close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об эквивалентности локальной достижимости и полной управляемости линейных систем.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 6 (481)
УДК 517.977
С.Н. ПОПОВА
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЛОКАЛЬНОЙ ДОСТИЖИМОСТИ
И ПОЛНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Наряду с исходной линейной однородной дифференциальной системой x_ = A(t)x, x 2 Rn ,
t 2 R, с ограниченным кусочно-непрерывным операторным коэффициентом A : R ! End(Rn ) =:
Mn и матрицей Коши X (t; s) рассмотрим линейную управляемую систему
x_ = A(t)x + B (t)u; u 2 Rm ;
(1)
где оператор-функция B : R ! Hom(Rm ; Rn ) =: Mn;m также ограничена и кусочно-непрерывна.
Пусть e1 ; : : : ; en | канонический базис пространства Rn . Норму в Rn предполагаем евклидовой, а в Mk;l | операторной, индуцируемой евклидовыми нормами в Rl и Rk . Всюду далее E
| единичная матрица, B (P ) := fH 2 Mk;l : kH ; P k g, KCk;l (I ) | пространство ограниченных кусочно-непрерывных отображений U (), определенных на промежутке I числовой оси
и действующих в Mk;l , с равномерной нормой kU kC = sup kU (t)k. Для любого набора вектоt2I
ров i 2 Rk , i = 1; : : : ; l, запись [1 ; : : : ; l ] будет обозначать матрицу из Mk;l , имеющую своими
столбцами векторы i . Пусть также a := sup kA(t)k, b := sup kB (t)k; Q(t; s) := X (t; s)B (s).
t
t
Напомним [1], что система (1) называется -равномерно вполне управляемой, если существует такое положительное число , что матрица управляемости (матрица Калмана)
t0R+
W (t0; t0 + ) = Q(t0; s)Q>(t0 ; s)ds при всяких t0 2 R и 2 Rn удовлетворяет неравенству
t0
>W (t0; t0 + ) kk2 (> означает транспонирование).
Пусть управление u() в системе (1) задано по принципу линейной обратной связи
u(t) = U (t)x;
(2)
где U 2 KCm;n (R). Тогда (1) принимает вид линейной однородной системы x_ = (A(t)+B (t)U (t))x,
для которой определена матрица Коши XU (t; s).
Определение. Будем говорить, что система (1) -равномерно локально достижима, если
для каждого " > 0 найдется > 0, позволяющее для всякой матрицы H 2 B (E ) и любого
t0 2 R найти управляющую матрицу U () 2 KCm;n([t0; t0 + ]), kU kC ", которая обеспечивает
равенство
XU (t0 + ; t0 ) = X (t0 + ; t0 )H:
(3)
Отметим, что в [2], [3] было введено понятие равномерной локальной достижимости системы
(1) относительно множества U Mm;n . По определению система (1) называется -равномерно
локально достижимой (относительно U), если существует > 0 такое, что для любой H 2 B (E )
и любого t0 2 R найдется кусочно-непрерывное ограниченное управление U : [t0 ; t0 + ] ! U,
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант Є 99-01-00454) и Конкурсным центром Министерства образования России (грант Є Е00-1.0-5).
50
гарантирующее выполнение равенства (3). Очевидно, свойство -равномерной локальной достижимости системы (1) равносильно свойству -равномерной локальной достижимости этой
системы относительно множества U = B" (0) при каждом " > 0.
Свойство равномерной локальной достижимости позволяет применять к линейным управляемым системам метод поворотов В.М. Миллионщикова [4] (см. также [5]), с помощью которого
в ряде случаев удается доказать утверждения о локальной управляемости асимптотических
инвариантов системы (1) под действием управлений вида (2) (подробный обзор результатов
содержится в [3]).
В [6] было показано, что из -равномерной полной управляемости системы (1) следует ее
-равномерная локальная достижимость. В этой статье доказана эквивалентность свойств равномерной локальной достижимости и равномерной полной управляемости системы (1).
Лемма 1. Система (1) -равномерно вполне управляема в том и только том случае, когда
существует такое число > 0, что для произвольных t0 2 R и 2 Rn найдется управление
t0R+
u 2 KCm;1([t0 ; t0 + ]), kukC kk, гарантирующее выполнение равенства Q(t0; s)u(s)ds=.
t0
Воспользуемся критерием равномерной полной управляемости, который
был получен в [7]: система (1) -равномерно вполне управляема в том и только том случае,
когда при некотором > 0 для произвольных t0 2 R и x0 2 Rn найдется управление u() 2
KCm;1 ([t0 ; t0 +]), удовлетворяющее условию kukC kx0 k и такое, что решение x() задачи Коши
для системы (1) с управлением u = u() и начальным условием x(t0 ) = x0 в момент времени t0 + попадает в начало координат. Единственным решением этой задачи Коши является функция
Доказательство.
x(t) = X (t; t0 ) x0 +
Zt
t0
Q(t0; s)u(s)ds :
t0R+
Для выполнения условия x(t0 + ) = 0 необходимо и достаточно, чтобы Q(t0 ; s)u(s) ds = ;x0.
t0
Полагая = ;x0 , получим утверждение леммы.
Лемма 2. Пусть система (1) -равномерно локально достижима. Тогда для любого > 0
существует > 0 такое, что для всякого вектора 2 B (0) Rn и каждого t0 2 R найдется
управление v() 2 KCm;1([t0 ; t0 + ]), kvkC , гарантирующее выполнение равенства
Z t0 +
t0
Q(t0; s)v(s)ds = :
(4)
Зафиксируем какое-либо "0 > 0 и обозначим l = exp((a + b"0 )), 0 = "0 l.
Возьмем любое 2]0; 0 ], положим " = =l 2]0; "0 ] и по величине " в соответствии со свойством
равномерной локальной достижимости найдем > 0. Пусть t0 2 R и 2 B (0) Rn произвольны. Поскольку матрица H := E + [; 0; : : : ; 0] удовлетворяет соотношению kH ; E k =
k(H ; E )e1 k = kk , найдется управление U () 2 KCm;n([t0 ; t0 + ]), kU kC ", обеспечивающее равенство (3) с выбранной H . Обозначим Z (t) = XU (t; t0 ), V (t) = U (t)Z (t). Тогда
V () 2 KCm;n([t0 ; t0 + ]), kV kC kU kC kZ kC " exp((a + b")) " exp((a + b"0 )) = "l = , а
матричная функция Z () удовлетворяет уравнению Z_ = (A(t) + B (t)U (t))Z = A(t)Z + B (t)V (t) и
начальному условию Z (t0 ) = XU (t0 ; t0 ) = E . Из формулы Коши следует, что имеет место равенt0R+
ство Z (t0 + ) = XU (t0 + ; t0 ) = X (t0 + ; t0 )(E + Q(t0 ; s)V (s) ds), которое вместе с (3) дает
Доказательство.
соотношение E +
t0R+
t0
Q(t0; s)V (s) ds = H , т. е.
t0R+
t0
51
t0
Q(t0; s)V (s) ds = H ; E . Возьмем v(t) = V (t)e1 .
t0R+
t0R+
Тогда
Q(t0 ; s)v(s) ds =
Q(t0; s)V (s)ds e1 = (H ; E )e1 = , т. е. равенство (4) выполнено.
t0
t0
Для kvkC имеем требуемую оценку kvkC = kV e1 kC kV kC .
При > 0 берем = ("0 ).
Теорема 1. Система (1) -равномерно локально достижима в том и только том случае,
когда (1) -равномерно вполне управляема.
Доказательство. Необходимость. Пользуясь леммой 1, докажем равномерную полную
управляемость системы (1). Возьмем величину = 0 =2 (0 | из доказательства леммы 2) и
по ней найдем соответствующее > 0. Пусть 2 Rn | произвольный ненулевой вектор, 2 Rn
| сонаправленный ему вектор длины =2. Тогда имеем представление = , где = 2kk=.
Так как 2 B=2 (0) B (0), то в силу леммы 2 найдется управление v() 2 KCm;1 ([t0 ; t0 + ]),
kvkC = 0 =2, обеспечивающее выполнение равенства (4) с выбранным вектором . Полагая
t0R+
t0R+
u(t) = v(t), будем иметь соотношения Q(t0; s)u(s)ds = Q(t0 ; s)v(s)ds = = , а для
t0
t0
kukC | оценки kukC = kvkC = 2kk kvkC = kk0 = =: kk. Если = 0, то выбираем
u(t) 0. Таким образом, для произвольного вектора 2 Rn существует управление u() 2
KCm;1 ([t0 ; t0 + ]), удовлетворяющее оценке kukC kk с не зависящей от и от t0 величиной
и обеспечивающее выполнение равенства
Z t0 +
t0
Q(t0; s)u(s)ds = :
Из леммы 1 следует, что (1) -равномерно вполне управляема.
Достаточность следует непосредственно из результатов работы [6].
Теорема 2. Для -равномерной локальной достижимости системы (1) необходимо и достаточно существования таких > 0 и 0 > 0, что для любых t0 2 R и H 2 B0 (E ) найдется
управление U 2 KCm;n([t0 ; t0 + ]), удовлетворяющее оценке kU kC kH ; E k и обеспечивающее
для матрицы Коши системы (1) равенство (3).
Доказательство. Необходимость. Если система (1) -равномерно локально достижима,
то в силу теоремы 1 она является -равномерно вполне управляемой, а из теоремы работы [8]
вытекает требуемое свойство.
Достаточность. Положим "0 = 0 . Возьмем любое " 2]0; "0 ] и поставим ему в соответствие
величину := "= . Пусть t0 2 R и H 2 B (E ) произвольны. Так как B (E ) B0 (E ), то
для выбранной H найдется управление U () 2 KCm;n ([t0 ; t0 + ]), гарантирующее выполнение
равенства (3), причем kU kC kH ; E k = ". Из определения вытекает, что система (1)
-равномерно локально достижима.
Таким образом, равномерная локальная достижимость (и равномерная полная управляемость) системы (1) эквивалентна существованию управления U (), обеспечивающего равенство
(3) и имеющего липшицеву оценку kU kC в зависимости от kH ; E k.
Литература
1. Kalman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. mathem. mexic. { 1960. {
V. 5. { Є 1. { P. 102{119.
2. Зайцев В.А., Тонков Е.Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов
В.М. Миллионщикова // Изв. вузов. Математика. { 1999. { Є 2. { С. 45{56.
3. Tonkov E.L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control systems // Proc.
of the Steklov Inst. Math. { Suppl. 1. { 2000. { P. 228{253.
52
4. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных
систем // Сиб. матем. журн. { 1969. { Т. 10. { Є 1. { С. 99{104.
5. Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки
и техн. ВИНИТИ. Матем. анализ. { 1974. { Т. 12. { С. 71{146.
6. Попова С.Н. К вопросу об управлении показателями Ляпунова // Вестн. Удмуртск. ун-та. {
Ижевск, 1992. { Вып. 1. { С. 23{39.
7. Тонков Е.Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной
системы // Дифференц. уравнения. { 1979. { Т. 15. { Є 10. { С. 1804{1813.
8. Макаров Е.К., Попова С.Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Докл.
AH Беларуси. { 1998. { Т. 42. { Є 6. { С. 13{16.
Удмуртский государственный университет
53
Поступила
01.10.2001
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
143 Кб
Теги
локального, система, полное, достижимости, эквивалентность, линейный, управляемость
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа