close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О локализации средних Чезаро рядов Фурье функций ограниченной n-вариации.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2011, № 8, c. 9–13
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421100123 \0078
А.Н. БАХВАЛОВ
О ЛОКАЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ЧЕЗАРО РЯДОВ ФУРЬЕ
ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ Λ-ВАРИАЦИИ
Аннотация. Рассматриваются классы периодических функций ограниченной Λ-вариации со
степенным порядком роста Λ. Показано, что в таком классе найдется непрерывная функция,
средние Чезаро ряда Фурье которой (порядка, зависящего от скорости роста Λ) не обладают
свойством локализации.
Ключевые слова: средние Чезаро, обобщенная вариация.
УДК: 517.518
Abstract. We consider classes of periodic functions of bounded Λ-variation of the power order
of growth Λ. We show that this class contains a continuous function whose Cesaro means (of a
power that depends on the order of growth Λ) of the Fourier series do not satisfy the localization
property.
Keywords: Cesaro means, generalized variation.
Введем необходимые обозначения. Положим T = [−π, π]. Через C(α) будут обозначаться
величины, зависящие лишь от α, не обязательно одинаковые в различных случаях. Для
промежутка I на прямой через Ω(I) обозначим множество всех конечных систем попарно
непересекающихся интервалов {In } таких, что In ⊂ I, через χI (t) — индикатор I, а через
f (I) — приращение функции f на I.
Скажем, что неубывающая последовательность положительных чисел Λ = {λn } зада∞
1
ет класс функций ограниченной Λ-вариации (класс Ватермана), если
λn = ∞. Далее
N
будем рассматривать только такие Λ. Частичные суммы
k=1
Положим также H = {n}∞
n=1 .
n=1
1
λk
обозначаются через Λ(N ).
Определение 1. Пусть Λ — последовательность, задающая класс Ватермана. Тогда Λ-вариацией функции f (x) по промежутку ∆ называется величина
VΛx (f ; ∆) =
sup
|f (Ik )|
{Ik }∈Ω(∆) k
λk
.
Поступила 19.04.2010
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-01-00175) и программы “Ведущие научные школы” (проект НШ-3252.2010.1).
9
10
А.Н. БАХВАЛОВ
Множество функций, для которых она конечна, называется классом ограниченной Λ-вариации на ∆ и обозначается ΛBV (∆).
Классы ΛBV были определены в одномерном случае Д. Ватерманом [1]. В этой работе
им была установлена
Теорема A. Пусть f ∈ HBV (T) — 2π-периодическая функция. Тогда в каждой точке
x ∈ T ряд Фурье f сходится к величине 12 (f (x + 0) + f (x − 0)), и сходимость равномерна на
любом отрезке, лежащем внутри интервала непрерывности функции. В каждом классе
ΛBV (T), не вложенном в HBV (T), найдется непрерывная функция, ряд Фурье которой
расходится в точке.
Напомним также определение методов суммирования Чезаро (например, [3], гл. 3, § 1).
Пусть задано α > −1, а числа Aαn определяются из формулы
∞
Aαn xn = (1 − x)−α−1 , т. е. Aαn =
n=0
(α + 1) . . . (α + n)
.
n!
∞
Тогда чезаровскими средними порядка α для ряда
uk называются величины
k=0
σnα
=
n
Aαn−k
k=0
Aαn
uk .
Если в качестве ряда выступает ряд Фурье интегрируемой функции f в точке x, то эти
величины будем обозначать через σnα (f, x). Как показано в ([3], гл. 3, § 5), средние Чезаро
ряда Фурье интегрируемой функции можно выразить формулой
1 π
f (x + t)Knα (t) dt,
σnα (f, x) =
π −π
где
n
1 α−1
α
An−k Dk (t)
Kn (t) = α
An
k=1
— ядро метода (C, α). Для этого ядра справедливо представление
1 sin n + 12 + α2 t − πα
2θα
α
α,∗
α
2
+ Kn (t) = α
= Kn (t) + Rn (t),
α+1
t
t 2
An
n 2 sin
2 sin
2
(1)
2
где θ = θ(t, α), |θ| < 1.
Ядра методов Чезаро удовлетворяют также оценкам
|Knα (t)| ≤ C(α)n−α t−(α+1) .
|Knα (t)| ≤ n + 1 ≤ 2n,
Aαn
Как известно (например, [3], гл. 3, (1.17)),
В статье [2] Д. Ватерманом было введено
∼
(2)
nα .
Определение 2. Скажем, что функция f (x) из класса ΛBV ([a, b]) непрерывна по Λ-вариации на [a, b] (f ∈ CΛV ([a, b])), если для последовательностей Λn = {λn+k }∞
k=1 выполнено
условие
lim VΛn (f ; [a, b]) = 0.
n→∞
В [2] им были получены такие результаты.
О ЛОКАЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ЧЕЗАРО
11
Теорема B. Пусть α ∈ (−1, 0). Тогда для любой функции f из класса {nα+1 }BV (T) ее
ряд Фурье всюду (C, α)-ограничен и равномерно (C, α)-ограничен внутри каждого интервала непрерывности. Если к тому же f непрерывна по {nα+1 }-вариации, то ее ряд Фурье
всюду (C, α)-суммируется к среднему арифметическому пределов слева и справа, и сходимость средних равномерна на любом отрезке, лежащем внутри интервала непрерывности
функции.
Теорема C. Пусть α ∈ (−1, 0), а Λ такова, что класс {nα+1 }BV (T) строго вложен в
ΛBV (T). Тогда существует непрерывная функция из класса ΛBV (T), (C, α)-средние ряда
Фурье которой не ограничены в некоторой точке.
Как показано в работе А.И. Саблина [4], в одномерном случае при −1 < α < 0 всякая
функция ограниченной {nα+1 }-вариации непрерывна по ней, поэтому условие непрерывности по вариации в теореме B оказалось несущественным.
Цель нашей работы — усилить теорему C, а именно, показать, что в более широком
классе не выполняется и свойство локализации средних Чезаро. Сформулируем основное
утверждение.
Теорема. Пусть α ∈ (−1, 0), а последовательность Λ такова, что класс ΛBV (T) не содержится в {nα+1 }BV (T). Тогда найдется 2π-периодическая функция f ∈ ΛBV (T), непрерывная на R и тождественно равная нулю на [−1, 1], для которой числа σnα (f, 0) не ограничены
в совокупности.
Доказательство. Пусть α ∈ (−1, 0) фиксировано, β = α + 1, а {Nk } — возрастающая последовательность натуральных чисел, которую подберем позднее. Положим νk = Nk + 1+α
2 ,
πα
а через uk и vk обозначим соответственно первый и последний нули функции sin(νk t − 2 )
на отрезке [ π2 , π]. Пусть теперь
πα
α
.
fk (t) = ANk · χ[uk ,vk ] (t) · sin νk t −
2
В силу выбора чисел uk и vk эти функции непрерывны. Нетрудно видеть, что
VΛ (fk ; T) ≤ 2AαNk
Nk
1
.
λj
j=1
С другой стороны, справедливы неравенства
Nk
C(α)
1
≤ C(α)Nk−α ≤ α .
β
j
ANk
j=1
Согласно критерию вложенности классов Ватермана друг в друга [5], из условия, что класс
ΛBV (T) не содержится в {nβ }BV (T), следует
n
1
lim
n→∞
j=1
n
j=1
λj
= 0.
1
jβ
Поэтому можно выбрать сколь угодно быстро растущую последовательность {Nk }, для
которой выполняются оценки
1
(3)
VΛ (fk ; T) ≤ 3 .
k
12
А.Н. БАХВАЛОВ
Тогда в силу полноты пространства ΛBV (T), установленной Д. Ватерманом [6], функция
∞
kfk (x) будет принадлежать классу ΛBV (T). Поскольку из (3) и равенства функf (x) =
k=1
ций fk нулю на части промежутка T следует, что maxT |fk | ≤ λk31 , то ряд, определяющий f ,
сходится равномерно. Поэтому функция f непрерывна на T = [−π, π]. Так как uk ≥ π/2,
vk ≤ π, то f (−π) = f (π) = 0. Как следствие, после 2π-периодического продолжения с
отрезка [−π, π] функция f будет непрерывна на всей прямой.
α (f , 0). Согласно (1) имеем
Оценим σN
p
p
2αAαNp vp sin νp t − πα
1 vp sin2 νp t − πα
α
2
2
σNp (fp , 0) =
α+1 dt +
2 θ(t, α) dt.
π up
πNp up
2 sin t
2 sin t
2
2
Второе слагаемое стремится к нулю с ростом Np , что сразу видно, поскольку AαNp /Np → 0,
а подинтегральные функции равномерно ограничены на [π/2, π]. В первом слагаемом
vp
sin2 νp t − πα
1 vp
1 vp cos (2νp t − πα)
dt
2
dt
=
−
dt.
α+1
t α+1
2 up 2 sin t α+1 2 up
up
2 sin 2t
2
sin
2
2
Последний интеграл стремится к нулю по теореме о среднем, а
vp
π
vp
dt
dt
dt
≥
−−−→
.
α+1 p→∞
α+1
t α+1
t
t
π/2
up
up
2 sin 2
Получаем, что существует величина c0 = c0 (α) > 0, для которой
α
(fp , 0) ≥ c0
σN
p
(4)
при достаточно больших Np .
Далее, если N1 , . . . , Np−1 уже заданы, то средние Чезаро функции gp (t) =
p−1
kfk (t) схо-
k=1
дятся к нулю в нуле (например, по теореме B), т. е. найдется такое n, что для любого Np > n
выполняется оценка
α
(gp , 0)| ≤ c0 .
(5)
|σN
p
α (f , 0) при k > p. Учитывая вторую из оценок (2),
Наконец, рассмотрим величину σN
k
p
замечаем, что
C(α)AαNk π dt
Np |α|
α
≤ C1 (α)
.
|σNp (fk , 0)| ≤
β
(Np )α
Nk
π/2 t
Выберем теперь по индукции {Nk } так, чтобы выполнялись условия (3), (5) и неравенство
1
c0
Nk |α|
,
.
(6)
< min
Nk+1
8C1 (α) 2
Проверим, что тогда построенная функция f удовлетворяет условиям теоремы. Действительно, как отмечалось выше, она принадлежит классу ΛBV (T) в силу (3). Для любого
натурального p справедлива оценка
α
(f, 0)
σN
p
≥
α
pσN
(fp , 0)
p
−
α
|σN
(gp , 0)|
p
−
∞
k=p+1
α
k|σN
(fk , 0)|.
p
О ЛОКАЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ЧЕЗАРО
13
Здесь при k > p в силу (6) имеют место оценки
|α|
k−1
Nj |α| c0 1 k−p
Np
α
≤ C1 (α)
≤
.
|σNp (fk , 0)| ≤ C1 (α)
Nk
Nj+1
4 2
j=p
Учитывая их, а также неравенства (5) и (4), при достаточно больших p получаем
k−p
∞
c0 1
(p + 2)c0
pc0
α
k
= (p − 1)c0 −
≥
.
σNp (f, 0) ≥ pc0 − c0 −
4
2
4
2
k=p+1
Литература
[1] Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation, Studia math.
44 (2), 107–117 (1972).
[2] Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of Λ-bounded variation, Studia math. 55 (1),
87–95 (1976).
[3] Зигмунд А. Тригонометрические ряды, Т. 1 (Мир, М., 1965).
[4] Саблин А.И. Λ-вариация и ряды Фурье, Изв. вузов. Матем., № 10, 66–68 (1987).
[5] Perlman S., Waterman D. Some remarks on functions of Λ-bounded variation, Proc. Amer. Math. Soc. 74 (1),
113–118 (1979).
[6] Waterman D. On Λ-bounded vаriation, Studia math. 57 (1), 33–45 (1976).
А.Н. Бахвалов
доцент, механико-математический факультет,
Московский государственный университет,
ГСП-1, Ленинские горы, г. Москва, 119991,
e-mail: [email protected]
A.N. Bakhvalov
Associate Professor, Faculty of Mathematics and Mechanics,
Moscow State University,
Leninskie gory GSP-1, Moscow, 119991 Russia,
e-mail: [email protected]
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
152 Кб
Теги
средние, фурье, функции, рядом, локализации, чезаро, вариаций, ограниченной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа