close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

588 Методичні вказівки та розрахунково-графічні завдання з вищої математики розділи кратні інтеграли елементи теорії п

код для вставкиСкачать
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ТА РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНІ ЗАВДАННЯ
з вищої математики
(розділи: кратні інтеграли, елементи теорії поля)
для студентів факультетів ФРЕТ та ФІОТ
усіх форм навчання
2014
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Методичні вказівки та розрахунково-графічні завдання з вищої
математики (розділи: кратні інтеграли, елементи теорії поля) для студентів
факультетів ФРЕТ та ФІОТ усіх форм навчання./ Укл.: Т.І.Левицька,
Г.А.Шишканова, І.А.Пожуєва. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2014. – 42 с.
Укладачі: Т.І.Левицька, доцент,к.т.н.
Г.А.Шишканова, доцент, к.ф.-м.н.
І.А.Пожуєва, доцент,к.т.н.
Експерт: Кабак В.С., Касьян М.М.
Рецензент: Мастиновський Ю.В., доцент,к.т.н.
Відповідальний
за випуск: Т.І.Левицька, доцент,к.т.н.
Затверджено
на засіданні кафедри
прикладної математики
Протокол № 4 від 16.12.13
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3
ЗМІСТ
1. Методичні вказівки до розв’язування зад ач…………4
1.1 Подвійний інтеграл…………………………….........4
1.2 Криволінійний інтеграл. …………………………...8
1.3 Т еорія поля. ……………………………...................11
2. Розрахунково-графічні завдання..…………………..……….17
2.1 Завдання 1……………………………......................17
2.2 Завдання 2……………………………......................19
2.3 Завдання 3……………………………......................20
2.4 Завдання 4……………………………......................24
2.5 Завдання 5……………………………......................27
2.6 Завдання 6……………………………......................28
2.7 Завдання 7……………………………......................31
2.8 Завдання 8……………………………......................32
2.9 Завдання 9……………………………......................34
2.10 Завдання 10……………………………...................37
2.11 Завдання 11……………………………...................38
Контрольні питання..............................................................................40
Література……………………………...................……………42
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4
1. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
1. 1 П одві йний і нте грал
1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі :
1
1− x 2
−1
− 1− x 2
∫ dx
∫ f ( x; y )dy
Розв'язання. Область інтегрування D обмежена лініями х = 1; х = 1 , у = -
1 − x 2 ;у = 1 - х 2
Рисунок 1.1
Змінимо порядок інтегрування, для чого задану область
уявимо у вигляді двох областей: Dl-обмежену зліва i справа вітками
параболи x = ± 1 − y (0 ≤ у ≤ l), i D2 обмежену дугами кола
x= ± 1 − y 2 (-1 ≤ у ≤ 0).
Тоді
1
1− x 2
1
1− y
0
1− y 2
−1
− 1− x 2
0
− 1− y
−1
− 1− y 2
∫ dx
∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y) + ∫ dy
∫ f ( x, y)dx
2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями x − 4 y + 7 = 0 ,
x − 4 y + 14 = 0 , 2 x − y = 0 , x = 5 . Зобразити фігуру.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5
Розв'язання. Зобразимо фігуру (рис. 1.2). Площа фігури:
S = ∫∫ dxdy . Область інтегрування розіб’ємо на дві частини D1 та
D
D2 . Площу шуканої фігури обчислимо, як суму площ цих областей:
S = S1 + S 2 = ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy . Знайдемо кожен з цих інтегралів:
D1
2
D2
2x
2
2
x+7
7 ( x − 1)2

S1 = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫  2 x −
=
dx =
4
4
2


D
0 ( x + 7) / 4 0
1
1
=
S2 =
7 1 7
⋅ = (кв. одиниць).
4 2 8
5
( x +14) / 4
2
( x + 7) / 4
5
21
 x + 14 x + 7 
−
(кв.одиниць).
 dx =
4
4
4

2
∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ 
D2
Тоді, площа даної фігури:
S=
7 21 49
1
+
=
= 6 (кв. одиниць).
8 4
8
8
Рисунок 1.2
3. Обчислити
∫∫ ( x + 2 y)dxdy
D : y = x2; y = 4
D
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6
y
4
o
-2
2
x
Рисунок 1.3
Розв’язання. 1-й спосіб.
∫∫ ( x + 2 y)dxdy =
D
2
∫
4
−2
dx ∫ ( x + 2 y )dy =
x
2
2
∫ ( xy + y
2
)
−2
2
x 4 x5
= ∫ (4 x + 16 − x − x )dx = (2 x + 16 x −
− )
4
5
−2
3
4
4
x2
dx =
2
=
2
−2
256
5
2-й спосіб ( зміна порядку інтегрування ).
y
4
∫∫ (x + 2 y)dxdy = ∫ dy ∫
D
− y
0
4
y
4
x2
( x + 2 y)dx = ∫ ( + 2 yx )
2
0
5 4
4
3
y
y
8
= ∫ ( + 2 y y − + 2 y y )dy = 4∫ y 2 dy = y 2
2
2
5
0
0
0
=
dy =
− y
256
5
4. Обчислити
∫∫ ln( 4 + x
2
+ y 2 )dxdy D : x 2 + y 2 = 4; y = x; y = 0; ( x ≥ 0)
D
y
x
2x
о
Рисунок 1.4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
7
Обчислення подвійного інтеграла краще провести у полярній
системі координат. Перехід від декартових до полярних координат
здійснюється за формулами x = ρ cos ϕ; y = ρ sin ϕ. Рівняння кола
x 2 + y 2 = 4 у полярній системі координат буде мати вигляд
ρ 2 cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ = 4
Тоді
∫∫ ln( 4 + x
2
або
ρ=2 .
+ y )dxdy =
2
D
2
= ∫∫ ln( 4 + ρ cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ)ρdϕdρ =
D
π
4
2
0
0
= ∫ dϕ∫ ln( 4 + ρ 2 )ρdρ =
=
π
4
2
1
dϕ ∫ ln( 4 + ρ2 )d (4 + ρ 2 ) =
∫
20 0
2
π
1
(4 + ρ 2 )(ln( 4 + ρ 2 ) − 1) = π(2 ln 2 − ) .
0
8
2
 x 2 + y 2 = a 2
2
2
x + z = a
5. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями 
 2
Розв'язання. Розглянемо восьму частину заданого тіла:
V=
∫∫ f ( x, y)dxdy
D
Рисунок 1.5
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
8
a
1
V= ∫∫ a 2 − x 2 dxdy = ∫ a 2 − x 2 dx
8
D
0
∫ dy =
0
3

x a 2
16
− x 2 )dx =  a 2 x −  = a 3 . V= a 3 (куб.од.)


3
3 0 3

a
∫ (a
a2 −x2
2
0
1.2 Криволінійний інтеграл
1. Обчислити криволінійний інтеграл.
( B)
I=
∫ xydx + ( y − x)dy -
вздовж ліній y = x 2 та x = y 2 між
( A)
точками А(0,0) та В(1,1)
Розв`язання :
b
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ ( P( x, y( x)) + Q( x, y ( x)) y ′( x))dx
L
a
Нижня та верхня межа інтеграла подані початковою та кінцевою
точками. У першому випадку за параметр беремо х.dy=2xdx
1
[
]
1
1
1
0
0
x4
x3
1
I= ∫ x ⋅ x + ( x − x) * 2 x dx = ∫ (3 x − 2 x )dx = 3
- 2
=
4
3
12
0
0
2
2
2
2
У другому випадку за параметр беремо y. Тоді dx= 2ydy
∫[
1
I=
0
31
-
y
3
]
1
1
1
0
0
y5
y2
( y * y )2 y + ( y − y ) dy = ∫ (2 y + y − y )dy = 2
+
5
2
0
2
=
0
2
4
2
2 1 1 17
+ − =
5 2 3 30
Маємо різні результати, тому що інтегрування проводилося за
різними кривими.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
9
2. Обчислити
∫ (7 x − 2 y)dl де l: відрізок прямої від точки
l
A(1,2) до точки B(3,5) .
y
B
A
x
o
Рисунок 1.6
Розв’язання
Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.
y − yA
x − xA
=
;
y B − y A xB − x A
3
1
3
y − 2 x −1
=
. Звідкіля маємо y = x + ; y ′ = ;
2
2
2
5−2
3−1
9
13
dl = 1 + y′2 dx = 1 + dx =
dx .
4
2
3
∫ (7 x − 2 y)dl = ∫ (7 x − 3x − 1)
l
1
13
dx =
2
3
=
3
13
13
(4 x − 1)dx =
(2 x 2 − x ) = 7 13 .
∫
1
2 1
2
3. Обчислити
∫ (3x + 2 y )dx + xydy ; l : y = x
2
+ 1 ;від x1 = 0 до
l
x2 = −2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
10
y
-2
o
x
Рисунок 1.7
Розв’язання.
З рівняння лінії
Таким чином
l
знаходимо
dy = d ( x 2 + 1) = 2 xdx .
−2
2
2
∫ (3x + 2 y )dx + xydy = ∫ (3x + 2( x + 1) + x( x + 1)2 x)dx =
0
l
=
−2
∫
0
x2
x3
x5
(3x + 4 x + 2 x + 2)dx = (3 + 4 + 2 + 2 x)
2
3
5
= 6−
2
−2
=
4
0
32 64
322
− −4= −
.
3
5
15
4. Відновити функцію u = u ( x, y ) по ії повному диференціалу
du = (2 xy 3 + 4)dx + (3x 2 y 2 + 3)dy .
Розв’язання. Перевіримо, що це повний диференціал. Для цього
повинна виконуватись умова
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
, P та Q вирази при dx та
dy в диференціалі du = Pdx + Qdy .
Таким чином
∂P
= 6xy 2 ;
∂y
P = 2 xy 3 + 4 ; Q = 3x 2 y 2 + 3 ;
∂Q
= 6xy 2 тобто умова повного диференціала
∂x
виконується.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
11
Відновити
криволінійних
або u ( x, y ) =
u = u ( x, y )
функцію
u ( x, y ) =
інтегралів
x
y
x0
y0
можна
за
x
y
x0
y0
допомогою
∫ P( x, y0 )dx + ∫ Q( x, y)dy + C
∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x0 , y)dy + C , де
x0 та y0 довільні ,
але доцільно вибирати іх такими, щоб інтегрування спрощувалося.
Для розглядуваного випадку зручно покласти x0 = 0 , y 0 = 0 . Тоді
x
y
0
0
u ( x, y ) = ∫ 4dx + ∫ (3 x 2 y 2 + 3)dy + C =
y
x
= 4 x 0 + ( x 2 y 3 + 3 y) + C = 4 x + x 2 y 3 + 3 y + C
0
1.3 Теорія поля
1.
Знайти похідну функції u(x,y,z)=
y
x
+2xyz у напрямі
z
x
вектора M 1 M 2 в т. М 1 та grad u (M 1 ), якщо М 1 (1,1,-1), М 2 (-2, -1,1).
Розв‘язання.
M 1 M 2 =(-3, -2,2), його напрямні
−3
−2
2
косинуси: cos α =
, cos β =
.
, cos ϕ =
17
17
17
∂u ( M 1 ) ∂u
∂u
∂u
cos α +
cos β +
cos γ
=
∂M1M 2 ∂x M1
∂y M
∂z M 1
1.
Знайдемо вектор
1
y
∂u
1
=
+ 2 + 2 yz ,
∂x 2 z x x
∂u
1
∂u
=−
+ 2 xz ,
∂y
∂y
2x y
M1
∂u
3
=−
2
∂x M 1
5 ∂u
x
∂u
=− ,
= − 2 + 2 xy,
2 ∂z
∂x
z
=1
M1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
12
∂u ( M 1 )
3
3  5
2 
2
23
23 17
=
=
= − −
 + 1⋅
− −
2
34
17  2 
17 
17 2 17
∂ M1M 2
2.
За означенням
grad u (M 1 )=
∂u
∂x
i+
M1
∂u
∂y
j+
M1
∂u
∂z
k
M1
3
5
grad u (M 1 )= − i − j + k
2
2
2. Для даного векторного поля
a = (3 xz + y 2 )i + (4 yx + z ) j + ( x 2 y + 4 z )k знайти в точці
M 0 (2,−2,1) diva , rota .
Розв’язання. Вирази для rota та diva мають такий вигляд
i
j
k
∂
∂
∂
 ∂Q ∂P 
 ∂R ∂Q   ∂R ∂P 
rota =
= i 

 − j
−
−
−
 + k 
∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z   ∂x ∂z 
 ∂x ∂y 
P Q R
diva =
∂P ∂Q ∂R
+
+
∂x ∂y ∂z
a = P i +Q j + R k ,
де
тобто
P,Q,RP = 3xz + y 2 ,
складові
вектора
Q = 4 yx + z ,
R = x y + 4z .
2
Таким чином rota = i ( x 2 − 1) − j (2 xy − 3x ) + k (4 y − 2 y ) =
= i ( x 2 − 1) + j (3x − 2 xy ) + k 2 y , rota ( M 0 ) = 3i + 14 j − 4k ,
diva = 3 z + 4 x + 4 , diva ( M 0 ) = 3 + 8 + 4 = 15
3. Обчислити течію векторного поля
a( M ) = ( x + z )i + ( 2 y − x ) j + z k через зовнішню поверхню піраміди,
створену площиною x − 2 y + 2 z = 4 та координатними площинами,
двома способами: а) за означенням течії; б) за допомогою формули
Остроградського-Гаусса.
Розв‘язання.
а) Обчислимо течію за допомогою поверхневого інтеграла
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
13
П= ∫∫ a ⋅ n°dS , де S - зовнішня поверхня піраміди АВСО.
S
Обчислимо течію через кожну грань піраміди:
Рисунок 1.8
а) ∆AOC y=0, n° = j , dS=dxdz.
Π1 = −
∫∫
∫∫
xdS = −
∆AOC
∆AOC
4
xdxdz = − ∫ xdx
0
2−
x
2
∫ dz =
0

x
x3  4
16

= − ∫ x 2 −  dx = − x 2 −  = −


2
6 0
3

0 
б) ∆AOB z=0, n° = − k , dS=dxdy. П 2 = ∫∫ 0 ⋅ dxdy = 0
4
∆AOB
в) ∆BOC х=0, n° = −i , dS=dydz.
Π3 = −
∫∫
∆BOC
2
0
0
z−2
zdzdy = − ∫ zdz
∫
2
dy = − ∫ z (− z + 2) dz =
0
 z3
2
4
= − − + z 2  = −
3
 3
0
г) ∆ABC належить площині x-2y+2z-4=0, нормаль до цієї грані
n=
i − 2 j + 2k
1+ 4 + 4
=
i − 2 j + 2k
.
3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
14
1
1
2
2
dS = 1 + z ′x + z ′y dxdy , z = − x + y + 2 , z ′x = − , z ′y = 1 .
2
2
1
3
Тоді dS = 1 + + 1dxdy = dxdy
4
2
1 3
Π 4 = ⋅ ∫∫ (( x + z ) − 2(2 y − x ) + 2 z )dxdy =
3 2 ∆ABC
1
∫∫ (3x − 4 y + 3z )dxdy =
2 ∆ABC
=
=
1
3


 3 x − 4 y − x + 3 y + 6 dxdy =
∫∫
2 ∆ABC 
2

0
1
= ∫ dy
2 −2
=
2 y+4
∫
0
0
1

3 2

3
 x − y + 6 dx = ∫ dy  x + (6 − y ) x 
2 −2  4


2

1 0 2
1  y 3
y
y
dy
+
+
=
+ 10 y 2 + 36 
(
20
36
)
∫


2 −2
2 3

Течія
крізь
П = П1 + П 2 + П 3 + П 4 =
повну
0
=
−2
2 y+4
=
0
52
3
поверхню
піраміди:
32
3
б) 3а формулою Остроградського-Гаусса:
П=
 ∂P
∂Q
∂R 
∫∫∫ div adxdydz = ∫∫∫  ∂x + ∂y + ∂z dxdydz .
V
V
Частинні похідні:
∂Q ∂(2 y − x )
∂P ∂ ( x + z )
∂R ∂z
=
= 2,
=
= 1,
=
=1
∂y
∂y
∂x
∂x
∂z ∂z
Інтеграл
∫∫∫ dxdydz
дорівнює об'єму прямокутної піраміди АВСО,
V
тому П =
1 1
∫∫∫ (1 + 2 + 1)dxdydz = 4∫∫∫ dxdydz = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 2 =
V
V
32
3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
15
4. Обчислити циркуляцію векторного поля
a = ( 2 x + z )i + (3 x + 2 y ) j + ( 2 z + 3 y ) k
по контуру трикутника, який утворюється внаслідок перетину
площини 2 x + y + 2 z = 2 з координатними площинами при
додатньому напряму обходу відносно нормального вектора
n = (m, n, p) ( p > 0) до площини. Обчислення зробити двома
способами :
а) за означенням
б) за допомогою формули Стокса
Розв’язання.
C = ∫ a dr = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
а) За означенням циркуляції
l
l
Для заданого векторного поля
C
z
1
n
B
2
A
x
y
1
Рисунок 1.9
C = ∫ (2 x + z )dx + (3x + 2 y )dy + (2 z + 3 y )dz
l
На відрізку AB : z = 0 ; dz = 0 ; 2 x + y = 2 або y = −2 x + 2 ;
dy = −2dx
C1 =
∫ (2 x + z )dx + (3x + 2 y)dy + (3 y + 2 z )dz =
AB
0
=
∫ 2 xdx + (3x + 2 y)dy = ∫ (2 x + (3x + 2(−2 x + 2)) ⋅ (−2))dx =
AB
0
1
0
= ∫ (4 x − 8)dx = (2 x 2 − 8 x) = −2 + 8 = 6 .
1
1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
16
На відрізку BC : x = 0 , dx = 0 , y + 2 z = 2 або y = 2 − 2 z ,
dy = −2dz .
C2 =
∫ (2 x + z )dx + (3x + 2 y)dy + (3 y + 2 z )dz =
BC
1
=
∫ 2 ydy + (3 y + 2 z )dz = ∫ (2(2 − 2 z )(−2) + (2 z + 3(2 − 2 z ))dz =
0
BC
1
1
== ∫ (4 z − 2)dz = (2 z 2 − 2 z ) = 2 − 2 = 0 .
0
0
y = 0 , dy = 0 , 2 x + 2 z = 2 або z = 1 − x ,
На відрізку : CA
dz = −dx .
C3 =
∫ (2 x + z )dx + (3x + 2 y )dy + (3 y + 2 z )dz =
CA
=
∫
CA
1
(2 x + z )dx + 2 zdz = ∫ ((2 x + 1 − x ) + 2(1 − x)(−1))dx =
0
1
1
x2
3
1
== ∫ (3 x − 1)dx = (3 − x ) = − 1 = .
2
2
2
0
0
Таким чином C = C1 + C 2 + C3 = 6 + 0 +
1
1
=6 .
2
2
б) Обчислення циркуляції за допомогою формули Стокса.
C = ∫ a dr = ∫∫ rota ⋅ n0 ds =
l
S
де S - трикутник
ABC ,
∫∫
D xy
rota ⋅ n0
cos γ
dxdy
z = z ( x, y )
Dxy - проекція цього трикутника на
координатну площину XOY , n0 - нормальний одиничний вектор до
поверхні S , cos γ - це третя складова вектора n0 ,
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
17
i
j
k
∂
∂
∂
n
rota =
= 3i + j + 3k , n0 = ,
∂x
∂y
∂z
n
2 x + z 3x + 2 y 2 z + 3 y
(
)
n = ± ϕ′x ,± ϕ′y , ± ϕ′z , ϕ( x, y, z ) = 0 - рівняння поверхні, знак(+)
або (–) вибирається з умови. Для цього прикладу рівняння поверхні
має вигляд 2 x + y + 2 z = 2 , тобто ϕ( x, y , z ) = 2 x + y + 2 z − 2 .
Таким чином , враховуючи напрямленість нормального вектора
2 1 2
3 3 3
маємо n = (2,1,2) , n0 =  , ,  ,
cos γ =
2
3
. Враховуючи
попередню формулу обчислимо циркуляцію
1
2
3 ⋅ 23 + 1 ⋅ + 3 ⋅
13 1
13
1
3
3 dxdy = 13 S
C = ∫∫
⋅ ⋅1 ⋅ 2 = = 6
D xy =
2
2
2 2
2
2
D xy
3
2. РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНІ ЗАВДАННЯ
2.1 Завдання 1
Змінити порядок інтегрування, зобразити область інтегрування.
3
2
1.
3.
4 x3
∫ dx ∫ dy
1
2
x
4
12 − x
4
∫
5 − 25 − y 2
∫ f ( x, y)dx
2. dy
0
2
4. dy
2
12 − 2 x
3
x +2
2
y
1
1
∫
−3
0
2
∫ f ( x, y)dy
−1
6.
y2
2
1+ y 2
∫ dx ∫ 2dy
5. dx
∫
− 1+
∫ f ( x, y)dx
− 3− y
∫ dy ∫ dx
y2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
18
1
7.
6 x
∫ dx ∫ 3dy
0
3 x
3
2 x +3
∫
∫ f ( x, y)dy
9. dx
−1
∫
∫ f ( x, y)dx
−3
16
0
x2
13. ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
3
3x2
2
6x
∫ dx ∫
3
dy
4
2− 9− y
2
0
− 25 − y
2
3
3− 9 − x 2
3
∫
∫ f ( x, y)dx
17. dy
∫
∫ f ( x, y)dy
19. dx
3
∫
∫ f ( x, y)dy
−3
−1
2
y 2 +4
∫
23. dy
0
3
∫ dx
2
∫ f ( x, y )dx
y
∫
∫
6x
3
dy
4
∫ f ( x, y)dx
− 9− ( y − 3) 2
0
y 2 +1
1
∫
∫ f ( x, y )dx
12. dy
0
− 16 − y 2
4
4− x 2
∫
14. dx
−1
16.
∫ f ( x, y)dy
−3 x
4
− y +12
2
12 − 2 y
∫ dy ∫ 2dx
5 − 25 − y 2
4
∫
∫ f ( x, y)dx
18. dy
0
− 1+
∫
∫ f ( x, y)dx
20. dy
− 3− y
0
y2
2
2
∫
∫ f ( x, y)dx
22. dy
0
3
∫
− 3− y 2
25 − x 2
∫ f ( x, y)dy
24. dx
0
2
26.
y2
2
1+ y 2
2
2
3 x2
6− y
10. dy
x2 +2
21. dx
12 y
6
x −3
0
25.
3
y 2 −5
4
4
∫ dy ∫ 2 27 dx
25 − y 2
11. dy
15.
8.
x2
3
4 y3
4
9− x 2
x
∫ dx ∫ dy
1
1
x2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
19
9 x3
3/ 2
9
27. ∫ dx ∫ dy
3 5
1/ 2
5x
3
∫
29. dx
−1
2 x +3
∫
x
f ( x, y )dy
2
28.
3
25 − y 2
0
9− y 2
∫ dy ∫ f ( x, y)dy
6
∫
30. dy
0
6− y
∫ f ( x, y)dx
− 9− ( y − 3) 2
2.2 Завдання 2
Обчислити площу фігури, обмеженої лініями. Зобразити фігуру.
1
3
; x = ; y = 9x3; y = 5x3.
2
2
1
5
2. x = ; x = ; y = 3x; x + y = 12.
2
8
1. x =
4. x = 2; yx2 = 1; y = x.
3. x = 0; y = 8 - 2x; y = 6 x .
5. x = 4; y = 4x3 ; 9y = 108x2
6. x = 1; y = 3 x ; y = 6 x .
7. 2x = 1; 2x = 3; y = 9x3; y = 5x3.
9. 2x = 3; y = 4x; 2x + y = 6.
8. y = 1; x = 3 y ; x = 6 y .
10. x = cosy; x = siny; y = 0
11. y = 0; 2y + x = 8; x = 6 y .
12. 9y = 3; x = 3y2; x = 6y.
13. y = 3x2; x = 3; y = 6x.
15. x=1/2; x=3/2, y=x, y=4x3
14. x + y = 2; x 2 + y 2 = 4
16. x=3y2, y=-2, 18y+3x=27.
17. y = 2; x = −2; x − y = 0; x 2 + y 2 = 1
18. y 2 = x; x + y = 2
19. x 2 + y 2 = 2 x; x 2 + y 2 = 4 x
20. y = x; y = − x; x = 4; x 2 + y 2 = 4
21. x 2 + y 2 = 2 y; x 2 + y 2 = 9
22. x 2 + y 2 = 16; x 2 + y 2 = − 3 y
23. y = 1; y = -2; x = 2y2;18y + 3x = 27.
24. x 2 + y 2 = 1; x = 2; y = 0; x + y = 0
25. x 2 + y 2 = 2 y; x 2 + y 2 = 4 y
26. x 2 + y 2 = 2 x; x 2 + y 2 = 9
27. y = 0; x = 1; x = 3; x = 1 / y
28. y 2 = x + 2; x = 2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
20
29. x = 0; y = 0; x = 2; y = e x
30. x 2 + y 2 = 4; x + y ≥ 2
2.3 Завдання 3
Обчислити подвійні інтеграли.
1а)
∫∫ ( x + 2 y)dxdy
D : x = 1; x = 2; y = x; y =
∫∫ (5 − 2 y)dxdy
D : y = x 2 ; y = 4; x = 0 .
D
2а)
1
x.
2
D
3а)
∫∫ e
x+ y
dxdy
D : y = x; x = 0; y = 1 .
D
4а)
∫∫ ( x − 4 y )dxdy
D : y = 2 − x2 ; y = x2 .
D
5а)
∫∫ cos( x + y)dxdy
D : y = x; y = 0; x =
D
6а)
π
.
2
∫∫ (
x + y )dxdy
D : y = x; y = 2 x; x = 1 .
∫∫ ( x
2
+ y 2 )dxdy
D : y = x; x + y = 2; y = 0 .
D
7а)
D
8а)
∫∫
x ydxdy
D : x = 0; y = 0; x + y = 1 .
D
9а)
∫∫ ( x + y)dxdy
D : y = x2; y = x .
D
10а)
∫∫ (3 − y)dxdy
D : x 2 = 2 y; y = 2 .
D
11а)
∫∫
y
e x dxdy
D : y = x 2 ; y = 0; x = 1 .
D
12а)
∫∫ (
x − y )dxdy
D : y = x ; y = 0; x = 4 .
D
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
21
13а)
∫∫ ( x − 6 y)dxdy
D : y = x2; y = x .
D
14а)
∫∫ ( x
2
+ 3 y 2 )dxdy
D : y = x; x + y = 2; x = 0 .
D
15а)
∫∫ ( x + 2)dxdy
D : y = ln x; y = 0; x = e .
∫∫ (2 y − 4 y)dxdy
D : x = 3 y; x = 1; x = 2 .
D
16а)
D
17а)
∫∫ ( x + 3 y )dxdy
D : x = 0; y = x; y = 1 .
D
18а)
∫∫ ( x + y + 1)dxdy
D : y = x; y = 2 x; y = 2 .
D
19а)
∫∫ cos( x + 2 y)dxdy
D : y = x; y =
D
20а)
∫∫ x
2
ydxdy
π
;x = 0.
2
D : y = x2; y = x .
D
21а)
y
D : y = x; y =
∫∫ e
D : x + y = 2; y = x; x = 0 .
D
22а)
1
x; x = 2 .
2
∫∫ x dxdy
y
dxdy
D
23а)
∫∫ ( x
2
+ 3 y 2 )dxdy
D : y = x; y = x 2 .
D
24а)
∫∫ (2 y + 1)dxdy
D : y = x; y = − x; x = 1 .
D
25а)
x
∫∫ y 2 dxdy
D : x = 3; y = x; xy = 1 .
D
26а)
y
∫∫ x 2 dxdy
D : x + y = 1; y = 0; x = 0 .
D
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
22
27а)
∫∫ sin( x + y)dxdy
D : y = 0; y = x; x = π .
∫∫ (2 x + 3 y)dxdy
D : x = 1− y2 ; x = 0 .
D
28а)
D
29а)
∫∫ (3 y +
x )dxdy
D : y = x; y =
D
30а)
∫∫ xdxdy
1
x; x = 1 .
3
D : y = e x ; y = e; x = 0 .
D
1б)
∫∫
x 2 + y 2 + R 2 dxdy
D : x 2 + y 2 = R 2 ; x 2 + y 2 = 3R 2 .
∫∫
R 2 − x 2 − y 2 dxdy
D : x 2 + y 2 = R 2 ; ( x ≥ 0; y ≥ 0) .
D
2б)
D
3б)
∫∫ ( x
2
+ y 2 )dxdy
D : x2 + y 2 = 2x .
D
1+ x 2 + y 2
∫∫ e
4б)
dxdy
D : y = 1− x2 ; y = 0 .
D
5б)
∫∫
D
6б)
dxdy
R −x −y
dxdy
2
2
∫∫ x 2 + y 2 + R 2
2
D : x 2 + y 2 = R 2 ; ( x ≥ 0; y ≥ 0) .
D : y = 1− x2 ; y = 0 .
D
7б)
∫∫
1 + 2 x 2 + 2 y 2 dxdy D : x 2 + y 2 = 4 .
D
8б)
∫∫ (1 +
D
9б)
∫∫
y2
x
2
)dxdy
D : x 2 + y 2 = 1; y = x; y = 0; ( y ≥ 0) .
x 2 + y 2 dxdy D : x 2 + y 2 = 4; x 2 + y 2 = 2 x .
D
10б)
∫∫ ln( x
2
+ y 2 )dxdy D : x 2 + y 2 = 1; x 2 + y 2 = e 2
D
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
23
11б)
∫∫
cos x 2 + y 2
x +y
2
D
12б)
∫∫ (2 + x
2
2
dxdy
+ y 2 )dxdy
D : x2 + y2 =
π2
;
4
x 2 + y 2 = π2 .
D : x2 + y 2 = 4x .
D
13б)
∫∫ (3x + 2 y)dxdy
D : x 2 + y 2 = 1; x 2 + y 2 = 4; x = 0; ( y ≥ 0) .
D
14б)
y
∫∫ arctg x dxdy
D
D : x 2 + y 2 = 1; x 2 + y 2 = 4; y = x; y =
15б)
∫∫ sin
1
x; ( y ≥ 0) .
3
x 2 + y 2 dxdy
D
2
D : x + y 2 = 1; x 2 + y 2 = 9; y = − x; ( x ≥ 0) .
16б)
∫∫ xdxdy
D : x2 + y2 = 2 y .
∫∫ ydxdy
D : x2 + y 2 = 2x .
D
17б)
D
18б)
∫∫ ( x + y)dxdy
D : x 2 + y 2 = 6 x; x 2 + y 2 = 2 x .
D
19б)
∫∫ e
x2 + y 2
∫∫
x 2 + y 2 + 2dxdy
dxdy
D : x 2 + y 2 = 4; y = 0; ( y ≥ 0) .
D
20б)
D
2
D : x + y 2 = 4; x 2 + y 2 = 9; y = x; y = − x; ( x ≥ 0) .
21б)
∫∫
4 − x 2 − y 2 dxdy
D : x2 + y 2 = 2x .
D
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
24
22б)
∫∫ (3x − 2 y)dxdy
D : x2 + y2 = x .
D
23б)
∫∫
D
24б)
dxdy
3+ x + y
xdxdy
2
D : x 2 + y 2 = 1; x 2 + y 2 = 4 .
2
∫∫ x 2 + y 2
D : x 2 + y 2 = 4; x 2 + y 2 = 2 y .
D
25б)
∫∫
D
26б)
ydxdy
x +y
2
D : x2 + y 2 = 4x .
2
∫∫ (2 x + 5 y)dxdy
D : x2 + y 2 = 6x .
D
27б)
∫∫ ydxdy
D : x 2 + y 2 = 1; x 2 + y 2 = 4 .
D
28б)
∫∫
D
29б)
dxdy
6− x − y
2
∫∫ (2 + x
2
D : x2 + y2 = 6 y .
2
+ y 2 )dxdy
D : x 2 + y 2 = 4 x; x 2 + y 2 = 2 x .
D
30б)
∫∫ (3 + x + y)dxdy
D
2
D : x + y 2 = 1; x 2 + y 2 = 4; y = x; y = 3x; ( y ≥ 0) .
2.4 Завдання 4
Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями, зробити рисунок
1.a) z = x + y ; x + y =2 x ; z =0;
2
2
2
2
2
2
2
б) x + y = 2 x , z =0, z = x
2. а) x 2 + y 2 =1; z =0; z =1; x >0; y >0
б) z = x 2 + y 2 , z =0, x =1, y =2, x =0 y =0
3. а) x 2 + y 2 = z 2 , z =0, y =2 x , y =4 x , x =3 ( z >0);
б) x 2 + y 2 =4 y , z =0, y + z =5
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
25
4. а) x 2 + y 2 =9; z = x ; z =0; z >0
2
2
б) x 2 + y 2 + z 2 =4; x + y =3 z
5. а) z = x 2 + y 2 ; z = x 2 +2 y 2 ; y = x ; x =1
б) y 2 +3 z 2 =6; 3 x 2 -25 y 2 =75; z >0
2
2
2
6. а) x 2 + y 2 =2 z ; x + y + z =3; z >0
б) x =4; y =2; x +2 y +3 z =12; x =0; y =0; z >0.
7. а) z =5 y ; x 2 + y 2 =16; z =0;
б) x + y + z =5; 2 x + y =5: y =0; z =0
8. а) 2 x = y 2 + z 2 ; x =0; y =2; z =3; y =0; z =0
б)8( x 2 + y 2 )= z 2 ; x 2 + y 2 =1; y >0; z >0
2
2
9. а) y = x ; y =0; x =1; z = x +5 y ; z =0
б) x 2 + y 2 + z 2 =9; x 2 + y 2 <1, x >0
10. а) y = x ; y =0; x =1; z = xy ; z =0
б) x 2 + y 2 + z 2 =4; x 2 + y 2 = z 2 , x >0; z >0
11. а) y =2 x ; y =0; x =2; z = x y ; z =0
2
2
2
б) x + y = z ; x + y =1, y >0 z >0
2
2
12.а) z = x 2 +3 y 2 ; z =0; y = x , y =0, x =1
б) z =8( x 2 + y 2 )+3, z =16 x +3
13. а) z =3 x + y ; z =2- x - y
2
2
2
2
б) y = x ; y =0; x =1; z =3 x 2 +2 y 2 ; z =0
14. а) z =10( x + y )+1; z =1-20 y
2
2
2
2
б) y + z =8 z ; x =0; z + x =6
15. а) 2 z = x + y ; z =0; x =2; y =3; x =0; y =0
2
2
б) x 2 + y 2 =4 x ; z =0; z = x
16. а) x 2 + y 2 =4 z 2 ; z =0; y = x ; y =8 x ; x =2; z >0
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
26
б) x 2 + y 2 =8 y ; z =0; y + z =6
2
2
17. a) x 2 = y 2 + z 2 ; y + z =2 y ; x =0;
x= y
б) y 2 + z 2 = 2 y , x =0,
18. а) y 2 + z 2 =1; x =0; x =1; y >0; z >0
б) x = y 2 + z 2 , x =0, y =1, z =2, y =0 z =0
19. а) y 2 + z 2 = x 2 , x =0, z =2 y , z =4 y , y =3 ( x >0);
б) y 2 + z 2 =4 z , x =0, z + x =5
20. а) y 2 + z 2 =9; x = y ; x =0; x >0
б) y 2 + z 2 + x 2 =4; y 2 + z 2 =3 x
2
2
2
2
21. а) x = y + z ; x = y +2 z ; z = y ; y =1
б) z 2 +3 x 2 =6; 3 y 2 -25 z 2 =75; x >0
22. а) y 2 + z 2 =2 x ; y 2 + z 2 + x 2 =3; x >0
б) y =4; z =2; y +2 z +3 x =12; y =0; z =0; x >0.
2
2
23. а) x =5 z ; y + z =16; x =0
б) y + z + x =5; 2 y + z =5: z =0; x =0
2
2
24. а) y + z =4 y ; x =0; x = y
2
2
2
2
2
б)8( y + z )= x ; y + z =1; z >0; x >0
2
2
25. а) z = y ; z =0; y =1; x = y +5 z ; x =0
2
2
2
2
2
б) y + z + x =9; y + z <1, y >0
26. а) z = y ; z =0; y =1; x =
yz z ; x =0
б) y 2 + z 2 + x 2 =4; y 2 + z 2 = x 2 , y >0; x >0
27. а) z =2 y ; z =0; y =2; x = y z ; x =0
б) y 2 + z 2 = x 2 ; y 2 + z 2 =1, z >0 x >0
28. а) x = y 2 +3 z 2 ; x =0; z = y , z =0, y =1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
27
б) x =8( y 2 + z 2 )+3, x =16 y +3
2
2
2
2
2
2
29. а) x =3 z + y y + z ; x =2- y - z
б) z = y ; z =0; y =1; x =3 y 2 +2 z 2 ; x =0
2
2
30. а) x =10( y + z )+1; x =1-20 z
б) y 2 + z 2 =4 x 2 ; x =0; z = y ; z =8 y ; y =2; x >0
2.5 Завдання 5
Обчислити криволінійний інтеграл 1-го роду
∫ f ( x, y)dl
де l - відрізок
l
прямої від точки A( x1 , y1 ) до точки B ( x 2 , y 2 ) .
f ( x, y ) = 2 x + 3 y ;
2) f ( x, y ) = 3 x − 2 y ;
3) f ( x, y ) = 4 x + 3 y ;
4) f ( x, y ) = −4 x + 2 y ;
5) f ( x, y ) = x + 2 y ;
6) f ( x, y ) = − x + 3 y ;
7) f ( x, y ) = 2 x − y ;
8) f ( x, y ) = 3 x − 5 y ;
9) f ( x, y ) = 3 x + 5 y ;
10) f ( x, y ) = −4 x + 3 y ;
11) f ( x, y ) = 5 x + 2 y ;
12) f ( x, y ) = −5 x + 2 y ;
13) f ( x, y ) = 4 x − 5 y ;
14) f ( x, y ) = −4 x + 5 y ;
15) f ( x, y ) = 6 x − 2 y ;
16) f ( x, y ) = −6 x + 2 y ;
1)
A(1,−1) ; B (2,0).
A(2,1) ; B(2,−1).
A(−1,0) ; B (2,1).
A(−3,1) ; B(2,2).
A(−5,0) ; B (2,1).
A(−4,1) ; B(2,−1).
A(−3,2) ; B(−1,1).
A(−2,2) ; B(1,1).
A(0,2) ; B(5,3).
A(−3,1) ; B (4,2).
A(−2,3) ; B(3,2).
A(2,−3) ; B (3,−2).
A(−4,2) ; B(2,1).
A(1,2) ; B(3,4).
A(−1,3) ; B (3,3).
A(1,2) ; B(4,3).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
28
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
f ( x, y ) = −5 x + 6 y ;
A(−3,7) ; B(2,3).
f ( x, y ) = 5 x − 6 y ;
A(2,5) ; B (3,2).
f ( x, y ) = 7 x + 2 y ;
A(1,1) ; B(3,2).
f ( x, y ) = −7 x + 3 y ;
A(−1,2) ; B(3,−2).
f ( x, y ) = 6 x + 2 y ;
A(−1,3) ; B(2,−3).
f ( x, y ) = − x + 2 y ;
A(0,−3) ; B(1,2).
f ( x, y ) = x − 2 y ;
A(3,−2) ; B(2,1).
f ( x, y ) = −2 x + 3 y ;
A(4,0) ; B(1,3).
f ( x , y ) = −3 x − 2 y ;
A(4,1) ; B(2,−1).
f ( x, y ) = 7 x + 3 y ;
A(−5,3) ; B(3,2).
f ( x , y ) = −4 x + 3 y ;
A(−4,1) ; B(−3,2).
f ( x , y ) = −3 x + 5 y ;
A(−3,2) ; B (2,3).
f ( x , y ) = −7 x + 2 y ;
A(1,3) ; B (4,4).
f ( x, y ) = 7 x + 5 y ;
A(−3,2) ; B(−4,2).
2.6 Завдання 6
Обчислити криволінійний інтеграл 2-го роду
∫ P( x, y )dx + Q( x, y)dy .
l
4)
P ( x, y ) = x + y ; Q ( x, y ) = xy ;
l : y = x + 1 ; від точки з x1=0 до точки з x2=2 .
P ( x , y ) = x + 2 y ; Q ( x, y ) = − x + y ;
l : y = 3 x + 2 ; від точки з x1=1 до точки з x2=2 .
P ( x , y ) = 2 x − y ; Q ( x, y ) = x + y ;
l : y = x + 2 ; від точки з x1=2 до точки з x2=3 .
P ( x , y ) = 3 x + y ; Q ( x, y ) = 2 x − y ;
5)
l : y = x 2 ; від точки з x1=1 до точки з x2=1.
P ( x , y ) = 2 x − y ; Q ( x, y ) = x − y ;
1)
2)
3)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
29
6)
l : y = x ; від точки з x1=0 до точки з x2=4 .
P ( x , y ) = x + y ; Q ( x, y ) = 2 x + y ;
l : x = 3 cos t ; y = sin t ;
від точки з t1=0 до точки з t2= π .
2
P ( x , y ) = 2 x + y ; Q ( x , y ) = −2 x + y ;
l : x = 2 cos t ; y = 2 sin t ; від точки з t1=0 до точки з t2= π
8) P ( x, y ) = 3 x + 2 y ; Q( x, y ) = x + 2 y ;
l : y = 3 x + 1 ; від точки з x1=1 до точки з x2=2 .
9) P ( x, y ) = 3 x − 2 y ; Q( x, y ) = 5 x + 1 ;
l : y = − x + 1 ; від точки з x1=0 до точки з x2=3 .
10) P ( x, y ) = xy ; Q ( x, y ) = 2 x − y ;
l : y = −2 x + 3 ; від точки з x1=0 до точки з x2=2 .
7)
.
x 2 + y ; Q ( x, y ) = 3 x − 2 y ;
l : y = − x + 3 ; від точки з x1=0 до точки з x2=3 .
11) P ( x, y ) =
12)
P ( x , y ) = x + y 2 ; Q ( x, y ) = x + 2 ;
l : y = 1 − x 2 ; від точки з x1=0 до точки з x2=1 .
13) P ( x, y ) = x − 2 y ; Q ( x, y ) = xy ;
l:y = x ;
14)
від точки з x1=1 до точки з x2=4 .
P ( x, y ) = x + 3 y ; Q( x, y ) = x 2 y ;
l : y = x 2 + 1 ; від точки з x1=0 до точки з x2=3 .
15) P ( x, y ) = 3 xy ; Q ( x, y ) = x + y ;
l : x = 2 cos t ; y = 2 sin t ;
16)
від точки з t1=0 до точки з t2= π .
P ( x , y ) = 4 x ; Q ( x, y ) = − x + y ;
l : y = 2 x − 3 ; від точки з x1=1 до точки з x2=3 .
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
30
P ( x , y ) = −2 y ; Q ( x , y ) = 2 x + y ;
l : y = − x + 2 ; від точки з x1=0 до точки з x2=4 .
18) P ( x, y ) = − x + 2 y ; Q ( x, y ) = xy ;
17)
l : x = 3 cos t ; y = 2 sin t ;
від точки з t1=0 до точки з t2=
π .
2
P ( x , y ) = −2 x + y ; Q ( x , y ) = x 2 y ;
l : y = 3 x − 2 ; від точки з x1=1 до точки з x2=3 .
20) P ( x, y ) = −3 x + 2 y ; Q ( x, y ) = x + 2 y ;
l : y = −2 x + 3 ; від точки з x1=0 до точки з x2=2 .
21) P ( x, y ) = −2 y + 5 ; Q ( x, y ) = xy ;
l : y = − x + 4 ; від точки з x1=0 до точки з x2=4 .
22) P ( x, y ) = 2 x − 3 ; Q ( x, y ) = x − y ;
l : y = −2 x + 1 ; від точки з x1=1 до точки з x2=2 .
23) P ( x, y ) = −2 x + y ; Q ( x, y ) = x − 2 y ;
l : y = −3 x + 2 ; від точки з x1=0 до точки з x2=3 .
19)
P ( x, y ) = −3 x + 4 y ; Q ( x, y ) = xy 2 ;
l : y = −2 x + 5 ; від точки з x1=0 до точки з x2=4 .
25) P ( x, y ) = x + 4 y ; Q ( x, y ) = x ;
24)
l : x = 2 cos t ; y = sin t ;
26)
від точки з t1=0 до точки з t2= π .
2
2
P ( x, y ) = − x + 2 y ; Q ( x, y ) = xy ;
l : y = x + 1 ; від точки з x1=1 до точки з x2=2 .
P ( x , y ) = −5 x + 2 y ; Q ( x , y ) = x 2 y ;
l : y = −2 x + 1 ; від точки з x1=2 до точки з x2=3 .
28) P ( x, y ) = −3 x + y ; Q ( x, y ) = x − y ;
l : y = − x + 4 ; від точки з x1=1 до точки з x2=4 .
27)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
31
29)
30)
P ( x, y ) = xy 2 ; Q( x, y ) = 2 x + y ;
l : y = x − 2 ; від точки з x1=0 до точки з x2=2 .
P ( x, y ) = 5 x − 7 y ; Q( x, y ) = x 2 y ;
l : y = 2 x − 1 ; від точки з x1=1 до точки з x2=3 .
2.7 Завдання 7
Відновити функцію u = u ( x, y ) по ії повному диференціалу
du = P( x, y )dx + Q ( x, y )dy .
1) P( x, y ) = 2 xy + e y ;
Q ( x, y ) = x 2 + xe y .
2) P( x, y ) = 3x 2 y + y 2 + cos( x + y ) ; Q ( x, y ) = x 3 + 2 xy + cos( x + y ) .
3) P( x, y ) = 2 xe y + cos y + y ;
Q ( x, y ) = x 2 e y − x sin y + x .
4) P( x, y ) = 2 x sin y + y 3 + 2 ;
Q ( x, y ) = x 2 cos y + 3xy 2 .
5) P( x, y ) = y 3 e x + y 2 + 1 ;
Q ( x, y ) = 3 y 2 e x + 2 xy + 2 .
6) P( x, y ) = 2 x cos 2 y + e xy y ;
Q ( x, y ) = −2 x 2 cos y ⋅ sin y + e xy x + 3 .
7) P( x, y ) = sin 2 y + 3e 3 x ;
Q ( x, y ) = sin 2 y + 2( x + y ) cos y ⋅ sin y + 2 .
8) P( x, y ) = 6 xy 2 + 2 x ;
Q ( x, y ) = 6 x 2 y + 4 y .
9) P( x, y ) = 2 x cos 2 y − 2 y 2 sin 2 x ; Q ( x, y ) = −2 x 2 sin 2 y + 2 y cos 2 x .
10) P( x, y ) = 2 xe 2 y + 2 y 2 e 2 x + 2 ;
Q ( x, y ) = 2 x 2 e 2 y + 2 ye 2 x .
11) P( x, y ) = y 5 + 5 x 4 y − 2 ;
Q ( x, y ) = 5 xy 4 + x 5 + 3 .
12) P( x, y ) = 3x 2 y 3 + y 2 + 2 xy ;
Q ( x, y ) = 3x 3 y 2 + 2 xy + x 2 .
13) P( x, y ) = y 2 + 4 x 3 y + 7 ;
Q ( x, y ) = 2 xy + x 4 − 2 .
14) P( x, y ) = 2 xy 3 + 3x 2 y 2 + 7 y ;
Q ( x, y ) = 3 x 2 y 2 + 2 x 3 y + 7 x .
15) P( x, y ) = 3x 2 y 2 + y 3 + 2 y ;
Q ( x, y ) = 2 x 3 y + 3 xy 2 + 2 x .
16) P( x, y ) = 4 x 3 y 2 + 2 xy 4 + 3 ;
Q ( x, y ) = 2 x 4 y + 4 x 2 y 3 − 2 .
17) P( x, y ) = 3x 2 y 2 + 2 xy − 7 y ;
Q ( x, y ) = 2 x 3 y + x 2 − 7 x .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
32
18) P( x, y ) = 6 x 2 y + 6 xy 2 − 1 ;
Q ( x, y ) = 2 x 3 + 6 x 2 y + 1 .
19) P( x, y ) = 14 xy 3 − 5 y ;
Q ( x, y ) = 21x 2 y 2 − 5 x + 2 .
20) P( x, y ) = 20 x 3 y 2 − 3 y + 1 ;
Q ( x, y ) = 10 x 4 y − 3x − 2 .
21) P( x, y ) = 9 x 2 y 4 − 5 y 2 ;
Q ( x, y ) = 12 x 3 y 3 − 10 xy + 2 .
22) P( x, y ) = 3 y 5 + 20 x 4 y − 2 ;
Q ( x, y ) = 15 xy 4 + 4 x 5 .
23) P( x, y ) = 2 xy 6 + 6 x 5 y 2 + 4 x ;
Q ( x, y ) = 6 x 2 y 5 + 2 x 6 y − 2 y .
24) P( x, y ) = 2 xy 5 + 6 xy 2 ;
Q ( x, y ) = 5 x 2 y 4 + 6 x 2 y + 3 .
25) P( x, y ) = 6 x 2 y 3 + y 4 + 3 ;
Q ( x, y ) = 6 x 3 y 2 + 4 xy 3 .
26) P( x, y ) = e 2 y + 3 ye 3 x − y ;
Q ( x, y ) = 2 xe 2 y + e 3 x − x .
27) P( x, y ) = 7 x 6 y 2 + 2 xy 3 − 1 ;
Q ( x, y ) = 2 x 7 y + 3 x 2 y 2 + 2 .
28) P( x, y ) = 6 x 5 y 5 + 6 xy 3 + 3 ;
Q ( x, y ) = 5 x 6 y 4 + 9 x 2 y 2 .
29) P( x, y ) = 6 xy 3 + 10 y 2 + 1 ;
Q ( x, y ) = 9 x 2 y 2 + 20 xy .
30) P( x, y ) = 10 xy 6 + 3 y 3 ;
Q ( x, y ) = 30 x 2 y 5 + 9 xy 2 + 4 .
2.8 Завдання 8
Знайти похідну функції U = U ( x, y, z ) у напрямі вектора A1 A2 в т.
A1 та grad U|A1
y 
1

1. U= ln  x +
 + x + + 2 z , A1 (1; 2; 3), A2 (3; 4; 1).
2x 
4

2. U= 5( x + y −
x 2 + y 2 ) + 2 y + 3 − 4 z , A1 (3; 4; 1) , A2 (3; 2; -1).
3. U=5arctg(x - y)7 + 2y + x + 2ln2z, A1 (3; 4; 1) , A2 (2; -1; 1).


1
4. U= 2tg  x − + 2 z  + y + 3z + 7 , A1 (1; 1; 0) , A2 (3; 4; 1).
y


2
5
5. U=sin(x + y - 2z) + 2y + 7z + 5, A1 (1; 1; 1) , A2 (0; 0; 1).
6. U=xyeπxy + (1 - π)y + 2(1 - π) +zπ, A1 (1; 1; 1) , A2 (1; 0; 1).
7. U=tg(x2 + y4 -2z) + 2y + 6z + 4, A1 (1; 1; 1) , A2 (0; 0; 0).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
33
8. U= x 2 + y 2 + z 2 − ( x + y + z ) + 5 y + 9 z + 10 , A1 (2;3;6), A2 (3;4;1).
9. U= x 2 y + y 2 z + z 2 x , A1 (1;-1;2), A2 (3;4;-1).
10. U= 5 xy 3 z 2 , A1 (2;1;-1), A2 (4;-3;0).
11. U= ln( x 2 + y 2 + z 2 ) , A1 (-1;2;1), A2 (3;1;-1).
2
2
2
12. U= ze x + y + z , A1 (2,1,-1), A2 (3,-4,2).
13. U= ln( xy + yz + xz ) , A1 (-2,3-1), A2 (2,1,-3).
14. U= 1 + x 2 + y 2 + z 2 , A1 (1,1,1) , A2 (3,2,1).
15. U= x 2 y + xz 2 − 2 , A1 (1,1,-1), A2 (2,-1,3).
16. U= xe y + ye x − z 2 , A1 (3,0,2), A2 (4,1,3).
17. U= 3 xy 2 + z 2 − xyz , A1 (1,1,2), A2 (3,-1,4).
18. U= 5 x 2 yz − xy 2 + yz 2 , A1 (1,1,1), A2 (9,-3,9).
19. U= ( x 2 + y 2 + z 2 )3 , A1 (1,2,-1), A2 (0,-1,3).
20. U= x yz , A1 (3,1,4), A2 (1,-1,-1).


21. U= ln  x +
y 
1
 + x + + 2 z , A1 (1; 2; 3), A2 (3; 4; 1).
2x 
4
22. U= 5( x + y −
x 2 + y 2 ) + 2 y + 3 − 4 z , A1 (3; 4; 1) , A2 (3; 2; -1).
23. U=5arctg(x - y)7 + 2y + x + 2ln2z, A1 (3; 4; 1) , A2 (2; -1; 1).
24. U= 2tg x − 1 / y + 2 z + y + 3z + 7 , A1 (1; 1; 0) , A2 (3; 4; 1).
(
)
25. U= ln(1 + x 2 − y 2 + z 2 ) , A1 (1,1,1), A2 (5,-4,8).
26. U=sin(x2 + y5 - 2z) + 2y + 7z + 5, A1 (1; 1; 1) , A2 (0; 0; 1).
27. U=xyeπxy + (1 - π)y + 2(1 - π) +zπ, A1 (1; 1; 1) , A2 (1; 0; 1).
28. U=tg(x2 + y4 -2z) + 2y + 6z + 4, A1 (1; 1; 1) , A2 (0; 0; 0).
29. U= x 2 y + y 2 z + z 2 x , A1 (1;-1;2), A2 (3;4;-1).
30. U= x 2 y + xz 2 − 2 , A1 (1,1,-1), A2 (2,-1,3).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
34
2.9 Завдання 9
а) Обчислити течію векторного поля a (М) через зовнішню поверхню
піраміди, створену площиною (Р) та координатними площинами двома
способами:
1) за означениям ; 2) за допомогою формули Остроградського-Гаусса.
1. ā=3x i +(y + z) j + (x-z) k
(P):x + 3y + z = 3
2. ā=(3x-1) i + (y-x + z) j + 4z k
(Р)2x-y-2z = 2
3. ā=x i +(x + z) j + (y + z) k
(P):3x + 3y + z = 3
4. ā=(x+z) i + (z-x) j + (x + 2y + z) k
(P):x+y+z=2
5. ā = (y+2z) i + (x+2z) j +(x- 2y) k
(P):2x + y + 2z = 2
6. ā=(x + z) i + 2y j + (x + y-z) k
(Р):.x + 2y + z = 2
7. ā=(3x-y) i + (2y + z) j + (2z-x) k
(P):2x-3y + z = 6
8. ā=(2y + z) i + (x-y) j -2z k
(Р):x-y + z = 2
9. ā = (x +y) i +3y j +(y-z) k
(P):2x-y-2z = -2
10. ā=(x+y-z) i -2y j + (x + 2z) k
(P):x + 2y + z = 2
11. ā=(y-z) i + (2x + y) j + z k
(P):2x + y + z = 2
12. ā=x i +(y-2z) j +(2x-y+2z) k
(Р):x + 2y+2z = 2
13. ā=(x+2z) i +(y-3z) j + z k
(P):3x+2y + 2z = 6
14. ā=4x i +(x-y-z) j +(3y+2z) k
(P):2x+y+z=4
15. ā=(2z-x) i + (x + 2y) j + 3z k
(Р):x + 4y + 2z = 8
16. ā=4z i + (x-y-z) j + (3y + z) k
(Р):x-2y + 2z = 2
17. ā = (x + y) i +(y + z) j + 2(x + z) k
(P): 3x - 2y + 2z = 6
18. ā=(x + y + z) i +2z j + (y-7z} k
(P}:2x + 3y + z = 6
19. ā = (2х-z) i + (y-x) j + (x + 2z) k
(P):x-y + z = 2
20. ā = (2y-z) i + (x + y) j + x k
(P):x + 2y + 2z = 4
21. ā=(2z-x) i + (x-y) j + (3x+z) k
(P):x+y + 2z = 2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
35
22. ā = (x + z) i + (x + 3y) j + y k
(Р):x + y + 2z = 2
23. ā=(x + z) i + z j + (2x-y) k
(Р):2x + 2y+.z = 4
24. ā=(3x + y) i + (x + z) j + y k
(P):x + 2y + z = 2
25. ā=(y+z) i + (2x - z) j + (y + 3z) k
(Р): 2x+у+3z = 6
26. ā=(y + z) i + (x + 6y) j + y k
(P):x + 2y + 2z = 2
27. ā=(2y-z) i + (x + 2y) j + y k
(P):x + 3y + 2z=6
28. ā=(y + z) i + x j + (y-2z) k
(P):2x + 2y + z = 2
29. ā = (x + z) i +z j + (2x - y) k
(Р): 3x + 2y + z = 6
30. ā = z i + (x + y) j + y k
(Р): 2x + y + 2z = 2
б) Обчислити двома способами течію векторa ā крізь зaмкнену поверхню
σ (нормaль зовнішня).
1 . ā=(x + z) i +(z + y) k ;
σ:{x2 + у2 = 9,z = x,z = 0(z > 0)}.
2. ā = 2(z -y) j + (х- z) k ;
σ : {z = x2 + 3y2 + 1,z = 0,x2 + y2 =l).
3. ā =х i + z j -y k ;
σ:{z = 4-2(x2 +y2), z = 2(x2 + y2)}.
4. ā =4x i -2y i -z k ;
σ: {x2 + y2 = 1,z = 0, x + 2y + 3z = 6}.
5. ā =2x i + z k ;
σ: {z = 3x2 +2y2 +l,x2+y2 =4,z=o}.
6. ā = z i + (3y-x) j -z k ;
σ: {x2 + y2 = l,z = x2 + y2 +2,z = 0}.
7. ā =(z + y) i +(x-z) j -z k ;
σ:{ x2+4y2 =4,3x+4y+z=12, z=1}.
8. ā=(x+y+z) i +(2y-x) j +(3z+y) k ;
σ: {y = x,y = 2x,x =1,z = x2 +y2 ,z = 0}.
9. ā = -2x i +z j + (x + y) k ;
σ : (x2 + y2= 2y, z = x2 + y2, z = O).
10.ā = (x + y) i + (z + y) j + (z + x) k ;
σ: {y = 2x, у = 4x, x = 1, z = y2, z = 0}.
11. ā = (x+z) i +y k ;
12. ā = x i + y j + z k ;
σ: {z = 2 - x2 - y2, z =
σ: {z = 1 -
x
2
+y
x
2
2
+y
2
}.
, z = 0}.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
36
13. ā = (6x-cos y) i + (e x + z) j +(2y+3z) k ; σ: {x2+y 2 = z 2 , z=1, z=2}.
14. ā = 3x i – z j ;
σ: {z = 6-x 2 -y 2 , z =
15. ā = x 2 i + y 2 j + z k :
σ: {x2 + y 2 +z 2 = 4, z =
x
2
x
+y
2
2
}.
+y
2
}.
16. ā = 17x i + 7y j + 11z k ;
σ: {z = x2 + y2, z = 2(x2 + y 2 ), y = x 2 , y = x }.
σ: {x + y = 1, x = 0, z = x2 + y 2 , z = 0}.
17. ā = 8x i – 2y j +x k ;
18. ā = 4x i - 2y j – z k ;
σ: {3x+2y=12,3x + y = 6,y = 0,z =0,x + y + z = 6}.
σ: { x2 + y 2 = 2y, y = 2 }.
19. ā = (z + y) i + y j – x k ;
σ: {y = x 2 , y = 4x 2 , y = 1, z = y, z = 0(x ≥ 0)}.
20. ā = 2x i + 2y j + z k ;
21. ā = (2y - 15) i + (z - y) j – (x – 3y) k ;
1
}
4
22. ā = (x2 + xy) i + (y 2 + yz) j + (z2 + xz) k ;
σ: {z =3x 2 + y 2 + 1, z = 0, x2 + y 2 =
σ: { x2 + y 2 +z 2 = 1, z =
2
x
2
+y
2
}.
x
23. ā =(3z +x ) i + (e -2y) j + 2z k ;
2
σ : {x +y2 = z2, z = 1, z = 4}.
24. ā = (8x + l) i + (zx - 4y) j + (e x - z) k ;
σ : {x2 + y2 + z2 = 2y}.
2
25. ā = x y
i + x2 y j + z k ;
2
2
σ: {x +y = 1, z = 0, z = l (x ≥ 0, у ≥ 0)}.
26. ā=(x + z) i +(z + y) k ;
σ:{x2 + у2 = 9,z = x,z = 0(z > 0)}.
27. ā = 2(z -y) j + (х- z) k ; σ : {z = x2 + 3y2 + 1,z = 0,x2 + y2 =l).
28. ā =х i + z j -y k ;
29. ā =4x i -2y i -z k ;
30. ā =2x i + z k ;
σ:{z = 4-2(x2 +y2) z = 2(x2 + y2)}.
σ: {x2 + y2 = 1,z = 0, x + 2y + 3z = 6}.
σ: {z = 3x2 +2y2 +l, x2+y2 =4,z=0}.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
37
2.10 Завдання 10
Для даного векторного поля
a = P( x, y , z ) i + Q( x, y , z ) j + R( x, y, z ) k
знайти div a , rot a в точці M 0 .
2
= xy − z ; Q = 2 x − z ; R = xyz ; M 0 (1 , − 1 , 1) .
2) P = yz − xy ; Q = 3 y − z ; R = x + z ; M 0 ( −1 , 2 , 1) .
3) P = xy − 2 z ; Q = 2 xy + xz ; R = y − z ; M 0 (1 , 2 , 0) .
1) P
= x 3 − z 3 ; Q = xy 2 + z ; R = xz + y ; M 0 (−1 , 3 , 1) .
2
5) P = x y + 3 z ; Q = xz + 2 z ; R = yz + 2 x ; M 0 ( −2 , 1 , 1) .
4) P
= 7 x 2 y 3 ; Q = xz 2 + y ; R = 3 x 2 z + y ; M 0 (3 , − 1 , 1) .
3
2
7) P = 3xz ; Q = 2 yz + x ; R = 2 x z + 3 y ; M 0 ( −2 , 1 , − 1) .
6) P
8) P
= 3 xy 2 + z ; Q = x − 3 z ; R = 3 x 2 z + 2 y ; M 0 (1 , 2 , 0) .
= 2 x 4 y + zx ; Q = z + 2 y ; R = 4 xz ; M 0 (1 , − 2 , 1) .
2
10) P = xy − yz ; Q = 3xz ; R = x − 2 z ; M 0 (1 , − 1 , 3) .
9) P
= x 2 y + 4 z ; Q = 2 x 2 z ; R = 2 x + z ; M 0 (1 , 1 , 0) .
2
2
12) P = x z + 2 y ; Q = 3 y z ; R = 3 y + z ; M 0 (1 , − 2 , 1) .
11) P
= y 2 z + 3 z ; Q = 2xy 2 ; R = 2 x + 3z ; M 0 (1 , 3 , − 1) .
2
3
14) P = xz + 2 y ; Q = 3 x + z ; R = yz ; M 0 (1 , − 2 , 1) .
13) P
= 3 xz + 2 y 2 ; Q = 7 x + 2 y ; R = xz 2 ; M 0 (1 , 3 , − 2) .
2
16) P = 2 xz + 3 y ; Q = 3 x + 2 z ; R = yz ; M 0 (1 , − 2 , 0) .
17) P = 3 yz + 2 x ; Q = 5 y + xz ; R = xyz ; M 0 ( −1 , 2 , 2) .
18) P = 2 yz + 5 x ; Q = xy + 3 z ; R = x − z ; M 0 ( −1 , 0 , 2) .
15) P
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
38
19) P
= xz 3 + y ; Q = 2 xy 3 + z ; R = 2 y + 3 z ; M 0 (0 , 1 , 2) .
= xz 2 + 3 y ; Q = 3 xy + z ; R = x + z ; M 0 (−1 , 2 , 0) .
2
2
21) P = xz + 4 y ; Q = xz + y R = x + yz ; M 0 (3 , − 1 , 0) .
20) P
22) P
= 2 yz + 5 x ; Q = yz + x ; R = y 2 + z 2 ; M 0 (1 , − 1 , 1) .
= xz + 2 y ; Q = xz 2 ; R = y 3 + z ; M 0 (−1 , 2 , 0) .
2
24) P = xz + y ; Q = 7 y − z ; R = y z + x ; ; M 0 ( −3 , 0 , 1) .
23) P
= y 2 z 2 ; Q = 3 x − yz ; R = 5x 2 z ; M 0 (−2 , 0 , − 1) .
2
26) P = 3 xz + 4 y ; Q = 3 x + 2 z ; R = 5 x y ; M 0 ( −3 , 1 , 0) .
25) P
= 4 xy + 2 z ; Q = 3 xz ; R = x 2 + yz ; M 0 (−2 , 1 , 1) .
2
28) P = x y + 3 z ; Q = 4 yz ; R = x + 5 z ; M 0 ( −3 , 2 , 1) .
27) P
= 5 xy + 2 z ; Q = 5 yz 2 ; R = y + 4 z ; M 0 (0 , 1 , 2) .
2
30) P = 3 xz + 2 y ; Q = 7 y z ; R = x − 4 z ; M 0 ( −1 , 2 , 1) .
29) P
2.11 Завдання 11
Обчислити циркуляцію векторного поля
a по контуру
трикутника, який утворюється внаслідок перетину площини P з
координатними площинами, двома способами:
а) за означенням
б) із застосуванням формули Стокса.
1) a = y i + ( x + z ) j + z k ; P : x + 2 y + z = 2.
2) a = ( x + 2 z ) i + z j + ( y + z ) k ; P : 2 x + y + z = 2.
3) a = (2 x − y ) i + y j + ( x + z ) k ; P : x + y + 2 z = 2.
4) a = ( x + 2 y ) i + ( y + z ) j + 2 y k ; P : x + y + z = 1.
5) a = ( x + 2 z ) i + x j + ( y + z ) k ; P : x + 3 y + z = 3.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
39
6) a = ( y + z ) i + z j + ( x + 2 z ) k ; P : x + y + 3 z = 3.
7) a = ( x + 3 z ) i + ( y + z ) j + y k ; P : 3x + y + z = 3.
8) a = (2 x + z ) i + ( x + y ) j + z k ; P : 2 x − 2 y + z = 2.
9) a = (2 x − z ) i + ( x − 2 y ) j + x k ; P : x + 2 y + 2 z = 2.
10) a = ( x + 3z ) i + ( y − 2 x) j + (2 x + z ) k ; P : 2 x + y + 2 z = 2.
11) a = ( x − z ) i + (2 y + x ) j + ( x − z ) k ; P : 2 x + y + 3 z = 6.
12) a = (3 x + z ) i + (4 x + y ) j + ( y + 3 z ) k ; P : x − 2 y + 3 z = 6.
13) a = ( x − 2 z ) i + ( y + 2 z ) j + ( x − 2 z ) k ; P : 3x + 2 y + z = 6.
14) a = (2 x − y ) i + ( x − 3 z ) j + ( x − 2 y ) k ; P : x + 2 y + z = 4.
15) a = (3 x + y ) i + z j + ( x + 3 y ) k ; P : x + 2 y + 2 z = 4.
16) a = z i + (−2 x + y ) j + ( x + y ) k ; P : 2 x + y + z = 4.
17) a = ( y + z ) i + ( x − 2 y ) j + (3 y − 2 z ) k ; P : x + 2 y + 2 z = 4.
18) a = (3 x − y ) i + ( y + 2 z ) j + x k ; P : 2 x + y + 2 z = 4.
19) a = (2 x + 5 y ) i + ( y − 3 z ) j + y k ; P : 2 x + 2 y + z = 4.
20) a = (3 x + 2 z ) i + ( x + z ) j + x k ; P : 2 x + 3 y + 2 z = 6.
21) a = (2 y + 3z ) i + ( y + 2 x) j + z k ; P : 3x + 2 y + 2 z = 6.
22) a = (3 y − 2 z ) i + ( x + 2 y ) j + 5 y k ; P : 2 x + 2 y + 3z = 6.
23) a = ( y + 5 z ) i + (2 x − 3 y ) j + x k ; P : 3x + 3 y + z = 3.
24) a = ( y − 6 z ) i + (4 x − 2 y ) j + 3 x k ; P : x + 3 y + 3 z = 3.
25) a = (3 y + x ) i + (2 z + y ) j + 5 y k ; P : 3x − y + 3 z = 3.
26) a = ( y + 4 x ) i + (3 z + 2 y ) j + 4 x k ; P : 6 x + 6 y + 3 z = 6.
27) a = (5 y − x ) i + (7 z + 5 y ) j + 7 y k ; P : 3x + 6 y + 6 z = 6.
28) a = ( x + 7 z ) i + ( z + 5 y ) j + 4 x k ; P : 6 x + 3 y + 6 z = 6.
29) a = (2 y + z ) i + ( z + 2 x ) j + 3 y k ; P : x + y + z = 2.
30) a = 6 x i + (3z − x ) j + ( y + 2 x) k ; P : x − 2 y + z = 2.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
40
КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Означення подвійного інтеграла та його властивості.
Обчислення подвійних інтегралів в декартових координатах.
Геометричний зміст подвійного інтеграла.
Означення потрійного інтеграла та його властивості.
Обчислення потрійних інтегралів в декартових координатах.
Геометричний зміст потрійного інтеграла.
Заміна змінних в кратних інтегралах.
Обчислення кратних інтегралів у полярній, циліндричній та
сферичній координатних системах.
Застосування кратних інтегралів для розв’язання прикладних
задач механіки та фізики.
Означення криволінійного інтегралу першого роду. Його
геометричний і фізичний зміст.
Означення криволінійного інтегралу другого роду. Його
геометричний і фізичний зміст.
Обчислення криволінійного інтегралу першого роду.
Обчислення криволінійного інтегралу другого роду.
Властивості криволінійних інтегралів.
Формула Гріна. Умова незалежності криволінійних
інтегралів від шляху інтегрування.
Застосування криволінійних інтегралів для розв’язання
прикладних задач механіки та фізики.
Односторонні та двосторонні поверхні.
Поверхневі інтеграли I роду, їх обчислення.
Поверхневі інтеграли IІ роду, їх обчислення.
Теорема Остроградського-Гауса.
Формула Стокса.
Математичне означення поля. Скалярні та векторні поля.
Вектор-функція.
Похідна за напрямком. Градієнт векторного поля, його
властивості.
Потік векторного поля, його обчислення.
Застосування теореми Остроградського-Гауса до обчислення
потоку векторного поля.
Дивергенція векторного поля і її обчислення.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
41
27. Циркуляція і ротор векторного поля. Застосування теореми
Стокса.
28. Приклади векторних полів.
29. Оператор Гамільтона. Оператор Лапласа.
30. Застосування теорії поля до розв’язання прикладних задач
механіки та фізики.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
42
ЛІТЕРАТУРА
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление
для ВТУЗов. – М.: 1970-1986.- т.1,2.
2. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. – М.
Наука, 1967.
3. Г.І.Кулініч. Вища математика, книга 1,2. К.,1994.
4. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И. и др. Математический анализ в
вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб.
Пособие для студентов вузов.-М.: Высш.шк., 1988.
5. Сборник задач по курсу Высшей математики/ под ред.
Г.И.Кручковича. – М.:Высш. Шк.., 1973
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах. – М.: Высш.Шк.., 1980. –
ч. 2.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
19
Размер файла
305 Кб
Теги
завдання, 588, елементи, вищої, розділи, теорія, інтеграл, методичні, вказівки, математика, кратн, розрахунково, графічні
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа