Об одном уравнении в частных производных с сингулярными коэффициентами.

2006
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (532)
УДК 517.956
Е.А. УТКИНА
ОБ ОДНОМ УРАВНЕНИИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Для метода каскадного интегрирования для уравнения
uxy + aux + buy + cu = 0
(1)
введем обозначения
u1 = uy + au; u2 = ux + bu;
(2)
в которых (1) можно записать в виде
u1x + bu1 ; hu = 0; u2y + au2 ; ku = 0;
(3)
где h = ax + ab ; c, k = by + ab ; c. Если хотя бы одна из величин h, k равна нулю, то u1 (или u2 ) из
(3) записываются в квадратурах, что позволяет определить u из (2). В случае, когда hk 6= 0, из
(1) и (3) можно исключить u(x; y ) и перейти к новым уравнениям вида (1) относительно новой
неизвестной функции. К двум полученным уравнениям применяется изложенная схема. Может
оказаться на некотором шаге указанного процесса, что h или k для новых уравнений равно нулю.
Это будет означать, что и исходное уравнение имеет решение, записываемое в квадратурах.
Кроме того, для частного случая уравнения (1), известного как уравнение Эйлера{Пуассона{
Дарбу,
uxy ;
0
x;y
ux +
x;y
uy = 0;
(4)
в ([1], с. 181) строится решение в квадратурах.
В данной работе метод каскадного интегрирования применяется к уравнению
uxxy + auxx + buxy + cux + duy + eu = 0;
(5)
частный случай которого встречается при изучении процесса поглощения влаги корнями растений (уравнение Аллера ([2], с. 261; см. также [3])).
Используем обозначения (2). При этом существенную роль играют конструкции
h10 = 2ax + ab ; c; h01 = bx ; d; h00 = axx +(ab)x ; e; k10 = by + ax + ab ; c; k00 = bxy +(ab)x ; e:
То есть если имеет место хотя бы одна из групп тождеств
h10 h01 h00 0;
(61 )
k10 h01 k00 0;
(62 )
то (5) разрешимо в квадратурах. При этом в случае выполнения (61 ) решение представляется
формулой
u = e;
R
a(x;y)dy
Z
e;
R
b(x;y)dx
R
Z
C1 (y) eb(x;y)dxdx + C2 (y) e
a(x;y)dy
Работа поддержана фондом НИОКР АН РТ (проект 05-5.1-289/2004(Ф)).
67
dy + C3 (x) :
Пусть вместо (61 ) выполняются соотношения h10 h01 0, h00 6= 0. Тогда (5) преобразуется
к виду u1xxy + a(1) u1xx + b(1) u1xy + c(1) u1x + d(1) u1y + e(1) u1 = 0, где a(1) = a ; (ln h00 )y , b(1) = b,
c(1) = by + ba(1) , d(1) = bx , e(1) = bxy + bx a(1) ; h00 .
В случае, когда вместо (62 ) выполняются соотношения k10 h01 0, k00 6= 0, уравнение
(5) преобразуется к уравнению того же вида при a(1) = a, b(1) = b ; (ln k00 )x , c(1) = 2ax + b(1) a,
d(1) = 0, e(1) = axx + ax b(1) ; k00 .
Пусть хотя бы одно из полученных уравнений решается в квадратурах, тогда и исходное
уравнение имеет явное решение. В противном случае процесс может быть продолжен.
Рассмотрим теперь уравнения, являющиеся аналогами (4) в том смысле, что к ним будем
применять указанный метод решения:
0
(2 ; 0 )
0
uxx +
uxy +
(71 )
L (u) uxxy ;
2 ux ;
x;y
x;y
(x ; y)2 uy = 0;
(x ; y )
0
0
+ 0 (1 ; 0 )
uxxy ;
uxx +
uxy +
ux ;
(72 )
2
x;y
x;y
( x ; y )2 u y = 0 :
(x ; y )
Здесь h00 = 2(x(; y;)31) , k00 = 2(x;(y;)31) . Таким образом, очевидно, если = 0 или 0 = 1 либо 0 = 0
или = 1, то (7) разрешимы в квадратурах. Пусть, например, 0 = 1. Тогда
Z
1 C (y) x2 ; xy + C (y)(x ; y); dy + C (x):
u = (x ; y)
(8)
2
3
x;y 1
2
Рассмотрим подробнее (71 ). Пусть h00 6= 0. Непосредственные вычисления показывают
2 0 ; 2 ( + 3) + 0 ( + 3) :
h(1)
=
h
+
00
00
(x ; y)3
0
0
Понятно, что в случае равенства h(1)
00 нулю получаем решение уравнения (71 ) в квадратурах.
Продолжение процесса позволяет построить цепочку уравнений вида (71 ), для которых h(00n)
определяется с помощью рекуррентного соотношения
2 0 ; 2 ( + 3n) + 0 ( + 3n) :
h(00n) ; h(00n;1) =
(x ; y)3
Для уравнения (72 ) соотношение имеет вид
0
(n)
k00
; k00(n;1) = 2 ; 2 ( + 3n) +3 ( + 3n) :
(x ; y)
Если k00(n) = 0 (или h(00n) = 0) при некотором n , то исходное уравнение разрешимо в квадратурах. Так, если(2)n = 2, то и 0 связаны соотношением 4 0 ; 6 + 13 0 = 18, получаемым из
формулы для h00 . Оно имеет нетривиальные решения, например, 0 = 0, = ;3.
Рассмотрим для (71 ) задачу Гурса. Пусть D | треугольная область, ограниченная характеристиками x = 0, y = a и прямой x = y. Найдем решение u 2 C 2;1(D), удовлетворяющее
условиям
u (0; y ) = ' (y) ; ux (0; y) = '1 (y) ; u (x; a) = (x) ;
(9)
'; '1 2 C 1 (p), 2 C 2 (p), p = [0; a]. В точке (0; a) предполагаем условие согласования ' (a) =
(0).
Перейдем от уравнения (71 ) к
(x ; y)2 uxxy ; (x ; y) uxx + 0 (x ; y) uxy + (2 ; 0 ) ux ; 0 uy = 0:
(10)
68
Рассуждение для вырождающегося уравнения (10) проведем по той же схеме, что и в варианте метода Римана из [4], [5]. То есть введем функцию Римана R (x; y; ; ) как решение
интегрального уравнения
Z y
(x ; y)2 V (x; y) +
(x ; ) V (x; ) d ;
Z x
0 [(t ; y) + (x ; t)] V (t; y) dt +
+
Z x Z y
(2 ; 0 ) V (t; ) d dt = 1; (11)
которое существует и единственно ([6], x 30). Продифференцировав его, получим дифференциальное уравнение для V
;
(x ; y)2 V
;
xxy
+ (x ; y) V
xx
; ; 0 (x ; y) V xy + ; (2 ; 0 ) V x ; ( 0V )y = 0:
Обозначим
;
;
M = (x ; y)2 R x ; (x ; y) 0 R; N = (x ; y)2 R y + (x ; y) R;
;
;
;
P = (x ; y)2 R xy + (x ; y) R x ; 0 (x ; y) R y + (2 ; 0 ) R;
;
;
Q = (x ; y)2 R xx ; 0 (x ; y) R x ; 0 R;
где у R и ее производных аргументами являются (x; y; ; ). Из (11) легко усматривается, что
M (x; y; x; y ) P (x; y; x; y ) Q (x; y; x; y ) 0;
N (x; y; x; ) P (x; y; x; ) Q (x; y; ; y ) 0:
Тогда с учетом введенных обозначений для любой функции u из класса C 2;1 (D) \ C 1;0 (D [ p) \
C 0;0 (D [ p) имеет место непосредственно проверяемое тождество
;
u (x ; y )2 R
xxy
RL (u) (x ; y) + [uM ]xy + [uN ]xx ; [uP ]x ; [uQ]y +
;
;
+ uy (x ; y) R x ; u (x ; y) R x x : (12)
2
2
Поменяем в (12) переменные x, и y, ролями и вычислим интеграл в пределах 0 < < x,
y < < a, тогда с учетом граничных условий (9) получим
ux (x; y ) = 0 (x) R (x; a; x; y ) (x ; a)2 ; 0 (a) R (0; a; x; y ) a2 +
+ '1 (y) R (0; y; x; y ) y2 ; (x) M (x; a) + (0) M (0; a) ; ' (y) M (0; y) +
+
Z a
y
'1 () N (0; ) d ;
Z a
y
' () P (0; ) d +
Z x
0
Rx
( ) Q (; a) d: (13)
Отсюда решение задачи Гурса описывается формулой u (x; y) = ' (y) + H (; y ) d, где H (; y)
0
| правая часть (13).
При значениях , 0 , указанных выше, решение задачи Гурса можно получить без использования функции Римана. Например, для 0 = 1 из формулы (8) найдем
C3 (x) = (x) (x ; a); ; C2 (y) = ;y'0 (y) ; ' (y) ;
'0 (y) y + ( ; 1) '1 (y) ( + 1) C2 (y)
C1 (y) = ; 1
+
:
y2
69
Литература
1. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. { М.: Ин. лит., 1957.
2. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. { М.: Высш. школа, 1995. { ??? с.
3. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР. { 1987. { Т. 297.
{ Є 3. { С. 547{552.
4. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solution of pseudoparabolic equation
// Proc. Amer. Math. Soc. { 1977. { V. 63. { Є 1. { P. 77{81.
5. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка //
Изв. вузов. Математика. { 1999. { Є 10. { С. 73{76.
6. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Т. 1. { М.: ГТТИ, 1934. { 320 с.
Казанский государственный
педагогический университет
Поступили
первый вариант 15:11:2004
окончательный вариант 30:03:2005
70