Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части.

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2008. — № 2 (17). — С. 21–28
УДК 517.946
ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
С ОПЕРАТОРОМ ТРИКОМИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
Ж.А. Балкизов
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова,
360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173
E-mail: [email protected]
Доказывается существование и единственность решения локальной краевой задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. Единственность решения задачи устанавливается методом интегралов энергии, а существование — методом эквивалентной редукции к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с помощью функции Грина.
Ключевые слова: локальная краевая задача, нелокальная краевая задача, уравнение смешанного типа, функция Грина, интегральное уравнение Фредгольма.
Рассматривается уравнение

2
P

∂k u
при y > 0,
u
−
u
+
ak (x, y) ∂x
xxx
y
k,
0=
k=0

yuxx + uyy ,
при y < 0
(1)
в области Ω, ограниченной при y > 0 отрезками AA0 , A0 B0 , B0 B прямых
x = 0, y = h, x = 1 соответственно и двумя характеристиками
3
3
2
2
AC : x − (−y) 2 = 0 и BC : x + (−y) 2 = 1
3
3
уравнения (1) при y < 0, выходящими из точек
q A(0, 0) и B(1, 0) соответ1
9
ственно и пересекающимися в точке C 2 , − 3 16
; Ω1 = Ω ∩ {y > 0}, Ω2 =
= Ω ∩ {y < 0}.
Определение. Регулярным решением уравнения (1) назовём всякую функ(3,1)
цию u(x, y) ∈ C(Ω)∩C 1 (Ω∪AA0 )∩C 2 (Ω)∩Cx,y (Ω1 ), обращающую уравнение
(1) в тождество.
Задача 1. Требуется определить функцию u = u(x, y), обладающую следующими свойствами:
1) u(x, y) — регулярное решение уравнения (1) в области Ω;
2) ux (x, y) ∈ C (Ω1 ∪ AA0 ) ;
3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям
u(0, y) = ϕ1 (y),
u(1, y) = ϕ2 (y), ux (0, y) = ϕ3 (y),
1
u
= ψ(x), 0 6 x 6 .
2
AC
0 6 y 6 h;
(2)
(3)
Балкизов Жираслан Анатольевич — cтарший преподаватель кафедры теории функции и
функционального анализа Кабардино-Балкарского государственного университета.
21
Б а л к и з о в Ж. А.
Задача 2. Требуется определить функцию u = u(x, y), обладающую следующими свойствами:
1) u(x, y) — регулярное решение уравнения (1) в области Ω;
2) ux (x, y) ∈ C(Ω1 ∪ B0 B);
3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям
u(0, y) = ϕ1 (y),
u(1, y) = ϕ2 (y),
ux (0, y) − ux (1, y) = ϕ3 (y), 0 6 y 6 h;
1
u
= ψ(x), 0 6 x 6 .
AC
2
(4)
(5)
Задача 3. Требуется определить функцию u = u(x, y), обладающую следующими свойствами:
1) u(x, y) — регулярное решение уравнения (1) в области Ω;
2) ux (x, y) ∈ C(Ω1 ∪ B0 B);
3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям
u(0, y) = ϕ1 (y),
ux (1, y) = ϕ2 (y),
uxx (1, y) − β(y)u(1, y) = ϕ3 (y), 0 6 y 6 h;
1
u
= ψ(x), 0 6 x 6 .
2
AC
(6)
(7)
Задача 4. Требуется определить функцию u = u(x, y), обладающую следующими свойствами:
1) u(x, y) — регулярное решение уравнения (1) в области Ω при y 6= 0;
2) ux (x, y), uxx (x, y) ∈ C(Ω1 );
3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям
αk (y)
∂ k u ∂ k u +
β
(y)
= ϕk (y), 0 6 y 6 h, k = 0, 1, 2;
k
∂xk x=0
∂xk x=1
1
u
= ψ(x), 0 6 x 6 .
2
AC
(8)
(9)
В задачах 1–4 предполагается, что ϕ1 (y), ϕ2 (y), ϕ3 (y), ψ(x) — известные
функции, причём выполнены условия согласования.
Отметим, что исследование спектра локальных и нелокальных краевых
задач для вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений второго порядка было выполнено в работах [1–4]. В работе [5] была подобным
методом исследована нелокальная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка.
Теорема 1. Если коэффициенты уравнения (1) обладают свойствами
a2 (x, y) ∈ Cx2 (Ω1 ), a1 (x, y) ∈ Cx1 (Ω1 ), a0 (x, y) ∈ C(Ω1 ),
a2 (x, y) > 0, a′′2 (x, 0) − a′1 (x, 0) + 2a0 (x, 0) < 0 ∀(x, y) ∈ Ω1 ,
то существует единственное решение задач 1–2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведём для задачи 1. Сначала
докажем единственность решения задачи (1)–(3). Обозначим u(x, 0) = τ (x),
22
Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа . . .
uy (x, 0) = ν(x). В уравнении (1) в области Ω1 перейдём к пределу при y → 0+.
С учётом граничных условий (2) получим функциональное соотношение между τ (x) и ν(x), принесённое из параболической части (y > 0) на прямую y = 0:
τ ′′′ (x) + a2 (x, 0)τ ′′ (x) + a1 (x, 0)τ ′ (x) + a0 (x, 0)τ (x) = ν(x),
τ (0) = ϕ1 (0), τ (1) = ϕ2 (0), τ ′ (0) = ϕ3 (0).
(10)
(11)
Для того чтобы получить функциональное соотношение между τ (x) и ν(x),
принесённое из гиперболической части (y < 0) на прямую y = 0, выпишем
решение задачи Коши для уравнения (1) в области Ω2 [6]:
Γ( 1 )
u(x, y) = 2 31
Γ (6)
Z
1
0
h
i 5
5
3
2
τ x + (−y) 2 (2t − 1) t− 6 (1 − t)− 6 dt+
3
5 Z 1 h
i 1
Γ( 3 )
1
3
2
2
+ 2 5
ν x + (−y) (2t − 1) t− 6 (1 − t)− 6 dt. (12)
3
Γ (6) 0
Приравнивая выражение (12) на характеристике AC к функции ψ(x)
и применяя известную формулу обращения интегрального уравнения Абеля, получим функциональное соотношение между τ (x) и ν(x), принесённое
из гиперболической области Ω2 на линию y = 0, в виде:
2
(13)
3
ν(x) = ψ(x) + γ1 D0x
τ (x),
где
α
D0x
ϕ(x)
1
Γ(1 − α)
d
=
dx
Z
x
0
ϕ(t) dt
(x − t)α
!
— оператор дробного дифференцирования Римана—Лиувилля порядка α
1
(0 < α < 1); γ1 =
2π
√
,
6
3Γ4 ( 13 )
ψ(x) = −
5
x 6 Γ( 23 )γ1
6
√
D0x
ψ( x2 ).
3 √
4 π
Исключая из (10) и (13) неизвестную функцию ν(x) и учитывая граничные условия (2), получим краевую задачу для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка:
2
3
τ ′′′ (x) + a2 (x, 0)τ ′′ (x) + a1 (x, 0)τ ′ (x) + a0 (x, 0)τ (x) = ψ(x) + γ1 D0x
τ (x), (14)
′
τ (0) = ϕ1 (0), τ (1) = ϕ2 (0), τ (0) = ϕ3 (0),
(15)
Пусть ϕ1 (y) = ϕ2 (y) = ϕ3 (y) = ψ(x) = 0. Рассмотрим интеграл I ∗ =
Z 1
τ (x)ν(x) dx. В области Ω1 с учётом (10) имеем:
=
0
∗
I =
Z
0
1
τ (x)ν(x) dx =
Z
1
′′′
Z
1
τ (x)τ (x) dx +
a2 (x, 0)τ (x)τ ′′ (x) dx+
0
0
Z 1
Z 1
′
+
a1 (x, 0)τ (x)τ (x) dx +
a0 (x, 0)τ 2 (x) dx. (16)
0
0
23
Б а л к и з о в Ж. А.
Используя формулу интегрирования по частям и учитывая однородные
краевые условия, из равенства (16) получим, что
2
1
I = − τ ′ (1) +
2
∗
Z
0
1
1 ′′
′
a (x, 0) − a1 (x, 0) + a0 (x, 0) τ 2 (x) dx−
2 2
Z 1
2
−
a2 (x, 0) τ ′ (x) dx. (17)
0
Очевидно, что если выполнены условия теоремы, то, как следует из (17),
будем иметь неравенство I ∗ 6 0.
Подставляя ν(x) из выражения (13) в интеграл I ∗ , будем иметь:
Z 1
Z 1
2
2
∗
3
3
I =
τ (x) dx = γ1 D0x
τ (x), τ (x) .
τ (x)ν(x) dx = γ1
τ (x)D0x
0
0
2
3
Положительная определённость выражения D0x
τ (x), τ (x) доказана в работе [7, с. 54], т. е. в области Ω2 имеем неравенство I ∗ > 0. Таким образом,
2
3
I ∗ = 0, а D0x
τ (x), τ (x) = 0 тогда и только тогда, когда τ (x) ≡ 0. Это ясно и из того факта, что все слагаемые, стоящие справа в выражении (17),
отрицательные, а потому τ (x) ≡ 0. При этом из (10) и (13) получаем, что
и ν(x) = 0.
Далее, предполагая существование регулярного решения, умножим уравнение (1) при y > 0 скалярно на функцию u(x, y) и получим
uxxx , u + a2 (x, y)uxx , u + a1 (x, y)ux , u + a0 (x, y)u, u − uy , u = 0, (18)
Z 1
где (u, v) =
u(x, y)v(x, y) dx, а (u, u) = kuk2 .
0
Считая краевые условия (2) однородными, отдельные слагаемые, входящие в равенство (18), можем записать так:
1 Z 1
1 2 1
1
uxxx , u = uuxx −
uxx ux dx = − ux = − u2x (1, y);
2
2
0
0
0
Z 1
Z 1
a2 (x, y)uxz , u =
a2 (x, y)(uux )x dx −
a2 (x, y)u2x dx =
0
0
Z
Z 1
1 1
=
a2xx (x, y)u2 dx −
a2 (x, y)u2x dx;
2 0
0
Z 1
Z
1 2
1 1
a1 (x, y)uz , u =
a1 (x, y)d
u =−
a1x (x, y)u2 dx;
2
2 0
0
Z 1
Z 1
1 ∂
1 ∂
uy , u =
uy u dx =
u2 dx =
kuk2 .
2
∂y
2
∂y
0
0
С учётом последних равенств выражение (18) перепишется в виде
Z 1
Z 1
∂
2
2
2
kuk + 2
a2 (x, y)ux dx + ux (1, y) =
(a2xx − a1x + 2a0 )u2 dx.
∂y
0
0
24
(19)
Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа . . .
Интегрируя равенство (19) по переменной y в пределах (0, y), получим
2
kuk + 2
Z
y
0
Z
0
1
Z y
dx dy +
u2x (1, y) dy =
0
Z y Z 1
2
=
(a2xx − a1x + 2a0 )u dx dy + kτ (x)k2 . (20)
a2 (x, y)u2x
0
0
В силу условий, наложенных на коэффициенты a0 (x, y), a1 (x, y), a2 (x, y), выражение |a2xx − a1x + 2a0 | будет ограничено некоторым числом M1 . Тогда
из (20) имеем
Z
kuk2 6 M1
y
0
kuk2 dy + kτ (x)k2 .
Применяя к последнему неравенству лемму 1.1 из [8], окончательно получаем
оценку
kuk2 6 M kτ (x)k2 ,
где M — некоторая известная постоянная, зависящая от M1 . Из полученной
оценки, в частности, вытекает единственность решения поставленной задачи.
Перейдём к доказательству существования решения. Рассмотрим сначала
случай, когда коэффициенты уравнения (14) являются постоянными действительными числами, т. е. a2 (x, 0) = a2 = const; a1 (x, 0) = a1 = const; a0 (x, 0) =
= a0 = const. Задачу (14)–(15) будем решать методом функции Грина. Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению (14),
можно записать в виде
k3 + a2 k2 + (a1 − 1)k + a0 = 0.
(21)
С помощью замены k = y − 13 a2 уравнение (21) приводится к виду
y 3 + py + q = 0,
(22)
2 3
где p = 13 a32 + a1 − 1; q = 27
a2 + 13 a2 (1 − a1 ).
В зависимости от знака дискриминанта D = 27q 2 + 4p3 возможны три
случая: D < 0, D = 0 и D > 0.
Рассмотрим первый случай, когда D < 0. В этом случае характеристическое уравнение (22) имеет три различных действительных корня [9]:
r
p
ϕ + 2πi
yi = 2 − cos
, i = 0, 1, 2,
3
3
q
3
где cos ϕ = − 12 qr, sin ϕ > 0, r = − p27 . Тогда общее решение однородного
уравнения, соответствующего уравнению (14), можно записать в виде τ (x) =
= c1 ek1 x + c2 ek2 x + c3 ek3 x , где ki = yi − 13 a2 (i = 0, 1, 2).
Поэтому функцию Грина будем искать в виде
a1 ek1 x + a2 ek2 x + a3 ek3 x , 0 6 x < ξ,
G(x, ξ) =
(23)
b1 ek1 x + b2 ek2 x + b3 ek3 x , ξ < x 6 1,
где aj , bj (j = 1, 2, 3) — пока неопределённые коэффициенты.
25
Б а л к и з о в Ж. А.
Пользуясь определением функции Грина, для вычисления значений коэффициентов aj , bj приходим к следующей системе линейных алгебраических
уравнений:

(b1 − a1 )ek1 ξ + (b2 − a2 )ek2 ξ + (b3 − a3 )ek3 ξ = 0,



k1 ξ
k2 ξ
k3 ξ


 k12(b1 − a1 )ek ξ + k22(b2 − a2 )e k ξ + k32(b3 − a3 )e k ξ = 0,
1
2
k1 (b1 − a1 )e + k2 (b2 − a2 )e + k3 (b3 − a3 )e 3 = 1,
a

1 + a2 + a3 = 0,



k
a + k2 a2 + k3 a3 = 0,

 1 k11
b1 e + b2 ek2 + b3 ek3 = 0.
(24)
Решая систему (24), найдём значения неизвестных aj , bj . Подставляя найденные значения aj , bj в (23), найдём явный вид функции Грина:
L1 (1, ξ)L1 (x, 0)
,
0 6 x < ξ,
∆1 L1 (1, 0)
G1 (x, ξ) =
 L1 (1, ξ)L1 (x, 0) − L1 (x, ξ)L1 (1, 0)


, ξ < x 6 1,
∆1 L1 (1, 0)




где L1 (x, ξ) = (k2 − k3 )ek1 (x−ξ) + (k3 − k1 )ek2 (x−ξ) + (k1 − k2 )ek3 (x−ξ) ; ∆1 =
= (k3 − k2 )(k3 − k1 )(k2 − k1 ) 6= 0, так как корни k1 , k2 , k3 — различные.
Анализируя два оставшихся случая, аналогично строим соответствующие
функции Грина. При D = 0 она имеет вид
L2 (1, ξ)L2 (x, 0)
,
0 6 x < ξ,
∆2 L2 (1, 0)
G2 (x, ξ) =
L (1, ξ)L2 (x, 0) − L2 (x, ξ)L2 (1, 0)


 2
, ξ < x 6 1,
∆2 L2 (1, 0)




где L2 (x, ξ) = ek1 (x−ξ) + ((k2 − k1 )(x − ξ) − 1) ek2 (x−ξ) , ∆2 = (k2 − k1 )2 6= 0;
а в случае D > 0 —
L3 (1, ξ)L3 (x, 0)
,
0 6 x < ξ,
∆3 L3 (1, 0)
G3 (x, ξ) =
L (1, ξ)L3 (x, 0) − L3 (x, ξ)L3 (1, 0)


 3
, ξ < x 6 1,
∆3 L3 (1, 0)




где L3 (x, ξ) = γek1 (x−ξ) − 3k1 sin γ x−ξ
+
γ
cos
γ(x
−
ξ)
e−k1 (x−ξ)/2 , ∆3 = 9γ ×
2
× (k12 − γ 2 ) 6= 0.
Итак, функции Грина построены для всевозможных расположений корней характеристического уравнения (21). Тогда решение задачи (14)–(15) эквивалентно редуцируется к решению интегрального уравнения Фредгольма
второго рода:
Z 1
τ (x) =
L(x, ξ)τ (ξ) dξ + F (x),
(25)
0
26
Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа . . .
где
L(x, ξ) = γ1
Z
1
ξ
F (x) = f (x) +
2
3
Gi (x, s)D0s
τ (s) ds;
Z
1
Gi (x, ξ)f (ξ) dξ;
f (x) = ψ(x) + ϕ2 (0) − ϕ1 (0) − ϕ3 (0) 2a2 + 2a1 x + a0 x2 +
+ a1 + a0 x ϕ3 (0) + ϕ1 (0)a0 .
0
В случае когда коэффициенты ai (x, y) (i = 0, 1, 2) не являются постоянными числами, после трёхкратного интегрирования уравнения (14) в пределах
(0, x), с учётом краевых условий (15), опять приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
Z 1
τ (x) =
K(x, ξ)τ (ξ) dξ + F1 (x),
(26)
0
где
K(x, ξ) =
−x2 N (1, ξ),
0 6 x < ξ,
N (x, ξ) − x2 N (1, ξ), ξ < x 6 1;
F1 (x) = g(x) + ϕ2 (0)x2 − g(1)x2 ;
N (x, ξ) = a2 (ξ, 0) + (x − ξ) a1 (ξ, 0) − 2a′2 (ξ, 0) +
√
′′
9 3
4
′
21
a2 (ξ, 0) − a1 (ξ, 0) + a0 (ξ, 0) +
(x − ξ) 3 ;
+(x − ξ)
2
8πγ
x2 2
x
′
g(x) = x + a2 (0, 0)
ϕ3 (0) + 1 + a2 (0, 0) x + a1 (0, 0) − a2 (0, 0)
ϕ1 (0) .
2
2
Безусловная разрешимость интегральных уравнений (25) и (26) следует
из единственности решения задачи. По найденному значению τ (x) можно
найти и ν(x) из формул (10) или (19). Тогда решение задачи (1)–(3) в области
Ω2 определяется по формуле (18) как решение задачи Коши, а в области
Ω1 приходим к задаче (1)–(2) и u(x, 0) = τ (x), исследованной в работе [10].
Теорема 1 доказана. Аналогичным методом устанавливается справедливость следующих теорем.
Теорема 2. Если коэффициенты ak (x, y) (k = 0, 1, 2) и β(y) таковы, что
a2 (x, y) ∈ Cx2 (Ω1 ),
a1 (0, y) 6 0,
a1 (x, y) ∈ Cx1 (Ω1 ),
a2 (x, y) > 0,
β 2 (y) + a0x (1, y) 6 0,
a0 (x, y) ∈ C(Ω1 ),
a0 xx (x, y) > 0,
2a0 (x, y) + a1x (x, y) 6 0,
и при этом ϕj (y) ∈ C 2 [0, 1] (j = 1, 2, 3), то существует единственное решение задачи 3.
Теорема 3. Если коэффициенты ak (x, y), αk (y), βk (y) (k = 0, 1, 2) таковы,
что
a0 (x, y), a1x (x, y), a2xx (x, y) ∈ C(Ω1 );
27
Б а л к и з о в Ж. А.
a′′2 (x, 0) − a′1 (x, 0) + 2a0 (x, 0) 6 0,
α20 (y)a1 (1, y) 6 β02 (y)a1 (0, y),
a2 (x, y) > 0,
β12 (y) < α21 (y),
α0 (y)α2 (y) = β0 (y)β2 (y),
α0 (y)α1 (y)β2 (y) 6= 0,
и при этом ϕj (y) ∈ C 2 [0, 1] (j = 1, 2, 3), то задача 4 имеет единственное
решение.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лернер, М. Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода [Текст] / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Дифференц.
уравнения. — 1999. — T. 35, № 8. — C. 1087–1093.
2. Лернер, М. Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа [Текст] / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Сиб. матем. журн. —
1999. — T. 40, № 6. — C. 1260–1275.
3. Сабитов, К. Б. Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом [Текст] / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко / Тр. Международн. научн. конф. — Стерлитамак, 2003. — T. 1. — C. 213–219.
4. Сабитов, К. Б. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения
[Текст] / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко / Тр. Всерос. научн. конф. — Стерлитамак,
2004. — T. 1. — C. 80–86.
5. Рахманова, Л. Х. Решение нелокальной задачи спектральным методом для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области [Текст] /
Л. Х. Рахманова // Изв. вузов. Матем. — 2007. — 11. — C. 36–40.
6. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям с частными производными [Текст] / Ф. Трикоми. —
М.: ИЛ, 1957. — 443 с.
7. Нахушев, А. М. Элементы дробного исчисления и их применение [Текст] / А. М. Нахушев. — Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. — 298 c.
8. Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики [Текст] / О. А. Ладыженская. — М.: Наука, 1973. — 498 c.
9. Фаддеев, Д. К. Лекции по алгебре [Текст] / Д. К. Фаддеев. — СПб.: Лань, 2002 . — 416 c. —
ISBN 5–8114–0447–6.
10. Иргашев, Ю. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными
характеристиками [Текст] / Ю. Иргашев / В сб.: Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения. — Ташкент: Фан, 1976. — С. 17–27.
Поступила в редакцию 1/VII/2008;
в окончательном варианте — 15/VII/2008.
MSC: 35M10, 65N99
LOCAL AND NONLOCAL VALUE BOUNDARY PROBLEMS
FOR A THIRD-ORDER MIXED-TYPE EQUATION EQUIPPED
WITH TRICOMI OPERATOR IN ITS HYPERBOLIC PART
Z. A. Balkizov
H. M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University,
360004, Nal’chik, Chernyshevskogo str., 173
E-mail: [email protected]
The existence and uniqueness of local and nonlocal value boundary problems for thirdorder mixed-type equations with multiple characteristics is proved. Uniqueness of the
problem solution is proved with energy-integral method. The existence of the solution
is proved with equivalent reduction method to Fredholm integral equations of the second
kind with the help of Green’s function.
Key words: local value boundary problem, nonlocal value boundary problem, mixed-type
equations, Green’s function, Fredholm integral equation.
Original article submitted 1/VII/2008;
revision submitted 15/VII/2008.
Balkizov Zhiraslan Anatolievich, Senior Lecturer, Dept. of the Theory of Functions and Functional Analysis of Kabardino-Balkarian State University.
28