close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уравнение теплопроводности для вспучивающегося материала в многослойной тепловой защите.

код для вставкиСкачать
4
ТЕПЛОФИЗИКА, БИОФИЗИКА,
БИОМЕХАНИКА
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ДЛЯ ВСПУЧИВАЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА В МНОГОСЛОЙНОЙ
ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЕ
В.Ю. Сушко
Научный руководитель – к.т.н., с.н.с., В.А. Кораблев
В статье предложено уравнение теплопроводности для вспучивающегося материала, учитывающее изменение его плотности, выделение или поглощение теплоты при вспучивании, а также его разрушение.
Предложенное уравнение проверено экспериментально применительно к многослойной тепловой защите
со вспучивающимся материалом.
Введение
Огнезащитные вспучивающиеся материалы (ОВМ) применяются для защиты от
пожара в различных областях техники: на летательных аппаратах, кораблях, подводных
лодках, автомобилях, морских нефтяных платформах, в строительстве [1]. Обычно такие материалы наносятся на защищаемую поверхность в виде покрытия, краски, эмали
или шпаклевки. Толщина наносимого слоя не превышает нескольких миллиметров, что
практически не увеличивает размеров защищаемой конструкции.
При пожаре или воздействии высокой температуры ОВМ увеличивается в объеме в
несколько десятков раз. Этот процесс обычно называют вспучиванием. В результате образуется слой с низкой теплопроводностью, который препятствует распространению теплового потока. ОВМ является многокомпонентной системой. Процесс вспучивания осуществляется посредством происходящих в специально подобранных компонентах химических
превращений и фазовых переходов в определенном диапазоне температур [2].
Математические модели, позволяющие находить температуры вспучивающихся
покрытий в процессе их нагрева, приведены в [3–4]. Модели разрабатывались для расчета температурных полей в огнезащитных покрытиях строительных конструкций, где
необходимо, как правило, находить температурные поля в двухслойной системе: защищаемый материал – вспучивающееся покрытие. Модели учитывают множество процессов: изменение объема, выделение и поглощение теплоты при вспучивании, разрушение материала. В результате математическая модель только для слоя вспучивающегося покрытия включает несколько нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для численного решения задачи приходится разрабатывать специальные компьютерные программы, использующие сложные алгоритмы решения [5].
Однако при защите электронных приборов, например, бортовых накопителей информации, от аварийного воздействия пожара, ОВМ применяется в составе многослойной защиты, каждый из слоев которой реализует тот или иной метод тепловой защиты
[6], что повышает ее общую эффективность. В некоторых из таких слоев происходит
эндотермическое превращение материала.
При расчете температурных полей в ОВМ в многослойной тепловой защите приходится учитывать влияние соседних слоев. Это приводит к увеличению числа дифференциальных уравнений, входящих в математическую модель. Цель данной работы заключалась в разработке такой модели для ОВМ, которая, с одной стороны учитывала
бы все основные тепловые процессы в нем, а с другой стороны, допускала бы численную реализацию при помощи стандартных программ для расчета температурных полей
в тепловой защите.
293
Вывод уравнения теплопроводности для вспучивающегося материала
ОВМ является твердым телом, но при вспучивании происходит многократное
увеличение его объема, которое сопровождается перемещением вещества под действием изменения плотности. При перемещении разрыва слоя покрытия обычно не происходит, поэтому для него справедливы уравнения механики сплошных сред: уравнение
неразрывности [7]
r
∂ρ
= − div(ρv )
(1)
∂τ
и уравнение энергии [7]
r
∂t
(2)
div(λgrad (t )) − div c p ρtv + W = c p ρ .
∂τ
r
Здесь t – температура ОВМ, ρ(t ) – его плотность, τ – время, v – скорость движения вспучивающейся массы, λ(t ) – коэффициент теплопроводности, c p (t ) – удель-
(
)
ная теплоемкость, W (t ) – объемная плотность мощности, выделяющаяся или поглощающаяся в материале.
Обычно вспучивание ОВМ происходит лишь в одном направлении – от защищаемой поверхности. Поэтому возможно расположить координатную ось в выбранной системе координат так, чтобы вспучивание материала происходило вдоль нее. Также полагается, что граница защищаемой поверхности является неподвижной. Для примера рассматривается случай, когда материал вспучивается вдоль оси x в декартовой системе
r
координат ( x, y, z ) . Тогда, если обозначить v = v , то проекции вектора скорости на координатные оси равны
v x = v, v y = v z = 0 .
(3)
После подстановки выражений для градиента и дивергенции в декартовой системе координат в уравнение (1) и (2) с учетом (3) получается уравнение теплопроводности для ОВМ:
x
⎞
∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛⎜
∂
⎟ + W = c ρ ∂t ,
(4)
c pt
dx
ρ
⎜ λ ⎟ + ⎜⎜ λ ⎟⎟ + ⎜ λ ⎟ +
p
∫
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂x ⎜
∂τ
∂τ x фикс ⎟
⎠
⎝
где xфикс – координата неподвижной границы слоя ОВМ. Уравнение (4) является интегро-дифференциальным. При решении таких уравнений обычно переходят к координатам Лагранжа [7, 8]. Веществу, находящемуся в момент времени τ в точке с координатой ( x, y, z ) , сопоставляется его начальное положение (ξ, y, z ) , где координаты y и
z остаются неизменными, так как вспучивание происходит только вдоль оси x .
Поскольку выбор начала координатной оси ξ в принципе произволен, то для
удобства дальнейшего численного решения полагается, что ξ фикс = xфикс . Тогда переход к координатам Лагранжа, следующий из закона сохранения массы, имеет вид
ξ = xфикс +
x
∫
x фикс
ρ
dx ,
ρ0
(5)
где ρ0 – плотность невспученного слоя. После подстановки (5) в (4) в предположении,
что градиент температур вдоль осей y и z мал, получается уравнение теплопроводности для ОВМ в координатах Лагранжа
∂ ⎛
∂t ⎞ ∂ ⎛
∂t ⎞ ∂ ⎛
∂t
∂t
⎜ λ эффx ⎟⎟ + ⎜ λ эффy ⎟⎟ + ⎜⎜ λ эффz ⎞⎟ + W0 = c p ρ 0 ,
(6)
⎜
⎜
∂ξ ⎝
∂ξ ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎠ ∂z ⎝
∂z ⎠
∂τ
294
где эффективные теплопроводности в направлении каждой из осей имеют вид
ρ
ρ
ρ
λ эффx = λ
, λ эффy = λ 0 , λ эффz = λ 0 .
(7)
ρ0
ρ
ρ
Уравнение (6) имеет тот же вид, что уравнение теплопроводности для анизотропного тела со свойствами, зависящими от температуры. Только оно записано в координатах Лагранжа, и коэффициенты этого уравнения имеют другие значения. Плотность
считается постоянной и равной плотности до вспучивания. Коэффициент теплопроводности по оси, вдоль которой происходит вспучивание, уменьшается пропорционально
уменьшению плотности, а коэффициенты вдоль остальных осей соответственно увеличиваются.
Аналогично показывается, что это утверждение верно и для вспучивания по радиусу в цилиндрической или сферической системе координат, если внутренний радиус
вспучивающегося слоя rфикс в несколько раз больше толщины этого слоя.
В уравнении (6) тепловые эффекты в процессе расширения покрытия учитываютWρ 0
.
ся в величине W0 =
ρ(t )
Если удельная теплота вспучивания Lвс поглощается равномерно в интервале
температур (t нвс , t квс ) , то
⎧0, t < t нвс
⎪
⎪ L вс ρ 0 ∂t
(8)
W0 = ⎨
, t нвс ≤ t ≤ t квс .
⎪ t квс − t нвс ∂τ
⎪⎩0, t > t квс
Однако, в зависимости от характера вспучивания материала, выражение для W0
может включать несколько участков с различными теплотами вспучивания, других фазовых переходов или химических превращений. При решении уравнение (6) удобнее
записывать не через температуру, а через энтальпию, в которую включается значение
W0 , что позволяет получить уравнение в более простом виде, используя так
называемый энтальпийный подход [9].
В уравнении (6) желательно учесть разрушение ОВМ при дальнейшем повышении температуры. В [9] задача разрушения твердого материала на его внешней границе
рассматривается как однофазная задача Стефана, т.е. температура газа, полученного в
результате разрушения материала, тождественна температуре среды. В этом случае полагается, что теплопроводность разрушенного слоя материала велика, а удельная теплоемкость стремится к нулю.
Таким образом, теплота разрушения материала включается в величину W0 , а
удельная теплоемкость и теплопроводность модифицируются с учетом того, что его
разрушение происходит постепенно в некотором диапазоне температур, и с учетом перехода к координатам Лагранжа.
Преимущество предложенного уравнения для ОВМ над моделями [3, 4] состоит в
простоте его численного решения, которое не требует написания специальных программ. В то же время уравнение (6) учитывает как изменение объема слоя и выделения
теплоты при этом, так и разрушение материала.
Результаты экспериментов и расчетов
Предложенное уравнение для ОВМ включается в общую тепловую модель многослойной тепловой защиты с соответствующими начальными и граничными условиями.
295
При этом расчет температур ОВМ проводится в координатах Лагранжа, а для остальных слоев – в координатах Эйлера. Последнее возможно вследствие того, что в уравнении теплопроводности для ОВМ и в граничных условиях координата Лагранжа входит
только как переменная, по которой производится дифференцирование. В таких случаях
на результат решения уравнения не влияет формальная замена ξ на x , хотя физический смысл такой координаты меняется. Более того, сделанное ранее предположение,
что xфикс = ξ фикс , позволяет рассматривать координату слоев покрытия как непрерывную величину, что удобно для численного решения.
В качестве примера была рассмотрена многослойная тепловая защита в виде стального цилиндра высотой 82 мм и диаметром 58 мм, покрытого огнезащитным вспучивающимся покрытием СГК-1 толщиной 3–3,5 мм. Внутри защиты находился теплоизоляционный материал, окружающий пространство, заполненное воздухом. Расчет проводился в
программе ANSYS, позволяющей моделировать сложную геометрию модели и задавать
свойства материалов, зависящие от температуры. Рассчитывалась температура на внутренней поверхности тепловой защиты при помещении ее в воздушную среду с температурой
1100 °С, что соответствует пожару при горении авиационного топлива. Для расчета использовалось уравнение в цилиндрической системе координат. Покрытие на торцах цилиндра вспучивалось вдоль его оси, на боковых поверхностях – по радиусу.
Необходимые для расчета свойства покрытия СГК-1 брались по данным работ [4,
10]. Расчеты проводились как с учетом, так и без учета разрушения покрытия, Результаты расчетов температуры внутренней поверхности тепловой защиты приведены на
рисунке. Там же приведены результаты экспериментального исследования многослойной тепловой защиты. В экспериментах образец со вспучивающимся покрытием, выдержанный при температуре 28 °С, помещался в муфельную печь, температура которой
поддерживалась близкой к 1100 °С.
Рис. Сравнение результатов эксперимента и расчета
с учетом и без учета разрушения покрытия
Из рисунка видно, что в течение первых пяти минут с начала воздействия результаты эксперимента хорошо совпадают с результатами расчета, даже если при расчетах
296
разрушение покрытия не учитывается. Но затем результаты расчетов по модели, не
учитывающей разрушение, расходятся с экспериментом. В целом расхождение результатов, возможно, вызвано тем, что некоторые свойства покрытия заданы приближенно
из-за недостатка информации о них. В силу этого даже модель, не учитывающую разрушение покрытия, следует признать удовлетворительной, если рассматривается участок разогрева до начала его разрушения.
Заключение
Приведенное в статье уравнение теплопроводности для ОВМ учитывает основные
физические процессы, протекающие в таких материалах. В отличие от ранее известных
моделей, данное уравнение является относительно простым. В результате оно допускает численное решение без написания специальных программ, а также решение совместно с другими слоями тепловой защиты. Последнее свойство особенно важно при расчетах, необходимых для выбора соответствующей требованиям стандартов тепловой
защиты бортовых накопителей информации. Для решения применим любой доступный
пакет программ, позволяющий решать уравнение теплопроводности для анизотропного
тела, коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость или энтальпия которого
зависят от температуры.
Литература
1. Bennet G. Examining the feasibility of extinguishing engine nacelle fires by strategic
placement of intumescent materials // Proceedings of Halon Options Technical Working
Conference. Albuquerque. 2001. P. 31–40.
2. Машляковский Л. Н. Органические покрытия пониженной горючести. /
Л. Н. Машляковский, А. Д. Лыков, В. Ю. Репкин. Л.: Химия, 1989. 184 с.
3. Решетников И.С., Антонов А.В., Халтуринский Н.А. Математическое описание горения вспучивающихся полимерных систем //Физика горения и взрыва, 1997. Т. 33.
№ 6. С. 48–67.
4. Страхов В.Л., Крутов А.М., Давыдкин Н.Ф. Огнезащита строительных конструкций
/под ред. Ю. А. Кошмарова. М.: Информационно-издательский центр «ТИМР»,
2000. 433 с.
5. Страхов В.Л., Гаращенко А.Н., Кузнецов Г.В., Рудзинский В.П. Тепломассообмен в
тепло- и огнезащите с учетом процессов термического разложения, испаренияконденсации, уноса массы и вспучивания-усадки. // Математическое моделирование, 2000. Т. 12. № 5. С. 107–113.
6. Попов Ю.В. Комплексная защита зарегистрированной информации в бортовых устройствах регистрации. Средства защиты информации от теплового воздействия пожара. // Проблемы безопасности полетов, 1995. Вып. 12. С. 28–36.
7. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр.
ун-та, 1978. 256 с.
8. Христианович С.А., Михлин С.Г., Девисон Б.Б. Некоторые новые вопросы механики сплошной среды: Неустановившееся движение в каналах и реках. Математическая теория пластичности. Движение грунтовых вод / под. ред. Н.Е. Кочина. М.; Л.:
Изд-во АН СССР, 1938. 407 с.
9. Мейрманов А.М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука. Сиб. Отделение, 1986. 238 с.
10. Зверев В.Г., Назаренко В.А., Цимбалюк А.Ф. Теплоогнезащита конструкций на основе применения вспенивающихся покрытий. // Материалы V Минского международного форума по тепло- и массопереносу. Минск. 2004.
297
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
2 656 Кб
Теги
многослойной, уравнения, защита, материалы, теплопроводность, тепловой, вспучивающегося
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа