Вариационный метод и оптимальное управление в решении задачи Мокану.

1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (435)
УДК 517.546
Г.Н. КАМЫШОВА
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ МОКАНУ
В данной работе решена задача об оценке модуля отношения однолистной функции и ее
производной, заданных в двух различных вещественных точках круга E = fz : jz j < 1g. При
решении использованы вариационный метод Г.М.Голузина и сочетание метода параметрических
представлений Левнера с принципом максимума Л.С. Понтрягина.
Обозначим через S класс всех голоморфных однолистных в круге E функций f (z ) =
z + a2 z 2 + .
В 1966 г. П. Мокану на конференции по аналитическим функциям в г. Лодзь (Польша) поставил экстремальную задачу, сводящуюся к задаче о максимуме
0
I (f ) = ff ((zz1)) ; f 2 S:
2
В 1974 г. П. Мокану, М. Рид, Е. Злоткевич [1] оценили I (f ) для типично вещественных f и вещественных z1 , z2 . Позднее эти результаты были обобщены Д. Рипеану для комплексных z1 , z2
из специальных областей в E . Так как экстремальные функции в [1] однолистны, то тем самым
решена одновременно задача о максимуме I (f ) при вещественных z1 , z2 в классе SR S однолистных функций с вещественными коэффициентами. Для более общей задачи об экстремуме
f 0(r1) при фиксированных значениях f (r1), f (r2) были построены в [2] точные мажоранты с
помощью метода модулей семейств кривых.
Начиная со статьи [3], в теории однолистных функций успешно применяются методы оптимального управления. Глубокие результаты в этом направлении были получены Д.В. Прохоровым, который предложил рассматривать множества значений систем функционалов в качестве областей достижимости для управляемых систем, индуцированных уравнением Левнера{
Куфарева. Полученные результаты наиболее полно отражены в статье [4] и монографии [5].
Однако задачи об оценках функционалов, сводящиеся к построению проекций множеств достижимости на различные гиперплоскости, приводят к краевым задачам для управляемых систем.
Избежать трудностей позволяет применение наряду с методом оптимального управления вариационного метода. Это сочетание было предложено в [6] и позволило сводить краевые задачи к
задачам Коши. Вариационным методом и методом оптимального управления в данной работе
решена задача об оценке I (f ) в классе S для вещественных z1 , z2 .
1. Дифференциальные уравнения для экстремальных функций
Пусть f (z ) | функция, доставляющая максимум функционалу I (f ). С помощью вариационной формулы Г.М. Голузина ([7], с. 120) устанавливаем, что f (z ) 2 S отображает круг E на
плоскость с кусочно-аналитическими разрезами и, будучи непрерывно продолженной на замыкание E круга E , удовлетворяет в E дифференциальному уравнению:
w(2w1 ; w2) ; w12 dw2 = R(z) dz2 ;
(1)
w(w1 ; w)2 (w2 ; w)
z
35
где w = f (z ), w1 = f (z1 ), w2 = f (z2 ),
Az ; z (2 ; zz ) =
R(z) = z A; z ; (z ;z z) ; z B; z + 1 Bz
;
; zz 1 ; zz (1 ; zz )
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
4
P
Ck z k
= (z ; z ) (1 ; zz ) (z ; z )(1 ; zz ) ; (2)
A = f 00(z )z =f 0(z ), B = f 0(z )z =f (z ), Ck | константы, зависящие от A, B , z , z ,
C = (A ; Ajz j)z z ; (B ; B jz j)z ; 2jz jz z ;
C = (A ; Ajz j)z z ; (B ; B jz j)z ; 2jz jz z + (Im B )(z (1 + jz j) ; z (1 + jz j)):
Пусть z = z ei , тогда вместе с f (z ) классу S принадлежит функция
f (z) = e;i f (z) = f (z) + i(zf 0(z) ; f (z)) + O( ):
k=1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
0
4
2
1
1 2
2
1 2
1
2
1
2
2
1
1
1 2
2
1 2
2
1
1
2
2
Пользуясь этой вариационной формулой, устанавливаем, что
Im A = Im B:
(3)
Используем еще одну вариационную формулу в классе S ([8], с. 149)
+ zei + O(h2 ); 0 < 2; h > 0; f 2 S:
f (z) = f (z) + h f (z) ; zf 0(z) 11 ;
zei
С помощью нее получаем, что для экстремальной функции f (z ) выполняется неравенство
;
Re e;i R(e;i ) 0:
(4)
Так как экстремальная функция f (z ) отображает E на плоскость с разрезом, имеющим по
крайней мере одну конечную концевую точку, то R(z ) имеет по крайней мере один двойной
нуль 1 , j1 j = 1. Если 2 2 E | простой нуль R(z ), то из равенства z 2 R(z ) = R(1=z ) следует,
что 1= 2 также является простым нулем R(z ). С учетом выше сказанного запишем
2
(z ; 2 )(z ; 1= 2 ) :
R(z) = (z ;(zz);2 (11;) zz
2
1
1 ) (z2 ; z )(1 ; zz 2 )
Используя условие (4), получаем = C (1 2 );1 , C 0. Таким образом,
;1
2
R(z) = C(z(1;2z))2 (1(z;;zz1 ))2((zz;;2z)()(1z ;;1zz=2)) :
(5)
1
1
2
2
Вычисляя коэффициенты при степенях z , получим C0 = C4 . Из этого равенства с учетом условия (3) получаем [(1 ; z1 )(z1 (1 + jz2 j2 ) ; z2 (1 + jz1 j2 ))] Im B = 0. Выражение в квадратных
скобках не равно нулю, следовательно, Im B = 0 и отсюда делаем вывод, что константы A; B
действительны.
Имеет место следующая система уравнений,связывающая параметры A, B с 1 , 2
C (z ; ) (z ; )(z ; 1= ) = z (1 ; jz j ) (z ; z )(1 ; z z ) ;
C (z ; ) (z ; )(z ; 1= ) = ;B (1 ; jr j )(z ; z ) (1 ; z z ) ;
C = = Az z (1 ; jz j ) ; Bz (1 ; jr j ) ; 2z jz j z ;
которая получается из (2), (5) при стремлении z соответственно к z , z , 0.
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1 2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2 2
2
1
1
2
2
2
2
1 2
2
2 1
1
1
1
36
2
2
2
1 2
2
1 2
(6)
(7)
(8)
Теорема 1. Экстремальные функции в задаче о max I (f ), f 2 S , z1 ; z2 2 E , удовлетворяют
дифференциальному уравнению
w(2w ; w ) ; w dw = R(z) dz
w(w ; w) (w ; w)
z
1
2
1
2
2
1
2
(9)
2
2
с R(z ) в форме (5) и отображают единичный круг на плоскость с разрезами, имеющими не
более двух концевых конечных точек.
В случае, когда z1 = r1 , z2 = r2 вещественны, конкретизируем вид R(z ), а также явно выразим некоторые параметры задачи через r1 , r2 . Имеет место равенство C0 = C4 =
A(1 ; r12)r1r2 ; B (1 ; r22)r12 ; 2r13r2. Отсюда и из соотношений C0 = (C1)=2 = C=(1 2) = C4
делаем вывод, что arg 2 = ; arg 1 . Таким образом, 1 = ei' , 2 = r0 e;i' , r0 = j2 j, 0 r0 < 1.
Система (6){(8) перепишется в виде
C (r ; ) (r ; )(r ; 1= ) = r (1 ; r ) (r ; r )(1 ; r r ) ;
(10)
C (r ; ) (r ; )(r ; 1= ) = ;B (1 ; r )(r ; r ) (1 ; r r ) ;
(11)
(12)
C = = Ar r (1 ; r ) ; Br (1 ; r ) ; 2r r :
Выражая B из уравнения (11) c учетом того, что Im B = 0, получаем условие
(r ; 1)r (r ; 1) sin ' = 0:
Отсюда либо r = 1, либо ' = 0; . Таким образом, доказана
Теорема 2. Экстремальные функции в задаче о max I (f ), f 2 S , при z = r , z = r ,
0 < r ; r < 1, удовлетворяют дифференциальному уравнению (9) с функцией R(z ) одного из
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2 2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1 2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1 2
2
2
2
1 2
1 2
2
1 2
3
1 2
2
0
0
1
1
1
2
2
2
трех видов:
) (z ; )
R(z) = z(r ; z)C(1(z ;;zr
) (r ; z )(1 ; zr ) ; j j = 1;
)(z ; 1) (z ; )(z ; 1= ) ; 2 (;1; 1);
R(z) = z((rC=r
; z) (1 ; zr ) (r ; z)(1 ; zr )
)(z + 1) (z + )(z + 1= ) ; 2 (;1; 1):
R(z) = z((rC=r
; z) (1 ; zr ) (r ; z)(1 ; zr )
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
0
2
2
2
0
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2. Формализация задачи
В дальнейшем будем полагать z1 = r1 , z2 = r2 . Перейдем к формализации задачи о максимуме I (f ) в классе S как задачи оптимального управления. Известно, что любая функция класса
S представима в виде
f (z) = tlim
!1 w(z; t);
(13)
где w(z; t) удовлетворяет дифференциальному уравнению Левнера{Куфарева
dw = w(1 ; P (w; t))
dt
с начальным условием w(z; 0) = z . Здесь P (w; t) | аналитическая при фиксированном t функция, P (0; t) = 1, которая при почти всех (п. в.) t 2 [0; 1) удовлетворяет условию Re P (w; t) > 0.
37
Обозначим x (t) = log jw(r ; t)j, x (t) = arg w(r ; t), x (t) = log jw(r ; t)j, x (t) = arg w(r ; t),
x (t) = jwz0 (r ; t)=w(r ; t)j и выбираем непрерывную по t ветвь arg w(rj ; t), j = 1; 2, так, что при
t = 0 значение аргумента равно нулю. Тогда
dx = 1 ; Re P (ex1 ix2 ; t) = b (t; P; x ; x );
x (0) = log r ;
(14)
dt
dx = ; Im P (ex1 ix2 ; t) = b (t; P; x ; x );
x (0) = 0;
(15)
dt
dx = 1 ; Re P (ex3 ix4 ; t) = b (t; P; x ; x );
x (0) = log r ;
(16)
dt
dx = ; Im P (ex3 ix4 ; t) = b (t; P; x ; x );
x (0) = 0;
(17)
dt
dx = Re(P (ex3 ix4 ; t) ; P (ex1 ix2 ; t);
dt
; ex1 ix2 Pw0 (ex1 ix2 ; t)) = b (t; P; x ; x ; x ; x ); x (0) = ; log r :
(18)
Для нахождения max I (f ) cначала рассмотрим задачу о нахождении границы множества до1
5
1
1
2
1
3
2
4
2
2
1
+
2
1
+
3
2
+
4
1
3
+
5
1
1
2
3
4
+
2
3
1
2
4
3
4
2
4
+
+
+
5
1
2
3
4
5
2
стижимости для управляемой динамической системы (14){(18). Следуя принципу максимума
Л.С. Понтрягина [9], рассмотрим функцию
H (t; P; x; ) =
5
X
k=1
b;
k k
= ( 1 ; : : : ; 5 ); x = (x1 ; : : : ; x5 );
где функции j , j = 1; 5, являются решением сопряженной гамильтоновой системы
d j = ; @H ; j = 1; 5:
dt
@xj
Запишем сопряженную гамильтонову систему в виде
d( 1 ; i 2 ) = ( ; i + 2)P 0 wj
00
z r1 + w Pw jz r1 ;
w
dt
d( ; i ) = ( ; i + 1)P 0 wj :
z r2
w
dt
3
4
1
2
=
3
4
=
2
=
Задача об оценке I (f ) эквивалентна поиску проекции множества достижимости x(1) на прямую
x5(1). Вектор (1) является ортогональным к опорной плоскости для этого множества достижимости, следовательно, в задаче на max I (f ), не уменьшая общности, можно положить 5 = 1.
В этом случае возникают условия трансверсальности на правом конце k (1) = 0, k = 1; 4.
Из дифференциального уравнения Левнера{Куфарева получаем
0 w00 d
w
w
d
2
w
z
0
2 00
wP = log ; w P =
; z :
w
dt
wz0
w
wz0 dt w
wz0
Делая замену и решая данную систему с учетом условий трансверсальности, находим
00
f (r1 ) ; wz00 w ;
f 0(r2 )w + 1;
;
i
=
;
i
=
;
1
2
4
5 = 1;
f 0(r2 ) wz0 wz0 z=r1 3
f (r2)wz0 z=r2
( 1 ; i 2 )(0) = A; ( 3 ; i 4 )(0) = ;B + 1:
(19)
Из теоремы 2 следует, что экстремальная функция отображает единичный круг на плоскость
с разрезами, имеющими не более двух концевых конечных точек, а прообраз концевой конечной точки является двойным нулем соответствующего квадратичного дифференциала в правой
38
части дифференциального уравнения теоремы 2. Следовательно, функция P (w; t) в уравнении
Левнера{Куфарева имеет один из двух видов:
+ k(t)e;t w ; jk(t)j = 1;
P (w; t) = 11 ;
(20)
k(t)e;t w
;t w ;t w 1
+
k
1
+
k
1 (t)e
2 (t)e
P (w; t) = (1 ; ) 1 ; k (t)e;t w + 1 ; k (t)e;t w ; 0 < < 1:
(21)
1
2
Будем понимать непрерывные функции k(t), k1 (t), k2 (t), t 2 [0; 1), как управления. Существование оптимальных управлений гарантируется существованием экстремальной функции f (z ).
Тогда из теоремы 2 и геометрического смысла управлений следует, что возможны лишь три
случая: a) k (0) = 1, б) k (0) = ;1, в) k1 (0) = k2 (0).
3. Решение экстремальной задачи
Для 0 < r1 < r2 < 1 случай в) места не имеет, т. к. при этом правая часть равенства (10)
C jr1 ; 1j2 = r1(1 ; r12)2 (r1 ; r2 )(1 ; r1r2)
строго отрицательна, что приводит к противоречию. Таким образом, в этом случае экстремальная функция отображает единичный круг на плоскость с разрезом, имеющим одну концевую конечную точку. Тогда P (w; t) имеет вид (20), т. е. вместо дифференциального уравнения
Левнера{Куфарева рассматриваем дифференциальное уравнение Левнера. Исходя из принципа
максимума Л.С. Понтрягина, для таких P (w; t) и экстремальных k имеем
Таким образом,
@H @k k
w
2
2w
=k
3
= 0:
w
2
Re ( 1 ; i 2 ) (1 ; e;t wk ) z=r + (1 ; e;t wk ) z=r + ( 3 ; i 4 ; 1) (1 ; e;t wk ) z=r = 0:
1
1
2
Отсюда при t = 0, а также учитывая k (0) = 1 и (19), получим уравнение
Re A (1 ;rr1 )2 + (1 ;2rr1 )3 ; B (1 ;rr2 )2 = 0:
(22)
1 1
1 1
2 1
Параметры A и B зависят от значения k (0) = 1 , которое определяется условием a) или б).
Рассмотрим систему (10){(12), (22) при k (0) = 1 = 1, 2 = r0 , обозначая при этом A = A0 ,
B = B0 ,
(C=r0 )(r1 ; 1)2 (r1 ; r0 )(r1 ; 1=r0 ) = r1 (1 ; r12 )2 (r1 ; r2 )(1 ; r1 r2 );
(100 )
(C=r0 )(r2 ; 1)2 (r2 ; r0 )(r2 ; 1=r0 ) = ;B0 (1 ; r22 )(r1 ; r2 )2 (1 ; r1 r2 )2 ;
(110 )
C=r0 = A0r1r2 (1 ; r12) ; B0r12(1 ; r22) ; 2r13r2;
(120 )
r
2
r
r
1
1
2
Re A0 (1 ; r )2 + (1 ; r )3 ; B0 (1 ; r )2 = 0:
(220 )
1
1
2
Из уравнения (100 ) находим
C = r1 (1 + r1)2(r1 ; r2)(1 ; r1r2) :
r0
(r1 ; r0 )(r1 ; 1=r0 )
Подставляя C=r0 в (110 ), имеем
2
; r1r2) (r2 ; r0)(r2 ; 1=r0 )(1 ; r2) :
B0 = ; r1(1 +(r r1;) r(r)(1 ;r r;2 )(1
(23)
1
=r
(r1 ; r2 )2 (1 ; r1 r2 )2 (1 + r2 )
1
0
1
0)
39
Подставляя C=r0 ; B0 в (120 ), получим
2
; r1r2) A0 = r1(1 +(r r1;) r(r)(1 ;r r;2 )(1
1=r0 )
1
0
1
) + 2r : (24)
r r (11; r ) ; (rr (1;;1)r r)((rr ;;rr ))((1r ;;r1=r
r)
1;r
Подставляя найденные таким образом A , B в уравнение (220 ), после соответствующих вычислений получим относительно r уравнение r + 1=r = M=N , где
; r r ) + (r + 1)(1 + r ) M = (1 + r )(rr(1;;rr)(1
)
(r ; r )(1 ; r r )
; 1) + 2(r + 1)(r + r + 1) ;
1 ;r r ; r (1r;(rr )(1
;r )
(1 ; r ) (1 + r )
r
(1
+
r
)
r
r
(
r
;
1)
N = (r ; r )(1 ; r r ) 1 ; r ; r (1 ; r )(1 ; r ) + (12r;(rr )+(1r ++r1)) :
2
2
2
1
1 2
0
1
2
3
2
2
Тогда
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1 2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
3
1
2
2
1
1
1
3
1
C = r (1 ; r )(1 ; r r )(1 ; r )N
r
(1 + r r )
(r + 1)N ; r M = (r ; r )(1 ; r r )(1 + r ) :
N
(1 ; r ) (1 + r )N
2
1
1
2
2
1 2
0
и
2
1
0
2
2
1
2
1 2
2
2
2
1 2
2
2
1
1
1
2
1
0
0
2
2
1 2
1
2
2
2
0
2
2
0
0
1
1
2
1
1 2
2
2
2
1
2
2
1
1 2
1
3
1
Подставляя найденные выражения в (23), (24), после соответствующих вычислений получим
r2)2 (1 + r12) ;
B0 = ; (1 +rr1(1r ;
2
1 2 )(r1 ; r2 )(1 ; r1 )
2
2
2
r1 + 1) + 2r12 :
A0 = (1 +(1r +r r)(1r) r;2 r ) ; (12r+1(1r r;)(r2r)(r;1 r+)(1
; r2 ) 1 ; r2
1 2
1
2
Далее рассмотрим систему (10){(12),
A = A , B = B ,
1 2
1
2
1
1
(22) при k (0) = 1 = ;1, 2 = ;r0 , обозначая при этом
(C=r0 )(r1 + 1)2 (r1 + r0 )(r1 + 1=r0 ) = r1 (1 ; r12 )2 (r1 ; r2 )(1 ; r1 r2 );
(C=r0 )(r2 + 1)2 (r2 + r0 )(r2 + 1=r0 ) = ;B (1 ; r22 )(r1 ; r2 )2 (1 ; r1 r2 )2 ;
C=r0 = A r1r2 (1 ; r12) ; B r12(1 ; r22) ; 2r13r2;
2
r
r
r
1
2
1
Re A (1 + r )2 + (1 + r )3 ; B (1 + r )2 = 0:
1
1
2
Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, из системы (1000 ){(1200 ), (2200 ) находим
r2)2 (1 + r12) ;
B = ; (1 +rr1(1r +
2
1 2 )(r1 ; r2 )(1 + r1 )
2
2
2
r1 + 1) + 2r12 :
A = (1 +(1r ;r r)(1r) r;2 r ) ; (12r+1(1r r;)(r2r)(r;1 r;)(1
; r2 ) 1 ; r2
1 2
1
2
1 2
1
2
1
Выбор начальных условий A0 , B0 или A , B зависит от знака разности
H (0; 1; x; (A0 ; B0 )) ; H (0; ;1; x; (A ; B )):
Второе заключение принципа максимума Понтрягина состоит в том, что
H (t; k (t); x;
)=
Z t X
5
40
1
k=1
@bk dt:
k
@t
1
(1000 )
(1100 )
(1200 )
(2200 )
Отсюда при t = 0 получаем
1
Z
H (k (0); x; ) = Re
0
@wPw
@P
( 1 ; i 2 + 1) @P
@t + @t + ( 3 ; i 4 ; 1) @t dt =
= A(k (0)) ; B (k (0)) + 1:
0
Таким образом,
H (0; 1; x; (A ; B )) ; H (0; ;1; x; (A ; B )) = A ; A + B ; B :
0
0
0
0
Подставляя A0 , B0 , A , B , найденные ранее, запишем
H (k (0); x; (A ; B ))k
0
0
(0)=1
; H (k(0); x; (A ; B ))k
8r12 (r1 ; r2 ) < 0:
=
(0)=;1
(1 + r r )(1 ; r2 )2
1 2
1
Следовательно, при 0 < r1 < r2 < 1 k (0) = ;1.
Итак, P в функции H (t; P; x; ) дается формулой (20) и k (t) | единственный корень урав
нения @H
@k = 0, удовлетворяющий условию k (0) = ;1. Пусть (x1 (t); : : : ; x5 (t)) | решение задачи
Коши
dx = b (t; k ; x ; x );
x (0) = log r ;
dt
dx = b (t; k ; x ; x );
x (0) = log r ;
dt
dx = b (t; k ; x ; x ; x ; x ); x (0) = ; log r ;
dt
1
3
5
1
1
2
1
1
3
3
4
3
2
5
1
2
3
4
5
dx = b (t; k ; x ; x ); x (0) = 0;
dt
dx = b (t; k ; x ; x ); x (0) = 0;
dt
2
4
2
1
2
2
4
3
4
4
2
d j = ; @H ; j = 1; 5; ( ; i )(0) = A ; ( ; i )(0) = ;B + 1;
dt
@xj k k
1
=
2
3
4
0
0
5
(0) = 1:
В случае 0 < r2 < r1 < 1 можем записать ff ((rr21)) = ff ((rr11)) ff ((rr21 )) . Оценки функционалов
0
f (r1 ) f (r1 ) f (r1 ) , f (r2 ) были найдены ранее ([8], cc. 33, 81), а также было показано, что в этом случае
экстремальной является функция Кебе f (z ) = z=(1 ; z )2 .
Таким образом, доказана
Теорема 3.
Пусть f 2 S , тогда a) если 0 < r1 < r2 < 1, то
б) если 0 < r2 < r1 < 1, то
f 0(r ) x(1);
f (r ) 1
5
2
f 0(r ) (1 ; r ) (1 + r ) :
f (r ) r (1 ; r )
1
2
2
2
2
1
1
3
Экстремальные функции в случаях a) и б) отображают единичный круг на плоскость с разрезом, имеющим одну концевую конечную точку, в частности, в случае б) это функция Кебе
f (z) = z=(1 ; z)2 .
41
Литература
1. Mocanu P., Reade M., Zlotkiewicz E. On the functional [f (z1 )=f 0 (z2 )] for typically-real functions
// Math. Rev. anal. numer. et teor. approxim. { 1974. { V. 2. { Є 2. { P. 209{214.
2. Васильев А.Ю., Камышова Г.Н. Модули полосообразных областей в решении изопериметрической задачи конформного отображения // Сиб. матем. журн. { 1996. { T. 37. { Є 1. { C. 60{
69.
3. Александров И.А., Попов В.И. Оптимальные управления и однолистные функции // Ann.
Univ. M. Curie-Sklodowska. { 1968{1970. { Ser. A. { T. 22{24. { P. 13{20.
4. Прохоров Д.В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций
// Матем. сб. { 1990. { Т. 181. { Є 12. { С. 1659{1677.
5. Prokhorov D.V. Reachable set methods in extremal problems for univalent functions. { Saratov:
Saratov Univ., 1993. { 228 p.
6. Васильев А.Ю. Вариационные методы и изопериметрические теоремы покрытия для однолистных функций // Изв. вузов. Математика. { 1988. { Є 1. { C. 14{18.
7. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. { 2-е изд. { М:
Наука, 1966. { 628 c.
8. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормальные системы. { М.: Наука. { 1971. { 256 c.
9. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко E.Ф. Математическая теория
оптимальных процессов. { М.: Наука, 1976. { 392 с.
Саратовский государственный
университет
Поступила
26.09.1995
42