close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Регуляризация интегрального уравнения первого рода с инволюцией.

код для вставкиСкачать
УДК 519.642.8
Г.В. Хромова
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО РОДА С ИНВОЛЮЦИЕЙ
В [1] автором был предложен общий подход к решению вопроса о расширении возможностей применения известных методов регуляризации для
более широкого класса уравнений первого рода и более сильных метрик,
нежели в классических постановках. Здесь проводится реализация указанного подхода для метода М.М. Лаврентьева [2], интегрального уравнения
первого рода с инволюцией и равномерной метрики.
Рассмотрим интегральное уравнение
Z1?x
Zx
Au ?
A(1 ? x, t)u(t)dt + ? A(x, t)u(t)dt = f (x),
0
(1)
0
A(x, t) непрерывно
= 0, ? > 1.
где
дифференцируема по
x, t, A(x, x) = 1, Ax (x, t)|t=x =
Интегральные операторы с инволюцией были введены А.П. Хромовым и
исследовались в задачах спектрального анализа. Мы исследуем уравнение
с таким оператором с точки зрения получения приближений к решению в
равномерной метрике. Обозначим
T? = (?E + A)?1 , ? > 0,
семейство опе-
раторов, соответствующих методу М.М. Лаврентьева, и поставим задачу:
выяснить, для каких
u(x)
будет иметь место сходимость:
kT? Au ? ukC[0,1] ? 0
при
? ? 0.
(2)
T? A = ??R? (A)|?=?1/? , где R? (A) резольвента Фредгольма
оператора A, ? спектральный параметр, то в соответствии с [1] для решения поставленной задачи нужно показать, что точки ? = ?1/?, ? > 0 регулярные для оператора A и что на луче ? = ?1/? выполняются соотно-
Поскольку
шения:
kR? (A)vkC[0,1] ? 0
при
? ? ?, v ? C[0, 1],
k ? ?R? (A)k ? K,
где
K
не зависит от
а затем найти
R(A)
(4)
замыкание области значений
R(A) с R? (A)).
Лемма. При ? = ?1/?, ? > 0, резольвента R? (A) существует.
Доказательство. В соответствии с [3] исследование R? (A) сводится к
исследованию резольвенты R? (A0 ), где A0 оператор A с A(x, t) ? 1. В
свою очередь, исследование R? (A0 ) приводит к решению некоторой краевой
оператора
A
?,
(3)
в равномерной метрике (не путать обозначение
97
задачи в пространстве вектор-функций размерности
2.
В нашем случае эта
задача имеет вид
v 0 ? ?Dv = BF,
U (v) ? P v(0) + Qv(1) = 0,
p
где
D
=
diag(d,
?d)
,
d
=
? 2 ? 1, B
= d(2?(? ?
1
?(? ? d)
0
0
? ? d ?1
, P = d
, Q = d
,
d))?1
(? ? d)
?1
?1 ? ? d
0
0
обозначения v, F см. в [3].
В этом можно убедиться, проделав соответствующие выкладки по аналогии с [3] (для
n = 1).
det(U (V )), где
?dx
e
0
V = V (x, ?) =
.
0 e??dx
Далее, рассмотрим определитель
Легко убедиться, что он не может обратиться в ноль, если
? = ?1/?, ? > 0.
Отсюда и из [3] следует утверждение леммы.
Теорема. Для любой непрерывной функции, удовлетворяющей условию
u(1) = ?u(0),
(5)
имеет место сходимость (2).
Доказательство. В теореме 2 и лемме 9 из [3] приведены оценки, кото-
рые при
Re ? 6= 0
kR? (A0 )vkC[0,1]
будут иметь вид
1
=O
kvkC ,
|?|
(оценки в [3] получены для
ведливы и для
n = 1).
n
k(R? (A) ? R? (A0 )kC[0,1]
1
=O
kukC
|?|2
четного, но можно убедиться, что они спра-
Из оценок, очевидно, следуют соотношения (3), (4).
Для завершения доказательства осталось найти
R(A).
Покажем, что это
множество состоит из непрерывных функций, удовлетворяющих условию (5).
R(A) ? M = {f (x) ? C 0 [0, 1] : f (1) = ?f (0)}.
включение. Пусть f (x) ? M .
Из (1)
Докажем обратное
Составим выражение
1
(?f 0 (x) + f 0 (1 ? x)) ? F (x).
2
? ?1
F (x)
можно представить в виде
F (x) =
Zx
0
A(x, t)?(t)dt ,
0
98
(6)
где
?(t)
непрерывна. Это следует из того, что уравнение
Zx
?(x) +
Ax (x, t)?(t)dt = F (x)
0
имеет единственное решение.
Теперь подставим
менту к производной
F (x) в (6) и перейдем
по x. Получим
1
(?f (x) ? f (1 ? x)) =
?2 ? 1
от производной по всему аргу-
Zx
A(x, t)?(t)dt + C.
(7)
0
x на 1 ? x, сложим полученное равенство с равенством
(7), умноженным на ? , учтем, что f (x) удовлетворяет краевому условию и
получим, что f (x) ? R(A). Отсюда и из [4] следует утверждение теоремы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 0601
00003) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).
Запишем (7), заменив
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромова Г.В. О сходимости методов регуляризации // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат-лы 8-й Межд. Казан. летней науч. шк.-конф. Казань,
2007. T. 35. C. 264-265.
2. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.
Новосибирск: СО АНСССР. 1962. 92 c.
3. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. T. 192. ќ 10. C. 33-50.
4. Хромова Г.В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром
Грина // Изв. вузов. Сер. Математика. 1972. T. 8 (123). C. 94-104.
УДК 518:517.948
Е.В. Шишкова
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ
ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
В [1] для
k
раз непрерывно дифференцируемой на отрезке
[a, b] функции
u(x) вводятся в рассмотрение семейства интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами:
l
T?k
u = ak
x+?
Z
k
? l (t ? x)2 ? ?2
u(t)dt, (l = 0, k)
?xl
x??
99
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
296 Кб
Теги
первого, рода, инволюции, уравнения, регуляризация, интегрального
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа