О задаче Коши для системы уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу с нильпотентным матричным коэффициентом.

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 3 (28). С. 184–187
УДК 517.956.3
О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ С НИЛЬПОТЕНТНЫМ
МАТРИЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
Е. А. Максимова
Самарский государственный технический университет,
443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: [email protected]
Методом Римана получено решение задачи Коши для системы уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу с нильпотентным матричным коэффициентом степени
m. Сформулирована теорема корректности решения задачи Коши по Адамару.
Ключевые слова: метод Римана, задача Коши, система уравнений Эйлера—
Пуассона—Дарбу, нильпотентная матрица.
Рассматривается система дифференциальных уравнений:
∂2U
∂2U
2G ∂U
−
−
= 0,
2
∂x
∂y 2
y ∂y
(1)
где U = (u1 , u2 , . . . , un )⊤ , G — действительная (n × n)-нильпотентная матрица [1]
степени m, 2 6 m 6 n.
Задача Коши. Найти вектор-функцию U (x, y), удовлетворяющую следующим
условиям:
1) U (x, y) ∈ C(D̄) ∩ C 2 (D), где D = {(x, y) : 0 < −y < x < y + 1};
2) U (x, y) удовлетворяет системе (1);
3) выполняются начальные условия
U (x, 0) = τ (x),
x ∈ [0, 1];
lim K(y)
y→−0
∂U
= ν(x),
∂y
x ∈ (0, 1),
(2)
где τ (x) = (τ1 (x), τ2 (x), . . . , τn (x))⊤ , ν(x) = (ν1 (x), ν2 (x), . . . , νn (x))⊤ , K(y) =
= (−y)2G .
В характеристических координатах ξ = x + y, η = x − y область D переходит
в область H = {(ξ, η) : 0 < ξ < η < 1}, матричное уравнение (1) редуцируется
к системе уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу специального вида:
G ∂U
∂U ∂2U
= 0,
+
−
∂ξ∂η η − ξ ∂ξ
∂η
(3)
а начальные условия (2) принимают вид
U (ξ, ξ) = τ (ξ),
ξ ∈ [0, 1];
lim K
η→ξ+0
ξ − η ∂U
2
∂ξ
−
∂U = ν(ξ),
∂η
ξ ∈ (0, 1). (4)
Екатерина Алексеевна Максимова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.
184
О задаче Коши для системы уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу . . .
Известно [1], что для любой нильпотентной матрицы G существует матрица перехода Q к жорданову базису такая, что
Q−1 GQ = J,
где J — жорданова форма матрицы G. Матрица J состоит из r
(l1 + l2 + · · · + lr = n):



0 1 0
0
0 ...
0
Hl 1
 0 0 1
0 
Hl2 0 ...

 0
, Hlk =  ... ... ...
J =
...
... ... ... ... 
 0 0 0
0
0
0 ... Hlr
0 0 0
клеток размером Hlk
... 0
... 0
... ...
... 0
... 0
0
0
...
1
0



.

После преобразования Q−1 GQ = J система уравнений (3) примет вид
∂ 2W
J ∂W
∂W = 0,
+
−
∂ξ∂η η − ξ ∂ξ
∂η
(5)
где W = Q−1 U . Условия Коши (4) для системы (5) преобразуются к виду
W (ξ, ξ) = Q−1 τ (ξ), ξ ∈ [0, 1],
e ξ − η ∂W − ∂W = Q−1 ν(ξ), ξ ∈ (0, 1),
lim K
η→ξ+0
2
∂ξ
∂η
2J
e
где K = (−y) .
В работе [2] для системы (5) построена матрица Римана
R(ξ, η; ξ0 , η0 ) = f (J) = V J 2 F1
J, J
;σ ,
1
где σ = −(ξ − ξ0 )(η − η0 )(ξ − η0 )−1 (ξ0 − η)−1 , V = (η − ξ)2 (η − ξ0 )−1 (η0 − ξ)−1 .
Если W (ξ, η) является решением системы уравнением (5), то, используя свойства
её матрицы Римана R(ξ, η; ξ0 , η0 ) и векторный аналог тождества Грина [4], получаем,
что
n
X
W (ξ0 , η0 ) =
I(J, wk )ek ,
(6)
k=1
где ek = (ek1 , ek2 , . . . , ekn )⊤ , eki = 0, i 6= k, ekk = 1; wk — компоненты вектора W ;
I(J, wk ) = lim
ε→0
1
1
f (J)wk ξ = η0 − ε + f (J)wk ξ = ξ0
+
2
2
η = η0
η = ξ0 + ε
Z
h ∂w
1 η0 −ε
∂wk i
k
+
dξ−
−
f (J)
2 ξ0
∂η
∂ξ η=ξ+ε
Z
1 η0 −ε ∂f (J) ∂f (J) 4f (J)J dξ . (7)
wk −
+
−
2 ξ0
∂η
∂ξ
ξ−η
η=ξ+ε
Известно [1], что если J — жорданова форма матрицы с одним собственным значением λ, то функция I(J, wk ) может быть записана в виде блочно-диагональной
матрицы:
I(J, wk ) = diag I(Hl1 , wk ), ..., I(Hlj , wk ), ..., I(Hlr , wk ) .
185
М а к с и м о в а Е. А.
Здесь

′
..
Iλ
(λ,wk )
.
1!
 I(λ, wk )

.

0
I(λ, wk ) ..
I(Hlj , wk ) = 

..

.
...
...
0
0
...
(l −1)
Iλ j
(λ,wk )
(lj −1)!
(l −2)
Iλ j
(λ,wk )
(lj −2)!
...
I(λ, wk )




,


(8)
а функция I(λ, wk ) записывается в виде (7) после формальной замены J на λ.
После подстановки (8) в (6) имеем
W (ξ0 , η0 ) = EI(λ, W ) +
n−1
X
J k (k)
I (λ, W ).
k! λ
k=1
(9)
Выполняя в выражении (9) замену W = Q−1 U , получим1
U (ξ0 , η0 ) = EI(λ, U ) +
n−1
X
k=1
QJ k Q−1 (k)
Iλ (λ, U ) =
k!
= EI(λ, U ) +
n−1
X
k=1
(G − λE)k (k)
Iλ (λ, U ). (10)
k!
После подстановки λ = 0 в (10) получим
U (ξ0 , η0 ) = EI(0, U ) +
n−1
X
k=1
Gk (k)
I (0, U ).
k! λ
Воспользовавшись выражениями для I(λ, U ), полученными в [3] для случая λ ∈
(−1/2, 0], найдём
I(0, U ) =
1
η0 − ξ0
Z
η0
τ (ξ)dξ −
ξ0
1
2
Z
η0
τ ′ (ξ)(η0 + ξ0 − 2ξ)dξ
ξ0
−
1
2
Z
η0
ν(ξ)dξ,
ξ0
Z η0
k X
ϕ(ξ) k−j
k
(j)
dξ−
τ (ξ) ln
K1 (1)(η0 − ξ0 )−1
(η0 − ξ0 )2
j
ξ0
j=0
Z η0
ϕ(ξ) k−j
(−1)j (j)
τ ′ (ξ) ln
−
(η0 + ξ0 − 2ξ)dξ−
K2 (0)(η0 − ξ0 )−1
2
(η0 − ξ0 )2
ξ0
Z η0
1 (j)
ϕ(ξ) k−j
0
− K2 (0)
ν(ξ)[ϕ(ξ)] ln
dξ ,
2
(η0 − ξ0 )2
ξ0
I (k) (0, U ) =
(j)
(j)
где K1 (1) = 2jΦj−1 (0) − Φj (0), K2 (0) = Φj (0). Здесь Φj (λ) определяются рекуррентно:
Φ1 (λ) = ψ(1 − 2λ) − ψ(1 − λ),
Φn (λ) = Φn−1 (λ)Φ1 (λ) + Φ′n−1 (λ),
где ψ(λ) — дигамма-функция [5].
1
Этот же результат может быть получен с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа—Сильвестера [1].
186
О задаче Коши для системы уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу . . .
Используя выражения для U (ξ0 , η0 ), можно записать решение U (x, y) задачи
Коши (1), (2) в области D.
Теорема. Если функции τ (x) ∈ C 3 [0, 1] и ν(x) ∈ C 2 (0, 1), то задача Коши (1),
(2) в области D корректна по Адамару.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Lankaster P. Theory of Matrices. New York, London: Academic Press, 1969. 316 pp.; русск.
пер.: Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 280 с.
2. Андреев А.А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического
типа / В сб.: Дифференц. уравнения. Вып. 16: Сб. науч. тр. пед. ин-тов РСФСР. Рязан.
гос. пед. ин-т, 1980. С. 9–14. [Andreev A. A. On a class of systems of differential equations
of hyperbolic type / In: Partial differential equations. Issue 16. Ryazan: Ryazan. Gos. Ped.
Inst., 1980. Pp. 9–14].
3. Максимова Е. А. О задаче Коши для n-мерной системы уравнений Эйлера–Пуассона–
Дарбу на плоскости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012.
№ 1(26). С. 21–30. [Maksimova E. A. On Cauchy Problem for system of n Euler–Poisson–
Darboux equations in the plane // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki,
2012. no. 1(26). Pp. 21–30].
4. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1966. 203 с.;
англ.
пер.: Bitsadze A. V. Equations of the Mixed Type. New York: Pergamon Press, 1964. 160 pp.
5. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables /
eds. M. Abramowitz, I. A. Stegun. New York: Dover, 1972. 824 pp.; русск. пер.: Справочник
по специальным функциям / ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
Поступила в редакцию 13/VI/2012;
в окончательном варианте — 13/VIII/2012.
MSC: 35L45
ON CAUCHY PROBLEM FOR EULER–POISSON–DARBOUX
SYSTEM WITH NILPOTENT MATRIX COEFFICIENT
Maksimova E. A.
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia.
E-mail: [email protected]
The solution of Cauchy problem for the system of Euler–Poisson–Darboux equations
with nilpotent matrix coefficient of power m is obtained by the Riemann method. The
Hadamard well-posedness theorem for the Cauchy problem solution is formulated.
Key words: Riemann method, Cauchy problem, Euler–Poisson–Darboux system, nilpotent matrix.
Original article submitted 13/VI/2012;
revision submitted 13/VIII/2012.
Ekaterina A. Maksimova, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer
Science.
187