Обратная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца.

Вычислительные технологии
Том 3, № 3, 1998
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Ю. М. Григорьев
Новосибирский государственный университет, Россия
e-mail: [email protected]
В. В. Наумов
Якутский государственный университет, Россия
On the basis of a new proof of the theorem of the mean its converse is proved for the
Helmholtz equation.
Классическая теорема о среднем для гармонических функций допускает обращение и,
тем самым, полностью характеризует решения уравнения Лапласа [1]. Для ряда уравнений и систем уравнений эллиптического типа имеются аналоги прямых теорем о среднем
(см. [1–6]). Для однородных уравнений статической теории упругости установлены обратные теоремы о среднем [3, 6, 7]. Для некоторых уравнений других типов также имеются
аналоги прямых и обратных теорем о среднем [см. 1, 6–8 и ссылки в них]. Значение таких теорем возрастает в связи с их применением при численном решении краевых задач
методом Монте — Карло [5, 6]. В данной работе на основе нового доказательства прямой
теоремы доказана обратная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца.
Ниже пользуемся следующими обозначеними: Rn — n-мерное евклидово пространство,
n = 2, 3, . . . ; r, %, R ∈ Rn ; % = r + R; R = |R|; UR (r) ⊂ Rn — шар радиуса R с центром в
n
точке r, ΣR (r) — его граничная сфера; U R (r) — замыкание UR (r); SR = 2π n/2 Rn−1 /Γ( ) —
2
площадь сферы ΣR (r); dS% — векторный элемент поверхности ΣR (r) в точке %, направленный по внешней нормали n; dS% = |dS% | = Rn−1 dω, где dω — скалярный элемент
поверхности единичной сферы ω; dV% — элемент объема в точке %; ∆, ∆% , ∆R — операторы Лапласа, дифференцирующие по компонентам векторов r, %, R соответственно; ⊆ —
символ компактного включения; Jν (z) — функция Бесселя 1-го рода, |argz| < π;
I
1
I(r, R) =
u(%)dS% —
(1)
SR
ΣR (r)
сферическое среднее. Свойства интеграла (1) известны, в частности, он удовлетворяет
уравнению Эйлера — Пуассона — Дарбу: ∆R I(r, R) = ∆I(r, R). Для удобства сформулируем используемые нами свойства сферического среднего в виде леммы (см. [1], с. 694).
Лемма 1. Пусть Ω ⊂ Rn — произвольная область, u ⊂ C 2 (Ω), U R (r) ⊂ Ω. Тогда
интеграл (1) дважды непрерывно дифференцируем по совокупности переменных (r,R) в
c Ю. М. Григорьев, В. В. Наумов, 1998.
°
15
16
Ю. М. Григорьев, В. В. Наумов
некоторой окрестности точки (r,R), причем дифференцирование можно ввести под знак
интеграла:
Z
I
∂
1
1
I(r, R) =
∆% u(%)dV% ; ∆R I(r, R) =
∆% u(%)dS% ,
∂R
SR
SR
UR (r)
∆I(r, R) =
ΣR (r)
I
1
SR
∆% u(%)dS% .
(2)
ΣR (r)
Приведем известную теорему о среднем для уравнения Гельмгольца.
Теорема 1[1, с. 289]. Пусть u ∈ C 2 (Ω) — решение уравнения
∆u(r) + k 2 u(r) = 0, r ∈ Ω ⊂ Rn
(3)
с произвольным комплексным k = const ∈
/ (−∞, 0). Тогда для любого шара U R (r) ⊂ Ω
справедливо равенство
I
Jα (kR)
1
n
α
2 Γ(α + 1)
u(r) =
(4)
u(%)dS% , α = − 1.
α
(kR)
SR
2
ΣR (r)
Новое доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Введем вспомогательную функцию a(R) ∈ C 2 как решение задачи
∆R a(R) + k 2 a(R) = 0,
a0 (0) = 0.
a(0) = 1,
Легко проверить, что эта задача имеет единственное решение
Jα (kR)
.
a(R) = 2α Γ(α + 1)
(kR)α
Введем также функцию g(r, R)
1
g(r, R) = u(r)a(R) −
SR
I
u(%)dS% .
(5)
(6)
(7)
ΣR (r)
Из (5) и (7) видно, что g(r, 0) = 0. По лемме 1, g ∈ C 2 и, с учетом (3), получим:
Z
k2
∂
0
g(r, R) = u(r)a (R) −
u(%)dV% .
∂R
SR
UR (r)
Отсюда ясно, что
∂
g(r, 0) = 0. Снова используя лемму 1 и (3), а также (4), имеем:
∂R
I
k2
2
u(%)dS% +
∆R g(r, R) + k g(r, R) = u(r)∆R a(R) +
SR
+k 2 u(r)a(R) −
k2
SR
I
ΣR (r)
u(%)dS% = 0.
ΣR (r)
Итак, g(r, R) является решением следующей задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения:
∆R g(r, R) + k 2 g(r, R) = 0,
g(r, 0) =
∂
g(r, 0) = 0.
∂R
17
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
В силу единственности ее решения g(r, R) ≡ 0, т. е.
I
1
u(r)a(R) =
u(%)dS% .
SR
(8)
ΣR (r)
Формула (8) с учетом (6) совпадает с (4), что и требовалось доказать.
Примененная выше техника позволяет доказать и обратную теорему о среднем.
Теорема 2. Пусть Ω ⊂ Rn — произвольная область, u ∈ C 2 (Ω). Если для каждой
точки r ∈ Ω существуют такое число R0 = R0 (r) > 0 и его некоторая окрестность ε,
что для всех R ∈ ε выполняются включение UR (r) ⊆ Ω и соотношение (4), то функция
u(r) является решением уравнения Гельмгольца (3) в Ω.
Доказательство. Согласно условиям теоремы, в произвольной точке r ∈ Ω справедливо соотношение (8) для всех R ∈ ε, причем a(R) является решением задачи (5). Применяя
к интегралу (8) лемму 1, имеем:
I
I
1
1
a(R0 )∆u(r) =
∆% u(%)dS% , u(r)∆R0 a(R0 ) =
∆% u(%)dS% .
SR 0
SR 0
ΣR0 (r)
ΣR0 (r)
Отсюда, используя (5), получаем равенство
a(R0 )[∆u(r) + k 2 u(r)] = 0.
Допустим, kR0 не совпадает ни с одним из нулей µα функции Jα (z). Тогда из этого равенства с учетом (6) имеем
∆u(r) + k 2 u(r) = 0.
Если же kR0 совпадает с одним из µα , то в силу изолированности нулей функций Бесселя найдется число R1 6= R0 с окрестностью ε1 ⊂ ε такое, что a(R1 ) 6= 0 и, повторяя
вышеприведенные рассуждения, снова получим
∆u(r) + k 2 u(r) = 0.
В силу произвольности r ∈ Ω теорема доказана.
Лемма 2. Пусть Ω ⊂ Rn — произвольная ограниченная область и функция u ∈ C 0 (Ω).
Если для каждой точки r ∈ Ω существует такое число R0 = R0 (r) > 0, что при всех
R < R0 функция u(r) удовлетворяет свойству (4) среднего значения, то u ∈ C ∞ (Ω).
Доказательство проводится небольшой модификацией стандартной методики с использованием техники усреднения (см. [9], с. 213). Возьмем Ω0 ⊆ Ω. По лемме Гейне—
Бореля найдется такое число R0 = R0 (Ω0 ) > 0, что для всех r ∈ Ω0 и R < R0 для функции
u(r) будет выполнено равенство (4), причем без ограничения общности можно считать,
что kR0 < µα , где µα — первый нуль функции Бесселя Jα (z). Зададим произвольное малое
число ε > 0, ε < R0 и рассмотрим в точке r ∈ Ω0 \ Ω02ε , где Ω02ε — пограничная полоска,
свойство среднего
I
1
u(%)dS% .
(9)
u(r)a(R) =
SR
ΣR (r)
Пусть ωε (|r − %|) = ωε (R) — усредняющее ядро с радиусом усреднения ε (см. [9], с. 29).
Обе части равенства (9) умножим на SR ωε (R)dR и проинтегрируем по R от 0 до ε:
u(r)
Zε
0
a(R)SR ωε (R)dR =
Zε I
u(%)dS% ωε (R)dR =
0 ΣR (r)
Z
u(%)ωε (R)dV% .
Uε (r)
18
Ю. М. Григорьев, В. В. Наумов
Вне шара Uε (r) усредняющее ядро ωε (R) = 0, поэтому, обозначая
Zε
a(R)SR ωε (R)dR ≡ C(ε),
0
имеем
C(ε)u(r) =
Z
u(%)ωε (R)dV% ,
∀r ∈ Ω0 \ Ω02ε .
Ω
Отсюда следует, что u ∈ C (Ω \ Ω02ε ) и, так как ε произвольно мало, то u ∈ C ∞ (Ω0 ). В
силу же произвольности Ω0 ⊆ Ω следует, что u ∈ C ∞ (Ω). Лемма 2 доказана.
Из леммы 2 и теоремы 2 следует
Теорема 3. При условиях леммы 2 функция u ∈ C 0 (Ω) является решением уравнения
Гельмгольца (3) в Ω.
Замечание 1. Предложенный подход можно распространить и на случай неоднородного уравнения Гельмгольца.
Замечание 2. В монографии [6] (с. 21, 22) доказана сильная обратная теорема для
уравнения (3) при некоторых ограничениях на область Ω и значения k 2 . В доказанной
выше обратной теореме 2 нет таких ограничений, она является не сильной, но и не слабой.
∞
0
Авторы благодарны рецензенту за замечания, улучшившие содержание статьи.
Список литературы
[1] Курант Р. Уравнения с частными производными. Мир, М., 1964.
[2] Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. Гостехиздат, М.,
1952.
[3] Diaz J. B., Payne L. E. On a mean value theorem, and its converse, for the displacements
in the theory of elastisity. Portugaliae mathematica, 17, Fasc. 4, 1958, 123–126.
[4] Наумов В. В. Теоремы о среднем для уравнения гармонических колебаний упругого
тела. В “Динамика сплошной среды”, вып. 82, ИГИЛ СО АН СССР, Новосибирск,
1987, 147–153.
[5] Сабельфельд К. К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Наука, Новосибирск,
1989.
[6] Sabelfeld K. K., Shalimova I. A. Spherical means for PDEs. VSP, Utrecht, 1997.
[7] Bramble J. H., Payne L. E. Some converses of mean value theorems in the theory of
elastisity. J. of Mathemat. Anal. and Appl., 10, No. 3, 1965, 553–567.
[8] Половинкин И. П. К теореме о среднем для волнового уравнения. Неклассические
уравнения математической физики. Новосиб. гос. ун-т, 1993, 50–62.
[9] Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Высшая школа, М.,
1977.
Поступила в редакцию 11 июня 1997 г.,
в переработанном виде 31 января 1998 г.