Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях на объемы торговых операций.

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010
Управление, вычислительная техника и информатика
№ 4(13)
УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
УДК 519.865.5
В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ
ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ
С ПЕРЕКЛЮЧАЮЩИМИСЯ РЕЖИМАМИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ
НА ОБЪЕМЫ ТОРГОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
Рассматривается модель управления инвестиционным портфелем в дискретном времени при скачкообразном изменении параметров рисковых финансовых активов с учетом явных ограничений на объемы торговых операций.
Параметры изменяются в соответствии с эволюцией однородной марковской
цепи. Приведены результаты численного моделирования с использованием
реальных данных.
Ключевые слова: инвестиционный портфель, управление с прогнозирующей моделью, ограничения, марковские скачки, мультипликативные шумы.
Проблема оптимального управления инвестиционным портфелем (ИП) является одной из наиболее актуальных в финансовой инженерии. Особый интерес
представляет задача управления ИП на финансовом рынке с переключающимися
режимами [1 – 6]. При этом предполагается, что параметры уравнений, описывающих доходности рисковых активов, меняются скачкообразно в соответствии
со случайной сменой режимов функционирования, характерных для реальных
финансовых рынков.
В [1, 2] рассматривается задача управления ИП на скачкообразном финансовом рынке без учета явных ограничений на объемы торговых операций. На реальных рынках существуют жесткие ограничения на объемы вложений (куплипродажи) и займов финансовых инструментов.
Задача динамического управления ИП с учетом явных ограничений рассматривалась в работах [7, 8]. В [7] эволюция цен рисковых активов описывается дискретизованной версией модели типа геометрического броуновского движения со
случайными независимыми параметрами, в [8] доходности описываются моделью
авторегрессии. В этих работах предлагается использовать стратегии управления с
прогнозирующей моделью (со скользящим горизонтом инвестирования) [9]. Такой подход позволяет достаточно просто учитывать явные ограничения на управляющие переменные – объемы вложений и займов. Синтез стратегий управления
с прогнозированием сводится к последовательности задач квадратичного программирования.
В настоящей работе рассматривается задача управления ИП при ограничениях
на финансовом рынке с переключающимися режимами. Параметры рисковых активов меняются в соответствии с эволюцией однородной марковской цепи с конечным пространством ненаблюдаемых состояний и известной матрицей пере-
В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко
6
ходных вероятностей. Получены уравнения синтеза стратегий управления ИП с
прогнозирующей моделью с учетом явных ограничений на объемы вложений и
займов. Приведены результаты численного моделирования с использованием реальных данных.
1. Постановка задачи и описание модели ИП
Рассмотрим ИП, состоящий из n видов рисковых финансовых активов (обыкновенных акций) и одного безрискового финансового актива (банковский счет
или надежные облигации). Капитал, помещенный в i-й рисковый актив в момент
времени k, равен ui(k) (i = 1, 2,..., n); в безрисковый u0(k). Тогда общий объем вложений (капитал портфеля) в момент времени k будет
n
V (k ) = ∑ ui (k ) + u0 (k ) .
(1)
i =1
Отметим, что если ui(k) < 0 (i = 1, 2, ..., n), то это означает участие в операции
«продажа без покрытия» на сумму | ui(k)|; если u0(k)<0, то это означает заем капитала в размере | u0(k)| по безрисковой ставке r. В момент времени k + 1 капитал
портфеля
n
V (k + 1) = ∑ [1 + ηi (k + 1) ] ui (k ) + [1 + r ] u0 (k ) ,
(2)
i =1
где ηi(k+1) – ставка доходности рисковых вложений на интервале [k, k + 1] (случайная величина), r – неслучайная доходность безрисковых вложений.
Используя (1), уравнение (2) преобразуем к виду
n
V (k + 1) = [1 + r ]V (k ) + ∑ [ ηi (k + 1) − r ] ui (k ) ,
(3)
i =1
n
при этом u0 (k ) = V (k ) − ∑ ui (k ) .
i =1
При управлении портфелем учитываются следующие ограничения:
ui min (k ) ≤ ui (k ) ≤ ui max (k ), i = 1, n ;
(4)
n
u0 min (k ) ≤ V (k ) − ∑ ui (k ) ≤ u0 max (k ) .
(5)
i =1
Если нижняя граница uimin(k)<0, i=1,2,…,n, то для рискового актива i-го вида
допустимо участие в операции «продажа без покрытия» на сумму не более
|uimin(k)|; если uimin(k)≥0, i=1,2,…,n, то операции «продажа без покрытия» для рискового актива i-го вида запрещены; u0max(k)≥0 определяет максимальный размер
капитала, который можно вкладывать в безрисковый актив, uimax(k), i=1,2,…,n, определяют максимальный объем капитала, который можно вкладывать в рисковый
актив i-го вида; u0min(k)≤0, величина |u0min(k)| определяет максимальный размер
займа безрискового актива. Отметим, что величины uimin(k), uimax(k), i=0,1,…,n,
на практике часто зависят от общего капитала ИП, что можно учесть, положив
uimin(k) = γi'V(k), uimax(k) = γi''V(k), где γi', γi'' – постоянные коэффициенты.
Необходимо определить стратегию управления портфелем путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал реального портфеля с минимально возможными отклонениями (с минимально воз-
Динамическая модель управления инвестиционным портфелем
7
можным риском) следовал капиталу некоторого определяемого инвестором эталонного портфеля с доходностью μ0, эволюция которого описывается уравнением
V0 (k + 1) = [1 + μ 0 ]V0 (k ),
(6)
в начальный момент времени V0(0)=V(0).
Для описания эволюции доходностей рисковых активов используем разностную аппроксимацию уравнений геометрического (экономического) броуновского
движения со скачкообразно меняющимися параметрами [2,3]:
n
ηi [ α(k ), k ] = μ i [ α(k ), k ] + ∑ σij [ α(k ), k ] ω j (k ) ,
(7)
j =1
где α(k) (k = 0,1,2…) – однородная дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний {1,2,…,ν}, известной матрицей переходных вероятностей
P = ⎡⎣ Pij ⎤⎦ , i, j ∈ {1, 2,..., ν} ,
ν
Pji = P {α(k + 1) = α j α(k ) = αi } , ∑ Pji = 1 ,
j =1
и известным начальным распределением:
pi = P {α(0) = i} , i = 1, 2,..., ν;
ν
∑ pi = 1.
i =1
ωj(k) – независимые между собой дискретные белые шумы с нулевым средним
и единичной дисперсией; последовательности ωj(k) и αj(k) независимы; μi[α(k),k] –
ожидаемая доходность i-го рискового вложения; σij[α(k),k] – элементы матрицы
волатильности σ[α(k),k], σ[α(k),k]σT[α(k),k]≥0.
Причем
μ [ α(k ), k ] ∈ μ (1) ,μ (2) ,...,μ (ν) , σ [ α(k ), k ] ∈ σ(1) , σ(2) ,..., σ(ν) ,
i
i
i
i
{
(l)
}
{
}
=[σij(l)],
где σ
i, j=1,2,…,n, l=1,…,ν. Предполагается также, что состояние марковской цепи в момент времени k не доступно наблюдению.
2. Определение оптимальной стратегии управления
Для управления портфелем используем стратегии с прогнозирующей моделью.
Критерий качества управления (функция риска) имеет вид
2
⎧m
J (k + m / k ) = M ⎨∑ V (k + i ) − V 0 (k + i ) ρ(k , i ) +
⎩ i =1
(
)
/
}
+uT (k + i − 1/ k ) R (k + i − 1)u (k + i − 1/ k )ρ(k , i − 1) V (k ), V0 (k ) ,
(8)
где m – горизонт прогноза, u(k+i/k)=[u1(k+i/k), …,un(k+i/k)]T, R(k)>0, ρ(k,i)>0 – весовые коэффициенты. Весовые коэффициенты ρ(k,i) можно выбирать различными
способами. Если ρ(k,i)=1, то минимизируется сумма квадратов абсолютных отклонений от намеченной траектории; если ρ(k,i)=[V0(k+i)]−2, то минимизируется
сумма квадратов относительных отклонений от намеченной траектории; можно
также использовать дисконтирующие множители: ρ(k,i)=[1+β]−2i, где β – ставка
дисконтирования.
Таким образом, на каждом шаге k имеем задачу минимизации критерия (8) со
скользящим горизонтом управления по последовательности прогнозирующих
В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко
8
управлений u(k/k), …, u(k+m−1/k), зависящих от состояния системы в момент времени k, при ограничениях (4), (5). В качестве управления в момент времени k берем u(k)=u(k/k). Тем самым получаем управление u(k) как функцию состояний
управляемого и эталонного портфелей, т.е. управление с обратной связью. Чтобы
получить управление u(k+1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента k + 1 и т.д.
Теорема. Пусть динамика ИП описывается уравнением (3) с моделью доходностей (7) и ограничениями (4),(5). Тогда оптимальная стратегия прогнозирующего управления, минимизирующая критерий (8) со скользящим горизонтом m определяется уравнением
u (k ) = [ I n 0n
0n ]U (k ),
(9)
где I n – единичная матрица размерности n, 0n – квадратная нулевая матрица
размерности n, U(k)=[uT(k/k), …,uT(k+m-1/k)]T – вектор прогнозирующих управлений, который определяется из решения задачи квадратичного программирования
с критерием
Y (k + m / k ) = 2 xT (k )G (k )U (k ) + U T (k ) H (k )U (k )
(10)
при ограничениях
U min (k ) ≤ S (k )U (k ) ≤ U max (k ),
(11)
T
x(k ) = [V (k ) V0 (k ) ] ;
где
U min (k ) = [uT min (k ), 0 n +1×1 ,..., 0 n +1×1 ]T , U max (k ) = [uT max (k ), 0 n +1×1 ,..., 0 n +1×1 ]T ;
⎡ u1min (k )
⎤
⎡ u1max (k )
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
min
max
⎢ u2 ( k ) ⎥
⎢ u2 ( k ) ⎥
⎥ , umax (k ) = ⎢
⎥;
umin (k ) = ⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
min
max
⎢ un ( k ) ⎥
⎢ un ( k ) ⎥
⎢u min (k ) − V (k ) ⎥
⎢u max (k ) − V (k ) ⎥
⎣ 0
⎦
⎣ 0
⎦
S (k ) , H(k), G(k) – блочные матрицы вида
⎡ H11 (k ) H12 (k )
⎢ H (k ) H (k )
22
H (k ) = ⎢ 21
⎢
⎢⎣ H m1 (k ) H m 2 (k )
G (k ) = [G1 (k ) G2 (k )
H1m (k ) ⎤
H 2m (k ) ⎥
⎥;
⎥
H mm (k ) ⎥⎦
Gm (k )] ;
(12)
(13)
S (k ) = diag( S (k ), 0n +1×n ,..., 0n +1×n ),
блоки которых определяются следующими соотношениями:
n ⎧ ν
⎫⎪
⎪
H tt (k ) = R2 (k , t − 1) + ∑ ⎨∑ ( Bs ( q ) (k + t ))T Q(m − t ) Bs ( q ) (k + t ) pq (k + t ) ⎬ ;
⎪ q =1
s =0 ⎩
⎭⎪
ν
ν
(14)
H tf (k ) = ∑∑ ( B0( q ) (k + t ))T ( A( f −t ) )T Q(m − f ) B0( r ) (k + t ) Prq ( f −t ) pq (k + t ), t < f ; (15)
q =1 r =1
Динамическая модель управления инвестиционным портфелем
9
H tf (k ) = H ft T (k ), t > f ;
(16)
ν
Gt (k ) = ( Αt )T Q(m − t )∑ B0( q ) (k + t ) pq (k + t ) ;
(17)
q =1
⎡1 0
⎢0 1
⎢
S (k ) = ⎢
⎢0 0
⎢ −1 −1
⎣
где
0⎤
0⎥
⎥
⎥;
1⎥
−1⎥⎦
Q(t ) = AT Q(t − 1) A + R1 (k , m − t ), t = 1, m ;
(18)
Q(0) = R1 (k , m),
(19)
⎡μ ( q ) − r μ 2 ( q ) − r μ n ( q ) − r ⎤
A = diag(1 + r ,1 + μ 0 ), B0( q ) (k ) = ⎢ 1
,
0
0 ⎥⎦
⎣ 0
⎡σ ( q )
B j ( q ) (k ) = ⎢ 1 j
⎣ 0
σ2 j (q)
0
σ nj ( q ) ⎤
⎥ , ( j = 1, n), (q = 1, ν),
0 ⎦
⎡ 1 −1⎤
R1 (k , t ) = ρ(k , t ) ⎢
, R2 (k , t ) = ρ(k , t ) R(k , t ) ,
⎣ −1 1 ⎥⎦
Prq f −t – элемент матрицы P f −t .
Доказательство. С учетом (7) представим уравнения динамики реального и
эталонного портфелей (3), (6) в матричном виде:
n
⎡
⎤
x(k + 1) = Ax(k ) + ⎢ B0 [α(k + 1), k + 1] + ∑ B j [α(k + 1), k + 1]ω j (k + 1) ⎥ u (k ) ,
j =1
⎣⎢
⎦⎥
где
(20)
⎡ u1 (k ) ⎤
⎡ V (k ) ⎤
x(k ) = ⎢ 0 ⎥ , u (k ) = ⎢ … ⎥ , A = diag(1 + r ,1 + μ 0 ),
⎢
⎥
⎣V (k ) ⎦
⎣ un ( k ) ⎦
⎡μ [ α(k ), k ] − r μ 2 [ α(k ), k ] − r μ n [ α(k ), k ] − r ⎤
B0 [ α(k ), k ] = ⎢ 1
⎥⎦ ,
0
0
0
⎣
⎡ σ [ α(k ), k ] σ 2 j [ α(k ), k ] σ nj [ α(k ), k ]⎤
B j [ α(k ), k ] = ⎢ 1 j
⎥ , j = 1, n.
0
0
0
⎣
⎦
Критерий (9) перепишем следующим образом:
⎧m
⎫
J (k + m / k ) = M ⎨∑ xT (k + i ) R1 (k ,i ) x(k + i ) + uT (k + i −1/ k ) R2 (k ,i −1)u (k + i −1/ k ) x(k )⎬ . (21)
⎩ i=1
⎭
Цепь Маркова с дискретным временем допускает следующее представление в
пространстве состояний [10]:
θ(k + 1) = Pθ(k ) + υ(k + 1),
(22)
/
где θ(k)=[δ(α(k),1), …,δ(α(k),ν)]T, δ(α(k),j) – функция Кронекера, j=1, …ν; υ – мар-
В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко
10
тингал разность с характеристиками
M {υ(k + 1)} = 0 ;
(23)
C (k + 1) = M { υ(k + 1) υT (k + 1)} = diag( PM {θ(k )}) − Pdiag( M {θ(k )}) PT .
При этом
L1 (k ) = M {θ(k )} = P k p(0) = p(k ) ;
(24)
L2 (k ) = M {θ(k )θT (k )} = diag( p (k )),
(25)
T
где p(0)=[p1,p2,…,pν] – начальное распределение состояний цепи Маркова,
p(k) = [p1(k),p2(k),…,pν(k)]T – распределение состояний цепи в момент времени k.
С учетом (22) систему (20) можно представить в следующем виде:
n
⎡
⎤
x(k + 1) = Ax (k ) + ⎢ B0 [θ(k + 1), k + 1] + ∑ B j [θ(k + 1), k + 1]ω j (k + 1) ⎥ u (k ) , (26)
j =1
⎣⎢
⎦⎥
ν
B j [θ(k ), k ] = ∑ θi (k ) B j (i ) (k ), ( j = 0, n) .
где
(27)
i =1
Здесь θi(k), i=1,2,…,ν, – компоненты вектора θ(k), {Bj(i)}, j=0,…,n, i=1,…,ν, – множество значений матрицы Bj[θ(k),k].
Выражая последовательно все x(k+i), i=1,2,…,m, через x(k) с использованием
уравнения системы (26) и подставляя результат в критерий (21), получим
J (k + m / k ) = xT (k ) AT Q(m − 1) Ax(k ) +
(28)
m
+2 xT (k ) AT ∑ ( Ai −1 )T Q(m − i ) M { B0 [θ(k + i ), k + i ]} u (k + i − 1/ k ) +
i =1
m
n
⎧
⎫
+ ∑uT (k +i −1/ k )⎨∑ M BsT [θ(k +i ),k +i ]Q(m−i ) Bs [θ(k +i ),k +i ] + R2 (k ,i −1)⎬u (k +i −1/ k )+
⎩s=0
⎭
i =1
{
m−1 m
}
{
}
+2 ∑ ∑ uT (k +i −1/ k )M B0T [θ(k +i ),k +i ]( A j −i )T Q(m− j ) B0 [θ(k + j ),k + j ] u (k + j −1/ k ).
i=1 j =i+1
С учетом (23) – (25), (27) определим математические ожидания, входящие в
(28):
ν
ν
q =1
q =1
M { B0 [θ(k + i ), k + i ]} = ∑ ⎡⎣ Eq L1 (k + i ) ⎤⎦B0( q ) (k + i ) = ∑ B0( q ) (k + i ) pq (k + i ) ; (29)
{
}
T
M Bs [θ(k + i ), k + i ]Q(m − i ) Bs [θ(k + i ), k + i ] =
ν
ν
= ∑∑ ( Bs ( q ) (k + i ))T ⎡⎣ Er L2 (k + i ) EqT ⎤⎦Q(m − i ) Bs ( r ) (k + i ) =
q =1 r =1
ν
= ∑ ( Bs ( q ) (k + i ))T Q(m − i ) Bs ( r ) (k + i ) pq (k + i ) ;
(30)
q =1
{
}
M B0T [θ(k + i ), k + i ]( A( j −i ) )T Q(m − j ) B0 [θ(k + j ), k + j ] =
ν
ν
{
}
= ∑∑ ( B0( q ) (k + i ))T ⎡⎣ Er M θ(k + j )θT (k + i ) EqT ⎤⎦ Q(m − j ) B0( r ) (k + j ),
q =1 r =1
(31)
Динамическая модель управления инвестиционным портфелем
где Eq = [ 0
11
0] , q = 1, ν, j = i + 1, m. Определим M{θ(k+j)θT(k+i)} для
0 1 0
j=i+1,…,m:
{
}
{
}
M θ(k + j )θT (k + i ) = M θ(k + i + ( j − i ))θT (k + i ) =
⎧⎛
⎪
= M ⎨⎜⎜ P j −i θ(k + j ) +
⎪⎩⎝
=P
j −i
{
j −i −1
∑
l =0
⎞
⎫⎪
P l υ(k + j − l ) ⎟⎟ θT (k + i ) ⎬ =
⎠
⎭⎪
}
M θ(k + i )θT (k + i ) = P j −i L2 (k + i ).
Тогда (31) примет вид
{
}
M B0T [θ(k + i ), k + i ]( A( j −i ) )T Q(m − j ) B0 [θ(k + j ), k + j ] =
ν
ν
= ∑∑ ( B0( q ) (k + i ))T ⎡⎣ Er P j −i L2 (k + i ) EqT ⎤⎦ ( A j −i )T Q(m − j ) B0( r ) (k + j ) =
q =1 r =1
ν
ν
= ∑∑ ( B0( q ) (k + i ))T ( A j −i )T Q(m − j ) B0( r ) (k + j ) Prq j −i pq (k + i ), ( j = i + 1, m).
(32)
q =1 r =1
С учетом (29), (30), (32) критерий (28) перепишем в виде
J (k + m / k ) = xT (k ) AT Q(m − 1) Ax(k ) +
(33)
m
⎪⎧ ν
⎪⎫
+2 xT (k ) AT ∑ ( Ai −1 )T Q(m − i ) ⎨∑ B0( q ) (k + i ) pq (k + i ) ⎬ u (k + i − 1/ k ) +
i =1
⎩⎪ q =1
⎭⎪
m
⎧⎪ n ν
⎫⎪
+ ∑uT (k +i −1/ k )⎨∑∑( Bs( q ) (k +i ))T Q(m−i ) Bs( r ) (k +i ) pq (k +i )+ R2 (k ,i −1)⎬u (k +i −1/ k )+
i =1
⎩⎪s=0 q=1
⎭⎪
m−1 m
⎧⎪ ν ν
⎫⎪
+2 ∑ ∑ uT (k +i−1/k )⎨∑∑( B0( q ) (k +i ))T ( A j −i )T Q(m− j ) B0( r ) (k + j ) Prq j−i pq (k +i )⎬u (k + j−1/k ),
i=1 j =i+1
⎩⎪q=1 r =1
⎭⎪
где pq(k) – q-й элемент вектора p(k), Prqj −i – элемент (r,q) матрицы P j−i.
Выражение (33) можно записать в матричном виде:
J (k + m / k ) = xT (k ) AT Q(m − 1) Ax(k ) + 2 xT (k )G (k )U (k ) + U T (k ) H (k )U (k ), (34)
где матрицы H(k),G(k) имеют вид (12) – (19).
Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (34) при ограничениях
(4), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием
(10) при ограничениях (11).
3. Численное моделирование
Определим стратегию управления портфелем ценных бумаг, состоящим из пяти рисковых активов, торгующихся на российском фондовом рынке, а именно:
ОАО «Сбербанк России», ОАО «Газпром», ОАО «ГМК “Норильский никель”»,
ОАО «Банк ВТБ», ОАО «Нефтяная компания “Лукойл”», банковского счета с доходностью r = 0, 00004. Период инвестирования: с 28.10.2007 г. по 15.05.2008 г.
продолжительностью T = 200 торговых сессий.
В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко
12
Известно, что финансовый рынок может находиться в состояниях с низкой и
высокой волатильностью. Основываясь на анализе доходностей рисковых активов, будем предполагать, что первое состояние характеризуется следующими параметрами активов: σ11(1)=0,01; σ22(1)=0,02; σ33(1)=0,01; σ44(1)=0,01; σ55(1)=0,02; второе состояние: σ11(2)=0,04; σ22(2)=0,03; σ33(2)=0,04; σ44(2)=0,04; σ55(2)=0,03. Предполагается также, что σij(1)= σij(2)=0 при i≠j, i, j=1,…,5. Индикаторами смены режимов
рынка могут служить финансовые индексы. Оценка матрицы переходных вероятностей, характеризующей смену режимов финансового рынка, получена методом
максимального правдоподобия [11] по выборке объемом N = 100 значений индекса ММВБ за период, предшествующий периоду инвестирования.
Матрица переходных вероятностей имеет вид
⎡ 0, 65 0, 45⎤
P=⎢
.
⎣ 0, 25 0, 75 ⎥⎦
Оценки средней доходности на каждом k-м шаге (k = 1,2,…, T) производятся
методом простой скользящей средней с периодом, равным 13.
Операции «продажи без покрытия» не запрещены, γi' = −0,6, γi''=3, i=1,…,5,
γ0'=3. Доходность эталонного портфеля μ0=0,003. Весовые коэффициенты
R=diag(10−4,…,10−4), ρ(k,i)=1. В начальный момент времени капитал ИП
V(0)=V0(0)=1, горизонт прогноза m = 20.
Рис. 1 иллюстрирует динамику доходностей рисковых финансовых активов
(по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат – величины доходностей).
На рис. 2 показаны: изменение капитала V0(k) эталонного портфеля (линия 1),
изменение капитала управляемого портфеля V(k) (линия 2), (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат – капиталы портфелей). На
рис. 3 показана динамика капитала, вложенного в каждый рисковый финансовый
актив: линия 1 – капитал u1(k), вложенный в акции ОАО «Сбербанк России», линия 2 – капитал u2(k), вложенный в акции ОАО «Газпром» (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат – суммы вложений).
η
0,3
0,2
1
0,1
2
0
–0,1
–0,2
–0,3
0
50
100
150
k
Рис. 1. Динамика доходностей рисковых активов (линия 1 – доходность акции ОАО «Сбербанк России», линия 2 – доходность акции
ОАО «Газпром»)
Динамическая модель управления инвестиционным портфелем
13
V, V0
1,8
2
1,6
1,4
1
1,2
1
0
40
80
120
160
k
Рис. 2. Динамика портфеля (линия 1 – капитал эталонного портфеля,
линия 2 – капитал управляемого портфеля)
u
0,4
1
0,3
2
0,2
0,1
0
–0,1
–0,2
–0,3
–0,4
0
40
80
120
160
k
Рис. 3. Динамика управляющих воздействий (линия 1 – u1(k), линия 2 – u2(k))
Из рис. 2 видно, что капитал управляемого инвестиционного портфеля достаточно хорошо отслеживает рост капитала эталонного портфеля за счет перераспределения средств между рисковыми и безрисковыми вложениями с привлечением заемных средств.
Заключение
В работе предложен подход к управлению инвестиционным портфелем в дискретном времени на финансовом рынке с переключающимися режимами. Задача
управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за эталонным
портфелем с заданной желаемой доходностью. Структура ИП описывается разностным стохастическим уравнением со случайными параметрами, скачкообразно
меняющимися в соответствии с эволюцией марковской цепи с конечным фазовым
пространством состояний.
14
В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко
Синтезированы стратегии управления с прогнозирующей моделью при условии, что состояние марковской цепи не наблюдается, и с учетом явных ограничений на объемы торговых операций.
Численное моделирование подтверждает работоспособность и эффективность
данного подхода к управлению ИП на реальном финансовом рынке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов// АиТ. 2003. № 7. С. 77−86.
2. Гальперин В.А., Домбровский В.В., Федосов Е.Н. Динамическое управление инвестиционным портфелем на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами // АиТ. 2005. № 5. С. 175−189.
3. Yin G., Zhou X.Y. Markowitz mean-variance portfolio selection with regime switching: from
discrete-time models to their continuous-time limits // IEEE Transactions Automat.Control.
March 2004. V. 39. No. 3. P. 349−360.
4. Bäuerle N., Rieder U. Portfolio optimization with Markov-modulated stock prices and interest
rates // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. V. 49. No. 3. P. 442−447.
5. Billio M., Pelizzon L. Value-at-Risk:a multivariate switching regime approach // J. Empirical
Finance. 2000. No. 7. P. 531−554.
6. Elliott R.J., Van der Hoek J. An Application of Hidden Markov Models to Asset Allocation
Problems // Finance and Stochastics. 1997. No. 1. P. 229−238.
7. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием
системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение
к оптимизации инвестиционного портфеля // АиТ. 2005. № 5. С. 84−97.
8. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозирующей моделью системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // АиТ. 2006. № 12. С. 71−85.
9. Rawlings J. Tutorial: Model predictive control technology // Proc. Amer. Control Conf. San
Diego. California. June 1999. P. 662−676.
10. Aggoun L, Elliott R.J. Measure Theory and Filtering. N.Y.: Cambridge University Press,
2004.
11. Ли Ц., Джадж Д., Зельнер А. Оценивание параметров марковских моделей по агрегированным временным рядам. М.: Статистика, 1997.
Домбровский Владимир Валентинович
Объедко Татьяна Юрьевна
Томский государственный университет
E-mail: [email protected]; [email protected]
Поступила в редакцию 4 мая 2010 г.