close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О числе решений одного уравнения с квадратичными формами.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №17(136). Вып. 28 51
УДК 511.512
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ
С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ
Л.Н. Куртова
Белгородский государственный университет,
ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения c квадратичными формами. При доказательстве используется оценка для суммы сумм Клостермана.
Ключевые слова: аддитивные задачи, число решений, асимптотическая формула, суммы
Клостермана.
1. Введение. В 1927 г. А.Е. Ингам поставил и решил элементарным методом задачу
получения асимптотической формулы для числа решений диофантового уравнения:
x1 x2 − x3 x4 = 1,
x1 x2 ≤ n.
(1)
Эта задача получила название аддитивной проблемы делителей Ингама.
В 1931 году Т. Эстерман [1] для числа решений J(n) уравнения (1) круговым методом
вывел асимптотическую формулу
J(n) = nP2 (ln n) + R(n) ,
где P2 (t) – многочлен степени 2, а R(n) = O(n11/12 ln17/3 n).
Оценка остаточного члена этой формулы уточнялась многими авторами.
Так в 1979 году Д.И. Исмоилов, развивая метод Т. Эстермана, доказал, что R(n) =
O(n5/6+ε ), где ε > 0 – сколь угодно малая постоянная. Практически одновременно с
Исмоиловым другим методом ту же оценку остатка получил Д.Р. Хиз-Браун.
В 2006 году Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков [2] вывели новую оценку для R(n):
R(n) ≪ n3/4 ln4 (n).
В 1982 году Ж.-М. Дезуйе и Х. Иванец [3], использую оценку суммы сумм Клостермана, доказали, что R(n) = O(n2/3+ε ).
В математической литературе известны многочисленные аналоги данной задачи.
Нас заинтересовал
один из таких аналогов. Пусть d – отрицательное бесквадратное
√
число, F = Q( d) – мнимое квадратичное поле, δF – дискриминант поля F , Qi (m̄) =
1 t
m̄ Ai m̄ – бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы
2
с матрицами Ai , det Ai = −δF , i = 1, 2. Пусть
X
I(n, h) =
e−(Q1 (m̄)+Q2 (k))/n .
(2)
Q1 (m̄)−Q2 (k)=h
52 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №17(136). Вып. 28
Ставится вопрос о получении асимптотической формулы для I(n, h). Данная задача
рассматривалась в статье [4], в которой выведена асимптотическая формула для числа решений уравнения в общем случае. В настоящей работе изучается один частный
случай, для которого удается улучшить оценку остатка.
Теорема. Пусть ε – произвольное положительное число, δF – дискриминант поля
F , δF = −p, p ≥ 3 – простое число, n ∈ N, h – натуральное число, такое, что h ≡ 0
(mod p), h 6 nε . Справедлива асимптотическая формула
q
∞
2π 2 n X −4 X −2πi hlq
I(n, h) =
q
e
G1 (q, l, 0)G2 (q, −l, 0) + O(n7/12+ε ) ,
p q=1
l=1,
(3)
(l,q)=1
где Gi (q, l, 0) =
X
exp(2πilQi (m)/q) (i = 1, 2) – двойные суммы Гаусса и сумма
m (mod q)
ряда положительна.
Доказательство проводится круговым методом с применением оценок А.Вейля для
суммы Клостермана и Х.Иванца для суммы сумм Клостермана.
2. Вспомогательные утверждения.
√
Лемма 1 (Равенства для сумм Гаусса). Пусть F = Q( d) – мнимое квадратичное
поле, d ≡ 1 (mod 4), δF = −p – дискриминант поля F .
1) Если (q, p) = 1, то G1 (q, l, m̄) = exp(−2πil∗ p∗ Q′1 (m̄)/q)G1 (q, l, 0), причем
 −p 
q
(−1)(1+p)α/4 , если q = 2α q1 , (q1 , 2) = 1,
q
1
−p G1 (q, l, 0) =

q
, если (q, 2) = 1.
q
a l √
1
2) Если (q, p) = p, то G1 (q, l, m̄) = ε(p)q pχ(Q′1 (m̄); p, 0)
exp(−2πil∗ Q′1 (m̄)/pq),
p
p
где
(
1, если p ≡ 1 (mod 4),
ε(p) =
i, если p ≡ 3 (mod 4),
a1 – коэффициент при m21 квадратичной формы Q′1 (m̄) = 12 m̄t pA−1
1 m̄.
Доказательство см. [5].
Лемма 2 (Оценка суммы сумм Клостермана). Пусть T, U, V, p, ε – положительные
действительные числа, au и bv – последовательности комплексных чисел, S(u, v, q) –
сумма Клостермана. Тогда
X
X
X
1
1
ε
1/2
1/6
au
bv
S(u, v, q) 6 cT
(UV ) + (UV T )
×
q
p
√ uv
U 6u62U V 6v62V
q6 U V T,
q≡0 (mod p)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №17(136). Вып. 28 53
×
X
U 6u62U
|au |2
!1/2
X
V 6v62V
Доказательство cм. в [7, с. 234].
|bv |2
!1/2
.
3. Схема доказательства теоремы.
1. Получение главного члена асимптотической формулы не отличается от общего
случая, рассмотренного в работе [4].
2. Более подробно остановимся на оценке остатков. Рассмотрим один из них. Пусть
θ – сколь угодно малое положительное число.
R=
q
X X
q≤N
где
Φ1 =
−2πi hl
q
e
l=1
(l,q)=1
−1
[qn1/2+θ
Z ]
Φ1 Φ2 e−2πihx dx ,
0
4π 2 Q′ (m̄) X
2π
1
·
exp
− 2 −1 1
G1 (q, l, m̄) ,
√
q 2 p n−1 − 2πix
q n − 2πix
2
m̄∈Z
m̄6=0
Φ2 =
4π 2 Q′ (k) X
2π
1
·
exp
− 2 −1 2
G2 (q, −l, k) .
√
q 2 p n−1 + 2πix
q
n
+
2πix
2
k∈Z
k6=0
Функции Φ1 и Φ2 содержат суммы Гаусса. Вычислим произведение соответствующих
сумм Гаусса, используя равенства из леммы 1. Имеем
G1 (q, l, m̄)G2 (q, −l, k) = ε2 (q, p, a1 , a2 , m̄, k)q 2 e−2πil
∗ d (Q′ (m̄)−Q′ (k))/q
1
1
2
,
где
ε2 (q, p, a1 , a2 , m, k) =
и


1,



(1+p)α

(−1) 2 ,
если (q, p) = 1, 2 6 |q ,
если (q, p) = 1, 2α ||q,


a a 

1
2

χ(Q′1 (m̄) − Q′2 (k); p, 0), если (q, p) = p
p
p
p
d1 =
(
p∗ ,
если (q, p) = 1,
1/p, если (q, p) = p.
Разобьем сумму, определяющую R, на две суммы:
R=
X
q≤n1/2−θ
−1
[qn1/2+θ
Z ]
+
0
X
n1/2−θ <q≤N
−1
[qn1/2+θ
Z ]
0
=
X
R1
+
X
R2 .
54 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №17(136). Вып. 28
Так как q 6 n1/2−θ , 0 6 x 6 [qn1/2+θ ]−1 , то
X
m∈Z2
m6=0
exp −
X
4π 2 Q′2 (k)
4π 2 Q′1 (m)
−cn2θ
−cn2θ
exp
−
=
O
e
,
=
O
e
.
q 2 (n−1 + 4π 2 x2 n)
q 2 (n−1 + 4π 2 x2 n)
2
k∈Z
k6=0
Тогда
X
R1
≪ n3/2−θ+3ε e−cn
P
3. Перейдем к оценке
X
X
X X
R2 =
m∈Z2
m6=0
X
2θ
q≤n1/2−θ
q −5/2 ≪ n7/12+ε .
R2 .
k∈Z2 n1/2−θ <q≤N
k6=0
ε2 (q, p, a1, a2 , m, k)q −1 S(−h, −d1 (Q′1 (m) − Q′2 (k)), q)f (q),
где
f (q) = q −1
−1
[qn1/2+θ
Z ]
4π 2 Q′ (m) 4π 2 Q′ (k) e−2πihx dx
exp − 2 −1 1
exp − 2 −1 2
.
q n − 2πix
q n + 2πix n−2 + 4π 2 x2
0
′
′
′
′
fq′ (q) = O((Q′1 (m) + Q′2 (k))e−c(Q1 (m)+Q2 (k)) n/q 2 ) ,
f (q) = O(e−c(Q1 (m)+Q2 (k)) n/q),
где c – постоянная.
P P
= q6≡0
Сумму по q перепишем в виде:
q
(mod p) +
P
q≡0 (mod p)
=
P
1
+
P
2.
1) Пусть q 6≡ 0 (mod p). Тогда |ε2(q1 , p, a1 , a2 , m, k)| = 1, d1 = p∗ . По условию p | h,
обозначим через h1 = h/p, h1 – целое число, v1 = Q′1 (m) − Q′2 (k). Тогда
X
X X X
X
−1
q S(−h1 , −v1 , q)f (q) .
1 ≪
i=1 m∈Z2 k∈Z2 n1/2−θ <q≤N
i=p m6=0
k6=0
q≡0
(mod i)
К каждой из сумм по q применим преобразование Абеля. Положим в лемме 2, что
u = −h1 , v = −v1 , |au | = 1, |bv | = e−cv1 n1/2+ε , U = V = nε , T = N и p равно одному из
чисел 1, p. В результате получаем
X X
X
f (N)
q −1 S(−h1 , −v1 , q) ≪ n7/12+ε .
m∈Z2
m6=0
X
m∈Z2
m6=0
k∈Z2
k6=0
X
k∈Z2
k6=0
q≡0
fq′ (q)
t≡0
q≤N
(mod i)
X
t≤q
(mod i)
q1−1 S(−h1 , −v1 , t) ≪ q −11/6+ε n1+ε .
Проинтегрировав последнюю оценку по q в пределах [n1/2−θ ; ∞), в итоге получим
O(n7/12+ε ).
P
1
=
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №17(136). Вып. 28 55
2) Пусть q ≡ 0 (mod p). Тогда |ε2 (q1 , p, a1 , a2 , m̄, k)| = p и не зависит от q, d1 = p−1 .
Обозначим через h1 = h, v1 = (Q′1 (m̄) − Q′2 (k))/p. Тогда справедливо неравенство
X
X
X X
−1
p
q S(−h1 , −v1 , q)f (q) .
2 ≪ m∈Z2 k∈Z2 n1/2−θ <q≤N
m6=0
k6=0
q≡0
(mod p)
К суммам по q применим преобразование Абеля и для получения оценок используем
Лемму 2. Все рассуждения аналогичны
тем, что проводились для случая 1). В резульP
7/12+ε
тате можно утверждать, что
).
2 = O(nP
7/12+ε
Таким образом, нами показано, что
).
R2 = O(n
Литература
1. Esterman T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Produkten // J. reine
und ang. Math. – 1931. – №164. – Р.173-182.
2. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Об аддитивной проблеме делителей Ингама // Вестник
Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. – 2006. – №5. – С.32-35.
3. Deshouillers J.-M., Iwaniec H. An additive divisor problem // J. London Math. Soc. – 1982. –
26(2). – P.1-14.
4. Куртова Л.Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами // Вестник СамГУ, Естественнонаучная серия, Математика. – 2007. – №(57). – C.107-122.
5. Гриценко С.А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле //
Чебышевский сборник. – 2003. – 4;2. – C.53-67.
6. Deshouillers J.-M., Iwaniec, H. Kloosterman sums and fourier coefficients of cusp forms //
Invent. math. – 1982. – 70. – P.219-288.
ABOUT THE NUMBER OF SOLUTION
OF AN EQUATION WITH SQUARES
L.N. Kurtova
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. The asymptotic formula of the solution number of the equation with squares is
obtained. It is done by circular method with using the estimate for sum of Kloosterman’s sums.
Key words: additive problems of number theory, number of solution, asymptotic formula,
Kloosterman’s sums.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
183 Кб
Теги
решение, уравнения, одного, формами, квадратичными, числа
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа