close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обратная краевая задача с данными на параллельных характеристиках для уравнения гиперболического типа.

код для вставкиСкачать
2006
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (527)
УДК 517.956
С.П. БАЙГАЗОВ
ОБРАТНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
С ДАННЫМИ НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Значительное число краевых задач, изучаемых в теории дифференциальных уравнений, связано с уравнениями третьего порядка вида
@
@x (Lu) = 0;
где L | дифференциальный оператор второго порядка [1]{[3]. Решение краевой задачи в
области D для такого уравнения обычно ищется в классе функций, представимых в виде
u(x; y) = z (x; y) + !(y), где z (x; y) | решение соответствующей краевой задачи для уравнения
L(z) = 0, а !(y) есть произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция. Решение
краевых задач для уравнения L(z ) = 0 хорошо изучено (напр., [4]). Таким способом решены
краевые задачи для уравнений третьего порядка гиперболического типа в [5]{[8]. Возможен и
другой путь отыскания решения таких уравнений. Проинтегрировав рассматриваемое уравнение
в области D по переменной x, получим неоднородное уравнение L(u) = f (y), где f (y) | неизвестная функция. Таким образом, приходим к обратной задаче: найти решение u(x; y) краевой
задачи, а также неизвестную функцию f (y).
В данной работе изучено уравнение второго порядка гиперболического типа с сингулярными
коэффициентами. Для этого уравнения решается обратная краевая задача, в которой на противоположных характеристиках задаются функция и ее производная по нормали. Доказывается
существование и единственность решения поставленной задачи.
Рассмотрим уравнение
M (u) jyjmuxx ; uyy + y1;am=2 ux + yb uy = f (x; y);
(1)
где ;1 < m < 1, jaj < (2b ; m)=2, m=2 < b < m + 1, в характеристическом четырехугольнике
AC1BC2 , ограниченном характеристиками уравнения (1):
AC1 : x ; m 2+ 2 y m2+2 = 0;
C1 B : x + m 2+ 2 y m2+2 = 1 при y > 0;
AC2 : x ; m 2+ 2 (;y) m2+2 = 0; C2 B : x + m 2+ 2 (;y) m2+2 = 1 при y < 0:
Обозначим
D1 = D \ fy > 0g; D2 = D \ fy < 0g:
3
Задача
условиям:
1. Найти функцию f (y) и решение u(x; y) уравнения (1), удовлетворяющее следующим
u(x; y) 2 C (D) \ C 1 (D1 [ D2 [ AB ) \ C 2 (D);
@u
u(x; y)jC1 B = '1(x); @n = 1 (x); x 2 [1=2; 1];
C1 B
@u = (x); x 2 [0; 1=2]:
u(x; y)jAC2 = '2 (x); @n
2
AC2
Здесь n | внутренняя нормаль к линиям C1 B и AC2 , а функции '1 , '2 ,
(2)
(3)
1, 2
| заданные
достаточно гладкие функции.
В характеристических координатах области D1 и D2 перейдут соответственно в области
H1 = f(; ) j 0 < < < 1g и H2 = f(; ) j 0 < < < 1g;
а уравнение (1) примет вид
M (u) u ; j ; j u + j ; j u = f1( ; )( ; );4 ;
где
(4)
2
m+2 ;4
m
+
2
1
m
+
2
f1( ; ) = 4 f
; = 2(mm+ 2) ;
4 ( ; )
4
; 12 < < 12 ; = m2(;m2a+;2)2b ; = m2(+m2a+;2)2b :
Условия (2) и (3) перейдут в условия
1
+
@u
(
;
)
1
+
u(1; ) = '1 2 ;
@n =1 = 1 2 ; 0 1;
@u
(
;
)
;
u(0; ) = '2 2 ;
=
0 1:
2
@n =0
2
(5)
Рассмотрим для уравнения (4) задачу Коши в области H1 с данными
u(; ) = (); 0 1;
(6)
@u
lim( ; )+ @u
(7)
!
@ ; @ = (); 0 1;
где (); () 2 C 1 [0; 1] \ C 2(0; 1). Функция Римана для уравнения M (u) = 0 в области H1 имеет
вид ([9], с. 42)
+
v(0 ; 0 ; ; ) = ( ;( ;)() ; ) F (; ; 1; ); = ((0;;)()( ;;0 )) :
0
0
0
0
Решая задачу (4), (6) и (7) методом Римана, найдем
u(; ) = 1
( ; )1;;
Z
2
4
Z
(t)( ; t);1 (t ; );1 dt + (t)( ; t); (t ; ); dt ; 12 !1( ; );
(8)
где
Z t
s)+;4 F (; ; 1; )ds;
dt f1(t(t;;s)()t ;
( ; s)
+ ) ; = ;(1 ; ; ) :
1 = ;(1 +;();(1
+ ) 2 2;(1 ; );(1 ; )
После замены переменных t = ; ( ; )r, s = t ; (t ; )z будем иметь
Z 1
Z 1
r)z )(1 ; r)1+;4 z+;4 F ; ; 1; r(1 ; z) dz:
!1 ( ; ) = ( ; )2;4 dr f1(( ; )(1 ;
(r + (1 ; r)z )
r + (1 ; r)z
0
0
Положив в равенстве (8) = 1 и произведя замену t = 1 ; (1 ; )y, продифференцируем его
по . Получим
1 '0 1 + = Z 1 0 (t)y (1 ; y);1 dy ; (1 ; ; )(1 ; );; Z 1 (t)y; (1 ; y); dy +
!1( ; ) =
2 1
1
2
Z
2
0
+ 2 (1 ; )1;;
1
Z
0
0
0(t)y1; (1 ; y);dt + 21 !10 (1 ; ) (9)
или
1 '0 1 + = (1 ; );; Z 1 0 (t)(1 ; t) (t ; );1 dt ; (1 ; ; )(1 ; );1 1
2
2 1 2
Z 1
Z 1
(t)(1 ; t);(t ; ); dt + 2(1 ; );1 0(t)(1 ; t)1;(t ; ); dt + 12 !10 (1 ; ): (10)
Применяя второе условие в (5), найдем
;
1+
1
2
v
u
u
t
1 + (1 ; ) m 4+ 2
4
; 21 (1 ; ) m 4+ 2
+ 22 (1 ; ; )(1 ; );;
= 1 1 + (1 ; ) m 4+ 2
4 Z
1
0
; 22 (1 ; )1;;
1
0
0 (t)(1 ; y);1 y;1 dy ;
0 (t)(1 ; y);1 y dy +
4 Z 1
m
+
2
(1 ; )
(t)y;(1 ; y);dy +
+ 2 (1 ; )1;; 1 + (1 ; ) m 4+ 2
4 Z
4
4 Z
1
0
0
0 (t)y; (1 ; y);dy ;
v
u
4 Z 1
4
u
; ) :
(1 ; ) m 4+ 2
0 (t)y1; (1 ; y);dy ; t1 + (1 ; ) m 4+ 2 @!1 (1
@ (11)
0
p
Умножив обе части равенства (9) на 2 ((1 ; )(m + 2)=4)4 , сложим его с равенством (11). В
результате получим
1 (1 ; )1;;
где
1
Z
0(t)(t ; );1 (1 ; t);1 dt + 2
B1() =
'1
0 (t)(1 ; t); (t ; ); dt = B1 (); (12)
q
;
;
(1 ; ) m4+2 4 ; 1 1+2 1 + (1 ; ) m4+2 4
:
;
1 + (1 ; ) m4+2 4
; 1+ ;
2
1
Z
5
К обеим частям равенства (12) применим оператор
Поскольку
то
d Z 1(t ; ); (1 ; t)+;1 : : : dt:
d d Z 1 (t ; ); dt Z 1 0 (y)(1 ; y);1 (y ; t);1 dy = ; B (1 ; ; ) 0 () ;
d (1 ; )1;
t
Z 1
Z 1
d (t ; ); (1 ; t)+;1 dt 0 (y)(1 ; y); (y ; t); dy =
d t
Z 1
;(1
;
);(1
;
)
= ; ;(1 ; ; ) (1 ; )1; 0 (y)(y ; );; dy;
1
где
0 () +
2;(1 ; ) Z 1 0 (y)(y ; );; dy = ();
1
;();(1 ; ; ) (13)
(1 ; )1; d Z 1 (t ; ); (1 ; t)+;1 B (t)dt:
1 () = ; ;(1
1
; );() d
Равенство (13) дает функциональное соотношение между 0 () и 0 () в области H1 . Применим
к нему оператор
Z 1
;
;
(1 ; )
(1 ; t) (t ; );1 : : : dt:
Второе слагаемое дает
2 ;(1 ; )(1 ; );; Z 1(1 ; t) (t ; );1 dt Z 1 0 (y)(y ; t);; dy =
;();(1 ; ; ) t
Z 1
y
;
;
0
;
= 2 (1 ; )
(y)(y ; ) F ; ; ; 1 ; ; 1 ; dy = I:
Используя известную формулу для гипергеометрической функции
F (a ; 1; b; c; z ) = (1 ; z)F (a; b; c; z ) + c ;c b zF (a; b; c + 1; z );
запишем выражение
I = 2 (1 ; );1
1
Z
0(y)(y ; ); (1 ; y)1;dy +
Z 1
1
;
;
y
;
;
1
;
0
1
;
+ 2 1 ; (1 ; )
(y)(y ; ) F 1 ; ; ; 1 ; ; 1 ; dy:
Проинтегрировав второе слагаемое по частям при (1) = 0, получим
I = 2 (1 ; );1
1
Z
0(y)(y ; ); (1 ; y)1; dy ; 2 (1 ; ; )(1 ; );1
В результате равенство (13) примет вид
1 (1 ; );;
1
Z
0(t)(1 ; t)(t ; );1 dt ; 2(1 ; ; )(1 ; );1
+ 2 (1 ; );1
6
Z
Z
1
Z
1
(y)(y ; ); (1 ; y); dy:
(t)(1 ; t); (t ; ); dt +
1
0 (t)(1 ; t)1; (t ; ); dt = R1 (); (14)
R1
где R1 () = (1 ; );; 1 (t)(1 ; t) (t ; );1 dt.
Из равенств (10) и (14) найдем
d!1(1 ; ) = ;R () + '0 1 + :
1
1
d
2
Функцию R1 () после упрощений представим в виде
R1 () = ;B1 () + (1 ; );;
1
Z
(15)
(1 ; y)+;1 B1 (y)dy:
Тогда равенство (15) примет вид
d!1(1 ; ) = '0 1 + ; B () + (1 ; );; Z 1 B (y)(1 ; y)+;1 dy:
1
1
1
d
2
Полагая '1 (1) = 0, найдем
Z 1
(1 ; )1;; Z 1 B (y)(1 ; y)+;1 dy:
!1 (1 ; ) = 21 '1 1 +2 ; 2(1 1;;; ) B1 (y)dy + 2(1
; ; ) 1
Сделав замену t = 1 ; , а затем t = ; , получим
Z 1
; y) +;1 ; 1 + dy:
!1( ; ) = 2'1 2 ; 2 + + 1 ; 1 ; B1 (y) ((1 ;
(16)
)
1;+
Лемма 1. Если функция f1 ( ; ) имеет непрерывную производную в области H1 и выполняется неравенство
1 + + ; 4 0;
(17)
!1( ; ) дважды непрерывно дифференцируема в области H1 .
Доказательство. Пусть jf1 ( ; )j C1 . Здесь и в дальнейшем будем считать, что
Ci = const, i = 1; 2; : : : Так как при j + j < 1 и jj 1 имеет место неравенство
jF (; ; 1; )j C2, то
Z 1
Z 1
1+;4 +;4 j!1( ; )j C1C2( ; )2;4 dz (1 ;(zr+) (1 ; zz)r) dr =
0
0
Z 1
z
;
1
2
;
4
;
4
= C1 C2 B (1; 2 + ; 4 )( ; )
z F ; 1; 3 + ; 4 ; z dz:
то функция
Применяя формулу
0
F (a; b; c; x) = (1 ; x);a F
получим
j!1( ; )j C1C2( ; )2;4 B (1; 2 + ; 4 )
1
Z
0
x
a; c ; b; c; x ; 1 ;
z+;4 F (; 2 + ; 4; 3 + ; 4 ; 1 ; z)dz C1C2C3B (1; 2 + ; 4 )( ; )2;4
1
Z
0
z +;4 dz;
где jF (; 2 + ; 4; 3 + ; 4 ; 1 ; z )j C3 . Из последнего неравенства следует, что при условии
(17) выполняется неравенство
j!1( ; )j C4 ( ; )2;4 :
7
Из этой оценки следует непрерывность функции !1 ( ; ) в области H1 . Производная этой
функции имеет вид
@!1 ( ; ) = ;(2 ; 4 )( ; );1! ( ; ) ; ( ; )2;4 1
@
Z
1
dr
0
1 f 0 (( ; )(1 ; r)z )(1 ; r)2+;4 r
(1
;
z
)
1
z;1;+4 (z + (1 ; z)r) F ; ; 1; r + (1 ; r)z dz:
0
Z
Оценивая второе слагаемое так же, как и функцию !1 ( ; ), при условии (17) получим
@!1 ( ; ) ( ; 4 )C ( ; )1;4 ; C ( ; )2;4 :
@
Аналогично
4
5
@!1( ; ) ( ; 4 )C ( ; )1;4 ; C ( ; )2;4 :
6
7
@ Рассмотрим производную !100 . С этой целью запишем производную !10 в следующем виде:
@!1 ( ; ) = ;(2 ; 4 )( ; );1! ( ; ) ;
1
@
Z Z t 0
1++;4
; ( ; );1 dt f1(t (;t ;s)(t);(s); s) F (; ; 1; )ds = I1 + I2:
Производная по первого слагаемого с учетом оценки для производной !10 ( ; ) дает
@I1 = (2 ; 4 )(( ; );2 ! ( ; ) ; ( ; );1 !0 ( ; )) < C ( ; );4 :
1
8
1
@ Производная по переменной второго слагаемого примет вид
@I2 = Z f10 ( ; s)( ; s)1+;4 ds + Z dt Z t f10 (t ; s)(t ; s)1++;4 @ ( ; )
(t ; ) ( ; s)1+
s ;; F (; ; 1; ) ; (1 ; ) s ;; F (; 1 + ; 2; ) ds = i1 + i2 + i3:
Слагаемые i1 , i2 , i3 рассмотрим по отдельности. При выполнении условия (17) имеем
ji1 j = ( ; )2;4
Записав
i2
= ( ; )1;4
Z
0
1
dr
1
Z
0
jf10 (( ; )z)jz1+;4 dz C9( ; )2;4 :
1 f 0 (( ; )(1 ; r)z )(1 ; r)1+;4 z 1++;4
1
F (; ; 1; )dz;
(r + (1 ; r)z )1+
0
Z
так же, как и при оценке функции !1 ( ; ), получим ji2 j < C10 ( ; )1;4 . В слагаемом i3
положим jf10 ( ; )j C11 и jF (; + 1; 1; )j C12 . Получим
Z 1
Z 1
2+;4
ji3 j (1 ; )( ; )1;4 z;4 (1 ; z)dz ;(1 ; rz;) 1 1+ dr =
0
0 1+ z r
Z 1
(1
;
)
z
;
1
;
4
= 3 + ; 4 z (1 ; z )F 1 + ; 1; 4 + ; 4 ; z dz =
0
Z 1
)
1+;4 (1 ; z )F (1; 3 ; 4; 4 + ; 4 ; 1 ; z )dz C13 ( ; )1;4 :
= 3(1+ ; ;
4 0 z
8
Итак, при выполнении условия (17) имеет место неравенство
2
@ !1 ( ; ) < C ( ; );4 :
@@
14
Из этого неравенства следует непрерывность функции !100 ( ; ) внутри области H1 при условии
(17).
Лемма 2. Если ;1 < m < 1, 0 < ; ; + < 1, '1 (1) = 0,
1
+
1
+
1
2
'1 2 2 C [0; 1] \ C (0; 1); 1 2 2 C [0; 1] \ C 1(0; 1);
1
2
то функция !1 ( ), определяемая по формуле (16), принадлежит классу C [0; 1] \ C (0; 1), причем
!1 (0) = 0.
Таким образом, решение задачи Коши в области H1 с данными (6), (7) примет вид
u(; ) = 1 ( ; )1;;
Z
(t)(t ; );1 ( ; t);1 dt + Z
2
(t)(t ; ); ( ; t); dt ;
Z 1
+;1
1
(1
;
y
)
2
;
+
; 2(1 ; ; )
B1 (y) ( ; )
; 1 + dy: (18)
; '1
2
1;+
Из приведенных рассуждений следует
Теорема 1. Решение задачи Коши с условиями (6) и (7) для уравнения (4) в области H1
при выполнении условий леммы 2 существует и единственно.
Обратимся теперь к отысканию функции f1 (y). Поскольку функция !1 ( ; ) является решением уравнения (4), то
f1( ; ) = ( ; )4 M (!1 ( ; )):
Вычислив M (!1 ( ; )), найдем
f1 ( ; ) = ( ; )4 12 '001 2 ; 2 + + ;; '01 2 ; 2 + +
0
+ ; B1 (1 ; + ) + B1 (1 ; + ) :
Аналогичным образом для уравнения (4) решается в области H2 задача Коши с данными
u(; ) = (); 0 1;
+ @u ; @u = ( ); 0 1;
lim
(
;
)
!
@ @
где () 2 C 1 [0; 1] \ C 2 (0; 1), () 2 C 1 [0; 1] \ C 2(0; 1).
Решение этой задачи имеет вид
u(; ) = 1 ( ; )1;;
где
Z (t)( ; t);1 (t ; );1 dt ; 2 (t)( ; t); (t ; ); dt ; '2 ;2 ;
Z ;
;1 Z ;
1
;
(
;
)
B2 (y)dy + 2(1 ; ; )
B2 (y)y+;1 dy; (19)
; 2(1 ; ; )
0
0
Z
B2 () =
'2
q
; ;
+ 2 2 1 + m4+2 4
:
;
1 + m4+2 4
; ; m+2 4
2
4
9
Функциональное соотношение между () и () задается формулой
Z ;(1
;
)
2
0
(20)
1 () ; ;();(1 ; ; ) 0 (y)( ; y);; dy = 2 ();
0
где функции 2 () и !2 (; ) имеют вид, подобный функциям 1 () и !1(; ).
Решение сформулированной обратной задачи задается формулами (18) и (19). В этих формулах функции () и () остаются пока неизвестными. Для их отыскания используем уравнения
(13) и (20). Продифференцировав их по и вычитая одно вновь полученное равенство из другого,
найдем
Z 1
+ );(;) (0 () ; 0 ()):
00 (t)jt ; j;; dt = ; 2;(;(1
(21)
2
1
+ )
0
Положив t = 1 ; (1 ; )z и проведя дифференцирование по , запишем
; Z 1
; Z 1
(1
;
)
(1
;
)
+
;
1
;
(t;) dt; ;(1 ; );() B10 (t)(1;t)+ (t;); dt:
1 () = ;(1 ; );() B1 (t)(1;t)
1
1
Таким образом, чтобы функция 1 () имела производную, удовлетворяющую условию Гельдера
внутри интервала (0,1), необходимо '1 2 C 3 (0; 1), 1 2 C 2(0; 1). То же самое можно сказать и
о функции 2 (). При выполнении этих условий уравнение (21) имеет единственное решение,
удовлетворяющее условию Гельдера внутри интервала (0; 1) и интегрируемое на его концах.
Это решение задается формулой ([10], с. 579)
d Z (t)dt ; 1 cos2 00() = 21 ctg 2 d 0 ( ; t)1; 2
2
1;
Z t
Z 1+
2
2
d Z 1
(s)ds
t ((1; ;t)1t;) @[email protected]
dt; (22)
1+
1;
0
0 (t ; ) s 2 (1 ; s) 2 (s ; t)1;
где = + , (t) | правая часть уравнения (21).
Итак, доказана
3 1 ; 2 2 C 2 (0; 1), '1 (1) =
Теорема 2. Если 1 + + 4 , 0 < ; ; + < 1, '1 ; '2 2 C ,
'2 (0) = 0, то решение задачи 1 для уравнения (1) существует и единственно.
Это решение задается формулами (18) и (19), где функция () определяется из равенства
(22), а функция () из равенств (13) и (22).
Литература
1. Бицадзе А.В. Об уравнениях смешанно-составного типа // Некоторые проблемы матем. и
механ. { Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1961. { С. 47{48.
2. Бицадзе А.В., Салахитдинов М.С. К теории уравнений смешанно-составного типа // Сиб.
матем. журн. { 1961. { Т. 2. { Є 1. { С. 7{19.
3. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. { Ташкент: Изд-во ФАН, 1974.
{ 156 с.
4. Сабитов К.Б., Шарафутдинова Г.Г. Задача Коши{Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения // Изв. вузов. Математика. { 2003. {Є 5. { C. 21{29.
5. Байгазов С.П. Краевая задача с данными на параллельных характеристиках для уравнения
третьего порядка гиперболического типа // Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы. / Сб. тр. международн. научн. конф. 1998 г. { Стерлитамак:
Стерлитамак. гос. пед. ин-т, 1998. { Ч. 1. { С. 36-40.
6. Байгазов С.П. Краевая задача с данными на параллельных характеристиках для уравнения
третьего порядка гиперболического типа // Ученые записки. Сб. научных статей физикоматем. факультета. { Вып. 3.{ Уфа: Изд-во БГПУ. { 2001. { С. 21{25.
10
7. Байгазов С.П. Одна краевая задача для уравнения третьего порядка гиперболического типа
// Тр. Средневолж. матем. о-ва. { 2002. { Т. 3{4. { С. 53-59.
8. Байгазов С.П. Краевая задача с данными на параллельных характеристиках для уравнения
третьего порядка гиперболического типа // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы. Тр. международн. научн. конф. { Уфа. { Изд-во \Гилем".
{ 2003. { Т. 2. { С. 21{27.
9. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. { М.: Физматгиз, 1962. { 767 с.
10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. { М.: Наука, 1977. { 638 с.
Бирский государственный
Поступила
22.06.2004
педагогический институт
11
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
147 Кб
Теги
типа, уравнения, краевая, обратная, характеристика, параллельное, данными, задачи, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа