О больших уклонениях для классических распределений порождаемых дробными долями показательной функции с целым основанием.

ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ФИЗИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2004. №30
Теория вероятностей
УДК 511.2+519.2
Л.П. Усольцев
О БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЯХ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ,
ПОРОЖДАЕМЫХ ДРОБНЫМИ ДОЛЯМИ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
С ЦЕЛЫМ ОСНОВАНИЕМ
Исследуется асимптотика больших уклонений для распределений соответственно нормированных
нарастающих сумм значений некоторых функций, задаваемых на последовательностях, порождаемых дробными долями показательной функции с фиксированным целым основанием.
Пусть q ³ 2 – фиксированное целое число, а f (t ) – вещественная, суммируемая с квадратом на отрезке [ 0,1] периодическая функция с периодом 1 и коэффициентами Фурье
1
cm = ò f (t )e - 2p imt dt
( m = 0, ± 1, ± 2, ...),
0
удовлетворяющими условию
A
( m = 1, 2, ...),
ma
где A > 0 и a ³ 1 – некоторые постоянные. Для натуральных N положим
1 N -1
S N (t ) =
å f ( q nt ) - c0 (0 £ t £ 1)
N n =0
и
FN ( x ) = mes { t Î [ 0, 1 ] : S N (t ) < x } (-¥ < x < +¥) .
Обозначим через s неотрицательное число, определяемое соотношением
cm £
(
(1)
)
1
s 2 = lim ò S N2 (t ) dt
N ®¥
0
(известно (см., например [1], § 15), что этот предел существует), а через Ф(x ) – нормальную
функцию распределения с параметрами ( 0,1 ) .
Будем изучать асимптотику больших уклонений для распределения сумм S N (t ) с s ¹ 0 в
промежутке [ 0,1] при N ® ¥ .
Случай a > 1 рассмотрен в работе [2], в которой доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Если a > 1 и s ¹ 0 , то существует положительная постоянная d , зависящая от
A, a и s , такая, что при N ® ¥ в области 1 £ x £ d N 1 / 6 выполняются соотношения:
é
æ x 3 öù
÷ú
1 - FN (s x) = [1 - Ф( x )]× ê1 + O çç
÷
è N øúû
ëê
и
é
æ x 3 öù
÷ú
FN (-s x) = Ф( - x) × ê1 + O çç
÷
N
êë
è
øúû
с постоянной в символе “O”, зависящей от A, a и s .
Целью настоящей заметки является доказательство следующего утверждения, анонсированного в [3].
99
Теорема 2. Если a = 1 и s ¹ 0 , то существует положительная постоянная d , зависящая от
A и s , такая, что при N ® ¥ в области 2 £ x £ d N 1 / 10 выполняются соотношения:
é
æ x 3 ( x 2 + ln N ) öù
÷ú
1 - FN (s x ) = [1 - Ф( x )]× ê1 + O çç
÷
N
êë
øúû
è
(2)
и
é
æ x 3 ( x 2 + ln N ) öù
÷ú
FN ( -s x ) = Ф( - x ) × ê1 + O çç
÷
N
øûú
è
ëê
с постоянной в символе “O”, зависящей от A и s .
Важнейшим здесь является случай, когда
ì1, если {t} Î D,
f (t ) º xD (t ) = í
( -¥ < t < +¥)
î0, если {t} Ï D,
с D = [ a, b ) Ì [ 0,1 ) и b - a < 1 . В этом случае s ¹ 0 (см. [4]), а сумма
(3)
N -1
å f (q mt ) при любом веn= 0
щественном t дает количество попаданий дробных долей {q t} ( n = 0,1, 2, ... , N - 1) в промежуток D .
При доказательстве теорем 1 и 2 реализуется новый подход, суть которого заключается в
том, что близость характеристических функций распределений FN и Ф оценивается не по моментам распределения FN , M , в которое переходит FN в результате замены функции f (t ) M –
n
ой частичной суммой ее ряда Фурье с достаточно большим M (так в сходных вопросах поступал А.Г. Постников [1]), а по семиинвариантам g k распределения FN , M . Это оказалось возможным после того, как в работе [5] (лемма 1 на с. 49) было получено представление семиинвариантов g k через коэффициенты Фурье cm :
gk =
1
N -1
1
1
где символом
*
å
m , ... , m
1
N -1
*
...
cm ... cm
å
k /2 å å
N
n =0 n =0 m , ... , m
k
1
k
(k = 2, 3, ...),
(4)
k
обозначено суммирование по всем таким упорядоченным наборам
k
( m1 , ..., mk ) целых чисел с условием 1 £ mi £ M (i = 1, 2, ... , k ) , что
m1q n1 + ... + mk q nk = 0,
(5)
но при каждом r = 1, 2, ... , k - 1 для любых r попарно различных чисел j1 , ... , jr множества
{1, 2, ... , k} справедливо неравенство
m j1 q
n j1
+ ... + m jr q
n jr
¹ 0.
(6)
Представление семиинвариантов g k в виде (4) позволяет оценивать их, не решая диофантовых уравнений вида (5) в целых числах n1 , ..., nk Î {0,1, 2, ..., N - 1} при фиксированных целых
m1 , ... , mk . Именно это обстоятельство и является причиной большей эффективности нашего
подхода по сравнению с теми, при которых функция распределения FN (x) строится по моментам распределения FN , M , оценить которые, не решая уравнений вида (5), не удается.
Оценив семиинварианты g k распределения FN , M , мы находим асимптотику больших уклонений для этого распределения (а в конечном счете, и для распределения FN ), используя замечательную теорему В.А. Статулявичуса ([6]; см. также [7], с. 307, § 8.4.10) о восстановлении
асимптотики больших уклонений по семиинвариантам распределения.
Доказательство теоремы 2. Очевидно, теорему достаточно доказать для случая
1
с0 = ò f (t ) dt = 0 , так как к нему сводится и случай с0 ¹ 0 : надо только вместо функции f (t )
0
рассматривать функцию f (t ) - с0 . Будем поэтому считать, что
100
1
¥
с0 = ò f (t ) dt = 0,
å 'cme 2p imt ,
f (t ) ~
m = -¥
0
где штрих у знака суммы указывает на отсутствие слагаемого, отвечающего значению m = 0 . В
этом случае выражение для суммы S N (t ) принимает вид
1 N -1
f (q n t ) (0 £ t £ 1) .
(7)
å
N n= 0
Заметим еще, что, вследствие вещественнозначности функции f (t ) , при всех целых m
справедливо равенство
c- m = cm .
(8)
Для любого натурального числа M мы полагаем
S N (t ) =
'c e 2p imt
m
å
m £M
f M (t ) =
( -¥ < t < +¥)
(9)
и (см. (6))
~
f M (t ) = f (t ) - f M (t ) ~
cm e 2p imt
å
m >M
( -¥ < t < +¥) .
(10)
Лемма 1. Каковы бы ни были натуральные числа N и M , справедливо неравенство
2
1
æ 1 N -1 ~
ö
8 A2
(11)
.
f M ( q n t ) ÷÷ dt £
ò ççè N å
M
n
=
0
ø
0
Доказательство леммы. Если n1 и n2 – целые числа и n2 ³ n1 ³ 0 , то, вследствие (10),
~
f M ( q n2 -n1 t ) ~
cm e 2p imq
å
m >M
n2 - n1
t
.
Но тогда, в силу равенства Персеваля,
1
1
~
~
~
~
n1
n2
n -n
ò f M (q t ) f M (q t ) dt = ò f M (t ) f M (q 2 1t ) dt =
0
å
c
m >M
0
q
n 2 -n1
m
cm ,
а отсюда, вследствие соотношений (8) и (1) с a = 1 , получаем:
1
ò
2 A2
A2
=
m 2 q n2 -n1 q n2 -n1
~
~
f M ( q n1 t ) f M ( q n2 t ) dt £ 2 å
m> M
0
å
m>M
1
2 A2
.
£
m 2 2n2 -n1 M
Поэтому
1
æ 1
ò0 ççè N
2
ö
~
1
å f M (q nt ) ÷÷ dt = N
n=0
ø
N -1
£
N -1 N -1 1
~
~
2
n
n
ò0 f M (q 1 t ) f M (q 2 t ) dt £ N
å å
n1 = 0 n 2 = 0
2
N
N -1
N -1
2A
å å
n =0 n =n
1
2
2
1
2
n2 - n1
M
£
4A
M
2
¥
1
å
k
k =0 2
N -1 N -1 1
~
~
å å ò f M (q n t ) f M (q n t ) dt £
n =0 n =0 0
=
1
1
2
2
2
8A
.
M
Лемма 1 доказана.
Продолжаем доказательство теоремы. Взяв произвольные целые числа N ³ 2 и M ³ q , положим
~
1 N -1
S N , M (t ) =
f M ( q n t ), S N , M (t ) = S N (t ) - S N , M (t ) (0 £ t £ 1),
(12)
å
N n =0
FN , M ( x) = mes t Î [ 0,1 ] : S N , M (t ) < x
(-¥ < x < +¥),
(13)
{
}
1
j N , M (u ) = ò exp{iuS N , M (t )}dt
(-¥ < u < +¥)
(14)
0
и
1
s
2
N, M
= ò S N2 , M (t ) dt
(s N , M ³ 0).
(15)
0
В силу соответствий (12), (7) и (10),
101
1 N -1 ~
å f M (q nt )
N n =0
Поэтому неравенство (11) можно переписать в виде
S N , M (t ) =
(0 £ t £ 1).
1
~2
8 A2
S
(
t
)
dt
.
£
ò N,M
M
0
(16)
Лемма 2. Каковы бы ни были вещественные числа x и c > 0 , справедливы неравенства
8 A2
FN , M ( x - c ) £ FN ( x) £ FN , M ( x + c ) + 2 .
(17)
c M
Доказательство леммы. В силу равенств (12) и (13), при всех вещественных x и c > 0 мы
имеем:
FN ( x ) = mes {t Î [ 0,1 ] : S N (t ) < x } =
{ t Î [ 0,1 ] : S
+ mes { t Î [ 0,1 ] : S
³ mes { t Î [ 0,1 ] : S
= mes
³ mes
и
FN ( x ) £ mes
{ t Î [ 0,1 ]
N
(t ) < x,
}
(t ) > c } ³
(t ) £ c } ³
S N (t ) - S N , M (t ) £ c +
N (t )
< x,
S N (t ) - S N , M
N (t )
< x,
S N (t ) - S N , M
}
: S N , M (t ) < x - c = FN , M ( x - c )
{ t Î [ 0,1 ] :
{
}
(18)
}
S N , M (t ) < x + c + mes t Î [ 0,1 ] : S N (t ) - S N , M (t ) > c =
~
(19)
= FN , M ( x + c ) + mes t Î [ 0,1 ] : S N , M (t ) > c .
{
}
Но, в силу неравенства П.Л. Чебышева и оценки (16),
1
~
1
8 A2
mes t Î [ 0, 1 ] : S N , M (t ) > c £ 2 ò S N2 , M (t ) dt £ 2 .
с 0
c M
Отсюда и из неравенств (18) и (19) вытекает справедливость неравенств (17). Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Справедливо неравенство
æ ln M 1 ö
s 2 - s N2 , M £ 50 A2 ç
+ ÷.
(20)
Nø
è M
Доказательство леммы. Известно (см., например, [1], c. 85), что
{
}
1
¥ 1
s = ò f (t ) dt + 2å ò f (t ) f ( q n t ) dt
2
2
(21)
n=1 0
0
и
1
ò
1
N -1 1
= ò f (t ) dt + 2 å
S N2 (t ) dt
ò
n =1
2
0
0
0
2
f (t ) f ( q t ) dt N
n
N -1
1
n =1
0
å n ò f (t ) f (q nt ) dt ,
(22)
а переписав равенство (22) для функции f M (t ) (с учетом (12) и (15)), получим :
1
s
2
N, M
=ò
f M2
0
N -1 1
2
f M (t ) f M ( q t ) dt N
(t ) dt + 2 å ò
n
n =1 0
N -1
1
n =1
0
å n ò f M (t ) f M (q nt ) dt.
(23)
Из равенств (21) и (23) следует, что
N -1
s 2 - s N2 , M £ 2å
n =0
¥
1
ò0
1
f (t ) f (q nt ) dt - ò f M (t ) f M (q n t ) dt +
0
1
1
2 N -1
å n ò f M (t ) f M (q nt ) dt .
ò
N
n= N 0
n =1
0
Далее, вследствие соотношений (6) и (9), при всех целых n ³ 0
+ 2å
f (q n t ) ~
f (t ) f (q n t ) dt +
¥
å 'cme2p imq t
m = -¥
n
и
f M ( q nt ) =
и, значит, в силу равенства Парсеваля, при n ³ 0 будет
102
'c e 2p imq t ,
å
m
m £M
n
(24)
1
ò
¥
å 'c
f (t ) f (q n t ) dt =
m = -¥
0
qn m
cm ;
при 0 £ n £ [ln M / ln q] будет:
1
n
' c c ,
q m m
ò0 f M (t ) f M (q t ) dt = m å
£ [M / q ]
n
n
а при n > [ln M / ln q ] :
1
ò f M (t ) f M (q
n
t )dt = 0 .
0
Поэтому из неравенства (24) вытекает, что
[ln M / ln q ]
s 2 - s N2 , M £ 2
å
n =0
å
[
m > M q
n
]
cq n m cm + 2
å
n > [ln M
[
'c c + 2
n
q m m
N
ln q ] m = -¥
ln M ln q ]
¥
å
å
n =1
n
å'
[
m £ M qn
]
cq n m cm ,
а отсюда, вследствие соотношений (8) и (1) с a = 1 , получаем
[ln M ln q ]
1
1
1 ¥ 1 4 A2 [ln M ln q ] n ¥ 1
2
A
4
s 2 - s N2 , M £ 4 A2 å
+
å
å nå 2+ N å
å £
qn m > [ M qn ] m2
q n m =1 m 2
n=0
n > [ ln M ln q ] q m =1 m
n =1
4
6ö
æ 6 ln M
æ ln M 1 ö
£ 4 A2 ç
+
+ ÷ £ 50 A 2 ç
+ ÷.
M
M
N
Nø
è
ø
è M
Лемма 3 доказана.
Положим C = 100 A 2 s и всюду в дальнейшем будем считать числа N ³ 2 и M ³ q выбранными так, что
M
2C
³N³
.
(25)
ln M
s
В этом случае, в силу неравенства (20), будет
s N, M -s =
s 2 - s N2 , M
s + s N,M
£
50 A2 æ ln M 1 ö 100 A2 C
+ ÷£
=
ç
s è M
Nø sN
N
(26)
и
0<
Для k = 2, 3, K положим
g k (N , M ) =
где символом
(m1 ,K , mk )
å*
s
3s
£ s N,M £
.
2
2
1
Nk 2
N -1
N -1
åL å
n1 = 0
(27)
å * cm L cm
nK = 0 m1 ,K , mk
1
k
,
обозначено суммирование по всем таким упорядоченным наборам
m1 ,K , mk
целых чисел с условием 1 £ mi £ M
(i = 1,2,K, k ) ,
что m1q n1 + L + mk q n k = 0 , но
при каждом r = 1, 2,K , k - 1 для любых r попарно различных чисел j1 ,K, jr множества
{1, 2,K, k} справедливо неравенство
m j1 q
n j1
+ L + m jk q
n jk
¹ 0.
В работе [5] (лемма 1 на с. 49) доказано следующее утверждение.
Лемма 4. При всех вещественных u справедливо разложение
¥
(iu ) k g k ( N , M )
log j N , M (u ) = å
,
k!
k =2
где j N , M (u ) - функция, определяемая равенством (14), а символом log обозначено главное значение логарифма.
Так как j N , M (u ) - характеристическая функция распределения FN , M , то утверждение лем-
мы 4 означает, что величины g k (N , M )
деления.
(k = 2, 3,K) являются семиинвариантами этого распре-
103
Как уже отмечалось, в основе доказательства теоремы 2 лежит оценка величин
g k = g k (N , M ) .
Лемма 5. При всех целых k ³ 3 справедлива оценка
æ D ln M
g k ( N , M ) £ çç
N
è
ö
÷÷
ø
k -2
× k!
(28)
с D = 384 A2 ( A 2 + 1) .
Доказательство леммы. Будем, ради краткости, вместо g k (N , M ) писать просто g k . В
å Kå
квадратных скобках под выражением вида
m1
будем записывать условия, которым под-
mk
чинены величины m1 , K, mk . Очевидно при всех целых k ³ 3
gk =
1
Nk 2
N -1
N -1
n1= 0
nk = 0
å 'L å 'cm L cm
åL å
m1 £ M
mk £ M
1
k
,
[ m1q n1 +L + mk q nk = 0, U k ]
где символом U k закодировано условие: «при каждом r = 1,2,K, k - 1 для любых r попарно
множества
{1, 2,K, k} справедливо неравенство
различных
чисел
j1 ,K, jr
m j1 q
n j1
+ L + m jk q
n jk
¹ 0 ». Поэтому, учитывая соотношения (8) и (1) с a = 1 , мы получаем:
gk £
k!
Nk 2
N -1
å
n =0
n1
nk -1
n2 = 0
nk = 0
'L
' c Lc
å
å
m
m
m £M
m £M
åL å
1
1
1
k
£
k
[ m1q n1 +L + mk q nk = 0, U k ]
£
A k k! N -1
å
N k 2 n1 =0
n1
nk -1
L å å 'L å '
å
n =0 n =0 m £ M
m £M
k
2
k
1
1
=
m1 L mk
n1
[ m1q +L + mk q nk = 0, U k ]
=
A k k ! N -1
å
N k 2 n1 = 0
n1
n k -1
n2 = 0
nk = 0
åL å
å 'L å '
m1 £ M
mk £ M
1
1
×
.
m1 L mk -1 m1q n1 - n k + L + mk -1q n k -1 - n k
(29)
[U k ]
А так как
n k -1
1
å
n k -1
=å
¥
1
1
<
= 2,
å
s
s
q
s =0 2
q nk -1 - nk s =0
то из соотношения (29) следует, что
A k k! N -1 n1 nk -1
1
1
1
g k £ k 2 å åL å n - n å 'L å '
×
£
n
n
N n1 =0 n2 =0 nk = 0 q k -1 k m1 £ M mk -1 £ M m1 L mk -1 m1 q 1 k -1 + L + mk - 2 q nk -2 - nk -1 + mk -1
nk = 0
[U k -1 ]
£
k
N -1
2 A k!
å
N k 2 n1 =0
n1
nk -2
åL å å 'L å '
n2 = 0
nk -1 = 0 m1 £ M
mk -1 £ M
1
1
×
. (30)
n1 - nk -1
m1 L mk - 2 mk -1 ( m1 q
+ L + mk -2 q nk - 2 - nk -1 + mk -1 )
[U k -1 ]
M
1
m =1 m m + b
[m + b ¹ 0]
Заметим, что при всех целых b ¹ 0 справедлива оценка
12 ln M
T (b) £
.
b
Рассмотрим величину T (b) = å
104
( b ¹ 0 – целое число).
(31)
Из соотношений (30) и (31) следует, что
nk -2
2 A k k! × 24 ln M N -1 n1
1
1
'L
'
L
×
gk £
.
å
å
å
å
å
k 2
n1 - nk -1
N
m1 q
+ L + mk - 2 q nk -2 - nk -1
n1 = 0 n2 = 0 nk -1 = 0 m1 £ M
mk -2 £ M m1 L mk - 2
[U k - 2 ]
Сравнивая эту оценку величины g k с оценкой (29), мы видим, что, продолжая наш процесс, мы
через некоторое число шагов придем к оценке
2 A k k! × (24 ln M ) k -2 N -1 n1
1
'
gk £
.
å
å
å
k 2
n1 - n 2
N
n1 = 0 n2 = 0 m1 £ M m1 × m1 q
Но тогда
4 A k k! × (24 ln M ) k - 2
gk £
Nk 2
N -1
n1
å å q n -n
n1 = 0 n2 = 0
1
(
2
)
1 16 Ak k!( 24 ln M ) k - 2 æ 384 A A 2 + 1 ln M
£ çç
å m2 £
N k 2 -1
N
m =1
è
M
1
ö
÷
÷
ø
k -2
× k!
Лемма 5 доказана.
Положим
1 (k - 2)
æ 4k!s N2 , M ö
÷
.
D N , M = s N , M × inf ç
k ³3 ç g ( N , M ) s 2 ÷
k
ø
è
Вследствие (27) и (28), справедливо неравенство
s N
D N,M ³
,
(32)
2 D ln M
а в силу теоремы В.А. Статулявичуса о восстановлении асимптотики больших уклонений по
семиинвариантам распределения ([6]; см. также [7], с. 307, § 8.4.10), существует постоянная
d 1 > 0 , зависящая от s , такая, что в области 1 £ x £ d1 D N , M выполняются соотношения
1 - FN , M (s N , M x)
1 - Ц ( x)
ìï x 3
æ x
lç
= exp í
ïî D N , M çè D N , M
æ
öüï é
÷ý × ê1 + Oç x
ç DN,M
÷ï ê
è
øþ ë
öù
÷ú
÷ú
øû
и
ìï x 3
æ x öù
æ
x ö÷üï é
÷ú ,
lç × ê1 + Oç
= exp íý
÷
ç
÷
ç
D
D
D
Ц (- x)
ê
ïî
N,M
N , M øï
è N , M øúû
è
þ ë
где l (t ) - степенной ряд Крамера (строящийся по семиинвариантам распределения FN , M ),
FN , M (-s N , M x)
сходящийся при t £ d1 (здесь и всюду далее постоянные в символах “ O ” зависят от A и s ).
Но тогда, в силу неравенства (32), в области 1 £ x £ d 1 N ( D ln M ) справедливы соотношения
ìï æ x 3 ln M
1 - FN , M (s N , M x) = [1 - Ц ( x )]× exp íOçç
ïî è
N
öüï é
æ x ln M
÷ý × ê1 + Oçç
֕
è N
øþ ë
öù
÷÷ú
øû
и
ìï æ x 3 ln M öïü é
æ x ln M öù
÷ý × ê1 + Oçç
÷÷ú .
FN , M (-s N , M x) = Ц (- x ) × exp íOçç
÷
ïî è
N øïþ ë
è N øû
А отсюда вытекает уже, что существует постоянная d 2 > 0 , зависящая от A и s , такая, что в
области
N1 6
1 £ x £ d2 1 3
(33)
ln M
выполняются соотношения
é
æ x 3 ln M öù
÷ú
(34)
1 - FN , M (s N , M x) = [1 - Ц ( x) ]× ê1 + Oçç
N ÷øúû
êë
è
и
é
æ x 3 ln M öù
÷ú .
(35)
FN , M (-s N , M x) = Ц (- x) × ê1 + Oçç
N ÷øûú
è
ëê
105
(
)
Положим c = 1 N 5 6 ln1 3 M и d = min (1, d 2 3) . Вследствие неравенств (26) и (27), в области
2£ x£
справедливы соотношения
æ e - x2 2
æs x ± c ö
÷
ç
- Ц ( x ) = Oç 5 6 1 3
Ц
ç s N,M ÷
ç N ln M
ø
è
è
d N1 6
ln1 3 M
(36)
ö
÷,
÷
ø
ö
æ e-x2 2
æ s x±cö
÷
ç
- Ц (- x ) = Oç 5 6 1 3 ÷ .
Ц ç s N,M ÷
ç N ln M ÷
ø
è
ø
è
s x±c
Поэтому, заменив в соотношениях (33) – (35) x на
, мы, в силу неравенствa (17), смоs N,M
жем утверждать, что в области (36) выполняются соотношения
é
öù é
æ e-x2 2
æ x 3 ln M öù
æ N 5 3 ln 2 3 M ö
÷ú + O ç
÷
ê
1 - FN (s x ) = 1 - Ц ( x) + Oç 5 6 1 3 ÷ú × ê1 + Oçç
÷
÷
ç
ç N ln M ÷ú ê
M
N
êë
ú
øû
è
ø
è
øû ë
è
и
é
öù é
æ e- x2 2
æ x 3 ln M öù
æ N 5 3 ln 2 3 M ö
÷ú + O ç
÷.
FN (-s x) = êЦ ( - x) + Oç 5 6 1 3 ÷ú × ê1 + Oçç
÷
ç
ç N ln M ÷ú ê
M
N ÷øûú
êë
è
ø
è
øû ë
è
Учитывая теперь, что при x ³ 1 справедливы неравенства
1 - x2 2
1 -x2 2
1 - Ц ( x) ³
e
e
и Ц ( - x) ³
,
2x
2x
нетрудно привести соотношения (37) и (38) к следующему виду:
é
æ xe x 2 2 N 5 3 ln 2 3 M öù
æ x 3 ln M ö
÷ú
÷ + Oç
1 - FN (s x ) = [1 - Ц ( x )]× ê1 + Oçç
÷
ç
÷ú
M
N
êë
è
ø
è
øû
и
é
æ xe x 2 2 N 5 3 ln 2 3 M öù
æ x 3 ln M ö
÷ú .
÷ + Oç
FN (-s x ) = Ц ( - x ) × ê1 + Oçç
ç
÷ú
M
N ÷ø
êë
è
è
øû
Взяв произвольно число x0 в области
2 £ x £ d N 1 10 ,
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
x02
положим M = [ N 3e 2 ] , что не противоречит неравенствам (25). При таком выборе числа M
область (41) будет содержаться в области (36) и, следовательно, будут выполняться соотноше2
ния (39) и (40) с x = x0 и M = [ N 3e x0 2 ] :
é
æ x 3 ( x 2 + ln N ) öù
÷ú
1 - FN (s x0 ) = [1 - Ц ( x0 )] × ê1 + Oçç 0 0
÷
N
êë
è
øúû
и
é
æ x 3 ( x 2 + ln N ) öù
÷ú
FN ( -s x0 ) = Ц ( - x0 ) × ê1 + Oçç 0 0
÷
N
è
øûú
ëê
с постоянной в символе “ O ”, не зависящей от x0 . Мы доказали справедливость соотношений
(2) и (3) в произвольной точке x0 области (41), а значит, и во всей этой области.
Теорема 2 доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
106
Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений // Труды Матем.
ин-та им. В.А.Стеклова. М: Наука.Т.82. 1966. 112 с.
Усольцев Л.П. Центральная предельная теорема и большие уклонения для одной суммы с показательной функцией // Марковские случайные процессы и их применение. Межвуз. научн. сб. Саратов: СГУ, 1980. С. 105-114.
Усольцев Л.П. О больших уклонениях для распределения дробных долей показательной функции // Обозрение
прикл. и промышл. матем. Сер. Вероятн. и статист. М.: ТВП, 1999. Т.6. Вып. №1. С. 209-210.
Усольцев Л.П. К закону повторного логарифма в задаче о распределении дробных долей показательной функции
// Труды Куйбыш. авиац. ин-та. Математика. 1975. Вып. №1 С. 24-28
5.
6.
7.
Усольцев Л.П. Неулучшаемая оценка скорости сходимости к нормальному закону и асимптотика больших уклонений в одном частном случае теоремы Форте-Каца // Исследования по аддитивной теории чисел . Научн. труды
Куйбыш. пед. ин-та. 1978. Т. 215. С. 45-76.
Statulevic€ius V.A. On large devitions // Z. Wahr. 1966. V.6, №2. S. 133-144.
Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.:Наука, 1972. 416 с.
Поступила 2.06.2004 г.
107