close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Периодические решения одного класса функционально-дифференциальных уравнений.

код для вставкиСкачать
УДК 517.929
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В. А. Крылов
С.-Петербургский государственный университет,
[email protected]
1. Введение. В работе [1] изучались периодические решения функциональнодифференциальных уравнений, описывающих импульсные системы управления с тремя видами частотно-импульсной модуляции (ЧИМ-1, ЧИМ-2, ИЧИМ). В данной статье исследуются периодические решения другого класса функционально-дифференциальных уравнений, описывающих как системы управления с «сигма-импульсной
модуляцией» [2, 3], так и математическую модель нейрона Павлидиса [4]. Характерным свойством этих уравнений является априорное отсутствие непрерывности оператора сдвига по траекториям, что затрудняет использование теоремы о неподвижной
точке этого оператора. В работе будут получены достаточные условия существования
периодических решений с одним импульсом на периоде путем построения в фазовом
пространстве области, в которой оператор сдвига по траекториям непрерывен.
2. Постановка задачи. Рассматривается нелинейная импульсная система.
Непрерывная линейная часть системы описывается уравнениями
σ = c∗ x + ψ,
ẋ = Ax + bf,
(1)
где A — постоянная гурвицева m × m-матрица, b и c — постоянные m-мерные столбцы, ψ — постоянная, отличная от нуля, характеризующая внешнее воздействие, σ —
сигнал на входе модулятора, f — сигнал на выходе модулятора. Пусть M : σ → f ,
модулятор генерирует мгновенные импульсы, описываемые дельта-функциями
f (t) =
∞
X
n=0
здесь
λn =
(
λn δ(t − tn );
signσ(tn − 0), если σ(tn − 0) 6= 0;
0,
если σ(tn − 0) = 0;
tn+1 = tn + Tn ,
n = 0, 1, . . . ,
Tn — наименьший положительный корень τ = Tn уравнения
τ
Z
σ(tn + λ)e−ε(τ −λ) dλ = ∆,
(2)
(3)
(4)
(5)
0
где ∆, ε — положительные постоянные.
c
В. А. Крылов, 2012
35
В математической модели нейрона, предложенной Павлидисом [3], состояние сомы описывается уравнениями (1), где f — сигнал на входе нейрона,
X
f (t) =
δ(t − τk ),
(6)
τk <t
а сигнал на выходе нейрона (в аксоне) имеет вид
X
v(t) =
δ(t − tn ).
(7)
tn <t
3. Формулировка результатов. Предполагается невырожденность передаточной функции
−1
W (p) = c∗ (A − pIm ) b,
где Im — единичная m × m-матрица.
Вещественное положительное число λ будет называться допустимым, если матрица A + λIm будет гурвицевой.
Вводятся следующие обозначения:
1
K(λ) =
2π
Z∞
−∞
2
|W (jω − λ)| dω,
p
L(λ) = 2(∆1 − mλ)K(λ),
где ∆1 — коэффициент характеристического многочлена матрицы A:
det(pIm − A) = pm + ∆1 pm−1 + . . . + ∆m ,
√
а j = −1.
Теорема 1. Если параметры системы (1)–(5) удовлетворяют условию
|ψ| − ε∆ > 0,
и существует допустимое число λ, для которого выполнено нервенство
L(λ) < (|ψ| − ∆ε) eλF∞ − 1 ,
где
F∞ =
∆
,
2 |ψ| − ∆ε + L(λ)
(9)
(10)
то существует периодический режим с одним импульсом на периоде.
Теорема 2. Если в нейроне Павлидиса, замкнутом на самого себя и при отсутствии других внешних входов верно
ψ − ε∆ > 0,
и существует допустимое число λ, для которого выполнено неравенство
L(λ) < (ψ − ∆ε) eλF∞ − 1 ,
36
где
F∞ =
∆
,
2ψ − ∆ε + L(λ)
то существует периодический режим с одним импульсом на периоде.
В доказательстве будет использоваться следующая лемма А. Н. Чурилова [1].
Лемма. Пусть A — постоянная гурвицева m×m-матрица, b, c1 ,. . . , cl — постоянные m-мерные столбцы, пара (A, b) управляема, λ, F∞ , ν1 , . . . , νl — положительные
числа, матрица A + λIm гурвицева и выполнено неравенство
2 (∆1 − mλ) < eλF∞ − 1
где
1
βi =
2π
Z∞
−∞
2
2
min ν12 /β1 , . . . , νl2 /βl ,
−1
Gi (p) = c∗i (A − pIm )
|Gi (jω − λ)| dω,
b,
j=
(11)
√
−1,
а ∆1 — коэффициент характеристического многочлена матрицы A,
det(pIm − A) = pm + ∆1 pm−1 + . . . + ∆m .
Тогда существует такая положительная матрица H, что эллипсоид
Ω = { x ∈ Rm | x∗ Hx ≤ 1 }
(12)
Ω ⊂ { x ∈ Rm | |c∗i x| < νi , i = 1, . . . , l },
(13)
обладает свойствами
и для решения x(t) линейной системы
ẋ = Ax,
(14)
удовлетворяющего начальному условию x(t0 ) = y + λ0 b, где y ∈ Ω, λ0 = ±1, справедливы включения
x(t) ∈ Ω при t ≥ t0 + F∞ ,
(15)
p
(16)
x(t) ∈ { x ∈ Rm | |c∗i x| < νi + 2βi (∆1 − mλ), i = 1, . . . , l } при t ≥ t0 .
Доказательство теоремы 1. Определим оператор сдвига по траекториям S.
Для y ∈ Rm найдем решение x(t, y) системы (1)–(4) на промежутке [t0 + 0, t1 + 0] при
начальном условии x(t0 +0, y) = y. При помощи (5) и (3) определим T0 и λ1 . Положим
Sy = x(t1 + 0, y). Тогда Sy = exp(AT0 )y + λ1 b.
Получим оценку для T0 снизу:
∆≤
ZT0
0
e−ε(T0 −λ) dλ max |σ(t)| =
1
(1 − e(−εT0 ) )max |σ(t)| ≤ T0 max |σ(t)| .
ε
(17)
Максимум берется по t ∈ [t0 + 0, t1 − 0].
Применим лемму при l = 1, c1 = c, ν1 = |ψ| − ε∆, F∞ = ∆/(2 |ψ| − ∆ε + L(λ)) и
рассмотрим два эллипсоида: Ω, определенный в лемме, и Ωb = { x ∈ Rm | x − b signψ ∈
37
Ω }. Тогда если y ∈ Ωb , то для решения x(t, y) при начальном условии x(t0 + 0, y) = y
в силу (16) при t ∈ [t0 + 0, t1 − 0] справедлива оценка |c∗ x| < |ψ| − ∆ε + L(λ), откуда
|c∗ x + ψ| < 2 |ψ| − ∆ε + L(λ).
Из (17) получаем оценку T0 > ∆/(2 |ψ| − ∆ε + L(λ)) = F∞ .
Из (15) следует, что если y ∈ Ωb , то x(t, y) ∈ Ω при t ∈ [t0 + F∞ , t1 − 0]. Это значит,
что
exp(AT0 )y ∈ Ω.
(18)
Так как y ∈ Ωb , x(t1 − 0, y) будет принадлежать полосе
{ x ∈ Rm | |c∗ x| < |ψ| − ∆ε },
(19)
следовательно, sign(c∗ x + ψ) = signψ при x = x(t1 − 0, y), то есть
λ1 = signψ.
(20)
Из (18) и (20) получаем, что exp(AT0 )y + bsignψ ∈ Ωb . А это значит, что
SΩb ⊂ Ωb .
(21)
Из закона модуляции видно, что
signσ(tn+1 − 0) = sign
ZTn
σ(tn + λ)e−ε(Tn −λ) dλ.
0
Поэтому если y ∈ Ωb , то величина T0 определяется как наименьший положительный
корень уравнения
ZT0
(c∗ exp(Aλ)y + ψ)e−ε(T0 −λ) dλ = ∆signψ.
0
Рассмотрим производную левой части по T0 :
ZT0
D = −ε (c∗ exp(Aλ)y + ψ)e−ε(T0 −λ) dλ + e−εT0 (c∗ exp(AT0 )y + ψ)eεT0 .
0
Покажем, что производная отлична от нуля. Используя уравнение закона модуляции,
получаем следующее неравенство:
|D| ≥ −ε∆ + c∗ exp(AT0 )y + ψsignψ.
Поскольку вектор exp(AT0 )y принадлежит полосе (19), справедливо |D| > 0. Поэтому
T0 = T0 (y) при y ∈ Ωb непрерывно зависит от y.
Таким образом, оператор S — непрерывен на Ωb и отображает эллипсоид Ωb сам в
себя, следовательно по теореме Боля—Брауэра имеет неподвижную точку x0 , которая
является начальным условием периодического режима.
Доказательство теоремы 2 аналогичное, с учетом того, что все λn = 1 а ψ > 0.
38
Пример 1. Рассмотрим систему со следующей передаточной функцией непрерывной линейной части:
6.28
W (p) =
.
(p + 0.01)2 + 1
Внешнее воздействие ψ = 7.9.
Параметры для уравнения (5): ε = 0.001, ∆ = 46.
Неравенство (9) теоремы 1 будет верным.
Допустимое число λ выбирается так, чтобы минимизировать выражение
L(λ)/(eλF∞ − 1).
Минимальное значение этого выражения при λ = 0.0099 получено численно:
297.68.
Величина выражения |ψ| − ε∆ будет равной 7.85, поэтому неравенство (10) теоремы 1 будет не верно.
Пример 2. Берется та же передаточная функция непрерывной линейной части.
Внешнее возмущение увеличивается до ψ = 400.9.
Параметры для уравнения (5): ε = 0.0002, ∆ = 2505.
Число λ выбирается аналогично: λ = 0.0099.
Значение минимизируемого выражения 201.38. На величину этого значения наибольшее влияние оказывает величина параметра ∆, но для выполнения условия (10)
теоремы одновременно должно увеличиваться и значение параметра ε.
Условия теоремы для системы с такими параметрами будет выполнены.
Начальные данные для периодического режима надо взять близкие к следующим: [22, −15.5].
4. Заключение. В работе рассмотрены системы управления с «сигмаимпульсной модуляцией». Получены достаточные условия существования периодических решений с одним импульсом на периоде.
Литература
1. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Периодические режимы в частотно-импульсных системах
// Автоматика и телемеханика. 1995. № 7. С. 91–98.
2. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных
систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. 129 с.
3. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated
Systems. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 1998.
4. Гелиг А. Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. Л.: Изд-во ЛГУ. 1982.
190 с.
Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.
39
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
217 Кб
Теги
функциональная, решение, уравнения, дифференциальной, одного, класс, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа