close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об уровнях оператора Шредингера на границе непрерывного спектра.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2005. Є1(31)
УДК 517.958 : 530.145.6
Н.И. ?летникова
huburinotf.pti.udm.ru
ОБ УРОВНЯХ О?ЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА
НА ГРАНИЦЕ НЕ?РЕРЫВНОГО С?ЕКТРА
Ключевые слова:
уравнение Шредингера, нелокальный потенциал,
ступенчатый потенциал, собственное значение, резонанс, асимптотика
Abstrat.
We onsider the one-dimensional Shr
odinger operator
H
with the non-loal perturbed step potential. We prove that there exists
the unique level (i.e. eigenvalue or resonane of the operator
H ) in the
neighborhood of the boundary of the essential spetrum of the operator
H . We investigate the asymptoti behaviour of this level.
Введение
Рассматривается уравнение
H?
=
E?,
(0.1)
2
d
H = ? dx
2 + V0 ? (x)+ ?(╖, ?0 )?0 , а E ? C . ?олагаем, что функция ?0 (x) экспоненциально убывает, т. е. выполняется неравенp
ство |?0 (x)| 6 Ce??|x| , где C, ? = onst > 0 , причем ? > 2 |V0 | .
Считаем V0 = onst < 0 (случай V0 > 0 аналогичен).
Введем следующие обозначения: ? (x) { функция Хевисайда,
?(╖, ?0 )?0 { одномерный оператор (єсепарабельный потенциал,
см. [1?), ? ? R { параметр. Рассматриваются (обобщенные) собственные функции оператора H , т. е. ненулевые решения ? (x)
где
уравнения Шредингера (0.1), удовлетворяющие условию
? ╖ ?0 ? L1 (R).
107
(0.2)
Обозначим (?, ?0 ) =
R
? (x)?0 (x) dx ,
полоим
R
2
d
H1 = ? dx
2 + V0 ? (x)
и запишем уравнение (0.1) в виде
H1 ? + ?(?, ?0 )?0
E?.
=
(0.3)
Ядро резольвенты (H1 ? E )?1 будем для краткости называть
функцией Грина. Вид функции Грина
G1 (x, y, E )
тора
H1
?ess (H )
равен существенному спектру
H1
оператора
? (H 1 )
приведен в работе [2?, там е доказано, что спектр
опера-
оператора
H
и
равен [ V0 , +?) .
В работе исследуются собственные значения и резонансы, ко-
торые находятся рядом с границей
оператора
H
H.
V0
существенного спектра
В работе [2? рассматривается такой е оператор
при условии, что
V0
мало. ?одобное исследование в трехмер-
ном случае для локального потенциала и малого
V0
проведено
в статье [3?.
?усть
E?
/ [ V0 , +?) ,
тогда уравнение (0.3) приводимо к ин-
тегральному виду
? (x) = ??(?, ?0 )
О п р е д е л е н и е
будем понимать такое
R
G1 (x, y, E )?0 (y )dy.
R
0.1.
E ? C,
(0.4)
?од резонансом оператора
H
для которого существует решение
уравнения (0.4), удовлетворяющее условию (0.2), причем выполняется условие Im
?
E ? V0 < 0 .
О п р е д е л е н и е
0.2.
Уровнем
E
оператора
H
бу-
дем называть собственное значение или резонанс оператора (а
таке соответствующее
E
число
?=
E ? V0 ).
G1 (x, y, E ) в дальнейшем будем применять обозначеG1 (x, y, ?) . Уравнение (0.4) принимает вид
R
? (x) = ??(?, ?0 ) G1 (x, y, ?)?0 (y )dy,
(0.5)
Вместо
ние
?
R
где
G1 (x, y, ?) = ?? (x)? (y )
1
2i?
i?|x?y|
e
108
+
?
?
2
?? +V0 +? ei?(x+y) ?
2
2i?(
? +V0 +?)
1
?? (x)? (?y ) ?
?2 +V0 +?)
i(
1
?? (?x)? (y ) ?
?2 +V0 +?)
i(
? ?
2i
1.
?
?
?2 +V0
2i
?2 +V0 +?
?
?2 +V0 (
?
2
e?i ? +V0 x+i?y ?
?1
?? (?x)? (?y )
?2 +V0 +?)
?
2
ei?x?i ? +V0 y ?
?
2
ei ? +V0 |x?y| ?
?
2
e?i ? +V0 (x+y) .
Существование уровня около границы
непрерывного спектра
Л е м м а
1.1.
F (?) =
Функция
R
R
?G1 (x, y, ?)?0 (y )dy, ?0
является аналитической функцией в некоторой достаточно ма-
? = 0.
лой окрестности точки
Д о к а з а т е л ь с т в о.
G1 (x, y, ?)
оператора
H1
?риведем функцию Грина
к виду
G1 (x, y, ?) = ?1 g1 (x, y, ?) + g2 (x, y, ?),
где
1
2i
g1 (x, y, ?) = ?? (x)? (y )
i?|x?y|
e
1
g2 (x, y, ?) = ?? (x)? (?y ) ?
i(
?? (?x)? (y ) ?
?? (?x)? (?y )
? ?
2i
?
?
1
?1
2i
?2 +V0 (
?
?2 +V0 )+?)
109
2i(
? +V0 +?)
?
2
ei?x?i ? +V0 y ?
?
2
e?i ? +V0 x+i?y ?
?2 +V0
?2 +V0 +?
?
2
?? +V0 +? ei?(x+y) ,
2
?2 +V0 +?)
?2 +V0 +?)
i(
+
?
?
2
ei ? +V0 |x?y| ?
?
2
e?i ? +V0 (x+y) .
F (?)
Для доказательства аналитичности функции
но доказать равномерную (по
?
достаточ-
из окрестности нуля) сходимость
интеграла
?
??
R
R2
g1 (x, y, ?) + ?g2 (x, y, ?) ?0 (y )?0 (x) dx dy.
Согласно неравенству Коши{Буняковского справедливо
R
R2
?
??
rR 6
R2
g1 (x, y, ?) + ?g2 (x, y, ?) ?0 (y )?0 (x) dx dy 6
?
??
2 g1 (x, y, ?) + ?g2 (x, y, ?) ?0 (y )?0 (x) dx dy ╫
╫
Специфика функций
rR
|?0 (y )?0 (x)| dx dy.
R2
g1
и
g2
?0
и условия на
обеспечивают
сходимость данных интегралов.
Для функции
F (?)
F ? (0) =
из леммы 1.1 получаем
R
?? (x)? (y )
R2
?
?? (x)? (?y ) i?1V e?i
0
?? (?x)? (?y )
V0 y
|x?y|
2
?
?1
i V0
x+y ?
2
?
?
? ? (?x)? (y ) i?1V e?i
0
V0 x ?
?
?
1
1
i V0 |x?y| + ?
?i V0 (x+y ) ? (y )? (x) dy dx,
?
e
e
0
0
2i V0
2i V0
F ?? (0) =
R
)2
?? (x)? (y ) ? (x?y
?
2i
R2
?
?
V0 y ?1+i V0 x
iV0
?2? (x)? (?y )e?i
(x+y )2
x+y
2
?
?
iV0 + V0 +
2i
?
? 2? (?x)? (y )e?i
?
V0 x ?1+i V0 y ?
iV0
?2 1i ? (?x)? (?y ) ?0 (y )?(x) dy dx.
?редполоим, что
F ? (0) 6= 0
и обозначим
110
?0
=
? F ?1(0)
.
F ? (0) 6= 0 , F ?? (0) 6= 0 . Существует такая окрестность ?0 , что для любого ? из этой окрест?
E ? V0
ности оператор H имеет единственный уровень ? =
Т е о р е м а
1.1.
?усть
в достаточно малой окрестности нуля.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Согласно лемме 1.1 уравне-
ние (0.5) моно записать в виде
0)
? (x) = ? ?(?,?
?
?усть
C
= (?, ?0 ) и
R
R
g1 (x, y, ?) + ?g2 (x, y, ?) ?0 (y ) dy.
I (x, ?) =
R
R
(1.1)
g1 (x, y, ?) + ?g2 (x, y, ?) ?0 (y ) dy ,
тогда уравнение (1.1) принимает вид
? (x) = ? ?C
? I (x, ?).
(1.2)
?одставляя выраение (1.2) в уравнение (1.1), получаем
? = ??(I (x, ?), ?0 ) = F (?).
Функция
F (?)
(1.3)
является аналитической функцией при
?,
близ-
ких к нулю (см. лемму 1.1), поэтому уравнение (1.3) моно записать в виде
? = ?? F (0) + F ? (0)? + 12 F ?? (0)?2 + o(?2 ) ,
где, как легко проверить,
ния на
?,
F (0) = 0 .
(1.4)
Разделим обе части уравне-
тогда уравнение (1.4) приобретает вид
1=
?? F ? (0) + 12 F ?? (0)? + o(?) ,
(1.5)
а из теоремы Руше следует требуемое утвердение.
2.
Асимптотика уровней
Т е о р е м а
ратора
H
2.1.
В условиях теоремы
1.1 для уровня опе-
справедлива следующая асимптотическая формула
?=
2(F ? (0))2
F ?? (0) (
? ? ?0 ) + o(? ? ?0 ).
111
h(?) = F 2(0) ?20 ? + o(?)
{ аналитическая функция в окрестности точки ? = 0 . Уравнение
(1.5) моно записать в виде ? ? ?0 = h(?) . ?усть ? = ? ? ?0 . ?оскольку h? (0) 6= 0 , то в окрестности ? = 0 существует обратная
функция ? = h?1 (? ) . Разлоим правую часть этого уравнения
по формуле Тейлора: ? = h?1 (0) + (h?1 )? (0)? + o(? ) . Так как
2
h?1 (0) = 0 и (h?1 )? (0) = h?1(0) = F ?? (0)
, то
?2
Д о к а з а т е л ь с т в о.
??
?усть
0
?=
2
F ?? (0)?20
?
+ o(? ) =
З а м е ч а н и е
2.1.
2(F ? (0))2
F ?? (0) (
???0 ) + o(???0 ).
Как легко видеть,
F ? (0)
{ число
вещественное, а F ?? (0) { чисто мнимое, отсюда вытекает, что
а) если
i(F ? (0))2
F ?? (0) (?
б) если
i(F ? (0))2
F ?? (0) (?
? ?0 ) > 0 ,
то
?
{ резонанс;
? ?0 ) < 0 ,
то
?
{ собственное значение.
Отсюда следует, что если
?
переходит через
?0 ,
то собственное
значение превращается в резонанс (или наоборот) (ср. [4?).
Список литературы
1. Демков Ю. Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 240 с.
2. ?летникова Н.И. Об одномерном уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом типа возмущенной ступеньки // Изв. Ин-та
матем. и информ. УдГУ. Иевск, 2004. Вып. 3(29). С. 95-108.
3. Чубурин Ю.?. Об операторе Шредингера с малым потенциалом
типа возмущенной ступеньки // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 120,
Є 2. C. 277-290.
4. Чубурин Ю. ?. О попадании собственного значения (резонанса)
оператора Шредингера на границу зоны // Теор. и матем. физика.
2001. Т. 126, Є 2. С. 196-205.
112
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
161 Кб
Теги
непрерывного, граница, спектр, уровня, шредингер, оператора
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа