close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование крупномасштабных движений стратифицированной электропроводной жидкости в сферическом слое.

код для вставкиСкачать
Сер. 10. 2009. Вып. 1
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 532.591
C. Е. Холодова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
КРУПНОМАСШТАБНЫХ ДВИЖЕНИЙ
СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ
В СФЕРИЧЕСКОМ СЛОЕ
1. Основные уравнения исследуемой модели. В работе С. И. Брагинского [1]
была выдвинута гипотеза о существовании в земном ядре устойчиво стратифицированной области, примыкающей к границе с мантией. Высказанное в [1] предположение, что большие изменения магнитного поля ограничены тонким слоем у поверхности ядра, в частности, в результате очень сильных возмущений в слое, обусловливает
необходимость дальнейших аналитических исследований для выяснения возможности
существования таких возмущений в результате имеющихся неоднородностей вблизи
границы ядра с мантией.
Итак, будем изучать волновые движения у границы земного ядра в тонком сферическом слое устойчиво стратифицированной жидкости.
Система уравнений для описания движения идеальной невязкой электропроводной
несжимаемой вращающейся с угловой скоростью ω жидкости в магнитной гидродинамике в переменных Эйлера имеет вид [2–7]
dρ
+ ρ div v = 0,
dt
∂v
∇p
1
+ (v · ∇) v = −
− 2 ω × v − gz +
rot b × b,
∂t
ρ
μρ
∂b
= rot (v × b) ,
div b = 0,
∂t
(1)
где b – вектор магнитной индукции; v – скорость жидкости в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ω ; p – давление; ρ – плотность; g – величина ускорения
силы тяжести. Предполагается, что магнитная проницаемость и электропроводность
постоянны.
Если считать плотность переменной, тогда кроме уравнения движения, уравнения неразрывности и уравнений Максвелла необходимо привлекать уравнение баланса
внутренней энергии [4, 5, 7–9]
d 1
dE
= −pρ
(2)
ρ
+ kΔT + χ + ρQ + λ(rot b)2 .
dt
dt ρ
В силу того, что рассматриваемая жидкость идеально проводящая, последнее слагаемое
в правой части уравнения (2) будет отсутствовать (λ = 0).
В уравнении (2) E – внутренняя энергия единицы массы, T – температура, k –
коэффициент теплопроводности, Q – скорость притока тепла от внешних источников
Холодова Светлана Евгеньевна – докторант кафедры управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики–процессов Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 81. Научные направления: гидродинамика, теория волн.
E-mail: kholodovase@yandex.ru.
c C. Е. Холодова, 2009
117
на единицу массы, χ – приток тепла, обусловленный вязкой диссипацией. В дальнейшем
будем считать, что χ = 0.
Если эффекты сжимаемости незначительны, то применимо уравнение состояния
ρ = ρ0 (1 − α(T − T0 )) ,
(3)
1 ∂ρ где ρ0 и T0 – средняя плотность жидкости и средняя температура; α = −
–
ρ ∂T p
коэффициент термического расширения. Для несжимаемой жидкости вместо уравнения (2) будем использовать уравнение переноса тепла в следующем виде [10]:
dT
k
Q
=
ΔT +
,
dt
ρcP
cP
(4)
здесь cP – удельная теплоемкость при постоянном давлении. Тогда температуру в уравнении (4) можно выразить через плотность
αρ0
dρ
= κΔρ −
Q,
dt
cP
(5)
k
– коэффициент температуропроводности.
ρcP
2. Основные уравнения в сферических координатах. Воспользуемся сферическими координатами r, θ, λ
здесь κ =
r 0,
0 θ π,
0 λ 2π.
Тогда проекции скорости точки M в сферической системе координат определяются
соотношениями [11]
vr = ṙ, vθ = rθ̇, vλ = r sin θλ̇,
а уравнения (1), (3) и (5) в сферических координатах принимают вид [11]
∂vr
dρ
2vr
1 ∂ (vθ sin θ)
1 ∂vλ
+ρ
+
+
+
= 0,
dt
∂r
r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂λ
(6)
где
∂
vθ ∂
vλ ∂
∂
d
=
+ vr
+
+
.
dt
∂t
∂r
r ∂θ r sin θ ∂λ
Уравнения сохранения импульса представляются в форме [11]
vr vλ
vθ vλ ctg θ
1
1
dvλ
∂p
+
+
+ 2ω sin θvr + 2ω cos θvθ = −
+
(bθ Wr − br Wθ ) ,
dt
r
r
ρr sin θ ∂λ μρ
(7)
vr vθ
vλ 2 ctg θ
1
dvθ
1 ∂p
+
−
− 2ω cos θvλ = −
+
(br Wλ − bλ Wr ) ,
dt
r
r
ρr ∂θ μρ
vθ 2 + vλ 2
1
1 ∂p
dvr
−
− 2ω sin θvλ = −
−g−
(bλ Wθ − bθ Wλ ) ,
dt
r
ρ ∂r
μρ
здесь
Wr =
118
∂
1
∂bθ
(bλ sin θ) −
,
r sin θ ∂θ
∂λ
Wθ =
∂br
∂
1
−
(rbλ sin θ) ,
r sin θ ∂λ
∂r
(8)
(9)
1 ∂
∂br
(rbθ ) −
Wλ =
.
r ∂r
∂θ
Уравнения движения необходимо дополнить термодинамическим уравнением (5)
αρ0
dρ
= κΔρ −
Q
dt
cP
(10)
с уравнением состояния (3)
ρ = ρ0 (1 − α(T − T0 )) ,
а также уравнениями индукции и соленоидальности магнитного поля (1)
∂br
bθ ∂vr
bλ ∂vr
vθ ∂br
vλ ∂br
∂vr
∂br
=
+
+ br
−
−
− vr
,
∂t
r ∂θ
r sin θ ∂λ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂λ
∂r
bθ ∂vθ
bλ ∂vθ
vθ ∂bθ
vλ ∂bθ
∂vθ
∂bθ
∂bθ
=
+
+ br
−
−
− vr
,
∂t
r ∂θ
r sin θ ∂λ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂λ
∂r
bθ ∂vλ
bλ ∂vλ
vθ ∂bλ
vλ ∂bλ
∂vλ
∂bλ
∂bλ
=
+
+ br
−
−
− vr
,
∂t
r ∂θ
r sin θ ∂λ
∂r
r
∂θ
r
sin
θ
∂λ
∂r
1 ∂ % 2 &
∂bλ
1
∂
(sin θ bθ ) +
r br +
= 0.
r ∂r
sin θ ∂θ
∂λ
(11)
(12)
(13)
(14)
Рассмотрим движение с горизонтальным масштабом L, вертикальным масштабом
D, характерными масштабами U – горизонтальной скорости и B – горизонтального
магнитного поля. Далее исследуем движение в области, расположенной в окрестности широты θ0 . Для удобства введем новые широтную и долготную координаты x, y
следующим образом:
y = (θ − θ0 )r0 ,
(15)
x = λr0 sin θ0 ,
где r0 – радиус жидкого ядра Земли. Переменные x и y имеют размерность длины и
являются новыми координатами в зональном и меридианальном направлениях. При
D
L
и
они будут декартовыми координатами при построении приближения
малых
r0
r0
β-плоскости. Кроме того, уравнения движения в этих координатах записываются без
всяких приближений.
Из соотношений (15) получаем, что
∂
∂
= r0 sin θ0 ,
∂λ
∂x
∂
∂
= r0 .
∂θ
∂y
∂
∂
Введем далее новую координату z по формуле z = r − r0 , поэтому
=
.
∂r
∂z
С помощью характерных масштабов введем в рассмотрение безразмерные переменные (величины со штрихом):
x = Lx ,
y = Ly ,
z = Dz ,
t=
L t,
U
(16)
L
[7]. Для компонент горигде в качестве масштаба времени выбрано время адвекции
U
зонтальной скорости и горизонтального поля имеем
vλ = U vx ,
vθ = U vy ,
bλ = Bbx ,
bθ = Bby .
(17)
119
Из геометрических соображений следует, что характерный наклон траектории жидкой частицы не превышает величины DL−1 , поэтому для безразмерной вертикальной
компоненты скорости логичным является выражение
vr =
D Uv ,
L z
(18)
а для вертикальной компоненты поля – выражение
br =
D Bb .
L z
(19)
Выберем масштабы для давления и плотности. Если скорости малы, что соответствует малому числу Россби [7], то давление мало отличается от своего значения ps (z) в
состоянии покоя. Тогда справедливо соотношение
∂ps (z)
= −ρs (z)g,
∂z
(20)
к которому сводятся уравнения движения (6)–(9) и (11)–(14) при vθ = vλ = vr = 0,
10
C
10 = const. Будем считать, что ps (z) и ρs (z) определяют осb = (0, 0, br0 ), br0 = 2 , C
r
новное состояние, на фоне которого возникают возмущения, обусловленные движением.
Основное состояние предполагается известным. Так, например, ps (z) и ρs (z) могут быть
определены как давление p и плотность ρ, осредненные по горизонтальным координатам при фиксированном z. Поэтому давление p и плотность ρ можно представить
соотношениями
p = ps (z) + p/(x, y, z, t),
ρ = ρs (z) + ρ/(x, y, z, t),
в которых p/ и ρ/ – изменяющиеся в пространстве и во времени отклонения от стандартных значений ps (z) и ρs (z). Определим масштабы для величин p/ и ρ/. Если учесть, что
для рассматриваемых движений порядки величин горизонтального градиента давления и силы Кориолиса примерно одинаковы, характерное значение силы Кориолиса на
широте θ = θ0 , представляемое выражением
2ωρvx cos θ0 = O (2ω cos θ0 U ρs ) ,
p/
и характерную величину градиента давления, равную , получим следующее предL
ставление:
p/ = O (ρs U f0 L) ,
в которых запись A = O(B) означает, что величины A и B одного порядка, f0 =
2ω cos θ0 – параметр Кориолиса на широте θ0 . Следовательно, давление представимо в
виде
(21)
p = ps (z) + ρs (z)U f0 Lp ,
причем предполагается, что функция p и ее изменение на расстоянии порядка O(L)
является величиной порядка O(1).
Для вертикального градиента давления p/ справедливо соотношение
p/
ρs (z)U f0 L
∂ p/
=O
=O
,
∂z
D
D
120
следовательно, если ρ/g имеет такой же порядок величины, то тогда
f0 L
ρ/ = O ρs (z)U
.
gD
Таким образом, плотность может быть представлена следующим образом:
ρ = ρs (z) (1 + εF ρ ) ,
(22)
f0 2 L 2
U
– число Россби; F =
. Тогда уравнения движения (7)–(9) в безразf0 L
gD
мерных переменных, с учетом соотношений (15)–(22), примут вид
dvx
L
cos θ
sin θ
ε
+
(δvx vz + vx vy ctg θ) +
vy +
δvz =
dt
r∗
cos θ0
cos θ0
1
∂p
εB 2
r0 sin θ0
∂bx
∂by
∂bz
+ 2
+ by
+ δ 2 bz
=−
bx
+
r∗ sin θ 1 + εF ρ ∂x U μρs
∂x
∂x
∂x
ctg θ
r0 ∂bx r0 sin θ0 ∂bx δL
∂bx
εB 2
bz
(23)
bx bz + L
bx by ,
+ by
+
bx
+
+ 2
U μρ∗
∂z
r∗ ∂y
r∗ sin θ
∂x
r∗
r∗
&
dvy
L %
cos θ
ε
+
δvy vz − vx 2 ctg θ −
vx =
dt
r∗
cos θ0
∂p
εB 2
r0
1
∂bx
∂by
∂bz
+ 2
+ by
+ δ 2 bz
=−
bx
+
r∗ 1 + εF ρ ∂y U μρs
∂y
∂y
∂y
r0 ∂by
r0 sin θ0 ∂by
δL
ctg θ 2
∂by
εB 2
+ by
+
bx
+
by bz − L
bx ,
bz
(24)
+ 2
U μρ∗
∂z
r∗ ∂y
r∗ sin θ
∂x
r∗
r∗
& δ sin θ
εLδ % 2
dvz
−
(1 + εF ρ) εδ 2
vx + vy 2 −
vx =
dt
r∗
cos θ0
2
εB
∂bx
∂by
∂bz
1 ∂(pρs )
2
+
+
b
+
δ
=−
b
b
− ρ+
x
y
z
ρs
∂z
μU 2
∂z
∂z
∂z
&
r0 by ∂bz
r0 sin θ0 ∂bz
L % 2
∂bz
εB 2 δ 2
2
+
+
−
b
,
(25)
+
b
b
+
z
x
y
μU 2 ρs
∂z
r∗ ∂y
r∗ sin θ ∂x
δr∗
где ε =
где
d
∂
r0 sin θ0 ∂
r0 ∂
∂
=
+ vx
+ vy
+ vz ,
dt
∂t
r∗ sin θ ∂x
r∗ ∂y
∂z
δ=
D
.
L
В уравнениях (23)–(25) переменные «без штриха» безразмерны. В дальнейшем величины со звездочкой являются размерными переменными:
x∗ = Lx,
y∗ = Ly,
z∗ = Dz,
Отметим также, что
r∗
=1+δ
r0
p∗ = ps (z) + ρs U f0 Lp
L
r0
и т. д.
z.
(26)
В результате получим уравнение неразрывности
∂vz
D
Lvy
vz dρs
r0 ∂vy
r0 sin θ0 ∂vx
dρ
+ (1 + εF ρ)
+ 2 vz +
+
+
ctg θ +
εF
= 0,
dt
∂z
r∗
r∗ ∂y
r∗
r∗ sin θ ∂x
ρs dz
(27)
121
уравнение соленоидальности магнитного поля
D
Lby
∂bz
r0 ∂by
r0 sin θ0 ∂bx
+ 2 bz +
+
=0
ctg θ +
∂z
r∗
r∗ ∂y
r∗
r∗ sin θ ∂x
и уравнения индукции магнитного поля
∂bz
∂vz
∂bz
r0 ∂vz
r0 sin θ0 ∂vz
r0 ∂bz
r0 sin θ0 ∂bz
= by
+
bx
+ bz
− vy
−
vx
− vz
,
∂t
r∗ ∂y
r∗ sin θ
∂x
∂z
r∗ ∂y
r∗ sin θ
∂x
∂z
r0 ∂vy
r0 sin θ0 ∂vy
r0 ∂by
r0 sin θ0 ∂by
∂by
∂vy
∂by
= by
+
bx
+ bz
− vy
−
vx
− vz
,
∂t
r∗ ∂y
r∗ sin θ
∂x
∂z
r∗ ∂y
r∗ sin θ
∂x
∂z
∂bx
r0 ∂vx
r0 sin θ0 ∂vx
r0 ∂bx
r0 sin θ0 ∂bx
∂vx
∂bx
= by
+
bx
+ bz
− vy
−
vx
− vz
.
∂t
r∗ ∂y
r∗ sin θ
∂x
∂z
r∗ ∂y
r∗ sin θ
∂x
∂z
(28)
(29)
(30)
(31)
Таким образом, мы привели уравнения (6)–(9) и (11)–(14) к уравнениям (23)–(25) и
(27)–(31) для безразмерных переменных.
С учетом равенств (15) и (16) тригонометрические функции sin θ, cos θ, ctg θ разлагаются в ряд в окрестности широты θ0 :
2 2
L
y
L
sin θ = sin θ0 + y cos θ0 −
sin θ0 + · · · ,
r0
r0
2
2 2
L
y
L
cos θ0 + · · · ,
cos θ = cos θ0 − y sin θ0 −
r0
r0
2
2
L
ctg θ0
L
1
ctg θ = ctg θ0 − y 2 +
y2 2 + · · · .
r0 sin θ0
r0
sin θ0
Отметим, что параметр
2ω sin θ0
β0 = −
=
r0
1 df
r0 dθ
θ=θ0
равен градиенту в северном направлении параметра Кориолиса на широте θ0 , параметр
ε измеряет [7] отношение относительной завихренности к вертикальной компоненте
планетарной завихренности при θ = θ0 , а отношение градиента относительного вихря
скорости к градиенту планетарного вихря скорости измеряется параметром
# r $
1
U
0
=
.
(32)
=
O
ε
β
β0 L 2
L
Действительно,
U
U f0
=
=
L 2 β0
β0 f 0 L 2
U
f0 L
f0
β0 L
= −ε
# r $
r0
0
ctg θ0 = O ε
.
L
L
3. Геострофическое приближение. Рассмотрим случай, когда
L
ε=O
1,
δ = O(ε).
r0
Тогда из соотношений (26) и (32) следует, что
δL
r∗
−1=O
< O(ε2 ),
r0
r0
122
β = O(1).
B2
, а инерционные силы в уравнении движения экμ
вивалентны кинетическому давлению порядка ρ∗ U 2 . Отношение кинетического и магнитного давлений√оказывается порядка A2 , где A – число Альфвена [12], определяемое
U μρ∗
ρ∗ v∗ 2
формулой A =
. Отношение удельной кинетической энергии вещества
и
B
2
2
B
магнитной энергии
также равно A2 . Если магнитное поле «вморожено» в вещество,
2μ
то большое значение A означает, что магнитное поле слабо влияет на движение. Малое
A означает, что движение в основном определяется индукцией магнитного поля. Если
A ≈ 1, то движение и поле оказывают друг на друга более или менее равное воздействие
и наблюдается примерно равное распределение энергии между ними. Число Альфвена также называют альфвеновским числом Маха [12], характеризующим отношение
U
B
, UA = √
.
скорости течения жидкости к альфвеновской скорости: MA =
UA
μρ∗
Итак, предположим, что кинетическое и магнитное давления имеют один порядок:
B2
. В силу малости параметра ε, все функции можно представить в виде ряда
ρ∗ U 2 ∼
μ
по параметру ε. Например,
Магнитное давление сравнимо с
vx (x, y, z, t, ε) = u0 (x, y, z, t) + εu1 (x, y, z, t) + · · · ,
(33)
L F δ
, , ,
εr0 ε ε
являющихся по предположению величинами порядка единицы. Аналогично представляя все зависимые переменные в форме ряда (33) и подставляя их в уравнения (23)–(25)
и (27)–(31), используя разложения для тригонометрических функций, заключаем, что
члены порядка O(1) удовлетворяют следующим уравнениям:
где uk = O(1) и не зависит от ε. Величины uk неявно зависят от параметров
∂p0
,
∂x
∂p0
,
u0 =
∂y
1 ∂
ρ0 = −
(p0 ρs ),
ρs ∂z
∂u0
∂v0
1 ∂
(w0 ρs ) +
+
= 0,
ρs ∂z
∂x
∂y
∂bx0
∂by0
∂bz0
+
+
= 0,
∂z
∂x
∂y
∂w0
∂w0
∂bz0
∂bz0
∂bz0
+ bx0
+ b z0
− v0
− u0
− w0
,
∂x
∂z
∂y
∂x
∂z
∂v0
∂v0
∂by0
∂by0
∂by0
+ bx0
+ b z0
− v0
− u0
− w0
,
∂x
∂z
∂y
∂x
∂z
∂u0
∂u0
∂bx0
∂bx0
∂bx0
+ bx0
+ b z0
− v0
− u0
− w0
.
∂x
∂z
∂y
∂x
∂z
v0 = −
∂bz0
∂w0
= by0
∂t
∂y
∂by0
∂v0
= by0
∂t
∂y
∂bx0
∂u0
= by0
∂t
∂y
(34)
(35)
(36)
(37)
Из известных в гидродинамике геострофических соотношений (34) и (35), как следствие, имеем, что горизонтальная дивергенция в первом приближении обращается в
нуль:
123
∂u0
∂v0
+
= 0,
∂x
∂y
и тогда из уравнения (37) получаем
∂
(ρs (z)w0 ) = 0.
∂z
Таким образом, произведение ρs (z)w0 не зависит от z, поэтому, если область движения ограничена горизонтальной твердой поверхностью, на которой вертикальные
компоненты скорости равны нулю, тогда при всех z вертикальная компонента скорости равна нулю:
(38)
w0 = 0.
Геострофическое приближение (34), (35) приводит к известной в гидродинамике проблеме геострофического вырождения, т. е. к невозможности определения искомых
функций из уравнений первого приближения. Поэтому в уравнениях (23) и (24) следует
рассматривать члены более высокого порядка малости.
4. Уравнения квазигеострофического движения. Использовав тейлоровские
разложения тригонометрических функций и равенство (38), из (23) и (24) имеем
L
L
∂u0
∂u0
∂p0
∂u0
∂p1
+ u0
+ v0
+ v1 − v0
+
−
y tg θ0 = −
y tg θ0
∂t
∂x
∂y
εr0
∂x
εr0
∂x
1
∂bx0
∂by0
∂bx0
∂bx0
∂bx0
1
+ by0
+ by0
+ bx0
−
bx0
+
b z0
,
(39)
μρs (z)
∂x
∂x
μρs (z)
∂z
∂y
∂x
L
∂v0
∂v0
∂p1
∂v0
+ u0
+ v0
− u1 + u0
−
y tg θ0 = −
∂t
∂x
∂y
εr0
∂y
1
∂bx0
∂by0
∂by0
∂by0
∂by0
1
+ by0
+ by0
+ bx0
−
bx0
+
b z0
.
(40)
μρs (z)
∂y
∂y
μρs (z)
∂z
∂y
∂x
При выводе уравнения вихря необходимо учитывать второе приближение для уравнения неразрывности (27):
L
∂v1
∂u0
∂u1
1 ∂
+
+
(ρs (z)w1 ) = 0.
(41)
ctg θ0 v0 − y
+
∂x
∂y
εr0
∂x
ρs (z) ∂z
Применяя оператор rot к уравнениям (39) и (40) и используя соотношение (32), выведем
для величины
∂u0
∂v0
−
ζ0 =
∂x
∂y
уравнение вихря
L
∂u1
L
∂v1
∂ζ0
∂ζ0
∂p0
∂ζ0
∂ 2 p0
+ u0
+ v0
+ βv0 = −
−
+
+
ctg θ0
y ctg θ
+
∂t
∂x
∂y
εr0
∂x
εr0
∂x∂y
∂x
∂y
∂bx0
∂by0
∂bz0 ∂bx0
∂Ω0
∂Ω0
∂Ω0
1
∂bz0 ∂by0
+ by0
+ b z0
+ Ω0
+
−
+
bx0
+
,
μρs (z)
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂x ∂z
∂y ∂z
(42)
где
Ω0 =
124
∂bx0
∂by0
−
.
∂x
∂y
С учетом уравнения неразрывности (41) и равенств (34) и (35), уравнение (42) запишем следующим образом:
∂ζ0
∂p0 ∂ζ0
∂p0 ∂ζ0
∂p0
1 ∂
1
+
−
−β
=−
(ρs (z)w1 ) +
×
∂t
∂y ∂x
∂x ∂y
∂x
ρs (z) ∂z
μρs (z)
∂bx0
∂by0
∂bz0 ∂by0
∂bz0 ∂bx0
∂Ω0
∂Ω0
∂Ω0
× bx0
+ by0
+ b z0
+ Ω0
+
+
−
.
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂x ∂z
∂y ∂z
(43)
Система остается пока незамкнутой, так как величина w1 не выражена еще через
p0 . Для замыкания системы при ε = 0 рассмотрим термодинамическое уравнение (10).
Поскольку из представления (22) имеем
ρ∗ = ρs (z) (1 + ερF ) ,
уравнение (10) приводится к безразмерной форме
εF
vz ∂ρs (z)
M∗ L
dρ
+
(1 + ερF ) = −
,
dt
ρs (z) ∂z
U
M∗ = −
αρ0
κΔρ∗
+
Q.
ρs (z)
cP
(44)
Согласно оценкам из статьи [13],
D ∂ρs (z)
1 ∂ρs (z)
= O(ε).
=
ρs (z) ∂z∗
ρs (z) ∂z
Поэтому уравнение (44) в первом приближении по ε приводится к форме
−
d0 ρ0
g ∂ρs (z) D2
M∗ gD
−
w1 =
,
dt
ρs (z) ∂z∗ f0 2 L2
U 2 f0
или, вводя обозначения
S=
N 2 D2
= O(1),
f0 2 L 2
N2 = −
g ∂ρs (z)
,
ρs (z) ∂z∗
M=
M∗ gD
,
U 2 f0
где N 2 – квадрат частоты Вяйсяля–Брента [7], к выражению
−
d0 ρ0
+ w1 S = M,
dt
d0
∂
∂
∂
≡
+ u0
+ v0 .
dt
∂t
∂x
∂y
(45)
1 ∂ρs (z)
мала, гидродинамическое приближение (36) сводится к
Так как величина
ρs (z) ∂z
уравнению
∂p0
ρ0 = −
.
(46)
∂z
Тогда уравнению (43) можно придать форму
∂
1 d0 ρ0
1 d0 ρ0
∂ M
1 ∂ρs M
(ζ0 + βy) +
+
+
=−
+
∂t
∂z S
S dt
ρs ∂z
S
S dt
∂by0
∂bz0 ∂bx0
∂bx0
∂Ω0
∂Ω0
∂Ω0
∂bz0 ∂by0
1
+ by0
+ b z0
+ Ω0
+
−
bx0
+
.
+
μρs (z)
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂x ∂z
∂y ∂z
125
1 ∂ρs (z)
и отсутствие притока тепла, то будем иметь
ρs (z) ∂z
d0
∂Ω0
∂Ω0
∂Ω0
∂ # ρ0 $
1
+ by0
+ b z0
+
ζ0 + βy +
=
bx0
dt
∂z S
μρs (z)
∂x
∂y
∂z
∂bx0
∂by0
∂bz0 ∂by0
∂bz0 ∂bx0
+ Ω0
+
+
−
,
(47)
∂x
∂y
∂x ∂z
∂y ∂z
Если учесть малость величины
где
∂
∂
∂
d0
≡
+ u0
+ v0 .
dt
∂t
∂x
∂y
Воспользуемся гидростатическим приближением (46) и обозначением
ψ = p0 .
В результате вместо уравнения (47) окончательно получим
2
∂
∂ψ ∂
∂ψ ∂
∂ ψ ∂2ψ
1 ∂ψ
∂
1
+
−
×
+
+
−
βy
=−
∂t
∂y ∂x
∂x ∂y
∂x2
∂y 2
∂z S ∂z
μρs (z)
∂bx0
∂by0
∂bz0 ∂by0
∂bz0 ∂bx0
∂Ω0
∂Ω0
∂Ω0
× bx0
+ by0
+ b z0
+ Ω0
+
+
−
.
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂x ∂z
∂y ∂z
(48)
(49)
Левая часть уравнения (49) напоминает соответствующее выражение в уравнении квазигеострофического потенциального вихря в обычной гидродинамике [7], в которое учет
магнитного поля вносит изменения, представленные правой частью (49).
Из наблюдений известно [13], что в уравнении (49) β = O(1) и S = O(1).
Итак, при ε = 0 получена замкнутая система уравнений
2
∂
∂ψ ∂
∂ψ ∂
∂ ψ ∂2ψ
1 ∂ψ
1
∂
+
+
+
−
− βy = −
×
2
2
∂t
∂y ∂x
∂x ∂y
∂x
∂y
∂z S ∂z
μρs (z)
∂bx0
∂by0
∂bz0 ∂bx0
∂Ω0
∂Ω0
∂Ω0
∂bz0 ∂by0
+ by0
+ b z0
+ Ω0
+
−
× bx0
+
, (50)
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂x ∂z
∂y ∂z
∂bx0
∂by0
∂bz0
+
+
= 0,
(51)
∂z
∂x
∂y
D (bz0 , ψ)
∂bz0
=
,
(52)
∂t
D (x, y)
∂by0
∂
∂
∂ ∂ψ D (by0 , ψ)
= − bx0
+ by0
+ b z0
+
,
(53)
∂t
∂x
∂y
∂z ∂x
D (x, y)
∂bx0
∂
∂
∂ ∂ψ D (bx0 , ψ)
= bx0
+ by0
+ b z0
+
(54)
∂t
∂x
∂y
∂z ∂y
D (x, y)
относительно неизвестных ψ, bx0 , by0 , bz0 .
5. Построение решения нелинейной задачи. Будем искать решение системы
нелинейных уравнений (50)–(54) в виде
ψ = Φ(z)ei(kx+ly−σt) , bx0 = f1 (z)ei(kx+ly−σt) ,
by0 = f2 (z)ei(kx+ly−σt) , bz0 = f3 (ψ).
(55)
Тогда из уравнения (52) находим, что
f3 (ψ) = 0, или bz0 = C = const,
126
(56)
а из уравнений (51), (53) и (54) – функциональные зависимости
l
Ck Φ (z).
f1 (z) = − f2 (z), f2 (z) =
k
σ
(57)
Таким образом, уравнение (50) с учетом равенств (55)–(57) позволяет описать вертикальную структуру функции ψ(x, y, z, t), определяемую решением
6
5
%
&
%
&
C 2 k2 + l2
σ
σS (z) −
Φ (z) + 2
Φ (z) + σ k 2 + l2 + kβ Φ(z) = 0.
(58)
σμρs (z)
S(z)
S (z)
При
S=
1 ∂ρs
= const
F ρs ∂z
(59)
уравнение (58) примет вид
5
6
%
&
%
&
C 2 k2 + l2
σ
−
Φ (z) + σ k 2 + l2 + kβ Φ(z) = 0.
σμρs (z)
S
Примем следующие граничные условия при z = 0:
vz = 0,
bx = 0,
by = 0.
(60)
(61)
Учитывая, что ищем решения, сосредоточенные вблизи границы жидкого ядра с мантией, потребуем выполнения условий
vx → 0, vy → 0,
bx → 0, by → 0 при z → −∞.
(62)
(63)
Тогда граничные условия (60)–(63), согласно соотношениям (34), (35), (45), (46), (48),
(55) и (57), примут вид
Φ (0) = 0; Φ(z) → 0, Φ (z) → 0 при z → −∞.
Следовательно, для функции Φ(z) имеем такую задачу:
6
5
%
&
&
%
C 2 k2 + l2
σ
−
Φ (z) + σ k 2 + l2 + kβ Φ(z) = 0,
σμρs (z)
S
Φ (0) = 0; Φ(z) → 0,
Φ (z) → 0 при z → −∞.
(64)
(65)
Будем искать решение уравнения (64)
/ s (z)).
Φ(z) = Φ(ρ
Учитывая соотношения
/ (ρs (z))ρs (z), Φ (z) = Φ
/ (ρs (z))(ρs (z))2 + Φ
/ (ρs (z))ρs (z),
Φ (z) = Φ
127
/ s (z))
преобразуем уравнение (64) в уравнение для функции Φ(ρ
6
5
6
5
%
&
%
&
C 2 k 2 + l2 σρs / C 2 k2 + l2
σ 2 / 2
Φ+
(ρs ) − (ρs ) Φ +
ρs −
μσρs
S
μσρs
S
%
&
/ = 0.
+ σ k 2 + l2 + kβ Φ
(66)
Из равенства (59) получим, что
ρs = −SF ρs ,
ρs = S 2 F 2 ρs ,
поэтому уравнение (66) можно представить так:
5
5
6
6
%
&
% 2
&
&
%
2
2
C
C 2 k2 + l2 S
k
S
+
l
σ k 2 + l2 + kβ /
/
/
Φ = 0.
ρs
− ρs Φ +
− ρs Φ +
μσ 2
μσ 2
σF 2 S
После замены
η=
(67)
ρs (z)μσ 2
C 2 (k 2 + l2 ) S
(67) приводится к виду
&
%
σ k 2 + l2 + kβ /
/
/
Φ(η) = 0.
η(η − 1)Φηη (η) + (η − 1)Φη (η) −
σF 2 S
Уравнение (68) является гипергеометрическим уравнением Гаусса [14]
!#
$
"
/+1 η −γ
/ (η) + α
/ (η) + α
/
η(η − 1)Φ
/
+
β
/
Φ
/β/Φ(η)
=0
ηη
η
(68)
(69)
при
&
%
σ k 2 + l2 + kβ
/
/
.
α
/ + β = 0, γ
/ = 1, α
/·β =−
σF 2 S
Из соотношений (70) находим
'
σ (k 2 + l2 ) + kβ
,
β/ = −/
α.
α
/=
σF 2 S
(70)
Одно частное решение уравнения (69) представимо гипергеометрическим рядом [14]
/γ
F/ (/
α, β,
/; η) = 1 +
∞
/ m ηm
(/
α)m (β)
, (/
s)m = s/ (/
s + 1) · · · (/
s + m − 1) ,
(/
γ )m m!
m=1
который сходится при |η| < 1, т. е. при
σ2 <
μρs
C2S
1
.
(k 2 + l2 )
Поэтому общее решение уравнения (68)
⎛
/
Φ(η)
= F/(/
α, −/
α, 1; η) ⎝C1 + C2
128
/
e−F1 (η)
F/2 (/
α, −/
α, 1; η)
⎞
dη ⎠ ,
где
F/1 (η) =
η−1
dη =
η(η − 1)
dη
= ln η,
η
и, следовательно,
(
/
/
Φ(η) = F (/
α, −/
α, 1; η) C1 + C2
)
dη
η F/2 (/
α, −/
α, 1; η)
(71)
.
Выполним далее более детальный анализ представления (71). Из свойств гипергеомет/γ
рической функции F/ (/
α, β,
/, η) [14, 15] получим, что
(
)
dη
/ (η) = −/
Φ
αF/ (/
α + 1, −/
α + 1, 2, η) C1 + C2
+
η F/ 2 (/
α, −/
α, 1; η)
)
(
F/ (/
α, −/
α, 1; η)
2/
α + 1, −/
α + 1, 2, η) .
− 2/
α F (/
+ C2
η
Из первого равенства условий (65) находим также, что
)
(
F/ (/
α, −/
α, 1, η)
dη
2/
C1 = −C2
α + 1, −/
α + 1, 2, η) + 2/
α F (/
−
η
η F/22 (/
α, −/
α, 1; η)
.
z=0
Третье из условий (65) при больших z выполняется вследствие представления Φ (z) в
виде произведения ограниченной функции и функции ρs (z), которая в условиях рассматриваемой задачи при больших z равна нулю.
Выполнение второго из условий (65) приведет к дисперсионному соотношению между параметрами, определяющими динамику рассматриваемого процесса.
Рассмотрим в качестве примера конкретный случай:
%
&
σ k 2 + l2 + kβ
= 1.
σF 2 S
Отсюда можно определить
kβ
.
(72)
k2 + l2 − F 2 S
При F S = 0 частота σ совпадает с частотой волн Россби в однородной жидкости
при наличии твердой горизонтальной границы.
Теперь уравнение (68) допускает интегрирование в классе элементарных функций.
Так как оно имеет частное решение
σ=−
/ 0 = η − 1,
Φ
общее решение
/
Φ(η) = (η − 1) C1 + C2
может быть представлено в виде
/
Φ(η)
= (η − 1) C1 + C2 ln η −
dη
η(η − 1)2
1
− ln(η − 1)
.
η−1
129
/
Из выражения для производной функции Φ(η)
по переменной z
/ z = η C1 + C2 ln η − C2
Φ
η−1
η
и условия Φ (0) = 0 получим, что
ρs (0)γ C1 + C2 ln
откуда
C1 = −C2 ln
C2
ρs (0)γ
−
ρs (0)γ − 1 ρ2 (0)γ
1
ρs (0)γ
−
ρs (0)γ − 1 ρs (0)γ
= 0,
.
μσ 2
. Таким образом, функция
C 2 (k 2 + l2 ) S
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] γ [ρs (z) − ρs (0)] − 1
Φ(z) = C2 [ρs (z)γ − 1] ln
+
.
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0) [ρs (z)γ − 1]
В последнем равенстве γ =
Можно показать, что условие Φ (z) → 0 при z → −∞ равносильно равенству
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0)
+
lim C2 ρs (z)γ ln
= 0.
z→−∞
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0)ρs (z)
Последнее справедливо, так как
lim ρ (z)
z→−∞ s
= 0.
Условие Φ(z) → 0 при z → −∞ равносильно равенству
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] γ [ρs (z) − ρs (0)] − 1
+
lim C2 [ρs (z)γ − 1] ln
= 0,
z→−∞
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0) [ρs (z)γ − 1]
из которого
%
&
C2 k 2 + l2 C 2 S
,
σ !
μρs (0)
2
или, с учетом уравнения (72),
k2
2
(k 2 + l2 ) (k 2 + l2 − F 2 S)
!
C2 C 2 S
.
μρs (0)β 2
Из неравенства (73) следует, что k и l удовлетворяют соотношению
%
%
&
&2
β 2 μρs (0) 2
k 6 + 3l2 − 2F 2 S k 4 + 3l4 − 4l2 F 2 S + F 4 S 2 −
k + l2 l2 − F 2 S
2
C C2 S
а из соотношения (74) при k 2 = /
k получаем, что
/
k 3 + a1 /
k 2 + a2 /
k + a3
130
0,
(73)
0, (74)
a1 = 3l2 − 2F 2 S, a2 = 3l4 − 4l2 F 2 S + F 4 S 2 −
%
&2
β 2 μρs (0)
, a3 = l 2 l 2 − F 2 S .
C 2 C2 S
Уравнение /
k 3 + a1 /
k 2 + a2 /
k + a3 = 0 дает зависимость k от l.
Основные магнитогидродинамические характеристики представляются следующими соотношениями:
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] γ [ρs (z) − ρs (0)] − 1
+
v0 = kC2 [ρs (z)γ − 1] ln
sin (kx + ly − σt) ,
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0) [ρs (z)γ − 1]
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] γ [ρs (z) − ρs (0)] − 1
+
u0 = −lC2 [ρs (z)γ − 1] ln
sin (kx + ly − σt) ,
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0) [ρs (z)γ − 1]
lC
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0)
+
cos (kx + ly − σt) ,
bx0 = − C2 γρs (z) ln
σ
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0)ρs (z)
kC
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0)
C2 γρs (z) ln
+
by0 =
cos (kx + ly − σt) , bz0 = C,
σ
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0)ρs (z)
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0)
ρ0 = −C2 γρs (z) ln
+
cos (kx + ly − σt) ,
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0)ρs (z)
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0)
+
cos (kx + ly − σt) ,
p0 = C2 [ρs (z)γ − 1] ln
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0)ρs (z)
ρs (z) [ρs (0)γ − 1] ρs (z) − ρs (0)
+
w1 = −C2 γσρs (z) ln
cos (kx + ly − σt) .
ρs (0) [ρs (z)γ − 1]
γρs (0)ρs (z)
5. Заключение. Анализ последних равенств позволяет сделать вывод о справедливости гипотезы С. И. Брагинского о существовании сильных изменений в тонком слое
земного ядра, примыкающем к границе с мантией. Это вытекает из анализа поведения
функции Φ(z). В частности, для экспоненциальной стратификации при увеличении глубины слоя происходит резкое уменьшение величины Φ(z), затем Φ(z) меняет знак и при
дальнейшем изменении глубины начинает плавно возрастать, далее еще более плавно
стремится к нулю.
Summary
Kholodova S. E. Mathematical modeling large-scale movements of the stratified electrically
conducting liquid in a spherical layer.
In clause owing to strong indignations as a result of available non homogeneous researches of
occurrence of greater changes of a magnetic field of the Earth are carried out in a liquid terrestrial
kernel. Namely, the mathematical model of distribution of waves in a thin spherical layer of steadily
stratified liquid at external border of a terrestrial kernel is considered. With use of scales of
movements, suitable the analysis of mathematical model is made for calculation of three-dimensional
movements with greater time and spatial in scales. The specified method of the analysis allows, not
being limited to heuristic reasonings to deduce the general quasi-geostrophic the equations describing movements both homogeneous, and the stratified electrically conducting rotating liquid. The
basic idea of the analysis consists in construction of the scheme consecutive approximation in which
geostrophic approach is a first step. The analytical decision of system of the nonlinear equations
in the private derivatives, modeling quasi-geostrophic movement in a layer of the ideal electrically
conducting stratified rotating liquid is received. Fields magnetichydrodynamics sizes are presented.
The lead analysis allows to draw a conclusion on existence of strong changes magnetichydrodynamics
sizes in the thin layer of a terrestrial kernel adjoining bound with a cloak.
131
Key words: the stratified rotating liquid, electrically conducting liquid, the equations in
particular derivatives, quasi-geostrophic movement, magnetichydrodynamics, terrestrial kernel,
analytical solutions.
Литература
1. Брагинский С. И. Волны в устойчиво стратифицированном слое на поверхности земного
ядра // Геомагнетизм и аэрономия. 1987. Т. XXVII, № 3. С. 476–482.
2. Альвен Г., Фельтхаммар К.-Г. Космическая электродинамика / Пер. с англ.
Ю. К. Земцова, И. Г. Персианцева; Под ред. Л. А. Арцимовича. М.: Мир, 1967. 260 с.
3. Алешков Ю. З. Математическое моделирование физических процессов. СПб.: Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2001. 264 с.
4. Гунько Ю. Ф., Норин А. В., Филиппов Б. В. Электромагнитная газодинамика плазмы.
СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 176 с.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8: Электродинамика
сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.
6. Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики / Пер. с англ. Н. Т. Пащенко; Под ред.
Г. А. Любимова. М.: Мир, 1967. 320 с.
7. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: В 2 т. / Пер. с англ. Г. М. Резника,
Т. Б. Цыбаневой; Под ред. В. М. Каменковича, А. С. Монина. М.: Мир, 1984. Т. 1. 400 с.;
Т. 2. 811 с.
8. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. М.: Логос, 2005. 328 с.
9. Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2 т. М.: Наука, 1983. Т. 1. 528 с.; 1984. Т. 2.
560 с.
10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 6: Гидродинамика. М.:
Наука, 1988. 736 с.
11. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: В 2 ч. М.: Физматгиз, 1963. Ч. 1. 584 с.
12. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика / Пер. с англ. В. Г. Петрова. М.: Атомиздат,
1978. 144 с.
13. Брагинский С. И. Магнитогидродинамика земного ядра // Геомагнетизм и аэрономия.
1964. Т. IV, № 4. С. 898–916.
14. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Физматлит, 1995. 560 с.
15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 3 т. / Пер. с англ.
Н. Я. Виленкина. М.: Мир, 1973. Т. 1. 294 с.; 1974. Т. 2. 297 с.; 1967. Т. 3. 301 с.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.
Статья принята к печати 7 октября 2008 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа