Теорема равносходимости для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью.

1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 1 (428)
УДК 517.929
П.М. КУДИШИН
ТЕОРЕМА РАВНОСХОДИМОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ОСОБЕННОСТЬЮ
Введение
Рассмотрим дифференциальный оператор
ly y(n) +
nX
;2
j =0
j + q (x)y(j); 0 < x < T; n = 2m:
xn;j j
(1)
Пусть 1 ; : : : ; n | корни характеристического многочлена
() =
n
X
j =0
j
jY
;1
k=0
( ; k); n = 1; n;1 = 0:
Для определенности полагаем k ; j 6= sn (s = 0; 1; 2; : : : ); Re 1 < < Re n . Обозначим
#nj := 0, j = 0; n ; 2, если k = 0, k = 0; n ; 2, иначе #nj := n ; 1 ; Re(n ; 1 ) ; j , и предположим,
что qj (x)x#nj 2 L(0; T ). При выполнении этих условий будем говорить, что l 2 V .
Рассмотрим несамосопряженную краевую задачу L следующего вида:
ly = y; 0 < x < T; l 2 V;
(2)
y(x) = O(xm+1 ); x ! 0;
(3)
Vj (y) y
(j ) (
T) +
X
j ;1
k=0
vjk y(k) (T ) = 0; j = 1; m; 0 j n ; 1; j 6= s (j 6= s):
(4)
В данной статье получена теорема равносходимости разложений в ряд Фурье по собственным
и присоединенным функциям краевых задач вида (2){(4) внутри конечного интервала (0; T ).
Дифференциальное уравнение (2) изучалось в работах [1], [2], где построены специальные
фундаментальные системы решений, получена асимптотика множителей Стокса, исследована
обратная задача. В работе [3] изучалась краевая задача L, исследовано асимптотическое поведение собственных значений, изучены свойства функции Грина краевой задачи, доказана теорема
о полноте системы собственных и присоединенных функций, получена теорема о разложении и
теорема равносходимости на отрезке [0; T ].
Наличие особенности у дифференциального оператора вносит существенные трудности в
доказательство основной теоремы данной статьи. Примененный в данной работе метод позволяет установить факт равносходимости внутри конечного интервала для широкого класса краевых задач, а также равносходимость с рядом Фурье по тригонометрической системе. В случае
отсутствия особенности у дифференциального оператора (1) (j = 0, j = 0; n ; 2) равносходимость имеет место для всякой суммируемой функции, что совпадает с результатом, полученным
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований Є 97-01-00566.
41
М. Стоуном в [4]. Отметим, что вопросам равносходимости посвящены также работы [5]{[10] и
многие другие.
1. Предварительные сведения
Пусть = n , "k = exp(2
ik=n), k= 0; n ; 2. Известно (см. [11], с.53), что для каждого
;
, k = ;n; n ; 1, существует перестановка ! ; : : : ; !
сектора Sk0 = ; arg 2 kn0 ; (k0 +1)
0
1
n
n
чисел 0; 1; : : : ; n ; 1 такая, что при Rk = "!k , 2 Sk0
Re(R1 ) < Re(R2 ) < < Re(Rn ):
Условимся, что
= exp((ln jj + i arg )); arg 2 (;; ]:
Пусть числа cj0 , j = 1; n, таковы, что
n
Y
j =1
cj0 = (det[j ;1 ]j; =1;n );1 :
(5)
В [3] построена фундаментальная система решений Вейля k (x; ), k = 1; n, уравнения (2) при
условиях k (x; ) ck0 xk , x ! 0; Vp (k ) = 0, p = 1; n ; k , и установлено, что при 2 G0;k \ S k0 ,
jj 0 имеют место оценки
j(k)(x; )j C j;k exp(Rk x)j; jjx 1;
j(k)(x; ) C jxk ; j; jjx 1; = 0; n ; 1;
;
где G0;k = f; j ; 0lk j "0 g, 0lk = (0lk )n , "0 > 0, 0lk = (;1)k T sin k (l + #k ) n , #k | некоторые
n
комплексные константы, свои для каждой краевой задачи. Здесь и везде в дальнейшем одним
и тем же символом C будем обозначать различные положительные константы в оценках, не
зависящие от x, .
В [3] введена целая функция (), называемая характеристической функцией задачи L, и
доказано, что для нее справедливо следующее представление:
() = det[Vp (j )]p=1;m; j=m+1;n :
Положим
k (x; ) := det[(j ) (x; )] =0;n;2; j=1;nnn;k+1 ;
k := n ; 1 ; n;k+1 ; G0 := G0;m ;
8 n
P
>
>
(;1)k;1 n;k+1 (x; )k (t; ); x t;
<
=m+1
G(x; t; ) := >kP
m
>
(;1)k n;k+1 (x; )k (t; );
x t;
:
k=1
B := (l ; I );1 ;
где I | тождественный оператор.
Обозначим через N множество функций y(X ) таких, что функции y( ) (x), = 0; n ; 1, являются абсолютно непрерывными на отрезке ["; T ] при каждом 0 < " < T .
В [3] сформулированы и доказаны следующие три утверждения.
Теорема A. 1) Краевая задача L имеет счетное множество собственных значений, которые совпадают с нулями характеристической функции (). Все собственные значения,
начиная с некоторого, являются простыми нулями функции ().
42
2) Имеет место оценка снизу
m
n
P
P
j ;
j
j=1
j=m+1
j() C T
e
n
P
j=m+1
Rj ; 2 G0 \ S k0 ; jj 0:
Теорема B. Пусть f (t)tm+1 2 L(0; T ), () 6= 0.
1) Положим
y(x) :=
Тогда
(6).
t
Z
0
G(x; t; )f (t)dt:
(6)
y(x) 2 N; y(x) = o(xm ); x ! 0; Vp (y) = 0; p = 1; m;
(7)
ly ; y = f:
(8)
2) Обратно, если некоторая функция y(x) удовлетворяет (7), (8), то верно представление
3) Кроме того, если f (t)t 2 L(0; T ), Re m+1 , то при x ! 0
8
<
n;1;;
y()(x) = :o(x m+1; ); > Re m ;
O (x
); Re m :
Условимся, что символ !() везде в дальнейшем обозначает разные непрерывные неотрицательные функции со свойством !() ! 0 при jj ! 1.
Теорема C. Пусть f (t)t 2 L(0; T ), Re m+1. Тогда при 2 G0, jj 0 , 0 < x T ,
имеют место оценки
Z
T
0
8
<
j ;n+1+hi
jjx 1;
Gj (x; t; )f (t)dt !() :jj;m +hi ;m+1 ;j
n
;
1
;
j
;
j
x
j + x
; jjx 1;
где hi := max(; 0), Gj (x; t; ) := @[email protected] jj G(x; t; ), = 0 при Re m, = 1 при > Re m .
2. Теорема равносходимости
Наряду с задачей L будем рассматривать задачу Le того же вида, но с другими ~l, Vej . Условимся, что если некоторый символ обозначает объект, относящийся к задаче L, то e обозначает
e
аналогичный объект, относящийся к задаче Le, а ^ := ; .
Основным результатом данной статьи является
Теорема. Пусть краевые задачи L и Le вида (2){(4) таковы, что q^j (t)tn;2;j 2 L(0; T ), j =
0; n ; 2. Тогда
Z
1
e
lim max
(B f ; B f )d = 0
N !+1 xT ; 2i
;N
для любой функции f (t) такой, что
2 L(0; T ), где 0 < T ; < T , {0 :=
min(0; Re m+1 ; Re ~m+1 ), ;N := f; jj = rN g | окружности радиусов rN ! +1, отстоящие на положительном расстоянии от спектров задач L и Le.
Предварительно докажем несколько вспомогательных утверждений.
f (t)t{0
43
Лемма 1. Для любого 2 (0; 1) существует C = C () > 0 такое, что для любого контура
= f 2 S k0 ; jj = 1 g
Z
[Re(Rm+1 )]; jdj C11;:
Доказательство для определенности проведем
:=
8 для сектора S0 . Обозначим ' := arg ,
<" ; при m = 2q ;
arg Rm+1 . Известно, что для сектора S0 Rm+1 = : 3q
Возможны следующие
"q ; при m = 2q + 1:
варианты:
А) если m = 2q, то 32 arg(Rm+1 ) 2,
Б) если m = 2q +81, то 0 arg(Rm+1 ) 2 .
<; 2 x + 1; x 2 [0; ];
2
Так как cos x : 2 3 ; 2 ]; то
x
;
3
;
x
2
[
2
=n
Z
0
где
8
<
[cos( + ')]; d' a = :;2 ; при m = 2q + 1;
при m = 2q;
;
2
=n
Z
0
[a( + ') + b]; d' C;
8
<
b = :1;
при m = 2q + 1;
;3; при m = 2q:
Аналогично доказывается
Лемма 2. Для любого M > 0 существует константа C = C (M ) > 0 такая, что для
любого контура = f 2 S k0 ; jj = 1 g
Z
e;M Re(Rm+1) jdj C:
Лемма 3. Пусть функция f (t) такова, что f (t)t 2 L(0; T ), где Re m+1. Тогда при
2 G0 \ S k0 , jj 0, jj;1 x T , имеют место оценки
Z T
jj;1
Z jj;1
0
Gj (x; t; )f (t)dt C jjj;n+1
x
jeRm+1 (t;x)f (t)jdt +
;1
jj
Gj (x; t; )f (t)dt C jj+;n+1 e;Rm+1 x j
Доказательство. Так как
8 n
P
>
>
<
=m+1
Gj (x; t; ) = >kP
m
>
:
и при jjt 1
Z
k=1
jj;1
Z
0
Z
T
x
jf (t)tjdt:
jf (t)jdt ;
(9)
(10)
(;1)k;1 (nj;) k+1 (x; )k (t; ); x t;
(;1)k (nj;) k+1 (x; )k (t; );
j(nj;) k+1 (x; )k (t; )j C jj;n+1 eRk (t;x)j;
x t;
то отсюда следует неравенство (9).
При jjt 1 и m + 1 k n
j(nj;) k+1(x; )k (t; )j C jtk j;n;k+1 e;Rk xj C j(t)k j;n+1 e;Rk xj C jtm+1 j;m e;Rm+1 xj:
Отсюда следует неравенство (10).
44
Обозначим
# :=
nX
;2
j =0
j^j j; y := Bf; f0(x; ) := (^lB f )(x):
Лемма 4. Пусть краевые задачи L, Le и функция f (t) удовлетворяют условиям
Re m+1 Re em+1; f (t)t 2 L(0; T ); Re m+1 ;
если # 6= 0, то < Re em+1 . Тогда при 2 G0, jj 0 , 0 < x < T , справедливы утверждения
а) f0(x; )xRe em+1 2 L(0; T ),
8
<jjj ;n+1+hi ;
nP
;2
jjx 1;
б) jf0 (x; )j !() (j^j jxj;n + jq^j (x)j) : n;1;j; ;m +hi m+1 ;j
j =0
x
+ j
x
; jjx 1:
Доказательство. a) В силу теоремы B при x ! 0
f0 (x; )xRe em+1 = xRe em+1
nX
;2
j =0
(^j xj;n + q^j (x))y(j) =
=
Если > Re m , то при x ! 0
f0(x; )xRe em+1 =
nX
;2
j =0
8
<
^j
xn;j + q^j (x)
o(xn;1;;j+Re em+1 ); > Re m;
m+1 ); Re :
:O (xm+1 ;j +Re e
m
nX
;2
j =0
[^j o(x;1+Re em+1 ; ) + q^j (x)xn;1;j o(xRe em+1 ; )]:
Из предположений леммы и того, что y 2 N, следует утверждение а) в случае > Re m .
Если Re m , то при x ! 0
f0 (x; )xRe em+1 =
nX
;2
j =0
[^j O(x;1+Re em+1 ;Re m ) + q^j (x)xn;1;j O(xRe em+1 ;Re m )]:
Отсюда следует первое утверждение леммы 4.
Утверждение б) очевидным образом следует из теоремы C.
Лемма 5. Для любого > 0 существует константа C = C () > 0 такая, что для любого
x 2 [; T ], 2 Sk0 , jj 0
nX
;2
j =0
j^j
j jjj
Z
x
jj;1
e(t;x) Re(Rm+1) tj;n dt C jjn;1 e; 2 Re(Rm+1 + C jjn;3=2[Re(Rm+1 )];1=2 :
Доказательство. Введем следующие обозначения: r := jj, := Re(jj;1 Rm+1. Интегрируя
(n ; 1 ; j ) раз по частям и отбрасывая отрицательные слагаемые, получаем
x
Z
r
e(t;x)r tj;n dt =
;1
;
n;X
2;j
k=0
n;X
2;j
k=0
(;1)k (r )k xj;n+1+k
(;1)k (r )k rn;1;k;j
+ (;1)n;1;j (r )n;1;j
n;
2;j
Y
s=0
Y
k
(j ; n + 1 + s)
s=0
k
Y
s=0
;1
;1
(j ; n + 1 + s)
;1 Z
x
;
e(r;1 ;x)r +
e(t;x)r t;1 dt r ;1
Z x
2 r
n
;
1
;
j
;
n
;
1
;
j
Cr
e + C (r )
e(t;x)r t;1dt:
r ;1
(j ; n + 1 + s)
45
Покажем, что
Rx
n;1;j + 12 t;1 e(t;x)r dt C . Действительно,
r
;1
r
n
;
1
;
r j+ 12 t;1e(t;x)r dt 2 r n;1;j+ 12 (r );1 (1 ; exp(; 2 r )) C ,
=2
Rx
А)
=
R2
Б) r n;1;j+ 12 t;1 e(t;x)r dt e; 2 r r n;1;j+ 12 ln 2 r := h(r; ).
r ;1
Точкой возможного экстремума функции h(r; ) при фиксированном r является экс =
2 n;1;rj+1=2 . Следовательно,
h(r; ) maxfh(r; 0); h(r; 1); h(r; экс )g maxfe; r2 r ln r2 ; Cr;n+2+j; 12 ln r2 g C: Лемма 6. Пусть краевые задачи L, Le и функция f (t) удовлетворяют условиям
q^j (t)tn;2;j 2 L(0; T ); j = 0; n ; 2;
Re m+1 Re em+1 ; f (t)t 2 L(0; T ); Re m+1 ;
и, кроме того, если # 6= 0, то < Re em+1 . Тогда для любого 2 G0 \ Ge 0 \ Sk0 , jj 0 ,
x 2 [; T ; ] справедлива оценка
jRe^lRf j !()[jj;n+hi + jj;n+1+hi e; 2 Re(Rm+1 ) + jj;n+ 12 +hi[Re(Rm+1)]; 21 ]:
Доказательство. Обозначим { := Re em+1. Из лемм 3 и 4 следует
jj;1
Z
I1 := 0
Ge (x; t; )f0 (t; )dt C j{;n+1 e;Rm+1 xj
!()j{;n+1e;Rm+1 xj
nX
;2
j =0
jj;1
Z
0
jj;1
Z
jf0(t; )t{ jdt 0
(j^j jtj;n + jq^j (t)j)t{;n+1;j; dt +
+ j;m ;hi j
jj;1
Z
0
(j^j jtj;n + jq^j (t)j)t{+Re m+1 ;j dt
:
Вычисляя интегралы от степенной функции, получаем
I1
n;2
X
!()j{;n+1 e;Rm+1 xj
j =0
j^j j jj;{ + jj;1
Z
0
jq^j (t)tn;2;j jt{;+1dt +
+ j;m +hi j(j^j j jjRe m ;{ +
jj;1
Z
0
jq^j (t)tn;2;j jt{;Re m +1dt)
:
Из монотонности степенной функции следует
I1 !()j{;n+1 e;Rm+1 xj[#
jj;{ + jj;{;1 + j;m +hi j(#jjRe m ;{ + jjRe m ;{;1 )] !()je; 2 Rm+1 j(#
jj;n+1 + jj;n + #jjhi;n+1 + jjhi;n ) !()e; 2 Re(Rm+1) jjhi;n+1:
Используя леммы 3 и 4, получаем
I2 :=
Z T
e
jj;1
G(x; t; )f0 (t; )dt C jj;n+1
!()jj;n+1
nX
;2
j =0
jjj;n+1+hi
!()jj;2n+2+hi
Z
nX
;2
j =0
x
Z
x
jeRm+1 (t;x)f0(t; )jdt + C jj;n+1
;1
j j
jeRm+1 (t;x)j(j^j jtj;n + jq^j (t)j)dt +
;1
jj
jjj
Z
x
jj;1
Z
T
x
T
Z
x
jf0(t; )jdt jeRm+1 (t;x)j(j^j jtj;n + jq^j (t)tn;2;j jt;(n;2;j) )dt +
46
(j^j jtj;n + jq^j (t)j)dt +
T
Z
(j^j jtj;n + jq^j (t)j)dt
:
Из леммы 5 и монотонности степенной функции
I2 !()jj;2n+2+hi
jjn;1 e; 2 Re(Rm+1 ) + jjn; 32 [Re(Rm+1 )];1=2 +
nX
;2
nX
;2 n
;
2
;
j
+
jq^j (t)t
jdt + C jjj ;
1
j
j
j =0
j =0
2 Re(Rm+1 )
;
n
+
h
i
;
!()jj
(jje
+ jj1=2 [Re(R
jjn;2
Z
x
;1=2 + 1):
m+1 )]
Доказательство теоремы. 1) Пусть Re m+1 < Re em+1, 2 ;N . Положим y := Rf . В
силу теоремы B
y 2 N; y = o(xm ); x ! 0; Vp (y) = 0; p = 1; m; ly ; y = f:
Следовательно, ~ly ; y = f ; ^ly = f ; ^lR f =: f1(x; ).
Из леммы 4 следует включение f1(x; )xRe em+1 2 L(0; T ). Обозначим y1 := Re f1 = Re f ;
Re ^lR f . Ясно, что
y1 2 N; y1 = o(xem ); x ! 0; Vep (y1 ) = 0; p = 1; m; ~ly1 ; y1 = f1:
Рассмотрим функцию y0 := y1 ; y. Она удовлетворяет условиям
~ly0 ; y0 = 0; y0 = o(xem ); x ! 0; Vep (y0 ) = ;Vep (y); p = 1; m:
(11)
Оценим y0 = y0 (x; ). Из (11) следует, что существуют ck (), k = 1; n, такие, что
y0(x; ) =
n
X
k=1
ck ()e k (x; ):
Так как y0(x; ) = o(xem ), x ! 0 и e k (x; ) c~k0 xek , x ! 0, c~k0 6= 0, то ck () = 0, k = 1; m.
n
X
Vep(y0) =
k=m+1
ck ()Vep (e k ) = ;Vep(y); p = 1; m:
Таким образом, для определения ck (), k = m + 1; n, получили систему линейных уравнений, из
которой по правилу Крамера получаем
cs () = ; deteAs () ; s = m + 1; n;
()
где As () := Vej (e m+1 ); : : : ; Vej (e s;1 ); Vej (y); Vej (e s+1 ); : : : ; Vej (e n )]j=1;m .
Из (5) и теоремы C следует
Следовательно,
Vep(e k ) = O(ep ;ek eRk T ); 2 Ge 0;k \ S k0 ; jj 0 ;
Vep(y) = o(ep;n+1);
2 G0 \ S k0 ; jj 0:
det As () = ;
n
P
k=m+1
e
k +es
T (
n
P
= o(1)e
k=m+1
n
P
T (
e
k=m+1
Rk ;Rs ) ;
47
Rk ;Rs )
n
P
k=m+1
m
P
k=1
m
e
k X
e
k +
m
P
k=1
j =1
Vej (y)O(;ej ) =
e
k +es ;n+1
:
Отсюда и из теоремы A получаем
jcs ()j !()jes ;n+1e;TRs j:
Следовательно, при x 2 [; T ; ], 2 S k0 \ Ge 0 \ G0
jy0(x; )j !()jj;n+1 exp(; 2 Re(Rm+1 )):
Из последней оценки и леммы 6 следует
jRe f ; R f j = jy0 + Be^lBf j !()(jj;n+1 e; 2 Re(Rm+1 ) + jj;n + jj;n+ 21 [Re(Rm+1)]; 12 ):
что
С учетом лемм 1 и 2 получаем утверждение теоремы B в случае Re m+1 < Re em+1 .
2) В случае Re m+1 > Re em+1 рассуждения аналогичны приведенным выше.
3) Пусть Re m+1 = Re em+1 и # = 0.
Доказательство теоремы в этом случае дословно повторяет доказательство случая 1.
Заметим, что при n = 2 Re m+1 = Re em+1 тогда и только тогда, когда # = 0.
4) Пусть Re m+1 = Re em+1 , # 6= 0, n 4. Введем в рассмотрение краевую задачу L0 такую,
0 j = j ; j = 1; m ; 1; 0 k = k ; k = m + 2; n;
0 m = m ; "; 0 m+1 = m+1 + "; q0 j qj ; j = 0; n ; 2;
0
где 0 < " < 12 minfRe(m ; m;1 ); Re(m+2 ; m+1 )g. Ясно, что l 2 V , т.к.
0
q0 j (t)t#nj 2 L(0; T ); j = 0; n ; 2;
Re 0 1 < Re 0 2 < < Re 0 n ;
n
X
0
j =1
j = n(n ; 1)=2;
0
и существуют 0 j , j = 0; n ; 2, такие, что (0 k ) = 0, k = 1; n, т.к.
() = n + (n ; 1)n=2 n;1 +
nX
;2
j =0
aj j ;
где aj , j = 0; n ; 2, однозначно определяют k , k = 0; n ; 2, а s , s = 1; n, однозначно определяют
aj , j = 0; n ; 2, по формулам Виета.
Пусть ;0N | окружность, отстоящая на положительном расстоянии от спектров задач L, Le
и L0 , тогда
Z
Z
Z
0
0
1
1
1
e
e
2i 0 (B f ; B f )d 2i 0 (B f ; B f )d + 2i 0 (B f ; B f )d:
;N
;N
;N
Следовательно, этот случай сводится к первым двум.
Положим nj := 0, j = 0; n ; 2, если k = 0, k = 0; n ; 2, иначе nj := n ; 1 ; j ; max(1; Re(n ;
1)).
Следствие. Пусть краевая задача L имеет вид (2){(4) и qj (t)tnj 2 L(0; T ), j = 0; n ; 2.
Тогда
lim kS2k (f ) ; k+s (f )kC [;T ;] = 0
k!+1
48
для всякой функции f (t) такой, что f (t)t{1 2 L(0; T ), где {1 := min(0; Re m+1 , 0 < T ; < T ,
Z T
Z T
k 2jx Z T
X
(f ) := 1 f (t)dt + 2
cos
f (t) cos 2jt dt + sin 2jx f (t) sin 2jt dt ;
k
T
0
T j=1
T
T
0
T
0
T
Sk (f ) | частичная сумма ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям задачи L
(k | число членов), s | произвольная целая константа.
Доказательство. Введем в рассмотрение краевую задачу Le вида (2){(4) такую, что ej = 0,
j = 0; n ; 2, и краевую задачу L0:
y(n) + y = 0;
y() (0) ; y() (T ) = 0; = 0; n ; 1:
Ясно, что k (f ) есть частичная сумма ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям
задачи L0 .
Пусть p = 2k, ;p = f; jj = rp g | окружности радиусов rp ! +1, отстоящие на положительном расстоянии от спектров задач L, Le и L0 и содержащие внутри себя p, pe собственных
значений с учетом кратностей задач L и Le соответственно.
Справедливо неравенство
kS2k (f ) ; k+s (f )k kS2k (f ) ; Seep(f )k + kSeep (f ) ; Se2k (f )k + kSe2k (f ) ; k (f )k + kk (f ) ; k+s (f )k;
где k k | норма в C [; T ; ].
В силу только что доказанной теоремы и теоремы XIII0 (см. [4], p.756) для любого " > 0
существует N1 такое, что для любого k N1
kSp (f ) ; Seep(f )k + kSe2k (f ) ; k (f )k < 2" :
Ясно, что существует N > 0 такое, что для любого контура ;p , выбранного описанным выше
способом, jp ; pej < N . Отсюда и из теоремы XII0 (см. [4], p.756) следует, что для любого " > 0
существует N2 такое, что для любого k N2
kSeep (f ) ; Sep(f )k + kk (f ) ; k+s (f )k < 2" : Литература
1. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных уравнений с особенностью // Дифференц. уравнения. { 1992. { Т. 28. { Є 8. { С. 1355-1362.
2. Yurko V.A. On higher-order dierential operators with a singular point // Inverse Problems. {
1993. { V. 9. { Є 4. { P. 495{502.
3. Юрко В.А. О дифференциальных операторах высших порядков с регулярной особенностью
// Матем. сб. { 1995. { Т. 186. { Є 6. { 28 с.
4. Stone M.H. A comparison of the series Fourier and Birkho // Trans. Amer. Math. Soc. { 1926.
{ V. 28. { Є 4. { P. 695{761.
5. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. { Петроград, 1917.
6. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных
операторов // Матем. сб. { 1981. { Т. 114. { Є 3. { С. 378{405.
7. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений // Дифференц. уравнения. { 1980. { Т. 16.
{ Є 5. { С. 771{794.
49
8. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II // Дифференц. уравнения. { 1980. {
Т. 16. { Є 6. { С. 980{1009.
9. Минкин А.М. Общие ряды по собственным и присоединенным функциям. { Саратовск. ун-т.
{ Саратов, 1982. { 36 с. { Деп в ВИНИТИ 30.12.82, Є 6481-82.
10. Минкин А.М. Разложение по собственным функциям одного класса негладких дифференциальных операторов. { Ред. журн. \Дифференц. уравнения". { Минск, 1989. { 54 с. { Деп. в
ВИНИТИ, Є 5407-B87.
11. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. { 2-е изд. { М.: Наука, 1969. { 526 с.
Саратовский государственный университет
50
Поступила
10.07.1995