close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотическая теорема единственности для аналитических в правой полуплоскости функций имеющих степенной рост в бесконечности.

код для вставкиСкачать
УДК 517.5
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПРАВОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ФУНКЦИЙ,
ИМЕЮЩИХ СТЕПЕННОЙ РОСТ В БЕСКОНЕЧНОСТИ1
Е.Г. Родикова
В статье устанавливается асимптотическая теорема единственности в классе аналитических в правой
полуплоскости функций, имеющих степенной рост в окрестности бесконечно удаленной точки.
Ключевые слова: теорема единственности, асимптотическая теорема, полуплоскость, аналитические
функции, степенной рост.
Одним из важнейших свойств аналитических функций, не присущим
произвольным непрерывным функциям комплексного переменного, является свойство
единственности.
Классическая теорема единственности для множества всех
аналитических в заданной области функций играет существенную роль в общей теории
функций и в функциональном анализе (см. [1], [2]). Хорошо известны асимптотические
теоремы единственности в различных классах аналитических функций (см. [3], [4]). В
частности, М.А. Евграфовым в [5] установлена
Теорема 1. Пусть функция f (z ) аналитична в правой полуплоскости Π +
( f ( z ) ∈ H ( Π + ) ) и непрерывна вплоть до мнимой оси, а L – какая-либо кривая, идущая из
точки z = 0 в бесконечность, оставаясь в правой полуплоскости. Если выполнены условия
f ( z ) ≤ M , Re z ≥ 0,
и
ln f ( z )
z
→ −∞, z → ∞, z ∈ L,
то f ( z ) ≡ 0 .
Сформулированная асимптотическая теорема единственности для правой
полуплоскости в данной работе распространяется на функции, имеющие степенной рост в
бесконечности, кроме того, получено довольно точное условие на мажоранту. Отметим,
что метод доказательства основного результата существенно отличается от метода,
применяемого в работе М.А. Евграфова. Итак, справедлива
Теорема 2. Пусть функция f ( z ) ∈ H ( Π + ) и удовлетворяет следующим условиям:
1) ln f ( z ) ≤ z , α > 1, z ∈ Π + ;
α
2) ln f ( z ) ≤ − z ⋅ v ( z ) , α > 1, z = iy , y > 0 .
α
Если lim v ( x ) = cα , где cα > 2α 2 − 1 , то функция f ( z ) ≡ 0 .
x →+∞
_________________________
1
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований
(грант № 09-01-97517).
Доказательство.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Предположим, что функция f ( z ) отлична от тождественного нуля. Пусть ε > 0 .
Рассмотрим функцию fε ( z ) = f ( z − ε ) , аналитическую на множестве Π ε+ = { z : Re z > −ε } .
ε
ε
r1ε eiθ1 ,..., rnε eiθn
Обозначим
нули
-
fε ( z )
функции
в
полукольце
K ρ ,2 R = { z ∈ Π + : 0 < ρ ≤ z ≤ 2 R} . По формуле Карлемана [6] для правой полуплоскости
π
1
rkε 
1 2
ε

−

θ
=
cos
∑ε  r ε 2R 2  k π ⋅ 2 R ∫ ln fε ( 2 Reiθ ) cos θ dθ +
( ) 
π
0 ≤ rk ≤ 2 R  k
−
2
+
1
2π
π
 1
 ρ eiθ
e− iθ
1 
1
iθ

−

ln
f
iy
⋅
f
−
iy
dy
−
Im
ln
f
ρ
e
⋅

−
(
)
(
)
(
)
ε
ε
∫ρ  y 2 ( 2 R )2  ε
 ( 2 R )2
2π ∫0
ρ



Обозначим остаток в формуле Карлемана через
π
 ρ eiθ
1
e− iθ 
iθ
Aρ ( fε , 2 R ) = − Im
ln
f
ρ
e
⋅

−
 dθ .
(
)
ε
 ( 2 R )2

ρ
2π ∫0


При R → +∞ функция Aρ ( fε , 2 R ) = O (1) .
2R
(
)

 dθ .


1
rkε 

−
 cos θ kε ≥ 0 , то есть левая
∑
2
ε

k =1 rk
( 2 R ) 

часть формулы Карлемана неотрицательна. Значит, неотрицательна и правая ее часть:
Поскольку 0 ≤ rkε ≤ 2 R , −
0≤
1
2π R
π
2
∫
π
−
2
π
π
≤ θ kε ≤ , то
2
2
ln fε ( 2 Reiθ ) cos θ dθ +
1
2π
2R
n
 1
∫  y
2
−
ρ
1 
 ln fε ( iy ) ⋅ fε ( −iy ) dy +
4R2 
(
)
+ Aρ ( fε , 2 R )
В условиях теоремы можно прейти к пределу при ε → 0 . В итоге получим:
1
0≤
2π R
π
2
1
∫π ln f ( 2 Re ) cos θ dθ + 2π
−
iθ
2R
 1
∫  y
2
−
ρ
1 
 ln f ( iy ) ⋅ f ( −iy ) dy +
4R2 
(
)
(1)
2
+ Aρ ( f , 2 R ) .
По условию 1) теоремы
ln f ( 2 Reiθ ) ≤ 2 Reiθ , α > 1, −
α
и
π
π
<θ <
2
2
ln f ( −iy ) ≤ yα , α > 1, y > 0 .
По условию 2) теоремы
ln f ( iy ) ≤ − yα ⋅ v ( y ) , α > 1, y > 0 .
С учетом оценок (2), (3), (4), неравенство (1) примет вид:
0≤
1
2π R
π
2
∫
−
π
2
2α R α cos θ dθ +
1
2π
2R
 1
∫  y
ρ
2
−
1 
α
α
 ⋅ ( − y ⋅ v ( y ) + y ) dy + Aρ ( f , 2 R ).
4R2 
Это неравенство равносильно
2R
2α R α −1 1  1
1  α
0≤
+
 2 − 2  ⋅ y (1 − v ( y ) ) dy + Aρ ( f , 2 R ) .
∫
π
2π ρ  y 4 R 
Преобразуем правую часть полученного неравенства:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(2)
(3)
(4)
2α R α −1 1
+
π
2π
=
α
2 R
π
α −1
+
2R
 1
∫  y
1
2π
2
−
ρ
1  α
 ⋅ y (1 − v ( y ) ) dy + Aρ ( f , 2 R ) =
4R2 
 1
1 
α
−

2
∫ρ  y 4R 2  d ∫ρ t (1 − v ( t ) ) dt + Aρ ( f , 2R ) =
y
2R
y
y
2R
 1

1  α
2 α
2R
⋅   2 − 2  ⋅ ∫ t (1 − v ( t ) ) dt ρ + ∫ 3 ∫ t (1 − v ( t ) ) dt dy  +
  y 4R  ρ

y ρ
ρ


y
2R
α
α −1

2 R
1 
1
+ Aρ ( f , 2 R ) =
+
⋅  0 + 2 ∫ 3 ∫ t α (1 − v ( t ) ) dt dy  + Aρ ( f , 2 R ) =

π
2π 
y ρ
ρ

y
2R


1
1 α
⋅
t (1 − v ( t ) ) dt dy 
 α
3 ∫
∫
π ρ y ρ
2
 + A f , 2R .
= Rα −1 ⋅  +
)
ρ (
α −1

π
R






Итак,
y
2R


1
1 α
⋅ ∫ 3 ∫ t (1 − v ( t ) ) dt dy
 α

π ρ y ρ
Aρ ( f , 2 R ) 
α −1  2
0 ≤ R ⋅ +
+
.
π
Rα −1
Rα −1 






Обозначим 2R = x и вычислим
y
y
2R
x
1
1 α
1 α
⋅
t (1 − v ( t ) ) dt dy
∫ρ y3 ∫ρ t (1 − v ( t ) ) dt dy
π ∫ρ y 3 ∫ρ
1
lim
= ⋅ lim
.
α −1
R →+∞
π x →+∞
Rα −1
 x
 
 2
По правилу Лопиталя
2α R α −1 1
=
+
π
2π
x
∫
1
⋅ lim ρ
π x →+∞
y
1 α
t (1 − v ( t ) ) dt dy
y 3 ∫ρ
α −1
x
=
2α −1
⋅ lim
π ⋅ (α − 1) x→+∞
1 α
t (1 − v ( t ) ) dt
x 3 ∫ρ
x
 
 2
Снова применим правило Лопиталя:
x
α −1
∫ t (1 − v ( t ) ) dt
2
⋅ lim ρ
π ⋅ (α − 1) x→+∞
α
xα +1
(5)
xα − 2
.
xα (1 − v ( x ) )
2α −1
2α −1
=
⋅ lim
=
⋅ lim (1 − v ( x ) ) .
xα
π ⋅ (α 2 − 1) x→+∞
π ⋅ (α 2 − 1) x→+∞
Так как по условию теоремы lim v ( x ) = cα , то последнее равенство примет вид:
x →+∞
α −1
2
2α −1
⋅
lim
1
−
v
x
=
⋅ (1 − cα ) .
(
)
(
)
π ⋅ (α 2 − 1) x→+∞
π ⋅ (α 2 − 1)
Значит,
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2R
lim
y
1
1
⋅ ∫ 3 ∫ t α (1 − v ( t ) ) dt dy
π ρ y ρ
Rα −1
R →+∞
Таким образом, предел скобки при R → + ∞
2α −1
=
⋅ (1 − cα ) .
π ⋅ (α 2 − 1)
y
2R


1
1 α
⋅ ∫ 3 ∫ t (1 − v ( t ) ) dt dy
 α

Aρ ( f , 2 R ) 
2 +π ρ y ρ
+
π
Rα −1
Rα −1 






существует и равен
 2α

2α −1
 +
.
⋅
1
−
c
(
)
α
 π π ⋅ (α 2 − 1)



Докажем, что в условиях теоремы выражение (6) строго отрицательно.
Так как по условию cα > 2α 2 − 1 , то
(6)
1 − cα < −2 ⋅ (α 2 − 1) ,
откуда
2α −1 ⋅ 2 ⋅ (α 2 − 1)
2α −1
⋅ (1 − cα ) < −
,
π ⋅ (α 2 − 1)
π ⋅ (α 2 − 1)
что равносильно
2α −1
2α
⋅ (1 − cα ) < − .
π
π ⋅ (α 2 − 1)
 2α

2α −1
Поэтому выражение  +
1
c
⋅
−
( α )  отрицательно.
 π π ⋅ (α 2 − 1)


Следовательно, предел справа в неравенстве (5) равен − ∞ - противоречие.
Полученное противоречие указывает на то, что наше предположение f ( z ) ≡ 0
неверно, то есть функция f ( z ) ≡ 0 .
Теорема доказана.
Замечание. Условие cα > 2α 2 − 1 теоремы 2 существенно. На это указывает
простой пример аналитической в правой полуплоскости функции f ( z ) = exp ( z 2 ) , которая
на мнимой оси допускает оценку
ln f ( z ) ≤ − z .
2
Здесь α = 2, c2 = 1 . Как видим, указанное условие не выполняется, поэтому не
выполняется и заключение теоремы.
Работа выполнена под руководством д. ф.-м. н., профессора Ф.А. Шамояна.
In this article the asymptotic uniqueness theorem for the class of analytic in the right half plane functions with
power growth at infinity is established.
The key words: uгniqueness theorem, asymptotic theorem, half plane, analytic functions, power growth.
Список литературы
1. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. Изд. 4-е испр.
и дополн. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. – 416 с.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2. Евграфов М. А. Аналитические функции. Изд. 2-е испр. и дополн. – М.: Наука,
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. – 471 с.
3. Апресян С.А. Локализация идеалов и асимптотические теоремы единственности.
– Матем. сб., 1978, т. 106 (148), №1 (5). – с. 1-34.
4. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального
анализа. – Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. - Л.: Наука, 1974, т. 120. – 272 с.
5. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. Изд. 3-е испр. и
дополн. – М.: Наука, 1962. – 320 с.
6. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 632с.
Об авторе
Е.Г. Родикова - магистр 2-го курса Брянского государственного университета им.
академика И.Г. Петровского, [email protected]
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа