close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О приближении функций в среднем на всей оси алгебраическими полиномами с весом Чебышёва-Эрмита.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2016, том 59, №7-8
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Тухлиев, А.М.Маликов
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ В СРЕДНЕМ НА ВСЕЙ ОСИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ С ВЕСОМ ЧЕБЫШЁВА-ЭРМИТА
Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 10.03.2015 г.)
В работе рассматривается экстремальная задача о наилучшем приближении функций,
суммируемых с квадратом на всей оси алгебраическими полиномами с весом Чебышева-Эрмита.
Получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина на множествах функций L(2,r) ( ) ,
связывающих величины наилучших приближений сверху через усреднённые значения обобщённых
модулей непрерывности m-го порядка, определяемые дифференциальными операторами второго
порядка.
Ключевые слова: наилучшее приближение, алгебраический полином, коэффиценты Фурье-Эрмита,
обобщенный модуль непрерывности.
Пусть L2, := L2, ( ) , где
суммируемых на всей оси
= ( , ),  :=  ( x) = e x
2
– пространство вещественных,
, с квадратом функций f таких, для которых
1/2


2
f 2, :=   e  x | f ( x ) |2 dx 


< .
Очевидно, что пространство L2, со скалярным произведением
( f , g ) :=  e  x f ( x )g ( x )dx
2
и нормой
f
L2, 
:= ( f , f )1/2 является гильбертовым. Через
n
обозначим подпространство
алгебраических полиномов степени не более n ,
En1 ( f )2, := inf  f  pn1
–
величины
наилучшего
подпространства
n1 .
полиномиального
2, 
: pn1 
приближения
n 1

функции
f  L2,
элементами
Хорошо известно [1], что любая функция f  L2, разлагается в ряд Фурье по
полиномам Эрмита
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин, Маликов Абдумумин Маликович. 735700, Республика
Таджикистан, г.Худжанд, ул. Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет.
E-mail: [email protected]; [email protected]
282
Математика
К.Тухлиев, А.М.Маликов

f ( x ) = ck ( f ) H k ( x ),
(1)
k =0
где
H k ( x ) := ( 1) 2
k
 k /2
(k!)
1/2

d k  x2
e
(e ),
dx k
1/4 x 2
ck ( f ) =  e x f ( x ) H k ( x)dx
2
f  L2, , а равенство в (1) понимается в смысле
– коэффициенты Фурье-Эрмита функции
сходимости в L2, .
Если через Sn 1 ( f , x ) =


c ( f ) H k ( x ) обозначить частичную сумму (n  1) -го порядка
k =0 k
ряда (1) функции f  L2, , то
1/2
En 1 ( f )2,
 2

= f  Sn 1 ( f ) 2, = ck ( f )  .
 k =n

(2)
Рассмотрим оператор усреднения для функции f  L2, :
Tt ( f ; x ) =
1
f (x
 
2
1  t 2  ty )e  y dy , | t | 1,
(3)
для которой в смысле сходимости в L2, справедливо равенство [1]

Tt ( f ; x ) = ck ( f )(1  t 2 ) k /2 H k ( x ).
(4)
k =0
Следуя [2], образуем аналоги конечных разностей следующими равенствами
1t ( f , x) := Tt ( f , x)  f ( x) = (Tt  E ) f ( x),
tm ( f , x) := 1t ( tm1 ( f , ), x) = (Tt  E )m f ( x) =
m
m
= ( 1)mk   Tt k ( f , x ),
k =0
k
(5)
где m = 2,3,..., Tt k := Tt1 (Tt k 1 ), Tt1 := Tt , Tt 0 = E , E – единичный оператор в пространстве L2, .
Учитывая равенства (1) и (4) и воспользовавшись первым равенством (5), запишем

1t ( f , x ) = ck ( f )  (1  t 2 )k /2  1 H k ( x ).
m
k =0
Применяя последовательно последнее равенство, получаем
283
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №7-8

tm ( f , x ) = ck ( f )  (1  t 2 )k /2  1 H k ( x ),
m
(6)
k =1
откуда, используя равенство Парсеваля, имеем
 tm ( f , x )

2
2, 
:=  1  (1  t 2 )k /2  ck2 ( f ).
2m
k =1
С.Б.Вакарчук [2] для произвольной функции f  L2, ввёл в рассмотрение следующий обобщённый
модуль непрерывности m -го порядка
m ( f ,  )2, := sup tm ( f , )
2
2, 
:| t |   =
2m 

= ck2 ( f ) 1  (1   2 ) k /2   .
 k =1

Пусть L(2,r) := L(2,r) ( ) ( r 
порядка
f ( r 1)

(7)
, L(0)
2,  L2, ) – множество функций f  L2,  , у которых производные
абсолютно
непрерывны
на
любом
конечном
интервале,
а
производные
r -го порядка принадлежат пространству L2, . Всюду далее, ради краткости, полагаем
n,r = n(n  1) (n  r  1), n  r, n, r  .
С.Б.Вакарчук [2] доказал следующую общую теорему
Теорема А. Пусть m, n  , r 

(n  r), 0 < h  1,  (t )  0 – суммируемая на отрезке
[0, h] не эквивалентная нулю функция. Тогда справедливо равенство
sup
2 r  n ,r  En 1 ( f )2,
1/ p
 h p (r)


(
f
,
t
)

(
t
)
dt


m
2,


f r
0

(r)
f L2, 
h

mp
=   1  (1  t 2 )( n r )/2   (t )dt 
0

=
1/ p
.
(8)
В частности, в (8) при  = t, p = 1/ m, m  , r = 0, h = 2 / (n  2) и n   имеет
место предельное равенство
lim sup
n 

f  r  (n  2)

(r)
f L2, 
En 1 ( f )2,

tm1/ m ( f , t ) 2, dt 


2/( n  2)

0
m
= em .
В данной работе мы из равенства (8) в качестве следствия выведем следующее утверждение.
284
Математика
К.Тухлиев, А.М.Маликов
Теорема 1. Пусть выполнены все условия теоремы А. Тогда при любом h  (0,1] справедливо
равенство
sup
(r)
f L2, 
2r  n ,r  En 1 ( f )2,
1/ p
h


p
(r)
2 ( n  r )/2 1
dt 
 (n  r )  m ( f , t ) 2, t (1  t )
0


=
1/ p


mp  1


=
 , 0 < p  2, n > r.
2 ( n  r )/2 mp 1


1

(1

h
)





В частности, из (9) при h = 2 / (n  r ), n > r, n, r 
получаем
2 r  n ,r  En 1 ( f )2,
sup sup

f  r  (n  r )

n
n >r
(9)
1/ p

mp ( f ( r ) , t ) 2, t (1  t 2 )( n r )/21 dt 


2/( n  r )
(r)
f L2, 

0
=
1/ p






mp  1
= sup 

mp

1
( n  r )/2
n




2


n>r

 1   1  n  r 



  

В свою очередь из равенства (10), при p = 1/ m, m 
sup sup
n
f L2, 
=
(mp  1)1/ p
1  e 
1 m 1/ p

m1/ m ( f , t )2, t (1  t 2 )( n r )/21 dt 


2/( n  r )

0
(10)
следует равенство
En 1 ( f )2,

 (n  r )


.
m
=
2m
1  e1 
2m
.
(11)
Доказательство. В самом деле, положив в равенстве (8)  (t ) = (n  r )t (1  t 2 )( nr )/21 и
заметив, что
 (t )dt = (n  r )t (1  t 2 )( nr )/21 dt = d 1  (1  t 2 )( nr )/2  ,
для стоящего в правой части (8) интеграла получаем
h

2 ( n  r )/2 mp
 d 1  (1  t 2 )( n r )/2  
  1  (1  t )
0

1/ p
1/ p
=


mp  1


=
 , 0 < p  2, n > r,
2 ( n  r )/2 mp 1


1

(1

h
)





285
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №7-8
откуда и следует равенство (9). Равенства (10) и (11) получаются непосредственным вычислением.
Имеет место также следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть m, n  , r 
sup
(r)
f L2, 

, n  r, 0 < h  1 . Тогда справедливо равенство
2r  n ,r  En 1 ( f ) 2,
1

1/ m
(r)
  m ( f , t ) 2, dt 
h 0

h
m
=
1
 1

2 ( n  r )/2
dt 
 1   (1  t )
 h0

h
m
.
(12)
В частности, при h = 1 имеем
sup
(r)
f L2, 
2r  n ,r  En 1 ( f )2,

 nr
((n  r ) / 2) 
= 1 



2 n  r  1 ((n  r  1) / 2) 

m
 1 1/ m ( r )

  m ( f , t )2, dt  dt
0

m
,
где (a ) – гамма-функция Эйлера.
Доказательство. В работе [2] для произвольной функции
f  L2, и любом t  (0,1]
доказано неравенство
En21 ( f )2,   En21 ( f )2, 
11/2 m

m1/ m ( f , t )2,  ck2 ( f )(1  t 2 )k /2 .
(13)
k =n
Интегрируя полученное неравенство в пределах от t = 0 до t = h , получаем
hEn21 ( f )2,   En21 ( f )2, 
11/2 m
h

h
0
k =n
0
1/ m
2
2 k /2
 m ( f , t )2, dt  ck ( f )(1  t ) dt.
Поделив обе части последнего соотношения на число h  (0,1] и учитывая, что
1 h
 1h
2 k /2
2 n /2
max   (1  t ) dt  =  (1  t ) dt ,
k n
h 0
 h0
приходим к следующему неравенству
h
 1h

1
En21 ( f )2, 1   (1  t 2 )n /2 dt   En211/ m ( f )2,   m1/ m ( f , t )2, dt,
h0
 h0

откуда сразу получаем
m
En 1 ( f )2,
 1 h 1/ m

  m ( f , t ) 2, dt 
h
 .
 0 h


1
2 n /2
 1   (1  t ) dt 
h0


286
(14)
Математика
К.Тухлиев, А.М.Маликов
Если f  L(2,r) , то для f ( r )  L2, из (14) сразу вытекает неравенство
En r 1 ( f ( r ) )2,
 1 h 1/ m ( r )

  m ( f , t ) 2, dt 
h

 0 h


1
2 ( n  r )/2
dt 
 1   (1  t )
h0


m
(15)
и, учитывая, что для произвольной функции f  L(2,r) справедливо соотношение
En 1 ( f )2, 
1
2  n ,r
r
 En r 1 ( f ( r ) )2, ,
окончательно имеем
m
En 1 ( f )2, 
1
2 r  n ,r
 1 h 1/ m ( r )

  m ( f , t ) 2, dt 
 h0
 .
h


1
2 ( n  r )/2
dt 
 1   (1  t )
h0


Отсюда запишем оценку сверху
m
2r  n ,r  En 1 ( f )2,
 1h

  1   (1  t 2 )( n r )/2 dt  .
sup
m
h
(r)

f L2,   1
 h0

1/ m
(r)

(
f
,
t
)
dt

2, 
f  r h m
 0

С
целью
получения
оценки
снизу,
равной
правой
части
рассмотрим
(16),
(16)
функцию
f 0 ( x) := H n ( x)(n  r ) , очевидно принадлежащую классу L(2,r) и для которой, как легко проверить
En1 ( f 0 )2, = 1, f 0( r ) ( x) = 2r n,r H nr ( x),
m ( f 0( r ) , t )2, = 2r n,r (1  (1  t 2 )( nr )/2 )m ,
получаем оценку снизу
sup
2r  n ,r  En 1 ( f )2,
 1 h 1/ m ( r )

f  r  h  m ( f , t )2, dt 
 0

(r)
f L2, 
m

2 r  n ,r  En 1 ( f 0 )2,
 1 h 1/ m ( r )

 m ( f 0 , t ) 2, dt 
h 0

m
=
m
 1h

=  1   (1  t 2 )( n r )/2 dt  .
 h0

287
(17)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №7-8
Равенство (12) получаем из сопоставления оценки сверху (16) и оценки снизу (17). Теорема 2
доказана.
Отметим, что аналогичные экстремальные задачи для обобщенных модулей непрерывности
рассматривались в работах [3, 4].
Поступило 10.03.2015 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Рафальсон С.З. О приближении функций в среднем суммами Фурье-Эрмита. – Изв.вузов.
Математика, 1968, №7, с.78-84.
2. Вакарчук С.Б. Приближение функций в среднем на вещественной оси алгебраическими
полиномами с весом Чебышева-Эрмита и поперечники функциональных классов. –
Матем.заметки, 2014, т.95, №5, с.666-684.
3. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Неравенства Джексона – Стечкина с обобщёнными модулями
непрерывности и поперечники некоторых классов функций. – Труды института математики и
механики УрО РАН, 2015, т.21, 4, с.315-331.
4. Шабозов М.Ш. Точные верхние грани наилучших приближений суммами Фурье-Бесселя в
пространстве L2 на отрезке [0,1] со степенным весом и значение поперечников некоторых классов
функций. – Известия ТулГУ, 2015, 4, с.93-108.
Ќ.Тухлиев, А.М.Маликов
НАЗДИККУНИИ МИЁНАИ ФУНКСИЯЊО БА ВОСИТАИ
БИСЁРАЪЗОГИЊОИ АЛГЕБРАВЇ ДАР ТАМОМИ ТИРИ АДАДЇ
БО ВАЗНИ ЧЕБИШЁВ-ЭРМИТ
Донишгоњи давлатии Хуљанд ба номи Б.Ѓ.Гафуров
Дар маќола масъалаи экстремалии наздиккунии бењтарини функсияњо бо квадрат
суммиронидашудаи бисёраъзогињои алгебравии дар тамоми тири ададї бо вазни ЧебишёвЭрмит, дида баромада шудааст. Дар маљмўи функсияњои L2 ( ) нобаробарињои намуди ЉексонСтечкин, ки бузургии наздиккунии бењтаринро аз боло бо ќиматњои миёнакардашуда модули
бефосилагии умумикардашудаи тартиби m -ўми ба воситаи оператори дифференсиалии
тартиби дуюм алоќаманд мекунад, ёфта шудаанд.
Калимањои калидї: наздиккунии бењтарин, бисёраъзогии алгебраикї, коэффисиентњои ФурйеЭрмит, модули бефосилагии умумикардашуда.
288
Математика
К.Тухлиев, А.М.Маликов
K.Tukhliev, A.M.Malikov
THE APPROXIMATION OF FUNCTION IN THE MEAN AT ALL AXES BY
ALGEBRAIC POLYNOMIALS WITH CHEBISHOV-ERMIT'S WEIGHT
B.G.Gafurov Khugand State University
In this article an extremal problem on best approximation of function squared-summable at all axes
by algebraic polynomials with Chebishov-Ermit weghts is considered. An exact inequality in the mean of
Jackson-Stechkin on the set of functions L(2r ) ( ) which colligate the best approximation from above by
average values of modulus continuity of m-th order determined by differential operator of second order are
received.
Key words: best approximation, algebraic polynomial, coefficients of the Fourier-Hermite, generalized
modulus continuity.
289
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
492 Кб
Теги
оси, средней, приближение, всей, эрмитаж, полиномами, чебышева, функции, весов, алгебраический
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа