ≡ 0 решение уравнения (5) принадлежит пространству Mpγ . Кроме того, имеет место равенство
y(t) = Y (t)x(0).
Как и в детерминированном случае, существует два способа применения стохастического W -преобразования к исходному уравнению: справа и слева. Формально они порождаются одним и тем же
модельным уравнением, но приводят к различным «интегральным»
уравнениям. Условия их применимости также различны. Пусть модельное уравнение имеет вид
dy(t) = [(Qy)(t) + g(t)]dZ(t)
(t 0),
(6)
где Q : Dl → Ll (Z) — k-линейный вольтерров оператор, g ∈ Ll (Z).
Предполагается, что через любое y(0) ∈ k l проходит единственное (с
точностью P -эквивалентности) решение уравнения (6). Тогда, в силу
леммы, для решения y этого уравнения имеет место представление
(t 0),
y(t) = U (t)y(0) + (W g)(t)
(7)
где U — фундаментальная матрица, W — оператор Коши для уравнения (6).
Начнем с левого W -преобразования. Уравнение (5) перепишем в
виде
dy(t) = [(Qy)(t) + ((V5 − Q)y)(t) + (V2 (Hh(0)))(t)+
+(V2 C1 f h )(t) + f y (t)]dZ(t)
(t 0)
или
y(t) = U (t)y(0) + (W (V5 − Q)y)(t) + (W V2 (Hh(0)))(t)+
+(W (V2 C1 f h + f y ))(t)
(t 0).
Обозначив W (V5 − Q) = Θl , получим
((I − Θl )y)(t) = U (t)y(0) + (W V2 (Hh(0)))(t)+
+(W (V2 C1 f h + f y ))(t)
(t 0).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устойчивость по части переменных решений
163
Отметим, что в дальнейшем обратимость оператора A : X → X
будет означать, что оператор взаимно однозначно переводит пространство X в себя.
Теорема 2. Пусть U y(0) + W V2 (Hh(0)) ∈ Mpγ для любого x(0) ∈
n
kp , а оператор Θl действует в пространстве Mpγ . Тогда, если оператор
(I − Θl ) : Mpγ → Mpγ обратим, то уравнение (1) Mpγ -устойчиво.
Ввиду обратимости оператора (I − Θl ) : Mpγ → Mpγ уравнение
(I − Θl )y = g при g ∈ Mpγ имеет единственное решение из Mpγ , т. е.
y = (I − Θl )−1 g ∈ Mpγ . Отсюда и из условий теоремы получим, что
(I − Θl )−1 (U y(0) + W V2 (Hh(0))) ∈ Mpγ для любого x(0) ∈ kpn . Но
с другой стороны, Y (t)x(0) = ((I − Θl )−1 (U y(0) + W V2 (Hh(0))))(t).
Следовательно, Y x(0) ∈ Mpγ для любого x(0) ∈ kpn , а это означает
Mpγ -устойчивость уравнения (1). Следствие. Пусть существует модельное уравнение (6), для которого U y(0) + W V2 (Hh(0)) ∈ Mpγ для любого x(0) ∈ kpn и оператор
Θl действует в пространстве Mpγ . Тогда, если для оператора Θl выполнено неравенство Θl Mpγ < 1, то уравнение (1) Mpγ y-устойчиво.
Справедливость следствия следует из теоремы 2 и из обратимости оператора в пополнении нормированного пространства, если норма оператора в этом пространстве меньше единицы.
Заметим, что при выполнении условий следствия, непрерывное
продолжение оператора (I − Θl ) : Mpγ → Mpγ на пополнение пространства Mpγ обратимо. Однако, так как уравнение (I − Θl )y = g
при g ∈ Mpγ имеет единственное решение в пространстве Dl , в силу
того, что через любое x(0) ∈ k n проходит единственное (с точностью
до P -эквивалентности) решение уравнения (5) при f ≡ 0 и пересечение пополнения пространства Mpγ с пространством Dl совпадает
с пространством Mpγ , получим, что оператор (I − Θl ) : Mpγ → Mpγ
обратим.
Пусть B — линейное подпространство Ll (Z). Предположим, что
пространство B наделено нормой ·B . Для заданной положительной
измеримой функции γ(t) (t ∈ [0, +∞)) мы положим B γ = {f : f ∈
B, γf ∈ B}, что линейным пространством с нормой f B γ = γf B .
Перейдем к правой W -подстановке. Подставляя выражение (7) в
уравнение (5) получим
dZ(t) = [(V5 (U y(0) + W g))(t) + (V2 (Hh(0)))(t)+
+(V2 C1 f h )(t) + f y (t)]dZ(t)
(t 0)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кадиев Р. И.
164
или
g(t) − ((V5 − Q)W g)(t) = ((V5 − Q)U y(0))(t)+
+(V2 Hh(0))(t) + (V2 C1 f h )(t) + f y (t)
(t 0).
Обозначив (V5 − Q)W = Θr , получим
((I − Θr )g)(t) = ((V5 − Q)U y(0))(t) + (V2 Hh(0))(t)+
+(V2 C1 f h )(t) + f y (t) (t 0).
Теорема 3. Пусть (V5 − Q)U y(0) + V2 (Hh(0)) ∈ B γ для любого
x(0) ∈ kpn , U y(0) ∈ Mpγ для любого y(0) ∈ kpn , оператор W действует
из пространства B γ в пространстве Mpγ , а оператор Θr действует в
пространстве B γ . Тогда, если оператор (I − Θr ) : B γ → B γ обратим,
то уравнение (1) Mpγ -устойчиво.
Ввиду обратимости оператора (I − Θr ) : B γ → B γ уравнение
(I − Θr )g = f при f ∈ B γ имеет единственное решение из B γ , т. е.
g = (I − Θr )−1 f ∈ B γ . Из условий теоремы получим (I − Θr )−1 ((V5 −
Q)U y(0) + V2 (Hh(0))) ∈ B γ для любого x(0) ∈ kpn . Но с другой стороны, Y (t)x(0) = U (t)y(0)+(W (I−Θr )−1 ((V5 −Q)U y(0)+V2 (Hh(0))))(t).
Следовательно, Y x(0) ∈ Mpγ для любого x(0) ∈ kpn , а это и означает
Mpγ -устойчивость уравнения (1). На основе теорем 2 и 3 получены достаточные условия устойчивости по части переменных для конкретных уравнений вида (1) в
терминах параметров этих уравнений. Некоторые из этих условий
приведены в работе [2].
Перейдем к исследованию задачи допустимости по части переменных пар пространств для уравнения (1). Эта задача в случае детерминированных уравнений изучалась многими авторами ввиду ее
практического значения. Для уравнения (1) вопросы допустимости
пар пространств мало изучены.
Обозначим через xf (t, x0 ) — решение уравнения (1) с правой частью f и xf (0, x0 ) = x0 .
Определение 3. Будем говорить, что для уравнения (1) допустима пара (Mpγ , B γ ) по переменным x1 , . . . , xk или, короче, y-допустима пара (Mpγ , B γ ), если существует такое c̄ ∈ R1+ , при котором для
любых x0 ∈ kpn , f ∈ B γ имеем yf (·, x0 ) ∈ Mpγ (yf (t, x0 ) строится по
xf (t, x0 ) вышеуказанным способом), причем выполнено неравенство
yf (·, x0 )Mpγ c̄(x0 kpn + f B γ ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устойчивость по части переменных решений
165
Заметим, что при γ = 1 из y-допустимости пары (Mpγ , B γ ) для
уравнения (1) следует py-устойчивость, а при γ(t) = exp{βt} (β >
0) — экспоненциальная py-устойчивость этого же уравнения. Если
для уравнения (1) y-допустима пара (Mpγ , B γ ) и lim γ(t) = +∞, то
t→+∞
оно асимптотически py-устойчиво.
Теорема 4. Пусть U y(0) + W V2 (Hh(0)), W (V2 C1 f h + f y ) ∈ Mpγ
для любых x(0) ∈ kpn , f ∈ B γ и U y(0) + W V2 (Hh(0))Mpγ c̄1 x(0)kpn , W (V2 C1 f h + f y )Mpγ c̄2 f B γ , где c̄1 , c̄2 — некоторые положительные числа. Тогда, если оператор (I − Θl ) : Mpγ →
Mpγ непрерывно обратим, то для уравнения (1) y-допустима пара
(Mpγ , B γ ).
При выполнении условий теоремы имеем
yf (t, x0 ) = ((I − Θl )−1 (U y(0) + W V2 (Hh(0))))(t)+
+((I − Θl )−1 (W (V2 C1 f h + f y )))(t)
(t 0)
и yf (·, x(0)) ∈ Mpγ для любых x(0) = col(y(0), h(0)) ∈ kpn , f ∈ B γ . Тогда из предыдущего равенства, учитывая условия теоремы, получим
yf (·, x0 )Mpγ c̄(x0 kpn + f B γ ),
где c̄ — некоторое положительное число, для любых x(0) ∈ kpn , f ∈
B γ . Следовательно, для уравнения (1) y-допустима пара (Mpγ , B γ ). Теорема 5. Пусть (V5 − Q)U y(0) + V2 (Hh(0)), V2 C1 f h + f y ∈ B γ
для любых x(0) ∈ kpn , f ∈ B γ и (V5 − Q)U y(0) + V2 (Hh(0))B γ c̄1 x(0)kpn , V2 C1 f h + f y B γ c̄2 f B γ , где c̄1 , c̄2 — некоторые положительные числа, U y(0) ∈ Mpγ для любого y(0) ∈ kpl и U y(0)Mpγ c̄3 y(0)kpl , где c̄3 — некоторое положительное число, оператор W
непрерывно действует из пространства B γ в пространство Mpγ , а
оператор Θr действует в пространстве B γ . Тогда, если оператор
(I − Θr ) : B γ → B γ непрерывно обратим, то для уравнения (1) y-допустима пара (Mpγ , B γ ).
Ввиду обратимости оператора (I − Θr ) : B γ → B γ уравнение (I − Θr )g = f при f ∈ B γ имеет единственное решение из B γ ,
т. е. g = (I − Θr )−1 f ∈ B γ . Отсюда из условий теоремы получим,
что (I − Θr )−1 ((V5 − Q)U y(0) + V2 (Hh(0)) + V2 C1 f h + f y ) ∈ B γ
для любых x(0) ∈ kpn , f ∈ B γ . Но, с другой стороны, yf (t, x(0)) =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кадиев Р. И.
166
U (t)y(0)+(W (I −Θr )−1 ((V5 −Q)U y(0)+V2 (Hh(0))+V2 C1 f h +f y ))(t).
Следовательно, в силу условий теоремы, yf (·, x(0)) ∈ Mpγ и
yf (·, x0 )Mpγ c̄(x0 kpn + f B γ ),
где c̄ — некоторое положительное число, для любых x(0) ∈ kpn , f ∈
B γ . Следовательно, для уравнения (1) y-допустима пара (Mpγ , B γ ). В заключение отметим, что допустимость пар пространств по
части переменных для уравнения (1) тесно связана с вопросами
устойчивости решений по части переменных относительно начальной
функции для линейных стохастических дифференциальных уравнений с последействием. В частности, устойчивость решений по части
переменных относительно начальной функции для стохастических
дифференциальных уравнений с последействием можно изучить, исследуя вопрос допустимости пар пространств по части переменных
для соответствующего уравнения вида (1). Отметим, что подробно
этот вопрос изложен в работе [3].
Литература
1. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов.—М.: Наука, 1986.—512 с.
2. Кадиев Р. И. Допустимость пар пространств по части переменных для линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу // Изв. вузов. Математика.—1995.—№ 5.—С. 13–22.
3. Кадиев Р. И. Достаточные условия устойчивости по части переменных линейных стохастических систем с последействием // Изв. вузов. Математика.—
2000.—№ 6.—С. 75–79.
Дагестанский государственный
университет (Махачкала, Россия);
E-mail: kadiev [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.54+517.95
ТЕОРЕМЫ ТИПА ФРАГМЕНА — ЛИНДЕЛЕФА
ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
А. В. Кочетов, В. М. Миклюков, С. С. Полупанов
Устанавливается обобщенный принцип максимума для разности решений
уравнения газовой динамики на римановых многообразиях, в котором дается оценка скорости роста решений в рассматриваемой области. Одно из
центральных мест в работе занимает «слабый» вариант теоремы типа Фрагмена — Линделефа для обобщенных суб- и суперрешений того же уравнения,
в котором дается оценка скорости роста решений вблизи особого множества
простых концов из R2 . А также указываются границы допустимой скорости стабилизации решений уравнения газовой динамики, при превышении
которой решения могут быть лишь тождественно постоянными.
1. Уравнение газовой динамики. Рассмотрим дифференциальное уравнение
Aγ [f ] ≡
где
σ(t) =
n
∂
(σ(|∇f |)fxi ) = 0,
∂x
i
i=1
1
1 − γ−1
t2 γ−1 ,
2
"
!
exp − 12 t2 ,
(1)
если γ = 1,
если γ = 1.
Здесь γ — постоянная, −∞ < γ < +∞. В случае n = 2 этот параметр характеризует поток субстанции. Для различных значений
γ это может быть поток газа, жидкости, пластика, электрического
или химического полей в различных средах и т. п. (см., например, [1,
§2],[2, §15, гл. IV]).
В случае γ = −1 уравнение (1) есть классическое уравнение минимальных поверхностей
∇f
div =0
1 + |∇f |2
(газ Чаплыгина).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
168
Кочетов А. В., Миклюков В. М., Полупанов С. С.
В предельном случае γ = −∞ уравнение (1) превращается в уравнение Лапласа.
В общем случае, когда σ — функция переменных x1 , . . . , xn , решения уравнения (1) называются σ-гармоническими функциями. Подобные функции изучались во многих работах (см., например, [3, 4]).
2. Обобщенный принцип максимума для разности решений уравнения газовой динамики. Пусть X — n-мерное связное риманово многообразие без края класса C 3 . Для каждой точки
x ∈ X через Tx X обозначим касательное пространство в точке x.
Символом ·, · обозначаем скалярное произведение на Tx X .
Пусть d(x , x ) — геодезическое расстояние между точками
x , x ∈ X . Через
B(o, t) = {x ∈ X : d(o, x) < t},
Σ(o, t) = {x ∈ X : d(o, x) = t}
мы обозначаем геодезический шар и геодезическую сферу, соответственно, с центрами в точке o ∈ X и радиусами t > 0.
Фиксируем геодезический шар B(o, R) с 0 < R ∞. Пусть
D ⊂ B(o, R) — область с кусочно-гладкой границей ∂D (возможно
пустой), D — ее замыкание.
Положим Ωγ = Tx X при γ 1 и
7
Ωγ = {ξ ∈ Tx X : |ξ| < γ ∗ } ,
γ∗ =
2
γ−1
при γ > 1.
Введем в рассмотрение неравенство
|σ(|ξ|)ξ − σ(|η|)η|2 εσ(|ξ|)ξ − σ(|η|)η, ξ − η,
ξ, η ∈ Ωγ .
(2)
Здесь ε > 0 — постоянная, не зависящая от ξ и η.
Обозначим через Bγ (ε) множество точек {(ξ, η) : ξ, η ∈ Ωγ }, удовлетворяющих (2).
В [5] установлено, что Bγ (ε) = Tx X × Tx X для всех γ −1,
ε 1, а также указаны двусторонние оценки множества Bγ (ε) для
γ > −1.
Сформулируем основные результаты работы.
Теорема 1. Пусть 0 < R1 < R. Предположим, что для всех
t ∈ (R1 , R) выполнено Σ(o, t) ∩ D = ∅ и B(o, t) ∩ D — компакт.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теоремы типа Фрагмена — Линделефа
169
Предположим, что γ ∈ R и функции f1 , f2 ∈ C 2 (D) ∩ C 1 (D) удовлетворяют условиям:
i) ∇f1 , ∇f2 ∈ Ωγ для всех x ∈ D,
ii) (f1 − f2 )(Aγ [f1 ] − Aγ [f2 ]) 0 для всех x ∈ D,
iii) если ∂D = ∅, то (f1 − f2 )σ(|∇f1 |) ∇f1 − σ(|∇f2 |) ∇f2 , n = 0
для всех x ∈ ∂D. Здесь через n обозначен вектор единичной нормали
к границе ∂D.
a) Пусть γ < −1. Если
R
−1
−1
2
2
(f1 − f2 )2 2 +
|∇fi |− γ−1
dH n−1
= ∞,
dτ
i=1
Σ(o,τ )∩D
то f1 − f2 ≡ const. В частности, если ∂D = ∅, то f1 − f2 ≡ 0.
b) Пусть γ = −1. Если
R
2
(f1 − f2 ) dH
dτ
−1
n−1
= ∞,
(3)
Σ(o,τ )∩D
то f1 − f2 ≡ const. В частности, если ∂D = ∅, то f1 − f2 ≡ 0.
c) Пусть γ > −1 и предположим, что для некоторого ε 1 выполнено
при всех x ∈ D.
(∇f1 , ∇f2 ) ∈ Bγ (ε)
Если соотношение (3) имеет место, то σ(|∇f1 |) ∇f1 ≡ σ(|∇f2 |) ∇f2
на D.
Близкие результаты для решений уравнения типа минимальной
поверхности были получены в [6–10].
3. «Слабая» теорема типа Фрагмена — Линделефа для
разности решений уравнения газовой динамики. Пусть D ⊂
R2 — область, D — ее замыкание, ∂D — ее граница. Обозначим через
Lip D множество функций, удовлетворяющих условию Липшица
|f (x ) − f (x )| c |x − x |
на всяком компактном подмножестве K ⊂ D с некоторой постоянной c < ∞, зависящей только от K и f . Символом Lip 0 D обозначим множество функций класса Lip D с компактными носителями
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кочетов А. В., Миклюков В. М., Полупанов С. С.
170
supp f ⊂ D. В соответствии с теоремой Радемахера — Степанова [11,
§ 3.1 главы III] функции класса Lip D имеют полный дифференциал
почти всюду в области D.
Будем говорить, что функция f (x) класса Lip D является обобщенным субрешением (суперрешением) уравнения (1), если ∇f ∈ Ωγ
при x ∈ D и для любой неотрицательной функции ϕ(x) ∈ Lip0 D выполнено
2
σ(|∇f |)
ϕxi fxi dx1 dx2 0 ( 0).
i=1
D
Функция f (x) класса Lip D является обобщенным решением, если
она одновременно есть суб- и суперрешение.
Пусть D ⊂ R2 — односвязная область, отличная от всей плоско ее пополнение простыми концами [12,
сти R2 . Обозначим через D
и непустое множество про§3]. Фиксируем простой конец e0 ∈ D
/ E∞ . Будем говорить, что функция
стых концов E∞ ⊂ D \ D, e0 ∈
h : D → (0, ∞) класса Lip D является функцией исчерпания области
D, если она обладает свойствами:
(i) для всякой подобласти D ⊂ D выполнено
0 < ess inf |∇h(x)| ess sup |∇h(x)| < ∞ ;
x∈D
x∈D (ii) x→e
lim h(x) = 0, lim h(x) = +∞ и 0 < h(x) < +∞ при всех x ∈ D;
0
x∈D
x→E∞
x∈D
(iii) множества уровня {x ∈ D : h(x) = t}, t > 0, состоят из счетного
числа простых жордановых дуг с концами на границе ∂D.
Символом Et , 0 < t < ∞, будем обозначать минимальную из
совокупностей компонент связности указанного множества уровня,
разделяющую в D простой конец e0 и множество E∞ .
Теорема 2. Пусть f1 (x1 , x2 ) и f2 (x1 , x2 ) суть обобщенные суб- и
суперрешения уравнения (1) соответственно. Предположим, что для
любой последовательности {an }∞
n=1 точек D, не имеющей предельных точек в множестве простых концов E∞ ∪ D, выполнено
lim sup(f1 (an ) − f2 (an )) 0.
n→∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теоремы типа Фрагмена — Линделефа
171
i) Тогда, если γ < −1, то либо f1 f2 всюду в области D, либо
+∞ −1
−1
2
2
M 2 (x) |∇h(x)| 2 +
|∇fi |− γ−1
|dx|
< ∞,
dt
i=1
Et
где обозначено M (x) = max{0, f1 (x) − f2 (x)}.
ii) Если γ = −1, то либо f1 f2 всюду в области D, либо
+∞ −1
2
M (x) |∇h(x)| |dx|
< ∞.
dt
(4)
Et
iii) Пусть γ > −1. Предположим, что множество
U = {x ∈ D : f1 (x) − f2 (x) > 0}
не пусто и для некоторого ε 1 выполнено соотношение
(∇f1 , ∇f2 ) ∈ Bγ (ε) для почти всех x ∈ U . Предположим, что интеграл (4) расходится. Тогда σ(| f1 |) f1 = σ(| f2 |) f2 для
почти всех x ∈ U .
Данное утверждение представляет собой одну из разновидностей
«слабых» теорем типа Фрагмена — Линделефа, обеспечивающую
«слабый» рост разности f1 (x) − f2 (x) в указанных предположениях. Под «сильным» ростом в альтернативе Фрагмена — Линделефа
мы понимаем степенной рост в случае угла и экспоненциальный рост
в случае полосы (см., например, [13, § 6 главы VIII]).
Утверждения о сильном росте разности f1 (x) − f2 (x) решений
уравнения A [f ] = 0 справедливы, на наш взгляд, лишь при некоторых дополнительных специальных ограничениях на решения или их
градиенты.
Близкие результаты для решений уравнения типа минимальной
поверхности были получены в [6–10].
4. Допустимая скорость стабилизации. Другие разновидности теорем типа Фрагмена — Линделефа мы представим здесь следующими теоремами.
Теорема 3. Пусть ϕ — обобщенное решение уравнения (1) в полуполосе
Π = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : 0 < x1 < ∞, 0 < x2 < } .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кочетов А. В., Миклюков В. М., Полупанов С. С.
172
Предположим, что при всяком x1 ∈ (0, +∞) выполнено
lim ϕ(x1 , x2 ) =
x2 →+0
lim
x2 →−0
ϕ(x1 , x2 ) = 0,
(5)
и для некоторого s > π/ для всех, достаточно больших x1 > 0
справедлива оценка
ess sup |∇ϕ(x1 , x2 )| exp {− exp {s x1 }} .
0<x2 <
(6)
Тогда ϕ ≡ 0 в Π.
Рассмотрим круговой сектор раствора α, 0 < α 2 π,
x2
D = (x1 , x2 ) ∈ R2 : 0 < |x| < 1, 0 < arctg
<α .
x1
Положим
γ0 = {(x1 , x2 ) ∈ ∂D \ {0} : x2 = 0},
x2
= α}.
γα = {(x1 , x2 ) ∈ ∂D \ {0} : arctg
x1
Для областей описанного вида справедлива теорема.
Теорема 4. Пусть ϕ — обобщенное решение уравнения (1) в круговом секторе D раствора 0 < α 2π, удовлетворяющее граничным
условиям
lim
(x1 ,x2 )→γα
ϕ(x1 , x2 ) =
lim
(x1 ,x2 )→γ0
ϕ(x1 , x2 ) = 0.
(7)
Предположим, что для некоторого s > π/α и всех достаточно малых
r > 0 выполнено
1
(8)
ess sup |∇ϕ(x)| exp − s .
r
|x|=r
Тогда ϕ ≡ 0 в D.
Доказательства базируются на теоремах типа Альфорса — Варшавского для конформного отображения графика решения ϕ(x) на
каноническую область плоскости R2 (полуполоса, угол) и классических теоремах типа Фрагмена — Линделефа для голоморфных функций в канонических областях.
Некоторые близкие утверждения см. в [14, гл. 8].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теоремы типа Фрагмена — Линделефа
173
Литература
1. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики.—М.: ИЛ, 1961.
2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.—М.: Наука, 1973.
3. Alessandrini G., Nesi V. Univalent σ-harmonic mappings // Arch. Ration. Mech.
and Anal.—2001.—V. 158.—P. 155–171.
4. Faraco D. Beltrami operators and microstructure, Academic dissertation, Depart.
of Math., Faculty of Sci., University of Helsinki.—Helsinki, 2002.
5. Klyachin V. A., Kochetov A. V., Miklyukov V. M. Some elementary inequalities
in gas dynamics equation, Reports of the Department of Mathematics, University
of Helsinki, Preprint 402.—2004, 26pp.
6. Миклюков В. М. Об одном новом подходе к теории Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности // Мат. сборник.—1979.—
Т. 108 (150).—С. 268–289.
7. Hwang J. F. Comparison principles and theorems for prescribed mean curvature
equation in unbounded domains // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.—1988.—V. 15.—
P. 341–355.
8. Hwang J. F. A uniqueness theorem for the minimal surface equation // Pacific J.
Math.—1996.—V. 176.—С. 357–364.
9. Collin P. Krust R. Le probléme de Dirichlet pour l’equation des surfaces
minimales sur des domaines non bornés // Bull. Soc. Math. France.—1991.—
V. 119.—P. 443–458.
10. Pigola S., Rigoli M., Setti A. G. Some remarks on the prescribed mean curvature
equation on complete manifolds // Pacific J. Math.—2002.—V. 206, № 1.—P. 195–
217.
11. Федерер Г. Геометрическая теория меры.—М.: Наука, 1987.
12. Суворов Г. Д. Семейства плоских топологических отображений.—
Новосибирск: СО АН ССР, 1965.
13. Евграфов М. А. Аналитические функции.—М.: Наука, 1968.
14. Миклюков В. М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его
применения.—Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2005.—273 с.
Волгоградский государственный
университет (Волгоград, Россия);
E-mail: [email protected],
[email protected], [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.64
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛОВ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ
Ш. С. Хубежты
Строятся квадратурные формулы для сингулярных интегралов повышенной точности типа дискретных особенностей. Даются оценки погрешностей
построенных трех различных квадратурных формул. Указываются их применения к численному решению сингулярных интегральных уравнений.
Рассмотрим общее сингулярное интегральное уравнение вида [1]
ϕ(t)
B(t0 )
A(t0 )ϕ(t0 ) +
dt + K(t0 , t)ϕ(t) dt = f (t0 ), (1)
πi
t − t0
L
L
где t0 ∈ L (L — замкнутый Ляпуновский контур), A(t0 ), B(t0 ),
K(t0 , t), f (t0 ) — заданные функции класса Гёльдера, ϕ(t) — неизвестная функция.
Как известно, для решения этого уравнения основное значение
имеет аппроксимация следующего сингулярного интеграла [2]:
ϕ(t)
1
dt (t0 ∈ L).
(2)
πi
t − t0
L
Если остаточный член квадратурной формулы, соответствующий
интегралу (2), имеет вид Rn (ϕ), то погрешность приближенного решения (1), тоже будет иметь вид O(Rn (ϕ)), т. е. эти погрешности имеют одинаковый порядок малости. Разумеется, регулярный интеграл
в (1) тоже вычисляется с такой же точностью, вернее, не меньшей
точностью.
Классическая схема дискретных особенностей имеет погрешность
вида O(ln n/nα ), где n — количество узлов на контуре L, а α —
показатель Гёльдера. Это показывает, что в теории численного решения сингулярных интегральных уравнений важное место занимают квадратурные формулы повышенной точности типа дискретных
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Квадратурные формулы для сингулярных интегралов
175
особенностей. Но далее еще требуется обоснование построенных вычислительных схем. В этом направлении не для всех квадратурных
формул повышенной точности после применения в уравнениях (1),
полученные вычислительные схемы обосновываются.
Более точно, что касается численного решения сингулярных
уравнений, то обоснование построенных на таких квадратурных
формулах схем не укладывается в общие принципы схем метода
дискретных особенностей и оказывается в значительной степени затруднительным. Например, если взять квадратурные формулы на
основе формулы Симпсона, то полученные схемы действительно не
поддаются обоснованию. Тем не менее, исследование вопроса о возможности дальнейшего повышения точности вычислительных схем
естественно, представляет интерес.
1. Квадратурные формулы с использованием двух узлов. Пусть L — замкнутый Ляпуновский контур на плоскости.
Под t = t(s) (= x(s) + iy(s)), 0 s l, будем подразумевать
уравнение контура относительно дуговой абсциссы s. Введем на L
систему равноотстоящих (по длине L) узлов {tj }2n
j=1 (tj = t(sj ),
l
sj = j 2n , j = 1, 2, . . . , 2n). При разбиении данной системы на две
части: E = {t2p−1 }np=1 и E0 = {t2p }np=1 (подробно схеме дискретных
особенностей [2, 3]), была предложена приближенная схема для интегралов вида (2)
n
1
ϕ(t)
ϕ(t2σ+1 ) − ϕ(t0 )
dt ≈ ϕ(t0 ) +
(p2σ−1 + p2σ+1 )
, t 0 ∈ E0 ,
πi
t − t0
t2σ+1 − t0
σ=1
L
1
πi
L
n
ϕ(t)
ϕ(t2σ+2 ) − ϕ(t0 )
dt ≈ ϕ(t0 ) +
(p2σ + p2σ+2 )
, t0 ∈ E,
t − t0
t2σ+2 − t0
σ=1
(3)
1
(tj+2 − tj ) (t2n±j = t±j ), E и E0 как в [2] в первом
где pj = 2πi
случае узлы E расчетные, а узлы E0 контрольные, во втором случае
наоборот E0 — расчетные, E — контрольные.
Теорема 1. Если функция ϕ(t) имеет непрерывные производные до 2-го порядка включительно и ϕ (t) удовлетворяет условию
Гёльдера с показателем α (0 < α 1), то для остаточных членов
обеих формул (3) верна оценка
ln n
|Rn (ϕ; t0 )| O
.
n2+α
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Хубежты Ш. С.
176
2. Квадратурные формулы с использованием внешних
узлов. Для построения квадратурных формул типа дискретных особенностей, имеющих более высокую точность, мы будем использовать квадратурные формулы, содержащие узлы вне множества интегрирования. Такие формулы впервые в 1943 г. построил известный
грузинский математик Ш. Е. Микеладзе. Одна такая формула имеет
вид [4]
xj+1
f (x)dx =
h
(−f (xj−1 ) + 13(f (xj ) + f (xj+1 ))−
24
xj
− f (xj+2 )) +
11 5 (4)
h f (ξ),
720
xj < ξ < xj+1 . (4)
Формулы типа (4) имеют повышенную точность O n14 , но непригодны для вычисления интегралов, когда контур — отрезок, так как
в вычислениях мы выходим из контура, где интегрируемая функция
не задается. Но мы можем смело построить аналогичные формулы
для комплексных интегралов при замкнутых контурах интегрирования. Но для этого сперва надо построить комплексный аналог формулы (4). Такой аналог имеет вид
1
ψ(t)dt ≈ qj,j−1 ψ(tj−1 )+qjj ψ(tj )+qj,j+1 ψ(tj+1 )+qjj+2 ψ(tj+2 ),
πi
tj tj+1
(5)
где tj tj+1 — кратчайшая дуга с концами tj , tj+1 , расположенная на
L и положительно направленная,
2
8
t − tj+k
1
dt (µ = −1, 0, 1, 2).
qj j+µ =
πi
tj+µ − tj+k
k=−1
tj tj+1
k=µ
Нетрудно получить
qj j+µ
1
=
πi
tj tj+1
2
8
k=−1
k=µ
s − sj+k
(1 + O(hδ ))t (s)ds,
sj+µ − sj+k
где δ — показатель ляпуновости контура L. На основании этого можно написать
t (sj )
l + O(h1+δ )
,
(6)
h=
qjj+µ = hAj+µ
πi
2n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Квадратурные формулы для сингулярных интегралов
177
где входящие в главную часть числа
Aj−1 = Aj+2 = −
1
,
24
Aj = Aj+1 =
13
24
представляют коэффициенты формулы (4).
Теперь начнем построение квадратурных формул для сингулярных интегралов (2) типа (4). Для этого интеграл (2) перепишем в
виде
1
πi
n
ϕ(t)
1
dt = ϕ(t0 ) +
t − t0
πi
σ=1
L
t2σ−1 t2σ+1
ϕ(t) − ϕ(t0 )
dt,
t − t0
0)
и пусть t0 ∈ E0 к интегралу от функции ϕ(t)−ϕ(t
на каждой из
t−t0
дуг t2σ−1 t2σ+1 применим выше приведенную квадратурную формулу с использованием узлов t2σ−3 , t2σ−1 , t2σ+1 , t2σ+3 из множества E.
Тогда получаем
1
πi
L
n
ϕ(t)
ϕ(t2σ+1 ) − ϕ(t0 )
dt $ ϕ(t0 ) +
C2σ+1
,
t − t0
t2σ+1 − t0
σ=1
(7)
где C2σ+1 = l2σ−3 + l2σ−1 + l2σ+1 + l2σ+3 , а lj обозначают тоже самое,
что qjj+2µ при µ = 0. При этом для lj имеют место представления
вида (6), соответственно, с коэффициентами:
A2σ−3 = A2σ+3 = −
1
,
24
A2σ−1 = A2σ+1 =
13
.
24
В результате можно убедиться в справедливости асимптотической формулы
2h ∗
t (s2σ+1 ) + O(h1+δ ),
C2σ+1 =
πi
где s∗2σ+1 — фиксированная точка из [s2σ−3 , s2σ+3 ].
Если t0 ∈ E, то аналогичным образом получаем
1
πi
L
n
ϕ(t)
ϕ(t2σ+2 ) − ϕ(t0 )
dt ≈ ϕ(t0 ) +
C2σ+2
,
t − t0
t2σ+2 − t0
σ=1
где C2σ+2 = l2σ−2 + l2σ + l2σ+2 + l2σ+4 .
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Хубежты Ш. С.
178
В этом случае также справедливы выше указанные асимптотические представления.
Теорема 2. Если функция ϕ(t) имеет непрерывные производные до 4-го порядка включительно и ϕ(4) (t) удовлетворяет условию
Гёльдера с показателем α (0 < α 1), то для остаточных членов
формул (7), (8) верна оценка
ln n
|Rn (ϕ; t0 )| O
.
n4+α
3. Квадратурные формулы с использованием еще большего числа внешних
Постараемся поднять порядок точ
узлов.
ности выше чем O lnn4n . Для этого в интегралах на контурах
0)
исtj tj+2 при аппроксимации подынтегральной функции ϕ(t)−ϕ(t
t−t0
пользуем 6 узлов. Но сперва построим для регулярного интеграла на отрезке [xj , xj+1 ] квадратурную формулу с внешними узлами
xj−2 , xj−1 , xj , xj+1 , xj+2 , xj+3 , аналогичную формуле (4). Такая формула после вычисления соответствующих коэффициентов имеет вид
xj+1
f (x)dx =
h
(11(f (xj−2 ) + f (xj+3 )) − 93(f (xj−1 )+
1440
xj
+f (xj+2 )) + 802(f (xj ) + f (xj+1 ))) −
(9)
191 7 (6)
h f (ξ),
60480
где xj < ξ < xj+1 , h = b−a
n .
Соответствующий комплексный аналог можно записать в виде
1
ψ(t)dt ≈ qjj−2 ψ(tj−2 ) + qjj−1 ψ(tj−1 ) + qjj ψ(tj )+
πi
(10)
tj tj+1
+qjj+1 ψ(tj+1 ) + qjj+2 ψ(tj+2 ) + qjj+3 ψ(tj+3 ),
где
qjj+µ =
1
πi
tj tj+1
3
8
k=−2
k=µ
t − tj+k
dt
tj+µ − tj+k
(µ = −2, −1, 0, 1, 2, 3).
(11)
На основании (9) можно написать
qjj+µ = hAj+µ
t (sj )
+ O(h1+δ ) при n → ∞
πi
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Квадратурные формулы для сингулярных интегралов
179
(µ = −2, −1, 0, 1, 2, 3), где
Aj−2 = Aj+3 =
11
,
1440
Aj−1 = Aj+2 = −
93
,
1440
Aj = Aj+1 =
802
,
1440
(13)
представляют коэффициенты формулы (9).
Теперь зафиксируем t0 в одной из систем узлов E0 и к интегралу
ϕ(t) − ϕ(t0 )
1
dt
πi
t − t0
t2σ−1 t2σ+1
на каждой из дуг t2σ−1 t2σ+1 применим полученную выше квадратурную формулу (10):
1
πi
L
n
ϕ(t)
ϕ(t2σ+1 ) − ϕ(t0 )
dt ≈ ϕ(t0 ) +
C2σ+1
,
t − t0
t2σ+1 − t0
σ=1
(14)
C2σ+1 = l2σ−5 + l2σ−3 + l2σ−1 + l2σ+1 + l2σ+3 + l2σ+5 ,
где lj обозначает тоже самое, что qjj+2µ (см. (11)) при µ = 0. При
этом для lj имеют место представления вида (12).
Аналогичная формула получается при t0 ∈ E и имеет вид
n
1
ϕ(t)
ϕ(t2σ+2 ) − ϕ(t0 )
dt ≈ ϕ(t0 ) +
C2σ+2
,
(15)
πi
t − t0
t2σ+2 − t0
σ=1
L
C2σ+2 = l2σ−4 + l2σ−2 + l2σ + l2σ+2 + l2σ+4 + l2σ+6 ,
где для lj имеют место представления вида (12) с соответствующими
коэффициентами (13).
Теорема 3. Если функция ϕ(t) имеет непрерывные производные до 6-го порядка включительно и ϕ(6) (t) удовлетворяет условию
Гёльдера с показателем α (0 < α 1), то для остаточных членов
обеих формул (14), (15) верна оценка
ln n
.
|Rn (ϕ; t0 )| O
n6+α
Доказательства указанных теорем осуществляется подобно общим методам оценки остаточных членов квадратурных формул (см.
в [2] и [5]).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Хубежты Ш. С.
180
В заключение надо отметить, что построенные квадратурные
формулы можно использовать для решения сингулярных интегральных уравнений как I, так и II-го рода.
Литература
1. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука,
1966.—512 с.
2. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегралов и численный эксперимент.—
М.: Янус, 1995.—520 с.
3. Саникидзе Д. Г., Хубежты Ш. С. К вопросу применения внешних узлов в
модифицированных дискретных вихрей // Труды IX Международного симпозиума. Орел 200, 29 мая-2 июня, 2000.—С. 395–397.
4. Микеладзе Ш. Е. Численные методы математического анализа.—М.: Гостехиздат, 1953.—526 с.
5. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.—М.: Наука, 1967.—
500 с.
Институт прикладной математики и
информатики ВНЦ РАН (Владикавказ, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Часть III
Математическое
моделирование
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 551.521
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНВЕКТИВНОГО ОБЛАКА
С УЧЕТОМ ЗАРЯЖЕНИЯ ОБЛАЧНЫХ ЧАСТИЦ
ПРИ ОБРАЗОВАНИИ В НЕМ ЛЕДЯНОЙ ФАЗЫ
А. А. Аджиева, А. В. Шаповалов
В работе представлена разработанная авторами математическая модель конвективного облака с учетом заряжения облачных частиц при замерзании капель и аккреции. Модель дает возможность рассчитать на каждом временном шаге объемные заряды в облаке, потенциал электрического поля, создаваемого этими зарядами, а также горизонтальную и вертикальную составляющие напряженности электрического поля облака. Значения напряженности
электрического поля учитываются при расчете коэффициентов коагуляции
облачных частиц. На основе численных экспериментов исследовалась динамика формирования объемных зарядов и электрического поля в облаке.
Процессы в облаках разномасштабные и сложные, поэтому их
описание в численных моделях пока еще затруднительно, особенно
это относится к электрическим явлениям, хотя они играют не маловажную роль в образовании осадков [1–3].
В данной работе представлена, разработанная авторами, модель
конвективного облака с детальным описанием термодинамических,
микрофизических и электрических процессов в облаке. В отличие
от имеющихся в настоящее время моделей [7–11], в том числе в
ВГИ [6, 12], здесь рассчитываются плотности объемных зарядов в
облаке, потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого этими зарядами, детально учитывается влияние электрического поля облака на микрофизические процессы взаимодействия облачных частиц.
1. Численная модель облака
В основе модели конвективного облака с учетом электрических
процессов лежат уравнения термодинамики облака. Особенность модели заключается в описании микрофизических процессов.
Микрофизический блок описывает процессы нуклеации, конденсации, коагуляции капель с каплями, сублимации, аккреции, замерзания капель, осаждения облачных частиц в поле силы тяжести, их
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
184
Аджиева А. А., Шаповалов А. В.
перенос воздушными потоками, а также взаимодействие облачных
частиц под влиянием электрического поля облака. Система уравнений для функций распределения по массам капель f1 (r, m, t), ледяных частиц f2 (r, m, t) и осколков замерзания капель f3 (r, m, t) имеет
следующий вид:
∂f1
∂f1
∂f1
∂f1
∂f1
+u
+ (w − V1 )
=
+
+
∂t
∂x
∂z
∂t КД
∂t КГ
∂f1
∂f1
∂f1
+
+
+ ∆ f1 + I1 ,
+
∂t АК
∂t ДР
∂t З
∂f2
∂f2
∂f2
∂f2
∂f2
(1)
+u
+ (w − V2 )
=
+
+
∂t
∂x
∂z
∂t C
∂t AК
∂f2
+
+ ∆ f2 + I2 + IАВ ,
∂t З
∂f3
∂f3
∂f3
∂f3
∂f3
+u
+ (w − V2 )
=
+
+ ∆ f3 ,
∂t
∂x
∂z
∂t З
∂t АК
скорости
падения
жидких и
где V1 (m), V2 (m) — установившиеся
∂f1 ∂f
∂f
1
1
1
,
,
,
—
изменения
твердых частиц; ∂f
∂t КГ
∂t АК
∂t ДР
∂t З
функции распределения капель за счет микрофизических процессов конденсации, коагуляции капель, аккреции
∂f2 и кристаллов,
∂f2 2 капель
,
дробления и замерзания соответственно; ∂f
∂t C
∂t АК ,
∂t З —
изменения функции распределения
кристаллов
за
счет
сублимиции,
3 ∂f3 аккреции и замерзания капель; ∂f
∂t З ,
∂t АК — изменения функции распределения f3 (r, m, t) за счет образования осколков при спонтанном замерзании облачных капель и аккреции.
Для системы уравнений (1) используются следующие начальные
и граничные условия:
f1 (r, m, 0) = f2 (r, m, 0) = f3 (r, m, 0) = 0,
(2)
f1 (r, m, t) = f2 (r, m, t) = f3 (r, m, t) = 0 при x = 0, Lx ,
f1 (r, m, t) = f2 (r, m, t) = f3 (r, m, t) = 0 при z = 0, Lz ,
∂f1
∂f2
∂f3
=
=
= 0 при z = 0.
∂z
∂z
∂z
(3)
Выражения для слагаемых, входящих в уравнения (1), представлены в работах [6, 7], поэтому здесь они не приводятся.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель конвективного облака
185
Численное моделирование процессов электризации конвективных
облаков связано с трудностями принципиального характера, одной
из которых является корректное описание микрофизических процессов электризации облачных частиц. При моделировании облакообразования с учетом разделения электрических зарядов большинство исследователей не учитывают или упрощают детальное описание процесса разделения зарядов [8–10].
В данной работе детально учитываются процессы электризации
облачных частиц на основе полученных закономерностей развития
грозовой деятельности облаков и значений коэффициентов разделения зарядов, связанных с замерзанием капель воды, ростом крупы
и градин и взаимодействием градин с кристалликами льда и переохлажденными каплями.
За счет микрофизических процессов замерзания капель и аккреции в облаке идет накопление отрицательного заряда на ледяных
частицах. Одновременно формируется положительный заряд, состоящий из зарядов отдельных частиц — осколков замерзания капель.
Для замерзающих капель, диаметр которых больше 200 мкм, с
достаточной точностью процесс электризации описывается выражением [13]
q(m) = a · m,
(4)
где m — масса замерзшей капли, a — коэффициент пропорциональности, значение которого меняется в зависимости от содержания
примесей в капле и температуры ее замерзания (a ≈ 3,5 · 10−10 Кл/г
при T от −8 до −16◦ C).
На крупных кристаллах, крупе и градинах накапливается электрический заряд за счет захвата переохлажденных капель. Заряд
пропорционален массе замерзшей на них воды. При этом коэффициент пропорциональности зависит от температуры растущей частицы,
а также от концентрации и химического состава примесей в облачной
воде и принимает значение от 10−10 до 10−8 Кл/г.
Образование осколков при замерзании капель учитывается следующим образом
∞
∂f 3
∂t
З
=
n(m, m )R(r, m , t)f1 (r, m , t)dm ,
(5)
m
где n(m, m ) — число ледяных осколков массы m, образующихся при
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аджиева А. А., Шаповалов А. В.
186
замерзании капель массы m , R(x, z, m , t) — вероятность замерзания
капель массой m в единицу времени [7].
Образование осколков в процессе аккреции ледяных кристаллов
с облачными каплями описывается формулой
∞
∂f 3
∂t
АК
=
n(m, m )R2 (r, m , t) dm ,
(6)
m
где R2 (r, m , t) = f1 (r, m , t) ·
∞
0
β2 (m , ξ)f2 (r, ξ, t) dξ — число столк-
новений кристаллов массой ξ с каплями массой m , приводящих к
замерзанию последних и образованию осколков.
Число ледяных осколков n(m, m ) определяется согласно экспериментальным зависимостям выбросов микрочастиц от размера замерзающей капли. Для капель с r < 75 мкм используются данные
Лезема и Мейсона, приведенные в работе [3]. Для капель больших
размеров применяются данные, полученные А. Х. Аджиевым [13].
Микроскопические осколки замерзания выносятся потоками в
верхнюю часть облака, где образуется преимущественно положительный объемный заряд ρ+ (r, t). Область сосредоточения отрицательно заряженных ледяных частиц образует зону преимущественно
отрицательного объемного заряда ρ− (r, t).
Объемные заряды на временном шаге рассчитывались по формулам:
∞
ρ− (r̄, t) = a2 mf2 (r, m, t) dm − ρ2 (r),
0
(7)
∞
mf3 (r, m, t) dm − ρ3 (r),
ρ+ (r̄, t) = a3
0
где a2 и a3 — коэффициенты разделения зарядов, ρ2 (r) и ρ3 (r) —
уменьшение объемных зарядов в результате тока проводимости атмосферы и разрядов:
ρ− (r, ti ), ρ3 (r) = λ(r) + γ
ρ+ (r, ti ),
(8)
ρ2 (r) = λ(r) + γ
i
i
λ — проводимость воздуха, ti — моменты времени, в которые напряженность электрического поля превышает пробивное значение, γ —
коэффициент сброса заряда при электрических разрядах.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель конвективного облака
187
Рассчитанные значения объемных зарядов ρЭ используются для
определения потенциала U (r), создаваемого ими электрического поля. Для этого на каждом временном шаге решается уравнение Пуассона:
∂2U
∂2U
ρЭ
+
=−
(9)
2
2
∂x
∂z
ε0
при следующих граничных условиях:
∂U
∂U
= 0
= 0
,
, U = 0 ,
(10)
∂x
∂z
x=0,Lx
z=Lx
z=0
где ε0 — диэлектрическая постоянная вакуума.
Напряженность электрического поля E(r) в точке r, обусловленного зарядами, расположенными в пространстве облака, определяется как градиент потенциала по формуле:
r) = − nx ∂U + nz ∂U .
E(
(11)
∂x
∂z
Значения напряженности электрического поля учитываются при
определении коэффициентов коагуляции облачных частиц согласно
теоретическим и экспериментальным зависимостям Л. М. Левина и
Н. В. Красногорской [4, 5].
2. Результаты исследований
На основе разработанной модели были выполнены расчеты по
моделированию конвективных облаков при реальных стратификациях атмосферы. Облако инициировалось заданием теплового импульса в начальный момент времени у поверхности земли с перегревом
∆T = 1,0 − 1,5◦ C.
Выполненные численные эксперименты показали, что характеристики получающегося в модели облака чувствительны к профилям
температуры и влажности в атмосфере. В частности, при неустойчивой стратификации и высокой влажности получались достаточно
мощные облака, верхняя часть которых кристаллизовалась и происходило формирование электрического заряда.
Не останавливаясь подробно на полученных данных по термодинамике облаков, отметим, что расчетные параметры воздушных
потоков и турбулентности достаточно хорошо согласовались с экспериментальными наблюдениями, проведенными в ВГИ, и с данными
других исследователей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
188
Аджиева А. А., Шаповалов А. В.
Накопление электрического заряда в облаках связано с процессами замерзания капель и взаимодействия капель и кристаллов. В
частности, при резком замерзании переохлажденных облачных капель или намерзании их на поверхности частичек крупы и града образуются мелкие ледяные осколки — продукты замерзания, которые
имеют преимущественно положительный заряд. Вследствие разности скоростей падения относительно воздуха мелких ледяных кристаллов, заряжающихся при взрыве положительно, и более крупных
частиц, крупы или града, заряжающихся преимущественно отрицательно, происходит пространственное разделение зарядов. В предвершинной части облака формируется положительный объемный
заряд, ниже — отрицательный. Электрическое строение облака в
одном из вариантов расчетов на 20-й минуте развития представлено на рис. 1. Суммарный положительный заряд в единице объема достигает значений 6 · 10−3 Кл/км, отрицательный достигает
−11 · 10−3 Кл/км3 .
Рис. 1. Распределение суммарного объемного заряда в облаке на 20-й минуте развития, Кл/км3 .
На каждом временном шаге численно решалось уравнение для
потенциала электрического поля (9) с помощью представленного выше метода. Рассчитывались вертикальная Ez и горизонтальная Ex
составляющие напряженности электрического поля в вольтах на сантиметр. Результаты по исследованию эволюции электрических характеристик облака представлены на рис. 2.
На 20-й минуте развития облака (35 минута от начала расчета) потенциал электрического поля составляет величину 3,1 ·
106 В (рис. 2а). Компоненты напряженности поля имеют значения
Ex ≈ 5 В/см (рис. 2б), а Ez ≈ 8 В/см (рис. 2в).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель конвективного облака
189
С течением времени заряд в облаке и, соответственно, потенциал
поля увеличиваются. По результатам расчетов электрических параметров облака на 40-й минуте развития потенциал достиг значения
1,1 · 108 В, а напряженность — Ex ≈ 100 В/см, Ez ≈ 240 В/см.
а)
б)
в)
Рис. 2. Изолинии потенциала, В (а), горизонтальной (б) и вертикальной (в)
составляющих электрического поля, В/см, на 20-й минуте эволюции облака.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
190
Аджиева А. А., Шаповалов А. В.
Максимальные значения потенциала электрического поля, полученные в расчетах, имели значения около 300–500 МВ. Сравнение
полученных в данной работе результатов с данными, приведенными
в работе [14], показало, что порядок величины потенциала один и
тот же.
Рассчитанные в каждый момент времени в узлах пространственной сетки значения напряженности электрического поля учитывались при расчете коэффициента коагуляции капель и кристаллов
E(R, r), согласно зависимостям, приведенным в работах [4, 5].
Вследствие взаимодействия облачных частиц радиусами до
20 мкм, которое становится возможным при наличии зарядов на частицах и значительных электрических полей в облаке (E > 50 В/см),
в выполненных численных экспериментах наблюдалось ускорение
процесса роста частиц осадков и увеличение электрического поля
облака.
Сравнение времени образования осадков без учета и с учетом
электрической коагуляции показало, что во втором случае осадки
начинаются на 5–7 минут раньше. Напряженности электрического
поля при учете электрической коагуляции растут быстрее, чем без
ее учета. В частности, на 40-й минуте развития облака Ez без учета электрической коагуляции составляла 240 В/см, а при учете —
650 В/см.
Между микрофизическими, термодинамическими и электрическими процессами существует обратная связь (взаимодействие), которая заключается во взаимном влиянии их друг на друга. В проведенных численных экспериментах получалось, что электрическое поле
ускоряет рост частиц, с другой стороны, при этом генерировалось
большее количество электрического заряда, которое увеличивало само поле. Общая картина влияния электрического поля проявлялась
в некотором ускорении прохождения облаком всех стадий развития,
кроме начальной.
3. Выводы
Разработана двумерная нестационарная модель конвективного
облака с детальным описанием термодинамических, микрофизических и электрических процессов, которая отличается от существующих и позволяет рассчитывать электрические параметры конвективных облаков, а также электрическую коагуляцию облачных частиц.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель конвективного облака
191
Получена картина формирования электрической структуры конвективного облака в процессе его эволюции, рассчитаны поля вертикальной и горизонтальной компонент напряженности электрического поля. Отмечено изменение скорости формирования микроструктуры конвективных облаков при учете электрической коагуляции
частиц.
Литература
1. Имянитов И. М., Чубарина Е. В., Шварц Я. М. Электричество облаков.—Л.:
Гидрометеоиздат, 1971.
2. Мазин И. П., Шметер С. М. Облака. Строение и физика образования.—Л.:
Гидрометеоиздат, 1983.
3. Мейсон Б. Дж. Физика облаков.—Л.: Гидрометеоиздат, 1961.
4. Левин Л. М. Электрическая коагуляция облачных капель // Труды Эльбрусской высокогорной экспедиции.—1961.—Т. 2.—С. 5–42.
5. Красногорская Н. В. Влияние электрических сил на коагуляцию частиц сравнимых размеров // Известия АН СССР. ФАО.—1965.—Т. 1.—С. 339–345.
6. Ашабоков Б. А., Калажоков Х. Х. Численное моделирование градовых
облаков.—М.: Гидрометиздат, 1992.
7. Коган Е. Л., Мазин И. П., Сергеев Б. Н., Хворостьянов В. И. Численное
моделирование облаков.—М.: Гидрометеоиздат, 1984.
8. Хворостьянов В. И. Трехмерная мезомасштабная модель эволюции облачности с детальным учетом микрофизических, радиационных процессов, орографии и ее применение для моделирования перистых облаков // Известия
АН. ФАО.—1994.—Т. 30, № 4.—С.—543–557.
9. Chen J. P., Lamb D. Simulation of Cloud Microphysical and Chemical Processes
Using a Multicomponent Framework. Part I: Description of the Microphysical
Model // J. Atmos. Sci.—1994.—V. 51.—P. 2613–2630.
10. Rawlins F. A numerical study of thunderstorm electrification using a three
dimentional model incorporating the ice phase // Quart. Jour. of the Royal Met.
Society.—1982.—V. 108.—P. 779–801.
11. Helsdon John H., Jr., and Farley Richard D. A numerical modeling Study
of a Montana Thunderstorm, 1, Model Results Versus Observations Involving
Electrical Aspects // J. Geoph. Res.—1987.—V. 92.—P. 5661–5676.
12. Корчагина Е. А., Орсаева И. М., Шаповалов А. В. Моделирование термодинамических и микрофизических процессов в конвективных облаках // Информационные системы и технологии.—Нальчик.—2000.—Вып. 1.—С. 10–17.
13. Аджиев А. Х., Тамазов С. Т. Разделение электрических зарядов при кристаллизации капель воды // Метеорология и гидрология.—1987.—№ 7.—С. 57–62.
14. Машуков Х. М., Зекореев Р. Х., Машуков Х. Х. Ракетные измерения напряженности электрического поля в грозовых облаках // Всерос. конф. по
физике облаков и активным воздействиям на гидромет. процессы.—Нальчик,
2001.—С. 46–47.
КБГСХА, Высокогорный геофизический институт (Нальчик, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 551.515.4
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН МНОГОСЛОЙНЫМИ АЭРОЗОЛЯМИ
В. Ю. Андриевская
Работа посвящена расчетам индикатрис рассеяния оптического излучения
искусственным облаком, состоящим из обводненных частиц сажи в инфракрасном диапазоне длин волн.
Анализ имеющейся информации показывает, что в области исследования искусственных атмосферных образований мало работ, содержащих информацию о различных аспектах формирования, времени существования указанных образований и распространения в
них электромагнитного излучения (ЭМИ).
В настоящее время существует ряд способов описания распространения аэрозолей в атмосфере. К ним относятся: статистические
модели, гауссовы модели, модели с «замыканиями» различных порядков, а также модели, основанные на теории подобия [1]. Однако
ни один из перечисленных способов не может претендовать на полную строгость и точность. Нам представляется перспективным исследование распространения примесей по различным моделям, дополненное радиолокационными измерениями аэрозольных облаков
в различных диапазонах длин волн.
Ниже приводится один из этапов этой работы — моделирование
рассеяния электромагнитных волн обводненными частицами сажи.
Данная работа посвящена расчетам индикатрис рассеяния оптического излучения искусственным облаком, состоящим из обводненных частиц сажи в инфракрасном диапазоне длин волн.
Эксперименты по исследованию характеристик аэрозольного облака, полученного с помощью взрыва, и состоящего из мелкодисперсных частиц сажи описаны в [2]. На основании теоретических расчетов и экспериментальных данных были получены значения факторов и коэффициентов рассеяния частицами сажи [3]. Расчеты для
элементарных и двухслойных частиц сферической формы проводились по составленным нами программам. Некоторые результаты выполненных расчетов рассеяния оптического излучения аэрозольны-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование рассеяния электромагнитных волн
193
ми частицами сажи не имеющих второго слоя для различных радиусов и длин волн, иллюстрируются на рисунках 1 и 2. Как видно из
рисунков частицы с размерами много меньше длин волн, со значением дифракционного параметра ρ = 2πr/λ << 1, где r — радиус
частицы, λ — длина волны, имеют релеевскую индикатрису рассеяния. Она симметрична и рассеяна в направлении вперед и назад
одинаково (рис. 1). Релеевская индикатриса имеет вид
1
(1 + cos2 θ),
(1)
16π
где θ — угол рассеяния. В релеевской области рассеяния индикатриса рассеяния не поляризованного излучения отдельной частицы
рассчитывается по формуле Ми [4]. По мере увеличения размера частицы и при больших значениях m начинается перераспределение
рассеянной энергии. Частица начинает рассеивать больше в заднюю
полусферу, чем в переднюю (рис. 1 и 2).
f (ϑ) =
Рис 1. При λ = 3 мкм, r = 0,05 мкм.
Рис 2. При λ = 3 мкм, r = 1,00 мкм.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Андриевская В. Ю.
194
В этом случае основную роль играет амплитуда парциальной волны электрического диполя и амплитуда парциальной волны магнитного диполя. Поле рассеянного излучения представляет собой суперпозицию полей этих диполей. С увеличением размера частиц ρ > 1
постепенно увеличивается рассеяние в переднюю полусферу. Начинает проявляться эффект Ми — индикатриса вытягиваться вперед.
Это связано с тем, что в пределе, с увеличением размера частицы
должен быть удовлетворен принцип прямолинейного распространения света. В общем случае оба эти эффекта могут конкурировать
между собой.
Для двухслойных частиц коэффициент рассеяния вычислялся по
формулам (2)–(8)
∞
2
2 2n + 1
(an πn + bn τn ) ;
i1 (ρ, m, θ) = S1 (θ) = n(n + 1)
n=1
(2)
∞
2
2 2n + 1
i2 (ρ, m, θ) = S2 (θ) = (an τn + bn πn ) ;
n(n + 1)
n=1
(3)
где θ — угол рассеяния; ρ = 2πr
λ — дифракционный параметр; m —
показатель преломления; an и bn — амплитуды парциальных волн;
λ — длина волны в мкм; r — радиус частицы в мкм; π — угол, равный
180◦ ; τn (θ) и πn (θ) — угловые функции от угла рассеяния, определяемые формулами
πn (θ) =
2n − 1
n
cos θ · πn−1 (θ) −
πn−2 (θ),
n−1
n−1
(4)
τn (θ) = [πn (θ) − πn−2 (θ)] · cos θ − (2n − 1) sin2 θ · πn−1 (θ) + τn−2 (θ). (5)
Фактор эффективности рассеяния:
QSCA =
∞
2 (2n + 1)(|an |2 + |bn |2 ).
ρ2 n=1
(6)
Фактор эффективности ослабления:
QEXT =
∞
2 (2n + 1)[Re(an + bn )].
ρ2 n=1
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование рассеяния электромагнитных волн
KSCA = 2π
π
0
KSCA (θ) sin θ dθ — коэффициент рассеяния, где
λ2
KSCA (θ) =
4π 2
KSCA 1 = 2π
195
π/2
0
i1 (θ, ρ, m) + i2 (θ, ρ, m)
.
2
(8)
KSCA (θ) sin θ dθ — коэффициент рассеяния в перед-
нюю полусферу, KSCA 2 = 2π
π/2
0
KSCA (θ) sin θ dθ — коэффициент
рассеяния в заднюю полусферу.
Некоторые результаты выполненных расчетов рассеяния оптического излучения обводненными частицами сажи для различных
радиусов и длин волн, по составленной нами программе, иллюстрируются на рис. 3.
Выполненные расчеты показали, что факторы эффективности
ослабления, рассеяния и давления для двуслойной частицы, состоящей из малого ядра и оболочки воды с внешним радиусом R, почти не отличаются от соответствующих факторов эффективности
однородной частицы воды радиуса R. Факторы поглощения же отличаются сильно. Кроме того, факторы эффективности ослабления,
рассеяния, поглощения и давления для двухслойной частицы с графитовым ядром и тонкой оболочкой с внешним радиусом R мало
отличаются от соответствующих факторов эффективности однородной частицы графита радиуса R [5].
Сравнение этих расчетов с экспериментальными измерениями показывает хорошее их совпадение. Это свидетельствует о том, что
модель в достаточной мере учитывает основные процессы рассеяния
электромагнитных волн многослойными аэрозолями.
Выполненные расчеты позволяют сделать следующие выводы:
1. Построенная модель рассеяния электромагнитных волн многослойными аэрозолями адекватно отражает экспериментальные измерения.
2. С увеличением внешнего радиуса (радиуса оболочки) при одинаковом радиусе ядра, различие между значениями факторов эффективности ослабления и рассеяния уменьшается.
3. С увеличением радиуса ядра (сажи), значения факторов эффективности ослабления и рассеяния увеличиваются, независимо от
внешнего радиуса.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Андриевская В. Ю.
196
а) Внешний радиус R = 10−4 см.
б) Внешний радиус R = 10−5 см.
Рис. 3. Зависимость факторов эффективности ослабления QEXT (1) и рассеяния QSCA (2) от радиуса частицы R0 и оболочки воды.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование рассеяния электромагнитных волн
197
Литература
1. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей.—
Л.: Гидрометеоиздат, 1985.—350 с.
2. Аджиев А. Х., Андриевская В. Ю. Оценка влияния метеопараметров на
время существования искусственного аэрозольного облака, созданного с помощью взрыва. Физика экстремальных состояний вещества.—Черноголовка,
2005.
3. Андриевская В. Ю. Исследование распространения электромагнитного излучения в искусственных атмосферных неоднородностях: Автореф. дис. ...
канд. физ.-мат. наук.—Нальчик, 2004.
4. Шифрин К. С., Черняк М. М. Индикатрисы рассеяния сантиметровой радиации каплями воды // Тр. ГГО.—Л.: Гидрометеоиздат, 1967.—Вып. 203.
5. Резнова Л.В. Вычисление факторов эффективности для двуслойных частиц
по теории Ми // Материалы научных съездов и конференций.—М: Наука,
1973.—С. 186–192.
Высокогорный геофизический институт (Нальчик, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.6
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ С УЧЕТОМ ЭЖЕКЦИИ
А. А. Апаринов, И. К. Лифанов
В данной работе рассматриваются вопросы численного моделирования обтекания кругового цилиндра потоком идеальной жидкости и влияние эжекции
потока на аэродинамические характеристики цилиндра.
1. Общие положения. В данной работе рассматриваются вопросы численного моделирования обтекания кругового цилиндра потоком идеальной жидкости и влияние эжекции потока на аэродинамические характеристики цилиндра.
Для моделирования обтекания цилиндра используется метод дискретных вихрей [1, 2]. Точки отрыва потока с поверхности цилиндра
определяются по критерию, предложенному М. Л. Дмитриевым и
основанному на анализе изменения кинетической энергии вдоль поверхности цилиндра [3]. Достоинством этого критерия является возможность динамического определения точек отрыва потока в рамках
модели идеальной жидкости. Моделирование пограничного слоя [2]
для вычисления точек отрыва не требуется.
Эжекция моделируется стоками (источниками) интенсивности Q,
расположенными на поверхности цилиндра. Стоков может быть конечное число, меньшее, чем число вихрей, моделирующих цилиндр.
Учет влияния эжекции на обтекание цилиндра потоком жидкости
проводится по методу, предложенному И. К. Лифановым [4]. Этот
метод позволяет вынести учет влияния отсоса в правую часть системы линейных уравнений, решаемой в рамках расчетов методом
дискретных вихрей, и не менять матрицу коэффициентов на каждом шаге расчета, что значительно упрощает расчетную схему.
Предполагается, что на неподвижный цилиндр единичного радиуса набегает поток идеальной жидкости с безразмерной скоростью
U0 = 1 под углом α = 0. В общем случае цилиндр может двигаться
с поступательной скоростью V∗ и вращаться с угловой скоростью ω.
Учет этих параметров существенно не изменяет расчетную схему,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование обтекания кругового цилиндра
199
поэтому для упрощения понимания результатов предполагается, что
цилиндр неподвижен.
Результаты моделирования показывают, что:
1. Наличие эжекции влияет на расположение точек отрыва с поверхности цилиндра. Результаты исследования влияния эжекции на
расположение точек отрыва приводятся в § 3.
2. Сток (источник), расположенный на заднем полускате цилиндра, существенно увеличивает (уменьшает) коэффициент лобового
сопротивления цилиндра.
2. Описание расчетной схемы. Согласно положениям метода
дискретных вихрей непрерывный вихревой слой заменяется системой дискретных вихрей. На серединах дуг, соединяющих дискретные
вихри, располагаются контрольные точки, в которых выполняется
условие непротекания совместно с условием сохранения циркуляции
по контуру, охватывающему тело и его след. При этом предполагается, что стоки являются расчетными точками.
Так как на поверхности цилиндра находятся стоки, то условие
непротекания для любой контрольной точки записывается в виде [4]:
Vγ (M0 )nM0 = −U0 nM0 −
Q
Q
ω1 (M0 , Mq ) − δ(M0 − Mq ),
2π
2
где M0 — точка поверхности (в данном случае контрольная точка), Mq — точка расположения стока, nM0 — единичная нормаль
к поверхности, Vγ (M0 ) — скорость, индуцируемая цилиндром в точке M0 , U0 — скорость набегающего потока, Q — мощность стока,
ω1 (M0 , Mq ) — скорость, индуцируемая в точке M0 единичным стоком, расположенным в точке Mq ,
⎧
⎨0,
M0 = Mq , M0 ∈ L,
δ(M0 − Mq ) = +∞, M = M ∈ L, δ(M − M )dt = 1,
0
q
0
q
0
⎩
L
L — контур цилиндра.
При численном моделировании функцию δ(M0 − Mq ) заменяем
ступенчатой функцией. Полагаем, что
0, M0 ∈
/ lh,Mq ,
δh (M0 − Mq ) = 1
,
M
∈
lh,Mq ,
0
h
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Апаринов А. А., Лифанов И. К.
200
где дуга окружности между соседними вихрями, на которой находится точка M0 , h — длина дуги между соседними вихрями.
Предполагается, что точки отрыва потока находятся в тех местах, где величина изменения кинетической энергии потока минимальна [3]. Для определения точек отрыва на каждом шаге вычис→ →
−
Ṫ
ляется значение δδσ
= ρ2 V02 ( V ∗ , −
n ), где T — кинетическая энергия,
σ — поверхность тела, ρ — плотность, V0 — относительная скорость
движения частиц у поверхности цилиндра, V∗ — невозмущенная скорость движения частиц относительно системы координат, связанной
→
с цилиндром, −
n — единичная нормаль к поверхности.
Так как жидкость, обтекающая цилиндр, идеальная, циркуляции
сошедших с поверхности тела частиц не меняются во времени. Свободные вихри движутся в потоке по траекториям свободных частиц.
Рис. 1 .
— положение точки отрыва при наличии стока;
— положение точки первичного отрыва без стока на поверхности;
— положение стока на поверхности цилиндра.
Методические исследования показали, что для получения удовлетворительных результатов расчетов влияния эжекции необходимо моделировать цилиндр не менее, чем 60 вихрями. Известно, что
для моделирования отрывного обтекания цилиндра без эжекции достаточно 40 вихрей [1].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование обтекания кругового цилиндра
201
3. Результаты расчетов. При расчетах цилиндр моделировался 60 дискретными вихрями, сток располагался в контрольной точке, соответствующей положению 0,45π. Безразмерная интенсивность
стока Q = 0,07. Цилиндр полагался неподвижным, безразмерная
скорость набегающего потока U0 = 1; 400 шагов алгоритма были
рассчитаны, что соответствует 29 единицам безразмерного времени.
При этом зависимость положения точек отрыва от времени показана
на рис. 1.
Зависимость коэффициента лобового сопротивления Cx от времени показана на рис. 2.
Рис. 2.
— зависимость Cx от безразмерного времени (осредненная зависимость Cx от времени) при отсутствии стока на поверхности цилиндра;
— зависимость Cx от безразмерного времени (осредненная зависимость Cx от времени) при наличии стока на поверхности цилиндра.
Зависимость коэффициента лобового сопротивления Cy от времени показана на рис. 3.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Апаринов А. А., Лифанов И. К.
202
Рис. 3.
— зависимость Cy от безразмерного времени (осредненная зависимость Cy от времени) при отсутствии стока на поверхности цилиндра;
— зависимость Cy от безразмерного времени (осредненная зависимость Cy от времени) при наличии стока на поверхности цилиндра.
Литература
1. Белоцерковский С. М., Котовский В. Н., Ништ М. И., Федоров Р. М. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел.—
М.: Наука, 1988.
2. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью.—М.: Наука, 1978.
3. Дмитриев М. Л. Математическое моделирование отрыва потока с гладкой
поверхности тел в рамках теории идеальной жидкости: Дис. ... канд. физ.мат. наук.—М.: 1998.
4. Вайникко Г. М., Лифанов И. К., Полтавский Л. Н. Численные методы в
гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения.—М.: Янус-К,
2001.
Военно-воздушная инженерная академия
им. Н. Е. Жуковского (Москва, Россия);
E-mail: [email protected], [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 62.505
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА,
ОПИСЫВАЕМАЯ СИНГУЛЯРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ
Ж. Т. Баракова, З. К. Иманалиев
Построена модель межотраслевого баланса многоотраслевой экономики, когда размер капитала каждой отрасли увеличивается за счет собственных инвестиций и объем собственных инвестиций не превышает прироста выпуска
продукции. При этом данная модель описывается системой сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, что практически не встречается
в классической литературе.
Введение
В данной работе рассмотрена схема построения динамической
модели межотраслевого баланса, путем использования классической
формы балансовых соотношений. Обоснованы реальные обстоятельства экономической динамики, которые неизбежно приводят к возникновению специфических свойств системы, благодаря чему динамическая модель межотраслевого баланса описывается системой
сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Далее рассмотрен вопрос декомпозиции экстремальной задачи межотраслевого баланса, изложен способ разделения исходной задачи на две задачи, имеющие меньшие размерности систем и меньшее число ограничений, которые учитываются в процессе оптимизации.
Рассмотрим схему построения динамической модели межотраслевого баланса для n отраслей в комплексе. Как известно [1], основные балансовые уравнения для каждой из n отраслей записываются
в виде:
n
υjk + sj + wj ,
(1)
xj =
k=1
где xj — производство продукции j-й отрасли в единицу времени (поток продукции); wj — конечное потребление j-й отрасли в единицу
времени (поток конечного потребления); υjk — потребление продукции j-й отрасли некоторой другой k-й отраслью в единицу времени;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Баракова Ж. Т., Иманалиев З. К.
204
sj — количество продукции j-й отрасли, направляемое на изменение
фондов (наличных капиталов) в этой и других отраслях в единицу
времени (поток накопления из j-й отрасли).
Уравнения системы (1) показывают полное распределение продукции каждой отрасли по следующим направлениям: производственному потреблению, накоплению, конечному продукту.
Система (1) может быть записана векторной форме:
x = υ + s + w,
⎛
⎜
⎜
где x = ⎜
⎝
x1
x2
..
.
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ — вектор производства продукции; υ = ⎜
⎝
⎠
υ1
υ2
..
.
(2)
⎞
⎟
⎟
⎟—
⎠
xn
υn
вектор производственного потребления продукции отраслей, вклюn
чая
отчисления (здесь υ⎛
j = ⎞ k=1 υkj ); s =
⎞
⎛ амортизационные
w1
s1
⎜ w2 ⎟
⎜ s2 ⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜ .. ⎟ — вектор изменения фондов; w = ⎜ .. ⎟ — вектор ко⎝ . ⎠
⎝ . ⎠
sn
wn
нечного потребления продукта.
Из условия прямой пропорциональности производственных затрат (υ) общему выпуску производства (x) следует, что для всякой
отрасли справедливо равенство [1]
υj =
n
ajk (t)xk
(j = 1, 2, . . . , n),
(3)
k=1
где ajk — технологические коэффициенты.
Равенство (3) в векторной форме записывается так:
υ = A(t)x.
(4)
При рассмотрении динамических моделей на сравнительно
небольших промежутках времени обычно считают, что в технологии производственных процессов не происходит заметных изменений. Следовательно, можно полагать, что технологические коэффициенты aij (t) 0 являются непрерывными функциями на некотором
отрезке времени [t0 , t1 ], где t0 — начало процесса, t1 — конец процесса.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Декомпозиция динамической модели межотраслевого баланса
205
Кроме вышеперечисленных допущений в данном случае, будем
полагать, что экспорт, направленный из одной отрасли в другую не
используется на увеличение наличного капитала (на изменение фондов), а расходуется только на производственное потребление или на
замещение изношенного капитала. Иначе говоря, размер капитала
увеличивается за счет собственных инвестиций (так называемая самофинансируемая стратегия).
Рассмотрим связь потока изменения наличного капитала со скоростью роста продукции.
Если обозначить через sjk — поток продукции j-й отрасли, направленный на увеличение наличного капитала k-й отрасли, то капитальные вложения sjk пропорциональны приросту выпуска продукции k-й отрасли, т. е.
sjk = bjk
dkx
,
dt
(5)
где bjk — коэффициенты приростной капиталоемкости.
По предположению наличный капитал каждой отрасли увеличивается только за счет собственных инвестиций, поэтому в данном
случае sjk = 0, если j = k, sjk = 0, если j = k. В этом случае объем
собственных инвестиций, направленный на увеличение капитала не
должен превышать прироста выпуска продукции.
Тогда можно предположить следующие возможные случаи: прирост выпуска продукции и размер инвестиций у первых k отраслей
равны, у остальных n−k отраслей эти параметры пропорциональны,
т. е.
dxi
, i = 1, 2, . . . , k,
(6)
sii =
dt
sjj = µ
dxj
,
dt
j = k + 1, k + 2, . . . , n.
(7)
где µ — малый параметр (0 < µ < 1).
Отсюда равенство (4) перепишем в виде:
υ (1)
υ (2)
=
A1 (t)
A3 (t)
A2 (t)
A4 (t)
x
z
,
(8)
где ῡ (1) , x̄ — k-мерные, ῡ (2) , z̄ — (n − k)-мерные векторы, x =
(x1 , x2 , . . . , xk ), z = (xk+1 , xk+2 , . . . , xn ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Баракова Ж. Т., Иманалиев З. К.
206
С учетом (6)–(8) из основного балансового равенства (2) получаем:
ẋ = (Ek − A1 (t))x − A2 (t)z − w(1) ,
µż − A3 (t)x + (En−k − A4 (t))z − w(2) ,
(9)
где Ek , En−k — единичные матрицы размеров k × k, (n − k) × (n − k)
соответственно; w(1) , w(2) — векторы конечного продукта с размерностями k и n − k соответственно.
Таким образом, возникает динамическая модель межотраслевого баланса, описываемая системой сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (9).
Замечание. В общем случае коэффициенты bij образуют квадратную матрицу, зависящую от времени t, т. е. B = B(t). Если матрица B(t) неособенная, то получить систему вида (9) не представляет
трудности.
Формулировка экстремальной задачи для системы (9) приводит
к некоторым сложным ограничениям, которые при решении задачи
обязательно нужно учитывать, что создает определенные трудности
и, в конечном счете, невозможность получения эффективно реализуемого алгоритма. Поэтому возникает необходимость заменить систему (9) эквивалентной системой, у которой разделены медленные
и быстрые координаты.
Полагаем, что матрица En−k − A4 (t) устойчива. Тогда в системе (9) можно произвести разделение движений. Декомпозиция медленных и быстрых координат системы (9) производится путем замены переменных
s = z + H(t, µ)x,
x=x
− µN (t, µ)
z.
(10)
Переходя к новым переменным получаем систему
1 (t)
x
˙ = A
x − u(1) ,
4 (t)
z − u(2) ,
µz˙ = A
1 = Ek − A1 − A2 H,
A
(11)
4 = En−k − A4 + µHA2 ,
A
где
u(1) = (En−k + µN H)w(1) + N w(2) ,
u(2) = w(2) − µHw(1) ,
A1 = A1 (t), A2 = A2 (t), H = H(t, µ), N = N (t, µ).
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Декомпозиция динамической модели межотраслевого баланса
207
Здесь для матриц H и N получаются следующие уравнения:
4 H,
1 = −A3 + A
µḢ + µH A
(13)
4 .
1 = A2 − N A
µṄ + µN A
(14)
Элементы матриц H и N регулярно зависят от параметра µ. В соответствии с теоремой о неявной функции, уравнения (13), (14) имеют решения, которые могут быть представлены в виде равномерно
сходящихся степенных рядов [4]. Таким образом, в результате мы
получим систему (11), у которой медленные и быстрые подсистемы разделены, но имеют различные собственные значения. Свойства
управляемости (9) те же, что и у системы (11).
Пусть Φ(t, s, µ) и Ψ(t, s, µ) — переходные матрицы медленных и
быстрых подсистем системы (10) соответственно, т. е. они удовлетворяют уравнениям
1 (t, µ)Φ(t, s, µ),
Φ̇(t, s, µ) = A
4 (t, µ)Ψ(t, s, µ),
µΨ̇(t, s, µ) = A
Φ(s, s, µ) = Ek ,
(15)
Ψ(s, s, µ) = En−k ,
(16)
1 (t, µ), A
4 (t, µ) определяются соотношением (12).
где A
Наряду с системой (11) рассмотрим систему
ẋ = (Ek − A0 (t))x − u(1) ,
µż ∗ = (En−k − A4 (t))z ∗ − u(2) ,
(17)
где A0 = A1 −A2 (En−k −A4 )−1 A3 , z ∗ z+(En−k −A4 )−1 A3 x, u(2) = w(2) ,
u(1) = w(1) − A2 (En−k − A4 )−1 w(2) , x, z ∗ — векторы переменных
состояния порождающей системы, которые получаются из (11) при
µ = 0.
Подобная система вполне может заменить исходную систему [5],
так как она обладает всеми свойствами исходной и является упрощенной эквивалентной системой. При заданных начальных условиях
и при известных параметрах управления, решение экстремальной задачи для системы (10) может выступить в качестве приближенного
решения экстремальной задачи для системы (9) с точностью O(µ) [5].
Положим
H(t, µ) = −(En−k − A4 (t))−1 A3 (t) + µh(t, µ),
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Баракова Ж. Т., Иманалиев З. К.
208
где h(t, µ) удовлетворяет матричному уравнению
µḣ(t, µ) + µh(t, µ)A∗0 (t, µ) = A∗3 (t, µ) + A∗4 (t, µ)h(t, µ),
A∗0 (t, µ) = A0 (t) − µA2 (t) − µA2 (t)h(t, µ),
d
− (En−k − A4 (t))−1 A3 (t) − (En−k − A4 (t))−1 A3 (t)A0 (t),
A∗3 (t) =
dt
A∗4 (t, µ) = (En−k − A4 (t)) + µ(En−k − A4 (t))−1 A3 (t)A2 (t).
4 (t) определяются как
1 (t), A
С учетом (18) матрицы A
1 (t, µ) = A0 (t) − µA2 (t)h(t, µ),
A
4 (t, µ) = (En−k − A4 (t))+
A
+µ(En−k − A4 (t))−1 A3 (t)A2 (t) + µ2 h(t, µ)A2 (t, µ).
(19)
Так как по нашему утверждению ряд H(t, µ) сходится равномерно, то можно указать число µ1 такое, что при 0 < µ µ1 в промежутке [t0 , t1 ] имеют место следующие ограничения:
H(t, µ) L1 , h(t, µ) L2 ,
(20)
где L1 , L2 — положительные числа.
Пусть Φ(t, s), Ψ(t, s, µ) — переходные матрицы медленных и быстрых подсистем системы (17). Тогда переходные матрицы Φ(t, s, µ) и
Ψ(t, s, µ) могут быть представлены в форме:
Φ(t, s, µ) = Φ(t, s) + µϕ(t, s, µ),
(21)
Ψ(t, s, µ) = Ψ(t, s, µ) + µη(t, s, µ),
(22)
где ϕ(t, s, µ), η(t, s, µ) — матричные функции, которые подлежат
определению.
Важность указанных представлений состоит в следующем: процесс определения функций ϕ(t, s, µ) и η(t, s, µ) приводит нас к выяснению главного вопроса о том, что для достаточно малых значе4 (t, µ)
1 (t, µ) и A
ний параметра µ, собственные значения матриц A
действительно будут близкими к собственным значениям матриц
A0 (t, µ) и En−k − A4 (t, µ) соответственно.
Будем полагать, что A0 (t, µ), En−k − A4 (t, µ) — устойчивые матрицы. Тогда соответствующие им переходные матрицы подчиняются
неравенствам:
(23)
Φ(t, s) ce−m(t−s) ,
Ψ(t, s, µ) ce−
γ(t−s)
µ
где c, m, γ — положительные постоянные.
,
(24)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Декомпозиция динамической модели межотраслевого баланса
209
Теорема 1. Пусть A0 (t, µ), En−k − A4 (t, µ) — устойчивые матрицы и соответствующие им переходные матрицы подчиняются неравенствам (23) и (24). Тогда при m > 1 и для достаточно малых
значений параметра µ, удовлетворяющих неравенству 0 < µ < µ0 ,
4 (t, µ) будут близкими к
1 (t, µ), A
собственные значения матриц A
собственным значениям A0 (t, mu), En−k − A4 (t, µ), а также будут
отрицательными. При этом имеют место следующие оценки:
Φ(t, s, µ) ce−m1 (t−s) ,
(25)
Ψ(t, s, µ) ce−γ(t−s)/µ ,
где m1 = m − 1, m > 1, γ1 = γ − µd1 c, µ0 = min
!
γ
1
d2 c , d1 c
"
(26)
.
По предположению матрицы Φ(t, s) и Ψ(t, s, µ) удовлетворяют
уравнениям
˙ s) = A (t)Φ(t, s), Φ(s, s) = E ,
Φ(t,
(27)
0
n
˙ s, µ) = (E
µΨ(t,
n−k − A4 (t))Ψ(t, s, µ), Ψ(s, s, µ) = Em .
(28)
Тогда с учетом (18), (21) и (22) из (15), (16) получаем:
ϕ̇(t, s, µ) = A0 (t)ϕ(t, s, µ) − A2 (t)h(t, µ)(Φ(t, s) + µϕ(t, s, µ)),
ϕ(s, s, µ) = 0,
ν η̇(t, s, µ) = (En−k − A4 (t))η(t, s, µ)+
+H(t, µ)A2 (t)(Ψ(t, s, µ) + µη(t, s, µ)),
η(e, e, µ) = 0.
(29)
(30)
Уравнения (29) и (30) эквивалентны следующим интегральным уравнениям:
t
Φ(t, σ)A2 (σ)h(σ, µ)(Φ(σ, s) + µϕ(σ, s, µ)) dσ, (31)
ϕ(t, s, µ) = −
s
η(t, s, µ) =
1
µ
t
Ψ(t, σ, µ)H(σ, µ)A2 (σ)(Ψ(σ, s, µ) + µη(σ, s, µ)) dσ.
s
(32)
Определим теперь две последовательности
t
ϕ0 (t, s, µ) = −
Φ(t, σ)A2 (σ)h(σ, µ)Φ(σ, s) dσ,
s
(33)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Баракова Ж. Т., Иманалиев З. К.
210
t
ϕk (t, s, µ) = ϕ0 (t, s, µ) − µ
1
η0 (t, s, µ) =
µ
Φ(t, σ)A2 (σ)h(σ, µ)ϕk−1 (σ, s, µ) dσ,
s
t
Ψ(t, σ, µ)H(σ, µ)A2 (σ)Ψ(σ, s, µ) dσ,
s
(34)
t
ηk (t, s, µ) = η0 (t, s, µ) +
Ψ(t, σ, µ)H(σ, µ)A2 (σ)ηk−1 (σ, s, µ) dσ.
s
Исследуем сходимость последовательностей (33) и (34). Введем следующие обозначения:
d1 = L1
max
t0 sσtt1
A2 (σ),
d2 = L2
max
t0 sσtt1
A2 (σ).
(35)
Теперь будем оценивать общие члены следующих рядов:
ϕ0 +
∞
(ϕn − ϕn−1 ),
η0 +
n=1
∞
(ηn − ηn−1 ).
(36)
n=1
С учетом (35) из (36) получим:
ϕ0 d2 c2 (t − s)e−m(t−s) ,
ϕ1 − ϕ0 µd22 c3
(t − s)2 −m(t−s)
e
.
2!
По индукции придем к неравенству:
ϕn − ϕn+1 µn dn+1
cn+2
2
(t − s)n+1 −(t−s)
e
.
(n + 1)!
Из этих оценок следует, что первый ряд из (36) сходится при µ < d12 c ,
причем равномерно
и в качестве мажорирующего ряда выступает
3
n
(t−s)2
2
+ . . . + (t−s)
+ . . . e−m(t−s) , которяд: d2 c t − s + 2! + (t−s)
3!
n!
рый имеет сумму dc2 (e(t−s) − 1)e−m(t−s) . Следовательно, существует
ϕ(t, s) — предел первого ряда (36).
Функция ϕ(t, s) удовлетворяет уравнению (31) и для нее выполняется неравенство:
ϕd2 c2 (e(t−s) − 1)e−m(t−s) при µ <
1
.
d2 c
(37)
Аналогично из (34) имеем
η 1
(t − s)n+1 − γ(t−s)
1
µ
d1 c2 e−γ(t−s)/µ , ηn − ηn−1 dn+1
e
cn+2
.
1
µ
µ
(n + 1)!
Следовательно, существует η(t, s, µ) — предел второго ряда (36).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Декомпозиция динамической модели межотраслевого баланса
211
Предельная функция η(t, s, µ) при µ > 0 является решением уравнения (32) и в этом случае, получаем следующую оценку:
η −γ(t−s)
c d1 c(t−s)
e
−1 e µ .
µ
(38)
Теперь используя (25), (26), (37), (38) из (21) и (22) получим (25) и
(26).
В заключение следует отметить, что в данной статье обоснованы
условия, в которых динамика изучаемого процесса описывается системой сингулярно возмущенных уравнений. Кроме того, исходная
система заменяется эквивалентной ей системой, в которой разделены
медленные и быстрые координаты.
Литература
1. Иманалиев З. К., Баракова Ж. Т. Разделение быстрых и медленных координат в динамической модели межотраслевого баланса // Сиб. журн. индустриальной математики.—2004.—Т. 7, № 6.
2. Первозванский А. А. Математические модели в управлении производством.—
М.: Наука, 1975.
3. Иманалиев З. К., Аширбаев Б. Ы., Баракова Ж. Т. Об одном способе построения решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с квадратичным функционалом // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям.—Бишкек: Илим, 2001.—Вып. 30.—С. 261–265.
4. Иманалиев З. К., Пахыров З. П., Аширбаев Б. Ы., Баракова Ж. Т. Разделение быстрых и медленных движений системы управления с малым параметром // Современные технологии и управления качеством образования,
науки, производства. Опыты адаптации и внедрения // Материалы междун.
научн. конф.—Бишкек, 2001.—С. 244–250.
5. Геращенко А. И., Геращенко С. М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем.—М.: Наука, 1975.
6. Саадабаев А., Иманалиев З. К. Декомпозиция медленных и быстрых координат системы управления методом интегральных многообразий // Вестник
КГНУ. Сер. естественно-технических наук.—Бишкек, 1998.—Вып. 1.—С. 147–
153.
Кыргызский государственный технический
университет (Бишкек, Кыргызстан);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 532(075.8)
НОВЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОКРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ВЫНУЖДЕННЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ
НЕПРИЗМАТИЧЕСКОЙ БАЛКИ ТИМОШЕНКО
Н. И. Музаев, Л. Т. Вазиева
Получены строгие аналитические решения начально-краевых задач вынужденных поперечных колебаний упругого непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформации. Колебания стержня обусловлены особыми импульсивно действующими силами.
1. Вывод дифференциального уравнения вынужденных
поперечных колебаний призматического стержня
В монографии [1] приводятся существующие к настоящему времени строгие решения начально-краевых задач математической физики поперечных колебаний непризматической балки без учета инерции вращения и сдвиговых деформаций. С учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций методы решения таких задач до настоящего времени не разработаны и нет ни одной научной работы
посвященной этой проблеме.
В данной работе впервые разработан строгий аналитический метод решения таких задач для непризматической балки с прямоугольным поперечным сечением, когда высота балки — постоянная величина, а ширина изменяется по экспоненциальной зависимости от
продольной координаты.
Вначале сделаем некоторые важные замечания относительно
неоднородного дифференциального уравнения поперечных колебаний балки Тимошенко. Это уравнение приведено в [2].
В линейном приближении вынужденные поперечные колебания
призматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых
деформаций описываются следующей системой дифференциальных
уравнений [3]:
∂F q
∂2U
∂F
+
= ρω 2
(1.1)
∂x
∂x
∂t
— движение в поперечном направлении;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Новые аналитические решения начально-краевых задач
∂2Θ
∂M
+ F = ρI 2
∂x
∂t
— вращательное движение поперечного сечения стержня;
M = EI
∂ 2 U1
∂x2
213
(1.2)
(1.3)
— зависимость между изгибающим моментом и вызванным им смещением;
∂U2
1
(1.4)
=
(F + F q)
∂x
ωGk
— постулат С. П. Тимошенко о зависимости между сдвиговой деформацией и полной поперечной силой;
Θ=
∂U1
∂x
(1.5)
— поворот вследствие изгиба;
U = U1 + U2
(1.6)
— полное смещение;
∂Fq
,
(1.7)
∂x
где приняты следующие обозначения: x — продольная координата,
t — время, M (x, t) — изгибающий момент, ρ — плотность материала
стержня, I — момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси, Θ(x, t) — угол наклона касательной к кривой изгиба при пренебрежении сдвигом, F (x, t) — поперечная сила,
U (x, t) — полное поперечное смещение стержня, U1 (x, t) — поперечное смещение, вызванное изгибающим моментом, U2 (x, t) — сдвиговое смещение в стержне, E и G — модули упругости материала, k —
поправочный коэффициент, учитывающий неоднородность распределения сдвиговых напряжений, Fq — поперечная сила, обусловленная внешней нагрузкой q(x, t).
Для призматического стержня ω = const и I = const. Величины Θ, U1 и U2 следует исключить так, чтобы система (1.1)–(1.7)
привелась к одному дифференциальному уравнению относительно
полного смещения U (x, t).
q=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Музаев Н. И., Вазиева Л. Т.
214
Из уравнений (1.2)–(1.4) следует что
2
∂ U
∂ 2 U1
∂ 2 U2
M = EI
= EI
−
=
∂x2
∂x2
∂x2
2
∂ U
∂Fq
∂F
1
+
= EI
−
.
∂x2
kGω ∂x
∂x
(1.8)
Подставляя величину M из (1.8) в (1.2) и исключая Θ с помощью
уравнений (1.5) и (1.6), получаем
2
∂ F
E
∂ 2 Fq
k ∂2
∂3U
∂3U
+
− ρI
(F + Fq ).
+ F = ρI
EI 3 −
2
2
2
∂x
kGω ∂x
∂x
∂x∂t
ωG ∂t2
(1.9)
Дифференцируя выражение (1.9) по переменной x и учитывая уравнение (1.1), получим
EI
∂4U
∂4U
E ∂4U
∂ 2 U ∂Fq
1 ∂4U
=
ρI
−ρ
+ρω
−
−ρI
. (1.10)
∂x4
Gk ∂x2 ∂t2
∂x2 ∂x
∂x2 ∂t2
kG ∂t4
С учетом выражения (1.7) и простых алгебраических действий, уравнение (1.10) можно привести к следующему виду:
4
1
∂ U
1
1 ∂4U
1 ∂2U
q(x, t)
∂4U
, (1.11)
−
+
+
+
=
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
∂x
c1
c2 ∂x ∂t
c1 c2 ∂t
c1 r ∂t
EI
9
9
9
I
где c1 = Eρ , c2 = kG
,
r
=
ρ
ω.
Выражение (1.11) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных поперечных колебаний призматического стержня
с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций при действии
внешней нагрузки интенсивностью q(x, t).
В статье Я. С. Уфлянда [2, стр. 278] приводится дифференциальное уравнение вынужденных поперечных колебаний призматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций в
следующем виде:
4
1
∂ U
1
1 ∂4U
1 ∂2U
∂4U
−
+
+
+
=
2
2
2
2
2
∂x4
c1
c2 ∂x2 ∂t2
c1 c2 ∂t4
c1 r2 ∂t2
q
1
ρ ∂2q
∂2q
=
+
−
.
(1.12)
EI
kGω E ∂t2
∂x2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Новые аналитические решения начально-краевых задач
215
Левые части уравнений (1.11) и (1.12) одинаковы. Что касается правых частей, то в них имеется существенное расхождение. Это
расхождение обусловлено тем, что Я. С. Уфляндом при выводе дифференциального уравнения (1.12) сделано упущение. В частности,
при написании постулата С. П. Тимошенко о зависимости между
поперечной силой и деформацией сдвига Я. С. Уфляндом не учтена
поперечная сила, обусловленная внешней нагрузкой: вместо выражения (1.4) использовано следующее выражение
1
∂2U
F.
=
∂x2
kGω
(1.13)
Из выражений (1.1)–(1.3), (1.5)–(1.7), (1.13) путем исключения
с вышеприведенной последовательностью получается дифференциальное уравнение (1.12).
Неадекватность уравнения (1.12) вынужденных колебаний можно выявить, рассуждая следующим образом: предположим, что правая часть уравнения (1.12) тождественно равна нулю
1
q
+
EI
kGω
ρ ∂2q
∂2q
−
2
E ∂t
∂x2
= 0.
(1.14)
Это выражение представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных относительно интенсивности внешней
нагрузки, действующей на стержень, и имеет нетривиальные частные решения, при которых дифференциальное уравнение (1.12) становится однородным без правой части. При нулевых начальных и однородных (нулевых) граничных условиях уравнение (1.12) с нулевой
правой частью имеет лишь тривиальное решение. Парадокс заключается в том, что на стержень действует распределенная внешняя
нагрузка большой интенсивности, а смещения, обусловленные такой
нагрузкой равны нулю. Такое положение с точки зрения физики не
может быть признано правильным. Следовательно, дифференциальное уравнение вынужденных поперечных колебаний стержня с учетом инерции вращения сдвиговых деформаций имеет вид (1.11), а
не (1.12), как это до сих пор было принято считать в научной литературе [2].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Музаев Н. И., Вазиева Л. Т.
216
2. Вывод дифференциального уравнения
вынужденных поперечных колебаний
непризматического стержня специального вида
В литературных источниках, касающихся теории колебаний
стержней не представлено ни одного аналитического решения какойнибудь начально-краевой задачи поперечных колебаний непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций.
Ниже приводится решение одной из таких задач для чаcтного
случая, когда поперечное сечение стержня является прямоугольником с постоянной высотой, а ширина стержня изменяется по экспоненциальной зависимости от продольной координаты, т. е.
h = const,
b(x) = b0 esx .
(2.1)
Прежде всего, надо отметить, что при попытке приведения системы дифференциальных уравнений (1.1)–(1.7) для непризматического стержня к одному уравнению относительно полного смешения U (x, t) сталкиваемся с некоторыми математическими трудностями. Сравнительно легко преодолеваются математические трудности
в частном случае непризматичности, когда размеры поперечного сечения стержня представлены по зависимостям (2.1) и колебания совершаются вдоль высоты стержня, т. е. вдоль h. Для такого стержня
ω(x) = b0 hesx ,
I(x) = b0
(2.2)
h3 sx
e .
12
Из уравнений (1.4)–(1.6) можно исключить F, M и U2 :
∂U
− ωGkΘ − Fq ,
∂x
∂2Θ
∂
∂Θ
∂U
− Fq
ρI 2 − E
I
+ ωGkΘ = ωGk
∂t
∂x
∂x
∂x
F = ωGk
или
∂2Θ E ∂2Θ
Gk
Fq
E ∂Θ
Gk ∂U
+ 2Θ = 2
−
.
−
−s
∂t2
ρ ∂x2
ρ ∂x
ρr
ρr ∂x
ρI
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Новые аналитические решения начально-краевых задач
217
Исключив из уравнений (1.1), (1.4) и (1.5) функции F и U1 , получим
∂Θ
ρ ∂2U
∂2U
∂U
+ sΘ = −
.
(2.6)
+
+s
2
∂x
kG ∂t
∂x2
∂x
С целью исключения из уравнений (2.5) и (2.6) функции Θ(x, t)
введем дифференциальные операторы D1 и D2 следующего вида:
D1 =
∂2
E ∂2
Gk
E ∂
,
−
+ 2 −s
2
2
∂t
ρ ∂x
ρr
ρ ∂x
(2.7)
∂
+ s.
(2.8)
∂x
Применив оператор D2 к уравнению (2.5), а оператор D1 к уравнению (2.6), получим
Gk ∂U
Fq
−
D2 [D1 (Θ)] = D2
,
(2.9)
ρr2 ∂x
ρI
∂2U
∂U
ρ ∂2U
+
+
s
.
(2.10)
D1 [D2 (Θ)] = D1 −
kG ∂t2
∂x2
∂x
D2 =
Линейные операторы D1 и D2 коммутативны и в связи с этим
правые части выражений (2.9) и (2.10) равны
Gk ∂U
Fq
∂2U
∂U
ρ ∂2U
−
+
+
s
−
D2
=
D
. (2.11)
1
ρr2 ∂x
ρI
kG ∂t2
∂x2
∂x
Последнее выражение приводится к следующему виду
4
1
∂ U
1
1 ∂4U
∂3U
∂4U
−
+
+ 2 2 4 + 2s 3 −
2
2
4
2
2
∂x
c
c
∂x ∂t
c1 c2 ∂t
∂x
13 2
2
2
1
∂ U
∂ U
1
1 ∂ U
12e−sx
q(x, t),
−s 2 + 2
+ s2 2 + 2 2 2 =
2
c1
c2 ∂x∂t
∂x
c1 r ∂t
b0 h 3 E
(2.12)
где приняты те же обозначения, которые приведены в (1.11).
Полученное выражение (2.12) представляет собой обобщение
дифференциального уравнения С. П. Тимошенко для вынужденных
колебаний непризматического стержня, высота которого постоянна,
а ширина изменяется по экспоненциальной зависимости от продольной координаты. При допущении s = 0 выражение (2.12) совпадает
с уравнением (1.11).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Музаев Н. И., Вазиева Л. Т.
218
3. Одно парадоксальное свойство
дифференциального уравнения С. П. Тимошенко
Предположим, что на призматический стержень подействовала
бесконечно большая поперечная распределенная сила с конечным
импульсом, т. е.
π
q(x, t) = q̄0 δ(t, τ ) sin x,
(3.1)
L
где q̄0 = q0 τ — импульс, δ(t, τ ) — импульсивная функция Дирака
первого порядка:
1
при 0 < t < τ,
τ
δ(t, τ ) = lim
(3.2)
0 при t > τ, t < τ.
τ →0
В таких предположениях начально-краевая задача поперечных
колебаний стержня с шарнирно-заделанными концами запишется
следующим образом:
4
1
∂ U
∂4U
π
1
1 ∂4U
1 ∂2U
q¯0
δ(t, τ ) sin x,
−
+
+ 2 2 4 + 2 2 2 =
2
2
4
2
2
∂x
c1
c2 ∂x ∂t
c1 c2 ∂t
c1 r ∂t
EI
L
(3.3)
∂U
∂2U
∂3U
U=
=
=
= 0 при t = 0,
(3.4)
2
∂t
∂t
∂t3
∂2U
U=
= 0 при x = 0 и x = L.
(3.5)
∂x2
Решение дифференциального уравнения (3.3) с граничными
условиями (3.5) можно искать в следующем виде:
π
(3.6)
U (x, t) = V (t) sin x.
L
В результате подстановки (3.6) в (3.3) получим
2
2
2
4
d4 V
c2
d V
q̄0 2 2
2
2 π
2 2π
c c δ(t),
+
+
(c
+
c
)
+
c
c
1
2
1 2 4V =
4
2
2
2
dt
r
L
dt
L
EI 1 2
(3.7)
d2 V
d3 V
dV
=
=
= 0 при t = 0.
(3.8)
dt
dt2
dt3
В результате применения преобразования Лапласа по времени,
получим
V =
Ṽ (p) =
1
q̄0 2 2
2
c c δ(t)
.
c2
π4
π2
EI 1 2
2
4
p2 + c21 c22 L
p + r2 + (c1 + c22 ) L
2
4
(3.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Новые аналитические решения начально-краевых задач
219
Оригинал последнего выражения равен
q̄0 c21 c22
sin γ1 t sin γ2 t
V (t) =
−
,
EI(γ22 − γ12 )
γ1
γ2
γ1 =
c22
r2
γ2 =
2
π
+ (c21 + c22 ) L
2
−
2
c22
r2
2
;
2
< 2
< c2
π2
= r2 + (c21 + c22 ) L
2
π
+ (c21 + c22 ) L
2
+
2
4
− c21 c22
;
2
< 2
< c2
π2
= r2 + (c21 + c22 ) L
2
4
(3.10)
π4
,
L4
− c21 c22
(3.11)
π4
.
L4
Подставив выражение (3.10) в (3.6), получим решение начальнокраевой задачи (3.3)–(3.5) в следующем виде:
sin γ1 t sin γ2 t
π
q̄0 c21 c22
(3.12)
−
sin x.
U (x, t) =
EI(γ22 − γ12 )
γ1
γ2
L
Скорость и ускорения колебаний стержня равны
∂U (x, t)
q̄0 c21 c22
π
=
(cos γ1 t − cos γ2 t) sin x,
∂t
EI(γ22 − γ12 )
L
(3.13)
∂ 2 U (x, t)
q̄0 c21 c22
π
(γ1 sin γ1 t − γ2 sin γ2 t) sin x,
=
−
∂t2
EI(γ22 − γ12 )
L
(3.14)
∂ 3 U (x, t)
q̄0 c21 c22
π
(γ 2 cos γ1 t − γ22 cos γ2 t) sin x.
=
−
∂t3
EI(γ22 − γ12 ) 1
L
(3.15)
Переходя к пределу в выражениях (3.12)—(3.15), когда t = τ → 0,
получим
∂U (x, 0+)
= 0,
U (x, 0+) = 0,
∂t
(3.16)
∂ 2 U (x, 0+)
∂ 3 U (x, 0+)
q̄0 c21 c22
.
= 0,
=−
∂t2
∂t3
EI
Рассмотрим начально-краевую задачу (3.3)–(3.5) без учета инерции вращения и сдвиговых деформаций
∂4U
π
1 ∂2U
q̄0
δ(t) sin x,
+ 2 2 2 =
4
∂x
c1 r ∂t
EI
L
(3.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Музаев Н. И., Вазиева Л. Т.
220
∂U
= 0 при t = 0−,
∂t
∂2U
U=
= 0 при x = 0, L.
∂x2
Решение этой задачи имеет следующий вид:
π2
π
q̄0 c1 rL2
sin c1 r 2 t sin x.
U (x, t) =
EI π 2
L
L
U=
Скорости колебаний стержня в этом случае будут
∂U (x, t)
q̄0 2 2
π2
π
=
c1 r cos c1 r 2 t sin x
∂t
EI
L
L
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
при t = τ → 0+;
∂U (x, 0+)
q̄0 2 2
=
c r .
(3.22)
∂t
EI 1
На основании полученных выражений (3.16)–(3.22) можно сделать заключение о том, что при действии импульсивных сил учет
инерции вращения и сдвиговых деформаций устраняет разрыв скорости. Этот разрыв переносится на производную третьего порядка по времени. Такое парадоксальное свойство дифференциального уравнения (1.11) обусловлено тем, что в постулате (1.4), впервые
принятом С. П. Тимошенко, с физической точки зрения неадекватно
отражены связи между сдвиговой деформацией поперечной силы и
изгибом стержня.
4. Аналитический метод решения
начально-краевых задач поперечных колебаний
Предположим, что на стержень действует сосредоточенная в точке x0 сила F (t). В данном случае поперечные колебания стержня
моделируются контактной начально-краевой задачей:
4
1
∂ U1
∂ 4 U1
1
1 ∂ 4 U1
∂ 3 U1
−
+
+
+
2s
−
2
2
2
2
∂x4
c1
c2 ∂x2 ∂t2
c1 c2 ∂t4
∂x3
(4.1)
3
2
1
∂ U1
1
12 ∂ 2 U1
2 ∂ U1
−s 2 + 2
+s
+ 2 2
=0
c1
c2 ∂x∂t2
∂x2
h c1 ∂t2
при 0 < x < x0 ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Новые аналитические решения начально-краевых задач
4
1
∂ U2
∂ 4 U2
1
1 ∂ 4 U2
∂ 3 U2
−
+
+ 2 2
+ 2s
−
2
2
4
2
2
4
∂x
c1
c2 ∂x ∂t
c1 c2 ∂t
∂x3
3
2
1
∂ U2
1
12 ∂ 2 U2
2 ∂ U2
+
s
+
=0
−s 2 + 2
c1
c2 ∂x∂t2
∂x2
h2 c21 ∂t2
221
(4.2)
при x0 < x < L;
U1 =
∂ 2 U1
∂U1
∂ 3 U1
=
=
= 0 при
∂t
∂t2
∂t3
t = 0,
(4.3)
∂ 2 U2
∂U2
∂ 3 U2
=
=
= 0 при t = 0,
(4.4)
2
∂t
∂t
∂t3
∂ 2 U1 U1 = 0,
= 0,
(4.5)
∂x2 x=0
x=0
∂U1 ∂U2 U1 = U2 ,
=
,
(4.6)
∂x x=0
∂x x=0
x=0
x=x0
2 2 − EF
∂ 2 U2 ∂
∂
∂ U1 ∂ U2 =
,
=
,
I
I
∂x2 x=x0
∂x
∂x2 x=x0
∂x
∂x2 x=x0
(4.7)
=0
=0
∂ 2 U2 ,
.
(4.8)
U2 ∂x2 x=L
U2 =
∂ 2 U1 ∂x2 x=x0
x=L
В такой классической постановке решение контактной задачи
связано с некоторыми математическими трудностями, которые возникают при вычислении оригиналов при использовании методов операционного исчисления.
Авторами разработан аналитический метод решения поставленной выше начально-краевой задачи.
Сначала рассредоточим силу F (t) на бесконечно малой окрестности (x0 − ε; x0 + ε) точки x0
F (t) ∗
при x0 − ε < x < x0 + ε,
2ε ϕ (x)
q(x, t) =
(4.9)
0
при x < x0 − ε и x > x0 + ε,
где ϕ∗ (x) — некоторая нормирующая функция, которая подбирается
так, чтобы выполнялись следующие условия:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Музаев Н. И., Вазиева Л. Т.
222
1. является дважды дифференцируемой функцией в промежутке
[x0 − ε; x0 + ε];
2. значения функции ϕ∗ и ее производных до второго порядка
включительно в точках x1 = x0 − ε и x2 = x0 + ε равны нулю;
x0+ε
ϕ∗ (x)dx = 2ε.
3.
x0 −ε
Наглядным примером такой функции является:
ϕ∗ (x) = 2ε x
cos3
0 +ε
x0 −ε
π
2ε (x
− x0 )
π
cos3 2ε
(x
.
(4.11)
− x0 )dx
Легко заметить, что при выполнении вышеперечисленных трех
условий сконструированная функция q(x, t) является дважды дифференцируемой по переменной x.
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня
будет иметь следующий вид:
4
1
∂ U
∂4U
1
1 ∂4U
∂3U
−
+
+
+
2s
−
2
2
2
2
∂x4
c1
c2 ∂x2 ∂t2
c1 c2 ∂t4
∂x3
(4.12)
3
2
1
∂ U
1
12 ∂ 2 U
12e−sx
2∂ U
−s 2 + 2
+
s
+
=
q(x,
t).
c1
c2 ∂x∂t2
∂x2
h2 c21 ∂t2
c21 h3 ρb0
Начальные и краевые условия запишутся следующим образом:
∂2U
∂3U
∂U
=
=
= 0 при t = 0,
∂t
∂t2
∂t3
U
= 0,
U
= 0,
x=0
x=L
∂ 2 U ∂ 2 U =
0,
= 0.
∂x2 x=0
∂x2 x=L
В результате применения подстановки
U=
s
U (x, t) = V (x, t)e− 2 x ,
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
начально-краевая задача (4.12)–(4.15) относительно функции V (x, t)
запишется так:
4
1
∂ V
1
1 ∂4V
s2 ∂ 2 V
∂4V
−
+
+ 2 2 4 −
+
2
2
4
2
2
∂x
c1
c2 ∂x ∂t
c1 c2 ∂t
2 ∂x2
(4.17)
−s
1
12 ∂ 2 V
12q
1 s2
s4
2 x,
+
+
V
=
+
+
e
c21
c22 4
h2 c21 ∂t2
16
c21 h3 ρb0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Новые аналитические решения начально-краевых задач
V =
223
∂2V
∂V
∂3V
=
=
= 0 при t = 0,
2
∂t
∂t
∂t3
= 0,
V
= 0,
V
x=0
∂2V
s2
∂V
+
V
−
s
∂x2
∂x
4
= 0,
x=0
x=L
∂2V
s2
∂V
+
V
−
s
∂x2
∂x
4
(4.18)
(4.19)
= 0.
x=L
(4.20)
Введем функцию Φ(x, t) и дифференциальный оператор D:
∂2V
s2
∂V
+
V,
−
s
∂x2
∂x
4
1
∂4
∂4
1
s2 ∂ 2
D=
−
+
−
+
2
2
4
2
2
∂x
c1
c2 ∂x ∂t
2 ∂x2
2
1
∂
12
1 ∂4
1 s2
s4
+ 2 2
.
+ 2 2 4+
+ 2
+
2
c1 c2 ∂t
c1
c2 4
h c1 ∂t2
16
Φ(x, t) =
(4.21)
(4.22)
Относительно функции Φ(x, t) начально-краевая задача (4.17)–(4.20)
запишется так
4
∂4Φ
1
∂ Φ
1
1 ∂ 4 Φ s2 ∂ 2 Φ
−
+ 2
+ 2 2 4 −
+
2
4
2
2
∂x
c
c2 ∂x ∂t
c1 c2 ∂t
2 ∂x2
1
2
2
1
12 ∂ Φ
1 s
s4
(4.23)
+
+ 2 2
Φ=
+ 2
+
2
c1
c2 4
h c ∂t2
16
2 1
s
∂ q
12
∂q
= e− 2 x 2 3
+ s2 q ,
− 2s
c1 h ρb0 ∂x2
∂x
Φ=
∂2Φ
∂Φ
∂3Φ
=
=
= 0 при
∂t
∂t2
∂t3
t = 0,
(4.24)
V |x=0 = 0,
V |x=L = 0,
(4.25)
Φ |x=0 = 0,
Φ |x=L = 0.
(4.26)
Решение дифференциального уравнения (4.23) будем искать в виде следующего тригонометрического ряда:
Φ(x, t) =
∞
n=1
Φn (t) sin
nπ
x.
L
(4.27)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Музаев Н. И., Вазиева Л. Т.
224
Легко заметить, что выражение (4.27) автоматически удовлетворяет граничным условиям (4.26). Разложим правую часть выражения
(4.23) в ряд Фурье по синусам
− 2s x
e
∂ 2 q(x, t)
∂q
+ s2 q
− 2s
2
∂x
∂x
=
∞
αn (t) sin
n=1
nπ
x,
L
(4.28)
где
2
αn =
L
L
− 2s x
e
0
∂ 2 q(x, t)
∂q
2
+ s q sin an xdx,
− 2s
∂x2
∂x
an =
nπ
.
L
(4.29)
Подставив выражения (4.27) и (4.29) в дифференциальное уравнение (4.23), получим
d4 Φn
s2
12c22 d2 Φn
2
2
2
+ (c1 + c2 ) an +
+
+ 2
dt4
4
h
dt2
(4.30)
2
s2
2 2
2
2 2 12
Φn = c1 c2
αn
+c1 c2 an +
4
b0 Eh3
с нулевыми начальными условиями.
В результате применения преобразования Лапласа
+∞
Φn (t)e−pt dt,
Φ̃n (p) =
(4.31)
0
Φ̃n (p) = c21 c22
12
α̃n
,
2
3
2
b0 Eh (p + p1 )(p2 + p22 )
(4.32)
где
p1 = λ1,n ,
λ1,n =
>
1
+
2
p2 = λ2,n ,
2
2
12c2
(c1 + c22 ) a2n + s4 + h22
(4.33)
2
+
12
2 2
2
2
s
s
12c
2
− 4c21 c22 a2n +
,
(c21 + c22 ) a2n +
+ 2
4
h
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Новые аналитические решения начально-краевых задач
λ2,n =
>
1
−
2
(c21 + c22 ) a2n +
2
s
4
2
+
12c22
h2
225
−
2
12
s2
s2
12c22
2
2
2
2
2
2
− 4c1 c2 an +
.
(c1 + c2 ) an +
+ 2
4
h
4
Теперь рассмотрим два частных случая.
1. F (t) — постоянная сила
F (t) = F0 = const .
Для этого случая
α̃n =
Φ̃n (p) = c21 c22
αn
,
p
(4.34)
(4.35)
p1
p2
1
12αn
−
.
2
2
2
3
2
2
b0 Eh p1 p(p + p1 ) p2 p(p + p2 ) p2 − p21
Оригинал изображения (4.36) имеет следующий вид:
c2 c2 12αn
p21 cos p2 t − p22 cos p1 t
Φn (t) = 12 22
1
−
.
p1 p2 b0 Eh3
p21 − p22
(4.36)
(4.37)
Подставив выражение (4.37) в (4.27), получим
∞
αn
p21 cos p2 t − p22 cos p1 t
nπ
2 2 12
x.
Φ(x, t) = c1 c2
1−
sin
b0 Eh3 n=1 p21 p22
p21 − p22
L
(4.38)
При известной функции Φ(x, t) выражение (4.21) можно рассмотреть как обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции V (x, t). Его решение с нулевыми граничными условиями (4.19) имеет следующий вид:
∞
san Φn (t)
+
s2 2
2
n=1 an + 4
∞
∞
s
(−1)n san Φn (t)
x − s x san Φn (t)
−
L
+ e 2
+
−e 2
2 2
s2 2
L
2
a2n + s4
n=1 an + 4
n=1
∞
Φn (t)
s2
2
+
san cos an x − an − 4 sin an x . (4.39)
s2 2
2
n=1 a +
s
V (x, t) = e− 2 x
n
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Музаев Н. И., Вазиева Л. Т.
226
Искомая функция U (x, t) определяется из выражения (4.16)
∞
∞
san Φn (t)
x san Φn (t)
+
−
s2 2
L n=1 a2 + s2 2
2
n=1 an + 4
n
4
∞
∞
n
s
s
(−1)
sa
Φ
(t)
Φn (t)
n n
− e− 2 L
+ e− 2 x
×
2 2
s
s2 2
2
a2n + 4
n=1
n=1 an + 4
s2
2
× san cos an x − an −
sin an x .
4
U (x, t) = −
(4.40)
Вычислим коэффициенты Фурье α̃n по формуле
α̃n =
2
=
L
L
2
L
s
e− 2 x
0
x0 +ε
− 2s x
e
x0 −ε
∂ 2 q(x)
∂q
2
+
s
−
2s
q
sin an xdx =
∂x2
∂x
∂ 2 q(x)
∂q
2
+ s q sin an xdx.
− 2s
∂x2
∂x
(4.41)
Дважды интегрируя по частям выражение (4.41) имеем:
2
α̃n =
L
x0 +ε
− 2s x
e
x0 −ε
q(x) −san cos an x +
s2
2
− an sin an x dx. (4.42)
4
Подставив выражение (4.9) в (4.41) и переходя к пределу при
ε → 0, получим:
2
s
2 ¯ − s x0
2
2
− an sin an x0 ,
lim α̃n = F0 e
−san cos an x0 +
ε→0
L
4
2
s2
c21 c22 ,
p21 p22 = a2n +
4
(4.43)
;
2
<
2
2
<
s2
12K G
s2
=
2
2
2
2
2
2
p1 − p 2 =
(c1 + c2 ) +
− 4 an +
c21 c22 .
an +
4
ρh2
4
(4.44)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Новые аналитические решения начально-краевых задач
227
Для призматического стержня, когда сосредоточенная сила приложена в середине, вышеприведенные выражения упрощаются и
принимают следующий вид:
s = 0,
x0 =
p21
−
L
,
2
p22
2
nπ
αn = − F̄0 a2n sin
,
L
2
>
a2n c21 c22
=
12K G
+
ρh2
2
p21 p22 = a4n c21 c22 ,
− 4a2n c21 c22 ,
(4.45)
∞ nπ
24F0 p21 cos p2 t − p22 cos p1 t sin nπ
2 x sin 2 x
U (x, t) =
.
1
−
b0 LEh3 n=1
p21 − p22
a4n
(4.46)
2. Теперь рассмотрим случай, когда на участке x0 −ε < x < x0 +ε
приложена нагрузка F (x, t), имеющая импульсный характер:
¯
F0 (t)
ϕ(x) при 0 < t < τ,
τ
q(x, t) =
(4.47)
0
при t 0 и t τ.
Очевидно, что при τ → 0 функция F (x, t) выражается через импульсивную функцию Дирака
F (x, t) = F¯0 ϕ(x)δ(t).
(4.48)
В этом случае коэффициенты Фурье вычисляются так
α̃n =
s2
− a2n
4
2
−san
L
2
L
x0 +ε
x0 +ε
s
e− 2 x q(x) sin an xdx−
x0 −ε
− 2s x
e
(4.49)
q(x) cos an xdx.
x0 −ε
Оригинал Φn˜(p) в этом случае получается в следующем виде:
1
12αn sin p1 t sin p2 t
Φn (t) = c21 c22
−
.
(4.50)
Eh3 b0
p1
p2
p21 − p22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Музаев Н. И., Вазиева Л. Т.
228
При s = 0
U (x, t) = c21 c22
∞
12F¯0 sin an x0 sin p1 t sin p2 t
−
sin an x, (4.51)
LEh3 b0 n=1 p22 − p21
p1
p2
где F¯0 — импульс силы F0 , F¯0 = F0 τ .
Предположим, что поперечная нагрузка на стержне задана синусоидой с одной полуволной
F (x, t) = F0 δ(t) sin
π
x.
L
(4.52)
В этом случае выражения (4.49) и (4.51) сильно упрощаются и
функция U (x, t) получается в конечном виде
c21 c22
12F¯0
U (x, t) =
Eh3 b0 p22,1 − p21,1
sin(p1,1 t) sin(p2,1 t)
−
p1,1
p2,1
sin
π
x,
L
(4.53)
где p1,1 = p1 при n = 1, p2,1 = p2 при n = 1. Размерность F¯0 будет н·с
м .
Выражение (4.53) представляет собой решение начально-краевой
задачи поперечных колебаний призматического стержня, когда импульсивная нагрузка распределена по длине стержня по синусоидальному закону с одной полуволной.
В том случае, когда поперечная нагрузка на непризматическом
стержне не зависит от времени и ее изменение по продольной координате имеет вид
s
π
(4.54)
q(x) = q0 e 2 x sin x,
L
выражения (4.40) и (4.41) сильно упрощаются и принимают следующий вид:
12α1 c21 c22
p21 cos p2 t − p22 cos p1 t
π x
−
U (x, t) =
1−
s
2
2
2
2
3
Eh b0 p1 p2
p1 − p2
L L
(4.55)
2
π
π
s2
π
π
− 2s L
− 2s L
−1 + e
,
−
+e
s cos x −
sin x
L
L
L2
4
L
где
α1 =
4q0
π
s2
π2
− 2
4
L
αn = 0 при n > 1.
(4.56)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Новые аналитические решения начально-краевых задач
229
Литература
1. Филиппов И. Г., Ширинкулов Т. Ш., Мирзакабилов С. М. Нестационарные
колебания линейных упругих и вязкоупругих сред.—Ташкент: ФАН.—1979.—
233 с.
2. Уфлянд Я. С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней
и пластин // Прикладная механика.—1948.—Т. 12.—С. 287–300.
3. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний.—М.: Высшая школа,
1980.—407 с.
Институт прикладной математики и
информатики ВНЦ РАН (Владикавказ, Россия)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 532.546
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭВОЛЮЦИИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЕЙ
В КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНОМ ГРУНТЕ1
В. Ф. Пивень
Поставлена трехмерная (двумерная) задача эволюции границы раздела жидкостей различных вязкостей и плотностей в кусочно-неоднородном грунте,
которая решена методом потенциала двойного слоя.
1. Рассмотрим трехмерную (двумерную) нестационарную фильтрацию несжимаемой жидкости в недеформируемом грунте проницаемости K(M ) (тонком пласте грунта проводимости P =
K(M )H(M ), H(M ) — его толщина). Проницаемость K(M ) (проводимость P (M )) — моделируется хотя бы один раз непрерывно дифференцируемой функцией координат точки M пространства (плоскости
основания пласта). Течение описываем квазипотенциалом ϕ(M, t),
который как функция точки M и времени t удовлетворяет всюду в
области D, за исключением его сингулярных (особых) точек, уравнению [1]
∇ · [A(M )∇ϕ(M, t)] = 0, M ∈ D.
(1.1)
Здесь ∇ — оператор Гамильтона, A(M ) = K(M ) — в трехмерном и
A(M ) = P (M ) — двумерном случаях.
Уравнение (1.1) записано в безразмерных величинах. Квазипотенциал ϕ(M, t) связан с давлением и потенциалом массовой силы
Π(M, t) равенством
ϕ(M, t) = −[p(M, t) + ρΠ(M, t)]/µ,
µ и ρ — вязкость и плотность жидкости.
Пусть грунт кусочно-неоднороден и в сопрягающихся на гладкой поверхности (кривой — в двумерном случае) Γ областях D1 и D2
(D = D1 ∪D2 ) его коэффициенты проницаемости — K1 (M ) и K2 (M ),
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 06-01-96303) и Федерального агентства по
образованию РФ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование эволюции границы раздела
231
причем Kν (M ) = kν K(M ) (kν — постоянные, ν = 1, 2). В двумерном
случае проводимость пласта — P1 (M ) и P2 (M ) в областях D1 и D2 ,
причем Pν (M ) = kν P (M ), ν = 1, 2, P (M ) = K(M )H(M ) — непрерывная функция M , в том числе на граничной кривой Γ.
В области D фильтруются две жидкости. Пусть жидкость вязкости µ2 и плотности ρ2 занимает область dt , ограниченную подвижной
замкнутой поверхностью (кривой — в двумерном случае) Γt , а жидкость вязкости µ1 и плотности ρ1 — вне этой поверхности (кривой)
в области D \ dt . Причем границы Γ и Γt могут пересекаться.
Полагаем, что при движении одна жидкость полностью замещает
другую («поршневое» вытеснение) и в каждый момент времени их
границу раздела Γt можно моделировать гладкой поверхностью (линией) в параметрической форме: r M = r M (t, S1 , S2 ), M ∈ Γt , где S1
и S2 — параметры (S1 = S2 = S в двумерном случае). Считаем, что
в начальный момент времени t = 0 граница Γt известна (Γt = Γ0 ):
r 0 = r M (0, S1 , S2 ),
M ∈ Γ,
(1.2)
где S1 = S2 = S в двумерном случае.
Течение обусловлено заданными источниками (стоками), которые моделируем сингулярными точками квазипотенциала ϕ0 (M, t)
однородной жидкости вязкости µ = 1 и плотности ρ = 1 в грунте
проницаемости K (проводимости P). Учтем эти источники (стоки) и
квазипотенциалы течения ϕ1 (M, t) и ϕ2 (M, t) в областях D1 и D2 и
запишем
ϕν (M, t) =
ϕ0 (M, t) + ϕ∗ (M, t)
, M ∈ Dν , ν = 1, 2.
kν
(1.3)
Здесь ϕ∗ (M, t) — квазипотенциал возмущений, обусловленных различием проницаемостей (проводимостей) грунта, вязкостей и плотностей жидкостей.
На границах Γ и Γt выполняются условия непрерывности давления (на Γt капиллярными силами пренебрегаем) и расхода жидкостей, которые с учетом (1.3) запишем для ϕ∗ (M, t) [1, 2]:
−
(1 − λk )ϕ+
∗ (M, t) − (1 + λk )ϕ∗ (M, t) = 2λk ϕ0 (M, t),
+ − (1.4)
∂ϕ∗ (M, t)
∂ϕ∗ (M, t)
k1 − k2
=
λk =
, M ∈ Γ,
∂nM
∂nM
k1 + k2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пивень В. Ф.
232
(1 −
λµ )ϕ+
∗ (M, t)
− (1 +
λµ )ϕ−
∗ (M, t)
+ = 2[λµ ϕ0 (M, t) + αΠ(M, t)],
−
∂ϕ∗ (M, t)
∂ϕ∗ (M, t)
=
,
∂nM
∂nM
µ2 − µ1
ρ2 − ρ1
, α=
, M ∈ Γt .
λµ =
µ2 + µ1
µ2 + µ1
(1.5)
Здесь nM — орт нормали, направленный в область D1 , если M ∈ Γ и
наружу области dt , если M ∈ Γt ; «+» («−») — обозначены предельные значения соответствующих функций при подходе к границам
Γ и Γt со стороны (противоположной стороны) направления nM к
этим границам.
На ограничивающей область D сингулярной поверхности (линии)
σ0 = σ01 ∪ σ02 , где проницаемость K(M ) = ∞ (проводимость пласта P (M ) = ∞, его толщина H(M ) — конечна) — граница σ01 и
K(M ) = 0 (P (M ) = 0) — граница σ02 , квазипотенциал ϕ∗ (M, t) удовлетворяет условиям [1]
+
∂ϕ∗ (M, t)
ϕ+
(M,
t)
=
0,
M
∈
σ
;
A(M
)
= 0, M ∈ σ02 , (1.6)
01
∗
∂nM
где орт nM направлен внутрь области D. При этом полагаем, что
ϕ0 (M, t) также удовлетворяет условиям (1.6).
Если область D содержит бесконечно удаленную точку, то для
единственности решения задачи потребуем выполнения для ϕ∗ (M, t)
условий [2]
−1
−2
ϕ∗ (M, t) = O(rM
N ), A(M )|∇ϕ∗ (M, t)| = O(rM N ),
rM N → ∞,
(1.7)
где rM N — расстояние между точками M ∈ D и N ∈ Γ ∪ Γt .
Учитывая непрерывность K(M ) и ∇ϕ∗ (M, t) на границе Γt , имеем векторное дифференциальное уравнение ее движения [1]
dr M
(∇ϕ(M, t))+ + (∇ϕ(M, t))−
= K(M ) ∇ϕ0 (M, t) +
, M ∈ Γt .
dt
2
(1.8)
Таким образом, чтобы исследовать эволюцию границы Γt в
кусочно-неоднородном грунте (найти ее положения в моменты времени t > 0), необходимо решать относительно квазипотенциала
ϕ∗ (M, t) и координат r M границы Γt систему уравнений (1.1), (1.8)
при условиях (1.2), (1.4)–(1.7).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование эволюции границы раздела
233
2. Квазипотенциал ϕ∗ (M, t) ищем в виде потенциалов двойных
слоев, непрерывно распределенных с плотностями f (N, t) и g(N, t)
на границах Γ и Γt :
∂Φ1 (M, N )
ϕ∗ (M, t) =
f (N, t)A(N )
dσN +
∂nN
Γ
(2.1)
∂Φ1 (M, N )
+
g(N, t)A(N )
dσN , M ∈ D.
∂nN
Γt
Здесь Φ1 (M, N ) — фундаментальное решение уравнения (1.1) (первое фундаментальное решение — в двумерном случае). Полагаем,
что оно удовлетворяет условиям (1.6) и (1.7).
Непрерывно продолжая квазипотенциал (2.1) на границы Γ и Γt ,
получаем согласно [1] его предельные значения
ϕ±
∗ (M, t) ±
∗ (M, t) = ϕ
f (M, t)
,
2
M ∈ Γ,
(2.2)
g(M, t)
, M ∈ Γt .
(2.3)
2
Здесь ϕ
∗ (M, t) — прямые значения квазипотенциала (2.1) на границах Γ и Γt . Причем интегралы по Γ в (2.2) и по Γt в (2.3) понимаются
в смысле главного значения по Коши.
Учитывая (2.2) и (2.3) и непрерывность производной квазипотенциала (2.1) по нормали к границам Γ и Γt , имеем из условий (1.4),
(1.5) неоднородные интегральные уравнения второго рода
ϕ±
∗ (M, t) ±
∗ (M, t) = ϕ
f (M, t)
∂Φ1 (M, N )
− λk
f (N, t)A(N )
dσN +
2
∂nN
Γ
∂Φ1 (M, N )
g(N, t)A(N )
dσN = λk ϕ0 (M, t),
+
∂nN
Γt
g(M, t)
− λµ
2
M ∈ Γ, (2.4)
∂Φ1 (M, N )
f (N, t)A(N )
dσN +
∂nN
Γ
∂Φ1 (M, N )
g(N, t)A(N )
dσN =
+
∂nN
Γt
= λµ ϕ0 (M, t) + αΠ(M, t),
M ∈ Γt . (2.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пивень В. Ф.
234
Если границы Γ и Γt (в любой момент времени t 0) моделировать поверхностями (кривыми) класса Ляпунова, то уравнения (2.4)
и (2.5) являются слабо сингулярными (типа Фредгольма).
Чтобы записать дифференциальные уравнения границы Γt (1.8),
необходимо знать предельные значения (∇ϕ∗ (M, t))± на ней, которые различны в двумерном и трехмерном случаях. Укажем значения
(∇ϕ∗ (M, t))± на Γt .
В двумерном случае первое Φ1 (M, N ) и второе Φ2 (M, N ) фундаментальные решения уравнения (1.1) связаны равенством [3]
∂Φ1 (M, N )
1 ∂Φ2 (M, N )
=−
,
∂nN
P (N )
∂σN
M ∈ D,
N ∈ Γ ∪ Γt .
(2.6)
Учитывая (2.6), вычислим по частям интеграл по границе Γt в (2.1),
принимая во внимание замкнутость этой границы. Находим
∂g(N, t)
∂Φ1 (M, N )
g(N, t)P (N )
dσN =
Φ2 (M, N ) dσN , M ∈ D.
∂n
∂σN
N
Γt
Γt
(2.7)
Аналогично, если в этом есть надобность, можно выразить в (2.1)
интеграл по границе Γ через Φ2 (M, N ), используя равенство (2.6).
Принимая во внимание (2.7), найдем оператор Гамильтона по координатам точки M от (2.1):
∂V 1 (M, N )
f (N, t)P (N )
dσN +
∇M ϕ∗ (M, t) =
∂nN
Γ
(2.8)
∂g(N, t)
+
V 2 (M, N ) dσN , M ∈ D,
∂σN
Γt
V 1 (M, N ) = ∇M Φ1 (M, N ),
∂Ψ2 (M, N )
1
∂Ψ2 (M, N )
i−
j ,
V 2 (M, N ) = ∇M Φ2 (M, N ) =
P (M )
∂yM
∂yM
где V 1 (M, N ), V 2 (M, N ) — приведенные скорости нормированного
стока и вихря, Ψ2 (M, N ) — функция тока этого вихря, сопряженная
Φ2 (M, N ).
Тогда согласно [4] имеем предельные значения (2.8):
∂V 1 (M, N )
f (N, t)P (N )
dσN +
(∇M ϕ∗ (M, t))± =
∂nN
Γ
∂g(N, t)
∂g(M, t)
+
V 2 (M, N ) dσN ±
τ M , M ∈ Γt ,
∂σN
∂σM
Γt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование эволюции границы раздела
235
где τ M — орт касательной границы Γt , интеграл по Γt понимается
в смысле главного значения по Коши. Следовательно, дифференциальное уравнение (1.8) принимает вид
∂V 1
dr M
= K(M ) ∇ϕ0 (M, t) + f (N, t)P (N )
dσN +
dt
∂nN
Γ
(2.9)
∂g(N, t)
V 2 (M, N )dσN , M ∈ Γt .
+
∂σN
Γt
В трехмерном случае значения (∇ϕ∗ (M, t))± , M ∈ Γt , зависят от
проницаемости грунта K(M ) и найдены в [1]. В этом случае дифференциальное уравнение (1.8) принимает вид
∂∇M Φ1 (M, N )
dr M
= K(M ) ∇ϕ0 (M, t) + f (N, t)K(N )
dσN +
dt
∂nN
Γ
∇M G(M, N )
∂
+ K(M )
g(N, t)K(N )
dσN −
∂nN
K(N )
Γt
g(N, t) K(N )F (M, N )nN dσN +
−β 2
Γt
N (g(N, t) K(N )) dσN −
∇M F (M, N ) × nN × ∇
+
Γt
∂ K(N )
g(N, t)
∇M F (M, N )dσN −
−
∂nN
Γt
∂Φ1 (M, N )
−∇ K(M )
g(N, t)K(N )
dσN , M ∈ Γt .
∂nN
Γt
(2.10)
N — поверхностный оператор Гамильтона по координатам
Здесь ∇
точки N ∈ Γ и учтено, что фундаментальное решение Φ1 (M, N ) можно представить в виде
F (M, N ) + G(M, N )
,
K(M )K(N )
где F (M, N ) и G(M,
N ) определяются видом K(M ): F(M, N ) =
= 1/(4πR), если K(M ) — гармоническая
функция (∆ K(M ) =
= 0); F (M, N ) = e−βR /(4πR), если K(M ) — метагармоническая
Φ1 (M, N ) =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пивень В. Ф.
236
функция (т. е. удовлетворяет уравнению ∆ K(M ) − β 2 K(M ) = 0,
β 2 = const > 0), R — расстояние между точками M и N .
В уравнении (2.10) последние три интеграла понимаются в смысле главного значения по Коши.
Таким образом, исследование эволюции границы Γt сводится к
решению системы уравнений (2.4), (2.5) и (2.9) (в двумерном), (2.10)
(в трехмерном) случаях при начальном условии (1.2). Необходимые
для этого фундаментальные решения уравнения (1.1) получены в [5].
В частности, когда граница Γ имеет канонический вид, определяемый законом изменения проницаемости K(M ) (проводимости
P (M )), то эту границу можно учесть надлежащим выбором фундаментального решения Φ1 (M, N ). В этом случае надобность в уравнении (2.4) отпадает (f (M, t) = 0).
Литература
1. Пивень В. Ф. Решение трехмерной задачи эволюции границы раздела жидкостей в неоднородной среде методом поверхностных потенциалов // Вестник науки. Сборник научных работ физ.-мат. факультета ОГУ.—Орел: ОГУ,
2005.—Вып. 4.—С. 135–141.
2. Пивень В. Ф. Единственность решения граничных задач сопряжения физических процессов в неоднородной среде // Труды X Международного симпозиума «МДОЗМФ».—Херсон, 2001.—С. 265–269.
3. Пивень В. Ф. Сведение граничной задачи сопряжения обобщенных аналитических функций к интегральному уравнению // Диф. уравнения.—1999.—
Т. 35, № 9.—С. 1194–1196.
4. Пивень В. Ф. Интегральное и интегро-дифференциальные уравнения двумерной задачи сопряжения поля скоростей на нестационарной границе //
Диф. уравнения.—2002.—Т. 38, № 12.—С. 1705–1710.
5. Пивень В. Ф. Фундаментальные решения уравнений физических процессов, протекающих в неоднородных средах // Труды Международных школсеминаров «МДОЗМФ».—Орел: ОГУ, 2004.—Вып. 3.—С. 43–53.
Орловский государственный университет (Орел, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.984
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЗАИЛЕНИЯ
ПОДВОДНЫХ СУДОХОДНЫХ КАНАЛОВ1
А. Л. Чикин, С. Г. Сидиропуло
Построена математическая модель процесса взмучивания-оседания ила
в прямолинейном подводном судоходном канале. Процесс взмучиванияоседания и переноса взвеси описывается трехмерным уравнением конвекциидиффузии с соответствующими граничными условиями. Течение воды задается действием гребного винта судна за счет эффекта скольжения и определяется формулами для свободной затопленной струи.
Введение
Подводные судоходные каналы сооружаются для возможности
подхода судов к портам в мелководных районах судоходных водоемов. В Таганрогском заливе Азовского моря такие каналы прорыты
для подвода судов к портам Ейска, Таганрога и к устью реки Дон.
В процессе эксплуатации данные каналы заиливаются и требуют
регулярного очищения. Процесс заиления может происходить как за
счет ветровых течений, так и за счет движения самих судов. При
работе гребного винта за судном образуется затопленная свободная
струя из-за так называемого эффекта скольжения, когда теоретическая скорость винта Hn отличается от скорости a0 его фактического
перемещения относительно потока воды. Разность Hn − a0 , называемая скольжением, обуславливает работу лопасти винта под углом
атаки α к потоку воды, имеющему скорость U0 . Отношение скольжения к теоретической скорости винта в процентах называется относительным скольжением: s = (Hn − a0 )/Hn . Максимальной величины
(100%) скольжение достигает при работе винта на судне, пришвартованном к берегу. Наименьшее скольжение (8–15%) имеют винты
легких гоночных мотолодок на полном ходу.
Процесс эрозии дна инициируется не только ветровым течением
воды, но и струей воды, отбрасываемой гребным винтом корабля.
При этом сам корабль совершает движение вдоль исследуемого канала.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 06-01-00038-а, № 05-01-00096-а.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
238
Чикин А. Л., Сидиропуло С. Г.
1. Постановка задачи
Рассмотрим судоходный канал со слоем ила толщины δ (рис. 1).
По данному каналу движется судно со скоростью a0 . Винт корабля из-за эффекта скольжения выбрасывает свободную затопленную
струю воды со скоростью u. Выброшенная струя, достигнув слоя ила,
взмучивает его и перемещает. В зависимости от величины скорости
потока в канале возможны процессы как размывания или эрозии
(Eb ), так и оседания (Db ). Кроме того, в перемещении взвеси участвует и ветровое течение самой воды в канале с вектором скорости
V̄ = (u, v, w).
Рис. 1. Схема переноса ила в потоке.
Так как исследуемая область включает в себя и мелководный
район и сам канал, где глубина значительно больше средней глубины мелководья, то при расчете ветрового течения будем учитывать
такую большую неоднородность глубин [3]. Проведем горизонтальную секущую плоскость P , отстоящую от невозмущенной поверхности водоема на глубине, равной максимальной глубине мелководья,
и разобьем всю область моделирования на два слоя: верхний — I и
нижний слой — II. Таким образом, I — все мелководье и верхняя
часть глубоководного слоя, II — глубоководный слой.
Предполагается, что на движение воды в слое I влияет ветер, а
движение в слое II инициируется как градиентами давления, так и
движением слоя I.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель процесса заиления
239
Систему координат выберем следующим образом. Плоскость
XOY совместим с невозмущенной поверхностью водоема P0 , ось OZ
направим вверх.
Движение воды в рассматриваемом водоеме описывается системой, состоящей из уравнений количества движения и уравнения
неразрывности среды [2]:
∂u
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
+u
+v
+w
− Ωv = −
+ νxy
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂v
∂v
∂v
1 ∂p
∂v
+u +v +w +Ωu = −
+νxy
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂y
∂2u
∂2u
+
2
∂x
∂y 2
+
∂
∂z
νz
∂u
∂z
,
(1)
∂2v
∂v
∂2v
∂
+
ν
, (2)
+
z
∂x2
∂y 2
∂z
∂z
∂v
∂w
∂u
+
+
= 0.
∂x
∂y
∂z
(3)
К системе уравнений (1)–(3) добавляется уравнение гидростатического давления
p = gρ (ζ − z) + pa .
(4)
В (1)–(3) и (4) u, v, w — компоненты скорости; x, y, z, t — пространственные переменные и время соответственно; ζ — возмущение
уровня воды; pa — атмосферное давление; Ω — коэффициент Кориолиса; νxy , νz — коэффициенты горизонтальной и вертикальной вязкости соответственно; ρ — плотность воды; g = 9,8 м/с2 — ускорение
силы тяжести. Считаем, что слой I достаточно мелкий (значения
возможных возмущений уровня воды и глубины слоя близки), а u
и v не зависят от z. Проинтегрируем систему (1)–(3) по вертикали
от −h(x, y) до ζ(x, y, t), где h(x, y) — нижняя поверхность слоя I. В
результате получим уравнения мелкой воды:
∂us
∂us
∂us
∂ζ
+ us
+ vs
− Ωvs = −g
+ νxy
∂t
∂x
∂y
∂x
∂ 2 us
∂ 2 us
+
∂x2
∂y 2
+
τsx τbx
−
, (5)
H
H
2
∂ vs
∂vs
∂vs
∂ζ
∂ 2 vs
∂vs
τsy τby
+
+ us
+ vs
+ Ωus = −g
+ νxy
−
, (6)
+
∂t
∂x
∂y
∂y
∂x2
∂y 2
H
H
∂ζ
∂Hus
∂Hvs
+
+
= 0.
(7)
∂t
∂x
∂y
Здесь H = h + ζ; us , vs — осредненные по вертикали скорости в
слое I; τsx , τsy — проекции на оси OX и OY силы трения ветра о поверхность водоема; τbx , τby — проекции на оси OX и OY силы трения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
240
Чикин А. Л., Сидиропуло С. Г.
жидкости о дно (или нижний слой воды). Эти величины зависят от
скорости ветра W̄B = {Wx ; Wy } и течения W̄T = {us ; vs } и определяются так [4]:
τ̄s = γ W̄B W̄B , τ̄b = β W̄T W̄T ,
9
где |W̄B | = Wx2 + Wy2 , |W̄T | = u2s + vs2 , — коэффициент трения
слоя I жидкости о дно (или нижний слой воды); β — коэффициент
трения ветра о слой I. На границах подобластей I и II скорости предполагаются известными. На дне для слоя II и вдоль береговой линии
для слоя I они равны нулю (u = 0, v = 0, w = 0, us = 0, vs = 0). В
местах втекания или вытекания воды они равны соответствующим
значениям u = u1 , v = v1 , w = 0 , us = us1 , vs = vs1 . На границе с
атмосферой задается сила трения ветра о поверхность водоема, которая выносится в правую часть уравнений (5), (6). На поверхности
слоя II ставятся условия u = us , v = vs , w = 0. В качестве начальных
данных можно задавать какое-либо известное распределение скоростей
u = u0 , us = u0s , v = v 0 , vs = vs0 , w = w0 , ζ = ζ 0
или считать эти скорости нулевыми. Алгоритм решения задачи следующий: на каждом временном шаге сначала вычисляются перепад
уровня и поле скоростей из системы (5), (6), затем вычисляется градиент давления из (4), потом определяется поле скоростей из системы (1)–(3).
2. Расчет свободной затопленной струи
Струя, попадая в массу окружающей ее жидкости, постепенно
расширяется и в конечном счете рассеивается в жидкости. Рассматривая такую струю, необходимо различать ее границу, т. е. поверхность раздела, отделяющую саму струю от окружающей ее жидкости.
В связи с наличием поперечных по отношению к поверхности раздела пульсационных скоростей будет происходить постоянный обмен
частицами жидкости между струей и окружающей ее средой.
Рассмотрим структуру затопленной свободной струи (рис. 2). Начало струи совпадает с выходным сечением трубы или насадка. Это
выходное сечение называется начальным сечением струи. На протяжении от начального сечения до так называемого переходного сечения имеется ядро струи, где скорости по длине потока считаются
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель процесса заиления
241
R0
Полюс
x0
a
u0
руи
ца ст
Грани
Ядро
u0
Rbnd
Начальное
сечение
x
Переходное
сечение
постоянными. Во всех точках этой области скорости можно считать
одинаковыми (равными u0 ). Как показывает опыт, ядро ограничено с боков практически прямыми линиями [1]. Эти прямые линии
отделяют ядро от окружающего его так называемого турбулентного
струйного пограничного слоя, в пределах которого скорости изменяются.
u0
umax
x
xn
Начальный участок
Основной участок
Рис. 2. Схема затопленной свободной турбулентной струи.
В переходном сечении, где заканчивается «размыв» ядра постоянных скоростей, обе части струйного пограничного слоя сливаются. Если до переходного сечения скорость по оси струи постоянна,
то, начиная от переходного сечения, эта скорость вдоль оси потока падает. Участок струи между выходным и переходным сечениями называется начальным участком струи. Остальная часть струи
(за переходным сечением) называется основным участком. Считают,
что внешние границы струйного турбулентного пограничного слоя
очерчены прямыми линиями, проходящими через кромки насадка.
Точка O пересечения этих прямых называется полюсом струи.
Соответствующие исследования показали, что размеры эпюр
осредненных скоростей, построенных для плоских живых сечений
струи, связаны между собой относительно простыми зависимостями. Эти же исследования привели также к выводу, что в случае равномерной эпюры скоростей в выходном сечении гидродинамическое
давление в струе практически равно давлению в окружающей среде.
Практический интерес представляют следующие величины, определяющие изучаемую струю: расстояние x0 , дающее положение полюса
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чикин А. Л., Сидиропуло С. Г.
242
струи; длина xn начального участка; угол α, равный половине угла
расхождения прямолинейных лучей, ограничивающих струю; радиус
Rbnd струи на заданном расстоянии x от выходной кромки отверстия
и, наконец, скорость на оси основного участка струи umax . Все эти
величины могут быть найдены по следующим формулам [1]:
0,29
0,67
R0 , xn =
R0 , tg α = 3,4a,
a
a
ax
0,96
u0 .
= 3,4
+ 1 R0 , umax = ax
R0
R0 + 0,29
x0 =
Rbnd
(8)
В (8) через R0 обозначен радиус насадка, из которого выходит струя;
через u0 — скорость истечения из отверстия. В эти формулы входит
один экспериментальный коэффициент a, называемый коэффициентом структуры; он учитывает структуру потока в выходном сечении.
В предположении, что струя имеет форму правильного конуса
расчет поля скоростей в струе проводится следующим образом. Зная
координаты текущей точки, определяем ее расстояние до оси струи.
Затем по основным параметрам струи, приведенным выше, с помощью линейного интерполирования вычисляем скорость в рассматриваемой точке.
Общее поле скоростей получается векторным сложением скорости истечения струи и скорости течения за счет действия ветра.
3. Задача переноса ила
Процесс переноса взвеси разделяется на перенос взвешенных частиц и донный нанос. Соответственно область исследования можно
разделить на область донных наносов толщиной δ и область взвешенных наносов, расположенную выше и имеющую толщину H − δ
(рис. 1). Обмен взвесями между этими двумя областями происходит
через оседание вниз с расходом Db и размывания (поднятием вверх
из нижнего слоя) с расходом Eb .
Пусть все донные отложения состоят из k фракций (k = 1, . . . , N ).
Распределение концентрации взвешенных частиц описывается уравнением конвекции-диффузии
∂ck
∂ [(uj − ωsk δj3 ) ck ]
∂ck
∂
+
=
εs
,
(9)
∂t
∂xj
∂xj
∂xj
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель процесса заиления
243
где ck — концентрация k-ой фракции, δij — символ Кронекера для
индикации при j = 3 вертикального направления. На свободной поверхности задается условие
εs
∂ck
+ ωsk ck = 0.
∂z
(10)
Здесь εs — коэффициент турбулентной диффузии. На нижней границе области взвешенных наносов ставится условие
εs
∂ck
= Ebk − Dbk ,
∂z
(11)
ρs − ρw g 2
d — скорость оседания частиц; ρs , ρw — плот·
ρw
18ν
ности осадка
и воды соответственно; Db = ws cb pd — расход оседаme (τb − τce ), τb > τce ,
ния; E =
— расход размыва [5]. Здесь pd =
0,
τb τce
τb
представляет вероятность оседания; me = 0,0002 − 0,002 —
1−
τcd
экспериментальный коэффициент; τb = 12 ρw fw Ub |Ub | — критическое
сдвиговое напряжение ложа для размывания, вычисляемое через Ub
скорости у основания потока c учетом коэффициента донного трения
fw ; τe — критическое сдвиговое напряжение ложа для размывания.
Типичные значения τe — приблизительно 0,1–0,2 [Н/м2 ].
Толщина активного слоя донных отложений может быть определена с помощью уравнения
где ωsk =
Db − Eb
∂δ
=
.
∂t
ρ
Плотность донных отложений ρ зависит от пористости грунта σ и
определяется по формуле ρ = (1 − σ) ρS + σρw .
4. Численное решение модельной задачи
В качестве модельного примера был выбран прямолинейный канал длиной 200 м, шириной 120 м и глубиной 5 м. Глубина мелководной области принималась равной 2 м. Таким образом полная глубина
канала была равна 7 м. Разностная сетка выбиралась равномерной
прямоугольной с шагами по горизонталям 1 м, а по вертикали —
0,5 м. Число узлов на такой сетке равнялось 360000.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
244
Чикин А. Л., Сидиропуло С. Г.
Рассмотрен случай, когда судно было пришвартовано, и струя
размывала дно канала, не перемещаясь относительно последнего.
Параметры струи вычислены по приведенной методике.
На рис. 3 показан профиль дна центральной части канала после действия на него струи от гребного винта в случае отсутствия
ветрового течения. Отчетливо прослеживаются зона pазмывания и
осаждения донного ила.
Рис. 3. Профиль дна после действия на него струи от гребного винта.
Литература
1. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй.—М.: Физматгиз, 1960.
2. Марчук Г. И., Каган Б. А. Океанские приливы (математические модели и
численные эксперименты).—Л.: Гидрометеоиздат, 1977.—296 с.
3. Чикин А. Л. Об одном из методов расчета параметров течений в водоемах
с большой неоднородностью глубин // Водные ресурсы.—2005.—Т. 32, № 1.—
С. 55–60.
4. Филиппов Ю. Г. Об одном способе расчета морских течений // Тр. ГОИН.—
1970.—Вып. 103.—С. 87–94.
5. Wahyu W. Pandoe and Billy L. Cohesive sediment transport in the 3D-hydrodynamic-baroclinic circulation model, study case for idealized tidal inlet // Ocean
Engineering.—2004.—V. 31, Iss. 17/18.—P. 2227–2252.
Южно-Российский региональный центр
информатизации РГУ (Ростов-на-Дону, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.984
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ЗАГРЯЗНЕНИЯ
ПРИ ЕГО ЗАЛПОВОМ ВЫБРОСЕ В ЦИМЛЯНСКОЕ
ВОДОХРАНИЛИЩЕ В РАЙОНЕ РОСТОВСКОЙ АЭС1
А. Л. Чикин, И. Н. Шабас, С. Г. Сидиропуло
В работе описывается математическая модель процесса распространения загрязняющего вещества, в том числе радионуклидов, в южной части Цимлянского водохранилища. Задача решается конечно-разностными методами
с использованием противопотоковых схем.
Введение. Цимлянское водохранилище, образовано плотиной
Цимлянской ГЭС на р. Дон на территории Ростовской и Волгоградской областей РСФСР. Со строительством Ростовской АЭС в районе г. Волгодонска задача расчета распределения концентрации радионуклидов в случае их выброса приобрела особую актуальность.
По этой причине интерес для исследования представляет непосредственно южная часть Цимлянского водохранилища, ширина которой
составляет 30 км, а длина — 35 км (до района ст. Кривской).
Решение задачи по определению концентрации содержащегося в
воде вещества, включая радионуклиды, состоит из двух основных
этапов: расчет поля течений и расчет собственно концентрации вещества. Морфологические особенности дна исследуемой области таковы, что в отдельных районах глубина может достигать 20–25 м, в то
же время в прибрежной зоне, в том числе в районе Волгодонска, глубина составляет 0,5–2 м. Так как исследуемая область содержит как
глубоководные районы, так и мелководье, при расчете гидродинамических параметров применяется метод, описанный в [2]. Перенос
вещества расссматривается на примере радионуклидного загрязнения, причем растворенной его фазы.
1. Постановка задачи. Перенос радионуклидов в растворенной
форме описывается уравнением конвекции-диффузии [3]
∂C
+ (v̄c · ∇)C = ∇ · (M̄c ∇C) − λC − α1.2 S(Kd C − C s ),
∂t
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 06-01-00038-а, № 05-01-00096-а.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
246
Чикин А. Л., Шабас И. Н., Сидиропуло С. Г.
xy
z
xy
z
где S(x) — концентрация; M̄s = {µxy
s , µs , µs }, µs , µs — коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентной диффузии соответственно; v̄s = (u, v, w − ws ) — вектор скорости, ws — скорость
оседания частицы. Принимается, что нет потока через свободную
поверхность
∂S (w − ws )S = µzs
,
∂z z=η
s
а поток на
дне равен разности количества осевших (q ) и поднявb
шихся q со дна частиц
∂S ws S + µzs
= (q S − q b )z=−h−a .
∂z z=−h−a
Толщина ила задается уравнением деформации основания
ρS (1 − ε)
∂Z∗
= qS − qb .
∂z
Приведенные уравнения с граничными условиями решаются конечно-разностными методами.
2. Численное решение. В области Ω̄ = Ωh ∪ Γh вводится равномерная по всем направлениям разностная сетка с соответствующими
шагами hx , hy , hz . Здесь Ω̄ — множество внутренних узлов сетки,
Γh — множество граничных узлов. При пространственной аппроксимации уравнения переноса выбрана противопотоковая схема [1]. При
аппроксимации граничных условий III-го рода правыми или левыми
разностями используется идеология противопотоковых схем, когда
выбор направления аппроксимации производной зависит от знака
составляющей вектора скорости, участвующей в граничном условии.
В данной работе приводятся результаты расчета распределения
концентрации радионуклидов в случае их залпового выброса.
При расчете течения задавались различные ветровые ситуации.
При неоднородном распределении ветрового поля над акваторией водохранилища из-за создаваемых моментов сил создаются циркуляционные зоны. Рассматривалось действие ветра западного и северозападного направлений с различными по акватории скоростями.
При моделировании залпового выброса радионуклидов в Цимлянское водохранилище в районе РоАЭС бралось поле скоростей, получаемое при действии ветра западного и северо-западного направлений с различными по акватории скоростями. Расчеты показали,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование переноса загрязнения
247
что в течение 8 часов основная часть загрязнения накапливается в
районе порта г. Волгодонск и шлюза № 14 (рис. 1).
Рис. 1. Распределение концентрации вещества в южной части Цимлянского
водохранилища при неоднородном действии ветра западного направления.
Процесс накопления и удаления загрязнения в указанном районе
представлен на рис. 2 в виде зависимости концентрации, выраженной
в условных единицах, от времени.
Рис. 2. Изменение концентрации загрязняющего вещества во времени в районе порта Волгодонск.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
248
Чикин А. Л., Шабас И. Н., Сидиропуло С. Г.
Видно, что максимальная концентрация вещества достигается за
первые два часа после выброса. Затем происходит вынос вещества
и, соответственно, снижение концентрации, но этот процесс протекает гораздо медленнее, и первоначальная концентрация достигается
лишь через 6 часов после ее максимума.
Полученные результаты вычислительного эксперимента по построенной математической модели показывают возможность появления в южной части Цимлянского водохранилища застойных зон.
Данные зоны могут возникать при определенных ветровых ситуациях и, следовательно, накапливать в себе повышенное содержание
различных взвесей и растворенного вещества.
Литература
1. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.—М.: Мир, 1980.—284 с.
2. Чикин А. Л. Об одном из методов расчета параметров течений в водоемах
с большой неоднородностью глубин // Водные ресурсы.—2005.—Т. 32, № 1.—
С. 55–60.
3. Zheleznyak M. J. The mathematical modelling of radionuclide transport by
surface water flow from the vicinity of the Chernobyl Nuclear Power Plant //
Condensed Matter Physics.—1997.—№ 12.—P. 37–50.
Южно-Российский региональный центр
информатизации РГУ (Ростов-на-Дону, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Часть IV
Информационные
системы и технологии
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.9
К ВОПРОСУ ОБ ОЧИСТКЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ДАННЫХ
О. М. Атаева, Л. Н. Шиолашвили
При работе с любой информационной системой одной из главных задач является наполнение данными. Качество данных — это критерий, определяющий
полноту, точность, своевременность и возможность интерпретации данных.
Очистка данных занимается выявлением и удалением ошибок и несоответствий в данных с целью улучшения качества данных.
При работе с любой информационной системой одной из главных
задач является наполнение данными. При этом, как правило, приходится решать вопросы очистки данных (data cleaning, data cleansing
или scrubbing). Очистка данных — выявление и удаление ошибок и
несоответствий в данных с целью улучшения их качества. Эта задача является одной из основных в системах, относящихся к категории
хранилищ данных (data warehouse), где данные поступают из разных
типов источников, в разных формах и форматаx, с разной семантической интерпретацией, с массой дубликатов и т. п.
Качество данных — это критерий, определяющий полноту, точность, своевременность и возможность интерпретации данных. Данные высокого качества — это полные, точные, своевременные данные, которые поддаются интерпретации. Данные низкого качества,
или грязные данные — это отсутствующие, неточные или даже бесполезные данные с точки зрения практического применения.
Когда интеграции подлежит множество источников данных,
сложность очистки данных существенно возрастает. Это происходит от того, что источники часто содержат разнообразные данные
в различном представлении. Для обеспечения доступа к точным и
согласованным данным необходима консолидация различных представлений данных и исключение дублирующей информации.
Проблемы с качеством данных могут возникать, как результат
ошибок ввода, утери информации, использования иных форматов
представления или единиц измерения, разной степени структуризации, несоответствия стандартам, отсутствия своевременного обновления и/или неудачного обновления данных, некорректного удаления дубликатов и т. д.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атаева О. М., Шиолашвили Л. Н.
252
Хранилища данных загружают и постоянно обновляют огромные объемы данных из различных источников, поэтому вероятность
попадания в них «грязных данных» очень высока. Чтобы некорректные данные не привели к некорректным выводам, необходимо регулярно проводить корректировку загружаемых данных, их согласование с загруженными.
Интегрированные системы баз данных и информационные
Интернет-системы требуют практически такого же преобразования
данных, что и хранилища. Данные требуют извлечения из нескольких источников, преобразования и объединения в процессе отработки запросов. В основном в решениях для этих систем концентрируются на вопросах преобразования для трансляции и интеграции схем
данных, обеспечивая ограниченную поддержку очистки данных.
Существует множество средств с различной функциональностью,
предназначенных для поддержки задач очистки данных, однако часто достаточно большой объем работы по очистке и преобразованию
приходится выполнять вручную или низкоуровневыми программами, трудными для написания и использования.
1. Классификация основных проблем в области очистки
данных. Рассмотрим классификацию основных проблем в области
очистки данных. Как видно из рис. 1, проводится четкое разделение
между проблемами с одним и со множеством источников и между
проблемами со схемой и с элементами данных [1].
Проблемы качества данных
Проблемы отдельных источников
Уровень схемы
(Недостаток
ограничений
целостности,
плохой дизайн
схемы)
– Уникальность
– Целостность
ссылок
…
Проблемы множества источников
Уровень элемента
(Ошибки при вводе
данных)
Уровень схемы
(неоднородные
модели данных и
дизайн схем)
Уровень элемента
(Перекрывающиеся,
противоречащие и
несогласованные
данные)
– Орфографические
ошибки
– Избыточность/
дубликаты
– Противоречивые
значения
…
– Конфликты
наименований
– Структурные
конфликты
– Несогласованная
агрегация
– Несогласованная
синхронизация
…
…
Рис. 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К вопросу об очистке интегрируемых данных
253
Проблемы уровня схем данных отражаются и в элементах данных; они решаются с помощью ее улучшения, трансляции и интеграции схем данных. С другой стороны, проблемы уровня элементов
данных связаны с ошибками и несоответствиями в содержимом текущих данных, незаметных на уровне схем данных. Такие ошибки и
являются основной целью очистки. Проблемы в отдельных источниках с увеличивающейся вероятностью встречаются и в случае множества источников, помимо специфических проблем, характерных
для таких случаев.
Для описания проблем уровня схемы и уровня элемента данных
разделяют различные проблемные области: атрибут (поле), запись,
тип и источник записи (см. таблицы 1 и 2).
Таблица 1. Проблемы отдельных источников на уровне схемы.
Область / проблема
Загрязненные данные
Причины / примечания
Недопустимые
значения
bdate = 30.13.70
Значения вне допустимой
области
Нарушение
логических связей
bdate = 30.12.70
age = 22
Возраст не соответствует
году рождения
Тип записи
Нарушение
уникальности
emp1 = (name = “Иванов”,
SSN = “123456”)
emp1 = (name = “Петров”, SSN
= “123456”)
Нарушена уникальность
SSN (номер социального
страхования)
Источник
Нарушение
целостности ссылок
emp = (name = “Иванов”,
depno = 123)
Не определено
подразделение 123
Атрибут
Запись
Основной проблемой очистки данных из множества источников
является выявление перекрывающихся данных, в особенности — соответствующие друг другу данные, относящиеся к одному и тому же
объекту реального окружения. Эту проблему называют также проблемой идентичности объекта, проблемой исключения дублирования
или проблемой слияния/удаления. Часто информация только местами избыточна и источники могут дополнять друг друга, обеспечивая более полную информацию об объекте. Дублирующаяся информация должна удаляться, но при этом дополняющая информация
должна консолидироваться и соединяться, чтобы объекты реального окружения получили согласованное представление.
2. Условия, которым должны удовлетворять методы
очистки. Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять методы очистки. Их можно разбить на следующие группы [2]:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Атаева О. М., Шиолашвили Л. Н.
254
•
выявление и удаление всех основных проблем уровня данных
и некоторых проблем уровня схемы;
• поддержка определенными инструментами, направленными на
сокращение объемов ручной проверки и программирования и
гибки в плане работы с дополнительными источниками.
Таблица 2. Проблемы отдельных источников на уровне данных.
Область / проблема
Загрязненные данные
Причины / примечания
Утраченнные
значения
phone=999-999999999
Бессмысленные или
неопределенные значения
Орфографические
ошибки
сity = “Моосква”
Опечатки, фонетические
ошибки
Зашифрованные
значения и
аббревиатуры
experince=”B”,
occupation = “DB Prog”
Вложенные значения
name = “Петров, 12.12.70,
Москва”
Значения не
соответствующие
своим полям
сity = “Россия”
Перестановка слов
name1 = “Петр Петров”
name2 = “Иванов Иван”
Обычно встречается в полях
свободного формата
Дублирующиеся
записи
emp1 = (name = “Иванов
Иван”)
emp1 = (name = “Иванов И.”)
В результате ошибок при
вводе данных некое лицо
присутствует два раза
Противоречивые
записи
emp1 = (name = “Иванов”,
bdate = “12.02.56”)
emp1 = (name = “Иванов”,
bdate = “12.12.56”)
Один и тот же объект
реального мира описывается
разными значениями
Запись
Нарушение
логических связей
сity = “Москва”,
zip = 11111111
Индекс должен
соответствовать городу
Источник
Неверные ссылки
emp = (name = “Иванов”,
depno = 123)
Подразделение 123
определено, но не
соответствует объекту
Атрибут
Тип записи
•
Множество значений в
одном атрибуте
очистка данных не должна производиться в отрыве от схем
преобразования данных, сложных метаданных;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К вопросу об очистке интегрируемых данных
255
•
функции маппирования для очистки и других преобразований
данных должны быть определены декларативным образом и
подходить для использования в других источниках данных и в
обработке запросов;
• инфраструктура технологического процесса должна поддерживаться для Хранилищ данных, обеспечивая эффективное и
надежное выполнение всех этапов преобразования для множества источников и больших наборов данных.
При выполнении этих условий можно быть уверенным, что при
решении очередной задачи очистки данных не придется каждый раз
начинать заново, а можно создать гибкую настраиваемую, в зависимости от конкретной задачи, систему.
3. Основная функциональность модулей очистки данных. Учитывая вышеприведенную классификацию, возникающих
при очистке проблем, предлагается выделить следующие функциональные модули очистки данных [3]:
• Нормализация и преобразования, которые стандартизируют и
нормализируют различные форматы данных. Это обусловлено тем, что данные, поступающие из различных источников,
могут представлять одну и ту же информацию в различных
форматах. Например, модули могут предоставлять возможность преобразования различных форматов даты к формату
«dd/mm/yyyy».
• Специализированные модули очистки с использованием словарей для поиска синонимов. Предоставляют возможность расшифровывать сокращения для уточнения смысла, в случае если обрабатываемые данные содержат такие сокращения.
• Модули, независимые от конкретной задачи, применяющие алгоритмы сравнения значений для эквивалентных полей из различных источников для определения совпадений. Это обусловлено тем, что одна и та же информация может представляться
различными значениями в различных источниках данных. При
выявлении таких случаев выполняется анализ тех объектов, к
которым относятся данные значения, что позволяет избежать
потери информации. Данные модули основываются на так называемых field-marching algorithms [4, 6, 7].
• Очистка по правилам, определяющим условия, при которых
два объекта из различных источников совпадают. Предоставляется возможность задания правил самим пользователем.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
256
Атаева О. М., Шиолашвили Л. Н.
Таким образом имеется возможность создания независимой библиотеки модулей, которые будут реализовывать вышеописанную
функциональность. Применение этих модулей может быть произведено в конкретной задаче очистки данных именно в той последовательности и в той комбинации, которая определяется условиями
конкретной задачи.
4. Алгоритмы выявления дубликатов. Стандартный метод
выявления дубликатов это сортировка объектов и проверка соседних на дублирование. Самый очевидный путь это сравнение каждого
объекта с каждым другим. Но это очень медленный процесс, который требует T (T − 1)/2 сравнений, где T — это количество объектов.
Существует так называемый Sorted Neigbourhood Method (SNM) [4,
5, 8], который прежде сортирует записи по определенным ключевым
полям, чтобы расположить потенциальные дубликаты как можно
ближе друг к другу. Ключ это подмножество атрибутов (называемых идентифицирующими или потенциально идентифицирующими) или строк в атрибутах, которые достаточны для определения
кандидатов на слияние. Затем попарное сравнение соседних записей
выполняется смещением «окна» с фиксированной величиной над отсортированными объектами. Пусть величина «окна» равна a, тогда
каждый новый объект, попадающий в «окно», сравнивается с предыдущими a − 1 объектами. Этот способ работает быстрее [4, 8], но его
эффективность определяется качеством выбранных ключевых атрибутов.
Метод Dublication Elimination SNM (DE SNM) [4, 5, 8] исправляет некоторые недостатки SNM метода, сортируя по заданным ключевым полям, а затем разделяя записи на два списка: на список дубликатов и недубликатов. Список дубликатов содержит все записи
с совпадающими ключевыми полями. Все остальные помещаются
в другом списке. Сканирование дублирующего списка выполняется с помощью «окна» небольших размеров для поиска совпадений.
Несовпадающие записи переносятся во второй список. Не смотря на
то, что этот метод эффективнее предыдущего, основная проблема
остается, эффективность определяется качеством выбранных ключевых атрибутов.
К сожалению, нет определенных правил как составлять такие
ключи. Если нет сомнений в том, что значения предполагаемых
ключевых атрибутов нормализованы и соответствуют определенному формату, то непосредственное применение этих методов вполне
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К вопросу об очистке интегрируемых данных
257
оправданно. Иначе приходится применять методы сравнения значений атрибутов основанные на алгоритмах [4, 6], которые сортируют
текстовые строчки значения атрибута для каждого объекта, а затем
выполняют сравнение по данному атрибуту.
Помимо описанных, существуют другие алгоритмы, которые
представляют собой модернизацию SNM алгоритма [4].
Последующее объединение дублирующих объектов может происходить двумя путями. Можно один из объектов считать правильным,
а остальные дубликатами с ложной информацией. В результате целью этапа слияния дубликатов будет удаление ложных объектов.
Или рассматривать каждый из таких объектов как части взаимодополняющей информации. Тогда целью слияния дубликатов является
получение одного нового объекта с полной информацией, собранной
из всех имеющихся дублирующих объектов, и их удаление.
5. Очистка данных на платформе ИСИР. Интегрированная
система информационных ресурсов (ИСИР) — универсальная платформа для построения информационных систем и порталов.
До сих пор задача очистки данных в хранилище у нас решалась
по мере необходимости тем или иным частным способом. С возрастанием объемов данных в хранилище и источников данных эта проблема встает особенно остро. Поэтому была начата разработка инструментария для интеграции и очистки данных с возможностью
настройки его под конкретную задачу.
Предполагается, что «загрузчик-интегратор» будет состоять из
двух блоков. Первый блок будет отвечать за пакетную загрузку данных в ИС из файла, содержащего однородную последовательность
групп связанных ресурсов. В данном блоке существует возможность
подключения алгоритмических модулей очистки данных функциональность, которых описана выше. В частности на данном этапе будут решаться задачи нормализации, уточнения семантики, вычисления недостающих атрибутов. При необходимости также возможно
обращение к эксперту с использованием штатных интерфейсов системы. В результате в хранилище попадают данные соответствующие целевой онтологии.
Второй блок загрузчика — интегратора отвечает за выявление и
объединение дублирующих объектов. В круг обработки данного блока попадают ресурсы, загружаемые в текущем сеансе загрузки. Этот
блок может также использоваться независимо от первого в «режиме
наведения порядка в хранилище».
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
258
Атаева О. М., Шиолашвили Л. Н.
Правила, которые автоматизируют поиск дубликатов, задаются
в виде подключаемых алгоритмических модулей. Причем ключевые
атрибуты могут определяться в каждом алгоритмическом модуле
произвольно. В случае, если средствами алгоритмического модуля
решение не может быть принято, то вся ответственность за такие
случаи перекладывается на эксперта, диалог с которым осуществляется посредством штатных интерфейсов, предназначенных для таких случаев. В частности, на данном этапе эксперт участвует в разрешении спорных моментов в случае выявления дубликатов и их
объединения. В данном блоке также возможно подключение алгоритмических модулей очистки данных.
Перебор объектов в хранилище для обнаружения дубликатов осуществляется по алгоритму, выбирающему для каждого объекта множество дубликатов, а затем сливающему все пересекающиеся множества в одно. Этот алгоритм строит правильное множество классов
эквивалентности, а именно, транзитивное, симметричное и рефлексивное замыкание отношения «анализируемый ресурс — найденный
дубликат», определяемого алгоритмическим модулем. Данный алгоритм построен на основе вышеописанного DE — SNM алгоритма.
Базовые алгоритмические модули объединения ресурсов:
• Игнорирование загружаемого ресурса при наличии в хранилище идентичного ему ресурса.
• Замещение в хранилище существующего ресурса.
• Объединение ресурсов. Если нам позволяет кардинальность, то
значения свойства объединяются (связь 1 : m), иначе происходит замещение значения одного свойства другим (связь 1 : 1).
• Выполнение разных модулей объединения в зависимости от соотношения даты загрузки и даты последней модификации.
Описываемая архитектура загрузчика-интегратора является единой для всех подобных источников данных. Но каждый алгоритмический модуль, реализующий конкретное правило преобразования,
зависит от конкретной задачи. Однако некоторые будут применяться, в достаточно широком круге задач. Таким образом, загрузчикинтегратор создается на основе общего ядра, реализующего алгоритмы, не зависящие от конкретной онтологии или правил, с соблюдением вышеперечисленных условий, а также реализующих специфические правила алгоритмических модулей, с которыми ядро взаимодействует на основе стандартных интерфейсов. Многие модули можно представить как композиции таких элементарных модулей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К вопросу об очистке интегрируемых данных
259
Заключение. При построении системы очистки данных для конкретного источника необходимо специфицировать правила преобразования данных. Разные подходы, по сути, определяют разные способы такой спецификации. В простейшем виде, например, спецификация выражается в программном коде, написанном для конкретной
задачи. В описанном выше подходе набор алгоритмических модулей,
содержит алгоритмы — ответы на простые вопросы «как решить ту
или иную подзадачу?». Простота и четкость вопросов определяет их
универсальность, т. е. применимость одного решения в разных задачах.
В настоящий момент в рамках проекта ИСИР разрабатывается
подсистема, реализующая такую систему.
Литература
1. Rahm E. Data Cleanong: Problems and Current Approaches.—Hong Hai Do.
http://wwwiti.cs.uni-magdeburg.de/iti_db/lehre/dw/paper/data_cleaning.pdf
2. Чубукова И. Data Mining, Издательство: Бином, ИНТУИТ.РУ.—2006.
3. Matthias Jarke, Maurizio Lenzerini, Yannis Vassiliou Panos Vassiliadis
Fundamentals of Data Warehouses
4. Ajumobi O. Udechukwu, Domain-independent de-duplication in data
warehouse cleaning. http://www.ucalgary.ca/∼aoudechu/Publications/Data%20
Cleaning%20Thesis.pdf
5. Mong Li Lee, Houhgjiun Lu, Tok Wang Ling, Yee Teng Ko Cleansing
Data for Mining and Warehousing. http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs
/8248/http:zSzzSzwww.vic.ust.hkzSz∼luhjzSzpszSzdexa99.pdf/lee99cleansing.pdf
6. Timothi E. etc. A Token-Based Data Cleaning Technique for DataWarehouse
Systems. http://davinci.newcs.uwindsor.ca/∼cezeife/ dqcis03.pdf
7. Surajut Chaudhuri, Venkatesh Ganti, Rajeev Motwani Robust Identification
of Fuzzy Duplicates. ftp://ftp.research.microsoft.com/users/DataCleaning/
dedup_ICDE05.pdf
8. Mauricio A. Hernandez, Salvatore J. Stolfo Real-world Data is Dirty: Data
Cleansing and The Merge/Perge Problem. http://citeseer.ist.psu.edu/cache/
papers/cs/230/http:zSzzSzwww.cs.columbia.eduzSz∼mauriciozSzpaperszSzjdmkd.
pdf/hernandez98realworld.pdf
Вычислительный центр РАН (Москва, Россия);
E-mail: [email protected], [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.9
СХЕМЫ МЕТАДАННЫХ ДЛЯ НАУЧНЫХ
ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ ЕНИП РАН
А. А. Бездушный
Работа посвящена схемам метаданных Единого Научного Информационного
Пространства РАН, применение которых должно сыграть ключевую роль
в обеспечении семантической интероперабельности в научной среде РАН,
упрощении обмена и взаимодействия информационных систем, входящих в
ЕНИП. В работе поясняются основные цели и принципы формирования модульных схем ЕНИП, применение языка OWL для описания схем. Дается
обзор базового набора схем ЕНИП, отвечающего за описание научной информации общего характера, а также упоминаются основные разработанные
специализации, отвечающие более специфическим научным областям. Данная статья дает лишь краткий обзор предложений по метаданным ЕНИП,
более подробное описание рассмотренных схем метаданных для научной информации ЕНИП и практическое руководство по применению этих схем для
описания информационных ресурсов в ЕНИП приведено в монографии «Интеграция метаданных Единого Научного Информационного Пространства
РАН» [1].
1. Роль схем метаданных ЕНИП
Единое научное информационное пространство РАН (ЕНИП
РАН) — это инициатива, ставящая своей задачей интеграцию научных данных различных учреждений РАН и построение единой
распределенной среды с целью обеспечения активных научных коммуникаций и эффективного использования научной информации,
более эффективных средств поиска информации, сотрудничества и
совместной работы. Подробнее о целях, задачах и средствах ЕНИП
см. [1, 2].
Для большого количества независимых информационных систем
наилучшим вариантом проведения интеграции является обеспечение
«свободного общения», «взаимопонимания» этих систем — так называемой интероперабельности систем. Принято различать три уровня
интероперабельности информационных систем — техническую, синтаксическую и семантическую, которым соответствуют транспортная среда, формат сообщений и смысл данных. В данной работе делается акцент на проблему семантической интероперабельности.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схемы метаданных для научных информационных ресурсов
261
Для обеспечения семантической интероперабельности, во-первых, необходим некоторый механизм, позволяющий описать предметную область, указать какие в ней используются термины и как
они взаимосвязаны — схему данных. Таким общим механизмом является стек технологий Semantic Web: RDF, RDFS, OWL (см. [3, 4]).
Во-вторых, необходим некоторый набор стандартов-схем метаданных, описывающих общепринятые понятия, которыми будут «общаться» интегрируемые системы. Использование терминов (свойств,
словарей значений и пр.), зафиксированных в стандартах, позволяет приложениям легко интегрироваться между собой, обмениваться
информацией, понятной им всем. В рамках ЕНИП — это набор базовых схем для описания научной информации, такой как публикации
и разработки, и пр. — «толковый словарь» для общения научных
ИС. Именно этим схемам и посвящена данная статья. Дальнейшие
разделы рассматривают состав предложений по метаданным ЕНИП
и принципы структуризации элементов метаданных.
2. Лежащие в основе предложений ЕНИП
стандарты и работы
В настоящее время заметна широкая тенденция по стандартизации словарей элементов метаданных для конкретных предметных
областей согласно стандартам Semantic Web. Использование терминов (свойств, словарей значений и пр.), зафиксированных в стандартах, позволяет приложениям легко интегрироваться между собой, обмениваться информацией, понятной им всем. Например, при
получении данных из сторонней системы, приложение может найти
среди неизвестных ему свойств некоторые свойства, регламентированные стандартом, и соответственно будет уверено в их смысле,
семантике, сможет правильно их проинтерпретировать. Это один из
простейших сценариев «семантической интероперабельности».
Dublin Core Metadata Initiative (DCMI) определил минимальный
набор свойств для описания цифровых ресурсов Web [5]. Dublin Core
стал базисом для других «стандартов обмена». В первую очередь,
следует упомянуть стандарт Publishing Requirements for Industry
Standard Metadata (PRISM), разработанный издательскими организациями для обмена метаданными о публикациях. Широкое применение нашли предложения по представлению информации о людях стандарта VCard («визитная карточка») и открытая инициатива
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
262
Бездушный А. А.
Friend of a Friend (FOAF). Заслуживают упоминания также проекты, делающие попытку спецификации схем для библиографической
информации (BIBLINK, bibTeX и др.), европейская инициатива по
разработке схем для Math-Net, UKOLN RSLP CLD профиль метаданных для описания цифровых коллекций и пр.
При разработке схем научных метаданных ЕНИП был проведен
анализ упомянутых и других стандартов и предложений, а также
анализ различных не-RDF ориентированных предложений по стандартизации метаданных (CERIF 2000, CIDOC, MARC и RUSMARC
и др.), различных отечественных и международных систем классификации ресурсов. Эти стандарты были непосредственно использованы как базис для схем описания научной информации. Также в
основу предлагаемых схем легли работы по созданию научных информационных систем, проведенные коллективом СМО ВЦ РАН и
ЦНТК МСЦ РАН (в частности, официального сайта РАН) и пожелания и опыт наших коллег, в первую очередь, БЕН РАН. Основные международные стандарты и предложения были непосредственно включены в предложения ЕНИП, в частности, Dublin Core, vCard,
а также FOAF, UKOLN RSLP CLD.
3. Обзор состава и структуры предложений ЕНИП
Предложения по наборам элементов метаданных ЕНИП являются развитием идей Dublin Core Metadata Initiative (DCMI), см. [5], в
направлении дальнейшей детализации наборов элементов метаданных в направлении различных предметных областей, имеющих отношение к научным исследованиям, с целью поддержки обмена как
метаданными общего характера в рамках всего научного сообщества,
так и более узкоспециализированными метаданными в рамках заинтересованных сообществ (например, библиотечного, математического, музейного сообщества).
С целью обеспечения модульности метаданных, определение всех
элементов метаданных ЕНИП разбивается на отдельные схемыфрагменты на языке описания Web-онтологий (OWL), см. [4], каждая из которых вводит дополнительные понятия, либо уточняет понятия других схем. Элементы метаданных подразделяются на отдельные схемы по нескольким направлениям (рис. 1):
• предметной области (как правило, описываемой сущности),
• глубине детализации и специализациям данной предметной области,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схемы метаданных для научных информационных ресурсов
263
•
И
Предметные области
(сущности)
ст
о
А рич
ка е
д с
О ем кий
фи ич
е
Ст циа ски
ат ль й
ис ны
ти й
че
ск
ий
общим для всех сущностей аспектам их описания.
Во-первых, различные информационные системы могут ориентироваться на различные предметные области. Например, одни имеют
дело с научными публикациями, другие с проектами, третьи и с тем,
и с другим. Наряду с выделением общих предметных областей, делается попытка определиться со стратегиями, методиками развития
схем — наращивания глубины описания той или иной предметной области, подходящих для разных систем (минимальная, базовая, расширенная). Дальнейшее наращивание глубины описания предметной
области подразумевает переход к специализации предметной области, как правило, в нескольких направлениях. Например, поддержка
библиографического описания публикаций, библиотечной деятельности, издательской деятельности — являются специализацией «минимальной предметной области» описания документов.
Аспекты
Агенты
Разработки
Деятельность
Документы
Персоны
Организации
Минимальная
Библиографическая
информация
Базовая
Расширенная
Подразделения
Штат
сотрудников
Проекты
Конференции
Специализированные
Кадры
Бухгалтерия
Глубина
специализации
Библиотечная
деятельность
Издательская
деятельность
Диссертации
Рис. 1. Способ структурной организации элементов метаданных научной
информации ЕНИП.
Предметные области совместно с глубиной специализации формируют своего рода иерархическое измерение. Ортогональным к этому измерению является измерение возможных аспектов описания
сущностей. Помимо основного «предметного» аспекта, в базовом наборе элементов метаданных ЕНИП выделяются исторический аспект
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
264
Бездушный А. А.
(необходим в системах накопления информации, архивах), академический аспект (например, принятые в РАН системы идентификации
и рубрикации, информация о научных званиях и степенях) и пр.
Схемы метаданных ЕНИП сгруппированы в крупноблочные профили, отвечающие задачам поддержки обмена метаданными общего характера в рамках всего научного сообщества, и более узкоспециализированными метаданными в рамках заинтересованных сообществ.
В основной профиль выделяются общеприменимые и первоочередные предметные области, независимо от тематической специализации науки:
• «Участники научной деятельности» — центральное звено,
вся информация в РАН связана с научной деятельностью ее
сотрудников — «Персон», образующих разнообразные организационные объединения от формальных («Организации» и
«Подразделения») до неформальных («Коллективы», «Сообщества», «Рабочие группы»).
• «Научная деятельность», в частности, «Проекты», отражающие процесс научной деятельности, информацию о результатах
проектов, патентах и т. п., а также «Научные мероприятия» —
как разовые, так и повторяющиеся, такие как «Конференции»,
«Семинары», «Симпозиумы».
• «Результаты научной деятельности», в которые могут входить «Интернет-системы» — Web-сайты и пр., «Базы данных»,
предоставляющие автономные коллекции информации с той
или иной степенью интеграции с ЕНИП и т. п., «Экспериментальные данные» и их «Математические модели», «Программные системы», в частности, «Научные вычислительные приложения», «Экспериментальные установки», «Изобретения»,
«Технологии» и т. п.
• «Документы и публикации» — ресурсы этого типа представляют собой научные труды, статьи, отчеты сотрудников (научные «Публикации» и «Диссертации» сотрудников). Примерами
специализации публикации могут служить, например, «Тезисы
конференций».
Помимо основного профиля метаданных, предложения ЕНИП
включают ряд наиболее существенных специализированных/прикладных профилей метаданных; в настоящее время публикуются следующие специализации:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схемы метаданных для научных информационных ресурсов
•
•
•
•
•
•
•
265
Библиографическая информация — представление метаданных
об официально зарегистрированных печатных изданиях (публикациях).
Информация о разработках и продуктах — представление специфических метаданных, характерных для конкретных типов
разработок (в частности, программное обеспечение, Web-сайты
и системы, базы и наборы данных, техническое обеспечение и
оборудование).
Математическая информация — поддержка специфики описания ресурсов, имеющих отношение к математике, в частности,
поддержка специфических математических идентификаторов
и представления математических формул в тексте описания
ресурсов.
Конференции и поддержка проведения конференций — описание конференций, семинаров, симпозиумов и пр. подобных мероприятий, начиная с общего описания конференции, участников, трудов конференции, и далее специализируя это описание всеми данными, необходимыми для поддержки проведения
конференций.
Коллекции и архивы — поддержка описания коллекций,
объединений физических и/или электронных элементов. К этому профилю относятся архивы, библиотечные и музейные каталоги и пр.
Поддержка библиотечной деятельности — поддержка информации для межбиблиотечного обмена и библиотечной деятельности; расширяет библиографическую специализацию понятием единиц хранения изданий (экземпляров изданий), а также
библиотечных сервисов.
Поддержка издательской деятельности — метаданные для
описания плана издательства редакционно-издательского отдела организации; этот профиль может быть использован в
качестве единого формата предоставления списка публикаций
авторами и отделами организации в план издательства.
4. Основной профиль метаданных ЕНИП
Ниже приводится обзорное описание фрагмента основного профиля схем метаданных ЕНИП. Детальное описание основного профиля, а также описание остальных схем и предложений ЕНИП, пояснение способа формирования RDF/XML-документов для обмена
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
266
Бездушный А. А.
данными в соответствии со схемами ЕНИП и пр. — приведено в [1].
Для понимания описания желательно обзорное представление об
OWL [4].
Предлагаемое обзорное описание структурировано следующим
образом. В виде структурированного списка приводится определение основных классов, для каждого из которых приводится состав
свойств данного класса и состав подклассов; аналогично описываются и подклассы. Следует учитывать, что каждый из подклассов
наследует состав свойств, определенный в суперклассе. Также, для
свойств, значением которых является подструктура, приведено описание состава полей подструктуры.
Описания классов и состава свойств разбиты на отдельные
ЕНИП-схемы (указаны курсивом), в которых определяются данные
классы или свойства, согласно описанной стратегии организации элементов метаданных ЕНИП. Так, схема описания действующего лица
вводит понятие класса «Лицо» (субъект деятельности) и определяет
ряд свойств этого класса. Минимальная подсхема описания организаций вводит понятие его подкласса «Организация», минимальная
подсхема описания персон вводит понятие подкласса «Персона», далее базовые и расширенные схемы, а также схемы академического и
исторического аспектов описания персон и организаций вводят дополнительные свойства к этим классам, и так далее. Символом «∗»
указаны свойства, допускающие несколько значений.
Итак, основной профиль ЕНИП включает следующие классы и
свойства:
Минимальная схема описания действующего лица:
Класс Лицо — Субъект деятельности (так называемый «агент»),
т. е. действующее лицо проектов и мероприятий, автор или участник разработок и публикаций. К этому классу относятся персоны,
группы и коллективы, организационные единицы. Свойства класса:
◦ Электронная почта∗ — контактный адрес электронной почты;
◦ Телефон∗ — контактный телефон;
◦ Web-адрес∗ — URL, в частности, адрес web-страницы;
◦ Другие контакты — прочая контактная информация.
Базовая схема организаций:
◦ Подкласс Организационная единица — данный класс представляет организационные единицы (организации и подразделения), как
частный случай действующего лица. Свойства класса:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схемы метаданных для научных информационных ресурсов
267
Наименование,
Сокращенное название,
Описание — текстовое описание ресурса,
Адрес∗ — полный почтовый адрес,
Схема проезда — описание проезда к организации,
Контактное лицо∗ — контактное лицо в организации.
Расширенная схема организаций:
Дата основания — дата основания организации или подразделения;
Фото (файл),
Логотип (файл),
Текущая деятельность — описание текущей деятельности,
Предыдущий опыт — описание предыдущей деятельности,
Ключевые слова — классификация с помощью списка слов.
Академическая схема организации:
Рубрика РФФИ∗ (элемент классификатора),
Специальность ВАК∗ (элемент классификатора),
Историческая схема организационных единиц:
Историческая справка — в произвольной форме,
Дата расформирования.
Расширенная схема организаций:
Подкласс Организация (в юридическом смысле):
Подчиненная организация∗ — организация, административно или иным способом подчиненная данной,
Вышестоящая организация∗ (ссылка: Организация).
Схема описания структуры организации:
Тип организации (элемент классификатора),
Подразделения∗ — (ссылка: Подразделение),
Подкласс Подразделение — подразделение (организационная единица, являющаяся частью некой организации в юридическом смысле).
◦ Организация — организация, в которую входит подразделение.
◦ Тип подразделения (элемент классификатора).
◦ Подчиненное подразделение∗ (ссылка: Подразделение).
◦ Вышестоящее подразделение∗ (ссылка: Подразделение).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бездушный А. А.
268
Схема штата организаций:
Сотрудники∗ (подструктура: штатная должность) — должности (штатные единицы) организационные единицы и занимающие их сотрудники:
Общая схема должности:
Наименование должности,
Приоритет — число, определяющее важность должности,
Должностное лицо — персона, занимающая должность.
Историческая схема должностей:
Дата вступления — дата вступления лица в должность.
Дата снятия с должности — дата снятия лица с должности.
Схема штата организаций:
Работодатель — организационная единица, к которой относится должность,
Подразделение — подразделение, к которому относится
должность (текстом),
Электронная почта∗ — контактный адрес электронной почты,
Телефон∗ — контактный телефон,
Web-адрес∗ — URL, в частности, адрес web-страницы,
Другие контакты — прочая контактная информация.
Базовая схема описания персоны:
◦ Подкласс Персона — описывает метаинформацию о людях:
Адрес∗ — полный почтовый адрес,
ICQ∗ — номер профиля пользователя ICQ,
Домашняя страница∗ — URL-адрес домашней страницы,
Дата рождения — дата рождения лица,
Пол (элемент словаря: Пол) — пол субъекта.
Имя — подструктура «ФИО персоны». поля подструктуры:
Фамилия — фамилия персоны,
Имя — личное имя персоны,
Отчество — отчество или дополнительные имена персоны,
Значение — полное (не разобранное) значение ФИО.
Расширенная схема описания персоны:
Префикс — почетный префикс к имени (например, «Sir»,
«Mr.»),
Суффикс — почетный суффикс к имени (например, «IV»),
Текущая деятельность — описание текущей деятельности,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схемы метаданных для научных информационных ресурсов
269
Интересы — описание области интересов человека,
Предыдущий опыт — описание опыта в рассматриваемой области,
Ключевые слова — классификация с помощью списка слов,
Фото (файл),
Резюме (файл).
Академическая схема описания персоны:
Ученая степень∗ — подструктура «ученая степень» персоны
(доктор физ.-мат. наук, кандидат технич. наук и т. д.). Поля
подструктуры:
Дата присуждения — дата присуждения степени/звания,
Ученая степень — наименование ученой степени как ссылка на элемент справочника (д.ф.-м.н., к.т.н. и т. д.),
Специальность ВАК — рубрика классификатора ВАК,
Ученое звание∗ — подструктура «Академическое или ученое
звание» (профессор, академик, доцент). Поля подструктуры:
Ученое звание — ссылка на элемент справочника,
Значение — текстом, если отсутствует в справочнике,
Дата присуждения — дата присуждения степени/звания,
Присудившая организация — название организации.
Историческая схема описания персоны:
Историческая справка — в произвольной форме,
Место рождения,
Дата смерти,
Место смерти.
Схема штата организаций:
Должность∗ (ссылка: штатная должность) — место (места) работы.
Минимальная схема деятельности:
Класс Деятельность — проекты, мероприятия и т. д. Свойства
класса:
◦ Название∗ ,
◦ Сокращенное название — сокращенное обозначение, аббревиатура,
◦ Аннотация — краткое описание или содержание источника.
◦ Дата начала — дата начала мероприятия, проекта или иной деятельности,
◦ Дата окончания — дата окончания мероприятия, проекта и пр.,
◦ Исполнитель∗ (ссылка: Лицо) — субъект деятельности,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бездушный А. А.
270
◦ Участник∗ (ссылка: Лицо) — лицо, внесшее вклад в создание ре-
сурса.
Базовая схема проектов:
◦ Подкласс Проект — данный класс описывает официальнозарегистрированные проекты: планируемые, проводимые и завершенные.
Свойства класса:
Код проекта — код проекта по принятой системе кодирования,
Статус проекта — элемент словаря: планируется, начат, завершен и т. д.,
Ведущая организация (ссылка: Организационная единица),
Руководитель проекта (ссылка: Персона),
Ответственное лицо (ссылка: Персона),
Участник∗ (ссылка: Персона) — Лицо, участвующее в проекте,
Участвующая организация∗ (ссылка: Организационная единица),
Спонсор∗ (ссылка: Организационная единица),
Ключевые слова — классификация с помощью списка слов,
Web-адрес∗ — URL, в частности, адрес web-страницы.
Расширенное описание проектов:
Результат проекта∗ — разработки, полученные в результате
проекта,
Публикация по проекту∗ — публикации в рамках проекта,
Отчет по проекту∗ — проектный отчет, описывающий результаты.
Академическая схема проектов:
Рубрика РФФИ∗ (элемент классификатора: Рубрика РФФИ).
Схема мероприятий:
◦ Подкласс Мероприятие — мероприятие (конференция, семинар
и т. д.).
Свойства:
Участник∗ (ссылка: Персона) — участник мероприятия,
Организатор∗ — организатор мероприятия,
Адрес∗ — полный почтовый адрес.
Web-адрес∗ — URL, в частности, адрес web-страницы,
Ключевые слова — классификация с помощью списка слов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схемы метаданных для научных информационных ресурсов
271
Минимальная схема результатов деятельности:
Класс Результат деятельности — описывает разработки, документы и пр.:
◦ Название,
◦ Альтернативный заголовок∗ ,
◦ Аннотация — краткое описание или содержание источника,
◦ Создатель∗ — лицо, первично ответственное за создание ресурса,
◦ Участник∗ (ссылка: Лицо) — лицо, внесшее вклад в создание ресурса,
◦ Web-адрес∗ — URL, в частности, адрес web-страницы,
◦ Ключевые слова — классификация с помощью списка слов,
◦ Источник — описание источника информации о данном ресурсе,
◦ Авторские права — авторские права («копирайт») на ресурс.
Схема документов:
◦ Подкласс Документ — к данному классу относятся разного рода
документы и публикации, как печатные, так и цифровые.
Свойства:
Полный текст∗ (файл) — полный текст документа,
Язык (элемент словаря: Язык) — язык содержания ресурса,
Подкласс Web-документ — документ из Сети.
Литература
1. Бездушный А. А., Бездушный А. Н., Серебряков В. А., Филиппов В. И. Интеграция метаданных Единого Научного Информационного Пространства
РАН.—М.: Вычислительный Центр им. А. А. Дородницына РАН, 2006.
2. Бездушный А. А., Бездушный А. Н., Жижченко А. Б., Калёнов Н. Е.,
Кулагин М. В., Серебряков В. А. Предложения по наборам метаданных
для научных информационных ресурсов ЕНИП РАН // VI Всероссийская
конференция «Электронные библиотеки: перспективные методы и технологии, электронные коллекции»—RCDL’2004.—Пущино, 2004.—С. 277–284.
http://www.impb.ru/∼rcdl2004/cgi/get_paper_pdf.cgi?pid=42
3. RDF Primer. http://www.w3.org/TR/rdf-primer/
4. Ontology Language. http://www.w3.org/TR/owl-features/
5. DCMI Metadata Terms. http://dublincore.org/documents/dcmi-terms/
Московский физико-технический
институт (Москва, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.9
О РЕАЛИЗАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
ГЕОИНФОРМАЦИОННОЙ СРЕДЫ
В ПРОЕКТЕ «ЭЛЕКТРОННАЯ ЗЕМЛЯ»
А. В. Вершинин
В работе описывается архитектура распределенной геоинформационной среды, реализуемой на первом этапе проекта «Электронная Земля» и подход к
решению задачи интеграции геопространственных (ГИС) данных (на основе стандартов OpenGIS Consortium и ISO) и специализированных методов
их обработки с помощью технологий Grid и Интегрированной системы информационных ресурсов (ИСИР). Анализируются требования к составу метаданных для ГИС-данных и программных компонент для их обработки,
применимость технологий Grid для осуществления распределенной обработки и хранения ГИС-данных и существующие решения в области данных
технологий.
Введение
Проект «Электронная Земля: научные информационные ресурсы
и информационно-коммуникационные технологии» разрабатывается
с 2004 г. в рамках Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 21 «Разработка фундаментальных основ создания
научной распределенной информационно-вычислительной среды на
основе технологий GRID». Целями проекта являются:
• создание ИТ-инфраструктуры распределенной информационно-аналитической системы по наукам о Земле;
• обеспечение координированного распределенного доступа к информационно-аналитическим ресурсам системы;
• поддержка решения фундаментальных и прикладных задач по
наукам о Земле.
На первом этапе проекта осуществляется интеграция метаданных ГИС-ресурсов и методов их обработки (размещенных в сегменте Grid-сети) и предоставление пользователю Web-интерфейса (в
рамках интегрирующего Web-портала) для удобной работы с ГИСданными. На втором этапе планируется осуществить интеграцию
ГИС-данных на основе технологий Grid: с обеспечением надежного
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О реализации распределенной геоинформационной среды
273
защищенного унифицированного доступа к ГИС-данным, их репликации, средств визуализации на машине пользователя в виде тонкого
клиента, система безопасности GSI и т. д.
1. Технологии Grid
Зарождение технологий Grid проходило в середине 90-х, область
исследований тогда получила название «метакомпьютинг». Метакомпьютером назвали объединение различных вычислительных машин (гетерогенных, распределенных географически, соединенных
сетью, возможно Интернет) в виде одной виртуальной машины. Идеи
метакомпьютинга были реализованы в многочисленных проектах,
существующих и по сей день. Из самых известных стоит упомянуть
поиск внеземных цивилизаций в проекте [email protected], взлом шифрованной фразы RSA Challenges в рамках Distributed.net и один из
самых известных локальных менеджеров виртуального пула ресурсов — пакет Condor.
В 1999 г. двое американских ученых Ян Фостер (Ian Foster) и
Карл Кессельман (Karl Kesselman) своей книгой «The Grid: Blueprint
for a New Computing Infrastructure» [6] привлекли внимание к данной тематике сначала научных кругов, заинтересованных в получении доступа к вычислительным системам огромной мощности (производительность виртуальной машины, построенной на технологиях Grid, в Японии составила около 40TFlop), а затем и массовый
интерес в коммерческих кругах. Они по праву считаются «отцамиоснователями» Grid. Идеи книги приобрели четкие очертания после выхода в свет двух статей: «The Anatomy of the Grid» и «The
Physiology of the Grid», в которых описывается архитектура и требования к инфраструктуре Grid-сети. Также в них было сформулировано «официальное» определение: Grid — это гибкое, защищенное, координированное совместное использование ресурсов группами пользователей, организаций и других ресурсов. В 2001 г. Фокс
и Гэннон определили GRID как «скоординированное разделение ресурсов и решение проблем в динамической, многокомпонентной виртуальной организации», где виртуальная организация — это группа
предприятий, объединяющих свои вычислительные ресурсы в единую GRID и совместно их использующая [5].
В начале 2000-ых несколько крупных компаний, таких как IBM,
Sun, Microsoft, были вовлечены в эту революцию вычисления. Было создано множество коммерческих и некоммерческих продуктов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вершинин А. В.
274
для построения GRID-инфраструктур. Например, инструментарий
Globus, который был разработан проектом Globus, стал фактическим стандартом в области Grid middleware. В рамка проекта «Электронная Земля» используется локальный Grid-сегмент, построенный
с помощью GT 4.0.1.
2. Геоинформационные системы
Геоинформационные системы (географическая информационная
система, ГИС) — «комплекс аппаратно-программных средств и деятельности человека по хранению, манипулированию и отображению геопространственных данных» [7]. ГИС связывает информацию
с местоположением (например, людей с адресами, месторождения с
координатами и т. п.) и своей основной целью имеет организацию эффективного доступа к большим объемам информации об объектах,
имеющих пространственную привязку [3].
С развитием Интернет все большее распространение получают
Интернет-ГИС, предназначенные не только для распространения и
публикации картографической информации, но и для ее распределенной обработки, визуализации и обмена в режиме реального времени и т. д. Современные ГИС представляют собой новый тип интегрированных информационных систем, которые, с одной стороны, включают традиционные методы обработки данных, а с другой, обладают спецификой организации, обработки и отображения
пространственно-временных данных. На практике это определяет их
использование в качестве многоцелевых систем. На создание такой
системы направлен проект ВЦ РАН «Электронная Земля».
На данный момент процесс стандартизации главным образом затронул методы доступа к геопространственным данным (Web Map
Server, Web Feature Server) и формат их передачи (Geography Markup
Language). Со стороны ISO (TC/211) были выдвинуты стандарты
на ГИС-метаданные (ISO 19115, 19139). Основной акцент при реализации распределенной геоинформационной среды в рамках проекта
«Электронная Земля» делается именно на использование существующих стандартов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О реализации распределенной геоинформационной среды
275
3. Архитектура распределенной
геоинформационной среды
Началом проекта «Электронная Земля» стал обширный анализ существующих решений по двум направлениям: Интернет-ГИСсистемы и технологии Grid. На основе стандартов OGS и ISO, опыта наиболее популярных существующих ГИС-систем (как коммерческих — ArcIMS, так и свободно распространяемых — MapServer,
GeoServer, etc.) и ГИС-порталов (на основе GIS Portal Toolkit от
ESRI и множества единичных решений) был сформулирован набор
требований к архитектуре системы. По направлению Grid очевидным решением было воспользоваться стандартом де-факто в области
создания Grid-инфраструктур — свободно распространяемым пакетом Globus Toolkit 4.0.1.
Следующим шагом стало исследование существующих в мире наработок в области решения задачи интеграции и совместного использования ГИС и Grid. Основной интерес представляют проекты:
• GRID on-Demand Services and Infrastructure — GODIS;
• Global Monitoring for Environment and Security;
• The Solid Earth and Environment GRID;
• The Natural Environment Research Council;
• The Geosciences Network (GEON).
Направления движения разработок в этих проектах закономерно
определяется потребностями ГИС-технологий — процесс накопления
данных ускоряется с каждым днем с ростом использования спутниковых системы, позволяющих получать снимки высокого разрешения, он-лайн датчиков, поставляющих данные о различных показателях окружающей среды и т. п., поэтому необходимы эффективные
способы передачи, хранения и обработки больших объемов данных.
В решении этих задач перечисленные проекты идут по пути уже
пройденному аналогичными проектами в области физики, биологии,
химии (DataGRID) и т. п. — создается Grid-инфраструктура, обеспечивающая распределенное хранение данных и их надежную и скоростную передачу между узлами, далее заинтересованные в решении
конкретных задач группы НИИ, ученых и коммерческих компаний
создают «виртуальные организации». В рамках каждой ВО на построенной инфраструктуре разворачивается специфическое приложение, зачастую используемое только участниками данной ВО.
Отличие идей, легших в основу проекта «Электронная Земля»,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вершинин А. В.
276
от описанных выше заключается в существенном шаге, сделанном в
сторону использования технологий Semantic Web [1, 2], интеграции
распределенных рабочих процессов и автоматизации их согласованного выполнения [4], унификации механизма создания и публикации
вычислительных приложений в Grid. В этом смысле наше видение
Grid совпадает с изначальными идеями родоначальников — Фостера
и Кессельмана, Grid — это виртуальная вычислительная система, аппаратные и программные особенности реализации которой скрыты
от конечного пользователя. Его интересует лишь решение его задачи, поэтому для решения он выбирает алгоритм, указывает входные
параметры и исходные данные, оплачивает (или получает на основе
«гранта») «вычислительное время» и ждет результата — точная аналогия с функционированием электрических приборов, включенных
в розетку.
На первом шаге реализации распределенной геоинформационной
среды главной задачей является интеграция ГИС-метаданных из
существующих ГИС участников проекта и предоставление механизма публикации и использования вычислительных приложений для
обработки ГИС-данных в Grid. Схема среды изображена на рис. 1.
ГИС
Grid-сегмент
Центральный портал системы
WMS
WFS
Подсистема работы с
ГИС-данными
Геопространственные
данные
Научновычислительный
портал
WS
Вычислительные Хранилища
ресурсы
данных
HTTP(S)
Порталы участников
Коммерческие ГИС
(ArcIMS, etc.)
Специфические
средства
визуализации и
обработки данных
Рис. 1. Схема распределенной геоинформационной среды.
Среда условно делится на две части — ГИС и Grid (в т. ч. и ИС
участников тоже относятся к одной или обеим частям), интеграция
которых осуществляется с помощью технологий ИСИР [1, 2], на которых построен центральный портал. ГИС-часть отвечает за предоставление доступа к распределенным ГИС-данным по стандартным
интерфейсам, визуализацию карт, редактирование элементов; GRIDчасть обеспечивает распределенное хранение (ГИС-)данных, поддержку ресурсоемких вычислений; а главный портал — интеграцию,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О реализации распределенной геоинформационной среды
277
сбор, поиск ГИС-метаданных, каталогизацию ГИС и GRID ресурсов, управление потоками работ по обработке ГИС-данных в GRID
и т. д.
Сначала рассмотрим ГИС-часть среды. Она состоит из ГИСчасти главного портала и произвольного количества «участников».
Выделяется три типа «участников»: 1. поставщики «сырых» данных — не имеют специализированного ГИС-ПО и собственных порталов, зачастую не имеют даже выхода в Интернет; хотят предоставить доступ к своим данным;
2. поставщик данных через стандартный интерфейс — имеет
OGC-совместимое ПО и хочет предоставить доступ к своим данным
через стандартные интерфейсы WMS, WFS;
3. обладатель самостоятельной ГИС с Web-порталом — имеет
свой ГИС-портал (возможно, со средствами визуализации и обработки данных), за которым стоит не обязательно соответствующая
стандартам OGC ГИС, хочет опубликовать метаданные своих ресурсов в общей геоинформационной среде.
Схема взаимодействия всех типов участников с главным порталом изображена на рис. 2.
Центральный портал
1
Map
Layer
х,
П
ер
е
м да
ет ч
ад а
ан д а
н нн
ы ы
х
OGC Server
(ГИС-сервер)
cache
OGC Server
2
WMS
БД ГИС
Портал участника
Портал
3
ГИС- Server
( ArcIMS, ...)
OGC Server
ГИС- сервер
WFS
SHP- файлы
PostGIS,
Oracle Spatial,
...
Источники данных
Сервис
сбора
метданных
Си
нх
ро
ме дан низ
та ны ац
да х, ия
нн
ых
Cache
SHP-файлы
PostGIS,
Oracle Spatial,
...
БД ГП
Поиск
Загрузка данных и
метаданных на
центральный портал
WMS
ГИС- Server
OGC Server
Сторонние ГИСсервера
PostGIS, SHP- файлы
Oracle Spatial,
...
ISO 19115
(schema)
ГИС-данные
WFS
Метаданные
Подсистема работы с
ГИС-данными
Сторонние ГИСсервера
Источники данных
Рис. 2. ГИС-часть распределенной геоинформационной среды.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
278
Вершинин А. В.
Остановимся подробнее на функциональности ГИС-части главного портала, к ней относится:
• управление статическим содержанием (CMS);
• каталогизация и интеграция ГИС-участников различных типов;
• сбор и каталогизация ГИС-метаданных;
• атрибутный поиск и визуализация ГИС-данных;
• кэширование и сохранение результатов обработки ГИСданных.
Для решения задачи интеграции ГИС-метаданных была сформирована общая минимальная схема на основе owl-реализации стандарта ISO 19115. Набор атрибутов слоя состоит из следующих обязательных элементов:
• Границы/масштаб;
• Проекция;
• Дата создания/последнего обновления;
• Тематика/ключевые слова;
• Название/описание;
• Автор карты;
• Источники, использованные при создании карты;
• URL;
• Формат исходных данных.
Метаданные при загрузке на главный портал претерпевают преобразование к общей схеме — это должны обеспечивать адаптеры на
стороне поставщика.
Grid-часть среды включается в себя локальный сегмент Grid —
на данный момент состоящий из кластера ВЦ РАН и двух рабочих
станций и соответствующую часть главного портала, состоящую из
так называемого Научно-вычислительного портала (НВП) и подсистемы взаимодействия с Grid.
Научно-вычислительный портал является самостоятельным решением на основе технологий ИСИР [1, 2], предназначенным для информационного обеспечения деятельности ученых, нуждающихся в
решении сложных вычислительных задач. К его задачам относятся:
• каталогизация «вычислительных приложений», атрибутный
поиск ВП в каталоге;
• запуск ВП, мониторинг выполнения и визуализация результатов;
• конструирование и сохранение сложных ВП из существующих.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О реализации распределенной геоинформационной среды
279
Под вычислительным приложением здесь понимается абстрактная сущность, описывающая некоторый исполняемый программный
код, решающий конкретную вычислительную задачу. Причем с технической стороны этот код должен быть оформлен в виде Webсервиса. Это позволяет осуществлять единообразное взаимодействие
НВП с любым ВП, невзирая на особенности реализации. ВП обладает следующим набором атрибутов:
• Название;
• Описание;
• Создатель/лицо, опубликовавшее ВП;
• Дата создания/публикации/модификации;
• Ссылка на WSDL-описание или UDDI-репозиторий и т.д.
Запуск вычислительного приложения на исполнение обеспечивает динамический SOAP-клиент — по WSDL-описанию строится
Web-форма, позволяющая ввести все необходимые параметры для
запуска соответствующего Web-сервиса. Вызов сервиса производится асинхронно, что позволяет запускать вычисления любой длительности. При ответе от сервиса пользователю, запустившему вычисления, приходит оповещение о завершении выполнения.
Использование Web-сервисов, как «атомарной» единицы ВП, позволяет использовать технологии построения и выполнения рабочих
процессов. В НВП для этой цели используется BPEL-редактор, позволяющий пользователю сконструировать рабочий процесс любой
сложности из зарегистрированных в системе ВП и сохранить такой
конструкт как новый ВП.
Также использование технологий Web-сервисов предоставляет
возможность простой интеграции с Grid, так как последние несколько лет основным направлением движения там является переход на
использование стандартов W3C. В итоге за Web-сервисом может
скрываться сложное распределенное приложение, выполняемое на
нескольких узлах Grid, но от клиента этого приложения все особенности реализации скрыты.
В данный момент ведется работа по разработке подсистемы, обеспечивающей управление Grid-сегментом прямо с главного портала.
В частности, подсистема размещения ВП в Grid будет обеспечивать
загрузку предоставленного клиентом исполняемого кода на указанный узел Grid, его установку и генерацию Web-сервиса для доступа
к этому коду.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вершинин А. В.
280
Также хотелось бы обрисовать дальнейшие перспективы развития описываемой среды. На втором этапе проекта предполагается
сделать основной упор на решение задачи интеграции ГИС-данных
с помощью таких технологий Grid, как OGSA-DAI и пр. Также существенным доработкам должна подвергнуться система безопасности
ГИС-части — в данный момент стандарты OGC никак не регламентируют эту область ГИС. Системы, разработанные на первом этапе,
также продолжат развитие — в частности сбор ГИС-метаданных будет переведен на полностью автоматический режим (в случаях конфликтов участие эксперта, конечно, все равно будет необходимо).
Литература
1. Bezdushnyi A. N., Zhizhchenko A. B., Kulagin M. V., Serebryakov V. A. Integrated Information Resource System of the Russian Academy of
Sciences and a Technology for Developing Digital Libraries // Programming and
Computer Software.—2000.—V. 26, № 4.—P. 177–185.
2. Бездушный А. А., Бездушный А. Н., Нестеренко А. К., Серебряков В. А., Сысоев Т. М. Архитектура RDFS-системы. Практика использования открытых
стандартов и технологий Semantic Web в системе ИСИР // V Всероссийская
научная конференция: «Электронные библиотеки: перспективные методы и
технологии, электронные коллекции»—RCDL’2003.—Санкт-Петербург, 2003.
http://rcdl2003.spbu.ru/proceedings/J1.pdf.
3. Материалы Open Geospatial Consortium (OGC). http://www.opengeospatial.org/
4. Нестеренко А. К., Бездушный А. А., Сысоев Т. М., Бездушный А. Н.,
Серебряков В. А. Служба управления потоками работ по манипулированию ресурсами репозитория // Российский научный электронный журнал «Цифровые библиотеки».—2003.—Т. 6, вып. 5. http:// www.elbib.ru/
index.phtml?page=elbib/eng/journal/2003/part5/NBSBS.
5. Fox G. C., Gannon D. Computational Grids // IEEE Comput Sci Eng.—2001.—
V. 3, № 4.—P. 74–77.
6. The Grid: Blueprint for a New Computing Infrastructure / Ed. Ian Foster and
Carl Kesselman.—Morgan-Kaufman, 1998.
7. Материалы открытой энциклопедии Wikipedia. http://www.wikipedia.org.
Московский физико-технический
институт (Москва, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.9
ПОДХОД К ИНТЕГРАЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ НАУЧНОГО ИНСТИТУТА
НА ОСНОВЕ ОЧЕРЕДЕЙ СООБЩЕНИЙ
Масич Г. Ф., Созыкин А.В., Бобров А. В.
В статье рассматриваются причины и цели интеграции информационных систем. Приводится общая архитектура системы, реализующая приведҷнные
требования. Рассматриваются программные средства, необходимые для реализации архитектуры Рассмотрены принципы работы очередей сообщений и
брокера. Приводится текущая тестовая реализация данного подхода в ИМСС
УрО РАН рамках проекта по созданию единого научного информационного
пространства ЕНИП.
Во многих крупных современных организациях, в том числе и
научных институтах, используется большое количество информационных систем. Исторически сложилось так, что информационные
системы создавались и работали независимо друг от друга. В то же
время этим многим системам нужны одни и те же данные. Например, фамилия и имя сотрудника, хранящиеся в справочной системе
института, нужны также и в информационных системах бухгалтерии, отдела кадров, системе статистики и т. п.
Возникает необходимость интеграции информационных систем в
единое пространство. Нужно обеспечить единое представление данных, понятное всем информационным системам института. В данной статье рассматривается подход к созданию такого представления на основе очередей сообщений. Работы ведутся в рамках проекта по созданию единого научного информационного пространства
ЕНИП [1, 2].
При интеграции информационных систем необходимо обеспечить:
1. Межплатформенное взаимодействие. Как правило, системы
работают на разных платформах (Windows, UNIX и т. п.).
2. Взаимодействие между системами, использующими разные
программные технологии и API (Java, Net, COM, CORBA и т. д.).
3. Доступ к данным в хранилищах разных типов (реляционные
СУБД, каталоги LDAP, XML и т. п.).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Масич Г. Ф., Созыкин А. В., Бобров А. В.
282
4. Преобразование форматов и семантики данных. Например, телефон в одной системе может храниться в одном поле, а в другой —
в трех полях: код страны, код города и номер абонента.
Архитектура системы, позволяющей реализовать все эти требования, показана на рис. 1.
Интеграция информационных систем выполняется с помощью
адаптеров. Адаптер выполняет две задачи:
1. Преобразование внешнего программного интерфейса приложения (API) к единому интерфейсу интеграционной системы.
2. Преобразование данных из формата конкретной информационной системы в общее представление данных.
Общее представление данных
6
?
6
?
Преобразование
данных
Преобразование
данных
Оболочка API
Оболочка API
6
?
Внешний API
6
?
Преобразование
данных
Адаптеры
Оболочка API
6
?
Внешний API
6
?
Внешний API
Информационные
системы
Рис. 1. Архитектура системы интеграции.
Для каждой системы, интеграцию которой нужно выполнить, создается специализированный адаптер.
Реализовать описанную систему интеграции предлагается с помощью очередей сообщений (Message Queue) [3]. Очереди сообщений
служат для организации асинхронного взаимодействия между приложениями. Взаимодействие осуществляется посредством передачи
сообщений через сервер очередей. Обеспечивается гарантированная
однократная доставка сообщений, не смотря на сбои сети между серверами очередей.
Использование очереди сообщений показано на рис. 2 на примере
обмена данными о сотрудниках института между справочной системой и другими информационными системами института. При изменении данных о каком-либо сотруднике, справочная система формирует сообщение с соответствующими изменениями и помещает его в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подход к интеграции информационных систем научного института
283
очередь сообщений на сервере очередей. Системы, которым, необходима информация о персональных данных сотрудников, соединяются с сервером очередей и получают сообщение от справочной системы из очереди.
JMS
Справочная Адаптер
система
JMS
3
Адаптер
Система
статистики
Сервер
- очередей JMS
Брокер
Сообщение
s Адаптер
ЕНИП
Рис. 2. Пример интеграции на основе очередей сообщений.
Взаимодействие между приложением и серверами очередей описывается стандартом Java Messaging Service (JMS). Согласно стандарту, приложения могут быть отправителями сообщений или получателями сообщений. Определяется два типа передачи сообщений:
точка-точка и публикация-подписка.
При доставке сообщений по методу точка-точка отправитель сообщений точно знает, кто будет получателем сообщения. При появлении новых приложений требуется менять код отправителя сообщений.
Публикация-подписка является более гибким методом доставки
сообщений. В этом случае отправитель просто записывает сообщение в определенную очередь на сервере, доступ к которой может
получить любое количество приложений.
JMS определяет ряд проколов, по которым отправители и получатели сообщений получают доступ к серверу очередей: JMS (используемый приложениями Java и C), SSLJMS (то же, что и JMS, но
использует шифрование) и HTTPJMS (использует в качестве транспорта HTTP для работы через межсетевые экраны).
Наиболее популярной реализацией очереди сообщений является IBM WebSphere MQ. Другие реализации очереди сообщений:
Oracle Advanced Queuing, BEA Aqualogic, Sun Java System Message
Queue [3]. Последняя реализация распространяется бесплатно, что
делает возможным применение ее в научном институте.
Очередь сообщений позволяет выполнить три из четырех основных задач интеграции:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
284
Масич Г. Ф., Созыкин А. В., Бобров А. В.
1. Межплатформенное взаимодействие. Распространенные реализации очередей сообщений работают на всех популярных аппаратных и программных платформах (Windows/Intel, Solaris/SPARC,
AIX/Power и т. п.).
2. Преобразование программных интерфейсов интегрируемых
приложений. Стандарт JMS определяет единый программный интерфейс для взаимодействия с очередью. Преобразование из API приложения в API JMS выполняется с помощью адаптеров приложений
(рис. 2).
3. Доступ к данным в хранилищах разных типов. Обмен данными между системами ведется в виде сообщений. Сообщение состоит
из трех частей: заголовка, свойств и тела. Заголовок определяет отправителя, получателя сообщения, содержит сведения для маршрутизации и другие служебные данные. Свойства представляют собой
необязательное расширение заголовка, состоящее из пар название
свойства, значение свойства. В них отправитель может записывать
любую информацию, которая поможет получателю в обработке сообщений. Например, получатель может фильтровать сообщения из
очереди на основе значений определенных свойств. Тело сообщения
содержит данные в различных форматах: набор пар название свойства, значение свойства, текстовая строка, бинарный файл и т. п.
Преобразование данных из формата хранилища, используемого приложением, в сообщение выполняется адаптером.
Задачу преобразования форматов данных можно решить, используя надстройку над очередью сообщений, которая называется брокер
сообщений. Брокер позволяет создавать потоки сообщений: на основе полученного от одной информационной системы сообщения может
быть сформировано несколько сообщений и отправлено в различные
информационные системы. Сообщения могут быть преобразованы
брокером по заданным правилам: можно изменить формат данных,
удалить ненужные конкретному приложению данные или, наоборот,
добавить недостающие. Для добавления данных брокер имеет возможность самостоятельно обращаться к различным хранилищам по
заданным правилам, используя адаптеры.
Существует несколько реализаций брокеров для разных очередей: IBM WebSphere Message Broker, BEA AquaLogic. Очередь сообщений Sun Java System Message Queue также включает в свой состав
брокер. Решение от Sun распространяется бесплатно.
В Пермском научном центре (ПНЦ) Уральского отделения РАН
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подход к интеграции информационных систем научного института
285
ведутся работы по интеграции справочной и нформационной системы и системы статистики использования сетевых сервисов.
Справочная система содержит данные о сотрудниках институтов
ПНЦ: ФИО, место работы (организация и подразделение), контактная информация. Для хранения данных используется каталог Sun
Java System Directory Server на платформе Solaris/SPARC. Доступ
к системе осуществляется через портал на основе Sun Java System
Portal. Система находится в тестовой эксплуатации.
Система статистики собирает сведения об использовании сотрудниками ПНЦ сервисов корпоративной сети: Интернет, электронная
почта, вычислительный кластер МВС-1000/16 и др. Данные хранятся в СУБД Oracle 10g на платформе Linux/Intel. Доступ к системе статистики также осуществляется через портал. Система должна
строить отчеты по статистике использования сетевых сервисов за
определенный период с поддержкой группировки по организациям
и подразделениям.
Интеграция системы статистики со справочной системой нужна
для получения персональных данных пользователей сетевых сервисов и их места работы. Система статистики собирает сведения от
сетевых сервисов, где сотрудники представлены именем пользователя в сервисе. В отчетах же нужно показывать ФИО пользователя.
Чтобы иметь возможность выполнять группировки по организациям
и подразделениям, нужно знать место работы пользователя.
Для интеграции предполагается применить очередь сообщений.
Разрабатывается общая схема данных, которая содержит определение общих объектов, их атрибутов и связей. Для системы статистики
и справочной системы разрабатываются адаптеры, обеспечивающие
доступ к данным в каталоге LDAP и СУБД Oracle по протоколу
JMS. Также адаптеры выполняют преобразование данных из формата каждой системы в общий формат. Использование брокера для
преобразования данных имеет смысл только при большом количестве интегрируемых систем и сложных потоках данных между ними.
Так как интегрируются всего две системы, преобразование данных
выполняется непосредственно в адаптерах.
Выбранный подход позволяет обеспечить единый стандартный
интерфейс доступа к информационным системам: JMS. Интерфейс
не зависит от используемой платформы, API приложения и формата
хранения данных. Адаптеры систем обеспечивают преобразование
данных в единый формат.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
286
Масич Г. Ф., Созыкин А. В., Бобров А. В.
Для реализации интеграции планируется применить сервер очередей Sun Java System Message Queue [3]. Сервер имеет реализации
как для Solaris/SPARC, так и для Linux/Intel.
Очереди сообщений можно применить и для интеграции справочной системы ПНЦ в ЕНИП. Для этого нужно разработать адаптер
JMS для ЕНИП, общую схему данных и описать необходимые потоки
данных между справочной системой ПНЦ и ЕНИП.
Литература
1. Масич Г. Ф., Алексеев А. Н., Бобров А. В., Созыкин А. В., Чугунов Д. П. Использование технологии ИСИР при построении корпоративного портала //
Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании: Тр. X Байкальской Всерос. конф. «Информационные и математические
технологии в науке, технике и образовании». Ч. I.—Иркутск: ИСЭМ СО РАН,
2005.—С. 12–18.
2. Бездушный А. А., Нестеренко А. К., Сысоев Т. М., Бездушный А. Н., Серебряков В. А. Архитектура и технологии RDFS-среды разработки цифровых библиотек и Web-порталов // Электронные библиотеки.—2003.—
Т. 6, вып. 4. [http://www.elbib.ru/index.phtml?page=elbib/rus/journal/2003/
part4/BNSBS].
3. Sun Java Enterprise System. [http://www.sun.com/software/javaenterprisesystem/index.xml].
Институт механики сплошных сред
Уральского отделения РАН (Пермь, Россия);
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 681.323: 621.38
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗНАНИЙ О
СЛОЖНЫХ ПРЕДМЕТНЫХ ОБЛАСТЯХ
А. В. Мишин
Показана возможность создания глобальной теории предметной области как
совокупности локальных теорий объектов, представленных в виде моноида,
и даны рекомендации по представлению знаний в интеллектуальной системе.
Результаты исследований в области создания эффективных систем управления, способных функционировать в условиях неопределенности входной информации (а также в тех случаях, когда не
удается разработать формальную модель объекта управления или
формальную модель взаимодействия объекта с внешней средой) свидетельствуют об актуальности внедрения интеллектуальных систем
(ИС) [1, 2]. Одной из главных проблем, возникающих при создании ИС, является проблема представления и использования знаний о
моделируемых объектах сложной предметной области. Практически
приемлемым к разрешению данной проблемы является подход, предполагающий разработку и отладку отдельных частных формальных
аксиоматических теорий (ФАТ) для фрагментов реальности и последующее объединение таких локальных теорий в единую глобальную
теорию.
Для удобства работы с глобальной теорией должна быть предусмотрена ее структуризация, т. е. четкое распределение знаний по
предметным областям и решаемым системой задачам. Система понятий, используемая для построения частных теорий, должна быть
единой и допускать при представлении знаний обращение к понятиям различной степени общности, обозначающим классы реальных
объектов и отношений между ними.
Требуемая для построения глобальных теорий реальности формальная система может быть создана на основе возникшей, благодаря исследованиям по алгебраической топологии, теории категорий и
топосов [4–7].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Мишин А. В.
288
Формальная система. Построим формальную систему, позволяющую объединять локальные теории отдельных объектов в глобальную теорию реальности. Для этого построим категорию K, объектами которой являются понятия, рассматриваемые с точки зрения
их содержания, т. е. как совокупности свойств или отдельные свойства.
Будем считать, что морфизмы категории µ : X → Y выражают
относительное присутствие объекта X в объекте Y. Если некоторое
понятие представлено объектом U и понятие или свойство Ui является существенным для определения присутствия или отсутствия
объекта U, то категория включает морфизм ϕi : Ui → U. Набор таких морфизмов для всех существенных свойств объекта U или для
всех его составляющих образует покрытие объекта U.
Если объект Ui , в свою очередь, имеет существенное свойство V,
то будем считать, что композиция морфизмов ϕi ◦ ψ, где ψ : V → Ui ,
также принадлежит покрытию объекта U. Распространим этот принцип на композиции морфизмов произвольной кратности, имеющие
вид ϕi ◦ ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ◦ ψn .
При этих условиях морфизмы в объект U образуют решето Φ(U )
над U. Определим ограничение этого решета на объект Ui , связанный с U морфизмом ϕi , как композицию морфизмов ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ◦ ψn ,
которую будем считать принадлежащей покрывающему решету объекта Ui .
Проделав указанные операции для всех объектов категории K,
получим семейство решет C(U ), задающих топологию Гротендика
на объектах категории. Такое определение решета равносильно представлению объектов категории U функторами hU , т. е. множествами
морфизмов
i ∈ I.
Hom(Ui , U ),
K
Предположим, что каждый объект Ui категории представляет
тождественно присутствующую формулу логики присутствия [3],
аналогичную тавтологии в пропозициональном исчислении. Выделим в нем подобъекты, соответствующие внутренности формулы,
выражающей присутствие объекта через присутствие его свойств
или составляющих I Ui , замыканию этой формулы C Ui , внутренности дополнения I ∼ Ui и замыканию C ∼ Ui . В связи с тем,
что частные примеры понятия, представленного объектом Ui , могут
иметь различные значения присутствия, морфизм ϕi : Ui → U мож-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аксиоматическое представление знаний
289
но представить в виде четырех взаимоисключающих по присутствию
морфизмов:
⎧
I Ui → U = Pr (ϕi : Ui → U );
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ I ∼ Ui → U = Ab(ϕi : Ui → U );
⎪
(C Ui ∩ C ∼ Ui ) → U = Un(ϕi : Ui → U );
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ (I ∼ U ∩ I U ) → U = Cn(ϕ : U → U ),
i
i
i
i
(1)
которые можно рассматривать как значения (Pr — «присутствует»;
Ab — «отсутствует»; Un — «не определено»; Cn — «противоречиво») присутствия морфизма ϕi . Эти морфизмы образуют множество
HomK (Ui , U ). Каждый из морфизмов (1) имеет свой образ в объекте
U. Совокупность этих образов для всех ϕi (i ∈ I) составляет предбазу
топологии объекта U. Из условий решета следует, что если имеется
морфизм ψ : V → Ui , то и композиция вида ϕi ◦ ψ также принадлежит покрытию объекта U. Это значит, что топология объекта V
также отображается в объект U и для композиций морфизмов произвольной кратности.
Рассмотрим алгебру морфизмов
{M, ∪, ∩, ∼, ⇒},
где ∪, ∩, ∼, ⇒ — операции алгебры присутствия, а множество M
включает семейство морфизмов
{Hom(Ui , U ) : i ∈ I},
K
а также семейство исходящих морфизмов из объекта U.
{Hom(U, Wk ) : k ∈ K}.
K
Эта алгебра изоморфна алгебре подобъектов объекта U, в число которых входят и I U, I ∼ U, C U, C ∼ U. Определив операцию присоединения следствий и описав аксиоматически отношение логического следования между формулами, составленными из символов морфизмов вида (1), получим формализованную теорию объекта U. Эта
теория позволяет выразить логические связи по присутствию между
входящими в объект и исходящими морфизмами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Мишин А. В.
290
Более удобной для описания изменений состояний информированности системы или состояний объектов, а также для последующего перехода к описаниям преобразований данных является алгебраическая форма представления теорий.
Алгебраическая форма представления теорий. Напомним,
что полугруппой называется универсальная алгебра {A, ◦} с операцией умножения, удовлетворяющей аксиоме ассоциативности x ◦ (y ◦
z) = (x ◦ y) ◦ z, а единицей полугруппы — элемент e, обладающий
свойствами x◦e = e◦x = x. Если это свойство имеет место для любого элемента x, то e можно считать выделенной единицей и включить
ее в сигнатуру алгебры {A, ◦, e}.
Пусть переменные x, y, z обозначают морфизмы категории K и
могут принимать одно из значений присутствия: Pr , Ab, Un, Cn
и Q, где Q обозначает, что операции по определению значения присутствия переменной еще не выполнялись. Можно считать, что Q
выражает полную априорную неопределенность в отличие от Un,
соответствующего апостериорной неопределенности, т. е. отсутствию
информации, установленному в результате анализа имеющихся данных.
Допустим, что аксиомы теории объекта имеют вид
x ⇒ y,
где x, y — некоторые формулы. В зависимости от заданного в теории
значения присутствия этой аксиомы ей соответствуют
Un x ⇒ Pr y
или
Pr x ⇒ Un y.
Согласно правилу вывода modus ponens в первом случае имеет
место выводимость
Un x, (Un x ⇒ Pr y) % Pr y,
(2)
Pr x, (Pr x ⇒ Un y) % Un y.
(3)
а во втором —
Содержание одного шага логического вывода можно представить
в виде изменения значения присутствия y : ∆QP y, ∆U Q y, где первый нижний индекс обозначает значение присутствия до применения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аксиоматическое представление знаний
291
правила вывода, второй — после этой операции. При таких обозначениях выражения (2), (3) можно представить в виде
∆U U x ∩ ∆QP y,
∆P P x ∩ ∆QU y.
В общем случае аксиома может быть представлена как конъюнкция
(λ)
(λ)
(λ)
∆α1 β1 x1 ∩ ∆α2 β2 x2 ∩ · · · ∩ ∆αn βn xn ,
(4)
где αi , βi обозначают исходное и результирующее значения присутствия переменных xi , а λ — порядок дифференциала присут(λ)
ствия ∆αi βi xi .
Порядок λ определяется следующими правилами:
а) если теория описывает одно состояние реальности, не содержащее изменений присутствия морфизмов (статика), то λ = 1;
б) если теория описывает изменение теории, содержащей дифференциалы присутствия порядка λ, то порядок дифференциалов
данной теории равен n + 1.
Определим, правила умножения дифференциалов присутствия:
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
M1. ∆αβ xi ◦ ∆γδ xj = ∅ при i = j;
(λ)
M2. ∆αβ xi ◦ ∆βγ xi = ∆αγ xi ;
M3. ∆αβ xi ◦ ∆γδ xi = ∅ при β = γ.
В остальном правила умножения определяются правилом вывода
modus ponens. Роль единицы в данной полугруппе играет правило
вывода с аксиомной схемой x ⇒ x.
Набор аксиом вида (4) составляет множество образующих полугруппы A, а правила умножения M 1–M 3 — систему определяющих
соотношений.
Сечение S полугруппы над некоторым множеством морфизмов
B = {ϕj : Uj → U, j ∈ J}
определим как подполугруппу, порожденную семейством образующих a ∈ A, содержащих символы морфизмов из B. Ограничение
сечения S на объект Ul определим как подполугруппу теории объекта Ul , элементы которой содержат символы морфизмов ϕl : Ul → U.
Этим обеспечивается выполнение условий решета.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
292
Мишин А. В.
Таким образом, формализованная теория объекта может быть
представлена в виде решеточно-упорядоченной полугруппы, описываемой множеством образующих и системой определяющих соотношений, т. е. в виде моноида.
Заключение. Для построения ФАТ целесообразно использовать
многозначную логику присутствия (логику свойств), а в качестве
средства для отражения неопределенностей в ФАТ — топологию
формул. Топология формул основана на выделении в формуле F,
представляющей объект, необходимой части (внутренности) LF и
возможной части M F (замыкания). Оценка присутствия выражается вектором
LF, M ¬F, M F, L¬F ,
значения которого интерпретируются как необходимое или возможное присутствие (отсутствие) объекта, описываемого формулой F,
или противоречие.
При практической реализации базы знаний (БЗ) ИС целесообразно использовать изоморфное отображение исходной категории
в категорию представимых функторов, в которой каждый объект
X представляется множеством морфизмов hX(Y ) = HomK (Y, X),
а морфизму f : X1 → X2 ставится в соответствие отображение
hf (Y ) : hX1 (Y ) → hX2 (Y ), переводящее морфизм θ ∈ hX1 (Y ) в
композицию f ◦ θ ∈ hX2 (Y ).
Во всех формулах локальных теорий подобъекты представляются их морфизмами в данный объект или композициями морфизмов,
в случае необходимости.
Категории, используемые для представления знаний в ИС, можно представить в виде прямого произведения K = K1 ×K2 ×· · ·×Kn ,
где Ki — отдельные координатные категории, отражающие требуемые аспекты реальности: отличительные признаки объектов, их состав, состояние, размещение в пространстве параметров и в геометрическом пространстве, положение во времени и другие. Это означает, что каждый объект категории является многокомпонентным
и предусматривается описание в отдельных локальных теориях его
семантики и локализации в пространстве параметров.
В БЗ объект соответствует некоторому составному концепту, который имеет в качестве координатных компонент определенные объекты в категориях Ki . В частных случаях это может быть некоторый
процесс, развивающийся в пространстве-времени, либо составное ма-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аксиоматическое представление знаний
293
териальное образование, состоящее из соприсутствующих подобъектов.
Морфизмы в БЗ предполагаются абстрактными сущностями,
служащими для указания наличия связи между объектами. Они не
вносят задержки во времени или «смещения» в какой-либо категории Ki и указывают, что некоторый объект выполняет определенную
роль в другом объекте.
Аксиомы локальных теорий, задаваемых над объектами категории, строятся на основе формул вида
L(l1 ∧ d1 → r), M (l1 ∧ d1 ∧ ¬r), M (l2 ∧ d2 → r), L(l2 ∧ d2 ∧ ¬r),
где формулы l, d, r составленные из символов морфизмов, выражают: l1,2 — достаточные условия осуществимости действия; d1,2 — параметры управления; r — результат действия.
Присутствие или отсутствие каждой из составляющих этой четверки формул определяется в зависимости от достоверности знаний
о свойствах каждого объекта, что позволяет строить и немонотонные
теории в случае недостаточных знаний.
Литература
1. Захаров В. Н. Современная информационная технология в системах управления // Известия РАН. Теория и системы управления.—2000.—№ 1.—С. 70–78.
2. Мишин А. В., Мишин С. А. Принятие управленческих решений в организационных системах: теория и практика.—Воронеж: Воронежский ин-т МВД
России, 2004.—172 с.
3. Мишин А. В. Основы теории формальных систем: построение моделей принятия решений: Монография.—Воронеж: Воронежский ин-т МВД России,
2003.—116 с.
4. Биркгоф Г. Теория решеток.—М.: Наука, 1984.—566 с.
5. Букур Н., Делян А. Введение в теорию категорий и функторов.—М.: Мир,
1972.—259 с.
6. Голдблатт Р. Топосы: Категорный анализ логики.—M: Мир, 1983.—486 с.
7. Расёва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики.—М.: Наука, 1972.—
591 с.
Центральный филиал Российской академии
правосудия (Воронеж, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.9
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ИНТЕГРАЦИИ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ
А. К. Нестеренко
В работе рассматриваются способы автоматизации процессов по манипулированию информационными ресурсами, анализируются механизмы построения систем разработки и управления рабочими процессами, рассматриваются проблемы формализации описаний таких процессов и их взаимодействия с
внешними информационными системами и пользователями, рассматривается возможность применении системы управления потоками работ для задачи
формирования данных электронной библиотеки.
1. Введение
Процесс выполнения тех или иных видов работ по управлению
и обработке информационных ресурсов (документооборот, библиотеки, архивы данных и т. д.) представляет из себя регламентированный набор действий, который необходимо выполнить для достижения необходимого результата. При этом в процессе подготовки
входных и выходных артефактов каждого этапа рабочего процесса
исполнители используют обширный набор инструментальных программных продуктов для частичной автоматизации своего участка
работ. Такая частичная автоматизация «ручной деятельности» конечно имеет ряд положительных моментов, но задача упрощения
координации процесса по обработке информационных ресурсов в целом данным подходом не решается. Следующие ресурсоемкие задачи
не могут быть решены путем простой автоматизации деятельности
сотрудников на местах:
— автоматизированная подготовка входных и выходных артефактов каждого этапа процесса;
— координация потока управления и потока данных;
— полная автоматизация отдельных участков рабочего процесса (способность взаимодействия с «программными» исполнителями
заданий в рамках некоторого унифицированного интерфейса);
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Автоматизация процессов интеграции
295
— возможность быстрого, с минимальными трудозатратами создания нового описания регламента, с возможной модульностью (декомпозицией на подпроцессы) для повторного использования описаний, с поддержкой быстрой и безболезненной для участников процесса модификацией имеющихся регламентов;
— эффективная реакция рабочего процесса на возникновение
непредвиденных обстоятельств на пути его выполнения (например,
недоступность в данный момент тех или иных ресурсов), в том числе четко регламентированные действия по устранению последствий
некорректно выполненного этапа процесса;
— хорошая управляемость процессом с доступом к данным любого активного этапа;
— четкое ролевое разделение участников процесса (в том числе
поддержка динамической взаимозаменяемости исполнителей в случае недоступности нужных ресурсов);
— возможность сбора статистики выполнения процесса для последующей оптимизации.
Для эффективного решения перечисленных выше задач большая
часть усилий разработчиков программного обеспечения на текущий
момент сконцентрирована вокруг теории автоматизированных рабочих процессов (Workflow [1]) и систем, способных эффективно решать задачи их исполнения и координации (Workflow Management
Systems [16]). Количество подобных информационных систем (интеграционных платформ, интеграционных серверов), в основу которых
на формальном уровне заложена базовая концепция интеграции распределенных ресурсов (как программных систем, так и человеческих
ресурсов) для выполнения некоторой общей задачи, увеличивается
очень быстрыми темпами. При этом новые решения приводят к появлению новых задач, адресованных системам исполнения потоков
работ. К основным из них можно отнести следующие:
— построение автономных систем исполнения рабочих процессов (вне контекста конкретного варианта их использования) требует
строгой формализации описаний рабочих процессов на некотором
языке;
— поскольку основной контингент пользователей подобных систем составляют исполнители на местах, аналитики, менеджеры
(т. е. люди неискушенные в программировании маршрута рабочего
процесса с использованием некоторых формальных языков), система
разработки рабочих процессов (являющаяся частью интеграционно-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
296
Нестеренко А. К.
го сервера) должна предоставлять развитые средства по созданию и
модификации описаний потоков работ. При этом должен использоваться наиболее интуитивно понятный обычному пользователю способ формирования рабочих процессов — визуальные диаграммы (так
как практически каждый управляющий процессом человек привык
использовать для таких целей некоторое прикладное средство, такое как, например, диаграммы активности UML [2]). Итого, помимо
эффективного «языка программирования» рабочих процессов пользователям должна быть представлена удобная графическая нотация
для их описания с достаточным уровнем абстракции;
— сервер интеграции должен предоставлять создателям описаний рабочих процессов полный набор средств для проверки их работоспособности до начала опытной эксплуатации. Такие средства
должны включать как простые статические верификаторы корректности созданных описаний рабочих процессов, так и динамические
отладчики;
— интерактивные средства взаимодействия с пользователями являются особо важной составляющей частью сервера интеграции, поскольку именно пользователи управляют ходом выполнения потока
работ;
— большую важность имеют задачи обеспечения безопасности
данных и поддержки транзакционности автоматизированных рабочих процессов.
По данным направлениям организациями-законодателями теоретических основ систем исполнения рабочих процессов выполняется
большая работа по стандартизации универсальных решений и технологий. При этом для создания гибкой, расширяемой архитектуры
интеграционного сервера необходима четкая декомпозиции процесса
разработки и исполнения потока работ на отдельные этапы и анализ
задач, возникающих на каждом из них. В данной статье описан подход к созданию интеграционного сервера, автоматизирующего весь
жизненный цикл рабочего процесса от создания до отладки и исполнения.
2. Формальное представление рабочего процесса
В основе каждого автоматизируемого рабочего процесса заложено понятие так называемой модели рабочего процесса, которая представляет собой формализованное описание рабочих процессов, отражающее реально существующую или предполагаемую деятельность
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Автоматизация процессов интеграции
297
в рамках некоторого реального производственного процесса. Модель
рабочего процесса должна давать ответы на вопросы:
— какие процедуры (функции, работы) необходимо выполнить
для получения заданного конечного результата?
— в какой последовательности выполняются эти процедуры?
— какие механизмы контроля и управления существуют в рамках
рассматриваемого рабочего процесса?
— кто выполняет процедуры процесса?
— какие входящие документы/информацию использует каждая
процедура процесса?
— какие исходящие документы/информацию генерирует процедура процесса?
— какие ресурсы необходимы для выполнения каждой процедуры
процесса?
— какая документация/условия регламентирует выполнение процедуры?
— какие параметры характеризуют выполнение процедур и процесса в целом?
Качественно новым шагом в моделировании рабочих процессов стало появление нотации Process Modeling Notation (BPMN),
см. [3], представленной консорциумом Business Process Management
Initiative (BPMI) в 2003 г. Целью этого проекта является создание общей нотации для различных категорий специалистов: от аналитиков
и экспертов до разработчиков ПО. BPMN модель визуализируется с
помощью диаграммы под названием Business Process Diagram (BPD).
Диаграмма BPD имеет два основных достоинства. Во-первых, она
проста в использовании и понимании. Применяя ее на начальном
уровне сложности, можно найти общий язык с нетехническим персоналом. Во-вторых, поднимаясь на более высокий уровень сложности описания, можно постепенно подойти к естественному отображению на языке исполнения рабочих процессов. Определяя достаточный уровень абстракции нотация BPMN позволяет наглядным
образом описывать модели рабочих процессов безотносительно среды их функционирования. На базе такой «скелетной» реализации
процесса можно получать различные варианты «исполняемого кода». Помимо этого графическая нотация BPMN 1.0 определяет ряд
дополнительных функциональных возможностей, делающих ее наиболее выгодным средством для перевода реальных рабочих процессов в формальную объектную модель:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
298
Нестеренко А. К.
— широкий набор элементов декларации рабочего процесса сочетающий простоту визуализации и богатую выразительность;
— возможность прямого отображения в различные исполняемые
языки рабочих процессов (например, BPEL4WS [4] и BPML [5]);
— возможность экспорта в распространенных форматах описания
рабочих процессов, таких как диаграммы активности UML 1.0 и 2.0
в виду схожей базовой метамодели.
Более полный анализ подхода к моделированию рабочих процессов с помощью BPD диаграмм и их экспорта в различных форматах
представлен в работе [6].
3. Понятие среды функционирования процесса
Следующий этап после формализации рабочего процесса в терминах объектной модели — выбор среды функционирования рабочего процесса, включая представление интерфейсов его участников.
Среда функционирования рабочего процесса обеспечивает привязку
абстрактной модели рабочего процесса к реальным участникам (программным компонентам) и структурам оперативных данных процесса.
Наибольшее распространение по представлению среды взаимодействия автономных программных приложений (за которыми могут стоять и пользовательские рабочие места) получила сервисориентированная модель. Сервис-ориентированная модель обеспечивает поддержку распределенных, повторно используемых, взаимозаменяемых компонентов. Большинство созданных на текущий момент систем управления рабочими процессами в качестве
среды функционирования автоматизированных участников потока работ (сервисов) придерживаются сервис-ориентированной модели взаимодействия, представленной архитектурой WEB-сервисов
(WSA [7]). WEB-сервисы — это распределенные сервисы, обрабатывающие XML-сообщения, передаваемые по протоколу SOAP [9]. Интерфейс WEB-сервисов описывается с помощью языка WSDL [8].
Web-сервисы обеспечивают интероперабельность между программными компонентами, которые могут размещаться в различных инфраструктурах.
Быстрое развитие архитектуры WSA привело к появлению ряда
сопутствующих стандартов, позволяющих эффективно решать задачи координации потоков управления и данных в рамках автоматизированного рабочего процесса:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Автоматизация процессов интеграции
299
— поддержка транзакционности (WS-Transaction [10]);
— безопасные протоколы передачи сообщений (WS-Security [11]);
— протоколы гарантированной доставки сообщений (WS-Reliable
Messaging [12]);
— каталогизация описаний WEB-сервисов (UDDI [13]).
Таким образом, использование архитектуры WSA в качестве среды функционирования рабочего процесса позволяет построить универсальную, допускающую повторное использование существующих
компонентов, безопасную и надежную архитектуру интеграционного
сервера.
4. Переход от абстрактного описания
рабочего процесса к исполняемому
Имея описание модели рабочего процесса и подготовленный набор программных компонентов (WEB-сервисов), выполняющих автоматизированные участки процесса, можно переходить к следующему этапу — получение по описанию модели процесса «программного кода».
На текущий момент существует ряд XML-языков для описания рабочих процессов в виде композиций WEB-сервисов. Наиболее
быстрыми темпами развивается язык BPEL4WS (Business Process
Execution Language for Web-services).
К своему нынешнему виду BPEL эволюционировал из слияния
XLANG [14] (языка категории XML BP, созданного в Microsoft
на основе [17] пи-исчисления [18]) и разработанного в IBM языка
WSFL [15] (также языка категории XML BP, но использующего [17]
сети Петри [19]). Позже некоторые дополнения были предложены
BEA, а потому и эту компанию включают в число авторов BPEL.
В данный момент BPEL проходит финальную стадию доработки в
техническом комитете OASIS BPEL TC [20].
Язык BPEL содержит набор базовых управляющих конструкций
и конструкцию для работы с данными для описания исполняемого
рабочего процесса, участниками которого являются WEB-сервисы.
Для него не определена строгая графическая нотация. Поэтому задача разработки описания рабочих процессов на языке BPEL может
быть эффективно решена с использованием декомпозиции общего
процесса разработки:
1. разработка графического представления рабочего процесса и
его модели с помощью нотации BPMN (выполняется аналитиками);
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
300
Нестеренко А. К.
2. генерация исполняемого кода на языке BPEL по полученной
модели рабочего процесса (автоматизированный этап разработки,
так как спецификация BPMN 1.0 описывает способ отображения
BPD диаграмм в конструкции языка BPEL);
3. доработка и отладка полученного BPEL описания (выполняется техническим специалистом).
5. Сервер интеграции приложений как единое окно
к сервисам системы исполнения рабочих процессов
Задача исполнения формализованных описаний рабочих процессов — одна из основных задач сервера интеграции приложений. В
целом сервер интеграции распределенных приложений предоставляет функциональную поддержку в следующих областях:
— предоставление средств разработки описаний рабочих процессов;
— интерпретация и исполнение формализованных описаний потоков работ;
— предоставление внешним пользователям доступа к подсистеме
исполнения рабочих процессов для интерактивной работы.
В соответствии с описанным выше подходом последовательность
действий по разработке нового рабочего процесса имеет следующий
вид:
1. построение абстрактной модели рабочего процесса;
2. реализация программных компонент, автоматизирующих исполнение отдельных задач рабочего процесса;
3. получение по абстрактной модели «исполняемого кода» с привязкой к реальным участникам процесса;
4. верификация и отладка полученного описания процесса.
Подсистема исполнения потоков работ обеспечивает интерпретацию описания рабочего процесса координацию потока управления и
потоков данных. Она позволяет осуществлять взаимодействие процесса с программными компонентами и людьми, выполнять ведение
статистики выполнения процесса, поддерживать безопасность и целостность оперативных данных процесса.
Для взаимодействия с работниками на местах сервер интеграции
приложений должен обеспечивать возможность интерактивного взаимодействия с пользователями для решения следующих задач:
— управление жизненным циклом рабочего процесса;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Автоматизация процессов интеграции
301
— предоставление внешних данных процессу;
— мониторинг состояний;
— реализация модели ролевого участия пользователей в рабочем
процессе.
В рамках проекта «Разработка средств интеграции научных приложений» по программе фундаментальных исследований ОМН РАН
выполняется работа по анализу, разработке и прототипированию
сервера интеграции научных приложений [21, 22], обеспечивающего автоматизацию жизненного цикла рабочих процессов по указанным выше направлениям. Для разработки описаний рабочих процессов сервер интеграции приложений предоставляет набор визуальных средств для разработки диаграмм в нотации BPMN 1.0 и
XML-описаний исполняемых процессов на языке BPEL4WS 1.1. Развитые средства интерпретации описаний рабочих процессов на языке
BPEL4WS позволяют выполнять как исполнение процесса в реальном времени, так и динамическую отладку. Средства мониторинга и
интерактивного взаимодействия с пользователем обеспечивают хорошую управляемость потоков работ.
6. Использование интеграционного сервера при решении
задачи формирования ресурсов электронной библиотеки
В рамках проекта по программе информатизации РАН была
сформулирована задача макетирования электронной библиотеки научного наследия. При этом одной из основных задач в процессе сопровождения библиотеки является процесс подготовки электронных
документов.
В качестве основы для представления цифровых копий удобно
использовать формат Adobe PDF:
— PDF позволяет сохранять файл после распознавания в режиме
«текст под изображением», а значит полностью исключить процедуру ручного исправления ошибок распознавания;
— средствами PDF достаточно легко можно организовать полнотекстовый поиск. После распознавания текста отсканированных бумажных изданий каждая электронная копия содержит «невидимый»
слой распознанного текста, по которому организовывается полнотекстовый поиск;
— возможности сжатия файлов в PDF достаточны для размещения на одном CD-R необходимого количества отсканированных
страниц.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
302
Нестеренко А. К.
Весь технологический процесс получения электронных версий бумажных изданий может быть представлен в виде ряда элементарных
операций, при этом работа может быть организована по принципу
конвейера: каждый участник процесса выполняет поставленную ему
задачу. В целом технологический процесс можно представить в виде
следующей последовательности действий:
1. Просмотр и подготовка бумажного издания.
2. Определение оборудования, на котором будет проходить сканирование и параметров сканирования.
3. Сканирование (или оцифровка) бумажных изданий, возможно,
с параллельным приведением к другим физическим формам, например, микрофишированием.
4. Контроль сканирования, исправление ошибок (повторное сканирование «бракованных» или пропущенных страниц).
5. Автоматическая постраничная разрезка отсканированных разворотов.
6. Контроль автоматической разрезки и исправление ошибок.
7. Постраничная обработка (удаление дефектов сканирования и
восстановление истинных размеров страницы) и размещение электронных версий в промежуточном хранилище.
8. Распознавание в Adobe Fine Reader целых или частей некоторых материалов.
9. Дополнительное сжатие PDF файлов.
10. Размещение электронной версии в постоянном хранилище, создание резервных копий.
11. Сопровождение полученных электронных версий дополнительными метаданными (автор, аннотация, оглавление электронной
публикации и т. д.).
12. Классификация электронной версии документа (привязка к
рубрикаторам и разделам электронной библиотеки).
13. Определение параметров безопасности и шифрование PDF
файла.
14. Размещение в оперативном хранилище для online публикации.
15. Подготовка к online публикации (индексирование, кэширование).
16. Размещение полученной электронной версии в открытом доступе.
17. Обслуживание online публикации — биллинг, создание твердых копий.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Автоматизация процессов интеграции
303
На следующей диаграмме представлено крупноблочное описание
данного процесса в нотации BPMN:
Рис. 1. BPD диаграмма процесса создания электронных версий бумажных
изданий.
В данном процессе условно выделено три типа подпроцессов:
— процесс сканирования бумажных носителей;
— операции по работе с хранилищем данных;
— процесс распознавания и редактирования электронных изданий;
— процесс публикации электронных изданий в открытом доступе.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нестеренко А. К.
304
В данном процессе выделены следующие роли участников:
— «Оцифровщик» — технический специалист, ответственный за
подготовку бумажных изданий к сканированию, управление процессом сканирования, исправление ошибок в полученных электронных
версиях.
— «Система сканирования» — автоматизированная информационная система, управляющая сканирующим оборудованием и выполняющая дополнительные прикладные задачи (например, разбивка
на страницы). Имеет внешний интерфейс (WEB-сервис).
— «Подсистема хранения данных» — автоматизированная информационная система, представленная хранилищем данных и внешним
интерфейсом (WEB-сервисом) для доступа к операциям извлечения
и модификации информации.
— «Система распознавания» — автоматизированная информационная система, выполняющая распознавание текста полученных на
предыдущих этапах электронных документов и выполняющая дополнительные прикладные задачи (сжатие, шифрование файлов и
т. д.). Имеет внешний интерфейс (WEB-сервис).
— «Редактор» — технический специалист, ответственный за
управление процедурой распознавания текста, сопровождение электронных документов дополнительной метаинформацией и размещение их в открытом доступе.
— «WEB-портал» — WEB-приложение, предоставляющее внешним пользователям доступ к ресурсам электронной библиотеки, а
так же ряд дополнительных сервисов.
Использование для целей автоматизации таких процессов сервера интеграции приложений позволит обеспечить высокую производительность процесса подготовки электронных версий бумажных
изданий в целом. В данный момент выполняется проектирование
структуры соответствующих потоков работ.
Литература
1. Carol Prior. Workflow and Process Management // http://www.wfmc.org/ information/Workflow and Process Management.pdf, 2005.
2. OMG UML 1.4 // http://www.omg.org/cgi-bin/doc?formal/01-09-67, 2001.
3. OMG Business Process Modeling Notation Specification // http://bpmn.omg.
org/ Documents/BPMN %20V1-0%20May%203%202004.pdf, 2004.
4. Business Process Execution Language for Web Services Version 1.1. // http://
www-106.ibm.com/developerworks/library/ws-bpel/
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Автоматизация процессов интеграции
305
5. BPML working draft March 25, 2002. // http://xml.coverpages.org/bpml.html
6. Данилина А. А., Бездушный А. Н, Нестеренко А. К., Серебряков В. А. Методы моделирования бизнес-процессов. Выбор обменного формата для моделей
бизнес-процессов // VIII Всероссийская конференция «Электронные библиотеки: перспективные методы и технологии, электронные коллекции».—
Суздаль, 2006.
7. Web Services Architecture // http://www.w3.org/2002/ws/
8. Web Services Description Language (WSDL) Version 2.0 Part 1: Core Language //
http://www.w3.org/TR/2004/WD-wsdl20-20040326/
9. SOAP Version 1.2 Part 1: Messaging Framework // http://www.w3.org/TR/
2003/REC-soap12-part1-20030624/
10. Web Services Transaction (WS-Transaction) // http://www-106. ibm.com/
developerworks/webservices/library/ws-transpec/
11. WS-Security Specification // http://www.oasis-open.org/committees/ tc home.
php? wg abbrev=wss
12. WS-ReliableMessaging Specification // http://www.oasis-open.org/ committees/
tc home.php?wg abbrev=wsrm
13. Universal Description, Discovery and Integration specification // http://www.
uddi.org
14. Web Services for Business Process Design // http://xml.coverpages.org/xlang.
html
15. Web Services Flow Language // http://xml.coverpages.org/wsfl.html
16. Нестеренко А. К., Бездушный А. А., Сысоев Т. М., Бездушный А. Н. Возможности службы управления потоками работ по манипулированию ресурсами репозитория ИСИР // Сборник научных трудов X научно-практического
семинара «Новые технологии в информационном обеспечении науки».—М.,
2003.—С. 206–231.
17. Черняк Л. BPM: близкие перспективы и далекие горизонты // Электронный
журнал «Открытые системы».—2006.—Вып. 11.
18. Sangiorgi D., Walker D. The pi-calculus: a Theory of Mobile Processes.—
Cambridge Universtity Press, 2001, http://www.cs.unibo.it/ sangio/
Book pi.html.
19. Reisig W. Petri Nets, An Introduction // EATCS, Monographs on Theoretical
Computer Science.—Berlin, 1985.
20. OASIS Web Services Business Process Execution Language (WSBPEL) TC //
http://www.oasis-open.org/committees/tc cat.php?cat=ws
21. Мартынов М. Ю., Нестеренко А. К., Бездушный А. Н., Ляшков А. С., Ярощук И. О. Технология научных потоков работ как средство автоматизации
исследований гидрофизических процессов // Тихоокеанский океанологический институт ДВО РАН, 2006. http://info2006.febras.net/program.doc
22. Нестеренко А. К., Бездушный А. А., Сысоев Т. М., Бездушный А. Н., Ярощук И. О. Моделирование распределенных научных вычислительных процессов посредством применения технологии рабочих процессов // VII Всероссийская конференция «Электронные библиотеки: перспективные методы
и технологии, электронные коллекции».—Ярославль, 2005.
Вычислительный центр РАН (Москва, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 681.3
ОПЫТ РАЗРАБОТКИ ПОРТАЛА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН
НА БАЗЕ СИСТЕМЫ «НАУЧНЫЙ ИНСТИТУТ»
С. В. Перминов, В. И. Воробьев,
В. С. Марков, В. М. Шишкин
В работе описан процесс создания версии портала Санкт-Петербургского научного центра РАН. Портал построен в соответствии с принципами Единого
научного информационного пространства ЕНИП, при его реализации была
использована программная система «Научный институт», разработанная в
ВЦ РАН им А. А. Дородницына. Представлена история проекта и вопросы,
поставленные в ходе его практической реализации.
1. Введение
Портал разрабатывается с сентября 2005 г. Первый этап разработки был завершен 24 мая 2006 г., в этот день он стал доступен в
сети Интернет по адресу «http://www.spbrc.nw.ru». Задачу по его реализации Санкт-Петербургский научный центр РАН (СПб НЦ РАН)
поручил Санкт-Петербургскому институту информатики и автоматизации РАН (СПИИ РАН). В СПИИ РАН было принято решение
взять курс на интеграцию портала в Единое научное информационное пространство (ЕНИП) и использовать для реализации этого решения программную систему «Научный институт», разработанную
в ВЦ РАН им. А. А. Дородницына.
Нашей концепцией было создание информационной единицы, тесно интегрированной с другими ресурсами РАН, представленными в
сети Интернет, технология ЕНИП была выбрана как удовлетворяющая ей. Использование ЕНИП предоставило нам ряд уникальных
возможностей [1]. Одна из них позволяет любому человеку, работающему в РАН, а также любой подчиненной организации, создать свою
web-страницу, которая будет тесно интегрирована со всем информационным пространством РАН. Кроме того, ЕНИП (который можно
упрощенно представить как стандартизованный набор метаданных и
сервисов) будет эффективно решать проблемы противоречивости и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Опыт разработки портала СПбНЦ РАН
307
труднодоступности информации, которая сегодня представлена на
множестве сайтов научных организаций Санкт-Петербурга, равно
как и на других информационных ресурсах РАН. Естественным образом это также решит проблему дублирования информации. ЕНИП
будет способствовать эффективному разграничению полномочий по
редактированию информации и, что более важно, вовлечению, в перспективе, всех работников научной сферы в процесс пополнения базы ЕНИП. Таким образом ЕНИП — это шаг вперед по направлению
к открытости и публичности всей академии наук и СПбНЦ РАН в
частности.
2. История проекта
В старой версии портала, существовавшей достаточно давно, было линейное меню, другими словами разделы главного меню не содержали в себе подразделов (см. рис. 1).
Рис. 1. Структура старой версии портала.
На этапе проектирования было принято решение, что в структуре новой версии портала должны присутствовать общие черты
со структурой портала РАН, что может помочь посетителям последнего легче ориентироваться в структуре портала СПбНЦ РАН
(см. рис. 2). Такой подход, как нам представляется, следует использовать при проектировании других сайтов в рамках ЕНИП.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
308
Перминов С. В., Воробьев В. И., Марков В. С., Шишкин В. М.
Функциональность меню была реализована на основе платформы Apache Cocoon [2], с использованием которой построена и сама
система «Научный институт». В частности здесь были использованы
XSLT-преобразования и XSP-страницы, т. е. тесно интегрированные
в рамках Apache Cocoon XML-технологии и возможности среды Java.
Основная идея Apache Cocoon — разделить информацию, описывающую web-сайт (web-портал), на данные, логику их обработки и представление данных. При этом клиенту передается только представление, что позволяет одни и те же данные, хранимые на сервере, передать клиенту множеством форматов (например, HTML, PDF, XML
и т. д.). Нельзя не отметить, что задача создания структуры меню
в новой версии системы «Научный институт» значительно упрощена, на момент написания статьи оно может быть сформировано при
помощи web-интерфейса без участия технического специалиста.
Рис. 2. Структура новой версии портала.
Вся информация на русском языке, представленная на старом
портале, перенесена в новую версию. Часть информации введена как
структурированные данные согласно формату, предусмотренному в
технологии ЕНИП. К таким данным относится прежде всего содер-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Опыт разработки портала СПбНЦ РАН
309
жимое подраздела «Институты и организации» в разделе «Научная
структура», где представлена информация об организациях, находящихся в научном подчинении СПбНЦ РАН. В портале предусмотрена возможность семантического поиска персон и организаций. На
основе технологии ЕНИП также сформировано содержимое подразделов «Общие сведения» и «Историческая справка» в разделе «Об
академии» и подразделы «Междисциплинарный совет», «Управление внешних связей» в разделе «Научная структура». Информация
в перечисленных разделах и подразделах портала может быть интегрирована в ЕНИП, в том числе подготовлена к пересылке на центральный узел ЕНИП.
Часть информации в портале не включена в структуру данных
ЕНИП и представлена в виде статических страниц, например, страница «Наши координаты», в которую было необходимо включить
не только адрес проезда, но и карту, что не предусмотрено в webинтерфейсе для управления ЕНИП-данными. Раздел «Президиум»
также реализован в виде статической страницы. В данном случае
существовала необходимость представить информацию о персональном составе президиума, что на первый взгляд кажется типичной
задачей для системы «Научный институт». Однако руководство настаивало на конкретном, специфичном представлении этой информации. Система «Научный институт» пока не дает возможности гибко настраивать представление данных ЕНИП, поэтому для описания
президиума мы использовали статическую страницу. Тем не менее
данные о персональном составе введены в базу ЕНИП, они редактируются как в базе, так и в статической странице. В портале предусмотрена возможность синтаксического поиска в статических страницах.
Статические страницы сделаны в основном с использованием системы управления документами, предусмотренной в предыдущей
версии системы «Научный институт», на момент написания статьи
на ней построен весь портал. Данная система позволяет редактировать HTML-код через web-интерфейс портала. Необходимо отметить, что в новой версии системы возможности по управлению статическими страницами резко возросли с введением системы управления содержимым — Content Management System (CMS), которая
позволяет редактировать подобные страницы человеку, незнакомому со стандартом HTML, но имеющему опыт работы в современных
текстовых процессорах, например, Microsoft Word.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
310
Перминов С. В., Воробьев В. И., Марков В. С., Шишкин В. М.
На момент написания статьи нами решаются вопросы поддержки портала, его интеграции в ЕНИП, подготовки к переходу на новую версию системы «Научный институт», публикации портала на
английском языке, а также возможности по подключению дополнительных сервисов, в том числе, конференций.
3. Вопросы, поставленные в ходе реализации проекта
При появлении необходимости создания новой версии портала
Санкт-Петербургского научного центра, было проведено исследование с целью поиска платформы, на базе которой ее можно было бы
построить. В этой связи была рассмотрена концепция ЕНИП и начато изучение системы «Научный институт», построенной на его основе. Возможности, которые предоставлялись данной системой, были
вполне понятны, однако оставалось неясным, как фактически начать
разработку портала. Система поставлялась с большим объемом документации, которая носила технический характер и выявляла значительную сложность и множество деталей архитектуры системы.
Тем не менее документация не содержала в себе раздела, в котором
более или менее определенно были бы описаны шаги, необходимые
для развертывания портала. Необходимо отметить новую, третью
версию системы, которая сделала значительный шаг вперед в этом
направлении. С одной стороны, она стала проще, поэтому необходимость в такой документации теперь не столь существенна, с другой
стороны, дистрибутив системы пополнился установщиком и руководством к нему.
Одна из целей, которая преследовалась обновлением портала
СПбНЦ — заменить старую версию, состоящую из статических
HTML-страниц новой, с возможностью динамического обновления
ее содержимого посредством форм. Однако, как стало ясно из документации, система «Научный ниститут» не могла предложить нам
простое решение данной задачи, другими словами, в системе не был
предусмотрен простой алгоритм создания пользовательских форм.
Мы начали переписку с авторским коллективом системы «Научный
институт», в результате которой нам было рекомендовано использовать существующие наработки в системе, не создавая собственных
форм. Конечно, такой подход не мог удовлетворить все наши требования к новой версии портала. Все вместе это потребовало пересмотра поставленных нами целей. В итоге было принято решение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Опыт разработки портала СПбНЦ РАН
311
согласиться с ограничениями, связанными с использованием системы, так как решение общей и долгосрочной задачи интеграции в
ЕНИП представлялось нам существенно более важным, чем решение более частной задачи — гибкости представления и наполнения
информации в портале.
Таким образом, возможности и ограничения системы «Научный
институт» стали понятны в середине работы над порталом, поэтому в качестве рекомендации для разработчиков нами предлагается
составить документацию для пользователей, которые только начинают работу с системой. Эта документация может представлять собой
пошаговую инструкцию действий, необходимых для развертывания
системы и ее интеграции в единое информационное пространство.
Подобное руководство может помочь начинающему пользователю
получить первоначальное представление о том, что можно делать в
системе, а что нельзя. В нашем случае подобные вопросы решались
посредством переписки, однако на наш взгляд части этих вопросов
можно было бы избежать при наличии соответствующей документации.
Вынуждены отметить свое сожаление по поводу закрытости системы. На наш взгляд открытые системы (имеются в виду системы с
открытым исходным кодом) в перспективе более устойчивы к уязвимостям и ошибкам, так как дают возможность коллективного труда
независимых разработчиков с различными интересами по исправлению ошибок. Проект ЕНИП, безусловно, имеет широкий масштаб
и рассчитан на долгосрочную перспективу. На наш взгляд, в этих
условиях, открытость системы «Научный институт» могла бы стать
серьезным подспорьем для ее развития и повсеместного внедрения,
учитывая противоречивые интересы научных организаций. Данная
система распространяется бесплатно среди научных институтов, поэтому открытие исходных кодов — это следующий естественный шаг.
Должны отметить свое несогласие с тем, что требования последней, третьей версии системы определяют, что в качестве операционной системы должна использоваться Microsoft Windows, а в качестве
СУБД — Microsoft SQL Server, как указано в таблицах 5, 6 руководства по установке портала «Научный институт», которое приложено
к дистибутиву (версия 3.0.3). Мы согласны с тем, что есть фактическая возможность сконфигурировать сервер приложений для работы
в UNIX-подобной системе, однако при попытке использования иной
базы данных возникают существенные сложности. (В частности, в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
312
Перминов С. В., Воробьев В. И., Марков В. С., Шишкин В. М.
новой версии системы «Научный институт» предусмотрены дамп и
скрипты только для БД Microsoft SQL Server.) В нашей лаборатории
(вычислительных систем и проблем защиты информации) взят курс
на использование программных инструментов, построенных по принципам открытых систем, поэтому мы используем UNIX-подобные и
POSIX-совместимые системы как в необходимой степени удовлетворяющие этим принципам.
Хотелось бы отметить положительные стороны системы, к которым уместно отнести наличие работающей реализации концепции
ЕНИП, развитые возможности по разграничению прав доступа к
чтению и редактированию информации, использование актуальных
XML-технологий.
На наш взгляд, у системы «Научный институт» есть все шансы
стать основой для построения новой информационной инфраструктуры при ее эффективном внедрении. Данная инфраструктура будет состоять из взаимосвязанных друг с другом центрального узла,
порталов научных центров, сайтов научных институтов. По нашему
мнению эта инфраструктура может стать фундаментом для новых,
уникальных возможностей. Речь идет о web-сервисах, которые могут
значительно упростить и автоматизировать документооборот между научными организациями, например, в вопросах международных
взаимодействий или в вопросах управления кадрами. Перспективна
также идея об объединении возможностей различных web-сервисов,
например, при помощи механизмов так называемой оркестровки или
хореографии [3]. При оркестровке центральный процесс (им может
быть другой web-сервис) берет под свое управление и координирует
выполнение различных действий задействованными web-сервисами
в отличие от хореографии. В случае хореографии скорее каждый
задействованный web-сервис точно «знает», когда выполнить необходимые для хореографии операции и с кем взаимодействовать.
Разработка web-сервисов (в том числе с использованием GRIDтехнологий) может стать одним из решений задач распределения ресурсоемких вычислений. Здесь, в перспективе, видимо, есть смысл
говорить об интеграции в рамках ЕНИП не только информационных, но и вычислительных ресурсов РАН, что было бы естественным продолжением концепции ЕНИП. Таким образом, развитие его
инфраструктуры неизбежно предполагает не только количественное
наращивание структурных элементов или усложнение сервисов, но и
качественный рост. Причем даже существенное структурное услож-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Опыт разработки портала СПбНЦ РАН
313
нение создаст определенные сложности с администрированием безопасности.
В настоящее время вопросы безопасности не слишком актуальны,
так как администрирование и разграничение доступа в действующей
версии системы решены вполне разумно и адекватно масштабам и
уровню критичности ресурсов. Но с учетом указанной перспективы система безопасности в нынешнем ее виде заведомо не сможет
удовлетворить новые потребности. Поэтому перспективные вопросы
безопасности ресурсов в ЕНИП следует начинать прорабатывать, не
дожидаясь, когда проблема заявит о себе практически, тем более,
что защита ресурсов в распределенных средах идеологически соответствует принятой концепции ЕНИП.
Заключение
В процессе работы были оценены перспективы ЕНИП как единой информационной сети РАН, которая потенциально может дать
Российской академии возможности, схожие с возможностями, в свое
время открытыми паутиной World Wide Web. Однако важнейшим
достоинством ЕНИП по сравнению с Web является структурированность информации, что позволяет осуществлять семантический поиск в ней. Выражаем свою поддержку ЕНИП и системы «Научный
институт» и надеемся, что последняя станет более открытой.
Литература
1. Серебряков В. А. Интегрированная система информационных ресурсов: архитектура, реализация, приложения.—М.: ВЦ РАН им. А. А. Дородницына,
2004.
2. Apache Cocoon http://cocoon.apache.org/
3. Peltz C. Web services orchestration and choreography // IEEE Computer.—2003,
№. 10.—P. 46–52.
Санкт-Петербургский научный центр
(Санкт-Петербург, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.9
ЕДИНОЕ НАУЧНОЕ
ИНФОРМАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО РАН
В. А. Серебряков
Обсуждается концепция Единого научного информационного пространства
РАН, работка и внедрение в организациях РАН единого подхода к информационному наполнению и интеграции существующих и вновь создаваемых
электронных ресурсов РАН.
1. Введение
1.1. Определение. Единое научное информационное пространство (ЕНИП) РАН — это интегрированное информационное пространство распределенных и локальных цифровых (электронных)
ресурсов организаций РАН и комплекс программно-технических
средств, обеспечивающий использование этих ресурсов и полнофункциональное управление ими.
К настоящему времени в организациях РАН уже созданы значительные цифровые ресурсы. Это научные публикации, базы и банки
данных в различных областях науки, алгоритмы и программы и т. д.
Академия, в целом, располагает значительными техническими и информационными ресурсами и имеет большой опыт и авторитет в области создания и развития телекоммуникационных и информационных систем. Она объединяет более 400 научных организаций (институтов, лабораторий и т. д.) с очень широким географическим распределением. Задача объединения всех этих ресурсов в интегрированное информационное пространство является необходимым условием
дальнейшего развития российской науки.
К настоящему времени в РАН имеется достаточно развитая информационная инфраструктура, образованная широким спектром
цифровых ресурсов, создаваемых и поддерживаемых в организациях РАН. Эффективность этой инфраструктуры невысока в основном
из-за значительной неоднородности уровня применяемых информационных технологий в различных организациях. Успешное решение
возлагаемой на ЕНИП РАН задачи объединения цифровых ресурсов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Единое научное информационное пространство РАН
315
Академии в интегрированное информационное пространство является необходимым условием дальнейшего развития российской науки.
Основой предлагаемого в настоящей Концепции решения является разработка и внедрение в организациях РАН единого подхода к информационному наполнению и интеграции существующих и
вновь создаваемых ресурсов в ЕНИП РАН.
Единое научное информационное пространство (информационную среду фундаментальных и прикладных исследований РАН)
должны составлять всевозможные цифровые (электронные) ресурсы: информационные и вычислительные системы, Web-сайты, цифровые библиотеки, распределенные и локальные базы и банки данных, использующие как собственные принципы организации, так и
технологии открытой архитектуры проекта ЕНИП РАН.
1.2. Категории цифровых ресурсов ЕНИП РАН. В состав
научных информационных ресурсов, включаемых в ЕНИП РАН,
входят:
• Информация библиотек РАН и библиотек институтов РАН:
◦ Каталоги библиотек,
◦ Электронная доставка документов,
◦ Межбиблиотечный абонемент;
• Информация электронных библиотек РАН:
◦ научные публикации ученых РАН;
• Информация издательств РАН:
◦ научные издания РАН,
◦ Каталоги и полные тексты журналов РАН;
• данные различного рода экспериментов;
• Научные информационные ресурсы:
◦ труды научных конференций,
◦ информация о научных проектах, конкурсах и грантах,
◦ информация об ученых РАН,
◦ информация о научных коллективах и их разработках,
◦ научная переписка.
1.3. Организационно-технические вопросы. Разработка,
внедрение и сопровождение ЕНИП РАН требуют решения целого
ряда организационных вопросов. Наиболее важными из них являются:
• разработка проекта;
• разработка организационной структуры управления:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Серебряков В. А.
316
◦ поддержка постоянно действующей финансируемой про-
граммы,
◦ создание рабочих групп, курирующих основные направления
работ,
◦ создание наблюдательного совета,
◦ проведение конкурсов проектов;
•
научные исследования в рамках проекта ЕНИП РАН, включая:
средства обеспечения интероперабельности,
средства лингвистического обеспечения,
протоколы реализации распределенности,
методы организации метаинформации,
средства определения цифровых ресурсов и создания узлов;
• обеспечение и поддержка работы научных библиотек и редакционно-издательских отделов в системе ЕНИП РАН.
◦
◦
◦
◦
◦
2. Основные предпосылки создания ЕНИП РАН
2.1. Анализ текущей ситуации. Организации РАН обладают
значительными и постоянно возрастающими научными информационными ресурсами. Это научные публикации и данные о научных
проектах, базы данных в различных областях науки, массивы экспериментальных данных, алгоритмы, пакеты программ, экспертные
системы и программные комплексы, данные о научных коллективах
и их разработках и т. д. Информационные ресурсы слабо систематизированы, существенно разрознены, как логически, так и физически.
Научная информация слабо представлена для доступа по телекоммуникационным каналам, хотя в некоторых организациях РАН проведена работа по публикации в сети Интернет.
Текущее состояние информационного пространства РАН можно
охарактеризовать следующим образом:
◦ В большинстве случаев под публикацией в Интернет подразумевается наличие собственного Web-сайта организации
РАН (отделения, института, библиотеки), представляющего
собой набор статических HTML-страниц. При этом имеющиеся представления информации не только преимущественно статические, но и используют разные способы визуализации, обладают разнообразными интерфейсами, плохо структурированы, не имеют средств интеграции и поиска. Использование разных способов структурирования информации и,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Единое научное информационное пространство РАН
◦
◦
◦
◦
•
317
как следствие, разных систем навигации, ставит практически неразрешимые проблемы идентификации местоположения ресурсов и возможности распределенного поиска. В редких случаях организациями используются специализированные Web-системы, более подготовленные с точки зрения задач распределенной среды. Это различные информационносправочные, экспертные и другие системы, эксплуатируемые
и вновь разрабатываемые в организациях РАН. Такие ресурсы содержат существенные объемы представляющей интерес информации в структурированном виде. Как правило, в них используются системы управления базами данных
для представления и манипуляций с информацией, что позволяет сравнительно легко включать их в единое информационное пространство, в частности, обеспечивать высокую
релевантность результатов поисковых запросов. Важнейшими представителями таких систем являются библиотечные и
справочные системы, хранящие наукоемкую информацию —
данные о публикациях, конференциях, проектах, структуре
РАН, сотрудниках отдельных организаций, связях, совместных программах и т. п.
Научная информация организаций РАН не имеет стандартизированного электронного представления, и, как следствие,
отсутствует централизованная специализированная система
поиска научной информации и доступа к ней.
Отсутствуют средства интеграции информационных ресурсов различных отраслей науки.
Практически отсутствуют электронные каталоги издательств РАН и электронные библиотеки электронных версий
изданий, хотя авторы в основном предоставляют электронные варианты публикаций.
В настоящее время централизованная специализированная
система поиска научной и административно-организационной информации и доступа к ней в РАН фактически отсутствует. В качестве основных причин этого можно указать:
для информационных систем, используемых в организациях РАН, не определены стандартизированные формы запросов к структурированным и частично структурированным
хранилищам информации, используются разные поисковые
языки, формы запросов атрибутного поиска;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Серебряков В. А.
318
•
распространенные средства полнотекстового поиска имеют
крайне ограниченные возможности; как правило, результаты
такого поиска нерелевантны, не имеют структуры и связей,
не обеспечивается тематическая ориентация, не поддерживаются профили информации;
•
имеющиеся механизмы поиска на динамических сайтах, содержащих всю информацию в базах данных, неудовлетворительны и мало пригодны к интеграции, в частности, в связи с
трудностями индексирования данных, отсутствия поддержки механизмов обмена метаданными, требованиями выполнения сложных процедур регистрации пользователей и т. п.
Таким образом, эффективность сложившейся информационной
инфраструктуры РАН сегодня, в силу вышеперечисленного, остается невысокой. В значительной степени это объясняется существенной
неоднородностью уровня применяемых информационных технологий в различных организациях и различных регионах. В результате,
полноценная интеграция не только региональных центров, но и отдельных организаций в глобальную систему на уровне современных
информационных технологий становится проблематичной. Так, отсутствуют реальные возможности для проведения широковещательных телеконференций, организации эффективной распределенной и
дистанционной обработки данных, поддержки актуализации данных
информационных служб и т. п.
Кроме того, ситуация осложняется еще и неоднородностью уровня подготовки персонала на местах. При этом профессиональная
подготовка тоже сильно связана с возможностью доступа к большим объемам научно-методической и технической информации, хранящейся в крупных Интернет-центрах.
2.2. Предпосылки создания единого научного информационного пространства РАН. Прежде всего к ним относятся следующие:
•
существует необходимость в упорядочении и стандартизации
доступа к результатам научной деятельности РАН, имеющим
распределенный характер;
•
требуется стандартизовать обмен научной информацией;
•
необходимо создать средства интеграции информационных ресурсов различных отраслей науки;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Единое научное информационное пространство РАН
319
•
необходимо обеспечить создание и развитие электронных каталогов издательств РАН, электронных версий их изданий,
предоставить электронный доступ к ним в виде электронных
библиотек, доступных через Интернет;
• необходимо обеспечить доступ к электронным научным библиотекам РАН, а также к основным мировым электронным
базам публикаций;
• необходимо реализовать средства электронной публикации,
проведения телеконференций, широковещательной трансляции, обладающих стандартными интерфейсами.
К предпосылкам создания единого научного информационного пространства РАН следует также отнести известные как в зарубежной, так и в российской практике примеры решения задач такого рода. Наиболее тематически близкими к ЕНИП РАН
являются информационные системы National Science Foundation
(http://www.nfs.gov) и Российского фонда фундаментальных исследований (http://www.rfbr.ru).
2.3. Обстоятельства, препятствующие созданию единого
научного информационного пространства РАН. Многие проблемы, препятствующие реализации ЕНИП РАН, ясны уже из приведенного выше анализа текущей ситуации в этой области. Ниже
перечислены наиболее существенные из них, которые должны быть
преодолены по мере развития проекта ЕНИП РАН:
• отсутствует полное понимание в РАН необходимости развития
работ в направлении создания ЕНИП;
• как следствие, отсутствует в сформулированном и принятом
виде общая концепция такого проекта и программа работ;
• отсутствует юридическая база, которая могла бы создать условия для защиты авторских прав и прав интеллектуальной собственности на разработки, выполняемые в РАН;
• неравномерность готовности различных организаций РАН к
внедрению и использованию такого рода системы;
• отсутствуют необходимые базовые блоки единой системы, которыми должны быть информационные системы институтов и
отделений;
• практически отсутствуют разработки в области стандартизации объектов единой системы;
• как следствие, отсутствуют возможности полноценного обмена
информацией в электронном виде.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Серебряков В. А.
320
3. Задачи ЕНИП РАН
Ниже перечислены основные задачи, подлежащие реализации в
рамках ЕНИП РАН.
• Решение общесистемных задач информационной поддержки
научных исследований РАН:
◦ разработка единой корпоративной модели метаданных и реализация на основе этой модели глобальной поисковой системы;
◦ разработка и публикация стандартов проекта на:
интерфейсы (данные, обмен, программное взаимодействие),
метаинформацию,
справочники и классификаторы ресурсов,
защиту информации,
систему уникальной идентификации ресурсов;
◦ создание пакета программного обеспечения «Типовой институт РАН»;
◦ создание Сводного каталога библиотек и информационных
центров РАН;
◦ обеспечение открытого (для полномочных пользователей)
доступа ко всем категориям научных цифровых ресурсов
РАН с реализацией механизмов защиты авторского права;
◦ разработка программы мер по обеспечению информационной
безопасности;
◦ интеграция наследуемых информационных ресурсов.
• Решение организационных задач:
◦ выработка согласованного решения о передаче, загрузке и
порядке использования в ЕНИП РАН полных текстов статей
академических журналов;
◦ выработка согласованного решения об использовании в рамках ЕНИП РАН фонда кандидатских и докторских академических диссертаций;
◦ разработка регламента формирования, передачи, загрузки и
использования в ЕНИП РАН структурированных полнотекстовых отчетов о НИР РАН;
◦ разработка Политики информационной безопасности РАН и
определение на ее основе требований по разграничению доступа к цифровым ресурсам ЕНИП РАН.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Единое научное информационное пространство РАН
•
321
Для обеспечения взаимодействия с внешними информационными системами выделяются следующие задачи:
◦ разработка средств интеграции с имеющимися региональными информационными системами;
◦ разработка средств взаимодействия с зарубежными информационными системами;
◦ разработка средств взаимодействия с информационной системой РФФИ, включая научную электронную библиотеку
РФФИ (http://www.eLibrary.ru);
◦ разработка средств взаимодействия с информационной системой Минпромнауки и информационными системами Минобразования;
◦ разработка средств взаимодействия с информационными системами российских ВУЗов.
4. Структура ЕНИП РАН
4.1. Информационная магистраль ЕНИП РАН. Основу
единого информационного пространства РАН составляет Информационная магистраль ЕНИП РАН, представляющая собой комплекс
аппаратных, программных и организационных мер, обеспечивающих
(рис. 1):
Рис. 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Серебряков В. А.
322
•
формирование состава цифровых ресурсов и служб ЕНИП
РАН;
• предоставление доступа к цифровым ресурсам и службам
ЕНИП РАН;
• обеспечение защиты цифровых ресурсов и служб ЕНИП РАН;
• ведение и поддержка в актуальном состоянии метаданных системы;
• поиск по хранимой метаинформации и идентификация ресурсов;
• интеграцию ресурсов различных областей и отраслей знаний.
Информационная система Института РАН должна, с одной
стороны, стать центром научно-информационного сервиса сотрудников Института, а с другой — обеспечивать полное представление
информации о научной деятельности Института для мирового сообщества. Информационная система Института РАН должна представлять собой узел в распределенной архитектуре множества узлов —
информационных систем Институтов РАН.
Взаимодействие научных организаций РАН (институтов, отделений и библиотек) и отдельных научных информационных ресурсов
с информационной магистралью РАН проиллюстрировано на рис. 2.
4.2. Программно-информационные сервисы ЕНИП РАН.
Хранилище метаданных обслуживает потребности по хранению данных перечисленных выше служб информационно-управляющего ядра ЕНИП РАН и, таким образом, само по себе является цифровым
ресурсом ЕНИП РАН. К функциям этого ресурса относится хранение и предоставление метаданных, ведение классификаторов и рубрикаторов ресурсов, ключевых слов и индексов, используемых службой поиска, списков пользователей и их атрибутов, управляемых
службой безопасности. Этот ресурс представляет собой объектное
хранилище данных, что обеспечивает возможности гибкого расширения состава хранимой информации и возможности эффективного
масштабирования системы при расширении ее состава.
Служба распределенного поиска должна обеспечить возможности «прозрачного» поиска данных в распределенной среде ЕНИП
РАН. К функциям, возложенным на службу распределенного поиска в рамках задач, поставленных перед ЕНИП РАН, относится:
• обеспечение обнаружения информации на основе совместного
полнотекстового и атрибутного поиска;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Единое научное информационное пространство РАН
323
•
обеспечение навигации между цифровыми ресурсами ЕНИП
РАН на основе связей, устанавливаемых и контролируемых
информационно-управляющим ядром системы;
• автоматизированный сбор поисковой информации;
• обеспечение возможности подписки на информацию часто изменяющихся источников.
Рис. 2.
Для выполнения перечисленных функций служба распределенного поиска:
• пользуется метаданными ресурсов;
• формирует атрибутные и полнотекстовые индексы и описатели;
• распределяет и преобразовывает запросы к специализированными системам;
• агрегирует индексы;
• кэширует данные;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Серебряков В. А.
324
•
взаимодействует со службой безопасности;
работает в условиях децентрализованной ответственности;
• поддерживает открытые интерфейсы.
Реализация механизмов распределенного поиска в ЕНИП РАН
учитывает следующие важные обстоятельства, определяющие качество поискового сервиса и его возможности:
• системой обеспечивается связывание и интеграция независимо
сопровождаемых источников информации, динамическое формирование тематических коллекций, маршрутизация запросов и балансировка нагрузки;
• частично созданы и продолжают развиваться в составе системы средства определения, формирования и трансформирования
схем метаданных (онтологий), преобразования метаданных, описателей коллекций, поисковых индексов и запросов;
• объединяемые цифровые ресурсы содержат различные коллекции информации, предназначенные для использования большим числом пользователей, имеют разнообразное аппаратное и программное
обеспечение, причем вытекающие отсюда вычислительные и коммуникационные технические проблемы представляют лишь один аспект проблемы интероперабельности коллекций и их сервисов;
• предусмотрено включение в систему средств обеспечения семантической интероперабельности, извлечения метаданных и их интерпретации, кэширования и дублирования данных;
• реализованы механизмы обеспечения безопасности информации и контроля доступа к ней.
Пользователям ЕНИП РАН служба распределенного поиска позволяет:
• получать релевантные ответы на поисковые запросы;
• использовать единый интерфейс для формирования поисковых
запросов, простой, не требующий специальной подготовки;
• иметь возможность подписки на обновления;
• иметь возможность создавать и использовать специализированные поисковые профили;
• выполнять гибкое подключение новых ресурсов к ЕНИП РАН.
Цифровым ресурсам ЕНИП РАН служба распределенного поиска позволяет:
• использовать метаданные, как свои, так и других ресурсов;
• поддерживать атрибутный и полнотекстовой поиск;
• настраиваться на разные прикладные профили;
•
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Единое научное информационное пространство РАН
325
•
использовать средства категоризации данных;
поддерживать подписку на изменения данных;
• использовать возможности единой регистрации ресурсов в системе, средства персонификации представлений и защиты информации.
В рамках проекта ЕНИП РАН предусмотрена самостоятельная
служба безопасности, создаваемая специально для целей проекта и
не зависящая от сторонних производителей и разработчиков. Создание и внедрение самостоятельной службы безопасности ЕНИП РАН
должно обеспечить выполнение всех требований по защите интеллектуальной собственности РАН — всех цифровых ресурсов, интегрированных в систему. В частности, служба безопасности обеспечивает возможность частичного представления информации организаций РАН в открытом доступе. Конфиденциальные данные представлены в строго контролируемом доступе. Соответственно, в составе
службы безопасности предусмотрены средства защиты информации
от несанкционированного доступа.
Служба безопасности выполняет следующие функции:
• формирование состава (добавление, исключение) пользователей ЕНИП РАН;
• предоставление сервиса аутентификации пользователя компонентам ЕНИП РАН;
• управление полномочиями пользователей по доступу к цифровым ресурсам и службам ЕНИП РАН;
• предоставление сервиса авторизации (проверка полномочий
пользователей) по запросу от менеджеров цифровых ресурсов
или служб.
На службу взаимодействия с внешними информационными системами возложены функции по использованию внешних цифровых
ресурсов и предоставлению ресурсов ЕНИП РАН во вне.
•
Литература
1. Бездушный А. Н., Жижченко А. Б., Кулагин М. В., Серебряков В. А. Интегрированная система информационных ресурсов РАН и технология разработки цифровых библиотек // Программирование.—2000.—№ 4.
2. Бездушный А. Н, Серебряков В. А. и др. Интегрированная система информационных ресурсов: Архитектура, реализация, приложения // Сб. тр.—М.:
ВЦ РАН, 2004.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
326
Серебряков В. А.
3. Бездушный А. Н., Жижченко А. Б., Кулагин М. В., Серебряков В. А Информационные системы поддержки научных исследований: текущее состояние и
направления развития // Интегрированная система информационных ресурсов: Архитектура, реализация, приложения.—М.: ВЦ РАН, 2004.
4. Бездушный А. Н., Ковалев Д. А., Серебряков В. А. Концептуальная модель
распределенной системы // Интегрированная система информационных ресурсов: Архитектура, реализация, приложения.—М.: ВЦ РАН, 2004.
5. Бездушный А. А., Нестеренко А. К, Сысоев Т. М., Бездушный А. Н., Серебряков В. А. Архитектурные решения ИСИР на платформах Java и XML
// Интегрированная система информационных ресурсов: Архитектура, реализация, приложения.—М.: ВЦ РАН, 2004.
6. Аджиев А. С., Бездушный А. Н., Коновалов С. П., Серебряков В. А. Общероссийский WEB-портал математических ресурсов // Интегрированная система информационных ресурсов: Архитектура, реализация, приложения.—
М.: ВЦ РАН, 2004.
7. Бездушный А. А., Бездушный А. Н., Серебряков В. А., Филиппов В. И. Интеграция метаданных Единого научного информационного пространства
РАН.—М.: ВЦ РАН, 2006.—238 с.
Вычислительный центр РАН (Москва, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.75
ТЕХНОЛОГИИ ИНТЕГРАЦИИ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ ЕНИП РАН,
ИХ ПОДДЕРЖКА В ИС «НАУЧНЫЙ ИНСТИТУТ РАН»
Т. М. Сысоев
Работа посвящена описанию технологий интеграции данных, применяемых
в ЕНИП РАН и информационной системе «Научный Институт РАН». Рассмотрена общая архитектура построения ЕНИП и ее текущее состояние. В
работе описаны подходы к распространению информации, реализация сервиса обмена данными, служба совместного поиска. В заключении указаны
направления дальнейшего развития системы.
1. Научный институт
Научный институт представляет собой информационную систему, ориентированную на научные учреждения, которая позволяет
хранить и обрабатывать информацию о структуре организации, ее
персональном составе, публикациях. Существует возможность настройки под нужды конкретных организаций, в частности, можно
расширять предложенную модель данных и изменять внешний вид.
Вся работа с программой осуществляется через веб-интерфейс, администратор имеет возможность выложить введенные данные для
публичного просмотра.
С 2006 г. в разработку «Научный институт» включены средства
поддержки распределенной работы с данными. Конечной целью данного направления является обеспечение работы с коллекцией данных, расположенных на узлах ЕНИП, как с единым целым. В первую
очередь это относится к средствам навигации и поиска; помимо этого стоит задача по обработке связей между ресурсами различных
репозиториев.
Начальная схема ЕНИП по состоянию на январь 2006 г. изображена на рис. 1. Данная схема имеет один выделенный узел («центральный»), на котором производится сбор ресурсов, соответствующих общей схеме. При этом ресурсы, которые соответствуют расширениям схемы, на этот узел на попадают. Это справедливо, в частности, для гидроакустических данных, расположенных на узле ТОИ
ДВО РАН.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сысоев Т. М.
328
Портал РАН
Центральный
узел ЕНИП
ООН РАН
(НИ, ЭБ)
Соционет
ИФТТ РАН
БЕН РАН
ВЦ РАН
(НИ, БК) (НИ, ЭБ, КНИ, (НИ, ЭБ)
РИО, БК)
БД БЕН
БД “Сверхпроводимость”
ПИН РАН
(НИ, БК,
Палео)
ПНЦ УрО РАН
(НИ)
ИМСС
УрО РАН
(НИ)
ИПХФ РАН ТОИ ДВО РАН
(НИ, эксп.
(НИ)
данные)
Портал(ы)
проведения
конференций
Рис. 1. Структура ЕНИП по состоянию на начало 2006 г.
Данная схема, в основном, составлена из серверов, на которых
работает стандартная реализация системы «Научный институт». Но,
помимо этого, есть поддержка интеграции с данными внешних систем, как видно на примере Соционет или БЕН. В таких случаях
возможно включение внешних источников непосредственно в структуру ЕНИП при условии поддержки используемых протоколов обмена и поиска. Однако на текущий момент это осуществляется через узел-«посредник», который хранит копию внешних данных. Так
же следует обратить внимание на то, что в рамках ЕНИП доступно создание более сложных схем взаимодействия, чем схема с одним
центральным сервером. Это видно на примере ПНЦ УрО РАН, на
котором агрегируются данные подчиненных ему серверов.
В таблице ниже представлена статистика по количеству ресурсов,
полученных с различных узлов ЕНИП.
Как видно, при текущем объеме информации схема с одним центральным узлом оправдана. В дальнейшем, при увеличении количества ресурсов, можно будет перейти к кластерной или иерархической
схеме, в которых основной объем информации распределен между
несколькими серверами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Технологии интеграции распределенных систем ЕНИП РАН
Узел
ИФТТ РАН
ИПХФ РАН
ПИН РАН
ООН РАН
ВЦ РАН
БЕН РАН
329
Адрес
Количество ресурсов
http://portal.issp.ras.ru
10710
http://ace.icp.ac.ru
638
http://paleodata.paleo.ru
8600
http://oon-enip.cemi.rssi.ru
22422
http://ccas.enip.ras.ru
7515
http://enip.benran.ru
738
2. Модель распространения информации
в распределенной среде
В ЕНИП принята модель распространения информации между
серверами по заранее выбранным направлениям. Общую схему обмена можно представлять в виде ориентированного графа. Каждое
ребро такого графа в терминологии сервиса обмена ЕНИП называется «каналом».
Канал определяется на сервере, который отправляет информацию. Для каждого канала записывается физический адрес сервера,
его URI, а так же необходимые для авторизации данные (такие как
пароль пользователя или сертификат). Таким образом, создание канала требует взаимодействия между администраторами участвующих в нем серверов.
Каналы связи заданного сервера объединяются в именованные
группы для удобства конфигурирования. Распространение информации осуществляется на основе таблиц маршрутизации, которые
хранятся на каждом из серверов, инициирующих репликацию. Каждая запись в такой таблице состоит из следующих полей:
• источник — поле задает канал, по которому поступила информация, которая будет реплицироваться. Значением поля может
быть название группы каналов, отдельный канал (определяемый URI связанного сервера), или специальное значение, определяющее локальную машину;
• тип ресурса и ограничения на значения атрибутов (OQL);
• назначение — поле задает канал или группу каналов, куда будут реплицироваться ресурсы, удовлетворяющие ограничениям первых двух полей.
Кроме таблицы маршрутизации, на каждом сервере хранится
список ресурсов, полученных от других серверов или отправленных
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сысоев Т. М.
330
на другие серверы. Этот список используется как для проверки критериев выборки, заданных в таблице маршрутизации, так и для исключения повторной отправки ресурсов. Список можно представить
как таблицу со следующими полями:
• источник — канал (URI связанного сервера);
• идентификатор ресурса (полученного или отправленного);
• версия — сервер, изменивший ресурс и дата изменения;
• направление — («+1» — получен, «−1» — отправлен).
Рассмотрим пример применения этих принципов для репликации
ресурсов. Предположим, что граф обмена представляет собой дерево, при этом ресурсы реплицируются как на все дочерние серверы
любого уровня, так и на родительский сервер (но не на соседние
серверы).
“UP”
“DOWN”
Рис. 2. Пример графа обмена.
Построим конфигурацию, в которой каждый сервер имеет
две группы каналов: «UP» — канал на родительский сервер и
«DOWN» — множество каналов на дочерние сервера.
Таблица маршрутизации для каждого из серверов будет одинакова и выглядит следующим образом:
Источник
UP
DOWN
(локальные данные)
Тип
ресурс
ресурс
ресурс
Назначение
DOWN
UP
UP, DOWN
Из таблицы видно, что полученные от родительского сервера ресурсы будут реплицироваться вниз, а полученные от дочерних серверов ресурсы — вверх. В то же время, если, например, есть два
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Технологии интеграции распределенных систем ЕНИП РАН
331
дочерних сервера — X и Y , то при репликации на Y не будут передаваться ресурсы, полученные от X (нет правила «DOWN»–ресурс–
«DOWN»), вместо этого будут отбираться ресурсы, полученные по
каналу «UP», а так же локальные ресурсы.
Каждый факт репликации ресурса по какому-либо каналу запоминается в списке реплицированных ресурсов, поэтому повторной
отправки ресурса той же версии не происходит. Кроме того, это позволяет отбирать ресурсы для репликации — при необходимости репликации на один из дочерних серверов рассматриваются ресурсы,
полученные по каналу «UP» — список таких ресурсов можно получить на основе этой таблицы.
Обратим внимание на то, что данная модель следует принципу
«PUSH» — передача инициируется источником информации. Альтернативный вариант — «PULL» — когда получатель периодически
опрашивает источник, в данном случае неудобна по нескольким причинам:
• задача по поддержанию актуальности настроек легла бы на
более крупные узлы, в то время как удобнее выполнять конфигурирование «на местах»;
• возможно появление «пустых» сеансов связи, когда запрашиваются обновления, которых не было с момента последнего обмена.
3. Сервис обмена
Сервис обмена представляет собой SOAP сервис, с помощью которого можно загружать информацию на портал и получать требуемые данные. Обмен данными реализован в форме сообщений. В
сообщении указывается тип данных, хранятся атрибуты сообщения
(среди обязательных — идентификатор сервера, который сгенерировал данное сообщение), и передаются собственно данные (в общем
случае в бинарном виде).
На стороне сервера для каждого зарегистрированного типа данных может быть указан модуль, который отвечает за отправку и прием сообщений. Данные действия разделены, например, сервер может
уметь отправлять сообщения типа «RDF», но не уметь их обрабатывать.
Для получения данных от сервера клиент должен указать следующее:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сысоев Т. М.
332
•
тип запрашиваемых данных;
запрос — текстовая строка, зависит от типа.
• имя пользователя и пароль интерпретируются соответствующим поставщиком данных. В случае если эти поля опущены,
подразумевается «public» доступ.
Для отправки данных на сервер клиент формирует запрос, в котором указывается:
• тип передаваемых данных;
• данные (формат зависит от типа);
• имя пользователя и пароль (в случае отсутствия подразумевается публичный доступ).
Сервис обмена ЕНИП поддерживает следующие типы данных:
1. RDF. Данный формат предназначен для обмена ресурсами.
Содержимое сообщений представляет собой RDF/XML файлы с сериализованными объектами. При передаче таких сообщений на сервер они обрабатываются стандартным компонентом, осуществляющим загрузку данных.
2. INDEX. Сериализованный индекс, в котором хранится информация, достаточная для полнотекстового поиска по ресурсам
определенного репозитория. В качестве запроса передается URI сервера, индекс которого нужно получить (сервер может хранить не
только свои индексы, поэтому существует возможность запросить
«чужие»).
3. DESCRIPTION. Описатель коллекции (частотные характеристики слов), запрос аналогичен типу «index».
Сервис поддерживает два типа обращений: простые RPC обращения и сообщения по спецификации SOAP with Attachments. Простые
обращения полезны для обеспечения совместимости с различными
типами клиентов, но неэффективны, поскольку содержимое сообщений (например RDF) передается в закодированном BASE64 виде
(с точки зрения метода — массив байтов). Обращения по SOAP with
Attachments более подходят для пересылки больших объемов информации и в случае если есть возможность поддержать этот формат,
ему следует отдать предпочтение.
•
4. Совместный поиск
Поиск по ресурсам распределенной среды осуществляется с помощью дублирования поисковых запросов на соседние серверы. Для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Технологии интеграции распределенных систем ЕНИП РАН
333
этого при поиске (явно, или неявно) указывается набор коллекций,
в которых производится поиск. Каждая коллекция представляет
собой или локальный сервер, или удаленный. Поиск по локальному серверу осуществляется стандартными средствами с применением атрибутно-полнотекстового индексирования, поиск по удаленным
серверам производится с использованием веб-сервиса. Поступающие
результаты объединяются в одну коллекцию, которая отображается
пользователю. Дубликаты в коллекции определяются по совпадению
URI.
Сервис поиска устроен таким образом, что он позволяет получить
только часть результатов и размер полного списка. В дальнейшем
можно получать дополнительные результаты в рамках установленной сессии. Поскольку результаты поисков отсортированы одинаковым образом, для получения первых N результатов объединенного
списка достаточно получить по N результатов со всех коллекций, и
удалить дубликаты. Поэтому первые результаты поиска пользователю можно отобразить сравнительно быстро, но в то же время мы
не можем указать их точное число. В настоящее время при отображении начала списка пользователю указывается примерное (максимальное) число результатов, которое по мере прокрутки к концу
списка уточняется, и известно на последней его странице.
5. Направления работ
Основным направлением работ по ЕНИП на настоящий момент
является обеспечение поддержки связей между ресурсами различных репозиориев. Так, например, необходимо научиться обрабатывать ситуации, когда при загрузке вместе с данными о ресурсе поступают так же данные о его связях, но при этом объекты, на которые
он ссылается, в репозиторий не загружены.
При поиске так же следует учитывать связи между ресурсами
(например, искать авторов по свойствам их публикаций). В настоящий момент данная технология доступна только в рамках одного
репозитория.
Вычислительный центр РАН (Москва, Россия);
E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.9
ОБЗОР ИНСТРУМЕНТОВ
ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДАННЫХ
Л. Н. Шиолашвили, О. М. Атаева
В статье представлен обзор известных инструментов подготовки математических данных, а также различные способы представления в сети:
TeX/LaTeX, MathML, различные графические форматы. Рассмотрены основные функции и возможности данных инструментов, их достоинства и
недостатки. Дан сравнительный анализ конвертирования математических
данных, представленных в форматах TeX/LaTeX и MathML.
Математическая система обозначений имеет сложную структуру
представления информации. Большая часть математических текстов
представлена в TeX-формате. Данный формат не поддерживает возможность опубликования математических текстов в WWW, взаимодействие с внешними информационными системами, полную функциональность других форматов представления математических текстов.
Требования современности предполагают поддержку высокоразвитой знаковой системы математики и возможность взаимосвязи, не
теряя при этом как представление, так и содержание математики.
В апреле 1995 г. консорциумом World Wide Web (W3C) была
предложена спецификация MathML, позволяющая представлять математический материал в двух видах: презентационная и содержательная разметка. Спецификация MathML поддерживает возможность преобразования между презентационной и содержательной
разметками, а также другими математическими форматами, как
презентационного, так и семантического вида.
Общий принцип использования MathML состоит во встраивании
математических конструкций в XHTML/HTML-документ.
MathML предлагает два способа кодирования информации: презентационный и содержательный. Например, a − b в презентационной и содержательной формах соответственно будет выглядеть следующим образом:
<mrow><mi>a</mi><mo> − </mo><mi>b</mi></mrow>,
<apply><minus/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обзор инструментов для представления математических данных
335
Средства отображения TeX и MathML. Существуют следующие способы просмотра математических текстов: использование браузеров, которые воспроизводят математические формулы;
использование обычных браузеров, функциональность которых расширяется специальными дополнительными модулями, называемыми
«плагинами».
К первой категории относятся браузеры: Amaya, Dadzilla, Firefox
или Mozilla 1.0, Netscape 7.0. Ко второй категории можно отнести:
IE 5.5+Math Player, IE 5.0 + IBM techexplorer, Netscape 6.1 + IBM
techexplorer, IE 5.5 + Integre techexplorer, Netscape 4.0 + Integre
techexplorer.
Средства создания MathML документов:
прямое программирование формул с использованием описаний на языке MathML;
использование редакторов;
использование конвертеров из TeX-формата в MathML и обратно.
Редакторы.
EzMath — приложение, позволяющее вводить математические
выражения в текстовом виде на английском языке в стиле
WYSIWYG — «What you see is what you get».
MathML Equation Editor — редактор, предлагаемый фирмой
Integre, позволяет выполнять описание математических выражений
в виде содержательной и презентационной разметки
Abacus — плагин под Mozilla для написания и редактирования
MathML выражений. Выражения могут быть представлены в презентационной и содержательной разметке. Abacus — многое унаследовал от Amaya, рекомендованного W3C, применяет JavaScript и
XUL для создания удобного интерфейса редактирования MathML.
MathType является профессиональной версией приложения
Equation Editor, который представлен в Microsoft Office Word.
WebEQ — мощный программный инструмент, который позволяет создавать Web-страницы с использованием интерактивной математики. WebEQ Editor — это редактор для набора математических
выражений с интуитивно понятным интерфейсом пользования.
Конверторы. На сегодняшний день большая часть математических документов представлена в TeX-формате, поэтому становятся
актуальными конверторы из TeX в MathML и обратно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
336
Шиолашвили Л. Н., Атаева О. М.
Конвертор из TeX/LaTex в MathML. Разработка исследовательского центра в Онтарио по компьютерной алгебре (ORCCA). Преобразует данные из TeX в презентационный MathML и обратно.
Конвертор из MathML в LaTeX. Разработка исследовательского
центра в Онтарио по компьютерной алгебре (ORCCA). Пользователь
может использовать несколько mapping file для определения спецификации преобразования MathML.
Конвертор из содержательного в презентационный MathML.
Разработка исследовательского центра в Онтарио по компьютерной алгебре (ORCCA). При помощи XSLT–преобразования преобразует из содержательного или смешанного вида (содержательный+презентационный) MathML в презентационный вид.
Конвертор из MathML 2.0 в LaTeX. Проект является разработкой
В. Ярошевича. Это библиотека xslt программ для конвертирования
MathML документов в LaTeX документы. Производит преобразование из содержательного и презентационного MathML версии 2.0 в
TeX.
Средства генерирования графических форматов по математическим выражениям.
Конверторы из TeX формата в графический формат:
Textogif — это программа, реализованная на Perl для преобразования выражений в небольших LaTex-файлах в картинки. При работе обращается к средствам TeX.
Mimetex — CGI-программа, реализованная на С. Преобразовывает TeX-формулу в картинку. На web-странице формула указывается
в качестве параметра URL-обращения к программе.
MathML и SVG. SVG — это язык для описания двухмерной
графики и графических приложений на основе стандарта XML SVG
1.1, рекомендован консорциумом W3C. Для просмотра SVG — формата необходимо установить соответствующий плагин к браузеру.
Существует много коммерческих программных продуктов конвертирования из MathML в SVG формат: Mathematica, WeBEQ Publisher.
Заключение. Из рассмотренного в статье программного обеспечения можно выстроить следующую цепочку:
Конвертор из TeX/LaTex в MathML (ORCCA), Конвертор из
MathML в LaTeX (ORCCA), Конвертор из содержательного в презентационный MathML (ORCCA), Mimetex (CGI-программа).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обзор инструментов для представления математических данных
337
На основе свободно распространяемых продуктов можно получить следующий цикл преобразований:
презент. MathML
TeX
содерж. MathML
графич. формат
Для публикации математических данных в сети возможно
создание документов вида: HTML+графическое изображение и
HTML+MathML.
Литература
1. Add Math to Web pages with HP EzMath v1.1 http://www.w3.org/People/
Raggett/EzMath/
2. Gurari E. TeX4ht: LaTeX and TeX for Hypertext http://www.cse.ohiostate.edu/∼gurari/TeX4ht/mn.html
3. http://www.elbook.bsu.by/OurMath/Library/Articles/
from_wolfram.htm
(WebMathematica)
4. IBM techexplorer Hypermedia Browser http://tex.loria.fr/outils/techexplorer.pdf
5. Integre techexplorerTM Hypermedia Browser http://www.integretechpub.com/
techexplorer/
6. Kennedy J. Technical Report for the Mathematically Inclined on the
MathML Internet Markup Language and the Unicode Character Standard
http://homepage.smc.edu/kennedy_john/ JKMATHMLTECHREPORT.PDF
#search=’Pavi%20Sandhu% 20XML%20and%20Mathematica’
7. Mathematical Markup Language (MathML) Version 2.0 http://www.w3.org/
TR/2003/REC-MathML2-20031021/
8. MathPlayer http://www.dessci.com/en/products/mathplayer/
9. MathType http://www.dessci.com/en/products/mathtype/
10. Projects involving MathML in progress http://www.w3.org/Math/iandi/implinterop02.html#intro
11. Smirnova E., Watt S. MathML to TeX Conversion: Conserving high-level
semantics http: //www.mathmlconference.org/2002/presentations/smirnova/#1
12. SVG Conversion Tools http://www.w3.org/Graphics/SVG/ SVG-Implementations.htm8#convert
13. TeX/LaTeX to MathML Online Translator http://www.orcca.on.ca/MathML/
texmml/textomml.html
14. The W3C MathML software list http://www.w3.org/Math/Software/
15. TtM, a TeX to MathML translator http://hutchinson.belmont.ma.us/tth/mml/
16. WebEQ http://www.dessci.com/en/products/webeq/
17. Welcome to Amaya W3C’s Editor/Browser http://www.w3.org/Amaya
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
338
Шиолашвили Л. Н., Атаева О. М.
18. Wickham-Jones T. webMathematica: How to Deliver Computational and
Visualization Services from a Web Server http://www.mathmlconference.org/
2002/presentations/twj/
19. XSLT MathML Library http://sourceforge.net/projects/xsltml/
20. Гурский Ю. Работа с форматом SVG в Adobe Illustrator 10 http://www.
hardline.ru/3/37/3381/
21. Система Mathematica и базы данных http://www.wolfram.com/products/
mathematica/index.html
Вычислительный центр РАН (Москва, Россия);
E-mail: [email protected], [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
5
Ганиев И. Г., Арзиев А. Д. Спектр самосопряженного
оператора на модулях Гильберта — Капланского над L0 . . . . . 7
Казбеков К. К. Сходимость ряда Фурье косинусной функции
Вейерштрасса — Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Карелин В. В. Точные штрафы в задаче наблюдаемости
систем управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Кондаков В. П. О дополняемости и решеточности
подпространства m-однородных полиномов в пространстве
голоморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Коробейник Ю. Ф. О нулях одной мероморфной функции . . . 44
Кудайбергенов К. К. О спектре элементов алгебр
Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функций . . 50
Полякова Л. Н., Лабас Н. В. Оптимизационные свойства
разности полиэдральных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Фетисов В. Г. Атомические операторы в локально
ограниченных пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Филиппенко В. И. Оценка кратности спектра квазидифференциального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Шрайфель И. С., Тер-Осипова Е. А. Описание
множества всех разбиений плоскости с выколотой
точкой на окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
340
Оглавление
ЧАСТЬ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
99
Балкизов Ж. А. Краевая задача для уравнения смешанного
типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Бештоков М. Х. О сходимости разностных схем для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами в многомерной области . . . . . . . . . . . . 106
Елеев В. А., Езаова А. Г. Нелокальные краевые задачи со
смещением для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Елеев В. А., Кодзоков А. Х. Нелокальная краевая задача
для нагруженного смешанного уравнения третьего порядка
с кратными характеристиками в прямоугольной области . . 134
Жемухова З. М. Об одной краевой задаче типа задачи
Стеклова для нагруженного уравнения гиперболопараболического типа третьего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Кадиев Р. И. Устойчивость по части переменных решений
линейных стохастических дифференциальных уравнений
с последействием. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Кочетов А. В., Миклюков В. М., Полупанов С. С.
Теоремы типа Фрагмена — Линделефа для решений
уравнения газовой динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Хубежты Ш. С. Квадратурные формулы для сингулярных
интегралов повышенной точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
ЧАСТЬ III. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
181
Аджиева А. А., Шаповалов А. В. Математическая модель
конвективного облака с учетом заряжения облачных
частиц при образовании в нем ледяной фазы . . . . . . . . . . . . . . 183
Андриевская В. Ю. Моделирование рассеяния электромагнитных волн многослойными аэрозолями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
341
Апаринов А. А., Лифанов И. К. Численное моделирование
обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью
с учетом эжекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Баракова Ж. Т., Иманалиев З. К. Декомпозиция
динамической модели межотраслевого баланса,
описываемая сингулярным возмущением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Музаев Н. И., Вазиева Л. Т. Новые аналитические
решения начально-краевых задач математической физики
вынужденных поперечных колебаний непризматической
балки Тимошенко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Пивень В. Ф. Математическое моделирование эволюции
границы раздела жидкостей в кусочно-неоднородном грунте 230
Чикин А. Л., Сидиропуло С. Г. Математическая модель
процесса заиления подводных судоходных каналов . . . . . . . . . 237
Чикин А. Л., Шабас И. Н., Сидиропуло С. Г.
Моделирование переноса загрязнения при его залповом
выбросе в Цимлянское водохранилище в районе
Ростовской АЭС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
ЧАСТЬ IV. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
И ТЕХНОЛОГИИ
249
Атаева О. М., Шиолашвили Л. Н. К вопросу об очистке
интегрируемых данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Бездушный А. А. Схемы метаданных для научных
информационных ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Вершинин А. В. О реализации распределенной геоинформационной среды в проекте «Электронная Земля» . . . . . . . . . 272
Масич Г. Ф., Созыкин А. В., Бобров А. В. Подход к
интеграции информационных систем научного института
на основе очередей сообщений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Мишин А. В. Аксиоматическое представление знаний
о сложных предметных областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нестеренко А. К. Автоматизация процессов интеграции
распределенных информационных ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Перминов С. В., Воробьев В. И., Марков В. С.,
Шишкин В. М. Опыт разработки портала
Санкт-Петербургского научного центра РАН
на базе системы «Научный институт» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Серебряков В. А. Единое научное информационное
пространство РАН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Сысоев Т. М. Технологии интеграции распределенных систем
ЕНИП РАН, их поддержка в ИС «Научный институт РАН» 327
Шиолашвили Л. Н., Атаева О. М. Обзор инструментов
для представления математических данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
Исследования по математическому анализу,
математическому моделированию и информатике
ответственные редакторы
Ю. Ф. Коробейник и А. Г. Кусраев
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждено к печати
Ученым советом Института
прикладной математики и информатики
Владикавказского научного центра
Российской академии наук
Компьютерный набор и верстка Тотиева З. А.
Подписано в печать 27.03.2007. Формат бумаги 60×841/16 .
Печать офсетная. Усл. п. л. 20. Тираж 200 экз.
Владикавказский научный центр,
362008, г. Владикавказ, пр. Коста, 93.
Отпечатано в полном соответствии с предоставленными диапозитивами
в ОАО «Издательско-полиграфическое предприятие им. В. А. Гассиева».
362021, г. Владикавказ, ул. Тельмана, 16. Тел. 76-99-11, 76-81-97, 74-24-23.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
414
Размер файла
2 828 Кб
Теги
3973
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа