close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Новые Признаки устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 9, c. 49–58
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: [email protected]
А.И. ПЕРОВ
НОВЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Аннотация. Статья посвящена изучению вопросов устойчивости для линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами, матрицы которых
являются внедиагонально неотрицательными. Полученные результаты применяются к произвольным линейным системам дифференциальных уравнений с постоянными комплексными
коэффициентами.
Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, неотрицательные и внедиагонально неотрицательные
матрицы.
УДК: 517.926
В статье исследуются вопросы устойчивости для линейных систем дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Особое место в развиваемой теории занимают
системы с вещественными коэффициентами, матрицы которых обладают свойством внедиагональной неотрицательности, что позволяет применять теорию Перрона–Фробениуса
неотрицательных матриц. Полученные результаты нашли приложение для систем с произвольными комплексными коэффициентами. В доказательствах используются теоремы о
векторно-матричных дифференциальных и интегральных неравенствах.
1. Основные определения. Пусть A = (ajk ) есть вещественная или комплексная n × nматрица и λ1 , λ2 , . . . , λn — полный набор ее собственных значений. Матрица A называется
матрицей Гурвица, если
Re(λj ) < 0, j = 1, 2, . . . , n;
матрицей Ляпунова, если
Re(λj ) ≤ 0, j = 1, 2, . . . , n,
(1)
причем нулевым и чисто мнимым собственным значениям (если они есть) отвечают лишь
простые элементарные делители; матрицей Дирихле, если
Re(λj ) = 0, j = 1, 2, . . . , n,
(2)
причем всем собственным значениям отвечают лишь простые элементарные делители.
Поступила 13.03.2013
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-01-00276).
49
50
А.И. ПЕРОВ
Важность этих определений полностью выясняется при изучении вопросов устойчивости
для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
ẋ = Ax.
(3)
Хорошо известно ([1], с. 85–90), что система (3):
асимптотически устойчива:
|etA | → 0 при t → +∞
тогда и только тогда, когда матрица A является матрицей Гурвица;
устойчива:
|etA | ≤ C при 0 ≤ t < +∞
тогда и только тогда, когда матрица A является матрицей Ляпунова;
устойчива по Дирихле:
|etA | ≤ C при − ∞ ≤ t < +∞
(4)
тогда и только тогда, когда матрица A является матрицей Дирихле.
Поясним, что в приведенных выше формулах модуль матрицы есть матрица, в которой
все ее элементы заменены их модулями, остальные обозначения взяты из ([2], с. 352 и далее).
Устойчивость в смысле Дирихле приведена в ([3], с. 3). Предлагаемая нами терминология
(1), (2) и (4) не является общепринятой.
При изучении вопросов устойчивости удобно пользоваться характеристикой спектра
spa A = max Re(λj ),
1≤j≤n
которую мы назвали спектральной абсциссой ([4], с. 23) по аналогии со спектральным радиусом ([5], с. 188)
spr A = max |λj |.
1≤j≤n
Пусть C = (cjk ) — вещественная внедиагонально неотрицательная матрица
cjk ≥ 0 при j = k.
Выясним, когда эта матрица является гурвицевой, ляпуновской или матрицей Дирихле.
2. Критерий Севастьянова–Котелянского. Следующий критерий известен как критерий Б.А. Севастьянова [6] (1951 г.) и Д.М. Котелянского [7] (1952 г.) (см. также [2], с. 371).
Теорема 1. Для того чтобы вещественная внедиагонально неотрицательная матрица
C = (cjk ) была гурвицевой, необходимо и достаточно, чтобы были положительными последовательные главные миноры матрицы −C:
c11 c12 . . . c1n c11 c12 c2n n c21 c22 . . .
> 0, . . . , (−1) (5)
−c11 > 0, > 0.
c21 c22 . . . . . . . . . . . . . . .
cn1 cn2 . . . cnn Если дополнительно известно, что матрица C является симметрической, то критерий
Севастьянова–Котелянского превращается в критерий Сильвестра положительной определенности симметрической матрицы −C.
Первоначально критерий Б.А. Севастьянова [6] имел вид:
НОВЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
51
для того чтобы вещественная внедиагонально неотрицательная матрица C = (cjk ) была
гурвицевой, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные миноры
матрицы −C:
1 ≤ i1 < i2 < · · · < ip ≤ n,
i1 i2 . . . ip
(6)
> 0,
(−C)
i1 i2 . . . ip
p = 1, 2, . . . , n.
3. Основная теорема. В качестве развития детерминантного критерия Севастьянова–
Котелянского предлагается
Теорема 2. Для того чтобы вещественная внедиагонально неотрицательная матрица
C = (cjk ) была ляпуновской, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие
два условия:
1) все главные миноры матрицы −C были неотрицательны:
1 ≤ i1 < i2 < · · · < ip ≤ n,
i1 i2 . . . ip
(7)
≥ 0,
(−C)
p = 1, 2, . . . , n,
i1 i2 . . . ip
2) ранг матрицы C равнялся главному рангу этой же матрицы:
rang C = main rang C.
(8)
Неравенство (7) назовем неотрицательным условием Севастьянова (ср. с (6)). Главный
ранг матрицы — это ее ранг, подсчитанный при помощи главных миноров, т. е. наивысший
порядок главных миноров, которые отличны от нуля.
Доказательство. Необходимость. Пусть матрица C является ляпуновской. Тогда spa C≤0.
Если spa C < 0, то матрица C гурвицева и для нее согласно (6) выполнены условия (7) со
знаком строгого неравенства. Если spa C = 0, то рассмотрим матрицу Cε = C − εI, где I —
единичная n × n-матрица. Так как spa Cε = spa C − ε = −ε < 0 при ε > 0, то согласно (6)
i i . . . ip
1 ≤ i1 < i2 < . . . < ip ≤ n,
> 0,
(−Cε ) 1 2
i1 i2 . . . ip
p = 1, 2, . . . , n,
откуда при 0 < ε → 0 приходим к неравенствам (7).
Проверим равенство (8). Если матрица C является гурвицевой, то равенство (8) выполнено очевидным образом, так как det C = 0. Если матрица C, будучи ляпуновской, гурвицевой
не является, то это может произойти только за счет появления у нее нулевого собственного
значения.
Покажем это. Подберем a ≥ 0 так, чтобы a + cjj ≥ 0 при j = 1, . . . , n. Тогда матрица
Ca ≡ aI + C будет неотрицательной, и по теореме Перрона–Фробениуса ([2], с. 365, теорема
3) имеем |µj | ≤ ρ, где µ1 , . . . , µn — собственные значения матрицы Ca ≥ 0, а ρ = spr Ca —
(перроново) собственное значение этой матрицы. Так как собственные значения матрицы Ca
имеют вид µj = a+λj , где λ1 , . . . , λn — собственные значения матрицы C, то |a+λj | ≤ a+λ0
при j = 1, . . . , n, где λ0 — одно из чисел λ1 , . . . , λn .
По условию матрица C ляпуновская, поэтому λ0 ≤ 0. Если допустить, что λ0 < 0, то
|a + λj | < a при j = 1, . . . , n, откуда, полагая λj = αj + iβj , находим (a + αj )2 + βj2 < a2 ,
что означает αj (2a + αj ) < 0 при j = 1, . . . , n. Мы видим, что αj < 0 при j = 1, . . . , n, и
матрица C должна быть гурвицевой, что было с самого начала исключено. Итак, λ0 = 0, и
матрица C имеет нулевое собственное значение.
Интересующая нас оценка принимает вид |a+λj | ≤ a при j = 1, . . . , n. Пусть λj = iβj есть
чисто мнимое критическое собственное число матрицы C. Тогда получаем a2 + βj2 ≤ a2 , что
52
А.И. ПЕРОВ
возможно лишь при βj = 0. Мы показали, что кроме нулевого матрица C не имеет других
критических собственных значений.
Характеристическое уравнение матрицы C имеет вид
λn + σ1 λn−1 + · · · + σn = 0,
где σj — сумма всех главных миноров порядка j матрицы −C. Согласно (7) имеем σ1 ≥ 0,
σ2 ≥ 0, . . . , σn ≥ 0. В рассматриваемом случае σn = (−1)n det C = 0. Пусть σp > 0 и
σp+1 = · · · = σn = 0. Тогда
λn + σ1 λn−1 + · · · + σn = λn−p (λp + σ1 λp−1 + · · · + σp ) = 0.
Видим, что нулевое собственное значение имеет кратность n − p. Поэтому размерность
корневого подпространства, соответствующего нулевому собственному значению, равна n −
p. Она совпадает с размерностью ядра матрицы C (dim ker C) в том и только том случае,
если корневое подпространство совпадает с собственным подпространством, т. е. n − p =
dim ker C = n − p , где p — ранг матрицы C ([8], с. 35, лемма 1). Поэтому p = p , осталось
заметить, что p есть главный ранг матрицы C. Итак, если матрица C ляпуновская, то
выполнены условия (7) и (8).
Достаточность. Пусть теперь, наоборот, выполнены условия (7) и (8). Покажем, что матрица C является ляпуновской. Согласно ([2], с. 368) неравенства (7) означают, что spa C ≤ 0.
Рассмотрим два случая: det C = 0 и det C = 0. В первом случае получаем spa C < 0 и матрица C гурвицева (и, значит, ляпуновская). Во втором случае матрица C имеет нулевое
критическое значение. Так как в силу (8) ядро матрицы C совпадает с корневым подпространством матрицы C, отвечающим нулевому собственному значению (n − p = n − p),
то это нулевое собственное значение имеет только простые элементарные делители (см.
предыдущую ссылку). Отсюда следует, что матрица C является ляпуновской.
Простые примеры показывают, что условие (8) не всегда выполняется. Однако в некоторых случаях оно выполнено автоматически (например, если изучаемая матрица симметрическая или, скажем, неразложимая).
4. Матрицы Дирихле.
Теорема 3. Для того чтобы вещественная внедиагонально неотрицательная матрица C
была матрицей Дирихле, необходимо и достаточно, чтобы она была нулевой: C = 0.
5. Признаки устойчивости произвольных матриц. Пусть A = (ajk ) — произвольная
вещественная или комплексная n × n-матрица. Предположим, что вещественная внедиагонально неотрицательная матрица C = (cjk ) такова, что
Re(ajj ) ≤ cjj , j = 1, 2, . . . , n; |ajk | ≤ cjk при j = k.
(9)
Ниже показано, что в условии (9) всегда имеет место оценка
|etA | ≤ etC при 0 ≤ t < +∞.
(10)
Отметим, что в рассматриваемом случае матричная экспонента exp(tC) всегда неотрицательна, exp(tC) ≥ 0 при t ≥ 0 (см., например, [9], с. 123, или [10], с. 199, лемма 24.3).
Покажем, что из (10) вытекает оценка для спектральной абсциссы
spa A ≤ spa C.
(11)
НОВЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
53
Для доказательства этого неравенства в пространстве Cn рассмотрим произвольную абсолютную векторную норму, т. е. норму, зависящую только от абсолютных значений компонент вектора ([5], § 6.4). Для
матричной нормы, индуцированной этой абсолютной векторной
нормой, имеем A ≤ |A|. Эта матричная норма монотонна в том смысле, что из |A| ≤ |B|
следует A ≤ B ([5], с. 201, упражнение 1). Поэтому из (10) для рассматриваемой нормы
находим
etA ≤ |etA | ≤ |etC | = etC , 0 ≤ t < +∞.
Теперь неравенство (11) непосредственно следует из следующей формулы для спектральной
абсциссы:
ln etA ,
spa A = lim
t→+∞
t
которую можно найти в ([11], с. 42, формула (4.4)). Действительно,
ln etA ln etC ≤ lim
= spa C.
t→+∞
t→+∞
t
t
spa A = lim
Из оценки (10) непосредственно вытекает
Теорема 4. Пусть выполнено условие (9). Тогда если матрица C удовлетворяет критерию Севастьянова–Котелянского (5), то матрица A гурвицева, а если матрица C удовлетворяет условиям (7) и (8), то она ляпуновская.
Эта теорема известна для вещественных матриц A, когда матрица C удовлетворяет условию (5) [12]. Во всех остальных случаях она представляется новой.
6. Доказательство оценки (10). Основной формулой для нас является определение
матричной экспоненты в виде ряда
etA = I + tA + · · · +
tk Ak
+ ··· .
k!
(12)
Рассмотрим несколько частных случаев.
1) Если A, A ≥ 0, — вещественная и неотрицательная матрица, то etA ≥ 0 при t ≥ 0.
Это утверждение вытекает из (12), если заметить, что A2 ≥ 0, A3 ≥ 0, . . . , Ak ≥ 0, . . .
согласно A ≥ 0.
(13)
2) Если A ≥ 0, B ≥ 0 и A ≤ B, то etA ≤ etB при t ≥ 0.
k
k
Утверждение (13) также вытекает из (12), если заметить, что A ≤ B при любом натуральном k согласно (0 ≤)A ≤ B. Проверим теперь, что для любой матрицы A (вещественной
или комплексной) справедлива оценка
|etA | ≤ et|A| при t ≥ 0.
(14)
Действительно, согласно (12) имеем
|etA | ≤ |I| +
∞ k
t |Ak |
k=1
k!
≤I+
∞ k
t |A|k
k=1
k!
= et|A| .
|Ak |
≤ |A|k при любом натуральном k.
В доказательстве воспользовались тем, что
Сначала установим оценку (10) для вещественных матриц A. В этом случае предположение (9) принимает вид
ajj ≤ cjj , j = 1, 2, . . . , n; |ajk | ≤ cjk , j = k.
(15)
54
А.И. ПЕРОВ
Подберем a ≥ 0 так, чтобы ajj +a ≥ 0 при j = 1, 2, . . . , n. Тогда из (15) вытекает |aI+A| ≤
aI + C. Поэтому на основании формул (14) и (13) находим |et(aI+A) | ≤ et|aI+A| ≤ et(aI+C) .
Сокращая крайние члены этого неравенства на exp(tε), приходим к оценке
|etA | ≤ etC при 0 ≤ t < +∞,
справедливой при любой матрице A, удовлетворяющей предположениям (15).
Нетрудно видеть, что наши рассуждения справедливы не только для вещественных матриц, но и для комплексных матриц с вещественной диагональю, которые удовлетворяют
предположениям (15).
Теперь перейдем к более сложному случаю, когда на диагонали комплексной матрицы A
стоят невещественные элементы. Пусть
ajj = αj + iβj , j = 1, 2, . . . , n,
где αj и βj — вещественные числа. В системе
ż = Az
(16)
zj = eiβj t yj , j = 1, 2, . . . , n.
(17)
произведем замену
Тогда (16) примет вид
ẏj = αj yj +
ajk ei(βk −βj )t yk , ẏ = B(t)y,
(18)
k=j
где B(t) = (bjk (t)) и bjj (t) = αj , j = 1, 2, . . . , n; bjk (t) = ajk ei(βk −βj )t , j = k, и потому
|bjk (t)| = |ajk |, j = k. Видим, что матрица B(t) с вещественной постоянной диагональю, но
с переменными внедиагональными элементами. Отметим, что согласно (17)
|z(t)| = |y(t)|.
(19)
Пусть bjj (t) ≡ αj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n. Тогда согласно предположениям (9) имеем
|B(t)| ≤ C. Покажем, что для решений системы (28) справедлива оценка
|y(t)| ≤ etC · |y(0)|, 0 ≤ t < +∞.
(20)
Действительно, согласно (18)
t
t
B(s)y(s)ds, |y(t)| ≤ |y(0)| +
|B(s)||y(s)|ds,
y(t) = y(0) +
0
0
t
C|y(s)|ds.
|y(t)| ≤ |y(0)| +
0
Из полученного векторно-матричного интегрального неравенства в силу неотрицательности
матрицы C для векторной функции y(t) вытекает оценка (20). Это векторно-матричное
интегральное неравенство Гронуолла, которое будет получено позднее из теоремы 8.
Из (17), (19) и (20) получаем | exp(tA)z(0)| ≤ exp(tC)·|z(0)|, откуда в силу произвольности
z(0) приходим к оценке (10) в данном случае.
Осталось рассмотреть общий случай. Пусть среди диагональных элементов матрицы B(t)
есть отрицательные. Подберем тогда ε>0 так, чтобы ε+bjj =ε+αj ≥ 0 при j = 1, 2, . . . , n. У
новой матрицы εI + B(t) все диагональные элементы уже неотрицательны, причем
|εI + B(t)| ≤ εI + C, и
|x(t)| ≤ et(εI+C) · |x(0)|, 0 ≤ t < +∞,
НОВЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
55
где
x(t) = eεt y(t).
Поэтому |y(t)| = exp(−εt) · |x(t)| ≤ exp(−εt) exp(t(εI + C)) · |x(0)| = exp(tC) · |y(0)|, так как
|x(0)| = |y(0)|, и согласно (21) имеем |z(t)| ≤ exp(tC) · |z(0)|, что в силу произвольности z(0)
приводит к оценке (10) и в этом случае.
7. Признаки устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами.
Познакомимся с признаками устойчивости другого сорта, отличающимися от теорем 1 и 2,
и не требующими вычисления определителей; особенно удобны они в приложениях.
Теорема 5. Если A = (ajk ) – комплексная n × n-матрица и существуют такие положительные числа h1 , . . . , hn , что
|ajk |hk ≤ 0, j = 1, 2, . . . , n,
(21)
Re(ajj )hj +
k=j
то матрица A является ляпуновской (устойчивой). Если неравенства (21) выполнены
строго, то матрица A является гурвицевой (асимптотически устойчивой). Если A —
вещественная матрица, то она гурвицева тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Доказательство. После перехода от матрицы A к B = T−1 AT, где T = diag {h1 , . . . , hn },
видим, что матрица B удовлетворяет всем условиям п. 3.3.5 из [14]. Поэтому новым в теореме 4 является только то, что не только спектр матрицы A лежит в замкнутой левой
полуплоскости, но и нулевые и чисто мнимые собственные значения этой матрицы имеют
простые элементарные делители.
Введем вещественную матрицу C = (cjk ), положив
cjj = Re(ajj ), j = 1, 2, . . . , n, cjk = |ajk | при j = k.
Это есть внедиагонально неотрицательная матрица. По оценке (10) имеем
|etA | ≤ etC , 0 ≤ t < +∞.
Условия (21) означают, что
Ch ≤ 0, h > 0,
где h = col {h1 , . . . , hn }. По теореме 7 матрица C является ляпуновской.
Теорема 6. Для того чтобы вещественная внедиагонально неотрицательная матрица C
была гурвицевой, необходимо и достаточно, чтобы можно было указать такой вектор h,
для которого выполнены неравенства
Ch < 0, h > 0.
Этот критерий в несколько иных обозначениях приведен в ([14], с. 209, п. 3.3.6). Интересно отметить что в ([15], сс. 359, 166) приведен следующий критерий: для того чтобы
вещественная внедиагонально неотрицательная матрица C была гурвицевой, необходимо
и достаточно, чтобы она была невырожденной, det C = 0, и было выполнено неравенство
C−1 ≤ 0.
Теорема 7. Для того чтобы вещественная внедиагонально неотрицательная матрица C
была ляпуновской, достаточно, чтобы можно было указать такой вектор h, для которого
выполнены неравенства
Ch ≤ 0, h > 0.
(22)
56
А.И. ПЕРОВ
Если дополнительно предположить, что матрица C является неразложимой, то условия
(22) являются не только достаточными, но и необходимыми.
Доказательство. Необходимость. Пусть вещественная внедиагонально неотрицательная
неразложимая матрица C является ляпуновской. Так как она неразложима, то существует
такой вектор h, для которого Ch = αh, где α = spa C, h > 0. Так как по предположению
матрица C ляпуновская, то spa C ≤ 0. Поэтому выполнены неравенства (22).
Достаточность. Для того, чтобы из (22) вывести устойчивость матрицы C, воспользуемся логарифмической нормой Лозинского ([16]; [17], с. 461). Первое неравенство из (22) в
развернутом виде означает, что
n
cjk hk ≤ 0, j = 1, 2, . . . , n,
k=1
откуда при h1 = · · · = hn = 1 вытекает etC 0 ≤ 1, 0 ≤ t < +∞, где матричная норма индуцирована векторной нормой x0 = max |xj |. Общий случай обычным образом сводится к
1≤j≤n
только что рассмотренному.
Пример разложимой ляпуновской матрицы
ются необходимыми.
−1 0 1 0
показывает, что условия (22) не явля-
8. Векторно-матричные дифференциальные и интегральные неравенства. Напомним, что решение начальной задачи
ẋ = A(t)x + f (t), a ≤ t ≤ b, x(a) = c
(23)
по формуле Коши имеет вид
x(t) = U(t)U−1 (a)c +
t
U(t)U−1 (s)f (s)ds,
(24)
a
где U(t) — матрициант соответствующей однородной системы. Предполагается, что матричная функция A(t) и векторная функция f (t) измеримы и суммируемы на отрезке [a, b],
и решение системы (23) понимается в смысле Каратеодори.
Теорема 8 (обобщение леммы Гронуолла–Беллмана ([13], с. 10)). Пусть непрерывная неотрицательная векторная функция u(t), u(t) ≥ 0, удовлетворяет векторно-матричному
интегральному неравенству
t
(A(s)u(s) + f (s))ds, a ≤ t ≤ b.
(25)
u(t) ≤ c +
a
Пусть матричная функция A(t), векторная функция f (t) и вектор c неотрицательны:
A(t) ≥ 0, f (t) ≥ 0, c ≥ 0. Тогда справедлива оценка
t
−1
U(t)U−1 (s)f (s)ds, a ≤ t ≤ b.
(26)
u(t) ≤ v(t) ≡ U(t)U (a)c +
a
Доказательство. Обозначим через w(t) правую часть неравенства (25), u(t) ≤ w(t) (все
рассуждения проводятся на отрезке [a, b]). Векторная функция w(t) абсолютно непрерывна,
причем ẇ(t) = A(t)u(t)+ f (t), w(a) = c. Так как по предположению A(t) ≥ 0, то A(t)u(t) ≤
НОВЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
57
A(t)w(t) и мы приходим к дифференциальному неравенству ẇ(t) ≤ A(t)w(t) + f (t). Положим ε(t) ≡ A(t)w(t) + f (t) − ẇ(t). Тогда ε(t) — измеримая суммируемая неотрицательная
функция, причем ẇ(t) = A(t)w(t) + f (t) − ε(t), w(a) = c. По формуле Коши (24) имеем
t
t
−1
−1
U(t)U (s)f (s)ds −
U(t)U−1 (s)ε(s)ds.
w(t) ≡ U(t)U (a)c +
a
a
U(t)U−1 (s)
≥ 0 при t ≥ s, а так как ε(t) ≥ 0, то U(t)U−1 (s)ε(s) ≥ 0,
Так как A(t) ≥ 0, то
и последний интеграл неотрицателен. Поэтому
t
−1
U(t)U−1 (s)f (s)ds ≡ v(t).
w(t) ≤ U(t)U (a)c +
a
Имеем u(t) ≤ w(t) ≤ v(t) и оценка (26) установлена.
Теорема 9. Пусть абсолютно непрерывная неотрицательная векторная функция u(t)
удовлетворяет векторно-матричному дифференциальному неравенству
u̇(t) ≤ A(t)u(t) + f (t), a ≤ t ≤ b, u(a) ≤ c.
(27)
Пусть матричная функция A(t) внедиагонально неотрицательна, ajk (t) ≥ 0 при j = k, а
векторная функция f (t) и вектор c неотрицательны. Тогда справедлива оценка
t
−1
U(t)U−1 (s)f (s)ds, a ≤ t ≤ b.
(28)
u(t) ≤ v(t) ≡ U(t)U (a)c +
a
Доказательство. Положим ε(t) ≡ A(t)u(t) + f (t) − u̇(t). Это есть измеримая суммируемая
неотрицательная векторная функция, ε(t) ≥ 0. Так как согласно (27)
u̇(t) = A(t)u(t) + f (t) − ε(t), u(a) ≤ c,
то по формуле (24) имеем
u(t) = U(t)U−1 (a)c +
t
U(t)U−1 (s)f (s)ds −
a
t
U(t)U−1 (s)ε(s)ds.
a
−1
U(t)U (s)
≥ 0 при t ≥ s (см., например,
Так как A(t) внедиагонально неотрицательна, то
[18], с. 63, теорема 4.6). Так как ε(t) ≥ 0, то U(t)U−1 (s)ε(s) ≥ 0, и последний интеграл
неотрицателен. Поэтому
t
−1
U(t)U−1 (s)f (s)ds ≡ v(t),
u(t) ≤ U(t)U (a)c +
a
и оценка (28) установлена.
Литература
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости (Наука, М., 1967).
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (Наука, М., 1967).
Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Ин. лит., М., 1954).
Перов А.И. Новые условия устойчивости, Автоматика и телемеханика, № 2, 22–33 (2002).
Ланкастер П. Теория матриц (Наука, М., 1978).
Севастьянов Б.А. Теория ветвящихся случайных процессов, УМН 6 (6), 46–99 (1961).
Котелянский Д.М. О некоторых свойствах матриц с положительными элементами, Матем. сб. 31
(3), 495–506 (1952).
[8] Якубович В.А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения (Наука, М., 1972).
[9] Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства (Мир, М., 1965).
58
А.И. ПЕРОВ
[10] Красносельский М.А., Лившиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы (Наука, М., 1969).
[11] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (Наука, М., 1970).
[12] Mori T., Fukuma N., Kuwahara M. A stability criterion for linear time-varying systems, Int. J. Contr. 34
(3), 585–591 (1981).
[13] Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний (Наука, М.,
1976).
[14] Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств (Наука, М., 1972).
[15] Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ (Наука, М., 1969).
[16] Лозинский С.М. Оценка погрешности численного интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. I, Изв. вузов. Матем., № 5, 52–90 (1958).
[17] Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости (Наука, М., 1966).
[18] Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений (Наука, М.,
1966).
А.И. Перов
профессор, кафедра нелинейных колебаний,
Воронежский государственный университет,
Университетская пл., д. 1, г. Воронеж, 394036, Россия,
e-mail: [email protected]
A.I. Perov
New features of stability of linear systems of differential equations with constant
coefficients
Abstract. We consider stability for linear systems of differential equations with real constant
coefficients whose matrices are off-diagonal non-negative. The results are applied to arbitrary
linear systems of differential equations with complex constant coefficients.
Keywords: stability by Lyapunov, linear systems of differential equations with constant coefficients,
non-negative and off-diagonal non-negative matrices.
A.I. Perov
Professor, Chair of Nonlinear Oscillations,
Voronezh State University,
1 Universitetskaya sq., Voronezh, 394036 Russia,
e-mail: [email protected]
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
197 Кб
Теги
уравнения, постоянный, дифференциальной, система, признаки, линейный, устойчивость, коэффициента, новый
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа