close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О методе Римана решения задачи Коши.

код для вставкиСкачать
2005
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (513)
УДК 517.955
А.Н. МИРОНОВ
О МЕТОДЕ РИМАНА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
Рассмотрим уравнение [1]{[3]
L(u) uxxyy + a21uxxy + a12uxyy + a11 uxy + a20 uxx + a02 uyy + a10 ux + a01 uy + a00 u = f; (1)
где aij 2 C (i;j) , f 2 C , и два его трехмерных аналога. Класс C (rk;l+)s означает
существование и
непрерывность всех производных, определяемых операторами @ [email protected] @ys (r = 0; : : : ; k; s =
0; : : : ; l). В частности, к виду (1) относится уравнение Буссинеска{Лява
uttxx + uxx ; utt = 0;
описывающее продольные волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов инерции [1].
В данной работе для этого уравнения и его трехмерных аналогов строятся формулы решения
задачи Коши в терминах функции Римана.
Следуя [2], определим функцию Римана R = R(x; y; ; ) как решение интегрального уравнения
Z y
v(x; y) ; [a21 (x; ) ; (y ; )a20 (x; )]v(x; )d ;
1.
;
+
Z
x
Z
xZ y
[a12 (; y) ; (x ; )a02 (; y)]v(; y)d +
[a11 (; ) ; (x ; )a01 (; ) ; (y ; )a10 (; ) +
+ (x ; )(y ; )a00 (; )]v(; )dd = 1: (2)
Решение (2) существует и единственно ([4], сc. 154, 164). Функция Римана использовалась в [2]
для построения решения задачи Гурса.
Дифференцируя (2), убеждаемся, что v(x; y) удовлетворяет сопряженному с (1) уравнению
L (v) vxxyy ; (a21 v)xxy ; (a12 v)xyy + (a11 v)xy + (a20 v)xx +
+ (a02 v)yy ; (a10 v)x ; (a01 v)y + a00v = 0: (3)
Справедливо тождество
RL(u) (Ruxy )xy ; (Muy )xy ; (Nux )xy + (Puy )y + (Qux )x + (Su)xy ; (Fu)y ; (Gu)x ; (4)
M = Rx ; a12 R; N = Ry ; a21 R; P = Mx + a02 R;
Q = Ny + a20R; S = Rxy ; (a21 R)x ; (a12 R)y + a11 R;
F = Sx + (a02R)y ; a01 R; G = Sy + (a20 R)x ; a10 R:
В тождестве (4) R зависит
от x, y, , , а коэффициенты aij | от x, y. При этом u(x; y) |
(2
;
2)
любая функция из C . Соотношение (4) можно проверить непосредственно, учитывая, что R
удовлетворяет уравнению (3).
34
Из (2) следуют тождества
M (x; y; x; y) N (x; y; x; y) S (x; y; x; y) P (x; y; ; y) (5)
Q(x; y; x; ) F (x; y; ; y) G(x; y; x; ) 0:
Запишем (4) в дивергентной форме
1 @W2
RL(u) @W
(6)
@x + @y ;
W1 = 12 (Ruxy )y ; 21 (Muy )y ; 12 (Nux )y + Qux + 12 (Su)y ; Gu;
W2 = 12 (Ruxy )x ; 12 (Muy )x ; 21 (Nux )x + Puy + 12 (Su)x ; Fu:
Рассмотрим треугольную область D плоскости (; ), ограниченную характеристиками =
x0 , = y0 , x0 > 0, y0 > 0, и отрезком кривой : = (), 0 () < 0, класса C 3 . Для определенности
полагаем y0 = (0), (x0) = 0.
Регулярным в области G решением уравнения, как обычно, назовем решение, непрерывное
в G вместе со всеми входящими в уравнение производными. В случае (1) непрерывными должны
быть u, ux, uy , uxx, uxy , uyy , uxxy , uxyy , uxxyy .
Сформулируем задачу Коши для уравнения (1):
D
(1)
найти регулярное в
решение уравнения
, удовлетворяющее граничным значениям
@u = u (); @ 2 u = u ( ); @ 3 u = u ( ):
u = u0(); @n
(7)
1
@n2 2
@n3 3
q
Здесь ~n | единичный вектор внешней нормали, ~n = (0 ; ;1)=, = 1 + 0 2(x) ([5], c. 254),
u0 2 C 3 [0; x0 ], u1 2 C 2[0; x0 ], u2 2 C 1[0; x0 ], u3 2 C [0; x0 ].
Возьмем точку (x; y) из D. Пусть y1 = (x), y = (x1 ); Dxy и xy | части области D и
кривой соответственно, лежащие между характеристиками = x, = y. Поменяв в (6) ролями
переменные с x, с y, проинтегрируем (6) по (; ) в области Dxy . Использовав формулу Грина
([6], c. 236), получим
ZZ
Dxy
Rfd d =
Z
y
y1
W
Z
x
Z
=x d + x1 W =y d + xy W1 d ; W2 d:
1
2
(8)
Рассмотрим первый интеграл в правой части (8):
=y
Z y
Z y
;
W1 =x d = 12 Ru ; 12 Mu ; 12 Nu + 12 Su +
Qu ; Gu =x d:
y
y
=x =y
В силу (5) имеем M (x; y; x; y) N (x; y; x; y) S (x; y; x; y) Q(x; ; x; y) G(x; ; x; y) 0.
Следовательно,
Z y
W1 =xd = 12 Ru (x; y; x; y) ; 12 Ru (x; y1 ; x; y) +
y
+ 12 Mu (x; y1; x; y) + 12 Nu (x; y1; x; y) ; 12 Su(x; y1; x; y):
Аналогично получаем
Z x
W2 =y d = 12 Ru (x; y; x; y) ; 21 Ru (x1 ; y; x; y) +
x
+ 12 Mu (x1; y; x; y) + 21 Nu (x1 ; y; x; y) ; 12 Su(x1; y; x; y):
1
1
1
1
35
1
Формула (8) принимает вид
Rfd d = u (x; y) ; 12 Ru (x; y1; x; y) ;
ZZ
Dxy
; 12 Ru (x1 ; y; x; y) + 21 Mu (x; y1 ; x; y) + 21 Nu (x; y1; x; y) ;
; 12 Su(x; y1 ; x; y) + 21 Mu (x1; y; x; y) + 12 Nu (x1 ; y; x; y) ;
Z
1
; 2 Su(x1 ; y; x; y) + W1d ; W2d: (9)
xy
В (9) учтено, что R(x; y; x; y) 1.
Переписав (9) в виде
uxy (x; y) = F (x; y)
(10)
и проинтегрировав (10) по x и y в области Dxy , получаем решение задачи Коши в терминах
функции Римана
u(x; y) = u(x1 ; y) +
Z
x
Z
x
y
Z
(11)
Таким образом, получен аналог известной формулы, дающей решение задачи Коши для уравнения uxy + aux + buy + cu = f ([7], c. 67).
Формулa (11) содержит заданные на значения u, ux, uy , uxx, uxy , uyy , uxxy , uxyy , которые
можно определить из (7). Действительно, найдем u00, u1 , u000 , u01, u2 , u0000 , u001 , u02, u3 , выраженные
через значения производных функции u на кривой до третьего порядка включительно:
@u + 0 @u = u0 ;
@x
@y 0
0
@u ; 1 @u = u ;
@x @y 1
@ 2 u + 20 @ 2 u + 0 2 @ 2 u = u00 ;
00 @u
+
@y @x2
@[email protected]
@y2 0
00 ; 0 0 @u + 0 @u + 0 @ 2 u + 0 2 ; 1 @ 2 u ; 0 @ 2 u = u0 ;
2 @x 2 @y @x2
@[email protected] @y2 1
0 2 @ 2 u ; 20 @ 2 u + 1 @ 2 u = u ;
2 @x2 2 @[email protected] 2 @y2 2
x1
ux (; ())d +
x1
d
()
F (; )d:
2
2
@ 3 u + 30 @ 3 u + 30 2 @ 3 u + 03 @ 3 u = u000 ;
00 @ u
0 00 @ u
+
3
+
3
+
000 @u
@y
@[email protected]
@y2 @x3
@x2 @y
@[email protected]
@y3 0
(00 ; 0 0)0 ; 20 (00 ; 00) @u + 00 ; 20 2 @u + 2 (00 ; 0 0)0 @ 2u +
3
@x
3 @y
2
@x2
2
0
00
0
0
2
0
0
00
2
0
3
@ u + (2 ; ) @ u + @ u +
+ 3 +22 (1 ; ) @[email protected]
2
@y2 @x3
02
3
0 02
@ 3 u ; 0 2 @ 3 u = u00 ;
+ 2 ; 1 @[email protected] [email protected] + ( ; 2) @[email protected]
2
@y3 1
20 (00 ; 0 0) @ 2 u ; 2(00 ; 20 0) @ 2 u ; 20 @ 2 u + 02 @ 3u +
3
@x2
3
@[email protected] 3 @y2 2 @x3
3
2
0
0
3
0
@ 3 u + 0 @ 3 u = u0 ;
+ ;22 @[email protected] [email protected] ; 2 2; 1 @[email protected]
2
2 2 @y 3
36
(12)
0 3 @ 3 u ; 3 0 2 @ 3 u + 3 0 @ 3 u ; 1 @ 3 u = u :
3 @x3 3 @[email protected] 3 @[email protected] 3 @y3 3
Определитель данной системы равен (1 + 02 )5 > 0, поэтому по условиям (7) определяются все
требуемые для (11) функции.
Кроме того, из системы (12) следует, что формула (11) дает решение задачи Коши с условиями (7). Действительно, по построению формулы (11) функция u принимает определяемые
из (7) значения u, ux, uy , uxx, uxy , uyy , uxxy , uxyy на кривой . Это позволяет утверждать, что
выполнены первые три условия из (7). Дифференцирование u0, u1 позволяет определить непрерывные uxxx, uyyy . Но тогда на известны uxxx, uxxy , uxyy , uyyy , т. е. выполняется и четвертое
условие из (7).
Исследуем вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши (1), (7). Введем
обозначения для производных искомой функции uxxy = v21, uxyy = v12 , uxx = v20, uxy = v11,
uyy = v02, ux = v10, uy = v01 и определяемых данными Коши их граничных значений
uxxy j = '21 (x); uxyy j = 12 (y); uxx j = '20 (x); uxy j = '11 (x);
(13)
uyy j = 02(y); uxj = '10 (x); uy j = '01 (x):
Из (1) и (13) получаем систему интегральных уравнений
Z y
u(x; y) = u0(x) +
v01 (x; )d;
(Zx)
y
v01(x; y) = '01 (x) +
v02 (x; )d;
Zy(x)
v10(x; y) = '10 (x) +
v11 (x; )d;
Z x(x)
v02(x; y) = 02 (y) + ; v12 (; y)d;
Z y (y)
v11(x; y) = '11 (x) +
v12 (x; )d;
(14)
Zy(x)
v20(x; y) = '20 (x) +
v21 (x; )d;
Z x(x)
v12(x; y) = 12 (y) + ; (f ; a21 v21 ; a12 v12 ; a20 v20 ;
(y)
;a11v11 ; a02v02 ; a10v10 ; a01v01 ; a00u)(; y)d;
Z y
v21(x; y) = '21 (x) + (f ; a21 v21 ; a12 v12 ; a20 v20 ;
(x)
;a11v11 ; a02v02 ; a10v10 ; a01v01 ; a00u)(x; )d:
Методом последовательных приближений ([8], с.77{79) могут быть доказаны существование
и единственность решения системы (14) в области D в классе непрерывных функций. Ясно,
что (14) является следствием уравнения (1) и данных Коши. Докажем обратное. Из первого
уравнения (14) uj = u0(x). Продифференцируем это уравнение по y: uy (x; y) = v01 (x; y). Из
второго уравнения v01j = '01 (x), uyy = v01y = v02. Четвертое и седьмое уравнения дают v02j =
02 (y ), uxyy = v02x = v12 , v12 j = 12 (y ). Продифференцируем первое уравнение (14) по x
Z y
ux(x; y) = u00(x) +
v01x (x; )d ; v01 (x; (x))0 (x):
(x)
Но u00 (x) = ux(x; y)j + uy (x; y)j 0(x), поэтому
Z y
ux (x; y) = '10 (x) +
v01x (x; )d:
(15)
(x)
1
1
37
Подставим в (15) v01x
ux (x; y) = '10 (x) +
Z
y
(x)
'01x (x) +
+
Z
(x)
v02x (x; 1 )d1 ; v02 (x; (x)) (x) d =
0
Z
= '10 (x) +
y
(x)
'11 (x) +
Z
(x)
v12 (x; 1 )d1 d =
Z
y
= '10(x) + (x) v11(x; )d = v10 (x; y):
Очевидно, v10j = '10 (x). Из третьего и пятого уравнений (14) uxy = v10y = v11, v11j = '11 (x).
Далее
Z y
uxx(x; y) = '010(x) +
v11x(x; )d ; v11 (x; (x))0 (x) =
(x)
= '20 (x) +
y
Z
(x)
= '20 (x) +
'11 (x) +
Z
0
y
Z
(x)
'21 (x) +
(x)
v12x (x; 1 )d1 ; v12 (x; (x)) (x) d =
0
Z
(x)
(f ; a21v21 ; a12v12 ; a20v20 ;
; a11v11 ; a02v02 ; a10v10 ; a01v01 ; a00u)(x; 1 )d1 d =
Z
y
= '20 (x) + (x) v21 (x; )d = v20(x; y); v20j = '20 (x):
Шестое и восьмое уравнения системы дают uxxy = v20y = v21, v21j = '21 (x). Продифференцировав восьмое уравнение по y, получаем уравнение (1). Кроме того, функция u удовлетворяет
условиям (13). Как было показано выше, (13) с учетом (12) позволяет утверждать, что
@u = u (x); @ 2 u = u (x); @ 3 u = u (x):
u = u0 (x); @n
1
@n2 2
@n3 3
Таким образом, система (14) эквивалентна задаче Коши. Следовательно, справедлива
aij 2 C (i;j) (D) f 2 C (D) u0 2 C 3 [0; x0 ] u1 2 C 2 [0; x0 ] u2 2 C 1[0; x0 ] u3 2
3
C [0; x0 ] 2 C [0; x0 ]
(1) (7)
Рассмотрим теперь уравнение
Теорема. Если
,
,
,
,
, то решение задачи Коши
,
,
,
существует и единственно.
2.
L1(u) 2 X
1
X
k+l+m
aklm (x; y; z) @[email protected] @yl @zum = f; a221 1;
(16)
k;l=0 m=0
где aklm 2 C (k;l;m), f 2 C . Классr+sC+t(k;l;mr) означает
существование и непрерывность производных,
определяемых операторами @ [email protected] @ys @zt (r = 0; : : : ; k; s = 0; : : : ; l; t = 0; : : : ; m). Формула
решения задачи Гурса для (16) получена в [9].
Функцией Римана для (16) R(x; y; z; ; ; ) называется решение интегрального уравнения [9]
Z x
v(x; y; z) ; f[a121 ; (x ; )a021 ]vg(; y; z)d ;
;
y
Z
f[a211 ; (y ; )a201 ]vg(x; ; z)d ;
+
Z
xZ y
z
Z
[a220v](x; y; )d +
f[a111 ; (y ; )a101 ; (x ; )a011 +
38
+ Z(x ; )(y ; )a001 ]vg(; ; z)d d +
x z
+ f[a120 ; (x ; )a020 ]vg(; y; )d d +
Z
+
;
Z
yZ z
f[a210 ; (y ; )a200 ]vg(x; ; )d d ;
Z xZ yZ z
f[a110 ; (y ; )a100 ; (x ; )a010 +
+ (x ; )(y ; )a000 ]vg(; ; )d d d = 1: (17)
Решение (17) существует и единственно ([4], c. 180).
Далее используются обозначения
A100 = Rx ; a121R; A010 = Ry ; a211 R; A001 = Rz ; a220 R;
A200 = (A100 )x + a021 R; A110 = (A100 )y ; (a211 R)x + a111R;
A101 = (A100 )z ; (a220 R)x + a120 R; A020 = (A010 )y ; (a211 R)z + a201 R;
A011 = (A010 )z ; (a220 R)y + a210 R; A210 = (A110 )x + (a021R)y ; a011 R;
A201 = (A101 )x + (a021R)z ; a020 R; A120 = (A110 )y + (a201 R)x ; a101 R;
A111 = (A110 )z ; (a220 R)xy + (a210 R)x + (a120R)y ; a110 R;
A021 = (A011 )y + (a201 R)z ; a200 R;
A220 = (A210 )y + (a201 R)xx ; (a101 R)x + a001 R;
A211 = (A111 )x + (a021 R)yz ; (a011 R)z ; (a020 R)y + a010R;
A121 = (A111 )y + (a201 R)xz ; (a101 R)z ; (a200 R)x + a100 R:
Из интегрального уравнения (17) получаем тождества
A100 (x; y; z; x; y; z) A010 (x; y; z; x; y; z) A001 (x; y; ; x; y; z) A200 (; y; z; x; y; z) A110(x; y; z; x; y; z) A101(x; y; ; x; y; z) A020 (x; ; z; x; y; z) A011 (x; y; ; x; y; z) A210 (; y; z; x; y; z) A201(; y; ; x; y; z) A120(x; ; z; x; y; z) A111 (x; y; ; x; y; z) A021(x; ; ; x; y; z) A220 (; ; z; x; y; z) A211 (; y; ; x; y; z) A121(x; ; ; x; y; z) 0; R(x; y; z; x; y; z) 1:
Кроме того, из (17) следует, что R удовлетворяет сопряженному с (16) уравнению
2 X
1
k+l+m
X
(;1)k+l+m+1 @ (aklm v) = 0:
(18)
@xk @yl @zm
k;l=0 m=0
Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости тождества
1 + @W2 + @W3 ;
RL1(u) @W
@x
@y
@z
12 @B13
W1 = @B
@y + @z ; A021 ux + A121 u;
12 @B23
W2 = @B
@x + @z ; A201 uy + A211 u;
13 + @B23 + A u;
W3 = @B
220
@x
@y
B12 = 16 Hz ; 12 A001 uxy + 12 A101 uy + 21 A011 ux ; 21 A111 u;
39
(19)
B13 = 16 Hy + 12 A020 ux ; 12 A120 u;
B23 = 16 Hx + 12 A200 uy ; 12 A210 u;
H = Ruxy ; A100 uy ; A010 ux + A110 u:
В тождестве (19) R зависит от (x; y; z; ; ; ), а коэффициенты aklm | от (x; y; z).
В дальнейшем используется схема рассуждений статьи [10].
Пусть S : = (; ) | поверхность в пространстве (; ; ) класса C 4. Потребуем, чтобы эта
поверхность в каждой своей точке имела касательную плоскость,
не0 параллельную ни одной из
0
координатных осей. Для определенности можно положить < 0, < 0.
Проведем через точку M (x; y; z) плоскости = x, = y, = z. Пусть указанные плоскости
пересекают поверхность S по кривым BC , CA и AB соответственно. Плоскости = x, = y,
= z и поверхность S определяют область D, граница которой состоит из двумерных многообразий AMC , BCM , BMA и ACB . Ориентацию D считаем положительной (ориентацию в
пространстве можно связать с направлением внешней нормали к границе области).
Задача Коши:
(16)
сти
найти регулярное решение уравнения
S условиям
, удовлетворяющее на поверхно-
@u = u (; ); @ 2 u = u (; );
uS = u0 (; ); @n
1
@n2 S 2
S
3
4
@ u = u (; ); @ u = u (; ):
(20)
@n3 S 3
@n4 S 4
Здесь ~n1 | единичный вектор внешней нормали к поверхности S , u0 2 C 4, u1 2 C 3, u2 2 C 2,
u3 2 C , u4 2 C .
Поменяв в (19) ролями переменные с x, с y, с z, интегрируем (19) по , , в D.
Применяя формулу Гаусса{Остроградского ([6], c.241), получим
ZZZ
D
Rf d d d =
ZZ
@D
W1 d ^ d + W2 d ^ d + W3 d ^ d:
(21)
Здесь \^" означает внешнее умножение дифференциальных форм. Обозначим правую часть
(21) через I . Заменим интеграл по @D суммой интегралов по ее составляющим ACB , AMC ,
BCM и ABM . При этом учтем тождества (18). Получим
ZZ ZZ @B
@B
12 @B13
12 @B23
I=
+ @ d ^ d +
+ @ d ^ d +
@
@
BCM
AMC
ZZ ZZ
@B
13 @B23
+
@ + @ d ^ d +ACB W1 d ^ d + W2 d ^ d + W3 d ^ d:
ABM
По формуле Грина ([6], c. 236) интегралы по плоским областям AMC , BCM и ABM сводятся
к однократным интегралам по замкнутым контурам
I=
+
Z
ABM
Z
BCM
B12 d ; B13 d +
B13d ; B23d +
ZZ
ACB
Z
AMC
B23 d ; B12 d +
W1 d ^ d + W2 d ^ d + W3d ^ d:
40
Вычисляя в полученной формуле криволинейные интегралы по отрезкам прямых, запишем (21)
в виде
ZZZ
Rfd d d = u M ; 13 H A ; 31 H B ; 13 H C +
D
Z
Z
+ B12d ; B13d + B23d ; B12d +
BC Z
CAZZ
AB
ACB
+ B13d ; B23d +
W1 d ^ d + W2 d ^ d + W3 d ^ d: (22)
При получении (22) учтены тождества (18).
Запишем (22) в виде
uxy (x; y; z) = F (x; y; z);
(23)
а затем проинтегрируем (23) по x, y в проекции области D на плоскость (x; y). В результате
получим функцию u, являющуюся решением задачи Коши.
Формула (23) содержит значения частных производных решения u по x, y, z до четвертого порядка включительно, вычисленные на ABC . Эти производные надо определить через функции ui , i = 1; 4, входящие в (20). Будем рассуждать как в работе [11]. Для удобства переобозначим x = x1, y = x2 , z = x3. Пусть поле направлений задано вектором
(n1(1 ; 2); n2 (1; 2); n3 (1; 2 )). Введем связанную с поверхностью ABC систему координат
xi = xi (1 ; 2 ) + ni(1; 2 )3, i = 1; 3. Поле направлений по условию не касательно к ABC ,
следовательно, существует обратное преобразование i = i (x1; x2 ; x3 ) класса C 4 в окрестности поверхности ABC ([12], c.495). Последовательно находим производные решения u =
U (1 (x1 ; x2 ; x3 ); 2 (x1 ; x2 ; x3 ); 3(x1 ; x2 ; x3 )) по xi на поверхности ABC . Подставляя эти производные в (23), получим решение задачи Коши.
Перейдем к рассмотрению уравнения
n
3.
2
X
L2(u) k;l;m=0
k+l+m
aklm (x; y; z) @[email protected] @yl @zum = f; a222 1;
(24)
где aklm 2 C (k;l;m), f 2 C . Задача Коши для него рассматривается по аналогии с уравнением
(16).
Функцией Римана для уравнения (24) R(x; y; z; ; ; ) называется решение интегрального
уравнения
Z x
v(x; y; z) ; f[a122 ; (x ; )a022 ]vg(; y; z)d ;
;
y
Z
f[a212 ; (y ; )a202 ]vg(x; ; z)d ;
Z
xZ y
z
Z
f[a221 ; (z ; )a220 ]vg(x; y; )d ;
f[a112 ; (y ; )a102 ; (x ; )a012 +
+ (x ; )(y ; )a002 ]vg(; ; z)d d +
Z xZ z
+ f[a121 ; (z ; )a120 ; (x ; )a021 +
+ (x ; )(z ; )a020 ]vg(; y; )d d +
Z yZ z
+ f[a211 ; (z ; )a210 ; (y ; )a201 +
+ (y ; )(z ; )]vg(x; ; )d d ;
;
41
Z
xZ yZ z
f[a111 ; (z ; )a110 ; (y ; )a101 ; (x ; )a011 +
+ (y ; )(z ; )a100 + (x ; )(z ; )a010 + (x ; )(y ; )a001 +
+ (x ; )(y ; )(z ; )a000 ]vg(; ; )d d d = 1: (25)
;
Решение (25) существует и единственно ([4], c. 180).
Введем обозначения
A100 = Rx ; a122R; A010 = Ry ; a212 R; A001 = Rz ; a221 R;
A200 = (A100 )x + a022 R; A020 = (A010 )y + a202 R;
A002 = (A001 )z + a220R; A110 = (A010 )x ; (a122 R)y + a112 R;
A101 = (A100 )z ; (a221 R)x + a121 R; A011 = (A001 )y ; (a212 R)z + a211 R;
A210 = (A110 )x + (a022R)y ; a012 R; A201 = (A101 )x + (a022 R)z ; a021 R;
A120 = (A110 )y + (a202 R)x ; a102 R; A102 = (A101 )z + (a220R)x ; a120 R;
A021 = (A011 )y + (a202 R)z ; a201 R; A012 = (A011 )z + (a220 R)y ; a210 R;
A111 = (A110 )z ; (a221 R)xy + (a211 R)x + (a121 R)y ; a111 R;
A220 = (A120 )x + (a022 R)yy ; (a012 R)y + a002 R;
A202 = (A201 )z + (a220 R)xx ; (a120 R)x + a020R;
A022 = (A012 )y + (a202 R)zz ; (a201 R)z + a200 R;
A211 = (A111 )x + (a022 R)yz ; (a021 R)y ; (a012 R)z + a011 R;
A121 = (A111 )y + (a202 R)xz ; (a201 R)x ; (a102 R)z + a101 R;
A112 = (A111 )z + (a220 R)xy ; (a210 R)x ; (a120 R)y + a110 R;
A122 = (A121 )z + (a220R)xyy ; (a210 R)xy ; (a120 R)yy + (a200 R)x + (a110 R)y ; a100 R;
A212 = (A112 )x + (a022 R)yzz ; (a021 R)yz ; (a012 R)zz + (a020 R)y + (a011 R)z ; a010 R;
A221 = (A211 )y + (a202R)xxz ; (a201 R)xx ; (a102 R)xz + (a101 R)x + (a002 R)z ; a001 R:
Из интегрального уравнения (25) следуют тождества
A100 (x; y; z; x; y; z) A010 (x; y; z; x; y; z) A001 (x; y; ; x; y; z) A200 (; y; z; x; y; z) A020(x; ; z; x; y; z) A002(x; y; ; x; y; z) A110 (x; y; z; x; y; z) A101 (x; y; z; x; y; z) A011(x; y; z; x; y; z) A210 (; y; z; x; y; z) A201(; y; z; x; y; z) A120 (x; ; z; x; y; z) A102(x; y; ; x; y; z) A021(x; ; z; x; y; z) A012 (x; y; ; x; y; z) A111 (x; y; z; x; y; z) A220(; ; z; x; y; z) A202(; y; ; x; y; z) A022(x; ; ; x; y; z) A211 (; y; z; x; y; z) A121(x; ; z; x; y; z) A112(x; y; ; x; y; z) A122(x; ; ; x; y; z) A212 (; y; ; x; y; z) A221 (; ; z; x; y; z) 0; R(x; y; z; x; y; z) 1:
Из (25) также следует, что R удовлетворяет сопряженному с (24) уравнению
2
k+l+m (aklm v )
X
(;1)k+l+m @
= 0:
k;l;m=0
@xk @yl @zm
Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости тождества
1 @W2 @W3
RL2(u) @W
@x + @y + @z ;
42
(26)
12 @C13
W1 = @C
@y + @z + A022 ux ; A122 u;
12 @C23
W2 = @C
@x + @z + A202 uy ; A212 u;
13 + @C23 + A u ; A u;
W3 = @C
220 z
221
@x
@y
C12 = 61 Kz + 12 (A002 uxy ; A102 uy ; A012 ux + A112 u);
C13 = 16 Ky + 21 (A020 uxz ; A120 uz ; A021 ux + A121 u);
C23 = 16 Kx + 12 (A200 uyz ; A210 uz ; A201 uy + A211u);
K = Ruxyz ; A100 uyz ; A010uxz ; A001 uxy + A110 uz + A101 uy + A011 ux ; A111 u:
Пусть D | область в R3 из п.2, S : = (; ) | поверхность класса C 5.
Задача Коши:
сти
S условиям
найти регулярное решение уравнения
(24)
, удовлетворяющее на поверхно-
@u = u (; ); @ 2 u = u (; );
uS = u0 (; ); @n
1
@n2 S 2
S
3
4
@ u = u (; ); @ u = u (; ); @ 5 u = u (; ):
@n3 S 3
@n4 S 4
@n5 S 5
Здесь u0 2 C 5, u1 2 C 4, u2 2 C 3, u3 2 C 2, u4 2 C 1, u5 2 C .
Поменяв в (26) ролями переменные с x, с y, с z, интегрируем (26) по , , в области D.
Проводя вычисления по аналогии с п.2, получим
ZZZ
Rfd d d = u M ; 13 K A ; 31 K B ; 13 K C +
D
Z
Z
+ C12d ; C13d + C23d ; C12d +
BC Z
CAZZ
AB
ACB
+ C13d ; C23d +
Записывая (27) в виде
W1 d ^ d + W2 d ^ d + W3d ^ d: (27)
uxyz (x; y; z) = F (x; y; z );
(28)
а затем интегрируя (28) по x, y, z в области D, получим функцию u, являющуюся решением
задачи Коши.
Формула (28) содержит значения частных производных решения u по x, y, z до пятого порядка включительно, вычисленные на ABC . Эти производные вычисляются аналогично случаю
задачи Коши (16), (20).
Литература
1. Солдатов А.П., Шхануков М.Х.
// ДАН СССР. { 1987. {
Т.297. { Є3. { С.547{552.
2. Уткина Е.А.
// Ред. журн.
\Дифференц. уравнения". { Минск, 1999. { 13 с. { Деп. в ВИНИТИ 28.06.99, Є 2059-B99.
3. Жегалов В.И., Миронов А.Н.
{ Изд-во Казанск. матем. о-ва, 2001. { 226 c.
Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Са-
марского для псевдопараболических уравнений высокого порядка
Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка
Дифференциальные уравнения со старшими частными про-
изводными.
43
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Мюнтц Г.
Ч.1. { Л.{М.: Гостехтеориздат, 1934. { 320 с.
Владимиров В.С.
{ 2-е. изд. { М.: Наука, 1971. { 512 с.
Зорич В.А.
Ч.2. { М.: Наука. { 1984. { 640 с.
Бицадзе А.В.
{ М.: Наука, 1981. {
448 с.
Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М.
{ М.: Высш. школа, 1970. { 710 с.
Жегалов В.И., Уткина Е.А.
// Изв. вузов. Математика. { 2001. { Є11. { С. 77{81.
Севастьянов В.А.
// Изв. вузов. Математика. { 1997. { Є 5. { С. 69{73.
Севастьянов В.А.
// Дифференц. уравнения. { 1998. { Т. 34.
{ Є 12. { С. 1706{1707.
Зорич В.А.
Ч.1. { М.: Наука. { 1981. { 544 с.
Интегральные уравнения.
Уравнения математической физики.
Математический анализ.
Некоторые классы уравнений в частных производных.
Уравнения в частных производных матема-
тической физики.
Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей
производной
Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего
порядка
Об одном случае задачи Коши
Математический анализ.
Елабужский государственный
Поступила
25.06.2002
педагогический институт
44
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
39
Размер файла
162 Кб
Теги
решение, римана, метод, кошик, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа