Оптимизация распределения трех взаимосвязанных ресурсов.

2009
№ 140
Научный вестник МГТУ ГА
серия Математика и физика
УДК 347.471.33.37
ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ТРЕХ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ РЕСУРСОВ
А.И. КОЗЛОВ
Решатся задача оптимизации распределения трех функционально связанных между собой ресурсов.
Ключевые слова: оптимизация, функционально связанные ресурсы.
Во многих задачах, связанных с распределением различного рода ресурсов (энергетического, надежностного, финансового и т.д.), часто приходится сталкиваться с необходимостью их
распределения между отдельными «потребителями», стремясь к оптимизации этого процесса по
тому или иному критерию. Узловое соотношение при этом имеет вид:
N
Z = ∑ Zi =
i =1
1
N
N
∑ γ i X iYi =
i =1
1
N
∑ γ (1 − e α )(1 − e β ) .
N
− xi
− yi
i
i =1
(1)
Оптимизационные задачи состоят в обеспечении максимума (минимума) одной из трех
N
N
N
i =1
i =1
i =1
сумм X = ∑ X i , Y = ∑ Yi , Z = ∑ Z i при фиксированных двух других.
Рассмотрим первую оптимизационную задачу, требующую при заданных X и Y максимизировать Z.
Искомое соотношение может быть найдено путем решения системы уравнений
∂Z ( x , y ) ∂Z ( x , y )
=
= 0 , где x = ( x1 ,..., xn ) , y = ( y1 ,..., yn ) , i = 1, N .
∂xi
∂yi
Решение этой системы, к сожалению, не удается представить в замкнутом аналитическом
виде. Тем не менее, о нем можно получить общее представление и увидеть как характер искомых зависимостей, так и влияние фигурирующих в (1) параметров (α , β , γ i ) на его эволюцию.
На практике, чаще всего, не требуется знание абсолютного экстремума, поскольку интерес
представляют его относительные значения. Это приводит для рассматриваемых зависимостей к
двум однотипным оптимизационным задачам: «Как распределить ресурс Х (или Y) между его потребителями, при условии, что ресурс Y (или Х) уже распределен между ними, чтобы обеспечить
максимальное значение Z ?»
При такой постановке искомое решение для обеих оптимизационных задач удается получить в замкнутом виде.
Для первой оптимизационной задачи распределение xi (при заданных yi ), максимизирующее
Z, имеет вид:
xi =
X
1
+
ln
N Nα
giN ( yi )
N −1
∏ g ( y ) g ( y ,..., y )
j
j
N
j =1
1
N −1
g NN −1 ( y1 ,..., y N −1 )
X
1
.
xN = +
ln
N −1
N Nα
∏ gj ( yj )
j =1
,
Оптимизация распределения трех взаимосвязанных ресурсов
119
Для второй оптимизационной задачи распределение yi (при заданных xi ), максимизирующее
Z, имеет вид:
yi =
Y
1
+
ln
N Nβ
kiN ( xi )
N −1
∏ k ( x ) k ( x ,..., x )
j
j
N
N −1
1
j =1
N −1
k
Y
1
yN = +
ln N
N Nβ
( x1 ,..., xN −1 )
N −1
∏k (x )
j
,
.
j
j =1
Подставляя найденные выражения в формулу (1), можно найти искомые Z max :
для первой оптимизационной задачи
H max ( y1 , y2 ,..., yN −1 ) =
1
N
N
N
∑ gi ( yi ) + N ∏ gi ( yi )e
i =1
i =1
N
N
−
αX
N
;
для второй оптимизационной задачи
H max ( x1 , x2 ,..., xN −1 ) =
1
N
∑ ki ( xi ) + N ∏ ki ( xi )e
i =1
−
βY
N
.
i =1
В приведенных формулах введены следующие обозначения
N −1

 

gi ( yi ) = γ i 1 − e − β yi , g N ( y1 ,..., y N −1 ) = γ N 1 − exp − β Y − ∑ y j    , i = 1, ( N − 1),
j =1

 

(
)
N −1

 
 
ki ( xi ) = γ i 1 − e −α xi , k N ( x1 ,..., xN −1 ) = γ N 1 − exp −α  X − ∑ x j    , i = 1, ( N − 1).
j =1
 
 

(
)
Чтобы проиллюстрировать полученные соотношения, рассмотрим наиболее простой случай
N=2.
На рис.1 и 2 представлены рассчитанные зависимости. Они дают представление о значении
Z max при различных ресурсах, выделяемых каждому из двух потребителей, при фиксированных
значениях общих ресурсов Х и Y, выделяемых им. Переход от рисунка к рисунку осуществляется путем изменения ресурса Х.
Как видно из приведенных рисунков, Z max существенно зависит от распределения ресурсов между потребителями, при этом перепад Z max может достигать от полутора до нескольких
раз. Обращает на себя внимание сложная зависимость Z max от параметра γ 2 .
Рассмотрим другой класс оптимизационных задач, соответствующих заданным Z и Y. В
этом случае требуется распределить ресурс между потребителями таким образом, чтобы достичь X min . Для решения этой задачи необходимо получить явный вид зависимости Х от Y и Z,
который, как можно показать, имеет вид:
−1

 N −1  
 
− β Y −∑ y j  
N −1 
N
−
1
 


Nzi


α X = − ln  1 − N  Z − ∑ zi   ⋅ γ N 1 − e  j=1    ⋅ ∏ 1 −
− β yi
i =1

  
  i =1  γ i 1 − e


 

(
)

 
 ,



(2)
А.И. Козлов
120
Hmax
Zmax
H max
1
1,00
ZHmax
max
H0,6
max
0,6
а)
0,4
0,4
0,75
0,75
2
2
3
0,5
0,50
3
0,2
0,2
4
4
0,25
0,25
µt1
00
00
0,5
0,5
1,0
1
µt
21
βy
1,5
1,5
0,6
µt1
00
00
б)
1
б)
1
0,75
0,75
2
2
3
0,5
0,50
3
4
0,2
0,2
00
4
0,25
0,25
µt1
00
µt
β51y1
2,5
2,5
Zmax
HHmax
1 max
1,00
ZH
max
H0,6
max
max
0,4
0,4
а)
1
1
0,5
0,5
1,0
1
βµt
2y1
1,5
1,5
00
HZ
H
Н
max
max
max
в)
β51y1
µt
2,5
2,5
ZH
H max
max
max
0,8
1,00
0,6
0,6
µt1
00
в)
0,6
0,75
0,4
0,4
1
0,2
0,2
1
2
0,4
0,50
3
4
0,2 3
0,25
2
4
00
µt1
00
0,5
0,5
1,0
1
βµt
2y11
1,5
1,5
Рис. 1. К оптимизации распределения Y
между двумя потребителями при βY =5, γ1 =1:
а - αХ =10; б - αХ =5; в - αХ =2. Кривой 1
соответствует γ 2 =0,9; кривой 2 - γ 2 =0,6;
кривой 3 - γ 2 =0,3; кривой 4 – γ 2 =0,1
µt1
00
00
2,5
2,5
µtβ51y1
Рис. 2. К оптимизации распределения Y
между двумя потребителями при βY =2, γ 1 =1:
а - αХ =10; б - αХ =5; в - αХ =2. Кривой 1
соответствует γ 2 =0,9; кривой 2 - γ 2 =0,6;
кривой 3 - γ 2 =0,3; кривой 4 - γ 2 =0,1
Поступая таким же, как это делалось выше, образом, можно получить соответствующие
выражения для zi и yi , минимизирующих Х:
zi =
(
)
N
(
−β y
N  Z + γ i 1 − e − β yi  − ∑ γ j 1 − e j
j =1
X min : λ X min
N2
)
, i = 1, N , что приводит к следующему выражению для
  N
N
= − ln   ∑ γ i 1 − e − β yi − NZ 
  i =1
(
)
−1
 
 N N
− β yi 
N
γ
1
−
e
 ∏ i
  .
i =1

  
(
)
Представленные на рис. 3 и 4 графики иллюстрируют зависимость X min от проведенного
распределения Y между двумя потребителями. Для всех зависимостей характерно наличие минимума.
Оптимизация распределения трех взаимосвязанных ресурсов
αλS
Хmin
min
λS min
6
121
αХmin
λS
λS min
6 min
a)
a)
55
1
44
44
2
3
1
33
2
3
22
00
0,25
2,5
0,50
5
µt1
βy
µt
µ10
t1 11
0,75
7,5
11
22
33
αλS
Хmin
min
λS min
3
αλS
Хmin
min
λS min
4
б)
б)
33
1
1
22
22
2
2
3
11
00
µt1
β41y1
µt
2
00
0,25
2,5
0,50
5
3
µt1
µ
ty
βµt
10111
0,75
7,5
µt1
4
β1y1
µt
11
11
22
33
λS
αХmin
λS1,5
min min
αХmin
λS
λS1,5
minmin
в)
в)
1
1
1
1,0
1
1,0
2
0,5
0,5
2
0,5
0,5
3
3
00
00
0,25
2,5
0,50
5
0,75
7,5
µt1
µ
t1y1
β10µt
Рис.3. К оптимизации распределения Y
между двумя потребителями при βY =10, γ 1 = 1 :
а - Z=0,8; б - Z=0,6; в - Z=0,4. Кривой 1
соответствует γ 2 =0,9; кривой 2 - γ 2 =0,6;
кривой 3 - γ 2 =0,3; кривой 4 - γ 2 =0,1
µt1
00
1
1
2
2
3
3
4
4
5
βµt
y11
Рис.4. К оптимизации распределения Y между
двумя потребителями при µT =5, γ 1 = 1 .
а - Z=0,8; б - Z=0,6; в - Z=0,4. Кривой 1
соответствует γ 2 =0,9; кривой 2 - γ 2 =0,6;
кривой 3 - γ 2 =0,3; кривой 4 - γ 2 =0,1
OPTIMIZATION OF THE DISTRIBUTION OF THREE INTERCONNECTED RESOURCES
Kozlov A.I.
The problem of optimization of the distribution for three functionally interdependent resources.
Сведения об авторе
Козлов Анатолий Иванович, 1939г.р., окончил МФТИ (1962), заслуженный деятель науки и техники РФ, академик Академии транспорта РФ и Международной академии информатизации, профессор,
доктор физико-математических наук, Соросовский профессор, советник ректора МГТУ ГА, заведующий
кафедрой авиационных радиоэлектронных систем МГТУ ГА, автор более 300 научных работ, область
научных интересов - радиофизика, радиолокация.