close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О наименее уклоняющихся от нуля тригонометрических полиномах.

код для вставкиСкачать
УДК 517.518
С. В. Тышкевич
О НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМАХ
В данной работе приводится условие наименьшего уклонения от нуля
тригонометрического полинома на системе отрезков среди всех полиномов, старшие коэффициенты (A, B) которых удовлетворяют соотношению A2 + B 2 = 1.
Пусть ?1 , ?2 , . . . , ?2l таковы, что
?1 < ?2 < . . . < ?2l , 0 < ?2l ? ?1 < 2?,
и
E=
l
[
[?2k?1 , ?2k ] .
k=1
(A,B)
Обозначим через TN
класс тригонометрических полиномов вида
N
N
N
N
?N (?) = A cos ?+B sin ?+a1 cos
? 1 ?+b1 sin
? 1 ?+. . .
2
2
2
2
N
N
N
N
. . . + a[ N ] cos
?
? + b[ N ] sin
?
?,
2
2
2
2
2
2
A, B, a1 , b1 , . . . , a[ N ] , b[ N ] ? R, A2 + B 2 = 1.
2
2
Этот класс включает в себя не только обычные тригонометрические полиномы (при чјтном N ), но и тригонометрические полиномы полуцелого
порядка, рассмотренные в работах [13].
Положим k?N k := max |?N (?)|. Точками уклонения полинома ?N (?)
??E
на E будем называть точки, в которых |?N (?)| достигает своего максимума на E . Кроме того, через Tn (x) будем обозначать многочлены
Чебышјва
Tn (x) =
1
cos n arccos x.
2n?1
Если гармонические меры отрезков рациональны, то по теореме 2 [4]
найдется ? такое, что тригонометрический полином вида
N
N
N
N
cos ? cos ? + sin ? sin ? + a1 cos
? 1 ? + b1 sin
? 1 ?+...,
2
2
2
2
87
наименее уклоняющийся от нуля среди всех полиномов класса
(cos ?, sin ?)
TN
, имеет на E максимальное число точек уклонения.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если
?N? (?)
N
N
N
?
?
= cos ? + a1 cos
? 1 ? + b1 sin
? 1 ? + ...
2
2
2
N
N
N
N
(1,0)
?
?
. . . + a?[ N ] cos
? + b?[ N ] sin
? ? TN
2
2
2
2
2
2
имеет на E максимальное число точек уклонения (N + l), то он наименее уклоняется от нуля на E среди полиномов в классе
[
(A,B)
TN =
TN
.
A,B: A2 +B 2 =1
Доказательство. Проведјм доказательство теоремы от противного.
Пусть полином
?N? (?)
N
N
N
?
?
? 1 ? + b1 sin
? 1 ? + ...
= cos ? + a1 cos
2
2
2
имеет на E максимальное количество точек уклонения.
Предположим, что для некоторого ? имеет место
?
k?N? k > k?N,?
k,
где
N
N
? + sin ? sin ?+
2
2
N
N
?
?
+ a1,? cos
? 1 ? + b1,? sin
? 1 ? + ...
2
2
N
N
N
N
. . . + a?[ N ],? cos
?
? + b?[ N ],? sin
?
?
2
2
2
2
2
2
?
?N,?
(?) = cos ? cos
(cos ?,sin ?)
полином, наименее уклоняющийся от 0 на E в классе TN
. Так
?
?
как k?N,? k непрерывно зависит от ? , можно считать, что 2? ? Q, т.е.
?=
2?p
, p ? Z, q ? N.
q
88
Поскольку
q q
N
N
N
cos ? cos ? + sin ? sin ? = cos
???
=
2
2
2
N
1
? ? ? q + ...,
= q?1 cos
2
2
? ?
?N,? (?)
?N (?)
то пары старших коэффициентов полиномов Tq k? ? k и Tq k? ? k равN,?
N
1
1
1
ны соответственно 2q?1 k? ? kq , 0 и 2q?1 k? ? kq , 0 , а нормы 2q?1 . Поэтому
N
N,?
полиномы
?
? (?)
= ?N? q (?)
k?N? kq Tq N ?
k?N k
и
!
?
?
(?)
N,?
?
k?N,?
kq Tq
= ?N? q,? (?)
?
k?N,? k
1
имеют одинаковые пары старших коэффициентов 2q?1
, 0 , при этом нормы удовлетворяют неравенству
k?N? q k =
С другой стороны,
полином
1
1
? q
?
k?
k
>
k?N,?
kq = k?N? q,? k.
N
q?1
q?1
2
2
?
(?)
?N
?k
k?N
на E пробегает отрезок [?1, 1] N раз, поэтому
?N? q (?)
=
k?N? kTq
?N? (?)
k?N? k
пробегает на E отрезок [?k?N? q k, k?N? q k] N q раз, а значит наименее укло(1,0)
няется от нуля на E в классе TN q , что противоречит последнему неравенству.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Виденский В. С. О тригонометрических полиномах полуцелого порядка // Изв.
АН АрмССР. Сер. физ.-мат. науки. 1964. Т. 17, ќ 3. С. 133140.
2. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle
// J. Approx. Theory. 1996. Vol. 85. P. 140184.
3. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on arcs of the unit
circle. Orthogonal polynomials with periodic reection coecients // J. Approx.
Theory. 1996. Vol. 87. P. 60102.
4. Лукашов А. Л. Неравенства для производных рациональных функций // Изв.
РАН. Сер. мат. 2004. Т. 68, ќ 3. С. 115138.
89
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
372 Кб
Теги
наименее, уклоняющихся, нуля, полиномами, тригонометрические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа