О лиево нильпотентных алгебрах Пуассона.

14 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №23(142). Вып. 29
УДК 512.572
О ЛИЕВО НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ ПУАССОНА
О.И. Череватенко
Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н.Ульянова,
пл. 100-летия со дня рождения В.И. Ленина, 4, Ульяновск, 432700, РФ, e-mail: [email protected]
Аннотация. Приводятся конструкции алгебр, порождающих многообразия лиево нильпотентных алгебр Пуассона.
Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр.
Алгебра A = A(+, ·, {, }, K) над полем K называется алгеброй Пуассона, если
A(+, ·, K) – ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, A(+, {, }, K) – алгебра
Ли с операцией умножения {, } и для любых a, b, c ∈ A выполнено правило:
{a · b, c} = a · {b, c} + {a, c} · b .
Пусть V – многообразие алгебр Пуассона (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографии [1]). Алгебры Пуассона возникают
в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной
теоретической физике (см. [2]) и т.д. Обозначим через K(X, V) относительно свободную алгебру данного многообразия, где X = {x1 , x2 , ...} – счетное множество свободных образующих. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о
многообразии V содержится в его полилинейных компонентах Pn (V), n = 1, 2, ..., где
Pn (V) это линейное подпространство в пространстве K(X, V), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных x1 , ..., xn . Сведения о PI-алгебрах Пуассона
можно найти, например, в работах [3] и [4].
Договоримся опускать скобки {, } при их левонормированной расстановке, то есть
{{{x1 , x2 }, x3 }, ..., xn } = {x1 , x2 , ..., xn }.
Пусть SUN = SUN (K) — алгебра строго верхнетреугольных 1) матриц порядка N
над полем K. Хорошо известно, что элемент x1 ∧ . . . ∧ xN свободной ассоциативной
алгебры с операцией умножения ∧ является базисом тождеств алгебры SUN [2].
Обозначим через [SUN ] алгебру Ли, полученную из алгебры SUN с помощью операции коммутирования. Хорошо известно, что элемент [[x1 , x2 ], . . . , xN ] свободной алгебры
Ли является базисом тождеств алгебры [SUN ]. Нетрудно проверить следующее
Предложение. Пусть A – ассоциативная алгебра с операцией умножения ∧ над
произвольным полем K. Рассмотрим векторное пространство B = [A] ⊕ K так, что
(x + α) + (y + β) = (x + y) + (α + β), в котором определены операции сложения и две
1
Прим. ред. Верхнетреугольные матрицы с нулевыми диагональными элементами.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №23(142). Вып. 29 15
операции умножения · и {, } элементов множества B, а также операция умножения на
элементы поля K, согласно следующим правилам:
(x + α) · (y + β) = (βx + αy) + αβ ;
{(x + α), (y + β)} = [x, y] ;
γ(x + α) = γx + γα ,
где [x, y] = x∧y −y ∧x, α, β, γ ∈ K, x, y ∈ [A]. Тогда полученная, таким образом, алгебра
B будет являться алгеброй Пуассона, в которой выполнено тождество {x1 , x2 }·{x3 , x4 } =
0.
Пусть UNL = [SUN ] ⊕ K — алгебра Пуассона, построенная на основе указанного
предложения.
Теорема. В случае основного поля нулевой характеристики для алгебры Пуассона
UNL справедливы следующие утверждения.
(i) Полилинейные тождества
{x1 , x2 } · {x3 , x4 } = 0,
{x1 , x2 , . . . , xN } = 0
(1)
порождают идеал тождеств алгебры UNL .
(ii) Для любого n базис полилинейной компоненты Pn (UNL ) состоит из элементов
вида
x1 · . . . · xn ,
(2)
xi1 · xi2 · . . . · xin−k · {xj1 , xj2 , . . . , xjk },
где k = 2, ..., min{n, N − 1} и {i1 , . . . , in−k , j1 , . . . , jk } = {1, 2, . . . , n}
i1 < i2 < . . . < in−k , j1 > js , s = 2, ..., k.
(iii) Для любого n выполнено равенство
так, что
min{n,N −1}
dimPn (UNL )
=1+
X
k=2
Cnk · (k − 1)! ,
где Cnk — число сочетаний из n по k.
Очевидно, что в алгебре UNL выполняются тождества (1), т.е. для произвольных
элементов (a1 + α1 ), (a2 + α2 ), . . . , (aN + αN ) ∈ UNL выполнены равенства
{(a1 + α1 ), (a2 + α2 ), . . . , (aN + αN )} = [[a1 , a2 ], . . . , aN ] = 0 .
(3)
и
{(a1 + α1 ), (a2 + α2 )} · {(a3 + α3 ), (a4 + α4 )} = 0 .
Обозначим через V многообразие алгебр Пуассона, порожденное тождествами (1). Полилинейная компонента Pn (V) есть линейная оболочка элементов вида (2).
16 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №23(142). Вып. 29
Покажем, что по модулю идеала тождеств алгебры UNL элементы (2) являются линейно независимыми. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого n в алгебре
UNL выполнено нетривиальное тождество
X
αi1 ,...,in−k ,j1 ,...,jk · xi1 · xi2 · . . . · xin−k · {xj1 , xj2 , . . . , xjk } = 0
i1 ,...,in−k ,j1 ,...,jk
с коэффициентами αi1 ,...,in−k0 ,j1 ,...,jk из K. Пусть i1 , . . . , in−k0 , j1 , . . . , jk0 такой набор индексов, при котором αi1 ,...,in−k0 ,j1 ,...,jk0 6= 0 и значение k0 минимально среди всех таких
возможных наборов. Сделаем следующую подстановку в указанное тождество:
xi1 → 1, xi2 → 1, . . . , xin−k0 → 1 .
Тогда мы получим нетривиальное тождество
X
ασ {xk0 , xσ(1) , . . . , xσ(k0 −1) } = 0 , ασ ∈ K .
σ∈Sk0 −1
Зафиксируем произвольную перестановку σ ∈ Sk0 , где Sk0 - симметрическая группа
порядка порядка k0 , и сделаем такую подстановку:
xk0 → e12 , xσ(1) → e23 , xσ(2) → e34 , . . . , xσ(k0 −1) → ek0 ,k0 +1 ,
где eij – матричная единица.2) Тогда, используя (3), получаем ασ e1,k0 +1 = 0. Отсюда
ασ = 0. Таким образом, пункты (i) и (ii) доказаны. Пункт (iii) следует из (ii). Автор благодарит С.М. Рацеева за постоянное внимание к работе.
Литература
1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / М.: Наука, 1985.
2. Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике / М.-Иж.: РХД, 1999.
3. Рацеев С.М. Рост в алгебрах Пуассона // Алгебра и логика. – 2011. – 50;1. – C.68-88.
4. Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras // Transactions of the
American Mathematical Society. – 2007. – 359;10. – C.4669-4694.
5. Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц // Алгебра и логика. – 1971. – 10. – C.393-400.
ON LIE NILPOTENT POISSON ALGEBRAS
O.I. Cherevatenko
Ulyanovsk State I.N.Ulyanov Pedagogical University,
Ploshchad’ 100-letiya so dnya rozhdeniya V.I. Lenina, 4, Ulyanovsk, 432700, Russia, e-mail:
[email protected]
Abstract. Construction of algebras generated a variety of Lie-nilpotent Poisson algebras is
proposed.
Key words: Poisson’s algebras, variety of algebras.
2
Прим. ред. Матрица eij имеет единственный ненулевой элемент (eij )ij = 1.