Разностные схемы для задачи Дирихле системы хемотаксиса.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2009, том 52, №11
МАТЕМАТИКА
УДК 518.9
Х.С.Кучакшоев
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ СИСТЕМЫ
ХЕМОТАКСИСА
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 28.09.2009 г.)
Для начально-краевой задачи системы уравнений Патлака-Келлера-Сегеля предложены разностные схемы, устойчивость которых доказана методом гармоник. Найдены также
условия применимости метода прогонки для решения соответствующих разностных уравнений. Полученные результаты находят применения в задачах математической биологии [1-4].
Рассмотрим краевую задачу для системы параболико-эллиптических уравнений вида
u
 u    (uv) u ( x 0)  u0 ( x)  0 0  l  x 0  t  T
t
(1)
v  u 0  x  l 0  t  T 
(2)
u(0 t )   (t ) u(l t )   (t ) v(0 t )   (t ) v(l t )   (t ) 0  x  l
(3)
известной в литературе как модель хемотаксиса (см., напр. [1]). Здесь через u ( x t ) обозначена плотность клеток или бактерий, через v( x t ) - концентрация хемоаттрактантов, определяющих направленный перенос клеток или бактерий, а постоянная  отражает чувствительность бактерий к химическим сигналам и называется также мерой нелинейности системы.
Для построения разностной схемы системы (1)-(3) потребуем, чтобы функции u v а
также и краевые и начальные функции были достаточно гладкими. Введем равномерную
сетку с шагом h по переменному x и с шагом  по переменному t то есть
h  {x j  jh j  01 N hN  l}
  {tn  n  n  01 K  K  T }
Разностная схема, соответствующая системе (1)-(3), имеет следущий вид
y nj 1  y nj

 y
n
j

y nj 1  2 y nj  y nj 1
h2
z nj 1  2 z nj  z nj 1
h2

( y nj 1  y nj 1 ) ( z nj  z nj 1 )
2h
h
 j  1 N  1 n  0K  1
838

(4)
Математика
Х.С.Кучакшоев
y 0j  uo ( x j ) j  01 N  y0n   (tn ) yNn   (tn ) n  01K 
z nj 1  2 z nj  z nj 1
h2
  y nj  j  1 N  1 n  1K  1
z0n   (tn ) zNn   (tn ) n  01 K 
(5)
(6)
(7)
Это явная разностная схема. Здесь разностное уравнение (4) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1) в точке ( x j  tn ) с первым порядком по  и вторым порядком по h . Разностное уравнение (6) аппроксимирует дифференциальное уравнение (2) в точке ( x j  tn ) со
вторым порядком по h Как установлено в [5], cхема (6),(7) устойчива при каждом фиксированном n . Там же доказано, что разностные уравнения (6),(7) можно решить методом прогонки при каждом фиксированном n начиная с n  0
При исследовании устойчивости схемы (4),(5) применяем принцип замороженных коэффициентов. Предположим, что
z nj  z nj 1   jn  const
(8)
z nj 1  2 z nj  z nj 1   jn  const
(9)
Тогда разностная схема (4),(5) примет следующий вид
y nj 1  y nj


 
n
j
y nj 1  y nj 1
2h
2

 jn
h
2
y nj 1  2 y nj  y nj 1
h2

y nj  j  1 N  1 n  0K  1
y 0j  uo ( x j ) j  01 N  y0n   (tn ) yNn   (tn ) n  01K 
(10)
(11)
Таким образом, систему разностных схем (4)-(7) можно решить следующим образом:
1) находим значения z 0j на нулевом слое из разностной схемы (6),(7);
2) находим значения y1j на первом слое из разностной схемы (4),(5) по найденным z 0j ;
3) находим значения z1j на первом слое из разностной схемы (6),(7) по найденным y1j .
Как будет доказано дальше в теореме 3, эта схема условно устойчива. И это является
существенным недостатком данной схемы.
Чтобы построить неявную разностную схему для системы (1)-(3), используем шаблон
( xi  tn ) ( xi 1  tn 1 ) ( xi 1  tn 1 )( xi  tn 1 ) . В результате получим
839
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
y nj 1  y nj

 y

n 1
j
2009, том 52, №11
y nj 11  2 y nj 1  y nj 11
h2
z nj 11  2 z nj 1  z nj 11
h2

( y nj 11  y nj 11 ) ( z nj 1  z nj 11 )
2h
h
 j  1 N  1 n  0K  1
y 0j  uo ( x j ) y0n1   (tn1 ) yNn1   (tn1 )
z nj 11  2 z nj 1  z nj 11
h2
  y nj 1 j  1 N  1
z0n1   (tn1 ) zNn1   (tn1 ) n  01 K 1

(12)
(13)
(14)
(15)
Разностная схема (14), (15) абсолютно устойчива (см., напр. [5]).
Теорема 1. Разностная схема (12),(13) устойчива при условии
z nj 11  2 z nj 1  z nj 11  
4sin 2

h
2
или
z nj 11  2 z nj 1  z nj 11  
2  4 sin 2

h
2

где


h2
 n  01 K  1 j  1 N  1
Доказательство. Для упрощения записи используем (8) и (9). Будем искать решения
уравнений (12),(13) методом гармоник, то.есть решения, имеющие вид
y nj  q neijh 
(16)
где i - мнимая единица,  - любое действительное число, q - число, подлежащее определению. Подставляя (16) в уравнение (12) и сокращая на e ijh  получим
1
1

  (eih  2  eih )  (eih  eih ) jn   nj 
q
2
где   2 
h
Следовательно,
840
Математика
Х.С.Кучакшоев
1
1
h
 4 sin 2
 i jn sin h   jn 
q
2
1
h
 1  4 sin 2
  jn  i jn sin h
q
2
или
q
1
1  4 sin
2 h
2
  jn  i jn sin h

(17)
Введем обозначения
h
  jn 
2
 jn  1  4 sin 2
 nj   jn sin h 
(18)
(19)
Из (17)-(19) получим
q
1

  i nj
(20)
n
j
Из (20) следует, что
q 
1
( jn ) 2  ( nj ) 2

(21)
Из (21) очевидно, что если
( jn )2  1
(22)
( nj )2  1
(23)
либо
то q  1 Но условие (23) приводит к противоречию, поскольку влечет за собой неравенство
 jn sin h  1
или
 jn 
1

 sin h
Из (24) имеем
841
(24)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2009, том 52, №11
z nj 1  z nj 11 
1

 sin h
(25)
Поскольку  произвольное действительное число, тогда при   0 из (25) получим
z nj 1  z nj 11
h
 
что противоречит гладкости начальной функции. Следовательно, если выполняется условие
(22), то q  1
Неравенство (22) эквивалентно неравенству
1  4 sin 2
h
  jn  1
2
(26)
Из неравенства (26) следует
h
  jn  0
2
4 sin 2
или
1  4 sin 2
h
  jn  1
2
Таким образом, мы получаем неравенство
z
n 1
j 1
 2z
n 1
j
z
n 1
j 1

4sin 2

h
2
или
z nj 11  2 z nj 1  z nj 11  
2  4 sin 2

h
2

Теорема доказана.
Разностную схему (12), (13) можно решить методом прогонки, который представляет
собой вариант метода последовательного исключения неизвестных. Для этого нужно проверить условия устойчивости метода прогонки(см., напр. [5]). Систему с трехдиагональной
матрицей можно решить методом прогонки. В общем случае системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей имеют вид
a j y j 1  c j y j  bj y j 1   f j  j  1 2 N 1
(27)
y0  1 y1  1  y N   2 y N 1  2 
(28)
842
Математика
Х.С.Кучакшоев
Для возможности применения метода прогонки достаточно потребовать,чтобы коэффициенты системы (27),(28) удовлетворяли условиям
a j  0 b j  0 c j  a j  b j  j  1 2 N  1
(29)
1  1  2  1
(30)
Теорема 2. Метод прогонки устойчив для разностной схемы (12),(13), если выполняются следующие неравенства
z nj 11  2 z nj 1  z nj 11  
1  4

или
z nj 11  2 z nj 1  z nj 11  
1


где


h2
 n  01 K  1 j  1 N  1
Доказательство. Решение системы (12), (13) находится, как и в случае явной схемы,
по слоям, начиная с n  1 Но здесь, в отличие от явной схемы, для нахождения y nj1 по известным y nj требуется решить систему уравнений
( 

2
( z nj 1  z nj 11 )) y nj 11  (1  2   ( z nj 11  2 z nj 1  z nj 11 )) y nj 1 
( 

2
( z nj 1  z nj 11 )) y nj 11   y nj 
(31)
y 0j  uo ( x j ) y0n1   (tn1 ) yNn1   (tn1 )
(32)
Или, используя обозначения (8) и (9), напишем уравнения (31),(32) в более сокращенной записи
( 

2
 jn 1 ) y nj 11  (1  2   jn 1 ) y nj 1  ( 

2
 jn 1 ) y nj 11   y nj 
y 0j  uo ( x j ) y0n1   (tn1 ) yNn1   (tn1 )
843
(33)
(34)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2009, том 52, №11
При каждом фиксированном n уравнения (33),(34) можно решить методом прогонки.
Проверим устойчивость метода прогонки
anj 1 y nj 11  cnj 1 y nj 1  bnj 1 y nj 11   y nj  j  1 2 N  1
y 0j  uo ( x j ) y0n1   (tn1 ) yNn1   (tn1 )
где
a nj 1   

2
 jn 1 
(35)
cnj 1  1  2   jn1
b nj 1   

2
(36)
 jn 1 
(37)
В силу условий (29), (30) проверка устойчивости метода прогонки сведется к проверке выполнения неравенства
c nj 1  a nj 1  b nj 1  j  1 2 3 N  1
Но из (35)-(37) следует, что
cnj 1  1  anj 1  bnj 1  d nj 1
где
d nj 1   jn1
Заметим, что
a nj 1  bnj 1    0
При выполнении неравенства (38) рассмотрим сначала случаи
1) a nj 1  0 bnj 1  0
или



2
 jn 1  0  jn 1   
2


2
 jn1  0  jn1 
844
2


(38)
Математика
Х.С.Кучакшоев
Из последних двух неравенств следует, что
 jn 1 
2

и тогда выполняется (38), если
a) c nj 1  a nj 1  bnj 1   jn 1  
1

или
b) c nj 1  a nj 1  bnj 1   jn 1  
1  4


Затем рассмотрим случай
2) a nj 1  0 bnj 1  0
или



2
 jn1  0  jn1   
2


2
 jn1  0  jn1 
2


Из последних двух неравенств следует, что
 jn 1  
2

и тогда вновь выполняется (38), если
a) c nj 1  a nj 1  bnj 1   jn 1  
1

или
b) c nj 1  a nj 1  bnj 1   jn1  
Наконец рассмотрим случай
3) a nj 1  0 bnj 1  0
или
845
1  4


Доклады Академии наук Республики Таджикистан

2009, том 52, №11


2
 jn 1  0  jn 1   
2


2
 jn1  0  jn1 
2


Из последних двух неравенств следует, что
 jn 1 
2

и тогда выполняется (38), если
a) c nj 1  a nj 1  bnj 1   jn 1  
1

или
b) c nj 1  (a nj 1  bnj 1 )   jn 1  
1  4


Теорема 2 полностью доказана.
Теорема 3. Разностная схема (10),(11) устойчива при условии
z nj  z nj 1 
1

 sinh 
(39)
Доказательство. Чтобы доказать теорему 3, используем метод гармоник, то есть будем искать решения уравнения (10), (11) в виде (16). Проводя аналогичную работу, как и в
случае доказательства теоремы 1, получим
q  (1  4 sin 2
h
  jn )  i jn sin h 
2
Если
q 1
(40)
для всех действительных   то разностное уравнение (10), (11) устойчиво. Условие (40) выполняется, если
(1  4 sin 2
h
  jn ) 2   2  2 ( jn ) 2 sin 2 h  1
2
или
1  2(4 sin 2
h
h
  jn )  (4 sin 2
  jn ) 2   2  2 ( jn ) 2 sin 2 h  1
2
2
846
Математика
Х.С.Кучакшоев
Следовательно,
2(4 sin 2
h
h
  jn )  (4 sin 2
  jn ) 2   2  2 ( jn ) 2 sin 2 h  0
2
2
(41)
Из неравенства (41) следует
 jn sin h  1
или
 jn 
1

 sinh 
(42)
Следовательно, из неравенства (42) получим (39).
Теорема 3 доказана.
Российско-Таджикский
Поступило 28.09.2009 г.
(Славянский) университет
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
5.
Keller E.F., Segel.L. – J. Theor. Biol., 1971, 30, pp.235-248.
Hillen T., Othmer H. – J. Appl. Math., 2000, 61, pp.751-775.
Илолов M., Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. – ДАН РТ, 2008, т.51, №12, с.795-801.
Илолов М., Кучакшоев Х.С. – Докл.РАН, 2009, т.486, №3, с.1-3.
Самарский А.А., Гулин А.В. – Численные методы. – М.: Наука, 1989, с.259-286.
Х.С.Кучакшоев
СХЕМАЊОИ ФАРЌЇ БАРОИ ЊАЛЛИ МАСЪАЛАИ ДИРИХЛЕИ
СИСТЕМАИ ХЕМОТАКСИС
Барои масъалаи ибтидої-канории системаи муодилањои Патлак-Келлер-Сегел
схемањои фарќї бо шартњои устувориашон пешнињод шудаанд.
Kh.S.Kuchakshoev
DIFFERENCE SCHEMES FOR DIRICHLET PROBLEM OF SYSTEM
OF CHEMOTAXIS
For initial-boundary problem of system of Patlak-Keller-Segel equations proposed difference schemes with the conditions of their stability.
847