close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Иллюстрирующие программы реализующие алгоритмы интегрирования рациональных дробей.

код для вставкиСкачать
А. А. П О П О В , С. Н . Ц А Р Е Г О Р О Д Ц Е В
77
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения. — СПб.: Лань, 2006. — 288 c.
2. Ноутон П., Шилдт Г. Java 2: пер. с англ. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — 1073 с.
3. Попов А. А. Тренажер по аналитическому решению линейных дифференциальных уравнений методом Лагранжа // Новые информационные технологии в образовании: материалы междунар. науч.-практ. конф. — Екатеринбург, 2011. — Ч. 1. — С. 199–202.
А. А. Попов, С. Н. Царегородцев
Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола
ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЕ ПРОГРАММЫ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Приведено описание интерактивных компьютерных программ на языке Java, реализующих задачи
интегрирования дробно-рациональных выражений. Запрограммированы процессы выделения целой
части неправильной дроби, разложения правильной дроби на простые дроби с использованием метода
неопределенных коэффициентов и интегрирования простых дробей.
Интегрирование дробно-рациональных выражений построено на элементарных преобразованиях, позволяющих свести исходный интеграл к сумме интегралов от простых дробей. Студентам необходимо освоить такие вопросы, как выделение целой части дроби, разложение правильной дроби на простые множители с помощью метода неопределенных коэффициентов, нахождение коэффициентов разложения из системы линейных
алгебраических уравнений, выделение полного квадрата в квадратном трехчлене [1]. Представить весь процесс
решения на аудиторной доске, как правило, требует значительных усилий преподавателя. С другой стороны,
подобные решения легко алгоритмизируются и могут быть представлены в виде компьютерных иллюстрирующих
программ.
Выделение целой части дроби, и выделение полного квадрата в знаменателе дроби рассмотрены отдельно
от метода неопределенных коэффициентов. В исходном интеграле степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе. Все коэффициенты выбраны так, чтобы в процессе деления многочлена
на многочлен не образовывались дробные числа, а знаменатель не имел действительных корней. В итоге получается интеграл от суммы степенных функций и правильной дроби. При делении запоминаются коэффициенты
многочленов, которые образуются в промежуточных действиях. Рассмотрены варианты интегрирования простой дроби с квадратным трехчленом путем выделения полного квадрата в знаменателе и сведения интеграла
к двум табличным интегралам при различных комбинациях знаков коэффициентов в знаменателе.
Метод неопределенных коэффициентов иллюстрируется на интеграле вида
A3 x 3 + A2 x 2 + A1 x + A0
ò ( x - a )( x - b ) ( x2 + px + q ) dx .
Подынтегральная функция является правильной дробью, в знаменателе которой, кроме квадратного
трехчлена, имеются еще два линейных сомножителя. Коэффициенты выбираются так, что в разложении подынтегральной функции на простые дроби
A3 x3 + A2 x 2 + A1 x + A0
F
F x + F0
F
= 3 + 2 + 21
.
2
x
+ px + q
x
a
x
b
( x - a )( x - b ) ( x + px + q )
неопределенные коэффициенты F после их нахождения оказались бы целыми числами. После приведения правой части к общему знаменателю, отбрасывания одинаковых знаменателей и приравнивания коэффициентов
при одинаковых степенях x получается система линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов, после нахождения которых исходный интеграл можно представить в виде суммы интегралов от простых
дробей. Случай разложения, когда a = b, выделен отдельно.
В качестве языка программирования был выбран язык Java [2]. Рассмотренным трем вариантам разложения
соответствуют три класса, в каждом из которых записано специально закодированное решение в виде массива
строк. В качестве специальной разметки строк здесь выбраны последовательности символов «<...>{...}» и «[...]».
В угловые скобки помещается числитель дроби, в фигурные скобки — знаменатель дроби, в квадратные скобки —
показатель степени. В разложениях на простые дроби неизвестными являются только коэффициенты F.
Индексы специально не кодируются, т. к. заранее известно, что каждый из них следует после символа F.
Массиву строк, который определяет то или иное решение, поставлено в соответствие графическое представление. Причем информация о значении символа, его координатах, размерах и цвете размещена в массивах,
что позволяет решение каждой задачи выводить на экран посимвольно.
78
И Н ФОРМ АЦИ ОНН Ы Е ТЕХН ОЛОГ ИИ В П РЕП ОДАВАН И И
ЕСТЕСТВЕН Н О- Н АУЧН ЫХ ДИ СЦИП ЛИН
На рисунке 1 представлена заключительная часть решения задачи, в которой преобразуется интеграл с квадратным трехчленом к сумме двух интегралов. Первоначально в первой строке представлен только исходный интеграл. Далее реализуется деление многочлена на многочлен и на основе результатов деления продолжена первая
строка и проведено дальнейшее решение.
Рис. 1. Реализация задачи с выделением целой части дроби
Рис. 2. Окно с текущим содержимым для задачи, использующей метод неопределенных коэффициентов
На рисунке 2 приведено начало решения задачи, когда подынтегральная функция разлагается на простые
дроби. Далее на месте третьей и четвертой строк, которые делаются невидимыми, производится перегруппировка слагаемых, а затем на месте пятой и шестой строк записывается система линейных алгебраических
уравнений.
Задачи интегрирования рациональных дробей включают большой объем аналитических преобразований,
и именно для таких задач удобно использовать интерактивные иллюстрации с посимвольным выводом информации, моделирующей процесс написания формул на аудиторной доске.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа: учеб. для вузов. — М.: Наука, 1989. — 736 с.
2. Ноутон П., Шилдт Г. Java 2: пер. с англ. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — 1073 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
297 Кб
Теги
дробей, иллюстрирующая, алгоритм, программа, рационально, интегрированный, реализующих
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа